Álgebra SM 5°

Índice

Capítulo 1 Teoría de exponentes 5

Capítulo 2 Polinomios 8

Capítulo 3 Productos notables I 11

Capítulo 4 Productos notables II 14

Capítulo 5 Repaso 17

Capítulo 6 División algebraica I 20

Capítulo 7 División algebraica II 23

Capítulo 8 Factorización 25

Capítulo 9 MCD - MCM - Fracciones algebraicas 29

I Bimestre

Capítulo 10 Ecuaciones de primer grado 32

Capítulo 11 Planteo de ecuaciones de primer grado 35

Capítulo 12 Ecuaciones de segundo grado 38

Capítulo 13 Ecuaciones de grado superior - ecuación bicuadrada 41

Capítulo 14 Sistemas de ecuaciones I 43

Capítulo 15 Sistemas de ecuaciones II 46


Capítulo 17 Desigualdades - inecuaciones de primer grado 52

Capítulo 18 Inecuaciones de 2º grado - valor absoluto 55

II Bimestre

Álgebra

Capítulo 19 Funciones I 59

Capítulo 20 Funciones II 62

Capítulo 21 Logaritmos I 66

Capítulo 22 Logaritmos II 69


Capítulo 24 Progresiones 77

Capítulo 25 Factorial, número combinatorio y binomio de Newton 82

Capítulo 26 Radicación 85

Capítulo 27 Cantidades imaginarias 88


III Bimestre

Capítulo 29 Teoría de exponentes 94

Capítulo 30 Polinomios - productos notables 96


Capítulo 32 Ecuaciones de 2do. grado 103

Capítulo 33 Sistema de ecuaciones 106

Capítulo 34 Inecuaciones - Valor absoluto 109

Capítulo 35 Funciones 112

Capítulo 36 Logaritmos - progresiones 116

IV Bimestre

1 Teoría de exponentes

Ejercicios resueltos

1. Si: xy=2, (donde x>0), halle el valor de la expresión: ( ) . ( ) ( )

x x

x x

2 6

4y y

x x x y y

2

2y y y

−+−

−−

(Ex. Admisión UNMSM 2010–I)

ResoluciónPreparamos convenientemente a la expresión:

( ) ( )

. ( ) ( )

x x

x x

2 6

4 .

y y

x x y x y

2 1

2y y y

−+−

−−

Reemplazamos el dato:

( ) ( )

. ( )

2 2 6 2

4 2 28 3

1641

2 1

2 2+

=+

− −−

−

54

65

413= =

2. Si: 5n+1+5n+2+5n+3+5n+4=780 y "n" es un número entero, entonces el valor de 2(n+3), es: (Ex. Admisión UNMSM 2009–I)

ResoluciónFactorizamos: 5n+1. (base común elevado al menor exponente)

. (1 5 5 5 )5 7802 3n 1+ + + =+1 2 34444 4444

se obtiene de dividir:

; ; ;55

55

55

55

n

n

n

n

n

n

n

n

1

1

1

2

1

3

1

4

+

+

+

+

+

+

+

+

Factor comúnOperando:

. ( )5 156 780n 1 =+ & n5 5 1 1n 1 1&= + =+ & n=0 ` 2 (n+3) = 6

3. Resuelva la ecuación: 22x+2–5(6x)=32x+3, luego calcule 5x

(Ex. Admisión UNMSM 2011 - I)

Resolución

Preparamos las potencias de la ecuación

. . ( ) ( ) .2 2 5 3 2 3 3x x x x2 2 2 2− =

. ( ) . ( ) ( ) ( )4 2 5 2 3 9 3x x x x2 2− =Entonces:

a ab b4 5 9 02 2− − =

Factorizando: (4a – 9b)(a+b) = 0

4a=9b

Puesto que: a ≠ –b4 . (2x)=9 . (3x)

Para facilitar su resolución hacemos cambios: 2x = a / 3x=b

a ab b4 5 9 02 2− − =4 a

a

–9 b

b

–9 ab

4 ab

–5 ab

(+)

. .2 2 3 3 2 3x x x x2 2 2 2"= =+ + ; x + 2 = 0 ; x 2 5 5

251x 2` = − = =−

Álgebra

Central 6198-100 Quinto año de secundaria5

1. Calcule el valor de:

21

52

74

,3 2 1 0 5+ +

− − −` j 8 ;B E' 1

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

2. Indique el exponente final de "x" en:

( . . ... . ) ( ... )x x x x x xveces veces

7 7 7

10

7 7 7

10

+ + +1 2 3444 444 1 2 3444 444

a) 72 b) 70 c) 76d) 77 e) 78

3. Al reducir la expresión:

. .

( ) . . ;x x x

x x x x 0( )4 3 12

2 3 2 2

2 2

4 3

!− −

−

Se obtiene xn, entonces. ¿Cuál es el valor de n+3?

a) 11 b) 12 c) 13

d) 14 e) 16

4. Si: .

. .x96 15

15 10 62 4

4 5= ; entonces es verdad que:

a) x < 2 b) x ∈ N c) 3x ∈ N

d) 2 < x < 2,5 e) 2x ∈ Z

5. Calcule el valor de 6M, si:

M20 45 8012 48 27

/1 2 4

=+ −− +

−

e o= G

a) 9 b) 8 c) 10d) 12 e) 14

6. Reduzca la expresión:

.2

4 43

24

a) 0,1 b) 0,25 c) 0,5d) 0,75 e) 0,83

7. Simplifique la expresión:

x

x x x x ; x > 0

a) x56 b) x78 c) x89

d) x35 e) x316

8. En la ecuación: 3x + 3x–1+3x–2+3x–3+3x–4=363Calcular el valor de 2x.

a) 5 b) 8 c) 16

d) 2/5 e) 10

9. Calcular el valor de "x": x 1+

x 1+

3 8184

44=8 B .

a) 2 b) 5 c) 3

d) 4 e) 1

10. Si: 5x = m y 5z = n, halle: (0,04)–x+2z

a) m2 × n–4 b) m1/2 × n–4

c) m2 × n–1/4 d) m–2 × n4

e) m2 × n4

11. Si al simplificar: . . .x x x xm m8 3 3 2357

el exponente de "x" es 10. Hallar el valor de "m"

a) 15 b) 11 c) 13

d) 9 e) 12

12. Al resolver la ecuación: 9 9 9 9 30x 1 x x 1 2+ + + =- + .

Indica una característica del valor obtenido para "x".a) Es un número impar.b) Es un número no negativo.c) Es un número fraccionario.d) Es un número primo.e) Hay dos correctas.

13. Calcular "x" en: 3x–7+3x–5=3x–6+7x–6

a) 24+1 b) 42 – 1 c) 32 – 1

d) 23 – 1 e) 43 – 1

14. (Ex Admisión UNMSM 2005 – II)Si x es positivo, simplificar la expresión:

x

x x x x ... xn 3n

n 1n5

443

32

21

2+

+

a) x1/2 b) xn c) x2

d) x e) 1

15. (Ex Admisión UNMSM 2007 – I)

Si: 7 77 7 7n 4 3

15 n 81

-- =-= G . Hallar la suma de cifras de "n".

a) 3 b) 8 c) 1

d) 2 e) 9

16. (Ex Admisión UNMSM 2009 – I)

¿Qué valor debe tomar "m" para que se verifique la

igualdad: 0,1 . 0,01 . 0,001 10?m 2m =- -^ ^h h

a) 8

11 b) –1511 c)

1211

d) 1112 e) –

1211

Práctica

01Capítulo

www.trilce.edu.pe6

Tarea domiciliaria

1. Hallar el valor de "x" en la ecuación: 32x 3-

3 34 =

a) 2

11 b) 4

11 c) –2

11

d) –4

11 e) 2

13

2. Resolver: 2 . 2 2x 13 4 x 3 6=+ +

a) 4

11 b) –7

11 c) 7

15

d) –114 e)

213

3. Resolver: 5x+1+2.5x=35

a) 71 b)

72 c) 1

d) 7

53 e) 7

11

4. Hallar el valor de "x":2 2 2 ... 2 2 2 ... 2x x x x

32 veces "2x 4" veces

+ + + = # # #

-1 2 34444 4444 1 2 3444 444 .

a) 9 b) 4 c) 3 d) 31 e)

21

5. Calcular el valor de "x": 3 8116x= .

a) –171 b) –

21 c)

171

d) 32 e)

21

6. Resolver: 14436

161

x 1

x 1=-

-.

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

7. Hallar el valor de "x": 25 258 8x 32 1 1

=- -- -- - -.

a) 9 b) 4 c) 16 d) 31 e)

41

8. Resolver: 2 23 3 3x 2x= .

a) 31 b)

75 c)

32

d) 34 e)

83

9. Resolver: 81 273 42x 2x= .

a) 41 b) –1 c) –

21

d) 21 e) 1

10. Resolver: 32 225 5x 1 x 3=

- +.

a) 21 b)

53 c)

23 d) 4 e)

25

11. Muestre el exponente final de "a", luego de

transformar: a

a . a5x 3y3x

3x yx x 4y2x

-

+ -.

a) 47 b)

613 c)

29

d) 6

11 e) 421

12. Hallar el valor de xx , al resolver: 2 4 172x 16 23+ =-

a) 8 b) 2–1 c) 81

d) 4 e) 6

13. Calcular el valor de "x": 2 22 2 2

2x 56

2x 7610

++ =

a) 20 b) 36 c) 34 d) 23 e) 33

14. En la ecuación: 3 3 3 3 3 363x x 1 x 2 x 3 x 4+ + + + =- - - - .

Calcular el valor de 2x.

a) 5 b) 8 c) 16 d) 52 e) 10

15. Si: x 3 ...... 1

x 9 ...... 2

y

y2=

=. Calcular: yx8

a) 16 b) 64 c) 43

d) 24 e) 2

16. Si: xayb=10a...(1) ; xbya=10b...(2). Calcular: (xy)x/y.

a) 101010 b) 1010 c) 1010

d) 10 e) 10–10

17. Hallar "x" de: x 4x 22=+

a) 2 b) 2 2 c) 4

d) 2 e) 22

18. Se sabe que: x 87= y ( )x nxx xn= , entonces ¿cuál es

el valor de n2?

a) 49 b) 64 c) 100

d) 121 e) 5

19. Resolver: 2 3x 4x 4 12 x 8x2 2=- + + - . Dar como respuesta:

7 .x 511+; E

a) 7 b) 6

77 c) 11

d) 56 e)

1514

20. Si: x 6 6 6 ...= + + + . Entonces se cumple que:

a) x=–3 b) x=3 c) x=–2d) x=2 e) x=4

Álgebra


2 Polinomios

Ejercicios resueltos1. Si la expresión: P(x;y)=3x5yn+mxa – 2y6+bx5yb+1 se reduce a un monomio de coeficiente 10, halle el valor de

m+n+a+b.

ResoluciónEl dato expresa; que los términos del "polinomio"

se reducen a un monomio; por lo tanto:

3x5yn; mxa – 2y6; bx5yb+1.

son términos semejantes.

& a – 2=5 / n=6; b+1=6

además: 3+m+b=10

a=7

m+b=7

`m+n+a+b=7+7+6=14

m+n+a+b=14

2. Halle el valor de "h" si en el polinomio P(x)=(2x – 1)3+4x+2h se cumple que la suma de su término independiente con la suma de sus coeficientes es 12.

ResoluciónPor propiedad:

.coef/ P(x)=P(1) / T. Independiente P(x)=P(0)

luego, se establece; del dato:P(1)+P(0)=12

donde: P(x)=(2x – 1)3+4x+2h entonces:(2 – 1)3+4+2h+(0 – 1)3+0+2h=121[+4+2h – 1[+2h=12 " 2 x 2h=8` h=2

3. Sea P(x)=x2 – 3. Si f(x)=P(P(x)), halle el término independiente aumentado en la suma de coeficientes del polinomio f(x).

ResoluciónPiden:

T. Independiente f(x)+ .coef/ f(x)

Por propiedad: f(0)+f(1)

Del dato:

P(P(0))+P(P(1))

P(0)=02 – 3=–3

P(P(0))=P(–3)=(–3)=(–3)2 – 3=6

P(1)=12 – 3= –2

P(P(1))=P(–2)=(–2)2–3=1

y como:

f(0)+f(1)=P(P(0))+P(P(1))

` f(0)+f(1)=6+1=7

02Capítulo

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1. Resolver los siguientes ejercicios:* Sabiendo que: F(x)=x2+5x+4, halle F(6).* Si: F(3x – 4)=x2 – 3x+2, halle F(11).

* Si: F(x)=x2+3x; G(2x+3)=x2–x, halle: F(5)+G(17).

2. (Ex. Admisión UNMSM 2013–I)Si: f(x–3) = x2+1 y h(x+1) = 4x + 1halle el valor de h (f(3) + h(–1))

a) 117 b) 145 c) 115d) 107 e) 120

3. Con respecto al polinomio: P(x) = 3x+2, indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda:I. P(z) = 3x + 2II. P(x+2) = 3x + 6III. P(P(x)) = 3P(x) + 2Dé como respuesta la secuencia correctaa) FFF b) VFF c) FFVd) VFV e) VVV

4. Se define:

H(x+3) = 5x – 1H(P(x)) = 5x + 4Calcular: P(2)a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 12

5. Si la suma de coeficientes del polinomio:

P(x) = (x2+3x+1)2–7x(x+1) es "a"; y el término independiente de Q(x) es "b". Halle: a + b2; si: Q(x–1)=(3x+1)2–2(x+3)2

a) 243 b) 543 c) 267d) 257 e) 357

6. Halle el coeficiente del monomio:F(x;y;z)=(9a+ b) xa+3 y5 zb – 2, si sus grados relativos son iguales.a) 65 b) 16 c) 47 d) 88 e) 82

7. Indique el valor de n/m si se sabe que en el siguiente polinomio se cumple que: GA(P)=8 y GR(y)=5

P(x; y) = 3xm+1yn–3+7xm+2yn–1+11xm+3yn–2

a) 2 b) 3 c) 4d) 6 e) 5

8. Dado el polinomio homogéneo:

A(x; y; z)=xm+2+(m+n)yn – (m – n)zm+n – 4

Calcule: A 2; 2;23 -^ h .

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 7

9. Sea: P(x;y)=x12y5+axby8+bx11ya; un polinomio homogéneo. Hallar la suma de coeficientes de P(x;y).

a) 14 b) 16 c) 15 d) 17 e) 18

10. Si: F(x)=xa – 2+2xb – 3+3xc – 4+...+nxm+nm es un polinomio completo y ordenado de 15 términos.

Hallar: c

a b+ .

a) 2 b) 16 c) 15 d) 1 e) 8

11. Sea: P(x)=(2x+3)2 – 4x(x – 1) – 74 F(x)=a(x – 5) +b(x – 2)Hallar: a b, si: P(x) ≡ F(x).a) 55 b) 30 c) 84 d) 18 e) 72

12. Sea: A(x)=3x2 +bx2 – 5 – ax – 7x+c; un polinomio idénticamente nulo. Hallar: E

ca b= + .

a) –2 b) 4 c) 8 d) 1 e) 6

13. Calcular: Eab c

2=

+− si se cumple que:

a(x – 3)2+b(x – 2)2+c(x – 1)2 ≡ 5x2 – 2x+3

a) –4 b) 4 c) 7 d) 9 e) 5

14. Sea el polinomio: f(x) = x(x+1), si para a≠b, se cumple que: f(a)=1–b y f(b)=1–a, calcule el valor de a+b

a) 1 b) 0 c) 2d) –1 e) 1/2

15. Si g(x) es un polinomio que cumple g(x–1)=x2–x+1, entonces el equivalente de: g(x+1)–g(x–1), es:

a) 4x+4 b) 4x+2c) 2x2–4 d) 2x–2e) 2x2+2x+4

16. (Ex Admisión UNMSM 2006 – II)Si: f(x – 1)=2 f(x – 2) – 1; f(–3)=2. Hallar f(0).a) 1 b) 2 c) 8 d) 9 e) 12

17. (Ex Admisión UNMSM 2009 – II)Si el polinomio:

P(x)=nxn+5+(n+1)xn+6+(n+2)xn+7+... es ordenado y completo. Calcular: P(1) – P(–1)a) –15 b) –12 c) 12d) 5 e) 15

18. (Ex Admisión UNMSM 2010 – I Hab. Matemática)P(x)+Q(x)=ax+b, P(x) – Q(x)=a+bx y P(5)=4

Calcular: P(Q(1)).

a) 34 b)

31 c)

32

d) 35 e) –

34

19. Dadas las expresiones: P(2x+1)=x2 ∧ Q(P(x+1))=x–1Calcule el mayor valor de Q(4)a) 1 b) 3 c) 0d) –3 e) –5

Práctica

Álgebra


1. Si el monomio: M(x)=(n2–1) xn

32+

es de grado tres, calcular el coeficiente.

a) 46 b) 47 c) 48 d) 43 e) 49

2. Si: P(x)=x – 3 y P(f(x))=3x – 4. Calcular: f(3).

a) 9 b) 6 c) 8 d) 0 e) 2

3. Si: P(3x – 1)=6x – 1. Determinar: R(x)=P(2x+4).

Señalar el término independiente de R(x).a) 4 b) 13 c) 9 d) 3 e) 6

4. Si: f(x)=2x+8 y g(x)=2x+k. Además: f(g(x)) – g (f(x))=18. Calcular: k – 1.

a) 4 b) 9 c) 18 d) 16 e) 25

5. Si se cumple que: h(x)=x+2 y f(x)=x+k.

Calcular "k", si además: h(f(k+3))=5.

a) 0 b) 173 c)

317

d) v03

17− e) –3

17

6. Dado el polinomio mónico y a la vez cuadrático tal que: P(x)=(a – 8)xa – 10 +(a – 2b – 2)xa – 9+a+2b.Determinar: P(x).a) x2 – 2x+12 b) x2 – 3x+15c) x2+3x+13 d) x2+3x+19e) x2+3x+11

7. Determinar "x" en la igualdad:h(g(x))+15=g(h(x)) – 2x

Si se cumple que: h(x)=2x+5; g(x)=3x – 2.

a) 32 b)

23 c)

34

d) –32 e) –

23

8. Si se tiene el polinomio: P(x)=(1+x2)(1+x4)(1+x6)... "2n" paréntesis. Determinar el grado de P(x).

a) n2(n+1) b) (n2+1)n c) n(n+1)

d) n2

2e)

1n n2

2+^ h

9. Sea P(x) un polinomio lineal tal que: P(a+b)=a + P(a – b) / ab≠0

Determinar el coeficiente lineal de dicho polinomio

a) a+b b) a – 2b c) 2ba

d) 2a+b e) a – b

10. Sabiendo que: P(x+2)=6x+1; P(f(x))=12x.

Resolver: f(f(x–1))=13.

a) 0,53! b) 0,25 c) 0,75d) 2 e) 4

11. Si: P(x)=7xn – 8xn+1 – xn+2; es completo en "x" ¿Cuál es el valor de P(2)?a) –14 b) –13 c) –15a) –16 b) –17

12. Siendo: E(x;y)=xmm– 2+3xnmy17 – xm-3y28 – m un

polinomio homogéneo. Indicar: m n 1n m2 m n 4+ -

-^ h

a) 16 b) 0 c) 2 d) 3 e) 4

13. Si: P(x)=mxp – 1+nxm – 2+mnxn – 3+pxm; es un po-linomio completo y ordenado ascendentemente, dar la suma de coeficientesa) 14 b) 15 c) 16 d) 18 e) 24

14. Si los polinomios: (x–a)(x–b)+(x–c)(x-b)+(x–c)(x–a), y ax2+bx+cb+a son equivalentes. Indicar el valor de: ca–1 – b

a) 19 b) 35 c) 3

25

d) 11 e) –5

15. Si: x 4 x ax a x 2x 24 2 2/+ - + + +^ ^h h. Calcular: "a"

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 12

16. Si el siguiente polinomio es idénticamente nulo:

P(x)=(a+3b – 10)x2+(5a+6b – 23)Calcular el grado de:

Q(y)=(b – a – 2)ya+b – 1+2bxa+1

a) 3 b) 2 c) 1 d) 4 e) 0

17. Si se cumple: AKx2+3xK+2BK≡(A+1)x2+Bx+3B, el valor de: (A+B+K) es:a) 6 b) 8 c) 9 d) 14 e) 7

18. Calcular la suma de los coeficientes del polinomio homogéneo:

P(x;y) 3px y 5 p q x y 13q 4 x yn 5 12 p q n 3n 142 2= + - + +- -^ ^h h

a) 324 b) 254 c) 756d) 542 e) 432

19. De la siguiente identidad:

(x+1)5 + (x–1)5 ≡ 2x5 + ax3 + 10x + b

Calcule el valor de: (a–18)(b+3)

a) 4 b) 6 c) –4 d) 8 e) 0

20. Dados: P(3x2+2x)=(3x2+2x+2)2+3(3x2+2x+2)3.

Hallar: E=P(2x – 2) – 4x2

a) 6x2 – 2x2 b) 6x3 c) 12x3

d) 24x3 e) 6x3+2x2

Tarea domiciliaria

02Capítulo

www.trilce.edu.pe10

3 Productos notables I


1. Se sabe que x2+5x=4, entonces, ¿cuál es el valor de (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) – 79?

Resolución

Ordenando lo que se pide:

7x 1 x 4 x 2 x 3 9

x 5x 4 x 5x 6 792 2

+ + + + -

= + + + + -

^ ^ ^ ^

^ ^

h h h h

h h1 2 3444 444 1 2 3444 444

Reemplazando el dato:

4 4 4 6 79 80 79 1= + + - = - =^ ^h h

2. Simplifique la siguiente expresión: x 1 x 1 x 1 1 . x R2 !+ - + + +^ ^ ^h h h .

Resolución

Aplicando diferencia de cuadrados:

x 1 x 1 x 1 1

x 1 x 1 1

x 1 1

x x

2

2 2

2 2

4 2

+ - + +

= - + +

= - +

= =

^ ^ ^^ ^

^

h h hh h

h

3. Calcule el valor de x3+6x si se sabe que x 4 23 3= -

Resolución

Elevando al cubo el dato:

x 4 2

x 4 2 3 4 . 2 4 2

x 2 6x

x 6x 2

3 3 3 3

3 3 3

2

3 3

x

3

3"

`

= -

= - -

= -

+ =

−

^^

hh

1 2 344 44 1 2 3444 444

Álgebra


Práctica

1. Efectuar: (x+5)2 – (x+4)2 – (x – 3)2+(x – 4)2

a) 8 b) 16 c) 12d) 20 e) 14

2. Efectuar: a b a b 2ab 2b2+ - + +^ ^h ha) a+b b) a – b c) abd) 2ab e) 4ac

3. Sabiendo que: p + q = 6; pq = 10. Calcular: p2+q2

a) 16 b) 26 c) 6 d) 36 e) 0

4. Si se cumple: nm

mn 2+ = . Calcular: E

n 2mnm 2mn

2

2=

-+

a) 3 b) 2 c) –3 d) –2 e) 0

5. Efectuar:

x 1 x 3 x 6 x 2 x 4x x 4x 92 2+ + + - - + + -^ ^ ^ ^ ^ ^h h h h h h

a) 10 b) 5 c) 0d) –10 e) –36

6. Si se cumple: x+x–1=6. Calcular: x3+x–3

a) 196 b) 198 c) 216

d) 144 e) 176

7. Sabiendo que: x2+1= 3 x. Calcular: x3+x–3

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 0

8. Si: 32x + 32y = 27; 3x+y=11, calcule el valor de:

K = (3x + 3y)3

a) 512 b) 216 c) 729

d) 125 e) 343

9. Calcular:

M=(a2+b2)(a4+b4)(a8+b8)(a+b)(a – b)+1

para: a= 2 516 + ; b= 5 216 - .

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

10. Sabiendo que: x1

y1

x y4+ =+

, encontrar el valor de:

Sx

x yx y

yy x

x4

33

23

2= + ++

++

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

11. Efectuar:

(x–3)(x+3)(x2+3x+9)(x2 – 3x+9)–(x3–27)2+1458

a) 54x3 b) 27x3 c) 9x3

d) 54 e) 27

12. Efectuar:

(a+1)(a – 1)(a4+a2+1)(a6 – a3+1)(a6+a3+1)+1

a) a18 b) a27 c) 1

d) a4 e) a24

13. Si: x3=1, x ≠1. Halle: x 1

x x 16

4 4

++^ h

a) –31 b) –

41 c) –

51

d) –61 e) –

21

14. (Ex Admisión UNMSM 2007 – II)

Si se cumple: x 8 ; x 2y 1 ; y 1

3

3!

!

==- -

)

Hallar el valor de: (x2+2x+3)(2y2 – 2y+5).

a) –3 b) 4 c) –5d) 7 e) –6

15. Si: 25x+9x=2(15x), determine el valor de:

. ( )E

7 55 3

x

x x

7 1

7 1 7 2= +

− −

− + − +

a) 10 b) 2/5 c) 5d) 8 e) 15

16. (Ex Admisión UNMSM 2010 – II)Si a(b+c)=–bc y a+b+c=2, entonces el valor de:

a2+b2 +c2 es:

a) 4 b) 2 c) 2 2

d) 3 e) 4 2

17. Si se cumple que:yx

xy

+ =66; x>y. Calcular:

Mx y

xy3= -

a) 21 b) xy

2c) xy

d) x y2- e)

31

18. Si: bx+by=3, x+y=0. Calcule: b2x+b2y.

a) 1 b) 7 c) 11d) 8 e) 10

19. Si a

a1 22+ = , calcula el valor de: F = a9 + a–9

a) 2 2 b) 2 c) 3 2

d) 2 (0,5) e) 2 /3

03Capítulo

www.trilce.edu.pe12

1. Sabiendo que: yx

x4y 2+ = .

Calcular: x 2y

3x 2y3x 2y5x 2y

++ -

+- .

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

2. Si: a b a b a b, a,b R2 2 1+ - - = + +^ ^h h " ,

Calcular: ba 2

ba b a b

3

3 3 2 2+ + + -` ej o

a) 2 b) ba c) a – b

d) 4 e) 6

3. Mostrar el equivalente de:

x 1 x 2x 1 x 1 x 2x 122 2 23 + + - - - - -^ ^ ^ ^h h h h

a) 1 b) 2x c) xd) 2 e) x3

4. Halle el valor de: 2 a b

3 a b ; ab 07 7

14 14!+

^^

hh

Si: ba

ab 3 a b

2 2- = -^ h.

a) 1 b) –3 c) 3 d) 2 e) –2

5. Sabiendo que: a b 40 ......... 1a b 4 ......... 2

3 3+ =+ =

^^

hh

) . Calcular: a2+b2

a) 12 b) 10 c) 16 d) 24 e) 20

6. Siendo a, b y c números pitagóricos tales que c>b>a

Determine el valor de: a b a b

c a b2 2 2 2 2 2

4 4 4

+ - -

- -

^ ^h h

a) 1 b) –1 c) 2

d) –2 e) 21

7. En un libro de Álgebra, se lee:I. x 1 x 1 x x 1

II. x x 1 x x 1 x x 1

3 3

4 2 2 2- = - + +

+ + = + + - +

^ ^^ ^h h

h hDe estas expresiones son correctas:a) Ambas.b) La primera.c) La segunda.d) Ninguna.e) No se puede determinar.

8. Simplificar:

E m 1 m 1 m 1 m 1 m 13 3 2 5 2 8 4 210= + - - + -^ ^ ^ ^ ^h h h h h

a) m4+1 b) m4 – 1 c) m2+1d) m2 – 1 e) (m – 1)4

9. Si: x+x–1=5. Calcular: x – x–1

a) 2 21 b) 5 21 c) –2 21

d) 4 21 e) 21

10. Reducir: M=(x+y)2+(x – y)2+2(x+y)(x – y) – 4x2

a) x+y b) x – y c) xyd) x2+y2 e) 0

11. Reducir: (m+1)(m+2)(m+3)(m+4) – (m2+5m+5)2

a) –m b) –1 c) m+1d) 1 e) 0

12. Si: yx

xy 1+ = . Calcular: G

x y

x y x y2 2

4 43=

+ - -^ ^h h

a) 1 b) 2 c) 2 7

d) 4 e) 2 2

13. Calcular: E=3x2 – 5xy+3y2. Si: x= 2 +1; y= 2 –1

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

14. Calcular:

E 5 2 4 10 25 3 1 9 1 33 3 3 3 3 3 3= + - + + - + +^ ^ ^ `h h h j

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 6

15. Efectuar: (m – 1)(m2+m+1) – (m+1)(m2 – m+1)

a) 2m3 b) –2m3 c) 2d) –2 e) 0

16. Si: x= 3 ; y=1. Calcular el valor de:

(x+y)9– (x – y)9 – 3(x2 – y2)3[(x+y)3 – (x – y)3]

a) 800 b) 8000 c) 1000d) 125 e) 64

17. Si: (a – b)2=ab; (b – c) 2=3bc; (c – a)2=5ca; donde abc≠0 Halle:

ca b

ab c

bc a+ + + + +

a) 12 b) 15 c) 7 d) 10 e) 13

18. (Ex Admisión UNMSM 2005 – II)

Si se satisfacen: x+y= 5 ; xy=2. Hallar: xy

yx+

a) 21 b) 1 c)

31 d) 1 e)

32

19. Si: x3 = 125 ∧ x ≠ 5

Calcular: E xx

25 22

= + +8 B

a) 4 b) 9 c) 16

d) 25 e) 36

20. Si bx+b–x=23

21+ . Calcule el valor de b4x+b–4x

a) 2 b) –3 c) 1d) 5 e) 4

Tarea domiciliaria

Álgebra


4 Productos notables II


1. Calcule el valor de x y z2 2 2+ + si se sabe que: x + y + z=xy + yz + zx – 8=8

Resolución

Del dato se tiene que:

x + y + z =8 / xy + yz + zx = 16

Se sabe que:

(x + y + z)2=x2 + y2 + z2 + 2(16)

Reemplazando los datos:

(8)2=x2 +y2 +z2+2(16)32

" x2 +y2 +z2 =32

x y z 32 4 22 2 2` + + = =

2. Calcule el valor de: Jx y z

x y zxyz

xy yz zx2 2 2

3 3 3=

+ +

+ + + += ;G E, si se sabe que: x 5 2, y 2 3 , z 3 5= - = - = -

Resolución

Sumando los datos se obtiene: x + y + z =0, entonces la expresión J es equivalente a:

J2 xy yz zx

3xyzxyz

xy yz zx

J23

23

= - + ++ +

= - =-

^ h; ;

8

E E

B

Por identidad condicionales:

Si: x+y+z=0

x3+y3+z3=3xyz

x2+y2+z2=-2(xy+yz+xz)

3. Calcule el valor de (x – y) si se sabe que x e y son números reales que satisfacen la ecuación: x2+y2+2y+10=6x.

Resolución

Ordenando el dato:

x 6x 9 y 2y 1 0

x 3 y 1 0

2 2

2 2

- + + + + =

- + + =^ ^h h1 2 344 44 1 2 344 44

Por el teorema x2 + y2=0 " x=y=0 x;y R6 1" , se tiene:(x - 3)2=0 / (y - 1)2=0" x=3 / y= -1` (x - y)2=16

04Capítulo

www.trilce.edu.pe14

1. Siendo:{a,b} R1 , tales que: 2

a b 1 a b2 2+ + = + ,

indicar el valor de: Ma ba b

2 3

3 2=

++

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

2. Dados: {a,b,c} R1 tales que: a(b+c)+b(c+a)+c(a+b) =4 y a+b+c=6. Indicar el valor de: a2+b2+c2

a) 28 b) 32 c) 36 d) 40 e) 44

3. Siendo a un valor de x que verifica la siguiente condición: x2+2x+4=0, indicar el valor de:

P2 4

3 2 3 4= +a ac cm m

a) 25 b) 27 c) 29 d) 32 e) 36

4. Se tiene las siguientes condiciones: a+b+c=4, ab+bc+ca=3 y abc=2. Determine el valor de: (a+b)(b+c)(c+a)

a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18

5. Siendo "a" el valor de x que verifica la ecuación: x+1= x3 . Calcular el valor de: N 1 2= + +a a a-^ ^h h

a) 5 b) 3 6 c) 2 6

d) 7 5 e) 6 3

6. Dados "a" y "b" números reales tales que: a b ab a b a b 02 24 2 2+ - + + - = . Indicar el valor de:

Fa ba b2 2=

++

a) 2 b) 33 c) 55

d) 77 e) 66

7. Si: a+b=–c, calcule el valor de:

ab ac bca b c

bca

acb

abc2 2 2 2 2 2

+ ++ + + +; ;E E

a) –3 b) –6 c) 9 d) –9 e) 12

8. Dados: x; y R! tales que: x2 – xy+y2=2(x+y – 2)=4

Indicar el valor de: M x 5xy y3 3= + + .

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

9. Sabiendo que: a + b + c = 0 ab + bc + ac = –7 y abc = –6Calcule: a–2 + b–2 + c–2

a) 1/2 b) 49/36 c) 26/36a) 7/36 b) 7/6

10. Siendo: {x; y; z} R1 . Indicar el valor de:

Mx y z

x xy z y xz z2 2 2 2

2 2 2 2=

+ +

+ + + +

^^ ^

hh h, si (x–y)2=(z–y)(x–z).

a) 0,1 b) 1 c) 0,2 d) 2 e) 0,3

11. Calcula el valor numérico de:

Vab

a b a b cbc

b c b c aac

a c a c b2 2 2 2 2 2 22 2= + + - + + + - + + + -^ ^ ^h h h

Si: a+b+c=0 / abc≠0.a) 43 b) 42 c) 32 d) 0 e) 38

12. Siendo: x+y+z=0 / xy+yz+zx≠0. Además:

x2+y2+z2+2x1

y1

z1+ +c m=0

Indicar el valor de: x3+y3+z3+3xyza) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

13. Dadas las condiciones:

* x=a2+2bc * y=b2 – 2ac* z=c2 – 2ab

x= 2 – 1 y=1– 23 . Además: z= 23 – 2 +4

Determine el valor de: (a – b – c)2

a) 3 b) 4 c) 7 d) 1 e) –2

14. Sabiendo que: x+y=x y

11 1+- -

; x≠y. Reducir:

x y x y

xy6 6 6

3

+ - -^^h

h .

a) 3 b) 1 c) –1 d) –2 e) 2

15. Reducir: a b b c c a

a b c 3abc2 2 2

3 3 3

- + - + -+ + -

^ ^ ^h h h. Siendo: a+b+c=6

a) 3 b) 1 c) –1 d) –2 e) 2

16. Si: x3 +y3+z3=3xyz/x+y+z≠0; siendo {x;y;z} R1 ,

reducir: Px

y z

z

x y

y

z x3

3

3

3

3

3=

++

++

+^ ^ ^h h h .

a) 20 b) 16 c) 24 d) 12 e) 28

17. Si: a3+b3+c3=5 , y

a b a c b c a ab b a ac c b bc c 402 2 2 2 2 2+ + + - + - + - + =^ ^ ^ ^ ^ ^h h h h h h

hallar el valor de: a b c9 9 9+ + .a) 15 b) 10 c) 5 d) 20 e) 25

18. Si: 4a2 + 4b2 = 4c (a+b) – 2c2; {a; b; c} ⊂ R

Halle: c

b a3

12 122

2 2+

a) 1 b) 3 c) 4d) 2 e) 5

19. Si: ax + by + cz + abcxyz = 0, calcule el valor de:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )ax by czax by cz

1 1 11 1 1

− − −+ + +

a) –1 b) 5 c) –2d) –5 e) 2

Práctica

Álgebra


1. Si: mn p mn p p+ + - =

Hallar el valor de: K mn p mn p= + - -

a) 1 b) 2 c) –2 d) –1 e) 0

2. Simplificar:

M a a 4 a a 4 ; a ax x 2 x x 2 x x2= + - + - +- - -^ ^ ^h h h

a) 2ax b) 2a–x c) 0d) ax e) –2ax

3. Si: (x – 1)2=x. Calcular: Mx

x 5x 123= + +

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

4. Si se cumple que: a+b+c=0. Calcular:

ab bc aca b 2c a c 2b b c 2a2 2 2

+ ++ + + + + + + +^ ^ ^h h h

a) –2 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9

5. Calcular: F=(a+b)2+(a+c)2+(b+c)2, si se cumple:

a2+b2+c2=14 y a + b + c = 6

a) 30 b) 50 c) 40 d) 60 e) 70

6. Si se cumple: x+y+z=0. Calcular:

Exyz

x y zxy xz yzx y z3 3 3 2 2 2

= + + ++ ++ +

a) 1 b) 2 c) –2 d) 4 e) 5

7. Si: m+n+p=–6. Calcular:

Em 2 n 3 p 1

m 2 n 3 p 13 3 3=

+ + ++ + + + +^ ^ ^

^ ^ ^h h h

h h h ; (m+2)(n+3)(p+1) ≠ 0

a) 31 b) 3 c) –

31

d) –3 e) –6

8. Si:p mm n

m np m+ =

+−− − . Calcular:

mp n− ; {m; n; p} ⊂ R

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

9. Dadas las relaciones: a+b+c=n; ab+ac+bc=2n2 y

abc=3n3; reducir: Ebca

acb

abc2 2 2

= + + .

a) 32 b) –

43 c)

35

d) –35 e)

34

10. Si: p+q+r=2 y pq+pr=–qr, hallar el valor de:

p q r2 2 2+ +

a) 4 b) –4 c) 2 d) –2 e) 0

11. Reducir: E=3abc+(a+b+c)(a2+b2+c2)–(a+b+c)(ab+ac+bc)

a) a+b+c b) 3abcc) a3+b3+c3 d) a2+b2+c2

e) a+b+c+abc

12. Si: a3+b3+c3=3abc; a+b+c≠0; {a, b, c} R1 . Hallar:

Ea b c

a b cn

n n nn 1=

+ ++ +-

^ h

a) 1 b) 21 c)

31

d) 41 e)

61

13. Hallar el valor numérico de: abc ab bc ac

a b c a b c3 3 3 2 2 2

+ ++ + + +

^^ ^

hh h

si:

a 5 3 2 ; b 2 3 2 5 ; c 5 2 3= + - = + - = -

a) –3 b) –4 c) –5 d) –6 e) –7

14. Si: z yx z

x y z yz 1

2

-- +

+ - =^ ^h h . Hallar:

Jy

z xz

x yx

z y2 2= - + + +

-` ` `j j j

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

15. Si: a3+b3+c3=30; a+b+c=3; abc=4. Calcular:

a1

b1

c1+ +

a) 21 b)

31 c)

41 d) 1 e) 2

16. Si se cumple: a+b+c=0. Hallar:

Ec ab b ac a bc

a a bc b b ac c c ab2 2 2

3 2 3 3 2 3 3 2 3

=- - -

- + - + -^ ^ ^

^ ^ ^h h h

h h h

a) –3abc b) a2+b2+c2

c) a3+b3+c3 d) 9a2b2ce) 3abc

17. Si: ba

ca

cb 0

23 3

23+ + = . Hallar:

Lca b c a b

5abc ca b c a abc b5 5 5 5

2 2 2

=+ - -

+ + +

^^ ^

hh h

a) –5 b) 1 c) 5

d) abc e) abc3

18. Si: x+y+z=0, el equivalente de:

S3x y 3y z 3z x

3x y 3y z 3z x3 3 3=

+ + ++ + + + +^ ^ ^

^ ^ ^h h h

h h h

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Tarea domiciliaria

04Capítulo

www.trilce.edu.pe16

5 Repaso

1. Siendo: n1+n=3. Calcular: E n 1n 3n 2= +++

a) 82 b) 27 c) 10

d) 28 e) 14

2. Simplificar:

.. .

4 3 310 3 3 2 3

x x

x x x

1

3 5 2

−− −

+

+ + +

a) 2 b) 3 c) 5

d) 4 e) 1

3. Si tenemos que: xnym=10n, xmyn=10m, entonces el

valor de: (xy)y/x, será: (m,n > 0,m≠n).

a) 1010b)

101 ( / )1 10

c m

c) 101 10

c m d) 10 /1 10

e) 10

4. Si:

x y

xy

31

y

x xx y

1

1

3

2

=−

−+ * 4

Hallar la relación entre x e y.

a) x=3y b) y=3x c) x=2y

d) y=2x e) 2y=3x

5. Si: F(x)=(3a)x+1; a > 0; F(x+1) = 729 F(x–1)Halle el valor de "a".

a) 91 b)

31 c) 3

d) 9 e) 271

6. Calcule la suma de cifras de "x", si se cumple que: 9x+1=27x–12

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 14

7. Resuelva la ecuación exponencial:

2 2 2 2 2 248x x x x x2 1 1 2+ + + + =+ + − −

Calcule: 2 2 2x x x1 1+ ++ −

a) 100 b) 105 c) 112

d) 120 e) 131

8. Si:

77 77 7n

n

4 3

15 81

=−

−−= G

Hallar la suma de las cifras de "n".

a) 3 b) 8 c) 1

d) 2 e) 3

9. Si: b, x, r ! R y se verifica:

( )

.

b4

9 2 3

4 2 2 0

br r

x x

4

10 2

2 1

=+ −

− =+

Z

[

\

]]

]

Entonces se puede afirmar que:

a) x – b = 3 b) x + b = 3

c) |b| < |x| d) x < b

e) x . b = 2

10. Si:

2 2 2 2 2 62x x x x x1 2 3 42 2 2 2 2+ + + + =− − − −

donde x > 0, hallar "x".

a) 1 b) 2 c) 25

d) 2 e) 5

11. Si: 3x=2y, calcular el valor de:

M2

3 2y

x y

3

4 2= +

+

+ +

a) 8

29 b) 8

83 c) 881

d) 8

27 e) 8

85

12. Hallar la suma de los cuadrados de las soluciones de la ecuación:

4 257464x

x1− =−+

a) 25 b) 20 c) 17

d) 10 e) 8

Álgebra


13. Reduzca:

. . ...

x x

x x x x

nn

m m m nmmn

2 3

2 ; x>0

a) xn b) xm c) 1

d) 2 e) xn/m

14. Sabiendo que:

...x 24 24 24=

Si: M ! N; calcule: ...M x x33= + +

a) 10 b) 7 c) 133

d) 3 e) 9

15. Si: 32 25 55( ) ( )x xx2 1 5 1=

+ −, hallar el valor de 3x+2

a) 14 b) 17 c) 8

d) 23 e) 2

16. Hallar la suma de las soluciones de la ecuación: 6x-3(2x)-4(3x)+12=0

a) 0 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

17. Si xo es el valor que verifica la ecuación:

. ( )2 2 2 2 120 8x x x x x1 2 3 4 1+ + + =+ + + + −

El valor de x4 1o1+− es:

a) 2 b) 1 c) 3

d) 4 e) 5

18. Si: . ( )3 4 3 3 0x x4 2− + = y 128 1623m x= +− ;

hallar el valor de m.

a) 71 b)

61 c)

43

d) 25 e) 1

19. Si:

xx

22 2

n n

n nn

3

5

−− = ; calcular x

a) 16 b) 4 c) 2

d) 1 e) 0

20. Si:

K380

n=

Hallar el valor de "n" en la siguiente ecuación:

...x x x x xn radicales

K2 2 2 23333=

−1 2 34444444 4444444

a) 3 b) 4 c) 6

d) 7 e) 8

21. Si: 4x-4x-1=24. Halle: (2x)x/5

a) 5 b) 2,5 5 c) 25

d) 125 e) 5 5

22. Simplificar:

x y

x y

x y

x y

1

1

y x

y xxy

y x

y xxy

xy

++ +

++ +

− −

− −

R

T

SSSSSS

V

X

WWWWWW

a) xy.yx b) xy c) xxyy

d) x-yy-x e) (xy)x+y

23. Simplificar:

4 14 1

5 15 1

n

nn

n

nn

2

22

3

33

++ +

++

−

−−

−

−−

a) 1 b) 3 c) 5

d) 7 e) 9

24. Si se cumple:

...4 4 4 4 25555 x23 = ; hallar el valor de: 8x–3.

a) –2 b) 1 c) –1

d) 1/2 e) 5

25. Si:

a y b6 3a b12 3= =

Hallar el valor de a4b

a) 2 b) 123 c) 183

d) 6 e) .2 33

05Capítulo

www.trilce.edu.pe18

Tarea domiciliaria

1. Siendo: a2+a=5. Calcular: F a 1a 10a 3= −++

Indicar la suma de cifras F.

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 17

2. Simplificar:

.. . .

4 3 3270 3 81 3 18 3

x x

x x x

1

1

−− −

+

+

a) 2 b) 3 c) 5

d) 4 e) 1

3. El valor de:

2 . 2 1/2 1/m n 41/n −688 @ B B ; es:

a) 2 /n m4 − b) 2 /n m2 −

c) 2 /n m− d) 2 /n m4 2−

e) 2 /n m2 2−

4. La suma de soluciones de:92x–3 = 4(32x–1) – 243 es:

a) 4 b) 4,5 c) 5

d) 5,5 e) 6

5. Si: x2x+16=8xx, calcular: xx1+

a) 2 b) 10/3 c) 5/2

d) 17/4 e) 3

6. Hallar "n", si:

, ,

, , , , n0 2 0 6

0 1 0 3 0 5 0 5, ,

, , ,,

0 4 0 8

0 2 0 4 0 60 2

#

# ##=

a) 5/18 b) 25/18 c) 125/18

d) 625/18 e) 175/18

7. Al resolver la ecuación: 3(22x)–5(2x)–152=0el valor de (x–5)2 es:

a) 0 b) 1 c) 4

d) 9 e) 16

8. Calcular:

E2 2 22 2 2

x x x

x x x

3 2 1

1 2 3=

+ ++ +

− − −

+ + +

a) 12 b) 14 c) 16

d) 18 e) 22

9. Sabiendo que: x>0 / x ≠ 1. Simplifique:

Ex x

x xx x

x x x

x

1x x

x x x

x

2=

+

+−

− −−

−

> H

a) x2 b) x c) 1

d) x–1e) x

10. Al simplificar la expresión:

4 26 4

/

m m

m m

2 1 4 1

1#

++ += G

se obtiene:

a) m/4 b) m5

2 2c) ( )m

41+

d) 1/4 e) 4

11. Al resolver la ecuación: x 2x 4 1= − −

, el valor de "x" es:

a) 1/4 b) 1/8 c) 1/18

d) 1/16 e) 1/24

12. Hallar el valor de "x" en:

73

21x

x x2

4 3 2=

+

− +

a) 3/5 b) 5/3 c) –1/3

d) 2/3 e) –5/3

13. Hallar el valor de "n" en la siguiente ecuación:

. .3 3 9 9nn nn4 2 =+ −

a) 4 b) 3 c) 5

d) 2 e) 1

14. Si: x=2n+1. Halle: ( )2 4 2

2 4n n

n n

1

2 1

++

+

+

a) x/8 b) x c) x/4

d) 2x e) 4x

15. Resuelva e indique el valor de x2 en:

x 2x 5 25=

a) 5 b) 25 c) 55

d) 5 e) 2

Álgebra


6 División algebraica I


1. Efectúe: x ax b

x a 1 x a b 1 x b a x 3 b2

4 3 2

+ +

+ + + + - - + -^ ^ ^h h h; e indique la suma de los coeficientes del cociente.

Resolución

Aplicando el método de Horner:

: 1

a

b

1

1

a 1

a

1

1

a b 1

b

a1

1

b a

b

a

0

3 b

b

3

#

#

-

-

+

-

+ + -

-

--

-

+

-

-

-

` El cociente Q(x) es:Q(x)=x2+x - 1

2. Dado el polinomio: (P x) x 3 2 2 x 2 2 15 3= + - + +^ h ; halle el valor de P 2 1-^ h

Resolución

P( 2 - 1) es el residuo de dividir "divisor de primer grado"

P x x 2 1' - +^ ^h hA CBBBBBB

Luego por Ruffini:

P 2 1 4` - =^ h

x 2 1 0

x 2 1

1

1

0

2 1

2 1

3 2 2

3 2 2

2 1

0

1

1

0

2 1

2 1

2 2 1

3 2 2

4

- + =

= - -

-

-

-

+

-

-

+

-

Residuo

* 2 1 2 2 2 1 3 2 22 2 2- = - + = -^ h

* 2 1 2 1 2 1 2 1 12 2- - = - = - =^ ^h h

06Capítulo

www.trilce.edu.pe20

1. Halle el término lineal del cociente que se genera al dividir el polinomio: P(x)=10x4+6x3–37x2+36x–1 entre 5x2–7x+3a) x b) 2x c) 3xd) 4x e) 5x

2. Si la siguiente división: x 2x 3

12x 14x 15x 6x 42

4 3 2

+ -+ + - + ,

genera un residuo R(x) tal que: R(x)=ax+b.Indicar el valor que adopta a+b.a) 36 b) 39 c) 11 d) 38 e) 103

3. Si la división 4x 3

8x 2x x x 2x 55 4 3 2

-- + - + +a , genera

como cociente a Q(x) y un resto igual a 2, indicar el valor que adopta: Q(1)+aa) 12 b) 7 c) 5 d) 10 e) 0

4. Calcular el resto de dividir: B xA x^^hh . Si:

A(x)=x100 – 9x98+7x – 5x2 – 13 y B(x)=x – 3

a) -27 b) -35 c) -37 d) -51 e) -61

5. Si: P(x)=x3–2009x2+4015x–2010. Evaluar: P(2007)

a) 4017 b) –3 c) –4017d) 3 e) –2007

6. Al dividir: 3x x 2 1

6x x x x4 3 2

+ -+ + + +α β γ θ

^ h, se obtiene un

cociente cuyos coeficientes son números enteros consecutivos y un resto igual a 2x+7, calcular a–b+g–qa) 23 b) 19 c) 12 d) 6 e) 13

7. ¿Cuál es el número que se le debe restar al polinomio: P(x)=2x5–2x2–x3+1, para que sea dividido en forma exacta por (x–2)? Dar como respuesta la suma de cifras de dicho número.

a) 10 b) 19 c) 13 d) 16 e) 9

8. A partir de: G x 3 1 x 8x 10 2 34= + - + -^ ^h h .

Indicar el valor que adopta cuando x 3 1= - .

a) 2(1+ 3 ) b) 2( 3 – 1) c) 2 3

d) 2( 3 – 2) e) 2( 3 +2)

9. Hallar el resto en:

( ) ( ) ( ) ( )

y y

y y y y y

8 8

4 8 2 62

10 5 5

+ ++ + + + + +

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

10. Si: x=3, es un cero del polinomio F(x), luego podemos afirmar:

I. F(x)÷(x+3) es exacta.

II. F(x)÷(x – 3) es exacta.

III. F(0)=3

IV. F(3)=0

a) solo II b) solo IV c) I y IId) II y IV e) III y IV

11. Calcular la suma de coeficientes de un polinomio, tal que al dividirlo entre: (x3 – 2x+1) deja cociente (x2 – 8) y un residuo igual a (x+3).

a) 3 b) 4 c) 2 d) 5 e) 8

12. Al dividir P(x) entre (x+2) el resto que se obtiene es –1. Si la suma de coeficientes de P(x) es 5. Calcular el término independiente del residuo obtenido al dividir P(x) entre (x+2)(x – 1).

a) 8 b) 15 c) 12 d) 4 e) 3

13. Calcule el residuo, al dividir: P(x)=4(x–2)120+7(x–3)51, entre x2–5x+6a) 9x – 11 b) 9x+11 c) 11x – 9d) 11x+9 e) 11x – 29

14. Hallar el término independiente de un polinomio tal que al dividirlo entre (x2+4) deja un cociente igual a (x – 1) y un residuo igual a (3x+2).

a) 1 b) –2 c) 3 d) 4 e) 2

15. Hallar el valor de a.b–1, si en la división:

( ) ( ) ( )x a b

a b x a b x a b xn n n2 1 3 2

− +− + − + −− −

; b≠0

se obtiene como residuo 3bn+1

a) 1/2 b) 3 c) 1/3 d) 4 e) 2

16. Al dividir un polinomio P(x) entre (x–3) se obtuvo un cociente Q(x) y un resto igual a –2; al dividir Q(x) entre (x+2) se obtiene un resto igual a 2.Calcular el término independiente del residuo al dividir P(x) entre (x–3)(x+2)a) 8 b) –8 c) 9d) –9 e) 10

17. Hallar el resto en: x 1 2

x 1 52

12

+ +

+ +

^^

hh

a) 69 b) 54 c) 28 d) 36 e) 42

18. Al dividir F(x) entre (x–1)(x–2) (x – 3)(x – 4) (x – 5), se obtiene como residuo (x3 – 3x + 1). Hallar el residuo de dividir F(x) entre (x – 1)(x – 2)

a) 8x+2 b) 6x+2 c) 4x+2d) 8x – 1 e) 4x – 5

Práctica

Álgebra


1. Hallar m – n, si el residuo de dividir: x x 4

4x 3x mx n2

4 3

+ -+ + +

es 2x – 5.

a) 96 b) 366 c) 27d) 12 e) 126

2. ¿Qué valor debe tomar m, para que el polinomio: x3 – mx2+mx – 1 sea divisible por: x2 – x+1?

a) 0 b) 2 c) –1 d) 3 e) 4

3. Si la división: x ax c

x 2a b x a c d x ac2

3 2 2

+ +

+ + + + + +^ ^h h es

exacta, calcule: Jab bc2d bc= -

+

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

4. Calcular ab, si: 10x5+x4 – 9x3+16x2+ax+b es divi-sible por 2x2+x – 3.

a) 81 b) –9 c) 9d) 27 e) –18

5. Hallar "a" para que el residuo de la división:

x a 2x ax ax a3 2 2

- -- - - , sea: 3a+2.

a) –2 b) –1 c) 1 d) 2 e) 3

6. En la división: x 2

2x 3 2 x 12x 3 2 x 24 3 2

-+ - + - ,

indique el residuo.

a) 2 b) 2 2 c) 3 2

d) 6 2 e) 0

7. Calcular el resto de la siguiente división:

x 3 22 x 2x 2 3 x 3 6 x 6 3 x 125 4 3 2

- ++ + - + +

a) –12 b) 12 c) 6 2

d) 3 3 e) 6 6

8. Calcular:ab

a b2 2+ . Si la división:

a b x b aa b x 2b a b x 4abx b 2b a2 2 3 2

+ + -- + - + + -

^ ^^ ^ ^

h hh h h

deja de residuo aba) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

9. Hallar el resto en: x a

x a x a5 5 5

++ - +^ h

a) 0 b) –a5 c) –2a5

a) 2a5 b) 8

10. Hallar el resto en: x 1

x x 12

8 4

-+ +

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

11. Hallar la diferencia "m–n", si la división de: 3x2+mxy+4y2+5y+ny; entre x+y es exacta

a) 2 b) –2 c) 12d) –12 e) 5

12. Al dividir:x 6

3 x 8 x 12 1 x 6 x m4 3 2

-- - - - +^ h , se

obtuvo como resto 3m – 4. Calcule: m

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

13. Determinar el resto de: x x 2

x x 1 x x 102

2 10 2

+ ++ + + + +^ h

a) 10 b) 12 c) 9 d) 8 e) 11

14. Calcular el resto: x 1

x 2x 3x 4x 53

12 9 6 3

++ + + +

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

15. Hallar el resto de: x 5x 2

x 1 x 2 x 3 x 4 52 + +

+ + + + +^ ^ ^ ^h h h h

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

16. Hallar el resto en: x 2 x 1

x 2 x 33 2

- -- +

^ ^^ ^

h hh h

a) 16x+32 b) 16x – 32 c) 16x – 3d) 16 e) x+4

17. En la división: x 8 x 7

x 8 x 79 8

- -- + -^ ^

^ ^h h

h h . Hallar el residuo.

a) 2x+5 b) 2x – 15 c) 2x+3d) 2x – 3 e) Ninguna

18. Al dividir P(x) entre (x+1) (x–3) se halla por resto 5x–2 ¿qué resto se encontrará sise divide P(x) entre x–3?a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 16

19. Al dividir el polinomio F(x) entre los binomios (x – 4) y (x – 2) se obtiene como residuos 9 y 5 respectivamente. Calcular el residuo de dividir F(x) entre (x – 4) (x – 2)

a) 2x b) 1 c) 2x+1d) 4x e) 4x+1

20. Determinar el residuo de la división:( )x x

x x x x x2 2 1

6 2 3 3 2 4 23 2

7 6 4 3

+ ++ + + + + +

a) 2 2 x2 b) –2 2 x2 c) 2x2

d) – 2 x2 e) 2 x2

Tarea domiciliaria

06Capítulo

www.trilce.edu.pe22

7 División algebraica II

1. Dado un polinomio cúbico P(x), cuyo coeficiente principal es 3 y además la suma de sus coeficientes es 18. Determinar el resto de dividir P(x) entre (x–4), si al ser dividido dicho polinomio P(x) entre (x2–5x+6) su residuo es (5x+1).a) 21 b) 32 c) 41d) 51 e) 61

2. Hallar el producto de los coeficientes del resto que resulta al dividir el polinomio.P(x) = (x–7)12 + (x–8)5 , por Q(x) = x2 – 15x + 56a) –48 b) –30 c) –27d) –32 e) –45

3. Hallar: 2K+17, si: x3+Kx+3, es divisible por: x2–3x+1a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

4. Al dividir un polinomio P(x) entre (x2–1) se obtiene (–2x+4) de residuo y al dividirlo entre (x2–x–2) se tiene(8x+14) de residuo. Determinar residuo que se obtiene al dividir P(x) entre (x3–2x2–x+2)a) 10x2–2x–6 b) 10x2+2x+6

c) –10x2–2x+6 d) –10x2+6x–2x

e) 10x2+6x–2x

5. Dado P(x) un polinomio mónico cúbico, divisible entre x2–5x+6; además al dividir P(x) entre x2–x–2 se obtiene como residuo (8x–16). Determinar el resto al dividir P(x) entre (x2–2x+3)a) 3x–2 b) 2x–3 c) x–1d) –2x+6 e) 6

6. Sea P(x) un polinomio de tercer grado. Si P(x) es divisible entre (x–1) y también entre (x+3); además, al dividir P(x) entre x2–4 el resto es R(x) = x+23, halle P(–1).

a) –28 b) –27 c) 16d) 26 e) 28

7. Si un polinomio P(x) de cuarto grado es divisible separadamente por (x–4), (x–3) y (x+2); además la suma de sus coeficientes y su término independiente son iguales a 72, hallar el residuo de dividir P(x) por (x2–x–5)

a) –1 b) 2 c) –5 d) 7 e) 0

8. Se tiene un polinomio cúbico que se anula para x=1; x=2 y es divisible por x–3. Si su coeficiente principal es 8. Hallar el resto de dividir dicho polinomio entre (x+1).a) 190 b) –190 c) 196d) –196 e) –192

9. Hallar la suma de los coeficientes del residuo que se obtiene al dividir P(x)=x70+x69+1 por d(x)=x2+x+1a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 16

10. Calcule el valor de: Ka c

a c 5=−

+ − , si se sabe que la

división: x x

x ax c12

21

− +− + , es exacta.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

11. Para que valor de "n" la división:

x y

x yn n

2

1 3 4

−−+ −

, genera un cociente notable.

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

12. Hallar el tercer término del cociente al dividir:

a ba b

15 6

75 30

−−

a) a12b30 b) a30b6 c) a30b12

d) –a30b6 e) –a30b12

13. Hallar el término de lugar 6 luego de desarrollar el cociente de:

x y

x y

2

1284

28 7

++

a) 32x2y5 b) 32x5y4

c) –32x4y5 d) –32x5y4

e) x5y4

14. Hallar el lugar que ocupa el término de grado 101 en el desarrollo de:

( ; )M x yx y

x y9 4

180 80=

−−

a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25

15. En el desarrollo del cociente notable x y

x y3

3

−−

β β

α α el

quinto término es x36y16. Hallar el número de

términos del cociente notable.a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 12

16. Simplificar la expresión:

...

...Px x xx x x

11

90 72 54

102 96 90=

+ + + +

+ + + +

a) x6+x3+1 b) x3+x2+1

c) x6–x3+1 d) x12+x6+1

e) x12–x+1

Álgebra


07

Tarea domiciliaria

1. Hallar el residuo de la división de: Q(x)=x3–3x2–2x–a, entre (x–4), sabiendo que "a" es el término independiente del cociente de la división:

xx x

34 12

−− +

a) 4 b) 3 c) 1/7 d) 9 e) 18

2. Hallar el valor de "m" para que el polinomio Q(x)=x3+x2–3mx+5, al dividirlo entre (x–1), dé como respuesta el doble del resto de dividir dicho polinomio entre (x–2).

a) 1 b) 3 c) 2 d) 4 e) 5

3. Hallar "m+n" si la siguiente división es exacta:(m+1)x28–(n+2)x22+mx15–nx8+(2m–2)x7+1

entre (x7+1)a) 3 b) 4 c) 7 d) 1 e) –1

4. Al dividir un polinomio P(y) entre (y–3) se obtuvo un cociente Q(y) y un resto igual a –2; al dividir Q(y) entre (y+2) se obtiene un resto igual a 2. Calcular el término independiente del residuo al dividir P(y) entre (y–3)(y+2)

a) 8 b) –8 c) 9 d) –9 e) 13

5. Un polinomio P(x) de tercer grado tiene siempre el mismo valor numérico igual a uno para x=–2, –3 y –4. Sabiendo que al dividirlo entre (x–1) el residuo es 121. Calcular el resto de dividirlo entre (x–2).

a) 122 b) 119 c) 239d) 241 e) 242

6. Si al dividir P(x) = mx3–nx2+x+2, por d(x)=x2–a+1, se obtiene como resto r(x)=2x–4. Hallar: m2+n2

a) 8 b) 13 c) 26 d) 25 e) 17

7. Hallar el resto de la división:

( ) ( ) ( ) ( )x x

x x x x x x x2 3

1 2 2 4 10 2 122

7 2 2

+

+ + +

−− − − −

a) 2x+34 b) x+2 c) 2x–2d) 4x+3 e) x–3

8. Si los coeficientes de un polinomio P(x) de cuarto grado son números enteros consecutivos y al dividir P(x) por x–1 el resto es 35. Hallar el coeficiente del término cuadrático de P(x).

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

9. En el polinomio P(x)=ax4–5x2+3x+b, uno de sus factores es: 2x–4 y la suma de sus coeficientes es –3, hallar a2+b2.

a) 28 b) 35 c) 13 d) 10 e) 5

10. Hallar el número de términos en el desarrollo del siguiente C.N.:

x y

x y7 4

56 32

+−

a) 3 b) 2 c) 8 d) 5 e) 7

11. Halla el valor de "n" del siguiente cociente notable:

x y

x yn

n

7

112

++

a) 31 b) 20 c) 26 d) 14 e) 28

12. Hallar el término de lugar 14, del desarrollo de:

m nm n31 31

++

a) –m13n17 b) –m15n16 c) –m14n16

a) –m15n15 b) –m17n13

13. Hallar el número de términos del cociente notable:

x y

x yp

p

3

507

−−

a) 12 b) 13 c) 15 d) 16 e) 18

14. Hallar el cociente de:

......

a a aa a a

11

10 8 2

22 20 2

+ + + ++ + + +

a) a12–1 b) a12+1 c) 1–a12

a) a6–1 b) a6+1

15. Luego de dividir:

.......

x x xx x x x x

11

80 60 20

95 90 85 80 5

+ + + +− + − + + −

Se obtiene como cociente:a) x15–x10+1

b) x15+x10+x5+1

c) x15–x10+x5–1

d) x20+x15+x10+x5+1

e) x20–x15+x10–x5+116. Hallar el tercer término del desarrollo del C.N.

a ba bn n

2 9

5 18

−− −

e indicar su grado absoluto.a) 32 b) 34 c) 36 d) 40 e) 48

17. ¿Cuántos términos tiene el C.N.

x y

x ym n

2

4 5

+

− si t5, es de grado 32

a) 8 b) 7 c) 12 d) 6 e) 19

18. ¿Qué lugar ocupa en el desarrollo en el cociente notable:

x y

x y2

40 20

+−

el término que tiene grado absoluto igual a 34.

a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 12

19. Hallar (m+n) si el término 25 del desarrollo de:

x ax a

m n

m n

3 2

129 86

−− es x270a288

a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11

Capítulo

www.trilce.edu.pe24

8 Factorización


1. Factorizar: a3b4c5+a3b3c5y+a2b4c5x+a2b3c5xy. Dar como respuesta el número de factores primos.

Resolución

Extraemos el factor común: a2b3c5

E = a2b3c5[ab+ay+bx+xy]

E = a2b3c5[a(b+y)+x(b+y)]

E = a2b3c5(b+y)(a+x)

Los factores primos son:

a; b; c; (b+y); (a+x) & En total son cinco

2. Factorizar: P(x;y)=x2+y2+x(y+z)+y(x+z). Dar como respuesta la suma de factores primos.

Resolución

Efectuando:

P(x;y)=x2+y2+x(y+z)+y(x+z)

Agrupando convenientemente:

P(x; y)=(x2+y2+xy+yx)+(xz+yz)

P(x; y)=(x2+y2+2xy)+(xz+yz)

P(x; y)=(x+y)2+z(x+y)

Factor común: (x+y)

P(x;y)=(x+y)(x+y+z)

Los factores primos son:

(x+y); (x+y+z)

La suma de factores primos es:

x+y+x+y+z=2x+2y+z

3. Factorizar: R=(x – 3)3+125. Indicar la suma de coeficientes del factor primo de 2do grado.

ResoluciónA potencia 3:

R=(x – 3)3+53 ........ suma de cubos.

R=[(x –3)+5][(x – 3)2 – (x – 3)(5)+52]

Desarrollando y reduciendo:

R=(x+2)(x2 – 6x+9 – 5x+15+25)

R=(x+2)(x2 – 11x+49)

Factores primos:

( ) ( )x x x2 11 49primer grado segundo grado

2/+ - +1 2 3444 444S

Finalmente la suma de coeficientes

del factor primo de 2do grado es:

1 – 11+49=39

Álgebra


08

4. Hallar la suma de los factores primos de: M=2x5+5x4 – 26x3 – 65x2+72x+180.

Resolución

Agrupando de 2 en 2:

M=(2x5+5x4) – (26x3+65x2)+(72x+180)

Factorizando cada paréntesis:

M=x4 2 5x +^ hS – 13x2 2 5x +^ hS + 36 2 5x +^ hSFactor común: 2x+5

M=(2x+5)[x4 – 13x2+36] "Aspa simple"

Luego factorizando el polinomio de cuarto grado:

xx

49

4x9x

13x

2

2

2

2

2

"

"

--

--

-suman:

Luego:

M=(2x+5)(x2 – 4)(x2 – 9) "

M=(2x+5) x 2 x 32 2 2 2- -^ ^h h

M=(2x+5)(x+2)(x – 2)(x+3)(x – 3)

Donde la suma de sus factores primos será:

(2x+5)+(x+2)+(x – 2)+(x+3)+(x – 3)=6x+5

5. Factorizar: P(x)=4x4 – 101x2+25

Resolución

P(x)=4x4 – 101x2+25

Aplicamos aspa simple:

4xx

125

x100x101x

2

2

2

2

2

"

"

--

---suman:

Luego:

P(x)=(4x2 – 1)(x2 – 25)

Transformando cada factor a una diferencia de cuadrados:

P(x)=[(2x)2 – 12][x2 – 52]

Finalmente:

P(x)=(2x+1)(2x – 1)(x+5)(x – 5)

Capítulo

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1. Factorizar:a) P(x) = x6 + 2x3 – 5x4

b) Q(x) = 2x (x–8) + 4m (x–8)c) R(x; y) = 3x3 y2 – 6xy3

2. Factorizar:a) P(x; y) = xy + 2x + ay + 2ab) Q(x; z) = xz – z2 – x2z2 + x3zc) R(x; y) = x3 – 3x2 + 2x – 6

3. Factorizar:a) P(x) = 4x2 – 12x + 9b) R( x; y) = 25x2 – 9y2

c) Q(x; y; z) = 9x2 + 6xy + y2 – 4z2

4. Factorizar:a) P(x) = x3 – 8b) Q(x; y) = 27x3 + y3

c) R(x; z) = (x–1)3 + z3

5. Factorizar:a) P(x) = x2 – 8x + 12b) Q(x) = 3x2 – 11x + 10c) R(x; y) = x4 – 13x2y2 + 36y4

6. Luego de factorizar: M(a;b)=6ab+5b+2(3a+1)+3.Indique la suma de coeficientes de un factor primo.

a) 3 b) 5 c) 9 d) 11 e) 14

7. Al factorizar: P(x)=(3x+1)2 – 4x2; un factor primo es de la forma: mx+1 (m≠1). Hallar:"m".

a) 6 b) 5 c) 4a) 3 b) 2

8. Factorizar: P(x)=(x2 – 3)2+7x(x2 – 3)+10x2.Indique la suma de factores primos lineales.

a) 2x+1 b) 2x+2 c) 2x+3d) 2x+4 e) 2x+5

9. Factorizar: F(x;y)=6x2+16xy+8y2+13x+14y+6Señalar un factor primo:

a) 2x+3y+4 b) 2x+4y+3 c) 2x – 3y+4d) 2x – 4y+3 e) 2x+3y+3

10. Dado el polinomio: P(x) = x5 (x2 + 1)(x2 – 9)Se afirma:a) Un factor primo es x.b) Posee 4 factores primos.c) El factor primo de mayor multiplicidad es x.d) El factor primo de mayor grado es x2+1.e) Toda son correctas.

11. Factorizar: F(x)=x4+6x3+16x2+22x+15Indicar la suma de términos independientes de sus factores primos.

a) 16 b) 12 c) 10d) 8 e) 6

12. Factorizar: F(x)=x8+6x6+13x4+12x2 – 5La suma de coeficientes de un factor primo es:

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

13. Factorizar: P(x)=12x3+8x2–13x+3, e indique la suma de sus factores primos.

a) 7x+1 b) 7x+2 c) 7x+3d) 7x+4 e) 7x–1

14. Factorizar: Q(x)=2x5+x4–10x3–5x2+8x+4e indique la suma de sus factores primos lineales.a) 5x–1 b) 5x c) 5x+1d) 5x–2 e) 5x+2

15. Factorizar: P(x) = x5–x4+(b2–a2)x3+(a2–b2)x2–a2b2x+(ab)2

e indique un factor primo.a) 7+2a b) x–b c) x+bd) x2+b e) x2+b2

16. Factorizar: P(x)=6x7+7x6–5x5+42x2+49x–35e indique un factor primo no lineal.

a) x5+5 b) x5+7 c) x5+3d) x5–7 e) x5–5

17. Al factorizar el polinomio P(x)=(x–3)(x–5)(x+2)(x+4)–x2+x–70en Z[x], hallar el resto que se obtiene al dividir el factor primo de mayor grado de P(x) por (x+5)a) 5 b) –1 c) 28d) –10 e) 9

18. Factorizar: P(x)=x6 – x5 – 6x4 – 5x2 – 1; e indicar el producto de los términos de uno de los factores primos de:

a) 2x4 b) 3x5 c) 6x5

d) –4x4 e) 8x5

19. Factorizar: F(x)=x8+x6+x4+x2+1. Señalar uno de los factores primos obtenidos al factorizar la suma de los factores primos de F(x).

a) x2+x – 1 b) x2 – x – 1c) x2+x+1 d) x4+x2

e) x4 – x3+x2 – x+1

20. Factorizar: F(x)= x3+(x2+1)2 – (x+1)(x – 1) e indicar un factor primo.

a) x2+x+1 b) x2+x+2c) x2+2x+2 d) x2 – x+2e) x2+2x – 1

Práctica

Álgebra


08

1. Factorizar: x2 – ax+bx – ab.

a) (x – a)(x+b) b) (x+a)(x – b)c) (x – a)(x – b) d) (x+a)(x+b)e) (x – a – b)2

2. Factorizar: x5 – ax4+bx4 – abx3.

a) x(a+a+b+1) b) x3(x – a)(x+b)c) x3(x+a)(x+b) d) x3(x – a)(x – b)e) x(x+a3)

3. Indicar la suma de factores primos de:

(2x2+7x)(x+5)+(6x+15)(x+5)

a) 4x+13 b) 3x+8 c) 4x+8d) 3x+13 e) 5x+4


x2(x+7)+6x(x+7)+9x+63

a) 2x+11 b) 2x+10 c) 3x+13d) 2x+13 e) 3x+12

5. Uno de los factores primos de: x2 – 4x+4 – 25y2 es:

a) x – 5y b) x – 5y+2 c) x – y+2d) x – 5y – 2 e) x+5y

6. Factorizar: x14 – (x2+6x+9) e indicar uno de sus factores primos.

a) x7–x+9 b) x7 – x – 9 c) x7+x+3d) x7 – x+3 e) x7+x – 3

7. ¿Cuántos factores lineales tiene: 2x4 – 3x2 – 20?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

8. Señalar uno de los factores primos de:

5x9y – 39x6y – 8x3y

a) 2x+1 b) x+2 c) x – 2d) x+4 e) x+1

9. Factorizar: 25x4 – 109x2y2+36y4.Indicar un factor primo.a) 5x+3y b) 25x2+9y2 c) x2+4d) x+2 e) a y d

10. Factorizar: P(x)=abx2+(2a + 3b) x+6.Indicar un factor primo.a) ax+3 b) bx2+24 c) ax – 3d) bx – 2 e) ax – 1

11. Factorizar: x7y3 – 2x6y4+x5y5

E indicar el número de factores de primer grado.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

12. Señalar un factor primo de:

x2+(2a+7)x+a2+7a+10

a) x+a+5 b) x – a – 5 c) x+a – 2d) x+a+7 e) x+a


(6x2 – 2x)(x – 4)+(4 – x)(3x+4)

a) 6x+9 b) 5x+1 c) 6x+1d) 6x – 7 e) 6x+5

14. Señalar uno de los factores primos de:

x(y2+z2)+y(z2+x 2)

a) x – y b) x+2y c) xd) x – 2y e) x+y

15. Al factorizar: P(x)=x3+x2 – 10x+8. Indique el factor primo de menor término independiente.

a) x + 2 b) x + 1 c) x – 2 d) x+ 4 e) x + 3

16. Indicar la suma de factores primos de: 6x3+7x2 – 1

a) 6x + 1 b) 6x – 1 c) 5x + 1 d) 5x – 1 e) 6x + 3


4x3+8x2 – 11x+3

a) 3x – 2 b) 2x – 3 c) 2x – 1 d) 3x + 2 e) 3x + 1

18. Factorizar e indicar el factor que más se repite:

x6 – x2+2x(x4 – 1)+x4 – 1

a) x – 1 b) x + 1 c) x2 + 1d) x + 2 e) x4 – 1

19. Señale un factor primo de: M(x)=(x – 3)5+x – 2.

a) x2 + 5x – 1 b) x2 – 5x – 1c) x2 – 5x + 7 d) x2 + 5x + 1e) x2 + 1

20. ¿Qué término hay que sumarle a:P(x;k) = n(n + 5k) + 3(kn + 7k2) para que sea fac-torizable?

a) 3nk b) 6nk c) 5nk d) 8nk e) 2nk

Tarea domiciliaria

Capítulo

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9 MCD - MCM - Fracciones algebraicas


1. Hallar el MCD y el MCM de: P(x)=(x – 1)3(x+2) y Q(x)=(x – 1)2(x+2)2(x – 3).

Resolución

MCD: los factores comunes son (x – 1) y (x+2) como debemos escoger los de menor exponente el MCD de (P(x) y Q(x)=(x – 1)2 . (x+2)MCM: Los factores comunes de mayor exponente son (x – 1) y (x+2) y el no común (x - 3), el MCM de P(x) y Q(x)=(x – 1)3(x+2)2 (x – 3).R=[(x – 3)+5][(x – 3)2 - (x – 3)(5)+52]

2. Descomponer en factores y calcular el MCD y el MCM de los polinomios:P(x)=x4+3x3 – 3x2 – 11x – 6 y Q(x)=3x3 – 12x2+3x – 18

Resolución

Los polinomios factorizados son:

P(x)=x4+3x3 – 3x2 – 11x – 6=(x+1)2(x – 2)(x+3)

Q(x)=3x3 – 12x2+3x – 18=3 . (x – 2)(x+1)(x – 3); Por tanto:

MCD=(x – 2)(x+1) ⇒ MCM=3 . (x+1)2(x – 2)(x+3)(x – 3)

3. Si la fracción: 3x 5y 3

a 3 x 2a 5b 3 y 5b 2- +

- + - + + -^ ^h h adopta un valor constante para cualquier valor de x e y. Hallar el valor de la constante.

Resolución

Si es independiente de las variables se cumplirá:

3a 3

52a 5b 3

35b 2 k ( )tanvalor cons te- = -

- + = - =

1

2

De(1): a – 3=5b – 2 ⇒ a=5b+1 .....(a)De(2): 3(2a – 5b+3)=–5(5b – 2) 6a – 15b+9=–25b+10 10b+6a=1 .... (b)De(a) y(b): 10b+6a=a – 5b

∴ 15b+5a=0 ∴ a=–3b

en (1): –3b=5b+1 ⇒ b=–81

Entonces:

K3

581 2

3821

=- -

=-c m

K

87` =-

Álgebra


Práctica

1. Calcular el valor de "x" en función de "n" para que el MCD de:

P(x)=x2+(2n+3)x+6n, Q(x)=x2+2(n+1)x+4n ∧R(x)=x2+(2n+1)x+2n.Elevado al cuadrado resulta ser igual a Q(x).a) n b) –2n c) –nd) 2n e) n+1

2. Hallar el MCD de: P(x)=x3–x2–x+1 y Q(x)=x3–3x2+3x–1

a) (x – 1)2 b) (x – 1) c) (x+1)d) (x+2) e) (x+1)2

3. (Ex. de Admisión UNMSM 2006 – II)Determine el MCD de los siguientes polinomios:P(x;y)=x3+x2y+xy2+y3, Q(x;y)=x3 – xy2+x2y – y2

y R(x;y)=x4 – 2x2y2+y4.a) x(x –y) b) (x+y)yc) x+y d) x – ye) (x+y)(x –y)

4. Sean:P(x)=mx2+6x–n; y Q(x)=mx2 – 10x+nSi: (x–1) es el MCD de P(x) y Q(x). Hallar "m . n"a) 12 b) 14 c) 16d) 18 e) 20

5. El producto del MCD y MCM de los polinomios P(x) y Q(x) es:(x – 2)2 . (x+1)3 . (x – 1). Hallar P(x). Si: Q(x)=(x –1) (x2 – x – 2).a) (x – 2)(x – 1) b) (x – 1)(x+1)2

c) (x – 2)(x+1)2 d) (x – 2)2(x+1)e) (x – 2)(x+1)(x – 1)

6. P(x) es uno de 10 polinomios, donde: 3x4–2x3+3x2+ax+b, es el MCM de dichos polinomios. Hallar: "a+b". Si: P(x)=x2 – 2x+1.a) –4 b) –5 c) 3 d) 4 e) 5

7. Al efectuar la operación:

Exy 1

x y

yx 1

x yx y

11 1

1=

+

+ ++

+ + -+- -

-c m , se obtiene:

a) x b) x – y c) x+yd) 1 e) 0

8. Si: x 2A

x 1B

x x 27x 12- +

+=

- -+ . Hallar: "A+2B".

a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) 5

9. Simplificar:

P

a ba b

a ba b

a ba b

a ba b

=

−+ −

+−

−+ +

+−

a) 1 b) ab c) ab

a b2

2 2+

d) a/b e) a2+b2

10. Al simplificar la siguiente expresión:

x yy

x y

x y

x xy y

xy

13 4

8

54 128

27 64

19 12 16

24

3 3

3 3

2 2

++

+ +

−−

−

c em o , se obtiene

a) 1 b) –1 c) 2

d) –2 e) 1/2

11. Si la fracción F(x; y) es constante, para cualquier valor de x e y, calcule "A . B".

( ; )F x yx By

Ax y

3

2 62 2

2 2=

+ ++ +

a) 0 b) 4 c) 1/2 d) 1 e) 2

12. (Examen UNMSM 2006-I)

Dado: R(x) =xx

11

−+ ; Q(x) =

xx

11

2

2

−+

Calcular: R (Q(R(x)))

a) xx

11

−+ b) x+1 c)

11

xx 2+

−` j

a) x – 1 b) ( )x

x1

1 2

+−

13. (Examen UNMSM 2006-I)

Si: xxx

11= +

− ; xxx

11= +

−

Calcular: x

a) x b) x+1 c) x–1a) x2 b) x2–1

14. Si: G(x) = xx

11

−+ ; n ∈ N

Reducir: ( ( ... ( ) ...))G G G G x" "n veces2 1+

1 2 34444 4444

a) x b) xx

11

−+ c)

xx

11

+−

d) xx

11

n

n

−+ e) xn

15. Al simplificar: a c b aca b c ab

22

2 2 2

2 2 2

+ − ++ − + ; se obtiene un

numerador y denominador, cuya suma es:

a) 2c b) 2b c) 2a

d) a–b e) 2(a+b+c)

16. Reducir: Rx x

xx x

x1

11

12 2

=+ ++ −

− +−

a) x 1

24

+b)

x 12

4 −c)

x x 12

4 2++

d) x x 1

24 2

+−e)

x x 11

4 2++

09Capítulo

www.trilce.edu.pe30

Tarea domiciliaria

1. Hallar el MCM de los polinomios:

P(x)=(x+2)2(x–3)4(x+1), y Q(x)=(x+2)5(x – 3)5(x+6)

a) (x+2)5 (x – 3)5 (x+1)(x+6)b) (x+2)4 (x – 3)4 (x – 2) c) (x+1)6 (x – 1)6

d) (x+2)2 (x – 3)4

e) (x+1) (x – 2)

2. Hallar el MCD de los polinomios:

P(x)=(x+3)4 (x2+1)6 (x – 2)2 (x+7)6

Q(x)=(x+7)2 (x2+1)3 (x – 2)4 (x+5)6

R(x)=(x+5)4 (x2+1)2 (x – 2)3 (x+3)3

a) (x2+1)(x – 2) b) (x2+1)2 (x – 2)2

c) (x+1)(x+3) d) (x2+1)4(x – 2)3

e) N.A

3. Simplificar: F(x)x 6x 11x 6

x 9 x 13 2

2=

- + -

- -^ ^h h

a) x 3x 2

++ b)

x 2x 3

-+ c)

x 3x 2

+-

d) x 1x 1

-+ e) N.A

4. Reducir: x 25

2x 10xx 6x 5

x 16x 152

2

2

2

-- +

+ ++ +

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) N.A.

5. Reducir: x 2x 3x x 2

x 6x 9x 7x 12

2

2

2

2

+ -+ - +

+ ++ +e eo o

a) x 3x 5

-+ b)

x 1x 2

+- c)

xx 3-

d) x e) 2

6. Indicar el MCD de los polinomios:A(a,b)=a2+ab – 6b2; B(a,b)=a2 – ab – 2b2 , yC(a,b)=a2 – 4ab+4b2.a) a + b b) a – b c) a – 2bd) a + 2b e) ab

7. Si: A(x,y)=12xn – 1 ym+1 ,y B(x,y)=16xn+1 ym – 1.

Cumplen: MCM=axay4 ; MCD=bx5yb. Calcular:

Ra mb n

=+ -+ -

αβ

a) 1 b) –1 c) 53

d) –53 e) 0

8. Simplificar: S21

x yx

x yx

x y

2xy2 2= - +

++

-= G.

a) x y

2+

b) x y

1+

c) x y

x-

d) 1 e) x y

x+

9. Reducir: M3x 3

12x 2

1x 1

1 x 12=

++ - +

--c ^m h.

a) x 3

2x 1-+ b)

6 x 15x 7

++

^ hc)

6 x 15x 1

-+

^ h

d) x 2x 1

-+ e) x

10. Si: x2

a bn n= + . Calcular: E

2na 2nxa

n a bb

n

n

n n

n=

--

-^ h.

a) n b) n1 c) 2n

d) 3n e) n + 1

11. Si la fracción: F(x;y)4x 6y

mx 12y= -

- , es independiente de

“x” e ”y”. Calcular "m".

a) 12 b) 8 c) –8d) –6 e) –12

12. Hallar el MCD de los polinomios:P(x)=x5+x+1, Q(x)=x5+x4+1, yR(x)=x4+x3+2x2+x+1a) x2 – x+1 b) x2+x+1 c) x2+1d) x2 – 1 e) x3+x+1

13. Si el MCM de los polinomios:A(x)=x2+x – 2, B(x)=x2 – x – 2, y C(x)= x4+5x2+4;es equivalente a: x8+Ax6+Bx4+Cx2+D.Calcular: (A+B+C+D).

a) 1 b) –1 c) 2 d) –2 e) 0

14. Reducir: Ea b a b 2a

a b a b 2b3 3 3

3 3 3

=+ + - -

+ - - -

^ ^^ ^

h hh h

.

a) a ba b

-+ b)

ba c)

ab

d) 1 e) –1

15. Sabiendo que: a2+b2+c2= 3 , y ab+bc+ac= 0.

Calcular: Sa a b ca bc

b b a cb ac

c c a bc ab4 2 4 2 4 2

= - --

+ - --

+ - --

^^

^^

^^

hh

hh

hh

.

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

16. Si: x2≠1 y b≠1, simplificar la siguiente fracción:

E1 bx b x

1 b2 2

2=

+ - +-

^ ^h h

a) 1 x

12+

b) 1 x

12-

c) 1 x

1-

d) 1 x

1+

e) x 1x 1

-+

Álgebra


10 Ecuaciones de primer grado


1. Si xo el valor que satisface la ecuación: 3x x x x9 25 13 23+ + + = + . Hallar: x 1o

2 +

ResoluciónElevamos al cubo miembro a miembro para eliminar el radical:

( ) ( )x x x x x x9 25 1 3 3 3 33 2 3 3+ + + = + + +

x x x x x x9 25 1 27 9 273 2 3 2+ + + = + + +

Reduciendo: 25x + 1 = 27 + 27x

–26 = 2x

x x13 1 170o o2

"- = + =

2. Si: "x" es el valor que satisfacen la ecuación: x xx x

x xx x

4 22 14

2 144 2 2

2

2

2

2

+ +- + +

- ++ + =

Hallar el valor de: 1+x+x2+....+x8

ResoluciónEl primer miembro de la ecuación tiene la forma:

ba

abn n+ ; luego si:

ba

ab a b2n n "+ = =

2 14 4 2x x x2 2` + = + +-

12 = 6x

2 = x

entonces: ...1 2 2 22 12 1 5112 8 9

+ + + + = -- =

Nota: ...x x xx

x11

11n n2+ + + + = --+

3. Si la ecuación en "x": n2x–n2+5x=2+6nx–3n; tiene infinitas soluciones, halle el valor de "n".

a) 5 b) 2 c) 1 d) 0 e) 3

Resolución

Se tiene la ecuación: n2x–n2+5x=2+6nx–3nOrdenando convenientemente:

n2x–6nx+5x=n2–3n+2

(n2–6n+5)x=n2–3n+2Factorizando los coeficientes por aspa simple:

( ) ( ) ( ) ( )n n x n n1 5 1 2A B

- - = - -1 2 344 44 1 2 344 44

Se obtiene una ecuación paramétrica,

que por dato debe tener infinitas

soluciones, entonces A=0 / B=0, es

decir:

(n–1)(n–5)=0 (n–1)(n–2)=0

De donde: n=1.

10Capítulo

www.trilce.edu.pe32

1. Si el conjunto de la ecuación: ( )x x x3

2 15

1103+ - - = +

es n

n 1+$ .. Halle el valor de: n2-3

a) 0 b) 6 c) 22

d) 13 e) 46

2. Con respecto a la siguiente ecuación: (a–1)(a–3)x = (a–1)(a–2)Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones:I. Si a=1; es compatible determinada.II. Si: a=2; es compatible indeterminada.III. Si a=3; es incompatible.

a) VFV b) FFV VVF

c) FFF d) FVV

3. Determine la cantidad de elementos del conjunto solución de la siguiente ecuación:

x xx

xx

x21

1 74

21

−+

+=

++ +

−

a) 2 b) 1 c) 0

d) 5 e) 3

4. Resolver:

2c

x a ba

x b cac

a c+ + + + + + = + ; ac ≠ 0

a) 1–a–b–c b) 1+a–b+c c) 1–a+b–c

d) a b c1 2- + - e) 1–b–c

5. Resolver: n

x mm

x nmn

m n 22 2+ - + = + - ; ac ≠ 0

a) m+n b) m–n c) –2m

d) –2n e) n–m

6. Resolver la ecuación en "x": 22 1

1x

x nnxx

5+ =

++ , si ésta

es reducible a una ecuación de primer grado.

a) 21 b)

65 c) -

215

d) -35 e)

52

7. Si al resolver la ecuación en "x": ax+5=3x+b; se obtienen infinitos valores de "x" que verifican la igualdad. Hallar el valor de "a+b".

a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14

8. Si la ecuación en "x"; (x–1)m2+(5 – 4x)m+3x – 4=0; resulta ser compatible indeterminada, encontrar el valor de "m"

a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 9

9. Del problema anterior indique el valor de "m" para que el conjunto solución de la ecuación sea vacío.

a) 7 b) 5 c) 3 d) 1 e) -1

10. La ecuación en x: (x – 1)m2 – 9(x – m)= 18; genera un conjunto solución unitario Hallar "m".

a) m!R -{3} b) m!-{-3}c) m!R -{-3;3} d) m!{-3;3}e) m!{-2;2}

11. Al resolver: 2m mx x x m2 24 2- + + = , se obtiene CS a {2}, indicar "m" para que esto sea posible

a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6

12. Sean los conjuntos iguales:

A = {x ∈ R / x 2− + 4 = x}B = {5m+3}Halle el valor de m

a) 0,2 b) 0,4 c) 0,6d) 0,8 e) 0,9

13. Resolver:

....x n x n x n nxn n

2 1 3 2 12

1+ + + - + + - + + +

+=^ ^ ^ ^ ^h h h h h

a) -3 b) -2 c) -1

d) 0 e) 1

14. Resolver: 22

1;a x

a ax xa ax x

a x x a2 2

2 2

2 22 2!

-- + +

+ ++ = ,

para "x".

a) 21 b)

31 c)

41

d) 51 e)

61

15. Resolver la ecuación en "x": 5x a ax a a

5 66

+ -+ + =4; a>0

a) a1546 b) a

1547 c) a

1548

d) a1549 e) a

1550

16. Siendo: a b c2 2! -^ h , resolver:

( ) ( )1

a b c a b cx a

c a b b a cb c x2 2 2

+ - - ++ - = - - - -

+ -^ ^h h

a) a b) c c) ac

d) bc e) b+c

17. Determine la solución de la ecuación de incógnita "x":

( )x x K iK

n

i

n

1 1

1+ + =

= =

+/ /

a) 1/4 b) 1/2 c) 1

d) –1/2 e) –1/4

Práctica

Álgebra


1. Resolver: x x x5

65

725

212-

-+

=-

a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 5

2. Resolver: a b

xa xb a ba b

12 2-

+ + + = -

Dando el valor de x; además a≠ba) 3 b) 2 c) 1 d) -1 e) 0

3. Resolver para "p": 5 4p q pp q p

5 66

+ -+ + =

a) q353 b) q

273 c) q

275

d) q5

6 e) q152

4. La siguiente ecuación es incompatible:

(k2 – 4)x+6=(k+4)k – 1

Hallar:-k2

a) 0 b) 1 c) 2 d) -2 e) -4

5. De la ecuación de 1er grado: (a–3)x2+bx+c=0; sabiendo además: a+b+c=6.Hallar: E=b+ca) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

6. Resolver: 12

42

0

xx2-

++- =

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

7. Resolver: 2

3 72

8xx x

x1=

++ +

++

a) -3 b) 1 c) 2 d) 5 e) 4

8. Resolver: 11 4 7x x+ + + =

a) 3 b) 4 c) 5 d) 7 e) 6

9. Despejar "x" en: ; 0q

p x pp

q x qx pq !

-+

-=

^ ^h h .

a) p+q b) p - q c) p2+q2

d) p2 - q2 e) p+q+pq

10. Resolver: 3 3

x31

51

52

151

51

+-

=+

+

.

a) 34 b)

32 c)

108

d) 3

10 e) 54

11. Hallar "x" en: 4 23 1 3 3x+ + + - = .

a) 1 b) 20 c) 30d) 40 e) 12

12. Resolver: 1

2 11x

xx

45

451

- + - = - + .

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) Incompatible

13. Resolver: 2 3 5 3 0x x x- + - + =^ ^ ^h h h .Indique su menor raíza) 11 b) 5 c) -3d) 2 e) 1

14. Hallar "m" si la raíz de la ecuación en x: 2 6mx x3+ = +

es 2.a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

15. Dar "a" si la raíz de la ecuación: 2 3 5ax x7+ = - es:

x=-19.

a) 4 b) 7 c) 74

d) 47 e)

13376

16. Resolver: 2 5

33

2 5 2xx

xx

+- + -

+ = . Dar el valor de

(x+7)3.

a) 1 b) 0 c) -1d) –27 e) N.A.

17. Hallar "x" en la ecuación de 1er grado:

(a+5)x2+(a+3)x+7 – 3a=0

a) 9 b) -5 c) -3d) 11 e) 13

18. Resolver: 4 7

22

4 7 2x

xxx

-+ +

+- = . Dar: x2 – x+1.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 7

19. Resolver: 1abx

bcx

cax abc x a b c+ + - = - + +^ h.

a) abc b) abc

a b c+ + c) a b c

abc+ +

d) a+b+c e) ab+c

20. Resolver: 23

62 5

32

xx

x xx

xx

2-- +

+ -- =

++ .

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

Tarea domiciliaria

10Capítulo

www.trilce.edu.pe34

11 Planteo de ecuaciones de primer grado


1. De un depósito lleno de x litros se saca la cuarta parte del contenido; después la mitad del resto y queda aún 1500

litros. Calculemos la capacidad del depósito.

ResoluciónTraducción:

capacidad del depósito x un cuarto del contenido x41

mitad de resto ( )x x21

41- queda aún 1500 litros

Expresión:

( )x x x41

21

43 1500= + +

8x = 2x + 3x + 12000

3x = 12000

x = 4000 litros

2. Tres hermanos tienen una hacienda. El primero tiene 1/3 de ellas más 80 hectáreas; el segundo 1/4 de la hacienda y el tercero 20 hectáreas. ¿Cuántas hectáreas tiene la hacienda?

ResoluciónTraducción:

extensión de la hacienda x (en hectáreas)

primer hermano x31 80+

segundo hermano x41

tercer hermano 20

Expresión - ecuación:

x x x31 80

41 20+ + + =

4x + 960 + 3x + 240 = 12x

1200 = 5x

x = 240 hectáreas

Álgebra


Práctica

1. Ana compró una bolsa de caramelos, consumió la cuarta parte y regala 5; después Ana comió la mitad de los que tenía y obsequió los 5 que le quedaban. ¿Cuántos caramelos contenía la bolsa al inicio?a) 18 b) 25 c) 30d) 20 e) 22

2. Un frutero compra fresas pagando S/.7 por cada 3 kg. de fresa. Si vende a S/.13 cada 4 kg. y ha ganado el precio de costo de 44 kg. de fresa. ¿Cuántos kg. de fresa vendió?a) 120 kg b) 116 kg c) 112 kgd) 105 kg e) 110 kg

3. Al examen de un curso de matemáticas, solo asistieron los 2/3 del número total de alumnos matriculados. De los que asistieron, aprobaron los 3/4 y desaprobaron 30. ¿Cuántos alumnos matriculados hay en dicho curso?

a) 75 b) 180 c) 10

d) 80 e) 120

4. Juan obtiene un determinado ingreso al vender la mitad del total de sus manzanas a 3 por 5 soles y la otra mitad a 5 por 5 soles. ¿A qué precio debió vender cada manzana para triplicar el mencionado ingreso?

a) 3,50 soles b) 4,00 soles c) 4,50 soles

d) 3,75 soles e) 4,25 soles

5. En un restaurante, 24 personas consumen por una suma de S/.360 para pagar en partes iguales. Como algunos no tienen dinero, cada uno de los que asumen la cuenta pagará 1/3 más de lo que le corresponde. ¿Cuántas personas no tienen dinero?a) 8 b) 6 c) 5d) 9 e) 7

6. En una escuela, cada 4 niños disponen de una pelota para jugar. Al cabo de algún tiempo, abandonan la escuela 40 niños. Desde entonces, cada 3 niños disponen de una pelota. ¿Cuántos niños hay actualmente en la escuela?a) 120 b) 160 c) 180d) 100 e) 80

7. Sebastián cría conejos en la azotea de su casa. Él ha observado que si coloca tres conejos en cada conejera, le sobra un conejo; pero si coloca cinco conejos en cada conejera, le sobran 3 conejeras. ¿Cuántas conejeras tiene Sebastián?a) 5 b) 8 c) 7d) 6 e) 4

8. Solo tengo pantalones de colores negro, azul y verde. Todos mis pantalones son de color negro, menos cuatro; todos son de color azul menos cuatro, y todos son de color verde, menos cuatro. ¿Cuántos pantalones tengo en total? a) 5 b) 7 c) 6d) 8 e) 9

9. Cierto número de gorriones están volando y se posarán en postes con travesaños. Cuando haya 6 gorriones en cada poste, quedarán 4 gorriones volando; pero cuando en cada poste haya 8 gorriones, quedarán 4 postes libres. ¿Cuántos postes hay?a) 16 b) 14 c) 20d) 18 e) 22

10. Una persona tiene "x" años y otra "z" años. ¿Dentro de cuánto tiempo la edad de la primera será "n" veces la edad de la segunda?

a) n b) x – z c) x − zn

d) n

x zn- e) nx zn

1--

11. Si por la compra de 120 botellas de vino, Roberto paga en impuestos el valor de una botella de vino mas S/.11 y por 40 botellas el impuesto correspondiente equivale al valor de una botella menos S/.5. ¿Cuánto cuesta cada botella de vino?a) S/.12 b) S/.9 c) S/.15d) S/.13 e) S/.11

12. Un boticario tiene cierta cantidad de kilos de una sustancia química, vende la cuarta parte y compra 12 kilos, con lo cual tiene los 3/2 de la cantidad primitiva. ¿Qué cantidad tiene de sustancia el boticario?a) 16 Kg b) 24 c) 32d) 8 e) 48

13. Pilar tiene 2 hijos, una hija y 9 nietos. José, el primogénito, tiene un hijo más que su hermano Jorge; y su hermana Carmen tiene dos hijos más que su hermano menor. ¿Cuántos hijos tiene José?a) 4 b) 3 c) 1d) 2 e) 5

14. Para comprar "n" libros me falta S/.a; pero si compro (n−1)libros me sobra S/.b. Si todos los libros tiene el mismo precio. ¿Cuánto cuesta cada libro?

a) S/. a + 2b b) S/. 2a + b

c) S/. ( )a b3

2 + d) S/. a+b

e) S/. a b2

2+

15. Manuel va de compras llevando cierta cantidad de dinero. ¿Cuál es la cantidad si por cada 7 soles que gastó ahorró 5 soles y gastó 800 soles más de lo que ahorró?

a) 5200 b) 4800 c) 4200

d) 3800 e) 3200

16. Un vagón lleno de cal pesa 27 toneladas, lleno hasta los 3/5 pesa 7/4 del vagón vacío. Halle el peso de la cal.

a) 12 b) 13 c) 14

d) 15 e) 16

11Capítulo

www.trilce.edu.pe36

Tarea domiciliaria

1. Si Juan recibe S/.5 tendría el doble que si hubiera gastado S/.5. ¿Cuánto tiene Juan?a) S/.18 b) 15 c) 9d) 10 e) 22

2. Siete veces la novena parte de la edad de José, excede en tres al doble de la tercera parte de dicha edad. ¿Dentro de cuántos años tendrá 32 años?

a) 18 b) 30 c) 4

d) 10 e) 5

3. Si los 7/3 del número de inteligentes de una familia y los 5/2 de este mismo número resultan dos números consecutivos, calcular el número de inteligentes de esa familia.a) 6 b) 12 c) 9d) 17 e) 18

4. Dos personas tienen 200 y 250 dólares, si hacen un gasto igual, la relación de los saldos es de 3 a 5; indicar cuánto tienen de saldo entre los dos.

a) $ 300 b) 200 c) 180

d) 210 e) 190

5. Las edades de dos esposos se diferencian en 3 (esposo mayor que esposa). Cuando la esposa tenía 20 años nació su único hijo, hoy el hijo tiene 13 años. ¿Cuál será la edad del padre?

a) 30 años b) 33 c) 36

d) 34 e) 38

6. La cantidad de naranjas que tiene una vendedora es el doble de lo que tiene otra, menos 5. Si el producto de dichas cantidades es 558. ¿Qué cantidad tiene entre las dos?a) 43 b) 48 c) 60d) 49 e) 50

7. Si a mi edad le aumentamos 4 años y luego a este resultado lo multiplicamos por 3, obtenemos un número que no es mayor que 59, ni tampoco menor que 49. ¿Cuál es la mitad de mi edad?

a) 9 b) 3 c) 7

d) 6 e) 8

8. Los 3/4 de las aves de una granja son palomas; los 3/4 del resto gallinas y las 9 restantes gallos. ¿Cuántas aves hay en la granja?

a) 16 b) 18 c) 144

d) 54 e) 72

9. Hallar tres números consecutivos, si se sabe que los 8/15 del intermedio sumados con la mitad del mayor, equivale al menor de ellos aumentado en 3. El menor de ellos es:

a) 42 b) 41 c) 44

d) 46 e) 47

10. Tengo S/.120 y gasto los 2/3 de lo que no gasto. Si hubiese gastado 5/7 de lo que no gastaría. ¿Cuánto más hubiese gastado?

a) 6 b) 41 c) 44

d) 46 e) 2

11. Descomponer el número 15 en dos partes de manera que la suma de los valores inversos sea igual a 5/12. Dar la diferencia de dichos números.

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 12

12. El jardinero "A" planta rosas más rápidamente que el jardinero "B" en la proporción de 4 a 3. Cuando "B" planta "x" rosas en una hora, "A" planta "x+2" rosas. ¿Cuántas rosas planta "B" en 4 horas?

a) 20 b) 16 c) 24

d) 28 e) 32

13. De un juego de 32 cartas se sacan "y" cartas y 3 más, luego se saca la mitad de lo que resta. Si todavía quedan 10 cartas. ¿Cuántas cartas sacó la primera vez?

a) 20 b) 16 c) 24

d) 28 e) 9

14. Una vendedora lleva al mercado una cesta de huevos, si cuando vende los 2/9 menos cinco huevos, añadiese 37 huevos a los que le quedan entonces el número de huevos que llevó al mercado quedaría aumentado en 1/6. ¿Cuántos huevos llevaba en la cesta?

a) 66 b) 136 c) 96

d) 108 e) 118

15. Seis veces la novena parte de la edad de Carlos, excede en nueve al triple de la cuarta parte de dicha edad. ¿Dentro de cuántos años tendrá 30 años?

a) 5 años b) 6 c) 9

d) 2 e) 10

16. "A", "B" y "C" tienen en total 126 limones; si "C" le diera la cuarta parte a "A" entonces tendrían la misma cantidad, pero, si "A" le diera la mitad a "B", entonces "B" tendría la misma cantidad de "C". ¿Cuántos limones tiene B?

a) 28 b) 56 c) 42

d) 48 e) 54

17. En un rebaño el número de ovejas más bueyes es 30; el de bueyes más vacas es 50; el de vacas más cabras es 70 y el de vacas más ovejas es 40. ¿Cuánto suman el número de los bueyes y cabras?

a) 60 b) 40 c) 30

d) 50 e) 70

Álgebra


12 Ecuaciones de segundo grado


1. (Ex. Admisión UNMSM 2011−I)

Sea: 2 5a = + , indique el polinomio cuya raíz es a2.

ResoluciónHallamos a2

( )2 5 2 2 10 5 7 2 102 2 2 2a = + = + + = +

Luego si: x= a2 es raíz del polinomio pedido; lo formamos a través de:

x 7 2 10= +

x 7 2 10- =

( )x 7 402- =

x x14 49 40 02 - + - =

∴ el polinomio pedido es: x2–14x+9

2. (Ex. Admisión UNMSM 2007−II)

Dada la ecuación con raíces complejas:

3x2 + (m+2)x + m = –2

Halle el máximo valor entero que puede tomar m.

Resolución

Ordenando la ecuación:

3 ( 2) 2 0x m x m2"+ + + + = discriminante: 0<

por tenerraices complejas

TS

( 2) 4(3) ( 2) 0m m <2+ +-

( ) ( ) ;m m m2 10 0 2 10< < >" !+ - -

El máximo valor entero que puede tomar m es: m=9

Capítulo

www.trilce.edu.pe38

12

Práctica

1. Resolver cada ecuación:

* 9x2=16x * 8x2+7x=0* x2=7

2. Resolver cada ecuación:

* 3x2 − 5x − 2=0 * x2+8x=3* 2x2+12x+1=0

3. (Ex. Admisión UNMSM 2009 − II)Halle el valor de "k" de modo que las raíces de la ecuación: (x+1)(x+2)−(x+2)(k−2)=0, sean iguales.

a) −3 b) 1 c) −4 d) 7 e) 8

4. Si: "a" / "b" son raíces de: ax2+bx+c=0, indicar el

valor de: 1 12 2

1+

α β

-; E ; siendo: b4≠4a2c2 / abc≠0.

a) a

b ac2 - b) b ac

c4 22

2

-c)

b acc22

2

-

d) c b ac2

12 2 -^ h

e) b ac

ac4

22 -

5. En la ecuación 2x2+m+1=(m − 1)x. ¿Qué valor no negativo debe darse a "m" para que las raíces difieran en la unidad?a) 7 b) 8 c) 11 d) 10 e) 9

6. Si la ecuación en "x": 3kx2+7x=x2+2k − 1, posee raíces recíprocas, indicar el valor que adopta "k".

a) 2 b) 5 c) 53 d)

52 e)

75

7. Indicar el valor de "a", si la siguiente ecuación en "x": (3a − 1)x2+(3a2 − 12)x+3a − 2=0 posee raíces simétricas.

a) 2 b) 4 c) −2 d) −4 e) ±2

8. Indicar la relación entre los coeficientes de la ecuación cuadrática: mx2 +nx+p=0, si una raíz es el quíntuplo de la otra.

a) n2 =4mp b) 6n2=5mpc) 5n2=36mp d) 4n2=9mpe) 5n2=4mp

9. Sea la ecuación: x2 − 2(a2 − 4a)x+a4=0; con raíces x1/x2; indicar el valor de "a" para que se cumpla: x1= x2 ≠0.

a) 2 b) −2 c) 4 d) −4 e) 1

10. (Ex. Admisión UNMSM 2005 − II)Determinar el conjunto de todos los valores de k para los cuales las raíces de la ecuación: x2−k(x−1)−1=0 son reales y distintas.a) <−3;+3> b) <−3;2>,<2;+3>c) {2} d) {−2}e) {−2;2}

11. (Ex. Admisión UNMSM 2008 − I)Hallar la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación: (2k+2)x2+(4 − 4k)x+k − 2=0, donde una raíz es el inverso multiplicativo de la otra.

a) 9

80 b) 931 c)

961 d)

982 e)

829

12. La ecuación cuadrática con coeficientes racionales que admite como raíz al número: 2+ 3 i; siendo: i2=−1, es:

a) x2+4x+7=0 b) x2+4x − 1=0c) x2+4x+1=0 d) x2 − 4x+7=0e) x2 − 4x+1=0

13. Si m y n son números reales de manera que las ecua-ciones: (7m−2)x2+1=(5m−3)x ; 8nx2+2=(4n+2)x posean las mismas raíces, indicar el valor de: (m+n)3

a) 125 b) 27 c) −1d) −27 e) 8

14. Si la ecuación: 3x2–10x+p=0, tiene dos raíces reales de diferentes signos, entonces los valores reales que admite "p" es:

a) <0;∞> b) <–∞; 0> c) {1; 2}d) <–1;4] e) R

15. Las siguientes ecuaciones en "x" son equivalentes:

( )

( )

a b x x x

a b x x x

2 2 1

2 2

2 2

2 2 2 2+ =

+ + =

− −− −

)

Donde a y b son números reales. Entonces halle el valor de a . ba) –3 a) –2 b) 1 c) 2 d) 3

16. Si x1 y x2 son las raíces de la ecuación x2+mx+m=0, entonces la ecuación de segundo grado que tiene como raíces a:

xx2

12

+c m y xx2

21

+c m es:

a) mx2+m(m+2)x+(m+2)2=0

b) m2x2+m(m+2)x+m+2=0

c) mx2+(m+2)x+m2=0

d) (m+2)2x2+4mx+m2=0

e) mx2+m2x+m+2=0

17. Si: [1+(3K+4)–1] y [1+(3K+1)–1] son las raíces de la ecuación: a2x2+a1x+ao=0, con a2≠0; a1≠0, ao≠0 entonces el valor de:

( ) ( ) ( )T

aK a a a K3 1 3 4o

2

1 2= + + + + es:

a) .a a1 21− b) –2 c) –1

d) 1 e) 2

Álgebra


Tarea domiciliaria

1. Calcular "k", en la ecuación: 2x2 − (k+8)x+(k+1)=0; para que la suma de las raíces sea

29 .

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

2. Hallar "k", sabiendo que el producto de las raíces de la ecuación: 2x2 − (k+8)x+(k+1)=0; es 3.

a) 10 b) 5 c) 4 d) 8 e) 12

3. Hallar "n", si se sabe que las raíces de la ecuación:x2 − 7x+n=0 Se diferencian en 3 unidades.a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12

4. En la ecuación: x2 − 2mx+m+2=0; el valor del dis-criminante es 16. Hallar el mayor valor de "m".

a) 2 b) 3 c) 9 d) 5 e) 11

5. Sean: x1; x2 las raíces de la ecuación: 3x2+12x+2k=0

Calcular "k", si: x1

x1 2+ =21

.

a) 6 b) 8 c) −6 d) −3 e) 4

6. Siendo "a" y "b", las raíces de la ecuación: x2+ax+b=0Calcular el valor de: a−b

a) 9 b) 5 c) −7 d) 0 e) 3

7. Si "2" es una de las raíces de la ecuación en "x":

x2 − (k − 3)x − 6=0. Calcular la otra raíz.a) −1 b) −2 c) −3 d) −4 e) −5

8. Indicar cuál de las ecuaciones cuadráticas tiene por raíces

32 y

43 .

a) 6x2 − 17x+12=0 b) 12x2 − 17x+6=0c) 12x2 − 17x+18=0 d) 18x2 − 17x+9=0e) 12x2 − 17x+8=0

9. Calcule la mayor solución de la ecuación: (m−2)x2−(2m−1)x+m−1=0, si el discriminante es 25.

a) 3 b) 21 c)

25 d)

23 e)

31

10. Calcular el valor de "m" para que la ecuación: 6x2+(2m+3)x+m=0; tenga solución única.

a) 3 b) 43 c)

21 d)

23 e)

35

11. Calcular "a", de manera tal que las ecuaciones:(5a − 2)x2 − (a − 1)x+2=0

(2b+1)x2 − 5x+3=0sean equivalentes.

a) 34 b)

31 c)

37 d)

313 e)

311

12. Resolver: 3 x 4 x

3 x 4 x7

2 2

3 3

- + +

- + +=

^ ^^ ^

h hh h ; y dar como resultado

la mayor solución.a) 1 b) 2 c) 3 d) −3 e) −4

13. Dada la ecuación: ax2+bx+c=0; con abc≠0 cuyas raíces son a y b y además: b2=ac.

Calcular: E2 2

= +βα

αβ .

a) cb2 b)

ab c)

ab2 d)

ac

2e)

ba

14. Si la ecuación: x2−2x+2005=0; tiene como conjunto

solución {a;b}.Calcular: 20052005

+αα

++

ββ

α β

`c

^

jm

h= G .

a) 4 b) 2 c) 8 d) 16 e) 32

15. Si: "r" y "s" son las raíces de la ecuación:

ax2+bx+c = 0, entonces el valor de r1

s1

2 2+ es:

a) c

b ac2 + b) c

b ac2

2- c)

cb 2ac2

2-

d) c

b 2ac2 + e) c

b 2ac2 -

16. Si las raíces de la ecuación: x2+ax+1=0, son positivas, sobre el valor de "a", lo verdadero es :

a) Es necesario que a < 0b) Es necesario que a > 0c) a≥2d) a≤−2e) "a" debe ser entero

17. Hallar (m+n), si la ecuación cuadrática:1024x2 − (mn − 8)x+n10=0; m, n ∈ R+ tiene raíces simétricas y recíprocas.

a) 4( 2 +1) b) 2 +2 c) 2( 2 +1)

d) 2

2 1+ e) 3( 2 +1)

18. Sea la ecuación cuadrática: ax2 − bx+4=0; el cual tiene

por conjunto solución: ;p

p q

q

p q

1

2

1

215

15 2

2

15 2

++ +

++ +) 3

se pide hallar el valor de "b".

a) p − q b) p c) qp

d) 1 e) 4

19. Si "a" y "b" son las raíces de la ecuación: x2+8x−1=0 Encontrar la ecuación cuadrática de raíces:(a2+1) y (b2+1).a) x2 − 83x+83=0 b) x2 − 68x+68=0c) x2+64x+64=0 d) x2+68x+88=0e) x2+81x+81=0

Capítulo

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12

1. Resolver las ecuaciones:

* 3x3+5x2=2x ⇒ C.S={ }* (x2 − 9)(x+5)=4(x2 − 9) ⇒ C.S={ }* x4 − 5x2+4=0 ⇒ C.S.={ }

2. Si una de las raíces de la ecuación: (a − 2)x3 − 2ax2+11x=6 es 1. Calcule la suma de las otras dos raíces.a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

3. (Ex. Admisión UNMSM 2007 − II)Si a, b y c son raíces de la ecuación: x3−2x2+3x−4=0.Hallar:

a1

b1

c1+ + .

a) 34 b) −

43 c)

43

d) −34 e)

23

4. Resolver: (x2+3)2=16x2 − 15, e indicar la menor solución.

a) − 12 b) −4 c) −2 2

d) − 6 e) −2

5. Si la suma de raíces de la ecuación:(m − 1)x4 − 5mx2+7m+1=0, es m − 5.Halle el producto de raíces.a) 9 b) 5 c) 8d) m+4 e) 2m

6. Formar una ecuación bicuadrada tal que el producto de sus raíces sea 72, siendo una de ellas − 8

a) x4+17x2+72=0 b) x4+38x2+72=0c) x4 − 17x2+72=0 d) x4 − 18x2+72=0e) x4 − 38x2+72=0

7. Indicar una raíz no racional de:(x2–x)2–3(x2–x)+2=0

a) 2

1 3+ b) 2

1 5− c) 3

5 2−

d) 2

5 1− e) 2

3 2+

8. Si una de las raíces de la ecuación:(K–4)x3–(K+4)x2+21x=5, es 5Calcule la suma de las otras dos raíces.

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

13 Ecuaciones de grado superior - ecuación bicuadrada

9. Si: x1, x2 y x3 son raíces de la ecuación: x3+x+n=0;

tales que: x2+x3=7. Hallar la otra raíz.

a) 1 b) 2 c) –7 d) 4 e) 5

10. Dada la ecuación:

xn–1–x4+29x2=(5n–1)xn–3–100x+6n+4de raíces x1, x2, x3, x4 y x5; calcule: x1 x2 x3 x4 x5

a) 2 b) 5 c) 1 d) 10 e) 40

11. Se sabe que las raíces de una ecuación: x3–12x2+px–28=0, están en progresión aritmética. Hallar el valor de "p". (Ex.Admisión UNMSM 2004 I - bloque I)a) 20 b) 24 c) 39d) 16 e) –20

12. Si: M={x∈Z/x5+12x=7x3} ∧ P={x∈Z/x–2∈M}Hallar: (M ∪ P) – (M ∩ P)a) {2; 4} b) {–2; 0} c) {–2; 0; 2; 4}d) {2; 4; 5} e) {–2; 4}

13. Si al formar una ecuación bicuadrada que tiene por dos de sus raíces a: – m y 2 se obtiene: x4–(m+n+1)x2+8n=0, se pide hallar otra ecuación bicuadrada de raíces "m" y "n" (m; n ∈ Q+)

a) x4+35x2+324=0 b) x4–35x2+324=0

c) x4–45x2+324=0 d) x4+45x2+324=0

e) x4–45x2+424=0

14. Hallar la suma de cuadrados de las raíces de la ecuación: 4x4–37x2+9=0

a) 4

15 b) 4

37 c) 4

17

d) 2

37 e) 2

15

15. Si las soluciones de las ecuación: x4–(3K+4)x2+(K+1)2=0; son números enteros y están en progresión aritmética, hallar la suma de los cuadrados de dichas soluciones. (K ∈ Z)

a) 10 b) 26 c) 20 d) 34 e) 18

16. Si: x1, x2 y x3 son (x3 ∈ Q) las soluciones de la

ecuación: x3–x2–3x+2=0, hallar el valor de:

x x

x

x x

x x

1

1

1

12

12

1

1

22

2

2 3

− +− +

− +− +

a) –1/2 b) 1/2 c) –1/4

d) 0 e) 1/4

Álgebra


Tarea domiciliaria

1. Resolver las siguientes ecuaciones: * x3 – 3x2 – x + 3 = 0* x4 – 13x2 + 36 = 0* x3 – 4x2 + x + 6 = 0* x4 – x3 – 6x2 + 4x + 8 = 0

2. Sabiendo que: x1; x2; x3 son soluciones de: x3+ax2–5x–(a+8)=0, tales que verifican: x1+x2+x3+5x1x2x3=0. Hallar "a".

a) 3 b) 5 c) –2

d) 3 e) –10

3. Si: a y b son soluciones de x4 – 5a2x2+b2=0. Hallar el mayor valor de "a+b"

a) 1 b) 3 c) 2 d) 4 e)

4. Dada la ecuación en "x": x3+(m+3)x2+(m3–3)x+m3+2=0De raíces x1, x2, x3; determinar el valor del parámetro real "m", para que:x1+x2+x3=x1x2 + x1x3 + x2x3Indique además: a) m = –3 ∧ x1x2x3 = –2b) m = 3 ∧ x1x2x3 = 2c) m = 0 ∧ x1x2x3 = –2d) m = 2 ∧ x1x2x3 = 10e) m = –2 ∧ x1x2x3 = –6

5. Si las raíces de la ecuación: x4–x2+1=0 son a, –a, b, –bHallar: a4 + b4

a) 1 b) 2 c) –1 d) 4 e) 5

6. Si: x= 23 –1 es raíz de la ecuación: 2x3+6x2+px+q=0; p, q ∈ Z. Hallar: p+q

a) 1 b) 5 c) –2 d) 3 e) 4

7. Resolver: x3–4x2–x+4=0. Dar como respuesta el conjunto solución:

a) {1; –1; 2} b) {–1; 1; 2} c) {–1; 1; 3}

d) {–1; 1; 4} e) {–1; 1; 0}

8. Dada la ecuación: (m–5)x5–(m+7)x4+...+ax–2m=0Si la suma de sus raíces es 5. Calcular el producto de las mismas.

a) 16 b) –16/3 c) 16/3

d) 8/3 e) –8/3

9. Construir la ecuación bicuadrada, tal que dos de sus raíces son: x1=3; x2=– 2 .

a) x4 – 10x2 + 9 = 0b) x4 – 11x2 + 18 = 0c) x4 – 10x2 – 9 = 0d) x4 – 11x2 – 18 = 0e) x4 – 10x2 + 18 = 0

10. Si una de las raíces de la ecuación: 2x3 + (a – 4)x2 – (1 – 2a) x – 2 = a; es x1=2. Hallar "a".

a) 6 b) –4 c) –3 d) 4/7 e) –6

11. Dada la ecuación: 2x4 + (a+1)x3 – ax2 + 3a – 1 = 0De raíces x1; x2; x3 y x4. Calcular "a", si: x1+x2+x3+x4=3x1x2x3x4

a) 1/3 b) 1/4 c) 1/5

d) 1/6 e) 0

12. Si: –3 – 7 es raíz de la ecuación: x3 + x2 + nx – 10 con n ∈ Q. Hallar "n"

a) –2 b) –4 c) –6

d) –8 e) –28

13. Halle la relación entre "p" y "q" para que la ecuación: x3 + px + q = 0, tenga una raíz de multiplicidad 2.

a) p3 + 8q3 = 0 b) 8 p3 + q3 = 0

c) 8 p3 + 27q3 = 0 d) 8 p3 – 27 q3 = 0

e) 4 p3 + 27q2 = 0

Capítulo

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13

14 Sistemas de ecuaciones I


1. (Ex. Admisión UNMSM 2011−I)Si el par (1; a) es solución del sistema:

3x − y = K5x + y = K − 2

Halle el valor de a.

ResoluciónA partir de la solución reemplazamos x=1 / y=a

3 − a = K; 5 + a = K − 2 5 +a = 3 − a − 2 ∴ a = −2

2. (Ex. Admisión UNMSM 2008 − I)

Determinar la suma de todos los valores reales de a, de modo que el sistema: 6x ay y

x y ax2 3

=-

+ =)

tenga infinitas soluciones.

ResoluciónOrdenando el sistema:

6x - (a+1)y = 0(2 - a) x + 3 = 0

Se cumple que: a

a2

63

1- = + a2 − a − 20 = 0

∴ suma de valores de a: ( ) 1a a11

1 2+ = =- -

3. (Ex. Admisión UNMSM 2006 − I)Si: x > y, resolver:

70 .... (1)

... ( )

x y xy

y x1 1

145 2

2 2=-

- =* : Indique el valor de: xy − (x − y)

ResoluciónDe (1) : xy (x − y) = 70 .... (1)'

De (2) : 14 (x − y) = 5xy .... (2)' Multiplicando (1)' ∧ (2)':

( )xy x y xy14 3502- =

( )x y 252- = x − y = 5 (x > y)En (2)': 14 (5) = 5 xy

xy = 14 ∴ xy − (x − y) = 9

Álgebra


1. Resolver: 6x − 5y=− 9 ; 4x+3y=13. Señalar: x + y.

a) 3 b) 2 c) 1 d) 4 e) 31

2. Resolver:2x 1

3x y 4

5y2

+= - +

= .Señalar el valor de: x.

a) 113 b)

115 c)

563 d)

31 e)

335

3. Hallar "m" si el sistema es compatible determinado:mx 4y 7

9x my 2+ =

+ =)

a) R − {6} b) R − {±6} c) R − {3}d) R − {±3} e) R −{5}

4. Hallar "m + n" si el sistema es compatible indetermi-

nado: mx 4y 4

5x ny 2+ =

+ =) .

a) 12 b) 10 c) 8

d) 36 e) 4

5. En el sistema de incógnitas x e y: mx nxy 7 0

(m 3)x ny 0

2

2 2+ + =

- + =)

una solución es (2;−3); halle "n".

a) 75 b)

713 c)

1519 d)

811 e)

1321-

6. ¿Qué valores reales toma "k" para que el sistema: k 3 x k 3 y 7

k 1 x 2k 1 y 2 k;+ + - =

- + + = +

^ ^^ ^

h hh h

) tenga solución única?

a) k R! −{−11;0} b) k R! −{0}

c) k R! d) k R! −{−11}

e) k R! +

7. Halle "h", para que el sistema: 5hx 5y 15

12x 2h 2 y 4h+ =

+ - =^ h) ;

sea inconsistente.

a) 0 b) −2 c) −3 ó 3d) −3 ó −2 e) 3

8. Resolver el sistema:* (x − 2y)(x − y+1)=0 ..............................(1)* x2 − y2 − 9=0 ........................................(2)E indicar el producto de valores de "x" que la verifican. a) 48 b) 72 c) 60 d) 24 e) −48

9. Calcular "a" para que el sistema:* (a+1)x+5y=7 ..................................... (1)* x+y=5 ................................................ (2)* 5x − 3y=9 ............................................ (3)Tenga solución única a) 6 b) −5 c) 4d) –2 e) 4

10. Resolver los siguientes sistemas:

* y x 6

y 5xC.S. ; ;

2&= +

== ^ ^h h) " ,

* x y 5

x y 3C.S. ; ; ; ;

2 2

2 2&+ =

- == ^ ^ ^ ^h h h h) " ,

11. Al resolver el sistema: x y 1

y x 1

2 = +

= +) . El mayor valor de

"x" es:

a) 4 b) 3 c) 2

d) 1 e) –1

12. l resolver el sistema: x xy y 16

x xy y 4

2 2+ + =

+ + =) .

Indicar un posible valor de "x+y".

a) −1 b) −2 c) −3

d) –4 e) –5

13. Hallar el valor de "m" en: x2+y2+mxy=2

x+y=8

Para que la suma de soluciones de "x" sea igual a "m+1".a) −9 b) 10 c) 7

d) −10 e) 19

14. Resuelva el sistema:

x 1x y z 1

y 2x y z

21

z 3x y z

31

++ + =

++ + =

++ + =

Z

[

\

]]]

]]]

.

Indique 3x+7y+9z.

a) 5

29 b) 5

38 c) 5

57

d) 561 e)

544

15. Si:(a;b) es una solución del sistema: x y x xy y 5

xy x y 1

2 2+ - + =

+ =

^ ^^ ^

h hh h

* ; hallar "a+b".

a) 53 b) 43 c) 1

d) 93 e) 2

16. Dado el sistema: x3 + y3 = 35; xy (x+y) = 30. Determine la suma de todos los valores reales para x e y

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

Práctica

14Capítulo

www.trilce.edu.pe44

1. Halle "m" para que el sistema: 2x 2my 2

mx 3my 2m 3+ =- = +

) ;

tenga infinitas soluciones.a) −3 b) 3 c) −3; 3d) 0 e) 1

2. Resuelva el sistema: 17m 3n 2p 32

7m n 15

2m n 2p 6

+ + =

+ =

+ + =

Z

[

\

]]

]. Indique:

m−1.

a) 41 b) −

31 c) −

61

d) −41 e) −

81

3. Si el sistema: 5x ay 2 ... L

4x 3y b ... L+ =

+ =1

2) . Se representa geomé-

tricamente mediante la siguiente gráfica:

2

L1

L2

4

y

x

Indique el valor de: Gab= .

a) −12 b) −10 c) 10d) 16 e) 22

4. Resolver el sistema: 4x 17xy y 8

x 5xy y 2

2 2

2 2- + =-

- + =-) .

Dar como respuesta "3xy".

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

5. Luego de resolver el sistema: x 2 y x y

y x 0,7

- = +- =

) ;

hallar "x+y".a) 1,6 b) 2,5 c) 3,6 d) 4,9 e) 6,4

6. Resolver el sistema: x y45

2xy 1; x y 0

2 22 2+ =

=* .

Hallar: Mx yx y

= -+

a) 5 b) 2 c) 3 d) 5 e) 27

7. Resolver: x+ y =7 ; x − y =1. Indique: x . y

a) 99 b) 91 c) 36 d) 77 e) 45

8. El siguiente sistema admite como solución: x=2; y =3. Hallar: a+b.* ax − y=1 ...................................................(1)* bx − 2y=4 .................................................(2)

a) 3 b) − 2 c) 5

d) − 4 e) 7

9. ¿Qué valores de "m" hacen que el sistema:

* (m+1)x + 3y = 8m+3 ...........................(1)* (m+4)x + 3my = 5 ................................(2)tenga solución única?

a) ±2 b) R − {±2} c) 2d) −2 e) R

10. Determinar P y K para que el sistema sea indeterminado:* Kx − 6y = 5K − 3P ..................................(1)* (K − 4)x + 2y = 4K + 3 ...........................(2)Indicando P + K.a) 20 b) 3 c) 17 d) 23 e) 19

11. Resolver:

* 2x+1+y

15 =11 ....................................... (1)

* 2x+3 − y

10 =30 ....................................... (2)

Indicar el valor de xy .a) 25 b) 32 c) 81 d) 64 e) 9

12. Si el sistema:* (2a+5)x+5y=7..................................... (1)* 3x+(a+2b)y=7 .................................... (2)Admite infinitas soluciones. Calcular: M=ab − aba.a) 1/3 b) −1/3 c) 2/3d) −2/3 e) 5/3

13. Resolver:x y 15

2y 2

2 + =

=* .

E indicar la suma de todos los valores de : x e y.a) 4 b) −4 c) 3 d) 5 e) 0

14. Resolver: x xy 5

xy 4y

2

2+ =

+ =) . E indicar un valor de "y".

a) −31 b)

31 c)

391

d) −34 e)

35

15. Resolver:

x xy xz 6

y xy yz 2

z xz yz 1

2

2

2

+ + =

+ + =

+ + =

Z

[

\

]]

]. E indicar: x+y+z.

a) 2 b) 3 c) −3 d) 3 o −3 e) 4

16. Resolver: x xy y 1

xy y 7x

2

2

2

2- + =

+ + =) . E indicar un valor de:

(x+y)2. a) 0 b) 10 c) 20d) 30 e) 40

Tarea domiciliaria

Álgebra


15 Sistemas de ecuaciones II

1. Si: mm m

m23

37 3

+−

= −

Hallar la suma de los cuadrados de los valores de m.a) 34 b) 25 c) 40d) 53 e) 13

2. Hallar los valores de "n" para que el sistema en x e y:( ) ( )

( )

n x n y

n x ny

2 1 2 4

1 2 7

+ + + =

+ + =−)

Tenga solución única.a) R – {–2; 1} b) R – {–1; –2/3}c) R – {–2/3; 1} d) R – {–1; 1}e) R – {–2; –1}

3. Hallar el valor de "m" para que el sistema en x e y:

(3 2) (3 1) 1m x m y

x y5 2 4

2+ + =− −

+ =)

Sea compatible indeterminado.a) –1/4 b) 1/2 c) –1/8d) –1/2 e) 1/4

4. Hallar el valor de "n" para que el sistema en x e y:

( 4) 4 4n x y

x y n5 3

2+ + =

+ = −)

Sea incompatiblea) 4 b) –3 c) 2d) –2 e) –4

5. Calcular el valor de P, si:

P431

11

3

022

= −

a) –24 b) –30 c) –32d) –36 e) –40

6. Si x ∈ R, determinar el conjunto solución de la siguiente ecuación:

xx

xx x

x2

1

22

3

00

2++

−=

a) {0; 2} b) {–1;0; 2} c) {1}d) {0} e) {2}

7. Si: a y b tal que a > b, son las soluciones de la ecuación:

( )

xxx

xx xx x

xx x

x x

3255

32 156 9

330

12 364322

2

2

2

2

2−−

+ −− +

− −− +

=

Hallar: 2 5

7αβ

−

a) 2 b) 21 c) 96d) 7 e) 12

8. Si el siguiente sistema de ecuaciones tiene solución única.

3

2

x Ky z

Kx y Kz

Ky z 1

+ + =

+ + =

− + =−

Z

[

\

]]

]

Halle los valores reales de K.a) K ∈ R b) K ∈ R – {1}c) K ∈ R – {±1} d) K ∈ R – {–1}e) K ∈ R – {0}

9. Hallar el valor de "m" para que el sistema en x, y, z( )

( )

( )

x y z m

x m y z

m x y z

1 4

1 2

1 2

+ + =

+ + =

+ + =

− −−

−

Z

[

\

]]

]

Sea incompatiblea) –1 b) –2 c) 2d) 1 e) 0

10. Si pqr≠0, halle el valor de "x" en el siguiente sistema:px + qz = rqy + rx = prz + py = q

a) p2+q2–r2 b) pr

r p r2

2 2 2+ −

c) pq

p q r2

2 2 2+ − d)

qrq r p

2

2 2 2+ −

e) pr

r p q2

2 2 2+ −

11. Geométricamente el sistema:

2 ( 1)

( )

x n y

m x y

2

1 6 8

+ + =

− + =)

Viene representado por 2 rectas en el plano cartesiano, tal que dichas rectas coinciden en una misma línea al ser dibujadas. Calcule "m.n"

a) 5 b) 10 c) 15d) –10 e) –5

15Capítulo

www.trilce.edu.pe46

12. Al resolver el sistema de ecuaciones:

4 6 9 37x xy y

x y2 3 7

2 2+ + =

+ =)

Hallar el mayor valor de y–xa) –1/6 b) –1/2 c) –1d) 1 e) 1/6

13. Hallar el valor de "x" que satisface el sistema de ecuaciones:

9

1

x y z

x y z

xy yz xz 27

1 1 1+ + =

+ + =

+ + =

− − −

Z

[

\

]]

]

a) 2 b) 4 c) 5/2d) 3 e) 7/2

14. Al resolver el sistema de ecuaciones:

29

14

x y z

xy xz yz

x y z 9

2 2 2+ + =

+ =−+ + =

Z

[

\

]]

]

Hallar la suma de los valores de "x".a) 7 b) 8 c) 9d) 6 e) 10

15. Si "x" e "y" son números reales negativos, halle los valores enteros de "a" para que el sistema de ecuaciones:

6x (a 3)y –2

(a 4)x ay 3+ + =

+ + =)

Tenga solución única.a) {a ∈ Z / –12 < a < 0}b) {a ∈ Z / –13 < a < –2}c) {a ∈ Z / –12 < a ≤ –1}d) {a ∈ Z / –13 < a ≤ –2}e) {a ∈ Z / –13 ≤ a ≤ –3}

16. Se tiene el sistema:6 ................... ( )

10 ..... ( )

.......... ( )

a b I

a b c II

ab bc ca III3

2 2 2+ =

+ + =

+ + =

Z

[

\

]]

]

Calcule el valor de "c", si (a+b+c) < 0a) –10 b) –2 c) –12d) –6 e) –4

17. UNMSM 2010-ISi x e y son números enteros positivos que satisfacen las ecuaciones:

xx y

x yx xy x y

66

25 9/

+ ++

= − − =

Hallar el valor de: 13x + 9ya) 102 b) 104 c) 106d) 103 e) 105

18. UNMSM 2011-IUn reservorio de agua lleno hasta sus 3/4 partes pesa 3000 kg, pero lleno hasta su quinta parte pesa 1900kg. ¿Cual es el peso del recipiente lleno en toda su capacidad?a) 3400 kg b) 3600 kg c) 3300 kgd) 3500 kg e) 3200 kg

19. UNMSM 2011-I

Si: m–4p=3n y an pm p=+− , halle 2a

a) 4 b) 8 c) 16d) 2 e) 32

20. UNMSM 2011-ISi el par (1, a) es solución del sistema:

3x y k

x y k5 2

=−+ = −

)

Halle el valor de "a".

a) 2 b) 5 c) 1d) –5 e) –2

Tarea domiciliaria

1. Indicar el conjunto solución de:3 9x y

x y2 10

=−+ =

)

a) {(7; 4)} b) {(11; 6)}c) {(–1; –2)} d) {(4; 3)}e) {(0; 1)}

2. Determinar el valor de "y", en:

5x y

x y2 26 60

+ =

− =*

a) 5 b) 4 c) 3d) 1 e) 0

3. Resolver el sistema e indicar "xy"37 23 67x y

x y23 37 53

+ =

+ =a) 4/9 b) 5/2 c) 3/4d) 2/5 e) 9/4

4. Resolver el sistema, e indicar el valor de "a+b":

ab

ab

2 21

3 3

8 21

3 7

3

3+

=

++

=

− − −

− −

Z

[

\

]]

]]

a) 1 b) 9 c) 5d) 7 e) 8

Álgebra


15

5. Determine el valor de "x/b", en: 2ax+3by = 8 abax – by = –aba) 1/3 b) 2 c) 1d) 0 e) –1

6. Calcular "a+b" para que el sistema: (b+3)x + (2b+3)y = 18(b–3)x + (a+3)y = 6Admita infinitas soluciones.a) 10 b) 9 c) 7d) 6 e) 8

7. Hallar "n" para que el sistema:( 3) 2 1

( )

n x y

x n y8 3 4

+ =−+ + =

)

Sea inconsistentea) 1 b) 5 c) 3d) –2 e) –5

8. Indique el valor que no debe adoptar "m" para que el siguiente sistema:

(3 ) 5 4

( )

m x y

y m x2 2 6

+ =−− − =

)

Sea compatible determinado.a) 1/2 b) 13/4 c) 16/7d) 11/10 e) 1/8

9. A partir del sistema: 3 5 14x y

x y2 5

+ =

− =)

Indique lo correcto:a) Su conjunto solución es {(3; 1)}b) No presenta infinita solucionesc) Es un sistema compatible determinadod) Presenta una solucióne) Todas son correctas

10. Hallar "a" para que la solución del sistema esté formada por x=3 e y=2.

4

( ) ( )

ax by

a b x a b y 11

=−+ + − =

3

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 2

11. Hallar el máximo valor de "K" de modo que el sistema:

2 4 0x y

x y K 0

2 2+ =−− + =

)

Presente solución única.

a) 6 b) 6 c) 3

d) – 6 e) – 3

12. Si: y mxn= + , tal que m y n son constantes.

Calcular "a" considerando:

x –1 –4 –2

y 2 5 a

a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1

13. Si: x yx y

57

−+ = ∧ x + 5y = 33

Calcular: xya) 18 b) 28 c) 54d) 72 e) 38

14. Calcular: "x+y"

Si: 45 6( 2 )x y x y

y x2

2 2+ + = +

=)

a) 27 b) 12 c) 8d) 9 e) 18

15. La igualdad: y=ax+b, verifica la tabla:

x 4 6 8

y –3 –2 C

Indique: "C+1"a) –1 b) 1 c) 2d) 0 e) 3

16. Hallar el mínimo valor de "n" que sea entero, tal que el sistema:

50 3x y n

x y n23 8 5

+ =

+ = +)

Presente componentes positivas en su solución.a) –3 b) –2 c) 5d) 4 e) 6

17. Dado el sistema:

( ) ( )

x xy y x y

3 79 3 2 9

2 12 12 36 0

x x y y2 2

2 2=

+ + + =

−− −

+ +

)

Hallar el valor de la expresión: x y2 22− +

a) 14 b) 7 c) 5

d) 3 e) 17

Capítulo

www.trilce.edu.pe48

16 Repaso

1. Un reservorio de agua, lleno hasta sus 3/4 partes pesa 3000kg, pero lleno hasta su quinta parte pesa 1900kg. ¿Cuál es el peso del recipiente lleno en toda su capacidad?

a) 3600 kg b) 3400 kg c) 3300 kgd) 3500 kg e) 3200 kg

2. Una joven debe lavar "n" docenas de camisas; recibirá "a" nuevos soles por cada camisa bien lavada y pagará "b" nuevos soles por cada camisa mal lavada. si recibió "m" nuevos soles en total. ¿Cuántas camisas fueron mal lavadas?

a) a b

m an12+

+ b) a ban m+-

c) a b

m an12 +

- d) a ban m12+

-

e) a bam n12+

-

3. Un tanque puede llenarse por dos bombas A y B en 20 minutos; por las bombas A y C en 30 minutos; y por las bombas B y C en 40 minutos. ¿En cuántos minutos podrá llenar el tanque la bomba B?

a) 24 b) 48 c) 35d) 36 e) 42

4. Mario desea comprar un lote de terreno de forma rectangular. Se sabe que el doble del perímetro del terreno excede en 168 metros al ancho del terreno. Hallar el área máxima del terreno que puede comprar Mario.

a) 588m2 b) 300m2 c) 540m2

d) 630m2 e) 672m2

5. Las dimensiones de un paralepípedo están en progresión aritmética y suman 24u. Si el volumen es 440u3. Calcule la dimensión de mayor longitud.

a) 11 b) 12 c) 13d) 15 e) 16

6. Un comerciante cambia una arroba de camote por un costal de trigo y 2000 soles. Luego cambia otra arroba por un costal de papas y 3000 soles o un costal de trigo y un costal de papas. ¿Cuánto cuesta 2 arrobas de camote?

a) 5000 b) 2500 c) 10000d) 15000 e) 1000

7. Para pavimentar un patio cuadrado se emplean losetas cuadradas cuyos lados miden 20cm. Si el patio tuviera 2 metros más por cada lado, se necesitaría 700 losetas más. ¿Cuántos metros tiene cada lado del patio?

a) 12m b) 2m c) 6md) 30m e) 15m

8. Un día de fiestas patrias, uno de los circos que actuaba en Lima tuvo 400 personas en palco. Al día siguiente se subió el precio de la entrada, a esta localidad en S/.25, entonces disminuyó en 50 el número de asistentes a palco, pero se recaudó S/.6250 más que el día anterior. ¿Cuál fue el valor de la entrada al día siguiente?

a) S/.55 b) S/.65 c) S/.75d) S/.70 e) S/.85

9. Si uno de los lados de un rectángulo es el doble del otro y su área es 450m2. Determine su perímetro.

a) 100m b) 80m c) 90m

d) 600m e) 40m

10. Las dos soluciones de x2− 3x−10=0 son soluciones de una ecuación bicuadrada de coeficiente principal 3. Hallar la suma de coeficientes de la ecuación bicuadrada.

a) 72 b) 116 c) 174d) 216 e) 221

11. Una fracción irreductible tiene denominador 2. Si a esta fracción le restamos 13/6 se obtiene la inversa de la fracción con signo opuesto. Determine el numerador de la fracción. a) 9 b) 5 c) 1

d) 7 e) 3

12. El producto de dos números pares consecutivos es 728. La suma de las cifras del número mayor es.

a) 6 b) 9 c) 8

d) 10 e) 3

13. Una caja contiene 2240 nuevos soles en billetes de 20 y 100 nuevos soles. Hay doble número de primeros que de los segundos billetes. ¿Cuántos hay de cada clase?

a) 32 y 16 b) 24 y 12 c) 31 y 15

d) 48 y 24 e) 30 y 15

Álgebra


14. Se compran dos piezas de tela: una a "x" soles el metro y otra, que tiene "x" metros más, a "y" soles el metro; si por cada pieza se pagó lo mismo. ¿Cuántos metros se compraron en total?

a) ( )( )y x

x x y-+ b)

x yx y-+

c) ( )( )x y

y x y-+ d)

( )( )x y

x x y-+

e) ( )

( )xy

x xy 1+

15. ¿Qué número debe agregarse a los términos de la fracción 1/x para que resulte

xx

22

+- ?

a) x x4

2 - b) x x4

22 - -

c) x x

x x2

3 22

2

+- - d)

xx x

232 -

e) x x43 22 - -

16. Si "x" es solución de la ecuación:

( )( )

x xx x

xx

8 176 10

43

2

2

2

2

+ +- + =

+- , entonces el valor de:

2x2+x+1 es.

a) −1/2 b) 4 c) 3

d) 2 e) 1

17. En un campeonato de tiro, un aspirante gana dos puntos por cada disparo acertado y pierde medio punto por cada desacierto. Si al hacer 120 disparos obtuvo 130 puntos, el número de tiros acertados fue:a) 76 b) 78 c) 72

d) 74 e) 70

18. Entre cierto número de personas compran una computadora que cuesta S/.1200. El dinero que paga cada persona excede en 194 al número de personas. ¿Cuántos participaron en la compra?

a) 18 personas b) 36 personas

c) 6 personas d) 12 personas

e) 20 personas

19. Un regalo envuelto cuesta 13 soles y sin envolver cuesta 11 más de lo que cobran por envolverlo. ¿Cuánto cobran por envolverlo?a) S/.1,50 b) S/.0,75 c) S/.1,00

d) S/.2,00 e) S/.0,50

20. Se compró cierto número de lapiceros por S/.100,00. Si el precio de la unidad hubiera sido S/.1,00 menos, se tendría 5 lapiceros más por el mismo dinero. ¿Cuántos lapiceros se compró?a) 18 b) 25 c) 20

d) 30 e) 28

16

1. Una enfermera proporciona a su paciente una tableta cada 45 minutos. ¿Cuántas tabletas necesitará para nueve horas de turno si debe suministrarlas al inicio y término del mismo?

a) 11 b) 13 c) 15

d) 17 e) 12

2. A un cierto número de personas se les iba a pagar S/.35 a cada uno, pero uno de ellos renunció a su parte, por lo que a cada uno de los demás les tocó S/.42. ¿Cuántas personas iban a recibir S/.35?a) 4 b) 7 c) 6

d) 8 e) 9

3. ¿En cuánto debe aumentar el numerador de una fracción para que al disminuir el denominador en sus 2/5, la fracción aumente en sus 11/9?

a) En su cuarta parte b) En su sexta parte

c) En su tercera parte d) En su novena parte

e) En su quinta parte

4. Gasté los 2/9 de mi dinero en ropa y luego los 3/5 del resto en comida. ¿Qué fracción de todo lo gastado es lo que me queda?

a) 3/7 b) 14/31 c) 14/45

d) 31/45 e) 13/31

5. En un congreso hay peruanos, chilenos y argentinos. Si los peruanos representan los 2/3 de los chilenos y los chilenos los 5/8 de los argentinos. ¿Cuál es la fracción de peruanos con respecto al total?

a) 5310 b)

5110 c)

4310

d) 4910 e) 10/47

6. Un recipiente contiene agua, en sus 2/3 partes. Si se extrae 1/5 de la parte no llena y después se añade 1/4 de la parte llena en ese momento. ¿Qué fracción del recipiente queda lleno?a) 3/4 b) 3/5 c) 4/5d) 5/6 e) 2/5

7. De un juego de 32 cartas se saca primero "x" cartas y tres más, luego se saca la mitad de lo que resta. Si todavía le quedan 10 cartas. ¿Cuántas cartas sacó la primera vez?a) 8 b) 9 c) 10d) 12 e) 3

Tarea domiciliaria

Capítulo

www.trilce.edu.pe50

8. En una máquina de escribir mecánica se puede preparar una nómina de 120 horas, pero digitando la misma nómina en una computadora se le prepara en 80 horas. ¿En cuánto tiempo se prepara toda la nómina si se pone a trabajar en ambas?a) 46 b) 48 c) 50

d) 52 e) 53

9. Se ha pagado una deuda de S/.265 con monedas de S/.5 y S/.2. El número de monedas de S/.2 es mayor que el de S/.5 en 17 monedas. ¿Cuántas suman las monedas de S/.5 y de S/.2?a) 81 b) 82 c) 83d) 84 e) 85

10. El jardinero "A" planta rosas más rápidamente que el jardinero "B" en la proporción de 4 a 3. Cuando "B" planta "x" rosas en una hora "A" planta "x+2" rosas. ¿Cuántas rosas planta "B" en cuatro horas?a) 6 b) 8 c) 12

d) 24 e) 32

11. Se compra cajones de naranja a S/.100 cada uno y cada cajón contiene 20kg. Primero se vende la mitad a S/.20 el kilogramo, después la cuarta parte a S/.15 el kilogramo y por último el resto se remata a S/.10 el kilogramo ganando S/.11250 en total. ¿Cuántos cajones de naranja se habían comprado?a) 65 b) 70 c) 55d) 50 e) 54

12. Cuando se pregunta a Juanito cuántos hermanos tiene, responde así: "Tengo el mismo número de hermanos y de hermanas". Cuando se le pregunta a María cuántos hermanos tiene responde así: "Tengo la mitad de hermanas que de hermanos o lo que es lo mismo, tengo el doble número de hermanos que de hermanas". Sabiendo que Juanito es hermano de María, diga Ud. ¿Cuántos hermanos hay de cada sexo?a) 3 hombres y 2 mujeres b) 4 y 3

c) 5 y 4 d) 6 y 5

e) 5 y 2

13. Dos corredores, Pedro y Juan, parten simultáneamente en viaje de una ciudad a otra distantes 60 km, la velocidad de Pedro es cuatro kilómetros por hora menos que la de Juan. Después de llegar Juan a la segunda ciudad, emprenden inmediatamente el viaje de regreso y se encuentra con Pedro a 12 kilómetros. ¿Cuál es la velocidad de Pedro?a) 6 km/h b) 8 c) 10d) 12 e) 14

14. Los lados de un triángulo son "a", "b" y "c"; se añade al lado "a" una longitud "d/2", se le quita al lado "b" la longitud "d/4" y se le agrega al lado "c" una longitud "5d/6". ¿Cuál debe ser la longitud "d" para que el perímetro del segundo triángulo sea el triple del perímetro del primer triángulo?

a) ( )a b c1924 + + b) ( )a b c

1324 + +

c) ( )a b c76 + + d) ( )a b c

1912 + +

e) 1312 (a+b+c)

15. Un comerciante tenía determinada suma de dinero. El primer mes gastó S/.100 y aumentó a lo que quedaba un tercio de ese resto. Al mes siguiente volvió a gastar S/.100 y aumentó a la cantidad restante un tercio de ella. El tercer mes gastó de nuevo S/.100 y agregó la tercera parte de lo que quedaba. Si el capital resultante es el doble del inicial. ¿Cuál fue el capital inicial?

a) S/.1480 b) 1500 c) 1400

d) 2380 e) 7400

16. Se reparten S/.3000 entre cuatro personas de tal manera que a la primera le corresponda S/.400 más que a la segunda a esta 3/5 de lo que le corresponde a la tercera, y ésta S/.600 más que a la cuarta persona. ¿Cuánto recibió la segunda persona?a) S/.500 b) 490 c) 575

d) 600 e) 1000

17. Una librería tiene para la venta un cierto número de libros. Vende primero las 3/5 partes y después le hacen un pedido de los 7/8 de lo que le queda pero antes de servir este pedido se le inutilizan 140 libros y por lo tanto, sólo cubre los 4/5 de la cantidad pedida. ¿Qué cantidad de libros se vendieron?

a) 2 000 b) 3 000 c) 1 760

d) 3 250 e) 3500

18. Un hombre debe realizar un viaje de 820 km en siete horas, si realiza parte del viaje en avión a 200 km/h y el resto en auto a razón de 55 km/h. ¿Cuál es la distancia recorrida en avión?a) 200 km b) 500 c) 600

d) 700 e) 750

19. En la actualidad la edad de Pedro es el doble de la edad de Juan más dos años. Hace tres años la relación de sus edades era como 3 a 1. Dentro de cinco años la suma de sus edades será:

a) 36 años b) 30 c) 26

d) 20 e) 46

20. En una granja del estado de chihuahua tenían sembrados 480 hectáreas más de papas que de cereales. Después de haber recolectado el 80% del cultivo de papas y el 25% del de cereales quedaron en el campo 300 hectáreas más de cereales que de papas. ¿Qué cantidad de hectáreas de cereal habían sembrado en la granja?

a) 800 b) 1000 c) 1360

d) 720 e) 1200

Álgebra


17 Desigualdades - inecuaciones de primer grado


1. Resolver: 53x

107

20x

51

207x- - -2

ResoluciónEl MCM de todos los denominadores es 20, luego:

4(3x) − 2(7) − x>4(1) − 7x

12x − 14 − x>4 − 7x

Transponiendo términos:

12x − x+7x > 4+14

18x>18

x>1818

x>1x∈<1;+∞> 1 +3

2. Resolver:

* 5x − 3y>2 ................................................................................ (I)

* 2x+y<11 ................................................................................ (II)

* y+21 >

1037 −

51 ...................................................................... (III)

ResoluciónDe la inecuación III:

y> 1037

51

21 "- - y >

1037 2 5- -

y> 1030 ⇒ y>3 ................. a

Multiplicando a la primera inecuación por 2 y a la

segunda inecuación por -5, se tiene:

10x −6y > 4−10x −5y > −55

−11y > −51

y < 1151 .........(b)

De (a) y (b) se tiene3<y<4,6 → ∴ y=4

En (I):5x>2+3(4)5x>14

x>5

14 → x>2,8

En (II):2x<11 – 4 ⇒ 2x<7 x<3,5

como: 2,8<x<3,5 ⇒ x=3

finalmente: x=3; y=4

17Capítulo

www.trilce.edu.pe52

1. Sean los intervalo acotados:

A = <–3; 6], B = [–7; 3>Calcular el número de valores enteros que se encuentran en:* A ∪ B Rpta:

* A ∩ B Rpta:

* A – B Rpta:

* B – A Rpta:

2. Dados los intervalos:

A = [–3; 5>

B = {x ∈ R / x > 3}

C = {x ∈ R / –5 < x < 4}

Halle : (A ∩ B) – C

a) <4; 5> b) [4; 5] c) [4; 5>d) <4; 5] e) <2; 4>

3. A partir de los datos:Si: –3 ≤ x < 1, halle la variación de la expresión: G = 4 – 5xSi: y ∈ <1; 2], halle la variación de la expresión:

H = –2y 51

Luego indique el producto del mayor valor de G y el menor valor de H.

a) –7 b) –8 c) –19d) –10 e) –12

4. Halle el mínimo valor de la expresión: J = x2 – 8x + 6, si se sabe que: x ∈ Ra) 1 b) 2 c) –9d) –10 e) –11

5. Si: x ∈ [–5; 3], halle la variación de la expresión: J = x2 – 4x + 9a) [3; 49] b) <25; 39> c) [5; 54]d) [3; 25> e) <5; 54>

6. Determine el máximo valor que alcanza la siguiente expresión:

x x6 13

322− +

a) 8 b) 16 c) 4d) 3 e) 6

7. Halle el máximo número entero, menor o igual que la expresión:

( )E x x x3 3= + + − ; x ∈ [–3; 3]a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

8. Dado el intervalo: J = <–31 ; 1]

Si: /Jx

x R a x b2

2 <! #=+−$ .

Halle el valor de a+b+ab

a) 8 b) 2 c) 10d) 4 e) 4/5

9. Al resolver: 2

5x 36x

35 3x

47x 1 1- - - - + +2 .

Se obtienen un C.S. xba ; 3! +1 2. Calcular: (b−a),

siendo ba` j una fracción irreductible.

a) 14 b) 9 c) 28 d) 20 e) 19

10. Señalar qué tipo de valores deberían de tomar "a" y "b" para que el sistema: ax+a>a ; bx−2b>−3b.Tenga como C.S. al vacío, siendo "a" y "b" no nulos.

a) a>0 b<0

b) a>0 b>0

c) a<0 b<0

d) a<0 b>0 e) a<b

11. Resolver: −x<3

4 7x- <1 − 3x.

a) <21 ;+∞> b) <2;+∞>

c) <−∞:−21 > d) <−∞;2>

e) <−∞;−2>

12. Hallar la suma de valores enteros de "x" que verifican: 4x+3y<16, y − 2x>−12. Si:{x;y} Z1 +.

a) 6 b) 14 c) 17 d) 13 e) 15

13. Resolver: b

x aa

x b2

2

2

2- -2 . Sabiendo además que:

(a−b)∈<−b;0>

a) x< − a2+b2 b) x< − (a2+b2)

c) x>a2+b2 d) x>−a2 − b2

e) x<a2+b2

14. Sean: A y B conjuntos soluciones de:

4x 3

2x 1+ - - >1 ∧ x>−3 ..................................... (1)

23y 7

3y 1

2-+ - ..................................................... (2)

Respectivamente. Calcular: AC∩B.

a) <−∞;−3] b) <−∞;1123 >

c) [−3;1123 > d) <5;+∞>

e) <−∞;−1119 >

Práctica

Álgebra


Tarea domiciliaria

1. Si: 3 ≤ a ≤ 5; hallar la variación de: M = 2a − 7; indi-cando la suma del menor y mayor valor.

a) 2 b) 4 c) 3 d) −3 e) −2

2. Si: −2 ≤ a ≤ 3; hallar la variación de: E = 8 − 3a; indicando el menor valor.

a) 14 b) −3 c) −1d) –2 e) 3

3. Si: 3 ≤ a ≤ 5 / −2 ≤ b ≤ 0 , hallar el mayor valor de: K = a − b + 2

a) −3 b) 3 c) 10d) 8 e) 9

4. Si: 5 ≤ a ≤ 10 / 6 ≤ b ≤ 16, hallar el menor valor de: M = a − b + 3

a) 8 b) −8 c) −10d) 2 e) −2

5. Si: 2 ≤ x ≤ 7 / −3 ≤ y ≤ 5. Hallar el intervalo para: N = 2x − y + 1

a) −1<N≤17 b) −1≤N<17 c) 0≤N≤18d) 0<N≤18 e) 0≤N≤17

6. Si: 3 ≤ a ≤ 8 y 2,7 ≤ b ≤ 3,3; ¿cuál es el mayor valor que toma

ba ?

a) 2780 b)

3380 c)

910 d) 0,9 e) 1,1

7. Si: 2 ≤ a ≤ 10 / 4 ≤ b ≤ 18; hallar el mayor valor de:

ab .

a) 95 b) 9 c)

59 d) 2 e)

52

8. Si: 2<b<5; hallar el mayor valor entero de: E=2b2−10.a) 39 b) 9 c) 7 d) 41 e) 40

9. Si : − 5<c< − 3; hallar el menor valor entero de:

2c 12 + .

a) 6 b) 12 c) 7 d) 5 e) 10

10. Si: −2<c<4, hallar el menor valor de: c2 − 6.

a) 0 b) −6 c) −4d) 2 e) 1

11. Si : −4<b<2; hallar la suma del mayor y menor

valor entero de: 2

b 42 + .

a) 11 b) 12 c) 14d) 13 e) 10

12. Si: −4 ≤ a ≤ 2; hallar la variación de: a 812-

indicando

el menor valor. a) −2 b) −1 c) 2d) 1 e) –3

13. Si: x!<3; 5>; entonces: 3x 5

2-

; pertenece a:

a) ;31

21 b) ;

51

21 c)

51;

31-

d) ;51

32 e) ;

71

51

14. Si: x 2;1! - @; indicar qué valor no puede tomar:

y2x 32x 4= -

+ .

a) −5 b) −21 c) −4

d) −7 e) −41

15. Si: −5<c≤4; hallar el menor valor de: c2 − 6c+15.

a) −4 b) −6 c) 6 d) 5 e) 4

16. Sabiendo que: x 3;5! - ; determinar el mayor valor entero de: y=x2 − 4x+7.

a) 12 b) 18 c) 25 d) 27 e) 36

17. Si: a; b R! + tal que: Mba

ab= + ; indicar el menor

valor de "M".

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

18. Si: a,b!R/a>0/b<0; indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda :

a) a+b≥0 b) a . b<0

c) a b

1-

>0 d) a+b2≥0

a) VFVV b) FVFV c) VVFV d) FFVV e) FVVV

19. Sean los intervalos acotados: A=<−3;6], B=<−7;3], C=[2;9>. Calcular el número de valores enteros que se encuentran en:* A + B ..................... Rpta:* A , B , C ..................... Rpta:* (A + C) − B ..................... Rpta:

20. Hallar el máximo valor entero que toma: G(x)=3x−9.

Si: 3

x 1 !-c m [3;4>.

a) 80 b) 27 c) 81d) 243 e) 729

17Capítulo

www.trilce.edu.pe54

18 Inecuaciones de 2º grado - valor absoluto


1. Hallar el conjunto solución en la siguiente inecuación:

x x x x2 5 2 92 2#+ − − −

ResoluciónAplicamos la siguiente propiedad:

x x2 2=

A ambos miembros elevamos al cuadrado:

x x x x2 5 2 92 2 2 2#+ − − −

( ) ( )x x x x2 5 2 92 2 2 2#+ − − −

( ) ( )x x x x2 5 2 9 02 2 2 2 #+ − − − −

( ) ( )x x x x3 4 3 14 02 2 #+ + − −

3x −7

x 2

( )( ) ( )x x x x3 4 3 7 2 0( )

2

0

#+ + − +#+

1 2 344 44 1 2 3444 444

( ) ( )x x3 7 2 0#− +

(+) (−) (−) (+)

3 7 0 2 0x x

x x37 2

$ #

$ #

+−

−

z1 2 3444444 444444

3 7 0 2 0x x

x x37 2

# $

# $

+−

−

x237# #−

;S x 237

x != −8 B

2. Resolver: x R6 !

x x3 1 2< +−

Resoluciónx x3 1 2<2 2− +

( ) ( )x x3 1 2<2 2− +

( ) ( )x x3 1 2 0<2 2− − +

( ) ( )x x2 3 4 1 0<− +

41−

23 3+3−

;x41

23< >! −

Álgebra


Práctica

1. Resolver las inecuaciones cuadráticas mostradas:

I. 8x2 ≤ 16x ................... C.S. =

II. x2+x ≥ 6 ................... C.S. =

III. x2+8x+3 ≤ 0 ................... C.S. =

IV. –x2+6x+1 ≤ 0 ................... C.S. =

2. Indicar el valor de verdad de cada proposición:

I. (x–8)2 ≥ 0 & C.S. = R

II. (x–8)2 < 0 & C.S. = 8R − " ,

III. (x–8)2 ≤ 0 & C.S. = 8" ,

IV. (x–8)2 > 0 & C.S. = f

3. Si x R6 ! se verifica: x mx2

112$+ . Indicar el

máximo valor entero que adopta "m"

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

4. Al resolver la inecuación: x2–9x+18<0. Se obtiene que: ;x a b< >! . Hallar a + b.

a) 0 b) 2 c) 8

d) 9 e) −3

5. Hallar el mayor valor "m" que satisface a:

;m x x x1 6 R2 6# !− +

a) −3 b) −5 c) −8

d) −7 e) −4

6. ¿Cuántos enteros no negativos verifican: 4x2–4x–49 < 0?

a) 3 b) 2 c) 4

d) 5 e) 1

7. Determinar "m" para que la ecuación: x2–2(m–1)x+4m–7=0, tenga raíces reales.

a) ;m 2 4< >R! − − b) 2; 4m < >R! −

c) 4;m 2< >R! − − d) 2 ; 4m R! − " ,

e) ;m 2 4R! − −" ,

8. Luego de resolver: |x − 3|=5. Indique la suma de soluciones.

a) 8 b) −2 c) 6

d) 10 e) −16

9. Luego de resolver: |6−|x − 1||=4.Indicar la suma de la mayor solución y la menor solución.

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 10

10. Si: x1 y x2 son las soluciones de: |3x − 5|=2 − x; tal que x1 > x2. Calcular: 4x1 − 2x2.

a) 2 b) 4 c) 251/2

d) −3 e) −5

11. Indique la menor solución: |x+3|=|2x − 1|.

a) 1 b) −1,5 c) −32

d) −2 e) −3

12. (Ex. Admisión UNMSM 2006 − I)Indicar cuál o cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas. ,a b R6 ! .

I. aa

bb=

II. 2|a| − 3|b|≥ −5|b|

III. |a − b|≤|a+b|

IV. |a − b|≤ 2|a+b|

a) I b) II c) I y II

d) II y IV e) IV

13. (Ex. Admisión UNMSM 2006 − II)Luego de resolver: 2|x − 3|2 − 7|x − 3|+3=0Indicar la suma de los cuadrados de las soluciones.

a) 2

109 b) 291 c)

2123

d) 2

111 e) 2

77

14. (Ex. Admisión UNMSM 2008 − II)Si a, b y c son las soluciones no negativos de la ecuación:||x − 3| −5|=2 entonces el valor de a+b+c es:

a) 12 b) 16 c) 6

d) 2 e) 10

18Capítulo

www.trilce.edu.pe56

15. Determine el conjunto solución en cada caso:I. |14x − 1|<9II. |3x − 2|>5III. |9x − 1|≤|8x − 33|IV. |x+8|≤|2x − 1|+|9 − x|

16. Resolver: |x+2|≤2x − 1.

a) x∈[21 ;+∞> b) x∈[−

31 ;+∞>

c) x∈[3;+∞> d) x∈<0;21 >

e) x∈<21 ;+∞>

17. (Ex. Admisión UNMSM 2005 − II)

Si: A={x∈ R/|x − 3|2 − 3|x − 3| − 18>0} , y

B={x∈ R/x2 81+

∈[121 ;2]}. Entonces: AC∩BC es:

a) [2;9] b) [2;9> c) <2;9]

d) <2,9> e) f

18. (Ex. Admisión UNMSM 2006 − II)Halle el menor valor de x que satisfaga las siguientes inecuaciones:a. a ≤ x ≤ a + 20

b. |x − a|2 − 7|a − x| − 60≥0

a) a+5 b) a+6 c) a+7

d) a+8 e) a+12

19. (Ex. Admisión UNMSM 2010 − I)

Dada la ecuación: 2|x+21 |2 − 7|x+

21 |=−6.

Halle la suma de sus soluciones.

a) −2 b) −1 c) −43

d) 43 e) −

411

20. Hallar la suma de los valores de "x" que verifican la ecuación: x2 − 6x=2|x − 3|+6.

a) 9 b) 10 c) 6

d) 8 e) 12

21. Si: A={x∈ R/|2x − 3|>−x};

B={x∈ R/|x+3|<x+6}.Calcular: (A+B).

a) ;29 3- + b) ;

29 3+ c) ;

29 3- +8

d) ;293- e)

29-$ .

22. Si: A={x∈ R/|x − 3|≤2 ∧ |x − 6|≤2}. Determinar el conjunto A.

a) {4 ; 5} b) [4 ; 5] c) <4;5>

d) {4} e) {5}

23. Si |x − a|<2b donde: b>0 a que intervalo pertenece:

x a bb

3- +.

a) ;51 1; E b) ;

51 1@ c) ;

51 1

d) f e) ;51 3+;

24. Si: (2x+5)∈<−10;11]∩[7;10>. Determinar el menor valor que toma A si:

xx A

75 #

-+ .

a) 35 b)

31 c)

32

d) 53 e) 1

Álgebra


Tarea domiciliaria

1. Indicar el conjunto solución de: x2–10x+29<0

a) <–3; 7> b) [–3; 7] c) R

d) f e) <1;29>

2. Hallar el mínimo valor que adopta M; tal que: x ∈ R, en: x x M4 6 3 2 #+ −

a) 1 b) 3 c) 5

d) 7 e) 9

3. Si a>0, ax2+(1–2a)x+a>0; ∀ x ∈ R . Hallar el conjunto de valores de "a".

a) ;a41 >3! −8 b) ;a

41< >3!

c) ;a41< >3! − d) ;a

41 >3! 8

e) ;a < >3 3! − +

4. Sean A el mayor numero real tal que: 4+2x+5x2 ≥ A

∀ x ∈ R y B el menor número real tal que: 4–2x–5x2 ≤ B. Hallar: E = 10A − 5B.

a) 13 b) 15 c) 17

d) 19 e) 21

5. Dado el polinomio: P(x)=x2–6x+11. Determine la constante K de modo que P(x) ≤ K tenga por solución al intervalo ; r06 @, donde: r > 0. Calcular: 2K − 5r.

a) −8 b) −3 c) 7

d) −4 e) 5

6. Determine el mayor valor de "N" en:

,N x x x4 29 R2 6# !− +

a) 24 b) 25 c) 26

d) −24 e) −25

7. Si: ax2+(1–2a)x+a>0, ∀ x ∈ R. Hallar el conjunto solución de "a".

a) ;5 >3+6 b) ;21< >3 c) ;3 2 >6

d) ;41< >3+ e) ;5< >3+

8. Resolver: |16 − 2x2|=0. Luego se afirma que:

a) Tiene solo una solución, cuyo valor es 2 2 .b) Tiene solo dos soluciones, siendo una de ellas

cero. c) Tiene como raíz a cero. d) Tiene dos soluciones. e) x ∈ R

9. Resolver: ||x − 2|− 6|=0. Luego indicar el producto de las soluciones. a) 0 b) −24 c) −32 d) 84 e) 12

10. Resolver: x2 − 4|x|+4=0.E indicar el número de soluciones mayores que 2.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 0

11. Resolver: ||x2 − 1|−x|=xLuego indicar el valor del doble de la mayor solución entera, e indicar el número de soluciones.

a) 2;2 b) 2;6 c) −2;6

d) −2;2 e) 2;3

12. Si se cumple: x x

y y

1 2 3

2 2 1

+ =

=

−− −

) .

Calcular: (x+y)2; además {x,y} ⊂ Z.

a) 5 b) 1 c) 25

d) 125 e) 625

13. Resolver:|x − 2|>3 e indicar el intervalo solución.

a) x∈<−∞−1>∪<5;+∞>

b) x∈<−∞;−2>∪<2;+∞>

c) x∈<−∞;+∞>

d) x∈f

e) x∈<5;+∞>

14. Resolver:|1+x|≤3∧|x|≥3, e indicar su intervalo solución.

a) x∈<−∞;−3>∪[3;+∞>

b) x∈<−4;3>∪<4;+∞>

c) x∈[−4;−3]

d) x∈[−4;3>

e) x∈f

15. Indicar el intervalo de valores negativos que verifican:: |x2 − 4|≤|3x|.

a) x∈[−12;−3] b) x∈[−1;3]

c) x∈[−6;−2] d) x∈[−4;−1]

e) x∈<∞;4>

16. Resolver:|5x − 1|<x.

a) ;61

41 b) ;

61

41

; c) ;061

d) ;61

41; E e) ;

61

41B

18Capítulo

www.trilce.edu.pe58

{}

19 Funciones I

1. Si "f" es una función tal que: f: Q+ Q, además:

f={(7; x ), (x; 4x),(7; 2x), (x2; x), (x3; x)}Determine el cardinal del rango.a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

2. Sean las funciones:

f(x) = x9 24 − ; g(x) = xx

25

−+ y h(x) = x5+4x3–x+2

Determine: Dom(f) ∩ Dom(g) ∩ Dom (h)a) R – {2} b) <–2; 2>c) <–3; 3> d) [–3; 3] – {2}e) <–3; 3> – {2}

3. La siguiente tabla muestra parte del dominio y rango de una función lineal f.

x 2 5 8 b

f(x) 10 a 28 37

La suma de a y b es: a) 25 b) 40 c) 45d) 30 e) 35

4. Dado: M = {x ∈ N / |x| ≤ 5}Sea "f" una función de M en R, definida por: ( )f x x

x5

21= − +−

Donde la suma de los elementos del rango de la función es: a a b 2

1 1+ + +− − , entonces a . b, es:

a) 1 b) 3 c) 6d) 2 e) 5

5. Calcular el rango de la siguiente función: f(x) = 5 |x| – 2; x ∈ [–1; 4>De como respuesta el valor de la menor imagen.a) –10 b) –3 c) –2d) –4 e) 5

6. Dado: A = {x ∈ Z / |x| ≤ 4}Sean f y g funciones de A en R, definidas por: f(x) = x2 – 3 y g(x) = 1 x− +1Hallar la intersección del rango de "f" con el dominio de g.a) {0; –2; –3} b) {–3; –2; –1}c) {1; 2; 3} d) {–3; –2; 1}e) {–1; 0; 1}

7. Halle el rango en: f(x) = x4 − + 1

a) [1; 3> b) [1; 3] c) <1; 3>d) <2; 3] e) [0; 3]

8. Hallar el rango de la función cuadrática "f" la cual satisface: f(0)=11 ; f(–1)=6 ; f(1)=18Para todo pre-imagen real de "f".a) [2; +∞> b) [1; +∞> c) [3; +∞>d) [–1; +∞> e) [0; +∞>

9. Halle el rango de la función:f(x) = –x2 + 2xSabiendo que su dominio es igual al conjunto de los números reales.a) <–∞; 0] b) <–∞; 1] c) [0; +∞>d) <–∞; 1> e) R

10. Determine el rango de la función "H" definida por: H(x) = x2 – 2 (|x| + 1) + 7a) [6; +∞> b) R c) [–4; 4]d) [–8; 3> e) [4; +∞>

11. Si: <–5; –4> es el dominio de la función "f", definida por:

( )f xxx

31=

++ . Obtener el rango de la función

a) <–2; 1> b) <2; 3> c) <0; 1>d) <2; 4> e) <1; 2>

12. Sea la función: ( )f x x x4 2= −Halle: Ran (f) ∩ Dom (f)a) [0; 1] b) [0; 2] c) [1; 2]d) [1; 3] e) [0; 4]

13. Si "f" es una función cuadrática; cuya regla de correspondencia la conforma solo un polinomio mónico de término independiente unitario. Hallar: f(2x). Si f(3) = 13.

a) x2 + x + 1b) x2 – 2x – 1c) 4x2 + 2x – 1d) 4x2 + 2x + 1e) 4x2 – 4x + 1

Álgebra


14. Hallar el rango de la siguiente función:

( ) ( ) ( )f xx x

x x x x2

22

2 2=

+ −− +

a) R0+ b) R – {1; –2}

c) R0+ – {1; 4} d) R0

+ – {2; 4}

e) {1; 4}

15. Halle la menor imagen de la siguiente función:

( )G x 4x x4 12= − +

a) 26 b) 2–3 c) 2–5

d) 2–6 e) 2–7

16. Halle el rango de la función "f", si:

( )f xx xx x

11

2

2=

− ++ +

a) ;31 2; E b) ;

31 3; E c) ;

31 4; E

d) ;31 6; E e) ;

31 9; E

17. Calcule: Dom(f) ∩ Ran (f) de la función:

( ) 3 ; 2; 3

;f x x x

x x3 5

><2

!

#= −6)

a) [–2; 5> b) [–6; 25> c) <–2; 5>

d) <–6; 25> e) [–5; 10>

18. Hallar el menor valor del rango de la función:f(x) = x2 – |x| + 1, si: Dom (f) = [–3; 3]

a) 1 b) 0,75 c) 1,5

d) 2,5 e) 2

19. Dada la función:

( )f xx x2 3

4 12

=− +

−

Hallar el Ran (f)

a) <–1; 2] b) <0; 1> c) <–2; 1]

d) <0; 2] e) <–1; 1]

20. Dada la función: h : A R; A ⊂ R+, tal que:

( )h xx

x2

2=

− y Ran (h) = <1; +∞>

Halle el conjunto A.

a) <2; 3> b) <1; 2> c) <0; 1>

d) <–2; 2> e) <3; 4>

19

Tarea domiciliaria1. Si el siguiente conjunto; es una función:

F = {(4; 4), (x; 5), (4; x2), (2; 6)}Calcule el valor de: P = x + F(−x)

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

2. Calcular el dominio de: ( )G xxx x4 24

= − , y de como

respuesta el resultado del número de valores enteros

incluidos en dicho dominio.

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

3. Calcular el rango en: F(x) = 4x − 8; ;x 2 5 >! −6 y de como respuesta el valor de la menor imagen.

a) −16 b) −17 c) −18

d) −19 e) −20

4. La tabla adjunta muestra parte del dominio y rango de una función lineal f.

x 2 6 40 bf(x) −1 −13 a −175

La suma de a y b es:

a) −25 b) −35 c) −45

d) −55 e) −65

5. Sea f una función constante tal que:

( , )( ) ( )f

f f3 5 5

2 10 20 8−

+ = .

Calcular: B = f(1020)+f(31)+f(2560)

a) 21 b) 22 c) 23

d) 24 e) 25

6. Hallar el rango de la función cuadrática "f" la cual satisface: f(0) = 9f(−1) = 7f(1) = 19Para todo pre-imagen real de "f".

a) :4

27 >3+8 b) :4

11 >3+8

c) ;4

17< >3+ d) ;4

27< >3+

e) ;5

11< >3+

Capítulo

www.trilce.edu.pe60

7. Hallar el rango de la función: f(x) = –x2+4xSabiendo que su dominio es igual al conjunto de los números reales.

a) ; 1< 3− @ b) ; 4< 3− @

c) ; 2< 3− @ d) ; 1< >3− −

e) ; 4< >3−

8. Calcular el rango de la función:

( )f xx

x x4= −

a) {–4; –3} b) {–5; –3}

c) {1; –3} d) {–3; 7}

e) {5; –3}

9. Dada la función:

( ; ) / ( ) ;F x y F x x x x2 4 4 20< >R2 2 /! != = − −" , Además: Ran F = [m; n>. Calcular: S=16m–45n–1

a) −17 b) −18/ c) −19

d) −20 e) −21

10. Dado: /A x x 3Z! #= " , sean f y g funciones de A en R , definidas por: f(x)=x2–2 y ( )g x x1 2= − +Hallar la intersección del rango de f con el dominio de g.

a) {–2; –1} b) {–3; –2; –1}

c) {–1; 0; 1} d) {–1; –2; 0}

e) {1; 2; 3}

11. Dadas las funciones: f(x) = 5x + 6; 7;x5 5

1 >! −; y

( )g x x x18 7 2= − − . Hallar Ran (f) + Dom (g)

a) [–2; –1] b) [1; 2]

c) [–1; 2] d) [–1; 3]

e) [1; 4]

12. Si "f" es una función lineal, tal que: f(1)=20 / f(−1)=0. Halle la pendiente de la recta que representa f.

a) 5 b) 10 c) 15

d) 20 e) 25

13. Sea: f(x)=x2–4x+5; Dom f = [0; 3]. Si n y N son el mínimo y máximo valor de f(x), respectivamente, hallar: N – n.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

14. Sea "f" una función definida por: ( )f xx x1 2

1=− − −

Hallar el Ran (f)

a) <−1; 1> b) ;1 1−6 @c) / 1; 1R −6 @ d) / 1; 1< >R −

e) ; 1< 3− − @

15. Hallar el rango de:

( )f x x9 1= − +

a) ;1 46 @ b) ;1 90+6 @c) ;1 96 @ d) ;7 1−6 @e) ;1 86 @

16. Dadas las funciones: F(x) = x2+3x–3G(x) = x2+x+mCalcular el mínimo valor entero de "m" tal que x R6 !, se cumpla que: F(x) + G(x) ≥ 0.a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

17. Si: :F R R" , es una función definida por:

( )2 3 ( ) 3

( )F x

x F x x

x F x x x x3 3 1 331< / !

$=

−

− +*

Determine el valor de: P = F(4) + F(2)a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

18. Sea la función: f(x)=x6–3x4+3x2–12; Dom (f) = <−2; 2>Determinar el mínimo valor de "f".

a) −15 b) −13 c) −12d) −10 e) −9

19. Se define la función: ( ) / ( ) 1; ,f x x f x n n x n n x< Z R* 6G ! != += " ,

A partir de dicha definición se establece que la solución de la ecuación: f(2x) + f(3x) = 2; es ;x a b >! 6 . Hallar "ab".

a) 1/2 b) 1/3 c) 2/3

d) 1/6 e) 3/4

20. En la figura adjunta se muestra un trapecio isósceles: 1

h

x

45º

Expresar el área sombreada en términos de "x".

a) ( )x81 2− b) ( ) ( )x x

82 2+ −

c) x4

2d) ( ) ( )x x

81 1+ −

e) ( ) ( )x x8

4 4+ −

Álgebra


20 Funciones II

20

1. Si la gráfica de la función "f": f(x) = x2 – 3x + 2mpasa por el punto (5; 20). Halle la imagen de –3 mediante "f".a) 12 b) 8 c) 18

d) 28 e) 38

2. Obtener la gráfica de la función constante "g" tal que:

( )( ) ( )g

g g7 3

10 15 8−+ =

a)

x

y

4

b)

x

y

4

c)

x

y4

–4

d)

x

y4

e)

x

y

–4

3. Esbozar los gráficos de las siguientes funciones:

I. f : R R / y = f(x) = 3x – 12

II. y = 32− x– 6

III. f = {(x; y) ∈ R2 / 2y + 3x = 12}

4. Dadas las siguientes funciones:

f : R R / y = f(x) = x2 + 3

g : R R / y = g(x) = –x2 + 2x

h : R R / y = h(x) = 3x2 – 6x + 1

cuyas gráficas están representadas por parábolas

cuyos vértices son V1, V2 y V3 respectivamente.

Calcular: d d12

22+ , si: d1 es la distancia de V1 a V2; y

d2 es la distancia de V2 a V3.

a) 11 b) 12 c) 13

d) 14 e) 16

5. La gráfica de la función: f(x) = –x2+6x–5, intersecta al eje "x" en los puntos "P" y "Q", y al eje "y" en el punto "R". Hallar el área de la región triangular PQR.

a) 15 u2 b) 10 c) 12

d) 20 e) 30

6. Esbozar las gráficas de las siguientes funciones:

I. f : R R / y = f(x) = |x|

II. y = x2

III. f={(x;y) ∈ R2 / y = 8 – |x–2|}

IV. f(x) = |2x+1|+4

7. Si las gráficas de las funciones f y g se intersectan en el punto (m; n). Indicar el valor de: E = 2m+3n

donde: f(x) = 2 – 3xg(x) = |x+8| – 2a) –14 b) 7 c) 13

d) –36 e) 17

8. Halle las coordenadas de uno de los puntos de intersección de las gráficas de las funciones:

g(x) = –2x2 – 6x + 8h(x) = –x + 1a) (1; 3) b) (0; 1) c) (1; 0)

d) (5; 4) e) (2; 5)

9. Si la gráfica de la función:

f(x) = 2 x2 + x + 5n – 5pasa por el punto (3; 26). Halle el menor valor que toma dicha función.a) –1/4 b) 3 c) 24/5

d) 39/8 e) 10

10. La resistencia de un material de aluminio está dada por la función:

f(x) = 9

10 x (12 – x)

siendo "x" el peso ejercido sobre el material.Para que peso la resistencia es máxima y cuál es la resistencia máximaa) 15; 36 b) 6; 30 c) 6; 40

d) 10; 25 e) 11; 40

Capítulo

www.trilce.edu.pe62

11. Indicar la suma de valores de "n", para que las gráficas de las funciones: f(x) = –nx2 – 5x + 4g(x) = 11x + nsean tangentes.a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

12. Halle el área de la región limitada por las gráficas de las funciones:f(x) = |2x| y g(x) = x

2 + 5

a) 3

20 u2 b) 3

32 c) 3

38

d) 3

40 e) 3

16

13. Grafique la función:f(x) = |x–2| – 1Si: 0 ≤ x ≤ 4Luego, calcule el área de la región determinada por la gráfica de "f" y el eje "x".

a) 21 u2 a) 3 u2 b) 1 u2

c) 4 u2 d) 2 u2

14. Una avispa se mueve según la trayectoria descrita por la curva:y = x2 – 10x + 29Hallar la menor distancia de la trayectoria al eje "x".a) 4u b) 5u c) 6u

d) 2u e) 1u

15. Halle la suma de los valores de "K", tal que la recta: y=Kx, sea tangente a la curva:x2 + y2 – 6x – 2y + 6 = 0a) 0,75 b) –1,5 c) 6/5

d) –0,75 e) 1,5

16. Halle el área de la región limitada por el gráfico de la relación:R = {(x; y) ∈ R2 / y = |x–2| ∨ y=2}a) 20 u2 b) 10 u2 c) 8 u2

d) 4 u2 e) 2 u2

17. Halle el área de la región determinada por el gráfico de la relación:

R= {(x; y) ∈ R2 / x ≤ y ≤ x4 2− }

a) 4≠ u2 b)

2≠ u2 c) p u2

d) 2p u2e)

3≠ u2

18. El perímetro de un terreno de forma rectangular es "8a". Indique el intervalo de variación de la función A; si ésta representa el área de dicho terreno.

a) [0; 8a2] b) <0; 4a2] c) [0; 4a2]

d) <0; 8a2> e) <0; 2a2]

19. Si un lado de un campo rectangular va a tener como límite natural un río, halle las dimensiones del terreno rectangular más grande que puede cercarse usando 240m de valla para los otros tres lados.

a) 120m de largo y 60m de ancho.b) 100m de largo y 40 de anchoc) 200m de largo y 20 de anchod) 50m de largo y 200m de anchoe) 100m de largo y ancho

20. Un fabricante de cajas emplea piezas de 8 × 15 pulg. cortando cuadrados iguales en las cuatro esquinas y doblando los lados.Calcule la longitud necesaria del lado del cuadrado por cortar si se desea tener de cada pieza una caja sin tapa del máximo volumen posible.

a) 31 pulg b)

51 c)

35

d) 2 e) 5

21. Sea la función lineal: f: R R, cuya regla de correspondencia es: f(x) = |ax2 – 3ax + a – 2| + ax2

Indicar los valores del perímetro real "a" que define completamente la función "f".a) a ∈ <0;

58 >

b) a ∈ <–58 ; 1>

c) a ∈ <–58 ; 0>

d) a ∈ <1; 35 >

e) a ∈ R

Álgebra


20

Tarea domiciliaria

1. Hallar la regla de correspondencia de la función cuya gráfica es una recta que pasa por los puntos (−1; 3) ∧ (2; 0)

a) y = −x + 2 b) y = −x − 2

c) y = x + 2 d) y = 2x + 1

e) y = x − 2

2. Graficar: F(x) = x − 3 ; si: x ∈ [4; 6]

a)

x

yb)

x

y

c)

x

yd)

x

y

e)

x

y

3. Hallar los puntos de intersección en el eje x, de la función: F(x) = x2 + 2x − 15

a) (−5 ; 0) ∧ (3 ; 0) b) (−3 ; 0) ∧ (5 ; 0)

c) (5 ; 0) ∧ (3 ; 0) d) (−5 ; 0) ∧ (−3 ; 0)

e) (0 ; 0) ∧ (−5 ; 0)

4. Hallar "m" en: y = 2x2 + 3x − 2m. Si su gráfica es:

4

2 x

y

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

5. Se tiene la función lineal F, tal que se cumple: F(0)=F(2)−16, además (0 ; 7) pertenece a la gráfica de la función. Hallar la pendiente de la gráfica.

a) 7 b) 6 c) 8 d) −8 e) −7

6. Hallar el área de la región encerrada por :F(x) = 4 − xY los ejes de coordenadas.

a) 16u2 b) 8 c) 12d) 32 e) 4

7. Graficar : y = (x − 2)2 − 1

a)

x

yb)

x

y

c)

x

yd)

x

y

e)

x

y

8. Graficar : y = x2 − 2|x|a)

x

yb)

x

y

c)

x

yd)

x

y

e)

x

y

9. Sean las funciones:F(x) = x2 − 2x − 3 ∧ G(x) = x + mCuyas gráficas se cortan en 2 puntos tales que al unirse forman la diagonal de un cuadrado, si uno de esos puntos es (3, 0). Hallar el área de dicho cuadrado.

a) 3 u2 b) 6 c) 8d) 9 e) 12

Capítulo

www.trilce.edu.pe64

10. Sea:f : R R / y = x2 – 2x – 3g : R R / y = 2x + 9Hallar las coordenadas de sus puntos de intersección:

a) {(6 ; 21) , (−2 ; 5)} b) {(6 ; 21)}

c) {(−2 ; 5)} d) {(6 ; −2)}

e) {(5 ; −2), (21 ; 6)}

11. Sea la función de: f(x)=2x2–ax+a–2 con D ≤ 0. Se puede afirmar que:

a) La gráfica corta en 2 puntos al eje x.b) La gráfica no corta al eje x.c) La función presenta un máximod) La gráfica corta en un solo punto al eje xe) No se puede afirmar

12. Sean las funciones: F(x)=x2+3x−3, G(x)=x2+2x+m,

H(x)=F(x)+G(x), siendo H(x) una función que cumple:

H(x) ≥0, ∀ x ∈ R. Según ello calcular el menor valor

entero de: "m".

a) 5 b) 7 c) 9d) 4 e) 8

13. Hallar el área de la región formada al unir los puntos: M; N; P de la gráfica:

M = (0; 8)N = (a; 0)P = (b; 0)

x

y

P

M

N

y=– 34 x+n

y= x83

+8

a) 20u2 b) 30u2 c) 40u2

d) 45u2 e) 50u2

14. Hallar el área de la región triangular formada al unir

los puntos de intersección de la parábola:

f(x) = −x2+4 con los ejes coordenados.

a) 6u2 b) 8u2 c) 16u2

d) 5u2 e) 10u2

15. El área de la figura sombreada es "a" u2.Calcular "a"

F(x)=5– x22y

xa–a

a) 3 b) 5 c) 4 d) 5/2 e) 3/2

16. Dadas las funciones cuadráticas :I. f(x) = 3x2 + 7x − 1

II. g(x) = x2 + x32

91+

III. h(x) = 2 − x + 5x2

IV. y(x) = 4x − 3 + 2x2

¿Cuántas de estas funciones tienen gráficas de manera que intersectan al eje x en dos puntos diferentes?(Sugerencia: D > 0)a) solo I b) solo II c) II y IIId) II, III, IV e) I, IV

17. Se definen:f(x) = x3 − 5x + m ; g(x) = x + 3Hallar "m" tal que : f(g(f(2))) = − 1Indicar la suma de los valores de "m"a) 0 b) 3 c) − 2d) − 3 e) 2

18. Conociendo :f(x) = x2; g(x) = 3x + 18Identifique uno de los puntos de intersección de las funciones : f(x) y g(x)

a) (2 ; 8) b) (3 ; 9) c) ;21

41` j

d) (−2 ; 4) e) (−3 ; 9)

19. Hallar el rango de :F(x) = |x − 7| + 7

a) y R! b) ;y 7 >3! − +6

c) ;y 7 >3! +6 d) 7y R! − " ,

e) 7y ! " ,

20. Sean las funciones f y g definidas en R por:f(x) = x2 + 2 ; g(x) = x + b.Hallar la suma de todos los valores de "b" que cumplen:f [g(b + 3)] = g[f(b − 3)]

a) 0 b) 1 c) 3

17

d) − 3

17 e) 17

Álgebra


21 Logaritmos I


1. Si: Log 2= x, Log 3= y, el valor de la expresión ( ) logLog278 3 60− en términos de x e y, es:

ResoluciónAplicando las propiedades:

( . )

( ),

Log A Lob B Log A B

Log A Log B LogBA A B R1

+ =

=−+"4 ,

Entonces:

( ) 3 60 8 27 3 ( (6 10))Log Log Log Log Log278

#=− − −

( 10)Log Log Log Log Log2 3 3 3 23 3

1

= − − + +S

Además:

.Log x n Log xn = ; x>0Entonces:

( )Log Log Log Log Log Log278 3 60 3 2 3 3 3 3 3 2 3− = − − − −

= 3x − 3y − 3y − 3x − 3 = −6y − 3

( )Log Log y278 3 60 3 2 1` − = − +

2. Si: Log y 24 = y ( )Log x y16

54

2 3=

El valor de x es:

ResoluciónAplicando las mismas propiedades y la definición:

Log y y y2 4 1642

) `= = =

Del segundo dato:

16log logLog x y 542

43

4+ =−

. Log x Log y2 3 2 5442

+ − =S

....log logx x x2 121 4 2/

4 41 2

"= = = =

21Capítulo

www.trilce.edu.pe66

Práctica

1. Si: a+b=ab y

( ) ( )log logab a bx1 1 1

a b+

+= − . Indique: x/2.

a) 2 b) 4 c) 2d) 0,5 e) 1

2. Hallar el valor de: ,Log 0 252 2

a) –1/3 b) –2/3 c) –4/3

d) –5/3 e) –2

3. Calcular: ( )K Log Log 4

254 32=

8 B

a) 0,25 b) 0,5 c) 0,75d) 1 e) 1,25

4. Si: Log 4 = x; log 9 = y, el valor de la expresión:

Log Log81

1024 2 36+ en términos de x e y es:

a) 5x−24 b) 3x − 4y c) 2x − 5yd) 4x − 3y e) 7x

5. Si: 5 7 3 3LogLog Log b Log3 53

b b72

3+ = +

Indique (b2+2)a) −5 b) 5 c) ;5 1−" ,d) −1 e) ;1 5−" ,

6. Indicar el valor de:

.4 9log log log2 3 5

3 2 68 B

a) 1 b) 5 c) 25

d) 125 e) 625

7. Si: Log 2 = a, calcular: log 50035

a) ( )a

a3 1

3−

− b) aa

13

−− c)

aa

12

−−

d) ( )a

a2 1

2−

− e) ( )a

a3 1

3+

+

8. Si: log log3 2a b= ∧ ab=10

Calcular "b"

a) 2log 5 b) 2log 6 c) 2log 4

d) 2log 7 e) 2log 11

9. Reducir:

( ) ( ) ( )log loge Ln e1 101

1 301

1 31

3++

++

+

a) 1 b) log 3 c) Ln (10)

d) Ln (30) e) log (3e)

10. (Ex. Adm. UNMSM 2004 − I)Los logaritmos decimales de 2 y 3 son: log 2 = 0,3010; log 3 = 0,4711, calcular log 2880 con cuatro cifras decimales.a) 1,4116 b) 1,7236 c) 2,2236d) 1,7080 e) 2,0103

11. Si: a > b > c > 1, reducir:

. ( )log log

logE

b a c

a 12 2

c

c b

= +

a) 1/2 b) bac c) abc

d) 1 e) 2

12. (Ex. Adm. UNMSM 2005 − I)Si: Log 15 = a, Log 21 = b y Log 35 = cCalcular: Log 49a) b+c−a b) a − b + c c) 2a − b + cd) b − 2a + c e) c − a − b

13. (Ex. Adm. UNMSM 2002)Si se verifica que:

. . ....

( )Log

n nn

1 21

2 31

3 41

11 n

1011 + + + +

+=

−; E

Calcular: Log (n2 + 10n)a) 3 Log 2 b) 2 Log 2 c) 3 + Log 2d) 2 + Log 2 e) 2 + Log 3

14. (Ex. Adm. UNMSM 2011 − I)Halle los valores de "x" que satisfacen la ecuación:

5 3( )Log x x Log5 15 25x x2

=− +

a) 2 y 3 b) 2 y 4 c) 3 y 5d) 3 y 4 e) 2 y 5

15. Calcular:

log logE

LnLn

2 51

1 91

325

3 45=

+ −; ; 8E E B

a) 2 b) 5 c) 1/2d) 1/5 e) 10–1

16. Si: Logaba=4; a>1, b>1. Calcular: ( )Logba

ab

3

a) 7/3 b) 5/6 c) 13/6d) 4/3 e) 17/6

17. Si: Log x Log 223

x4 + = . Hallar el mayor valor de

logab, siendo a y b soluciones de la ecuación.

a) 1/2 b) 2 c) 4d) 1/4 e) 1

18. Si: log a53 = ; entonces: log 8115 es:

a) 4 (a+1)–1 b) 2 (a + 1)–1

c) (a+4)–1 d) 3 (a+2)2

e) 4(a+2)–1

Álgebra


Tarea domiciliaria

1. Calcular: ( )E Log81

2 2=

a) −4 b) −6 c) −8d) −2 e) −1

2. Si: a3b3 = a + b; ab ≠ 1 / a + b > 0

Hallar "x", de: ( )a b 64Log xab+ =

a) 1/2 b) 2 c) 8d) 4 e) 6

3. Reducir: a b ( . ) ( )E Log a b Log aba b5 4 5

2 3 2 3= +

Si: a > 0 / b > 0

a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1

4. Resolver: ( )

Log x

Log x x

4

9 510

75

72

+

+ −=

a) 9 b) 13 c) 21d) 11 e) 15

5. Si: Log x = 3. Hallar el valor de: Log2x3

a) –81 b) 81 c) 9d) –9 e) −16

6. Reducir la expresión:

Log3(Log25)+Log3(Log57)+Log3(Log78)

a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1

7. Dada la ecuación: x Log4 + Log(Log3) = Log(Log81)

El valor de "x" que le verifica es:

a) 6 b) 1 c) 8d) 5 e) 4

8. Si: Log 2 = a; Log 3 = b, hallar el logaritmo de 5 en base 6 en términos de "a" y "b".

a) 1 b) a ba b−+ c)

aba b+

d) a b

a1+− e)

a ba 1+−

9. Si: b a3= ; a > 0. Reducir:

A Log a Log a Log ab b3 24 2

3 3= + −b

a) 8/3 b) 5/2 c) 4d) 8 e) 2

10. Calcular el valor de xx , si:

Log Log Log x5Log7

75

Log x5 =

a) 5 b) 7 c) 75

d) 5 e) 55

11. Calcular: E = Colog6 Antilog3 (Log312 + 1)

a) 1/2 b) 2 c) −2

d) 1/4 e) −1/2

12. Si: AntilogcAntilogab = ab; a, b, c 1R! −+ " ,Reducir: E = Cologca + Cologcb

a) 0 b) ab c) ab

d) −ab e) ab−13. Si: Log 3 = m / Log 2 = n

Reducir en función de "m" / "n" la expresión: E = Log 180a) 1 + 2m + n b) 1 + m + 2nc) m + n + 2 d) 1 + m + ne) 2 + 2n + m

14. En el sistema:Log x − Log y = Log 2 2x+y = 64 ; El valor de "x" es:a) 4 b) 8 c) 6d) 2 e) 1/4

15. Resolver para "x"Log x Log x b4a ab

2 8b + =

a) 2b b) 2ab c) 8a

d) 8b e) 8ab

16. Si: Log x6 10 3Log Log x Logx

3 62 2+ = +El valor de "x" es:a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

17. Indicar la suma de los 999 primeros términos de la sucesión:

( ); ( ); ( ); ...Log Log Log1 1 121 1

31+ + +

a) 1/2 b) 7 c) 3/2d) 5 e) 3

18. Hallar el valor de "n", si:...Log Log Log Log9 9 9 9n

3 32

3 328+ + + =

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

19. Resolver la ecuación: ( ) 10Log xlog logLog Log x

Co Anti x2

=−

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

20. Si: Log2006Log2005Log2004x=0. Hallar "x"

a) 20042006 b) 20052006

c) 20052004 d) 20042005

e) 20062005

21Capítulo

www.trilce.edu.pe68

22 Logaritmos II


1. Si se satisfacen: 10x−1 +10y+2 = 2p − 1

x − y - 3 = Log ( )p q

p q 1−

+ −

Hallar: 10x–1 − 10y+2

ResoluciónDel dato: 10x−1 + 10y+2 = 2p − 1 ..... (1)

Factorizar: 10y+2

10y+2 (10x−y−3+1) = 2p − 1 ..... (a)

Usando la otra condición por definición de Log:

10x−y−3 = p q

p q 1−

+ − reemplazando en (a):

10y+2 p q

p q p1 1 2 1−

+ − + = −; E

10y+2 = p - q ... (b) en (1): 10x−1 = p+q−1 ..... (c) Restando: (c − b): 10x−1 − 10y+2 = 2q−1

2. Si: – ( ) ( ) ... ( )x Log Log Logn

n23

34 1

nn2 1= + + + + − , entonces el valor de:

!( )Enn n10 1x nn

=+ −

− ; es:

ResoluciónDel dato, por propiedad:

. . ..... . ... ( )x Log

nn

2 3 43 4 5 1

n n

n

2 3 1

2 3 1= +

−

−

Por definición:

. . ....... . ...... ( )

nn10

2 2 43 4 5 1x

n

n

2 3 1

2 3 1n = +

−

−

Elevando a la (−1):

. . ... ( ). . ...

( ). . ....

nn

nn10

3 4 5 12 3 4

12 3 4xn

n

n

n2 3 1

2 3 1

1=

+=

+−

−

−

−

Tener en cuenta que: n! = 2 . 3 . 4 ... n

Reemplazando

( ). . ...

!( )

( )( )E

nn

nn n

nn n

12 3 4 1

11

n

n

n

n

1 1=

++ − =

++ −− −; E

E = n+1 - n = 1

Álgebra


3. Resolver: x log8 20 = 1 + log45;Indique el valor de:

4x2 − 2x + 1

Resoluciónx log820 = log44 + log45

log820x = log420

log log x x20 203 2

123x 1

3 2 & `= = =2 2

Reemplazando:

4x2−2x+1 = 4 . 49 −2 .

23 + 1 = 7

4. Halle la suma de las raíces de la ecuación:

Log x Log 4 3 0x42 + − =

ResoluciónMultiplicamos cada miembro por Log4x:( ) .log x Log Log x2 4 3x4 4+ =

Log x Log x2 3 1 042

4− + = Factorizando:

Log x2 4 −1 = 0

Log x4 −1 = 0

Log x21

4 = log x 14 =

x 21 = x 42 =

x x 61 2` + =

22Capítulo

www.trilce.edu.pe70

Práctica

1. Halle la solución de la siguiente ecuación: Log3(Log9(Log9x81)) = 0

a) 93 b) 327 c) 927

d) 320e) 99 1−

2. Si: 5 3( )log logx x3 5 5a a2

=− + , hallar la suma de sus soluciones.a) −1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

3. Resuelva: 5 5 6 04( )x x4 2 1+ =− + , e indique la suma

de soluciones.

a) Log 25 b) Log 425 c) Log 4625

d) Log 546 e) Log 52

4. Si a es la solución de la ecuación:Log x Log x 32 4+ = ; hallar el valor de a2 + a + 1

a) 21 b) 16 c) 24

d) 12 e) 9

5. (Ex Adm. UNMSM 2004 − I)Hallar el producto de las soluciones de:

logLog x x 127= −a) 109 b) 106 c) 107

d) 103 e) 105

6. Al resolver la ecuación: 10 1loglog

log

4

4( )

( )

( )x

x

x3

4

3=−

++

−,

hallar el mayor valor de: log2 (x2+7x+14)a) 6 b) 5 c) 4d) 3 e) 2

7. Resolver la ecuación: log log log41 2 2 0x x2 8x

8+ + =` j

a) 2 3−" , b) 2 4−" , c) 2 8−" ,

d) 28" , e) 2 9−" ,

8. Al resolver la ecuación: 6 5LnxLnx

6 =− , hallar el producto de las soluciones:

a) e 611

b) e 87

c) e 65

d) e 56

e) e 53

9. Si "x" satisface la ecuación: ( )2 2 32( )Log x 1 44 =− , calcular: x2−1a) 8 b) 24 c) 35d) 15 e) 48

10. Al resolver el sistema: 2ln ln

ln ln

x y

x y 33=−

− =) ; Hallar el valor de x/y.

a) e11 b) e12 c) e13

d) e14 e) e15

11. Hallar el producto de las soluciones de la ecuación logarítmica: x 2 ( )log x4x=a) 1 b) 2 c) 4d) 1/2 e) 1/4

12. Si: log loga p xb b1 1+ =− − , calcular:

( )logp b

ab

x

a) ap b) bp c) abd) a e) p

13. (Ex. Adm. UNMSM 2004 − I)Hallar el valor de "x" en la ecuación siguiente:

( )log x Logx

Log x2 1 1x x x

22

2+ − + =

a) 2 b) 1 c) 1/4d) 4 e) 1/2

14. Si: . 2. 2 . 3, 0 1log log log logx x5 < <x3 5 2= , hallar 9x − 1.a) 1 b) 2 c) 0d) −1 e) −2

15. Si: ( ) x256 log xxxx x4 = , hallar el valor de x4

4.

a) 44 b) 4 c) 1d) 2 e) 23

16. (Ex. Adm. UNMSM 2010 − I)Sea "a" un número real positivo diferente de 1. Halle el valor de "y" que satisface el sistema de ecuaciones:

;a a1641x y x y2= =+ −

a) Logab b) Loga64 c) Loga16

d) Loga8 e) Loga4

17. Si: 3 3 3 3 3 ... 3 21Log Log Log Log Log Log n

3 32

33

34

35

32

+ + =− − − − −

Indique: (n–20)

a) −1 b) 1 c) 21d) −21 e) 0

18. Si "f" es una función definida por: f(x) = log(4x–3)(3–2x), hallar el dominio de f.

a) <0; 1> b) <1; 2>

c) ;123< > d) ;

43

23< >

e) ; 143

23< > − " ,

19. Una colonia de virus AH1N1 crece de acuerdo a N(t)=n0ekt, t en horas, Si la cantidad de virus se duplica cada 3 horas. ¿Cuánto tardará la colonia en triplicar su cantidad inicial?

a) lnln horas

23 3 b) 3 ln horas

22

c) lnln horas

33 2 d) 3 ln 3 horas

e) 2 ln 3 horas

Álgebra


Tarea domiciliaria

1. Hallar: ( )Log 64 ,1 52

a) 1,5 b) 6 c) 8d) 9 e) 29

2. Hallar "x", si: Log3x5 + Log3x2 = 28

a) 81 b) 27 c) 243d) 729 e) 123

3. Resolver: Log0,5(x+1) − Log0,5(x−3) = 1

a) −5 b) 4 c) 5d) 7 e) No tiene solución

4. Si: Lognm=2 y Logmp=3. Calcular: ( )log m pn2 43

a) 1/3 b) 7/3 c) 28/3d) 16/9 e) 3/7

5. Resolver: ( )logLog x x31 2 12

32+ − =

Y dar como respuesta la suma de las soluciones.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

6. Dada la ecuación: y e e24x x

= − −; encontrar "x", para

y=1,5.

a) Ln 2 b) Ln 3 c) Ln 4d) Ln 3/2 e) Ln 1

7. Si 3x=5 el valor de: (x+2).log45(243) es:

a) 7 b) 5 c) 3d) −3 e) −5

8. Resolver la ecuación: 13 2( )Log x x Log2 13 19 16952

5=− +

Y calcular el producto de las soluciones.

a) 1 b) 8 c) 1,5d) 11,5 e) 7,5

9. Si el logaritmo de 250 en base 22

es "y".Calcular: Log505 + Log10y10 + y

a) 1 b) 2 c) 4

d) 6 e) 8

10. Si: Log23.Log34.Log45...Log20012002.Logyx=Log20032002

Calcular la suma de cifras de: (x+y+2003)

a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 12

11. Hallar el valor de "x" en la ecuación:

logLog x x2 3x 1 =−

a) 3 b) 3−1 c) 3−2

d) 3 e) 3−3

12. Resolver: 2 log3x + 3 log27x = 15

Dar como respuesta: x5

a) 2 b) 3 c) 4d) 27 e) 81

13. Si Log 2 = 0,30103; cuántas cifras tiene.N = 520 . 2100

a) 44 b) 45 c) 46d) 47 e) 49

14. A condición de que el polinomio:P(x) = x4 + nx3 + mx2 + px + qEs un cuadrado perfecto. Hallar: Logp (n2 . q)a) 2 b) 1/2 c) 4m

d) m2

3 e) 3m2

15. Hallar el equivalente de:

....

...SLn Ln Ln Ln x

Log Log Log Log x

2 3 4

2 3 4n n n n

n n n n n=

+ + + ++ + + += G

a) Log e b) Ln x c) Log nd) Lognn e) Log xn

16. Sabiendo que: a=logx7; b=logx3; c=logx21

Reducir: ( ) ( )Px x x

a b c x x x( ) ( )Log b a Log c b Log a

a b c

2x x x=

+ ++ + + +− −

a) 7 b) 3 c) 21d) 31 e) 41

17. Sabiendo que: a y b son las raíces reales positivas de la ecuación: x2 – 4x + m2 = 0.Hallar el valor de: L Log a Log a Log b Log bm

bm

am

bm

a= + + +

a) −4 b) 4 c) −8d) 8 e) 6

18. Hallar una solución de la ecuación:

( ) ( )

( ) ( )

Ln ex Lnex

Ln ex Lnex

3 2 2−

+= +

a) e b) e2 c) e3

d) e4 e) e5

19. Hallar "a", si: Log a ana p aaap

=− y n aaa

=

a) pp b) pp c) p−p

d) p p 1− − e) p−1

22Capítulo

www.trilce.edu.pe72

23 Repaso

1. Considerando: Dom F = <−5; 3]. Calcular su rango, si: F(x) = 2x2 − 10

a) [0;40> b) [−10;40] c) [0;40]

d) [8;40] e) [−10;40>

2. Calcular: "a+1" en F(G(−1)) = −3a.

Sabiendo que:

F(x) = 3x2 + 10x − a − 2

G(x−2) = 3 − |x − 6|

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

3. Sea "f" una función lineal tal que su gráfica pasa por (4; 10) y además f(2)+2f(0)=0. Indique el valor de su pendiente.

a) 2 b) 3 c) 4

d) 8 e) 12

4. Hallar el área de la región triangular formada al unir los puntos de intersección de la gráfica de: F(x) = x2 − 4x − 21con los ejes cartesianos.

a) 125u2 b) 105u2 c) 100u2

d) 80u2 e) 50u2

5. Calcular el área de la región formada por las gráficas de las rectas: y=2x−6; y=x+4 y los ejes coordenados.

a) 41u2 b) 32u2 c) 100u2

d) 45u2 e) 18u2

6. Hallar la relación entre "m" y "n", tal que las gráficas de la recta: f(x)=−3x+n y la parábola: g(x)=x2+x+m, sean tangentes.

a) m−n=−4 b) m=4n c) m+n=4

d) m−n=4 e) mn=4

7. Calcular "m" tal que:f(x)=−2x2+16x+madopte máximo valor igual a 35.

a) 2 b) 8 c) 9

d) 4 e) 3

8. Grafique la relación:

( ; ) / ( )R x y y x y x2R2 2 /! $ #= −" ,

a) x

y

b) x

y

c) x

y

d) x

y

e) x

y

9. Calcular la oferta máxima, si la función oferta "l" de

una empresa está dada por:

l(x)=−2x2+60x+50 tal que "x" representa unidades

en soles.

a) 300 b) 500 c) 400

d) 200 e) 650

10. Si: log 4096

M Log 3log2

4log3

544095

=i

Hallar el valor de: log 81M 144

a) 36 b) 8 c) 16

d) 9 e) 25

Álgebra


11. Si: ;a K K ZlogK

7b 6 != , el valor de:

( ... )logx

7 7 7 7log log log

n

a a Log a ab b b b n1 2 3+ + + +

donde: 2x-n=1

a) 1 b) 2 c) 2x

d) nx e) nn

12. Si: . . x2 5 3 125logLog x 5a a+ =para: a > 0; x>0; a≠1. Calcular: x3+1

a) (a2+1)3 b) 23a+1 c) a12+1

d) a+1 e) a6+1

13. Si: ( ( )) 1log log log logco anti x43 3 3 9+ =6 @

entonces: x es igual a:

a) 318 b) 29 c) 3/2

d) 10 e) 9

14. En las proposiciones marque verdadero (V) o falso (F) según corresponda:• log37 = (log73)−1

• loglog

log2020

55

77=

• Antilog0,2log0,29−log0,9antilog0,94=5

• −lnp=cologep

• log log2009 20082008 20092 2=

a) VFVVV b) VVFVV c) VVVVF

d) VVFFV e) VVVVV

15. Sabiendo que: log56=ap; log310=bm; log215=cn

El valor de:(ap+1)−1+(bm+1)−1+(cn+1)−1; es:

a) log5 6 log3 10 log215

b) log26

c) log215

d) 1

e) 7/6

16. Si: ; ;x y z3 4 24 3= = =Calcular el valor de:

( )y log log

log

z y

x

2 1

1

x x

y+

+

6 @

a) 3 b) 12 c) 24

d) 2 2 e) 2

17. Si: a = log32 ; b=log52Calcule log154 en términos de a y b.

a) ab b) a b

ab2+

c) a b1 1+ d)

ba

ab+

e) a bab+

18. Calcule:

log logab ab1 1

( ) ( )a b1 1+

+ +

Si la ecuación: x x5 2 02 − + = , tiene por raíces a y b.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 5 e) 8

19. Si x e y verifican:

...log log logy anti anti anti x9

1 2= + + + .... (I)

log (y+10) = 3x − 5 .............................. (II)

Calcule: xy

a) 9999 b) 3330 c) 3333

d) 6660 e) 9990

20. En el sistema: log log x 1>/3 1 26 @

( )log y 1 0>x +

Hallar la variación de x+y.

a) ;081< > b) ;1

81< >− c) 0; 1< >

d) ;141< >− e) 0; 4< >

23Capítulo

www.trilce.edu.pe74

Tarea domiciliaria

1. Sea la función:

( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; !), ( ; )F a a a a a2 24 3 3 7 2 2 102= + −" ,

y sean los conjuntos

D: Dominio de F y R: Rango de F.Hallar: n(D) . n(R) . F(8)

a) 2! b) 3! c) 4!

d) 5! e) 6!

2. Obtener la pendiente de: F(x) = Ax + B + 2

Sabiendo que la gráfica de F(x) pasa por el punto (8; 38) y por el punto (0; −2)

a) −2 b) 4 c) 5

d) 3 e) 1

3. Hallar el área del triángulo sombreado, si L es una recta de pendiente −3.

(-1;15)

Lx

y

a) 12u2 b) 32u2 c) 18u2

d) 24u2 e) 16u2

4. Calcular el valor absoluto de la diferencia de las raíces del polinomio:f(x) = −x2 + bx + cSi este toma como valor máximo 9.

a) 8 b) 6 c) 12

d) 3 e) 9

5. Halle uno de los puntos de intersección de las gráficas de las funciones:

f(x) = |2x − 25|g(x) = 5 − 3x

a) (6 ,−20) b) (−6 ; 23)

c) (6 ; 13) d) (−20 ; 65)

e) Dos anteriores son correctas

6. ¿Qué relación deben cumplir m y n para que la gráfica de la recta g(x) = n − 3x sea tangente a la gráfica de la parábola: f(x) = x2 + x + m?

a) m = n − 4 b) mn = 4 c) m = 4n

d) m = n + 4 e) m = 4 − n

7. Sea la función lineal: cuya regla de correspondencia es:f(x) = |ax2 − 3ax + a − 2| + ax2 − ax + 3Indicar los valores del parámetro real "a" que definen completamente la función "f".

a) ;a 058< >! b) ;a 1

35< >!

c) ;a58 1< >! − d) a R!

e) ;a58 0< >! −

8. De la gráfica:

x

y

a

b

S

Si el área "S" del rectángulo es máxima; hallar dicha área.

a) ab b) ab2

c) ab4

d) ab3

e) ab6

9. Sea la gráfica de la función F:

x

y

b

-b

Hallar el valor de "b", tal que el punto (400; 798) ∈H(x), siendo:

( )H xb

F F( ) ( )x x2 2

=−−

a) 9 b) −5 c) −9

d) −8 e) −3

Álgebra


10. Señale el producto de las raíces de la ecuación:

81 27 xLog 3x =

a) 1/3 b) 1/9 c) 1/27

d) 1/81 e) 1/243

11. Señale el valor de "x" que verifica la igualdad:

( )logn x nlogn

x nnn

=

a) n b) nn c) nn−1

d) nn+1e) nnn 1−

12. Halle la suma de las raíces de la siguiente ecuación:

Log x Log x2 2=

a) 16 b) 17 c) 19

d) 21 e) 32

13. Indicar el producto de las raíces de la siguiente ecuación:

125xlog x 25 =−

a) 5 b) 15 c) 125

d) 25 e) 1/5

14. Resolver el sistema:

Log xy Logyx 8

2 4Log x Log y

2 2=

=

−*

e indicar el producto de valores "x".

a) 10 b) 100 c) 1/10

d) 1 e) 0

15. Si ;a b Z! +" , distintos de la unidad y además: ab=1

obtenga el valor de: a b ,Log 0 2,Log a0 5b +

a) 2 b) 5 c) 7

d) 10 e) 12

16. Halle el Log 6!, sabiendo que Log 2=a; Log 3=b

a) 2a + 3b + 1 b) 3a + 2b + 1

c) 4a+b+1 d) a+2b+1

e) 3a+b+1

17. El valor de la expresión:

10Log 27Log 99 4 3Log 4

; será:

a) 0,001 b) 0,1 c) 10

d) 1 000 e) 100 000

18. Halle el producto de las raíces de:

x 2Log x 22x =

a) 2 b) 4 c) 8

d) 2 e) N.A.

19. UNMSM 2011 - IISea: f: <–2;7] → R la función definida por: f(x)=5 – |x – 1|Halle el rango de f:

a) <2;1> b) [–1;2>

c) <–2;6] d) [–1;5]

e) <–1;2]

20. UNMSM 2011 - II:Si: 22y+1 + 5 . 2y = 12. Halle 2(y+1)

a) log 32 b) log3 52

c) log7 72 d) log 92

e) log21 32

23Capítulo

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24 Progresiones

Problemas resueltos

1. Timoteo no pudiendo cancelar una deuda de S/.12 950 le propone a su acreedor pagarle del siguiente modo: S/.600 al final del primer mes y cada mes siguiente S/.50 más que el anterior. ¿Cuál será el importe del último pago?

ResoluciónDatos:

S = 12 950; a1 = 600; r=50

1) Como:

( )S a n r n2 12n 1= + −6 @

Luego:

( ) ( )n n12 950 2 600 1 502

= + −6 @

Operando: n = 14

2) Como: an = a1 + (n − 1) r

an = 600 + (14 − 1) 50

∴ an = S/. 1 250

2. Un peón debe llevar una carretilla de arena al pie de cada uno de los 30 árboles que están al lado de una calzada; los árboles están a 8 m de distancia y el montón de arena está a 10 m antes del primer árbol. ¿Cuánto habrá recorrido después de haber terminado su trabajo y vuelto la carretilla al montón de arena?

Resolución

10 8 8

1º 2º 3º 30º

Ojo: Para cada uno lleva la arena y regresa al montón (hace doble recorrido)& S = 20 + 36 + 52 + ....

r = 16 ( )S a n r n2 12n 1= + −6 @

n = 30 ( ) ( )S 2 20 30 1 162

30= + −6 @

a1 = 20 .S 40 464 15= +6 @ ∴ S = 7560

Álgebra


3. Se deja caer una pelota desde una altura h=270 m. En cada rebote la pelota se eleva 2/5 de la altura de la cual cayó la última vez. ¿Qué distancia total recorre la pelota hasta quedar en reposo?

Resolución

h=270

h52 1

` j h52 2

` j h52 3

` j

....S h h h h252 2

52 2

52

. .P G

1 2 3= + + + +` ` `j j j; ; ;E E E

1 2 3444444444 444444444

....S h h252

52

521 2 3

= + + + +` ` `j j j; E

S h hq

t2

11= +−

; E

S h h21

52

52

= +−

R

T

SSSS

V

X

WWWW S h h2

32= + 8 B S h

37=

( )S S3

7 270 630&= =

4. Hallar la suma límite:

....S71

72

71

72

71

72

2 3 4 5 6= + + + + + +

ResoluciónAgrupando convenientemente:

.... ....S71

71

71 2

71

71

71

3 5 2 4 6= + + + + + + +c cm m

Aplicando la fórmula para cada caso:

Sq

t1íl mite

1=−

248

S1

71

71

171

71

74871

2

7

71

2 2

2

2 2

2= + =

− −+

J

L

KKK

J

L

KKKK

J

L

KKK

J

L

KKKK

N

P

OOO

N

P

OOOO

N

P

OOO

N

P

OOOO

S487

482

489

163= + = =

S163

íL mite =

24Capítulo

www.trilce.edu.pe78

Práctica

1. Indique el término general en cada progresión:÷ 7 . 12 . 17 .... an÷ −6 . −2 . 2 ... an÷ 18 .11 . 4 .. an

2. Hallar la razón de una P.A., si se sabe que el primer término es 6, y la suma del cuarto y noveno término es 45.

a) −2 b) 3 c) 2d) 4 e) −3

3. (Ex. Admisión UNMSM 2005 − II)Dada una P.A. cuya 5º y 8º término son 1 y 2 respectivamente, hallar el 37º término.a) 37/3 b) 40/3 c) 12

d) 35/3 e) 41/3


Una deuda de 4 500 000 soles será pagada de la siguiente manera: S/.5000 el primer mes, S/.15 000 el segundo, S/.25 000 el tercero, S/.35 000 el cuarto mes, y así sucesivamente.¿En cuántos meses la deuda quedará cancelada?

a) 36 meses b) 32 meses c) 60 meses

d) 30 meses e) 48 meses

5. Entre "m" y 930 se interpolan 133 medios aritméticos, siendo el último de éstos 924. Calcular la suma de cifras de "m".

a) 3 b) 5 c) 7

d) 9 e) 11

6. Dada la P.A.:.................... 17 ....................a b" " é " " émin minb t r os b t r os

' 1 2 344 44 1 2 344 44

Si la suma de todos los términos de esta progresión es 1377, hallar la razón.

a) 13/20 b) 11/20 c) 9/20

d) 7/20 e) 1/4

7. Una progresión aritmética de 3 términos es tal que la suma de los 2 primeros términos es al tercero como 5 es a 7. Hallar la razón, si el producto de los 3 términos es 224.

a) 2 b) 4 c) 6

d) 8 e) 10

8. Se va a pagar una deuda de 150 dólares en cuotas que forman una progresión aritmética. el primer pago que se realizará será de 30 dólares y cada pago posterior será de 2 dólares menos que el pago anterior. ¿En cuántas cuotas se terminará de pagar?

a) 6 b) 7 c) 4

d) 25 e) 19

9. Siendo: a1, a2 y a3 términos consecutivos y positivos de una progresión aritmética decreciente. Indicar entre qué límites varía su razón, si se cumple: 7 + 5a2 > 13a1 − 8a3

a) <−5; 4> b) <−1/3; +∞>

c) <−∞; 1/3> d) <−1/3; 0>

e) <−1/3; 4>

10. Dividir 20 en 4 partes que estén en P.A. tales que el producto de la primera por la cuarta esté en relación con el producto de la segunda por la tercera, como 2 es a 3. Indicar la mayor parte.

a) 10 b) 8 c) 6

d) 12 e) 14

11. (Ex. Admisión UNMSM 2007 − II)Dadas las sucesiones: 2, 4, 8, 16, 32, .... y −22, −21, −20, −19, ...Halle "n" de tal manera que la suma de los n primeros términos de la segunda sucesión sea igual a la suma de los 9 primeros términos de la primera sucesión. a) 59 b) 89 c) 79

d) 77 e) 73

12. Si los radios de una sucesión de círculos son:

, , , , .....121

41

81c m, en mts.

La suma de sus correspondientes áreas es igual a:

a) 43 pm2 b) 2pm2

c) 34 pm2

d) 1,3pm2 e) 2,4pm2

13. Tres números están en P.A. decreciente y aumentados en 2, 1 y 5 respectivamente forma una P.G. de tres términos cuya suma es 35. Indicar la razón y el producto de los 3 términos de la P.G. respectivamente.

a) 1/2 y 1000 b) 2 y 35 c) 1/2 y 35

d) 2 y 1000 e) 2 y 100

14. Si se aumenta una misma cantidad a los números 20; 50 y 100 se forma una progresión geométrica cuya razón es:

a) 1/2 b) 1/3 c) 2

d) 4/3 e) 5/3

15. Los lados de un triángulo rectángulo forman una P.G. Hallar el seno del menor de sus ángulos agudos.

a) 21 2 5 2− b)

21 5 1+

c) 21 5 1− d) ( )

21 5 2−

e) ( )21 5 1−

Álgebra


Tarea domiciliaria

1. Hallar "x" de: ÷ (x − 1) : 11 : (x + 7)

a) 2 b) 4 c) 6

d) 8 e) 10

2. En una P.A. los términos que ocupan los lugares 54 y 17 son −130 y 55 respectivamente. Hallar la razón.

a) −5 b) 5 c) 50

d) −135 e) 135

3. La suma de los "n" primeros términos de una P.A. es 117, la razón es 2 y el primer término es 5. Hallar el valor de "n".

a) 13 b) 9 c) 4

d) 3 e) N.A.

4. Tres términos consecutivos de una progresión aritmética creciente tiene como suma 42 y como producto 2688. Hallar el tercer término.

a) 11 b) 12 c) 13

d) 22 e) 16

5. La suma de los "n" primeros términos de una progresión aritmética es n(3n+1), cualquiera sea "n". Entonces la razón es:

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

6. Un vagón se desprende de un tren que sube a una pendiente: recorre durante el 1er segundo 8,20m; durante el segundo 38,20m; durante el tercero 68,20m; y durante el cuarto 98,20m; se desea saber. ¿Cuánto recorre en un minuto que dura su descenso?

a) 566624 m b) 63331

c) 53592 d) 56883

e) 762332

7. En una P.A. el término de lugar "r" es t y el término de lugar "t" es "r". Indique la razón.

a) −1 b) −3 c) −2

d) 6 e) −4

8. Si: (m−n)−1 (2m)−1; (m−p)−1 están en P.A. ¿Qué relación es correcta?

a) n=mp b) m2=np c) m=(np)2

d) m=n+p e) m=np

9. Dado la P.A.: (a+b)−1; (b+c)−1; (a+c)−1

Indique: Ra

b c2

2 2= +

a) 1/2 b) 4 c) 1/4

d) 2 e) 1

16. Entre 2 y 162 y entre 3 y 19683 se han interpolado el mismo número de medios proporcionales. Hallar la diferencia de las razones de las progresiones formadas, si la razón de la primera es 1/3 de la razón de la segunda.

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

17. Sumar:

.....1 221 3

21 4

212 3

+ + + +` ` `j j j

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 8/3

18. Luego de interpolar geométricamente 2 términos entre 3/4 y 1/36. Hallar la suma de dichos términos.

a) 1/7 b) 1/5 c) 1/3

d) 1/2 e) 2/5

19. Si el quinto y octavo término de una progresión geométrica son 5a y 8a respectivamente ¿Cuál es la razón?

a) , ,2 5 10 43 b) ,0 4 253

c) ,0 4 53 d) 25 43

e) 2,5 253

20. Calcular la suma límite:

1 3 ....S21 5

21 7

212 3

= + + + +` ` `j j j

a) 2 b) 4 c) 5

d) 621 e) 6

24Capítulo

www.trilce.edu.pe80

10. Si las raíces de la ecuación: x4 − (m+4)x2 + 4m = 0están en progresión aritmética. Los valores de "m" que hacen posible que esto suceda son:

a) ±36 b) ±2/3

c) 6 y 2/3 d) 36 y 4/9

e) −36 y −4/9

11. En la progresión geométrica:x+1, 3x–1, 5x+1,...

Hallar el término que ocupa el lugar 7

a) 64 b) 128 c) 256

d) 512 e) 1024

12. Al interpolar 2 términos en P.G entre 3/4 y 1/36. Hallar la suma de dichos términos.

a) 1/7 b) 1/5 c) 1/3

d) 1/2 e) 2/5

13. Una familia está constituida por 4 miembros: el padre y tres hijos. Si el menor de estos tiene 32 años. Calcular la edad del padre sabiendo que dichas edades están en P.G y que la suma de las edades de los otros dos hijos es 90.

a) 64,5 b) 62,5 c) 56,5

d) 58 e) 5

14. Hallar: A+B si:

....BA

61

362

2161

12962= + + + +

BA Es una fracción irreductible

a) 43 b) 42 c) 81

d) 77 e) 148

15. Calcular la suma límite:

1 3 ....S21 5

21 7

212 3

= + + + +` ` `j j j

a) 2 b) 4 c) 5

d) 621 e) 6

16. En un círculo de radio R; se inscribe un cuadrado, en este cuadrado se inscribe un círculo; en este otro cuadrado, y así sucesivamente (indefinidamente) se quiere saber el limite de la suma de las áreas de los círculos.

a) pR2 b) 2 pR2 c) 4 pR2

d) 1/2 pR2 e) 3/4 pR2

17. Tres madres impacientes esperan consulta con niños de 1;37 y 289 días de nacido respectivamente. El médico para entretenerlas les pide que averigüen dentro de cuántos días las edades de sus niños estarán en progresión geométrica.

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

18. Conociendo la suma "S" de los "n" primeros términos de una P.G. y la suma "T" de las recíprocas de estos términos hallar el producto de los "n" primeros de dicha progresión.

a) TS

n2` j b) T

5

n2` j c) ( )T /n 2

d) S /n 2^ h e) ST /n 2^ h

19. La masa de un péndulo recorre 16 cm durante la primera oscilación. En cada una de las siguientes oscilaciones la masa recorre 3/4 de la distancia recorrida en la oscilación anterior. Calcular la distancia total recorrida por la masa del péndulo hasta que teóricamente quede en reposo.

a) 64 b) 128 c) 32

d) 56 e) 92

20. Según un estudio estadístico, se ha encontrado que cada 15 años la cantidad de habitantes de una pequeña población aumenta en el doble; si actualmente existen 14,329 habitantes, calcule en qué año y con cuántos pobladores se fundó este pequeño poblado, si se sabe eran menos de 10 personas. (Considerar que este estudio se realizó en el año 2000)

a) 1838; 7 b) 1852; 7 c) 1850; 7

d) 1837; 11 e) 1852; 11

Álgebra


25

25 Factorial, número combinatorio y binomio de Newton


1. Hallar el valor de x sabiendo que x!=110(x − 2)!.

ResoluciónAplicando la propiedad: n!=n . (n − 1)! 2 veces seguidas al primer miembro:x . (x − 1) . (x - 2) !=110 (x - 2) !; x>2; x ∈ Zx . (x − 1)=11.10

∴ x=11

2. En el desarrollo de (1+3x2)19, calcule el coeficiente de x6.

ResoluciónPara encontrar el coeficiente que acompaña a x6 primero debemos conocer cuales son los coeficientes del Binomio de Newton.

a b . a b ... ab C .C a C C bn n 1 n 1on n n

nn

nn n

1 1+ = + + + +- --^ ^ ^h h h

Usando el coeficiente que necesitamos para obtener x6, obtenemos:

3x 3 x

3! 19 3 !19! 3 x

3!16!19! 3 x

. !19.18.17.16! 3 x

19.17.3 x 26163x

C C

6 16

2 3 3 6

3 6

3 6

3 6

4 6 6

319

319

=

= -

=

=

= =

^ ^ ^

^

h h h

h

Por lo tanto el coeficiente que acompaña a x6 es 26163.

3. Si los coeficientes del primer y último término del desarrollo de P(x;y)= 3a x ay2 3 7 20+^ h son iguales. Hallar el

coeficiente del término de lugar 18.

ResoluciónVeamos los términos:

C

t C a x

t ay

3020 2 3 20

21 2020 7 20

=

=

1 ^

^

h

h

Por dato: 320a40=a20"a=31

t C a x ay318 1720 2 3 3 7 17

" = ^ ^h h

. . . ,

. . 3

Coef t C a a donde a

Coef t C

331

3 36

20 19 18 20

1720 3 6 17

320 3 23

"

"# #

#

=

=

=

= --

18

18

.Coef t 380 3 19#` =

-18

Capítulo

www.trilce.edu.pe82

Práctica

1. Calcular: E25!

23! 24!47! 48!

49!= ++8 ;B E.

a) 3 b) 4 c) 6d) 2 e) 8

2. Resolver: n!+(n+1)!=n+2a) –1 b) 2 c) 3d) 1 e) –2

3. Calcular "n", si: n 4

n n 359

+

-=

^ h.

a) 24 b) 5 c) 4d) 3 e) 2

4. Resolver: C 221Cn n0 3+ = .

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

5. Dar la suma de valores que puede tomar "y" en:

C C C Cyx

1124

923

1023

++ =

a) 11 b) 23 c) 25d) 32 e) 18

6. (Ex. Admisión UNMSM 2009−I)

Si: 12C C Cn n12

2 3+ + = , halle el valor de:C n62 .

a) 56 b) 28 c) 24d) 210 e) 14

7. Hallar "n" en el desarrollo de (x2+xy)n, si posee un término cuya parte literal es x9y9.a) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) 9

8. Hallar m si la suma de coeficientes de los desarrollos de (x+1)m y (3x+1)2m−6 son respectivamente iguales:

a) 2 b) 3 c) 4d) 6 e) 8

9. En el desarrollo de (x+1)43 los coeficientes de los términos de los lugares (2p+1) y (p+2) son iguales.Hallar p si es mayor que 2.a) 12 b) 14 c) 16d) 18 e) 20

10. Si el único término central del desarrollo de:

A(x;y)=(3x2− xy2

)n es de sexto grado.

¿Cuál es el exponente de "y" en dicho término?a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

11. Hallar el valor de n en el desarrollo de: A(x;y)=(x2+y5)n

Si la suma de los grados absolutos de todos los términos de igual a 252.a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11

12. Determinar el valor reducido de:A 4 16 64 ... n 1 sumandosC C C Cn n n n

0 1 2 3= + + + + +^ h

a) 2n b) 3n c) 4n

d) 5n e) 7n


Si: 30k

320k

7 82nkk 0

30k k

k 0

20

k 0

2n+ =

= = =e e eo o o/ / / ,

halle n (n ∈ N).a) 31 b) 19 c) 29d) 27 e) 32

14. (Ex. Admisión UNMSM 2009 − II)Hallar el coeficiente de x3 en el desarrollo del binomio (2x+(2x)−1)11.a) 2640 b) 330 c) 660d) 1320 e) 5280

15. (Ex Admisión UNMSM − 2005)Halle el valor de "n" de modo que:

2R 1 2nRR 0

nn 4+ =

=

+^ eh o/

a) 18 b) 16 c) 17d) 15 e) 20

16. Hallar el número de términos irracionales en el

desarrollo de: x x3 4 48+^ h .

a) 42 b) 43 c) 44d) 45 e) 46

17. Sabiendo que la suma de todos los exponentes en el

desarrollo de A x xx

1n 1n 1

16= ++

-^ ch m es 272.

Calcular el término constante.a) 2760 b) 2360 c) 2120d) 1820 e) 1260

18. Calcular el coeficiente de x7 en el desarrollo de: (2x2+x − 1)5.

a) 120 b) −120 c) 60d) −60 e) 240

19. Hallar el coeficiente de: x7y2 en el polinomio desarro-

llado de: (x+y)5 . (2x − y)4.a) 12 b) 18 c) 24d) −48 e) 48

20. Hallar el exponente de "x" en el noveno término del desarrollo del binomio: ( )x

x1 40+

a) 20 b) 22 c) 24d) 26 e) 28

Álgebra


Tarea domiciliaria

1. Hallar la suma de soluciones de la ecuación:

n 4 1- =

a) 3 b) 4 c) 5d) 7 e) 9

2. Resolver el siguiente sistema: a 3 ! 24a b ! 6

- =- =

^^

hh) indicando

a2+b2 como respuesta.a) 43 b) 57 c) 65d) 78 e) 86

3. Reducir: 51!

53! 52! 1+ + .

a) 512 b) 522 c) 532

d) 542 e) 552

4. Hallar la solución de la siguiente ecuación:n

n840 127+ =

a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9

5. Si: n m!

8! 14=^ ^h h , calcular "m+n".

a) 5 b) 6 c) 10d) 8 e) 9

6. Sabiendo que: a2+b2=2ab.

Simplificar: E3 b! ! b! b! 1 !2 a! ! a! a! 1 !

=+ -+ -

^ ^^ ^

h hh h

.

a) 0,5 b) 0,6 c) 0,75d) 0,3 e) 0,2

7. Reducir: C C C C C0

8

1

10

2

11

3

12

4

13+ + + + .

a) C0

6b) C

4

14c) C

3

13

d) C5

13e) C

5

14

8. Calcular: C C C C0

3009

1

3009

1009

3009

2000

3009+ + - .

a) 3006 b) 3007 c) 3008d) 3009 e) 3010

9. Hallar "x": 1+2.2!+3.3!+...+x . x!=719.

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

10. Indicar el producto de las soluciones de:

C C4

x

2x 14

x=

-

a) 42 b) 90 c) 72d) 84 e) 108

11. Calcular "x", si: C 2C C C C5

x

6

x

7

x

8

x 2

3

x 3+ + + =

+ +.

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 10

12. Hallar "n", en: 1

C

C

2C

C

3C

C

4C...

C

nC781

n

1

n2

n

2

n3

n

3

n4

n

n 1

nn

n

+ + + + + =

-a) 1 b) 6 c) 12d) 13 e) 14

13. Calcular "n", en:

C C C C ... C 10240

n 4

1

n 4

2

n 4

3

n 4

n 4

n 4+ + + + + =

+ + + +

+

+

a) 6 b) 52 c) 4d) 3 e) 8

14. Hallar el cuarto término de:(x2+2y)4.a) −30x3y2 b) 28xy3 c) 32xy2

d) −28x2y3 e) 32x2y3

15. Calcular el cuarto término de: 4x

x4 6

-` j .

a) 10 b) −10 c) 20

d) −20 e) 30

16. La potencia (2+x)a−b tiene doce términos y (4−x)b−c contiene diez términos. ¿Cuántos términos tendrá el desarrollo de (1+x)a−c?

a) 19 b) 20 c) 21

d) 22 e) 23

17. Hallar el valor de "n" en (x+y)n, si el coeficiente del tercer término es 15.a) 4 b) 5 c) 7d) 3 e) 6

18. Señalar el término independiente en el desarrollo de:

xx135

72+; E

a) C25

72b) C

28

72c) C

26

72

d) C29

72e) C

27

72

19. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

I. El número de términos de: x y5 3 2 11−^ h es 12.

II. La suma de coeficientes de: (5x−y3−3z)6 es 64.III. La suma de exponentes de x e y en el desarrollo

de: (x3+5y2)6 es 210.

a) VVV b) FFF c) VFV

d) VVF e) VFF

25Capítulo

www.trilce.edu.pe84

26 Radicación

Ejercicios resueltos:

1. Racionalizar el denominador de: 3x 2 3x 2

24 , x322

+ + -.

Resolución

3x 2 3x 224

3x 2 3x 23x 2 3x 2

+ + - + - -+ - -

#

A CBBBBBBBBB A CBBBBBBBBB

Se obtiene:

3x 2 3x 224 3x 2 3x 2

424 3x 2 3x 2

6 3x 2 3x 2+ - -

+ - -= + - -

= + - -^ ^^ ^

^h h

h h

h

∴ El denominador racionalizado es 1.

2. Indicar el denominador racionalizado de: 6 3 3 2 2 6

15+ + +

.

ResoluciónAgrupando el denominador: 3 2 3 2 2 3 3 2 2 3+ + + = + +^ ^ ^ ^h h h hSe tiene:

3 2 2 315

3 2 2 33 2 2 3

3 2 2 315 3 2 2 3

715 3 2 2 3

2 2

#=+ + - -

- -

=- -

- -

=- -

^ ^ ^ ^^ ^

^ ^^ ^

^ ^

h h h hh h

h hh h

h h

A CBBBB A CBBBB A CBBBB A CBBBB


3. Racionalizar el denominador de: 5 3 2

5+ -

.

ResoluciónAgrupando convenientemente:

5 3 25

5 3 25 3 2

5 3 2

5 5 3 2

5 55 5 3 2 6

125 6 5 3 2

2 6 6

2#

#

+ - - -- -

=- -

- +

- +

- + =- +

^ ^^

^^

^ ^

h hh

hh

h h

A CBBBBBBBB A CBBBBBBBB

S S


Álgebra


1. Efectuar: 5 2 2 5 5 2 3 10- + -^ ^h h .

a) 2 5 b) 5 2 c) 0

d) − 2 e) −3 3

2. Efectuando: x 11

x x 1x x 1

x x 1x x 1

2 2

2

2

2

- - -+ - -

+ -- -) 3, obte-

nemos:

a) 2x b) 3x c) 4x

a) 5x b) x/2

3. ¿Cuál es el equivalente de: 3 3 4 2 3- - - ?

a) 3 +1 b) 2+ 3 c) 3 − 2

d) 3 − 1 e) 3 +2

4. Si: a2=14+6 5 . Halle a3.

a) 27+25 5 b) 72+32 5 c) 72+24 5

d) 27+27 5 e) 68+32 5

5. Simplifique: 5 21 5 214 15 4 15

+ - -+ + - .

a) 53 b)

35 c) 1

d) 35 e) 7

6. Reduzca: 2x 5 2 x 5x 4 x 4; x 32 4 22 2- - - + + - .

a) x 12 - b) x 42 - c) x 12 2 -

d) x 42 2 - e) x 22 -

7. Halle: 2 3 2 3 64

+ + - +^ h .

a) 576 b) 72 c) 144

d) 228 e) 64

8. Racionalizar los denominadores de:

• 4

69

• x y z72 5 310

• 3 2 2 3

2+

• 2 5 3

37 -^ h

9. Indicar el denominador racionalizado de:

N9 5 5

17=

+ -

a) 2 b) 3 c) 4d) 8 e) 11

10. Indicar el equivalente de: 3 5 2 2

30+ +

a) 3 5 −5 3 +2 30 b) 3 5 +5 3 +2 30

c) 3 5 −5 3 −2 30 d) 3 5 +5 3 −2 30

e) 5 3 +2 5 −4 30

Práctica

11. Halle el verdadero valor de: Jx 16

x 4= -- ; para x=16.

a) 6−1 b) 3−1 c) 2−1

d) 4−1 e) 8−1

12. Racionalizar los denominadores de:

• 3 2

53 3+

• 25 10 4

73 3 3+ +

• 7 3

63 3-

• 4 12

3 +

13. Halle el verdadero valor de: x 1 2x 1 2=- -+ -f ; para

x=3.

a) 22 b)

32 c)

23

d) 25 e)

21

14. Calcular el verdadero valor de: Ix 8

2 x3=

++ ; para

x=−8.

a) 31 b) 0,25 c)

121

d) 0,5 e) 0,2

15. Racionalizar e indicar el denominador de:N

2 x 1 x x 1k ; x 1

22=

+ - - -^ ^h h

a) x+3 b) x–3 c) x+6d) 2x+1 e) x+1

16. Indique uno de los radicales simples de:

42x 8x 2x34+ +

a) 3 x b) x2

c) x

d) 2 x e) x42

17. Si el radical: 40 5 48 8 24 24 2+ - - , equivale a:

a b c d- + - , siendo: a>b>c>d>0.

Calcule: ad − bc.a) 2 b) 6 c) 10d) 12 e) 0

18. Al racionalizar: 1 3 5 7

2 15 28+ + +

- , se obtiene:

a) 3 + 5 + 7 − 1 b) 1+ 3 + 7 − 5

c) 3 + 5 − 7 − 1 d) 4+ 7 − 3

e) 3 + 7 − 5 − 1

19. Si: 1 a b c23 3 3 33 - = + + ; calcular a+b+c;

a,b,c!Q.a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4d) 1/5 e) 1/6

26Capítulo

www.trilce.edu.pe86

Tarea domiciliaria

1. Efectuar: E 2 . 3 1 . 16 2 483 3 6= + -

a) 36 b) 3 c) 2d) 2 e) 1

2. Simplificar: 12 140

8 60 10 84

+

- + + .

a) 1 b) 2 c) 3

d) 2 e) 3

3. Efectuar:2 y

1 x x y y x x y y+ + + - + +^ ^h h.

a) x b) y c) x y+

d) x e) xy

4. Efectuar: 3

3 12

112 2 27

3 3 3 62

+-

-−− −

f^ep

h o

a) 3 b) 2 3 c) 3 +1

d) 3 − 3 e) 3 3

5. Simplificar: 28 768 28 768

17 288 17 28841

41

41

41

+ - -

+ + -

^ ^

^ ^

h h

h h.

a) 2 b) 2 c) 24

d) 1 e) 2 2

6. Indicar el radical doble equivalente:

5x 2 6x x 1 7x 2 2 10x 7x 12 2+ + - + + - + +

a) 8x 2 15x 2x 12+ - -

b) 8x 2 15x 2x 12- - -

c) 8x 2 15x 2x 12+ + -

d) 8x 2 15x 2x 12+ + +

e) 1

7. Escoger un radical equivalente a la expresión:2n 12 4 6n – 12 n 4n 3n ; 0 n 23

1 1+ + + +

a) 2n n n – 2 22+ ^ h b) 2n – n n – 2^ h

c) 2n – n 2 – n^ h d) 2n – n n – 22^ h

e) 2 n 2+

8. Reducir: 4x167 x x

412 2+ + +− ; siendo : x <

81 .

a) 41 − 2x b) −

41 − 2x c)

41 +2x

d) x − 41 e) −

41 +2x

9. Calcular el verdadero valor de: x 3

x 812

-- para: x=9.

a) Absurdo b) 0 c) 1d) 18 e) 108

10. Hallar el valor numérico de:

Ea a 1a a 1

a aa a 1

12

2

2

2=

- -+ - -

+

- -−

para: a= 3 .

a) 4 6 b) 2 3 c) 3 2

d) 4 3 e) 2 6

11. Luego de efectuar:4 2 3

153 3+ +

obtenemos una ex-

presión que adopta la forma: a b c3 3 3+ + .

Hallar: E= a+b+c.a) 243 b) 655 c) 686d) 717 e) 309

12. Calcular: E 7 5 2 . 1 221 7= + - .

a) −1 b) 1 c) 23

d) − 23 e) 2

13. Racionalizar: 8 4 3 2 3

3 2 2

+ + ++ .

a) 3 + 2 b) 3 − 2 c) 3+ 2

d) 3 − 2 e) 1

14. Hallar el equivalente racionalizado de:

2 4 8 21

4 4 4+ + +

a) 4

2 2- b) 2

2 24- c) 4

2 84-

d) 2

2 84- e) 2

2 2-

15. Racionalizar: 1 2 3 72

13 6+ + +

.

Indicando el denominador resultante.a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

16. Racionalizar y simplificar la expresión:2 2

22

13

3-

; se obtiene:

a) 3

2 2 23 3- b) 6

2 4 2 23 3+ +

c) 6

3 4 23 3+ d) 3

4 13 +

e) 3

2 5

17. Racionalizar: A25 20 16

13 3 3=

+ +.

a) 1 b) 9 c) 3 23 3-

d) 5 43 3- e) 5 23 3-

Álgebra


27 Cantidades imaginarias

Problemas resueltos

1. Calcular el valor de: ( )Eii

11

9

9=

++

ResoluciónComo i9 = i

( ) ( )Eii i

11 1

98=

++ = +

Pero: (1+i)8 = [(1+i)2]4 = (2i)4 = 16i4 = 16

Finalmente: E = 16

2. Calcular: Ei i i i i

i i i i i i26 50 23 35 441

5 15 49 18 400 14=

− − + +− + − + +− − − − −

− − − − − −

ResoluciónTransformar las potencias:

( 1)1

( 1)1 1 1

( 1)1

11

( 1)2

E

i i i

i i i1

1 1 1

3 3

0 0

3

0

+

+ +

=

−−−

− +

− + −− −

6 7 84444 4444

1 2 3444 444 S

3E

i

i1

3

= =

3. Hallar "a" y "b" si se verifica la siguiente igualdad: ; ,bi

aia ba i a b

1 33 4 R!

+=

++

ResoluciónEfectuando en aspa:

ai (a + 3b) = (1 + bi) (3a + 4i)

(a2 + 3ab)i = 3a + 4i + 3 abi + 4bi2 (a2 + 3ab)i = 3a + 4i + 3 abi + 4b(–1)

Ordenando:0 + (a2 + 3ab)i = (3a - 4b) + (4+3ab)i

Igualamos partes reales e imaginarias:

3 4 0 ................ (1)

.... ( )

a b

a ab ab3 4 3 22=−

+ = +)

Resolviendo: De (2): a2 = 4 ∴ a = ±2

En (1): 3 (±2) = 4b b23` !=

27Capítulo

www.trilce.edu.pe88

Práctica

1. Calcular: E = i12517+i5555+i22222+i−333+i8

a) −1 b) 1 c) i d) −i e) 0

2. Efectuar: A = 1 + i + i2 + i3 + i4 + i5 + ... + i243

a) 1 b) i c) −1 d) −i e) 0

3. Si: z1 = 3+2iz2 = −4−2i z3 = 3−2i

Calcular: z1 + z2 + z3

a) 1+i b) 2−2i c) 2−i d) 3−i e) i

4. Hallar: a . b, si: 5 4 ( )i i a b i2 3 2− + + = + +a) 4 b) −4 c) 10 d) 6 e) 18

5. Hallar los valores de x e y en la siguiente ecuación:

10 − 19i + 2x + (7x+4y)i + 5y = 0a) 7; −3 b) 5; −4 c) 0; 3 d) −4; −5 e) 4; −2

6. Calcular: A = (i+1)20 − (i−1)20 − 2ia) −2 b) 4i c) 2i d) −2i e) 0

7. Calcular: ....Ei i i i i1 1 1 1 1

2 3 4 20= + + + + +

a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0

8. Calcular: Ei

ii

i i i i i i

11

1 2 3 4 5 6=

+−+

+ + + + + +

a) 1 b) 2 c) i d) −i e) 1/2

9. Sean los números complejos: z1 = 2+3i; z2 = 1+i.

Calcular: E

zz

z z

2

1

1 2=+

a) i13

19 9− + b) i26

15 9+

c) i3

17 9− − d) 15+3i

e) i13

19 17+

10. La expresión: ( ) ( )Eii i

31 1 32

=−

+ + , donde: i 1= − ,

equivale a:

a) 1 b) −3i c) −2

d) 2 e) −10

11. A partir de: (1+i)2 + (1+i)4 + (1+i)6 + (1+i)8=x+yi.

Calcular: x yx y−+ ; donde: i 1= −

a) 1/2 b) 1/4 c) 1/5 d) 1/6 e) 1/3

12. Sumar: ( )

;Sii

ii

ii

11

11

11 1

6= +−

++− +

+= −

a) 1/8 b) −1/8 c) i/8 d) −i/8 e) i/16

13. Hallar "n", para que al dividir los siguientes números complejos, el resultado sea puramente real:

;i

ni i10 25 7 1

+− − =

a) 1 b) −1 c) −7 d) −1/7 e) 6

14. Indicar el equivalente de: ...Ei i i i2 3 4 397

2 3 396= + + + +

a) 198(1+i) b) 396(1+i)c) 397(1+i) d) 243(1+i)e) 199(1+i)

15. Realizar la suma:

– – – –2 i1 2i

4 3i3 4i

6 5i5 6i

8 7i7 8i ... "n" divisiones+ + + + + + + +

a) i b) −i c) ni d) −ni e) 0

16. Un valor de "n" que verifica la igualdad:( ) ( )i i i1 2 64n n+ + =

a) 10 b) 5 c) 100 d) 5i e) 3

17. Calcular: Z2, siendo: Z i i1 2= + +−a) 4i b) 2i c) 8i

d) 16i e) 0

18. Simplificar: Ea bi i a bia bi i a bi=+ − −− + +

a) 1 b) −1 c) 0 d) i e) −i

19. Reducir: w i i i2 4 815643

= − − − ;

donde: i 1= −a) 1+i b) i−1 c) 1−id) 2i+1 e) 2i−1

20. Siendo: =i 1− ,

calcular: ....Wi i i

i i i i i2 2 3

2 3 4 843=

+

+ + + +

− −

a) −1 b) 1 c) 1/2

d) i e) −i

Álgebra


Tarea domiciliaria

1. Reducir: ( )

( ) ( )i i

i i i3 2

6 3 216 13

20 34

++ +

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

2. Sea: z=(a-3)+(2a-1)i. Si "z" es real, calcular "a".

a) 2 b) 1 c) 1/2d) 1/3 e) 5

3. Sea: w=(2b-3)+(2b+1)i. Si "w" es imaginario, calcular "b".

a) 1/2 b) -1/2 c) 3/2d) -3/2 e) 5/2

4. Reducir: i i i5 9 175 10 18+ +

a) 0 b) i c) 2id) -i e) 3i

5. Efectuar: .

. .8 1 64

6 6 9 163 3 3− − + −− − + − −

a) 3 b) 6 c) 9d) 12 e) 4

6. Calcular: i

i i i13

2 5 20+ +

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

7. Reducir: i i ii i i46 520 673

32 54 65

+

+ +

−

a) i b) –i c) 1d) –1 e) 2i

8. Si: z1=i9+i7+i3 y z2=i8-i3. Calcular: Re(z1+z2)

a) 0 b) 1 c) –1d) 2 e) –2

9. Calcular la suma: G=i2+2i4+3i6+4i8+...+2ni4n

a) n b) 2n c) -nd) 0 e) 4n

10. Efectuar: i i i17 25 3318 26 341920 2728 3536

+ +

a) 0 b) i c) 2id) 3i e) -i

11. Simplifique: ii

ii

11

11 i

i211

+−+ − −

−−

c m= G

a) 1/4 b) -1/4 c) 1/16d) 1/4i e) -4

12. Calcule: ( )i i i1 5− +

a) 1 b) 0 c) 2

d) i2 e) 2 i

13. Si se cumple que: (1+i)2+(1+i)4+(1+i)6+(1+i)8=m+niHallar "m+n"a) 6 b) 4 c) 5d) 7 e) 2

14. Determinar "p/q", si: (1+2i)2+(2+3i)2+(3+4i)2=p+qi

a) 3/8 b) 3 c) –3/8d) –3 e) 8

15. Calcule "n", si: [(1+i)7+(1–i)7]n=4096

a) 8 b) 4 c) 1d) 2 e) 3

16. Determine la parte real del complejo z:

( )( )z

ii

1 11 1

5

5=

+ +− −

a) −0,04 b) 0,04 c) 0

d) 1 e) 2

17. Si: ( )P x xi xi2

12

14 4= + + −` `j j

Calcule el valor de P 7^ h

a) −1 b) 1 c) 1/2 d) i e) −i

18. Sea: zii

ii

47 725725 47

28 4141 28 1

25 32=

−+ +

−+ −c cm m

Calcule: Re(z)

a) 1 b) −1 c) 0d) 2 e) −2

19. Reducir:

i

i

21

23

21

23

30

30

− −

− +

c

c

m

m

a) 1 b) −1 c) id) −i e) 1/2

20. Dar: z , si: zi

ii

i11

= + +−

a) –i b) i c) 1–i

d) i2

1 − e) 2

i 1+

27Capítulo

www.trilce.edu.pe90

28 Repaso

1. Si: x1, x2, ... xn son "n" números reales positivos, y la media aritmética de sus logaritmos en base 10 es 2. ¿Cuál

es el valor de la media geométrica de 2x1, 2x2, ...2xn?

a) 200 b) 400 c) 100d) 50 e) 600

2. Los números positivos x e y, satisfacen el sistema: 2 2 0Log x Log y

Log x Log y 23 3

2 2

+ =

− =) . Halle: x+y.

a) 9/4 b) 3/4 c) 5/2

d) 1 e) 4/5

3. Si: Logaba=4; a>1, b>1. Calcular:

Logba

ab

3; E

a) 7/3 b) 5/6 c) 13/6

d) 4/3 e) 17/6

4. Sean: b>1, sen x>0, cosx>0 y Logb(senx)=aHallar: logb(cos x)

a) ( )log b21 1b

a2+ b) (1 )log b2 b2a

−

c) ( )log b21 1b

a2 − d) (1 )log b2 ba2−

e) (1 )log b21

ba2−

5. Si: Aa1b

n= c m ; B=ax; donde a>0, x≠0. Calcular el

valor de x LogB(A).

a) n–b b) nb c) nb–x

d) –nb e) n–b+x

6. Las soluciones de la ecuación: a bx x22=+

con a>1, b>1, son:

a) ( )( )

Ln aLn ab1 !− b) 1

( )( )

Ln aLn ab

!

c) ( )( )

Ln aLn ab

! d) 1 ( )Ln b!−

e) ( )( )

Ln aLn ab2 !

7. Si a, b, c ∈ <1;+∞> y se cumple: Log2(ab2) + Log3c

3=10

( )Logba Log4 23

2

3=

Log2b2 − Log3c = 3

Halle el valor de: .b

a c

a) 1 b) 4 c) 6

d) 8 e) 12

8. Si: ,Log a Log b51252401= =c m

Calcule en términos de a y b el Log31253438 B.

a) b a4

3 − b) b a4− c) b a

43 11−

d) b a4

2 − e) b a4

6 11−

9. Resolver la ecuación

e e a b4 4Ln a Ln a Ln b Ln ax x4 2− + = −

y determine el valor de 2x.

a) 2a b) ab c) Loga2

d) Log3a e) Logab

10. Si xo" , es el conjunto solución de la ecuación:

logLog

Log22

4

41( )

( )

( )x

x

x3

6

3− =+−

+

entonces halle el valor de x x4o o2 −

a) 8 b) 16 c) 32d) 48 e) 56

11. Si: ;A r s= " , es el conjunto solución de la ecuación:

loglog

logx

x125

27

55

5+ =

entonces el valor de: r2+s2, es: a) 450 b) 600 c) 625

d) 750 e) 900

12. Al resolver el sistema: ( ) 1 ( ) .... (1)

( ) ( ) 324 .................... (2)

Log Log y Log Log x

x y x y3 2 3 2

2 2

= +

+ =− −)

Calcule el valor de: Ty y

x1x

= +

a) 1/6 b) 2/3 c) 3/2d) 10/3 e) 6

13. Si: Log 2 = 0,301 y S es el conjunto solución de la ecuación: 16x =100 (4x−1−1), entonces halle la suma de los elementos del conjunto S.

a) 1,301 b) 1,161 c) 3,322

d) 2,301 e) 2,161

Álgebra


14. Si: Log 2 = a y Log 3 = b, halle el conjunto solución de la ecuación: ( ) ( ) ( ) ;b x2 9 15 4 13 1x x x !+ =

a) a b

a1+− b)

b aa1

−− c)

a ba1

++

d) b a

a1−+ e)

ba

11

−−

15. Sea "M" el conjunto determinado por:

/M x x 4R( )Log x2x!= =" ,

Halle el conjunto MC

a) R b) f c) <0;+∞>

d) <−∞;0> e) <1; 2] ∪ <3; +∞>

16. En la ecuación logarítmica: Log(328)=Log(3)+Log(32)+Log(33)+ ... + Log(3m)Determine el valor de m. a) 7 b) 8 c) 9

d) 12 e) 15

17. Si: {xo} es el conjunto solución de la ecuación:

( ) ( )Log x Log x 4xx x

22

+ =x

Halle el valor de: x x 1o o2 + +

a) 3 b) 5 c) 7

d) 9 e) 13

18. Sea A un conjunto determinado por: Log 3

/ ( ) ( )A x Log x Log x Log2 1 2 3 8R 3 7 7!= − + − = −$ .

Halle n(A ∩ Z).

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

19. Al resolver la ecuación:

Log x

Log x

1

11

31312

+

− +=

Hallar la suma de sus soluciones.a) 1/9 b) 16/9 c) 28/9

d) 29/9 e) 31/9

20. Hallar el complemento del conjunto solución de la ecuación:

( – 4) 2 ( )Log xLog Log1 31

1 21

( )x 12

2 3=

++

++

a) R b) R–{3; 4}

c) R–{3} d) fe) R–{5}

28

Tarea domiciliaria

1. Resuelva:

( )( ) ( )

Log xLog x Log x

35 2 2+ +

−− =

a) 5

19' 1 b) 195$ . c)

319' 1

d) 5

18' 1 e) 18" ,

2. Sea a; b ∈ R+, reduzca:

2Log a Log b22 2

b a2 2

+++

a) ab b) a c) b

d) 2 e) 1

3. Si: Log 2 + Log 3 + 2 Log 2 = Log (5x+4)Calcule: Log2x8

a) 16 b) 4 c) 12

d) −4 e) −12

4. Si: Log 4 = x; Log 9=y; el valor de la expresión:

– 2 36Log Log81

1024 en términos de x e y es:

a) 5x−2y b) 3x−4y c) 2x−5y

d) 4x−3y e) 7x+4y

5. Sea:

A Logm n

m nm2

3 2=

−−

( ) ( )B Log n m m n m22= − + +6 @; m > n > 0

Indique: 2 2A B2 2

a) m b) n c) mn

d) m+n e) m−n

6. Sea: A = Log27(m+n)2−Log27(m−n)2

B Logm nm n

27=+− ; m > n > 0

Indique: 33A+3B

a) m nm n−+ b)

m nm n+− c)

nm

d) mn e) mn+1

Capítulo

www.trilce.edu.pe92

7. Si: Log 27=3m; Log 64=3n. Halle (Log43+Log34)mn

a) m+n b) m2n2 c) m2+n2

d) m2−n2 e) m−n

8. Si: Log Log b Log3 5

Log5 7 3 33

b b72

9+ = +

Indique (b+2)

a) −5 b) 5 c) 5; −1

d) 1; −5 e) −1

9. Si:

......Log Log Log Log Log3 3 3 3 3 21n3 3

23

33

43

2− + − + − =−

Indique: (n−20)

a) −1 b) 1 c) 21

d) −21 e) 0

10. Si:

...Log Log Log Logn

n23

34

45 1 52 2 2 2+ + + + + =

Indique: n2

1+

a) 31 b) 32 c) 16

d) 15 e) 30

11. Si:

3 3 3 ... 3 n( ) ( ) ( ) ( )Log m n Log m n Log m n Log m n2 3 10 23 3 3 3+ =− − −+ + + +

Halle: 2n−1

a) 10 b) 11 c) 9

d) 8 e) 7

12. Reduzca:

....log log log

log log log log log log

n n n

n n n n nn

n

2 4 2

2

+ + ++ − +

a) n 1

2+

b) 2

n 1+ c) n(n+1)

d) n e) (n+1)−1

13. Si: Log22y=3; Log x y16

64

2 5=c m . Indique: x + y

a) 12 b) 4 c) −12

d) −4 e) 8

14. Resuelva: 54x − 52(x+1)+46=0, e indique la suma de soluciones.

a) Log52 b) Log254 c) Log2546

d) Log465 e) Log25

15. Sea:

A = antilog3log3 (log69+log64)

B = log4antilog4(log8128−log82)

Indique: A2 + B2

a) 2 b) 4 c) 8

d) 16 e) 32

16. Calcule el antilogaritmo de:

( ) ( ) ( )log logm n m n Log m n21 2 2 4 2 2− − + − −6 @

con m>n

a) m2+n2 b) m2−n2 c) m+n

d) m−n e) 1

17. Efectúe:

log log log log loganti anti anti cox1

x2 7 5 78 B

a) 32 b) 30 c) 22

d) 28 e) x

18. Calcule "x" si se cumple:

log log ln logco x co e641

31

lnln

x x32=c ^ cm h m

a) 18 b) −6 c) 6

d) −8 e) 8

19. Halle el valor de "x" que verifica:

log logx x Log x Log x25

331 4 2

+ + + =

a) 2 b) −2 c) 3

d) −3 e) 5

20. Si se verifica:

log 31 3

( )k

kk

n

12

=−

=/

halle el valor de n

a) 9 b) 27 c) 81

d) 12 e) 144

Álgebra


29 Teoría de exponentes

1. Si los números enteros "x" e "y" satisfacen la ecuación: 3x+1+2y = 2y+2 − 3x, el valor de 3x/y es:

a) 3 b) 1/3 c) 1/9

d) 1 e) 9

2. Si: a b531a 5 96 2 10

/= =−

−

c m

Hallar el valor de: ( )b

a5 2−

a) 1 b) 5 c) 52

d) 53 e) 55

3. ¿Qué valor debe tomar "n" para que se verifique la

igualdad: . ( ) .x x x xn n2 2 3 20=

− − −

a) 11/8 b) −11/5 c) 11/12d) 12/11 e) −11/12

4. Si: . ;m m4 9 Nm m12 1 12 !=

− −; hallar el valor de:

m2+m−2.a) 40 b) 38 c) 36d) 34 e) 30

5. Calcular "x", si: 5x+1−5x−1+5x+2−5x−2=18600

a) 3 b) 4 c) 5d) 7/2 e) 9/2

6. Si: 9 9

3nn

nx n

2

1

+

+= y

( )( )

9 2 37 3 3

b b

bb

1 2

1

−=+

−

Hallar la suma de x+2ba) 4/3 b) 2 c) 3d) 5 e) 7

7. Si al simplificar: −

.

( ) . ( )Mb a

a bab a ab

b ba

ab

ab a ab

2

1

= −

+

^ h ; b > 0

El exponente de a es ab2

y el de b es −4. Hallar el valor de b − a.a) 1 b) −4 c) 0d) 9 e) −5

8. Si: 3 79(3 ) 2 (9 )

x xy y x y2 12 12 36 0

x x y y2 2

2 2=−

+ + − − + =

+ +)

Hallar el valor de la expresión: x y2 22 − +

a) 3 b) 19 c) 5

d) 14 e) 7

9. Si: P(2x+1)=3x+2 y P(x−2)=ax+bHallar el valor de 4a+6b.a) −5 b) −7 c) −90d) 3 e) −9

10. En el polinomio Q(x) se cumple que la suma de coeficientes es el cuádruplo del valor que toma su término independiente, tal que: Q(x−1)=(3mx−4m)2+(3x−4)4m−x2+4Hallar la suma de coeficientes del polinomio Q(x)a) 2 b) 8 c) 20d) 16 e) 32

11. Si: ( ) ( )625 1253 4a a= y ( )7 343b 33

= , hallar: a3−b3/2

a) −3 b) −1 c) −2d) 0 e) 2

12. Si: ( 1) 1a a3 2+ =− − , hallar el valor numérico de:

U a2 4 2aaa 0= +a) 1 b) 2 c) 4d) 8 e) 16

13. Si: ( )x 3x1

= , reducir: ( )

( ) ( )Nx

x21 5 3

15 3 21 3 3/

x

x x x

2

1 2=

+ +

+ +

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

14. Si: 8x8 8x

=−

, hallar: xx3

a) 2 23 b) 3 c) 33

d) 2 e) 23

15. Si: xx=3. Calcular: Mx

x x

1

27/

x

x x

23

1 3x x1 1

=−

+ −+ +` `j j

a) 2 b) 2 c) 4

d) 3 e) 0

16. Hallar "n" en la siguiente igualdad: ...x x x x /

n radicales

31 32=1 2 3444 444

a) 6 b) 4 c) 5d) 7 e) 3

17. Simplificar:

. .S x x x xnn

nn2 2

23 3 4 1 1n n n n2

2

= − − −− − −

` ^ ^ ^j h h h; E ; x ≠ 0

a) x b) x3 c) xn

d) x3n e) 1

29Capítulo

www.trilce.edu.pe94

10. Si: xx1 222

+ = , calcular el valor de:

x +x + .M x x

xx 1 11 3

34

4=+

3 3

a) 3 b) 4 c) 9d) 1/3 e) 1/9

11. Simplificar: 8 88 8 8 8 18

8 88 8

8 7

4 3

−` j; E

a) 1 b) 8 c) 8d) 2 e) 4

12. Reducir: ( ) ;S m7 3 1

7 3 21 1Zm m

m m mm !=

+ ++ + −− −

+ " ,

a) 10 b) 21 c) 11d) 15 e) 26

13. Si: 3 273 27m n− = −− −− −

y 3m−2n=18, hallar el valor de: (m+2−n)2

a) 25 b) 100 c) 49d) 64 e) 81

14. Simplificar: M7

8 7 35 7m nm n

m nm

m nn2 2

=+

+−

− −` `j j

a) 56 b) 1/48 c) 61d) 49 e) 91

15. Determinar: M6 1

2 3 2 3xx

x xx x xx=

+

+ + +− −

a) 6/5 b) 6 c) 1/3d) 1/2 e) 5/6

16. Si: 4–m/12=m−19m/12, m ∈ ZHallar el valor de m2+m–2a) 40 b) 38 c) 36d) 34 e) 30

17. Si: a, b, c, ∈ Z+, simplificar:

( ) ( )( ) ( ) ( )E

2 312 18 36

a b c a c b

a b b c a ca b c

2 2=+ + + +

+ ++ +

+

a) 4 b) 9 c) 16d) 25 e) 36

18. Si al simplificar:

−

( )( ) ( )M

b aa b

ab a ab

b ba

ab

ab a ab

2

1

= −

+; b > 0 el exponente de a es

ab2

y el de b es −4, hallar el valor de b − a.

a) 1 b) −4 c) 0d) 9 e) −5

Tarea domiciliaria

1. Calcular el valor de "x" en: 4 4125 25 25x x 5=^ h

a) 1/2 b) 4 c) 2d) 1/4 e) 8

2. Calcular el valor de "n" si se cumple:

( )3 3 3 3 27n =a) 3 b) 5/3 c) 5/9d) 1/3 e) 8/5

3. Hallar la suma de exponentes de las variables x, y, z después de simplificar:

Ryx

z

y

xz

b

aba

c

bcb

a

cac=

a) a b) b c) cd) 1 e) 0

4. Resolver y calcular el valor de: n

.S

31 3

9 .

nn

3n 241

=

−+

a) 3 b) 6 c) 9d) 27 e) 81

5. Calcular el valor de la expresión:

( ) ( ) ( )C

2 3 510 6 15

n n n

n n nn

1 1 1 1 1 1

1 1 11=

+ ++ +

− − − − − −

− − −−

a) 1 b) 6 c) 30d) 10 e) 18

6. Señalar el exponente de "x" después de simplificar:

.P

xx xxx x

3 9

6

4 872

'

=

R

T

SSSSS

V

X

WWWWW

a) 3 b) 2 c) 4d) 1 e) 5

7. Hallar: P=nm−1−1, si se cumple que:

....n mn m

mn

mn

mn

−+ =

a) 2 2 b) 3 2 c) 2 /4

d) 2 /2 e) 2

8. Simplificar:

.E 9 991 3 91 333 33 3333

=+ +

a) 9 b) 1/9 c) 3d) 1/3 e) 27

9. Si: 5aa 56= y b

31 92 10

=−

−

c m , hallar el valor de:

( )ba

5 2−a) 1 b) 5 c) 52

d) 53 e) 55

Álgebra


30 Polinomios - productos notables

1. Si p(x) =x+1 y p(p(p(x)))=ax−b, hallar: p(a+b)

a) −2 b) −1 c) 0

d) 1 e) 2

2. Si: p(2x+1)=3x+2 y p(x−2) =ax+b, hallar el valor de 4a+6b.

a) −5 b) −7 c) −9

d) 3 e) 5

3. Dado el polinomio:

( ; )p x y x x y x y yn m r n q1 1 12= + + +− − −

completo y ordenado con respecto a las variables x e y, hallar: m+n+q−r.

a) 0 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

4. Si: P(x,y)=x14+myn−5xny2m+4+7y49; es un polinomio

homogéneo, hallar el grado relativo respecto a la

variable x.

a) 28 b) 25 c) 22

d) 20 e) 18

5. Dado el polinomio: ( )P x a x ax a232 6n n2 1= + − ++ −` j

mónico y de grado 6, hallar la suma de los coeficientes del polinomio q(x), si q(x+2)=4xn/2−(6a+1)x+3an

a) 8 b) 6 c) 4

d) 2 e) 0

6. Dado el polinomio:

P(x,y)=14xa+b+3yb−2+ 19 xa+b+1yb+4−5xa+b−1yb+1

de grado absoluto 18 y además: ( , ) ( , )GRx p x y GRy p x y 6− =6 6@ @ , hallar ab.

a) 25 b) 32 c) 49

d) 121 e) 343

7. Si: P(x)=ax4 + 6ax3 + (bx + 1)2 yQ(x) = 4x4 + 6ax3 + 25x2 − 10x + 1son polinomios idénticos, hallar a+b

a) 1 b) −1 c) 9

d) −9 e) 4

8. Sean p(x) y q(x)=(2−a)x3+(a2+2)x2+d, dos polinomios idénticos tal que: p(x−1)=ax3−(b−2) x − c + d Hallar: a+b+c.

a) −1 b) 7 c) 0

d) 4 e) −5

9. En el polinomio P(x) se cumple que la suma de coeficientes es el cuádruplo de su término independiente, tal que: P(x−1)=(3mx−4m)2+(3x−4)4m−x2+4Hallar la suma de coeficientes del polinomio P(x).

a) 2 b) 8 c) 20

d) 16 e) 32

10. Si el polinomio:

( , )P x y x y x y kx y3n k1 2 2 4= − + α β− − , es homogéneo con n>0>k y a−b=3, y la suma de coeficientes es k2−k−5. Hallar el valor de n−k−a+2b.

a) −3 b) 1 c) 4

d) −5 e) 2

11. Si: x>0, y>0 y xy−1+x−1y=3, hallar el valor de:

Myx

xy3 33 3

= +c cm m

a) 320 b) 340 c) 402

d) 486 e) 527

12. Simplificar: ( ) ( ) ( ) ( )P

m mm m m m m m m

13 1 3 1 3 3

2

2 2 2 2 2 2=

− +− − + − + + − − + ; m>0

a) m+4 b) m c) m+3

d) m+1 e) m+2

30Capítulo

www.trilce.edu.pe96

13. Si: a3+b3+c3=5 y (a+b)(a+c)(b+c)(a2−ab+b2)(a2−ac+c2)(b2−bc+c2)=40

Hallar el valor de: a9 + b9 + c9

a) 15 b) 10 c) 5

d) 20 e) 25

14. Si: ( )yx

xy x y3

2 2− = − ; halle:

,Wyx

x

y x y0 0x

y

y

x 46 ! != +e o

a) 16 b) 23 c) 4−2

d) −2−4 e) 16−1/2

15. Si: m – n n – p p – m 08 8 8+ + =

Halle: Wm pm n

11

m n

n p

4 2

4 2=

+ ++ + ; , ,m n p R6 ! +

a) mnp b) 1 c) mnp

d) m+n+p e) 2−1

16. Si: x y z 06 6 6+ + = , halle:

( ) , , ,Wxy xz yz

xyz x y z x y z9 0R3 4

6 !=+ +

+ +− −e o " ,

a) 16−1 b) 32 c) 18

d) 16 e) 8

17. Si: x = b +c − ay = c + a − bz = a + b − c

Halle:

( ) ( ) ( ) ( )W

b c a c a b a b c a b cx yz xy z xyz2 2 2

=+ + + + +

+ +− − −

a) x/y b) b+c−a c) 2 (y+z)

d) 1/abc e) 1

18. Si: xy−1=3 − x−1y, halle:

( )Wx y

x y x y

4

32 2

4 2 2= + +e o

a) 11 b) 7 c) −6

d) 4 e) 8

19. Simplificar:

( ) ( ) ( ) ( ) ...

( ) ( ) ( ) .. ( )Wn factores1 2 1 2 1 2 1 2 1

1 3 2 1 2 1 2 1 2 12 4 82

2 4 8 1282

n 1

7

=

+ + + + +

+ + + + +−

a) 0,5 b) 2 c) 4

d) 0,25 e) 1

20. Operar:

–13 32 7 1

3 32 73 3+ +

a) 1 b) 2 c) 3

d) 2 7 e) −2 3

Álgebra


Tarea domiciliaria

1. Si: F(x) es un polinomio de coeficiente principal positivo que verifica:

F (F(x)) = 4x − 3Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

I. La suma de coeficientes de F(2x−1) es 1.

II. F(5)=17

III. El término independiente de F(3x−1) es 3.

a) VVV b) FFF c) VFF

d) FVF e) FVV

2. Hallar el término independiente del siguiente polinomio mónico:P(x) = (a3 − 7) x5 + ax3 + a2x + a2+1; a ∈ R

a) 3 b) 2 c) 4

d) 1 e) 5

3. Calcule "n" en el siguiente polinomio:

(3 ) (2 9) ( 4) ( 9)P x x nx n x9 9

n 4/ +− − − −−

Si en P(x) su término independiente más 9 veces su suma de coeficientes es cero.

a) 11 b) 21 c) 3

d) 5 e) 4

4. Calcular "a+b+c" si el polinomio:

( , )P x y x y x y x y x y5 6a b c3 2 5 8 4 10= + + ++ − +

es homogéneo.

a) 24 b) 23 c) 22

d) 21 e) 20

5. Si el polinomio: P(x) = 18xa−8+32xa−b+15+18xc−b+16

es completo y ordenado en forma ascendente, calcular: a+b+c

a) 18 b) 32 c) 36

d) 38 e) 92

6. Determinar la suma de coeficientes del siguiente polinomio completo y ordenado. P(x) = axa−4+bxa+b−5+cxc−b+3

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 7

7. Si: P(x)=Q(x), donde:

P(x) = a(x+1)2+b(x−2)+2

Q(x) = (x−2)(x+1)+(x+3)(x+2)

Calcular: a . b

a) 0 b) 1 c) 2

d) −1 e) −2

8. Dado el polinomio: P(x) = x (ax3+bx2+cx+d)

Calcular: 2a+b; sabiendo que: p(x) ≡ p (1 − x)

a) 3 b) 5 c) −4

d) 1 e) 0

9. Si: (2x+5)7−(x−1)7=(x2+9x+18) . P(x) + ax + b

Calcular: a b6

+ , siendo:

P(x) = aox5 + a1x4+a2x3+....+a5; ao ≠ 0

a) ( )32 4 17 + b) (4 1)

23 7

+ c) (4 1)32 7 −

d) (4 1)23 7 − e) (4 1)

23 6 −

10. Sabiendo que: x x1 32 + =Calcular: x3 +x–3

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 0

11. Si: a+b+c=20a2 + b2 + c2 = 300Calcular: (a+b)2 + (a+c)2 + (b+c)2

a) 500 b) 600 c) 700

d) 800 e) 900

12. Sabiendo que:

40 ....... (1)

............... ( )

a b

a b 4 2

3 3+ =

+ =)

Calcular: a2 +b2

a) 10 b) 12 c) 16

d) 24 e) 20

30Capítulo

www.trilce.edu.pe98

13. Mostrar el equivalente de: x3 − 3x + 2; a partir de:

x 9 80 9 803 3= + + −

a) 20 b) 21 c) 22

d) 23 e) 24

14. Si: 2x2 + 2y2 = (x+y)2 − (x−y)2

Calcular: ( )yx 10

a) 1024 b) 512 c) 1

d) 0 e) 32

15. Con las condiciones: 4....................... (1)

( ) ( ) ( ) ...... ( )

a b c

a b a c b c 13 2

+ + =

+ + + =)

Calcular: a3 + b3 + c3

a) 4 b) 9 c) 16

d) 25 e) 36

16. Si: ab=1, calcular:

aab b

ba

11

11

2

2

2

2

+

+ ++

+

a) 1 b) 2 c) 4

d) 2 2 e) 1/2

17. Si: x yz x yz yz2 2 8+ + − =

Calcular: x yz x yz2 2+ − −

a) 3 b) 2 c) 1

d) 1/2 e) 1/3

18. Siendo "x" ∧ "y" dos números reales que verifican: x2 + y2 = 8. ¿Cuál es el máximo valor que puede asumir: x+y?

a) 2 b) 2 2 c) 4

d) 4 2 e) 2

19. Reducir:

( )2

1 2 3 2 3 62 2

+ + − − −; E

a) 4 b) 5 c) 9

d) 16 e) 25

20. Si: x+y+z=0, Calcular:

xyzx y z y z x z x y2 2 23 3 3+ + + +− − + −^ ^ ^h h h

a) 9 b) 27 c) –27

d) 81 e) –81

Álgebra


31 Repaso

1. Determine el conjunto:( ) /A x x x x x1

21

32

43

54R!= + +− − − = − −' 1

a) {1} b) {2} c) {3}

d) {-1} e) {-2}

2. Indicar la solución de la ecuación:

xx a

axx

1 13

++

+=

Sabiendo que se reduce a primer grado.a) 7/5 b) 7/3 c) -3/7

d) -2/3 e) 1/7

3. Para qué valor de "m" la ecuación: (m2 – 5m + 6) x = mm–1–3mpresenta infinitas solucionesa) 2 b) 3 c) 2 o 3

d) –2 e) –2 o –3

4. Calcular "n" si la ecuación: (n2–25)x = (n–3)n–1–16 es incompatible.a) 5 b) –5 c) ±5

d) –3 e) –4

5. Halle el número de elementos del siguiente conjunto:

/ ( )B x x x x2 1 1 3 1R 4 4!= =− − −" ,

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

6. Resolver: x x x2 4 2 18 28 8− + − − + =

e indicar el valor de: 2xx 21 −−

a) 2 b) 84 c) 85

d) 24 e) 23

7. Calcular "x" a partir de la igualdad:

x x xx x x

x xx x

2 7 95 3 9

2 75 3

3 2

3 2

2

2

+ + ++ + + =

+ ++ +

a) 1/3 b) 2/3 c) 4/3d) 1/9 e) 5/3

8. En la ecuación:

nxm

mxn

1 10

+−

+=

Determinar: nm2 , si se sabe que es compatible

indeterminada.a) 1 b) –2 c) 2

d) 3 e) –1

9. Indique la solución de:

x x x2 2 1 3 2 12+ − = + −

a) 17 b) 13 c) 19d) 9 e) 21

10. Reducir para x>0; n ∈ Z, n ≥ 2008:

( ) ( ) ( ) .... ( )( ) ( ) ( ) ... ( )x x x x nx x x x n

n xn x

1 2 31 2 3

− + − + − + + −+ + + + + + + + =

−+

a) n n2

,2 0 5+c m b) n n

2

,2 0 5−c m c) n

2,0 5` j

d) n2

1 ,0 5+` j e) n2

1 ,0 5−` j

11. Se tiene dos cirios de igual tamaño, pero de diferente calidad, el primero se consume en "a" horas y el segundo en "b" horas (a>b), si se encienden simultáneamente. ¿Dentro de cuánto tiempo la altura del mas lento será "n" veces la altura del más rápido?

a) ( )an b

ab n 1−− b) ( )

n bab n 1

−− c) ( )

n bb n 1

−−

d) ( )ab n

an b1−

− e) ( )an b

b n 1−−

12. Se tiene dos depósitos de vino de diferente calidad. El primero contiene 20 l y el segundo 30 l. Si se saca de cada uno la misma cantidad y se echa al primero lo que se saca del segundo y viceversa. ¿Qué cantidad ha pasado de un depósito a otro, si el contenido de los dos ha resultado de la misma calidad?a) 12 l b) 10 c) 11d) 13 e) 15

13. En un autobús se observa que hay 56 personas, de las cuales 22 están sentadas. Los varones que están sentados son tantos como las damas que están paradas, y la cantidad de damas que están sentadas es la mitad de los varones que están parados. ¿Cuántos varones hay en el autobús?a) 40 b) 26 c) 38d) 42 e) 34

14. Un cilindro de 1,80 m de altura pesa vacío 15 kg y lleno de petróleo 95 kg. ¿A qué altura deberá llenarse para que su peso sea exactamente igual a su altura expresada en centímetros?a) 10cm b) 25 c) 12d) 15 e) 27

15. Si un litro de leche pura pesa 1032 gramos. Calcule la cantidad de agua que contiene 11 litros de leche adulterada, los cuales pesan 11,28 kg. a) 3 l b) 4 c) 3,26

31Capítulo

www.trilce.edu.pe100

d) 2,25 e) 2

16. Una señora va al mercado a comprar tomates; para comprar 5 kg y le falta "a" soles, pero si hubiera llevado "b" soles más habría comprado 2 kilos más y aún le hubiera sobrado "a" soles. ¿Cuánto dinero llevó al mercado dicha señora?

a) b a2+ b) a c) b/a

d) b a2

5 12− e) b a3+

17. Un padre reparte su herencia entre sus hijos de la siguiente manera: al primero le da S/.A más la enésima parte del resto, al segundo le da S/.2A más la enésima parte del resto, al tercero S/.3A y la enésima parte del resto, y así sucesivamente. Al final se observa que cada hijo recibió la misma cantidad. ¿De cuánto era la herencia?

a) A(n–1)2 b) A n2 c) A(n+1)2

d) A(n–2)2 e) A(n+2)2

18. Tres cirios de una misma calidad y diámetro con duración para 2h, 4h y 6h respectivamente, se prenden simultáneamente, repentinamente se apagó el primero observándose que lo consumido hasta ese momento por los tres era 90cm; 1,5 h después la altura de la mayor era la mitad de los consumido por los otros dos. ¿Cuál era la altura del primer y tercer cirio inicialmente?a) 24 y 72 cm b) 64 y 192

c) 88 y 264 d) 32 y 96

e) 13 y 36

19. En un año Don Chuma gastó en comer la mitad de lo que gastó en beber y Florencio gastó en beber la mitad de lo que gastó en comer, resultando un gasto total entre los dos de S/.16200. Esta misma cantidad gastaron el año siguiente, pero Don Chuma disminuyó en la octava parte el gasto en la bebida y Florencio lo aumentó en la mitad. ¿Cuánto gastó Don Chuma en los dos años?a) 20700 b) 21700 c) 20300

d) 31700 e) 70200

20. Halle el máximo valor de S.

20cm 15cm

S

a) 10 cm2 b) 75 cm2 c) 50 cm2

d) 70 cm2 e) 55 cm2

Tarea domiciliaria

1. Una persona tiene "a" años y otra "b" años. ¿Dentro de cuánto tiempo la edad de la primera será "n" veces la edad de la segunda?

a) n b) a–b c) a–bn

d) a–bn/n e) (a–bn)(n–1)

2. Hallar el valor de "a" para que la siguiente ecuación sea incompatible:

( )ax x2 3 52

7 9 0− + − =

a) 5/6 b) –7/12 c) 3/8

d) 1/10 e) –3/11

3. Se ha pagado una deuda de S/.265 soles con monedas de S/.5 y de S/.2. El número de monedas de S/.2 es mayor que el de S/.5 en 17 monedas. ¿Cuánto suman las monedas de 5 y de 2 soles?

a) 82 b) 81 c) 83

d) 84 e) 79

4. Al resolver: 3(x–1)+a(2 x3 2− +a)=0Se obtiene como una solución a "b". Calcular: E=a2–2a–3ba) –2 b) –3 c) –4

d) –5 e) –6

5. Resolver: x x x x3 2 2 1 5 4 4 3+ = +− − − −

Indicando luego la naturaleza de su raíz.a) Primo b) Par c) Irracional

d) Impar e) Fracción

6. Sobre la ecuación:

x xx

x xx

23

45

22

42 2+−

−=

−+

−Se puede afirmar que: a) Admite solución x=2

b) Admite solución x=-2

c) Es indeterminada

Álgebra


d) Es incompatible

e) Tiene solución diferente de 2 y –2

7. Resolver: 2x x x4 4 0− − − + =e indicar la suma de sus solucionesa) 7 b) 8 c) 9

d) 4 e) 10

8. Resolver la siguiente ecuación:

x x xx

2 13

2 12

4 13 0

2+−

−−

−+ =

a) 4 b) 6 c) 8

d) 10 e) 12

9. El número de días que ha trabajado Pedro es 4 veces el número de días que ha trabajado Enrique. Si Pedro hubiera trabajado 15 días menos y Enrique 21 días más, ambos habrían trabajado igual número de días. Indique la suma de los días que trabajó cada uno.

a) 40 b) 50 c) 60d) 80 e) 120

10. El jardinero A planta rosas más rápidamente que el jardinero B en la proporción de 4 a 3 cuando B planta x rosas en una hora A planta x+2 rosas. ¿Cuántas rosas planta B en 4 horas?

a) 6 b) 8 c) 32

d) 24 e) 12

11. Dentro de 22 años la edad de Juan será el doble de la de su hijo y actualmente es el triple. Halle la suma de las edades actuales.

a) 88 b) 98 c) 90

d) 30 e) 40

12. Resolver: 3x x1 3 2=− + −a) 17 b) 2 c) a y b

d) f e) 3

13. Si: x ∈ [3; 5], calcular: A x x x3 5 2 12= + − + −

a) 30 b) 17 c) 4x–7

d) 12 e) x

14. Antonio le dijo a Carlos; cuando tenías mi edad yo tenía la edad que tenía Luís y Luís tenía dos años. Si nuestras edades están en la relación de 13/7. Hallar la edad de Antonio actualmente

a) 14 b) 18 c) 15

d) 13 e) 17

15. La edad años de una tortuga es mayor en 20 años que el cuadrado de un número N; y menor en 5 que el cuadrado del número siguiente a N. ¿Cuántos años tiene la tortuga?a) 276 b) 245 c) 120

d) 189 e) 164

16. Habiendo perdido un jugador la mitad de su dinero, volvió al juego y perdió 1/2 de lo que le quedaba, repitió lo mismo por tercera vez y cuarta vez después de lo cual le quedaron 6 soles. ¿Cuánto dinero tenía al comenzar el juego?a) 84 b) 72 c) 94

d) 96 e) 86

17. Hallar una fracción que al agregarle su cubo, la suma que resulta es igual al cubo de la misma fracción multiplicada por 13/4.

a) 2/5 b) 4/9 c) 2/3

d) 1/3 e) 3/4

18. Una librería tiene para la venta un cierto número de libros. Vende primero las 3/5 partes y después le hacen un pedido de los 7/8 de lo que le queda, pero antes de servir este pedido se le inutilizaron 240 libros y por lo tanto, enviando todos los libros útiles que le quedan, solo cubre los 4/5 de la cantidad pedida. ¿Qué cantidad de libros se vendieron?

a) 2000 b) 1760 c) 2240

d) 3000 e) 3520

19. Resolver: xx

x x1 164

5 55+ + + =

a) 7 b) 5 c) -2

d) 4 e) 1

20. Resolver en x:

x a b cx a b c

x a b cx a b c

6 2 36 2 3

2 6 32 6 3

++ + +

++ + +

− −=

− −

a) bac b)

cab c) abc

d) abc1 e)

bac

2

31Capítulo


32 Ecuaciones de 2do. grado

1. Hallar el mayor valor de "n"; si la ecuación: (2n+1)x2+(7n+2)x = −6n−1tiene raíces reales e igualesa) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

2. Si la ecuación:

; , ,ax bx c a b c a0 0R2 / !1+ + = " ,presenta como raíces x1 ∧ x2; Hallar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: I. Si: x1 = 3x2, entonces: 3b2=13acII. Si la suma de los cuadrados de sus raíces es igual

a su producto entonces: b2=2ac.III. Si: a=b=c, entonces la ecuación no tiene raíces

reales.

a) VVF b) VFV c) FFV

d) FVV e) VFF

3. Si r y s son raíces de: 3x2+5x=2, hallar la suma de raíces de: x2 + 9 (r2+s2)x + 2r + s = 0.

a) 27 b) −27 c) 37

d) −37 e) 30

4. Si la ecuación: x2+mx+m+2=0; (m ∈ Z) tiene una raíz que es el doble de la otra. Hallar el número de valores enteros en el intervalo de <0; m>

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

5. Si x1 y x2 son las raíces de la ecuación: x2−5x−3=0, hallar el valor de x1 (x1−1)+x2(x2−1)

a) 25 b) 26 c) 27

d) 28 e) 24

6. Si: 3x2+(m−3)x + 5 = 0, tiene raíces simétricas y (m+1)x2+7x+n−3=0, tiene sus raíces recíprocas. Hallar "n". a) 5 b) 8 c) 7d) 10 e) 12

7. Si las ecuaciones: (m−1)x2 + (n+2)x + 6 = 04x2 + 5x + 2 = 0 son equivalentes. Hallar: .m n

a) 10 b) 13 c) 14

d) 16 e) 20

8. Indicar verdadero (V) o falso (F): I. x2+x+1=0, no tiene solución real.II. 25x2+100x+100=0, tiene solución única.

III. x2+3 53 x + 253 = 0, tiene raíces reales diferentes.

a) VVV b) VFV c) FFFd) VVF e) FVV

9. En un rectángulo, si al lado mayor le aumentamos una longitud igual al lado menor, su área aumentaría en 25u2. ¿Cuánto debemos aumentar al lado menor para que la relación de áreas sea de 1 a 3?a) 5 b) 12 c) 15

d) 8 e) 10

10. La suma de tres números es 21, el cociente de dos de ellos es 2,5; y la suma de estas dividida por el tercero da como cociente 2. ¿Cuál es el mayor de los números?

a) 10 b) 11 c) 12

d) 15 e) 17

11. Dada la ecuación cuadrática: ax2+bx+c=0, los coeficientes a, b y c forman una progresión aritmética, si r1 y r2 son las raíces de la ecuación y cumplen a+b+c=3 (r1+r2) y b+7=r1r2. Hallar "abc"

a) 105 b) 34/9 c) +104/9

d) 54 e) 104/9

12. Formar una ecuación de segundo grado sabiendo que sus raíces son la suma y el producto de las raíces respectivamente de la siguiente ecuación: 2x2 − 3x + 5 = 0

a) 6x2−8x−7=0 b) 4x2−3x−15=0

c) 3x2−4x+15=0 d) 3x2−4x+2=0

e) 4x2−16x+15=0

13. ¿Qué valor debe tener "m" para que las raíces de la ecuación: mx2 − (m+3)x+2m+1=0, difieran en dos unidades?a) −1 b) 9 c) 1d) 11 e) 6

14. ¿En qué tiempo harían A, B y C un trabajo juntos, si A solo, puede hacerlo en 6 horas más; B solo puede hacerlo en una hora más; y C solo en el doble de tiempo?

a) 1/3 horas b) 4/3 horas c) 2/5 horas

d) 2/3 horas e) 7/5 horas

Álgebra


15. Un muchacho y una chica parten al mismo tiempo del mismo lugar en el mismo camino y en la misma dirección. El a 6 km/h y ella a 5 km/h. Después de 3 horas, el muchacho regresa; a qué distancia del punto de partida se encuentra la muchacha.

a) 4 km b) 3 km c) 2 km

d) 5 km e) 6 km

16. En un río cuya velocidad de corriente es de 3km/h, un botero encuentra que demora lo mismo para hacer 30 km de bajada que para recorrer 18 km río arriba (de subida). ¿Cuál debe ser la velocidad, en km/h, de remada en agua quieta?

a) 6 b) 9 c) 12

d) 15 e) 3

17. Hallar el valor de "K" si las raíces de la ecuación de segundo grado son iguales: x2+2(k+2)x + 9k=0

a) 1 b) 3 c) 4

d) a ∨ c e) 2

18. En la ecuación: ax2−(a−5)x+1=0, el producto de las raíces es igual a la diferencia de las mismas. Hallar la mayor raíz.

a) 1/3 b) 1/2 c) 1/4

d) 1/6 e) 1/5

19. Determinar "m" en la ecuación: x2−(3m−2)x + (m2−1)=0de modo que una raíz sea el triple de la otra.a) 1 b) 11/14 c) −1

d) −11/14 e) 14/11

20. ¿En cuánto tiempo harán Yuri, Emilio y Niltón un trabajo juntos, si Yuri sólo puede hacerlo en 5 horas más, Emilio sólo en una hora más y Niltón sólo en el triple del tiempo?

a) −1 b) 1 c) 5/2

d) −5/2 e) 3

32

Tarea domiciliaria

1. Dado el siguiente conjunto unitario:

/ ( ) ( )P x n x n n x2 1 6 1 7 2R 2!= + + + = − −" ,Determinar el mayor valor de "n".

a) 4 b) 8 c) 12

d) 16 e) 20

2. Si la ecuación: x2+ax=−b, {a; b} ⊂ R, presenta como raíces a x1 ∧ x2; hallar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:I. Si: x1 = 3x2 3a2 − 13b = 0II. Si la suma de los cuadrados de sus raíces es igual

al producto de las mismas entonces a2=2b.III. Si: a=b=1 entonces la ecuación no tiene raíces

reales.a) VVF b) VFV c) FFV

d) FVV e) VFF

3. Si m y n son raíces de: 3(1−x2)=5x+1, hallar la suma de raíces de: x2+9 (m2+n2) x + 2m + n = 0

a) 27 b) −27 c) 37

d) −37 e) 30

4. Si el conjunto: {a; b} está formado por todas las soluciones de la ecuación: x2+cx+c+2=0 (c ∈ Z) tal que: a − 2b = 0. Hallar el número de valore enteros en el intervalo de <0; c>

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

5. Si x1 y x2 son las raíces de la ecuación: x2 − 5x = 3, hallar el valor

x x x x12

22

1 2+ − −

a) 25 b) 26 c) 27

d) 28 e) 29

6. Si: 8x2+(7m−21)x−16=0, presenta raíces aditivas y (m+1)x2+6x+n−5=0 presenta raíces recíprocas. Hallar "n".

a) 5 b) 7 c) 9

d) 11 e) 12

7. Si las ecuaciones: (m−5)x2+(p+3)x+18=0 4x2+3x+9=0Son equivalentes. Hallar: m × pa) 35 b) 37 c) 39d) 41 e) 43

8. Indicar verdadero (V) o falso (F): I. x2+x+5=0 no tiene solución realII. 15x2−90x+135=0 tiene solución única

III. 3 0x x5 252 3 3+ + = tiene raíces diferentes y

reales.

a) VVV b) VFV c) FFF

d) VVF e) FVV

Capítulo


9. Las dos soluciones de: x2−3x−10=0, son también soluciones de una ecuación bicuadrada de coeficiente principal 3. Hallar la suma de los coeficientes del polinomio de dicha ecuación bicuadrada.

a) 72 b) 116 c) 174

d) 216 e) 224

10. Hallar la suma de las raíces complejas de la ecuación:

xx

xx3 3

12 7

2

2+ +

+=

a) 2/5 b) 3/2 c) 1/3

d) 1/3 e) 2/3

11. Dos números naturales consecutivos son tales que su suma y producto son también números consecutivos. Hallar el cuadrado de la suma del menor con el duplo del mayor.

a) 49 b) 16 c) 25

d) 64 e) 81

12. Del producto de dos números enteros positivos consecutivos se resta la suma de los mismos y se obtiene 71. El número mayor es:

a) 10 b) 8 c) 7

d) 6 e) 9

13. Un padre tiene "x" años y su hijo "y" años. Dentro de cuántos años tendrá el padre el triple de la edad de su hijo.

a) x+3y b) x−3y c) x y2

2+

d) x y23− e) x+2y

14. Al resolver el sistema: 3 4 3 6x y

x y 3

+ = αα α

−+ = +

)

Se obtiene y=3x. Hallar "a"a) −2 b) 1 c) 3

d) 4 e) 7

15. Si Pedro le regala S/.2 a su hermano Juan, Pedro queda con el doble de lo que reúne Juan; ahora, si Pedro gasta S/.3, queda con el triple de lo que tiene Juan. ¿Cuántos soles tiene Pedro inicialmente?

a) 18 b) 16 c) 12

d) 8 e) 6

16. En una semana un establecimiento vendió 40 manteles, los blancos costaban S/.4,95, y los estampados S/.7,95. En total las ventas fueron de S/.282. ¿Cuántos manteles de cada tipo se vendieron?

a) 10 y 30 b) 20 y 20 c) 12 y 28

d) 15 y 25 e) 16 y 24

17. Halle el valor de: (x2 − y2) en: 5x y

xy 3

+ =

=)

a) 8 3 b) 10 5 c) 5 13

d) 13 7 e) 2 2

18. Las suma de tres números es 5, el primero menos el segundo más el tercero es 1. El primero menos el tercero es 3 más que el segundo. Calcular los números.

a) 4; 2 y −1 b) −5; 2 y 8 c) 3, 7 y −5

d) 1; 7 y −2 e) 0, 2 y 3

19. El par de números reales (xo; yo) es una solución del sistema:

6xy

x y xy x y 632 2=

+ + + =)

Calcule el valor de x yo o2 2+

a) 47 b) 51 c) 55

d) 63 e) 69

20. Luego de resolver:

2 7

( )

x y

y x

1

1 12+ =−− + =

* , calcular el valor de "y"

a) 4 b) 25 c) 49

d) 81 e) 100

Álgebra


33 Sistema de ecuaciones

1. Respecto al sistema lineal: ( )

( ) ( )

ax a y

a x a y

1 2

2 3 4

+ + =

+ + =+)

Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones. p : ∀ a ∈ R; x+y=1q : ∀ a ∈ R; la solución es única.r : Si: a=2008 (2007; −2008) es solución.

a) VVV b) VVF c) FVV

d) FVF e) FFF

2. Dado el sistema lineal: mx y

x my

3 6 2

2 1

+ =

+ =)

Halle los valores de "m" para los cuales el sistema tiene solución única que pertenece al conjunto A. A = {(x; y) ∈ R2 / y ≤ x – 1}a) [5/3;2> b) <−2; 2> c) <−1; 0>

d) <−2; 3> e) <3; 4>

3. Si el sistema lineal:(2 1) 6n x ny

x y2

15 4 3

+ =−

+ =*

Presenta infinitas soluciones, calcule el valor del parámetro "n".a) 2 b) 4 c) 6

d) 8 e) 1

4. Si el sistema lineal: 2 1 ;x my

x y mm Z!=−

+ =)

tiene C.S. = {(a; b) / b < 0}, calcule la suma de valores de "m" a) −2 b) −1 c) 0

d) 1 e) 2

5. Dado el sistema lineal: x y z

x y z

x y z

4

2 3 5 7

6 9 21

+ + =

+ =

+ + =

−

Z

[

\

]]

]

entonces, indique lo correcto.

a) Tiene infinitas soluciones

b) No tiene solución

c) Tiene solución única

d) (2; −1; 0) es una solución

e) (−1; 0; 3) es una solución

6. Indique para qué valor negativo del parámetro l el sistema lineal:

x y z

x y z

x y z

1

1

+ + =

+ + =

+ + =

l ll

l

Z

[

\

]]

]

tiene infinitas soluciones.a) 0 b) −1 c) 2−d) −2 e) −3

7. En la figura adjunta se muestran las gráficas de 3 rectas.

-4

5

3db1

a c 7 12

P

Q

x

y

Calcule el valor de (19a+2d)

a) 59 b) 60 c) 61

d) 62 e) 63

8. Dado el sistema de ecuaciones no lineal: 12x xy y

x y 6

2 2+ + =

− =)

calcule el mayor valor de: x+ya) 0 b) 1 c) 2d) −2 e) −1

9. Dado el sistema:x y

x y

4 25

2 7

2 2+ =+ =

)

Si: 2y>x, entonces el valor de x/y, es:a) 1 b) 2 c) 3/2

d) 8/3 e) 3

10. Si:

6; 8;x y

xyx z

xzy z

yz5 4 3 2 3 5

6+

=+

=+

=

Determine el valor de: Ex z

y=−

a) 5 b) 7,5 c) 10d) 12,5 e) 25

33Capítulo


11. Dado el sistema de ecuaciones:

x y x y14

2 35

25

+ −−

− +=−

x y x y13

2 31

57++ − − +

= −

El valor de "x+y" es igual a:

a) –1 b) 0 c) 1

d) 2 e) 3

12. Dado el sistema lineal de incógnita x e y.

1abx

b

y a

bx

ay a ab

22

2

=− −

+ = +

Z

[

\

]]

]]

Si se sabe que: ab<0, calcule el valor de y

a) (ab)2 b) ab c) −ab

d) ab e) −b

13. Resolver el sistema siguiente:x y x y2 2 3 7 33 + + − − − =−

x y x y2 2 3 2 3 7 143 + + + − − =Se obtiene que el valor de (x+y) es:a) –2 b) –1 c) 0

d) 1 e) 2

14. Resuelva el sistema de ecuaciones lineales: 2 2

3 6 3 6

x x x

x x x

x x3 3

1 2 3

3 2 1

1 3

+ + =

+ + =

− −

− =

Z

[

\

]]

]

e indique el resultado de: x1+x2+x3

a) 3/2 b) 9/2 c) 7/2

d) 10 e) 15/2

15. ¿Para qué valor de "n" el siguiente sistema tiene solución única:

( 2) (1 ) 5

( 1) 3

n x n y

nx n y

+ + =

+ + =

−)

a) R b) f

c) ;21< >3− + d) ;

41< >3+−

e) ;21< >3+

16. Si el sistema lineal:

( )a x ay

ax ay b

5 5

4 3

2+ =

+ =

−)

es indeterminado, calcule un valor de ab.a) 25 b) −12 c) 10

d) 36 e) 45

17. Indique para qué conjunto de valores de "n" el sistema lineal:

x ny

nx ny n

3

3 2 3

+ =

= +−)

es inconsistentea) {−3} b) {−3; 1; 0} c) {3; −1; 0}d) {0; −3} e) {0}

18. ¿Para qué valores del parámetro "m" el sistema lineal adjunto tiene soluciones de componentes no negativas:

5

2 3

x y z

x y z

x y z m

+ + =

+ =−− + =

Z

[

\

]]

]

a) −9 ≤ m ≤ 0 b) −3 ≤ m ≤ 5

c) 0 ≤ m ≤ 5 d) 5 ≤ m ≤ 9

e) 0 ≤ m ≤ 9

Tarea domiciliaria

1. Halle (y−x) en: 3 2 2x y

x y5 8 60

=− −+ =−

)

a) −4 b) −5 c) 1d) −1 e) 2

2. Resolver: 3x y

x y

1

4 4

3 =− ++ + =

)

Calcular "x".

a) 16 b) 17 c) 18

d) 19 e) 20

3. Resolver: 1x y a

x y a1

+ = +

− = −)

Hallar: y − ax a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

4. La base de un rectángulo es 6cm mayor que su altura. el perímetro es 32 cm. Encuentre las dimensiones.

a) 5 y 11 b) 4 y 12 c) 3 y 13

d) 2 y 14 e) 1 y 15

5. Hallar dos números cuya suma sea 60 y el cociente de sus recíprocas es 3.

a) 15 y 45 b) 20 y 40 c) 25 y 35

d) 17 y 43 e) 24 y 36

6. Resuelva:

xa x

yb y a

xb x

ya y b

+ =− −

+ + + =

Z

[

\

]]

]] ; Hallar: "y".

a) 2−b b) b−a c) a b2+

d) a b2− e) b a

2−

Álgebra


7. La razón entre los ángulos de un triángulo es 2, 4 y 6 el triángulo es:

a) Isósceles no rectángulo

b) Rectángulo no isósceles

c) Rectángulo isósceles

d) Isósceles

e) Equilátero

8. Resolver:

x y

x y

1 267

2 134

+ =

+ =

Z

[

\

]]

]

Hallar: "x−y"

a) 2 b) 3 c) 1

d) −1 e) −2

9. Determinar el valor de "a" en el sistema: ( )

( )

a x y

a x y

3 1 2 25

1 28

+ + =

+ + =)

Para que tenga solución única

a) 1R − " , b) 1R − −" , c) R

d) 2R − " , e) 1R − −" ,

10. Sabiendo que el sistema: 2 4

( )

Kx y

x K y K3 1 4

+ =

+ − = −)

no tiene solución, calcular "K".

a) 5 b) 2 c) −2

d) 3 e) −2 o 3

11. Si el sistema: x y m

x ny2

3 6

+ =

+ =*

Presenta más de una solución. Hallar: "m . n"a) 10 b) 12 c) 15

d) 16 e) 18

12. Juan y Abel tienen juntos S/.450, además la cuarta parte de lo que tiene Juan equivale a la quinta parte de lo de Abel. ¿Cuánto tiene cada uno?a) 100 y 350 b) 220 y 230

c) 200 y 250 d) 300 y 150

e) 180 y 270

13. Hallar la suma de dos números tales que dividiendo el mayor por el menor cociente sea 7 y el resto 4, y que la división del triple del mayor por el doble del menor el cociente sea 11 y el resto 4.a) 62 b) 64 c) 66

d) 68 e) 70

14. Un campo rectangular, cuyo largo es el doble del ancho, está encerrado por "x" metros de cerca para protegerlo. El área en términos de "x" es:

a) x2

2 b) 2x2c) x

92 2

d) x18

2e) x

72

2

15. Halle "x . y" en el sistema:

5x y

x y xy 1

3 3

2 2+ =

+ =)

a) 2/3 b) 1/2 c) 3/5

d) 4/3 e) 7/5

16. El último día del año "x" un tío y su sobrino cumplen 30 y 5 años respectivamente. ¿En qué año la edad del sobrino será el 50% de la edad del tío?

a) x+20 b) x+15 c) x+10

d) x+5 e) x+8

17. Siendo "x" e "y" números positivos, con "x" mayor que "y" que satisfacen el sistema:

5x y x y

x y 62 2+ =+ −

− =)

se tendrá que: x2+y2 es igual a:

a) 48,5 b) 42 c) 40,5

d) 45 e) 45,5

18. Halle el valor de "x+2" en el sistema:

3

10

x y

y z

x z

2 1

4 6

3 2 1

+ =

+ =

− =

Z

[

\

]]]

]]]

a) 3 b) 2 c) 1

d) 4 e) 5

19. La suma de tres números es 100. El tercero es 15 menos que cinco veces el segundo. Dos veces el primero es 10 más trece veces el segundo. Calcular los números.

a) 213,32 y −145 b) 10, 50 y 40

c) −120, 80 y 140 d) 70, 60 y −30

e) 150, 60 y −110

20. Determine "x.y" al resolver el sistema:

( )

y

y y

8 2 24

2 2

x

x x

1

2 2 1=

+ =

− +

+)

a) 2 b) log 2 c) 2 log 2

d) 8 e) 16

33Capítulo


34 Inecuaciones - Valor absoluto

1. Si: a, b son reales; se definen las operaciones: a ∗ b = b − a y a # b = 2a + b. Indique el mayor valor entero que verifica:[(x+3)∗(x+2)]∗(x+6) ≥ x # (x+2)

a) −1 b) 0 c) 1d) 2 e) 3

2. Si: x ∈ <–2; 3]. Indique el número de valores enteros que asume:

( )x x x3

7 13 + + +

a) 20 b) 21 c) 22

d) 23 e) 24

3. Dada la función "f", definida por:

( )F xmx nx 1

2= + +

Calcular el mayor valor entero que asume "n". (m > 0). Si: ( ) ( ) ;F x

nm n

mn x> R2 6 !+

a) 0 b) −1 c) 2d) −3 e) 4

4. Si el dominio de la función:

( )( )

( )f xx x a n an

a m x am x2=

− − ++ − − ,

es [p; q> − { a }; y 0 < m < a < n. Calcular: (p+n)2 − 2 mq

a) m+n b) mn c) m2+n2

d) m−n e) m/n

5. De las afirmaciones siguientes, indique la correcta: I. Si: x∈<–2;5> |4x – 13| > 21

II. Si: x x4 42+− < 7 x < 9

III. Si: |x – 3| < 2 |x – 1| + |x – 5| = 4a) I b) I y III c) III

d) I y II e) Todas

6. Sabiendo que: {m; n} ⊂ N. Indique la suma de soluciones de la ecuación:

.....nx m nx m nx m nx m m m m1 2 32

72− + + − + + − + + + − + = +

a) m/n b) 2n/m c) n/md) 2m/n e) mn

7. Luego de resolver: |2x−3| ≤ |x+4| + |x−7|Señale la suma de los valores enteros no negativos que la verifican.a) 25 b) 26 c) 27

d) 28 e) 29

8. La suma de las raíces de la ecuación: 2 |x – 3|2 + |7x – 21| – 15 = 0es:

a) 11/2 b) 6 c) 7

d) 9/2 e) 5

9. Si: 0<a<1, entonces, dos valores que satisfacen a la ecuación |x2–2x|=a, son:

a) –1 + a 1+ y –1 – a 1+

b) –1 +2 a 1+ y 1 – 2 a 1+

c) 1 + a1 − y –1 – a1 −

d) 1 + a1 + y 1 – a1 −

e) 2 + a 2+ y 2 – a 2+

10. ¿Cuántas soluciones reales tiene la ecuación:(x2–5 |x| + 6)(|x|3 – 5) = 0 ?

a) 3 b) 6 c) 5

d) 7 e) 4

11. Sean m y n raíces de la ecuación: ( )a x x a2 22− + = (a ≠ 2); hallar los valores de "a" que verifican: m5n3 + m3n5 > 0

a) <0; 2> b) <0; 1>

c) <1; 2> d) <0; 2> − {1}

e) f

12. Dado el sistema: 2 7ax y

x ay5 2

+ =

− =)

Calcular los valores de "a" a fin de que el sistema tenga soluciones positivas:

a) ;a74< >3− + b) ;a

74

235< >−

c) 6 ;a2

35< >3− d) a ∈ f

e) ; ;a74

235< > < >,3 3− − +

13. Resolver: 2

xx

11 1 $+−

−

a) [–1; +∞> b) <–∞; 1>

c) {1} d) <−1;1>

e) <1;+∞>

Álgebra


14. Juan le dice a Luis: "Si al quíntuplo de lo que tengo le restamos el triple de lo que tú tienes, quedarían más de dos soles; y si al doble de lo que tengo le aumentamos lo que tú tienes, no llegamos a reunir ni once soles". ¿Cuánto tiene Juan, si Luís tiene más de tres soles?

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

15. Indicar el mínimo valor que toma:

( )

M

x xx3

1 1

4=+

+ +

; si: x >0

a) 3/5 b) 6/5 c) 9/5d) 1/5 e) 1

16. Luego de resolver la inecuación: (m>0)

||2x2−14x+24|+m|x2+3||<||3x2−27x+54|+mx2+3m|Indicar la suma de valores enteros que no la verifican: a) 30 b) 33 c) 36

d) 40 e) 43

17. Dado el sistema:3 6x x

x x m

22

#

$

+ −−

)

Calcular el valor de "m" si el conjunto solución del sistema posee 2 elementos a) −1 b) 2 c) −2

d) 1 e) 0

18. Si: A = {x ∈ R / |x – 3|2 – 3|x – 3| – 18 > 0}

A = {x ∈ R / x2 81+

∈ ;121 28 B}

Entonces AC ∩ BC, es:

a) f b) [2; 9] c) <2; 9>

d) [2; 9> e) <2; 9]

19. La suma de dos lados de un triángulo es igual a 120m. ¿Cuánto deben medir dichos lados para que el área del triángulo sea máxima?

a) 50; 70 b) 60; 60 c) 80; 40

d) 100; 20 e) 90; 30

20. Halle la suma de las raíces de la ecuación:

x x

x x

5 40

2

5

+ ++ =

a) 2 b) 1

c) 0 d) –1

e) –2

34

Tarea domiciliaria

1. (UNMSM 2006 − I)Halle la suma de los números naturales, tales que su cuadrado es menor que su séxtuplo disminuido en cinco.

a) 7 b) 10 c) 11

d) 9 e) 8

2. Obtener el intervalo al cual pertenece: x3 + 6x2 + 12x + 13Si se sabe que: x ∈ <–3; 0>

a) <3; 13> b) <0; 8>

c) <4; 13> d) <−∞; +∞>

e) R0+

3. Sea la función: f(x)=(m−2)x2 + mx + 1Calcular "m" para que: f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ R

a) [2; +∞> b) <–∞; 2] R

c) R+ d) f

4. Si el dominio de la función: ( )F xx x

x x7 12

5 62

2=

− −− +

es [m, n] − {p}Calcular: m+n+p

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

5. Indique la verdad o falsedad de las afirmaciones siguientes: I. 5<x<7 |x − 5| + |x − 7| = 2II. |x − 2| < 1 x ∈ <1; 3>

III. x > 0 x + x1 ≥ 2

a) VFF b) VVV c) FVF

d) VVF e) FVV

6. Resolver la ecuación: ||x| + 5| + ||x| + a| = a+7Si: a > 0

a) { } b) {±1} c) {0}

d) {1} e) {−1}

7. Resolver: |3x−5| ≤ |2x+3| + |x−8|Indique el conjunto solución.

a) [ ;23 8− ] b) <−∞; 8] c) [ ;

23 3− >

d) R e) f

Capítulo


8. Hallar la suma de los dos mayores valores enteros que satisfacen la inecuación: 2x – 5 <

xx3

2−

a) 4 b) 5 c) 6

d) 3 e) 7

9. Hallar el conjunto solución de m, para que se cumpla la inecuación en "x", mx2+(m+2)x+6>2m; ∀x∈R, m>0.

a) <94 ; 9> b) <

92 ; 2> c) <2; +∞>

d) <1; 4> e) <91 ; 4>

10. Al resolver la inecuación:

xx

xx

11

22

4

6

4

5$

+−

+− ; hallar el conjunto solución.

a) [−1; +∞> b) <−1;+∞ > c) [1;+∞ >

d) <1; +∞> e) [0; ∞>

11. Resolver: (x2−4)(1−x)(x2+x+1)27(x2−5x−6) > 0Indique la suma de los enteros no negativos que la verifiquena) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 14

12. Calcular "m" de forma tal que la inecuación: (2x+3)(x+m) ≥ x(x+3)se verifica: ∀ x ∈ R

a) [0; 3] b) [0; +∞> c) <−∞; 3]

d) R e) f

13. Al resolver:

xx

xx

21

3#

−+

+Se obtuvo como solución: <−∞,a> ∪ <b; +∞>Calcular: ab+a+ba) −1 b) −5 c) −6

d) −7 e) −8

14. Resolver el sistema en Z:x

x y

x y

7 49

10

2 112

><<

+

+

−

Z

[

\

]]

]

Señale el valor de "x".a) 34 b) 38 c) 42

d) 43 e) 83

15. Si: a<b, resolver, para "x": (x−b)2 + b2 > (x−a)2 + a2 a) <−∞; a+b> b) <ab; +∞>c) <−∞; c−b> d) <a−b; +∞>e) <a−b; a+b>

16. Luego de resolver la inecuación: |x2+5| + 2x > |x2−x+1| + 7Indique como respuesta el cuadrado del menor valor entero que la comprueba.

a) 2 b) 4 c) 9

d) 16 e) 25

17. A partir de: a (x−b) > 0b (x − a) < 0

con a < b < 0 se puede afirmar: a) abx > 0 b) (x−a)(x−b) > 0

c) x2 = 0 d) a < x < b

e) x+a+b > 0

18. Hallar la suma de los valores enteros que satisfacen la inecuación:

xx

x29

213#

−−

−

a) 247 b) 273 c) 253

d) 250 e) 243

19. Si "S" es el conjunto solución de la inecuación:

( )( ) ( )x xx x

1 22 1

02

$+ −− − ,

Entonces se puede afirmar que:

a) [1; 2] ⊂ S b) [–1; 1] ⊂ S

c) S ⊂ [1; 2> d) S ⊂ [2; 3>

e) S ⊂ [–2; 1>

20. Hallar el complemento del conjunto solución de:x2 + 3 |x – 3| + 5 ≥ 6x

a) <1; 3] b) [2; 4] c) [2; 4>

d) <2; 4> e) <–1; 1>

Álgebra


35 Funciones

35

1. Hallar: a2–b2, para que el conjunto "A" sea una función: A = {(2; 4); (1; 3); (2; a+b); (1; a–b)}a) 14 b) 12 c) 10

d) 8 e) 7

2. Sea la función F: F = {(2; 3); (3; 4); (1; 5); (5; 7)}Calcular: J = F(F(1)) + F(F(2)) + F(1) + F(2)

a) 18 b) 19 c) 20

d) 21 e) 22

3. ¿Cuál de los siguientes gráficos no representa una función?a)

y

x

b)

y

xc)

y

x

d)

y

x

e)

y

x

4. Calcular el dominio de: f(x) = x4 2− ; y dar como respuesta el número de valores enteros de dicho dominio.

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

5. Calcular la suma de valores enteros del dominio de "f": f(x) = x x5 84 4+ − −a) 20 b) 21 c) 22

d) 23 e) 24

6. Indicar verdadero (V) o falso (F):I. El dominio de F(x)=x+5 es el conjunto de los

reales.II. El rango de F(x)=(x–3)2+1 es un conjunto de

números positivos.III. El punto (0; 0) representa una función.

IV. El mínimo valor que toma el dominio de ( )F x x 2+= es igual a –2.

V. Una recta horizontal, puede intersectar a una fun-ción en más de un punto.

a) VVVVV b) VVVVF c) VVFVV

d) FVVVV e) VFVVV

7. Calcular el rango en: F(x) = 3 – 5x, x ∈ [–2; 3]

a) [10; 15] b) [–11; 13] c) [–12; 14]

d) [–12; 13] e) [12; 13]

8. Sea la función polinomial:f(x) = mx7 + 5x4 + nx – 3sabiendo que f(–1)=6; calcule: f(1)

a) –3 b) 0 c) –4

d) –3 e) –2

9. UNMSM 2008Dado: A = {x ∈ Z / |x| < 4}, sean "f" y "g" funciones de A en R definidas por: f(x) = x2 – 3 y ( )g x x1 1= − + . Hallar la intersección del rango de "f" con el dominio de "g".

a) {0;–2;–3} b) {–3;–2;–1} c) {1; 2; 3}

d) {–3;–2;1} e) {–1; 0; 1}

10. UNMSM 2002Dada la función: f(x) = |a |x –b| + b |x–a||; en donde: a > b > 0. Calcular: ( )f a b

2+

a) 2 a2 – b2 b) (a2 + b2) / 2

c) (b2 – a2) /2 d) (a2 – b2) / 2

e) 2 b2 – a2

11. UNMSM 2007 - II

Halle el rango de: f(x) = x4 1− +a) [0; 3] b) <1; 3> c) <2; 3]

d) [1; 3] e) [1; 3>

12. UNMSM 2009 - IHalle el área de la región limitada por las gráficas de las funciones: f(x) = |2x| y g(x) = x

2+5

a) 3

20 u2 b) 3

40 u2 c) 3

38 u2

d) 3

32 u2 e) 3

16 u2

Capítulo


13. UNMSM 2010 - I

Halle el rango de la función: f(x) =–x2 + 2x, sabiendo que su dominio es igual al conjunto de los números reales.

a) <–∞; 1> b) <–∞; 1] c) <–∞; 0]

d) [0; +∞> e) <–∞; ∞>

14. UNMSM 2010-IISea f(x) una función, cuyo gráfico es una recta si f(4)=7 y f(3)=1. Determine f(–2)

a) 30 b) –26 c) –29

d) 12 e) –15

15. Si la gráfica de la función: f(x)=2x2+x+m, pasa por el punto (3; 26). Halle la ordenada de abscisa 2 que pertenece a f(x).

a) 12 b) 18 c) 15

d) 24 e) 5

16. Hallar uno de los puntos de intersección de las gráficas de: f(x) = x2 – 5x + 6; g(x) = x+1

a) (2; 1) b) (5; 6) c) (5; 1)

d) (6; 2) e) (1; 5)

17. Hallar el mínimo valor que puede tomar la función:g : R R: g(x) = x2 – 2x – 12

a) 14 b) –11 c) –13

d) 1 e) –1

18. Si: g(x) = 4x2–4x+5. Hallar el valor mínimo de g.

a) 1 b) –4 c) 4

d) –1 e) –23

19. Si: f(x) =–x2+10x–21. Hallar el valor máximo de f.

a) 25 b) –4 c) 4

d) –21 e) 21

20. Hallar el área de la región formada por la función:g : R R; g(x)= –2x+3, con sus ejes coordenados.

a) 3 u2 b) 6 c) 1/9

d) 9 e) 9/4

Tarea domiciliaria

1. Hallar el área del triángulo que resulta de intersectar la función identidad con la función constante: y=4 y el eje "y"?

a) 4u2 b) 8 c) 6

d) 2 e) 3

2. Halle el rango de la función: h(x) = x x1 1+ − −

a) [–1; 1] b) <–2; 2> c) <0; 1]

d) R–{–1; 1} e) <–1; 1>

3. Graficar la relación: R = {(x; y) ∈ R2 / y ≥ 3x – 2}

a)

2

–2

y

x

b)

2/3

–2

y

x

c)

2/3

–2

y

x

d)

–2/3

–2

y

x

e)

2/3

–2

y

x

4. Graficar: R = {(x; y) ∈ R2 / y ≥ x2 – 2x + 1}a)

1

y

x

b)

x

y

c)

x

y

1

d)

xy 1

e)

1

y

x

Álgebra


5. Graficar la relación: R = (x; y) ∈ R2 / x2 + y2 ≤ 9 ∧ y ≤ |x|}a)

y

x

b)

y

x

c)

y

x

d)

y

x

e)

y

x

6. Indicar (V) o falso (F):

I. El dominio de F(x)=3x+b, es el conjunto de los números reales.

II. G(x)=x2; x ∈ [2; 5] y f={(4; 16); (5; 7)} presen-tan un punto común en sus gráficos.

III. El rango de f(x)=(x–2)2–4, es un conjunto de nú-meros positivos.

a) VVV b) VFF c) VFV

d) VVF e) FVF

7. A partir de: f={(x;y)∈R2/y=–|x|+2} se puede afirmar:

I. Su mínimo valor es –2.

II. Su máximo valor es 2.

III. Su dominio está dado por el conjunto de los nú-meros reales.

a) solo I b) I y II c) II y III

d) I y III e) todas

8. Graficar: G(x)= |x–5| – 3

a)

y

x–3

5

b)

y

x

3

5

c)

y

x

–3

d)

y

x

e)

y

x

9. Sea la función: f(x)=5x–4x2, indicar: Dom(f)∩Ran(f)

a) [0; 1] b) [–1; 3/2] c) [3/2; 5/2]

d) [1; 3/2] e) <–∞; 1625 ]

10. Sea G una función constante, tal que:

( )( ) ( )G

G G4 8

5 1 6−

+ − = , calcular G(x).

a) 1 b) 2 c) –2

d) 3 e) 12

11. Dada f(x)=x2+6 y g(x)=5x. Calcular una de las raíces de f(x)=|g(x)|

a) 4 b) –2 c) 0

d) –4 e) 6

12. Dada la función: F(x)=ax2+b, cuya gráfica se muestra

x

y

–2

–3

12

c

Calcular: acb

a) 6 b) 3 2 c) – 3

d) 3 3 e) 1

13. Graficar: R = {(x; y) ∈ R / y ≥ 4}

a)

4

x

yb)

–4

x

y

c)

4x

yd)

4x

y

35Capítulo


e)

–4

x

y

14. Hallar el valor mínimo de: f(x) = x2 – 2x – 3; x ∈ <–14; 4>

a) 4 b) –3 c) –4

d) –1 e) –5

15. Hallar el área de la región sombreada:

x

y

y=–xx=–4

a) 10 u2 b) 15 u2 c) 8 u2

d) 13 u2 e) 16 u2

16. Sean: f(x)=mx2+mx+5 y g(x)=x2–mx–m, las reglas de las dos funciones que se intersectan en un solo punto. Hallar "m".

a) 5/4 b) 3/4 c) 4/5

d) 2/5 e) 1/2

17. Hallar el área de la región limitada por: f(x)=|x| – 6 y g(x) =6 – |x|

a) 49 u2 b) 72 u2 c) 25 u2

d) 18 u2 e) 24 u2

Álgebra


36 Logaritmos - progresiones

1. Si: log x = -2/3; calcule el valor de: Log3 (10x2) - colog xa) -8/27 b) 21/13 c) -2/3

d) -19/27 e) 7/9

2. Si xo es la solución de la ecuación:

( )LogLn xLn x Ln

e11 1

xLog x

+− =` j

Calcule el valor de Ln xo.

a) 11 b) 1/9 c) 11/9

d) 1/11 e) 10/9

3. Dado el sistema de ecuaciones: ( ) 6 ....... (1)

.......... ( )

Ln xy

y e 2Ln x 9=

=)

Calcule el valor de: Ln x y2+` j

a) 2 b) 3 c) 6

d) e e) 1/e

4. Resuelva: ( )Log 3+

(3 25)( )

5Log LogLog

Log Log2

5x

23

31

5= +

E indique el valor de x-1

a) 1 b) Log32 c) 3/4

d) 16 e) Log23–2

5. Indique la solución de la ecuación: x2 + 1 = Logx+12-2x

a) 2 b) 1/2 c) 2 -1

d) 22 1+ e) 3/2

6. Calcule el valor de x x1 2 , si x1 y x2 son las soluciones

de la siguiente ecuación: Ln x e Ln x34Ln x 2+ =

a) e2 b) ee c) 1

d) 4 e) e2e

7. Si las raíces de la ecuación cuadrática en "x": x2 Log (2n–5) + 2x + Logn10 = 0; son reales, entonces la variación de "n" es:

a) ;2 5< @ b) ;25 3< > c) ;2 3< @

d) ;25 5< @ e) ;1 3< @

8. Resuelva la inecuación: Log1/2x > Log1/3x

a) <0; 1> b) <0;1/2> c) <0;+3>

d) <0;1/3> e) <1;+3>

9. Si: Log5(Log3(x-5)) < Log52 ∧ log1/3(y+5)<log1/3(2y–3)Halle la variación de (x-y)

a) 3;2

25< >− b) ;027< > c) ;

213 16< >

d) ;32

13< >− e) 1 ;23 16< @

10. Si: ( )3 16 4 3 3Log x x Logx x1 1+ = ++ − −

¿Cuál(es) de los siguientes enunciados son correctos?I. Posee 3 raíces

II. Una de sus raíces es: 10Log 43

III. La menor de sus raíces es: Log312

a) I, II y III b) II y III c) solo III

d) solo II e) solo I

11. En la P.A. ÷3 .... 30 .... p, el número de términos comprendidos entre 3 y 30 es igual a los comprendidos entre 30 y p; si además la suma de todos los términos es 570. Hallar la razón.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

12. Si los términos de lugares p, q, r de una P.A. son a, b, c respectivamente, calcular el valor de la expresión: (q – r)a + (r – p) b + (p – q) ca) q b) r c) p

d) 0 e) abc

13. Sobre el radio de una semicircunferencia describimos otra circunferencia, sobre el radio de esta nueva circunferencia describimos otra nueva circunferencia y así sucesivamente. Hallar la suma de las longitudes de todas las semicircunferencias siendo el radio de la primera "r". a) pr a) pr/2 b) 2 pr

a) pr/4 a) pr/8

14. Calcular el número de términos de una P.G. de razón 2, siendo 189 la suma de ellos y la suma de sus cuadrados 12285.

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

15. Una persona tiene que pagar una deuda de S/.3600 nuevos soles en 40 pagos anuales que forman una P.A. cuando ya había pagado 30 de las anualidades convenidas, fallece dejando una tercera parte de la

36Capítulo


deuda sin pagar, entonces ¿El importe del primer pago es?

a) 83 b) 77 c) 56

d) 55 e) 51

16. Calcular el valor límite de: .....

71

72

71

72

71

72

2 3 4 5 6+ + + + + +

a) 1/8 b) 3/32 c) 1/32

d) 1/16 e) 3/16

17. En una P.G. de términos positivos la suma de los términos 2do, 3ero y 4to es 78, además el producto del 1ero y 3ero es 36. Halle el cuarto término de la P.G.a) 52 b) 53 c) 54

d) 57 e) 58

18. Una persona caminó 1 Km el primer día, 3 km el segundo día, 5 km el siguiente día y así sucesivamente. Después de tres días, parte otra persona y recorre 12 km el primer día, 13 km el segundo, 14 el tercero y así sucesivamente. ¿Cuántos días tardará la primera persona en alcanzar a la segunda persona?

a) 12 b) 14 c) 13

d) 18 e) 21

19. Sea la sucesión geométrica: S : : : : :

m n1 1

42

81

161

2''+

Calcule el valor de (m+n)a) 2 b) 4 c) 7

d) 8 e) 5

20. De una P.G. con el primer término y distinto de cero y q ≠ 0 y una sucesión aritmética con el primer término igual a cero, se suman los términos correspondientes de las dos sucesiones y se obtiene una nueva sucesión: 1, 1, 2, ..... entonces la suma de los diez primeros términos de la nueva sucesión es:a) 435 b) 531 c) 654

d) 124 e) 978

Tarea domiciliaria

1. Si: a = Log23 b=Log35. Halle Log512

a) ab

a1 + b) ab

b22 + c)

aba2 +

d) ab

b2

1 + e) b

a b2 +

+

2. Si: Log 2

( ) ( )x Log Log x2 4 22( )x2− +− =3

Entonces el valor de: (x+5)2, es:a) 81 b) 25 c) 100

d) 1 e) 9

3. Si: 3 5x x22=− , calcule el valor de "x".

a) Log35 b) Log 15 13 +

c) 1Log 53 + d) Log 153

e) 1Log 35 +

4. Si xo es la solución de la ecuación logarítmica:

( )Log x Log x Ln e3 2 2 12 2+ − − = ,

Calcule el valor de Log 4x3

o

a) 1/4 b) 1/3 c) 1

d) –1 e) –1/4

5. Resuelva la siguiente ecuación logarítmica:

( ) ( )( ) ( )

Log x xLog x x

4 2 124 2 1

xx+ − =

+ −

a) ;421−8 B

b) : ; 14 2< >,3 3− − + −6@ " ,

c) ;1< >3+

d) ; ;421 1< < >,3 3− − + −@ " ,

e) ; 121< >3+ − " ,

6. Si: Log 2 = 0,30103..., calcule la cantidad de cifras del número "N". N = 230 x 1020

a) 31 b) 32 c) 28

d) 29 e) 30

7. Si Log a y Log b son las soluciones de la ecuación: x2 – 4x + 2 = 0, determine el valor de: Log2 a2 + Log2b2

a) 12 b) 36 c) 48

d) 8 e) 24

8. Al resolver la inecuación: Log2/5(3x-2) > -2; se obtuvo como conjunto solución <a; b>. Halle el valor de: a+b

a) 13/12 b) 15/13 c) 41/12

d) 8 e) 25

Álgebra


9. Al resolver la inecuación logarítmica: Ln (x+2) < Ln (–x2+6x+16) – Ln (5–x), se obtiene <a; b> como conjunto solución. Determine (b + a).

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

10. Si: b > b2, halle el C.S. de:

( ) ( )Log x x Log x3 1 3>b2 + +−

b6 @

a) <-3; 3> b) <3; +∞> c) <0;3>

d) <-3;8> e) <-3;0>

11. Hallar el término de lugar 20 de una P.A. si la suma de los "n" primeros términos es 4n2+2n.

a) 160 b) 158 c) 152

d) 150 e) 162

12. La suma de los tres primeros términos de una P.A. es 42; la suma de los tres últimos términos es 312 y la suma de todos los términos es 1062. Hallar el número de términos de dicha progresión.a) 20 b) 18 c) 16

d) 10 e) 12

13. Tres números están en P.G.; si al segundo se suma 2, se convierte en aritmética y si a continuación se suma al tercero nueve, vuelve a ser geométrica. Hallar el tercer número.

a) 4 b) 8 c) 16

d) 12 e) 10

14. Si la media aritmética entre (a – 4) y (10 – b) es igual a su media geométrica, evaluar "a+b".

a) 10 b) 6 c) 4

d) 14 e) 40

15. La suma de tres números positivos, que forman una P.A. es igual a 21. Si a estos tres números les sumamos respectivamente 2, 3 y 9 los nuevos números forman una PG. Hallar el producto de ellos.

a) 3 b) 7 c) 11

d) 231 e) 77

16. La diferencia del tercer término menos el sexto término de una P.G. es 26 y el cociente 27. Calcular el primer término.

a) 245 b) 234 c) 243

d) 4/9 e) 5/9

17. En la siguiente P.A. ÷ a . b . c si se aumenta respectivamente 2; 3 y 8 estos nuevos números son proporcionales a 10; 25 y 50. Hallar el valor de: ab + bc + ca

a) 36 b) 64 c) 122

d) 156 e) 216

18. Calcule el valor límite de la siguiente expresión:

....S 152

253

1254= + + + +

a) 125/64 b) 4/5 c) 1

d) 3/4 e) 25/16

19. La suma de los "n" primeros términos de una P.A. es n(3n+1) la razón de la progresión es:

a) 8 b) 6 c) 5

d) 3 e) 2

20. Calcule la suma:

K2

1K

K

n

11

−−

=/

a) n21

24

n 1+−+

b) n21

21

n 1− +

+

c) n22

1n 1

− +− d)

21

e) n21

2n−

36Capítulo


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Álgebra SM 5°