531208 Method of Differential Equations in Metallurgical

เอกสารประกอบการสอนวชา531208

Method of Differential Equations

in Metallurgical Engineering

วธของสมการเชงอนพนธในวศวกรรมโลหการ

ผศ.ดร.เจษฎา ตณฑนชสาขาวชาคณตศาสตรสำนกวชาวทยาศาสตร

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร

สารบญ

1 บทนำ 11.1 บทนยามและการจำแนกประเภทของสมการเชงอนพนธ . . . . . . . . . . . 11.2 การประยกตของสมการเชงอนพนธ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 ผลเฉลย . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 สรป . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 สมการเชงอนพนธสามญอนดบทหนง 112.1 รปแบบมาตรฐานของสมการเชงอนพนธอนดบทหนง . . . . . . . . . . . . 112.2 สมการเชงอนพนธอยางงาย . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 สมการแยกกนได . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4 ปญหาคาตงตน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.5 สมการเอกพนธ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.6 สมการเชงเสน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.7 สมการแบรนลล . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.8 สมการแบบแมนตรง . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.9 ตวประกอบปรพนธ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.9.1 ตวประกอบปรพนธ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.9.2 การหาตวประกอบปรพนธ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.10 สรป . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3 สมการเชงอนพนธสามญอนดบทสอง 573.1 จำนวนเชงซอน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.1.1 รปแบบและคณสมบตของจำนวนเชงซอน . . . . . . . . . . . 58สารบญ ก

ข สารบญ

3.1.2 จำนวนเชงซอนในเชงเรขาคณต . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.1.3 ฟงกชนเลขชกำลงเชงซอน และ แคลคลสของฟงกชนเลขช

กำลงเชงซอน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.1.4 ผลเฉลยเชงซอนของสมการพหนาม . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.2 รปแบบมาตรฐานของสมการเชงอนพนธอนดบทสอง . . . . . . . . . . . . 683.3 ปญหาคาขอบ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.4 สมการเชงเสน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.5 ทฤษฎบทมลฐานของสมการเอกพนธ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.6 สมการเอกพนธเชงเสนทมสมประสทธเปนคาคงตว . . . . . . . . . . . . . 83

3.6.1 กรณรากของสมการแคแรกเทอรสตกเปนจำนวนจรงใด ๆ ทแตกตางกน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.6.2 กรณรากของสมการแคแรกเทอรสตกเปนจำนวนจรงทเหมอนกน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.6.3 กรณรากของสมการแคแรกเทอรสตกเปนจำนวนเชงซอน ซงเปนสงยคเชงซอนซงกนและกน . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.6.4 สรป . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.7 การใชผลเฉลยหนงหาอกผลเฉลยหนงในสมการเอกพนธเชงเสน . . . . . . 943.8 สมการไมเอกพนธ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.8.1 ระเบยบวธเทยบสมประสทธ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.8.2 การแปรผนของตวแปรเสรม . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1173.8.3 สรป . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

3.9 สมการโคช-ออยเลอร . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283.10 รปแบบสมการเชงอนพนธสามญอนดบทสองทเปนไปไดทงหมด . . . . . . 133

4 สมการเชงอนพนธอนดบสง 1354.1 ทฤษฎทเกยวของกบสมการเชงอนพนธเชงเสน . . . . . . . . . . . . . . . 1354.2 ทฤษฎทเกยวของกบสมการเอกพนธ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1384.3 สมการเอกพนธเชงเสนทมสมประสทธเปนคาคงตว . . . . . . . . . . . . . 145

สารบญ ฃ

4.3.1 กรณรากของสมการแคแรกเทอรสตกเปนจำนวนจรงใด ๆ ทแตกตางกน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

4.3.2 กรณรากของสมการแคแรกเทอรสตกเปนจำนวนเชงซอนทแตกตางกน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

4.3.3 กรณสมการแคแรกเทอรสตกมรากซำ . . . . . . . . . . . . . . 1494.3.4 กรณสมการแคแรกเทอรสตกมรากประกอบดวยเปนจำนวนจรง

จำนวนเชงซอน และรากซำ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1514.4 สมการไมเอกพนธ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

4.4.1 ทฤษฎทเกยวของกบสมการไมเอกพนธ . . . . . . . . . . . . . 1544.4.2 ระเบยบวธเทยบสมประสทธ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1594.4.3 การแปรผนของตวแปรเสรม . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

5 การแปลงลาปลาซ 1795.1 บทนยาม สญลกษณ และ การแปลงลาปลาซของบางฟงกชน . . . . . . . . 1795.2 คณสมบตของการแปลงลาปลาซ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

5.2.1 การมจรงของการแปลงลาปลาซของฟงกชน . . . . . . . . . . 1835.2.2 ความเปนเชงเสนของการแปลงลาปลาซ . . . . . . . . . . . . . 1855.2.3 การเลอนขนานในแนวแกน s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1875.2.4 การแปลงลาปลาซของอนพนธ . . . . . . . . . . . . . . . . . 1885.2.5 การแปลงลาปลาซของอนทกรล . . . . . . . . . . . . . . . . . 1905.2.6 อนพนธของการแปลงลาปลาซ . . . . . . . . . . . . . . . . . 1925.2.7 อนทกรลของการแปลงลาปลาซ . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

5.3 เทคนคการหาการแปลงลาปลาซผกผน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1965.4 การประยกตใชการแปลงลาปลาซเพอหาผลเฉลยของปญหาคาตงตน . . . . 207

6 ผลเฉลยในรปอนกรมกำลงของสมการเชงอนพนธ 2156.1 บทนยามและทฤษฎทเกยวของกบอนกรมกำลง . . . . . . . . . . . . . . . 2166.2 การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธโดยใชอนกรมกำลง . . . . . . . . . . 221

ค สารบญ

คำตอบของแบบฝกหด 235

บทท 1บทนำ

สมการเชงอนพนธเปนสวนสำคญของปญหาทางคณตศาสตรวทยาศาสตรวศวกรรมศาสตร เกษตร-ศาสตร แพทยศาสตร และสาขาอน ๆ อกมากมาย เนองดวยสมการเชงอนพนธสามารถนำไปใชอธบายปรากฏการณทางธรรมชาตไดเปนจำนวนมาก สำหรบการศกษาวชาสมการเชงอนพนธในเบองตน จะเรมตนดวย การศกษา บทนยาม การจำแนกประเภท และ ผลเฉลย ของสมการเชงอนพนธ

1.1 บทนยามและการจำแนกประเภทของสมการเชงอนพนธบทนยาม 1.1 (สมการเชงอนพนธ). สมการเชงอนพนธ (differential equation) คอ สมการซงมพจนของ อนพนธของฟงกชนไมทราบคา เทยบกบ ตวแปรอสระ หนงตวหรอ อนพนธของฟงกชนไมทราบคา เทยบกบ ตวแปรอสระ หลายตวตวอยาง 1.1.

dy

dx+ y = 0 (1.1)

dy

dx+ y = e−x2 (1.2)

(dy

dx

)2

+ xydy

dx= sin(xy) (1.3)

d2y

dx2+ xy

(dy

dx

)2

=y

x+

x

y(1.4)

y′′′ + xy′ + x2y = x3 (1.5)∂u

∂s+

∂u

∂t= u (1.6)

∂2w

∂x21

+∂2w

∂x22

+∂2w

∂x23

= 0 (1.7)ut = c2uss (1.8)

utt + uuxx = 0 (1.9)จากตวอยางขางตนพบวา y เปนฟงกชนไมทราบคา ของตวแปร x, u เปนฟงกชนไมทราบคา

1

2 บทท 1. บทนำ

ของตวแปร s และ t และ w เปนฟงกชนไมทราบคาของตวแปร x1, x2 และ x3 ในทนเราเรยกตวแปร u, w และ y วา ตวแปรไมอสระ (dependent variable) และเรยกตวแปร x, s, t, x1, x2 และx3 วา ตวแปรอสระ (independent variable)สำหรบสมการ (1.1)-(1.5) เปนสมการเชงอนพนธของฟงกชนไมทราบคาเทยบกบตวแปร

อสระหนงตวแปร เราเรยกสมการดงกลาวนวาสมการเชงอนพนธสามญ (ordinary differential e-quation, ODE) และ สมการ (1.6)-(1.9) เปนสมการเชงอนพนธของฟงกชนไมทราบคาเทยบกบตวแปรอสระมากวาหนงตวแปร เราเรยกสมการดงกลาวนวาสมการเชงอนพนธยอย (partial differ-ential equation, PDE)เราสามารถแยกประเภทของสมการเชงอนพนธทงสองแบบ ตามอนดบของอนพนธสงสดท

ปรากฏในสมการบทนยาม 1.2 (อนดบของสมการ). อนดบ (order) ของสมการเชงอนพนธ หมายถงอนดบสงสดของอนพนธทปรากฏในสมการเชงอนพนธนนจากตวอยาง 1.1• สมการ (1.1)-(1.3) เปนสมการเชงอนพนธสามญอนดบหนง• สมการ (1.6) เปนสมการเชงอนพนธยอยอนดบหนง• สมการ (1.4) และ (1.5) เปนสมการเชงอนพนธสามญอนดบสองและสาม ตามลำดบ• และ สมการ (1.7) และ (1.9) เปนสมการเชงอนพนธยอยอนดบสองนอกจากน ในทำนองเดยวกบการศกษาเรองเสน และ ระนาบ ในเรขาคณต เราสามารถแบง

สมการเชงอนพนธสามญตามลกษณะความเปนเชงเสนไดบทนยาม 1.3 (สมการเชงเสน). เราเรยกสมการทอยในรป

an(x)dny

dxn+ an−1(x)

dn−1y

dxn−1+ · · ·+ a1(x)

dy

dx+ a0(x)y = b(x),

เมอ an(x) ไมเทากบศนยสำหรบทก ๆ คา x วา สมการเชงอนพนธสามญเชงเสนอนดบ n (linearordinary differential equation of order n) และเรยก สมการเชงอนพนธสามญ ทไมสามารถเขยนอยในรปนไดวา สมการเชงอนพนธสามญไมเชงเสน (nonlinear ordinary differential equation)

1.1. บทนยามและการจำแนกประเภทของสมการเชงอนพนธ 3

จากตวอยาง 1.1• สมการ (1.1) และ (1.2) เปนสมการเชงอนพนธสามญเชงเสนอนดบหนง• สมการ (1.5) เปนสมการเชงอนพนธสามญเชงเสนอนดบสาม• แต สมการ (1.3) และ (1.4) เปนสมการเชงอนพนธสามญไมเชงเสนและเรายงสามารถแบงแยกสมการเชงอนพนธสามญเชงเสนไดตามคณสมบตของสมประสทธ

ของตวแปรและอนพนธ ทปรากฏในสมการเชงเสนไดเปน สมการเชงอนพนธสามญเชงเสนทมสมประสทธเปนคาคงตว (constant coefficient linear ordinary differential equation) และ สมการเชงอนพนธสามญเชงเสนทมสมประสทธเปนตวแปร (variable coefficient linear ordinary differ-ential equation)จากตวอยาง 1.1 สมการ (1.1) และ (1.2) เปนสมการเชงอนพนธสามญเชงเสนอนดบหนงท

มสมประสทธเปนคาคงตว และ สมการ (1.5) เปนสมการเชงอนพนธสามญเชงเสนอนดบสามทมสมประสทธเปนตวแปร

แบบฝกหดจงระบวาสมการขางลางตอไปนเปน สมการเชงอนพนธสามญ หรอ สมการเชงอนพนธยอย

พรอมทงระบ อนดบของสมการและ สำหรบสมการเชงอนพนธสามญ ใหระบดวยวาเปน สมการเชงเสน หรอ สมการไมเชงเสน

1. dy

dx+ x2y = xex

2. ∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2= 0

3. d4y

dx4+ 3

(d2y

dx2

)5

+ 5y = 0

4.(

dr

ds

)3

=

√d2r

ds2+ 1

5. ut = (c(x)ux)x

6. 3y′′ + 4y′ + 9y = 2 cos(3x)

7. d6z

dt6+

(d4z

dt4

)(d3z

dt3

)+ z = t

8. d2y

dx2+ y sin(x) = 0

9. ∂4u

∂x2∂y2+

∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2+ u = 0

10. y(4) + y′′ + 5y = e5x

(ดคำตอบของแบบฝกหดทหนา 235)


1.2 การประยกตของสมการเชงอนพนธดงทกลาวไวขางตนแลววาสมการเชงอนพนธมสวนสำคญในการอธบายปรากฏการณทางธรรมชาต

มากมาย ตวอยางปญหาทางธรรมชาตทสามารถ ถกอธบายไดโดยสมการเชงอนพนธ อาทเชน• ปญหาการเคลอนทวตถทตกลงอยางอสระลงสพนโลก ปญหาการเคลอนทแบบโปรเจคไตล(projectile) การเคลอนทของดวงดาวในระบบสรยจกรวาล• ปญหาการหาคาประจ และ กระแสในวงจรไฟฟา• ปญหาการหาคาความรอนของวตถ• ปญหาการเคลอนทของคลนนำ คลนอากาศ คลนกระแทก (shock wave) คลนแผนดนไหว(seismic wave)• ปญหาการสนของเสนเชอก สายกตาร การสนของสะพาน• ปญหาการเตบโต-ลดลง ของประชากร ปญหาความสมดลของประชากร• ปญหาเรองการศกษาปฏกรยาฟสกส เคม• ปญหาการความชนของเสนโคง

กอนจะกลาวเพมเตมในเรองน จะขอกลาวถง อนพนธ (derivative) กอน จากในวชา แคลคลส (cal-culus) เราทราบแลววาอนพนธของฟงกชน คออตราการเปลยนแปลงของฟงกชน เทยบกบตวแปรและสำหรบปรากฏการณทางธรรมชาตโดยสวนมาก กจะเกยวของกบ อตราการเปลยนแปลงของปรมาณหนง หรอ หลายปรมาณ เทยบกบปรมาณอน ๆ ในการสรางสตรทางคณตศาสตรทสามารถอธบายปญหาขางตนได กจะตองเกยวของกบอตราการเปลยนแปลงทางธรรมชาตหลาย ๆอยางซงอตราการเปลยนแปลงทางธรรมชาตดงกลาว สามารถอธบายไดโดยอนพนธแบบตาง ๆ และโดยกฎทางวทยาศาสตร เราจะนำ อนพนธเหลานนมาอธบายปญหาในรปแบบของ สมการเชงคณตศาสตรทมพจนของอนพนธเขามาเกยวของ ซงนนคอ สมการเชงอนพนธ นนเองหลาย ๆ คนอาจจะมคำถามวา แลวเราจะไดประโยชนอะไร หลงจากทเราสามารถตง สมการ

เชงอนพนธ ทเกยวของกบปรากฏการณธรรมชาตตาง ๆ แลว คำตอบกคอถาเราสามารถแกสมการเชงอนพนธได “ผลเฉลย” ของสมการเชงอนพนธนนกจะสามารถถกนำไปใชในการ อธบาย และทำนาย ปรากฏการณธรรมชาตนนได

1.3. ผลเฉลย 5

สำหรบเนอหาทจะกลาวตอไปภายหลงจากน จะเกยวของกบ สมการเชงอนพนธสามญ เพอความสะดวก ถากลาวถง “สมการเชงอนพนธ ” จะหมายถง สมการเชงอนพนธสามญ ยกเวนวาเนอหาในสวนนนจะระบเปนอยางอน

1.3 ผลเฉลยบทนยาม 1.4 (ผลเฉลย). พจารณาสมการเชงอนพนธอนดบ n

F

(x, y,

dy

dx, · · · ,

dny

dnx

)= 0, (1.10)

เมอ F เปนฟงกชนของจำนวนจรง ซงมอารกวเมนต (arguments) จำนวน n + 2 อารกวเมนตไดแกx, y,

dy

dx, . . . ,

dny

dnx

• ให f เปนฟงกชนของจำนวนจรง ซงนยามสำหรบทก ๆ x ซงอยในบางชวง I และ สามารถหาอนพนธของฟงกชน f ไดถงอนดบท n สำหรบทก ๆ x ∈ I ถาฟงกชน f เปนไปตามเงอนไขสองขอ ตอไปน1. ฟงกชน

F(x, f(x), f ′(x), . . . , f (n)(x)

)

ถกนยาม สำหรบทก ๆ x ∈ I , และ2. เมอแทนคา y ดวยฟงกชน f(x) และแทนอนพนธของ y ดวยอนพนธของฟงกชน f(x)

ทมอนดบสมนยกนตามลำดบ ลงในสมการ(1.10) แลวทำให F มคาเปนศนยทก ๆ คาx ทอยใน I นนคอ

F(x, f(x), f ′(x), . . . , f (n)(x)

)= 0

สำหรบทก ๆ x ∈ I (หรอเขยนอกอยางไดวา F (x, f(x), f ′(x), . . . , f (n)(x)

) ≡ 0)เราจะเรยกฟงกชน f วา ผลเฉลยชดแจง (explicit solution)• พจารณาความสมพนธ

g(x, y) = 0

ถาเราสามารถจดรป หรอ ทำใหความสมพนธดงกลาว สอดคลองกบสมการเชงอนพนธไดเราจะเรยกความสมพนธนวา ผลเฉลยโดยปรยาย (implicit solution)


• เพอความสะดวก เราจะรวมเรยก ผลเฉลยชดแจง และ ผลเฉลยโดยปรยาย วา ผลเฉลย (solu-tion)

ตวอยาง 1.2. จงแสดงวาฟงกชน φ(x) = x2 − x−1 เปนผลเฉลยชดแจงของสมการเชงอนพนธd2y

dx2− 2

x2

dy

dx= 0 (1.11)

วธทำ เราพบวา φ′(x) = 2x + x−2 และ φ′′(x) = 2− 2x−3 เมอ x 6= 0

เมอแทนคา y ดวย φ(x) แทนคา dy

dxดวย φ′(x) และ แทนคา d2y

dx2ดวย φ′′(x) ลงในสมการ

(1.11) ไดวา(2− 2x−3

)− 2x2

(x2 − x−1

)=

(2− 2x−3

)− (2− 2x−3

) ≡ 0

ซง สมการเปนจรง สำหรบทก ๆ คา x 6= 0 หรอกลาวอกอยางไดวาฟงกชน φ(x) = x2 − x−1 เปนผลเฉลยชดแจงของสมการ (1.11) บนชวง(−∞, 0) ∪ (0,∞)

ตวอยาง 1.3. จงแสดงวาสำหรบคาคงตว c1 และ c2 ใด ๆ ฟงกชนφ(x) = c1e

−x + c2e2x

เปนผลเฉลยชดแจงของสมการเชงอนพนธy′′ − y′ − 2y = 0 (1.12)

วธทำ จากการคำนวณพบวา φ′(x) = −c1e−x + 2c2e

2x และ φ′′(x) = c1e−x + 4c2e

2x

เมอแทนคา y, y′, และ y′′ ดวย φ(x), φ′(x), และ φ′′(x) ตามลำดบลงในสมการ (1.12) ไดวา(c1e

−x + 4c2e2x

)− (−c1e−x + 2c2e

2x)− 2

(c1e

−x + c2e2x

)

= (c1 + c1 − 2c1)e−x + (4c2 − 2c2 − 2c2)e2x ≡ 0

ซง สมการเปนจรง สำหรบทก ๆ คา x หรอกลาวอกอยางไดวาฟงกชน φ(x) = c1e

−x + c2e2x เปนผลเฉลยชดแจงของสมการ (1.12) บนชวง(−∞,∞) สำหรบคาคงตว c1 และ c2 ใด ๆ


ตวอยาง 1.4. จงแสดงวาความสมพนธx2 + y2 = 25 (1.13)

เปนผลเฉลยโดยปรยายของสมการเชงอนพนธx + y

dy

dx= 0 (1.14)

บนชวง I = [−5, 5]

วธทำ เมอพจารณาความสมพนธ (1.13) พบวาความสมพนธดงกลาวนยามเมอ −5 ≤ x ≤ 5 (หรอx นยามบนชวง [−5, 5]) และ −5 ≤ y ≤ 5 เมอพจาณาให y เปนตวแปรไมอสระทขนกบตวแปร xและหาอนพนธของความสมพนธ (1.13) เทยบกบ x เราจะได

2x + 2ydy

dx= 0

ซงสามารถจดรปสมการดงกลาวไดเปนx + y

dy

dx= 0

จากการคำนวณดงกลาวพบวา ความสมพนธ (1.13) สอดคลองกบสมการเชงอนพนธ (1.14) บนชวง I ตรงนแสดงใหเหนวา ความสมพนธ (1.13) เปนผลเฉลยโดยปรยายของสมการ (1.14) บนชวง Iจากตวอยาง (1.4) พจารณาความสมพนธ

x2 + y2 = −25 (1.15)พบวาเมอเราหาอนพนธของความสมพนธ (1.15) เทยบกบ x เราพบวา

2x + 2ydy

dx= 0

เมอหารสมการดวย 2 ทงสองขาง เราจะไดx + y

dy

dx= 0

ซงเปนสมการ (1.14) เชนเดยวกนตวอยางกอนหนาน แตเราไมสามารถกลาวไดวาความสมพนธ(1.15) เปนผลเฉลยโดยปรยายของสมการ (1.14) เพราะ ความสมพนธ (1.15) ไมนยามเมอ x และ yเปนจำนวนจรงใด ๆ


ตวอยาง 1.5. จงแสดงวาความสมพนธy2 − x3 + 8 = 0 (1.16)

เปนผลเฉลยโดยปรยายของสมการเชงอนพนธdy

dx=

3x2

2y(1.17)

บนชวง (2,∞)

วธทำ เมอพจารณาความสมพนธ (1.16)พบวาความสมพนธดงกลาวนยามเมอx ≥ 2 (ความสมพนธนยามเมอ x อยในชวง [2,∞)) และ y เปนจำนวนจรงใด ๆเชนเดยวกนกบตวอยางกอนหนาน เมอพจาณาให y เปนตวแปรไมอสระทขนกบตวแปร x

และหาอนพนธของความสมพนธ (1.16) เทยบกบ x เราจะได2y

dy

dx− 3x2 = 0

ซงสามารถจดรปสมการดงกลาวไดเปนdy

dx=

3x2

2y

จากการคำนวณดงกลาวพบวา ความสมพนธ (1.16) สอดคลองกบสมการเชงอนพนธ (1.17) เมอx > 2

สำหรบกรณ x = 2 ความสมพนธ (1.16) จะสงผลให y2 − 23 − 8 = 0 หรอไดวา y = 0 ทำใหสมการเชงอนพนธ (1.17) ไมนยาม ตรงนแสดงใหเหนวา ความสมพนธ (1.16) เปนผลเฉลยโดยปรยายของสมการ (1.17) ทก ๆ คา x ทอยในชวงเปด (2,∞)


แบบฝกหด1. จงแสดงวา ฟงกชนทกำหนดใหทางขวามอของสมการเชงอนพนธ เปนผลเฉลยชดแจงของสมการเชงอนพนธ นน พรอมทงหา ขอบเขตของตวแปร x ททำให ฟงกชนดงกลาว เปนผลเฉลย ของสมการเชงอนพนธ(a) dy

dx+ y = x + 1, f(x) = x + 3e−x

(b) d2y

dx2− 7

dy

dx+ 12y = 0, f(x) = 2e3x − 5e4x

(c) y′′ − 3y′ + 2y = 4x2, f(x) = ex + 2x2 + 6x + 7

(d) (1 + x2)y′′ + 4xy′ + 2y = 0, f(x) =1

1 + x2

(e) d2y

dx2+ y = x2 + 2, f(x) = sinx + x2

(f) d2y

dx2+ y = 0, f(x) = 3 cosx + 5 sinx

(g) y′′ − yy′ + 3y = −2e2x, f(x) = 2e3x − e2x

(h) y′′ + 4y = −5e−x, f(x) = 3 sin 2x + e−x

2. จงแสดงวา ความสมพนธ ทกำหนดให ทางขวามอ ของสมการเชงอนพนธ เปน ผลเฉลยโดยปรยาย ของสมการเชงอนพนธ นน พรอมทงหา ขอบเขตของตวแปร x ททำให ฟงกชนดงกลาว เปนผลเฉลย ของสมการเชงอนพนธ(a) dy

dx=

x

y, x2 − y2 = 6

(b) dy

dx=

2xy

y − 1, y − ln y = x2 + 1

(c) dy

dx=

e−xy − y

e−xy + x, exy + y = x− 1

(d) dy

dx= 2x sec(x + y)− 1, x2 − sin(x + y) = 1

(e) y′′ =6xy′ + (y′)3 sin y − 2 (y′)2

3x2 − y, sin y + xy − x3 = 2


1.4 สรปสมการเชงอนพนธ คอ สมการซงมพจนของอนพนธของฟงกชนไมทราบคา เทยบกบตวแปร

อสระหนงตวหรอ อนพนธของฟงกชนไมทราบคา เทยบกบตวแปรอสระหลายตว เราเรยก สมการเชงอนพนธ ทมอนพนธของฟงกชนไมทราบคา เทยบกบตวแปรอสระหนงตว วา สมการเชงอนพนธสามญ และ เรยกสมการเชงอนพนธ ทมอนพนธของฟงกชนไมทราบคาเทยบกบตวแปรอสระหลายตว วา สมการเชงอนพนธยอยอนดบ ของสมการเชงอนพนธสามญ และ สมการเชงอนพนธยอย หมายถง อนดบสงสด ของ

อนพนธทปรากฏในสมการเชงอนพนธนนสมการเชงอนพนธสามญยงสามารถถกแบงไดเปนสมการอนพนธสามญเชงเสนและสมการ

อนพนธสามญไมเชงเสนและสำหรบสมการอนพนธสามญเชงเสนสามารถถกแบงไดตามคณสมบตของสมประสทธ ไดเปนสมการเชงอนพนธสามญเชงเสนทมสมประสทธเปนคาคงตวและสมการเชงอนพนธสามญเชงเสนทมสมประสทธเปนตวแปรสำหรบเนอหาเบองตนในการศกษาวชาสมการเชงอนพนธจะเนนในการแกสมการเชงอนพนธ

หรอกลาวอกอยางหนงกคอ การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธนนเอง ผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ จะแบงเปน ผลเฉลยชดแจง และ ผลเฉลยโดยปรยาย ซงในเนอหาทจะกลาวถงตอไป จะเกยวของกบการนำวธตาง ๆ เขามาหาผลเฉลยสมการเชงอนพนธ ซงวธการแตละแบบทจะนำมาใชกจะขนกบ ชนด ของสมการเชงอนพนธ

บทท 2สมการเชงอนพนธสามญอนดบทหนง

เนอหาในบทน เกยวของกบการแกสมการเชงอนพนธอนดบทหนง1 (first-order differential equa-tion) เนองดวย เรามวธการในการแกสมการเชงอนพนธมากมาย สงสำคญในการแกสมการเชงอนพนธ กคอ การเลอกวธทเหมาะสมสำหรบสมการเชงอนพนธนน ๆ

2.1 รปแบบมาตรฐานของสมการเชงอนพนธอนดบทหนงสมการเชงอนพนธอนดบทหนงทจะศกษา อาจจะเขยนใหอยในรปอนพนธ (derivative form)

dy

dx= f(x, y), (2.1)

หรอ รปดฟเฟอเรนเชยล (differential form)M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (2.2)

โดยสมการรปดฟเฟอเรนเชยล (2.2) จะสมมลกบสมการรปอนพนธdy

dx= −M(x, y)

N(x, y)

เมอ N(x, y) 6= 0

ตวอยาง 2.1. สมการdy

dx=

x2 + y2

x− y

เปนสมการทอยในรปอนพนธ (2.1) ซงสามารถเขยนใหอยในรปดฟเฟอเรนเชยล (2.2) ไดเปน(x2 + y2

)dx + (y − x) dy = 0

1ดบทนยามเรองอนดบ หนา 211

12 บทท 2. สมการเชงอนพนธสามญอนดบทหนง

ตวอยาง 2.2. สมการ(sinx + y) dx + (x + 3y) dy = 0

เปนสมการทอยในรปดฟเฟอเรนเชยล (2.2) ซงสมารถเขยนใหอยในรปอนพนธ (2.1) ไดเปนdy

dx= −sinx + y

x + 3y

สำหรบรปอนพนธ (2.1) จะเปนรปแบบของสมการเชงอนพนธอนดบทหนง ทเหนไดบอยและ สอไดชดเจนวา y เปนตวแปรไมอสระ ซงเปนฟงกชนของ ตวแปรอสระ x แต สำหรบ รปดฟเฟอเรนเชยล (2.2) ผอานอาจจะสบสนวา ตวแปรใดเปนตวแปรอสระและตวแปรใดเปนตวแปรไมอสระถาไมไดมขอความระบไวอยางไรกตามสำหรบเอกสารฉบบน จะกำหนดใหy เปนตวแปรไมอสระ และ x เปนตวแปรอสระ ยกเวนวาเนอหาในสวนนนจะระบเปนอยางอน

2.2 สมการเชงอนพนธอยางงายสมการเชงอนพนธอนดบทหนง ทงายตอการหาผลเฉลยทสด จะอยในรป

dy

dx= f(x) (2.3)

การแกสมการน จะเปนแคการหาคาอนทกรล (integral) เทานนเองซงผลเฉลยของสมการรปแบบนคอ2

y =∫

f(x)dx + c,

เมอ c เปนคาคงตวใด ๆตวอยาง 2.3. ตวอยางผลเฉลยของสมการอนพนธอยางงาย• ผลเฉลยของสมการ dy

dx= 1 คอ y = x + c

• ผลเฉลยของสมการ dy

dx= x คอ y =

x2

2+ c


dx= cosx คอ y = sin x + c


dx= ex คอ y = ex + c


dx= ex2 คอ y =

∫ex2

dx + c

หมายเหต เราไมสามารถเขยนฟงกขน ∫ex2

dx ใหอยในรปของฟงกชนพนฐานทวไปทเรารจกได2ดเรองการหาคาอนทกรลไดในหนงสอแคลคลสทวไป

2.3. สมการแยกกนได 13

2.3 สมการแยกกนไดบทนยาม 2.1 (สมการแยกกนได). สมการแยกกนได (separable equation) คอ สมการเชงอนพนธซงอยในรป

dy

dx=

g(x)h(y)

, (2.4)เมอ g เปนฟงกชนของตวแปร x และ h เปนฟงกชนของตวแปร yจากรปแบบมาตรฐานของสมการเชงอนพนธอนดบทหนง ในทน f(x, y) =

g(x)h(y)นนเอง

หมายเหต ในบางครง เราอาจะเขยนสมการแยกกนไดในรปdy

dx= g(x)p(y),

เมอ p(y) =1

h(y)

ตวอยาง 2.4. สมการตอไปนเปนสมการแยกกนได• dy

dx=

x2

y2

• dy

dx= kx, เมอ k เปนคาคงตวใด ๆ

• dy

dx= ky, เมอ k เปนคาคงตวใด ๆ (เพราะสามารถเขยนไดในรปdy

dx=

k

1/y)

• ydy

dx= cos y ln x (เพราะสามารถเขยนไดในรปdy

dx=

ln x

y/ cos y)

• dy

dx=

y

x(เพราะสามารถเขยนไดในรปdy

dx=

1/x

1/y)

• 3x(y2 + 1

)dx + y

(x2 + 1

)dy = 0 (เพราะสามารถเขยนไดในรปdy

dx=− 3x

x2+1y

y2+1

)

• x√

1 + y2dx = y√

1 + x2dy (เพราะสามารถเขยนไดในรปdy

dx=

x√1+x2

y√1+y2

)

• yy′ = x2 (เพราะสามารถเขยนไดในรปdy

dx=

x2

y)

• y′ = 3√

64xy (เพราะสามารถเขยนไดในรปdy

dx=

3√

64x1/ 3√

y)


ขนตอนวธการแกสมการแยกกนได1. จดรปสมการใหอยในรปดฟเฟอเรนเชยลโดยททางซายมอของสมการมเฉพาะพจนทเกยวของกบ ตวแปร y และทางขวามอของสมการ มเฉพาะพจนทเกยวของกบ ตวแปร x

h(y)dy = g(x)dx

2. ทำการอนทเกรตทงสองขางของสมการ∫

h(y)dy =∫

g(x)dx

3. ผลเฉลยทไดอยในรปผลเฉลยโดยปรยาย คอH(y) = G(x) + c,

เมอH(y) =∫

h(y)dy G(x) =∫

g(x)dx และ c เปนคาคงตวใด ๆ

หมายเหต คาคงตว c ทปรากฏในสมการ เปนการรวมคาคงตวของการอนทเกรตทางซายมอ เขากบคาคงตวของการอนทเกรตขวามอของสมการตวอยาง 2.5. จงหาผลเฉลยของสมการ

dy

dx=

y2

x2(2.5)

วธทำ1. จดรปสมการ

1y2

dy =1x2

dx


1y2

dy =∫

1x2

dx

3. ผลเฉลยโดยปรยายทไดคอ− 1

y= −1

x+ c, (2.6)

เมอ c เปนคาคงตวใด ๆ


เราสามารถตรวจสอบวา ผลเฉลยโดยปรยายทได ถกตองหรอไม โดยการหาคา y จากความสมพนธ (2.6) ซงจะไดวา

y =x

1− cx(2.7)

เราพบวาdy

dx=

(1− cx)(1)− x(−c)(1− cx)2

=1

(1− cx)2

และy2

x2= (

x

1− cx)2

1x2

=1

(1− cx)2

นแสดงใหเหนวา y = x/(1− cx) เปนผลเฉลยชดแจงของสมการ (2.5) หรอ กลาวอกอยางหนงไดวาความสมพนธ (2.6) เปนผลเฉลยโดยปรยายของสมการ (2.5)จากผลเฉลย (2.7) ในตวอยาง 2.5 แสดงใหเหนวา ในบางครง ในการแกสมการเชงอนพนธเรา

อาจจะไดผลเฉลยจำนวนมากมายเปนจำนวนอนนต ซงจำนวนผลเฉลยเหลานน ขนอยกบคาคงตวc ซงเปนคาคงตวใด ๆ เรารวมเรยกผลเฉลยทหมดนวาผลเฉลยทวไป (general solution) แตถาเรากำหนดเฉพาะเจาะจงคา c เราจะเรยกผลเฉลยนนวา ผลเฉลยเฉพาะ (particular solution)

รปท 2.1. ผลเฉลยของสมการ y′ = y, y = cex, เมอ c มคาเปน ...,−.2,−.1, 0, .1, .2, ...

ตวอยางเชน y = x/(1− cx) เปนผลเฉลยทวไปของสมการ (2.5) แตถากำหนดให c = 1

y =x

1− x

เปนผลเฉลยเฉพาะของสมการ (2.5)


ตวอยาง 2.6. จงหาผลเฉลยของสมการdy

dx= ky, (2.8)

เมอ k เปนคาคงตวใด ๆวธทำ1. จดรปสมการ

dy

y= kdx


dy

y=

∫kdx (2.9)

3. ดงนนผลเฉลยโดยปรยายทไดคอln |y| = kx + c (2.10)

นำเลขฐานธรรมชาต e มายกกำลงดวยคาทงสองขางของสมการ เพอกำจดคา ln จากสมการ (2.10)ไดวา

|y| = ecekx

เราไดผลเฉลยชดแจงเปนy = ±ecekx (2.11)

ถากำหนดใหC = ±ec จะไดผลเฉลยทวไปของสมการ (2.8) เปนy = Cekx

หมายเหต หนงสอหลายเลม ไมระวงในการหาคาอนทกรล 1yเทยบกบ y โดยไมใสเครองหมาย

คาสมบรณ (absolute value sign) หลงจากหาคาอนทกรล ซงจากสมการ (2.9) เขาเหลานนจะไดln y = kx + c

แทนทจะไดสมการ (2.10) และจากคาอนทกรลน เราไดคา y คอy = ecekx


ซงจะพบวา ความสมพนธนจะมเฉพาะคา y ทมากกวาศนย แตในความเปนจรง y = −ecekx กเปนผลเฉลยของสมการ (2.8) ดวยเหมอนกนตวอยาง 2.7. จงหาผลเฉลยของสมการ

x sin ydx− (x2 + 1) cos ydy = 0 (2.12)วธทำ ในการแกสมการ เราสามารถจดรปสมการไดเปน

cos y

sin ydy =

x

x2 + 1dx

จากนน ทำการอนทเกรตทงสองขางของสมการ∫

cos y

sin ydy =

∫x

x2 + 1dx

ln |sin y| =12

ln(x2 + 1) + c = ln√

x2 + 1 + c

กำจดคา ln ออกจากสมการ ไดเปน|sin y| = ec

√x2 + 1,

ซงจะไดผลเฉลยโดยปรยาย คอsin y = ±ec

√x2 + 1,

ใหC = ±ec เรากไดจะผลเฉลยทวไปของสมการ (2.12) เปนsin y = C

√x2 + 1 (2.13)

หมายเหต จากผลเฉลย (2.13) ถาจะหาผลเฉลยชดแจงโดยใชฟงกชนฟงกชนไซนผกผน3 (inversesine function) เราจะได

y = sin−1(c√

x2 + 1)

พบวา เราจะสญเสยผลเฉลยบางผลเฉลยไป เพราะวาฟงกชนไซน ไมใชฟงชนหนงตอหนง (one-to-one function)ตวอยางผลเฉลยทสญเสยไป เชน sin−1

(c√

x2 + 1)± 2π, sin−1

(c√

x2 + 1)± 4π, . . .

3ฟงกชนไซนผกผน มโดเมนอยในชวง [−1, 1] และ เรนจอยในชวง [−π

2,π

2]


แบบฝกหดจงแกสมการเชงอนพนธตอไปน

1. y′ = e3x − x

2. xy′ = 1

3. y′ + y tanx = 0

4. y′ − y tanx = 0

5. y ln ydx− xdy = 0

6. (1 + x2)y′ = tan−1 x

7. y′ + 2xy = 0

8. dy

dx= y sinx

9. (1 + x)dy

dx= 4y

10. y′ + 2xy2 = 0

11. 2√xdy

dx=

√1− y2

12. y′ = 3√

64xy

13. xyy′ = y − 1

14. (1 + x2)dy +

(1 + y2

)dx = 0

15. x5y′ + y5 = 0

16. y′ sin y = x2

17. (y2 − 1)xdx + (x + 2) ydy = 0

18. tan θdr + 2rdθ = 0


2.4. ปญหาคาตงตน 19

2.4 ปญหาคาตงตนกอนทจะกลาวถงบทนยามของปญหาคาตงตน เราจะพจารณาตวอยางตอไปนกอน

ตวอยาง 2.8. จงหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธdy

dx= 2x (2.14)

ซง ทจด x = 2 ผลเฉลยของสมการนมคาเปน 5

วธทำ จากเนอหาในหวขอ 2.2 ทำไดเราสามารถหาผลเฉลยของสมการ(2.14) ไดเปนy = x2 + c,

เมอ c เปนคาคงตวใด ๆ และ จากเงอนไขทโจทยกำหนดให เมอ x = 2 ผลเฉลยคอ y = 5 ทำใหเราไดวา

5 = 22 + c

เมอแกสมการ เราได c = 1 ดงนน ผลเฉลยททำใหสมการ (2.14) เปนจรง และเปนไปตามเงอนไข“ทจด x = 2 ผลเฉลยของสมการนมคาเปน 5” คอ

y = x2 + 1

จากตวอยาง 2.8 เราสามารถเขยนขอปญหาดงกลาว ในเชงภาษาคณตศาสตรไดเปน:dy

dx= 2x,

y(2) = 5

ในทน y(2) = 5 หมายถง y เปนฟงกชนของ x ซง y มคาเปน 5 เมอ x = 2

จากตวอยางขางตน เหนไดวาขอปญหาทใหมา นอกจากเราจะตองแกสมการเชงอนพนธแลวผลเฉลยทไดจากสมการเชงอนพนธนนตองเปนไปตามเงอนไขทกำหนดมาใหดวย เราใหบทนยามขอปญหาในรปแบบดงกลาว ดงน


บทนยาม 2.2 (ปญหาคาตงตน). ปญหาคาตงตน (initial-value problem)เปนขอปญหาทเกยวของกบสมการเชงอนพนธอนดบทหนง หรอ สมการเชงอนพนธอนดบ

อน ๆ ซงประกอบไปดวย1. สมการเชงอนพนธ2. เงอนไข ซง ผลเฉลยของสมการเชงอนพนธนน ตองเปนไปตามเงอนไขทกำหนดให โดยตวเงอนไข อาจจะมเพยงหนงเงอนไข หรอหลายเงอนไขกได แตทกเงอนไข จะตองเปนเงอนไขทสมพนธกบคาของตวแปร x เพยงคาเดยวเทานน และเรยกเงอนไขนวา เงอนไขตงตน (initial condition)

หมายเหต ดการพสจนเรองการมอยจรง (existence) และความเปนไปไดอยางเดยว (uniqueness)ของผลเฉลยของปญหาคาตงตนไดใน [18]ตวอยาง 2.9.

d2y

dx2+ 4y = cos 2x,

y(π

4) = 1,

y′(π

4) = −1

นเปนปญหาคาตงตนของสมการเชงอนพนธอนดบสอง ซงผลเฉลยของสมการd2y

dx2+ 4y = cos 2x

จะตองเปนไปตามเงอนไขคอ ผลเฉลยมคาเปน 1 และอนพนธของผลเฉลย มคาเปน−1 เมอ x =π

4

สำหรบรปแบบมาตรฐานของปญหาคาตงตนของสมการเชงอนพนธอนดบทหนงคอdy

dx= f(x, y),

y(x0) = y0

หรอM(x, y)dx + N(x, y)dy = 0,

y(x0) = y0

2.5. สมการเอกพนธ 21

แบบฝกหดจงหาผลเฉลยของปญหาคาตงตนตอไปน1. dy

dx= ye−x, y(0) = 1

2. x cosx dx +(1− 6y5

)dy = 0, y(π) = 0

3. sinx dx + y dy = 0, y(0) = −2

4. y′ = −x

y, y(1) =

√3

5. (x2 + 1)dx +

1ydy = 0, y(−1) = 1

6. xy′ + y = 0, y(2) = −2

7. xex2dx +

(y5 − 1

)dy = 0, y(0) = 0

8. y′ = x2y − y

y + 1, y(3) = −1

9. dy

dx= 8− 3y, y(0) = 4

10. exy′ = 2(x + 1)y2, y(0) =16


2.5 สมการเอกพนธบทนยาม 2.3 (สมการเอกพนธ). เราเรยกสมการเชงอนพนธอนดบทหนง ซงสามารถจดใหอยในรป

dy

dx= f

(y

x

)

วา สมการเอกพนธ (homogeneous equation)หมายเหต สมการเชงอนพนธอนดบทหนงทเขยนในรปดฟเฟอเรนเชยล

M(y

x

)dx + N

(y

x

)dy = 0

เปนสมการเอกพนธดวยเหมอนกน


ตวอยาง 2.10. ตวอยางสมการเอกพนธ1. dy

dx=

1 + yx

1− yx

2. dy

dx=

y2 + 2xy

x2=

(y

x

)2+ 2

(y

x

)

3. dy

dx=

4y − 3x

2x− y=

4 yx − 3

2− yx

4. dy

dx=

x2 + 3y2

2xy=

12

(x

y

)+

32

(y

x

)=

12

1( yx

) +32

(y

x

)

5. (x2 + 3xy + y2)dx− x2dy = 0 หรอ สามารถจดรปไดเปน

dy

dx=

x2 + 3xy + y2

x2= 1 + 3

(y

x

)+

(y

x

)2

ขนตอนวธการแกสมการเอกพนธ1. สมมตให v =

y

xจะไดวา y = vx ซงทำให

dy

dx= v + x

dv

dx

2. แทนคาลงในสมการ dy

dx= f

(y

x

)

dy

dx= v + x

dv

dx= f(v) = f

(y

x

)

3. จดรปใหมdv

dx=

f(v)− v

x

4. เนองจากสมการทถกจดรปใหม เปนสมการแยกกนไดdv

dx=

1x1

f(v)−v

เราสามารถใชขนตอนวธแกสมการแยกกนได ในการหาผลเฉลย5. แทนคา v ดวย y

xลงในผลเฉลยทได

หมายเหต สำหรบกรณเมอสมมตคา v =y

xแลวการหาผลเฉลยมความยงยาก ซบซอน ใหผอาน

ลองสมมตคา v =x

yกรณนอาจจะทำให การหาผลเฉลยทำไดงายขน


ตวอยาง 2.11. จงหาผลเฉลยของสมการdy

dx=

x + y

x− y(2.15)

วธทำ เราสามารถจดรปสมการ (2.15) ไดเปนdy

dx=

1 + yx

1− yx

(2.16)

เราพบวา สมการ (2.15) เปนสมการเอกพนธ ดงนน เราสามารถแกสมการนไดโดย1. สมมตให v =

y


dy

dx= v + x

dv

dx

2. แทนคา dy

dx1 + y

x

1− yx

=1 + v

1− v= v + x

dv

dx

3. จดรปใหมx

dv

dx=

1 + v

1− v− v =

1 + v2

1− v,

1− v

1 + v2dv =

1x

dx

4. หาผลเฉลยโดยการอนทเกรตทงสองขาง∫

1− v

1 + v2dv =

∫1x

dx,

∫ (1

1 + v2− 1

22v

1 + v2

)dv = ln |x|+ c,

tan−1 v − 12

ln(1 + v2

)= ln |x|+ c,

เมอ c เปนคาคงตวใด ๆ5. แทนคา v ดวย y


tan−1(y

x

)= ln

(√1 +

(y

x

)2)

+ ln |x|+ c

หรอจะเขยนในรปทงายกวาไดเปนtan−1

(y

x

)= ln

(√x2 + y2

)+ c


อยางทกลาวไวขางตนแลววาสงสำคญในการแกสมการเชงอนพนธกคอการเลอกวธทเหมาะสมสำหรบสมการเชงอนพนธนน ๆ และเพอเปนการประหยดเวลา แทนทเราจะตองจดรปสมการเพอจะดวา สมการเชงอนพนธดงกลาว เปนสมการเอกพนธเราอาจจะใชเงอนไขทจะกลาวตอไปนตรวจสอบวาสมการเชงอนพนธนนเปนสมการเอกพนธหรอไมบทนยาม 2.4 (ฟงกชนเอกพนธ). ฟงชนกเอกพนธระดบขน n (homogenous function of degree n)คอ ฟงกชนทสามารถเขยนไดในรป

f(tx, ty) = tnf(x, y)

หมายเหต ในทนเราใชคำวาเอกพนธ ในสองกรณคอ สมการเชงเอกพนธ 4 และ ฟงกชนเอกพนธตวอยาง 2.12.• ฟงกชน f(x, y) = x2 + xy เปนฟงกชนเอกพนธระดบขนสอง เพราะวา

f(tx, ty) = (tx)2 + (tx)(ty) = t2(x2 + xy) = t2f(x, y)

• ฟงกชน g(x, y) =√

x2 + y2 เปนฟงกชนเอกพนธระดบขนหนง เพราะวาg(tx, ty) =

√(tx)2 + (ty)2 = tg(x, y) (t ≥ 0)

• ฟงกชน h(x, y) = x√

y + y√

x เปนฟงกชนเอกพนธระดบขน 32เพราะวา

h(tx, ty) = (tx)√

ty + (ty)√

tx = t32 h(x, y) (t ≥ 0)

• ฟงกชน F (x, y) = x2y + xy เปนไมเปนฟงกชนเอกพนธ เพราะวาF (tx, ty) = (tx)2(ty) + (tx)(ty) = t2(tx2y + xy)

ไมสามารถเขยนไดในรป tnF (x, y) ไดจากบทนยามขางตน ถาเราทราบแลววาฟงกชนทเกยวของในสมการเปนฟงกชนเอกพนธ เรา

สามารถตรวจสอบไดวาสมการเชงอนพนธ ดงกลาวเปนสมการเอกพนธหรอไม โดยทฤษฎบทตอไปน

4ดบทนยามเรองสมการเอกพนธในหนา 21


ทฤษฎบท 2.1. พจารณาสมการเชงอนพนธM(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (2.17)

ถาฟงกชน M(x, y) และ N(x, y) เปนฟงกชนเอกพนธทมระดบขนเดยวกนแลว สมการ (2.17)เปน สมการเอกพนธพสจน สมการ (2.17) สามารถเขยนใหมในรปอนพนธไดเปน

dy

dx= −M(x, y)

N(x, y)

เนองจาก ฟงกชน M(x, y) และ N(x, y) เปนฟงกชนเอกพนธ ทมระดบขนเดยวกน (สมมตวามระดบขน n) นนคอM(tx, ty) = tnM(tx, ty) และ N(tx, ty) = tnN(tx, ty) ดงนน

dy

dx= −M(x, y)

N(x, y)

= −M(x · 1, x · yx)

N(x · 1, x · yx)

= −xnM(1, yx)

xnN(1, yx)

= −M(1, yx)

N(1, yx)

กำหนดให f(s) = −M(1, s)N(1, s)

เราไดวาdy

dx= f(

y

x)

ซงเปนสมการเอกพนธ นนเอง 2

ตวอยาง 2.13. จงหาผลเฉลยของปญหาคาตงตน(x2 + 3xy + y2

)dx− x2dy = 0, y(1) = 0 (2.18)

วธทำ ในทนM(x, y) =

(x2 + 3xy + y2

) และ N(x, y) = −x2

เราสามารถตรวจสอบไดโดยงายวา ทง M(x, y) และ N(x, y) เปนฟงกชนเอกพนธลำดบขนสองดงนนสมการ (2.18) เปนสมการเอกพนธ โดยสามารถจดรปไดเปน

dy

dx=

x2 + 3xy + y2

x2= 1 + 3

y

x+

(y

x

)2

เราสามารถหาผลเฉลยไดดงน


1. สมมตให v =y


dy

dx= v + x

dv

dx

2. แทนคาลงในสมการ dy

dx= f(

y

x)

dy

dx= v + x

dv

dx= 1 + 3v + v2 = 1 + 3

y

x+

(y

x

)2

3. จดรปใหม

xdv

dx= 1 + 2v + v2 = (1 + v)2 ,

1(1 + v)2

dv =1x

dx

4. หาผลเฉลยโดยการอนทเกรตทงสองขาง∫

1(1 + v)2

dv =∫

1x

dx

− 11 + v

= ln |x|+ c

1 + v =−1

ln |x|+ c

v =−1

ln |x|+ c− 1,

เมอ c เปนคาคงตวใด ๆ5. แทนคา v ดวย y


y

x=

−1ln |x|+ c

− 1,

คณดวย x ทงสองขางy =

−x

ln |x|+ c− x,

6. จากเงอนไขคาตงตนทวา y = 0 เมอ x = 1 แทนคาลงในผลเฉลยเพอหาคา c

0 =−1

ln 1 + c− 1,

เมอแกสมการไดคา c = −1


ดงนนผลเฉลยเฉพาะรายของปญหาคาตงตน (2.18) คอ5

y =x

1− ln x− x

แบบฝกหด1. จงหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธตอไปน

(a) (x + y) y′ = x− y

(b) x y′ = y + 2√

xy

(c) 2xy y′ = x2 + 2y2

(d) x y′ = x + y

(e) x y′ = 2x + 3y

(f) (x2 − 2y2)dx + xy dy = 0

(g) x2 y′ − 3xy − 2y2 = 0

(h) x siny

xy′ = y sin

y

x+ x

(i) x y′ = y + 2xe−y/x

(j) x y′ =√

x2 + y2 + y

2. จงหาผลเฉลยของปญหาคาตงตนตอไปน(a) y′ = −x

y, y(1) =

√4

(b) y3y′ + x3 = 0, y(0) = 1

(c) xdy

dx+ y = 0, y(2) = −2

(d) xyy′ = 2y2 + 4x2, y(2) = 4


5ในการศกษาเรองการมจรงของผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ (existenceofa solutionofdifferential equation) เราจะศกษาผลเฉลยเฉพาะในยานใกลเคยง (neighborhood) กบคาตงตนเทานน ซงสำหรบขอปญหาขอน เราจะพจารณาผลเฉลยในยานใกลเคยง x = 1 ซงคา x ในยานใกลเคยงจะมคามากกวาศนย นนทำใหเราสามารถละเครองหมายคาสมบรณได


2.6 สมการเชงเสนสำหรบรปแบบทวไปของสมการเชงอนพนธอนดบทหนงเชงเสน (first order linear differen-

tial equation) คอa1(x)

dy

dx+ a0(x)y = b(x), (2.19)

เมอ a1(x) 6≡ 0.เนองจาก a1(x) ไมไดเปนฟงกชนศนย ดงนนเราสามารถหารสมการดงกลาวดวย a1(x)ทำได

สมการเชงอนพนธอนดบทหนงเชงเสน ในรปdy

dx+ p(x)y = q(x), (2.20)

เมอ p(x) =a0(x)a1(x)และ q(x) =

b(x)a1(x)

หมายเหต เรามกนยมเขยนแทนสมการอนพนธอนดบทหนงเชงเสน ดวยรปสมการ (2.20) มากกวารปสมการ (2.19)นอกจากนเราสามารถเขยนสมการเชงอนพนธเชงเสน (2.20) ในรปดฟเฟอเรนเชยล ไดเปน

[p(x)y − q(x)] dx + dy = 0

ตวอยาง 2.14. ตวอยางสมการเชงอนพนธอนดบทหนงเชงเสน

• dy

dx+ y = e−x, ( a1(x) = 1, a0(x) = 1, b(x) = e−x )

• xy′ + x2y = x3, (a1(x) = x, a0(x) = x2, b(x) = x3

)

• dy

dx+ sinx y = tanx, ( a1(x) = 1, a0(x) = sinx, b(x) = tan x )

• dy

dx= x2, (

a1(x) = 1, a0(x) = 0, b(x) = x2)

• dy

dx+ x2y = 0, (

a1(x) = 1, a0(x) = x2, b(x) = 0)

• dy

dx= 0, ( a1(x) = 1, a0(x) = 0, b(x) = 0 )

• [x2y − x]dx + dy = 0, (a1(x) = 1, a0(x) = x2, b(x) = x

)

2.6. สมการเชงเสน 29

จากตวอยางขางตน พบวา ถาสมการเชงอนพนธเชงเสน (2.20) มคา p(x) เปนศนย นนคอdy

dx= q(x)

สมการเชงอนพนธเชงเสนน กจะกลายเปนสมการเชงอนพนธอยางงาย6 โดยมผลเฉลย คอy =

∫q(x)dx + c,

เมอ c เปนคาคงตวใด ๆ แตถาสมการเชงอนพนธเชงเสน มคา q(x) เปนศนย หรอdy

dx+ p(x)y = 0

สมการน จะกลายเปนสมการแยกกนได7dy

y= −p(x)dx

และมผลเฉลยคอy = Ce−

Rp(x)dx,

เมอ C เปนคาคงตวใด ๆจากการสงเกต เราอาจตงสมมตฐาน วาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธเชงเสน (2.20) อยในรป

y = C(x)e−R

p(x)dx, (2.21)เมอ C เปนฟงกชนของ x, แทนทจะอยในรปคาคงตวคณดวย e−

Rp(x)dx เมอนำคา y มาแทนใน

สมการ (2.20) เราไดวาd

dx

[C(x)e−

Rp(x)dx

]+ p(x)

[C(x)e−

Rp(x)dx

]= q(x)

[−C(x)p(x) + C′(x) + p(x)C(x)]e−R

p(x)dx = q(x)

C′(x)e−R

p(x)dx = q(x)

C′(x) = q(x)eR

p(x)dx

เมอทำการอนทเกรตทงสองขางของสมการ เราจะไดคาของฟงกชน C คอC(x) =

∫q(x)e

Rp(x)dxdx + c,

เมอ c เปนคาคงตวใด ๆ ดงนน เมอแทนคา C(x) ลงใน (2.21) เรากจะไดผลเฉลยของสมการ (2.20)6ดวธการแกสมการเชงอนพนธอยางงาย หนา 127ดวธการแกสมการเชงอนพนธแยกกนได หนา 13


ทฤษฎบท 2.2. ผลเฉลยของสมการเชงอนพนธเชงเสนdy

dx+ p(x)y = q(x)

คอy = e−

Rp(x)dx

[∫q(x)e

Rp(x)dxdx + c

],

เมอ c เปนคาคงตวใด ๆ8 2

ตวอยาง 2.15. จงหาผลเฉลยของสมการ

y′ + 3y = 2xe−3x (2.22)

วธทำ จากโจทย เราไดวา สมการ (2.22) เปนสมการเชงเสน โดยมสมประสทธ

p(x) = 3, q(x) = 2xe−3x

ดงนน ผลเฉลยของสมการ (2.22) คอ

y = e−R

3dx

[∫2xe−3xe

R3dxdx + c

]

= e−3x

[∫2xe−3xe3xdx + c

]

= e−3x

[∫2xdx + c

]

= e−3x[x2 + c

]

= x2e−3x + ce−3x

เมอ c เปนคาคงตวใด ๆตวอยาง 2.16. จงหาผลเฉลยของปญหาคาตงตน

y′ + (tanx)y = sin(2x), y(0) = 1 (2.23)

วธทำ จากโจทย เราไดวา สมการ (2.23) เปนสมการเชงเสน โดยมสมประสทธ

p(x) = tanx, q(x) = sin(2x)

8ดการหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธอนดบทหนงเชงเสนดวยวธการอน ๆ ใน [1, 13, 14, 18, 20]


พบวาeR

p(x)dx = eR

tan xdx

= eln|sec x|

= |secx|

เพอความสะดวก ในทนจะขอละเครองหมายคาสมบรณ ดงนนเราจะไดeR

p(x)dx = sec x

และ ในทำนองเดยวกนe−R

p(x)dx = cosx

ดงนน ผลเฉลยของสมการ 2.23 คอy = cos x

[∫sin(2x) secxdx + c

]

= cos x

[∫2 sin x cosx secxdx + c

]

= cos x

[∫2 sin xdx + c

]

= cos x [−2 cos x + c]

= −2 cos2 x + c cosx

เมอ c เปนคาคงตวใด ๆจากเงอนไขคาตงตน : y = 1 เมอ x = 0 ดงนน

1 = −2 cos2 0 + c cos 0

= −2 · 1 + c · 1

c = 3

เราไดผลเฉลยของปญหาคาตงตน (2.23) คอy = 3 cosx− 2 cos2 x


แบบฝกหด1. จงหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธตอไปน

(a) y′ + y = 1

(b) y′ + y = e−x

(c) y′ − 2y = e3x

(d) xy′ + y = cosx

(e) xdy

dx− 3y = x4

(f) y′ + y =1

1 + e2x

(g) (1 + x2

)dy + 2xy dx = cotx dx

(h) y′ + y = 2xe−x + x2

(i) y′ + y cotx = 2x csc x

(j) (2y − x3

)dx = x dy

(k) y − x + xy cotx + xy′ = 0

(l) dy

dx− 2xy = 6xex2

(m) (x ln x) y′ + y = 3x3

(n) (y − 2xy − x2

)dx + x2dy = 0

2. จงหาผลเฉลยของปญหาคาตงตนตอไปน

(a) y′ + 2y = 2, y(0) = 1

(b) xy′ − y = x, y(1) = 2

(c) y′ = (1− y) cosx, y(π) = 0

(d) xy′ + 3y = 2x5, y(2) = 1

(e) y′ = 1 + x + y + xy, y(0) = 0

(f) (x2 + 4

)y′ + 3xy = x, y(0) = 1


2.7. สมการแบรนลล 33

2.7 สมการแบรนลลบทนยาม 2.5 (สมการแบรนลล). เราเรยกสมการทอยในรป

dy

dx+ p(x)y = q(x)yn, (2.24)

เมอ p(x) และ q(x) เปนฟงกชนตอเนองในชวงเปด (a, b) และ n เปนจำนวนจรงใด ๆ, วาสมการแบรนลล (Bernoulli equation)9

จากบทนยาม 2.5 ของสมการแบรนลล สงเกตไดวา ถา n มคาเปน 0 หรอ 1 สมการแบรนลล(2.24) กจะเปนสมการเชงเสน และสามารถหาผลเฉลยไดดงทไดแสดงในเนอหากอนหนานแลวสำหรบกรณคา n อน ๆ เราสามารถหาผลเฉลยของสมการ โดยการแปลงสมการแบรนลลให

เปนสมการเชงเสนดงน

ขนตอนวธการแกสมการแบรนลล1. หารสมการ (2.24) ดวย yn ทำใหได

y−n dy

dx+ p(x)y1−n = q(x) (2.25)

2. ใหv = y1−n

ซงมอนพนธเทยบกบ x คอdv

dx= (1− n)y−n dy

dx

3. แทนคา v และ dv

dxลงในสมการ (2.25) ได

1(1− n)

dv

dx+ p(x)v = q(x)

9สมการนไดถกนำเสนอครงแรกโดยเจมส แบรนลล (Bernoulli, James) ในปครสตศกราช 1695 ซงสมการดงกลาวสามารถถกแกครงแรกไดโดยจอหน แบรนลล (Bernoulli, John) ซงเปนนองชายของเจมสนนเอง ตอมาภายหลง ในปครสตศกราช 1696 กอททฟรด วลเฮลม ไลบนทซ (Leibnitz, Gottfried Wilhelm) สามารถแสดงไดวา เราสามารถแปลงสมการแบรนลล ใหอยในรปสมการเชงเสนได


4. เนองจาก 11− nเปนคาคงตว ดงนนเราสามารถเขยนสมการใหอยในรปสมการเชงเสนได

คอdv

dx+ (1− n)p(x) v = (1− n)q(x) (2.26)

5. หาผลเฉลยของสมการเชงเสน (2.26) ไดคอ

v(x) = e−(1−n)R

p(x) dx

[∫(1− n)q(x)e(1−n)

Rp(x) dxdx + c

]

6. ดงนนผลเฉลยของสมการ (2.25) คอ

y1−n = e−(1−n)R

p(x) dx

[∫(1− n)q(x)e(1−n)

Rp(x) dxdx + c

]

หรอ สมการ (2.25) มผลเฉลยชดแจงคอ

y ={

e−(1−n)R

p(x) dx

[∫(1− n)q(x)e(1−n)

Rp(x) dxdx + c

]} 11−n

ตวอยาง 2.17. จงแกสมการdy

dx− 5y = −5

2xy3 (2.27)

วธทำ พบวาสมการ (2.27) เปนสมการแบรนลลซงม n = 3, p(x) = −5 และ q(x) = −5x

2

1. หารสมการ (2.27) ดวย y3 ทำใหได

y−3 dy

dx− 5y−2 = −5

2x

2. ให v = y1−3 = y−2 ดงนนdv

dx= − 2

y3

dy

dx

3. แทนคา dv

dxลงในสมการ ได

−12

dv

dx− 5v = −5

2x

4. สามารถจดรปสมการใหอยในรปเชงเสนไดเปนdv

dx+ 10v = 5x (2.28)

2.7. สมการแบรนลล 35

5. หาผลเฉลยของสมการเชงเสน (2.28) ไดคอv(x) = e−

R10 dx

[∫5x e

R10 dxdx + c

],

=x

2− 1

20+ ce−10x,

เมอ c เปนคาคงตวใด ๆ6. ดงนนผลเฉลยของสมการ (2.27) คอ

v = y−2 =x

2− 1

20+ ce−10x

หรอ ผลเฉลยชดแจงคอy = ± 1√

x2 − 1

20 + ce−10x

หมายเหตสงเกตไดวา y ≡ 0 กเปนผลเฉลยของสมการ (2.27) แตจากการหารสมการ (2.27) ดวย y3

ทำใหผลเฉลยทหาไดในตวอยาง 2.17 ไมปรากฎวามผลเฉลย y ≡ 0 ประกอบอยดวย ทเปนเชนนเนองจากโดยขนตอนวธการแกสมการแบรนลลทจะตองหารทงสมการดวย yn ทำใหตองพจารณาสมการใหมทไดเฉพาะกรณ y 6= 0 แตอยางไรกตาม y ≡ 0 เปนผลเฉลยของสมการแบรนลล (2.24)(กรณ n > 0) เสมอ

แบบฝกหดจงหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธตอไปน

1. dy

dx+

y

x= x2y2

2. dy

dx− y = e2xy3

3. dy

dx=

2y

x− x2y2

4. dy

dx+

y

x− 2= 5(x− 2)y1/2

5. dy

dx− y

x= −y2

x

6. dy + (4y − 8y−3)x dx = 0

7. dy

dx+ y3x + y = 0

8. dy

dx+ y = exy−2

9. xdy

dx+ y = −2x6y4

10. dr

dθ=

r2 + 2rθ

θ2

11. dx

dt+ tx3 +

x

t= 0

12. dx

dt+

t + 12t

x =t + 1xt



2.8 สมการแบบแมนตรงสมมตวาเรามวงศเสนโคง10 (family of curves)

f(x, y) = c,

เมอ c เปนคาคงตวใด ๆจากเนอหาในวชาแคลคลส ถา f เปนฟงกชน ทมอนพนธยอยเทยบกบ x (ซงกคอ ∂f

∂x)

และ อนพนธยอยเทยบกบ y (ซงกคอ ∂f

∂y) เปนฟงกชนตอเนอง แลวผลตางเชงอนพนธรวม (total

differential) ของฟงกชนf คอdf =

∂f

∂xdx +

∂f

∂ydy

และเนองจาก f(x, y) = c ซงมคาเปนคาคงตว ดงนน df = 0 ซงทำใหเราไดวา∂f

∂xdx +

∂f

∂ydy = 0 (2.29)

เราพบวา สมการ (2.29) เปนสมการเชงอนพนธอนดบทหนงทอยในรปดฟเฟอเรนเชยลทำใหเรากลาวไดวา f(x, y) = c เปนผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ (2.29) นนเองตวอยาง 2.18. วงศของเสนโคง

x2y3 = c, (2.30)เมอ c เปนคาคงตวใด ๆ เปนผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ

2xy3dx + 3x2y2dy = 0 (2.31)เนองจาก เสนโคง (2.30) สามารถนยามฟงกชน

y = 3√

cx−2

ซงเปนผลเฉลยของสมการdy

dx= − 2xy3

3x2y2

ซงเปนสมการในรปอนพนธ ทสมมลกบสมการ (2.31)10 วงศเสนโคง หมายถง เซตของเสนโคง เนองจากเรานยมใชคำวา “วงศของเซต” แทนคำวา “เซตของเซต” และ

เสนโคง คอ เซตของจดทเปนไปตามเงอนไขหรอสมการดงนน เราจงใชคำวา “วงศของเสนโคง” แทนคำวา “เซตของเสนโคง”

2.8. สมการแบบแมนตรง 37

บทนยาม 2.6 (สมการเชงอนพนธแบบแมนตรง). เราเรยกสมการเชงอนพนธอนดบทหนงM(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (2.32)

ทสามารถหาฟงกชน f(x, y) ซง∂f

∂x(x, y) = M(x, y) และ ∂f

∂y(x, y) = N(x, y)

วา สมการเชงอนพนธแบบแมนตรง (exact differential equation) และเรยกM(x, y)dx + N(x, y)dy

วา ดฟเฟอรเรนเชยลแบบแมนตรง (exact differential) ซงสมการ (2.32) มผลเฉลยคอf(x, y) = c

เพอความสะดวก ภายหลงจะเรยกสมการเชงอนพนธแบบแมนตรงเพยงสน ๆ วา สมการแบบแมนตรง (exact equation)ตวอยาง 2.19. จงตรวจสอบวาสมการ

y dx + x dy = 0 (2.33)เปนสมการแบบแมนตรงหรอไมวธทำ ลองตรวจสอบโดยการหาอนพนธยอยของฟงกชน f(x, y) = xy ซงจะได

∂f

∂x= y และ ∂f

∂y= x

ซงพบวาสมการ (2.33) สามารถเขยนไดในรป∂f

∂xdx +

∂f

∂ydy = 0

ดงนนสมการ (2.33) เปนสมการแบบแมนตรง โดยมผลเฉลยคอf(x, y) = c

หรอ นนคอxy = c,



วธการตรวจสอบวา สมการเชงอนพนธ เปนสมการแบบแมนตรงหรอไม นอกจากจะใช การแทนคาฟงกชน f โดยตรงดงตวอยาง เรามวธอน ทสามารถตรวจสอบไดอยางรวดเรวกวา นนคอทฤษฎบท 2.3. พจารณาสมการเชงอนพนธ (2.32) เมอฟงกชน M, N,

∂M

∂y,

∂N

∂xตอเนองทก ๆ

จด (x, y) ในโดเมนชนดสเหลยมผนผาบนระนาบ xy (xy-plain)1. ถาสมการ (2.32) เปนสมการเแบบแมนตรงแลว

∂M(x, y)∂y

=∂N(x, y)

∂x

ทก ๆ (x, y) ในโดเมน2. ในทางกลบกน ถา

∂M(x, y)∂y

=∂N(x, y)

∂x

ทก ๆ (x, y) ในโดเมน แลว สมการ (2.32) เปนสมการเแบบแมนตรงพสจน (สวนทหนง) ถาสมการ (2.32) เปนสมการแบบแมนตรงแลวโดยบทนยาม 2.6 เราสามารถหาฟงกชน f ซง

∂f

∂x(x, y) = M(x, y) และ ∂f

∂y(x, y) = N(x, y)

ทก (x, y) ในโดเมน ดงนน∂2f

∂y∂x(x, y) =

∂M(x, y)∂y

และ ∂2f

∂x∂y(x, y) =

∂N(x, y)∂x

ทก (x, y)ในโดเมนแตโดยความตอเนองของ ∂M

∂yและ∂N

∂x(ซงกคอ ∂2f

∂y∂x(x, y)และ ∂2f

∂x∂y(x, y)

มความตอเนอง) โดยทฤษฎบท11 ทำใหไดวา∂2f

∂y∂x(x, y) =

∂2f

∂x∂y(x, y)

ดงนน∂M

∂y=

∂N

∂x

ทก (x, y) ในโดเมน11ดทฤษฎบทและการพสจนใน [16], Theorem 7.5


(สวนทสอง) สวนนจะเปนสวนกลบของสวนทหนง และเปนขนตอนวธการแกสมการแบบแมนตรงดวย การพสจนจะแบงเปนขนตอนดงน1. โดยเรมจากสมมตฐานทวา

∂M

∂y=

∂N

∂x

ทก (x, y) ในโดเมน2. เนองจากเราตองการแสดงใหเหนวาสมการ (2.32) เปนสมการแบบแมนตรง นนคอ สามารถหาฟงกชน f ซง

∂f

∂x(x, y) = M(x, y) (2.34)

และ∂f

∂y(x, y) = N(x, y) (2.35)

ทก (x, y) ในโดเมน เนองจาก ฟงกชน f เปนไปตามเงอนไข (2.34) ดงนนf(x, y) =

∫M(x, y)dx + φ(y), (2.36)

เมอ ∫M(x, y)dx หมายถง การหาคาอนทกรลของ M(x, y) เทยบกบ x โดยมองวาตวแปร

y เปนเพยงคาคงตว12 และ φ(y) เปนฟงกชนใด ๆ ของ y3. หาอนพนธของฟงกชน f ทไดเทยบกบตวแปร y

∂f

∂y(x, y) =

∂

∂y

∫M(x, y)dx +

dφ(y)dy

ซงจากสมการ (2.35) เราไดวาN(x, y) =

∂

∂y

∫M(x, y)dx +

dφ(y)dy

ดงนนdφ(y)

dy= N(x, y)− ∂

∂y

∫M(x, y)dx

12 คาอนทกรลทางขวามอของสมการ (2.36) อาจจะดแปลกตาสำหรบผอานทคนเคยกบรปแบบf(x, y) =

ZM(x, y)dx + c,

เมอ c เปนคาคงตวใด ๆ แตอยางทกลาวไวแลววา ในการหาคาอนทกรล เราจะมองวาตวแปร y เปนคาคงตวกอน ดงนนแทนทดานขวามอของสมการ (2.36) จะบวกดวยคาคงตวใด ๆ เราตองเปลยนเปนบวกดวยฟงกชนใด ๆ ของ y แทน


4. เนองจาก ∂M(x, y)∂yเปนฟงกชนตอเนอง ดงนน

∂

∂y

∫M(x, y)dx =

∫∂M(x, y)

∂ydx

และไดวาφ(y) =

∫ [N(x, y)−

∫∂M(x, y)

∂ydx

]dy

5. แทนคาลงในสมการ (2.36) ไดวาf(x, y) =

∫M(x, y)dx +

∫ [N(x, y)−

∫∂M(x, y)

∂ydx

]dy

นแสดงวา เราสามารถหาฟงกชน f ทเปนไปตามเงอนไข (2.34) และ (2.35) ดงนนสมการ(2.32) เปนสมการแบบแมนตรง 2

หมายเหต จากทฤษฎบท 2.3 ในการพสจนสวนทสอง ขนตอนท 2 ผอานอาจจะเรมสมมตให f เปนไปตามเงอนไข (2.36) กอน นนคอ

f(x, y) =∫

N(x, y)dy + ψ(x),

โดยท ψ(x) เปนฟงกชนใด ๆ ของ x และในการพสจนทำนองเดยวกน เรากจะไดf(x, y) =

∫N(x, y)dy +

∫ [M(x, y)−

∫∂N(x, y)

∂xdy

]dx

ตวอยาง 2.20. จงหาผลเฉลยทวไปของ(3x2 + 4xy

)dx +

(2x2 + 2y

)dy = 0 (2.37)

วธทำ เราจะหาผลเฉลยของสมการไดโดย1. ตรวจสอบวาสมการดงกลาวเปนสมการแบบแมนตรงหรอไม ซงในทน

M(x, y) = 3x2 + 4xy ดงนน ∂M

∂y= 4x

และN(x, y) = 2x2 + 2y ดงนน ∂N

∂x= 4x

เนองจาก ∂M

∂y=

∂N

∂xซงแสดงใหเหนวาสมการ (2.37) เปนสมการแบบแมนตรง


2. หาคา f

f(x, y) =∫

M(x, y)dx + g(y)

=∫ (

3x2 + 4xy)dx + g(y)

= x3 + 2x2y + g(y)

3. หาอนพนธของฟงกชน f เทยบกบตวแปร y∂f

∂y= 2x2 +

d g(y)dy

เนองจาก ∂f

∂y= N ดงนน

N(x, y) = 2x2 + 2y = 2x2 + g′(y)

g′(y) = 2y

4. หาคา g(y)

g(y) =∫

g(y)dy =∫

2ydy = y2 + c1,

เมอ c1 เปนคาคงตวใด ๆ5. เราไดฟงกชน f คอ

f(x, y) = x3 + 2x2y + y2 + c1

เนองจากเราทราบวาผลเฉลยของสมการแบบแมนตรงอยในรป f(x, y) = c เพราะฉะนน ผลเฉลยของสมการ (2.37) คอ

x3 + 2x2y + y2 + c1 = c

เมอรวม คาคงตวทงสองขางเขาดวยกน จะไดผลเฉลยของสมการ (2.37) เปน

x2 + 2x2y + y2 = c

เมอ c เปนคาคงตวใด ๆหมายเหต ในขนตอนท 5 เราอาจเขยนโดยละ คาคงตว c1 กได เพราะทายทสด ในขนตอนสดทายคา c1 จะตองถกนำมารวมกบคา c จากเงอนไข f(x, y) = c เปนคาคงตวตวใหม c


ตวอยาง 2.21. จงหาผลเฉลยของปญหาคาตงตน(2x cos y + 3x2y

)dx +

(x3 − x2 sin y − y

)dy = 0, y(0) = 2 (2.38)


M(x, y) = 2x cos y + 3x2y ดงนน ∂M

∂y= −2x sin y + 3x2

และ

N(x, y) = x3 − x2 sin y − y ดงนน ∂N

∂x= −2x sin y + 3x2


∂y=

∂N


2. หาคา f

f(x, y) =∫

M(x, y)dx + g(y)

=∫ (

2x cos y + 3x2y)dx + g(y)

= x2 cos y + x3y + g(y)


∂y= −x2 sin y + x3 +

d g(y)dy



N(x, y) = x3 − x2 sin y − y = −x2 sin y + x3 + g′(y)

g′(y) = −y

4. หาคา g(y)

g(y) =∫

g(y)dy =∫−ydy = −y2

2,

หมายเหตจะละคาคงตวจากการอนทเกรตไวกอนซงคาคงตวจะไปปรากฏในเทอมf(x, y) = c


5. เราไดฟงกชน f คอf(x, y) = x2 cos y + x3y − y2

2= c

แทนเงอนไขตงตน y(0) = 2 เพอหาคา c0 + 0− 4

2= c

c = −2

ดงนนผลเฉลยของปญหาคาตงตน (2.38) คอx2 cos y + x3y − y2

2= −2

ตวอยาง 2.22. จงหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ(yexy + sin y) dx + (xexy + x cos y) dy = 0 (2.39)


M(x, y) = yexy + sin y ดงนน ∂M

∂y= exy + xyexy + cos y

และN(x, y) = xexy + x cos y ดงนน ∂N

∂x= exy + xyexy + cos y


∂y=

∂N


2. หาคา ff(x, y) =

∫M(x, y)dx + g(y)

=∫

(yexy + sin y) dx + g(y)

= exy + x sin y + g(y)


∂y= xexy + x cos y +

d g(y)dy




N(x, y) = xexy + x cos y = xexy + x cos y + g′(y)

g′(y) = 0

4. เนองจาก g′(y) = 0 ดงนน g เปนคาคงตวใด ๆ ซงในทนจะขอละไว5. เราไดฟงกชน f คอ

f(x, y) = exy + x sin y

หรอ คำตอบของสมการคอexy + x sin y = c,



แบบฝกหด1. จงตรวจสอบวาสมการเชงอนพนธตอไปนเปนสมการแบบแมนตรงหรอไม ถาใช จงหาผลเฉลยของสมการ(a) (2x + 3y) dx + (3x− 4) dy = 0

(b) (3x2 − 2y2

)dx +

(6y2 − 4xy

)dy = 0

(c) dy

dx=

2y2 − 4x + 52y − 4xy − 4

(d) cosx cos2 ydx + 2 sin x sin y cos ydy = 0

(e) (sinx tan y + 1) dx− cosx sec2 ydy = 0

(f) (x2 +

y

x

)dx +

(y2 + lnx

)dy = 0

(g) (ex sin y + tan y) dx +(ex cos y + x sec2 y

)dy = 0

(h) (sinx sin y − xey) dy = (ey + cosx cos y) dx

(i) 2x(1 +

√x2 − y

)dx =

√x2 − ydy

(j) (θ2 + 1

)cos r dr + 2θ sin r dθ = 0

(k) (x + sin y) dx + (x cos y − 2y) dy = 0

(l) y′ =2 + yexy

2y − xexy

2. จงหาผลเฉลยของปญหาคาตงตนตอไปน(a) y′ =

−2xy

1 + x2, y(2) = −5

(b) −2y

x3dx +

1x2

dy = 0, y(2) = −2

(c) ex3 (3x2y − x2

)dx + ex3

dy = 0, y(0) = −1

(d) y′ =−y2

2xy + 1, y(1) = −2

(e) y′ =2y2(y − x)

4y3 − 6xy2 + 2x2y, y(2) = 3



2.9 ตวประกอบปรพนธพจารณาสมการเชงอนพนธอนดบทหนง

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (2.40)

ในบางครงเราพบวา ∂M

∂y6= ∂N

∂xหรอนนคอ สมการ (2.40) ไมเปนสมการแบบแมนตรงนนเอง แต

อาจจะมฟงกชน µ(x, y) ซงเมอนำไปคณกบสมการ (2.40) ได

µ(x, y)M(x, y)dx + µ(x, y)N(x, y)dy = 0 (2.41)

แลวทำใหสมการ (2.41) เปนสมการแบบแมนตรง หรอกคอ∂(µM)

∂y=

∂(µN)∂x

2.9.1 ตวประกอบปรพนธบทนยาม 2.7 (ตวประกอบปรพนธ). ถาสมการเชงอนพนธอนดบทหนง (2.40) ไมเปนสมการแบบแมนตรง แตสมการ (2.41) ซงไดจากการคณฟงกชน µ(x, y) กบสมการ (2.40) เปนสมการแบบแมนตรงแลว เราเรยกฟงกชน µ(x, y) วาตวประกอบปรพนธ ของสมการ (2.40) (integrating factorof equation (2.40))ตวอยาง 2.23. จงแสดงวา µ(x, y) = xy2 เปนตวประกอบปรพนธของสมการ

(2y − 6x)dx + (3x− 4x2y−1)dy = 0 (2.42)

และ ใชตวประกอบปรพนธหาผลเฉลยของสมการวธทำ ใหM(x, y) = 2y − 6x และ N(x, y) = 3x− 4x2y−1 พบวา

∂M

∂y= 2 6= 3− 8xy−1 =

∂N

∂x

ซงแสดงใหเหนวาสมการ (2.42) ไมเปนสมการแบบแมนตรงเมอคณสมการ (2.42) ดวย µ(x, y) = xy2 ได

(2xy3 − 6x2y2)dx + (3x2y2 − 4x3y)dy = 0 (2.43)

2.9. ตวประกอบปรพนธ 47

ใหM(x, y) = 2xy3 − 6x2y2 และ N(x, y) = 3x2y2 − 4x3y พบวา∂M

∂y= 6xy2 − 12x2y =

∂N

∂x

นนคอ สมการ (2.43) เปนสมการแบบแมนตรง ดงนน µ(x, y) = xy2 เปนตวประกอบปรพนธของสมการ (2.42)โดยขนตอนวธการแกสมการแบบแมนตรง (หนา 39) เราไดผลเฉลยคอ

f(x, y) =∫

(2xy3 − 6x2y2)dx + g(y) = x2y3 − 2x3y2 + g(y)

และg′(y) = N(x, y)− ∂f

∂y= (3x2y2 − 4x3y)− (3x2y2 − 4x3y) = 0

เนองจาก g′(y) = 0 ให g(y) ≡ 0 ดงนนf(x, y) = x2y3 − 2x3y2 = c,

เมอ c เปนคาคงตวใด ๆ, เปนผลเฉลยของทงสมการ (2.42) และสมการ (2.43)หมายเหต จากตวอยาง 2.23 เราพบวาผลเฉลยทไดเปนผลเฉลยของทงสมการ (2.42) และสมการ(2.43) แตสำหรบกรณทวไป การใชตวประกอบปรพนธคณเขากบสมการแรกเรม เพอใหไดสมการใหม ผลเฉลยทไดจากสมการใหมอาจจะมจำนวนมากกวาหรอนอยกวาผลเฉลยของสมการแรกเรมดงเชน y ≡ 0 เปนผลเฉลยของสมการ (2.43) แตไมเปนผลเฉลยของสมการ (2.42) เหตเพราะวาเราคณสมการ (2.42) ดวย µ(x, y) = xy2 ซงเมอ y ≡ 0 กเทากบวาเราคณสมการ (2.42) ดวย 0 นนเองนนทำให y ≡ 0 เปนเฉพาะผลเฉลยของสมการ(2.43) แตไมเปนผลเฉลยของสมการ (2.42)ตวอยาง 2.24. จงแสดงวา µ(x, y) =

1x2เปนตวประกอบปรพนธของสมการ

(2x2 + y)dx + (x2y − x)dy = 0 (2.44)และ ใชตวประกอบปรพนธหาผลเฉลยของสมการวธทำ ใหM(x, y) = 2x2 + y และ N(x, y) = x2y − x พบวา

∂M

∂y= 1 6= 2xy − 1 =

∂N

∂x

ซงแสดงใหเหนวาสมการ (2.44) ไมเปนสมการแบบแมนตรง


เมอคณสมการ (2.42) ดวย µ(x, y) =1x2ได

(2 + yx−2)dx + (y − x−1)dy = 0 (2.45)

ใหM(x, y) = 2 + yx−2 และ N(x, y) = y − x−1 พบวา∂M

∂y=

1x2

=∂N

∂x

นนคอ สมการ (2.45) เปนสมการแบบแมนตรง ดงนน µ(x, y) =1x2เปนตวประกอบปรพนธของ

สมการ (2.44)โดยวธการแกสมการแบบแมนตรง เราไดผลเฉลยคอ

f(x, y) =∫

(2 + yx−2)dx + g(y) = 2x− yx−1 + g(y)

และg′(y) = N(x, y)− ∂f

∂y= (y − x−1)− (−x−1) = y

เนองจาก g′(y) = y ดงนน g(y) =y2

2+ c1, เมอ c1 เปนคาคงตวใด ๆ ดงนน

f(x, y) = 2x− yx−1 +y2

2+ c1 = c2,

เมอ c2 เปนคาคงตวใด ๆ, เปนผลเฉลยของทงสมการ (2.44) และสมการ (2.45) หรอผลเฉลยของสมการทงสอง อยในรป

2x− yx−1 +y2

2= C, เมอ C = c2 − c1

หมายเหต จากตวอยาง 2.24 พบวา x ≡ 0 เปนผลเฉลยของสมการ (2.44) แตไมเปนผลเฉลยของสมการ (2.45) นนเปนเพราะ เราไดสมการ (2.45) จากการคณสมการ (2.44) ดวยตวประกอบปรพนธ µ =

1x2

ตวอยาง 2.23 แสดงใหเหนวาเมอเราคณสมการดวยตวประกอบปรพนธ แลวหาผลเฉลยของสมการ เราไดคำตอบของสมการใหมมจำนวนมากกวา คำตอบของสมการดงเดมแตตวอยาง 2.24แสดงใหเหนวาเมอเราคณสมการดวยตวประกอบปรพนธแลวหาผลเฉลยของสมการเรากลบสญเสยบางคำตอบไป


2.9.2 การหาตวประกอบปรพนธจากในเนอหาทผานมาพบวา ถาเราทราบตวประกอบปรพนธของสมการเชงอนพนธอนดบท

หนง เรากจะสามารถหาผลเฉลยของสมการดงกลาวไดเนอหาในสวนนจะนำเสนอวธการหาตวประกอบปรพนธพจารณาสมการเชงอนพนธ

µ(x, y)M(x, y)dx + µ(x, y)N(x, y)dy = 0 (2.46)

โดยทฤษฎบท 2.6 สมการ (2.46) เปนสมการแบบแมนตรงกตอเมอ∂

∂y[µ(x, y)M(x, y)] =

∂

∂x[µ(x, y)N(x, y)]

µ∂M

∂y+ M

∂µ

∂y= µ

∂N

∂x+ N

∂µ

∂x

ซงจดรปใหมไดเปนM

∂µ

∂y−N

∂µ

∂x= µ

(∂N

∂x− ∂M

∂y

)(2.47)

ในการหาผลเฉลยของสมการ(2.47)ซงเปนสมการเชงอนพนธยอยนนเปนเรองทยงยากและซบซอนซงอาจจะยงยากกวาการหาผลเฉลยของสมการ M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 โดยตรงดวยซำไปแตสำหรบกรณตอไปนอาจจะทำใหเราสามารถหาตวประกอบปรพนธได

• ตวประกอบปรพนธเปนฟงกชนของ x เทานนเพราะวาตวประกอบปรพนธเปนฟงกชนของ x, µ = µ(x), ดงนน ∂µ

∂y= 0 และสามารถจด

รปสมการ (2.47) ไดเปนdµ

dx= µ

(∂M/∂y − ∂N/∂x

N

)(2.48)

เมอ ∂M/∂y − ∂N/∂x

Nเปนฟงกชนของตวแปร x เทานน 13

13เนองจากสมมตให µ เปนฟงกชนของ x เทานน จงเปนการบงคบให ∂M/∂y − ∂N/∂x

Nเปนฟงกชนของ x โดย

ปรยาย


สงเกตไดวาสมการ (2.48) เปนสมการแบบแยกกนได ทำใหเราสามารถหาคา µ ไดโดยdµ

µ=

[∂M/∂y − ∂N/∂x

N

]dx

∫dµ

µ=

∫ [∂M/∂y − ∂N/∂x

N

]dx

ln |µ| =∫ [

∂M/∂y − ∂N/∂x

N

]dx

|µ| = exp(∫ [

∂M/∂y − ∂N/∂x

N

]dx

),

เมอ exp(∫ [

∂M/∂y−∂N/∂xN

]dx

)= e

�R h ∂M/∂y−∂N/∂xN

idx�, และเนองจากเราพจารณาหา

ตวประกอบปรพนธเพยงฟงกชนใดฟงกชนหนง เราสามารถละเครองหมายคาสมบรณ และไดวา ตวประกอบปรพนธ คอ

µ(x) = exp(∫ [

∂M/∂y − ∂N/∂x

N

]dx

)

• ตวประกอบปรพนธเปนฟงกชนของ y เทานนเพราะวาตวประกอบปรพนธเปนฟงกชนของ y, µ = µ(y), ดงนน ∂µ

∂x= 0 และสามารถจด

รปสมการ (2.47) ไดเปนdµ

dy= µ

(∂N/∂x− ∂M/∂y

M

)(2.49)

เมอ ∂N/∂x− ∂M/∂y

Mเปนฟงกชนของตวแปร y เทานน 14

สงเกตไดวาสมการ (2.49) เปนสมการแบบแยกกนได ทำใหเราสามารถหาคา µ ได และไดวา ตวประกอบปรพนธ คอ

µ(y) = exp(∫ [

∂N/∂x− ∂M/∂y

M

]dy

)

จากทงสองกรณ ทำใหเราสรปเปนทฤษฎบทไดวา

14เนองจากสมมตให µ เปนฟงกชนของ y เทานน จงเปนการบงคบให ∂N/∂x− ∂M/∂y

Mเปนฟงกชนของ y โดย

ปรยาย


ทฤษฎบท 2.4. พจารณาสมการ

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (2.50)

ถา ∂M/∂y − ∂N/∂x

Nเปนฟงกชนตอเนอง และขนกบตวแปร x เทานน แลว

µ(x) = exp(∫ [

∂M/∂y − ∂N/∂x

N

]dx

)(2.51)

เปนตวประกอบปรพนธของสมการ (2.50)ถา ∂N/∂x− ∂M/∂y

Mเปนฟงกชนตอเนอง และขนกบตวแปร y เทานน แลว

µ(y) = exp(∫ [

∂N/∂x− ∂M/∂y

M

]dy

)(2.52)

เปนตวประกอบปรพนธของสมการ (2.50)

ขนตอนวธการหาผลเฉลยของสมการดวยตวประกอบปรพนธ1. พจารณาสมการM dx + Ndy = 0 วาไมใชสมการแบบแมนตรง (หรอสมการแบบอน ๆ ทเราสามารถหาคำตอบไดโดยวธการทไดกลาวมาแลว)2. คำนวณหาคา ∂M/∂y และ ∂N/∂x

3. (a) ถา ∂M/∂y − ∂N/∂x

Nเปนฟงกชนของ x เทานน ตวประกอบปรพนธของสมการ

(2.50) คอµ(x) = exp

(∫ [∂M/∂y − ∂N/∂x

N

]dx

)

(b) ถา∂N/∂x− ∂M/∂y

Mเปนฟงกชนของy เทานนตวประกอบปรพนธของสมการ(2.50)

คอµ(y) = exp

(∫ [∂N/∂x− ∂M/∂y

M

]dy

)

4. นำ µ ทหาไดไปคณเขากบสมการ (2.50)

µM dx + µN dy = 0

แลวนำสมการทไดใหมนไปหาคำตอบโดยพจารณาสมการดงกลาวเปนสมการแบบแมนตรง


ตวอยาง 2.25. จงหาผลเฉลยของสมการ(3xy + y2) + (x2 + xy)

dy

dx= 0 (2.53)

วธทำ เราสามารถจดรปสมการ (2.53) ใหมไดเปน(3xy + y2)dx + (x2 + xy)dy = 0 (2.54)

พบวาM(x, y) = 3xy + y2 และ N(x, y) = x2 + xy และไดวา∂M

∂y= 3x + 2y,

∂N

∂x= 2x + y,

∂M/∂y − ∂N/∂x

N=

x + y

x2 + xy=

1x

เนองจาก ∂M/∂y − ∂N/∂x

Nเปนฟงกชนของ x เทานน ดงนนตวประกอบปรพนธ คอµ(x) = exp

(∫1x

dx

)= e

R1x

dx = x

เมอนำ µ ทไดคณกบสมการ (2.54) ได(3x2y + xy2)dx + (x3 + x2y)dy = 0

และพบวา∂

∂y(3x2y + xy2) = 3x2 + 2xy =

∂

∂x(x3y + x2y)

โดยขนตอนวธการแกสมการแบบแมนตรง ทำใหเราไดผลเฉลยของสมการ (2.53) คอf(x, y) = x3y +

x2y2

2= c,

เมอ c เปนคาคงตวใด ๆตวอยาง 2.26. จงหาผลเฉลยของสมการ

y dx + (2x− yey) dy = 0 (2.55)วธทำ พบวาM(x, y) = y และ N(x, y) = 2x− yey และไดวา

∂M

∂y= 1,

∂N

∂x= 2,

∂N/∂x− ∂M/∂y

M=

1y


เนองจาก ∂N/∂x− ∂M/∂y

Mเปนฟงกชนของ y เทานน ดงนนตวประกอบปรพนธ คอµ(y) = exp

(∫1ydy

)= e

R1ydy = y

เมอนำ µ ทไดคณกบสมการ (2.55) ไดy2 dx + (2xy − y2ey) dy = 0

และพบวา∂

∂y(y2) = 2y =

∂

∂x(2xy − y2ey)

โดยขนตอนวธการแกสมการแบบแมนตรง ทำใหเราไดผลเฉลยของสมการ (2.55) คอf(x, y) = xy2 − y2ey + 2yey − 2ey = c,


แบบฝกหดจงหาตวประกอบปรพนธ พรอมทงหาผลเฉลยของสมการตอไปน1. dx− 2x dy = 0

2. (3x2y + 2xy + y3)dx + (x2 + y2)dy = 0

3. y′ = e2x + y − 1

4. dx + (x/y − sin y)dy = 0

5. (3x2 + y)dx + (x2y − x)dy = 0

6. y dx + (2xy − e−2y)dy = 0

7. exdx + (ex cot y + 2y csc y)dy = 0

8.[4x3

y2+

3y

]dx +

[3

x

y2+ 4y

]dy = 0



2.10 สรปโดยทวไป เราจะเขยนสมการเชงอนพนธอนดบทหนง ในรปอนพนธ

dy

dx= f(x, y)

หรอ รปดฟเฟอเรนเชยลM(x, y)dx + N(x, y)dy = 0

โดยท x เปนตวแปรอสระ และ y เปนตวแปรไมอสระในบทน ไดนำเสนอวธการแกปญหา สมการเชงอนพนธอนดบทหนงรปแบบตาง ๆ ไดแก• สมการเชงอนพนธอยางงาย (หวขอ 2.2 หนา 12)

dy

dx= f(x)

• สมการแยกกนได (หวขอ 2.3 หนา 13)dy

dx=

g(x)h(y)

• สมการเอกพนธ (หวขอ 2.5 หนา 21)dy

dx= f

(y

x

)

• สมการเชงเสน (หวขอ 2.6 หนา 28)dy

dx+ p(x)y = q(x)

• สมการแบรนลล (หวขอ 2.7 หนา 33)dy

dx+ p(x)y = q(x)yn

• และ สมการแบบแมนตรง (หวขอ 2.8 หนา 36)

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0,∂M

∂y=

∂N

∂x

2.10. สรป 55

ในการศกษาเรองผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ ผลเฉลยทได เปนผลเฉลยทวไป ซงเปนผลเฉลยทมคาคงตวใด ๆ ปรากฏอยแตในการศกษาเรองสมการเชงอนพนธ บางครงผลเฉลยทได ตองเปนไปตามเงอนไขบางอยางทกำหนดให ซงเนอหาทเกยวของกบการศกษาเรองน ไดถกกลาวถงในหวหวขอปญหาคาตงตน (หวขอ 2.4 หนา 19)ในการหาผลเฉลยของปญหาคาตงตนนน เรมตนโดยการแกสมการเชงอนพนธ และผลเฉลย

ทไดตองเปนไปตามเงอนไขคาตงตนทกำหนด นนทำใหผลเฉลยของปญหาคาตงตนเปนผลเฉลยเฉพาะ


บทท 3สมการเชงอนพนธสามญอนดบทสอง

เนอหาทจะกลาวถงตอไปน คอ ทฤษฎบททเกยวของกบสมการเชงอนพนธอนดบทสอง1 (second-order differential equation) และ การหาผลเฉลยของสมการเนองดวย ในการหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธอนดบทสอง มเนอหาบางสวนทเกยวของ

กบ จำนวนเชงซอน ดงนนเนอหาในสวนแรกของบท จะกลาวถงจำนวนเชงซอนพอสงเขปและเนอหาในสวนทเหลอของบท จะนำเสนอวธการหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธอนดบทสองในบางรปแบบ รวมทงการหาผลเฉลยของ ปญหาคาตงตน และ ปญหาคาขอบ

3.1 จำนวนเชงซอนพจารณาสมการกำลงสองx2+1 = 0, พบวาสมการนไมมผลเฉลยเปนจำนวนจรง เพราะวาไม

มจำนวนจรงใด ๆ ทยกกำลงสองแลวมคาเปนลบ ในตนครสตศตวรรตท 16 สญลกษณ √−1

ไดถกเสนอขนมา เพอจะใหเปนผลเฉลยของสมการกำลงสอง x2 + 1 = 0 เราเรยกสญลกษณน (ซงภายหลงนยมเขยนแทนสญลกษณนดวย i) วาจำนวนจนตภาพ (imaginary number) โดยทจำนวนจนตภาพน เราสามารถนำมาใชในระบบพชคณตทวไป (บวก, ลบ, คณ, หาร และ ถอดราก)ไดเหมอนกบจำนวนจรง ๆ เพยงแตแตกตางกนท กำลงสองของคานมคาเปน−1 ดงนน เราสามารถหาผลเฉลยของสมการกำลงสอง x2 + 1 = 0 ไดเปน

x2 + 1 = x2 − i2 = (x + i)(x− i)

ซงไดวาผลเฉลยของสมการคอ x = ±i

เรารวมเรยนจำนวนจรง, จำนวนจนตภาพและคาพชคณตระหวางจำนวนจรงและจำนวนจนตภาพ(เชน 2i, −9i, 10

11 i , 2 + 3i, 2− 3i

4, −5 + i เปนตน) วาจำนวนเชงซอน (complex numbers)2

1ดบทนยามเรองอนดบ หนา 22อานเนอหาเรองจำนวนเชงซอนเพมเตมไดใน [5, 13]

57

58 บทท 3. สมการเชงอนพนธสามญอนดบทสอง

3.1.1 รปแบบและคณสมบตของจำนวนเชงซอนเรามกเขยนจำนวนเชงซอนในรป

z = a + bi,

เมอ a และ b เปนจำนวนจรงใด ๆ และ i =√−1

• เราเรยก a วา สวนจรง (real part) ของจำนวนเชงซอน z เราเขยนแทนดวยสญลกษณRe(z)

• และเรยก b วา สวนจนตภาพ (imaginary part) ของจำนวนเชงซอน z เราเขยนแทนดวยสญลกษณ Im(z)

ในบางครง เราอาจเขยนจำนวนเชงซอน z ในรปคอนดบ3 (a, b) แทนคณสมบตตาง ๆ ของจำนวนเชงซอน

ให z1 = a + bi, z2 = c + di และ z3 = e + fi เปนจำนวนเชงซอนใด ๆ โดย a, b, c, d, e และ f

เปนจำนวนจรงใด ๆ แลว• การเทากน: z1 = z2 กตอเมอ a = c และ b = d

• การบวก :z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i

• การลบ :z1 − z2 = (a− c) + (b− d)i

• การคณ : z1z2 = (ac− bd) + (ad + bc)i

• การสลบทการบวก : z1 + z2 = z2 + z1

• การสลบทการคณ : z1z2 = z2z1

• การเปลยนกลมการบวก : z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3

• การเปลยนกลมการคณ : z1(z2z3) = (z1z2)z3

3ในชวงตนศตวรรษท 19 คารล ฟรดรช เกาส (Carl Friedrich Gauss, 1777-1855) และ เซอร วลเลยม โรแวน แฮมลตน (Sir William Rowan Hamilton, 1805-1865) เปนผเสนอถงแนวคดการนยามจำนวนเชงซอนในรปของคอนดบของจำนวนจรง (a, b) และคณสมบตตาง ๆของจำนวนเชงซอน ทงเกาสและแฮมลตนไดนำเสนอเรองนในชวงเวลาใกลเคยงกน โดยททงคไมไดคดเรองนรวมกนมากอนแนวความคดททงคไดนำเสนอ ยงคงใชอยจนถงปจจบน

3.1. จำนวนเชงซอน 59

• การกระจาย : z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3

• สงยคเชงซอน (complex conjugate) : z1 = a + bi = a− bi

• คาสมบรณ (absolute value) หรอ มอดลส (modulus) : |z1| =√

z1z1 =√

a2 + b2 ซงไดวา z1z1 = |z1|2

• การหาร : z1

z2=

z1

z2

z2

z2=

z1z2

|z2|2

• อารกวเมนตจำนวนเชงซอนหลก (principal argument) : Arg(z1) = tan−1

(b

a

),

ดงนน Arg(z1) ∈ (−π, π]

• อารกวเมนตจำนวนเชงซอน (argument of a complex number) : arg(z1) = θ, โดยทtan θ =

b

aดงนน arg(z1) = Arg(z1) + 2nπ, n = . . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .

ตวอยาง 3.1. ให z1 = 3 + 4i และ z2 = 2− 5i เราไดวา

• การบวก: z1 + z2 = (3 + 4i) + (2− 5i) = (3 + 2) + (4− 5)i = 5− i

• การลบ: z1 − z2 = (3 + 4i)− (2− 5i) = (3− 2) + (4 + 5)i = 1 + 9i

• การคณ: z1z2 = (3 + 4i)(2− 5i) = (3 · 2− 4 · (−5)) + (3 · (−5) + 4 · 2) i = 26 + 2i

• สงยคเชงซอน: z1 = 3 + 4i = 3− 4i และ z2 = 2− 5i = 2 + 5i,

• คาสมบรณ: |z1| =√

32 + 42 =√

25 = 5 และ |z2| =√

22 + (−5)2 =√

29

• การหาร: z1

z2=

3 + 4i

2− 5i=

(3 + 4i2− 5i

) (2 + 5i

2 + 5i

)=

(3 + 4i)(2 + 5i)29

= −1429

+1329

i

• อารกวเมนตจำนวนเชงซอนหลก: Arg(z1) = tan−1(

43

) และ Arg(z2) = tan−1(−5

2

)

• อารกวเมนตจำนวนเชงซอน: arg(z1) คอ มม θ ซง tan θ =43

และ arg(z2) คอ มม θ ซง tan θ = −52


3.1.2 จำนวนเชงซอนในเชงเรขาคณตจากจำนวนเชงซอน a + bi ถาเราพจารณาในเชงคอนดบ (a, b) เราอาจจะแทนจำนวนเชงซอน

ในลกษณะของจดในระนาบ หรอเวกเตอรทมจดเรมตนทจดกำเนด และจดปลายทจด (a, b) กไดเราเรยกระนาบดงกลาววาระนาบเชงซอน (complex plane)เราเรยกแกน x ในระนาบเชงซอนวา แกนจรง (real axis) และเรยกแกน y วา แกนจนตภาพ

(imaginary axis)

รปท 3.1. ระนาบเชงซอนถา (a, b) 6= (0, 0) เราสามารถแทนคา a และ b ในระบบพกดเชงขว (polar coordinate) ไดเปน

a = r cos θ, b = r sin θ,

เมอ r = |(a, b)| และ θ เปนมมทเวกเตอร (a, b) ทำกบแกนจรง (ดรป 3.1 ประกอบ) ดงนนจำนวนเชงซอน z = a + bi สามารถเขยนไดในรปเชงขวเชงซอน (complex polar form) ไดเปน

z = r (cos θ + i sin θ)

และเราสามารถพสจนไดวา4 eiθ = cos θ + i sin θ ดงนน เพอความสะดวก บางครงเราอาจจะเขยนz ในรปฟงกชนเลขชกำลงเชงซอน (complex exponential form)

z = reiθ,

เมอ r = |z| และ θ = arg z

4ดการพสจน eiθ = cos θ + i sin θ ใน [6]


ตวอยาง 3.2.

• ถา z =√

3 + i ดงนน

r = |z| =√

(√

3)2 + 12 = 2, และ θ = tan−1 1√3

=π

6,

ดงนน เราสามารถเขยน z ในรปพกดเชงขวไดเปน

z = 2(cos

π

6+ i sin

π

6

) หรอ z = 2ei π6

• ถา z = −1 + i ดงนน

r = |z| =√

(−1)2 + 12 =√

2, และ tan θ =1−1

= −1,

เราทราบวา ทง tan(−π

4

) และ tan(

3π4

) จะมคาเทากบ −1 เหมอนกนแตเนองจาก z อยในจตภาคทสอง (second quadrant) เราจะไดวามม θ = 3π

4 นนคอ เราสามารถเขยนz ในรปพกดเชงขวไดเปน

z =√

2(

cos3π

4+ i sin

3π

4

)หรอ z =

√2ei 3π

4

หมายเหต สำหรบจำนวนเตม n ใด ๆ,

reiθ+2nπ = r (cos(θ + 2nπ) + i sin(θ + 2nπ)) = r (cos θ + i sin θ) = reiθ

นแสดงใหเหนวาไมไดมรปพกดเชงขวเพยงหนงเดยวทใชแทนจำนวนเชงซอนzดงนนจากตวอยาง3.2 เราอาจเขยน√3 + i ในรปเชงขวไดเปน . . ., 2ei−11

6π, 2ei π

6 , 2ei 136

π, . . ., 2ei[π6+2nπ], . . . แตเรา

มกนยมให θ เปนอารกวเมนตจำนวนเชงซอนหลก หรอ θ ∈ (−π, π] นนเอง

3.1.3 ฟงกชนเลขชกำลงเชงซอน และ แคลคลสของฟงกชนเลขชกำลงเชงซอนเราสามารถขยายแนวความคดจากฟงกชนเลขชกำลง ex, เมอ x เปนจำนวนจรงไปสฟงกชน

เลขชกำลงเชงซอน ez (complex exponential function) เมอ z = a + bi และ a, b เปนจำนวนจรงใดๆ ไดเปน

ez = ea+bi = eaebi = ea (cos b + i sin b)


คณสมบตตาง ๆ ของฟงกชนเลขชกำลงเชงซอน5ให z1 = a + bi, z2 = c + di เปนจำนวนเชงซอนใด ๆ โดย a, b, c และ d เปนจำนวนจรงใด ๆ แลว1. ez1ez2 = ez1+z2 = e(a+b)+(c+d)i = ea+b [cos(c + d) + i sin(c + d)]

2. ez1

ez2= ez1−z2 = e(a−b)+(c−d)i = ea−b [cos(c− d) + i sin(c− d)]

3. (ez1)n = enz1 = ena [cos(nb) + i sin(nb)], เมอ n เปนจำนวนเตมใด ๆ4. n√

ez1 = ea+(b+2kπ)i

n = ea/n

[cos

b + 2kπ

n+ i sin

b + 2kπ

n

], k = 1, . . . , n−1. และn เปน

จำนวนเตมบวกใด ๆ5. e2nπi = cos(2nπ) + i sin(2nπ) = 1 + 0i = 1, ez+2nπi = eze2nπi = ez · 1 = ez

6. e(2n+1)πi = cos ((2n + 1)π) + i sin ((2n + 1)π) = −1 + 0i = −1

7. ∣∣eiθ∣∣ = |cos θ + i sin θ| =

√cos2 θ + sin2 θ = 1

8. |ez1 | = |ea [cos b + i sin b]| = ea

9. |ez1ez2 | = |ez1 | |ez2 |

10. arg(ez1) = arg (ea [cos b + i sin b]) = b

และนอกจากน เรายงสามารถนยามอนพนธและการหาคาอนทกรล ของฟงกชนเลขชกำลงเชงซอนได โดยจะมลกษณะเหมอนกบการหาอนพนธ และ การหาคาอนทกรล ของฟงกชนเลขชกำลงของจำนวนจรง11. ให f(z) = ez ดงนน อนพนธของฟงกชนเลขชกำลงเชงซอนคอ

dez

dz= f ′(z) = lim

h→0

f(x + h)− f(x)h

= ez

12. deaz

dz= aez

13.∫

ezdz = ez + c, เมอ c เปนคาคงตวใด ๆ14.

∫eazdz =

eaz

a+ c, เมอ c เปนคาคงตวใด ๆ

5ดการพสจนคณสมบตของฟงกชนเลขชกำลงเชงซอนไดใน [5, 6, 13]


3.1.4 ผลเฉลยเชงซอนของสมการพหนามในปครสตศกราช 1799, เกาสสามารถพสจนไดวา สมการพนนาม

anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x + a0 = 0, (3.1)

เมอ a0, a1, . . . , an เปนจำนวนจรงใด ๆ, an 6= 0, n ≥ 1, มผลเฉลยเปนจำนวนเชงซอน6 และนอกเหนอกวานน เขาสามารถพสจนไดวา ถาสมประสทธa0, a1, . . . , an เปนจำนวนเชงซอน ผลเฉลยของสมการเชงพหนามน กยงคงอยในระบบจำนวนเชงซอนเชนกนเราเรยกสงทเกาสพสจนนวาทฤษฎบทมลฐานของพชคณต (fundamental theorem of algebra) ตวทฤษฎนไดแสดงใหเหนวาเราไมจำเปนตองสรางระบบตวเลขททวไปกวาจำนวนเชงซอนอก เพอจะใชในการแกสมการพหนามทมสมประสทธเปนจำนวนเชงซอนเหมอนกบทเราตองสรางระบบจำนวนเชงซอน เพอใชในการหาผลเฉลยของสมการพหนามทมสมประสทธเปนจำนวนจรงและเราเรยกผลเฉลยของสมการพหนามนวา ราก (roots) ของสมการเราอาจจะเขยนทฤษฎบทมลฐานของพชคณต7 ในเชงภาษาคณตศาสตรไดเปน

ทฤษฎบทมลฐานของพชคณต 3.1. สำหรบพหนามกำลง n (3.1) ใด ๆ เราสามารถแยกตวประกอบใหอยในรป

an(x− z1)(x− z2) · · · (x− zn) = 0

จำนวน n ตวประกอบ ไดเสมอ, เมอ z1, . . . , zn เปนจำนวนเชงซอน (ทอาจจะมบางคาซำกนกได)และเรยก z1, . . . , zn วารากของสมการ (3.1)ตวอยางรากของสมการพหนาม• รากของสมการกำลงสอง (roots of quadratic equation)

ax2 + bx + c = 0

สามารถแยกตวประกอบไดเปนa(x− z1)(x− z2) = 0

6เราสามารถพจารณาจำนวนจรง a ใด ๆ วาเปนจำนวนเชงซอนได โดยให a มคาเปน a + 0i หรอ (a, 0) ในระบบจำนวนเชงซอน

7ดแนวคดในการพสจนในได [9]


ผลเฉลย : z1, z2 =−b±√b2 − 4ac

2a

ถา a, b และ c เปนจำนวนจรง เราเรยก D = b2 − 4ac วาดสครมแนนต (discriminant) ของสมการกำลงสอง และ

z1, z2 =

จำนวนจรงทแตกตางกน ถาD > 0

จำนวนจรงทเหมอนกน ถาD = 0

จำนวนเชงซอนซงเปนสงยคเชงซอนซงกนและกน ถาD < 0

• รากของสมการกำลงสาม (roots of cubic equation)x3 + a2x

2 + a1x + a0 = 0

สามารถแยกตวประกอบไดเปน(x− z1)(x− z2)(x− z3) = 0

ใหQ = 3a1−(a2)2

9 , R = 9a1a2−27a0−2(a2)2

54 ,

S = 3

√R +

√Q3 + R2, T = 3

√R−

√Q3 + R2

ผลเฉลย :

z1 = S + T − 13a2

z2 = −12(S + T )− 1

3a2 + 12 i√

3(S − T )

z3 = −12(S + T )− 1

3a2 − 12 i√

3(S − T )

ถา a0, a1 และ a2 เปนจำนวนจรง เราเรยกD = Q3 + R2 วาดสครมแนนต ของสมการกำลงสาม และ

z1, z2, z3 =

จำนวนจรงหนงจำนวนและจำนวนเชงซอนซง เปน สง ยค เชงซอน ซงกนและกน สองจำนวน

ถาD > 0

จำนวนจรงทงสามจำนวนและมอยางนอยสองจำนวนทเหมอนกน ถาD = 0

จำนวนจรงทแตกตางกน ถาD < 0

นอกจากนยงพบวาz1 + z2 + z3 = a2, z1z2 + z2z3 + z3z1 = a1, z1z2z3 = −a0


ตวอยาง 3.3. จงแยกตวประกอบสมการ2x2 + 2x + 3 = 0

วธทำ เราไดวาผลเฉลยของสมการคอz1, z2 =

−2±√22 − 4 · 2 · 32 · 2 =

−2±√−204

= −12±√

52

i

ดงนนเราแยกตวประกอบไดเปน2(x− z1)(x− z2) = 2(x +

12−√

52

i)(x +12

+√

52

i)

ตวอยาง 3.4. จงหารากของสมการz2 − (4 + 3i)z + (1 + 5i) = 0

วธทำ โดยสตรการหาผลเฉลยของสมการเราไดวาz1, z2 =

4 + 3i±√

(4 + 3i)2 − 4(1 + 5i)2

=4 + 3i±√3 + 4i

2

ตองการหาคา√3 + 4i : สมมตให x + yi =√

3 + 4i, โดยท x และ y เปนจำนวนจรง ดงนน(x + yi)2 = 3 + 4i

(x2 − y2) + 2xyi = 3 + 4i

เมอเปรยบเทยบสวนจรง และ สวนจนตภาพเราไดวาx2 − y2 = 3 และ 2xy = 4

จากสมการทางดานขวามอ เราได y =2xเมอนำไปแทนคาในสมการทางดานซายมอ เราได

x2 − 4x2

= 3

x4 − 3x2 − 4 = 0

(x2 − 4)(x2 + 1) = 0

จากตรงน เราได x = ±2,±i แตเนองจากเรากำหนดให x และ y เปนจำนวนจรงดงนน เราจะไดx = ±2


เมอ x = 2 ได y =2x

= 1 และเมอ x = −2 ได y = −1 ดงนน ผลเฉลยของสมการคอz1, z2 =

4 + 3i± (2 + i)2

z1 = 3 + 2i z2 = 1 + i

ตวอยาง 3.5. จงหารากท 4 ของ −4

วธทำ จากโจทยเราอาจจะเขยนเปนสมการพหนามไดเปนz4 = −4 หรอ z4 + 4 = 0

ในการหาผลเฉลยของสมการ เราจะเขยน −4 ในรปฟงกชนยกกำลงเชงซอนไดเปน8

z4 = eln 4+iπ

ดงนนz = e

ln 4+(π+2kπ)i4 , k = 0, 1, 2, 3

ซงจะมผลเฉลยเปนz1 = e

ln 44

+π4i, z2 = e

ln 44

+ 3π4

i,

z3 = eln 44

+ 5π4

i, z4 = eln 44

+ 7π4

i

ซงสามารถเขยนไดเปนz1 =

√2e

π4i =

√2(cos

π

4+ i sin

π

4) = 1 + i,

z2 =√

2e3π4

i =√

2(cos3π

4+ i sin

3π

4) = −1 + i,

z3 =√

2e5π4

i =√

2(cos5π

4+ i sin

5π

4) = −1− i,

z4 =√

2e7π4

i =√

2(cos7π

4+ i sin

7π

4) = 1− i

8เราจะเขยน − |a| ในรปของฟงกชนเลขยกกำลง eln|a|+iπ หรอ ในรปเชงขว |a| (cosπ + i sin π), เมอ a เปนจำนวนจรงใด ๆ ทไมเปน 0


แบบฝกหด1. จงแสดงวา

i4n+1 = i, i4n+2 = −1, i4n+3 = −i, i4n+4 = 1,

และ1

i4n+1= −i,

1i4n+2

= −1,1

i4n+3= i,

1i4n+4

= 1,

เมอ n = 1, 2, 3, . . .

2. จงหารปเชงขวเชงซอน และ รปฟงกชนเลขชกำลงเชงซอนของ(a) 3 + 4i

(b) 5− 2i

(c) −14

(d) 23i

(e) −12 + 13i

(f) −12− 13i

(g) 7

(h)√

2 +√

2i

−√3 +√

2i

(i) √3 +√

5i

(j)√

32− 3

2i

(k) − 2i√2 +

√2i

(l) ln 2 + i ln 4

3. ถา z1 = 3 + 4i และ z2 = 5− 2i จงหาคาตอไปนในรป x + yi เมอ x และ y เปนจำนวนจรงใด ๆ

(a) z1 + z2

(b) z1 − z2

(c) z1z2

(d) 1z1

(e) 1z2

(f) z1

z2

(g) 4z1 + 2z2

(h) −z1 + z2i

(i) (z1)108

(j) z1

z1 + z2

(k) z1 + z2

z1 − z2

(l) z1z2

z1− z2

4. จงแสดงวา(a) z1 + z2 = z1 + z2

(b) |z1z2| = |z1| |z2|

(c) |z1| = |z1|

(d) z1z2 = z1 · z2

(e) |zn1 | = |z1|n

(f)(

z1

z2

)=

z1

z2

(g)∣∣∣∣z1

z2

∣∣∣∣ =|z1||z2|

(h) Arg(z1) =π

2− Arg(z1)


5. จงหาผลเฉลยทงหมดของสมการพหนามตอไปน(a) z2 + 5 = 0

(b) z2 + z + 1− i = 0

(c) z4 = 4

(d) z4 = 4i

(e) z2 − (5 + i)z + 8 + i = 0

(f) z4 − 2(1 + 3i)z2 − 8 + 6i = 0

(g) z8 = 1

(h) z4 − 4z3 + 6z2 − 4z + 1 = 0

3.2 รปแบบมาตรฐานของสมการเชงอนพนธอนดบทสองรปแบบทวไปของสมการเชงอนพนธอนดบทสองคอ

d2y

dx2= f(x, y,

dy

dx),

โดยท f เปนฟงกชนใด ๆ ของ x, y และ dy

dx, x เปนตวแปรอสระ, y เปนตวแปรไมอสระและ dy

dx

และ d2y

dx2เปนอนพนธของ y เทยบกบ x อนดบทหนง และ ทสอง ตามลำดบ

หรอในบางครง เราอาจเขยนสมการเชงอนพนธอนดบทสอง ในรป

y′′ = f(x, y, y′),

เมอ y′′ หมายถง d2y

dx2และ y′ หมายถง dy

dx

ตวอยาง 3.6. ตวอยางสมการเชงอนพนธอนดบทสอง

• F = md2ydt2 กฎขอทสองของนวตน (Newton’s second law)

• Fสปรง = md2ydt2

= −ky กฎของฮก (Hooke’s law)

• Fแรงเสยดทาน = my′′ = −by′สมการการเคลอนทแบบการสน(vibration motion equation)

• my′′ + by′ + ky = Fภายนอก(t)สมการการเคลอนทแบบการสนชนดมแรงภายนอก(vibration motion equation with external force)

• d2q

dt2+

R

L

dq

dt+

1LC

q =1L

E(t) กฎของครชฮอฟฟ (Kirchhoff’s loop law)

3.3. ปญหาคาขอบ 69

สำหรบสมการเชงอนพนธอนดบทสอง ทงายตอการหาผลเฉลยทสด จะอยในรปd2y

dx2= f(x) หรอ y′′ = f(x)

ซง สามารถหาผลเฉลยของสมการได โดยการหาคาอนทกรลโดยตรงy′ =

∫f(x)dx + c1,

y =∫ [∫

f(x)dx + c1

]dx + c2

=∫ [∫

f(x)dx

]dx + c1x + c2,

เมอ c1 และ c2 เปนคาคงตวใด ๆ

3.3 ปญหาคาขอบในการหาผลเฉลย ของสมการเชงอนพนธอนดบทหนง เราพบวาผลเฉลยทวไปทหาได จะ

มคาคงตวใด ๆ (arbitrary constant) ปรากฎอย 1 จำนวน และสำหรบการหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธอนดบทสอง ผลเฉลยทวไปทได กจะปรากฎคาคงตวใด ๆ 2 จำนวนและโดยทฤษฎบท9พบวา สำหรบสมการเชงอนพนธอนดบท nนน ผลเฉลยทวไปจะปรากฎคาคงตวใด ๆ อย n จำนวนในบททผานมา ไดกลาวถงปญหาคาตงตน 10 ซงประกอบดวย• สมการเชงอนพนธ• เงอนไข ซงตองเปนเงอนไขทสมพนธกบคา x เพยงคาเดยวเทานน

ในการจะกำจดคาคงตวใด ๆ ทปรากฎอยในผลเฉลย สำหรบปญหาคาตงตนสมการเชงอนพนธอนดบทหนง ซงผลเฉลยมคาคงตวใด ๆ ปรากฎอยเพยงคาเดยว เราใชเงอนไขเพยง 1 เงอนไข เรากสามารถหาผลเฉลยเฉพาะได แตสำหรบผลเฉลยของสมการเชงอนพนธอนดบทสอง เราจำเปนตองมอยางนอยสองเงอนไข เพอทจะสามารถกำจดคาคงตวทงสองคาทปรากฎอยในผลเฉลย ยกตวอยางเชน

9ดรายละเอยดเพมเตมใน [18]10ดบทนยามและรายละเอยดเรองปญหาคาตงตนในหวขอ 2.4 หนา 19


ตวอยาง 3.7. สมการy′′ + y = 0 (3.2)

มผลเฉลยทงไปคอ y = c1 cosx + c2 sinx, เมอ c1 และ c2 เปนคาคงตวใด ๆ (ผอานสามารถตรวจสอบได วาเปนเฉลยโดยการแทนคา y ลงในสมการ (3.2))ถาสมการ (3.2) มเงอนไขคาตงตนเพยง y(0) = 0 เราจะไดวา

0 = c1 cos 0 + c2 sin 0 = c1

ดงนน ผลเฉลยของขอปญหา

y′′ + y = 0, y(0) = 0

คอ y = c2 sinx แตถาสมการ (3.2) มทงเงอนไข y(0) = 0 และ y′(0) = 1 เราได

y′ = c2 cosx

y′(0) = c2 cos 0 = c2

c2 = 1

ซงไดวาผลเฉลยเฉพาะของขอปญหา คอ y = sinx

และสำหรบสมการเชงอนพนธอนดบ n เราจำเปนตองมอยางนอย n เงอนไข เพอใชในการหาผลเฉลยเฉพาะตวอยาง 3.8. พจารณาปญหาคาตงตน ของสมการเชงอนพนธอนดบทส

(x2 − 4)d4y

dx4+ 2x

d2y

dx2+ (sinx)y = 0

y(0) = 0, y′(0) = 0, y′′(0) = 0, y′′′(0) = 0(3.3)

ขอปญหาดงกลาว ประกอบดวยสมการเชงอนพนธอนดบส และ เงอนไขตงตน 4 เงอนไข และขอปญหานมผลเฉลยเพยงหนงเดยว11 คอ

y(x) = 0

11ดทฤษฎบทการมจรง และ มอยหนงเดยว ของผลเฉลยของปญหาคาตงตน(existence and uniqueness theorem) ไดใน [18]

3.3. ปญหาคาขอบ 71

สำหรบขอปญหาของสมการเชงอนพนธอนดบสองตองการสองเงอนไขเพอหาผลเฉลยเฉพาะแตบางครงเงอนไขไมไดถกใหมาในลกษณะของเงอนไขคาตงตนแตใหมาในลกษณะ

y(x1) = k1 และ y(x2) = k2, (3.4)โดยเปนเงอนไขทจด x1 และ x2 ทแตกตางกนเราเรยกเงอนไข (3.4) วาเงอนไขขอบ (boundary condition) และเรยกขอปญหา ทมสมการเชง

อนพนธอนดบทสอง และ เงอนไข (3.4) วาปญหาคาขอบ (boundary-valued problem)และสำหรบผลเฉลยทได จะพจารณาเฉพาะในชวงx ∈ [m, M ], เมอ m คอ คาทนอยกวา

ระหวาง x1 และ x2 และ M คอคาทมากกวาระหวาง x1 และ x2 (m = min{x1, x2}, M =

max{x1, x2}) ซงจะแตกตางจากปญหาคาตงตน ทเราจะพจารณาผลเฉลยเฉพาะในยานใกลเคยงกบคาตงตน x0

ตวอยาง 3.9. พจารณาปญหาคาขอบy′′ + y = 0, y(0) = 3, y(

π

2) = −3 (3.5)

จากตวอยาง 3.7 เราทราบแลววาผลเฉลยของสมการคอy = c1 cosx + c2 sinx, เมอ c1 และ c2 เปนคาคงตวใด ๆ และเมอแทนเงอนไขเราไดวา

3 = c1 cos(0) + c2 sin(0)

= c1 · 1 + c2 · 0

= c1

และ−3 = 3 cos(

π

2) + c2 sin(

π

2)

= c2 · 1

= c2

ดงนน ผลเฉลยของขอปญหา (3.5) คอy = 3 cos x− 3 sin x, x ∈ [0,

π

2]


ทผานมา ไดกลาวไววา ในการหาผลเฉลยเฉพาะของสมการเชงอนพนธอนดบ n เราตองการเงอนไขอยางนอย n เงอนไข เพอใชกำจดคาคงตวใด ๆ จำนวน n ตว แตตวอยางถดไป จะแสดงใหเหนวาในทางกลบกนอาจจะไมจรง นนคอ ถงแมมเงอนไขจำนวน n เงอนไข แตเราอาจจะไมสามารถกำจดคาคงตวใด ๆ ใหหมดไปไดตวอยาง 3.10. พจารณาปญหาคาขอบ

y′′ + y = 0, y(0) = 3, y(π) = −3 (3.6)จากตวอยาง 3.7 เราทราบแลววาผลเฉลยของสมการคอ

y = c1 cosx + c2 sinx,

เมอ c1 และ c2 เปนคาคงตวใด ๆ และเมอแทนเงอนไขเราไดวา3 = c1 cos(0) + c2 sin(0)

= c1 · 1 + c2 · 0

= c1

และ−3 = 3 cos(π) + c2 sin(π)

= 3 · (−1)

= −3

ดงนน ผลเฉลยของขอปญหา (3.6) คอy = 3 cosx + c2 sinx, x ∈ [0, π]

จากตวอยางน ผอานเหนไดวา ถงแมวาปญหาคาขอบ (3.6) ซงเปนสมการเชงอนพนธอนดบทสองและมเงอนไขขอบสองเงอนไขกตามเงอนไขดงกลาว ไมไดชวยใหสามารถหาผลเฉลยเฉพาะได


แบบฝกหดจงหาผลเฉลยเฉพาะของปญหาคาขอบตอไปน1. y′′ + 4y = 0, y(0) = 3, y(π/2) = −3

เมอผลเฉลยทวไปคอ y = c1 cos(2x) + c2 sin(2x), c1 และ c2 เปนคาคงตวใด ๆ2. y′′ − 25y = 0, y(−2) = y(2) = cosh 10

เมอผลเฉลยทวไปคอ y = c1e5x + c2e

5x, c1 และ c2 เปนคาคงตวใด ๆ และcoshx =

ex + e−x

2

3. y′′ + 2y′ + 2y = 0, y(0) = 1, y(π/2) = 0

เมอผลเฉลยทวไปคอ y = e−x (c1 cosx + c2 sinx) , c1 และ c2 เปนคาคงตวใด ๆ4. y′′ − 2y′ + y = 0, y(0) = 2, y(1) = e

เมอผลเฉลยทวไปคอ y = ex (c1 + c2x) , c1 และ c2 เปนคาคงตวใด ๆ

3.4 สมการเชงเสนจากบทนยาม 1.3 สมการเชงเสน (หนา 2) เราสามารถเขยนสมการเชงอนพนธสามญเชงเสน

อนดบทสอง ไดเปนa2(x)

d2y

dx2+ a1(x)

dy

dx+ a0(x)y = b(x),

เมอ a2(x) 6= 0 และ a2, a1, a0, b เปนฟงกชนของตวแปร xเนองจาก a2(x) 6= 0 เราสามารถหารสมการเชงอนพนธสามญเชงเสนอนดบทสองดงกลาว

ดวย a2(x) และ เราสามารถเขยนสมการเชงอนพนธสามญเชงเสนอนดบทสองไดเปนy′′ + p(x)y′ + q(x)y = r(x), (3.7)

เมอ p(x) =a1(x)a2(x), q(x) =

a0(x)a2(x)และr(x) =

b(x)a2(x)

ถา r(x) ≡ 0 (นนคอ r(x) = 0 ทก ๆ คา x ทอยในชวงทพจารณา) สมการ (3.7) จะสามารถถกเขยนไดเปน

y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0, (3.8)


และเราเรยกสมการนวา สมการเอกพนธ 12 (homogeneous equation) แต ถา r(x) 6= 0 เราเรยกสมการ (3.7) วา สมการไมเอกพนธ (nonhomogeneous equation)เพอความสะดวกในบทนเราจะใชคำวา“สมการเชงเสน”แทนคำวา“สมการเชงอนพนธสามญ

เชงเสนอนดบทสอง”ถา p(x) และ q(x) เปนคาคงตว เราเรยกสมการ วาสมการเชงเสนทมสมประสทธเปนคาคงตว

ตวอยาง 3.11.

• สมการ y′′ + 3xy′ + x3y2 = ex

ไมเปนสมการเชงเสน• สมการ (sinx)y′′ + (cosx)y′ + tan

√x = 0

เปนสมการเชงเสน แตไมเปนสมการเอกพนธ• สมการ y′′ + 3xy′ + x3y = ex

เปนสมการเชงเสน แตไมเปนสมการเอกพนธ• สมการ y′′ + 3xy′ + x3y = 0

เปนสมการเชงเสน และเปนสมการเอกพนธ• สมการ y′′ + 3y′ + 5y = ex

เปนสมการเชงเสนทมสมประสทธเปนคาคงตว แตไมเปนสมการเอกพนธ• สมการ y′′ + 3y′ + 5y = 0

เปนสมการเชงเสนทมสมประสทธเปนคาคงตว และเปนสมการเอกพนธ

12สงเกตวา คำวา‘‘สมการเอกพนธ” ของสมการเชงอนพนธอนดบทหนงและ สมการเชงอนพนธอนดบทสอง จะใชในความหมายทแตกตางกน

3.5. ทฤษฎบทมลฐานของสมการเอกพนธ 75

แบบฝกหดจงตรวจสอบวาสมการเชงอนพนธสามญอนดบสองตอไปน เปนสมการเชงเสนหรอไม ถาใช ใหระบวาเปนสมการเอกพนธหรอสมการไมเอกพนธพรอมทงระบดวยวาสมการดงกลาวมสมประสทธเปนคาคงตวหรอไม

1. 6d2y

dx2+

dy

dx= xy

2. y′′ + (1− x)y′ + xy = sin x

3. xy′′ − yy′ = sin x

4. d2y

dx2− x

dy

dx+ y = 0

5. 3t2d2x

dt2= t

dx

dt+ 4x− ln t

6. d2θ

dx2= cos θ

7. d2y

dθ2+ y = tan θ

8. d2s

dx2+ 3

ds

dx− s1/2 = x2


3.5 ทฤษฎบทมลฐานของสมการเอกพนธกอนทจะกลาวถงทฤษฎบทมลฐานของสมการเอกพนธ เราจะพจารณาตวอยางตอไปนกอน

ตวอยาง 3.12. พจารณาสมการเอกพนธ

y′′ − 3y′ + 2y = 0 (3.9)

เราสามารถตรวจสอบไดวา y1 = ex และ y2 = e2x เปนผลเฉลยของสมการ (3.9) นอกจากนยงพบวา 2ex +3e2x,−ex +

√2e2x และ (ln 2)ex − (ln 3)e2x

2กคงเปนผลเฉลยของสมการ (3.9) ดวย ไม

เพยงเทาน ไมวาจะเลอกคาคงตวใด ๆ c1 และ c2 และให

y = c1ex + c2e

2x

ซงไดวาy′ = c1e

x + 2c2e2x และ y′′ = c1e

x + 4c2e2x

ทำให

y′′ − 3y′ + 2y =(c1e

x + 4c2e2x

)− 3(c1e

x + 2c2e2x

)+ 2

(c1e

x + c2e2x

) ≡ 0


นแสดงวา ถา ex และ e2x เปนผลเฉลยของสมการ (3.9) y = c1ex + c2e

2x เปนผลเฉลยของสมการเอกพนธ (3.9) ดวยเหมอนกนบทนยาม 3.1. ให f1 และ f2 เปนฟงกชนใด ๆ ทนยามบนโดเมนและโดเมนรวมเกยว (codomain)เดยวกนเราเรยกฟงกชน

f(x) = c1f1(x) + c2f2(x),

เมอ c1 และ c2 เปนคาคงตวใด ๆ วา ผลรวมเชงเสน (linear combination) ของ f1 และ f2

จากแนวความคดทไดกลาวมาเกยวกบ ผลเฉลยทอยในรปของผลรวมเชงเสนของผลเฉลยอนนำไปสทฤษฎบทมลฐานของสมการเอกพนธ (fundamental theorem on homogeneous equations)ดงนทฤษฎบทมลฐานของสมการเอกพนธ 3.2. สำหรบสมการเอกพนธ

y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0, (3.10)ถา y1 และ y2 เปนผลเฉลยของสมการเอกพนธเชงเสนแลว ผลรวมเชงเสนของผลเฉลยทงสอง

y = c1y1 + c2y2,

เมอ c1 และ c2 เปนคาคงตวใด ๆ กยงคงเปนผลเฉลยของสมการเอกพนธเชงเสน (3.10) ดวยพสจน เราทำการพสจนโดยการแทนคา y ลงในสมการ (3.10)เนองจาก

y′ = c1y′1 + c2y

′2 และ y′′ = c1y

′′1 + c2y

′′2

เมอแทนลงในสมการ เราไดวาy′′ + p(x)y′ + q(x)y =

(c1y

′′1 + c2y

′′2

)+ p(x)

(c1y

′1 + c2y

′2

)+ q(x) (c1y1 + c2y2)

= c1

(y′′1 + p(x)y′1 + q(x)y1

)︸︷︷︸

=0 เนองจาก y1 เปนคำตอบของสมการ+c2

(y′′2 + p(x)y′2 + q(x)y2

)︸︷︷︸

=0 เนองจาก y2 เปนคำตอบของสมการ= c10 + c20 = 0

นแสดงใหเหนวา ผลรวมเชงเสนของผลเฉลยใด ๆ ของสมการเอกพนธ (3.10) ยงคงเปนผลเฉลยของสมการดวย 2


ทฤษฎบทน ไดกลาวถงผลเฉลยใหม ทไดจากการรวมเชงเสน ของผลเฉลยท เราหามาไดกอนหนาน แตทฤษฎบทถดไปจะกลาวถง รปแบบผลเฉลยทวไปทงหมดทเปนไปได ของสมการเชงเสนอนดบทสองทฤษฎบททจะกลาวถงน ผแตงจะไมแสดงการพสจนไว แตผอานสามารถดการพสจนไดใน [18]ทฤษฎบท 3.3. ถา y1 และ y2 เปนผลเฉลยของสมการเอกพนธเชงเสน

y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0, (3.11)ซงนยามบนชวง I บางชวง, โดย y1

y2ไมเปนคาคงตวแลวผลเฉลยทวไปของสมการ (3.3) บนชวง I

ตองอยในรปy = c1y1 + c2y2,

เมอ c1 และ c2 เปนคาคงตวใด ๆ, เทานนทฤษฎบทนบอกใหเรารวา ในการหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงเสนเอกพนธอนดบทสอง

ถาเราพบผลเฉลยสองผลเฉลย ทไมเปนสดสวนซงกนและกนบนชวง I หรอy1 6= ky2, เมอ k เปนคาคงตว

แลว เราไมจำเปนตองหาผลเฉลยในรปแบบอน ๆ อกคำวา “ฟงกชนไมเปนสดสวนซงกนและกน” จะสมมลกบคำวา “ฟงกชนเปนอสระเชงเสน

(linearly independent) ซงกนและกน” นนคอ ถา f1(x) และ f2(x) เปนอสระเชงเสนซงกนและกนจะหมายถงc1f1(x) + c2f2(x) = 0 กตอเมอ คาคงตว c1 และ c2 มคาเปนศนยเทานน

c1f1(x) + c2f2(x) = 0 ⇔ c1 = 0, c2 = 0

ในบางครง อาจจะใชคำวา “ฟงกชนเปนอสระเชงเสนซงกนและกน” แทนคาวา “ฟงกชนไมเปนสดสวนซงกนและกน”บทนยาม 3.2. เราเรยกเซตของผลเฉลย y1 และ y2 ของสมการเอกพนธ

y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0

หรอ {y1, y2} ซง y1 และ y2 ไมเปนสดสวนซงกนและกนบนชวง I วาเซตของผลเฉลยมลฐาน(fundamental solution set)


ขนตอนวธการหาผลเฉลยทงหมดทเปนไปไดของสมการเอกพนธเชงเสนอนดบสอง

1. หาผลเฉลย y1 และ y2 ทไมเปนสดสวนซงกนและกนบนชวง I

2. ผลเฉลยทวไปตองอยในรปy = c1y1 + c2y2,


หมายเหต ในหนงสอบางเลม อาจมขนตอนวธการหาผลเฉลยทงหมดทเปนไปได ของสมการเอกพนธเชงเสนอนดบสอง แตกตางกนคอ

1. หาผลเฉลย y1 และ y2 ท

W [y1, y2](x) := y1(x)y′2(x)− y2(x)y′1(x) 6= 0

บนชวง I แทนทจะหาผลเฉลยทไมเปนสดสวนซงกนและกนบนชวง I

2. ผลเฉลยทวไปตองอยในรป y = c1y1 + c2y2

และเรยกW [y1, y2] วารอนสเกยนของ y1 และ y2 (Wronskian of y1 and y2)ซงจรง ๆ แลวทงสองกรณสมมลกน สามารถแสดงใหเหนโดยงาย คอ

• ถา y1 และ y2 ทเปนสดสวนซงกนและกน ดงนน

y1 = ky2

แลวจะไดวา

W [y1, y2](x) := y1(x)y′2(x)− y2(x)y′1(x) = [ky2(x)] y′2(x)− y2(x) [ky2(x)]′

= k[y2(x)y′2(x)− y2(x)y′2(x)

] ≡ 0


• ในทางกลบกน ถาW [y1, y2](x) = 0

y1(x)y′2(x)− y2(x)y′1(x) = 0

y2(x)y′1(x) = y1(x)y′2(x)

y′1(x)y1(x)

=y′2(x)y2(x)∫

y′1(x)y1(x)

dx =∫

y′2(x)y2(x)

dx

ln |y1(x)| = ln |y2(x)|+ c, เมอ c เปนคาคงตวใด ๆy1(x) = ky2(x), k = ec

ตวอยาง 3.13. พจารณาสมการเอกพนธ

y′′ − 3y′ + 2y = 0 (3.12)

เราทราบแลววา y1 = ex และ y2 = e2x ตางเปนผลเฉลยของสมการ (3.12) บนชวง (−∞,∞) และy1

y2= e−x ไมเปนคาคงตว ดงนน โดยทฤษฎบท 3.3 เราสามารถสรปไดทนทวา ผลเฉลยทวไปของสมการเอกพนธ(3.12) คอ

y = c1ex + c2e

2x,

เมอ c1 และ c2 เปนคาคงตวใด ๆตวอยาง 3.14. ถา y1 = cos(3x) และ y2 = sin(3x) เปนผลเฉลยของสมการy′′ + 9y = 0 บนชวง(−∞,∞), จงหาผลเฉลยของปญหาคาตงตน

y′′ + 9y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 3 (3.13)

วธทำ เราพบวา y1

y2=

cos(3x)sin(3x)

= cot(3x) ไมเปนคาคงตวดงนน โดยทฤษฎบท เราไดผลเฉลยทวไป

y = c1 cos(3x) + c2 sin(3x),

เมอ c1 และ c2 เปนคาคงตวใด ๆ และเราสามารถหาคา c1 ได คอ

y(0) = 1 = c1 cos 0 + c2 sin 0

= c1 · 1 + 0 = c1


และเราสามารถหาคา c2 ได คอy′(x) =

d cos(3x)dx

+d c2 sin(3x)

dx

= −3 sin 3x + 3c2 cos 3x

y′(0) = 3 = − sin 0 + 3c2 cos 0

= 0 + 3c2 · 1

= 3c2

c2 = 1

ดงนน ผลเฉลยของปญหา (3.13) คอ y = cos 3x + sin 3x


แบบฝกหด1. ตรวจสอบวาฟงกชน y1 และ y2 ตอไปน เปนอสระเชงเสนซงกนและกน(หรอนนคอ ไมเปนสดสวนซงกนและกน) หรอไม (อาจจะตรวจสอบโดยตรง หรอ หาคารอนสเกยน กได)

(a) y1(x) = e−x cos 2x, y2(x) = e−x sin 2x

(b) y1(x) = sin2 x + cos2 x, y2(x) = sin2 3x + cos2 3x

(c) y1(x) = x2 cos(lnx), y2(x) = x2 sin(lnx)

(d) y1(x) = tan2 x− sec2 x, y2(x) = 3

(e) y1(x) = ln (√

x) , y2(x) = 3 lnx

(f) y1(x) = xe2x, y2(x) = e2x

(g) y1(x) = e3x, y2(x) = e−4x

(h) y1(x) = 0, y2(x) = ex

2. ตรวจสอบวา ฟงกชน y1 และ y2 เปนผลเฉลยของสมการตอไปนหรอไม ถาใช ตรวจสอบดวา y1 และ y2 เปนอสระเชงเสนซงกนหรอไม (อาจจะตรวจสอบโดยตรง หรอ หาคารอนสเกยน กได) และถา y1 และ y2 เปนอสระเชงเสนซงกนและกนจงหาผลเฉลยทวไปของสมการดงกลาว และหาผลเฉลยของปญหาทสอดคลองตามเงอนไขตงตนทระบให

(a) สมการ : xy′′ − 2y = 0

เงอนไขตงตน : y(1) = −2, y′(1) = −7

y1 = x2, y2 = x−1

(b) สมการ y′′ − 5y′ + 6y = 0

เงอนไขตงตน : y(0) = −1, y′(0) = −4

y1 = e2x, y2 = e3x

(c) สมการ y′′ − 2y′ + 5y = 0

เงอนไขตงตน : y(0) = 2, y′(0) = 0

y1 = ex cos 2x, y2 = ex sin 2x


(d) สมการ y′′ − 5y′ = 0

เงอนไขตงตน : y(0) = 2, y′(0) = 5

y1 = 2, y2 = e5x

(e) สมการ xy′′ − (x + 2)y′ + 2y = 0

เงอนไขตงตน : y(1) = 0, y′(1) = 1

y1 = ex, y2 = x2 + 2x + 2

(f) สมการ y′′ − y = 0

เงอนไขตงตน : y(0) = 1, y′(0) = −1

y1 = coshx, y2 = sinhx โดยทcoshx =

ex + e−x

2และ sinhx =

ex − e−x

2

3. พจารณาสมการเชงอนพนธy′′ + 5y′ − 6y = 0 (3.14)

(a) จงแสดงวา S1 := {ex, ex − e−6x} เปนเซตของผลเฉลยมลฐานของสมการ (3.14)(b) จงแสดงวา S2 := {ex, 3ex + e−6x} เปนเซตของผลเฉลยมลฐานของสมการ (3.14)(c) จงตรวจสอบวา φ(x) = e−6x เปนผลเฉลยของสมการ (3.14) และจงเขยน φ ในรปผลรวมเชงเสนของสมาชกใน S1 และ S2

4. ตรวจสอบวาผลเฉลย y1 = 1 และ y2 = ln x เปนผลเฉลยทเปนอสระเชงเสนซงกนและกนของสมการตอไปนหรอไม

y′′ +(y′

)2 = 0, (x > 0)

ตรวจสอบวาผลเฉลย y = c1y1 + c2y2 เปนผลเฉลยของทวไปของสมการดวยหรอไม? ถาไม จงวเคราะหวาทำไม ถงขดแยงกบทฤษฎบทมลฐานของสมการเอกพนธ


3.6. สมการเอกพนธเชงเสนทมสมประสทธเปนคาคงตว 83

3.6 สมการเอกพนธเชงเสนทมสมประสทธเปนคาคงตวหวขอน จะแสดงการหาผลเฉลยของสมการเอกพนธเชงเสนทมสมประสทธเปนคาคงตว

ay′′ + by′ + cy = 0, (3.15)เมอ a, b และ c เปนคาคงตวจากแนวความคดในการหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธอนดบหนง

y′ − λy = 0, (3.16)เมอ λ เปนคาคงตว, เราพบวาผลเฉลยของสมการ (3.16) จะอยในรป y = c1e

λx, เมอ c1 เปนคาคงตวใด ๆ โดยแนวความคดน เราจะสมมตใหผลเฉลยของสมการ (3.15) อยในรป

y = c1eλx,

เมอ λ เปนคาคงตว และ c1 เปนคาคงตวใด ๆ, และเมอแทนคา y และ อนพนธy′ = c1λeλx และ y′′ = c1λ

2eλx

ลงในสมการ (3.15) เราไดวาa(c1λ

2eλx) + b(c1λeλx) + c(c1eλx) = (aλ2 + bλ + c)(c1e

λx) = 0

ซงตรงน เราสามารถสรปไดวา y = c1eλx เปนผลเฉลยของสมการ (3.15) กตอเมอ λ เปนผลเฉลย

ของสมการaλ2 + bλ + c = 0 (3.17)

เราเรยกสมการ (3.17) นวาสมการแคแรกเทอรสตก (characteristic equation) หรอสมการชวย(auxiliary equation) ของสมการ (3.15)ผลเฉลยหรอราก ของสมการแคแรกเทอรสตก (3.17) ประกอบดวย

λ1 =−b +

√b2 − 4ac

2aและ λ2 =

−b−√b2 − 4ac

2a

ซงทำให y1 = eλ1x และ y2 = eλ2x เปนผลเฉลยของสมการ (3.15)เราพบวาคา λ1 และ λ2 จะเปนไปได 3 กรณ เมอแบงตามเครองหมายของคาดสครมแนนต

b2 − 4ac นนคอ


• b2 − 4ac > 0

λ1 และ λ2 จะเปนจำนวนจรงใด ๆ ทแตกตางกน• b2 − 4ac = 0

λ1 และ λ2 จะเปนจำนวนจรงทเหมอนกน• b2 − 4ac < 0

λ1 และ λ2 จะเปนจำนวนเชงซอน ซงเปนสงยคเชงซอนซงกนและกน13

3.6.1 กรณรากของสมการแคแรกเทอรสตกเปนจำนวนจรงใด ๆ ทแตกตางกนเนองจาก เราทราบแลววา

y1 = eλ1x และ y2 = eλ2x

เปนผลเฉลยของสมการ (3.15) และy1

y2=

eλ1x

eλ2x= e(λ1−λ2)x ไมเปนคาคงตว

แสดงวา y1 และ y2 ไมเปนสดสวนซงกนและกน ดงนน เราสามารถสรปไดวาในกรณนผลเฉลยทวไป ตองอยในรป

y = c1eλ1x + c2e

λ2x,

เมอ c1 และ c2 เปนคาคงตวใด ๆตวอยาง 3.15. จงหาผลเฉลยทวไปของสมการ

y′′ − 3y′ + 2y = 0 (3.18)วธทำ เนองจากสมการ (3.18) เปนสมการเชงเสนเอกพนธทมสมประสทธเปนคาคงตว ดงนนเราจะพจารณาผลเฉลยจาก สมการแคแรกเทอรสตก

λ2 − 3λ + 2 = 0

ซงมรากของสมการเปนλ1 =

3 +√

32 − 4 · 22

= 2 และ λ2 =3−√32 − 4 · 2

2= 1

13ดบทนยาม “สงยคเชงซอน” หนา 59


และม y1 = e2x และ y2 = ex เปนผลเฉลยของสมการดงนน ผลเฉลยทวไป ของสมการ (3.18) คอ

y = c1e2x + c2e

x,

เมอ c1 และ c2 เปนคาคงตวใด ๆตวอยาง 3.16. จงหาผลเฉลยของปญหาคาขอบ

y′′ − y = 0, y(0) = 0, y(1) = 2(e− 1e) (3.19)

วธทำ เนองจากสมการ (3.19) เปนสมการเชงเสนเอกพนธทมสมประสทธเปนคาคงตว ดงนนเราจะพจารณาผลเฉลยจาก สมการแคแรกเทอรสตก

λ2 − 1 = (λ− 1)(λ + 1) = 0

ซงมรากของสมการเปนλ1 = 1 และ λ2 = −1

ดงนน ผลเฉลยทวไป ของสมการ (3.18) คอy = c1e

x + c2e−x,

เมอ c1 และ c2 เปนคาคงตวใด ๆพจารณาคาขอบ เมอ x = 0

y(0) = 0 = c1e0 + c2e

0

= c1 + c2

c2 = −c1

พจารณาคาขอบ เมอ x = 1

y(1) = 2(e− 1e) = c1e

1 − c1e−1

= c1(e− 1e)

c1 = 2

และ c2 = −c1 = −2

ดงนน ผลเฉลยของปญหา (3.19) คอy = 2ex − 2e−x


3.6.2 กรณรากของสมการแคแรกเทอรสตก เปนจำนวนจรงทเหมอนกนในกรณน ผลเฉลยของสมการคาแรกเทอรสตกคอ

λ1 = λ2 = − b

2a

ซงทำให y1 = y2 = e−b/2a

เนองจาก y1

y2= 1 เราไมอาจจะระบไดวา ผลเฉลยทวไปอยในรป y = c1e

− b2a

x + c2e− b

2ax ซง

มคาเปน y = c0e− b

2ax, เมอ c0 = c1 + c2 ซงจะดเหมอนวา มผลเฉลยเพยงผลเฉลยเดยวเทานน

แตจากการสงเกต พบวา ถา λ เปนผลเฉลยของสมการแคแรกเทอรส (3.17) และให y = xeλx

แลว

ay′′ + by′ + cy = a(xeλx

)′′+ b

(xeλx

)′+ c

(xeλx

)

= a(λ2xeλx + 2λeλx

)′′+ b

(λxeλx + eλx

)′+ c

(xeλx

)

= (2aλ + b) eλx +(aλ2 + bλ + c

)xeλx

= (2aλ + b) eλx + 0 · xeλx = (2aλ + b) eλx

และ สำหรบกรณผลเฉลยของรากของสมการแคแรกเทอรสตก เปนจำนวนจรงทเหมอนกน (หรอกคอกรณ b2 − 4ac = 0) ผลเฉลยของสมการแคแรกเทอรสตก คอ

λ =−b

2a

นนทำใหไดวาay′′ + by′ + cy ≡ 0

หรอ y = xeλ กเปนผลเฉลยของสมการ (3.15) ดวยเหมอนกนเนองดวย ทง y1 = eλx และ y2 = xeλx เปนผลเฉลยของสมการ (3.15) โดยท y1

y2=

1xไมเปน

คาคงตว โดยทฤษฎบท 3.3 ทำใหเราไดผลเฉลยทวไปของสมการคอ

y = c1eλx + c2xeλx,



ตวอยาง 3.17. จงแกสมการ2y′′ + 12y′ + 18y = 0 (3.20)

วธทำ สมการแคแรกเทอรสตกสำหรบสมการเชงอนพนธขอนคอ2λ2 + 12λ + 18 = 0

2(λ + 3)2 = 0

ซงรากของสมการแคแรกเทอรสตก มเพยงคาเดยวคอλ = −3

ดงนน ผลเฉลยทวไปของสมการ (3.20) คอy = c1e

−3x + c2xe−3x = (c1 + c2x)e−3x

ตวอยาง 3.18. หาผลเฉลยของปญหาคาตงตนy′′ − 4y′ + 4y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0

วธทำ สมการแคแรกเทอรสตกสำหรบสมการเชงอนพนธขอนคอλ2 + 4λ + 4 = 0

ซงสามารถแยกตวประกอบไดเปน(λ− 2)2 = 0

ซงรากของสมการแคแรกเทอรสตก มเพยงคาเดยวคอλ = 2

ดงนน ผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธ คอy = c1e

2x + c2xe2x = (c1 + c2x)e2x

สำหรบเงอนไขคาตงตน y(0) = 1

1 = (c1 + 0)e0

c1 = 1


และ สำหรบเงอนไขคาตงตน y′(1) = 0 เราไดวา

y′ = c2e2x + 2(1 + c2x)e2x

= c2(1 + 2x)e2x + 2e2x

y′(0) = 0 = c2e0 + 2e0

−2 = c2

เพราะฉะนน ผลเฉลยเฉพาะคอy = (1− 2x)e2x

3.6.3 กรณรากของสมการแคแรกเทอรสตกเปนจำนวนเชงซอน ซงเปนสงยคเชงซอนซงกนและกน

กรณนเกดขนเมอ b2 − 4ac < 0 ทำใหเราไดรากของสมการแคแรกเทอรสตกเปน

λ1 =−b +

√−1√

4ac− b2

2aและ λ2 =

−b−√−1√

4ac− b2

2a

ดงนน ถาใหr = − b

2a, s =

√4ac− b2

2aและ i =

√−1

เราสามารถเขยนรากของสมการไดเปน

λ1 = r + is, และ λ2 = r − is

ซงจะไดผลเฉลยของสมการเปนy1 = eλ1x = e(r+is)x = erxeisx = erx [cos(sx) + i sin(sx)]

y2 = eλ2x = e(r−is)x = erxe−isx = erx [cos(sx)− i sin(sx)]

ซงมผลเฉลยทวไปคอ

y = c1y1 + c2y2, เมอ c1, c2 เปนคาคงตวใด ๆ= c1e

rx [cos(sx) + i sin(sx)] + c2erx [cos(sx)− i sin(sx)]

= erx [(c1 + c2) cos(sx) + i(c1 − c2) sin(sx)]


เนองจาก c1, c2 เปนคาคงตวใด ๆ และ i เปนคาคงตว ถาให c1 = c1 + c2 และ c2 = i(c1− c2)

ดงนนเราไดวา c1 และ c2 เปนคาคงตวใด ๆ และ เขยนผลเฉลยทวไปไดในรปy = erx [c1 cos(sx) + c2 sin(sx)] (3.21)

หมายเหต ถงแมวาในการพสจน จะแสดงใหเหนวา พจน c2 ปรากฏเปนจำนวนเชงซอน แตเราสามารถพจารณา c2 เปนแคคาคงตวใด ๆ ทเปนจำนวนจรงกได เพราะถาพจารณา

y1 = erx cos(sx) และ y2 = erx sin(sx)

พบวาทงสองฟงกชน ไมเปนสดสวนซงกนและกนเพราะ y1

y2=

erx cos(sx)erx sin(sx)

= cot(sx) และเมอแทนคา y ดวย y1 หรอ y2 ลงไปในสมการเชงอนพนธ (3.15) พบวาทงสองฟงกชนกเปนผลเฉลยของสมการเชงอนพนธดวยนนแสดงวา ผลเฉลยทวไปตองอยในรป

y = c1erx cos(sx) + c2e

rx sin(sx) = erx [c1 cos(sx) + c2 sin(sx)] ,

เมอ c1 และ c2 เปนคาคงตวใด ๆ ซงเปนผลเฉลยทมหนาตาเหมอนกบผลเฉลย (3.21) โดยไมตองพจารณา c2 ในกรณทเปนจำนวนเชงซอนตวอยาง 3.19. หาผลเฉลยของสมการ

y′′ + 4y = 0

วธทำ สมการแคแรกเทอรสตกสำหรบสมการเชงอนพนธขอนคอλ2 + 4 = 0

ซงรากของสมการแคแรกเทอรสตก คอλ2 = −4

λ1, λ2 = ±2√−1 = ±2i

ซงรากทงสองเปนจำนวนจนตภาพเพยงอยางเดยว ดงนน ผลเฉลยทวไปของสมการคอy = c1 cos(2x) + c2 sin(2x),



ตวอยาง 3.20. หาผลเฉลยของปญหาคาขอบ16y′′ − 8y′ + 145y = 0, y(0) = −2, y(

π

6) = 2e

π24

วธทำ สมการแคแรกเทอรสตกสำหรบสมการเชงอนพนธขอนคอ16λ2 − 8λ + 145 = 0

ซงรากของสมการแคแรกเทอรสตก คอλ =

8±√64− 4 · 16 · 1452 · 16

=1±√1− 145

4=

14± 3i

ซงรากทงสองเปนจำนวนเชงซอน ดงนน ผลเฉลยทวไปของสมการคอy = ex/4 [c1 cos(3x) + c2 sin(3x)] ,

เมอ c1 และ c2 เปนคาคงตวใด ๆพจารณาคาขอบ เมอ x = 0

y(0) = −2 = e0 [c1 cos 0 + c2 sin 0]

= c1

พจารณาคาขอบ เมอ x =π

6

y(π

6) = 2e

π24 = e

π24

[−2 cos

π

2+ c2 sin

π

2

]

= c2eπ24

c2 = 2

ดงนน ผลเฉลยของปญหาคาขอบคอy = 2ex/4 (sin 3x− cos 3x)


3.6.4 สรปในการหาผลเฉลยของสมการเอกพนธเชงเสนอนดบทสองทมสมประสทธเปนคาคงตว

ay′′ + by′ + cy = 0, (3.22)เมอ a, b และ c เปนคาคงตว เราจะพจารณาสมการแคแรกเทอรสตก

aλ2 + bλ + c = 0 (3.23)ผลเฉลยหรอราก ของสมการแคแรกเทอรสตก (3.23) ประกอบดวย

λ1 =−b +

√b2 − 4ac

2aและ λ2 =

−b−√b2 − 4ac

2a

เราพบวาคา λ1 และ λ2 จะเปนไปได 3 กรณ เมอแบงตามเครองหมายของคาดสครมแนนตb2 − 4ac นนคอ• b2 − 4ac > 0 : λ1 และ λ2 จะเปนจำนวนจรงใด ๆ ทแตกตางกนผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธ (3.22) คอ

y = c1eλ1x + c2e

λ2x

• b2 − 4ac = 0 : λ1 และ λ2 จะเปนจำนวนจรงทเหมอนกนถา λ = λ1 = λ2 ผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธ (3.22) คอ

y = c1eλx + c2xeλx

• b2 − 4ac < 0 : λ1 และ λ2 จะเปนจำนวนเชงซอน ซงเปนสงยคเชงซอนซงกนและกนถา λ1 = r + is และ λ2 = r − is ผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธ (3.22) คอ

y = erx [c1 cos(sx) + c2 sin(sx)]

เมอ c1 และ c2 เปนจำนวนจรงใด ๆ


แบบฝกหด1. หาผลเฉลยทวไปของสมการเอกพนธตอไปน

(i) y′′ + y′ − 6y = 0

(ii) y′′ + 2y′ + y = 0

(iii) y′′ + 8y = 0

(iv) 2y′′ − 4y′ + 8y = 0

(v) y′′ − 4y′ + 4y = 0

(vi) y′′ − 9y′ + 20y = 0

(vii) 2y′′ + 2y′ + 3y = 0

(viii) 4y′′ − 12y′ + 9y = 0

(ix) y′′ + y′ = 0

(x) y′′ + 5y′ + 6y = 0

(xi) y′′ + 8y′ + 16y = 0

(xii) y′′ + y′ − y = 0

(xiii) y′′ − 6y′ + 10y = 0

(xiv) 2y′′ + 7y′ − 4y = 0

(xv) 2y′′ + 13y′ − 7y = 0

(xvi) y′′ − y′ − 11y = 0

(xvii) 4y′′ + 20y′ + 25y = 0

(xviii) y′′ − 6y′ + 25y = 0

(xix) 4y′′ + 20y′ + 24y = 0

(xx) y′′ + 2y′ + 3y = 0

(xxi) y′′ = 4y

(xxii) 4y′′ − 8y′ + 7y = 0

(xxiii) 2y′′ + y′ − y = 0

(xxiv) y′′ + 4y′ + 5y = 0

(xxv) 16y′′ − 8y′ + y = 0

(xxvi) y′′ + 4y′ − 5y = 0

(xxvii) y′′ − y′ − 2y = 0

(xxviii) y′′ − 10y′ + 26y = 0

(xxix) y′′ + 6y′ + 9y = 0

(xxx) y′′ = 4y′ − 7y

(xxxi) y′′ − 5y′ + 6y = 0

(xxxii) 6y′′ + y′ − 2y = 0

(xxxiii) 4y′′ − 4y′ + y = 0

(xxxiv) 3y′′ + 11y′ − 7y = 0



(a) y′′ − 5y′ + 6y = 0, y(1) = e2, y′(1) = 3e2

(b) y′′ − 6y′ + 5y = 0, y(0) = 3, y′(0) = 11

(c) y′′ − 6y′ + 9y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 5

(d) y′′ + 4y′ + 5y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0

(e) y′′ + 4y′ + 2y = 0, y(0) = −1, y′(0) = 2 + 3√

2

(f) y′′ + 8y′ − 9y = 0, y(1) = 2, y′(1) = 0

(g) y′′ + 2y′ − 8y = 0, y(0) = 3, y′(0) = −12

(h) y′′ + y′ = 0, y(0) = 2, y′(0) = 1

(i) y′′ + 2y′ + y = 0, y(0) = 1, y′(0) = −3

(j) y′′ − 4y′ + 3y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 1/3

(k) y′′ − 2y′ − 2y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 3

(l) y′′ − 6y′ + 9y = 0, y(0) = 2, y′(0) = 25/3

(m) y′′ − 4y′ − 5y = 0, y(−1) = 3, y′(−1) = 9

(n) y′′ − 4y′ + 4y = 0, y(1) = 1, y′(1) = 1

(o) y′′ − 2y′ + 2y = 0, y(π) = eπ, y′(π) = 0



3.7 การใชผลเฉลยหนงหาอกผลเฉลยหนงในสมการเอกพนธเชงเสนเนองจากเราทราบแลววาสำหรบสมการเอกพนธเชงเสนอนดบทสองใด ๆ

a(x)y′′ + b(x)y′ + c(x)y = 0 (3.24)ผลเฉลยทวไปตองอยในรป

y = c1y1 + c2y2,

เมอ c1 และ c2 เปนคาคงตวใด ๆ และ y1 และ y2 เปนผลเฉลยทอสระเชงเสนซงกนและกนทผานมา ไดกลาวถงการหาผลเฉลย y1 และ y2 กรณเฉพาะสมการเอกพนธเชงเสนอนดบ

ทสองทมสมประสทธเปนคาคงตวเทานน แตสำหรบกรณสมการเอกพนธเชงเสนอนดบทสองทวๆไป โดยปกตแลวเปนการยากทจะหาผลเฉลย y1 และ y2 ถาโชคด เราอาจจะไดผลเฉลยหนงผลเฉลยจากการเดาและลองแทนคาขนตอนวธทจะกลาวถงตอไปน จะกลาวถงการใชผลเฉลยหนงผลเฉลยทไดมากอน มาลด

อนดบของสมการเชงอนพนธ จากสมการเชงอนพนธอนดบทสองเปนสมการเชงอนพนธอนดบทหนงอยางงาย ซงเราสามารถแกได และผลเฉลยทไดจากการแก จะเปนผลเฉลยอกผลเฉลย ทเปนอสระเชงเสนซงกนและกนกบผลเฉลยแรกสมมตวา เราม y1 ซงเปนผลเฉลยของสมการ (3.24) เนองจากเราตองการผลเฉลย y2 ทไมเปน

สดสวนซงกนและกนกบ y1 ดงนน เราจะใหy2 = v(x)y1,

v(x) ไมเปนฟงกชนคาคงตว และพบวาอนพนธของ y2 คอy′2 = v′(x)y1 + v(x)y′1

y′′2 = v′′(x)y1 + 2v′(x)y′1 + v(x)y′′1

เนองจาก y2 ผลเฉลยของสมการ (3.24)a(x)

(v′′(x)y1 + 2v′(x)y′1 + v(x)y′′1

)+ b(x)

(v′(x)y1 + v(x)y′1

)+ c(x)v(x)y1 = 0

จดรปไดเปน(a(x)y1) v′′(x) +

(2a(x)y′1 + b(x)y1

)v′(x) +

(a(x)y′′1 + b(x)y′1 + c(x)y1

)︸︷︷︸=0 เพราะวา y1 เปนผลเฉลยของ (3.24)

v(x) = 0

3.7. การใชผลเฉลยหนงหาอกผลเฉลยหนงในสมการเอกพนธเชงเสน 95

นนคอเราไดสมการ(a(x)y1) v′′(x) +

(2a(x)y′1 + b(x)y1

)v′(x) = 0 (3.25)

ให u = v′ ดงนน du

dx= u′ = v′′ และสามารถเขยนสมการ (3.25) ใหมไดเปน

(a(x)y1)du

dx+

(2a(x)y′1 + b(x)y1

)u = 0

ซงนเปนสมการแยกกนได14 และมผลเฉลยคอ1u

du =(−2a(x)y′1 + b(x)y1

a(x)y1

)dx =

(−2

y′1y1− b(x)

a(x)

)dx

∫1u

du =∫ (

−2y′1y1− b(x)

a(x)

)dx = −2

∫y′1y1

dx−∫

b(x)a(x)

dx

ln u = −2 ln y1 −∫

b(x)a(x)

dx

u =1

(y1)2e− R b(x)

a(x)dx

เมอ แทนคา u = v′ กลบ จะไดวาv′ =

1(y1)2

e− R b(x)

a(x)dx

v =∫

1(y1)2

e− R b(x)

a(x)dx

dx

เนองจาก y2 = vy1 ดงนน เราไดผลเฉลยอกผลเฉลยหนงคอy2 = y1

∫1

(y1)2e− R b(x)

a(x)dx

dx

หมายเหตทละเครองหมายคาสมบรณหลงจากหาคาอนทกรล∫ 1u

duและ∫

y′1y1

dxและละเครองหมายคาคงตวของการอนทเกรต เพราะวาเราตองการแคอกหนงผลเฉลยทไมเปนสดสวนซงกนและกนกบผลเฉลย y1 เทานน ซงในการหาผลเฉลยทวไป y = c1y1 + c2y2 จะปรากฎคาคงตวใด ๆ และโดยทฤษฎบท 3.3 แสดงใหเราเหนแลววาเราจะไดผลเฉลยทงหมดทเปนไปไดของสมการ (3.24)

14ดเรองสมการแยกกนไดหนา 13


ตวอยาง 3.21. จงหาผลเฉลยทวไปของสมการx2y′′ + xy′ − y = 0 (3.26)

วธทำ จากการหาลองแทนคา เราพบวาy1 = x

เปนผลเฉลยหนงของสมการ (3.26)สมการ (3.26) มสมประสทธ a(x) = x2, b(x) = x นนคอ

b(x)a(x)

=x

x2=

1x

ดงนนผลเฉลยอกหนงผลเฉลยคอy2 = y1

∫1

(y1)2e− R b(x)

a(x)dx

dx

= x

∫1x2

e−R

1x

dxdx

= x

∫1x2

e− ln xdx

= x

∫1x2· 1x

dx

= x

∫1x3

dx

= −12(x

1x2

)

= − 12x

ซง ผลเฉลยทวไปของสมการ (3.26) คอy = c1y1 + c2y2

= c1x + c2(− 12x

)

= c1x + c∗21x

,

เมอ c1 และ c2 เปนคาคงตวใด ๆ และ c∗2 = −c2/2

3.7. การใชผลเฉลยหนงหาอกผลเฉลยหนงในสมการเอกพนธเชงเสน 97

ตวอยาง 3.22. จงหาผลเฉลยทวไปของสมการay′′ + by′ + cy = 0, (3.27)

เมอ a, b, c เปนคาคงตวใด ๆ และ b2 − 4ac = 0

วธทำ เราทราบแลววา y1 = eλx, เมอ λ = − b2a เปนผลเฉลยหนงของสมการ (3.27)

และไดวาอกผลเฉลยหนงคอy2 = y1

∫1

(y1)2eR b(x)

a(x)dx

dx

= eλx

∫e−2λxe−

Rbadxdx

= eλx

∫e−2(− b

2a)xe−

baxdx

= eλx

∫e

baxe−

baxdx

= eλx

∫1dx

= eλxx

ดงนนผลเฉลยทวไปของสมการ (3.27) คอy = c1e

λx + c2xeλx,

เมอ c1 และ c2 เปนคาคงตวใด ๆ ซงสอดคลองกบเนอหาเรอง 3.6.2 กรณผลเฉลยของรากของสมการแคแรกเทอรสตก เปนจำนวนจรงทเหมอนกน หนา 86


แบบฝกหดจงใชผลเฉลยทใหมาของสมการเชงอนพนธหาอกผลเฉลยหนงของสมการ รวมทงหาผลเฉลย

ทวไปของสมการเชงอนพนธนนดวย1. y′′ + 2y′ − 15y = 0, x > 0, y1(x) = e3x

2. y′′ − 3y′ + 2y = 0, x > 0, y1(x) = ex

3. x2y′′ − 2xy′ − 4y = 0, x > 0, y1(x) = x−1

4. x2y′′ + 6xy′ + 6y = 0, x > 0, y1(x) = x−2

5. x2y′′ − 4xy′ + 6y = 0, x > 0, y1(x) = x2

6. x2y′′ + 2xy′ − 2y = 0, x > 0, y1(x) = x

7. x2y′′ + 3xy′ + y = 0, x > 0, y1(x) = x−1

8. x2y′′ − x(x + 2)y′ + (x + 2)y = 0, x > 0, y1(x) = x

9. xy′′ − y′ + 4x3y = 0, x > 0, y1(x) = sin(x2)

10. (x− 1)y′′ − xy′ + y = 0, x > 1, y1(x) = ex

11. xy′′ − (x + 1)y′ + y = 0, x > 0, y1(x) = ex

12. x2y′′ − (x− 0.1875)y = 0, x > 0, y1(x) = x1/4e2√

x

13. xy′′ − (1− 2x)y′ + (x− 1)y = 0, x > 0, y1(x) = ex

14. x2y′′ + xy′ + (x2 − 0.25)y = 0, x > 0, y1(x) =sinx√

x


3.8. สมการไมเอกพนธ 99

3.8 สมการไมเอกพนธในหวขอน เราจะศกษา การหาผลเฉลยของสมการไมเอกพนธเชงเสน

y′′ + p(x)y′ + q(x)y = r(x), (3.28)

เมอ p และ q เปนฟงกชนของ x และ r(x) 6= 0

ในการหาผลเฉลยของสมการไมเอกพนธ (3.28) เราจำเปนตองใชสมการเอกพนธ

y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0 (3.29)

ชวยในการหาผลเฉลย เราเรยกสมการ (3.29) วาสมการเอกพนธทเกยวของ(related homogeneousequation) กบสมการไมเอกพนธ (3.28) สมมตวาเราม yp เปนผลเฉลยหนงของสมการ (3.28) นนคอ

y′′p + p(x)y′p + q(x)yp = r(x)

ให yp2 เปนผลเฉลยใด ๆ ของสมการ (3.28) ดงนน

y′′p2+ p(x)y′p2

+ q(x)yp2 = r(x)

เชนกน และพบวา

(yp2 − yp)′′ + p(x)(yp2 − yp)′ + q(x)(yp2 − yp)

=(y′′p2

+ p(x)y′p2+ q(x)yp2

)− (y′′p + p(x)y′p + q(x)yp

)

= r(x)− r(x)

= 0

ซงแสดงวา yp2 − yp เปนผลเฉลยทวไปของสมการเอกพนธ (3.29)ให yh เปนผลเฉลยทวไปของสมการเอกพนธ (3.29) ดงนน yh = yp2 − yp และไดวาผลเฉลย

ใด ๆของสมการ (3.28) ตองอยในรป yp2 = yh + yp หรอกลาวไดวาผลเฉลยทวไปของสมการ(3.28) คอ

y = yh + yp


ซงเราสามารถตรวจสอบความถกตองไดโดย แทนคา y = yh + yp ลงในสมการ(yh + yp)′′ + p(x)(yh + yp)′ + q(x)(yh + yp)

=(y′′h + p(x)y′h + q(x)yh

)+

(y′′p + p(x)y′p + q(x)yp

)

= 0 + r(x)

= r(x)

ทฤษฎบท3.4. สมมตใหyp เปนผลเฉลยเฉพาะผลเฉลยหนงของสมการไมเอกพนธ (3.28)ดงนนผลเฉลยทวไปของสมการ (3.28) คอ

y = yh + yp

เมอ yh เปนผลเฉลยทวไปของสมการเอกพนธ (3.29) ทเกยวของกบสมการไมเอกพนธ (3.28)จากตรงนทำใหเราไดวา

ขนตอนวธการหาผลเฉลยทวไปของสมการไมเอกพนธ1. หาผลเฉลยทวไป yh ของสมการเอกพนธทเกยวของ2. หาผลเฉลยเฉพาะ yp ผลเฉลยหนงของสมการไมเอกพนธ3. ผลเฉลยทวไปของสมการไมเอกพนธคอ

y = yh + yp

ตวอยาง 3.23. พจารณาสมการy′′ + 3y′ + 2y = ex

ดงนนสมการเอกพนธทเกยวของคอy′′ + 3y′ + 2y = 0

ซงสมการเอกพนธน มสมการแคแรกเทอรสตก คอλ2 + 3λ + 2 = 0

(λ + 2)(λ + 1) = 0


เนองจากผลเฉลยของสมการแคแรกเทอรสตกคอ λ1 = −1 และ λ2 = −2 ดงนนผลเฉลยทวไปของสมการเอกพนธทเกยวของคอ

yh = c1e−x + c2e

x,

เมอ c1 และ c2 เปนจำนวนจรงใด ๆและเราพบวา yp =

ex

6เปนผลเฉลยหนงของสมการไมเอกพนธ

(ex

6

)′′+ 3

(ex

6

)′+ 2

ex

6=

ex

6+

ex

2+

ex

3

= ex

ดงนน ผลเฉลยทวไปของสมการไมเอกพนธคอ

y = hh + yp = c1e−x + c2e

x +ex

6

ในเนอหาทผานมา เราทราบวธการหาผลเฉลยทวไปของสมการเอกพนธแลว แตในการหาผลเฉลยทวไปของสมการไมเอกพนธ เราจำเปนตองหาผลเฉลยเฉพาะใหไดกอน หวขอทจะกลาวถดไป จะแสดงวธการหาผลเฉลยเฉพาะของสมการไมเอกพนธ ซงจะกลาวถง 2 วธไดแก

1. ระเบยบวธเทยบสมประสทธ

2. การแปรผนของตวแปรเสรม

3.8.1 ระเบยบวธเทยบสมประสทธกอนจะกลาวถงรายละเอยดระเบยบวธเทยบสมประสทธจะใหผอานไดพจารณาตวอยางตอไปน

กอน

ตวอยาง 3.24. พจารณาสมการy′′ + 4y = 2e3x (3.30)

ดงนนสมการเอกพนธทเกยวของคอ

y′′ + 4y = 0


ซงสมการเอกพนธน มสมการแคแรกเทอรสตก คอλ2 + 4 = 0

λ2 = −4

เนองจากผลเฉลยของสมการแคแรกเทอรสตกคอ λ = ±2i ดงนนผลเฉลยทวไปของสมการเอกพนธทเกยวของคอ

yh = c1 cos(2x) + c2 sin(2x),

เมอ c1 และ c2 เปนจำนวนจรงใด ๆในการหาผลเฉลยเฉพาะ yp เราจะพจารณาทางขวาของสมการ (3.30) กอน เนองจากฟงกชน

ทปรากฎอยทางดานขวามอของสมการอยในรป r(x) = 2e3x ดงนน เราจะสมมตใหทางผลเฉลยเฉพาะมรปแบบทคลาย ๆ กนคอ

yp = Ae3x

เมอ A เปนคาคงตวใด ๆ (รปแบบ yp ไมไดเหมอนกบ r(x) ทงหมด โดยมสวนทแตกตางคอสมประสทธ) จากนนจะนำไปแทนคาในสมการเพอหาคาของสมประสทธ A

y′′p + 4yp = (Ae3x)′′ + 4(Ae3x) = 9Ae3x + 4Ae3x = 13Ae3x = 2e3x,

ซงสมการนจะเปนจรงได กตอเมอ13A = 2

A =213

ดงนน ผลเฉลยทวไปของสมการไมเอกพนธ (3.30) ซงอยในรป y = yh + yp คอy = c1 cos(2x) + c2 sin(2x) +

213

e3x

หมายเหต สงเกตจากตวอยาง สงทตองหาในการหาผลเฉลยของสมการ คอ สมประสทธของฟงกชนทสมมตใหผลเฉลยเฉพาะ yp เปน ดงนนระเบยบวธทจะกลาวถงซงจะเกยวของกบการหาสมประสทธของฟงกชนทสมมตขนมาจงเปนเหตใหเรยกระเบยบวธนวาระเบยบวธเทยบสมประสทธระเบยบวธเทยบสมประสทธ (method of undetermined coefficients) เปนระเบยบวธทใชหา

ผลเฉลยเฉพาะ ซงใชไดกบกรณสมการไมเอกพนธเชงเสนทมสมประสทธเปนคาคงตวเทานน ซงถาจะกลาวโดยละเอยด กคอ วธการนใชไดกบกรณเฉพาะ

ay′′ + by′ + cy = r(x), (3.31)


เมอ a, b และ c เปนคาคงตว และ r(x) 6= 0 และ r(x) ตองมรปแบบตามฟงกชนทางดานซายของตาราง 3.1 เทานนถาสมการไมเอกพนธน มสมประสทธเปนตวแปร หรอ ฟงกชน r(x) ไมเปนไปตามรปแบบ

ฟงกชนทางดานซายของตาราง 3.1 เราไมสามารถใชระเบยบวธเทยบสมประสทธไดหมายเหต สงเกตไดวาฟงกชนทอยทางขวาของตาราง 3.1 ซงเราจะสมมตผลเฉลยเฉพาะ yp ใหเปนคอ ฟงกชนทอยในรปของ รปแบบตาง ๆ ทเปนไปไดของผลเฉลย ของสมการเอกพนธเชงเสนทมสมประสทธเปนคาคงตวอนดบสอง และอนดบอน ๆ

ขนตอนวธการหาผลเฉลยเฉพาะ yp โดยระเบยบวธเทยบสมประสทธพจารณาสมการไมเอกพนธ ทมสมประสทธเปนคาคงตว

ay′′ + by′ + cy = r(x)

1. ตรวจสอบวา r(x) เปนหนงในรปแบบฟงกชนทปรากฏทางซายของตาราง 3.1 หรอไม? ถาใช จะดำเนนการหาผลเฉลยตอ2. หาผลเฉลยทวไป yh ของสมการเอกพนธ

ay′′ + by′ + cy = 0

3. พจารณา r(x) แลวเลอกผลเฉลย yp ใหอยในรปทางขวาของตาราง 3.1 แต• ถา yp ไมมพจนทมรปแบบซำกบพจนทปรากฏในผลเฉลยทวไป yh ของสมการเอกพนธ สามารถใช yp ไดเลย• ถา yp มพจนทมรปแบบซำกบพจนทปรากฏในผลเฉลยทวไป yh ของสมการเอกพนธใหเอาคา x คณกบ yp ทเลอกมา• ถา yp ใหม ทไดจากการคณดวย x ยงมพจนทมรปแบบซำกบพจนทปรากฏในผลเฉลยทวไป yh ของสมการเอกพนธ ใหใหเอาคา x คณซำไปเรอย ๆ จนกวา yp ใหมทได ไมมพจนทมรปแบบซำกบพจนทปรากฏในผลเฉลยทวไป yh ของสมการเอกพนธ

4. แทนคา yp ลงในสมการไมเอกพนธ เพอเทยบหาสมประสทธ


r(x) คา yp ทจะกำหนดใหเปนaeλx Aeλx

anxn + · · ·+ a1x + a0 Anxn + · · ·+ A1x + A0

(anxn + · · ·+ a1x + a0)eλx (Anxn + · · ·+ A1x + A0)eλx

a cos(ωx) A cos(ωx) + B sin(ωx)

b sin(ωx) A cos(ωx) + B sin(ωx)

a cos(ωx) + b sin(ωx) A cos(ωx) + B sin(ωx)

(anxn + · · ·+ a1x + a0) cos(ωx) An(x) cos(ωx) + Bn(x) sin(ωx)

(anxn + · · ·+ a1x + a0) sin(ωx) An(x) cos(ωx) + Bn(x) sin(ωx)

An(x) cos(ωx) + Bn(x) sin(ωx) An(x) cos(ωx) + Bn(x) sin(ωx)

a cos(ωx)eλx (A cos(ωx) + B sin(ωx)) eλx

b sin(ωx)eλx (A cos(ωx) + B sin(ωx)) eλx

[a cos(ωx) + b sin(ωx)] eλx [A cos(ωx) + B sin(ωx)] eλx

An(x) cos(ωx)eλx [An(x) cos(ωx) + Bn(x) sin(ωx)] eλx

Bn(x) sin(ωx)eλx [An(x) cos(ωx) + Bn(x) sin(ωx)] eλx

[An(x) cos(ωx) + Bn(x) sin(ωx)] eλx [An(x) cos(ωx) + Bn(x) sin(ωx)] eλx

เมอ a, b เปนคาคงตว, A, B เปนคาทจะสมมตใหเปนคาคงตวใด ๆและAn, Bn, An และ Bn เปนพหนามกำลง n โดยท

An = anxn + · · ·+ a1x + a0,

Bn = bnxn + · · ·+ b1x + b0,

An = Anxn + · · ·+ A1x + A0,

Bn = Bnxn + · · ·+ B1x + B0,

ai, bi, Ai และ Bi เปนคาคงตวเมอ i = 0, ..., n

ตารางท 3.1. ตารางระเบยบวธเทยบสมประสทธ


หมายเหต สำหรบกรณท r(x) ไมไดเปนหนงในรปแบบฟงกชนทปรากฏทางซายของตาราง 3.1แตอยในรปผลรวม(หรอผลตาง)ของฟงกชนทปรากฏทางซายของตาราง 3.1 เชน ถา r(x) อยในรปผลรวมของฟงกชน r1(x) และ r2(x)

ay′′ + by′ + cy = r1(x) + r2(x), (3.32)โดยท r1(x) และ r2(x) มรปแบบฟงกชนทปรากฏทางซายของตาราง 3.1โดยขนตอนวธการหาผลเฉลยโดยระเบยบวธเทยบสมประสทธ เราสามารถแยกหาคาผลเฉลย

เฉพาะ yp1 จากสมการไมเอกพนธay′′ + by′ + cy = r1(x)

และผลเฉลยเฉพาะ yp2 จากสมการไมเอกพนธay′′ + by′ + cy = r2(x)

ถาให y = yh + yp1 + yp2 และลองแทน y ลงในสมการไมเอกพนธ (3.32) เราไดay′′ + by′ + cy = a(yh + yp1 + yp2)

′′ + b(yh + yp1 + yp2)′ + c(yh + yp1 + yp2)

= (ay′′h + by′h + cyh)︸︷︷︸=0

+(ay′′p1+ by′p1

+ cyp1)︸︷︷︸=r1(x)

+(ay′′p2+ by′p2

+ cyp2)︸︷︷︸=r2(x)

= 0 + r1(x) + r2(x)

= r1(x) + r2(x)

แสดงวาผลเฉลยทวไปของสมการไมเอกพนธ (3.32) จะอยในรป15

y = yh + yp1 + yp2

และในทำนองเดยวกนถา ถา r(x) อยในรปผลตางของฟงกชน r1(x) และ r2(x)

ay′′ + by′ + cy = r1(x)− r2(x), (3.33)และผลเฉลยทวไปของสมการไมเอกพนธ (3.33) จะอยในรป

y = yh + yp1 − yp2

15ดเรอง หลกการซอนทบของผลเฉลย เพมเตมหนา 156


ตวอยาง 3.25. จงใชตาราง 3.1 หารปแบบของผลเฉลยเฉพาะ yp ของสมการไมเอกพนธy′′ + 2y′ − 3y = r(x), (3.34)

เมอ r(x) มคาเปน1. 7 cos(3x)

2. 5e−3x

3. x2 cos(πx)

4. 2xex sinx− ex cosx

5. x2ex + 3xex

6. tan x

วธทำ เราพจารณาสมการเอกพนธทเกยวของกบสมการไมเอกพนธ (3.34) คอy′′ + 2y′ − 3y = 0

ซงมสมการแคแรกเทอรสตกเปนλ2 + 2λ− 3 = 0

ซงสมการแคแรกเทอรสตกนมรากไดแก λ = 1,−3 และไดวาผลเฉลยของสมการเอกพนธคอyh = c1e

x + c2e−3x,

เมอ c1, c2 เปนคาคงตวใด ๆ1. r(x) = 7 cos(3x)

นคอ กรณ r(x) = a cos(ωx) โดยท a = 7 และ ω = 3 ดงนน เราจะสมมตให yp มคาเปนyp = A cos(3x) + B sin(3x)

2. g(x) = 5e−3x

นคอ กรณ r(x) = aeλx โดยท a = 5 และ λ = −3 ดงนน เราจะสมมตให yp มคาเปนyp = Ae−3x แต yp มรปแบบซำกบพจน c2e

−3x ทปรากฏในผลเฉลยทวไปของสมการเอกพนธ yh = c1e

x + c2e−3x เราตองคณ yp ดวย x ดงนน เราจะสมมต yp ใหมคาเปน

yp = Axe−3x


3. r(x) = x2 cos(πx)

นคอ กรณ r(x) = (anxn + · · ·+ a1x + a0) cos(ωx) โดยท n = 2, a2 = 1, a1 = a0 = 0

และ ω = π ดงนน เราจะสมมตให yp มคาเปน

yp = (A2x2 + A1x + A0) cos(πx) + (B2x

2 + B1x + B0) sin(πx)

4. r(x) = 2xex sinx− ex cosx

เราสามารถจดรปใหมไดเปน r(x) = [2x sinx− cosx] ex นคอ กรณ

r(x) = [An(x) cos(ωx) + Bn(x) sin(ωx)] eλx

โดยท n = 1,An(x) = 1 ·x + 0,Bn(x) = 0 ·x + 1, ω = 1 และ λ = 1 ดงนน เราจะสมมตให yp มคาเปน

yp = [(A1x + A0) cosx + (B1x + B0) sinx] ex

5. r(x) = x2ex + 3xex

เราสามารถจดรปใหมไดเปน r(x) = (x2 + 3x)ex ซงนคอกรณ

r(x) = (a2x2 + a1x + a0)ex

โดยม a2 = 1, a1 = 3, a0 = 0 และ λ = 1 เราจะสมมตให yp มคาเปน

yp = (A2x2 + A1x + A0)ex

แต yp มพจนA0ex ซงมรปแบบซำกบพจน c1e

x ซงปรากฏในผลเฉลยทวไปของสมการเอกพนธ yh = c1e

x + c2e−3x ดงนนเราตองคณ yp ดวย x และสมมต yp ใหมคาเปน

yp = x(A2x2 + A1x + A0)ex = (A2x

3 + A1x2 + A0x)ex

6. r(x) = tan x

ในกรณน r(x) ไมไดมรปแบบทปรากฏอยทางซายมอของตาราง 3.1 เราไมสามารถใชระเบยบวธเทยบสมประสทธได


ตวอยาง 3.26. จงหาผลเฉลยทวไปของสมการไมเอกพนธy′′ − 3y′ + 2y = 4e−5x

วธทำ เราหาผลเฉลยทวไปของสมการเอกพนธทเกยวของy′′ − 3y′ + 2y = 0

ไดคอ yh = c1ex + c2e

2x เมอ c1 และ c2 เปนคาคงตวใด ๆเมอพจารณา r(x) = 4e−5x โดยตาราง 3.1 เราสมมตใหผลเฉลยเฉพาะ yp มคาเปน

yp = Ae−5x

เมอแทนคาในสมการ ไดวาy′′p − 3y′p + 2yp = 25Ae−5x + 15Ae−5x + 2Ae−5 = 42Ae−5x

เราไดวา42Ae−5x = 4e−5x

42A = 4

A = 221

ดงนนผลเฉลยทวไปของสมการไมเอกพนธคอy = c1e

x + c2e2x +

221

e−5x

ตวอยาง 3.27. จงหาผลเฉลยทวไปของสมการไมเอกพนธy′′ − 2y′ + y = 5ex

วธทำ เราหาผลเฉลยทวไปของสมการเอกพนธทเกยวของy′′ − 2y′ + y = 0

ไดคอ yh = c1ex + c2xex เมอ c1 และ c2 เปนคาคงตวใด ๆ

เมอพจารณา r(x) = 5ex โดยตาราง 3.1 เราสมมตใหผลเฉลยเฉพาะ yp มคาเปนyp = Aex


แตเนองจาก yp มพจนซำกบพจน c1ex ทปรากฏในผลเฉลยทวไป yh ดงนน เราตองคณ yp ดวย x

และไดรปแบบผลเฉลยใหมเปนyp = Axex

แต yp ทไดใหม กยงมรปแบบซำกบพจน c2xex ทปรากฏในผลเฉลยทวไป yh ดงนน เราตองคณyp ดวย x ซำอกครงหนงไดรปแบบผลเฉลยใหมเปน

yp = Ax2ex

เมอแทนคาในสมการ ไดวาy′′p − 2y′p + yp = (Ax2ex)′′ − 2(Ax2ex)′ + Ax2ex

= A[(2ex + 4xex + x2ex)− 2(2xex + x2ex) + x2ex

]

= Aex[2 + 4x + x2 − 4x− 2x2 + x2

]

= 2Aex

เราไดวา2Aex = 5ex

2A = 5

A = 52

ดงนนผลเฉลยทวไปของสมการไมเอกพนธคอy = c1e

x + c2xex +52x2ex

ตวอยาง 3.28. จงหาผลเฉลยของปญหาคาตงตนy′′ + 2y′ = 2x + 5, y(0) = 0, y′(0) = 0

วธทำ เราหาผลเฉลยทวไปของสมการเอกพนธทเกยวของ y′′ + 2y′ = 0 ไดโดยพจารณาสมการแคแรกเทอรสตก

λ2 + 2λ = 0

ซงมรากของสมการคอ λ = 0,−2 และ ผลเฉลยของสมการเอกพนธคอyh = c1e

0 + c2e−2x = c1 + c2e

−2x


เมอ c1 และ c2 เปนคาคงตวใด ๆเมอพจารณา r(x) = 2x + 5 โดยตาราง 3.1 เราสมมตใหผลเฉลยเฉพาะ yp มคาเปน

yp = A1x + A0

แตเนองจาก yp มพจน A0 ซำกบพจน c1 ทปรากฏในผลเฉลยทวไป yh ดงนน เราตองคณ yp ดวย xและไดรปแบบผลเฉลยใหมเปน

yp = x(A1x + A0) = A1x2 + A0x

เมอแทนคาในสมการ ไดวา

y′′p + 2y′p = 2A1 + 2(2A1x + A0)

= 4A1x + 2(A1 + A0)

เราไดวา

4A1x + 2(A1 + A0) = 2x + 5

4A1 = 2

A1 =12

2(12

+ A0) = 5

A0 = 2

ดงนนผลเฉลยทวไปของสมการไมเอกพนธคอ

y = c1 + c2e−2x +

x2

2+ 2x

โดยเงอนไขคาตงตน y(0) = 0

0 = c1 + c2e0 +

02

+ 2 · 0

0 = c1 + c2


และ y′(0) = 0

y′ = −2c2e−2x + x + 2

y′(0) = 0 = −2c2e0 + 0 + 2

−2 = −2c2

c2 = 1

ทำใหได c1 = −1 ดงนน ผลเฉลยของปญหาคอy = e−2x +

x2

2+ 2x− 1

ตวอยาง 3.29. จงหาผลเฉลยทวไปของสมการไมเอกพนธy′′ + 2y′ − 3y = 3x + 1 + 5 sinx (3.35)

วธทำ จากตวอยาง 3.26 เราไดผลเฉลยทวไปของสมการเอกพนธทเกยวของy′′ + 2y′ − 3y = 0 คอyh = c1e

x + c2e−3x เมอ c1 และ c2 เปนคาคงตวใด ๆ

เมอพจารณา r(x) = 3x+1+5 sinx เราสามารถแยกคดเปนกรณ r(x) = r1(x)+ r2(x) โดยท r1(x) = 3x + 1 และ r2(x) = 5 sin 5 หรอนนคอ หาผลเฉลยเฉพาะ yp1 จากสมการ

y′′ + 2y′ − 3y = 3x + 1

และ หาผลเฉลยเฉพาะ yp2 จากสมการy′′ + 2y′ − 3y = 5 sinx

• หาผลเฉลยเฉพาะ yp1 จากสมการ y′′ + 2y′ − 3y = 3x + 1

เนองจาก r1(x) = 3x + 1 ดงนนเราจะสมมตให yp1 = A1x + A0 เมอแทนคาลงในสมการเราไดวา

(A1x + A0)′′ + 2(A1x + A0)′ − 3(A1x + A0) = −3A1x + 2A1 − 3A0 = 3x + 1

เมอแกสมการได A0 = −1 และ A1 = −1 ดงนนyp1 = −x− 1


• หาผลเฉลยเฉพาะ yp2 จากสมการ y′′ + 2y′ − 3y = 5 sinx

เนองจาก r2(x) = 5 sinx ดงนนเราจะสมมตให yp2 = A cosx + B sinx เมอแทนคาลงในสมการ เราไดวา

(A cosx + B sinx)′′ + 2(A cosx + B sinx)′ − 3(A cosx + B sinx)

= (−A + 2B − 3A) cos x + (−B − 2A− 3B) sin x

= (−4A + 2B) cosx + (−2A− 4B) sin x = 5 sinx

ซงไดวา−4A + 2B = 0

−2A− 4B = 5

เมอแกสมการได A = −12และ B = −1 ดงนน

yp2 = −12

cosx− sinx

ผลเฉลยทวไปของสมการ (3.35) คอy = yh + yp1 + yp2 = c1e

x + c2e−3x − x− 1− 1

2cosx− sinx

ตวอยาง 3.30. จงหาผลเฉลยทวไปของปญหาคาขอบy′′ + 9y = 18x− 5ex + 12 cos(3x), y(0) =

12, y(

π

6) = π − eπ/6

2(3.36)

วธทำ เราหาผลเฉลยทวไปของสมการเอกพนธทเกยวของy′′ + 9y = 0 ไดโดยพจารณาสมการแคแรกเทอรสตก

λ2 + 9λ = 0

ซงมรากคอ λ = ±3i และเราไดผลเฉลยทวไปของสมการเอกพนธ คอyh = c1 cos(3x) + c2 sin(3x)

เมอ c1 และ c2 เปนคาคงตวใด ๆเมอพจารณา r(x) = 18x − 5ex + 12 cos(3x) เราสามารถแยกคดเปนกรณ r(x) = r1(x) −

r2(x) + r3(x) โดยทr1(x) = 18x, r2(x) = 5ex และ r3(x) = 12 cos(3x) หรอนนคอหาผลเฉลยเฉพาะ yp1 จากสมการ

y′′ + 9y = 18x


หาผลเฉลยเฉพาะ yp2 จากสมการy′′ + 9y = 5ex

และ หาผลเฉลยเฉพาะ yp3 จากสมการy′′ + 9y = 12 cos(3x)

• หาผลเฉลยเฉพาะ yp1 จากสมการ y′′ + 9y = 18x

เนองจาก r1(x) = 18x ดงนนเราจะสมมตให yp1 = A1x + A0 เมอแทนคาลงในสมการ เราไดวา

(A1x + A0)′′ + 9(A1x + A0) = 9A1x + 9A0 = 18x

เมอแกสมการได A0 = 0 และ A1 = 2 ดงนนyp1 = 2x

• หาผลเฉลยเฉพาะ yp2 จากสมการ y′′ + 9y = 5ex

เนองจาก r2(x) = 5ex ดงนนเราจะสมมตให yp2 = Aex เมอแทนคาลงในสมการ เราไดวา(Aex)′′ + 9(Aex) = 10Aex = 5ex

ซงไดวา A =12ดงนน

yp2 =12ex

• หาผลเฉลยเฉพาะ yp3 จากสมการ y′′ + 9y = 12 cos(3x)

เนองจาก r3(x) = 12 cos(3x) ดงนนเราจะสมมตให yp3 = A cos(3x) + B sin(3x)

แตเนองจาก yp3 มพจน A cos(3x) ซงมรปแบบซำกบพจน c1 cos(3x) ทปรากฏในผลเฉลยyh ดงนน เราตองคณ yp3 ดวย x ได

yp3 = x [A cos(3x) + B sin(3x)]

เมอแทนคาลงในสมการ เราไดวา(x [A cos(3x) + B sin(3x)])′′ + 9 (x [A cos(3x) + B sin(3x)])

= 6 [−A sin(3x) + B cos(3x)] + (9− 9) (x [A cos(3x) + B sin(3x)])

= 6 [−A sin(3x) + B cos(3x)]


ซงไดวา−6A sin(3x) + 6B cos(3x) = 12 cos(3x)

A = 0 B = 2

ดงนน yp3 = 2x sin(3x)

ผลเฉลยทวไปของสมการ (3.36) คอy = yh + yp1 − yp2 + yp3 = c1 cos(3x) + c2 sin(3x) + 2x− 1

2ex + 2x sin(3x)

และเมอพจารณาเงอนไขคาขอบท x = 0

y(0) =12

= c1 cos(0) + c2 sin(0) + 0− 12e0 + 0 = c1 − 1

2

c1 = 1

และท x =π

6

y(π

6) = π − eπ/6

2= cos(

π

2) + c2 sin(

π

2) + 2

π

6− 1

2e

π6 + 2

π

6sin(

π

2)

= 0 + c2 +π

3− e

π6

2+

π

3

c2 =π

3

ดงนน ผลเฉลยของปญหาคาขอบคอy = cos(3x) +

π

3sin(3x) + 2x− 1

2ex + 2x sin(3x)


แบบฝกหด1. จงหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธตอไปน

(a) y′′ + 3y = −9

(b) y′′ + 2y′ − y = 10

(c) 2y′′ + y = 9e2x

(d) y′′ − y = 3e−2x

(e) y′′ − y′ − 2y = −2x3 − 3x2 + 8x + 1

(f) y′′ − y′ + 9y = 3 sin 3x

(g) y′′ + 4y′ + 5y = e3x

(h) 2y′′ + 2y′ − 4y = e−x

(i) y′′ + 5y′ + 4y = cosx

(j) y′′ − 4y = 4x2 + 4x + 6

(k) y′′ − 3y′ + 2y = x3

(l) y′′ + 2y′ = 3 sinx− cosx

2. จงหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธตอไปน

(a) y′′ − 2y′ − 3y = 3e2x

(b) y′′ − 2y′ − 3y = −3xe−x

(c) y′′ + 2y′ + 5y = 3 sin(2x)

(d) y′′ + 2y′ = 2 + 4 sin(2x)

(e) y′′ + 2y′ + y = 2e−x

(f) y′′ + ω20y = cos(ωx) (ω2 6= ω2

0)

(g) y′′ + 4y′ = 4 cos(2x) + 6 cosx

(h) y′′ − y′ = −11x + 1

(i) y′′ − 2y′ − 3y = (3x2 − 5)e−x

(j) y′′ − 3y′ + 2y = ex sinx

(k) y′′ − 4y = cosx− sinx

(l) y′′ + 9y = x2e3x + 6

(m) y′′ + ω20y = cos(ω0x)

(n) y′′ = 4x3 + 3x2 + 2x + 1


3. จงหาผลเฉลยของปญหาคาตงตนตอไปน(a) y′′ = 6x, y(0) = 3, y′(0) = −1

(b) y′′ + y = 2e−x, y(0) = 3, y′(0) = 0

(c) y′′ + 4y = x2 + 3ex, y(0) = 0, y′(0) = 2

(d) y′′ − 2y′ + y = xex + 4, y(0) = 1, y′(0) = 1

(e) y′′ − y′ − 2y = cosx− sin(2x), y(0) = − 720 , y′(0) = 1

5

(f) y′′ + y′ − 12y = ex + e2x − 1, y(0) = −1160 , y′(0) = −13

30

(g) y′′ + 2y′ + 5y = 4e−x cos(2x), y(0) = 1, y′(0) = 0

4. จงหารปแบบของผลเฉลยเฉพาะ yp ของสมการเชงอนพนธตอไปน(a) y′′ + 3y′ = 2x4 + x2e−3x + sin(3x)

(b) y′′ + y = sinx + x cosx + ex

(c) y′′ + y = x(1 + sinx)

(d) y′′ − 5y′ + 6y = ex cos(2x) + e2x(3x + 4) sin x

(e) y′′ − 4y′ + 4y = 2x2 + 4xe2x + x sin(2x)

(f) y′′ − y = e2x + xe2x + x2e2x

(g) y′′ − y = ex + xex + x2ex + x3e−x

(h) y′′ − 4y′ + 4y = x2e2x + e2x

(i) y′′ + 5y′ + 6y = sinx− cos(2x)

(j) y′′ + 3y′ + 2y = ex(x2 + 1) sin(2x) + 3e−x cosx + 4ex

(k) y′′ + 2y′ + 5y = 3xe−x cos(2x)− 2xe−2x cosx



3.8.2 การแปรผนของตวแปรเสรมในการหาผลเฉลยเฉพาะของสมการไมเอกพนธ ระเบยบวธเทยบสมประสทธ มขดจำกดใน

การใชคอ• ตองเปนสมการไมเอกพนธเชงเสนทมสมประสทธเปนคาคงตว• ฟงกชน r(x) ตองเปนไปตามตาราง 3.1 เทานน

ในหวขอน จะนำเสนอวธหาผลเฉลยเฉพาะของสมการไมเอกพนธ ทมเงอนไขนอยกวา คอสามารถใชกบสมการไมเอกพนธเชงเสนทมสมประสทธเปนตวแปร และฟงกชน r(x) ไมจำเปนตองมรปแบบตามตาราง 3.1 เราจะเรยกวธการหาผลเฉลยนวา การแปรผนของตวแปรเสรม (variation ofparameters)พจารณาสมการไมเอกพนธเชงเสน

a2(x)y′′ + a1(x)y′ + a0(x)y = r(x) (3.37)สมมตวาเราทราบผลเฉลยทวไป yh ของสมการเอกพนธทเกยวของ

a2(x)y′′ + a1(x)y′ + a0(x)y = 0

โดย yh อยในรปผลรวมเชงเสนของของผลเฉลย y1 และ y2

yh = c1y1 + c2y2,

เมอ c1 และ c2 เปนคาคงตวใด ๆแนวความคดในการหาผลเฉลยเฉพาะ เราจะสมมตใหผลเฉลยเฉพาะ yp มรปแบบคลายกบผล

เฉลยทวไป yh แตเปลยนคาคงตวใด ๆ c1 และ c2 เปนฟงกชนทไมเปนฟงกชนคาคงตว u(x) และv(x) ตามลำดบ16

yp = u(x)y1 + v(x)y2 (3.38)สำหรบการหาคา u(x) และ v(x) เราจะเรมจาก16เนองจากในบางครง เราพจารณาผลเฉลยทวไปในลกษณะของ “วงศของผลเฉลย” โดยมคาคงตว c1 และ c2 เปน

ตวแปรเสรมดงนนวธการหาผลเฉลยเฉพาะน ทมสมมตใหผลเฉลยเฉพาะ yp มรปแบบคลายกบผลเฉลยทวไป yh แตเปลยนคาคงตวใด ๆ c1 และ c2 ไปเปนฟงกชนทไมเปนฟงกชนคาคงตว u(x) และ v(x) จงเปนเหมอนการเปลยนตวแปรเสรมไปเปนฟงกชนของตวแปรอสระ x ดงนนเราจงใหชอวธการหาผลเฉลยเฉพาะนวา “การแปรผนของตวแปรเสรม”


1. พจารณาอนพนธอนดบทหนงของ yp

y′p = uy′1 + u′y1 + vy′2 + v′y2

พบวา ถาเราหาอนพนธอนดบทสองของ yp กจะปรากฏพจน u′′ และ v′′ ซงเปนอนพนธอนดบทสองของ u และ v ตามลำดบซงถานำ yp, อนพนธอนดบทหนง และ อนพนธอนดบทสองของ yp เขาไปแทนในสมการไมเอกพนธ (3.37) เพอหาคา u และ v กจะทำใหเกดภาระงานทตองหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธอนดบทสองทเกยวของกบตวแปร u, u′, u′′

และ v, v′, v′′ ดงนน เพอหลกเลยงปญหานเราจะเพมเงอนไขใหu′y1 + v′y2 = 0 (3.39)

ดงนนทำใหไดวาy′p = uy′1 + vy′2

และ อนพนธอนดบสองของ yp คอy′′p = uy′′1 + u′y′1 + vy′′2 + v′y′2

2. แทนคา yp, y′p และ y′′p ลงในสมการ (3.37)a2 (uy′′1 + u′y′1 + vy′′2 + v′y′2) + a1 (uy′1 + vy′2) + a0 (uy1 + vy2) = r(x)

u(a2y

′′1 + a1y

′1 + a0y1

)︸︷︷︸=0 เพราะ y1 เปนผลเฉลยทวไป

+v(a2y

′′2 + a1y

′2 + a0y2

)︸︷︷︸=0 เพราะ y2 เปนผลเฉลยทวไป

+a2(u′y′1 + v′y′2) = r(x)

ซงลดรปของสมการไดเปนa2(u′y′1 + v′y′2) = r(x)

ดงนนเราไดu′y′1 + v′y′2 =

r(x)a2(x)

(3.40)

3. ทงสมการ (3.39) และ (3.40) ประกอบเปนระบบสมการu′y1 + v′y2 = 0

u′y′1 + v′y′2 =r(x)a2(x)

(3.41)


ซงมผลเฉลยของระบบสมการคอu′ = − y2r

(y1y′2 − y2y′1), และ v′ =

y1r

(y1y′2 − y2y′1),

เมอ r =r(x)a2(x)

4. หาคา u และ v ไดโดยu(x) =

∫− y2r

(y1y′2 − y2y′1)dx

v(x) =∫

y1r

(y1y′2 − y2y′1)dx

(3.42)

เมอแทนคา u และ v ทไดจาก (3.42) ลงใน yp ทำใหเราไดผลเฉลยทวไปของสมการไมเอกพนธ(3.37) คอ

y = yh + yp

= c1y1 + c2y2 + u(x)y1 + v(x)y2,

หมายเหต เราอาจจะพจารณาระบบสมการ (3.41) ในรปของเมทรกซไดเปน

y1 y2

y′1 y′2

u′

v′

=

0

r

(3.43)


ซงเราสามารถหา u′ และ v′ โดยหลกเกณฑของคราเมอร (Cramer’s rule)

u′ =

∣∣∣∣∣∣∣

0 y2

r′ y′2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

y1 y2

y′1 y′2

∣∣∣∣∣∣∣

= −y2r

Wและ v′ =

∣∣∣∣∣∣∣

y1 0

y′1 r

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

y1 y2

y′1 y′2

∣∣∣∣∣∣∣

=y1r

W, (3.44)

เมอW =

∣∣∣∣∣∣∣

y1 y2

y′1 y′2

∣∣∣∣∣∣∣= y1y

′2 − y2y

′1


ขนตอนวธการหาผลเฉลยโดยวธการแปรผนของตวแปรเสรม1. หาผลเฉลยทวไป yh ของสมการเอกพนธทเกยวของ

yh = c1y1 + c2y2,

เมอ c1 และ c2 เปนคาคงตวใด ๆ2. สมมตใหผลเฉลยเฉพาะของสมการไมเอกพนธมคาเปน

yp = u(x)y1 + v(x)y2

3. หาคา u และ vu(x) =

∫− y2r

(y1y′2 − y2y′1)dx,

v(x) =∫

y1r

(y1y′2 − y2y′1)dx,


4. แทนคา u(x) และ v(x) ทไดลงใน yp

5. ผลเฉลยทวไปของสมการไมเอกพนธ (3.37) คอ

y = c1y1 + c2y2 + u(x)y1 + v(x)y2

ตวอยาง 3.31. จงหาผลเฉลยทวไปของสมการ

y′′ + y = cscx (3.45)

วธทำ เราหาผลเฉลยทวไปของสมการเอกพนธทเกยวของ

y′′ + y = 0

ไดคอ yh = c1 cosx + c2 sinx ดงนน เราจะสมมตใหผลเฉลยเฉพาะคอ

yp = u(x) cos x + v(x) sin x


เราไดอนพนธอนดบทหนงของผลเฉลยเฉพาะ คอ

y′p = −u(x) sin(x) + u′(x) cos x + v(x) cos x + v′(x) sin x

ซงเราจะสมมตใหu′(x) cos x + v′(x) sinx = 0 (3.46)

และ อนพนธอนดบทสองของผลเฉลยเฉพาะ คอ

y′′p = −u′(x) sin(x)− u(x) cos(x) + v′(x) cos x− v(x) sinx

เมอนำ yp และ y′′p ไปแทนคาในสมการ (3.45) เราได

y′′p + yp = (−u′ sin(x)− u cos(x) + v′ cosx− v sinx) + (u cosx + v sinx)

= u(− cosx + cosx) + v(− sinx + sin x) + (−u′ sin(x) + v′ cosx)

= −u′ sin(x) + v′ cosx

ซงทำใหเราไดวา− u′ sin(x) + v′ cosx = cscx (3.47)

จากสมการ (3.46) และ (3.47) เราไดระบบสมการu′ cosx + v′ sinx = 0

−u′ sin(x) + v′ cosx = cscx

(3.48)

เมอแกระบบสมการ (3.48) เพอหาคา u′ และ v′ เราได

u′(cos2 x + sin2 x) = − sinx csc x

v′(cos2 x + sin2 x) = cosx csc x

นนคอu′ = −1 และ v′ = cotx


เมอทำการอนทเกรต กจะได

u =∫−1dx

= −x

v =∫

cotxdx

= ln |sinx|

ดงนน ผลเฉลยเฉพาะของสมการไมเอกพนธ (3.45) คอ

yp = u cosx + v sinx = −x cosx + sin x ln |sinx|

และผลเฉลยทวไปของสมการไมเอกพนธ (3.45) คอ

y = yh + yp = c1 cosx + c2 sinx− x cosx + sin x ln |sinx|


x2y′′ + xy′ − y = x ln x (x > 0) (3.49)

วธทำ ในการหาผลเฉลยของสมการ (3.49) น จะทำตามขนตอนวธการหาผลเฉลยโดยวธการแปรผนของตวแปรเสรม1. หาผลเฉลยทวไป yh ของสมการเอกพนธทเกยวของ

x2y′′ + xy′ − y = 0

โดยตวอยาง 3.21 (หนา 96) เราทราบแลววาผลเฉลยทวไปคอ

yh = c1x +c2

x,

เมอ c1 และ c2 เปนคาคงตวใด ๆ2. สมมตใหผลเฉลยเฉพาะ yp ของสมการไมเอกพนธมคาเปน

yp = u(x)x +v(x)x


3. ในทน เราพบวา

y1 = x

y′1 = 1

y2 =1x

= x−1

y′2 = −x−2

r(x) = x ln x

r =r(x)a2(x)

=x ln x

x2=

ln x

x

W = y1y′2 − y2y

′1 = x(−x−2)− x−1 · 1 = −2x−1

และมระบบสมการสำหรบหาคา u′(x) และ v′(x) คอ

u′x + v′x−1 = 0

u′ − v′x−2 =lnx

x

หาคา u(x) และ v(x) ไดคอ

u(x) =∫−y2r

Wdx

=∫−x−1 [(lnx)/x]

−2x−1dx

=12

∫ln x

xdx

=(lnx)2

4

v(x) =∫

y1r

Wdx

=∫

x [(lnx)/x]−2x−1

dx

= −12

∫x ln xdx

(โดยการอนทเกรตทละสวน) = −12

(x2

2lnx−

∫x2

21x

dx

)

= −12

(x2

2lnx− x2

4

)

=x2

8(1− 2 lnx)


ดงนน ผลเฉลยเฉพาะคอyp = u(x)x + v(x)x−1 =

x(lnx)2

4+

x

8(1− 2 ln x)

และผลเฉลยทวไปของสมการไมเอกพนธ (3.49) คอy = yh + yp = c1x +

c2

x+

x(lnx)2

4+

x

8(1− 2 lnx)

หรอy = c1x +

c2

x+

x(lnx)2

4− 1

4x lnx

เมอ c1 = c1 +18

หมายเหต จะพบวาทงสองตวอยางทแสดง ในการหาคาอนทกรลของ u(x) และ v(x) ผแตงไมไดใสคาคงตวของการอนทเกรตลงไปดวยเหตททำเชนนนเนองจาก เราตองการหาผลเฉลยเฉพาะ

yp = u(x)y1 + v(x)y2

เพยงหนงผลเฉลยเทานน ฉะนนขอใหไดคา u(x) และ v(x) เพยงคาเดยว กเพยงพอสำหรบการหาผลเฉลยเฉพาะ yp แลวตวอยาง 3.33. จงหาผลเฉลยทวไปของสมการ

y′′ + y = cscx + 3x− 1 (3.50)วธทำ ในการหาผลเฉลยของสมการ (3.50) น เราจะแยกหาผลเฉลยเฉพาะ yp1 จากสมการ

y′′ + y = cscx

และ หาผลเฉลยเฉพาะ yp2 จากสมการy′′ + y = 3x− 1

จากตวอยาง 3.31 เราไดผลเฉลยทวไปคอyh = c1 cosx + c2 sinx

และสำหรบผลเฉลย yp1 เราทราบจากตวอยาง 3.31 แลววาyp1 = −x cosx + sinx ln |sinx|


สำหรบการหา yp2 เราจะใชระเบยบวธเทยบสมประสทธในการหา (ดระเบยบวธเทยบสมประสทธหนา 101)โดยตาราง 3.1 เราจะสมมตให yp2 = Ax + B ดงนน

y′′p2+ yp2 = (Ax + B)′′ + (Ax + B)

= Ax + B = 3x− 1

ซงเมอเทยบสมประสทธทำใหได A = 3, B = −1 และ yp2 = 3x− 1

ไดวา ผลเฉลยทวไปของสมการไมเอกพนธ 3.50 คอy = yh + yp1 + yp2 = c1 cosx + c2 sinx− x cosx + sin x ln |sinx|+ 3x− 1

แบบฝกหด1. จงหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธตอไปนโดยใชทงวธ เปรยบเทยบสมประสทธและ การแปรผนของตวแปรเสรม(a) y′′ + 3y = −9

(b) y′′ + 2y′ − y = 10

(c) 2y′′ + y = 9e2x

(d) y′′ − y = 3e−2x

(e) y′′ − y′ − 2y = −2x3 − 3x2 + 8x + 1

(f) y′′ − y′ + 9y = 3 sin 3x

(g) y′′ + 4y′ + 5y = e3x

(h) 2y′′ + 2y′ − 4y = e−x

(i) y′′ + 5y′ + 4y = cosx

(j) y′′ − 4y = 4x2 + 4x + 6

(k) y′′ − 3y′ + 2y = x3

(l) y′′ + 2y′ = 3 sinx− cosx


2. จงหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธตอไปน

(a) y′′ + y = tanx

(b) y′′ + 4y′ + 4y = x−2e−2x

(c) y′′ + 9y = 9 sec2(3x)

(d) y′′ + 4y = 3 csc(2x)

(e) y′′ + 4y = tan(2x)

(f) 4y′′ + y = 2 sec(x/2)

(g) y′′ + 2y′ + y = e−x lnx

(h) y′′ − 2y′ + y = ex

1+x2

(i) y′′ − 2y′ − 3y = 64xe−x

(j) y′′ + 2y′ + 5y = e−x sec(2x)

(k) 2y′′ + 3y′ + y = e−3x

(l) y′′ − 3y′ + 2y = (1 + e−x)−1


3.8.3 สรปในสวนนไดนำเสนอการหาผลเฉลยของสมการไมเอกพนธเชงเสนสองวธไดแก• ระเบยบวธเทยบสมประสทธ• การแปรผนของตวแปรเสรมระเบยบวธเทยบสมประสทธ เปนวธการหาผลเฉลยเฉพาะ yp ซงมรปแบบตามตาราง 3.1 โดย

รปแบบของผลเฉลย yp จะพจารณาตามฟงกชน r(x)

สมประสทธของผลเฉลย yp หาไดโดยการเทยบสมประสทธทเกดจากการคำนวณ yp และอนพนธของ yp ซงปรากฏอยในสมการไมเอกพนธ

ay′′p + by′p + cyp = r(x)

กบฟงกชน r(x) ทางขวามอของสมการไมเอกพนธแตวธนมขดจำกดในการใชคอ• ตองเปนสมการไมเอกพนธเชงเสนทมสมประสทธเปนคาคงตว• ฟงกชน r(x) ตองเปนไปตามตาราง 3.1 (หนา 104) เทานน


สวนวธการแปรผนของตวแปรเสรมสามารถใชไดกบทงสมการไมเอกพนธเชงเสนทมสมประสทธเปนคาคงตว และสมการไมเอกพนธเชงเสนทมสมประสทธเปนฟงกชนของตวแปร x

a2(x)y′′ + a1(x)y′ + a0y = r(x)

รวมทงคา r(x) ไมจำเปนจะตองเปนไปตามตาราง 3.1การหาผลเฉลย yp ในวธการแปรผนของตวแปรเสรม จะเรมดวยการหาผลเฉลยทวไปของ

สมการเอกพนธทเกยวของyh = c1y1 + c2y2

จากนนจะสมมตใหผลเฉลยเฉพาะ yp มคาเปนyp = u(x)y1 + v(x)y2

และเราคำนวณหาคา u(x) และ v(x) ไดโดยu(x) =

∫− y2r

(y1y′2 − y2y′1)dx,

v(x) =∫

y1r

(y1y′2 − y2y′1)dx,


และผลเฉลยทวไปของสมการไมเอกพนธคอy = c1y1 + c2y2 + u(x)y1 + v(x)y2


3.9 สมการโคช-ออยเลอรในสวนนจะนำเสนอการหาผลเฉลยของสมการรปแบบหนง ซงเปนสมการเชงเสนทไมไดม

สมประสทธเปนคาคงตว แตเราสามารถแปลงสมการนใหอยในรปสมการเชงเสนทมสมประสทธเปนคาคงตวไดบทนยาม 3.3 (สมการโคช-ออยเลอร). เราเรยกสมการเชงอนพนธเชงเสนอนดบทสองซงอยในรป

ax2 d2y

dx2+ bx

dy

dx+ cy = h(x), (3.51)

เมอ a, b และ c เปนคาคงตวใด ๆ และ a 6= 0, วาสมการโคช-ออยเลอร (Cauchy-Euler equation)ตวอยาง 3.34.

• 3x2y′′ − 2xy′ + 7y = sin x เปนสมการโคช-ออยเลอรโดยม a = 3, b = −2, c = 7 และ h(x) = sinx

• 2y′′ − 3xy′ + 11y = 3x− 1 ไมเปนสมการโคช-ออยเลอรเพราะสมประสทธหนา y′′ เปน 2 ไมไดอยในรป ax2

• x2 d2y

dx2− 2y = 5x2, x > 0 เปนสมการโคช-ออยเลอร

โดยม a = 1, b = 0, c = −2 และ h(x) = 5x2

• 2x2 d2y

dx2+ 2x

dy

dx= ln x, x > 0 เปนสมการโคช-ออยเลอร

โดยม a = 2, b = 2, c = 0 และ h(x) = lnx

• 2x2y′′ + 2y′ + y = lnx, x > 0 ไมเปนสมการโคช-ออยเลอรเพราะสมประสทธหนา y′ เปน 2 ไมไดอยในรป bx

• 3x2 d2y

dx2+ 11x

dy

dx− 3y = 0, x > 0 เปนสมการโคช-ออยเลอร

โดยม a = 3, b = 11, c = −3 และ h(x) = 0

เราเรยกสมการโคช-ออยเลอรท h(x) ≡ 0 วาสมการโคช-ออยเลอรชนดเอกพนธ (homogeneousCauchy-Euler equation)

3.9. สมการโคช-ออยเลอร 129

ขนตอนวธการแกสมการโคช-ออยเลอรax2 d2y

dx2+ bx

dy

dx+ cy = h(x) (3.52)

1. ทำการเปลยนตวแปร โดยให x = et ซงจะทำใหสมการ (3.52) เปนสมการใหม ซงขนกบตวแปรอสระ t และจากการสมมตตวแปรแบบนทำใหx > 0

2. เมอหาอนพนธของ y เทยบกบตวแปร t โดยกฎลกโซ ทำใหไดdy

dt=

dy

dx

dx

dt=

dy

dxet = et dy

dx= x

dy

dx

นนคอx

dy

dx=

dy

dt(3.53)

และd2y

dt2=

d

dt

(x

dy

dt

)

=dx

dt

dy

dx+ x

d

dt

(dy

dx

)

=dy

dt+ x

d2y

dx2

dx

dt

=dy

dt+ x

d2y

dx2et

=dy

dt+ x2 d2y

dx2

และไดวาx2 d2y

dx2=

d2y

dt2− dy

dt(3.54)

3. แทนคา xdy

dxและ x2 d2y

dx2ลงในสมการ (3.52) ทำใหได

a(d2y

dt2− dy

dt) + b

dy

dt+ cy = h(x), x > 0

และสามารถจดรปใหมไดเปน

ad2y

dt2+ (b− a)

dy

dt+ cy = h(et) (3.55)

ซงสมการนเปนสมการเชงอนพนธอนดบทสองเชงเสนทมสมประสทธเปนคาคงตว


4. หาผลเฉลยของสมการ (3.55) โดยใชวธทไดกลาวมากอนหนานแลวซงจะไดผลเฉลยรปของฟงกชนของตวแปรอสระ t

y = Y(t)

5. เขยนผลเฉลยใหอยในรปฟงกชนของ x ไดโดยให t = lnx

y = y(x) = Y(lnx)

ตวอยาง 3.35. จงหาผลเฉลยของสมการ3x2 d2y

dx2+ 11x

dy

dx− 3y = 0, x > 0 (3.56)

วธทำ จากตวอยาง 3.34 เราทราบแลววาสมการนเปนสมการโคช-ออยเลอรทมa = 3, b = 11,c = −3 และ h(x) = 0 โดยนนโดยการเปลยนตวแปร x = et ทำใหเราแปลงสมการ (3.56) เปนสมการเชงอนพนธอนดบทสองเชงเสนทมสมประสทธเปนคาคงตว

3d2y

dt2+ (11− 3)

dy

dt+ (−3)y = 0

เมอจดรปสมการ ทำใหได3d2y

dt2+ 8

dy

dt− 3y = 0 (3.57)

สมการแคแรกเทอรสตกของสมการ (3.57) กคอ3λ2 + 8λ− 3λ = (3λ− 1)(λ + 3) = 0

เนองจากรากของสมการแคแรกเทอรสตกคอ 1/3 และ −3 ซงเปนจำนวนจรงทแตกตางกน ดงนนผลเฉลยทวไปของสมการ (3.57) คอ

y(t) = c1et/3 + c2e

−3t

และไดผลเฉลยของสมการ (3.56) คอy(x) = c1e

(ln x)/3 + c2e−3 ln x = c1x

1/3 + c2x−3, เมอ x > 0

3.9. สมการโคช-ออยเลอร 131

ตวอยาง 3.36. จงหาผลเฉลยของสมการx2y′′ − 2xy′ + 2y =

4x5

, x > 0 (3.58)วธทำ สมการ (3.58) เปนสมการโคช-ออยเลอรทม a = 1, b = −2, c = 2 และh(x) =

4x5

ให x = et เราสามารถแปลงสมการ (3.58) เปนสมการเชงเสนไดเปนd2y

dt2+ (−2− 1)

dy

dt+ 2y =

4(et)5

หรอจดรปใหมไดเปนd2y

dt2− 3

dy

dx+ 2y = 4e−5t (3.59)

โดยการเปรยบเทยบกบตวอยาง 3.26 (หนา 108) พบวา สมการ (3.59) มผลเฉลยคอy(t) = c1e

t + c2e2t +

221

e−5t

ดงนนผลเฉลยของสมการ (3.58) คอy(x) = c1e

ln x + c2e2 ln x +

221

e−5 ln x = c1x + c2x2 +

221x5

, เมอ x > 0


แบบฝกหด1. จงหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธตอไปน เมอสมมตให x > 0

(a) x2 d2y

dx2− 3x

dy

dx+ 3y = 0

(b) x2 d2y

dx2+ x

dy

dx− 4y = 0

(c) 4x2 d2y

dx2− 4x

dy

dx+ 3y = 0

(d) x2 d2y

dx2− 3x

dy

dx+ 4y = 0

(e) x2 d2y

dx2+ x

dy

dx+ 4y = 0

(f) x2 d2y

dx2− 3x

dy

dx+ 13y = 0

(g) 3x2 d2y

dx2− 4x

dy

dx+ 2y = 0

(h) x2 d2y

dx2+ x

dy

dx+ 9y = 0

(i) 9x2 d2y

dx2+ 3x

dy

dx+ y = 0

(j) x2 d2y

dx2− 5x

dy

dx+ 10y = 0

(k) x2 d2y

dx2− 4x

dy

dx+ 6y = 4x− 6

(l) x2 d2y

dx2− 5x

dy

dx+ 8y = 2x3

(m) x2 d2y

dx2+ 4x

dy

dx+ 2y = 4 lnx

(n) x2 d2y

dx2+ x

dy

dx+ 4y = 2x ln x

(o) x2 d2y

dx2+ x

dy

dx+ y = 4 sin(lnx)

(p) x2 d2y

dx2+ x

dy

dx+ 9y = cos(3 lnx)

2. จงหาผลเฉลยของปญหาคาตงตนตอไปน สำหรบปญหาทกขอ จะสมมตให x > 0

(a) x2 d2y

dx2− 2x

dy

dx− 10y = 0, y(1) = 5, y′(1) = 4

(b) x2 d2y

dx2− 4x

dy

dx+ 6y = 0, y(2) = 0, y′(2) = 4

(c) x2 d2y

dx2+ 5x

dy

dx+ 3y = 0, y(1) = 1, y′(1) = −5

(d) x2 d2y

dx2− 2y = 4x− 8, y(1) = 4, y′(1) = −1

(e) x2 d2y

dx2− 4x

dy

dx+ 4y = 4x2 − 6x3, y(2) = 4, y′(2) = −1

(f) x2 d2y

dx2+ 2x

dy

dx− 6y = 10x2, y(1) = 1, y′(1) = −6

(g) x2 d2y

dx2− 5x

dy

dx+ 8y = 2x3, y(2) = 0, y′(2) = −8

(h) x2 d2y

dx2− 6y = lnx, y(1) = 1

6 , y′(1) = −16


3.10. รปแบบสมการเชงอนพนธสามญอนดบทสองทเปนไปไดทงหมด 133

3.10 รปแบบสมการเชงอนพนธสามญอนดบทสองทเปนไปไดทงหมดในปครสตศกราช 1983 โซฟส ล (Sophus Lie) นกคณตศาสตรชาวนอรเวย ไดแสดงให

เหนวา17 สำหรบสมการเชงอนพนธสามญอนดบทสอง ทมโดเมนเปนจำนวนจรงนน เราสามารถเปลยนรปสมการเชงอนพนธสามญอนดบทสองตาง ๆ โดยทผลเฉลยของสมการนนยงคงเดม ไปเปนไดเพยงรปตอไปนเทานน

• y′′ = f(y, y′),

• y′′ = f(y′),

• xy′′ = f(y′),

• y′′ = Ce−y′ ,

• y′′ = C (y′)a−2a−1 , a 6= 0,

12, 2,

• y′′ = C[1 + (y′)2

] 32e(b tan−1 y′),

• xy′′ = C (y′)3 − 12y′,

• xy′′ = y′ + (y′)3 + C[1 + (y′)2

]3/2,

• xy′′ = y′ − (y′)3 + C[1− (y′)2

]3/2,

• y′′ = C

[1 + (y′)2 + (y − xy′)2

1 + x2 + y2

]3/2

,

• y′′ = 0,

เมอ a, b เปนจำนวนจรง และ C เปนคาคงตวใด ๆหรอกลาวอกนยหนงไดวา สมการเชงอนพนธสามญอนดบทสอง ทมโดเมนเปนจำนวนจรง

y′′ = f(x, y, y′)

เปนไปไดเพยง 11 รปแบบ ดงทไดกลาวมา17ดรายละเอยดเพมเตมใน [10]


บทท 4สมการเชงอนพนธอนดบสง

ในบทนจะกลาวถงทฤษฎทเกยวของกบสมการเชงอนพนธอนดบสง (higher-order differential e-quations) และ การแกสมการ เนอหาโดยหลกจะเปนการขยายแนวความคดจากทฤษฎทเกยวของและการหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธอนดบทสอง ซงไดกลาวมาแลวในบทท 3

4.1 ทฤษฎทเกยวของกบสมการเชงอนพนธเชงเสนจากบทนยาม 1.3 (หนา 2) เราเรยกสมการเชงเสน

an(x)dny

dxn+ an−1(x)

dn−1y

dxn−1+ · · ·+ a1(x)

dy

dx+ a0(x)y = b(x), (4.1)

ทมคา b(x) ≡ 0 (b(x) = 0 ทก ๆ คา x) วาสมการเอกพนธ และถา b(x) 6= 0 สำหรบบางคา x เราจะเรยกสมการ (4.1) วา สมการไมเอกพนธสำหรบทฤษฎทจะกลาวในบทน ซงเกยวของกบสมการเชงอนพนธอนดบสงเชงเสน (4.1) จะ

ถกพสจนบนเงอนไขทวา สมประสทธ a0(x), . . . , an(x) ของสมการเปนฟงกชนตอเนองบนชวงI ทพจารณา และ an(x) 6= 0 สำหรบทก ๆ x ∈ I

เนองจาก an(x) 6= 0 ดงนนเราสามารถหารสมการ (4.1) ดวย an(x) ได และเราอาจจะเขยนสมการเชงเสน (4.1) ไดในรป

dny

dxn+ pn−1(x)

dn−1y

dxn−1+ · · ·+ p1(x)

dy

dx+ p0(x)y = g(x), (4.2)

หรอy(n) + pn−1(x)y(n−1) + · · ·+ p1(x)y′ + p0(x)y = g(x) (4.3)

เรามทฤษฎบทการมจรงของผลเฉลย สำหรบปญหาคาตงตนทเกยวของกบสมการเชงอนพนธสามญเชงเสนอนดบท n ใด ๆ ดงนทฤษฎบท 4.1 (ทฤษฎบทการมอยจรงเพยงหนงเดยวของผลเฉลย). ถาฟงกชน a0(x), . . . , an(x)

และฟงกชน b(x) เปนฟงกชนตอเนองบนชวง I ทพจารณาโดยท an(x) 6= 0 สำหรบทก ๆ x ∈ I

และม x0 ∈ I

135

136 บทท 4. สมการเชงอนพนธอนดบสง

สำหรบแตละคาตงตน (ซงเปนจำนวนจรงใด ๆ n จำนวน, γ0, γ1, . . . , γn−1) ปญหาคาตงตนของสมการเชงอนพนธสามญเชงเสนอนดบท n

an(x)dny

dxn+ an−1(x)

dn−1y

dxn−1+ · · ·+ a1(x)

dy

dx+ a0(x)y = b(x),

ซงมเงอนไขคาตงตนy(x0) = γ0, y′(x0) = γ1, . . . , y(n−1)(x0) = γn−1

จะมผลเฉลยทนยามบนชวง I และมผลเฉลยเพยงหนงเดยวเทานน1

ตวอยาง 4.1. สำหรบปญหาคาตงตน(x− 1)y′′′ − 3xy′′ + 6x2y′ − sin−1(x) y =

√x,

y(x0) = 1, y′(x0) = 0, y′′(x0) = 7,(4.4)

เราพบวา• a3(x) = x− 1, a2(x) = −3x, a1(x) = 6x2 นยามบนชวง (−∞,∞),• a3(x) = x− 1 มคาเทากบศนยเมอ x = 1

• a0(x) = − sin−1 x นยามบนชวง [−1, 1]

• และ b(x) =√

x นยามบนชวง [0,∞)

ดงนนฟงกชน a0(x), a1(x), a2(x), a3(x) และ b(x) นยามและตอเนองพรอมกน บนชวง [0, 1]

และ a3(x) 6= 0 เมอ x 6= 1 ดงนนโดยทฤษฎบทการมอยจรงเพยงหนงเดยวของผลเฉลย สำหรบx0 ∈ [0, 1) ปญหาคาตงตน (4.4) มผลเฉลย y(x) ซงนยามบน [0, 1) และมผลเฉลยเพยงหนงเดยวเทานน

1ดการพสจนใน [18]

4.1. ทฤษฎทเกยวของกบสมการเชงอนพนธเชงเสน 137

ตวอยาง 4.2. พจารณาปญหาคาตงตนy(4) + exy′′′ − xy′′ + (x3 − 2x)y′ + sin(x) y = 0,

y(1) = y′(1) = y′′(1) = y′′′(1) = 0(4.5)

จงหาผลเฉลยของปญหาคาตงตนวธทำ เมอพจารณา a4(x) = 1, a3(x) = ex, a2(x) = −x, a1(x) = x3 − 2x, a0(x) = sinx และb(x) = 0 พบวาฟงกชนทงหมดนยามและตอเนองบน (−∞,∞) และ a4(x) 6= 0

และเราพบวาฟงกชน y ≡ 0 ซงนยามในชวง (−∞,∞) ทำใหสมการ

y(4) + exy′′′ − xy′′ + (x3 − 2x)y′ + sin(x) y = 0

เปนจรง อกทงเปนไปตามเงอนไข y(1) = y′(1) = y′′(1) = y′′′(1) = 0 ดงนนโดยทฤษฎบทการมอยจรงเพยงหนงเดยวของผลเฉลย ปญหาคาตงตน (4.5) มผลเฉลยคอ y ≡ 0 (หรอ y(x) = 0

สำหรบทกคา x)

แนวความคดจากตวอยาง 4.2 นำไปสกรณพเศษของทฤษฎบท 4.1 เมอ b(x) ≡ 0 และ γ0 =

γ1 = · · · = γn−1 = 0 ดงน

บทแทรก4.2. ถาฟงกชนa0(x), . . . , an(x) เปนฟงกชนตอเนองบนชวงIทพจารณาโดยทan(x) 6=

0 สำหรบทก ๆ x ∈ I และม x0 ∈ I

ปญหาคาตงตนของสมการเชงอนพนธสามญเอกพนธเชงเสนอนดบท n

an(x)dny

dxn+ an−1(x)

dn−1y

dxn−1+ · · ·+ a1(x)

dy

dx+ a0(x)y = 0,

y(x0) = y′(x0) = · · · y(n−1)(x0) = 0(4.6)

มผลเฉลยคอy(x) = 0, สำหรบทก ๆ x ∈ I

พสจน เนองจาก y(x) ≡ 0 เปนผลเฉลยสมการเอกพนธเชงเสนเสมอ และ y(x) ≡ 0 นยามทก ๆ คาx ดงนนโดยทฤษฎบทการมอยจรงเพยงหนงเดยวของผลเฉลย y(x) ≡ 0 จงเปนเพยงผลเฉลยเดยวของปญหาคาตงตน (4.6) 2


4.2 ทฤษฎทเกยวของกบสมการเอกพนธในการศกษา และหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธเชงเสนอนดบสง เราจะเรมตนพจารณา

จากสมการเอกพนธเชงเสนกอนซงในสวนนจะนำเสนอทฤษฎทเกยวของกบหาผลเฉลยของสมการเอกพนธเชงเสนบทนยาม 4.1. ใหเปน f1, f2, . . . , fm เปนฟงกชนใด ๆ ทนยามบนโดเมนและโดเมนรวมเกยวเดยวกนเราเรยก

c1f1 + c2f2 + · · ·+ cmfm,

เมอ c1, c2, . . . , cm เปนคาคงตวใด ๆ, วาผลรวมเชงเสน (linear combination) ของ f1, f2, . . . , fm

บทนยาม 4.2. เราเรยกฟงกชน f1, f2, . . . , fm ทง m ฟงกชนนวา เปนอสระเชงเสน (linearlyindependent) บนชวง I ถาไมปรากฎวามคาคงตว c1, . . . , cm (โดยท c1, . . . , cm ตองไมเปนศนยพรอมกนทงหมด) ซงทำให

c1f1(x) + c2f2(x) + · · ·+ cmfm(x) = 0

สำหรบทก ๆ x ∈ I

และเรยกฟงกชน f1, f2, . . . , fm ทไมมคณสมบตนวา ไมอสระเชงเสน (linearly dependent)หมายเหต ถาฟงกชน f1, f2, . . . , fm ไมอสระเชงเสนซงกนและกน นนทำใหเราสามารถเขยนฟงกชนใด ฟงกชนหนง ใหอยในรปผลรวมเชงเสนของฟงกชนทเหลอไดและโดยแนวทางเดยวกบการพสจนทฤษฎบทมลฐานของสมการเอกพนธ 3.2 (หนา 76) เรา

สามารถแสดงไดวาทฤษฎบท 4.3. ถา y1(x), y2(x), . . . , ym(x) เปนผลเฉลยทนยามบนชวง I ของสมการเอกพนธเชงเสน

an(x)dny

dxn+ an−1(x)

dn−1y

dxn−1+ · · ·+ a1(x)

dy

dx+ a0(x)y = 0, (4.7)

เมอฟงกชน a0(x), . . . , an(x) และฟงกชน b(x) เปนฟงกชนตอเนองบนชวง I ทพจารณาโดยทan(x) 6= 0 สำหรบทก ๆ x ∈ I , แลว

y(x) = c1y1(x) + c2y2(x) + · · ·+ cmym(x),

4.2. ทฤษฎทเกยวของกบสมการเอกพนธ 139

เมอ c1, c2, . . . , cm เปนคาคงตวใด ๆ, กยงคงเปนผลเฉลยของสมการเอกพนธเชงเสน (4.7)พจารณาปญหาคาตงตนของสมการเอกพนธ

an(x)dny

dxn+ an−1(x)

dn−1y

dxn−1+ · · ·+ a1(x)

dy

dx+ a0(x)y = 0, (4.8)

y(x0) = γ0, y′(x0) = γ1, . . . , y(n−1)(x0) = γn−1 (4.9)

ถา y(x) = c1y1(x) + c2y2(x) + · · · + cmym(x) เปนผลเฉลยของสมการ (4.8) และเปนไปตามเงอนไขคาตงตน (4.9) ดงนนเราไดวา

y(x0) = c1y1(x0) + c2y2(x0) + · · ·+ cmym(x0) = γ0

y′(x0) = c1y1(x0) + c2y′2(x0) + · · ·+ cmy′m(x0) = γ1

...y(n−1)(x0) = c1y

(n−1)1 (x0) + c2y

(n−1)2 (x0) + · · ·+ cmy(n−1)

m (x0) = γn−1

หรอเขยนไดในรปเมทรกซไดเปน

y1(x0) y2(x0) · · · ym(x0)

y′1(x0) y′2(x0) · · · y′m(x0)... ... . . . ...

y(n−1)1 (x0) y

(n−1)2 (x0) · · · y

(n−1)m (x0)

c1

c2

...

...cm

=

γ0

γ1

...γn−1

(4.10)

โดยทฤษฎบทในวชาพชคณตเชงเสน ระบบสมการ (4.10) จะตองสมมลกบระบบสมการ

y1(x0) y2(x0) · · · yn(x0)

y′1(x0) y′2(x0) · · · y′n(x0)... ... . . . ...

y(n−1)1 (x0) y

(n−1)2 (x0) · · · y

(n−1)n (x0)

c1

c2

...cn

=

γ0

γ1

...γn−1

, (4.11)

เมอ y1(x), y2(x), . . . , yn(x) ตางเปนผลรวมเชงเสนของ y1(x), y2(x), . . . , ym(x)

และทฤษฎบทการมอยจรงเพยงหนงเดยวของผลเฉลยของปญหาคาตงตน ทำใหไดวาระบบสมการ (4.11) มผลเฉลย และมผลเฉลยเพยงหนงเดยวและระบบสมการ (4.11) จะมผลเฉลยเพยง


หนงเดยวกตอเมอเมทรกซ

y1(x0) y2(x0) · · · yn(x0)

y′1(x0) y′2(x0) · · · y′n(x0)... ... . . . ...

y(n−1)1 (x0) y

(n−1)2 (x0) · · · y

(n−1)n (x0)

(4.12)

ตองมคาลำดบชน2 (rank) เทากบnนนหมายถง เวกเตอรตอไปนมความเปนอสระเชงเสนซงกนและกน

y1(x0)

y′1(x0)...

y(n−1)1 (x0)

,

y2(x0)

y′2(x0)...

y(n−1)2 (x0)

, · · · ,

yn(x0)

y′n(x0)...

y(n−1)n (x0)

(4.13)

และเมอลำดบชนของเมทรกซมคาเทากบจำนวนแถวและสดมภ จะไดวาดเทอรมแนนต (de-terminant) ของเมทรกซ (4.12) ตองไมมคาเปนศนย

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

y1(x0) y2(x0) · · · yn(x0)

y′1(x0) y′2(x0) · · · y′n(x0)... ... . . . ...

y(n−1)1 (x0) y

(n−1)2 (x0) · · · y

(n−1)n (x0)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

6= 0 (4.14)

รปแบบของดเทอรมแนนตของฟงกชนและอนพนธของฟงกชนทมลกษณะใกลเคยงกนกบดเทอรมแนนตทปรากฎใน (4.14) มชอเรยกเฉพาะดงนบทนยาม 4.3 (รอนสเกยน). ถาฟงกชน f1, . . . , fn หาอนพนธไดถงอนดบท n − 1 แลว เราเรยกฟงกชน

W [f1, . . . , fn] (x) :=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

f1(x) f2(x) · · · fn(x)

f ′1(x) f ′2(x) · · · f ′n(x)... ... . . . ...

f(n−1)1 (x) f

(n−1)2 (x) · · · f

(n−1)n (x)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

(4.15)

วารอนสเกยน (Wronskian) ของ f1, . . . , fn

2ดนยามของ “คาลำดบชน” หรอ “rank” ไดใน [5]


อาเบล3 สามารถแสดงใหเหนไดวา ถา y1(x), . . . , yn(x) เปนผลเฉลยของสมการเชงอนพนธan(x)

dny

dxn+ an−1(x)

dn−1y

dxn−1+ · · ·+ a1(x)

dy

dx+ a0(x)y = 0

บนชวง I แลว สำหรบ x0 ∈ I

W [y1, . . . , yn] (x) = W [y1, . . . , yn] (x0) exp(−

∫ x

x0

an−1(t)an(t)

dt

)(4.16)

เราเรยกสมการ (4.16) นวาสตรของอาเบล4 (Abel’s formula)สตรของอาเบลแสดงใหเหนวาถาม x0 ∈ I ซงW [y1, . . . , yn] (x0) = 0 แลวW [y1, . . . , yn] (x) = 0 ทก ๆ x ∈ I

และในทำนองกลบกนถาม x0 ∈ I ซงW [y1, . . . , yn] (x0) 6= 0 แลวW [y1, . . . , yn] (x) 6= 0 ทก ๆ x ∈ I

จากสตรของอาเบล และเงอนไข (4.14) ซงกคอW [y1, . . . , yn] (x0) 6= 0 ทำใหไดวา∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

y1(x) y2(x) · · · yn(x)

y′1(x) y′2(x) · · · y′n(x)... ... . . . ...

y(n−1)1 (x) y

(n−1)2 (x) · · · y

(n−1)n (x)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

6= 0, ∀x ∈ I (4.17)

และทำใหไดวาเวกเตอรตอไปน

y1(x)

y′1(x)...

y(n−1)1 (x)

,

y2(x)

y′2(x)...

y(n−1)2 (x)

, · · · ,

yn(x)

y′n(x)...

y(n−1)n (x)

(4.18)

มความเปนอสระเชงเสนทก ๆ x ∈ I และดวยความเปนอสระเชงเสนของเวกเตอรตาง ๆ ใน (4.18)สงผลให

y1(x), y2(x), . . . , yn(x)

3นลส เฮนรก อาเบล (Abel, Nields Henrik) เปนนกคณตศาสตรชาวนอรเวย เมออาเบลอายเพยง 19 ป เขาสามารถพสจนไดวาเราจะไมสามารถหาผลเฉลยทวไปของสมการพหนามลำดบขนทหา และสมการพหนามลำดบขนสงกวานนได งานวจยของอาเบลหลายชน เปนรากฐานสำคญในหลาย ๆ สาขาของคณตศาสตร และฟสกส

4ดการพสจนสตรของอาเบล ไดใน [5]


มความเปนอสระเชงเสนจากขอสงเกตทกลาวมา เราสามารถนำไปสรปเปนทฤษฎบทไดคอ

ทฤษฎบท 4.4. ให y1(x), . . . , yn(x) เปนฟงกชนซงนยามบนชวง I โดยท y1, . . . , yn เปนผลเฉลยของสมการเชงอนพนธสามญเอกพนธเชงเสน

an(x)dny

dxn+ an−1(x)

dn−1y

dxn−1+ · · ·+ a1(x)

dy

dx+ a0(x)y = 0 (4.19)

ถามจด x0 ซง x0 ∈ I และW [y1, . . . , yn] (x0) 6= 0, (4.20)

แลว ทก ๆ ผลเฉลยของสมการ (4.19) ซงนยามบนชวง I สามารถถกเขยนไดในรปy(x) = c1y1(x) + · · ·+ cnyn(x), (4.21)

เมอ c1, . . . , cn เปนคาคงตวใด ๆเราเรยกเซต {y1, . . . , yn} ซงเปนไปตามเงอนไข (4.20) สำหรบบางจด x0 ∈ I วาเซตของผล

เฉลยมลฐาน (fundamental solution set) ของสมการ (4.19) บนชวง Iและเรยกผลรวมเชงเสนของผลเฉลย y1, . . . , yn,

y(x) = c1y1(x) + c2y2(x) + · · ·+ cnyn(x),

เมอ c1, . . . , cn เปนคาคงตวใด ๆ, วาผลเฉลยทวไป (general solution) ของสมการ 4.19ตวอยาง 4.3. ถา y1(x) = x, y2(x) = x2 และ y3(x) = x−1 เปนผลเฉลยของสมการ

x3y′′′ + x2y′′ − 2xy′ + 2y = 0, x > 0 (4.22)จงหาผลเฉลยทวไปของสมการ (4.22)วธทำ เนองจาก y1, y2 และ y3 เปนผลเฉลยของสมการ (4.22) (ผอานอาจจะลองตรวจสอบซำดวยการแทนคาลงในสมการอกครง) โดยทฤษฎบท 4.4 เราจะพจารณาคารอนสเกยน

W [y1, y2, y3] (x) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

y1(x) y2(x) y3(x)

y′1(x) y′2(x) y′3(x)

y′′′1 (x) y′′′2 (x) y′′′3 (x)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x x2 x−1

1 2x −x−2

0 2 2x−3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=6x


พบวาW [y1, y2, y3] (x) 6= 0 ทก ๆ x > 0 ดงนนเซต{x, x2, x−1

}

เปนเซตของผลเฉลยมลฐานของสมการ (4.22) และy(x) = c1x + c2x

2 + c3x−1, x > 0,

เมอ c1, c2, c3 เปนคาคงตวใด ๆ, เปนผลเฉลยทวไปของสมการ (4.22)และจากการสงเกตทงหมด ทำใหเราสามารถสรปเปนทฤษฎเพมเตมไดอกคอ

ทฤษฎบท 4.5. ถา y1, . . . , yn เปนผลเฉลย n ผลเฉลยทนยามบนชวง I ของสมการan(x)

dny

dxn+ an−1(x)

dn−1y

dxn−1+ · · ·+ a1(x)

dy

dx+ a0(x)y = 0 (4.23)

แลว ขอความตอไปนสมมลกน1. {y1, . . . , yn} เปนเซตของผลเฉลยมลฐานของ (4.23)2. y1, . . . , yn เปนอสระเชงเสน3. รอนสเกยนW [y1, . . . , yn] (x) 6= 0 ทก ๆ คา x ∈ I


แบบฝกหด1. พจารณาสมการตอไปน แลวหาชวง I ซงทฤษฎบทการมอยจรงเพยงหนงเดยวของผลเฉลย4.1 ยนยนวาจะมผลเฉลยอยจรง(a) y(4) + 4y′′′ + 4y = x

(b) x(x− 1)y(4) + exy′′′ + 4x2y = 0

(c) (x− 1)y(4) +(x+1)y′′+(tanx)y = 0

(d) xy′′′ + (sinx)y′′ + 3y = cosx

(e) y′′′ + xy′ + x2y′ + x3y = lnx

(f) (x2 − 4)y(4) + x2y′′′ + 9y = 0

2. จงแสดงวาฟงกชนในแตละขอตอไปน มความเปนอสระเชงเสนหรอไม ถาไมเปน จงหาคาคงตวทไมเปนศนยทงหมด ซงทำใหผลรวมเชงเสนของฟงกชนดงกลาวเทากบศนย(a) f1(x) = x + x2, f2(x) = x− x2

(b) f1(x) = x + x2, f2(x) = x− x2, f3(x) = x2

(c) f1(x) = 2x− 3, f2(x) = x2 + 1, f3(x) = 2x2 − x

(d) f1(x) = 2x− 3, f2(x) = x2 + 1, f3(x) = 2x2 − 1

(e) f1(x) = 2x− 3, f2(x) = 2x2 + 1, f3(x) = 3x2 + x

(f) f1(x) = 2x− 3, f2(x) = x2 + 1, f3(x) = 2x2 − x, f4(x) = x2 + x + 1

(g) f1(x) = 2x− 3, f2(x) = x3 + 1, f3(x) = 2x2 − x, f4(x) = x2 + x + 1

3. จงหาตรวจสอบวาฟงกชนทให เปนผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ และหารอนสเกยนของผลเฉลยเหลานน(a) y′′′ + y′ = 0, y1 = 1, y2 = cosx, y3 = sin x

(b) y(4) + y′′ = 0, y1 = 1, y2 = x, y3 = cosx, y4 = sin x

(c) y′′′ + 2y′′ − y′ − 2y = 0, y1 = ex, y2 = e−x, y3 = e−2x

(d) y(4) + 2y′′′ + y′′ = 0, y1 = 1, y2 = x, y3 = e−x, y4 = xe−x

(e) xy′′′ − y′′ = 0, y1 = 1, y2 = x, y3 = x3

(f) x3y′′′ + x2y′′ − 2xy′ + 2y = 0, y1 = x, y2 = x2, y3 = 1/x


4.3 สมการเอกพนธเชงเสนทมสมประสทธเปนคาคงตวในหวขอน จะแสดงการหาผลเฉลยของสมการเอกพนธเชงเสนอนดบท n ทมสมประสทธ

เปนคาคงตวany(n) + an−1y

(n−1) + · · ·+ a1y′ + a0y = 0, (4.24)

เมอ a0, a1, . . . , an เปนคาคงตวซงเปนจำนวนจรงใด ๆ และ an 6= 0

ในการหาผลเฉลยของสมการ (4.24) เราจะขยายแนวความคดจากการหาผลเฉลยของสมการเอกพนธเชงเสนอนดบทสองทมสมประสทธเปนคาคงตวในหวขอ 3.6 (หนา 83) ดงนสมมตใหผลเฉลยของสมการ (4.24) อยในรป

y = ceλx,

เมอ λ เปนคาคงตว และ c เปนคาคงตวใด ๆ, เมอแทนคา y และอนพนธ y′, y′′, . . . , y(n) ลงในสมการ (4.24) จะไดวา

an

(cλneλx

)+ an−1

(cλn−1eλx

)+ · · ·+ a1

(cλeλx

)+ a0

(ceλx

)

=(anλn + an−1λ

n−1 + · · ·+ a1λ + a0

) (ceλx

)

= 0

นนคอ y = ceλx เปนผลเฉลยของสมการ (4.24) กตอเมอ

anλn + an−1λn−1 + · · ·+ a1λ + a0 = 0 (4.25)

เราเรยกสมการ (4.25) นวาสมการแคแรกเทอรสตก (characteristic equation) หรอสมการชวย(auxiliary equation) ของสมการ (4.24) โดยทฤษฎบทมลฐานของพชคณต5 สามารถเขยนสมการ(4.25) ไดในรป

an(λ− λ1)(λ− λ2) · · · (λ− λn) = 0

จำนวน n ตวประกอบ, เมอ λ1, . . . , λn เปนจำนวนเชงซอน(โดยอาจจะมบางคาซำกนกได) ซงเปนผลเฉลยสมการ (4.25)

5ดทฤษฎบทมลฐานของพชคณตหนา 63


4.3.1 กรณรากของสมการแคแรกเทอรสตกเปนจำนวนจรงใด ๆ ทแตกตางกนถารากของสมการแคแรกเทอรสตก (4.25) ของสมการ (4.24) เปนจำนวนจรงใด ๆ ทแตกตาง

กน λ1, . . . , λn สมการ (4.24) มผลเฉลยจำนวน n ผลเฉลยทเปนอสระเชงเสน คอeλ1x, eλ2x, . . . , eλnx

และมผลเฉลยทวไปคอy(x) = c1e

λ1x + c2eλ2x + · · ·+ cneλnx, (4.26)

เมอ c1, . . . , cn เปนคาคงตวใด ๆตวอยาง 4.4. จงหาผลเฉลยทวไปของสมการ

y(4) + y′′′ − 7y′′ − y′ + 6y = 0 (4.27)วธทำ สมการ (4.27) มสมการแคแรกเทอรสตกคอ

λ4 + λ3 − 7λ2 − λ + 6 = 0

ซงมรากของสมการคอ λ1 = 1, λ2 = −1, λ3 = 2 และ λ4 = −3 ดงนนสมการ (4.27) มผลเฉลยทวไปคอ

y(x) = c1ex + c2e

−x + c3e2x + c4e

−3x,

เมอ c1, c2, c3 และ c4 เปนคาคงตวใด ๆตวอยาง 4.5. จงหาผลเฉลยทวไปของปญหาคาตงตน

y′′′ − 5y′′ + 6y′ = 0, (4.28)y(0) = 6, y′(0) = 7, y′′(0) = 17 (4.29)

วธทำ สมการ (4.28) มสมการแคแรกเทอรสตกคอλ3 − 5λ2 + 6λ = λ(λ− 2)(λ− 3) = 0

ซงมรากของสมการคอ λ1 = 0, λ2 = 2 และ λ3 = 3 ดงนนผลเฉลยทวไปของสมการ คอy(x) = c1e

0x + c2e2x + c3e

3x = c1 + c2e2x + c3e

3x


เมอ c1, c2 และ c3 เปนคาคงตวใด ๆและโดยเงอนไข (4.29) ทำใหไดวาy(0) = 6 : c1 + c2 + c3 = 6,

y′(0) = 7 : 2c2 + 3c3 = 7,

y′′(0) = 17 : 4c2 + 9c3 = 17

(4.30)

ผลเฉลยของระบบสมการ (4.29) คอc1 = 3, c2 = 2, c3 = 1

ดงนนผลเฉลยของปญหาคาตงตนคอy(x) = 3 + 2e2x + e3x

4.3.2 กรณรากของสมการแคแรกเทอรสตกเปนจำนวนเชงซอนทแตกตางกนในการหารากของสมการแคแรกเทอรสตก

anλn + an−1λn−1 + · · ·+ a1λ + a0 = 0

ถารากของสมการเปนจำนวนเชงซอนทงหมด จำนวนรากของสมการจะตองเกดเปนจำนวนค6 ซงอยในรปของคสงยค rj ± isj , j = 1, . . . , n/2, เมอrj และ sj เปนจำนวนจรง และ i =

√−1

สมการ (4.24) มผลเฉลยจำนวน n ผลเฉลยทเปนอสระเชงเสน คอe(r1+is1)x, e(r1−is1)x, . . . , e(rn/2+isn/2)x, e(rn/2−isn/2)x

เนองดวยเอกลกษณ eix = cos x + i sinx ในการหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ เราจงมกพจารณาผลเฉลย n เฉลย ซงเปนฟงกชนของจำนวนจรงทสมมลกบผลเฉลยขางตน ไดแก

er1x cos(s1x), er1x sin(s1x), . . . , ern/2x cos(sn/2x), ern/2x sin(sn/2x)

ดงนนผลเฉลยทวไปของ สมการ (4.24) อยในรปy(x) = er1x (c1 cos(s1x) + c2 sin(s1x)) + er2x (c3 cos(s2x) + c4 sin(s2x))

+ · · ·+ ern/2x(cn−1 cos(sn/2x) + cn sin(sn/2x)

),

เมอ c1, . . . , cn เปนจำนวนจรงใด ๆ6สงเกตไดวา n ตองเปนจำนวนคเทานน



y(6) + 14y(4) + 49y′′ + 36y = 0 (4.31)

วธทำ สมการแคแรกเทอรสตกของสมการ (4.31) คอ

λ6 + 14λ4 + 49λ2 + 36 = (λ2 + 9)(λ2 + 4)(λ2 + 1) = 0

สมการแคแรกเทอรสตกมผลเฉลยคอ λ = ±i, ±2i, ±3i

ดงนนสมการ (4.31) มผลเฉลยทวไปคอ

y(x) = e0 (c1 cosx + c2 sinx) + e0 (c3 cos 2x + c4 sin 2x) + e0 (c5 cos 3x + c6 sin 3x)

= c1 cosx + c2 sinx + c3 cos 2x + c4 sin 2x + c5 cos 3x + c6 sin 3x

ตวอยาง 4.7. จงหาผลเฉลยของปญหาคาตงตน

y(4) + y′′ + y = 0 (4.32)y(0) = 1, y′(0) = 1, y′′(0) = 0, y′′′(0) = 1 (4.33)

วธทำ สมการแคแรกเทอรสตกของสมการ (4.32) คอ

λ4 + λ2 + 1 = (λ2 + λ + 1)(λ2 − λ + 1) = 0

เราหา λ ซงทำให λ2 + λ + 1 = 0 ไดคอ

λ =−1±√12 − 4 · 1 · 1

2 · 1=

−1±√−32

=−1± i

√3

2

= −12±√

32

i

และในทำนองเดยวกน รากของสมการ λ2 − λ + 1 = 0 คอ λ =12±√

32

i

ดงนนสมการแคแรกเทอรสตกมผลเฉลยคอ λ = −12±√

32

i,12±√

32

i

ดงนนสมการ (4.32) มผลเฉลยทวไปคอ

y(x) = ex2

(c1 cos

√3

2x + c2 sin

√3

2x

)+ e−

x2

(c3 cos

√3

2x + c4 sin

√3

2x

)


และโดยเงอนไขตงตน (4.33) ทำใหไดy(0) = 1 : c1 + c3 = 1

y′(0) = 1 :c1

2+ c2 − c3

2+ c4 = 1

y′′(0) = 0 : −34c1 + c2 − 3

4c3 − c4 = 0

y′′′(0) = 1 : −118

c1 − c2

4+

118

c3 − c4

4= 1

(4.34)

เมอหาผลเฉลยของระบบสมการ (4.34) ทำใหไดc1 = 0, c2 =

98, c3 = 1, c4 =

38

ดงนนผลเฉลยของปญหาคาตงตนคอy(x) =

98e

x2 sin

√3

2x + e−

x2

(cos

√3

2x +

38

sin√

32

x

)

4.3.3 กรณสมการแคแรกเทอรสตกมรากซำจากเนอหาในหวขอ 3.6.2 ซงสมการแคแรกเทอรสตกของสมการเชงอนพนธอนดบทสอง

ay′′ + by′ + cy = 0 (4.35)มรากซงเปนจำนวนจรงทเหมอนกน, λ = − b

2a, สมการ (4.35) มผลเฉลยทเปนอสระเชงเสนไดแก

eλx และ xeλx

ดวยการพสจนโดยอปนยเชงคณตศาสตร7 เราสามารถแสดงใหเหนไดวา• ถาสมการเชงอนพนธเชงเสนซงมสมประสทธเปนคาคงตว มสมการแคแรกเทอรสตก ซงสามารถเขยนไดในรป

an(λ− λ∗)n = 0

สมการเชงอนพนธนน จะมผลเฉลย n ผลเฉลยทเปนอสระเชงเสนคอeλ∗x, xeλ∗x, . . . , xn−1eλ∗x

และมผลเฉลยทวไปคอy(x) = c1e

λ∗x + c2xeλ∗x + · · ·+ cnxn−1eλ∗x,

เมอ c1, . . . , cn เปนจำนวนจรงใด ๆ7ดการพสจนไดใน [14, 18]


• และถาสมการเชงอนพนธเชงเสนซงมสมประสทธเปนคาคงตว มสมการแคแรกเทอรสตกซงมรากคอ

λ = r + is และλ = r − is

จำนวนทงหมด n ราก (สมการแคแรกเทอรสอยในรป an

[λ2 − 2rλ + (r2 + s2)

]n = 0)สมการเชงอนพนธนน จะมผลเฉลย n ผลเฉลยทเปนอสระเชงเสนคอerx cos sx, erx sin sx, xerx cos sx, xerx sin sx, . . . , x

n2−1erx cos sx, x

n2−1erx sin sx,

และมผลเฉลยทวไปคอy(x) = erx (c1 cos sx + c2 sin sx) + erx (c3x cos sx + c4x sin sx)

+ · · ·+ erx(cn−1x

n2−1 cos sx + cnx

n2−1 sin sx

)

= erx([

c1 + c3x + ... + cn−1xn2−1

]cos sx +

[c2 + c4x + ... + cnx

n2−1

]sin sx

)

ตวอยาง 4.8. จงหาผลเฉลยทวไปของสมการy(8) + 8y(7) + 28y(6) + 56y(5) + 70y(4) + 56y′′′ + 28y′′ + 8y′ + y = 0 (4.36)

วธทำ สมการ (4.36) มสมการแคแรกเทอรสตก คอλ8 + 8λ7 + 28λ6 + 56λ5 + 70λ4 + 56λ3 + 28λ2 + 8λ + 1 = (λ + 1)8 = 0

สมการนมราก คอ λ = −1 ซำกน 8 ราก ดงนนสมการ (4.36) มผลเฉลยทวไปคอy(x) = c1e

−x + c2xe−x + c3x2e−x + c4x

3e−x + c5x4e−x + c6x

5e−x + c7x6e−x + c8x

7e−x,

เมอ c1, . . . , c8 เปนจำนวนจรงใด ๆตวอยาง 4.9. จงหาผลเฉลยทวไปของสมการ

y(6) − 6y(5) + 18y(4) − 32y′′′ + 36y′′ − 24y′ + 8y = 0 (4.37)

วธทำ สมการ (4.37) มสมการแคแรกเทอรสตก คอλ6 − 6λ5 + 18λ4 − 32λ3 + 36λ2 − 24λ6 + 8 = (λ2 − 2λ + 2)3 = 0


สมการนมราก คอ 1 + i และ 1− i ซำกนอยางละ 3 ราก ดงนนสมการ (4.37) มผลเฉลยทเปนอสระเชงเสน 6 ผลเฉลย ไดแก

ex cosx, ex sinx, xex cosx, xex sinx, x2ex cosx, x2ex sinx

และมผลเฉลยทวไปคอ

y(x) = ex[(c1 + c2x + c3x

2) cos x + (c4 + c5x + c6x2) sin x

]

เมอ c1, . . . , c6 เปนจำนวนจรงใด ๆ

4.3.4 กรณสมการแคแรกเทอรสตกมรากประกอบดวยเปนจำนวนจรง จำนวนเชงซอนและรากซำ

กรณน เปนกรณทวไปของทงสามกรณทไดกลาวมาแลว ซงเราสามารถนำวธหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธของกรณทง มาประยกตใชไดคอถาสมการแคแรกเทอรสตกมรากไดแก

• λ1, . . . , λn1 ซงเปนจำนวนจรงทแตกตางกน

• r1 ± s1i, . . . , rn2 ± sn2i เปนจำนวนเชงซอนซงแตกตางกนทงหมด

• γ1 เปนจำนวนจรงซงมรากซำกนเปนจำนวน δ1 ราก, γ2 เปนจำนวนจรงซงมรากซำกนเปนจำนวน δ2 ราก, . . . , γn3 เปนจำนวนจรงซงมรากซำกนเปนจำนวน δn3 ราก

• และ c1 ± d1i, . . . , cn4 ± dn4i เปนจำนวนเชงซอนซงเปนรากซำกนจำนวน ∆1, . . . ,∆n4

ตามลำดบ

สมการเชงอนพนธ จะมผลเฉลยทเปนอสระเชงเสน คอ

• eλ1x, eλ2x, . . . , eλn1x,

• er1 cos s1x, er1 sin s2x, er2 cos s2x, er2 sin s2x, . . . , ern2 cos sn2x, ern2 sin sn2x,

• eγ1x, xeγ1x, . . . , xδ1−1eγ1x, eγ2x, xeγ2x, . . . , eγn3x, xeγn3x, . . . , xδn3−1eγn3x,


• ec1x cos d1x, xec1x cos d1x, . . . , x∆1−1ec1x cos d1x, ec1x sin d1x, xec1x sin d1x, . . . ,

x∆1−1ec1x sin d1x,. . . ,ecn4x cos d1x,xecn4x cos d1x,. . . ,x∆1−1ecn4x cos d1x,ecn4x sin d1x,

xecn4x sin d1x, . . . , x∆1−1ecn4x sin d1x,

และมผลเฉลยทวไปคอ ผลรวมเชงเสนของผลเฉลยดงกลาวตวอยาง 4.10. จงหาผลเฉลยทวไปของสมการ

y(5) − y(4) − y′ + y = 0 (4.38)วธทำ สมการ (4.38) มสมการแคแรกเทอรสตกคอ

λ5 − λ4 − λ + 1 = (λ + 1)(λ− 1)2(λ2 + 1) = 0

ซงมรากของสมการคอ λ = −1, 1 (รากซำ 2 ราก), ±i

ดงนนผลเฉลยทเปนอสระเชงเสนของสมการ (4.38) คอe−x, ex, xex, cosx และ sinx

และไดวาผลเฉลยทวไปของสมการ คอy(x) = c1e

−x + c2ex + c3xex + c4 cosx + c5 sinx,

เมอ c1, . . . , c5 เปนจำนวนจรงใด ๆตวอยาง 4.11. จงหาผลเฉลยทวไปของสมการ

y(8) − 32y(4) + 256y = 0 (4.39)วธทำ สมการ (4.39) มสมการแคแรกเทอรสตกคอ

λ8 − 32λ4 + 256 = (λ2 − 4)2(λ2 + 4)2 = (λ− 2)2(λ + 2)2(λ2 + 4)2 = 0

ซงมรากของสมการคอ λ = −2, 2, −2i, 2i ปรากฏซำกน รากละ 2 ครงดงนนผลเฉลยทเปนอสระเชงเสนของสมการ (4.39) คอ

e−2x, xe−2x, e2x, xe2x, cos 2x, x cos 2x, sin 2x และ x sin 2x

และไดวาผลเฉลยทวไปของสมการ คอy(x) = (c1 + c2x)e−2x + (c3 + c4x)e2x + (c5 + c6x) cos x + (c7 + c8x) sinx,

เมอ c1, . . . , c8 เปนจำนวนจรงใด ๆ


แบบฝกหด1. จงหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธตอไปน

(a) y′′′ − y′′ − y′ + y = 0

(b) 2y′′′ − 4y′′ − 2y′ + 4y = 0

(c) y(4) − 4y′′′ + 4y′′ = 0

(d) y(4) + y = 0

(e) y(6) − 3y(4) + 3y′′ − y = 0

(f) y(4) − 8y′ = 0

(g) y′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = 0

(h) y(4) + 2y′′ + y = 0

(i) y(4) − 5y′′ + 4y = 0

(j) y(4) − y = 0

(k) y(4) − y′′ = 0

(l) 18y′′′ + 21y′′ + 14y′ + 4y = 0

2. จงหาผลเฉลยของปญหาคาตงตนตอไปน(a) y′′′ + y′ = 0, y(0) = 0, y′(0) = 1, y′′(0) = 2

(b) y(4) + y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 0, y′′(0) = −1, y′′′(0) = 0

(c) y(4) − 4y′′′ + 4y′′ = 0, y(1) = −1, y′(1) = 2, y′′(1) = 0, y′′′(1) = 0

(d) y′′′ − y′′ + y′ − y = 0, y(0) = 2, y′(0) = −1, y′′(0) = −2

(e) 4y′′′ + y′ + 5y = 0, y(0) = 2, y′(0) = 1, y′′(0) = −1

(f) 6y′′′ + 5y′′ + y′ = 0, y(0) = −2, y′(0) = 2, y′′(0) = 0

(g) 2y(4) − y′′′ + 9y′′ + 4y′ + 4y = 0,y(1) = −2, y′(0) = 0, y′′(0) = −2, y′′′(0) = 0


4.4 สมการไมเอกพนธ4.4.1 ทฤษฎทเกยวของกบสมการไมเอกพนธพจารณาสมการไมเอกพนธเชงเสน

an(x)dny

dxn+ an−1(x)

dn−1y

dxn−1+ · · ·+ a1(x)

dy

dx+ a0(x)y = b(x) (4.40)

ถา yp(x) และ yp2(x) เปนผลเฉลยของสมการไมเอกพนธ (4.40) นนคอan(x)

dnyp

dxn+ an−1(x)

dn−1yp

dxn−1+ · · ·+ a1(x)

dyp

dx+ a0(x)yp = b(x)

และan(x)

dnyp2

dxn+ an−1(x)

dn−1yp2

dxn−1+ · · ·+ a1(x)

dyp2

dx+ a0(x)yp2 = b(x)

ใหy(x) = yp2(x)− yp(x)

พบวาan(x)

dn

dxny + · · ·+ a1(x)

d

dxy + a0(x)y

= an(x)dn

dxn(yp2 − yp) + · · ·+ a1(x)

d

dx(yp2 − yp) + a0(x)(yp2 − yp)

=(

an(x)dnyp2

dxn+ an−1(x)

dn−1yp2

dxn−1+ · · ·+ a1(x)

dyp2

dx+ a0(x)yp2

)

−(

an(x)dnyp

dxn+ an−1(x)

dn−1yp

dxn−1+ · · ·+ a1(x)

dyp

dx+ a0(x)yp

)

= b(x)− b(x) = 0

นนคอ y = yp2 − yp เปนผลเฉลยทวไปของสมการเอกพนธan(x)

dny

dxn+ an−1(x)

dn−1y

dxn−1+ · · ·+ a1(x)

dy

dx+ a0(x)y = 0 (4.41)

โดยทฤษฎบท 4.4 ทำใหไดyp2(x)− yp(x) = c1y1(x) + · · ·+ cnyn(x)

เมอ y1, . . . , yn เปนผลเฉลยซงเปนอสระเชงเสนของสมการเอกพนธ (4.41) และ c1, . . . , cn เปนคาคงตวใด ๆ


ดงนนถาเราพบผลเฉลยเฉพาะ yp(x) ผลเฉลยหนง ของสมการไมเอกพนธ (4.40) ผลเฉลยทวไปของสมการไมเอกพนธ (4.40) จะอยในรป

y(x) = yh(x) + yp(x),

เมอ yh(x) = c1y1(x) + · · ·+ cnyn(x) เปนผลเฉลยทวไปของสมการเอกพนธ (4.41)และเรยกสมการ (4.41) วาสมการเอกพนธทเกยวของกบสมการไมเอกพนธ (4.40)

ขนตอนวธการหาผลเฉลยทวไปของสมการไมเอกพนธ1. หาผลเฉลยทวไป yh ของสมการเอกพนธทเกยวของ2. หาผลเฉลยเฉพาะ yp ผลเฉลยหนงของสมการไมเอกพนธ3. ผลเฉลยทวไปของสมการไมเอกพนธคอ

y = yh + yp

ตวอยาง 4.12. จงหาผลเฉลยทวไปของสมการy(4) + 4y = 4x (4.42)

วธทำ สมการเอกพนธทเกยวของกบสมการ (4.42) คอy(4) + 4y = 0 (4.43)

ซงมสมการแคแรกเทอรสตก คอλ4 + 4 = 0

สมการแคแรกเทอรสตกมผลเฉลยคอ λ = 1 ± i,−1 ± i ดงนนสมการเอกพนธ (4.43) มผลเฉลยคอ

yh(x) = ex (c1 cosx + c2 sinx) + e−x (c3 cosx + c4 sinx)

และพบวา yp = x เปนผลเฉลยเฉพาะผลเฉลยหนงของสมการไมเอกพนธ (4.42) ดงนน ผลเฉลยทวไปของสมการคอ

y(x) = yh + yp = ex (c1 cosx + c2 sinx) + e−x (c3 cosx + c4 sinx) + x


เรามอกทฤษฎบทหนงทสามารถนำมาชวยหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธไมเอกพนธไดนนคอทฤษฎบท 4.6 (หลกการซอนทบของผลเฉลย (superposition principle)). ถา yp1 เปนผลเฉลยของสมการเชงอนพนธไมเอกพนธ

an(x)dny

dxn+ an−1(x)

dn−1y

dxn−1+ · · ·+ a1(x)

dy

dx+ a0(x)y = b1(x) (4.44)

และ yp2 เปนผลเฉลยของสมการเชงอนพนธไมเอกพนธan(x)

dny

dxn+ an−1(x)

dn−1y

dxn−1+ · · ·+ a1(x)

dy

dx+ a0(x)y = b2(x) (4.45)

แลว c1yp1 + c2yp2 เปนผลเฉลยของสมการan(x)

dny

dxn+ an−1(x)

dn−1y

dxn−1+ · · ·+ a1(x)

dy

dx+ a0(x)y = c1b1(x) + c2b2(x), (4.46)

เมอ c1 และ c2 เปนคาคงตวพสจน เนองจาก yp1 และ yp2 เปนผลเฉลยของสมการ (4.44) และ (4.45) ตามลำดบดงนน

an(x)dn

dxn[c1yp1 + c2yp2 ] + · · ·+ a0(x) [c1yp1 + c2yp2 ]

= c1an(x)dnyp1

dxn+ c2an(x)

dnyp2

dxn+ · · ·+ c1a0(x)yp1 + c2a0(x)yp2

= c1

[an(x)

dnyp1

dxn+ · · ·+ a0(x)yp1

]+ c2

[an(x)

dnyp2

dxn+ · · ·+ a0(x)yp2

]

= c1b1(x) + c2b2(x)

นแสดงใหเหนวา c1yp1 + c2yp2 เปนผลเฉลยของสมการan(x)

dny

dxn+ an−1(x)

dn−1y

dxn−1+ · · ·+ a1(x)

dy

dx+ a0(x)y = c1b1(x) + c2b2(x),

สำหรบแตละคาคงตว c1 และ c2 2


ตวอยาง 4.13. จงหาผลเฉลยทวไปของสมการy(4) + 4y = 4x + 5 sinx (4.47)

วธทำ จากตวอยาง (4.13) เราทราบแลววา ผลเฉลยเฉพาะผลเฉลยหนงของสมการy(4) + 4y = 4x

คอ yp1 = x เมอพจารณาสมการy(4) + 4y = sin x (4.48)

พบวา yp2 =sinx

5เปนผลเฉลยเฉพาะผลเฉลยหนงของสมการ (4.48) ดงนน โดยหลกการซอนทบ

ของผลเฉลยทำใหไดวาyp = yp1 + 5yp2 = x + 5

sinx

5= x + sin x

เปนผลเฉลยของสมการy(4) + 4y = x + 5 sinx

เนองจากทราบแลววาผลเฉลยทวไปของสมการเอกพนธทเกยวของกบสมการ (4.47) หรอy(4) + 4y = 0

คอ yh(x) = ex (c1 cosx + c2 sinx) + e−x (c3 cosx + c4 sinx) ดงนนผลเฉลยทวไปของสมการ(4.47) คอ

y = ex (c1 cosx + c2 sinx) + e−x (c3 cosx + c4 sinx) + x + sinx


แบบฝกหด1. จงหาผลเฉลยทวไปของสมการไมเอกพนธตอไปน เมอกำหนดผลเฉลยเฉพาะ yp มาให และหาผลเฉลยของปญหาคาตงตนตามเงอนไขตงตนทกำหนด(a) y′′′ + y′′ + 3y′ − 5y = 2 + 6x− 5x2 ;

yp = x2 ; y(0) = −1, y′(0) = 1, y′′(0) = −3

(b) y(4) + 4y = 5 cos x ;

yp = cosx ; y(0) = 2, y′(0) = 1, y′′(0) = −1, y′′′(0) = −2

(c) y′′′ − 2y′′ − y′ + 2y = e4x ;

yp =e4x

30; y(0) = 0, y′(0) = 0, y′′(0) = 0

(d) y′′′ − y′′ + y′ − y = e−x sinx ;

yp = −e−x cosx

5; y(0) = 1, y′(0) = 1, y′′(0) = 0

(e) y′′′ + y′ = secx ;

yp = ln (secx + tanx)− x cosx + (sinx) ln(cosx) ;

y(0) = 2, y′(0) = 1, y′′(0) = −2

(f) xy′′′ − y′′ = −2 ;

yp = x2 ; y(1) = 2, y′(1) = −1, y′′(1) = −4

เซตของผลเฉลยมลฐานของสมการเอกพนธทเกยวของคอ {1, x, x3}

(g) x3y′′′ + xy′ − y = 3− lnx ;

yp = lnx ; y(1) = 3, y′(1) = 3, y′′(1) = 0

เซตของผลเฉลยมลฐานของสมการเอกพนธทเกยวของคอ {x, x lnx, x (lnx)2}


ทฤษฎทไดกลาวมา แสดงใหเหนวา ถาเราสามารถหาผลเฉลยเฉพาะผลเฉลยหนง ของสมการไมเอกพนธได เรากจะสามารถหาผลเฉลยทวไปของสมการไมเอกพนธไดสำหรบวธหาผลเฉลยเฉพาะของสมการไมเอกพนธอนดบสงทจะกลาวตอน จะเปนการขยาย

แนวความคด ของวธการหาผลเฉลยเฉพาะของสมการไมเอกพนธอนดบทสอง นนกคอ ระเบยบวธเทยบสมประสทธ และ การแปรผนของตวแปรเสรม

4.4.2 ระเบยบวธเทยบสมประสทธพจารณาสมการ

any(n) + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y

′ + a0y = r(x) (4.49)

ระเบยบวธเทยบสมประสทธสำหรบสมการเชงอนพนธอนดบสงจะมรปแบบเดยวกนกบระเบยบวธเทยบสมประสทธสำหรบสมการเชงอนพนธอนดบทสอง(หวขอ 3.8.1 หนา 101) นนคอ• ระเบยบวธนใชไดเฉพาะกรณเปนสมการเชงเสนไมเอกพนธทมสมประสทธเปนคาคงตวเทานน(an, . . . , a0 เปนคาคงตวทงหมด)• r(x) ตองเปนไปตามตาราง 4.1 เทานน

ขนตอนวธการหาผลเฉลยเฉพาะ yp สำหรบสมการเชงอนพนธอนดบสงโดยระเบยบวธเทยบสมประสทธ

1. ตรวจสอบวา r(x) เปนหนงในรปแบบฟงกชนทปรากฏทางซายของตาราง 4.1 หรอไม? ถาใช จะดำเนนการหาผลเฉลยตอถาไมใชแต r(x) อยในรป r1(x) + · · · + rm(x) โดยท r1(x), . . . , rm(x) อยในรปแบบฟงกชนทปรากฏทางซายของตาราง 4.1 ใหแยกหาผลเฉลยเฉพาะ

yp1 จากสมการ any(n) + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y

′ + a0y = r1(x),

yp2 จากสมการ any(n) + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y

′ + a0y = r2(x),

...ypm จากสมการ any(n) + an−1y

(n−1) + · · ·+ a1y′ + a0y = rm(x),


r(x) คา yp ทจะกำหนดใหเปนaeλx Aeλx

anxn + · · ·+ a1x + a0 Anxn + · · ·+ A1x + A0

(anxn + · · ·+ a1x + a0)eλx (Anxn + · · ·+ A1x + A0)eλx

a cos(ωx) A cos(ωx) + B sin(ωx)

b sin(ωx) A cos(ωx) + B sin(ωx)

a cos(ωx) + b sin(ωx) A cos(ωx) + B sin(ωx)

(anxn + · · ·+ a1x + a0) cos(ωx) An(x) cos(ωx) + Bn(x) sin(ωx)

(anxn + · · ·+ a1x + a0) sin(ωx) An(x) cos(ωx) + Bn(x) sin(ωx)

An(x) cos(ωx) + Bn(x) sin(ωx) An(x) cos(ωx) + Bn(x) sin(ωx)

a cos(ωx)eλx (A cos(ωx) + B sin(ωx)) eλx

b sin(ωx)eλx (A cos(ωx) + B sin(ωx)) eλx

[a cos(ωx) + b sin(ωx)] eλx [A cos(ωx) + B sin(ωx)] eλx

An(x) cos(ωx)eλx [An(x) cos(ωx) + Bn(x) sin(ωx)] eλx

Bn(x) sin(ωx)eλx [An(x) cos(ωx) + Bn(x) sin(ωx)] eλx

[An(x) cos(ωx) + Bn(x) sin(ωx)] eλx [An(x) cos(ωx) + Bn(x) sin(ωx)] eλx

เมอ a, b เปนคาคงตว, A, B เปนคาทจะสมมตใหเปนคาคงตวใด ๆและAn, Bn, An และ Bn เปนพหนามกำลง n โดยท

An = anxn + · · ·+ a1x + a0,

Bn = bnxn + · · ·+ b1x + b0,

An = Anxn + · · ·+ A1x + A0,

Bn = Bnxn + · · ·+ B1x + B0,

ai, bi, Ai และ Bi เปนคาคงตวเมอ i = 0, ..., n

ตารางท 4.1. ตารางระเบยบวธเทยบสมประสทธ


ทฤษฎบทหลกการซอนทบของผลเฉลย 4.6 ยนยนวา yp1 + · · ·+ ypm จะเปนผลเฉลยเฉพาะของสมการ

any(n) + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y

′ + a0y = r1(x) + · · ·+ rm(x)

2. หาผลเฉลยทวไป yh ของสมการเอกพนธทเกยวของ

any(n) + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y

′ + a0y = 0

3. พจารณา r(x) แลวเลอกผลเฉลย yp ใหอยในรปทางขวาของตาราง 4.1 แต• ถา yp ไมมพจนทมรปแบบซำกบพจนทปรากฏในผลเฉลยทวไป yh ของสมการเอกพนธ สามารถใช yp ไดเลย• ถา yp มพจนทมรปแบบซำกบพจนทปรากฏในผลเฉลยทวไป yh ของสมการเอกพนธใหเอาคา x คณกบ yp ทเลอกมา• ถา yp ใหม ทไดจากการคณดวย x ยงมพจนทมรปแบบซำกบพจนทปรากฏในผลเฉลยทวไป yh ของสมการเอกพนธ ใหใหเอาคา x คณซำไปเรอย ๆ จนกวา yp ใหมทได ไมมพจนทมรปแบบซำกบพจนทปรากฏในผลเฉลยทวไป yh ของสมการเอกพนธ

4. แทนคา yp ลงในสมการไมเอกพนธ เพอเทยบหาสมประสทธ

ตวอยาง 4.14. จงหาผลเฉลยทวไปของ

y′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = r(x) (4.50)

เมอ r(x) มคาเปน1. 500 cos(3x) 2. 12ex 3. 30x2ex

วธทำ สมการเอกพนธทเกยวของสมการ (4.50) คอ

y′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = 0

ซงมสมการแคแรกเทอรสตก คอ

λ3 − 3λ2 + 3λ + 1 = (λ− 1)3 = 0


ดงนนผลเฉลยทวไปของสมการเอกพนธคอ

yh = c1ex + c2xex + c3x

2ex,

เมอ c1, c2, c3 เปนจำนวนจรงใด ๆ1. y′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = 500 cos(3x)

เนองจาก r(x) อยในรป a cos(ωx) โดยม ω = 3 ดงนน เราจะสมมตใหผลเฉลยเฉพาะอยในรป

yp = A cos(3x) + B sin(3x)

แทนคา yp ลงในสมการทำใหได

y′′′p − 3y′′p + 3y′p − yp = (26A− 18B) cos(3x) + (18A + 26B) sin(3x)

= 500 cos(3x) + 0 sin(3x)

ซงไดสมการสำหรบสมประสทธ A และ B คอ

26A− 18B = 500 (4.51)18A + 26B = 0 (4.52)

แกสมการ (4.51) และ (4.52) ได A = 13 และ B = −9 ดงนน ผลเฉลยทวไปของสมการ คอ

y = yh + yp = c1ex + c2xex + c3x

2ex + 13 cos(3x)− 9 sin(3x)

2. y′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = 12ex

เนองจาก r(x) อยในรป aeλx โดยม λ = 1 ดงนน เราจะสมมตใหผลเฉลยเฉพาะอยในรป

yp = Aex

แตเนองจากรปแบบของผลเฉลยเฉพาะ ซำกบผลเฉลยทวไปของสมการเอกพนธ เราตองคณผลเฉลยเฉพาะ yp ดวย x ซงไดyp = Axex ซงกยงมรปแบบซำอก เมอคณดวย x อกครงหนงได yp = Ax2ex ยงคงมรปแบบซำ และเมอคณดวย x อกครง

yp = Ax3ex


จะเปนรปแบบของผลเฉลยเฉพาะทจะนำมาแทนคาลงในสมการ เพอหาสมประสทธy′′′p − 3y′′p + 3y′p − yp = (A− 3A + 3A−A)x3ex + (9A− 18A + 9A)x2ex

+(18A− 18A)xex + (6A)ex

= 6Aex = 12ex

เมอเทยบสมประสทธ ได A = 2 ดงนนผลเฉลยทวไปของสมการ คอy = c1e

x + c2xex + c3x2ex + 2x3ex

3. y′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = 30x2ex

ในกรณน เราจะสมมตใหผลเฉลยเฉพาะอยในรปyp = (A0 + A1x + A2x

2)ex

แตเนองจาก yp มบางพจนซำกบบางพจนของผลเฉลยทวไปของสมการเอกพนธ เราจำเปนตองคณ x 3 ครง เพอให yp ไมมพจนซำกบผลเฉลยทวไปของสมการเอกพนธเลย เราได yp

และอนพนธอนดบทหนง สอง และ สาม ของ yp คอyp = (A0x

3 + A1x4 + A2x

5)ex

y′p =[3A0x

2 + (A0 + 4A1)x3 + (A1 + 5A2)x4 + A2x5]ex

y′′p = [6A0x + (6A0 + 12A1)x2 + (A0 + 8A1 + 20A2)x3

+(A1 + 10A2)x4 + A2x5]ex

y′′′p = [6A0 + (18A0 + 24A1)x + (9A0 + 36A1 + 60A2)x2

+(A0 + 12A1 + 60A2)x3 + (A1 + 15A2)x4 + A2x5]ex

เมอแทนคา ทำใหไดy′′′p − 3y′′p + 3y′p − yp = (6A0 + 24A1x + 60A2x

2)ex

= 30x3ex

เมอเทยบสมประสทธ ได A0 = 0, A1 = 0 และ A2 =12ดงนน ผลเฉลยทวไปของสมการ

ไมเอกพนธ คอy = c1e

x + c2xex + c3x2ex +

x5ex

2


ตวอยาง 4.15. จงหาผลเฉลยทวไปของ

y(4) + 2y′′ + y = r(x) (4.53)

เมอ r(x) มคาเปน1. ex + 2x + 1 2. 2x + 1 + 3 sinx 3. 3 sinx− 5 cos x

วธทำ สมการเอกพนธทเกยวของสมการ (4.53) คอ

y(4) + 2y′′ + y = 0

ซงมสมการแคแรกเทอรสตกคอ

λ4 + 2λ2 + 1 = (λ2 + 1)2 = 0

เนองจากสมการแคแรกเทอรสตก มรากคอ ±i ซำกนสองชด ดงนนผลเฉลยของสมการเอกพนธคอ

yh = c1 cosx + c2 sinx + c3x cosx + c4x sinx,

เมอ c1, c2, c3 และ c4 เปนจำนวนจรงใด ๆ1. y(4) + 2y′′ + y = ex + 2x + 1

พจารณา r(x) เปน r(x) = r1(x) + r2(x) เมอ r1(x) = ex และ r2(x) = 2x + 1

(a) r1(x) = ex

ในกรณน เราจะสมมตใหyp1 = Aex

แทนคาลงในสมการเพอเทยบสมประสทธ

y(4)p1

+ 2y′′p1+ yp1 = (A + 2A + A)ex

= 4Aex = ex

เมอเทยบสมประสทธ ได A =14ไดผลเฉลยเฉพาะคอ

yp1 =ex

4


(b) r2(x) = 2x + 1

สมมตใหyp2 = A1x + A2

แทนคาลงในสมการไมเอกพนธy(4)

p2+ 2y′′p2

+ yp2 = 0 + 0 + (A1x + A2)

= A1x + A2 = 2x + 1

เมอเทยบสมประสทธ ได A1 = 2 และ A2 = 1 ไดผลเฉลยเฉพาะคอyp2 = 2x + 1

ดงนน ผลเฉลยทวไปสำหรบสมการไมเอกพนธ คอy = c1 cosx + c2 sinx + c3x cosx + c4x sinx +

ex

4+ 2x + 1

2. y(4) + 2y′′ + y = 2x + 1 + 3 sinx

ในกรณน เรากจะพจารณา r(x) เปน r(x) = r1(x) + r2(x) เมอ r1(x) = 2x + 1 และr2(x) = 3 sinx

สำหรบกรณy(4) + 2y′′ + y = 2x + 1

เราทราบจากตวอยางทผานมาแลววา สมการนมผลเฉลยเฉพาะคอyp1 = 2x + 1

สำหรบกรณ r2(x) = 3 sinx เราจะสมมตให yp2 อยในรป c1 cosx+ c2 sinx แตเนองจาก มพจนซงมรปแบบซำกบพจนของผลเฉลยทวไปของสมการเอกพนธทเกยวของ ดงนน เราจะคณ x ไปเรอย ๆ จนรปแบบของ yp2 ไมมพจนซำกบพจนของผลเฉลยทวไปของสมการเอกพนธ ทำใหได

yp2 = Ax2 cosx + Bx2 sinx

หาอนพนธ ไดy′′p2

= (2A + 4Bx−Ax2) cos x + (2B − 4Ax−Bx2) sin x

y(4)p2

= (−12A− 8Bx + Ax2) cos x + (−12B + 8Ax + Bx2) sin x


เมอนำไปแทนในสมการไมเอกพนธ ทำใหได−8A cosx− 8B sinx = 3 sinx

เมอเทยบสมประสทธ ได A = 0 และ B = −38

ทำได yp2 = −38

sinx และไดผลเฉลยทวไปของสมการไมเอกพนธ คอy = c1 cosx + c2 sinx + c3x cosx + c4x sinx + 2x + 1− 3

8x2 sinx

3. y(4) + 2y′′ + y = 3 sinx− 5 cos x

ในกรณน จะสมมตให yp มรปแบบyp = Ax2 cosx + Bx2 sinx

ซงเมอนำไปแทนคาในสมการเพอเทยบสมประสทธ ทำใหได−8A cosx− 8B sinx = 3 sinx− 5 cos x

เมอเทยบสมประสทธ ได A =58และ B = −3

8

ไดผลเฉลยทวไปของสมการไมเอกพนธ คอy = c1 cosx + c2 sinx + c3x cosx + c4x sinx +

58x2 cosx− 3

8x2 sinx

ตวอยาง 4.16. จงหาผลเฉลยทวไปของy′′′ − 4y′ = x + 10 cosx + e−2x (4.54)

วธทำ สมการเอกพนธทเกยวของคอy′′′ − 4y′ = 0

และมสมการแคแรกเทอรสตกλ3 − 4λ = λ(λ− 2)(λ + 2) = 0

รากของสมการคอ λ = 0, 2,−2 ดงนน ผลเฉลยของสมการเอกพนธคอyh = c1 + c2e

2x + c3e−2x


เมอ c1, c2, c3 เปนจำนวนจรงใด ๆเมอ r(x) = x + 10 cosx + e−2x เราจะพจารณาเปน r(x) = r1(x) + r2(x) + r3(x) เมอ

r1(x) = x

r2(x) = 10 cosx

r3(x) = e−2x

1. r1(x) = x

ในกรณน จะสมมตใหผลเฉลยเฉพาะอยในรปyp1 = A1x + A0

แต พจน A0 ซงเปนคาคงตว มรปแบบซำกนกบพจน c1 ซงเปนคาคงตวของสมการเอกพนธดงนน ตองคณ x เขากบผลเฉลยเฉพาะ เพอใหไดรปผลเฉลยเฉพาะใหมเปน

yp1 = x(A1x + A0) = A1x2 + A0x

แทนคาเพอเทยบสมประสทธy′′′p1

− 4y′p1= 0− 4(2A0x + A1)

= −8A0x− 4A1 = x

ได A0 = −18และ A1 = 0 ดงนน

yp1 = −x2

8

2. r2(x) = 10 cosx

เราจะสมมตใหผลเฉลยเฉพาะอยในรปyp2 = A cosx + B sinx

แทนคาเพอเทยบสมประสทธy′′′p2

− 4y′p2= (−B cosx + A sinx)− 4(B cosx−A sinx)

= −5B cosx + 5A sinx

= 10 cosx


ได A = 0 และ B = −2 ดงนนyp2 = −2 sin x

3. r3 = e−2x เราจะสมมตใหผลเฉลยเฉพาะอยในรปyp3 = Ce−2xแตเนองจากมรปแบบซำกบบางพจนของผลเฉลยทวไปของสมการเอกพนธ ดงนนเราจะสมมตใหมใหผลเฉลยเฉพาะอยในรป

yp3 = Cxe−2x

เมอแทนคาเพอเทยบสมประสทธy′′′p3

− 4y′p3= (12ce−2x − 8cxe−2x)− 4(ce−2x − 2cxe−2x)

= 8Ce−2x = e−2x

ได C =18และไดผลเฉลยเฉพาะคอ

yp3 =xe−2x

8

เราไดผลเฉลยทวไปของสมการไมเอกพนธคอy = c1 + c2e

2x + c3e−2x − x2

8− 3

5sinx +

xe−2x

8


แบบฝกหด1. จงหาผลเฉลยทวไปของสมการไมเอกพนธตอไปน

(a) y′′′ − y′′ − y′ + y = 2e−x + 3

(b) y′′′ + y′′ + y′ + y = e−x + 4x

(c) y(4) − 4y′′ = x2 + ex

(d) y(4) + y′′′ = x

(e) y′′′ − 2y′′ − 5y′ + 6y = ex + x2

(f) y′′′ + 3y′′ − 4y = e−2x

(g) y(4) − y = 3x + cosx

(h) y′′′ − y′ = 2 sin x

(i) y(4) + 2y′′ + y = 3 + cos(2x)

(j) y(4) + y′′′ = sin(2x)

(k) y′′′ + 2y′′ − y′ − 2y = ex − 1

(l) y′′′ + y′′ − 2y = xex + 1

(m) y′′′ + 4y′′ + y′ − 26y = e−3x sin(2x) + x

(n) y(4) + 2y′′′ + 2y′′ = 3ex + 2xe−x + e−x sinx


(a) y′′′ + 4y′ = x; y(0) = y′(0) = 0, y′′(0) = 1

(b) y(4) + 2y′′ + y = 4x + 4; y(0) = y′(0) = 0, y′′(0) = y′′′(0) = 1

(c) y′′′ − 3y′′ + 2y′ = x + ex; y(0) = 1, y′(0) = −14 , y′′(0) = −3

2

(d) y′′′ − 2y′′ + 5y′ = −24e3x; y(0) = 4, y′(0) = −1, y′′(0) = −5

(e) y′′′ − 2y′′ − 3y′ + 10y = 34xe−2x − 16e−2x − 10x2 + 6x + 34;

y(0) = 3, y′(0) = 0, y′′(0) = 0

(f) y′′′ + 2y′′ − 9y′ − 18y = −18x2 − 18x + 22;

y(0) = −2, y′(0) = −8, y′′(0) = −12

(g) y(4) + 2y′′′ + y′′ + 8y′ − 12y = 12 sinx− e−x;

y(0) = 3, y′(0) = 0, y′′(0) = −1, y′′′(0) = 2


4.4.3 การแปรผนของตวแปรเสรมพจารณาสมการเชงอนพนธเชงเสนไมเอกพนธอนดบท n

an(x)dny

dxn+ an−1(x)

dn−1y

dxn−1+ · · ·+ a1(x)

dy

dx+ a0(x)y = b(x) (4.55)

เนองดวย ผลเฉลยทวไปของสมการเอกพนธทเกยวของ

an(x)dny

dxn+ an−1(x)

dn−1y

dxn−1+ · · ·+ a1(x)

dy

dx+ a0(x)y = 0

คอyh = c1y1(x) + c2y2(x) + · · ·+ cnyn(x),

เมอ c1, . . . , cn เปนคาคงตวใด ๆ และ {y1(x), . . . , yn(x)} เปนเซตของผลเฉลยมลฐาน โดยขนตอนวธของการแปรผนของตวแปรเสรม จะสมมตใหผลเฉลยเฉพาะอยในรป

yp = u1(x)y1(x) + u2(x)y2(x) + · · ·+ un(x)yn(x),

เมอ u1(x), . . . , un(x) เปนฟงกชนของ x ซงยงไมทราบคา และไมเปนคาคงตวพบวาอนพนธของ yp คอ

y′p =(u1y

′1 + · · ·+ uny′n

)+

(u′1y1 + · · ·+ u′nyn

) (4.56)

เพอหลกเลยงการเกดอนพนธอนดบทสองของฟงกชนไมทราบคา u1, . . . , un ในการหาอนพนธอนดบทสองของผลเฉลยเฉพาะ yp เราจะสมมตให

u′1y1 + · · ·+ u′nyn = 0

และในทำนองเดยวกนเราสามารถคำนวณหาอนพนธอนดบอนๆของผลเฉลยเฉพาะy′′p , y′′′p , . . . , y(n−1)p

โดยใหเงอนไข

u′1y1 + · · ·+ u′nyn = 0,

u′1y′1 + · · ·+ u′ny′n = 0,

...u′1y

(n−2)1 + · · ·+ u′ny(n−2)

n = 0


ดงนนเราไดผลเฉลยเฉพาะ และอนพนธอนดบตาง ๆ ของผลเฉลยเฉพาะ คอyp = u1y1 + · · ·+ unyn

y′p = u1y′1 + · · ·+ uny′n...

y(n−1)p = u1y

(n−1)1 + · · ·+ uny

(n−1)n

y(n)p =

(u1y

(n)1 + · · ·+ uny

(n)n

)+

(u′1y

(n−1)1 + · · ·+ u′ny

(n−1)n

)

(4.57)

เนองดวยy1, . . . , yn เปนผลเฉลยของสมการเอกพนธทเกยวของดงนนเมอแทนคาyp, y′p, . . . , y

(n)p

ลงในสมการไมเอกพนธ (4.55) ทำใหไดan(x)

(u′1y

(n−1)1 + · · ·+ u′ny(n−1)

n

)= b(x)

ดงนนเราไดระบบสมการเชงเสน ซงประกอบดวย n สมการu′1y1 + · · ·+ u′nyn = 0,

u′1y′1 + · · ·+ u′ny′n = 0,

...u′1y

(n−2)1 + · · ·+ u′ny

(n−2)n = 0

u′1y(n−1)1 + · · ·+ u′ny

(n−1)n =

b(x)an(x)

(4.58)

ซงอาจจะพจารณาในรปเมทรกซไดคอ

y1 y2 · · · yn

y′1 y′2 · · · y′n... ... . . . ...y

(n−2)1 y

(n−2)2 · · · y

(n−2)n

y(n−1)1 y

(n−1)2 · · · y

(n−1)n

u′1

u′2...u′n−1

u′n

=

0

0...0

b(x)an(x)

เราไดผลเฉลยของระบบสมการ (4.58) คอu′k(x) =

r(x)Wk(x)W [y1, . . . , yn](x)

, k = 1, . . . , n, (4.59)

เมอ r(x) =b(x)an(x),W [y1, . . . , yn](x) คอ รอนสเกยน8ของผลเฉลย y1, . . . , yn

8 ดนยามของรอนสเกยนหนา 140


และWk(x) คอดเทอรมแนนตของเมทรกซ

y1 y2 · · · yn

y′1 y′2 · · · y′n... ... . . . ...y

(n−2)1 y

(n−2)2 · · · y

(n−2)n

y(n−1)1 y

(n−1)2 · · · y

(n−1)n

ซงถกแทนสดมภ (column) ท k ดวยเวกเตอร

0

0...0

1

หรอนนคอ

Wk(x) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

y1 · · · yk−1 0 yk+1 · · · yn

y′1 · · · y′k−1 0 y′k+1 · · · y′n... . . . ... ... ... . . . ...y

(n−2)1 · · · y

(n−2)k−1 0 y

(n−2)k+1 · · · y

(n−2)n

y(n−1)1 · · · y

(n−1)k−1 1 y

(n−1)k+1 · · · y

(n−1)n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

uk(x) =∫

r(x)Wk(x)W [y1, . . . , yn](x)

dx, k = 1, . . . , n, (4.60)ซงทำใหไดผลเฉพาะ yp คอ

yp =n∑

k=1

yk(x)∫

r(x)Wk(x)W [y1, . . . , yn](x)

dx,

เมอ r(x) =b(x)an(x)

หมายเหตโดยทฤษฎบทเกยวกบการหาคาดเทอรมเนนตของเมทรกซเราสามารถแสดงใหเหนไดวาWk(x) = (−1)n−kW [y1, . . . , yk−1, yk+1, . . . , yn]

= (−1)n−k

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

y1 · · · yk−1 yk+1 · · · yn

y′1 · · · y′k−1 y′k+1 · · · y′n... . . . ... ... . . . ...y

(n−2)1 · · · y

(n−2)k−1 y

(n−2)k+1 · · · y

(n−2)n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


ขนตอนวธการหาผลเฉลยโดยวธการแปรผนของตวแปรเสรม1. หาผลเฉลยทวไป yh ของสมการเอกพนธทเกยวของ

yh = c1y1 + · · ·+ cnyn,

เมอ c1, . . . , cn เปนคาคงตวใด ๆ2. สมมตใหผลเฉลยเฉพาะของสมการไมเอกพนธมคาเปน

yp = u1(x)y1 + · · ·+ un(x)yn

3. หาคาW [y1, . . . , yn](x) และW1(x), . . . ,Wn(x)

4. หาคา uk(x), เมอuk(x) =

∫r(x)Wk(x)

W [y1, . . . , yn](x)dx, k = 1, . . . , n,

เมอ r(x) =b(x)an(x)

5. แทนคา u1(x), . . . , un(x) ทไดลงใน yp

6. ผลเฉลยทวไปของสมการไมเอกพนธ (4.55) คอy = c1y1 + · · ·+ cnyn + u1y1 + · · ·+ unyn

ตวอยาง 4.17. จงใชวธการแปรผนของตวแปรเสรมหาผลเฉลยของสมการy′′′ − 4y′ = e2x (4.61)

วธทำ1. จากตวอยาง 4.16 พบวา ผลเฉลยทวไปของสมการเอกพนธทเกยวของ

y′′′ − 4y′ = 0

คอyh = c1 + c2e

2x + c3e−2x,

เมอ c1, c2, c3 เปนจำนวนจรงใด ๆ นนคอy1 = 1, y2 = e2x และ y3 = e−2x


2. สมมตใหผลเฉลยเฉพาะอยในรปyp = u1(x) + u2(x)e2x + u3(x)e−2x

3. หาคาW [1, e2x, e−2x](x) และW1(x),W2(x), W3(x)

W [1, e2x, e−2x](x) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 e2x e−2x

0 2e2x −2e−2x

0 42x 4e−2x

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= 16

W1(x) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0 e2x e−2x

0 2e2x −2e−2x

1 42x 4e−2x

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= (−1)(3−1)

∣∣∣∣∣∣∣

e2x e−2x

2e2x −2e−2x

∣∣∣∣∣∣∣= −4

W2(x) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0 e−2x

0 0 −2e−2x

0 1 4e−2x

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= (−1)(3−2)

∣∣∣∣∣∣∣

1 e−2x

0 −2e−2x

∣∣∣∣∣∣∣= 2e−2x

W3(x) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 e2x 0

0 2e2x 0

0 42x 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= (−1)(3−3)

∣∣∣∣∣∣∣

1 e2x

0 2e2x

∣∣∣∣∣∣∣= 2e2x

4. หาคา u1, u2 และ u3

u1 =∫ (

e2x

1

)(−4)

16dx = −e2x

8

u2 =∫ (

e2x

1

)(2e−2x)

16dx =

x

8

u3 =∫ (

e2x

1

)(2e2x)

16dx =

e4x

32

5. แทนคา u1, u2 และ u3 ไดyp = −e2x

8+

x

8e2x +

e4x

32e−2x

= −e2x

8+

xe2x

8+

e2x

32

= −3e2x

32+

xe2x

8


6. ผลเฉลยทวไปของสมการ (4.61) คอ

y = c1 + c2e2x + c3e

−2x +e2x

24+

xe2x

8

= c1 + c2e2x + c3e

−2x +xe2x

8,

เมอ c2 = c2 +124


x3y′′′ + x2y′′ − 2xy′ + 2y = x3 sinx, x > 0 (4.62)

เมอ {x, x−1, x2} เปนเซตของผลเฉลยมลฐานของสมการเอกพนธทเกยวของวธทำ

1. เมอเราทราบเซตของผลเฉลยมลฐานแลว ทำใหเราทราบวาผลเฉลยทวไปของสมการเอกพนธทเกยวของคอ

yh = c1x + c2x−1 + c3x

2,

เมอ c1, c2, c3 เปนคาคงตวใด ๆ

2. สมมตใหผลเฉลยเฉพาะอยในรป

yp = u1(x)x + u2(x)x−1 + u3(x)x2


3. หาคาW [x, x−1, x2](x) และW1(x),W2(x),W3(x)

W [x, x−1, x2](x) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x x−1 x2

1 −x−2 2x

0 2x−3 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= −6x

W1(x) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0 x−1 x2

0 −x−2 2x

1 2x−3 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= (−1)(3−1)

∣∣∣∣∣∣∣

x−1 x2

−x−2 2x

∣∣∣∣∣∣∣= 3

W2(x) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x 0 x2

1 0 2x

0 1 21

0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= (−1)(3−2)

∣∣∣∣∣∣∣

x x2

1 2x10

∣∣∣∣∣∣∣= −x2

W3(x) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x x−1 0

1 −x−2 0

0 2x−3 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= (−1)(3−3)

∣∣∣∣∣∣∣

x x−1

1 −x−2

∣∣∣∣∣∣∣= −2

x

4. หาคา u1, u2 และ u3

u1 =∫ (

x3 sin xx3

)(3)

−6x−1dx =

x cosx− sinx

2

u2 =∫ (

x3 sin xx3

)(−x2)

−6x−1dx =

(x− x3

6

)cosx +

(x2

2− 1

)sinx

u3 =∫ (

x3 sin xx3

)(−2x−1)

−6x−1dx = −cosx

3

5. แทนคา u1, u2 และ u3 ไดyp =

x cosx− sinx

2x +

((x− x3

6

)cosx +

(x2

2− 1

)sinx

)x−1 − cosx

3x2

= cosx− x−1 sinx

6. ผลเฉลยทวไปของสมการ (4.62) คอy = c1x + c2x

−1 + c3x2 + cos x− x−1 sinx


แบบฝกหด1. จงใชวธการแปรผนของตวแปรเสรม หาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธตอไปน

(a) y′′′ + y′ = tanx, 0 < x < π/2

(b) y′′′ + y′ = secx, −π/2 < x < π/2

(c) y′′′ − y′ = cscx, 0 < x < π

(d) y′′′ + y′ = secx tanx, 0 < x < π/2

(e) y′′′ − y′′ + y′ − y = sec x, −π/2 < x < π/2

(f) x3y′′′ − 3x2y′′ + 6xy′ − 6y = x−1, x > 0

เมอเซตของผลเฉลยมลฐานของสมการเอกพนธทเกยวของคอ {x, x2, x3}

(g) x3y′′′ − 2x2y′′ + 3xy′ − 3y = x2, x > 0

เมอเซตของผลเฉลยมลฐานของสมการเอกพนธทเกยวของคอ {x, x lnx, x3}

(h) x3y′′′ − x2y′′ − 4xy′ + 4y = x, x > 0

เมอเซตของผลเฉลยมลฐานของสมการเอกพนธทเกยวของคอ {x, x−1, x4}

(i) x3y′′′ + x2y′′ − 2xy′ + 2y = 2x4, x > 0


(j) x3y′′′ − 3xy′ + 3y = x4 cosx, x > 0



บทท 5การแปลงลาปลาซ

การแปลงลาปลาซ (Laplace transform) เปนวธการหนงทสามารถใชหาผลเฉลยของปญหาคาตงตนของสมการเชงอนพนธแนวความคดของการประยกตใชการแปลงลาปลาซเพอใชแกสมการเชงอนพนธคอ“เราจะใชการแปลงลาปลาซ แปลงจากปญหาคาตงตนของสมการเชงอนพนธ เขาสสมการพหนาม และหลงจากจดรปสมการพนนามโดยใชวธทางพชคณต กจะใชการแปลงลาปลาซผกผน แปลงสมการพนนามกลบเพอหาผลเฉลยของสมการเอกพนธ” ในบทนจะกลาวถง การแปลงลาปลาซ การแปลงลาปลาซผกผน และ การประยกตใชการแปลงลาปลาซเพอหาผลเฉลยของปญหาคาตงตน

5.1 บทนยาม สญลกษณ และ การแปลงลาปลาซของบางฟงกชนในบทน จะกลาวถงบทนยามและสญลกษณของการแปลงลาปลาซพรอมกบแสดงการแปลง

ลาปลาซของบางฟงกชนบทนยาม 5.1. ให f(x) เปนฟงกชนทนยามสำหรบทก ๆ x ≥ 0 ถา

∫ ∞

0f(x)e−sxdx หาคาไดเรา

เรยกฟงกชนF (s) =

∫ ∞

0f(x)e−sxdx

(ซงเปนฟงกชนของตวแปร s) วา การแปลงลาปลาซของฟงกชน f และจะใชสญลกษณ L {f}

แทนการแปลงลาปลาซของฟงกชน f หรอกคอF (s) = L {f} =

∫ ∞

0f(x)e−sxdx

สงเกตไดวา ฟงกชน f เปนฟงกชนทขนกบตวแปรอสระ x แตการแปลงลาปลาซของฟงกชน f เราไดฟงกชน F ทขนกบตวแปร sและ เราเรยกฟงกชน f(x) วาการแปลงลาปลาซผกผน (inverse Laplace transform) ของ

ฟงกชน F (s) ซงจะเขยนแทนดวยf(x) = L −1{F}

179

180 บทท 5. การแปลงลาปลาซ

หมายเหตตอไปนจะใชสญลกษณอกษรภาษาองกฤษตวเลกแทนฟงกชนแตจะใชอกษรภาษาองกฤษตวใหญ แทนการแปลงลาปลาซของฟงกชนนน เชน F (s) จะหมายถงการแปลงลาปลาซของฟงกชน f(x), Y (s) จะหมายถงการแปลงลาปลาซของฟงกชน y(x) เปนตนตอไปนจะแสดงใหเหนการแปลงลาปลาซของบางฟงกชน โดยใชบทนยาม• การแปลงลาปลาซของฟงกชน f(x) = 1 เนองจาก

L {1} =∫ ∞

01 · e−sxdx = −e−sx

s

∣∣∣∞

0=

1sถา s > 0

∞ ถา s ≤ 0

ดงนนการแปลงลาปลาซของฟงกชน 1 คอ

F (s) = L {1} =1s, เมอ s > 0 (5.1)

• การแปลงลาปลาซของฟงกชน f(x) = x

L {x} =∫ ∞

0xe−sxdx

โดยการหาคาอนทกรลทละสวน (integration by parts)

L {x} = x

(−e−sx

s

)∞

0

−∫ ∞

0

(−e−sx

s

)dx

=[−xe−sx

s− e−sx

s2

]∞

0

= limx→∞

(−xe−sx

s− e−sx

s2

)−

(−0− 1

s2

)

และพบวา limx→∞

(−xe−sx

s− e−sx

s2

)=

0, s > 0

∞, s < 0

ดงนนการแปลงลาปลาซของฟงกชน x คอ

F (s) = L {x} =1s2

, เมอ s > 0 (5.2)

• การแปลงลาปลาซของฟงกชน f(x) = x2

L {x2} =∫ ∞

0x2e−sxdx = −1

se−sxx2

∣∣∣∞

0+

2s

∫ ∞

0xe−sxdx

5.1. บทนยาม สญลกษณ และ การแปลงลาปลาซของบางฟงกชน 181

พบวาlim

x→∞

(−1

se−sxx2

)=

0, s > 0

∞, s < 0

ดงนนF (s) = L {x2} =

2s

∫ ∞

0xe−sxdx

=(

2s

)(1s

)

=2s2

, เมอ s > 0 (5.3)

• การแปลงลาปลาซของฟงกชน f(x) = xn, n = 1, 2, 3, . . .

โดยอปนยเชงคณตศาสตร สามารถแสดงไดวาF (s) = L {xn} =

∫ ∞

0xne−sxdx =

n!sn+1

เมอ s > 0 (5.4)

โดยท n! = n(n− 1)(n− 2) · · · 2 · 1

• การแปลงลาปลาซของฟงกชน f(x) = eax, เมอ a เปนจำนวนจรงการแปลงลาปลาซของฟงกชน eax คอ

L {eax} =∫ ∞

0eaxe−sxdx =

∫ ∞

0e−(s−a)xdx

=1

s− a, เมอ s > a

ซงไดวาF (s) = L {eax} =

1s− a

(5.5)


• การแปลงลาปลาซของฟงกชน f(x) = sin ax, เมอ a เปนจำนวนจรงL {sin ax} =

∫ ∞

0(sin ax)e−sxdx

โดยการหาคาอนทกรลทละสวน 2 ครง เราพบวา∫

(sin ax)e−sxdx = − e−sx

s2 + a2(s sin ax + a cos ax) + C,

เมอ C เปนคาคงตวใด ๆ, ดงนนL {sin ax} =

[− e−sx

s2 + a2(s sin ax + a cos ax)

]∞

0

= limx→∞

[− e−sx


]+

a

s2 + a2

และพบวาlim

x→∞

[− e−sx


]= 0 เมอ s > 0

ดงนนF (s) = L {sin ax} =

a

s2 + a2เมอ s > 0 (5.6)

• การแปลงลาปลาซของฟงกชน f(x) = cos ax, เมอ a เปนจำนวนจรงโดยทำนองเดยวกบการหาการแปลงลาปลาซของฟงกชน sin ax เราไดวา

F (s) = L {cos ax} =s

s2 + a2(5.7)

หมายเหต ไมจำเปนวาทกฟงกชน จะสามารถหาการแปลงลาปลาซได ตวอยางเชน ฟงกชน f(x) =

ex2 พบวาเราไมสามารถหาคา∫ ∞

0ex2

e−sxdx ได เนองจาก ex2e−sx เปนฟงกชนเพมเมอ x ≥ s

2

ดงนนคาอนทกรล∫ ∞

0ex2

e−sxdx จะลออกสคาอนนต

แบบฝกหดจงหาการแปลงลาปลาซของฟงกชนตอไปน

1. x3

2. x10

3. √x

4. √x3

3. sinhx

4. coshx

(ดคำตอบของแบบฝกหดทหนา ??)

5.2. คณสมบตของการแปลงลาปลาซ 183

f(x) F (s) = L {f}

11s, s > 0

x1s2, s > 0

xn, n = 1, 2, 3, . . .n!

sn+1, s > 0

eax 1s− a, s > a

sin axa

s2 + a2, s > 0

cos axs

s2 + a2, s > 0

ตารางท 5.1. ตารางการแปลงลาปลาซอยางยอ

5.2 คณสมบตของการแปลงลาปลาซในสวนนจะแสดงคณสมบตตาง ๆ ของการแปลงลาปลาซ

5.2.1 การมจรงของการแปลงลาปลาซของฟงกชนดงทไดกลาวไวแลววา ไมจำเปนวาทกฟงกชน จะสามารถหาการแปลงลาปลาซได ในสวนน

จะแสดงถงเงอนไขบางอยาง ซงถาฟงกชนใดมคณสมบตตามเงอนไขดงกลาวแลว เราจะสามารถหาการแปลงลาปลาซของฟงกชนนนไดเนองดวยในการหาคา การแปลงลาปลาซของฟงกชน เราจำเปนตองเกยวของกบการหาคาอน

ทกรลจำกดเขตจากศนย ถงคาอนนต ของผลคณระหวางฟงกชนเลขชกำลงกบฟงกชนทตองการหาการแปลงลาปลาซในการพจารณาอยางคราวๆพบวาถาฟงกชนทพจารณาไมไดโตเรวกวาฟงกชนเลขชกำลง e−sx นาจะสามารถหาคาอนทกรลจำกดเขต ของผลคณระหวางฟงกชนเลขชกำลง e−sx

กบฟงกชนนนจากศนย ถงคาอนนตได


บทนยาม 5.2 (อนดบเลขชกำลง). เราจะเรยกฟงกชน f(x) มวาอนดบเลขชกำลง α (exponentialorder α) ถามจำนวนจรงบวกX และM ซง

|f(x)| ≤ Meαx, สำหรบทก ๆ x ≥ X

ตวอยาง 5.1. จงแสดงวาฟงกชน f(x) = e5x sin 2x เปนฟงกชนทมอนดบเลขชกำลงเทากบ 5

วธทำ เราพบวา∣∣e5x sin 2x

∣∣ ≤ e5x, ทก ๆ x ≥ 0

ซงนแสดงวาฟงกชน f เปนฟงกชนทมอนดบเลขชกำลงเทากบ 5 โดยในทนมคา X = 0 และM = 1

ทฤษฎบท 5.1 (การมจรงของการแปลงลาปลาซของฟงกชน). ถาฟงกชน f(x) ตอเนองเปนชวง ๆบนชวง [0,∞) และมอนดบเลขชกำลง α แลว

F (s) = L {f} มอยจรงเมอ s > α

พสจน ในการพสจน ตองการจะแสดงใหเหนวาเราสามารถหาคาอนทกรล∫ ∞

0e−sxf(x)dx ได

เราจะพจารณาการหาคาอนทกรลเปนสองสวน∫ ∞

0e−sxf(x)dx =

∫ X

0e−sxf(x)dx +

∫ ∞

Xe−sxf(x)dx,

เมอ X คอคาททำให ฟงกชน f(x) เปนฟงกชนทมอนดบเลขชกำลง α เมอ x ≥ X ตามบทนยาม5.2เนองจากฟงกชน f ตอเนองเปนชวง ๆ บน [0,∞) โดยทฤษฎบทของแคลคลส ยนยนวาเรา

สามารถหาคา∫ X

0e−sxf(x)dx ได สำหรบทก ๆ คา s

ในการพจารณาสวนทเหลอ จะใชการทดสอบดวยวธการเปรยบเทยบของการหาคาอนทกรลไมตรงแบบ (comparison test for improper integrals)เนองจากฟงกชน f(x) เปนฟงกชนทมอนดบเลขชกำลง α เมอ x ≥ X ดงนน

|f(x)| ≤ Meαx

และ∣∣e−sxf(x)

∣∣ = e−sx |f(x)| ≤ Me−(s−α)x, สำหรบทก ๆ x ≥ X (5.8)


เมอ s > α เราพบวา∫ ∞

XMe−(s−α)xdx = M

∫ ∞

Xe−(s−α)xdx =

Me−(s−α)X

s− α< ∞ (5.9)

โดย (5.8), (5.9) และ การทดสอบดวยวธการเปรยบเทยบของการหาคาอนทกรลไมตรงแบบ เราสรปไดวา ∫ ∞

Xe−sxf(x)dx

หาคาได เมอ s > α ดงนนเมอ ∫ X0 e−sxf(x)dx และ ∫∞X e−sxf(x)dxหาคาได เราจงสรปไดวา เรา

สามารถหาคาอนทกรล ∫ ∞

0e−sxf(x)dx

ได หรอกวาไดวา การแปลงลาปลาซL {f} มจรงสำหรบ s > α 2

5.2.2 ความเปนเชงเสนของการแปลงลาปลาซทฤษฎบท 5.2 (ความเปนเชงเสนของการแปลงลาปลาซ). ถาเราสามารถหาการแปลงลาปลาซของฟงกชน f , f1 และ f2 สำหรบบางชวง s > α, เมอ α เปนจำนวนจรง แลว• L {f1 + f2} = L {f1}+ L {f2}

• L {cf} = cL {f}

เมอ c เปนคาคงตวใด ๆ และ s > α

พสจน โดยความเปนเชงเสนของการหาคาอนทกรล เราไดวาL {f1 + f2} =

∫ ∞

0e−sx [f1(x) + f2(x)] dx

=∫ ∞

0e−sxf1(x)dx +

∫ ∞

0e−sxf2(x)dx

= L {f1}+ L {f2}

และL {cf} =

∫ ∞

0e−sx [cf(x)] dx

= c

∫ ∞

0e−sxf(x)dx

= cL {f}


และในบางครง เราอาจจะเขยนรวมคณสมบตความเปนเชงเสนของการแปลงลาปลาซทงสองขอเปน

L {c1f1 + c2f2} = c1L {f1}+ c2L {f2}, (5.10)

เมอ c1 และ c2 เปนคาคงตวใด ๆและสำหรบการแปลงลาปลาซผกผน

c1f1(x) + c2f2(x) = L −1{c1L {f1}+ c2L {f2}}

= L −1{c1F1(s) + c2F (s)}

c1L−1{F1}+ c2L

−1{F2} = L −1{c1F1(s) + c2F (s)},

เมอ F1(s) = L {f1} และ F2(s) = L {f2}, ซงหมายถง การแปลงลาปลาซผกผนกมคณสมบตความเปนเชงเสนเชนเดยวกน 2

ตวอยาง 5.2. จงหาการแปลงลาปลาซของฟงกชน f(x) = cosh ax

วธทำ เนองจากcosh ax =

eax + e−ax

2

ดงนน

L {cosh ax} = L {eax + e−ax

2}

=12

[L {eax}+ L {e−ax}]

(โดยคณสมบตความเปนเชงเสนของการแปลงลาปลาซ)

เราทราบวาL {eax} =

1s− a

, เมอ s > a

และL {e−ax} =

1s + a

, เมอ s < −a


ดงนนการแปลงลาปลาซของฟงกชน cosh ax คอF (s) = L {cosh ax} =

12

[1

s− a+

1s + a

]

=12

(s + a) + (s− a)(s− a)(s + a)

=12

2s

s2 − a2

=s

s2 − a2เมอ s > |a| (5.11)

ตวอยาง 5.3. จงหาL {1 + 2x + 3e4x − 5 sin 6x}

วธทำ จากคณสมบตความเปนเชงเสนของการแปลงลาปลาซ เราไดวาL {1 + 2x + 3e4x − 5 sin 6x} = L {1}+ 2L {x}+ 3L {e4x} − 5L {sin 6x}

=1s

+ 21s2

+ 31

s− 4− 5

6s2 + 62

=1s

+2s2

+3

s− 4− 30

s2 + 36

= 4s4 − 8s3 + 64s2 − 18s− 72s5 − 4s4 + 36s3 − 144s2

5.2.3 การเลอนขนานในแนวแกน s

ทฤษฎบท 5.3 (การเลอนขนานในแนวแกน s ของการแปลงลาปลาซ). สำหรบการแปลงลาปลาซของฟงกชน f(x) ใด ๆ

L {f} = F (s), s > α (5.12)เราไดวา

L {eaxf(x)} = F (s− a), s > α + a

พสจน โดยบทนยามของการแปลงลาปลาซ เราไดวาL {eaxf(x)} =

∫ ∞

0e−sxeaxf(x)dx

=∫ ∞

0e−(s−a)xf(x)dx

= F (s− a)

และในทางกลบกนeaxf(x) = L −1{F (s− a)}

2


ตวอยาง 5.4. จงหาการแปลงลาปลาซของ eax sin bx

วธทำ เราทราบแลววาL {sin bx} =

b

s2 + b2

ดงนน โดยคณสมบตการเลอนขนานในแนวแกน s

L {eax sin bx} =b

(s− a)2 + b2

5.2.4 การแปลงลาปลาซของอนพนธทฤษฎบท 5.4 (การแปลงลาปลาซของอนพนธอนดบทหนง). ถา f(x) ตอเนองบนชวง [0,∞) และf ′(x) ตอเนองเปนชวง ๆ บน [0,∞) โดยทf(x) เปนฟงกชนทมอนดบเลขชกำลง α แลว

L {f ′} = sL {f} − f(0), เมอ s > α (5.13)พสจน เนองจาก f ′(x) ตอเนองเปนชวง ๆ ดงนน

∫ N

0f ′(x)esxdx หาคาไดทก ๆ N ≥ 0 พจารณา

L {f ′}

L {f ′} =∫ ∞

0e−sxf ′(x)dx = lim

N→∞

∫ N

0e−sxf ′(x)dx

โดยการหาคาอนทกรลทละสวน = limN→∞

[e−sxf(x)

∣∣∣N

0+ s

∫ N

0e−sxf(x)dx

]

= limN→∞

e−sNf(N)− f(0) + s limN→∞

∫ N

0e−sxf(x)dx

= limN→∞

e−sNf(N)− f(0) + sL {f}

เนองจาก f(x) เปนฟงกชนทมอนดบเลขชกำลง α ดงนน∣∣e−sNf(N)

∣∣ ≤ e−sNMeαN = Me−(s−α)N

ซงสำหรบ s > α

0 ≤ limN→∞

∣∣e−sNf(N)∣∣ ≤ lim

N→∞Me−(s−α)N = 0

ดงนนlim

N→∞e−sNf(N) = 0

ทำใหสรปไดวาL {f ′} หาคาไดและL {f ′} = sL {f}−f(0), เมอ s > α 2


โดยทฤษฎบทการแปลงลาปลาซของอนพนธอนดบทหนง 5.4 เราสามารถประยกตหาการแปลงลาปลาซของอนพนธอนดบทสองไดโดย

L {f ′′} = sL {f ′} − f ′(0)

= s [sL {f} − f(0)]− f ′(0)

= s2L {f} − sf(0)− f ′(0)

และโดยอปนยเชงคณตศาสตร เราสามารถขยายแนวความคดนเพอหาการแปลงลาปลาซของอนพนธอนดบอน ๆ ไดคอ

ทฤษฎบท5.5(การแปลงลาปลาซของอนพนธอนดบอนๆ). ถาf(x), f ′(x), . . . , f (n−1)(x)ตอเนองบนชวง [0,∞) และ f (n)(x) ตอเนองเปนชวง ๆ บน [0,∞) โดยทฟงกชนทกลาวมาทงหมด เปนฟงกชนทมอนดบเลขชกำลง α แลว

L {f (n)} = snL {f} − sn−1f(0)− sn−2f ′(0)− · · · − sf (n−2)(0)− f (n−1)(0), เมอ s > α

(5.14)

ทฤษฎบทน เปนทฤษฎสำคญททำใหสามารถประยกตใชการแปลงลาปลาซหาผลเฉลยของปญหาคาตงตนได

ตวอยาง 5.5. จงหาการแปลงลาปลาซของ sinh ax

วธทำ เนองจาก

d

dxcosh ax =

d

dx(eax + e−ax

2) = a

eax − e−ax

2= a sinh ax

หรอd

dx

(cosh ax

a

)= sinh ax


โดยทฤษฎบทการแปลงลาปลาซของอนพนธอนดบทหนง 5.4 เราไดL {sinh ax} = L

{d

dx

(cosh ax

a

)}

= sL

{cosh ax

a

}− cosh 0

a

=s

a

(s

s2 − a2

)− e0 + e0

2a

=s2 − (s2 − a2)

a(s2 − a2)

=a2

a(s2 − a2)

=a

s2 − a2(5.15)

ตวอยาง 5.6. จงหาการแปลงลาปลาซของ f(x) = sin2 x

วธทำ เนองจากf(0) = sin2 0 = 0 และ f ′(x) = 2 sinx cosx = sin 2x

ดงนนL {f ′} = L {sin 2x} =

2s2 + 4

และL {f ′} = sL {sin2 x} − f(0)

= sL {sin2 x} − 0 = sL {sin2 x}

ดงนนL {sin2 x} =

2s(s2 + 4)

5.2.5 การแปลงลาปลาซของอนทกรลทฤษฎบท 5.6 (การแปลงลาปลาซของอนทกรล). ถา f(x) ตอเนองเปนชวง ๆ บนชวง [0,∞) และf(x) เปนฟงกชนทมอนดบเลขชกำลง α แลว

L

{∫ x

0f(u)du

}=

L {f}s

=F (s)

sเมอ s > β (5.16)

โดยท β =

0 ถา α < 0

α ถา α ≥ 0


พสจน ให g(x) =∫ x0 f(u)du โดยทฤษฎบทมลฐานของแคลคลส เราไดวา

g(0) = 0 และ g′(x) = f(x)

เราจะเรมตนตรวจสอบกอนวา เราสามารถหาการแปลงลาปลาซของฟงกชน g(x) ไดเนองจากฟงกชน f(x) ตอเนองเปนชวง ๆ ดงนนฟงกชน g(x) ซงเปนคาอนทกรลของ f(x) ก

ตองตอเนองเปนชวง ๆ ดวย และ พบวา|g(x)| =

∣∣∣∣∫ x

0f(u)du

∣∣∣∣ ≤∫ x

0|f(u)| du

เพราะวา f(x) เปนฟงกชนทมอนดบเลขชกำลง α และ α ≤ β สำหรบทก ๆ x > X เราไดวา∫ x

0|f(u)| du =

∫ X

0|f(u)| du +

∫ x

X|f(u)| du

≤∫ X

0|f(u)| du +

∫ x

XMeαudu

≤∫ X

0|f(u)| du +

∫ x

XMeβudu

=∫ X

0|f(u)| du +

M

β

(eβx − eβX

)

= M ′eβx +[∫ X

0|f(u)| du−M ′eβX

],

เมอM ′ =M

β

เนองจากX เปนคาทถกตรง ดงนนเราสามารถหาจำนวนจรงบวกM ′′ ซง|g(x)| ≤ M ′eβx +

[∫ X

0|f(u)| du−M ′eβX

]≤ M ′′eβx

ซงแสดงวา g(x) เปนฟงกชนทมอนดบเลขชกำลง βนแสดงวาเราสามารถหาการแปลงฟงกชนของฟงกชน g(x) ได และโดยทฤษฎบทการแปลง

ลาปลาซของอนพนธอนดบทหนง 5.4 ทำใหไดวาL {f} = L {g′} = sL {g} − g(0)

= sL {g} − 0

= sL {g}

ดงนนL {g} = L

{∫ x

0f(u)du

}=

L {f}s

2


5.2.6 อนพนธของการแปลงลาปลาซทฤษฎบท 5.7 (อนพนธของการแปลงลาปลาซ). ถา f(x) ตอเนองเปนชวง ๆ บนชวง [0,∞) และf(x) เปนฟงกชนทมอนดบเลขชกำลง α แลว

L {xf(x)} = −F ′(s) เมอ s > α (5.17)

พสจน เนองจากF (s) =

∫ ∞

0f(x)e−sxdx

เปนการแปลงลาปลาซของฟงกชน f(x) เมอ s > α

เมอหาอนพนธของฟงกชน F (s) เทยบกบตวแปร s ทำใหไดวา

F ′(s) =d

ds

∫ ∞

0f(x)e−sxdx

=∫ ∞

0

d

ds

(f(x)e−sx

)dx

=∫ ∞

0−xf(x)e−sxdx

= −L {xf(x)}

นนคอL {xf(x)} = −F ′(s)

2 และในการพสจนทำนองเดยวกนเราไดวา

F ′′(s) =d2

ds2

∫ ∞

0f(x)e−sxdx

=∫ ∞

0

d2

ds2

(f(x)e−sx

)dx

=∫ ∞

0(−1)2x2f(x)e−sxdx

= (−1)2L {x2f(x)}

หรอL {x2f(x)} = (−1)2F ′′(s)

และโดยอปนยทางคณตศาสตร เราไดวา


ทฤษฎบท 5.8 (อนพนธอนดบ n ของการแปลงลาปลาซ). ถา f(x) ตอเนองเปนชวง ๆ บนชวง[0,∞) และ f(x) เปนฟงกชนทมอนดบเลขชกำลง α แลว

L {xnf(x)} = (−1)nF (n)(s) เมอ s > α, n = 1, 2, 3, . . . (5.18)

5.2.7 อนทกรลของการแปลงลาปลาซทฤษฎบท 5.9 (อนทกรลของการแปลงลาปลาซ). ถา f(x) ตอเนองเปนชวง ๆ บนชวง [0,∞), เปนฟงกชนทมอนดบเลขชกำลง α และ

limx→0+

f(x)x

หาคาได แลวL

{f(x)

x

}=

∫ ∞

sF (u)du เมอ s > α (5.19)

พสจน เราพบวา∫ ∞

sF (u)du =

∫ ∞

s

[∫ ∞

0f(x)e−uxdx

]du

เนองจาก f(x) ตอเนองเปนชวง ๆ บนชวง [0,∞) และเปนฟงกชนทมอนดบเลขชกำลง α โดยการประยกตทฤษฎบทในการวเคราะจำนวนจรง1 เราสามารถสลบการหาคาอนทกรลไดดงนน สำหรบs > α

∫ ∞

sF (u)du =

∫ ∞

0

[∫ ∞

sf(x)e−uxdu

]dx

=∫ ∞

0f(x)

[∫ ∞

se−uxdu

]dx

เนองจาก∫ ∞

se−uxdu = −e−ux

u

∣∣∣∞

s

= limN→∞

[−e−Nx

x−

(−e−sx

x

)]

=e−sx

x(เนองจาก x > 0)

1ดทฤษฎบทไดใน [16]


ดงนน∫ ∞

sF (u)du =

∫ ∞

0f(x)

e−sx

xdx =

∫ ∞

0

f(x)x

e−sxdx = L

{f(x)

x

}

2

ตวอยาง 5.7. จงหาการแปลงลาปลาซของ f(x) =sinx

x

วธทำ เนองจาก L {sinx} =1

s2 + 1สำหรบ s > 0 ดงนนโดยทฤษฎบทอนทกรลของการแปลง

ลาปลาซ 5.9 ทำใหไดวา

L

{sinx

x

}=

∫ ∞

s

1u2 + 1

du

= tan−1 u∣∣∣∞

s

= limN→∞

[tan−1 N − tan−1 s

]

=π

2− tan−1 s

แบบฝกหดจงหาการแปลงลาปลาซของฟงกชนตอไปน

1. x2e3x

2. e−x cosx

3. x2eπx

4. x2 sin ax

5. xe2x cos 5x

6. e−xx sinh 2x

7. (x− 5)4

8. 3x− ex

9. e−x cos 3x + e6x − x

10. 2x2e−x − x2 + cos 4x

11. xe2πx

12. (1 + e−x)2

13. 5x4 − 2x2 + 1

14. cos2 x

15. x sin2 x

16. x2 + ex sin 2x

17. cosnx sinnx

18. cos2 nx

19. cosmx sinnx

20. cosmx cosnx

21. sin 3x cos 3x

22. x sin 2x cos 5x

23. 5x4 − 2x2 + 1

24. coshx sinhx



f(x) F (s) = L {f} หนา1

1s, s > 0 180

x1s2, s > 0 180

xn (n = 1, 2, 3, . . .)n!

sn+1, s > 0 181

ecx 1s− c, s > c 181

sin axa

s2 + a2, s > 0 182

cos axs

s2 + a2, s > 0 182

sinh axa

s2 − a2, s > |a| 190

cosh axs

s2 − a2, s > |a| 187

L {eaxf(x)} F (s− a), s > α + a 187

L {c1f1 + c2f2} c1L {f1}+ c2L {f2} 186

L {f ′} sL {f} − f(0), s > α 188

L {f (n)}snL {f}− sn−1f(0)− sn−2f ′(0)−· · ·−

sf (n−2)(0)− f (n−1)(0), s > α189

L

{∫ x

0f(u)du

}F (s)

s, s > β 190

L {xf(x)} −F ′(s), s > α 192

L {xnf(x)} (n = 1, 2, 3, . . .) (−1)nF (n)(s), s > α 193

L

{f(x)

x

} ∫ ∞

sF (u)du, s > α 193

ตารางท 5.2. ตารางการแปลงลาปลาซ


5.3 เทคนคการหาการแปลงลาปลาซผกผนจากในสวนทผานมา ไดกลาวถงการแปลงลาปลาซของฟงกชน f(x) ซงเราสามารถหา F (s)

ไดโดยตรงโดยใชบทนยาม หรอ ใชทฤษฎบท 5.2-5.9 ชวยในการหาและในทางกลบกน ถาใหฟงกชนการแปลงลาปลาซ F (s) มา เรากนาจะหาฟงกชน f(x) ไดเหมอนกน ยกตวอยางเชนตวอยาง 5.8. จงหาL −1{F}, เมอ

1. F (s) =2s3

2. F (s) =3

s2 + 93. F (s) =

s− 1s2 − 2s + 5

วธทำ ในการหาฟงกชนลาปลาซผกผนL −1{F} ในทนจะใชตาราง 5.2 หนา195 ชวย

1. L −1{ 2s3} = L −1{ 2!

s3} = x2

2. L −1{ 3s2 + 9

} = L −1{ 3s2 + 32

} = sin 3x

3. L −1{ s− 1s2 − 2s + 5

} = L −1{ s− 1(s− 1)2 + 22

} = exL −1{ s

s2 + 22} = ex cos 2x

ในสวนน จะแสดงเทคนคการหาฟงกชนลาปลาซผกผน โดยใชตาราง 5.2ถงแมวามเทคนคมากมายในการหาฟงกชนลาปลาซผกผนแตคณสมบตหลกทจะนำมาประยกต

ใชหาฟงกชนลาปลาซผกผน คอ• คณสมบตความเปนเชงเสน• คณสมบตการเลอนขนานในแนวแกน s

ดงจะไดแสดงใหเหน ในตวอยางตอไปนตวอยาง 5.9. จงหาL −1

{5

s− 1− 6s

s2 + 9

}

วธทำ โดยคณสมบตความเปนเชงเสน เราไดวา

L −1

{5

s− 1− 6s

s2 + 9

}= 5L −1

{1

s− 1

}− 6L −1

{s

s2 + 9

}

โดยคณสมบตการเลอนขนานในแนวแกน s เราได

L −1

{1

s− 1

}= exL −1

{1s

}

5.3. เทคนคการหาการแปลงลาปลาซผกผน 197

ดงนนL −1

{5

s− 1− 6s

s2 + 9

}= 5exL −1

{1s

}− 6L −1

{s

s2 + 9

}

= 5exL −1

{1s

}− 6L −1

{s

s2 + 32

}

= 5ex · 1− 6 cos 3x

= 5ex − 6 cos 3x

จากตวอยาง 5.9 เหนไดวา เราตองประยกตใชคณสมบตทงสองของการแปลงลาปลาซ มาใชหาการแปลงลาปลาซผกผน แตในบางครงเราอาจจะไมสามารถใชคณสมบตทงสองไดโดยตรงแตภายหลงจากการจดรป จะทำใหเราสามารถประยกตใชคณสมบตทงสองได โดยจะเหนไดจากตวอยาง 5.10, 5.11 และ5.12ตวอยาง 5.10. จงหาคาL −1

{3

2s2 + 8s + 10

}

วธทำ เราสามารถจดรปใหมไดเปนL −1

{3

2s2 + 8s + 10

}= L −1

{32

(1

s2 + 4s + 5

)}

= L −1

{32

(1

(s2 + 2 · 2s + 22) + 1

)}

= L −1

{32

(1

(s + 2)2 + 1

)}

=32L −1

{1

[s− (−2)]2 + 1

}

=32e−2xL −1

{1

s2 + 1

}

=32e−2x sinx


ตวอยาง 5.11. จงหาคาL −1

{5

(s + 4)6

}


{5

(s + 4)6

}= 5L −1

{1

(s + 4)6

}

= 5L −1

{1

[s− (−4)]6

}

= 5e−4xL −1

{1s6

}

=5e−4x

5!L −1

{5!s6

}

=5e−4x

5!x5

=5e−4x

120x5

=x5e−4x

24


{3s + 2

s2 + 2s + 10

}


{3s + 2

s2 + 2s + 10

}= L −1

{3s + 2

s2 + 2 · 1s + 12 + 9

}

= L −1

{3s + 2

(s + 1)2 + 32

}

และจะจดรปการแปลงลาปลาซผกผนใหอยในรปฟงกชนของ s + 1 ไดเปนL −1

{3s + 2

s2 + 2s + 10

}= L −1

{3s + (3− 3) + 2

(s + 1)2 + 32

}

= L −1

{(3s + 3) + (−3 + 2)

(s + 1)2 + 32

}

= L −1

{3(s + 1)− 1(s + 1)2 + 32

}

= L −1

{3(s + 1)

(s + 1)2 + 32

}+ L −1

{ −1(s + 1)2 + 32

}

= 3L −1

{s + 1

(s + 1)2 + 32

}−L −1

{1

(s + 1)2 + 32

}

= 3e−xL −1

{s

s2 + 32

}− e−xL −1

{1

s2 + 32

}

= e−x

(3L −1

{s

s2 + 32

}−L −1

{1

s2 + 32

})

= e−x

(3L −1

{s

s2 + 32

}− 1

3L −1

{3

s2 + 32

})

= e−x

(3 cos 3x− 1

3sin 3x

)


ในบางครงในการหาการแปลงลาปลาซผกผน เราอาจจำเปนตองจดรปฟงกชนตรรกยะ (ratio-nal function) ใด ๆ ใหอยในรปผลบวก (หรอผลตาง) ของฟงกชนตรรกยะอยางงาย เชน


{s + 7

s2 + 2s− 3

}

วธทำ เราสามารถจดรปใหมไดเปน

L −1

{s + 7

s2 + 2s− 3

}= L −1

{s + 7

(s− 1)(s + 3)

}

พจารณาฟงกชนตรรกยะF (s) =

s + 7(s− 1)(s + 3)

โดยวธการแยกเศษสวนยอย (method of partial fractions) เราสามารถแยกฟงกชนตรรกยะนs + 7

(s− 1)(s + 3)

ใหอยในรปผลบวกของฟงกชนตรรกยะอยางงายไดเปนs + 7

(s− 1)(s + 3)=

A

s− 1+

B

s + 3

=A(s + 3) + B(s− 1))

(s− 1)(s + 3)

=(A + B)s + (3A−B)

(s− 1)(s + 3)

โดยการเทยบสมประสทธ เราไดวา

A + B = 1 (สมประสทธหนา s)3A−B = 7

เมอแกระบบสมการ กจะได A = 2 และ B = −1 ดงนน

L −1

{s + 7

s2 + 2s− 3

}= L −1

{2

s− 1+

−1s + 3

}

= L −1

{2

s− 1

}+ L −1

{ −1s + 3

}

= 2L −1

{1

s− 1

}−L −1

{1

s + 3

}

= 2ex − e−3x


ตวอยาง 5.14. จงหาคาL −1 {F (s)} เมอ

F (s) =7s− 1

(s + 1)(s + 2)(s− 3)

วธทำ โดยวธการแยกเศษสวนยอย เราจะเขยนฟงกชน F (s) ใหอยในรปผลบวกของฟงกชนตรรกยะอยางงาย ไดเปน

7s− 1(s + 1)(s + 2)(s− 3)

=A

s + 1+

B

s + 2+

C

s− 3

=A(s + 2)(s− 3) + B(s + 1)(s− 3) + C(s + 1)(s + 2)

(s + 1)(s + 2)(s− 3)

=(A + B + C)s2 + (−A− 2B + 3C)s + (−6A− 3B − 2C)

(s + 1)(s + 2)(s− 3)

โดยการเทยบสมประสทธ เราไดวา

A + B + C = 0 (สมประสทธหนา s2)

−A− 2B + 3C = 7 (สมประสทธหนา s)−6A− 3B + 2C = −1

เมอแกระบบสมการ กจะได A = 2, B = −3 และ C = −1 ดงนน

L −1

{s + 7

s2 + 2s− 3

}= L −1

{2

s + 1− 3

s + 2+

1s− 3

}

= 2L −1

{1

s + 1

}− 3L −1

{1

s + 2

}+ L −1

{1

s− 3

}

= 2e−x − 3e−2x + e3x

หมายเหต ในการหาคา A, B และ C จากสมการ

7s− 1 = A(s + 2)(s− 3) + B(s + 1)(s− 3) + C(s + 1)(s + 2)

อาจจะใชเทคนคตอไปนคอ


1. เลอก s = −1 เพอใหพจน (s + 1) หายไป นนคอ7(−1)− 1 = A(−1 + 2)(−1− 3) + B(−1 + 1)(−1− 3)

+C(−1 + 1)(−1 + 2)

−7− 1 = A(1)(−4) + B(0)(−4) + C(0)(1)

−8 = −4A

ได A = 2

2. จากนนเลอก s = −2 เพอใหพจน (s + 2) หายไป นนคอ7(−2)− 1 = A(0) + B(−2 + 1)(−2− 3) + C(0)

−14− 1 = B(5)

−15 = 5B

ได B = −3

3. จากนนเลอก s = 3 เพอใหพจน (s− 3) หายไป นนคอ7(3)− 1 = A(0) + B(0) + C(3 + 1)(3 + 2)

21− 1 = 20C

20 = 20C

ได C = 1

และไดวา7s− 1 = 2(s + 2)(s− 3)− 3(s + 1)(s− 3) + (s + 1)(s + 2)

2

สำหรบกรณฟงกชนตรรกยะ P (s)Q(s)ซงQ(s)มพจน (s−r)m เปนตวประกอบภายหลงจากการ

กระจายฟงกชนตรรกยะ P (s)Q(s)ใหอยในรปผลบวกของฟงกชนตรรกยะอยางงาย พจนของผลบวก

ของฟงกชนตรรกยะอยางงาย ทสมนยกบพจน (s− r)m จะอยในรปA1

s− r+

A2

(s− r)2+ · · ·+ Am

(s− r)m,

เมอ A1, . . . , Am เปนจำนวนจรง


ตวอยาง 5.15. จงหาคาL −1 {F (s)} เมอF (s) =

s2 + 9s + 2(s− 1)2(s + 3)

วธทำ โดยวธการแยกเศษสวนยอย เราสามารถแยกฟงกชน F (s) ใหอยในรปผลบวกของฟงกชนตรรกยะอยางงายได และเนองจากสวนของ F (s) ม(s− 1)2 เปนตวประกอบ ดงนน

s2 + 9s + 2(s− 1)2(s + 3)

=A

s− 1+

B

(s− 1)2+

C

s + 3

=A(s− 1)(s + 3) + B(s + 3) + C(s− 1)2

(s− 1)2(s + 3)

เมอนำ (s− 1)2(s + 3) คณทงสองขางของสมการ กจะไดs2 + 9s + 2 = A(s− 1)(s + 3) + B(s + 3) + C(s− 1)2

เพอจะกำจดพจนทมตวประกอบ (s− 1) ให s = 1 จะไดวา12 + 9 · 1 + 2 = A(0) + B(1 + 3) + C(0)

12 = 4B

ดงนน B = 3 และในทำนองเดยวกน ให s = −3

(−3)2 + 9 · (−3) + 2 = A(0) + 3(0) + C(−3− 1)2

−16 = 16C

ได C = −1 และสำหรบการหาคา A เพอความสะดวกจะให s = 0

(0)2 + 9 · (0) + 2 = A(0− 1)(0 + 3) + 3(0 + 3)− 1(0− 1)2

2 = −3A + 9− 1

−6 = −3A

และได A = 2 เพราะฉะนนs2 + 9s + 2

(s− 1)2(s + 3)=

2s− 1

+3

(s− 1)2+

−1s + 3

=2

s− 1+

3(s− 1)2

− 1s + 3


ดงนนการแปลงลาปลาซของ F (s) คอL −1

{s2 + 9s + 2

(s− 1)2(s + 3)

}= L −1

{2

s− 1+

3(s− 1)2

− 1s + 3

}

= L −1

{2

s− 1

}+ L −1

{3

(s− 1)2

}

−L −1

{1

s + 3

}

= 2L −1

{1

s− 1

}+ 3L −1

{1

(s− 1)2

}

−L −1

{1

s + 3

}

= 2ex + 3exL −1

{1s2

}− e−3x

= 2ex + 3xex − e−3x

ในบางครง เราไมอาจแยกตวประกอบฟงกชน Q(s) (สวนของฟงกชนตรรกยะ) ใหอยในรปQ(s) = (s− r1)m1(s− r2)m2 · · · (s− rn)mn

ซงเปนรปของผลคณของตวประกอบ (s−ri), i = 1, . . . , n ได แตถาพบวา Q(s) มพจน (s−α)2 +

β2 เปนตวประกอบเราอาจจะสามารถหาการแปลงลาปลาซผกผน ของฟงกชน P (s)Q(s)ได โดยถา

Q(s) = (s− r1)m1 · · · (s− rn1)mn1

((s− α1)2 + β1

2)γ1 · · · ((s− αn2)

2 + βn22)γn2

ไดวาP (s)Q(s)

=A11

s− r1+

A12

(s− r1)2+ · · ·+ A1m1

(s− r1)m1

+A21

s− r2+

A22

(s− r2)2+ · · ·+ A2m2

(s− r2)m2

...+

An11

s− rn1

+An12

(s− rn1)2+ · · ·+ An1mn1

(s− rn1)mn1

+B11x + C11

(s− α1)2 + β12 +

B12x + C12((s− α1)2 + β1

2)2 + · · ·+ B1γ1x + C1γ1(

(s− α1)2 + β12)γ1

+B21x + C21

(s− α2)2 + β22 +

B22x + C22((s− α2)2 + β2

2)2 + · · ·+ B2γ2x + C2γ2(

(s− α2)2 + β22)γ2

...+

Bn21x + Cn21

(s− αn2)2 + βn22 +

Bn22x + Cn22((s− αn2)2 + βn2

2)2 + · · ·+ Bn2γ1x + Cn2γ1(

(s− αn2)2 + βn22)γn2



{2s2 + 10s

(s2 − 2s + 5)(s + 1)

}

วธทำ เนองจากเราไมสามารถแยกตวประกอบพหนาม f(s) = s2 − 2s + 5 ได ดงนนเราจดรปฟงกชนตรรกยะใหมเปน

2s2 + 10s

(s2 − 2s + 5)(s + 1)=

As + B

s2 − 2s + 5+

C

s + 1

เมอ A, B และ C เปนจำนวนจรง, เนองจาก2s2 + 10s

(s2 − 2s + 5)(s + 1)=

As + B

s2 − 2s + 5+

C

s + 1

=(As + B)(s + 1) + C(s2 − 2s + 5)

(s2 − 2s + 5)(s + 1)

เมอนำ (s2 − 2s + 5)(s + 1) คณทงสองขางของสมการ กจะได

2s2 + 10s = (As + B)(s + 1) + C(s2 − 2s + 5)

เพอจะกำจดพจนทมตวประกอบ (s + 1) ให s = −1 จะไดวา

2(−1)2 + 10(−1) = [A(−1) + B] (−1 + 1) + C[(−1)2 − 2(−1) + 5

]

−8 = 0 + C(8)

= 8C

ดงนน C = −1 และในทำนองเดยวกน ให s = 0

2(0)2 + 10(0) = [A(0) + B] (0 + 1)− [(0)2 − 2(0) + 5

]

0 = B − 5

ได B = 5 และสำหรบการหาคา A เพอความสะดวกจะให s = 1

2(1)2 + 10(1) = [A(1) + 5] (1 + 1)− [(1)2 − 2(1) + 5

]

12 = 2A + 10− 4

6 = 2A


และได A = 3 เพราะฉะนน2s2 + 10s

(s2 − 2s + 5)(s + 1)=

3s + 5s2 − 2s + 5

+−1

s + 1

=3s + 5

s2 − 2s + 5− 1

s + 1

ดงนนการแปลงลาปลาซของ F (s) คอL −1

{2s2 + 10s

(s2 − 2s + 5)(s + 1)

}= L −1

{3s + 5

s2 − 2s + 5− 1

s + 1

}

= L −1

{3s + 5

s2 − 2s + 5

}−L −1

{1

s + 1

}

= L −1

{3s + 5

(s2 − 2 · 1s + 12) + 4

}− e−x

= L −1

{3s + 5

(s− 1)2 + 22

}− e−x

= L −1

{3s + (3− 3) + 5

(s− 1)2 + 22

}− e−x

= L −1

{(3s− 3) + (5 + 3)

(s− 1)2 + 22

}− e−x

= L −1

{3(s− 1) + 8(s− 1)2 + 22

}− e−x

= 3L −1

{(s− 1)

(s− 1)2 + 22

}+ L −1

{8

(s− 1)2 + 22

}− e−x

= 3L −1

{(s− 1)

(s− 1)2 + 22

}+ 4L −1

{2

(s− 1)2 + 22

}− e−x

= 3exL −1

{s

s2 + 22

}+ 4exL −1

{2

s2 + 22

}− e−x

= 3ex cos(2x) + 4ex sin(2x)− e−x


แบบฝกหด1. จงหาการแปลงลาปลาซผกผนของฟงกชนตอไปน

(a) 30s4

(b) 3s + 8

(c) 1s3

+6

s2 + 4

(d) 1s2 + s

(e) 4s2 + 9

(f) s

s(s− 3)

(g) 1s(s2 − 9)

(h) 1s2(s2 − a2)

(i) 1s2 − s4

(j) 1s2(s2 + 1)

(k) 3(s + 5)8

(l) 1s(s + 1)(s + 2)

(m) 2s2 + 3s− 4

(n) 2s + 2s2 + 2s + 1

(o) 2s− 3s2 − 4

(p) 2s

s2 − s− 6

(q) 1s3 + 5s2

(r) 1s4 − 8s2 + 16

2. จงหาL −1 {F (s)} เมอ(a) F (s) =

1s2 + 4s + 8

(b) F (s) =2s + 16

s2 + 4s + 13

(c) F (s) =3s− 15

2s2 − 4s + 10

(d) F (s) =s− 1

2s2 + s− 6

(e) F (s) =s + 1

s2 + 2s + 10

(f) F (s) =s

s2 + s− 2

(g) F (s) =1

(s− 3)(s2 + 2s + 2)

(h) s2F (s)− 4F (s) =5

s + 1

(i) sF (s)− 4F (s) =s

s2 + 1

(j) s2F (s) + sF (s)− 6F (s) =s2 + 4s2 + s

(k) sF (s)− 2F (s) =10s2 + 12s + 14

s2 − 2s + 2


5.4. การประยกตใชการแปลงลาปลาซเพอหาผลเฉลยของปญหาคาตงตน 207

5.4 การประยกตใชการแปลงลาปลาซเพอหาผลเฉลยของปญหาคาตงตนจากทฤษฎบทการแปลงลาปลาซของอนพนธ 5.4 และ 5.5 เราสามารถนำมาประยกตใชเพอแก

ปญหาคาตงตนได ตวอยางเชนตวอยาง 5.17. จงหาผลเฉลยของปญหาคาตงตนตอไปนโดยการประยกตใชการแปลงลาปลาซ

y′′ − y′ − 2y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0 (5.20)วธทำ เมอเราหาการแปลงลาปลาซทงสองขางของสมการ (5.20) กจะไดวา

L {y′′ − y′ − 2y} = L {0}

โดยคณสมบตของการแปลงลาปลาซ เราไดวาL {y′′ − y′ − 2y} = L {y′′} −L {y′} −L {2y}

=[s2L {y} − sy(0)− y′(0)

]− [sL {y} − y(0)]− 2L {y}

= (s2 − s− 2)L {y} − s(1)− 0 + 1

= (s2 − s− 2)L {y} − s + 1

เนองจากL {0} = 0 ดงนน เราได(s2 − s− 2)L {y} − s + 1 = 0

ให Y (s) = L {y} เมอจดรปสมการใหม จะได(s2 − s− 2)Y (s) = s− 1

Y (s) =s− 1

s2 − s− 2

เนองจาก Y (s) = L {y} ดงนน y(x) = L −1{Y (s)}

y(x) = L −1

{s− 1

s2 − s− 2

}

สำหรบการหาการแปลงลาปลาซผกผนของ s− 1s2 − s− 2

เราจะทำไดโดยการแยกเศษสวนยอยs− 1

s2 − s− 2=

s− 1(s + 1)(s− 2)

=A

s + 1+

B

s− 2


เมอคณทงสองขางของสมการดวย (s + 1)(s− 2) ไดสมการs− 1 = A(s− 2) + B(s + 1)

ให s = −1 เราได(−1)− 1 = A(−1− 2) + B(−1 + 1)

−2 = −3A

ได A =23และ เมอให s = 2 ได

(2)− 1 = A(2− 2) + B(2 + 1)

1 = 3B

ได B =13ซงทำใหเราไดวา ผลเฉลยของปญหาคาตงตน (5.20) คอ

y(x) = L −1

{s− 1

s2 − s− 2

}= L −1

{2

3(s + 1)+

13(s− 2)

}

=23L −1

{1

(s + 1)

}+

13L −1

{1

s− 2

}

=23e−x +

13e2x

จากตวอยางทผานมาเปนการประยกตใชการแปลงลาปลาซหาผลเฉลยของปญหาคาตงตนของสมการเอกพนธ ตวอยางทจะกลาวถงตอไปอกสองตวอยาง จะเปนตวอยางการหาผลเฉลยของปญหาคาตงตนของสมการไมเอกพนธ โดยการใชการแปลงลาปลาซตวอยาง 5.18. จงใชการแปลงลาปลาซหาผลเฉลยของปญหาคาตงตน

y′′ − 2y′ + 5y = −8e−x, y(0) = 2, y′(0) = 12 (5.21)วธทำ เมอเราหาการแปลงลาปลาซทงสองขางของสมการ (5.21) กจะได

L {y′′ − 2y′ + 5y} = L{−8e−x

}

โดยคณสมบตของการแปลงลาปลาซ เราไดวาL {y′′ − 2y′ + 5y} = L {y′′} − 2L {y′}+ 5L {y}

=[s2L {y} − sy(0)− y′(0)

]− 2 [sL {y} − y(0)] + 5L {y}

= (s2 − 2s + 5)L {y} − s(2)− 12 + 2(2)

= (s2 − 2s + 5)L {y} − 2s− 8


เนองจากL {−8e−x} = −8L

{e−x

}

=−8

s + 1

เมอให Y (s) = L {y} เราจะได(s2 − 2s + 5)Y (s)− 2s− 8 =

−8s + 1

และเราสามารถจดรปสมการใหมไดเปนY (s) =

2s + 8s2 − 2s + 5

− 8(s + 1)(s2 − 2s + 5)

=(2s + 8)(s + 1)− 8(s + 1)(s2 − 2s + 5)

=2s2 + 10s

(s + 1)(s2 − 2s + 5)

ดงนนผลเฉลยของสมการเชงอนพนธคอy(x) = L −1

{2s2 + 10s

(s + 1)(s2 − 2s + 5)

}

เราสามารถใชวธแยกเศษสวนยอยเพอชวยในการหาการแปลงลาปลาซผกผนได ดงนน2s2 + 10s

(s + 1)(s2 − 2s + 5)=

A

s + 1+

Bs + C

s2 − 2s + 5

เมอคณดวย (s + 1)(s2 − 2s + 5) ทงสองขาง กจะได2s2 + 10s = A(s2 − 2s + 5) + (Bs + C)(s + 1)

เมอ s = −1 ได2(−1)2 + 10(−1) = A

[(−1)2 − 2(−1) + 5

]+ (Bs + C)(−1 + 1)

−8 = 8A + 0

ได A = −1 และเมอ s = 0 ได0 = −1(0− 0 + 5) + (0 + C)(0 + 1)

0 = −5 + C


ได C = 5 และเมอ s = 1 ได

2 + 10 = −1(1− 2 + 5) + (B + 5)(1 + 1)

12 = −4 + 2B + 10

6 = 2B

ได B = 3 ซงจะจดรปอกครงไดเปน2s2 + 10s

(s + 1)(s2 − 2s + 5)=

−1s + 1

+3s + 5

s2 − 2s + 5

=−1

s + 1+

3s + (−3 + 3) + 5s2 − 2s + 1 + 4

=−1

s + 1+

(3s− 3) + (3 + 5)(s− 1)2 + 22

=−1

s + 1+

3s− 3(s− 1)2 + 22

+8

(s− 1)2 + 22

= − 1s + 1

+ 3(s− 1)

(s− 1)2 + 22+ 4

2(s− 1)2 + 22

ดงนน

y(x) = L −1

{− 1

s + 1+ 3

(s− 1)(s− 1)2 + 22

+ 42

(s− 1)2 + 22

}

= −L −1

{1

s + 1

}+ 3L −1

{(s− 1)

(s− 1)2 + 22

}+ 4L −1

{2

(s− 1)2 + 22

}

= −e−x + 3exL −1

{s

s2 + 22

}+ 4exL −1

{2

s2 + 22

}

= −e−x + 3ex cos 2x + 4ex sin 2x

ดงนนผลเฉลยของปญหคาตงตน (5.21) คอ

y(x) = −e−x + 3ex cos 2x + 4ex sin 2x

ตวอยาง 5.19. จงใชการแปลงลาปลาซหาผลเฉลยของปญหาคาตงตน

y′′ + y = x, y(0) = 1, y′(0) = −2

วธทำ เมอเราหาการแปลงลาปลาซทงสองขางของสมการ กจะได

L {y′′ + y} = L {x}


โดยคณสมบตของการแปลงลาปลาซ เราไดวาL {y′′ + y} = L {y′′}+ L {y}

=[s2L {y} − sy(0)− y′(0)

]+ L {y}

= (s2 + 1)L {y} − s(1)− (−2)

= (s2 + 1)L {y} − s + 2

เนองจากL {x} =

1s2

เมอให Y (s) = L {y} เราจะได(s2 + 1)Y (s)− s + 2 =

1s2

และเราสามารถจดรปสมการใหมไดเปนY (s) =

s− 2s2 + 1

+1

s2(s2 + 1)

=s

s2 + 1− 2

s2 + 1+

1s2− 1

s2 + 1

=s

s2 + 1+

1s2− 3

s2 + 1

ดงนนผลเฉลยของสมการเชงอนพนธคอy(x) = L −1{ s

s2 + 1+

1s2− 3

s2 + 1}

= L −1{ s

s2 + 1}+ L −1{ 1

s2} − 3L −1{ 1

s2 + 1}

= cos x + x− 3 sin x

นอกจากน เราอาจจะประยกตใชการแปลงลาปลาซ หาผลเฉลยของปญหาคาขอบ ไดเชนกนตวอยาง 5.20. จงหาผลเฉลยของปญหาคาขอบ

y′′ + 9y = cos 2x, y(0) = 1, y(π

2) = −1 (5.22)

วธทำ เนองจากเรายงไมทราบคาของ y′(0) ดงนน เราจะสมมตใหy′(0) = c


เมอ c เปนคาคงตวบางจำนวน และไดแปลงลาปลาซของสมการ คอ

L {y′′ + 9y} = L {cos 2x}

โดยคณสมบตของการแปลงลาปลาซ เราไดวา

L {y′′ + 9y} = L {y′′}+ 9L {y}

=[s2L {y} − sy(0)− y′(0)

]+ 9L {y}

= (s2 + 9)L {y} − s(1)− c

= (s2 + 9)L {y} − s− c

เนองจากL {cos 2x} =

s

s2 + 22=

s

s2 + 4

เมอให Y (s) = L {y} เราจะได

(s2 + 9)Y (s)− s− c =s

s2 + 4

และเราสามารถจดรปสมการใหมไดเปน

Y (s) =s + c

s2 + 9+

s

(s2 + 9)(s2 + 4)

=s

s2 + 9+

c

s2 + 9+

s

5(s2 + 4)− s

5(s2 + 9)

=45

(s

s2 + 9

)+

c

3

(3

s2 + 9

)+

15

(s

s2 + 4

)

=45

(s

s2 + 32

)+

c

3

(3

s2 + 32

)+

15

(s

s2 + 22

)

ดงนนผลเฉลยของสมการเชงอนพนธคอ

y(x) = L −1

{45

(s

s2 + 32

)+

c

3

(3

s2 + 32

)+

15

(s

s2 + 22

)}

=45L −1

{s

s2 + 32

}+

c

3L −1

{3

s2 + 32

}+

15L −1

{s

s2 + 22

}

=45

cos 3x +c

3sin 3x +

15

cos 2x


เนองจาก y(π

2) = −1 เมอแทนคาเราไดวา

y(π

2) = −1 =

45

cos3π

2+

c

3sin

3π

2+

15

cosπ

=45(0) +

c

3(−1) +

15(−1)

= − c

3− 1

5

เมอแกสมการ กจะได c =125

ดงนน ผลเฉลยของปญหาคาขอบ (5.22) คอy(x) =

45

cos 3x +45

sin 3x +15

cos 2x


แบบฝกหดจงประยกตใชการแปลงลาปลาซหาผลเฉลยของปญหาคาตงตนตอไปน

1. y′′ − 2y′ + 2y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 1

2. y′′ − 4y′ + 4y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 1

3. y′′ − 2y′ − 2y = 0, y(0) = 2, y′(0) = 0

4. y′′ + 2y′ + 5y = 0, y(0) = 2, y′(0) = −1

5. y(4) − 4y′′′ + 6y′′ − 4y′ + y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 1, y′′(0) = 0, y′′′(0) = 1

6. y′′ − 2y′ + 2y = cosx, y(0) = 1, y′(0) = 0

7. y′′ − 2y′ + 2y = e−x, y(0) = 0, y′(0) = 1

8. y′′ + 2y′ + y = 4e−x, y(0) = 2, y′(0) = −1

9. y′′ − 6y′ + 8y = 2, y(0) = 0, y′(0) = 0

10. y′′ + 4y′ + 13y = xe−x, y(0) = 0, y′(0) = 2

11. y(4) + 2y′′ + y = e2x, y(0) = y′(0) = y′′(0) = y′′′(0) = 0


บทท 6ผลเฉลยในรปอนกรมกำลงของสมการเชงอนพนธในเนอหาทผานมา ไดกลาวถงการหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธเชงเสน ทงเอกพนธ และไมเอกพนธสงเกตไดวาวธการหาผลเฉลยสวนใหญ จะเปนการหาผลเฉลยของสมการเชงเสน ทมสมประสทธเปนคาคงตว และ การแปลงสมการเชงเสน ทมสมประสทธไมเปนคาคงตว ใหอยในรปสมการใหม ซงเปนสมการเชงเสนทมสมประสทธทคาคงตว (สมการโคช-ออยเลอร)ในการศกษาเรองสมการเชงอนพนธนน สมการเชงเสนซงมสมประสทธเปนคาคงตว เปน

เพยงรปแบบหนงของสมการเชงอนพนธเทานน สำหรบเนอหาในบทน จะขยายแนวความคดในการหาผลเฉลยของสมการเอกพนธ โดยการพจารณาผลเฉลยใหอยในรป“อนกรมกำลง” ซงวธนสามารถนำไปใชหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ ไดหลากหลายรปแบบขน โดยสามารถนำไปประยกตใชหาผลเฉลยไดทงสมการเชงเสน ทมสมประสทธเปนคาคงตว และ สมประสทธไมเปนคาคงตวสำหรบการหาผลเฉลยของสมการไมเอกพนธทมสมประสทธไมเปนคาคงตวนน ผอานอาจ

จะประยกตใชขนตอนวธการแปรผนของตวแปรเสรมเขามาชวยดงน1. หาผลเฉลยของสมการเอกพนธทเกยวของ yh โดยใชวธพจารณาผลเฉลยใหอยในรปของอนกรมกำลง2. ใชขนตอนวธการแปรผนของตวแปรเสรมหาผลเฉลยเฉพาะ yp

3. ซงผลเฉลยทวไปของสมการไมเอกพนธทมสมประสทธเปนตวแปรจะอยในรปy = yh + yp

215

216 บทท 6. ผลเฉลยในรปอนกรมกำลงของสมการเชงอนพนธ

6.1 บทนยามและทฤษฎทเกยวของกบอนกรมกำลงบทนยาม 6.1. เราเรยกรปแบบอนกรมอนนต1

∞∑

m=0

am(x− x0)m = a0 + a1(x− x0) + a2(x− x0)2 + · · · , (6.1)

วาอนกรมกำลงของ x รอบจด x0 (power series of x around point x0), เมอ a0, a1, a2, . . . เปนคาคงตวใด ๆ และ

• เรยก a0, a1, a2, . . . วาสมประสทธของอนกรม

• เรยก x0 วาจดศนยกลาง

• x คอ ตวแปร

สำหรบกรณ x0 = 0 เราเรยกอนกรมอนนต∞∑

m=0

amxm = a0 + a1x + a2x2 + · · · , (6.2)

วาอนกรมกำลงของ x

หมายเหต

1. ∞∑

m=1

am(x− x0)m = limM→∞

M∑

m=1

am(x− x0)m

2. เพอความสะดวก เรากำหนดให (x − x0)0 ซงเปนพจนแรกของอนกรม∞∑

m=0

am(x− x0)m

มคาเปน 1 แมวา x = x0 กตาม (และในทำนองเดยวกน พจน x0 ของอนกรม ∞∑

m=0

amxm เรากจะกำหนดใหมคาเปน 1)

3. ในการศกษาเรองอนกรมกำลง สมประสทธของอนกรม อาจจะเปนจำนวนจรงหรอจำนวน-เชงซอน กได สำหรบการศกษาเรองอนกรมกำลงในบทน จะกำหนดใหสมประสทธของอนกรม เปนจำนวนจรงเทานน1ดเรอง‘‘อนกรมอนนต’’ใน [2, 13]

6.1. บทนยามและทฤษฎทเกยวของกบอนกรมกำลง 217

4. ในเอกสารบางฉบบ อาจจะกำหนดรปแบบของอนกรมกำลงใหประกอบดวยพจน1

x− x0,

1(x− x0)2

,1

(x− x0)3, . . .

เชน∞∑

m=−∞am(x− x0)m

= · · ·+ a−2(x− x0)−2 + a−1(x− x0)−1 + a0 + a1(x− x0) + a2(x− x0)2 + · · ·

= · · ·+ a−2

(x− x0)2+

a−1

x− x0+ a0 + a1(x− x0) + a2(x− x0)2 + · · ·

แตเนอหาในบทนจะกลาวถงอนกรมกำลงทมเฉพาะพจน 1, x − x0, (x − x0)2, (x − x0)3,. . . เทานน5. เพอความสะดวก จะขอเรยก “อนกรมกำลงของ x รอบจด x0” และ “อนกรมกำลงของ x”วา“อนกรมกำลง”

ตวอยาง 6.1. ตวอยางของฟงกชน ทสามารถเขยนไดในรปอนกรมกำลง• 1

1− x=

∞∑

m=0

xm = 1 + x + x2 + · · · เมอ |x| < 1

อนกรมกำลงนมจดศนยกลาง x0 = 0

มสมประสทธของอนกรม a0 = 1, a1 = 1, a2 = 1, . . .

อนกรมกำลงนมชอเรยกเฉพาะคอ อนกรมเรขาคณต (geometric series)• ex =

∞∑

m=0

xm

m!= 1 + x +

x2

2!+

x3

3!+ · · ·


มสมประสทธของอนกรม a0 =10!

= 1, a1 =11!

= 1, a2 =12!

=12, . . .

• cosx = 1− x2

2!+

x4

4!− x6

6!+

x8

8!−+ · · ·


มสมประสทธของอนกรม am =

(−1)m/2

m!เมอm = 0, 2, 4, . . .

0 เมอm = 1, 3, 5, . . .

• cosx = −(x− π

2) +

13!

(x− π

2)3 − 1

5!(x− π

2)5 +

17!

(x− π

2)7 −+ · · ·


อนกรมกำลงนมจดศนยกลาง x0 =π

2


0 เมอm = 0, 2, 4, . . .

(−1)(m+1)/2

m!เมอm = 1, 3, 5, . . .

• sinx = x− x3

3!+

x5

5!− x7

7!+

x9

9!−+ · · ·



0 เมอm = 0, 2, 4, . . .

(−1)(m−1)/2

m!เมอm = 1, 3, 5, . . .

• sinx = 1− 12!

(x− π

2)2 +

14!

(x− π

2)4 − 1

6!(x− π

2)6 +− · · ·

อนกรมกำลงนมจดศนยกลาง x0 =π

2


(−1)m/2

m!เมอm = 0, 2, 4, . . .

0 เมอm = 1, 3, 5, . . .

• lnx = (x− 1)− (x− 1)2

2+

(x− 1)3

3− (x− 1)4

4+− · · ·



0 เมอm = 0(−1)m+1

mเมอm = 1, 2, 3, . . .

6.1. บทนยามและทฤษฎทเกยวของกบอนกรมกำลง 219

อนกรมกำลงทจะนำมาใชหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธจะกำหนดใหมคณสมบตดงตอไปนคณสมบตทสำคญของอนกรมกำลง

1. อนกรมกำลง ∞∑

m=0

am(x− x0)m ลเขาทก ๆ จด x ∈ I เมอ I เปนชวงทพจารณาหรอกลาวอกอยางหนงคอ

limM→∞

M∑

m=0

am(x− x0)m

หาคาไดทก ๆ x ∈ I

2. ถาอนกรมกำลง ∞∑

m=0

am(x− x0)m ลเขา ทก ๆ x ∈ I1 และ∞∑

m=0

bm(x− x0)m ลเขา ทก ๆx ∈ I2 แลว ผลบวกและผลตางของทงสองอนกรมคอ

∞∑

m=0

am(x− x0)m ±∞∑

m=0

bm(x− x0)m =∞∑

m=0

(am ± bm)(x− x0)m,

ซงอนกรมนจะลเขา ทก ๆ x ∈ I1 ∩ I2

3. เราสามารถหาผลคณของอนกรมไดดงน[ ∞∑

m=0

am(x− x0)m

][ ∞∑

m=0

bm(x− x0)m

]=

∞∑

m=0

cm(x− x0)m,

สำหรบทก ๆ x ∈ I1 ∩ I2 โดยทcm = a0bm + a1bm−1 + · · ·+ amb0

4. การเปลยนดชน ไมทำใหคาของอนกรมเปลยน∞∑

m=0

am(x− x0)m =∞∑

j=0

aj(x− x0)j

5. การเลอนคาของดชน ไมทำใหคาของอนกรมเปลยน∞∑

m=k

am(x− x0)m =∞∑

m=0

am+k(x− x0)m+k

6. ถา∞∑

m=0

am(x− x0)m =∞∑

m=0

bm(x− x0)m,


ทก ๆ x ∈ I แลวan = bn, n = 0, 1, 2, . . .

และถา∞∑

m=0

am(x− x0)m = 0,

ทก ๆ x ∈ I แลวa0 = a1 = a2 = · · · = 0

7.d

dx

[ ∞∑

m=0

am(x− x0)m

]= a1 + 2a2(x− x0) + · · ·+ mam(x− x0)m−1 + · · ·

=∞∑

m=1

mam(x− x0)m−1

d2

dx2

[ ∞∑

m=0

am(x− x0)m

]= 2a2 + 6(x− x0) + · · ·+ (m− 1)mam(x− x0)m−2 + · · ·

=∞∑

m=2

m(m− 1)am(x− x0)m−2

...dk

dxk

[ ∞∑

m=0

am(x− x0)m

]=

∞∑

m=k

m(m− 1) · · · (m− k + 1)am(x− x0)m−k

8. ถาฟงกชน f(x) หาอนพนธรอบจด x0 ไดทก ๆ อนดบ และอนพนธทหาไดตอเนอง เราเรยกอนกรมกำลง

∞∑

m=1

f (m)(x0)m!

(x− x0)m (6.3)

วาอนกรมเทยเลอร 2 (Taylor series) ของฟงกชน f รอบจด x0

ถาอนกรมนลเขาในชวง x ∈ I จะไดวา

f(x) =∞∑

m=1

f (m)(x0)m!

(x− x0)m, x ∈ I

2ดเรองอนกรมเทยเลอรในบทท ?? หนา ??

6.2. การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธโดยใชอนกรมกำลง 221

6.2 การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธโดยใชอนกรมกำลงในการศกษาเรองการหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธโดยใชอนกรมกำลง จะมขนตอนใน

การแกปญหาดงตอไปน

ขนตอนการหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธโดยใชอนกรมกำลง1. สมมตใหผลเฉลยอยในรป

y = a0 + a1x + a2x2 + a3x

3 + · · ·

หรอ อาจจะสมมตให y = a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2 + a3(x − x0)3 + · · · สำหรบกรณทการสมมตใหy เปนอนกรมกำลงรอบจด 0 ไมสามารถหาคำตอบได โดย x0 อาจจะมคาเปน 1 หรอ มคาอน โดยพจารณาจากเงอนไขคาตงตนทกำหนดให

2. แทนคา y และอนพนธของ y ลงในสมการ

3. พยายามจดรปใหอยในรปสมการใหม

b0 + b1x + b2x2 + b3x

3 + · · · = 0

(หรอ b0 + b1(x− x0) + b2(x− x0)2 + b3(x− x0)3 + · · · = 0)

4. โดยคณสมบตของอนกรมอนนต จะไดวา b0 = b1 = b2 = . . . = 0 ดงนน เราจะไดระบบสมการ

b0 = 0,

b1 = 0,

...bn = 0,

...

(6.4)

5. แกระบบระบบสมการ (6.4) เพอหาคา a0, a1, a2, . . .

6. แทนคา a0, a1, a2, . . . ลงในผลเฉลย



y′ − y = 0 (6.5)

วธทำ เราจะหาผลเฉลยของสมการ (6.5) โดย

1. สมมตใหผลเฉลยอยในรป

y = a0 + a1x + a2x2 + a3x

3 + · · ·

2. พบวาอนพนธของ y คอ

y′ = a1 + 2a2x + 3a3x2 + 4a4x

3 + · · ·+ nanxn−1 + · · ·

เมอแทนคาลงในสมการ ทำใหได(a1 + 2a2x + 3a3x

2 + 4a4x3 + · · · )− (

a0 + a1x + a2x2 + a3x

3 + · · · ) = 0

3. จดรปสมการใหมไดเปน

(a1 − a0) + (2a2 − a1)x + (3a3 − a2)x2 + · · ·+ (nan − an−1)xn−1 + · · · = 0

4. เราพบวา

a1 − a0 = 0,

2a2 − a1 = 0,

...nan − an−1 = 0,

...

5. เราสามารถแกระบบสมการไดคอ

a1 = a0, a2 =a1

2=

a0

2!, a3 =

a2

2=

13

a0

2!=

a0

3!, · · · , an =

a0

n!, · · ·


6. เราไดวาผลเฉลยของสมการ (6.5) คอ

y = a0 + a0x +a0

2!x2 +

a0

3!x3 + · · ·

= a0(1 + x +x2

2!+

x3

3!+ · · · )

= a0ex

พบวาผลเฉลยทได สอดคลองกบผลเฉลยทไดจากตวอยาง 2.6 หนา 16


y′ = 2xy (6.6)

วธทำ เราจะหาผลเฉลยของสมการ (6.6) โดย

1. สมมตใหผลเฉลยอยในรป

y = a0 + a1x + a2x2 + a3x

3 + · · ·

2. พบวาอนพนธของ y คอ

y′ = a1 + 2a2x + 3a3x2 + 4a4x

3 + · · ·+ nanxn−1 + · · ·

เมอแทนคาลงในสมการ ทำใหได(a1 + 2a2x + 3a3x

2 + 4a4x3 + · · · ) = 2x

(a0 + a1x + a2x

2 + a3x3 + · · · )

=(2a0x + 2a1x

2 + 2a2x3 + 2a3x

4 + · · · )


a1 + (2a2 − 2a0)x + (3a3 − 2a1)x2 + · · ·+ (nan − 2an−2)xn−1 + · · · = 0


4. เราพบวา

a1 = 0,

2a2 − 2a0 = 0,

3a3 − 2a1 = 0,

...nan − 2an−2 = 0,

(n + 1)an+1 − 2an−1 = 0,

...

5. เราสามารถแกระบบสมการไดคอa1 = 3

2a3 = 32

(53a5

)= · · · = 2n−1

2 a2n−1 = · · · = 0

a2 = a0, a4 = 2a24 = a0

2! , a6 = 2a46 = 1

3a4 = a03! , · · · , a2n = a0

n! = · · ·

6. เราไดวาผลเฉลยของสมการ (6.6) คอ

y = a0 + a0x2 +

a0

2!x4 +

a0

3!x6 + · · ·

= a0(1 + x2 +x4

2!+

x6

3!+ · · · )

= a0

(1 + (x2) +

(x2)2

2!+

(x2)3

3!+ · · ·

)

= a0ex2

หมายเหต ผอาน อาจจะตรวจสอบผลเฉลยทไดน กบผลเฉลยทไดจากสมการ (6.6) ซงไดจากการพจารณาใหเปน สมการเชงอนพนธอนดบทหนงชนด “สมการแยกกนได”ตวอยาง 6.4. จงหาผลเฉลยของสมการ

y′′ + y = 0 (6.7)

วธทำ สำหรบการหาผลเฉลยของสมการ (6.7) สามารถทำไดโดย1. สมมตใหผลเฉลย y อยในรปของอนกรมกำลงของ x


2. อนพนธอนดบทสองของผลเฉลย y คอ

y′′ = (1 · 2)a2 + (2 · 3)a3x + (3 · 4)a4x2 + · · ·

เมอแทนคาลงในสมการ (6.7) ทำใหได((1 · 2)a2 + (2 · 3)a3x + (3 · 4)a4x

2 + · · · ) +(a0 + a1x + a2x

2 + a3x3 + · · · ) = 0


((1 · 2)a2 + a0) + ((2 · 3)a3 + a1) x + ((3 · 4)a4 + a2) x2 + · · · = 0

4. โดยคณสมบตของอนกรมกำลง สมประสทธของอนกรมตองเปนศนยทงหมด ทำใหได

(1 · 2)a2 + a0 = 0,

(2 · 3)a3 + a1 = 0,

...(n− 1)nan + an−2 = 0,

n(n + 1)an+1 + an−1 = 0,

...

5. เราพบวาสามารถเขยนสมประสทธ a2, a4, a6, . . . ในรป a0 ไดโดยท

a2 = − a0

1 · 2 = −a0

2!,

a4 = − a2

3 · 4 = − −a0

(3 · 4)2!=

a0

4!,

...a2n = (−1)n a0

(2n)!...


และเราพบวาสามารถเขยนสมประสทธ a3, a5, a7, . . . ในรป a1 ไดโดยทa3 = − a1

2 · 3 = −a1

3!,

a5 = − a3

4 · 5 = − −a1

(4 · 5)3!=

a1

5!,

...a2n+1 = (−1)n a1

(2n + 1)!,

...6. ผลเฉลยของสมการคอ

y = a0 + a1x− a0

2!x2 − a1

3!x3 +

a0

4!x4 +

a1

5!x5 −−+ + · · ·

ซงสามารถจดรปใหมไดเปนy =

(a0 − a0

2!x2 +

a0

4!x4 −+ · · ·

)+

(a1x− a1

3!x3 +

a1

5!x5 −+ · · ·

)

= a0

(1− 1

2!x2 +

14!

x4 −+ · · ·)

+ a1

(x− 1

3!x3 +

15!

x5 −+ · · ·)

= a0 cosx + a1 sinx

ตวอยาง 6.5. จงหาผลเฉลยของสมการแอร3 (Airy’s equation)y′′ − xy = 0 (6.8)

วธทำ สำหรบการหาผลเฉลยของสมการ (6.8) สามารถทำไดโดย1. สมมตใหผลเฉลย y อยในรปของอนกรมกำลงของ x2. อนพนธอนดบทสองของผลเฉลย y คอ

y′′ = (1 · 2)a2 + (2 · 3)a3x + (3 · 4)a4x2 + · · ·

เมอแทนคาลงในสมการ (6.8) ทำใหได[(1 · 2)a2 + (2 · 3)a3x + · · · ]− x

[a0 + a1x + a2x

2 + · · · ] = 0

3เซอร จอรจ แอร (Sir George Airy, 1801-1892) เปนนกคณตศาสตร และดาราศาสตรชาวองกฤษแอรไดศกษาสมการแอร เพราะวาผลเฉลยของสมการมลกษณะพเศษคอ เมอพจารณากรณท x ทนอยกวาศนย ผลเฉลยมคาแกวงกวดในทางบวกและลบ (oscillate) เชนเดยวกบฟงกชนตรโกณมต และสำหรบกรณท x มคามากกวาศนย ผลเฉลยจะเปนฟงกชนทางเดยว (monotone function) เชนเดยวกบฟงกชนไฮเปอรโบลก (hyperbolic function)


3. จดรปสมการใหมไดเปน(1 · 2)a2 + ((2 · 3)a3 − a0) x + ((3 · 4)a4 − a1) x2 + ((4 · 5)a5 − a2) x3 + · · · = 0

4. โดยคณสมบตของอนกรมกำลง สมประสทธของอนกรมตองเปนศนยทงหมด ทำใหไดa2 = 0,

(2 · 3)a3 − a0 = 0,

(3 · 4)a4 − a1 = 0,

(4 · 5)a5 − a2 = 0,

...n(n + 1)an+1 − an−2 = 0,

(n + 1)(n + 2)an+2 − an−1 = 0,

(n + 2)(n + 3)an+3 − an = 0,

...

5. • เราพบวาสามารถเขยนสมประสทธ a5 สามารถเขยนไดในรปของสมประสทธ a2, a8

สามารถเขยนไดในรปของสมประสทธ a5, . . .ซงกคอ a3n+2 =

a3n−1

(3n + 1)(3n + 2), n = 1, 2, 3, . . . นนทำให

a2 = a5 = · · · = a3n+2 = · · · = 0

• สำหรบ a1, a4, a7, a10, . . . มคาa3 =

a0

2 · 3 ,

a6 =a3

5 · 6 =a0

(2 · 3)(5 · 6),

a9 =a6

8 · 9 =a0

(2 · 3)(5 · 6)(8 · 9),

...a3n =

a0

(2 · 3)(5 · 6) · · · (3n− 4)(3n− 3)(3n− 1)(3n)...


• a0, a3, a6, a9, . . . หาคาไดดงนa4 =

a1

3 · 4 ,

a7 =a4

6 · 7 =a1

(3 · 4)(6 · 7),

a10 =a7

9 · 10=

a1

(3 · 4)(6 · 7)(9 · 10),

...a3n+1 =

a1

(3 · 4)(6 · 7) · · · (3n− 3)(3n− 2)(3n)(3n + 1)...

6. ผลเฉลยของสมการคอy = a0

(1 +

x3

2 · 3 +x6

2 · 3 · 5 · 6 + · · ·+ x3n

2 · 3 · · · (3n− 1)(3n)+ · · ·

)

= +a1

(x +

x4

3 · 4 +x7

3 · 4 · 6 · 7 + · · ·+ x3n+1

3 · 4 · · · (3n)(3n + 1)+ · · ·

)

y = a0

(1 +

∞∑

n=1

x3n

2 · 3 · · · (3n− 1)(3n)

)+ a1

(x +

∞∑

n=1

x3n+1

3 · 4 · · · (3n)(3n + 1)

)

สงเกตไดวาผลเฉลยของสมการแอร อยในรปy = a0y1 + a1y2,

เมอ a0 และ a1 เปนคาคงตวใด ๆ,y1 = 1 +

∞∑

n=1

x3n

2 · 3 · · · (3n− 1)(3n),

y2 = x +∞∑

n=1

x3n+1

3 · 4 · · · (3n)(3n + 1)

โดย y1 และ y2 เปนผลเฉลยของสมการแอรซงเปนอสระเชงเสน ซงเปนไปตามทฤษฎบท 4.5(หนา 143) แตเราไมสามารถเขยนผลเฉลย y1 และ y2 ใหอยในรปฟงกชนพนฐานทวไปทเรารจกไดเหมอนกบผลเฉลยจากตวอยาง 6.2, 6.3 และ 6.4


ตวอยาง 6.6. จงหาผลเฉลยของสมการแอรในรปอนกรมกำลงรอบจด 1

วธทำ

1. สมมตใหผลเฉลย y อยในรปของอนกรมกำลงของ x รอบจด 1

y = a0 + a1(x− 1) + a2(x− 1)2 + a3(x− 1)3 + · · ·

=∞∑

n=0

an(x− 1)n

2. อนพนธอนดบทสองของผลเฉลย y คอ

y′′ = (1 · 2)a2 + (2 · 3)a3(x− 1) + (3 · 4)a4(x− 1)2 + · · ·

=∞∑

n=2

(n− 1)nan(x− 1)n−2

=∞∑

n=0

(n + 1)(n + 2)an+2(x− 1)n

เมอแทนคาลงในสมการแอร ทำใหได∞∑

n=0

(n + 1)(n + 2)an+2(x− 1)n − x∞∑

n=0

an(x− 1)n = 0

เนองจากพจารณาx รอบจด 1ดงนนจะเขยนx ในสมการ y′′−xy = 0 ในรปx = 1+(x−1)

ซงทำใหเราสามารถเขยนสมการแอรไดในรป∞∑

n=0

(n + 1)(n + 2)an+2(x− 1)n − [1 + (x− 1)]∞∑

n=0

an(x− 1)n

=∞∑

n=0

(n + 1)(n + 2)an+2(x− 1)n −∞∑

n=0

an(x− 1)n −∞∑

n=0

an(x− 1)n+1

=∞∑

n=0

(n + 1)(n + 2)an+2(x− 1)n −∞∑

n=0

an(x− 1)n −∞∑

n=1

an+1(x− 1)n

= 0


[(1 · 2)a2 − a0] +∞∑

n=1

[n(n + 1)an+1 − an−1 − an] (x− 1)n = 0


4. เนองดวยสมประสทธของอนกรมตองเปนศนยทงหมด ทำใหได2a2 = a0,

(2 · 3)a3 − a1 − a0 = 0 ⇒ (2 · 3)a3 = a1 + a0,

(3 · 4)a4 − a2 − a1 = 0 ⇒ (3 · 4)a4 = a2 + a1,

(4 · 5)a5 − a3 − a2 = 0 ⇒ (4 · 5)a5 = a3 + a2,

...หรอกคอ

2a2 = a0,

(n + 1)(n + 2)an+2 = an+1 + an n = 1, 2, 3, . . .

5. เมอแกสมการทำใหไดสมประสทธa2 =

a0

2,

a3 =a1 + a0

2 · 3 =a0

6+

a1

6

a4 =a2 + a1

3 · 4 =112

(a0

2+ a1

)=

a0

24+

a1

12

a5 =a3 + a2

4 · 5 =120

(a1

6+

a0

6+

a0

2

)=

a0

30+

a1

120...


[1 +

(x− 1)2

2+

(x− 1)3

6+

(x− 1)4

24+

(x− 1)5

30+ · · ·

]

+a1

[(x− 1) +

(x− 1)3

6+

(x− 1)4

12+

(x− 1)5

120+ · · ·

]


ตวอยาง 6.7. จงหาผลเฉลยของปญหาคาตงตนตอไปน โดยใชอนกรมกำลง

(x2 − 1)d2y

dx2+ 3x

dy

dx+ xy = 0

y(0) = 4, y′(0) = 6(6.9)

วธทำ

1. เนองจากปญหาคาตงตน (6.9) มเงอนไขคาตงตนทจด x = 0 ดงนนจะสมมตใหผลเฉลย y

อยในรปของอนกรมกำลงของ x รอบจด 0

y = a0 + a1x + a2x2 + a3x

3 + · · · =∞∑

n=0

anxn

2. อนพนธอนดบทหนงและสอง คอ

y′ =∞∑

n=0

(n + 1)an+1xn

y′′ =∞∑

n=0

(n + 1)(n + 2)an+2xn

เมอแทนคาลงในสมการ ทำใหได

(x2 − 1)∞∑

n=0

(n + 1)(n + 2)an+2xn + 3x

∞∑

n=0

(n + 1)an+1xn + x

∞∑

n=0

anxn = 0


3. จดรปสมการใหมไดเปน∞∑

n=0

(n + 1)(n + 2)an+2xn+2 −

∞∑

n=0

(n + 1)(n + 2)an+2xn

+3∞∑

n=0

(n + 1)an+1xn+1 +

∞∑

n=0

anxn+1

=∞∑

n=0

(n + 1)(n + 2)an+2xn+2

−2a2 − 6a3x−∞∑

n=2

(n + 1)(n + 2)an+2xn

+3a1x + 3∞∑

n=1

(n + 1)an+1xn+1 + a0x +

∞∑

n=1

anxn+1

=∞∑

n=2

(n− 1)nanxn

−2a2 − 6a3x−∞∑

n=2

(n + 1)(n + 2)an+2xn

+3a1x + 3∞∑

n=2

nanxn + a0x +∞∑

n=0

an−1xn

= −2a2 + (a0 + 3a1 − 6a3)x

+∞∑

n=2

[−(n + 1)(n + 2)an+2 + n(n + 2)an + an−1] xn = 0

4. เนองดวยสมประสทธของอนกรมตองเปนศนยทงหมด ทำใหได

−a2 = 0,

−(a0 + 3a1 − 6a3) = 0,

−(n + 1)(n + 2)an+2 + n(n + 2)an + an−1 = 0, (n = 2, 3, 4, . . .)

5. เมอแกสมการทำใหไดสมประสทธ

a2 = 0,

a3 =a0

6+

a1

2,

และ an+2 =n

n + 1an +

1(n + 1)(n + 2)

an−1


นนคอa4 =

23a2 +

13 · 4a1 =

a1

12,

a5 =34a3 +

14 · 5a2 =

34

(a0

6+

a1

2

)=

a0

8+

3a1

8,

a6 =45a4 +

15 · 6a3 =

a1

15+

130

(a0

6+

a1

2

)=

a0

180+

a1

12,

...


[1 +

x3

6+

x5

8+

x6

180+ · · ·

]+ a1

[x +

x3

2+

x4

12+

3x5

8+

x6

12· · ·

]

7. จากเงอนไขคาตงตน• y(0) = 4

y(0) = a0 [1 + 0 + 0 + · · · ] + a1 [0 + 0 + 0 + · · · ] = a0 = 4

ซงได a0 = 4

• y′(0) = 6

เนองจากdy

dx= 4

[x2

3+

5x4

8+

x5

30+ · · ·

]+ a1

[1 +

3x2

2+

x3

3+

15x4

8+

x5

2· · ·

]

ดงนนy′(0) = 4 [0 + 0 + 0 + · · · ] + a1 [1 + 0 + 0 + · · · ] = a1 = 6

ซงได a1 = 6

ดงนน ผลเฉลยของปญหาคาตงตนคอy = 4

[1 +

x3

6+

x5

8+

x6

180+ · · ·

]+ 6

[x +

x3

2+

x4

12+

3x5

8+

x6

12· · ·

]

= 4 + 6x +11x3

3+

x4

2+

11x5

4+ · · ·


แบบฝกหด1. จงหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธตอไปน โดยพจารณาผลเฉลยในรปของอนกรมกำลงรอบจด x0 ทกำหนดให

(a) y′′ − y = 0, x0 = 0

(b) y′′ − xy′ − y = 0, x0 = 0

(c) y′′ − 4y = 0, x0 = 0

(d) y′′ − xy′ − y = 0, x0 = 1

(e) y′′ + k2x2y = 0, x0 = 0, k เปนคาคงตวใด ๆ(f) (1− x)y′′ + y = 0, x0 = 0

(g) (1− x)y′′ + y = 0, x0 = 1

(h) (2 + x2)y′′ − xy′ + 4y = 0, x0 = 0

(i) y′′ + xy′ + 2y = 0, x0 = 0

(j) xy′′ + y′ + xy = 0, x0 = 1

(k) (4− x2)y′′ + 2y = 0, x0 = 0

(l) (1− x)y′′ + xy′ − y = 0, x0 = 0

2. จงหาผลเฉลยของปญหาคาตงตนตอไปน(a) y′′ + x2y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0

(b) y′′ − xy′ − y = 0, y(0) = 2, y′(0) = 1

(c) (2 + x2)y′′ − xy′ + 4y = 0, y(0) = −1, y′(0) = 3

(d) y′′ + xy′ + 2y = 0, y(0) = 4, y′(0) = −1

(e) (1− x)y′′ + xy′ − y = 0, y(0) = −3, y′(0) = 2

(f) (4− x2)y′′ + 2y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 1

คำตอบของแบบฝกหดคำตอบของแบบฝกหด 1.1 (หนา 3)

1. สมการเชงอนพนธสามญ อนดบหนง เชงเสน2. สมการเชงอนพนธยอย อนดบสอง3. สมการเชงอนพนธสามญ อนดบส ไมเชงเสน4. สมการเชงอนพนธสามญ อนดบสอง ไมเชงเสน5. สมการเชงอนพนธยอย อนดบสอง6. สมการเชงอนพนธสามญ อนดบสอง เชงเสน7. สมการเชงอนพนธสามญ อนดบหก ไมเชงเสน8. สมการเชงอนพนธสามญ อนดบสอง เชงเสน9. สมการเชงอนพนธยอย อนดบส10. สมการเชงอนพนธสามญ อนดบส เชงเสน

235

236 คำตอบของแบบฝกหด

คำตอบของแบบฝกหด 2.3 (หนา 18)1. y =

13e3x − x2

2+ c

2. y = ln |x|+ c

3. y = cos (x) + c

4. y = sec (x) + c

5. y = ecx

6. y =12(tan−1

)2 + c

7. y = e−x2+ c

8. y = e− cos(x) + c

9. y = c(x + 14)4

10. y =1

x2 + c

11. y = sin(√

x + c)

12. y =(

45x√

x + c

)2

13. y = ln |x| − ln |y − 1|+ c

14. tan−1 (y) = −tan−1 (x) + c

15. 1y4

+1x4

= c

16. cos (y) =−x3

3+ c

17. y2 = c (x + 2)4 e−2x + 1

18. r sin2 θ = c

หมายเหต c เปนคาคงตวใด ๆ


คำตอบของแบบฝกหด 2.4 (หนา 21)1. ln |y| = 1− e−x

2. cos (x) + x sin (x) = y6 − y − 1

3. cos (x) =12y2 − 1

4. x2 + y2 = 4

5. ln |y| = −x3

3− x− 4

3

6. ln |y| = − ln |x|+ ln 4

7. 3ex2= 6y − y6 + 3

8. y + ln |y| = x3

3− x− 7

9. ln |8− 3y| = −3x + ln 4

10. ex + 2xy − 6exy = 0

คำตอบของแบบฝกหด 2.5 (หนา 27)1. (a) x2 − 2xy − y2 = c

(b) y = x(ln |x|+ c)2

(c) y = x(ln |x|+ c)12

(d) y = x ln |x|+ xc

(e) y = cx3 − x

(f) y2 = x2 + cx4

(g) y =cx3

1− cx2

(h) cos(y

x

)= c− ln |x|

(i) eyx = 2 ln |x|+ c

(j) ln

∣∣∣∣∣

√1 +

y2

x2+

y

x

∣∣∣∣∣ = ln |x|+ c

หมายเหต c เปนคาคงตวใด ๆ2. (a) x2 + y2 = 5

(b) x4 + y4 = 1

(c) ln |y|+ ln |x| = ln 4

(d) 2x4 − y2 − 4x2 = 0


คำตอบของแบบฝกหด 2.6 (หนา 32)1. (a) y = 1 + ce−x

(b) y = xe−x + ce−x

(c) y =12e3x + cex

(d) y =1x

(sin (x) + c)

(e) y = x3 (x + c)

(f) y = e−x(tan−1 (ex) + c

)

(g) y =ln |sin (x)|+ c

1 + x2

(h) y = x2e−x + ce−x + x2 − 2x + 2

(i) y =(x2 + c

)csc (x)

(j) y = x2 (c− x)

(k) y =1x− cot (x) +

c

x sin (x)

(l) y = ex2 (3x2 + c

)

(m) y =x3 + c

ln |x|

(n) y = x2 + cx2e1x

หมายเหต c เปนคาคงตวใด ๆ2. (a) y = 1

(b) y =x

2+

32x

(c) y = 1− e− sin(x)

(d) y =14x5 − 56

x3

(e) y = −1 + ex+x2

2

(f) y =13

+163

(x2 + 4

) 32

คำตอบของแบบฝกหด 2.7 (หนา 35)1. y =

2x (c− x2)

2. y2 =2e2x

c− e4x

3. y =5x2

x5 + c

4. y =(

(x− 2)2 +c√

x− 2

)2

5. y =x

x + c

6. y4 =2e8x2

+ c

e8x2

7. y2 =2

ce2x − 2x− 1

8. y3 =3e4x + c

4e3x

9. y3 =1

x3(2x3 + c)

10. r =θ2

c− θ

11. x2 =1

t2 (2 ln |t|+ c)

12. x2 =2tet + c

tet



คำตอบของแบบฝกหด 2.8 (หนา 45)1. (a) y =

c− x2

3x− 4

(b) x3 − 2y2x + 2y3 = c

(c) −2xy2 + 2x2 − 5x + y2 − 4y = c

(d) ไมเปนสมการแมนตรง(e) x− tan (y) cos (x) = c

(f) 13x3 + y ln |x|+ 1

3y3 = c

(g) ex sin (y) + x tan (y) = c

(h) xey + sin (x) cos (y) = c

(i) x2 +23(x2 − y

) 32 = c

(j) (θ2 + 1

)sin (r) = c

(k) x2

2+ x sin y − y2 = c

(l) 2x + exy − y2 = c

หมายเหต c เปนคาคงตวใด ๆ2. (a) x2y + y + 25 = 0

(b) y

x2+

12

= 0

(c) ln |1− 3y|+ x3 − ln 4 = 0

(d) xy2 + y − 2 = 0

(e) 2xy3 − x2y2 − y4 + 9 = 0


คำตอบของแบบฝกหด 2.9 (หนา 53)

1. ตวประกอบปรพนธคอ 1x

ผลเฉลยของสมการคอ ln |x| − 2y = c

(หรอ ตวประกอบปรพนธคอ e−2y

ผลเฉลยของสมการคอ xe−2y = c โดย |c| = ec)2. ตวประกอบปรพนธคอ e3x

ผลเฉลยของสมการคอ e3x(3x2y + y3

)= c

3. ตวประกอบปรพนธคอ e−x

ผลเฉลยของสมการคอ ex + e−x (1− y) = c

4. ตวประกอบปรพนธคอ y

ผลเฉลยของสมการคอ xy − sin y + y cos y = c

5. ตวประกอบปรพนธคอ 1x2

ผลเฉลยของสมการคอ 3x− y

x+

y2

2= c

6. ตวประกอบปรพนธคอ e2y

y

ผลเฉลยของสมการคอ xe2y − ln |y| = c

7. ตวประกอบปรพนธคอ sin y

ผลเฉลยของสมการคอ ex sin y + y2 = c

8. ตวประกอบปรพนธคอ y2

ผลเฉลยของสมการคอ x4 + 3xy + y4 = c



คำตอบของแบบฝกหด 3.4 (หนา 75)1. เปนสมการเชงเสนเอกพนธ2. เปนสมการเชงเสนไมเอกพนธ3. ไมเปนสมการเชงเสน4. เปนสมการเชงเสนเอกพนธ5. เปนสมการเชงเสนไมเอกพนธ6. ไมเปนสมการเชงเสน7. เปนสมการเชงเสนไมเอกพนธ ทมสมประสทธเปนคาคงตว8. ไมเปนสมการเชงเสน

คำตอบของแบบฝกหด 3.5 (หนา 81)1. (a) เปนอสระเชงเสน(b) ไมเปนอสระเชงเสน(c) เปนอสระเชงเสน(d) ไมเปนอสระเชงเสน(e) ไมเปนอสระเชงเสน(f) เปนอสระเชงเสน(g) เปนอสระเชงเสน(h) ไมเปนอสระเชงเสน


คำตอบของแบบฝกหด 3.6 (หนา 92)1. (i) y = c1e

−3x + c2e2x

(ii) y = c1e−x + c2xe−x

(iii) y = c1 cos 2√

2x + c2 sin 2√

2x

(iv) y = ex(c1 cos

√3x + c2 sin

√3x

)

(v) y = c1e2x + c2xe2x

(vi) y = c1e4x + c2e

5x

(vii) y = e−x2

(c1 cos

√5

2x + c2 sin

√5

2x

)

(viii) y = c1e3x2 + c2xe

3x2

(ix) y = c1 + c2e−x

(x) y = c1e−3x + c2e

−2x

(xi) y = c1e−4x + c2xe−4x

(xii) y = c1e

�−12

+√

52

�x + c2e

�−12 −

√5

2

�x

(xiii) y = e3x (c1 cosx + c2 sinx)

(xiv) y = c1ex2 + c2e

−4x

(xv) y = c1ex2 + c2e

−7x

(xvi) y = c1e

�12+ 3

√5

2

�x + c2e

�12− 3

√5

2

�x

(xvii) y = e−52

x (c1 + c2x)

(xviii) y = e3x (c1 cos 4x + c2 sin 4x)

(xix) y = c1e−3x + c2e

−2x

(xx) y = e−x(c1 cos

√2x + c2 sin

√2x

)

(xxi) y = c1e2x + c2e

−2x

(xxii) y = c1e

�1+

√3

2

�x + c2e

�1−

√3

2

�x

(xxiii) y = c1ex2 + c2e

−x

(xxiv) y = e−2x (c1 cosx + c2 sinx)

(xxv) y = c1ex4 + c2xe

x4

(xxvi) y = c1ex + c2e

−5x

(xxvii) y = c1e2x + c2e

−x

(xxviii) y = e5x (c1 cosx + c2 sinx)

(xxix) y = e−3x (c1 + c2x)

(xxx) y = e2x(c1 cos

√3x + c2 sin

√3x

)

(xxxi) y = c1e3x + c2e

2x

(xxxii) y = c1e−2x3 + c2e

x2

(xxxiii) y = ex2 (c1 + c2x)

(xxxiv) y = c1e−11+

√205

6x + c2e

−11−√2056

x

หมายเหต c1 และ c2 เปนคาคงตวใด ๆ


2. (a) y = e3x−1

(b) y = 2e5x + ex

(c) y = 5xe3x

(d) y = e−2x (cos (x) + 2 sin (x))

(e) y = e(−2+√

2)x − 2e(−2−√2)x

(f) y =95ex−1 +

15e9−9x

(g) y = 3e−4x

(h) y = 3− e−x

(i) y = e−x (1 + 2x)

(j) y =43ex − 1

3e3x

(k) y =√

32

e(1+√

3x)−√

32

e(1−√

3x)

(l) y = e3x

(2 +

73x

)

(m) y = 2e5x+5e−x−1

(n) y = e2x−2 (2− x)

(o) y = ex (sin (x)− cos (x))

คำตอบของแบบฝกหด 3.7 (หนา 98)1. y2 = −e−5x

8, y = c1e

3x + c2e−5x

2. y2 = e2x, y = c1ex + c2e

2x

3. y2 =x3

3, y = c1 + c2x

3

4. y2 =x4

5, y =

c1

x+ c2x

4

5. y2 = − 1x3

, y =c1

x2+

c2

x3

6. y2 = x3, y = c1x2 + c2x

3

7. y2 = − 13x2

, y = c1x +c2

x2

8. y2 =1x

lnx, y =c1

x+

c2

xln x

9. y2 = xex, y = c1x + c2xex

10. y2 = −12

cos(x2), y = c1 sin(x2) + c2 cos(x2)

11. y2 = 1 + xe2x − e2x, y = c1ex + c2(1 + xe2x − e2x)


12. y2 = −x− 1, y = c1ex + c2(x + 1)

13. y2 = − 13x

, y = c1x2 +

c2

x

14. y2 = −12x1/4e−2

√x, y = c1x

1/4e2√

x + c2x1/4e−2

√x

15. y2 = e−3x(−4x− 16), y = c1ex + c2e

−3x(x + 4)

16. y2 = −cosx√x

, y =c1 sinx√

x+

c2 cosx√x


คำตอบของแบบฝกหด 3.8.1 (หนา 115)1. (a) y = c1 cos

√3x + c2 sin

√3x− 3

(b) y = c1e(−2−√2)x + c2e

(−2+√

2)x − 10

(c) y = c1 cosx√2

+ c2 sinx√2

+ e2x

(d) y = c1 cosx + c2 sinx + e−2x

(e) y = c1e2x + c2e

−x − x + x3

(f) y = ex2

(c1 cos

√352

x + c2 sin√

352

x

)+ 3 cos 3x

(g) y = e−2x (c1 cosx + c2 sinx) +126

e3x

(h) y = c1e−2x + c2e

x − 14e−x

(i) y = c1e−4x + c2e

−x +334

cosx +534

sinx

(j) y = c1e2x + c2e

−2x − 2− x− x2

(k) y = c1e2x + c2e

x +12x3 +

94x2 +

214

x +458

(l) y = c1 + c2e−2x − sinx− cosx



2. (a) y = c1e3x + c2e

−x − ex

(b) y = c1e3x + c2e

−x + e−xx

(38x− 3

16

)

(c) y = e−x (c1 cos 2x + c2 sin 2x) +317

sin 2x− 1217

cos 2x

(d) y = c1 + c2e−2x + x− 1

2sin 2x− 1

2cos 2x

(e) y = c1e−x + c2xe−x + x2e−x

(f) y = c1 cosω0x + c2 sinω0x +cosωx

(ω0)2 − ω2

(g) y = c1 + c2e−4x +

13

cos 2x +23

sin 2x +85

sinx− 25

cosx

(h) y = c1 + c2ex − 12x− 11

2x2

(i) y = c1e3x + c2e

−x + e−x

(3732

x− 316

x2 − 14x3

)

(j) y = c1e2x + c2e

x + ex

(12

cosx− 12

sinx

)

(k) y = c1e2x + c2e

−2x +15

sinx− 15

cosx

(l) y = c1 sin 3x + c2 cos 3x + e3x

(118

x2 − 127

x +1

162

)+

23

(m) y = c1 cosω0x + c2 sinω0x +cosω0x + ω0x sinω0x

2 (ω0)2

(n) c1 + c2x +12x2 +

13x3 +

14x4 +

15x5

หมายเหต c1 และ c2 เปนคาคงตวใด ๆ3. (a) y = 3− x + 6x3

(b) y = sin x + 2 cosx + e−x

(c) y =−1940

cos 2x +710

sin 2x− 18

+14x2 +

35ex

(d) y = ex (4x− 3) +16x3ex + 4

(e) y = − 110

cos2 x +120

(6 sinx− 6) cosx− 110

sinx +120

(f) y = − 110

ex − 16e2x +

112

(g) y = e−x

(cos 2x +

12

sin 2x + e−x (x sin 2x))


4. (a) yp = A0x + A1x2 + A2x

3 + A3x4 + A4x

5 +(B0x + B1x

2 + B2x3)e−3x

+C cos 3x + D sin 3x

(b) yp = (A0 + A1x) sin x + (B0 + B1x) cos x + Cex

(c) yp = A0 + A1x +(B0x + B1x

2)sinx +

(C0x + C1x

2)cosx

(d) yp = ex (A cos 2x + B sin 2x) + e2x [(C0 + C1x) sin 2x + (D0 + D1x) cos 2x]

(e) yp = A0 + A1x + A2x2 + e2x

(B0x

2 + B1x3)

+ (C0 + C1x) sin 2x

+(D0 + D1x) cos 2x

(f) yp = e2x(A0 + A1x + A2x

2)

(g) yp = ex(A0x + A1x

2 + A2x3)

+ e−x(B0x + B1x

2 + B2x3 + B3x

4)

(h) yp = e2x(A0x

2 + A1x3 + A2x

4)

(i) yp = A sinx + B cosx + C sin 2x + D cos 2x

(j) yp = ex[(

A0 + A1x + A2x2)sin 2x +

(B0 + B1x + B2x

2)cos 2x

]

+e−x (C cosx + D sinx) + Eex

(k) yp = e−x [(A0 + A1x) sin (2x) + (B0 + B1x) cos 2x]

+e−2x [(C0 + C1x) sin x + (D0 + D1x) sinx]

หมายเหต A,B, C, D, E,A0, . . . , A4, B0, . . . , B3, C0, C1, D0, D1, E0, E1 เปนคาคงตวใด ๆ


คำตอบของแบบฝกหด 3.8.2 (หนา 125)1. (a) y = c1 cos

√3x + c2 sin

√3x− 3

(b) y = c1e(−2−√2)x + c2e

(−2+√

2)x − 10

(c) y = c1 cosx√2

+ c2 sinx√2

+ e2x

(d) y = c1 cosx + c2 sinx + e−2x

(e) y = c1e2x + c2e

−x − x + x3

(f) y = ex2

(c1 cos

√352

x + c2 sin√

352

x

)+ 3 cos 3x

(g) y = e−2x (c1 cosx + c2 sinx) +126

e3x

(h) y = c1e−2x + c2e

x − 14e−x

(i) y = c1e−4x + c2e

−x +334

cosx +534

sinx

(j) y = c1e2x + c2e

−2x − 2− x− x2

(k) y = c1e2x + c2e

x +12x3 +

94x2 +

214

x +458

(l) y = c1 + c2e−2x − sinx− cosx

2. (a) y = c1 cosx + c2 sinx− cosxln |tanx + secx|

(b) y = c1e−2x + c2xe−2x − e−2x ln |x|

(c) y = c1 cos 3x + c2 sin 3x− 1 + sin 3x ln |sec 3x + tan 3x|

(d) y = c1 cos 2x + c2 sin 2x− 32x cos 2x +

34

sin 2x ln |sin 2x|

(e) y = c1 cos 2x + c2 sin 2x− 14

cos 2x ln |sec 2x + tan 2x|

(f) y = c1 cosx

2+ c2 sin

x

2+ x sin

x

2+ 2 cos

x

2ln

∣∣∣cosx

2

∣∣∣

(g) y = c1e−x + c2xe−x +

12x2e−x ln |x| − 3

4x2e−x

(h) y = c1ex + c2xex − 1

2ex ln

(1 + x2

)+ xextan−1x

(i) y = c1e−x + c2e

3x − e−x(8x2 + 4x + 1

)

(j) y = e−x

(c1 cos 2x + c2 sin 2x +

14

cos 2x ln |cos 2x|+ 12x sin 2x

)

(k) y = c1e−x2 + c2e

−x +110

e−3x

(l) y = c1e2x + c2e

x + e2x(ln

∣∣e−x + 1∣∣− e−x

)+ ex ln

∣∣e−x + 1∣∣



คำตอบของแบบฝกหด 3.9 (หนา 132)1. (a) y = c1x + c2x

3

(b) y = c1x2 +

c2

x2

(c) y = c1

√x + c2x

3/2

(d) y = c1x2 + c2x

2 lnx

(e) y = c1 sin(2 lnx) + c2 cos(2 lnx)

(f) y = c1x2 sin(3 lnx) + c2x

2 cos(3 lnx)

(g) y = c1x1/3 + c2x

2

(h) y = c1 sin(3 lnx) + c2 cos(3 lnx)

(i) y = c1x1/3 + c2x

1/3 lnx

(j) y = c1x3 sin(lnx) + c2x

3 cos(lnx)

(k) y = c1x2 + c2x

3 − 1 + 2x

(l) y = c1x2 + c2x

4 − 2x3

(m) y =c1

x2+

c2

x+ 2 lnx− 3

(n) y = c1 sin(2 lnx) + c2 cos(2 lnx) +25x lnx

(o) y = c1 sin(lnx) + c2 cos(lnx)− 2 cos(lnx) ln x

(p) y = c1 sin(3 lnx) + c2 cos(3 lnx) +16

sin(3 lnx) ln x

หมายเหต c1 และ c2 เปนคาคงตวใด ๆ2. (a) y =

3x2

+ 2x5

(b) y = −2x2 + x3

(c) y = − 1x2

+2x3

(d) y = x2 − 2x + 4 +1x

(e) y =53x− 2x2 + 3x3 − 23

24x4

(f) y = −35x2 +

2x3

+25x2(5 ln x− 1)

(g) y = 4x2 − 2x3

(h) y =118

x3 +1

12x2− 1

6ln x +

136

บรรณานกรม[1] จนทนา ไอยรากาญจนกล. (2536). เอกสารคำสอนวชา 322-331 สมการเชงอนพนธ (Dif-ferential Equation) ภาควชาคณตศาสตร, คณะวทยาศาสตร, มหาวทยาลยสงขลานครนทรวทยาเขตหาดใหญ

[2] ชนะศกด บาย เทยง (2530). อนกรมอนนต (Infinite Series) (พมพ ครง ท สอง)กรงเทพมหานคร, สำนกพมพสถาบนเทคโนโลยพระจอมเกลาพระนครเหนอ

[3] ชอฟา นลรตน. (2533). พชคณตนามธรรม ภาควชาคณตศาสตร, คณะวทยาศาสตร,มหาวทยาลยสงขลานครนทร วทยาเขตหาดใหญ

[4] Anton, H., Bivens, I., Davis, S. (2002). Calculus. (7th ed.) USA: John Wiley & Sons, Inc.[5] Apostol, T. M. (1997). Linear algebra : a first course, with applications to differentialequations. USA: John Wiley & Sons, Inc.

[6] Bak, J. and Newman, D. J. (1982). Complex analysis. New York: Springer-Verlag NewYork, Inc.

[7] Boyce, W. E. and DiPrima, R. C. (2000). Elementary Differential Equations. (7th ed.)John Wiley & Sons, Inc.

[8] Bronson, R. (1994). Schaum’s outline of theory and problems of differential equations.USA: McGraw-Hill

[9] Hewson, S.F. (2003).Amathematicalbridge: an intuitive journal inhighermathematics.Singapore: World Scientific Printers

[10] Ibragimov, N. H. (1996). CRC handbook of Lie group analysis of differential equations.Vol. 3. USA: CRC Press, Inc.

บรรณานกรม 249

250 บรรณานกรม

[11] Knott, R. (2009). Who was Fibonacci? [On-line]. Available:http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibBio.html

[12] JOC/EFR (1997). Biography of Guido Fubini [On-line]. Available: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/ history/Mathematicians/Fubini.html, School of Mathematics andStatistics University of St Andrews, Scotland

[13] Kreyszig, E. (1999).Advanced engineeringmathematics. (8th ed.) Singapore: JohnWiley& Sons, Inc.

[14] Nagle, R. K., Saff, E. B., Snider, A.D. (2000). Fundamental of differential equations. (5thed.) USA: Addison Wesley Longman

[15] Pownall, M. W. (1994). Real analysis: A first course with foundations. Iowa: Wm. C.Brown Publishers

[16] Protter, M. H., Morrey, C. B. (1991). A first course in real analysis. (2nd ed.) New York:Springer-Verlag

[17] Rogers, L. C. G., Williams, D. (2000). Diffusions, Markov Process and Martingales.Vol.1&2 (2nd ed.) UK: Cambridge University Press

[18] Ross, S. L. (1984). Differential equations. (3rd ed.) USA: John Wiley & Sons, Inc.[19] Salas, Hille and Etgen (2003). Calculus (Serveral variables). (9th ed.) USA: John Wiley& Sons, Inc.

[20] Schulz, E. Differential equations. School of Mathematics, Suranaree University of Tech-nology: บรษท สมบรณการพมพ จำกด

[21] Spiegel, M. R. (1990). Schaum’s outline of theory and problems of mathematicalhandbook of formulas and tables. (international ed.) Singapore: McGraw-Hill

[22] Stewart, J. (2008). Calculus Early Transcendentals. (6th ed.) USA: Thomson HigherEducation

บรรณานกรม 251

[23] Wikipedia, Zeno’s paradoxes [On-line]. Available: http://en.wikipedia.org/wiki/Zeno

252 บรรณานกรม

ดรรชนAbel’s formula, 141arbitrary constant, 69auxiliary equation, 83, 145

Bernoulli equation, 33boundary-valuedcondition, 71problem, 71

calculus, 4Cauchy-Euler equation, 128characteristic equation, 83, 145codomain, 76comparison test, 184complex conjugate, 59complex number, 57absolute value, 59argument, 59imaginary part, 58modulus, 59principal argument, 59, 61real part, 58

complex plane, 60conditionboundary, 71initial, 20

Cramer’s rule, 119

derviative, 4determinant, 140differential equation, 1exact, 37first order, 11ODE, 2ordinary differential equation, 2linear, 2, 28nonlinear, 2partial differential equation, 2PDE, 2second order, 57

discriminant, 64, 83, 91

exact differential, 37exact equation, 37existence and uniqueness theorem, 136exponential order, 184

family, 36formcomplex exponential, 60complex polar, 60derivation, 11, 54differential, 11, 54

functioncomplex exponential, 61

253

254 ดรรชน

homogeneous, 24fundamental solution set, 77, 142, 170fundamental theoremof algebra, 63, 145on homogeneous equations, 76

geometric series, 217

higher-order differential equation, 135homogeneous Cauchy-Euler equation, 128homogeneous equation, 21, 74related homogeneous equation, 99

imaginary number, 57initial-valuedcondition, 20problem, 20, 69

integral, 12integrating factor, 46

Laplace transform, 179inverse Laplace transform, 179

linear combination, 76, 138linearly dependent, 138linearly independent, 77, 138

method of partial fractions, 199method of undetermined coefficients, 102

nonhomogeneous equation, 74

order, 2

power series, 216problemboundary-valued, 71initial-valued, 20, 69

rank, 140rational function, 199root, 63cubic, 64quadratic, 63

separable equation, 13solution, 6explicit, 5general, 15, 55, 142implicit, 5particular, 15, 55, 100, 155

Taylor series, 220total differential, 36variabledependent variable, 2independent variable, 2

variation of parameters, 117Wronskian, 78, 140การทดสอบดวยวธการเปรยบเทยบ, 184การแปรผนของตวแปรเสรม, 117การแปลงลาปลาซ, 179การแปลงลาปลาซผกผน, 179

ดรรชน 255

แคลคลส, 4คาขอบเงอนไข, 71ปญหา, 71

คาคงตวใด ๆ, 69คาตงตนเงอนไข, 20, 71ปญหา, 20, 69

คาลำดบชน, 140

เงอนไขตงตน, 20, 71

เงอนไขขอบ, 71

จำนวนจนตภาพ, 57จำนวนเชงซอน, 57คาสมบรณ, 59มอดลส, 59สวนจรง, 58สวนจนตภาพ, 58อารกวเมนตจำนวนเชงซอน, 59อารกวเมนตจำนวนเชงซอนหลก, 59, 61

เซตของผลเฉลยมลฐาน, 77

ดฟเฟอรเรนเชยลแบบแมนตรง, 37ดสครมแนนต, 64, 83, 91ดเทอรมแนนต, 140โดเมนรวมเกยว, 76

ตวประกอบปรพนธ, 46ตวแปรไมอสระ, 2อสระ, 2

ทฤษฎบทการมอยจรงเพยงหนงเดยวของผลเฉลย, 136

ทฤษฎบทมลฐานของพชคณต, 63, 145ของสมการเอกพนธ, 76

ทฤษฎบทมลฐานของพชคณต, 63, 145ปญหาคาขอบ, 71คาตงตน, 20, 69

ผลเฉลย, 6เฉพาะ, 15, 55, 100, 155ชดแจง, 5โดยปรยาย, 5ทวไป, 15, 55, 142

ผลตางเชงอนพนธรวม, 36ผลรวมเชงเสน, 76, 138ฟงกชนเลขชกำลงเชงซอน, 61เอกพนธ, 24

ฟงกชนตรรกยะ, 199ไมอสระเชงเสน, 138รอนสเกยน, 78, 140

256 ดรรชน

ระนาบเชงซอน, 60ระเบยบวธเทยบสมประสทธ, 102ราก, 63สมการกำลงสอง, 63สมการกำลงสาม, 64

รปดฟเฟอเรนเชยล, 11, 54ฟงกชนเลขชกำลงเชงซอน, 60อนพนธ, 11, 54เชงขวเชงซอน, 60

วงศ, 36วธการแยกเศษสวนยอย, 199

สมการโคช-ออยเลอร, 128ชนดเอกพนธ, 128

สมการแคแรกเทอรสตก, 83, 145สมการชวย, 83, 145สมการเชงอนพนธ, 1แบบแมนตรง, 37สมการเชงอนพนธยอย, 2สมการเชงอนพนธสามญ, 2เชงเสน, 2, 28ไมเชงเสน, 2อนดบทสอง, 57อนดบทหนง, 11

สมการเชงอนพนธอนดบสง, 135สมการแบรนลล, 33สมการแบบแมนตรง, 37

สมการไมเอกพนธ, 74, 135สมการแยกกนได, 13สมการเอกพนธ, 21, 74, 135ทเกยวของ, 99

สงยคเชงซอน, 59สตรของอาเบล, 141หลกเกณฑของคราเมอร, 119อนกรมกำลง, 216อนกรมเทยเลอร, 220อนกรมเรขาคณต, 217อนพนธ, 4อนดบ, 2อนดบเลขชกำลง, 184อนทกรล, 12อสระเชงเสน, 77, 138เซตของผลเฉลยมลฐาน, 142, 170

Documents

531208 Method of Differential Equations in Metallurgical