Funciones y Transformaciones:Funciones y Transformaciones:Maneras de Manipular el Maneras de Manipular el

EspacioEspacioVanessa Santiago OlivaresVanessa Santiago Olivares

Glenn MéndezGlenn MéndezMATE 5100 Matemáticas DiscretasMATE 5100 Matemáticas Discretas

14 de diciembre de 201014 de diciembre de 2010

IntroducciónIntroducción

Función – modelo (matemático) que Función – modelo (matemático) que expresa la relación entre la(s) variable(s) expresa la relación entre la(s) variable(s) independiente(s) y la variable dependienteindependiente(s) y la variable dependiente Valores de la(s) variable(s) independiente(s) Valores de la(s) variable(s) independiente(s)

= dominio de la función= dominio de la función Valores de la variable dependiente Valores de la variable dependiente

= co-dominio de la función= co-dominio de la función

IntroducciónIntroducción

Características de la funciónCaracterísticas de la función Posee un dominio y un co-dominioPosee un dominio y un co-dominio Cada valor del dominio tiene un valor único Cada valor del dominio tiene un valor único

en el co-dominioen el co-dominio Los valores del dominio y co-dominio se Los valores del dominio y co-dominio se

relacionan mediante unas reglas fijas, es relacionan mediante unas reglas fijas, es decir, las reglas no cambiandecir, las reglas no cambian

EjemplosEjemplos

y = xy = x22

Dominio = los Dominio = los números realesnúmeros reales

Co-dominio = los Co-dominio = los números positivosnúmeros positivos

Menú de Menú de 9999¢ ¢

Dominio = Hamburgers, Dominio = Hamburgers, papas fritas, nuggets, papas fritas, nuggets, helado, refresco, helado, refresco, ensaladaensalada

Co-dominio = 99Co-dominio = 99¢¢+ IVU!!+ IVU!!

IntroducciónIntroducción

Transformación – función especial que Transformación – función especial que establece la relación entre dos espaciosestablece la relación entre dos espacios

Gráficos de FuncionesGráficos de Funciones

En términos matemáticos, la relación En términos matemáticos, la relación entre el dominio y el co-dominio de una entre el dominio y el co-dominio de una función, o un conjunto de funciones, se función, o un conjunto de funciones, se puede representar gráficamentepuede representar gráficamente

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4

x

y

( ) 22−= xy

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4

x

y

31 ;1

32 ;72

21 ;12

≤<=<≤+−=<≤−=

xy

xxy

xxy

Gráficos de FuncionesGráficos de Funciones

No todas las representaciones gráficas No todas las representaciones gráficas son apropiadas o dan la información son apropiadas o dan la información necesarianecesaria

Ejemplo:Ejemplo:

Por tanto, es importante poder hacer Por tanto, es importante poder hacer transformaciones de un espacio a otro transformaciones de un espacio a otro que provean la información de interésque provean la información de interés

TransformacionesTransformaciones

Hay tres tipos principales de Hay tres tipos principales de transformaciones afines (mantienen las transformaciones afines (mantienen las líneas paralelas)líneas paralelas) Traslación o desplazamientoTraslación o desplazamiento ““Scaling” o dimensionalidadScaling” o dimensionalidad RotaciónRotación

Cualquier otro tipo de transformación se Cualquier otro tipo de transformación se puede obtener con una combinación de puede obtener con una combinación de las anterioreslas anteriores

Traslación o DesplazamientoTraslación o Desplazamiento

Ahí voy!

Adios…

Traslación o DesplazamientoTraslación o Desplazamiento

No cambia tamaño, forma, orientación, ni No cambia tamaño, forma, orientación, ni propiedad algunapropiedad alguna Sólo mueve el objeto de un lugar a otroSólo mueve el objeto de un lugar a otro

z

y

x

tzz

tyy

txx

+=

+=+=

'

'

'

tx

tz

ty

(x’,y’,z’ )

x

y

z

““Scaling” o dimensionalidadScaling” o dimensionalidad

Uju…

Soy Hulk!

Que vergüenza…

Me voy.

““Scaling” o dimensionalidadScaling” o dimensionalidad

Cambia la forma de los objetos al Cambia la forma de los objetos al multiplicar las dimensiones por un factor kmultiplicar las dimensiones por un factor k

x’ = kxx y’ = kyy x’ = kxxy’ = kyy

F(x,y)

RotaciónRotación

Yo soy la Inter…

…pa’que tú lo sepas !

RotaciónRotación

Cambio en el ángulo Cambio en el ángulo de inclinación de inclinación usando el origen usando el origen como referenciacomo referencia Es más fácil Es más fácil

explicarlo usando explicarlo usando coordenadas polares coordenadas polares en vez de cartesianasen vez de cartesianas

x

y

z

y’x’

z’

α

x’ = z sin(α) + x cos(α)y’ = yz’ = z cos(α) – x sin(α)

Combinando TransformacionesCombinando Transformaciones

Imagen de espejoImagen de espejo 1.1. Establecer plano Establecer plano cartesiano y cartesiano y referenciareferencia

2.2. Establecer funciónEstablecer función

3.3. Realizar Realizar transformación(es)transformación(es)

4.4. Simplificar Simplificar ecuacionesecuaciones

Combinando TransformacionesCombinando Transformaciones

f(x,y,z) Traslaciónal origen

Rotación Traslaciónal punto

final

Inverso de la FunciónInverso de la Función

Se estableció que para que sea función Se estableció que para que sea función cada valor del dominio debe tener un solo cada valor del dominio debe tener un solo valor en el co-dominiovalor en el co-dominio

Para que la función tenga inverso, es Para que la función tenga inverso, es además necesario que cada valor del co-además necesario que cada valor del co-dominio tenga un valor único del dominiodominio tenga un valor único del dominio

y = 4x + 3x = (y – 3) ÷ 4

Preguntas?Preguntas?

…estoy cansao.