Averiguar el término general de una sucesión, no es una tarea nada sencilla, y en función de la sucesión que estemos tratando, puede traernos verdaderos dolores de cabeza. En algunas ocasiones, no habrá más remedio que abandonar. No es que no se pueda hallar o averiguar, sino que no dispondremos de las herramientas más adecuadas para ello. Probablemente porque necesitemos conocimientos matemáticos que por el nivel que estemos estudiando, aún no hemos adquirido.
- 1. Sucesiones
- MatemTICas: 1,1,2,3,5,8,13,
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- Profesor: Luis Miguel Iglesias Albarrn
2. Ejercicio
- Sucesiones y Progresiones
Averigua el trmino general de las siguientes sucesiones: a)4, 7,
12, 19, 28, b) 3. a)4, 7, 12, 19, 28,
- A primera vista parece claro que le sumamos 3, luego 5, ms
tarde 7, ...
- Pero, esto que parece tan simple, es difcil de formalizar, al
no tratarse de un crecimiento constante, es decir, al no aumentar
una cantidad fija.
- Hay que buscar otra alternativa ...
- Si seguimos observando la sucesin, tambin podemos darnos cuenta
de que: Cada elemento se obtiene elevando al cuadrado la posicin
que ocupa y, posteriormente, sumndole 3 unidades
4.
- As que SLO nos queda encontrar, una expresin, que nos permita,
simplemente sustituyendo n por un nmero, encontrar el elemento de
la sucesin que ocupe el lugar indicado por este nmero.
a)4, 7, 12, 19, 28,
- Bastatraducirel lenguaje verbal al lenguaje matemtico
- El elemento que ocupa la posicin nen la sucesin se obtendr de
la siguiente manera: elevando n al cuadrado y posteriormente
sumndole 3
- As, el trmino general de la sucesin es:
- Finalmente, basta comprobar que todo ha ido bien, dndole
valores a n
5. Para n=1 obtenemos 1+3= 4 Para n=2 obtenemos 4+3= 7 6. Para
n=3 obtenemos 9+3= 12 Para n=4 obtenemos 16+3= 19 7. Para n=5
obtenemos 25+3= 28 Para n=6 obtenemos 36+3= 39 8. a)4, 7, 12, 19,
28,
- Hemos encontrado el trmino general de la sucesin:
9.
- A primera vista parece claro que:
b) (1) Al numerador le sumamos 3, de modo constante.Luego, el
numerador est formado por una progresin aritmtica de diferencia 3.
(2) El denominador lo multiplicamos por 3 y luego le sumamos 2.
- Pero, esto que por separado parece tan simple, es bastante
difcil de formalizar, ya que obtener el trmino generaldebemos ser
capaces de obtener la fraccin completa con una nica expresin.
10.
- As que SLO nos queda encontrar, una expresin, que nos permita,
simplemente sustituyendo n por un nmero, encontrar el elemento de
la sucesin que ocupe el lugar indicado por este nmero.
- Bastatraducirel lenguaje verbal al lenguaje matemtico
- Vayamos por partes. Recuerda:Divide y Vencers
- NUMERADOR: El trmino general del numerador, al ser una
progresin aritmtica viene dado por la expresin:
b)
- En nuestro caso:Luego el trmino general de la sucesin del
numerador viene dado por:
11.
- Vayamos ahora con el denominador.
- DENOMINADOR: Ya hemos visto que para calcular el denominador de
un trmino, necesitamos multiplicar por 3 el denominador del trmino
anterior y, luego, sumarle 2.
- Bien, y cmo obtenemos el denominador del trmino anterior?
b)
- Para obtener el denominador de una fraccin cualquiera, basta
con dividir el numerador de la fraccin entre la propia fraccin.
Veamos un ejemplo:
12.
- En nuestro caso, cuando queramos calcular el denominador del
trmino
13. necesitamos el denominador del trmino
- El denominador del trminose obtiene dividiendo el numerador de
dicho trmino, entre el propio trmino.
- Ahora bien, el numerador del trminoviene dado por:
b)
- Por tanto, para obtener el denominador de la fraccin,
realizamos la siguiente operacin:
- Finalmente, basta con multiplicar la expresin anterior por 3 y
luego sumarle 2, obteniendo la expresin del trmino general del
denominador:
14.
- Llegados a este punto, nos queda colocar en el NUMERADOR y en
el DENOMINADOR, las expresiones correspondientes a ellos, as, por
fin, habremos conseguido encontrar el trmino general de una
sucesin, que aparentemente, a primera vista, no pareca nada del
otro mundo.
b)
- Corolario: Las apariencias engaan (y en Matemticas, an ms)
- As, el trmino general de la sucesin es:
15.
- pero despus de esto no me quedan fuerzas, y me voy a la
cama.
- Finalmente, basta comprobar que todo ha ido bien, dndole
valores a n
16. - Debes obtener al menos, los 5 primeros trminos. Para n=2
obtenemos:b)