MATEMAT‹K 1

1

ÜN‹TE IMANTIK

1. ÖNERMELER

a. Mant›k

b. Terim,tan›ml› ve tan›ms›z terimler

c. Önermenin tan›m› sembolle gösterim

ç. Önermenin do¤ruluk de¤eri

d. Önermenin do¤ruluk de¤erleri tablosu

e. Denk (eflde¤er) önermeler

f. Bir önermenin de¤ili (olumsuzu)

2. B‹LEfi‹K ÖNERMELER

a. Bileflik önermeler

b. Veya (V) ba¤lac› ile kurulan bileflik önermeler ve özelikleri

c. Ve (Λ) ba¤lac› ile kurulan bileflik önermeler ve özelikleri

d. (V) ve (Λ) ifllemlerinin birbiri üzerine da¤›lma özeli¤i

e. De Morgan (Dö Morgan) kurallar›

f. Totoloji ve çeliflki

g. Mant›k kurallar›n elektrik devrelerine uygulan›fl›

I. Seri ba¤lama

II. Paralel ba¤lama

h. Koflullu (flartl›) önermeler

I. ‹se (⇒) ba¤lac› ile kurulan bileflik önermeler

II. Koflullu önermerin karfl›t›, tersi, karfl›t tersi

III. Koflullu önerme ile ilgili özelikler

IV. Ancak ve ancak (⇔) ba¤lac› ile kurulan iki yönlü koflullu önermeler

V. ‹ki yönlü koflullu önerme ile ilgili özelikler

MATEMAT‹K 1

2

3. AÇIK ÖNERMELER

a. Aç›k önermeler

b. Aç›k önermenin do¤ruluk (çözüm) kümesi

c. Niceleyiciler

I. Evrensel niceleyici (her)

II. Varl›ksal niceleyici (baz›)

III. Niceleyicilerin de¤ili

4. ISPAT YÖNTEMLER‹

a. Tan›m

b. Aksiyon

c. Teorem

d. ‹spat yöntemleri

I. Do¤rudan ispat yöntemi

II. Olmayana ergi ile ispat yöntemi

III. Deneme yöntemi ile ispat

IV. Aksine örnek verme yöntemi ile ispat

V. Tüme var›m yöntemi ile ispat

VI.Tümden gelim yöntemi ile ispat

ÇEfi‹TL‹ ÖRNEKLER

ÖZET

ALIfiTIRMALAR

TEST I

MATEMAT‹K 1

3

* Mant›k konusunu ilk defa gördü¤ünüz bir konu oldu¤undan, bu dersimizde beklenen baflar›ya ulaflabilmeniz için, “Neden?” “Niçin?” sorular›na cevap arayarak çal›fl›n›z.

* Tan›mlar› çok dikkatli okuyunuz. Konulardaki kural ve ba¤›nt›lar›n nedenleri üzerinde düflününüz.

* Elinizdeki kaynak kitaplardan faydalan›n›z.* Örnekleri ve çözümleri çok iyi inceleyin. Yazarak, düzenli ve disiplinli bir flekilde

ç a l › fl › n › z .* Her bölümün sonunda verilen al›flt›rma ve de¤erlendirme testlerini çözünüz.

* Önermelerle ilgili temel kavramlar›n bilgisi olan terimi, tan›ml› ve tan›ms›z terimleri örneklerle aç›klayabilecek,

* Önermenin tan›m›n›, sembolle gösterimini, do¤ruluk de¤erini, iki önermenin denkli¤ini aç›klayabilecek ve do¤ruluk de¤erleri tablosu yapabilecek,

* Bir önermenin de¤ilini aç›klayabilecek,* Birleflik önermeyi aç›klayabilecek,* “ Ve”, “veya”, ba¤laçlar› ile kurulan birleflik önermelerin özeliklerini aç›klayabilecek,* De Morgan kurallar› ile totoloji ve çeliflkiyi do¤ruluk tablosu yaparak gösterebilecek,* Mant›k kurallar›n elektrik devrelerine uygulan›fl› ile ilgili problemleri çözebilecek,* Koflullu önermeleri aç›klayabilecek, iki yönlü koflullu önerme ile koflullu önermeler

aras›ndaki iliflkiyi ve özelikleri aç›klayabilecek,* Aç›k önermeyi ve do¤ruluk kümesini aç›klayabilecek,* Evrensel ve varl›ksal nieceleyicilerini örneklerle aç›klayabilecek, bu niceleyecileri

içeren önerme ve bileflik önermelerin olumsuzunu yazabilecek,* Verilen bileflik önermede, terim, aksiyom, teorem ve ispat kavramlar›n› aç›klayabilecek,* Bir teoremin hipotezini ve hükmünü belirtebilecek, bir teoremin karfl›t›n›, tersini,

karfl›t tersini, yazabilecek,* ‹spat yöntemlerini aç›klayabileceksiniz.

BU ÜN‹TEN‹N AMAÇLARI☞

NASIL ÇALIfiMALIYIZ? ✍

MATEMAT‹K 1

4

❂

❂

❂

❂

❂

ÜN‹TE I

MANTIK

1. ÖNERMELER

a. Mant›k

Günlük yaflant›m›zda baz› kimseler için, “Gene saçmalad›.” veya “Ne mant›ks›zadam.” ya da “Söyledi¤inden bir fley anlamad›m” dedi¤imiz çok olmufltur. Böyledemekle, o kimsenin do¤ru düflünmedi¤ine veya dilini iyi kullanmada¤›na iflaret etmekisteriz.

Bilinenlerden yeni bilgilerin elde edilmesi, ak›l yürütmeyle olur. Ak›l yürütmeninyöntemlerini inceleyen bilim dal›, mant›kt›r. Medeniyet tarihi boyunca insanlar, ak›lyürütmenin nas›l olmas› gerekti¤ini düflünmüfllerdir. Mant›k kurallar›n› sistemli olarakilk inceleyen düflünürün, Aristo oldu¤u kabul edilir. Aristo’nun ortaya koydu¤u sisteme,Aristo mant›¤› ya da klâsik mant›k denir.

Mant›k, do¤ru düflünme bilimidir. Do¤ru düflünme ve do¤ru yarg›ya, mant›k kurallar›ile ulafl›l›r.

Matemati¤in amac›, do¤ru ve sistemli düflünebilmeyi kazand›rmakt›r. Mant›kkurallar› bilinmeden, matemati¤in amac›na ulafl›lamaz.

Mant›¤a matematiksel yap› kazand›ran ‹ngiliz bilim adam› George Boole’dir.Boole’ün ortaya koydu¤u sistem, sembolik mant›k ad›yla an›l›r. Biz, bu bölümdematemati¤in dilini oluflturmak amac›yla, sembolik mant›¤›n temel kurallar›n›inceleyece¤iz.

b. Terim, Tan›ml› ve Tan›ms›z Terimler

Bir bilim dal› içerisinde, konuflma dilinden farkl› anlam› (özel anlam›) olan sözlüklerdenher birine, o bilim dal›n›n bir terimi denir.

ÖRNEK 1.1

Nokta aç›, nokta, daire, paralelkenar vb. birer matematik terimidir. Da¤, yayla,nehir, iklim vb. birer co¤rafya terimidir. Fiil, s›fat, özne, zarf vb. birer türkçe terimidir.

Bir terimin anlam›n› beliritmeye, terimi tan›mlamak denir. Bir terim tan›mlayabilmekiçin, o bilim dal› içerisinde, daha önce tan›mlanm›fl olan terimlerden yararlan›l›r.

ÖRNEK 1.2

Üçgen, çember, do¤ru parças› birer matemati¤in tan›ml› terimleridir.

Baz› terimleri tan›mlayamay›z. Sezgi yolu ile bu terimleri kavrar›z. Bu tür terimleretan›ms›z terim denir.

ÖRNEK 1.3

Nokta, do¤ru, düzlem birer matemati¤in tan›ms›z terimidir.

c. Önermenin Tan›m›, Sembolle Gösterimi

Kesin olarak do¤ru ya da yanl›fl hüküm bildiren ifadelere, önerme denir. Ö n e r m e l e rgenel olarak p, q, r, s, vb. gibi harflerle gösterilir.

ÖRNEK 1.4

p : “Türkiyenin baflkenti Ankara’d›r.”

q : “Bir y›l 12 ayd›r.”

r : “‹yi günler.”

s: “Tavuk dört ayakl› bir hayvand›r.”

Burada p, q ve s ifadeleri birer önermedir. Çünkü do¤ru veya yanl›fl bir hükümbildirmektedir. r ifadesi ise bir önerme de¤ildir. Kesin olarak, do¤ru veya yanl›fl birhüküm bildirmemektedir.

ç. Önermenin Do¤ruluk De¤eri

Bir önerme do¤ru ise do¤ruluk de¤eri “1” veya “D” ile, önerme yanl›fl ise do¤rulukde¤eri “0” veya “Y” ile gösterilir.

ÖRNEK1.5

Afla¤›daki önermelerin do¤ruluk de¤erini belirtelim

p: “Bir gün 24 saattir.”

q: “9 asal bir say›d›r.”

r: “Adana Ege bölgesindedir.”

s: “Eflkenar üçgenin bütün kenarlar›n›n uzunluklar› eflittir.”

Burada ki p, q ve s önermeleri do¤rudur. Do¤ruluk de¤erleri “1”dir. r önermesi iseyanl›flt›r. Do¤ruluk de¤eri “0” d›r.

MATEMAT‹K 1

5

❂

❂

➠

MATEMAT‹K 1

6

❂

➠ Bir önerme için 21 = 2, iki önerme için 22 = 4, üç önerme için 23 = 8 tane do¤rulukde¤eri vard›r. O halde, n tane önerme için, 2n tane do¤ruluk de¤eri vard›r.

d. Önermenin Do¤ruluk De¤erleri Tablosu

Do¤ruluk de¤erlerinin gösterildi¤i tabloya do¤ruluk de¤erleri tablosu denir.

Verilen bir p önermesinin do¤ruluk de¤erleri tablosu:

Verilen p ile q gibi farkl› iki önermenin do¤ruluk de¤erleri tablosu:

Verilen p, q, r gibi farkl› üç önermenin do¤ruluk de¤erleri tablosu:

p p p

Do¤ru D 1

Yanl›fl Y 0

p q

1 1

1 0

0 1

0 0

p q r

1 1 1

1 1 0

1 0 1

1 0 0

0 1 1

0 1 0

0 0 1

0 0 0

MATEMAT‹K 1

7

❂

➠

ÖRNEK 1-6

Afla¤›daki önermelerin do¤ruluk de¤erlerini, tablodaki yerlerine yazal›m.

d. Denk (eflde¤er) Önermeler

Do¤ruluk de¤erleri ayn› olan iki önermeye, denk önermeler veya eflde¤er önermelerdenir.

Verilen p ile q önermeleri birbirine denk ise p ≡ q fleklinde gösterilir. “p önermesiq önermesine denktir” diye okunur.

ÖRNEK 1- 7

Afla¤›da verilen önermelerin, do¤ruluk de¤erlerini bulal›m. Bu önermelerden, birbirine denk olanlar› ≡ sembölünü ile denk olmayanlar› ise ≡ sembölünü kullanarakgösterelim.

p : “En küçük do¤al say› s›f›rd›r.”

q : “Bir tek ve bir çift do¤al say›n›n çarp›m›, tek do¤al say›d›r.”

r : “Köpek memeli bir hayvand›r.”

s : “Dikdörtgenin bütün kenarlar›, birbirine eflittir.”

Verilen önermelerin do¤ruluk de¤erleri için, p ≡ 1, q≡ 0, r ≡1 ve s ≡ 0 d›r.

O halde, p ≡ r, q ≡ s, p ≡ q, p ≡ s, q ≡ r yazabiliriz.

Sembol Önerme Do¤ruluk de¤eri

p 2 çift say›d›r. 1

q ‹zmir flehri, Avrupa k›tas›ndad›r. 0

r Çay bitkisi Karadeniz bölgesinde yetiflir. 1

s Karenin üç kenar› vard›r. 0

t Bir hafta yedi gündür. 1

MATEMAT‹K 1

8

❂

❂❂❂

e. Bir Önermenin De¤ili (Olumsuzu)

Verilen bir önermenin hükmünün de¤ifltirilmesiyle, elde edilen yeni önermeye, buönermenin de¤ili (olumsuzu) denir.

Bir p önermesinin de¤ili p′, p ya da ~p sembollerinden birisi ile gösterilir.“p nin de¤ili” diye okunur.

Herhangi bir önermenin, de¤ilinin do¤ruluk de¤erini belirlemek için, bu önermenindo¤ruluk de¤erini bilmek yeterlidir. Çünkü herhangi bir p önermesi do¤ru ise p′ yanl›flveya p yanl›fl ise p′ do¤rudur.

ÖRNEK 1.8

p: “Suriye devleti Asya k›tas›ndad›r.” önermesi veriliyor. Bu önermenin de¤iliniyazal›m. Do¤ruluk de¤erini belirtelim.

p: “Suriye devleti Asya k›tas›ndad›r.”

Bu önermenin de¤ili, p′: “Suriye devleti Asya k›tas›nda de¤ildir.”

p önermesi do¤ru oldu¤undan, p′ önermesi do¤ru de¤ildir, yani yanl›flt›r.

2. B‹LEfi‹K ÖNERMELER

a. Bileflik Önermeler

Bu bölümde, “veya”, “ve”, “ise”, “ancak ve ancak” ba¤laçlar›n› kullanarak yeniönermeler oluflturaca¤›z.

‹ki veya daha çok önermenin, “ve”, “veya”, “ise”, “ancak ve ancak” gibi ba¤laçlarlaba¤lanmas›ndan elde edilen yeni önermelere, bileflik önermeler denir.

Bileflik olmayan önermelere de basit önerme denir.

Öneremeleri birbirine ba¤layan, “ve”, “veya”, “ise”, “ancak ve ancak” gibi terimleremant›ksal ba¤laç denir. Bu ba¤laçlarla birbirine ba¤lanan önermelere, bileflik önermeninbileflenleri denir.

Bir bileflik önermelerin do¤ruluk de¤erleri, kendilerini oluflturan basit önermelerindo¤ruluk de¤erleri taraf›ndan belirlenir.

➠

MATEMAT‹K 1

9

❂ b. Veya (V) Ba¤lac› ile Kurulan Bileflik Önermeler ve Özelikleri

Verilen p ile q herhangi iki önerme olmak üzere, bu basit önermelerin “veya”ba¤lac› ile ba¤lanmas›ndan meydana gelen bileflik önermeye, p veya q bileflik önermesidenir. pVq fleklinde gösterilir.

pVq bileflik önermesinde, bileflenlerden en az birisi do¤ru iken do¤ru, ikisi deyanl›fl iken yanl›flt›r.

pVq bileflik önermesinin do¤ruluk de¤erleri tablosu, afla¤›daki flekilde yap›lm›flt›r.

Bu tablodan görüldü¤ü gibi, 1V1 ≡ 1, 1V0 ≡ 1 , 0V1 ≡ 1, 0V0 ≡ 0 oldu¤ugörülmektedir.

ÖRNEK 1.9

p: “Van gölü Türkiye’nin en büyük gölüdür.”

q: “Her çift say› 2 ile bölünür.” önermeleri veriliyor. Bu önermeler için pVq bileflikönermesini yazal›m ve do¤ruluk de¤erini bulal›m.

pVq : “Van gölü Türkiye’nin en büyük gölü veya her çift say› 2 ile bölünür. ” diye yaz›l›r.

p ve q önermeleri do¤ru önermelerdir. Buna göre, pVq ≡ 1V1 ≡ 1 olup, bu bileflikönerme do¤rudur.

Veya Ba¤lac› ile Kurulan Bileflik Önermelerin Özelikleri

Verilen p, q, r herhangi üç önerme olsun. Bu önermeler için afla¤›daki özelikler vard›r.

1. pVp ≡ p (Tek kuvvet özeli¤i)

2. pVq ≡ q V p (De¤iflme özeli¤i)

3. p V (q Vr) ≡ ( p V q ) Vr (Birleflme özeli¤i)

4. pV1 ≡ 1 ve pV0 ≡ p

p q pVq

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

➠

➠

MATEMAT‹K 1

10

ÖRNEK 1.10

Verilen [(1V0) V0] V (1V0) bileflik önermesinin do¤ruluk de¤erini bulal›m.

Verilen [(1V0) V0] V (1V0) ≡ (1V0) V1 ≡ 1V1 ≡ 1 olur.

O halde, verilen bileflik önerme do¤rudur.

ÖRNEK 1.11

Verilen p, q, r herhangi üç önerme için, “ v e y a ”n›n birleflme özeli¤inin, önermelerindo¤ruluk de¤erleri tablosu yaparak, do¤rulu¤unu gösterelim.

p V ( q Vr) ≡ (pVq) Vr

p q r qvr pv(qvr) pvq (pvq)vr

1 1 1 1 1 1 1

1 1 0 1 1 1 1

1 0 1 1 1 1 1

1 0 0 0 1 1 1

0 1 1 1 1 1 1

0 1 0 1 1 1 1

0 0 1 1 1 0 1

0 0 0 0 0 0 0

MATEMAT‹K 1

11

❂

➠

➠

c. Ve (Λ) Ba¤c› ile Kurulan Bileflik Önermeler ve Özeli¤i

Verilen p ile q herhangi iki önerme olmak üzere, p ile q önermelerinin “ve” ba¤lac›ile ba¤lanmas›ndan oluflan bileflik önermeye, p ve q bileflik önermesi denir. p Λ q fleklindegösterilir.

p Λ q bileflik önermesi, p ve q önermelerinin ikisi de do¤ru iken do¤ru, di¤erdurumlarda yanl›flt›r.

p Λ q bileflik önermesinin do¤ruluk de¤erleri tablosu afla¤›daki flekilde yap›lm›flt›r.

Bu tabloda gösterildi¤i gibi, 1Λ1≡ 1, 1Λ 0 ≡ 0, 0 Λ 1 ≡ 0, 0Λ0 ≡ 0oldu¤u görülmektedir.

ÖRNEK 1.12

p : “Portakal meyvedir.”

q: “Üzüm sebzedir.” önermeleri için p Λ q bileflik önermesini yazal›m. Do¤rulukde¤erini bulal›m.

p Λ q: “Portakal meyve ve üzüm sebzedir.”

p önermesi do¤ru, q önermesi yanl›flt›r. p≡1, q≡ 0 d›r.

Buna göre, p Λ q ≡ (1Λ 0) ≡ 0 olup, bileflik önerme yanl›flt›r.

Ve Ba¤lac› ile Kurulan Bileflik Önermenin Özelikleri

Verilen p, q, r herhangi üç önerme olsun. Bu önermeler için afla¤›daki özelikler vard›r

1. p Λ p ≡ p (Tek kuvvet özeli¤i)

2. p Λ q ≡ q Λ p (De¤iflme özeli¤i)

3. p Λ (q Λ r) ≡ (p Λ q) r (Bileflme özeli¤i

4. p Λ 1≡ p ve p Λ 0 ≡ 0

p q pΛq

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

MATEMAT‹K 1

12

ÖRNEK 1.13

Verilen p ile q herhangi iki önerme için “ve” nin de¤iflme özeli¤ini önermelerindo¤ruluk de¤erleri tablosu yaparak do¤rulu¤unu gösterelim.

d. ( V ) ile ( Λ ) ‹fllemlerinin Birbiri Üzerine Da¤›lma Özeli¤i

Verilen p, q, r herhangi üç önerme olsun. Bu önermeler için afla¤›daki da¤›lmaözelikleri vard›r:

1. Λ n›n V üzerine soldan da¤›lma özeli¤i, p Λ (qV r) ≡ (p Λ q) V (p Λ r)

2. V n›n Λ üzerine soldan da¤›lma özeli¤i, p V (q Λ r) ≡ (p V q) Λ (p V r)

3. Λ nin V üzerine sa¤dan da¤›lma özeli¤i, (q V r) Λ p ≡ (q Λ p) V (r Λ p)

4. V nin Λ üzerine sa¤da da¤›lma özeli¤i, (q Λ r) Λ p ≡ (q V p) Λ (r V p)

Verilen p, q ve r herhangi üç önerme olsun. Bu önermelerde, Λ nin V üzerindekisoldan da¤›lma özeli¤ini, do¤ruluk de¤erleri tablosunda do¤ru oldu¤unu gösterelim.

p q pΛq qΛp

1 1 1 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 0

p q r qVr p Λ(qV r) p Λ q p Λ r (p Λ q)V(pΛ r)

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 0 1 1 1 0 1

1 0 1 1 1 0 1 1

1 0 0 0 0 0 0 0

0 1 1 1 0 0 0 0

0 1 0 1 0 0 0 0

0 0 1 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

p Λ q ≡ q Λ p

p Λ (q V r) ≡ (p Λ q) V (p Λ r)

MATEMAT‹K 1

13

❂

❂

e. De Morgan (Dö Morgon) Kurallar� (Bileflik Önermenin Olumsuzu)

Verilen p ile q herhangi iki önerme olmak üzere, “V” ya da “Λ” ba¤lac› ile elde edilenbileflik önermeler ile bu önermelerin olumsuzlar› aras›nda, (p V q)´≡ p´ Λ q´ ile(p Λ q)´≡ p´Vq´ ba¤›nt›s› vard›r. Bu ba¤›nt›lar, De Morgan Kural› ad›n› al›rlar.

p ve q önermeleri için, De Morge kural›n›, do¤ruluk de¤erleri tablosu yaparak, “V”ile yap›lan bileflik önermenin olumsuzlu¤unu gösterelim.

f. Totoloji ve Çeliflki

Bir bileflik önerme, kendisini oluflturan her de¤eri için daima do¤ru oluyorsa, bubileflik önermeye totoloji, daima yanl›fl oluyorsa, bu bileflik önermeye de çeliflki denir.

Verilen p herhangi bir önerme için, p V p′ ile p Λ q′ bileflik önermelerinindo¤ruluk de¤erleri tablosunu yapal›m.

Totoloji Çeliflki

Tablodan, p Vp′ ≡ 1 ve p Λ p′ ≡ 0 oldu¤u görülüyor. Buna göre, p V p′ bileflikönermesi bir totolojidir. p Λ p′ önermesi ise bir çeliflkidir.

(pVq)´≡ p´Λ q´

p q p′ q′ pVq (pV q )′ p′Λ q′

1 1 0 0 1 0 0

1 0 0 1 1 0 0

0 1 1 0 1 0 0

0 0 1 1 0 1 1

p p′ pVp′

1 0 1

0 1 1

p p′ p Λ p′

1 0 0

0 1 0

MATEMAT‹K 1

14

➠

ÖRNEK 1.14

Verilen, (p Λ q′) V (p′ V q) bileflik önermesini do¤ruluk de¤erleri tablosunuyaparak totoloji oldu¤unu gösterelim.

O halde, verilen bileflik önermenin her de¤eri için daima do¤ru oldu¤undan, bubileflik önerme bir totolojidir.

ÖRNEK 1.15

Verilen (pVq) Λ ( p′ Λ q′ ) bileflik önermesinin çeliflki oldu¤unu, do¤rulukde¤erleri tablosu yaparak gösterelim.

O halde, verilen bileflik önermenin her de¤eri için daima yanl›fl oldu¤undan, bubileflik önerme bir çeliflkidir.

g. Mant›k Kurallar›n›n Elektrik Devrelerine Uygulan›fl›

Sembolik mant›¤›n, matematik d›fl›nda da birçok uygulama alan› vard›r. Bu uygulamaalanlar›ndan biri de, elektrik devreleridir. Karmafl›k elektrik devrelerin çözümü,mant›¤›n uygulanmas› ile basitleflmifltir. Devredeki anahtarlar, önermeler gibidüflünülür. Bu anahtarlar› p, q, r, vb. ile gösteririz.

Anahtarlar›n kapal›, yani ak›m geçirecek durumlar›n›n do¤ruluk de¤eri “1” dir.Anahtarlar›n aç›k, yani ak›m geçirmeyecek durumlar›n›n do¤ruluk de¤eri “0” d›r.

p q p′ q′ pΛq′ p′ V q (p Λ q′ )V(p′ Vq)

1 1 0 0 0 1 1

1 0 0 1 1 0 1

0 1 1 0 0 1 1

0 0 1 1 0 1 1

p q p′ q′ pVq p′ V q (p V q) Λ (p′ Λ q′ )

1 1 0 0 1 0 0

1 0 0 1 1 0 0

0 1 1 0 1 0 0

0 0 1 1 0 1 0

MATEMAT‹K 1

15

I. Seri Ba¤lama

‹ki veya daha çok anahtarlar›n, bir elektrik devresine art arda ba¤lanmas› ile meydanagelir. Afla¤›daki flekildeki gibi gösterilir.

Elektrik devresindeki anahtarlar› p ve q ile gösterirsek, bu elektrik devresinekarfl›l›k gelen bileflik önerme p Λ q olur.

Yukar›daki tabloda, p ve q anahtarlar›n›n hangi durumlar› için devreden ak›m›ngeçip, hangi durumlar için ak›m›n geçmeyece¤ini gösterir.

O halde, seri ba¤l› iki anahtardan ancak her ikiside kapal› iken devreden ak›mgeçer. Di¤er durumlarda ak›m geçmez.

II. Paralel Ba¤lama

‹ki veya daha çok anahtarlar›n, bir elektrik devresine, afla¤›daki flekilde görüldü¤ügibi ba¤lanmas›ndan meydana gelir.

p q p Λ q Devrenin durumu

1 1 1 Ak›m geçer

1 0 0 Ak›m geçmez

0 1 0 Ak›m geçmez

0 0 0 Ak›m geçmez

MATEMAT‹K 1

16

Elektrik devresindeki anahtarlar› p ve q ile gösterirsek, bu elektrik devresinekarfl›l›k gelen birleflik önerme p V q olur.

Afla¤›daki tabloda, p ve q anahtarlar›n›n hangi durumlar› için devreden ak›m›ngeçip, hangi durumlar için ak›m›n geçmeyece¤ini gösterir.

O halde, paralel ba¤l› iki anahtardan en az biri kapal› ise devreden ak›m geçer. ‹kianahtarda aç›k ise ak›m geçmez. Buna göre, ak›m geçti¤i zaman lâmba yanar, ak›mgeçmedi¤i zaman lâmba yanmaz.

ÖRNEK 1.16

fiekildeki elektrik devresindeki anahtarlar› p ve q ile gösteriliyor. Bu devreyekarfl›l›k gelen bileflik önermeyi yaz›p, do¤ruluk de¤erleri tablosunu yapal›m.

Verilen elektrik devresine karfl›l›k gelen bileflik önerme pΛ [p ′ V (q Λ q ′ )] olur.fiimdi de bu bileflik önermenin do¤ruluk de¤erleri tablosunu yapal›m.

Yap›lan do¤ruluk de¤erleri tablosunda elektrik devresine karfl›l›k gelen bileflikönermenin bir çeliflki oldu¤u ve bütün durumlarda ak›m›n geçmeyece¤i görülüyor.

O halde, lâmba yanmaz.

p q pVq Devrenin durumu

1 1 1 Ak›m geçer

1 0 1 Ak›m geçer

0 1 1 Ak›m geçer

0 0 0 Ak›m geçmez

p q p′ q′ q Λ q ′ p ′ V(q Λ q ′) p Λ [(p′ V (p Λ q ′)]

1 1 0 0 0 0 0

1 0 0 1 0 0 0

0 1 1 0 0 1 0

0 0 1 1 0 1 0

MATEMAT‹K 1

17

❂

❂

h. Koflullu (fiartl›) Önermeler

I. ‹se (⇒) Ba¤lac› ile Kurulan Bileflik Önermeler:

Verilen p ile q önermelerinin “ise” sözlü¤ü ile ba¤lanmas›ndan oluflan bileflik önermesinekoflullu (flartl›) önerme denir. “p ise q” diye okunur. Bu koflullu önerme p ⇒ q fleklindey a z › l › r.

Verilen bileflik önermede, p do¤ru ve q yanl›fl iken yanl›fl, di¤er durumlardado¤rudur.

Bu tan›ma göre, p ⇒ q bileflik önermenin do¤ruluk de¤erleri tablosu afla¤›dakiflekilde yap›lm›flt›r.

Bu tabloda gösterildi¤i gibi, 1 ⇒ 1≡ 1 ⇒ 0 ≡ 0, 0 ⇒1 ≡ 1, 0 ⇒ 0 ≡ 1 oldu¤ugörülmektedir.

ÖRNEK 1.17

Verilen p: “4 < 7” ile q: “8 < 15” önermeleri için p ⇒ q bileflik önermesini yazal›m.Do¤ruluk de¤erini bulal›m.

p ⇒ q : “4 < 7 ise 8 < 15” olur. Burada, p önermesi do¤ru, q önermesi dedo¤rudur. p ≡ 1, q ≡ 1 oldu¤undan p ⇒ q ≡ 1 ⇒ 1 ≡ 1 olup, bileflik önerme do¤rudur.

p ⇒ q koflullu önermesinin do¤ruluk de¤eri “1” yani do¤ru ise bu koflullu önermeyegerektirme denir. “p gerektirir q diye” okunur.

Örnek 1.16’da yap›lan bileflik önerme bir gerektirmedir. Çünkü yap›lan bileflikönermenin do¤ruluk de¤eri “1” yani do¤rudur.

II. Koflullu Önermenin Karfl›t›, Tersi, Karfl›t Tersi

Verilen p, q önermesi ile p ⇒ q koflullu önerme meydana getirildi¤inde;

1. q ⇒ p koflullu önermesine, p ⇒ q önermesinin karfl›t› denir.

2. p′ ⇒ q′ koflullu önermesine, p ⇒ q önermesinin tersi denir.

3. q′ ⇒ p′ koflullu önermesine, p ⇒ q önermesinin karfl›t tersi denir.

p q p ⇒ q

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

MATEMAT‹K 1

18

➠

ÖRNEK 1.18

“ABC üçgeni eflkenar üçgen ise ABC üçgeninin bütün aç›lar› eflittir.” Koflulluönerme veriliyor. Bu koflullu önermenin karfl›t›n›, tersini ve karfl›t tersini bulal›m.

Bu koflullu önermeyi,

p: “ABC üçgeni eflkenar üçgendir.”

q: “ABC üçgeninin bütün aç›lar› eflittir.” fleklinde yazabiliriz.

Buna göre verilen koflullu önermenin,

Karfl›t›: (q ⇒ p) : “ABC üçgeninin bütün aç›lar› efl ise, ABC üçgeni eflkenar üçgendir. ”

Tersi: ( p′ ⇒ q′ ) : “ABC üçgeni eflkenar üçgen de¤il ise, ABC üçgeninin bütün aç›lar›efl de¤ildir.”

Karfl›t tersi: ( q′ ⇒ p´) : “ABC üçgeninin bütün aç›lar› efl de¤il ise, ABC üçgeni eflkenarüçgen de¤ildir.”

III. Koflullu Önerme ile ‹glili Özelikler:

1. (p ⇒ q) ≡ (q′ ⇒ p′)

2. (p ⇒ q) ≡ (p′ V q)

3. ( p⇒ q)′ ≡ p Λ q′

4. (p ⇒ p) ≡ 1

5. (p ⇒ p′) ≡ p′

6. (0 ⇒ p) ≡ 1

ÖRNEK 1.19

Verilen p ile q herhangi iki önerme için, (p ⇒ q)′ ≡ p Λ q′ koflullu önermenindo¤ruluk de¤erleri tablosunu yaparak do¤rulu¤unu gösterelim.

p q q´ p ⇒ q (p ⇒ q)′ p Λ q′

1 1 0 1 0 0

1 0 1 0 1 1

0 1 0 1 0 0

0 0 1 1 0 0

(p ⇒ q)′ ≡ p Λ q′

MATEMAT‹K 1

19

❂

❂

➠

IV. “Ancak ve Ancak” Ba¤lac› ile Kurulan ‹ki Yönlü Koflullu Önermeler

Verilen p ile q önermesinde (p ⇒ q) Λ (p ⇒ q) bileflik önermesine, iki yönlükoflullu önerme denir. Burada p ⇒ q koflullu önermesi ile bunun karfl›t› olan q ⇒ pbileflik önermesinin “ve” ba¤lac› ile ba¤lanmas›ndan meydana gelmifltir. p ⇔ qbiçiminde yaz›l›r ve “p ancak ve ancak q” diye okunur.

Bu tan›ma göre, (p ⇔ q) ≡ (p ⇒ q) Λ (q ⇒ p) olur.

‹ki yönlü koflullu önermenin do¤ruluk de¤erleri tablosunu yapal›m.

Yukar›daki tablo incelendi¤inde,

1⇔1 ≡ 1 , 1 ⇔ 0 ≡ 0, 0 ⇔ 1 ≡ 0, 0 ⇔ 0 ≡ 1 oldu¤u görülür.

O halde, p ⇔ q iki yönlü koflullu önermesi, p ile q nun do¤ruluk de¤erleri ayn› ikendo¤ru, farkl› iken yanl›flt›r.

Verilen p ⇔ q iki yönlü koflullu önermesinin do¤ruluk de¤eri “1” yani do¤ru isebu önermeye çift gerektirme denir.

ÖRNEK 1.20

Verilen p : “ x = 2 dir. ” ile q: “2x-7 = 3 tür.” önermeleri için p ⇔ q bileflik önermesiniyazal›m. Bu iki yönlü koflullu önermesinin bir çift gerektirme oldu¤unu gösterelim.

Verilen p ile q önermelerini iki yönlü koflullu önerme fleklinde yazarsak,

p⇔ q: “ x = 2 ancak ve ancak 2x -7 = 3 tür.”

p q p ⇒ q q ⇒ p (p ⇒ q) Λ (q ⇒ p) p ⇔ q

1 1 1 1 1 1

1 0 0 1 0 0

0 1 1 0 0 0

0 0 1 1 1 1

(p ⇒ q) Λ (q ⇒ p) ≡ p⇔ q

MATEMAT‹K 1

20

❂

➠

Bu koflullu önermenin bir çift gerektirme oldu¤unu gösterelim.

x = 2 ise 2x - 7 = 3 tür. 2x - 7 = 3 ise x = 2 dir.

2(2) -7 = 3 2x = 3 +7

4 - 7 = 3 2x = 10

3 = 3 olur. x = 2 olur.

p ⇒q ≡ 1 dir. q ⇒ p ≡ 1 dir.

O halde, p önermesi q için yeter kofluldur. q önermesi de p için bir gerek kofluldur.Bu nedenle, p için gerek ve yeter koflul q dur. Bu p ⇔ q bileflik önermesi bir çift gerektirmedir. Do¤ruluk de¤eri “1” dir.

V. ‹ki Yönlü Koflullu Önerme ‹le ‹lgili Özelikler

1. ( p ⇔ q ) ≡ ( p ⇔ q ) Λ ( q⇔ p )

2. ( p⇔ q )´ ≡ ( p´⇔ q ) ≡ ( p ⇔ q´ )

3. ( p⇔ p ) ≡ 1 (Totoloji)

4. ( p ⇔ q ) ≡ ( q⇔p ) (de¤iflme özeli¤i)

5. ( p⇔ q ) ⇔ r ≡ p ⇔ ( q ⇔ r ) (birleflme özeli¤i)

6. p ⇔ 1 ≡ p ; p ⇔ 0 ≡ p´

7. ( p ⇔ p´) ≡ 0 (çeliflki)

3. AÇIK ÖNERMELER

a. Aç›k Önermeler

Do¤rulu¤u içindeki de¤iflkene ba¤l› olan önermelere aç›k önerme veya önermefonksiyonu denir.

Bir x de¤iflkeni ile verilen p aç›k önermesi p(x) ile gösterilir. Bir aç›k önerme birdenfazla de¤iflkene ba¤l› olabilir.

ÖRNEK 1.21

Verilen, p(x) : “x bir bitkidir.” önermesi aç›k önermedir. Do¤rulu¤u x’ e ba¤l›d›r.

x yerine menekfle yazarsak, p (menekfle) : “Menekfle bir bitkidir.”

x yerine kedi yazarsak, p (kedi) : “kedi bir bitkidir.” olur.

Burada, p (menekfle) ≡ 1 ve p (kedi) ≡ 0 do¤ruluk de¤erini al›r.

MATEMAT‹K 1

21

❂

❂

➠

b. Aç›k Önermenin Do¤ruluk (Çözüm) Kümesi

Herhangi bir evrensel küme üzerinde tan›mlanm›fl, bir p(x) aç›k önermesinido¤ruluyan kümeye, aç›k önermenin do¤ruluk (çözüm) kümesi denir. Do¤rulukkümesinin her bir eleman›na ise çözüm ad› verilir. Do¤ruluk kümesinin her bir elaman›,p(x) aç›k önermenin do¤rulu¤unu sa¤lar.

ÖRNEK 1.22

E = {0, 1, 2, 3, 4, 5} evrensel kümesi üzerinde, p(x) : “3x - 2 < 10” aç›k önermesiveriliyor. Bu aç›k önermenin do¤ruluk kümesini bulal›m.

Do¤ruluk kümesinin elemanlar›, E kümesinin elamanlar› olarak ve p(x) aç›könermesinido¤ru olarak sa¤l›yacakt›r.

Buna göre, p(x) : “3x-2 <10” önermesinde;

x = 0 için, p(0) : 3(0) - 2 = - 2 ; - 2 ∉ E oldu¤undan, p(0) ≡ 0 yanl›flt›r.

x = 1 için, p(1) : 3(1) - 2 = 3 - 2 = 1 ; 1∈ E ve 1 < 10 oldu¤undan, p(1) ≡ 1 do¤rudur.

x = 2 için, p(2) : 3(2) - 2 = 6 - 2 = 4 ; 4∈ E ve 4 < 10 oldu¤undan, p (2) ≡ 1 do¤rudur.

x = 3 için, p(3) : 3(3) - 2 = 9 - 2 = 7 ; 7 ∉ E oldu¤undan, p(3) ≡ 0 yanl›flt›r.

x = 4 için, p(4) : 3(4) - 2 = 12 - 2 = 10 ; 10 ∉ E oldu¤undan, p(4) ≡ 0 yanl›flt›r.

O halde, bu aç›k önermenin do¤ruluk kümesi, D = {1, 2} olur.

c. Niceleyiciler

Do¤ruluk kümelerini oluflturan veya verilen önermeleri do¤rulayan, elemanlar›nmiktar›n› belirtmek için, “her”, “baz›”, “hiçbiri” gibi kelimeler kullan›r›z. Varl›klar›nmiktar›n› belirtmek için kullan›lan bu ifadelere niceleyici denir.

I. Evrensel Niceleyici (her)

Verilen p(x) aç›k önermesi, E kümesi üzerinde tan›mlanm›fl olsun. E kümesinde,her x elaman› için p(x) aç›k önermesi, do¤ru bir önerme oluyorsa, (∀ x ∈ E) p(x) veya∀ x, p(x) fleklinde yaz›l›r. “Her x için p(x) diye” okunur.

Her biri, hepsi, bütünü anlam›na gelen “∀" sembolü evrensel niceleyicidir.

(∀ x ∈ E) p(x) gösteriminden, p(x) aç›k önermenin do¤ruluk kümesinin E kümesioldu¤u anlafl›l›r. Çözüm kümesi için, D = {x | x ∈ E, p(x)} = E olur.

Verilen ∀x, p(x) önermesinin do¤ru olmas› için, evrensel kümedeki bütün xde¤erleri p(x) önermesinde bulunmal› ve tümü için önerme do¤ru olmal›d›r.

p(x) önermesinde do¤ru olmayan en az bir x de¤erleri varsa ∀x, p(x) önermesi yanl›fl olur.

MATEMAT‹K 1

22

❂

❂

➠

ÖRNEK 1.23

Verilen “Her x tam say› için x2 + 9 > 0 d›r.” Önermesini ∀ x ∈ Z, p(x) fleklindeyazal›m. Do¤ruluk de¤erini belirtelim.

Burada evrensel küme tam say›lar ve p(x): x2+ 9 > 0 önermesi aç›k bir önermedir.Bu önermeyi “∀ x ∈ Z, x2 + 9 > 0” veya “∀x, x2+ 9 > 0” fleklinde yazabiliriz.

Bu önerme, bütün x tam say›lar için do¤rudur.

II. Varl›ksal niceleyici (Baz›)

Verilen p(x) aç›k önermesi E evrensel kümesi üzerinde tan›mlanm›fl olsun. Ekümesinde, her x eleman› için, p(x) aç›k önermesini do¤rulayan en az bir x eleman›için, p(x) aç›k önermesini do¤rulayan en az bir x eleman› varsa, bu aç›k önermeyevarl›ksal niceleyici denir. ∃ sembolü ∃ x ∈ E, p(x) veya ∃ x, p(x) fleklinde yaz›l›r.

“Baz› x için p(x)” veya “En az bir x için p(x)” diye okunur.

Verilen varl›ksal niceleyicinin do¤ru olmas› için, baz› x ler için p(x) do¤ru veya enaz bir x için p(x) do¤ru oluyorsa, ∃ x, p(x) önermesi do¤rudur. Bütün x ler için p(x)yanl›fl oluyorsa ∃ x, p(x) önermesi yanl›fl olur.

∃ x, p(x) önermesinin do¤ru olmas› için çözüm kümesi bofl olmal›d›r.

ÖRNEK 1.24

Verilen “Baz› x tam say›lar› çift say›lard›r.” önermesini ∃ x ∈ Z, p(x) fleklindeyazal›m. Do¤ruluk de¤erini belirtelim.

“Baz› x tam say›lar› çift say›lard›r.” önemesini, “ ∃ x∈Z, x çift say›d›r.” fleklindeyazabiliriz. En az bir tam say› çift oldu¤u için, verilen önerme do¤rudur.

III. Niceleyicilerin De¤ili

Verilen bir do¤ru önermenin de¤ilinin yanl›fl, yanl›fl bir önermenin de¤ili isedo¤rudur. Buna göre, x bir de¤iflken ve p(x) bir aç›k önerme ise “∀ x ∈ E, p(x)” tir.Önermesinin olumsuzu “∃ x ∈ E, p(x) de¤ilidir.”

Bunu, [∀ x ∈ E, p (x) ]´ = ∃x, p´(x) fleklinde yazabiliriz.

"∃ x ∈ E, p(x)”tir. Önermesinin olumsuzu “∀ x ∈ E, p(x) de¤ilidir.”

Bunu, [∃ x ∈ E, p(x)]′ ≡ ∀ x, p′(x) fleklinde yazabiliriz.

MATEMAT‹K 1

23

❂

❂

ÖRNEK 1.25

Verilen “Baz› say›lar asald›r.” önermesinin de¤ilini yazal›m.

“Baz› say›lar asald›r.” önermesinin de¤ili “Bütün say›lar asal de¤ildir” olur.

ÖRNEK 1.26

(∃ x, x2 ≥ 0) V (∀ x, x+ 1 > 0) bileflik önermesi veriliyor. Bu bileflik önermesininde¤ilini yazal›m.

(p V q)´ ≡ p′ Λ q′ oldu¤undan, verilen önermenin de¤ili;

[( ∃ x, x2 ≥ 0) V (∀ x, x+ 1 > 0)]´ ≡ (∀ x, x2 < 0 ) Λ ( ∃ x, x + 1 ≤ 0 ) olur.

4. ‹SPAT YÖNTEMLER‹

a. Tan›m

Her bilim dal›n›n dayand›¤› baz› terimler vard›r. Terimler bir nesnenin zihnindekitasar›m›d›r. Bir terimin tan›m›n› yapmak, bu terim kapsam›na giren her fleyi eksiksizbelirtilen, bir önerme oluflturmakt›r. Oluflturulan bu önerme, gayet sade ve aç›k olarakifade edilmelidir.

Terimleri tan›mlamak için, kendinden önce tan›mlanm›fl terimlerden yararlanmal›y›z.

Anlamlar› bilinen terimlerden yararlanarak, yeni bir terimin tan›t›lmas›na, o terimintan›mlanmas› denir.

b. Aksiyom

Do¤ru oldu¤u ispatlanmadan kabul edilen önermelere, aksiyom denir. Aksiyomlarkendi aralar›nda tutarl›, sisteme yeterli ve birbirinden ba¤›ms›z olmal›d›r. Aksiyomlarbir bilimsel yap›n›n temel tafllar›d›r.

ÖRNEK 1.27

Baz› aksiyomlar flunlard›r:

p: “Farkl› iki noktadan bir ve yaln›z bir do¤ru geçer.”

q: “Ayn› do¤ru üzerinde olmayan, üç farkl› noktadan bir tek düzlem geçer.”

r : “Her do¤ru parças›, kendisine eflittir.”

MATEMAT‹K 1

24

❂

❂

❂

❂

❂

c. Teorem

Matematikte ispatlanmas› gereken önermelere teorem denir. Teoremlerin do¤rulu¤unu,önceden verilen tan›m ve aksiyomlardan yararlanarak ispatlayabiliriz. Bir teoreminispat›nda, kendinden önce gelen teoremlerde kullan›l›r.

Verilen p ⇒ q koflullu önermesinde, bafllang›çta olan p önermesine hipotez(varsay›m), var›lan sonuca q önermesine hüküm (yarg›) denir.

Hipotezin do¤rulu¤undan bafllayarak hükmün do¤rulu¤unu göstermeye teoreminispat› denir. Teoremde, hipotezin daima do¤ru olmas› gerekir.

ÖRNEK 1.28

“Bir üçgenin iki kenar› eflit ise bu üçgen ikizkenard›r.” teoremi veriliyor. Bu teoreminhipotez ve hükmünü yazal›m.

Verilen teoremde;

Hipotez: “Bir üçgenin iki kenar› eflittir.”

Hüküm: “Bu üçgen ikizkenard›r.”

d. ‹spat Yöntemleri

Matematik derslerinde kulland›¤›m›z ispat yöntemleri flunlard›r:

I. Do¤rudan ispat:

Verilen bir teoremde, hipotezin do¤ru oldu¤u kabul edilerek, hükümünde do¤ruoldu¤u gösterilirse, bu ispat flekline, do¤rudan ispat yöntemi denir.

O halde, p ⇒ q koflullu önermede, p nin do¤ru oldu¤u kabul edilerek, q nun do¤ruoldu¤u gösterilir.

II. Olmayana Ergi ‹le ‹spat Yöntemi:

Bir koflullu önermelerde, (p ⇒ q) ≡ (p´ ⇒ q´) dür.

p ⇒ q teoreminin ispatlanmas› yerine p´⇒ q´ teoremi ispatlan›rsa p ⇒ q teoremiispat edilmifl olur. Bu yönteme, olmayana ergi ile ispat yöntemi denir.

MATEMAT‹K 1

25

❂

O halde, bir teoremi olmayana ergi ile ispat olumsuzunda hareket edilerek, hipotezinolumsuzunun elde edilmesidir.

III. Deneme Yöntemi ile ‹spat

Verilen önermedeki de¤iflkene farkl› de¤erler verilir. Bu de¤erler, ayr› ayr› yerlerineyaz›larak önermenin do¤rulu¤u kontrol edilir. Buna deneme yöntemi ile ispat denir.

IV. Aksine Örnek Verme Yöntemi ile ‹spat

Verilen bir önermenin do¤ru oldu¤u ispatlanam›yorsa, aksine örnek verilerek, veyaçeliflki oldu¤u gösterilerek, yanl›fl oldu¤u ispatlan›r.

Bu yöntem genellikle p ⇒ q fleklindeki bir önermenin, yanl›fl oldu¤unu ispatlamakiçin kullan›l›r.

O halde, verilen önermenin do¤ru olmad›¤›n› gösteren en az bir de¤er varsa, buönermenin yanl›fl oldu¤u ispatlanm›fl olur.

V. Tüme Var›m Yöntemi ile ‹spat

Tüme var›m yöntemi, özel kurallardan hareket ederek genel kurala ulaflma yöntemidir.

O halde, bu yöntemde yap›lan ispat, parçalardan giderek bütünün do¤rulu¤unu bulmakt›r.

VI. Tümden Gelim Yöntemi ile ‹spat

Tümden gelim, genel kuraldan özel kurallar›n ç›kar›lmas› yöntemidir. Bütündengiderek istenilenin do¤rulu¤unu ispatlama yöntemidir.

MATEMAT‹K 1

26

5. ÇEfi‹TL‹ ÖRNEKLER

ÖRNEK 1.29

Verilen p ile q önermesi için, (p V q)′ V (p ⇒ q)′ ≡ q′ oldu¤unu gösterelim.

(p V q)′ V (p ⇒ q)′ ≡ (p V q)′ V (p′ V q )′

≡ [(p V q) Λ (p′V q )]′

≡ [(p Λ p′) V q]′

≡ (0 V q)′

≡ q′ olur.

ÖRNEK 1.30

Verilen p ile q önermesi için, (p′ V q)′ V (p Λ q) bileflik önermesini en sade flekildeyazal›m.

(p′ V q)′ V (p Λ q) ≡ (p Λ q′) V (p Λ q)

≡ p Λ (q′ V q)

≡ p Λ1

≡ p olur.

ÖRNEK 1.31

p, q, r önermeleri veriliyor. Bu önermelerle yap›lan, (q Λ r) Λ [q′ Λ (r V p)] bileflikönermesinin çeliflki oldu¤unu gösterelim.

(q Λ r) Λ [q′ Λ (r V p)] ≡ [q Λ r) Λ q′) Λ (r V p)]

≡ [(q Λ q′) Λ r)] Λ (r V p)

≡ (0 Λ r) Λ (r V p)

≡ (0 Λ (r V p)

≡ 0 olur.

O halde, verilen bileflik önermenin sonucu “0” oldu¤undan bu bileflik önerme birçeliflkidir.

MATEMAT‹K 1

27

ÖRNEK 1.32

Verilen p, q, r önermesinde, (p ⇒ q′) V r′ ≡ 0 oldu¤una göre, (q ⇔ r) ⇒ p bileflikönermesinin do¤ruluk de¤erini bulal›m.

(p ⇒ q′) V r′ ≡ 0 ise p ⇒ q′ ≡ 0 ve r′ ≡ 0 olmal›d›r.

p ⇒ q′ ≡ 0 ise p ≡1 ve q′ ≡ 0 olur.

Buradan, p ≡1, q ≡ 1 ve r ≡ 1 elde edilir.

Bu do¤ruluk de¤eri, istenen bileflik önermede uygularsak,

(q ⇔ r) ⇒ p; (1⇔1) ⇒ 1; 1 ⇒ 1 ≡ 1 olur.

O halde, bu bileflik önerme do¤rudur.

ÖRNEK 1.33

fiekildeki elektrik devresine karfl›l›k gelen bileflik önermeyi yazal›m.

fiekilde p ile q anahtarlar› kendi aralar›nda seri ba¤land›¤›ndan, (pΛq) fleklindeyaz›l›r. r ile s anahtarlar› da kendi aralar›nda seri ba¤land›¤›ndan, (r Λ s) fleklindeyaz›l›r.

(p Λ q) ile (r Λ s) kendi aralar›nda paralel ba¤land›¤›ndan [(p Λ q) V (r Λ s)]fleklinde yaz›l›r.

t ile z anahtarlar› kendi aralar›nda paralel ba¤land›¤›ndan, (t V z) fleklinde yaz›l›r.

[(p Λ q) V (r Λ s)] ile (t V z) anahtarlar› kendi aralar›nda seri ba¤land›¤›ndan,[(p Λ q) V (r Λ s)] Λ (t V z) fleklinde yaz›l›r.

O halde, flekle karfl›l›k gelen bileflik önerme [(p Λ q) V (r Λ s)] Λ (t V z ) o l u r.

MATEMAT‹K 1

28

ÖRNEK 1.34

Verilen p ile q önermeleri için p ⇒ [q ⇒ (p Λ q)] birleflik önermesinin totolojioldu¤unu gösterelim.

p ⇒ [q ⇒ (p Λ q )] ≡ p′ V [ q′ V (p Λ q )]

≡ (p′ V q′) V (p Λ q )

≡ (p Λ q)′ V (p Λ q)

t′ t

≡ t′ V t

≡ 1 olur.

O halde, verilen bileflik önermenin sonucu “1” oldu¤undan, bu bileflik önerme birtotolojidir.

ÖRNEK: 1.35

Verilen p ile q önermeleri için (p V q)´ V (p´Λ q) bileflik önermesini en sade flekildeyazal›m.

(p V q )′ V (p′ Λ q ) ≡ (p′ Λ q′) V (p′ Λ q)

≡ p′ Λ V (q′ V q)

≡ p′ Λ 1

≡ p′ olur.

ÖRNEK: 1.36

“ x bir çift say› ise x2 çift bir say›d›r.” bileflik önermesi veriliyor. Bu bileflik önermeninhipotez ve hükümü yazal›m. Bu bileflik önermenin karfl›t, ters ve karfl›t ters koflulluönermelerini yazal›m.

Verilen bileflik önermede;

hipotez: “x bir çift say›d›r.”

hüküm: “x2 çift bir say›d›r.”

Karfl›t›: “x2 çift bir say› ise x bir çift say›d›r.”

Tersi : “x bir çift say› de¤il ise x2 çift bir say› de¤ildir.”

Karfl›t tersi: “x2 çift bir say› de¤il ise x bir çift say› de¤ildir.”

MATEMAT‹K 1

29

ÖRNEK 1.37

Verilen p ile q önermesinde, (p ⇒ q) ≡ 0 d›r. Buna göre, (p V q) ⇒ (p′Λ q) bileflikönermesinin do¤ruluk de¤erini bulal›m.

(p ⇒ q) ≡ 0 ise p ≡ 1 ve q ≡ 0 olmal›d›r.

(p V q) ⇒ (p′ Λ q) bileflik önermesinde do¤ruluk de¤erleri yerine yazarsak,

(1 V 0) ⇒ [(1)′ Λ 0] ≡ 1 ; (0 Λ 0) ≡ 1 ; 0 ≡ 0 olur.

O halde, bu bileflik önermenin do¤ruluk de¤eri yanl›flt›r.

ÖRNEK 1.38

Verilen p, ile q önermeleri için, p ⇔ (p V q) ≡ (p V q)′ V p bileflik önermesinindenk oldu¤unu, bileflik önermenin do¤ruluk de¤erleri tablosu yaparak gösterelim.

p q pV q p ⇔ (p V q) (p V q)′ (p V q)′ V p

1 1 1 1 0 1

1 0 1 1 0 1

0 1 1 0 0 0

0 0 0 1 1 1

[p ⇔ (p V q)] ≡ (p V q)′ V p

MATEMAT‹K 1

30

ÖZET

- Ak›l yürütmenin yöntemlerini inceleyen bilim dal›na, mant›k denir. Mant›k kurallar›n›sistemli olarak ilk inceleyen düflünürün, Aristo oldu¤u kabul edilir. Boole’ün ortaya koydu¤u sisteme sembolik mant›k denir.

- Bir terimin anlam›n› belirtmeye, terimi tan›mlamak denir. Baz› terimleri tan›mlayamay›z. Bu tür terimlere, tan›ms›z terim denir.

- Kesin olarak, do¤ru ya da yanl›fl hüküm bildiren ifadelere, önerme denir. Bir önerme, do¤ru ise do¤ruluk de¤eri “1” veya “D” ile, önerme yanl›fl ise do¤ruluk de¤eri “0” veya “Y” ile gösterilir.

- Do¤ruluk de¤eri ayn› olan iki önermeye, denk önermeler veya eflde¤er önermeler denir. Bunlar ≡ sembolü ile gösterilir.

- Verilen bir önermenin, hükmünün de¤ifltirilmesiyle elde edilen yeni önermeye, bu önermenin de¤ili denir. Bir p önermesinin de¤ili p´ ya da ~p sembollerinden birisi ile gösterilir.

- ‹ki veya daha çok önermenin “ve”, “veya”, “ise”, “ancak ve ancak” gibi ba¤laçlarla ba¤lanmas›ndan elde edilen yeni önermelere, bileflik önermeler denir. Bileflik önermelerin do¤ruluk de¤eri, kendilerini oluflturan basit önermelerin do¤ruluk de¤erleri taraf›ndan belirlenir.

- p ile q önermelerinin “veya” ba¤lac› ile ba¤lanmas›ndan oluflan bileflik önermeye p veya q bileflik önermesi denir. pVq fleklinde gösterilir pVq bileflik önermesi bileflenlerden en az birisi do¤ru iken do¤ru, ikisi de yanl›fl iken yanl›flt›r.

- p ile q önermelerinin, “ve” ba¤lac› ile ba¤lanmas›ndan oluflan bileflik önermeye, p ve q bileflik önermesi denir. pΛq fleklinde gösterilir. pΛq bileflik önermesi, p ve q önermelerinin ikisi de do¤ru iken do¤ru, di¤er durumlarda yanl›flt›r.

- p ile q herhangi iki önerme olmak üzere, “V” ya da “ Λ” ba¤lac› ile elde edilen bileflik önermeler ile, bu önermelerin olumsuzlar› aras›nda, (p V q )′ ≡ p′ Λ q′ ile (p Λ q )′ ≡ p′ Vq′ ba¤›nt›s› vard›r. Bu ba¤›nt›lar De Morgan Kural› ad›n› al›r.

- Bir bileflik önerme kendisini oluflturan her de¤eri için daima do¤ru oluyorsa, bu bileflik önermeye totoloji, daima yanl›fl oluyorsa bu bileflik önermeye de çeliflki denir.

- Karmafl›k elektrik devrelerinin çözümü, mant›¤›n uygulanmas› ile basitleflmifltir.Devredeki anahtarlar önermeler gibi düflünülür. Anahtar kapal› iken do¤ruluk de¤eri “1” anahtar aç›k iken do¤ruluk de¤eri “0” d›r.

Bir elektrik devresine, p ile q anahtarlar› seri ba¤l› ise buna karfl›l›k gelen bileflik önerme p Λ q olur. Bu durumda, her ikisi de kapal› iken, devreden ak›m geçer.Di¤er durumlarda ak›m geçmez.

MATEMAT‹K 1

31

Bir elektrik devresine, p ile q anahtarlar› paralel ba¤l› ise buna karfl›l›k gelen bileflik önerme pVq olur. Bu durumda, iki anahtardan en az biri kapal› ise devredenak›m geçer. ‹ki anahtarda aç›k ise ak›m geçmez.

- Verilen p ile q önermelerinin “ise” sözcü¤ü ile ba¤lanmas›ndan oluflan bileflik önermesine koflullu önerme denir. “p ise q” diye okunur. p ⇒ q fleklinde yaz›l›r.Bu önerme p do¤ru ve q yanl›fl iken yanl›fl, di¤er durumlarda do¤rudur.

1- q ⇒ p koflullu önermesine, p ⇒ q önermesinin karfl›t› denir.

2- p′ ⇒ q′ koflullu önermesine, p ⇒ q önermesinin tersi denir.

3- q′ ⇒ p′ koflullu önermesine, p ⇒ q önermesinin karfl›t tersi denir.

- Verilen p ile q önermesine, (p ⇒ q) Λ (q ⇒ p) önermesinin bileflik önermesine, iki yönlü koflullu önerme denir. p ⇔ q biçiminde yaz›l›r. “p ancak ve ancak q” diye okunur.

p ⇔ q iki yönlü koflullu önermesi, p ile q nun do¤ruluk de¤erleri ayn› iken do¤ru, farkl› iken yanl›flt›r.

‹ki yönlü koflullu önermesinin do¤ruluk de¤eri “1” ise bu önermeye çift gerektirme denir.

- Do¤rulu¤u içindeki de¤iflkene ba¤l› olan önermelere, aç›k önerme veya önerme fonksiyonu denir. Bir x de¤iflkeni ile verilen p aç›k önermesi, p(x) ile gösterilir.

- Herhangi bir evrensel kümesi üzerinde tan›mlanm›fl bir p(x) aç›k önermesini do¤rulayan kümeye aç›k önermenin do¤ruluk kümesi denir. Do¤ruluk kümesinin her bir elaman›na ise çözüm ad› verilir.

- Varl›klar›n miktar›n› belirtmek için, “her”, “baz›”, “hiçbiri” kullan›lan bu ifadelere niceleyici denir.

- Verilen bir evrensel kümede, her x eleman› için, p(x) aç›k önemesi do¤ru bir önerme oluyorsa, buna evrensel niceleyici denir. ∀x, p(x) fleklinde yaz›l›r. “Her x için p(x)” diye okunur. Evrensel niceliyicinin do¤ru olmas› için, bütün x de¤erlerinin p(x) önermesinin do¤ru olmas› gerekir. p(x) önermesi do¤ru olmayan, en az bir x varsa yanl›fl olur.

- Verilen bir evrensel kümede her x eleman› için p(x) aç›k önermesini do¤rulayan en az bir x eleman› varsa bu aç›k önerme varl›ksal niceleyici dir. ∃ sembolü ile gösterilir. ∃ x, p(x) fleklinde yaz›l›r. “En az bir x için p(x)” diye okunur. Baz› x ler için, p(x) aç›k önermesi do¤ru olursa do¤rudur. Bütün x ler için, p(x) aç›k önermesi yanl›fl ise yanl›fl olur. ∃ x, p(x) önermesinin olumsuzu ∀ x, p´(x) dir.

- Anlamlar› bilinen terimlerden yararlanarak yeni bir terimin tan›mlanmas›na o terimin tan›mlanmas› denir.

- Do¤ru oldu¤u ispatlanmadan kabul edilen önermelere aksiyom denir.

MATEMAT‹K 1

32

- Matematikte ispatlanmas› gereken önermelere teorem denir. Verilen p⇒q koflullu önermesinde bafllang›ç olan p önermesine hipotez, var›lan sonuca q önermesine hüküm denir. Hipotezin do¤rulu¤undan bafllayarak, hükmün do¤rulu¤unu göstermeyeteoremin ispat› denir.

- Matematikte kullan›lan ispat yöntemleri flunlard›r:

a. Do¤rudan ispat.

b. Olmayana ergi ile ispat.

c. Deneme yöntemi ile ispat.

d. Aksine örnek verme yöntemi ile ispat.

e. Tüme var›m yöntemi ile ispat.

f. Tümden gelim yöntemi ile ispatd›r.

MATEMAT‹K 1

33

ALIfiTIRMALAR

1. Afla¤›daki cümlelerden hangisi önermedir? Önerme olanlar›n do¤ruluk de¤erini yaz›n›z.

A) Nereye gidiyorsun.B) Ankara baflkenttir.C) Kediler ölmez.D) Hava çok s›k›c›.E) 7 say›s› 4 say›s›ndan küçüktür.F) Bülbüller güzel öter

2. Afla¤›daki önermelerden hangileri denktir?p: “K›z›l›rmak Karadeniz’e dökülür.”q: “Dünya Güneflin etraf›nda döner.”r: “8 = 12 dir. “s: “An›tkabir ‹stanbul’dad›r.”

3. Afla¤›daki önermelerin de¤ilini (olumsuzunu) yaz›n›z, yazd›¤›n›z önemelerin do¤rulukde¤erlerini belirtiniz

p: “Ay, Dünyadan büyüktür.”.q: “Türkiye ile Irak iki komflu ülkedir”r: “72 = 14”s: “8 ≥ 4”

4. Verilen p ile q önermeleri için p Λ q ≡ 1 olsun. Buna göre, p V ( p′ Λ q ) bileflik önermesinindo¤ruluk de¤erini belirtiniz.

5. Verilen p, q, r önermeleri için, (p Λ q) Λ (p′ V r) ≡ (p Λ q) Λ r oldu¤unu gösteriniz.

6. p ile q önermeleri veriliyor. (p′ V q′) ⇒ (p Λ q′) bileflik önermesini en sade flekildeyaz›n›z.

7. p ile q önermeleri veriliyor. [(p V q′) Λ (p′ Λ q)]′ bileflik önermesini en sadeflekilde yaz›n›z.

8. Verilen p ve q önermelerinde, p Λ 1 ≡ 0 ve q V 0 ≡ 1 oldu¤una göre, p Λ q ile p′Λ q′bileflik önermelerin do¤ruluk de¤erlerini belirtiniz.

9. p ve q önermeleri veriliyor. Bu önermeler için, (p′ Λ q)′ Λ (p′ ⇒ q) ≡ p oldu¤unu gösteriniz.

MATEMAT‹K 1

34

10. Verilen p ve q önermeleri için, (p V q) ⇔ q ≡ p ⇒ q oldu¤unu gösteriniz.

11. Yukar›daki flekilde görülen elektrik devresine karfl›l›k gelen bileflik önermeyi yaz›n›z.

12. p Λ [(p Λ r) V s] Λ t bileflik önermesine karfl›l›kl› gelen bir elektrik devresi çiziniz.

13. “ Bir çemberde merkez aç›n›n ölçüsü, gördü¤ü yay›n ölçüsüne eflittir.” Bu teoreminhipotez ve hükmünü belirtiniz. Teoremin karfl›t›n› yaz›n›z.

14. “ABCD dörtgeni bir kare ise bütün kenarlar› eflittir.” koflullu önermesi veriliyor.Bu koflullu önermenin karfl›t›n›, tersini ve karfl›t tersi önermesini yaz›n›z.

15. p, q ve r önermeleri veriliyor. Bu önerler için, (p V r )′ Λ q′ ≡ 1 ise (p V r) Λ [q Λ (p V r ) ]bileflik önermesinin do¤ruluk de¤erini bulunuz.

16. [p V(p V r)] ≡ 0 ise (p′ Λ q) V [p Λ (q′ V r)] bileflik önermesinin do¤ruluk de¤erinibulunuz.

17. (∀ x ∈ R x2 -1 ≤ 0 ) V (∃ x ∈ R, x ≠ 4) bileflik önermenin olumsuzunu yaz›n›z.

18. ( p⇒ q) ⇔ (q⇒ p) bileflik önermenin do¤ruluk de¤erleri tablosunu yap›n›z.

19. Afla¤›da verilen bileflik önermelerin do¤ruluk de¤erleri tablosunu yapmadan, do¤ruluk de¤erlerini ispatlay›n›z.

a. [p V (p Λ r)]′ Λ [(p′ V q)]′ ≡ 0b. (p Λ r′) V (p′⇒ r) ≡ 1c. (p′ ⇔ q) Λ (p ⇔ q) ≡ 0d. [(p ⇒ q) Λ p ] ⇒ (p V q) ≡ 1

20. “Bir tek say› ile bir çift say›n›n çarp›m› çift say›d›r.” teoremini;a. Do¤rudan ispatb. Olmayana ergi metodu ile ispat ediniz.

MATEMAT‹K 1

35

. TEST I

1. Afla¤›dakilerden hangisi bir önermedir?

A) Yolda dikkatli yürüyünüz.B) Hofl geldiniz.C) Çok çal›flmaktay›m.D) 13 asal say›d›r.

2. Verilen dört önerme için, kaç farkl› do¤ruluk de¤eri vard›r?

A) 4B) 8C) 16D) 32

3. Afla¤›daki bileflik önermelerden hangisi yanl›flt›r?

A) p Λ p ≡ pB) p Λ q ≡ q Λ pC) p Λ 1 ≡1D) p Λ 0 ≡ 0

4. Afla¤›daki bileflik önermelerden hangisi (p ⇒ q)′ önermesine denktir.

A) p′ ⇒ qB) p′ ⇒ q′C) p′ V qD) p Λ q´

5. qΛ (p′ V q)′ bileflik önermesi, afla¤›dakilerden hangisine denktir?

A) Totoloji B) Çeliflki C) pD) q

6. p Λ 1 ≡ 0 ve q V 0 ≡ 1 ise afla¤›daki bileflik önermelerden hangisi do¤rudur?

A) p′ Λ q′B) p Λ qC) p Λ q′D) p′ Λ q

MATEMAT‹K 1

36

7. q ⇒ (p V q) bileflik önermesi, afla¤›dakilerden hangisine denktir?

A) Totoloji B) Çeliflki C) pD) q

8. (p ⇒ q) Λ (p′ ⇒ q) bileflik önermesi, afla¤›dakilerden hangisine denktir?

A) Totoloji B) Çeliflki C) pD) q

9. (p ⇒ q)′ V (q′ ⇒ p)′ bileflik önermesi, afla¤›dakilerden hangisine denktir?

A) Totoloji B) Çeliflki C) p′D) q′

10. p ⇒ q ≡ 0 ise afla¤›daki bileflik önermelerden hangisi do¤rudur?

A) q ⇒ pB) p ⇒ qC) q Λ (p ⇒ q) D) q Λ q′

11. q⇒(p⇒r) ≡ 1 ise afla¤›daki bileflik önermelerden hangisi yanl›flt›r?

A) (p V q) Λ r′B) (p Λ q) Λ r´C) (p′Λ q) Λ rD) (p V q′) V r

1 2 . (∀ x ∈ R, x ≥ 5) Λ (∃ x ∈ R, x3 > 0) bileflik önermesinin de¤ili, afla¤›dakilerden hangisidir?

A) (∀ x ∈ R, x ≤ 5) Λ (∃ x ∈ R, x3 < 0)B) (∃ x ∈ R, x < 5) V (∀ x ∈ R, x3 ≤ 0)C) (∀ x ∈ R, x ≥ 5) V (∃ x ∈ R, x3 > 0)D) (∃ x ∈ R, x ≥ 5) V (∀ x ∈ R, x3 > 0)

MATEMAT‹K 1

37

13. (∀ x ∈ R, x2 - 2x+1 ≥ 0) ⇒ (∃ x ∈ R, x > 1) bileflik önermesinin de¤ili, afla¤›dakilerdenhangisidir?

A) (∀ x ∈ R, x2 - 2x+1 < 0) ⇒ (∃ x ∈ R, x ≤ 1) B) (∃ x ∈ R, x2 - 2x + 1 < 0) Λ (∀ x ∈ R, x > 1) C) (∀ x ∈ R, x2 -2x +1 ≥ 0) Λ (∀ x ∈ R, x ≤ 1)D) (∃ x ∈ R, x2 -2x +1 ≥ 0) ⇒ (∀ x ∈ R, x > 1)

14. (x2 = 4) ⇒ (x = -2 V x = 2) koflullu önermesinin, karfl›t tersi afla¤›dakilerden hangisidir?

A) ( x ≠ -2 V x ≠2) ⇒ x2 ≠ 4B) (x = -2 Λ x = 2) ⇒ x2 = 4C) (x ≠ -2 Λ x ≠ 2) ⇒ x2 ≠ 4D) (x = -2 V x = 2) ⇒ x2 = 4

15. (p ⇒ q)′ Λ q bileflik önermesi, afla¤›dakilerden hangisine denktir?

A) Tololoji B) Çeliflki C) pD) q

16. (p V q) Λ (p Λ q)′ bileflik önermesi, afla¤›dakilerden hangisine denktir?

A) pV qB) p Λ qC) p ⇒ q′D) p′⇔ q

17. (p V q) ⇒ (p Λ q) bileflik önermesi, afla¤›dakilerden hangisine denktir?

A) p ⇔ qB) p ⇒ qC) p Λ qD) p V q

18. p ⇒ [q ⇒ (p Λ q)] bileflik önermesi, afla¤›dakilerden hangisine denktir?

A) Tololoji B) ÇeliflkiC) pD) q

MATEMAT‹K 1

38

19. fiekildeki elektrik devresine karfl›l›k gelen, bileflik önerme afla¤›dakilerden hangisidir?

A) (p V q) Λ (r V s) B) (p Λ q) V (r Λ s)C) (pV q) Λ (r Λ s) D) (p Λ q) V (r V s)

20. [(1 V 0 )′ V (0 Λ 0 )′ ] Λ m ≡ 1 olmas› için, m yerine afla¤›daki bileflik önermelerden hangisi gelemez?

A) (1⇔1)B) (0 ⇔ 0)C) (1 ⇒ 0)D) (0 ⇒ 1)