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Introduccion Leyes de Elementos Leyes de Interconexion Ejemplos Referencias
Sistemas DinamicosCapıtulo 3 - Modelos de Sistemas Fısicos
Semana 8
Ing. Gerardo Becerra B, M.Sc.
Pontificia Universidad Javeriana
Marzo 10, 2015
Introduccion Leyes de Elementos Leyes de Interconexion Ejemplos Referencias
Objetivos
1 Preparar y ejecutar el plan de accion para formular y resolverun modelo. (CDIO 2.1.1.4)
2 Calcular ordenes de magnitud, lımites y tendencias (CDIO2.1.3.1)
3 Obtener modelos conceptuales y cualitativos de diversossistemas fısicos. (CDIO 2.1.2.2)
4 Establecer las conexiones entre los fenomenos fısicos y elmodelo. (CDIO 2.1.2.3)
5 Usar modelos cuantitativos y soluciones. (CDIO 2.1.2.4)
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Objetivos
6 Generalizar suposiciones para simplificar ambientes y sistemascomplejos (CDIO 2.1.2.1)
7 Discutir una aproximacion desde varias disciplinas paraasegurar que el sistema se entienda desde todas lasperspectivas relevantes. (CDIO 2.3.1.2)
8 Establecer prioridades dentro de las metas generales (CDIO2.1.1.3)
9 Identificar sistemas propios y sistemas con interaccion entreareas (CDIO 2.3.2.4)
Introduccion Leyes de Elementos Leyes de Interconexion Ejemplos Referencias
Agenda
1 Introduccion
2 Leyes de ElementosInerciaFriccionRigidezTransformador
3 Leyes de InterconexionLeyes1Leyes2
4 EjemplosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3
5 Referencias
Introduccion Leyes de Elementos Leyes de Interconexion Ejemplos Referencias
Agenda
1 Introduccion
2 Leyes de ElementosInerciaFriccionRigidezTransformador
3 Leyes de InterconexionLeyes1Leyes2
4 EjemplosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3
5 Referencias
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Modelos de Sistemas Mecanicos de Rotacion
Objetivos
Definir la estrategia para plantear y solucionar modelos desistemas mecanicos de rotacion.
Definir las variables y los componentes utilizados en lossistemas mecanicos de rotacion.
Definir y emplear las leyes de interconexion que describen alos sistemas mecanicos de rotacion.
Desarrollar modelos de sistemas mecanicos de rotacion.
Introduccion Leyes de Elementos Leyes de Interconexion Ejemplos Referencias
Modelos de Sistemas Mecanicos de Rotacion
Objetivos
Definir la estrategia para plantear y solucionar modelos desistemas mecanicos de rotacion.
Definir las variables y los componentes utilizados en lossistemas mecanicos de rotacion.
Definir y emplear las leyes de interconexion que describen alos sistemas mecanicos de rotacion.
Desarrollar modelos de sistemas mecanicos de rotacion.
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Modelos de Sistemas Mecanicos de Rotacion
Objetivos
Definir la estrategia para plantear y solucionar modelos desistemas mecanicos de rotacion.
Definir las variables y los componentes utilizados en lossistemas mecanicos de rotacion.
Definir y emplear las leyes de interconexion que describen alos sistemas mecanicos de rotacion.
Desarrollar modelos de sistemas mecanicos de rotacion.
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Modelos de Sistemas Mecanicos de Rotacion
Objetivos
Definir la estrategia para plantear y solucionar modelos desistemas mecanicos de rotacion.
Definir las variables y los componentes utilizados en lossistemas mecanicos de rotacion.
Definir y emplear las leyes de interconexion que describen alos sistemas mecanicos de rotacion.
Desarrollar modelos de sistemas mecanicos de rotacion.
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Variables y unidades de rotacion
Variable mecanica de rotacion Unidades SI
Desplazamiento Angular, θ Radianes: [rad ]Velocidad angular, ω Radianes por segundo: [rad/s]
Aceleracion angular, α Radianes por segundo por segundo: [rad/s2]Torque, τ Newton metro: [Nm]Energıa, w Joules: [J] = [Nm]Potencia, p Watts: [W ] = [J/s]
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Marco de referencia
1rpm = 1rev
min
2πrad
1rev
1min
60s= 0.105rad/s
θ = θ0 +
∫ t
0ω(t ′)dt ′, α =
dω
dt
p(t) = ω(t)τ(t)
w(t) = w(t0) +
∫ t
t0
p(λ)dλ
Siempre se asume la direccionpositiva de θ, ω, α en la mismadireccion.
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Agenda
1 Introduccion
2 Leyes de ElementosInerciaFriccionRigidezTransformador
3 Leyes de InterconexionLeyes1Leyes2
4 EjemplosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3
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Momento de inercia
Inercia: Medida de la resistencia u oposicion al cambio.
d
dt(Jω) = τ
Considerando sistemas no relativistas y momentos constantes:
Jω = τ
Energıa cinetica:
wk =1
2Jω2
Energıa potencial:wp = Mgh
Si el eje de rotacion es vertical, no hay cambio en la energıapotencial cuando el cuerpo rota.
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Momento de inercia
Cilindro
Prisma regular
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Momento de inercia
Disco
Esfera
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Friccion
En el elemento friccion las variables de torque y velocidadangular relativa entre dos superficies estan relacionadas poruna funcion estatica
Friccion viscosa: se desarrolla entre capas de fluidos que semueven a diferentes velocidades, basica en el analisis de flujode fluidos y mecanismos lubricados.
Relacion lineal:
τ = B(ω2 − ω2) = B∆ω
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Rigidez
Todo elemento mecanico que se deforme cuando se somete auna fuerza externa se puede modelar por el elemento rigidez.
Se establece una relacion estatica entre una variable deesfuerzo y un desplazamiento
τ = K∆θ
Existe almacenamiento de energıa
Entrega energıa sin disipacion
Rigidez rotacional → se asocia con un resorte de torsion o conun eje flexible
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Rigidez
La variable de esfuerzo es funciondel desplazamiento
θ es la posicion angulardefinida respecto a laposicion cuando el torqueaplicado es igual a cero:
τ = Ktθ
Si los dos extremos del ejese pueden mover entonces:
τ = Kt(θ2 − θ1)
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Rigidez
Cuando se asume que elmomento de inercia del eje oresorte de torsion es despreciable,el torque ejercido sobre los dosextremos del elemento debe serde igual magnitud y sentidoopuesto.
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Resorte
Energıa almacenada:
wp =1
2K (∆θ)2
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Resorte
Se require una variable de estado para describir el estado de laenergıa en el elemento
Para determinar la respuesta dinamica se debe conocer laposicion inicial θ(t0)
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Engranajes
Son el equivalente rotacional de la palanca
Se asumen engranajes ideales, J = 0, B = 0, sin energıainicial almacenada y un perfecto acople con los dientes
La relacion de engranajes es
N2
N1=
r2r1
= N
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Engranajes
Las longitudes de los arcos deben ser iguales
PA′ = PB ′
θ1r1 = θ2r2
θ1
θ2=
r2r1
= N
Las direcciones positivas de los engranajes son opuestas. Delo contrario aparecerıa un signo negativo en la relacion.
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Engranajes
Asumiendo J = 0:
−τ1 + r1fc = 0
τ2 + r2fc = 0τ2
τ1= − r2
r1= −N
El signo menos aparece porque los momentos se asumieron ambosexternos: valores positivos tienden a mover los engranajes en ladireccion positiva.
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Engranajes
Tipo Spur
Puede tener una o masetapas
Cada etapa conformada pordos ruedas dentadas
Empleados para bajostorques
Alta eficiencia
Bajo ruido
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Pinon y cremallera
Transforma movimientorotatorio y traslacional
x1 = θ2r2
Para el caso ideal (sindisipacion de energıa)
fx = τθ
τ2 = f1r2
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2 Leyes de ElementosInerciaFriccionRigidezTransformador
3 Leyes de InterconexionLeyes1Leyes2
4 EjemplosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3
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Interconexion
Para una lamina rıgida de masa m que se mueve bajo laaccion de varias fuerzas externas contenidas en el mismoplano de la lamina, se plantean dos conjuntos de ecuaciones:una para el movimiento del centro de masa G respecto aO(x , y , z) dada por: ∑
F = ma
Otra para el movimiento de rotacion respecto a G :∑MG = HG
En el diagrama de cuerpo libre las fuerzas individuales sepueden representar por ma y Hg
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Interconexion
Para cuerpos que estan rotando alrededor del mismo eje,cualquier momento o torque ejercido por un elemento sobreotro esta acompanado por un torque de reaccion de igualmagnitud y direccion opuesta.
Para cuerpos que no rotan sobre el mismo eje la magnitud delos dos torques no es necesariamente igual, como es el caso dela caja de engranajes
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Ley de desplazamientos angulares
En un sistema rotatorio se pueden expresar los movimientosde algunos de los elementos en terminos de los movimientosde los otros
La suma algebraica de las diferencias de desplazamientoangular alrededor de cualquier trayectoria cerrada es cero:∑
i
∆θi = 0
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3 Leyes de InterconexionLeyes1Leyes2
4 EjemplosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3
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Ejemplo 1
Obtener las ecuaciones de estado para el sistema de la figura.La salida es θ2.
Evaluar la funcion de transferencia θs(s)θa(s)
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Ejemplo 2
La masa M esta suspendida del torno de radio R por medio de uncable flexible con una constante K2. Plantear el modelo devariables de estado. Las entradas son la fuerza externa y la masadel bloque. La variable de salida es la posicion de la masa M.
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Ejemplo 3
Una bascula de gramos opera mediante un sistema de engranajes depinon y cremallera. La cremallera esta unida a la plataforma de pesado yel indicador esta unido al pinon. El movimiento de la cremallera estalimitado por guıas verticales. Se emplea un resorte para devolver laplataforma a su posicion original. Plantear el modelo de estado delsistema. Tomar como salida el angulo de giro del indicador. Asumir quela masa a pesar M1 no cambia durante el experimento.
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2 Leyes de ElementosInerciaFriccionRigidezTransformador
3 Leyes de InterconexionLeyes1Leyes2
4 EjemplosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3
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Referencias I
[1] Matlab documentation center.http://www.mathworks.com/help/matlab/.Accessed: 2014-02-10.
[2] System Dynamics: Modeling and Simulation of MechatronicSystems.John Wiley & Sons, 2000.
[3] C. Chen.Linear System Theory and Design.Oxford series in electrical and computer engineering. OxfordUniversity Press, 1984.
[4] C. Close, D. Frederick, and J. Newell.Modeling and Analysis of Dynamic Systems.Wiley, 2001.
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Referencias II
[5] C. Desoer and E. Kuh.Basic Circuit Theory.McGraw-Hill Education (India) Pvt Limited, 2009.
[6] R. Dorf and R. Bishop.Modern Control Systems.Pearson, 2011.
[7] C. Smith and A. Corripio.Principles and practice of automatic process control.Wiley, 2006.
[8] S. Zak.Systems and Control.Engineering & Technology. Oxford University Press, 2003.
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