Introducao ao escoamento compressivel

Introdução ao escoamento incompressível

Matéria Variação de massa específica associada à

variação de energia cinética Revisões de Termodinâmica Equação de energia unidimensional para gases

em regime estacionário sem trocas de energia ao veio

Entalpia e temperatura de estagnação Exemplo Escoamento subsónico, crítico e supersónico.

Introdução ao escoamento incompressível

Matéria Condições críticas Evoluções em funão do número de Mach Equações para regime compressível unidimensional Transferência de calor em condutas de secção

constante Exemplo.

Introdução ao escoamento compressível

Efeito de compressibilidade associado a variações intensas de energia cinética:

2

2Vp

∆−=∆ ρEquação de Bernoulli:

2V∆ p∆elevados elevados

ρ∆

ρ = ρ (T,p)

significativos Efeitos de compressibilidade

Importância do termo

p∂∂ρ

2

1

a= a = velocidade do som no fluido (efeitos mais intensos nos

fluidos de menor a)

Introdução ao escoamento compressível

Aumento do número de variáveis (e equações):

Esc. incompressível Esc. compressível

V e p

Equação da continuidade

Equação de Bernoulli(ou de quantidade de movimento)

V, p, ρ e T

Equação da continuidade

Equação de Energia

Equação da quantidade de movimento

Equação de estado (G.P.): RTp ρ=

Novos parâmetros: a – Velocidade do som

M – Número de Mach

(M = V/a)

Revisão de Termodinâmica

Algumas definições: Equação de estado: define as propriedades do fluido a partir de

duas delas (p.ex. pressão e temperatura). Processo: conjunto de estados intermédios entre o inicial e o

final. Processo reversível: permite o regresso ao estado inicial sem

interferência do exterior. Processo irreversível: caso contrário (efeitos do atrito ou de

trocas de calor).

Leis da Termodinâmica: 1ª Lei: correspondência entre calor e trabalho como formas de

energia. 2ª Lei: limita a direcção da evolução dos processos naturais

1ª Lei da Termodinâmica (para sistemas abertos/volumes de controlo)

Equação de energia para escoamentos unidimensionais:

QWmgyV

hmgyV

hdV

ut veio

entk

ksaídai

iVC

+=

++−

+++

+

∂∂ ∑∑∫∫∫ 222

222

ψρ

Equação de energia para regime estacionário, sem troca de energia ao veio, secções de entrada e saída únicas, desprezando energia potencial (gases), por unidade de massa:

qV

hV

h =

+−

+

1

2

2

2

22

2ª Lei da Termodinâmica

Num processo real a entropia s varia de modo a que;

T

dqds > ( ) ( ) irrevrev dsdsds +=

s e q expressos por unidade de massaT

dq

Num processo adiabático (dq = 0) a entropia aumenta, excepto se o processo for reversível (sem atrito), caso em que s = cte – processo isentrópico.

Adiabático + reversível (sem atrito) isentrópico, ds = 0

Gases perfeitos

Equação de estado: comRTp ρ= MR R=

R – constante do gás, M – molécula-grama do gás (massa em gramas de uma mole do gás), R – constante universal dos gases perfeitos (8,314 JK-1mole-1)

e ainda:

dTcdh

dTcdu

p

v

==

vp

vp

ccR

cc

−=

=γ

Evoluções isentrópicas:1

1

2

1

1

2

1

2

−−

=

=

γγ

γ

ρρ

p

p

T

T

γ varia entre 1 e 1,4 (gases diatómicos) em função da complexidade da molécula do gás; vapor de água γ =1,33.

1−=

γγR

cp

Número de Mach, M

som do velocidade

fluido do velocidade==a

VM

( ) Mp

V =∂∂

=ρ

( ) Mp

V =∂∂

=ρ

( ) 2

22

Lp

LV

ρρρ

∂∂=

elálásti forçoinércia de forçoForça de inércia

Força elástica

( ) 3

32

Lp

LV

ρρρ

∂∂=

elálásti energiacinética energiaEnergia cinética

Energia elástica

2

2

0

Vhh +=

qhh =− 1020

Entalpia de estagnação adiabática:

Equação de energia: qV

hV

h =

+−

+

1

2

2

2

22

Num escoamento adiabático (q = 0): .2

2

0 cteV

hh =+=

Entalpia de estagnação adiabática: a entalpia dum ponto levado ao repouso numa desaceleração adiabática

Entalpia de estagnação adiabática

Temperatura de estagnação adiabática:

Temperatura de estagnação adiabática

pc

VTT

2

2

0 +=

qhh =− 1020

.2

2

0 cteV

hh =+=

Para um gás perfeito: dTcdh p=

Num escoamento adiabático:

Temperatura de estagnação adiabática: a temperatura dum ponto levado ao repouso numa desaceleração adiabática

Equação da energia:pc

qTT =− 1020

.2

2

0 ctec

VTT

p

=+=

p0=84 kPa

V

p1=70 kPa

T1=-50 C

Nota: os pontos 1 e 0 estão muito próximos e estariam à mesma pressão e temperatura se o ponto 0 não fosse de estagnação devido à presença do Pitot.

Exemplo

Um tubo de Pitot mede uma pressão total de p0=14 kPa acima da pressão estática local de p1=70 kPa. Sabendo que a temperatura local é T1=-50 C determine a velocidade do escoamento, V.

pc

qTT =− 1020Equação da energia:

.2

2

0 ctec

VTT

p

=+=1 0

pc

VTT

2

21

10 += ( )11 2 TTcV op −=

Evolução isentrópica:γ

γ 1

11

−

=p

p

T

T oo

K 9,2340 =TK 223502731 =−=T m/s 1541 =VResultados:

0=q?

Temperatura de estagnação em função do número de Mach - M

Temperatura de estagnação, T0:pc

VTT

2

2

0 +=

+=

Tc

VTT

p21

2

0

( )

−+=RT

VTT

γγ 2

0 2

11

2a

( )

−+= 2

0 2

11 MTT

γ

1−=

γγR

cp

=p

Condições críticas (M=1)

Para M=1 ( )

−+=

2

110

γTT( )

−+= 2

0 2

11 MTT

γ

( ) 1

0 2

1−∗

+= γ

T

T

∗∗ =+

= aRT

V10

γγ

T* é a temperatura crítica

V* é a temperatura crítica:

a* é a velocidade do som crítica

Equações a utilizar em escoamento compressível

Equação da energia:pc

qTT =− 1020

Equação da continuidade:

Equação de estado:

Equação do número de Mach:

pc

dqdT =0

.cteAV =ρ 0=++V

dV

A

dAd

ρρ

RTp ρ= 0=−−T

dTd

p

dp

ρρ

a

VM = 0=−+

V

dV

a

da

M

dM

Equações a utilizar em escoamento compressível

( ) ( ) AVdVd

dxVfdAAdpppdApA ρρ =−++−+2

2

Equação da quantidade de movimento:

( )12 xxx VVmF −=

02

2

=−+d

dx

A

Mf

RT

VdV

p

dp γ

V V+dVA, p, ρ

A+dA

p+dp

ρ+dρ

(escoamento sem mudança de direcção)

RTp

1=ρ

p

pForça longitudinal exercida pela pressão na parede lateral

Escoamento com transferência de calor numa conduta de secção constante

Equação da energia:pc

dqdT =0

dq

Vp, ρ

V+dV p+dpρ+dρ

pc

VdVdTdT +=0

Definição de temperatura de estagnação:

T+dTT0+dT0

M+dM

Escoamento com transferência de calor numa conduta de secção constante

Equação da continuidade: 0=++V

dV

A

dAd

ρρ

Equação de estado: 0=−−T

dTd

p

dp

ρρ

Eq. número de Mach: 0=−+V

dV

a

da

M

dM

02

2

=−+d

dx

A

Mf

RT

VdV

p

dp γ Eq. da quant. movimento:(desprezando o atrito)

Escoamento com transferência de calor numa conduta de secção constante

6 incógnitas (dV, dp, dT, dρ, dM, dT0) e 6 equações

Solução: ( )pc

dqM

V

dV

T

dT =−= 20 1

Aquecimento: acelera o escoamento de subsónico até sónico (no máximo)

(Aquecimentos superiores são acompanhados por redução do caudal, mantendo escoamento sónico à saída)

ou desacelera o escoamento de supersónico até sónico (no máximo)

(Aquecimentos superiores são acompanhados por um aumento do caudal, mantendo escoamento sónico à saída)

Escoamento com transferência de calor numa conduta de secção constante

Qual o máximo aquecimento compatível com o caudal indicado (isto é, para Ms = 1)?

smRTMV eee 95== γ

q

M=0,3T=250 K

saída

121436 −= smkgA

m

315 mkgV

Am

ee ==

ρ PaTRp eee 1083628== ρ

( )eses VVA

mpp −−=

( )22eesse VVp ρρ −−=

sRTγ

( )2eesses VRTpp ργρ −−=

sp

Escoamento com transferência de calor numa conduta de secção constante

PaVp

p eees 507918

1

2

=+

+=γ

ρ

39,2 mkgRT

p

s

ss ==ρ

smAm

Vs

s 495==ρ

M=0,3T=250 K

saída

121436 −= smkgA

m

ss

s

ss AV

mRT

RTp

== ρ

γs

s

RT

A

mp

= KTs 610=

( ) KgKJVV

TTcq esesp 4,479

2

22

=−+−=

( )sss RTVM γ== 1

( )2eesses VRTpp ργρ −−=

sp

Introdução ao escoamento incompressível

Bibliografia Secções 9.1 a 9.4, R.H. Sabersky, A.J. Acosta,

E.G. Hauptmann, E.M. Gates, Fluid Flow, 4ª edição, Prentice Hall, 1999.

Secções 9.1 a 9.4, F.M. White, Fluid Mechanics, 3ª edição, McGraw-Hill, 1994.