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Universidade Federal de AlagoasUniversidade Federal de AlagoasCentro de TecnologiaC d E h i Ci ilCurso de Engenharia Civil
Teoria das Estruturas ITeoria das Estruturas IAula 05Aula 05
ProfProf FlávioFlávio BarbozaBarboza de Limade LimaProf. Prof. FlávioFlávio BarbozaBarboza de Limade Lima
Aula 05Aula 05
Determinação geométrica das estruturas planasDeterminação geométrica das estruturas planas
Cálculo das reações de apoio em estruturas isostáticasCálculo das reações de apoio em estruturas isostáticas
Determinação Geométrica das Estruturas PlanasDeterminação Geométrica das Estruturas Planas
B i l i l tB i l i l tBarras vinculares equivalentesBarras vinculares equivalentesApoio simples, ou Apoio do 1º gêneroApoio simples, ou Apoio do 1º gênero
Apoio duplo, Apoio do 2º gênero, Articulação ou RótulaApoio duplo, Apoio do 2º gênero, Articulação ou Rótula
Apoio do 3º gênero ou EngasteApoio do 3º gênero ou Engaste
Determinação Geométrica das Estruturas PlanasDeterminação Geométrica das Estruturas Planas
TreliçasTreliças
bbSendoSendo bb oo númeronúmero dede barras,barras, incluindoincluindo asas barrasbarras vincularesvinculares
equivalentes,equivalentes, ee nn oo númeronúmero dede nósnós dede umauma treliçatreliça plana,plana, aacondiçãocondição necessárianecessária parapara queque aa estruturaestrutura tenhatenha aa suasua posiçãoposiçãocondiçãocondição necessárianecessária parapara queque aa estruturaestrutura tenhatenha aa suasua posiçãoposiçãodeterminadadeterminada éé::
b = 2 nb = 2 n
Determinação Geométrica das Estruturas PlanasDeterminação Geométrica das Estruturas Planas
TreliçasTreliças
Classificação quanto à sua determinação geométricaClassificação quanto à sua determinação geométricaClassificação quanto à sua determinação geométricaClassificação quanto à sua determinação geométrica
b < 2b < 2 Treliça indeterminada (mó el)Treliça indeterminada (mó el)b < 2 nb < 2 n Treliça indeterminada (móvel)Treliça indeterminada (móvel)
b = 2 nb = 2 n Treliça determinadaTreliça determinada
b > 2 nb > 2 n Treliça superdeterminadaTreliça superdeterminada
TreliçasTreliças
Determinação Geométrica das Estruturas PlanasDeterminação Geométrica das Estruturas Planas
TreliçasTreliçasExemploExemplo 44
n = 14n = 14n 14n 14
b = 29b = 29b > 2 nb > 2 n
Treliça superdeterminadaTreliça superdeterminadab = 29b = 29 ç pç p
CC
Determinação Geométrica das Estruturas PlanasDeterminação Geométrica das Estruturas Planas
ChapasChapas
ParaPara esseesse estudo,estudo, seráserá consideradaconsiderada umauma chapachapa aa estruturaestrutura ouou ooconjuntoconjunto dede peçaspeças estruturaisestruturais responsávelresponsável pelapela posiçãoposição dede trêstrês ououmaismais pontospontos emem seuseu domíniodomínio
Treliça geometricamenteTreliça geometricamenteTreliça geometricamente Treliça geometricamente Determinada (Determinada (n = 7 e b = 14n = 7 e b = 14))
“Chapa” de treliça“Chapa” de treliça
A chapa possui, dessa forma, três graus de mobilidade no planoA chapa possui, dessa forma, três graus de mobilidade no plano
CC
Determinação Geométrica das Estruturas PlanasDeterminação Geométrica das Estruturas Planas
ChapasChapas
AA condiçãocondição parapara queque umauma treliça,treliça, excluindoexcluindo--sese asas ligaçõesligaçõesexternasexternas (barras(barras vinculares)vinculares) sejaseja umauma “chapa”,“chapa”, éé dadadada porpor::
b 2b 2 33b = 2 n b = 2 n -- 33Treliça como chapa Treliça como chapa ((n = 7 e b = 11n = 7 e b = 11))2 graus de liberdade2 graus de liberdade
2 graus de liberdade2 graus de liberdade 3 graus de liberdade3 graus de liberdade
Determinação Geométrica das Estruturas PlanasDeterminação Geométrica das Estruturas Planas
CCChapasChapas
NasNas estruturasestruturas constituídasconstituídas porpor chapaschapas ee vínculos,vínculos, sãosão necessáriosnecessáriosumum ouou maismais vínculosvínculos equivalentesequivalentes aa trêstrês barrasbarras vincularesvinculares,, paraparaqueque aa suasua posiçãoposição sejaseja fixafixa
SendoSendo cc oo númeronúmero dede chapaschapas abertasabertas dada estruturaestrutura ee bb oo númeronúmero dedebarrasbarras vincularesvinculares equivalentesequivalentes,, aa condiçãocondição necessárianecessária parapara queque aa
t tt t jj t i tt i t d t i dd t i d ééqueque aa estruturaestrutura sejaseja geometricamentegeometricamente determinadadeterminada éé::
b 3b 3b = 3 cb = 3 c
Determinação Geométrica das Estruturas PlanasDeterminação Geométrica das Estruturas Planas
ChapasChapas
Classificação quanto à sua determinação geométricaClassificação quanto à sua determinação geométricaClassificação quanto à sua determinação geométricaClassificação quanto à sua determinação geométrica
b < 3b < 3 E t t i d t i d ( ó l)E t t i d t i d ( ó l)b < 3 cb < 3 c Estrutura indeterminada (móvel)Estrutura indeterminada (móvel)
b = 3 cb = 3 c Estrutura determinadaEstrutura determinada
b > 3 cb > 3 c Estrutura superdeterminadaEstrutura superdeterminada
ChapasChapas
Determinação Geométrica das Estruturas PlanasDeterminação Geométrica das Estruturas Planas
ChapasChapasExemplosExemplos 11
c = 1c = 1 b = 3b = 3 b = 3 cb = 3 c(2)
b = 3b = 3(1)
c = 1c = 1 b = 3b = 3 b = 3 cb = 3 cEstrutura determinadaEstrutura determinada
b = 3b = 3
22
c = 1c = 1 b = 3b = 3 b = 3 cb = 3 ccc b 3b 3 b 3 cb 3 cEstrutura determinadaEstrutura determinada
ChapasChapas
Determinação Geométrica das Estruturas PlanasDeterminação Geométrica das Estruturas Planas
ChapasChapasExemplosExemplos 33
(2)
(2) (2)
c = 2c = 2 b = 6b = 6 b = 3 cb = 3 cc = 2c = 2 b = 6b = 6 b = 3 cb = 3 cEstrutura determinadaEstrutura determinada
ChapasChapas
Determinação Geométrica das Estruturas PlanasDeterminação Geométrica das Estruturas Planas
ChapasChapasExemplosExemplos 44
(3) Continuidade = 3 barras
c = 1c = 1 b = 9b = 9 b > 3 cb > 3 c(3) (3)
c = 1c = 1 b = 9b = 9 b > 3 cb > 3 cEstrutura superdeterminadaEstrutura superdeterminadaEstrutura superdeterminadaEstrutura superdeterminada
grau = 6grau = 6
Determinação Estática das Estruturas PlanasDeterminação Estática das Estruturas Planas
Estruturas em treliçasEstruturas em treliças
Classificação quanto à sua determinação estáticaClassificação quanto à sua determinação estáticaClassificação quanto à sua determinação estáticaClassificação quanto à sua determinação estática
b < 2b < 2 Treliça hipostáticaTreliça hipostáticab < 2 nb < 2 n Treliça hipostáticaTreliça hipostática
b = 2 nb = 2 n Treliça isostáticaTreliça isostática
b > 2 nb > 2 n Treliça hiperestáticaTreliça hiperestática
Determinação Estática das Estruturas PlanasDeterminação Estática das Estruturas Planas
Estruturas em chapasEstruturas em chapas
Classificação quanto à sua determinação estáticaClassificação quanto à sua determinação estática
b < 3b < 3 E t t hi tátiE t t hi táti
Classificação quanto à sua determinação estáticaClassificação quanto à sua determinação estática
b < 3 cb < 3 c Estrutura hipostáticaEstrutura hipostática
b = 3 cb = 3 c Estrutura isostáticaEstrutura isostática
b > 3 cb > 3 c Estrutura hiperestáticaEstrutura hiperestática
Cálculo de reações de apoioCálculo de reações de apoioSabemos que um corpo está em equilíbrio quando a resultante de todasSabemos que um corpo está em equilíbrio quando a resultante de todasSabemos que um corpo está em equilíbrio quando a resultante de todasSabemos que um corpo está em equilíbrio quando a resultante de todasas forças que nele atuam é nulaas forças que nele atuam é nula
Com isso a força resultante F e o momento resultante M devem se anular,Com isso a força resultante F e o momento resultante M devem se anular,Com isso a força resultante F e o momento resultante M devem se anular,Com isso a força resultante F e o momento resultante M devem se anular,resultando, considerando as três dimensões no espaço, nas seguintesresultando, considerando as três dimensões no espaço, nas seguintesequações de equilíbrio:equações de equilíbrio:
∑∑∑∑
==
==
00
00
yy
xx
MF
MFx
y
z
∑∑∑∑
== 00 zz
yy
MFz
Particularizando para o caso de estruturas planas com carregamento plano:Particularizando para o caso de estruturas planas com carregamento plano:
∑∑∑ 000 MFFy
∑∑∑ === 000 zyx MFF x
Cálculo de Reações de apoioCálculo de Reações de apoio
A correta aplicação das equações e equilíbrio necessita da completaA correta aplicação das equações e equilíbrio necessita da completaespecificação de todas as forças externas atuantes sobre a estruturaespecificação de todas as forças externas atuantes sobre a estrutura
Di d li é ã á i dDi d li é ã á i dDiagrama de corpo livre é a representação esquemática do corpo com asDiagrama de corpo livre é a representação esquemática do corpo com asforças atuantes, substituindoforças atuantes, substituindo--se os vínculos por forças que correspondem se os vínculos por forças que correspondem às reações de apoioàs reações de apoio
Se faz necessário estabelecer uma convenção de sinais para a direção e Se faz necessário estabelecer uma convenção de sinais para a direção e sentido das forças, bem como sentido de giro em relação a um pólo emsentido das forças, bem como sentido de giro em relação a um pólo emqualquer ponto da estruturaqualquer ponto da estruturaqualquer ponto da estruturaqualquer ponto da estrutura
y+
Inicialmente admiteInicialmente admite--se um sentido para as reações e após aplicado as se um sentido para as reações e após aplicado as
x
equações de equilíbrio caso resulte negativo basta inverter o sentidoequações de equilíbrio caso resulte negativo basta inverter o sentido
Cálculo de Reações de apoio Cálculo de Reações de apoio -- ExemplosExemplos
Exemplo 1 Exemplo 1 –– Viga biViga bi--apoiada com carga concentradaapoiada com carga concentrada60kN 60kN
2m4m RVBRVA
BA
x
y+ kNRxRxxR
M
VBVAVB
A
40006046
0
=∴=+−
=∑
kNRxRxxRM
VAVBVA
B
200060260
=∴=++−
=∑
BA60kN
Diagrama de Diagrama de corpo livrecorpo livre
40kN20kNpp
Cálculo de Reações de apoio Cálculo de Reações de apoio -- ExemplosExemplos
Exemplo 2 Exemplo 2 –– Viga biViga bi--apoiada com carga uniformemente distribuídaapoiada com carga uniformemente distribuída3kN/m R=3x6=18kN
A
6m3m 3m RVBRVA
B
x
y+ kNRxxR
M
VBVB
A
901836
0
=∴=−
=∑
kNRxxRM
VAVA
B
9018360
=∴=+−
=∑
Diagrama de Diagrama de corpo livrecorpo livre
3kN/m
BApp9kN9kN
Cálculo de Reações de apoio Cálculo de Reações de apoio -- ExemplosExemplos
Exemplo 3 Exemplo 3 –– Viga biViga bi--apoiada com carga parcialmente distribuídaapoiada com carga parcialmente distribuída6kN/m R=6x4=24kN
2mRVA
A
2m RVB
B
4m 4m
x
y+ kNRxxR
M
VBVB
A
1602446
0
=∴=−
=∑
kNRxxRM
VAVA
B
8024260
=∴=+−
=∑
Diagrama de Diagrama de corpo livrecorpo livre
6kN/m
BApp16kN8kN
Cálculo de Reações de apoio Cálculo de Reações de apoio -- ExemplosExemplos
Exemplo 4 Exemplo 4 –– Viga biViga bi--apoiada com carga triangularmente distribuídaapoiada com carga triangularmente distribuída6kN/m 18kN
26x6R ==
2mRVA
A
RVB
B
6m 4m
x
y+ kNRxxR
M
VBVB
A
12018246
0
=∴=−−
=∑
kNRxxR
M
VAVA
B
601826
0
=∴=+−
=∑
Diagrama de Diagrama de corpo livrecorpo livre
6kN/m
BApp12kN6kN
Cálculo de Reações de apoio Cálculo de Reações de apoio -- ExemplosExemplos
30kN.m30kN.m
Exemplo 5 Exemplo 5 –– Viga biViga bi--apoiada com carga momento concentradaapoiada com carga momento concentrada
2m RVA
A
RVB
B
4m
x
y+ kNRxR
M
VBVB
A
50306
0
=∴=−
=∑
kNRxR
M
VAVA
B
50306
0
−=∴=+−
=∑
Diagrama de Diagrama de corpo livrecorpo livre
30kN.mA Bpp
5kN5kN
Cálculo de Reações de apoio Cálculo de Reações de apoio -- ExemplosExemplos
MA
Exemplo 6 Exemplo 6 –– Viga engastada ou em balanço com carga concentradaViga engastada ou em balanço com carga concentrada20kN 20kN
A BA
RVA4m
x
y+ kNRR
Y
VAVA 20020
0
=∴=−
=∑
mkNMMx
M
AA
A
.800204
0
=∴=+−
=∑
Diagrama de Diagrama de corpo livrecorpo livre A B
80kN.m
20kN
pp20kN
Cálculo de Reações de apoio Cálculo de Reações de apoio -- ExemplosExemplos
MA
Exemplo 7 Exemplo 7 –– Viga engastada ou em balanço com carga distribuída uniformeViga engastada ou em balanço com carga distribuída uniforme
5kN/mR=5x4=20kN
RVA 2m
A BA
4m
x
y+ kNRR
Y
VAVA 20020
0
=∴=−
=∑
mkNMMxM
AA
A
.4002200
=∴=+−
=∑
BA40kN.m
Diagrama de Diagrama de corpo livrecorpo livre
5kN/m
BA
20kN
pp
Cálculo de Reações de apoio Cálculo de Reações de apoio -- ExemplosExemplos
10kN.mMA
Exemplo 8 Exemplo 8 –– Viga engastada ou em balanço com carga momentoViga engastada ou em balanço com carga momento
10kN.m
RVA
A BA
4m
x
y+ 000
0
=∴=+
=∑VAVA RR
Y
mkNMM
M
AA
A
.10010
0
=∴=+−
=∑
BA40kN.m
Diagrama de Diagrama de corpo livrecorpo livre
5kN/m
BA
20kN
pp
Cálculo de Reações de apoio Cálculo de Reações de apoio -- ExemplosExemplos
Exemplo 9 Exemplo 9 –– Viga biViga bi--apoiada com balanço e carga uniformemente distribuídaapoiada com balanço e carga uniformemente distribuída7,5kN/m R=7,5x8=60kN
2m2m
A
6m4m RVBRVA
B
x
y+ kNRxxR
M
VBVB
A
4006046
0
=∴=−
=∑
kNRxxR
M
VAVA
B
2006026
0
=∴=+−
=∑
Diagrama de Diagrama de corpo livrecorpo livre A
7,5kN/m
pp40kN20kNB
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