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1.1 Sucesiones. Definición
1.2 Definición de Sucesión Convergente
1.3 Propiedades de Limites de Sucesiones
1.4 Teorema de la Media Aritmética
1.5 Teorema de la Media Geométrica
1.6 Criterio de la Razón para la Convergencia de
Sucesiones.
2.1 Sucesiones Divergentes. Definición.
2.2 Sucesiones Monótonas y Acotadas
DESARROLLO DE CONTENIDOS - SUBTÍTULOS
DEL TEMA
SUCESIONES
Definición:
Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números enteros
positivos (Conjunto de números Naturales), y el rango es un conjunto arbitrario
(dependiendo de la operación en la función).
Consideremos una función 𝑺: 𝒁+ ⟶ 𝑹, tal que, ∀𝒏 ∈ 𝒁+, 𝑺(𝒏) ∈ 𝑹, es un elemento de la
sucesión.
Por efectos de simbología 𝑆(𝑛) lo escribiremos como 𝑆𝑛 y llamaremos por 𝑆𝑛 𝑛≥1;
gráficamente tenemos:
R
1
2
3
4
n
.
.
.
.
.
.
S1=S1
S2=S2
S3=S3
Sn=Sn
n+1 Sn+1=Sn+1
S
)𝑍+(ℕ
Ejemplos:
1. La sucesión que a cada número natural le hace corresponder su doble es una
sucesión de números naturales.
𝑛 → 𝑆𝑛 = 2𝑛 = 2𝑛 𝑛≥1
2. La sucesión 1, 4, 9, 16, … , 𝑛2, … se escribe así 𝒏𝟐𝒏≥𝟏
𝑛 → 𝑆𝑛 = 𝑛2
3. Los cinco primeros términos de la siguiente sucesión (−𝟏)𝒏
𝒏! 𝒏≥𝟏
Sol: En este ejercicio partimos de la formula hacia la sucesión.
Sea 𝑛 = 1,2,3,4,5,6, …
Cuando 𝑛 = 1 ==> 𝑆𝑛 =(−𝟏)𝒏
𝒏! 𝒏≥𝟏= −𝟏
Cuando 𝑛 = 2 ==> 𝑆𝑛 =(−𝟏)𝒏
𝒏! 𝒏≥𝟏=
𝟏
𝟐
…
Cuando 𝑛 = 5 ==> 𝑆𝑛 =(−𝟏)𝒏
𝒏! 𝒏≥𝟏= −
𝟏
𝟏𝟐𝟎
Finalmente:
Los cinco primeros términos de la sucesión 𝑆𝑛 =(−𝟏)𝒏
𝒏! 𝒏≥𝟏
−𝟏;𝟏
𝟐;−
𝟏
𝟔;𝟏
𝟐𝟒;−
𝟏
𝟏𝟐𝟎𝐑𝐞𝐬𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐚…
4. Si tenemos 4, 12,20,28,36, …
Sol. En este ejercicio partimos de la sucesión hacia la formula.
𝑆 = 8𝑛 − 4 𝑛≥1
𝑛 = 1 ==> 8 1 − 4 = 4
𝑛 = 2 ==> 8 2 − 4 = 12
𝑛 = 3 ==> 8 3 − 4 = 20
5. Sea 𝑆𝑛 = 4𝑛 + 8 𝑛≥1 los elementos de esta sucesión es: 12, 16,20,24, …
𝑛 = 1 ==> 4 1 + 8 = 12
𝑛 = 2 ==> 4 2 + 8 = 16
…
Si tenemos 15, 20, 25, 30, 35, …
Sol. Observamos que en nuestra sucesión los términos van de 5 en 5, por lo tanto:
𝑆𝑛 = 5𝑛 + 10 𝑛≥1
𝑛 = 1 ==> 5 1 + 10 = 15
𝑛 = 2 ==> 5 2 + 10 = 20
𝑛 = 3 ==> 5 3 + 10 = 25
6. Si la sucesión 𝑆𝑛 𝑛≥1 está definido por 𝑺𝟏 = 𝟏, 𝑺𝟐 = 𝟏, 𝑺𝒏+𝟏 = 𝑺𝒏 + 𝑺𝒏−𝟏, hallar
𝑆7.
Sol:En efecto:
𝑺𝟏 = 𝟏𝑺𝟐 = 𝟏
𝑺𝟑 = 𝑺 𝟐+𝟏 = 𝑺𝟐 + 𝑺𝟏 = 𝟏 + 𝟏 = 𝟐
𝑺𝟒 = 𝑺𝟑 + 𝑺𝟐 = 𝟐 + 𝟏 = 𝟑𝑺𝟓 = 𝑺𝟒 + 𝑺𝟑 = 𝟑 + 𝟐 = 𝟓𝑺𝟔 = 𝑺𝟓 + 𝑺𝟒 = 𝟓 + 𝟑 = 𝟖
𝑺𝟕 = 𝑺𝟔 + 𝑺𝟓 = 𝟖 + 𝟓 = 𝟏𝟑 𝐑𝐞𝐬𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐚…
7. Hallar el término n-ésimo de la sucesión 1, 3, 6, 10, 15, 21, …Solución:
𝑆1 = 1 = 1 + 0𝑆2 = 3 = 2 + 1𝑆3 = 6 = 3 + 3𝑆4 = 10 = 4 + 6𝑆5 = 15 = 5 + 10𝑆6 = 21 = 6 + 15
⋮
Observando los términos que aparecen en la descomposición de los elementos de la
sucesión, vemos que la regla de correspondencia es el siguiente:
𝑆𝑛 = 𝑛 +𝑛 − 1
2∙ 𝑛
Entonces: 𝑺𝒏 = 𝒏 +𝒏−𝟏
𝟐∙ 𝒏
𝒏≥𝟏
Probamos:𝑛 = 1 ==> 𝑆𝑛 = 1 + 0 × 1 = 1 + 0 = 1
𝑛 = 2 ==> 𝑆𝑛 = 2 +1
2∙ 2 = 2 + 1 = 3
La sucesión
𝑆𝑛 = 𝑛 +𝑛−1
2∙ 𝑛; podemos escribirla así: 𝑺𝒏 =
𝒏 𝒏+𝟏
𝟐 𝒏≥𝟏
𝑆𝑛 = 𝑛 +𝑛 − 1
2∙ 𝑛
==> 𝑛 +𝑛 𝑛 − 1
2
==>2𝑛 + 𝑛2 − 𝑛
2
=𝑛2 + 𝑛
2==>
𝒏 𝒏 + 𝟏
𝟐
Definición:
Una sucesión 𝑆𝑛 𝑛≥1, se dice que tiene límite 𝐿, si para todo 𝜀 > 0, existe un número
𝑁 > 0, talque:
𝑆𝑛 − 𝐿 < 𝜀, para todo 𝑛 > 𝑁, denotándose por:
lim𝑛⟶∞
𝑆𝑛 = 𝐿
Simbólicamente:
𝐥𝐢𝐦𝒏⟶∞
𝑺𝒏 = 𝑳⟺ ∀𝜺 > 0, ∃ 𝑁 > 0 𝑡. 𝑞. 𝑛 > 𝑁 ⟹ 𝑺𝒏 − 𝑳 < 𝜀
𝜀 = 1,2,3,4…125 > 0 ahora si tenemos1
𝜀:1
1;1
2;1
3;1
4;… ;
1
125
Ejemplo:
Utilizando la definición de límite probar:
Límite de 𝑛+1
𝑛 𝑛≥1= 1, cuando 𝑛 ⟶ ∞
Solución:
lim𝑛→∞
𝒏 + 𝟏
𝒏= 1 ⟺ ∀𝜺 > 0, ∃ 𝑁 > 0 𝑡. 𝑞. 𝑛 > 𝑁 ⟹ 𝑺𝒏 − 𝑳 < 𝜀
En efecto:
𝑺𝒏 − 𝑳 =𝑛 + 1
𝑛− 1 =
𝟏
𝒏==>
𝟏
𝒏< 𝜀
De donde 𝑛 >1
𝜀, luego nos basta tomar 𝑁 >
1
𝜀, es decir:
lim𝑛→∞
𝑛 + 1
𝑛= 1 <==> ∀𝜀 > 0, ∃𝑁 >
1
𝜀𝑡. 𝑞. 𝑛 > 𝑁, Entonces
𝑛 + 1
𝑛− 1 < 𝜀
Ejemplo 2:
𝐥𝐢𝐦𝒏⟶∞
𝟏 + −𝟏 𝒏𝟏
𝒏= 𝟏
Solución:Por definición tenemos:
𝐥𝐢𝐦𝒏⟶∞
𝟏 + −𝟏 𝒏𝟏
𝒏= 𝟏 ⟺ ∀𝜺 > 0, ∃ 𝑁 > 0 𝑡. 𝑞. 𝑛 > 𝑁 ⟹ 𝑺𝒏 − 𝑳 < 𝜀
En efecto:
𝑺𝒏 − 𝑳 < 𝜀 = 𝟏 + −𝟏 𝒏𝟏
𝒏− 𝟏 = −𝟏 𝒏
𝟏
𝒏=𝟏
𝒏
−𝟏 𝒏 𝟏
𝒏=
−1 𝑛
𝑛=
𝟏
𝒏
𝑺𝒏 − 𝑳 < 𝜀 = 𝟏 + −𝟏 𝒏𝟏
𝒏− 𝟏 = −𝟏 𝒏
𝟏
𝒏=𝟏
𝒏==>
𝟏
𝒏< 𝜀
De donde 𝑛 >1
𝜀, luego nos basta tomar 𝑁 >
1
𝜀, es decir:
lim𝑛→∞
𝟏 + −𝟏 𝒏𝟏
𝒏= 1 <==> ∀𝜀 > 0, ∃𝑁 >
1
𝜀𝑡. 𝑞. 𝑛 > 𝑁,
Entonces 𝟏 + −𝟏 𝒏 𝟏
𝒏− 1 < 𝜀
DEFINICION DE SUCESIÓN CONVERGENTE:
Se dice que una sucesión es convergente cuando tiene límite, caso contrario la
sucesión es DIVERGENTE.
Ejemplo:
Determinar si es convergente o divergente la sucesión siguiente:
𝑆𝑛 =𝑛2 + 1
2𝑛2 − 𝑛𝑛≥1
Solución:
Para determinar la convergencia o divergencia de esta sucesión bastará calcular el
límite de esta sucesión
lim𝑛⟶∞
𝑆𝑛 = lim𝑛⟶∞
𝑛2 + 1
2𝑛2 − 𝑛= lim
𝑛⟶∞
𝑛2 + 1𝑛2
2𝑛2 − 𝑛𝑛2
= lim𝑛⟶∞
1 +1𝑛2
2 −1𝑛
=1 + 0
2 − 0=1
2
Por lo tanto:
lim𝑛⟶∞
𝑛2 + 1
2𝑛2 − 𝑛=1
2
Entonces podemos decir que:
𝑛2 + 1
2𝑛2 − 𝑛𝑛≥1
ES CONVERGENTE.
Ejemplo 2:Determinar si es convergente o divergente la sucesión siguiente:
𝑆𝑛 =3𝑛3 + 1
2𝑛3 + 1𝑛≥1
Solución:
Para determinar la convergencia o divergencia de esta sucesión bastará calcular el
límite de esta sucesión
lim𝑛⟶∞
𝑆𝑛 = lim𝑛⟶∞
3𝑛3 + 1
2𝑛3 + 1= lim
𝑛⟶∞
3𝑛3 + 1𝑛3
2𝑛3 + 1𝑛3
= lim𝑛⟶∞
3𝑛3
𝑛3+
1𝑛3
2𝑛3
𝑛3+
1𝑛3
= lim𝑛⟶∞
3 +1𝑛3
2 +1𝑛3
=3 + 0
2 + 0=𝟑
𝟐
Por lo tanto:
lim𝑛⟶∞
3𝑛3 + 1
2𝑛3 + 1=3
2Entonces podemos decir que:
𝑆𝑛 =3𝑛3 + 1
2𝑛3 + 1𝑛≥1
ES CONVERGENTE.
PROPIEDADES DE LÍMITES DE SUCESIONES:
Consideremos dos sucesiones convergentes 𝑺𝒏 𝒏≥𝟏 𝒚 𝑺′𝒏 𝒏≥𝟏 y una constante 𝒌,
entonces:
1. − lim𝑛⟶∞
𝑘 = 𝑘
2. − lim𝑛→∞
𝑘 𝑆𝑛 = 𝑘 lim𝑛→∞
𝑆𝑛
3. − lim𝑛→∞
𝑆𝑛 ± 𝑆′𝑛 = lim𝑛→∞
𝑆𝑛 ± lim𝑛→∞
𝑆′𝑛
4. − lim𝑛→∞
𝑆𝑛 ∙ 𝑆′𝑛 = lim𝑛→∞
𝑆𝑛 ∙ lim𝑛→∞
𝑆′𝑛
5. − lim𝑛→∞
𝑆𝑛𝑆′𝑛
=lim𝑛→∞
𝑆𝑛
lim𝑛→∞
𝑆′𝑛, 𝑠𝑖 lim
𝑛→∞𝑆′𝑛 ≠ 0
Ejemplo:
Calcular el límite siguiente:
lim𝑛→∞
1 + 𝑛 + 𝑛21𝑛
Solución:
lim𝑛→∞
1 + 𝑛 + 𝑛21𝑛 = lim
𝑛→∞𝑛 + 𝑛2 1 +
1
𝑛 + 𝑛2
1𝑛
= lim𝑛→∞
𝑛 + 𝑛21𝑛. lim
𝑛→∞1 +
1
𝑛 + 𝑛2
1𝑛
= lim𝑛→∞
𝑒𝐿𝑛 𝑛+𝑛21𝑛. lim𝑛→∞
1 +1
𝑛 + 𝑛2
𝑛+𝑛21
𝑛 𝑛+𝑛2
= lim𝑛→∞
𝑒𝐿𝑛(𝑛+𝑛2)
𝑛 . 𝑒lim𝑛→∞
1𝑛(𝑛+𝑛2) = lim
𝑛→∞𝑒1+2𝑛𝑛+𝑛2 . 𝑒
lim𝑛→∞
1𝑛(𝑛+𝑛2) = 𝑒0. 𝑒0 = 1 × 1 = 1
Luego:
lim𝑛→∞
1 + 𝑛 + 𝑛21𝑛 = 1
Solución:
Sabemos que:
lim𝑛→∞
1
16𝑛2 + 3
3
4+
4
5+
5
6+⋯+
𝑛 + 2
𝑛 + 3
A la función o sucesión multipliquemos por 1, quedando el límite de la siguiente
manera:
lim𝑛→∞
1
16𝑛2 + 3×𝑛
𝑛
3
4+
4
5+
5
6+⋯+
𝑛 + 2
𝑛 + 3
==> lim𝑛→∞
𝑛
16𝑛2 + 3∙1
𝑛
3
4+
4
5+
5
6+⋯+
𝑛 + 2
𝑛 + 3
Aplicando la propiedad 4 de los límites tenemos:
lim𝑛→∞
𝑛
16𝑛2 + 3∙ lim𝑛→∞
1
𝑛
3
4+
4
5+
5
6+⋯+
𝑛 + 2
𝑛 + 3
==> lim𝑛→∞
1𝑛. 𝑛
1𝑛. 16𝑛2 + 3
∙ lim𝑛→∞
1
𝑛
3
4+
4
5+
5
6+⋯+
𝑛 + 2
𝑛 + 3
lim𝑛→∞
1
16𝑛2
𝑛2+
3𝑛2
∙ lim𝑛→∞
34+
45+
56+⋯+
𝑛 + 2𝑛 + 3
𝑛
lim𝑛→∞
1
16 +3𝑛2
. lim𝑛→∞
34+
45+
56+⋯+
𝑛 + 2𝑛 + 3
𝑛
lim𝑛→∞
1
16 +3𝑛2
∙ 1 ===> lim𝑛→∞
1
16=1
4
Es decir:
lim𝑛→∞
𝑛
16𝑛2 + 3=1
4
De donde tenemos que:
lim𝑛→∞
1
16𝑛2 + 3
3
4+
4
5+
5
6+⋯+
𝑛 + 2
𝑛 + 3=
1
4Respuesta…
Por otra parte; la expresión: lim𝑛→∞
1
𝑛
3
4+
4
5+
5
6+⋯+
𝑛+2
𝑛+3
Podemos aplicar el Teorema de la Media Aritmética pues tiene la forma:
𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
1
𝑛𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎𝑛
Por lo tanto:
lim𝑛→∞
1
𝑛
3
4+
4
5+
5
6+⋯+
𝑛 + 2
𝑛 + 3= 1 Por el Teorema de la Media Aritmética.
Finalmente:
𝐥𝐢𝐦𝒏→∞
𝒏
𝟏𝟔𝒏𝟐 + 𝟑∙ 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞
𝟏
𝒏
𝟑
𝟒+
𝟒
𝟓+
𝟓
𝟔+⋯+
𝒏 + 𝟐
𝒏 + 𝟑=
𝟏
𝟒× 𝟏 =
𝟏
𝟒𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂…
Calcular:
lim𝑛→∞
131 − 8𝑛3
∙ 9 +4
5+5
6+⋯+
𝑛 + 3
𝑛 + 4
Solución:
lim𝑛→∞
131 − 8𝑛3
9 +4
5+5
6+⋯+
𝑛 + 3
𝑛 + 4
= lim𝑛→∞
931 − 8𝑛3
+ lim𝑛→∞
131 − 8𝑛3
∙4
5+5
6+⋯+
𝑛 + 3
𝑛 + 4
𝑛
𝑛
lim𝑛→∞
9𝑛
3 1 − 8𝑛3
𝑛3
= lim𝑛→∞
0
3 1𝑛3
−8𝑛3
𝑛3
=0
2= 0…… . 𝛼
Aplicando Propiedad de Limites:
lim𝑛→∞
𝑛31 − 8𝑛3
∙ lim𝑛→∞
1
𝑛
4
5+5
6+⋯+
𝑛 + 3
𝑛 + 4
lim𝑛→∞
𝑛31 − 8𝑛3
= lim𝑛→∞
𝑛𝑛
3 1 − 8𝑛3
𝑛3
= lim𝑛→∞
1
3 1𝑛3
− 8
= −1
2…… . 𝛽
La tercera expresión:
lim𝑛→∞
1
𝑛
4
5+5
6+⋯+
𝑛 + 3
𝑛 + 4= 1 en aplicación del teorema de la media aritmética
Finalmente:
lim𝑛→∞
131 − 8𝑛3
∙ 9 +4
5+5
6+⋯+
𝑛 + 3
𝑛 + 4= lim
𝑛→∞
931 − 8𝑛3
+ lim𝑛→∞
𝑛31 − 8𝑛3
∙ lim𝑛→∞
1
𝑛
4
5+5
6+⋯+
𝑛 + 3
𝑛 + 4
= 𝟎 + −𝟏
𝟐𝟏 = −
𝟏
𝟐𝐑𝐞𝐬𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐚…
Donde:
lim𝑛→∞
931 − 8𝑛3
= 0 ; lim𝑛→∞
𝑛31 − 8𝑛3
= −1
2y como
lim𝑛→∞
1
𝑛
4
5+5
6+⋯+
𝑛 + 3
𝑛 + 4= 1 y por el teorema de la media aritmética tenemos…
lim𝑛→∞
1
𝑛
4
5+5
6+⋯+
𝑛 + 3
𝑛 + 4= 1 (pues tiene la forma del Teorema de la Media Aritmética)
lim𝑛→∞
𝑛31 − 8𝑛3
= lim𝑛→∞
𝑛𝑛
31 − 8𝑛3
𝑛
= lim𝑛→∞
1
3 1𝑛3
− 8
= −1
2
Solución:
Observamos que 𝑎1 =3
5, 𝑎2 =
5
8, 𝑎3 =
7
11, … , 𝑎𝑛 =
2𝑛+1
3𝑛+2de donde podemos indicar que:
lim𝑛→∞
𝑎𝑛 = lim𝑛→∞
2𝑛 + 1
3𝑛 + 2=2
3
lim𝑛→∞
2𝑛 + 1
3𝑛 + 2= lim
𝑛→∞
2𝑛 + 1𝑛
3𝑛 + 2𝑛
= lim𝑛→∞
2𝑛𝑛+1𝑛
3𝑛𝑛+2𝑛
= lim𝑛→∞
2 +1𝑛
3 +2𝑛
= lim𝑛→∞
2 + 0
3 + 0=2
3
Luego por el teorema de la media geométrica tenemos:
lim𝑛→∞
𝑛 3
5.5
8.7
11…2𝑛 + 1
3𝑛 + 2=
2
3𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂…
Demostrar:
lim𝑛→∞
𝑛
3𝑛=0
Solución:
Sea 𝑆𝑛 𝑛≥1 =𝑛
3𝑛==> 𝑆𝑛+1 𝑛≥1 =
𝑛+1
3𝑛+1
Entonces:
lim𝑛→∞
𝑆𝑛+1𝑆𝑛
==> lim𝑛→∞
𝑛 + 13𝑛+1𝑛3𝑛
= lim𝑛→∞
3𝑛 ∙ 𝑛 + 1
3𝑛+1 ∙ 𝑛= lim
𝑛→∞
3𝑛 ∙ 𝑛 + 1
3𝑛 ∙ 3 ∙ 𝑛
==> lim𝑛→∞
𝑛 + 1
3𝑛= lim
𝑛→∞
𝑛 + 1𝑛3𝑛𝑛
= lim𝑛→∞
1 +1𝑛
3=1
3< 1
Finalmente podemos indicar que la sucesión CONVERGE…
SUCESIONES DIVERGENTES
Hemos mencionado que una sucesión es Divergente cuando no tiene Límite, esto puede
ser, divergente a +∞; a −∞ ú oscilante.
Definición:
Sea 𝑆𝑛 𝑛≥1, una sucesión, diremos que 𝑆𝑛 → +∞, cuando 𝑛 → ∞, si para todo 𝑀 > 0,
existe 𝑁 > 0, tal que: 𝑆𝑛 > 𝑀,∀𝑛 > 𝑁.
Ejemplo:
Probar que lim𝑛→∞
32𝑛+1 = +∞
Solución:
Basándonos en la definición podemos decir:
∀𝑀 > 0, ∃𝑁 =? que depende de 𝑀 , tal que 32𝑛+1 > 𝑀 ==> 2𝑛 + 1 𝐿𝑛3 > 𝐿𝑛𝑀,
Es decir:
𝑛 >1
2
𝐿𝑛𝑀
𝐿𝑛3− 1 = 𝑁
Definición:
Sea 𝑆𝑛 𝑛≥1, una sucesión, diremos que 𝑆𝑛 → −∞, cuando 𝑛 → ∞, si para todo 𝑀 > 0, existe 𝑁 > 0, tal que: 𝑆𝑛 < −𝑀,∀𝑛 > 𝑁.
Ejemplo:
Probar que lim𝑛→∞
1 − 2𝑛 = −∞
Solución:
Basándonos en la definición podemos decir:
∀𝑀 > 0, ∃𝑁 =? 𝑡. 𝑞. 1 − 2𝑛 < −𝑀 ==> 𝑛 >1 +𝑀
2= 𝑁
Luego ∀𝑀 > 0, ∃ 𝑁 =1+𝑀
2𝑡. 𝑞. 1 − 2𝑛 < −𝑀, ∀𝑛 > 𝑁.
Definición:
Si la sucesión 𝑆𝑛 𝑛≥1 diverge, pero no a −∞, ni a +∞, y además toma valores positivos y
negativos en forma alternada diremos que la sucesión 𝑆𝑛 𝑛≥1, es oscilante.
Ejemplo:
La Sucesión −𝟏 𝒏𝒏≥𝟏, 𝐞𝐬 𝐨𝐬𝐜𝐢𝐥𝐚𝐧𝐭𝐞, pues la sucesión es −1,1, −1,1, …− 1,1, −1,1, … si 𝑛
es par lim𝑛→∞
−1 𝑛 =1 y cuando 𝑛 es impar lim𝑛→∞
−1 𝑛 = − 1. Luego ∄ lim𝑛→∞
−1 𝑛, por lo
tanto, no es convergente, pero tampoco divergente a +∞, 𝑛𝑖 − ∞, por lo tanto, es
OSCILANTE por definición.
SUCESIONES MONOTONAS Y ACOTADAS
DEFINICION:
a. Sea 𝑆𝑛 𝑛≥1, una sucesión, entonces:
i.- Si 𝑆𝑛 ≤ 𝑆𝑛+1, ∀𝑛 > 𝑁 ==> 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑆𝑛 𝑛≥1 𝑒𝑠 𝒄𝒓𝒆𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆.
ii.- Si 𝑆𝑛+1 ≤ 𝑆𝑛, ∀𝑛 > 𝑁 ==> 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑆𝑛 𝑛≥1 𝑒𝑠 𝒅𝒆𝒄𝒓𝒆𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆.
A una sucesión que sea creciente o decreciente le llamaremos monótona.
Observación:
Si 𝑆𝑛 ≤ 𝑆𝑛+1 ==> diremos que la sucesión es estrictamente creciente.
Si 𝑆𝑛+1 ≤ 𝑆𝑛 ==> diremos que la sucesión es estrictamente decreciente.
Ejemplo:
Determinar si la sucesión 𝑛
2𝑛+1 𝒏≥𝟏es creciente, decreciente o no monótona.
Solución:
Escribiremos los elementos de la sucesión 1
3,2
5,3
7,4
9, … ,
𝑛−1
2𝑛−1,
𝑛
2𝑛+1,𝑛+1
2𝑛+3,𝑛+2
2𝑛+5, … ,
𝑆𝑛:𝑛
2𝑛 + 1==> 𝑆𝑛+1:
𝑛 + 1
2 𝑛 + 1 + 1=
𝑛 + 1
2𝑛 + 3: 𝑆𝑛+1
𝑛 = 1; 𝑛 = 2; 𝑛 = 3; 𝑛 = 4;…
Observamos que los cuatro primeros elementos de la sucesión van creciendo
cuando “𝑛” crece.
En general podemos decir:
𝑺𝒏 𝑺𝒏+𝟏
𝒏
𝟐𝒏 + 𝟏≤
𝒏 + 𝟏
𝟐𝒏 + 𝟑…………(𝟏)
La desigualdad (1) se verifica si encontramos otra desigualdad equivalente en la cualpodemos afirmar que es válida.Por ejemplo en la desigualdad (1) podemos escribir:
𝟐𝒏𝟐 + 𝟑𝒏 ≤ 𝟐𝒏𝟐 + 𝟑𝒏 + 𝟏………… 𝟐
La desigualdad (2) es válida porque el miembro de la derecha es igual al de la izquierdamás uno, por lo tanto la desigualdad (1) es válida.Es decir: 𝑆𝑛 ≤ 𝑆𝑛+1, luego la sucesión es creciente.
Hallamos si la sucesión tiene límite:
𝐥𝐢𝐦𝒙→∞
𝒙
𝟐𝒙 + 𝟏= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
𝑥𝑥
2𝑥 + 1𝑥
=1
2 +1𝑥
=1
2 + 0=1
2
Ejemplo 2:
Determinar si la sucesión 𝑆𝑛 =9𝑛+1
𝑛+1es Monótona y si tiene límite:
Solución:
Sabemos que la sucesión es
𝑆𝑛 =9𝑛 + 1
𝑛 + 1==> 𝑆𝑛+1 =
9 𝑛 + 1 + 1
𝑛 + 1 + 1=9𝑛 + 10
𝑛 + 2==> 𝑆𝑛+2 =
9 𝑛 + 2 + 1
𝑛 + 2 + 1=9𝑛 + 19
𝑛 + 3
Para saber si nuestra sucesión es creciente o decreciente hallemos los 4 primeros
términos
𝑛 = 1 ; 𝑛 = 2; 𝑛 = 3 ; 𝑛 = 4 ;…
5 ;19
3; 7;
37
5;… ;
9𝑛 + 1
𝑛 + 1;9𝑛 + 10
𝑛 + 2Observamos que en esta sucesión se tiene que:
1er𝑇 < 2do𝑇 < 3er𝑇 < 4to𝑇… < 𝑛 < 𝑛 + 1
Esto quiere decir que la sucesión crece cuando “𝒏” crece:
9𝑛 + 1
𝑛 + 1≤9𝑛 + 10
𝑛 + 2……………(1)
Veamos la condición verdadera, multiplicando esta inecuación en aspa:
9𝑛 + 1 𝑛 + 2 ≤ 9𝑛 + 10 𝑛 + 1 ===> 𝟗𝒏𝟐 + 𝟏𝟗𝒏 + 2 ≤ 𝟗𝒏𝟐 + 𝟏𝟗𝒏 + 10
==> 2 ≤ 10 Esta condición es VERDADERA
Podemos decir que la Ec. (1) es VERDADERA.
Pues se cumple que:
9𝑛 + 1
𝑛 + 1≤9𝑛 + 10
𝑛 + 2<==> 𝑆𝑛 ≤ 𝑆𝑛+1
Por lo tanto, la sucesión:
9𝑛 + 1
𝑛 + 1𝐞𝐬 𝐌𝐎𝐍𝐎𝐓𝐎𝐍𝐀 𝐲 𝐂𝐑𝐄𝐂𝐈𝐄𝐍𝐓𝐄
Ahora busquemos si:
9𝑛 + 1
𝑛 + 1tiene limite
Vamos a recurrir al siguiente teorema:
"𝑆𝑖 lim𝑥→∞
𝑓(𝑥) = 𝐿 y si 𝑓 está definida para todo 𝑥 ∈ 𝑅+ ==> también lim𝑛→∞
𝑓(𝑛) = 𝐿 cuando 𝑛 ∈ ℤ+
Sea entonces:
𝑓 𝑥 =9𝑥 + 1
𝑥 + 1, 𝑥 ∈ 𝑅, 𝑥 ≠ 1
==> lim𝑥→∞
9𝑥 + 1
𝑥 + 1= lim
𝑥→∞
9𝑥 + 1𝑥
𝑥 + 1𝑥
= lim𝑥→∞
9 +1𝑥
1 +1𝑥
=9 + 0
1 + 0
==> lim𝑥→∞
9𝑥 + 1
𝑥 + 1= 9 ==> de acuerdo al teorema indicado
lim𝑥→∞
9𝑥 + 1
𝑥 + 1= 9; 𝑛 ∈ ℤ+ CONVERGE 𝑎 9
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