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CONTANDO, ORDENANDO Y MIDIENDO EN MI HUERTA ESCOLAR:
UNA PROPUESTA DE AULA PARA LA CONSTRUCCIÓN DEL CONCEPTO DE
NÚMERO NATURAL EN ESTUDIANTES DEL PRIMER GRADO DE LA EDUCACIÓN
BÁSICA PRIMARIA
YENY LORENA COLORADO ZULUAGA
YENCY JOHANNA ECHEVERRY SÁNCHEZ
UNIVERSIDAD DEL VALLE
INSTITUTO DE EDUCACIÓN Y PEDAGOGÍA
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN
ÉNFASIS EN MATEMÁTICAS Y CIENCIAS EXPERIMENTALES
TULUÁ – 2017
CONTANDO, ORDENANDO Y MIDIENDO EN MI HUERTA ESCOLAR:
UNA PROPUESTA DE AULA PARA LA CONSTRUCCIÓN DEL CONCEPTO DE
NÚMERO NATURAL EN ESTUDIANTES DEL PRIMER GRADO DE LA EDUCACIÓN
BÁSICA PRIMARIA
YENY LORENA COLORADO ZULUAGA
CÓDIGO: 201505388
YENCY JOHANNA ECHEVERRY SÁNCHEZ
CÓDIGO: 201505389
Proyecto de grado para obtener el título de Magíster en Educación con énfasis en
Matemáticas y Ciencias Experimentales
Director de Trabajo de Grado:
Mg. CRISTIÁN ANDRÉS HURTADO MORENO
UNIVERSIDAD DEL VALLE
INSTITUTO DE EDUCACIÓN Y PEDAGOGÍA
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN
ÉNFASIS EN MATEMÁTICAS Y CIENCIAS EXPERIMENTALES
TULUÁ - 2017
Dedicatoria
Al padre celestial, porque es él quien dirige mis pasos.
A mi hijo Juan Esteban, por ser la inspiración y el aliciente para asumir este reto académico y
profesional.
A mis padres por su amor, paciencia, apoyo y motivación que tanto necesité y recibí en
este proceso.
A mis estudiantes por motivarme a desempeñar mejor mi labor educativa cada día.
Yeny Lorena Colorado Zuluaga
A Dios nuestro creador, por la oportunidad de crecimiento personal y profesional que
puso en mi camino.
Al regalo más hermoso y sagrado que me concedió Dios mientras cursaba este programa
académico, mi hija Gabriela.
A ti Carlos, por ser mi compañero de vida y coequipero en este y todos los proyectos
tuyos, míos, de los dos.
A mi familia, en especial a mi madre Yolanda y mi hermano Edwin, que siempre me han
apoyado e impulsado a ir por más!
A mis estudiantes, por ser los mejores maestros de vida.
Yency Johanna Echeverry Sánchez
Agradecimientos
A Dios, por ir de la mano siempre en todos los aspectos de nuestra vida, brindándonos
fortaleza y sabiduría.
A nuestras familias, por su apoyo y motivación.
A nuestro tutor Cristian Andrés Hurtado, por su constante profesionalismo y dedicación
en el direccionamiento de este trabajo.
A las evaluadoras, por sus aportes pertinentes para fortalecer nuestro trabajo de grado.
A los directivos, docentes, acudientes y estudiantes de la Sede Miguel Ángel Zúñiga, por
apoyar, participar y creer en esta propuesta.
A nuestros profesores, por su vocación y compromiso en nuestra formación profesional.
Finalmente, a todos aquellos que contribuyeron de alguna forma con su apoyo y
motivación para el desarrollo de este proyecto.
A todos, gracias!
TABLA DE CONTENIDO
Introducción ................................................................................................................................. 1
Capítulo I: Contextualización y delimitación del campo de estudio ....................................... 5
1.1. Marco contextual ............................................................................................................. 6
1.2. Planteamiento del problema ............................................................................................ 8
1.3. Objetivos …………………………………………………………………………….....14
1.3.1.Objetivo general ……… ............................................................................................ ..14
1.3.2.Objetivos específicos………. ..................................................................................... .14
1.4. Justificación ……………………………………………………………………………15
1.5. Antecedentes …………………………………………………………………………... 19
1.5.1. Antecedentes en relación con la construcción del concepto de número natural …….20
1.5.2. Antecedentes en relación con los proyectos pedagógicos productivos (PPP) ……… 24
Capítulo II: Marco de referencia conceptual .......................................................................... 27
2.1. Referente Curricular …………………………………………………………………….... 28
2.1.1. Sobre el pensamiento numérico en los primeros años de escolaridad ………………30
2.2. Referente matemático ……………………………………………………………………..34
2.2.1. Presentación axiomática de los números naturales ………………………………….34
2.2.2. El número natural desde el significado cardinal …………………………………….37
2.2.4. El número natural desde el significado de medida ………………………………….39
2.3. Referente Didáctico …………………………………………………………....………….42
2.3.1. El número natural desde el significado de medida .................................................... 43
2.3.2. El número natural desde el significado cardinal ........................................................ 49
2.3.3. El número natural desde el significado ordinal .......................................................... 52
2.4. Referente desde los proyectos pedagógicos productivos (PPP) ......................................... 54
Capítulo III. Metodología de la investigación ......................................................................... 59
3.1. Enfoque metodológico de la investigación ......................................................................... 60
3.2. Proceso de la investigación ................................................................................................ 61
3.2.1. Fase 1: Documentación .............................................................................................. 62
3.2.2. Fase 2: Diseño de la propuesta de aula ...................................................................... 67
3.2.2.1. Descripción general de la situación 1...................................................... 70
3.2.2.2. Descripción general de la situación 2...................................................... 72
3.2.3. Fase 3: Sobre la implementación ............................................................................... 74
3.2.4. Fase 4: Sobre el análisis de los resultados ................................................................. 78
3.3. Análisis de los resultados ................................................................................................... 80
3.3.1. Análisis de los resultados de la Situación 1 ............................................................... 80
3.3.2. Algunas conclusiones sobre los análisis de la situación 1 ....................................... 110
3.3.3. Resultados y análisis de la Situación 2 .................................................................... 112
3.3.4. Algunas conclusiones sobre los análisis de la situación 2 ....................................... 138
Capítulo IV 141Conclusiones generales y reflexiones .......................................................... 141
4.1. Conclusiones generales..................................................................................................... 142
4.2. Reflexiones ....................................................................................................................... 146
Referencias Bibliográficas ......................................................................................................... 149
Anexos .................................................................................................................................. 152
Anexo 1. .................................................................................................................................. 152
Propuesta de aula diseñada: “Contando, ordenando y midiendo en mi huerta escolar” ......... 152
Anexo 9 Ejemplo prototípico del desarrollo de la propuesta de aula aplicada a estudiantes del
grado primero de primaria año 2017 ....................................................................................... 160
LISTADO DE TABLAS
Tabla 1. Propósitos tareas y conceptos que se moviliza en la propuesta de aula. ........................ 66
Tabla 2. Distribución de los estudiantes y tiempos de implementación de la propuesta de aula. 78
LISTADO DE IMÁGENES
Imagen 1.Adecuación del terreno de la huerta………….……………………… ............. 18
Imagen 2.Distribución del sistema de riego en la huerta .............................................................. 18
Imagen 3. Configuración del espacio de la huerta escolar en la sede Miguel Ángel Zúñiga. .. ... 69
Imagen 4. Exploración del espacio de la huerta escolar ........................................................... ... 71
Imagen 5. Imprecisiones en el proceso de medición con el largo del pie ................................. ... 89
Imagen 6. Aciertos en el proceso de medición con el largo del pie .......................................... ... 89
Imagen 7. Imprecisiones en el proceso de medición realizado con el largo del pie ................. ... 90
Imagen 8. Reconocimiento del ancho de la mano como patrón de medida .............................. ... 99
Imagen 9. Impresiciones en el proceso de medición con el ancho de la mano como patrón de
medida ....................................................................................................................................... ... 99
Imagen 10. Proceso de medición con el ancho de la mano como patrón de medida ................ . 101
Imagen 11. Estudiante realizando el conteo uno a uno de las plantas de cebolla ..................... . 113
Imagen 12. Proceso de ubicación de posiciones en las plantas de lechuga con los banderines . 117
Imagen 13. Proceso de recolección de los productos en la huerta escolar entre estudiantes y padres
de familia .................................................................................................................................. . 121
Imagen 14. Proceso del conteo de las plantas de cebolla cosechadas ...................................... . 123
Imagen 15. Cilantro cosechado por los estudiantes en la huerta escolar .................................. . 124
Imagen 16. Proceso de ordenación de los pepinos cosechados por los estudiantes en la huerta
escolar ....................................................................................................................................... . 127
Imagen 17. Marcación de los pepinos de acuerdo a la posición que ocupaban en la secuencia
ordenada .................................................................................................................................... . 129
Imagen 18. Proceso de medición de distancia de siembra solicitada en la actividad 1 de la tarea 3
................................................................................................................................................... . 131
Imagen 19. Proceso de conteo para determinar la cantidad de semillas necesarias en la siembra ...
................................................................................................................................................... . 133
LISTADO DE GRÁFICOS
Gráfico 1.Comparativo Institucional, Regional y Nacional de resultados Pruebas Saber
matemáticas grado 3ro, año 2016. ............................................................................................. ... 11
Gráfico 2.Discriminación resultados pruebas saber grados 3ro en los componentes matemáticos
evaluados, año 2015 I.E. Juan María Céspedes ........................................................................ ... 12
Gráfico 3.Discriminación resultados pruebas saber grados 3ro en los componentes matemáticos
evaluados, año 2016 I.E. Juan María Céspedes ........................................................................ ... 12
Gráfico 4. Ubicación de la propuesta de aula en las fases de los PPP. .................................... ... 68
Gráfico 5. Estructura general de la propuesta de aula. ............................................................. ... 70
LISTADO DE FIGURAS
Figura 1. Ilustración del registro de los elementos de la huerta ................................................... 80
Figura 2. Ilustración del registro de los elementos de la huerta ................................................... 81
Figura 3. Ilustración de la caracterización de los elementos de la huerta .................................... 81
Figura 4. Ilustración del registro de los atributos medibles de los elementos de la huerta .......... 82
Figura 5. Ilustración del registro de los atributos medibles de los elementos de la huerta .......... 82
Figura 6. Ilustración del registro de los atributos medibles de los elementos de la huerta .......... 83
Figura 7. Ilustración 2 del registro de los atributos medibles de los elementos de la huerta ....... 84
Figura 8. Ilustración del registro de los atributos medibles y sus patrones de medida ................ 84
Figura 9. Ilustración del registro de patrones de medida ............................................................. 85
Figura 10. Ilustración del registro de patrones adecuados de medida .......................................... 86
Figura 11. Ilustración del registro de medidas con patrones antropométricos ............................. 88
Figura 12. Ilustración del comparativo de la cantidad de medidas obtenidas con el largo del pie
....................................................................................................................................................... 91
Figura 13. Ilustración del registro comparativo entre dos patrones antropométricos diferentes . 92
Figura 14. Estudiantes realizando el proceso de medición con el listón de madera .................... 94
Figura 15. Ilustración del registro del proceso de medición con patrones no estandarizados ..... 94
Figura 16. Ilustración del registro con diferencias en el proceso de medición con patrones no
estandarizados ............................................................................................................................... 95
Figura 17. Ilustración del registro con similitudes en el proceso de medición con patrones no
estandarizados ............................................................................................................................... 95
Figura 18. Ilustración de aspectos notables en el registro del proceso de medición con patrones no
estandarizados ............................................................................................................................... 96
Figura 19. Ilustración del comparativo entre los registros del proceso de medición con patrones
antropométricos y no estandarizados ............................................................................................ 97
Figura 20. Ilustración del registro de la medida de las distancias entre las plantas de lechuga y
cebolla ......................................................................................................................................... 102
Figura 21. Ilustración del registro sobre las similitudes de la medida obtenida en las distancias de
las plantas de cebolla y lechuga .................................................................................................. 103
Figura 22. Ilustración del registro sobre las medidas obtenidas y similitudes encontradas en las
distancias de las plantas de cebolla y lechuga ............................................................................ 104
Figura 23. Ilustración del registro de la medida obtenida en las distancias de las plantas de cebolla
y las similitudes encontradas ...................................................................................................... 105
Figura 24. Ilustración del registro sobre las similitudes encontradas en la medida obtenida en las
distancias de las plantas de lechuga ............................................................................................ 105
Figura 25. Ilustración del registro sobre la posible distancia de siembra para cada producto ... 106
Figura 26. Ilustración del registro sobre regularidades de las distancias de siembra para la lechuga
y la cebolla .................................................................................................................................. 107
Figura 27. Ilustración del registro sobre similitudes en las distancias de siembra y posible distancia
a la cual debería sembrase cada producto ................................................................................... 108
Figura 28. Ilustración del registro sobre variaciones en las distancias de siembra de cada producto
..................................................................................................................................................... 109
Figura 29. Ilustración del registro de la planta que requiere mayor distancia de siembra según los
estudiantes ................................................................................................................................... 109
Figura 30. Ilustración del registro de la planta que requiere mayor distancia de siembra según los
estudiantes y su justificación ...................................................................................................... 110
Figura 31. Ilustración del registro comparativo del conteo entre los dos surcos de plantas de cebolla
..................................................................................................................................................... 113
Figura 32. Ilustración del registro comparativo entre las cantidades surgidas en los dos surcos de
plantas de cebolla ........................................................................................................................ 116
Figura 33. Ilustración del registro de estrategias utilizada para hallar las posiciones de las plantas
..................................................................................................................................................... 117
Figura 34. Ilustración del registro sobre la justificación a la asignación de posiciones en las plantas
..................................................................................................................................................... 119
Figura 35. Ilustración del registro de justificaciones al porque la importancia del orden en la
asignación de posiciones ............................................................................................................. 119
Figura 36. Ilustración de otras justificaciones a la actividad desarrollada en el punto 5 ........... 120
Figura 37. Ilustración del registro de la cantidad total de la cosecha de pepino ........................ 122
Figura 38. Ilustración del registro de la cantidad total de la cosecha de lechuga ...................... 122
Figura 39. Ilustración del registro de la cantidad total de la cosecha de cebolla ....................... 123
Figura 40. Ilustración del registro de la cantidad total de la cosecha de cilantro ....................... 125
Figura 41. Registro del criterio de ordenación de los productos cosechados en la huerta escolar
..................................................................................................................................................... 126
Figura 42. Ilustración del criterio para ordenar los productos de la cosecha ............................. 128
Figura 43. Ilustración del reporte sobre el variación o no de posicones al tomar un producto de la
secuencia ..................................................................................................................................... 130
Figura 44. Ilustración del registro de la secuencia numérica representando la cantidad de huecos
que hicieron en el surco .............................................................................................................. 132
Figura 45. Ilustración del registro del cardinal que da cuenta de la cantidad de huecos que hicieron
en el surco ................................................................................................................................... 132
Figura 46. Ilustración del registro de la secuencia numérica del conteo de semillas y la
correspondencia subconjunto- subconjunto para el conteo de semillas ...................................... 135
Figura 47. Ilustración del registro de algunas actividades de medición realizadas en la huerta 137
Figura 48. Ilustración del registro de algunas actividades de medición que se desarrollaron en la
huerta........................................................................................................................................... 137
Figura 49. Ilustración del registro de algunas actividades de conteo desarrolladas en la huerta 137
Figura 50. Ilustración del registro de algunas actividades de orden que se desarrollaron en la huerta
..................................................................................................................................................... 138
Resumen
El presente trabajo centra su atención en la construcción del concepto del número natural
en los primeros años de escolaridad, por ser considerado este un aspecto decisivo para fundamental
el pensamiento numérico, tanto en los primeros grados escolares como en los posteriores. Para
abordar dicha construcción, se diseña una propuesta de aula que pretende alejarse de los esquemas
tradicionales de hacer matemáticas dentro del aula y con el material prototípico, y tomar en
consideración el contexto de una huerta escolar como escenario de aprendizaje, en el cual surjan
algunos aspectos asociados al número desde sus tres significados fundamentales a saber: como
medida, cardinal y ordinal; teniendo en cuenta los planteamientos de didactas como Chamorro
(2005), Castro, E., Rico, L., & Castro, E. (1988), Vergnaud (1991) y Godino, J. D. (2004).
La implementación de la propuesta de aula con un grupo de estudiantes del grado primero
de primaria de la Institución Educativa Juan María Céspedes, sede Monseñor Miguel Ángel
Zúñiga, permitió que estos transitaran naturalmente por aspectos conceptuales claves como: el
reconocimiento de la magnitud longitud, el uso de patrones antropométricos y arbitrarios en
procesos de medición, las técnicas y los principios de conteo tanto para construir la regla de
cardinación como para hallar ordinales, explorar la estrecha relación entre los tres significados
fundamentales del número; cuestiones que en síntesis contribuyen a acercar al estudiante a la
construcción del concepto de número natural. Igualmente se generan algunas reflexiones para
docentes que permiten reevaluar el quehacer educativo en relación al tema objeto de este trabajo
y ofrecer elementos necesarios en el diseño de nuevas propuestas educativas que aborden estos
propósitos.
Términos clave: número natural, ordinal, cardinal, medida, proyecto pedagógico
productivo.
0
Abstract
The present study focuses on the construction of the concept of number in the first years of
schooling, as this is considered a decisive aspect to support mathematical thinking, both in the first
and subsequent school years. In order to approach this construction, a classroom proposal is
designed that tries to move away from the traditional schemes of doing mathematics within the
classroom and with the prototypical material, and to take into account the context of a school
vegetable garden as a learning scenario, in which emerge some aspects associated to the number
from its three fundamental meanings namely: as measure, cardinal and ordinal; Taking into
account the approaches of didactics Chamorro (2005), Castro, E., Rico, L., & Castro, E. (1988),
Vergnaud (1991) y Godino, J. D. (2004).
The implementation of the classroom proposal with a group of students of the first grade
of the Juan María Céspedes Educational Institution, Monsignor Miguel Ángel Zúñiga
headquarters, allowed them to travel naturally by key conceptual aspects such as: the recognition
of length magnitude, use of anthropometric and arbitrary patterns in measurement processes,
techniques and counting principles both to construct the cardinal rule as to find ordinals, to explore
the intimate relationship between the three fundamental meanings of number; questions that in
summary contribute to bring the student to the construction of the concept of natural number.
Equally some reflections are generated for teachers that allow reevaluation of the educational task
in relation to the theme object of this work and offer necessary elements in the design of new
educational proposals that approach these purposes.
Keywords: natural number, ordinal, cardinal, measure, productive pedagogical project.
1
Introducción
El aprendizaje del número natural está presente a lo largo de toda la educación Básica de
un estudiante, y su enseñanza en los primeros grados de escolaridad ha sido objeto de interés por
parte de investigadores entre ellos, Castro, Olmo & Castro (2002), quienes reconocen que “la etapa
infantil es de enorme trascendencia para la educación matemática posterior del niño”, ya que en
ella se estructuran las nociones básicas y las primeras representaciones sobre las que
posteriormente se cimentará todo el aprendizaje matemático.
Resulta oportuno pues, llamar la atención sobre la construcción del concepto de número
natural, ya que por lo general, su enseñanza suele asumirse con cierta cotidianidad y sencillez en
los grados iniciales, dado el manejo informal que los niños traen de él de su vida cotidiana y por
ser conocimientos aparentemente básicos relacionados con los números naturales, que toda
persona llega a comprender y a utilizar en su diario vivir. Sin embargo, esto no significa que el
docente no deba estar preparado disciplinar y didácticamente para afrontar esta tarea educativa,
que aunque supuestamente sencilla, reviste gran complejidad e importancia, pues a partir de esta
construcción se van a fundamentar conceptos matemáticos importantes que acompañarán la vida
académica de un estudiante.
En este orden de ideas, la gestión en el aula del concepto de número natural debe ser una
práctica reflexionada a la “luz” de referentes teóricos y de documentos curriculares, teniendo en
cuenta que su adquisición es progresiva y debe iniciar desde un manejo concreto y principalmente
desde situaciones contextualizadas, para que en etapas posteriores evolucione hacia procesos más
abstractos de pensamiento.
El uso de dichos contextos de aprendizaje se sustenta teóricamente desde planteamientos
de didactas en matemáticas como Chamorro (2005), quien sostiene que los aprendizajes numéricos
deben hacerse a través de ambientes contextualizadas para que lleguen a buen término, donde “la
creación de situaciones permitan eliminar la distancia entre el saber de la escuela y el saber de la
vida que aparece en contextos no escolares” (p.226); y desde el Ministerio de Educación Nacional
a través de documentos oficiales, en términos de que “es necesario relacionar los contenidos de
2
aprendizaje con la experiencia cotidiana de los alumnos, así como presentarlos y enseñarlos en un
contexto de situaciones problemáticas y de intercambio de puntos de vista” (p.18); de tal manera
que se movilice un aprendizaje de forma significativa para los estudiantes.
Igual de importante al aprendizaje contextualizado, es el diseño de estrategias didácticas
que respondan a unos intereses particulares, que estén respaldadas por fundamentos teóricos y
mediadas por el papel del docente, ya que como lo citan los Lineamientos Curriculares (MEN,
1998), “se hace necesaria la intervención continua del maestro para modificar y enriquecer ese
contexto con la intención de que los estudiantes aprendan. Estas intervenciones generan preguntas
y situaciones interesantes que por estar relacionadas con su entorno son relevantes para el
estudiante y le dan sentido a las matemáticas” (p.19).
Relacionando entonces el tópico del número natural, el aprendizaje contextualizado y la
gestión del docente, surge en este trabajo el objetivo de favorecer la construcción del concepto de
número natural desde los significados de ordinal, cardinal y de medida en los estudiantes del primer
grado de la Básica Primaria de la I.E Juan María Céspedes sede Monseñor Miguel Ángel Zúñiga,
mediante el diseño de una propuesta de aula que involucre el contexto de la huerta escolar; como
una apuesta distinta a las que tradicionalmente se ponen en escena en el espacio de clases,
habitualmente con el uso de actividades como la enseñanza de los números por rangos o grupos,
ejercicios de dictado, caligrafía, coloreado o rellenado de los símbolos numéricos; y de esta manera
propiciar esta construcción desde situaciones que emerjan de contextos vivenciales y significativos
para el estudiante.
Es así como, para responder a este objetivo, se desarrolla el presente trabajo estructurado
en cinco capítulos que se describen a continuación:
En el Capítulo I se describe un panorama general del entorno donde se desarrolla la
propuesta; la problemática en torno a la construcción del concepto de número natural en los
primeros grados de escolaridad, abordada a partir investigaciones en el campo de la didáctica de
las matemáticas, desde la experiencia como docentes de las autoras y teniendo en cuenta los
3
resultados de los estudiantes en las Pruebas Saber, como un indicador que ratifica la necesidad de
replantear los procesos de enseñanza aprendizaje en torno al pensamiento numérico. En este
capítulo se presentan además la justificación, los objetivos y antecedentes, que convergen en la
importancia que reviste la enseñanza del concepto de número natural en los primeros grados de
escolaridad.
En el Capítulo II se da a conocer el marco de referencia conceptual adoptado en este trabajo
para fundamentar el diseño de la propuesta de aula, así como para realizar los análisis de los
resultados de los estudiantes, fruto de su implementación. De este modo, este capítulo está
conformado por los referentes: curricular, matemático, didáctico y de los proyectos pedagógicos
productivos.
El Capítulo III, hace alusión a la metodología empleada para el desarrollo de esta
investigación, enmarcada en el paradigma Cualitativo de tipo descriptivo, se expone el diseño de
las dos (2) situaciones y las seis (6) tareas que conforman la propuesta de aula para abordar la
construcción del concepto de número natural desde sus significados de medida, cardinal y ordinal
con los estudiantes del grado primero; se describen aspectos sobre su implementación, los
resultados y análisis de resultados; así como algunas conclusiones sobre la implementación de
cada situación, que en el capítulo siguiente se retoman para plantear algunas reflexiones y
conclusiones generales.
En el Capítulo IV se reportan algunas conclusiones generadas a raíz de los resultados
expuestos en el capítulo III, a fin de presentar aspectos correspondientes a los objetivos planteados
al inicio de este trabajo; entre las cuales se pueden destacar las oportunidades que ofreció el espacio
de la huerta para abordar el número en forma natural desde los tres significados propuestos; la
disposición e interés que demostraron los estudiantes al trabajar conceptos matemáticos mediados
por un entorno nuevo e innovador para esta disciplina; el progreso que se pudo evidenciar en los
participantes a medida que se avanzó en la aplicación de la propuesta de aula, en cuanto al
refinamiento en los procesos de medición, técnicas de conteo y establecimiento de cardinales y
ordinales. Se destaca además, las oportunidades de aprendizaje que propició no solo la gestión del
docente, sino que se dieron fruto del trabajo colaborativo que el entorno de la huerta favoreció.
4
Así mismo en este capítulo, se proponen algunas reflexiones en relación al desarrollo de
todo el trabajo con el fin de enriquecer el quehacer docente, entre ellas, la necesidad de fortalecer
el abordaje del número natural desde el significado de medida, a partir de situaciones reales que
promuevan la manipulación de los objetos e identificar en ellos más de dos dimensiones; además
de promover en los estudiantes estrategias de conteo alternativas al conteo uno a uno y más
eficientes de acuerdo a la situación presentada; y favorecer el reconocimiento del número como
ordinal en experiencias diversas como la organización y disposición de elementos en una serie y
la asignación de posiciones.
Finalizando este capítulo se presenta la bibliografía, en donde se encuentran los referentes
en los cuales se fundamentó este trabajo y por último se anexa la propuesta de aula diseñada y
ejemplos de las tareas desarrolladas por los estudiantes.
5
Capítulo I:
Contextualización y delimitación del campo de estudio
En este capítulo se reportan los aspectos generales del trabajo, iniciando con una
descripción del entorno de la Institución Educativa (I.E) Juan María Céspedes (JMC), en la cual
se lleva a cabo la investigación; posteriormente se presenta la problemática identificada en la
Institución Educativa en cuanto al desempeño de los estudiantes en el área de matemáticas y a las
prácticas educativas de los docentes, particularmente en lo que hace relación al desarrollo de
pensamiento numérico; a través de la justificación se argumenta la necesidad de dotar de mayor
importancia la construcción del concepto de número natural en los ciclos iniciales para construir
bases sólidas sobre las que se fundamentarán futuros aprendizajes alrededor del pensamiento
matemático y a partir de lo anterior, se plantean unos objetivos a alcanzar para avanzar en la
problemática de interés.
La propuesta de aula planteada en el desarrollo de este trabajo se respalda en
investigaciones abordadas por autores desde las Matemáticas y la Didáctica de las Matemáticas,
además de apoyarse en trabajos anteriores alrededor de la construcción del concepto de número
natural desde sus significados cardinal, ordinal y medida, citados en los antecedentes.
6
1.1. Marco contextual
El propósito de este apartado es presentar un marco general institucional en el cual se ubica
no solo el desarrollo del trabajo de investigación, sino las investigadoras como docentes en
ejercicio; además de describir aspectos de la I.E JMC en cuanto a ubicación espacial, estructura
organizativa, personal docente, población que atiende y algunas características generales de la
comunidad educativa perteneciente a esta I.E.
El contexto de la propuesta se sitúa en la Institución Educativa Juan María Céspedes, antes
La Graciela, creada mediante resolución departamental No. 1843 del 5 de septiembre de dos mil
dos (2002), ubicada en el sector noroccidental y urbano del municipio de Tuluá - departamento del
Valle del Cauca.
Es una Institución Educativa mixta (hombres y mujeres), que atiende aproximadamente
tres mil trescientos (3.300) estudiantes en los niveles de Preescolar, Básica Primaria, Secundaria
y Media a los cuales se les promueve, según versa la misión institucional, una formación integral
orientada en los valores institucionales: constancia, disciplina y amor.
Esta I.E. cuenta con seis (6) sedes educativas, cuatro (4) de Primaria que son: sede Jhon F.
Kennedy, sede Jorge Eliecer Gaitán, sede Fray Martín de Porres, sede Monseñor Miguel Ángel
Zúñiga y dos (2) de secundaria: sede La Graciela y sede Central Juan María Céspedes. En la última
sede mencionada, se orienta la media técnica que cuenta con las especialidades en turismo, gestión
ambiental y salud y seguridad para el trabajo, encaminadas a fortalecer la adopción de los
proyectos pedagógicos productivos (PPP) en integración a la propuesta del servicio nacional del
aprendizaje (SENA).
La sede Monseñor Miguel Ángel Zúñiga (MAZ), en la cual se desarrolla la presente
investigación, está situada en la carrera 23 N°3ª-14 del barrio el Palmar de Tuluá, cuenta con
aproximadamente trescientos cincuenta (350) estudiantes entre las jornadas mañana y tarde, su
planta física posee espacios adecuados para los estudiantes, como son: la sala de sistemas, salón
de audiovisuales, biblioteca, restaurante escolar, canchas, aulas de clase amplias y un espacio
apropiado para el tiempo de descanso de los estudiantes; además de una zona verde, la cual se
7
destinó para el desarrollo de la huerta escolar como escenario de la propuesta de aula alrededor de
la construcción del concepto de número natural, que en el presente trabajo se pretende desarrollar.
La planta de docentes de la sede MAZ está conformada por trece (13) docentes, distribuidos
en las jornadas de la mañana y la tarde, entre los cuales se encuentran las docentes autoras de la
propuesta, que laboran en la Institución Educativa hace once (11) años aproximadamente y en la
sede Monseñor Miguel Ángel Zúñiga hace cinco (5) años, siempre desempeñando su función como
docentes en el nivel de Básica Primaria.
La presente investigación se enfoca en los grupos orientados por las autoras de este trabajo,
los grados Primero 1 y Primero 2 conformados por aproximadamente treinta y cinco (35)
estudiantes cada uno, con edades entre los cinco (5) y diez (10) años, pertenecientes a los estratos
uno (1) y dos (2). Sin embargo para el desarrollo del presente trabajo se seleccionó una muestra
de 16 estudiantes, lo cual se describe con mayor detalle en el apartado de la metodología.
La propuesta de instaurar una huerta escolar como escenario de aprendizaje atiende a varios
aspectos, entre ellos: a la inclinación que manifiestan la mayoría de estudiantes hacia temáticas
relacionadas con el entorno vivo; por las facilidades que demuestran en los procesos de aprendizaje
cuando éste se hace a través de situaciones que permite el manejo de objetos concretos; dado el
agrado que expresan cuando se trabaja en espacios alternos al aula de clases, entre ellos los
ambientes al aire libre; atendiendo a que institucionalmente se dieron las condiciones para instaurar
el proyecto productivo, el cual es fruto de esfuerzos aunados de directivos, docentes, estudiantes
y padres de familia; además por compartir con otros pares académicos y a la vez compañeros del
mismo programa de maestría, el interés de usar la huerta escolar como contexto de aprendizaje
para su trabajo de investigación, pero en ese caso, desde las ciencias naturales y por último;
enmarcando el proyecto en la especialidad en Gestión Ambiental que tiene la I.E.
Cabe resaltar, que sin el escenario de la huerta escolar no hubiera sido posible el desarrollo
de este trabajo a nivel de experiencia pedagógica y se convierte en un contexto con sentido para
los estudiantes participantes, ya que ellos forman parte constitutiva del proyecto productivo, desde
su planeación hasta su sostenibilidad; lo que hace que sea un escenario que forme parte de su
actividad diaria y hacia el cual tienen gran sentido de pertenencia.
8
1.2. Planteamiento del problema
La problemática que aquí se expone centra su atención en el desarrollo del pensamiento
numérico en los estudiantes, particularmente en la construcción del concepto de número natural
en los primeros grados de escolaridad, y se aborda desde tres aspectos que se relacionan entre sí,
a saber: primero, desde lo que han indicado algunos didactas de las matemáticas interesados en
este asunto, como Chamorro (2005), enfocada en las prácticas docentes en torno a esta
construcción, Castro, Olmo & Castro (2002) y Castro, Rico & Castro (1988), aportando respecto
a considerar el desarrollo de este concepto en contextos matemáticos diversos; segundo desde la
experiencia pedagógica de las autoras de esta investigación; y como tercer aspecto, desde los
desempeños evidenciados por los estudiantes en las Pruebas Saber.
La construcción del concepto de número natural no debe asumirse de forma ligera, por traer
aparentemente ya un manejo por parte del estudiante, ya que si bien los niños llegan a la escuela
pronunciando una serie numérica pequeña, al principio lo que recitan es una “cantinela”, según lo
describe Chamorro (2005), una cadena numérica verbal: uno, dos, tres, cuatro, cinco…, y su conteo
aún no está dotado de un verdadero significado aunque hay que reconocer que ese primer
acercamiento del estudiante con el número natural, es la base para la construcción futura de este
concepto basado en la cardinalidad y que posteriormente queda integrada en el conteo, según lo
manifiesta esta autora apoyada en consideraciones de Vigotsky (1978).
Se trata de dar bases conceptuales para que el estudiante pueda desenvolverse con mayor
destreza en situaciones problemáticas de la vida real aprovechando ese manejo sociocultural que
ha logrado el estudiante en su cotidianidad, pues tal como lo reconoce Castro et al. (1988), con el
paso del tiempo los docentes pierden la mirada de la razón de ser que en sus comienzos tuvieron
los números para el hombre, dedicándose a transmitir aspectos rigurosos del número como
formalismos del sistema de numeración decimal o algoritmos matemáticos.
En la necesidad de revestir de importancia la enseñanza aprendizaje del concepto de
número natural y abordarlo didácticamente más allá de su uso social y cotidiano, Chamorro (2005)
explicita que:
9
No podemos considerar transparente el conocimiento matemático cuya enseñanza y aprendizaje
queremos gestionar. Es muy necesario llevar a cabo una reflexión sobre la concepción de número
natural que es necesario movilizar en el medio escolar, cuáles serán sus características o sus posibles
restricciones, si los alumnos podrán construir con sentido el número, o bien solo aplicarán los
conocimientos que previamente les ha facilitado el maestro. (p.192)
Así pues, aunque el número natural es un concepto que se incorpora tempranamente en la
escuela, dándole especial protagonismo al pensamiento numérico respecto a los otros
pensamientos matemáticos como el métrico por ejemplo, su abordaje requiere mayor reflexión y
fundamentación que lleven al docente a formular estrategias didácticas que permitan movilizar un
aprendizaje con más sentido para el estudiante, donde éste en su actuar de cuenta de su aprendizaje
y no simplemente de conceptos que se le transmiten.
Por otra parte, desde la experiencia pedagógica de las autoras como docentes del primer
ciclo de la Educación Básica Primaria, se logran identificar algunas prácticas de enseñanza en la
I.E. Juan María Céspedes que corresponden con ese abordaje etéreo de la construcción del
concepto de número natural y que poco contribuye a que los estudiantes desarrollen sus habilidades
matemáticas en general y a que tengan un acercamiento con sentido y significado a este concepto
en particular, ya que por lo general los niños siguen aprendiendo matemáticas descontextualizadas,
privilegiando el uso de los algoritmos de las operaciones básicas para llegar a una respuesta,
enseñando al parecer en la idea de comunicar productos (resultados de operaciones matemáticas,
soluciones a los problemas matemáticos, trabajo por fichas), en lugar de propiciar situaciones que
generen espacios de reflexión ante el aprendizaje de los estudiantes.
De igual forma desde la práctica educativa se plantean acciones que no aportan a la
construcción del número natural desde sus diferentes significados, por ser simplemente actividades
generales, por mencionar algunas, el coloreado o actividades de caligrafía (planas); su aprendizaje
orientado por “cuotas” o por rangos, es decir, se abordan del 0 al 99 en un periodo académico, del
100 al 500 en otro periodo y del 500 al 1.000 terminando el grado Primero, ignorando el hecho de
que en muchas ocasiones la cotidianidad del estudiante le proporciona una interacción con
cantidades numéricas incluso mayores a las trabajadas en el aula de clase (Lerner & Sadovsky,
1994). Estas actividades sin un sentido, poco aportan al desarrollo de pensamiento matemático en
torno al número, pues como lo expresa Chamorro (2005) “conviene desconfiar de una
10
conceptualización del número basada en actividades en las que el alumno no usa el número para
resolver una situación problemática, y se limita a dibujar flechas o poner etiquetas a los conjuntos”
(p.171).
Resulta oportuno mencionar además, que por lo general, se insiste en forzar la enseñanza
temprana del valor posicional en el sistema de numeración decimal desde el primer grado,
encasillando las cifras numéricas en unidades, decenas, centenas y demás, antes de abordar la
construcción del concepto de número desde actividades donde esta construcción aparezca de forma
más natural y significativa para el estudiante; cuando esto es algo que se construye de manera
progresiva a lo largo de la escolaridad, como resultado de un trabajo de varios años tal como lo
plantean los Lineamentos Curriculares de matemáticas (MEN, 1998) “El pensamiento numérico
se adquiere gradualmente y va evolucionando en la medida en que los alumnos tienen la
oportunidad de pensar en los números y de usarlos en contextos significativos” (p.26).
Esta forma en la que se afronta la enseñanza del número natural tiene una relación directa
con el desempeño de los estudiantes, pues aunque estudiar las prácticas de los docentes no es
objeto del presente trabajo, estás sí determinan en gran medida las conceptualizaciones que los
estudiantes hacen, y tal vez por las cuestiones anteriormente descritas que aún rodean la enseñanza
del número natural, las matemáticas siguen siendo una de las razones del fracaso escolar, y los
resultados de los desempeños de los estudiantes en pruebas internas y externas como las Pruebas
Saber y PISA, entre otras, siguen revelando resultados poco favorables.
A continuación se presenta una gráfica que da cuenta de los resultados de las Pruebas Saber
en el área de matemáticas de estudiantes del primer ciclo de la educación Básica Primaria (grado
3ro) de la I.E JMC, comparado con el desempeño a nivel del municipio de Tuluá y a nivel nacional.
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Gráfico 1.Comparativo Institucional, Regional y Nacional de resultados Pruebas Saber matemáticas grado 3ro, año
2016.
Como puede evidenciarse, la Institución Educativa (Establecimiento Educativo) en la cual
se enmarca el presente trabajo tiene un desempeño inferior al promedio municipal y nacional, pues
los estudiantes ubicados en el nivel insuficiente representan un 31%, casi duplicando la cifra
municipal; mientras que los situados en los niveles más altos, esto es satisfactorio y avanzado,
apenas alcanzan un 33% en comparación con el municipio que representan un 58 % y del país un
56%.
Lo que hace generar cuestionamientos sobre la forma en la que los estudiantes están
respondiendo al proceso de enseñanza a nivel de la I.E. que se refleja indudablemente en sus
desempeños, en este caso en el área de matemáticas, no siendo esta la única razón que influye en
dichos resultados, pero sí aquella que está al alcance del docente y sobre la cual se puede trabajar
para lograr mejores aprendizajes.
Sin embargo, para entrar más en detalle, se llama la atención sobre las gráficas de la Prueba
Saber que muestran el desempeño de los estudiantes de grado 3ro de la I.E JMC en los tres
12
componentes que evalúa el Instituto Colombiano para la Evaluación de la Educación (ICFES),
que son el numérico-variacional, el geométrico-métrico y el aleatorio, durante dos años
consecutivos, 2015 y 2016, como se aprecia a continuación:
Gráfico 2.Discriminación resultados pruebas saber grados 3ro en los componentes matemáticos evaluados, año 2015
I.E. Juan María Céspedes
Gráfico 3.Discriminación resultados pruebas saber grados 3ro en los componentes matemáticos evaluados, año 2016
I.E. Juan María Céspedes
13
En los aspectos evaluados en el área de matemáticas en el tercer grado, se observa que los
resultados de los estudiantes en los componentes numérico/variacional, geométrico/métrico y
aleatorio son equiparables en el año 2015, mientras que en el 2016 el componente numérico-
variacional descendió notablemente, llamando la atención que pese a que en el primer ciclo de la
Educación Primaria los esfuerzos de los docentes se enfocan en el campo numérico, los resultados
no reflejan avances sobresalientes en relación con los otros dos componentes y peor aún se muestra
una tendencia a que estos resultados sigan disminuyendo.
El interés de este trabajo se centra por lo tanto en el pensamiento numérico, dado que es
conocido por la experiencia pedagógica de las autoras como docentes, que pese a que los docentes
de la Institución Educativa Juan María Céspedes centran más su trabajo en lo numérico, los
desempeños en este campo no sobresalen sobre lo geométrico y lo métrico. Se dejan entonces
cuestiones abiertas respecto a cómo se está desarrollando el pensamiento numérico, y
particularmente, la construcción del concepto de número natural, siendo este un fin central en la
educación matemática inicial pues una buena fundamentación en este aspecto redundara en los
conceptos que construyan los estudiantes más adelante.
De las concepciones de los teóricos citados, sobre el manejo didáctico que se le debe dar a
la construcción del concepto de número natural, de las problemáticas identificadas sobre la forma
tradicional de enseñarlo, y de los desempeños de los estudiantes reflejados en este caso en las
pruebas saber (aunque hay muchos más indicios que no se reportan aquí); se considera importante
generar propuestas de aula que replanteen las prácticas actuales en cuanto a la enseñanza de las
matemáticas en el grado primero de la Básica Primaria y doten de sentido la construcción del
concepto de número natural, dejando de lado su carácter aparentemente básico fundamentándose
en las investigaciones alrededor de este tema, entre ellas las de Chamorro (2005) que refiere que
construir el concepto de número supone descubrir paulatinamente sus distintas significaciones, así
como la relación entre ellas.
Con base en los anteriores planteamientos surge el interés de establecer un punto de cambio
a través del diseño de una propuesta de aula contextualizada, vinculada a los proyectos
pedagógicos productivos (PPP), como un planteamiento curricular generado por el Ministerio de
14
Educación Nacional (MEN, 2010) que busca vincular los procesos académicos y lo que ocurre en
la escuela, con los procesos productivos de una comunidad, de tal manera que desde su
implementación, a través de una huerta escolar propuesta del presente trabajo, se desarrollen
competencias matemáticas en el estudiante, apostándole a modificar ciertos esquemas en los
procesos de enseñanza aprendizaje, que permitan la construcción del concepto de número natural
en el primer grado de la Básica Primaria desde sus significados cardinal, ordinal y medida,
apoyando así la necesidad de que los estudiantes aprendan en contextos y hagan práctico su
aprendizaje para determinar:
¿Cómo a través de una propuesta de aula que involucre el contexto de la huerta escolar,
se favorece la construcción del concepto de número natural en sus significados de ordinal,
cardinal y medida en los estudiantes del primer grado de la Básica Primaria de la I.E Juan
María Céspedes, sede Monseñor Miguel Ángel Zúñiga?
1.3. Objetivos
1.3.1. Objetivo general
Favorecer la construcción del concepto de número natural desde sus significados de
ordinal, cardinal y de medida en los estudiantes del primer grado de la Básica Primaria de la I.E
Juan María Céspedes sede Monseñor Miguel Ángel Zúñiga, mediante el diseño de una propuesta
de aula que involucre el contexto de la huerta escolar.
1.3.2. Objetivos específicos
• Documentar desde las perspectivas curricular, didáctica y matemática, posibles formas de
abordar la construcción del concepto de número natural en los estudiantes de los primeros
grados de escolaridad.
• Articular los referentes estudiados en el diseño de una propuesta de aula que contemple la
huerta escolar como un escenario para la construcción del concepto de número natural en los
estudiantes del primer grado de escolaridad.
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• Generar algunas reflexiones para maestros en ejercicio y en formación, sobre la construcción
del concepto de número natural a partir de la implementación de la propuesta de aula
diseñada.
1.4. Justificación
El concepto de número no se reduce ni al proceso de conservación, ni a la actividad de cardinación, ni a la
resolución de una determinada clase de problemas, ni a procedimientos algorítmicos, ni a la comprensión y
manipulación de signos sobre el papel. Pero es de este conjunto de elementos diversos de donde emerge, con la
ayuda del entorno familiar y escolar, uno de los edificios cognitivos más impresionantes de la humanidad.
Gerard Vergnaud (1991)
Durante los últimos siglos, estudiosos y personas inquietas alrededor de la investigación
matemática han centrado su atención respecto a qué matemáticas se enseñan y se aprenden en
escuelas y universidades y cómo se llevan a cabo estos procesos (Kilpatrick, Gómez, & Rico,
1998). La preocupación de varios investigadores ha estado centrada en un área que se considera
fundamental pero a la vez difícil de comprender por los estudiantes, e incluso compleja de enseñar
por parte de los docentes; y en cuyo camino se ha transitado hacia una visión de la enseñanza de
las matemáticas, teniendo como centro de atención la construcción del conocimiento, en
contraposición a una visión transmisora de un conocimiento ya construido.
Desde décadas atrás, diversas investigaciones han llegado a la conclusión que la forma
tradicional de enseñar las matemáticas en la escuela basadas en la mecanización de reglas y
procedimientos algorítmicos, no proporciona los resultados esperados, en términos de mejores
desempeños por parte de los estudiantes, pues a través del tiempo las situaciones identificadas
como problemáticas siguen siendo las mismas. Ejemplo de ello son las investigaciones realizadas
por Kamii (1989), en las cuales demostraba que los estudiantes llegan a grados 4to y 5to sin una
comprensión adecuada del sistema de numeración posicional de base diez, lo cual la investigadora
calificaba de contradictorio dada la gran energía que los maestros dedicaban en su enseñanza desde
los primeros grados de escolaridad.
16
Ahora bien, en el presente trabajo se pone el énfasis en la construcción del concepto de
número natural, pues tal como lo reconoce Chamorro (2005):
Si hay un objetivo matemático por excelencia en la Educación Infantil, este es la construcción por
parte del niño del concepto de número, sobre el que necesariamente van a basarse el resto de los
conocimientos numéricos del primer ciclo de la Educación Primaria. (p.145)
Notar la importancia de esta construcción va a permitir que los docentes orienten sus
esfuerzos en que los estudiantes desarrollen un aprendizaje progresivo y mejor estructurado,
primero desde el concepto de número natural, para en general fortalecer el desarrollo del
pensamiento numérico.
Desde otra perspectiva, Vásquez (2010) ha indicado en su investigación, producto de un
análisis didáctico, que algunos libros de texto centran su atención en el significado del número
desde su cardinalidad y ordinalidad, sin embargo se dejan sin atención otros usos como el de
medida; y al respecto, pone de manifiesto que el profesor debe incorporar actividades que permitan
al estudiante ampliar conceptualizaciones que enriquezcan los sentidos y las funcionalidades del
concepto de número natural desde nociones métricas y desde el significado de medida. Para ello
esta autora propone partir de situaciones cotidianas donde se usen formas numéricas o donde se
retoman las nociones que los niños traen y resignificarlas con tareas orientadas a explorar el uso
de los números para organizar, comparar y comunicar cantidades; ya que el uso sistémico del
número natural y tareas cada vez más complejas, conducen a la abstracción de propiedades que
identifican al concepto.
Por su parte Castro et al.(1988), refieren que es importante construir el número natural
teniendo en cuenta los contextos numéricos, ya que estos revisten gran importancia a la hora de
identificar el número desde sus diferentes significados, como lo son en el caso particular, el ordinal,
cardinal y medida y en esta dinámica, tener presentes procesos lícitos que den fe de que su
comprensión es clara ya que “el niño recibe los conceptos numéricos de su medio social y aunque
debe construir sus propias matemáticas, su función principal consiste en asimilar y ensayar la
utilización correcta de lo recibido” (p.30).
17
Adicional al llamado de atención que establecen Castro et al.(1988) y Vásquez (2010)
referente a favorecer los distintos significados del número natural, investigadores como Kamii
(1985) llaman la atención sobre la necesidad de considerar asimismo, espacios apropiados para
dicha construcción, y esboza desde la perspectiva piagetiana que no es suficiente con la estructura
que inherentemente posee el niño sobre lo que es el número, sino que hay que proporcionar
escenarios y situaciones enfocadas especialmente en el juego y en la vida cotidiana, donde el niño
interactúe en experiencias numéricas que le ayuden a formalizar sus concepciones del número de
forma significativa, en especial en los primeros años de escolaridad.
Relacionando esos dos propósitos, las investigaciones de Chamorro (2005) fijan su
atención en la construcción del número natural desde sus diferentes significados en contextos
vivenciales por los estudiantes y sugiere que para comprender lo que es el número, hay que trabajar
con él en una gran variedad de situaciones, muchas de las cuales se encuentran fuera de la escuela;
ya que construir el concepto de número natural supone descubrir gradualmente sus distintas
significaciones y la relación entre ellas. Por lo tanto esta autora presenta como necesidad:
Diseñar situaciones de aprendizaje del número que permitan descubrir los diferentes usos del
número, sabiendo que algunas de estas situaciones se presentan de manera espontánea en la vida
del niño, en tanto que otras no aparecen, por lo que, de manera expresa, deben ser introducidas en
el aula. (p.170)
Teniendo en cuenta estas apreciaciones, se considera que aunque es importante desarrollar
pensamiento numérico al interior del propio sistema de numeración, también resulta integrador,
curricularmente hablando y, enriquecedor para los estudiantes, trabajar las matemáticas como una
actividad social, partiendo de situaciones reales propias del medio y relevantes para el contexto
institucional. Relativo a esa utilidad social de las matemáticas se menciona:
Los estudios acerca de cómo las matemáticas se utilizan por fuera del salón de clase han sido
especialmente útiles al revelar cómo las matemáticas mismas se construyen socialmente y
cómo las matemáticas que se enseñan en la escuela están determinadas por la sociedad. Los
estudios etnográficos de la utilización de las matemáticas en varias culturas muestran grandes
discrepancias entre los procedimientos que se utilizan en la escuela y aquellos que se utilizan
para resolver problemas cuantitativos y espaciales tanto en la plaza de mercado, como en el
trabajo y el hogar. Nunes, (1992) citado por Kilpatrick (1993, p.14)
Desde esta perspectiva y desde lo que anotan los Lineamientos Curriculares de matemáticas
(MEN, 1998), así como resulta importante darle mayor atención a la construcción del concepto de
18
número natural en los primeros grados de escolaridad, es igual de relevante brindar contextos
significativos que faciliten su apropiación, lo cual se resalta desde este documento ministerial
mencionando que “las aplicaciones y los problemas no se deben reservar para ser considerados
solamente después de que haya ocurrido el aprendizaje, sino que ellas pueden y deben utilizarse
como contexto dentro del cual tiene lugar el aprendizaje” (MEN, 1998, p.24).
Respondiendo a esta demanda y apostándole al uso de contextos de aprendizaje alternativos
al aula de clases, se presenta un proyecto pedagógico productivo (PPP) de huerta escolar como ese
escenario social y cultural, propicio y rico en experiencias, donde se puede abordar la construcción
del concepto de número natural, no solo desde lo cardinal y ordinal, sino incluyendo su significado
desde la medida, ya que las actividades propias de este espacio ofrecen variadas posibilidades de
medir, comparar, organizar y comunicar cantidades; además de otras posibles actividades propias
de cada significado, como:
• Cardinal: teniendo en cuenta actividades de conteo de las diferentes variedades de
hortalizas y plantas sembradas, los productos cosechados, entre otros.
• Ordinal: haciendo referencia o describiendo la posición relativa de un elemento dentro de
una serie ordenada, u ordenando la cantidad de los productos cosechados de mayor a
menor, entre otros.
• Medida: llevando a cabo procesos de medición en el terreno de siembra, estimaciones de
medida de los productos cosechados, entre otras actividades.
Imagen 1.Adecuación del terreno de la huerta Imagen 2.Distribución del sistema de riego en la huerta
Dentro de esta propuesta, fundamentada en investigaciones del campo de la didáctica de
las matemáticas que centra su atención en estos aspectos, la construcción del concepto de número
19
natural necesariamente debe pasar por estos significados fundamentales, especialmente el de
medida, pues la concepción del número como medida es para algunos autores como Vergnaud
(1991) y Vásquez (2010) de gran importancia, considerándola como una de las ideas fundadoras
del concepto de número; además porque la huerta genera un escenario donde es necesario llevar a
cabo procesos de medición en las tareas de siembra, la ordenación de los productos cosechados
basada en la idea de magnitud, además de tareas de comparación, reparto, ordenación de
colecciones donde surgen nociones de medida.
Desde esta perspectiva la huerta escolar en tanto un PPP, se propone como medio social y
estrategia didáctica para airear el sistema de abordaje de la temática y fortalecer las prácticas
pedagógicas utilizadas por los docentes en la enseñanza de las matemáticas a través del diseño e
implementación de una propuesta de aula, contribuyendo a que los estudiantes se inicien en la
construcción del concepto de número natural desde el primer grado de escolaridad a través de un
ambiente contextualizado, rico en situaciones reales y de interés para él, donde el número no sea
simplemente enseñado sino que surja en la resolución de problemas reales y que los alumnos lo
construyan con mayor significación.
1.5. Antecedentes
En el presente apartado se retoman trabajos de investigación que se generan en el transcurso
de los últimos 7 años aproximadamente y se describen algunos aspectos relevantes que resultan de
la revisión de estos en relación a dos líneas: la primera referente a investigaciones que se han hecho
respecto a la construcción del concepto de número natural en los primeros grados de escolaridad
y la segunda relacionada con los proyectos pedagógicos productivos como escenario de
aprendizaje en el área de matemáticas, con la intención de considerar aspectos significativos que
estos trabajos aportan al desarrollo de los objetivos trazados en esta propuesta, los cuales se
presentan a continuación:
20
1.5.1. Antecedentes en relación con la construcción del concepto de número natural
El trabajo de García Mena Olga Lucía & Pérez Escobar Johana María (2011) plantea el
rediseño de una secuencia didáctica basada en las teorías de Brousseau, tomando como referencia
la experiencia de un grupo de maestras de Jamundí en torno a una propuesta pedagógica del año
2007 denominada “Es cuestión de números”. Esta secuencia fue diseñada e implementada para
abordar el número natural desde los significados de secuencia verbal, cardinalidad y ordinalidad
en el nivel preescolar, destacando que el aprovechamiento de diversos contextos numéricos
permite comprender el número a partir de diferentes significados, lo cual es fundamental en la
construcción de este concepto en los primeros grados de escolaridad. Las situaciones propuestas
fueron implementadas con estudiantes del grado transición de un colegio privado de Jamundí,
considerando según las autoras, el acercamiento que ya traen los estudiantes con la concepción de
número natural desde sus escenarios cotidianos. Este trabajo se orientó en propiciar diferentes
experiencias de conteo, de hallar el cardinal y de designar un ordinal en una colección pequeña de
objetos, identificar el sucesor y antecesor de un número, entre otras cuestiones.
La investigación de Figueiras Fuertes Esmeralda (2014), de la universidad de la Rioja
España, presenta primeramente una revisión teórica sobre el proceso de adquisición del número
en la educación inicial desde los planteamientos de Piaget y desde propuestas de utilización de
TIC en el aula; anotando que incorporar nuevas tecnologías en el aula no debe restar importancia
al trabajo manipulativo y lúdico con los estudiantes para la construcción de conocimientos en los
primeros años escolares. La autora propone el diseño de una situación didáctica, basada en los
planteamientos de Brousseau y en la revisión de materiales de la institución y textos consultados
por ella, para ser implementada en el segundo ciclo de educación infantil con niños de 4 años de
edad, con el fin de trabajar el concepto de número y sus propiedades, involucrando el manejo de
materiales manipulativos.
Al respecto la autora concluye que la mejor forma de trabajar la adquisición del número es
aprovechando situaciones cotidianas del aula y actividades que no se centren solo en la grafía
numérica. Resalta además el papel del docente en la tarea de generar unas bases sólidas desde la
21
educación inicial que contribuyan al desarrollo de destrezas matemáticas por parte de los
estudiantes.
Por su parte Cerón Contreras Carmen Helena y Gutiérrez Vecca Lina Vanessa, (2013),
reconociendo la importancia del juego en la construcción del concepto de número natural en los
grados de Jardín y Transición, presentan el juego como una herramienta fundamental para la
construcción del conocimiento, en especial el aspecto numérico, siendo esta una de las
consideraciones en torno al trabajo. Se plantea la utilización de material manipulativo y concreto
como medio para promover el aprendizaje del concepto de número desde sus aspectos cardinal y
ordinal, y en este sentido diseñan una secuencia didáctica implementada en 10 sesiones con los
estudiantes de Jardín y Transición, conformada por situaciones que integran principios básicos del
desarrollo del pensamiento numérico.
Las autoras de este trabajo logran concluir entre otros aspectos, que el docente posee un
papel protagónico en la ejecución y orientación de propuestas didácticas y el sentido de la
utilización del material concreto para aportar a la construcción del concepto de número en los
primeros años de escolaridad. La Secuencia Didáctica presentada en este trabajo contribuye a que
los estudiantes construyan elementos conceptuales y procedimentales sobre la construcción del
concepto de número natural, al desarrollar diferentes funcionamientos cognitivos como
cuantificación y principios de conteo, comunicación de cantidades, establecimientos de relaciones
de orden y resolución de problemas aditivos; a través de materiales concretos.
Así mismo, Collazos Ramos Vanessa y Girón Muñoz Julia Sugey (2014) en su trabajo de
investigación, abordan la importancia de la labor del docente, mencionando que se debe privilegiar
por parte de estos, los conocimientos previos como punto de partida del proceso enseñanza-
aprendizaje para darle un sentido a la construcción del significado del número; teniendo en cuenta
que la interacción social y la claridad que los docentes tengan a la hora de abordar un tópico para
hacerlo más comprensible a los estudiantes, es transcendental en la formación del conocimiento.
Mediante el diseño, aplicación y análisis de una entrevista a cuatro docentes del grado
primero y transición, pudieron dar cuenta de nociones, estrategias y lo que privilegia el educador
a la hora de enseñar el número natural, y a partir de este trabajo presentan reflexiones sobre la
22
importancia de la apropiación de adecuadas prácticas pedagógicas que poseen los docentes sobre
todo en la etapa inicial y su incidencia en la calidad educativa.
Se resalta de los hallazgos de este trabajo, que algunas docentes que colaboraron con las
entrevistas expresaron su desacuerdo con las formas de enseñanza tradicional de los números
naturales, como actividades donde se rellenan los números, se decoran, se retiñen, se realizan
planas y se memoriza el número; pues consideran que existe otro tipo de actividades fuera del
cuaderno y lápiz que aunque no necesariamente dejan una evidencia física, motivan al estudiante
con actividades divertidas y de su propio contexto, que son enriquecedoras en el proceso de
aprendizaje. Destacan además, la importancia del trabajo entre pares, la negociación, la
comunicación con otros y la naturaleza de la interacción que se lleva a cabo en aula como espacio
donde el estudiante construye su conocimiento.
El trabajo de Collado (2014) presenta dos partes; la primera un análisis desde dos fuentes
documentales, un texto escolar de matemática de la editorial Santillana y el currículo de la
educación infantil del colegio San Agustín de Zaragoza del grado 2do, y en la segunda parte la
investigadora propone un diseño, implementación y evaluación de dos situaciones para la
enseñanza que aborda el número natural en su significado cardinal y ordinal, efectuada con
material concreto y el juego, en niños de 4 años de edad. Entre los hallazgos, la autora menciona
la ausencia de un trabajo más funcional y significativo en cuanto el abordaje del concepto de
número en las propuestas editoriales, señalando que las actividades que presentan son muy lineales
y carentes de contextualización y privilegian la ejercitación y actividades repetitivas restándole
importancia a la construcción de conceptos.
Dentro de las conclusiones, la autora sugiere superar actividades individuales y priorizar
aquellas que permitan situaciones de comunicación e interacción entre los estudiantes y entre estos
y el docente, además de optar por el diseño de situaciones didácticas atendiendo las
particularidades de los estudiantes como alternativa a las propuestas de los libros de texto, que en
muchas ocasiones plantean tareas poco retadoras, de contenido limitado o por debajo de las
capacidades de los estudiantes.
23
En su tesis de Maestría, Vásquez Lasprilla Norma Lorena (2010) realiza un análisis
transpositivo desde la perspectiva semiótica cognitiva propuesta por Raimond Duval (1937) en
torno al concepto de número natural y plantea su visión sobre las posibles necesidades contextuales
en establecimientos educativos. A partir del análisis de algunos textos escolares de diferentes
periodos de tiempo, desde 1886 hasta el 2006, cuestiona la manera superficial y repetitiva como
algunos textos presentan la construcción del número desde lo cardinal y ordinal sin tener en cuenta
otras formas de acercarse a este concepto, como lo es a través de la medida, entre otras formas de
abordaje que redimensionan la construcción de este saber.
Vásquez en su trabajo, menciona continuamente la importancia del significado de medida,
visto desde el MEN (1998) y Stevin (1548-1620), ya que este proceso según su planteamiento,
permite recontextualizar el concepto de número ampliando el sentido numérico de este. La autora
reflexiona sobre el ejercicio de transposición de saberes prácticos y teóricos de los docentes,
registrando sus prácticas a través de un proceso de observación y sugiere una secuencia didáctica
como alternativa para el trabajo en el aula en torno a la construcción del concepto de número
natural, y proponer así estrategias a los vacíos encontrados tras el análisis de los textos escolares
y las prácticas de aula de los docentes, brindando herramientas didácticas con mayor respaldo
teórico.
Los trabajos de García y Pérez (2011), Figueiras (2014), Cerón y Gutiérrez (2013) y
Collado (2014), se orientaron en los grados de Jardín y Transición (niños entre 4 y 5 años) y dejan
precedentes sobre la importancia de acercar a los estudiantes al número natural desde sus diferentes
significados, entre los más comunes, el cardinal y el ordinal; a través de estrategias como el juego
y la manipulación de material concreto. Para el presente proyecto de investigación se retoman el
uso de diferentes significados para abordar la construcción del número natural, pero incorporando
además de lo cardinal y ordinal, el significado de medida, tal como lo sugiere Vásquez (2010).
Por su parte Collazos y Girón (2014) llaman la atención sobre el papel protagónico que
tiene el docente al replantear las formas tradicionales de enseñanza, y aportan al tópico de interés
pero desde la concepción del maestro, resaltando el trabajo contextualizado y las oportunidades
que este brinda para el trabajo colaborativo, la negociación y las interacciones, que en últimas, son
24
las que ayudan a la construcción del conocimiento. Lo anterior ofrece pautas para el desarrollo del
presente trabajo, en cuanto al fortalecimiento en las prácticas de aula, alejadas de las actividades
prototípicas y que en lugar de ello, contemplar situaciones desde un escenario real y desde la
manipulación de materiales concretos, como estrategias que apoyen la construcción del concepto
de número natural. Se rescata la visión del docente sobre cómo debería ser el trabajo en el aula, lo
que da elementos para el diseño de esta propuesta, entre los cuales el uso de contextos
significativos de aprendizaje, el trabajo colaborativo, el cambio de esquemas tradicionales, motiva
la reflexión en torno a las prácticas.
Por último, Vásquez (2010) a través de su análisis de transpositivo de los libros de texto de
diferentes épocas, llama la atención sobre orientar la construcción del número natural desde
significados diferentes al cardinal, para avanzar en su uso desde el significado de medida por
ejemplo, lo que se retoma como objetivo del presente trabajo.
1.5.2. Antecedentes en relación con los proyectos pedagógicos productivos (PPP)
Angulo Vallejo Ofelia (2014) centra el trabajo de investigación en el marco de un Proyecto
Pedagógico Agroindustrial para el abordaje de la función lineal, el cual surge de la necesidad que
identifica la autora, de considerar el contexto socio cultural e institucional para desarrollar
actividad matemática, específicamente en el campo algebraico.
El trabajo se enmarca en el contexto de la Institución Educativa Policarpa Salavarrieta del
municipio de Yumbo y se basa en el desarrollo de una unidad didáctica que articula situaciones
problemáticas de proyectos productivos agroindustriales y las funciones lineal y afín,
fundamentada en una propuesta de Análisis Didáctico desde el contexto curricular, un Análisis de
Contenido (estructura conceptual, representaciones, fenomenología y modelación matemática), un
Análisis Cognitivo, un Análisis de Instrucción y un Análisis de Actuación. La Unidad didáctica
está conformada por 5 situaciones problemáticas que parten de la variación y el cambio hasta la
conceptualización de la función lineal y afín.
Entre los objetivos estuvieron, el caracterizar la articulación de situaciones problémicas de
proyectos productivos agroindustriales y las funciones lineal y afín, mediante la propuesta de la
25
Unidad didáctica y de esta forma potenciar el aprendizaje de los estudiantes de grado 9° y
promover la capacidad emprendedora en beneficio de la comunidad. Para ello la autora tomó una
muestra de 10 estudiantes del grado 9º, que participaron en la unidad productiva. De la
implementación de este trabajo, la autora concluyó que el contexto determinado por los Proyectos
Pedagógicos Agroindustriales, en especial la producción de pandebonos, resultó de vital
importancia para diseñar y planear la unidad didáctica, ya que además de ser un ambiente familiar
para los estudiantes, resultó muy significativo en la medida en que las tareas realizadas los
enfrentaba con la realidad y les permitía sumergirse casi sin darse cuenta en conceptos
matemáticos, y llegar casi intuitivamente a la comprensión de un concepto, que hubiera resultado
abstracto si se abordara de forma tradicional.
Moreno Torres Luz Celia y Nieves Quintero Nidia Amparo (2014) proponen en el trabajo
de investigación un proyecto pedagógico ambiental de huerta escolar como estrategia de
integración curricular de las áreas fundamentales de ciencias naturales, ciencias sociales,
matemática, lengua castellana e inglés; planteando unas secuencias didácticas para los grados
tercero y cuarto de Básica Primaria de la Escuela Normal Superior de Piedecuesta.
Entre los propósitos estuvieron tanto el diseño, la implementación y la evaluación de la
secuencia didáctica, como la elaboración de una cartilla donde se evidencia el proyecto como eje
de integración curricular, que sirviera como insumo para orientar la práctica pedagógica de los
estudiantes en formación complementaria; al contar esta I.E con un ciclo complementario para la
formación de maestros.
La evaluación se llevó a cabo mediante entrevistas realizadas a los estudiantes del ciclo
complementario que participaron en la implementación de la secuencia didáctica y de este proceso
las autoras concluyen que los proyectos pedagógicos como la huerta escolar, permiten la
integración de las áreas fundamentales (ciencias naturales, ciencias sociales, matemática, lengua
castellana e inglés), y aportan elementos para adquirir conocimientos de una forma lúdica, además
de permitir la formación de competencias para la vida: aprender a aprender, a comunicarse, a
convivir, a tomar decisiones, a organizar y gestionar iniciativas de desarrollo personal y colectivo.
En las revisiones en cuanto a la implementación de proyectos pedagógicos como contexto
de aprendizaje, se pudo observar que la mayoría de los trabajos de investigación que contemplan
26
la huerta escolar como escenario de aprendizaje lo hacen desde la integración curricular y no se
encontraron propuestas específicamente en el área de matemáticas en los grados iniciales.
Cabe resaltar que en los dos trabajos citados, el primero en el contexto de un proyecto
agroindustrial y el segundo en el escenario de una huerta escolar como estrategia de integración
curricular, se encuentran puntos en común como son: el interés de alejarse de las prácticas
convencionales limitadas al aula que implementa la educación tradicional y buscar oportunidades
de aprendizaje en contextos naturales, reales y de interés para los estudiantes; partiendo del
supuesto que estas estrategias además de abordar procesos académicos y disciplinares, abordan
problemas sociales y ambientales, y fortalecen los vínculos entre la escuela y el entorno.
Las investigaciones citadas en cuanto a la construcción del concepto de número natural,
brindan elementos que respaldan el trabajo actual, ya que reitera el interés y la importancia de
fortalecer este concepto desde los primeros años de escolaridad; teniendo en cuenta ambientes
naturales y la interacción social como elementos que favorecen este proceso, además de edificar
este concepto desde sus diferentes usos, incluyendo el significado cardinal y ordinal, pero además
incorporando el de medida.
Desde esta propuesta se pretende aprovechar las bondades que ofrecen los proyectos
pedagógicos e incluir un escenario natural como lo puede ser la huerta escolar, como espacio de
aprendizaje del concepto de número natural potencializando la noción de medida, relegada en
muchas ocasiones por la cardinalidad y ordinalidad.
27
Capítulo II:
Marco de referencia conceptual
En este capítulo se abordan diferentes fundamentaciones desde cuatro referentes a saber:
el referente curricular, particularmente desde los Lineamientos Curriculares en Matemática (MEN,
1998) y Estándares Curriculares en el área de Matemáticas (MEN, 2006) que aporta algunas
cuestiones sobre el pensamiento numérico, los contextos y las situaciones problemáticas; el
referente matemático desde Peano, citado por Restrepo (1998) donde se exponen formalizaciones
del número natural; el referente didáctico a través de los planteamientos de Chamorro (2005),
Vergnaud, G. (1991), Castro et al.(1988), Godino, J. D. (2004), los cuales brindan aspectos
conceptuales que dieron bases para el diseño y análisis de la propuesta de aula y un referente desde
los proyectos pedagógicos productivos (PPP) a partir de Lineamientos emanados por el MEN
(2010) aplicado como estrategia generadora de ambientes para el aprendizaje.
Estos referentes son el insumo para el diseño de una propuesta de aula que responda a los
planteamientos de teóricos y estudiosos en el tema, a la problemática identificada y a las
necesidades del contexto en el que está inmersa la Institución Educativa Juan María Céspedes.
28
2.1. Referente Curricular
En lo planteado en la Ley 115 de 1994 en su artículo 78 y 148, se define que es potestad y
responsabilidad del Ministerio de Educación Nacional ofrecer unas orientaciones generales y
establecer los indicadores de logros curriculares, fijándolos a cada grado de los niveles de
escolaridad en la educación formal, para que todas las Instituciones Educativas del país puedan
hacer sus diseños curriculares y planes de estudios. De acuerdo con ello surgen documentos como
los Lineamientos Curriculares en Matemáticas (MEN, 1998) y posteriormente los Estándares
Básicos de Competencias en Matemáticas de Colombia (MEN, 2006), una propuesta del
Ministerio de Educación que busca asumir más que un rol impositivo y generalista, mostrar un
papel orientador y facilitador de ambientes de participación; permitiendo así que los
Establecimientos Educativos planteen nuevas formas de dirigir la enseñanza desde propuestas
autónomas que redunden en el progreso pedagógico del país.
Es así como los Lineamientos Curriculares en Matemáticas (MEN, 1998) fueron
concebidos para orientar criterios que permitan organizar y desarrollar un plan educativo enfocado
a la reflexión y renovación en la enseñanza, teniendo en cuenta la importancia de la
multiculturalidad, etnia y unión nacional; además de servir como fundamentación a los Estándares
Básicos de Competencias en Matemáticas (MEN, 2006), diseñados para precisar desempeños que
debían conseguirse en los ciclos de educación formal y como orientación hacia lo que deben saber
y saber hacer estudiantes en diferentes contextos, sin pretender ir en contraposición con la
autonomía institucional, pues los procesos y modos para alcanzar dichos objetivos se propone en
cada comunidad educativa de acuerdo a sus intereses y particularidades.
El enfoque de estos documentos toma en consideración, la necesidad de promover una
comprensión significativa por parte de los estudiantes, al igual que el desarrollo de competencias
que les permitan afrontar los retos actuales como son: la complejidad de la vida, el mundo laboral
y el profesional; para lo cual retoma el enfoque del trabajo por sistemas
matemáticos propuesto en la renovación curricular planteada por el MEN (1998), añadiéndole
importancia a lo social y al desarrollo de pensamiento matemático.
Estos referentes curriculares por sí solos no generan los resultados esperados; la integración
de los planteamientos que allí se presentan, aunado al compromiso territorial e institucional, así
29
como la importancia y apropiación que el docente brinde a las pautas planteadas en los documentos
nacionales, son aspectos que pueden contribuir en la búsqueda de una educación con calidad.
Desde esta perspectiva, las matemáticas se perciben como una disciplina dinámica con miras a
darle sentido a situaciones del mundo actual y que no solo puede aportar a la capacidad lógica y
reflexiva en el campo matemático, necesaria para desenvolverse en las situaciones que día a día
afrontan los estudiantes y que conlleva a construir nuevos conocimientos, sino que también puede
contribuir al desenvolvimiento en cualquier contexto que enfrenten esos estudiantes.
Los Lineamientos Curriculares (MEN, 1998), en tanto orientaciones generales, proponen
una forma de abordar el currículo que toma en consideración tres aspectos fundamentales:
conocimientos básicos, procesos generales y contextos. Estos ejes contribuyen a establecer la
organización curricular institucional y la direccionalidad de la educación en matemáticas en el
aula, poniendo el énfasis en el desarrollo de los cinco pensamientos propuestos por el (MEN,
1998), como una nueva forma de hacer las matemáticas, clasificados como: el pensamiento
numérico, espacial, métrico, aleatorio y el variacional; los cuales se desarrollan, ejercitan y
refinan a partir de los sistemas conceptuales y simbólicos que le son propios a saber: sistemas
numéricos, geométricos, de medida, de datos y sistemas algebraicos y analíticos respectivamente.
Desde el desarrollo de estos pensamientos y sistemas, se le apuesta a promover los procesos
generales de aprendizaje que son: el razonamiento que permite organizar, analizar y exponer ideas,
la resolución y planteamiento de problemas que proporciona un espacio de interacción y
movilización del pensamiento, la comunicación como la forma de expresar y representar los
conocimientos construidos, la modelación como reconstrucción de situaciones que promueven el
ejercicio matemático; y por último la comparación y ejercitación de procedimientos como las
formas de operar y proceder en la aplicación del aprendizaje. Pensamientos, sistemas y procesos
desarrollados en ambientes que les den sentido a las matemáticas que aprende el estudiante, al
movilizar situaciones problémicas mediadas por unos contextos.
En relación con los contextos, los Estándares Básicos de Competencias (MEN, 2006) los
clasifica en tres categorías de acuerdo a su proximidad con el estudiante y son: el contexto
inmediato o de aula, dispuesto por el docente con el diseño de situaciones referidas a las
matemáticas, a otras áreas, a la vida escolar, o a situaciones simuladas; el contexto escolar, como
el espacio intermedio de la institución escolar, en donde se viven distintas situaciones y se estudian
30
distintas áreas; y el contexto extraescolar o sociocultural que se refiere al contexto más amplio, al
entorno sociocultural, al ambiente local, regional, nacional e internacional.
Para resignificar las situaciones de aprendizaje propuestas a los estudiantes, es necesario
avanzar hacia la integración del quehacer matemático entretejiendo los aspectos constitutivos del
currículo, que son, los contextos, los diferentes pensamientos matemáticos con sus respectivos
sistemas conceptuales y los procesos generales de la actividad matemática, y en ese camino, se
plantea la propuesta de aula “contando, ordenando y midiendo en mi huerta escolar: una propuesta
de aula para la construcción del concepto de número natural en estudiantes del primer grado de
la educación Básica Primaria” desde un contexto real, posibilitando la forma de abordar de
manera integral tres significados fundamentales que aportan a la construcción del concepto de
número natural, aspecto primordial en el desarrollo del pensamiento numérico.
De acuerdo al interés del presente trabajo, a continuación se hace énfasis en el pensamiento
numérico y algunos postulados que se proponen en el documento Ministerial de los Lineamientos
Curriculares en Matemática (MEN, 1998), a este respecto se menciona:
2.1.1. Sobre el pensamiento numérico en los primeros años de escolaridad
El Pensamiento Numérico se entiende desde esta perspectiva como “la comprensión
general que tiene una persona sobre los números y operaciones junto con la habilidad y la
inclinación de usar esta comprensión en formas flexibles para hacer juicios matemáticos y
desarrollar estrategias útiles al manejar números y operaciones” (Mcintosh, citado por MEN 1998,
p. 26). El desarrollo de este pensamiento se da en forma gradual desde los primeros años de vida
y progresa a medida que se utilice en diversas situaciones, que conlleven a una reflexión en el uso
de los sistemas numéricos y la forma de entender y complejizar el sentido numérico, para que los
estudiantes vayan construyendo el número real en sus diferentes sistemas de representación como
la expresión fraccionaria, los decimales y la expresión polinomial.
En consecuencia, la evolución del pensamiento numérico requiere “dominar
progresivamente un conjunto de procesos, conceptos, proposiciones, modelos y teorías en diversos
31
contextos, los cuales permiten configurar las estructuras conceptuales de los diferentes sistemas
numéricos necesarios para la Educación Básica y Media…” (MEN, 2006, p.60); de allí la
importancia que el docente genere situaciones que transformen la cotidianidad del aula en espacios
ricos para la construcción de conocimiento, que ayuden a que el estudiante movilice el
pensamiento numérico.
En este sentido, de acuerdo con los Lineamientos Curriculares en Matemáticas (MEN,
1998) hay tres aspectos básicos para desarrollar Pensamiento Numérico sobre todo en los primeros
grados de escolaridad, y que permite orientar el trabajo en el aula que son:
Comprensión de los números y de la numeración
Comprensión del concepto de las operaciones
Cálculos con números y aplicaciones de números y operaciones
De acuerdo a lo anterior, el centro del trabajo se ubica en la comprensión de los números
sin desconocer que los otros dos aspectos deben ser también abordados para que el desarrollo del
pensamiento numérico vaya evolucionando en los estudiantes. En relación con la comprensión del
concepto de número natural, en ese documento ministerial se proponen distintas formas de
acercarse a él, entre ellas, iniciar con la construcción de su significado a partir de las experiencias
de los estudiantes en su vida cotidiana, los cuales se pueden identificar a través de los usos que se
le puede dar al número como se presenta a continuación:
Como secuencia verbal: utilizándolos en su orden habitual (uno, dos, tres, etc.), sin hacer
referencia necesaria a ningún objeto externo.
Para contar: empleando la correspondencia biunívoca que asocia cada número a un objeto.
Como cardinal: para expresar una cantidad de objetos.
Para medir: cuando describen la cantidad de unidades de alguna magnitud.
Como ordinal: para marcar una posición.
Como código o símbolo: para distinguir clases de elementos.
Como una tecla para pulsar: asociado a un dispositivo que se debe accionar físicamente.
Diferentes didactas interesados en la construcción del concepto de número en los primeros
años de escolaridad, como Chamorro (2005) y Castro et al.(1988), coinciden en que, de los
32
significados del número natural mencionados anteriormente, tres de ellos se consideran
fundamentales en el inicio de la vida escolar, y por ello, se suponen los tres grandes pilares en la
construcción del concepto de número natural en los grados iniciales, a tener en cuenta que son: el
significado ordinal, cardinal y de medida. Aunque en esta propuesta de aula, se generen variadas
actividades relacionadas con el significado de medida, dadas las oportunidades que en este sentido
ofrece el contexto de la huerta escolar donde se enmarcan las situaciones didácticas, no se
abandonan los otros dos significados ya que complementan y enriquecen la comprensión del uso
y de los significados del número natural.
Igualmente desde los Estándares Básicos de Competencias (MEN, 2006), se reconoce la
estrecha relación que guarda el pensamiento numérico con el pensamiento métrico, especialmente
en los ciclos iniciales de escolaridad, dado que distintas actividades sociales permiten que se haga
uso cotidiano de las diferentes magnitudes y su cuantificación, lo cual posibilita trabajar los
pensamientos a la par; viendo en este camino “la estimación como puente de relaciones entre las
matemáticas, las demás ciencias y el mundo de la vida cotidiana, en contextos en los que no se
requiere establecer una medida numérica exacta” (MEN, 2006, p. 63).
Es así como la presente propuesta de aula pretende abordar el concepto de número natural
desde los tres significados antes mencionados, a partir como lo proponen los Lineamientos
Curriculares en Matemáticas (MEN, 1998), de situaciones problemáticas en un ambiente particular
de la vida cotidiana, como lo puede llegar a ser el de la huerta escolar; esto con el objetivo que en
este contexto el aprendizaje cobre sentido y facilite aprendizajes más aplicables, como al manejar
cifras desde diferentes intervalos de la serie numérica en un escenario real; lo que a futuro puede
proporcionar una mejor comprensión de nuestro sistema de numeración decimal. En cuanto al
número natural como cardinal por ejemplo, actividades como conteos y comparaciones de las
diferentes cantidades de plantas sembradas en la huerta; como medida, con la posibilidad de
estimar longitudes referidas a la distancia que se requiere entre las plantas para ser sembradas, esto
de acuerdo al tipo de planta que vayan a sembrar; como ordinal, al proponer un criterio para
ordenar los productos de la huerta, etc. Todas estas situaciones matemáticas se desarrollan en el
contexto problematizador de la huerta escolar; lo que permitirá a los estudiantes el uso cotidiano
de los números con diferentes finalidades.
33
Desde esta perspectiva, la propuesta de aula recoge el diseño de situaciones problemáticas
para ser abordadas en el contexto de la huerta escolar, de tal modo que se aporte a la construcción
del concepto de número natural desde estos tres significados; entendidas estas situaciones desde
los documentos ministeriales como “el conjunto de problemas, proyectos, investigaciones,
construcciones, instrucciones y relatos que se elaboran basados en las matemáticas, en otras
ciencias y en los contextos cotidianos y que en su tratamiento generan el aprendizaje de los
estudiantes” (MEN, 2006, p.72). Añadiendo además que estas circunstancias problematizadoras
por sí solas no logran los objetivos educativos, si tras de ellas no hay una intención clara, una
movilización de preguntas y disposición de materiales adecuados y, en este sentido los Estándares
Básicos de Competencias (MEN, 2006) señalan que las actividades que desarrollan los estudiantes
dentro de las situaciones problémicas:
Están influenciadas por el tipo de instrucciones con que se presentan las situaciones, por el tipo de
preguntas que se proponen en ellas, por los materiales utilizados y por las formas de enseñanza,
guía y apoyo de los docentes que median en el tratamiento de la misma. (MEN, 2006, p.73)
De acuerdo con el Estándares Básicos de Competencias (MEN, 2006) y considerando los
propósitos ya expuestos en este trabajo, los estándares que se pretenden movilizar con el diseño e
implementación de la propuesta de aula, en el conjunto de grados de primero a tercero son:
Pensamiento numérico:
• Reconozco significados del número en diferentes contextos (medición, conteo,
comparación, codificación, localización entre otros).
• Describo, comparo y cuantifico situaciones con números, en diferentes contextos y con
diversas representaciones.
• Describo situaciones que requieren el uso de medidas relativas.
• Reconozco propiedades de los números (ser par, ser impar, etc.) y relaciones entre ellos
(ser mayor que, ser menor que, ser múltiplo de, ser divisible por, etc.) en diferentes contextos.
De acuerdo con lo expuesto anteriormente, la perspectiva curricular al reconocer la
importancia de la construcción del significado del número natural a partir de situaciones
problemáticas, brinda elementos importantes para la planeación y el diseño de la propuesta de aula,
haciendo uso de un microambiente de aprendizaje proveniente de un contexto escolar, que
34
potencializa el uso de los números desde tres de sus significados fundamentales, en pro del
desarrollo de pensamiento numérico en los primeros años de escolaridad.
2.2. Referente matemático
En este apartado se presentan algunos aspectos de orden matemático que fundamentan la
construcción del concepto de número natural, así como otras nociones asociadas a él. Esta
fundamentación se considera importante ya que brinda elementos sobre la forma de entender el
número desde una perspectiva matemática que se toma en consideración para el diseño y análisis
de los resultados obtenidos en la implementación de la propuesta de aula; además de considerar
importante estos aspectos para un diseño fundamentado desde la disciplina, aportando claridad
conceptual sobre el objeto matemático que se aborda, dado que sin ella carecería de sentido esta
aplicación.
En este sentido se abordan algunas conceptualizaciones claves del número natural desde
las perspectivas de cardinalidad, ordinalidad y medida; además de una fundamentación axiomática
de este concepto.
2.2.1. Presentación axiomática de los números naturales
Las bases axiomáticas del conjunto de los números naturales se instauran principalmente
desde finales del siglo XIX por la necesidad de demostrar la continuidad y presentar una base
conceptual absoluta del conjunto de los números ℝ. Surge así el interés de separar el concepto de
número asociado a ideas intuitivas de una recta o una curva en el plano geométrico y llegar a una
fundamentación propiamente matemática desprendida de cualquier referente geométrico. En la
búsqueda de desprender el apoyo geométrico e intentando conceptualizar el conjunto de los
números reales para fundamentar los números, se hizo necesario fundar la base de los conjuntos
numéricos y es así como en ese camino se aporta a la axiomatización de los números naturales
desde diferentes perspectivas entre ellas la del matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932);
quien es mencionado por Boyer (2001) en Vásquez, (2010), indicando que uno de los propósitos
35
centrales de Peano era “desarrollar un lenguaje formalizado en el que pudiera expresarse no solo
la lógica matemática, sino todas las ramas más importantes de la matemática” (p, 61).
En Vásquez (2010) se menciona que Peano:
…Trataba de expresar a través de símbolos las relaciones lógicas y matemáticas conocidas hasta el
momento, evitando así, el uso de lenguajes especulativos y poco rigurosos, explicitando de manera
directa, las hipótesis y los significados de los conceptos matemáticos manipulados. Se pretendía
reducir la matemática, a lo estricta y absolutamente esencial del simbolismo formalizado. (p.61)
Es a través de un lenguaje formalizado que se instaura una teoría a partir de un estatus
axiomático que caracteriza los números naturales, los cuales se presentan a continuación:
1) 1 es un número natural. Es decir, el conjunto de los números naturales es no vacío.
2) Si 𝑎 es un número natural, entonces 𝑎 + 1 también es un número natural, llamado el sucesor
de 𝑎.
3) 1 no es sucesor de ningún número natural. Es el primer elemento del conjunto.
4) Si hay dos números naturales 𝑎 y 𝑏 tales que sus sucesores son diferentes, entonces 𝑎 y 𝑏 son
números naturales diferentes.
5) Axioma de inducción: si un conjunto de números naturales contiene al 1 y a los sucesores de
cada uno de sus elementos entonces contiene a todos los números naturales.
La anterior formalización matemática se basa en que el conjunto de los números naturales
está formado por un primer elemento con un único siguiente (sucesor), dando lugar a todos los ℕ
como un conjunto bien ordenado. En términos de la secuencia verbal significa que cada nuevo
término se puede obtener al sumar 1 al término anterior. Desde esta teoría la noción de sucesor es
determinante en la formación de un conjunto naturalmente ordenado (el de los números naturales),
es decir que la construcción de los ℕ se fundamenta principalmente en la idea de sucesor y
del 1 como primer número natural.
La construcción de ℕ desde la teoría de conjuntos, se apoya en la noción de
correspondencia biunívoca entre dos conjuntos a los cuales se les llama conjuntos equipotentes o
coordinables, de esta manera un número natural puede verse como un conjunto de conjuntos
equipotentes, tal como se exhibe en la siguiente cita:
36
Igualmente partiendo del hecho de que Ø es diferente de {Ø} se pueden construir los números
naturales a partir del concepto de conjunto vacío. De esta manera, tenemos que el cero representa
la cantidad de elementos del conjunto vacío, el 1 representa la cantidad de elementos de cada uno
de los conjuntos coordinables con {Ø} puesto que {Ø} es el conjunto cuyo único elemento es Ø. El
numeral 2 representa la cantidad de elementos de cada uno de los conjuntos coordinables con
{Ø, {Ø}}. Este proceso constructivo permite expresar la sucesión infinita 0, 1, 2, 3, 4,5… (García y
Pérez, 2011, p.31)
Nótese como en la cita se pone de manifiesto que la construcción de los números naturales
toma en consideración desde esta perspectiva la idea de conjunto, que parte del conjunto vacío y
de conjuntos que se forman a partir de nuevos conjuntos que lo contienen. Estas ideas son
abstractas y han ayudado a consolidar el concepto de número natural desde expresiones simbólicas
que forman un “sistema simple infinito bien ordenado” (Vásquez, 2010).
Cabe resaltar que para el año de 1.898 Giusseppe Peano presenta una segunda versión de
los axiomas que incluye al cero, y esto cambia de modo estructural la concepción de número
natural los cuales se presentan desde de la siguiente manera:
1. 0 es un número natural.
2. El sucesor de cualquier número natural n es un número natural 𝓃+ .
3. 0 no es el sucesor de número alguno. (0 es el primer número natural).
4. Dos números naturales diferentes no tienen nunca el mismo sucesor, es decir que si 𝑘 ≠
𝓃 entonces 𝑘+ ≠ 𝓃+.
5. Si P es una propiedad tal que:
a. 0 tiene la propiedad 𝑃
b. Siempre que un número 𝓃 tiene la propiedad 𝑃 implica que su sucesor 𝓃+ también
tiene la propiedad 𝑃, entonces todo número natural tiene la propiedad 𝑃.
El axioma 5 es el que da sustento lógico al método de inducción matemática que se utiliza
para probar las regularidades encontradas al trabajar con números naturales (Luque, 2002, p. 68).
De esta manera el número 0 entra a jugar un papel importante pues es a partir de él que se
inicia el reconocimiento de los números naturales, como primer elemento de este conjunto.
37
2.2.2. El número natural desde el significado cardinal
El número natural responde a la cuestión, ¿cuántos elementos tiene este conjunto?
(recuento del número de elementos) y en estas circunstancias se habla de número cardinal
(Godino, 2004). Teniendo en cuenta que la cardinalidad no considera la manera en que son
contados los elementos del conjunto, es decir con qué elemento se inicie el conteo en un conjunto
no ordenado; si no que radica en la cantidad de elementos que conforma dicho conjunto.
Para hallar el cardinal de un conjunto se ponen los elementos del mismo conjunto en
correspondencia biyectiva con una parte del conjunto de los números naturales, pero fijándose solo
en el número atribuido al último elemento que se cuenta.
De acuerdo con Restrepo (1998) una función biyectiva definida como ƒ ∶ 𝐴 → Β (o
correspondencia biunívoca entre los elementos de Α y los elementos de Β) es la manera de expresar
que 𝐴 y Β tienen “la misma cantidad de elementos” cada 𝑎 ∈ Α se corresponde con uno y solo
un 𝑏 ∈ Β. (p.77)
Un aporte fundamental en lo cardinal se debe a Cantor (Citado por Vásquez, 2010) quien
por primera vez aclara qué significa ser el número de un conjunto de cosas. Los principios
fundamentales en su teoría de los números naturales son:
• La correspondencia biunívoca (equipotencia)
• La cardinalidad
• La ordinalidad, como consecuencia de la sucesión de cardinales.
• Y finalmente, la idea de que cada nuevo cardinal incluye los anteriores.
Cantor hace uso del principio de equipotencia para definir la equivalencia entre conjuntos.
“Decimos que dos agregados Μ y Ν son equivalentes[… ] si es posible ponerlos, a partir de alguna
ley, en relación uno con el otro de tal forma que cada elemento del uno le corresponda uno y solo
un elemento del otro” (Citado por Vásquez, 2010, p.64).
Los números naturales también se pueden usar para ordenar un conjunto y entonces se
habla de número ordinal.
38
Ordenar un conjunto Α es ponerlo en biyección con una parte del conjunto ordenado de ℕ,
pero atribuyendo a cada elemento de Α un número fijo de ℕ, que se llama su número ordinal, o
número de orden.
Restrepo (1998) define la relación de orden de la siguiente manera:
Sean 𝛼 y 𝛽 cardinales representados por los conjuntos Α y Β respectivamente. Diremos que 𝛼 es
menor que 𝛽 si existe una función inyectiva1 de Α en Β y no existe ninguna función inyectiva de
Β en Α. Escribiremos:
𝛼 < 𝛽 (𝛼 menor que 𝛽)
Si 𝛼 < 𝛽 ó 𝛼 = 𝛽 escribiremos
𝛼 ≤ 𝛽 (α es menor ó igual a 𝛽)
Nótese como la cita pone en consideración el orden de ℕ a partir de la comparación de los
cardinales de dos conjuntos para establecer la relación ser menor que, o mayor que o igual que. A
partir de establecer el orden de ℕ a cada elemento del conjunto desde esta perspectiva se le atribuye
el ser primero, segundo, tercero, etc… según corresponda. Y aquel que se le atribuye el número
mayor de todo el subconjunto ℕ, se le llama último.
Ahora bien, es posible definir desde una perspectiva algebraica de acuerdo con Godino, J.
D. (2004), el orden de ℕ a partir de las operaciones:
Dados dos números naturales 𝑎 y 𝑏, 𝑎 es menor que 𝑏, 𝑎 ≤ 𝑏, si existe otro número natural 𝑑 tal
que 𝑎 + 𝑑 = 𝑏. Esta relación binaria definida en ℕ cumple las propiedades:
- Es una relación de orden total, es decir que si se toman dos números cualquiera siempre se puede
decir cuál de ellos es mayor.
- Reflexiva, es decir, para todo natural, 𝓃, 𝓃 ≤ 𝓃;
1 Esto ocurre cuando el cardinal de la primera clase es menor que el de la segunda.
La función f es inyectiva si cada elemento del conjunto final Y tiene como máximo un elemento del
conjunto inicial X al que le corresponde. Es decir, no pueden haber más de un valor de X que tenga la
misma imagen y.
En términos matemáticos, una función 𝑓 es inyectiva si: Si 𝑓 (𝑥) = 𝑓 (𝑦) entonces 𝑥 = 𝑦
39
- Antisimétrica, es decir, para dos naturales 𝑛 y 𝑝, si se tiene que 𝑛 ≤ 𝑝 y que 𝑝 ≤ 𝑛, entonces
necesariamente 𝑛 = 𝑝.
- Transitiva: es decir, para tres naturales 𝑛, 𝑝 y 𝑞, si se tiene que 𝑛 ≤ 𝑝 y que 𝑝 ≤ 𝑞, entonces
necesariamente 𝑛 ≤ 𝑞.
Esta relación de orden es compatible con las operaciones de sumar y multiplicar en ℕ. Esto
quiere decir que,
- Si se suma un mismo número a los dos miembros de una desigualdad, no cambia el sentido de la
desigualdad.
- Si se multiplican los dos miembros de una desigualdad por un mismo número natural, no cambia
el sentido de la desigualdad. (Godino, 2004, p.181)
La relación entre el cardinal y el ordinal, bajo cuya estructura es posible hablar de los ℕ, lo
explicita Godino (2004) así:
La noción de número natural surge de la fusión de los conceptos de número cardinal y ordinal,
identificación que se realiza mediante el postulado fundamental de la aritmética: "El número
cardinal de un conjunto coincide con el número ordinal del último elemento, y es siempre el mismo
cualquiera que sea el orden en que se haya efectuado el recuento".
El número cardinal resulta de considerar, no un elemento, sino todo el conjunto, prescindiendo de
la naturaleza de los elementos que lo componen y del orden en que se consideran. El número ordinal
resulta de prescindir de la naturaleza de los objetos y teniendo en cuenta solamente el orden. La
reflexión sobre el cardinal y ordinal y sobre las operaciones que se realizan sobre ellos permite
identificar una misma estructura operatoria, lo que lleva a hablar del “número natural”. (p.179)
2.2.4. El número natural desde el significado de medida
En el trabajo con magnitudes es necesario comparar distintas cantidades. La comparación
se ve facilitada si se toma una cierta cantidad [𝑢]como referente o término de comparación y se
determina cuantas veces contiene una cantidad dada [𝑎] a [𝑢] . Este número de veces, si existe, es
lo que se llama “medida” de la cantidad [𝑎] con la unidad [𝑢]. Medir cantidades es esencial en el
proceso de cuantificación de la realidad, proceso que se ve facilitado por la reducción de las
40
cantidades a números, con los cuales podemos tratar como si se tratara con las cantidades originales
(Godino, 2004, p.306).
A partir de las consideraciones que se presentan, cuando se refiere al número en su
significado de medida, se mencionan dos aspectos que son fundamentales en esta perspectiva, los
cuales son el de magnitud y el de unidad de medida.
Así, dado un conjunto 𝑀 no vacío se constituye en una magnitud, si en él puede definirse
una relación de equivalencia (=) y una operación (+) , con las siguientes condiciones:
Para la relación de equivalencia:
• Es reflexiva: ∀ a ∈ 𝑀 → a = a
• Es simétrica: ∀ a,b ∈ 𝑀 → a = b⇒ b = a
• Es transitiva: ∀ a, b, c ∈ 𝑀 → a = b ∧ b= c⇒ a= c
Para la operación interna (+): se definen las operaciones con respecto a la relación de
equivalencia:
• Clausurativa : ∀ a,b ∈ 𝑀 ⇒ a + b ∈ 𝑀
• Uniforme: ∀ a,b ∈ 𝑀 ∧ ∀ c, d ∈ 𝑀 → (a = b) ∧ (c = 𝑑) ⇒ (a + 𝑐 = 𝑏 + 𝑑)
De acuerdo con lo anterior, si en un conjunto 𝑀 se ha definido la relación de equivalencia
y la operación (+) con las condiciones para cada una, decimos, que “los elementos de 𝑀 definen
una magnitud” (Posada, et al., 2006, pág.32).
Ahora bien la cantidad de magnitud se puede definir como aquello que tienen en común los
elementos iguales entre sí.
Para definir los conceptos de magnitud, y unidad de medida se retoman los planteamientos
de Posada, et al. (2006).
Con el término “cantidad de magnitud” nos referimos a aquello que tienen en común los
elementos iguales entre sí. Todos los objetos que tienen la misma cantidad de magnitud forman
una clase de equivalencia.
Las cantidades de magnitud se pueden comparar entre sí, significa que en los elementos de
𝑀 puede definirse una relación de orden; esto es, dados los elementos de 𝑀, al compararlos bajo
41
la relación ≤, puede suceder que, sean iguales, mayores o menores, así ∀ a,b ∈ 𝑀 → a ≤ b ∨
b < a, y con las siguientes propiedades:
• Reflexiva: ∀ a,∈ 𝑀 → a ≤ a
• Antisimétrica: ∀ a,b ∈ 𝑀 → (a ≤ b ∧ b ≤ a) ⇒ (a = b)
• Transitiva: ∀ a,b, c ∈ 𝑀 → (a ≤ b ∧ b ≤ c) ⇒ (a ≤ c)
Quedan definidas las magnitudes, desde el punto de vista algebraico, como “un semigrupo
conmutativo2 con elemento neutro totalmente ordenado”.
La unidad de medida se puede definir de una forma matemática tal como lo plantea Luengo
(citado por Posada, et al., 2006):
Dado que r, s, ∈ ℝ+, ∀ e,∈ 𝑀 → ∃ a ∈ 𝑀 r⁄ ∙ e = a se puede definir la “unidad de medida e”
como ese elemento que pertenece a , 𝑀, tal que multiplicado por el r ∈ ℝ+adecuado, puede
expresar cualquier cantidad de magnitud, o de otra forma, “cualquier cantidad de magnitud puede
ser expresada como el producto de un 𝑟 ∈ ℝ+por una cantidad fija llamada unidad de medida
(p.33).
Algebraicamente se dice que si dada una cantidad de magnitud “𝒶 ∈ 𝑀” cualquiera y
definida una unidad “ℯ ∈ 𝑀”; “𝑟” es la medida de “𝒶” con respecto a la unidad ℯ y escribimos
𝑚𝑒(𝒶) = 𝑟.
De entre las magnitudes, la que se aborda en esta propuesta de aula es la longitud, ya que
es una de las magnitudes con que los estudiantes tienen mayor acercamiento tanto en la escuela
como en los contextos en los que se desenvuelven; para posteriormente avanzar hacia otras
magnitudes que seguramente van a aflorar durante la implementación de la propuesta pero que no
serán objeto de esta investigación.
2 Un semigrupo es una estructura algebraica de la forma (A,+) donde A es un conjunto y + es
una operación binaria, cerrada y asociativa. Si además + es una operación conmutativa, se dice que es un semigrupo
conmutativo. Tomado de http://matematica.wikia.com/wiki/Semigrupo
42
2.3. Referente Didáctico
Planteamientos de diferentes autores consultados coinciden en cómo los estudiantes en los
primeros años de escolaridad construyen el concepto de número natural, y han hecho propuestas
sobre las diversas maneras de abordar sus significados; entre ellos encontramos por ejemplo a
Chamorro (2005), Castro et al.(1988), Vergnaud (1991) y Godino (2004). Estos autores resaltan
que al favorecer esta construcción desde los diversos significados en los que el número natural
tiene presencia en las etapas iniciales, se crearán fundamentos sólidos para una futura comprensión
de este concepto en situaciones abstractas que el estudiante deberá enfrentar en las etapas escolares
a medida que vayan avanzando en su proceso académico.
Es así como Chamorro (2005) hace especial énfasis en abordar el número natural en el
significado de medida en su sentido social y no solo como parte de problemas aritméticos, y por
su parte Castro et al. (1988), hacen relación a que siendo el número, “un concepto único, su
utilización en la práctica, incorpora distintos significados” (p.30), desde allí que plantean la
importancia de los contextos para una adecuada utilización del número en situaciones reales.
La mayoría de estos autores coinciden en aspectos teóricos alrededor de la construcción
del concepto de número como son: la noción del número natural y sus formalizaciones, los
diferentes contextos numéricos, el conteo, principios del conteo, y otros aspectos alrededor del
número desde sus significados ordinal , cardinal y de medida; los cuales son claves para la
comprensión de los números.
En correspondencia con los objetivos de este trabajo, se hace énfasis en estos tres
significados, pues se consideran oportunos, fundamentales y pertinentes en el contexto del
proyecto pedagógico productivo de la huerta escolar, esto con el propósito de acercar a los
estudiantes a la construcción de este concepto.
Como parte de la fundamentación que debe tener todo docente que gestione estos
conocimientos en sus estudiantes, se refieren nociones esenciales, como las siguientes:
43
Ordinal, cardinal y medida
Son conceptos del campo semántico del número natural que son precisados desde los
Lineamientos Curriculares en Matemáticas (MEN, 1998) en el apartado de los Referentes
Curriculares.
Concepto de número
Supone el manejo de las representaciones simbólicas del número natural (verbal y no
verbal), así como el dominio y uso de su campo semántico. Construir el concepto de número
natural circunscribe la capacidad de superar las representaciones analógicas de la cantidad, donde
los símbolos usados para su designación están estrechamente relacionados con los objetos
representados, para pasar al uso de representaciones convencionales cuya relación con los objetos
es arbitraria (Chamorro, 2005).
2.3.1. El número natural desde el significado de medida
El significado de medida, según autores como Chamorro (2003) y la experiencia de las
autoras del presente trabajo, ha sido descuidado en la enseñanza del concepto de número natural
en la educación inicial, tal vez porque en ese contexto el número no surge de forma tan inmediata
como sucede en el significado cardinal, y al parecer los estudiantes son más conscientes que en el
acto de contar surgen los números, más que en los actos de medir. Por lo anterior se hace necesario
considerar la estrecha relación que tiene el significado de medida con la construcción del concepto
de número, ya que tal como lo reconoce Vergnaud (1991) “En el niño la noción de número es
indisociable de la noción de medida” (p.101).
Chamorro (2003), identifica en el significado de medida para el aprendizaje de los números
naturales, ciertas dificultades o lo que ella llama distintas paradojas,3 en su mayoría debidas a que
los maestros abordan de forma tradicional las prácticas, a pesar de contar con nuevas metodologías
y estrategias para dinamizar el proceso educativo; entre las paradojas se mencionan las siguientes:
3 En los planteamientos de Chamorro (2003) las paradojas se presentan como la relación
contradictoria entre el deber ser del docente y lo que en realidad se ejecuta en el aula.
44
• Limitar el uso de la medida al empleo de instrumentos para encontrar rápidamente un
número que se le asocie a ella.
• Limitarse a la conversión de unidades del sistema métrico decimal o al aprendizaje de
procesos algoritmizados de escasa utilidad.
• Se establece una tendencia generalizada de proporcionar un número como resultado
de una medida sin mención expresa de la unidad de medida.
• La aritmetización de la medida, que consiste en reemplazar las magnitudes por los
números sin hacer siquiera una toma de conciencia sobre las magnitudes que se
trabajan.
• Presentar la medida como algo más o menos exacto mientras que nociones de
aproximación, estimación y orden de magnitud no suelen estar contempladas y
desarrolladas en las actividades de aula.
Bajo estas consideraciones, esta investigadora plantea de forma urgente que la escuela se
haga responsable de estos aprendizajes y que gestione situaciones de aula que permitan la
construcción con significado de los conceptos esenciales de medida que incluyan la medición real
de objetos diversos tomados del entorno cotidiano del estudiante, cuya tarea debe abordarse
haciendo uso primero de unidades antropométricas4 y patrones arbitrarios o no estandarizados
como por ejemplo un palo para medir longitudes o la superficie de un cuaderno para medir el área;
para después llegar al uso del Sistema Métrico Decimal, pues conceptualizar un sistema
perfectamente concebido no es ni simple ni fácil para los alumnos sin un trabajo previo que permita
comprender los procesos de medición y las ideas de patrón de medida.
En el contexto de la huerta escolar, escenario que será usado para el diseño de la propuesta
de aula en este trabajo, se hacen posibles experiencias vivenciales en el proceso de medición en
donde el número natural surja para cuantificar la medida de magnitudes, como la longitud del
terreno de siembra, distancias de siembra, estimaciones sobre el peso de los productos cosechados,
4 “Los primeros patrones surgen de las partes del cuerpo, se trata de las primeras medidas llamadas
antropométricas” (Chamorro, 2005, p.327).
45
entre otros; para lo cual se puede hacer uso de algunas partes del cuerpo, en tanto patrones
antropométricos.
Abordar la construcción del concepto de número natural desde el significado de medida hace
necesario pensar en cómo se entienden ciertos procesos que son importantes y que surgen en este
escenario, como la construcción de noción de medida, noción de unidad, noción de magnitud, lo
que se detalla a continuación:
El proceso de medición, según Chamorro (2005), es considerado como un acto complejo
que requiere en el alumnado práctica y soltura en los procesos de clasificación y seriación; en
consecuencia, es necesario que los alumnos tengan desde el principio la oportunidad de entrar en
contacto con su contexto, con situaciones físicas que les permita inicialmente una exploración
intuitiva y a través de los sentidos estimar la medida; esta autora propone una sucesión de procesos
ligados con la medida, que se concretan en los siguientes procesos de clasificación y seriación:
• Estimación sensorial: Los sentidos deben proporcionarnos las informaciones pertinentes para
decantar el atributo medible del resto de los que concurren en los objetos. Se trata de aislar el
atributo que define la magnitud.
• Comparación directa: El niño no recurre a ninguna medida común ni desplazamiento sino que
compara de forma perceptiva, visual, táctil, etc. Al final de esta etapa, si la percepción directa
no le da información suficiente, utiliza ya intermediarios compuestos por ciertas partes de su
cuerpo (por ejemplo, manos o pies, en la caso de la longitud) aunque simplemente como un
apoyo a la percepción; pasando así a la comparación indirecta.
• Comparación indirecta: se efectúa con la colaboración de instrumentos considerados
adecuados para facilitar el acto de medir en las ocasiones donde no es posible el
desplazamiento de los objetos para compararlos directamente. Este proceso también contempla
la transitividad en las comparaciones donde el niño es capaz de construir razonamientos como:
«Si a = b y b = 𝑐 entonces a = c ». Siendo el elemento b el i en la comparación.
• La elección de la unidad: determina la unidad adecuada para establecer la magnitud de un
elemento. El niño desarrolla la noción de unidad, cuya constitución según Chamorro (2005)
sigue la siguiente evolución:
46
- Unidad objetal: la unidad está asociada a un único objeto, con relación incluso con el objeto
que se quiere medir. Por ejemplo, en el caso de la longitud es normal que use como unidad
algunas partes constitutivas del objeto a medir.
- Unidad situacional: unidad que depende todavía del objeto que se va a medir, cambiándola
para otros objetos en función de la relación existente entre los mismos. El niño prefiere
unidades más pequeñas para objetos de menor tamaño.
- Unidad figural: la unidad va perdiendo la relación con los objetos a medir, aunque todavía
se asocia a figuras concretas. La unidad sigue identificándose con alguna forma
determinada. Ejemplos paradigmáticos los observamos en el caso de la capacidad, y en la
superficie donde encontramos una identificación entre el cuadrado y la unidad.
Cuando la unidad se libera totalmente de la figura, tamaño y objeto a medir se consigue
la construcción de la verdadera noción de unidad.
• Arbitrariedad: selección de un patrón considerado como adecuado para establecer una
medida.
• Adecuación: la selección de unidad, es la adecuación que se hace entre lo que se desea medir
y el objeto elegido como unidad.
• Encuadramientos: se utiliza al no ser entera la medida con el fin de disminuir la imprecisión
del resultado obtenido en el acto de medir.
• Sistema regular de medidas.
• El Sistema Métrico Decimal.
• Estimación y aproximación: errores en la medida: entre los errores que pueden surgir en el
acto de medir cantidades, está la imprecisión del procedimiento que se usa, ya sea por
instrumentos inadecuados o por errores de la persona que está realizando la medición lo
cual debe contemplarse a la hora de establecer la medida de un elemento para que así su
resultado sea más aproximado.
Entendida la estimación como el proceso por medio del cual se llega a establecer una
cantidad de magnitud sin la mediación directa de un instrumento de medida (Posada, et al.,
2006, pág.21); y la aproximación como una práctica donde se trata de acercar a un resultado
aproximado en el proceso de medición, a través de diversas estrategias no tan rigurosas
(Chamorro, 2003).
47
Para efectos de abordar la construcción del concepto de número natural en el contexto de
la huerta escolar se hará énfasis en los procesos mencionados anteriormente, a excepción de los
referidos al sistema formal de medidas.
Respecto a la construcción de una determinada magnitud, los estudios piagetianos se
refieren a unos estadios por los que puede pasar el niño para esta construcción, los cuales son:
• Consideración y percepción de una magnitud como una propiedad de los objetos, o de una
colección de objetos, aislándola de otros atributos que éstos puedan presentar.
• Conservación de la magnitud ante determinadas transformaciones. El niño debe identificar
qué cambios en el objeto dejan invariante la propiedad característica de la magnitud.
• Ordenación respecto de la magnitud. Las propiedades que definen las magnitudes permiten
ordenar de manera natural los objetos. El niño también aislará otras propiedades, pero no
todas provocan ordenaciones. Aunque no todas las comparaciones «más que» o «menos que»
van a construir magnitudes («más bonito», «más doloroso»), la posibilidad de ordenar es
intrínseca a la noción de magnitud.
• Correspondencia de números a cantidades de magnitud. Se trata del último estadio y que se
corresponde con la capacidad de medir. Esta correspondencia hace que no solo sepamos que
una cantidad de magnitud es mayor que otra, sino que sepamos, también, cuánto mayor es
(Chamorro, 2005).
A continuación se presentan además algunos conceptos que se consideran importantes y
que surgen en este proceso, no solamente para precisar cómo se entiende en este trabajo si no para
hacer claridad respecto a ellos:
Medida: se da como resultado del acto de medir magnitudes (Vergnaud, 1991).
Medir: se habla de medir (en sentido amplio) para designar la acción de asignar un código
identificativo a las distintas modalidades o grados de una característica de un objeto o fenómeno
perceptible, que puede variar de un objeto a otro, o ser coincidente en dos o más objetos (Godino,
2004).
Magnitud: se suele definir la magnitud como toda aquella cualidad de los cuerpos que es
susceptible de ser cuantificada, entre ellas se encuentran por ejemplo el peso, la longitud, el área,
el volumen, la capacidad, el tiempo, el dinero (Godino, 2004, p. 621).
48
Dentro de las magnitudes, se distinguen diferentes tipos:
Magnitud Discreta: una magnitud discreta es una cualidad o atributo que puede variar de forma
cuantitativa y discreta, es decir, que varía con la misma relación que los números naturales. Por
ejemplo, colecciones de objetos o personas.
Magnitud Continua: un atributo o una cualidad de un objeto que varía de forma cuantitativa y
continúa se llama una magnitud continua. Algunos ejemplos son la longitud, peso, capacidad, el
tiempo, entre otros (Posada, et al. 2006, p.31).
Magnitudes extensivas: dos magnitudes que se dejan sumar y el resultado es de la misma
naturaleza que sus sumandos.
Cantidad: con el término cantidad nos referimos habitualmente al valor que toma la magnitud en
un objeto particular (Godino, 2004, p. 616).
Unidad de medida: la unidad de medida se puede entender del siguiente modo:
∀ℯ ∈ 𝑀 (𝑀 es un conjunto no vacío que se constituye como una magnitud) → ∃𝑎 ∈ 𝑀 r⁄ . 𝑒 = 𝑎
Se puede definir la unidad de medida como ese elemento e que pertenece a M; tal que al
multiplicarlo por un número adecuado (r) se puede expresar cualquier cantidad de magnitud
(Posada, et al., 2006).
Patrón de medida: Representación física invariable de la unidad de medida (Posada, et al., 2006).
Longitud y distancia: En objetos «llenos» la longitud se apoya en un soporte físico, mientras que
la distancia hace referencia al espacio vacío entre dos objetos. Las dos nociones se complementan,
pero el niño puede no aproximarse a ambas de la misma manera. La representación de la distancia
no se podrá resolver hasta que se logre la de línea recta, concepto al que está directamente ligado.
Para elaborar la noción de distancia el niño debe llegar a tres conclusiones:
• Conservación de la distancia entre dos objetos, aunque se interpongan otros objetos entre ellos.
• Simetría de la distancia: d(Α,Β) = d(Β, Α)
• Desigualdad de la distancia d(Α, C) < d(Α, Β) si C está colocado entre Α y Β (Chamorro, 2005).
Cabe anotar que inmerso en los conceptos y procesos movilizados en el significado de
medida, surgen actividades de conteo, que según Chamorro (2005), junto con el principio de
cardinalidad “constituyen la primera actividad de medición, y son el fundamento y el origen sobre
los que se apoya la noción de número” (p.199).
49
2.3.2. El número natural desde el significado cardinal
Una de las primeras habilidades que se adquiere en la edad infantil referida a las
matemáticas es la de contar. Inicialmente este proceso se limita a recitar una serie numérica,
posteriormente avanza a asignar cada uno de los términos de la secuencia a un objeto de un
conjunto, hasta llegar a designar todo el conjunto con su cardinal, momento en el cual el niño
descubre la regla de la cardinación o principio de cardinalidad, considerado por Castro et al. (1988)
e incluso desde los trabajos de Piaget, como un momento crucial en la adquisición del concepto de
número natural. Es así como en el significado cardinal se definen algunos conceptos claves como:
Conteo: Gelman citado por Chamorro (2005), define el conteo como el medio por el cual el niño
representa el número de elementos de un conjunto dado y razona sobre las cantidades y las
transformaciones aditivas y sustractivas. El contar permite comparar las colecciones de objetos sin
establecer correspondencia directa entre ellos: la secuencia numérica sirve de intermediaria.
Enumeración: Acciones materiales que hay que realizar para que se pueda contar una colección,
como: separar los elementos contados de los que quedan por contar, ir marcando los elementos ya
contados, situar los elementos en una disposición espacial que permita la identificación de cada
elemento, etc., constituyen tareas del proceso de enumeración.
Técnicas de conteo
Según Chamorro (2005) para hallar el cardinal de un conjunto dependiendo de la cantidad
de este, se puede proceder de diversas formas tales como:
Correspondencia término a término: permite a los niños construir una colección equipotente a una
colección dada (en presencia de ella), comparar dos colecciones presentes, efectuar distribuciones
o repartos.
Correspondencia «subconjunto» a «subconjunto»: se emplea por algunos niños en las mismas
tareas anteriores, cuando el tamaño de las colecciones aumenta (en lugar de establecer
correspondencias uno a uno, toma varios elementos de la colección a la vez).
Estimación puramente visual: se emplea por algunos niños en el caso de una configuración
particular de objetos que pueda compararse con otra colección presente, o bien evocada
mentalmente.
50
«Subitizar»: capacidad de enunciar muy rápidamente el número de objetos de una colección, por
simple percepción global.
Contar los elementos de una colección: para llevar a cabo el algoritmo de contar es necesario:
- Saber enumerar los elementos de una colección.
- El conocimiento de la serie de los números (secuencia numérica).
- Asignar correctamente a cada objeto de la colección el nombre de un término de la secuencia
numérica (correspondencia biunívoca).
- Manejar la regla de la cardinación.
Recontar: cuando se adjunta a una colección otra, los niños pueden proceder para la determinación
del cardinal de la colección final, contando todos los elementos, es decir, volviendo al principio
(por ejemplo: «cinco y tres: una, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete y ocho»).
Descontar: procedimiento inverso del anterior, el niño cuenta hacia atrás a partir de un número
dado.
Sobrecontar: cuando se adjunta a una colección otra (o a un número otro número), la estrategia
del «sobreconteo» supone conocer y saber enunciar la serie de los números a partir de uno dado
(por ejemplo: «nueve más tres: diez, once, doce»).
Procedimientos mixtos: establecer correspondencias por paquetes o bloques de elementos,
constitución de dichos paquetes y utilización de expresiones, bien orales, o escritas de tipo aditivo
(por ejemplo, dada una colección de 19 elementos, los niños podrían decir que hay 5 y 3 y 5 y 4 y
2).
Procedimientos de «cálculo»: pueden utilizar algunos conocimientos numéricos, bien
memorizados, o bien algunas técnicas de cálculo, descomposiciones, transformaciones, etc., donde
ponen en funcionamiento propiedades de los números naturales y de la numeración.
De acuerdo con Chamorro (2005), se puede hacer uso de distintas estrategias para la
cardinación de un conjunto, las cuales van a reflejar ciertos manejos conceptuales que posee el
estudiante, mostrando un avance progresivo en la medida que tengan la oportunidad de participar
de situaciones que favorezcan el desarrollo de su aprendizaje. Por lo cual la actividad matemática
debe incluir una diversidad de situaciones que “le permitan al estudiante pasar de los
procedimientos más costosos y menos fiables a los más económicos y pertinentes, desarrollando
ampliamente la actividad de cardinación de colecciones” (Chamorro, p.200).
51
Principios de conteo
Otro aspecto presente en el proceso de cardinación, además de la forma como se puede
hallar el cardinal de un conjunto, es la forma como se consolida finalmente la regla de cardinación,
a saber, respecto a lo cual se han llegado a determinar cinco principios lógicos implícitos en el
proceso de contar, citados a continuación desde Castro et al. (1988):
Principio de orden estable: para contar, los términos de la secuencia se han de recitar siempre en
el orden establecido.
Principio de correspondencia: al contar los elementos de un conjunto, ya hemos dicho, se va
recitando la secuencia y a la vez, se van señalando los elementos del conjunto.
Principio de biunivocidad: en el proceso anterior, no basta solo con establecer una
correspondencia entre palabra numérica y objeto, sino que dicha correspondencia ha de ser
biunívoca. Esto supone que; a cada elemento del conjunto se le asignará una palabra numérica y
recíprocamente; cada palabra estará asociada con un elemento.
Principio de cardinalidad: el último término obtenido, al contar todos los objetos de la colección,
indica el número de objetos que tiene dicha colección.
Principio de irrelevancia del orden: el cardinal de un conjunto, o sea, el número de elementos
obtenidos al contar, no depende del orden en que estén dispuestos los elementos para contarlos.
Principio de abstracción: cualquier conjunto o colección de objetos es contable. Puede suceder
que los elementos que forman el conjunto sean todos homogéneos (lápices), o que no lo sean
(lápices y bolígrafos), en este último caso puede haber problemas, pues el resultado de contar habrá
que expresarlo en una categoría superior que comprenda a las dos anteriores como subconjuntos
por ejemplo, útiles para escribir.
Reconocer estos principios y transitar por ellos en situaciones que impliquen actividades
de conteo, supone el fortalecimiento por parte de los estudiantes del concepto de número en su
sentido cardinal, en cuyo camino se logra la consolidación de la regla de cardinación que puede
pasar por tres fases de acuerdo con Castro et al. (1988) que son:
• Transición de contar los elementos de un todo, en donde el último término contado se convierte
en el adecuado para el cardinal del conjunto.
• Comprensión de que el cardinal puede estar asociado a un recuento.
52
• Integración de ambos significados: cada término obtenido al contar lleva simultáneamente un
sentido de cardinación.
En cuanto a la comparación de cardinales esta se puede realizar según Castro et al. (1988)
siguiendo diversas estrategias como:
• Comparando perceptualmente los conjuntos.
• Estableciendo correspondencias biunívocas entre los elementos de los dos conjuntos.
• Contando los objetos y comparando los cardinales.
En síntesis, respecto al significado de cardinalidad, en el desarrollo de tareas que implican
establecer el cardinal de un conjunto y comparar cardinales, van surgiendo las diferentes técnicas
y principios de conteo, empezando desde los niveles básicos hasta los más avanzados; los cuales
se van alcanzando en la medida en que los estudiantes se desenvuelvan en situaciones que
involucren el uso de la numeración.
2.3.3. El número natural desde el significado ordinal
De manera natural los estudiantes en los grados iniciales empiezan a relacionarse con
aspectos del significado ordinal al utilizar seriaciones cualitativas, como una secuencia de colores,
formas, etc., o bien sea basadas en convenciones sociales como el orden de días de la semana, los
meses del año, horarios, etc., para llegar progresivamente a las seriaciones cuantitativas que
permiten utilizar el número natural desde su significado ordinal. Fortalecer este proceso implica,
que necesariamente el estudiante utilice técnicas relacionadas con el conteo para el establecimiento
de ordinales las cuales se referencian desde Godino (2004) al mencionar que el ordinal de un
elemento que forma parte de una colección ordenada, se puede obtener a través de la utilización
de procedimientos como:
• Recitar una de las sucesiones de palabras numéricas (ordinales o cardinales) ya sea iniciando
con la palabra uno o primero estableciendo una estabilidad en el recitado.
• Adjudicando una palabra (ordinal) a cada uno de los elementos del conjunto.
• Teniendo en cuenta que para asignar un ordinal a diferencia de los cardinales, el orden en que
53
se ubican los elementos ya no queda a disposición del que realiza el conteo, sino que ya está
preestablecido, dando cuenta así de la relevancia en el orden de la colección (Godino, 2004).
Este autor además plantea, que dentro de las técnicas del conteo surgen unos principios a
tener en cuenta para obtener ordinales, a saber:
En el caso de la técnica de contar para obtener ordinales los principios que la dirigen son el del
orden estable y el de la correspondencia uno a uno referido únicamente al propio elemento y a los
anteriores a él. Aquí el orden en que sean elegidos los elementos del conjunto para adjudicarles las
palabras numéricas ya no es irrelevante de cara a la obtención del ordinal correspondiente.
(Godino, 2004, p.21)
Por su parte Castro et al.(1988) menciona que para establecer comparaciones entre
ordinales se puede realizar a través de tres relaciones: “menor que”, “mayor que” o “la misma
que”; agregando que existen diferencias notables entre el significado cardinal y ordinal que se
deben tener en cuenta como: la relevancia de orden, que al establecer un cardinal no es importante
mientras que en el significado ordinal sí, por otro lado al agregar un elemento a una colección su
cardinal varía, mientras que el ordinal solo cambia, si ese elemento es ubicado antes del elemento
seleccionado.
Otro aspecto importante en la comprensión del concepto de número es la ordenación, lo
cual refiere al sentido de los números como criterio organizador de una secuencia. Se trata del
sentido del número en donde no es solo cantidad, sino que a través de la noción de cantidad se
establece la organización de una secuencia de eventos, acciones, etc. En este sentido el significado
del número en juego no es el de cantidad, sino el de orden y la noción de cantidad es el referente
básico para definir el orden de aquello que se quiere organizar. Para ello, en esta relación entre el
conteo y el orden, deben darse unas etapas, técnicas y principios que ayudan a construir el
significado del número como ordinal, lo cual se presenta a través de los planteamientos de algunos
autores como los que se mencionan a continuación:
Etapas para la construcción de sucesiones ordenadas
Según Chamorro (2005), para que los niños lleguen a la construcción de series ordenadas
deben poner en funcionamiento operaciones lógicas que impliquen el control de:
54
– La reversibilidad: capacidad para ordenar en dos direcciones: hacia delante y hacia atrás
(empleando la relación recíproca de la anterior).
– La transitividad: capacidad para admitir que si Α es anterior a Β y Β es anterior a C ⟹ Α es
anterior a C.
– La asignación de un carácter dual a todo elemento de la serie: un elemento, según su posición
en la serie, es, a la vez, sucesor del anterior y antecesor del siguiente. En el caso de series
cuantitativas: un elemento es, a la vez, «mayor que el anterior y menor que el siguiente».
– La asimetría: capacidad para asignar a todo par de elementos de la serie una relación asimétrica:
dados dos elementos Α, Β; si Α es anterior a Β, Β no es anterior a Α.
El tránsito de los estudiantes por estas etapas hace que necesariamente vayan estructurando
unos conocimientos lógicos, más formales y con sentido, particulares al significado ordinal que
posteriormente los podrá utilizar en las situaciones que se le presenten en la cotidianidad.
La relación entre los aspectos antes mencionados referente al significado de medida,
ordinal y cardinal, forman parte del conjunto de significaciones que construyen el concepto de
número natural, los cuales deben ser experimentados por los estudiantes, especialmente en los
primeros años de escolaridad, que posteriormente lo llevaran a fortalecer gradualmente el
pensamiento matemático.
2.4. Referente desde los proyectos pedagógicos productivos (PPP)
La metodología por proyectos ha venido ganando espacio como alternativa a una educación
teórica y como estrategia para abordar interdisciplinariamente y de forma más flexible temas de
interés para los estudiantes, fomentando además el trabajo cooperativo y organizativo, la capacidad
para resolver problemas concretos y reales vinculando la teoría y la práctica.
En Colombia a partir de 1.924 se pone en práctica la metodología por proyectos que tiene
su origen con William Heard Kilpatrick, quien convirtió varios de los postulados de la pedagogía
activa y pragmática de John Dewey en una metodología de trabajo en el aula, tratando de generar
una alternativa a la educación tradicional de la época basada más en el intelectualismo y el
55
enciclopedismo por una formación en función de la oportunidad de hacer en contexto, de que los
estudiantes resolvieran problemas de la vida cotidiana teniendo en cuenta su medio físico y social.
Los entes gubernamentales en el camino de formalizar la importancia de la incorporación
de proyectos en la educación y ampliar la perspectiva de su uso, generaron el decreto 1860
reglamentario de la ley 115 de 1994 donde se definen los proyectos pedagógicos dentro de los
cuales se diferencian varias modalidades, como los proyectos pedagógicos obligatorios, los
proyectos pedagógicos de aula, los proyectos pedagógicos productivos, entre otros.
Este decreto define los proyectos pedagógicos como:
El proyecto pedagógico es una actividad dentro del plan de estudios que de manera planificada
ejercita al educando en la solución de problemas cotidianos, seleccionados por tener relación
directa con el entorno social, cultural, científico y tecnológico del alumno. Cumple la función de
correlacionar, integrar y hacer activos los conocimientos, habilidades, destrezas, actitudes y valores
logrados en el desarrollo de diversas áreas, así como de la experiencia acumulada. La enseñanza
prevista en el artículo 14 de la Ley 115 de 1994 se cumplirá bajo la modalidad de proyectos
pedagógicos.
Los proyectos pedagógicos también podrán estar orientados al diseño y elaboración de un producto,
al aprovechamiento de un material equipo, a la adquisición de dominio sobre una técnica o
tecnología, a la solución de un caso de la vida académica, social, política o económica y en general,
al desarrollo de intereses de los educandos que promuevan su espíritu investigativo y cualquier otro
propósito que cumpla los fines y objetivos en el proyecto educativo institucional. (Art. 36. Decreto
1860, 1994)
A partir de los postulados de Kilpatrick sobre la metodología por proyectos, surgen los
proyectos pedagógicos y gracias a la necesidad de involucrar más la perspectiva social a lo
educativo nacen los proyectos pedagógicos productivos (PPP) cuyos lineamientos y metodologías
fueron definidos en el año 2003 en el coloquio organizado por IICA de Colombia (Instituto
Interamericano de Cooperación para la Agricultura), primero denominados como unidades de
trabajo educativo conjunto, y posteriormente como proyectos pedagógicos productivos (PPP),
destacando allí la importancia de estos, en los procesos para contribuir al desarrollo cognitivo de
estudiantes, la formación de ciudadanía, avanzando en procesos de construcción de identidad
menos individualistas más articulados a los tejidos sociales, así como la adquisición de habilidades
para la vida, a través del trabajo colaborativo y aprendizaje en contexto, con situaciones reales en
el campo cultural, ambiental, social y económico, que pueden ser abordados como temas
transversales para desarrollar contenidos de los planes de estudio, haciendo que los estudiantes
56
interpreten de otras formas, el mundo en el que viven y emprendan acciones para intervenir en él,
buscando un bienestar personal y colectivo (Cano, J. 2003).
Para el año 2010 el MEN teniendo en cuenta la Constitución Política de Colombia, la Ley
General de Educación, Ley 115 de 1994, los Lineamientos Curriculares (MEN, 1998), los
Estándares Básicos de Competencias (MEN, 2006) y demás referentes de calidad, propone un
documento como instrumento conceptual, denominado “Cartilla para el desarrollo de proyectos
pedagógicos productivos”, con el fin de ofrecer lineamientos generales a las I.E. que contribuyan
a la formulación autónoma de propuestas contextualizadas dentro del marco de los PPP, los cuales
se presentaron como:
Una estrategia innovadora que ofrece a estudiantes e instituciones educativas oportunidades para
articular la dinámica escolar con la de la comunidad educativa, teniendo en cuenta el
emprendimiento y aprovechamiento de los recursos existentes en el entorno, como base para el
aprendizaje y el desarrollo social” (MEN, 2010, p.10).
La conformación de los PPP planteada por el MEN (2010), se centra en tres componentes
concebidos para transformar las prácticas educativas y complementarse respondiendo a un fin
común, que se conciben de la siguiente manera:
Como proyecto: por su intención interdisciplinar que parte de una metodología que educa para la
vida, buscando transferir conocimientos dando respuestas a situaciones problémicas reales que
fomenten la autonomía en el estudiante y el trabajo colaborativo.
Su pedagogía: relacionada con la construcción de aprendizajes en contextos dinámicos, reales y
significativos, desarrollando competencias y procesos de enseñanzas flexibles y renovadas que
vinculan e integran a los agentes educativos como estudiantes, docentes, directivos, acudientes,
sector productivo y comunidad en general en el desarrollo de propuestas escolares.
Lo productivo: comprendido en las actividades económicas desprendidas del contexto donde se
desarrolla el proyecto a través de formas innovadoras, interdisciplinarias, precursoras del cuidado
del medio ambiente y la cultura del emprendimiento, que fomenta el liderazgo, la colaboración,
ética, entre otras actitudes primordiales para la construcción de conocimiento y dar soluciones a
problemáticas sociales del contexto educativo.
57
De acuerdo a las directrices ministeriales MEN (2010), los PPP tienen unas fases a las que
les corresponde unas etapas y momentos, que ejecutadas en conjunto se proponen desarrollar
propuestas que dinamicen el currículo institucional y respondan a necesidades educativas del
contexto, a mencionar:
Fase I. Planeación: fase donde se estructura el PPP, poniendo especial atención en que lo
planteado sea consecuente y realizable. Se ejecuta a través de dos etapas que cumplen a su vez
unos momentos; estas etapas son:
Etapa 1. Formulación: le corresponden cinco momentos que contribuyen a la puesta en marcha
del PPP, teniendo en cuenta el contexto, metas, viabilidad, pertinencia, responsables y tiempos
para llevar a cabo la propuesta generada, así como unos indicadores de aprendizaje (competencias)
que precisen, midan y delimiten las actividades.
Etapa 2. Viabilización de los PPP: tiene como objetivo determinar la pertinencia y beneficio de la
propuesta desde diferentes perspectivas como: lo pedagógico, financiero, ambiental, técnico y
mercadeo.
Fase II. Ejecución y Seguimiento: corresponde a la puesta en marcha del PPP y su
continua supervisión. Esta fase cuenta con los siguientes momentos:
Momento 1: socialización y sensibilización
Momento 2: puesta en marcha del plan operativo del proyecto.
Momento 3: acompañamiento y seguimiento: consiste en la asistencia técnica, tecnológica y
pedagógica que se requiere para el buen funcionamiento y continuidad de los PPP hecha a través
de alianzas con instituciones que brinden asesorías sobre el tema a trabajar, igualmente se debe
tener un registro sistemático y periódico que permita dar cuenta del cumplimiento del plan
operativo del proyecto y tratar así de mejorar su desempeño.
Fase III. Evaluación del PPP: esta última fase, vista como un proceso de aprendizaje
constante, es permanente y transversal a cada una de las fases, y tiene como objetivo determinar
en qué medida se obtuvieron los resultados propuestos y posteriormente tomar acciones correctivas
o preventivas para reencaminar las actividades propuestas, que conlleven a mejores resultados.
58
De las fases contempladas en los PPP, este trabajo se concentra en la fase dos5, referida a
la ejecución de las actividades en el contexto de la huerta escolar, como es el interés de este trabajo,
y así proyectar este escenario como estrategia didáctica que busca movilizar procesos cognitivos
en los estudiantes, en este caso sobre la construcción del concepto de número natural. Llama la
atención la fase de ejecución y seguimiento pues se considera que estas brindan insumos muy
potentes para estructurar el diseño de la propuesta de aula, como lo es la organización de la huerta,
el proceso de disposición y siembra de semillas en las eras, la cosecha, entre otras actividades.
5 No se trata de desconocer las otras fases por las cuales el PPP tuvo necesariamente que pasar para haberse
generado, pero para cuestiones del presente trabajo no van a ser referenciadas.
59
Capítulo III.
Metodología de la investigación
En este capítulo se presenta la metodología empleada para el diseño, la implementación
y análisis de los resultados de la propuesta de aula que en el contexto de la huerta escolar aborda
el concepto de número natural desde sus significados: ordinal, cardinal y medida. De este modo se
presenta, en primer lugar el enfoque metodológico que se sigue para esta investigación y en un
segundo lugar, la descripción de las diferentes fases del proceso de investigación a saber: la
documentación conceptual, la descripción y caracterización del diseño de la propuesta de aula, el
desarrollo de la implementación en donde se describe la población objeto de trabajo, los
instrumentos de recolección de la información y finalmente, el análisis de los resultados de dicha
implementación.
60
3.1. Enfoque metodológico de la investigación
La presente investigación se enmarca en el paradigma Cualitativo de tipo descriptivo,
metodología central en el campo educativo, por lo que se orienta en descubrir e interpretar una
situación de acuerdo a los propósitos planteados. Implica identificar características del universo
en cuestión, con el fin de describir, comparar, contrastar, clasificar, analizar e interpretar los
acontecimientos que constituyen sus diversos campos de investigación (Louis, C., & Lawrence,
M. 1990).
La pertinencia de este tipo de investigación para el propósito del proyecto, se valida por
cuanto se requiere identificar variables y relaciones entre ellas, en la situación de articular un
proyecto pedagógico de huerta escolar con la construcción del concepto de número natural desde
su campo semántico, para posteriormente diseñar e implementar una propuesta de aula y valorar
tanto su pertinencia como los alcances de los aprendizajes movilizados con los estudiantes.
Es un trabajo de tipo descriptivo dado que al desarrollarse en un escenario natural, se hace
preciso describir las etapas de la propuesta pedagógica a través de la vivencia directa, realizar
recolección y análisis de información a la luz de las prácticas de aula en el contexto de la huerta
escolar como entorno elegido para el estudio y generar unas conclusiones a partir de los propósitos
planteados; fundamentadas principalmente en los enfoques teóricos consultados para el diseño y
análisis de los resultados, en la percepción y experiencias de las autoras del presente trabajo y en
la forma en la cual ellas construyen el sentido sobre esta experiencia pedagógica a la luz de las
variables de análisis fruto de los referentes conceptuales estudiados; todo esto para intentar
responder a la pregunta ¿cómo a través de una propuesta de aula que involucre el contexto de la
huerta escolar, se favorece la construcción del concepto de número natural en sus significados de
ordinal, cardinal y medida en los estudiantes del primer grado de la Básica Primaria de la I.E
Juan María Céspedes sede Monseñor Miguel Ángel Zúñiga?.
Se pretende reportar el proceso de la implementación de la propuesta de aula, para
consolidar los resultados de la aplicación de esta propuesta de aula y presentar conclusiones
respecto a su pertinencia en un contexto con condiciones particulares como las descritas en el
61
marco contextual y con problemáticas propias a la I.E Juan María Céspedes; buscando darle
cumplimiento al objetivo de fortalecer la construcción del concepto de número natural a través de
situaciones donde el estudiante pueda experimentar y tener un contacto directo con la huerta,
siendo así una propuesta “vivencial”; además de fortalecer las prácticas docentes de las autoras
del presente trabajo al relacionar los resultados con la fundamentación teórica descrita en el
capítulo II.
Para alcanzar los propósitos mencionados, el proceso de investigación se desarrolla en
cuatro fases a saber:
Fase 1: Documentación teórica sobre el concepto de número natural y fundamentación desde los
PPP
Fase 2: Diseño de la propuesta de aula que recoja la documentación teórica consultada en la fase
anterior
Fase 3: Implementación de la propuesta de aula con un grupo particular de estudiantes de grado
Primero.
Fase 4: Análisis de los resultados a la luz de las variables de análisis fruto de la primera fase.
Cada una de estas fases que hacen parte del proceso de investigación se describe en el
siguiente apartado.
3.2. Proceso de la investigación
Para el diseño de una propuesta de aula enmarcada en el contexto de una huerta escolar que
reconociera los intereses y necesidades de la comunidad educativa de la I.E Juan María Céspedes
sede Monseñor Miguel Ángel Zúñiga, y a la vez respondiera a una de las problemáticas detectadas
en el nivel de Básica Primaria y que es objeto de interés de las autoras de este trabajo de
investigación, fue necesario llevar a cabo un proceso de investigación desde las cuatro fases
mencionadas anteriormente y detalladas a continuación:
62
3.2.1. Fase 1: Documentación
En esta etapa de la investigación se delimitaron aspectos conceptuales desde los referentes
curricular, didáctico y matemático, así como una fundamentación de los proyectos pedagógicos
productivos (PPP) y su importante aporte para los procesos de enseñanza aprendizaje.
Atendiendo a la metodología de investigación de corte cualitativo donde “la literatura
colabora a mejorar el entendimiento de los datos recolectados y analizados, pero siempre el
investigador se orienta fundamentalmente por los resultados que surgen del trabajo en el contexto
o ambiente particular” (Sampieri 1998, p. 532), se propone esta metodología que se realizó primero
con el fin de apropiar bases conceptuales para el diseño de la propuesta de aula, y segundo, para
contar con elementos que respalden teóricamente el análisis de los resultados obtenidos al
implementar la propuesta de aula, generando algunas reflexiones para maestros en ejercicio y en
formación, en torno a la construcción del concepto de número natural en los primeros años de
escolaridad.
El diseño de la situación plantea cinco tareas que involucran el desarrollo de conceptos y
procesos mencionados en los estándares y en el referente didáctico como constante, variable, razón
de cambio, dependencia e independencia de variables y patrón, permitiendo el inicio en la
caracterización de los aspectos de la variación, el campo de variación de las magnitudes que
intervienen y las posibles relaciones entre ellas. Los que mencionan en detalle desde cada
situación:
Conceptos, principios y procesos movilizados en la situación 1:
Entre los elementos conceptuales que se movilizan en esta situación, concerniente al
significado de medida, y los cuales se mencionaron en el referente didáctico están:
• El uso de patrones de medida antropométricos y arbitrarios: cuando los estudiantes deben
realizar procesos de medición de las dimensiones de la era (ancho y largo), con el fin de
confrontar los resultados obtenidos al usar un patrón antropométrico como el largo del pie, y
uno arbitrario pero convenido, como el listón de madera; además del uso de estos patrones en
63
los proceso de medición para reportar las distancias entre las plantas sembradas en la huerta, a
fin de emplear este dato para una nueva siembra en una de las tareas de la situación 2.
• La explicitación de la unidad de medida para reportar los resultados de los procesos de
medición.
• El reconocimiento de magnitudes, en especial de la magnitud longitud, en la tarea de identificar
atributos medibles en los elementos de la huerta.
• La evolución por los procesos para establecer la medida reportados por Chamorro (2005)
como: estimación sensorial, comparación directa, comparación indirecta, la transitividad en
las comparaciones, arbitrariedad, adecuación, encuadramientos, estimación y aproximación:
errores en la medida; lo cual puede darse cuando los estudiantes se vean enfrentados a
determinar el patrón apropiado para determinar una cantidad de medida de acuerdo a la
magnitud del objeto a medir, o dar respuesta a qué plantas, entre las de cebolla y las de lechuga,
requieren mayor distancia de siembra; o en los procesos de medición en sí, en los cuales hagan
uso de aproximaciones o procesos de encuadramiento para acercarse a un dato más exacto.
• En cuanto a las etapas de los procesos de medición por los cuales debe pasar el estudiante en
el desarrollo de la propuesta de aula, entre ellos: la consideración y percepción de la magnitud
longitud, y ordenación respecto de la magnitud, se espera que los estudiantes den cuenta de
algunos de ellos, en el momento en que identifiquen atributos medibles en elementos de la
huerta y los puedan aislar de otras características propias de estos elementos como el color o
la forma. Los anteriores aspectos se irán identificando en el desarrollo de la propuesta de aula
y el trabajo cooperativo con los estudiantes.
Desde los demás referentes se movilizan aspectos generales, referidos a: desde lo
matemático, en cuanto a las formalizaciones que hay detrás del concepto de número; desde lo
curricular, la forma de entender el número desde su significado de medida y al uso de la huerta
como contexto escolar para hacer significativo el acercamiento al concepto de número natural; y
desde el referente de los PPP, respecto al uso del proyecto productivo para articular el desarrollo
de procesos cognitivos con la dinámica del entorno escolar y extraescolar.
64
Conceptos, principios y procesos movilizados en la situación 2:
Las conceptualizaciones que se movilizan desde el referente didáctico, a través de la
segunda situación, centran su atención en aspectos al rededor del significado cardinal como:
• Las formas de conteo que utilizan los estudiantes entre las cuales pueden darse: la
correspondencia término a término, correspondencia subconjunto a subconjunto, estimación
puramente visual, contar los elementos de una colección, recontar, sobrecontar,
procedimientos mixtos y procedimientos de cálculo; los cuales se pueden evidenciar en las
tareas referidas a totalizar la cantidad de los productos cosechados, a comparar la cantidad de
elementos de dos surcos de plantas sembradas en la huerta a fin de determinar qué conjunto es
mayor, en el conteo de los sitios de siembra dispuestos para una nueva siembra y en el conteo
de semillas que se propone de 3 en 3, al ser la cantidad requerida para cada hueco o sitio de
siembra.
• Los principios de conteo, como son: el principio de orden estable, principio de
correspondencia, principio de biunivocidad, principio de cardinalidad, principio de
irrelevancia del orden, principio de abstracción, se pueden dar cuenta desde las actividades
de conteo descritas en el punto anterior, además desde aquella dirigida a contar las plantas de
cebolla iniciando por extremos opuestos del surco, a fin de determinar específicamente, el
manejo por parte de los estudiantes del principio de irrelevancia de orden.
En cuanto a lo ordinal, los conceptos que se pretenden movilizar son:
• Las etapas que refiere Chamorro (2005), para que los niños lleguen a la construcción de series
ordenadas las cuales son: la reversibilidad, la transitividad, la asignación de un carácter dual
a todo elemento de la serie y la asimetría; procesos que se pueden dilucidar en las actividades
de organizar y disponer los productos cosechados en una secuencia ordenada, definiendo un
criterio para ello.
• Las técnicas y principios a tener en cuenta para obtener ordinales: estabilidad en el recitado,
correspondencia restringida uno a uno, relevancia en el orden de la colección, orden estable
y la correspondencia uno a uno entre el elemento y el ordinal; aspectos que pueden aflorar en
las tareas de establecer las posiciones de las plantas a aporcar desde extremos opuestos del
65
surco y cuando deban dar cuenta qué parte de la secuencia de los productos ordenados
permanece estable o varía, al retirar el producto de una posición.
Desde los demás referentes se movilizan aspectos generales, referidos a:
Desde lo matemático, se pretende que los estudiantes establezcan relaciones biyectivas
donde comparen uno a uno los elementos de dos conjuntos para establecer equipotencias; desde
lo curricular, a través de la forma de entender el número natural desde su significado cardinal y
ordinal en actividades propias de una huerta, la cual da cuenta a su vez del referente de los PPP.
Con los conceptos que se buscan movilizar desde cada referente, se pretende en síntesis,
que los estudiantes identifiquen el número natural que surge como resultado de todas las tareas
desarrolladas en los significados de medida, cardinal y ordinal; y que a la vez reconozcan que el
proceso de contar, ordenar y medir no son independientes el uno del otro, ya que contar es
determinar una magnitud discreta, para ordenar hay que establecer un conteo y un criterio basado
en una magnitud, y a la hora de determinar la medida de una magnitud necesariamente se debe
establecer un conteo al reportar el número de veces que un patrón de medida se repite.
Con respecto a la estructura de la propuesta de aula en la Tabla 1 se presenta de forma
general aspectos de cada situación, sus propósitos, tareas, actividades y conceptos que aborda.
66
Tabla 1. Propósitos tareas y conceptos que se moviliza en la propuesta de aula.
Situaciones
Propósitos
Tareas
N° de
preguntas
Conceptos y procesos que se
movilizan
Situación 1:
Caracterizo
el terreno y
siembro en
mi Huerta
Escolar.
Promover la
construcción del
concepto de
número natural en
los estudiantes a
partir del trabajo
con la magnitud
longitud, usando
medidas
antropométricas y
patrones no
estandarizados.
Tarea 1
A mi huerta debo ir,
para reconocer
atributos que puedo
medir.
6
Patrón de medida
Unidad medida
Magnitud longitud
Arbitrariedad
Encuadramiento
Estimaciones sensorial
Comparación directa
Comparación indirecta
Consideración y percepción
de una magnitud
Ordenación respecto de la
magnitud
Estimación y aproximación
La transitividad en las
comparaciones
Tarea 2
Una medida en la
huerta puedo
conseguir, utilizando
varios patrones para
medir.
6
Tarea 3
Palma a palma, voy
midiendo las
distancias entre las
plantas.
5
Situación 2:
Cosechando
lo que
siembro, los
frutos del
saber voy
recogiendo
Promover el
concepto de
número natural
como cardinal,
ordinal y medida
en actividades de
la producción,
cosecha y siembra
en la Huerta
Escolar, a través
de actividades que
implican el
conteo, orden de
productos de la
huerta.
Tarea 1
Contando y
ordenando en varias
direcciones, voy
sacando mis propias
conclusiones.
5
Conteo y sobreconteo
Correspondencia término a
término
Correspondencia subconjunto
a subconjunto
Procedimientos mixtos
Procedimientos de cálculo
Principio de orden estable, de
correspondencia, de
biunivocidad, de cardinalidad,
de irrelevancia del orden, de
abstracción
Estabilidad en el recitado
Correspondencia restringida
uno a uno,
Relevancia en el orden
Correspondencia uno a uno en
Significado ordinal
Biyectividad y equipotencia
Número natural
Tarea 2
Orden y conteo voy a
realizar, cosechando
los productos que en
mi huerta hay.
3
Tarea 3
Con lo aprendido en
la cosecha, me
preparo para una
nueva siembra.
5
67
3.2.2. Fase 2: Diseño de la propuesta de aula
La propuesta de aula “Contando, ordenando y midiendo en mi huerta escolar” se plantea
en el contexto de un PPP (MEN, 2010) de huerta escolar para promover la construcción del
concepto de número natural desde sus significados de medida, cardinalidad y ordinalidad. Dicha
propuesta de aula se presenta en la segunda fase de los PPP correspondiente a la Ejecución y
Seguimiento, sin embargo hay que destacar que para el desarrollo pedagógico y productivo de la
huerta escolar, la primera fase de planeación tuvo su momento de desarrollo cuando se origina la
idea de producir la huerta en la sede Miguel Ángel Zúñiga de la Institución Educativa Juan María
Céspedes, al hacer la planeación y gestión de los insumos necesarios y materiales físicos y
humanos para su puesta en marcha. En particular estas dos fases han tenido una trayectoria de
aproximadamente un año, sirviendo así como experiencia previa para el diseño de una propuesta
de aula acorde a los propósitos planteados para la construcción del concepto de número natural en
los estudiantes del grado primero.
Hay que resaltar también que no se ha hecho énfasis en la fase tres de los PPP
correspondiente a la Evaluación ya que esta propuesta de aula que se plantea dentro del PPP, ha
tenido un carácter más académico para favorecer el aprendizaje desde las matemáticas por ser el
objeto de esta propuesta, no obstante el proceso de evaluación del PPP se realizará posteriormente
con el fin de planear estrategias de mejora, para ver los resultados obtenidos y dar continuidad a
la huerta escolar.
A continuación se presenta un esquema donde se exhiben las distintas fases de un PPP así
como el lugar que tiene la propuesta de aula dentro de estas fases.
68
Gráfico 4. Ubicación de la propuesta de aula en las fases de los PPP.
La propuesta de aula diseñada se configura a través de dos situaciones (ver Anexo 1). En
la primera se busca abordar el número natural desde el significado de medida, mientras que la
segunda situación trabaja el número principalmente desde lo cardinal y ordinal. La situación 1 en
términos de la huerta escolar, se desarrolla en un momento uno, enmarcado en la adecuación del
terreno, mientras que la situación 2, se recrea en un momento dos, concerniente a la siembra y
cosecha en la huerta.
En el momento uno de adecuación del terreno de la huerta escolar, ya están pre-establecidas
las cuatro eras dispuestas para la siembra de las semillas seleccionadas (cebolla, cilantro, pepino,
lechuga), y se privilegia el concepto del número natural como medida, dadas las oportunidades de
este momento en la huerta para desarrollar actividades que implican la toma de medidas de las
eras, la comparación de parcelas o eras, estimación de atributos medibles del terreno, diferencias
entre el proceso de medición y el proceso de conteo de un elemento, uso de medidas
antropométricas y patrones no estandarizados, etc.
PPP
"Los productos de mi huerta"
Fase 1
Planeción
Fase 2
Ejecución y Seguimiento
Propuesta de aula "Contando, ordenado y midiendo
en mi huerta escolar"
Fase 3
Evaluación
69
Imagen 3. Configuración del espacio de la huerta escolar en la sede Miguel Ángel Zúñiga.
El momento dos, de producción, cosecha y siembra, se centra en actividades alrededor de
los productos cultivados previamente en la huerta escolar, su seguimiento, cosecha y un nuevo
proceso de siembra, a través de las cuales se abordará el número natural como cardinal y ordinal,
sin desconocer que los aspectos de medida están estrechamente relacionados con estos dos
significados. Las actividades de la ordinalidad y cardinalidad del número se evidencian en el
manejo de las semillas requeridas al sembrar, la comparación de cantidades de los productos
cosechados, ordenación de los productos de acuerdo a sus características como tamaño, cantidad
del producto, entre otras.
A continuación se presenta un esquema general de la propuesta de aula:
Era 1 Era 2
Era 3 Era 4
70
Gráfico 5. Estructura general de la propuesta de aula.
3.2.2.1. Descripción general de la situación 1:
Ahora bien, la situación 1 configurada por tres tareas, cada una con un propósito específico,
se diseña con el fin de fortalecer la construcción del concepto de número natural a través de
Propuesta de Aula:
Contando,ordenando y midiendo en mi huerta escolar.
Propósito general de la propuesta de aula:
Promover en los estudiantes de primer grado la construccion del concepto de número natural desde sus significados cardinal,
ordinal y medida, en el contexto de la huerta escolar.
Momento 1:
Adecuación del terreno
Propósito: Promover la construcción del concepto de número natural en los estudiantes a partir del trabajo con magnitudes de longitud, usando medidas antropométricas y patrones no
convencionales.
Situación 1: Caracterizo el terreno y siembro en mi huerta escolar
Tarea 1: A mi huerta debo ir, para reconocer atributos que
puedo medir.
Tarea 2: Una medida en la huerta puedo conseguir,
utilizando varios patrones para medir.
Tarea 3: Palma a palma voy midiendo las distancias entre las
plantas.
Momento 2:
Producción, cosecha y nueva siembra
Propósito: Promover el uso del número natural como cardinal, ordinal y medida en
actividades de producción, cosecha y siembra, a través de actividades que impliquen el
conteo y orden de los productos de la huerta escolar.
Situación 2: Cosechando lo que siembro, los frutos del saber voy recogiendo
Tarea 1: Contando y ordenando en varias
direcciones, voy sacando mis propias conclusiones.
Tarea 2: Orden y conteo voy a realizar, cosechando los
productos que en mi huerta hay.
Tarea 3: Con lo aprendido en la cosecha, me preparo para
una nueva siembra.
71
actividades que involucren la medida. Para dar inicio a esta situación, los estudiantes hacen un
recorrido en el espacio donde funciona la huerta para hacer una remembranza de las condiciones
anteriores del terreno y a través de un diálogo participativo entre estudiantes y docentes, plantear
comparaciones y descripciones sobre los cambios que ha tenido este terreno desde el inicio de las
adecuaciones para la puesta en marcha del proyecto de la huerta escolar hasta la actualidad,
tratando de identificar las ideas previas que tienen los estudiantes sobre la medida.
Imagen 4. Exploración del espacio de la huerta escolar
Descripción de la tarea 1:
Esta tarea se realiza en el escenario de la huerta escolar y se plantea para que los estudiantes
observen y describan elementos de la huerta e identifiquen en ellos atributos medibles y posibles
formas de hacer el proceso de medición.
Finalidad:
Identificar atributos medibles en los elementos de la huerta, así como los patrones de
medida adecuados para las características medibles mencionadas.
Descripción de la tarea 2:
En esta tarea se presentan actividades para que los estudiantes establezcan la medida de la
magnitud longitud, a través del uso de patrones antropométricos y no estandarizados y realicen
comparaciones entre estas dos acciones.
72
Finalidad:
Usar patrones antropométricos y no estandarizados en la toma de medidas de algunas
dimensiones de la era, como el largo y ancho y establecer contrastes entre estos dos patrones de
medida.
Descripción de la tarea 3:
La tarea tres se orienta a que los estudiantes tomen medidas con patrones antropométricos,
de las distancias de siembra entre las plantas de cebolla y lechuga de la huerta escolar.
Finalidad:
Establecer regularidades entre las distancias de siembra de las plantas y definir una medida
estándar para una posterior siembra.
3.2.2.2. Descripción general de la situación 2:
La situación dos enmarcada en la producción, cosecha y siembra de productos en la huerta,
está formada igualmente por tres tareas donde a través de actividades que implican el conteo, orden
de productos de la huerta y siembra de semillas, se promueve la construcción del concepto de
número natural en el aspecto cardinal y ordinal principalmente.
Descripción de la tarea 1:
En su primera tarea la situación dos, pretende que los estudiantes a través de actividades
donde tengan que contar y establecer posiciones en las plantas sembradas de cebolla y lechuga en
la huerta escolar, hallen particularidades en el proceso de contar y el proceso de ordenar.
Finalidad:
Identificar el principio de relevancia e irrelevancia de orden en actividades de conteo y
asignación de posiciones de las plantas sembradas.
Descripción de la tarea 2:
La tarea dos se diseña para que en la actividad de recolección de los productos cosechados
en la huerta escolar, los estudiantes organicen los productos en una secuencia ordenada pensando
73
en su posible venta y reconozcan cambios en las posiciones de dicha secuencia al tomar uno de
sus elementos.
Finalidad:
Establecer criterios para ordenar productos cosechados y determinar qué parte de la
secuencia cambia y cuál permanece estable al retirar una de las posiciones.
Descripción de la tarea 3:
En la tercera tarea se desarrolla el proceso de siembra, donde los estudiantes establecen
distancias de siembra, conteo de semillas y distribución de las semillas para la siembra, retomando
actividades y conceptos trabajados desde la situación 1; además de hacer una remembranza de los
momentos en el desarrollo de la secuencia, donde tuvieron que medir, contar y ordenar.
Finalidad:
Integrar procesos de medición y conteo en el desarrollo de una nueva siembra, además de
identificar en las actividades realizadas en toda la propuesta de aula, las que respondieron al
significado de medida, al ordinal y al cardinal.
74
3.2.3. Fase 3: Sobre la implementación
Se describe en este apartado aspectos relativos a la forma en que se implementó la
propuesta de aula y con quiénes se implementó.
Participantes de la investigación
La propuesta de aula diseñada se implementó con un grupo de 16 estudiantes de los grados
Primero 1 y Primero 2 de la Institución Educativa Juan María Céspedes sede Miguel Ángel Zúñiga
de la ciudad de Tuluá, Valle del Cauca. Hay que mencionar que las autoras de este trabajo son
docentes de cada uno de estos grupos y la selección de los 16 estudiantes se hizo de forma aleatoria,
seleccionando 8 estudiantes de un grado y 8 estudiantes del otro.
El grupo de estudiantes conformado por 8 niños y 8 niñas, oscilan entre los 6 y 8 años de
edad, se ubican en los estratos socioeconómicos 1 y 2, y registran diferentes niveles de desempeño
en el área de matemáticas, aunque con un aspecto en común, y es el interés e iniciativa que
demostraron en las actividades concernientes a la huerta escolar. Se tuvo en cuenta además la
debida autorización y apoyo de los padres de familia para hacer registros de las actividades en la
huerta e incluso su disposición para participar en las mismas.
Instrumentos para recolectar la información
En este apartado se presentan los instrumentos que apoyaron la recolección de la
información, teniendo en cuenta que los principales métodos para recabar datos cualitativos según
Sampieri (1998) son la observación, la entrevista, los grupos de enfoque, la recolección de
documentos y materiales, y las historias de vida. Información que se recolecta con la finalidad de
analizarlos y comprenderlos, para así responder a la pregunta de investigación y generar
conocimiento.
De dichos métodos, se consideraron principalmente la observación directa y el documento
de trabajo de la propuesta de aula, al ser las autoras de la investigación las docentes que tendrán
que dirigir su implementación y recopilar la información requerida para el posterior análisis;
además se tienen en cuenta los recursos tecnológicos que apoyaran el proceso de observación como
dos cámaras de video y una cámara fotográfica. Estos instrumentos son descritos a continuación:
75
Documento de trabajo de la propuesta de aula:
Al ser contemplados el diseño de la propuesta de aula, los espacios respectivos para las
producciones de los estudiantes, el documento de trabajo se convierte en el instrumento central de
recolección de información. Esta guía de trabajo plantea actividades para ser llevadas a cabo en la
huerta y en las plenarias, de las cuales se desprenden preguntas de análisis en torno a la tarea
ejecutada con el fin de movilizar determinados conceptos en los estudiantes, alrededor de los tres
significados del número natural abordados.
Observación directa:
El rol de observadores fue realizado por las mismas autoras durante la puesta en escena de
la propuesta de aula, tratando de generar un espacio dinámico para que los estudiantes pudieran
dar sus puntos de vista, opiniones y generar debates entre los miembros del grupo de trabajo,
teniendo en cuenta que lo que busca un estudio cualitativo es obtener datos de personas,
comunidades, contextos o situaciones en profundidad, en sus propias "formas de expresión"
(Sampieri, 1998).
Este instrumento es considerado vital, ya que al ser los participantes estudiantes de los
grados Primero, su nivel de escritura es poco fluido, por lo que la observación y detalles captados
por las autoras se convierte en un insumo importante y complementario al documento de trabajo.
Según Sampieri, “al tratarse de seres humanos, los datos que interesan son conceptos,
percepciones, imágenes mentales, creencias, emociones, interacciones, pensamientos,
experiencias, procesos y vivencias manifestadas en el lenguaje de los participantes, ya sea de
manera individual, grupal o colectiva”, por lo que la observación directa se considera un insumo
central en este trabajo, más por ser las autoras las docentes orientadoras de estos grupos escolares.
Video grabaciones:
Los instrumentos tecnológicos para recoger información se respaldaron en la metodología
escogida, por tal razón, se elaboraron videos de las seis sesiones de trabajo que fueron grabados
durante toda la implementación, tanto en los momentos desarrollados en la huerta, como en los
espacios de las plenarias, utilizando una cámara de video fija con el objeto de captar
conversaciones y acciones que ayudaran a dar claridad y profundidad a los diálogos e interacciones
de los grupos de trabajo, además de una videocámara en movimiento para tratar de capturar
76
diferentes tipos de situaciones que puedan surgir en el desarrollo de las tareas y brinden elementos
que contribuyan a dar respuestas a los interrogantes planteados.
Es importante resaltar que en la investigación cualitativa, el instrumento de recolección
más importante es el propio investigador, quien mediante métodos y técnicas específicas, recopila
la información que a su juicio, es necesaria y relevante para los propósitos planteados en el trabajo.
Descripción de la implementación
La implementación de la propuesta de aula se hizo en dos ambientes distintos, uno en el
terreno de la huerta escolar y algunos en el aula de clase, además de esto algunas actividades fueron
hechas de forma individual, otras en forma grupal y en otros momentos se acudieron a plenarias
en el salón de clases para recoger impresiones, conclusiones y aportes de los estudiantes a través
de las preguntas de cierre o última pregunta de cada tarea. Todo lo anterior se describe con mayor
detalle por cada situación.
La situación 1 que privilegió el significado de medida fue implementada en 3 sesiones de
clase para un total de 8 horas de trabajo, correspondiendo cada sesión a una tarea. Fue así como la
tarea 1 se desarrolló de forma individual en una sesión de trabajo de 2 horas, movilizada en el
espacio de la huerta escolar por contemplar preguntas de reconocimiento e identificación de
características de la huerta, atributos medibles y posibles patrones de medida.
La tarea 2 se desarrolló en grupos de cuatro estudiantes en los dos espacios de trabajo; la
pregunta 1 donde los estudiantes debían medir el largo y ancho de una era usando el largo de su
pie, se llevó a cabo en la huerta y las preguntas 2 y 3 para analizar los resultados de la pregunta 1,
se abordaron en el salón de clase. Igualmente la pregunta 4 se desarrolló en la huerta para realizar
el proceso de medición del largo y ancho de la era pero en esta ocasión usando un patrón
estandarizado como el listón de madera, y la pregunta 5 de análisis al igual que la pregunta 6, se
abordaron en el salón de clase.
La tarea 3 que dio cierre a la situación 1, se desarrolló por parejas de estudiantes. La
actividad correspondiente a la pregunta 1 para tomar medidas de las distancias de siembra se llevó
a cabo en el terreno de la huerta escolar, y las preguntas que se desprendieron de esa primera
77
actividad, esto es, la 2, 3, y 4, se desarrollaron en el salón de clase; al igual que la pregunta 5 de
cierre que permitió compartir en plenaria las impresiones y conclusiones alrededor de esta tarea.
Las preguntas de cierre o reflexión que se desarrollaron en el aula, tuvieron como objetivo
propiciar algunas conclusiones por parte de los estudiantes respecto a las tareas adelantadas en la
huerta como: la identificación de atributos que se pueden medir en los elementos de la huerta, los
patrones de medida apropiados de acuerdo al atributo medible, la identificación de diferencias al
usar patrones antropométricos y patrones estandarizados; además de identificar regularidades en
los resultados del proceso de medición de las distancias de las plantas.
La situación 2 conservó la dinámica anterior en su aplicación, las preguntas que implicaron
el desarrollo de una actividad operativa en la huerta, necesariamente se realizaron en el terreno,
mientras que las preguntas de reflexión y cierre se gestionaron en el salón de clase. Esta segunda
situación se desarrolló en 3 sesiones cada una de las cuales correspondió a una tarea, para un total
de 9 horas de trabajo. En cuanto a la metodología de aplicación, la tarea 1 en sus preguntas 1 a la
4 fue desarrollada en grupos de 4 estudiantes y se llevó a cabo en el terreno de la huerta al implicar
actividades de comparación, conteo y establecer posiciones de las plantas en el surco; mientras
que la pregunta 5 que recogió opiniones respecto a la relevancia o irrelevancia del orden en las
actividades de conteo y orden, se desarrolló en el salón de clases.
La tarea 2 se desarrolló en grupos de 4 estudiantes y en su totalidad en el terreno de la
huerta, dado que para dar respuesta a las preguntas planteadas fue necesario llevar a cabo
actividades de recolección y organización de los productos cosechados (cebolla, lechuga, cilantro
y pepino). En esta tarea en particular, dado el amplio despliegue que era necesario para la cosecha
y disposición de los productos en mesas y su manipulación por parte de los estudiantes, se invitaron
4 padres de familia a apoyar el trabajo, especialmente en lo concerniente a remover la tierra y el
traslado de los productos a las mesas de trabajo.
Por último, la tarea 3 efectuada en grupos de 4 estudiantes, en sus preguntas 1 y 2
correspondientes al proceso de siembra se llevó a cabo en la huerta; mientras que la pregunta 3
que pretendió dar cierre a la propuesta de aula, se desarrolló en el salón de clases indagando a los
estudiantes sobre los diferentes contextos en que fueron usados los números en la huerta escolar:
para medir, contar y ordenar.
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En síntesis, algunas tareas se desarrollaron en forma individual, otras en parejas y otras en
grupo, dependiendo de la dinámica de la actividad o por efectos de organización; pero
privilegiando sobre todo el trabajo conjunto y fomentando el diálogo entre los estudiantes.
Los tiempos y organización de los estudiantes para la aplicación de la propuesta, se resumen en la
siguiente tabla:
Situación Individual Pareja Grupal 4
estudiantes
N° Sesiones Horas
empleadas
1
Tarea 1 1 2 horas
Tarea 2 1 3 horas
Tarea 3 1 3 horas
2
Tarea 1 1 3 horas
Tarea 2 1 3 horas
Tarea 3 1 3 horas
Tabla 2. Distribución de los estudiantes y tiempos de implementación de la propuesta de aula.
Los recursos físicos que se utilizaron para el desarrollo de esta propuesta fueron:
Para la situación 1, particularmente en el proceso de medición con un patrón estandarizado,
se necesitó disponer de listones de madera que fueron adecuados por las autoras tratando que en
el momento de realizar los procesos de medición se obtuvieran medidas exactas siempre y cuando
el proceso de medición fuera correcto.
En la situación 2, para disponer de los productos cosechados, asignarles una posición de
acuerdo al criterio que definieron los estudiantes para su organización, además de realizar un
proceso de nueva siembra; se necesitó disponer de los siguientes materiales: empaques plásticos,
rótulos, marcadores, banderines con los numerales 3°, 6°, 8° y 10° para marcar posiciones, semillas
de cebolla y lechuga y palas de jardinería.
3.2.4. Fase 4: Sobre el análisis de los resultados
Esta última fase versa sobre dos asuntos, el primero relacionado con el análisis de los
resultados obtenidos de la implementación de la propuesta de aula desarrollada con los estudiantes
79
en la parte anterior y el segundo, sobre la concreción de las conclusiones generales y reflexiones
didácticas a la luz de los elementos conceptuales los cuales están detallados en el capítulo 2 y se
citan a continuación:
En cuanto al significado de medida
• Tipos de magnitudes que los estudiantes logran identificar
• Uso de patrones antropométricos para procesos de medición
• Uso de patrones no estandarizados para procesos de medición
• Identificación de la magnitud longitud
• Etapas en el proceso de medición: estimación sensorial, comparación directa, comparación
indirecta, la transitividad en las comparaciones, la elección de la unidad, encuadramientos,
estimación y aproximación en la medida.
En cuanto a los significados cardinal y ordinal
• Técnicas de conteo
• Principios de conteo
• Relaciones biyectivas
• Comparación de cardinales
• Formas de establecer ordinales
En general, desde toda la propuesta de aula
• El concepto de número natural
• Los contextos numéricos: de medida, cardinal y ordinal
• El uso de un PPP de huerta escolar como contexto significativo de aprendizaje
En esta fase se reporta además el impacto de la huerta como escenario para el desarrollo de
pensamiento matemático, específicamente en la construcción del concepto de número natural;
además de generar reflexiones didácticas direccionadas a los docentes para optimizar el uso de la
huerta y otros escenarios como contextos alternativos de aprendizaje.
80
3.3. Análisis de los resultados
3.3.1. Análisis de los resultados de la Situación 1
Tarea 1
En relación a las respuestas ofrecidas por los estudiantes en la tarea 1, actividad 1, donde
se pretendía que ellos hicieran un listado de los elementos que hay en la huerta, se pudo notar de
forma general que los objetos que los estudiantes identifican son principalmente las plantas, tal
como se aprecia a modo de ejemplo en la siguiente Figura, tal vez por ser estas lo más
representativo para ellos en ese espacio:
Figura 1. Ilustración del registro de los elementos de la huerta
Obsérvese cómo en esta Figura todos los objetos que el estudiante reconoce en la huerta
son efectivamente las plantas de diferentes tipos, como lechuga, pepino, cilantro, etc.; e incluso al
pedírsele un elemento más de los que podían percibir para cumplir a cabalidad con la tarea
encomendada, se ve en la obligación de repetir el nombre de una de las plantas (remolacha), a
fuerza de que solamente está centrando su atención en las plantas, específicamente las sembradas
en la era. Sin embargo hay otros estudiantes que no repiten sino que colocan el pasto como otro
elemento de la huerta, pero nuevamente centrando su atención en las plantas.
Ahora bien, hubo algunos estudiantes que lograron ofrecer pocos objetos diferentes a las
plantas, aunque hay que enfatizar que esto sucedió cuando la docente los instó para que observaran
otros elementos que había en la huerta distintos a las plantas, entre los que lograron reconocer el
ladrillo, la guadua y la tierra, tal como se muestra en la siguiente Figura.
81
Figura 2. Ilustración del registro de los elementos de la huerta
Continuando con la tarea 1, en el segundo ítem se les pidió a los estudiantes clasificar los
elementos descritos en el punto 1 entre los que se pueden medir y los que se pueden contar, ante
lo cual la mayoría centró su atención sobre las plantas, retomando las respuestas del punto 1, salvo
algunos casos muy específicos en los cuales se mencionan algunos elementos que no son plantas,
entre ellos la pared que limita la huerta con la propiedad colindante.
El interés de la mayoría de los estudiantes giró en torno a las plantas y las ubicaron
indistintamente tanto en los elementos que se pueden medir como en los que se pueden contar,
como se evidencia en la siguiente Figura; logrando reconocer que una planta es un objeto que se
puede contar pero que a la vez se le pueden medir ciertos atributos.
Figura 3. Ilustración de la caracterización de los elementos de la huerta
Nótese cómo el estudiante tanto en los elementos que se pueden medir y se pueden contar
registra plantas como la cebolla, el pepino y la lechuga.
En el tercer ítem donde se les pedía a los estudiantes mencionar atributos medibles de los
elementos registrados, se fijaron en la magnitud longitud a partir de las dimensiones como el
ancho, largo y alto de las plantas, siendo consecuentes con las respuestas de los puntos anteriores
82
y mencionándolas nuevamente como los elementos que se pueden medir, tal como se aprecia en
la Figura 4.
Figura 4. Ilustración del registro de los atributos medibles de los elementos de la huerta
En este caso el estudiante menciona cuatro tipos de plantas registrando al menos una
dimensión para cada una de ellas, lo que formó parte de la generalidad, pues la mayoría se remitió
a mencionar una dimensión como atributo medible a cada uno de los elementos citados. Sin
embargo llamó la atención que al menos 3 de los 16 estudiantes lograron reconocer para un mismo
elemento dos atributos que se les puede medir, particularmente largo y ancho (ver Figura 5), pero
ninguno logró reconocer las tres dimensiones que se pueden obtener de un elemento, incluyendo
el alto.
Figura 5. Ilustración del registro de los atributos medibles de los elementos de la huerta
83
Quizá este hecho se deba a que en los primeros años de escolaridad se privilegia el trabajo
sobre figuras planas y sus dos dimensiones (largo y ancho), descuidando el trabajo con objetos
reales y figuras tridimensionales.
En este mismo ítem, un estudiante no menciona en sus respuestas los atributos que se
pueden medir al elemento, sino que menciona los objetos en sí como características medibles,
salvo en el caso del ladrillo al cual sí le reconoce al menos una dimensión, tal vez por la
familiaridad que este objeto guarda con una figura geométrica (el rectángulo); lo que se aprecia en
la siguiente Figura:
Figura 6. Ilustración del registro de los atributos medibles de los elementos de la huerta
El estudiante frente al interrogante sobre qué se le podía medir a la lechuga por ejemplo,
se remitió a mencionar la hoja como una parte de esta planta que podría ser objeto de medición,
mostrando un desconocimiento de las magnitudes.
Entre otras respuestas obtenidas en esta actividad, 2 estudiantes de 16, mencionaron entre
los atributos medibles de los elementos, lo grande y lo pequeño refiriéndose con otras palabras a
la magnitud longitud nuevamente; además un estudiante mostró indicios de reconocer una
magnitud distinta a la longitud, al mencionar como característica medible “lo circular”
posiblemente refiriéndose a la superficie de la hoja de lechuga por la similitud que tiene con esta
forma; lo que se observa en la Figura a continuación.
84
Figura 7. Ilustración 2 del registro de los atributos medibles de los elementos de la huerta
Se percibe que a falta de poder describir una magnitud diferente a la longitud como lo es
el área, el estudiante intentó expresar quizá la magnitud superficie relacionándola con la forma
circular que guarda este elemento; lo que no pudo hacer con claridad probablemente por el escaso
acercamiento a conceptos diferentes a los de magnitud longitud, como son el área, el volumen o la
capacidad. Sin embargo, se reconoce que faltó realizar preguntas de contraste al estudiante para
confirmar dichos supuestos.
En relación con el cuarto ítem, donde se les pedía a los estudiantes que indicaran con qué
objeto podían medir el atributo descrito, es posible reconocer que en virtud de que las magnitudes
que ofrecieron en su mayoría fue de longitud, así mismo mencionaron instrumentos para medir
longitudes, entre ellos los no estandarizados como palos, manguera o cáñamo; los
antropométricos, como los pies y las manos; y un alto número de estudiantes mencionó
instrumentos estandarizados como el metro y la regla, como se muestra a manera de ejemplo en
siguiente Figura.
Figura 8. Ilustración del registro de los atributos medibles y sus instrumentos de medida
En el ítem 5, donde se centra la atención en el largo y ancho de la era dando cuenta de la
magnitud longitud y el instrumento que se utilizaría para hacer esta medición, los estudiantes
85
ratifican con sus respuestas lo descrito en el punto anterior, al recurrir a instrumentos tanto
estandarizados (la regla y metro), como a patrones antropométricos (los pies y las manos) y no
estandarizados o arbitrarios (la manguera y la guadua); mencionando algunos estudiantes en sus
respuestas solo un objeto como instrumento de medida y otros nombrando dos o tres instrumentos
que se podrían utilizar para tal medición, como se aprecia en la Figura 9.
Figura 9. Ilustración del registro de patrones de medida
Varios estudiantes citaron objetos como la guadua, la manguera o un tubo para realizar el
proceso de medición; tal vez por ser elementos asociados al espacio de la huerta escolar.
Ahora bien, un aspecto importante que hay que resaltar en las respuestas de los estudiantes,
es donde mencionaron que según la extensión de la longitud que se desee medir, en este caso la
era, depende el tamaño del instrumento para medirla; es decir que entre más largo el elemento que
se quiere medir, debe hacerse con un instrumento de similar proporción, dando indicios de cierto
uso de la unidad situacional que indica que la unidad de medida depende del objeto que se va a
medir; argumento que se puede apreciar en el siguiente diálogo entre la docente (D) y los
estudiantes (E):
Nótese cómo el estudiante 1(E1) responde a la pregunta del docente diciendo que mediría
la era con una guadua, mientras que el estudiante 2 (E2) interviene para complementar la respuesta
de su compañero, mencionando que cualquier cosa grande sirve para medir y que en el caso de la
era, utilizaría una unidad-patrón como una guadua ya que tiene una longitud perceptiblemente
grande (larga).
D:… a ver ¿ustedes qué utilizarían entonces para medir la era más fácil?
E1: una guadua…
E2: …yo también utilizaría una guadua grande, pasos, cualquier cosa grande, con tres o cuatro metros alcanza...
86
La pregunta 6 tenía como objetivo que los estudiantes distinguieran que magnitudes
diferentes requieren patrones específicos de medida, y se planteó sobre la base que los participantes
iban a reconocer otras magnitudes como el área, el volumen o la masa; pero sus respuestas no
dieron cuenta de esta intención y se fueron nuevamente a ratificar dimensiones como largo y ancho,
e instrumentos para medir estas dimensiones, como el metro o la regla.
Figura 10. Ilustración del registro de instrumentos adecuados de medida
Tal vez el escaso acercamiento que se hace de otras magnitudes en la educación inicial,
provocó que los estudiantes no respondieran de la forma esperada y terminaran dando respuestas
que ratificaban que la magnitud longitud es el único atributo medible relevante para ellos, al igual
que los instrumentos estandarizados, no estandarizados y antropométricos que hacen relación a esa
magnitud.
Tarea 2
Con la primera actividad de la tarea número 2 se pretendía que cada estudiante midiera el
largo y el ancho de la era usando patrones antropométricos, en este caso el largo de sus pies, para
posteriormente registrar la medida obtenida en una tabla.
En medio de un diálogo donde la docente (D) hacía orientaciones de la actividad, una
estudiante (E) tomó la iniciativa e intervino para demostrar frente a sus compañeros cómo debía
realizarse el proceso de medición con el largo de sus pies, de lo cual surgieron apreciaciones sobre
la medición como se presenta en el siguiente diálogo.
D: Utilizando el larguito de sus pies van a medir el largo de la era…
(En ese momento un estudiante interviene voluntariamente para
ejemplificar a sus compañeros la forma de hacer la medición)
D: ¿qué tiene que ir haciendo Isabella?
E1: Caminando
D: Y a medida que van caminando…
E2: … Vamos contando.
87
En el diálogo casual que se dio a raíz de la demostración realizada por esta compañera, se
dejó ver que los estudiantes reconocen la estrecha relación que existe entre el proceso medir y el
proceso de contar, lo cual va mediado a través del número natural, ya que en ambos significados
(el cardinal y el de medida) el número es el que justamente proporciona esa articulación, al ser el
conteo el que permite dar cuenta de la medida (en este caso del largo y ancho de la era). Lo
expuesto aquí reafirma lo descrito por Vergnaud (1991) sobre que “en el niño la noción de número
es indisociable de la noción de medida” (p.101).
Posteriormente, al indagar a los estudiantes por los resultados que obtuvieron en el proceso
de medición que estaban registrando inicialmente, todos mencionaban solo la cifra numérica sin
hacer relación a la unidad de medida (en este caso los pies), confirmando lo planteado por didactas
como Chamorro (2005) quien expone que los estudiantes en sus primeros años de escolaridad, no
identifican con claridad lo que puede representar el número en los diferentes contextos en el que
se utiliza; es decir, que no logran discriminar con facilidad entre el uso del número dado por
ejemplo en centímetros y el uso del número designando una cantidad.
Sin embargo ante la insistencia de las docentes para que los estudiantes mencionaran a qué
hacía referencia la cantidad obtenida, algunos caían en cuenta de especificar la unidad de medida
utilizada. Esta situación se puede apreciar a manera de ejemplo en el siguiente cuadro de diálogo.
Diálogos como este se presentaron de forma frecuente en la socialización de los registros
de la medida del largo y ancho de la era con el largo del pie, tratando que los estudiantes se
percataran de la unidad de medida e hicieran referencia a ella al mencionar la cantidad obtenida.
D1: Niñas vamos a ver los resultados de ustedes. ¿A Mariana cuánto le
dio en la medida?
E1: treinta y ocho
D1: treinta y ocho ¿qué?
E1: ?? (duda)
D1:… ¿el largo de la era le dio treinta y ocho qué?
D2: ¿con qué estaba midiendo usted?
E2: con los pies
D1: ¿entonces treinta y ocho qué?
E1: treinta y ocho pies
88
Los registros de los estudiantes sobre las medidas requeridas en este punto, mostraron
diferencias notables entre las cantidades obtenidas para el largo de la era y las obtenidas del ancho
de la era, en el sentido de que las primeras fueron mucho más dispersas o heterogéneas y que las
segundas fueron mucho más cercanas o incluso iguales, como se observa en la Figura siguiente:
Figura 11. Ilustración del registro de medidas con patrones antropométricos
Adviértase como los registros de los estudiantes en este grupo en particular, muestra que
las cantidades de medida obtenidas con el largo de los pies son muy dispersas unas de otras, por
ejemplo una dio 25 pies mientras que la otra dio 43 pies, mientras que las cantidades obtenidas
para el ancho de la era son todas las mismas, esto es 6 pies.
Una de las razones que se considera influyó en la variación de los resultados, estuvo
relacionada con las imprecisiones que se dieron en el desarrollo del proceso de medición, dado
que algunos estudiantes no tenían en cuenta que para realizar este proceso era necesario que donde
terminaba un pie debía empezar el otro y dejaban espacios entre ellos; sin embargo algunos
estudiantes sí se percataron que debían poner los pies juntos para realizar bien el proceso de
medición, tal como se observa en las siguientes Imágenes:
89
Imagen 5. Imprecisiones en el proceso de medición
con el largo del pie
Imagen 6. Aciertos en el proceso de medición con el
largo del pie
Nótese como en la Imagen de la izquierda, la estudiante tiene separados sus pies, lo cual
altera el proceso de medición haciendo que obtenga menos cantidad de pies en la medida; mientras
que la Imagen de la derecha, muestra la forma como la estudiante hace el proceso de medición
teniendo en cuenta que un pie debe ir seguido del otro.
Otro de los factores que incidió en que los resultados obtenidos de la medida del largo de
la era fueran tan heterogéneos en relación con los obtenidos del ancho de la era, pudo haberse
debido a que para esta segunda dimensión la longitud era mucho menor y por lo tanto se minimiza
el margen de error en el proceso de medición; además hay que considerar el hecho que los
estudiantes tienen poca familiaridad en los procesos de medición y más aún, en contextos reales y
utilizando patrones antropométricos.
Llamó también la atención en el proceso de medición, que los estudiantes en su totalidad
no discriminaron el hecho de que en repetidas ocasiones, la cantidad de medida obtenida con el
largo de sus pies en el largo y ancho de la era no daba exacta, sino que sobraban “pedazos de pies”,
tal como se logra aprecia en la siguiente Imagen:
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Imagen 7. Imprecisiones en el proceso de medición realizado con el largo del pie
Obsérvese como la flecha está indicando el fin de la era, mientras que el ovalo señala el
pedazo de pie que le sobra al estudiante para tener una medida exacta en el largo de la era. Este
mismo hecho se logró apreciar en el proceso de medición de la mayoría de los estudiantes, sin
embargo al momento de hacer los registros no se percataron que sus medidas no eran exactas y
recurrieron a la utilización de cantidades enteras, ante lo cual se reconoce que los estudiantes al
momento de determinar la cantidad de medida obtenida, recurrían a la aproximación registrando
el número entero siguiente.
Esto es natural que suceda en los primeros años de escolaridad cuando el estudiante explora
situaciones ligadas con la medida, tal como lo ha indicado Chamorro (2005) dentro de sus
investigaciones, posiblemente dada la familiaridad que los estudiantes tienen solo con los números
naturales y la falta de conocimiento de un registro numérico para representar fracciones de
unidades.
El segundo punto de esta tarea pretendía que los estudiantes dieran sus apreciaciones sobre
cómo eran las cantidades obtenidas por cada uno de ellos al realizar los procesos de medición tanto
para el largo como para el ancho de la era, así como indicar quién de ellos obtuvo la mayor y la
menor cantidad de medida para cada una de estas dimensiones. Los registros de los 4 grupos de
estudiantes (recuérdese este punto se desarrolló en grupos conformado cada uno por 4 estudiantes)
91
están señalando que la cantidad de medida son distintas y que esto se debe fundamentalmente a
que el tamaño de sus pies son diversos tal como se aprecia en la siguiente Figura.
Figura 12. Ilustración del comparativo de la cantidad de medidas obtenidas con el largo del pie
Nótese como este grupo de estudiantes llama la atención en el tamaño del pie, diciendo que
las cantidades obtenidas fueron diferentes “porque sus pies son chiquitos”, lo cual permite
identificar que los estudiantes reconocen que la cantidad de medida depende de la longitud de sus
pies, lo que también se logra apreciar en sus discursos, como se observa en el siguiente cuadro de
diálogo.
Este diálogo anticipa el objetivo del tercer punto de la tarea 2, donde se pretendía que los
estudiantes reconocieran la relación inversa que hay entre la longitud del pie y la cantidad de
medida obtenida, es decir que a mayor longitud menor cantidad de medida y a menor longitud
mayor cantidad de medida, y a partir de los registros en las hojas de trabajo fue posible reconocer
D: vamos a mirar los resultados que les dieron...
D: … y ¿cómo fueron los resultados de ustedes? ¿Iguales o diferentes?
E: diferentes.
D: y ¿por qué les dio diferentes?
E: porque unos tenían los pies más chiquitos y los otros más grandes.
D: … ¿o sea que si tienen el pie más grande le va a dar un número más grande o más
pequeño?
E: más pequeño.
D: más pequeño, ¿por qué?
E: porque el pie más largo va ocupando más espacio.
92
que todos los grupos de estudiantes identificaron esta relación inversa, tal como se aprecia en la
Figura 13.
Figura 13. Ilustración del registro comparativo entre dos patrones antropométricos diferentes
Se observa en el registro de este grupo de estudiantes, que claramente manifestaron esta
relación inversa, reconociendo que a mayor cantidad de medida, menor longitud del pie. Esto
también se logró evidenciar cuando se realizó la socialización de esta tarea en plenaria, lo cual se
muestra a través del siguiente cuadro de diálogo.
Sin embargo, dentro de los grupos de trabajo se pudo observar en el momento de la plenaria
sobre el proceso de medición realizado en la huerta, que uno de los estudiantes aún no lograba
tener claridad sobre la relación inversa que se presenta entre la longitud del pie y la cantidad de
medida obtenida, relación que sus compañeros sí habían reconocido, tal y como se percibe en el
siguiente cuadro de diálogo.
(La docente se acerca a un grupo de estudiantes para indagar sus percepciones sobre la
medida, después de que ellos habían realizado el ejercicio previo de medir el largo y ancho de
la era con el largo de sus pies).
D: … ¿si yo utilizara un instrumento diferente a la hora de hacer la medida en la huerta, cómo
sería el resultado?
E1: diferente
D: o sea que cada vez que mida con un objeto diferente, ¿cómo van a ser los resultados?
E1: diferentes
D: ¿La medida entonces depende de qué?...
E1:? (duda)
E2: …Entre cosas más grandes más pequeño es el resultado, entre el objeto es más pequeño,
más grande va ser es el resultado.
93
Nótese como E2 considera que dicha relación era directa, es decir, que a mayor longitud
del pie mayor cantidad de medida, y aun cuando la docente le propone realizar un ejercicio
experimental, le sigue tomando tiempo reconocer que esta relación no es como él la identificaba.
Esto se refleja en que el Estudiante 2 al final del ejercicio demuestra una actitud de inconformidad
o consternación al quedarse en silencio, tal vez, tratando de asimilar este nuevo conocimiento o
aun considerando la idea que previamente tenia fija.
El punto número 4 solicitaba que los estudiantes realizaran nuevamente el proceso de
medición del largo y el ancho de la era, pero con patrones no convencionales como los listones de
madera, largos y cortos, que debían solicitar a la docente según fueran necesarios. Durante la
orientación de la actividad se hizo énfasis por parte de la docente en que si utilizaban un palo largo
o corto hicieran esa aclaración en sus registros.
(Cuando las docentes indagaron a los estudiantes sobre la cantidad de medida que obtuvieron al
medir el largo y ancho de la era con el largo de sus pies, se les pidió estimar cómo sería el
resultado que una persona con el pie más largo pudiera tener, en este caso como el de la profesora
Yeny, en comparación con los de resultados de ellos). D1: … y si miramos los números que ustedes tienen aquí (la docente señala la tabla de registro de
la cantidad de medida que obtuvieron los estudiantes). Y si la profesora mide también el largo de
la era, cuánto le va a dar?... por ejemplo aquí a Nicol le dio cincuenta y cinco a Jhon le dio
cincuenta y dos, cuánto creen que le podría dar a la profesora Yeny? E1: unos veinte, veintitrés, diecisiete… E2: unos cien D1: ¿entonces usted (refiriéndose a E2) diría que a la profesora Yeny le da más o menos cien pies? E2: a la profe le daría… (El estudiante se queda pensando en silencio) D2: ¿cuánto te dio a ti? E2: me dio cuarenta y nueve D2: ¿entonces a mí me daría más o menos? E1: menos…(Los demás estudiantes intervienen para dar sus posiciones de que a mayor tamaño del
pie menos sería la medida, pero aún E2 no reconocía esta relación, y seguía en su posición). E2: MÁS!!…es ilógico!! (Queriendo decir que era ilógico que a la profesora le diera menos en su
medida) D1: ¿por qué Gabriel es ilógico? E2: porque grande es grande y menos es menos D2: a ver vamos a comprobar, (Aquí la docente propone el ejercicio de medir con sus pies un
espacio del salón donde se encuentran, y E2 que niega esta relación inversa también mide el
mismo espacio para comparar sus resultados). D2: ¿a quién le dio más Gabriel? (El estudiante agacha la cabeza y queda en silencio, mientras que los demás compañeros le
insisten que entre más grande el pie menor cantidad de medida va a tener).
94
Las estrategias para realizar los procesos de medición fueron diversas, unos estudiantes
usaron el mismo palo repetidas veces, otros usaron varios palos (ayudándose con los listones de
los compañeros), tal como se observa en la Imagen a continuación.
Figura 14. Estudiantes realizando el proceso de medición con el listón de madera
En este proceso de medición en comparación con el realizado en el punto anterior, se notó
que los estudiantes intentaron ser más cuidadosos en el sentido de que el patrón usado coincidiera
en su extremo final con el extremo inicial del siguiente y obtener una cantidad de medida lo más
exacta posible; pese a eso, en 3 de los 4 registros se encontraron medidas diferentes, tal y como se
logra apreciar en la siguiente Figura.
Figura 15. Ilustración del registro del proceso de medición con patrones arbitrarios.
95
Nótese como a pesar de que los estudiantes buscaban obtener ciertas precisiones y a que la
longitud que se estaba midiendo era la misma y con un mismo patrón arbitrario, sus registros
fueron distintos, lo que indica que hasta el momento los estudiantes no lograban identificar que al
usar el mismo patrón en la misma longitud, el resultado debía ser igual, y simplemente pasaron
por alto las imprecisiones en sus procesos de medición. No obstante, para uno de los grupos las
respuestas fueron similares pero para los otros grupos no, tal como se logra apreciar en las
siguientes Figuras.
Figura 16. Ilustración del registro con diferencias en
el proceso de medición con patrones arbitrarios.
Figura 17. Ilustración del registro con similitudes en
el proceso de medición con patrones arbitrarios.
Obsérvese como en los registros del lado izquierdo las cantidades de medida obtenidas por
los estudiantes fueron las mismas, mientras que en el registro de la derecha son diferentes, lo que
indica que el grupo que registró las cantidades distintas, aún no identificaba que al medir una
longitud igual, con un mismo patrón de medida, la cantidad de medida conseguida debía ser la
misma.
Ahora bien, llama la atención la forma como algunos estudiantes hicieron sus registros para
indicar fracciones de unidades, tal como se puede observar en la siguiente Figura, dado que en los
procesos de medición los listones de madera que utilizaban no les daba exacto.
96
Figura 18. Ilustración de aspectos notables en el registro del proceso de medición con patrones arbitrarios.
Obsérvese como el estudiante 1 representa la cantidad de medida que obtuvo con el número
2 y cuatro líneas y cuando se le indaga para saber que representan esas 4 líneas, él explicó que
cada una de ellas correspondía a la representación de uno de sus dedos, por lo cual la cantidad
representada seria 2 palos y 4 dedos. Por su parte, el estudiante número 3 al registrar la cantidad
de medida que obtuvo en el proceso de medición, utilizó 2 palos y medio y recurrió al registro
gráfico para dar cuenta de ello dibujando la mitad del palo para representar el medio palo
mencionado.
De acuerdo con lo anterior, se puede decir que estos dos estudiantes reconocen fracciones
de unidades y buscan representarlas en el primer caso con los dedos y en el segundo caso de manera
gráfica. El primer estudiante recurre al encuadramiento, utilizando sus dedos en el espacio faltante
para obtener la cantidad de medida que necesita, demostrando que integra en sus procesos de
medición, tanto patrones de medida antropométricos, como los no convencionales.
Ahora bien, en el proceso de medición también se logró reconocer que algunos estudiantes
sí logran identificar que dependiendo del patrón escogido puede ser más o menos exacta la cantidad
de medida obtenida, lo cual se deja notar a través del siguiente diálogo.
97
Nótese como el estudiante en sus respuestas parece reconocer que dependiendo de la
longitud que se quiera medir, debe haber un patrón adecuado para hacer la medida más precisa y
eficiente, recurriendo al proceso de adecuación que consiste a la adecuada selección del patrón de
medida en correspondencia con lo que se desea medir.
Ahora bien, el punto 6 y último de esta tarea, deja ver que para los estudiantes no es claro
el hecho que al usar patrones arbitrarios convenidos para medir una misma longitud, la cantidad
de medida debe ser igual, mientras que cuando se utilizan patrones antropométricos las cantidades
varían debido a su falta de homogeneidad; puesto que al pedirles que compararan lo realizado en
los dos procesos de medida, con patrones antropométricos (los pies) y luego con patrones
arbitrarios (los palos), los estudiantes plantearon respuestas que no dejaron ver este tipo de
relación, como se observa en la siguiente Figura.
Figura 19. Ilustración del comparativo entre los registros del proceso de medición con patrones antropométricos y
arbitrarios.
Sin embargo cuando a un grupo de estudiantes se les empieza a indagar de manera
insistente por las docentes sobre cómo podrían ser las cantidades de las medidas obtenidas, los
estudiantes tratan de establecer correspondencias entre los patrones utilizados en el proceso de
medición y los resultados que se obtienen, tal como se puede evidenciar en el siguiente diálogo.
(Un estudiante se acerca a las docentes y solicita un listón corto para continuar el
proceso de medida del ancho de la era)
D1: ¿Por qué quieres el cortico, mira el espacio para medir…, por qué quieres usar el
cortico acá?
D2: ¿Con qué es más fácil con el largo o con el corto?
E: Con el corto
D1: ¿Por qué?
E: Porque el largo sobra más y el corto casi no sobra nada
98
Este tipo de diálogos contribuyó a que los estudiantes mostraran cierta comprensión sobre
la relación entre las cantidades de medidas obtenidas en las tablas de registro diligenciadas y el
patrón utilizado. Así pues, los estudiantes empezaron a dar indicios de poder identificar esa
diferencia de que si la unidad patrón es igual para medir una misma magnitud, debe dar una misma
cantidad de medida, mientras que si la unidad patrón es variada igualmente varía la cantidad de
medida obtenida.
Tarea 3
La actividad 1 de esta tarea contemplaba el uso patrones antropométricos para tomar la
distancia entre las plantas de los surcos de cebolla y lechuga. A diferencia de la tarea anterior, en
la cual también se planteaba el uso de patrones antropométricos, en esta tarea se propuso a los
estudiantes que usaran el ancho de sus manos para realizar los procesos de medición. Es importante
resaltar que la selección de las plantas de cebolla y lechuga se hizo atendiendo a que estas tienen
diferencias en las distancias de siembra, lo que se esperaba que los estudiantes lograran reconocer
con el desarrollo de esta tarea.
En relación con las estrategias empleadas por los estudiantes para realizar los procesos de
medición de las distancias entre las plantas, llaman la atención varias cuestiones, una de estas tiene
que ver con el hecho que la mayoría de estudiantes no sabían a qué se hacía alusión cuando se les
pidió medir las distancias entre las plantas, tampoco reconocieron que la distancia entre las plantas
se podía tomar más eficientemente si se hacía en la superficie y no por el aire, como un estudiante
pretendió hacerlo. Además, en cuanto a las dimensiones de la mano, les tomó algún tiempo
acomodarlas de tal forma que midieran con el ancho de la palma y no con el largo o con el brazo;
parte de lo que se puede apreciar en las siguientes Imágenes.
D: observen los resultados del registro (la docente pide a cada uno de los 4 grupos de
estudiantes que comparen los registros de la medida en la era hecha con los listones)
D: Cómo tenía que darles los resultados ¿iguales o diferentes?
(La docente hace la pregunta a un grupo de estudiantes refiriéndose a la medida realizada
con los listones de madera)
E1: Igual
D: ¿Por qué?
E2: Porque estaban midiendo con el mismo palo
E1: Pero…otros, parece que lo hubieran medido mal y hayan ponido un palo así encima del
otro por eso no le dio igual.
99
Imagen 8. Reconocimiento del ancho de la mano
como patrón de medida
Imagen 9. Impresiciones en el proceso de medición
con el ancho de la mano como patrón de medida
En la Imagen de la izquierda se están destacando dos situaciones, la primera en la que el
estudiante de la parte superior de la foto, está señalando su brazo atendiendo a que es con esa
unidad patrón que va a realizar el proceso de medición; pero en la misma Imagen se logra apreciar
como otra estudiante extiende su palma en el aire, pues inicialmente no logra reconocer que el
proceso de medición debe realizarse colocando la mano sobre la superficie, sino que intenta
establecer una comparación de su mano con el espacio. Por otra parte, en la Imagen de la derecha
una estudiante está midiendo ahora sí sobre la superficie y usando la mano, pero no empleando el
ancho de la mano como se les había indicado, sino el largo.
Ahora bien, dentro de las particularidades a mencionar, 1 de los 16 estudiantes pretendió
realizar el proceso de medición, no sobre la superficie de la tierra sino en el aire, argumentando
que lo hacía así porque era más rápido, como se aprecia en el siguiente cuadro de diálogo:
100
Pese a que el estudiante no respondió al interrogante de si era mejor tomar la medida por
el aire o por el suelo, atendió las orientaciones y terminó realizando el proceso de medición por la
superficie usando sus dos manos.
Otro hecho que llamó la atención en el proceso de medición, es que la mayoría de
estudiantes reconocieron que para realizar este proceso correctamente, era necesario que el patrón
cubriera todo el espacio entre una planta y otra, mientras que 5 estudiantes de 16, inicialmente no
contemplaron este hecho sino que intentaron medir con las manos separadas una de la otra, tal
como se logra apreciar a modo de ejemplo en la Imagen 10.
D1: por qué tomas la medida en el aire Gabriel
E: ehhhh, (al estudiante no contestar, sino seguir realizando el proceso, la
Docente pregunta)
D1: ¿Cuánto le dio?
E: cinco
D1: ahora mida por el suelo
E: (El estudiante mide sobre la superficie pero usando una sola mano)
D2: ¿Por qué así? (interrogando respecto al uso de una sola mano)…
E: (el estudiante continúa midiendo con una mano… y luego susurra algo que la
docente intenta aclarar…)
D2: … en el aire es más qué…
E: … más rápido…
D2: pero que es mejor, hacerlo rápido o hacerlo bien
E: mmmmm
101
Imagen 10. Proceso de medición con el ancho de la mano como patrón de medida
Nótese como la estudiante cuando está tomando la distancia que hay entre una planta de
lechuga y otra, ubica sus manos una separada de la otra; aunque tal y como se indicó, no todos los
estudiantes realizaron el proceso así, dado que la estudiante del lado derecho está midiendo
manteniendo sus manos una contigua a la otra.
En general, las dificultades y errores que tuvieron los estudiantes, como no identificar la
noción de distancia entre dos elementos (en este caso las plantas), no reconocer inmediatamente
que este proceso de medición se realizaba sobre la superficie y colocando las palmas contiguas;
pueden deberse a su escasa experiencia en procesos de medición en contextos reales y usando
patrones antropométricos.
A pesar las dificultades evidenciadas, se notó mayor disposición e interés por parte de los
estudiantes en realizar un proceso de medición más preciso que en la actividad anterior donde se
les pedía medir con el largo del pie, observando de alguna manera cierta evolución en el uso de
partes del cuerpo como patrones de medida; muestra de ello son los resultados más homogéneos
que obtuvieron 7 de las 8 parejas de estudiantes y que fueron asentados en registros como el
presentado en la Figura 20.
102
Figura 20. Ilustración del registro de la medida de las distancias entre las plantas de lechuga y cebolla
Observando los registros es posible evidenciar el uso de la numeración para representar las
distancias entre las plantas, ya que ningún estudiante acudió a una representación diferente; siendo
estos registros el resultado de la cantidad de veces que cabía el ancho de la mano en la distancia
medida, proceso que dio cuenta del conteo uno a uno (palma a palma) que realizaron los
estudiantes. Lo que demuestra que las actividades de conteo y de medida son indisociables,
reafirmando lo expuesto por Chamorro (2005) respecto a que el conteo y el principio de
cardinalidad como fundamento y origen sobre los que se apoya la noción de número, constituyen
la primera actividad de medición.
Para responder a los dos puntos siguientes, donde se les preguntaba a los estudiantes qué
similitudes encontraban en los resultados obtenidos al medir las distancias entre las plantas de
cebolla (pregunta 2) y entre las plantas de lechuga (pregunta 3), la mayoría acudieron primero a
recitar todos los números obtenidos, como haciendo conciencia de ellos para posteriormente
identificar algunas regularidades en dichas cantidades, tal como se observa a modo de ejemplo en
el siguiente cuadro de diálogo entre la docente y los estudiantes:
103
En este diálogo con los estudiantes, todos se enfocaron en señalar que habían varios
números que se repetían, incluso antes de formularles esta pregunta ya algunos habían identificado
ciertas regularidades en la cantidad de medida obtenida, pues en la actividad anterior (ítem 1), al
notar que les daba lo mismo o “casi lo mismo” en el momento de tomar la medida de las distancias
entre plantas, unos estudiantes se vieron tentados a dejar de realizar el proceso de medición. Al
final dieron cuenta de las regularidades percibidas en la siguiente Figura:
Figura 21. Ilustración del registro sobre las similitudes de la medida obtenida en las distancias de las plantas de
cebolla y lechuga
D: yo quiero que miren los números que les dio y nos digan qué similitudes
encuentran o qué de parecido hay en esos números que les dio, al tomar las
distancias con el ancho de su manito.
E1: ocho, ocho, siete
E2: a mí nueve…
D: pero uno por uno… Juan Manuel
E1: a mí me dio ocho, ocho, siete, doce, once, seis, nueve, nueve y siete
D: ¿y qué de parecido encuentras entre esos números?
E1: aquí hay dos ochos, dos nueves y dos sietes.
D: ¿y qué hay más, ocho, nueve, o siete?
E1: (duda)… ninguno porque hay dos nueves, dos ochos y dos sietes.
…(en este lapso hubo algunas intervenciones breves en el mismo sentido de recitar
las cantidades obtenidas y posteriormente se acerca un estudiante a la docente y
señalando con su dedo los registros dice)…
E3: profe…de estas casi todas dieron iguales…
104
Como se mencionó en el análisis del ítem uno, 7 de las 8 parejas de estudiantes tuvieron
resultados muy similares y coincidieron en que la menor distancia de siembra se registraba en las
plantas cebolla y la mayor distancia en las plantas de lechuga; mientras que una pareja obtuvo
resultados contrarios, como se aprecia en la siguiente Figura:
Figura 22. Ilustración del registro sobre las medidas obtenidas y similitudes encontradas en las distancias de las
plantas de cebolla y lechuga
Esta pareja de estudiantes, cuyos resultados en las distancias medidas se alejaron un poco
de la generalidad, fueron aquellos que intentaron inicialmente realizar el proceso de medición en
el aire o con una sola mano, aunque después lo hicieron en la superficie y con las dos manos, pero
probablemente con ciertos errores en su ejecución ya que efectivamente la mayor distancia de
siembra la tenían las plantas de lechuga y no las de cebolla.
Por otra parte, llamó la atención que 1 de las 8 parejas de estudiantes, indicó que la cantidad
que más se repetía en sus registros de las distancias entre las plantas de cebolla era el 4, contrario
a lo que se evidencia en la Figura 23, donde el número que más se repite es el 6.
105
Figura 23. Ilustración del registro de la medida obtenida en las distancias de las plantas de cebolla y las similitudes
encontradas
Posiblemente esta respuesta de los estudiantes se debió, a que tal y como se logra apreciar
en la Figura, las tres primeras cantidades son 4 (que se repite solo cuatro veces), y tal vez por estar
repetida esta cantidad consecutivamente al inicio de la lista, fue señalado por los estudiantes como
la cifra con mayor número de registros.
Pese a que varias cantidades se repetían, dado que las distancias entre plantas eran muy
similares, 5 de las 8 parejas de estudiantes remitieron solo una cantidad, mientras que 3 parejas
citaron varios números que se repetían a la vez, como se muestra en la siguiente Figura:
Figura 24. Ilustración del registro sobre las similitudes encontradas en la medida obtenida en las distancias de las
plantas de lechuga
106
Efectivamente el 7, 8 y 9 fueron las cantidades numéricas que más se repitieron en los
registros de esta pareja de estudiantes.
En términos generales, es posible entonces afirmar que los estudiantes lograron identificar
regularidades en las cantidades numéricas que indicaban las medidas de las distancias entre las
plantas, escritas en el punto 1, y de esta manera pudieron dar respuesta a las preguntas 2 y 3 que
pedía reportar esa similitud.
Frente a la pregunta 4 que indagaba sobre a qué distancia se debía sembrar la cebolla y la
lechuga de acuerdo con las respuestas obtenidas en los dos puntos anteriores, teniendo en cuenta
las cantidades obtenidas en el punto 1, prontamente un estudiante respondió que a 5 manos,
argumentando su decisión así:
Se evidenció que además de reconocer regularidades entre un conjunto de números,
también le dieron significado a ese número que se repetía, al usarlo para determinar la distancia
probable a la que debía sembrarse la lechuga y la cebolla; como se muestra a manera de ejemplo
en la siguiente Figura:
Figura 25. Ilustración del registro sobre la posible distancia de siembra para cada producto
D: ¿qué número escogieron ustedes para sembrar lechuga, a qué
distancia la podía sembrar?
E: ehhhh, cinco.
D: … ¿y por qué escogieron el cinco?
E: porque nos dio muchos cincos
107
Llama la atención aquí, que todos los estudiantes dieron cuenta solo de la cantidad
numérica sin hacer explícita la unidad de medida que para este caso son las manos, al igual que en
la tarea 2; y los estudiantes que lograron expresar dicho patrón, lo hicieron por la insistencia que
la docente ejerció en que explicitara este. Solo en estos casos, los estudiantes en sus respuestas
dieron el patrón de medida usado, tal y como se observa en la Figura 26.
Figura 26. Ilustración del registro sobre regularidades de las distancias de siembra para la lechuga y la cebolla
Seguramente el hábito de los estudiantes de referirse solamente a la cifra numérica cuando
se están realizando procesos de medición, sin discriminar la unidad de medida usada, es resultado
del trabajo en los primeros grados de la Básica Primaria enfocado en actividades de dictado y
recitado de series numéricas, en las cuales por lo general se usan los números en situaciones
descontextualizadas y donde a ese símbolo escasa vez se le asigna un significado. Este hecho
podría explicar que los estudiantes simplemente se remiten a mencionar el valor numérico de la
cantidad sin hacer claridad a lo que hace alusión el número, como “6 manos” por ejemplo.
Ahora bien, 2 de las 3 parejas de estudiantes que dieron como respuesta varios números
que se repetían en la medición de las distancias de siembra, en la pregunta 4 finalmente tomaron
en consideración solo una distancia posible, tal y como se señala en la Figura 27.
108
Figura 27. Ilustración del registro sobre similitudes en las distancias de siembra y posible distancia a la cual debería
sembrarse cada producto
Puede pensarse que estos estudiantes se decidieron por el número 9 entre el 7 y el 8, al ser
este una cantidad mayor y proporcionar más distancia de siembra dado que se trataba de un
producto como la lechuga, que requiere más espacio para crecer.
Sin embargo, una pareja de estudiantes optó por indicar no una sola cantidad sino los dos
resultados encontrados en la exploración del punto anterior y dejar las opciones abiertas; como se
aprecia en la siguiente Figura:
109
Figura 28. Ilustración del registro sobre variaciones en las distancias de siembra de cada producto
En la pregunta 5, última de esta tarea, las respuestas de los estudiantes fueron muy
homogéneas, dado que 7 de las 8 parejas reconocieron que para sembrar las plantas de lechuga era
necesario contar con más distancia que para las plantas de cebolla, basando su respuesta en la
dimensión ancho, al manifestar que la lechuga requiere más espacio porque se va abriendo, tal y
como se observa en la Figura 29:
Figura 29. Ilustración del registro de la planta que requiere mayor distancia de siembra según los estudiantes
110
Sin embargo, 1 de las 8 parejas de estudiantes indicó que las plantas que requerían mayor
distancia de siembra eran las de cebolla, tomando como argumento el hecho de que la planta crece
en forma vertical, centrando su atención en la dimensión altura (porque crece hacia arriba);
respuesta que se evidencia en las siguiente Figura:
Figura 30. Ilustración del registro de la planta que requiere mayor distancia de siembra según los estudiantes y su
justificación
La anterior actividad dejó advertir que los estudiantes reconocen en objetos de tres
dimensiones como la cebolla y la lechuga, al menos dos dimensiones, ancho y alto, y las relacionan
con el requerimiento de una mayor distancia de siembra.
En general, la gran mayoría de estudiantes logró reconocer que las distancias en tanto se
toman de forma horizontal de una planta a otra, la dimensión que se debe tener en cuenta para
considerar un mayor espacio de siembra, es el ancho de la planta.
3.3.2. Algunas conclusiones sobre los análisis de la situación 1
En la implementación de la situación 1, enmarcada en la etapa de adecuación del terreno
de la huerta escolar, que contemplaba procesos de medición de las eras, reconocimiento de
atributos medibles en objetos de la huerta, distinción entre elementos que se pueden medir y que
se pueden contar, uso de medidas antropométricas y patrones no estandarizados en procesos de
medición; se encontró que los estudiantes al parecer tienen escaso contacto con situaciones que
generen el descubrimiento de las magnitudes, pues aunque a partir de sus percepciones
111
identificaban determinadas cualidades en los objetos, algunas de ellas poco tenían que ver con
atributos medibles.
Pese a la poca experiencia con procesos de medición en contextos reales, se destacan
hechos como los siguientes:
La mayoría de estudiantes reconoció la magnitud longitud aislándola de otras propiedades
que los objetos pudieran presentar, manejaron términos propios de la magnitud longitud
refiriéndose a dimensiones como largo, ancho y alto, fueron consecuentes con la magnitud más
identificada (la longitud) y los patrones de medida tanto antropométricos como estandarizados y
no estandarizados que reconocieron, ya que estuvieron en función de esta magnitud.
En cuanto a los resultados en los procesos de medición realizados por los estudiantes,
lograron reconocer la relación inversa entre la longitud del pie y la cantidad de medida obtenida,
es decir, que a mayor longitud menor cantidad de medida y a menor largo del pie mayor cantidad
de medida resultante; además se evidenció que hubo procesos de encuadramiento e intentos de
representar fracciones de medida a través de registros gráficos; como también lograron identificar
regularidades en los registros numéricos que expresaban la distancia entre las plantas de cebolla y
lechuga, pudiendo a partir de ello tomar una decisión respecto a qué distancia se debía sembrar.
Por otra parte, en el desarrollo de esta situación se identificaron algunos aspectos por
mejorar como los siguientes:
Dado que el abordaje de la magnitud longitud en la escuela generalmente se hace desde
figuras planas, los estudiantes están familiarizados solo con dos dimensiones en los objetos (largo
y ancho) y al presentársele objetos reales o tridimensionales como las plantas, se les dificultó
reconocer en ellas más de dos atributos medibles, incluyendo la dimensión profundidad.
En cuanto a los procesos de medición, se dieron imprecisiones en el uso de patrones
antropométricos, al no percatarse de que al ubicar las manos o los pies, estos debían estar contiguos
para obtener una medida más precisa; y en el caso de patrones arbitrarios como el listón de madera,
no establecieron la relación entre el uso de patrones arbitrarios convenidos para medir una misma
112
longitud y la cantidad de medida homogénea que se debía obtener, pues al registrar resultados
desiguales en el proceso de medición con el listón de madera, esta situación pasó inadvertida.
Para expresar los resultados del proceso de medición, la gran mayoría de estudiantes no
hizo uso en sus registros de la unidad de medida, ni consideraron medidas inexactas; sino que
trabajaron solo con números enteros recurriendo siempre al redondeo de las cifras.
En síntesis, de magnitudes como longitud, masa, peso, capacidad y tiempo; los estudiantes
reconocieron en su mayoría solo la magnitud longitud, tal vez por ser esta la más trabajada en la
educación elemental tal como lo reconoce Chamorro (2003) y la que menos dificultades
perceptivas genera para su aprehensión. Sin embargo no reconocen la distancia como la cantidad
de longitud que separa dos objetos.
La propuesta de aula demostró la relación entre el conteo y la medida como conceptos
indisociables en el entorno de la huerta, dado que los procesos de medición llevados a cabo
evidenciaron el conteo uno a uno que tuvieron que realizar los estudiantes para determinar la
cantidad de veces que cabía el patrón utilizado en la longitud a medir, destacando como lo cita
Chamorro (2005), el conteo y el principio de cardinalidad como la primera actividad de medición
y fundamento del concepto de número natural.
3.3.3. Resultados y análisis de la Situación 2
Tarea 1
Teniendo en cuenta las respuestas ofrecidas por los estudiantes en el desarrollo del punto
1 de esta primera tarea, donde debían observar los dos surcos sembrados de plantas de cebolla para
determinar cuál de ellos tenía la mayor cantidad de plantas, se percibió que todos los estudiantes
hacían el conteo de las plantas que había en los surcos, como estrategia para diferenciarlos. Para
ello, recitaban la secuencia numérica asignándole uno a uno a los elementos de ambos surcos cada
término de dicha secuencia, como se observa en la siguiente Imagen.
113
Imagen 11. Estudiante realizando el conteo uno a uno de las plantas de cebolla
La Imagen anterior recrea la forma en que la estudiante realiza el conteo para dar respuesta
a la actividad, situación que se observó en todos los estudiantes, donde a pesar de que no se les
estaba pidiendo el cardinal, decidieron proponerlo para comparar si había o no la misma cantidad
de plantas en ambos surcos, estableciendo una correspondencia biunívoca entre cada término de
la secuencia numérica y las plantas.
Ahora bien, en cuanto a los registros de los estudiantes, 5 parejas de 8 reportaron en sus
fichas de trabajo la cantidad numérica, pero en estas respuestas no se hacía explícito a que hacía
referencia dicho número, como se muestra en la siguiente Figura.
Figura 31. Ilustración del registro comparativo del conteo entre los dos surcos de plantas de cebolla
114
Nótese como los estudiantes solo mencionan los cardinales obtenidos en su conteo y
comparan las cantidades que allí surgen para determinar el surco con mayor cantidad de plantas
de cebolla, sin embargo debido a la similitud en cuanto a la cantidad de plantas que había en ambos
surcos, estos grupos de estudiantes tuvieron errores en el conteo, a pesar de que lo que estaban
contando eran elementos fijos, pues en sus registros confundieron las cantidades de plantas
correspondientes a cada uno de los surcos, solo 3 parejas de estudiantes coincidieron en la
respuesta acertada registrando la cantidad de plantas correctas que había en cada surco; no
obstante todos los estudiantes establecieron la diferencia entre la mayor y menor cantidad de las
plantas de cebolla que habían en los surcos a través del conteo que habían realizado previamente.
En el segundo punto de esta tarea, se les pidió explícitamente a los estudiantes que
realizarán el conteo de las plantas que hay en el surco 1, iniciando por un extremo y luego por el
otro para que establecieran diferencias en los resultados. En este proceso, 1 pareja de estudiantes
de 8, mostraron gran preocupación porque al realizar la actividad, el conteo les dio diferente, tal
como se expresa en el siguiente diálogo.
La preocupación expresada por los estudiantes, la cual no lograron justificar, al parecer se
debió a que reconocen que cometieron errores en el conteo de las plantas de cebolla, desconociendo
el hecho de que el cardinal del conjunto debía ser el mismo, dado a que estaba contando los mismos
elementos, desconociendo el principio de irrelevancia de orden. Sin embargo en el momento de
hacer los registros estos estudiantes evidencian haber reconocido este principio gracias a la
intervención de la compañera Valeria que los hace caer en cuenta del error que surgió en el conteo,
y les aclara que la cantidad no varía como veremos en otro diálogo más adelante.
(Los estudiantes se encuentran realizando el conteo de las plantas de cebolla y al
escuchar la expresión de uno de los estudiantes la docente se acerca para indagarlo.)
E : por acá me dio veinte y por acá veintiuno, tan raro!!
D: y por qué raro, es que no puede dar diferente?
E: pa ya dio veinte y pa ca veintiuno
(En ese momento el estudiante se queda pensativo y callado, como reflexionando
sobre alguna cuestión que creyera esta errada en su proceso de conteo)
115
Se observó también en otra de las parejas de estudiantes, que al reiniciar el conteo de las
plantas por el extremo contrario del surco, continuaron con la secuencia numérica que llevaban,
obviando el hecho que lo que estaba contando era las mismas plantas, tal como se describe en el
siguiente diálogo.
Se observa en el estudiante que la recitación de la cantinela es tan mecánica que continua
con la secuencia numérica sin tener en cuenta que lo que estaba contando nuevamente eran las
mismas plantas, y fue solo ante el hecho que la docente llamara su atención para que reconocieran
que estaban contando los mismos elementos, que estos reinician nuevamente con el conteo.
Al finalizar la actividad del punto dos, nuevamente se observa que los estudiantes recurren
al conteo uno a uno, sin tratar de establecer conteos de otro orden que pueda facilitar este punto de
la tarea; en el desarrollo de esta actividad 3 de las 8 parejas de estudiantes reportaron en sus
respuestas, que el conteo de las plantas de cebolla realizado por ambos extremos del surco les dio
diferente, pero sin dar una justificación sobre el porqué de esto, lo que implica que los estudiantes
no logran considerar, que contando el mismo conjunto de elementos debe darles igual, por lo que
no reconocen el principio de orden irrelevante, mientras que en los otros 5 registros los estudiantes
coincidieron en anotar que el resultado de los dos conteos era igual ya que se referían a los mismos
elementos, como se describe en la siguiente Figura.
(Mientras el estudiante termina de realizar el conteo de las plantas, la docente se
acerca y le recuerda que lo debe hacer por ambos extremos del surco).
E: …diecisiete, dieciocho, diecinueve, veinte
D: Ya los contó por los dos lados, de aquí para allá?
(La docente señala el extremo contrario del surco, pero el estudiante se dirige a
seguir el conteo en un surco diferente).
D: No el otro surco no, el mismo surco!
E : Ahh!! Veintiuno, veintidós, veintitrés
D: No mi amor, por qué seguiste con el conteo, es que es una mata nueva o es la
misma?
E: La misma
D: Entonces por qué le asignas otro número, qué tendría que hacer usted?
E: Contar desde el uno otra vez.
116
Figura 32. Ilustración del registro comparativo entre las cantidades surgidas en los dos surcos de plantas de cebolla
Nótese como en el registro los estudiantes reconocen que el contar los mismos elementos
en un conjunto sin importar el orden del conteo tendrá el mismo resultado, lo que se reafirma a
través del siguiente diálogo.
Este tipo de justificaciones dada por las 5 parejas de estudiantes muestra un acercamiento
de estos a uno de los principios del conteo como la irrelevancia de orden pues perciben que el
cardinal de un conjunto no varía por el lugar donde inicie el conteo.
La actividad 3 estaba orientada a que los estudiantes determinaran la posición de algunas
plantas, por medio de la ubicación de unos banderines para que realizaran el aporcamiento de estas,
obsérvese la Imagen 12.
(La docente se acerca a una de las estudiantes para indagar sobre su
resultado en el conteo de las plantas de cebolla.)
D: Por qué le dio igual?
E: Porque estamos en la misma era
D: Por qué Valeria?
E: Dio igual porque estamos contando las mismas plantas.
117
Imagen 12. Proceso de ubicación de posiciones en las plantas de lechuga con los banderines
En esta actividad todos los registros obtenidos por los estudiantes se dejaron ver que para
determinar la posición de un elemento debieron recurrir al conteo, tal como lo menciona el registro
de la siguiente Figura.
Figura 33. Ilustración del registro de estrategias utilizada para hallar las posiciones de las plantas
Nótese como en el registro anterior se indica que fue a través del conteo que se determinó
la posición que debían hallar, estableciendo una relación biyectiva entre las plantas y el número
que se le asignaba a cada planta, lo cual está relacionado a lo planteado por Godino (2004), quien
menciona entre las técnicas para establecer ordinales la relación entre el número, el elemento
señalado y el ordinal al que se desea llegar.
118
Durante el desarrollo del punto número 4 se orientó a los estudiantes para que ubicaran las
posiciones de las plantas pero por el lado opuesto del surco utilizado en la actividad anterior, luego
se les indago si la posición asignada, correspondía a la misma planta rotulada inicialmente.
Aunque los estudiantes realizaron bien la actividad y aporcaron las plantas
correspondientes a la posición sugerida, pero al momento de ser cuestionados por las docentes
sobre el por qué a pesar de ubicar las mismas posiciones las plantas que se aporcaban eran
diferentes, no reconocían inicialmente que ubicando la misma posición no daba la misma planta,
sin embargo cuando las docentes motivan la discusión de la actividad entre compañeros e insisten
en la explicación del proceso realizado, los estudiantes empiezan a reconocer que no da lo mismo
porque el conteo se hace por extremos diferentes, lo que se muestra a través del siguiente diálogo.
Nótese cómo a través de la intervención de la maestra, los estudiantes empiezan a darse
cuenta de la relevancia de orden y las situaciones donde es importante tener en cuenta el lado por
donde se inicia la asignación de posiciones.
Parte de lo cual trataron de reafirmar a través de sus registros escritos, tal como se percibe
en la siguiente Figura.
D: A usted cuál le tocó?
(La docente le hace la pregunta al estudiante refiriéndose a qué posición de la
planta le había tocado identificar).
E: Esta. (Señalando la planta)
D: La octava! Cuál fue su primera octava (la docente refiriéndose a la
planta del primer ejercicio para establecer la posición) y la segunda
(refiriéndose al segundo ejercicio para establecer la posición por el extremo
opuesto del surco) por qué no le quedaron en la misma parte?
E: Porque en una hice de allá pa ca y en la otra de allá pa cá (el estudiante
señala un extremo del surco y luego el otro)
D: Entonces no le tiene que dar la misma planta?
E: (el estudiante en actitud de duda, responde que no a través de un gesto que
hace moviendo su cabeza).
119
Figura 34. Ilustración del registro sobre la justificación a la asignación de posiciones en las plantas
Nótese a través de una respuesta como esta, que los estudiantes reconocen que al determinar
las posiciones de las plantas primero por un extremo y luego por el otro, la ubicación del elemento
en cuestión variaba, notando así uno de los procedimientos del significado ordinal porque
identifican que al establecer posiciones hay que tener en cuenta por donde inicia el conteo.
En la actividad 5, los estudiantes registraron diversas respuestas, al pedírseles que
determinaran y justificaran donde era más importante el orden, según las actividades desarrolladas
en el punto 2 y 4; en todos los registros dejaron evidencia de que la acción más importante era el
orden pero sin explicitar las razones de su respuesta, solo 2 de los 4 grupos de estudiantes, dejaron
ver en sus registros que para ellos el orden era más importante complementándolo con algunas
razones, tal como se muestra en la siguiente Figura.
Figura 35. Ilustración del registro de justificaciones al porque la importancia del orden en la asignación de
posiciones
120
En este registro el grupo de estudiantes quiere dejar ver, que es importante tener claridad
del lugar donde se inicie la asignación de posiciones, mas no responde la pregunta de cuándo es
más importante el orden, si al establecer cantidades o al establecer posiciones.
En otro de los registros se evidencio, justificaciones sobre el porqué de la importancia del
orden en la asignación de posiciones, tal como la que se presenta a través de la siguiente Figura.
Figura 36. Ilustración de otras justificaciones a la actividad desarrollada en el punto 5
Este grupo en su respuesta, da cuenta de los principios de orden irrelevante y de la
relevancia de orden, diciendo que para responder la pregunta ¿cuántas hay?, no es necesario
establecer una posición, en cambio para contar sí. Además reconocen que para obtener el ordinal
de un elemento, tal y como se reconoce por Godino (2004), no es absolutamente necesario tener
previamente definido un orden total en el conjunto, sino que basta con saber qué elementos son
anteriores al que nos interesa; lo que demostraron cuando al llegar al elemento de la posición
requerida, interrumpieron el conteo.
En este mismo sentido, surge un dialogo donde los estudiantes dejan ver además, que para
establecer el cardinal de un conjunto no es importante la relevancia del orden, mientras que para
el significado ordinal el orden sí es de gran importancia, pues debe estar preestablecido el lado por
el cual se inicia la asignación de posiciones. Lo anterior también se dejó ver a través de la
socialización de las actividades realizadas, donde surgieron diálogos como el siguiente.
121
A través del anterior diálogo además de reafirmar la estrategia desarrollada para establecer
las posiciones de las plantas, haciendo referencia a la correspondencia restringida uno a uno al
referirse que no es necesario realizar el conteo de todos los elementos si no establecer la
biunivocidad entre los elementos y el numeral hasta llegar al elemento de la posición que se busca.
Tarea 2
La tarea 2 estaba orientada a la recolección de los productos cultivados en la huerta escolar
y pretendía que los estudiantes organizaran dicha producción llevando a cabo actividades de orden
y conteo, pensando en una posible venta. El desarrollo de esta actividad se ilustra en la siguiente
Imagen.
Imagen 13. Proceso de recolección de los productos en la huerta escolar entre estudiantes y padres de familia
D: Cuando les entregue los banderines para ubicar la posición, las posiciones que les
tocó se la pusieron a la misma planta o a diferentes?
E: Diferentes
D: Por qué?
E: Porque uno cuenta desde el lado de acá y luego desde el lado de allá entonces no
le da igual (el estudiante señala un extremo del surco y luego el otro)
D: Y por qué ahora dijiste que si contabas las plantas del surco daba igual y ahora
dices que da diferente? (esta pregunta surge para comparar la actividad de conteo y
de asignación de posición de las plantas de cebolla desarrollados en los puntos 2 y 4)
E: Porque yo las contaba todas, en cambio como aquí decíamos un número, no las
contamos todas, si no que contamos el número que íbamos a contar.
122
La Imagen anterior muestra el proceso de recolección de los productos de la huerta escolar,
llevado a cabo con el apoyo de algunos padres de familia, posterior al cual se desarrolló el ítem 1
de esta tarea, encaminado a que una vez dispuestos los productos en una mesa, los estudiantes
haciendo uso de la estrategia que ellos mismos definieran, determinaran la cantidad total de la
cosecha.
El proceso llevado a cabo por los estudiantes para realizar el conteo, varió dependiendo del
tipo de producto y la cantidad del mismo; por ejemplo, el grupo de estudiantes que le correspondió
el conteo del pepino, lo hicieron uno a uno y sin mayores dificultades dada su menor cantidad,
reportando el total de la cosecha como se evidencia en la siguiente Figura:
Figura 37. Ilustración del registro de la cantidad total de la cosecha de pepino
Por su parte, el grupo de estudiantes que realizaron el conteo de la lechuga, dada la gran
cantidad del producto y su disposición en ramas y no hoja por hoja, hizo que los estudiantes
recurrieran a determinar lo que representaba una unidad del producto para ellos, en este caso una
rama de lechuga, y según ese criterio de conteo, la cantidad que expresaron fue 47, como se observa
en la siguiente Figura:
Figura 38. Ilustración del registro de la cantidad total de la cosecha de lechuga
Sin embargo, al reportar el número 47 este grupo de estudiantes no discriminó si la cifra
hacía alusión a hojas, ramas o paquetes de lechuga, es decir, esta respuesta deja ver el objeto pero
no la cualidad establecida para hacer el conteo, en este caso 47 ramas de lechuga.
123
Por su parte, al grupo de estudiantes que le correspondió la cebolla, la contaron por plantas
y dieron como respuesta el cardinal 106, como se muestra en la siguiente Figura.
Figura 39. Ilustración del registro de la cantidad total de la cosecha de cebolla
Al igual que los grupos anteriores, según el producto determinaron lo que representaba para
ellos una unidad, en este caso la unidad no fue la caña de cebolla sino una planta (un grupo de
cañas); y con todo el producto dispuesto en la mesa, lo empezaron a contar tomando las plantas
del montón total y a medida que las iban contando, las ubicaban en el montón de lo ya contado, lo
que se alcanza a observar en la siguiente Figura.
Imagen 14. Proceso del conteo de las plantas de cebolla cosechadas
Llama la atención que pese a que la cosecha era muy numerosa, los estudiantes
establecieron el conteo uno a uno, y mientras lo hacían finalizaron el ejercicio pronunciando al
unísono la serie numérica que se aprecia en el siguiente cuadro de diálogo:
Al recitar estos numerales de los últimos productos que estaban contando y hacerlo a una
sola voz, exclamando finalmente la cifra 106 como dando conclusión a la tarea propuesta, se pudo
E1, E2, E3, E4: …noventa y ocho, noventa y nueve, cien, ciento uno, ciento
dos, ciento tres, ciento cuatro, ciento cinco, ciento seis!
124
apreciar que los estudiantes identificaron las dos funciones del número, tanto la notación de un
elemento (en este caso la rama de cebolla 106) como el cardinal de todo el conjunto.
Finalmente, el grupo que más dificultad tuvo para establecer la cantidad total del producto
recolectado fue aquel que se le asignó el cilantro, dada la enorme cantidad de la cosecha, ilustrada
en la siguiente Imagen.
Imagen 15. Cilantro cosechado por los estudiantes en la huerta escolar
Este grupo de estudiantes se mostró inquieto al verse enfrentado a un objeto numeroso y
de alguna manera difícil de contar, dada la forma en que está dispuesto, hasta 5 o 6 tallos delgados
por planta, planteando diferentes estrategias y buscando la manera más económica de realizar el
conteo, como se puede apreciar en el siguiente cuadro de diálogo:
125
En el diálogo se aprecia que inicialmente los estudiantes intentaron hacer el conteo
tomando “pedacitos” o montones de la cosecha dispuesta en la mesa, pero finalmente dieron
cumplimiento a la solicitud de obtener la cantidad total de cosecha empacando el cilantro y de esta
manera solucionaron el problema de reportar una cifra, como se aprecia en la siguiente Figura:
Figura 40. Ilustración del registro de la cantidad total de la cosecha de cilantro
Llama la atención, que de los 4 grupos de estudiantes, el único grupo que optó por empacar
su producto para el conteo en las bolsas que estaban disponibles, fue al que le correspondió contar
el cilantro dada la forma como se presenta el objeto que debía ser contado; además de ser también
los únicos que hicieron explícita su cualidad, en este caso “bolsas de cilantro” y no solamente se
(Una de las estudiantes fue contando a medida que iba recibiendo montoncitos de cilantro que
otra compañera le iba pasando, al tomar una cantidad arbitraria)
E1… uno, dos, tres, cuatro, …
D: ¿y ustedes cómo saben, cómo deben contar el cilantro?
E2: irlo sacando por…
E1: …por pedacitooos…
E2: por pedacitos y …irlo contando en la mente.
D: ¿y no hay otra forma de contarlo?
E2: Sí. Hay muchas formas de contarlo… por palitos…
D: ¿por palitos, cuáles palitos?
E2: coge el cilantro y va contando así (señalando como repartir el cilantro por grupos o
montones a lo largo de la mesa)
D: ¿ahhhh, por montoncitos?
E2: Sii.
D: muéstreme qué es un cilantro
E1: (enseña un tallito de cilantro)
D: y si lo contamos por cilantro
E2: se demoraría máaas!
D: ¿se demoraría mucho?
E2: se demoraría mucho, porque si uno cuenta uno por uno se demoraría más!
126
remitieron a citar 23 de cilantro, como lo hicieron los estudiantes que cuantificaron la cosecha de
cebolla y de lechuga.
En general en este primer punto de la tarea, todos los estudiantes recurrieron al conteo
término a término para determinar la cantidad total del producto asignado, aún cuando las
cantidades de los mismos eran considerablemente grandes, en cuyo proceso llamó la atención el
hecho que varios estudiantes mostraron cierta ansiedad y escaso desenvolvimiento cuando se
vieron enfrentados a contar cantidades grandes de elementos del entorno (productos de la huerta
escolar), sin emplear técnicas de agrupación más óptimas como la agrupación o el conteo 2 a 2.
En el ítem 2 donde se les solicitó organizar los productos, rotularlos asignándoles una
posición para una posterior venta y seguidamente determinar qué tuvieron en cuenta para organizar
los productos de dicha manera; los estudiantes en su mayoría antes de ofrecer una respuesta como
la de la Figura 41, empezaron por observar y tocar el producido tratando tal vez por estimación
sensorial, de llegar a un criterio para su ordenación.
Figura 41. Registro del criterio de ordenación de los productos cosechados en la huerta escolar
En dicha experimentación alrededor de ciertas cualidades del producto, los estudiantes
consideraron distintas magnitudes como criterios de ordenación, entre ellos el peso, la masa y la
longitud, como se detalla a continuación producto por producto.
Al grupo que les correspondió los pepinos, recurrieron a varias estrategias, algunas de las
que se pueden observar en la siguiente Imagen.
127
Imagen 16. Proceso de ordenación de los pepinos cosechados por los estudiantes en la huerta escolar
En el lado izquierdo de la Imagen 16, se observa como los estudiantes recurrieron a
establecer comparaciones entre parejas de pepinos respecto a la dimensión alto, colocándolos uno
junto al otro, dando cuenta de alguna manera de la transitividad en las comparaciones pues hicieron
uso de uno de los pepinos como intermediario en el proceso para comparar la altura; para
finalmente ordenarlos en un mismo conjunto teniendo en cuenta su longitud.
Fue así, como el criterio de ordenación para el pepino en términos de los estudiantes fue el
tamaño, pues tendieron a comparar los pepinos por su altura incluso tomando como referencia el
pepino más alto, en cuyo hecho se evidencia la relación entre lo ordinal y la medida, dado que los
criterios de ordenación estuvieron centrados en la magnitud longitud.
Por otra parte, a los grupos que se le pidió ordenar la cebolla, la lechuga y el cilantro para
una posible venta, le dieron gran importancia al precio de los productos, y ante la pregunta sobre
cómo los iban a organizar, siguieron haciendo énfasis en los precios y posibles criterios para
asignarlos, por lo que se inició el siguiente diálogo entre dos grupos alrededor de los productos de
cebolla y lechuga:
128
Nótese como pese a que los estudiantes se están refiriendo a las libras como un criterio para
establecer un precio, realmente están tomando en consideración la magnitud masa, en tanto que
centran su atención en el tamaño e identificaban grupos de mayores y menores cantidades de los
productos.
En definitiva, todos los grupos recurrieron a la comparación perceptiva táctil y visual,
ensayando el peso de los productos u observando el tamaño y las cantidades para aventurarse a
asignarles un precio; definiendo como criterio claro de ordenación la magnitud masa, ordenando
los productos de mayor a menor cantidad, del que podría ser más costoso hasta el más económico,
como se observa en la siguiente Imagen:
Figura 42. Ilustración del criterio para ordenar los productos de la cosecha
(Los estudiantes empezaron a decir precios)
E1: Unas se pueden vender a mil a doscientos….aaa…
D: … ¿y de qué depende que unas tengan un precio y otras otro?
E2: Depende de la lechuga deee…
E3: La más pequeña a doscientos y una libra a mil
D: entonces ustedes la van a ordenar para poderle dar un precio
E4: de la más pequeña a la más grande!
E3: y si no sabemos a cuál es la libraaa?
E4: ….Las más pequeñitas a un lado (señalando la mesa) y las más grandes al otro lado…
E2: Esta es pequeña?
E4: esta pesa!… (Tomando una caña de cebolla en la mano)…
129
Aunque en la pregunta planteaba lo contrario (del más económico hasta el más costoso),
en el momento de la implementación las docentes permitieron incluir esta variable, de mayor a
menor tamaño o cantidad de producto, al ser este el criterio más claro de ordenación, como se
puede apreciar a manera de ejemplo en el siguiente diálogo:
Respecto a la actividad del ítem 2, de marcar los productos ordenados asignándoles una
posición, algunos estudiantes se remitían inmediatamente a asignarles un precio, lo que hizo
necesario insistirles en darle un número a cada producto de acuerdo a la secuencia que ordenaron.
Imagen 17. Marcación de los pepinos de acuerdo a la posición que ocupaban en la secuencia ordenada
Finalmente para dar respuesta al ítem 3 de esta tarea, luego de darles el número de acuerdo
a la posición, se les indagó a los estudiantes sobre si al tomar el producto de la posición quinta, las
posiciones de los demás productos se mantenían iguales; a lo que todos respondieron que la
D: Este es el primero? Por qué? (señalando el primer paquete de cilantro)
E1: porque tiene máaaas
D: más qué
E1: cilantro
D: este? (señalando el segundo paquete)
E1: este es el dos porque tiene menos
D: este (señalando el paquete de cilantro siguiente)
E1: este es el tercero
D: cuarto (señalando el paquete de la cuarta posición)
(De aquí en adelante la docente señala uno a uno los productos para que los estudiantes
hagan alusión a la posición)
ET: quinto, sexto, séptimo, octavo, noveno, decimo, y once!
D: y porque este le pusieron once (señalando el paquete de cilantro)
E1: porqueee (duda)
D: (la docente reitera la pregunta) ¿por qué este quedó aquí de último?
E1: por queee tenia más poquiiito
130
secuencia se mantenía intacta hasta el número 4, pero a partir del 5 era necesario volver a marcar
todos los productos, identificando así el cambio de posición a partir del producto vendido, como
se aprecia a manera de ejemplo en el siguiente registro:
Figura 43. Ilustración del reporte sobre el variación o no de posicones al tomar un producto de la secuencia
Los estudiantes logran identificar claramente a partir de qué elemento de la colección
ordenada se sucede este cambio y su justificación, lo que también queda evidenciado en el
siguiente cuadro de diálogo:
En este mismo diálogo, llamó la atención que un estudiante hizo además referencia al
cambio del cardinal del conjunto, donde al retirar un pepino de la colección, ya no quedaban 14
sino 13, reconociendo que no solo se afectó el ordinal sino el cardinal del conjunto.
D: Este va a seguir siendo el quinto
E1: nooo
D: qué pasó aquí
E1: quuee…usted compró uno…yyy entonces quedarooonn…
E2: trece!
D: y entonces qué pasó con este pepino (señalando el de la posición sexta.)
E3: le tenemos que quitar este papelito y ponerle otro.
D: Cuál le ponemos
E2: el quinto
E2: y este también lo borramos y este y este, y este,… (Señalando los pepinos
siguientes)…
131
Tarea 3
Esta tarea que dio cierre a la situación 2 y a toda la propuesta de aula, centró su atención
en realizar una nueva siembra haciendo uso de información obtenida en la aplicación de la
situación anterior, a través de la cual aparece en particular el uso del número natural desde su
significado cardinal y de medida.
El primer ítem de esta tarea proponía a los estudiantes marcar los huecos o sitios de siembra
de acuerdo con los registros que obtuvieron de las distancias tomadas con el ancho de la mano en
la situación 1, y posteriormente registrar la cantidad de huecos resultantes al considerar dicha
distancia. En cuanto al proceso de medición, se pudo observar un avance en el uso de patrones
antropométricos ya que gracias a las experiencias en las tareas de la situación 1, todos los
estudiantes fueron más cuidadosos en el momento de ubicar las palmas de sus manos una seguida
de la otra, atendiendo que no quedaran espacios entre ellas para marcar los huecos de siembra, lo
cual se puede observar a través de la Imagen 18.
Imagen 18. Proceso de medición de distancia de siembra solicitada en la actividad 1 de la tarea 3
En cuanto a los registros de esta tarea, 3 de los 4 grupos de estudiantes a medida que iban
realizando un hueco, iban escribiendo cada uno de los números que le correspondían a ese sitio de
siembra, y atendiendo a este procedimiento reportaron la cantidad de huecos resultantes a través
de una secuencia numérica (ver Figura 44), la cual presentaron a través de la correspondencia uno
a uno, asignándole una cifra a cada sitio de siembra, estableciendo así una relación biyectiva entre
el objeto (hueco) y el número.
132
Figura 44. Ilustración del registro de la secuencia numérica representando la cantidad de huecos que hicieron en el
surco
El grupo restante en su registro, dio cuenta únicamente del cardinal del conjunto de huecos,
sin hacer referencia a qué hacía alusión el número, tal como se observa en la siguiente Figura.
Figura 45. Ilustración del registro del cardinal que da cuenta de la cantidad de huecos que hicieron en el surco
Para dar cuenta de este punto, todos los estudiantes recurrieron al principio de biunivocidad
relacionando el hueco que realizaron a un número de la secuencia numérica para posteriormente
dar cuenta del cardinal que surgía en ese conjunto.
En el ítem número 2 de esta tarea, los estudiantes buscaban una estrategia para definir la
cantidad de semillas que necesitaban para una nueva siembra, teniendo en cuenta que en cada
hueco se utilizarían 3 semillas; evidenciaron algunas de las formas de conteo a través del siguiente
diálogo.
133
Nótese como en este diálogo, el grupo de estudiantes, hicieron el conteo subconjunto a
subconjunto (de 3 en 3) aunque hasta cierta cantidad, ya que cuando llegaban al número 12,
regresaban al conteo uno a uno, lo que sucedió en la mayoría de los grupos; utilizando incluso sus
dedos como intermediarios para facilitar su reporte, tal como se observa en la Imagen 19.
Imagen 19. Proceso de conteo para determinar la cantidad de semillas necesarias en la siembra
D: cuántos huecos fue que les salieron
E1: veinte
D: si en cada hueco tienen que ir tres semillas. Entonces necesito que entre ustedes se
pongan de acuerdo sobre cuántas semillas hay que entregarles para poder empezar la
siembra.
Si en cada hueco van tres semillas!!!
E1: es como contar de tres en tres por cada hueco…
E2: de tres en tres vamos a contar (agachándose y señalando en cada hueco marcado
para la siembra)
E1: Nooo Juan Manuel, lo podemos hacer acá (señalando la hoja de registro) porque
yo ya conté los huecos. (Los estudiantes se ubican en un espacio aparte y empiezan a
realizar el conteo de 3 en 3 sobre la hoja de registro)
E2: tres, seis, nueve,
E3: doce... (A partir de esta cifra los estudiantes continúan con el conteo a través de
intermediario como los dedos de la mano)
E2: trece, catorce, quince!, y más otros 3!
E3: dieciocho!, … diecinueve, veinte, veintiuno! ….(continúa en conteo hasta llegar al
número que representaba el último hueco, el 20)
E2: sesenta semillas necesitamos!
Después de un rato y observando al dialogo que la docente tenía con otros
estudiantes, E1 cae en cuenta de otra forma que pudieron haber utilizado para
reportar la cantidad de semillas que necesitaban).
(La E1 se acerca a la docente y le expresa lo siguiente).
E1: ahhh, hubiéramos contado 3 veces los mismos huecos…así también se podía. De
aquí pa ya otra vez, y de aquí pa ya otra vez, y de aquí pa ya otra vez
D: ummm, también!
134
Aunque se resalta el hecho que la E1 avanza hacia otras formas de conteo alternativa a la
estrategia inicial de subconjunto a subconjunto, para obtener la cantidad de semillas que
necesitaba; pasando a dar cuenta que se podían contar 3 veces los mismos huecos, lo que terminó
de reafirmar a través del siguiente cuadro de diálogo sucedido en la plenaria de la actividad.
En el anterior cuadro de diálogo se deja ver que en general para establecer el total de
semillas hubo tres formas de hacer conteo, los que contaban de uno en uno llamando la atención
cada 3 cantidades, los que contaban subconjunto a subconjunto (de 3 en 3) hasta el numeral 12 o
15 y de ahí en adelante regresaban al conteo 1 a 1, y la E4 que recurre a la estrategia de cálculo, en
este caso sumar tres veces el número 20. Esta estudiante muestra una progresión mayor ante su
análisis respecto a cómo podía dar cuenta de la cantidad de semillas necesarias para la siembra,
pues recurre a procedimientos de cálculo para determinar dicha cantidad. Lo anterior deja ver
algunos planteamientos por Chamorro (2005) en cuanto a las formas de proceder para hallar
cardinales, las cuales van evolucionando a través de la práctica y su complejidad.
D1: Yo quiero que ustedes me cuenten como hicieron para saber cuántas
semillas necesitaban
E1: Contando de tres en tres
D1: A ver como contaban
E2: Hacíamos así uno, dos, tres!- cuatro, cinco, seis!- siete, ocho, nueve!
D1: Y ustedes como contaban
E3: Así tres, seis, nueve,
D2: Una niña cayó en cuenta que también hay otra manera de hacerlo, Valeria
que otra manera encontraste?
E4: También puede sumar
D2: Sumar qué?
E4: Nosotros teníamos veinte huecos podíamos hacer una suma, veinte más
veinte, más veinte!
D2: Y le daba lo mismo?
E4: Si
D1: Sumaba cuantas veces el veinte?
E4: Tres
D1: Y por qué tres?
E4: Porque le echaba tres semillas
135
En cuanto al registro de este ítem, en las respuestas asentadas por todos los estudiantes, el
cardinal del conjunto de semillas fue el que representó la respuesta; y llamó la atención que 1 de
los 4 grupos, registró no solo el cardinal correspondiente a la cantidad de semillas que necesitaron,
sino que establecieron una relación entre la secuencia numérica que usaron para reportar la
cantidad de huecos que debían hacer y el conteo de las semillas, el cual como se mencionó
anteriormente, fue realizado de 3 en 3 seguramente atendiendo a la forma en que se presentó la
pregunta. De este modo, debajo de cada número que representaba la cantidad de huecos, ubicaron
el número que representaba la cantidad de semillas, tal como se evidencia en la Figura 46.
Figura 46. Ilustración del registro de la secuencia numérica del conteo de semillas y la correspondencia
subconjunto- subconjunto para el conteo de semillas
Nótese como en sus registros, este grupo de estudiantes representa dos conjuntos
equipotentes y establece una relación biyectiva entre el número de huecos y el número de semillas,
al asignarle a cada número de la primera lista, un único número de la segunda lista. Se resalta a
manera de ejemplo el número correspondiente al sexto hueco, hasta el cual la cantidad de semillas
requeridas es de 18, para al final de la lista reportar una cantidad total de 60 semillas para 20
huecos.
136
El tercer punto de esta tarea y con la cual se dio cierre a la propuesta de aula, solicitaba a
los estudiantes que registraran un listado de las actividades que realizaron en el desarrollo de todo
el proceso de las situaciones 1 y 2, especificando aquellas que tenían relación con cada uno de los
significados del número trabajados: el de medida, el cardinal y el ordinal. A partir del desarrollo
de esta pregunta surgieron diálogos como el siguiente.
Esta actividad dejó en evidencia como todos los estudiantes dieron cuenta que al momento
de medir se realizaba paralelamente el proceso de contar, porque precisamente a través del conteo
se daba cuenta de la cantidad de medida que se obtenía.
En cuanto a los registros de los estudiantes, todos los grupos lograron diferenciar algunas
actividades que se realizaron correspondientes a cada significado, tal como se muestra en las
Figuras 47 y 48.
(La docente brinda las orientaciones para responder a la pregunta 3, pero ante el
hecho de que los estudiantes mostraban inseguridades a la hora de responder
interviene haciéndoles diversas preguntas)
D: y cómo supimos dónde habían cantidades?, cómo nos dimos cuenta dónde
había cantidades en la huerta? Qué hicimos?
E2: contar con los pies, contar con las manos
E3: y después con los palos
D: Y que contamos?
E2: el ancho y el largo de la era
D: ustedes me dijeron ahorita que midieron el ancho y el largo de las era, o sea
que medir es contar? (en ese momento una estudiante interviene poniéndose de
pie, para mostrarle a la docente, por qué a la hora de medir tenían que ir
contando, para lo cual ejemplificó lo que hizo cuando midieron las eras con el
largo de sus pies)
E: Porque teníamos que hacer así e ir contando
D: entonces la medida tiene relación con contar o no?
E4: sí
137
Figura 47. Ilustración del registro de algunas actividades de medición realizadas en la huerta
Figura 48. Ilustración del registro de algunas actividades de medición que se desarrollaron en la huerta
Nótese como en las Figuras 47 y 48 los estudiantes no solo describen las magnitudes que
debieron medir, sino que mencionan los patrones utilizados por ellos en dichas actividades.
Por otra parte, en el reporte sobre las actividades de conteo, los estudiantes mencionaron
varias tareas que realizaron y algunos de los procesos que utilizaron para hallar los cardinales de
un conjunto, aunque no reportaron las cantidades numéricas fruto de los resultados que obtuvieron
en cada una de las actividades de conteo; como se aprecia en la Figura 49.
Figura 49. Ilustración del registro de algunas actividades de conteo desarrolladas en la huerta
138
En las actividades de orden, en general los estudiantes reportaron las actividades donde
dispusieron en una secuencia ordenada los productos cosechados y mencionaron algunos criterios
que tuvieron en cuenta para llevar a cabo este proceso, como se aprecia en la Figura 50.
Figura 50. Ilustración del registro de algunas actividades de orden que se desarrollaron en la huerta
Nótese cómo este grupo de estudiantes, en este registro refiere la relación de orden que se
estableció para organizar la secuencia de los productos (de mayor a menor), lo cual fue
desarrollado en la tarea 1 de esta situación.
Sin embargo, en este último registro ninguno de los grupos reportó la actividad planteada
en la Tarea 1 de la Situación 2, donde se establecieron posiciones a algunas plantas y se rotularon
con unos banderines para llevar a cabo su aporcamiento, sino que se dieron cuenta de actividades
de orden solamente en donde explícitamente se les solicitaba ordenar los productos para una
posible venta. Esto deja ver que para los estudiantes fue más claro que en esta última actividad se
tenía en cuenta el orden, mientras que el hecho de asignar una posición a un objeto (las plantas),
no lo relacionaron con establecer un orden, y debido a la dificultad que mostraron para reportar
actividades en el aspecto ordinal, da a pensar que los estudiantes solo reconocen como criterios de
ordenación, la clasificación de los productos o elementos dentro de una secuencia.
3.3.4. Algunas conclusiones sobre los análisis de la situación 2
La situación 2 enmarcada en las etapas de producción, cosecha y nueva siembra de
productos en la huerta escolar, contempla actividades que implicaban el conteo y orden para
139
promover la construcción del concepto de número natural en el aspecto cardinal y ordinal
principalmente.
En cuanto a lo cardinal:
Para hacer comparaciones entre dos conjuntos, en este caso los dos surcos de plantas de
cebolla, todos los estudiantes recurriendo a establecer el cardinal del conjunto obviando etapas
iniciales en los procesos de comparación como la comparación perceptual y correspondencia
biunívoca; sin embargo identificaron el principio de irrelevancia de orden, al experimentar que sin
importar el extremo del surco donde iniciara el conteo de las plantas, el total de los elementos
contados iba a ser igual.
En cuanto a las técnicas de conteo, todos los estudiantes recurrieron al conteo término a
término para reportar la cantidad total de la cosecha, desplazando los objetos o tocándolos a medida
que los iban contando. Llamó la atención que pese a la gran cantidad de productos cosechados, los
estudiantes no consideraron estrategias alternativas y más viables para establecer el total de la
cosecha, como la correspondencia «subconjunto» a «subconjunto», el sobreconteo,
procedimientos mixtos o procedimientos de cálculo.
Algunos estudiantes dieron indicios de otras estrategias de conteo, haciendo uso de
procedimientos de cálculo al contar de 3 en 3 o sumando tres veces un cardinal, particularmente
donde se les solicitó determinar la cantidad de semillas requeridas para una nueva siembra,
teniendo en cuenta que por cada sitio de siembra era necesario utilizar 3 semillas, pero tal vez
debido a la forma de presentarse la pregunta y no por acudir naturalmente a otra estrategia de
conteo.
En lo ordinal:
En la actividad de ordenar los productos definiendo un criterio para ello, la mayoría de
estudiantes terminaron estableciendo una secuencia ordenada de los productos cosechados con
base en la cantidad y el tamaño, relacionando de alguna manera la medida con la ordinalidad.
Para establecer una posición de las plantas en los surcos de cebolla, lechuga y fríjol
(producto usado en menor proporción en la propuesta de aula), con el objetivo de aporcar aquellas
140
de determinada posición, todos los estudiantes recurrieron al conteo hasta llegar al elemento
solicitado y lograron reconocer que cuando querían establecer la posición desde el extremo
opuesto, la planta a aporcar era diferente, lo que explica el procedimiento de relevancia de orden.
En cuanto a establecer una posición entre la secuencia ordenada de los productos
cosechados y determinar a partir de qué parte de la secuencia se experimentaban cambios cuando
se tomaba un producto de dicha secuencia, todos los estudiantes lograron reconocer que las
posiciones cambiaban solo a partir del elemento retirado.
En síntesis, aunque en la práctica los estudiantes identificaron la importancia de tener en
cuenta el orden al asignar posiciones más no al realizar conteo, no dieron justificación de ello por
no tener un discurso ni una práctica recurrente en este tipo de actividades.
En la situación 2, aunque no era el objetivo, surgieron otras magnitudes a parte de la
longitud como la masa, dado a que los estudiantes tuvieron la oportunidad de manipular elementos
familiares para ellos, como los productos de la huerta.
Finalizando la situación 2 los estudiantes fueron más conscientes de los procesos de
medición, conteo y orden, al identificar algunas tareas que realizaron en la huerta escolar en estos
tres contextos matemáticos; en general identificaron distintas magnitudes, los patrones de medida
antropométricos y arbitrarios utilizados, también los diferentes conteos que hicieron, entre ellos
los productos cosechados, las semillas y huecos para la siembra.
Respecto a lo que tuvieron que ordenar la mayoría se remitió a la organización de los
productos cosechados, pero no identificaron la asignación de posiciones como una acción de
ordenar.
141
Capítulo IV.
Conclusiones generales y reflexiones
En este capítulo se reportan las conclusiones a las cuales fue posible llegar con el desarrollo
del presente trabajo y tomando en consideración los objetivos propuestos para ello. De este modo
se presentan conclusiones en torno al diseño e implementación de la propuesta de aula, al
acercamiento que lograron los estudiantes en relación con la construcción del concepto de número
natural, al impacto generado con el desarrollo de este trabajo, tanto en sus autoras, como en la
Institución educativa donde se llevó a cabo. Además de esto se proponen algunas reflexiones
generales que se derivan de este trabajo las cuales intentan brindar aspectos a considerar, respecto
al que hacer docente y al diseño de propuestas de aula que involucren diversos escenarios para el
aprendizaje.
142
4.1. Conclusiones generales
Respecto a las conclusiones que surgen en la elaboración de este trabajo dirigido a
favorecer la construcción del concepto de número natural desde sus significados de ordinal,
cardinal y de medida en los estudiantes del primer grado de la Educación Básica Primaria de la I.E
Juan María Céspedes sede Monseñor Miguel Ángel Zúñiga, mediante el diseño de una propuesta
de aula que involucre el contexto de la huerta escolar, se puede mencionar lo siguiente:
• La propuesta de aula favoreció en los estudiantes el acercamiento al concepto de número
natural desde los aspectos de medida, en tanto que se pudo notar en su implementación, que
gradualmente los estudiantes fueron mejorando sus procesos de medición con patrones
antropométricos y no estandarizados, al hacer un uso más cuidadoso de estos y obtener de esta
manera resultados de medida más homogéneos, es decir, cantidades más precisas. Además se
logró un avance en cuanto a que los estudiantes, al reportar sus resultados, hicieran explicita
la unidad de medida con la cual realizaban los procesos de medición; aspecto que no fue
relevante para ellos inicialmente, dado que en sus registros solamente indicaban la cantidad.
• Con la implementación de la propuesta de aula se logró que los estudiantes avanzaran por
algunos procesos de clasificación y seriación ligados con la medida que relaciona Chamorro
(2005) como: La estimación sensorial, comparación perceptiva directa, comparación
perceptiva indirecta, arbitrariedad, encuadramientos y estimación y aproximación: errores en
la medida. Aunque la mayoría de estudiantes tiende a construir la noción de medida a través
de la comparación perceptiva visual y táctil, la propuesta de aula también los llevó a apoyarse
en el uso de partes del cuerpo, entre ellos, el largo del pie y el ancho de la mano, y en patrones
arbitrarios, como intermediarios en los procesos de medición de la magnitud longitud.
En este proceso algunos estudiantes dieron cuenta de la arbitrariedad al reportar una unidad
de medida, considerado como más adecuado para establecer una cantidad de medida; además
de mostrar indicios de procesos de encuadramiento, al acudir a registros gráficos para reportar
resultados más aproximados en los procesos de medición. En virtud de esto, se puede concluir
que en general los procesos de medición que los estudiantes fueron desarrollando, se refinaban
143
cada vez más, lo que hacía que las cantidades que emergían de ellos fueron más “exactas” para
reportar el resultado de medida esperado.
• Abordar el número natural como cardinal en la propuesta de aula permitió movilizar en los
estudiantes los principios básicos de conteo tales como el de orden estable, al recitar siempre
la secuencia numérica en el orden establecido; principio de correspondencia, al señalar las
plantas y los productos cosechados en la huerta a medida que los iban contando; principio de
biunivocidad, ya que a cada planta o producto contado se le asigna una palabra numérica y
recíprocamente cada palabra está asociada con un elemento, estableciendo así una relación
biyectiva; principio de irrelevancia del orden, pues reconocieron por ejemplo, que el cardinal
del conjunto de plantas numeradas no dependía del orden en que realizara el conteo; principio
de abstracción, pues realizaron conteo de los productos de la huerta, independiente de las
características heterogéneas de estos elementos; y por último el principio de cardinalidad, ya
que se le asigna al último término obtenido la doble significación del número, como notación
del último elemento contado y como el cardinal del conjunto. De este modo es posible afirmar
que a partir del trabajo que los estudiantes realizaron, se aportó no solo a avanzar en el uso de
los principios ya mencionados, sino además a la construcción de los aspectos cardinales del
número, en tanto que dichos aspectos son fundamentales para abordar este tópico.
• En el aspecto cardinal, en relación a las formas de conteo empleadas por los estudiantes, dado
que la propuesta de aula contemplaba el conteo de cantidades grandes, estos no contemplaron
técnicas como el uso de la estimación visual o la subitización, sino que se remitían en su
mayoría al conteo término a término, y solo una minoría pensaron en estrategias más óptimas
para encontrar el cardinal de un conjunto numeroso, como la correspondencia subconjunto a
subconjunto al contar varios elementos a la vez, el uso de procedimientos mixtos haciendo el
conteo por bloques de elementos y utilizando expresiones de tipo aditivo o a través de
procedimientos de cálculo. En este sentido, los estudiantes mostraron una tendencia a realizar
conteos uno a uno y a tener que enumerar cada elemento del conjunto en el momento de hallar
su cardinal, ubicándose así en técnicas de conteo iniciales.
144
• Con la implementación de la secuencia se logró que los estudiantes se acercaran también a
cuestiones importantes del número natural en su sentido ordinal, al reconocer técnicas en el
establecimiento de ordinales como la estabilidad del recitado, haciendo uso de una sucesión
de palabras numéricas cuando fue necesario asignar una posición a un conjunto de plantas y
productos; la correspondencia restringida uno a uno, asignando una única posición a una
planta; la relevancia del orden, cuando los estudiantes lograron reconocer que las posiciones
asignadas a las plantas de la huerta varían dependiendo del lugar donde se inicia el conteo; y
por último reconocer gracias al desarrollo de las tareas, que no necesariamente se debe
preestablecer un orden total al conjunto para designar una posición de uno de sus elementos,
sino que basta con asignar un orden a los objetos anteriores al que interesa darle la posición.
• Al igual que con los cardinales, los estudiantes recurrieron mayoritariamente al conteo para
establecer comparaciones entre ordinales, por encima de otras técnicas como la comparación
perceptual y el establecimiento de correspondencias biunívocas. Aunque en el desarrollo de
la secuencia, los estudiantes hacen uso indistinto del número natural como cardinal y ordinal,
identifican algunas características propias del significado ordinal en tanto que reconocen que
al alterar una serie ordenada de elementos, solo varían las posiciones sin que necesariamente
se afecte el cardinal, además identifican que al colocar o retirar un producto de la serie
ordenada, se afecta las posiciones posteriores al elemento dado, alterando igualmente el
cardinal del conjunto.
• La propuesta de aula favoreció que los significados cardinal y ordinal del número natural
surgieran de forma simultánea, inmersos ambos en el significado de medida, pues los
estudiantes reconocieron su estrecha relación, por ejemplo al indicar que se cuenta para
expresar una cantidad de medida y que es posible establecer un orden a partir de la medición
de ciertos atributos de los objetos.
• La propuesta de aula desarrollada, logra cristalizar un buen número de referentes conceptuales
desde las perspectivas matemática, didáctica, curricular y lo referente a los Proyectos
Pedagógicos Productivos (PPP), que fueron claves y fundamentales en el contexto en el que se
desarrolla, y que permitió que el acercamiento al concepto del número natural por parte de los
145
estudiantes se abordara de forma más natural y significativa; lo cual es un llamado especial
que se hace desde los documentos de política pública como los Lineamientos Curriculares y
los Estándares Básicos de Competencias al uso de situaciones de la vida real para dotar de
sentido y significado la actividad matemática. Sin embargo, hubo otros aspectos conceptuales
y procedimentales que no surgieron en el desarrollo de la propuesta y que deja abierta la
posibilidad para futuros trabajos alrededor de la temática abordada.
• Queda abierta la posibilidad de ampliar este diseño y generar otras propuestas de aula que
incluyan elementos que no se abordaron, contemplando otros aspectos constitutivos del
concepto de número natural como por ejemplo, lo referente al Sistema de Numeración Decimal
y otros significados del número que son mencionados en los documentos de política pública;
y que contribuyen igualmente al desarrollo de pensamiento matemático.
• Los referentes conceptuales que se pretendían movilizar desde la implementación, se dieron
en mayor proporción en el significado cardinal, por ser el significado del número natural
privilegiado en la educación inicial; en tanto que en los significados ordinal y de medida
aunque se movilizaron aspectos importantes, hubo otros elementos teóricos desde los
referentes y desde la metodología, de los que no se da cuenta, por el desempeño que
demostraron los estudiantes en la aplicación, ubicándose sobre todo en las etapas iniciales de
algunos procesos.
• Este trabajo dejó ver el interés de los estudiantes por hacer matemáticas en espacios
alternativos al aula de clases, debido a que en este escenario real, el uso del número natural
adquirió mayor sentido desde los significados que se movilizaron; además de mostrarse
motivados y con sentido de pertenencia hacia el trabajo desarrollado en la huerta, el cual se
considera un aspecto importante a valorar, dado que estos escenarios comúnmente son más
cercanos y propicios a las ciencias naturales, y a través de esta propuesta se pudo demostrar
cómo estos también se pueden aprovechar para generar conocimiento matemático.
146
• A través del desarrollo de la secuencia, quedó evidenciado que todos los estudiantes no
manifiestan la misma maduración o desarrollo de pensamiento numérico, por lo que el trabajo
por parejas o grupos de estudiantes promovió el trabajo colaborativo y permitió que los
estudiantes refinaran sus respuestas gracias a la interacción y el intercambio de ideas y puntos
de vista en el escenario de la huerta escolar; lo que en últimas favorece la construcción de
conocimiento.
4.2. Reflexiones
En este apartado se plantean algunas reflexiones didácticas que surgen del desarrollo de
este trabajo, con el fin de reportar algunos aspectos importantes para considerar en futuras
propuestas de investigación y dar pautas para el trabajo de aula que centre sus propósitos en los
aspectos aquí considerados, entre las cuales se consideran:
• Como docentes en ejercicio, el desarrollo de este trabajo de investigación permitió reconocer
que la construcción del concepto de número natural no se debe hacer en el aula de clases
exclusivamente, sino que justamente, reconocer que el número se debe construir desde
distintos significados, hace que se tengan que promover necesariamente actividades que
trasciendan estos espacios, donde el estudiante tenga un papel protagónico en el quehacer y
donde el número cobre sentido desde distintos contextos. En este sentido, este proceso de
investigación aporta importantes elementos formativos para planear actividades, no solo para
la construcción del concepto de número, sino para desarrollo de pensamiento matemático en
general.
• La propuesta de aula en la Institución Educativa generó importantes avances en varios sentidos:
dio pistas para la planeación del área y para un trabajo a futuro con los profesores de los
primeros grados de escolaridad que permita superar esas formas tradicionales de abordar el
número natural y tratar de desvirtuar ideas en ese sentido; además el espacio ya instaurado de
la huerta escolar puede ser aprovechado para además de hacer actividad matemática, favorecer
la integración de otras áreas del conocimiento, como por ejemplo el desarrollo de pensamiento
desde las ciencias naturales y desde las competencias ciudadanas; este espacio permitió además
147
fortalecer el vínculo familia-escuela, ya que el escenario de la huerta fue el pretexto para
integrar padres de familia a los procesos académicos y formativos de sus hijos y abrió el camino
también para fortalecer la especialidad en Gestión Ambiental desde los niveles iniciales de la
Básica Primaria.
• Es importante seguir avanzando en el diseño de situaciones de aprendizaje del número natural,
que se correspondan con los diferentes contextos de uso del número, ya que como lo señala
Chamorro (2005), algunos de estos ambientes se presentan de manera espontánea en la
cotidianidad del estudiante, en tanto que otros no aparecen y deben ser incorporados en el aula
por el docente, teniendo en cuenta para ello, que tanto su diseño como su implementación
implican disponer de los tiempos necesarios y adecuados para promover diálogos fluidos y
discusiones más profundas que no estén tensionadas por el factor tiempo u otras condiciones
que se puedan presentar cuando se trabaja en espacios reales del entorno escolar, familiar o
social; ya que de la riqueza de las interacciones y los diálogos es que se refinan los procesos
matemáticos y se desarrolla pensamiento matemático.
• En las propuestas de aula para el aprendizaje del número natural, deben incluirse variables
didácticas, algunas de las que menciona Chamorro (2005) referidas al campo numérico
(tamaño de los números utilizados), al tipo de elementos utilizados (manipulables, fijos,
representados, listados) y al contexto en los que se desarrolla la situación; lo que va a hacer
variar las estrategias utilizadas por los alumnos, como por ejemplo, avanzar hacia estrategias
de conteo más reflexivas y óptimas. En cuanto al significado de medida, se hace necesario
favorecer escenarios reales para abordar procesos de medición que incluyan otras magnitudes
aparte de la longitud, como el volumen, la masa y la superficie a través de objetos
tridimensionales; sabiendo que comúnmente en los primeros años de escolaridad se privilegian
la magnitud longitud y el trabajo con objetos bidimensionales.
• Con este trabajo se logra reconocer que hacer diseños e implementación de propuestas de aula
es una actividad compleja, que debe partir de una fundamentación conceptual y no solo desde
la experiencia del docente o desde los libros de texto; sino desde referentes que guíen y nutran
el trabajo del docente a través de investigación en didáctica de las matemáticas. En cuanto a la
148
implementación, el desarrollo de propuestas de aula como la que aquí se presenta, supone
mayor complejidad, dedicación y esfuerzo por parte del docente, al requerir tiempos flexibles,
formular actividades que trasciendan el aula de clases y disponer de recursos específicos.
Reconocer todos estos aspectos puede ser un factor que tensiona el hecho que los profesores
se vayan por actividades más tradicionales orientadas en el salón de clases para abordar tópicos
como el concepto de número natural. Sin embargo, tener presente la riqueza de elementos
conceptuales que una propuesta como esta puede movilizar en los estudiantes, es más que un
aliciente para promover que este tipo de actividades sean cada vez más comunes en las
prácticas educativas.
149
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152
Anexos
Anexo 1.
Propuesta de aula diseñada:
“Contando, ordenando y midiendo en mi huerta escolar”
Situación 1: Caracterizo el terreno y siembro en mi huerta escolar
Dirijámonos a la huerta escolar para reconocer el terreno donde están sembradas las plantas.
Utilizando partes de tu cuerpo y objetos del entorno, tomemos medidas de las eras y de las
distancias de siembra entre las plantas para organizar una nueva siembra.
Para ello te proponemos desarrollar las siguientes tareas.
Tarea 1: A mi huerta debo ir, para reconocer atributos que puedo medir
Realiza en forma individual las siguientes actividades.
1. Observa la huerta escolar y realiza una lista de los elementos que hay en ella:
______________________
______________________
______________________
______________________
_________________________
_________________________
_________________________
_________________________
2. De los anteriores elementos, indica los que se pueden medir y los que se pueden contar.
Elementos de la huerta que se pueden medir Elementos de la huerta que se pueden contar
______________________________
______________________________
______________________________
______________________________
______________________________
______________________________
______________________________
______________________________
3. De los elementos que se pueden medir, indica qué características se les pueden medir. Para
ello ubica las características en frente de cada elemento:
Elementos que se pueden medir ¿Qué se les puede medir?
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
153
Anexo 2.
4. Del listado anterior selecciona dos características medibles de alguno de los elementos e indica
con qué se podría hacer el proceso de medición.
Características ¿Con qué se haría la medición?
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
5. Escribe qué objeto o patrón utilizarías para medir el largo y ancho de una era.
6. De las características medibles que mencionaste en el punto 3, indica cuáles podrías medir
usando el objeto propuesto en el punto anterior. Explica tu respuesta.
154
Anexo 3.
Tarea 2: Una medida en la huerta puedo conseguir, utilizando varios patrones para medir.
Con ayuda de tres compañeros más, realiza las siguientes actividades propuestas y registra los
datos en los formatos que se les indique.
1. Cada uno utilizando el largo de su pie, determine y registre cuántas veces cabe en el largo y el
ancho de la era asignada, para ello utiliza la siguiente tabla.
Nombre
estudiante 1:
Nombre
estudiante 2:
Nombre
estudiante 3:
Nombre
estudiante 4:
Cantidad de veces
que cabe el largo del
pie en el ancho de la
era.
Cantidad de veces
que cabe el largo del
pie en el largo de la
era.
Tabla No. 1: Registro de medida del largo y ancho de la era hecha con el largo del pie
2. Observa la tabla anterior e indica cómo son los números que resultan al medir el largo y ancho
de la era con el largo de los pies. ¿Quién obtuvo la cantidad mayor y quien la menor? Explica tu
respuesta.
3. Si la profesora Yeny hace la medición del largo de la era con el largo de su pie, sabiendo que
su pie es más grande que el de los niños ¿qué podrías decir de la cantidad que resulta de la
medición realizada por la profesora Yeny en comparación con los resultados obtenidos por
ustedes?
155
Anexo 4.
4. Utilizando el listón entregado por la docente, cada uno registre cuántas veces cabe en el largo y
ancho de la era asignada. Registra la información en el formato de registro No. 2
Tabla No. 2: Registro de medida de la era hecha con el listón
5. ¿Cómo fueron los resultados obtenidos por los miembros del grupo al medir el ancho y largo de
la era con el listón entregado?
6. Compara las cantidades que obtuviste en la tabla 1 y la tabla 2 y explica cómo son los resultados.
Si se está midiendo la misma característica (largo y ancho de la era) a qué se debe la diferencia
de los resultados obtenidos en las dos tablas mencionadas.
Nombre
estudiante 1
Nombre
estudiante 2
Nombre
estudiante 3
Nombre
estudiante 4
Cantidad de veces
que cabe el listón en
el ancho de la era.
Cantidad de veces
que cabe el listón en
el largo de la era.
156
Anexo 5.
Tarea 3: Palma a palma, voy midiendo las distancias entre las plantas.
Desarrolla en parejas de estudiantes las siguientes actividades.
NOMBRES: ________________________________________________________
_________________________________________________________
1. Vamos a medir las distancias que hay entre las plantas de cebolla y las plantas de lechuga
sembradas en la huerta escolar. Para esto, uno de los integrantes usará el ancho de la palma de
su mano para realizar el proceso de medición en una de las clases de plantas y el otro integrante
registrará los datos obtenidos. Posteriormente se alternarán estas funciones para realizar la
medición de las distancias de la otra clase de planta.
Registra los datos obtenidos en los siguientes esquemas.
Esquema 1: Distancia entre las plantas de lechuga
Esquema 2: Distancia entre las plantas de cebolla
2. Teniendo en cuenta la información registrada en el punto anterior, indica qué similitudes
encuentran de las distancias obtenidas entre las plantas de cebolla.
3. Teniendo en cuenta la información registrada en el punto uno, indica qué similitudes encuentran
de las distancias obtenidas entre las plantas de lechuga.
4. Tomando como referencia los resultados de las medidas registradas en el punto 1, si vamos
sembrar cebolla y lechuga, entonces ¿a qué distancia se debe hacer la siembra de cada clase de
planta?
Cebolla ______________ Lechuga
5. Socializa con tus compañeros de curso los resultados que obtuviste al medir las distancias entre
las plantas e indica cuál requiere mayor distancia para su siembra. ¿Por qué crees que es así?
157
Anexo 6.
Situación 2: Cosechando lo que siembro, los frutos del saber voy recogiendo
Como ya vimos que las plantas de nuestra huerta escolar han crecido suficiente, volvamos al
terreno y ayudemos a recolectar, ordenar y contar la cebolla, el cilantro, la lechuga y el pepino
cosechados y apliquemos lo aprendido haciendo una nueva siembra.
Para ello desarrollen las siguientes tareas organizados en grupos de cuatro estudiantes.
NOMBRES: __________________________________________
__________________________________________
__________________________________________
__________________________________________
Tarea 1: Contando y ordenando en varias direcciones, voy sacando mis propias conclusiones.
1. Observen las plantas sembradas en el surco uno y el surco dos de la era asignada y determinen
cuál de los dos surcos tiene la mayor cantidad de plantas sembradas. Justifiquen su respuesta.
2. Cuenten la cantidad de plantas que hay sembradas en el surco y era asignada, iniciando por un
extremo y luego realicen el conteo iniciando por el extremo opuesto ¿la cantidad de plantas
cambio? Justifiquen su respuesta.
3. De acuerdo al surco que les indique la docente, empleen la técnica de aporcamiento en las
plantas de la posición 3°, 6° , 8° y 10°, cada estudiante escoge una
sola planta para aporcar. Expliquen cómo hicieron para saber qué
posición ocupa cada planta.
4. Si determinan las posiciones de las plantas iniciando por el extremo
opuesto del surco, serían distintas las plantas a las cuales se les debe
realizar el aporcamiento. Justifiquen su respuesta.
5. De acuerdo a lo que realizaron en el punto 2 y 4, en dónde creen que es importante tener en
cuenta el orden, en la actividad donde hay que establecer la cantidad de plantas o en la actividad
donde hay que asignar una posición a las plantas. Justifiquen su respuesta.
158
Anexo 7.
Tarea 2: Orden y conteo voy a realizar, cosechando los productos que en mi huerta hay
En el mismo grupo de 4 estudiantes y apoyados por un padre de familia, dispongámonos a recoger
las cosechas que se ha producido en la huerta escolar. Para esto la profesora asignará un producto
para recolectar por grupo.
1. Recojan el producto asignado y determinen la cantidad total de su cosecha.
2. Como se quiere vender los productos recolectados por ustedes, es necesario organizarlos y
asignarles una posición con las tarjetas entregadas por la docente, iniciando desde el más
económico hasta el más costoso.
De acuerdo con esto ordenen los productos para su posible venta. Escribe tu respuesta
explicando que tuvieron en cuenta para organizar los productos de esa manera.
3. Una persona que está interesada en comprar los productos, ha tomado el que ocupa la quinta
posición en la secuencia que ustedes ordenaron. Indica si al sacar este producto las posiciones
de todos los productos se mantienen iguales. Explica tu respuesta.
159
Anexo 8.
Tarea 3: Con lo aprendido en la cosecha, me preparo para una nueva
siembra.
1. Teniendo en cuenta el surco y producto asignado por la docente
(cebolla o lechuga), marquen los huecos o sitios de siembra según la
distancia tomada con el ancho de la mano en la situación 1. ¿Cuántos
huecos les salieron en el surco?
2. Sabiendo que es recomendable usar 3 semillas por siembra para garantizar la germinación y
teniendo en cuenta los sitios de siembra que resultaron en el surco, determinen cuántas semillas
les debe entregar la docente para llevar a cabo la plantación.
Realicen la siembra de su producto en el respectivo surco. ¿Fueron suficientes las semillas que
solicitaron a la docente o tuvieron que hacer un nuevo pedido? Expliquen.
3. Con tu grupo de trabajo comenten sobre la siguiente situación:
Si van a construir una huerta similar a la de la escuela en sus casas, mencionen todas las tareas
que se deberían realizar de acuerdo a lo desarrollado en la huerta escolar, y escriban los datos
que obtuvieron como guía para esa nueva huerta. Tengan en cuenta los siguientes contextos.
a) En la medida
¿Qué tuvieron que medir en la huerta? Al lado de lo que mencionen escriban los datos que
obtuvieron.
b) En cuanto a la cantidad
¿Qué tuvieron que contar en la huerta? Al lado de lo que mencionen escriban los datos que
obtuvieron.
c) En cuanto al orden
¿Qué tuvieron que ordenar?
¿Para qué tuvieron que asignar un orden?
160
Anexo 9.
Ejemplo prototípico del desarrollo de la propuesta de aula aplicada a estudiantes del
grado primero de primaria año 2017
161
Anexo 10.
162
Anexo 11.
163
Anexo 12.
164
Anexo 13.
165
Anexo 14.
166
Anexo 15.
167
Anexo 16.
168
Anexo 17.
169
Anexo 18.
170
Anexo 19.
