143495909 inves

FACULTAD DE INGENIERÍAS Y ARQUITECTURAS

EscuelaProfesionaldeIngenieríaIndustrial

Lic.HéctorF.CernaMaguiña

CicloV

Dirección Universitaria de Educación a Distancia

InvestigacióndeOperacionesI

©UniversidadAlasPeruanasDirecciónUniversitariadeEducaciónaDistancia(DUED)CalleLosLirios144,SanIsidro.Lima‐PerúTeléf.(511)422‐1808http://[email protected]áficosdelaUniversidadAlasPeruanasAv.SanFelipe1109,JesúsMaría.Lima‐PerúTeléf.(511)266‐0195Derechos reservados. No está permitida la reproducción total o parcial de la obra porcualquiermediooprocedimiento,comprendidoslareprografía,eltratamientoinformáticoyelectrónicosinlaautorizacióndelaUniversidadAlasPeruanas.2010

Guía didáctica ● Investigación de Operaciones I

5

1. Presentación de la Guía didáctica

2. Presentación del docente-tutor

3. Introducción a la asignatura

4. Objetivos

5. Requisitos

6. Medios

7. Contenidos

8. Fuentes de información

9. Actividad académica

10. Evaluación

11. Orientaciones para el estudio de la asignatura

12. Orientaciones para las tutorías

Índice

6

Escuela Profesional de Ingeniería Industrial

Estimado participante:

Lo saludamos nuevamente al dar inicio a la asignatura de Investigación de

Operaciones I y esperamos que haya cumplido los objetivos del cuarto ciclo de

estudios en la modalidad de educación a distancia.

Propósito El propósito de esta Guía didáctica es apoyar el desarrollo de la asignatura y

brindarle las orientaciones necesarias para facilitar su aprendizaje. Por ello es

importante su permanente lectura y comprensión.

Utilidad Es importante que tenga en consideración las precisiones detalladas en esta

guía, ya que le permitirán:

• Obtener respuesta a muchas de las interrogantes que usted probablemente se

hará en su proceso de aprendizaje.

• Conocer, con anticipación, muchos de los tópicos que se tratarán en la

asignatura y obtener el máximo provecho de las sesiones con el tutor y/o

docente asignado.

Partes

• Introducción general al curso

• Presentación del docente-tutor

• Introducción a la asignatura

• Objetivos

• Requisitos

• Medios didácticos

1. Presentación de la Guía didáctica


7

• Contenidos del curso

• Fuentes de información

• Actividad académica

• Evaluación

• Orientaciones para el estudio de la asignatura

• Orientaciones para las tutorías

Recomendaciones

• Lea detenidamente este documento y utilícelo en todo su proceso de estudio,

consultándolo cada vez que sea necesario.

• En el caso de buscar un tópico específico, no dude en ver el índice que se

encuentra en la parte inicial de esta guía, el mismo que le facilitará la rápida

ubicación del tema o aspecto que requiera consultar.

• Recuerde que cuenta con el apoyo de sus profesores en general, y docente o

tutor en particular, para alcanzar los objetivos planteados para este curso y

lograr la aprobación del mismo.

8


La Universidad Alas Peruanas se complace en presentar al licenciado Héctor

Félix Cerna Maguiña, quien ha elaborado el presente material didáctico y estará a

cargo del curso de Investigación de Operaciones I.

El docente-tutor es la persona con la cual estará en constante comunicación a

fin de facilitarle su proceso de aprendizaje, de acuerdo a las características de esta

modalidad educativa.

Se indica el correo electrónico mediante el cual podrá comunicarse con el

docente que tendrá a su cargo la asignatura de Investigación de Operaciones I, así

como los principales datos de su hoja de vida para que tenga información de su

experiencia e inquietudes profesionales.

Permítanos presentarle al docente-tutor de la asignatura:

Héctor Félix Cerna Maguiña es docente de esta universidad en la Facultad de

Ingenierías y Arquitectura.

• Docente en la Universidad Nacional Federico Villarreal en la Facultad de

Ciencias Naturales y Matemática (1997-2007).

• Docente permanente en la Universidad Nacional Mayor de San Marcos en la

Facultad de Ciencias Contables (1998 a la fecha).

• Docente en Diplomado de Especialización en Eficiencia en la Enseñanza de

comunicación y Lógico matemática. Centro de Altos Estudios Pedagógicos-

Universidad Nacional Federico Villarreal.

• Presidente del Capítulo de Investigación Operativa del Colegio de Matemáticos

del Perú (2008-2010).

• Licenciado en Investigación Operativa (Universidad Nacional Mayor de San

Marcos).

• Diplomado en Docencia Universitaria (Universidad Alas Peruanas).

• Experiencia en Elaboración de Modelos Cuantitativos.

2. Presentación del docente


9

• Estudios concluidos en la Maestría en Docencia Universitaria y Gestión

Educativa en la Universidad Alas Peruanas.

• Sus áreas de interés son la investigación científica aplicada a los Modelos

Matemáticos para resolver problemas del mundo real, como soporte en la toma

de decisiones.

El docente siempre estará dispuesto a resolver las interrogantes que usted

tenga respecto al curso. No dude en escribirle, pues siempre responderá rápidamente

sus mensajes.

10


A través de estas líneas, queremos expresarles nuestras felicitaciones por

haber culminado con éxito el curso de Inferencia Estadística. Asimismo le damos la

bienvenida a la asignatura de Investigación de Operaciones I (IO).

¿Cuál es su finalidad?

La finalidad de esta asignatura es lograr que usted se familiarice con los

modelos cuantitativos y, en particular, centrar su atención en la programación lineal

que es una técnica de modelo matemático, cuya finalidad principal es optimizar el uso

de los recursos limitados. Las aplicaciones de IO se iniciaron con mucho éxito en el

campo militar, la agricultura, la industria, la economía, los sistemas de salud, control

de la contaminación ambiental, distribución de materia prima e inclusive en los

sistemas organizacionales. En estos tiempos, el aumento de las capacidades

computacionales y la disponibilidad de programas permite que más empresas tengan

acceso a las ventajas de los modelos de programación lineal. La idea es lograr que

usted entienda lo que es un modelo matemático, desarrolle habilidades para modelar y

resolver el mismo.

¿Qué características tiene?

Se trata de un curso teórico-práctico, con mayor incidencia en la parte práctica,

por lo cual se recomienda la constante revisión y desarrollo de los ejercicios, tanto de

los realizados con el docente-tutor como de los propuestos.

3. Introducción a la asignatura


11

Datos informativos

Asignatura : Investigación de Operaciones I

Ciclo académico : V

Créditos : 4

Naturaleza : Obligatoria

Requisito : Inferencia Estadística

Docente-tutor : Lic. Héctor Félix Cerna Maguiña

¿Cuánto tiempo debe dedicar al estudio de este curso?

En la modalidad de educación a distancia se le recomienda que dedique un

tiempo mínimo de 10 horas semanales, debido a que la asignatura será desarrollada

en 8 semanas.

Para facilitar la organización de su tiempo en el desarrollo de contenidos, se

indica, a manera de sugerencia, las semanas en las que debe usted debería estudiar

los contenidos y desarrollar los ejercicios propuestos.

¿Cómo están organizados los contenidos de este curso?

Se han organizado en cuatro unidades didácticas:

• Unidad I: Introducción a la investigación de operaciones y fundamentos de

programación lineal. Su finalidad es lograr que usted conozca la importancia de

la Investigación Operativa en la toma de decisiones y la formulación de

modelos lineales a gestión de operaciones de producción, mezcla, distribución

entre otras, La solución de algunos modelos con dos variables de decisión

utilizando el método gráfico.

12


• Unidad II: Representación matemática del modelo lineal y el método simplex.

Su finalidad es la representación matemática y su solución para más de tres

variables de decisión utilizando el algoritmo simplex, utilizando este mismo

algoritmo resolveremos problemas con la teoría de la dualidad y su posterior

análisis de sensibilidad.

• Unidad III: Aplicaciones Especiales de la programación lineal. Su finalidad es

resolver problemas de transporte y asignación utilizando nuevos algoritmos de

solución dado que es mucho más sencillo su desarrollo con estos algoritmos

que por el método simplex.

• Unidad IV: Tópicos avanzados en programación lineal-programación lineal

entera. La idea es mostrar modelos que tienen múltiples objetivos y convertir

los objetivos múltiples originales en una sola meta. En la parte de

programación lineal entera es mostrar algunos problemas lineales cuyas

variables de decisión están restringidas a valores enteros y su posterior

solución.


13

¿Qué materiales necesita para estudiar?

Aparte de la guía y las unidades didácticas que le serán proporcionadas por la

universidad, se recomienda (no es obligatorio) tener:

• La bibliografía básica indicada en este documento.

Importancia de la asignatura

La Investigación de Operaciones I dentro de la teoría de optimización es una

rama de la matemática aplicada. Como técnica de optimización se convierte en

herramienta fundamental para resolver problemas cuantitativos en diversas áreas de

las ciencias tales como la biología, la economía, la medicina, la ingeniería, entre otras.

La IO como ciencia de la administración permitirá al ingeniero industrial maximizar o

minimizar alguna función objetivo, optimizando recursos limitados. Como podemos ver,

la IO resulta muy valiosa pues permite al ingeniero asesorar mejor a la gerencia en la

toma de decisiones frente a problemas complejos de la administración.

14


A continuación le mostramos los objetivos generales y específicos del presente

curso, al mismo tiempo visualizará la semana en que debemos trabajar el logro de

cada objetivo.

Objetivo general

Introducir al alumno en los principios, técnicas y filosofía de la investigación de

operaciones (IO).

Como primer curso se concentra en los modelos lineales y las técnicas de

solución para ellos. Se enfatizará el modelamiento presentándose además la teoría

básica y los algoritmos que permitirán entender los procedimientos y soluciones con

programas computacionales que se propondrán para el uso de los alumnos. Se

incidirá en la interpretación aplicada de los resultados obtenidos.

Unidad didáctica Objetivos Semana de estudio

I Aprende la importancia de la definición y formulación de un modelo de programación lineal, esto es, abstraer un problema real en términos matemáticos

1.ª-2.ª

II

Comprende la importancia de la representación matemática del modelo lineal y el uso del algoritmo simplex en la solución de problemas de programación lineal con más de dos variables de decisión

3.ª-4.ª

III Reconoce y comprende la importancia de nuevos algoritmos para la solución de casos especiales de la programación lineal,

5.ª-6.ª

IV

Comprende la importancia de aplicar nuevos tópicos avanzados en programación lineal, tales como programación por objetivos y programación lineal entera.

7.ª-8.ª

4. Objetivos


15

En esta sección se detallan los requisitos mínimos que usted debe cumplir para

poder cursar la asignatura de Investigación de Operaciones I.

Con relación al plan de estudios

Haber aprobado la asignatura de Inferencia Estadística.

Respecto al aspecto académico

• Conceptos básicos y operaciones sobre matrices

• Planteamiento de ecuaciones e inecuaciones

• Desigualdades lineales con dos variables

• Solución de desigualdades

• Cálculo de probabilidades e inferencia estadística

• Estructuras discretas-teoría de grafos

5. Requisitos

16


Pasaremos a especificar aquellos medios que utilizaremos en el desarrollo de

la asignatura:

Impresos

• La Guía didáctica Es el documento orientador del curso, su lectura y comprensión es obligatoria

porque en ella se señalan todos los criterios a tener en cuenta durante el

desarrollo de la presente asignatura. No olvide leerla con detenimiento.

• Las unidades didácticas Son los contenidos del curso exigidos por el Plan de Estudios. Su lectura

comprensiva es obligatoria para lograr los objetivos de la asignatura y como

consecuencia de ello el éxito académico. Las unidades didácticas las

encuentra en el presente documento.

Campus virtual

Es el espacio disponible en Internet, que se utiliza como medio de transmisión

de información de la presente asignatura. Su acceso es muy importante durante cada

semana de estudio. Usted va a ingresar con un usuario y clave que le serán

entregados en el momento de su matrícula, en la Coordinación de su Unidad

Descentralizada.

Ruta Web del Campus Virtual: http://dued.up.edu.pe

6. Medios didácticos


17

En el Campus Virtual encontrará las aulas virtuales (una por cada curso en que

se haya matriculado). En cada aula virtual usted visualizará:

Orientaciones generales

En esta opción descargará un archivo con información importante que lo ayudará

en el desempeño del curso.

Cronograma del curso Aquí tiene el cronograma de evaluaciones (Examen Parcial, Final, Sustitutorio y

Trabajo Individual), y el horario del curso.

Foro de debate

A través de esta sección se realizarán los debates académicos definidos para el

curso: el docente planteará temas a ser discutidos, con la finalidad de profundizar

o aclarar temas de la asignatura. Usted puede participar del foro cuando lo

desee, también planteando sus dudas o comentando sobre lo aprendido.

P Para acceder al foro deberá ingresar al curso desde el Campus virtual y lo encontrará como Foro de Debate

18


Sala de conferencias En este apartado docente y alumno interactúan en línea. Es el espacio en el aula

virtual en el que usted encontrará al tutor para recibir su asesoramiento, para

intercambiar opiniones, preguntas y respuestas acerca del curso. Los horarios de

tutoría están especificados en esta sección. Tenga en cuenta que a esta sala

ingresan todos los participantes. Recuerde además que:

1. Para utilizar adecuadamente esta Sala debe tener conectados audífonos o

parlantes. 2. Instalar con anticipación el programa de la Sala de Conferencia. 3. Ingresar a la sala identificándote con su nombre completo (Nombre y

Apellido)

Además se recomienda 1. Utilizar micrófono para poder «hablar» con el tutor o expositor.

2. Prestar atención a las instrucciones durante la charla para mantener el

orden dentro de la Sala.

3. Leer el manual de uso de la Sala.

El procedimiento de acceso y adecuada comunicación a través de la Sala de conferencias se encuentra detallado en el apartado 12 de la presente Guía didáctica titulado Orientaciones para las tutorías.

Para poder acceder a la sala de conferencias deberá ingresar al curso desde el Campus virtual y la encontrará como:

Sala de Conferencias. Recuerde que debe tener preparados sus audífonos o parlantes y micrófono.


19

Compañeros de curso

Este ícono muestra la lista de alumnos matriculados en el curso, sus fotos y

correos, para que usted pueda relacionarse con ellos y realizar también trabajos

grupales.

Envío de exámenes Se emplea para enviar las evaluaciones escritas, en los plazos establecidos.

Envío de trabajos finales Permite enviar el Trabajo final al docente del curso.

Visualizar trabajos enviados A través de esta opción puede asegurarse de que su trabajo fue correctamente

enviado.

Visualizar notas

Con este enlace puede ir viendo las calificaciones del curso.

Finalmente en:

Material del curso En esta opción encontrará la presentación del docente, ayudas y enlaces

interesantes que le envíe el docente. Al ingresar usted verá esta imagen en la

parte superior:

MATERIAL DEL CURSO CICLO 200X-XX

Curso: 0201-02XXX XXXXXXX Docente: XXXXXXXXXXXXXX

ESTRUCTURA DEL CURSO

20


Estructura del curso Al elegir esta opción usted podrá acceder a pantalla siguiente:

Curso : XXXXXXXXXXXXX

0201-02XXX XXXXXXXXXXXX Docente: XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

Sílabo del curso Guía del curso Unidades didácticas

Estos documentos (sílabo, guía del curso y unidades didácticas) estarán a su

disposición en la pantalla para que pueda revisarlos e informarse y estudiar,

desde el momento en que se matricule (pago en el banco y registro en su

Unidad Descentralizada). De esta forma, incluso si usted viaja, podrá seguir

estudiando sin necesidad de trasladarse llevando los libros.

En esta sección usted contará con:

Presentación del docente

Modelo de examen

Trabajo final

Ayudas

Autoevaluaciones

Enlaces Interesantes


21

Presentación del docente

Es la presentación que el docente hace de su asignatura.

Modelo de examen Es el espacio desde donde usted podrá descargar un modelo de examen,

de tal forma que pueda prepararse adecuadamente para su evaluación. El

modelo de examen, como bien dice su nombre, es una demostración de la

forma en que vendrá elaborado el examen original.

Trabajo final

Es el espacio en el Aula virtual en el que usted podrá descargar el trabajo

final que necesita desarrollar y entregar en el plazo que figura en el

«calendario de evaluación». No olvide descargarlo para que pueda

elaborarlo.

Ayudas En este espacio usted podrá descargar o compartir las ayudas que se

colocarán cada semana de estudio para reforzar o complementar sus

conocimientos; ellos son parte de las evaluaciones del presente curso.

Autoevaluaciones

Aquí, el docente colocará preguntas, problemas o ejercicios que usted

desarrollará para asegurarse el adecuado nivel de comprensión de los

temas desarrollados cada semana.

Para acceder a las ayudas deberá ingresar al curso desde el

campus virtual a Material del Curso y luego a Ayudas

22


Para acceder a los enlaces interesantes deberá ingresar al curso

desde el Campus virtual a Material del curso y luego a

Enlaces interesantes

Enlaces interesantes

Es el espacio donde el docente colocará rutas o enlaces a páginas web,

con temas de la semana.


23

En la parte inferior de cada aula virtual verá:

Tiene un cuadro con los nombres de todas las autoridades de su Facultad.

Para que usted pueda realizar sus pedidos.

Con todos los documentos que usted deberá conocer para cumplir con sus

obligaciones, ejercer sus derechos, cumplir con las normas de su Facultad, así

como efectuar trámites siguiendo las instancias apropiadas, para evitarse

inconvenientes, frustraciones o demoras.

Manuales

Guía de Atención al Alumno

Guía del Estudiante a Distancia UAP

Presentación y generalidades de la universidad

Sobre la Dirección Universitaria de Educación a Distancia

(DUED)

Información y orientaciones básicas para el alumno

Componentes del sistema de educación a distancia

Campo de acción y perfil profesional

Guía de manejo del Campus virtual

Guía de manejo del Correo electrónico

Guía de Instalación y Manual de Sala de Conferencias

Guía de configuración de audio y micrófono

24


Procedimientos

Actualización de Matrícula

Reserva de Matrícula

Cambio de Unidad Descentralizada (UDED)

Constancia de Estudios

Certificado de Estudios

Traslado de Modalidad de Estudios

Con todos los programas que usted deberá trabajar:

Acrobat Reader Abre archivos de extensión PDF.

WinZip Comprime archivos reduciendo su tamaño y colocándolos en un solo objeto con extensión .zip. Del modo inverso, los descomprime.

Microsoft Editor de Ecuaciones Agrega ecuaciones a sus documentos de MS Office.

Visual C# 2005 Express Edition Herramienta de desarrollo de software. Versión de prueba de 30 días.

Adobe Flash Herramienta para desarrollar contenido dinámico y multimedia para presentaciones e Internet. Versión de prueba de 30 días.

Minitab Es un programa diseñado para ejecutar funciones estadísticas básicas y avanzadas.


25

A continuación le mostramos los contenidos distribuidos por semana de

estudio.

I Unidad didáctica

INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Y FUNDAMENTOS DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL

Objetivo general

Al finalizar esta unidad didáctica estará en la capacidad de formular modelos

de programación lineal con dos o más variables y su solución mediante el

método gráfico para modelos con dos variables de decisión.

Unidad didáctica

Objetivos específicos

Contenidos Semana

de estudios

Conoce y

comprende la

importancia de

los orígenes de la

investigación

operativa

Introducción y definición de la IO, los orígenes de

la IO, qué es y para quÉ sirve la IO, la toma de

decisiones en nuestros días, las técnicas de la

IO, perfil de un profesional en IO, por qué son

necesarias las técnicas de optimización

Secuencia operativa de un proyecto de IO.

1.ª

Define y

comprende los

fundamentos de

la programación

lineal

Definición de PL, formulación de un modelo de

PL, Ejemplos de aplicación, método gráfico de

solución

2.ª

I

Conoce y

comprende la

importancia de

modelar

problemas

aplicados a

diferentes áreas

de la ciencia.

Aplicación de PL en la gestión de operaciones y

presentación de la solución mediante software

(por ejemplo : gestión de operaciones de

producción, compra, distribución, mezcla, entre

otros)

2.ª

7. Contenidos

26


II Unidad didáctica

REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA DEL MODELO LINEAL Y EL MÉTODO

SIMPLEX

Objetivo general

Al finalizar la presente unidad didáctica, usted estará en la capacidad de reconocer la

importancia de representar problemas reales en términos matemáticos. Así como

conocer y aplicar el algoritmo Simplex para modelos con más de dos variables de

decisión en la solución de problemas de optimización.

Unidad didáctica


Contenidos Semana

de estudios

Conoce y aplica la

representación

matemática de un modelo

lineal

Forma algebraica, forma matricial, solución

básica, interpretación geométrica, cantidad

máxima de soluciones básicas, búsqueda de

la solución factible óptima, interpretación de

las variables de holgura, exceso.

3.ª

II

Comprende la importancia

del algoritmo Simplex en

la solución de problemas

de programación lineal

Representación matemática, solución inicial

básica factible, la condición de optimalidad,

la condición de factibilidad, el algoritmo

Simplex, representación tabular, ejemplos.

Dualidad y análisis de sensibilidad (cambios

sistemáticos en los coeficientes de la

función objetivo y cambios sistemáticos en

las constantes del lado derecho.

4.ª


27

III Unidad didáctica

APLICACIONES ESPECIALES DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL

Objetivo general Al finalizar esta unidad didáctica estará en capacidad de reconocer la importancia de

solucionar problemas especiales de la programación lineal como son transporte y

asignación mediante operaciones elementales.

Unidad didáctica Objetivos específicos Contenidos Semana de estudios

III

Comprende y explica la definición del modelo de transporte y la aplicación del algoritmo.

Definición del modelo de transporte, el algoritmo de transporte, aplicación a problemas reales, solución del problema de transporte siguiendo los siguientes pasos: 1.º la determinación de la solución inicial, 2.º el método UV.

5.ª

Comprende y explica la definición del modelo de transporte y la aplicación del algoritmo.

Definición del modelo de asignación, el Algoritmo de Asignación, aplicación a problemas reales, solución del problemas de asignación: Método húngaro

6.ª

28


IV Unidad didáctica

TÓPICOS AVANZADOS EN PROGRAMACIÓN LINEAL TALES COMO: PROGRAMACIÓN POR OBJETIVOS Y PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA

Objetivo general

Al finalizar esta unidad didáctica estará en capacidad de comprender la importancia de

resolver modelos de múltiples objetivos y convertir los objetivos múltiples originales en

una sola meta y además trataremos programas lineales en los cuales algunas o todas las

variables de decisión están restringidas a valores enteros.

Unidad didáctica Objetivos específicos Contenidos Semana de estudios

Comprende y explica los conceptos básicos de la programación por objetivos

Definición y formulación de programación por metas, conceptos básicos y solución haciendo uso del Lindo

7º

IV Comprende y explica los conceptos básicos de la programación lineal entera.

Definición y formulación de programación lineal entera, enfoque gráfico, problemas con el redondeo, solución a través del método de ramificación y acotamiento.

8º


29

• Bibliografía básica Es el presente texto, material de estudio obligatorio. Su lectura y comprensión es

imprescindible para lograr los objetivos del curso.

• Bibliografía complementaria Son textos adicionales de lectura no obligatoria

MATHUR, Kamlesh y Daniel SOLOW. Investigación de Operaciones, El arte de la

toma de decisiones. Editorial Prentice-Hall Hispanoamericana S:A. 977 páginas.

Desarrolla conceptos relacionados con la claridad, el orden y la precisión en el

área de construcción de modelos. Constituye un material de apoyo de primer

orden, por su forma didáctica y enfoque teórico-práctico de los temas

desarrollados.

Enlaces de Internet Son direcciones electrónicas (direcciones de Internet) que contienen información

relevante que darán soporte a las diferentes unidades didácticas. En el Campus

virtual del curso encontrará los enlaces por semana de estudio.

8. Fuentes de información

30


Autoevaluativas

Son actividades sugeridas que usted encontrará al final de cada unidad

didáctica del presente texto. No son de entrega obligatoria: estas actividades sirven

para reforzar los conocimientos o competencias que usted debió haber logrado en sus

semanas de estudio.

Lectura de textos de acuerdo al tópico desarrollado.

Ejercicios de ampliación y complementación de enunciados y

autocomprobación de lo aprendido.

Trabajo académico Su cumplimiento en cuanto al desarrollo adecuado y entrega oportuna es de

carácter obligatorio, es decir, según lo programado en el Aula virtual. Usted debe

desarrollar el trabajo asignado bajo este rubro teniendo en cuenta la fecha límite para

la presentación, pudiendo antes del plazo, consultar con el docente.

Visite desde su Aula virtual, accediendo al espacio llamado Materiales del

curso, el espacio denominado Trabajo académico. En él encontrará las

especificaciones del trabajo a desarrollar y los detalles pertinentes que necesitará

conocer para realizarlo.

.

9. Actividades


31

Dada la naturaleza del curso, es muy importante su participación activa en el

proceso de aprendizaje. Por ello, se define en este acápite los criterios de evaluación:

• Exámenes Examen es la evaluación escrita del presente curso, se evalúa con escala

vigesimal y se rendirán en las fechas señala en el siguiente cuadro.

Exámenes Semana de estudios

Examen parcial

Examen final

Examen sustitutorio

Cuarta

Octava

Dieciocho

La nota mínima aprobatoria de todos los exámenes es de once (11).

Es importante resaltar que la calificación obtenida en el Examen sustitutorio

reemplazará a la nota del Examen parcial o del Examen final. Usted podrá

acceder al examen sustitutorio si no ha sido evaluado en el examen parcial o en

el examen final, ha desaprobado alguno de ellos o desea mejorar su promedio.

• Trabajo académico Son los trabajos que usted entregará obligatoriamente, y constituyen un requisito

indispensable para aprobar el curso.

El desarrollo de algunos trabajos académicos requiere trabajo en grupo, en otros

casos el desarrollo será de forma personal.

El examen sustitutorio solo reemplaza uno de los exámenes al

parcial o al final. Bajo ninguna circunstancia la nota del examen

sustitutorio reemplaza las actividades obligatorias o los dos

exámenes antes mencionados o al promedio final.

RECUERDE

10. Evaluación

32


Los trabajos académicos están colocados en el Campus virtual y las

especificaciones de los mismos serán detalladas oportunamente en el foro y en

la sala de conversación, así como también el asesoramiento en su desarrollo.

Forma de evaluación : Permanente. Rubros:

• Examen parcial. (35%)

• Examen final. (35%)

• Actividades Obligatorias (30%)

El Trabajo académico se evaluarán también con escala vigesimal y también la

nota mínima aprobatoria es 11 (once). Toda copia de trabajos de Internet

detectada en las actividades tendrá la nota 00 (cero)


33

Estimado participante:

Para que usted pueda lograr los objetivos de cada unidad didáctica considere

lo siguiente:

Unidad didáctica Objetivo Tiempo

sugerido de estudio

I

Construye a través de los orígenes de la investigación operativa la importancia de la definición y formulación de un modelo de programación lineal, es decir, abstraer un problema real en términos matemáticos.

30 horas

II

Comprende la importancia de la representación matemática del modelo lineal y al algoritmoSimplex en la solución de problemas deprogramación Lineal con más de dos variablesde decisión

20 horas

III Reconoce y comprende la importancia de nuevosalgoritmos para la solución de casos especiales de la Programación Lineal,

20 horas

IV

Comprende la importancia de abordar tópicosavanzados en programación lineal, tales comoprogramación por objetivos y programación linealentera.

20 horas

Con relación a la Guía didáctica

Le recomendamos que lea detenidamente este documento y lo considere una

guía que deberá utilizar en todo su proceso de estudio, consultándolo cada vez que

sea necesario.

11. Orientaciones para el estudio de la asignatura

34


Con relación a las unidades didácticas En este proceso, es indispensable que cuente con un nivel de lectura

comprensiva e interpretativa para lo cual se pone en su consideración las siguientes

pautas:

• Busque las condiciones ambientales más propicias para el estudio, lo que le

facilitará su concentración y su aprendizaje.

• Haga un cronograma de estudio que deberá cumplir en forma sistemática.

• Recuerde que debe interpretar con sus propias palabras los conceptos

presentados por el autor, esto le permitirá una mayor comprensión del tema.

• Resuelva todas las actividades: autoevaluación, prácticas y ejercicios

propuestos.

• Cuide la adecuada presentación de sus trabajos, ya sea de fondo (profundidad,

exactitud y rigurosidad de sus respuestas) como de forma (ortografía, orden).


35

Con relación a las tutorías telemáticas

La comunicación con el docente se realizará a través de la Sala de conferencia,

y en caso de dificultades técnicas, en la Sala de conversación. Antes de comunicarse

con el docente usted deberá preparar:

• Las preguntas de los temas que usted considere de difícil comprensión.

• Comentarios que usted necesita realizarle al docente para profundizar algunos

conocimientos o para consultar los conocimientos que usted considere

conveniente.

Temas sociales (café)

Se le recuerda que debe tener presente estas consideraciones cuando acuda a

la tutoría telemática:

1. Haga primero el intento de solucionar sus inquietudes estudiando con seriedad,

consultando la bibliografía pertinente e intercambiando opiniones con sus

compañeros. Si después de ello persiste su duda, haga preguntas específicas

y no del tema en general. De lo contrario, indicaría que no está haciendo su

mejor esfuerzo para aprender.

2. Formule sus preguntas de forma concreta y precisa. Esto ayudará a que el

tutor esté en mejores condiciones para atenderlo y evitar confusiones

innecesarias.

3. No haga preguntas rebuscadas o que no sean pertinentes al tema. El tiempo

es un recurso valioso para todos.

La tutoría telemática es para resolver asuntos estrictamente académicos.

Si usted necesita que el docente le aclare el puntaje obtenido en alguna

de sus calificaciones, utilice el correo electrónico.

RECUERDE

12. Orientaciones para las tutorías

36


4. Las indicaciones sobre las evaluaciones están dadas en las respectivas

unidades didácticas, por lo que se le sugiere que no haga preguntas referentes

a si las evaluaciones son fáciles o no; qué pasará si usted no aprueba,

etcétera. Estamos para apoyarlo, pero solicite la ayuda en forma necesaria,

clara y oportuna.

5. Respete el horario establecido para la tutoría. Si usted estudia a último minuto,

lo más probable es que no podamos atender sus requerimientos de la misma

forma. Por eso, se le sugiere elaborar y cumplir un horario de actividades con

la finalidad de que esto le ayude a organizarse en su estudio, prácticas y

evaluaciones.

¡Buena suerte!

I Unidad didáctica

Investigación Operativa I

INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Y FUNDAMENTOS DE LA

PROGRAMACIÓN LINEAL

Primera unidad didáctica ● Investigación de Operaciones I

5

1. INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Y FUNDAMENTOS DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL

1.1 Los orígenes de la Investigación Operativa

1.2 ¿Qué es la investigación Operativa?

1.3 La toma de decisiones

1.4 Técnicas de la investigación operativa (IO)

1.5 Perfil profesional en IO

1.6 ¿Por qué son necesarias las técnicas de optimización y análisis?

1.7 Secuencias operativa de un proyecto de IO

1.8 Introducción a la Construcción de Modelos

2. REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA DEL MODELO LINEAL Y EL MÉTODO SIMPLEX 2.1. Definición de Programación Lineal

2.1.1 Conceptos Básicos

2.2. Conjunto Convexo

2.3. Formulación de un problema de programación lineal

2.3.1 Identificación de las variables de decisión.

2.3.2 Identificación de los datos del problema

2.3.3 Identificación de la función Objetivo

2.3.4 Identificación de las restricciones

2.4. Método gráfico o método geométrico de solución

2.4.1 Graficación de ecuaciones y desigualdades lineales

3. APLICACIONES DE PL EN LA GESTIÓN DE OPERACIONES Y PRESENTACIÓN DE LA SOLUCIÓN MEDIANTE SOFTWARE

Esquema de contenidos


6

Objetivo general Al finalizar esta unidad didáctica estará en la capacidad de formular modelos

de programación lineal y su solución mediante el método gráfico para

modelos con dos variables de decisión.

Objetivos específicos Conoce y comprende la importancia de los orígenes de la investigación operativa Define y comprende los fundamentos de la programación lineal Conoce y comprende la importancia de modelar problemas aplicados a diferentes áreas de la ciencia.

Objetivos


7

En este texto guía de Investigación de Operaciones I a partir de nuestra

experiencia en la enseñanza de los métodos cuantitativos aplicados a las diferentes

áreas como son las ingenierías, la industria, la economía, la administración, la

medicina, la Biología, en el campo militar, educación, organizaciones sociales,

etcétera, buscamos que el alumno aprenda el concepto de modelo matemático y, lo

más importante, la construcción de modelos pues sin los modelos matemáticos no

tienen sentido la existencia de paquetes de computación para resolver los modelos.

Desde este punto de vista, nuestra preocupación se centra en enseñar a nuestros

estudiantes cómo construir modelos, aunque es verdad que la construcción de

modelos es un arte que se logra con la práctica.

En este texto va a encontrar cuatro unidades referente al desarrollo del curso,

la primera unidad corresponde a la introducción a la Investigación de operaciones y

fundamentos de la programación lineal; en la segunda unidad desarrollaremos la

representación matemática del modelo lineal y el método Simples; la tercera unidad

corresponde a las aplicaciones especiales de la programación lineal; y por último, la

cuarta unidad corresponde a programación por objetivos y programación lineal entera.

La idea fundamental es que el estudiante se familiarice con el curso para ello

deberá dedicarse con mucho esmero a cada unidad, tanto en lo que respecta a su

teoría como a los ejemplos, y siempre buscar información adicional.

Prólogo


8

Los cambios revolucionarios originaron gran aumento en la división de trabajo y

la separación de las responsabilidades administrativas en las organizaciones. Sin

embargo esta revolución creó nuevos problemas que se presentan hasta la fecha en

muchas empresas. Uno de estos problemas es la tendencia de muchos de los

componentes a convertirse en imperios relativamente autónomos, con sus propias

metas y sistemas de valores. Este tipo de problemas, y la necesidad de encontrar la

mejor forma de resolverlos, proporcionaron el surgimiento de la Investigación de

Operaciones.

La Investigación de Operaciones aspira a determinar la mejor solución (óptima)

para un problema de decisión con la restricción de recursos limitados.

Introducción a la investigación de operaciones (IO)


9

I Unidad didáctica

INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Y FUNDAMENTOS DE

LA PROGRAMACIÓN LINEAL

EL PROBLEMA

1.1. LOS ORÍGENES DE LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA • Antecedentes

– En los siglos XVII y XVIII, Newton, Leibnitz, Bernoulli y Lagrange.

– Los franceses Jean Baptiste-Joseph Fourier esbozó métodos de la actual

programación lineal.

– Von Neumann publicó en 1928 su trabajo «Teoría de Juegos».

– Matemáticas: modelos lineales (Farkas, Minkowski) (s.XIX).

– Estadística: fenómenos de espera (Erlang, Markov) (años 20).

– Economía: Quesnay (s.XVIII), Walras (s.XIX), Von Neumann (años 20).

Cada vez es más difícil asignar los recursos o actividades, de la forma más eficaz

Los recursos son escasos Los sistemas son cada

vez más complejos

Contenidos


10

• El origen de la IO moderna se sitúa en la Segunda Guerra Mundial para resolver problemas de organización militar:

Despliegue de radares, manejo de operaciones de bombardeo, colocación de

minas, etcétera. Y luego con motivo de la revolución industrial, ha ido teniendo

cada vez más importancia dado el crecimiento y complejidad de las nuevas

organizaciones. Actualmente está cobrando especial importancia con el

desarrollo de la informática.

• El éxito de la IO se debe a:

- Progreso teórico: RAND (Dantzig), Princeton (Gomory, Kuhn, Tucker),

Carnegie Institute of Technology (Charnes, Cooper).

- Creación del Método Simplex por George Dantzing, en 1947.

- El desarrollo del computador.

- Gran desarrollo de los ordenadores: aumento de la capacidad de

almacenamiento de datos, incremento de la velocidad de la resolución de

problemas

Sigue habiendo un gran desarrollo, en muchos sectores, con grandes avances

sobre todo en el campo de la Inteligencia Artificial

• En la actualidad existen organizaciones dedicadas al área de IO, en sus dos

niveles: académico y empresarial, estas organizaciones son:

- ORSA, Operations Research Society of American, 1952.

- TIMS, The Institute of management Science, 1953.

- ALIO, Asociación Latinoamérica de IO.

- IFORS, International Federation of Operations Research.


11

- Sociedad Española de Estadística e Investigaciones Operativas (SEIO)

www.cica.es/aliens/seio.

- Association of European O.R. Societies (EURO)

www.ulb.ac.be/euro/euro_welcome.html.

- Institute for O.R. and the Management Sci. (INFORMS) www.informs.org.

- International Federation of O.R. Societies (IFORS) www.ifors.org

1.2. ¿QUÉ ES LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA? Responderemos esta interrogante con algunas definiciones:

Definición de CHURCHMAN, ACKOFF y ARNOFF La investigación de operaciones es la aplicación, por grupos interdisciplinarios, del

método científico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o

sistemas (hombre-máquina), a fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a

los objetivos de la organización.


12

Definición NAMAKFORROSH Es la aplicación del método científico a los problemas de decisión de las empresas y

otras organizaciones, incluyendo el gobierno y la milicia.

Definición LAWRENCE y PASTERNAK, 1998 Un enfoque científico para la toma de decisiones ejecutivas, que consiste en: el arte de

modelar situaciones complejas, la ciencia de desarrollar técnicas de solución para

resolver dichos modelos y la capacidad de comunicar efectivamente los resultados.

Objetivo de la Investigación operativa - Estudiar la asignación óptima de recursos escasos a determinada actividad.

- Evaluar el rendimiento de un sistema con el objeto de mejorarlo.

En conclusión podemos observar que todos coinciden en que la IO es la aplicación del

método científico por un grupo interdisciplinario de personas a la resolución de un

problema con el fin de asignar los recursos o actividades de forma eficaz, en la gestión

y organización de sistemas complejos y el objetivo es ayudar a la toma de decisiones

es decidir mediante estos métodos científicos encontrar el diseño que optimiza el

proceso analizado, generalmente bajo condiciones que implican la utilización de

recursos escasos.

1.3. LA TOMA DE DECISIONES a. Prácticamente todas las decisiones se toman en un ambiente de cierta

incertidumbre. Sin embargo, el grado varía de una certeza relativa a una gran

incertidumbre. En la toma de decisiones existen ciertos riesgos implícitos.

b. La toma de decisión es la respuesta a un problema de evaluar un conjunto de

alternativas. Algunas decisiones tienen una importancia relativa en el desarrollo

de nuestra vida, mientras otras son gravitantes en ella.


13

c. Toda empresa funciona dentro de un mercado con factores competitivos, el

gerente debe tener herramientas cuantitativas para tomar mejores decisiones.

d. Tipos de decisiones

Decisiones bajo condición de certeza

En una situación donde existe certeza, las personas están razonablemente

seguras sobre lo que ocurrirá cuando tomen una decisión, cuentan con

información que se considera confiable y se conocen las relaciones de causa y

efecto.

Decisiones bajo condición de incertidumbre

En una situación de incertidumbre, las personas sólo tienen una base de datos

muy deficiente. No saben si estos son o no confiables y tienen mucha

inseguridad sobre los posibles cambios que pueda sufrir la situación.

Decisiones bajo condición de riesgo

En una situación de riesgo, quizá se cuente con información basada en hechos,

pero la misma puede resultar incompleta. Para mejorar la toma de decisiones se

puede estimar las probabilidades objetivas de un resultado, al utilizar, por

ejemplo modelos matemáticos. Por otra parte se puede usar la probabilidad

subjetiva, basada en el juicio y la experiencia.

Base para la toma de decisiones

Bases cuantitativas: es la habilidad de emplear técnicas presentadas como

métodos cuantitativos o Investigación de Operaciones, como puede ser la

programación lineal, teoría de líneas de espera y modelos de inventarios.


14

Bases cualitativas: existen ciertas cualidades que hacen que los tomadores de

decisión sean buenos o malos. Las cualidades que tienen mayor importancia a la

hora de analizar al tomador de las decisiones son:

i. Información.

ii. Conocimientos.

iii. Experiencia.

iv. Análisis.

v. Juicio.

e. Clases de decisiones

Decisiones programadas

Son aquellas que se toman frecuentemente, es decir son repetitivas y se

convierte en una rutina tomarlas.

Decisiones no programadas

Son decisiones que se toman en problemas o situaciones que se presentan con

poca frecuencia

1.4 TÉCNICAS DE LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA (I .O) Las técnicas utilizadas para resolver problemas y apoyar a la toma de decisiones son

variadas, dependiendo, entre otros factores de la naturaleza de los datos. Se utilizan

modelos matemáticos

Para solucionar modelos cuantitativos, podemos hacer uso de las siguientes técnicas

de optimización:

- Determinísticos. Los casos determinísticos se presentan cuando hay certeza

sobre los parámetros, que son establecidos y fijados de antemano y en

consecuencia nos conducen a resultados ciertos. En estos casos se recurren a

modelos matemáticos de optimización.


15

- Probabilistico. Cuando no existe certeza sobre todos los datos, y algunos

parámetros o elementos no se conocen. Parten de datos estadísticos y nos

conducen a resultados probables. En estos casos se recurren a modelos

matemáticos para proyectar y extrapolar, predecir.

Dentro de las técnicas de optimización tanto en determinísticos como probabilísticos

señalaremos los siguientes:

A. Modelos determinísticos

• Programación matemática

• Programación lineal

• Programación entera

• Programación dinámica

• Programación no lineal

• Programación multiobjetivo

• Modelos de transporte

• Modelos de redes

B. Modelos probabilísticos

• Programación estocástica

• Gestión de inventarios

• Fenómenos de espera (colas)

• Teoría de juegos

• Simulación

1.5 PERFIL PROFESIONAL EN IO Un profesional en IO debe tener una buena formación en cuatro áreas:

- Conocimientos en las áreas de la IO.

- Conocimientos de las técnicas cuantitativas y los softwares correspondientes.

- Conocimiento especializado en un área diferente de la IO, esto le dará al

profesional una competencia especial de aplicar IO.

- Conocimiento básico en desarrollar Sistemas de Soporte de Decisiones, para la

fase de implementación de la aplicación.


16

1.6. ¿POR QUÉ SON N ECESARIAS LAS TÉCNIC AS DE OPTIMIZACIÓN Y ANÁLISIS?

El interés por resolver un problema del mundo real nos lleva a la construcción o

formulación de modelos, el proceso de tomar un problema real y abstraerlo en

términos matemáticos nos conduce al uso de una de las técnicas de optimización y

análisis mencionados en 1.5., que son muy importantes y necesarias pues ellas nos

permiten resolver problemas complejos y diversos aplicados a la ingeniería, economía,

minería, transporte, medio ambiente, medicina, en el campo militar, en las

organizaciones sociales, entre otros.

Las técnicas de análisis permiten obtener información muy útil para interpretación.

1.7. SECUENCIAS OPERATIVAS DE UN PROYECTO DE IO - A lo largo de todo el proceso debe haber una interacción constante entre el

analista y el cliente

- El proceso de aplicar métodos cuantitativos requiere una sucesión sistemática de

pasos estos son:

Definición del problema

Desarrollo de un modelo matemático y recolección de

datos

Resolución del Modelo Matemático

Solución

Modelo Modificado ¿Es válida la solución

Implementación

no

Sí


17

1.7.1. Definición del problema El primer paso es identificar, comprender y describir en términos precisos el problema

que la organización enfrenta. En algunos casos, el problema está bien definido y es

claro.

En otras situaciones, el problema puede no estar bien definido y puede requerir

bastantes discusiones y consenso entre los miembros del equipo de proyectos.

1.7.2. Desarrollo de un modelo matemático y recolección de datos Después de que el problema esté claramente definido y comprendido, el siguiente

paso es expresar el problema en una forma matemática, esto es, formular un modelo

matemático. Una vez construido el modelo, existen muchas técnicas matemáticas

disponibles para obtener la mejor solución, a pesar del vasto número de alternativas o

de la complejidad implicada.

Variable de decisión/v ariable/variable controlable: Es una cantidad cuyo valor se

puede controlar y es necesario determinar para solucionar un problema de decisión.

Función objetivo: El objetivo global de un problema de decisión expresado en una

forma matemática en términos de los datos y de las variables de decisión.

Limitación: Es una restricción sobre los valores de variables en un modelo

matemático típicamente impuesto por condición externa.

Datos/ parámetros incontrolables: Información conocida en un problema de decisión

que no se puede controlar pero que se puede usar para determinar la solución

1.7.3. Resolución del modelo matemático Una vez formulado un modelo matemático del problema, el siguiente paso es resolver

el modelo, es decir, obtener valores numéricos para la variable de decisión. Es decir,

una vez que identifique el tipo de modelo que tiene, podrá elegir una técnica de

administración apropiada para resolverlo. Estas técnicas pertenecen a una de dos

categorías:


18

a) Métodos óptimos, que producen los mejores valores para las variables de

decisión, es decir, aquellos valores que satisfacen simultáneamente todas las

limitaciones y proporcionan el mejor valor para la función objetivo.

b) Métodos heurísticos , que producen valores para las variables que satisfacen

todas las limitaciones. Aunque no necesariamente óptimos, estos valores proporcionan

un valor aceptable para la función objetivo.

En contraste con los métodos óptimos, los métodos heurísticos son

computacionalmente más eficientes y por tanto se usan cuando la obtención de

soluciones óptimas lleva demasiado tiempo o es imposible porque el modelo es

demasiado complejo.

1.7.4. Validación, instrumentación y control de la solución Después de resolver el modelo matemático, es extremadamente importante validar la

solución, es decir, revisar la solución cuidadosamente para ver que los valores tienen

sentido y que las decisiones resultantes puedan llevarse a cabo. Algunas de las

razones para hacer esto son:

- El modelo matemático puede no haber captado todas las limitaciones del

problema real.

- Ciertos aspectos del problema pueden haberse pasado por alto, omitido

deliberadamente o simplificado.

- Los datos pueden haberse estimado o registrado incorrectamente, tal vez al

introducirlos a la computadora.

1.7.5. Modificación del modelo Si durante el paso de validación se encuentra que la solución no puede llevarse a

cabo, se pueden identificar las limitaciones que fueron omitidas durante la formulación

del problema original o puede uno darse cuenta de que algunas de las limitaciones

originales eran incorrectas y necesitan modificarse. En estos casos, debe regresarse a

la etapa de formulación del problema y hacerse cuidadosamente las modificaciones

apropiadas para reflejar con más exactitud el problema real.


19

1.8. INTRODUCCIÓN A LA CONSTRUCCIÓN DE MODELOS

1.8.1. El modelado Es una ciencia de análisis de relaciones, aplicación de algoritmos de solución y a la

vez un arte: visión de la realidad, estilo, elegancia, simplicidad, uso creativo de las

herramientas y experiencia

1.8.2. Modelo Representación simplificada de la realidad, que facilita su comprensión y el estudio de

su comportamiento. También podemos decir que un modelo es una abstracción

selectiva de la realidad que:

• Debe mantener un equilibrio entre sencillez y capacidad de representación

• Modelo matemático: modelo expresado en términos matemáticos:

- Hace más claras la estructura y relaciones.

- Facilita el uso de técnicas matemáticas y ordenadores.

- A veces no es aplicable.

• Los modelos pueden ser:

- Modelos físicos, modelos de aviones a escala, etc.

- Modelos análogos, mapa de carreteras, etc.

- Modelos simbólicos, modelos cuantitativos (determinísticos, probabilísticos

o estocásticos).

1.8.3. Construcción del modelo

• Traducción del problema a términos matemáticos

- Objetivos: función objetivo

- Alternativas: variables de decisión

- Limitaciones del sistema: restricciones

• Pero a veces las relaciones matemáticas son demasiado complejas

- Heurísticos

- Simulación


20

1.8.4. Modelado matemático Paso 1. Identificar las variables de decisión ¿Sobre qué tengo control?

¿Qué es lo que hay que decidir?

¿Cuál sería una respuesta válida en este caso?

Paso 2. Identificar la función objetivo ¿Qué pretendemos conseguir?

Si yo fuese el jefe de la empresa, ¿qué me interesaría más?

Paso 3. Identificar las restricciones o factores que limitan la decisión Recursos disponibles (trabajadores, máquinas, material)

Fechas límite

Restricciones por la naturaleza de las variables (no negatividad, enteras,

binarias)

Restricciones por la naturaleza del problema

Paso 4. Traducción de los elementos básicos a un modelo matemático. 1.8.5. Resolución del modelo Paso 1. Elegir la técnica de resolución adecuada

Técnicas existentes, modificación, creación o heurísticos.

Paso 2. Generar las soluciones del modelo

Programas de ordenador, hojas de cálculo.

Paso 3. Comprobar/validar los resultados

Probar la solución en el entorno real

Paso 4. Si los resultados son inaceptables, revisar el modelo matemático

Estudiar hipótesis, comprobar exactitud de datos, relajar o endurecer

aproximaciones, revisar restricciones


21

Paso 5. Realizar análisis de sensibilidad

Analizar adaptaciones en la solución propuesta frente a posibles cambios

1.8.6. Guía general para la formulación de modelos Identificación de los elementos básicos. Expresar en palabras:

• Datos del problema

- Factores que no son susceptibles de cambio

• Variables de decisión

- Variables sobre las que se tiene control

• Restricciones

- Causas por las que la decisión está limitada

• Función objetivo

- Medida del rendimiento que se quiere optimizar

- Traducción de los elementos básicos a expresiones matemáticas

Serie de problemas 1.0 1. Ampliar los orígenes de la IO

2. ¿Qué es y para qué sirve la IO? Dar algunas otras definiciones.

3. Investigar sobre la toma de decisiones en nuestros días

4. Breves definiciones sobre las diferentes técnicas de la IO


22

2. FUNDAMENTOS DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL (P. L.)

La programación lineal utiliza un modelo matemático para representar el problema que

se estudia. La palabra lineal en el nombre se refiere a la forma de las expresiones

matemáticas de este modelo. Programación no se refiere a la programación en

computadora; más bien es, en esencia, un sinónimo de planear. Así, la programación

lineal significa planeación de actividades representada por un modelo matemático

lineal.

El útil desarrollo actual de la PL para los negocios y la industria, se atribuye al doctor

George D. Dantzig, un matemático que presentó su método Simplex, como un

procedimiento sistemático para resolver un problema de programación lineal. Durante

el año de 1947, George Dantzig (con Marshall Wood y sus asociados), se ocupó de

un proyecto en la Fuerza Aérea de los Estados Unidos, el cual dio por resultado la

búsqueda de una técnica capaz de resolver los problemas de planeación militar. La

esencia de esas investigaciones consiste en considerar las interrelaciones entre las

actividades de una gran organización como un modelo de PL, y determinar el

programa de optimización minimizando (o maximizando) una función objetivo lineal.

Dantzig indicó que ese nuevo enfoque tendría amplias aplicaciones en los problemas

de los negocios, como ocurre actualmente.

La programación Lineal se usa en las siguientes áreas

-Programación de refinerías de petróleo

- Distribución de productos

- Planeamiento de la producción

- Estudio de mercados

- Planeamiento de inversiones

- Problemas de transporte

- Problemas de dietas, etcétera


23

2.1. DEFINICIÓN DE PROGRAMACIÓN LINEAL

La programación lineal es una técnica matemática que nos permite determinar la mejor

asignación de los recursos limitados de la empresa de tal manera que la función

objetivo debe maximizarse o minimizarse cuando se consideran un conjunto de

restricciones.

2.1.1. Conceptos básicos

Para resolver problemas de Investigación de Operaciones por medio de PL debemos

primero explicar las características comunes de todos los modelos de PL y las

suposiciones matemáticas que se aplican a ello:

• Función Objetivo. La programación lineal es un proceso de optimización. Con

una sola función objetivo la cual se expresa matemáticamente lo que se intenta

maximizar (por ejemplo las ganancias o utilidades) o minimizar (por ejemplo, los

costos o el desperdicio) en cada caso.

• Variable de decisión. Representa aquellas selecciones que están bajo el control

de la persona que toma las decisiones. Resolviendo el problema se obtienen sus

valores óptimos.

Las variables pueden ser endógenas (aquellas que el modelo trata de explicar y

se conocen también como variables dependientes) o exógenas (aquellas fuerzas

exteriores al modelo y cuyas magnitudes intervienen como datos y también se

les denomina variables independientes). Estas dos expresiones tienen sentido

únicamente dentro del contexto de un modelo específico, pues una variable

endógena en un modelo dado, puede muy bien ser exógena en otro.

Por ejemplo, una variable de decisión podría ser el número de unidades de un

producto que se deben fabricar en el siguiente mes.

La programación lineal se basa en la suposición de que las variables de decisión

son continuas.


24

• Restricciones. Son limitaciones que restringen las selecciones permisibles para

las variables de decisión. Cada limitación puede expresarse matemáticamente en

cualquiera de estas tres formas:

- Restricción menor ig ual que ( ≤ ) impone un limite superior a cierta

función de las variables de decisión. Por ejemplo, el número máximo de

clientes a los cuales es posible atender.

- Restricción mayor igual que (≥ ) impone un limite inferior a cierta función

de las variables de decisión. Por ejemplo, la producción de cierto producto

debe exceder o igualar a la magnitud de la demanda.

- Restricción igual que (= ) Por ejemplo, que el inventario final siempre

debe ser igual al inventario inicial más la producción menos las ventas.

• Región factible. Todo problema de PL debe tener una o varias restricciones.

Consideradas en conjunto, esas restricciones definen una región factible, la cual

representa todas las combinaciones permisibles de las variables de decisión. En

la mayor parte de los casos la región factible contiene un número muy grande de

soluciones posibles. La meta de la persona que toma decisiones consiste en

encontrar la mejor solución.

• Parámetro. La función objetivo y las restricciones son funciones de las variables

de decisión y los parámetros. Un parámetro, también llamado coeficiente o

constante se conocen con certidumbre. Por ejemplo, un programador de

computadoras puede saber de antemano que la ejecución de un programa de

software requerirá tres horas, ni más ni menos.

• Linealidad. La función objetivo y las ecuaciones de restricción son lineales. La

linealidad implica proporcionalidad y aditividad; no puede haber en ella productos

ni potencias (por ejemplo, 31 2 110 ,x x x ) de las variables de decisión.

• No negatividad. Significa que las variables de decisión deben ser positivas o

cero. Por ejemplo, una empresa que fabrica autos jamás podrá producir un

número negativo de autos.


25

2.2. CONJUNTO CONVEXO

Un conjunto de puntos Xi del espacio n – dimensional En forman un conjunto convexo,

si dado 2 puntos X1 y X2 del conjunto Xi, entonces todos los puntos contenidos en el

segmento de recta ( n dimensional ) que se obtiene al unir X1 y X2 están en Xi.

También puede definirse, un conjunto convexo, como aquel que tiene la propiedad de

que, para cualquier par de puntos pertenecientes al mismo, el segmento que los une

también se encuentra dentro del conjunto.

Obviamente, una línea recta se ajusta a esta definición y constituye un conjunto

convexo. Por convención se considera que un punto único, también es un conjunto

convexo.

conjuntos convexos (a) y (b)

conjuntos no convexos, c y d

El conjunto convexo (c.c.) está dado por la intersección de los planos que forman

todas las desigualdades y ecuaciones que conforman un modelo, siempre y cuando no

tengan bordes dentados u orificios.

j a c d •f

h

l

m

kc)

d)


26

En general, para ser convexo, el conjunto de puntos no debe contener orificios, y su

borde no debe ser dentado en ningún lugar.

Teorema 1: el conjunto de todas las soluciones posibles al problema de P.L., es un

conjunto convexo.

Teorema 2: la función objetivo alcanza su máximo o mínimo en un punto extremo del

conjunto convexo, generado por el conjunto de soluciones factibles al problema de PL.

Por lo expuesto tendremos únicamente que investigar los puntos extremos del

polígono convexo y buscar aquel punto que proporcione el mayor (menor) valor para la

función objetivo y obtendremos así la solución buscada.

Graficación de ecuaciones y desigualdades lineales Cuando se grafica una ecuación, se genera una recta sobre el eje de coordenadas.

Las desigualdades generan un plano al graficarlo sobre el eje de coordenadas.

Pasos para la graficación de una desigualdad:

a. Tomar de la desigualdad, la parte de la ecuación, para determinar dos puntos

que permitan graficar una recta, que sería el límite del plano.

En el caso de que en la ecuación el término constante fuese cero, la recta pasa

por la intercepción de los ejes. Por lo tanto, uno de los puntos sería (0,0).

El otro punto se obtendría dando un valor diferente de cero a una de las

variables.

Si la constante fuese diferente de cero, se procede de la siguiente manera:

Para el primer punto, se hace cero una de las variables y se despeja la otra

variable. Para el segundo punto, se hace cero la otra variable, y se despeja para la

variable que queda pendiente.


27

b. Determinación del plano que da la desigualdad.

Se escoge un punto de prueba, debajo o sobre la recta y se verifica si satisface

la desigualdad.

Si satisface la desigualdad, el plano se forma para el lado que se encuentra el

punto de prueba escogido.

Si no satisface la desigualdad, el plano se forma para el lado contrario a donde

se encuentra el punto de prueba con respecto a la recta o límite del plano.

2.3. FORMULACIÓN DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL

2.3.1. Identificación de las variables de decisión El primer paso en la formulación del problema es identificar las variables de decisión, a

menudo simplemente llamadas variables, una vez determinados, proporcionan la

solución al problema.

Característica clave

Pautas generales para identificar variables de decisión

¿Qué elementos afectan los costos y/o ganancias (en genera, el objetivo global)

¿Qué elementos puede elegir y/o controlar libremente?

¿Qué decisiones tiene que tomar?

2.3.2. Identificación de los datos del problema La finalidad de resolver un problema es proporcionar los valores reales para las

variables de decisión que ha identificado. Se requiere conocer cierta información para

ayudar a determinar esos valores


28

2.3.3. Identificación de la función objetivo Expresar el objetivo organizacional global en forma matemática usando las variables

de decisión y los datos conocidos del problema. La función objetivo se crea en tres

etapas:

• Establecer la función objetivo en forma verbal.

• Donde sea adecuado descomponer el objetivo (por ejemplo, suma, diferencia).

• Expresar las cantidades individuales matemáticamente usando las variables de

decisión y otros datos conocidos en el problema

2.3.4. Identificación de las restricciones Las restricciones son condiciones que las variables de decisión deben satisfacer para

constituir una solución aceptable. Las restricciones por lo general surgen de:

• Limitaciones físicas (por ejemplo, el número limitado de horas de trabajo)

• Restricciones impuestas por la administración ( por ejemplo, demanda del

producto)

• Restricciones externas (por ejemplo, la empresa no puede vender más de cierta

cantidad en el mercado)

• Relaciones implicadas entre variables (por ejemplo, en un problema de inversión

la proporción de dinero a invertir debe sumar 1.

Modelo de Programación Lineal

1 1 2 2 3 3 o ... ........( )n nMax Min Z c x c x c x c x α= + + + +

Sujeto a las restricciones estructurales

1 1 2 2 3 3 ... ( 1, 2,... );.........( )i i i in n ia x a x a x a x b i m β⎧≤⎫⎪ ⎪+ + + + = =⎨ ⎬⎪ ⎪≥⎭⎩

Y las restricciones de no negatividad

0; ( 1,2,3,..., ).............( )jx j n γ≥ =


29

Observaciones

i) , , y ij i ja b c son valores que se asume conocidos

ii) jx son variables de decisión que se desea hallar, de tal manera que optimicen (α )

iii) la ecuación (α ) se conoce como función objetivo

iv) la ecuación ( β ) se conoce como conjunto de restricciones

v) la ecuación (γ ) se conoce como variables de decisión

2.4. MÉTODO GRÁFICO O MÉTODO GEOMÉTRICO DE SOLUCIÓN Es una técnica que permite encontrar la solución de modelos muy sencillos con dos

variables de decisión y a pesar de que casi todos los problemas reales tienen más de

dos variables de decisión. Sirve en realidad para proporcionar una base intuitiva que

facilita el aprendizaje de soluciones de modelos más complejos por otros métodos.

Objetivo: establecer la naturaleza de un problema de programación lineal,

introduciendo la terminología asociada con el y resolverlo geométricamente.

2.4.1. Graficación de ecuaciones y desigualdades lineales Cuando se grafica una ecuación, se genera una recta sobre el eje de coordenadas.

Las desigualdades generan un plano, al graficarlo sobre el eje de coordenadas.

Pasos para la graficación de una desigualdad:

a. Tomar de la desigualdad, la parte de la ecuación, para determinar dos puntos

que permitan graficar una recta, que sería el límite del plano.

En el caso de que la ecuación el término constante fuese cero, la recta pasa por

la intercepción de los ejes. Por lo tanto, uno de los puntos sería (0,0).

El otro punto se obtendría dando un valor diferente de cero a una de las

variables.


30

Si la constante fuese diferente de cero, se procede de la siguiente manera: Para el primer punto se hace cero una de las variables y se despeja la otra

variable. Para el segundo punto se hace cero la otra variable, y se despeja para la variable

que queda pendiente.

b. Determinación del plano que da la desigualdad

Se escoge un punto de prueba, debajo o sobre la recta y se verifica si satisface

la desigualdad.

Si satisface la desigualdad, el plano se forma para el lado que se encuentra el

punto de prueba escogido.

Si no satisface la desigualdad, el plano se forma para el lado contrario donde se

encuentra el punto de prueba con respecto a la recta o límite del plano.

Ejemplos

A. REGION FACTIBLE NO ACOTADA a. Formulación de dieta Una dieta debe contener al menos 16 unidades de

carbohidratos y 20 de proteínas. El alimento A contiene 2 unidades de

carbohidratos y 4 de proteínas; el alimento B contiene 2 unidades de

carbohidratos y 1 de proteínas. Si el alimento A cuesta $1.20 por unidad y el B

$0.80 por unidad, ¿Cuántas unidades de cada alimento deben comprarse para

minimizar el costo?¿cuál es el costo mínimo?

Solución

Carbohidratos Proteínas Costos

Alimento A 2 4 1.2

Alimento B 2 1 0.80

Rendimiento 16 20


31

Variables de decisión Sea X1 en N.º de unidades de alimentos A comprar

Sea X2 en N.º de unidades de alimentos B comprar

F.O costo min Z = 1.2 X1+0.8 X2

Sa.

2X1+2X2 >= 16 requerimento mínimo de carbohidratos

4X1+1X2 >=20 requerimento mínimo de proteínas

X1, X2 >=0

Tabulando para cada una de las rectas, pues usted sabe que por dos puntos pasa una

recta

L1: 2X1+2X2 = 16

X1 X2

0 8 (0,8)

8 0 (8,0)

L2: 4X1+1X2 =20

X1 X2

0 20 (0,20)

5 0 (5,0)


32

Punto L1 ∩ L2

2X1+2X2 = 16 resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene: X1=4 X2=4 4X1+1X2 =20

Reemplazando en Z = 1.2 X1+0.8 X2

En el punto (0,20) Z= 1.2 (0)+0.8 (20) = 16

En el punto (4,4) 1.2 (4)+0.8 (4) =8

En el punto (8,0) 1.2 (8)+0.8 (0) = 9.6

Respuesta: Z min. Óptimo = 8 con un plan de compra: X1: 4 unidades del alimento A X2: 4 unidades del alimento B

8

85

20

Región Factible no acotada

L1: 2X1+2X2 = 16

L2: 4X1+1X2 >=20

(0,0)


33

Observaciones

• Asumamos que el modelo matemático del problema anterior (1) se desea

maximizar, es decir:

F.O max Z = 1.2 X1+0.8 X2

Sa.

2X1+2X2 >= 16 requerimento mínimo de carbohidratos

4X1+1X2 >=20 requerimento mínimo de proteínas

X1, X2 >=0

• La gráfica sigue siendo la misma y los puntos también

• Decir que el valor máximo de Z = 1.2 X1+0.8 X2 es en el punto (0,20) con z=16 es

completamente falso pues otro punto en la región factible no acotada como por

ejemplo en: (8,20) nos da un z=25.6, y en (100,0) nos da un Z=120, es claro que

cuando (X1,X2 ) aumentan o toman otros valores dentro de la región factible no

acotada, también lo hace Z. Por la tanto, ningún punto factible maximiza Z, de

modo que no existe solución optima. En este caso decimos que la solución es

«no acotada»

B. SOLUCIÓN MÚLTIPLE

b. Resolver gráficamente

1 2max z x x= +

s.a

1 2

1

2

1 2

412

, 0

x xxxx x

+ ≤≥≤

≥

Solución:

1 1 2: 4l x x+ = tabulamos si : 1 20 4x x= → = tenemos (0,4)

2 10 4x x= → = tenemos (4,0) 1 1 2 2: 1 : 2l x l x= =


34

0 1 2 3 40

1

2x2

x1

: 1 x1 + 1 x2 = 4: 1 x1 + 0 x2 = 1

: 0 x1 + 1 x2 = 2

Payoff: 1 x1 + 1 x2 = 4

Optimal Decisions(x1,x2): ( 2, 2) ( 4, 0): 1x1 + 1x2 < = 4: 1x1 + 0x2 > = 1: 0x1 + 1x2 < = 2

Observamos que tiene soluciones óptimas alternativas en el punto (2,2) = ( 1 2,x x ) y

(4,0)= 1 2( , )x x para los cuales Z máximo = 4

C. REGIÓN FACTIBLE VACÍA

El ejemplo siguiente ilustra una situación en la que no que existe solución óptima

c. 1 2max z x x= +

s.a.

1 2

1 2

1 2

42 2

, 0

x xx xx x

+ ≥+ ≤

≥


35

0 10 20 30 400

6

12

18

: 1 x1 + 1 x2 = 4

: 1 x1 + 2 x2 = 2

Payoff: 1 x1 + 1 x2 = 0

: 1x1 + 1x2 >= 4: 1x1 + 2x2 <= 2

Un punto factible 1 2( , )x x debe tener 1 20, 0x x≥ ≥ , estar sobre la recta superior o por

encima de 1 1 2: 4l x x+ ≥ y sobre o por debajo de la recta inferior 2 1 2: 2 2l x x+ ≤ . Sin

embargo, no existen tales puntos. De aquí que la región factible sea vacía y, por lo

tanto, este problema no tenga solución óptima.

Siempre que la región factible de un problema de P.L. sea vacía, no existe solución

óptima.

D. SOLUCIÓN ÓPTIMA ÚNICA

1 2max z x x= +

s.a

1 2

1 2

1 2

3 2 62 4 8

, 0

x xx x

x x

+ ≤+ ≤≥

Solución: por dos puntos pasa una recta entonces:

1 1 2: 3 2 6l x x+ = Tabulando si: 1 20 3x x= → = tenemos (0,3)

2 10 2x x= → = Tenemos (4,0)


36

2 1 2: 2 4 8l x x+ = Tabulando si: 1 20 2x x= → = tenemos (0,3)

2 10 4x x= → = Tenemos (4,0)

Resolviendo el sistema de ecuaciones 1 2l l∩ es decir:

1 1 2: 3 2 6l x x+ = y 2 1 2: 2 4 8l x x+ = se obtiene 1 21 y 1.5x x= =

0 100

6

: 3.0 x1 + 2.0 x2 = 6.0

: 2.0 x1 + 4.0 x2 = 8.0

Payoff: 1.0 x1 + 1.0 x2 = 2.5

Optimal Decisions(x1,x2): ( 1.0, 1.5): 3.0x1 + 2.0x2 <= 6.0: 2.0x1 + 4.0x2 <= 8.0

Observación: Payoff = función objetivo

E. Un fabricante de juguetes prepara un programa de producción para dos nuevos

juguetes, cosas y cositas, utilizando la información concerniente a sus tiempos de

producción dados en la tabla que sigue. Por ejemplo, cada cosa requiere de 2 horas

en la máquina A. Las horas disponibles empleadas por semana son: Para operación

de la máquina A, 70 horas; para B, 40 horas; para terminado, 90 horas. Si las

utilidades en cada cosa y cada cosita son de $4 y $6, respectivamente, ¿Cuántos de


37

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10

6

12

18

24

30

36

42

48

54

: 2 x1 + 1 x2 = 70

: 1 x1 + 1 x2 = 40

: 1 x1 + 3 x2 = 90

Payoff: 4 x1 + 6 x2 = 210

Optimal Decisions(x1,x2): ( 15, 25): 2x1 + 1x2 <= 70: 1x1 + 1x2 <= 40: 1x1 + 3x2 <= 90

cada juguete debe producir por semana con el fin de maximizar la utilidad? ¿Cuál

sería la utilidad máxima?

Máquina

A

Máquina B Terminado

Cosa 2 horas 1 hora 1 hora

Cosita 1 hora 1 hora 3 horas

Variables de decisión:

Sea: X1 el numero de juguetes a producir del juguete cosa

X2 el número de juguetes a producir del juguete cosita

Maximizar Z = 4 X1 + 6 x2

s.a 2 X1 + 1 x2 <= 70

1 X1 + 1 x2 <= 40

1 X1 + 3 x2 <= 90

Z optimo 210

Respuesta: plan de producción x1=15 juguetes cositas y X2 =25 juguetes cosas

Utilidad máxima= $210


38

EJEMPLO 12:

I

II

Requerimiento

mínimo A 2 2 80 B 6 2 120 C 4 12 240

Costo $4 $5 Variables de Decisión: Sea: X1 El números de bolsas a comprar mezcla I X2 El números de bolsas a comprar mezcla II f.o. Min C= 4X1 + 5X2 s.a.

2X1 + 2X2 ≥ 80 6X1 + 2X2 ≥ 120 4X1 + 12X2 ≥ 240

Xi ≥0 i = 1,2 Solución: L1: 2X1 + 2X2 = 80

X1 X2 0 40

40 0

L2: 6X1 + 2X2 = 120

X1 X2

0 60 20 0

L3: 4X1 + 12X2 = 240

X1 X2 0 20

60 0

Nutriente

Mezcla

(0, 40) (40, 0)

(0, 60) (20, 0)

(0, 20) (60, 0)


39

Gráfico: Pto B: L2 ∩ L1

6X1 + 2X2 = 120 2X1 + 2X2 = 80 3X1 + X2 = 60 -X1 - X2 = -40

2X1 = 20 X1 = 10 X2 = 30

∴B (10,30)

(0, 60)

(0, 40)

(0, 20)

(20, 0) (60, 0) (40, 0)

L1: 2X1 + 2X2 = 80

L3: 4X1 + 12X2 = 240

L2: 6X1 + 2X2 = 120

X1

X2


40

Pto C: L1 ∩ L3 2X1 + 2X2 = 80 4X1 + 12X2 = 240 -X1 - X2 = 40 X1 + 3X2 = 60

2X2 = 20 X2 = 10 X1 = 30

∴C (30,10)

f.o. Min C= 4X1 + 5X2 En el punto A (0, 60) Z= 4(109.09)+5(63.64) = 300 En el punto B (10, 30) Z= 4(10)+5(30) = 190 En el punto C (30, 10) Z= 4(30)+5(10) =170 En el punto D (60, 0) Z= 4(60)+5(0) = 240 Rpta: X1: 30 bolsas de la mezcla I X2: 10 bolsas de la mezcla II Costo mínimo óptimo =$ 170


41

Serie de problemas 2.0

Resuelva cada uno de los siguientes programas lineales usando el método gráfico.

Indique si los problemas son:

a) Óptimos: es decir que tiene una solución óptima.

b) Infactibles: es decir, que no existen valores de las variables que satisfagan todas

las restricciones simultáneamente.

c) Ilimitados: es decir, que existen valores factibles de las variables que hacen la

función objetivo tan grande o tan pequeña como se desee.

Todo programa lineal es óptimo, infactible o ilimitado.

1. Maximizar 2. Maximizar 3. Maximizar

P = 10x +12y Z = 4x -6y Z = 4x – 10y

Sujeta a s.a s.a

x + y ≤ 60 y 7≤ , x – 4y 4≥

x – 2y 0≥ 3x – y 3≤ , 2x - y 2≤

x, y 0≥ x +y 5≥ ,x,y 0≥ x, y 0≥

4. Minimizar 5. Minimizar 6.a) Maximizar

Z = 7x +3y C = 2x + y Z = 10x + 2y

Sujeta a s.a s.a

3x - y 2−≥ 3x + y ≥3, x +2y 4≥

x + y 9≤ 4x +3y≥6, x - 2y 0≥

x – y =-1 x +2y 2≥ x, y 0≥

x, y 0≥ x, y 0≥

6.b) Minimizar 6.c) Maximizar

Z = 3x +7y Z = -4x + 6y

Sujeta a s.a

x - y 4≥ 6x -2 y 3≤

x -2 y 10≤ -2x +3y 6≤

-2x – y 2≥ x +y 3≤ x, y 0≥


42

7. Producción para utilidad máxima. Un fabricante de juguetes prepara un

programa de producción para dos nuevos juguetes, cosas y cositas, utilizando la

información concerniente a sus tiempos de producción dados en la tabla que

sigue. Por ejemplo, cada cosa requiere de 2 horas en la máquina A. Las horas

disponibles empleadas por semana son: Para operación de la máquina A, 70

horas; para B, 40 horas; para terminado, 90 horas. Si las utilidades en cada cosa

y cada cosita son de $4 y $6, respectivamente, ¿Cuántos de cada juguete debe

producir por semana con el fin de maximizar la utilidad? ¿Cuál sería la utilidad

máxima?

Máquina

A

Máquina B Terminado

Cosa 2 horas 1 hora 1 hora

Cosita 1 hora 1 hora 3 horas

8. Formulación de dieta . Una dieta debe contener al menos 16 unidades de

carbohidratos y 20 de proteínas. El alimento A contiene 2 unidades de

carbohidratos y 4 de proteínas; el alimento B contiene 2 unidades de

carbohidratos y 1 de proteínas. Si el alimento A cuesta $1.20 por unidad y el B

$0.80 por unidad, ¿Cuántas unidades de cada alimento deben comprarse para

minimizar el costo? ¿Cuál es el costo mínimo?

9. Extracción de minerales. Una compañía extrae minerales de un yacimiento. El

número de libras de minerales A y B que puede ser extraído por cada tonelada

de los filones I y II está dado en la tabla siguiente junto con los costos por

tonelada. Si la compañía debe extraer al menos 3000 libras de A y 2500 de B,

¿Cuántas toneladas de cada filón deben ser procesadas con el fin de minimizar

el costo? ¿Cuál es el costo mínimo?

Filón I Filón II

Mineral A 110 lb 200 lb

Mineral B 200 lb 50 lb

Costo por tonelada $50 $60


43

10. Costo de construcción. Una compañía química está diseñando una planta para

producir dos tipos de polímeros, P1 y P2.

La planta debe ser capaz de producir al menos 100 unidades de P1 y 420

unidades de P2 cada día. Existen dos posibles diseños para las cámaras

principales de reacción que serán incluidas en la planta. Cada cámara de tipo A

cuesta $600,000 y es capaz de producir 10 unidades de P1 y 20 unidades de P2

por día; el tipo B es un diseño más económico, cuesta $300,000 y es capaz de

producir 4 unidades de P1 y 30 unidades de P2 por día. A causa de los costos de

operación, es necesario tener al menos 4 cámaras de cada tipo en la planta.

¿Cuántas cámaras de cada tipo deben ser incluidas para minimizar el costo de

construcción y satisfacer el programa de producción requerido? (Suponga que

exista un costo mínimo).

11. Producción para utilidad máxima. Un fabricante produce dos tipos de parrillas

para asar, Old Smokey y Blaze Hawai.

Durante la producción las parrillas requieren del uso de dos máquinas, A y B. El

número de horas necesarias en ambas está indicado en la tabla siguiente. Si

cada máquina puede utilizar 24 horas por día y las utilidades en los modelos

son de $4 y $6, respectivamente, ¿cuántas parrillas de cada tipo deben

producirse por día para obtener una utilidad máxima? ¿Cuál es la utilidad

máxima?

Máquina A Máquina B

Old Smokey 2 horas 4 horas

Blaze Away 4 horas 2 horas

12. Nutrientes en fertilizantes. Un agricultor comprará fertilizantes que contienen

tres nutrientes: A, B y C. Los requerimientos mínimos semanales son 80

unidades de A, 120 de B y 240 de C. Existen dos mezclas populares de

fertilizante en el mercado. La mezcla I cuesta $4 por bolsa, con dos unidades de

A, 6 de B y 4 de C. La mezcla II cuesta $5 por bolsa, con 2 unidades de A, 2 de B

y 12 de C. ¿Cuántas bolsas de cada mezcla debe comprar el agricultor para

minimizar el costo de satisfacer sus requerimientos de nutriente?


44

13. Programa de producción. Una compañía petrolera, que tiene dos refinerías,

necesita al menos 800, 1400 y 500 barriles de petróleo de grados bajo, medio, y

alto, respectivamente. Cada día la refinería I produce 200 barriles de grado bajo,

300 de medio y 100 de alto grado, mientras que la refinería II produce 100

barriles de grado alto, 100 de bajo y 200 de grado medio. Si los costos diarios

son de $2500 para operar la refinería I y de $ 2000 para la refinería II. ¿Cuántos

días debe ser operada cada refinería para satisfacer los requerimientos de

producción a un costo mínimo? ¿Cuál es el costo mínimo? (Suponga que existe

un costo mínimo).

14. Control de contamina ción. A causa de reglamentaciones federales nuevas

sobre la contaminación, una compañía química ha introducido en sus plantas un

nuevo y más caro proceso para complementar o reemplazar un proceso anterior

en la producción de un químico en particular. El proceso anterior descarga 15

gramos de dióxido de azufre y 40 gramos de partículas a la atmósfera por cada

litro de químico producido. El nuevo proceso descarga 5 gramos de dióxido de

azufre y 20 gramos de partículas a la atmósfera por cada litro producido. La

compañía obtiene una utilidad de 30 y 20 centavos por litro en los procesos

anterior y nuevo, respectivamente. Si el gobierno permite a la planta descargar

no más de 10,500 gramos de dióxido de azufre y no más de 30,000 gramos de

partículas a la atmósfera cada día, ¿cuántos litros de químico deben ser

producidos diariamente, por cada uno de los procesos, para maximizar la utilidad

diaria? ¿Cuál es la utilidad diaria?

15. World Oil Company puede comprar dos tipos de petróleo crudo: crudo ligero a

un costo de $25 por barril, y petróleo pesado a $22 por barril. Cada barril de

petróleo crudo, ya refinado, produce tres productos: gasolina, turbosina y

Kerosene.

La siguiente tabla indica las cantidades en barriles de gasolina, turbosina y

queroseno producidos por barril de cada tipo de petróleo crudo:

Gasolina Turbosina Kerosene

Crudo ligero 0.45 0.18 0.30

Crudo pesado 0.35 0.36 0.20


45

La refinería se ha comprometido a entregar 1 260 000 barriles de gasolina,

900000 barriles de turbosina y 300 000 barriles de kerosene. Como gerente de

producción, formule un modelo para determinar la cantidad de cada tipo de

petróleo crudo por comprar para minimizar el costo total al tiempo que se

satisfaga la demanda apropiada.

Defina todas las variables de decisión

16. Carmac Company fabrica carros compactos y subcompactos. La producción de

cada carro requiere una cierta cantidad de materia prima y mano de obra, como

De especifica en la siguiente tabla:

MATERIA PRIMA(libras) MANO DE OBRA(horas)

Compactos 200 18

Subcompactos 150 20

Costo unitario$ 10 70

Total disponible 80,000 9 000

La división de comercialización ha estimado que a lo más 1500 compactos

pueden venderse a $10 000 cada uno y que a lo más 200 subcompactos pueden

venderse a $8000 cada uno. Como vicepresidente de programación, formule un

modelo para determinar la cantidad a fabricar de cada tipo de carro para

maximizar la ganancia total. Defina todas las variables de decisión.

17. Destilación de crudos Una compañía de petróleos produce en sus refinerías

gasóleo (G), gasolina sin plomo (P) y gasolina súper (S) a partir de dos tipos de

crudos, C1 y C2. Las refinerías están dotadas de dos tipos de tecnologías. La

tecnología nueva Tn utiliza en cada sesión de destilación 7 unidades de C1 y 12

de C2, para producir 8 unidades de G, 6 de P y 5 de S. Con la tecnología antigua

Ta, se obtiene en cada destilación 10 unidades de G, 7 de P y 4 de S, con un

gasto de 10 unidades de C1 y 8 de C2.

Estudios de demanda permiten estimar que para el próximo mes se deben

producir al menos 900 unidades de G, 300 de P y entre 800 y 1700 de S. La


46

disponibilidad de crudo C1 es de 1400 unidades y de C2 de 2000 unidades. Los

beneficios por unidad producida son:

Gasolina G P S

Beneficio/u 4 6 7

La compañía desea conocer cómo utilizar ambos procesos de destilación, que se

pueden realizar total o parcialmente, y los crudos disponibles para que el

beneficio sea el máximo.

• Sugerencia: intentar modelar de la pregunta 7 a la 17 antes de ver las

respuestas. Graficar, resolver el modelo y verificar su grafico y respuesta con el

GLP.

Respuesta a los problemas de la Serie 2

7. Variables de decisión:

Sea: =1x la cantidad de juguetes cosas a producir

=2x la cantidad de juguetes cositas a producir

2,1 09031

401 702

.64 .

21

21

21

21

=≥≤+≤+≤+

+=

ixxx

xxxx

aSxxMaxZof

i

8. Variables de decisión

Sea: =1x El número de unidades del alimento A a comprar

=2x El número de unidades del alimento B a comprar


47

2,1 02014

1622.

80.020.1 .

21

21

21

=≥≥+≥+

+=

ixxxxx

aSxxMinZof

i


sea: =1x El número de toneladas a extraer del filón I

=2x El número de toneladas a extraer del filón II

1 2

1 2

1 2

. 50 60.

110 200 300 200 50 2500

0 1,2i

f o Min Z x xS a

x xx x

x i

= +

+ ≥+ ≥

≥ =

10. Variable de decisión:

Sea: =1x El número de cámaras del tipo A

=2x El número de cámaras del tipo B

2,1 041 41 4203020

100 410.

000 300000 600 .

2

1

21

21

21

=≥≥≥≥+≥+

+=

ixxxxx

xxaS

xxMinZof

i


sea: =1x El número de

=2x El número de


48

12 02424

2442.

64M .

21

21

21

=≥≥+≤+

+=

ixxxxx

aSxxaxZof

i


Sea: =1x El número de bolsas de la mezcla I

=2x El número de bolsas de la mezcla II

1 2

1 2

1 2

1 2

. 4 5.

2 2 80 6 2 1204 12 240

0 1, 2i

f o Min Z x xS a

x xx xx x

x i

= +

+ ≥+ ≥+ ≥≥ =


Sea: =1x El número de días a operar en la refinería I

=2x El número de días a operar en la refinería II

1 2

1 2

1 2

1 2

. 2500 2000.

200 100 80 0 300 200 1400100 100 500

0 1, 2i

f o Min Z x xS a

x xx xx x

x i

= +

+ ≥+ ≥+ ≥

≥ =


sea: =1x El número de litros producidos en el proceso I

=2x El número de litros producidos en el proceso II


49

1 2

1 2

1 2

. M 0.30 0.20.

15 5 10500 40 20 30000

0 12i

f o ax Z x xS a

x xx x

x i

= +

+ ≤+ ≤

≥ =


Sea: =1x la cantidad de barriles de crudo ligero a comprar

=2x La cantidad de barriles de crudo ligero a comprar

1 2

1 2

1 2

1 2

. 25 22.

0.45 0.35 12600000 0 0.18 0.36 19000000.30 0.20 5300000

0 1,2i

f o Min Z x xS a

x xx xx x

x i

= +

+ ≥+ ≥+ ≥

≥ =


Sea: =1x la cantidad de carros compactos a fabricar

=2x La cantidad de carros sub compactos a fabricar

1 2

1 2

1 2

1

2

. 6740 5100.

200 150 8000 0 18 20 9000 1500 200

0 1, 2i

f o Min Z x xS a

x xx x

xx

x i

= +

+ ≤+ ≤

≤≤

≥ =


Sea: =1x El numero de destilaciones con nT

=2x El número de destilaciones con aT

Observe que la función objetivo es maximizar el beneficio Z del producto destilado


50

Z= (beneficio por unidad de G X unidades producidas de G) + (beneficio por unidad de

P X unidades producidas de P) + (beneficio por unidad de S X unidades producidas de

S)

1 2 1 2 1 24(8 10 ) 6(6 7 ) 7(5 4 )z x x x x x x= + + + + + = 1 2103 110x x+

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

. 103 110.

7 10 1400 limitacion de crudo c112 8 2000 limitacion de crudo c28 10 900 demanda de G6x +7x 300 demanda de p5x +4x 1700 demanda de S5 4 800 demanda de

f o MaxZ x xS a

x xx x

x x

x x

= +

+ ≤+ ≤+ ≥

≥≤

+ ≥ S0 1, 2ix i≥ =


51

3. APLICACIONES DE PL EN LA GESTIÓN DE OPERACIONES Y PRESENTACIÓN DE LA SOLUCIÓN MEDIANTE SOFTWARE

Aunque existen numerosos paquetes de computación para resolver un modelo, no

existen para construir un modelo. Sin un modelo de nada sirve el mejor software ni la

mejor PC.

Objetivo

El objetivo fundamental es poner énfasis en la construcción de modelos a las

diferentes gestiones de operación como pueden ser: de producción, compra mezcla,

distribución etc.

Ejemplos 1

Se hace un pedido a una papelería de 800 rollos de papel corrugado de 30 pulgadas

de ancho, 500 rollos de 45 pulgadas de ancho y 1000 de 56 pulgadas. Si la papelería

tiene solamente rollos de 108 pulgadas de ancho, ¿cómo deben cortarse los rollos

para surtir el pedido con el mínimo desperdicio de papel? Solución Modelando 108 pulgadas 1) __________________________________ Tres de 30 con desperdicio 18 2) ___________________________________ Dos cortes de 30 y uno de 45 con desperdicio 3 3) _____________________________________ Uno de 30 y uno de 56 con desperdicio 22 4) ______________________________________ Dos de 45 con desperdicio 18 5) _______________________________________ Uno de 45 y uno de 56 con desperdicio 7


52

Variables de decisión

Sea

X1 el número de cortes a realizar 3 de 30 con desperdicio 18

X2 el número de cortes a realizar 2 de 30 y uno de 45 con desperdicio 3

X3 el número de cortes a realizar 1 de 30 y uno de56 con desperdicio 22

X4 el número de cortes a realizar 2 de 45 con desperdicio 18

X5 el número de cortes a realizar 1 de 45 y uno de 56 con desperdicio 7

La función Objetivo consiste en minimizar el desperdicio

F.O. Min D= 18x1+ 3x2 +22x3 +18 x4 +7x5

S.a.

3X1+2X2+1X3 = 800 (30 pulgadas)

1X2+2X4+1X5 = 500 (45 pulgadas)

1X3+1X5 = 1000 (56 pulgadas)

Xi>=0 i=1,2,3,4,5

Respuesta.

X1 =1000 cortes a realizar 3 de 30

X2 =0 cortes a realizar 2 de 30 y uno de 45

X3 =500 cortes a realizar 1 de 30 y uno de56

X4 =0 cortes a realizar 2 de 45

X5=500 cortes a realizar 1 de 45 y uno de 56

Desperdicio mín óptimo= 16300


53

Ejemplo 2 Una empresa se dedica a comprar y vender un producto durante algunos meses. El

precio de mercado tanto de compra como de venta, por tonelada, es:

60 90 80 110

ABRIL MAYO JUNIO JULIO

Se sabe que el costo de almacenamiento es de 10 u.m. por mes y tonelada, y el

almacén tiene una capacidad de 20 toneladas. Suponiendo que tanto la compra como

la venta se realizan al principio de mes, que el 1 de Abril no hay stock y que no debe

haber stock al final de julio, determinar la mejor política de compra/venta.

Solución Modelando

Observe

i) En Abril no tenemos stok luego nos dedicamos a comprar

ii) En Julio no debe haber stok en julio luego tanto solo vendemos

60 90 80 110


X1 C X2C X3C (compra)

X4V X5V X6V(vende)


Sea:

X1 el número de toneladas que compra en el mes de abril

X2el número de toneladas que compra en el mes de mayo

X3 el número de toneladas que compra en el mes de junio

X4el número de toneladas que vende en el mes de mayo

X5el número de toneladas que vende en el mes de junio

X6el número de toneladas que vende en el mes de julio

Ingresos: 90X4+80X5+110X6


54

Costos: 60X1+90X2+80X3

Costos de almacén: 10X1+10(X1+X2-X4)+10(X1+X2+X3-X4-X5)

Stock en abril 0<=X1<=20

Stock en mayo 0<=X1+X2-X4<=20

Stock en junio 0<=X1+X2+X3-X4-X5<=20

f.O MAX U= 90X4+80X5+110X6-60X1-90X2-80X3-10X1-10(X1+X2-X4)-10(X1+X2+X3

- X4 - X5)

Modelo matemático

F.O MAX U=110X4+90X5+110X6-90X1-110X2-90X3

s.a

Restricciones de capacidad

X1<=20

X1+X2-X4>=0

X1+X2-X4<=20

X1+X2+X3-X4-X5>=0

X1+X2+X3-X4-X5<=20

Condicion de equilibrio

X1+X2+X3-X4-X5-X6=0

Xi>=0 i=1,2,…6


55

Ejemplo 3 Gasahol Inc. tiene 14 000 galones de una mezcla de gasolina y alcohol almacenada

en su instalación de Fresno y 16000 galones almacenados en su instalación de

Bakerfield. Desde estas instalaciones, Gasahol debe proveer a Fresh Food Farms

(FFF) 10 000 galones y a American Growers (AG) 20 000 galones. El costo de

embarcar 1 galón desde cada instalación de almacenado a cada cliente es:

HACIA

DE FFF AG

Fresno (Fr) $0.04 $0.06

Bakersfield (B) $0.05 $0.03

Formule un modelo de programación lineal para determinar el plan de embarque de

costo mínimo que satisfaga las restricciones de provisión y demanda.

Solución

Almacenado 14.000 $ 0.04 Demanda X1 1000 $ 0.06 X2 X3 $ 0.05 X4 $ 0.03 Demanda Almacenado 2000 16.000

Fr

BAG

FFF


56

Sean las variables de decisión: X1 número de galones que envía Fr a FFF

X2 número de galones que envía Fr a AG

X3 número de galones que envía Ba a FFF

X4 número de galones que envía Ba a AG

2 3 4. . 0.04 0.06 0.05 0.031f o Minz x x x x= + + +

S.a.

1 3 10000 demandax x+ =

2 4 2000 demandax x+ =

1 2 14000 oferta en almacenx x+ ≤

3 4 16000 oferta en almacenx x+ ≤

0, =1,2,3,4ix i≥

Ejemplo 4 Problema de distribución. Cosmic Computer Company CCC tiene tres plantas de

ensamblaje de microcomputadoras en San Francisco, Los Ángeles y Phoenix. La

planta de los Ángeles tiene una capacidad de producción mensual de 2000 unidades.

Cada una de las plantas de San Franciscop y Phoenix puede producir un máximo de

1700 unidades al mes. Las microcomputadoras de CCC se venden a través de cuatro

tiendas detallistas localizadas en San Diego, Barstow, Tucson y Dallas. Los pedidos

mensuales de los vendedores al menudeo son de 1700 unidades en San Diego, 1000

en Barstow, 1500 en Tucson y 1200 en Dallas. La tabla contiene el costo de embarque

de una microcomputadora desde cada planta de ensamblaje hasta cada una de las

distintas tiendas minoristas. Su trabajo es formular un modelo matemático para

encontrar el programa de embarque de mínimo costo.

TIENDAS PLANTAS SAN DIEGO BARSTOW TUCSON DALLAS San Francisco 5 3 2 6 Los Ángeles 4 7 8 10 Phoenix 6 5 3 8


57

Solución Plantas de ensamblaje-ofertas Tiendas-demanda

Sean las variables de decisión: X1 la cantidad de microcomputadoras a enviar de SF --- SD X2 la cantidad de microcomputadoras a enviar de SF --- B X3 la cantidad de microcomputadoras a enviar de SF --- T X4 la cantidad de microcomputadoras a enviar de SF --- D X5 la cantidad de microcomputadoras a enviar de LA --- SD X6 la cantidad de microcomputadoras a enviar de LA --- B X7 la cantidad de microcomputadoras a enviar de LA --- T X8 la cantidad de microcomputadoras a enviar de LA --- D X9 la cantidad de microcomputadoras a enviar de P --- SD X10 la cantidad de microcomputadoras a enviar de P --- B X11 la cantidad de microcomputadoras a enviar de P --- T X12 la cantidad de microcomputadoras a enviar de P --- D

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12. . 5 3 2 6 4 7 8 10 6 5 3 8f o Min C x x x x x x x x x x x x= + + + + + + + + + + +

s.a

San francisco 1700

Los Ángeles 2000

Phoenix 1700

San diego 1700

Barstow 1000

Tucson 1500

Dallas 1200


58

Capacidad de producción

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

17002000

1700

x x x xx x x xx x x x

+ + + ≤+ + + ≤+ + + ≤

Demanda

1 5 9

2 6 10

3 7 11

4 8 12

1700100015001200

x x xx x xx x xx x x

+ + =+ + =+ + =+ + =

0, 1,2,3,...12ix i≥ =


59


Aplicaciones de la programación lineal Leer cuidadosamente y abstraer el modelo matemático:

1. Fresh Dairy Faros tiene dos máquinas distintas para procesar leche pura y producir

leche descremada, mantequilla o queso. La cantidad de tiempo requerido en cada

máquina para producir cada unidad de producto resultante y las ganancias netas se

proporciona en la siguiente tabla:

LECHE DESCREMADA MANTEQUILLA QUESO

Máquina 1 0.2 min/gal 0.5min/lb 1.5min/lb

Máquina2 0.3min/gal 0.7min/lb 1.2min/lb

Ganancia

neta $0.22/gal $0.38/lb $0.72/lb

Suponiendo que se dispone de 8 horas en cada máquina diariamente, como gerente

del departamento de producción, formule un modelo para determinar un plan de

producción diaria que maximice las ganancias corporativas netas y produzca un

mínimo de 300 galones de leche descremada, 200 libras de mantequilla 100 libras de

queso.

2. Cada galón de leche, libra de queso y libras de manzanas proporciona un número

conocido de miligramos de proteínas y vitaminas A, B y C. La siguiente tabla incluye

esos datos junto con los requerimientos diarios de los ingredientes nutricionales,

según lo recomendado por el Departamento de agricultura de los EE.UU.

La tabla también incluye la cantidad mínima da cada alimento que debe incluirse en la

comida y su costo.


60

Leche(mg/gal) Queso(mg/lb) Manzanas(mg/lb

Requerimientos

Mínimos diarios

Proteínas 40 30 10 80

Vitamina A 5 50 30 60

Vitamina B 20 30 40 50

Vitamina C 30 50 60 30

Cantidad

Mínima

0.5gal 0.5lb 0.5lb

Costo

unitario

$2.15 $2.25 $1.25

Como dietista de una escuela pública, formule un modelo para determinar la comida

de costo mínimo que reúna todos los requerimientos nutricionales.

3. Rich Oil Company, cerca de Cleveland, suministra gasolina a sus distribuidores en

camiones. La compañía recientemente recibió un contrato para iniciar el suministro de

800,000 galones de gasolina por mes a distribuidores de Cincinatti. La compañía tiene

$500 000 disponibles para crear una flota consistente en tres tipos diferentes de

camiones. En la siguiente tabla se muestra la capacidad relevante, costos de compra,

costo operativo número máximo de viajes por cada tipo de camión:

Tipo de

camión

Capacidad

(galones)

Costo de

compra($)

Costo

de

operación($/mes)

Máximo

de

viajes/mes

1 6000 50 000 800 20

2 3000 40 000 650 25

3 2000 25 000 500 30

Sobre la base del mantenimiento y la disponibilidad de conductores, la compañía no

desea comprar más de 10 vehículos para su flota. Asimismo, la compañía desearía

asegurarse que se compren al menos tres de los camiones del tipo 3 (se requieren

para su uso en las rutas de trayecto corto/ baja demanda). Finalmente, la compañía no


61

desea que más de la mitad de la flota sea de camiones del tipo 1. Como gerente de

operaciones formule un modelo para determinar la composición de la flota que

minimice los costos operativos mensuales al tiempo que satisfaga las demandas, no

saliéndose del presupuesto y satisfaciendo los requerimientos de las otras compañías.

4. Hexxon Oil Company tiene una gran refinería localizada en Newark, New Jersey. La

gasolina refinada es enviada de allí a tanques de almacenamiento en Filadelfia a

través de una red de oleoductos con estaciones de bombeo en Sayerville, Easton,

Trenton, Bridgewater y Allentown. El oleoducto esta construido en segmentos que

conectan parejas de estas ciudades. A lo largo de cada segmento existe un número

máximo conocido de galones por horas que pueden enviarse. Estos segmentos y sus

respectivas capacidades en galones por hora son:

DE A CAPACIDAD

Newark Sayerville 150 000

Sayerville Trenton 125 000

Trenton Filadelfia 130 000

Newark Bridgewater 80 000

Sayerville Bridgewater 60 000

Bridgewater Easton 100 000

Easton Allentown 75 000

Easton Trenton 50,000

Allentown Filadelfia 90 000

En la región de Filadelfia se espera un aumento en la conducción en los próximos

meses de verano. Antes de incrementar la tasa de producción de la refinería, la

administración de Hexxon desea conocer el número máximo de galones de gasolina

por hora que pueden enviarse a través de la red de oleoductos a los tanques de

almacenamiento de Filadelfia.


62

5. ManuMania Company usa una base y dos productos de goma, todos en cantidades

iguales, para producir su Gooey Gum. La compañía puede producir un total combinado

de hasta 800 libras de la base y dos productos de goma. De manera alternativa, puede

comprar estos ingredientes en el mercado abierto en las siguientes cantidades de

dólares por libra:

PRODUCTO COSTO DE

PRODUCCIÓN COSTO DE COMPRA

Base 1.75 3.00

GP-¡ 2.00 3.25

GP-2 2.25 3.75

Formule un modelo para determinar el plan de producción de costo mínimo/compra

para satisfacer una demanda de 1200 libras de Gooey Gum.

6. Oklahoma Oil Inc. debe transportar 100 000 barriles de cada uno de sus tres

campos petroleros a su tanque de almacenamiento en Oklahoma City. El petróleo

puede transportarse en camiones directamente de los campos al tanque de

almacenamiento a un costo de $0.03 por barril por milla. Hasta 150 000 barriles de

petróleo también pueden enviarse desde los campos mediante ductos a un eje central

en Tulsa a un costo de $0.02 por barril por milla y luego transportarse en camiones a

Oklahoma City por $1 por barril. Formule un modelo para determinar el plan de

embarque de costo mínimo, dadas las siguientes distancias en millas:

HACIA

DESDE OKLAHOMA TULSA

Campo petrolero 1 150 50



7. Incredible Indelible Ink Company mezcla tres aditivos, A1, A2 y A3 a una base en

diferentes proporciones para obtener distintos colores de tinta. La tinta roja se obtiene

mezclando A1, A2 y A3 en la proporción de 3:1:2, la tinta azul en la proporción de 2: 3: 4

y la tinta verde en la proporción de 1:2:3. Después de mezclar estos aditivos, se añade

una cantidad igual de base para cada color. La compañía actualmente tiene 1000


63

galones de A1, 1500 de A2, 2000 de A3, y 4000 de base. Dado que el precio de venta

por galón de cada tipo de tinta es el mismo, desarrolle un modelo para determinar

cómo deberían usarse estos recursos para obtener los máximos ingresos.

8. La señora Amy Jenkins, directora de comunicaciones de Tele Com, acaba de salir

de una junta. La gerencia superior ha decidido que, debido a un importante grupo

nuevo de clientes de Los Ángeles y Boston, es necesario incrementar la capacidad

existente de transmisión de datos entre las oficinas y estas dos ciudades. La actual red

de comunicaciones tiene oficinas intermedias con computadoras y capacidad de

retransmisión en Salt Lake City, Phoenix, Denver, Albuquerque, Minneapolis, Houston,

Chicago, Atlanta, Cheveland, Washington, D.C. y Nueva York.

Como primer paso, la señora Jenkis necesita revisar el sistema actual. De sus

archivos ha obtenido la siguiente lista de enlaces de comunicación entre ciertas

parejas de estas ciudades y el número máximo de bits por día que pueden enviarse a

través de ese enlace:

DE A BITS MÁXIMOS POR DÍA (BILLONES)

Los Ángeles Salt Lake 15

Los Ángeles Phoenix 12

Salt Lake Denver 10

Salt Lake Albuquerque 10

Phoenix Albuquerque 12

Denver Minneapolis 8

Albuquerque Houston 9

Minneapolis Chicago 15

Houston Atlanta 12

Chicago Cleveland 15

Atlanta Cleveland 12

Atlanta Washington 14

Cleveland Washington 8

Cleveland Boston 12

Washington Nueva York 15

Nueva York Boston 18


64

Determinar el número máximo de bits por día que pueden transmitirse desde la oficina

de los a Ángeles a la de Boston a través de la red existente. Formular como un PPL.

9. Una empresa se dedica a comprar y vender un producto durante algunos meses. El

precio de mercado tanto de compra como de venta, por tonelada, es:

60 90 80 110


Se sabe que el costo de almacenamiento es de 10 u.m. por mes y tonelada, y el

almacén tiene una capacidad de 20 toneladas. Suponiendo que tanto la compra como

la venta se realizan al principio de mes, que el 1 de abril no hay stock y que no debe

haber stock al final de julio, determinar la mejor política de compra/venta.

10. Fresh Food Faros Inc. tiene 50 acres de tierra en la cual planta cualquier cantidad

de maíz, soya, lechuga, algodón y brócoli. La siguiente tabla muestra la información

relevante perteneciente a la producción, el costo de plantación, el precio de venta

esperado y los requerimientos de agua para cada cultivo:

CULTIVO PRODUCCION

KG/ACRE

COSTO

$/KG

PRECIODEVENTA

($/KG)

AGUA

REQUERIDA

(litros/kg)

Maíz 640 1.00 1.70 8.75

Frijoles de Soya 500 0.50 1.30 5.00

Lechuga 400 0.40 1.00 2.25

Algodón 300 0.25 1.00 4.25

Brócoli 350 0.60 1.30 3.50

Para la próxima temporada, hay 100 000 litros de agua disponible y la compañía ha

contratado vender al menos 5120 kilogramos de maíz. Formule un programa lineal

para determinar una estrategia de plantación óptima para Fresh Food Faros Inc. Use

el número de acres de cada cultivo para plantación como las variables de decisión.


65

11. Un cierto restaurante opera 7 días a la semana. A las camareras se les contrata

para trabajar 6 horas diarias. El contrato del sindicato especifica que cada camarera

debe trabajar 5 días consecutivos y después tener 2 días consecutivos de descanso.

Cada camarera recibe el mismo sueldo semanal. En el cuadro se presenta las

necesidades de contratación.

Supóngase que este ciclo de necesidades se repite en forma indefinida y no toma en

cuenta el hecho de que el número de camareras contratadas tiene que ser un número

entero.

El gerente desea encontrar un programa de empleo que satisfaga estas necesidades a

un costo mínimo. Formule este problema como un PPL.

Necesidades de contratación de camareras

Día Número mínimo de horas de camarera

necesario Lunes 150

Martes 200

Miércoles 400

Jueves 300

Viernes 700

Sábado 800

Domingo 300

12. A un gabinete de ingenieros agrónomos le encargan la planificación del cultivo de

tres fincas de labranza de rendimiento similar. La superficie cultivable de cada finca

medida en ha y el personal disponible en cada una de ellas se tiene en la tabla.

Finca Superficie de

Cultivo

Número de

trabajadores

1 300 20

2 640 40

3 445 30


66

Los empleados trabajan un promedio de 7 horas diarias, 22 días al mes. El gabinete

se propone dedicar la superficie cultivable a maíz, que puede ser de tres variedades

diferentes denominadas largo (L), mocho(M) y grande(G). La tabla que sigue

proporciona las superficies máximas que pueden cultivarse con cada variedad (por

limitaciones en la disponibilidad de semilla), las necesidades de mano de obra por mes

y el beneficio esperado en miles de $, por ha en ambos casos.

Tipo de

Maíz

Superficie

máxima

Mano de obra

horas/mes/Ha

Beneficio/Ha

miles de $

L 350 5 800

M 510 4 760

G 480 6 735

La siembra tiene asociada unos costos por ha que difieren según la finca y el tipo de

maíz utilizado y que indicamos en miles de $.

Para respetar los deseos del propietario, el gabinete debe desarrollar una planificación

en la que la proporción de tierra dedicada al cultivo sea la misma en las tres fincas,

aunque la proporción de las variedades de maíz plantado no tenga que respetar tal

condición.

Formular un modelo de programación lineal para conocer la superficie de cultivo y el

tipo de maíz utilizado en cada finca para que el beneficio esperado sea máximo.

L M G

1 60 48 52

2 56 51 50

3 53 50 61



REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA DEL MODELO LINEAL Y EL MÉTODO SIMPLEX

Segunda unidad didáctica ● Investigación de Operaciones I

69

REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA DEL MODELO LINEAL Y EL MÉTODO SIMPLEX

4. REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA DEL MODELO LINEAL

4.1. Planteamiento y formulación de un programa lineal

4.2. Forma matricial

4.3. Diversas formas de presentación del modelo de programación lineal

4.3.1. Definición: forma estandarizada de un problema de programación lineal (ppl)

4.3.2. Definición: forma canónica de un problema de programación lineal (ppl). Caso

maximización

4.3.3. Definición: forma canónica de un problema de programación lineal (ppl). Caso

minimización

4.3.4. Propiedades de un programa lineal. Soluciones básicas

4.3.5. Teorema fundamental de la programación lineal

5. EL MÉTODO SIMPLEX 5.1 Ejemplo de maximización

5.2 Soluciones no acotadas y soluciones optimas múltiples

5.3. Método de penalización

5.4. Uso del método simplex

5.5. Minimización

6. LA TEORÍA DE LA DUALIDAD

6.1. El problema dual

6.2. Existe una relación importante entre el primal y su dual

6.3. Ejemplos utilizando el algoritmo simplex dual

7. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y PROGRAMACIÓN PARAMÉTRICA 7.1. Análisis de sensibilidad de los coeficientes de la función objetivo

7.2 Análisis de sensibilidad de los valores del lado derecho (LD)

7.3. Programación lineal paramétrica



70


REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA DEL MODELO LINEAL

Y EL MÉTODO SIMPLEX

Objetivo: Al finalizar la presente unidad didáctica estará en la capacidad de reconocer la

importancia de representar problemas reales en términos matemáticos. Así como

conocer y aplicar el algoritmo Simplex en la solución de problemas de optimización.


Conoce y aplica la representación matemática de un modelo lineal.

Comprende la importancia del algoritmo Simplex en la solución de problemas de programación

lineal.

Objetivos


71


REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA DEL MODELO LINEAL Y

EL MÉTODO SIMPLEX 4. REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA DEL MODELO LINEAL 4.1. PLANTEAMIENTO Y FORMULACIÓN DE UN PROGRAMA LINEAL Un problema de programación lineal es un programa matemático en el que tanto la

función objetivo como las funciones que definen las restricciones son lineales. Las

restricciones pueden ser de igualdad o desigualdad no estricta. Por tanto, la

formulación general es:

1 1 2 2

11 1 1 1

21 1 2 2

1 1

11 1 1 1

1 1

11 1

opt (max o min) .... .

......

......

......

n n

n n

n n

m mn n m

n n

k kn n k

c x c x c xs aa x a x ba x a x b

a x a x bd x d x s

d x d x se x e

+ + +

+ + ≤+ + ≤

+ + ≤

+ + ≥

+ + ≥+ + 1 1

i1 1 in n i

e x +...+e x =t

n nx t=

1 20, 0,..., 0nx x x≥ ≥ ≥

Contenidos


72

4.2. FORMA MATRICIAL

opt (max o min) . .

0

c xs a

Ax b

Dx s

Ex t

x

≤

≥

=

≥

Donde , , ,n m k ic b s t∈ ∈ ∈ ∈ y , , y A D E son matrices de orden mxn , kxn y

ixn respectivamente.

4.3. DIVERSAS FORMAS DE PRESENTACIÓN DEL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL Ciertas formas de presentación han recibido nombres específicos, como se vera

enseguida:

4.3.1. Definición: Forma estandarizada de un problema de programación lineal (PPL) El modelo de un PPL está en forma estandarizada si el objetivo es maximizar o

minimizar una función objetivo sujeta a un conjunto de restricciones de la forma «igual

que» exclusivamente y las variables de decisión sólo admiten valores no negativos.

Luego diremos que un programa lineal está formulado en forma estándar si viene

expresado como sigue

1 1 2 2

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

m1 1 m2 2 mn n m

min(max) .... .

......

a x +a x +...+a x =b

0; 1, 2,3,...,

n n

n n

n n

i

c x c x c xs aa x a x a x ba x a x a x b

x i n

+ + +

+ + + =+ + + =

≥ =


73

4.3.2. Definición: Forma canónica de un problema de programación lineal (PPL) caso maximización El modelo de un PPL está en forma canónica si el objetivo es maximizar una función

lineal sujeta a un conjunto de restricciones de la forma «menor o igual que» y las

variables de decisión sólo admiten valores no negativos.

Luego diremos que un programa lineal está formulado en forma canónica si viene

expresado como sigue:

1 1 2 2

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

m1 1 m2 2 mn n m

max .... .

......

a x +a x +...+a x b

0; 1, 2,3,...,

n n

n n

n n

i


x i n

+ + +

+ + + ≤+ + + ≤

≤≥ =

4.3.3. Definición: forma canónica de un problema de programación lineal (PPL ) caso minimización El modelo de un PPL está en forma canónica si el objetivo es minimizar una función

lineal sujeta a un conjunto de restricciones de la forma «mayor o igual que» y las

variables de decisión sólo admiten valores no negativos.

Luego diremos que un programa lineal está formulado en forma canónica si viene

expresado como sigue

1 1 2 2

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

m1 1 m2 2 mn n m

max .... .

......

a x +a x +...+a x b

0; 1, 2,3,...,

n n

n n

n n

i


x i n

+ + +

+ + + ≥+ + + ≥

≥≥ =


74

Teniendo en cuenta lo siguiente:

1. 1 1 2 2 1 1 2 2Max( ... )=-Min( ... )n n n nc x c x c x c x c x c x+ + + − − −

2. Una restricción de igualdad

11 1 ... in n ia x a x b+ + = Es equivalente a las restricciones de desigualdad:

1 1 2 21

...n

ij j i i in n ij

a x a x a x a x b=

= + + + ≥∑

1 1 2 21

...n

ij j i i in n ij

a x a x a x a x b=

= + + + ≤∑

3. Una restricción de la forma:1

n

ij j ij

a x b=

≤∑ se puede transformar en una restricción

de igualdad de acuerdo con: 1

0n

ij j n ij

a x x +=

+ =∑ con 0n ix + ≥ donde n ix + recibe el

nombre de variable de holgura.

4. Una restricción de la forma:1

n

ij j ij

a x b=

≥∑ se puede transformar en una restricción

de igualdad de acuerdo con: 1

0n

ij j n ij

a x x +=

− =∑ con 0n ix + ≥ donde n ix + recibe el

nombre de variable de exceso.

5. Sea kx una variable libre, es decir, una variable para la que no existe la

restricción de no negatividad. Si se define k k kx u v= − con 0ku ≥ y 0kv ≥ y se

sustituye en el programa se consigue que en el programa resultante todas las

variables estén sujetas a restricciones de no negatividad.

Se concluye que todo programa lineal puede expresarse siempre en forma

estándar o canónica.


75

4.3.4. Propiedades de un programa lineal. Soluciones básicas Proposición 1 (propiedades de los programas lineales) Dado un programa lineal se verifica que:

(i) Es convexo ya sea de maximización o minimización.

(ii) La solución óptima. Si existe, es global.

(iii) Nunca existen óptimos locales que no sean globales.

(iv) Puede tener o no solución: caso de existir solución, ésta se encuentra en

un único punto o bien en infinitos puntos.

Proposición 2 Si un programa lineal tiene solución óptima, entonces siempre existe un punto extremo

del conjunto factible en el que se alcanza la solución óptima.

Proposición 3

Dado un programa lineal con conjunto factible S, se verifica que *

x S∈ es un punto

extremo de S si y sólo si es una solución básica factible del programa lineal

expresado en forma estándar.

4.3.5. Teorema Fundamental de la Programación Lineal Dado el programa lineal en forma estándar

min. .

0

cxs a

Ax b

x

=

≥

Donde la matriz A de orden mxn con m n< tiene rango m se verifica que:

i) Si existe una solución factible entonces existe una solución básica factible.

ii) Si existe una solución factible óptima entonces existe una solución básica factible

óptima.


76

5. EL MÉTODO SIMPLEX

Hasta ahora hemos resuelto problemas de programación lineal por un método

geométrico. Este método no es práctico cuando el número de variables aumenta a tres

y, desde luego, no es posible usarlo si las variables son más de tres. Ahora veremos

una técnica diferente: el Método Simplex.

Este método se debe a Dantzig y fue dado a conocer en 1947. Su base matemática es

bastante amplia, pero, solamente se enunciarán las reglas de cálculo.

Objetivo: mostrar cómo el método Simplex es utilizado para resolver un problema de

programación lineal estándar. Este método le permitirá resolver problemas que no

pueden ser resueltos geométricamente.

Problema estándar de programación lineal

Problema: nn2211 xc...xcxcZmaximizar +++=

sujeto a : 11212111 ... bxaxaxa nn ≤+++

22222121 ... bxaxaxa nn ≤+++

………………………………

mnmnmm bxaxaxa ≤+++ ...2211

Donde negativos noson ,...,y ,..., 2121 mn bbbxxx

Como se tiene m desigualdades, es necesario agregar m variables de holgura, ahora

bien, al introducir m incógnitas más en las restricciones, deben aumentarse también en

la función objetivo. Sin embargo, para que no alteren dicha función, estas incógnitas

deberán figurar con coeficiente cero.

mnn xx ++ ++++++= 0...0xc...xcxcZmaximizar 1nn2211

sujeto a: 111212111 ... bxxaxaxa nnn =++++ +

22n2222121 x ... bxaxaxa nn =+++++ +

………………………………

mnmnmm bxaxaxa =+++++ +mn2211 x ...


77

Las variables de holgura: mnnn xxx +++ ,..., 21

Método: leer y entender cada ítem cuidadosamente de estos pasos depende el éxito

de las operaciones que vamos a realizar para encontrar la solución óptima en los

diferentes casos que se nos presente.

1. Configure la tabla Simplex inicial

s er o d a c i dn i

0 | 1 0 0 0 c- c- | Z----------------------------------------

b | 0 1 0 0 a a a | x...............................................................................

b| 0 ......01......... 0 a a a | xb| 0 ......00......... 1 |

| Z.........x x x x x |

n21

mmn m2m1mn

22n22212n

1112111

mn2n1nn21

c

aaaxbx

nn

−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+

+

+++

Las variables de holgura son 1 2,...,n nx x+ +

2. Si todos los indicadores en el último renglón son no negativos, entonces Z tiene

un valor máximo cuando 0.....0 ,0 21 === nxxx . El valor máximo es 0.

Si existen indicadores negativos, localice la columna en la que aparezca el

indicador más negativo. Esta columna pivote proporciona la variable entrante.

3. Divida cada entrada positiva por encima de la línea punteada en la columna de la

variable entrante, con el correspondiente valor de b. (tomando el valor de b como

dividendo y la entrada positiva como divisor).

4. Marque la entrada en la columna pivote que corresponda al cociente más

pequeño del paso (3). Esta es la entrada pivote. La variable saliente es aquella

que está a la izquierda en el renglón pivote.

5. Utilice operaciones elementales sobre renglones para transformar la tabla en una

nueva tabla equivalente que tenga un 1 donde estaba la entrada pivote y ceros

en las otras entradas de esa columna.


78

6. En el lado izquierdo de esta tabla la variable entrante reemplaza a la variable

saliente.

7. Si los indicadores de la nueva tabla son todos no negativos, tendrá usted una

solución óptima. El valor máximo de Z es la entrada en el último renglón y la

última columna. Ocurre cuando las variables a la izquierda de la tabla son iguales

a las correspondientes entradas en la última columna. Todas las demás variables

son iguales a cero. Si al menos uno de los indicadores es negativo, repita el

proceso empezando con el paso 2 aplicado a la nueva tabla.

Como ayuda para entender el método Simplex, podría interpretar ciertas entradas en

la tabla. Suponga que obtenemos una tabla cuyo último renglón está indicado a

continuación

1 2 n n 1 n 2 n m | x x x x ........... x Z | | . . . . . | | . . . . . .

x + + +

|......................................................................... | . . . . . . |- |---------------------------------------------------------

Z | a b c d e f 1 |h

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Podemos interpretar la entrada b, por ejemplo, como sigue. Si 2x es no básica y se

fuera a convertir en básica, entonces por cada aumento de 1 unidad en 2x ,

Si b<0, Z aumenta en b unidades;

Si b>o, Z disminuye en b unidades;

Si b =0, no hay cambio en Z.


79

Conceptos básicos

a) Algoritmo Simplex: es el método algebraico para resolver cualquier problema

de programación lineal en un número finito de pasos en una computadora.

b) Iteración: una serie de pasos de un algoritmo que se repite.

c) Prueba de optimalidad : método para determinar si la solución obtenida es la

óptima.

d) Forma estándar: una forma particular de un problema de programación lineal

en el que la función objetivo debe ser maximizada; solamente existen

restricciones de igualdad y todos los lados derechos y variables son no

negativas.

e) Variable de holgura: es una variable no negativa que se añade al lado izquierdo

de una restricción menor o igual que, para obtener una restricción de igualdad

equivalente.

f) Variable de superávit : es una variable no negativa que se resta del lado

izquierdo de una restricción mayor o igual que, para obtener una restricción de

igualdad equivalente.

g) Variable no básica : conjunto seleccionado de variables de un programa lineal

en forma estándar (en número igual al total de variables menos el número de

restricciones de igualdad) cuyos valores se toman como cero o dicho de otra

forma (son las variables de decisión que toman el valor de cero).

h) Variable básica: una de las variables restantes, diferentes a las no básicas,

de un PL en forma estándar (igual en número al total de restricciones de

igualdad) o dicho de otra forma son las variables de decisión que quedan para

resolver el sistema (toman valores por lo menos una diferente de cero).


80

i) Solución básica: son valores de las variables que satisfacen las restricciones

de igualdad de un programa lineal en forma estándar, después de que las

variables no básicas se toman como cero.

j) Solución factible básica (sfb) : valores de las variables que satisfacen las

restricciones de igualdad y de no negatividad de un programa lineal en forma

estándar, después de que las variables no básicas se toman como cero.

5.1. Ejemplo de maximización

Ejemplo 1. Una empresa que produce banjos, guitarras y mandolinas utiliza madera,

mano de obra y metal. Las cantidades de estos inputs precisas para realizar una

unidad de cada instrumento musical se muestran en la siguiente tabla.

Banjo Guitarra Mandolina

Madera 1 2 1

Mano de obra 1 2 2

Metal 1 1 1

La empresa dispone de 50 unidades de madera, 60 unidades de trabajo y 55 unidades

de metal y vende los banjos a 200 u.m., las guitarras a 175 u.m. y las mandolinas a

125.um Encontrar la producción que maximiza el ingreso.

Solución i) Variables de decisión:

Sea 1x : El numero de banjos a producir

2x : El numero de guitarras a producir

3x : El numero de mandolinas a producir


81

Función objetivo . .f o 1 2 3200 175 125Max Z x x x= + +

s.a.

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 1 501 2 2 601 1 1 55

0, 1,2,3i

x x xx x xx x x

x i

+ + ≤+ + ≤+ + ≤≥ =

ii) Para Estandarizar el modelo introducimos variables de holgura: 4 5 6, ,x x x

respectivamente. Sin embargo, para que no alteren dicha función objetivo, estas

incógnitas deberán figurar con coeficiente cero es decir:

Función objetivo . .f o 1 2 3 4 5 6200 175 125 0 0 0Max Z x x x x x x= + + + + +

s.a.

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 1 4 501 2 2 5 601 1 1 6 55

0, 1,2,3...,6i


x i

+ + + =+ + + =+ + + =≥ =

iii) Definimos variables básicas y no básicas

Variables no básicas Variables básicas

1 0x = 4 50x =

2 0x = 5 60x =

3 0x = 6 55x =

0z =


82

b

60

55

χ 4 χ 5 χ 6χ 2 χ 3 z

1

1 1

1

1

2

2

1

2

0 0 0

0

0

0

0 0

0

0 0 0 0 1 -175 -125 -200

Variable que ingresa

Elemento pivote χ1

χ 4

χ 5

χ 6

z

1

1

1

Variable que sale

Indicador más negativo

50 Menor cociente positivo

50/1=50 60/1=60 55/1=55

i) Fila (por -1) + Fila χ5

χ4

ii) Fila de (por -1) + Fila de

iii) Fila (por +200) + Fila de Z

0 0 1 -1 1 0 0 10

-1 -2 -1 -1 0 0 0 -50 1 2 2 0 1 0 0 60

0 -1 0 -1 0 1 0 5

-1 -2 -1 -1 0 0 0 -50 1 1 1 0 0 1 0 55

0 225 75 200 001 10000

+200 +400 +200 +200 0 0 0 +10000 -200 -175 -125 0 0 0 1 0

χ 4

χ 6

χ 4

iv) Vamos a confeccionar el tablero Simplex

*Debajo del elemento pivote se hace ceros mediante las operaciones filas es

decir:


83

χ 4 χ 5 χ 6χ1 χ 2 χ 3

χ 4

χ 5

χ 6

z

z b

1

1

1

1

1 1

1

1

2

2

1

2

0 0 0

0

0

0

0 0

0

0 0 0 0 1 -175 -125 -200

50

60

55

χ1

χ 5

χ 6

z

1

0

0 1

1

-1

-1 1

-1 0

0

0

0

0

2 0

0

0

0

0

1

0 0

1

1 225 75 200

50

10

5

10,000

Indicadores positivos fin del proceso

Las variables básicas son: 1

5

6

50105

xxx

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

y las variables no básicas son:2

3

4

000

xxx

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

Nuestra respuesta lo damos en función a las variables de decisión.

Plan de producción:

1

2

3

50 Banjos0 Guitarras0 Mandolinas

xxx

===

Z Máx. Óptimo=10 000


84

Ejemplo 2. Un empresario que fabrica tres artículos A, B, y C, desea encontrar la

producción semanal que le permita maximizar sus beneficios. Los productos A, B y C

son procesados en tres máquinas siendo la producción mínima semanal de 100, 60, y

60 unidades respectivamente. El beneficio por unidad vendida de estos artículos es de

2 u.m. por unidad de A, 2 u.m. por unidad de B y 4 u.m. por C. las horas que se

necesitan por unidad de artículo y máquina son:

Artículo

A B C

Máquina1 0 1 2

Máquina2 1 1 1

Máquina3 2 1 1

Siendo el número de horas semanales disponibles en cada máquina 240, 400 y 360

respectivamente. Determinar la producción semanal óptima

Solución

A >=100

B >=60

C >=60

Tiempo disponible

Maquina1 0 1 2 240 Maquina2 1 1 1 400 Maquina3 2 1 1 360 Beneficio 2 2 4 Variables de decisión Sea 1x El número de artículos a producir de A

2x El número de artículos a producir de B

3x El número de artículos a producir de C

1 2 32 2 4Max z x x x= + +

2 3

1 2 3

1 2 3

1

2

3

2 240400

2 36010060600i

x xx x x

x x xxxxx

+ ≤+ + ≤+ + ≤≥≥≥≥


85

Resolveremos el ejemplo haciendo un pequeño cambio de variable Solución

1 100x ≥ → 1 100 0x − ≥

2 60x ≥ → 2 60 0x − ≥

3 60x ≥ → 3 60 0x − ≥

1 1100x y− = → 1 1 100x y= +

2 260x y− = → 2 2 60x y= +

3 360x y− = → 3 3 60x y= + Reemplazando en el modelo original

1 2 32( 100) 2( 60) 4( 60)Max z y y y= + + + + + s.a

2 360 2( 60) 240y y+ + + ≤

1 2 3( 100) ( 60) ( 60) 400y y y+ + + + + ≤

1 2 32( 100) ( 60) ( 60) 360y y y+ + + + + ≤ 0iy ≥

Simplificando obtenemos un nuevo modelo a resolver por el tablero simplex

1 2 32 2 4 560Max z y y y= + + + s.a

2 32 60y y+ ≤

1 2 3 180y y y+ + ≤

1 2 32 40y y y+ + ≤ 0iy ≥

Estandarizando

1 2 3 4 5 62 2 4 0 0 0 560Max z y y y y y y= + + + + + + s.a

2 32 4 60y y y+ + =

1 2 3 5 180y y y y+ + + =

1 2 32 6 40y y y y+ + + = 0iy ≥

Observación 1: para los indicadores pasar mentalmente de la siguiente manera:

-2y1-2y2-4y3+0y4+0y5+0y6+z=560


86

Observación 2

Variables no básicas: y1=0 y2=0 y3=0

Variables básicas: y4=60 y5=180 y6=40 Z= 2(0)+2(0)+4(0)+0(60)+0(180)+0(40)+560=560 Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 z b Y4 0 1 2 1 0 0 0 60 Y5 1 1 1 0 1 0 0 180 Y6 2 1 1 0 0 1 0 40 z -2 -2 -4 0 0 0 1 560 i) La pregunta es que variable ingresa: ver el indicador más negativo

RPT. El indicador más negativo (-4) se encuentra en la columna del y3; por lo tanto, es

la variable que ingresa.

ii) para ver la variable que sale hacer la siguiente operación con la columna Y3:

60/2=30 180/1=180 40/1=40 ver el menor cociente positivo: observamos que

se produce en la fila de Y4; por lo tanto, la variable que sale es Y4

Multiplicar a la fila Y4 por ½ Multiplicar a la fila de y3 por (-1) y sumar a la fila de y5 es decir: sale un nuevo y5 i) 0 -1/2 -1 -1/2 0 0 0 -30 + 1 1 1 0 1 0 0 180 1 ½ 0 -1/2 1 0 0 150 ii) Multiplicar a la fila de y3 por (-1) y sumar a la fila de y6 es decir: sale un nuevo y6 0 -1/2 -1 -1/2 0 0 0 -30 + 2 1 1 0 0 1 0 40 2 ½ 0 -1/2 0 1 0 10 ii) Multiplicar a la fila de y3 por (4) y sumar a la fila de Z es decir: sale un nuevo z 0 2 4 2 0 0 0 120 + -2 -2 -4 0 0 0 1 560 -2 0 0 2 0 0 1 680 Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 z B Y3 0 1/2 1 1/2 0 0 0 30 Y5 1 1/2 0 -1/2 1 0 0 150 Y6 2 1/2 0 -1/2 0 1 0 10 z -2 0 0 2 0 0 1 680 i) Ver la variable que ingresa: observamos que el indicador más negativo lo tiene la

columna del y1 (-2); por tanto, y1 es la variable q ingresa. La columna de y1 es

columna pivote.


87

ii) la variable que sale ¿? 30/0 no existe cociente 150/1=150 10/2=5 el menor

cociente positivo se da en la fila de y6 por tanto la variable q sale es y6

iii) Multiplicar la fila de y6 por (1/2)

iv) multiplicar a la fila y1 por (-1) y sumar a la fila y5

-1 -1/4 0 ¼ 0 -1/2 0 -5 1 ½ 0 -1/2 1 0 0 150 0 ¼ 0 -1/4 1 -1/2 0 145 v) multiplicar a la fila y1 por (2) y sumar a la fila del z

2 ½ 0 -1/2 0 1 0 10 -2 0 0 2 0 0 1 680 0 ½ 0 3/2 0 1 1 690 Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 z B Y3 0 1/2 1 1/2 0 0 0 30 Y5 0 1/4 0 -1/4 1 -1/2 0 145 Y1 1 1/4 0 -1/4 0 1/2 0 5 z 0 1/2 0 3/2 0 1 1 690 Y3=30 y5=145 y1=5 z=690 Variables básicas Y3=30 y5=145 y1=5 Variables no básicas: y2=0 y4=0 y6=0 Observamos q todos los indicadores son positivos por lo tanto fin del proceso Observe:

1 1100x y− = → 1 1 100 5 100 105x y= + = + =

2 260x y− = → 2 2 60 0 60 60x y= + = + =

3 360x y− = → 3 3 60 0 60 60x y= + = + = Luego damos la respuesta en función de las variables decisión de nuestro problema

original.

Es decir:

Plan de producción:

1x : 105 artículos a producir de A

2x : 60 artículos a producir de B

3x : 90 artículos a producir de C

Con un ingreso Máx Z óptimo= 690


88

Serie de problemas 5.1 Utilice el método simplex para resolver los siguientes problemas:


Z= 21 2xx + 21 28 xxZ += Z= 3212 xxx −+

s.a. s.a. s.a.

8 2 21 ≤+ xx 1 21 ≤− xx 1 21 ≤+ xx

12 32 21 ≤+ xx 8 2 21 ≤+ xx 22 321 −≥−− xxx

0, 21 ≥xx 5 21 ≤+ xx 0 ,, 321 ≥xxx

0 , 21 ≥xx


Z= 21 xx + 321 412 xxxW +−= Z= 4321 090060 xxxx +++

s.a. s.a. s.a.

4 21 ≤− xx 1 x-34 321 ≤+ xx 2 2 21 ≤− xx

4 21 ≤+− xx -2 x- 321 ≥+ xx 5 21 ≤+ xx

4058 21 ≤+ xx 1- 321 ≥++− xxx 4 x 43 ≤+ x

6 2 21 ≤+ xx 0 ,, 321 ≥xxx 72 43 ≤− xx

0, 21 ≥xx 0 x, ,, 4321 ≥xxx

7. Maximizar 8. Maximizar

321 22 xxxW −+= Z = 4321 6104 xxxx −−+

s. a: s.a

,22 321 −≥++− xxx 1x 143 ≤−+ xx ,

,4321 ≤+− xxx 21 xx − ,24 ≤+ x

,62 321 ≤++ xxx ,44321 ≤+−+ xxxx

0,, 321 ≥xxx . 0,,, 4321 ≥xxxx .


89

9. Envío de mercancías

Una compañía de fletes maneja envíos para dos compañías, A y B, localizadas en la

misma ciudad. La compañía A envía cajas que pesan 3 libras cada una y tienen un

volumen de 2 pies3; la B envía cajas de 1 pies3 que pesan 5 libras cada una. Tanto A

como B envían al mismo destino. El costo de transporte por cada caja de A es de

$0.75 y el de B es de $0.50. La compañía de fletes tiene un camión con 2400 pies3 de

espacio para carga y una capacidad máxima de 9200 libras. En un trayecto, ¿cuántas

cajas de cada compañía debe transportar este camión de modo que la compañía de

fletes reciba un ingreso máximo? ¿Cuál es el ingreso máximo?


90

5.2. SOLUCIONES NO ACOTADAS Y SOLUCIONES ÓPTIMAS MULTIPLES Soluciones no acotadas : si no existen cocientes en una tabla simplex, entonces el

problema de programación lineal tiene una solución no acotada.

Soluciones óptimas múltiples: en una tabla que da una solución óptima, un

indicador igual a cero para una variable no básica sugiere la posibilidad de soluciones

múltiples. Por ejemplo suponga que:nn

nn

bxbxbxaxaxax

======

,...,y ,...,

2211

2211

Estos son dos S:F:B. diferentes para los cuales un problema de programación lineal es

óptimo. Por «S.F.B. diferentes» queremos decir que ii ba ≠ para alguna i, donde

ni ≤≤1 , entonces:

1 1 1 2 2 2(1 ) , (1 ) ... (1 ) , para cualquier t donde 0 1n n nx t a tb x t a tb x t a tb t= − + = − + + + = − + ≤ ≤ Ejemplo 1.0

Una compañía fabrica tres tipos de muebles para patio: sillas, mecedoras y tumbonas.

Cada uno requiere madera, plástico, y aluminio como se indica en la siguiente tabla.

La compañía tiene disponibles 400 unidades de madera, 600 unidades de plástico y

1500 unidades de aluminio. Cada silla, mecedora y tumbona se venden en $6, $8 y

$12 respectivamente. Suponiendo que todos los muebles pueden ser vendidos, ¿Cuál

es el ingreso máximo total que puede ser obtenido? Determinar las posibles órdenes

de producción que generarán ese ingreso.

Madera Plástico Aluminio

Silla 1 unidad 1 unidad 2 unidades

Mecedora 1 unidad 1 unidad 3 unidades

Tumbona 1 unidad 2 unidades 5 unidades

Solución i) Variables de decisión:

Sea 1x : El numero de sillas a producir.

2x : El numero de mecedoras a producir.

3x : El numero de tumbonas a producir.


91

Función objetivo . .f o 1 2 36 8 12MaxZ x x x= + +

s.a.

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 1 1 4001 1 2 6002 3 5 1500

0, 1,2,3i

x x xx x xx x x

x i

+ + ≤+ + ≤+ + ≤≥ =

ii) Para estandarizar el modelo introducimos variables de holgura: 4 5 6, ,x x x

respectivamente. Sin embargo, para que no alteren dicha función objetivo, estas

incógnitas deberán figurar con coeficiente cero, es decir:

Función objetivo . .f o 1 2 3 4 5 66 8 12 0 0 0MaxZ x x x x x x= + + + + +

s.a.

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 1 1 4 4001 1 2 5 6002 3 5 6 1500

0, 1,2,3...,6i


x i

+ + + =+ + + =+ + + =≥ =

iii) Definimos variables básicas y no básicas


1 0x = 4 400x =

2 0x = 5 600x =

3 0x = 6 1500x =

0z =


92

0

300

300

x 1

x 3

x 3

x 2

x 5

x 3

x 6

x 2

x 2

z

z

z

z

z

400

600

1500

1 1 1

1 1

1

1

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0

0

0

0

0

-1/2

-5/2

0

1

6 0 0

0

0

0

1 0

0 -1

1

4 0 0 -2

1/2 0

0

0

0

1

0 0 0

3/2

0

1

1

1

1/2

1

0 1

0

-1 0

0

2

2 3 5

0

0

-12 -8 -6

1/2

1/2

0

-1/2

1/2

1/2

1/2

-2 0

1 0

1

-1

-1

2

2

3

-5

1

0

0

-1/2

-4

0

1 0

1/2

-3/2

5/2

1

0

0

1

-1/2

1/2

-1/2

2 2

100

0

3600

100

0

3600

50

150

250

3800

x 4 x 5 x 6x 4

x 5

x 6

x 4

x 3

x 4

iv) Confeccionar el tablero Simplex

Segunda variable que ingresa Primera variable que ingresa

Indicadores positivos fin del proceso.


93

χ 5 =50 =150 =250 χ 2

χ 3


χ 3

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ttt

ttt

ttt

501502001501

1502501002501

10010001

3

2

1

+=+−=

−=+−=

=+−=

χχχ

χ 4 χ 5 χ 6χ1 χ 2 χ 3

z

z b

1/2

-1/2 3/2

1/2

1 0 0

-1/2

0

0

0

0

1 -1/2 0

0

0

-3/2

5/2 0

1/2

3800202 10 0 0

50

150

250

χ1

χ 5

z

1 0 0 1

1/2

1 -11 1 0

0

0

0

0

0 -1

0

2

1

0

0

0 3/2

1

10 0 2

100

200

100

3800

χ 3

χ 2

χ 2

Hacemos ingresar no básica que tiene indicador igual a cero.

χ1

χ 3

=0 = =250 = =150 =

χ 2

χ1

χ 3

a 1

2 a

a 3

χ 4

χ 6

χ1 =0=0 =0

Para ver si tiene solución múltiple bastará observar si existe un indicador igual a cero

de una variable no básica, la cual sugiere la posibilidad de solución múltiple. Por

ejemplo, 1x es no básica y su indicador en la tabla final es igual a cero.

*Vamos a generar la otra solución para esto tomamos el ultimo tablero.

Luego: 1 1 2 2 3 3100 ; 100 ; 200x b x b x b= = = = = = →que:

0 1t≤ ≤

Zóptimo = 3800

Variable de decisión


94

Si 0t =

1x : 0 Sillas a producir

2x : 250 Mecedoras a producir

3x : 150 Tumbonas a producir

Z óptimo =3800

Si 1t =

1x : 100 Sillas a producir

2x : 100 Mecedoras a producir

3x : 200 Tumbonas a producir

Z óptimo =3800

Como podemos ver generamos soluciones múltiples alternativas.


95



21 72 xxW += Z = 321 65 xxx ++

s. a: s. a

,434 21 ≤− xx 5239 321 ≤−+ xxx ,

,63 21 ≤− xx 224 321 ≤−+ xxx ,

,85 1 ≤x ,34 321 ≤+− xxx

0, 21 ≥xx . 0,, 321 ≥xxx .


0,,,64

,72..

26

321

21

321

321

≥−≥−−≤++

++=

xxxxx

xxxas

xxxZ

0,1222,13

,10336..

42

321

21

321

321

≥≤+−≤+−

≤−+

−+=

ixxxxxxx

xxxas

xxxZ


96

5.3. MÉTODO DE PENALIZACIÓN Variables artificiales

Para iniciar el método simplex, se requiere de una solución factible básica. Para un

problema de programación lineal estándar, empezamos con la S.F.B., en la cual todas

las variables estructurales son cero. Sin embargo, para un problema de maximización

que no esté en la forma estándar, tal S.F.B. podría no existir. En esta sección se

presentará la forma en que el método simplex es utilizado en tales situaciones.

Objetivo Resolver problemas de maximización que no están en forma estándar introduciendo

variables artificiales.

Ejemplo1

Maximizar Z=X1+4X2

s.a

X1+2X2 ≤ 8

X1+6X2 ≥12

X2≥ 2

X1, X2≥0

Solución: Función objetivo artificial: W=Z-MT1-MT2 (Donde Z=X1+4X2+0X3+0X4+0X5)

X1+2X2+ X3 = 8

X1+6X2- X4+T1 =12

0X1+X2- X5+T2 = 2


97

Tablero Inicial

X1 X2 X3 X4 X5 T1 T2 W b

1 2 1 0 0 0 0 0 8

1 6 0 -1 0 1 0 0 12

0 1 0 0 -1 0 1 0 2

-1 -4 0 0 0 M M 1 0

Debemos eliminar las M de las columnas de T1 y T2, para ello multiplicamos todos los

elementos de la fila 3 y 4 por (-M) y le vamos a sumar a la quinta fila.

-M -6M 0 M 0 -M 0 0 -12M

0 -M 0 0 M 0 -M 0 -2M

-1 -4 0 0 0 M M 1 0

-M-1 -7M-4 0 M M 0 0 1 -14M

I Tablero Simplex

X1 X2 X3 X4 X5 T1 T2 W b

X3 1 2 1 0 0 0 0 0 8

T1 1 6 0 -1 0 1 0 0 12

T2 0 1 0 0 -1 0 1 0 2

W -M-1 -7M-4 0 M M 0 0 1 -14M

Variables básicas: X3=8 ; T1=12 y T2=2 Variables no básicas: X1=0, X2=0 , X4=0 y X5=0 con W=-14M

Variable que entra X2 , variable que sale T2

X1 X2 X3 X4 X5 T1 T2 W b

X3 1 0 1 0 2 0 -2 0 4

T1 1 0 0 -1 6 1 -6 0 0

X2 0 1 0 0 -1 0 1 0 2

W -M-1 0 0 M -6M-4 0 7M+4 1 8


98

II Tablero Simplex Variable que entra X5, variable que sale T1 y eliminamos la columna de T2 por tener un

indicador positivo bastante grande. Observe que dividimos toda la fila de T1 entre 6

para hacer 1 y luego hacer ceros por encima del uno y por debajo del mismo.

X1 X2 X3 X4 X5 T1 W b

X3 2/3 0 1 2/6 0 -2/6 0 4

X5 1/6 0 0 -1/6 1 1/6 0 0

X2 1/6 1 0 -1/6 0 1/6 0 2

W -1/3 0 0 -2/3 0 M+2/3 1 8

III Tablero Simplex

Variable que entra X4, variable que sale X3 y eliminamos la columna de T1 por ser

variable no básica y además tener en su indicador un número positivo bastante

grande.

Observe que.

• W=Z-Mt1-Mt2 , y como t1 =0 y t2 =0, entonces W=Z

X1 X2 X3 X4 X5 Z b

X3 2/3 0 1 2/6 0 0 4

X5 1/6 0 0 -1/6 1 0 0

X2 1/6 1 0 -1/6 0 0 2

Z -1/3 0 0 -2/3 0 1 8


99

Multiplicando a la fila de la variable saliente por 3 para hacer uno y luego hacer ceros

debajo de el.

X1 X2 X3 X4 X5 Z b

X4 2 0 3 1 0 0 12

X5 1/2 0 1/2 0 1 0 2

X2 1/2 1 1/2 0 0 0 4

Z 1 0 2 0 0 1 16

Como todos los indicadores son positivos, el proceso finaliza.

Observe que las variables básicas son: X4=12; X5=2, X2=4, y las variables no

básicas: X1=0, X3=0

Nuestras variables de decisión en el ejemplo son: X1 y X2. Luego nuestra respuesta es: X1= 0 y X2 = 4 con Zóptimo=16 Ejemplo2

Max Z = 2X1+X2

s.a

X1+X2<=12

X1+2X2<=20

-X1+X2>=2

Xi>=0

F.O artificial

W=Z-Mt1 Observe que: Z= 2X1+X2+0X3+0X4

X1+X2+ X3 = 12

X1+2X2+ X4 = 20

- X1+X2- X5+t1 = 2


100

I Tablero Inicial

X1 X2 X3 X4 X5 T1 W b

1 1 1 0 0 0 0 12

1 2 0 1 0 0 0 20

-1 1 0 0 -1 1 0 2

-2 -1 0 0 0 M 1 0

Para pasar al primer tablero simplex debemos eliminar M de la columna de T1, para

ello basta multiplicar todo la fila cuatro por –M y sumar a la fila cinco

I Tablero Simplex

X1 X2 X3 X4 X5 T1 W b

X3 1 1 1 0 0 0 0 12

X4 1 2 0 1 0 0 0 20

T1 -1 1 0 0 -1 1 0 2

W M-2 -M-1 0 0 M 0 1 -2M

Variable que sale T1, variable que entra X2

Por suerte observe que el elemento pivote es uno y por tanto no es necesario

multiplicar por algún numero para hacer uno en ese casillero

X1 X2 X3 X4 X5 T1 W B

X3 2 0 1 0 1 -1 0 10

X4 3 0 0 1 2 -2 0 16

X2 -1 1 0 0 -1 1 0 2

W -3 0 0 0 -1 M+1 1 2

Eliminamos la columna de T1 pues (M+1) es un número positivo bastante grande es

una variable no básica.


101

Observe que en este tablero las variables básicas son: X3=10, X4=16 y X2=2

Y las variables no básicas son: X1=0 , X5=0, T1=0

W= Z-MT1 pero como T1 =0 →W=Z

II Tablero Simplex

Variable que entra X1 variable que sale X3

X1 X2 X3 X4 X5 Z B

X3 2 0 1 0 1 0 10

X4 3 0 0 1 2 0 16

X2 -1 1 0 0 -1 0 2

Z -3 0 0 0 -1 1 2

Observe que a toda la fila de la variable es dividida entre dos con la finalidad de hacer

luego ceros debajo del uno. Por ejemplo:

i) A la fila de X1 multiplique por -3 y sume a la fila de X4 es decir:

-3 0 -3/2 0 -3/2 0 -15+

3 0 0 1 2 0 16

0 0 -3/2 1 ½ 0 1

ii) Luego a la fila de X1 multiplique por uno y sume a la fila de X2.

iii) A la fila de X1 multiplique por 3 y sume a toda la fila de Z y obtendrá la siguiente

tabla:

X1 X2 X3 X4 X5 Z b

X1 1 0 1/2 0 1/2 0 5

X4 0 0 -3/2 1 1/2 0 1

X2 0 1 1/2 0 -1/2 0 7

Z 0 0 3/2 0 1/2 1 17


102

Como los indicadores son positivos, finaliza el proceso:

Entonces las variables básicas son: X1=5; X4=1 y X2=7 y las no básicas son: X3=0 y

X5=0 y T1=0

Luego estamos interesados en los valores de nuestras variables de decisión es decir, daremos como respuesta X1=5, X2=7 con ZMax óptimo = 17

Ejemplo 3 Una compañía fabrica dos tipos de estantes: estándar y ejecutivo. Cada tipo requiere

tiempos de ensamble y de terminado como se indica en la siguiente tabla. La utilidad

sobre cada unidad también se indica. El número de horas disponibles por semana en

el departamento de ensamble es de 400 y en el departamento de acabado es de 510.

A causa de un contrato sindical, al departamento de acabado se le garantiza al menos

240 horas de trabajo por semana.

¿Cuántas unidades de cada tipo debe producir la compañía semanalmente para

maximizar sus utilidades?

Tiempo de ensamblaje

Tiempo de acabado

Utilidad por unidad

Estándar 1 horas 2 horas $ 10

Ejecutivo 2 horas 3 horas $ 12

Tiempo Disponible 400 ≤510 pero ≥240


Sea X1 el N° de unidades a producir de estantes estándar

Sea X2 el N° de unidades a producir de estantes ejecutivos

F.O max Z = 10X1+12X2

s.a.

X1+2X2 ≤ 400

2X1+3X2 ≤510

2X1+3X2 ≥240

Xi>=0


103

Solución:

F.O artificial

W=Z-Mt1

X1+2X2+ X3 = 400

2X1+3X2+X4 = 510

2X1+3X2-X5+t1= 240

I Tablero Inicial

X1 X2 X3 X4 X5 t1 W B

1 2 1 0 0 0 0 400

2 3 0 1 0 0 0 510

2 3 0 0 -1 1 0 240

-10 -12 0 0 0 M 1 0

Recordamos que debemos eliminar las M de la columna de T1 con operaciones fila, es

decir, a la fila 4 multiplicar por –M y sumar a la fila 5. Luego pasamos al:

I Tablero Simplex

X1 X2 X3 X4 X5 t1 W B

X3 1 2 1 0 0 0 0 400

X4 2 3 0 1 0 0 0 510

t1 2 3 0 0 -1 1 0 240

W -2M-10 -3M-12 0 0 M 0 1 -240M


104

Variable que ingresa X2, Variable que sale t1 Observe que el elemento pivote 3 en la

fila t1 debe hacerse uno, entonces multiplicamos toda la fila de t1 por 1/3. Luego hacer

unos encima y debajo del uno ubicado en la fila de X2

X1 X2 X3 X4 X5 t1 W B

X3 -1/3 0 1 0 2/3 -4/3 0 240

X4 0 0 0 1 1 -2 0 270

X2 2/3 1 0 0 -1/3 2/3 0 80

W -2 0 0 0 -4 2M+8 1 960

Eliminamos la columna t1 por ser variable no básica y además su indicador es un

número positivo bastante grande. Es decir, t1=0 reemplazando en W=Z-Mt1 podemos

afirmar que W=Z

Por lo cual reemplazamos en los siguientes tableros.

II Tablero Simplex

X1 X2 X3 X4 X5 Z B

X3 -1/3 0 1 0 2/3 0 240

X4 0 0 0 1 1 0 270

X2 2/3 1 0 0 -1/3 0 80

Z -2 0 0 0 -4 1 960

Variable que sale X4 variable que entra X5 haciendo ceros encima y debajo del

elemento pivote

Que por suerte es uno. Obtenemos el:


105

III Tablero Simplex

Variable que sale X2 variable que entra X1

X1 X2 X3 X4 X5 Z B

X3 -1/3 0 1 -2/3 0 0 60

X5 0 0 0 1 1 0 270

X2 2/3 1 0 1/3 0 0 170

Z -2 0 0 4 0 1 2040

Multiplicando a la fila X2 por 3/2 para hacer uno y luego ceros tenemos el siguiente

tablero

IV Tablero Simplex

X1 X2 X3 X4 X5 Z B

X3 0 ½ 1 -1/2 0 0 145

X5 0 0 0 1 1 0 270

X1 1 3/2 0 ½ 0 0 255

Z 0 3 0 5 0 1 2550

Como los indicadores son positivos fin del proceso podemos observar que

Nuestro plan de producción es:

X1=255 estantes estándar y

X2=0 estantes ejecutivo

Con una utilidad máxima Z óptimo=$2550


106


Utilice el método simplex para resolver los problemas siguientes.

1. Maximizar

Z= 212 xx +

Sujeto a:

1221 ≤+ xx

202 21 ≤+ xx

221 ≥+− xx

0, 21 ≥xx

2. Maximizar

Z = 21 2xx +

921 ≤+ xx

121 ≥− xx

0, 21 ≥xx

3. Maximizar

Z = 212 xx +

Sujeto a:

,621 ≤+ xx

,421 ≥+− xx

0, 21 ≥xx .

4. Maximizar

Z = 3212 xxx −+

Sujeto a:

,52 321 ≤++ xxx

,1321 ≥++− xxx

0,, 321 ≥xxx .


107

5. Maximizar

Z = 21 10xx −

Sujeto a:

,121 ≤− xx

,82 21 ≤+ xx

,521 ≥+ xx

0, 21 ≥xx .

6. Maximizar

Z = 321 23 xxx +−

Sujeto a:

,1321 ≤++ xxx

,2321 ≥+− xxx

,6321 −≤−− xxx

0,, 321 ≥xxx .

7. Maximizar

Z = 21 4xx +

Sujeto a:

,82 21 ≤+ xx

,126 21 ≥+ xx

,22 ≥x

0, 21 ≥xx .

8. Maximizar

Z = 21 5xx −

Sujeto a:

,132 21 −≥− xx

,321 ≥+− xx

,1121 ≥+ xx

0, 21 ≥xx .


108

9. Maximizar

Z = 21 43 xx +

Sujeto a:

,82 21 ≤+ xx

,126 21 ≥+ xx

0, 21 ≥xx .

10. Maximizar

Z = 321 4xxx +−

Sujeto a:

9321 ≤++ xxx

,62 321 ≥+− xxx

0,, 321 ≥xxx .


109

5.4. En general, el método simplex puede ser utilizado para:

b } , ,{ xa...xaxa ...........................................................

,}b , ,{ xa...xaxa , } , ,{ ...

a sujeto... Zmaximizar

3nmn2m21m1

2n2n222212

11212111

2211

=≥≤+++

=≥≤+++=≥≤+++

+++=

bxaxaxa

xcxcxc

nn

nn

donde mn bbbxxx ,...,,y ,,...,, 2121 son no negativos. Los símbolos { },, =≥≤ significan que

existe una de las relaciones « ≤ », « ≥ » o «=» para una restricción. Si todas las

restricciones involucran «≤ », el problema está en forma canónica y se aplican las

técnicas simplex. Si alguna restricción involucra « ≥ » o «=», empezamos con un

problema artificial, que se obtiene como sigue.

Cada restricción que contenga «≤ »es escrita como una ecuación involucrando una

variable de holgura iS con coeficiente +1.:

++++ ninii xaxaxa ...2211 iS = ib .

Cada restricción que tenga « ≥ » es escrita como una ecuación que involucre una

variable de holgura (o llamado también variable de superávit) jS con coeficiente -1 y

una variable artificial jt :

jjjnjnjj btsxaxaxa =+−+++ ...2211

En cada restricción de igualdad se inserta una variable artificial no negativa kt :

kknknkk btxaxaxa =++++ ...2211 .

Por ejemplo, si tuviera tres variables artificiales involucradas ,,, 321 ttt entonces la

función objetivo artificial es:

W = Z- 321 MtMtMt −− ,


110

Donde M es un número positivo grande. Una S.F.B. ocurre cuando

0...21 ==== nxxx

y cada variable de holgura que tenga coeficiente -1 es igual a cero. Después de

obtener una tabla simplex inicial, aplicamos el método simplex hasta que lleguemos a

una tabla que corresponda a una S.F.B. en la que todas las variables artificiales sean

igual a cero. Después eliminamos las columnas da las variables artificiales, cambiando

las W por z, y continuamos utilizando los procedimientos del método simplex.

12. Maximizar

0,x,x, x4x x- x103xx2x

s.a24

321

321

321

321

≥=+≤++

++= xxxZ

13. Maximizar

0,x,x, x2x x- x- 6x2x2x-

s.a231

321

321

321

321

≥−≤+−=−−

−+= xxxZ

14. Maximizar

0x, x6 x 4 x x- 4x x

s.a23

21

1

21

21

21

≥≥=+≤−

+−= xxZ

15. Maximizar

0,x,x, x8x x x5x2 x

s.a32

321

321

32

321

≥=++≥−

++= xxxZ


111

16. Maximizar

0,x,x, x7xx- x3x x x5xx x

s.a4

321

321

321

321

321

≥=+≤++≥−+

−+= xxxZ

17. Maximizar

0,x,x, x12x2 x3 6x 1xx x

s.a2

321

321

321

321

≥=++−≤−−

++= xxxZ

18. Maximizar

0y x,408y5x 123y2x 3y x

s.a34

≥≥+≤+≤+

−= yxZ

19. Maximizar

0x, x1 x x2xx-

s.a2

21

21

21

21

≥≤+≥+

+= xxZ


112

5.5 MINIMIZACIÓN En general, para minimizar una función es suficiente con maximizar su negativo. Por

ejemplo considere la función 4)( 2 −= xxf . Observe que el valor mínimo de f es -4 y

ocurre cuando x=0. Ahora considere la función ).4()()( 2 −−=−= xxfxg Esta gráfica

es la reflexión con respecto al eje x de la gráfica de f . Observe que el valor máximo

de g es 4 y ocurre cuando x=0. Por tanto, el valor mínimo de 42 −x es el negativo del

valor máximo de -( 42 −x ). Esto es, )( fmáxfmín −−=

Ejemplos: En general, para minimizar una función es suficiente con maximizar su

negativo.

Ejercicios de Minimización

1. MIN Z = 4X1 + 2X2 + 1X3

s.a

X1 - X2 - X3 ≥ 9

Xi≥ 0 i=1, 2,3

Solución

f.o(función objetivo artificial) W = -Z - Mt1

X1 – X2 – X3 –X4 + t1 = 9

Tablero Inicial

X1 X2 X3 X4 t1 W b

Por (-M) 1 -1 -1 -1 1 0 9

W 4 2 1 0 M 1 0


113

i) Debemos eliminar la M de la columna de t1 para ello multiplicamos por (-M) es

decir

ii) luego recién pasamos al primer tablero Simplex

-M M M M -M 0 -9M

4 2 1 0 M 1 0

(4-M) (2+M) 1+M M 0 1 -9M

I Tablero Simplex

X1 X2 X3 X4 t1 W b

t1 1 -1 -1 -1 1 0 9

W (4-M) (2+M) 1+M M 0 1 -9M

X1 1 -1 -1 -1 1 0 9

W 0 6 5 4 (M-4) 1 -36

Eliminamos la columna «t1» por tener indicador positivo

Observe que la variable que sale es t1 y la variable que entra es x1, por ello

multiplicamos a la fila de de x1 variable ingresante por (M-4) para luego sumarle a la

fila de w para hacer cero debajo del elemento pivote.

II Tablero Simplex

X1 X2 X3 X4 W b

X1 1 -1 -1 -1 0 9

W 0 6 5 4 1 -36


114

Observe que los indicadores son positivos; por lo tanto, fin del proceso

Variables básicas: X1= 9

Variables no básicas: X2=0, X3=0, X4=0, t1=0

Si t1 = 0

Rpta: X1 = 9 W = -Z - Mt1 X2 = 0

X3 = 0 Zmin óptimo = 36

-36 = -Z

Z = 36

2. MIN Z = X1 + 8X2 + 5X3

s.a

X1 + X2 + X3 ≥ 8

-X1 + 2X2 + X3 ≥ 2

Xi≥ 0 i=1,2,3

Solución

f.o W = -Z - Mt1 - Mt2

X1 + X2 + X3 –X4 + t1 = 8

-X1 + 2X2 + X3 –X5 + t2 = 2

TABLERO INICIAL

X1 X2 X3 X4 X5 t1 t2 W b

Por -M

1 1 1 -1 0 1 0 0 8

Por -M

-1 2 1 0 -1 0 1 0 2

W 1 8 5 0 0 M M 1 0


115

Antes de pasar al primer tablero Simplex eliminamos las M de la columna t1 y t2

-M -M - M M 0 -M 0 0 -8M

M -2M -M 0 M 0 -M 0 -2M

1 8 5 0 0 M M 1 0

1 (8-3M) (5-2M) M M 0 0 1 -10M

I Tablero Simplex

Recordar que el elemento pivote (2) fila de t2 debemos hacer uno para ello a toda la

fila de t2 dividimos entre dos, luego en la fila de la variable que ingreso x2 mediante

operaciones elementales de fila hacemos ceros por encima y por debajo del 1.

X1 X2 X3 X4 X5 t1 t2 W b

t1 1 1 1 -1 0 1 0 0 8

t2 -1 2 1 0 -1 0 1 0 2

W 1 (8-3M) (5-2M) M M 0 0 1 -10M

t1 3/2 0 1/2 -1 1/2 1 -1/2 0 7

X2 -1/2 1 1/2 0 -1/2 0 1/2 0 1

W (5 - 3M/2) 0 (1-M/2) M (4 - M/2)

0 (-4 + 3M/2) 1 -8-7M

Eliminamos la columna «t2» por tener indicador positivo Es decir, es un número positivo bastante grande y es imposible que ingrese en alguna iteración.


116

II Tablero Simplex

X1 X2 X3 X4 X5 t1 W b

t1 3/2 0 1/2 -1 1/2 1 0 7

X2 -1/2 1 1/2 0 -1/2 0 0 1

W (5 - 3M/2) 0 (1-

M/2) M

(4 - M/2)

0 1 -8 - 7M

X1 1 0 1/3 -2/3 1/3 2/3 0 14/3

X2 0 1 2/3 -1/3 -1/3 1/3 0 10/3

W 0 0 -2/3 10/3 7/3 M-10/3 1 -94/3

Luego eliminamos la columna de t1 por tener el indicador positivo bastante grande

III Tablero Simplex

La variable que ingresa es X3 y la variable que sale X2

X1 X2 X3 X4 X5 W b

X1 1 0 1/3 -2/3 1/3 0 14/3

X2 0 1 2/3 -1/3 -1/3 0 10/3

W 0 0 -2/3 10/3 7/3 1 -94/3

X1 1 -1/2 0 -1/2 1/2 0 3

X3 0 3/2 1 -1/2 -1/2 0 5

W 0 1 0 3 2 1 -28


Variables básicas: X1=3 y X3=5

Variables no básicas: X2=0; X4=0, X5=0 ,t1=0,t2=0


117

t1 =0 y t2 = 0

Rpta: X1 = 3 W = -Z - Mt1 - Mt2 X2 = 0


-84/3= -28 = -Z

Z = 28

3. MIN Z = 2X1 + 3X2 + X3

s.a

X1 + X2 + X3 ≤ 6

X1 - X3 ≤ -4 -----> por(-1) ------> -X1 + X3 ≥ 4

X2 + X3 ≤ 5

Xi≥ 0 i=1,2,3

Solución

f.o W = -Z - Mt1

X1 + X2 + X3 +X4 = 6

-X1 + X3 –X5 + t1 = 4

X2 + X3 +X6 = 5

Tablero Inicial

X1 X2 X3 X4 X5 X6 t1 W b

1 1 1 1 0 0 0 0 6 Por -

M -1 0 1 0 -1 0 1 0 4

0 1 1 0 0 1 0 0 5

W 2 3 1 0 0 0 M 1 0


118

M 0 -M 0 M 0 -M 0 -4M

2 3 1 0 0 0 M 1 0

(M+2) 3 (1-M) 0 M 0 0 1 -4M

I Tablero Simplex

X1 X2 X3 X4 X5 X6 t1 W b

X4 1 1 1 1 0 0 0 0 6

t1 -1 0 1 0 -1 0 1 0 4

X6 0 1 1 0 0 1 0 0 5

W (2+M) 3 (1-M) 0 M 0 0 1 -4M

X4 2 1 0 1 1 0 -1 0 2

X3 -1 0 1 0 -1 0 1 0 4

X6 1 1 0 0 1 1 -1 0 1

W 3 3 0 0 1 0 (M-1) 1 -4


t1 = 0

Rpta: X1 = 0 W = -Z - Mt1 X2 = 0


-4= -Z

Z = 4


119


1. Minimizar

0,10

6..

63

21

21

21

21

≥≥+≥+−

+=

xxxx

xxas

xxz

2. Minimizar

0,,9

..24

321

321

321

≥≥−−

++=

xxxxxx

asxxxz

3. Minimizar

0,,54

6..

32

321

32

31

321

321

≥≤+−≤−

≤++

++=

xxxxxxx

xxxas

xxxz

1 2 3

1 2 3

2 3

1 2

1 2 3

4. Min 3. .

2 416

, , 0

z x x xs ax x xx xx xx x x

= − −

+ + =+ =+ ≤

≥


120

5. Minimizar

0,,22

8..

58

321

321

321

321

≥≥++−

≥++

++=

xxxxxx

xxxas

xxxz

6. Una planta de cemento produce 2,500,000 barriles de cemento por año. Los

hornos emiten 2 libras de polvo por cada barril producido. Una agencia gubernamental

para protección del ambiente requiere que la planta reduzca sus emisiones de polvo a

no más de 800,000 libras anuales. Existen dos dispositivos de control de emisiones

disponibles, A y B. El dispositivo A reduce las emisiones a 21 libra por barril y su

costo es de $0.20 por barril de cemento producido. Para el dispositivo B, las emisiones

son reducidas a 51 libra por barril y el costo es de $0.25 por barril de cemento

producido. Determine el plan de acción más económico que la plante debe tomar de

modo que cumpla con el requerimiento de la agencia y también mantenga su

producción anual de 2,500,000 barriles de cemento.

7. Una planta de cemento produce 3,300,000 barriles de cemento por año. Los

hornos emiten 2 libras de polvo por cada barril producido. La planta debe reducir sus

emisiones a no más de 1,000,000 libras anuales. Hay 2 dispositivos de control

disponibles, A y B. El dispositivo A reducirá las emisiones a ½ libra por barril y el

costo es de $0.25 por barril de cemento producido. Para el dispositivo B, las emisiones

son reducidas a ¼ de libra por barril y el costo es de $0.40 por barril de cemento

producido. Determine el plan de acción más económico que la planta debe tomar de

modo que mantenga su producción anual de exactamente 3,300,000 barriles de

cemento.


121

8. Un comerciante tienen tiendas en Exton y Whyton, y almacenes A y B en otras

dos ciudades. Cada tienda requiere de exactamente 30 refrigeradores. En el almacén

A hay 50 refrigeradores y en el B hay 20. Los costos de transporte para enviar los

refrigeradores desde los almacenes a las tiendas están dados en la siguiente tabla.

¿Cómo debe solicitar los refrigeradores el comerciante de modo que los

requerimientos se satisfagan y el costo total de transporte se minimice? ¿Cuál es el

costo mínimo de transporte?

Exton Whyton

Almacén A $15 $13

Almacén B $11 $12


122

6. LA TEORÍA DE LA DUALIDAD

6.1. El PROBLEMA DUAL

Existe un principio fundamental llamado dualidad, que permite resolver un problema de

maximización resolviendo el problema de minimización relacionado con él.

En general, con cualquier problema de PL podemos asociar otro problema de PL

llamado su dual. El problema dado es llamado primal .Si el primal es un problema de

maximización, entonces su dual es un problema de minimización. Del mismo modo, si

el problema primal implica minimización, su dual implica maximización.

Cualquier problema primal de maximización puede ser escrito en la forma indicada en

la tabla 1. Observe que no existen restricciones sobre las b. El correspondiente

problema dual de minimización puede ser escrito en la forma de la tabla 2.

Similarmente, cualquier problema primal de minimización puede ser escrito en la forma

de la tabla 2 y su dual es el problema de maximización en la tabla 1.

TABLA 1 Primal (Dual)

nn xcxcxc +++= ...Zmaximizar 2211

s.a.

11212111 ... bxaxaxa nn ≤+++

22222121 ... bxaxaxa nn ≤+++

……………………………..

…………………………….

mnmnmm bxaxaxa ≤+++ ...2211

0,..., 21 ≥nxxx

TABLA 2 Dual (Primal)

nn ybybyb +++= ...Wminimizar 2211

s.a.

11221111 ... cyayaya mm ≥+++

22222112 ... cyayaya mm ≥+++

……………………………..

…………………………….

nmmnnn cyayaya ≥+++ ...2211

0,..., 21 ≥nyyy


123

Observe que si todas las restricciones en el problema primal involucran )(≥≤ .

Entonces todas las restricciones en su dual involucran )(≤≥ . Los coeficientes en la

F.O. del dual son los términos constantes en las restricciones del primal. Del mismo

modo, los términos constantes en las restricciones del dual son los coeficientes de la

F.O. del primal. La matriz de coeficientes de los lados izquierdos de las restricciones

del dual, es la transpuesta de la matriz de coeficientes de los lados izquierdos de las

restricciones del primal.

Si el primal involucra n variables de decisión (estructurales) y m variables de holgura,

entonces el dual involucra m variables de decisión y n variables de holgura. Debe

notarse que el dual del dual es el primal.

6.2. Existe una relación importante entre el primal y su dual: 1. Si el primal tiene una solución óptima, también la tendrá el dual, y el valor óptimo

de la función objetivo del primal, es el mismo que el de su dual.

2. Además suponga que la F.O. del primal es: nn xcxcxcZ +++= ...2211 . Entonces:

Si iS es la variable de holgura asociada con la i-ésima restricción en el dual,

entonces el indicador en la columna iS de la tabla simples final del dual, es el

valor de ix en la solución óptima del primal.

Por eso podemos resolver, el problema primal con sólo resolver su dual. En

ocasiones esto es más conveniente que resolver directamente el primal.

Si una restricción de desigualdad involucra ≥ , multiplicando ambos miembros por -1

se obtiene una desigualdad que involucra ≤ . Si una restricción es una igualdad. Puede

ser reescrito en términos de dos desigualdades: una involucrando ≤ y otra

involucrando ≥ .


124

6.3. EJEMPLOS UTILIZANDO EL ALGORITMO SIMPLEX DUAL El proceso de las operaciones son las mismas la diferencia esta en que tenemos que

resolver el primal por medio de su dual.

Ejercicios de Dualidad 1. MIN C = 4X1 + 4X2 + 6X3

s.a

X1 - X2 + X3 ≥ 1 PRIMAL

-X1 + X2 + X3 ≥ 2

Xi≥ 0 i=1,2,3

Sol:

1 1 11 1 1

A−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

1 11 1

1 1

tA−⎛ ⎞

⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

DUAL

MAX Z = 1Y1 + 2Y2

1Y1 - 1Y2 ≤ 4

-1Y1 + 1Y2 ≤ 4

1Y1 + 1Y2 ≤ 6

0iy ≥

Resolviendo el DUAL

f.o MAX Z = 1Y1 + 2Y2

1Y1 - 1Y2 +Y3 = 4

-1Y1 + 1Y2 + Y4 = 4

1Y1 +1Y2 + Y5 = 6

0iy ≥


125

VARIABLES DE HOLGURA

Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Z b

Y3 1 -1 1 0 0 0 4

Y4 -1 1 0 1 0 0 4

Y5 1 1 0 0 1 0 6

Z -1 -2 0 0 0 1 0

Y3 0 0 1 1 0 0 8

Y2 -1 1 0 1 0 0 4

Y5 2 0 0 -1 1 0 2

Z -3 0 0 2 0 1 8

Y3 0 0 1 1 0 0 8

Y2 0 1 0 1/2 1/2 0 5

Y1 1 0 0 -1/2 1/2 0 1

Z 0 0 0 1/2 3/2 1 11

X1 X2 X3 Rpta: X1 = 0 X2 = 1/2 X3 = 3/2 C = 11 Observe que las respuestas del primal se encuentran en las columnas de las variables de holgura del dual y el Z = C 2. MIN C = 6X1 + 4X2

s.a

-X1 + X2 ≤ 1 ----> por(-1) ------> X1 – X2 ≥ -1

X1 + X2 ≥ 3

Xi≥ 0 i=1,2,3


126

primal : MIN C = 6X1 + 4X2

s.a

X1 – X2 ≥ -1

X1 + X2 ≥ 3

Xi≥ 0 i=1,2,3

Observe si no realizamos esa sencilla multiplicación por (-1) no podría pasar a

su dual

1 1 1 11 1 1 1

tA A−⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= → =⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

DUAL

MAX Z = -1Y1 + 3Y2

1Y1 + 1Y2 ≤ 6

-1Y1 + 1Y2 ≤ 4

Resolviendo el DUAL

f.o MAX Z = -1Y1 + 3Y2+0Y3+0Y4

1Y1 + 1Y2 + Y3 = 6

-1Y1 + 1Y2 + Y4 = 4

0iy ≥


127

Variables de holgura

Y1 Y2 Y3 Y4 Z b

Y3 1 1 1 0 0 6

Y4 -1 1 0 1 0 4

Z 1 -3 0 0 1 0

Y3 2 0 1 -1 0 2

Y2 -1 1 0 1 0 4

Z -2 0 0 3 1 12

Y1 1 0 1/2 -1/2 0 1

Y2 0 1 1/2 1/2 0 5

Z 0 0 1 2 1 14

Rpta: X1 = 1 X2 = 2 Cmin = 14 3. MAX Z = 3X1 + 8X2 (PRIMAL)

s.a

X1 + 2X2 ≤ 8

X1 + 6X2 ≤ 12

Xi≥ 0 i=1,2

Pasando al dual

1 2 1 11 6 2 6

tA A⎛ ⎞ ⎛ ⎞= → =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

f.o MIN C = 8Y1 + 12Y2 (DUAL)

1Y1 + 1Y2 ≥ 3

2Y1 + 6Y2 ≥ 8

Yi≥0


128

Sol:

f.o R = -C - Mt1 - Mt2

1Y1 + 1Y2 - Y3 + t1 = 3

-1Y1 + 1Y2 - Y4 + t2 = 8

Tablero Inicial

Y1 Y2 Y3 Y4 t1 t2 R b Por -M 1 1 -1 0 1 0 0 3 Por -M 2 6 0 -1 0 1 0 8

R 8 12 0 0 M M 1 0

-M -M M 0 -M 0 0 -3M

-2M -6M 0 M 0 -M 0 -8M

8 12 0 0 M M 1 0

(-3M+8) (-7M+12) M M 0 0 1 -11M

I Tablero Simplex

Y1 Y2 Y3 Y4 t1 t2 R b

t1 1 1 -1 0 1 0 0 3

t2 2 6 0 -1 0 1 0 8

R (-3M+8) (-7M+12) M M 0 0 1 -11M

t1 2/3 0 -1 1/6 1 -1/6 0 10/6

t2 1/3 1 0 -1/6 0 1/6 0 8/6

R (-2M/3 + 4)

0 M (-M/6 + 2)

0 (7M/6 - 2) 1 -10M/6 -16



129

II Tablero Simplex


Y1 Y2 Y3 Y4 t1 R b

t1 2/3 0 -1 1/6 1 0 10/6

Y2 1/3 1 0 -1/6 0 0 8/6

R (-2M/3 + 4)

0 M (-M/6 + 2)

0 1 -10M/6 - 16

Y1 1 0 -3/2 1/4 3/2 0 5/2

Y2 0 1 3/6 -3/12 -1/2 0 3/6

R 0 0 6 1 (M-6) 1 -26


III Tablero Simplex


Y1 Y2 Y3 Y4 R b

t1 2/3 0 -1 1/6 0 10/6

Y2 1/3 1 0 -1/6 0 8/6

R (-2M/3 + 4) 0 M (-M/6 + 2) 1 -10M/6 - 16

Y1 1 0 -3/2 1/4 0 5/2

Y2 0 1 3/6 -3/12 0 3/6

R 0 0 6 1 1 -26

Indicadores positivos: fin del proceso y recuerde que los valores de X1 y X2 se

encuentran en la columna de las variables de holgura

R = -C=-26 Rpta: X1 = 6 X2 = 1 C = 26


130

4. Una compañía paga a trabajadores calificados y semicalificados en su

departamento de ensamblado $7 y $4 por hora, respectivamente. En el

departamento de embarques, a los empleados se les paga $5 por hora y a los

aprendices $2 por hora. La compañía requiere al menos de 90 trabajadores en el

departamento de ensamblado y al menos 60 empleados en el departamento de

embarques. Debido a acuerdos sindicales, debe ser empleado al menos el doble

de trabajadores semicalificados que de calificados.

También, deben ser contratados al menos dos veces empleados de embarque

que de aprendices. Utilice el dual y el método simples para determinar el número

de trabajadores de cada tipo que la compañía debe emplear de modo que el total

en salarios pagado por hora sea mínimo.¿Cuál es el total en salarios por hora

mínimo?

Solución Variables de decisión:

Sea:

x1 el número de trabajadores calificados

x2 el número de trabajadores semicalificados

x3 el número de trabajadores empleados

x4 el número de trabajadores aprendices

PRIMAL

F.O Min S = 7x1+4x2+5x3+2x4

S.A x1 + x2 ≥ 90

x3 + x4 ≥ 60

x2 - 2x4 ≥ 0

x3 - 2x4 ≥ 0

xi ≥ 0, i=1, 2, 3, 4

Construimos la matriz inicial:

1x1 + 1x2 + 0x3 + 0x4 ≥ 90

0x1 + 0x2 + 1x3 + 1x4 ≥ 60

-2x1 + 1x2 + 0x3 + 0x4 ≥ 0

0x1 + 0x2 + 1x3 - 2x4 ≥ 0


131

Su matriz transpuesta (hacer las filas columnas) seria la siguiente:

1 1 0 0 1 0 2 00 0 1 1 1 0 1 02 1 0 0 0 1 0 1

0 0 1 2 0 1 0 2

TA A

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= → =⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Luego el Dual del Primal es:

DUAL Max Z = 90y1 + 60y2 + 0y3 + 0y4

s.a

1y1 + 0y2 - 2y3 + 0y4 ≤ 7

1y1 + 0y2 + 1y3 + 0y4 ≤ 4

0y1 + 1y2 + 0y3 + 1y4 ≤ 5

0y1 + 1y2 + 0y3 - 2y4 ≤ 2

yi≥0, i=1, 2, 3, 4

Estandarizando

F.O Z = 90y1+60y2+0y3+0y4+0y5+0y6+0y7+0y8

1y1 + 0y2 - 2y3 + 0y4 + 1y5 = 7

1y1 + 0y2 + 1y3 + 0y4 + 1y6 = 4

0y1 + 1y2 + 0y3 + 1y4 + 1y7 = 5

0y1 + 1y2 + 0y3 - 2y4 + 1y8 = 2

Tablero Simplex

y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 Z b

y5 1 0 -2 0 1 0 0 0 0 7

y6 1 0 1 0 0 1 0 0 0 4

y7 0 1 0 1 0 0 1 0 0 5

y8 0 1 0 -2 0 0 0 1 0 2

Z -90 -60 0 0 0 0 0 0 1 0


132

Observemos la tabla simplex:

El la fila del Z ubicamos al indicador más negativo, en nuestro ejemplo esta en la

columna de y1 que es -90, la cual viene hacer la columna pivote. Luego para saber

que variable ingresa y sale procedemos a dividir elemento a elemento de la columna b

entre la columna pivote. Tomando en cuenta algunas restricciones como son:

- No se puede hacer divisiones entre cero

- Tampoco divisiones entre numero negativos

Bien, ahora ya divido los elementos ubicamos la fila que tenga el menor cociente

positivo, siguiendo en nuestro caso la fila que cumple con esas condiciones es la fila

de y6. Entonces la variable que ingresa es y1 y la que sale es y6, ahora bien ubicamos

el elemento pivote que es la intersección entre ambas variables, en nuestro caso es 1.

Muy importante aclarar este punto si el elemento pivote no es 1 tenemos que hacerlo 1

para la siguiente construcción del tablero simplex, además para la siguiente iteración

tenemos que hacer cero por encima y por debajo del elemento pivote. Repetir todos

los pasos antes mencionados hasta que todos los indicadores de Z sean positivos de

ser así se ha llegado a la solución.

y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 Z b

y5 0 0 -3 0 1 -1 0 0 0 3

y1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 4

y7 0 1 0 1 0 0 1 0 0 5

y8 0 1 0 -2 0 0 0 1 0 2

Z 0 -60 90 0 0 90 0 0 1 360


133

y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 Z b

y5 0 0 -3 0 1 -1 0 0 0 3

y1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 4

y7 0 0 0 3 0 0 1 -1 0 3

y2 0 1 0 -2 0 0 0 1 0 2

Z 0 0 90 -120 0 90 0 60 1 480

y5 0 0 -3 0 1 -1 0 0 0 3

y1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 4

y4 0 0 0 1 0 0 1/3 -1/3 0 1

y2 0 1 0 0 0 0 2/3 1/3 0 4

Z 0 0 90 0 0 90 40 20 1 600

Bueno como estamos trabajando con el dual del primal recordemos que nuestras

respuestas se encuentran en la columna de las variables de holgura (y5, y6, y7, y8)

Rpta

x1 = 0 Trabajadores calificados

x2 = 90 Trabajadores semicalificados

x3 = 40 Empleados

x5 = 20 Aprendices

S mín óptimo = 600


134

Serie de problemas 6 Resuelva utilizando los duales y el método simplex

1. Minimizar

321 644 xxxZ ++=

s.a.

0,,2

1

321

321

321

≥≥++−

≥+−

xxxxxx

xxx

2. Maximizar

21 83 xxZ +=

s.a.

0,

12682

21

21

21

≥≤+≤+

xxxxxx

3. Minimizar

21 46 xxZ +=

s.a.

0,

31

21

21

21

≥≥++≤+−

xxxxxx

4. Minimizar

21 2xxZ +=

s.a.

0,

212

21

21

21

≥≥+−≥+−

xxxx

xx


135

5. Suponga que una compañía fabrica dos tipos de artículos, manuales y eléctricos

y cada una requiere el uso de las máquinas A y B para su producción.

Suponiendo que la compañía puede vender todos los artículos que produce,

determine la utilidad mensual máxima.

Máquina A Máquina B Utilidad/unidad

Manual 1 hora 1 hora $10

Eléctrico 2 horas 4 horas $24

Horas disponibles 120 180

6. Anuncios. Una compañía está comparando los costos de publicidad en dos

medios: periódico y radio. Por cada dólar de publicidad, la tabla siguiente

muestra el número de personas, por grupo de ingresos, que cada uno de esos

medios alcanza. La compañía quiere captar al menos 8000 personas con

ingresos menores de $20,000 y al menos 6000 con ingresos de $20,000 o más.

Utilice el dual y el método simples para determinar las cantidades que la

compañía debe gastar en publicidad en periódico y en radio, de modo que capte

este número de personas con un costo de publicidad mínimo. ¿cuál es el costo

mínimo de publicidad?

Menos de $20,000 $20,000 ó más

Periódico 40 100

Radio 50 25


136

7. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y PROGRAMACIÓN PARAMÉTRICA En un ambiente real, algunos de los datos de un modelo de PL pueden cambiar con el

tiempo debido a la naturaleza dinámica del negocio. ¿Qué sucede con la solución

óptima si los precios del mercado caen? ¿Si suben los costos de la mano de obra o de

la materia prima? ¿Si se contratan empleados adicionales en una línea de producción?

Un gerente en tales situaciones desearía saber qué tan sensible es la solución óptima

a estos valores de datos.

Las respuestas a estas preguntas pueden usarse de diversas maneras. Por ejemplo, si

la solución óptima es muy sensible a algunos coeficientes, y si se espera que estos

valores fluctúen con el tiempo, entonces el gerente puede desear usar el modelo sólo

para planeación a corto plazo, o tal vez tenga que resolver el modelo periódicamente

al cambiar los datos.

Después de formular y resolver un PPL, un gerente debe hacerse un número de

preguntas importantes de la forma:

1. ¿Qué le sucede a la solución óptima y al valor de la F.O. correspondiente si un

coeficiente particular de la F.O. se modifica?

2. ¿Qué sucede con la solución óptima y con el valor de la f.O correspondiente si se

modifica un valor particular del extremo derecho de las restricciones?

Estas preguntas tienen que ver con el tópico del análisis de sensibilidad.

Análisis de Sensibilidad : es la determinación de qué tan sensibles son la solución

óptima y el valor de la F.O. con respecto a los cambios en los datos del problema, es

decir, los coeficientes en la F.O. y las restricciones.


137

7.1. Análisis de sensibilidad de los coeficientes de la función objetivo

Mientras un coeficiente de la función objetivo cae dentro de algún intervalo alrededor

de su valor original (y los demás coeficientes no cambien), la solución óptima actual

sigue siendo óptima. Sin embargo, el valor óptimo de la función objetivo cambia. Si el

coeficiente de interés se modifica a un valor fuera de este intervalo, se debe encontrar

una nueva solución óptima y un nuevo valor de F.O.

7.2. Análisis de sensibilidad de los valores del lado derecho (LD) Usted puede aplicar el análisis de sensibilidad no sólo a los cambios en los

coeficientes de la función objetivo, sino también a los cambios en los valores del lado

derecho de las restricciones.

Después de encontrar una solución óptima a su programa lineal, puede calcular, para

cada recurso correspondiente a una restricción, un precio sombra junto con un

intervalo dentro del cual este precio sea válido. Los precios sombra representan el

cambio en el valor óptimo de la función objetivo que resulta cuando se dispone de una

unidad adicional de este recurso y, por tanto, se usan para determinar si es rentable

adquirir recursos adicionales.

Observación

1. Precio sombra, o precio dual: Es la proporción de cambio en el valor de la función

objetivo por unidad de incremento en el valor del lado derecho dentro del intervalo de

sensibilidad.

2. Mientras un coeficiente de la función objetivo caiga dentro de cierto intervalo

alrededor de su valor original, la solución óptima actual sigue siendo óptima, aunque

el valor óptimo de la función objetivo cambie. Si el coeficiente de interés se cambia por

un valor fuera de este intervalo, debe encontrarse una nueva solución óptima y un

valor de función objetivo.


138

3. Aun el cambio más pequeño en el valor del lado derecho de una restricción puede

ocasionar que la solución óptima cambie. Sin embargo, mientras el valor caiga dentro

de algún intervalo alrededor de su valor original, el valor óptimo de la función objetivo

cambia en forma lineal en proporción con el cambio en el valor del lado derecho, de

acuerdo con el precio sombra. Incluso fuera de este intervalo, para cada valor del lado

derecho respecto del cual el programa lineal es factible, existe un precio sombra que

puede usarse para obtener el nuevo c valor óptimo de la función objetivo.

7.3 Programación lineal paramétrica

La programación lineal paramétrica es una extensión de los procedimientos del

análisis de sensibilidad. Investiga los cambios en la solución óptima de la PL que son

el resultado de variaciones continuas predeterminadas en los coeficientes de la

función objetivo y en el lado derecho de las restricciones.

Serie de problemas 7

1. Blubber Maid. Inc. fabrica tres productos de caucho: Airtex (material esponjoso),

Exteendex (material elástico) y Resistex (material rígido). Los tres productos

requieren los mismos tres polímeros químicos y una base. La cantidad de cada

ingrediente usada por libra del producto final se muestra en la tabla.

Ingrediente (oz/ Lb de producto)

Producto Polímero A Polímero B Polímero C Base

Airtex 4 2 4 6

Extendex 3 2 2 9

Resistex 6 3 5 2

Blubber Maid Inc. tiene el compromiso de producir al menos 1000 libras de

Airtex, 500 libras de extendex y 400 libras de Resistex para la próxima semana,

pero la gerencia de la compañía sabe que puede vender más de cada uno de

los tres productos.


139

Los inventarios actuales de los ingredientes son 500 libras del polímero A, 425

libras del polímero B, 650 libras del poímero C y 1100 libras de la base. Cada

libra de Airtex produce a la compañía una ganancia de $7, cada libra de

Extendex una ganancia de $7 y cada libra de Resistex una ganancia de $6.

Como gerente del departamento de producción, usted necesita determinar un

plan de producción óptimo para esta semana.

1 libra es igual a 16 onzas.

Utilice el resultado procesado en el computador para responder a las preguntas

siguientes:

a. ¿Cuál es el plan de producción óptimo?

b. Con el plan de producción actual, ¿para cuál de los tres productos se

puede cumplir con una demanda adicional de 5% Explique?

c. ¿Qué coeficiente o coeficientes de ganancia podrían duplicarse, mientras

se mantienen fijos todos los demás coeficiente, sin que se afecte el plan de

producción óptimo? Explique.

d. El compromiso de producir 400 libras de resistex acaba de caer en 10%.

¿Qué le sucede a la ganancia? Explique.

e. Si la demanda de Airtex aumenta en 2%, ¿cuál es el nuevo plan de

producción óptimo?. Explique.

max z= REA 677 ++

s.a

Restricciones de recursos

onzas)en (Base17600296onzas)en C (Polímero10400524onzas)en B (Polímero 68003R2E2onzas)en A (Polímero 8000634

≤++≤++≤++≤++

REAREA

AREA

Restricciones de demanda

libras)en (Resistex 400libras)en (Extendex 500

libras)en (Airtex 1000

≥≥≥

REA

0,, ≥REA


140

Solución: usando el LINDO

Max 7A+7E+6R

subject to

2) 4A+3E+6R<=8000

3) 2A+2E+3R<=6800

4) 4A+2E+5R<=10400

5) 6A+9E+2R<=17600

6)A>=1000

7)E>=500

8)R>=400

End

Resultado obtenido con el LINDO

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 4

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 13133.33

VARIABLE VALUE REDUCED COST

A 1000.000000 0.000000

E 533.333313 0.000000

R 400.000000 0.000000


141

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES

2) 0.000000 2.333333

3) 2533.333252 0.000000

4) 3333.333252 0.000000

5) 6000.000000 0.000000

6) 0.000000 -2.333333

7) 33.333332 0.000000

8) 0.000000 -8.000000

NO. ITERATIONS= 4

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:

OBJ COEFFICIENT RANGES

VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

COEF INCREASE DECREASE

A 7.000000 2.333333 INFINITY

E 7.000000 INFINITY 1.750000

R 6.000000 8.000000 INFINITY

RIGHTHAND SIDE RANGES

ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

RHS INCREASE DECREASE

2 8000.000000 2000.000000 99.999992

3 6800.000000 INFINITY 2533.333252

4 10400.000000 INFINITY 3333.333252

5 17600.000000 INFINITY 6000.000000

6 1000.000000 24.999998 1000.000000

7 500.000000 33.333332 INFINITY

8 400.000000 16.666666 375.000000

Restricción de recursos

Demanda

Demanda


142

a) ¿Cuál es el plan de producción óptimo? ¿Cuáles de los cuatro recursos son

acotantes o limitantes?

Respuesta: Valor de la función objetivo: 13133.33

El plan de producción óptima es: A ( Airtex) =1000

B (Extendex) = 533.333313

C (Resistex) = 400

Recursos acotantes o limitantes: ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES

2) 0.000000 2.333333

3) 2533.333252 0.000000

4) 3333.333252 0.000000

5) 6000.000000 0.000000

Observando la restricción de recursos podemos ver que solo la restricción para el

polímero A es limitante debido a que su variable holgada tiene valor cero, esto indica

que tanto la materia prima (polímero a en onzas se consume en su totalidad)

b) ¿Con el plan de producción actual, ¿para cuál de los tres productos se puede

cumplir con un demanda adicional de 5 %? Explique.

Respuesta:

Observe las restricciones de la demanda:




6 1000.000000 24.999998 1000.000000

7 500.000000 33.333332 INFINITY

8 400.000000 16.666666 375.000000

Demanda



143

A≥1000 una demanda adicional de 5% significa A≥1050 y podemos ver que a se

puede incrementar sola hasta 24.999998 más es decir

(1000+24.999998)=1024.999998 lo cual como podemos ver no cumple una demanda

adicional del 5% más.

E≥500 una demanda adicional de 5% significa E≥525 y podemos ver que a se puede

incrementar sola hasta 33.333332 más, es decir, 533.333332 lo cual como podemos

ver si cumple una demanda adicional del 5%.más, puesto que 525 es menor a

533.333332.

R≥400 una demanda adicional de 5% significa R≥420 y podemos ver que a se puede

incrementar sola hasta 16.666666 más es decir 416.666666 lo cual como podemos ver

no cumple una demanda adicional del 5% más.

Entonces diremos que Extendex puede cumplir una demanda adicional de 5% con el

plan de producción actual.

c) ¿Qué coeficiente o coeficientes de ganancia podrían duplicarse, mientras se

mantienen fijos todos los demás coeficientes, sin que se afecte el plan de producción

óptimo? explique.

Respuesta




A 7.000000 2.333333 INFINITY

E 7.000000 INFINITY 1.750000 R 6.000000 8.000000 INFINITY

Como podemos observar la tabla muestra hasta cuanto se puede incrementar o

disminuir los coeficientes sin que se afecte el plan de producción.

El coeficiente de A se puede incrementar hasta 7+2.333333=9.333333 y si duplicamos

su coeficiente seria 14 lo cual se pasa.


144

El coeficiente de E se puede incrementar hasta (7+ infinito) es decir crece

infinitamente sin problema y si duplicamos su coeficiente seria 14 lo cual estaría dentro

del rango permitido según la tabla.

El coeficiente de R se puede incrementar hasta 6+8=14 y si duplicamos su coeficiente

seria 12 lo cual estaría dentro del rango permitido.

Entonces diremos que al doblar las ganancias de Extendex, E, o de Resistex, R, no

afectaría el plan de producción actual debido que al hacer el doble cualquiera de estos

coeficientes produce valores que todavía se encuentran dentro del intervalo permitido

de sensibilidad para el plana actual.

d. El compromiso de producir 400 libras de Resistex acaba de caer en 10%. ¿Qué le

sucede a la ganancia? Explique

Respuesta:

10%de 400 es 40→ 360R ≥

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 2.333333

3) 2533.333252 0.000000

4) 3333.333252 0.000000

5) 6000.000000 0.000000

6) 0.000000 -2.333333

7) 33.333332 0.000000

8) 0.000000 -8.000000

Una disminución en la demanda de una libra aumentaría el valor de la función objetivo

en $8, puesto que el valor del lado derecho diminuye en 40 unidades, el valor de la

función aumenta en (40x8=320), lo que produce una ganancia de

Z=13133.33+320=13453.33


Demanda


145

e) Si la demanda de Airtex aumenta en 2%, ¿cuál es el nuevo plan de producción

óptimo? Explique.

Respuesta No es posible responder a esta pregunta a partir del resultado dado. Al resolver el

problema con el aumento del 2% en Airtex ( 1020A ≥ ) se tiene como resultado el

nuevo plan de producción óptimo en el cual: A=1020, E=506.67 y R=400

Ejemplo 2. Steel company produce tres tamaños de tubos: A, B, C, que son vendidos,

respectivamente en $10, $12 y $9 por pie. Para fabricar cada pie del tubo A se

requieren 0.5 minutos de tiempo de procesamiento sobre un tipo particular de máquina

de modelado.

Cada pie del tubo B requiere 0.45 minutos y cada pie del tubo C requiere 0.6 minutos.

Después de la producción, cada pie de tubo, sin importar el tipo, requiere 1 una onza

de material de soldar. El costo total se estima en $3 , $4 y $4 por pie de los tubos A, B

y C, respectivamente.

Para la siguiente semana, MTV Steel ha recibido pedidos excepcionalmente grandes

que totalizan 2000 pies del tubo A, 4000 pies del tubo B y 5000 pies del tubo C. Como

sólo se dispone de 40 horas de tiempo de máquina esta semana y sólo se tiene en

inventario 5500 onzas de material de soldar, el departamento de producción no podrá

satisfacer esta demanda, requiere un total de 97 horas de tiempo de máquina 11000

onzas de material de soldar. No se espera que continúe este alto nivel de demanda.

En vez de expandir la capacidad de las instalaciones de producción, la gerencia de

MTV está considerando la compra de algunos de estos tubos a pro-veedores de Japón

a un costo de entrega de $6 por pie del tubo A,6 $ por pie del tubo B y $7 por pie del

tubo C. Los datos se resumen en la tabla siguiente:

Tipo Precio de

venta($/ft)

Demanda(ft) Tiempo de

máquina(min/ft)

Material para

soldar(oz/ft)

Costo de

producción ($/ft)

Costo de

compra($/ft)

A 10 2000 0.50 1 3 6

B 12 4000 0.45 1 4 6

C 9 5000 0.60 1 4 7

Cantidad

disponible

40hr 5500oz


146

Sea: x1, x2, x3, el número de pies de tubo de tipo A, B, C por producir respectivamente

y

x4, x5,x6, el número de pies de tubo de tipo A, B, C por comprar a Japón

respectivamente.

1 2 3 4 5 6Maximizar Z:7x 8x 5x 4x 6x 2x+ + + + +

s.a:

Restricción de demanda

1 4

2 5

2000(demanda del tipo A)4000 (demanda del tipo B)

x3 x6 5000 (demanda del tipo C)

x xx x+ =+ =

+ =


Lógicas) ones(restricci 0x,x, x,x,x, xsoldar) para (material 5500 x x x

máquina) de (tiempo 24006.045.05.0

654321

321

321

≥≤++≤++ xxx

a. ¿Cuál es el plan de producción/adquisición óptimo para la MTV Steel?

b. ¿Cuáles de las dos restricciones de recursos son acotantes?

c. La compañía puede vender su material para soldar con una ganancia de $32 por

libra. ¿Cuánto deberá vender? explique

d. Los japoneses acaban de aumentar el precio de sus tubos tipo C de $7 a $8 por

pie. ¿De qué manera cambia el plan de producción/adquisición actual? explique

e. Si pudiera obtener más material para soldar o más tiempo de máquina, pero no

ambas cosas, ¿cuál escogería? Explique

f. La compañía desea aumentar sus ganancias a $57,500. ¿Cuántas horas más de

tiempo de máquina se necesitan para lograr este objetivo? Explique.


147

Solución: usando el LINDO MAX 7x1+8x2+5x3+4x4+6x5+2x6

subject to

2)x1+x4=2000

3)x2+x5=4000

4)x3+x6=5000

5)0.5x1+0.45x2+0.6x3<=2400

6)x1+x2+x3<=5500

END

Resultado obtenido con el LINDO



1) 55000.00


X1 2000.000000 0.000000

X2 0.000000 0.250000

X3 2333.333252 0.000000

X4 0.000000 0.500000

X5 4000.000000 0.000000

X6 2666.666748 0.000000


2) 0.000000 4.500000

3) 0.000000 6.000000

4) 0.000000 2.000000

5) 0.000000 5.000000

6) 1166.666626 0.000000

NO. ITERATIONS= 2


148





X1 7.000000 INFINITY 0.500000

X2 8.000000 0.250000 INFINITY

X3 5.000000 0.600000 0.333333

X4 4.000000 0.500000 INFINITY

X5 6.000000 INFINITY 0.250000

X6 2.000000 0.333333 0.600000




2 2000.000000 2800.000000 2000.000000

3 4000.000000 INFINITY 4000.000000

4 5000.000000 INFINITY 2666.666748

5 2400.000000 700.000000 1400.000000

6 5500.000000 INFINITY 1166.666626

Al igual que en el ejemplo anterior las respuestas se obtienen de la solución usando el

Lindo

a. ¿Cuál es el plan de producción/adquisición óptimo para la MTV Steel?

Respuesta: VARIABLE VALUE REDUCED COST

X1 2000.000000 0.000000

X2 0.000000 0.250000

X3 2333.333252 0.000000

X4 0.000000 0.500000

X5 4000.000000 0.000000

X6 2666.666748 0.000000

Plan de producción


149

b. ¿Cuáles de las dos restricciones de recursos son acotantes?

Respuesta: El recurso limitante es el tiempo de máquina debido a que su variable de holgura tiene valor cero. Esto indica que el tiempo se consume en su totalidad ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES

2) 0.000000 4.500000

3) 0.000000 6.000000

4) 0.000000 2.000000

5) 0.000000 5.000000

6) 1166.666626 0.000000

c. La compañía puede vender su material para soldar con una ganancia de $32 por

libra. ¿Cuánto deberá vender? Explique.

Respuesta ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES

2) 0.000000 4.500000

3) 0.000000 6.000000

4) 0.000000 2.000000

5) 0.000000 5.000000

6) 1166.666626 0.0000 Si observamos en los recursos vemos 1166.667 onzas de material para soldar no son

necesarias en el plan de producción. Luego es la cantidad que debe venderse a $32 la

onza

Los demás ítems quedan como ejercicio para el lector.

Recursos

Recursos




Tercera unidad didáctica ● Investigación de Operaciones I

153

8. APLICACIONES ESPECIALES DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL 8.1. El problema del transporte

8.2. Métodos para determinar una solución factible básica inicial

8.3 Método que conduce a la solución óptima

8.4. El problema de asignación

8.5. Algoritmo de asignación (método húngaro)



154


Aplicaciones Especiales de la Programación Lineal

Objetivo Al finalizar esta unidad didáctica estará en capacidad de reconocer el

alcance de Internet como fuente de ventajas competitivas en las organizaciones

y construir aplicaciones web básicas para apoyar los procesos de negocio de las

mismas.


Comprende y explica la definición del modelo de transporte y la aplicación del algoritmo de transporte y su aplicación a problemas reales para solucionar problemas de transporte siguiendo los pasos de: 1.º la determinación de la solución inicial, 2.º el método UV. Comprende y explica la definición del modelo de transporte y la aplicación del algoritmo de asignación aplicación a problemas reales: Método Húngaro

Objetivos


155



8. APLICACIONES ESPECIALES DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL 8.1. EL PROBLEMA DEL TRANSPORTE El problema de transporte es una clase especial de PPL. Consiste en distribuir

cualquier producto desde un grupo de centros de producción llamados orígenes a un

grupo de centros de recepción llamados destinos de manera que, conocidos la

cantidad demandada en cada destino y el costo de transportar una unidad de

productos de cada origen a cada destino; se satisfaga la demanda con el costo total

mínimo.

Consideremos el caso general de m orígenes y n destinos en forma tabular se tiene.

Destinos

Orígenes

1 2 … n .ai

1 C11 C12 … C1n .a1

2 C21 C22 … C2n .a2

… .. … … … …

,m Cm1 Cm2 … Cmn .am

bj .b1 .b2 .bn

Ejemplo: Cij = costo de transportar 1 unidad del origen i al destino j

Xij = Número de unidades a enviar del origen i al destino j.

Contenidos


156

El planteamiento consiste en que existen m orígenes y se supone que en cada origen

hay ai unidades disponibles o almacenadas de determinado producto, siendo i=1,2,…,

m.

Existen también n destinos y cada una requiere de bj unidades de este producto

siendo j=1,2,.., n...Los ai y bj se llaman exigencias por fila y por columna

respectivamente y estos son positivos puesto que los valores nulos o negativos no

tendrían significado físico.

Formulación:

∑∑= =

=m

1i

n

1 min Z

jijij XC

s.a: Por oferta

m1,2,..,i; 1

==∑=

n

jiij aX

Por demanda

njbX j

m

iij ,...,2,1;

1==∑

=

),...,2,1;,...,2,1(,0 njniX ij ==≥

Por equilibrio: ∑∑==

=n

jj

m

ii ba

11

Solución factible básica no degenerada. Es una solución factible básica con

exactamente m+n-1 variables básicas (positivas)

Solución factible básica degenerada. Es una solución factible básica con menos de

m+n-1 variables básicas.


157

8.2. MÉTODOS PARA DETERMINAR UNA SOLUCIÓN FACTIBLE BÁSICA INICIAL

1. Método de la esquina noroeste (N-O)

El método empieza en el cuadro (ruta) de la esquina noroeste de la tabla (variable X11)

Paso1. Asigne tanto como sea posible al cuadro seleccionado y ajuste las cantidades

asociadas de oferta y demanda, restando la cantidad asignada.

Paso2.Tache el renglón o la columna con cero oferta o demanda para indicar que no

se pueden hacer asignaciones adicionales en ese renglón o en esa columna. Si tanto

el renglón como la columna dan cero simultáneamente, tache sólo uno de ellos y deje

una oferta (demanda) de cero en el renglón (columna) no tachado.

Paso3. Si queda sin tachar exactamente un renglón o columna, deténgase, De lo

contrario, avance al siguiente cuadro a la derecha si se acaba de tachar una columna,

o al inferior si se ha tachado un renglón. Vaya, al paso 1.

2. Método de la matriz mínima Determinar la celda cuyo costo es el más bajo de todos los que integran la matriz. Si

existen varias se selecciona arbitrariamente una de ellas. Sea la celda (i, j) entonces:

Xij = min(ai ,bj ). Si:

i) ai<bj entonces actualizar bj= bj-ai y elimínese la fila i.

ii) ai>bj entonces actualizar ai= ai-bj y elimínese la columna j.

iii) ai = bj elimínese la fila i o la columna j pero no ambos.

se continuará repitiendo el proceso para la tabla resultante.


158

3. Método de VOGEL

Este método provee una solución factible básica inicial generalmente superior a los

anteriores. El método mide la diferencia entre los dos costos menores en cada fila o

columna y este indica donde la no asignación al costo menor significa la mayor pérdida

(principio de la más grande penalidad).

1. Determinar la penalidad para cada fila y cada columna al no colocar en la

solución inicial la variable que tenga el menor costo en esta fila o columna. Para

la fila i, esto significa restar el costo más pequeño de esta fila del siguiente costo

más pequeño de la misma fila en la matriz de costos. Si dos costos de esta fila

son ambos los más pequeños la penalidad es cero.

La penalidad de la columna j se calcula de una forma similar.

2. Cuando se han calculado todas las penalidades, localícese la mayor, ya sea una

penalidad de fila o de columna y ahí introducir a la base Xij correspondiente a la

celda de costo más bajo (i, j) esto es:

Xij = min(ai ,bj ) Si:

i) ai<bj entonces actualizar bj= bj-ai y elimínese la fila i., esta fila se elimina

en 01 resto del proceso y seguidamente se calcula las penalidades de

columna sin considerar ahora en el cálculo de las penalidades de columna

los elementos de la matriz de costos de la fila eliminada.

Si:

ii) ai>bj entonces actualizar ai= ai-bj y elimínese la columna j; esta columna se

elimina en el resto del proceso y seguidamente se calcula las penalidades

de fila sin considerar ahora en el cálculo de la columna eliminada.

iii) Si: ai = bj elimínese la fila i o la columna j pero no ambos, se continuará

repitiendo el proceso para la tabla resultante.

3. Repetir el proceso hasta obtener la solución factible básica inicial.


159

4. Si dos o más penalidades de fila o columna son iguales en una iteración

cualquiera procédase como sigue.

a) Ver si el elemento de mínimo costo en una de las filas o columnas

igualadas es también el mínimo elemento de costos en su columna o fila. si

existe tal elemento mini minj Cij entre las filas o columnas igualadas,

deshacer la relación a favor de tal fila o columna.

b) Si no existe en ninguna de las filas o columnas igualadas tal elemento

mínimo, determínese penalidades secundarias para estas filas y

columnas.

La penalidad secundaria para una fila (o columna) se define como la diferencia entre el

segundo elemento de costo más pequeño en esta fila (o columna) y el elemento de

costo más pequeño en la columna (o fila) que contiene dicho segundo elemento.

Si hay dos o más elementos de costos del mismo valor que el segundo elemento de

costos más pequeño en la fila (o columna) igualada habrá varias penalidades

secundarias a calcular en dicha fila (o columna). La igualdad entre las penalidades

primarias se rompe a favor de la fila o columna con la mayor penalidad secundaria, si

todavía queda alguna igualdad, el método dice que podemos elegir arbitrariamente ya

sea la fila o la columna.

8.3 MÉTODO QUE CONDUCE A LA SOLUCIÓN ÓPTIMA El método UV o método de Modi

1. Comenzar con alguna solución factible básica inicial, utilizando cualquiera de los

métodos anteriormente estudiados.

2. Dibujar una matriz que corresponde a la presente matriz solución excepto en

que los elementos son los costos de las variables básicas en lugar de las

magnitudes de las variables. Esta matriz es la Zij.


160

3. Se construye un conjunto de números (llamados Vj) a lo largo de la parte

superior de la matriz Zij y un conjunto de números (llamados Ui) a lo largo del

lado izquierdo, y tales que su suma iguale a los valores encerrados en el circulo

y de sus intersecciones y por tanto satisfagan Zij =Ui +Vj y completar las celdas

vacías con las sumas de los Ui y Vj de las correspondientes fila y columna, es

decir, completar los zij que faltan mediante el calculo de

Zij=Ui+Vj

4. Calcular Cij-Zij, Si todos los Cij-Zij≥ 0, la solución es óptima. Si uno o mas Cij-

Zij<0 será posible una solución mejor.

5. De estas variables que tiene un costo de entrada negativo, se determina el que

tenga el valor más negativo. Pasando a la matriz solución, se traza la trayectoria,

es decir, un lazo cerrado que empiece y termine en el cuadro de la variable de

entrada. El Lazo consiste únicamente en segmentos horizontales y verticales

conectados. Cada esquina del lazo resultante, con excepción de la que esta en el

cuadro de la variable de entrada, debe coincidir con una variable básica actual.

Existe exactamente un lazo para una determinada variable de entrada. Se traza

la trayectoria «+», «-» que empieza en esta variable. Se iguala θ a la variable

solución más pequeña de las que están en la celda que contiene signo menos.

6. Ahora se repiten los pasos 2 a 5 hasta que alguna iteración demuestre que es

óptima.

7. Si en la variable final Cij-Zij hay un costo de entrada nulo para una variable que

no este en la solución normal, el problema tiene soluciones alternativas.

Observaciones

i) Si se desea maximizar ganancias con el envío de una unidad origen i al destino

j, aplicamos el método UV haciendo una ligera modificación es decir:

Multiplicar todos los valores Cij por -1 ya que:


161

}C{-Min{-z}Max Zm

1i

n

1jij

1 1ijij

m

i

n

jij XXC ∑∑∑∑

= == =

=== En esta forma podemos

encontrar la solución factible básica inicial y luego aplicar el método UV para la

obtención de la solución óptima.

ii) Si se prohíben los envíos de un origen i a un destino j, hágase Cij=M; siendo M

un valor infinitamente grande. Esto garantiza que Xij=0 en la solución final.

iii) Si obligatoriamente hay que enviar de un origen i a un destino j, hágase Cij=-M.

Esto garantiza que sea Xij 0≠ en la solución final.

PROBLEMA DE TRANSPORTE CASO MINIMIZACIÓN

1. El problema de distribución de Cosmic Computer Company CCC es que tiene

tres plantas de ensamblaje de microcomputadoras en San Francisco, Los

Ángeles y Phoenix. La planta de Los Ángeles tiene una capacidad de producción

mensual de 2000 unidades. Cada una de las plantas de San Francisco y Phoenix

puede producir un máximo de 1700 unidades al mes. Las microcomputadoras de

CCC se venden a través de cuatro tiendas detallistas localizadas en San Diego,

Barstow, Tucson y Dallas. Los pedidos mensuales de los vendedores al

menudeo son de 1700 unidades en San Diego, 1000 en Barstow, 1500 en

Tucson y 1200 en Dallas. La tabla contiene el costo de embarque de una

microcomputadora desde cada planta de ensamblaje hasta cada una de las

distintas tiendas minoristas.

Determinar una solución factible básica inicial utilizando el método de la matriz

mínima y dé usted la solución óptima.

TIENDAS

PLANTAS SAN DIEGO BARSTOW TUCSON DALLAS

San Francisco 5 3 2 6

Los ángeles 4 7 8 10

Phoenix 6 5 3 8


162

Método para obtener una solución factible básica inicial

Método de la esquina nor oeste Caso minimización

Plantas Tiendas

San Diego Barstow Tucson Dallas (OFERTAS)ai

San Francisco

5 3 2 6 1700

Los Ángeles 4 7 8 10 2000 Phoenix 6 5 3 8 1700 Demanda bj 1700 1000 1500 1200 ∑ai=∑bj=5400 Método de la esquina nor oeste Método para obtener una solución factible básica inicial

5 3 2 6 1700 a1 4 7 8 10 2000 a2 6 5 3 8 1700 a3 1700 b1 1000 b2 1500 b3 1200 b4 X11= Min (a1,b1)=min(1700, 1700)=1700

.a1>b1 a1=a1-b1=1700-1700=0 eliminamos la columna b1

X12= min (a1,b2)= min(0, 1000)=0

. b2>a1 b2=b2-a1=1000-0=1000 eliminamos la fila a1

X22= min (a2,b2)= min (2000, 1000)=1000

.a2>b2 a2=a2-b2=2000-1000=1000 elimino la columna 2

X23 = min (a2, b3)= min (1000,1500)=1000

.a2<b3 b3=b3-a3=1500-1000=500 elimino la fila 2

X33= min (a3,b3)= min(1700,500)=500

.a3>b3 a3=a3-b3=1200 y elimino la columna 3

X34= min (a3, b4) = min (1200, 1200)=1200

San Diego Barstow Tucson Dallas San Francisco 1700pc

$5 0pc $3

1700 a1

Los Ángeles 1000pc $7

1000pc $8

2000 a2

Phoenix 500pc $3

1200pc $8

1700 a3

1700 b1 1000 b2 1500 b3 1200 b4 Solución factible básica inicial Costo mínimo inicial =1700x5+0x3+1000x7+1000x8+500x3+1200x8=$34600


163

Método de la matriz mínima Para encontrar una solución factible básica inicial

5 3 2 6 1700 a1 4 7 8 10 2000 a2 6 5 3 8 1700 a3 1700 b1 1000 b2 1500 b3 1200 b4 X13 = min (a1,b3)=min (1700, 1500) entonces x13=1500

.a1>b3 actualizo a1=a1-b3=1700-1500=200 eliminas la columna 3

X12= min (a1,b2)= min (200,1000)=200 entonces x12=200

.a1<b2 actualiza b2=b2-a1=800 elimino la fila 1

X21 = min(a2,b1)=(2000,1700)=1700 entonces x21=1700

.a2>b1 a2=a2-b1=300 elimino la columna 1

X32= min(a3,b2)=min(1700,800)=800 x32=800

.a3>b2 a3=a3-b2=900 elimino la columna b2

X34= min (a3,b4)=min (900,1200)=900 x34=900

.a3<b4 actualiza b4=b4-a3=300 elimino la fila 3

X24= min (a2,b4)=(300,300)=300 x24=300

San Diego Barstow Tucson Dallas San Francisco 200pc

$3

1500pc $2

1700 a1

Los Ángeles 1700pc $4

300pc $10

2000 a2

Phoenix 800pc $5

900pc $8

1700 a3

1700 b1 1000 b2 1500 b3 1200 b4 Solución factible básica inicial o costo mínimo inicial =

200x3+1500x2+1700x4+300x10+800x5+900x8=$24600


164

Método UV que conduce a la solución óptima Para aplicar el método UV vamos a considerar la solución factible básica inicial

obtenida por el método de la matriz mínima

Paso 1 paso2 y paso 3 lo trabajamos junto pues señala comenzar con alguna solución

inicial y trabajar con la matriz de costos, para luego determinar el Zij

V1=0 V2=3 V3=2 V4=6 U1=0 0 3 2 6

Zij= U2=4 4 7 6 10 U3=2 2 5 4 8

Z12=U1+V2=3 U1=0 V2=3 Z13=U1+V3=2 U1=0 V3=2 Z21=U2+V1=4 U2=4 V1=0 Z24=U2+V4=10 U2=4 V4=6 Z32=U3+V2=5 U3=2 V2=3 Z34=U3+V4=8 U3=2 V4=6 PASO 4 Calcula Cij-Zij Cij 5 3 2 6 4 7 8 10 6 5 3 8 ZIJ

0 3 2 6 4 7 6 10 2 5 4 8

CIJ-ZIJ= 5 0 0 0 0 0 2 0

4 0 -1 0 PASO 5 X33 =-1 es una variable que va a ingresar por tener el indicador más negativo y se

trabaja con la matriz solución

200pc +

1500pc -

1700pc

300pc

800pc-

�+ 900pc

1500-�>=0 800- �>=0 �MAX=800


165

San Diego Barstow Tucson Dallas San Francisco

1000PC $3

700PC $2

1700 a1

Los Ángeles

1700PC $4

300PC $10

2000 a2

Phoenix

800PC $3

900PC $8

1700 a3

1700 b1 1000 b2 1500 b3 1200 b4 Nuevo costo mínimo inicial= 1000X3+700X2+1700X4+300X10+800X3+900X8=23800 Método UV 1 , 2, y 3

V1=1 V2=3 V3=2 V4=7 U1=0 1 3 2 7

Zij= U2=3 4 6 5 10 U3=1 2 4 3 8

Z12=U1+V2=3 U1=0 V2=3 Z13=U1+V3=2 U1=0 V3=2 Z21=U2+V1=4 U2=3 V1=1 Z24=U2+V4=10 U2=3 V4=7 Z33=U3+V3=3 U3=1 V3=2 Z34=U3+V4=8 U3=1 V4=7 Paso 4 Calcular Cij-Zij Cij 5 3 2 6 4 7 8 10 6 5 3 8 ZIJ

1 3 2 7 4 6 5 10 2 4 3 8

CIJ-ZIJ= 4 0 0 -1 0 1 3 0

4 1 0 0 Variable que ingresa X14=-1 Paso 5 1000PC

700PC -

�+

1700PC

300PC

800PC +

900PC -


166

700- �>=0 900- �>=0 �MAX=700 San diego barstow tucson dalla San francisco

1000PC $3

700PC $6

1700 a1

Los ángeles

1700PC $4

300PC $10

2000 a2

phoenix

1500PC $3

200PC $8

1700 a3

1700 b1 1000 b2 1500 b3 1200 b4 Nuevo costo min = 3X1000+6X700+4X1700+10X300+3X1500+200X8=$23100 Método UV

V1=0 V2=3 V3=1 V4=6 U1=0 0 3 1 6

Zij= U2=4 4 7 5 10 U3=2 2 5 3 8

Z12=U1+V2=3 U1=0 V2=3 Z14=U1+V4=6 U1=0 V4=6 Z21=U2+V1=4 U2=4 V1=0 Z24=U2+V4=10 U2=4 V4=6 Z33=U3+V3=3 U3=2 V3=1 Z34=U3+V4=8 U3=2 V4=6 Cij 5 3 2 6 4 7 8 10 6 5 3 8 Zij

0 3 1 6 4 7 5 10 2 5 3 8

Cij-Zij 5 0 1 0 0 0 3 0

4 0 0 0


167

Dado que (Cij-Zij )≥0 la solución obtenida anteriormente es óptima, es decir Cuadro óptimo San Diego Barstow Tucson Dallas San Francisco

1000PC $3

700PC $6

1700 a1

Los Ángeles

1700PC $4

300PC $10

2000 a2

Phoenix

1500PC $3

200PC $8

1700 a3

1700 b1 1000 b2 1500 b3 1200 b4 Interpretación:

De SF a B transportamos 1000 pc a un costo por unidad $3 costo total $3000

De SF a D transportamos 700 pc a un costo por unidad $6 costo total $4200

De LA a SD transportamos 1700 pc a un costo por unidad $4 costo total $6800

De LA a D transportamos 300 pc a un costo por unidad $10 costo total $3000

De P a T transportamos 1500 pc a un costo por unidad $3 costo total $4500

DeP a D transportamos 200 pc a un costo por unidad $8 costo total $1600

Costo total mínimo óptimo $23100

PROBLEMA DE TRANSPORTE. CASO MAXIMIZACIÓN

En el caso maximización, la matriz de utilidad se multiplica por -1 y luego se trabaja

como un caso de minimización, es decir se sigue los mismos pasos del algoritmo,

teniendo en cuenta que la suma de ofertas debe ser igual a la suma de demandas

Ejemplo2 Hexxon Oil compaña tiene seis consultores internacionales de petróleo, tres de los

cuales están actualmente ubicados en los EE.UU., dos en Rusia y uno en Nigeria.

Arabia Saudí ha solicitado dos consultores durante una semana a una tarifa de $4200

cada uno. Venezuela ha solicitado un consultor durante una semana a una tarifa de

$4000. Indonesia ha solicitado tres consultores durante una semana a una tarifa

semanal de $4000 cada uno. Los gastos semanales por consultores son de $1400 en

Arabia Saudí, $1000 en Venezuela y $700 en Indonesia. La siguiente tabla muestra las

tarifas de viaje redondo (en dólares) para enviar por avión a los consultores:


168

HACIA

DESDE ARABIA SAUDÍ VENEZUELA INDONESIA

Estados Unidos 1600 700 1900

Rusia 1500 1700 1600

Nigeria 1200 1100 1500

A. Encuentre una solución inicial: obtener la solución óptima.

Solución

HACIA

DESDE ARABIA SAUDÍ VENEZUELA INDONESIA ia =ofertas

Estados

unidos

1600 700 1900 3

Rusia 1500 1700 1600 2

Nigeria 1200 1100 1500 1

jb =demandas 2 1 3

TARIFA GASTO MENSUAL

Estados Unidos 4200 1400

Rusia 4000 1000

Nigeria 4000 1700

Obteniendo utilidades

HACIA

DESDE ARABIA SAUDI VENEZUELA INDONESIA

Estados Unidos 4200-1400-1600 4000-1000-700 4000-700-1900

Rusia 4200-1400-1500 4000-1000-1700 4000-700-1600

Nigeria 4200-1400-1200 4000-1000-1100 4000-700-1500


169

La nueva tabla (utilidad)

Búsqueda de la solución factible básica inicial

Matriz de Costo–Método de la Matriz mínima

A todo multiplico por menos uno y busco el menor valor:

HASTA

DESDE ARABIA SAUDÍ VENEZUELA INDONESIA ia

Estados Unidos -1200 -2300 -1400 3=a1

Rusia -1300 -1300 -1700 2=a2

Nigeria -1600 -1900 -1800 1=a3

jb 2=b1 1=b2 3=b3

• X12 = MIN (a1,b2) = MIN (3,1)

X12 = 1

a1>b2 → a1=a1-b2

a1= 3 – 1

a1=2

HACIA

DESDE ARABIA SAUDÍ VENEZUELA INDONESIA Ai

Estados

unidos

1200 2300 1400 3

Rusia 1300 1300 1700 2

Nigeria 1600 1900 1800 1

Bi 2 1 3


170

Elimino la columna dos y vuelvo a escoger el menor valor

-1200 -2300 -1400 3

-1300 -1300 -1700 2

-1600 -1900 -1800 1

2 1 3

• X33 = MIN (a3,b3) = MIN (1,3)

X33 = 1

a3<b3→b3=b3-a3

b3= 3 – 1

b3=2

Elimino la fila tres y vuelvo a escoger el menor valor

-1200 -2300 -1400 3

-1300 -1300 -1700 2

-1600 -1900 -1800 1

2 1 3

• X23 = MIN (A2,B3) = MIN (2,2)

X23 = 2

A2>B3 =A2=A2-B3

A2= 2-2

A2=0

Elimino la columna tres y vuelvo a escoger el menor

-1200 -2300 -1400 3

-1300 -1300 -1700 2

-1600 -1900 -1800 1

2 1 3


171

• X21 = MIN (a2,b1) = MIN (0,2)

X21 = 0

a2<b1→ b1=b1-a2

b1= 2-0

b1=2

Elimino la fila 2 y vuelvo a escoger el menor

-1200 -2300 -1400 3

-1300 -1300 -1700 2

-1600 -1900 -1800 1

2 1 3

Solo me queda -1200

• X11 = MIN (a1,b1) = MIN (2,2)

X11 = 2

Matriz costo final

-1200

2

-2300

1

-1300

0

-1700

2

-1800

1


172

Solución básica inicial

MIN COSTOS: 2(-1200)+ 1(-2300)+ 0(-1300)+ 2(-1700)+ 1(-1800)

MIN COSTOS = - 9900

MAX= - (MIN)

MAX= - (-9900)

MAX= 9900

Método (UV) Trabajar con la matriz de costos final

-1200 -2300

-1300 -1700

-1800

a) Construir Zij

ij i JZ U V= +

V1 V2 V3

U1 -1200 -2300

U2 -1300 -1700

U3 -1800

• Si U1=0

Z11= U1+V1 = -1200 U1= 0 V1= -1200

Z12= U1+V2 = -2300 U1= 0 V2= -2300

Z21 = U2+ V1 = - 1300 U2=-100 V1= -1200

Z23 = U2 + V3 = -1700 U2=- 100 V3=-1600

Z33 = U3+ V3 = -1800 U3=-200 V3= -1600


173

V1=-1200 V2=-2300 V3=-1600

U1=0 -1200 -2300 -1600

U2=-100 -1300 -2400 -1700

U3=-200 -1400 -2500 -1800

Calculando Cij – Zij

-1200 -2300 -1400

-1300 -1300 -1700

-1600 -1900 -1800

De la matriz costo final

Tomar solo los signos negativos

1 0θ− ≥

0 0θ− ≥

0MAXθ =

-1200 -2300 -1600

-1300 -2400 -1700

-1400 -2500 -1800

0 0 +200

0 +1100 0

-200 -600 0

2 1

- 0 2 +

+θ 1 -

-1200

2

-2300

1

-1700

2

-1600

0

-1800

1

-


174

b) Construir Zij Zij =

V1 V2 V3

U1 -1200 -2300

U2 -1700

U3 -1600 -1800

• Si U1=0

Z11= U1+V1 = -1200 U1= 0 V1= -1200

Z12= U1+V2 = -2300 U1= 0 V2= -2300

Z23 = U2 + V3= -1700 U2= - 300 V3= -1400

Z31 = U3+ V1 = -1600 U3= - 400 V1= -1200

Z33 = U3+ V3 = -1800 U3= - 400 V3= -1400

V1=-1200 V2=-2300 V3=-1400

U1=0 -1200 -2300 -1400

U2=-300 -1500 -2600 -1700

U3=-400 -1600 -2700 -1800

Calculando Cij – Zij

-1200 -2300 -1400

-1300 -1300 -1700

|| -1600 -1900 -1800

-1200 -2300 -1400

-1500 -2600 -1700

-1600 -2700 -1800

0 0 0

0 1300 0

0 800 0


175

La matriz salió positiva por tanto:

MIN COSTOS: 2(-1200)+ 1(-2300)+ 2(-1700)+ 0(-1600)+ 1(-1800)

MIN COSTOS: -9900

Solución óptima =

MAX= - (MIN)

MAX= - (-9900) =9900

Matriz solución Enviamos 2 consultores de Estados Unidos a Arabia Saudí $1200 utilidad $2400 Enviamos 1 consultores de Estados Unidos a Venezuela $2300 utilidad $2300 Enviamos 2 consultores de Rusia a Indonesia $1700 utilidad $3400 Enviamos 1 consultores de Nigeria a Indonesia $1800 utilidad $1800 Utilidad máxima $9900 Ejemplo 3. Use el método por aproximación de la matriz mínima y el método UV para

resolver el problema de transporte, donde la matriz contiene información de las

utilidades por transportar una unidad del origen i al destino j. Establezca el valor

óptimo de la función objetivo.

Destinos

Orígenes

A B C .ai

1 2 6 3 200

2 5 1 9 300

3 7 9 8 100

bj 300 200 100

hacia

desde

Arabia Saudi Venezuela Indonesia

Estados

Unidos

1200

2

2300

1

Rusia 1700

2

Nigeria 1600

0

1800

1


176

Sol.:

i) Hallando la solución factible básica inicial por el método de la matriz mínima:

primero verificamos que la suma de ofertas debe ser igual a la suma de

demandas, es decir:

= =

= =∑ ∑3 3

1 16 0 0i j

i ja b

II) Como es un caso de maximización multiplicamos la matriz por (-1) por ser

una matriz de utilidad y lo trabajamos de la misma manera como si fuera un

caso de minimización.

* El menor valor de las celdas es: 23X = -9

2 323 min( , )aX b⇒ = 2 3min( , ) (300,100)a b⇒ = 23 100X⇒ =

2 3a b⇒ > ⇒ 2 2 3a a b= − ⇒ 2a = 300 -100 ⇒ =1a 200

⇒ Elimino la columna 3

ia

-2 -6 -3 200

-5 -1 -9 300

-7 -9 -8 100

jb 300 200 100

-2 -6

-5 -1

-7 -9


177

* Ahora el menor valor de las celdas es: 3 232 min( , )aX b= ⇒

32 min(100,200)X = ⇒ 32 100X =

3 2a b<⇒ 32 2 ab b⇒ = − ⇒ =2b 200-100 ⇒ =2b 100

⇒ Elimino la fila 3

Ahora el menor valor de las celdas es: 1 212 min( , )aX b= ⇒

12 min(200,100)X = ⇒ 12 100X =

1 2a b>⇒ 1 1 2a a b⇒ = − 1a⇒ = 100

⇒ Elimino la columna 2

Ahora el menor valor de las celdas

es: 2 121 min( , )aX b= ⇒ 21 min(200,300)X = ⇒ 21 200X =

2 1a b<⇒ 21 1 ab b⇒ = − 1b⇒ = 100

⇒ Elimino la fila 2

-2 -6

-5 -1

-2

-5

-2


178

Ahora el menor valor de las celdas es: 1 111 min( , )aX b= ⇒

11 min(100,100)X = ⇒ 11 100X =

C. Min Inicial

2 100 6 100 5 200 9 100 9 100 3600x x x x x⇒ − − − − − = −

Máx. Inicial = -(-3600) = 3600

Método UV

1v = -2 2v = -6 3v = -6

1u =0

2u = -3

3u = -3

-2 -6

100 100

-5 -9

200

100

-9

100

-2 -6 -6

-5 -9 -9

-5 -9 -9


179

1 1 1 111 2 0, 2u v u vZ = + = − ⇒ = = −

1 2 1 112 6 0, 6u v u vZ = + = − ⇒ = = −

2 1 2 121 5 3, 2u v u vZ = + = − ⇒ = − = −

2 3 2 323 9 3, 6u v u vZ = + = − ⇒ = − = −

3 2 3 232 9 3, 6u v u vZ = + = − ⇒ = − = −

⇒

Se puede mejorar la solución anterior:

El menor valor de las celdas es: 31 2X = −

100 0θ− ≥ ; 100 0θ− ≥ 100Maxθ⇒ =

-2 -6 -3

-5 -1 -9

-7 -9 -8

-2 -6 -6

-5 -9 -9

-5 -9 -9

0 0 3

0 8 0

-2 0 1

−

100

+

100

200 100

+ θ − 100


180

-2 -6

0 200

-5 -9

200

100

-7

100

Nuevo C. Min. Inicial 2 0 6 200 5 200 9 100 7 100 3800x x x x x⇒ − − − − − = −

Nuevo Máx. Inicial = -(-3800) = 3800

Método UV

1v = -2 2v = -6 3v = -6

1u =0

2u = -3

3u = -5

1 1 1 111 2 0, 2u v u vZ = + = − ⇒ = = −

1 2 1 112 6 0, 6u v u vZ = + = − ⇒ = = −

2 1 2 121 5 3, 2u v u vZ = + = − ⇒ = − = −

2 3 2 323 9 3, 6u v u vZ = + = − ⇒ = − = −

3 1 3 231 7 5, 2u v u vZ = + = − ⇒ = − = −

-2 -6 -6

-5 -9 -9

-7 -9 -11


181

⇒

No hay índices negativos en la diferencia ijC - ijZ . Fin del proceso:

Respuesta: De: Unidades Costo/Unidad ($)

(1 → A) Transportamos 0 2

(1 → B) “ 200 6

(2 → A) “ 200 5

(2 → C) “ 100 9

(3→ A) “ 100 7

Zopt Máx. = $ 3800

-2 -6 -3

-5 -1 -9

-7 -9 -8

-2 -6 -6

-5 -9 -9

-7 -9 -11

0 0 3

0 8 0

0 0 3


182

Ejemplo 4. Una compañía tiene fábricas en A, B, y C, las cuales proveen a los

almacenes que están en D, E, F y G. Las capacidades mensuales de las fábricas son

70, 90 y 115 (unidades) respectivamente y las demandas para D, E, F, y G son 50, 60,

70,95 respectivamente. Los costos de embarque son los siguientes:

Destinos

Orígenes

D E F G .ai

A 17 20 13 12 70

B 15 21 26 25 90

C 15 14 15 17 115

bj 50 60 70 95

Determinar una solución factible básica inicial utilizando el método de la esquina (N-O)

y dé usted la solución óptima.

Sea XAD El número de unidades a transportar de A-D

Sea XAE El número de unidades a transportar de A-E

Sea XAF El número de unidades a transportar de A-F

Sea XAG El número de unidades a transportar de A-G

Sea XBD El número de unidades a transportar de B-D

Sea XBE El número de unidades a transportar de B-E

Sea XBF El número de unidades a transportar de B-F

Sea XBG El número de unidades a transportar de B-G

Sea XCD El número de unidades a transportar de C-D

Sea XCE El número de unidades a transportar de C-E

Sea XCF El número de unidades a transportar de C-F

Sea XCG El número de unidades a transportar de C-G

F.O. Min. C = 17XAD + 20XAE + 13XAF + 12XAG + 15XBD + 21XBE + 26XBF + 25XBG +

15XCD + 14XCE + 15XCF + 17XCG

S.A. XAD + XBD + XCD = 50

XAE + XBE + XCE = 60 Demandas


183

XAF + XBF + XCF = 70

XAG + XBG + XCG = 95

XAD + XAE + XAF + XAG = 70

XBD + XBE + XBF + XBG = 90

XCD + XCE + XCF + XCG = 115

Método de la Esquina Noroeste

17 20 13 12 70

15 21 26 25 90

15 14 15 17 115

50 60 70 95 275

X11 = min (a1, b1) = min (70, 50)

X11 = 50

a1 > b1

a1 = a1 - b1

a1 = 70 - 50

a1 = 20 Elimino columna 1

X12 = min (a1, b2) = min (20, 60)

X12 = 20

a1 < b2

b2 = b1 - a1

b2 = 60 - 20

b2 = 40 Elimino fila 1

X22 = min (a2, b2) = min (90, 40)

X22 = 40

a2 > b2

a2 = a2 – b2

a2 = 90 – 40

Ofertas


184

a2 = 50 Elimino la columna 2 X23 = min (a2, b3) = min (50, 70)

X23 = 50

a2 < b3

b3 = b3 – a2

b3 = 70 – 50

b3 = 20 Elimino la fila 2 X33 = min (a3, b3) = min (115, 20)

X33 = 20

a3 > b3

a3 = a3 – b3

a3 = 115 – 20

a3 = 95 Elimino la columna 3 X34 = min. (a3, b4) = min (95, 95)

X34 = 95.

Solución Factible Básica Inicial

17

50

20

20

21

40

26

50

15

20

17

95

Costo Mínimo Inicial: 17x50 + 20x20 + 21x40 + 26x50 + 15x20+ 17x95= 5305


185

Método que conduce a la solución óptima El método UV o método de MODI 1. Comenzar con alguna solución factible básica inicial.

2 y 3. Dibujar una matriz solución Zij:

v1=17 v2=20 v3=25 v4=27

u1=0 17 20 25 27

u2=1 18 21 26 28

u3=-

10 7 10 15 17

Z11 = U1+V1 = 17 U1= 0 V1 = 17

Z12 = U1+V2 = 20 U1= 0 V2 = 20

Z22 = U2+V2 = 21 U2= 1 V2 = 20

Z23 = U2+V3 = 26 U2= 1 V3 = 25

Z33 = U3+V3 = 15 U3= -10 V3 = 25

Z34 = U3+V4 = 17 U3= -10 V4 = 27

4. Cij – Zij >= 0 Solución Optima

Cij – Zij < 0 Se puede mejorar la solución

17 20 13 12 17 20 25 27 0 0 -12 -15

15 21 26 25 - 18 21 26 28 = -3 0 0 -3

15 14 15 17 7 10 15 17 8 4 0 0

Cij Zij


186

5. Variable que ingresa es el mas negativo de la matriz resultante X14 = -15

50

20

--

ө

+

40

+

50

--

20

+

95

--

Luego; ai

17

50

12

2070

21

60

26

30

90

15

40

17

75115

50 60 70 95

bj Nuevo costo mínimo: 17x50 + 12x20 + 21x60 + 16x30 + 15x40 + 17x75= 5005 El método UV o método de MODI 1. Comenzar con alguna solución factible básica inicial.

2 y 3. Dibujar una matriz solución TIJ:

v1=17 v2=5 v3=10 v4=12

u1=0 17 5 10 12

u2=16 33 21 26 28

u3=5 22 10 15 17

20 - ө >= 0 50 - ө> = 0 95 - ө >= 0 өmax = 20


187

Z11 = U1+V1 = 17 U1= 0 V1 = 17

Z14 = U1+V4 = 12 U1= 0 V4 = 12

Z22 = U2+V2 = 21 U2= 16 V2 = 5

Z23 = U2+V3 = 26 U2= 16 V3 = 10

Z33 = U3+V3 = 15 U3= 5 V3 = 10

Z34 = U3+V4 = 17 U3= 5 V4 = 12

4. Cij – TIJ >= 0 Solución Optima

Cij – TIJ < 0 Se puede mejorar la solución

17 20 13 12 17 5 10 12 0 15 3 0

15 21 26 25 - 33 21 26 28 = -18 0 0 -3

15 14 15 17 22 10 15 17 -7 4 0 0

Cij TIJ

5. Variable que ingresa es el mas negativo de la matriz resultante X21 = -18

--

50

20

+

ө

+

60

30

--

40

+

75

--

50 - ө >= 0 30 - ө >= 0 75 - ө >= 0 өmax = 30


188

Luego; ai

17

20

12

5070

15

30

21

60

90

15

70

17

45115

50 60 70 95

bj Nuevo costo mínimo: 17x20 + 12x50 + 15x30 + 21x60 + 15x70 + 17x45= 4465 El método UV o método de MODI 1. Comenzar con alguna solución factible básica inicial.


v1=17 v2=23 v3=10 v4=12

u1=0 17 23 10 12

u2=-2 15 21 8 10

u3=5 22 28 15 17

Z11 = U1+V1 = 17 U1= 0 V1 = 17

Z14 = U1+V4 = 12 U1= 0 V4 = 12

Z21 = U2+V1 = 15 U2= -2 V1 = 17

Z22 = U2+V2 = 21 U2= -2 V2 = 23

Z33 = U3+V3 = 15 U3= 5 V3 = 10

Z34 = U3+V4 = 17 U3= 5 V4 = 12


189

4. Cij – Zij >= 0 Solución Óptima

Cij – Zij < 0 Se puede mejorar la solución

17 20 13 12 17 23 10 12 0 -3 0 0

15 21 26 25 - 15 21 8 10 = 0 0 18 15

15 14 15 17 22 28 15 17 -7 -14 0 0

Cij Zij

5. Variable que ingresa es el más negativo de la matriz resultante X32 = -14

--

20

50

+

30

+

60

--

ө

+

70

45

--

Luego; ai

12

7070

15

50

21

40

90

14

20

15

70

17

25115

50 60 70 95

bj Nuevo costo mínimo: 12x70 + 15x50 + 21x40 + 14x20 + 15x70 + 17x25= 4185

60 - ө >= 0 45 - ө >= 0 20 - ө> = 0 өmax = 20


190

El método UV o método de MODI 1. Comenzar con alguna solución factible básica inicial.


v1=3 v2=9 v3=10 v4=12

u1=0 3 9 10 12

u2=12 15 21 22 24

u3=5 8 14 15 17

Z14 = U1+V4 = 12 U1= 0 V4 = 12

Z21 = U2+V1 = 15 U2= 12 V2 = 3

Z22 = U2+V2 = 21 U2= 12 V2 = 9

Z32 = U3+V2 = 14 U3= 5 V2 = 9

Z33 = U3+V3 = 15 U3= 5 V3 = 10

Z34 = U3+V4 = 17 U3= 5 V4 = 12

4. Cij – Zij >= 0 Solución Optima

Cij –Zij < 0 Se puede mejorar la solución

17 20 13 12 3 9 10 12 14 11 3 0

15 21 26 25 - 15 21 22 24 = 0 0 4 1

15 14 15 17 8 14 15 17 7 0 0 0

Cij Zij

• Cij –Zij>= 0

• La solución anterior viene a ser la solución óptima.


191

Es decir: ai

12

7070

15

50

21

40

90

14

20

15

70

17

25115

50 60 70 95

bj

Unid. $ costo

De A-G Transportamos XAG = 70 x 12

De B-D Transportamos XBD = 50 x 15

De B-E Transportamos XBE = 40 x 21

De C-E Transportamos XCE = 20 x 14

De C-F Transportamos XCF = 70 x 15

De C-G Transportamos XCG = 25 x 17

Costo Mínimo = 4185


192

Serie de Problemas 8.1 1. Una fábrica cuenta con 4 almacenes situados en diferentes partes del país. El

almacén 1 cuenta con 10 unidades de mercancía, el 2 con 12, el tres con 5 y 4 con

10. Con las existencias de mercancías que tienen dichos almacenes se debe

abastecer a 5 centros de consumo. El centro de consumo 1 demanda 6 unidades

de mercancía; el centro 2, demanda 8; el 3 demanda tres, el 4 demanda 9 y 11 el

5. Los costos de transporte de cada almacén a cada centro de consumo aparecen

en el cuadro.

Se trata de determinar aquel programa de transportes cuyo costo sea mínimo.

2. Tres fábricas producen tres productos A, B, y C, las cuales proveen a una tienda

el cual esta interesado en comprar 60 del producto A, 25 del producto B y 30 del

producto C. Las utilidades por producto que obtendría la tienda al adquirir a cada

fábrica se encuentra en el cuerpo de la tabla, así mismo la oferta de dichas

fabricas.

Producto

Fábrica

A B C .ai

D 11 14 17 100

E 12 13 18 15

F 10 14 19 40

bj 60 25 30

Determinar una solución factible básica inicial utilizando el método de VOGEL y

dé usted la solución óptima.

CC Almacenes 1 2 3 4 5 Existencia

de mercancía 1 4 2 5 5 1 10

2 2 1 4 1 4 12

3 3 4 1 2 1 5

4 2 2 3 4 2 10

Demanda 6 8 3 9 11


193

3. American Motors Inc. puede enviar un total de hasta 200 automóviles en camión

y 600 en ferrocarril de su fábrica de Detroit a sus distribuidores de Chicago,

Cleveland, Washington D.C. y Filadelfia. El costo (en dólares) de enviar un carro

a cada uno de los distribuidores por camión y por tren y las demandas de los

distribuidores se muestran en la siguiente tabla:

Costo de embarque ($/carro)hacia

Por Chicago Cleveland Washington, D.C Filadelfia

Camión 30 20 50 60

Tren 45 30 75 90

Demanda(carros) 300 100 250 150

a) Encuentre una solución inicial

b) Determine la solución óptima

4. Use el método por aproximación de Noroeste y el método UV para resolver el

problema de transporte. Establezca el valor óptimo de la función objetivo.

¿Existen soluciones óptimas alternativas?

Destinos

Orígenes

A B .ai

1 7 5 200

2 4 8 100

3 5 6 300

bj 200 300

9. Resuelva el siguiente problema. La matriz de costo es:

ai

11 14 17 9 300

12 13 18 8 350

10 14 19 8 150

13 11 16 10 200

150 150 375 225

jb


194

8.4. EL PROBLEMA DE ASIGNACIÓN

En muchos problemas de decisión es necesario asignar un elemento de un grupo

(como una máquina, un empleado, etcétera) a un elemento de un segundo grupo

(como una tarea, un proyecto, etcétera). Considere, por ejemplo, asignar trabajos a

máquinas en una planta industrial, asignar representantes de ventas a territorios o

asignar investigadores a proyectos.

A. CARACTERÍSTICAS CLAVE Al hacer una asignación, a menudo deben cumplirse dos condiciones:

• Cada elemento del primer grupo debe asignarse a exactamente un

elemento del segundo grupo.

• Cada elemento del segundo grupo debe asignarse a exactamente un

elemento del primer grupo.

B. CARACTERÍSTICAS CLAVE

Para obtener la asignación óptima, cada nueva matriz de asignación satisfará:

PROPIEDAD1. Todos los números son no negativos

PROPIEDAD2. Cada fila y cada columna tienen al menos una celda con un valor de 0.

Siempre que, en cualquiera de estas matrices, encuentre una asignación en la que

cada celda seleccionada tenga un valor cero ha encontrado, de hecho, la asignación

óptima.

8.5. ALGORITMO DE ASIGNACIÓN (método húngaro) Paso 0

Inicialización: cree la matriz inicial con las propiedades 1 y 2 modificando la matriz de

asignación de la siguiente manera:

1. Por cada fila, identifique el número menor y reste ese valor de cada celda

en esta fila.


195

2. Por cada columna, identifique el número menor y reste ese valor de cada

celda en esta columna.

Paso 1

Prueba de optimalidad: intente identificar una asignación factible en la matriz actual en

la que cada celda seleccionada tenga un valor de cero. Si se encuentra esta

asignación, deténgase: ésta es la solución óptima; de otra manera encuentre el

número de asignaciones que sí tienen el valor de cero y vaya al paso 2.

Paso2 Movimiento: establezca una nueva matriz de asignación con las propiedades 1 y 2, y

haga lo siguiente:

1. Trace el número mínimo de líneas horizontales y verticales como sea

posible en la última matriz reducida que cubrirá todas las celdas que

contienen valores cero.

2. Entre todas las celdas no cruzadas, identifique una con el menor valor y

a. Reste este número de todas las celdas no cruzadas y

b. Añada este número a todas las celdas en la intersección de dos

líneas.

Ahora vaya al paso 1.


196

EXPLICACIÓN SIMPLEX DEL MÉTODO HÚNGARO

El problema de asignación en el cual n empleados se asigna a n trabajos, se puede

representar como un modelo de PL de la siguiente manera: digamos que ijC es el

costo de asignar al empleado i al trabajo j y definiremos:

{,

,

1 si se asigna al empleado el trabajo 0 de lo contrarioij

i jX =

Entonces el modelo de PL se da como:

ijj

ij XC∑∑= =

=n

1i 1 ZMinimice

s.a.

1 ó 0

n1,2,...,j ,1

n1,2,...,i ,1

ij

1

1

=

==

==

∑

∑

=

=

X

X

X

n

iij

n

jij


197

ASIGNACIÓN CASO MINIMIZACIÓN

Ejemplo 1. Joshop necesita asignar cuatro trabajos que recibió a cuatro empleados.

Las diversas habilidades de estos dan origen a costos variados por el desempeño de

los trabajadores. La tabla resume los datos del costo de las asignaciones. Los datos

indican que el empleado 1 no puede trabajar en el trabajo 3 y que el empleado 3 no

puede trabajar en el trabajo 4.

i) Determine la asignación óptima.

Trabajo

Trabajador

1 2

3 4

1 $50 $50 - $20

2 $70 $40 $20 $30

3 $90 $30 $50 -

4 $70 $20 $60 $70

ii) Supongamos que hay disponible un empleado adicional (el quinto) para

desempeñar los cuatro trabajos, a los costos respectivos de 60, 45,30 y 80

dólares. ¿Es económico reemplazar a uno de los cuatro trabajadores

actuales con el nuevo?

Trabajo Ttrabajador

1 2 3 4

1 $50 $50 - $20 2 $70 $40 $20 $30 3 $90 $30 $50 - 4 $70 $20 $60 $70 Solución

Observe que no se va asignar el empleado 1 al trabajo 3 y que el empleado 3 no

puede trabajar en el trabajo 4entonces vamos a poner en la celda un valor M positivo

infinitamente grande de tal manera que sea un costo bastante elevado y no pueda ser

asignado.

50 50 M 20 70 40 20 30 90 30 50 M 70 20 60 70


198

a) Determinamos el menor valor por fila y restamos

50 50 M 20 20 70 40 20 30 20 90 30 50 M 30 70 20 60 70 20 30 30 M-20 0 50 20 0 10 60 0 20 M-30 50 0 40 50 30 0 0 0

b) Determinamos el menor valor por columna y restamos

0 30 M-20 0 20 20 (0) 10 30 (0) 20 M-30 20 0X 40 50 c) Observamos que es imposible asignar por tanto vamos a trazar líneas horizontales y

verticales

0 30 M-20 0 20 20 0 10 30 0 20 M-30 20 0 40 50 d) Determinamos el menor de las celdas no cruzadas =10. . Restamos los valores de

las celdas no cruzadas al menor valor y sumamos en la intersección de dos líneas el

menor valor.

0 40 M-10 0 10 20 0 0 20 (0) 20 M-40 10 0X 40 40 e) Observamos que no se puede asignar volvemos a trazar líneas horizontales y

verticales, para cubrir los ceros de asignación con la menor cantidad de líneas.

0 40 M-10 0 10 20 0 0 20 0 20 M-40 10 0 40 40


199

f) Menor de las celdas: 10 0X 50 M-10 (0) 10 30 (0) 0X 10 (0) 10 M-50 (0) 0X 30 30 Es posible asignar Trabajo Trabajador

1 2 3 4

1 $50 $50 - $20 2 $70 $40 $20 $30 3 $90 $30 $50 - 4 $70 $20 $60 $70 Al trabajador 1 se le asigna el trabajo 4 a un costo de $20

Al trabajador 2 se le asigna el trabajo 3 a un costo de $20



costo min óptimo =$140 ii) Trabajo Trabajador

1 2 3 4 5

1 $50 $50 - $20 0 2 $70 $40 $20 $30 0 3 $90 $30 $50 - 0 4 $70 $20 $60 $70 0 5 $60 $45 $30 $80 0 50 50 M 20 0 0 70 40 20 30 0 0 90 30 50 M 0 0 70 20 60 70 0 0 60 45 30 80 0 0 50 50 M 20 0 70 40 20 30 0 90 30 50 M 0 70 20 60 70 0 60 45 30 80 0 50 20 20 20 0


200

0 30 M-20 0 0X 20 20 0 10 0X 40 10 30 M-20 0X 20 (0) 40 50 0X 10 25 10 60 (0) Imposible asignar, luego trazamos líneas horizontales y verticales

0 30 M-20 0 0 20 20 0 10 0 40 10 30 M-20 0 20 0 40 50 0 10 25 10 60 0 Menor de las celdas no cruzadas: 10 0X 40 M-10 (0) 10 10 20 (0) 0X 0X 30 10 30 M-30 (0) 10 (0) 40 40 0X (0) 25 10 50 0X Trabajo Trabajador

1 2 3 4 5

1 $50 $50 - $20 0 2 $70 $40 $20 $30 0 3 $90 $30 $50 - 0 4 $70 $20 $60 $70 0 5 $60 $45 $30 $80 0 Al trabajador 1 se le asigna el trabajo 4 a un costo de $20





Costo min óptimo $120

Respuesta: Sí es económico reemplazarlo


201

ASIGNACIÓN CASO MAXIMIZACIÓN Ejemplo 2. Un corredor de bienes raíces planea la venta de 5 lotes de terreno y ha

recibido ofertas individuales de 4 clientes. Debido a la cantidad de capital que se

requiere, estas ofertas se han hecho en el entendimiento de que ninguno de los 4

clientes comprará más de un lote. Las ofertas se muestran en la tabla. El corredor de

bienes raíces quiere maximizar su ingreso total a partir de esas ofertas.

Lote

Comprador 1 2 3 4 5

A 16 15 25 19 20 B 19 17 24 15 25 C 15 15 18 0 16 D 19 0 15 17 18

Solución Dado que tenemos cuatro compradores para cinco lotes completamos la matriz con un

comprador artificial

Lote Comprador

1 2 3 4 5

A 16 15 25 19 20 B 19 17 24 15 25 C 15 15 18 0 16 D 19 0 15 17 18 E 0 0 0 0 0

16 15 25 19 20 19 17 24 15 25 15 15 18 0 16 19 0 15 17 18 0 0 0 0 0

1) Identificar el mayor valor de las celdas: 25

2) Restar los valores de cada celda de este numero encontrado

25-16=9 10 0 6 5 6 8 1 10 0

10 10 7 25 9 6 25 10 8 7

25 25 25 25 25


202

A partir de este tablero los pasos son los mismos que en minimización

9 10 0 6 5 0 6 8 1 10 0 0

10 10 7 25 9 7 6 25 10 8 7 6

25 25 25 25 25 25

9 10 0 6 5 6 8 1 10 0 3 3 0 18 2 0 19 4 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

9 10 0 6 5 6 8 1 10 0 3 3 0 18 2 0 19 4 2 1 0 0 0 0 0

Menor de las celdas no cruzadas: 2 9 8 0 4 5 6 6 1 8 0 3 1 0 16 2 0 17 4 0 1 2 0 2 0 2

Menor de las celdas no cruzadas: 1 8 7 (0) 3 5 5 5 1 7 (0) 2 (0) 0X 15 2

(0) 17 5 0X 2 2 0X 3 (0) 3

Lote Comprador

1 2 3 4 5

A 16 15 25 19 20 B 19 17 24 15 25 C 15 15 18 0 16 D 19 0 15 17 18 E 0

Al comprador A se le asigna el lote 3 con un ingreso de $25

Al comprador B se le asigna el lote 5 con un ingreso de $25

Al comprador C se le asigna el lote 2 con un ingreso de $15

Al comprador D se le asigna el lote 1 con un ingreso de $19

Ingreso máximo=$84


203

Ejemplo3 Arthur J Big and Company es una compañía de contabilidad que tiene un especialista

en impuestos en cada uno de sus oficinas en Washington D.C., Cleveland, Lousville y

Atlanta. La oficina central ha recibido una solicitud para un especialista en impuestos

en cada uno de sus clientes de Columbus, Nashville, Charleston y Pittsburgh los

costos de los siguientes especialistas se proporcionan en la siguiente tabla.

Hacia

Desde Columbus Nashville Charleston Pittsburgh

Washington 431 659 342 247

Cleveland - 533 - 129

Lousville 214 174 259 393

Atlanta 585 246 501 683

Como socio general de la compañía, determine cómo enviar un especialista a cada

ciudad para minimizar sus costos totales del viaje.

Solución

Como podemos observar es imposible enviar un especialista de Cleveland hacia

Columbus y Charleston, frente a estos casos se pone un M bastante grande de

manera que al ser M un costo bastante elevado nos garantiza su no asignación. Otra

forma es asignarle un costo bastante alto en comparación con los demás costos, por

ejemplo 2000, como podemos ver este costo es bastante alto y de seguro que no

enviamos el especialista.

De la matriz de costos:

431 659 342 247

M 533 M 129

214 174 259 393

585 246 501 683


204

Elegimos por fila el menor valor y restamos este valor de cada celda en su respectiva fila

184 412 95 0 247

M-129 404 M-129 0 129

40 0 85 219 174

339 0 255 437 246

Elegimos por columna el menor valor y restamos este valor de cada celda de su respectiva columna

144 412 10 0

M-169 402 M-214 0

0 0 0 219

299 0 170 437

40 0 85 0

Cada cero significa un cero de asignación es decir si asigno el primer cero (posición

14X ) en la primera fila me indica que envío un especialista de Washington-Pittsburg

e inmediatamente tarjo el cero que esta debajo (posición 24X ) puesto que el

especialista de Cleveland ya no puede ser asignado a Pittsburg.

Como no se puede asignar trazamos líneas horizontales y verticales de tal manera

que se pueda cubrir con la menor cantidad de líneas los ceros de asignación.


205

144 412 10 0

M-169 402 M-214 0

0 0 0 219

299 0 170 437

De las celdas no cruzadas elegimos el menor valor = 10 y restamos este numero de

todas las celdas no cruzadas, sumamos este numero a aquellas celdas cruzadas por

dos líneas y las que están cruzadas por una sola línea permanecen igual

134 412 0 0

M-179 402 M-224 0

0 10 0 229

289 0 160 437

Observamos que es posible asignar luego la respuesta es:

Hacia

Desde Columbus Nashville Charleston Pittsburgh

Washington X

Cleveland X

Lousville X

Atlanta X


206

Solución: De Washington a Charleston 342

De Cleveland a Pittsburgh 129

De Lousville a Columbus 214

De atlanta a Nashville 246

Solución óptima = 931 Ejemplo 4 Arthur J Big and Company es una compañía de contabiliadad que tiene un especialista

en impuestos en cada uno de sus oficinas en Washington D.C., Cleveland, Lousville y

atlanta. La oficina central ha recibido una solicitud para un especialista en impuestos

en cada uno de sus clientes de Columbus, Nashville, Charleston y Pittsburgh las

utilidades de los siguientes especialistas se proporcionan en la siguiente tabla.

Hacia

Desde Columbus Nashville Pittsburgh

Washington 431 659 247

Cleveland 240 533 129

Lousville 214 174 393

Atlanta 650 346 683

Como socio general de la compañía, determine como enviar un especialista a cada

ciudad para maximizar sus utilidades totales del viaje-dar solución óptima


207

Creamos una columna artificial para completar el tablero

431 659 247 0

240 533 129 0

214 174 393 0

650 346 683 0

Determinamos el mayor valor de toda la tabla = 683 y lo restamos de todo el tablero

252 24 436 683

443 150 554 683

469 509 290 683

33 337 0 683

Determinamos el valor menor en cada fila y luego en cada columna restando

respectivamente

228 0 412 659 24

293 0 404 533 150

179 219 0 393 290

33 337 0 683 0


208

195 0 412 266

260 0 404 140

146 218 0 0

0 337 0 290

33 0 0 393

Trazamos las líneas

195 0 412 266

260 0 404 140

146 219 0 0

0 337 0 290

Valor mínimo = X24=140

55 (0) 272 126

120 0X 264 (0)

146 359 (0) 0X

(0) 477 0X 290


209

Columbus Nashville Pittsburgh Charleston

Washington X

Cleveland X

Lousville X

Atlanta X

Solución: De Washington a Nashville enviamos un especialista con una utilidad $659

De Lousville a Pittsburgh enviamos un especialista con una utilidad $ 393

De Atlanta a Columbus enviamos un especialista con una utilidad $ 650

1702 Es el monto total de las utilidades


210

Serie de Problemas 8.4

1. Se trata de efectuar 5 tareas diferentes y se cuenta para tal efecto con 5

equipos. Se quiere conocer qué tarea debe realizar cada equipo productivo

empleando el mínimo de tiempo en conjunto, si el tiempo que tarda cada equipo

en realizar cada tarea es el que se indica en la tabla:

Tareas

Equipos

A B C D E

1 12 17 4 10 11

2 7 1 3 10 1

3 5 3 1 9 16

4 14 3 1 11 16

5 12 12 4 4 16

2. Resuelva los modelos de asignación en la tabla siguiente:

$3 $9 $2 $3 $7

$6 $1 $5 $6 $6

$9 $4 $7 $10 $3

$2 $5 $4 $2 $1

$9 $6 $2 $4 $5

$3 $8 $2 $10 $3

$8 $7 $2 $9 $7

$6 $4 $2 $7 $5

$8 $4 $2 $3 $5

$9 $10 $6 $9 $10


211

3. Joshop necesita asignar cuatro trabajos que recibió a cuatro empleados. Las

diversas habilidades de éstos dan origen a costos variados por el desempeño

de los trabajadores. La tabla resume los datos del costo de las asignaciones.

Los datos indican que el empleado 1 no puede trabajar en el trabajo 3 y que el

empleado 3 no puede trabajar en el trabajo 4.

Trabajo

Trabajador

1 2

3 4

1 $50 $50 - $20

2 $70 $40 $20 $30

3 $90 $30 $50 -

4 $70 $20 $60 $70

* Supongamos que Joshop acaba de recibir un quinto trabajo y que los

costos respectivos de que los desempeñen los cuatro empleados son

20,10, 20, y 80 dólares ¿Debe tener prioridad el nuevo trabajo por encima

de cualquiera de los 4 trabajos que ya tiene Joshop?

4. Se usarán cuatro barcos cargueros para transportar bienes de un puerto a

otros cuatro puertos (numerados 1, 2, 3,4). Se puede usar cualquier barco para

hacer cualquiera de los cuatro viajes. Sin embargo, dadas algunas diferencias

entre los barcos y las cargas, el costo total de carga, transporte y descarga de

bienes para las distintas combinaciones de barcos y puertos varía mucho.

Estos costos se muestran en la siguiente tabla.

Puerto

Barcos

1 2

3 4

1 5 4 6 7

2 6 6 7 5

3 7 5 7 6

4 5 4 6 6

El objetivo es asignar los barcos a los puertos en una correspondencia uno a

uno de manera que se minimice el costo total para los cuatro barcos.


212

5. El entrenador de un equipo de natación de un equipo de natación debe asignar

competidores para la prueba de 200 metros combinados por equipo para

mandarlos a las olimpiadas juveniles. Como mucho de sus mejores nadadores

son rápidos en más de un estilo, no le es fácil decidir a qué estilo asignar a cada

uno. Los cinco mejores nadadores y sus mejores tiempos (en segundos) en

cada estilo son:

Tipo de nado Carlos Cristina David Antonio José

Dorso 37.7 32.9 33.8 37.0 35.4

Pecho 43.4 33.1 42.2 34.7 41.8

Mariposa 33.3 28.5 38.9 30.4 33.6

Libre 29.2 26.4 29.6 28.5 31.1

El entrenador quiere determinar cómo asignar cuatro nadadores a los cuatro

tipos de nado para minimizar la suma de los mejores tiempos correspondientes.

6. Suponga que una empresa tiene 5 puestos vacantes cuyo desempeño requiere

diversas habilidades. Se han presentado 7 candidatos que han sido sometidos

a pruebas especiales de selección para cada empleo, habiendo obtenido las

siguientes calificaciones:

Empleos

Candidatos

1 2 3 4 5

A 69 97 81 68 95

B 61 79 27 14 38

C 62 83 48 65 94

D 45 80 41 65 70

E 42 39 42 32 83

F 33 34 10 12 17

G 46 50 28 33 92


213

Ayude a determinar al gerente de personal el mejor equipo seleccionado, donde

la puntuación en su conjunto sea la máxima, considerando la calificación que

haya obtenido cada candidato en el puesto al que se decida asignarlo.

7. Steel company ha decidido iniciar la producción de cuatro nuevos productos

utilizando tres plantas que por el momento tiene exceso de capacidad de

producción. Los productos requieren un esfuerzo productivo comparable por

unidad por lo que la capacidad de producción disponible en las plantas se mide

por el número de unidades de cualquier producto que se pueden obtener por

día, como se muestra en la última columna de la tabla. El último renglón de la

producción diaria requerida para satisfacer las ventas proyectadas. Cada

planta puede producir cualquiera de estos productos, excepto la planta 2 que

no puede fabricar el producto 3. Sin embargo, el costo variable por unidad de

cada producto difiere entre una planta y otra, como se muestra en el cuerpo de

la tabla.

Ayude a la gerencia a minimizar el costo de asignación de tal manera que debe

asignarse al menos uno de los productos a cada planta.

Costo unitario Producto

Planta 1 2 3 4

Capacidad

disponible

1 41 27 28 24 75

2 40 29 - 23 75

3 37 30 27 21 45

Tasa de producción 20 30 30 40



TÓPICOS AVANZADOS EN PROGRAMACIÓN LINEAL:

PROGRAMACIÓN POR OBJETIVOS Y PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA

Cuarta unidad didáctica ● Investigación de Operaciones I

217

TÓPICOS AVANZADOS EN PROGRAMACIÓN LINEAL: PROGRAMACIÓN POR OBJETIVOS Y PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA

9. OPTIMIZACIÓN MULTIOBJETIVO CON PROGRAMACIÓN POR METAS (O POR OBJETIVOS)

9.1. Programación de metas

9.2. Identificación de las metas y penalizaciones

9.3. Formulación de programación lineal para un problema de programación de metas

9.4. Identificación de las variables de decisión

9.5. Identificación de la función objetivo

9.6. Identificación de las restricciones

10. PROGRAMACIÓN ENTERA

10.1. ¿Cómo resolver un problema de programación lineal entera?

10.2. Interpretación gráfica del espacio de soluciones de un PPLE

10.3. ¿Qué dificultades se presenta si se redondea la solución de un PPLE?

10.4. Resolución de un PPLE por el método gráfico

10.5. La técnica de ramificación y acotamiento

11. BIBLIOGRAFÍA



218


TÓPICOS AVANZADOS EN PROGRAMACIÓN LINEAL:

PROGRAMACIÓN POR OBJETIVOS Y PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA

Objetivos generales

Comprender la importancia de resolver modelos de múltiples objetivos y convertir

los objetivos múltiples originales en una sola meta.

Resolver programas lineales en los cuales algunas o todas las variables de

decisión están restringidas a valores enteros.


Comprende y explica los conceptos básicos de la programación por objetivos. Comprende y explica los conceptos básicos de la programación lineal entera.

Objetivos


219

IV UNIDAD DIDÁCTICA

TÓPICOS AVANZADOS EN PROGRAMACIÓN LINEAL: PROGRAMACIÓN

POR OBJETIVOS Y PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA 9. OPTIMIZACIÓN MULTIOBJETIVA CON PROGRAMACIÓN POR METAS

(O POR OBJETIVOS)

Este análisis amplía el horizonte de la programación lineal, donde la función a

maximizar es única; y por tanto, la solución óptima es solo una. En la programación

por objetivos se tienen varias funciones objetivo que tratan de alcanzarse

simultáneamente, y por lo tanto la solución del modelo «satisface» los múltiples

objetivos planteados, en lugar de optimizar uno solo de ellos, o más difícil aún,

optimizar todos los objetivos.

Este modelo es una variante del modelo general de programación lineal, en el cual se

llega a la solución óptima minimizando siempre las desviaciones positivas y negativas

de las metas propuestas inicialmente. Tales metas propuestas pueden ser priorizadas

de acuerdo al grado de estimación que se tenga por alcanzarlas. Estas metas pueden

ser tan diversas como: maximizar beneficios, aumentar el porcentaje de participación

en el mercado, minimizar costos y maximizar la calidad del producto, todas incluidas

en el mismo problema, propuestas en diferentes unidades, lo cual amplía

considerablemente el horizonte de la programación lineal con un solo objetivo.

Veamos un ejemplo de optimización multiobjetiva.

Contenidos


220

Ejemplo 1.

Steel company produce tres tamaños de tubos: A, B, C, que son vendidos,

respectivamente en $10, $12 y $9 por pie. Para fabricar cada pie del tubo A se

requieren 0,5 minutos de tiempo de procesamiento sobre un tipo particular de

máquina de modelado.

Cada pie del tubo B requiere 0,45 minutos y cada pie del tubo C requiere 0,6

minutos.

Después de la producción, cada pie de tubo, sin importar el tipo, requiere 1 una

onza de material de soldar. El costo total se estima en $3, $4 y $4 por pie de

los tubos A, B y C, respectivamente.

Para la siguiente semana, MTV Steel ha recibido pedidos excepcionalmente

grandes que totalizan 2000 pies del tubo A, 4000 pies del tubo B y 5000 pies del

tubo C. Como solo se dispone de 40 horas de tiempo de máquina esta semana y

solo se tiene en inventario 5500 onzas de material de soldar, el departamento de

producción no podrá satisfacer esta demanda, requiere un total de 97 horas de

tiempo de máquina 11000 onzas de material de soldar. No se espera que

continúe este alto nivel de demanda. En vez de expandir la capacidad de las

instalaciones de producción, la gerencia de MTV está considerando la compra de

algunos de estos tubos a proveedores de Japón a un costo de entrega de $6 por

pie del tubo A, 6$ por pie del tubo B y $7 por pie del tubo C. Los datos se

resumen en la tabla siguiente:

Tipo Precio de

venta($/ft)

Demanda

(ft)

Tiempo de

máquina

(min/ft)

Material

soldar

(oz/ft)

Costo de

producción

($/ft)

Costo de

compra

($/ft)

A 10 2000 0.50 1 3 6

B 12 4000 0.45 1 4 6

C 9 5000 0.60 1 4 7

Cantidad

disponible 40hr 5500oz


221

Sea: x1, x2, x3, el número de pies de tubo de tipo A, B, C por producir respectivamente

y

x4, x5,x6, el número de pies de tubo de tipo A, B, C por comprar a Japón

respectivamente.

1 2 3 4 5 6Maximizar Z:7x 8x 5x 4x 6x 2x+ + + + +

s.a:


1 4

2 5



x xx x+ =+ =+ =




654321

321

321

≥≤++≤++ xxx

Solución: Usando el LINDO

MAX 7x1+8x2+5x3+4x4+6x5+2x6

subject to

2)x1+x4=2000

3)x2+x5=4000

4)x3+x6=5000

5)0.5x1+0.45x2+0.6x3<=2400

6)x1+x2+x3<=5500

END


222

RESULTADO OBTENIDO CON EL LINDO



1) 55000.00


X1 2000.000000 0.000000

X2 0.000000 0.250000

X3 2333.333252 0.000000

X4 0.000000 0.500000

X5 4000.000000 0.000000

X6 2666.666748 0.000000


2) 0.000000 4.500000

3) 0.000000 6.000000

4) 0.000000 2.000000

5) 0.000000 5.000000

6) 1166.666626 0.000000

NO. ITERATIONS= 2


223





X1 7.000000 INFINITY 0.500000

X2 8.000000 0.250000 INFINITY

X3 5.000000 0.600000 0.333333

X4 4.000000 0.500000 INFINITY

X5 6.000000 INFINITY 0.250000

X6 2.000000 0.333333 0.600000




2 2000.000000 2800.000000 2000.000000

3 4000.000000 INFINITY 4000.000000

4 5000.000000 INFINITY 2666.666748

5 2400.000000 700.000000 1400.000000

6 5500.000000 INFINITY 1166.666626

En el ejemplo anterior, el objetivo consiste en determinar cuánto de cada tipo de tubo

producir y cuánto adquirir del Japón de modo que se puedan cumplir las demandas y

maximizar las ganancias de la compañía. Sin embargo, un segundo objetivo surge

cuando el director ejecutivo le informa a usted que el gobierno ha pedido un esfuerzo

voluntario para reducir la cantidad de gasto monetario en importaciones.

En términos de estas variables de decisión nuestro nuevo modelo tiene dos objetivos:

i) Maximizar la ganancia =ganancia de la producción+ganancia de productos

adquiridos:

MAX= 1 2 3 4 5 67 8 5 4 6 2x x x x x x+ + + + +


224

ii) Minimizar el costo de importación=Costo de importación de tubos tipo A

+costos de importación de tubos Tipo B + costos de importación de tubos

Tipo C

MIN= 4 5 66 6 7x x x+ +

s.a.


1 4

2 5



x xx x+ =+ =+ =




654321

321

321

≥≤++≤++ xxx

Observaciones

A) Si el problema se corre con el lindo, es decir:

MAX= 1 2 3 4 5 67 8 5 4 6 2x x x x x x+ + + + +

s.a.


1 4

2 5



x xx x+ =+ =

+ =


225




654321

321

321

≥≤++≤++ xxx

La respuesta es:

1) Zmax= 55000.00

VARIABLE VALUE

X1 2000.000000

X2 0.000000

X3 2333.33252

X4 0.000000

X5 4000.000000

X6 2666.666748

B. Si el problema se corre con el lindo, es decir:

MIN= 4 5 66 6 7x x x+ +

s.a.


1 4

2 5



x xx x+ =+ =

+ =


226




654321

321

321

≥≤++≤++ xxx

La respuesta es:

1) Zmin= 39800

VARIABLE VALUE

X1 1200

X2 4000

X3 0

X4 799.999

X5 0

X6 5000

C. Si la respuesta de las variables de decisión obtenidas en A) reemplazamos en

B)

1) Zmax= 55000.00

VARIABLE VALUE

X1 2000.000000

X2 0.000000

X3 2333.33252

X4 0.000000

X5 4000.000000

X6 2666.666748

Es decir en MIN= 4 5 66 6 7x x x+ +

MIN= 6(0) +6(4000)+7(2666.666748)

MIN= $42666.67


227

Observamos que en un intento por maximizar las ganancias, el costo de las

importaciones aumenta de su valor mínimo de $39800 a $42666.67

D. Si la respuesta de las variables de decisión obtenidas en B) reemplazamos en A)

1) Zmin= 39800

VARIABLE VALUE

X1 1200

X2 4000

X3 0

X4 799.999

X5 0

X6 5000

Es decir en: MAX= 1 2 3 4 5 67 8 5 4 6 2x x x x x x+ + + + +

Max = 7((1200)+8(4000)+5(0)+4(799.999)+6(0)+2(5000)

ZMax=$53600

Observamos que en un intento por minimizar el costo de las importaciones, la

ganancia disminuye de su valor máximo de $55000 a $53600

9.1 PROGRAMACIÓN DE METAS En el ejemplo anterior debemos ver de qué modo tratamos los objetivos en conflicto de

maximizar las ganancias, y minimizar el costo de las importaciones. Un planteamiento

para manejar el equilibrio de estos objetivos es la programación de metas, en la cual,

para cada objetivo, usted identifica metas y penalizaciones.

Definición de programación de metas Planteamiento utilizado para resolver un problema de optimización de objetivos

múltiples como un programa lineal que equilibra los pros y los contras de los objetivos

en conflicto.


228

Para aplicar la programación de metas y llegar a una decisión es bueno identificar lo

siguiente:

Meta: valor objetivo numérico específico establecido para un fin en un programa de

metas o dicho de otra manera valor objetivo numérico específico que usted desea que

esa meta logre.

Penalización: valor relativo que se usa para representar insatisfacción con cada

unidad que un objetivo esté por debajo de su meta, si el objetivo es maximizar, y por

encima de la meta si el objetivo es minimizar.

9.2. IDENTIFICACIÓN DE LAS METAS Y PENALIZACIONES Las metas son los valores que los tomadores de decisiones, idealmente, desearían

lograr para cada objetivo.

Por ejemplo, en el problema, el director ejecutivo, sabiendo que la ganancia máxima

posible es de $55000, puede elegir este valor como el objetivo que refleja la meta de

lograr la ganancia más alta posible. Sabiendo que el costo mínimo posible de las

importaciones, según el resultado, es de $39800, el director ejecutivo puede escoger

este valor o algún otro como la meta. Por ejemplo, el director ejecutivo puede estar

igualmente satisfecho si se hace un intento de lograr un costo de importación de

$40000. Esta meta de $40000 puede ser violada si el hacerlo tiene como resultado un

aumento significativo de la ganancia.

Las penalizaciones, a su vez, reflejan la importancia relativa para los tomadores de

decisiones de no cumplir las metas de cada objetivo. Un valor más alto de una

penalidad indica que el cumplir con la meta tiene una mayor prioridad. Al escoger

valores específicos para estas penalidades, considere el objetivo de maximizar las

ganancias. La meta es de $55 000. Si se alcanza o excede la meta, entonces no hay

penalización. Sin embargo, si no se logra la meta de ganancia de $55 000, entonces

deberá haber penalización y cuanto más alejado se encuentre de lograr la meta, más


229

alta será la penalización total. Las penalizaciones pueden aumentar ya sea de manera

lineal o de manera no lineal (trabajaremos con penalizaciones lineales).

Para cada objetivo usted debe escoger un solo valor numérico para indicar la

penalización por unidad (por ejemplo, un dólar en el caso que presentamos

anteriormente), por no haber logrado la meta.

Las penalizaciones se escogen de modo que reflejen la desventaja relativa entre los

objetivos, de acuerdo con la preferencia de los tomadores de decisiones. Si el director

ejecutivo siente que es dos veces más importante lograr el objetivo de $55 000 en la

ganancia que el objetivo de $40000 en el costo de las importaciones, entonces usted

puede escoger las siguientes penalizaciones:

Penalización de ganancia = 2 por cada dólar de ganancia que esté por debajo de $55 000 Penalización de importación = 1 por cada dólar de importación que esté por encima de $40 000 En general, las penalizaciones no tienen otro significado físico que el de indicar la

importancia relativa de lograr las metas.

9.3 FORMULACIÓN DE PROGRAMACIÓN LINEAL PARA UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN DE METAS

Una vez identificadas las metas y las penalizaciones para cada uno de los objetivos,

se sigue los pasos de identificación de variables de una sola función objetivo y de

restricciones.


230

9.4 IDENTIFICACIÓN DE LAS VARIABLES DE DECISIÓN Con el enfoque de programación de metas, además de las variables de decisión

originales necesitaremos definir dos nuevas variables para cada objetivo: una para

representar la cantidad en la cual el objetivo se pasa del objetivo especificado y la otra

para representar la cantidad que está por debajo de la meta.

En el ejemplo anterior debido a que hay dos objetivos, también necesita las siguientes

cuatro variables de decisión:

P+ = Cantidad de dólares en que excede la ganancia de la meta de $55 000

P - = Cantidad de dólares que faltan para la ganancia meta de $55 000

I+ = Cantidad de dólares en que las importaciones exceden la meta de $40 000

I - = Cantidad de dólares que faltan para que las importaciones alcancen la meta de

$ 40 000.

El modelo final debe asegurar que solamente una variable de cada par tenga un valor

positivo, y que el valor de la otra sea cero

9.5 IDENTIFICACIÓN DE LA FUNCIÓN OBJETIVO En la programación por metas, el objetivo es minimizar la penalización total por no

haber logrado las dos metas es decir:

Penalización total = (penalización por no alcanzar la meta de ganancia) +

(penalización por exceder la meta de importación)

Observe que el director ejecutivo ha asignado una penalización del doble por cada

dólar que falte para lograr la meta de ganancia que la asignada a cada dólar que se

exceda de la meta de importación.

Luego la función objetivo para este problema esta definido en función de P – y I+ Minimizar 2P – +1 I+


231

9.6 IDENTIFICACIÓN DE LAS RESTRICCIONES Las restricciones anteriores del problema se mantienen igual, excepto que en general

incluir la siguiente restricción de metas para cada objetivo original.

(Valor del objetivo) – (cantidad por arriba de la meta)+ (cantidad por debajo de la meta) = Meta Luego, el modelo anterior queda de la siguiente manera

Minimizar 2P – +1 I+

S.a. Restricción de demanda

1 4

2 5



x xx x+ =+ =

+ =


1 2 3

1 2 3

0.5 0.45 0.6 2400 (tiempo de máquina) x x x 5500 (material para soldar)

x x x+ + ≤+ + ≤

Restricciones de metas

1 2 3 4 5 67 8 5 4 6 2 55000x x x x x x P p+ −+ + + + + − + =

4 5 66 6 7 40000x x x I I+ −+ + − + =

1 2 3 4 5 6 x ,x ,x ,x ,x ,x , , , , 0 (restricciones Lógicas)P P I I+ − + − ≥

(Observe que al menos I + o I − debe tomar el valor de cero lo mismo para las P)


232

Aplicando el paquete LINDO al modelo

min 2Pmenos+Imas

subject to

2)x1+x4=2000

3)x2+x5=4000

4)x3+x6=5000

5)0.50x1+0.45x2+0.60x3<=2400

6)x1+x2+x3<=5500

7)7x1+8x2+5x3+4x4+6x5+2x6-Pmas+Pmenos=55000

8)6x4+6x5+7x6-Imas+Imenos=40000

end

Se obtiene el siguiente resultado:



1) 1888.889


PMENOS 777.777771 0.000000

IMAS 333.333344 0.000000

X1 2000.000000 0.000000

X4 0.000000 0.888889

X2 3111.111084 0.000000

X5 888.888916 0.000000

X3 0.000000 0.333334

X6 5000.000000 0.000000

PMAS 0.000000 2.000000

IMENOS 0.000000 1.000000


233

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 2.888889 3) 0.000000 6.000000 4) 0.000000 -3.000000 5) 0.000000 22.222221 6) 388.888885 0.000000 7) 0.000000 -2.000000 8) 0.000000 1.000000

NO. ITERATIONS= 5





PMENOS 2.000000 1.000001 1.142857

IMAS 1.000000 1.333334 0.333333

X1 0.000000 0.888889 INFINITY

X4 0.000000 INFINITY 0.888889

X2 0.000000 0.250000 0.800000

X5 0.000000 0.800000 0.250000

X3 0.000000 INFINITY 0.333333

X6 0.000000 0.333333 INFINITY

PMAS 0.000000 INFINITY 2.000000

IMENOS 0.000000 INFINITY 1.000000




2 2000.000000 162.790695 50.000004

3 4000.000000 129.629623 55.555557

4 5000.000000 388.888885 47.619049

5 2400.000000 25.000002 1399.999878

6 5500.000000 INFINITY 388.888885

7 55000.000000 INFINITY 777.777771

8 40000.000000 333.333344 INFINITY


234

Observamos que nuestro plan de producción es:

Producir 2000 pies del tubo tipo A y 3111.11 pies del tubo tipo B

Y nuestro plan de compra es:

Importar 888.9 pies del tubo Tipo B y de 5000 pies del tubo tipo C

En términos de las metas observamos que:

i) P-: el valor de 777.78 para (PMenos) nos indica que la meta de ganancia de

$55000 no se cumple por $777.78. En otras palabras, el plan de producción-

importación anterior tiene una ganancia de $(55000-777.78)=$54222.22

ii) I + : el valor de 333.3333 para (IMás) nos indica que la meta de importación de

$40 000 se excede en $333.3333. En otras palabras el plan de producción-

importación anterior tiene un costo de $(40000+333.3333)=$40333.33333 Observaciones:

i) Los objetivos múltiples, a menudo, entran en conflicto entre sí. S olo se puede optimizar un objetivo a expensas de los otros.

ii) No podemos esperar lograr los mejores valores p ara todos los objetivos de manera simultánea.

Serie de problemas 10 1. Presentar 5 ejemplos de programación por objetivos con sus respectivos análisis.


235

10. PROGRAMACIÓN ENTERA

Definición. Un problema de programación lineal entera (PPLE) es aquel que

representa el siguiente formato:

1

n

j jj

Max c x=∑

s.a.

1

1, 2,n

ij j ij

a x b i m=

≤ =∑

entero 0jx ≥

Asimismo, definimos su equivalente continuo como:

1

n

j jj

Max c x=∑

s.a.

1 1, 2,

n

ij j ij

a x b i m=

≤ =∑

0jx ≥

Un problema de programación lineal entera y su equivalente continuo tiene la misma

estructura solo los diferencia el hecho de que en el segundo las variables pueden

asumir valores reales.

10.1. ¿CÓMO RESOLVER UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA?

• Dado un PPLE primeramente resolvemos su equivalente continuo, si la solución

obtenida es entera, entonces esta solución será también la solución óptima del

PPLE.

• Si por el contrario, la solución óptima del equivalente continuo tiene por lo menos

una variable cuyo valor no es entero, entonces debemos utilizar Técnicas de

Programación Entera.


236

10.2. INTERPRETACIÓN GRÁFICA DEL ESPACIO DE SOLUCIONES DE UN PPLE

Consideremos el siguiente PPLE

Max 4 5. .

82 10

, ,enteros 0

z x ys ax y

x yx y

= +

+ ≤+ ≤

≥

0 10 20 30 40 50 600

6

12

18

24

: 1 x + 1 y = 8

: 2 x + 1 y = 10

Payoff: 4 x + 5 y = 40

Optimal Decisions(x,y): ( 0, 8): 1x + 1y <= 8: 2x + 1y <= 10


237

Observaciones 1. El espacio de soluciones factibles de un PPLE está formado por puntos

aislados.

2. El espacio de soluciones factibles de un PPLE no es conjunto convexo.

3. Ya no se puede hablar de puntos extremos.

4. En el ejemplo presentado la solución óptima del equivalente continuo es

(x,y)=(0,8)

0 10 20 30 40 50 600

6

12

18

24

: 1 x + 1 y = 8

: 2 x + 1 y = 10

Payoff: 4 x + 5 y = 40

Optimal Decisions(x,y): ( 0, 8): 1x + 1y <= 8: 2x + 1y <= 10

Como esta solución es entera será también solución del PPLE.


238

10.3. ¿QUÉ DIFICULTADES SE PRESENTA SI SE REDONDEA LA SOLUCIÓN DE UN PPLE?

Si al resolver el equivalente continuo de un PPLE, la solución no resulta entera y

optamos por redondear dicha solución se pueden presentar las siguientes dificultades

a) La solución redondeada es no factible

Consideremos el siguiente PPLE

Max. .

2 62 4

, ,enteros 0

z x ys a

x yx yx y

= +

+ ≤+ ≤

≥

Resolviendo el equivalente continuo por el método gráfico:

Max. .

2 62 4

, 0

z x ys a

x yx yx y

= +

+ ≤+ ≤≥

0 10 20 300

6

12

: 2.00 x + 1.00 y = 6.00

: 1.00 x + 2.00 y = 4.00

Payoff: 1.00 x + 1.00 y = 3.33

Optimal Decisions(x,y): (2.67, 0.67): 2.00x + 1.00y <= 6.00: 1.00x + 2.00y <= 4.00


239

Solución óptima del equivalente continuo:

8 2.6732 0.673

x

y

= ≈

= ≈Solución redondeada: 3 1 x y= =

Vemos que la solución redondeada ¡no cumple las restricciones! Por lo que decimos

que es no factible.

Observe por ejemplo: 2 6 2(3) 1 6x y+ ≤ → + ≤ como vemos no cumple la restricción.

b) La solución redondeada cumple las restricciones pero no es óptima Consideremos el siguiente PPLE

Max 5 4. .

510 6 45

, ,enteros 0

z x ys ax y

x yx y

= +

+ ≤+ ≤

≥

Resolviendo el equivalente continuo por el método gráfico:

Max 5 4. .

510 6 45

, 0

z x ys ax y

x yx y

= +

+ ≤+ ≤≥

0 10 20 30 400

6

12

18

: 1.00 x + 1.00 y = 5.00

: 10.00 x + 6.00 y = 45.00

Payoff: 5.00 x + 4.00 y = 23.75


Solución óptima del equivalente continuo es 3.75 y=1.25x = con Z= 23.75


240

Redondeando:

Asumamos que redondeamos: 3 y=1x = , es decir, en el punto (3,1)

Observamos que: 5 4 5(3) 4(1) 19Z x y Z= + → = + = es factible, pero no es óptimo

pues (3,2) es una mejor solución, es decir: 5 4 5(3) 4(2) 23Z x y Z= + → = + = y es

óptimo.

Veamos su gráfico por PPLE.

0 10 20 30 400

6

12

18

: 1.00 x + 1.00 y = 5.00

: 10.00 x + 6.00 y = 45.00

Payoff: 5.00 x + 4.00 y = 23.00



241

10.4 Resolución de un PPLE por el método gráfico

Min 24000 20000.

40 30 4002 15

105

, enteros 0

x ys a

x yx y

xyx y

+

+ ≥− ≤≤≤

≥

0 10 20 30 40 50 600

6

12

18

24

30

: 40 x + 30 y = 400

: 2 x - 1 y = 15

: 1 x + 0 y = 10

: 0 x + 1 y = 5

Payoff: 24000 x + 20000 y = 248000

Optimal Decisions(x,y): ( 7, 4): 40x + 30y >= 400: 2x - 1y <= 15: 1x + 0y <= 10: 0x + 1y <= 5

El espacio de soluciones factibles del PPLE es:

F= {(7,5),(8,5),(9,5),(10,5),(7,4),(8,4),(9,4),(8,3),(9,3)} si reemplazamos cada punto en

la función objetivo veremos que el punto que minimiza la función objetivo es el punto

(7,4) con función objetivo mínimo igual a 248 000


242

10.5. LA TÉCNICA DE RAMIFICACIÓN Y ACOTAMIENTO Esta técnica consiste en insertar restricciones en el problema original (acotamiento) y

resolviendo por el método Simplex vamos obteniendo soluciones óptimas con los

cuales se va construir un árbol de decisión (ramificación) siguiendo luego en la

dirección del árbol con el mejor valor óptimo encontrado hasta el momento.

10.5.1. Procedimiento

1. Resolvemos el equivalente continuo del PPLE, esto puede dar lugar a las

siguientes posibilidades:

a. Si la solución óptima obtenida es entera, entonces fin del proceso,

ésta será la solución del PPLE.

b. En caso contrario tomamos una de las variables cuyo valor no es

entero y generamos dos restricciones.

Por ejemplo: suponga que: x r= ∉

Podemos observar que se generan dos ramificaciones es decir:

[ ] [ ] ; 1x r x r⎡ ⎤ ⎡ ⎤≤ ≥ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2. Resolvemos el equivalente continuo insertando una de las restricciones,

por ejemplo: [ ]x r⎡ ⎤≤ ⎣ ⎦ y ubicamos el resultado en una de las

ramificaciones. Luego resolvemos el equivalente continuo considerando

solo la segunda restricción: [ ] 1x r⎡ ⎤≥ +⎣ ⎦ y ubicamos el resultado en la otra

ramificación.

[ ]r⎡ ⎤⎣ ⎦ [ ] 1r⎡ ⎤+⎣ ⎦

r


243

3. Si alguna solución obtenida es entera y no existe ramificación con algún

valor óptimo mejor, entonces fin de proceso en caso contrario continuamos

con el paso 1 en la ramificación que tenga el mejor valor óptimo hasta el

momento.

Ejercicios

1. Max. 3X1 + 4X2

s.a.

2X1 + 3X2 <= 18

8X1 + 7X2 <= 56

X1 , X2 enteros >= 0

Solución

Resolviendo el equivalente continúo

Max. 3X1 + 4X2

s.a.

2X1 + 3X2 <= 18

8X1 + 7X2 <= 56

L1: 2X1 + 3X2 = 18

X1 X2

0 6 (0,6)

9 0 (9,0)

L2: 8X1 + 7X2 = 56

X1 X2

0 8 (0,8)

7 0 (7,0)

L1: 2X1 + 3X2 = 18

L2: 8X1 + 7X2 = 56


244

0 10 20 30 40 50 60 700

6

12

18

24

30

: 2.0 X1 + 3.0 X2 = 18.0

: 8.0 X1 + 7.0 X2 = 56.0

Payoff: 3.0 X1 + 4.0 X2 = 25.4

Optimal Decisions(X1,X2): ( 4.2, 3.2): 2.0X1 + 3.0X2 <= 18.0: 8.0X1 + 7.0X2 <= 56.0


245

L1 ∩ L2

2X1 + 3X2 = 18 (4) 2X1 + 3(3.2) = 18

8X1 + 7X2 = 56 2X1 + 9.6 = 18

8X1 + 12X2= 72 (-) 2X1 = 8.4

8X1 + 7X2 = 56 X1 = 4.2

5X2 = 16

X2 = 3.2

Respuesta: X1 = 3

X2 = 4

Z óptimo = 25

Z= 25.4 X1 = 4.2 X2 = 3.2

Z= 25.33 X1 = 4 X2 = 3.23

Z= 24.144X1 = 5 X2 = 2.28

X1 <= [| 4.2 |]

X1 >= [| 4.2 |] + 1

Z= 25.13 X1 = 4.38 X2 = 3

Z= 25 X1 = 3 X2 = 4

X2 <= [| 3.33 |]

X2 >= [| 3.33 |] + 1

2X1 + 3X2 <= 18 X1 = 5 , X2 = 2.667 8X1 + 7X2 <= 56 X1 = 5 , X2 = 2.285

2X1 + 3X2 <= 18 X1 = 4 , X2 = 3.333 8X1 + 7X2 <= 56 X1 = 4 , X2 = 3.428

No tiene sentido

2X1 + 3X2 <= 18 X2 = 3 , X1 = 4.5 8X1 + 7X2 <= 56 X2 = 3 , X1 = 4.375

2X1 + 3X2 <= 18 X2 = 4 , X1 = 3 8X1 + 7X2 <= 56 X2 = 4 , X1 = 3.5


246

Observaciones

1) A medida que aumentamos de nivel el valor de la función objetivo no mejorará.

2) En el problema que se ha tenido que resolver, la solución entera es la siguiente:

1 2

1 2

1 2

1

2

1 2

max 3 4. . 2x +3x 18

8x +7x 56 x 4 x 4 x ,x 0

x xs a

+≤≤≤≤≥

Serie de problemas 10 Resolver por ramificación y acotamiento

1) 1 25 4MaxZ x x= +

s.a.

1 2

1 2

1 2

510 6 45

, ,entero 0

x xx x

x x

+ ≤+ ≤

≥

2) 1 23 2MaxZ x x= +

s.a.

1 2

1 2

1 2

2 2 93 3 18

, ,entero 0

x xx x

x x

+ ≤+ ≤

≥


247

3) 1 2MaxZ x x= +

s.a.

1 2

1 2

1 2

2 5 166 5 27

, ,entero 0

x xx x

x x

+ ≤+ ≥

≥

4) 1 2Min 5 4Z x x= +

s.a.

1 2

1 2

1 2

3 2 52 3 7

, ,entero 0

x xx x

x x

+ ≥+ ≥

≥

5) 1 2Min 24000 20000Z x x= +

s.a.

1 2

1 2

1

2

1 2

40 30 4002 15

105

, ,entero 0

x xx x

xxx x

+ ≥− ≤≤≤

≥


248

HILLER, Frederick-LIEBERMAN, Gerald

Introducción a la Investigación Operativa.

McGraw-Hill, México, 1991.

BAZARAA, Mokhtar-JARVIS, John

Programación lineal y flujo de redes.

Limusa-México.

PRAWDA WITENBERG, Juan

Métodos y Modelos de Investigación de Operaciones. Vol. I

Limusa-México

TAHA, Hamdy

Investigación de Operaciones. Una Introducción.

Representaciones y Servicios de Ingeniería S.A. México.

EPEN-GOULD-SCHMIDT

Investigación de Operaciones en la Ciencia Administrativa.

Prentice- Hall Hispanoamérica, S.A.

DANTZIG, George B.

Linear Programming and Extension.

Princeton University Press

SASIENI, YASPAN and FRIEDMAN

Operations Research.

J. Wesles & Sons Inc.

Bibliografía


249

MOSKOWITZ, Herbert,

Investigación de Operaciones.

España, Edit Prentice-Hall

BUFFA y DYER

Ciencias de la Administración e Investigación de Operaciones.

Limusa.

TURBAN, Meredith,

Fundamentals of Management Science.

Irwin, 5th. Edition - 1999

KAMLESH, Mathur y Daniel SOLOW

Investigación de operaciones. El arte de la toma de decisiones.

Career

143495909 inves