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Presenta: Prof. Fredes Rodríguez Galarza
Proyecto: Laboratorios Regionales de Matemáticas
Auspiciado por el Departamento de Educación en alianza con la División de Educación Continua y Estudios Profesionales (DECEP) de la
Universidad de Puerto Rico, Recinto de Río Piedras. Sufragado por fondos federales
de Título I -A.
1 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
Saludos
Dinámica de presentación
Estándares desarrollados en la presentación
Taller Funciones
Gráficas de funciones
Catálogo de gráficas de funciones
Transformaciones de funciones
Post Prueba
Evaluación del taller
2 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
Una relación R, es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto A, algún elemento de un conjunto B.
g
f
d
a
h
e
c
b
B A
R
a b
1 1
2 4
3 9
1 -1
4 1
6 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
Una función f, es una regla que asigna a cada elemento x en
un conjunto A, exactamente un elemento, llamado f(x), en conjunto B. A las funciones se le asignan letras, f(x), g(x), h(x), y, etc. para representar la variable dependiente. El conjunto A representa el dominio y el conjunto B representa el alcance.
Las funciones se pueden representar mediante un texto, una expresión algebraica, una tabla de valores o una gráfica.
a
x
)(
)(
af
xf
B A
f
xxf 50.1)(
a b
1 1
2 4
3 9
El valor de cierta cantidad de bolsas de maníes, si el precio de cada bolsa de maníes es $1.50.
Ejemplos:
xy 50.1
7 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
Verifique cuál de los siguientes cumple con la
definición de función. De ser simplemente una relación, explique.
1) Función/No función 2) Función/No función
X 1 2
3 X Y
Práctica
8 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
3) −1, 2 ; 1, 0 ; 3, −5 ; 6, 4 Función/No función
Función/No función
Función/No función
Función/No función
Práctica (continuación)
4) −1, 0 ; 1, 0 ; 3, −5 ; 3, 4
5) 𝑦 = 5𝑥 − 7
6) 𝑥2 + 𝑦2 = 4
9 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
7)
Función / No función
8)
Función / No función
Práctica (continuación)
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
10 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
Discusión en grupo
11 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
Trabajar los ejercicios de las páginas 1-3
Práctica:
Clasificar las siguientes relaciones como función o no función.
1) 2) 3)
4) 5)
42 2 xy
s t
0 2
2 4
3 6
La ganancia de cierto producto tiene una relación lineal. Esta es la diferencia entre los ingresos y los costos.
g
f
d
a
h
e
c
b
B A
8,5,0,2,4,3,3,2
Función No función
Función
Función
No función
12 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
Práctica:
Clasificar las siguientes relaciones como función o no función.
1) 2) 3)
4) 5)
No función Función
No función
Función Función
13 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
B A
321 xy
r t
0 2
2 3
2 4
3 6
La relación entre el número de bacterias en un cultivo y el tiempo.
8,5,4,3,3,2
1. El número de seguro social que se asigna a una persona.
2. La relación de la medida del área de un círculo y su radio.
3. La correspondencia de padre a hijo
4. Los conceptos matemáticos aprendidos en precálculo I.
5. La relación de maestro a estudiante.
14 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
Función
No Función
Función
No Función
No Función
Si f es una función con dominio A, entonces la
gráfica de f es el conjunto de pares ordenados.
En otras palabras, la gráfica de f es el conjunto de los puntos (x, y) tales que y = f(x); es decir, la gráfica de la ecuación y = f(x).
Axxfx /)(,
)(, afa
)(, xfx
)(, cfc
a xc
)(xf
)(cf
)(af
)(abscisaA
)()( ordenadaAf
16 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
La regla de la recta vertical se utiliza para determinar si
una gráfica representa una función.
La regla consiste en trazar rectas verticales a través de la gráfica, si estas rectas verticales cruzan la gráfica una sola vez decimos que la gráfica representa una función.
Ejemplos:
La gráfica no representa una función porque una de las rectas cruza la curva más de una vez.
La gráfica representa una función porque las rectas cruzan la curva una sola vez.
La gráfica no representa una función porque más de una de las rectas cruza la curva más de una vez.
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
17 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
Práctica:
Clasificar las siguientes gráficas de relaciones en función o no función.
Función Función No función
Función No función
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
19 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
Al determinar el dominio de una función gráficamente, se buscan
todas las coordenadas x que corresponden a puntos en la gráfica. Para
determinar el alcance de una función gráficamente se buscan todas las
coordenadas y que corresponden a puntos en la gráfica.
Dominio = −1,∞) Alcance = (−∞, 2
𝑥
𝑦
𝑓(𝑥)
20 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
Dominio = Alcance =
,2
,3
Práctica:
Buscar el dominio y el alcance de las siguientes funciones.
Dominio = Alcance =
8,
3,
𝑥
𝑦
𝑓(𝑥)
𝑥
𝑦
𝑓(𝑥)
21 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
Las funciones se emplean con frecuencia para modelar cantidades cambiantes.
Es importante saber dónde crece, decrece o es constante la gráfica de una función.
Solución:
f es CRECIENTE en:
f es DECRECIENTE en:
f es CONSTANTE en:
dcba ,,
cb,
ed ,
f es CRECIENTE f es DECRECIENTE
f es CRECIENTE
f es CONSTANTE
22 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
a b c d e
B
C )(xfy
A
E D )(xf
x
f es creciente en un intervalo abierto l, si f(x1) < f(x2) siempre que x1 < x2 en l. f es decreciente en un intervalo abierto l, si f(x1) > f(x2) siempre que x1 < x2 en l.
f es constante en un intervalo abierto l, si f(x1) = f(x2) siempre que x1 < x2 en l.
creciente decreciente
x1 x2
f
f(x2)
f(x1)
x1 x2
f
f(x2)
f(x1)
constante
21, xx 21, xx 21, xx
x1 x2
f f(x2)
f(x1)
23 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
Solución:
f es CRECIENTE en:
f es DECRECIENTE en:
f es CONSTANTE en:
40,2010,0
50,40
70,5020,10 0 10 20 30 40 50 60 70 x (años)
W (lb)
200
150
100
50
Práctica: La siguiente gráfica presenta el peso W de una persona de la edad x. Determine los intervalos dónde la función W es creciente, decreciente y constante. Explique que representan esos intervalos para la persona.
25 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
Los puntos donde la pendiente de la curva cambia de dirección se llaman puntos de cambio. Los puntos donde la pendiente cambia de negativa a positiva o cambia de positiva a negativa.
Un máximo local de una función f, es un valor f(c) que es mayor o igual a todos los valores del alcance de f en algún intervalo abierto que contiene a c. Si f(c) es mayor o igual a todos los valores del alcance de f, entonces f(c) es el valor máximo absoluto de f. Un mínimo local de una función f, es un valor f(c) que es menor o igual a todos los valores del alcance de f en algún intervalo abierto que contiene a c. Si f(c) es menor o igual a todos los valores del alcance de f, entonces f(c) es el valor mínimo absoluto de f. Los extremos locales también se conocen como extremos relativos.
máximo local
mínimo local
𝑥
𝑦
𝑓(𝑥)
26 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
Práctica: Determine los puntos de cambio de la gráfica que representa la función f(x). Identifique los puntos máximos y mininos locales f(x).
Solución:
Puntos de cambio −5,1 , −4, −3 𝑦 −2,3
Puntos máximos locales
−5,1 , −2,3
Puntos mínimos locales −4,−3
28 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
𝑥
𝑦
𝑓(𝑥)
En la gráfica de la izquierda se observa lo siguiente:
Intersección en el eje de y : (0, -1)
Intersección en el eje de x: (-3, 0), (2, 0)
Función positiva f(x)>0 en: (-∞, -3)U(2, ∞ )
Función negativa f(x)<0 en: (-3, 2)
La intersección de la gráfica de una función con el eje de y ocurre cuando el valor de x es igual a cero. El punto de intersección es (0, y) o (0, f(0)). La intersección de la gráfica de una función con el eje de x ocurre cuando y=f(x) es igual a cero. Las intersecciones en el eje de x también se le llama ceros
de la función. El punto de intersección es (x, 0).
Una función es positiva en un intervalo abierto I si, f(x)>0 para toda x en el intervalo I. Intervalo donde las y están por arriba del eje de x. Una función es negativa en un intervalo abierto I si, f(x)<0 para toda x en el intervalo I. Intervalo
donde las y están por debajo del eje de x.
𝑥
𝑦
𝑓(𝑥)
29 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
Solución:
Intersección en el eje de y : (0, 1)
Intersección en el eje de x: (-7, 0), (-5, 0), (2, 0), (7, 0)
Función positiva f(x)>0 en: [-8, -7)U(-4, 2 )U(7, 10]
Función negativa f(x)<0 en: (-7, -5)U(-5, -4]U(2, 7)
Práctica: Determine las intersecciones en los ejes de la función 𝑓(𝑥).
Determine los intervalos donde la gráfica es positiva y negativa.
𝑥
𝑦
𝑓(𝑥)
31 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
Trabajo en grupo
32 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
Todos los grupos Trabajar los ejercicios de las páginas 8-9
Práctica: Para la gráfica de f(x) determine lo siguiente:
Dominio: Alcance: Intervalos donde f crece Intervalos donde f decrece: Intervalos donde f es constante: Intervalos donde f(x)>0: Intervalos donde f(x)<0: Intersecciones en los ejes: Puntos de cambio: Puntos máximos locales: Puntos mínimos locales: f(4): En que valor de x f(x)=-1:
𝑥
𝑦
𝑓(𝑥)
−∞,∞ −∞,∞ : −∞,−6.5 ⋃ −5, −2.5 ⋃ 4,∞ −6.5, −5 ⋃ −2.5, 0 ⋃ 2,4 0,2 −7,−6 ⋃ −4,−0.5 ⋃ 5.4,∞ −∞,−7 ⋃ −6,−4 ⋃ −0.5, 5.4 −7,0 ; −6,0 ; −4,0 ; 0.5,0 ; 5.4,0 ; (0, −1) −6.5, 1 ; −5, −3 ; −2.5,3 −6.5, 1 ; −2.5, 3 −5,−3 𝑓 4 = 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜 𝑥 ≈ −7.4, −6.2, −4.3, 0,2 , 5.2
33 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
Práctica: Para la gráfica de f(x) determine lo siguiente:
Dominio: Alcance: Intervalos donde f crece Intervalos donde f decrece: Intervalos donde f es constante: Intervalos donde f(x)>0: Intervalos donde f(x)<0: Intersecciones en los ejes: Puntos de cambio: Puntos máximos locales: Puntos mínimos locales: f(-2): f(6): En que valor de x f(x)=-1:
−∞, 11 −6,∞ : −5,−2 ∪ −2,0 −∞,−5 ∪ 6,11 0,6 ∞,−7 ∪ −3,6 −7,−3 ∪ 6,11) −7,0 ; −3,0 ;(0,6) −5,−4 no tiene −5,−4 𝑓 −2 = 3 𝑓 6 = −4 𝑥 ≅ −6.8, −3.2
34 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
𝑦
𝑥
𝑓(𝑥)
𝑘
𝑓(𝑥)
𝑥
𝑓(𝑥)
𝑥
𝑓(𝑥)
𝑥
𝑓(𝑥)
𝑥
Catálogo de Gráficas de Funciones
35 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
Trabajo en grupo Grupo 1 Hacer ejercicio de la página 10 Grupo 2 Hacer ejercicio de la página 11 Grupo 3 Hacer ejercicio de la página 12 Grupo 4 Hacer ejercicio de la página 13 Grupo 5 Hacer ejercicio de la página 14
36 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
kkkkky
x 21012
valoresde Tabla
La gráfica de la función constante tiene la forma de una recta horizontal. El
modelo de la gráfica de la función constante se obtiene evaluando la función para algunos valores de x que pertenecen al dominio. Luego se hace una tabla para la variable x y la variable y que es igual a f(x). Finalmente se localizan los puntos y se unen formando la gráfica.
kfy
kfy
kfy
kfy
kfy
)2(
)1(
)0(
)1(
)2(
valoresalgunos de Evaluación
k
kf(x)
,0 :Intercepto
, :Constante
} { :Decrece
} { :Crece
{k}:Alcance
, :Dominio
de ticasCaracterís
𝑘
𝑓(𝑥)
𝑥
37 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
21012
21012
valoresde Tabla
y
x
La gráfica de la función identidad tiene la forma de una recta inclinada. El
modelo de la gráfica de la función identidad se obtiene evaluando la función para algunos valores de x que pertenecen al dominio. Luego se hace una tabla para la variable x y la variable y que es igual a f(x). Finalmente se localizan los puntos y se unen formando la gráfica.
2)2()2(
1)1()1(
0)0()0(
1)1()1(
2)2()2(
valoresalgunos de Evaluación
fy
fy
fy
fy
fy
0,0 :Intercepto
} { :Constante
} { :Decrece
, :Crece
,:Alcance
, :Dominio
de ticasCaracterís
xf(x)𝑓(𝑥)
𝑥
38 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
21012
21012
valoresde Tabla
y
x
La gráfica de la función valor absoluto tiene la forma de una V. El modelo de
la gráfica de valor absoluto se obtiene evaluando la función para algunos valores de x que pertenecen al dominio. Luego se hace una tabla para la variable x y la variable y que es igual a f(x). Finalmente se localizan los puntos y se unen formando la gráfica.
22)2(
11)1(
00)0(
11)1(
22)2(
valoresalgunos de Evaluación
fy
fy
fy
fy
fy
0,0 :Intercepto
} { :Constante
,0- :Decrece
,0 :Crece
0,:Alcance
, :Dominio
de ticasCaracterís
xf(x)
𝑓(𝑥)
𝑥
39 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
41014
21012
valoresde Tabla
y
x
La gráfica de la función cuadrática tiene la forma de parábola. El modelo de
la gráfica de la función cuadrática se obtiene evaluando la función para algunos valores de x que pertenecen al dominio. Luego se hace una tabla para la variable x y la variable y que es igual a f(x). Finalmente se localizan los puntos y se unen formando la gráfica.
4)2()2(
1)1()1(
0)0()0(
1)1()1(
4)2()2(
valoresalgunos de Evaluación
2
2
2
2
2
fy
fy
fy
fy
fy
0,0 :Intercepto
} { :Constante
,0- :Decrece
,0 :Crece
0,:Alcance
, :Dominio
de ticasCaracterís 2
xf(x)𝑓(𝑥)
𝑥
40 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
81018
21012
valoresde Tabla
y
x
El modelo de la gráfica de la función cúbica se obtiene evaluando la función para algunos valores de x que pertenecen al dominio. Luego se hace una tabla para la variable x y la variable y que es igual a f(x). Finalmente se localizan los puntos y se unen formando la gráfica.
8)2()2(
1)1()1(
0)0()0(
1)1()1(
8)2()2(
valoresalgunos de Evaluación
3
3
3
3
3
fy
fy
fy
fy
fy
0,0 :Intercepto
} { :Constante
{} :Decrece
,- :Crece
,-:Alcance
, :Dominio
de ticasCaracterís 3
xf(x)𝑓(𝑥)
𝑥
41 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
El modelo de la gráfica de la función recíproco se obtiene evaluando la función para algunos valores de x que pertenecen al dominio. Luego se hace una tabla para la variable x y la variable y que es igual a f(x). Finalmente se localizan los puntos y se unen formando la gráfica.
} { :Intercepto
} { :Constante
,0U0, :Decrece
{} :Crece
,0U0,:Alcance
,0U0, :Dominio
1 de ticasCaracterís
x
f(x)
𝑓(𝑥)
𝑥
Tabla de valores
x -3 -2 -1 1 2 3
Y −13
−12
-1 1 12 1
3
Evaluación de algunos valores
𝑦 = 𝑓 −3 = 1−3
= −13
𝑦 = 𝑓 −2 = 1−2
= −12
𝑦 = 𝑓 −1 = 1−1
= −1
𝑦 = 𝑓 1 = 11=1
𝑦 = 𝑓 2 = 12= 1
2
𝑦 = 𝑓 3 = 13= 1
3
42 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
El modelo de la gráfica de la función recíproca cuadrada se obtiene evaluando la función para algunos valores de x que pertenecen al dominio. Luego se hace una tabla para la variable x y la variable y que es igual a f(x). Finalmente se localizan los puntos y se unen formando la gráfica.
} { :Intercepto
} { :Constante
,0 :Decrece
0, :Crece
,0:Alcance
,0U0, :Dominio
1 de ticasCaracterís
2
x
f(x)
𝑓(𝑥)
𝑥
Tabla de valores
x -3 -2 -1 1 2 3
Y 19 1
4 1 1 1
4 1
9
Evaluación de algunos valores
𝑦 = 𝑓 −3 = 1−3 2 = 1
9
𝑦 = 𝑓 −2 = 1−2 2 = 1
4
𝑦 = 𝑓 −1 = 1−1 2 = 1
1=1
𝑦 = 𝑓 1 = 11 2 = 1
1=1
𝑦 = 𝑓 2 = 12 2 = 1
4
𝑦 = 𝑓 3 = 13 2 = 1
9
43 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
El modelo de la gráfica de la función raíz cuadrada se obtiene evaluando la función para algunos valores de x que pertenecen al dominio. Luego se hace una tabla para la variable x y la variable y que es igual a f(x). Finalmente se localizan los puntos y se unen formando la gráfica.
0) (0, :Intercepto
} { :Constante
} { :Decrece
),0( :Crece
),0[:Alcance
),0[ :Dominio
de ticasCaracterís
xf(x)𝑓(𝑥)
𝑥
Tabla de valores
x 0 1 4 9
Y 0 1 2 3
Evaluación de algunos valores
𝑦 = 𝑓 0 = 0 = 0 𝑦 = 𝑓 1 = 1=1
𝑦 = 𝑓 4 = 4 = 2
𝑦 = 𝑓 9 = 9 = 3
44 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
El modelo de la gráfica de la función raíz cúbica se obtiene evaluando la función para algunos valores de x que pertenecen al dominio. Luego se hace una tabla para la variable x y la variable y que es igual a f(x). Finalmente se localizan los puntos y se unen formando la gráfica.
0) (0, :Intercepto
} { :Constante
} { :Decrece
,- :Crece
,-:Alcance
,- :Dominio
de ticasCaracterís 3
xf(x)
𝑓(𝑥)
𝑥 Tabla de valores
x -8 -1 0 1 8
Y -2 -1 0 1 2
Evaluación de algunos valores
𝑦 = 𝑓 −8 = −83
= −2 𝑦 = 𝑓 −1 = −1
3=-1
𝑦 = 𝑓 0 = 03
= 0
𝑦 = 𝑓 1 = 13
= 1
𝑦 = 𝑓 8 = 83
=2
45 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
El modelo de la gráfica de la función parte entera se obtiene evaluando la función para algunos valores de x que pertenecen al dominio. Luego se hace una tabla para la variable x y la variable y que es igual a f(x). Finalmente se localizan los puntos y se unen formando la gráfica.
0),1,0[y 0) (0, :Intercepto
Zb1,bxb :Constante
} { :Decrece
,- :Crece
Z:Alcance
,- :Dominio
de ticasCaracterís
xf(x)𝑓(𝑥)
𝑥
Tabla de valores
x -2 -1.7 −1.2 -1 0 0.2 0.8 0.9
Y -2 -2 −2 -1 0 0 0 0
Evaluación de algunos valores
𝑦 = 𝑓 −2 = −2 = −2 𝑦 = 𝑓 −1.7 = −1.7 = −2 𝑦 = 𝑓 −1.2 = −1.2 = −2
𝑦 = 𝑓 −1 = −1 = −1 𝑦 = 𝑓 0 = 0 = 0
𝑦 = 𝑓 0.2 = 0.2 = 0 𝑦 = 𝑓 0.8 = 0.8 = 0 𝑦 = 𝑓 0.9 = 0.9 = 0
46 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
El modelo de la gráfica de la función semicírculo se obtiene evaluando la función para algunos valores de x que pertenecen al dominio. Luego se hace una tabla para la variable x y la variable y que es igual a f(x). Finalmente se localizan los puntos y se unen formando la gráfica.
(a,0)y a) (0, , 0) (-a, :sIntercepto
{} :Constante
a) (0, :Decrece
0,a- :Crece
a][0, :Alcance
a][-a, :Dominio
de ticasCaracterís 22 xaf(x)
Tabla de valores
x -a a 0
Y 0 0 𝑎
Evaluación de algunos valores
𝑦 = 𝑓 −𝑟 = 𝑎2 − −𝑎 2 = 0
𝑦 = 𝑓 𝑟 = 𝑎2 − 𝑎2 = 0
𝑦 = 𝑓 𝑟 = 𝑎2 − 0 2 = 𝑎
𝑓(𝑥)
𝑥 -a a
a
47 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
El modelo de la gráfica de la función por partes o definida por intervalos se obtiene evaluando la función para algunos valores de x que pertenecen al dominio. Luego se hace una tabla para la variable x y la variable y que es igual a f(x). Finalmente se localizan los puntos y se unen formando la gráfica.
0) (0, :Intercepto
{} :Constante
0,- :Decrece
),1(1,0 :Crece
)[0, :Alcance
,- :Dominio
1 si ,2
1 si, de ticasCaracterís
2
xx
xxf(x)
42014
21012
valoresde Tabla
y
x
4)2(2)2(
2)1(2)1(
1)1()1(
0)0()0(
1)1()1(
4)2()2(
valoresalgunos de Evaluación
2
2
2
2
fy
fy
fy
fy
fy
fy𝑓(𝑥)
𝑥
48 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
Se estudiara como ciertas transformaciones de una función afectan su gráfica. Algunas transformaciones son desplazamiento, reflexión y expansión.
desplazamiento reflexión expansión
50 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
Trabajo en grupo
51 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
Todos los Grupos Hacer ejercicios de las páginas 15 y 16
x
y
k
y = f(x) + k
y = f(x)
Suponga que k > 0 Para graficar y = f(x) + k, desplace k unidades hacia arriba la gráfica de y = f(x). Para graficar y = f(x) – k, desplace k unidades hacia abajo la gráfica de y = f(x).
x
y
k
y = f(x)
y = f(x) – k
52 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
Ejemplo: Use la gráfica f(x) = x2 para bosquejar la gráfica de cada función.
La gráfica de f(x) = x2 se llamará gráfica de la
función modelo. Los puntos principales de la gráfica de
esta función son; −1,1 , 0,0 y 1,1 .
La gráfica de f(x) = x2 + 2 es la gráfica modelo
desplazada dos unidades hacia arriba. Por lo tanto en los
puntos desplazados cambian las y, los nuevos puntos se
obtienen sumando 2 a las y. Los nuevos puntos
son; −1,3 , 0,2 y 1,3 .
La gráfica f(x) = x2 - 2 es la gráfica de la función
modelo desplazada dos unidades hacia abajo. Por lo
tanto en los puntos desplazados cambian las y, los
nuevos puntos se obtienen restando 2 a las y. Los puntos
son; −1,−1 , 0,−2 y 1,−1 .
a) y = f(x) + 2 b) y = f(x) – 2
𝑥
𝑦
𝑓(𝑥)
𝑦 = 𝑓 𝑥 + 2
𝑦 = 𝑓 𝑥 − 2
53 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
Práctica: Dibujar la gráfica de las siguientes funciones.
a) 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 1 b) ℎ 𝑥 = 9 − 𝑥2 − 2
𝑥
𝑦
𝑔 𝑥 = 𝑥 + 1
𝑥
𝑦
ℎ 𝑥 = 9 − 𝑥2 − 2
La gráfica de 𝑔 𝑥 = 𝑥 se llamará gráfica de la
función modelo. Los puntos principales de la gráfica de esta función son; −1,1 , 0,0 y 1,1 .
La gráfica de 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 1 es la gráfica modelo
desplazada 1 unidad hacia arriba. Por lo tanto en los
puntos desplazados cambian las y, los nuevos puntos
se obtienen sumando 1 a las y. Los nuevos puntos son; −1,2 , 0,1 y 1, 2 .
La gráfica de ℎ 𝑥 = 9 − 𝑥2 se llamará gráfica
de la función modelo. Los puntos principales de la gráfica de esta función son; −3,0 , 0,3 y 3,0 .
La gráfica de ℎ 𝑥 = 9 − 𝑥2 − 2 es la gráfica
modelo desplazada 2 unidades hacia abajo. Por lo tanto
en los puntos desplazados cambian las y, los nuevos
puntos se obtienen restando 2 a las y. Los nuevos puntos son; −3,−2 , 0,1 y 3, −2 .
𝑔 𝑥 = 𝑥
ℎ 𝑥 = 9 − 𝑥2
54 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
x
y
y = f(x)
y = f(x – h)
x
y
y = f(x + h)
y = f(x)
h h
Suponga que h > 0. Para graficar y = f(x – h), desplace la gráfica de y = f(x) a la derecha h unidades. Para graficar y = f(x + h), desplace la gráfica de y = f(x) a la izquierda h unidades.
55 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
ℎ 𝑥 = 𝑥 − 2 2 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 4 2
𝑥
𝑦
𝑓 𝑥 = 𝑥2
Ejemplo: Use la gráfica 𝑓 𝑥 = 𝑥2 para bosquejar la gráfica de cada función.
a) ℎ 𝑥 = 𝑥 − 2 2 b) 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 4 2
La gráfica de f(x) = x2 se llamará gráfica de la
función modelo. Los puntos principales de la grafica de
esta función son; −1,1 , 0,0 y 1,1 .
La gráfica de 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 2 2 es la gráfica modelo
desplazada dos unidades hacia la derecha. Por lo tanto
en los puntos desplazados cambian las x, los nuevos
puntos se obtienen sumando 2 a las x. Los nuevos
puntos son; 1,1 , 2,0 y 3, 1 .
La gráfica ℎ 𝑥 = 𝑥 + 4 2 es la gráfica de la
función modelo desplazada 4 unidades hacia la
izquierda. Por lo tanto en los puntos desplazados
cambian las x, los nuevos puntos se obtienen restando 4
a las x. Los puntos son; −5, 1 , −4, 0 y −3, 1 .
56 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
Práctica: Dibujar la gráfica de las siguientes funciones.
a) 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 2 b) ℎ 𝑥 = 9 − (𝑥 − 1)2
𝑥
𝑦
𝑔 𝑥 = 𝑥 + 2
ℎ 𝑥 = 9 − (𝑥 − 1)2
La gráfica de 𝑔 𝑥 = 𝑥 se llamará gráfica de la
función modelo. Los puntos principales de la gráfica de esta función son; −1,1 , 0,0 y 1,1 .
La gráfica de 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 2 es la gráfica modelo
desplazada 2 unidades hacia la izquierda. Por lo
tanto en los puntos desplazados cambian las x, los
nuevos puntos se obtienen restando 2 a las x. Los nuevos puntos son; −3,1 , −2, 0 y −1,1 .
La gráfica de ℎ 𝑥 = 9 − 𝑥2 se llamará gráfica
de la función modelo. Los puntos principales de la gráfica de esta función son; −3,0 , 0,3 y 3,0 .
La gráfica deℎ 𝑥 = 9 − (𝑥 − 1)2 es la gráfica
modelo desplazada 1 unidades hacia abajo. Por lo tanto
en los puntos desplazados cambian las x los nuevos
puntos se obtienen sumando 1 a las x. Los nuevos puntos son; −2,0 , 1,3 y 4, 0 .
𝑥
𝑦
𝑔 𝑥 = 𝑥
ℎ 𝑥 = 9 − 𝑥2
57 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
Ejemplo: Bosqueje la gráfica de: 43)( xxf
(3, 4)
𝑦 = 𝑥 − 3
𝑥
𝑦
𝑓(𝑥) = 𝑥 − 3 + 4
𝑦 = 𝑥
La gráfica de 𝑦 = 𝑥 se llamará gráfica de la
función modelo. Los puntos principales de la gráfica de esta función son; 0,0 y 1,1 .
La gráfica de 𝑦 = 𝑥 − 3 es la gráfica modelo
desplazada 3 unidades hacia la derecha. Por lo tanto
en los puntos desplazados cambian las x, los nuevos
puntos se obtienen sumando 3 a las x. Los nuevos puntos son; 3,0 y 4, 1 .
La gráfica de 𝑦 = 𝑥 − 3 + 4 es la gráfica
anterior desplazada 4 unidades hacia arriba. Por lo
tanto en los puntos desplazados cambian las y, los
nuevos puntos se obtienen sumando 4 a las y. Los nuevos puntos son; 3,4 y 4, 5 .
Otra forma es :
La gráfica de 𝑦 = 𝑥 − 3 + 4 es la gráfica de la función modelo
desplazada 3 unidades a la derecha y 4 unidades hacia arriba. Por lo tanto en
los puntos desplazados cambian las x y las y, los nuevos puntos se obtienen
sumando 3 a todas x y sumando 4 a todas las y. Los nuevos puntos son; 3,4 y 4, 5 .
58 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
x
y
y = f(x)
y = -f(x)
x
y
y = f(-x)
y = f(x)
Para graficar y = -f(x), refleje la gráfica de y = f(x) en el eje x.
Para graficar y = f(-x), refleje la gráfica de y = f(x) en el eje y.
Reflejo vertical Reflejo horizontal
59 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
Ejemplo: Use la gráfica 𝑓 𝑥 = 𝑥 para bosquejar la gráfica de cada función.
a) ℎ 𝑥 = − 𝑥 b) 𝑔 𝑥 = −𝑥
𝑥
𝑦
𝑔 𝑥 = −𝑥
ℎ 𝑥 = − 𝑥
𝑓 𝑥 = 𝑥
𝑥
𝑦
𝑓 𝑥 = 𝑥
La gráfica de 𝑓 𝑥 = 𝑥 se llamará gráfica de la
función modelo. Los puntos principales de la gráfica
de esta función son; 0,0 y 1,1 .
La gráfica de ℎ 𝑥 = − 𝑥 es la gráfica modelo
reflejada en el eje de x. Por lo tanto en los puntos
reflejados se cambian las y, los nuevos puntos se
obtienen buscando el opuesto de las y. Los nuevos puntos son; 0,0 y 1, −1 .
La gráfica de 𝑓 𝑥 = 𝑥 se llamará gráfica de la
función modelo. Los puntos principales de la gráfica
de esta función son; 0,0 y 1,1 .
La gráfica de 𝑔 𝑥 = −𝑥 es la gráfica modelo
reflejada en el eje de y. Por lo tanto en los puntos
reflejados se cambian las x, los nuevos puntos se
obtienen buscando el opuesto de las x. Los nuevos puntos son; 0,0 y −1, 1 .
60 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
Práctica: Trace la gráfica de cada función:
3)( a) xxf )2()( b) xxg 12)( c) xxh
𝑥
𝑦
𝑓 𝑥 = 𝑥3
𝑓 𝑥 = −𝑥3
𝑥
𝑦
𝑓 𝑥 = 𝑥
𝑔 𝑥 = −(𝑥 + 2)
𝑥
𝑦
ℎ 𝑥 = − 𝑥 − 2 + 1
𝑦 = 𝑥
La gráfica de 𝑓 𝑥 = 𝑥 se llamará
gráfica de la función modelo. Los puntos
principales de la gráfica de esta función
son; −1, 1 , 0,0 y 1,1 .
La gráfica de ℎ 𝑥 = − 𝑥 − 2 + 1 es la
gráfica modelo reflejada en el eje de x y
trasladada 2 unidades a la derecha y 1
unidad hacia arriba. Por lo tanto en los
puntos se cambian las x y las y. Las y de los
nuevos puntos se obtienen buscando el
opuesto y sumándole 1., las x se obtienen
sumando 2. Los nuevos puntos son; 1, 0 ,2, 1 y 3, 0 .
La gráfica de 𝑓 𝑥 = 𝑥 se llamará
gráfica de la función modelo. Los
puntos principales de la gráfica de esta
función son; 0,0 y 1,1 .
La gráfica de 𝑔 𝑥 = − 𝑥 + 2 es
la gráfica modelo reflejada en el eje de y
y trasladada 2 unidades a la izquierda.
Por lo tanto en los puntos se cambian las
x. Las x se obtienen buscando el opuesto
y restando 2. Los nuevos puntos son; −2, 0 y −3, 1 .
La gráfica de 𝑓 𝑥 = 𝑥3 se llamará
gráfica de la función modelo. Los puntos
principales de la gráfica de esta función
son; −1, −1 , 0,0 y 1,1 .
La gráfica de𝑓 𝑥 = −𝑥3 es la gráfica
modelo reflejada en el eje de x. Por lo tanto
en los puntos se cambian las y. Las y de los
nuevos puntos se obtienen buscando el
opuesto. Los nuevos puntos son; −1, 1 ,0, 0 y 1, −1 .
61 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
Para graficar y = af(x): Si a >1, expande verticalmente la gráfica de y = f(x) por un factor de a. Si 0 <a< 1, comprime verticalmente la gráfica de y = f(x) por un factor de a.
x
y
x
y
y = af(x)
y = f(x)
y = f(x)
y = af(x)
a > 1 0 < a < 1
62 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
Ejemplo: Dibujar la gráfica de las siguientes funciones.
a) 𝑔 𝑥 = 2 𝑥 b) ℎ 𝑥 = 1
29 − (𝑥 − 1)2
𝑥
𝑦
𝑔 𝑥 = 2 𝑥
ℎ 𝑥 = 12
9 − (𝑥 − 1)2
La gráfica de 𝑔 𝑥 = 𝑥 se llamará gráfica de la
función modelo. Los puntos principales de la gráfica de esta función son; −1,1 , 0,0 y 1,1 .
La gráfica de 𝑔 𝑥 = 2 𝑥 es la gráfica modelo
expandida verticalmente por un factor de 2. Por lo
tanto en los puntos expandidos cambian las y, los
nuevos puntos se obtienen multiplicando las y por 2. Los nuevos puntos son; −1, 2 , 0, 0 y 1, 2 .
La gráfica de ℎ 𝑥 = 9 − 𝑥2 se llamará gráfica
de la función modelo. Los puntos principales de la gráfica de esta función son; −3,0 , 0,3 y 3,0 .
La gráfica de ℎ 𝑥 =1
29 − (𝑥 − 1)2 es la gráfica
modelo comprimida verticalmente por un factor de 1
2
desplazada 1 unidad hacia la derecha. Por lo tanto en
los puntos comprimidos y desplazados cambian las x y
las y. Los nuevos puntos se obtienen multiplicando por 1
2 a las y y sumando 1 a las x. Los nuevos puntos
son; −2,0 , 1, 3
2 y 4, 0 .
𝑥
𝑦
Expansión y compresión
𝑔 𝑥 = 𝑥
ℎ 𝑥 = 9 − 𝑥2
La gráfica de y = f(bx):
Si b > 1, comprime la gráfica de y = f(x) horizontalmente por un factor de 1
𝑏.
Si 0< b <1, expande la gráfica de y = f(x) horizontalmente por un factor de 1
𝑏.
x
y
x
y
y = f(bx)
y = f(x)
y = f(x)
y = f(bx)
b > 1 0 < b < 1
Ejemplo: Dibujar la gráfica de las siguientes funciones.
a) 𝑔 𝑥 = 2𝑥 b) ℎ 𝑥 = 1
2𝑥−2
3+ 1
𝑥
𝑦
𝑔 𝑥 = 2𝑥
La gráfica de 𝑔 𝑥 = 𝑥 se llamará gráfica de la
función modelo. Los puntos principales de la gráfica de esta función son; −1,1 , 0,0 y 1,1 .
La gráfica de 𝑔 𝑥 = 2𝑥 es la gráfica modelo
comprimida horizontalmente por un factor de 2. Por
lo tanto en los puntos comprimidos las x, los nuevos
puntos se obtienen multiplicando las x por 1
2. Los
nuevos puntos son; −1
2, 1 , 0, 0 y 1
2, 1 .
La gráfica de 𝑓 𝑥 = 𝑥3 se llamará gráfica de la
función modelo. Los puntos principales de la gráfica de esta función son; −1,−1 , 0,0 y 1,1 .
La gráfica de ℎ 𝑥 = 1
2𝑥−2
3+ 1 es la gráfica
modelo comprimida horizontalmente por un factor de 1
2 desplazada 2 unidad hacia la derecha y 1 unidad hacia
arriba. Por lo tanto en los puntos comprimidos y
desplazados cambian las x y las y. Los nuevos puntos
se obtienen multiplicando por 2 todas los x y
sumándole 2 a estas. Las y se obtienen sumándole 1 a las y. Los nuevos puntos son; 0,0 , 2, 1 y 4, 2 .
Expansión y compresión
𝑔 𝑥 = 𝑥
𝑥
𝑦
𝑓 𝑥 = 𝑥3
ℎ 𝑥 = 12
𝑥−23+ 1
65 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
Práctica
66 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
Todos los grupos Hacer los ejercicios de las páginas 17-19
1)3()( 3 xxf
1 2 3 4 5–1–2–3–4–5–6–7 x
1
2
3
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
–8
–9
y
Escribe la función que representa la gráfica
67 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
1)2(9)( 2 xxf
1 2 3 4 5 6 7 8–1–2–3–4 x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
–1
–2
–3
y
Escribe la función que representa la gráfica
68 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
62)( xxf
1 2 3 4 5 6–1–2–3–4–5–6 x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
–1
–2
–3
y
Escribe la función que representa la gráfica
69 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
42)( xxf
1 2 3 4 5 6 7–1–2–3–4–5 x
1
2
3
4
5
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
y
Escribe la función que representa la gráfica
70 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
33
1)( 2 xxf
1 2 3 4 5 6 7–1–2–3–4–5 x
1
2
3
4
5
6
7
8
–1
–2
–3
–4
y
Escribe la función que representa la gráfica
71 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
42)( xxf
1 2 3 4 5–1–2–3–4–5–6–7 x
1
2
3
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
–8
–9
y
Escribe la función que representa la gráfica
72 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
Ejercicio de práctica para resumir todas
las transformaciones
73 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
Todos los grupos Hacer ejercicios de las páginas 20 y 21
Práctica: Se da la gráfica de f. Bosqueje las gráficas de las siguientes funciones.
a) 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 2)
b) 𝑦 = 𝑓(𝑥) − 2
c) 𝑦 = 2𝑓(𝑥)
d) 𝑦 = −𝑓 𝑥 + 3
e) 𝑦 = 𝑓 −𝑥
f) 𝑦 = 𝑓 −2𝑥 − 1
Transformaciones de funciones
𝑥
𝑦 𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
a) b)
c) d)
𝑥
𝑦 e) f)
74 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
𝑥
𝑦
Práctica: Bosqueje las gráficas de las siguientes funciones.
a) 𝑓 𝑥 = 2 𝑥 − 1 2 + 1
b) 𝑓 𝑥 = −1
216 − 𝑥2 − 2
c) 𝑓 𝑥 =−1
𝑥+1− 2
d) 𝑓 𝑥 = −𝑥 + 1 − 2
Transformaciones de funciones
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
a) b)
c) d)
75 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
Recuerde :
Primero se realizan las transformaciones
de reflexión, expansión y compresión. Luego las transformaciones de desplazamiento.
𝑓(𝑥)
𝑥
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