Integrales definidas

∫b

adxxf )(

SUMAS INFERIORES

1inf )1,( mhfS ⋅= abh −=;

SUMAS INFERIORES

21inf )2,( mhmhfS ⋅+⋅= 2

abh

−=;

SUMAS INFERIORES

∑=

⋅=⋅++⋅+⋅=4

1421inf ....)4,(

kkmhmhmhmhfS

4

abh

−=;

SUMAS INFERIORES

∑=

⋅=⋅++⋅+⋅=8

1821inf ....)8,(

kkmhmhmhmhfS

8

abh

−=;

SUMAS INFERIORES

∑=

⋅=⋅++⋅+⋅=16

11621inf ....)16,(

kkmhmhmhmhfS

16

abh

−=;

SUMAS INFERIORES

∑=

⋅=⋅++⋅+⋅=n

kkn mhmhmhmhnfS

121inf ....),(

n

abh

−=;

bxyaxentrefbajoÁreanfSn

== → ∞→),(inf

SUMAS SUPERIORES

1sup )1,( MhfS ⋅= abh −=;

SUMAS SUPERIORES

21sup )2,( MhMhfS ⋅+⋅=2

abh

−=;

SUMAS SUPERIORES

∑=

⋅=⋅++⋅+⋅=4

1421sup ....)4,(

kkmhMhMhMhfS

4

abh

−=;

SUMAS SUPERIORES

∑=

⋅=⋅++⋅+⋅=8

1821sup ....)8,(

kkMhMhMhMhfS

8

abh

−=;

SUMAS SUPERIORES

∑=

⋅=⋅++⋅+⋅=16

11621sup ....)16,(

kkMhMhMhMhfS

16

abh

−=;

SUMAS SUPERIORES

∑=

⋅=⋅++⋅+⋅=n

kkn MhMhMhMhnfS

121sup ....),(

n

abh

−=;

bxyaxentrefbajoÁreanfSn

== → ∞→),(sup

INTEGRAL DEFINIDA

),(lim),(lim)( supinf nfSnfSdxxfÁreann

b

a ∞→∞→=== ∫

para algún punto c entre a y b

)()( abcfbyaentrefbajoÁrea −⋅=

TEOREMA DE LA MEDIA (INTEGRAL)

para algún punto c entre a y b

)()( abcfbyaentrefbajoÁrea −⋅=

TEOREMA DE LA MEDIA (INTEGRAL)

El punto c está donde el área que sobra y la que falta coinciden

)()( abcfbyaentrefbajoÁrea −⋅=

Si f es continua en [a,b], entonces la función:

es una primitiva de f, es decir A´(x)=f(x)

xyaentrefbajoÁreaxA =)(

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL

Si f es continua en [a,b], entonces la función:

es una primitiva de f, es decir A´(x)=f(x)

xyaentrefbajoÁreaxA =)(

ya que …

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL

)()(lim)(

lim)()(

lim)´(000

xfcfh

cfh

h

xAhxAxA

hhh==⋅=−+=

→→→

donde c es algún punto entre x y x+h

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL

Como A(x) es una primitiva de f

se escribe:

∫=x

adttfxA )()(

Sea f una función continua en [a,b], y sea F(x) una primitiva de f(x) en [a,b]; entonces:

∫ −=b

aaFbFdxxf )()()(

REGLA DE BARROW

∫=x

adttfxA )()(

Esta función cumple:

y como A(a)=0 :

A´(x)=f(x)

por tanto si F es una primitiva de f :

)(0)()( aFCCaFaA −=⇒=+=

Es decir:

)()()()( aFxFdttfxAx

a−== ∫

CxFxA += )()(

REGLA DE BARROW

∫ −=b

aaFbFdxxf )()()(

Sea f una función continua en [a,b], y sea F(x) una primitiva de f(x) en [a,b]; entonces:

INTEGRAL DEFINIDA

),(lim),(lim)( infsup nfSnfSdxxfnn

b

a ∞→∞→==∫

Si f es positiva en [a,b], representa el área bajo f entre a y b

Si f es positiva y continua en [a,b], F representa el área bajo f entre a y x.

FUNCIÓN INTEGRAL

),(lim),(lim)()( infsup nfSnfSdttfxFnn

x

a ∞→∞→=== ∫

INTEGRAL DEFINIDA

),(lim),(lim)( infsup nfSnfSdxxfnn

b

a ∞→∞→==∫

Si f es positiva en [a,b], representa el área bajo f entre a y b

Si f es positiva y continua en [a,b], F representa el área bajo f entre a y x.

FUNCIÓN INTEGRAL

),(lim),(lim)()( infsup nfSnfSdttfxFnn

x

a ∞→∞→=== ∫

INTEGRAL DEFINIDA

),(lim),(lim)( infsup nfSnfSdxxfnn

b

a ∞→∞→==∫

Si f es positiva en [a,b], representa el área bajo f entre a y b

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL

Si f es continua en [a,b], entonces la función integral es derivable y:

[ ]baxxfxF ,)()´( ∈∀=

∫ −=b

aaFbFdxxf )()()(

Si f es positiva y continua en [a,b], F representa el área bajo f entre a y x.

REGLA DE BARROW

FUNCIÓN INTEGRAL

),(lim),(lim)()( infsup nfSnfSdttfxFnn

x

a ∞→∞→=== ∫

INTEGRAL DEFINIDA

),(lim),(lim)( infsup nfSnfSdxxfnn

b

a ∞→∞→==∫

Si f es positiva en [a,b], representa el área bajo f entre a y b

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL

Si f es continua en [a,b], entonces la función integral es derivable y:

[ ]baxxfxF ,)()´( ∈∀=

Si f es continua en [a,b] y F es una primitiva de f; entonces: