Unidad 5-calculos

Escuela de Ingeniería Civil-UTPL TOPOGRAFÍA ELEMENTAL

Autora: Nadia Chacón Mejía

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UNIDAD 5 Cálculos

POLIGONACIÓN: POLIGONAL CERRADA

Cálculo y ajuste de la poligonal

Una vez que se han tomado las medidas de los ángulos y distancias de las líneas de una poligonal

cerrada, se deben determinar los errores que con seguridad se presentan en los datos para

establecer si son aceptables o no. Si son aceptables se distribuye el error total de cierre entre las

observaciones, la distribución del error no debe causar grandes cambios en los datos, estos deben

ser mínimos. Si el error es inaceptable, se deben volver a tomar los datos de algunas medidas

donde se crea que se cometió algún error.

Cuando se haya determinado los errores de cierre lineal y angular se realiza el cálculo de las

coordenadas.

Corrección de cierre angular

La suma de los ángulos de una poligonal debe ser igual a:

Ángulos exteriores:

Ángulos interiores:

Donde: número de vértices de la poligonal

Error de cierre angular: El error de cierre angular es la diferencia entre la suma de los ángulos

medidos y el valor que resulta de aplicar la fórmula.

Si el error de cierre angular esta dentro de los límites permisibles este se reparte en partes iguales

entre todos los ángulos dividiendo el error para el número de vértices, este valor se resta si el

error es por exceso o se suma si es por defecto.

A continuación se calcula el azimut de cada línea partiendo desde el azimut conocido,

dependiendo del sentido en el que se midieron los ángulos se aplican las siguientes fórmulas:

Horario:

Antihorario:



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Cálculo de las proyecciones

Después de haber realizado la corrección de cierre angular y calculado los azimut se determinan

las proyecciones.

Las proyecciones de una línea se expresan de la siguiente forma:

Donde:

Si en lugar de azimut se tuviera el rumbo de la línea este debe ser transformado para poder

realizar los cálculos.

Las proyecciones pueden tener signo positivo o negativo dependiendo del valor del azimut, siendo

positivas las proyecciones norte y este, y negativas las proyecciones sur y oeste.

Figura 5.1 Proyecciones

Fuente: Modificado del libro RUSSELL C. BRINKER, Topografía, Novena edición, pág. 276.



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Se deben cumplir las siguientes igualdades, debido a que es un polígono cerrado:

Al tomar las medidas de ángulos y distancias siempre se cometen errores, por esta razón las

igualdades anteriores no se cumplen exactamente por lo que es necesario corregir las

proyecciones:

Donde:

Corrección de cierre lineal

Error de cierre lineal:

Figura 5.2 Error de cierre lineal

Fuente: Modificado del libro TORRES NIETO ALVARO, Topografía, Cuarta edición, pág. 116.

Al formar la poligonal los errores en las proyecciones provocan que no se llegue al mismo punto

desde el que se inicio, sino que lleguen a otro punto que se encuentra a una distancia ε de la

estación de partida:



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ε es el error total y se expresa en forma unitaria, es decir, como el número de metros en los cuales

se cometería un error de 1 metro.

Haciendo una regla de tres se obtiene el número de metros (x) en los cuales se cometerá un

metro de error:

Por lo tanto:

Donde:

Este es el error de cierre lineal y se expresa 1: x, de acuerdo al tipo de levantamiento y a su

exactitud se han establecido los siguientes límites máximos:

Error máximo Clase de levantamiento

1 : 800

Levantamiento de terrenos quebrados y de muy poco valor, levantamientos de reconocimiento, colonizaciones, etc., generalmente hechos por

taquimetría.

1 : 1000 a 1 : 1500 Levantamiento de terrenos de poco valor, taquimetría con dobles lecturas de miras.

1 : 1500 a 1 : 2500 Levantamiento de terrenos agrícolas de valor medio. Levantamientos con estadia.

1 : 2500 a 1 : 1400 Levantamientos urbanos y terrenos rurales de cierto valor.

1 : 1400 en adelante Levantamientos en ciudades y terrenos bastante valiosos.

1 : 10000 y más Levantamientos geodésicos. Fuente: TORRES NIETO ALVARO, Topografía, Cuarta edición, pág. 117

Si el error de cierre obtenido esta dentro del error máximo permisible este se distribuye para que

la poligonal pueda cerrarse, de lo contrario el levantamiento debe repetirse.



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Existen varios métodos para repartir el error de cierre, a continuación se mencionan los más utilizados:

Método A:

Para corregir las proyecciones se utilizan las siguientes fórmulas:

Donde:

Método B:

Por este método la corrección es igual a la relación entre el error en la proyección y la longitud

total de la poligonal por su respectivo lado:

Donde:



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Para obtener las proyecciones corregidas se suma la corrección y la proyección tomando en

cuenta sus signos, en el método A para corregir las proyecciones sur y oeste se suman las

correcciones y para las proyecciones norte y este se restan.

Cálculo de las coordenadas

El cálculo de las coordenadas es muy importante porque mediante ellas se puede conocer la

posición de cualquier punto respecto a un eje de referencia, además son muy útiles en una gran

variedad de cálculos como: determinación de longitudes y direcciones de líneas, cálculo de áreas

de predios, cálculo de curvas.

Para obtener las coordenadas de los puntos de una poligonal, primero se supone las coordenadas

del punto de inicio de la poligonal o de cualquier punto desde el cual se desee empezar el cálculo,

por ejemplo N2000, E2000; a estas coordenadas se suma las proyecciones correspondientes a ese

punto, este procedimiento se sigue por toda la poligonal hasta llegar al punto donde se inicio, lo

cual sirve de verificación, si las coordenadas calculadas coinciden con las coordenadas supuestas

significa que el cálculo está bien realizado o si por el contrario no son las mismas se pudo haber

cometido algún error y se debe revisar para corregirlo.

Siendo A el punto de inicio de la poligonal y B el punto siguiente, la fórmula para calcular las

coordenadas de B es:

POLIGONAL ABIERTA

Por lo general las poligonales abiertas no son muy utilizadas porque no se pueden corregir, pero

en ocasiones es muy conveniente su uso como es el caso de vías.

Si se va a utilizar este tipo de poligonal se debe tener mucho cuidado al realizar la medición de

ángulos y distancias ya que no se puede realizar ninguna clase de verificación.

En las poligonales los ángulos que se miden en sus vértices son los ángulos de deflexión, al igual

que en las poligonales cerradas se mide el azimut o rumbo de uno de sus lados para conocer su

dirección pero no existe corrección de cierre angular ni lineal, entonces una vez calculados los

azimut de todos sus lados se determina sus proyecciones y coordenadas.

Cálculo del azimut:

Para determinar los azimut de cada línea se suman los ángulos de deflexión a la derecha y se

restan los ángulos de deflexión a la izquierda al azimut conocido si el cálculo se lo realiza hacia

adelante, si se lo realiza hacia atrás los ángulos de deflexión a la izquierda se suman y los de la

derecha se restan.



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Siendo AB el lado inicial de la poligonal, del cual se conoce su azimut y BC el lado siguiente, la

fórmula para calcular el azimut de BC es:

Si el ángulo de deflexión es a la derecha (D):

Si el ángulo de deflexión es a la izquierda (I):

Cálculo de proyecciones:

El cálculo de las proyecciones es igual que en una poligonal cerrada:

Donde:

Cálculo de coordenadas:

El cálculo de las coordenadas también es igual que en una poligonal cerrada, a la coordenada

conocida se suma la proyección correspondiente a la línea.

Como la coordenada conocida no siempre está en el punto de inicio sino que puede estar en

cualquier punto y debido a que es una poligonal abierta no se puede volver al punto donde se

empezó, el cálculo se debe hacer hacia adelante y hacia atrás para poder determinar las

coordenadas de todos los puntos.

Siendo A el punto de inicio de la poligonal y B el punto siguiente, la fórmula para calcular las

coordenadas de B es:



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Si E es punto anterior a el punto A, la coordenada de E es la siguiente:

NIVELACIÓN:

NIVELACIÓN GEOMÉTRICA

En la nivelación geométrica las lecturas que se toman en el campo para poder determinar las cotas

de puntos sobre un terreno, son atrás, adelante e intermedia.

Con estos datos y con la cota del BM de inicio, la cual se ha obtenido mediante levantamientos

previos o si no se dispone de esta se puede suponer un valor, ya se pueden calcular la altura

instrumental y las cotas.

Cálculo de la altura instrumental:

La altura instrumental se calcula sumando la cota más la lectura atrás, este valor es necesario para

poder determinar las cotas de los siguientes puntos:

Donde:

Cálculo de cotas:

La cota de los BM y de los puntos de cambio se calcula restando la altura instrumental del punto

anterior y la lectura adelante correspondiente a cada punto:

CORRECCIÓN:

Error:

Para realizar la corrección de las cotas primero se calcula el error el cual es igual a la suma de las

lecturas atrás menos la suma de las lecturas adelante:



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Y la corrección es igual:

Donde:

Los puntos de cambio son los puntos que tienen una lectura atrás y una adelante, por lo tanto los

BM también son puntos de cambio.

Cota corregida:

Si la cota obtenida al final del cálculo es menor que la cota de inicio, se debe sumar la cota más la

corrección, pero antes se debe multiplicar la corrección por un número que representa la posición

del punto de cambio, el primer punto se deberá multiplicar por 1, el segundo por 2, el tercero por

tres y así sucesivamente hasta llegar al último; pero si la cota obtenida al final del cálculo es mayor

que la cota de inicio se debe restar.

Altura instrumental corregida:

La corrección de la altura instrumental se obtiene sumando la cota corregida más la lectura atrás:

Cotas puntos intermedios

Una vez realizada la corrección se calcula las cotas de los puntos restando la altura instrumental

corregida menos la lectura intermedia:

NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA:

Como ya se menciono en el capítulo anterior la nivelación trigonométrica se basa en la medición

de distancias horizontales y ángulos verticales para luego determinar su distancia vertical o

desnivel por medio de cálculos trigonométricos.



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Para realizar los cálculos de las distancias se utilizan las siguientes fórmulas:

Si el ángulo es cenital:

Si el ángulo es vertical:

Donde:

Cota:

Con los datos obtenidos de las fórmulas anteriores se calcula la cota:

Donde:

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