A C B D Gambar 2.4 sistem seri-paralel A C B D Gambar 2.5 sistem paralel -seri

15

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Ruang Sampel dan Kejadian

2.1.1 Definisi Ruang Sampel

Himpunan semua hasil semua hasil (outcome) yang mungkin muncul pada suatu

percobaan disebut ruang sampel dan dinotasikan dengan S.

Tiap – tiap hasil yang mungkin dalam ruang sampel disebut unsur atau anggota

ruang sampel tersebut atau disebut juga dengan istilah titik sampel.

Contoh:

Pada percobaan melempar dua mata uang, diperoleh S = {AA, AG, GA, GG}, dengan

AA adalah kejadian muncul angka pada lemparan pertama, dan muncul angka pada

lemparan kedua; AG adalah kejadian muncul angka pada lemparan pertama, dan

muncul gambar pada lemparan kedua; GA adalah kejadian muncul gambar pada

lemparan pertama, dan muncul angka pada lemparan kedua; GG adalah kejadian

muncul gambar pada lemparan pertama, dan muncul gambar pada lemparan kedua.

Titik sampelnya adalah AA, AG, GA, dan GG.

2.1.2 Definisi Kejadian

Kejadian atau peristiwa adalah himpunan bagian dari ruang sampel.

Contoh :

Suatu percobaan yang dilakukan dengan melantunkan sebuah dadu, maka ruang

sampelnya: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Misalkan A menyatakan suatu kejadian bahwa

bilangan genap muncul, maka kejadian A = { 2, 4, 6}, sehingga A merupakan

himpunan bagian ruang sampel S, dinotasikan sebagai A ⊂ S.

Universitas Sumatera Utara

16

2.2 Definisi Peluang Suatu Kejadian

Teori peluang mempelajari tentang peluang terjadinya suatu kejadian atau peristiwa.

Peluang dinyatakan dalam pecahan atau desimal antara 0 dan 1. bila peluang suatu

kejadian bernilai 0, maka kejadian tersebut tidak akan terjadi. Sedangkan bila peluang

suatu kejadian bernilai 1, maka kejadian tersebut pasti terjadi. Dalam teori peluang

suatu kejadian adalah satu atau beberapa kemungkinan hasil dari suatu tindakan.

Tujuan teori peluang adalah menggambarkan dan menaksir rata – rata sedemikian itu

dalam bentuk peluang kejadian.

Untuk menentukan Peluang suatu kejadian A, semua bobot titik sampel dalam

A dijumlahkan. Jumlah ini dinamakan ukuran A atau peluang A dan dinyatakan

dengan P(A). jadi ukuran himpunan ∅ adalah 0 dan ukuran S adalah 1. Peluang

didefinisikan dengan menggunakan tiga pendekatan yang berbeda. Ketiga definisi

pendekatan tersebut adalah sebagai berikut.

a. Definisi Aksiomatik

Pendekatan aksiomatik peluang berdasar pada tiga postulat sebagai berikut.

Peluang P(A) kejadian A adalah bilangan non negatif yang ditetapkan pada kejadian

ini yaitu

P(A) ≥ 0.

Peluang P(B) kejadian B pasti sama dengan 1, yaitu

P(B) = 1.

Dan bila kejadian – kejadian A dan B saling asing maka

P(A+B) = P(A) + P(B)

b. Definisi Frekuensi Relatif

Pendekatan frekuensi relatif berdasar pada definisi beikut.

Peluang P(A) kejadian A adalah limit dari perbandingan n(A) dengan N, dimana n

mendekati tak hingga , sehingga dapat ditulis sebagai berikut.

𝑃 𝐴 = lim𝑛→

𝑛(𝐴)

𝑁

dimana n(A) adalah jumlah terjadinya suatu kejadian A dan N adalah jumlah


17

c. Definisi Klasik

Menurut definisi klasik, Bila suatu percobaan dapat menghasilkan N macam hasil

yang berkemungkinan sama dan bila tepat sebanyak n dari hasil berkaitan dengan

kejadian A, maka peluang kejadian A adalah

n(A) P(A) = N

2.2.1 Definisi Peluang Suatu Kejadian A

Peluang suatu kejadian A adalah jumlah semua titik sampel yang termasuk A.

Jadi dinyatakan dengan:

0 ≤ P(A) ≤ 1, P(∅)=0, P(S)=1.

2.2.2 Definisi Peluang Bersyarat

Misalkan A dan B menyatakan dua kejadian dalam koleksi kejadian dalam ruang

sampel S, maka peluang bersyarat dari kejadian A bila diberikan kejadian B

dinotasikan dengan

P AB

P AB = dengan PB 0 P B

2.3 Variabel Random dan Distribusi Peluang

2.3.1 Defenisi Variabel Random

Suatu fungsi bernilai real yang harganya ditentukan oleh tiap anggota dalam ruang

sampel disebut suatu variabel random

Ada dua macam variabel random, yaitu variabel random diskrit dan variabel

random kontinu.


18

2.3.2 Definisi Variabel Random Diskrit

Jika semua himpunan nilai yang mungkin dari suatu variabel random X merupakan

himpunan terbilang (countable set), yaitu { x1, x

2,, ..., x

n} atau { x

1, x

2,, ...}, maka X

disebut variabel random diskrit.

2.3.3 Definisi Variabel Random Kontinu

Jika himpunan semua nilai yang mungkin dari suatu variabel random X merupakan

selang bilangan real, maka X disebut variabel random kontinu.

2.4 Distribusi Peluang Diskrit dan Kontinu

2.4.1 Defenisi Distribusi Peluang Diskrit

Fungsi f(x) adalah suatu fungsi peluang atau distribusi peluang suatu peubah acak

diskrit X bila, untuk setiap hasil x yang mungkin

a. f(x) ≥ 0

b. 𝑓 𝑥 = 1

𝑥

c.P(X = x)

Distribus kumulatif F(x) yaitu suatu variabel random diskrit X dengan distribusi

peluang f(x) dinyatakan oleh

𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 = 𝑓(𝑡)

𝑡≤𝑥

𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 − ∞ < 𝑥 < ∞

2.4.2 Defenisi Distribusi Peluang Kontinu

Fungsi f(x) adalah fungsi padat peluang peubah acak kontinu X, yang didefenisikan

atas himpunan semua bilangan real R, bila

a. f(x) ≥ 0, untuk semua x di R


19

b. 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1

∞

−∞

𝑐.𝑃 𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

dinamakan fungsi densitas probabilitas dari variabel random kontinu X. Jika variabel

random kontinu X memiliki fungsi densitas probabilitas f(x), maka peluang suatu

kejadian atau peristiwa A, diberikan oleh

𝑃 𝐴 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑥𝑑𝑖𝐴

2.4.3 Definisi Fungsi densitas probabilitas kontinu

Fungsi densitas probabilitas kontinu adalah Suatu fungsi f(x) yang didefinisikan pada

selang nilai variabel random X. sehingga fungsi distribusi kumulatifnya dapat

dinyatakan sebagai.

𝐹 𝑥 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡

𝑥

−∞

2.5 Konsep Dasar Distribusi waktu Hidup

Fungsi-fungsi pada distribusi tahan hidup merupakan suatu fungsi yang menggunakan

variable random. Waktu hidup adalah interval waktu yang diamati dari suatu individu

saat pertama kali masuk kedalam pengamatan hingga keluar dari pengamatan.

Misalnya interval waktu sampai rusaknya suatu barang produksi, matinya suatu

makhluk hidup, kambuhnya suatu penyakit, dan lain-lain. Variable random

nonnegative waktu hidup biasanya dinotasikan dengan huruf “T’’, dan akan

membentuk suatu distribusi.

Distribusi dari waktu hidup dapat disajikan oleh tiga fungsi berikut:


20

2.5.1.Fungsi Kepadatan Peluang

Fungsi Kepadatan Peluang adalah probabilitas suatu individu mati atau gagal dalam

interval waktu dari t sampai t + t, dengan waktu T merupakan variabel random.

Fungsi densitas Probabilitas dinyatakan dengan.

𝑓 𝑡 = lim∆𝑡→0

𝑃 𝑡 ≤ 𝑇 < 𝑡 + ∆𝑡

∆𝑡 … (2.1)

Waktu hidup merupakan variabel random non negatif, sehingga waktu hidup hanya

diukur untuk nilai t yang positif, maka diperoleh

𝑓 𝑡 = 0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑡 < 0 𝑑𝑎𝑛 𝑓 𝑡 𝑑 𝑡 = 1

∞

0

2.5.2. Fungsi Tahan Hidup (Survival)

Fungsi tahan hidup (Survival) adalah probabilitas suatu individu yang masih dapat

bertahan hidup sampai dengan waktu t (t > 0). Jika T merupakan variabel random dari

waktu hidup suatu individu dalam interval [0,∞), maka fungsi distribusi kumulatif F(t)

untuk distribusi kontinu dengan fungsi densitas probabilitas f(t) dinyatakan sebagai

berikut

𝑓 𝑡 = 𝑃(𝑇 ≤ 𝑡)

atau

𝐹 𝑡 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥,

𝑡

0

𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑡 > 0 (2.2)

Oleh karena itu diperoleh fungsi tahan hidup (Survival) yang didefinisikan dengan

S(t) = P (T t)

= 1- P (T t)

= 1- F(t) (2.3)


21

Dalam beberapa hal, khususnya yang mencakup tahan hidup dari komponen-

komponen industri, S(t) ditentukan sebagai fungsi Survival.

Jadi hubungan fungsi densitas probabilitas dengan fungsi tahan hidup

(Survival) adalah

𝑓 𝑡 = lim∆𝑡→0

𝑃 𝑡 ≤ 𝑇 < 𝑡 + ∆𝑡

∆𝑡 = 𝐹 , 𝑡 = −𝑆 , 𝑡 (2.4)

Dalam hal ini fungsi tahan hidup S(t) merupakan fungsi monoton turun yang

mempunyai sifat

(i). S(0) =1, artinya peluang suatu individu bertahan hidup lebih lama dari waktu

nol adalah 1

(ii). S(∞) = 0 , artinya peluang suatu individu bertahan hidup pada waktu yang tak

terhingga adalah 0.

2.5.3. Fungsi Kegagalan (Hazard Function)

Fungsi Kegagalan adalah probabilitas suatu individu mati dalam interval waktu dari t

sampai t+Δt, jika diketahui individu tersebut masih dapat bertahan hidup sampai

dengan waktu t. fungsi hazard secara matematika dinyatakan sebagai:

ℎ 𝑡 = lim∆𝑡→0

𝑃(𝑡 ≤ 𝑇 < (𝑡 + ∆𝑡)𝑇 ≥ 𝑡)

∆𝑡 (2.5)

Misalkan f(t) adalah fungsi densitas probabilitas pada waktu t, maka dari

persamaan (2.5) diperoleh:

ℎ 𝑡 = lim∆𝑡→0

𝑃 𝑡 ≤ 𝑇 < 𝑡 + ∆𝑡 𝑇 ≥ 𝑡

∆𝑡

= lim∆𝑡→0

𝑃 𝑡 ≤ 𝑇 < 𝑡 + ∆𝑡 ∩ (𝑇 ≥ 𝑡)

𝑃 𝑇 ≥ 𝑡 .∆𝑡


22

= lim∆𝑡→0

𝑃(𝑡 ≤ 𝑇 < 𝑡 + ∆𝑡 )

𝑃 𝑇 ≥ 𝑡 .∆𝑡

= lim∆𝑡→0

1 𝐹 𝑡 + ∆𝑡 − 𝐹(𝑡)

∆𝑡 1 − 𝐹(𝑡)

= lim ∆𝑡→0

𝐹 𝑡 + ∆𝑡 − 𝐹(𝑡)

∆𝑡.

1

𝑆(𝑡)

=𝐹 ,(𝑡)

𝑆(𝑡)

ℎ 𝑡 =𝑓(𝑡)

𝑆(𝑡) (2.6)

Dari persamaan (2.4) dan (2.6) diperoleh h(t) sebagai berikut:

ℎ 𝑡 = −𝑆 ′(𝑡)

𝑆(𝑡)

= −𝑆 ′ 𝑡 .𝑑 ln 𝑆(𝑡)

𝑑𝑆(𝑡)

= −𝑑𝑆(𝑡)

𝑑𝑡.𝑑 ln𝑆(𝑡)

𝑑𝑆(𝑡)

ℎ 𝑡 = −𝑑

𝑑𝑡ln𝑆 𝑡 (2.7)

Dari persamaan (2.7) diperoleh

ℎ 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑑

𝑑𝑥

𝑡

𝑜

𝑡

0

ln𝑆 𝑥 𝑑𝑥

− ℎ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑

𝑑𝑥𝑙𝑛 𝑆 𝑥 𝑑𝑥

𝑡

0

𝑡

0


23

⇔ − ℎ 𝑥 𝑑𝑥 = ln 𝑆(𝑥)𝟎𝐭

𝑡

0

Karena S(0)=1, maka diperoleh

− ℎ 𝑥 𝑑𝑥 = ln 𝑆 𝑡

𝑡

0

⟺ 𝑆 𝑡 = 𝑒𝑥𝑝− ℎ 𝑥 𝑑𝑥

t

0

Dari uraian di atas diperoleh hubungan antara f(t), S(t), dan h(t) sebagai berikut:

i) 𝑓 𝑡 = −𝑆 ′ 𝑡 (2.8)

ii) ℎ 𝑡 =𝑓(𝑡)

𝑆(𝑡)

iii) 𝑆 𝑡 = 𝑒𝑥𝑝− ℎ 𝑥 𝑑𝑥

t

0

Dengan demikian jika fungsi hazard h(t) dari suatu distribusi dalam tahan hidup

diketahui, maka f(t), F(t) dan S(t) dapat dicari. Sedangkan fungsi hazard kumulatif

didefinisikan dengan

H 𝑡 = ℎ 𝑥 𝑑𝑥

𝑡

0

(2.9)

melalui persamaan (2.8) fungsi hazard kumulatif yang dihubungkan dengan fungsi

tahan hidup diperoleh

𝑆 𝑡 = 𝑒𝑥𝑝 −𝐻(𝑡)

Dan dari persamaan (2.6) dan (2.8) diperoleh


24

𝑓 𝑡 = ℎ 𝑡 𝑒𝑥𝑝− ℎ 𝑥 𝑑𝑥

t

0

(2.10)

2.6 Statistik Terurut

Himpunan variabel random 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛

disebut sampel random yang berukuran n

dari suatu populasi denga fungsi densitas f(x) maka fungsi densitas probabilitas

bersama dari variabel random independen akan diberikan sebagai

𝑓 𝑥1, 𝑥2, … ,𝑥𝑛 = 𝑓 𝑥1 𝑓 𝑥2 …𝑓(𝑥𝑛)

Jika sampel random yang berukuran n tersebut diurutkan dalam suatu urutan naik

maka disebut statistik terurut atau order statistik dari 𝑋1 , 𝑋2, … , 𝑋𝑛 dan dinyatakan

dengan 𝑋1.𝑛 , 𝑋2.𝑛 , … ,𝑋𝑛 .𝑛 atau 𝑌1, 𝑌2, … , 𝑌𝑛 dengan 𝑋𝑖𝑛= 𝑌𝑖 , i = 1, 2, … , n.

dan misalkan 𝑋1, 𝑋2, … ,𝑋𝑛 adalah sampel random yang berukuran n dari fungsi

densitas probabilitas, f(x), dimana untuk f(x) kontinu dan f(x) > 0; a < x < b, maka

fungsi densitas probabilitas dari statistik terurut ke-k, 𝑌𝑘 adalah

ℊ𝑘 𝑦𝑘 =𝑛!

𝑘 − 1 ! 𝑛 − 𝑘 ! 𝐹 𝑦𝑘

𝑘−1 1 − 𝐹(𝑦𝑘 𝑛−𝑘𝑓 𝑦𝑘 jika 𝑎 < 𝑦𝑘 < 𝑏

2.7 Sistem keandalan

Dalam konsep keandalan, juga terdapat beberapa sistem yang dinyatakan untuk

membantu memutuskan apakah sistem gagal secara total atau tidak.

Dalam suatu proses, tidaklah selalu mudah untuk memutuskan kriteria-kriteria

kegagalan dalam sitem tersebut. Sebagai contoh, kita perhatikan criteria kegagalan

dalam sistem sebuah mobil. Jika tidak dapat bergerak dengan tenaganya sendiri, maka

mobil tersebut dinyatakan telah rusak atau sistemnya. Namun haruskah rusaknya

penghapus kaca pada mobil tersebut juga dihitung sebagai suatu kegagalan total,

walaupun mobil tersebut dapat digunakan pada cuaca cerah, mungkin tidak akan dapat

digunakan secara total pada waktu hujan lebat, yang berarti terjadinya kerusakan

sistem. Oleh karena itu, kerusakan sisten sering diakibatkan oleh kegagalan atau

kerusakan dari komponen-komponenya.


25

Untuk itulah dibwah ini akandiberikan tiga system yang dapat dikatakan

sebagai sistem dasar dari keandalan sistem. Yaitu sitem seri, parallel dan gabungan

dari seri dengan paralel.

2.7.1 Sistem keandalan seri

Suatu sistem dapat dimodelkan dengan susunan seri jika kompenen-komponen yang

ada didalam sistem itu harus bekerja seluruhnya agar sistem tersebut sukses dalam

menjalankan fungsinya. Atau denga kata lain bila ada satu komponen saja tidak

bekerja, maka akan mengakibatkan system itu gagal menjalankan fungsinya. Secara

diagram, system keandalan seri dapat dilihat pada gambar 2.1

Gambar 2.1

Diagram pada gambar diatas sering disebut Diagram Blok Keandalan /

Reliability Block Diagram (RDB). Perlu diperhatikan bahwa diagram ini tidak

mewakili setiap komponen yang dihubungkan secara seri, tetapi menunjukkan

bagaimana komponen-komponen itu diperlakukan dari sudut pandang keandalan.

Jika ada n buah komponen dalam susunan seri dan masing-masing memiliki

indeks keandalan 𝑅1,𝑅2,…,𝑅𝑛 , seperti terlihat pada gambar 2.1, maka secara umum

system keandalan seri dirumuskan sebagai berikut:

𝑅𝑠 = 𝑅1 . 𝑅2 .… . 𝑅𝑛 = 𝑅𝑖 (2.11)

𝑛

𝑖=1

Sedangkan ekspresi ketidakandalan dari system dengan susunan seri dari n buah

komponen adalah

𝑄𝑠 = 1 − 𝑅𝑠 = 1 − 𝑅𝑖 (2.12)

𝑛

𝑖=1

1 2 n


26

Contoh 2.1

Sebuah sistem control terdiri dari lima buah unit dimana semua unit pendukungnya

bekerja seluruhnya agar system control tersebut dapat berfungsi. Jika indeks

keandalan dari kelima unit masing-masing adalah 0,90; 0,95; 0,87; 0,93; dan 0,90

tentukan indeks keandalan dari sistem kontrol tersebut.

Penyelesaian :

Blok diagram keandalan yang paling mewakili dari system control tersebut adalah

blok diagram keandalan dengan susunan seri. Jika keandalan dari masing-masing unit

disimbolkan dengan 𝑅𝑖 maka keandalan dari system control itu adalah

𝑅𝑠 = 𝑅𝑖 = 0,90 0,95 0,87 0,93 0,90 = 0,622602

5

𝑖=1

Jadi keandalan dari sistem control tersebut adalah 0,622602

2.7.2 Sistem Keandalan Paralel

Pada sistem ini setiap komponen yang mungkin mengalami kerusakan tidak akan

mengakibatkan kerusakan sistem secara keseluruhan, dan sering dinamakan fault

tolerant( kerusakan yang dapat ditolerir).

Ada dua jenis dari system kendalan paralel ini, yakni kelebihan redundant aktif

dan kelebihan pasif.

Pada kelebihan aktif, dua atau lebih unit diletakkan dalam system keandalan

paralel dimana secara normal pembagian fungsi dilakukan tetapi unit-unit atersebaut

diatur sedemikian hingga jika satu unit atau lebih mengalami kerusakan, maka sisanya

dapat menggantikan possisinya. Sebagai contoh adalah dua mesin pesawat terbang

yang diaktifkan tetapi tidak menutup kemungkinan pesawat untuk terbang dengan satu

mesin, apabila mesin yang satunya mengalami kerusakan.

Pada kelebihan pasif, satu unit secara normal memegang fungsi secara penuh

tetapi jika unit tersebut mengalami kerusakan, maka unit yang lain akan diaktifkan

untuk mengambil alih perannya.


27

2.7.2.1 Sistem Keandalan Paralel Kelebihan Aktif

Misalkan ada dua unit (1) dan (2) dihubungkan dalam system parallel seperti gambar

dibawah ini.

Gambar 2.2

Sistem akan rusak apabila kedua-duanya mengalami kerusakan. Keandalan system

dikalkulasikan sebagai berikut, jika didefenisikan bahwa

𝑄𝑠 = ketidakandalan sistem

Maka

𝑄𝑠 = 𝑃 𝐸1 ∩ 𝐸2

Dimana 𝐸 adalah kejadian komplemen bebas sehingga diperoleh

𝑄𝑠 = 1 − 𝑅𝑖 (2.13)

𝑛

𝑖=1

Jika peluang dari kegagalan adalah independent, maka fungsi system keandalannya

adalah

𝑅𝑠 = 1 − (1 − 𝑅1)

𝑛

𝑖=1

(2.14)

2.7.2.2 Sistem Keandalan Paralel Kelebihan Pasif

1

2


28

Pada sistem redundan pasif, unit utama(1) secara normal membawa fungsi secara

penuh dan unit siaga (2) dibawa untuk digunakan ketika unit utama mengalami

kegagalan.

Secara sederhana, redundan pasif dapat ditunjukkan pada gambar berikut:

Gambar 2.3

Cara untuk menganalisa sistem ini adalah harus mempertimbangkan bahwa system

kegagalan waktu adalah variable acak yang mengandung jumlah dari dua variable

acak, yakni kegagalan waktu (1) dan kegagalan waktu (2).

Jika 𝑅1 𝑡 = 𝑅2 𝑡 = exp(−𝜆𝑡)

Maka dapat dituliskan :

𝑅𝑠 𝑡 = 1 + 𝜆𝑡 exp(−𝜆𝑡)

2.7.3 Kombinasi Sistem Seri dan Paralel

Kombinasi dari system seri dan paralel dapat di selesaikan dengan menggabungkan

masing-masing subsistem ke dalam komponen seri maupun paralel terlebih dahulu.

Untuk lebih memahami sistem kombinasi seri dan paralel, akan diberikan

contoh gambar seperti berikut ini:

1

2


29

Gambar 2.4 sistem seri-paralel

Gambar 2.5 sistem paralel -seri

Dari kedua gambar diatas, gambar (2.4) menunjukkan system kombinasi seri dan

paralel. Untuk menyelesaikan sistem gabungan ini pertama-tamakita gabungkan

subsistem parelel kedalam bentuk yang sama dengan komponen seri.

Misalkan: 𝑅𝐴 = 0.9,𝑅𝐵 = 0.8, 𝑅𝐶 = 0.7, dan 𝑅𝐷 = 0.6

Maka penyelesaian dapat dituliskan

𝑅𝐴𝐵 = 1 − 0.1 0.2

= 1 − 0.02

= 0.98

Dan

𝑅𝐶𝐷 = 1 − 0.3 0.4

= 1 − 0.12

= 0.88

Maka keandalan sistem secara keseluruhan adalah

𝑅𝑆 = 0.98 0.88 = 0.8624

A

A C

B D

C

B D


30

Untuk gambar (2.5) seperti yang ditunjukkan, merupakan system kombinasi paralel-

seri. Untuk menyelasaikannya, pertama-tama kita gabungkan subsistem seri ke dalam

bentuk yang sama dengan komponen paralel. Untuk pemisalan yang sama dengan

diatas, maka diperoleh penyelesaiannya sebagi berikut:

𝑅𝐴𝐶 = 0.9 0.7

= 0.63

Dan

𝑅𝐵𝐷 = 0.8 0.6

= 0.48

Sehingga keandalan sistem secara keseluruhan adalah

𝑅𝑆 = 1 − 1 − 𝑅𝐴𝐶 (1 − 𝑅𝐵𝐷)

= 1 − 1 − 0.63 (1 − 0.48)

= 1 − 0.37 (0.52)

= 1 − 0.1924

= 0.8076

2.8 Data Tersensor

Dalam penyensoran sering terjadi individu yang diamati tersensor. Masalah

penyensoran ini merupakan suatu hal yang membedakan antara uji hidup dengan

bidang ilmu statistik yang lain. Data tersensor adalah data yang diperoleh sebelum

hasil yang diinginkan dari pengamatan terjadi, sedangkan waktu pengamatan telah

berakhir atau oleh sebab lain. Data yang mengalami penyensoran hanya memuat

sebagian informasi mengenai variabel random yang diperhatikan, namun berpengaruh

terhadap pengertian-pengertian dan perhitungan statistik.

Ada tiga macam metode yang sering digunakan dalam eksperimen uji hidup,

yaitu sebagai berikut:


31

1. Sampel lengkap, dalam uji sampel lengkap eksperimen akan dihentikan jika

semua komponen yang diuji telah mati atau gagal. Cara seperti ini mempunyai

keuntungan yaitu dapat dihasilkan observasi terurut dari semua komponen

yang diuji.

2. Sensor tipe I, semua objek yang diteliti (n) masuk pengujian dalam waktu yang

bersamaan, dan pengujian dihentikan setelah batas waktu 𝑡0 yang ditentukan.

Kelemahan dari sensor tipe I ini bias terjadi sampai batas waktu 𝑡0 yang

ditentukan semua objek masih hidup sehingga tidak diperoleh data tahan hidup

dari objek yang diuji.

3. Sensor tipe II, bila uji dihentikan setelah diperoleh sejumlah kegagalan

tertentu. data tersensor tipe II merupakan data kematian atau kegagalan yang

tidak lengkap (incomplete mortality data) yaitu data waktu kematian atau

kegagalan dari r observasi terkecil dalam sampel random yang berukuran n

dengan 1 ≤ r ≤ n. Dalam eksperimen menunjukkan penyensoran tipe II lebih

sering digunakan sebagai contoh dalam uji hidup dari total observasi sebanyak

n, tetapi uji hidup akan berhenti pada waktu observasi sampel mempunyai

waktu kematian atau kegagalan ke-r. Oleh karena itu uji hidup ini dapat

menghemat waktu dan biaya, karena uji hidup memakan waktu yang lama

untuk penyensoran terhadap kegagalan dari observasi. Data tersensor tipe II

diperoleh dari penyelidikan terhadap n observasi, sehingga penyensoran

berhenti sampai observasi sampel yang mempunyai waktu kematian atau

kegagalan ke- r objek tersebut.

2.9 Distribusi Weibull

Teknologi modern telah memungkinkan orang merancang banyak system yang rumit

penggunaannya, atau barangkali keamanannya, bergantung pada keandalan berbagai

komponen dalam system tersebut. Sebagai contoh, suatu sekering mungkin putus,

tiang baja melengkung, alat pengindra panas tidak bekerja. Komponen yang sama

dalam lingkungan yang sama akan rusak dalam waktu yang berlainan yang tidak dapat

diramalkan.waktu sampai rusak atau umur suatu komponen, diukur dari suatu waktu

sampai rusak, dinyatakan dengan peubah acak kontinu T dengan fungsi padat peluang

f(t). Misalkan variabel random kontinu T berdistribusi Weibull, dengan parameter θ

dan β, disingkat T ~ WEI (θ, β) maka fungsi densitas probabilitasnya adalah


32

𝑓 𝑡 = 𝛽𝜃𝛽 𝑡 𝛽−1exp − 𝜃𝑡 𝛽 𝑡 > 0,𝜃 > 0,𝛽 > 0. 2.14

Adapun fungsi tahan hidup dan fungsi hazard dari distribusi weibull adalah

𝑆 𝑡 = exp −(𝜃𝑡)𝛽 , 𝑡 > 0 (2.15)

Dan

ℎ 𝑡 = 𝜃𝛽(𝜃𝑡)𝛽−1 (2.16)

dimana 𝜃 > 0, 𝛽 > 0, 𝑡 > 0.

sedangkan fungsi distribusi dari distribusi weibull adalah

𝐹 𝑡 = 1 − 𝑒𝑥𝑝 −(𝜃𝑡)2 (2.17)

Dimana 𝜃 > 0, 𝑡 > 0.

2.10 Distribusi Rayleigh

Dalam beberapa kasus khusus parameter bentuk, β, dari distribusi Weibull diberi

harga β = 2, dikenal sebagai distribusi Rayleigh. Sehingga diperoleh fungsi tahan

hidup dari distribusi Rayleigh sebagai berikut.

𝑆 𝑡 = 𝑒𝑥𝑝 −(𝜃𝑡)2 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 𝜃 > 0, 𝑡 > 0. (2.18)

Dan diperoleh fungsi hazard dari distribusi Rayleigh yaitu:

ℎ 𝑡 = 2𝜃2𝑡 (2.19)

dimana 𝑡 > 0,𝜃 > 0, dan t menunjukkan waktu hidup dari individu uang diobservasi.

Dari fungsi tahan hidup, persamaan (2.18), dapat ditentukan fungsi distribusi

kegagalan dari data waktu hidup yang berdistribusi Rayleigh,


33

𝐹 𝑡 = 1 − 𝑆(𝑡)

= 1 − exp −(𝜃𝑡)2

1 − 𝐹 𝑡 = 𝑒𝑥𝑝 −(𝜃𝑡)2

Dari persamaan (2.8) dan (2.18) diperoleh persamaan

𝑓 𝑡 = −𝑑𝑆(𝑡)

𝑑𝑡= −

𝑑(𝑒𝑥𝑝 − 𝜃𝑡 2 )

𝑑𝑡 (2.20)

Sehingga diperoleh fungsi densitas probabilitas dari distribusi Rayleigh adalah sebagai

berikut:

𝑓 𝑡 = 2𝜃2𝑡 𝑒𝑥𝑝 −(𝜃𝑡)2 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑡 > 0,𝜃 > 0.

2.11 Prinsip Dasar Metode Maksimum Likelihood

Metode untuk mengestimasi harga parameter distribusi dari data dalam fungsi tahan

hidup (Survival) adalah dengan menggunakan metode maksimum likelihood. Metode

maksimum likelihood menggunakan nilai dalam ruang parameter Ω yang bersesuaian

dengan harga kemungkinan maksimum dari data observasi sebagai estimasi dari

parameter yang tidak diketahui.

Dalam aplikasinya L(θ) menunjukkan fungsi densitas probabilitas bersama dari

sampel random. Jika Ω ruang parameter yang merupakan interval terbuka dan L(θ)

merupakan fungsi yang dapat diturunkan serta diasumsikan maksimum pada Ω maka

persamaan maksimum likelihoodnya adalah

𝑑

𝑑𝜃𝐿 𝜃 = 0 (2.21)

Jika penyelesaian dari persamaan tersebut ada, maka maksimum dari L(θ)

dapat terpenuhi. Apabila penyelesaian dari persamaan (2.19) sukar diselesaikan maka


34

fungsi L(θ) dapat dibuat logaritma naturalnya, dengan ketentuan memaksimumkan

lnL(θ), sehingga persamaan logaritma natural likelihoodnya adalah

𝑑

𝑑𝜃ln𝐿 𝜃 = 0 (2.22)

Jika fungsi densitas probabilitas bersama dari n variabel random 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 ,yang

diobservasi pada 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 ,

dinotasikan dengan f(.𝑋1, 𝑋2, … ,𝑋𝑛 ,) maka fungsi

liklelihood dari himpunan pengamatan 𝑋1, 𝑋2, … ,𝑋𝑛 , dinyatakan sebagai

𝐿 𝜃 = 𝑓 𝑥1;𝜃 𝑓 𝑥2;𝜃 …𝑓 𝑥𝑛 ;𝜃 = 𝑓 𝑥1;𝜃

𝑛

𝑖=1

(2.23)

Dengan parameter yang tidak diketahui

Penduga maksimum likelihood dari θ didapat dengan menyelesaikan

persamaan𝑑

𝑑𝜃ln𝐿 𝜃 = 0, misalkan ada k parameter yang tidak diketahui, ma

ka penduga parameter likelihood dari 𝜃𝑖 didapat dengan menyelesaikan

𝑑

𝑑𝜃𝑖ln𝐿 𝜃1 ,𝜃2 , … ,𝜃𝑘 = 0, dengan 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑘.


Documents

A C B D Gambar 2.4 sistem seri-paralel A C B D Gambar 2.5 sistem paralel -seri