P. Fire invento los llamados fire codes, cuales son códigos cíclicos binarios diseñados

específicamente para corregir singulares burst de errores.

DISEÑO: sea p(x) un polinomio irreducible de grado m sobre 6f (2). U p ser el mas pequeño

entero tal que p(x) divide p es llamado el periodo de p(x). sea 1 un entero positivo

tal que y . Sea g(x) el polinomio general definido por

Observar que lao partes p(X) y son primos relativos la longitud n del código es el

menor común múltiple de 21-1 y el periodo

Y la dimensión de los códigos es

especificación Para un polinomio irreducible p(x) de grado t

Longitud donde p es el periodo de p(X)

Símbolos de información

Polinomio generador

Capacidad de control de errores Corrige burst de longitud t

Ejemplo: con como polinomio primitivo, y entonces sea

1=4 y notar que 21-1=7 y 7 no es divisible por 15. Por lo tanto el código de fuego tiene

generador.

Con longitud y dimensión

Definición: un polinomio p(X) sobre un campo es dicho tener periodo p tal que p es el mas

pequeño tal que p(X) divide (tomar en cuenta que p(X) genera un código cíclico d e

longitud n)

Definición: un fire code es un código cíclico con un polinomio generador

Para algún polinomio irreducible p(X) de grado a lo menos t y un periodo no divisible por 2t-1

la longitud del código es el menor común múltiplo de 2t-1 y el periodo.

Teorema: el fire code es generado por y corrige errores burst de longitud

t.

Un código reed-salomon

En 6F (q) es un código BCH de longitud N=q-1. Por su puesto, por su puesto que nunca es 2.

También es un código cíclico con polinomio generador

, donde es un elemento primitivo de 6F (Q). La dimensión es K=N-S+1 y la mínima

distancia es S. (frecuentemente b=1) el código Red-salomón es un MDS (máxima distancia

separable). Pueden ser extendidas a los siguientes códigos y si

y , los códigos Reed-Salomón son importantes por unas

razones:

I. Son códigos naturales que se usan que se usan cuando se requiere una longitud menor

que el tamaño del campo. Por ser MDS tienen las mas altas posible distancia mínima.

II. Son convenientes para construir otros códigos. (como veremos) pueden ser

transportados a códigos binarios con una gran distancia mínima. Son usados para

construir códigos concatenados y tustesen.

III. Son muy útiles para corregir errores en forma de burst.

Teorema: supóngase que F es un campo de orden , sea C un código Red-Salomón

en F[x]. Entonces c(X) t F(X) de grado menor que esta en C si y únicamente

si para

METODO DE CORRECION DE ERRORES REED-SALOMON

Si F es un campo y sea C un código en F[x]. Cuando c(X)tc es trasmitido y se

recibe r(X) donde r(X)=c(X)+e(X) para cualquier error polinomial e(X) en F(X) de grado menor

que , nosotros podemos utilizar los siguientes pasos para determinar c(X).

paso 1.- Calcular los syndromes de r(X), de la siguiente manera

. Después formar el polinomio syndrome

.

paso 2.- Construir la tabla del algoritmo euclidiano para el polinomio y S(z) en F[z] y

detenerse hasta que el primer renglón j donde grad (rj) t. ( donde R(z)=rj y (z)= j ).

paso 3.- Encontrar la posición del error en r(x) encontrando las raíces de Ѵ(Z). si las raíces de

Ѵ(Z) son entonces las posiciones del error contenidas en r(X) seran

.

paso 4.- Para encontrar los coeficientes de e(X) en dichas posiciones del error usaremos el

termino en e(X) en la siguiente formula:

Teorema: sea C un codigo Redd-Salomon en donde , entonces

,…,

Es un código binario [mn,mk] con distancia mínima de al menos n-k+1.

Para un código Reed-Salomón C, el código no puede correguir demaciados errores

aleatoriamente debido a que la distancia no es muy grande. Sin embargo, puede corregir

mucho mas errores en forma de burst.

Teorema: sea C un código reed-salomon en entonces el código puede corregir

errores en forma de burst, donde es la longuitud del

código.

POTENCIA ELEMENTO DEL CAMPO

4-TUPLE

0100

0010

0001

1100

0110

0011

1101

1010

0101

1110

0111

1111

1011

1001

1000

0 0 0000

Para construir un código Reed-Salomón, comenzamos por elegir primero un polinomio

primitivo p(X). similar a los códigos BCH, las palabras códigos de un Reed-Salomón son

polinomios de grado menor que , sin embargo en un BCH los elementos están en

y las palabras código de un Reed-Salomón son elementos en F[x] y además,

.

Para construir un código Reed-Salomón que corrija t errores usamos el siguiente polinomio

generador en f[x].

Ejemplo: para diseñar un código Reed-Salomón que corrija 2 errores primero elegimos el

polinomio generador con . Usando el campo F donde

, se obtiene el siguiente polinomio generador:

Existe un método para convertir una palabra código Reed-Salomón en un vector binario. Por

únicamente tomar las coeficicientes de la palabra código y transformarlos en elementos del

campo finito del orden . Estos coeficientes podrán ser expresados como polinomios de

grado menor que n con coeficientes en .

Para nuestro ejercicio hay 17592186044416 palabras código.

Una palabra código C es trasmitido y el vector binario recibido es el siguiente:

(0000 0000 0000 1111 0110 0001 1011 0111 0100 0111 0010 1001 1010 1110 0000)

Siguiente paso es expresar los exponentes polinomiales de r(x) como una simple potencia de a