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Unidad 2: La derivada

Función de consumoRegla de la cadena.Segunda derivada.

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Función de consumoSea C = f (I) la función que expresa una relación entre el ingreso nacional total I, y el consumo nacional total C. Por lo general, tanto I como C se expresan en miles de millones de dólares e I se restringe a cierto intervalo.La propensión marginal al consumo se define como la razón de cambio del consumo con respecto al ingreso, es decir, es la derivada de C con respecto a I:

Propensión marginal al consumo dCdI

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Si suponemos que la diferencia entre el ingreso I y el consumo C es el ahorro S, entonces

S = I − CAl diferenciar con respecto a I obtenemos 1dS dC

dI dI

Definimos dS/dI como la propensión marginal al ahorro. Así la propensión marginal al ahorro indica qué tan rápido cambia el ahorro con respecto al ingreso.EjemplosTexto cap.11 Pág..514 Prob. 65, 69

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Regla de la cadena.Segunda derivada.

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¡Razonemos juntos!Si el costo total C, en dólares, de fabricación de un producto está en función de la cantidad q unidades producidas, la cual a su vez está en función del número de t horas durante las cuales la fábrica ha estado operando. Entonces:

¿cómo halla la razón de cambio del costo respecto al tiempo?

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Si y es una función diferenciable de u y u es una función diferenciable de x, entonces y es una función diferenciable de x, y

Regla de la cadena

dy dy dudx du dx

)´()).(´())](([ xgxgfxgfdxd

Notación funcional

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Regla original Regla de la cadena

1. rr xrxdxd )´()](.[)]([ 1 xfxfrxf

dxd rr

xx eedxd

)´(.)()( xfeedxd xfxf

xx

dxd 1)ln( )´(.)(

1))(ln( xfxf

xfdxd

Casos particulares

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Ejercicios Halle dy/dx si:

2ln 1

xyx

2xy e

a)

b)

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Un estudio ambiental de cierta comunidad suburbana señala que el nivel medio diario de monóxido de carbono en el aire será: millónpor partes 175,0)( 2 ppc

cuando la población sea de p miles. Se estima que dentro de t años la población de la comunidad será p(t) =3,1+0,1t2 miles. ¿A qué tasa cambiará el nivel de monóxido de carbono con respecto al tiempo dentro de tres años?

Problema

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¿Cómo se puede determinar a qué ritmo está cambiando la razón de cambio de una función en un instante dado?

Analice y responda

Primera derivada

Segunda derivada

2 2

22 2( )

x

x

dy dy f x f x D ydx dxd y dy f x f x D ydx dx

Notación: sea y = f (x), entonces

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La segunda derivada

Primera derivadaSegunda derivada

2 2

22 2( )

x

x

dy dy f x f x D ydx dxd y dy f x f x D ydx dx

Sea y = f (x), entonces

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Ejemplos:Para y = (x2 + 10x)20, halle y´ y y´´.