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Datos que describe: Medidas numéricas

Chapter 3

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Metas del capitulo

• Calcular la media aritmética, media ponderada, mediana, modo y media geométrica. Explicar las características, usos, ventajas y desventajas de cada medida de ubicación. Identificar la posición de la media, mediana y modo de distribución simétrica y asimétrica. Calcular e interpretar el rango, desviación media, varianza y desviación estándar. Entender las características, usos, ventajas y desventajas de cada medida de dispersión. Comprender el teorema de Chebyshev y la regla empírica que se relacionan con un conjunto de observaciones.

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Características dela media

La media aritmética es la medida más ampliamente utilizada de la localización. Se requiere la escala de intervalo. Sus características principales son:

– Todos los valores son utilizados.– Es única. – La suma de las desviaciones de la media es de 0.– Se calcula sumando los valores y dividiendo por el número de valores.

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Media de la PoblacionPara datos no agrupados, la población es la suma de todos los valores de población dividida por el número total de los valores de población:

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Ejemplo – Media Poblacion

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Media de la muestra

Para datos no agrupados, la media de la muestra es la suma de todos los valores de muestra dividida por el número de valores de muestra:

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Ejemplo – Media de la muestra

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Propiedades de la media aritmética

Cada conjunto de datos de nivel de intervalo y cociente tiene una media.

Todos los valores están incluidos en la media de computación. Un conjunto de datos tiene un único media. La media es afectada por los valores de datos inusualmente

grande o pequeña. La media aritmética es la única medida de tendencia central

donde la suma de las desviaciones de cada valor de la media es cero.

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Media ponderada

La media ponderada de un conjunto de números X 1, X 2,..., Xn, con las correspondientes pesos W1, W2,..., Wn, se calcula de la siguiente fórmula:

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Ejemplo – Media Ponderada

La empresa constructora Carter paga a sus empleados por hora $16,50, $19,00 o $25,00 por hora. Hay 26 empleados por hora, 14 de los cuales son pagados a la tasa de $16,50, 10 en la tarifa de $19,00 y 2 en la tarifa de $25,00. ¿Cuál es el salario medio de los 26 empleados?

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La Mediana

La mediana es el punto medio de los valores después de que se ha ordenado desde el más pequeño al más grande.

– Hay tantos valores por encima de la mediana como abajo en la matriz de datos.

– Para un conjunto uniforme de valores, la mediana será el promedio aritmético de las dos cifras medias.

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Propiedades de la mediana

Hay una única mediana para cada conjunto de datos.

No es afectada por los valores extremadamente grandes o pequeños y por lo tanto es una valiosa medida de tendencia central cuando ocurren tales valores.

Puede ser computado para datos de nivel de relación, nivel de intervalo y nivel ordinal.

Puede ser computado para una distribución de frecuencia abierta si la mediana no reside en una clase abierta.

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- Mediana Ejemplos

Las edades de una muestra de cinco estudiantes universitarios son: 21, 25, 19, 20, 22,

organizar los datos en orden da ascendente: 19, 20, 21, 22, 25.

Por lo tanto la mediana es 21.

Las alturas de cuatro jugadores de baloncesto, en pulgadas, son: 76, 73, 80, 75 organizar los datos en orden da ascendente: 73, 75, 76, 80.

Así, la mediana es 75,5

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La Moda

El modo es el valor de la observación que aparece con mayor frecuencia.

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Ejemplo - Moda

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Mean, Median, Mode Using Excel

Tabla 2-4 en el capítulo 2 muestra los precios de los 80 vehículos vendidos el mes pasado en Whitner Autoplex en Raytown, Missouri. Determinar la media y la mediana de precio de venta. La media y la mediana de los precios de venta se divulgan en la siguiente salida de Excel. Hay 80 vehículos en el estudio. Así que los cálculos con una calculadora sería tedioso y propenso a errores.

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Mean, Median, Mode Using Excel

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The Relative Positions of the Mean, Median and the Mode

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La media geometrica

Es útil en la búsqueda de la variación promedio de porcentajes, ratios, índices o tasas de crecimiento en el tiempo.

Tiene una amplia aplicación en la economía y porque a menudo estamos interesados en encontrar los cambios porcentuales en las ventas, salarios o cifras económicas, tales como el PIB, que compuesto o construcción el uno al otro.

La media geométrica siempre será menor o igual a la media aritmética.

La media geométrica de un conjunto de n números positivos se define como la raíz nth del producto de los n valores. La fórmula para la media geométrica se escribe:

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EJEMPLO DE LA MEDIA GEOMETRICASupongamos que usted recibe un 5% de aumento en salario este año y un aumento del 15 por ciento el año que viene. El promedio de aumento porcentual anual es 9.886, no 10.0. ¿Por qué es esto así? Empezamos calculando la media geométrica.

098861151051 . ).)(.(GM

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EXAMPLE – Geometric Mean (2)

El retorno de la inversión por Atkins construcción empresa durante cuatro años sucesivos fue: 200 por ciento, 20 por ciento, el 40 por ciento y 30 por ciento. ¿Cuál es la tasa media geométrica de retorno de la inversión?

..).)(.)(.)(.(GM 2941808203602131 44

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Dispersion

Por que estudiar la Dispersion?

– Una medida de ubicación, como la media o la mediana, sólo describe el centro de los datos. Es valioso desde el punto de vista, pero no nos dice nada sobre la propagación de los datos. ¿Por ejemplo, si su guía naturalista le dije que el río adelante un promedio de 3 pies de profundidad, querrías vadear a pie sin información adicional? Probablemente no. Querrías saber algo sobre la variación de la profundidad. Una segunda razón para el estudio de la dispersión en un conjunto de datos es comparar la propagación en dos o más distribuciones.

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Samples of Dispersions

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Measures of Dispersion

Range

Mean Deviation

Variance and Standard Deviation

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EXAMPLE – Range

The number of cappuccinos sold at the Starbucks location in the Orange Country Airport between 4 and 7 p.m. for a sample of 5 days last year were 20, 40, 50, 60, and 80. Determine the mean deviation for the number of cappuccinos sold.

Range = Largest – Smallest value = 80 – 20 = 60

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EXAMPLE – Mean Deviation

The number of cappuccinos sold at the Starbucks location in the Orange Country Airport between 4 and 7 p.m. for a sample of 5 days last year were 20, 40, 50, 60, and 80. Determine the mean deviation for the number of cappuccinos sold.

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EXAMPLE – Variance and Standard Deviation

The number of traffic citations issued during the last five months in Beaufort County, South Carolina, is 38, 26, 13, 41, and 22. What is the population variance?

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EXAMPLE – Sample Variance

The hourly wages for a sample of part-time employees at Home Depot are: $12, $20, $16, $18, and $19. What is the sample variance?

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Chebyshev’s Theorem

The arithmetic mean biweekly amount contributed by the Dupree Paint employees to the company’s profit-sharing plan is $51.54, and the standard deviation is $7.51. At least what percent of the contributions lie within plus 3.5 standard deviations and minus 3.5 standard deviations of the mean?

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The Empirical Rule

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The Arithmetic Mean of Grouped Data

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Recall in Chapter 2, we constructed a frequency distribution for the vehicle selling prices. The information is repeated below. Determine the arithmetic mean vehicle selling price.

The Arithmetic Mean of Grouped Data - Example

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The Arithmetic Mean of Grouped Data - Example

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Standard Deviation of Grouped Data

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Standard Deviation of Grouped Data - ExampleRefer to the frequency distribution for the

Whitner Autoplex data used earlier. Compute the standard deviation of the vehicle selling prices

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End of Chapter 3