CAPITULO II PROBABILIDAD Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD El termino probabilidad está asociado con el estudio de la aleatoriedad y la incertidumbre. El objetivo es tratar de asociar a uno o varios resultados de un experimento una medida de la posibilidad de ocurrencia de dichos resultados. Experimento Aleatorio: Es aquel que proporciona diferentes resultados, aun cuando se repita bajo las mismas condiciones. Espacio Muestral: Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Se denota S .

Un Evento es cualquier colección (subconjunto) de resultados de un espacio Muestral S (simples y compuestos). Ejemplos:-Lanzamiento de una moneda no cargada { }S c , s= ó { }S cara , sello=

- Lanzamiento de un dado no cargado, { }1 2 3 4 5 6S , , , , ,= .

- Medición del tiempo de duración de una batería en horas, { }0S ,= + ∞ .- Se selecciona al azar tres artículos de la producción diaria de una empresa. Cada artículo se clasifica como defectuoso (((( ))))D ó No – defectuoso (((( ))))N . Así

{{{{ }}}}S NNN, NND, NDN , DNN , NDD, DND, DDN, DDD====

- Lanzamiento de dos dados no cargados (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))){{{{ }}}}S 1 , 1 1 , 2 , , 6 , 5 6 , 6==== … .

Sean los siguientes eventos A : El resultado es cara {{{{ }}}}A C====

B : El resultado del lanzamiento del dado es par {{{{ }}}}B 2, 4 , 6====

C : La bombilla dura menos de 1000 horas [[[[ ))))C 0 , 1000====

D : Solo un artículo es defectuoso {{{{ }}}}D NDD, DND, DDN====

E : La suma de los resultados al lanzar dos dados es siete (((( ))))7(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))){{{{ }}}}E 1 , 6 2 , 5 3 , 4 4 , 3 5 , 2 6 , 1====

- De la producción diaria de una empresa se examinan al azar artículos hasta encontrar el primero defectuoso. Si D : denota defectuoso y N : No defectuoso entonces {{{{ }}}}S D , ND , NND , NNND , NNNND ,==== …Sea F : el número de artículos no defectuosos antes de un primer defectuoso es par.

{{{{ }}}}F NND , NNNND ,==== …

Ejemplo: Se toman al azar tres artículos de un gran lote. Cada artículo es clasificado como defectuoso “D ”, o no- defectuoso “N ”. El espacio Muestral para este experimento es:

{ }S NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, NDD, DDD= .

Sea E el evento dado por el conjunto de resultados en los cuales al menos dos artículos son defectuosos: { }E NDD , DDN , DND , DDD= .Sea 2E el evento dado por todos los resultados en los cuales los tres artículos son defectuosos.

{ }2E DDD= .Debido a que los eventos son finalmente subconjuntos de un conjunto mayor, las operaciones entre conjuntos se aplican a los eventos (unión, intersección, complemento, entre otras). Ejemplo: Se toman muestras de una pieza fundida de aluminio y se clasifican de acuerdo con el acabado de la superficie (en micro pulgadas) y con las mediciones de longitud. Se presenta un resumen de los resultados obtenidos con 100 muestras.

Longitud Excelente Bueno

Excelente 75 7 Acabado Superficie Bueno 10 8

Considere los siguientes eventos:

A : La muestra tiene acabado excelente. B : La muestra tiene longitud excelente. Determine el numero de muestras en: A , B , A′ , B′ , A B∩ , A B∪ , A B′∩ , A B′ ′∪ .

Grafique en un diagrama de Venn

#A 85 #B 72#A B 92 #A B 75#A 18 #B 15#A B 10 #A B 25

= == == == =∪ = ∩ =∪ = ∩ =∪ = ∩ =∪ = ∩ =′ ′′ ′′ ′′ ′= == == == =′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′∩ = ∪ =∩ = ∪ =∩ = ∪ =∩ = ∪ =

Definición: Sean A y B eventos de un espacio Muestral S . Se dice que A y B excluyentes oDisjuntos si A B∩ = ∅∩ = ∅∩ = ∅∩ = ∅ (Vacío es un evento de S ). En general si 1 2 nE , E , , E… eventos de S , se dicen mutuamente disjuntos o excluyentes si

i jE E , i j∩ = ∅ ∀ ≠ .

Ejemplo: Se lanza un dado no cargado. El espacio Muestral para este experimento es { }1 2 3 4 5 6S , , , , ,= .

Defina los siguientes eventos: 1E : El resultado es un número par.

2E : El resultado es un número primo.

3E : El resultado es un número impar. Identifique los eventos ¿Cuál par de ellos son excluyentes? ¿Son los tres eventos mutuamente excluyentes?

Solución: { } { } { }1 2 32 4 6 2 3 5 1 3 5E , , , E , , , E , ,= = =

{ } { } { }1 2 1 3 2 32 3 5E E , E E , E E ,∩ = ∩ = ∅ ∩ =

1E y 3E son excluyentes, pero . 1 2 3yE , E E no son mutuamente excluyentes, aunque

1 2 3 E E E∩ ∩ = ∅

Ejercicios propuestos Capitulo2, 2-1, 2-9, 2-10, 2-14, 2-22, 2-24. Técnicas de conteo: En algunos experimentos no es fácil enumerar todos los posibles resultados de este. Se hace necesario entonces proponer métodos que permitan el conteo de dichos resultados. Ejercicio: Se selecciona al azar un vehículo en cierta ciudad. Si todas las letras de la placa del vehículo son diferentes, ¿Cuántos autos tienen la misma característica? ¿Cuántos autos tienen placas con todos sus dígitos impares? Ejercicio: Se lanzan 20 monedas no cargadas, ¿Cuántos posibles resultados tienen solo tres caras? Ejercicio: Se seleccionan al azar tres personas de un grupo por 10 obreros, 4 pintores y 6 carpinteros. ¿Cuántos grupos diferentes conformados por un obrero, un pintor y un carpintero se pueden formar? Regla multiplicativa: Si una operación puede describirse como una secuencia de k pasos donde el número de maneras de completar el paso 1 es 1n , para cada manera de completar el paso1 existen 2n maneras de completar el paso 2, y así sucesivamente, entonces el número total de

formas de completar la operación es. 1

k

ii

n=∏

Ejemplo: En una operación de manufactura se produce una pieza con operaciones de maquinado, pulido y pintado. Existen tres herramientas para maquinado, cuatro para pulido y tres para el pintado. ¿Cuantas rutas distintas (maquinado – pulido - pintura) son posibles para fabricar una pieza? Solución: # Formas de operaciones de maquinado: 3# Operaciones de pulido : 4# Operaciones de pintado : 3# Rutas diferentes: 3 4 3 36× × =

Ejemplo: En Colombia las placas de los automóviles constan de tres letras y tres números. ¿Cuántas placas diferentes se pueden tener? ¿Cuántas con los dígitos pares? ¿Cuántas con todas las letras diferentes? ¿Cuántas con todas las letras y números diferentes? Solución:

Placas diferentes: 3 326 5×

Placas con dígitos pares: 3 326 5×

Placas con letras diferentes: 326 25 24 10× × ×

Placas con letras y números diferentes: 26 25 24 10 9 8× × × × ×

Permutaciones: Una permutación es un arreglo ordenado de un conjunto de objetos. El número de permutaciones (acomodos) de n elementos diferentes es n!

( )( )1 2 2 1n! n n n ...= × − − ×

El numero de permutaciones (acomodos) de r elementos seleccionados de un conjunto de n elementos distintos se denota n

rP y

( )( ) ( ) ( )1 2 1nr

n!P n n n ... n rn r !

= − − − + =−

Ejemplo: Juan, Carlos, Ana, y Milena esperan en la parada del autobús. ¿De cuantas maneras se pueden filar para subir al bus? Si solo hay puesto para dos, ¿De cuantas maneras se pueden organizar ellos en los primeros dos lugares? Solución: Usemos las iniciales para mayor facilidad: JCAM # Formas en que se pueden filar: 4 24!=

# Formas en que se pueden acomodar en dos lugares: 42

4 122!P!

= =

El número de acomodos de 1 2 kn n n n= + + +… objetos de los cuales 1n son del tipo 1, 2n son del tipo dos, kn del tipo k , es:

11 2

k

nn , ..., n

k

n!Pn ! n ! ... n !

=

Ejemplo: Una pieza se etiqueta usando 4 líneas delgadas, tres líneas medianas y dos líneas gruesas. Si cada ordenamiento de las nueve líneas representa una etiqueta diferente. ¿Cuántas etiquetas distintas pueden generarse con este esquema?

Solución: # de etiquetas diferentes 9

4 3 29 1260

4 3 2, ,!P

! ! != =

El numero de subconjuntos de tamaño r distintos, que pueden seleccionarse de un conjunto de n

elementos, se denota nr

ó nrC ó rnC y ( )

nrPn n!

r r! n r ! r! = = −

Propiedades: 1 0 10 1 1n n n n

n !n n

= = = = = −

;

Ejemplo: De una baraja de 52 cartas se extraen al azar dos cartas y sin reemplazo. ¿Cuántas muestras de dos cartas contienen un As y un dos? ¿Cuántas muestras contienen un diez y una figura? ¿Cuántas muestras contienen dos figuras? Solución: Defina los siguientes eventos: A: La carta extraída es un As; D: La carta extraída es un dos F: La carta extraída es una figura; T: La carta extraída es un diez

a) Maneras de extraer un As de 4 posibles: 41

Maneras de extraer un dos de 4 posibles: 41

Maneras de extraer un AS y un dos: 4 4

161 1

× =

b) Maneras de extraer un diez y una figura: 4 12

481 1

=

c) Maneras de extraer dos figuras de 12 posibles: 12

662

=

Ejercicios propuestos:

- El pedido de una computadora personal digital puede especificar uno de cinco tamaños de memoria, cualquier tipo de monitor de tres posibles, cualquier tamaño de disco duro de entre cuatro posibles, y puede incluir o no una tableta para lápiz electrónico. ¿Cuántos sistemas distintos pueden ordenarse?

- Un proceso de manufactura está formado por 10 operaciones, las cuales pueden efectuarse en

cualquier orden. ¿Cuántas secuencias de producción distintas son posibles? - Un proceso de manufactura está formado por 10 operaciones. Sin embargo, cinco de ellas

deben terminarse antes de que pueda darse inicio a las otras cinco. Dentro de cada conjunto de cinco, las operaciones pueden efectuarse en cualquier orden. ¿Cuál es el número de secuencias de operaciones distintas posible?

- Se inspecciona un lote de 140 chips mediante la selección de una muestra de cinco de ellos.

Suponga que 10 chips no cumplen con los requerimientos del cliente. a. ¿Cuál es el número de muestras distintas posibles? b. ¿Cuántas muestras de cinco contienen exactamente un chip que no cumple con los requerimientos? c. ¿Cuántas muestras de cinco contienen al menos un chip que no cumple con los requerimientos?

- El diseño de un sistema de comunicación considera las siguientes preguntas: a. ¿Cuántos prefijos de tres dígitos de teléfono pueden crearse para representar un área geográfica en particular (código de área) con los dígitos del 0 al 9? b. Al igual que en el inciso a), ¿Cuántos prefijos de tres dígitos pueden crearse de modo que el primer dígito no sea 0 ni 1, y el segundo sea 0 o 1? c. ¿Cuál es el número de prefijos de tres dígitos en los que ningún dígito aparece más de una vez en cada prefijo?

Probabilidad y Axiomas de Probabilidad

Introducción: En la realización de un experimento aleatorio, la variación en las mediciones obtenidas puede ser muy pequeña o apreciable y se hace necesario determinar que tanto influye esta variación en las conclusiones que se desprendan del análisis de la información recolectada. Estas decisiones varían de una muestra a otra debido a lo aleatorio del experimento. Otra componente adicional se debe tener en cuenta: La incertidumbre.

Ejemplo: Suponga que un fabricante de bombillas asegura a un futuro comprador que estas tienen una duración media de 5270 horas. El comprador requiere de un gran número de bombillas. Para él resulta difícil evaluar la duración de todas las bombillas. Para tomar una decisión, este decide examinar 30 bombillas elegidas al azar y si 2 o mas no cumple con el requisito establecido por el (duración superior a 5300 horas), el lote no es adquirido. La incertidumbre acerca de elegir o no el adquirir el lote, recae en determinar de las 30 bombillas, cuantas no cumplen el requisito. En un sentido amplio la Probabilidad mide el “grado de Creencia”de una afirmación hecha con base en la información recolectada o la posibilidad de ocurrencia de uno o varios resultados del experimento aleatorio. Si un experimento tiene N posibles resultados, todos igualmente posibles, la probabilidad aproximada asociada a cada resultado será 1

n .

Si en vez de un resultado se tiene un conjunto de resultados (digamos el evento E ), la

probabilidad asociada al evento E después de n repeticiones del experimento es Enn ; donde

En es el número de resultados contenidos en E de las n repeticiones. Ejemplo:- Se lanza un dado no cargado, { }1 2 3 4 5 6S , , , , ,= la probabilidad asociada a cada resultado es 1

6 .

- Se lanzan tres monedas no cargadas. { }S ccc , ccs , csc , scc , css , scs , ssc , sss= . La probabilidad

asignada a cada resultado es 18 .

Definición: Sea E un evento de un espacio Muestral S , la probabilidad de E , se calcula como la suma de las probabilidades de los resultados contenidos en E .(Probabilidades aproximadas). Ejemplo: El espacio Muestral de un experimento aleatorio es { }a , b , c , d , e , y las probabilidades asignadas a cada resultado son 0 1 0 1 0 2 0 4 y 0 2. , . , . , . . , respectivamente. Sean

{ } { }yA a , b B c , d , e= = . La probabilidad del evento A es 0 1 0 1 0 2. . .+ = . La probabilidad del

evento B es 0 2 0 4 0 2 0 8. . . .+ + = . La probabilidad del evento A B∪ es 0 2 0 8 1. .+ = . Si A′ denota el complemento de A , entonces la probabilidad de A′ es 0 2 0 4 0 2 0 8. . . .+ + = .

Definición: Una función P :S → � , será llamada una medida de probabilidad si satisface las siguientes condiciones: I) Si A es cualquier evento de ( ) ( ) 0S A S P A⊆ ⇒ ≥

II) ( ) 1P S =III) Si 1 2 nE , E , , E ,… …es una colección (finita o infinita) de eventos de S , mutuamente

excluyentes, entonces ( ) ( )1 211

n i iii

P E E E P E P E∞ ∞

==

∪ ∪ ∪ ∪ = =

∑… … ∪ .

En este caso tanto ( )P A como ( )iP E denotan la probabilidad asociada a estos eventos. Teorema: Sea E un evento de un espacio Muestral SI) ( )0 1P E≤ ≤

II) ( ) 0P ∅ =

III) ( ) ( )1P E P E′ = − , siendo E′ el complemento de E .

Proposición: Sean A y B eventos de un espacio Muestral S . Si A B⊆⊆⊆⊆ , entonces ( ) ( )P A P B≤ .

Demostración:

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )pues 0

B A B A

P B P A P B A

P A P B , P B A

= ∪ −

′= + ∩

′∴ ≤ ∩ ≥

Proposición: Sean A y B eventos de un espacio Muestral S entonces ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩ .

Ejemplo: Se extraen al azar y sin reemplazo tres cartas de una baraja de 52 cartas. a) ¿Cuál es la probabilidad de extraer un As, un dos y una figura? b) ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos figuras y un diez? c) ¿Cuál es la probabilidad de extraer tres Ases? Solución: Definamos los eventos: A : Carta extraída es un As. F : Carta extraída es una figura. D : Carta extraída es un diez. DD : Carta extraída es un dos.

( ) ( )( )( )4 4 12

4 4 121 1 10 0087

52 221003

P A DD F .

∩ ∩ = = =

( )

12 42 1 264 0 01195

52 221003

P F F D .

∩ ∩ = = =

( )

43 4 0 0001852 221003

P A A A .

∩ ∩ = = =

Ejemplo: La siguiente tabla presenta la historia de 940 obleas de un proceso de fabricación de semiconductores. Se elige al azar una oblea de esta tabla. Sea A el evento en que la oblea tiene altos niveles de contaminación. Sea B el evento en que la oblea está en el centro de instrumentación electrónica. En el centro de instrumentación electrónica.

Calcule: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A , P B , P A B , P A B , P A B∩ ∪ −

Solución:

( ) 358 0 38085940

P A .= =

( ) 314 0 33404940

P B .= =

( ) 246 0 2617940

P A B .∩ = =

( ) 112 246 68 426 0 45319940 940

P A B .+ +∪ = = =

( ) ( ) 112 0 11915

940P A B P A B .′− = ∩ = =

Ejemplo: Sean A y B eventos de un espacio Muestral S Muestre que ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∩ = + − ∩

Sugerencia: ( ) ( ) ( ) ( )A A B A B ; B A B B A= ∩ ∪ − = ∩ ∪ −

( ) ( ) ( )A B A B A B B A∪ = − ∪ ∩ ∪ −

Ejemplo: Si A y B son eventos de un espacio Muestral tales que ( ) ( ) ( )0 3 0 2 0 1P A . , P B . , P A B .= = ∩ = .

Calcule ( )P A′ , ( )P A B∪ , ( )P A B′ ∩ , ( )P A B′ ′∪ , ( )P A B′ ∪

Solución:

NO SI Contami- NO 514 68 582nación SI 112 246 358

alta 626 314 940

( ) ( )1 1 0 3 0 7P A P A . .′ = − = − =

( ) ( ) ( ) ( ) 0 3 0 2 0 1 0 4P A B P A P B P A B . . . .∪ = + − ∩ = + − =

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 2 0 1 0 1

P A B ? P B P B A P A B

P A B P B P A B . . .

′ ′∩ = = ∩ + ∩

′ ∩ = − ∩ = − =

( ) ( ) ( )1 1 0 1 0 9P A B P A B P A B . . ′′ ′∪ = ∩ = − ∩ = − =

( ) ( ) ( ) ( ) 0 7 0 2 0 1 0 8P A B P A P B P A B . . . .′ ′ ′∪ = + − ∩ = + − =

Ejemplo: Con base en una muestra de 539 personas, se observaron las variables NAC : #accidentes en el año, SEXO del conductor y TIPO : tipo del vehículo según su peso:

1TIPO = : Automóvil; 2TIPO = : Camión o bus; 3TIPO = : Camioneta o campero; SEXO H=Hombre y SEXO M= : Mujer. El resumen de esta información se presenta en la siguiente tabla:

Se elige al azar una persona de este grupo. a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea un

hombre? b) ¿Cuál es la probabilidad de que maneje un

vehículo 1TIPO = ?c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea

hombre y se haya accidentado una vez? ¿De que sea mujer y se haya accidentado?

d) Si se ha accidentado una vez, ¿Cuál es la probabilidad de que sea un hombre y maneje un automóvil? e) Si se ha accidentado, ¿Cuál es la probabilidad de que sea un hombre y maneje un automóvil? f) Si se ha accidentado y conduce un bus, ¿Cuál es la probabilidad de que sea un hombre? ¿Una mujer? g) ¿Cuál es la probabilidad de que sea un hombre y maneje un automóvil o se haya accidentado dos veces? Solución: Defina los eventos H : Persona seleccionada es un hombre M : Persona seleccionada es una mujer Ti : Persona seleccionada maneja un vehículo Tipo i= , 1 2 3i , ,=Ni : Persona seleccionada ha tenido NAC i= accidentes, 0 1 2i , ,=

a) ( ) 319 0 592539

P H .= =

b) ( )157 27 20 58 50 38 245

539 539P T + + + + += =

HN A C0 1 2

T 1 52 27 20 99 I 2 93 13 6 112P 3 90 14 4 108O 235 54 30 319

MN A C0 1 258 50 38 1461 4 0 547 18 4 69 106 72 42 220

c) ( ) ( )( )1 1 254 72 42 1140 1002539 539 539

P H N . , P M N N +∩ = = ∩ ∪ = =

d) ( ) ( )1 162 62 54 54

54 62 116 54 62 116P M si N , P H si N= = = =

+ +

e) ( )( )1 1 227 20 47 0 25

54 30 62 42 188P H T si N N .+

∩ ∪ = = =+ + +

f) ( )( )1 1 227 20 47 0 3482

27 20 50 38 135P H si T N N .+

∩ ∪ = = =+ + +

( )( )1 1 250 38 88 0 6519

135 135P M si T N N .+

∩ ∪ = = =

g) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )1 2 1 2

1 2 1 2

99 30 20 109 0 2022539 539 539 539

P H T N P H T H N

P H T P H N P H T N

.

∩ ∪ = ∩ ∪ ∩

= ∩ + ∩ − ∩ ∩

= + − = =

Las preguntas d), e) y f) involucran dos o mas eventos, donde la ocurrencia de uno o mas, esta “condicionada” a la ocurrencia de otro o de otros. Este tipo de probabilidad es llamada condicional. Probabilidad CondicionalEn muchos experimentos la ocurrencia de un evento particular está usualmente asociada a la ocurrencia de otro u otros eventos de manera que al calcular la probabilidad de dicho eventos es necesario considerar aquellos que condicionan su ocurrencia. Veamos el siguiente ejemplo. Ejemplo: Un comité de dos personas va a ser seleccionado al azar de un grupo de 3 médicos y 4 sociólogos. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer seleccionado sea médico? ¿Sociólogo? ¿De que los dos sean médicos? ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo sea médico? La última pregunta revierte cierto interés Si 2M : es el evento donde el segundo seleccionado es médico.

1M : El primer seleccionado es médico

1S : El primer seleccionado es sociólogo

Entonces para calcular ( )2P M es necesario tener en cuenta que pasó con el primer seleccionado.

Si el primer seleccionado es médico entonces ( )22 16 3

P M = =

Si el primer seleccionado es sociólogo entonces ( )23 16 2

P M = =

La probabilidad de 2M depende de lo ocurrido con la primera selección. En este sentido diremos que la ocurrencia de 2M está condicionada a la ocurrencia de otro evento (ya sea 1M ó 1S )

Definición: Sean A y B eventos de un espacio Muestral S . La probabilidad Condicional de “Adado B ”, la cual se denota ( )P A | B , esta dada por

( ) ( )( ) ( )si 0

P A BP A | B , P B

P B∩

= > . Análogamente

( ) ( )( ) ( )si 0

P A BP B | A , P A

P A∩

= >

De esta manera se tiene la siguiente Regla Multiplicativa

( ) ( ) ( ) ( ) ( )| |P A B P A P A B P B P A B∩ = =

En general pueden tenerse una serie de eventos que condicionan o son condicionados por otros eventos, es decir los eventos yA B pueden ser combinaciones de otros eventos. Ejemplo: Con base en una muestra de 539 personas. Se observaron las variables NAC : # de accidentes en el año, SEXO : del conductor y TIPO : tipo de vehículo según su peso: TIPO=1 Automovil ; TIPO=2 Camión o bus TIPO=3 Camioneta o campero SEXO=H Hombre SEXO=M Mujer La información resumida se muestra a continuación: SEXO

Se elige al azar una persona de este grupo a) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga un vehículo tipo 1? b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre? ¿ y se haya accidentado?

c) Si se ha accidentado, ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre? ¿De que maneja automóvil? d) Si conduce un camión o bus. ¿Cuál es la probabilidad de que se haya accidentado? e) ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer, si conduce un campero y no se ha accidentado? f) ¿Cuál es la probabilidad de que sea un hombre dado que maneja un automóvil o se ha accidentado dos veces? Solución: Defina los siguientes eventos H : La persona seleccionada es hombre M : La persona seleccionada es mujer iT : La persona seleccionada maneja un vehículo 1 2 3TIPO i , i , ,= =

iN : La persona seleccionada se ha accidentado i veces 0 1 2i , ,= ( )ó 0 1 2NAC i ; i , ,= =

a) ( )1245 5 0 4545 se ha accidentado539 11

P T . A := = =

HN A C

T 0 1 2I 1 52 27 20 99 P 2 93 13 6 112O 3 90 14 4 108

235 54 30 319

MN A C0 1 258 50 38 1461 4 0 547 18 4 69 106 72 42 220

b) ( )P H A∩ . Si la persona se ha accidentado es porque NAC es 1 ó 2 . Así

( )

( )( ) ( ) ( )1 2 1 2

54 30 84 12 0 1558539 539 77

54 30 84539 539 539

P H A .

P H N N P H N P H N

+∩ = = = =

∩ ∪ = ∩ + ∩ = + =

c) ( ) 54 30 84 14 0 424254 30 72 42 198 33

P H | A .+= = = =+ + +

d) ( )213 6 4 0 23 0 1966

112 5 117P A | T .+ + += = =

+

e) ( )347 47 0 3431

90 47 137P M |T A .′∩ = = =

+

f) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2 1 21 2

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

47P H T N P H T H NP H |T N

P T N P T P N P T N

P H T P H N P H T N

P T P N P T N

∩ ∪ ∩ ∪ ∩∪ = =

∪ + − ∩

∩ + ∩ − ∩ ∩=

+ − ∩

( )1 2

99 30 20539 539 539

187 58 14539

109 0 4208259

P H | T N

.

+ −∪ =

+ +

= =

Otra forma ( )1 252 27 20 6 4 109

259 259P H | T N + + + +

∪ = =

Ejemplo: Considere una urna con 4 bolas blancas y 3 bolas negras. Se extrae al azar una bola pero no se mira de que color es. Seguidamente se extrae una segunda bola. ¿Qué tan probable es que sea blanca? La probabilidad del segundo evento depende exclusivamente del resultado en el primer experimento (ó primera extracción)

Si la primera bola es blanca, la respuesta es 3 16 2

=

Si la primera bola es negra, la respuesta es 4 26 3

=

(Mayor). Por lo tanto dicha probabilidad tiene un valor diferente dependiendo del resultado en el primer experimento. Sean yA B eventos de un espacio Muestral. Observe que

( ) ( ) ( )A A S A B B A B A B′ ′= ∩ = ∩ ∪ = ∩ ∪ ∩ Como A B∩ y A B′∩ son excluyentes, entonces

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P A B P A B P A | B P B P A | B P B′ ′ ′= ∩ + ∩ = +

Lo anterior se conoce como Teorema de Probabilidad Total

Para el ejemplo, Si B : La primera bola es blanca y A : La segunda bola es blanca entonces

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 4 2 3 42 7 3 7 7

P A P A B P A B P A | B P B P A | B P B′ ′ ′= ∩ + ∩ = +

= + =

Ejemplo: Suponga que un lote contiene 15 piezas de hierro fundido de un proveedor local y 25 de un proveedor de otro estado. Se eligen al azar y sin reemplazo dos piezas del lote de 40. Sean A :el evento donde la primera pieza seleccionada es del proveedor local y B : el evento donde la segunda pieza seleccionada es del proveedor local. a) ¿Cuál es el valor de ( )P A ?

b) ¿Cuál es el valor de ( )P B | A ?

c) ¿Cuál es el valor de ( )P A B∩ ?

d) ¿Cuál es el valor de ( )P B | A′ ?

Solución:

a) ( ) 1540

P A =

b) ( ) 1439

P B | A =

c) ( ) ( ) ( ) 15 14 7 0 134640 39 52

P A B P A P B | A .∩ = = × = =

d) ( ) 2539

P B | A′ =

Ejercicios propuestos

Si A , B y C son eventos mutuamente excluyentes, con (((( )))) 0 2P A .==== , (((( )))) 0 3P B .==== y (((( )))) 0 4P C .==== ,determine las siguientes probabilidades. - Si A, B y C son eventos mutuamente excluyentes, ¿es posible que (((( )))) 0 3P A .==== ,

(((( )))) 0 4P B .==== y (((( )))) 0 5P C .==== ? ¿Por qué? - La tabla siguiente presenta un resumen del análisis realizado a las flechas de un compresor

para determinar el grado con que éstas satisfacen ciertos requerimientos.

la curvatura cumple con los requerimientos

el acabado superficial cumple sí sí nocon los requerimientos no 345 5

12 8

a. Si se toma una flecha al azar, ¿cuál es la probabilidad de que cumpla con los requerimientos de acabado superficial? b. ¿Cuál es la probabilidad de que la flecha seleccionada cumpla con los requisitos de acabado o con los de curvatura? c. ¿Cuál es la probabilidad de que la flecha cumpla con los requisitos de acabado o que no cumpla con los de curvatura? d. ¿Cuál es la probabilidad de que la flecha cumpla con los requisitos de acabado y curvatura?

- Continuación del ejercicio anterior Las flechas se clasifican, además, en términos de la máquina herramienta utilizada en su fabricación Máquina herramienta 1 la curvatura cumple con los requerimientos

el acabado superficial cumple sí nocon los requerimientos si 200 1

no 4 2

Máquina herramienta 2 la curvatura cumple con los requerimientos

el acabado superficial cumple sí nocon los requerimientos si 145 4

no 8 6

a. Si se elige una flecha al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que cumpla con los requerimientos de acabado o con los de curvatura, o que provenga de la máquina herramienta 1? b. Si se escoge una flecha al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que cumpla con los requerimientos de acabado o que no cumpla con los de curvatura o que provenga de la máquina herramienta 2? c. Si se elige una flecha al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que cumpla con los requisitos de acabado y curvatura o que provenga de la máquina herramienta 2? d. Si se toma una flecha al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que cumpla con los requisitos de acabado o que provenga de la máquina herramienta 2? - Un lote contiene 15 piezas de fierro fundido de un proveedor local y 25 de un proveedor de

otro estado. Se eligen tres piezas al azar, sin reemplazo, del lote de 40. Sean A : el evento donde la primera pieza seleccionada es del proveedor local, B : el evento donde la segunda pieza seleccionada es del proveedor local y C : el evento donde la tercera pieza seleccionada es del proveedor local.

a. ¿Cuál es el valor de (((( ))))P A B C∩ ∩∩ ∩∩ ∩∩ ∩ ?

b. ¿Cual es el valor de (((( ))))P A B C′′′′∩ ∩∩ ∩∩ ∩∩ ∩ ?

- Considere los datos sobre contaminación de obleas y posición en un instrumento de deposición electrónica, dados a continuación. Suponga que de este conjunto se toma al azar una oblea. Sean A : el evento donde la oblea contiene cuatro o más partículas, y B : El evento donde la oblea está en el centro del instrumento de deposición.

a. ¿Cuál es el valor de (((( ))))P A ?

b. ¿Cuál es el valor de (((( ))))P A | B ?

c. ¿Cuál es el valor de (((( ))))P B ?

d. ¿Cuál es el valor de (((( ))))P B | A ?

e. ¿Cuál es el valor de (((( ))))P A B∩∩∩∩ ?

f. ¿Cuál es el valor de (((( ))))P A B∪∪∪∪ ?

- Si (((( )))) 1P A | B ==== , ¿Puede concluirse que A B==== ? Dibuje un diagrama de Venn para explicar su respuesta.

- Suponga que A y B son eventos mutuamente excluyentes. Construya un diagrama de

Venn que contenga los eventos A , B y C , tales que (((( )))) 1P A |C ==== y (((( )))) 0P B |C ==== .

Teorema de Probabilidad TotalSean 1 2 nA , A , A… , eventos no vacíos de un espacio Muestral mutuamente excluyentes que

constituyen una partición de S , es decir, n

i = 1iA S=∪ . Si B es un evento cualquiera de S , entonces

( ) ( ) ( ) ( )1 1

n n

i i ii i

P B P A B P A P B | A= =

= ∩ =∑ ∑ .

Ejemplo:Considere una urna que contiene 4 bola blancas y 3 negras. De la urna se extrae una bola sin mirar de qué color es y se extrae una segunda bola. ¿Qué tan probable es que ésta sea blanca? Indudablemente todo depende de cuál bola fue extraída primero.

Si la bola extraída primero es blanca, la respuesta es 3 16 2

= .

Si la bola extraída primero es negra, la respuesta es 4 26 3

= .

Para resolver este problema, observe que para cualquier par de eventos A y B de un espacio Muestral S : ( ) ( ) ( )A A S A B B A B A B′ ′= ∩ = ∩ ∪ = ∩ ∪ ∩ . como A B∩ y A B′∩ son excluyentes, entonces:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P A B P A B P A | B P B P A | B P B′ ′ ′= ∩ + ∩ = +

Para el ejercicio en cuestión sean B : La primera bola extraída es blanca y A : La segunda bola extraída es blanca

Ahora,

Así, ( ) 1 4 2 3 42 7 3 7 7

P A = + =

.

Este resultado se conoce como Regla de Probabilidad Total. Ejemplo: La irregularidad del corte de productos de papel aumenta a medida que las hojas de las cuchillas se desgastan. Se sabe que el 1% de los productos cortados con cuchillas nuevas tienen cortes irregulares, el 3% de los cortados que se cortan con cuchillas de filo promedio tienen cortes irregulares y el 5% de los cortados con cuchillas desgatadas tienen cortes irregulares. Además, el 25% de las cuchillas son nuevas, el 60% tienen filo promedio y el 15% están desgastadas, ¿Cuál es la proporción de productos con cortes irregulares? Solución: Defina I : Producto presenta cortes irregulares N : Las cuchillas son nuevas P : Las cuchillas tienen filo medio D : Las cuchillas están desgastadas Según el enunciado se tiene que:

( ) ( ) ( )0 25 0 6 0 15 5P N . P P . P D . N P D= = = ∪ ∪ =además son mutuamente disjuntos.

( ) ( ) ( )0 01 0 03 0 05P I | N . , P I | P . , P I | D .= = Ahora

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 01 0 25 0 03 0 6 0 05 0 15

0 028

P I P I | N P N P I | P P P P I | D P D

. . . . . ..

= + +

= + +

=El 2.8% de los productos cortados presenta cortes irregulares. Definición: Sean A y B eventos de un espacio Muestral. Se dice que A y B son estadísticamente independientes si y solo si, cualquiera de las siguientes proposiciones se cumple: a) ( ) ( )P A | B P A= b) ( ) ( )P B | A P B= c) ( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ =

En general, una colección de eventos 1 2 nE , E , E… de un espacio Muestral S , se dicen Mutuamente Independientes, si y solo si, la intersección de cualquier subconjunto de eventos de esta colección cumple que la probabilidad de dicha intersección es el producto de las probabilidades de los eventos involucrados. Ejemplo: La probabilidad de que una muestra de laboratorio contenga altos niveles de contaminación es 0 1. . Se analizan 3 muestras de este tipo. Se asume que los resultados obtenidos del análisis de cada muestra son independientes. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna muestra contenga altos niveles de contaminación? b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una los tenga?

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

P A P A B P A BP A | B P B P A | B P B

′= ∩ + ∩′ ′= +

Solución: Sea N : La muestra tiene altos niveles de contaminación ( ) 0 1P N .= , sin importar cuál sea la muestra.

a) b)

Exactamente una los contenga

c) ( ) ( )

( ) 3

al menos una 1 Ninguna

1 0 9 0 271

P P

. .

= −

= − =

Ejemplo: El siguiente circuito trabaja si y solo si, existe una trayectoria de dispositivos en funcionamiento de izquierda a derecha. Suponga que los dispositivos fallan de manera independiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el circuito funcione?

Los números al interior de los recuadros son las probabilidades de falla de cada dispositivo.

( ) ( ) ( )( )21 1 0 1 1 0 99 0 99801P I P I . . . ′= − = − − =

Ejemplo: Retomando el ejemplo de la irregularidad en los cortes de productos de papel, si el producto presenta cortes irregulares, que tan probable es que se hayan utilizado cuchillas nuevas. Solución: Usando los mismos eventos definidos previamente se pide:

( ) ( )( )

( ) ( )( )

P N I P N P I | NP N | I

P I P I∩

= = .

Como ( ) ( ) ( )0 25 0 01 y 0 028P N . P I | N . P I .= = = . Así:

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )( )

0 25 0 01 0 6 0 030 0893 0 6429

0 028 0 028

0 15 0 050 2679

0 028

. . . .P N | I . , P P | I .

. .

. .P D | I .

.

= = = =

= =

Teorema de BayesSean 1 2 nA , A , A… eventos no vacíos de un espacio Muestral S , mutuamente excluyentes y tales

que iA S=∪ . Si B es un evento de S ; entonces:

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

1

j j j j jj n

i ii

P B A P B | A P A P B | A P AP A | B

P B P B P B | A P A=

∩= = =

∑

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 2

3

3 3 0 1 0 9 0 243

P N N N N N N N N N P N N N

P N P N . . .

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩ = ∩ ∩

′ = =

( ) ( ) ( )3 30 9 0 729P N N N P N . .′ ′ ′ ′∩ ∩ = = =

Ejemplo: (Ejercicio 2 - 91). Los clientes se encargan de evaluar los diseños preliminares de varios productos. En el pasado, el 95% de los productos con mayor éxito en el mercado recibieron buenas evaluaciones, el 60% de los productos con éxito moderado recibieron buenas evaluaciones y el 10% de los productos con poco éxito recibieron buenas evaluaciones. Además, el 40% de los productos han tenido mucho éxito, el 35% un éxito moderado y el 25% una baja aceptación. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un producto obtenga una buena evaluación? b) Si un nuevo diseño obtiene una buena evaluación, ¿Cuál es la probabilidad de que se convierta en un producto de gran éxito? c) Si un producto no obtiene una buena evaluación, ¿Cuál es la probabilidad de que se convierta en un producto de gran éxito? Solución: Defina los siguientes eventos G : Un producto es catalogado como de gran éxito M : Un producto es catalogado como de éxito moderado E : Producto catalogado como de baja aceptación (éxito escaso) B : La evaluación del producto es buena

[ ] ( ) ( )[ ] [ ] [ ]

0 4 0 35 0 25

0 95 0 6 0 1

P G . , P M . , P E .

P B |G . , P B |M . , P B | E .

= = =

= = =

a)

b)

c)

Ejercicios propuestos - La probabilidad de que falle un conector eléctrico que se mantiene seco durante el período

de garantía, es 1%. Si el conector se humedece, la probabilidad de falla durante el período de garantía es 5%. Si el 90% de los conectores se mantienen secos, y el 10% se humedece, ¿qué proporción de conectores fallará durante el periodo de garantía?

- Las muestras de vidrio de un laboratorio se colocan en empaques pequeños y ligeros o en

empaques pesados y grandes, respectivamente, se rompen durante el trayecto a su destino. Si el 60% de las muestras se envían en empaques grandes, y el 40% en empaques pequeños, ¿Cuál es la proporción de muestras que se romperán durante el envío?

- Si ( ) 0 2P A .= y ( ) 0 2P B .= , y los eventos A y B son mutuamente excluyentes, ¿puede

afirmarse que son independientes?

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )0 95 0 4 0 6 0 35 0 1 0 25

0 615

P B P B |G P G P B |M P M P B | E P E

. . . . . ..

= + +

= + +

=

[ ] ( ) ( )( )

( )( )0 95 0 40 6179

0 615P B |G P G . .

P G | B .P B .

= = =

[ ] [ ][ ]

[ ]( ) ( )( )

( ) ( )1 1 0 95 0 40 052

1 1 0 615P B |G P GP B |G . .

P G | B .P B P B .

−′ −′ = = = =

′ − −

- Se toman muestras de espuma de dos proveedores y se hace una evaluación a éstas paara determinar el grado con el que cumplen ciertas especificaciones. A continuación se resumen losa resultados obtenidos con 126 muestras.

Sí No

Proveedor 1 80 42 40 2

Sean A : el evento en que la muestra es del proveedor 1, y B : el evento donde la muestra cumple con las especificaciones. a. ¿Los eventos A y B son independientes? b. ¿Los eventos A′ y B son independientes? - En la prueba de la tarjeta de un circuito impreso en la que se utiliza un patrón de prueba aleatorio, un arreglo de 10 bits tiene la misma probabilidad de ser uno o cero. Suponga que los bits son independientes. a. ¿Cuál es la probabilidad de que todos los bits sean uno? b. ¿Cuál es la probabilidad de que todos los bits sean cero? c. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente cinco bits sean uno, y los otros cinco, cero? - Las ocho cavidades de una máquina de moldeo por inyección producen conectores plásticos que caen en una banda de transporte común. Se toma una muestra de conectores cada determinado tiempo. Suponga que las muestras son independientes. a. ¿Cuál es la probabilidad de que cinco muestras sucesivas hayan sido producidas en la cavidad uno del molde? b. ¿Cuál es la probabilidad de que cinco muestras sucesivas hayan sido producidas en la misma cavidad del molde? c. ¿Cuál es la probabilidad de que cuatro de cinco muestras sucesivas hayan sido producidas en la cavidad uno del molde? - Un lote de 500 contenedores para jugo de naranja de congelado contiene cinco que están defectuosos. Se escogen dos al azar, sin reemplazo. Sean A y B los eventos donde el primero y el segundo contenedor son defectuosos, respectivamente. a. ¿Los eventos A y B son independientes? b. Si el muestreo se hace con reemplazo, ¿Los eventos A y B son independientes? - El circuito siguiente trabaja si, y solo si, existe una trayectoria en funcionamiento, de izquierda a derecha. El dibujo indica la probabilidad de que cada dispositivo funcione. Suponga que la probabilidad de que un dispositivo funcione no depende del funcionamiento de los demás dispositivos. ¿Cuál es la probabilidad de que el circuito funcione?

- El siguiente circuito trabaja si, y solo si, existe una trayectoria en funcionamiento, de izquierda a derecha. En el dibujo se indica la probabilidad de que cada dispositivo funcione. Suponga que la probabilidad de que un dispositivo trabaje no depende del funcionamiento de los demás dispositivos. ¿Cuál es la probabilidad de que el circuito funcione?

- Suponga que ( ) ( ) ( )0 8 0 5 0 2P A | B . P A . y P B .= = = . Calcule ( )P B | A

- Los láseres de semiconductor utilizados en los productos para almacenamiento óptico requieren niveles de potencia mucho mayores para las operaciones de escritura que para las de lectura. Entre más grande es el nivel de potencia menor es la duración del láser. Los láseres utilizados en productos para el respaldo de discos magnéticos de alta velocidad se utilizan principalmente para escribir, y la probabilidad de que su vida útil sea mayor que cinco años es 0.95. Los láseres que se emplean en productos para almacenamiento, invierten aproximadamente el mismo tiempo en operaciones de lectura y escritura, y la probabilidad de que la vida útil de éstos sea mayor que cinco años es 0.995. El 25% de los productos de cierto fabricante se utilizan para operaciones de respaldo, mientras que el 75% restante se emplea para almacenamiento.

Sean A : el evento donde la vida útil de láser es mayor que cinco años, y B : el evento donde el producto que emplea el láser se utiliza para respaldar información. Utilice un diagrama de árbol para determinar lo siguiente. a. ( )P B

b. ( )P B′

c. ( )P A | Bd. ( )P A | B′

e. ( )P A B∩

f. ( )P A B′∩

g. ( )P A

- En una operación de llenado automático, la probabilidad de que el volumen de llenado sea incorrecto es 0.001 cuando el proceso se realiza a baja velocidad. Cuando el proceso se efectúa a alta velocidad, la probabilidad de un llenado incorrecto es 0.01. Suponga que el 30% de los contenedores se llena cuando el proceso se efectúa a alta velocidad, mientras que el resto se ejecuta el proceso se lleva a cabo a baja velocidad. a. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar un contenedor lleno con un volumen incorrecto? b. Si se encuentra un contenedor lleno con un volumen incorrecto, ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido llenado cuando el proceso se realizaba a alta velocidad? - Un lote de 50 arandelas espaciadoras contiene 30 que son más gruesas que la dimensión requerida. Suponga que del lote se escogen tres arandelas al azar, sin reemplazo.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres arandelas sean más gruesas que la dimensión requerida? b. ¿Cuál es la probabilidad de que la tercera arandela sea más gruesa de lo necesario si las dos primeras son más delgadas que la dimensión requerida? c. ¿Cuál es la probabilidad que la tercera arandela sea más gruesa que la dimensión requerida? - La tabla siguiente presenta un resumen de las características solicitadas en 940 órdenes de compra de computadoras.

memoria adicionalno sí

No 514 68 Procesador opcional de alta velocidad Si 112 246

Sean A : el evento donde se pide en una orden un procesador opcional de alta velocidad, y B :el evento donde se pide memoria adicional. Calcule las probabilidades siguientes. a. ( )P A B∪

b. ( )P A B∩

c. ( )P A B′∪

d. ( )P A B′ ′∩El circuito siguiente trabaja si, y solo si existe una trayectoria de dispositivos en funcionamiento, de izquierda a derecha. Suponga que los dispositivos fallan de manera independiente y que la probabilidad de falla de cada uno de ellos es la que se muestra en la figura. ¿Cuál es la probabilidad de que el circuito trabaje?

Variables AleatoriasEn la mayoría de problemas a los que comúnmente nos enfrentamos, la descripción del conjunto de posibles resultados de un experimento aleatorio puede ser complicada y por lo tanto el cálculo de probabilidades también se dificulta. La idea sería poder resumirla adecuadamente asignando un valor real a cada resultado. Ejemplo: Si una persona es seleccionada de una población diversas características pueden ser de interés y cada una aporta al entendimiento de un fenómeno en especial. Por ejemplo el tiempo que emplea en transportarse de su casa al lugar de trabajo, que tan lejos está de su casa el sitio

donde trabaja, cuántos hijos tiene, cuantas horas duerme, cuántas personas conforman su grupo familiar, cuanto gana, cuanto gasta, cuanto paga por servicios, cuantas llamadas hace diariamente, etc. Cada vez que seleccionemos una persona de esta población, las características antes mencionadas pueden variar. Asociadas a estas características podemos establecer una regla que relacione un resultado con un número real. Por ejemplo: El # de hijos, horas que duerme, estrato, gastos etc. Esta asociación o regla se conoce como Variable Aleatoria.

Definición: Una Variable Aleatoria es una función definida en un espacio Muestral S que asigna a cada resultado del experimento un valor real. Usualmente las denotamos con letras mayúsculas ( )etcX , Y , Z , T, Así,

( )X : S

s X s x , x→

→ = ∈

��

Ejemplo: Tres monedas no cargadas son lanzadas al tiempo. { }S ccc , ccs , csc , scc , css , scs , ssc , sss=

Definamos la v.a X : # caras en cada lanzamiento. Denotemos por Α el conjunto de todos los posibles valores que toma la v.a X . Asignando a cada resultado un valor de la variable aleatoria X se tiene:

3 2 2 2 1 1 2 0

ccc ccs csc scc css scs ssc sssX : ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

Así { }0 1 2 3 4, , , ,Α = Podemos escribir ( )S

X :X

→Λ → λ

R

Donde ( ) ( ) ( ) ( )3 2 0 1X ccc , X scc , X sss , X ssc= = = =

Ejemplo: Se lanzan un par de dados no cargados. El espacio Muestral es ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 1 1 2 5 6 6 6S , , , , , , , ,= …

Si definimos X : suma de los dos resultados,

Así ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 1 2 3 2 5 4 3 71 2 3 3 5 8 6 2 85 6 11 6 6 12 2 5 7

, , , , ,, , , , ,, , , , ,

→ → →→ → →→ → →

etc

En este caso X toma los valores de 2 3 12, , ,… . Así { }2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12A , , , , , , , , , ,= .Si definimos Y : Diferencia entre los dos resultados entonces

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 1 0 3 2 1 4 3 11 2 1 3 5 2 6 2 45 6 1 6 6 0 2 5 3

, , , , ,, , , , ,, , , , ,

→ → →→ − → − →→ − → → −

Así, { }5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5, , , , , , , , , ,Α = − − − − − Diferentes variables implican espacios de valores diferentes Α también es llamado Rango de la Variable Aleatoria. Ejemplo: De la producción diaria de jabones se escoge uno al azar y se mide su PH. Sea X : el Ph del jabón. Entonces X toma cualquier valor entre 0 y 14. Así: [ ]0 14,Α = .

Ejemplo: El desgaste de una llanta en un período de un año es una variable aleatoria. Si X : el desgaste de la llanta, entonces ( )A 0 , a= , donde a representa la profundidad mínima de la llanta estando nueva. Estos ejemplos representan dos tipos de variables: Discretas o Continuas. Una v.a se dice Discreta si el conjunto de posibles valores que toma la variable es finito o numerable. Una variable se dice continua si el conjunto de posibles valores es un intervalo o unión de intervalos. Los dos primeros ejemplos son de variables discretas y los dos últimos son de v.a continuas.

Distribuciones de Probabilidad para Variables Aleatorias Discretas

Considere de nuevo el ejemplo del lanzamiento de tres monedas no cargadas. { }S ccc , ccs , csc , scc , css , scs , ssc , sss=

{ }0 1 2 3, , ,Α = . Si X : # de caras Si se quiere calcular la probabilidad de obtener dos caras definimos el evento A : caen dos caras.

( ) 1 1 1 38 8 8 8

P A = + + = { }A ccs , csc , scc=

El evento A es equivalente a que la v.a X tome el valor 2 2X = . El evento “ 2X = ” estará formado por todos los resultados del espacio Muestral S , tales que 2X = . Así ( ) ( )2P A P X= = .En general, el evento “X x= ” estará formado por todos los resultados de S tales que X asigna el valor x y ( ) ( )P X x P A= = , donde ( ){ }A S X x= λ∈ λ =

Así ( ) ( ) { }2 conP X P A , ccs , csc , scc= = Α =

( ) { }( ) 108

P X P sss= = =

( ) { }( ) 138

P X P ccc= = =

Observe que ( ) ( ) ( ) ( )0 1 2 3 1P X P X P X P X= + = + = + = =

Como calcular la probabilidad de obtener a lo más dos caras? ( ) ( )2P X P≤ = � , donde

�

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

0 1 2

0 1 272 0 1 28

12 38

sss , ssc , scs , css , scc , csc , ccs

X X X

P X P X P X P X

P X P X

=

= = =

≤ = = + = + = =

> = = =

� ���� ����

Definición La Distribución de Probabilidad ó pmf de una v.a X definida en S , se denotará ( )P x y

está dada por ( ) ( )P x P X x , x A= = ∀ ∈Esta función debe satisfacer las siguientes condiciones: 1) ( ) 0P x , x A≥ ∀ ∈

2) ( ) 1xP x =∑

Ejemplo: Para el ejemplo de las monedas, si X representa el número de caras, entonces la pmf de X estará dada por

x 0 1 2 3 Suma( )P x 1

83

83

81

8 1

{ }0 1 2 3A , , ,=

Ejemplo: Una urna contiene 4 bolas blancas y 3 bolas negras. Se extraen al azar y sin reemplazo dos bolas de dicha urna. Sea X : bolas blancas en las dos extraídas. La pmf para X , está dada por:

( )

4 52

P 0 1 272

x xX , x , ,

− = =

Definición: Sea X una v.a discreta con p.m.f ( )P x . La distribución Acumulada de X , denotada

( )F x (cdf) está definida x∀ ∈R y

( ) ( ) ( )x x

F x P X x P x , x′≤

′= ≤ = ∀ ∈∑ R

Propiedades:1) ( )0 1F x≤ ≤

2) ( ) ( )1P X x F x> = −

3) Si ( ) ( )X Y F x F y< ⇒ <

x 0 1 2 suma

( )p x 17

47

27

1

4) Si ( ) ( ) ( )n m m n 1A P X F F⊆ ⇒ ≤ ≤ = − −

5) ( )P x es el salto en x , usando ( )F x

Ejemplo: Continuando con el lanzamiento de las tres monedas Recuerde que la pmf de X : el número de caras es x 0 1 2 3 Suma( )P x 1

83

83

81

8 1

Si ( )0 0x F x< ⇒ =

Si ( ) 10 18

x F x≤ < ⇒ =

Si ( ) 1 3 11 28 8 2

x F x≤ < ⇒ = + =

Si ( ) 1 3 3 72 38 8 8 8

x F x≤ < ⇒ = + + =

Si ( )3 1x F x≥ ⇒ =

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

7 12 2 1 8 1 88 2

1 11 1 1 12 2

P X F P X . F .

P X F

≤ = = < = =

> = − = − =

Ejemplo: Se lanza un dado no cargado. Sea X : resultado del lanzamiento del dado. { }1 2 3 4 5 6, , , , ,Α =

( ) 1 1 2 3 4 5 66

P x , x , , , , ,= =

Si ( )1 0x F x< ⇒ =

Si ( ) 11 26

x F x≤ ≤ ⇒ =

Si ( ) 22 36

x F x≤ < ⇒ =

Si ( ) 33 46

x F x≤ < ⇒ = ( ) � �6x

F x , x= ∈�

Si ( ) 44 56

x F x≤ < ⇒ =

Si ( ) 55 66

x F x≤ < ⇒ =

Si ( )6 1x F x≥ ⇒ =

Definición: Una variable aleatoria se dice continua si el conjunto de posibles valores para la variable es un intervalo o unión de intervalos. Ejemplos: mesa, estatura, presión, temperatura, tiempos de espera, etc. Considere la estatura (en metros).

Definición: Sea X una variable aleatoria continua. La distribución de probabilidad para X es llamada Función de Densidad de Probabilidad, se denota ( )f x .

Para que esta ( )f x realmente sea una distribución de probabilidad para X debe cumplir las siguientes condiciones: 1) ( ) 0f x , x≥ ∀ ∈�

2) ( ) 1 área total bajo f es1f x dx+ ∞

− ∞

= →∫

3) Si a y b son reales tales que a b< entonces

( ) ( )b

a

P a X b f x dx≤ ≤ = ∫Se puede mostrar que ( ) 0P X a= = (el área en una línea es cero). Esto implica que el cálculo de probabilidades se obtiene al integrar la p.d.f en el rango especificado sin importar si los extremos se incluyen o no. Ejemplo: Sea X la duración en horas de cierto tipo de bombilla eléctrica. La p.d.f para X esta dada por:

( ) 3 1500 2500

0 otro caso

a , xf x x

,

≤ ≤=

Calcule: a) ( )2000P X ≤

b) ( )2000 1800P X | X≤ ≥

Solución: primero hallemos el valor de a.

Como ( ) ( ) ( ) ( )00

1500 2500

1500 2500

1 1f x dx f x dx f x dx f x dx+ ∞ + ∞

− ∞ − ∞↓↓

= ⇒ + + =∫ ∫ ∫ ∫

25002500

3 21500 1500

1 70312502

a adx ax x

⇔ = ⇔ − ⇒ =∫

a) ( ) 2500

3 2 21500

1 12000 0 683592 1500 2000

a aP X dx .x

≤ = = − ≅ ∫

b) ( ) ( )( )

2000

31800

2500

31800

1800 20002000 1800

1800

a dxP X xP X | X aP X dxx

≤ ≤≤ ≥ = =

≥

∫

∫

Ejemplo: El tiempo de espera de un cliente hasta ser atendido es una variable aleatoria continua con p.d.f dada por

( ) x 00 otro caso

xe ,f x,

− >=

Calcule ( ) ( )1 1 2P X , P X< < < . Halle el valor de k tal que ( ) 0 95P X k .< = . Halle una expresión para el percentil 100 0 1p , p< <

Definición: La distribución acumulada para una variable aleatoria continua X , se define igual al caso discreto. ( ) ( )F x P X x , x= ≤ ∀ ∈R

Propiedades:1) ( )0 1F x , x≤ ≤ ∀ ∈R2) ( ) ( )0 y 1

x xlim f x lim f x→ − ∞ → + ∞

= =

3) ( ) ( )1P X x F x> = −

4) Si ( ) ( )x y F x F y< ⇒ ≤

Además si ( )F x′ es precisamente la p.d.f de x es decir ( ) ( )( ) donde existedf x F x , x Fdx

′= ∀

( ) ( )xF x f t dt x

− ∞= ∀ ∈∫ R

Ejemplo: Para el ejemplo del tiempo de espera de un cliente hasta ser atendido, halle la c.d.f.

Si ( )0 0x F x≤ ⇒ =

Si ( )0

0x tx F x e dt−> ⇒ = ∫

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1

2

1 0

1 1 1 1

11

1 2 2 11 1

xF x e , x

P X P X F e

eP X F F

e e

−

−

= − >

< = ≤ = = −

= −

< < = −

= −

Ejemplo: La c.d.f para la v.a X : tiempo de préstamo de un libro, está dada por: (tiempo en horas) Halle: a) ( )1P X <

b) 1 12

P X < <

c) Halle una expresión para el 100p avo percentil. d) Halle ( )f x

Solución: a) ( ) ( ) 11 14

P X F< = =

b) ( )1 1 1 1 31 12 2 4 6 16

P X F F < < = − = − =

c) ( )2

0 1 24 pxF x p , p p x p= < < ⇔ = ⇔ =

d) ( ) ( ) 2 0 24 2x xf x f x ; x′= = = < < . Así

( ) 0 220 otro caso

x , xf x

,

< <=

Valor esperado de una variable aleatoriaSi un experimento aleatorio es realizado y una variable aleatoria es definida, se puede determinar la distribución de probabilidad de todos los posibles valores de X . Si el experimento se repite muchas veces, el valor que se esperan obtener de la variable X , será un promedio de los posibles valores observados en las repeticiones del experimento.

( ) 2

0 0

0 241 2

, xxF x , x

, x

<= ≤ <

≥

Definición: Sea X una variable aleatoria (discreta o continua), con distribución de probabilidad xf .

El valor esperado de X , el cuál denotaremos [ ]E X , ó xµ ó µ , está dado por:

[ ]( )

( )

si es discreta

si es continua

x Ax p x , X

E Xx f x dx , X

∈

+ ∞

− ∞

=

∑

∫

Propiedades: Sean a , b∈R y f y g funciones de una variable aleatoria X .1. [ ]E a a=

2. [ ] [ ]E ax b aE X b+ = +

3. ( ) ( ) ( )siendo una función de E aH x aE H x , H x X =

4. ( ) ( ) ( ) ( ) con y funciones de E aH x bG x aE H x bE G x , H G X ± = + .

Si en la propiedad 3, hacemos 1a = y ( ) ( ) ( ) ( )2 2

x xH x X E H x E X = − µ ⇒ = − µ . Este valor

esperado se conoce como la Varianza de X y es usualmente denotada por

[ ] ( ) 22x xV X E X = σ = − µ

La desviación estándar de X es [ ]x V Xσ =

Se puede mostrar que [ ] 2 2xV X E X = − µ

Ejemplo: Se lanzan cuatro monedas no cargadas. Sea X la variable aleatoria definida por el número de caras, entonces { }0 1 2 3 4A , , , ,=

(Verificar esto)

[ ]

( ) ( ) ( )

4 44

X 0

4 4 4 4 41 1x x 0 1 2 3 42 x 2 1 2 3 4

1 324 2 6 3 4 4 1 216 16

E=

= = + + + +

= + + + = =

∑

En general, si se lanzan n monedas y X : # caras en los n lanzamientos

[ ]nn

0

n1 nx x2 x 2X

E=

= =

∑. (Probarlo).

Ejemplo: Una máquina de llenado de latas es revisada cada hora. Cada lata es sometida a un proceso para determinar el volumen de llenado y verificar si cumple o no los requisitos exigidos. Este proceso se continúa hasta encontrar la primera lata que no cumple con, los requisitos. Sea X : # latas revisadas hasta encontrar la primera que no cumple. Suponga que la proporción de latas que no cumplen las especificaciones es P.

( )4

X

41 x 0 1 2 3 4f x 2 x

0 otro caso

, , , , , = =

Halle [ ]E x .Solución: N : La lata no cumple los requisitos S : La lata si cumple los requisitos

El espacio Muestral para este experimento está dado por { } { }

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

[ ] ( ) ( )

( ) ( )

2

1 1

1 veces

1

1 1

1

0 0

1 2 3 4

1

2 1

3 1

1

1 1 2 3

11

Sea

x

x x

x

x

x

x x

x x

x x

S N , SN , SSN , SSSN , SSSSN , A , , ,

P X P N P

P X P SN P S P N P P

P X P SSN P S P S P N P P

P X x P SS SN P S P P P

P X P X x P P ; x , , ,

E X xp x xp pp

f t p t f t xp t

− −

−

−

∞ ∞

= =

∞−

= =

= =

= = =

= = = = −

= = = = −

= = = = −

= = = − =

= = − =

′= =

∑ ∑

∑

… …

…����

…

( ) ( )( )

( )( )

2

112 2

0 1

1

y1 1

Así Si 1 11

xx

x x

, t

p pf t f tt t

p p, xp t . t p xp ppt

∞

∞ ∞−−

= =

<

′= =− −

= = − ⇒ = −−

∑

∑ ∑

Ejemplo: La demanda semanal de gas propano (en miles de galones) de una distribuidora en particular es una variable aleatoria X con p.d.f dada por:

( ) 2

12 1 1 2

0 otro caso

, xf x x

,

− ≤ ≤ =

a) Halle la c.d.f para Xb) Calcule [ ] [ ]yE X V X

c) Si ( ) 1 5H x . X= − . Halle ( )E H X ( )H X Puede verse como el remanente si no se recibe nuevo suministro.

Solución:a) Si ( )1 0X F x< ⇒ =

Si ( ) 11 2 2 2X F x xx

≤ ≤ ⇒ = + + Si ( )2 1X F x> ⇒ =

b)

[ ]

( )

[ ] ( )

2 2

21 1

22

1

2 22 2 221 1

23

1

22 2

1 22 1 2

2 3 2 2 1 612

12 1 2 2

2 823 38 3 2 2 0 06263

0 2502

x

x

E X x dx x dxx x

x lnx ln .

E X x dx x dxx

x x

V X E X ln .

.

= − = −

= − = − ≈

= − = −

= − =

= −µ = − − ≅

σ =

∫ ∫

∫ ∫

c) ( ) [ ]1 5 1 5 1 61 0 11 no se puede cubrir la demandaE H X . E X . . . = − = − = − →

Ejemplo: Una urna contiene cuatro bolas blancas y cinco bolas negras. Se extraen al azar y sin reemplazo dos bolas de la urna. Sea X :# de bolas blancas en la muestra. Halle xf y [ ]E X .

Solución: Se puede probar que

( )X

4 5x 2-x

f x = x 0 1 292

, , ,

=

[ ] ( )2

XX 0

4 8x f x 29 9

E x .=

= = =∑

Propiedades: Sea a , b∈R1) [ ] 0V a =

2) [ ] [ ]2V ax b a V X+ =

Algunas Distribuciones de Probabilidad Discretas

Ensayo Bernoulli: un experimento aleatorio con dos posibles resultados, denotados “Éxito” y 4el otro “Fracaso”. La probabilidad de éxito es p .

Ejemplo: Encuestas de opinión, Tipo de colegio, Estado de un componente, Género, etc. Suponga que se repite este experimento n veces y que cada repetición es independiente de las demás repeticiones o ensayos. Defina la variable X : número de éxitos en los n ensayos. Si la probabilidad de éxito permanece constante, durante las n repeticiones del experimento, diremos que el experimento es un Ensayo Binomial.

Proceso Binomial1. n pruebas idénticas e independientes. 2. Cada prueba tiene dos posibles resultados “Éxito” o “Fracaso”. 3. La probabilidad de éxito es constante en las n pruebas y se denota p .4. La v.a de interés es X : # éxitos en los n ensayos, la pmf de la v.a X es llamada DistribuciónBinomial.Se puede mostrar que la pmf de X está dada por:

( ) ( )1 0 1 2n xxnp x p p ; x , , , , n

x−

= − =

…

Escribimos ( )X bin n , p∼

Ejemplo: Suponga que X es una variable aleatoria Binomial con parámetros n y P . Para calcular una probabilidad específica, por ejemplo ( )P a X b≤ ≤ , observe que

( ) ( ) { }b

n-xx

x=a

na x b 1 0

xP P P , a, b +

≤ ≤ = − ∈ ∪

∑ Z

Si 10n = y ( ) ( ) ( )10100 2 0 2 0 8 0 1 10x x

xP . f x . . ; X , , ,x

− = ⇒ = =

…

( ) ( ) ( ) ( )1 10 1x

10x 1 f 1 0 2 0 8 0 2684

1P . . .−

= = = =

( ) ( ) ( )3

x 10 x

x 1

101 x 3 0 2 0 8 0 7718

xP . . .−

=

≤ ≤ = =

∑

( ) ( ) ( ) ( )3

x 10 x

x 1

101 < x < 4 2 x 3 0 2 0 8 0 5033

xP P . . .−

=

= ≤ ≤ = =

∑

Ejemplo: Suponga que la probabilidad de tener una unidad defectuosa en una línea de ensamble es de 0 05. .a) ¿Cuál es la probabilidad de que entre 20 unidades seleccionadas al azar, dos sean defectuosas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que a lo más dos de las 20 unidades estén defectuosas? c) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 2 unidades estén defectuosas? Solución: Sea X : el # de unidades defectuosas de las 20 unidades seleccionadas

( ) ( ) ( ) ( ) 202020 0 05 0 05 0 95 0 1 20x xX bin , . , P x . . ; x , , ,

x−

= =

∼ …

a) ( ) ( ) ( ) ( )2 18202 2 0 05 0 95 0 1887

2P X P . . .

= = = =

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 1 1 0 11 0 7358 0 2642

P X P X P X P P. .

≥ = − < = ≤ = − −= − =

Ejemplo: Un examen de opción múltiple contiene 10 preguntas. Cada pregunta tiene cuatro opciones de las cuáles solo una es la correcta. El examen se aprueba si se responden correctamente al menos seis preguntas. Si el estudiante adivina las preguntas, conteste las siguientes preguntas: a) ¿Cuál es la probabilidad de aprobar el examen?

b) Si el estudiante adivina al menos tres de las preguntas, ¿Cuál es la probabilidad de reprobar el examen? c) Halle [ ]E X y [ ]V XSolución: Sea X : # preguntas con respuesta correcta de las 10

( )10101 1 1 310 0 1 10

4 4 4 4

x x

X bin , , P , P x ; x , , ,x

− = = =

∼ …

a) Se pide ( ) ( )

105

0

6 1 5

10 1 31 0 019734 4

x x

x

P X P X

.x

−

=

≥ = − ≤

= − =

∑

b) ( ) ( )( ) ( )

105

0

10 1 33 6 4 4

6 33 1 2

0 4547 0 95851 0 5256

x x

xP X xP X | X

P X P X. ..

−

=

≤ < < ≥ = =

≥ − ≤

= =−

∑

c) [ ] [ ]1 1 3 1510 2 5 104 4 4 8

E X . , V X = = = =

Corolario: Suponga que X es una v.a tal que ( )X bin n , p∼ .

a) [ ] [ ] ( )y 1E X n p V X n p p= = −

b) ( ) ( )( )( ) ( )1 "Formula recursiva"

1 1n x p

P x P xx p

−= −

+ −.

Ejercicios Propuestos Capítulo 3, Ejercicios 3-33,3-35, 3-43, 3-45, 3-53, 3-60, 3-62, 3-66.

Distribución HipergeométricaEn el experimento Binomial, un aspecto importante es el hecho de que la probabilidad de éxito es constante en cada ensayo, es decir, se tiene un muestreo o selección de eventos con reemplazo. Pero suponga que al repetir el experimento, la probabilidad de éxito cambia de repetición en repetición, entonces el experimento Binomial no es adecuado para este caso. Suponga una población con N individuos y se extraen al azar n de dicha población. Hay Mindividuos en la población que cumplen con cierta característica de interés. La probabilidad de que

el primer individuo cumpla con dicha característica es MN

.

Si el individuo seleccionado no es descartado de los N iniciales y se selecciona nuevamente otro

individuo entonces la probabilidad de que este cumpla las características será MN

(Hay

reemplazo). Si mantenemos el mismo criterio, la probabilidad siempre será igual a MN

.

Suponga que el primer individuo es descartado, la probabilidad de que el segundo cumpla con las

características es 11

MN

−−

, si el primero la cumple o es 1

MN −

si el primero no la cumple, y si no se

reemplaza en la población ninguno de los individuos, la probabilidad de que el tercero cumpla la

característica es 2

MN −

(si ninguno de los dos la cumple).

La probabilidad no es constante en cada repetición del experimento. Definición: Suponga que una población finita tiene N elementos, de los cuales M tiene cierta característica particular. Si no se reemplaza ninguno de los elementos que se extraen, suponga que se toma una muestra de n elementos de este grupo, se tiene el siguiente diagrama:

Sea X : # de elementos en la muestra con dicha característica entonces

( ) ( )0 1 2

M N Mx n x

p x ; x , , , , min n , MNn

− − = =

… Est

a distribución es llamada Hipergeométrica. Escribimos ( )X hip N ,M,n∼

[ ] [ ]y 11

M N n M ME X n V X nN N N N

− = = − −

Ejemplo: Un lote con 25 arandelas contiene tres en las que la variabilidad en el espesor alrededor de la circunferencia es inaceptable. Se toma una muestra al azar de tres arandelas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las arandelas inaceptables se encuentren en la mesa? b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de las arandelas inaceptables se encuentren en la muestra? c) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente una de las arandelas inaceptables se encuentre en la muestra? Solución:

Sea X : # de arandelas inaceptables en la muestra de tres

( )

3 223

0 1 2 3253

x xp x ; x , , ,

− = =

a) ( ) ( )

223 1540 770 0 0 6695725 2300 1153

P X p .

= = = = = =

b) ( ) ( ) ( ) 381 1 1 1 0 0 33043115

P X P X P .≥ = − < = − = =

c) ( ) ( )

3 221 2 6931 1 0 301302300 2300

P X P .

= = = = =

Ejemplo: Una geólogo ha recolectado 10 especimenes de roca basáltica y 10 de granito. Si instruye a un asistente de laboratorio para que seleccione al azar 6 de los especimenes para analizarlos a) ¿Cuál es la pmf para el número de especimenes de basalto seleccionados para analizarlos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que todos los especimenes de la muestra sean de una de los dos tipos de roca seleccionados para análisis? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la cantidad de especimenes de granito seleccionados para su análisis esté a menos de una desviación estándar de la media? Solución:Sea X : # de especimenes de basalto en la muestra para análisis.

a) ( )

10 106

0 1 2 6206

x xP x ; x , , , ,

− = =

…

b)

c)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )6 0 0 6 0 610 106 6 210 210

20 20 387606 6420 7 0 01084

38760 646

P X X P X P X P P

.

= ∨ = = = + = = +

+ = + =

= = =[ ] [ ]

[ ]

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

10 20 6 10 106 3 6 120 20 1 20 20

14 6 21 211 1052619 4 19 19

21 21319 19

21 213 3 1 9487 4 051319 19

2 4 2 3 49450 14400 9450 3330

38760 38760 38750

x

E X V X

V X .

P X P X

P X P . X .

P X P P P

− = = = ∗ ⋅ − −

= ∗ = = σ =

− µ ≤ σ = − < − < =

− < < − = < < =

≤ ≤ = + + =

+ + = 0 0 8591338750

.=

Ejemplo: Suponga que en el ejemplo de las arandelas el lote contiene 1500 de las cuales 200 son inaceptables. Se selecciona al azar 5 arandelas y sea X : # de arandelas inaceptables en la muestra

( )

200 13005

0 1 2 3 4 51500

5

x xP x ; x , , , , ,

− = =

Observe que ( )era 2001 sel sea inaceptable 0 13331500

P .= =

( )

( )

( )

da era

ra era da

ta era da ra

ta

1992 inaceptable | 1 inaceptable 0 13271499

1983 inaceptable | 1 y 2 inaceptable 0 132171498

1974 inaceptable | 1 2 y 3 inaceptable 0 131591497

5 inaceptable | las demás inaceptab

P .

P .

P , .

P

= =

= =

= =

( ) 196les 0 13101496

.= =

Debido a que n es muy pequeño respecto a N , las probabilidades de éxito (seleccionar una arandela inaceptable) son aproximadamente iguales.

Así, si hacemos 200 0 13331500

Mp p .N

≅ ⇒ = =

( ) ( ) 5

200 130055

11500

5

xx

n N

x xP x p p

x−

<<

− = ≈ −

Por ejemplo, ( )

200 13001 4

1 0 37688521500

5

P X .

= = =

y ( ) ( ) ( )1 451 0 1333 0 8667 0 376075

1P X . . .

= ≈ =

( ) ( ) ( )1 0 1 0 865328P X P P .≤ = + = y

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 5 1 45 51 0 1333 0 8667 0 1333 0 8667

0 10 8651145

P X . . . .

.

≤ ≈ +

=

En general una distribución Hipergeométrica puede ser aproximada a una distribución Binomial

cuando n N< < (o algo equivalente) cuando el factor1

N nN

−−

es cercano a 1,

es decir 1

111

nN

N

− ≈

−

Distribución Binomial Negativa: En una serie de ensayos <>Bernoulli independientes, con probabilidad de éxito constante P, sea X la v.a el número de ensayos realizados hasta obtener r éxitos. La distribución de Probabilidad de la v.a X es llamada Distribución Binomial negativa y está dada por

( ) ( )x - r rx

x -1f x 1 r, r+1, r+2, ...

r -1P P , x

= − =

[ ] rxEP

=. Escribimos ( )X bin_ r, P∼ [ ] ( )

2

r 1 -x

PV

P=

.

Distribución PoissonConsidere los siguientes eventos o experimentos: Establecer el número de accidentes en un cruce por hora, número de errores ortográficos por página, número de llamadas telefónicas a una central por minuto, número de imperfecciones en un material por 2cm , número de huecos en una carretera por kilómetro, etc. Algunos de estos experimentos tienen características similares: - El experimento consiste en contar el número de veces que ocurre un cierto evento durante una unidad de tiempo o de espacio. - En cada unidad establecida, el número de eventos que ocurren es independiente de los que ocurren en otras unidades. - Es posible asumir que la probabilidad de que un evento ocurra en una cierta unidad es la misma para todas las unidades de su tipo.

Experimento PoissonDado un intervalo real, suponga que el conteo de ocurrencias es aleatorio en dicho intervalo. Si este intervalo puede subdividirse en subintervalos suficientemente pequeños tales que: 1) La probabilidad de más de una ocurrencia en cada subintervalo es despreciable. 2) La probabilidad de ocurrencia en un subintervalo es la misma para todos los subintevalos y es proporcional a su longitud. 3) El conteo de ocurrencias en cada subintervalo es independiente del conteo en los demás subintervalos. El experimento es llamado Poisson. La v.a. de interés X : es el número de ocurrencias en dicho intervalo. Diremos que X tiene una distribución Poisson con parámetro λ y escribimos

( )X pois λ∼ . λ Representa el número promedio de ocurrencias por unidad de tiempo o espacio.

La pmf. para X es ( ) 0 1 2xeP x ;x , , ,x!

− λ λ= = …Observe que un proceso Poisson equivale a muchas repeticiones de un experimento Bernoulli (ocurrencia o no). Suponga que ( )X bin n , p∼ . Si n aumenta y p disminuye de manera que npsea aproximadamente constante ( )np , cte≈ λ , entonces se puede demostrar que

( )1 0 1 2x

n xxn ep p , x , , ,x n x!

− λ− → λ

− = → ∞ …

n pλ =“Aproximación Poisson de la Binomial”

Se prefiere valores de 100n ≥ y tales que 20np ≤ y 0 1p .≤ . Se puede ver que [ ] [ ]E X y V X= λ = λ

Ejemplo: Suponga que a una central telefónica llegan en promedio 10 llamadas por minuto. a) ¿Qué tan probable es que en el siguiente minuto lleguen al menos 2 llamadas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que en el siguiente minuto lleguen exactamente 15 llamadas? c) ¿Cuál es la probabilidad de que no llegue ninguna llamada en el siguiente minuto? Solución: Sea X : # llamadas que llegan a la central por minuto ( )10X pois∼ ,

( )1010 0 1 2

xeP x ; x , , ,x!

−

= = …

a)

b) ( ) ( )15 151015 15 0 03471815

eP X P .!

−

= = = =

c) ( ) ( ) 100 0 0 0000454P X P e .−= = = =

Ejemplo: El número de componentes que fallan antes de 100 horas de operación es una v.a Poisson. En promedio fallan 8 componentes antes de 100 horas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que fallen no más de dos componentes en 50 horas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que fallen no más de dos componentes en 50 horas? ¿al menos tres en 125 h? Solución: Sea X : # componentes que fallan antes de 100 horas ( )8X pois∼

a) Sea Y : # de componentes que fallan antes de 25 horas.

( )1

25 82

100∴ λ = =

( )2 2y 1 0 270671eP .!

− ′= = =

b) Sea Z : # componentes que fallan antes de 50 horas.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )10

10 1010 10

2 1 2 1 1 1 0 1

11 111 10 1 0 9995

x xP x P x P x f f

ee e .e e

− −

≥ = − < = − ≤ = − + −= − + = − = ≅

( )( )

1

1

pois 100 8

pois 2 25

Y

Y

λ →

→λ

∼

∼

( )4 22

4

0

4

4 42 1 42

13 0 238103

z

z

eP Z ez!

.e

−−

=

≤ = = + +

= =

∑

Sea W : # componentes que fallan antes de 125 horas.

( )3 3

3

pois 100 8 10125

W λ → λ =

→ λ

∼

( )

( ) ( )

( )

102

0

210

10

pois 10

103 1 2 1

10 611 1 10 12

3 0 99723

W

W

W

eP W P WW!

ee

P W .

−

=

−

≥ = − ≤ = −

= − + + = −

≥ =

∑

∼

Ejemplo: Estudios recientes han mostrado que la probabilidad de morir a causa de cierto medicamento contra la gripe es 0.00002. Si se administra dicho medicamento a 100.000 personas. ¿Cuál es la probabilidad de que no más de dos personas mueran? Solución: Sea X : # de personas que mueren por causa del medicamento

( )100000 0 00002X bin , .∼

Se pide ( )2 0 676676P X .≤ = .

Sea Y : # personas que mueren por cada 100.000 habitantes ( )Y pois λ∼ Si 2npλ ≈ = ⇒

( ) ( )22

20

2 52 2 0 67668y

y

eP X P Y .y! e

−

=

≤ ≈ ≤ = = =∑

Generación en SAS de Distribución Binomial y Poisson

Calculo de probabilidadesSuponga que ( ) ( ) ( )20 0 1 20 5 3 y 2X bin , . , Y hip , , T pois∼ ∼ ∼Calcule ( ) ( ) ( )2 2 2P X , P Y , P T≤ ≤ ≤

1

2

3

0 6769268

0 9912281

0 6766764

P .

P .

P .

=

=

=

( )( )

2 2

2

pois 100 8 4

pois 4 50

Z

Z

λ → λ =

→ λ

∼

∼

( )( )

( )

1

2

3

Data uno:0 1 20 2

20 5 3 2

2 2

run ;

P Probbnml . , , ;

P Probhypr , , , ;

P Poisson , ;

=

=

=

Generación de DistribucionesGenerar 20 datos de una Binomial ( )10 0 1b , . y de una ( )2pois

( )( )

Data dos;do 1 to 20

0 10 0 1

0 2

outputendrun

i ;x ranbin , , . ;

y ranpoi , ;;

;;

==

=

Algunas distribuciones continuas

Distribución UniformeSea X una v.a continua definida en el intervalo ( )a , b , ( )P X I∈ es proporcional a la longitud de

I , en particular ( )( ) ( ) 11P X a , b k b a kb a

∈ = − = ∴ =−

Diremos que X tiene una pdf uniforme en ( )a , b y escribimos ( )X a , b∼∪ . La pdf de X está dada por

( )1

0 otro caso

, a x bb af x

,

< < −=

[ ] [ ] ( ) 2

y2 12

a ba bE X V X++= =

La cdf para X es ( )

0

1

, x ax aF x , a x bb a

, x b

< += ≤ ≤ − >

Ejemplo: La longitud de una bisagra para puertas es un v.a X , distribuida uniformemente en el intervalo ( )74 6 75 4. , . mm

a) Calcule ( )74 8P X .<b) ¿Qué proporción mide más de 75 0. mm ? ¿Cuál es la probabilidad de que la bisagra mida menos de 74 9. mm?

Solución: ( ) 1 25 74 6 75 40 otro caso. , . x .

f x,

< <=

a) ( ) ( )74 8

74 674 8 1 25 1 25 74 8 74 6 0 25

.

.P X . . dx . . . .< = = − =∫

b) ( ) ( )( ) ( )

75 4

7575 1 25 1 25 75 4 75 0 5

74 9 1 25 74 9 74 6 0 375

.P X . dx . . .

P X . . . . .

> = = − =

< = − =∫

Distribución Normal

Esta distribución juega un papel clave en el desarrollo de la inferencia estadística, pues muchas de las herramientas usadas en la toma de decisiones o en las pruebas de hipótesis, tienen su fundamento en ésta distribución. Un gran número de estudios pueden ser aproximados usando una distribución normal: Algunas variables físicas datos meteorológicos (temperatura, precipitaciones, presión atmosférica, etc), mediciones en organismos vivos, notas o puntajes en pruebas de admisión o de aptitud, errores en instrumentación, proporciones de errores en diversos procesos, etc. Definición: Sea X una v.a continua, se dice que X tiene una distribución normal si su p.d.f es de la forma

( )( ) 2

2121

02

x xf x e ;

,

− µ−

σ−∞ < < ∞

=µ∈ σ >π σ R

Escribimos ( )2X n ,µ σ∼

f tiene su máximo absoluto en x = µ y sus puntos de inflexión en µ ± σ . Es un adistribución simétrica respecto a x = µ .

Se puede demostrar que ( ) 1f x dx+ ∞

− ∞=∫ y que [ ] [ ] 2yE X V X= µ = σ .

Si 0 y 1µ = σ = diremos que X tiene una distribución normal estándar y es usual denotarla Z .

( )2

212

Zf Z e , Z−= ∈

πR

Si ( ) ( ) ( )2

210 12

Z tZ n , F Z e dt Z−

− ∞

⇒ = = Φπ∫∼

“Usar tablas” ¿Cómo calcular probabilidades para cualquier normal?

Suponga que ( )2X n ,µ σ∼ y sean a y b reales

( )( ) 2

2

2

12

2

12

12

Xb

a

b z

a

XP a X b e dx Si Z

b ae dz

− µ−σ

− µ−σ

− µσ

− µ≤ ≤ = =

σπ σ

− µ − µ = = Φ − Φ σ σπ

∫

∫

O sea ( ) ( )0 1a bP a X b P Z con Z n ,− µ − µ ≤ ≤ = ≤ ≤ σ σ ∼

Teorema: Sea X una v.a continua tal que ( )2X n ,µ σ∼ si ( )0 1XZ Z n ,− µ= ⇒σ

∼

Ejemplo: Suponga que Z es una v.a tal que ( )0 1Z n ,∼a) Calcule ( )1 32P Z .< d) ( )1 1P Z− < <

b) ( )3P Z < e) ( )2P Z >

c) ( )2 15P Z .> − f) ( )2P Z >

g) Cuál es le valor de C , para que ( ) 0 975P Z c .< = ?

( ) 0 975

1 96

P Z c .c .

< =

=

Ejemplo: El diámetro de un cable eléctrico está distribuido normalmente con un diámetro medio de 0 8 plg. y una desviación estándar de 0 02. .a) ¿Qué proporción de cables tiene un diámetro superior a 0 81 plg. ?b) Un cable es defectuoso si su diámetro difiere del promedio en más de 0 025 plg. , ¿Qué proporción de cables son defectuosos? Solución: Sea X : diámetro del cable

( )0 8 0 0004X n . , .∼

a)

( ) ( )

( )

0 81 0 80 81 1 0 81 10 02

1 0 5 1 0 6915 0 3085

X . .P X . P X . P.

P Z . . .

− µ − > = − ≤ = − ≤ σ = − ≤ = − =

b)

Ejemplo: La nota promedio obtenida por un estudiante de cierto curso es una v.a aproximadamente normal con una media de 3 3. y desviación estándar de 0 2. . Si se desea que solo el 2% de todos los estudiantes de dicho curso repruebe, ¿Cuál debe ser la nota mínima aprobatoria? Solución: Sea X : Nota obtenida por el estudiante ( )3 3 0 04X n . , .∼Si k es la nota mínima aprobatoria, entonces

( ) 0 02P X k .≤ = o sea 3 3 3 3 3 30 02 0 02

0 2 0 2 0 2X . k . k .P . P Z .. . .− − − ≤ = ⇔ ≤ =

Si ( )3 3 0 020 2

k .z P Z z ..

−= ∴ ≤ = . En la tabla 2 05z .= −

Así 3 3 2 05 2 89 2 90 2

k . . k . ..

− = − ∴ = ≈

Los Percentiles en una normal son calculados usando ( )ZΦ .

Sea 0 1< α < y supongamos que ( )0 1Z n ,∼ .

El valor de Z que deja un área α a la derecha se denota Z α :

( ) 1P Z Z α< = − α

Aproximación Normal de la Binomial

( ) ( )( )

( )( ) ( )

0 8 0 025 1 0 8 0 025

1 0 025 0 8 0 025

0 025 0 8 0 02510 02 0 02 0 02

1 1 25 1 25

1 1 25 1 251 0 8944 0 1056 0 2112

P X . . P X . .

P . X . .

. X . .P. . .

P . Z .

. .. . .

− > = − − ≤

= − − ≤ − ≤

− − = − ≤ ≤

= − − ≤ ≤

= −Φ + Φ

= − + =

Suponga que X es un v.a Binomial ( )X bin n , p∼ . Si nes grande, entonces las probabilidades para esta v.a pueden ser aproximadas usando la distribución normal. Es decir

( )( )

11 22 1

x n pP X x P X x P Z

n p p

+ − ≤ = < + ≈ ≤ −

En la practica estas aproximaciones son buenas cuando 10n p ≥ y ( )1 10n p− ≥ .

Ejemplo: Un proceso de fabricación produce un 2% de chips defectuosos. Suponga que la determinación de ésta característica es independiente para cada chip y 1000 de ellos son seleccionados. a) Calcule la probabilidad de que este lote contenga más de 25 chips defectuosos b) Aproxime la probabilidad en a) usando la distribución normal. Solución: Sea X : # de defectuosos en los 1000 seleccionados ( )1000 0 02X bin , .∼

a)

( ) ( )

( ) ( )25

1000

0

25 1 25

10001 0 02 0 98

1 0 8900660 109934

x x

x

P X P X

. .x

..

−

=

> = − ≤

= −

= −=

∑

b)

( ) ( )( )

( )[ ][ ]

25 1 25

1 25 5

25 5 20119 6

1 1 24 1 0 8925 0 1075

20

19 6

P X P X

P X .

.P Z.

P Z . . .

E X np

V X .

> = − ≤

= − <

− ≈ − ≤

= − ≤ = − =

= =

=

Ejercicios propuestos: - Suponga que X tiene una distribución Poisson con media 0.4. Calcule las siguientes

probabilidades: a. (((( ))))0P X ====

b. (((( ))))2P X ≤≤≤≤

c. (((( ))))4P X ====

d. (((( ))))8P X ====

- Suponga que el número de clientes que entran en una banco en una hora es una variables aleatoria Poisson, y que (((( ))))0 0 05P X .= == == == = . Calcule la media y la varianza de X .

- A menudo, el número de llamadas telefónicas que llegan a un conmutador se modela como una variable aleatoria Poisson. Suponga que, en promedio, se reciben 10 llamadas por hora.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen exactamente cinco llamadas en una hora? b. ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban tres llamadas o menos en una hora? c. ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban exactamente 15 llamadas en dos horas? d. ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen exactamente cinco llamadas en 30minutos?

- El número de baches en una sección de una sección de una carretera interestatal que requieren reparación urgente, puede modelarse con una distribución Poisson que tiene una media de dos baches por milla.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya baches qué reparar en un tramo de cinco millas ? b. ¿Cuál es la probabilidad de que sea necesario reparar al menos un bache en un tramo de media milla? c. Si el número de baches está relacionado con la carga vehicular de la carretera, y algunas secciones de ésta tienen una carga muy pesada mientras que otras no, ¿Qué puede decirse sobre la hipótesis de que el número de baches que es necesario reparar tiene una distribución Poisson?

- El número de fallas de un instrumento de prueba debidas a las partículas contaminantes de

un producto, es una variable aleatoria Poisson con media 0.02 fallas por hora. a. ¿Cuál es la probabilidad de que el instrumento no falle en una jornada de ocho horas? b. ¿Cuál es la probabilidad de que se presente al menos una falla en un periodo de 24 horas? - En un proceso de fabricación donde se laminan varias capas de cerámicas, el 1% de los

ensambles es defectuoso. Suponga que los ensambles son independientes. a. ¿Cuál es el número promedio de ensambles que será necesario examinar para obtener cinco defectuosos? b. ¿Cuál es la desviación estándar del número de ensambles que es necesario examinar para obtener cinco defectuosos?

- Los mensajes que llegan a una computadora utilizada como servidor lo hacen de acuerdo

con una distribución Poisson con una tasa promedio de 10 mensajes por hora. Determine el intervalo de tiempo necesario para que la probabilidad de que no llegue ningún mensaje durante ese lapso sea 0.90.

Distribución ExponencialSea X una v.a continua. Diremos que X tiene una distribución exponencial si la pdf para X es de

la forma ( ) 00 otro caso

xe , xf x,

−λλ >=

Escribimos ( ) [ ] [ ] 2

1 1yX Exp , E X V Xλ = =λ λ

∼

La cdf para X es ( ) 1 00 0

xe , xF x, x

−λ − ≥=

<

Variables Aleatorias Continuas

Una variable aleatoria se dice continua si el espacio de dicha variable es un intervalo o es la unión de varios intervalos reales, acotados o no acotados. Ejemplos:- Medición de la corriente de un alambre. - Longitud de partes desgastados en una pieza. - Tiempo de duración de una bombilla. - Tiempos de espera. - Estatura. - Masa.

Definición: Sea X una v.a continua. La distribución acumulada de la v.a denotada xF , está dada

por ( ) ( )xF X P X x x= ≤ ∀ ∈R .

Propiedades:1. ( )0 1xF X≤ ≤

2. ( ) ( )0 1x xx xlim F X y lim F X→ − ∞ → + ∞

= =

3. ( ) ( )1 xP X x F X> = −

4. Si ( ) ( )x xX Y F X F Y< ⇒ ≤

Si existe una función xF tal que ( ) ( )x xF X F X x′ = ∀ donde xF′ existe, entonces xF es llamada una función de densidad de probabilidad de la v.a X (f. d. p). Por el T. F. C ( ) ( )x

x xF X F t dt x− ∞

= ∀ ∈∫ R donde xF′ existe.

Propiedades de xF

1. ( ) 0xF x , x≥ ∀ ∈R

2. ( ) 1xF x dx

+∞

−∞=∫

3. ( ) 0P X x= = ; así ( ) ( ) ( ) ( )b

x x xaP a x b F b F a F x dx≤ ≤ = − = ∫

( ) ( ) ( ) ( )P a x b P a x b P a x b P a x b≤ ≤ = < ≤ = ≤ < = < <

Ejemplo: Sea X : la duración (en horas) de cierto tipo de bombilla eléctrica. Supóngase que X es una variable aleatoria continua con f. d. p dada por

( ) 3 1500 x 2500

0 otro casox

a ,xF x,

≤ ≤= .

a) Halle el valor de la constante a. b) Calcule ( )2000P X ≤ .

c) Calcule ( )2000 1800 2500P X | X≤ ≤ ≤ .

Solución: ( ) 2500

31500

2500

21500

91 1

1 70312502

xF x dx dxx

a ax

+∞

−∞= ⇔ =

−⇔ = ⇒ =

∫ ∫

a) Como

b)

c)

Ejemplo: Se escoge un punto en el intervalo ( )a , b y sea X la variable aleatoria que representa la

coordenada X de dicho punto. Suponga que si I es cualquier sub-intervalo de ( )a , b , entonces

( )P X I∈ es proporcional a la longitud de I .

Si ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 2 1 cteI X , X P X I P X X X k X X k= ⇒ ∈ = < < = −

Si ( ) ( ) ( ) ( )

11I a, b P a x b k b a k b a= ⇒ < < = − = ⇒ =−

Como

Entonces: ( ) 1xf X , a x b

b a= ≤ ≤

−

Si X a< entonces ( ) 0xF x =

Si a X b≤ ≤ entonces

( )xx aF xb a−=−

Si X b> entonces ( ) 1xF x =

Esta distribución es conocida como distribución Uniforme continua. Ejemplo: El tiempo que debe esperar un cliente hasta ser atendido en ventanilla es una v.a

continua con f. d. p xf dada por ( ) 0

0 otro caso

x

xe , xf x,

− >=

(tiempo en minuto).

( ) 2500

3 2 21500

7031250 7031250 1 12002 1500 2000

0 68359

P x dxx

.

≤ = = − ≅

∫

( ) ( ) ( ) ( )2

11 2 2 1 2 1

1x

xxP x x x F x dx k x x x x

b a< < = = − = −

−∫

( ) ( )( )1800 2000

2000 1800 2500 0 394521800 2500

P xP x | x .

P x≤ ≤

≤ ≤ ≤ = ≅≤ ≤

Halle xF ; Calcule ( )1P X < , ( )1 2P X< < . Halle el valor de k para le cuál ( ) 0 95P X k .< = .

Solución:

Si 0x ≤ entonces ( ) 0xF x =

Si 0x > entonces ( ) ( )x

x xF x f t dt−∞

= ∫( ) 00

1x t t x x

xF x e dt e | e− − −= = − = −∫( ) 0 0

1 0x x

, xF x

e , x−

≤= − >

( ) ( ) ( ) 1 1 11 1 1 1 1 0 63212xeP x P x F e .

e e− −< = ≤ = = − = − = ≅

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 12 2

1 1 11 2 2 1 1 1 0 23254x xeP x F F e e .

e e e− − −< < = − = − − − = − = ≅

( ) ( ) ( )1 0 95 0 05 0 05 2 99573k kxP x k F k e . e . k ln . k .− −< = = − = ⇔ = ⇒ = − =

Valor esperado de una variable continuaSea x una variable aleatoria continua con f.d,p. ( )f X . El valor esperado de X está dado por

[ ] ( )xU E x x f x+∞

−∞= = ∫ , si la integral existe.

Este valor esperado cumple las mismas propiedades que en el caso discreto.

[ ] [ ]E a x b a E x b+ = + , ( ) ( )E c g x c E g x = y( ) ( ) ( )xE g x g x F x dx

+∞

−∞ = ∫

La varianza de la v.a X estará dada por [ ] [ ] ( ) 2

22 2x x xVAR x V x E x U E x U σ = = = − = −

La desviación estándar de la v.a X será 2x xσ = σ .

Para el ejemplo de la duración en horas de cierta bombilla. Halle [ ]E X .

Solución:

( )

22500 2500231500 1500

250021500

7031250 7031250

7031250 3591742 667

xE x dx dxx x

E x ln x .

= =

= =

∫ ∫

[ ] ( ) 2500 2500

3 21500 1500

2500

1500

7031250 7031250

7031250 1875 horas

xxE x x f x dx dx

x x

( )x

+∞

−∞= = =

= − =

∫ ∫ ∫

2 23591742 667 1875 76117 667 275 894 h)x x. . ; . (∴σ = − = σ =

Para el ejemplo del tiempo de espera de un cliente X

( ) 00 otro caso

x

xe , xf x,

− >=

[ ]0

1xE x x e dx+∞ −= =∫ ,

2 2 2

02 2 1 1 1x

x xE x x e dx , ,+∞ − = = σ = − = σ = ∫

Ejercicios propuestos

- Sea X una v.a continua con f.d.p dada por

( ) ( )2 0 2

0 en otro casoc x , x

f x,

− ≤ ≤=

Calcule a) c b) Halle ( )xF X

c) Calcule ( )1 1 5P X .≤ ≤

d) [ ]E X y [ ]V X

e) Hallar el valor de k tal que ( ) 0 95P X k .< =

- Cuando un servicio de transporte reduce su tarifa, entonces se vuelve muy popular un recorrido muy especial entre dos ciudades. Para hacer el recorrido se emplea un transporte especial Que puede llevar cuatro pasajeros. El tiempo entre llamadas para comprar boletos tiene una distribución exponencial con una media de 30 minutos. Suponga que en cada llamada se adquiere un boleto. ¿Cuál es la probabilidad de que el transporte se llene en menos de tres horas a partir del momento en que se reduce la tarifa?

- Demuestre que la siguientes funciones son funciones de densidad de probabilidad para algún valor de k ; determine el valor de k .a. ( ) 2

Xf x k x= para 0 4x< <

b ( ) ( )1 2Xf x k x= + para 0 2x< <

c. ( ) xXf x k e −= para 0 x<

- Suponga que ( ) xXf x e −= para 0 x< . Calcule las siguientes probabilidades:

a. ( )1P X<

b. ( )1 2 5P X .< < c. ( )3P X =

d. ( )4P X <

e. ( )3P X≤

- Suponga que ( ) xXf x e −= para 0 x<

a. Calcule un valor de x tal que ( ) 0 10P x X .< =

b. Calcule un valor de x tal que ( ) 0 10P X x .≤ =

- (*)La función de densidad de probabilidad del tiempo de falla (en horas) de un componente

electrónico de una copiadora es ( )1000

1000

x

Xef x

−

= para 0x > . Calcule la probabilidad de que

a. El componente tarde más de 3000 horas en fallar. b. El componente falle en el lapso comprendido entre 1000 y 2000 horas. c. El componente falle antes de 1000 horas. d. Calcule el número de horas en las que fallarán el 10% de todos los componentes. - La función de densidad de probabilidad de la longitud de una bisagra para puertas es

( ) 1 25Xf x .= para 74 6 75 4. x .< < milímetros. Calcule lo siguiente:

a. ( )74 8P X .<

b. ( )74 8 75 2P X . o X .< > c. Si las especificaciones para éste proceso son una longitud entre 74.7 y 75.3 milímetros,

¿Cuál es la proporción de bisagras que cumple con las especificaciones? - Suponga que la función de distribución acumulada de la variable aleatoria X es

( )0 2

0 25 0 5 2 21 2

X

xF x . x . x

x

< −= + − ≤ < ≤

a. Determine ( )1 8P X .<

b. Calcule ( )1 5P X .> −

c. Obtenga ( )2P X < −

d. Determine ( )1 1P X− < <

- Continuación del ejercicio(*) a. Calcule la función de distribución acumulada de la distribución del ejercicio (*) - Determine la función de densidad de probabilidad asociada con cada una de las siguientes

funciones de distribución acumulada.

( )

0 00 2 0 4

0 04 0 64 4 91 9

x. x x

F x. x . x

x

< ≤ <= + ≤ < ≤

- El espesor de un recubrimiento conductor, en micrómetros, tiene una función de densidad ( ) 2600f x x −= para 100100 120m x mµ < < µ

a. Calcule la media y la varianza del espesor del recubrimiento. b Si el costo del recubrimiento es 0.50 dólares por micrómetro de espesor en cada pieza, ¿Cuál es el costo promedio del recubrimiento por pieza?

- Suponga que la función de densidad de probabilidad de la longitud de unos cables para computadora es ( ) 0 1Xf x .= , desde 1200 hasta 1210 milímetros.

a. Calcule la media y la desviación estándar de la longitud del cable. b. Si las especificaciones para la longitud son 1195 1205x< < milímetros, ¿Qué valor de la media da la mayor proporción de cables que cumplen con las especificaciones? - El espesor de la capa de sustancia fotoprotectora que se aplica a las obleas en el proceso

de fabricación de semiconductores en cierta área de la oblea, tiene una distribución uniforme entre 0.2050 y 0.2150 micrómetros.

a. Calcule la proporción de obleas en las que el espesor de la sustancia es mayor que 0.2125 micrómetros. b. ¿Qué espesor exceden el 105 de las obleas? c. Calcule la media y la varianza del espesor de la sustancia fotoprotectora.

Ejemplos: Calcular las siguientes probabilidades si ( )0 1Z n ,∼a) ( )1 32P Z .< e) ( )2 34 1 76P . Z .< <

b) ( )3P Z < f) ( )1 1P Z− < <

c) ( )1 45P Z .> g) ( )2 2P Z− < <

d) ( )2 15P Z .> h) ( )3 3P Z− < <

Ejemplo: Cuál es el valor de Z para el cuál: a) ( ) 0 9P Z z .< =

b) ( ) 0 1P Z z .> =

c) ( )1 24 0 8P . Z z .− < < =

d) ( )1P z Z− < <

Ejemplo: Suponga que ( )2 0 0 16X n . , .∼ . Calcular ( )2 3P X .> y ( )1 8 2 1P . X .≤ ≤ .

Solución:

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

1 8 2 X U 2 1 21 8 X 2 1 0 5 Z 0 250 4 0 4Z 0 25 Z 0 5

Z 0 25 1 Z 0 50 59871 1 0 69146 0 29

. .P . . P P . .. .

P . P .P . P .. . .

− − −≤ ≤ = < < = − < < σ

= < − <= < − + <= − + =

Ejemplo: La nota promedio obtenida por un estudiante de cierto curso tienen una distribución aproximadamente normal con una nota promedio de 3 3. y una desviación estándar de 0 2. .Si se desea que solo el 5% de todos los estudiantes de dicho curso re-prueben. ¿Cuál debe ser la nota mínima para que esto sea posible?

( ) ( )

( )

X 2 2 3 2X 2 3 1 X 2 3 10 4 0 4

1 Z 0 75 1 0 77337 0 2266

.P . P . P. .

P . . .

− −≥ = − < = − <

= − < = − =

Solución: Sea X : nota obtenida por un estudiante ( )3 3 0 04X n . , .∼ . Sea k la nota promedio

mínima que satisface ( ) 0 05P x k .< = .

Así ( )Z z 0 95 z 1 645

k 3 3z 1 645 k 2 9710 2

P . ... ..

< − = ⇒ − =

−∴ = − = ⇒ =

Distribución ExponencialSuponga que Y es una v.a discreta tal que ( )Y pois λ∼ . Sea X : tiempo entre ocurrencias sucesivas del proceso Poisson. Si el tiempo entre ocurrencias es mayor que x (osea, X x> ), esto significa que en el intervalo [ ]0 , x no ocurre ningún evento Poisson. Sea W : # de ocurrencias en

un intervalo de tiempo x . ( )W pois xλ∼ . Así ( ) ( )0P X x P W> = =

Así ( ) ( ) ( ) xxF x X x 1 X x 1P P e−λ= ≤ = − > = − con esto ( ) 0x

xf X e , x−λ= λ > . La distribución de la variable aleatoria X se conoce como distribución exponencial con parámetro λ . Escribimos

( )X exp λ∼ . Se puede probar fácilmente que [ ] 1E X =λ

y [ ] 2

1V X =λ

.

Ejemplo: El tiempo que transcurre entre llamadas a una empresa de artículos de plomería tiene una distribución exponencial, con un tiempo promedio de 15 minutos entre llamadas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que no hayan llamadas en un lapso de 30 minutos? b) ¿Cuál es la probabilidad de recibir al menos una llamada en un intervalo de 10 minutos? c) ¿Cuál es la probabilidad de recibir la primera llamada entre 5 y 10 minutos? d) Calcule la dimensión de un intervalo de tiempo de manera que la probabilidad de recibir al menos una llamada en ese lapso de tiempo

( )

( )

x 3 3 k 3 3x k 0 05 0 050 2 0 2

k 3 3Z z 0 05 con z0 2

. .P . P .. .

.P . ,.

− − < = ⇔ < =

−⇔ < = =

( ) ( )wx

W

xf W W 0,1, 2, ...

W!e

,−λ λ

= =( ) ( ) ( ) xWX x W 0 f 0P P e −λ> = = = =

sea 0.95. Solución: Sea X tiempo entre llamadas,

1X exp15

∼∼∼∼.

[ ] 1X 1515

E = ∴ λ =.

( )-x

15x

1f x x 015e ,= >

a)

b)

c)

d) Sea t la longitud en minutos de dicho intervalo entonces,

( )- t-xt 1515

0

1X t 0 95 dx 0.95 1 0 95 t 44 93 min15

P . e e . .≤ = ⇔ = ⇔ − = ⇒ ≅∫

Ejemplo: Sea X el tiempo entre las detecciones de una partícula rara por un contador Geiger; Supóngase que éste tiempo tiene una distribución exponencial con un tiempo medio de 1 4.minutos. ¿Cuál es la probabilidad de detectar una partícula durante el lapso de 30 segundos desde que se enciende el contador? Solución:

[ ] 1 1X 1 41 4

E ..

= = ∴λ ,

( )-x

1.4x

1f x x 01 4e ,

.= >

,

( ) ( )1-x 0 50 5 1 4 1 40

1x 0 5 dx 1 0 3003271 4

.. . .P . e e ..

−< = = − =∫

Suponga que transcurren 3 minutos sin que el contador detecte partícula alguna. ¿Cuál es la probabilidad de detectar una partícula en los 30 segundos siguientes?

Aplicaciones

( ) ( )( )

( )

( )

-x351.4

3

-x+1.4

3

35 -314 1.4 -3.5

1.4

-3 -31.4 1.4

-0.51.4

13 X 3 5 1 4X 3 5 X 3 0

1X 31 4

1 11-

1 0 300327 igual

.

.

.

eP . .P . | .P e

.

e ee

e e

e . .

∞

−

< << > = =

>

− − −

= =

= − =

∫

∫

( )-x

15230

1 1x 3015

P e dxe

+∞> = =∫

( )10-x -x 10 210 15 15 15 3

00

1x 10 dx 1 1 0 486615

P e e e e .− −

≤ = = − = − = − ≅∫

( )10-x -1 -2-x10 15 3 315

55

15 x 10 dx 0 203115

P e e e e .< < = = − = − ≅∫

Suponga que Y es una v.a discreta tal que ( )Y P λ∼ . Sea X el tiempo entre ocurrencias sucesivas de este proceso Poisson. Si el tiempo entre ocurrencias es mayor que x (osea X x> ), esto significa que en el intervalo [ ]0 , x no ocurre ningun evento Poisson. Sea W : # ocurrencias en

un intervalo de tiempo x (de cero a x ), entonces ( )W p xλ∼ .

( ) ( )0P X x P W> = =

Ahora ( ) ( )

( ) ( )

0 1 2

0

wx

x

e xP W ; w , , ,

w!P X x P W e

−λ

−λ

λ= =

> = = =

…

La c.d.f para X es ( ) ( ) ( )1F x P X x P X x= ≤ = − >

( ) 1 0xF x e ; x−λ= − > . Asi, la p.d.f para X es ( ) xF X e −λ= λ , osea ( )X exp λ∼ .

Proposición: (Carencia de memoria) Suponga que X es una variable aleatoria continua tal que ( )X exp λ∼ . Sean

( ) ( )1 2 1 2 1 2t t x t t x t x t, P | P+∈ ⇒ < + > = <RDemostración: ( )x , y

( ) ( )( )

( )

( )

1 2

1

1

1 21 21

1

1 1

21 1

2

1

t t x

t1 1 21 2 1 + x

1t

t +tx t +tttt t

ttt

t

2

dxt x t tx t t x t

x t dx

11

x t

ePP |

P e

e e ee e

e ee

eP

+ −λ

∞ −λ

− λ −λ−λ

−λ −λ

−λ−λ−λ

−λ

λ< < +< + > = =

> λ

− − −= =− − − = = −

= <

∫∫

”El tiempo transcurrido no cuenta en la probabilidad del evento siguiente” Para el ejemplo anterior se tiene que

( ) ( ) ( )3 5 3 0 3 0 5 3 0 0 5P X . | X . P X . | X . P X .< > = < + > = <

Ejercicios propuestos:

- Suponga que X tiene una distribución normal con media 10 y desviación estándar 2. Calcule lo siguiente:

a. ( )13P X <

b. ( )9P X >

c. ( )6 14P X< < d. ( )2 4P X< <

e. ( )2 8P X− < <

- Suponga que X tiene una distribución normal con media 5 y desviación estándar 4. Obtenga el valor de x que resuelve cada una de las siguientes probabilidades:

a. ( ) 0 5P X x .> =

b. ( ) 0 95P X x .> =

c. ( )9 0 2P x X .< > = d. ( )3 0 95P X x .< > =

e. ( ) 0 99P x X x .− < < =

- La resistencia a la compresión de una serie de muestras de cemento puede modelarse con una distribución normal con media 6000 kilogramos por centímetro cuadrado, y una desviación estándar de 100kilogramos por centímetro cuadrado. a. ¿Cuál es la probabilidad de que la resistencia de una muestra sea menor que 6250 2kg / cm ?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que la resistencia de una muestra se encuentre entre 5800 y 5900 2kg / cm ?

c. ¿Cuál es el valor de resistencia que excede el 95% de las muestras? - El volumen de una máquina de llenado automático deposita en latas de una bebida gaseosa tiene una distribución normal con media 12.4 onzas de líquido y desviación estándar de 0.1 onzas de líquido. a. ¿Cuál es la probabilidad de que el volumen depositado sea menor que 12 onzas de líquido? b. Si se desechan todas las latas que tienen menos de 12.1 o más de 12.6 onzas de líquido, ¿Cuál es la proporción de latas desechadas? c. Calcule especificaciones que sean simétricas alrededor de la media, de modo que se incluya al 99% de todas las latas. - La media de la operación de llenado puede ajustarse con facilidad, pero la desviación

estándar sigue teniendo el mismo valor, 0.1 onzas de líquido. a. ¿Qué valor debe darse al media para que el 99.9% de todas las latas contengan más de 12 onzas de líquido? b. ¿Qué valor debe darse al media para que el 99.9% de todas las latas contengan más de 12 onzas de líquido si la desviación estándar puede reducirse a 0.05 onzas de líquido? - La longitud de un estuche moldeado por inyección para una cinta magnética tiene una

distribución normal con una media de 90.2 milímetros y desviación estándar de 0.1 milímetros.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que la longitud de una pieza sea mayor que 90.3 milímetros o menor que 89.7 milímetros? b. ¿A que valor debe ajustarse la media del proceso para que el mayor número de partes tenga una longitud entre 89.7 y 90.3 milímetros? c. Si se desechan los estuches cuya longitud no está entre 89.7 y 90.3 milímetros, ¿Cuál es el rendimiento del proceso para el valor de la media determinado en el inciso b)? - Suponga que el proceso se ajusta de modo que la media y la desviación estándar queden en 90 y 0.1 milímetros, respectivamente. Suponga que se mide la longitud de 10 estuches y que las mediciones son independientes. a. ¿Cuál es la probabilidad de que la longitud de los 10 estuches esté entre 89.7 y 90.3 milímetros? b. ¿Cuál es el numero esperado de los 10 estuches cuya longitud esté entre 89.7 y 90.3?

- El tiempo que transcurre entre las llamadas a una empresa de artículos para plomería tiene una distribución exponencial con un tiempo promedio entre llamadas de 15 minutos.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya llamadas en un lapso de 30 minutos? b. ¿Cuál es la probabilidad de recibir al menos una llamada en un intervalo de 10 minutos? c. ¿Cuál es la probabilidad de recibir la primera llamada entre cinco y 10 minutos después de haber abierto la empresa? - Calcule la dimensión de un intervalo de tiempo, de modo tal que la probabilidad de recibir al menos una llamada en ese lapso sea 0.90. - El tiempo de vida de los reguladores de voltaje de los automóviles tiene una distribución

exponencial con un tiempo de vida medio de seis años. Una persona compra un automóvil que tiene una antigüedad de seis años, con un regulador en funcionamiento, y planea tenerlo por espacio de seis años.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que el regulador de voltaje falle en ese lapso de seis años? b. Si el regulador falla después de tres años de haber efectuado la compra del automóvil y se reemplaza, ¿Cuál es el tiempo promedio que transcurrirá hasta que el regulador vuelva a fallar? - El tiempo entre llegadas de mensajes electrónicos a una computadora tiene una distribución exponencial con media de dos horas. a. ¿Cuál es la probabilidad de que la computadora no reciba mensajes en un periodo de dos horas? b. Si la computadora no ha recibido ningún mensaje en las últimas cuatro horas, ¿Cuál es la probabilidad de recibir un mensaje en las dos horas siguientes? C. ¿Cuál es el tiempo esperado entre el quinto y el sexto mensaje? - El tiempo entre arribos de los taxis a un cruce muy concurrido tiene una distribución

exponencial con media de 10 minutos. a. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que esté en el cruce tenga que esperar más de una hora para tomar un taxi? b. Suponga que la persona ya esperó una hora; ¿Cuál es la probabilidad de que llegue uno en los siguientes 10 minutos?

Continuación del anterior ejercicio 4-83 - a. Determine x , de modo tal que la probabilidad de que la persona espere más de x

minutos para tomar un taxi sea 0.10. b. Calcule x , de modo tal que la probabilidad de que la persona tenga que esperar menos de x minutos para tomar un taxi sea 0.90. c. Determine x , de modo que la probabilidad de que la persona tenga que esperar menos de x minutos para tomar un taxi sea 0.50. - El tiempo de duración de un ensamble mecánico en una prueba de vibración tiene una

distribución exponencial con media de 400 horas. a. ¿Cuál es la probabilidad de que el ensamble falle durante la prueba en menos de 100 horas? b. ¿Cuál es la probabilidad de que el ensamble trabaje durante más de 500 horas antes de que falle? c. Si el ensamble se ha probado durante 400 horas sin falla alguna, ¿Cuál es la probabilidad de que falle en las siguientes 100 horas?

Continuación del anterior ejercicio

- a. Si se prueban 10 ensambles, ¿Cuál es la probabilidad de que falle al menos uno de ellos en menos que 100 horas? Suponga que los ensambles fallan de manera independiente.

b. Si se prueban 10 ensambles, ¿Cuál es la probabilidad de que todos hayan fallado después de 800 horas? Suponga que los ensambles fallan de manera independiente.

- El tiempo entre las llegadas de avionetas a un aeropuerto tiene una distribución exponencial

con una media de 1 hora. ¿Cuál es la probabilidad aterricen más de tres avionetas en una hora?

Continuación del anterior ejercicio

- a. Si se escogen 30 intervalos de una hora, ¿Cuál es la probabilidad de que en ninguno de ellos hayan aterrizado más de tres avionetas?

b. Determine la duración de un intervalo (en horas), de modo tal que la probabilidad de que no aterrice ninguna avioneta en ese tiempo sea 0.10.

Si la variable aleatoria X tiene una distribución exponencial con media θ , calcule lo

siguiente: a. ( )P X > θ

b. ( )2P X > θ

c. ( )3P X > θd. ¿Cómo depende el resultado de θ ?

Leer Sección 4.9. “Probabilidad y estadistica” Montgomery, Douglas C

Distribución LognormalUna variable aleatoria X , no negativa, tiene una p.d.f Lognormal si ( )Y ln X= es una v.a con p.d.f normal. Si [ ]E Y = µ y [ ] 2V Y = σ , la p.d.f de X es de la forma

( )( ) 2

2121 0

20

lnx

e , xf x x, otro caso

− µ−

σ >= π σ

µ y 2σ no son la media y varianza de X . Son la media y varianza de ( )ln x . Se puede demostrar que

[ ]2

2E X eσµ += y [ ] ( )2 22 1V X e eµ + σ σ= ∗ −

Es una curva con un sesgo grande a la derecha. El cálculo de probabilidades con una p.d.f Lognormal es algo complicado. Pero debido al

hecho de que el logaritmo natural de un v.a Lognormal es una v.a normal, podemos usar las tablas

para un anormal estándar para calcular dichas probabilidades. Como ( )ln x es una función estrictamente creciente, entonces

( ) ( ) ln x lnaP X a P lnx lna P

lna lnaP Z

−µ −µ ≤ = ≤ = ≤ σ σ −µ −µ = ≤ = Φ σ σ

Así, la c.d.f de X es de la forma

( ) ( ) 0ln xF x P X x ; x−µ = ≤ = Φ ∀ > σ

Ejemplo: El articulo “The statistics of phytotoxic air pollutants” (Journal Royal Stat Soc., 1989, pp.183-198) sugiere que la concentración de 2SO sobre cierto bosque tiene un distribución aproximadamente Lognormal con 1 9.µ = y 0 9.σ = .a) Si X : es la concentración de 2SO en este bosque. Calcule la concentración media de 2SO y la desviación estándar para X ?b) ¿Cuál es la probabilidad de que la concentración de 2SO sea a lo sumo 10? ¿Este entre 5 y 10? c) Calcule la mediana para X

Solución:

a) [ ]( ) 2

2 0 91 9 2 3052 2 10 024.. .E X e e e .

σµ + += = = =

[ ] ( ) ( )2 22 4 61 0 811 1 125 395. .V X e e e e .µ + σ σ= ∗ − = ∗ − =

b)

( ) ( )

( )

( )

( )( ) ( )

10 1010 1 90 9

0 45 0 6736

5 1 9 10 1 95 100 9 0 9

0 32 0 450 45 0 32

0 6736 0 3745 0 2991

P X P ln x lnlnx ln .P

.P Z . .

ln . ln .P X P Z. .

P . Z .. .

. . .

≤ = ≤

−µ − = ≤ σ = ≤ =

− − < < = ≤ ≤

= − ≤ ≤= Φ − Φ −= − =

c) Hallemos el valor de x , x� tal que ( )

( )

( )1 9

0 5

1 90 5 0 50 9

1 90 50 9

0 1 9 6 686.

P X x .

ln x lnx .P lnX ln x . P ..

ln x .P Z z . con z.

z ln x . x e .

≤ = ⇔

−µ − ≤ = ⇔ ≤ = σ −

⇔ ≤ = =

= ∴ = ∴ = =

�

��

�

� �

d) En general el percentil 100p se calcula como

( )

( )1 9 0 9

1 90 9

1 90 9

p

p

p p

. . Zp

ln xp .P X X p P Z p.

ln xp .P Z z p z Z Z.

X e +

− ≤ = ⇔ ≤ =

−≤ = = ∴ =

∴ =