B À I T Ậ P G I Ớ I

1 | B À I T Ậ P G I Ớ I H Ạ N H À M S Ố

Bài 1: Tính giới hạn của hàm sau:

x 0

tan x xI lim

x sin x

Giải bài 1: Thấy khi x 0 thì giới hạn đã cho có dạng bất định là 0

0.

Áp dụng quy tắc L’Hospital:

2

2 2x 0 x 0 x 0 x 0

11 1 cosx 1 cosxtan x x 1 cosx 2cos xlim lim lim lim 2

x sin x 1 cosx 1 cosx cos x cos x 1

Bài 2: Tính giới hạn sau đây: 1

x

x

e 1I lim

1

x

Giải bài 2:

Khi x thì giới hạn đã cho có dạng bất định là 0

0.

Áp dụng quy tắc L’Hospital 1

1x

x 20

x x

2

1e

e 1 xI lim lim e 11 1

x x

Bài 3: Tính giới hạn sau đây:

x 0

ln xI lim

1

x

Giải bài 3:

Khi x 0 thì giới hạn đã cho có dạng bất định là

.

Áp dụng quy tắc L’Hospital

x 0 x 0

2

1ln x xI lim lim 01 1

x x

Bài 4: Tính giới hạn khi n N , a 1 n

xx

xI lim

a

Giải bài 4:

Khi x thì giới hạn có dạng bất định là



n n 1 n 2

x x x 2 x nx x x x

x nx n(n 1)x n!I lim lim lim lim 0

a a lna a (lna) a (lna)

(vì n là một số)

Bài 5: Tính giới hạn sau đây khi 0

x 0I limx ln x

Giải bài 5:

Khi x0, giới hạn đã cho có dạng bất định là 0. , ta đưa về dạng bất định 0

0

x 0 x 0

ln xI limx ln x lim

1

x


( 1)

( 1)x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0

1ln x ln x x x x xxI lim lim lim lim lim lim 01 x x x x

x

Bài 6: Tính giới hạn sau:

2

2x 0

1I lim cot x

x

Giải bài 6:

Khi x 0 thì giới hạn đã cho có dạng bất định là

Đưa về dạng 0

0

2 2 2 22

2 2 2 2 2x 0 x 0 x 0

2x 0

1 cos x 1 x cos x sin xI lim cot x lim lim

x sin x x x sin x

xcosx sin x xcosx sin xlim

x sin x sin x

Tới đây tiến hành thay thế VCB tương đương

Khi x 0 thì ta có:

xcosx ~ x

sinx ~ x

x2sinx ~ x3

Vậy xcosx + sinx ~ x + x = 2x

xcosx – sinx không thay được VCB tương đương vì x – x = 0x

2 2x 0 x 0 x 0

3 3x 0 x 0 x 0

xcosx sin x xcosx sin x xcos x sin x xcos x sin xI lim lim lim

x sin x sin x x sin x sin x

xcosx sin x 2x xcosx sin xlim lim 2lim

x x x



3 2 2x 0 x 0 x 0

x 0

xcosx sin x cosx xsin x cosx xsin xI 2lim 2lim 2lim

x 3x 3x

1 sin x 1 22 lim 2 1

3 x 3 3


3

5x 0

sin 1 x sin1I lim

1 2x lncosx 1

Giải bài 7:

Nhận xét, vì:

3

x 0lim sin 1 x sin1 0

và 5

x 0lim 1 2xlncosx 1 0

ta mới tiến hành thay thế VCB

tương đương được.

3 3 3

3

5 5 5x 0 x 0 x 0

1 x 1 1 x 1 1 x 12cos sin 2cos1 sin

sin 1 x sin1 2 2 2I lim lim lim1 2x lncosx 1 1 2x lncosx 1 1 2x lncosx 1

Khi x 0, ta có:

3 3 3 31 x 1 1 x 1 1 x xsin ~ ~

2 2 2 2 4

2

5

3

2 2 2 2 x1 2x lncosx 1~ x lncosx x ln(1 cosx 1) ~ x(cosx 1) ~ x

5 5 5 5 2

x

5

Vậy: 3

3x 0

xcos1

52I lim cos1x 2

5


2

2x

x 4 2x 3 xI lim

x 4 x

Giải bài 8:

Vì 2 2

x xlim x 4 2x 3 x lim x 4 x

nên ta tiến hành thay VCL


Khi x ta tiến hành lượt bỏ các VCL có bậc thấp hơn, chỉ chọn những VCL có bậc cao

nhất của cả tử và mẫu.

2x 4 ~ x và 2x 4 ~ x

Như vậy, ta có:


x

3x 3I lim

2x 2


2 3x 0

ln 1 x tan xI lim

x sin x

Giải bài 9:

Vì, 2 3

x 0 x 0limln 1 x tan x 0 lim x sin x 0

nên ta thay được các VCB tương đương.

Khi x 0, ta tiến hành thay các VCB tương đương:

2ln 1 x tan x ~ x tan x ~ x

3 3sin x ~ x

Dưới mẫu được 2 3x x , lượt bỏ VCB có bậc cao hơn, như vậy dưới mẫu ta được x2

Như vậy: 2

2x 0

xI lim 1

x


2x 0

ln cosxI lim

ln(1 x )

Giải bài 10:

Vì 2

x 0 x 0limln cosx 0 limln(1 x ) 0

nên thay VCB tương đương được.

Khi x 0, ta được: 2x

ln(cosx) ln(1 cosx 1) ~ cosx 1~2

2 2ln(1 x ) ~ x

Như vậy: 2

2x 0

x12I lim

x 2


x 1

x 1

sin e 1I lim

ln x

Giải bài 11:

Vì x 1

x 1 x 1limsin e 1 0 limln x 0

nên thay VCB tương đương được.

x 1 x 1

x 1 x 1

sin e 1 sin e 1I lim lim

ln x ln(1 x 1)

Khi x 1, ta có:

x 1 x 1sin e 1 ~ e 1~ x 1


ln(1 x 1) ~ x 1

Vậy,

x 1

x 1I lim 1

x 1


x

3 4x 0

e 1 cosx 1I lim

sin x 2x

Giải bài 12:

Vì x 3 4

x 0 x 0lim e 1 cosx 1 0 lim sin x 2x 0

nên ta thay VCB tương đương được.

Khi x0, ta có:

xe 1~ x và 2x

cosx 1~2

và 3 3sin x ~ x

Như vậy, 3

3x 0

x12I lim

x 2

Bài 13: Tính giới hạn sau:

2

2 xx 0

sin 2x 2arctan3x 3xI lim

ln 1 3x sin x xe

Giải bài 13:

Vì 2 2 x

x 0 x 0lim sin2x 2arctan3x 3x 0 lim ln 1 3x sin x xe 0

nên thay VCB


Khi x0, ta có:

sin2x ~ 2x ; 2arctan3x ~ 6x ; 2 2 2ln 1 3x sin x ~ 3x sin x ~ 3x x

xxe ~ x.1 x

Như vậy, ta được:

x 0

8xI lim 2

4x


2

2x

x 4 2x 3 xI lim

x 4 x

Giải bài 14:

Vì 2 2

x xlim x 4 2x 3 x lim x 4 x

nên thay VCL tương đương

được.

Khi x , ta có:

2x 4 ~ x ; 2x 4 ~ x


Nhận thấy VCL bậc cao nhất của tử và mẫu là bậc 1, nên các VCL có bậc < 1 sẽ bị giản lược

đi bớt. Như vậy, ta có:

x

3x 3I lim

2x 2


2

2x

x 14 xI lim

x 2 x

Giải bài 15:

Vì 2 2

x xlim x 14 x lim x 2 x

nên ta thay VCL tương đương được.

Khi x , ta có:

Ta thấy:

2

xlim x 14 x

và 2

xlim x 2 x

. Nên ta mới tiến hành thay VCL tương

đương được.

2

2

x 14 ~ x

x 2 ~ x

Như vậy,

x

2xI lim 1

2x


2

2x

x 14 xI lim

x 2 x

Giải bài 16:

Vì 2 2

x xlim x 14 x 0 lim x 2 x 0

nên ta không thể thay thế VCL tương

đương được mà chỉ có thể tính bằng các giới hạn cơ bản hoặc thay bằng VCB tương đương

bằng cách biến đổi biểu thức.

#CÁCH 1:

2 2 2

2x x x2

2 2

14 14x 1 x 1 1

x 14 x x xI lim lim lim2 2x 2 x

x x x 1 1x x

Khi x , ta có:

2 2 2

14 1 14 71 1~

x 2 x x ;

2 2 2

2 1 2 11 1~

x 2 x x

Như vậy,


2

x

2

7

xI lim 71

x

# CÁCH 2:

Đặt t x

Như vậy, giới hạn đã cho trở thành:

2 2 2 2

2 2 2 2t t

2

2t

t 14 t t 14 t t 2 t t 14 tI lim lim

t 2 t t 2 t t 2 t t 14 t

14 t 2 tlim

2 t 14 t

Khi t , ta được:

2t 2 ~ t và 2t 14 ~ t

Như vậy,

t

14 2t 14I lim 7

2 2t 2

Bài 17: VCL nào sau đây có bậc cao nhất khi x : 33x ln x , xln x , 3x , 4x(2 sin x)

Giải bài 17:

(Phương pháp: Giống như thuật toán tìm giá trị Max, thì đầu tiên ta gán một phần tử bất kì

xem như là nó max ban đầu, sau đó so sánh tiếp với các phần tử khác. Nếu có phần tử nào mà

lớn hơn phần tử đã gán ban đầu thì giá trị Max sẽ gán cho phần tử mới đó. Tương tự, so sánh

dần dần và ta được giá trị Max nhất trong dãy)

Chọn 33x ln x

Khi x thì 33x ln x ~ 3x

So sánh với hàm kế tiếp là xlnx: x x

xln x ln xlim lim

3x 3

Như vậy: xlnx có bậc cao hơn 3x + ln3x

Có 1

23x 3x . Như vậy 3x + ln3x có bậc cao nhất là 1 bé hơn bậc của xlnx đã bị loại. Trong

khi 3x có bậc là 1/2 < 1 nên cũng bị loại.

Ta đem hàm xlnx so sánh với x(2 + sin4x): 4x(2 sin x) ~ 2x (do hàm sinx là hàm bị chặn)

x x

2x 2lim lim 0

xln x ln x xlnx có bậc cao hơn x(2 + sin4x)

Vậy: VCL có bậc cao nhất là xlnx

Bài 18: VCL nào sau đây có bậc cao nhất khi x : 2x, x2, x2 + sin4x, xlnx

Giải bài 18:

Tương tự bài 17.


Nhận định đầu tiên là giữa 2x và x2 thì ta thấy 2x là VCL có bậc cao hơn vì 2x tiến ra vô cùng

nhanh hơn x2.

Xét 2 4 2x sin x ~ x (do hàm sinx là hàm bị chặn)

Nên 2x là VCL có bậc cao hơn x2 + sin4x

Tương tự, ta thấy xlnx tiến ra vô cùng chậm hơn 2x, như vậy:

2x là VCL có bậc cao nhất khi x

Bài 19: Tính giới hạn sau đây: 1

xx

xI lim xe

Giải bài 19:

Đặt t = -x, ta được giới hạn sau:

#CÁCH 1:

1t

t

1t t t

t

tI lim te lim

e

Dạng

. Tiến hành dùng L’Hospital

1t t

t2

1I lim 0

11 e

t

. Do 1

tt

2t

1lim 1 e

t

#CÁCH 2: 1 1tt t

tt t

tI lim te lim e 0

e

(Do 0.1 = 0 vì hàm t chạy ra vô cùng chậm hơn so với hàm et

nên –t/et = 0)

Vậy 1

xx

xI lim xe 0

Bài 20: Tính giới hạn sau đây: 2x

2

2x

x 4I lim

x 4

Giải bài 20:

Dạng bất định 1 2

2 22 2

2x

8x

x 4 x 4x 8x2lim8

8x 42 2x x

x 4 8I lim lim 1 e e

x 4 x 4

Vì 2

2x

8xlim 8

x 4


2

14 sin x

x 0I lim 1 2x


Giải bài 21:

Dạng bất định 1

4

42

22 4 x 0

2x2x1 1 sin x lim

4 4 sin xsin x 2x

x 0 x 0I lim 1 2x lim 1 2x e 1

Vì 4 4

2 2x 0 x 0

2x 2xlim lim 0

sin x x


cot x

x 0I lim ln e x

Giải bài 22:


x 0 2

cot x cot xcot x

x 0 x 0 x 0

xln 1 cot x

1 ex

x lim ln 1 cot xln 1 Ie

e

x 0

x xI lim ln e x lim ln e 1 lim 1 ln 1

e e

xlim 1 ln 1 e e

e

Tính 2

x 0

x cosx 1I limln 1

e sin x e

Vì khi x 0 thì x x

ln 1 ~e e

; cosx ~ 1; sinx ~ x

Như vậy:

1

cot xe

x 0I lim ln e x e

Bài 23: Tính giới hạn sau;

2

12 sin 2x

x 0I lim 1 tan x

Giải bài 23:


2

2

22 2

tan x11 sin 2x

I2 2 tan xsin 2x

x 0 x 0I lim 1 tan x lim 1 tan x e

Tính

2

2 22

2 2 2 2 2 4x 0 x 0 x 0

sin xtan x sin x 1cos xI lim lim lim

sin 2x 4sin xcos x 4sin xcos x 4

Như vậy,

2

112 4sin 2x

x 0I lim 1 tan x e



2

1

x

x 0I lim cosx

Giải bài 24:


2

2x 02 2

cos x 1cos x 11 1 limx

Ixcos x 1x

x 0 x 0I lim cosx I lim 1 cosx 1 e e

Tính:

2 2x 0

cosx 1I lim

x

Khi x 0, cosx – 1 ~ -x2/2 2

2 2 2x 0 x 0

xcosx 1 12I lim lim

x x 2

2

112x

x 0I lim cosx e

Bài 25: Tính giới hạn sau đây: 2x

2

2x

2x 3I lim

2x 1

Giải bài 25:

Dạng bất định 1 2

2 22

4x

2x 1 2x 1x2

42

2 2x x

2x 3 4I lim lim 1 e

2x 1 2x 1

Vì 2

2x

4xlim 2

2x 1

Bài 26: Tính giới hạn sau đây: x

1

x

x

1I lim e

x

Giải bài 26:


Đặt t = 1/x, ta được giới hạn sau

t

t 0 2

11lim ln(e t)

It tt

t 0I lim e t e e

Tính I2


t t t

2 tt 0 t 0 t 0

t

t t tt 0 t 0 t 0

1 1 1 tI lim ln e t lim ln e t lim lne 1

t t t e

1 t 1 t 1lim lne ln 1 lim t lim 1 2

t e t e e

Như vậy, x

1

2x

x

1I lim e e

x

Documents

B À I T Ậ P G I Ớ I