Derivatives Lesson Oct 15

LIMITS

We say that the limit of f(x), as x approaches a written

limx      a

f (x) = L

if we can take outputs f(x) as close to L as we wish by taking inputs x sufficiently close to a but not equal to a.

Graph the function f(x) =  x2 ­ 9x ­ 3

Now lets estimate  limx      3

f(x) 

On graphing calculator press 2nd [Tblset]

Then press 2nd [TABLE]

Graph f(x) =  sinxx

estimate  limx      0

f(x)

Graph f(x) = xx

limx      0+ x

x= 1 lim

x      0­ xx

= ­1

Right ­ hand limit:  limx      a+

f(x) = L means that f(x) can be 

made as close to L as we wish by taking x sufficiently close to a but greater than a

x      a­lim f(x) = L means that f(x) can be 

made as close to L as we wish by taking x sufficiently close to a but less than a

Left ­ hand limit:

sinxx

limx      0+

sinxx

limx      0

sinxx

limx      0­

= = = 1

limx      0 x

xlimx      0+ x

x limx      0­ x

x= therefore,  does not exist

Rules for calculation limits

1. Sum Rule: x      alim [ f(x) + g(x) ] =

x      alim f(x) +

x      alim g(x) = L + M

L ­ M

[ f(x) ­ g(x) ]2. Difference Rule:x      alim =

x      alim f(x) ­

x      alim g(x)

=

f(x) =x      alim g(x)3. Product Rule: x      a

limx      alim[ f(x)  g(x) ] = LM..

4. Constant Multiple Rule:x      alim f(x)k = kL

5. Quotient Rule:x      alim =

f(x)g(x)

x      alim f(x)

x      alim g(x)

= LM

=if M      0

Findx      2lim x2

3x + 4

x      2lim x2

3x + 4= x      2

lim x2

x      2lim (3x + 4)

= x      2lim x

x      2lim x

x      2lim

x      2limx3 4+

2

5

Find x      2lim x2 ­ 5x + 6

x ­ 2

Questions 1 ­ 19 odd only

Exercise 2.7