I.b- Propuesta de Nuevo Currículo Educación Matemáticas

1. ¿Cuál es el listado final de cursos que el grupo disciplinario o de perfil le propone a las universidades? (hacer entrega oficial de los programas de todos los cursos)

EJE TEMÁTICO: NÚMEROS Y OPERACIONES

Descripción:

Este eje identifica los conocimientos y habilidades que debemostrar sobre los números y sus operaciones un profesor dematemáticas de segundo ciclo básico.

Estos saberes acerca de los números para su enseñanza en elsegundo ciclo básico incluyen: - la construcción de losnúmeros, sus operaciones y propiedades a partir del estudiode las cantidades y las magnitudes; - la comprensión de lasestructuras axiomático deductivas que los modelan, y - lacomprensión de los sistemas de numeración usados para surepresentación; así mismo, el reconocimiento de secuencias apropiadas para la enseñanzade estos números y de los obstáculos que afectan suaprendizaje en condiciones escolares, y el reconocimiento desituaciones de modelación, de resolución de problemas, de usode tecnología y de evaluación que favorecen el aprendizaje.

El eje se organiza en dos sub-ejes, el de las cantidadesdiscretas, “Números Naturales y Enteros” y el de lascantidades continuas “De los Números Racionales, reales yComplejos”. Esta división hace referencia a los conceptos decardinal y de magnitud que siendo distintos se superponen enla conformación del concepto de número.

Subeje 1:Números Naturales y Enteros

Estándar 1: Comprende los conceptos de número natural y entero, comoabstracción de las cantidades discretas, y los distingue desus formas de representación.

Justifica procedimientos y estrategias de cálculo aritmético,y propiedades del orden y de las operaciones con númerosnaturales y enteros a partir de propiedades evidentes de losnúmeros y de sus sistemas de representación.

Resuelve problemas referidos a cantidades discretas ymagnitudes negativas, haciendo uso eficiente del orden, lasoperaciones, las propiedades de las operaciones, el valorabsoluto, las ecuaciones, las inecuaciones, y herramientastecnológicas, según las condiciones dadas y el modelo queconstruya de la situación.

Diseña desafíos y problemas referidos a situaciones de orden,conteo, aditivas, multiplicativas, de divisibilidad y restosligadas a contextos de los programas oficiales de segundociclo de distintos sectores curriculares, en los que seutilice operaciones, ecuaciones, inecuaciones y en generalpropiedades de los números naturales o enteros.

Indicadores de logro Distingue el objeto matemático número natural de los

símbolos usados para su representación, y de losconceptos de ordinal y cardinal. Además, reconoce queesta complejidad conceptual constituye un obstáculodidáctico.

Reconoce el carácter pragmático y cultural de lossistemas de numeración; relaciona los algoritmos deoperación con sus estructuras, en particular en elsistema indo-arábigo, y fundamenta los algoritmos deoperación en función de la base del sistema denumeración decimal.

Verifica por medio de ejemplos propiedades como la

asociatividad, y explica la limitación de laverificación como argumento de prueba general.

Prueba propiedades de divisibilidad basándose en laspropiedades del sistema de numeración decimal y proveeargumentos sobre la validez general de la propiedad.

Comprende el número entero como una magnitud vectorialdiscreta con magnitud y dirección.

Distingue las situaciones donde el cero toma un valorabsoluto, por ejemplo tamaño, de aquellas donde el cerotoma un valor relativo, por ejemplo indicando unaposición.

Clasifica las situaciones aditivas en situaciones deestado, variación y cambio.

Resuelve problemas referidos a situaciones aditivas ymultiplicativas usando ecuaciones, cálculo mental ycalculadora, según las condiciones dadas.

Utiliza la descomposición prima de los números y elteorema fundamental de la aritmética multiplicativapara resolver problemas multiplicativos.

Genera situaciones problemas referidas a las nocionesde divisibilidad, cuociente y resto, las relaciona conel Algoritmo de Euclides y las resuelve.

Modela situaciones problemas del ámbito de sudisciplina en que se utilicen números enteros onaturales.

Provee justificaciones a los algoritmos de suma ymultiplicación en Z..

Ejemplos1. Da ejemplos que evidencien la diferencia entre

cantidad y número. Argumenta porque IX y 9representan el mismo número.

2. Resuelve una suma en dos sistemas de numeración,verifica y argumenta la igualdad de las sumas.

3. Ejemplifica una situación en la que los niñosconfunden el objeto matemático número con unarepresentación del mismo.

4. Explica las virtudes de un sistema de numeraciónposicional, con cero y signos simples para laconstrucción de las cifras.

5. Identifica diferencias cualitativas entre lanumeración maya, egipcia, china, indo-arábiga, romanay babilónica.

6. Fundamenta el algoritmo usado para sumar con reservay los canjes para restar en el sistema decimal

7. Fundamenta el algoritmo de la multiplicación en basea la descomposición aditiva de los números.

8. Verifica que existen múltiplos de seis que son pares,y explica por qué ello no constituye una prueba deque “todos los pares son múltiplos de seis”.

9. Investiga estrategias para operar números endistintas bases y discute su utilidad práctica

10. Prueba que la suma de tres números consecutivoses múltiplo de tres, y provee argumentos verbalessobre la validez de la propiedad en N.

11. Representa la suma y la resta de enteros en larecta numérica usando flechas y da sentido a lasnociones de magnitud y sentido de las flechas.

12. Argumenta la diferencia entre el cero como tamañode un objeto y el cero como la temperatura en que secongela el agua.

13. Identifica problemas aditivos relativos asituaciones de estado, cambio y variación.

14. Enuncia problemas referidos a situaciones decombinación o cambio, y relaciona su resolución conla categorización de los problemas aditivos

15. Determina usando cálculo mental el valor a pagarpor tres pasajes escolares a $ 130 cada uno, y usando

calculadora el área de una propiedad rectangular de14,5 metros de frente y 18,40 de fondo.

16. Determina el lapso de tiempo en que tres líneasde buses se encuentran simultáneamente en elterminal, si una tiene recorrido cada 12 minutos, laotra cada 15 y la tercera cada 18 minutos. Todascomienzan su recorrido a las 6:30 AM.

17. Elabora el enunciado de una situación problemareferida a las nociones de cuociente y resto, en quese requiera hacer uso del Algoritmo de Euclides y loresuelve.

18. Relaciona el Algoritmo de Euclides consituaciones cotidianas en que adquiere significado elcuociente y el resto de una división

19. Modela una situación referida a geografía humana,frecuencia de uso de palabras, o de ciencias en queutilice números naturales, atendiendo a su mencióncomo estudiante de pedagogía básica..

20. Argumenta el sentido de que la suma de un númeropositivo por un negativo pueda ser positiva, pero encambio la multiplicación de un número positivo conuno negativo no pueda serlo

Estándar 2:

Comprende los conceptos de número natural y entero, comoentes formales cuyas propiedades están dadas por losaxiomas y las proposiciones que se deducen de ellos.

Comprende la estructura deductiva de los sistemas de númerosnaturales y enteros; reconoce las propiedades de estossistemas y es capaz de explorar y deducir algunaspropiedades en el marco de la teoría de números y de laestructura de anillo de los números enteros.

Organiza, planifica y diseña actividades y secuencias deenseñanza que favorecen la comprensión y uso de losmúltiplos, los divisores, la descomposición en factoresprimos, la divisibilidad, las potencias y productos como

iteraciones, la representación de grandes y pequeñosnúmeros, y la estimación y el redondeo, como también, delos números enteros, sus operaciones, orden y valorabsoluto, atendiendo a los obstáculos didácticos asociadosa estos objetos, a las orientaciones didácticas de losprogramas oficiales del segundo ciclo y a los enfoquescognoscitivos actuales de los aprendizajes.

Indicadores de logro Describe las nociones de correspondencia biunívoca y

función sucesor y reconoce los axiomas de Peano comopropiedades verificables con cantidades discretas.

Explica la construcción inductiva de los naturales y surelación con las propiedades del orden, de la adición yde la multiplicación.

Demuestra propiedades de los naturales usando técnicasde inducción, lógica inferencial, cuantificadores,razonamiento deductivo y conceptos de básicos de teoríade conjuntos.

Caracteriza los números naturales a partir de sudescomposición en factores, pudiendo describir ydemostrar algunos aspectos del algoritmo de Euclides ydel teorema fundamental de la aritmética.

Define el orden y las operaciones con números naturalesa partir de los axiomas de Peano y las propiedades que sededucen de ellos.

Conjetura y refuta o demuestra propiedades del orden, laadición, la multiplicación, los múltiplos, losdivisores, la divisibilidad, el MCM y el MCD.

Distingue las situaciones relativas a conteo y cantidad,que dan origen a los números naturales, de su definiciónformal, los invariantes asociados y sus sistemas derepresentación.

Identifica obstáculos didácticos asociados a lacomprensión y uso de los números naturales en el segundociclo básico, en particular los obstáculosepistemológicos que quedan en evidencia en el desarrollohistórico de la matemática, y planifica actividades parala superación de estos por parte de los alumnos.

Organiza secuencias de enseñanza para el estudio de losmúltiplos, los divisores y la descomposición en factores

primos atendiendo a los programas de estudio del segundociclo básico.

Organiza, planifica y diseña actividades y secuencias deenseñanza que favorecen la comprensión y uso de ladivisibilidad, las potencias y productos comoiteraciones, la representación de grandes y pequeñosnúmeros, y la estimación y el redondeo, atendiendo a losobstáculos didácticos asociados a estos conceptos, a lasorientaciones didácticas de los programas oficiales delsegundo ciclo y a los enfoques cognoscitivos actuales delos aprendizajes.

Define los números enteros como clases de equivalenciaentre pares de naturales y prueba que Z es un conjuntoordenado y el orden es total

Define las operaciones con números enteros y deduce que( Z,+,*) es un anillo conmutativo con unidad y sindivisores de cero.

Reconoce en los opuestos una propiedad en Z no válida enN, que permite dar solución a las ecuaciones aditivas.

Comprende la definición del valor absoluto y utiliza surepresentación gráfica.

Distingue las situaciones relativas a ganancias,perdidas, descuentos, aumentos, descensos y orden demagnitud.que dan origen a los números enteros, de sudefinición formal, los invariantes asociados y sussistemas de representación.

Identifica obstáculos didácticos asociados a lacomprensión y uso de los números enteros en el segundociclo básico y planifica actividades para la superaciónde estos por parte de los alumnos.

Organiza secuencias de enseñanza para el estudio de losnúmeros enteros, atendiendo a los programas de estudiodel segundo ciclo básico; en particular, construyesituaciones problemas para facilitar en sus alumnos elaprendizaje las operaciones con números enteros.

Organiza, planifica y diseña actividades y secuencias deenseñanza para el estudio de los números enteros, susoperaciones, orden y valor absoluto, atendiendo a losobstáculos didácticos asociados a estos conceptos, a lasorientaciones didácticas de los programas oficiales delsegundo ciclo y a los enfoques cognoscitivos actuales de

los aprendizajes. Selecciona con criterio pedagógico problemas que se

resuelven usando ecuaciones e inecuaciones aditivas ymultiplicativas en Z, justificando los procedimientos pormedio de propiedades.

Ejemplos1. Describe tres propiedades de la función sucesor y

verifica tres axiomas de Peano por medio de cardinales.2. Explica el uso del principio de inducción para

fundamentar la cancelación en la suma de númerosnaturales.

3. Demuestra la propiedad de cancelación de la suma en losnaturales usando técnicas de inducción y lógica

4. Demuestra que la potencia enésima de un primo tiene sólon+1 divisores.

5. Define la suma usando recursividad en los naturales. 6. Propone dos conjeturas acerca de la divisibilidad por 6

y las prueba o refuta 7. Examina tres conjeturas acerca los números pares. y

prueba o refuta según corresponda8. Interpreta la relación MCD(a, b).MCM(a, b)= a b y la

prueba9. Explica la diferencia entre el natural como elemento de

una teoría formal y el natural como abstracción de unacantidad.

10. Presenta una situación en la que los alumnosconfunden los números con los numerales.

11. Organiza una secuencia de enseñanza para estudiarla descomposición en factores primos de un númeroatendiendo a los programas de estudio del segundo ciclobásico.

12. Fundamenta el uso de tres métodos distintos paradeterminar el MCD.

13. Planifica una secuencia de enseñanza parafavorecer la comprensión y uso de las potencias conexponente entero, atendiendo a los obstáculosdidácticos asociados a estos conceptos y a lasorientaciones didácticas de los programas oficiales delsegundo ciclo.

14. Prueba que Z es un conjunto ordenado y el orden es

total, a partir de la definición de Z como conjuntocuociente.

15. Identifica todas las propiedades de ( Z,+,*) que loidentifican como un anillo y las verifica.

16. Prueba la propiedad asociativa de la suma en Z, apartir de su construcción desde los naturales.

17. Explica la ventaja de que los enteros no tengandivisores de cero en la resolución de ecuacioneslineales.

18. Explica la ventaja de la existencia de opuestos enZ frente a las ecuaciones aditivas.

19. Explica la definición del valor absoluto de unentero y explica su representación gráfica.

20. Relaciona las operaciones en Z con situacionesreferidas a magnitudes positivas y negativas.

21. Organiza una secuencia de enseñanza para estudiarel orden en Z, atendiendo a los programas de estudio delsegundo ciclo básico.

22. Elabora situaciones de aprendizaje para que susalumnos investiguen y formulen conjeturas sobre laspropiedades de la multiplicación de enteros.

23. Explica la problemática epistemológica asociada alos números negativos

24. Planifica una secuencias de enseñanza para tratarsumas y restas con números enteros, atendiendo a losobstáculos didácticos asociados a estos conceptos, a lasorientaciones didácticas de los programas oficiales delsegundo ciclo y a los enfoques cognoscitivos actuales delos aprendizajes..

25. Selecciona tres problemas que se resuelven usandoecuaciones e inecuaciones aditivas o multiplicativas enZ, los resuelve y justifica el procedimiento deresolución

26. Elabora una guía de trabajo apropiada a la realidadde un grupo curso con problemas en contexto que seresuelven por medio de ecuaciones.

Subeje 2:Números Racionales , Reales y Complejos Estándar 3:

Comprende los significados asociados a las fracciones y elconcepto de número racional como elemento de un conjuntocuociente, distinguiendo sus diferencias y similitudes.Reconoce los números decimales como aquellos racionales quese expresan por fracciones cuyo denominador es una potenciade diez. Reconoce las expresiones o desarrollos decimalesfinitos y periódicos como una forma de representación de losnúmeros racionales, alternativa a las fracciones, quefacilita los cálculos de las operaciones aritméticas.Comprende la existencia de cantidades inconmensurables, eidentifica los números irracionales con las expresiones odesarrollos decimales infinitos no periódicos. Reconoce enlas distintas formas de representación de los números unacomplejidad conceptual que se constituye en un obstáculodidáctico.

Reconoce las propiedades del orden y de las operaciones,incluyendo potencias y raíces, en los números decimales,racionales e irracionales, y las visualiza bajo las distintasformas de representación, incluyendo esquemas y gráficos, deestas categorías de números. Fundamenta los procedimientos decálculo a partir de las formas de representación de losnúmeros.

Resuelve problemas asociados a fenómenos naturales y socialesa partir de la modelación de situaciones referidas adiferencias y razones entre medidas, mediciones yparticiones, repartos y fraccionamientos, equivalencia defraccionamientos, cuocientes y restos, pendientes, escalas,semejanza, porcentajes, tasas y variaciones proporcionales,probabilidades, medidas grandes y pequeñas, redondeos,aproximaciones, estimaciones, uso de calculadora y algoritmosoperatorios, y uso de estrategias de cálculo; para lo cual

utiliza números irracionales, el sistema de los númerosracionales y diferentes registros de representación,incluyendo expresiones fraccionarias, decimales finitas,infinitas periódicas y no periódicas, y potencias conexponente entero.

Diseña, selecciona y resuelve situaciones problemas asociadasa distintas disciplinas, en el marco de los programas deestudio de segundo ciclo básico, usando fracciones,decimales y porcentajes.

Indicadores de logro Describe situaciones referidas a parte todo, parte de la

unidad, punto en la recta, porcentaje, razón entrecantidades que se expresan por medio del símbolo defracción.

Comprende las fracciones propias e impropias comonúmeros que representan cantidades que aluden a parte deuna unidad.

Describe situaciones en que es indistinto el uso defracciones equivalentes y resulta apropiado usar elconjunto cuociente.

Reconoce los números decimales como aquellos racionalesque se expresan por fracciones cuyo denominador es unapotencia de diez.

Reconoce los desarrollos decimales finitos y periódicoscomo formas de representación de los números racionales,alternativa a las fracciones, que facilita los cálculosde las operaciones aritméticas.

Muestra que los números con representación decimalfinita admiten otra infinita.

Identifica los números irracionales con las expresioneso desarrollos decimales infinitos no periódicos

Transforma fracciones a decimales y viceversa, yfundamenta sus procedimientos.

Compara, ordena e intercala fracciones y decimales entresí.

Realiza multiplicaciones usando fracciones y expresióndecimal de las mismas. para facilitar los cálculos delas operaciones.

Fundamenta los procedimientos de cálculo aritmético apartir de las formas de representación de los números.

Prueba la irracionalidad de raíz de dos, a partir delestudio de la inconmensurabilidad de la longitud de ladiagonal de un cuadrado con respecto a la longitud base.

Fundamenta la conveniencia de introducir los númerosirracionales para describir las magnitudes continuas.

Reconoce las propiedades del orden y de las operaciones,en los números decimales, racionales e irracionales,distingue las que se heredan de los números naturales oenteros, y las visualiza bajo las distintas formas derepresentación, incluyendo esquemas y gráficos, deestas categorías de números.

Resuelve problemas por medio de cuocientes, razones,tasas, proporciones, probabilidades, repartos yfraccionamientos.

Resuelve problemas asociados a fenómenos naturales ysociales a partir de la modelación de situacionesreferidas a diferencias y particiones, equivalencia defraccionamientos, cuocientes y restos, medidas grandesy pequeñas.

Describe fenómenos de la naturaleza que ilustranmagnitudes o razones constantes asociadas a númerosirracionales como e, pi y phi.

Utiliza en la resolución de problemas estrategias deredondeo, aproximaciones, estimaciones, calculadora,ecuaciones, inecuaciones, algoritmos operatorios yestrategias de cálculo basada en las propiedades de lasoperaciones.

Utiliza en la resolución de problemas númerosirracionales y el sistema de los números racionales bajodiferentes registros de representación, incluyendoexpresiones fraccionarias, decimales finitas, infinitasperiódicas, y notación científica.

Diseña, situaciones problemas asociadas a distintossectores del currículo de segundo ciclo básico, usandofracciones, decimales y porcentajes.

Reconoce en las distintas formas de representación delos números una complejidad conceptual que seconstituye en un obstáculo didáctico.

Ejemplos 1. Muestra cinco situaciones cotidianas que consideren la

fracción 4/5 aludiendo a diferentes referentes: partetodo, parte de la unidad, punto en la recta, porcentaje,razón entre cantidades

2. Presenta fracciones propias e impropias usando tresformas de representación distintas.

3. Argumenta por qué no es lo mismo un fósil de un kilo que2 fósiles de ½ kilo y describe una situación en que esindistinto el uso de fracciones equivalentes.

4. Explica cómo surgieron los números decimales y queventaja tienen.

5. Muestra una situación referida a tasas o impuestos enque es más fácil usar decimales que fracciones.

6. Argumenta de dos formas por qué 1 es igual al 0,99999...(periódico)

7. Argumenta por qué el cuociente entre el numerador ydenominador de una fracción no puede ser un decimalinfinito no periódico.

8. Justifica el uso del término irracional para losdesarrollos decimales infinitos no periódicos.

9. Expresa un decimal semi-periódico como fracciones yfundamenta el procedimiento usado.

10. Ubica fracciones y decimales en la recta numérica.11. Realiza multiplicaciones usando fracciones y una

expresión decimal de las mismas comentando lasfacilidades de cada método.

12. Fundamenta los procedimientos usados paramultiplicar con números decimales.

13. Prueba la irracionalidad de raíz de dos, a partirdel estudio de la inconmensurabilidad de la longitud dela diagonal de un cuadrado con respecto a la longitudbase.

14. Desarrolla una situación en que tiene sentido usarnúmeros irracionales y no una aproximación.

15. Señala dos propiedades de los racionales comunes alos enteros y dos propiedades que no son válidas en losenteros.

16. Utiliza la recta numérica para mostrar lasfracciones equivalentes en los racionales

17. Resuelve problemas por medio de razones, tasas, yfraccionamientos.

18. Propone y resuelve problemas asociados a fenómenosnaturales que hagan uso de medidas pequeñas y notacióncientífica..

19. Describe tres fenómenos que ilustren situacionesque se modelen con números irracionales trascendentescomo e, pi y phi.

20. Propone tres situaciones problemas que ilustren eluso de estrategias de redondeo, aproximación yestimación

21. Plantea y resuelve problemas en contextos realistasque requieren el uso de números irracionales yracionales.

22. Diseña una situación problema que haga usopertinente de fracciones, decimales y porcentajes.

23. Muestra una situación en que la forma derepresentación de los números se constituya en unobstáculo didáctico.

Estándar 4: Comprende el concepto de número racional, como ente formalcuyas propiedades están dadas por su definición constructivay las proposiciones que se deducen de ellos.

Comprende la estructura deductiva del sistema de los númerosracionales, reconoce sus propiedades como cuerpo ordenado yes capaz de explorar y deducir algunas propiedades en elmarco de la estructura del cuerpo cuociente construido desdeel anillo de los números enteros. Organiza, planifica y diseña actividades y secuencias deenseñanza que favorecen la comprensión y utilización de losnúmeros irracionales y del cuerpo ordenado de los racionales,en situaciones referidas a fracciones de medidas,particiones, reparto, ubicación en la recta, equivalencia defracciones, expresiones decimales infinitas periódicas y no

periódicas, redondeos, aproximaciones, estimaciones,operaciones entre racionales, cálculos con algoritmosestándares, uso de estrategias de cálculo, uso decalculadora, lectura y escritura de números racionales,divisores, restos, potencias, medidas grandes y pequeñas,exponentes enteros incluyendo negativos; atendiendo a losobstáculos didácticos asociados a estos conceptos, a lasorientaciones didácticas de los programas oficiales de cuartobásico a primero medio, y a los enfoques cognoscitivosactuales de los aprendizajes.

Indicadores de logro Comprende el concepto de número racional, como ente formal cuyas

propiedades están dadas por su definición constructiva Comprende la diferencia entre el número irracional como

objeto matemático y su representación. Construye los racionales como cuerpo cuociente y define

el orden, la suma y el producto en Q. Reconoce las propiedades de Q como cuerpo cuociente,

ordenado, arquimediano, pero no completo, incluyendopropiedades de las potencias.

Explora y deduce algunas propiedades en el cuerpoordenado (Q,+,*) a partir de (Z,+,*).

Define raíz de un número y su potencia, explorapropiedades de las raíces y hace demostraciones a partirde las propiedades de las potencias.

Identifica y demuestra algunas propiedades de Q que nose verifican en Z.

Explica el sentido de la definición de número irracionalcomo un límite de sucesiones de Cauchy, intervalosencajados o cortaduras.

Extiende y verifica demuestra propiedades algebraicas delas operaciones con números racionales al ámbito de losirracionales.

Identifica obstáculos didácticos asociados a lacomprensión y uso de los números racionales eirracionales en el segundo ciclo básico, en particularlos obstáculos epistemológicos que quedan en evidenciaen el desarrollo histórico de la noción de número real,y planifica actividades para la superación de estos porparte de los alumnos.

Organiza, planifica y diseña actividades y secuencias deenseñanza que favorecen la comprensión y utilización delcuerpo ordenado de los racionales, en situacionesreferidas a fracciones de medidas, particiones, reparto,equivalencia de fracciones, operaciones entreracionales, cálculos con algoritmos estándares, uso deestrategias de cálculo, uso de calculadora, lectura yescritura de números racionales, divisores, restos,potencias, exponentes enteros incluyendo negativos;atendiendo a los obstáculos didácticos asociados a estosconceptos y a las orientaciones didácticas de losprogramas oficiales de cuarto básico a primero medio.

Organiza, planifica y diseña actividades y secuencias deenseñanza que favorecen la comprensión y utilización delos racionales, en situaciones referidas a ubicación enla recta, expresiones decimales infinitas periódicas,redondeos, aproximaciones, estimaciones, medidas grandesy pequeñas; atendiendo a los obstáculos didácticosasociados a estos conceptos, a las orientacionesdidácticas de los programas oficiales de cuarto básico aprimero medio, y a los enfoques cognoscitivos actualesde los aprendizajes

Organiza y diseña actividades que favorecen lacomprensión y utilización de los números irracionales,en situaciones referidas a fracciones de medidas,ubicación en la recta, expresiones decimales infinitasno periódicas, redondeos, aproximaciones, uso deestrategias de cálculo, uso de calculadora, medidasgrandes y pequeñas, atendiendo a los obstáculosdidácticos asociados a estos conceptos y a lasorientaciones didácticas de los programas oficiales deoctavo básico y primero medio.

Ejemplos1. Usa la definición de número racional para deducir

propiedades desde los enteros.2. Reconoce la raíz de dos como irracional que no

admite una representación como fracción entreenteros, y cuyo cuadrado es dos.

3. Demuestra que existe una única función que a cada

par de racionales (a, b) y (c, d) le asigna el par(ad+bc, bd), con b y d no nulos.

4. Presenta con apoyo tecnológico, la diferencia entreel sistema de numeración decimal indo-arábigo y elsistema numérico de los números decimales

5. Demuestra la propiedad asociativa de la suma en losracionales.

6. Explica la propiedad arquimidiana y la consecuenciade la incompletitud de los racionales.

7. Prueba la existencia de un orden en Q que contieneal orden de Z.

8. Demuestra que el producto de las raíces de dosnúmeros racionales es igual a la raíz del productode estos números.

9. Utiliza el acotamiento por exceso y por defectopara calcular un valor aproximado a una raízirracional.

10. Demuestra la densidad de Q: que entre dosracionales existen infinitos racionales

11. Demuestra la existencia del irracional raíz dedos usando cortaduras o límite de sucesiones deCauchy.

12. Demuestra la propiedad asociativa entre númerosracionales

13. Identifica el obstáculo epistemológico presenteen el desarrollo histórico del concepto de númeroirracional

14. Diseña una secuencia de enseñanza que favorece lautilización de los racionales, en situacionesreferidas a cálculos con algoritmos estándares,atendiendo las orientaciones de los programas decuarto básico a primero medio.

15. Organiza actividades de aprendizaje en torno a laforma de sumar fracciones y a su fundamento.

16. Diseña actividades que favorecen la comprensiónde los racionales, en situaciones referidas amedidas grandes y pequeñas; atendiendo a lasorientaciones didácticas de los programas oficiales

17. Elabora una situación de aprendizaje que permitaestablecer la relación entre el área de unacircunferencia y el valor de Pi.

Estándar 5:Comprende de manera intuitiva los números reales comocompletación de los racionales, a partir de los desarrollosdecimales infinitos y el modelo de la recta numérica,disponiendo de herramientas conceptuales y procedimentalespara la resolución de problemas y la interpretación defenómenos referidos a magnitudes continuas, teniendo envista la organización de su enseñanza.

Comprende los números complejos como producto cartesiano delos reales en el plano, a partir del cual se define unaoperatoria útil, de tipo vectorial que permite resolversituaciones problemas. Indicadores de logro

Identifica la recta real como un modelo para representarlos números racionales e irracionales y ubicafracciones, decimales finitos e infinitos en la recta.

Diseña situaciones problemáticas que involucrenmagnitudes continuas para el aprendizaje de los númerosreales y sus propiedades

Identifica el plano como un modelo para representar losnúmeros complejos, y ubica números complejos en el planoa partir de sus coordenadas cartesianas o su módulo yargumento.

Identifica situaciones en las que es útil usar númeroscomplejos y las representa gráficamente en el plano.

Ejemplos Representa los reales en la recta numérica y ubica en

ella fracciones, decimales finitos e infinitos en larecta.

Diseña situaciones problemáticas que involucrenmagnitudes continuas para el aprendizaje de losnúmeros reales y sus propiedades

Verifica la conmutatividad de la adición en R, apartir de representaciones de magnitudes en la rectanumérica.

Representa números complejos por medio de paresordenados en el plano.

Representa situaciones referidas a electricidad pormedio de los números complejos.

EJE TEMÁTICO: Geometría

Descripción:

Este eje está orientado a determinar los conocimientos relacionadoscon la rama de la Geometría, de los cuales debe apropiarse unprofesor de matemática de 2° ciclo básico, como también laprofundidad con que esos temas deben presentarse y las competenciasque debe demostrar el profesional a la hora de conducir a susestudiantes en el proceso de aprendizaje de los mismos. Con el finde estructurar ordenadamente los estándares relacionados con elámbito de la Geometría, se ha dividido este eje en los siguientessubejes: 1) Figuras Geométricas Planas, 2) Cuerpos Geométricos, 3)Transformaciones Isométricas y 4) Geometría Proporcional. En cadauno de ello están incorporados los contenidos de la matemática de 5°a 8° básico, pero también están aquellos temas matemáticos que sonfundantes de los tópicos tratados en la matemática escolar.

Los futuros profesores de 2° ciclo para el subsector matemáticadeben tener apropiadas competencias en el ámbito pedagógico que soncomplementarias al ámbito disciplinario. Es por ello que cada uno delos estándares para los distintos subejes incorporará el: conocimiento de Planes y Programas vigentes en Educación

Matemática en 2° ciclo de enseñanza básica y también en EnseñanzaMedia en lo referido a Geometría.

desarrollo de habilidades para resolver problemas delámbito geométricos,

diseño y planificación de situaciones para facilitar elaprendizaje de geometría, en base a actividades de aprendizaje,apoyándose en diferentes recursos.

evaluación de aprendizajes.

Subeje: Figuras Geométricas Planas

Estándar 6

Comprende la estructura axiomática de la geometría euclidiana y lasnociones básicas de punto, recta, trazo, rayo. Comprende elsignificado de distintas figuras geométricas tales como ángulo,polígono (centrado en el triángulo y el cuadrilátero),

circunferencia y las regiones que ellas delimitan; distinguiendo lasdistintas formas de clasificar y de caracterizar dichas figuras através de su construcción geométrica, avanzando hacia la deducción ydemostración de sus propiedades y relaciones. Comprende losconceptos de medida de longitud, medida angular, medida desuperficie y demuestra propiedades que permitan calcular áreas yperímetros; reconociendo los distintos sistemas y unidades de medidaen cada uno de ellos. Comprende el concepto de congruencia defiguras en el plano, y aplica los criterios de congruencia detriángulos para determinar si dos figuras son congruentes, comotambién para construir tesselaciones y así vincular el estudio de lageometría a diferentes manifestaciones del arte y la arquitectura,valorando a la Geometría como una disciplina muy ligada a larealidad de la humanidad y sus civilizaciones en distintas culturasy épocas.

Organiza, planifica y diseña actividades que direccionen losprocesos de enseñanza hacia procesos de conceptualización de losdistintos objetos geométricos para inducir en forma comprensiva laclasificación de figuras en los niños, para generar la necesidad deusar regla y compás en construcciones geométricas, para deducirpropiedades a partir de figuras construidas geométricamente o ensoftware de geometría dinámica, y para deducir propiedades métricas.Diseña planificaciones de enseñanza que sean coherentes con lasorientaciones didácticas presentes en el marco de los programasoficiales y con enfoques cognoscitivos actuales acerca delaprendizaje.

Indicadores de logro Reconoce y comprende las diferentes características que definena los ángulos, triángulos, cuadriláteros, polígonos ycircunferencia como también los distintos criterios declasificación de ellas.

Comprende el concepto de congruencia de figuras poligonales yreconoce pares de figuras congruentes. Demuestra sus afirmacionesutilizando criterios de congruencia.

Deduce, comprende y demuestra propiedades y relacionesfundamentales en ángulos, triángulos, cuadriláteros y polígonos,fundamentándolas, cuando corresponda, con teoremas de congruencia.Aplica estas propiedades en la resolución de problemasgeométricos.

Reconoce y valora los aportes de la geometría euclidiana en lasdistintas manifestaciones arquitectónicas, artísticas yestructurales presentes en la humanidad en distintas épocas.

Construye con regla y compás diferentes figuras planas,conocidos algunos de sus elementos y considerando suscaracterísticas propias; describiendo, además, sus procesos deconstrucción. Complementa dichos procesos constructivos utilizandoun software de construcción geométrica.

Comprende el concepto de equivalencia de figuras y demuestrateoremas de equivalencia.

Conoce, relaciona, selecciona y utiliza unidades de medidaadecuadas para medir ángulos, trazos, figuras y superficies, ensituaciones problemáticas

Deduce y demuestra fórmulas para el cálculo de perímetros yáreas de regiones planas, comprendiendo el significado de árearelacionándolo con la medida de la superficie y el de perímetrocon la adición de las longitudes de todos los lados de la figura ode la superficie que la delimita.

Establece un criterio de secuencialidad entre los distintoscontenidos de geometría referidos a figuras planas señalados enlos Planes y Programas de 5° a 8° año básico.

Identifica conocimientos previos referidos a figuras planas quepermitan instalar un nuevo conocimiento y reconoce aquellosconceptos erróneos que dificultan su aprendizaje

Diseña actividades de aprendizaje que propicien la capacidad derazonamiento geométrico en los estudiantes, utilizando un softwaregeométrico que permita experimentar y recopilar informaciónconducente a la elaboración de conjeturas acerca de propiedades deelementos y relaciones conceptuales de los objetos bidimensionalesorientadas explícitamente a la resolución de problemas.

Diseña planificaciones de clases referidas a figurasgeométricas considerando los momentos de ella.

Diseña pruebas escritas que estén orientadas a la comprensión,la aplicación y la utilidad de lo aprendido respecto a figurasplanas.

Ejemplos

1) Clasifica los cuadriláteros según suselementos o características. Justifica tu respuesta poniendo demanifiesto los criterios de clasificación inclusiva.

2) Determinar el lugar geométrico de loscentros de las circunferencias de radio dado, tangentes a unacircunferencia dada.

3) Fundamente la construcción de la simetralde un trazo, haciendo uso de su concepción como lugar geométrico.

4) Construir un octógono regular de lado , inscrito en una circunferencia.

5) Dado un cuadrado ABCD, construir hacia suinterior un triángulo isósceles ABP, de base AB, cuyos ángulosbasales son de 15º. Probar que el triángulo CDP es equilátero.

6) Demuestra que la medida de un ánguloexterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores noadyacentes con él.

7) Demuestra que la recta que une los puntosmedios de los lados no paralelos de un trapecio, es paralela a lasbases, y su medida es igual a la semisuma de las medidas de lasbases.

8) Demuestra que todos los triángulos quecomparten la misma base y altura son equivalentes entre sí, yequivalentes a la mitad del rectángulo determinado por la base yla altura. Deduce la expresión para el área de la regióntriangular.

9) Utilice los conocimientos de congruenciay teoremas de congruencia para fundamentar matemáticamente que lasdiagonales de un paralelogramo se dimidian.

10) Construye la simetría axial en diferentescuadriláteros ABCD utilizando diferentes ejes de simetría talescomo la diagonal y el trazo que une los puntos medios de los ladosopuestos y reconoce que en algunos de esos cuadriláteros ABCD el

eje de simetría genera dos figuras congruentes, mencionando enforma explícita las condiciones que se deben dar con elcuadrilátero y el eje para que se cumpla dicha condición (dosfiguras congruentes).

11) Construye, utilizando un softwareadecuado, un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia yestablezca una relación métrica entre el radio de ella y lalongitud del lado del triángulo equilátero.

12) Utilizando diferentes recursos tales comoescuadra, regla, compás, superficies recortables, o un software deconstrucción geométrica, comprueba las siguientes relaciones: Teorema de Pitágoras La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°y fundamenta el hallazgo a través de una argumentaciónmatemática

13) Analiza la ubicación del ortocentro endistintos tipos de triángulos apoyándote en la construccióngeométrica de las alturas.

14) Investigue acerca de las propiedades queposeen los triángulos que se forman a partir de las medianas de untriángulo isósceles. Fundamente estas propiedades de maneraadecuada.

15) Construir los triángulos determinados porlas siguientes condiciones dadas: a = 3 cm, g = 60º, b = 3 cm a = 20º, c = 4 cm, b = 110º a = 25º, c = 3 cm, b = 25º a = 15º, g = 75º, c = 5 cmDetermine los instrumentos que permiten cada construcción, yclasifique los triángulos según la longitud de sus lados y lamedida de sus lados.

16) Investigue y explique el sistema radiánpara la medida angular

17) Dada una circunferencia de radio r, seinscribe en ella un cuadrado, sobre cada uno de los lados delcuadrado se construye una semicircunferencia. Genere una fórmulaen función del radio que permita encontrar el perímetro de lafigura y el área de la región delimitada.

18) Señala los contenidos de 5°, 6° y 7°referidos a figuras geométricas y establece una secuencialidad enellos.

19) Menciona al menos tres erroresconceptuales que podrían dificultar el aprendizaje de loscontenidos presentes en los contenidos de Perímetro y Área de 5°básico.

20) Identifica tres conocimientos previos yjustifica la necesidad de utilizarlos para la enseñanza de“estudio y trazado de cuadriláteros” en 6° básico.

21) Diseñe una actividad de aprendizajeutilizando un software adecuado que permita a sus estudiantes:a) evidenciar el teorema de Pitágoras y sus aplicaciones (7°

básico)b) elaborar una conjetura acerca de la relación del ángulo

exterior del triángulo con los interiores no adyacentes a él. c) evidenciar la colinealidad del ortocentro, baricentro e

inscentro de un triángulo cualquiera.

22) Planifica una clase considerando inicio-desarrollo-cierre y la adecuación de los tiempos de cada uno delos momentos y que incluya actividades de aprendizaje de 8° básicoreferidas al análisis de los elementos de una circunferencia yconstrucción conceptual de las fórmulas para calcular su perímetroy el área del círculo.

23) Diseña 3 preguntas de prueba acerca delas diferencias entre un polígono y un polígono regular (para elámbito de la comprensión), además de existir otra preguntarespecto de la utilidad de lo aprendido referido al uso de lospolígonos regulares en la vida diaria.

24) Considera los planes y programas 5°básico a 1° medio y señala en qué niveles se analizan loscontenidos de congruencia de figuras planas y establece unasecuencialidad en ellos.

Subeje: Cuerpos Geométricos

Estándar 7

Comprende los conceptos referidos a rectas y planos paralelos yperpendiculares en el espacio que permitan deducir y demostrar laspropiedades involucradas en ellos; como también comprende elconcepto de ángulo diedro. Comprende, aplica y fundamenta lasdiferentes clasificaciones de cuerpos en el espacio, y determinapropiedades y relaciones en ellas. Reconoce y clasifica los cuerpospoliedros, identificando sus elementos principales. Es capaz,además, de fundamentar y aplicar el Principio de Cavalieri en ladeterminación de fórmulas de volumen de cuerpos geométricos. Calculavolúmenes y áreas de superficie, y aplica estos conocimientos asituaciones concretas, y resuelve problemas relacionados con figurasen el espacio.

Organiza el proceso de aprendizaje de cuerpos geométricos a travésde una mediación efectiva que considera planificaciones con una altaconsistencia interna, involucradas en la conceptualización de losobjetos geométricos, la deducción de propiedades y relaciones, y laaplicación de éstas en la resolución de problemas. Además, es capazde justificar la organización de los contenidos geométricos en losplanes de estudio de la enseñanza básica, y comprende la vinculaciónque ésta tiene con los contenidos vistos en enseñanza media.

Indicadores de logro

Comprende los conceptos de rectas, planos en el espacio, asícomo sus posiciones relativas, paralelismo, perpendicularidad eintersecciones. Comprende el concepto de ángulo diedro y triedro,sus elementos y características.

Conoce, caracteriza y clasifica los poliedros regulares, ycomprende y utiliza la relación existente entre el número decaras, el número de vértices y el número de aristas de un cuerpogeométrico denominada Fórmula de Euler.

Deduce, demuestra y utiliza fórmulas adecuadas para calcularárea y volumen de cuerpos geométricos, en resolución de problemasen diversos contextos

Reconoce las características de cuerpos geométricos

clasificándolos según criterios como: redondos y no redondos,superficies laterales curvas o paralelas, número de superficiesbasales, paralelismo de las superficies basales, etc.

Modela objetos de entorno su con cuerpos geométricos conocidos.Conoce, relaciona, selecciona y utiliza unidades de medidaadecuadas para áreas y volumen para resolver problemas de la vidacotidiana.

Establece un criterio de secuencialidad entre los distintoscontenidos de geometría referidos a cuerpos geométricos señaladosen los Planes y Programas de 5° a 8° año de educación generalbásica.

Reconoce y analiza conceptos erróneos respecto de cuerposgeométricos que dificultan el aprendizaje de otros contenidosgeométricos, y diseña y planifica estrategias de intervención pararemediar esta situación.

Identifica los conocimientos previos referidos a figuras planasque permiten instalar un conocimiento específico de la geometríadel espacio.

Diseña actividades de aprendizaje que propicien la capacidad derazonamiento geométrico en los estudiantes, utilizando un softwaregeométrico que permitan experimentar y recopilar informaciónconducente a la elaboración de conjeturas.

Diseña planificaciones de clases referidas a cuerposgeométricos considerando los momentos de ella.

Diseña pruebas escritas que estén orientadas a la comprensión,la aplicación y la utilidad de lo aprendido respecto a cuerposgeométricos.

Ejemplos

1) Determinar el número máximo de rectas y planos que se puedendeterminar por 4 puntos en el espacio.

2) Fundamenta y describe las principales características de untetraedro regular y establece las diferencias con un hexaedroregular.

3) Utilizando un software de visualización geométrico, establece las

diferencias entre un prisma y una pirámide.

4) Observa distintos cuerpos geométricos estableciendo en cada uno deellos el número de caras (C), el número de vértices (V) y elnúmero de aristas (A). A partir de ello reconoce la relaciónexistente entre C, V y A, denominada Fórmula de Euler.

5) Establece fundamentadamente distintos procesos concretos para elcálculo de volúmenes de conos y cilindros.

6) Construye geométricamente representaciones bidimensionales (redes)de distintos cuerpos geométricos y establece caracterizaciones másprecisas de los cuerpos a partir de ellas.

7) Comprende el significado de 1 metro cúbico y lo utiliza paraestablecer comparaciones en distintos consumos de agua potablefacturados.

8) Señala los contenidos de 5°, 6° y 7° referidos a cuerposgeométricos y establece una secuencialidad en ellos.

9) Menciona al menos tres errores conceptuales que podrían dificultarel aprendizaje de los contenidos presentes en la Interpretación yuso de fórmulas para el cálculo de volumen de conos y cilindrospresentes en la Unidad 5 de 8° básico.

10) Identifica tres conocimientos previos y justifica la necesidadde utilizarlos para la enseñanza de “relaciones de equivalenciasentre unidades de volumen de uso corriente” en la Unidad 5 de 8°básico.

11) Diseña una actividad que permita discriminar los conceptos devolumen y capacidad en niños que confunden ambas nociones.

12) Diseñe una actividad de aprendizaje que permita a susestudiantes evidenciar la fórmula de Euler.

13) Diseñe una actividad, usando un software de visualizacióngeométrico, que permita que un alumno determine la relación entrela medida del volumen de una pirámide respecto de la medida delvolumen de un prisma.

14) Planifica una clase considerando inicio-desarrollo-cierre y laadecuación de los tiempos de cada uno de los momentos referida alcontenido “experimentación de procedimientos concretos para medir

el volumen de conos y cilindros”.

15) Diseña una prueba acerca de cuerpos geométricos en donde existauna pregunta acerca de las diferencias entre una pirámide y unprisma; para el ámbito de la comprensión. Además de existir otrapregunta respecto de la utilidad de lo aprendido referido al usode las esferas en la vida diaria.

16) Genera un conjunto de preguntas para evaluar aprendizajes endiferentes momentos de la clase respecto de los aprendizajesseñalados en los planes y programas de educación matemática de 8°básico.

Subeje: Transformaciones Isométricas

Estándar 8

Comprende las características que son propias de cada uno de losdistintos tipos de transformaciones isométricas: traslación,rotación, simetría puntual y axial. Reconoce transformacionesisométricas en variados contextos, tanto cotidianos como artísticos,identificando su tipo y los elementos que la generaron. Aplicatransformaciones y usa simetrías para analizar y resolver problemasgeométricos, así como para ilustrar propiedades de figurasgeométricas. Además, está en condiciones de organizar, planificar,diseñar actividades de aprendizaje basadas en la resolución deproblemas para los contenidos presentes en el marco de los planes yprogramas vigentes en Matemática y de generar instancias evaluativasacerca de estos aprendizajes.

Indicadores de logro

Comprende, reconoce y construye traslaciones, simetríaspuntuales, simetrías axiales y rotaciones de figuras, usando reglay compás, y software de construcción geométrica.

Valora la importancia de la presencia de las transformacionesisométricas en el arte y arquitectura, identificando el tipo detransformación presente en determinadas obras.

Utiliza simetrías en triángulos y cuadriláteros paraclasificarlos, ilustrar propiedades, y resolver problemas en

diversos contextos.

Establece una secuencialidad entre los distintos contenidos degeometría referidos o asociados a transformaciones isométricasseñalados en los Planes y Programas de 5° básico a 1° medio.

Identifica conocimientos y aprendizajes previos que permitan alestudiante comprender un nuevo conocimiento referido atransformaciones isométricas.

Diseña y construye actividades de aprendizaje que permitan alalumno de 2do ciclo, relacionar conceptos, plantearfundamentadamente procedimientos y conjeturas, referidas a algúntipo de transformación isométrica, apoyándose en un softwaregeométrico o en construcciones geométricas,

Planifica clases referidas a transformaciones isométricas,considerando los momentos de inicio, desarrollo y cierre,proponiendo en cada uno de éstos diferentes actividades genéricasde aprendizaje y evaluación. Para ello, utiliza al menos dosmodelos de planificación.

Diseña pruebas escritas que estén orientadas a la comprensión,la aplicación y la utilidad de lo aprendido respecto atransformaciones isométricas, sus pautas de corrección y, sicorresponde, la rúbrica y escala de calificación.

Ejemplos

1) Construye la simetría axial de diferentes cuadriláteros utilizandodiferentes ejes de simetría tales como la diagonal y el trazo queune los puntos medios de los lados opuestos, y reconoce que enalgunos de esos cuadriláteros la simetría genera una figuracoincide con el cuadrilátero original, mencionando en formaexplícita las condiciones que se deben dar con el cuadrilátero yel eje para que se cumpla dicha condición.

2) Construye un hexágono regular usando un software geométrico, apartir de una serie de transformaciones isométricas aplicadas a untriángulo equilátero. Describa en forma explícita lastransformaciones isométricas realizadas.

3) Dado un triángulo isósceles ABC, de base AB, construya otrotriángulo A’B’C’ trasladando el primero 3 unidades a la derecha enla dirección de la recta que contiene la base y aplicando luego un

giro de 30º en sentido antihorario respecto del punto A.

4) Valora el rol de traslaciones, simetrías y/o rotaciones en lacreación de pinturas de M. Escher.

5) Investiga sobre la presencia de los 17 grupos de simetría en elarte de medio oriente.

6) Reconoce simetrías en tres elementos de la naturaleza o de suentorno físico. Describa el tipo de simetría.

7) Reconoce traslaciones, simetrías y/o rotaciones en las pinturas deM. Escher.

8) Aplica traslaciones, simetrías y/o rotaciones en la construcciónde tesselaciones (embaldosamientos).

9) Considera los planes y programas de 5° básico a 1° medio y señalaen qué niveles se analizan los contenidos de transformacionesisométricas y establece una secuencialidad en ellos.

10) Explica las consecuencias que en el estudiante puede tener eldefinir una isometría solo a través de su raíz etimológica (iso =igual, metría = medida) en la respuesta a la siguiente pregunta:

“Indica si la figura de la derecha es una transformaciónisométrica de la de la derecha:

11) Diseña una prueba acerca de polígonos en donde exista unapregunta acerca de las diferencias entre traslación, simetríaaxial y rotación; para el ámbito de la comprensión. Además deexistir otra pregunta respecto de la utilidad de lo aprendidoreferido al uso de las transformaciones isométricas en la vidadiaria y en las artes.

Subeje: Geometría Proporcional

Estándar 9

Comprende los conceptos de semejanza de figuras y proporcionalidadde trazos, y los utiliza para fundamentar los teoremas de semejanzade triángulos. Aplica estos teoremas para determinar relaciones desemejanza de polígonos, para resolver problemas y para demostrar losteoremas de Euclides y los referidos a relaciones métricas yangulares en la circunferencia. Comprende y aplica las razonestrigonométricas para resolver problemas. Construye homoteciasdirectas e inversas de figuras. Valora uso de la semejanza defiguras en el arte y la arquitectura.

Conoce la ubicación de los contenidos asociados a geometríaproporcional y semejanza en los planes de estudio de enseñanzabásica y media, y es capaz de organizar el proceso de aprendizaje deestos contenidos para el nivel de Educación General Básica.

Indicadores de logro

Comprende el concepto de proporcionalidad de trazos y loutiliza para fundamentar y construir geométricamente la divisióninterior y exterior de un trazo. Construye geométricamente lamedia, tercera y cuarta proporcional y comprende losprocedimientos involucrados en dicha construcción.

Conoce, comprende y aplica los teoremas de Thales en laresolución de problemas.

Comprende el concepto de semejanza de figuras planas y loutiliza para construir figuras semejantes y fundamentar losteoremas de semejanza de triángulos aplicándolos en la resoluciónde problemas.

Comprende el concepto de homotecia, lo utiliza para construirfiguras semejantes y fundamentar los teoremas de semejanza detriángulos aplicándolos en la resolución de problemas.

Deduce y demuestra los Teoremas de Euclides y las relacionesmétricas presentes en la circunferencia (Teorema de las cuerdas,de las secantes, etc.) aplicando los teoremas de semejanza.

Aplica las relaciones métricas presentes en el triángulo

rectángulo (Teoremas de Thales, Euclides y Pitágoras) y en lacircunferencia para resolver problemas geométricos.

Comprende a las razones trigonométricas como la constante deproporcionalidad involucrada en triángulos semejantes, y reconocesu utilidad para resolver problemas en triángulos que no se puedenrealizar utilizando los teoremas anteriores.

Aplica las razones trigonométricas para resolver problemasgeométricos y contextualizados.

Investiga situaciones reales en los que el concepto desemejanza está presente, y las fundamenta matemáticamente; porejemplo, la lectura de planos, mapas u otras representaciones queutilicen el dibujo a escala, o bien, la presencia de la razónáurea en el arte, arquitectura y naturaleza.

Identifica los contenidos de enseñanza básica y media,relacionados con la semejanza de figuras, estableciendo unasecuencialidad en ellas.

Diseña actividades de aprendizaje que propicien la capacidad derazonamiento geométrico en los estudiantes, utilizando un softwaregeométrico o construcciones geométricas, que permitan experimentary recopilar información conducente a la elaboración de conjeturasacerca de las condiciones que deben cumplirse para que dos figurassean semejantes.

Analiza textos escolares de matemática para 2do ciclo, y evalúala pertinencia de las actividades propuestas, relacionadas congeometría proporcional.

Ejemplos

1) Construye geométricamente la división interior y exterior de untrazo.

2) Dados dos trazos de longitudes p y q, construye la mediaproporcional geométrica. Relaciona la construcción anterior con elteorema de euclides de la altura.

3) Reconocen en las condiciones de un problema geométrico, lautilización del teorema de thales y elaboran demostraciones

utilizando dicho teorema.

4) Utilizan la semejanza de figuras planas y los teoremas desemejanzas en triángulos para demostrar propiedades y parareconocer pares de triángulos semejantes dados algunos medidasangulares y longitudes de lados. Aplica los teoremas de semejanzade triángulos para demostrar los teoremas de Euclides en untriángulo rectángulo.

5) Resuelve problemas geométricos acerca de relaciones métricas en untriángulo rectángulo, utilizando el teorema de Euclides.

6) Construyen por homotecias figuras semejantes y fundamentan elporque las figuras construidas son semejantes y establecen losinvariantes asociados a la semejanza de figuras planas.

8) Considera los planes y programas de matemática para 2° medio yconstruye los indicadores de logro para el aprendizaje esperado“Conocen los criterios de semejanza de triángulos y los aplican enel análisis de los diferentes polígonos y en la resolución deproblemas”.

9) Considera los planes y programas 5° básico a 4° medio y señala enqué niveles, la secuencialidad y que deben aprender los alumnosrespecto a Teorema de Thales, Teorema de Euclides y Teorema dePitágoras.

10) Identifica tres conocimientos previos y justifica la necesidadde utilizarlos para la enseñanza de “Semejanza de Figuras Planas”(contenido de 2° medio).

11) Diseñe una actividad de aprendizaje, utilizando el Cabri II (uotro programa adecuado) o construcciones geométricas, que permitaa sus estudiantesa) Estimar distancias o alturas aplicando semejanza de triángulos.b) elaborar una conjetura acerca de la relación entre las áreas

de dos triángulos semejantes.

12) Planifica una clase considerando inicio-desarrollo-cierre y laadecuación de los tiempos de cada uno de los momentos y queincluya actividades de aprendizaje referidas a los teoremas desemejanza de triángulos.

13) Diseña una prueba acerca de trazos proporcionales y semejanzade triángulos en donde exista una pregunta acerca de las

diferencias entre figuras congruentes y figuras semejantes; parael ámbito de la comprensión. Además de existir otra preguntarespecto de la aplicación de la proporcionalidad en la vidadiaria y en las artes.

14) Genera un conjunto de preguntas para evaluar aprendizajes endiferentes momentos de la clase respecto de los aprendizajesseñalados en los planes y programas respecto a Teorema de Euclides

EJE TEMÁTICO: TRATAMIENTO DE LA INFORMACIÓN

DescripciónEn todas las esferas del mundo actual, políticas,científicas, tecnológicas y domésticas, el tratamiento dela información constituye una herramienta de primer ordenen la predicción de fenómenos y la toma de decisiones.Este eje está centrado en los conceptos, técnicas y métodosnecesarios para el tratamiento de la información en elmarco de la resolución de problemas extraídos de diferentesámbitos contextuales.El eje se estructura en los siguientes subejes:1. Análisis de datos univariados y divariados.2. Nociones básicas de Probabilidades.

Subeje: Análisis de datos univariados y bivariados

Estándar 10Comprende y aplica conceptos y técnicas estadísticasrequeridas para recopilar, organizar, representar, analizare interpretar conjuntos de datos a partir del planteamiento,discusión y resolución de problemas extraídos de la vidareal, teniendo en vista la organización de su enseñanza.

Indicadores de Logro Formula interrogantes que para ser respondidas

requieren de una recolección de datos. Identifica tipos de variables: cualitativas-ordinales-

cuantitativa, continua-discreta, en contexto tomados dela vida diaria.

Organiza conjuntos de datos presentándolos a través de

tablas de distribución de frecuencias y/o gráficos. Interpreta tablas y gráficos para describir el

comportamiento de un conjunto de datos. Fundamenta la importancia de la recopilación de datos

en el proceso de una investigación. Argumenta la elección de una técnica de centralización

o dispersión para describir el comportamiento de unconjunto de datos.

Ejemplos

1. Formula preguntas que pueden ser respondidas con datosrecolectados y organizados de su grupo curso.

2. Recopila, organiza y grafica datos extraídos de susestudiantes, como deporte favorito, número de hermanos,peso, estatura, con la finalidad de obtener informaciónsignificativa en base al comportamiento de ellos.

3. Diseña actividades de aprendizaje para que elestudiante aplique los conceptos y las propiedades dela media aritmética, la mediana y la moda.Plantea a sus estudiantes problemas con datos de lavida diaria, para que éstos seleccionen y fundamentanel tipo de medida de tendencia central que mejorrepresenta a un conjunto de datos.

Estándar 11Comprende y aplica conceptos y técnicas estadísticas talescomo tablas, diagramas, regresiones y correlaciones,requeridas para determinar y describir las relacionesexistentes entre dos variables. Planifica estrategiaspedagógicas teniendo en cuenta el tipo de variables, el tipode gráfico y el indicador apropiado en el análisis de lainformación.

Indicadores de logro Ordena, construye e interpreta conjuntos de datos

correspondientes a dos variables, presentándolos enforma simultánea a través de tablas divariadas y/ográficos.

Cuantifica el grado de asociación que presentan dosvariables seleccionando el estadístico adecuado para la

situación. Obtiene conclusiones a partir del grado de asociación

que presentan dos variables. Utiliza software estadístico para la presentación y

análisis de datos.

Ejemplos1. Presenta en una tabla y representa en un gráfico losdatos correspondientes al género y edad de los estudiantesde un curso y fundamenta la forma de representaciónseleccionada.2. Dato el valor de la correlación entre el peso y laestatura de un grupo de sujetos, interpreta su significado.3. Diseña actividades de aprendizaje que involucransituaciones de la vida diaria para que los estudiantescalculen y discutan la relación entre variables.4. Dado un conjunto de datos bivariados, realizapredicciones de una de las variables como un acercamiento ala idea de inferencia estadística.

SUB EJE: Nociones Básicas de Probabilidades

Estándar 12A partir del análisis de situaciones significativascomprende el concepto de probabilidad y la importancia de suaplicación en la predicción y planifica estrategiaspedagógicas teniendo en cuenta el concepto de azar.

Indicadores de logro Comprende, explica y describe las diferencias entre

fenómenos aleatorios y fenómenos determinísticos. Establece un espacio muestral asociado a un fenómeno

aleatorio. Determina un evento o suceso asociado a un fenómeno

aleatorio. Interpreta el concepto de probabilidad asociándolo a

“resultados posibles” y “resultados favorables”. Describe situaciones del mundo natural y cultural en

las que se usan la probabilidad y las limitaciones queella presenta.

Ejemplos1. Selecciona y analiza en alguna revista o periódico unasituación en la cual se usen las probabilidades.2. Diseña actividades que, basadas en las ideas intuitivasde los estudiantes y en la discusión de ellas, permitandiferenciar y caracterizar fenómenos aleatorios y fenómenosdeterminísticos.3. Plantea problemas extraídos de medios de información quepermitan la discusión y argumentación de las conclusiones.

EJE TEMÁTICO: MODELIZACIÓN ALGEBRAICA

Descripción:

Este eje se fundamenta en la importancia del álgebra como pilarfundamental para la construcción de la matemática comodisciplina científica.La modelización algebraica, está estrechamente relacionada conla construcción de modelos para describir una situación y

realizar predicciones sobre ella y a su vez comunicar loobtenido. Estos modelos tienen la fuerza de ser aplicados adiversas situaciones problemáticas, brindándole a la matemáticael estatus de ser una herramienta funcional para la vidadiaria, consolidándola como una ciencia necesaria para lasociedad del conocimiento.Es por lo anterior que este eje temática está dividido, su vez,en tres subejes:Subeje 1: Lenguaje algebraico y EcuacionesSubeje 2: Variaciones ProporcionalesSubeje 3: Funciones y gráficas

En forma paralela a la adquisición de conocimientosmatemáticos, los futuros profesores de Segundo Ciclo Básicodeben poseer las competencias pedagógicas-didácticas para unaadecuada preparación de la enseñanza en función de losaprendizajes que deben lograr en todos sus estudiantes.Por esta razón en que incluye en cada subeje el conocimiento delas dificultades de enseñanza y de aprendizaje de los conceptosmatemáticos, además de su ubicación en el marco curricular y laplanificación y evaluación de los contenidos disciplinares aenseñar.

Subeje 1: Lenguaje Algebraico y Ecuaciones

Estándar Nº 13Identifica el lenguaje algebraico como una relación entre laaritmética y el álgebra y de estos con el lenguaje común. Dasentido a la notación y uso de las letras (variables) dentro deeste nuevo lenguaje. Relaciona, a su vez, su semántica ysintaxis con símbolos y significados únicos y que si bien seconstruyó a partir de las propiedades de los sistemasnuméricos, tiene sus propias particularidades.Además utiliza el lenguaje algebraico para la resolución deproblemas, que se transformarán en ecuaciones o inecuaciones,mediante la utilización de herramientas como la supresión deparéntesis, reducción de términos semejantes, factorización yla operatoria básica con expresiones algebraicas.También desarrolla la capacidad de generalización del lenguajealgebraico asociado al cálculo de productos y factores, comoson los productos notables y el cálculo de perímetros y áreas

de figuras planas.Por otra parte, conoce los orígenes históricos del lenguaje,reflexionando en torno al razonamiento inductivo y suimportancia para la articulación de un currículo con sentido,para el estudiante que lo aprende en el segundo ciclo básico.De la misma forma para el futuro profesor se hace necesaria laincorporación a su praxis docente de elementos innovadores comoes el uso de materiales didácticos y software matemáticos,incorporándolos en la organización, planificación y evaluaciónde actividades que fomente y mejore los aprendizajes de todossus estudiantes.

Indicadores de logro

Generaliza la operatoria aritmética de los sistemasnuméricos a operatoria algebraica a través del uso desímbolos adecuados a la situación, haciendo un paralelo entrelo particular y lo general.

Construye patrones numéricos y/o geométricos a partirde la generalización de patrones de repetición.

Plantea y resuelve ecuaciones utilizando la operatoriaalgebraica de reducción de términos semejantes y/ofactorización.

Calcula productos notables, hace factorizaciones y losinterpreta numérica y geométricamente.

Conocen algunos antecedentes históricos sobre la evolucióndel lenguaje algebraico.

Resuelve ecuaciones con coeficientes numéricos y literalesy analiza la existencia de sus soluciones.

Reconoce las características del lenguaje algebraico, encuanto a su construcción y sus usos y las utiliza para lajustificación de la enseñanza y del aprendizaje de estecontenido en el sistema escolar.

Desarrolla el razonamiento inductivo para la obtención deleyes y propiedades que modelen la relación entre objetosmatemáticos en situaciones contextualizadas.

Comprende el proceso para llegar a la regla de resoluciónde la ecuación de segundo grado.

Crea modelos de expresiones numéricas transformándolas enexpresiones algebraicas y entiende su significado para lapreparación de la enseñanza en el segundo ciclo básico.

Analiza los sistemas de ecuaciones lineales, en función delas posibles soluciones, resolviendo posteriormente paracomprobar.

Hace referencia al origen histórico del álgebra en laplanificación de los contenidos a enseñar, reconociendo eidentificando categorías diferentes de interpretación y usode letras dentro del álgebra de manera de explicitar laconstrucción de la matemática como disciplina científica.

Modela situaciones problemáticas en contexto medianteecuaciones e inecuaciones lineales y las resuelve aplicandolas propiedades de los sistemas numéricos, construyendomodelos que permitan generalizar conclusiones acerca de lautilidad de los algoritmos para resolución de problemas.

Organiza en forma didáctica situaciones problema,contextualizadas y con base histórica, en que se utilicenexpresiones algebraicas, para darle un sentido utilitario alaprendizaje del álgebra.

Manipula software como el graphmatica que le permitiránrelacionar el algebra con la geometría a través de laconstrucción de gráficos y le proporcionará herramientasactividades incluyendo el uso de tecnología.

Analiza críticamente los libros de texto de educaciónmatemática en el segundo ciclo de enseñanza básica,relacionando los contenidos disciplinares y didácticosexpuestos en él con respecto a el tratamiento del lenguajealgebraico y ecuaciones.

Entiende la modelización algebraica como una capacidad deanalizar soluciones de problemas, generalizarlas y justificarel alcance de ellas, permitiendo además reducir los tipos deproblemas y unificar las técnicas de solución.

Acepta que el lenguaje común y el lenguaje algebraico serelacionan muchas veces en semántica y sintaxis, pero que suobjeto de comunicación son distintos.

Se percata de los posibles errores que un estudiante delsegundo ciclo básico puede cometer al trabajar con lenguajealgebraico y ecuaciones.

Ejemplos:1. Escribe el modelo algebraico del “nombre de los números”2. Interpreta geométricamente la identidad 3. Estudia los tres períodos fundamentales del desarrollo de lanotación algebraica, distinguiendo claramente cada uno deellos.4. Planifica una clase considerando la etapa del algebrageométrica, tomando ejemplos del libro II de Euclides y laresolución propuesta en él.

5. Encontrar la solución de , por el método geométricode Al-Khawarizmi.6. Resolver la ecuación , por el método decompletación de cuadrados.7. Elabora guías de estudio de lenguaje algebraico yecuaciones, donde se utilicen las letras en cada uno de susseis posibles categorías.8. Determina y explica los errores cometidos en

y propone actividades para la corrección delos errores.9. Resuelve la ecuación mediante el uso de la balanza,de un diagrama y algebraicamente.10. Resuelve ecuaciones lineales mediante métodos aritméticos,reglas formales, búsqueda experimental, método de la balanza yresolución en una estructura algebraica.11. Construye secuencias didácticas inspiradas en la progresiónhistórica de los conceptos a enseñar en el segundo ciclobásico, permitiendo que los niños visualicen que la matemáticaevoluciona y que no es una ciencia hecha y fija.12. Elabora una planificación para introducir a los estudiantesde 8º básico en la resolución de ecuaciones lineales, mediantemodelos concretos y analiza la ventaja y desventaja delprocedimiento en el aprendizaje.13. Reconoce los obstáculos que produce el aprendizaje delálgebra a nivel básico, de manera de aportar para que no serepitan en la enseñanza media, ya que articula su enseñanza conla que el estudiante básico recibirá en los siguientes años deescolaridad.14. Elabora actividades donde es posible reconocer que loserrores que se producen en el álgebra muchas veces provienen dela incomprensión de las propiedades aritméticas de los números.

Subeje 2:Variaciones Proporcionales

Estándar Nº 14

Estudia la organización matemática en torno a la

proporcionalidad que se inserta en la necesidad de describirmediante un único modelo los diferentes tipos de relaciones deproporcionalidad (segundo nivel de algebrización) justificandola forma actual de la organización matemática escolar en tornoa la proporcionalidad de magnitudes.De esta organización matemática en torno a la función lineal,se desprenden las tres relaciones proporcionales que aparecenen la matemática escolar, como son los conceptos de razón,proporción y magnitudes proporcionales, con sus definiciones,propiedades, diferentes representaciones, aplicaciones ytécnicas de resolución.A su vez, utiliza los contenidos matemáticos anteriores enfunción de las necesidades de aprendizaje de los contenidos delsegundo ciclo básico establecidos por el marco curricular encuanto a la organización, planificación y evaluación deactividades contextualizadas y pertinentes para los estudiantesde este grupo, para así lograr un aprendizaje significativo entodos ellos.

Indicadores de logro

Estudia con detalle el concepto de razón como un parordenado de cantidades de magnitudes, a través de susdistintas utilizaciones, representaciones y conjunto numéricoal que pertenecen.

Estudia la organización matemática en torno a laproporcionalidad a partir del modelo funcional que describeen un único modelo las tres relaciones de proporcionalidadclásicas: proporcionalidad directa, inversa y compuesta.

Demuestra el teorema fundamental de las proporciones y loutiliza para reconocer que algunas razones forman unaproporción.

Ejemplifica con situaciones contextuales la noproporcionalidad y proporcionalidad directa e inversa,permitiendo al estudiante de enseñanza básica entender elpara qué es necesario su aprendizaje.

Resuelve problemas relacionados con la razón porcentual, entendiendo esta como una aplicación de la proporcionalidad directa, a través de un cociente constante, en un contexto cercano a sus estudiantes.

Utiliza el teorema fundamental de las proporciones paraclasificar las distintas proporciones que se forman alcambiar el orden de los términos y las utiliza para laresolución de problemas.

Modela y resuelve problemas de proporcionalidad compuesta,entendiendo esta como una conjunción entre situaciones deproporcionalidad directa y/o inversa y una forma económica deresolución de problemas donde estas estén relacionadas.

Usa las propiedades de las proporciones para resolverproblemas geométricos relativos a segmentos proporcionales,semejanza de triángulos, etc. y así relacionar la aritméticay el álgebra con la geometría que aprenderá el estudiante deenseñanza básica, en la enseñanza media.

Comprende que la regla de tres de una técnica eficaz parala resolución de problemas de proporcionalidad directa ycompuesta, pero que esta “esconde” la caracterización de lostipos de proporcionalidad.

Diseña situaciones de enseñanza que permitan a losestudiantes de educación básica aprender otras herramientasde resolución de problemas acordes el tema tratado y lograrun aprendizaje significativo en ellos.

Identifica y justifica las razones por las cuales se haceuna diferenciación en el tratamiento del contenidoVariaciones Proporcionales entre 6º y 8º año básico.

Diseña diferentes tipos de evaluaciones del contenido delmarco curricular Variaciones Proporcionales, considerando ladiversidad de estudiantes en la sala de clases.

Diseña y elabora unidades didácticas considerando losaprendizajes esperados, de los contenidos de VariacionesProporcionales, en cada curso del segundo ciclo básico, dondeel contenido es tratado.

Analiza críticamente los libros de texto de educaciónmatemática en el segundo ciclo de enseñanza básica,relacionando los contenidos disciplinares y didácticosexpuestos en él con respecto a el tratamiento de lasvariaciones proporcionales.

Valora la matemática como una herramienta útil y funcionalpara que los estudiantes del segundo ciclo de educaciónbásica alcancen contenidos y aprendizajes para desenvolverseen la sociedad actual.

Aprecia la organización matemática en torno a laproporcionalidad, comprendiendo su necesidad para laconsolidación matemática de los conceptos asociados a ella.

Ejemplos:1. Resuelve problemas del siguiente tipo: La fuerza de gravedaden la luna es 1/6 de la fuerza en la tierra. Si una persona escapaz de hacer un salto de altura de 1, 70 mts y de 4,85 mts delongitud en la tierra, ¿Cuánto podrá saltar en altura y

longitud en la luna?. Aplica el razonamiento de la regla detres y el razonamiento de función lineal para hacer loscálculos.2. Justifica la siguiente regla para el cálculo de porcentaje:Para calcular el p% de un número a, basta con multiplicar a porel operador decimal de porcentaje (p/100).3. Demostrar que si , entonces se cumple que 4. Analiza el siguiente problema, en relación con las posiblesrespuestas, formas de resolver y errores que pueden cometer losestudiantes de 8º básico: Si sube el precio de 1 kg. de porotosde $520 a $570, ¿Cuál es el porcentaje de aumento en el precio?5. Dos mangueras de igual caudal, llenan una piscina en treshoras, ¿Cuánto tiempo se demorarán en llenarla cinco manguerasiguales a las anteriores?6. Planifica situaciones de enseñanza y aprendizaje,considerando situaciones como descuento en tiendas comerciales,construcción de obras, ingredientes para elaborar alimentos,donde el estudiante infiera las características de unavariación proporcional directa, inversa o de noproporcionalidad.7. Diseña actividades de aprendizaje donde se pone demanifiesto la relación entre la geometría proporcional y lasvariaciones proporcionales mostrando que las ramas de lamatemática están relacionadas entre sí.8. Estudia en los diferentes medios de comunicación dondeaparecen porcentajes y los utiliza para la elaboración deproyectos grupales donde los estudiantes de educación básicavean la utilidad de aprender el contenido.9. Elabora una pauta de apreciación para evaluar y calificar eltrabajo de proyectos considerando la diversidad de estudiantes,las diferentes formas de aprender y los aprendizajes esperadosde la unidad variaciones proporcionales en 6º, 7º y 8º básico,en función de los aprendizajes a alcanzar.

Subeje 3:Funciones

Estándar Nº 15Comprende y utiliza el concepto de función de variable real,sus tipos, representaciones y propiedades, que consolidan lanoción de modelización algebraica, que articula los niveles deeducación básica y media, comprendiendo que no es un tópico aenseñar, pero que es de vital importancia para dar un sustento

teórico al aprendizaje y la enseñanza del álgebra y suutilización en los cursos superiores de enseñanza media yuniversitaria. A su vez comprende la importancia de esteconcepto dado el enorme campo de aplicaciones prácticas, ya seaen el ámbito físico, químico o propiamente matemático.

Indicadores de logro Analiza situaciones y fenómenos que se pueden modelarutilizando función lineal, cuadrática o exponencial

Caracteriza diferentes tipos de funciones (lineal,cuadrática, valor absoluto, raíz cuadrada, exponencial),basándose en su representación gráfica, su crecimiento odecrecimiento, dominio y recorrido y analiza su continuidad.

Construye expresiones algebraicas y/o gráficas pararepresentar fenómenos físicos, biológicos y/o matemáticos.

Reconoce la expresión algebraica y gráfica de lasfunciones lineales, cuadráticas y exponenciales, traduciendode un registro a otro.

Relaciona los sistemas de ecuaciones lineales, con surepresentación gráfica y sus posibles soluciones.

Estudia variados procedimientos de resolución de sistemasde ecuaciones lineales y selecciona el más adecuado para elproblema a resolver.

Desarrolla diferentes estrategias (gráficas y/oalgebraicas) para detectar si una relación entre variables eso no una función.

Investiga la construcción histórica el concepto defunción, indicando las diferentes etapas por las cuales pasóel concepto para su actual definición.

Explica la relación entre los conceptos de ecuación deprimer grado y la función lineal.

Identifica que la proporcionalidad directa e inversa sontipos de funciones y lo verifica mediante el uso de gráficas.

Valora el aporte de diferentes matemáticos a laconstrucción de la matemática como disciplina científica yvalida su campo de acción.

Utiliza software matemático para la graficación defunciones.

Es capaz de crear estrategias de enseñanza de ecuacioneslineales donde se relacionen estas con el concepto intuitivode función lineal.

Investiga situaciones contextuales relacionadas confunciones lineales, cuadráticas y exponenciales y suutilización en distintas áreas del conocimiento, como

economía, finanzas, física, química, entre otras.

Ejemplos:1. Analice la función raíz cuadrada en el intervalo (-4, 0]2. Extrae la información pedida del siguiente gráfico

¿Cuántos litros tenía el estanque a la salida?¿Qué sucedió en el kilómetro 80? ¿Y en el 240?¿Cuántos litros gastó durante el viaje?3. Dada la siguiente tabla, escribe la expresión algebraicaasociada. Elabora un gráfico y explicita su dominio yrecorrido, ¿A qué conjunto numérico pertenecen?

4. Si el perímetro de un cuadrado es 24 cms., Determina distintos valores para cada uno de los lados¿Cuál es el mayor valor que puede tomar la base? ¿y el menor?Construye una tabla con los valores anteriores y represéntalosen el plano cartesiano.¿Cuál es la expresión funcional que está representada en elgráfico anterior?5. Supón que hoy día vas a un banco y depositas $10.000 en unacuenta de ahorro al 0,3% mensual. Supón, además, que cada mesdepositas $1.000 en la misma cuenta y no retiras fondos,¿Cuánto dinero tendrás en la cuenta al cabo de un año?, ¿ydespués de dos años?6. En un loteo de sitios rectangulares, el largo de cadaterreno tiene 20 m. más que su ancho. Edmundo recuerda que unode los terrenos tiene 525 m2 de superficie. Encuentra lasdimensiones del terreno.7. Desarrolla una exposición de algún matemático que haya

contribuido a la formación de la disciplina, en particular conel concepto de función.8. Crea una guía de trabajo con un software matemático querelacione las ecuaciones de primer grado con las funcioneslineales.

Asignatura: Algebra yFuncionesAutor(a)/Universidad: AliciaZamorano/Universidad del Bío-BíoHoras presenciales por semana: 6 (4 teóricas, 2 prácticas)Horas requeridas del alumno por semana fuera del aula: 4

Visión del Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de EducaciónBásica

El Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica esun profesional con sólida formación pedagógica y disciplinaria, en almenos un sector de aprendizaje, con autonomía para tomar decisionesinformadas.Ejerce una práctica reflexiva y utiliza la investigación paradesarrollar las competencias que le permiten responsabilizarse de losprocesos y resultados de su enseñanza.En colaboración con la familia y comunidad, se compromete con el logrode aprendizajes que potencien el desarrollo psicosocial, intelectual ymoral de estudiantes preadolescentes. Participa en acciones de cooperación profesional asociadas almejoramiento de la calidad de la educación que ofrece su instituciónescolar

ALINEACIÓN CON ESTÁNDARES Y COMPETENCIAS

I. Estándares y Competencias del perfil de egreso relacionados con elcurso.

El curso de Álgebra y Funciones está diseñado para lograr con especialénfasis los estándares y competencias que a continuación se indican:

Estándar Nº 13Identifica el lenguaje algebraico como una relación entre laaritmética y el álgebra y de estos con el lenguaje común. Da sentido ala notación y uso de las letras (variables) dentro de este nuevolenguaje. Relaciona, a su vez, su semántica y sintaxis con símbolos ysignificados únicos y que si bien se construyó a partir de laspropiedades de los sistemas numéricos, tiene sus propiasparticularidades.Además utiliza el lenguaje algebraico para la resolución de problemas,que se transformarán en ecuaciones o inecuaciones, mediante lautilización de herramientas como la supresión de paréntesis, reducciónde términos semejantes, factorización y la operatoria básica conexpresiones algebraicas.También desarrolla la capacidad de generalización del lenguajealgebraico asociado al cálculo de productos y factores, como son losproductos notables y el cálculo de perímetros y áreas de figurasplanas.Por otra parte, conoce los orígenes históricos del lenguaje,reflexionando en torno al razonamiento inductivo y su importancia parala articulación de un currículo con sentido, para el estudiante que loaprende en el segundo ciclo básico.De la misma forma para el futuro profesor se hace necesaria laincorporación a su praxis docente de elementos innovadores como es eluso de materiales didácticos y software matemáticos, incorporándolosen la organización, planificación y evaluación de actividades quefomente y mejore los aprendizajes de todos sus estudiantes.

Estándar Nº 15Comprende y utiliza el concepto de función de variable real, sustipos, representaciones y propiedades, que consolidan la noción demodelización algebraica, que articula los niveles de educación básicay media, comprendiendo que no es un tópico a enseñar, pero que es devital importancia para dar un sustento teórico al aprendizaje y laenseñanza del álgebra y su utilización en los cursos superiores deenseñanza media y universitaria. A su vez comprende la importancia deeste concepto dado el enorme campo de aplicaciones prácticas, ya seaen el ámbito físico, químico o propiamente matemático.Competencias del Perfil, Eje 2

Competencia 1: Comprende con adecuada amplitud y profundidad lasdisciplinas del sector de aprendizaje que es responsable de enseñar.

Competencia 2: Comprende el marco curricular nacional y los mapas deprogreso para el sector curricular que enseña, estableciendo

relaciones con el primer ciclo y la enseñanza media, utilizando esteconocimiento para planificar su enseñanza.

Competencia 3: Utiliza los resultados de las investigaciones en suespecialidad y de las Ciencias de la educación para planificarsecuencias de enseñanza y evaluación que contemplan la lógica de loscontenidos y el proceso de aprendizaje.

Competencia 5: Utiliza los resultados de las evaluaciones para retroalimentar a los educandos y ajustar sus planificaciones y estrategias didácticas.

El (los) siguiente estándar(es)/competencia(s) tiene(n) un énfasissecundario en este curso:

Estándar 4Comprende la modelación de situaciones referidas a cuocientes,razones, tasas, proporciones, probabilidades, repartos yfraccionamientos, por medio del sistema de los números racionales ysus registros de representación, para aplicarla en la resoluciónproblemas asociados a fenómenos naturales y sociales, teniendo envista la organización de su enseñanza.

Estándar 5 Comprende de manera intuitiva los números reales como completación delos racionales, a partir de los desarrollos decimales infinitos y elmodelo de la recta numérica, disponiendo de herramientas conceptualesy procedimentales para la resolución de problemas y la interpretaciónde fenómenos referidos a magnitudes continuas, teniendo en vista laorganización de su enseñanza.

Estándar Nº 14Estudia la organización matemática en torno a la proporcionalidad quese inserta en la necesidad de describir mediante un único modelo losdiferentes tipos de relaciones de proporcionalidad (segundo nivel dealgebrización) justificando la forma actual de la organizaciónmatemática escolar en torno a la proporcionalidad de magnitudes.De esta organización matemática en torno a la función lineal, sedesprenden las tres relaciones proporcionales que aparecen en lamatemática escolar, como son los conceptos de razón, proporción ymagnitudes proporcionales, con sus definiciones, propiedades,diferentes representaciones, aplicaciones y técnicas de resolución.A su vez, utiliza los contenidos matemáticos anteriores en función delas necesidades de aprendizaje de los contenidos del segundo ciclo

básico establecidos por el marco curricular en cuanto a laorganización, planificación y evaluación de actividadescontextualizadas y pertinentes para los estudiantes de este grupo,para así lograr un aprendizaje significativo en todos ellos.

Competencia 4, Eje 2: Comprende el amplio rango de procedimientosevaluativos y los usa para monitorear el avance y logro de las metasde aprendizaje

II. Aprendizajes esperados:

Conceptual Generaliza la operatoria aritmética de los sistemas numéricos a

operatoria algebraica a través del uso de símbolos adecuados a lasituación, haciendo un paralelo entre lo particular y lo general.

Analiza algunos antecedentes históricos sobre la evolución dellenguaje algebraico.

Reconoce las características del lenguaje algebraico, en cuanto a suconstrucción y sus usos y las utiliza para la justificación de laenseñanza y del aprendizaje de este contenido en el sistema escolar.

Desarrolla el razonamiento inductivo para la obtención de leyes ypropiedades que modelen la relación entre objetos matemáticos ensituaciones contextualizadas.

Comprende el proceso para llegar a la regla de resolución de laecuación de segundo grado.

Entiende la modelización algebraica como una capacidad de analizarsoluciones de problemas, generalizarlas y justificar el alcance deellas, permitiendo además reducir los tipos de problemas y unificarlas técnicas de solución.

Caracteriza diferentes tipos de funciones (lineal, cuadrática, valorabsoluto, raíz cuadrada, exponencial), basándose en surepresentación gráfica, su crecimiento o decrecimiento, dominio yrecorrido y analiza su continuidad.

Reconoce la expresión algebraica y gráfica de las funcioneslineales, cuadráticas y exponenciales, traduciendo de un registro aotro

Relaciona los sistemas de ecuaciones lineales, con su representacióngráfica y sus posibles soluciones.

Analiza diversos procedimientos de resolución de sistemas deecuaciones lineales y selecciona el más adecuado para el problema aresolver.

Investiga la construcción histórica el concepto de función,identificando las diferentes etapas por las cuales pasó el conceptopara su actual definición.

Explica la relación entre los conceptos de ecuación de primer gradoy la función lineal.

Identifica que la proporcionalidad directa e inversa son tipos defunciones y lo verifica mediante el uso de gráficas.

Procedimental Construye patrones numéricos y/o geométricos a partir de la

generalización de patrones de repetición. Plantea y resuelve ecuaciones utilizando la operatoria algebraica de

reducción de términos semejantes y/o factorización. Calcula productos notables, hace factorizaciones y los interpreta

numérica y geométricamente. Resuelve ecuaciones con coeficientes numéricos y literales y analiza

la existencia de sus soluciones. Modela situaciones problemáticas en contexto mediante ecuaciones e

inecuaciones lineales y las resuelve aplicando las propiedades delos sistemas numéricos, construyendo modelos que permitangeneralizar conclusiones acerca de la utilidad de los algoritmospara resolución de problemas.

Crea modelos de expresiones numéricas transformándolas enexpresiones algebraicas.

Construye expresiones algebraicas y/o gráficas para representarfenómenos físicos, biológicos y/o matemáticos.

Desarrolla diferentes estrategias (gráficas y/o algebraicas) paradetectar si una relación entre variables es o no una función.

Analiza situaciones y fenómenos que se pueden modelar utilizandofunción lineal, cuadrática o exponencial

Utiliza software matemático para la graficación de funciones. Analiza los sistemas de ecuaciones lineales, en función de las

posibles soluciones, resolviendo posteriormente para comprobar.

Actitudinal Valora el aporte de diferentes matemáticos a la construcción de lamatemática como disciplina científica. Acepta que el lenguaje común y el lenguaje algebraico serelacionan muchas veces en semántica y sintaxis, pero que susobjetos de comunicación son distintos.

III. Lecturas Requeridas:

Lectura Obligatoria Ayres, F., (2001), Matemáticas Financieras, Mc Graw-Hill, México

Azcárate, C. y Deulofeu, J. (1990). Funciones y gráficas. Madrid:Síntesis. Hall y Knight (1994) Álgebra Superior. UTHEA. México. Stewart, J.; Redlin, L. - Watson, S.(2001), Precálculo . ThomsonLearning.

Lectura complementaria Alcalá, M. (2002 ), La construcción del lenguaje matemático,Editorial Graó, Barcelona. Boyer, C. B. (1986), Historia de la matemática. Alianza, Madrid.(Capítulo 1, 2 y 3) Socas, M.M., Camacho, M., Palarea, M. y Fernández, J. (1989).Iniciación al álgebra. Madrid: Síntesis. (Capítulo 1)

IV. Otros recursos:

http://www.oei.es/innovamedia/mat.htmhttp://almez.pntic.mec.es/%7Eagos0000/http://www.programurl.com/software-algebra-one-on-one-downloadnow.htmlhttp://www.oei.es/innovamedia/mat.htmhttp://math.exeter.edu/rparris/winplot.html

V. Trabajos del alumno y su relación con el logro de estándares y competencias. (Indiquelas principales actividades que el curso requerirá del alumno para lograr los estándares ycompetencias del perfil de egreso)

1. Resolución de ecuaciones con coeficientes numéricos y literales yanaliza la existencia de sus soluciones

Estándar 13/Competencia 1 Los estudiantes, resolverán una guía de ejercicios y problemas queinvolucren el contenido de de ecuaciones, donde sus coeficientes seránnúmeros y letras. Para resolver utilizarán las propiedades de losnúmeros y comprobarán sus soluciones. En las respuestas con valoresliterales, analizarán la existencia de las soluciones, según elproblema y el conjunto numérico al que pertenezcan los coeficientesliterales.

2. Calcula productos notables, hace factorizaciones y los interpretanumérica y geométricamente.

Estándar 13/Competencia 1En base a una guía con problemas de cálculo de perímetros y áreas decuadrados y rectángulos, con medidas literales, calculan losperímetros y las áreas. Para calcular deben reducir términos

semejantes, aplicar productos notables como cuadrado de un binomio,reducción de términos con paréntesis. Relacionan el perímetro con unaexpresión lineal y el área con una expresión cuadrática.

3. Construcción de expresiones algebraicas y/o gráficas pararepresentar fenómenos físicos, biológicos y/o matemáticos.

Estándar 13- 15/Competencia 1El (la) profesor(a) agrupa a los estudiantes en binomios y les entregaproblemas contextualizados como boletas de gasto de electricidad, gaso agua potable, biológicos como el crecimiento de las bacterias ymatemáticos, como una serie de números y a partir de ellas encuentranlas regularidades, escribiendo la expresión algebraica asociada a cadacontexto. Los datos los agrupa en tablas y con la ayuda de un softwarelos grafica.

4. Caracterización de funciones, basándose en sus gráficos,crecimiento, dominio y recorrido

Estándar 13-15/Competencia 1Los estudiantes, en binomios, a partir de una guía de trabajo congráficos de distintos tipos de funciones, entregada por el (la)profesor(a), los caracterizan según el dominio y recorrido, intervalosde crecimiento y decrecimiento y construyen tablas de valores paraescribir la expresión algebraica asociada.

Pauta para la evaluación clave

EVALUACIÓN CLAVE 1

1. Estándar 13-15-4/ Competencias 1-2-3-52. Justificación (¿Por qué tiene que saber esto un/una profesor(a) desegundo ciclo?)

Un(a) profesor(a) de 2º ciclo debe conocer los diferentes matemáticosque han ayudado a la creación de la matemática como disciplinacientífica, en particular aquellos que contribuyeron a la construccióndel lenguaje algebraico y el concepto de función. Por otra parte,tendrán que relacionar las etapas de aprendizaje de los estudiantescon la epistemología de los conceptos matemáticos y así comprender losobstáculos con los cuales se encuentran los estudiantes de enseñanzabásica.

3. Pre-requisitos: (lo que los estudiantes deben saber y deben hacerantes de la evaluación):Los estudiantes deben:

- Manejar, analizar y seleccionar bibliografía, que sea pertinente conla información necesaria para realizar la tarea encomendada.- Manipular a nivel de usuario el computador para buscar lainformación requerida.

4. Descripción breve de la evaluación

Los estudiantes realizarán una investigación fuera del aula, en formaindividual. Esta investigación consistirá en recopilar informaciónsobre los diversos matemáticos que han contribuido a lo largo de lahistoria para la construcción de la disciplina, en particular aquellosque lograron “algebrizarla”. Además de reconocerán los obstáculos quese desprenden de los conceptos de lenguaje algebraico y funciones,para comprender algunas dificultades con las que se encontrará en elmomento de enseñar dichos contenidos.

5. Describa los pasos de la evaluación en detalle Paso 1:Buscará en libros de historia de la matemática, diversos matemáticosque contribuyeron al desarrollo de la disciplina, en particulardurante los siglos XV al XIX y así comprender en forma global losavances matemáticos ocurridos en esa época y la velocidad de suconstrucción.

Paso 2:Seleccionará un matemático del cual harán una bibliografía, personal ydisciplinar indicando sus aportes a la matemática y otras disciplinasafines, además que línea de investigación desarrollaron y como estaárea esta hoy incluida dentro de la matemática disciplinar y otrasáreas de investigación. En cuanto al contenido matemático, explicitará las dificultades parala aceptación de los conceptos, además de las complicaciones propiasde su complejidad matemática.

Paso 3:Presenta un avance del trabajo realizado ya sea para realizarconsultas o para verificar que el avance del trabajo investigativoestá encaminado correctamente.

Paso 4:Elabora un informe escrito con los pasos anteriores y las conclusionesobtenidas durante el desarrollo de la investigación, tanto en elámbito disciplinar como personal para su futura profesión docente.

6. Puntuación de los Pasos/Trabajos para la evaluación:

Puntos1. Revisión bibliográfica pertinente (Estándar 15 / Competencia 1)

10 (rúbrica)

2. Selección pertinente e investigación profunda (Estándar 14 / Competencia 1-2) 20

(rúbrica)

3. Avance del trabajo (Estándar 14 / Competencia 1-3-5) 20(rúbrica)

4. Informe final (Estándar 14 / Competencia 1-2) 30(rúbrica)

5. Autoevaluación (Competencia 5 ) _20__

Total de puntos 100

7. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedanmostrar sus conocimientos, habilidades o actitudes (textos,sitios de la red y otros)

- Internet y sitios web coherentes con el tema a investigar- Biblioteca con textos necesarios para desarrollar la investigación- Pauta de cómo serán evaluados con los indicadores de elaboración ypresentación del informe- Tiempo coherente para el desarrollo de la investigación, tantodentro del aula (para responder consultas) como fuera de ella pararecopilar información y elaboración del informe.

Rúbrica de evaluación:

EVALUACIÓN CLAVE 1 Insatisfactorio0 puntos

Básico1-5 puntos

Competente5-8 puntos

Destacado9-10 puntos

Puntos

Paso 1Busca en libros dehistoria de lamatemática, diversosmatemáticos quecontribuyeron aldesarrollo de ladisciplina, enparticular durantelos siglos XV al XIXy así comprender enforma global losavances matemáticosocurridos en esaépoca y la velocidadde su construcción.

No realiza larevisiónbibliográficao lo querealiza estáfuera delperíodohistórico queinteresaestudiar.

La revisiónbibliográfica esescasa, ya quesolo reporta doso tresmatemáticosrelevantes o lainformaciónextraída de losmatemáticos esinsuficiente.

Realiza unarevisiónbibliográficacompetente, yaque investiga amás de cuatropersonajesmatemáticos,describiendo susaportes para laconstrucción dela matemática.

Realiza una revisiónbibliográficacompetente, ya queinvestiga a más decuatro personajesmatemáticos,describiendo sus aportespara la construcción dela matemática yrelacionándolo con lamatemática escolar quele tocará enseñar.

10

Paso 2:Selecciona unmatemático del cualhará unabibliografía,personal y

No seleccionaningúnmatemático oel queselecciona no

Selecciona unmatemático, perono profundizanen el aportedisciplinar,

Selecciona unmatemático einvestiga aprofundidad susaportes a la

Selecciona un matemáticoe investiga aprofundidad sus aportesa la construcción de lamatemática. Además de

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disciplinarindicando susaportes a lamatemática y otrasdisciplinas afines,además indica lalínea deinvestigación quedesarrolló.Explicita lasdificultades para laaceptación de losconceptosestudiados, ademásde lascomplicacionespropias de sucomplejidadmatemática.

(multiplicar por 2)

estárelacionadocon el temaalgebraico oestárelacionadotangencialmente.

evidenciando unaescasainvestigaciónbibliográficapersonal y deaporte a lacienciamatemática

construcción dela matemática.Además deindagar en lasdificultades deel o losconceptosmatemáticos enlos cualestrabajó,indicando sucomplejidadmatemática.

indagar en lasdificultades de el o losconceptos matemáticos enlos cuales trabajó,indicando su complejidadmatemática. Ademásrelaciona los conceptosestudiados por esematemático con otrasáreas del conocimientocientífico moderno.

Paso 3:Presenta un avancedel trabajorealizado ya seapara realizarconsultas o paraverificar que elavance del trabajoinvestigativo estáencaminadocorrectamente.

(multiplicar por 2)

No presentaavance deltrabajo o loque presentaes solo larevisiónbibliográfica,sin mayoresindagaciones.

Presenta unavance deltrabajo, peroeste es pobre encalidad ycantidad, ya queno hayprofundidad enlainvestigación,sólo muestra almatemático en unámbito personal.

Presenta unavance deltrabajodestacado, yaque en el hayevidencias deuna revisiónbibliográficaimportante y laprofundidad delestudio delmatemático esadecuada.

Presenta un avance deltrabajo destacado, yaque en el hay evidenciasde una revisiónbibliográfica importantey la profundidad delestudio del matemáticoes adecuada. Además quetienen claro las ideasfaltantes para laentrega del trabajofinal.

20

Paso 4:Elabora un informeescrito con lospasos anteriores ylas conclusionesobtenidas durante eldesarrollo de lainvestigación en elámbito disciplinarcomo personal parasu futura profesióndocente.

No elabora elinformeescrito, osolo conalguno de lospasosanteriores,sinconclusiones

El informe finalno muestrarigurosidad nien supresentación nien el contenidomatemáticoencontrado,evidenciando unaescasa revisiónpor parte delestudiante.

El informe finalpresentado esimpecable encuanto apresentación,desarrollo deltema yrigurosidadmatemática.

El informe finalpresentado es impecableen cuanto apresentación, desarrollodel tema y rigurosidadmatemática. Además dehacer un aporte a suproyección de ladocencia.

30

(multiplicar por 3)Total Puntos

Asignatura: Didáctica del ÁlgebraAutor(a)/Universidad: Alicia Zamorano/Universidad del Bío-BíoHoras presenciales por semana: 6 (3 teóricas y 3 prácticas)Horas requeridas del alumno por semana fuera del aula: 6

Visión del Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de EducaciónBásica

El Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica esun profesional con sólida formación pedagógica y disciplinaria, en almenos un sector de aprendizaje, con autonomía para tomar decisionesinformadas.Ejerce una práctica reflexiva y utiliza la investigación paradesarrollar las competencias que le permiten responsabilizarse de losprocesos y resultados de su enseñanza.En colaboración con la familia y comunidad, se compromete con el logrode aprendizajes que potencien el desarrollo psicosocial, intelectual ymoral de estudiantes preadolescentes. Participa en acciones de cooperación profesional asociadas almejoramiento de la calidad de la educación que ofrece su instituciónescolar

ALINEACIÓN CON ESTÁNDARES Y COMPETENCIAS

I. Estándares y Competencias del perfil de egreso relacionados al curso.

El curso de Didáctica del Álgebra, está diseñado para lograr conespecial énfasis los estándares y competencias que a continuación seindican:

Estándar Nº 13Identifica el lenguaje algebraico como una relación entre laaritmética y el álgebra y de estos con el lenguaje común. Da sentido ala notación y uso de las letras (variables) dentro de este nuevolenguaje. Relaciona, a su vez, su semántica y sintaxis con símbolos ysignificados únicos y que si bien se construyó a partir de laspropiedades de los sistemas numéricos, tiene sus propiasparticularidades.Además utiliza el lenguaje algebraico para la resolución de problemas,que se transformarán en ecuaciones o inecuaciones, mediante la

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utilización de herramientas como la supresión de paréntesis, reducciónde términos semejantes, factorización y la operatoria básica conexpresiones algebraicas.También desarrolla la capacidad de generalización del lenguajealgebraico asociado al cálculo de productos y factores, como son losproductos notables y el cálculo de perímetros y áreas de figurasplanas.Por otra parte, conoce los orígenes históricos del lenguaje,reflexionando en torno al razonamiento inductivo y su importancia parala articulación de un currículo con sentido, para el estudiante que loaprende en el segundo ciclo básico.De la misma forma para el futuro profesor se hace necesaria laincorporación a su praxis docente de elementos innovadores como es eluso de materiales didácticos y software matemáticos, incorporándolosen la organización, planificación y evaluación de actividades quefomente y mejore los aprendizajes de todos sus estudiantes.

Estándar Nº 14Estudia la organización matemática en torno a la proporcionalidad quese inserta en la necesidad de describir mediante un único modelo losdiferentes tipos de relaciones de proporcionalidad (segundo nivel dealgebrización) justificando la forma actual de la organizaciónmatemática escolar en torno a la proporcionalidad de magnitudes.De esta organización matemática en torno a la función lineal, sedesprenden las tres relaciones proporcionales que aparecen en lamatemática escolar, como son los conceptos de razón, proporción ymagnitudes proporcionales, con sus definiciones, propiedades,diferentes representaciones, aplicaciones y técnicas de resolución.A su vez, utiliza los contenidos matemáticos anteriores en función delas necesidades de aprendizaje de los contenidos del segundo ciclobásico establecidos por el marco curricular en cuanto a laorganización, planificación y evaluación de actividadescontextualizadas y pertinentes para los estudiantes de este grupo,para así lograr un aprendizaje significativo en todos ellos.

Estándar Nº 15Comprende y utiliza el concepto de función de variable real, sustipos, representaciones y propiedades, que consolidan la noción demodelización algebraica, que articula los niveles de educación básicay media, comprendiendo que no es un tópico a enseñar, pero que es devital importancia para dar un sustento teórico al aprendizaje y laenseñanza del álgebra y su utilización en los cursos superiores deenseñanza media y universitaria. A su vez comprende la importancia de

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este concepto dado el enorme campo de aplicaciones prácticas, ya seaen el ámbito físico, químico o propiamente matemático.

Competencias del Perfil, Eje 2Competencia 1: Comprende con adecuada amplitud y profundidad lasdisciplinas del sector de aprendizaje que es responsable de enseñar.Competencia 2 : Comprende el marco curricular nacional y los mapas deprogreso para el sector curricular que enseña, estableciendorelaciones con el primer ciclo y la enseñanza media, utilizando esteconocimiento para planificar su enseñanza. Competencia 3: Utiliza los resultados de las investigaciones en suespecialidad y de las ciencias de la educación para planificarsecuencias de enseñanza y evaluación que contemplan la lógica de loscontenidos y el proceso de aprendizaje.Competencia 4: Comprende el amplio rango de procedimientos evaluativosy los usa para monitorear el avance y logro de las metas deaprendizaje.Competencia 5: Utiliza los resultados de las evaluaciones pararetroalimentar a los educandos y ajustar sus planificaciones yestrategias didácticas.Competencia 6: Selecciona y diseña recursos y situaciones deaprendizaje pertinentes y significativas para presentar ideas yconceptos disciplinarios a los estudiantes del nivel que enseña.

El (los) siguiente estándar(es)/competencia(s) tiene(n) un énfasissecundario en este curso:

Estándar 1Comprende los conceptos de número natural y entero, como abstracciónde las cantidades discretas, y los distingue de sus formas derepresentación. Justifica procedimientos y estrategias de cálculo aritmético, ypropiedades del orden y de las operaciones con números naturales yenteros a partir de propiedades evidentes de los números y de sussistemas de representación. Resuelve problemas referidos a cantidades discretas y magnitudesnegativas, haciendo uso eficiente del orden, las operaciones, laspropiedades de las operaciones, el valor absoluto, las ecuaciones, lasinecuaciones, y herramientas tecnológicas, según las condicionesdadas y el modelo que construya de la situación.

Diseña desafíos y problemas referidos a situaciones de orden, conteo,aditivas, multiplicativas, de divisibilidad y restos ligadas acontextos de los programas oficiales de segundo ciclo de distintos

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sectores curriculares, en los que se utilice operaciones, ecuaciones,inecuaciones y en general propiedades de los números naturales oenteros.

.Estándar 3Comprende los significados asociados a las fracciones y el conceptode número racional como elemento de un conjunto cuociente,distinguiendo sus diferencias y similitudes. Reconoce los númerosdecimales como fracciones cuyo denominador es una potencia de diez.Reconoce las expresiones o desarrollos decimales finitos y periódicoscomo una forma de representación de los números racionales,alternativa a las fracciones, que facilita los cálculos de lasoperaciones aritméticas. Comprende la existencia de cantidadesinconmensurables, e identifica los números irracionales con lasexpresiones o desarrollos decimales infinitos no periódicos. Reconoceen las distintas formas de representación de los números unacomplejidad conceptual que se constituye en un obstáculo didáctico.Reconoce las propiedades del orden y de las operaciones en los númerosdecimales, racionales e irracionales, y las visualiza bajo lasdistintas formas de representación de estas categorías de números.Resuelve problemas asociados a fenómenos naturales y sociales a partirde la modelación de situaciones referidas a diferencias y razonesentre medidas, mediciones y particiones, repartos y fraccionamientos,equivalencia de fraccionamientos, cuocientes y restos, tasas yvariaciones proporcionales, probabilidades, medidas grandes ypequeñas, redondeos, aproximaciones, estimaciones, uso de calculadoray algoritmos operatorios, y uso de estrategias de cálculo; para locual utiliza el sistema de los números racionales y diferentesregistros de representación, incluyendo expresiones fraccionarias,decimales finitas, infinitas periódicas y no periódicas, y potenciascon exponente entero.Diseña, selecciona y resuelve situaciones problemas asociadas adistintas disciplinas, en el marco de los programas de estudio desegundo ciclo básico, usando fracciones, decimales y porcentajes.

Estándar 5Comprende de manera intuitiva los números reales como completación delos racionales, a partir de los desarrollos decimales infinitos y elmodelo de la recta numérica, disponiendo de herramientas conceptualesy procedimentales para la resolución de problemas y la interpretaciónde fenómenos referidos a magnitudes continuas, teniendo en vista laorganización de su enseñanza.

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Comprende los números complejos como producto cartesiano de los realesen el plano, a partir del cual se define una operatoria útil, de tipovectorial que permite resolver situaciones problemas.

Competencias del Perfil, Eje 2Competencia 8: Logra identificar, entre sus estudiantes, aquellos connecesidades educativas especiales que necesitan una enseñanzadiferenciada para brindarles los apoyos pedagógicos apropiados.

Competencia 11: Promueve un ambiente propicio para el aprendizaje,estableciendo y manteniendo normas consistentes y consensuadas dedisciplina en el aula que potencian el desarrollo social de loseducandos para la vida en una sociedad democrática.

II. Aprendizajes esperados:

Conceptual.Hace referencia al origen histórico del álgebra en la planificaciónde los contenidos a enseñar, reconociendo e identificando categoríasdiferentes de interpretación y uso de letras dentro del álgebra demanera de explicitar la construcción de la matemática como disciplinacientífica. Identifica y justifica las razones por las cuales se hace una

diferenciación en el tratamiento del contenido VariacionesProporcionales entre 6º y 8º año básico.

Procedimental Organiza en forma didáctica situaciones problema,

contextualizadas y con base histórica, en que se utilicenexpresiones algebraicas, para darle un sentido utilitario alaprendizaje del álgebra

Analiza críticamente los libros de texto de educación matemáticaen el segundo ciclo de enseñanza básica, relacionando los contenidosdisciplinares y didácticos expuestos en él con respecto a eltratamiento del lenguaje algebraico y ecuaciones.

Ejemplifica con situaciones contextuales la no proporcionalidad yproporcionalidad directa e inversa, permitiendo al estudiante deenseñanza básica entender el para qué es necesario su aprendizaje.

Resuelve problemas relacionados con la razón porcentual,entendiendo esta como una aplicación de la proporcionalidad directa,a través de un cociente constante, en un contexto cercano a susestudiantes.

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Usa las propiedades de las proporciones para resolver problemasgeométricos relativos a segmentos proporcionales, semejanza detriángulos, etc. y así relacionar la aritmética y el álgebra con lageometría que aprenderá el estudiante de enseñanza básica, en laenseñanza media.

Diseña situaciones de enseñanza que permitan a los estudiantes deeducación básica aprender otras herramientas de resolución deproblemas acordes el tema tratado y lograr un aprendizajesignificativo en ellos.

Diseña diferentes tipos de evaluaciones del contenido del marcocurricular Variaciones Proporcionales, considerando la diversidad deestudiantes en la sala de clases.

Diseña y elabora unidades didácticas considerando losaprendizajes esperados, de los contenidos de VariacionesProporcionales, en cada curso del segundo ciclo básico, donde elcontenido es tratado.

Crea estrategias de enseñanza de ecuaciones lineales donde serelacionen éstas con el concepto intuitivo de función lineal.

Actitudinal Valora la matemática como una herramienta útil y funcional para

que los estudiantes del segundo ciclo de educación básica alcancencontenidos y aprendizajes para desenvolverse en la sociedad actual.

Se percata de los posibles errores que un estudiante del segundociclo básico puede cometer al trabajar con lenguaje algebraico yecuaciones.

III. Lecturas Requeridas:

Lectura Obligatoria Alcalá, M. (2005), La construcción del lenguaje matemático,Editorial Graó, Barcelona. Alsina, C., Burgués, C, Fortuny, J., Jiménez, J. & Torra, M.(2002), Enseñar Matemáticas, Editorial Graó, Barcelona. Boyer, C. B. (1986), Historia de la matemática. Alianza, Madrid. Chevallard, Y., Bosch, M. y Gascón, J. (1997). Estudiar matemáticas.El eslabón perdido entre la enseñanza y el aprendizaje. Barcelona:ICE-Horsori. Grupo Azaquiel, (1991), Ideas y actividades para enseñar álgebra,Editorial Síntesis, Madrid.

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Mineduc, Marco Curricular de la educación básica, ObjetivosFundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios de la EducaciónBásica, (2002), Santiago. Orton, A. (1990). Didáctica de las matemáticas. Madrid: Morata/MEC. Socas, M., Camacho, M., Palarea, M. & Hernández, J. (1996),Iniciación al Álgebra, Editorial Síntesis, Madrid.

Lectura Complementaria Brousseau, G. (1990) ¿Qué pueden aportar a los enseñantes losdiferentes enfoques de la Didáctica de la Matemáticas? VersiónCastellana de L. Puig. España (Primera Parte) Gimenez, J., (1997), Evaluación en Matemáticas. Una Integración dePerspectivas. Editorial Sintesís S.A. Madrid, España. Gutiérrez, A., Gómez, A., Godino J. & Rico, L. (1999), Área deconocimiento: didáctica de las matemáticas, Editorial Síntesis,Madrid.

IV. Otros recursos:

http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestroshttp://standards.nctm.org/document/eexamples/chap4/4.1/index.htm#applethttp://ddm.ugr.es/personal/pflores/textos/cLASES/Materiales/Recomendaciones_%202003-04.pdfhttp://www.comenius.usach.cl/enlacesmatsp/index.php?q=materialhttp://redalyc.uaemex.mx/redalyc/pdf/335/33590107.pdf

V. Trabajos del alumno y su relación con el logro de estándares y competencias. (Indiquelas principales actividades que el curso requerirá del alumno para lograr los estándares ycompetencias del perfil de egreso)

1. Revisión y análisis de los programas de estudio de educaciónmatemática, en torno a las unidades de Proporcionalidad, Perímetro,área y volumen, Ecuaciones de Primer grado y Lenguaje algebraico.

Estándar 13-14-15/ Competencia 1-3-6De la totalidad de los estudiantes del curso, el profesor o profesora,los dividirá en 4 grupos. Cada grupo revisará el programa de un cursodel segundo ciclo básico de educación matemática de 6º a 8º, además deprimer año medio. Los integrantes de cada grupo se dividirán según elnúmero de unidades del curso que contenga los temas de

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proporcionalidad, perímetro, área, volumen, ecuaciones de primer gradoy lenguaje algebraico, según esten presentes en cada curso. En cadaunidad harán la relación entre los contenidos y los aprendizajesesperados de ella. Luego lo presentarán al resto del curso, por mediode una pequeña disertación, para su conocimiento.

2. Diseño de actividades para el aprendizaje del contenido de launidad de Relaciones de Proporcionalidad de séptimo año básico, conbase en su origen histórico.

Estándar 13-14/ Competencia 1-3-6Los estudiantes en binomios (parejas) investigarán sobre el origen delálgebra y su conexión con las relaciones de proporcionalidad ydiseñarán actividades en función del aprendizaje esperado “Evalúan yutilizan diversas estrategias para solucionar problemas que implicanvariaciones proporcionales de las magnitudes”, que deberán lograr consus futuros estudiantes. Elaborarán un pequeño informe que serácalificado por el profesor o profesora del curso.

3. Utilización de elementos históricos, didácticos y pedagógicos delcontenido de Ecuaciones de Primer grado, para la planificación de loscontenidos a enseñar

Estándar 13-15 / Competencia 1-2-6

Los estudiantes en forma individual elaborarán una unidad didácticarelacionada con la unidad Números y ecuaciones de octavo año básico,en particular los contenidos “Traducción de situaciones y problemas aecuaciones con una incógnita y Uso de propiedades de los números y delas operaciones para encontrar soluciones” y sus respectivosaprendizajes esperados. La planificación deberá contemplar lasactividades a desarrollar, los materiales a utilizar y el tiempodestinado para realizar este proceso. La unidad didáctica elaboradaserá entregada al profesor o profesora del curso como un informe detrabajo.

Pauta para la evaluación clave

EVALUACIÓN CLAVE 1

1. Estándar 13-14-15/ Competencia 1-2-3-6-82. Justificación (¿Por qué tiene que saber esto un/una profesor(a) desegundo ciclo?)

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Un(a) profesor(a) de 2º ciclo debe ser capaz de comprender losconceptos matemáticos a enseñar de álgebra: variacionesproporcionales, lenguaje algebraico, ecuaciones, funciones para crearsituaciones de enseñanza adecuadas a los estudiantes, teniendo elcuenta distintas metodologías y evaluaciones que permitan lograraprendizaje en todos sus estudiantes, considerando la diversidad deestilos de aprendizaje y la utilización de los contenidos en surealidad inmediata.

3. Pre-requisitos: (lo que los estudiantes deben saber y deben hacerantes de la evaluación):Los estudiantes deben:- Conocer y comprender los contenidos disciplinares a enseñar(variaciones proporcionales, lenguaje algebraico, ecuaciones,funciones)- Manejar la operatoria básica (adición, sustracción, multiplicación,división y potenciación) de los diferentes sistemas numéricos para laresolución de diversos problemas.

4. Descripción breve de la evaluación

Cada estudiante, en forma individual, creará un “texto de saber”. Eltexto de saber consiste en la elaboración de un informe que consideretanto lo disciplinar como lo pedagógico y didáctico de los contenidosa enseñar. Este contiene la disciplina matemática que está relacionadacon los aprendizajes a lograr en algún nivel del segundo ciclo básicoen una unidad particular que trate variaciones proporcionales olenguaje algebraico o ecuaciones de primer grado, el desarrollohistórico de estos contenidos y el discurso pedagógico didáctico quecualquier profesor pone en práctica en el aula para la realización deuna enseñanza que provoque los aprendizajes esperados en la unidad.

5. Describa los pasos de la evaluación en detalle

Paso 1:Seleccionarán un contenido disciplinar y lo buscarán en el programadel segundo ciclo básico. Luego de identificar el curso donde setrata, elegirán un aprendizaje esperado.

Paso 2:Recopilarán la información disciplinar que fundamenta ese aprendizaje.Para esto deberán hacer una revisión bibliográfica matemática. Al

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mismo tiempo buscarán el origen histórico de ese contenido disciplinarmencionando los matemáticos o matemáticas que contribuyeron a ladisciplina.

Paso 3:Con la información anterior, elaborarán el discurso pedagógico-didáctico que utilizarán en la sala de clases para el logro delaprendizaje esperado en todos sus estudiantes. En este discursotraducido en una planificación deben estar presenten las actividadesque desarrollarán, los recursos que se utilizarán, la metodología, losposibles errores y dificultades a encontrar en el aula, el tiempo autilizar y la forma de evaluar el proceso.

Paso 4:Entrega del informe: “texto del saber”

6. Puntuación de los Pasos/Trabajos para la evaluación:

Puntos1. Selección del contenidodisciplinar y su relación con el contenido escolar (Estándar 13-14-15 / Competencia 1-2) 10 (rúbrica)

2. Revisión bibliográfica (Estándar 13-14-15 / Competencia 1) 20 (rúbrica)

3. Creación del discurso (Estándar 13-14-15 / Competencia 1-2-3-6) 20 (rúbrica)

4. Reporte individual (Estándar 13-14 -15/ Competencia 1-2-3-6) 30 (rúbrica)

5. Autoevaluación (Competencia 4-5) _20__

Total de puntos 100

7. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedanmostrar sus conocimientos, habilidades o actitudes (textos,sitios de la red y otros)

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- Biblioteca con textos matemáticos, históricos y didácticos- Internet y sitios webs coherentes con el contenido matemático y elaprendizaje esperado- Pauta de cómo serán evaluados con los indicadores de elaboración ypresentación del “texto del saber”- Tiempo coherente para el desarrollo del proyecto, tanto dentro delaula (para responder consultas) como fuera de ella para recopilarinformación y elaboración del texto.

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Rúbrica de evaluación:EVALUACIÓN CLAVE 1 Insatisfactor

io0 puntos

Básico1-5 puntos

Competente5-8 puntos

Destacado9-10 puntos

Puntos

Paso 1Selecciona uncontenidodisciplinar y lobusca en losprogramas deMatemática delsegundo ciclobásico. Luego deidentificar elcurso donde setrata, elige unaprendizajeesperado.

No elige uncontenidomatemático,se remiten alcontenidoescolar,basando todosu trabajo enestecontenidoescolar.

Elige elcontenidomatemático y elcontenidoescolar, perohay relaciónentre ambos. Noelige unaprendizajeesperadoadecuado.

El contenidoescolar estáestrechamenterelacionado conel contenidodisciplinar ylo identificacon el cursodonde esecontenido debeenseñarse en laescuela, ademásse seleccionarun aprendizajeesperadocoherente conel contenido.

El contenido escolarestá estrechamenterelacionado con elcontenido disciplinar ylo identifica con elcurso donde esecontenido debeenseñarse en laescuela, además seseleccionar unaprendizaje esperadocoherente con elcontenido. Paralelo aesto, hace unareflexión de laimportancia delcontenido matemáticopara comprender loscontenidos escolares ylos aprendizajes que sedeben lograr en elsegundo ciclo básico.

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Paso 2:Recopila lainformacióndisciplinar quefundamenta ese

No recopilainformaciónde los textosmatemáticos

Recogeinformación dedistintostextos

La revisiónbibliográficaes exhaustiva.Hace una

La revisiónbibliográfica esexhaustiva. Hace unaestrecha relación entre

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aprendizaje. Paraesto hace unarevisiónbibliográficamatemática. Almismo tiempo buscael origen históricode ese contenidodisciplinarmencionando losmatemáticos omatemáticas quecontribuyeron a ladisciplina.

para laconstruccióndel texto delsaber.

disciplinares,pero subúsqueda essuperficial yno nombra a losmatemáticos omatemáticas quecontribuyeron ala construccióndelconocimiento.

estrecharelación entreel saberdisciplinar yel saberescolarescogido.Investiga sobrelos matemáticosque ayudaron ala construcciónde lamatemática.

el saber disciplinar yel saber escolarescogido. Investigasobre los matemáticosque ayudaron a laconstrucción de lamatemática. Ademásindaga en los otrostemas matemáticos quetrabajaron los autoresestudiados,relacionando lamatemática de un cursodeterminado con susconexiones en otrasáreas del conocimientomatemático.

Paso 3:Con la informaciónanterior, realizael discursopedagógico-didáctico queutilizará en lasala de clases parael logro delaprendizajeesperado en todossus estudiantes. Eneste discurso debenestar presenten lasactividades que

No realiza eldiscursopedagógico oesescasamentecomprensiblepara quien lolee.

Su discurso espobre en elsentidopedagógico ydidáctico, yaque se centraen el paradigmaconductista,dejando escasodesarrollo altrabajo delestudiante, yasea en formaindividual como

Crea sudiscursopedagógicodidácticoacorde con losrequerimientosministerialesconsiderandolosaprendizajes alograr eincluyendo unaevaluacióncoherente con

Crea su discursopedagógico didácticoacorde con losrequerimientosministeriales,considerando losaprendizajes a lograr eincluyendo unaevaluación coherentecon la metodologíaempleada en lasactividades realizadas.Además señala losposibles errores y

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72

desarrollarán, losrecursos que seutilizarán, lametodología, y laforma de evaluar elproceso.

(multiplicar por 2)

grupal. la metodologíaempleada en lasactividadesrealizadas.

dificultades aencontrar en el aula enel momento de aplicareste discurso.

Paso 4:Entrega delinforme: “texto delsaber”

(multiplicar por 3)

No elaboranel informeescrito, osolo conalguno de lospasosanteriores,sinconclusionesindividualesni grupales

Elaboran elinforme final ,aunquedeficitario enalgunosaspectos comolainvestigación ola creación deldiscurso

Entregan elinforme finalcon todos losdetalles que sele pedían:investigaciónrigurosa,discursopedagógico-didácticoadecuado alcurso yconsiderandolosaprendizajes alograr yevaluacióncoherente

Entregan el informefinal con todos losdetalles que se lepedían: investigaciónrigurosa, discursopedagógico-didácticoadecuado al curso yconsiderando losaprendizajes a lograr yevaluación coherente.Además concluyen laimportancia de vincularla matemáticadisciplinar con laescolar.

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Total Puntos 80

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Proyecto MECESUP Profesores Especialistas para la Educación Básica: Respuesta a un Desafío (UCV 0402)

Asignatura: Geometría del Triánguloy del CuadriláteroAutor(a)/Universidad: Andrés Ortiz/ Universidad de ConcepciónHoras presenciales por semana: 7 horasHoras requeridas del alumno por semana afuera del aula: 14 horas

Visión del Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de EducaciónBásica

El Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica es unprofesional con sólida formación pedagógica y disciplinaria, en al menos unsector de aprendizaje, con autonomía para tomar decisiones informadas.Ejerce una práctica reflexiva y utiliza la investigación para desarrollarlas competencias que le permiten responsabilizarse de los procesos yresultados de su enseñanza. En colaboración con la familia y comunidad, secompromete con el logro de aprendizajes que potencien el desarrollopsicosocial, intelectual y moral de estudiantes preadolescentes. Participaen acciones de cooperación profesional asociadas al mejoramiento de lacalidad de la educación que ofrece su institución escolar

ALINEACIÓN CON ESTÁNDARES Y COMPETENCIAS

I. Estándares y Competencias del perfil de egreso, relacionados al curso.

El curso, sus expectativas de logro, lo que se le pide al alumno hacer ylas evaluaciones han sido alineadas con los estándares y competencias delperfil de egreso para la formación inicial de profesores del segundo ciclobásico. Los siguientes estándares y competencias tienen un énfasisprincipal en este curso:

Estándar 6Comprende la estructura axiomática de la geometría euclidiana y lasnociones básicas de punto, recta, trazo, rayo. Comprende el concepto dedistintas figuras geométricas tales como ángulo, polígono (centrado en eltriángulo y el cuadrilátero), circunferencia y las regiones que ellasdelimitan; distinguiendo las distintas formas de clasificar y de

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74

caracterizar dichas figuras a través de su construcción geométrica,avanzando hacia la deducción y demostración de sus propiedades yrelaciones. Comprende los conceptos de medida de longitud, medida angular,medida de superficie y demuestra propiedades que permitan calcular áreas deregiones y perímetro de la circunferencia; reconociendo los distintossistemas y unidades de medida en cada uno de ellos. Comprende el conceptode congruencia de figuras en el plano, y aplica los criterios decongruencia de triángulos para determinar si dos figuras son congruentes,como también para construir tesselaciones y así vincular el estudio de lageometría a diferentes manifestaciones del arte y la arquitectura,valorando a la Geometría como una disciplina muy ligada a la realidad de lahumanidad y sus civilizaciones en distintas culturas y épocas.

Organiza, planifica y diseña actividades que guíen los procesos deenseñanza hacia procesos de conceptualización de los distintos objetosgeométricos para inducir en forma comprensiva la clasificación de figurasen los niños, para generar la necesidad de usar regla y compás enconstrucciones geométricas, para deducir propiedades a partir de figurasconstruidas geométricamente o en software de geometría dinámica, y paradeducir propiedades métricas. Diseña planificaciones de enseñanza que seancoherentes con las orientaciones didácticas presentes en el marco de losprogramas oficiales y con enfoques cognoscitivos actuales acerca delaprendizaje.Competencia 1, eje 2:Comprende con adecuada amplitud y profundidad las disciplinas del sector deaprendizaje que es responsable de enseñar.

Competencia 2, eje 2:Comprende el marco curricular nacional y los mapas de progreso para elsector curricular que enseña, estableciendo relaciones con el primer ciclo yla enseñanza media, utilizando este conocimiento para planificar suenseñanza.

Competencia 6, eje 2:Selecciona y diseña recursos y situaciones de aprendizaje pertinentes ysignificativas para presentar ideas y conceptos disciplinarios a losestudiantes del nivel que enseña)

El (los) siguiente estándar(es)/competencia(s) tiene(n) un énfasissecundario en este curso:

Estándar 8

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Comprende las características que son propias de cada uno de los distintostipos de transformaciones isométricas: traslación, rotación, simetríapuntual y axial. Reconoce transformaciones isométricas en variadoscontextos, tanto cotidianos como artísticos, identificando su tipo y loselementos que la generaron. Aplica transformaciones y usa simetrías paraanalizar y resolver problemas geométricos, así como para ilustrarpropiedades de figuras geométricas. Además, está en condiciones deorganizar, planificar, diseñar actividades de aprendizaje basada en laresolución de problemas para los contenidos presentes en el marco de losplanes y programas vigentes en Matemática y de generar instanciasevaluativas de estos aprendizajes.

Competencia 7, eje 2:Planifica la enseñanza en colaboración con otros profesionales para organizar experiencias de aprendizaje interdisciplinarias que permiten a los estudiantes integrar el conocimiento, destrezas y métodos de investigación de diversos sectores de aprendizaje.

II. Aprendizajes esperados (los aprendizajes claves para el logro de losestándares/competencias)

Conceptual Comprende los atributos relevantes que estructuran los conceptos deángulo, triángulo, cuadrilátero, polígono, circunferencia y círculo yexplica las relaciones conceptuales entre ellas. Deduce la fórmula deárea y perímetro de un círculo y circunferencia respectivamente, a partirde la relación entre un polígono de n lados y la circunferencia.

Clasifica triángulos y cuadriláteros según longitud de sus lados,medidas de sus regiones angulares interiores y ejes de simetría. En elcaso de cuadriláteros, además la cantidad de pares de lados paralelos queposee.

Deduce y demuestra los teoremas referidos a cuadriláterosinscriptibles y circunscriptibles para reconocer este tipo decuadriláteros.

Reconoce pares de triángulos congruentes utilizando criterios decongruencia.

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Explica, utilizando el concepto de congruencia de figuras, porquétodos los cuadrados son congruentes entre sí y porqué no todos losrectángulos son congruentes entre sí.

Utiliza los criterios de congruencia para demostrar propiedades de loselementos secundarios del triángulo y propiedades de los paralelógramos.

Deduce y demuestra fórmulas para el cálculo de perímetros y áreas deregiones planas utilizando los teoremas de equivalencia; comprendiendo,además, el significado de área relacionándolo con la medida de lasuperficie y el de perímetro con la longitud del contorno de lasuperficie que la delimita, utilizando las unidades de medida adecuadas.

Establece un criterio de secuencialidad entre los distintos contenidosde geometría referidos a figuras planas señalados en los Planes yProgramas de 5° a 8° año básico.

Procedimental Resuelve problemas geométricos que involucren propiedades y relacionesfundamentales en ángulos, triángulos, cuadriláteros y polígonos en laresolución de problemas geométricos.

Construye con regla y compás diferentes figuras planas, conocidosalgunos de sus elementos y considerando sus características propias;describiendo, además, sus procesos de construcción. Complementa dichosprocesos constructivos utilizando un software de construcción geométrica.

Actitudinal Valora los aportes de la geometría euclidiana en las distintasmanifestaciones arquitectónicas, artísticas y estructurales presentes enla humanidad en distintas épocas.

III. Lecturas Requeridas:

Obligatorios Arenas, F; Masjuan, G; Villanueva, F (1997) “Geometría elemental”,Ediciones Universidad Católica de Chile.

Cano, O (1963) “Geometría”. Clemens, S; O’Daffer, P; Cooney, T (1998) “Geometría”, Pearson /Addison Wesley.

Mercado Schüller, C (1983) “Geometría”, Editorial Universitaria. Moise, E; Downs, F (1996) “Geometría Moderna”, Addison Wesley. Pogorélov, A. V. (1974) “Geometría elemental”, Editorial Mir.

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Complementarios Coxeter, H. S. M (1989) “Introduction to geometry”, John Wiley & Sons. MINEDUC (2003) “Programas de estudio NB2, Cuarto año básico”, MINEDUC,2da ed.

MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Quinto año básico”,MINEDUC, 2da ed.

MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Sexto año básico”,MINEDUC, 2da ed.

MINEDUC (2004) “Programas de estudio Educación Matemática, Séptimo añobásico”, MINEDUC, 2da ed.

MINEDUC (2004) “Programas de estudio Educación Matemática, Octavo añobásico”, MINEDUC, 2da ed.

MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Primer año medio”,MINEDUC, 2da ed.

MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Segundo año medio”,MINEDUC, 2da ed.

IV. Otros recursos:

http://www.geometriadinamica.cl/default.asp?dir=guias&sub = http://descartes.cnice.mecd.es/indice_ud.php http://paraisomat.ii.uned.es/paraiso/cabri.php?id=indice

V. Trabajos del alumno y su relación con el logro de estándares y competencias. (Indique lasprincipales actividades que el curso requerirá del alumno para lograr los estándares y competenciasdel perfil de egreso)

TRABAJO 1: Construcción geométrica de figuras Estándar 6/ Competencia 1 (12 PUNTOS)

Utilizando sólo regla, compás y hojas construye geométricamente lassiguientes figuras:

A. El Triángulo Órtico y la Recta de Euler de un triángulo cualquiera.B. Las tres circunferencias ex inscritas a un triángulo acutángulo.C. Construye un triángulo equilátero sobre cada uno de los lados de un

triángulo rectángulo.

Elabora un informe (que incluya introducción, cuerpo principal yconclusiones), que incluya cada una de las construcciones geométricas

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realizadas describiendo esta construcción en lenguaje coloquial y formalcomo también las respuestas a las siguientes preguntas:

¿el triángulo órtico existe para cualquier tipo de triángulo? Fundamente Las tres bisectrices interiores de un triángulo son concurrentes en un

punto llamado inscentro, ¿sucede lo mismo con las bisectrices exteriores?

¿Qué ángulo se forma entre la bisectriz interior y la exterior respectiva? Demuestre su afirmación.

Demuestre que el triángulo equilátero definido sobre la hipotenusa de untriángulo rectángulo cualquiera es equivalente a la suma de los triángulos equiláteros definidos sobre los catetos.

TRABAJO 2: Construcción de figuras utilizando un software geométrico Estándar 6/ Competencias 1- 6 (12 PUNTOS)

2.a) Utilizando Cabri II, construye una “macro” para triángulos equiláteros(macro 1) y triángulos rectángulos (macro 2).

2.b) En un informe replica dichos procedimientos, pero con regla y compás, yexplica porqué la figura construida es un triángulo equilátero o untriángulo rectángulo.

2.c) Utilizando Cabri II, construye una “macro” para circunferenciasinscritas (macro 3) y otra para circunferencias circunscritas (macro 4)a un triángulo cualquiera.

2.d) Utilizando la macro 3 construye circunferencias inscritas en diferentestipos de triángulos, analizando la ubicación del inscentro.

2.e) Utilizando la macro 4 construye circunferencias circunscritas endiferentes tipos de triángulos, analizando la ubicación delcircunscentro.

2.f) Construye una circunferencia circunscrita en un triángulo equilátero yanaliza la relación existente entre la longitud del lado del triánguloy la longitud del radio de la circunferencia

2.g) Entrega un informe que contenga la siguiente información: Descripción en lenguaje matemático de las construcciones de una

circunferencia inscrita y una circunscrita. Ubicaciones de los centros de las circunferencias inscritas y

circunscritas de acuerdo al tipo de triángulo en donde estén

79

79

definidas y el dibujo de la construcción que muestra claramentedichas posiciones.

La razón entre la longitud del lado de un triángulo equilátero y lalongitud del radio de la circunferencia circunscrita en él.

TRABAJO 3: Figuras congruentes presentes en el arte y arquitectura Estándar 6 - 8 / Competencia 7 (8 PUNTOS)

Investiga, con arquitectos o diseñadores gráficos, sobre la presencia de lasfiguras congruentes (tesselaciones, por ejemplo) en el arte, arquitectura ynaturaleza, presentando un informe que contenga 5 manifestaciones(artísticas, de la naturaleza o arquitectónicas) claramente referenciadas endonde estén presentes de forma manifiesta las figuras congruentes

TRABAJO 4: Visualización, deducción y demostración de Teoremas deParalelógramos Estándar 6 / Competencia 1- 8 (12 PUNTOS)

Elabora un informe en que desarrolla las siguientes actividades:

4.a) Construye en GeoGebra (freeware en español) o en Cabri II (software conlicencia) figuras que permitan visualizar los siguientes teoremas:

El cuadrilátero definido a partir de los puntos medios de los lados de un cuadrilátero cualquiera es siempre un paralelógramo.

Las diagonales de un paralelógramos cualquiera se dimidian. Las diagonales de un rombo cualquiera son perpendiculares. Los ángulos opuestos de un paralelógramos son suplementarios. Los lados opuestos de un paralelogramo tienen igual longitud

4.b) Demuestra los teoremas anteriores.4.c) Resuelve un listado problemas en los que estén involucrados teoremas

80

80

VI. EVALUACIONES CLAVES

Evaluación 1

1. Estándar 6 / Competencia 1

2. Justificación:Un(a) profesor(a) de 2do ciclo debe ser capaz de comprender que el triánguloes una figura fundamental en la geometría, cuyas características permitensustentar el estudio de otras figuras geométricas. Además, y debido a quelos procedimientos de construcción de triángulos se basan en los criteriosde congruencia, es necesario que el profesor los aplique en la deducción delas propiedades y teoremas que deberá enseñar en 2do ciclo. Esto lespermitirá entender los procesos de construcción geométrica de triángulos,posteriormente, de otras figuras geométricas y también las distintas formasde clasificar triángulos; tema que es abordado como uno de los contenidosmínimos obligatorios del programa oficial de estudios de 2do ciclo.

3. Pre-requisitos:Antes de realizar esta evaluación, los profesores en formación son capaces de:

Comprender y reconocer los conceptos de punto, segmento, recta, rayo, ángulo, perpendicularidad y paralelismo, figura.

Construir geométricamente rectas perpendiculares y paralelas, ángulos ysegmentos de medidas determinadas.

Comprender la noción de simetría y de eje de simetría.

4. Descripción breve de la evaluación: Los profesores en formación clasificarán triángulos según distintoselementos, reconocerá pares de figuras congruentes, deducirá propiedades detriángulos y construirá triángulos a partir de información dada.

5. Describa los pasos de la evaluación en detalle

Paso 1: Clasificación de Triángulos según longitud de sus lados, medidas angulares y número de ejes de simetría.

Individualmente, clasifican diversos triángulos según medida de sus lados ode sus ángulos interiores. Identifican además aquellos triángulos en los quees posible descomponerlos en triángulos congruentes. Relacionan estapropiedad con la simetría, y los clasifican según el número de ejes desimetría que poseen. Establecen una relación entre estos tres tipos declasificaciones.

81

81

Paso 2: Construcción de los elementos secundarios y deducción de propiedades

Para una colección de triángulos de distintos tipos, construyengeométricamente sus alturas, simetrales y bisectrices, deducen propiedadesde éstas y establecen las condiciones para que se cumplan (identificanaquellas regularidades propias de determinado tipo de triángulo, porejemplo). Enuncian sus resultados como teoremas y los demuestran.

Paso 3: Aplicación de criterios de congruencia para identificar triángulos ypolígonos congruentes.

Los profesores en formación, mediante la aplicación de los criterios decongruencia, identificarán figuras congruentes (triángulos y otrospolígonos), descomponiéndolas, cuando sea posible, en triánguloscongruentes. Demuestran todas sus afirmaciones.

Paso 4: Construcción de triángulos según condiciones dadas y utilización de criterios de congruencia para justificar formalmente sus afirmaciones

Construyen geométricamente triángulos a partir de medidas determinadas, obien, a partir de elementos dados (trazos que definen lados o elementossecundarios y/o ángulos). Describen sus construcciones y demuestran susafirmaciones usando los criterios de congruencia.

7. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus conocimientos, habilidades, o actitudes (textos, sitios de la red, otros):

Instrumentos de construcción y medición (regla, compás y transportador).

Textos escolares de Matemática y Textos de Universitarios de Geometría.

Planes y programas del subsector Educación Matemática (4to a 8vo básico) y Matemática (1ro a 3ro medio).

82

82

Rúbrica de evaluación

Paso Insatisfactorio(0 puntos)

Básico(3 puntos)

Competente(6 puntos)

Destacado(8 puntos)

Puntos

1 No clasifican triángulossegún medida de suslados y ángulo; y

No descomponen untriángulo simétrico endos triánguloscongruentes, o bien,descomponen entriángulos nocongruentes.

Clasifican los triángulossegún medida de sus ladosy ángulos; y

Descomponen un triángulosimétrico en dostriángulos congruentes

Clasifican los triángulossegún medida de sus lados yángulos; y

Descomponen un triángulosimétrico en dos triánguloscongruentes identificando eleje de simetría.

Clasifican los triángulossegún medida de sus lados yángulos; y

Descomponen un triángulosimétrico en dos triánguloscongruentes identificando eleje de simetría; y

Establecen una relaciónentre el número de ejes desimetría y la clasificaciónsegún sus lados.

8

2

(1,5x)

No construyengeométricamente nialturas, ni bisectrices,ni simetrales, nimedianas.

Tampoco deducenpropiedades o deducenpropiedades de formaincorrecta. (por ej: laaltura de cualquiertriángulo es eje desimetría).

Construye geométricamentesólo algunos de loselementos secundarios; y

No logran deducirpropiedades correctas queinvolucren los elementossecundarios del triángulo.

Construye geométricamentetodos los elementossecundarios; y

Deducen propiedades correctasque involucren los elementossecundarios del triángulo,pero no son capaces deescribir la propiedad comoteorema.

Construye geométricamentetodos los elementossecundarios; y deducenpropiedades correctas queinvolucren los elementossecundarios del triángulo,escribiéndolas como teoremay demostrándolas.

12

83

83

3.

No identificacorrectamente figurascongruentes; o bien,identifica triánguloscongruentes, pero nofundamenta su respuesta.

Identifica triánguloscongruentes, y fundamentasin criterios decongruencia, e

Identifica polígonoscongruentes, pero nodescompone los polígonosen triángulos congruentes.

Identifica triánguloscongruentes, y fundamenta concriterios de congruencia, e

Identifica polígonoscongruentes, y fundamentamediante descomposición, perosin usar criterios decongruencia.

Identifica triángulos ypolígonos congruentes,fundamentando mediantedescomposición y criteriosde congruencia detriángulos.

8

4 Construyengeométricamentetriángulos dadossolamente sus treslados. Describen suconstrucción en lenguajeno formal.

Construyen geométricamentetriángulos, dados algunosde sus elementosprincipales y describen suconstrucción en lenguajeno formal.

Construyen geométricamentetriángulos, dados algunos desus elementos principales, odada alguna característica deéste y describen suconstrucción en lenguajeformal. Demuestran susafirmaciones en lenguajeformal.

Construyen geométricamentetriángulos dados algunos desus elementos (principales osecundarios), escriben ydemuestran su construcciónen lenguaje formal; y

Analizan la existencia deotras soluciones.

8

TOTAL DE PUNTOS 36

84

84

EVALUACIÓN 2

1. Estándar 6 / Competencia 1

2. Justificación:Un(a) profesor(a) de 2do ciclo debe ser capaz de comprender al cuadrilátero,y sus distintas formas de clasificación, pues es una figura fundamental enla geometría de enseñanza básica. Además, debe ser capaz de deducir,comprender y demostrar las propiedades de cuadriláteros, pues éstasfundamentan diversas relaciones métricas. Finalmente, debe comprender,deducir y aplicar las fórmulas para el cálculo de áreas de regionesdelimitadas por cuadriláteros y triángulos.

3. Pre-requisitos:Antes de realizar esta evaluación, los profesores en formación son capacesde:

Comprender y reconocer los conceptos de punto, segmento, recta, rayo,ángulo, perpendicularidad y paralelismo, figura.

Construir geométricamente rectas perpendiculares y paralelas, ángulos ysegmentos de medidas determinadas.

Comprender y aplicar el concepto de congruencia y los criterios decongruencia.

Comprender la noción de simetría y de eje de simetría.

4. Descripción breve de la evaluación:Los profesores en formación clasificarán cuadriláteros según distintoscriterios, deducirán y demostrarán propiedades de cuadriláteros yconstruirán cuadriláteros a partir de información dada. Finalmente,deducirán y aplicarán fórmulas para el cálculo de áreas de regionesdelimitadas por cuadriláteros y triángulos.

5. Describa los pasos de la evaluación en detalle

Paso 1:Dada una colección de cuadriláteros convexos, los clasifica comopertenecientes a la familia de los trapezoides, trapecios o paralelogramos,fundamentando de acuerdo a la cantidad de lados paralelos y señalando encada uno el nombre por el cual es identificado en la familia a la quepertenece. Además dada una colección de paralelogramos los clasifica segúnel número de ejes de simetría

Paso 2:

85

85

En parejas o ternas, construyen un mapa conceptual que relacione loselementos geométricos involucrados en el concepto de cuadrilátero y en susclasificaciones.

Paso 3:Construyen geométricamente cuadriláteros convexos, a partir de elementosdados y/o características específicas siendo de capaz de escribirformalmente los procesos constructivos. Dada una colección de cuadriláterosreconoce aquellos que son inscriptibles y circunscriptibles justificando apartir de los teoremas relativos a la inscriptibilidad y lacircunscriptibilidad; además aplica dichos teoremas para resolver problemasgeométricos que involucren este tipo de cuadriláteros.

Paso 4:Deducen de ellos las propiedades métricas y angulares presentes en losplanes y programas de 5° básico a 1° medio, discuten sus afirmaciones y lasenuncian como teoremas, los que finalmente demuestran.

Paso 5:Deducen fórmulas para el área de regiones delimitadas por cuadriláteros ytriángulos. Utilizan la noción de equivalencia de figuras para demostrar susafirmaciones. Aplican estas fórmulas en la resolución de problemasgeométricos dados.

7. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus conocimientos, habilidades, o actitudes (textos, sitios de la red, otros):

Instrumentos de construcción y medición (regla, compás y transportador).

Textos escolares de Matemática. Planes y programas del subsector Educación Matemática (4to a 8vo

básico) y Matemática (1ro a 3ro medio).

86

86

Rúbrica de evaluación

Paso Insatisfactorio(0 puntos)

Básico(3 puntos)

Competente(6 puntos)

Destacado(8 puntos)

Puntos

1 Clasifica sin fundamentar oclasifica incorrectamente almenos un cuadrilátero o almenos uno de losparalelogramos.

Clasifica la colección decuadriláteros sólo señalandola familia a la cualpertenece según la cantidadde pares de lados paralelos,sin identificar el nombre querecibe en la familiarespectiva, y

No clasifica correctamente lacolección de paralelogramosutilizando los ejes desimetría como argumento

Clasifica la colección decuadriláteros señalando lafamilia a la cual pertenecesegún la cantidad de pares delados paralelos,identificando el nombre querecibe en la familiarespectiva, y

Clasifica correctamente lacolección de paralelogramosargumentando con los ejes desimetría

Clasifica la colección decuadriláteros sólo señalandola familia a la cual pertenecesegún la cantidad de pares delados paralelos, identificandoel nombre que recibe en lafamilia respectiva eidentifica correctamente lacolección de paralelogramos,justifica utilizando los ejesde simetría

8

2

x1,5

Elabora sólo una secuenciade contenidos.

Elabora un mapa conceptualestableciendo enlaces entreniveles de jerarquíacontiguos.

Elabora un mapa conceptualestableciendo enlaces entreniveles de jerarquíacontiguos y no contiguos.

Elabora un mapa conceptualestableciendo enlaces entreniveles de jerarquía contiguosy no contiguos fundamentandocada enlace.

12

87

87

3

x1,5

No construye geométricamentecuadriláteros o losconstruye, sin argumentarlos procedimientosutilizados y sin escribirformalmente los pasos de laconstrucción, o

No reconoce cuadriláterosinscriptibles nicircunscriptibles.

Construye geométricamentecuadriláteros segúncondiciones dadas,escribiendo formalmente lospasos y argumentando losprocedimientos utilizados enla construcción, y

No reconoce cuadriláterosinscriptibles nicircunscriptibles.

Construye geométricamentecuadriláteros segúncondiciones dadas,escribiendo formalmente lospasos y argumentando losprocedimientos utilizados enla construcción, y

Reconoce cuadriláterosinscriptibles ycircunscriptiblesargumentando según losteoremas respectivos.

.

Construye geométricamentecuadriláteros segúncondiciones dadas, escribiendoformalmente los pasos yargumentando losprocedimientos utilizados enla construcción, y

Reconoce cuadriláterosinscriptibles ycircunscriptibles argumentandosegún los teoremasrespectivos, y

Resuelve problemas geométricosque involucran cuadriláterosinscriptibles ycircunscriptibles.

12

4

x1,5

No deducen propiedades odeducen propiedades de formaincorrecta. (Por ej: lasdiagonales de cualquierparalelogramo sonperpendiculares).

Deducen propiedades para losdistintos tipos decuadriláteros, sin sercapaces de enunciarlas comoteoremas.

Deducen propiedades para losdistintos tipos decuadriláteros enunciándolascomo teoremas, pero no soncapaces de demostrarlas.

Demuestran propiedades paralos distintos tipos decuadriláteros.

12

5

x1,5

No deducen fórmulas paracalcular el área de unasuperficie delimitada por untriángulo ni por unparalelogramo. No resuelvenproblemas de cálculo deáreas.

No deducen la fórmula paradeterminar el área de unparalelogramo y un triángulo.

Resuelven problemas donde sedeben utilizar las fórmulasde área de un paralelogramo ytriángulo.

Deducen la fórmula paradeterminar el área de unparalelogramo, un triángulo yun trapecio, y las aplicanpara resolver problemas.

Demuestran la fórmula quepermite calcular el área deun triángulo equilátero enfunción de la longitud dellado.

Deducen la fórmula paradeterminar el área de unparalelogramo, un triángulo yun trapecio, y las aplicanpara resolver problemas, y

Explican las demostraciones deteoremas que utilizan áreas detriángulos y cuadriláteros(ejemplo: teorema de Pitágorasy teorema de Ceva)

12

Total Puntos 56

88

88

VII. PUNTUACION DE LOS PASOS/TRABAJOS PARA LA EVALUACION:

Puntaje de las Evaluaciones Claves

Evaluación clave 1 (estudio del triángulo) Estándar 6/Competencia 1

Paso 1 8 puntosPaso 2 12 puntosPaso 3 8 puntosPaso 4 8 puntos_______________________________TOTAL 36 puntos

Evaluación clave 2 (estudio de los cuadriláteros) Estándar 6/Competencia 1

Paso 1 8 puntosPaso 2 12 puntosPaso 3 12 puntosPaso 4 12 puntosPaso 5 12 puntos_______________________________TOTAL 56 puntos

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Asignatura: Variaciones ProporcionalesAutor(a)/Universidad: Alicia Zamorano/Universidad del Bío-BíoHoras presenciales por semana: 6 (4 teóricas y 2 prácticas)Horas requeridas del alumno por semana fuera del aula: 4

Visión del Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de EducaciónBásica

El Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica esun profesional con sólida formación pedagógica y disciplinaria, en almenos un sector de aprendizaje, con autonomía para tomar decisionesinformadas.Ejerce una práctica reflexiva y utiliza la investigación paradesarrollar las competencias que le permiten responsabilizarse de losprocesos y resultados de su enseñanza.En colaboración con la familia y comunidad, se compromete con el logrode aprendizajes que potencien el desarrollo psicosocial, intelectual ymoral de estudiantes preadolescentes. Participa en acciones de cooperación profesional asociadas almejoramiento de la calidad de la educación que ofrece su instituciónescolar

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ALINEACIÓN CON ESTÁNDARES Y COMPETENCIAS

I. Estándares y Competencias del perfil de egreso relacionados con el curso.

El curso de Variaciones Proporcionales está diseñado para lograr conespecial énfasis los estándares y competencias del perfil que acontinuación se indican

Estándar 14Estudia la organización matemática en torno a la proporcionalidad quese inserta en la necesidad de describir mediante un único modelo losdiferentes tipos de relaciones de proporcionalidad (segundo nivel dealgebrización) justificando la forma actual de la organizaciónmatemática escolar en torno a la proporcionalidad de magnitudes.De esta organización matemática en torno a la función lineal, sedesprenden las tres relaciones proporcionales que aparecen en lamatemática escolar, como son los conceptos de razón, proporción ymagnitudes proporcionales, con sus definiciones, propiedades,diferentes representaciones, aplicaciones y técnicas de resolución.A su vez, utiliza los contenidos matemáticos anteriores en función delas necesidades de aprendizaje de los contenidos del segundo ciclobásico establecidos por el marco curricular en cuanto a laorganización, planificación y evaluación de actividadescontextualizadas y pertinentes para los estudiantes de este grupo,para así lograr un aprendizaje significativo en todos ellos.

Competencia 1, Eje 2: Comprende con adecuada amplitud y profundidadlas disciplinas del sector de aprendizaje que es responsable deenseñar.

Competencia 4, Eje 2: Comprende el amplio rango de procedimientos evaluativos y los usa para monitorear el avance y logro de los educandos.

El (los) siguiente estándar(es)/competencia(s) tiene(n) un énfasissecundario en este curso:

Estándar 1Comprende los conceptos de número natural y entero, como abstracciónde las cantidades discretas, y los distingue de sus formas derepresentación.

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Justifica procedimientos y estrategias de cálculo aritmético, ypropiedades del orden y de las operaciones con números naturales yenteros a partir de propiedades evidentes de los números y de sussistemas de representación. Resuelve problemas referidos a cantidades discretas y magnitudesnegativas, haciendo uso eficiente del orden, las operaciones, laspropiedades de las operaciones, el valor absoluto, las ecuaciones, lasinecuaciones, y herramientas tecnológicas, según las condicionesdadas y el modelo que construya de la situación.Diseña desafíos y problemas referidos a situaciones de orden, conteo,aditivas, multiplicativas, de divisibilidad y restos ligadas acontextos de los programas oficiales de segundo ciclo de distintossectores curriculares, en los que se utilice operaciones, ecuaciones,inecuaciones y en general propiedades de los números naturales oenteros.

Estándar 3Comprende los significados asociados a las fracciones y el conceptode número racional como elemento de un conjunto cuociente,distinguiendo sus diferencias y similitudes. Reconoce los númerosdecimales como fracciones cuyo denominador es una potencia de diez.Reconoce las expresiones o desarrollos decimales finitos y periódicoscomo una forma de representación de los números racionales,alternativa a las fracciones, que facilita los cálculos de lasoperaciones aritméticas. Comprende la existencia de cantidadesinconmensurables, e identifica los números irracionales con lasexpresiones o desarrollos decimales infinitos no periódicos. Reconoceen las distintas formas de representación de los números unacomplejidad conceptual que se constituye en un obstáculo didáctico.Reconoce las propiedades del orden y de las operaciones en los númerosdecimales, racionales e irracionales, y las visualiza bajo lasdistintas formas de representación de estas categorías de números.Resuelve problemas asociados a fenómenos naturales y sociales a partirde la modelación de situaciones referidas a diferencias y razonesentre medidas, mediciones y particiones, repartos y fraccionamientos,equivalencia de fraccionamientos, cuocientes y restos, tasas yvariaciones proporcionales, probabilidades, medidas grandes ypequeñas, redondeos, aproximaciones, estimaciones, uso de calculadoray algoritmos operatorios, y uso de estrategias de cálculo; para locual utiliza el sistema de los números racionales y diferentesregistros de representación, incluyendo expresiones fraccionarias,decimales finitas, infinitas periódicas y no periódicas, y potenciascon exponente entero.

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Diseña, selecciona y resuelve situaciones problemas asociadas adistintas disciplinas, en el marco de los programas de estudio desegundo ciclo básico, usando fracciones, decimales y porcentajes.

Estándar 9Comprende los conceptos de semejanza de figuras y proporcionalidad detrazos, y los utiliza para fundamentar los teoremas de semejanza detriángulos. Aplica estos teoremas para determinar relaciones desemejanza de polígonos, para resolver problemas y para demostrar losteoremas de Euclides y los referidos a relaciones métricas y angularesen la circunferencia. Comprende y aplica las razones trigonométricaspara resolver problemas. Construye homotecias directas e inversas defiguras. Valora uso de la semejanza de figuras en el arte y laarquitectura.Conoce la ubicación de los contenidos asociados a geometríaproporcional y semejanza en los planes de estudio de enseñanza básicay media, y es capaz de organizar el proceso de aprendizaje de estoscontenidos para el nivel de Educación General Básica.

II. Aprendizajes esperados

Conceptual Analiza con detalle el concepto de razón como un par ordenado decantidades de magnitudes, a través de sus distintas utilizaciones,representaciones y conjunto numérico al que pertenecen.

Comprende la organización matemática en torno a laproporcionalidad a partir del modelo funcional que describe en unúnico modelo las tres relaciones de proporcionalidad clásicas:proporcionalidad directa, inversa y compuesta.

Demuestra el teorema fundamental de las proporciones y lo utilizapara reconocer que algunas razones forman una proporción

Comprende que la regla de tres de una técnica eficaz para laresolución de problemas de proporcionalidad directa y compuesta,pero que ésta “esconde” la caracterización de los tipos deproporcionalidad.

Procedimental Resuelve problemas relacionados con la razón porcentual,entendiendo esta como una aplicación de la proporcionalidad directa,a través de un cociente constante.

Modela y resuelve problemas de proporcionalidad compuesta,entendiendo esta como una conjunción entre situaciones deproporcionalidad directa y/o inversa y una forma económica deresolución de problemas donde estas estén relacionadas

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Usa las propiedades de las proporciones para resolver problemasgeométricos relativos a segmentos proporcionales, semejanza detriángulos, etc. y así relacionar la aritmética y el álgebra con lageometría que aprenderá el estudiante de enseñanza básica, en laenseñanza media.

Utiliza el teorema fundamental de las proporciones paraclasificar las distintas proporciones que se forman al cambiar elorden de los términos y las utiliza para la resolución de problemas.

Actitudinal Aprecia la organización matemática en torno a la proporcionalidad,

comprendiendo su necesidad para la consolidación matemática de losconceptos asociados a ella.

III. Lecturas Requeridas: A) Lecturas obligatorias Bolea, P., Bosch, M., Gascón, J., (2001), La transposición didáctica

de organizaciones matemáticas en proceso de algebrización.Recherches en Didactique des mathématiques, Vol. 21, nº3, pp. 247-304

Deulofeu, J., Azcárate C., ( ) Funciones y Gráficas, EditorialSíntesis, Madrid

Fiol, M. L., Fortuny, J. M., (1990) Proporcionalidad Directa. Laforma y el número, Editorial Síntesis, Madrid

Grupo Beta, (1997), Proporcionalidad geométrica y semejanza,Editorial Síntesis, Madrid

B) Lecturas complementarias Ayres, F., (2001), Matemáticas Financieras, Mc Graw-Hill, México Boyer, C. B. (1986), Historia de la matemática. Alianza, Madrid. Wisniewski, P., Gutiérrez, A., (2004), Introducción a las

matemáticas universitarias, Colección Schaum, Mc Graw Hill.

IV. Otros recursos:http://matti.usu.edu/nlvm/nav/frames_asid_160_g_1_t_1.htmlhttp://math.rice.edu/~lanius/proportions/index.html

Graphmaticahttp://www8.pair.com/ksoft/espanol/grmat16e.ziphttp://www.eduteka.org/matecuapoli.php3http://www.santillana.cl/matematica/escenas/unidad4aa.htm

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http://descartes.cnice.mecd.es/

V. Trabajos del alumno y su relación con el logro de estándares y competencias. (Indiquelas principales actividades que el curso requerirá del alumno para lograr los estándares ycompetencias del perfil de egreso)

1. Estudia con detalle el concepto de razón como un par ordenado decantidades de magnitudes, a través de sus distintas utilizaciones,representaciones y conjunto numérico al que pertenecen

Estándar 14-1-3/ Competencia 1

El (la) profesor(a) da a los estudiantes distintas formas de compararcantidades, llegando a la comparación por cociente y conociendo suamplio rango de aplicaciones en contextos cotidianos. Se formaliza lanoción de par ordenado, generalizando sus propiedades numéricas yalgebraicas.

2. Caracterización algebraica de la proporcionalidad directa einversa.

Estándar 14-1-3 / Competencia 1

El estudiante construye tablas con datos de situaciones propuestas porel profesor, donde estén presentes la proporcionalidad directa einversa. Generaliza a partir de los datos y escribe la relaciónalgebraica entre los datos, escribiendo las características de lasproporciones encontradas

3. Resolución de problemas de proporcionalidad compuesta Estándar 14-1-3 / Competencia 1-4-8

El (la) profesor(a) propone a los estudiantes resolver problemas deproporcionalidad compuesta, descomponiendo en proporcionalidad directae inversa. Realiza tabla con los datos de los problemas y obtenidos através de la resolución y luego se grafican con algún softwarematemático.

4. Relación entre la aritmética y el álgebra con la geometríaEstándar 14-9 / Competencia 1

Se le proponen desafíos numéricos, donde tienen que generalizar losdatos obtenidos, en contexto geométricos, como son la relación entrela medida de los lados de un cuadrado y/o rectángulo con su perímetroy área. Se complican los problemas multiplicando los lados (el factor

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puede ser un número natural y fraccionario) por un número dado yconjeturando que pasa con el perímetro y área. Escribenalgebraicamente las relaciones obtenidas.

Pauta para la evaluación clave

EVALUACIÓN CLAVE 1

1. Estándar 14-1-4/ Competencia 12. Justificación (¿Por qué tiene que saber esto un/una profesor(a) desegundo ciclo?)

Un(a) profesor(a) de 2º ciclo debe ser capaz de comprender losconceptos de razón y de variación proporcional: directa, inversa ocompuesta, sus propiedades, aplicaciones contextualizadas omatematizadas y diferentes representaciones ya sea mediante laconstrucción de tablas o de gráficos, utilizando software, para asíentender la potencia de la matemática como una herramienta que creamodelos de situaciones contextualizadas, generalizando los resultadosque permiten utilizarlos en contextos similares.

3. Pre-requisitos: (lo que los estudiantes deben saber y deben hacerantes de la evaluación):Los estudiantes deben:- Conocer y reconocer los números en diferentes contextos deutilización de razones y proporcionalidad con sus respectivaspropiedades.- Manejar la operatoria básica (adición, sustracción, multiplicación,división y potenciación) de los diferentes sistemas numéricos para laresolución de diversos problemas.- Manipular a nivel de usuario el computador para la utilización dealgún software matemático.

4. Descripción breve de la evaluación

Los estudiantes realizarán un proyecto fuera del aula. Este proyectodeberán realizarlo en forma grupal (no más de 4 estudiantes) yconsistirá en la recopilación de datos para conocer y saber cómo secalcula el I.P.C. (índice de precios al consumidor), cuál es suinfluencia en el mercado económico nacional, regional y local yrelacionar la matemática estudiada con aspectos de la cotidianeidadque rodean a las personas. Luego deberán realizar un informe escritoexplicando detalladamente todo el trabajo anterior.

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5. Describa los pasos de la evaluación en detalle

Paso 1:Buscarán en Internet información acerca de lo que es el I.P.C. ,paraque se le utiliza, donde se utiliza, su incidencia en la economíanacional

Paso 2:Concurrirán a la institución adecuada (cámara de comercio, secretaríade economía y/o algún economista) para obtener de fuentes directascómo se calcula el I.P.C. y cual(es) es(son) la(s) incidencia(s) deéste en la economía nacional, regional y local.

Paso 3:Presentan un avance del trabajo realizado ya sea para realizarconsultas o para verificar que el avance del trabajo investigativoestá encaminado correctamente.

Paso 4:Elaboración de un informe escrito con los pasos anteriores y lasconclusiones obtenidas tanto en forma grupal como personal deldesarrollo del proyecto, en los ámbitos disciplinares, personales yprofesionales.

6. Puntuación de los Pasos/Trabajos para la evaluación:

Puntos1. Utilización contextual de concepto de razón y proporcionalidad (Estándar 14 / Competencia 1) 10 (rúbrica)

2. Análisis de la situación (Estándar 14 / Competencia 1) 20 (rúbrica)

3. Reporte grupal (Estándar 14 / Competencia 1) 20(rúbrica)

4. Reporte personal (Estándar 14 / Competencia 1) 30(rúbrica)

5. Coevaluación (Competencia 4) _20__

Total de puntos 10097

7. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedanmostrar sus conocimientos, habilidades o actitudes (textos,sitios de la red y otros)

Internet y sitios web coherentes con el tema a investigar Pauta de cómo serán evaluados con los indicadores de elaboración ypresentación del informe

Tiempo coherente para el desarrollo del proyecto, tanto dentro delaula (para responder consultas) como fuera de ella para recopilarinformación y elaboración del informe.

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Rúbrica de evaluación:

EVALUACIÓN CLAVE 1 Insatisfactorio0 puntos

Básico1-5 puntos

Competente5-8 puntos

Destacado9-10 puntos

Puntos

Paso 1Buscarán enInternetinformación acercade lo que es elI.P.C. para que sele utiliza, dondese utiliza, suincidencia en laeconomía nacional

No busca lainformaciónpedida eninternet

Busca lainformación enInternet, perosolo encuentralo que es elIPC o donde seutiliza o paraque se utiliza

Buscainformación enInternet, eltema buscado yextraen toda lainformaciónpertinente.

Busca información enInternet, en laspáginas ad-hoc,haciendo referencia alos organismosestatales y privadosdonde el tema es defundamentalimportancia.

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Paso 2:Concurrirán a lainstituciónadecuada (cámara decomercio,secretaría deeconomía,institucionesfinancieras y/oalgún economista)para obtener defuentes directas

No asisten alainstituciónen busca delainformaciónsolicitada

Buscan lainformación,pero sólo enuna o dosinstitucionesrelacionadascon el tema delI.P.C..Obtienenfuentesdirectas, perocon una visión

Recopilan lainformaciónnecesaria detodas lasfuentespropuestas,acercándosecompletamente ala importanciadel I.P.C. enla economíalocal, regional

Recopilan lainformación necesariade todas las fuentespropuestas, acercándosecompletamente a laimportancia del I.P.C.en la economía local,regional y nacional yademás concluyen enforma personal laimportancia de esteindicador para su vida

20

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cómo se calcula elI.P.C. y cual(es)es(son) la(s)incidencia(s) deeste en la economíanacional, regionaly local.(multiplicar por 2)

parcializada dela importanciade su cálculo yde suincidencia enla economía.

y nacional. personal.

Paso 3:Presentan un avancedel trabajorealizado ya seapara realizarconsultas o paraverificar que elavance del trabajoinvestigativo estáencaminadocorrectamente.

(multiplicar por 2)

No presentanun avance deltrabajo

El avance deltrabajodemuestra lasinsuficienciasdel trabajoinvestigativoy/opresentacióny/o rigurosidadprofesional.

El avance deltrabajo espresentado enlos tiempospropuestos, conla informaciónpedida y unabuenapresentaciónprofesional.

El avance del trabajoes presentado en lostiempos propuestos, conla información pedida yuna buena presentaciónprofesional. Secomplementa lo pedidocon una visión grupal ypersonal del trabajorealizado hasta ahora.

20

Paso 4:Elaboración de uninforme escrito conlos pasosanteriores y lasconclusionesobtenidas a tanto

No elaboranel informeescrito, osolo conalguno de lospasos

Elaboran uninformeescrito,presentado delos pasosanteriores,

Elaboran elinformeescrito,presentandotodos los datospedidos, con

Elaboran el informeescrito, presentandotodos los datospedidos, con unaadecuada reflexión dela información

30

100

en forma grupalcomo personal deldesarrollo delproyecto, en losámbitosdisciplinares,personales yprofesionales.

(multiplicar por 3)

anteriores,sinconclusionesindividualesni grupales

pero realizarun análisisprofundo de lasconsecuenciaseconómicas delI.P.C, tanto anivel local,regional y/onacional.

una adecuadareflexión de lainformaciónrecabada, tantopersonal comogrupalmente,evidenciando unbuen trabajocolaborativo yconceptual.

recabada, tantopersonal comogrupalmente,evidenciando un buentrabajo colaborativo yconceptual. Ademásincluyen una reflexiónpara su futura laborcomo profesores y comoeste trabajo lespermitió concretar suprofesionalidad.

Total Puntos

101

Asignatura: Aritmética con Naturales y EnterosAutor(a)/Universidad: Raimundo Olfos /P.U. Católica de Valparaiso, Horas presencial por semana: 4 horas teóricas, 2 horas prácticasHoras requeridas del alumno por semana afuera del aula: 6 horas.

Visión del Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica

El Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica es unprofesional con sólida formación pedagógica y disciplinaria, en al menos unsector de aprendizaje, con autonomía para tomar decisiones informadas. Ejerceuna práctica reflexiva y utiliza la investigación para desarrollar lascompetencias que le permiten responsabilizarse de los procesos y resultadosde su enseñanza. En colaboración con la familia y comunidad, se comprometecon el logro de aprendizajes que potencien el desarrollo psicosocial,intelectual y moral de estudiantes preadolescentes. Participa en acciones decooperación profesional asociadas al mejoramiento de la calidad de laeducación que ofrece su institución escolar

ALINEACIÓN CON ESTÁNDARES Y COMPETENCIAS

I. Estándares y Competencias del perfil de egreso relacionado alcurso.

El siguiente estándar y las siguientes competencias tienen un énfasisprincipal en este curso:

Estándar 2:Comprende los conceptos de número natural y entero, como entes formales cuyaspropiedades están dadas por los axiomas y las proposiciones que se deducen deellos.

Comprende la estructura deductiva de los sistemas de números naturales yenteros; reconoce las propiedades de estos sistemas y es capaz de explorar ydeducir algunas propiedades en el marco de la teoría de números y de laestructura de anillo de los números enteros.

102

102

Organiza, planifica y diseña actividades y secuencias de enseñanza quefavorecen la comprensión y uso de los múltiplos, los divisores ladescomposición en factores primos, la divisibilidad, las potencias yproductos como iteraciones, la representación de grandes y pequeños números,y la estimación y el redondeo de lo, como también, a los números enteros,sus operaciones, orden y valor absoluto, atendiendo a los obstáculosdidácticos asociados a estos conceptos, a las orientaciones didácticas de losprogramas oficiales del segundo ciclo y a los enfoques cognoscitivos actualesde los aprendizajes..

Competencia 1, Eje 2: Comprende con adecuada amplitud y profundidad las disciplinas delsector de aprendizaje educación matemática que es responsable deenseñar.

Competencia 3, Eje 2: Planifica secuencias de enseñanza y evaluación que contemplan lalógica de los contenidos y el proceso de aprendizaje, considerando ensus actividades y en la evaluación de estas, los procesoscognoscitivos.

El siguiente estándar y la siguiente competencia tienen un énfasissecundario en este curso:

Estándar 1: Comprende los conceptos de número natural y entero, como abstracción de lascantidades discretas, y los distingue de sus formas de representación.

Justifica procedimientos y estrategias de cálculo aritmético, y propiedadesdel orden y de las operaciones con números naturales y enteros a partir depropiedades evidentes de los números y de sus sistemas de representación.

Resuelve problemas referidos a cantidades discretas y magnitudes negativas,haciendo uso eficiente del orden, las operaciones, las propiedades de lasoperaciones, el valor absoluto, las ecuaciones, las inecuaciones, yherramientas tecnológicas, según las condiciones dadas y el modelo queconstruya de la situación.

Diseña desafíos y problemas referidos a situaciones de orden, conteo,aditivas, multiplicativas, de divisibilidad y restos ligadas a contextos delos programas oficiales de segundo ciclo de distintos sectores curriculares,en los que se utilice operaciones, ecuaciones, inecuaciones y en generalpropiedades de los números naturales o enteros.

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103

Competencia 2.Eje 2:Comprende el marco curricular nacional y los mapas de progreso para el sectorcurricular que enseña y utiliza este conocimiento para planificar suenseñanza.

Competencia 6, Eje 2:Selecciona y diseña recursos y situaciones de aprendizaje pertinentespara presentar ideas y conceptos disciplinarios a los estudiantesdel nivel que enseña.

Competencia 9, Eje 2: Conoce los principios didácticos que le permiten una gestión eficiente y efectiva en el aula para optimizar el tiempo dedicado al aprendizaje.

II. Aprendizajes (claves para el logro de losestándares/competencias)

Conceptuales Describe las nociones de correspondencia biunívoca y función sucesor y

reconoce los axiomas de Peano como propiedades verificables concantidades discretas.

Explica la construcción inductiva de los naturales y su relación conlas propiedades del orden, de la adición y de la multiplicación.

Caracteriza los números naturales a partir de su descomposición enfactores, pudiendo describir y demostrar algunos aspectos del algoritmode Euclides y del teorema fundamental de la aritmética.

Define el orden y las operaciones con números naturales a partir de losaxiomas de Peano y las propiedades que se deducen de ellos.

Distingue las situaciones relativas a conteo y cantidad, que dan origena los números naturales, de su definición formal, los invariantesasociados y sus sistemas de representación.

Identifica obstáculos didácticos asociados a la comprensión y uso delos números naturales en el segundo ciclo básico, en particular losepistemológicos que se visualizan en el desarrollo histórico de losnúmeros, y planifica actividades para la superación de estos por parte delos alumnos.

Define los números enteros como clases de equivalencia entre pares denaturales y define las operaciones con números enteros

Reconoce en los opuestos una propiedad en Z no válida en N, que permitedar solución a las ecuaciones aditivas.

Aplica la definición del valor absoluto y su representación gráfica.

104

104

Distingue las situaciones relativas a ganancias, perdidas, descuentos,aumentos, descensos y orden de magnitud.que dan origen a los númerosenteros, de su definición formal, los invariantes asociados y sussistemas de representación.

Identifica obstáculos didácticos asociados a la comprensión y uso delos números enteros en el segundo ciclo básico en particular losepistemológicos que se visualizan en el desarrollo histórico de losnúmeros,.

Procedimentales Demuestra propiedades de los naturales usando técnicas de inducción,

lógica inferencial, cuantificadores, razonamiento deductivo y conceptosde teoría de conjuntos.

Prueba que el orden es una relación de orden total en N. Conjetura y refuta o demuestra propiedades del orden, la adición, la

multiplicación, los múltiplos, los divisores, la divisibilidad, el MCM yel MCD.

Organiza secuencias de enseñanza y materiales para el estudio de losmúltiplos, los divisores y la descomposición en factores primosatendiendo a los programas de estudio del segundo ciclo básico y ladisponibilidad de recursos computacionales.

Organiza, planifica y diseña actividades y secuencias de enseñanza quefavorecen la comprensión y uso de la divisibilidad, las potencias yproductos como iteraciones, la representación de grandes y pequeñosnúmeros, y la estimación y el redondeo, atendiendo a los obstáculosdidácticos asociados a estos conceptos, a las orientaciones didácticas delos programas oficiales del segundo ciclo y a los enfoques cognoscitivosactuales de los aprendizajes.

Diseña actividades y secuencias de evaluación referidas a lacomprensión y uso de la divisibilidad, las potencias y productos comoiteraciones, la representación de grandes y pequeños números, y laestimación y el redondeo, atendiendo a los obstáculos didácticosasociados a estos conceptos, a las orientaciones didácticas de losprogramas oficiales del segundo ciclo y a los enfoques cognoscitivosactuales de los aprendizajes.

Prueba que Z es un conjunto ordenado y el orden es total Deduce que ( Z,+,*) es un anillo conmutativo con unidad y sin divisores

de cero. Planifica actividades para la superación de obstáculos didácticos

asociados a la comprensión y uso de los números enteros en el segundociclo básico por parte de los alumnos.

Organiza, planifica y diseña actividades y secuencias de enseñanza ymateriales para el estudio de los números enteros, sus operaciones, ordeny valor absoluto, atendiendo a los obstáculos didácticos asociados a

105

105

estos conceptos, a las orientaciones didácticas de los programasoficiales del segundo ciclo y a los enfoques cognoscitivos actuales delos aprendizajes.

Diseña actividades y secuencias de evaluación para el estudio de losnúmeros enteros, sus operaciones, orden y valor absoluto, atendiendo alos obstáculos didácticos asociados a estos conceptos, a lasorientaciones didácticas de los programas oficiales del segundo ciclo y alos enfoques cognoscitivos actuales de los aprendizajes.

Selecciona con criterio pedagógico problemas que se resuelven usandoecuaciones e inecuaciones aditivas y multiplicativas en Z, justificandolos procedimientos por medio de propiedades

Actitudinales

Valora los sistemas numéricos N y Z como teorías útiles para modelarsituaciones referidas a cantidades positivas y negativas.

III. Lecturas Requeridas:

Lecturas Obligatorias:

Campbell, S., & Zazkis, R. (2002). Toward number theory as a conceptual field. In Campbell, S., & Zazkis, R. (Eds.) Learning and teaching number theory: Research in cognition and instruction (pp. 1-14). Journal of Mathematical Behavior Monograph. Westport, CT: Ablex Publishing.Chuaqui, R. (1980). ¿Qué son los Números? El método axiomático. Universitaria. SantiagoGentile, E. (1985). Aritmética Elemental. OEA. Washington.Kamii, Constante (1989). Reinventando la Aritmética II. Ed. VisorDistribuciones, Madrid.MINEDUC, (1998). Planes y programas de estudio para quinto año básico.Santiago, ChileMINEDUC, (1998). Planes y programas de estudio para sexto año básico.Santiago, ChileMINEDUC,(1998). Planes y programas de estudio para séptimo año básico.Santiago, ChileMINEDUC, (1998). Planes y programas de estudio para octavo año básico.Santiago, Chile

106

106

Zazkis, R. y Campbell, S. (1996) Divisibility and Multiplicative Structure ofNatural Numbers: Preservice Teachers’ Understanding. En Journal for Research in Mathematics Education. Vol. 27. Nº 5 pp 540-563

Textos Complementarios

Bravo, R. (1971). Fundamentos de los Sistemas Numéricos. Interamericana.Primera Edición, Ciudad de México.

Boyer, C.B. (1986) Historia de la matemática. Alianza Editorial, Madrid, (3ªimpresión 2003).Burton, D. (1967). Introduction to Modern Abstract Álgebra. Addison WesleyPub. Co.Castro, E., Rico, L. y Castro, E. (1995). Estructuras Aritméticas Elementalesy su Modelización. Una Empresa Docente. Bogotá.Courant, R y Robbins, H. (1996). What is mathematics ? Oxford UniversityPress. NCTM (1989). Estándares curriculares y de evaluación para la educaciónmatemática.Niven, I. y Zuckerman, H. (1969) Introducción a la Teoría de los Números.Limusa. México.Parent, D. P. (1984) Exercises in Number Theory. Springer-Verlag, NewYork.Rico, L. (1998) Conocimiento Numérico y Formación del Profesorado. EnRevista de Educación de la Universidad de Granada. Vol. 11 Granada. Scheinermann, E. (2001). Matemáticas discretas. Thompson LearningTrejo, C. (1968) El Concepto de Numero. Serie de Matemáticas. Monografía Nº 7. OEA Washington, D.C.

IV. Otros recursos

Cid, E., Godino, J.D. y Batanero, C. (2003) Sistemas numéricos y su didácticapara maestros. Universidad de Granada. . En http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/

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V. Trabajos requeridos al alumno para lograr estándares y competencias delperfil

1. Modelación y deducciones en los naturales Estándar 2El estudiante elabora un informe, en conformidad a los siguientesrequerimientos Dadas situaciones referidas a ordinales y cardinales, el alumno

identifica las propiedades comunes, tales como la existencia de un primerelemento, y la existencia y unicidad de los sucesores. Tras lainstitucionalización por parte del profesor, el estudiante comparteverbalmente con sus pares las nociones de correspondencia biunívoca yfunción sucesor. Y luego las describe por escrito

Tras analizar situaciones de iteración, como la recurrencia en laprogramación computacional y los fractales, discute y explica por escritola construcción inductiva de los naturales

Tras estudiar las propiedades iniciales de los naturales como conjuntoinductivo, elabora al menos dos demostraciones referidas al orden, laadición o la multiplicación en N y explica el significado del axioma deinducción.

2. Análisis de conjeturas y elaboración de demostraciones Estándar 2El estudiante entrega un informe atendiendo a las siguientes solicitudes: Tratada la descomposición de los naturales en factores, el estudiante

propone y prueba conjeturas, siendo conducido a encontrar propiedadesrelativas a la descomposición en factores, el algoritmo de Euclides y elteorema fundamental de la aritmética.

A partir del análisis de los números naturales (o enteros) y la deducciónde algunas propiedades, el estudiante es desafiado a conjeturar, refutar,verificar y discutir demostraciones sobre propiedades del orden, laadición, la multiplicación, los múltiplos, los divisores, ladivisibilidad, el MCM y el MCD.

3. Análisis del anillo (Z,+,*) como modelo y teoría. Estándar 2El estudiante entrega un informe atendiendo a las siguientes requerimientos: Tras reconocer los números enteros como modelo de situaciones referidas a

“traslaciones” y a “cantidades negativas y positivas”, el estudianteidentifica la construcción axiomático deductiva de Z y sus operaciones apartir de N. Demuestra las propiedades algebraicas del anillo.

108

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El estudiante analiza la veracidad de conjeturas acerca del valorabsoluto, muestra situaciones referidas a las conjeturas y demuestra orefuta según corresponde.

4. Simulación de tareas recursivas en el computador Competencia 2.9 El estudiante expone ante sus compañeros, atendiendo al siguienterequerimiento:

El estudiante indaga sobre el uso de un lenguaje (LOGO, Visual Basic) ylo utiliza para simular tareas recursivas, las cuales comparte con suscompañeros ( Podría ser también en pseudo-lenguaje, sin computador).

Pauta para la Evaluación Clave

Se contemplan dos evaluaciones claves: una prueba sobre conjeturas ydemostraciones, y un informe referido a planificaciones de clases.

Evaluación clave 1. Prueba: Conjeturas, refutaciones ydemostraciones en N y Z.

1. Estándar 2/ Competencia 1, Eje 2

2. Justificación: El profesor de matemáticas de segundo ciclo básico debe comprender en quéconsiste el trabajo matemático, por ello debe ser capaz de formular desafíosy argumentar su veracidad, para así favorecer el desarrollo de estashabilidades en sus alumnos.

3. Pre-requisitos:El profesor debe comprender las propiedades básicas de los números naturalesy enteros, y de sus operaciones. Además, debe comprender las exigenciaslógicas de los procesos deductivos.

4. Descripción breve de la evaluación:Los profesores en formación son sometidos a una prueba o evaluación escritaen la que deben enfrentarse a conjeturas y hacer demostraciones orefutaciones acerca de los números naturales y enteros, sus operaciones ypropiedades, en un tiempo delimitado.

5. Descripción en detalle de los pasos de la evaluación.

109

109

Paso 1: Algoritmo de Euclides y Teorema Fundamental de la AritméticaEstándar 2.

Demuestran algunos lemas o parte de la demostración del algoritmo deEuclides o del Teorema fundamental de la aritmética, justificando lospasos correspondientes.

Paso 2: Propiedades de los números naturales y sus operacionesEstándar 2.

Analizan conjeturas sobre propiedades del orden, la adición, lamultiplicación, los múltiplos, los divisores, la divisibilidad, el MCMy el MCD y proveen contraejemplos para refutar las inapropiadas.

Analizan una demostración por inducción con errores acerca de lacancelación, asociatividad o conmutatividad de la suma, señalen loserrores y corrigen la demostración

Paso 3: Propiedades de los números enteros y sus operacionesEstándar 2.

Prueban o dan contraejemplos de conjeturas relativas al orden o alvalor absoluto en Z.

Paso 4: Propiedades de la estructura algebraica de los números enterosEstándar 2.

Demuestran la asociatividad o conmutatividad en el anillo (Z,+,*) apartir de su validez en los naturales.

Deducen algunas propiedades del anillo Z, con uno y sin divisoresde cero.

6. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar susconocimientos, habilidades, o actitudes (textos, sitios de la red,otros):

Antes de la prueba estudiarán demostraciones a partir de guías detrabajo, tendrán tiempo para consultas y dispondrán de ejemplosdetallados de demostraciones. Durante la prueba no podrán tenermaterial de consulta y será resuelta individualmente.

Rúbricas de evaluación

Criterio Insuficie Básico Competent Destacado Ptos

110

110

nte0

3 e6

8

Prueba, justificando, un lema oparte del algoritmo deEuclides o del Teorema fundamental de la aritmética

No es capaz de estructurar la demostración

Reconstruye la demostración, pero comete errores lógicos que la invalidan.No justificandocorrectamente

Elabora la demostración, pero comete algunas faltas formaleso errores dejustificación

Construye lademostracióncompleta y sin errores,y justifica adecuadamente.

8

Elabora contraejemplos para refutar conjeturas que no son teoremas

Identifica errores en una demostracióninductiva enN (cancelación, asociativa, conmutativa)y los corrige.

Confunde laspropiedades de N con proposiciones falsas

No comprendela demostracióninductiva

Identifica menos del 60% de las conjeturas que no son propiedades en los naturales

No es capaz de identificar adecuadamente los errores de la demostración

Identifica sobre el 60%, pero notodas las conjeturas inconducentes a teoremas.

Identifica los errores de la demostración, pero no los corrige adecuadamente

Distingue todas las conjeturas que son teorema de las que no lo son, proveyendo los contraejemplos.

Identifica los errores de la demostración, y los corrige adecuadamente

4

8

Analiza conjetu-ras sobre el orden o el valor absoluto en Z

No provee contraejemplos ni demuestra

Distingue menos del 60% de los teoremas

Distingue al60% de los teoremas y provee contraejemplos, a las conjeturas inadecuadas.

Construye contraejemplos y demuestra correctamente todas las conjeturas

8

Demuestra laasociatividad o conmutatividad en Z a partir de N

Deduce alguna

No provee una demostracióno sólo provee un esbozo.

No elabora

Provee una demostraciónincompleta obien con errores lógicos.

Elabora una demostración

Provee una demostracióncompleta, con errores leves, formales

Elabora demostración

Provee una demostracióncompleta, sin errores.

Elabora una demostracióncompleta,

4

8

111

111

propiedad enel anillo Z sin divisores decero

una demostración

con errores lógicos

con errores formales

sin errores

TOTAL DE PUNTOS

40

Evaluación clave 2. Planificación de actividades de aprendizaje.

1. Estándar 2, Competencias 2, 3 y 6/Eje 2.

2. Justificación: Es prioritaria la coherencia entre la matemática pura y la matemáticaescolar, de modo que la asignatura no pierda su esencia. El profesordebe articular el saber puro con el saber a enseñar, y nada mejor quehacerlo en el mismo momento que se aprende. Esta evaluación seinspira en la reflexión sobre ¿Qué es lo importante sobre los númerosque debe ser enseñado en el segundo ciclo básico?.

3. Pre-requisitos:El profesor debe conocer los programas de estudio y los saberes previos delos alumnos que podrían poner en juego para llegar al nuevo conocimiento.Estos saberes incluyen elementos de lógica, como el modus ponens, lasustitución, el modus tallens y la equivalencia entre una proposición y sucontrarecíproca.

4. Descripción breve de la evaluación:Los profesores elaboran una secuencia de actividades y de evaluación en tornoa un tema de la matemática escolar, de modo que conserve lo esencial delconocimiento matemático puro que le precede. Esta planificación de clases sereferirá a los números naturales o enteros, dispondrá de 7 días paraprepararla, una vez que haya consultado las orientaciones didácticas de losprogramas de estudio, revisado textos escolares, y analizado los obstáculosdidácticos asociados al tema según lo establece la literatura.

5. Descripción en detalle de los pasos de la evaluación.

112

112

Paso 1: Delimitación del tema a tratar y de la evaluación asociada.estándar 2, comp.2. Una vez trabajado en clases la descomposición en factores primos, la

divisibilidad, las potencias y productos como iteraciones, y el anillo Z,el estudiante analiza actividades de aprendizaje sobre estos conceptos enlos programas de estudio y textos escolares del segundo ciclo básico.

Paso 2: Análisis del tema en los Programas y textos de estudio.estándar 2, comp..6. Analiza el tema teniendo en consideración el saber matemático presente

en los conceptos tratados en los programas de estudio oficiales..

Paso 3: Análisis de los obstáculos didácticos asociados al tema.estándar 2. Analiza las actividades teniendo en consideración los obstáculos

didácticos asociados a los conceptos tratados y las orientacionesdidácticas entregadas por los programas de estudio.

Paso 4: Elaboración de secuencia de actividades de aprendizaje.estándar 2, comp.3. Planifica y diseña actividades y secuencias de enseñanza que favorecen

la comprensión y uso de tales conceptos atendiendo a los antecedentesanteriores, a los enfoques cognoscitivos actuales de los aprendizajes, ya la disponibilidad de recursos computacionales.

6. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrarsus conocimientos, habilidades, o actitudes (textos, sitios de la red,otros):

Programas de estudio del 2º Ciclo Básico. Textos escolares de 2º Ciclo Básico.

Rúbricas

Criterio Insuficiente0

Básico3

Competente6

Destacado8

Ptos

Las actividades son coherentes con los

No formula actividades que pongan en juego conocimiento

Actividadesque ponen enjuego saberes, pero que no

Actividadesrelacionadascon los aprendizajesesperados

Actividades que ponen enjuego conocimientos previos y

8

113

113

aprendizajesseleccionados del los Programas

s previos conducen a los aprendizajesseleccionados

pero no a partir de saberes previos.

apuntan a los aprendizajesesperados

Las actividades mantienen enesencia el saber matemático contenido enlos aprendizajesesperados

No formula actividades relacionadascon los aprendizajesesperados.

Las actividades no se relacionan con los saberes matemáticos asociados a los aprendizajesesperados

Las actividades se relacionan parcialmentecon los saberes matemáticos asociados a los aprendizajesesperados.

Las actividades se relacionan claramente con los saberes matemáticos asociados a los aprendizajesesperados

8

Las actividades tienen en consideración los obstáculos didácticos sobre el tema y son coherentes con las sugerencias didácticas de los Programas.

No propone actividades de aprendizaje,en que los alumnos pongan en juego saberes paraconstruir o consolidar nuevos saberes.

Las actividades no se ajustan a las sugerencias del programani tienen encuenta los obstáculos didácticos asociados altema.

Las actividades se ajustan alas sugerencias del programao bien tienen en cuenta los obstáculos didácticos asociados altema, pero no ambas.

Las actividades se ajustan alas sugerencias del programay tienen en cuenta los obstáculos didácticos asociados altema.

8

La secuenciade actividades es consistente con los enfoques cognitivos actuales sobre aprendizaje en matemática Y contempla el uso adecuado detecnología.

Las actividades no atienden los principios básicos sobre el aprendizaje

Las actividades se limitan aatender principios de aprendizaje conductistas.

Las actividades tienen en cuenta principios socio cognitivos actuales acerca del aprendizaje de la matemática

Las actividades son consistentescon los enfoques cognitivos actuales sobre aprendizaje en matemática Y contemplanel uso adecuado detecnología.

8

TOTAL DE PUNTOS

32

114

114

VI. Puntuación de los Trabajos para la evaluación:Puntos:

1. Informe escrito Modelación y deducciones en N (Estándar 2, comp..2,1) 62. Informe escrito Conjeturas y demostraciones en N (Estándar 2, comp..2,1) 83. Informe escrito El anillo (Z,+,*) modelo y teoría (Estándar 2,comp.. 2,1) 84. Exposición simulación recursiva computacional (Competencia 2.9))65. Prueba individual (Evaluación clave1, Estándar 2, comp. 2,1)406. Planeamiento de la enseñanza (Evaluación Clave2, Comps 2.2, 2,3 y2,6) 32

Total de puntos: 100

Proyecto MECESUP Profesores Especialistas para la Educación Básica: Respuestaa un Desafío (UCV 0402)

Asignatura: Didáctica de la Geometría.Autor(a) / Universidad: María del Valle y AndrésOrtiz/Universidad de ConcepciónHoras presenciales por semana: 6Horas requeridas del alumno por semana afuera del aula: 4

Nuestra Visión Profesor Especialista para el Segundo Ciclo Básico

El Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica es unprofesional con sólida formación pedagógica y disciplinaria, en al menos unsector de aprendizaje, con autonomía para tomar decisiones informadas. Ejerceuna práctica reflexiva y utiliza la investigación para desarrollar lascompetencias que le permiten responsabilizarse de los procesos y resultadosde su enseñanza. En colaboración con la familia y comunidad, se comprometecon el logro de aprendizajes que potencien el desarrollo psicosocial,intelectual y moral de estudiantes preadolescentes. Participa en acciones decooperación profesional asociadas al mejoramiento de la calidad de laeducación que ofrece su institución escolar

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I. Estándares y Competencias del perfil de egreso, relacionados al curso:

La asignatura de “didáctica de la geometría” tiene como misión que losfuturos profesores de 2° ciclo que se desempeñarán en el subsector EducaciónMatemática se apropien de los saberes que permiten promover aprendizajes enla disciplina, en que los procesos de mediación liderados por el profesor,adquieren una importancia fundamental al interior del aula. En los estándaresque se listan a continuación, se han destacado aquellos contenidos en los quese centrará la asignatura.

Estándar 6: Comprende la estructura axiomática de la geometría euclidiana ylas nociones básicas de punto, recta, trazo, rayo. Comprende el significadode distintas figuras geométricas tales como ángulo, polígono (centrado en eltriángulo y el cuadrilátero), circunferencia y las regiones que ellasdelimitan; distinguiendo las distintas formas de clasificar y de caracterizardichas figuras a través de su construcción geométrica, avanzando hacia ladeducción y demostración de sus propiedades y relaciones. Comprende losconceptos de medida de longitud, medida angular, medida de superficie ydemuestra propiedades que permitan calcular áreas y perímetros; reconociendolos distintos sistemas y unidades de medida en cada uno de ellos. Comprendeel concepto de congruencia de figuras en el plano, y aplica los criterios decongruencia de triángulos para determinar si dos figuras son congruentes,como también para construir tesselaciones y así vincular el estudio de lageometría a diferentes manifestaciones del arte y la arquitectura, valorandoa la Geometría como una disciplina muy ligada a la realidad de la humanidad ysus civilizaciones en distintas culturas y épocas.

Organiza, planifica y diseña actividades que direccionen los procesos deenseñanza hacia procesos de conceptualización de los distintos objetosgeométricos para inducir en forma comprensiva la clasificación de figuras enlos niños, para generar la necesidad de usar regla y compás en construccionesgeométricas, para deducir propiedades a partir de figuras construidasgeométricamente o en software de geometría dinámica, y para deducirpropiedades métricas. Diseña planificaciones de enseñanza que sean coherentescon las orientaciones didácticas presentes en el marco de los programasoficiales y con enfoques cognoscitivos actuales acerca del aprendizaje.

116

116

Estándar 7: Comprende los conceptos referidos a rectas y planos paralelos yperpendiculares en el espacio que permitan deducir y demostrar laspropiedades involucradas en ellos; como también comprende el concepto deángulo diedro. Comprende, aplica y fundamenta las diferentes clasificacionesde cuerpos en el espacio, y determina propiedades y relaciones en ellas.Reconoce y clasifica los cuerpos poliedros, identificando sus elementosprincipales. Es capaz, además, de fundamentar y aplicar el Principio deCavalieri en la determinación de fórmulas de volumen de cuerpos geométricos.Calcula volúmenes y áreas de superficie, y aplica estos conocimientos asituaciones concretas, y resuelve problemas relacionados con figuras en elespacio. Organiza el proceso de aprendizaje de cuerpos geométricos a travésde una mediación efectiva que considera planificaciones con una altaconsistencia interna, involucradas en la conceptualización de los objetosgeométricos, la deducción de propiedades y relaciones, y la aplicación deéstas en la resolución de problemas. Además, es capaz de justificar laorganización de los contenidos geométricos en los planes de estudio de laenseñanza básica, y comprende la vinculación que ésta tiene con loscontenidos vistos en enseñanza media.

El (los) siguiente estándar(es)/competencia(s) tiene(n) un énfasis secundarioen este curso:

Estándar 8: Comprende las características que son propias de cada uno de losdistintos tipos de transformaciones isométricas: traslación, rotación,simetría puntual y axial. Reconoce transformaciones isométricas en variadoscontextos, tanto cotidianos como artísticos, identificando su tipo y loselementos que la generaron. Aplica transformaciones y usa simetrías paraanalizar y resolver problemas geométricos, así como para ilustrar propiedadesde figuras geométricas. Además, está en condiciones de organizar, planificar,diseñar actividades de aprendizaje basadas en la resolución de problemas paralos contenidos presentes en el marco de los planes y programas vigentes enMatemática y de generar instancias evaluativas acerca de estos aprendizajes.

Estándar 9: Comprende los conceptos de semejanza de figuras yproporcionalidad de trazos, y los utiliza para fundamentar los teoremas desemejanza de triángulos. Aplica estos teoremas para determinar relaciones desemejanza de polígonos, para resolver problemas y para demostrar los teoremasde Euclides y los referidos a relaciones métricas y angulares en lacircunferencia. Comprende y aplica las razones trigonométricas para resolverproblemas. Construye homotecias directas e inversas de figuras. Valora uso dela semejanza de figuras en el arte y la arquitectura.

117

117

Conoce la ubicación de los contenidos asociados a geometría proporcional ysemejanza en los planes de estudio de enseñanza básica y media, y es capaz deorganizar el proceso de aprendizaje de estos contenidos para el nivel deEducación General Básica.

Considerando que los 4 estándares mencionados, en lo que a didáctica serefiere, centran su interés en “organizar los contenidos disciplinarios conpropósitos de su enseñanza para el aprendizaje”, para todos y cada uno deellos es necesario desarrollar las siguientes competencias, que emanan delperfil, eje 2:

Competencia 2 Comprende el marco curricular nacional y los mapas de progreso para elsector curricular que enseña, estableciendo relaciones con el primer cicloy la enseñanza media, utilizando este conocimiento para planificar suenseñanza

Competencia 3 Utiliza los resultados de las investigaciones en su especialidad yde las ciencias de la educación para planificar secuencias deenseñanza y evaluación que contemplan la lógica de los contenidos yel proceso de aprendizaje.

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Competencia 4 Comprende el amplio rango de procedimientos evaluativos y los usa paramonitorear el avance y logro de las metas de aprendizaje;

Competencia 5 Utiliza los resultados de las evaluaciones para retroalimentar a loseducandos y ajustar sus planificaciones y estrategias didácticas;

Competencia 6 Selecciona y diseña recursos y situaciones de aprendizajepertinentes y significativas para presentar ideas y conceptosdisciplinarios a los estudiantes del nivel que enseña

Competencia 7 Planifica la enseñanza en colaboración con otros profesionales paraorganizar experiencias de aprendizaje interdisciplinarias quepermiten a los estudiantes integrar el conocimiento, destrezas ymétodos de investigación de diversos sectores de aprendizaje;

Competencia 9 Conoce los principios didácticos que le permiten una gestióneficiente y efectiva en el aula para optimizar el tiempo dedicado alaprendizaje.

Competencia 10 Promueve un ambiente propicio para el aprendizaje, estableciendo ymanteniendo normas consistentes y consensuadas de disciplina en el aulaque potencian el desarrollo social de los educandos para la vida en unasociedad democrática; y

II. Aprendizajes esperados (aprendizajes claves para el logro de losestándares y las competencias):

Conocimiento Reconoce que existen diferentes acercamientos teóricos que pueden perfilar

una forma de instalar conocimiento. Reconoce que el proceso de “reducción didáctica” tiene una fundamentación

teórica proveniente del ámbito psicológico, curricular, evaluativo, entreotros.

Caracteriza una forma de instalar el conocimiento geométrico en niños y/opreadolescentes de enseñanza general básica, de modo tal se desarrollenhabilidades fundantes del intelecto, tales como la habilidad para resolver

119

119

problemas, la capacidad argumentativa, la creatividad, la autonomíapersonal para la toma de decisiones, entre otras.

Analiza los conceptos geométricos erróneos que dificultan el aprendizajede otros contenidos, diseña y planifica estrategias de intervención pararemediar esta situación;

Analiza los conocimientos y aprendizajes previos que permitan instalar unconocimiento geométrico específico.

Procedimentales

Establece criterios de secuencialidad en distintos contenidos de geometríapresentes en los planes y programas de 5° a 3° medio;

Diseña actividades de aprendizaje que propicien la capacidad derazonamiento geométrico en los estudiantes, utilizando un softwaregeométrico que permita experimentar y recopilar información conducente ala elaboración de conjeturas acerca de propiedades de elementos yrelaciones conceptuales de los objetos bidimensionales orientadasexplícitamente a la resolución de problemas;

Diseña y construye actividades de aprendizaje que permitan al alumno de2do. ciclo, relacionar conceptos, plantear fundamentadamenteprocedimientos y conjeturas referidas a algún tipo de transformaciónisométrica, apoyándose en un software geométrico o en construccionesgeométricas;

Diseña actividades de aprendizaje que propicien la capacidad derazonamiento geométrico en los estudiantes, utilizando un softwaregeométrico o construcciones geométricas, que permitan experimentar yrecopilar información conducente a la elaboración de conjeturas acerca delas condiciones que deben cumplirse para que dos figuras sean semejantes;

Diseña unidades temáticas y planificaciones de clases en geometría,proponiendo en cada uno de éstos diferentes actividades de aprendizaje;para ello utiliza a lo menos, dos modelos de planificación;

Ejecuta procesos de simulación de clases basados en enfoquescognoscitivistas acerca de los procesos de aprendizaje.

Diseña pruebas escritas que estén orientadas a la comprensión, laaplicación y la utilidad de lo aprendido respecto a transformacionesisométricas, sus pautas de corrección y, si corresponde, la rúbrica yescala de calificación;

Diseña pruebas escritas que estén orientadas a la comprensión, laaplicación y la utilidad de lo aprendido respecto a figuras planas ycuerpos geométricos.

Analiza textos escolares de matemática para 2do. ciclo y evalúa lapertinencia de las actividades propuestas, relacionadas con geometríaproporcional.

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120

Actitudinales Reconoce y valora la generación de procesos interactivos que motiven a los

estudiantes a aprender matemática haciendo uso de una adecuada expresiónverbal oral.

Reconoce y valora el trabajo independiente de carácter responsable,honesto y comprometido.

Valora el aporta que la matemática hace al desarrollo de la capacidad delpensamiento de carácter elaborativo.

III Lecturas sugeridas:

Obligatorios Alsina, C.; Burgués, C.; Fortuna, J.: (1991). Invitación a la Didáctica de

la Geometría. V.12. Madrid. España. Chamorro M. del C. et alli: (2003). Didáctica de las Matemáticas. Prentice

Hall. Madrid. España. Chamorro M. del C.: (1991). El Aprendizaje Significativo en el área de las

Matemáticas. Alambra Longman. Madrid. España. Baquero, R. Et alli: (1998). Debates Constructivistas. AIQUE. Capital

Federal. Argentina. Brunner, J. J:(2000), Evaluación de la calidad en el Nuevo contexto

Latinoamericano. www.e.2000 Delval, J.: (1992). Aprender a Aprender II. La construcción del

conocimiento. Alambra Longman. Madrid. España. De Pujadas (1991) Calidad de la Educación. Los nuevos educadores. CPU

Santiago. Chile. Dowerty, G.: (1997) Desarrollo de sistemas de calidad en la educación.

Editorial La Muralla. Madrid. Capítulo 4:"La idea de la calidad, opiniónsobre la educación".

Gordon, T.: (1994). Maestros Eficaz y Técnicamente preparados. Ed. Diana.México

MINEDUC: (1999). Perfeccionamiento Docente para la implementación de losnuevos Planes y programas de Estudio. Santiago. Chile.

MINEDUC: (2001). Reforma en el 2001: balances y prioridades. Santiago.Chile.

Novak, J. y Gowin, D.: (1988). Aprendiendo a aprender. Martínez Roca Ed.Madrid. España.

Notario, A. Et allí: (1997). Mapas Conceptuales. Narcea Edición. Madrid.España.

Sander, B. : (1996). Administración de la Educación y Relevancia Culturalen América Latina. Capítulo 11 en "Gestión Educativa: América Latina.Editorial Troquel. Bs.As.

Wertsch, James: (1995). Vigotsky y la Formación Social de la Mente.Cognición y desarrollo humano. PAIDOS. Barcelona. España.

121

121

Complementario Aguerrondo, I: (1993). La calidad de la educación: ejes para su definición

y evaluación". En Revista Interamericana de Desarrollo Educativo. OEA. AñoXXXVII, No 116. Washington. EE.UU

Bishop, Alan: (1988). Enculturación Matemática. La educación matemáticadesde una perspectiva cultural. PAIDOS. Barcelona. España.

Burke M. et alli: (2001) “Navigating through Algebra in Grades 9-12”.National Council of teachers of Mathematics. Reston .Virginia. USA

Carrasco, J. y otros.: (1995).Técnicas y recursos para Motivar a losalumnos. Ed. RIALP. 2ª Ed. Madrid.

Cobb, Paul: (1996). “Emergent and Sociocultural Views of mathematicalactivity”. En “Theories of Mathematical Learning”. Awrence EribaumAssociates, Publishers. Mahwah, New Jersey

Riveros, M.; Zanocco, P.: (2002). Resolver Problemas matemáticos: una tareade profesores y alumnos. Ed. PUC de Chile. Santiago de Chile.

Secada W.G. y otros.: (1995). Equidad y Enseñanza de las Matemáticas.Nuevas tendencias. Ed. Morata, S.L. Madrid. España.

Vergnaud Gèrard : (1996). The Theory of Conceptual Fields. En “Theoriesof Mathematical Learning”. Awrence Eribaum Associates, Publishers. Mahwah,New Jersey.

Voigt Jörg: (1996). Negotiation of Mathematical meaning in Classroomprocesses: social interactions and learning mathematics. En “Theories ofMathematical Learning”. Awrence Eribaum Associates, Publishers. Mahwah, NewJersey.

Yackel, Erna: (1996) Social Interaction and Individual Cognition. “Theoriesof Mathematical Learning”. Awrence Eribaum Associates, Publishers. Mahwah,New Jersey.

IV Otros Recursos:

www.geometriadinamica.cl/default.asp?dir=guias&sub = http://descartes.cnice.mecd.es/indice_ud.php Software GeoGebra (disponible gratuitamente en www.geogebra.org/) http://paraisomat.ii.uned.es/paraiso/cabri.php?id=indice MINEDUC (2003) “Programas de estudio NB2, Cuarto año básico”, MINEDUC, 2da

ed. MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Quinto año básico”,

MINEDUC, 2da ed. MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Sexto año básico”,

MINEDUC, 2da ed. MINEDUC (2004) “Programas de estudio Educación Matemática, Séptimo año

básico”, MINEDUC, 2da ed. MINEDUC (2004) “Programas de estudio Educación Matemática, Octavo año

122

122

básico”, MINEDUC, 2da ed. MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Primer año medio”,

MINEDUC, 2da ed. MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Segundo año medio”,

MINEDUC, 2da ed. MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Tercer año medio”,

MINEDUC, 2da ed.

123

123

V. Trabajos del alumno y su relación con el logro de estándares ycompetencias. (Indique las principales actividades que el curso requerirá delalumno para lograr los estándares y competencias del perfil de egreso)

Trabajo 1: Aspectos Teóricos del Aprendizaje relacionados con el conocimientogeométrico Estándar 6-9 / Competencias 1-2-3

Elabora un informe escrito el que posteriormente debe defender oralmente(utilizar PowerPoint) el que debe abordar las siguientes problemáticas:

1. Utilizando la construcción del conocimiento y desde el punto de vistaVigostkiano diseñe e proceso de aprendizaje que permita instalar elconcepto de congruencia de figuras planas o el concepto de medida deuna superficie. Agregue a la fundamentación una ejemplificacióncoherente con el enfoque teórico mencionado.

2. Ejemplifica un proceso de “reducción didáctica del concepto “polígonossemejantes” que sea coherente con una forma de instalar conocimientogeométrico que desarrolle en los niños y pre adolescentes habilidadesfundantes del intelecto tales como: habilidad para resolver problemas,capacidad argumentativa, creatividad, autonomía en toma de decisiones,entre otros.

Trabajo 2: Secuencialidad en los contenidos geométricos Estándar 6-7-8-9 /Competencias 1-2.

Utilizando los planes y programas oficiales del subsector matemáticas de 5° a3° medio, seleccione uno de los siguientes temas:

Ángulos-triángulos-cuadriláteros; Congruencia de figuras planas – Transformaciones isométricas; Semejanza de figuras planas;

y elabore una secuencia de contenido explicitando la complejidad según elnivel.

Trabajo 3: Análisis de errores conceptuales y sus implicancias en lainstalación de nuevos conceptos geométricos. Estándar 6- 7-8-9 / Competencias 2-3-6-7-

Analiza unidades de geometría presentes en los textos escolares de matemáticade 5° básico a 1° medio. En base al análisis anterior, selecciona un

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contenido matemático que presenta errores conceptuales y/o actividades deaprendizaje que no respetan las orientaciones didácticas de los planes yprogramas oficiales del subsector matemática; diseña y planifica estrategiaspara intervenir didácticamente en la reparación de dichos errores.

1. Presentar un informe el que debe considerar los siguientes aspectos,incluido los formales. Este informe debe:

a. Señalar el libro, curso y contenido geométrico seleccionado,justificando su elección.

b. Señalar el(los) aprendizaje(s) esperado(s) (AE) para el contenidomínimo obligatorio (CMO) que incluye al seleccionado.

c. Señalar los conceptos y habilidades previas que deberíancautelarse para instalar el adecuadamente el concepto geométricoseleccionado.

d. Explicitar fundamentadamente del error conceptual y/o actividad deaprendizaje no coherente con las orientaciones didácticas actualesen el sector matemática.

e. Explicitar detalladamente la estrategia de intervención paramodificar dicho error conceptual, señalando claramente lasactividades de aprendizaje las cuáles deben incluir recursosTIC’s; como también los procesos evaluativos involucrados en dichaestrategia.

2. Presentar oralmente los resultados del informe.

Trabajo 4: Diseño de Procesos Evaluativos. Estándar 6-7-8-9 / Competencias 2-3-4-5-6

A partir de la observación de videos de clases de geometría de un cursodeterminado, elabora un informe escrito que aparte de los aspectos formalespropios de cualquier informe, incluya:

El contenido geométrico presente en la(s) clase(s) observada(s). Las condiciones de infraestructura, motivacionales, de horario y de

interacción. La planificación de la Unidad Temática que incluye el contenido de una

de las clases observadas. Un conjunto de instrumentos de evaluación, tanto de carácter

cuantitativo como cualitativo, que se correspondan con el proceso deaprendizaje vivenciado por los alumnos a los cuales estará dirigida laacción docente.

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Diseñar las revisiones que corresponda a cada uno de los aspectosrelevantes del aprendizaje esperado, utilizando estrategias diferentesa las utilizadas en la planificación original, de modo que sus alumnospuedan readecuar sus interpretaciones y significados que han asignado alas experiencias de aprendizaje vivenciadas en el aula.

TRABAJO 5: Análisis de Textos Escolares y Planes y Programas de EstudioOficiales Estándar 6 / Competencia 2 (12 PUNTOS)

En grupo, analizan los planes de estudio de 4to básico a 1ro medio,presentando un informe que contenga la siguiente información:

Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO) en los que estén involucrados lostemas referidos a triángulos, en donde cada uno de ellos se deberelacionar con el Objetivo Fundamental Vertical (OFV) y losAprendizajes Esperados (AE) del curso respectivo.

Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO) en los que estén involucrados lostemas referidos a cuadriláteros, en donde cada uno de ellos se deberelacionar con el Objetivo Fundamental Vertical (OFV) y losAprendizajes Esperados (AE) del curso respectivo.

La consistencia conceptual y el grado de complejidad presente en TextosEscolares utilizados en las escuelas y liceos, y su pertinencia con losCMO y Aprendizajes Esperados de los Planes y Programas de Estudiooficiales.

VI. Evaluaciones Clave

EVALUACIÓN 1

1. Estándar 6-7 / Competencias 2-3-4-5-6

2. Justificación:Es importante que el profesor de 2° ciclo aplique los lineamientosestablecidos en el Marco Curricular que sustentan la Reforma EducacionalChilena, pues estos serán los que orienten la planificación de los procesos deaprendizaje para así utilizar métodos y situaciones de aprendizajesapropiadas, como también la selección y diseño de materiales.

3. Pre-requisitos:Antes de realizar esta evaluación, los profesores en formación son capaces de:

Comprender el rol de las Teorías de Aprendizaje (Constructivismo) en la forma de aspectar el proceso de aprendizaje.

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Reconocer que el proceso de planificación es fundamental para anticipar losposibles eventos de la clase.

4. Descripción breve de la evaluación:

El profesor en formación deberá discutir las teorías de aprendizaje enmarcadasen el paradigma cognoscitivo -específicamente en el constructivismo- parademostrar su competencia en diseñar procesos de planificación de unidadestemáticas, en la comprensión y utilización del Marco Curricular, y en eldiseño de situaciones de aprendizajes adecuadas.

5. Describa los pasos de la evaluación en detalle

Paso 1: Planificar una Unidad Temática referida a Pirámide y Triángulo

A partir del contenido Pirámide-Triángulo y considerando el número de horas semanales disponibles se iniciará el proceso de planificación, especificando:

Los conceptos y habilidades requeridas como aprendizajes previamente alcanzados;

La secuenciación del contenido matemático de acuerdo a los AE presentes en los planes y programas de estudio;

Las actividades de aprendizaje que se utilizarán para el logro de los aprendizajes esperados;

Señalar los recursos que se utilizarán para el logro de los AE; Mencionar los instrumentos de evaluación tanto de carácter cualitativo y

cuantitativo que permitirán.

Paso 2: Planificar una clase de 90’ centrada en la construcción de triángulosbajo condiciones dadas

A partir del contenido “construcción de triángulos bajo condiciones dadas”:

Establecer como conceptos previos: construcción geométrica, trazo,ángulo, recta, medida de un trazo, medida de un ángulo, triángulo,altura y bisectriz en un triángulo, circunferencia y arco decircunferencia, sistema de unidades de medidas de longitud;

Establecer como condición ser capaz de ejecutar las siguientes acciones:describir arcos de circunferencias, copiar trazos y ángulos, escribirformalmente la construcción geométrica, construcción geométrica y/omecánica de la altura y la bisectriz según sea el caso.

Identificar el contenido matemático de la clase y desagregarlosecuencialmente de acuerdo al aprendizaje esperado.

Generar e implementar las actividades de aprendizaje.

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Generar los instrumentos de evaluación que se requerirán para establecerlos niveles de logro.

Paso 3: Planificar una Unidad Temática referida a Prisma y Cuadrilátero

A partir del contenido Prisma-Cuadrilátero y considerando el número de horas semanales disponibles se iniciará el proceso de planificación, especificando:

Los conceptos y habilidades requeridas como aprendizajes previamente alcanzados;

La secuenciación del contenido matemático de acuerdo a los AE presentes en los planes y programas de estudio;

Las actividades de aprendizaje que se utilizarán para el logro de los aprendizajes esperados;

Señalar los recursos que se utilizarán para el logro de los AE Mencionar los instrumentos de evaluación tanto de carácter cualitativo y

cuantitativo que permitirán.

Paso 4: Planificar una clase de 90’ centrada en la caracterización y clasificación de paralelógramos

A partir del contenido “caracterización y clasificación de paralelogramos”:

Establecer como conceptos previos: cuadrilátero, diagonal de uncuadrilátero, eje de simetría.

Establecer como condición ser capaz de ejecutar las siguientes acciones:trazado de paralelas y perpendiculares, medir ángulos.

Identificar el contenido matemático de la clase y desagregarlosecuencialmente de acuerdo al aprendizaje esperado.

Generar e implementar las actividades de aprendizaje. Generar los instrumentos de evaluación que se requerirán para establecer

los niveles de logro.

7. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus conocimientos, habilidades, o actitudes (textos, sitios de la red, otros):

Textos de geometría, textos de evaluación, textos de didáctica de la matemática, textos de psicología educativa.

128

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Publicaciones MINEDUC. http://www.geometriadinamica.cl/default.asp?dir=guias&sub = http://descartes.cnice.mecd.es/indice_ud.php http://paraisomat.ii.uned.es/paraiso/cabri.php?id=indice Software GeoGebra (disponible gratuitamente en

http://www.geogebra.org/ ) Material de trazado geométrico. Notebook y multimedia.

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Rúbrica de evaluación

Paso Insatisfactorio(0 puntos)

Básico(3 puntos)

Competente(6 puntos)

Destacado(8 puntos)

Puntos

1 Sólo realiza unasecuenciación decontenido.

Sólo reconoce el contenidopresente en cada uno delos aprendizajesesperados.

La planificación elaboradapresenta un procesoevaluativo no coherente conel enfoque metodológicoesperado, pero si presentacoherencia entre lasactividades de aprendizajediseñadas y los logros deaprendizaje

La planificación elaboradamuestra coherencia internaentre los aprendizajesesperados, las actividadesde aprendizajes diseñadas,el proceso de evaluaciónconsiderado.

8

2 No logra establecer losconceptos previosnecesarios para construirtriángulos bajocondiciones dadas.

Establece los conceptosprevios necesarios paraconstruir triángulos bajocondiciones dadas eidentifica el contenidomatemático de la clase ylo desagregasecuencialmente de acuerdoal aprendizaje esperado.

Genera e implementaactividades de aprendizajereferidas a construcción detriángulos bajo condicionesdadas, considerando losconocimientos y habilidadesprevias de los alumnos, comotambién la secuencia lógicadel contenido.

La planificación elaboradamuestra coherencia internaentre los aprendizajesesperados, las actividadesde aprendizajes diseñadas,el proceso de evaluaciónconsiderado.

8

3 Sólo realiza unasecuenciación decontenido.

Sólo reconoce el contenidopresente en cada uno delos aprendizajesesperados.

La planificación elaboradapresenta un procesoevaluativo no coherente conel enfoque metodológicoesperado, pero si presentacoherencia entre lasactividades de aprendizajediseñadas y los logros deaprendizaje

La planificación elaboradamuestra coherencia internaentre los aprendizajesesperados, las actividadesde aprendizajes diseñadas,el proceso de evaluaciónconsiderado.

8

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4 No logra establecer losconceptos previosnecesarios paracaracterizar y clasificarparalelógramos.

Establece los conceptosprevios necesarios paracaracterizar y clasificarparalelógramos eidentifica el contenidomatemático de la clase ylo desagregasecuencialmente de acuerdoal aprendizaje esperado.

Genera e implementaactividades de aprendizajereferidas a caracterización yclasificación deparalelógramos, considerandolos conocimientos yhabilidades previas de losalumnos, como también lasecuencia lógica delcontenido.

La planificación elaboradamuestra coherencia internaentre los aprendizajesesperados, las actividadesde aprendizajes diseñadas,el proceso de evaluaciónconsiderado.

8

TOTAL DE PUNTOS 32

131

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EVALUACIÓN 2

1. Estándar 8 / Competencias 2-3-4-5-6-7-9-10

2. Justificación:

La formación inicial docente considera el desarrollo de habilidades docentesbásicas tales como gestionar convenientemente una clase, adecuar los tiemposa los requerimientos del Plan de Estudio, promoción de aprendizajesefectivos a partir de la selección de actividades pertinentes, selección demateriales consistentes con los logros de aprendizaje a promover, entreotros. Al simular situaciones de clases, los futuros profesoresdesarrollarán y fortalecerán habilidades docentes relacionadas con lamotivación que deben generar en sus alumnos hacia el aprendizaje, con elcontrol del tiempo asignados a los momentos de la clase y cómo gestionar lossucesos de la clase de modo que resulte un encuentro en que profesor yalumno reconozcan y valoren las tareas realizadas y los conocimientosadquiridos.

3. Pre-requisitos:

A partir de experiencias previas relacionadas con la infraestructura de lasInstituciones Escolares, la distribución del mobiliario, el uso de la vozhablada y a partir, también, de los conocimientos adquiridos con relación alhacer docente en aula, los futuros profesores preparan sus clases simuladasy valorarán esta actividad como un hito importante en su FormaciónProfesional.

4. Descripción breve de la evaluación:

Evaluación que pretende fortalecer el desarrollo de habilidades docentesbásicas y fundamentales para el desempeño profesional lo que se logrará apartir de la filmación de las simulaciones.

5. Describa los pasos de la evaluación en detalle

Paso 1: Elaborar una planificación de clases referida a Transformaciones Isométricas en el plano euclidiano.

A partir del contenido “transformaciones isométricas”:

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Establecer como conceptos previos: movimientos que impliquenintuitivamente las ideas de trasladar y rotar, polígonos, rectasparalelas y perpendiculares, construcción geométrica y mecánica,circunferencia y arco de circunferencia;

Establecer como condición ser capaz de ejecutar las siguientesacciones: describir arcos de circunferencias, copiar trazos y ángulos,construcción mecánica de rectas paralelas y perpendiculares.

Identificar el contenido matemático de la clase y desagregarlosecuencialmente de acuerdo al aprendizaje esperado.

Generar e implementar las actividades de aprendizaje. Generar los instrumentos de evaluación que se requerirán para

establecer los niveles de logro.

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Paso 2: Preparación de los Recursos Didácticos para llevar a cabo la(s) clase(s)

Teniendo presente los recursos que se mencionan en la planificación:

Establecer los criterios de pertinencia que permiten controlar laconcordancia entre el aprendizaje esperado y la pertinencia delmaterial a partir del cual se promueve este logro.

Cautelar que la naturaleza del material a utilizar se corresponda conel nivel de desarrollo cognitivos de los estudiantes que lo utilizaránen términos de estructura y lenguaje, a lo menos.

Prever que el material esté disponible en cantidad suficiente para serutilizado en forma efectiva por el grupo curso (a lo más un materialpara dos estudiantes).

Paso 3: Preparar los elementos de evaluación que sean pertinentes al hacer de la(s) clase(s), según corresponda (preguntas orales, actividades a desarrollar u otros).

Generar un instrumento de observación que permita llevar un registro delas acciones de construcción llevadas a cabo por los alumnos. Expresarlos resultados de la observación en términos cuantitativos de modo degenerar una calificación.

Generar un instrumento de evaluación que permita evaluar la capacidadde trabajo en grupo de sus estudiantes. Expresar los resultados de laobservación en términos cuantitativos de modo de generar unacalificación.

Generar una prueba sumativa y expresar sus resultados con unacalificación.

Paso 4: Ejecutar la simulación

A partir de una presentación personal con tenida formal, la evaluación de laejecución de la simulación considerará la filmación de esta y se centrará enlos siguientes aspectos:

Gestión de la clase centrada en los momentos posibles de distinguir en ella

Desplazamiento al interior de la sala. Interacción docente efectiva con los estudiantes, orientada hacia el

aprendizaje de ellos. Promoción del trabajo independiente de los estudiantes, utilizando la

contextualización y la resolución de problemas como ejes centrales de su intervención.

134

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Reconoce el momento en que se hace necesario verificar los grados de avance en el logro del aprendizaje esperado para optimizar el proceso.

Manejo en forma eficiente de las situaciones de conflicto que se generan dentro de la clase.

Paso 5: Evaluar y autoevaluar su desempeño para optimizarlo si fuese necesario

Utilizar pautas de autoevaluación, pautas de evaluación por pares. Promover discusiones de carácter didáctico para fortalecer conductas docentes básicas

7. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus conocimientos, habilidades, o actitudes (textos, sitios de la red, otros):

Textos de geometría, textos de evaluación, textos de didáctica de la matemática, textos de psicología educativa.

Publicaciones MINEDUC. http://www.geometriadinamica.cl/default.asp?dir=guias&sub = http://descartes.cnice.mecd.es/indice_ud.php http://paraisomat.ii.uned.es/paraiso/cabri.php?id=indice Software GeoGebra (disponible gratuitamente en http://www.geogebra.org/

) Material de trazado geométrico. Notebook y multimedia.

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Rúbrica de evaluación

Paso Insatisfactorio(0 puntos)

Básico(3 puntos)

Competente(6 puntos)

Destacado(8 puntos)

Puntos

1 No logra establecer losconceptos previos necesariospara transformacionesisométricas.

Establece los conceptosprevios necesarios paratransformaciones isométricase identifica el contenidomatemático de la clase y lodesagrega secuencialmente deacuerdo al aprendizajeesperado.

Genera e implementaactividades de aprendizajereferidas a transformacionesisométricas, considerando losconocimientos y habilidadesprevias de los alumnos, comotambién la secuencia lógicadel contenido.

La planificación elaboradamuestra coherencia internaentre los aprendizajesesperados, las actividades deaprendizajes diseñadas, elproceso de evaluaciónconsiderado.

8

2 No se observa pertinenciaentre las actividadespropuestas y el aprendizajeesperado.

Genera actividades deaprendizaje con suscorrespondientes recursos queson pertinentes con losaprendizajes esperados y secorresponden con la secuenciade contenidos.

Genera actividades deaprendizaje que responden alnivel de desarrollocognitivos de losestudiantes, con suscorrespondientes recursos queson pertinentes con losaprendizajes esperados y secorresponden con la secuenciade contenidos.

Genera actividades deaprendizaje que incluyen eluso de TIC’s y responden alnivel de desarrollo cognitivosde los estudiantes, con suscorrespondientes recursos queson pertinentes con losaprendizajes esperados y secorresponden con la secuenciade contenidos.

8

3 No logra diferenciar lanaturaleza de los procesosevaluativos a desarrollar enrelación a la naturaleza delcontenido en cuestión y loslogros de aprendizaje.

Logra diferenciar loselementos teóricos que estánpresentes en los procesosevaluativos cualitativos ycuantitativos; sin embargo,no logra generar instrumentosde evaluación pertinentes aambos enfoques

Logra diferenciar loselementos teóricos que estánpresentes en los procesosevaluativos cualitativos ycuantitativos; sin embargo,no logra generar instrumentosde evaluación de naturalezacualitativa.

Genera procesos evaluativos denaturaleza cualitativa ycuantitativa, generando ademáslos instrumentos de evaluaciónrespectivos.

8

136

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4 En el desarrollo de la claseno es posible establecercoherencia entre elpropósito de ésta y lasactividades, perdiéndose elcontrol del tiempo asignadoa la clase y la capacidad degestionarla en formaeficiente.

Se observan dificultades enla orientación delaprendizaje al trastocarselas secuencias, dado que lainteracción docente-alumno noestá bien planteada.

Existe coherencia entre eltiempo asignado y lassecuencias planeadas tantopara el contenido como paralas actividades y laverificación de lo aprendido.

Se observa total coherenciaentre lo planeado y losprocesos de la clase a partirde una gestión efectiva de lamisma representada por elcontrol del grupo, del tiempoy de las secuencias planeadastanto para el contenido comopara las actividades y laverificación de lo aprendido.

8

5 Utiliza pautas deautoevaluación y deevaluación por pares pero esincapaz de generardiscusiones que promuevanlos aprendizajes esperados.

Utiliza pautas deautoevaluación y deevaluación por pares pero noutiliza la informaciónobtenida en forma convenientepara fortalecer los logros deaprendizaje u optimizarlos,si fuera el caso.

Se hace necesario fortalecerel uso de pautas deautoevaluación y deevaluación por pares con elfin de que las discusionesque promueva permitanoptimizar el proceso deaprendizaje.

Se observa habilidad en el usode pautas de autoevaluación yde evaluación por pares apartir de las cuales se escapaz de generar discusionesque fortalecen losaprendizajes esperados.

8

Total Puntos 32

137

137

VII. PUNTUACION DE LOS PASOS/TRABAJOS PARA LA EVALUACION:

Puntaje de las Evaluaciones Claves

Evaluación clave 1 (planificación de clases y unidades temáticas)Estándar 6-7/Competencias 2-

3-6

Paso 1: 8 puntosPaso 2 8 puntosPaso 3 8 puntosPaso 4 8 puntos_______________________________TOTAL 32 puntos

Evaluación clave 2 (simulación de clases) Estándar 8/Competencia 2-3-4-5-6-7-9-10

Paso 1: 8 puntosPaso 2: 8 puntosPaso 3: 8 puntosPaso 4: 8 puntosPaso 5: 8 puntos_______________________________TOTAL 40 puntos

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Proyecto MECESUP Profesores Especialistas para la Educación Básica:Respuesta a un Desafío (UCV 0402)

Asignatura: Geometría ProporcionalAutor(a)/Universidad: Andrés Ortiz/Universidad deConcepción.Horas presenciales por semana: 5 horasHoras requeridas del alumno por semana afuera del aula: 6 horas

Visión del Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de EducaciónBásica

El Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica es unprofesional con sólida formación pedagógica y disciplinaria, en al menosun sector de aprendizaje, con autonomía para tomar decisionesinformadas. Ejerce una práctica reflexiva y utiliza la investigaciónpara desarrollar las competencias que le permiten responsabilizarse delos procesos y resultados de su enseñanza. En colaboración con lafamilia y comunidad, se compromete con el logro de aprendizajes quepotencien el desarrollo psicosocial, intelectual y moral de estudiantespreadolescentes. Participa en acciones de cooperación profesionalasociadas al mejoramiento de la calidad de la educación que ofrece suinstitución escolar

ALINEACIÓN CON ESTÁNDARES Y COMPETENCIAS

I. Estándares y Competencias del perfil de egreso, relacionados al curso.

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El curso, sus expectativas de logro, lo que se le pide al alumno hacer ylas evaluaciones, han sido alineadas con los estándares y competenciasdel perfil de egreso para la formación inicial de profesores del segundociclo básico. Los siguientes estándares y competencias del perfil tienenun énfasis principal en este curso:

Estándar 9Comprende los conceptos de semejanza de figuras y proporcionalidad detrazos, y los utiliza para fundamentar los teoremas de semejanza detriángulos. Aplica estos teoremas para determinar relaciones desemejanza de polígonos, para resolver problemas y para demostrar losteoremas de Euclides y los referidos a relaciones métricas y angularesen la circunferencia. Comprende y aplica las razones trigonométricaspara resolver problemas. Construye homotecias directas e inversas defiguras. Valora uso de la semejanza de figuras en el arte y laarquitectura.

Conoce la ubicación de los contenidos asociados a geometríaproporcional y semejanza en los planes de estudio de enseñanza básica ymedia, y es capaz de organizar el proceso de aprendizaje de estoscontenidos para el nivel de Educación General Básica.

Competencia 1, eje 2:Comprende con adecuada amplitud y profundidad las disciplinas del sectorde aprendizaje que es responsable de enseñar.

El (los) siguiente estándar(es)/competencia(s) tiene(n) un énfasissecundario en este curso:

Estándar 6Comprende la estructura axiomática de la geometría euclidiana y lasnociones básicas de punto, recta, trazo, rayo. Comprende el significadode distintas figuras geométricas tales como ángulo, polígono (centradoen el triángulo y el cuadrilátero), circunferencia y las regiones queellas delimitan; distinguiendo las distintas formas de clasificar y decaracterizar dichas figuras a través de su construcción geométrica,avanzando hacia la deducción y demostración de sus propiedades yrelaciones. Comprende los conceptos de medida de longitud, medidaangular, medida de superficie y demuestra propiedades que permitancalcular áreas y perímetros; reconociendo los distintos sistemas yunidades de medida en cada uno de ellos. Comprende el concepto decongruencia de figuras en el plano, y aplica los criterios de

140

140

congruencia de triángulos para determinar si dos figuras soncongruentes, como también para construir tesselaciones y así vincularel estudio de la geometría a diferentes manifestaciones del arte y laarquitectura, valorando a la Geometría como una disciplina muy ligada ala realidad de la humanidad y sus civilizaciones en distintas culturasy épocas.

Organiza, planifica y diseña actividades que direccionen los procesos deenseñanza hacia procesos de conceptualización de los distintos objetosgeométricos para inducir en forma comprensiva la clasificación defiguras en los niños, para generar la necesidad de usar regla y compásen construcciones geométricas, para deducir propiedades a partir defiguras construidas geométricamente o en software de geometría dinámica,y para deducir propiedades métricas. Diseña planificaciones de enseñanzaque sean coherentes con las orientaciones didácticas presentes en elmarco de los programas oficiales y con enfoques cognoscitivos actualesacerca del aprendizaje.

Competencia 2, eje 2:Comprende el marco curricular nacional y los mapas de progreso para el sector curricular que enseña, estableciendo relaciones con el primer ciclo y la enseñanza media, utilizando este conocimiento para planificarsu enseñanza

Competencia 6, eje 2:Selecciona y diseña recursos y situaciones de aprendizaje pertinentes ysignificativas para presentar ideas y conceptos disciplinarios a losestudiantes del nivel que enseña

II. Aprendizajes esperados (los aprendizajes claves para el logro de losestándares/competencias)

Conocimiento

Utiliza el concepto de proporcionalidad de trazos en la formulacióndel teorema de Thales

Aplica el concepto de semejanza para identificar figurassemejantes. Fundamenta con ello la lectura de planos y mapas.

Utiliza los teoremas de semejanza de triángulos en la deducción delos teoremas de Euclides y de las relaciones métricas y angularesen la circunferencia.

Reconoce a las razones trigonométricas como constantes de141

141

proporcionalidad involucradas en triángulos rectángulos semejantes. Demuestra y aplica los teoremas de semejanza de triángulos, los

teoremas de Euclides y las relaciones métricas y angulares en lacircunferencia.

Identifica los contenidos de enseñanza básica y media relacionadoscon la semejanza de figuras estableciendo una secuencialidad enellas.

Procedimentales

Construye geométricamente la división interior y exterior de untrazo, así como la media, tercera y cuarta proporcional geométrica.Explicita y fundamenta sus construcciones.

Utiliza el concepto de semejanza de figuras planas para construirfiguras semejantes y homotecias aplicadas a figuras. Fundamenta conello la lectura de planos y mapas.

Resuelve problemas, tanto geométricos como cotidianos, usando losteoremas de geometría proporcional.

Analiza textos escolares de matemática para 2do ciclo y evalúa lapertinencia de las actividades propuestas, relacionadas con lageometría proporcional.

Actitudes

Valora la presencia de la razón áurea en el arte, arquitectura ynaturaleza.

III. Lecturas Requeridas:

Obligatorias Arenas, F; Masjuan, G; Villanueva, F (1997) “Geometría elemental”,

Ediciones Universidad Católica de Chile. Cano, O (1963) “Geometría”. Clemens, S; O’Daffer, P; Cooney, T (1998) “Geometría”, Pearson /

Addison Wesley. Mercado Schüller, C (1983) “Geometría”, Editorial Universitaria. Moise, E; Downs, F (1996) “Geometría Moderna”, Addison Wesley. Pogorélov, A. V. (1974) “Geometría elemental”, Editorial Mir.

Complementarias Coxeter, H. S. M (1989) “Introduction to geometry”, John Wiley &

Sons.

142

142

IV. Otros recursos: http://www.geometriadinamica.cl/default.asp?dir=guias&sub = http://descartes.cnice.mecd.es/indice_ud.php Software GeoGebra (disponible gratuitamente en

http://www.geogebra.org/ ) http://paraisomat.ii.uned.es/paraiso/cabri.php?id=indice MINEDUC (2003) “Programas de estudio NB2, Cuarto año básico”,

MINEDUC, 2da ed. MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Quinto año

básico”, MINEDUC, 2da ed. MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Sexto año básico”,

MINEDUC, 2da ed. MINEDUC (2004) “Programas de estudio Educación Matemática, Séptimo

año básico”, MINEDUC, 2da ed. MINEDUC (2004) “Programas de estudio Educación Matemática, Octavo

año básico”, MINEDUC, 2da ed. MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Primer año medio”,

MINEDUC, 2da ed. MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Segundo año

medio”, MINEDUC, 2da ed. MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Tercer año medio”,

MINEDUC, 2da ed.

V. Trabajos del alumno y su relación con el logro de estándares y competencias.

TRABAJO 1: Construcción de figuras semejantesEstándar9-6/Competencia1 (8 PUNTOS)

Elaboran un informe escrito en el que desarrollan las siguientesactividades: Para un trazo dado, construir otro que esté en la razón . En un trazo dado construir la división interior y exterior para la

razón 5 : 3 Construyen geométricamente la cuarta proporcional geométrica de tres

trazos dados. Dado un cuadrilátero, construir uno semejante, según la razón . Establecer la relación de la semejanza de figuras con la lectura de

planos y mapas. Ejemplifique.

TRABAJO 2: Elaboración de un mapa conceptual.

143

143

Estándar9-6/Competencia1 (8 PUNTOS)

Individualmente los profesores en formación, elaborarán un mapaconceptual que relacione entre otros los conceptos de triángulossemejantes, trazos proporcionales, figuras semejantes, cuartaproporcional geométrica.

TRABAJO 3: Relaciones métricas y angulares en la circunferenciaEstándar9-6/Competencia1-6 (8 PUNTOS)

Elabora un informe en el que desarrolla las siguientes actividades: Construye en GeoGebra (freeware en español) figuras que permitan

visualizar los siguientes teoremas:o Teorema del ángulo inscrito en una circunferencia.o Teorema del ángulo semi inscrito en una circunferencia.o Teorema de las cuerdas.o Teorema de la tangente

Demuestra los teoremas anteriores. Resuelve un listado problemas en los que estén involucrados teoremas

sobre circunferencia.

TRABAJO 4: Razones trigonométricas Estándar9/Competencia1 (8 PUNTOS)

Resuelve un listado de problemas (geométricos y de aplicación) haciendouso de razones trigonométricas, con apoyo de tablas o de calculadora.

TRABAJO 5: Geometría proporcional en el arte, arquitectura ynaturaleza Estándar9/Competencia 7 (4 PUNTOS)

En parejas o ternas, exploran la red buscando información sobre lapresencia de la razón áurea en el arte, arquitectura o naturaleza.Diseñan una presentación en PowerPoint para presentar a sus compañerosuno de los sitios, fundamentando el por qué lo seleccionaron, y el usoque le darían en el trabajo con jóvenes en cuanto a recursocomputacional para la enseñanza. Además, diseñan en un software adecuadouna figura que les permita ilustrar geométricamente algún aspecto deinterés asociado a la razón áurea. Elaboran un informe con el resultadode sus investigaciones.

TRABAJO 6: Análisis de Textos Escolares con Planes y Programas Oficialesde Matemática Estándar9/Competencia2 (4 PUNTOS)

144

144

En grupo, analizan los planes de estudio de 4to básico a 3ro medio,identificando aquellos contenidos mínimos obligatorios (CMO) en los queestén involucradas figuras semejantes, relacionándolos con losaprendizajes esperados. Utilizan textos escolares que incluyan conceptosde figuras semejantes, analizando la consistencia conceptual y grado decomplejidad utilizados en ellos y se pertinencia con los CMO yaprendizajes esperados de los planes y Programas. Realizan un informeque contenga el análisis realizado.

VI. EVALUACIONES CLAVES

EVALUACIÓN 1

1. Estándar 9-6 / Competencia 1

2. Justificación:Un(a) profesor(a) de 2do ciclo debe ser capaz de reconocer en losprogramas de estudio aquellos contenidos referidos o relacionados con lasemejanza de figuras planas, pues debe comprender el marco curricularnacional y la forma en la que éste se estructura y articula. Lo anteriorjustifica que el o la docente, comprenda con profundidad adecuada lamatemática que le corresponde enseñar: en particular, aquella que serelacione directamente con el tema de proporcionalidad.

3. Pre-requisitos:Antes de realizar esta evaluación, los profesores en formación son capaces de:

Comprender y reconocer los conceptos de rectas perpendiculares y paralelas, ángulo, triángulo.

Construir geométricamente rectas perpendiculares y paralelas, ángulos de medida determinada, triángulos con determinadas características y trazos de medida dada. Copiar ángulos.

Comprender y aplicar los conceptos de razón y proporción.

4. Descripción breve de la evaluación:Los profesores en formación deducirán y aplicarán el teorema de Thales ylos criterios de semejanza., demostrando estos últimos.

5. Describa los pasos de la evaluación en detalle

145

145

Paso 1: Los profesores en formación, en parejas o ternas, identifican en unacolección de triángulos, aquellos que tienen la misma forma. Deducen lasrelaciones (igualdad en medidas de ángulos interiores y proporcionalidadde lados) que se producen en estos triángulos utilizando distintosinstrumentos de construcción y/o medición. Establecen, con apoyobibliográfico, el concepto de triángulos semejantes.

Paso 2: Individualmente los profesores en formación, construyen triángulossemejantes a otros, explicitan sus procedimientos y los utilizan paraconstruir polígonos semejantes a otros. Aplican relaciones deproporcionalidad para construir geométricamente la cuarta proporcionalgeométrica de tres trazos dados.

Paso 3: Individualmente el profesor en formación, dado un triángulo determina lamínima información para construir uno semejante a otro. Sistematiza susafirmaciones, establece los teoremas de semejanza y los demuestra.

Paso 4: El profesor en formación demuestra los teoremas de Euclides utilizandolos teoremas de semejanza de triángulos. Resuelve un listado deproblemas en los que estos teoremas están involucrados.

6. Puntuación de los Pasos/Trabajos para la evaluación: Puntos1. Identificación de triángulos semejantes (Estándar 9/Comp. 1)8 2. Construcción de triángulos semejantes (Estándar 9-6/Comp. 1)8 3. Determinación de información mínima para construir un triángulosemejante a otro (Estándar 9-6/Comp. 1)124. Demotración del teorema de Euclides (Estándar 9/Comp. 1)12 _____________ Total de puntos 40

146

146

7. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus conocimientos, habilidades, o actitudes (textos, sitios de la red, otros):

Instrumentos de construcción y medición (regla, compás y transportador).

Textos escolares de Matemática y literatura especializada.

147

147

Rúbrica de evaluación

Paso Insatisfactorio(0)

Básico(3)

Competente(6)

Destacado(8) Puntos

1

(1x)

Identifica pares detriángulos que no tienen la misma forma, o no fundamenta su elección.

Fundamenta la elecciónde pares de triánguloscon la misma forma a través de la congruencia de los ángulos interiores correspondientes.

Fundamenta la elección de pares de triángulos con la misma forma a través de la congruenciade los ángulos interiores correspondientes y deduce la relación de igualdad de los cuocientes entre las longitudes de los lados correspondientes.

Fundamenta la elección depares de triángulos con la misma forma a través de la congruencia de ángulos interiores correspondientes y proporcionalidad de las longitudes de los lados correspondientes.

8

2

(1x)

No construyen geométricamente ni triángulos semejantes, ni polígonos semejantes, ni la cuarta proporcionalgeométrica.

Construyen geométricamente triángulos semejantes sin explicitar ni fundamentar sus procedimientos.

No construyen geométricamente polígonos semejantes.

Establecen proporcionalidad en los lados e identifican la cuarta proporcional geométrica, pero no son capaces de construirla.

Construyen geométricamente triángulos semejantes explicitando y fundamentando sus procedimientos

Construyen geométricamente polígonos semejantes sinexplicitar ni fundamentar sus procedimientos.

Construyen la cuarta proporcional sin describir la construcción en lenguajegeométrico

Construyen geométricamente triángulos semejantes explicitando y fundamentando sus procedimientos

Construyen geométricamente polígonossemejantes explicitando yfundamentando sus procedimientos

Construyen la cuarta proporcional y describen la construcción en lenguaje geométrico.

8

148

148

3

(1,5x)

No logran identificar la información mínima necesaria para construir un par detriángulos semejantes.

Determinan informaciónnecesaria, pero redundante, para construir un par de triángulos semejantes.Describen sus procedimientos

Determinan información mínima necesaria para construir un par de triángulos semejantes. Describen sus procedimientos y enuncian sus resultados.Justifican sus afirmaciones en lenguajeno formal.

Determinan información mínima necesaria para construir un par de triángulos semejantes deduciendo los teoremas de semejanza para triángulos y demostrándolos.

12

4

(1,5x)

No demuestra los teoremas de Euclides.No resuelve, o lo hace incorrectamente losproblemas

En la demostración delteorema de Euclides, identifica triángulos semejantes, pero no utiliza proporciones.Resuelve problemas de aplicación directa delteorema de Euclides.

Demuestra el teorema de Euclides, y resuelve problemas geométricos demediana complejidad.

Demuestra el teorema de Euclides, y resuelve problemas geométricos de alta dificultad. 12

TOTAL PUNTOS 40

149

149

EVALUACIÓN 2

1. Estándar 9-6 / Competencia 1-6

2. Justificación:Un(a) profesor(a) de 2do ciclo debe ser capaz de comprender el origen,enunciar y demostrar las propiedades métricas en el triángulorectángulo y en la circunferencia, por cuanto estos contenidos sonparte del currículo escolar, y porque robustece la formación de ladisciplina que enseña, dándole así al profesor una visión de lamatemática desarrollada a partir del 2do ciclo. Así mismo, debecomprender de qué forma los conocimientos de la matemática escolarestán presentes en la realidad social y natural del hombre.

3. Pre-requisitos:Antes de realizar esta evaluación, los profesores en formación son capaces de:

Comprender y reconocer los conceptos de triángulo, polígono,circunferencia y los elementos secundarios de éstos.

Comprende las relaciones angulares en un triángulo. Comprende y aplica los criterios de semejanza de triángulos. Construir geométricamente rectas perpendiculares y paralelas,

ángulos de determinadas medidas, y triángulos con determinadas características.

Comprende y aplica los conceptos de razón y proporción.

4. Descripción breve de la evaluación:Los profesores en formación deducirán y demostrarán las relacionesmétricas, para luego aplicarlas en la resolución de problemas, tantogeométricos como cotidianos. Además, investigarán sobre la presencia dela razón áurea, explorando en la red ejemplos y sitios de aprendizaje.

5. Describa los pasos de la evaluación en detalle

Paso 1:En parejas o en grupos de 3, resuelven puzzles o tangramas que lespermitan identificar relaciones métricas relacionadas con los teoremasde Euclides. Enuncian sus resultados e identifican los elementos deltriángulo rectángulo involucrados en estas relaciones. A continuación,descomponen el triángulo rectángulo en triángulos semejantes, yhaciendo uso de los criterios de semejanza, demuestran los teoremas deEuclides.

150

150

Paso 2:Desarrollan una guía de aprendizaje en la que deducen las relacionesangulares en una circunferencia, y demuestran sus afirmaciones.

Paso 3:A partir del trabajo realizado en el paso anterior, consideran lossegmentos utilizados y reconocen triángulos semejantes presentes en lacircunferencia, dibujando los trazos necesarios para ello, de sernecesario. Identifican relaciones métricas en la circunferencia y lasdemuestran.

151

151

Paso 4:Individualmente, resuelven una guía de problemas geométricos referidosa polígonos y circunferencias, usando las relaciones determinadas enlos pasos anteriores y fundamentando sus afirmaciones.

6. Puntuación de los Pasos/Trabajos para la evaluación: Puntos1. Resuelven tangrama y establecen relaciones entre los elementos del triángulo.82. Desarrollo de guía de aprendizaje.83. Establecer relaciones métricas124. Resolución de problemas12 __________ Total de puntos 40

7. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus conocimientos, habilidades, o actitudes (textos, sitios de la red, otros):

Instrumentos de construcción geométrica. Software de geometría dinámica. Internet y sitios Web.

152

152

Rúbrica de evaluación

PasoInsatisfactor

io(0)

Básico(3)

Competente(6)

Destacado(8) Puntos

1

(1x)

No resuelvencorrectamente el tangrama. Descomponen el triángulorectángulo en dos triángulos no semejantes.

Resuelven el tangrama, pero noidentifican los elementos secundarios del triángulo que permiten establecer la relación en función de ellos.Descomponen el triángulo rectángulo en dostriángulos no semejantes.

Resuelven el tangrama, y establecen la relación entre los elementos del triángulo. Enuncian sus resultados en lenguaje no formal. Descomponen el triángulo rectánguloen triángulos semejantes y establecen las relaciones de proporcionalidad.

Resuelven el tangrama, y establecen la relación entre los elementos del triángulo. Enuncian sus resultados en lenguaje formal. Descomponen el triángulo rectánguloen triángulos semejantes y demuestran sus afirmaciones anteriores.

8

2

(1x)

No logran establecer las relaciones angulares enla circunferencia.

Establecen algunas relaciones angulares, pero no logra demostrarlas.

Establece relacionesangulares en la circunferencia, perono las demuestra, o su demostración es incompleta.

Establece y demuestra las relaciones angularesen la circunferencia. 8

153

153

3

(1,5x)

No logran establecer las relaciones métricas en la circunferencia, o la establece sin hacer uso del concepto de proporcionalidad

Establecen algunas relaciones métricas haciendouso del concepto de proporcionalidad,pero no las demuestra

Establece las relaciones métricas haciendo uso del concepto de proporcionalidad, pero no las demuestra, o lo hacede forma incompleta.

Establece las relaciones métricas haciendo uso del concepto de proporcionalidad, y demuestra sus afirmaciones. 12

4

(1,5x)

No logran identificar datos y preguntas, obien, hipótesis y tesis, a partir de los enunciados. No resuelvenlos problemas.

Resuelven los problemas por métodos poco eficientes. No respetan una estrategia de resolución de problemas ni utilizan un lenguaje matemático ni unaescritura ordenada.

Resuelven los problemas aplicando las relaciones métricas, pero tienen dificultades en escribir sus procedimientos, ya sea un uso inadecuado de la escritura matemáticao de la falta de unaestrategia de resolución de problemas.

Resuelven los problemas aplicando y justificando con propiedades adecuadas y pertinentes. Respetan una estrategia de resolución de problemas y la escritura formal propia de la disciplina.

12

154

154

TOTAL PUNTOS 40

155

155

VII. PUNTUACION DE LOS PASOS/TRABAJOS PARA LA EVALUACION:

Puntaje de las Evaluaciones Claves

Evaluación clave 1 (estudio del triángulo) Estándar 6/Competencia 1

Paso 1 8 puntosPaso 2 8 puntosPaso 3 12 puntosPaso 4 12 puntos_______________________________TOTAL 40 puntos

Evaluación clave 2 (estudio de los cuadriláteros) Estándar 6/Competencia 1-6

Paso 1 8 puntosPaso 2 8 puntosPaso 3 12 puntosPaso 4 12 puntos_______________________________TOTAL 40 puntos

156

Asignatura: Introducción a la GeometríaAutor(a)/Universidad: Ximena Cruz, Universidad de TarapacáHoras presencial por semana: 4 hrs.Horas requeridas del alumno por semana afuera del aula: 6

Visión del Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de EducaciónBásica

El Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica esun profesional con sólida formación pedagógica y disciplinaria, en almenos un sector de aprendizaje, con autonomía para tomar decisionesinformadas. Ejerce una práctica reflexiva y utiliza la investigaciónpara desarrollar las competencias que le permiten responsabilizarse delos procesos y resultados de su enseñanza. En colaboración con lafamilia y comunidad, se compromete con el logro de aprendizajes quepotencien el desarrollo psicosocial, intelectual y moral deestudiantes preadolescentes. Participa en acciones de cooperaciónprofesional asociadas al mejoramiento de la calidad de la educaciónque ofrece su institución escolar.

ALINEACIÓN CON ESTÁNDARES Y COMPETENCIAS

I. Estándares y Competencias del perfil de egreso relacionados alcurso.

Estándar 6Comprende la estructura axiomática de la geometría euclidiana y lasnociones básicas de punto, recta, trazo, rayo. Comprende el conceptode distintas figuras geométricas tales como ángulo, polígono (centradoen el triángulo y el cuadrilátero), circunferencia y las regiones que

157

ellas delimitan; distinguiendo las distintas formas de clasificar y decaracterizar dichas figuras a través de su construcción geométrica,avanzando hacia la deducción y demostración de sus propiedades yrelaciones. Comprende los conceptos de medida de longitud, medidaangular, medida de superficie y demuestra propiedades que permitancalcular áreas y perímetros; reconociendo los distintos sistemas yunidades de medida en cada uno de ellos. Comprende el concepto decongruencia de figuras en el plano, y aplica los criterios decongruencia de triángulos para determinar si dos figuras soncongruentes, como también para construir tesselaciones y así vincularel estudio de la geometría a diferentes manifestaciones del arte y laarquitectura, valorando a la Geometría como una disciplina muy ligadaa la realidad de la humanidad y sus civilizaciones en distintasculturas y épocas.

Organiza, planifica y diseña actividades que direccionen los procesosde enseñanza hacia procesos de conceptualización de los distintosobjetos geométricos para inducir en forma comprensiva la clasificaciónde figuras en los niños, para generar la necesidad de usar regla ycompás en construcciones geométricas, para deducir propiedades apartir de figuras construidas geométricamente o en software degeometría dinámica, y para deducir propiedades métricas. Diseñaplanificaciones de enseñanza que sean coherentes con las orientacionesdidácticas presentes en el marco de los programas oficiales y conenfoques cognoscitivos actuales acerca del aprendizaje.

Competencia 1, Eje 2Comprende con adecuada amplitud y profundidad las disciplinas delsector de aprendizaje que es responsable de enseñar.

Competencia 3, Eje 2 Utiliza los resultados de las investigaciones en su especialidad y delas ciencias de educación para planificar secuencias de enseñanza yevaluación que contemplan la lógica de los contenidos y el proceso deaprendizaje.

Competencia 6, Eje 2 Selecciona y diseña recursos y situaciones de aprendizaje pertinentesy significativas para presentar ideas y conceptos disciplinarios a losestudiantes del nivel que enseña.

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El siguiente estándar y competencia tiene un énfasis secundario eneste curso:

Estándar 8Comprende las características que son propias de cada uno de losdistintos tipos de transformaciones isométricas: traslación,rotación, simetría puntual y axial. Reconoce transformacionesisométricas en variados contextos, tanto cotidianos comoartísticos, identificando su tipo y los elementos que lageneraron. Aplica transformaciones y usa simetrías para analizary resolver problemas geométricos, así como para ilustrarpropiedades de figuras geométricas. Además, está en condicionesde organizar, planificar, diseñar actividades de aprendizajebasada en la resolución de problemas para los contenidospresentes en el marco de los planes y programas vigentes enMatemática y de generar instancias evaluativas de estosaprendizajes.

Competencia 8, Eje 2Conoce los principios didácticos que le permiten una gestióneficiente y efectiva en el aula para optimizar el tiempo dedicadoal aprendizaje

II. Aprendizajes esperados (los aprendizajes claves para el logrode los estándares/competencias)

Conocimiento Identifica y explica la estructura axiomática de la geometríaeuclidiana y las nociones básicas de punto, recta, rayo, trazo,plano y espacio; situándose para trabajar en el plano (dosdimensiones)

Reconoce objetos geométricos como rectas paralelas, rectasperpendiculares, simetral de un trazo, ángulo, bisectriz de unángulo.

Clasifica ángulos según su medida e identifica parejas de ángulosentre paralelas cortadas por una transversal.

Conoce el concepto de triángulo y sus distintos elementosprimarios y secundarios.

Clasifica triángulos según la medida de sus lados y/o según lamedida de sus ángulos interiores.

159

Deduce las propiedades de los triángulos utilizando materialconcreto y/o software computacional.

Reconoce y explica las diferentes características que definen alos cuadriláteros, polígonos y circunferencia como también losdistintos criterios de clasificación de ellas.

Reconoce la circunferencia como el Lugar Geométrico de unconjunto de puntos que satisfacen determinada condición.

Deduce fórmulas para el cálculo de perímetros y áreas de regionesplanas, comprendiendo el significado de área, relacionándolo con lamedida de la superficie y el de perímetro con la adición de laslongitudes de todos los lados de la figura o del contorno quedelimita la superficie.

Aplica las propiedades de las figuras en la resolución deejercicios geométricos.

Procedimentales

Construye utilizando regla y compás: rectas paralelas, rectasperpendiculares, simetral de un trazo, copia de ángulos, bisectrizde un ángulo, triángulos, elementos secundarios del triángulo(alturas, transversales, etc.) y lugares geométricos.

Construye los puntos singulares de un triángulo, utilizando unsoftware geométrico e identificando la posición que ocupa de acuerdoal tipo de triángulo que se trate.

Construye con regla y compás diferentes cuadriláteros y polígonos,conocidos algunos de sus elementos y considerando suscaracterísticas; describiendo, además, los procesos de construcción.

Calcula la medida de ángulos, trazos y superficies, ensituaciones problemáticas utilizando unidades de medida adecuadas.

Actitudes

Valora la geometría euclidiana como una poderosa herramienta parafavorecer el desarrollo del pensamiento lógico deductivo

Aprecia los aportes de la geometría euclidiana en la descripciónde elementos de la naturaleza y de su entorno próximo.

Reflexiona sobre sus aprendizajes listando indicadores deautoevaluación.

III. Lecturas Requeridas

Bibliografía Básica:

160

Carreño, Ximena; Cruz, Ximena. Geometría. Arrayán. Santiago,Chile. 2004. capítulos 1 y 3

Alsina, C.; Burgués, C.; Fortuny, J. Materiales para construir laGeometría. Colección Matemáticas: Cultura y Aprendizaje. N°s 11.Síntesis. Madrid. 1991.

MINEDUC, (1998). Planes y programas de estudio para quinto añobásico. Santiago, Chile

MINEDUC, (1998). Planes y programas de estudio para sexto añobásico. Santiago, Chile

MINEDUC,(1998). Planes y programas de estudio para séptimo añobásico. Santiago, Chile

MINEDUC, (1998). Planes y programas de estudio para octavo añobásico. Santiago, Chile

Bibliografía Complementaria Riveros, Marta; Zanocco, Pierina y otros. Resolver Problemas

Matemáticos: una tarea de profesores y alumnos. EdicionesPontificia Universidad Católica de Chile. Santiago Chile. 2002

Gómez Chacón, M. Inés. Matemática Emocional. Narcea. Madrid.2000.

Gorgorió, N.; Deulofeu, J.; Bishop, A (coords.) Matemática yEducación. N° 154. Grao. Barcelona. 2002.

Alsina, C.; Burgués, C.; Fortuny, J. Invitación a la Didáctica dela Geometría. Colección Matemáticas: Cultura y Aprendizaje. N°s

12. Síntesis. Madrid. 1991. Arenas, F; Masjuan, G; Villanueva, F (1997) “Geometríaelemental”, Ediciones Universidad Católica de Chile.

Cano, O (1963) “Geometría”. Mercado Schüller, C (1983) “Geometría”, Editorial Universitaria. Moise, E; Downs, F (1996) “Geometría Moderna”, Addison Wesley.

IV. Otros recursos: http://clic.xtec.net/db/act_ca.jsp?id=1308 http://www.vitanet.cl/busqueda/buscar.php?materia=GEOMETRIA http://www.educaguia.com/Servicios/software/matematicas%20de

%20primaria_.htm

V. Trabajos del alumno y su relación con el logro de estándares y competencias. (Indique lasprincipales actividades que el curso requerirá del alumno para lograr los estándares ycompetencias del perfil de egreso)

161

1. Construcción, caracterización y clasificación de triángulo, cuadriláteros y circunferencias Estándar 6 / Competencia 1 (Trabajo individual)Elabora un trabajo de construcción con regla y compás y/o utilizandoalgún software interactivo de triángulos, cuadriláteros ycircunferencias, caracteriza cada figura y las clasifica de acuerdo aalgún criterio preestablecido. Describe los procesos de construcción.

2. Construcción de polígonos inscritos y circunscritos en una circunferencia Estándar 6 / Competencia 1 (Trabajo individual)Construye diversos polígonos y verifica argumentadamente laposibilidad de inscribirlos o circunscribirlos a una circunferencia.Describe los procesos de construcción.

3. Resolución problemas de Geometría__________ Estándar 6 / Competencia 1(Trabajo grupal)Resuelven problemas aplicando conceptos de perímetros y áreas y losrelacionan con medidas de longitud y superficies.Realizan un trabajo de investigación grupal para descubriraplicaciones de los conceptos geométricos de figuras, áreas yperímetros en la vida del hombre, como manifestaciones del arte o dela arquitectura y su presencia en la naturaleza. Hacen una exposiciónde sus hallazgos y conclusiones.

4. Geometría Plana en los Planes y Programas Estándar 6 / Competencia 3, 6 (Trabajo grupal)Los alumnos, en grupo hacen una lectura comprensiva de los Planes yProgramas de 5° básico a 1° medio e identifican los ObjetivosFundamentales Transversales y Verticales que dicen relación conGeometría Plana y que deben lograr los estudiantes en cada añoescolar. Exponen su trabajo, elijen uno de esos OFT / OFV detectados ymuestran el diseño de una actividad de aprendizaje, que sea coherentecon las orientaciones didácticas del marco curricular de los programasrevisados.Aplican esta actividad de aprendizaje a sus compañeros considerandotodos los momentos de una clase: inicio, motivación, desarrollo,evaluación de lo aprendido y cierre.

162

5. Investigación de software de geometría plana disponible en la Internet Estándar 6 / Competencia 6

(Trabajo grupal)Los alumnos, en equipo, realizan una exploración en la Red Internetbuscando software para el aprendizaje de los contenidos geométricosvistos. Eligen un sotware o un medio de la web 2 (blog, wiki, etc.),diseñan una actividad en él y lo exponen a sus compañeros señalandolas razones de su elección y abriendo un debate.

Pauta para la Evaluación Clave

1. Estándar 6 / Competencia 1 y 6

2. Justificación (¿Por qué tiene que saber/hacer esto un/una profesorde segundo ciclo?):

La geometría plana es una excelente área del conocimiento paradesarrollar en los alumnos la ubicación espacial. Al mismo tiempoaprenden a aplicar el pensamiento lógico para resolver problemas. Lesapropia de características como rigurosidad de pensamiento yminuciocidad en el trabajo de construcción, condiciones que deberándesarrollar en sus alumnos. El conocimiento de las figuras geométricasy sus propiedades les permite apreciar el arte desde la perspectiva delas formas. Aprende a evaluar

3. Pre-requisitos: (lo que los estudiantes deben saber y deben saberhacer antes de la evaluación):

Antes de realizar esta evaluación, los profesores en formación soncapaces de:Construir figuras, clasificarlas, describir el proceso de construccióny hacer un análisis de las condiciones necesarias para laconstrucción.Aplicar las características de las figuras y los conceptos geométricosa la solución de ejercicios.Explorar en la Red de Internet para seleccionar Obras de arte quepresenten figuras geométricas en su composición.Distinguir los distintos momentos de una clase y alguna forma deevaluar el aprendizaje logrado.

4. Descripción breve de la evaluación:163

Primera parte: Grupo de cincoLos profesores en formación, agrupados de cinco personas, realizaránun trabajo de construcciones de triángulos, cuadriláteros ycircunferencia con regla y compás, describiendo acabadamente cada pasode cada construcción y haciendo un análisis de los casos en que laconstrucción es posible y cuando no lo es. Emitirán un informe escritogrupal y un reporte personal.Segunda parte: individualLos profesores en formación, individualmente resolverán 20 ejerciciospropuestos por el profesor aplicando los conceptos y propiedades defiguras, perímetros y áreas. Tercera parte: Grupo de dos y coevaluación de todos sus compañerosLos profesores en formación, en grupos de dos, explorarán en la Red deInternet buscando obras de arte o arquitectónicas que ofrezcan lapresencia de figuras geométricas. Elegirán una para exponerla a suscompañeros en un power point, editado por tres alumnos voluntarios. Laevaluación de esta parte se realizará a través de una coevaluaciónCuarta parte: individual. AutoevaluaciónAl concluir el proceso de la evaluación clave y como última parte deél, el profesor(a) entregará a cada alumno(a) una pauta deautoevaluación detallada para que el alumno observe las prácticas quedesarrolló en distintos ámbitos como aportes al debate, formalidadesde cumplimiento y horarios, calidad de sus producciones, etc. y losaprendizajes logrados durante el proceso. Coherente con ello el alumnose asignará un puntaje de 1 a 10 puntos, que el profesor no podráintervenir

5. Describa los pasos de la evaluación en detalle

Paso 1: El profesor(a) buscará una estrategia para formar grupos de cincopersonas para trabajar en equipo e indicará las exigencias del trabajorequerido: Un informe escrito que contenga a lo menos cincoconstrucciones, tres deben ser de figuras distintas (triángulo,cuadrilátero y circunferencia). El informe debe contener: carátula,introducción, construcciones, y conclusión. Cada construcción debe serrealizada con regla y compás, describiendo paso a paso y rigurosamenteel proceso realizado y consignando el análisis de otras posiblessoluciones. Cada alumno(a) debe realizar en forma individual unreporte en el que identifique qué distinciones nuevas aprendió, qué es

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capaz de realizar con estas nuevas distinciones y qué estado de ánimole produjo la realización de esta actividad.

Paso 2:Conformados los equipos de trabajo, los profesores en formacióndiseñarán las construcciones que realizarán, discutirán las formas derealizarlo y se distribuirán el trabajo. Dispondrán de dos clases de90 min. para desarrollar esta parte de la evaluación.

Paso 3: Los profesores en formación responderán una prueba de desarrollo de 10preguntas en que aplicarán las propiedades y conceptos geométricosaprendidos. Todas las respuestas deben ser justificadas. Contarán conuna clase de 90 min. para responderla.

Paso 4:Una vez corregidas las pruebas, los alumnos(as) reconocerán yanalizarán sus aciertos y sus errores realizando las correccionespertinentes. Dispondrán de una clase de 90 min.

Paso 5:El profesor(a) dará las indicaciones para que los alumnos(as),contando con un computador por cada dos personas, realicen unainvestigación en internet y elijan una obra de arte (pintura,escultura o arquitectura) para presentar a sus compañeros. Lapresentación deberá contar con una breve descripción de la obra(autor, año, lugar donde se encuentra, etc.), Con todas las obraselegidas, un grupo de tres alumnos voluntarios, editará un powerpoint y el profesor las presentará en una clase. Cada pareja dealumnos irá explicando porqué su elección desde el criterio de laintegración de figuras geométricas. Los compañeros realizarán unacoevaluación de acuerdo a una pauta predeterminada, la que asignarápuntaje a observaciones como: cantidad de formas presentes en la obra,integración de las formas, presencia o ausencia y calidad del reporteque identifica la obra y calidad de la expresión (comunicación) quesus electores hacen de la presentación.

Paso 6:El profesor preparará una pauta de auto evaluación que consigneindicadores para los diversos aprendizajes esperados, tanto deprácticas individuales y sociales del alumno como de los aprendizajesde geometría logrados. Esto con el objeto de que el alumno aprenda a

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mirar sus prácticas (sus maneras de hacer y aprender) y pueda empezara diseñarlas.

6. Puntuación de los Pasos/Trabajos para la evaluación: (del curso)

Puntos:1. Informe escrito de las construcciones (grupal)

( Estándar 6/Competencia 1) 30

2. Reporte personal ( Estándar 6/Competencia 6 ) 20

3. Prueba escrita (individual) ( Estándar 6) 30

4. Coevaluación (Estándar 6,Competencia 1) 10

5. Autoevaluación (Competencia 8) 10__

Total puntos 100

7. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar susconocimientos, habilidades, o actitudes (textos, sitios de la red,otros):

Para realizar el informe grupal, cada grupo dispondrá de unapauta elaborada por el profesor y negociada con los alumnos

El alumno debe proveerse de regla, compás y papel para su informe Para el reporte personal la guía serán tres preguntas elaboradas

por el profesor: ¿Qué nuevas distinciones obtuvo o qué aprendiócon este trabajo? ¿Qué es capaz de hacer con ello? y ¿Qué estadode ánimo le produjo el trabajo?

Una prueba con 10 reactivos que den cuenta de los aprendizajesesperados.

Un computador por cada dos alumnos con conección a internet

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Una pauta de Coevaluación para consignar las observaciones a suscompañeros en la clase de presentación de las obras de arte,arquitectura o escultura seleccionadas

Una pauta de autoevaluación

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Rúbrica de evaluación

Evaluación Clave Insatisfactorio0 puntos

Básico3 puntos

Competente6 puntos

Destacado8 puntos

Puntos

Elaboración de un informe en grupo de cinco personas, que decuenta de las construcciones, rigurosamente, de cinco figurasusando regla y compás, describiendo lospaso de cada construcción y haciendo un análisis de los casos en que la construcción es posible y cuandono lo es

Construye menos de tres figuras distintas

No describe los pasos del proceso

No realiza el análisis

No cumple con la forma solicitada para el informe

Construye las cinco figuras solicitadas.

Describe parcialmente el proceso de construcción

No realiza el análisis

Cumple con parte de la formalidad exigida

Construye las cinco figuras solicitadas

Describe completoel proceso pero sin la rigurosidad del lenguaje de la geometría

Realiza parcialmente el análisis

Cumple la formalidad exigida

Construye las cinco figuras solicitadas con exactitud y limpieza

Describe el proceso completo y en forma rigurosa

Realiza el análisis completoen todas las construcciones

Cumple la formalidad exigida con calidad en la presentación y redacción.

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Reporte personalrespondiendo laspreguntas: ¿Qué aprendió con este trabajo? ¿Qué es capaz dehacer con ello? y ¿Qué estado deánimo le produjoel trabajo?

No responde ninguna de las tres preguntas

Responde una o dos preguntas

Responde las trespreguntas sin darargumentación a sus afirmaciones en todas ellas

Responde y argumenta las tres preguntas

Reconoce y aplica las característicasde las figuras para resolver ejercicios (3)*

Identifica pares de figuras congruentes identificando sus elementos homólogos(2)*

Respondecorrectamente 0de 3 preguntas

Respondecorrectamente 0de 2 preguntas

Respondecorrectamente 0

Respondecorrectamente 1de 3 preguntas

Respondecorrectamente 1de 2 preguntas

Respondecorrectamente 1

Respondecorrectamente 2de 3 preguntas

Respondecorrectamente 2de 2 preguntas

Respondecorrectamente 2

Respondecorrectamente 3de 3 preguntas

Responde correctamente 2de 2 preguntas y justifica susrespuestas

Responde

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Identifica figuras equivalente y resuelve problemas usando el concepto de equivalencia (2)*

Resuelve problemas utilizando concepto de perímetro y área de figuras(2)*

Resuelve ejercicios aplicando propiedades de figuras (1)*

de 2 preguntas

Respondecorrectamente 0de 2 preguntas

Respondecorrectamente 0de 1 preguntas

de 2 preguntas

Respondecorrectamente 1de 2 preguntas

Responde parcialmente 1 de 1 preguntas

de 2 preguntas

Respondecorrectamente 2de 2 preguntas

Respondecorrectamente 1de 1 preguntas

correctamente 2de 2 preguntas y justifica susrespuestas

Responde correctamente 2de 2 preguntas y justifica susrespuestas

Responde correctamente 1 de1 preguntas y justifica su respuesta

Exploran en internet,

No exploran eninternet

Exploran en Internet

Exploran,registran sus

Exploran,registran sus

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identifican y eligen una obrade arte, arquitectura o escultura, donde se evidencie la presencia de formas geométricas conocidas, justifican su elección y elaboran una pequeña historia de la obra

No eligen obra No registran sus visitasEligen una obraNo justifican su elecciónElaboran parcialmente lahistoria de la obra

visitas yeligen una obraJustifican suelección enforma básicaElaboran lahistoria de laobra con todoslos datossolicitados

visitas yeligen una obraJustifican su elección con tres o más argumentosElaboran la historia de la obra con todos los datos solicitados y contextualizadapara el mundo actual

PUNTOS TOTAL

Este número representa el número de reactivos o preguntas de la prueba que dará cuenta del logro deese aprendizaje esperado.

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Asignatura: Cuerpos GeométricosAutor(a)/Universidad: Ximena Cruz/ Universidad de TarapacáHoras presencial por semana: 3 teóricas y 2 prácticasHoras requeridas del alumno por semana afuera del aula: 8 horas.

Visión del Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de EducaciónBásica

El Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica esun profesional con sólida formación pedagógica y disciplinaria, en almenos un sector de aprendizaje, con autonomía para tomar decisionesinformadas. Ejerce una práctica reflexiva y utiliza la investigaciónpara desarrollar las competencias que le permiten responsabilizarse delos procesos y resultados de su enseñanza. En colaboración con lafamilia y comunidad, se compromete con el logro de aprendizajes quepotencien el desarrollo psicosocial, intelectual y moral deestudiantes preadolescentes. Participa en acciones de cooperaciónprofesional asociadas al mejoramiento de la calidad de la educaciónque ofrece su institución escolar

ALINEACIÓN CON ESTÁNDARES Y COMPETENCIAS

I. Estándares y Competencias del perfil de egreso relacionados al curso.

El (los) siguiente estándar(es)/competencia(s) del eje 2 del perfil tiene(n) un énfasis principal en este curso:

Estándar 7:

Comprende los conceptos referidos a rectas y planos paralelos yperpendiculares en el espacio que permitan deducir y demostrar laspropiedades involucradas en ellos; como también comprende el conceptode ángulo diedro. Comprende, aplica y fundamenta las diferentesclasificaciones de cuerpos en el espacio, y determina propiedades yrelaciones en ellas. Reconoce y clasifica los cuerpos poliedros,identificando sus elementos principales. Es capaz, además, defundamentar y aplicar el Principio de Cavalieri en la determinación de

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fórmulas de volumen de cuerpos geométricos. Calcula volúmenes y áreasde superficie, y aplica estos conocimientos a situaciones concretas, yresuelve problemas relacionados con figuras en el espacio.

Organiza el proceso de enseñanza de cuerpos geométricos, planificandoadecuadamente las secuencias y actividades de aprendizaje yevaluativos involucradas en la conceptualización de los objetosgeométricos, la deducción de propiedades y relaciones, y la aplicaciónde éstas en la resolución de problemas.

Es capaz de justificar la organización de los contenidos geométricosen los planes de estudio de la enseñanza básica, y comprende lavinculación que ésta tiene con los contenidos vistos en enseñanzamedia.

Competencia 1 Comprende con adecuada amplitud y profundidad las disciplinas delsector de aprendizaje que es responsable de enseñar.

Competencia 2 Comprende el marco curricular nacional y los mapas de progreso para elsector curricular que enseña y utiliza este conocimiento paraplanificar su enseñanza.

Competencia 4Comprende el amplio rango de procedimientos evaluativos y los usa paramonitorear el avance y logro de las metas de aprendizaje.

El (los) siguiente estándar(es)/competencia(s) del eje 2 del perfiltiene(n) un énfasis secundario en este curso:

Estándar 6Comprende la estructura axiomática de la geometría euclidiana y lasnociones básicas de punto, recta, trazo, rayo. Comprende elsignificado de distintas figuras geométricas tales como ángulo,polígono (centrado en el triángulo y el cuadrilátero), circunferenciay las regiones que ellas delimitan; distinguiendo las distintas formasde clasificar y de caracterizar dichas figuras a través de suconstrucción geométrica, avanzando hacia la deducción y demostraciónde sus propiedades y relaciones. Comprende los conceptos de medida delongitud, medida angular, medida de superficie y demuestra propiedades

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que permitan calcular áreas y perímetros; reconociendo los distintossistemas y unidades de medida en cada uno de ellos. Comprende elconcepto de congruencia de figuras en el plano, y aplica los criteriosde congruencia de triángulos para determinar si dos figuras soncongruentes, como también para construir tesselaciones y así vincularel estudio de la geometría a diferentes manifestaciones del arte y laarquitectura, valorando a la Geometría como una disciplina muy ligadaa la realidad de la humanidad y sus civilizaciones en distintasculturas y épocas.

Competencia 10 Promueve un ambiente propicio para el aprendizaje, estableciendo ymanteniendo normas consistentes y consensuadas de disciplina en elaula que potencian el desarrollo social de los educandos para la vidaen una sociedad democrática.

II. Aprendizajes esperados

Conceptuales

Comprende los conceptos de rectas y planos en el espacio, asícomo sus posiciones relativas, paralelismo, perpendicularidad eintersecciones. Comprende el concepto de ángulo diedro y triedro,sus elementos y características.

Conoce, caracteriza y clasifica los poliedros regulares, ycomprende y utiliza la relación existente entre el número de caras,el número de vértices y el número de aristas de un cuerpo geométricodenominada Fórmula de Euler.

Deduce, demuestra y utiliza fórmulas adecuadas para calcular áreay volumen de cuerpos geométricos, en resolución de problemas endiversos contextos

Reconoce las características de cuerpos geométricosclasificándolos según criterios como: redondos y no redondos,superficies laterales curvas o paralelas, número de superficiesbasales, paralelismo de las superficies basales, etc.

Modela objetos de entorno su con cuerpos geométricos conocidos.Conoce, relaciona, selecciona y utiliza unidades de medida adecuadaspara áreas y volumen para resolver problemas de la vida cotidiana.

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Identifica los conocimientos previos referidos a figuras planasque permiten instalar un conocimiento específico de la geometría delespacio.

Procedimentales

Establece un criterio de secuencialidad entre los distintoscontenidos de geometría referidos a cuerpos geométricos señalados enlos Planes y Programas de 5° a 8° año de educación general básica.

Reconoce y analiza conceptos erróneos respecto de cuerposgeométricos que dificultan el aprendizaje de otros contenidosgeométricos, y diseña y planifica estrategias de intervención pararemediar esta situación.

Construye diferentes cuerpos geométricos diseñando su malla yevidenciando sus características.

Diseña actividades de aprendizaje que propicien la capacidad derazonamiento geométrico en los estudiantes, utilizando un softwaregeométrico que permitan experimentar y recopilar informaciónconducente a la elaboración de conjeturas.

Diseña planificaciones de clases referidas a cuerpos geométricosconsiderando los momentos de ella.

Diseña pruebas escritas que estén orientadas a la comprensión, laaplicación y la utilidad de lo aprendido respecto a cuerposgeométricos.

Actitudinales

Valora el aprendizaje sobre cuerpos geométricos como una herramientapara el desarrollo de la ubicación espacial en los niños.

Se da cuenta de las formas geométricas presentes en distintasmanifestaciones artísticas.

Valora que en la geometría del espacio muchos objetos de lanaturaleza se pueden modelar a través de cuerpos geométricos

II. Lecturas Requeridas: 176

A) Lecturas obligatorias Carreño, Ximena; Cruz, Ximena. Geometría. Arrayán. Santiago,

Chile. 2004. Alsina, C.; Burgués, C.; Fortuny, J. Materiales para construir la

Geometría. Colección Matemáticas: Cultura y Aprendizaje. N°s 11.Síntesis. Madrid. 1991.

Alsina, C.; Burgués, C.; Fortuny, J. Invitación a la Didáctica dela Geometría. Colección Matemáticas: Cultura y Aprendizaje. N°s

12. Síntesis. Madrid. 1991. MINEDUC, (1998). Planes y programas de estudio para quinto año

básico. Santiago, Chile MINEDUC, (1998). Planes y programas de estudio para sexto año

básico. Santiago, Chile MINEDUC,(1998). Planes y programas de estudio para séptimo año

básico. Santiago, Chile MINEDUC, (1998). Planes y programas de estudio para octavo año

básico. Santiago, Chile

B) Lecturas complementarias Riveros, Marta y otros. Resolver Problemas Matemáticos: una

tarea de profesores y alumnos. Ediciones Pontificia UniversidadCatólica de Chile. Santiago Chile. 2002

Gómez Chacón, M. Inés. Matemática Emocional. Narcea. Madrid.2000.

Gorgorió, N.; Deulofeu, J.; Bishop, A (coords.) Matemática yEducación. N° 154. Grao. Barcelona. 2002.

IV. Otros recursos:http://nogal.mentor.mec.es/~lbag0000/html/cuerpos_geometricos.htmhttp://www.amejor.com/mates/poliedros/descripcion.htmhttp://centros5.pntic.mec.es/ies.victoria.kent/Departamentos/DMatem/2000/SEPTIEMBRE-EULER.htmlhttp://www.fuenterrebollo.com/Matematicos/areas-volumenes.html

http://www.educarioja.org/educarioja/pizarradigital/repositorio_pd/Cuerpos%20Geometricos.ppthttp://www.santillana.cl/futuro/figuras.htmhttp://www.kokone.com.mx/tareas/figuras/home.html

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V. Trabajos del alumno y su relación con el logro de estándares y competencias. (Indique lasprincipales actividades que el curso requerirá del alumno para lograr los estándares ycompetencias del perfil de egreso)

1. Identifica y caracteriza Cuerpos Geométricos Estándar 7 /Competencia 1

En forma individual cada alumno investiga en los diversos mediossugeridos por el profesor u otros e identifica los distintos cuerposgeométricos y los relaciona con objetos reales, naturales otecnológicos. Los caracteriza (caras, aristas, diagonales, altura,apotema, etc.) y agrupa de acuerdo a distintos criterios (redondos,poliedros; rectos, oblicuos; regulares, irregulares; etc.) Elabora unmapa conceptual del concepto Cuerpo Geométrico.

2. Construye Cuerpos Geométricos y Elabora una Pauta de evaluación de los trabajos Estándar 7 / Competencia 4

Cada alumno Identifica las redes de los distintos cuerpos geométricosy construye a lo menos cinco de ellos. En forma grupal, y previo a laconstrucción, elaboran en conjunto con el profesor, una pauta deevaluación del trabajo de construcción. De acuerdo a la pautaelaborada, las construcciones son coevaluadas por grupos de dosalumnos. (cada pareja evalúa el trabajo de dos alumnos)

3. Producen una Exposición con charlas para alumnos de básica de la comunidad circundante Estándar 7 / Competencia 10

Todo el curso, generando comisiones, diseñan, organizan y realizan unaexposición de los trabajos de construcción realizados. Durante laexposición realizan una charla para alumnos de 5° a 8° básico sobrelos cuerpos geométricos, sus características, su presencia en lanaturaleza y su utilización en creaciones humanas (construccionesmilenarias y actuales, tiendas de campaña, cúpulas, invernaderos,etc.).

4. Investiga la vinculación de los Cuerpos Geométricos con otras áreas del curriculum en los niveles de 5° a 8° Básico ______Estándar 7 / Competencia 2

En grupos de cuatro, los alumnos revisan los planes y programas de 5°básico a 1° medio, establecen la presencia y secuencia de loscontenidos sobre cuerpos geométricos y su posible vinculación con los

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otros sectores de aprendizaje. Cada grupo emite un informe escritoproponiendo un plan para enseñarlo.

5. Resuelve problemas considerando volúmenes de cuerpos y áreas de figuras Estándar 7 / Competencia 1

Los alumnos, en forma individual o grupal resuelven una guía deejercicios y problemas propuestos por el profesor que den cuenta de sucomprensión (analizan, sintetizan o hacen una interpretación personalde lo aprendido y valoran o emiten juicios sobre lo aprendido) delcontenido y de su aplicación a la resolución de problemas,especialmente de capacidades, superficies y modelos. (espaciosarquitectónicos, empaques y contenidos, descripciones atómicas ymoleculares, etc.)

Pauta para la Evaluación Clave 1. Estándar 7 / Competencia 1 y 4

2. Justificación (¿Por qué tiene que saber/hacer esto un/una profesorde segundo ciclo?):

La geometría de los cuerpos geométricos y su construcción permite queel estudiante desarrolle una interpretación del espaciotridimensional, la generación de formas y relaciones, el diseño dediferentes tipos de mallas de distintas rigideces y capacidad decobertura, representaciones de cuerpos o combinaciones de cuerpos y surelación área / volumen. Es útil además para evidenciar el fenómenode la conservación del contenido bajo distintas formas, etc. Por otrolado, la comprensión de las formas espaciales colabora en laconstrucción e interpretación de modelos de redes cristalinas, modelosatómicos y moleculares, modelos víricos y otros.

La postergación sistemática de la geometría tridimensional en elcurriculum realizado por los profesores, hasta ahora, ha producido unapérdida de conocimiento social de interpretación del medio natural, elcual debemos recuperar y proponemos hacerlo a través del desarrollo enprofundidad de este programa.

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3. Pre-requisitos:(lo que los estudiantes deben saber y deben saber hacer antes de la evaluación):

Antes de realizar esta evaluación, los profesores en formación son capaces de: Distinguir las distintas formas geométricas planas Conocer y aplicar los teoremas básicos de triángulos y polígonos Medir, recortar y pegar en forma rigurosa y limpia Diseñar las redes de los distintos cuerpos geométricos Construir los distintos cuerpos geométricos Interpretar las propiedades de los cuerpos geométricos y aplicarlas

al diseño o recreación de problemas de aplicación.

4. Descripción breve de la evaluación:

Los profesores en formación, en grupo de tres diseñarán las redes yconstruirán cinco cuerpos geométricos, elegirán uno y expondrán a suscompañeros todas sus características y posibles aplicaciones en lavida natural y social. Cada grupo debe elaborar o recrear dosproblemas de aplicación de algún cuerpo geométrico. El grupo produciráun informe escrito adjunto a los cuerpos construidos. Cada integrantedel grupo realizará un reporte personal de no más de una planaseñalando qué aprendió (qué nuevas distinciones adquirió) con estetrabajo, qué es capaz de realizar con dichas distinciones y qué estadode ánimo le produjo la actividad.

5. Describa los pasos de la evaluación en detalle

Paso 1:El profesor negociará con los alumnos una estrategia para formar losgrupos de trabajo y entregará por escrito una pauta con lasindicaciones para realizar el trabajo de diseño, construcción,exposición y aplicación de los cuerpos geométricos.

Paso 2:Los estudiantes, en grupo deliberan sobre los aprendizajes esperadosque deben evidenciar en esta evaluación, sobre las actividades quepueden desarrollar para lograr lo solicitado, sobre la forma cómo vana constituir su equipo de trabajo, sobre las responsabilidades queadquirirá cada uno, sobre los tiempos disponibles para lograr elproducto comprometido, etc. y dejarán por escrito un acta con laspromesas que tiene cada uno, a quién le debe responder y en qué

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tiempo. Para los pasos 1 y 2 los alumnos contarán con una sesión de 90min.

Paso 3:Los estudiantes, constituidos en equipo, traerán a la sesión todos losmateriales (redes dibujadas, tijeras, regla, pegamento, etc.)preparados para la construcción de los cuerpos y los construirán.Elegirán o inventarán dos problemas de aplicación para ser presentadosa sus compañeros. Dispondrán para ello de una sesión de 90 min.

Paso 4:Cada grupo presentará a sus compañeros uno de los cuerpos construidospor ellos exponiendo sus características y propiedades, y explicaráuno de los problemas elegido o inventado. Dicha presentación serácoevaluada por los compañeros con una pauta previamente elaborada ynegociada entre los alumnos y el profesor. Cada grupo dispondrá de 30min. máximo para hacer su exposición. Se medirá, entre otrosindicadores, organización de la exposición y capacidad de síntesis.Todos los alumnos del grupo deben intervenir en la exposición y lacoevaluación será personal para cada uno.

Paso 5:Cada alumno, en forma individual realizará un reporte de lo queaprendió con este trabajo, lo que puede realizar con las nuevasdistinciones adquiridas y del estado de ánimo que la actividad leprodujo.

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6. Puntuación de los Pasos/Trabajos para la evaluación:

Puntos1. Cuerpos geométricos (Estándar 7 / Competencia 1) 30

(rúbrica)

2. Problemas de aplicación (Estándar 7 / Competencia 4) 20 (rúbrica)

3. Exposición de su trabajo (Estándar 7 / Competencia 1) 30 (rúbrica)

4. Reporte personal (Estándar 7 / Competencia 1) 10(rúbrica)

5. Coevaluación (Competencia 4) _10__

Total de puntos 100

7. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar susconocimientos, habilidades, o actitudes (textos, sitios de la red,otros):

Pauta con las indicaciones para realizar el trabajo y los aprendizajes esperados

Apuntes de clases Materiales traídos por los alumnos, incluido textos si así lo

estiman Pauta de coevaluación Data, computador, pizarra para la exposición.

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Rúbrica de evaluación

Evaluaciónclave

No lograestándar0 pts.

Logra estándarparcialmente

4 pts.

Logra estándarsuperficialment

e6 pts.

Logra estándarcon profundidad

8 pts.

Puntos

Construcción de cinco cuerpos geométricos y emisión de Informe

Construye uno o dos cuerposNo expone sus propiedades ni característicasNo muestra aplicacionesSe evidencian errores en el informe

Construye más dedos cuerpos o ninguno de ellosirregularExpone en forma incompleta sus características y propiedadesNo muestra aplicacionesEl informe aparece incompleto

Construye los cinco cuerpos, pero ellos sólo se refieren a poliedros simples (prisma o pirámide rectaregular)Sus características y propiedades están completas y correctasEl informe está completo pero superficial

Construye los cinco cuerpos considerando distintos tipos (regular, irregular, prisma, pirámide,recto, oblicuo, prisma triangulardescompuesto en tres pirámides deigual volumen, etc.)Sus características ypropiedades estáncompletas, correctas y relacionadasEl informe está completo y agregavalor con

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apreciaciones personales y relaciona los distintos conceptos

Creación o recreación de dos problemas deaplicación, mostrando enunciado, solución y análisis

Presenta los dosproblemas sin relación a cuerpos geométricos, presenta un soloproblema o no presenta problemas.No presenta las soluciones

Presenta los dosproblemas muy simples (aplicaciones directas). Presenta las soluciones

Presenta un problema interesante (querelaciona más detres conceptos en a lo menos dos áreas del saber).Presenta un problema que contienen sólo aplicaciones directas.Presenta las soluciones

Presenta los dos problemas relacionando más de dos conceptos y a lo menos dos áreas del saber en cada uno.Presenta diversasalternativas de solución y un análisis de ellas.

Exposición del trabajo a sus compañeros

Las ideas son poco claras, su lenguaje es pobre, no sabe responder preguntas relacionadas consu presentación

Las ideas presentadas son claras y precisas, pero son aisladas.Responde algunaspreguntas relacionadas con

Presenta ideas claras, precisas, relacionadasResponde a todaslas preguntas que se le hagan relacionadas con

Presenta un cuerpo geométricocomplejo, sus ideas son claras y precisas. Las propiedades y características del cuerpo se

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su presentación su presentaciónexponen integradas y aplicadas.

Reporte personalNo responde ninguna de las tres preguntas

Responde una o dos preguntas

Responde las tres preguntas sin argumentar sus afirmaciones

Responde y argumenta las tres preguntas

PUNTOS TOTAL

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Asignatura: Estadística Básica.Autor(a)/Universidad: Salim Elal Olivero y Manuel Barahona Droguett Universidad de AtacamaHoras presenciales por semanas: 4 horasHoras requeridas del alumno por semana fuera del aula: 4 horas

Visión del Profesor Especialista para el Segundo Ciclo deEnseñanza Básica.

El profesor especialista para el segundo ciclo deEnseñanza Básica es un profesional con sólida formaciónpedagógica y disciplinaria en, al menos, un sector delaprendizaje, con autonomía para tomar decisiones informadas.Ejerce una práctica reflexiva y utiliza la investigación paradesarrollar las competencias que le permiten responsabilizarsede los procesos y resultados de su enseñanza. En colaboracióncon la familia y comunidad se compromete con el logro deaprendizajes que potencien el desarrollo psicosocial,intelectual y moral de estudiantes preadolescentes. Participa enacciones de cooperación profesional asociadas al mejoramiento dela calidad de la educación que ofrece su institución escolar.

ALINEACION CON ESTANDARES Y COMPETENCIAS.

I. Estándares y Competencias del perfil de egreso relacionados conel curso.

El curso, sus expectativas de logro, lo que se le pide al alumnohacer, y las evaluaciones, han sido alineadas con los estándaresy competencias del perfil de egreso para la formación inicial deprofesores del segundo ciclo básico.

(A) Los siguientes estándares tienen un énfasis principal en estecurso.

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Estándar 10 Comprende y aplica conceptos y técnicas estadísticasrequeridas para recopilar, organizar, representar, analizar einterpretar conjuntos de datos a partir del planteamiento, discusión yresolución de problemas extraídos de la vida real, teniendo en vistala organización de su enseñanza. (B) Las siguientes competencias del perfil de egreso tienen unénfasis principal en este curso.

Competencia 1, Eje 2. Comprende con amplitud y profundidad lasdisciplinas del sector de aprendizaje que es responsable de enseñar.

Competencia 4, Eje 2 Comprende el amplio rango de procedimientosevaluativos y los usa para monitorea el avance y logro de las metas deaprendizaje.

Competencia 5, Eje 2. Utiliza los resultados de las evaluaciones pararetroalimentar a los educandos y ajustar sus planificaciones yestrategias didácticas.

Competencia 6, Eje 2. Selecciona y diseña recursos y situaciones deaprendizaje pertinentes y significativas para presentar ideas yconceptos disciplinarios a los estudiantes del nivel que enseña.

(C) Los siguientes estándares tienen un énfasis secundario enel perfil de egreso.

Estándar 1. Comprende los números naturales como abstracción de lascantidades discretas y los distingue de sus representacionesdisponiendo así de modelos para interpretar situaciones y resolverproblemas reales de orden y conteo, aditivos y multiplicativos, dedivisibilidad y restos.

Estándar 4. Comprende la modelación de situaciones referidas acuocientes, razones, tasas, proporciones, probabilidades, repartos yfraccionamientos, por medio del sistema de números racionales y sus

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registros de representación para aplicarla en la resolución deproblemas asociados a fenómenos naturales y sociales, teniendo envista la organización de su enseñanza.

(D) Las siguientes competencias del perfil de egreso tienen unénfasis secundario.

Competencia 6, Eje 2. Selecciona y diseña recursos y situaciones deaprendizajes pertinentes y significativos para presentar ideas yconceptos disciplinarios los estudiantes del nivel que enseña.

II APRENDIZAJES ESPERADOS Son los aprendizajes claves para el logro de los estándares/competencias.

Conceptual

Conozca el desarrollo histórico de la estadística y explique el porqué la necesidad de la sociedad, en su conjunto, de recolectar datose información en el contexto de su evolución y perfeccionamiento.

Comente las características del quehacer estadístico en el mundomoderno y relacione dichas características en disciplinas tales comonegocios, economía, demografía, ingeniería, salud, seguros,educación, medicina, psicología y otras.

Identifique tipos de variables: sean estas cualitativas, tantoordinales como nominales, o bien cuantitativas, las cuales puedenser continuas y discretas, tomadas en contextos de la vida diaria.

Comprenda las técnicas para agrupar datos en tablas de distribuciónde frecuencias y la posterior descripción y análisis delcomportamiento de dichos datos.

Procedimental

Recopile información de situaciones de la vida diaria y planteé problemas que para ser resueltos requieran de una recolección y análisis de datos.

188

Organice conjuntos de datos presentándolos a través de tablas de distribución de frecuencias o bien por medio de gráficos.

Actitudinal

Aprecie la importancia de manejar las medidas de tendencia central ylas medidas de dispersión para caracterizar un conjunto de datos.

Acceda a software estadístico adecuado para la presentación y análisis de datos.

III LECTURAS REQUERIDAS.

TEXTOS OBLIGATORIOS:

[1] J.P. Guilford – Benjamín Fruchter, Estadística Aplicada a la Psicología y la Educación, Mc Graw Hill, Mexico, 1984 Capítulos 1 al6[2] Guillermo Briones, Análisis e Interpretación de datos,Formación de Docentes en Investigación Educativa, SECAB, Santa Féde Bogota, Colombia, 1992.Capitulo 1

Leonidas Espina M. Estadística Elemental Imprenta Universitaria S.A,Santiago Chile 1998 . Capítulos 1 al 6[4] Maria José Fernández et al, 225 Problemas de Estadística Aplicada a las Ciencias Sociales, Editorial Síntesis, Madrid, España, 1992.Capítulos 1 y 2[5] Milton Smith, Estadística Simplificada Para Psicólogos y Educadores, El Manual Moderno, S.A, Mexico, 1971.Capítulos 1 al 6

Murray R.Spiegel, Estadística Serie de compendios Schaum’s, Mexico 1995, Capitulo 1 al 4

LECTURAS COMPLEMENTARIAS

Rodrigo Bamón, Patricio González, Jorge Soto, Matemática Activa Segundo Año Medio, Editorial Mare Nostrum y Teduca Editora, Santiago, Chile, 2005[8] Rodrigo Bamón, Patricio González, Carmen Medina, Jorge Soto, Matemática Activa Tercer Año Medio, Editorial Universitaria, EditorialMare Nostrum, Santiago, Chile, 2005.

189

[9] Jorge Soto Andrade, Patricio González, Matemática Texto Para el Estudiante, Cuarto Año Medio, Editorial Mare Nostrum y Teduca S. L, Santiago Chile, 2005.[10] Educación Matemática, Programas de Estudio de quinto, sexto, séptimo y octavo año básico, Ministerio de Educación, República de Chile, 1999.

IV OTROS RECURSOS.

[1] Software: Excel[2] Software: Statistic.[3] statgrafic

V Trabajos del alumno y su relación con el logro de Estándares y Competencias. (indique las principales actividades que el curso requerirá del alumno para lograr los estándares y competencias del perfil de egreso)

1. Mostrar resumidamente la información. Estándar 10, 1, 4/ Competencias 6

Construya un conjunto de datos y represéntelos mediante diferentes tipos de gráficos. Verifique los resultados utilizando un software estadístico apropiado.

2. Cálculo de indicadores de tendencia central. Estándar 10, 1, 4/Competencias 6

Calcule las medidas de tendencia central, basado en un conjunto de datos, y determine cual de estas representa mejor a la dicha información, atendiendo a su distribución. Verifique los resultados utilizando un software estadístico

3. Comparación de datos. Estándar 11, 1, 4 / Competencia 6 .

190

Datos bivariados. Análisis de la información bivariada. Atendiendo a la naturaleza de la información (cuantitativa y cualitativa) estudiar la Correlación existente entre variables enestudio.

Pauta para la evaluación clave

EVALUACIÓN CLAVE 1

1. Estándar 10 / Competencias 6

2. Justificación: (¿por qué tiene que saber/hacer esto un/profesor de 2º ciclo?.)

Organización y análisis de la información En un mundo que nos bombardea constantemente con informaciónde tipo cuantitativo y cualitativo, de resultados de encuestas,tales como variaciones esperadas en los índices económicos, desalud, de la educación y de otros ámbitos de la sociedad, de unalista interminable de información entregada mediante gráficos,cifras y datos, que nos muestra una realidad sumergida en laincertidumbre, el profesor tiene que saber organizar dichainformación y dimensionar la realidad que dicha información nosquiere mostrar.

3. Pre-requisitos: (Lo que los estudiantes deben saber y saber hacer: antes de la evaluación)

(a) Conocer el conjunto de los números reales, sus propiedades y las

Operaciones que se pueden realizar con dicho conjunto.(b) Graficar en el Sistema Cartesiano de Coordenadas.

4. Descripción breve de la evaluación.Aplicar las técnicas propias de la estadística, a un conjunto dedatos, con el fin comprender mejor la información que dichos datos nos muestran.

5. Describa los pasos de la evaluación en detalle.

191

Paso 1. Recolecte y construya una base de datos relativo a unproblema dado y analice el tipo de datos que se ha recopilado, elque puede ser cualitativo o cuantitativo.

Paso 2. Agrupe y organice la información de acuerdo al tipode datos de que se trate, esto es, si fuesen datos de naturalezacuantitativa o cualitativa, presentándolos de acuerdo a las técnicasestadísticas enseñadas. Utilice un software especializado si fuesenecesario.

Paso 3. Analice los datos utilizando para ellos indicadoresestadísticos apropiados que permitan caracterizar la información deacuerdo al problema planteado.

Paso 4. Explique claramente el planteamiento del problema yla solución hallada de manera que pueda observarse que ha entendido,aprendido y aplicado correctamente las técnicas de la estadística yutilice en su exposición herramientas tales como computador,software, power point, y otros que considere pertinente.

6. Puntuación de los Pasos/Trabajos para la evaluaciónPUNTOS

PASO 1. Construcción de la base de datos10PASO 2. Organización y presentación de la Información30PASO 3. Caracterización de la Información, basandose

en estadísticos de tendencia central y de dispersión40PASO 4. Exposición, utilizando herramientas adecuadas20

Total de puntos 100

7. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar susconocimientos, habilidades o actitudes (textos, sitios de la red,otros):

1. Uso de reglas, escuadras, compás,transportador, calculadoras manuales, papelmilimetrado.

192

2. Uso de Calculadora manual, Tecnología masavanzada como Power point y Software estadístico 3. Textos y Apuntes

Rúbrica de evaluación

Evaluación clave Insatisfactorio Básico Competente Destacado Recolecte y construya una base de datos relativo al problema y analiza el tipo de datos que ha recopilado, el que puede ser cualitativo o cuantitativo.

Agrupe y organice la información de acuerdo al tipo de datos de que se trate, esto es, si fuesen datos de naturaleza cuantitativa o cualitativa, presentándolos de acuerdo a lastécnicas estadísticas aprendidas.

Analice los datos utilizandopara ello indicadores estadísticos apropiados que permitan caracterizar la información de acuerdo al problema planteado.

Expliqueclaramente elplanteamientodel problema y

El estudiante nologra explicarel problemadentro de uncontexto, noidentificavariables y norecolecta datos.

No agrupa y noorganiza lainformación yaque no reconocelas variables yno recoge datos.

No analiza losdatos al nocontar con labase de datos.

No explica

El estudiantelogra explicarel problemadentro de uncontexto,identificavariables,recolecta datospero nodistingue lanaturaleza delos datos.

Agrupa yorganiza lainformación deacuerdo a laidentificaciónde los datosdados por él.

Analiza losdatosincorrectamentecausa de laincorrectaidentificaciónde la variable.

Intenta dar unaexplicación quearrastra loserrorescometidos a

El estudianteentiende elproblemacorrectamente,construye unabase de datos ydistingue eltipo de datos,

Agrupa yorganiza lainformacióncorrectamente deacuerdo a lastécnicasestadísticas.

Analiza losdatoscorrectamenteutilizando losestadísticosapropiados.

Explicaclaramente elproblema, perono utiliza lasTics.

Elestudiantelograexplicar elproblemadentro deuncontexto,identificavariables ydistinguelanaturalezade losdatosentregandomasinformaciónacerca deellos.

Agrupa yorganiza lainformacióncorrectamente deacuerdo a lastécnicasestadísticasaprendidas y lascorroboramediante unsoftwareestadístico .

193

la soluciónalcanzada demanera que puedaobservarse queha entendido,aprendido yaplicadocorrectamentelas técnicas dela estadística yutilice en suexposiciónherramientastales comocomputador,software, powerpoint, y otrosque considerepertinente.

causa de laincorrectaidentificaciónde la variable.

Analiza losdatoscorrectamenteutilizando losestadísticosapropiados ycorrobora susresultados conun software.

Explicaclaramente elproblemautilizando losestadísticosapropiados yemplea Tics ensu exposición.

Asignatura: Transformaciones IsométricasAutor(a)/Universidad: Andrés Ortiz,

Universidad de Concepción

Ximena Cruz, Universidad de Tarapacá

Horas presenciales por semana: 4 hrs.Horas requeridas del alumno por semana afuera del aula: 6hrs

194

Visión del Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de EducaciónBásica

El Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica esun profesional con sólida formación pedagógica y disciplinaria, en almenos un sector de aprendizaje, con autonomía para tomar decisionesinformadas.Ejerce una práctica reflexiva y utiliza la investigación paradesarrollar las competencias que le permiten responsabilizarse de losprocesos y resultados de su enseñanza.En colaboración con la familia y comunidad, se compromete con el logrode aprendizajes que potencien el desarrollo psicosocial, intelectual ymoral de estudiantes preadolescentes. Participa en acciones de cooperación profesional asociadas almejoramiento de la calidad de la educación que ofrece su instituciónescolar

ALINEACIÓN CON ESTÁNDARES Y COMPETENCIAS

I. Estándares y Competencias del perfil de egreso relacionado al curso.

El curso de Transformaciones Isométricas está diseñado para lograr conespecial énfasis los estándares y competencias del perfil que acontinuación se indican:

Estándar 8:Comprende las características que son propias de cada uno de losdistintos tipos de transformaciones isométricas: traslación, rotación,simetría puntual y axial. Reconoce transformaciones isométricas envariados contextos, tanto cotidianos como artísticos, identificando sutipo y los elementos que la generaron. Aplica transformaciones y usasimetrías para analizar y resolver problemas geométricos, así comopara ilustrar propiedades de figuras geométricas. Además, está encondiciones de organizar, planificar, diseñar actividades deaprendizaje basada en la resolución de problemas para los contenidospresentes en el marco de los planes y programas vigentes en Matemáticay de generar instancias evaluativas de estos aprendizajes.

195

Competencia 1, Eje 2Comprende con adecuada amplitud y profundidad las disciplinas delsector de aprendizaje que es responsable de enseñar.

Competencia 2, Eje 2 Comprende el marco curricular nacional y los mapas de progresopara el sector curricular que enseña y utiliza este conocimientopara planificar su enseñanza.

Competencia 7, Eje 2Crea experiencias de aprendizaje interdisciplinarias que permitena los estudiantes integrar el conocimiento, destrezas y métodos de investigación de diversos sectores de aprendizaje.

El (los) siguiente estándar(es)/competencia(s) tiene(n) un énfasissecundario en este curso:

Estándar 6Comprende la estructura axiomática de la geometría euclidiana ylas nociones básicas de punto, recta, trazo, rayo. Comprende elconcepto de distintas figuras geométricas tales como ángulo,polígono (centrado en el triángulo y el cuadrilátero),circunferencia y las regiones que ellas delimitan; distinguiendolas distintas formas de clasificar y de caracterizar dichasfiguras a través de su construcción geométrica, avanzando haciala deducción y demostración de sus propiedades y relaciones.Comprende los conceptos de medida de longitud, medida angular,medida de superficie y demuestra propiedades que permitancalcular áreas y perímetros; reconociendo los distintos sistemasy unidades de medida en cada uno de ellos. Comprende el conceptode congruencia de figuras en el plano, y aplica los criterios decongruencia de triángulos para determinar si dos figuras soncongruentes, como también para construir tesselaciones y asívincular el estudio de la geometría a diferentes manifestacionesdel arte y la arquitectura, valorando a la Geometría como unadisciplina muy ligada a la realidad de la humanidad y suscivilizaciones en distintas culturas y épocas.

196

Organiza, planifica y diseña actividades que direccionen losprocesos de enseñanza hacia procesos de conceptualización de losdistintos objetos geométricos para inducir en forma comprensivala clasificación de figuras en los niños, para generar lanecesidad de usar regla y compás en construcciones geométricas,para deducir propiedades a partir de figuras construidasgeométricamente o en software de geometría dinámica, y paradeducir propiedades métricas. Diseña planificaciones de enseñanzaque sean coherentes con las orientaciones didácticas presentes enel marco de los programas oficiales y con enfoques cognoscitivosactuales acerca del aprendizaje.

Competencia 10, Eje 2Promueve un ambiente propicio para el aprendizaje, estableciendo y manteniendo normas consistentes y consensuadas de disciplina en el aula que potencian el desarrollo social de los educandos para la vida en una sociedad democrática.

II. Aprendizajes esperados (los aprendizajes claves para ellogro de los estándares / competencias)

Conceptual

Reconoce y comprende las traslaciones, simetrías puntuales,simetrías axiales y rotaciones de figuras.

Procedimental

Utiliza simetrías en triángulos y cuadriláteros paraclasificarlos, ilustrar propiedades, y resolver problemas endiversos contextos.

Construye traslaciones, simetrías puntuales, simetrías axiales yrotaciones de figuras, usando regla y compás y software deconstrucciones geométricas.

Establece una secuencialidad entre los distintos contenidos degeometría referidos o asociados a transformaciones isométricasseñalados en los Planes y Programas de 5° básico a 1° medio.

197

Actitudinal

Valora la importancia de la presencia de las transformacionesisométricas en el arte y arquitectura, identificando el tipo detransformación presente en determinadas obras.

III. Lecturas Requeridas:

A) Lecturas obligatorias Jaime Pastor, A.; Gutiérrez Rodríguez, A; (1996) "El grupo de las

isometrías en el plano", Editorial Síntesis. ISBN: 8477383464. -1ª Ed. Síntesis.

Carreño, Ximena; Cruz, Ximena. Geometría. Arrayán. Santiago,Chile. 2004.

Alsina, C.; Burgués, C.; Fortuny, J. Materiales para construir laGeometría. Colección Matemáticas: Cultura y Aprendizaje. N°s 11.Síntesis. Madrid. 1991.

Alsina, C.; Burgués, C.; Fortuny, J. Invitación a la Didáctica dela Geometría. Colección Matemáticas: Cultura y Aprendizaje. N°s

12. Síntesis. Madrid. 1991. Alsina, C.; Burgués, C.; Fortuny, J. Simetría Dinámica. Colección

Matemáticas: Cultura y Aprendizaje. N°s 13. Síntesis. Madrid.1991.

B) Lecturas complementarias http://www.uv.es/Angel.Gutierrez/archivos1/textospdf/Jai93.pdf http://www.uv.es/Angel.Gutierrez/archivos1/textospdf/Gut90a.pdf Gómez Chacón, M. Inés. Matemática Emocional. Narcea. Madrid.

2000. Gorgorió, N.; Deulofeu, J.; Bishop, A (coords.) Matemática y

Educación. N° 154. Grao. Barcelona. 2002. Riveros, Marta; Zanocco, Pierina y otros. Resolver Problemas

Matemáticos: una tarea de profesores y alumnos. EdicionesPontificia Universidad Católica de Chile. Santiago Chile. 2002

198

IV. Otros recursos: http://centros5.pntic.mec.es/sierrami/dematesna/demates12/

opciones/Mundo%20Poliedros/Poliedros%20y%20Teselaciones/Tesselmania%20Demo.htm

http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/teselacion/ Otras_teselaciones.htm

http://www.comenius.usach.cl/webmat2/programa (ver Unidad 3) http://www.dmat.udec.cl/~ivcifuentes/ http://www.geometriadinamica.cl/

V. Trabajos del alumno y su relación con el logro de estándares y competencias. (Indique las principales actividades que el curso requerirá del alumno para lograr los estándares y competencias del perfil de egreso)

1. Construcciones de transformaciones isométricas Estándar 8-6 /Competencia 1

Construye traslaciones, simetrías y rotaciones utilizando regla ycompás indicando las características que las distinguen.

2. Utilizar las simetrías para clasificar triángulos y cuadriláteros Estándar 8 – 6 /Competencia1

Construye simetrías axiales en diferentes triángulos y cuadriláterosutilizando diferentes ejes de simetría, y reconoce que en algunoscasos la simetría genera una figura coincide con la figura original,mencionando en forma explícita las condiciones que se deben dar con elcuadrilátero y el eje para que se cumpla dicha condición.3. Transformaciones Isométrica en el Arte y la ArquitecturaEstándar 8 /Competencias7-10

Elaboran y exponen grupalmente un informe de investigación acerca delos grupos de simetrías y su vinculación y presencia en las obras dearte más importantes del medio oriente como también en algunas obrasarquitectónicas4. Tesselaciones y Uso de TIC’s Estándar 8 / Competencia 7

En forma individual cada alumno elabora una presentación en powerpoint que contenga tres digitalizaciones de pinturas de M. Escher enlas cuales se logre establecer como las transformaciones isométricascontribuyen a la construcción de dichas obras de arte. Para ello,

199

dentro de la misma presentación debe incluir links con archivossharware especializados en tesselaciones (ej. tesselmania) y tambiéncon sitios web que muestren como a partir de una o mástransformaciones isométricas se pueden construir tesselaciones y enparticular algunas pinturas de M. Escher

5. Transformaciones Isométricas y su vinculación con el MarcoCurricular Vigente Estándar 8 / Competencia 2

Analiza los Planes y Programas y los Textos de Enseñanza decirculación nacional de 3° básico a 1° medio y señala en qué nivelesse analizan los contenidos de transformaciones isométricas sus gradosde complejidad de acuerdo al nivel y establece una secuencialidad enellos. El análisis debe considerar el aspecto conceptual de cada unade las transformaciones isométricas presentes tanto en el MarcoCurricular como en los textos de Enseñanza.

Pauta para la Evaluación Clave

EVALUACION CLAVE 1

1. Estándar 8 / Competencia 1-7

2. Justificación (¿Por qué tiene que saber/hacer esto un/una profesor de segundo ciclo?):

Un(a) profesor(a) de 2° ciclo debe ser capaz de comprender lascaracterísticas que son propias de cada uno de los distintos tipos detransformaciones isométricas: traslación, rotación, simetría puntual yaxial; construirlas con regla y compás, y con software geométrico; yreconocerlas en variados contextos, tanto cotidianos como artísticos,identificando su tipo y los elementos que la generaron.

3. Pre-requisitos: (lo que los estudiantes deben saber y deben saberhacer antes de la evaluación):

Los estudiantes deben: Comprender y reconocer los conceptos de rectas perpendiculares y

paralelas, punto medio, ángulo, triángulo. saber hacer construcciones geométricas: rectas perpendiculares y

paralelas; simetral de un trazo saber a nivel de usuarios el manejo de algún software geométrico

200

4. Descripción breve de la evaluación:

Realizarán construcciones con regla y compás, y construccionesutilizando software geométrico de diferentes tipos de transformacionesgeométricas reconociendo en cada una de ellas las características quelas distinguen y diferencian. Además reconocerán dichastransformaciones en diferentes contextos del ámbito geométrico yartístico.

5. Pasos de la Evaluación (Describa los pasos de la evaluación en detalle)

Paso 1:Dadas 4 figuras en hojas blancas no cuadriculadas, los estudiantesindividualmente construirán con regla y compás según distintascondiciones, una traslación, una simetría axial, una simetría puntualy una rotación.

Paso 2:Dado un set de pares de figuras, deberán reconocer, trabajandoindividualmente, en cuáles de ellas hay una transformación isométricay de qué tipo es, fundamentando la elección indicando claramente elvector y su magnitud en el caso de la traslación, el punto de simetríaen el caso de la simetría puntual, el eje de simetría en el caso de lasimetría axial, el punto de giro y medida angular en el caso de larotación.

Paso 3:Trabajando en parejas frente a un computador con una guía deaprendizaje resuelven situaciones problemáticas de construcción detransformaciones isométricas utilizando un software geométrico yreconocen atributos propios de las traslaciones, rotaciones ysimetrías utilizando el software

Paso 4:Dada la imagen de una pintura de M. Escher que contengatransformaciones isométricas los alumnos reconocerán al menos dos tipode ella caracterizándolas completamente.

201

6. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrarsus conocimientos, habilidades, o actitudes (textos, sitios de lared, otros):

Instrumentos de construcción y medición (regla, compás ytransportador)

Internet y algunos Sitios web

202

Rúbrica de evaluación

EVALUACIÓNCLAVE 1

Insatisfactorio0 puntos

Básico3 puntos

Competente6 puntos

Destacado8 puntos

Puntos

Construcción, en hojasblancas, de unatraslación, una simetríaaxial, una simetríapuntual y una rotación;cada una con unadescripción del proceso eidentificación de loselementos básicos

Construye 1 o 2transformaciones sin descripción delproceso ni identificación de los elementos básicos

Construye las 4transformaciones sin descripción delproceso ni identificación de los elementos básicos

Construye las 4transformaciones describiendo el proceso, pero sin identificar loselementos básicos

Construye las 4transformaciones describiendo el proceso e identificando los elementos básicos en cadauna

En un set de pares defiguras, los alumnosreconocen en cuáles deellas hay unatransformación isométricay de qué tipo es,fundamentando la elecciónindicando claramente elvector y su magnitud enel caso de la traslación,el punto de simetría enel caso de la simetríapuntual, el eje de

Reconoce 1 o 2 transformaciones sin fundamentar ni indicar los elementos solicitados

Reconoce cuatrotransformaciones sin fundamentar ni indicar sus elementos

Reconoce las cuatro transformaciones, fundamenta su elección, pero no indica los elementos solicitados

Reconoce las cuatro transformaciones, fundamenta su elección e indica los elementos solicitados

203

simetría en el caso de lasimetría axial, el puntode giro y medida angularen el caso de larotación.

Cada pareja construyecuatro transformacionesisométricas, una de cadatipo, utilizando unsoftware geométrico

Construye sólo un tipo de transformaciones

Construye dos tipos de transformaciones distintas

Construye tres tipos de transformaciones distintas

Construye cuatro tipos detransformaciones distintas

En pinturas de M. Escher,los alumnos reconoceránal menos dos tipos detransformaciones,identificándolas contodos sus elementos

No identifica transformaciones

Identifica una transformación,pero no la caracteriza

Identifica dos transformaciones sin caracterizarlas

Identifica dos transformaciones y las caracteriza.

204

EVALUACION CLAVE 2

1. Estándar 8-6 / Competencia 1-2

2. Justificación (¿Por qué tiene que saber/hacer esto un/una profesor de segundo ciclo?):

Un(a) profesor(a) de 2° ciclo debe ser capaz de usar simetrías paraanalizar y resolver problemas geométricos, así como para reconocer eltipo de triángulo o cuadrilátero de acuerdo al número de ejes desimetrías presentes. Además, debe estar en condiciones de reconocer enlos planes y programas de 4° básico a 1° medio los contenidosreferidos a transformaciones isométricas, relacionarlos con losaprendizajes esperados y crear indicadores de logro de dichosaprendizajes. Esto último es una manera de que el alumno se adueñe delos conocimientos, los aprehenda y desarrolle la capacidad depreguntar al mismo tiempo que de responder.

3. Pre-requisitos: (lo que los estudiantes deben saber y deben saberhacer antes de la evaluación):

Los estudiantes deben: Comprender y reconocer los conceptos de triángulo, cuadriláteros

y sus clasificaciones y propiedades. Saber hacer construcciones geométricas: rectas perpendiculares y

paralelas; simetral de un trazo, elementos secundarios deltriángulo.

Ubicar en los Planes y Programas de estudio los contenidosreferidos a Transformaciones Isométricas y relacionarlos con losaprendizajes esperados.

Crear indicadores de logro para evaluar aprendizajes detransformaciones isométricas.

4. Descripción breve de la evaluación:

Realiza construcciones geométricas de simetrías utilizándolas para lacomprensión del tipo de clasificación de triángulos y cuadriláteroscentrada en ejes de simetría. Además analiza los planes y programas enlos tópicos referidos a transformaciones isométricas, los relacionacon los aprendizajes esperados y crean indicadores de logro para suevaluación.

205

5. Pasos de la Evaluación (Describa los pasos de la evaluación en detalle)

Paso 1:Trabajando individualmente construye la simetría axial en 4triángulos: uno equilátero, uno isósceles, uno isósceles rectángulo yotro escaleno utilizando diferentes ejes de simetría reconociendo queen algunos de esos triángulo la simetría genera una figura semejantecon el triángulo original, mencionando en forma explícita lascondiciones que se deben dar con el triángulo y el eje para que secumpla dicha condición y además estableciendo la clasificación deacuerdo a los ejes de simetría.

Paso 2:Trabajando individualmente construye la simetría axial en 5cuadriláteros: un cuadrado, un romboide, un rectángulo, un trapecioisósceles y un cuadrilátero cualquiera utilizando diferentes ejes desimetría reconociendo que en algunos de esos cuadriláteros la simetríagenera una figura coincidente con el cuadrilátero original,mencionando en forma explícita las condiciones que se deben dar con lafigura de 4 lados y el eje para que se cumpla dicha condición y ademásestableciendo la clasificación de acuerdo a los ejes de simetría.

Paso 3:En grupos de dos o tres, los alumnos desarrollan un mapa conceptualque relacione los siguientes conceptos: ejes de simetría, tipo decuadriláteros, paralelogramos, trapecios.

Paso 4:En grupos de dos o tres, los alumnos desarrollan un mapa conceptualque relacione los siguientes conceptos: ejes de simetría, tipo detriángulos.

Paso 5:En grupos de dos o tres, los alumnos analizan los planes y programasde 3° básico a 1° medio para reconocer los contenidos referidos atransformaciones isométricas presentes, los relacionan con losaprendizajes esperados y elaboran indicadores de logros paraevaluarlos

206

6. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar susconocimientos, habilidades, o actitudes (textos, sitios de la red, otros):

Libros de Texto de Enseñanza Planes y programas del subsector Educación Matemática (3° a

8°) y Matemática (1° medio) Instrumentos de construcción y medición.

207

Rúbrica de evaluación

EVALUACIÓNCLAVE 2

Insatisfactorio0 puntos

Básico3 puntos

Competente6 puntos

Destacado8 puntos Puntos

Construye simetría axial en cuatro triángulos: equilátero, isósceles, rectángulo isósceles y escaleno. Reconoce que en alguno de ellos el eje de simetría generan dos triángulos semejante al original. Establececlasificación de acuerdo a la cantidad de ejes desimetría

No construye simetrías

Construye las cuatro simetríaspero no clasifica ni reconoce condiciones parala semejanza

Construye las cuatro simetrías, clasifica los triángulos pero no reconoce condiciones de semejanza

Construye las cuatro simetrías, clasifica los triángulos y reconoce condiciones de semejanza

Construye simetría axial en cinco cuadriláteros: cuadrado, romboide,trapecio isósceles y cuadrilátero cualquiera.

No construye simetrías

Construye las cinco simetrías pero no clasifica ni reconoce condiciones parala semejanza

Construye las cinco simetrías,clasifica los cuadriláteros pero no reconocecondiciones de semejanza

Construye las cuatro simetrías, clasifica los cuadriláteros y reconoce condiciones de

208

Reconoce condiciones para que la simetría genere figuras semejantes al cuadrilátero original. Clasificalos cuadriláteros respecto al número de ejes de simetría

semejanza

Desarrolla dos mapas conceptuales,uno que relaciona los conceptos ejes de simetría, tipos de cuadriláteros, paralelogramos y trapecios, y el otro que relaciona los conceptos ejes de simetría y tiposde triángulos

No desarrolla ningún mapa conceptual coherentemente

Desarrolla un mapa conceptual simple

Desarrolla los dos mapas conceptuales simples

Desarrolla los dos mapas conceptuales haciendo relaciones complejas

Analiza los Planes y Programas de 3° básico a 1° medio identificando los contenidos y aprendizajes esperados referidosa transformaciones isométricas, los

No analiza los Planes y Programas o no identifica los contenidos ni aprendizajes esperados referidos a transformaciones

Reconoce e identifica en los Planes y Programas, los contenidos y aprendizajes esperados referidos a transformaciones

Relaciona los contenidos referidos a transformacionesisométricas con los aprendizajesesperados

Relaciona los contenidos referidos a transformacionesisométricas con los aprendizajesesperados y creaun indicador de logro para cada

209

relaciona y crea indicadores de logro para cada unode los aprendizajesesperados

isométricas isométricas aprendizaje esperado

210

VI. Puntuación de los Trabajos para la evaluación:Puntos:

1. Evaluación clave 1 32 (Estándar 8 / Competencia 1 – 7)

2 Evaluación clave 2 32 (Estándar 8 – 6 / Competencia 1 – 2)

Total 64 puntos

211

Asignatura: Didáctica de los sistemasnuméricos.Autor(a) / Universidad: Raimundo Olfos / P. U.Católica de ValparaisoHoras presenciales por semana: 2 horas teóricas, 2 horasprácticasHoras requeridas del alumno por semana afuera del aula: 4 horas

Nuestra Visión Profesor Especialista para el Segundo CicloBásico

El Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de EducaciónBásica es un profesional con sólida formación pedagógica ydisciplinaria, en al menos un sector de aprendizaje, conautonomía para tomar decisiones informadas. Ejerce unapráctica reflexiva y utiliza la investigación paradesarrollar las competencias que le permitenresponsabilizarse de los procesos y resultados de suenseñanza. En colaboración con la familia y comunidad, secompromete con el logro de aprendizajes que potencien eldesarrollo psicosocial, intelectual y moral de estudiantespreadolescentes. Participa en acciones de cooperaciónprofesional asociadas al mejoramiento de la calidad de laeducación que ofrece su institución escolar

I. Estándares y Competencias del perfil de egreso,relacionados al curso:

Los siguientes estándares y las siguientes competenciastienen un énfasis principal en este curso:

Estándar 1:Comprende los conceptos de número natural y entero, comoabstracción de las cantidades discretas, y los distinguede sus formas de representación.

212

Justifica procedimientos y estrategias de cálculoaritmético, y propiedades del orden y de las operacionescon números naturales y enteros a partir de propiedadesevidentes de los números y de sus sistemas derepresentación.

Resuelve problemas referidos a cantidades discretas ymagnitudes negativas, haciendo uso eficiente del orden,las operaciones, las propiedades de las operaciones, elvalor absoluto, las ecuaciones, las inecuaciones, yherramientas tecnológicas, según las condiciones dadas y elmodelo que construya de la situación.

Diseña desafíos y problemas referidos a situaciones deorden, conteo, aditivas, multiplicativas, de divisibilidady restos ligadas a contextos de los programas oficiales desegundo ciclo de distintos sectores curriculares, en losque se utilice operaciones, ecuaciones, inecuaciones y engeneral propiedades de los números naturales o enteros.

Estándar 3:Comprende los significados asociados a las fracciones y elconcepto de número racional como elemento de un conjuntocuociente, distinguiendo sus diferencias y similitudes.Reconoce los números decimales como aquellos racionales quese expresan por fracciones cuyo denominador es unapotencia de diez. Reconoce las expresiones o desarrollosdecimales finitos y periódicos como una forma derepresentación de los números racionales, alternativa a lasfracciones, que facilita los cálculos de las operacionesaritméticas. Comprende la existencia de cantidadesinconmensurables, e identifica los números irracionales conlas expresiones o desarrollos decimales infinitos noperiódicos. Reconoce en las distintas formas derepresentación de los números una complejidad conceptualque se constituye en un obstáculo didáctico.

Reconoce las propiedades del orden y de las operaciones,incluyendo potencias y raíces, en los números decimales,racionales e irracionales, y las visualiza bajo lasdistintas formas de representación, incluyendo esquemas y

213

gráficos, de estas categorías de números. Fundamenta losprocedimientos de cálculo a partir de las formas derepresentación de los números. Resuelve problemas asociadosa fenómenos naturales y sociales a partir de la modelaciónde situaciones referidas a diferencias y razones entremedidas, mediciones y particiones, repartos yfraccionamientos, equivalencia de fraccionamientos,cuocientes y restos, pendientes, escalas, semejanza,porcentajes, tasas y variaciones proporcionales,probabilidades, medidas grandes y pequeñas, redondeos,aproximaciones, estimaciones, uso de calculadora yalgoritmos operatorios, y uso de estrategias de cálculo;para lo cual utiliza números irracionales, el sistema delos números racionales y diferentes registros derepresentación, incluyendo expresiones fraccionarias,decimales finitas, infinitas periódicas y no periódicas, ypotencias con exponente entero.

Diseña, selecciona y resuelve situaciones problemasasociadas a distintas disciplinas, en el marco de losprogramas de estudio de segundo ciclo básico, usandofracciones, decimales y porcentajes.Competencia 2, Eje 2:Comprende el marco curricular nacional y los mapas deprogreso para el sector curricular que enseña y utilizaeste conocimiento para planificar su enseñanza.

Competencia 3, Eje 2: Planifica secuencias de enseñanza y evaluación quecontemplan la lógica de los contenidos y el proceso deaprendizaje, considerando en sus actividades y en laevaluación de estas, los procesos cognoscitivos.

Competencia 6, Eje 2:Selecciona y diseña recursos y situaciones de aprendizajepertinentes para presentar ideas y conceptos disciplinariosa sus estudiantes en el nivel que enseña.Competencia 7, Eje 2: Planifica la enseñanza en colaboración con otros profesionales para organizar experiencias de aprendizaje interdisciplinarias que permiten a los estudiantes integrar

214

el conocimiento, destrezas y métodos de investigación de diversos sectores de aprendizaje.Competencia 10, Eje 2:Conoce los principios didácticos que le permiten unagestión eficiente y efectiva en el aula para optimizar eltiempo dedicado al aprendizaje..

Los siguientes estándares y las siguientes competenciastienen un énfasis secundario en este curso:

Estándar 2:Comprende los conceptos de número natural y entero, comoentes formales cuyas propiedades están dadas por losaxiomas y las proposiciones que se deducen de ellos.

Comprende la estructura deductiva de los sistemas denúmeros naturales y enteros; reconoce las propiedades deestos sistemas y es capaz de explorar y deducir algunaspropiedades en el marco de la teoría de números y de laestructura de anillo de los números enteros.

Organiza, planifica y diseña actividades y secuencias deenseñanza que favorecen la comprensión y uso de losmúltiplos, los divisores la descomposición en factoresprimos, la divisibilidad, las potencias y productos comoiteraciones, la representación de grandes y pequeñosnúmeros, y la estimación y el redondeo de lo, comotambién, a los números enteros, sus operaciones, orden yvalor absoluto, atendiendo a los obstáculos didácticosasociados a estos conceptos, a las orientaciones didácticasde los programas oficiales del segundo ciclo y a losenfoques cognoscitivos actuales de los aprendizajes.

Estándar 4:Comprende el concepto de número racional, como ente formalcuyas propiedades están dadas por su definiciónconstructiva y las proposiciones que se deducen de ellos.

Comprende la estructura deductiva del sistema de losnúmeros racionales, reconoce sus propiedades como cuerpoordenado y es capaz de explorar y deducir algunaspropiedades en el marco de la estructura del cuerpo

215

cuociente construido desde el anillo de los númerosenteros. Organiza, planifica y diseña actividades y secuencias deenseñanza que favorecen la comprensión y utilización de losnúmeros irracionales y del cuerpo ordenado de losracionales, en situaciones referidas a fracciones demedidas, particiones, reparto, ubicación en la recta,equivalencia de fracciones, expresiones decimales infinitasperiódicas y no periódicas, redondeos, aproximaciones,estimaciones, operaciones entre racionales, cálculos conalgoritmos estándares, uso de estrategias de cálculo, usode calculadora, lectura y escritura de números racionales,divisores, restos, potencias, medidas grandes y pequeñas,exponentes enteros incluyendo negativos; atendiendo a losobstáculos didácticos asociados a estos conceptos, a lasorientaciones didácticas de los programas oficiales decuarto básico a primero medio, y a los enfoquescognoscitivos actuales de los aprendizajes.

Estándar 5:Comprende de manera intuitiva los números reales como completación delos racionales, a partir de los desarrollos decimales infinitos y elmodelo de la recta numérica, disponiendo de herramientas conceptualesy procedimentales para la resolución de problemas y la interpretaciónde fenómenos referidos a magnitudes continuas, teniendo en vista laorganización de su enseñanza.

Comprende los números complejos como producto cartesiano delos reales en el plano, a partir del cual se define unaoperatoria útil, de tipo vectorial que permite resolversituaciones problemas.

Competencia 1, Eje 2: Comprende con adecuada amplitud y profundidad lasdisciplinas del sector de aprendizaje educación matemáticaque es responsable de enseñar.

Competencia 4, Eje 2: Comprende el amplio rango de procedimientos evaluativos ylos usa para monitorear el avance y logro de las metas deaprendizaje.Competencia 5, Eje 2:

216

Utiliza los resultados de las evaluaciones pararetroalimentar a los educandos y ajustar susplanificaciones y estrategias didácticas

Competencia 10, Eje 2: Promueve un ambiente propicio para el aprendizaje,estableciendo y manteniendo normas consistentes yconsensuadas de disciplina en el aula que potencian eldesarrollo social de los educandos para la vida en unasociedad democrática

II. Aprendizajes esperados (aprendizajes claves para ellogro de los estándares y las competencias):

Conceptuales

Relaciona el aprendizaje de los números en el segundociclo básico con el desarrollo de la habilidad pararesolver problemas, la capacidad argumentativa y laautonomía personal para la toma de decisiones, entreotras.

Identifica diferencias entre el saber matemático de lossistemas numéricos y el saber escolar referido a losnúmeros.

Reconoce y analiza conceptos erróneos respecto a losnúmeros que dificultan el aprendizaje de nuevoscontenidos, y diseña y planifica estrategias deintervención para remediar esta situación;

Analiza los conocimientos y aprendizajes previos quepermiten instalar un conocimiento específico de losnúmeros, sus operaciones y propiedades.

Reconoce que el trabajo en aula exige la elaboraciónde un objeto de enseñaza considerando un contenidomatemático, condiciones para su enseñanza y el nivelcognitivo y social del alumnado.

Describe el rol del análisis a priori, de laexperimentación del análisis a posteriori, yconfrontación de los análisis, con respecto a lasactividades de aula.

217

Identifica las características de las situaciones a-didácticas y el rol de las mismas en el proceso deaprendizaje.

Caracteriza la actividad de institucionalización comola tarea indelegable del profesor que consiste enredactar los conocimientos obtenidos a partir de lasactividades de aula y que los alumnos deberán retenery apropiarse.

Identifica criterios, focos y preguntas relevantespara el análisis de textos escolares y sitios WEBeducativos.

Reconoce en el análisis de textos la importancia depreguntas como ¿Cuál es el sentido matemático de losproblemas en cuestión?, ¿Tienen los problemas unaimportancia extra-matemática: en una dimensiónutilitaria, o en relación con los objetivostransversales tratados en el curso?

Caracteriza las modalidades de “trabajo en equipoorientado”, apoyado por el profesor en los procesos yen la elaboración de productos, y el “trabajo autónomode equipos”, en el cual los alumnos se haceresponsables de la producción.

Caracteriza la modalidad de trabajo “taller”, en elcual se privilegia la metodología del debate.

Describe la metodología del debate como la fase finalde un trabajo en equipos, durante la cual éstosexhiben las estrategias que han utilizado pararealizar la tarea pedida.

Describe la metodología de trabajo en binomio como unaestrategia de análisis compartido entre pares dealumnos de situaciones problemas.

Caracteriza las situaciones a-didácticas y didácticasde Brousseau con sus fases de acción, formulación yvalidación, como también la pertinencia de ellas parafavorecer el aprendizaje de nuevos conceptos en losalumnos.

Muestra ejemplos de formas de uso de los computadoresen la enseñanza, como por ejemplo el uso del softwareSWP en la resolución de ecuaciones e inecuaciones obien el uso de Applet disponibles en Internet para eltrabajo con las fracciones.

Muestra el uso de las calculadoras para trabajar en elaula problemas con cambio de monedas o para confirmarestimaciones.

Procedimentales

218

Elabora una mini ingeniería didáctica que incluye unanálisis a priori de las actividades, experimentaciónen el aula, procesamiento de los resultados enprotocolos, análisis a posteriori de los resultados, yconfrontación de los análisis.

Diseña planificaciones de clases referidas a losnúmeros racionales y enteros.

Establece una secuencia entre los distintos contenidosde los números racionales, decimales y enterosseñaladas en los Planes y Programas de 5° básico a 8ºAño.

Construye una situación didáctica que muestra lasventajas del sistema decimal como sistema derepresentación sobre otros sistemas: dígitos, base yvalor de posición.

Elabora una situación de aprendizaje sobre medición detiempo y la vigencia del sistema binario.

Construye una situación referida al crecimiento ydecrecimiento exponencial, en la cual se usacalculadora y se identifica la variación de la razónde cambio.

Construye situaciones que facilitan la distinciónentre múltiplos y divisores, la descomposición enfactores primos y los criterios de divisibilidad para2, 3, 5, 9, y 10.

Prepara una situación a-didáctica referida a laescritura de los números en instrumentos bancarios ycomerciales y discute desde un punto de vistadidáctico el uso de recortes de periódicos.

Construye una actividad de institucionalizaciónreferida a la descomposición de un número en factores,evidenciando que todo número tiene descomposiciónúnica.

Elabora situaciones que exigen a los alumnosvalidación y demostración de propiedades aceptando lasverificaciones heurísticas en los niveles de 5º y 6ºbásico, y validaciones a partir de propiedades desdeséptimo básico.

Diseña y construye actividades de aprendizaje quepermitan al alumno de básica relacionar conceptos,plantear procedimientos y conjeturas referidas a losracionales.

Diseña actividades de aprendizaje que favorecen elrazonamiento numérico, la elaboración de conjeturasacerca de las propiedades de los números y susrelaciones conceptuales y la resolución de problemas.

Discute la pertinencia y relevancia del uso deanalogías como los amigos de mis enemigos son misenemigos, multiplicar por -1 corresponde a un giro en

219

180°, condonar una deuda equivale a dar dinero, parafacilitar la comprensión matemática.

Analiza en textos escolares el lenguaje que aparece enrelación a las fracciones: el concepto de fracción, denúmero racional, de razón y de fraccionamiento,Distinción entre una fracción y el valor de la misma.

Discute sobre el significado de “número decimal” enlos textos escolares y programas de estudio,distinguiendo el número decimal como elemento de unsistema numérico del decimal con coma, como undesarrollo en el sistema de numeración decimal.

Propone el mejoramiento de un texto a partir de unacolección de críticas constatadas, por medio de laproposición de actividades con el fin de remediar ladebilidad focalizada, probándola en clases conalumnos.

Analiza textos escolares de matemática para segundo.ciclo y evalúa la pertinencia de las actividadespropuestas, relacionadas con los números.

Elabora un ensayo sobre la forma de enseñar a hacercálculos de adición y sustracción de númerosdecimales.

Organiza y pone a prueba una actividad de debate comofase final de un trabajo con alumnos en aula;planteando cuatro fases principales durante la sesión:lectura del problema, trabajo grupal en la que seconstruye un afiche, debate del mismo y síntesis delprofesor.

Elabora un informe de experimentación con binomios enactividades que extiendan el sistema de numeración adecimos, centésimos y milésimo en situaciones quepermitan leer, escribir e interpretar númerosdecimales, establecer equivalencias, y estudiarfamilias de números decimales.

Prepara una actividad de taller en el laboratorio decomputación con el software SWP para la resolución deecuaciones e inecuaciones, usando las propiedades dela desigualdad.

Diseña pruebas escritas que estén orientadas a lacomprensión, la aplicación y la utilidad de loaprendido respecto a los números racionales,irracionales y enteros, sus pautas de corrección y, sicorresponde, la rúbrica y escala de calificación;

Actitudinales

220

Desarrolla su autoestima y la confianza en su trabajopara organizar una actividad pedagógica que propicieaprendizajes de buena calidad, en conformidad al marcopara la buena enseñanza.

Aprecia el aporte de la matemática escolar en laconsecución de los Objetivos FundamentalesTransversales, especialmente aquellos referidos adesarrollar el pensamiento reflexivo, una actitudética en relación a la protección del medio ambiente,género y al respeto a la diversidad.

Valora los aportes de Euclides, Eudoxio y Peano en laconstrucción de los principales sistemas numéricos.

Valora la importancia de los sistemas numéricos ysistemas de numeración en la enseñanza básica y media.

III Lecturas sugeridas:

Lecturas obligatorias :

Brousseau, G. (1986): “Fondements et methods de laDidactique des Mathématiques”, Vol. 7, N° 2, EdRDM, Francia.

Chamorro M. del C. et alli: (2003). Didáctica delas Matemáticas. Prentice Hall. Madrid. España.

Eggen, P. & Kauchak, D. (1999): “Estrategiasdocentes: Enseñanza de contenidos curriculares ydesarrollo de habilidades de pensamiento”, Ed.F.C.E., Buenos Aires, Argentina.

Guzmán, I. (2000) Apuntes curso “Didáctica de lasMatemáticas” Programa de Magíster en Enseñanza delas Ciencias Mención Didáctica de la Matemática,Universidad Católica de Valparaíso.

MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática,Quinto año básico”, MINEDUC, 2da ed.

MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática,Sexto año básico”, MINEDUC, 2da ed.

MINEDUC (2004) “Programas de estudio EducaciónMatemática, Séptimo año básico”, 2da ed.

MINEDUC (2004) “Programas de estudio EducaciónMatemática, Octavo año básico”, 2da ed.

Vergnaud Gèrard : (1996) The theory of ConceptualFields. En “Theories of Mathematical Learning”.

221

Awrence Eribaum Associates, Publishers. Mahwah, NewJersey.

Voigt Jörg: (1996). Negotiation of Mathematicalmeaning in Classroom processes: social interactionsand learning mathematics. En “Theories ofMathematical Learning”. Awrence Eribaum Associates,Publishers. Mahwah, New Jersey.

Textos Complementarios

Bishop, Alan: (1988). Enculturación Matemática. Laeducación matemática desde una perspectivacultural. PAIDOS. Barcelona. España

Cobb, P. (1996). “Emergent and Sociocultural Viewsof mathematical activity”. En “Theories ofMathematical Learning”. Awrence Eribaum Associates,Publishers. Mahwah, New Yersey.

Chamorro M. del C.: (1991). El AprendizajeSignificativo en el área de las Matemáticas.Alambra Longman. Madrid. España

Chevallard, Y. (1991) : “La transpositionDidactique”, Ed La Pensée Sauvage, Francia

Gálvez, G. y Figueroa, A. (2000):”Para multiplicary dividir”. Cuaderno del alumno. Programa de las900 escuelas. Ministerio de Educación. Santiago deChile.

Gálvez, G. y Navarro, S. (1989): “Proporcionemosinstrumentos para el trabajo en el aula”.OREAL/UNESCO.

Guzmán, I. (2000) Apuntes curso “TransposiciónDidáctica” programa Magíster en Enseñanza de lasCiencias Mención Didáctica de la Matemática,Universidad Católica de Valparaíso.

Meirieu, PH. (1991) : “Rapport entre projetpersonnel de l` eleve et l`apprentissage”. En:Bulletin de l`ACOF, Nº 330, (pp. 73-80).

Notario, A. Et allí: (1997). Mapas Conceptuales.Narcea. /ma. Edición. Madrid. España.

Olfos, R. (2002) Axiomática y Fenomenología de losnúmeros. Ed. Vicerrectoría Académica. Universidadde La Serena.

222

Riveros, M.; Zanocco, P.: (2002). ResolverProblemas matemáticos: una tarea de profesores yalumnos. Ed. P.U.C. de Chile. Santiago de Chile

Yackel, Erna: (1996) Social Interaction andIndividual Cognition. “Theories of MathematicalLearning”. Awrence Eribaum Associates, Publishers.Mahwah, New Jersey.

IV Otros Recursos:

http://descartes.cnice.mecd.es/indice_ud.php

V. Trabajos del alumno y su relación con el logro de estándares ycompetencias. (Indique las principales actividades que el cursorequerirá del alumno para lograr los estándares y competencias delperfil de egreso)

1. Análisis de la secuencia de actividades que introduce un concepto en un texto Competencia 2

Elabora un informe, en conformidad a los siguientesrequerimientos Elige un texto escolar de matemáticas de segundo ciclo

básico y en él tres a cuatro páginas referidas a laintroducción de un concepto. Identifica losaprendizajes esperados del programa oficial, vinculadosal concepto elegido.

Identifica la meta de aprendizaje de las actividadesdel texto que someterá al análisis y establece laspreguntas que guiarán el análisis de las páginas deltexto.

Responde a las preguntas planteadas, incorporaevidencias que avalan su interpretación ante laspreguntas y emite una conclusión con respecto a lacalidad del texto.

La evaluación del trabajo se centrará en la calidad delas preguntas planteadas y la concordancia entre lasrespuestas a esas preguntas y las evidencias que avalansus respuestas.

Pauta para la Evaluación Clave

223

Se contemplan dos evaluaciones claves: Un informe referido a la construcción de una situación problema y una planificación de una secuencia de enseñanza.

Evaluación clave 1.

1. Estándar 1 y 3 , Competencia 2, 3 y 6 /Eje 2

2. Justificación: La enseñanza de la matemática en Chile se caracteriza por actividadesde aprendizaje repetitivas, bajo las cuales los alumnos adquierendestrezas reducidas para resolver problemas de manera algorítmica. Losprofesores no disponen de modelos de actividades abiertas o desituaciones que pongan en juego los saberes de los alumnos para llegara una situación de conflicto desafiante que requieran superar parallegar a un nuevo conocimiento. Se espera que los alumnos, profesoresen formación, ganen destreza en la elaboración de estas actividadesdesafiantes y que se acreciente un banco de datos con actividades deesta naturaleza.

3. Pre-requisitos:El profesor debe reconocer los conceptos más importantesque debe dominar un alumno de segundo ciclo básico enrelación a los números. Además, debe identificar larelación entre estos saberes y los conocimientos quedemanda poner en juego para su aprendizaje.

4. Descripción breve de la evaluación:Esta evaluación se aplica a un informe que describe una situaciónproblema, el proceso de validación de la situación y las condicionespara su aplicación.

5. Descripción en detalle de los pasos de la evaluación.

Paso 1: Formulación del Problema y análisis preliminarCompetencia 3 y 6.

El profesor en formación debe formular un problema queesté a nivel de alumnos de Enseñanza Básica, peroa la vez les ofrezca un desafío de modo que seinteresen por abordarlo, aunque no puedan resolverlopor completo. .

El profesor debe realizar un análisis preliminar entérminos de los conocimientos a desarrollar. El

224

problema tendrá por objeto favorecer el desarrollo deun nuevo conocimiento, poniendo en juego conocimientosprevios hasta llegar a un momento en que no es posiblesolucionarlo con los saberes anteriores y surja lanecesidad de crear un nuevo conocimiento con estaintencionalidad. El análisis preliminar identifica deesta manera los saberes en juego, el obstáculopresente en el problema y las características delnuevo saber ideado.

Paso 2: Experimentación del problema Competencia 3 y 6 Incluye un análisis a priori que consistirá en

identificar las posibles respuestas esperadas de losalumnos y un informe de la puesta en escena delproblema con un grupo curso o un grupo de alumnos delnivel.

Paso 3: Análisis a posteriori. Informe de caminos seguidos porlos alumnos Competencia 3 y 6 Se elabora un informe que contenga:

Un análisis de las respuestas de los alumnos alproblema en términos de la matemática presente en lassoluciones.

La codificación de los comportamientos de los alumnosante el problema

Un análisis de los resultados de la aplicación delproblemas

Paso 4: Contrastación de los análisis y conclusionesCompetencia 3 y 6.

Se elabora un informe final donde se presente: Una contrastación de los análisis a priori y a

posteriori. Un juicio acerca del nivel de logros del objetivo

para el cual se planteó el problema. Los alcances en torno al problema derivados de la

experimentación. Recomendaciones para la modificación o adaptación del

problema para una circunstancia de aplicaciónsimilar.

225

6. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedanmostrar sus conocimientos, habilidades, o actitudes(textos, sitios de la red, otros):

Los alumnos dispondrán de ejemplos de situacionesproblemas en la Web. Además dispondrán de las rúbricasde evaluación, lo que les permitirá orientar el avancede su trabajo.

RúbricasCriterio Insuficie

nte0

Básico3

Competente6

Destacado8

Ptos

Características del problema y del análisispreliminar

El problema pone en juego los saberes previos, pero no conduce al aprendizaje esperado.

El problema pone en juego los saberes previos, pero no presenta un desafío. a los alumnos

El problema pone en juego conocimientos previos y propone un desafío paraalcanzar un nuevo conocimiento

El problema pone en juego conocimientos previos, propone un desafío paraalcanzar un nuevo conocimiento

8

Análisis a priori y puesta en escena del problema

No identifica con claridadlos posiblescaminos a tomar por los alumnos.Los alumnos no se involucran en el problema

Identifican las posiblesvías, pero no especifica el camino que conduce al obstáculoen juego. Algunos alumnos se involucran

Identifica las posiblesvías y en particular la que conduce al obstáculo previsto. La mayor parte de losalumnos se involucra, pero poco salvan el obstáculo

Identifica las posiblesvías, incluyendo la que conduce al obstáculo. La mayor parte de losalumnos se involucra y salva el obstáculo, mostrando aprendizaje.

8

Análisis a posteriori

La codificaciónno da información,ya que los alumnos no se involucran en la actividad propuesta

Algunos alumnos se involucran, pero la codificaciónno favorece la recolección de información

Se codifica la información obteniéndoseresultados dispersos a partir de lamisma.

Codifica la información,ajustándose claramente al modelo propuesto y verificándose aprendizajes

4

Contraste análisis a priori y a posteriori

No presenta adecuadamente el contraste entre el

Presenta el contraste, aunque de manera difusa. No

Expresa con claridad el contraste, da evidencias

Expresa con claridad el contraste, da evidencias

8

226

análisis a priori y a posteriori, lo cual limita todo intento de ofrecer comentarios o sugerencias.

provee sugerencias claras para mejorar la situación pese a sus evidentes limitaciones.

de las limitacionesde la situación y sugerencias para mejorar

de los aciertos y provee sugerencias para el buenfuncionamiento en contextos similares.

Evaluación clave 2.

o Estándar 1 y 3 , Competencia 3, 6 y 7.

2. Justificación: La planificación de secuencias de enseñanza es una actividadclave para mejorar la calidad de la enseñanza y aumentar lasprobabilidades de éxito de los nuevos docentes en el sistemaescolar. La planificación de clases ayuda al profesor acontrolar la actividad de aula y generar una actividadverdaderamente de interés y utilidad para los alumnos. Laimprovisación debido al poco tiempo que dedican los docentes ala planificación y falta de hábitos para ello lleva a clases sinn norte fijo en las cuales poco se logra en atención a losaprendizajes de calidad que se espera que alcancen los alumnosen el sistema educativo. La planificación no es una actividadgenérica, cada tema es peculiar y exige del docente unapreparación puntual. En particular, para la enseñanza de losnúmeros el docente debe planificar las clases atendiendo adistintas categorías de aprendizaje, desde los más rutinarioscomo memorización de las tablas hasta los más complejos quepermiten al alumno diferenciar un número irracional de surepresentación.

3. Pre-requisitos:Antes de realizar esta evaluación, los profesores en formaciónson capaces de: distinguir aprendizajes matemáticos rutinarios,como los algoritmos de operación, de aprendizajes complejos comoel reconocimiento de los sistemas de numeración y de los sistemasnuméricos con sus propiedades y usos como modelo en contexto.

4. Descripción breve de la evaluación:

227

El informe de la planificación de una secuencia de enseñanzaincluye tres informes preliminares; estos se refieren a: launidad del programa a tratar, las propuestas de dos textos sobreel tema, y los conocimientos previos de los alumnos para loscuales se propone la planificación. La planificación debecontener los aprendizajes esperados, la descripción detallada delas actividades de aprendizaje con los recursos a utilizar enmarcos de tiempo preasignados, los recursos complementarios paralos alumnos con mayor dificultad y más aventajados, lasactividades de evaluación que permiten identificar los logros deaprendizajes de los alumnos con sus respectivas especificacioneso rúbricas para el evaluador.

5. Describa los pasos de la evaluación en detalle

Paso 1:Informes preliminares acerca del tratamiento en los programas de estudio y en dos textos escolares de los contenidos a tratar en la unidad a planificar.

La primera sub-etapa será elegir los temas a tratar y los correspondientes aprendizajes esperados,

Luego se emite un informe que identifica las tareas propuestas a los alumnos, tanto en los programas como en dostextos para el logro de los aprendizajes esperados en la unidad.

Se incluye en el informe los márgenes temporales en los que se ubican estos aprendizajes según los programas y las actividades de evaluación propuestas en el programa y los textos para verificar los logros de aprendizaje.

Paso 2:Informe preliminar acerca de los conocimientos previos que seesperaría que pongan en juego los alumnos durante laimplementación de la secuencia de aprendizaje:

Antecedentes institucionales, en términos de lascaracterísticas socioculturales del establecimiento:características de los hogares de los alumnos,establecimiento de origen,

Procedimientos de selección e historial de deserción en elestablecimiento, antecedentes sobre rendimiento en pruebasnacionales como SIMCE y PSU.

Opinión del profesor acerca del curso, registros en el librode clases con respecto a rendimiento e interés por aprender

228

Descripción de los conocimientos previos que los alumnospodrán en juego, a partir del análisis de un par decuadernos de alumnos del grupo curso, para el cual se suponese elabora la planificación.

Paso 3:Planificación de la unidad propiamente tal:

Identificación de los aprendizajes que los alumnos debieranlograr durante la unidad.

Identificación breve de las actividades a proponer a losalumnos y de las explicaciones acerca de cómo estasactividades favorecen el logro de los aprendizajesesperados.

Descripción breve del rol del profesor y de los alumnosdurante las distintas fases del proceso y de los tiemposasignados a las distintas fases.

Análisis crítico de las actividades propuestas en términosde los conocimientos previos que se ponen en juego durantelas distintas fases del proceso, caracterización de lasactividades en términos del nivel de dificultad y rol queestas juegan, como actividades de familiarización con elcontenido, de desafío para la resolución de un problemanuevo que no es posible resolver fácilmente con los esquemasdisponibles hasta el momento por el alumno, actividades dereforzamiento que buscan consolidar los conocimientos nuevosde los alumnos.

Inclusión de actividades diferenciadas para alumnos condificultad y para alumnos aventajados.

Paso 4:Verificación de la calidad de l planificación: Inclusión de actividades de evaluación o auto-evaluación

que corroboran el nivel de aprendizaje alcanzado por losalumnos

Especificación de los indicadores de logro, en términos derúbricas o porcentajes de respuestas correctas a preguntassimples.

Juicio con respecto a la importancia relativa de losaprendizajes esperados en el contexto de los objetivosfundamentales del programa y al nivel cognitivo asociado alas tareas y aprendizajes involucrados en la unidad deaprendizaje propuesta.

229

6. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus conocimientos, habilidades, o actitudes (textos, sitios de la red, otros):

Los alumnos dispondrán de material de apoyo con respecto alos elementos que debe tener una planificación, de ejemplos de planificaciones en el sitio Web del curso, de los programas de estudio y de variados textos escolares enbiblioteca para avanzar en sus trabajos..

Los alumnos dispondrán de indicaciones escritas para la elaboración de la unidad y de los criterios que se usarán para la evaluación de sus producciones.

Rúbricas

Criterio Insuficiente0

Básico3

Competente6

Destacado8

Ptos

Aprendizajes esperadosen los programas ytextos

.A lo más identificalos aprendizajes esperados y las tareas asociadas en el programas y un texto, pero no los vincula con el tiempo requerido para lograrlas,ni describe las actividades que permiten

Identifica los aprendizajes esperados ylas tareas del programa y de dos textos para conseguirlos

No realiza vínculos entre ellas, ni desprende del programa el tiempo para las fases de la unidad.

Describe las actividades de evaluación del programa y de los textos pero no las justifica

Identifica losaprendizajes esperados ylas tareas delprograma y de dos textos para conseguirlos

Desprende del programa los márgenes temporales para la consecución delos aprendizajes

Describe acertadamente actividades de evaluacióndel programa yde los textos para verificar los logros

Identifica claramente los aprendizajesesperados ylas tareas del programay de dos textos para conseguirlos

Especifica acertadamente los márgenes de tiempo requeridos conforme a los programas y las actividades de evaluación propuestas por los programas y textos para la consecución de los aprendizajesen juego.

8

230

evaluar los aprendizajes esperados.

. de aprendizaje

Características de losalumno y del medio

No caracteriza los aspectos socioculturales, delalumno, niel compromisodel colegio por el aprendizaje del alumno

No caracteriza con claridad los aspectos socioculturales, delalumno, o bien el compromisodel colegio por el aprendizaje del alumno

Caracteriza aspectossocioculturales, delalumno.

Identificael compromisodel colegio por el aprendizaje del alumno

Caracteriza aspectos socioculturales, académicos y psico-afectivosdel alumno.

Identifica exigenciay compromiso del colegio por el aprendizaje del alumno

8

Aprendizajes esperadosy actividadespropuestas en la secuencia de enseñanza

No Identifica los aprendizajes o las actividadesa desarrollar,

No es claro el

Identificaaprendizajes y actividades, pero nolos relaciona adecuadamente.

Identifica el rol

Identifica los aprendizajes y las actividadesasociadas aesos aprendizajes.

Identificael rol de

Identificaaprendizajes a desarrollar, las actividades y sus relaciones.

Caracteriza cada

16

231

rol de lasactividades.

No son claros losroles del profesor ydel alumno

de lasactividades. peronoprofundiza en ladescripción.,

No describe claramente los roles delprofesor y del alumno

lasactividades. Ydescribeal menosunapropiedadde cadauna. .

Describe los roles del profesor ydel alumno

actividad(su ubicación, su función, su relevancia).

Describe claramente el rol del profesor y del alumno

Evaluación de los aprendizajes.

Indicadoresy niveles cognitivos exigidos por las actividadesde evaluación

No propone evaluaciones o bien no sonclaras las actividades de evaluaciónpropuestas.

Incluye actividades de evaluación. relativamenteclaras.

Pero la especificación de los indicadores está ausente o bien no es adecuada.

Presenta evaluación e indicadores adecuados a los aprendizajes.

Pero no hace distinciones con respecto aqué es lo más importante.

Presenta evaluación eindicadores adecuados a los aprendizajesesperados.

Clarifica elnivel cognitivo asociado a las distintas tareas.

8

VI. Puntuación de los Trabajos para la evaluación:

Puntos: 1. Informe “Análisis de secuencia de actividades que introduce un concepto en un texto 16

232

2. Informe: Elabora y valida un: problema abierto (Evaluación clave 1,Competencias 3, 7 y 10. Estándar 1 y 3)283. Informe “Planificación secuencia de enseñanza” Evaluación clave 2,Competencias 3, 6 y 7. Estándar 1 y 3)40

4. Informe “Actividad de evaluación de un aprendizaje 16

Total de puntos: 100

Asignatura: Estadísticay Probabilidad.Autores: Salim Elal Olivero, Manuel Barahona Droguett Universidad de Atacama Horas presenciales por semanas: 5Horas requeridas del alumno por semana fuera del aula: 10

.

Visión del Profesor Especialista para el Segundo Ciclo deEnseñanza Básica El profesor especialista para el segundo ciclo deEnseñanza Básica es un profesional con sólida formaciónpedagógica y disciplinaria en, al menos, un sector delaprendizaje, con autonomía para tomar decisiones informadas.Ejerce una práctica reflexiva y utiliza la investigación paradesarrollar las competencias que le permiten responsabilizarsede los procesos y resultados de su enseñanza. En colaboracióncon la familia y comunidad se compromete con el logro deaprendizajes que potencien el desarrollo psicosocial,intelectual y moral de estudiantes preadolescentes. Participa enacciones de cooperación profesional asociadas al mejoramiento dela calidad de la educación que ofrece su institución escolar.

ALINEACION CON ESTANDARES Y COMPETENCIAS.

233

I. Estándares y Competencias del Perfil de Egresorelacionados al curso.

El curso, sus expectativas de logro, lo que se le pide alalumno hacer, y las evaluaciones, han sido alineadas conlos estándares y competencias del perfil de egreso para laformación inicial de profesores del segundo ciclo básico.

(A) Los siguientes estándares tienen un énfasisprincipal en este curso.

Estándar 10 Comprende y aplica conceptos y técnicasestadísticas requeridas para recopilar, organizar, representar,analizar e interpretar conjuntos de datos a partir delplanteamiento, discusión y resolución de problemas extraídos dela vida real, teniendo en vista la organización de su enseñanza.

Estándar 11 Comprende y aplica conceptos y técnicasestadísticas tales como tablas, diagramas, regresiones ycorrelaciones, requeridas para determinar y describir lasrelaciones existentes entre dos variables. Planifica estrategiaspedagógicas teniendo en cuenta el tipo de variables, el tipo degráfico y el indicador apropiado en el análisis de lainformación.

Estándar 12 A partir del análisis de situacionessignificativas comprende el concepto de probabilidad y laimportancia de su aplicación en la predicción y planificaestrategias pedagógicas teniendo en cuenta el concepto de azar.

(B) Las siguientes competencias del perfil deegreso, Eje 2, tienen un énfasis principal.

Competencia 1. Comprende con amplitud y profundidad lasdisciplinas del sector de aprendizaje que es responsable deenseñar.

Competencia 4. Comprende el amplio rango de procedimientosevaluativos y los usa para monitorea el avance y logro las metasde aprendizaje.

234

Competencia 5. Utiliza los resultados de las evaluaciones pararetroalimentar a los educandos y ajustar sus planificaciones yestrategias didácticas.

Competencia 6. Selecciona y diseña recursos y situaciones deaprendizaje pertinentes para presentar ideas y conceptosdisciplinarios a los estudiantes del nivel que enseña.

(C) Los siguientes estándares tienen un énfasissecundario en el perfil de egreso.

Estandar 1 Comprende los números naturales como abstracción delas cantidades discretas y los distingue de susrepresentaciones disponiendo así de modelos para interpretarsituaciones y resolver problemas reales de orden y conteo,aditivos y multiplicativos, de divisibilidad y restos.

Estandar 4 Comprende la modelación de situaciones referidas acuocientes, razones, tasas, proporciones, probabilidades,repartos y fraccionamientos, por medio del sistema de númerosracionales y sus registros de representación para aplicarla enla resolución de problemas asociados a fenómenos naturales ysociales, teniendo en vista la organización de su enseñanza.

II APRENDIZAJES ESPERADOS Son los aprendizajes claves para el logro de estándares/competencias.

Conceptual

1. Conozca el desarrollo histórico de la estadística y explique el porqué la necesidad de la sociedad en su conjunto de recolectar datos e información en el contexto de su evolución yperfeccionamiento.

2. Identifique y comente las características del quehacerestadístico en el mundo moderno y relacione dichascaracterísticas en disciplinas tales como negocios, economía,demografía, ingeniería, salud, seguros, educación, medicina,psicología, y otras.

235

3. Identifique tipos de variables: sean estas cualitativas, tanto ordinales como nominales, o bien cuantitativas, que sean continuas o discretas, tomadas en contextos de la vida diaria.

4. Clasifique y compare conjuntos de datos correspondientes afenómenos que comprometen a dos variables, presentándolos pormedio de tablas bivariadas o por medio de gráficos tales comolos diagramas de dispersión y otros.

5. Analice el posible grado de relación que puedan presentar dosvariables en un determinado problema y seleccione el estadísticoadecuado para describir el comportamiento de dichas variables y obtener conclusiones a partir del grado de asociación que presenten dichas variables

6. Interprete el concepto de probabilidad asociándolo a losconceptos de “resultados posibles” y “resultados favorables”

7. Observe fenómenos de la naturaleza y de su entorno social ycultural y reconozca aquellos que puedan explicarse utilizandoel concepto de probabilidad, mostrando, al mismo tiempo, laslimitaciones de dicho concepto.

Procedimental.

8. Recoja información de situaciones de la vida real y planteéproblemas que, para ser resueltos, requieran de una recoleccióny análisis de datos.

9. Organice conjuntos de datos representándolos en tablas de distribución de frecuencias u otros tipos de gráficos, y observeel comportamiento de dichos datos.

10. Maneje software estadísticos adecuados para representar y realizar experimentos con datos obtenidos de situaciones de la vida real

11. Realice experimentos aleatorios con dados, cartas, y otros juegos de azar y construya los espacios muestrales asociados a dichos fenómenos.

12. Planifique una clase, a partir de situaciones de la vidareal que deje en evidencia el tipo de variable y el tipo de

236

gráfico asociado a dicha situación y otra en la cual dado unconjunto de datos seleccione el mejor indicador de tendenciacentral.

Actitudinal

13. Reconozca las diferencias entre fenómenos aleatorios y fenómenos determinísticos y sea consciente de la importancia de dichos conceptos en el desarrollo de la estadística en particular, y de la matemática en general.

14. Aprecie y valore el conocimiento de las técnicas estadísticas, mediante las cuales es posible inferir resultados que nos ayudan a reaccionar frente a la realidad de nuestro entorno.

15. Valore la importancia de manejar las medidas de tendencia central y las medidas de dispersión para caracterizar un conjunto de datos en el proceso de evaluación de sus estudiantes.

16. Se de cuenta en que actividades de su vida diaria usted tienen un comportamiento aleatorio.

III.LECTURAS REQUERIDAS.

Lectura Obligatoria

[1] J.P. Guilford – Benjamín Fruchter, Estadística Aplicada a la Psicología y la Educación, Mc Graw Hill, Mexico, 1984[2] Milton Smith, Estadística Simplificada Para Psicólogos y Educadores, El Manuel Moderno, S.A, Mexico, 1971.[3] Guillermo Briones, Análisis e Interpretación de datos, Formación de Docentes en Investigación Educativa, SECAB, Santa Fé de Bogota, Colombia, 1992.[4] Celeste Mc Collough, Análisis Estadístico Para la Educacióny las Ciencias Sociales, Mc Graw Hill, Mexico, 1986.[5] Maria José Fernández et al, 225 Problemas de Estadística Aplicada a las Ciencias Sociales, Editorial Síntesis, Madrid, España, 1992.

237

LECTURA COMPLEMENTARIA

[6] Rodrigo Bamón, Patricio González, Jorge Soto, Matemática Activa Segundo Año Medio, Editorial Mare Nostrum y Teduca Editora, Santiago, Chile, 2005[7] Rodrigo Bamón, Patricio González, Carmen Medina, Jorge Soto,Matemática Activa Tercer Año Medio, Editorial Universitaria, Editorial Mare Nostrum, Santiago, Chile, 2005.[8] Jorge Soto Andrade, Patricio González, Matemática Texto Parael Estudiante, Cuarto Año Medio, Editorial Mare Nostrum y TeducaS. L, Santiago Chile, 2005.[9] Educación Matemática, Programas de Estudio de quinto, sexto,séptimo y octavo año básico, Ministerio de Educación, República de Chile, 1999. .

IV. OTROS RECURSOS.

[1] Software: Excel[2] Software: Statgrafic [3] Software: Statistic

V. Trabajos del alumno y su relación con el logro de Estándares y Competencias. (Indique las principales actividades que el curso requerirá del alumno para lograr los estándares y competencias del perfil de egreso)

1. Mostrar resumidamente la información. Estándar 10, 1,/Competencias 1

Construye un conjunto de datos, preséntelo en una tabla de distribución de frecuencia y represéntelos gráficamente. Verifique los resultados utilizando un software estadístico apropiado.

2. Calculo de indicadores de tendencia central. Estándar 10, 1/Competencia 1

238

Calcule las medidas de tendencia central, basado en un conjunto de datos dados, y determine cual de estos representa mejor a la información, atendiendo a la distribución de estos. Verifique los resultados utilizando un software estadístico apropiado.

3. Comparación de datos. Estándar 10, 11, 4 / Competencia 1

Dado un conjunto de datos bivariados estudie el grado de relación existente entre estos. Represente dicha información en una nube de puntos. Verifique los resultados utilizando un software estadístico apropiado.

4. Definición de probabilidad. Estandar 11, 1, 4 / Competencias 1, 6

Estudie experimentalmente el concepto de probabilidad mediante algún juego de azar asociándolo a resultados favorables o desfavorables e infiera la definición clásica dede probabilidad.

5. Planificación de una clase. Estandar 10, 11, 4 / Competencia1, 4, 5, 6

Planifique una clase, a partir de situaciones de la vida realque deje en evidencia el tipo de variable y el tipo de gráficoasociado a dicha situación y otra en la cual dado un conjuntode datos seleccione el mejor indicador de tendencia central.Utilice un software apropiado.

Pauta para la evaluación clave

EVALUACIÓN CLAVE 1

1. Estándar 10, 11, 1 / Competencias 1 2. Justificación: (¿por qué tiene que saber/hacer esto

un/profesor de 2º ciclo)

Organización y análisis de la información.

En un mundo que nos bombardea constantemente coninformación de tipo cuantitativo y cualitativo, de resultados

239

de encuestas tales como, variaciones esperadas en los índiceseconómicos de salud, de la educación y de otros ámbitos de lasociedad, de una lista interminable de información entregadamediante gráficos, cifras y datos, que nos muestra unarealidad sumergida en la incertidumbre, el profesor tiene quesaber organizar dicha información y dimensionar la realidadque dicha información nos quiere mostrar.

3. Pre-requisitos: (Lo que los estudiantes deben saber y saber hacer, antes de la evaluación)

(c)Conocer el conjunto de los números reales, sus propiedades y las

operaciones que se pueden realizar con dicho conjunto.(d)Graficar en el sistema el sistema cartesiano de

coordenadas.

2. Descripción breve de la evaluación.

Aplicar las técnicas propias de la estadística, a un conjunto de datos, con el fin de comprender mejor la información que dichos datos nos muestran.

3. Describa los pasos de la evaluación en detalle.

Paso 1. Recolecte y construya una base de datosrelativo a un problema dado y analice el tipo de datos queha recopilado, el que puede ser cualitativo o cuantitativo.

Paso 2. Agrupe y organice la información de acuerdo altipo de datos de que se trate, esto es, si fuesen datos denaturaleza cuantitativa o cualitativa, presentándolos deacuerdo a las técnicas estadísticas enseñadas. Utilice unsoftware especializado si fuese necesario.

Paso 3. Analice los datos utilizando para ellosindicadores estadísticos apropiados que permitan caracterizarla información de acuerdo al problema planteado.

Paso 4. Explique claramente el planteamiento delproblema y la solución hallada de manera que pueda observarseque ha entendido, aprendido y aplicado correctamente las

240

técnicas de la estadística y utilice en su exposiciónherramientas tales como computador, software, power point, yotros que considere pertinente

4. Puntuación de los pasos /trabajos para la evaluaciónPUNTOS

Paso 1. Construcción de la base de datos

10Paso 2. Organización y presentación de la información

30Paso 3. Caracterización de la información, basándose en Estadísticos de tendencia central y dedispersión 40Paso 4. Exposición, utilizando herramientas adecuadas

20

5. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedanmostrar sus conocimientos, habilidades o actitudes(textos,sitios de la red,otros):

1 Uso de reglas, escuadras compás transportador,calculadoras manuales, papel milimetrado.

2. Uso de calculadora manual, tecnología mas avanzadacomo Power Point y Software estadístico.

3. Textos y apuntes

8. Rúbrica de evaluación

Evaluaciónclave

Insatisfactorio Básico Competente Destacado

Recolecte y construya una base de datos relativo al problema y analice el tipode datos que harecopilado, el que puede ser cualitativo o cuantitativo.

El estudianteno lograexplicar elproblema dentrode un contexto,no identificavariables y norecolectadatos.

El estudiantelogra explicarel problemadentro de uncontexto,identificavariables,recolecta datospero nodistingue lanaturaleza delos datos

El estudianteentiende elproblemacorrectamente,construye unabase de datos ydistingue eltipo de datos,

Agrupa y

El estudiantelogra explicarel problemadentro de uncontexto,identificavariables ydistingue lanaturaleza delos datosentregando masinformaciónacerca de ellos

241

Agrupe y organice la información de acuerdo al tipode datos de quese trate, esto es, si fuesen datos de naturaleza cuantitativa o cualitativa, presentándolos de acuerdo a las técnicas estadísticas aprendidas.

Analice los datos utilizando paraello indicadores estadísticos apropiados que permitan caracterizar lainformación de acuerdo al problema planteado.

Expliqueclaramente elplanteamientodel problema yla soluciónalcanzada demanera quepuedaobservarse queha entendido,aprendido yaplicadocorrectamentelas técnicas dela estadísticay utilice en suexposiciónherramientastales comocomputador,software, powerpoint, y otrosque considerepertinente.

No agrupa y noorganiza lainformación yaque no reconocela variable.

No analiza losdatos al nocontar con labase de datos.

No explica

Agrupa yorganiza lainformación deacuerdo a laidentificaciónde los datosdados por el .

Analiza losdatosincorrectamentea causa de laincorrectaidentificaciónde lavariable.

Intenta dar unaexplicación quearrastra loserrorescometidos acausa de laincorrectaidentificaciónde la variable.

organiza lainformacióncorrectamentede acuerdo alas técnicasestadísticas

Analiza losdatoscorrectamenteutilizando losestadísticosapropiados.

Explicaclaramente elproblema, perono utiliza lasTics.

Agrupa yorganiza lainformacióncorrectamentede acuerdo alas técnicasestadísticasaprendidas ylas corroboramediante unsoftwareestadístico.

Analiza losdatoscorrectamenteutilizando losestadísticosapropiados ycorrobora susresultados conun software.

Explicaclaramente elproblemautilizando losestadísticosapropiados yemplea Tics ensu exposición.

EVALUACIÓN CLAVE 2

1. Estándar 10, 4 / Competencias 1, 6

242

2. Justificación: (¿por qué tiene que saber/hacer esto un/profesor de 2º ciclo)

Medición del azar La mayoría de los fenómenos de la naturaleza contienenvariables sujetas al azar, es decir, que pueden serexplicadas mediante el concepto de probabilidad. Sin embargo,el azar puede ser controlado y explicado a su vez medianteciertas leyes, en particular mediante las leyes de losgrandes números. El profesor tiene que ser capaz decontextualizar y comprender dichos fenómenos y analizar yresolver problemas de naturaleza probabilística.

3. Pre-requisitos. (lo que los estudiantes deben saber y saberhacer: antes de la evaluación)

a) Conocer el conjunto de los números reales, sus

propiedades y las operaciones que se pueden realizarcon ellos.

b) Tener nociones básicas del concepto de conjunto.c) Análisis combinatorio: Variaciones, permutaciones y

combinaciones.

2. Descripción breve de la evaluación.

Analizar la naturaleza probabilística o deterministicade un experimento y calcular la probabilidad deocurrencia de sucesos asociados a dicho experimento.

3. Describa los pasos de la evaluación en detalle.

Paso 1. Explique claramente la naturalezaaleatoria o determinística de un experimento, determinando lacardinalidad de un espacio muestral asociado a el. Paso 2. Describa la cardinalidad del suceso y suprobabilidad de ocurrencia en dicho

243

experimento.

4. Puntuación de los Pasos/Trabajos para la evaluación: PUNTOS

Paso 1. Determinar la aleatoriedad del fenómeno,distinguiendo la cardinalidad de un espaciomuestral asociado a él 40

Paso 2. Calculo de la probabilidad de un sucesoasociado a dicho 60 experimento

5. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan

mostrar sus conocimientos y habilidades, o actitudes(textos, sitios de la red, otros):

1. Materiales concretos, como domino, cartas, monedas,dados, etc.

2. Uso de calculadoras, textos y apuntes.

6. La rúbrica de evaluación

Evaluaciónclave

Insatisfactorio Básico Competente Destacado

Expliqueclaramente lanaturalezaaleatoria odeterminísticade unexperimento,determinando lacardinalidad deun espaciomuestralasociado a el.

No lograexplicar lanaturalezaaleatoria odeterministicadel experimento

Logra explicar la naturaleza aleatoria o deterministica del experimento, pero, no determina correctamente el espacio muestral.

Logra explicarla naturalezaaleatoria odeterministicadelexperimento.Logradeterminar elespaciomuestral ydescribecorrectamentesucardinalidad.

Logra explicarla naturalezaaleatoria odeterministicadelexperimento.Determinacorrectamenteel espaciomuestral y sucardinalidad yconjetura laposibilidad demas de unespaciomuestral

244

Describa lacardinalidaddel suceso y suprobabilidad deocurrencia endicho experimento

No describe lacardinalidad

No logra describir la cardinalidad correctamente debido a que nodeterminó correctamente el espacio muestral

Describecorrectamentela cardinalidaddel suceso y suprobabilidad deocurrencia enelexperimento..

asociado enexperimentosaleatorios.

Describecorrectamentela cardinalidaddel suceso y suprobabilidad deocurrencia enel experimento.

Asignatura: Nùmeros: sus usos y operacionesAutor(a)/Universidad: Raimundo Olfos /P.U. Católicade Valparaíso, Horas presenciales por semana: 4 horas teóricas, 2 horas prácticasHoras requeridas del alumno por semana afuera del aula: 6 horas.

Visión del Profesor Especialista para el Segundo Ciclo deEducación Básica

El Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de EducaciónBásica es un profesional con sólida formación pedagógica ydisciplinaria, en al menos un sector de aprendizaje, conautonomía para tomar decisiones informadas. Ejerce una prácticareflexiva y utiliza la investigación para desarrollar lascompetencias que le permiten responsabilizarse de los procesos yresultados de su enseñanza. En colaboración con la familia ycomunidad, se compromete con el logro de aprendizajes quepotencien el desarrollo psicosocial, intelectual y moral deestudiantes preadolescentes. Participa en acciones decooperación profesional asociadas al mejoramiento de la calidadde la educación que ofrece su institución escolar

ALINEACIÓN CON ESTÁNDARES Y COMPETENCIAS

I. Estándares del perfil de egreso relacionados al curso.

245

Los siguientes estándares y competencia tienen un énfasisprincipal en este curso:

Estándar 1:

Comprende los conceptos de número natural y entero, comoabstracción de las cantidades discretas, y los distinguede sus formas de representación.

Justifica procedimientos y estrategias de cálculoaritmético, y propiedades del orden y de las operacionescon números naturales y enteros a partir de propiedadesevidentes de los números y de sus sistemas derepresentación.

Resuelve problemas referidos a cantidades y magnitudesdiscretas positivas o negativas, haciendo uso eficientedel orden, las operaciones, las propiedades de lasoperaciones, el valor absoluto, las ecuaciones, lasinecuaciones, y herramientas tecnológicas, según lascondiciones dadas y el modelo que construya de lasituación.

Diseña desafíos y problemas referidos a situaciones deorden, conteo, aditivas, multiplicativas, de divisibilidady restos ligadas a contextos de los programas oficiales desegundo ciclo de distintos sectores curriculares, en losque se utilice operaciones, ecuaciones, inecuaciones y engeneral propiedades de los números naturales o enteros.

Estándar 3:

Comprende los significados asociados a las fracciones y elconcepto de número racional como elemento de un conjuntocuociente, distinguiendo sus diferencias y similitudes.Reconoce los números decimales como aquellos racionales quese expresan por fracciones cuyo denominador es unapotencia de diez. Reconoce las expresiones o desarrollosdecimales finitos y periódicos como una forma derepresentación de los números racionales, alternativa a lasfracciones, que facilita los cálculos de las operacionesaritméticas. Comprende la existencia de cantidadesinconmensurables, e identifica los números irracionales con

246

las expresiones o desarrollos decimales infinitos noperiódicos. Reconoce en las distintas formas derepresentación de los números una complejidad conceptualque se constituye en un obstáculo didáctico.

Reconoce las propiedades del orden y de las operaciones,incluyendo potencias y raíces, en los números decimales,racionales e irracionales, y las visualiza bajo lasdistintas formas de representación, incluyendo esquemas ygráficos, de estas categorías de números. Fundamenta losprocedimientos de cálculo a partir de las formas derepresentación de los números.

Resuelve problemas asociados a fenómenos naturales ysociales a partir de la modelación de situaciones referidasa diferencias y razones entre medidas, mediciones yparticiones, repartos y fraccionamientos, equivalencia defraccionamientos, cuocientes y restos, pendientes,escalas, semejanza, porcentajes, tasas y variacionesproporcionales, probabilidades, medidas grandes y pequeñas,redondeos, aproximaciones, estimaciones, uso de calculadoray algoritmos operatorios, y uso de estrategias de cálculo;para lo cual utiliza números irracionales, el sistema delos números racionales y diferentes registros derepresentación, incluyendo expresiones fraccionarias,decimales finitas, infinitas periódicas y no periódicas, ypotencias con exponente entero.

Diseña, selecciona y resuelve situaciones problemasasociadas a distintas disciplinas, en el marco de losprogramas de estudio de segundo ciclo básico, usandofracciones, decimales y porcentajes.

El siguiente estándar y las siguientes competencias tienen unénfasis secundario en este curso:

Estándar 5Comprende de manera intuitiva los números reales comocompletación de los racionales, a partir de los desarrollosdecimales infinitos y el modelo de la recta numérica,disponiendo de herramientas conceptuales y procedimentalespara la resolución de problemas y la interpretación de

247

fenómenos referidos a magnitudes continuas, teniendo envista la organización de su enseñanza.

Comprende los números complejos como producto cartesiano delos reales en el plano, a partir del cual se define unaoperatoria útil, de tipo vectorial que le permite resolversituaciones problemas.

Competencia 6 (Eje 2 del Perfil): Evalúa, selecciona y diseña materiales, métodos y situaciones deaprendizaje apropiadas, en cuanto a su precisión y utilidad parapresentar ideas y conceptos en su disciplina

II. Aprendizajes (claves para el logro de losestándares/competencias)

Conceptuales Distingue el objeto matemático número natural de los

símbolos usados para su representación, y de losconceptos de ordinal y cardinal.

Relaciona los algoritmos de operación con susestructuras, en particular en el sistema indo-arábigo,y fundamenta los algoritmos de operación en función dela base del sistema de numeración decimal.

Comprende el número entero como una magnitud vectorialdiscreta con magnitud y dirección asociada al valorabsoluto, y distingue el uso del cero como valorabsoluto (magnitud) y como valor relativo (posición).

Clasifica los problemas aditivos en problemas detransformación, agregación y variación; y desarrollaestrategias para la resolución de los mísmos.

Provee justificaciones a los algoritmos de suma ymultiplicación en Z.

Describe situaciones referidas a parte todo, parte dela unidad, punto en la recta, porcentaje, razón entrecantidades que se expresan por medio del símbolo defracción.

Comprende las fracciones propias e impropias comonúmeros que representan cantidades que aluden a partede una unidad.

248

Describe situaciones en que es indistinto el uso defracciones equivalentes y resulta apropiado usar elconjunto cuociente.

Fundamenta la conveniencia de introducir los númerosirracionales para describir las magnitudes continuas

Diferencia los números decimales, que representan a lasfracciones cuyo denominador es una potencia de diez, delos desarrollos decimales que representan cantidadesracionales e irracionales.

Identifica la recta real como un modelo pararepresentar los números racionales e irracionales yubica fracciones, decimales finitos e infinitos en larecta.

Fundamenta los procedimientos de cálculo aritmético apartir de las formas de representación de los números.

Identifica el plano como un modelo para representar losnúmeros complejos, y ubica números complejos en elplano a partir de sus coordenadas cartesianas o sumódulo y argumento.

Procedimentales Verifica por medio de ejemplos propiedades como la

asociatividad, y explica la limitación de laverificación como argumento de prueba general.

Prueba propiedades de divisibilidad basándose en laspropiedades del sistema de numeración decimal y proveeargumentos sobre la validez general de la propiedad.

Muestra que los números con representación decimalfinita admiten otra infinita.

Resuelve problemas referidos situacionesmultiplicativas usando ecuaciones, y calculadora ocálculo mental, según las condiciones dadas.

Utiliza la descomposición prima de los números y elteorema fundamental de la aritmética multiplicativopara resolver problemas multiplicativos.

Genera situaciones problemas referidas a las nocionesde divisibilidad, cuociente y resto, las relaciona conel Algoritmo de Euclides y las resuelve.

Modela situaciones problemas del ámbito de sudisciplina en que se utilicen números enteros onaturales.

249

Transforma fracciones a decimales y viceversa, yfundamenta sus procedimientos.

Compara, ordena e intercala fracciones y decimalesentre sí.

Realiza multiplicaciones usando fracciones y expresióndecimal de las mismas. para facilitar los cálculos delas operaciones

Prueba la irracionalidad de raíz de dos, a partir delestudio de la inconmensurabilidad de la longitud de ladiagonal de un cuadrado con respecto a la longitudbase.

Reconoce las propiedades del orden y de lasoperaciones, en los números decimales, racionales eirracionales, distingue las que se heredan de losnúmeros naturales o enteros, y las visualiza bajo lasdistintas formas de representación, incluyendo esquemasy gráficos, de estas categorías de números.

Resuelve problemas por medio de cuocientes, razones,tasas, proporciones, probabilidades, repartos yfraccionamientos.

Utiliza en la resolución de problemas estrategias deredondeo, aproximaciones, estimaciones, calculadora,ecuaciones, inecuaciones, algoritmos operatorios yestrategias de cálculo basada en las propiedades de lasoperaciones

Diseña, situaciones problemas asociadas a distintossectores del currículo de segundo ciclo básico, usandofracciones y decimales y porcentajes.

Representa en el plano cartesiano situaciones en que seusan números complejos.

.Actitudinales Reconoce el carácter pragmático de los sistemas de

numeración y valora su aporte a la cultura Reconoce que la complejidad conceptual presente en la

noción de número constituye un obstáculo didáctico parala enseñanza de los números.

III. Lecturas Requeridas:

Lecturas obligatorias:

250

Castro, E., Rico, L. y Castro, E. (1995). Estructuras Aritméticas Elementales y su Modelización. Una Empresa Docente. Bogotá.Centeno, J. (1988) Números Decimales. ¿Por qué?, ¿Para qué?. Síntesis. Madrid.Chuaqui, R. (1980). ¿Qué son los Números? El método axiomático. Universitaria. SantiagoDávila, M. (1992). El Reparto y las Fracciones. En Educación Matemática. Vol.4 Nº 1 Abril Pp 32-45. MéxicoLembke, L. Y Reys, B. (1994) The development of , and interaction between, intuitive and school-thaught ideas about percent. En Journal for Research in Mathematics Education. Vol. 25, Nº 3, 237-259. 1994.Llinares, S. Y Sánchez, M.A. (1988). Fracciones. Síntesis. Madrid.MINEDUC, (1998). Planes y programas de estudio para quintoaño básico. Santiago, ChileMINEDUC, (1998). Planes y programas de estudio para sexto añobásico. Santiago, ChileMINEDUC,(1998). Planes y programas de estudio para séptimoaño básico. Santiago, ChileMINEDUC, (1998). Planes y programas de estudio para octavoaño básico. Santiago, Chile

Lecturas complementarias:Adler, I. (1969). Magic House of Numbers Signet, New York. Boyer, C.B. (1986) Historia de la matemática. Alianza Editorial,Madrid, (3ª impresión 2003).Brumfiel, Ch., Eichole, R. y Shanks, M. (1962). Fundamental Concepts of Elementary Mathematics. Addison Wesley, Massachusetts.Campbell, S., & Zazkis, R. (2002). Toward number theory as a conceptual field. In Campbell, S., & Zazkis, R. (Eds.) Learning and teaching number theory: Research in cognition and instruction (pp. 1-14). Journal of Mathematical Behavior Monograph. Westport, CT: Ablex Publishing.Carpenter, T., Fenema, E. Y Romberg, T. (eds.) (1993). Racional Numbers, an integration of research. N.Y. Erlbaum.

251

Pitkenthly, A. y Hunting, R. (1996). A review of recentresearch in the area of initial fraction concepts.Educational Studies in Mathematics. (30), 1, pp. 5-38.Estados Unidos.Rico, L. (1998) Conocimiento Numérico y Formación del Profesorado. En Revista de Educación de la Universidad de Granada. Vol. 11 Granada.Zazkis, R. y Campbell, S. (1996) Divisibility and MultiplicativeStructure of Natural Numbers: Preservice Teachers’ Understaning.En Journal for Research in Mathematics Education. Vol. 27. Nº 5 pp 540-563. Estados Unidos.

IV. Otros recursos:Cid, E., Godino, J.D. y Batanero, C. (2003) Sistemas numéricos ysu didáctica para maestros. Universidad de Granada. En http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/

V. Trabajos requeridos al alumno para lograr estándares ycompetencias del perfil

1. Elaboración del concepto y funcionamiento del número naturalEstándar 1

Habiendo organizado el profesor tareas para trabajos engrupo, los estudiantes exploran y comparten con sus paresantecedentes sobre distintos sistemas de numeración yproveen una clasificación de ellos. Luego, los estudiantesanalizan situaciones en que se usan los números naturalescomo identificadores, ordinales y cardinales y discuten consus pares acerca de las características estructuralessubyacentes a los números según el uso que se les da.Finalmente, elaboran una definición de número, natural, enfunción de sus sistemas de representación, las situacionesen que se utilizan y los invariantes operatoriossubyacentes.

Tras representar el profesor los naturales en un sistemacomo el binario, desafía a los alumnos a indagar sobre lanumeración y los algoritmos operatorios en distintossistemas de numeración, como el sexagesimal y el de basedoce. Los estudiantes son desafiados a elaborar

252

justificaciones para los algoritmos de operación, como porejemplo el uso de reservas o ceros en el cuociente, elcorrimiento de cifras y el ordenamiento de los números encolumnas alineadas a la derecha para sumar. Se les solicitaindagar y dar justificaciones sobre la forma de multiplicarpor los turcos y el uso de algoritmos alternativos paraoperar en distintas bases, o bien en casos particulares comomultiplicar por 25 en base 10

Los cursantes en grupos y coordinados con el profesor del cursopresentan en Ppoint a sus compañeros parte de este trabajo

2. Argumentación de los usos y técnicas usadas con fraccionesy decimales Estándar 3

A partir de desafíos propuestos por el profesor delcurso, tales como fundamentar la igualdad entre 1 y0,999..., justificar el uso del MCM entre denominadorespara sumar fracciones, justificar la estrategia demultiplicar cruzado para dividir fracciones, fundamentarlas técnicas para transformar decimales periódicos enfracciones, argumentar la equivalencia entre calcular lamitad de la mitad de una cantidad multiplicada por 100para determinar el 25% de la misma, los estudiantes soninducidos a buscar justificaciones a los algoritmosoperatorios, a generar técnicas operatorias basados enfundamentos propios y a encontrar propiedades de losnúmeros usando configuraciones puntuales, cambios deregistro y distintas formas de representar los números.

Los estudiantes utilizan el MCM, el MCD, razones ydistintas operaciones con decimales y fracciones pararesolver problemas, justificando las operaciones yestrategias utilizadas.

Los cursantes en grupos y coordinados con el profesor del cursoentregan un informe breve de parte de este trabajo

3.Elaboración entre pares de problemas de distintas disciplinas, usando distintos tipos de números: Estándares1, 3, 5 y Competencia 6

El profesor solicita a los estudiantes que se agrupenentre cursantes de distintas menciones. Los grupos elaboran y comparten problemas en contextos apropiados

253

para alumnos de segundo ciclo básico en los cuales se usen distintos tipos de números: enteros, racionales yreales.

Luego relacionan esos problemas con los aprendizajes esperados en los programas de estudio y textos escolares de segundo ciclo básico.

Los cursantes en grupos y coordinados por el profesor entreganinformes breves de parte de los productos alcanzados en laactividad.

VI. Evaluaciones Clave

EVALUACIÓN 1: “Ensayo escrito y exposición oral acerca del significado y uso de los números”

1. Estándar 1

2. Justificación:

El estándar 1 exige al futuro profesor la comprensión de losconceptos de número natural y entero, la comprensión de losprocedimientos para operar con ellos y la habilidad parautilizarlos para resolver situaciones problemas. Estosconocimientos permitirán al profesor entender las dificultadesque enfrentarán sus alumnos al aprender el sentido y uso deestos números, y permitirán al profesor disponer de herramientasconceptuales para facilitar a sus alumnos estos aprendizajes.

3. Pre-requisitos:

Para la elaboración del ensayo escrito y hacer la exposiciónoral, los estudiantes deben:

Saber usar un procesador de textos como Word y unpresentador como PowerPoint.

Tener dominio de la aritmética en N y Z, incluyendo losalgoritmos canónicos para las cuatro operaciones, laprioridad de las operaciones, el uso de paréntesis y

254

entendimiento de las posiciones de las cifras en el sistemade numeración decimal.

4. Descripción breve de la evaluación:

Ensayo escrito y exposición oral

Se solicita a los estudiantes que:

Entreguen un ensayo elaborado sobre su comprensión de losnúmeros naturales como abstracción de las cantidadesdiscretas y sus usos por medio de sistemas derepresentación para modelar situaciones y resolverproblemas de orden y conteo, aditivos y multiplicativos, yde divisibilidad y restos.

Expongan al curso en un tiempo breve de 10 minutos y conapoyo de un presentador, algunos conceptos desarrolladosen el ensayo, a partir de una selección previa concordadacon el profesor.

5. Descripción en detalle de los pasos de la evaluación.

Paso 1: Situaciones de uso de los números naturales Los futuros profesores deben desarrollar con claridadsituaciones distintas, en las que los números por ejemplo seusen como cantidades o como ordinales, de modo que se aprecie lapotencialidad del modelo de los números y se diferencie de lassituaciones en que se utilice.

Paso 2: Formas de representación de los números naturales.El análisis de las formas de representación de los números debendejar en evidencia las ventajas de los sistemas usados según lassituaciones en juego. Por ejemplo en una situación de orden(tomos de libros), que no requiere operar cantidades, essuficiente un sistema de numeración como el romano, y ensituaciones en que los números se procesan con un lector ópticoes apropiado un código de barras.

Paso 3: Acerca del concepto de número natural.El ensayo debe identificar los principales invariantes de losnúmeros naturales, independientes de su forma de representacióny de las situaciones a las que se alude con ellos en determinadomomento.

255

Exposición oral.La exposición debe centrarse en un aspecto, debe ser clara,concisa y de relevancia para los compañeros de su curso.Por lo cual será previamente orientada y acotada en acuerdocon el profesor.

6. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedanmostrar sus conocimientos, habilidades, o actitudes(textos, sitios de la red, otros):

Para el ensayo escrito dispondrán de referenciasbibliográficas y una pauta de evaluación, y

Para la exposición oral dispondrán además de un proyectory del tiempo preestablecido

Rúbrica de Evaluación:

Criterio Insuficiente0

Básico3

Logra6

Destacado8

Puntos

Uso de los números naturales enla resolución de problemas

No es capazde modelarni resolverproblemas deorden conteoni aditivos,usandonúmeros.

Modela parcialmentesituaciones,pero no es capaz de resolver problemas deorden conteoy aditivos, usando números

Comprende el uso de los númerospara modelar y resolver proble-mas de orden conteo y aditivos.

Modela yresuelvecorrectamente problemasde ordenconteo yaditivos,usandonúmeros.

8

Distinción entre el concepto de número y su representación

No es capaz de proveer ejemplos ni explicaciones que clarifiquen la diferencia.

Distinguelosnaturales delos símbolosusados pararepresentar-los

Provee ejemplos pero no es capaz de explicar ladiferencia.

Provee claras explicaciones y ejemplosque clarifican la diferencia.

8

Distinción del conceptode número delas situaciones que le dan sentido en la realidad.

No es capaz de proveer ejemplos ni explicaciones que clarifiquen la diferencia.

Provee ejemplos pero no es capaz de explicar la diferencia

Distingue los naturales de las nociones deordinal, cardinal y cantidad discreta.

Provee claras explicaciones y ejemplosque clarifican la diferencia.

8

256

Claridad para exponersu comprensión de aspectos sobre los números naturales, sus usos y representación

No muestra comprensión del conceptoa tratar

Presentaciónpoco clara

Presenta con claridad el conceptoa tratar, aunque no concisa o con débil apoyo multimedial.

Presentaciónclara, concisa y buen apoyo

8

EVALUACIÓN 2

“Resuelve y elabora problemas vinculados a distintas disciplinas, que requieren usar números racionales o irracionales para su resolución y que se ajustan a los contenidos de los programas de estudio de segundo ciclo básico”

1. Estándar 3 y 5 / Competencia 6.

2. Justificación:

Esta evaluación es consistente con los estándares 3 y 5, queestablecen que el profesor de segundo ciclo básico comprenda losnúmeros racionales e irracionales y utilice estos números desdeuna perspectiva interdisciplinaria para resolver y plantearsituaciones problemas, en el ámbito de los contenidos de losprogramas de segundo ciclo básico.

En atención a la competencia 6, se aprovecha la participación deestudiantes de distintas menciones, para compartir un enfoqueinterdisciplinario en la construcción de desafíos y problemasmatemáticos en diversos contextos para alumnos de segundo ciclobásico.

La resolución de problemas es un objetivo de aprendizajemedular en la educación escolar. Relaciona la actividadescolar con la vida cotidiana, favorece el desarrollo de unpensamiento autónomo en los alumnos y ayuda a los alumnos auna mejor participación social. En esta evaluación lamodelación de las situaciones problemas se realiza en el

257

marco de distintas categorías de números y de distintasrepresentaciones usadas para éstos.

3. Pre-requisitos:

Para la elaboración y resolución de los problemas, losestudiantes deben:

Tener comprensión lectora, y habilidad para redactar. Tener dominio de la aritmética en Q y R.

4. Descripción breve de la evaluación:

Resolución y elaboración de problemas

Se solicita a los estudiantes que:

Resuelvan problemas propuestos en los que requiereninterpretar la situación haciendo uso de los númerosenteros, racionales o irracionales, sus operaciones ypropiedades.

Elaboren problemas que requieran el uso de númerosenteros, racionales o irracionales, que hagan referencia adistintos sectores del currículo y que sean pertinentes alos aprendizajes esperados para alumnos de segundo ciclobásico. .

5. Descripción en detalle de los pasos de la evaluación.

Paso 1: Plantear problemas a partir de los enunciados dados. Los futuros profesores deben interpretar correctamente elsentido de las situaciones propuestas, de modo que determinen elmodelo aritmético requerido para resolver el problemas.

Paso 2: Resolver el problema haciendo cálculos y aplicandopropiedades de las operaciones, e interpretando el resultado.Una vez modelado el problema, el futuro profesor debe llevaradelante las operaciones y usar las propiedades de los números.Llegando a un resultado, ha de contrastarlo con la pregunta,para revisar si parece ser una respuesta ajustada.

258

Paso 3: Idear situaciones que hagan uso de los números reales ysus operaciones. Las situaciones pueden dar cabida tanto aproblemas abiertos como a problemas de aplicación. Talessituaciones deben ser cercanas a la realidad de los estudiantes,de modo que el enunciado no constituya un obstáculo para lacomprensión del problema por parte del alumno.

Estructurar las situaciones conforme al nivel de segundo ciclobásico..La situación debe ajustarse desde una perspectivainterdisciplinaria a los programas de segundo ciclo básico. Demodo que sea pertinente y atractiva para los alumnos.

6. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedanmostrar sus conocimientos, habilidades, o actitudes(textos, sitios de la red, otros):

Para la resolución de problemas sólo dispondrán de papel ylápiz, y no calculadora. Será un trabajo individual quedeberán hacer dentro de un tiempo limitado.

El trabajo de elaboración de situaciones problemas podráhacerse en binomios o pequeños grupos. Los alumnosdispondrán de los programas de estudio y de un tiemposuficiente para reflexionar y mejorar sus producciones, enel contexto de una tarea evaluada.

Rúbrica de Evaluación:

Insuficiente0

Básico3

Logra6

Destacado8

Puntos

Planteamiento del problema sobre cuocientes, fraccionamientos, repartos, proporciones, porcentajes, yprobabilidades

No es capaz de modelar los problemasque se le proponen

Sólo es capaz de modelar los problemas simples, relativos a números enteros o con una operación.

Es capaz de modelar los problemas simples y complejos

Planteacaminos deresoluciónfáciles deentender eimplementar

8

Resolución de los problemas

No es capaz de resolver el problema

Resolución parcial del problema. Comete errores en cálculos o en la

Resuelve totalmente losproblemas, pero por caminos poco eficientes

Resuelvecorrectamentelos problemaspor medio decaminoseficientes.

8

259

aplicación de propiedades

Elaboración desituaciones problemas, tanto de aplicación como de descubrimientoo conceptualización

No es capaz de proponer situaciones relacionadas con el uso dedistintos tipos de números

Propone situaciones poco coherentes, quepoca relación tienen con los números y con la realidad

Propone situaciones adecuadas, pero simples en que se usanalgoritmos convencionalesy no estrategias poco convencionales

Proponesituacionesrealistas ycomplejas,inclusoabiertas,queinvolucrancambios deregistro.

16

Ubicación de la situación en el contextodel nivel del segundo ciclo básico

No es capaz de ubicar la situación en el ámbito de los programasde matemáticadel segundo ciclo básico.

Las situacionesse refieren a contenidos de los programas de matemáticas del segundo ciclo, pero sólo a nivel deaplicaciones. Además, no se relaciona con contenidos de otros sectores del ciclo.

Las situaciones aplican la matemática de segundo ciclo,no llevan a descubrir nociones. Aunque, se relacionan concontenidos de otros sectoresdel nivel.

Se incluyensituacionesabiertas quellevan aconceptosnuevos, y serelacionancon loscontenidos deotrossectores delciclo.

8

VI. Puntuación de los Trabajos para la evaluación:

Puntos:1. Presentación Ppoint “Concepto de Números”

122. Informe I “Justificación de técnicas operatorias”

83. Informe II “Elaboración de problemas”

84 Ensayo escrito y exposición oral

(Evaluación clave 1, Estándar 1) 325. Trabajo en binomio y prueba Individual (Evaluación clave 2,Estándar 3 y 5) 40

Total de puntos: 100

Se exige un 60% para la aprobación del curso.

260

Asignatura: Números racionales, reales y complejosAutor(a)/Universidad: Raimundo Olfos /P.U. Católica de Valparaíso, Horas presencial por semana: 6 (4 teóricas, 2 prácticas)Horas requeridas del alumno por semana afuera del aula: 6 horas.

Visión del Profesor Especialista para el Segundo Ciclo deEducación Básica

El Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de EducaciónBásica es un profesional con sólida formación pedagógica ydisciplinaria, en al menos un sector de aprendizaje, conautonomía para tomar decisiones informadas. Ejerce una prácticareflexiva y utiliza la investigación para desarrollar lascompetencias que le permiten responsabilizarse de los procesos yresultados de su enseñanza. En colaboración con la familia ycomunidad, se compromete con el logro de aprendizajes quepotencien el desarrollo psicosocial, intelectual y moral deestudiantes preadolescentes. Participa en acciones decooperación profesional asociadas al mejoramiento de la calidadde la educación que ofrece su institución escolar

ALINEACIÓN CON ESTÁNDARES Y COMPETENCIAS

I. Estándares y Competencias del perfil de egresorelacionado al curso.

Los siguientes estándares y competencias tienen un énfasisprincipal en este curso:

Estándar 4:

261

Comprende el concepto de número racional, como ente formalcuyas propiedades están dadas por su definiciónconstructiva y las proposiciones que se deducen de ellos.

Comprende la estructura deductiva del sistema de losnúmeros racionales, reconoce sus propiedades como cuerpoordenado y es capaz de explorar y deducir algunaspropiedades en el marco de la estructura del cuerpocuociente construido desde el anillo de los númerosenteros. Organiza, planifica y diseña actividades y secuencias deenseñanza que favorecen la comprensión y utilización de losnúmeros irracionales y del cuerpo ordenado de losracionales, en situaciones referidas a fracciones demedidas, particiones, reparto, ubicación en la recta,equivalencia de fracciones, expresiones decimales infinitasperiódicas y no periódicas, redondeos, aproximaciones,estimaciones, operaciones entre racionales, cálculos conalgoritmos estándares, uso de estrategias de cálculo, usode calculadora, lectura y escritura de números racionales,divisores, restos, potencias, medidas grandes y pequeñas,exponentes enteros incluyendo negativos; atendiendo a losobstáculos didácticos asociados a estos conceptos, a lasorientaciones didácticas de los programas oficiales decuarto básico a primero medio, y a los enfoquescognoscitivos actuales de los aprendizajes.

Estándar 5:

Comprende de manera intuitiva los números reales comocompletación de los racionales, a partir de los desarrollosdecimales infinitos y el modelo de la recta numérica,disponiendo de herramientas conceptuales y procedimentalespara la resolución de problemas y la interpretación defenómenos referidos a magnitudes continuas, teniendo envista la organización de su enseñanza.

Comprende los números complejos como producto cartesiano delos reales en el plano, a partir del cual se define una

262

operatoria útil, de tipo vectorial que permite resolversituaciones problemas.

Competencia 1, Eje 2: Comprende con adecuada amplitud y profundidad las disciplinasdel sector de aprendizaje que es responsable de enseñar.(Matemática)

Competencia 3, Eje 2: Planifica secuencias de enseñanza y evaluación quecontemplan la lógica de los contenidos y el proceso deaprendizaje, considerando en sus actividades y en laevaluación de estas, los procesos cognoscitivos.

El siguiente estándar y las siguientes competencias tienenun énfasis secundario en este curso:

Estándar 3:

Comprende los significados asociados a las fracciones y elconcepto de número racional como elemento de un conjuntocuociente, distinguiendo sus diferencias y similitudes.Reconoce los números decimales como aquellos racionales quese expresan por fracciones cuyo denominador es unapotencia de diez. Reconoce las expresiones o desarrollosdecimales finitos y periódicos como una forma derepresentación de los números racionales, alternativa a lasfracciones, que facilita los cálculos de las operacionesaritméticas. Comprende la existencia de cantidadesinconmensurables, e identifica los números irracionales conlas expresiones o desarrollos decimales infinitos noperiódicos. Reconoce en las distintas formas derepresentación de los números una complejidad conceptualque se constituye en un obstáculo didáctico.

Reconoce las propiedades del orden y de las operaciones,incluyendo potencias y raíces, en los números decimales,racionales e irracionales, y las visualiza bajo lasdistintas formas de representación, incluyendo esquemas ygráficos, de estas categorías de números. Fundamenta losprocedimientos de cálculo a partir de las formas derepresentación de los números.

263

Resuelve problemas asociados a fenómenos naturales ysociales a partir de la modelación de situaciones referidasa diferencias y razones entre medidas, mediciones yparticiones, repartos y fraccionamientos, equivalencia defraccionamientos, cuocientes y restos, pendientes,escalas, semejanza, porcentajes, tasas y variacionesproporcionales, probabilidades, medidas grandes y pequeñas,redondeos, aproximaciones, estimaciones, uso de calculadoray algoritmos operatorios, y uso de estrategias de cálculo;para lo cual utiliza números irracionales, el sistema delos números racionales y diferentes registros derepresentación, incluyendo expresiones fraccionarias,decimales finitas, infinitas periódicas y no periódicas, ypotencias con exponente entero.

Diseña, selecciona y resuelve situaciones problemasasociadas a distintas disciplinas, en el marco de losprogramas de estudio de segundo ciclo básico, usandofracciones, decimales y porcentajes.

Competencia 2, Eje 2:Comprende el marco curricular nacional y los mapas deprogreso para el sector curricular que enseña y utilizaeste conocimiento para planificar su enseñanza.

Competencia 6, Eje 2:Evalúa, selecciona y diseña materiales, métodos ysituaciones de aprendizaje aprendidas, en cuanto a suprecisión y utilidad para presentar ideas y conceptos en sudisciplina.

II. Aprendizajes (claves para el logro de losestándares/competencias)

Indicadores de logro

Conceptuales: Describe el concepto de número racional, como ente

formal cuyas propiedades están dadas por su definiciónconstructiva

264

Explica la diferencia entre el número irracional comoobjeto matemático y su representación.

Construye los racionales como cuerpo cuociente y defineel orden, la suma y el producto en Q.

Identifica las propiedades de Q como cuerpo cuociente,ordenado, arquimediano, pero no completo, incluyendopropiedades de las potencias.

Identifica las propiedades de Q que no se verifican enZ.

Define raíz de un número y su potencia, Explica la necesidad de definir los números

irracionales para representar situaciones referidas amagnitudes continuas.

Explica el sentido de la definición de númeroirracional como un límite de sucesiones de Cauchy,intervalos encajados o cortaduras.

Caracteriza las situaciones en contextos cotidianos ode especialidad en que se usa preferentemente losdecimales en vez de las fracciones, y viceversa.

Identifica obstáculos didácticos asociados a lacomprensión y uso de los números racionales eirracionales en el segundo ciclo básico, en particularlos obstáculos epistemológicos que quedan en evidenciaen el desarrollo histórico de la noción de número real,y planifica actividades para la superación de estos porparte de los alumnos

Define los números reales como completación de Q y losIdentifica con sucesiones de Cauchy, intervalosencajados o cortaduras que se representan por medio delos desarrollos decimales infinitos y por puntos en larecta numérica.

Utiliza el modelo de los números reales para resolverproblemas y representar fenómenos o situacionesreferidos a magnitudes continuas, teniendo en vista laorganización de su enseñanza en el segundo ciclobásico.

Identifica los números complejos como pares ordenadosde números reales, los representa en el plano, conocesu operatoria, sus propiedades y usos como vectores quepermiten resolver situaciones problemas.

Procedimentales:

265

Explora y deduce algunas propiedades en el cuerpoordenado (Q,+,*) a partir de (Z,+,*).

Demuestra algunas propiedades de Q que no se verificanen Z.

Explora propiedades de las raíces y hace demostracionesa partir de las propiedades de las potencias.

Extiende y verifica o demuestra propiedades algebraicasde las operaciones con números racionales al ámbito delos irracionales.

Fundamenta los algoritmos de operación para lasfracciones y los decimales, los cambios de registro, eluso de estrategias de cálculo mental y otrasestrategias ad hoc.

Resuelve problemas en contextos cotidianos sobrecuocientes, razones, tasas, proporciones,probabilidades, repartos y fraccionamientos utilizandodistintas representaciones de los racionales, susoperaciones y propiedades.

Organiza, planifica y diseña actividades y secuenciasde enseñanza, entre ellos algunas situaciones problemasque favorecen la comprensión y utilización del cuerpoordenado de los racionales, en situaciones referidas afracciones de medidas, particiones, reparto,equivalencia de fracciones, operaciones entreracionales, cálculos con algoritmos estándares, uso deestrategias de cálculo, uso de calculadora, lectura yescritura de números racionales, divisores, restos,potencias, exponentes enteros incluyendo negativos;atendiendo a los obstáculos didácticos asociados aestos conceptos y a las orientaciones didácticas de losprogramas oficiales de cuarto básico a primero medio.

Organiza, planifica y diseña actividades y secuenciasde enseñanza que favorecen la comprensión y utilizaciónde los racionales, en situaciones referidas a ubicaciónen la recta, expresiones decimales infinitasperiódicas, redondeos, aproximaciones, estimaciones,medidas grandes y pequeñas; atendiendo a losobstáculos didácticos asociados a estos conceptos, alas orientaciones didácticas de los programas oficialesde cuarto básico a primero medio, y a los enfoquescognoscitivos actuales de los aprendizajes

266

Organiza y diseña actividades que favorecen lacomprensión y utilización de los números irracionales,en situaciones referidas a fracciones de medidas,ubicación en la recta, expresiones decimales infinitasno periódicas, redondeos, aproximaciones, uso deestrategias de cálculo, uso de calculadora, medidasgrandes y pequeñas, atendiendo a los obstáculosdidácticos asociados a estos conceptos y a lasorientaciones didácticas de los programas oficiales deoctavo básico y primero medio.

Actitudinales

Valora los números reales y los números complejos comomodelos de las cantidades continuas

III. Lecturas Requeridas:

Obligatoria:Burton, D. (1967). Introduction to Modern Abstract Álgebra.Addison Wesley Pub. Co.Centeno, Julia (1997). Números decimales ¿Por qué?, ¿Paraqué?. Serie matemáticas: Cultura y aprendizaje. EditorialSíntesis.MINEDUC, (1998). Planes y programas de estudio para quintoaño básico. Santiago, ChileMINEDUC, (1998). Planes y programas de estudio para sexto añobásico. Santiago, ChileMINEDUC, (1998). Planes y programas de estudio para séptimoaño básico. Santiago, ChileMINEDUC, (1998). Planes y programas de estudio para octavoaño básico. Santiago, ChileNCTM (1989). Estándares curriculares y de evaluación para laeducación matemática.

ComplementariaAdler, I. (1969). Magic House of Numbers Signet, New York. Boyer, C.B. (1986) Historia de la matemática. Alianza Editorial,Madrid, (3ª impresión 2003).

267

Brumfiel, Ch., Eichole, R. y Shanks, M. (1962). Fundamental Concepts of Elementary Mathematics. Addison Wesley, Massachusetts.Courant, R y Robbins, H. (1996). What is mathematics ? OxfordUniversity Press. Dávila, M. (1992). El Reparto y las Fracciones. En Educación Matemática. Vol.4 Nº 1 Abril Pp 32-45.Llinares, S. Y Sánchez, M.A. (1988). Fracciones. Síntesis. Madrid.Pitkenthly, A. y Hunting, R. (1996). A review of recentresearch in the area of initial fraction concepts.Educational Studies in Mathematics. (30), 1, pp. 5-38.Rico, L. (1998) Conocimiento Numérico y Formación del Profesorado. En Revista de Educación de la Universidad de Granada. Vol. 11 Granada.Rouche, N. (1993). De las Magnitudes a los Racionales. DocumentoInédito. CIDE, Santiago. Dobrot, S (1964). Real Numbrers, Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J

IV. Otros recursos:Cid, E., Godino, J.D. y Batanero, C. (2003) Sistemas numéricos ysu didáctica para maestros. Universidad de Granada. En http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/

V. Trabajos requeridos al alumno para lograr estándares ycompetencias del perfil

1. Modelación y deducciones en los RacionalesEstándar 4El estudiante elabora un informe, en conformidad a lossiguientes requerimientos Dadas situaciones referidas a fraccionamientos y repartos,

el alumno identifica las propiedades comunes, tales como lasubdivisión de los enteros y la existencia de valoresequivalentes. Tras la institucionalización por parte delprofesor, el estudiante comparte verbalmente con sus pareslas nociones de fracción equivalente y de clase deequivalencia. Y luego las describe por escrito

268

Tras analizar situaciones de fraccionamiento y reparto,como la distribución equitativa de objetos y la subdivisiónde enteros a partir de un fraccionamiento, discute y explicapor escrito la construcción de los racionales como conjuntocuociente.

Tras estudiar las propiedades iniciales de los racionalescomo anillo cuociente, elabora al menos dos demostracionesreferidas al orden, la adición o la multiplicación en Q yexplica el significado de una partición asociada a unarelación de equivalencia.

IV. Otros recursos:

2. Análisis de conjeturas y elaboración de demostracionesEstándar 4El estudiante entrega un informe atendiendo a las siguientessolicitudes: Tratada la construcción del cuerpo ordenado arquimediano

Q, el estudiante propone y prueba conjeturas, siendoconducido a encontrar propiedades relativas a la estructurade cuerpo de Q y de su orden.

A partir del análisis de los números racionales y ladeducción de algunas propiedades, el estudiante es desafiadoa conjeturar, refutar, verificar y discutir demostracionessobre propiedades del orden, la adición, la multiplicación ylas potencias en Q.

3. Análisis del cuerpo (R,+,*) como modelo. Estándar5El estudiante entrega un informe atendiendo a los siguientesrequerimientos: Tras reconocer los números reales como modelo de situaciones

referidas a “magnitudes continuas”, el estudiante identificala recta numérica y los desarrollos decimales comorepresentaciones del modelo de los números reales.

El estudiante verifica las propiedades algebraicas de losreales.

El estudiante analiza la veracidad de conjeturas acerca delorden y la completitud de los reales, muestra situacionesreferidas a las conjeturas y demuestra o refuta segúncorresponda.

4. Análisis del cuerpo (C,+) como modelo. Estándar 5

269

El estudiante entrega un informe atendiendo a los siguientesrequerimientos: Tras reconocer los números complejos como modelo de

situaciones referidas a “vectores en el plano”, elestudiante identifica el plano como una representación delmodelo de los números complejos.

El estudiante verifica las propiedades algebraicas de loscomplejos

El estudiante analiza la veracidad de conjeturas acerca deloa magnitud y de la norma de un número complejo.

Pauta para la Evaluación Clave

Se contemplan dos evaluaciones claves: una prueba sobre conjeturas y demostraciones, y un informe referido a planificaciones de clases.

Evaluación clave 1. Prueba: Conjeturas, refutaciones ydemostraciones en Q y R.

1. Estándares 4 y 5, Competencia 2.1

2. Justificación: El profesor de matemáticas de segundo ciclo básico debecomprender en qué consiste el trabajo matemático, por ellodebe ser capaz de formular desafíos y argumentar suveracidad, para así favorecer el desarrollo de estashabilidades en sus alumnos.

3. Pre-requisitos:El profesor debe comprender las propiedades básicas de losnúmeros racionales y reales, y de sus operaciones. Además,debe comprender la forma en que estas propiedades sondeducidas.

4. Descripción breve de la evaluación:Los profesores en formación son sometidos a una prueba oevaluación escrita en la que deben enfrentarse a conjeturasy hacer demostraciones o refutaciones acerca de los números

270

racionales y reales, sus operaciones y propiedades, en untiempo delimitado.

5. Descripción en detalle de los pasos de la evaluación.

Paso 1: Conjunto cuociente y Cuerpo Ordenado estándar 4. Explica la construcción de los racionales y deducen

algunas de sus propiedades como cuerpo ordenado

Paso 2 : Concepto de número irracional y sus formas derepresentación. estándar 4.

Analiza una demostración de la existencia de númerosirracionales y justifican cada uno de sus pasos.

Construye un esquema que distinga los números racionales,las fracciones, los números decimales y las fraccionescuyo denominador son potencias de 10 o fraccionesequivalentes, los números reales y los desarrollosdecimales.

Paso 3: Propiedades de los racionales, irracionales y susoperaciones. estándar 4.

Señala las propiedades de Q que no se heredan de Z yde los irracionales que no se heredan de Q.

Analiza conjeturas sobre las propiedades del orden, laadición, la multiplicación, la potenciación y laradicación en los racionales e irracionales, y proveecontraejemplos para refutar las inapropiadas.

Prueba o da contraejemplos de conjeturas relativas alorden y la completitud en R.

Paso 4: Contextos de aplicación de los números reales estándar 5.

Identifica situaciones asociadas a los númerosirracionales que no permiten una modelación eficientepor medio de los racionales.

Resuelve situaciones problemas por medio de lamodelación con números reales, sus operaciones ypropiedades.

6. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedanmostrar sus conocimientos, habilidades, o actitudes(textos, sitios de la red, otros):

271

Antes de la prueba estudiarán las propiedades de lossistemas numéricos en juego y de sus formas derepresentación; previamente llevarán adelante tareas apartir de guías de trabajo y tendrán tiempo paraconsultas, además, dispondrán de ejemplos detalladosde demostraciones. Durante la prueba no podrán tenermaterial de consulta y será resuelta individualmente.

RúbricasCriterio Insuficie

nte0

Básico3

Competente6

Destacado8

Ptos

Explica la construcciónde Q y deduce las propiedades de cuerpo ordenado quese le soliciten.

No es capaz de explicar la construcciónde Q ni de deducir propiedades

Comete errores al explicar la construcciónde Q o bien comete errores lógicos que la invalidansus deducciones.

Explica algunos aspectos centrales dela construcciónde Q y deduce sólo algunas de las propiedades requeridas

Explica lo esencial de la construcciónde Q y deduce todaslas propiedades requeridas.

8

Justifica los pasos deuna demostraciónacerca de laexistencia de irracionales

Construye esquema que distingue R,Q, D y formas que los representan.

No es capaz de justificar los pasos de una demostraciónacerca de laexistencia de irracionales

No logra distinguir los conjuntos nisus formas para representarlos

Justifica sólo los pasos simples de una demostraciónacerca de laexistencia de irracionales

Distingue los conjuntos pero no las formas en que se representan.

Justifica lamayoría de los pasos de una demostraciónacerca de laexistencia de irracionales

Distingue los conjuntos y las formas que los representan,pero no da explicaciones imprecisas

Justifica latotalidad delos pasos de una demostraciónacerca de laexistencia de irracionales.Construye unesquema claro que distingue R,Q, D y las formas que los representan.

4

8

Reconoce propiedades

No reconoce propiedades

Reconoce sólo un par

Reconoce al menos cuatro

Reconoce cinco o màs

8

272

de los irracionalesque no son de Q y de Q que no son de Z.

Analiza conjeturas, prueba y da contraejemplos sobre el orden y las operaciones en los reales.

de los irracionalesque no son de Q y de Q que no son de Z.

No es capaz de elaborar,probar o darcontraejemplos de conjeturas en los reales.

de propiedades de los irracionalesque no son de Q y de Q que no son de Z.

Identifica conjeturas, pero no prueba ni dacontraejemplos en los reales.

propiedades de los irracionalesque no son de Q y de Q que no son de Z.

Ante conjeturas falsas da contraejemplos, pero no demuestra enel caso de ser verdaderas.

propiedades de los irracionalesque no son de Q y de Q que no son de Z.

Analiza conjeturas, prueba las verdaderas y da contraejemplos sobre lasfalsas.

Identifica situaciones que requieren una modelación con irracionales.

Resuelve problemas desituaciones modeladas con reales

No identifica situaciones que requieren una modelación con irracionales.

No logra resolver problemas desituaciones modeladas con reales

Confunde situaciones que se pueden modelar en Qo con irracionales.

No logra modelar adecuadamente las situaciones planteadas

Identifica sólo situaciones de medición que requieren una modelación con irracionales

Modela las situaciones,pero comete errores al resolver el problema.

Identifica al menos tres situaciones que requieren los irracionalespara ser bien modeladas..

Modela y resuelve correctamente los problemas.

4

8

Evaluación clave 2 Planificación de actividades deaprendizaje.

1. Estándar 4, Competencias 2.3, 2,6 y 2,12

2. Justificación: Es prioritaria la coherencia entre la matemática pura y la matemática escolar, de modo que la asignatura no pierda su esencia. El profesor debe articular el saber matemático puro con el saber matemático a enseñar, y nada mejor que esa articulación se haga desde el momento en que se

273

aprende. Esta evaluación se inspira en la reflexión sobre ¿Qué es lo importante sobre los números que debe ser enseñado en el segundo ciclo básico?.

3. Pre-requisitos:El profesor debe conocer los programas de estudio, la operatoriaaritmética en los reales, elementos de lógica preposicional ydebe reconocer los conocimientos que requieren poner en juegolos alumnos para alcanzar los aprendizajes sobre los números enel segundo ciclo básico.

4. Descripción breve de la evaluación:

Los profesores elaboran una secuencia de actividades y deevaluación en torno a un tema de la matemática escolar, de modoque conserve lo esencial del conocimiento matemático puro que leprecede. Esta planificación de clases se referirá a los númerosracionales, dispondrá de 7 días para prepararla, una vez quehaya consultado las orientaciones didácticas de los programas deestudio, la presentación de los textos escolares, y losobstáculos didácticos asociados al tema según lo establece laliteratura.

5. Descripción en detalle de los pasos de la evaluación.

Paso 1: Delimitación del tema y análisis de programas ytextos estándar 4, comp.. 2.12. Una vez tratada en clases la construcción de los

racionales y habiendo trabajado demostraciones en tornoa las propiedades del orden y las operaciones en Q, elestudiante analiza actividades de aprendizaje sobreestos conceptos en los programas de estudio y textosescolares del segundo ciclo básico..

Paso 2: Análisis de la matemática presente en Programas ytextos. estándar 4, comp.. 2.6. Analiza el saber matemático presente en los conceptos

según son tratados en los programas de estudiooficiales.

Paso 3: Análisis de los obstáculos didácticos asociados altema. estándar 4. Analiza las actividades teniendo en consideración los

obstáculos didácticos asociados a los conceptos

274

tratados y las orientaciones didácticas entregadas porlos programas de estudio.

Paso 4: Elaboración de secuencia de actividades deaprendizaje. estándar 4, comp. 2.3. Planifica y diseña actividades y secuencias de

enseñanza que favorecen la comprensión y uso de talesconceptos atendiendo a los antecedentes anteriores, alos enfoques cognoscitivos actuales de losaprendizajes, y a la disponibilidad de recursoscomputacionales.

6. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedanmostrar sus conocimientos, habilidades, o actitudes(textos, sitios de la red, otros):

Para mostrar el informe de las planificacionesdispondrán de proyector de pantalla.

Rúbricas

Criterio Insuficiente0

Básico3

Competente6

Destacado8

Ptos

Las actividades son coherentes con los aprendizajesseleccionados del los Programas

No formula actividades que pongan en juego conocimientos previos

Actividadesque ponen enjuego saberes, pero que no conducen a los aprendizajesseleccionados

Actividadesrelacionadascon los aprendizajesesperados pero no a partir de saberes previos.

Actividades que ponen enjuego conocimientos previos y apuntan a los aprendizajesesperados

8

Las actividades mantienen enesencia el saber matemático contenido enlos aprendizajesesperados

No formula actividades relacionadascon los aprendizajesesperados.

Las actividades no se relacionan con los saberes matemáticos asociados a los aprendizajesesperados

Las actividades se relacionan parcialmentecon los saberes matemáticos asociados a los aprendizajesesperados.

Las actividades se relacionan claramente con los saberes matemáticos asociados a los aprendizajesesperados

8

275

Las actividades tienen en consideración los obstáculos didácticos sobre el tema y son coherentes con las sugerencias didácticas de los Programas.

No propone actividades de aprendizaje,en que los alumnos pongan en juego saberes paraconstruir o consolidar nuevos saberes.

Las actividades no se ajustan a las sugerencias del programani tienen encuenta los obstáculos didácticos asociados altema.

Las actividades se ajustan alas sugerencias del programao bien tienen en cuenta los obstáculos didácticos asociados altema, pero no ambas.

Las actividades se ajustan alas sugerencias del programay tienen en cuenta los obstáculos didácticos asociados altema.

8

La secuenciade actividades es consistente con los enfoques cognitivos actuales sobre aprendizaje en matemática Y contempla el uso adecuado detecnología.

Las actividades no atienden los principios básicos sobre el aprendizaje

Las actividades se limitan aatender principios de aprendizaje conductistas.

Las actividades tienen en cuenta principios socio cognitivos actuales acerca del aprendizaje de la matemática

Las actividades son consistentescon los enfoques cognitivos actuales sobre aprendizaje en matemática Y contemplanel uso adecuado detecnología.

8

VI. Puntuación de los Trabajos para la evaluación:

Puntos:

1. Informe escrito Modelación y deducciones en Q (Estándar 4, comp.. 2,1) 62. Informe escrito Conjeturas y demostraciones en Q (Estándar 4, comp.. 2,1) 83. Informe escrito El cuerpo (R,+,*) Como modelo (Estándar 5, comp.. 2,1) 84. Informe escrito El cuerpo (C,+,*) como modelo (Estándar 5, comp.. 2,1) 85. Prueba individual (Evaluación clave, Estándar4, comp.. 2,1) 406. Planeamiento de la enseñanza (Evaluación Clave,Comps 2.3, 2,6 y 2,12) 32

276

Total de puntos: 100

2. ¿Cuál es la secuencia recomendada de estos cursos?

Año I Números: Sus Usos y Operaciones Introducción a la Geometría Geometría del Triángulo y del Cuadrilátero Estadística Básica

Año II Aritmética en IN y Z Transformaciones Isométricas Cuerpos Geométricos Racionales, Reales y Complejos

Año III Didáctica de los Sistemas Numéricos Geometría Proporcional Variaciones Proporcionales Estadística y Probabilidades

Año IV Algebra y Funciones Didáctica de la Geometría Didáctica del Álgebra

3. Identifique principales fortalezas y debilidades de los siguientes procesos implementados durante el proyecto

Elaboración de estándares (grupos disciplinarios) o Perfil y sus competencias (grupo Perfil)Fortalezas:

277

La elaboración de los estándares se basóen el curriculum de Educación Básica y apartir de ello se construyeron indicadores

La integración del contenido disciplinar yel contenido didáctico en los estándares

Debilidades: La rotativa de coordinadores del grupo retrasó

la elaboración de los estándares. La experta asignada al grupo de Matemática en

marzo del 2006 generó un retroceso pues modificó la línea de desarrollo del proceso seguido hasta ese momento

“Currículum mapping”

Fortalezas: Se propuso la construcción del currículum

a partir de las competencias del perfil ylos indicadores de los estándares.

La adecuada asesoría de Janet McDaniel en“Currículum Mapping”

Elaboración de programas de curso

Fortalezas: Constante diálogo y apertura a

modificaciones de los Programas por parte de todos los integrantes del Equipo

Confianza en la capacidad profesional entre todos los integrantes del Equipo para la elaboración de programas.

Debilidad:

Poco tiempo para elaborar, discutir y analizar en forma presencial los programasde los cursos por lo integrantes del grupo

Falta de recursos humanos para la elaboración de programas

278

Coordinación y trabajo colaborativo a nivel de grupo (disciplinario y perfil)

Fortaleza: Todos los integrantes del Equipo tuvieron

la posibilidad de expresar sus opinionesdivergentes, aspecto que enriqueció ladiscusión de la elaboración de estándares,indicadores y programas.

La coordinación de Patricia Brizuela diócabida a las opiniones divergentes delEquipo incluyéndolas en los análisis y losproductos.

Debilidad: La rotativa de los coordinadores e integrantes

del equipo de las distintas universidades.

Conducción y organización del proyecto (Coordinación del consorcio y equipo directivo)

Fortalezas: Seguimiento continuo al Equipo Las asesorías externas (excepto Marzo

2006) La solución oportuna a los problemas

emergentes de distinta naturaleza.

Debilidad: La subutilización de la Plataforma Web para la

interacción al interior del Consorcio y entre Consorcios.

Otros

279

Fortaleza Los altos grados de preocupación mostrados por

cada una de las Universidades que en su momento tuvieron que ser anfitriones del Proyecto.

280