колебания и волны учебное пособие к работам по компьютерному моделированию для студентов 1, 11 курса

Федеральное агентство связи

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение

высшего профессионального образования

ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ

ЭЛЕКТРОННАЯ

БИБЛИОТЕЧНАЯ СИСТЕМА

Самара

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2

Федеральное агентство связи

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение

высшего профессионального образования

«Поволжский государственный университет телекоммуникаций

и информатики»

Кафедра физики

Глущенко Е.П.

Колебания и волны

Учебное пособие

к работам по компьютерному моделированию

для студентов I, II курса очного и заочного отделения

по направлениям подготовки:

090106, 200600 , 210300, 210400 , 220200

Самара 2014


3

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ………………………………………………………………………..3

ПОРЯДОК ДОПУСКА К РАБОТАМ ПО КОМПЬЮТЕРНОМУ

МОДЕЛИРОВАНИЮ…………………………… ……………………………5

ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ ОТЧЕТА ПО РАБОТЕ.……………….....6

РАБОТА № 1. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО И

ПРУЖИННОГО МАЯТНИКА…………………………………………………8

РАБОТА № 2. ИЗУЧЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ СТРУН…….17

РАБОТА № 3. БИЕНИЯ……………………………...………………………..23

РАБОТА № 4. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В КОНТУРЕ…………………28

РАБОТА №5. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В RLC-КОНТУРЕ……….34

ЛИТЕРАТУРА…………………………………………………………...……..40

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. СПРАВОЧНЫЕ ДАННЫЕ ………………………………41

.


4

ВВЕДЕНИЕ

Учебное пособие содержит описания к ряду работ по компьютерному мо-

делированию физических процессов, в которых используются компьютерные

модели из курса « Открытая физика», разработанного компанией «Физикон».

Зачет по работам включает подготовку к каждой из работ, определенных

преподавателем, получение допуска к работе, выполнение работы, обработка

результатов измерений, подготовка письменного отчета, защита выполненной

работы (по теории, оборудованию для измерений и результатам эксперимен-

тального исследования).

Порядок работы с программой.

Для начала работы необходимо дважды щелкнуть левой кнопкой мыши,

когда ее маркер расположен над эмблемой сборника компьютерных моделей.

После этого появится начальная картинка, имеющая следующий вид:

После этого необходимо дважды щелкнуть левой кнопкой мыши, устано-

вив ее маркер над названием раздела, в котором расположена данная модель.

Для раздела «Механические колебания и волны» вы увидите следующую кар-

тинку. На этой картинке кнопки в верхней части

« » являются служебными. Предназначение ка-

ждой отображается, когда маркер мыши располагается над нею в течение 1-2

секунд (без нажатия кнопок мыши). Очень важной является кнопка с двумя


5

вертикальными чертами « », которая служит для остановки эксперимента, а

рядом расположенные кнопки – для шага « » и продолжения « » работы.

Прочитав названия во внутреннем окне, установите маркер мыши над на-

званием требуемой работы и дважды нажмите левую кнопку мыши. Появится

внутреннее окно с макетом работы:

В появившемся внутреннем окне сверху также будут расположены слу-

жебные кнопки « ». Кнопка « » служит для вызова теоретических

сведений. Перемещать окна можно, зацепив (нажав и удерживая левую кнопку)

мышью заголовок окна (имеющий синий фон). Закрытие окна теории осущест-

вляется нажатием кнопки с крестом в правом верхнем углу внутреннего окна.


6

ПОРЯДОК ДОПУСКА К РАБОТАМ

Для допуска:

1. Каждый студент предварительно оформляет свой персональный конспект

по данной работы (см. Оформление конспекта для допуска к работе).

2. Преподаватель проверяет оформление конспекта и задает вопросы по тео-

рии, методике измерений, установке и обработке результатов.

3. Студент отвечает на заданные вопросы (письменно в черновике конспекта

или устно).

4. Преподаватель допускает студента к работе и ставит свою подпись в кон-

спекте студента (графа Допуск в табличке на обложке).

Требования к оформлению заготовки отчета для допуска к раб о-

те

Отчет о проделанной работе должен содержать следующие разделы:

1. Титульный лист работы (см. рис.) с указанием названия и номера выпол-

няемой работы, фамилии и имени студента, номера учебной группы и

таблицы для отметок: даты и подписи преподавателя в графах допуска,

выполнения измерений, проверки расчетов и зачета по данной работе.

ФАС ФГОБУВПО

«Поволжский государственный университет

телекоммуникаций и информатики»

Кафедра физики

Лабораторная работа N__

Название

Выполнил:

студент группы _____

ФИО_______________

2. На следующих страницах должны быть описаны:

Допуск Измерения Расчеты Зачет


7

Цель работы с формулировкой изучаемого физического явления,

краткое описание моделируемой физической системы и ее матема-

тической модели (взять из описания данной работы).

Экспериментальная установка (нарисовать чертеж или схему уста-

новки, перечислить все компоненты и наименование деталей).

Краткая теория - это теоретический раздел с кратким изложением

основных характеристик изучаемого явления (выписать основные

формулы и пояснить каждый символ, входящий в формулу). В

этом разделе следует обязательно привести вывод тех расчетных

формул, которые приведены в учебном пособии.

Таблицы (состав таблиц и их количество, необходимое для обра-

ботки результатов измерений, определить самостоятельно в соот-

ветствии с методикой измерений.

ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ ОТЧЕТА ПО РАБОТЕ

Полностью оформленная и подготовленная к зачету работа должна соответст-

вовать следующим требованиям:

1. Выполнение всех пунктов выше изложенных требований к оформлению

отчета.

2. Заполнить все таблицы обработки результатов (для заданий, где такие из-

мерения необходимы). Привести пример расчета элементов таблицы. Для всех

величин в таблицах должна быть записаны соответствующие единицы измере-

ния.

3. Построить все необходимые графики (зарисовав их с экрана или распеча-

тав на принтере, если есть такая возможность). Графики должны удовлетворять

требованиям:

размер не менее 1/2 тетрадного листа;

на графике: оси декартовой системы, на концах осей – стрелки, ин-

дексы величин, единицы измерения;

на каждой оси – равномерный масштаб (риски через равные проме-

жутки, числа через равное количество рисок);

под графиком – полное название графика словами;

на графике – экспериментальные и теоретические точки ярко;

форма графика соответствует теоретической зависимости (не лома-

ная).

3. В конце отчета записать основные выводы по данной работе по образцу


8

Вывод: По результатам измерений и расчетов получено значение

__________________________ , равное _____ = ( ___ ____ ) ·10 - _____.

название физической характеристики символ средняя ошибка степень ед. изм.

Полученное экспериментально значение величины _________________, полное название словами

равное _________________, с точностью до ошибки измерений, составляю- число, единица измерения

щей________________, совпадает (не совпадает) с табличным (теоретическим) число, единица измерения

значением данной величины, равным________________. число, единица измерения

4. Подготовиться к теоретическому зачету по вопросам для самоконтроля,

которые сформулированы в «Методических рекомендациях» к данной рабо-

те. Рекомендуется проиллюстрировать Ваши ответы соответствующими

графиками или иными результатами моделирования (для тех вопросов, где

это целесообразно).


9

РАБОТА № 1. Механические колебания

математического и пружинного маятника

Ознакомьтесь с соответствующим разделом по конспекту лекций и учеб-

нику. Запустите программу компьютерного моделирования. Выберите раздел

«Механические колебания и волны» и «Свободные колебания» (сначала мате-

матический маятник, потом груз на пружине). Нажмите вверху внутреннего ок-

на кнопку с изображением страницы. Прочитайте краткие теоретические сведе-

ния. Необходимые для допуска к работе сведения выпишите в свой конспект.

(Порядок работы с программой описан во введении).

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

1. Исследование периодического движения тела под действием силы.

2. Экспериментальное определение зависимости частоты колебаний от

параметров системы.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ:

Колебание – периодически повторяющееся движения тела.

Период T – время одного полного колебания.

Частота – число полных колебаний за единицу времени:

= 1/Т.

Гармоническое колебание – это движение, при котором координата тела

меняется со временем по закону синуса или косинуса:

)cos( 0tAs .

Основными характеристиками гармонических колебаний являются:

Амплитуда А0 – это максимальное значение колеблющейся величины.

Циклическая частота собственных колебаний 0 – это физический параметр,

характеризующий колебательные свойства системы, в 2 раз большая частоты

:

0 =2 .

Фаза ( 0t + 0) – значение аргумента косинуса или синуса.

Начальная фаза 0 – значение фазы при t = 0.

Амплитуда колебаний и начальная фаза определяются начальными условиями,

а частота и период – свойствами колебательной системы.

Так как гармонические колебания величины s описываются уравнением типа )cos( 0tAs ,

то запишем первую (скорость) и вторую (ускорение) производные по времени

от гармонически колеблющейся величины s:

)sin( 000 tAdt

ds

,

)cos( 00202

2

tAdt

sd

.


10

Пружинный маятник и математический маятник – это модели объектов, в

которых при малой амплитуде могут происходить гармонические колебания.

Пружинный маятник – это материальная точка, прикрепленная к иде-

альной (невесомой и подчиняющейся закону Гука) пружине.

Математический маятник – это материальная точка, подвешенная на

идеальной (невесомой и нерастяжимой) нити и совершающая колебания под

действием силы тяжести.

Рассмотрим тело массой m, прикрепленное к пру-

жине жесткостью k (см. рис.1). Сместим тело от

положения равновесия на расстояние, равное х,

после чего предоставим систему самой себе. Воз-

никшая сила упругости стремится вернуть тело в по-

ложение равновесия. По закону Гука

kxF По второму закону Ньютона

mаF Приравняем силы Рис. 1. Пружинный маятник

kxmа Учитывая, что ускорение тела это вторая производная координаты получаем:

kxdt

xdm

2

2

Перенесем все в левую часть и разделим на массу

02

2

xm

k

dt

xd

Введем обозначение:

m

k2

0

Тогда с учетом этого уравнение можно переписать в виде:

0202

2

xdt

xd

,

где 0 – собственная частота колебаний.

Это дифференциальное уравнение второго порядка свободных гармони-

ческих колебаний параметра х.

Собственная частота колебаний математического маятника

l

g2

0

,

где g – ускорение свободного падения, l – длина нити. Общее решение этого дифференциального уравнения имеет вид:

x = А соs ( 0t + )

или


11

х = А sin ( 0t + )

Найдем дифференциальное уравнение свободных затухающих коле-

баний линейной системы. Для этого рассмотрим пример свободных затухаю-

щих колебаний пружинного маятника. Если в системе существует некоторое

затухание, то амплитуда колебаний будет уменьшаться с течением времени.

Пусть в системе действует сила вязкого трения, т. е. сила направленная против

скорости движения груза, модуль которой прямо пропорционален скорости (см.

рис.2).

Рис.2. Свободные затухающие колебания пружинного маятника

Запишем уравнение движения груза, составленное по 2-му закону Ньютона.

Для пружинного маятника массой т, совершающего малые колебания под дей-

ствием упругой силы

F= —kx,

сила трения в первом приближении (малые скорости) пропорциональна скоро-

сти, т. е.

,xrr υFсопр

где r – коэффициент сопротивления; знак минус указывает на противополож-

ные направления силы трения и скорости.

При данных условиях закон движения маятника будет иметь вид xrkxxm .

Перенесем все в левую часть 0xrkxxm .

Переставим производные в порядке убывания 0kxxrxm .

Разделим на массу все слагаемые

0xm

kx

m

rx

Обозначим m

k= 0, 2

m

r. Получим дифференциальное уравнение зату-

хающих колебаний маятника:

,xxx 02 20

где x – колеблющаяся величина, описывающая тот или иной физический про-

цесс, =const – коэффициент затухания, 0 – циклическая частота свободных


12

незатухающих колебаний той же колебательной системы, т. е. при =0 (при

отсутствии потерь энергии) называется собственной частотой колебательной

системы.

Из выражения вытекает, что колебания маятника подчиняются закону:

)tcos(Aex t

Здесь teAtA )( – амплитуда затухающих колебаний (зависит от времени),

А – амплитуда в начальный момент времени t = 0, – коэффициент затуха-

ния, частота 220 – циклическая частота затухающих колебаний.

Физический смысл коэффициента затухания : коэффициент затухания есть

величина, обратная времени, за которое амплитуда колебаний уменьшается в e

раз (рис. 3).

1.

Рис.3. Вид затухающих колебаний

Потери механической энергии в любой колебательной системе из-за

наличия сил трения неизбежны, поэтому без «подкачки» энергии извне колеба-

ния будут затухающими. Рассмотрим незатухающие колебания под действи-

ем внешней периодической силы. Такие колебания называются вынужден-

ными (рис.4).

Рис.4. Вынужденные колебания

Помимо рассмотренных ранее сил упругости и вязкого трения, на шарик

действует внешняя вынуждающая периодическая сила, изменяющаяся по гар-

моническому закону

tcosFFвн 0

частота которой может отличаться от собственной частоты колебаний маят-

ника 0. Природа этой сил в данном случае нам не существенна. Уравнение

движения шарика в рассматриваемом случае имеет вид:

tFxrkxxm cos0

t

Ae– t


13

Перенесем в левую часть слагаемые с координатой х

tFxrkxxm cos0

Разделим его на массу шарика:

tm

F

m

rx

m

kх cos0

.

Обозначим m

k= 0, 2

m

r.

Получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний маятни-

ка:

tfxxx cos2 020

где

m

Ff 00 − отношение амплитудного значения внешней вынуждающей силы

к массе шарика.

Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при приближении

частоты вынуждающей силы к собственной частоте колебаний системы назы-

вается явлением резонанса.

МЕТОДИКА И ПОРЯДОК ИССЛЕДОВАНИЯ

Внимательно рассмотрите рисунки, найдите все регуляторы и другие основные

элементы.

Эксперимент 1 В разделе «Механические колебания и волны» выберите «Свободные колеба-

ния (маятник)».


14

Установите с помощью движков управления параметрами максимальную дли-

ну нити L и значения коэффициента затухания и начального угла, указанные в

таблице 1 для вашей бригады.

Таблица 1. Значения коэффициента затухания (вязкого трения), начально-

го угла отклонения (для первого эксперимента) и начального отклонения

(для второго).

Номер

бригады

b,

кг/с 0,

град

X0, см

m,

кг

Номер

бригады

b,

кг/с 0,

град

X0,

см

m,

кг

1 0.02 10 20 0.5 9 0.30 18 20 0.7

2 0.06 11 18 0.6 10 0.32 19 18 0.8

3 0.10 12 16 0.7 11 0.36 20 16 0.9

4 0.12 13 14 0.8 12 0.40 10 14 1.0

5 0.16 14 12 0.9 13 0.42 11 12 0.5

6 0.20 25 14 1.0 14 0.46 12 14 0.6

7 0.22 16 16 0.5 15 0.50 13 16 0.7

8 0.26 17 18 0.6 16 0.56 14 28 0.8

Нажимая мышью на кнопку «СТАРТ», следите за движением точки на графи-

ках угла и скорости и за поведением маятника. Потренируйтесь, останавливая


15

движение кнопкой «СТОП» (например, в максимуме смещения) и запуская да-

лее кнопкой «СТАРТ». Выберите число полных колебаний N =3–5 и измеряйте

их продолжительность t (как разность t2 – t1 из таблицы на экране).

Получите у преподавателя допуск для выполнения измерений.

1) Приступайте к измерениям длительности t для N (3-5) полных колеба-

ний, начиная с максимальной длины (150 см) нити маятника и уменьшая

ее каждый раз на 10 см (до минимальной длины 80 см). Длину нити L и

результаты измерений длительности t записывайте в таблицу 2, образец

которой приведен ниже.

Таблица 2. Результаты измерений (количество измерений и строк – 8)

Номер

измерения

N =

L, м t, с Т, с Т2,с

2

1 1,5

2 1,4

3 1,3

4 1,2

… …

8 0,8

g, м/с2

2) Зарисуйте графики трех полученных колебаний (начальный, в середине

эксперимента, в конце) с соблюдением масштаба.

Эксперимент 2

Выберите макет «Свободные колебания (груз на пружине)».


16

Установите массу груза, значение коэффициента затухания и начальное смеще-

ние, указанные в табл. 1 для вашей бригады.

3) Проведите измерения, аналогичные эксперименту 1, уменьшая коэффи-

циент жесткости k каждый раз на 1 Н/м. Результаты внесите в табл.3

Таблица 3. Результаты измерений (количество измерений и строк – 6)

Номер

измерения

N =

k, H/м t, с Т, с ,1/с 2,1/с

2

1 5

2 6

3 7

4 8

5 9

6 10

4) Зарисуйте графики трех полученных колебаний (начальный, в середине

эксперимента, в конце) с соблюдением масштаба.


17

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ И ОФОРМЛЕНИЕ ОТЧЕТА:

Вычислите требуемые величины и заполните таблицы 2 и 3.

Постройте графики зависимости:

квадрата периода колебаний Т2 = f(L) от длины нити математического маят-

ника,

квадрата циклической частоты колебаний 2 = f(k) от жесткости пружины

пружинного маятника.

По графику зависимости Т2 = f(L) определите значение g, используя формулу

g =4 2

)( 2T

L

.

Оцените абсолютную ошибку определения g.

По графику зависимости 2 = f(k) определите значение m, используя форму-

лу

m = )( 2

k

.

Оцените абсолютную ошибку определения m.

Проанализируйте ответ и графики. Запишите выводы.

Вопросы и задания для самоконтроля

1. Что такое колебание, дайте определение гармонических колебаний? Запи-

шите закон зависимости от времени характеристики А, совершающей гар-

моническое колебательное изменение.

2. Дайте определение периода, частоты колебаний.

3. Дайте определение амплитуды, фазы, начальной фазы, циклической частоты

гармонических колебаний.

4. Напишите формулу зависимости скорости и ускорения колеблющейся вели-

чины от времени при гармонических колебаниях.

5. Дайте определение пружинного, математического маятников.

6. Выведите дифференциальное уравнение свободных гармонических колеба-

ний пружинного маятника.

7. Запишите формулу циклической частоты свободных колебаний пружинного

и математического маятников.

8. Выведите дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний

пружинного маятника.

9. Что определяет коэффициент затухания?

10. Что такое вынужденные колебания? Выведите дифференциальное уравнение

вынужденных гармонических колебаний пружинного маятника.

11. Что такое резонанс? При каком затухании резонанс будет более резким?


18

РАБОТА № 2. Изучение собственных колебаний струны


нику. Запустите программу. Выберите в разделе «Механические колебания и

волны» макет «нормальные моды струны». Нажмите вверху внутреннего окна

кнопку с изображением страницы. Прочитайте краткие теоретические сведения.

Необходимые для допуска к работе сведения выпишите в свой конспект. (По-

рядок работы с программой описан во введении).


1. Изучение колебаний в системах с распределѐнными параметрами

на примере поперечных стоячих волн в упругой горизонтальной

струне.

2. Наблюдение картины распределения амплитуд колебаний точек

струны при образовании стоячих волн.

3. Количественная проверка формулы скорости распространения ко-

лебаний вдоль струны.


Процесс распространения колебаний в сплошной среде называется вол-

новым процессом (или волной). При распространении волны частицы среды

не движутся вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия.

Вместе с волной от частицы к частице среды передаются лишь состояние коле-

бательного движения и его энергия. Поэтому основным свойством всех волн,

независимо от их природы, является перенос энергии без переноса вещества.

Упругими (или механическими) волнами называются механические

возмущения, распространяющиеся в упругой среде. Упругие волны бывают

продольные и поперечные. В продольных волнах частицы среды колеблются в

направлении распространения волны, в поперечных – в плоскостях, перпенди-

кулярных направлению распространения волны.

Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту вре-

мени t, называется волновым фронтом. Другими словами – это поверхность,

отделяющая часть пространства, охваченную волновым процессом, от той час-

ти, где колебания еще не возникли. Геометрическое место точек, колеблющих-

ся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновых поверх-

ностей можно провести бесчисленное множество, а волновой фронт в каждый

момент времени – один. Волновой фронт также является волновой поверхно-

стью. Для плоской волны – волновые поверхности и фронт волны представляют

собой плоскости. Для сферической волны – волновые поверхности и фронт

волны представляют собой сферы. В общем случае форма волновых поверхно-

стей может быть любой.

Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фа-

зе, называется длиной волны . Другими словами – это расстояние, на которое

распространяется волна за один период колебаний, т. е.


19

vT Для характеристики волн используется волновое число

Tk

22 .

Волновой вектор ,2

nк

где n

– единичный вектор, указывающий направ-

ление распространения волны.

Бегущими волнами называются волны, которые переносят в пространстве

энергию. Уравнение бегущей волны: )cos(),( kxtAtx

Стоячие волны – это особый случай интерференции, возникающий при

наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу с

одинаковыми частотами и амплитудами:

)cos(

)cos(

2

1

kxtA

kxtA

Сложив эти уравнения и учитывая, что k = 2 , получим уравнение стоячей

волны:

txAtkxA

kxtAkxtAtxtxtx

cos2cos2coscos2

)cos()cos(),(2

),(1

),(

Из уравнения стоячей волны следует, что в каждой точке этой волны проис-

ходят колебания с одной и той же частотой и амплитудой xA 2cos2 , за-

висящей от координаты х рассматриваемой точки.

В точках среды, где 2 x = m (m = 0,1,2,…), амплитуда колебаний дости-

гает максимального значения, равного 2А. В точках среды, где 2 x = (m

+1 ) , амплитуда колебаний обращается в нуль.

Точки, в которых амплитуда максимальна, называются пучностями стоя-

чей волны, а точки, в которых амплитуда колебаний равна нулю, называются

узлами стоячей волны.

Координаты пучностей и узлов:

2mxп (m=0, 1, 2, …),

2)

2

1(mx узл (m=0, 1, 2, …),

Из формул следует, что расстояния между двумя соседними пучностями и дву-

мя соседними узлами одинаковы и равны /2. Расстояние между соседними

пучностью и узлом стоячей волны равно /4. Расстояние между соседними уз-

лами (или пучностями) называются длиной стоячей волны и равно

,2

стx


20

где λ – длина бегущей волны.

Если конец веревки закрепить неподвижно, то отраженная в месте закрепле-

ния веревки волна будет интерферировать с бегущей волной и образует стоя-

чую волну. На границе, где происходит отражение волны, в данном случае воз-

никает узел. Будет ли на границе отражения узел или пучность, зависит от соот-

ношения плотностей сред. Если среда, от которой происходит отражение, ме-

нее плотная, то в месте отражения возникает пучность, если более плотная –

узел. Образование узла связано с тем, что волна, отражаясь от более плотной

среды, меняет фазу на противоположную и у границы происходит сложение

колебаний с противоположными фазами, в результате чего получается узел. Ес-

ли же волна отражается от менее плотной среды, то изменения фазы не проис-

ходит и у границы колебания складываются с одинаковыми фазами – образует-

ся пучность.

В гибкой однородной струне, натянутой между двумя точками и выведен-

ной из положения равновесия, могут установиться стоячие волны. При этом на

длине струны L всегда должно укладываться целое число стоячих волн. При

этом струна делится неподвижными точками – узлами – на несколько равных

отрезков, длина которых равна половине длины бегущей волны. Следователь-

но, можно записать

L = n ( ), (1)

где n – целое число, определяющее количество полуволн, уложившихся на всей

длине струны L.

Рис.5. Вид затухающих колебаний

Так, как длина волны связана со скоростью распространения волны и

частотой соотношением = , то, учитывая (1), имеем

=L

n

2.

Струна, следовательно, может колебаться не с одной частотой, а с целым

спектром частот, соответствующим собственным (нормальным) колебаниям

струны. В общем случае любые сложные колебания в струне можно предста-

вить как суперпозиция нескольких собственных колебаний, отличающихся не


21

только своими частотами, но и своими амплитудами для отдельных точек стру-

ны. Распределение амплитуд отдельных точек волны при собственных колеба-

ниях для различных значений n имеет вид, изображѐнный на рис.5.

Опыт показывает, что скорость распространения импульса деформаций (ко-

лебаний) вдоль струны определяется силой натяжения струны F и линейной

плотностью материала струны:

T.

Тогда

T

L

n

2.


Внимательно рассмотрите рисунки, найдите все регуляторы и другие основные

элементы. Зарисуйте рисунок в конспект.

Эксперимент:

1. Установите с помощью движков регуляторов постоянные значения ли-

нейной плотности материала и силы натяжения струны, указанных в таблице 1

для вашей бригады.

2. Установите начальную частоту колебания струны f = 1,0 Гц и, постепен-

но увеличивая еѐ значение, получите устойчивые колебания струны при n = 1

(см. распределение амплитуд точек струны при n = 1).

3. Аналогичным образом получите стоячие волны соответствующие раз-

личным значениям n и заполните табл.2.


22

4. Зарисуйте графики мод, для каждого n.

5. Установите второе значение линейной плотности материала струны из

табл.1 для вашей бригады и проделайте измерения п.2 и 3 ещѐ раз и заполните

табл.3.

Таблица 1.

№ бри-

гады

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Т, Н 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0

, г/м 50

80

52

82

56

84

58

86

60

88

62

90

64

92

66

94

68

96

70

98

50

80

52

82

54

84

56

86

58

88

60

90

Таблица 2,3. Результаты измерений и расчѐтов

=_________ =_________

экс =_________ экс =_________

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ И ОФОРМЛЕНИЕ ОТЧЁТА: 1. Результаты измерений представьте в виде двух графиков, откладывая по

оси абсцисс значения 2if , а по оси ординат – соответствующие им значения 2

in .

2. По тангенсу угла наклона к оси абсцисс каждого графика определите, ис-

пользуя формулу 2

2

24 f

n

L

T, значения линейной плотности материала стру-

ны и сравните его значение с установочным.

3. Оцените погрешность измерений и сделайте выводы по графикам и отве-

ту.


1. Что такое волна? Какое основное свойство волн вы знаете?

2. Какая волна называется упругой? Какая волна называется продольной, по-

перечной?

3. Что такое волновой фронт и волновая поверхность?

4. Что называется длиной волны, волновым числом, волновым вектором?

5. Какая волна является: а) бегущей; б) стоячей; в) плоской; г) сферической?

6. При каких условиях возникают стоячие волны?

7. Запишите волновое уравнение.

ni 1 2 3 4

if

2if

ni 1 2 3 4

if

2if


23

8. Получите уравнение стоячей волны. Чем стоячая волна отличается от бегу-

щей?

9. Что такое пучность и узел стоячей волны?

10. Запишите формулы определения координат пучностей и узлов стоячей вол-

ны. Чему равно расстояние между двумя ближайшими пучностями стоячей

волны?

11. Объясните механизм образования стоячих волн при отражении бегущей

волны от границы раздела двух сред различной плотности.

12. От чего зависит скорость распространения упругой волны в струне?


24

РАБОТА № 3. Биения


нику. Запустите программу. Выберите в разделе «Механические колебания и

волны» макет «Биения». Нажмите вверху внутреннего окна кнопку с изобра-

жением страницы. Прочитайте краткие теоретические сведения. Необходимые

для допуска к работе сведения выпишите в свой конспект. (Порядок работы с

программой описан во введении).


1. Познакомиться со свободными колебаниями механической системы с

двумя степенями свободы.

2. Исследовать биения между двумя нормальными модами колебаний

двух слабо связанных одинаковых маятников.


Связанные колебания – собственные колебания в сложной системе, со-

стоящей из связанных между собой простейших (парциальных) систем. Осо-

бенности колебаний в связанных системах рассмотрим на примере двух мате-

матических или физических маятников, связанных между собой пружиной.

Свободный математический маятник, как известно, обладает двумя степенями

свободы, то есть для описания его движения требуется два параметра – углы

смещения в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. Система из двух ма-

ятников описывается четырьмя параметрами и, следовательно, имеет четыре

степени свободы. Поэтому числом степеней свободы называется число незави-

симых величин, с помощью которых однозначно определяется состояние сис-

темы. Примерами других связанных систем могут служить молекулы (атомы,

взаимодействующие между собой), маятники, колеблющиеся вокруг одной оси

(связь осуществляется посредством упругих сил в оси), связанные электриче-

ские контуры (рис.6).

Схемы простейших колебательных систем:

а б

Рис.6. Схемы простейших колебательных систем: а – индуктивная связь;

б – ѐмкостная связь.

Рассмотрим случай малых колебаний. Колебания маятников можно считать ма-

лыми, если угол их отклонения от положения равновесия стремится к нулю. В

этом случае уравнения движения колебательной системы будут линейными,

наиболее простыми для решения. При линейных уравнениях общее движение


25

является суперпозицией двух независимых простых гармонических движений,

происходящих одновременно. Эти два простых гармонических движения назы-

ваются нормальными колебаниями или нормальными модами колебаний. В

нашей системе возможны два вида колебаний: синфазные и противофазные.

Синфазными называются колебания, разность фаз которых равна нулю (рис. 7)

Такие колебания можно получить в нашей системе двух маятников, отклонив

каждый из них в одну и ту же сторону на одинаковый малый (5–100) угол

21 и одновременно отпустив.

Рис.7. Синфазные колебания

Воспользуемся основным законом вращательного движения вокруг неподвиж-

ной оси О:

внешMJ

или

упртяж MMJ

(1).

Где тяжM

– момент силы тяжести, упрM

– момент силы упругости, J – момент

инерции маятника относительно оси О,

– угловое ускорение.

Так как пружина не деформирована, сила упругости, а следовательно, и

0упрM

. Тогда равенство (1) в скалярной форме переписывается в виде:

тяжMJ (2)

Знак «–» означает, что момент силы тяжести стремится вернуть маятник в по-

ложение равновесия. Так как 2

2

dt

d, mgdMтяж , где m – масса маятника,

d – плечо силы тяжести, то равенство (2) можно представить в виде:


26

mgddt

dJ

2

2

.

Или, если sinld , а так как угол мал, то sin и ld , в виде:

02

2

mgldt

dJ .

Разделив обе части этого равенства на J , получим дифференциальное уравне-

ние гармонического колебания для величины :

02

2

J

mgl

dt

d,

где, очевидно, 2c

J

mgl– есть квадрат циклической частоты синфазных коле-

баний. Подставив значение момента инерции для материальной точки 2mlJ ,

где l – длина маятника, получим l

gc , следовательно, частота синфазных

колебаний:

l

gc

2

1.

Антифазными называются колебания, разность фаз которых составляет π ра-

диан (рис. 8). Их можно получить, отклонив маятники в противоположные сто-

роны на одинаковый небольшой (5-100) угол и также одновременно отпустив.

При этом 21 , пружина деформируется на величину 2х.

Рис.8. Антифазные колебания

теперь кроме силы тяжести на маятник будут действовать силы упругости:


27

kxFупр 2 .

Уравнение динамики вращательного движения запишется в виде:

упртяж MMJ

или в скалярной форме:

упртяж MMJ (3).

Так как 00упрупр kxddFM 2 , где 0d – расстояние от оси О до связи (пружи-

ны); k – жесткость пружины, 0dx , то равенство (3) перепишется в виде:

02 2

2

2

J

kd

J

mgl

dt

d 0 .

Получили дифференциальное уравнение антифазных колебаний. Здесь

J

kd

J

mgl 0а

22 2

или учитывая, что 2mlJ , 2

22

ml

kd

l

g 0а – циклическая частота антифазных

колебаний, а частота антифазных колебаний:

2

22

2

1

ml

kd

l

g 0а .

Таким образом, в рассмотренной системе возникают две нормальные моды с

частотами а и с .

Изменяя силу связи, т.е. 0d и k , можно получить очень близкие по частоте две

нормальные моды. Если систему привести в движение произвольным образом,

возникает сложное движение, которое будет суперпозицией двух близких мод:

2211 tcosAtcosA)t( ac

Биения – это результат суперпозиции двух гармонических колебаний, имею-

щих обязательно различные, но близкие по величине частоты. Положим для


28

простоты 021 , если 2

сасрса , то возникают биения.

Эффект биений будет наибольшим, если амплитуды складываемых колебаний

одинаковы AAA 21 . Тогда уравнение биений примет вид:

tcostcosA)t( са

222 ,

где tcosA2

2 – амплитуда биений, – циклическая частота биений,

бТ2

– период биений.

Рис.9. Биения

Графически биение первого маятника изображено на рис. 9а. для возбуждения

биения отклоним один маятник на 2А, а второй будем удерживать в нулевой

точке. Затем одновременно отпустим оба маятника. Амплитуда колебаний (а,

следовательно, и энергия Е) первого маятника уменьшается, а второго – возрас-


29

тает (см. рис.8б). Через бТ2

1 первый маятник остановится, а второй будет иметь

амплитуду A2 . При этом энергия колебаний переходит от одного маятника к

другому полностью. Этот процесс будет периодически повторятся. Один пол-

ный оборот энергии от первого маятника ко второму и опять к первому и пред-

ставляет одно биение (рис.8в). Очевидно, что этот полный оборот энергии про-

исходит за время, равное периоду биений бТ .

Если са – циклическая частота биений, то частота биений:

саб .


Внимательно рассмотрите рисунок схемы, найдите все элементы схемы и эле-

менты их регулировки и другие основные элементы и зарисуйте схему в кон-

спект.


ИЗМЕРЕНИЯ:

Эксперимент 1. Исследование синфазных колебаний.

Бригада 1, 9 2, 10 3, 11 4, 12 5, 13 6, 14 7, 15 8, 16

А1 20 22 24 26 28 30 21 23

А2 20 22 24 26 28 30 21 23

f1, кГц 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6

f2, кГц 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6


30

1. Установите значения амплитуд маятников и частот колебаний, соответ-

ствующие табл.1. Наблюдайте график колебаний.

2. Зафиксируйте значения периода и частоты, указанные в табл. 4 для ва-

шей бригады.

3. Зарисуйте 3 графика на макете.

Эксперимент 2. Исследование антифазных колебаний.

Бригада 1, 9 2, 10 3, 11 4, 12 5, 13 6, 14 7, 15 8, 16

А1 20 22 24 26 28 30 21 23

А2 -15 -17 -10 -20 -25 -26 -21 -22

f1, кГц 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6

f2, кГц 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6

1. Установите значения амплитуд маятников и частот колебаний, соответ-

ствующие табл.2. Наблюдайте график колебаний.




Эксперимент 3. Исследование биений.

Бригада 1, 9 2, 10 3, 11 4, 12 5, 13 6, 14 7, 15 8, 16

А1 20 22 24 26 28 30 21 23

А2 20 22 24 26 28 30 21 23

f1, кГц 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6

f2, кГц 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8

f3, кГц 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0

f4, кГц 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 4,2

1. Установите значения амплитуд маятников и частот колебаний f1 и f2,

соответствующие табл.3. Наблюдайте график колебаний.




4. Замените значение f2 на f3. Повторите п.1 и п.2.

5. Зарисуйте только результирующий график колебаний.

6. Замените значение f3 на f4. Повторите п.1, п.2, п. 5.

7. Рассчитайте теоретически период биений, выраженный через периоды

складываемых колебаний. Данную формулу получить самостоятельно из ука-

занной: ff

ТБ

Б

11


31

8. Рассмотреть результат сложения колебаний при той же амплитуде с

максимально различными частотами, при которых еще возможны биения. За-

писать в табл. 4 значения частот, зарисовать результирующий график биений.

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ И ОФОРМЛЕНИЕ ОТЧЕТА

Заполните таблицу 4 результатов измерений.

Синфазные колебания

Тэкс, мс f, кГц

Антифазные колебания

Тэкс, мс f, кГц

Биения

Тэкс, мс Ттеор, мс f, кГц

Колебания с максимально различными частотами

f 1, кГц f 2, кГц

Сделайте выводы по графикам и результатам измерений.

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое связанные колебания? Примеры.

2. Что называют числом степеней свободы?

3. Какие колебания называют нормальными или модами?

4. Синфазные колебания: определение, вывод дифференциального уравнения и

его решение, частота синфазных колебаний.

5. Антифазные колебания: определение, вывод дифференциального уравнения

и его решение, частота антифазных колебаний.

6. Биения: определение, уравнение биений для системы двух связанных маят-

ников, колеблющихся с одинаковыми амплитудами, амплитуда биений.

7. Графическое представление биений. Период и частота биений.

8. Превращение энергии в связанной системе двух маятников.


32

РАБОТА № 4. Свободные колебания в контуре


нику. Запустите программу. Выберите в разделе «Электричество и

магццццццццццццццццццццццццццццыывнутреннего окна кнопку с изображе-

нием страницы. Прочитайте краткие теоретические сведения. Необходимые для

допуска к работе сведения выпишите в свой конспект. (Порядок работы с про-

граммой описан во введении).


1. Знакомство с компьютерной моделью процесса свободных затухаю-

щих колебаний в электрическом колебательном контуре.

2. Экспериментальное исследование закономерностей свободных зату-

хающих колебаний.

3. Экспериментальное определение величины индуктивности контура.


Колебательным контуром называется замкнутая цепь, содержащая ка-

тушку индуктивности с индуктивностью L и конденсатор с емкостью С. Если в

цепи нет активного сопротивления R (резистора), то в контуре возможны гар-

монические (незатухающие) колебания тока I, заряда конденсатора q и напря-

жения на элементах.

Напряжение на конденсаторе: C

qU c .

ЭДС самоиндукции, возникающая в катушке при протекании в ней пере-

менного тока: dt

dILs .

Напряжение на резисторе: IRUR.

Ток, протекающий в цепи: dt

dqI .

Дифференциальное уравнение свободных незатухающих колебаний.

Согласно закону Ома, для контура, содержащего катушку индуктивностью L,

конденсатор емкостью С и резистор сопротивлением R (рис. 8):

Рис. 8. Свободные колебания в RLC–контуре

scR UU ,


33

s – единственная ЭДС в контуре. Распишем по формулам:

dt

dIL

C

qIR ,

перенесем все в левую часть

0C

qIR

dt

dIL

Разделим уравнение на L:

0LC

qI

L

R

dt

dI

Подставим dt

dqI и

2

2

dt

qd

dt

dI, получим дифференциальное уравнение колеба-

ний заряда q в контуре:

01

2

2

qLCdt

dq

L

R

dt

qd

Введем обозначения LC

1= 0

2, 2

L

R, где – коэффициент затухания.

02 202

2

qdt

dq

dt

qd

(1)

В данном колебательном контуре внешние ЭДС отсутствуют, поэтому рассмат-

риваемые колебания представляют собой свободные колебания. Если со-

противление R=0, то свободные электромагнитные колебания в контуре явля-

ются гармоническими. Тогда из (1) получим дифференциальное уравнение

свободных гармонических колебаний заряда в контуре.

0202

2

qdt

qd

Из выражения вытекает, что заряд q совершает гармонические колебания по за-

кону

),cos( 0tqtq m

где q m — амплитуда колебаний заряда конденсатора с циклической частотой

0 , называемой собственной частотой контура.

И периодом

.2 LCT

Эта формула впервые была получена У. Томсоном и называется формулой

Томсона.

Постоянная времени затухания в контуре есть время, за которое амплитуда

колебаний уменьшается в е = 2,73 раз. На графике (рис. 9) зависимости ампли-

туды затухающих колебаний от времени касательная, проведенная к этому гра-

фику в начальный момент времени, пересекает ось времени в точке t = .


34

q(t)

А1

А2 ---- касательная

А3

t

t2 = Т t3 = 2Т


Логарифмический декремент затухания характеризует быстроту затуха-

ния колебаний и равен логарифму отношения амплитуды двух последователь-

ных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период

)(

)(ln

TtA

tA.

Логарифмический декремент затухания – постоянная для данной колебатель-

ной системы величина. Найдем связь между логарифмическим декрементом за-

тухания и коэффициентом затухания:

TTTtA

tA

TtA

tA)]ln[exp(

)](exp[

]exp[lnln

0

0

Физический смысл логарифмического декремента затухания : логарифми-

ческий декремент затухания есть величина, обратная числу колебаний Ne, по

завершению которых амплитуда уменьшается в е = 2,718 раз

eN

1.

Добротность контура характеризует его способность сохранять энергию ко-

лебаний.

2

0

TNQ e

Из формулы следует, что добротность пропорциональна числу колебаний Ne,

совершаемых системой за время релаксации.


Внимательно рассмотрите рисунок схемы, найдите все элементы схемы и эле-

менты их регулировки и другие основные элементы и зарисуйте схему в кон-

спект.


35


ИЗМЕРЕНИЯ:

Нажмите мышью кнопку «Выбор». Подведите маркер мыши к движку регу-

лятора, нажмите на левую кнопку мыши и, удерживая ее в нажатом состоянии,

меняйте величину емкости конденсатора и установите числовое значение, рав-

ное взятому из таблицы 1 для вашей бригады. Аналогичным способом устано-

вите величину индуктивности в соответствии с таблицей 1.

ТАБЛИЦА 1. Значения емкости конденсатора и индуктивности катушки

Бригада 1 2 3 4 5 6 7 8

С, мкФ 3.5 3.7 3.9 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8

L, мГн 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8 8.5

Бригада 9 10 11 12 13 14 15 16

С, мкФ 5.0 5.2 5.4 5.6 5.8 6.0 6.2 6.4

L, мГн 9.0 9.5 10 5.0 5.5 6.0 6.5 7

1) Установите сопротивления резистора R = 1 Ом. Нажав кнопку «Старт»,

наблюдайте график зависимости заряда конденсатора от времени. Измерьте ли-

нейкой значения первых шести амплитуд и запишите их в табл. 2

Меняя сопротивление R, повторите измерения амплитуд и заполните табли-

цу 2.

2) Запишите время t, при котором измерена соответствующая амплитуда и

запишите в табл. 2.


36

ТАБЛИЦА 2. Результаты измерений при С = ____ мкФ, L = ____ мГн,

Т = ____ мс.

R

Ом

А1

мм

А2

мм

А3

мм

А4

мм

А5

мм

А6

мм ,

мс эксп,

мс

с-1

1

2

3

4

5

6

t, мс

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ И ОФОРМЛЕНИЕ ОТЧЕТА:

Рассчитайте значения периода колебаний и запишите в заголовке табл. 2.

Постройте на одном чертеже графики экспериментальных зависимостей ам-

плитуды колебания А от времени t (6 линий, соответствующих разным R).

Для каждого графика постройте касательную к нему в начальный момент

времени. Продолжив касательную до пересечения с осью времени, определите

экспериментальное значение постоянной времени затухания и запишите в

табл. 2.

Рассчитайте величины коэффициента затухания = 1/ и также внесите в

табл. 2.

Постройте график зависимости коэффициента затухания от сопротивления

резистора.

По графику (R) определите индуктивность контура, используя формулу R

L2

1.

Запишите ответ и сформулируйте выводы по ответу и графикам.


1. Что такое колебательный контур? Каковы электрические характеристики ре-

зистора, конденсатора, катушки?

2. Дайте определение гармонических колебаний. Что такое период колебания?

Какая физическая величина испытывает колебания в колебательном конту-

ре?

3. Напишите формулы для напряжения на конденсаторе, на катушке индуктив-

ности. Какое другое название она имеет? Напишите формулу для напряже-

ния на резисторе.

4. Выведите дифференциальное уравнение для заряда на конденсаторе в кон-

туре, где существуют свободные затухающие колебания.


37

5. Выведите дифференциальное уравнение для заряда на конденсаторе в кон-

туре, где существуют свободные гармонические колебания.

6. Напишите формулу зависимости заряда на конденсаторе от времени при

свободных затухающих колебаниях в контуре.

7. Напишите формулу зависимости заряда на конденсаторе от времени при

свободных гармонических колебаниях в контуре.

8. Напишите формулы циклической частоты свободных затухающих колеба-

ний в контуре, для коэффициента затухания.

9. Дайте определение постоянной времени затухания. Покажите на рисунке,

как определяется графически постоянная времени затухания.

10. Напишите формулу логарифмического декремента затухания. Что он харак-

теризует? Напишите формулу связи логарифмического декремента затуха-

ния с коэффициентом затухания.

11. Напишите формулу для добротности контура. Что определяет добротность?


38

РАБОТА №5. Вынужденные колебания в RLC-контуре


нику. Запустите программу. Выберите в разделе «Электричество и магнетизм»

макет «Вынужденные колебания в RLC-контуре». Нажмите вверху внутренне-

го окна кнопку с изображением страницы. Прочитайте краткие теоретические

сведения. Необходимые для допуска к работе сведения выпишите в свой кон-

спект. (Порядок работы с программой описан во введении).

Закройте внутреннее окно, нажав кнопку с крестом справа вверху этого окна.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

1. Знакомство с компьютерным моделированием процессов в колеба-

тельном RLC-контуре.

2. Экспериментальное подтверждение закономерностей при вынужден-

ных колебаниях в RLC-контуре.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Вынужденными колебаниями называются процессы, происходящие в конту-

ре, содержащем конденсатор, катушку индуктивности, резистор и источник с

переменной ЭДС, включенные последовательно и образующие замкнутую

электрическую цепь.

Если ЭДС источника меняется по гармоническому закону, то в контуре наблю-

даются вынужденные гармонические колебания. При этом ток в контуре также

будет переменным, подчиняющимся закону Ома в комплексной форме.

Комплексная величина есть определенная совокупность двух алгебраических

чисел iZeiBAZ

,

где А – действительная часть, В – мнимая часть, Z – модуль, – фаза ком-

плексной величины.

Графически Z

изображается как радиус-вектор на комплексной плоскости: его

длина равна Z, а угол между вектором и горизонтальной (действительной) осью

равен .

Комплексный ток и комплексное напряжение

ti

ti

eUtU

eItI

0

0

)(

)(

– это векторы, которые вращаются с угловой скоростью .

Здесь

uieUU 0

00

– комплексная амплитуда напряжения;

oiieII 00

– комплексная амплитуда тока.

0I

и 0U

– комплексные векторы, которые на комплексной плоскости неподвиж-

ны. Они соответствуют «мгновенной фотографии» реальных комплексных то-

ков и напряжений, сделанной в начальный момент времени (t = 0).


39

Комплексная амплитуда – сама комплексная величина, взятая в начальный мо-

мент времени.

Математически:

ZI

U

0

0 .

Импеданс – это отношение комплексной амплитуды напряжения на данном

элементе, к комплексной амплитуде тока через данный элемент (рис.10).

)(tI

Z

)(tU


Модуль импеданса называется полным электрическим сопротивлением це-

пи.

)(

0

0

0

0 ieI

U

I

UZ

,

где iи

а) РЕЗИСТОР: RI

U; R

I

U

0

0

; фазы напряжения и тока одинаковые. Импе-

данс равен R:

ZR = XR = R.

б) КАТУШКА ИНДУКТИВНОСТИ: действует закон электромагнитной индук-

ции (самоиндукции):dt

dILs .

LiXLiI

UL

L

– импеданс катушки индуктивности.

Напряжение на катушке опережает по фазе ток через нее на /2.

в) КОНДЕНСАТОР:

Найдем отношение ;1

C

i

CiI

UC

отсюда

C

iX C

– комплексное сопротивление (импеданс) конденсатора.

Напряжение на конденсаторе отстает по фазе от тока через него на /2.

Все элементы в контуре соединены последовательно, поэтому для нахождения

импеданса контура надо просуммировать импедансы всех элементов:


40

.CLK XXRZ

После подстановки можем получить модуль импеданса, то есть полное сопро-

тивление контура: 2

2 1

CLRZ .

Резонансом для тока называется явление резкого увеличения амплитуды коле-

баний тока при приближении частоты ЭДС к некоторому значению, называе-

мому резонансной частотой рез. Нетрудно видеть, что максимум амплитуды

тока будет тогда, когда минимально полное сопротивление контура

RZ рез

и

CL

0

0

1 ,

отсюда LC

10 , что соответствует частоте свободных колебаний в контуре.

Максимум напряжения на конденсаторе соответствует резонансу для напряже-

ния, который наблюдается при несколько меньшей частоте ЭДС:

2202

2

22

1

L

R

LCрез ,

L

R

2 – коэффициент затухания для данного контура.

Амплитуда резонансного напряжения на конденсаторе U0C пропорциональна

амплитуде ЭДС и добротности контура Q: U0C = Q 0.

При не слишком большом затухании в контуре добротность определяется соот-

ношением:

LQ ,

где C

L называется характеристическим сопротивлением контура. Чем

больше добротность, тем «острее» резонанс.

Резонансной кривой называется зависимость амплитуды напряжения на кон-

денсаторе от частоты ЭДС.


Внимательно рассмотрите рисунок для компьютерной модели. Найдите все

элементы схемы и элементы их регулировки и другие основные элементы и за-

рисуйте схему в конспект.


41

Перерисуйте необходимое в конспект, используя обозначения, принятые в тео-

ретической части данной работы ( 0 вместо V, U0C вместо VC , U0L вместо VL и

U0R вместо VR).

Подготовьте табл. 1, используя образец. Подготовьте также табл. 3 и 4,

аналогичные табл.1.

ТАБЛИЦА 1. РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗМЕРЕНИЙ (12 столбцов). L = ____ мГн

C, мкФ = 50 55 60 65 ... ... ... ... 100

РЕЗ, 1/с

0, 1/с

U0C/ 0

1/ C

ТАБЛИЦА 2. Значения характеристик

Бригады R,

Ом

L1,

мГн

L2,

мГн

L3,

мГн

1 или 16 1.0 или 2.4 1,0 2,1 2,8

2 или 15 1.2 или 2.2 1,2 2,4 2,7

3 или 14 1.4 или 2.0 1,4 2,2 2,8

4 или 13 1.6 или 1.8 1,6 2,3 3,0


42

5 или 12 1.0 или 2.4 1,8 2,5 2,9

6 или 11 1.2 или 2.2 1,0 2,4 3,0

7 или 10 1.4 или 2.0 1,2 2,1 2,6

8 или 9 1.6 или 1.8 1,4 2,2 2,8


ИЗМЕРЕНИЯ: 1. Изменяйте величину емкости конденсатора и наблюдайте изменение резо-

нансной кривой.

2. Зацепив мышью, перемещайте движки регуляторов:

a) R – сопротивления резистора,

b) L – индуктивности катушки,

и зафиксируйте значения, указанные в табл. 2 для вашей бригады.

3. Установите указанное в табл. 1 значение емкости конденсатора. Изменяя ве-

личину частоты ЭДС, следите за перемещением отметки на резонансной

кривой и числовым значением добротности (U0C/ 0). Добейтесь максималь-

ного значения добротности и соответствующие значения частоты источника

ЭДС и собственной частоты контура занесите в табл. 1. Повторите измере-

ния для других значений емкости конденсатора из табл. 1.

4. Повторите измерения для двух других значений индуктивности катушки,

выбирая их из табл. 2. Полученные результаты запишите в табл. 3 и 4.

5. Зарисуйте по одной частотной характеристике и векторной диаграмме для

каждого значения индуктивности ( значение емкости выбрать произвольно).

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ И ОФОРМЛЕНИЕ ОТЧЕТА

1. Постройте на одном листе графики зависимости резонансной частоты от

корня из обратной емкости при трех значениях индуктивности.

2. Для каждой прямой определите котангенс угла наклона по формуле

ЭКСП

рез

АC

ctg

1

.

3. Вычислите теоретическое значение константы АТЕОР для каждой прямой по

формуле LАТЕОР .

4. Заполните таблицу результатов измерений.

Номер измерения ЭКСПА , Гн1/2

ТЕОРА , Гн1/2

Сделайте выводы по графикам и результатам измерений.


43


1. Дайте определение вынужденным колебаниям. Когда возникают вынужден-

ные гармонические колебания?

2. Как графически изображается комплексная величина? Что такое комплекс-

ная амплитуда тока или напряжения?

3. Дайте определение импеданса. Что такое полное электрическое сопротивле-

ние?

4. Чему равен импеданс резистора? Чему равен импеданс идеальной катушки

индуктивности? Чему равен импеданс конденсатора?

5. Чему равны реактивные сопротивления катушки и конденсатора? Чему рав-

но реактивное сопротивление последовательно соединенных катушки и кон-

денсатора?

6. Чему равен импеданс колебательного контура? Чему равно полное сопро-

тивление колебательного контура?

7. Дайте определение резонанса для тока в колебательном контуре. На какой

частоте наблюдается резонанс для тока в колебательном контуре?

8. На какой частоте наблюдается резонанс для напряжения на конденсаторе в

колебательном контуре? Чему равно отношение амплитуд напряжения на

конденсаторе при резонансе и ЭДС?

9. Чему равно характеристическое сопротивление контура? Как оно влияет на

добротность?

10. Что такое резонансная кривая контура?

ЛИТЕРАТУРА

1. Конспект лекций по физике.

2. Трофимова Т.И. Курс физики. М.: Высшая школа, 2000.

3. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. М.: Высшая школа, 2000.


44

Справочные данные

ФИЗИЧЕСКИЕ КОНСТАНТЫ

Название Символ Значение Размерность

Гравитационная постоянная или G 6,67 10–11

Н·м2·кг

–2

Ускорение свободного падения на по-

верхности Земли

g0 9,8 м·с–2

Скорость света в вакууме c 3 108 м·с

–1

Постоянная Авогадро NA 6,02 1026

К·моль–1

Универсальная газовая постоянная R 8,31 103 Дж·кмоль

–1 К

–1

Постоянная Больцмана k 1,38 10–23

Дж К–1

Элементарный заряд e 1,6 10–19

Кл

Масса электрона me 9,11 10–31

кг

Постоянная Фарадея F 9,65 104 Кл·моль

–1

Электрическая постоянная о 8,85 10–12

Ф·м–1

Магнитная постоянная о 4 10–7

Гн·м–1

Постоянная Планка h 6.62 10–34

Дж·с

ПРИСТАВКИ И МНОЖИТЕЛИ

для образования десятичных кратных и дольных единиц

Приставка Символ Множитель Приставка Символ Множитель

дека да 101 деци д 10

–1

гекто г 102 санти с 10

–2

кило к 103 милли м 10

–3

мега М 106 микро мк 10

–6

гига Г 109 нано н 10

–9

тера Т 1012

пико п 10–12


Data & Analytics

колебания и волны учебное пособие к работам по компьютерному моделированию для студентов 1, 11 курса