CHNG 1 AI CNG VE CAU TRUC AI SO

Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 42 -

CHÖÔNG 3: NHOÙM

1 Nöûa nhoùm - Vò nhoùm

1.1 Ñònh nghóa • Caáu truùc ñaïi soá (X, *) vôùi * laø pheùp toaùn trong treân X coù tính chaát keát hôïp ñöôïc

ät nöûa oaùn.

) Taäp soá töï nhieân ∠ vôùi pheùp toaùn coäng thoâng thöôøng laø moät nöûa nhoùm giao oät vò

hoùm giao hoaùn.

) laø moät öûa nhoùm giao hoaùn.

) Taäp P(X) caùc taäp con cuûa X cuøng vôùi pheùp toaùn ∪ ( hoaëc

goïi laø nöûa nhoùm. Moät nöûa nhoùm coù phaàn töû ñôn vò ñöôïc goïi laø vò nhoùm. Monhoùm laø giao hoaùn neáu pheùp toaùn treân noù coù tính giao h • VÍ DUÏ: 1 hoaùn. Taäp soá töï nhieân(vôùi soá 0) ∠0 vôùi pheùp toaùn coäng thoâng thöôøng laø mn 2) Taäp soá töï nhieân ∠ vôùi pheùp toaùn a* b = (a, b) (ÖCLN cuûa a vaø bn 3 ∩ ) laø vò nhoùm giao

hoaùn. 4) Taäp M(X) caùc aùnh xaï töø X vaøo X vôùi pheùp toùan hôïp caùc aùnh xaï laø moät vò nhoùm khoâng giao hoaùn.

1.2 Tích cuûa n phaàn töû trong nöûa nhoùm • Trong nöûa nhoùm (X. • ) tích cuûa n phaàn töû a uûa X ñöôïc xaùc ñònh

aèng qui naïp nhö sau: • • a

a1 • a2 • a3• a4 = (a1 • a2 • a3) • a4

n = (a1 • a2 • … • an–1) • an.

…

1, a2, …, an cb a1 • a2 • a3 = (a1 a2) 3

. . . . . . . . . . . . . . . a1 • a2 • … • an–1 • a

• Tích cuûa n phaàn töû a1, a2, , an coøn ñöôïc kí hieäu laø ia∏n

=. Neáu nöûa nhoùm (X,+)

1iñöôïc vieát theo loái coäng thì ta vieát daáu toång thay vì daáu tích:

∑=

+ a 2 + … + a

1.3 Ñònh lí

n

1iia = a1 + a2 + … + an–1 n = (a1 + a n–1) + an

Giaû söû a1, a2, …, an laø n phaàn töû baát kì cuûa nöûa nhoùm (X, •). Khi ñoù

Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin


a • a • … • an–1 • an = (a1• … • ai) • (a i+1• … • aj) • … • (am+1• … • an)

höùng minh: Ta seõ chöùng minh ñònh lí treân baèng phöông phaùp qui naïp theo n. Vì

öû j) • … • (am+1• … • an) ta coù

m

= (a1• …•am)• [(am+1• …•an–1)• an] (ñònh nghóa cuûa tích nhieàu phaàn töû ) •am)•(am+1• …•an–1)] • an (tính keát hôïp)

cuûa û a vaø kí hieäu laø an. Töø ñònh lí 1.2 suy ra ngay caùc qui taéc:

1 2

C(X, •) laø nöûa nhoùm neân khaúng ñònh ñuùng vôùi n = 3. Giaû söû khaúng ñònh ñuùng cho k phaàn töû ,vôùi 3 ≤ k ≤ n –1, ta phaûi chöùng minh khaúng ñònh ñuùng vôùi n phaàn tphaàn töû . Xeùt tích x = (a1• … • ai) • (a i+1• … • a x = (a1• …• a )•(am+1• …• an) (giaû thieát qui naïp) = [(a1• … = (a1• …•am • am+1• …• an–1) • an (giaû thieát qui naïp) = a1 • a2 • … • an–1 • an (ñònh nghóa cuûa tích nhieàu phaàn töû ) Töø ñoù khaúng ñònh ñuùng vôùi n phaàn töû . • Trong nöûa nhoùm (X. • ) ta goïi tích cuûa n phaàn töû ñeàu baèng a laø luõy thöøa nphaàn tö am an = am + n vaø (am)n = am n

1.4 Ñònh lí Trong moät nöûa nhoùm giao hoaùn (X, •) tích a1• a2 • … • an–1 • an khoân

aøo thöù töï caùc nhaân töû. g phuï thuoäc

2

v Chöùng minh: Ta seõ chöùng minh ñònh lí treân baèng phöông phaùp qui naïp theo n. Vì (X, •) laø nöûa nhoùm giao hoaùn neân khaúng ñònh ñuùng vôùi n = 2. Giaû söû khaúng ñònh ñuùng cho k phaàn töû ,vôùi ≤ k ≤ n –1, ta pha chöùng minh khaúng ñònh ñuùng vôùi n phaàn töû. Ta seõ chæ ra (vôùi laø hoaùn vò baát kì cuûa 1, 2, …, n ) a

ûi

eáu an = a thì ta coù theå vieát veá phaûi cuûa ñaúng thöùc treân nhö sau nhôø ñònh lí 1.3

o hoaùn) = (a …a ) [(a … a )an]

−

do ñònh lí 1.3) = (a …a … a )an.

( theo giaû thieát qui naïp) = (a1.a2 . … . an–1).an = a1.a2 . … . an–1.an

σ

1• a2 • … • an–1 • an = a )1(σ • a )2(σ • … • a )n(σ

N )k(σ

vaø tính giao hoaùn cuûa pheùp toaùn • : a )1(σ …a )1k( −σ a )k(σ a )1k( +σ … a )n(σ = (a )1(σ …a )1k( −σ ) [a )k(σ (a )1k( +σ …

a )n(σ )]

(do an = a )k(σ vaø tính gia )1( )1k( )1k( )n(

( do tính keát hôïp) = [(a )1(σ …a k(σ )(a … a )]aσ −σ +σ σ

n. )1 )1k( +σ )n(σ

)1(σ )1k( −σ a )1k( +σ )n(σ(



2 Nhoùm

2.1 Ñònh nghóa Vò nhoùm (X, *) ñöôïc goïi laø moät nhoùm neáu moãi phaàn töû cuûa X ñeàu toàn taïi phaàn töû

ngh á (X, *) ñöôïc goïi laø moät nhoùm neáu : ) (x * y) * z = x * (y * z) vôùi moïi x, y, z

•òch ñaûo. Hay noùi caùch khaùc, caáu truùc ñaïi so

a ∈ X moïi xb) Toàn taïi phaàn töû e ∈ X sao cho e * x = x * e = x vôùi ∈ X

* * e.

* aùc soá

* *

ôï øy ïi

I

c) Vôùi moïi x ∈ X toàn taïi y ∈ X sao cho x y = y x = • VÍ DUÏ: ) Taäp caùc soá höõu tæ Θ vôùi pheùp coäng thoâng thöôøng laø moät nhoùm. Taäp caùc soá 1

höõu tæ khaùc 0, kí hieäu Θ , vôùi pheùp nhaân thoâng thöôøng laø moät nhoùm. Taäp cöïc vaø soá phöùc 3 , ∀ vôùi pheùp coäng thoâng thöôøng laø caùc nhoùm. Taäp caùc soá thöïc vaø th

soá phöùc khaùc 0, kí hieäu 3 , ∀ , vôùi pheùp nhaân thoâng thöôøng laø caùc nhoùm. ) Taäp hôïp caùc soá phöùc coù modul baèng 1 vôùi pheùp nhaân thoâng thöôøng laø moät 2

nhoùm. ) Taäp hôïp goàm hai soá 1 , –1 vôùi pheùp nhaân laø moät nhoùm. Taäp hôïp goàm boán 3

soá 1, –1, i, – i vôùi pheùp nhaân laø moät nhoùm. 4) Vôùi X ≠ ∅, taäp S(X) caùc song aùnh töø X vaøo X laø moät nhoùm döôùi pheùp toaùn

p caùc aùnh xaï. Nhoùm na ñöôïc go laø nhoùm caùc hoaùn vò cuûa taäp X. h ) Cho {(X , •)} laø moät hoï caùc nhoùm. Ñaët X = Ii∈ ∏

∈IiiX = {(xi : xi Xi } laø

h Descartes cuûa hoï {Xi} .Vôùi (xi vaø (yi laø hai phaàn töû cuûa X, ta xaùc ònh tích cuûa chuùng bôûi : (xi • (yi = (xI • yi . Khi ñoù (X, • ) laø moät nhoùm, ong ñoù phaàn töû ñôn vò laø 1 = (1 ) vaø phaàn töû nghòch ñaûo cuûa (xi laø

. Ta goïi X laø tích Descartes hay tích tröïc tieáp cuûa hoï caùc nhoùm {(Xi,

h taàm thöôøng. Moät nhoùm noùi coù voâ haïn hoaëc höõu haïn phaàn töû . Neáu X coù höõu haïn phaàn töû thì ta noùi

. Caùc nhoùm áu pheùp toaùn treân X coù tính

i h . Nhoùm trong ví duï 4) laø

ì baèng caùch ñaët:

) Ii∈ ∈5

tíc Ii∈ ) Ii∈ ) Ii∈) Ii∈ ) Ii∈ ) Ii∈ñ

iX Ii∈ ) Ii∈tr1

i− )(x Ii∈

•)} . Ii∈ • Moät nhoùm goàm chæ moät phaàn töû ñöôïc goïi laø n oùm chung coù theå X laø nhoùm höõu haïn, vaø soá phaàn töû cuûa X ñöôïc goïi laø caáp cuûa nhoùm X

etrong ví duï 3) laø caùc nhoùm höõu haïn caáp hai vaø caáp 4. Niao hoaùn thì ta noùi X laø nhoùm g ao oaùn hay nhoùm abelg

nhoùm khoâng giao hoaùn. • Trong moät nhoùm nhaân (X, • ) ngöôøi ta coù theå noùi ñeán luõy thöøa cuûa moät phaàn töû

ôùi soá muõ laø moät soá nguyeân baát kv



an =

)a(1

−−

h

<=

2.2 Caùc tính chaát cô baûn cuûa nhoùm

⎪⎩

⎪⎨

⎧

n1

na k i n >

khikhi

0n0n0

Tính chaát 1: Phaàn töû ñôn vò cuûa moät nhoùm laø duy nhaát.

û cuûa nhoùm chæ coù duy nhaát moät phaàn töû nghòch ñaûo.

töû a cuûa nhoùm (X, • ) coù hai phaàn töû nghòch ñaûo laø b

ính chaát 3: Trong moät nhoùm luaät giaûn öôùc thöïc hieän ñöôïc vôùi moïi phaàn töû, töùc laø • b = a • c hoaëc b • a = c • a keùo theo b = c.

a b

a ) −− …a

Chöùng minh: Giaû söû nhoùm (X, • ) coù hai phaàn töû ñôn vò laø 1 vaø 1* thì 1 = 1•1* = 1*. Tính chaát 2: Moãi phaàn tö Chöùng minh: Giaû söû phaànvaø b* thì b = 1• b = (b*• a) • b = b* • (a • b) = b*• 1 = b*. Ttöø ñaúng thöùc a Chöùng minh: Giaû söû a, b, c laø caùc phaàn töû cuûa nhoùm (X, •) thoûa maõn ñaúng thöùc= a c. Nhaân beân traùi hai veá cuûa ñaúng thöùc naøy vôùi a–1, ta coù a–1(a b) = a–1(a c), hay (a–1a) b = (a–1a) c, hay 1b = 1c, töùc laø b = c. Tính chaát 4: Trong nhoùm (X,• ) ta coù

1) (a b)–1 = b–1 a–1, hoaëc toång quaùt hôn, (a a1 2 n–1 n n nvaø ñaëc bieät, (a ) = (a ) , trong ñoù n

… a –1 = a 1− a 11

12− a 1

1− ,

n –1 –1 n ∈ ∠ . 2) an am = an+m vaø (an)m = an m vôùi moïi n, m ∈ 9 . Chöùng minh: 1) Vì (ab)(b–1a–1) = a(bb–1)a–1 = aa–1 = 1 (b–1a–1)(ab) = b–1(a–1a)b–1 = b–1b = 1 2) Neáu n = 0 hoaëc m = 0 laø hieån nhieân. Neáu n, m > 0 , caùc coâng thöùc ñöôïc suy ra röø ñònh lí 1.2. Neáu m , n < 0 thì

n am = (a–1)–n(a–1)– m = (a–1)(–n) + (–m) = (a–1)– (n + m) = an+m a



(an)m = [(a–1)– n] m = [(a–n)–1]m = (a–n) – m = an m . Neáu m < 0 < n thì (an)m = ((an)–1 )– m = ((a–1)n)– m = (a–1)n (– m) = (a–1) – n m = an m

a a = ⎩⎨ nm1n1n )a()a(a −−−−

khi 0mn <+n m )a(aa −−−+ ≥⎧ 1mmmn khi 0mn +

= a .

Tính chaát 5:

n + m

ho (X, • ) laø moät nöûa nhoùm. Khi ñoù ba ñieàu sau ñaây laø töông ñöông:

aàn töû a, b cuûa X, phöông trình ax = b cuõng nhö phöông trình

ñ t p vaø moïi phaàn töû tö aûi).

äm

ôùi moïi phaàn töû b baát kì cuûa X , neáu goïi c laø nghieäm cuûa höông trình ax = b, thì ta coù eb = e(ac) = (ea)c = ac =b.

öû nghòch ñaûo traùi cuûa a laø e.

–1

aët khaùc, vôùi moïi phaàn töû b cuûa X, goïi b laø nghòch ñaûo traùi (vaø cuõng laø nghòch uûa b thì ta coù : be = b(b–1b) = (bb–1)b = eb = b.

òch ñaûo cuûa a vaø do ñoù X laø

C

1) (X, • ) laø moät nhoùm. 2) Vôùi moïi phya = b coù nghieäm duy nhaát. 3) Trong X toàn taïi phaàn töû ôn vò traùi ( öông öùng: ñôn vò haûi) cuûa X ñeàu coù nghòch ñaûo traùi( ông öùng: nghòch ñaûo ph Chöùng minh: (1 ⇒ 2) Ta thaáy ngay giaù trò x = a–1b laø nghieäm cuûa phöông trình. Ñoù laø nghie duy nhaát vì neáu c cuõng laø nghieäm cuûa phöông trình, töùc laø ac = ax = b thì c = x. (2 ⇒ 3) Goïi e laø nghieäm cuûa phöông trình ya = a. Ta seõ chæ ra e laø phaàn töû ñôn vò traùi. Thaät vaäy, vpGiaû söû a laø moät phaàn töû baát kì cuûa X, khi ñoù phaàn t

ghieäm cuûa phöông trình ya =n (3 ⇒ 1) Giaû söû trong X toàn taïi phaàn töû ñôn vò traùi e vaø moïi phaàn töû cuûa X ñeàu coù nghòch ñaûo traùi. Laáy moät phaàn töû baát kì a cuûa X. goïi a–1 laø nghòch ñaûo traùi cuûa a vaø (a–1)–1 laø nghòch ñaûo traùi cuûa a–1. Khi ñoù ta coù aa–1 = e(aa–1) = ((a–1)–1 a–1) (aa–1) = (a–1)–1(a–1 a)a–1 = (a–1)–1(ea–1) = (a–1) a–1 = e.

–1Mñaûo phaûi) c

–1Vaäy, e laø phaàn töû ñôn vò cuûa X vaø a laø phaàn töû nghoät nhoùm. m



3. Nhoùm con

3.1 Ñònh nghóa

, ät nhoùm , vaø H laø moät taäp con cuûa X. H ñöôïc goïi laø oån ñònh (ñoái ôùi pheùp toaùn • trong X) neáu vaø chæ neáu a • b

• Cho (X • ) laø mov ∈ H vôùi moïi a, b ∈ H. Khi ñoù ngöôøi ta

treân H.

neáu H cuøng ôùi pheùp toaùn caûm sinh laø moät nhoùm.

hoùm con cuûa nhoùm (X, • ) thì phaàn töû ñôn vò cuûa X laø 1X naèm ong H. Thaät vaäy, goïi 1 laø phaàn töû ñôn vò cuûa nhoùm (H,• ). Khi ñoù ta coù 1H • 1H

o ùc trong

cuõng noùi raèng, pheùp toaùn treân X caûm sinh moät pheùp toaùn • Ta noùi moät boä phaän oån ñònh H cuûa nhoùm X laø moät nhoùm con cuûa X v CHUÙ YÙ: Neáu H laø ntr H

= 1H vaø 1H • 1X = 1H , töø ñoù suy ra 1H • 1H = 1H • 1X , vaø d luaät giaûn öônhoùm ta coù 1X = 1H ∈ H.

3.2 Ñònh lí (tieâu chuaån ñeå nhaän bieát moät nhoùm con) Giaû söû H laø moät taäp con khaùc ∅ cuûa moät nhoùm (X, • ). Khi ñoù ba ñieàu sau ñaây laø töông ñöông: 1) H laø moät nhoùm con cuûa X. 2) ab ∈ H vaø a–1 ∈ H vôùi moïi a, b ∈ H . 3) ab–1 ∈ H vôùi moïi a, b ∈ H. Chöùng minh: (1 ⇒ 2) Vì H laø boä phaän oån ñònh cuûa nhoùm X neân ab ∈H vôùi moïi a, b H. Xeùt a laø

ø a−

laø roõ raøng.

∈moät phaàn töû baát kì cuûa H , giaû söû a 1

H− laø phaàn töû nghòch ñaûo cuûa a trong H va 1

X−

laø nghòch ñaûo cuûa a trong X. Khi ñoù a H .a = 11−H = 1X = a X a, vaø do luaät giaûn öôùc

trong nhoùm ta coù a 1X− = a 1

H− ∈ H.

(2 ⇒3) Ñieàu naøy

1

(3 ⇒1) Vì H ≠ ∅ neân toàn taïi phaàn töû a ∈H, töø ñoù theo giaû thieát 1X = aa–1 ∈ H. Vôùi moïi b ∈ H, goïi b 1

X− laø phaàn töû nghòch ñaûo cuûa b trong X, töø 1X ∈ H vaø töø giaû thieát

suy ra b 1X− =1X .b 1

X− ∈ H. Baây giôø vôùi moïi a, b∈H, khi ñoù b–1 ∈ H vaø do giaû thieát

–1 –1ab = a H. Ñieàu naøy chöùng toû • cuõng laø pheùp toaùn treân H, vaø do pheùp toaùn goøai ra H coù phaàn töû ñôn

vò la ø a •

) Cho nhoùm (X, • ). Boä phaän {1X} vaø X laø hai nhoùm con cuûa nhoùm X, chuùng

(b ) ∈ñaõ cho trong X coù tính keát hôïp neân (H. • ) laø nöûa nhoùm. N

1H− := a 1

X− . Töø ñoù (H, ø 1H :=1X vaø phaàn töû a ∈ H coù phaàn töû nghòch ñaûo la

) laø moät nhoùm. • VÍ DUÏ: 1ñöôïc goïi laø caùc nhoùm con taàm thöôøng cuûa nhoùm X



2) (Θ ,+) laø nhoùm con cuûa (3 , +). Nhoùm caùc soá phöùc coù modul baèng 1 laø nhoùm con cuûa nhoùm nhaân (∀*, • ). Nhoùm ({1, –1}, •) laø nhoùm con cuûa nhoùm ({1, –1, i, –i}, •). 3) Cho (G,• ) laø moät nhoùm. Khi ñoù Z(G) = {x ∈ G : xg = gx, vôùi moïi g G} ∈laø moät nhoùm con giao hoaùn cuûa nhoùm G. Thaät vaäy, vôùi moïi a, b ∈ Z(G) vaø vôùi moïi g∈G ta coù

(ab)g = a(bg) = a(gb) = (ag)b = (ga)b = g(ab),

ø ag = ga suy ra a–1 (ag)a–1 = a–1 (ga)a–1

(a–1a)(ga–1) = (a–1g)(aa–1) ga–1 = a–1g,

ùc laø a–1 Z(G). Tính giao hoaùn cuûa (ZG) laø roõ raøng. Nhoùm con Z(G) ñöôïc goïi laø

4) Cho (9, +) laø nhoùm nhaân caùc soá nguyeân. Ñaët n9 = {nk : k

töùc laø ab ∈ Z(G). Maët khaùc, tö tö ∈taâm cuûa nhoùm G.

∈ 9}. Khi ñoù ùm con cuûa (9, +) ñeàu coù

daïng mTha

n9 laø moät nhoùm con cuûa (9, +). Hôn nöõa, moïi nho9 vôùi m laø moät soá nguyeân naøo ñoù.

ät vaäy, n9 laø nhoùm con vì nx – ny = n(x – y)∈ n9. Baây giôø, goïi H laø moät nhoùm on baát kì cuûa nhoùm (9, +). Neáu H ={0} thì H = 09. Neáu H ≠ {0} thì toàn taïi soá

aáy x laø ät phaàn töû baát kì cuûa H. Töø pheùp hia trong ta ñöôïc x = mq + r, vôùi 0

cnguyeân k ∈ H vôùi k ≠ 0. Khi ñoù – k cuõng thuoäc H do H laø nhoùm con. Nhö vaäy, trong H coù ít nhaát moät soá döông. Goïi m laø soá döông nhoû nhaát trong H. Ta seõ chæ ra H = m9 . Tröôùc heát H ⊂ m9, thaät vaäy, l mo

9 ≤ r < m. Neáu 0 < r < m thì töø r = x – mq ∈ cH daãn ñeán maâu thuaãn vôùi vieäc m laø soá döông nhoû nhaát cuûa H, vaäy ta phaûi coù r = 0. Töø ñoù x = mq ∈ m9. Bao haøm thöùc ngöôïc laïi m9 ⊂ H laø roõ raøng.

) Giao cuûa moät hoï baát kì caùc nhoùm con cuûa moät nhoùm G cuõng laø moät nhoùm

4con cuûa nhoùm G. Thaät vaäy, xeùt moät hoï baát kì {Xi} Ii∈ caùc nhoùm con cuûa (G, • ) vaø X laø giao cuûa chuùng. Laáy hai phaàn töû baát kì x, y cuûa X, khi ñoù x,y ∈ Xi vôùi moïi i∈I. Vì Xi laø caùc nhoùm con neân xy–1 ∈ Xi vôùi moïi i∈I, do ñoù xy–1 ∈ X. Töø ñònh lí 3.2 suy ra X laø moät nhoùm con cuûa G. NHAÄN XEÙT: Neáu A laø moät taäp con cuûa nhoùm G, thì A seõ chöùa trong ít nhaát moät

, chaúng haïn G. Theo ví duï 4) giao cuûa taát caû caùc nhoùm con cuûa G

h n nhoùm

•nhoùm con cuûa Gchöùa A cuõng laø moät nhoùm con chöùa A. Coù theå kieåm tra deã daøng raèng ñoù laø nhoùm con beù nhaát chöùa A, töùc laø noù chöùa trong moïi nhoùm con chöùa A cuûa G.

3.3 Nhoùm con sin bôûi moät taäp co cuûa



• Coù moät con ñöôøng toång quaùt ñeå thu ñöôïc caùc nhoùm con töø moät nhoùm. Xeùt S laø moät taäp con khaùc ∅ cuûa nhoùm (G, •). Ñaët:

< S > = {a 11ε a 2

2ε … a n

nε : a

i ∈ S, iε ±= 1, n∈ ∠}

Khi ñoù, < S > laø nhoùm con cuûa G vaø laø nhoùm con beù nhaát chöùa S. Thaät vaäy, neáu x, y ∈ < S > thì roõ raøng xy–1 ∈ < S >, töùc laø < S > laø moät nhoùm con uûa G. Goïi H laø gi cuûa taát caû caùc nhoùm con cuûa G chöùa S. Vì nhoùm con H chöùa

• Neáu S = {a} thì < S > goàm taát caû caùc phaàn töû coù daïng an vôùi n

c ao moïi phaàn töû a ∈ S neân < S > ⊂ H. Vì < S > hieån nhieân chöùa S neân < S > = H. Vaäy, < S > laø nhoùm con beù nhaát cuûa G chöùa S. • < S > ñöôïc goïi laø nhoùm con sinh bôûi S. Ta cuõng noùi raèng S taäp caùc phaàn töû sinh cuûa < S >.

∈ 9 . Trong tröôøng ôïp naøy ta thöôøng vieát (a) thay cho < {a}> vaø goïi noù laø nhoùm con cyclic cuûa G nh bôûi a.

Khi ñoù (1) = 9.

i ( i ) = {1, –1, i, – i }.

. Nhoùm con chuaån taéc - Nhoùm thöông

hsi • VÍ DUÏ: 1) Xeùt nhoùm coäng caùc soá nguyeân (9 , +). 2) Xeùt nhoùm nhaân caùc soá phöùc ( ∀, • ). Kh ñoù

4

4.1 Lôùp keà - Quan heä töông ñöông xaùc ñònh bôûi moät nhoùm con • Cho (G, • ) laø moät nhoùm, H laø moät nhoùm con cuûa noù vaø a laø phaàn töû cuûa G. Taäp

ôïp taát caû caùc phaàn töû ax vôùi xh ∈ H ñöôïc goïi laø lôùp keà traùi ( hay lôùp gheùp traùi)

eân G ta xaùc ñònh moät uan heä ~ nhö sau

x ~ y ⇔ x–1y

cuûa H trong G. Ta kí hieäu noù bôûi aH. • Cho (G, • ) laø moät nhoùm, H laø moät nhoùm con cuûa noù. Trq

∈ H

h phaûn xaï). Giaû söû x vaø y laø hai phaàn töû baát kì cuûa –1 H. Vì H laø nhoùm con neân ta coù (x–1 –1 –1

Quan heä ~ xaùc ñònh ôû treân laø moät quan heä töông ñöông. Thaät vaäy, vì H laø nhoùm con neân x–1x = 1 ∈ H , töùc laø x ~ x (tínG sao cho x ~ y, töùc laø x y y) = y x ∈ H, töùc laø y ~ x. Vaäy ~ coù tính ñoái xöùng. Cuoái cuøng, giaû söû x, y, z laø ba phaàn töû baát kì cuûa G sao cho x ~ y vaø y ~ z, töùc laø x

∈

–1y, y–1z ∈ H. Töø H laø nhoùm con suy ra (x–

1y)( y–1z) = x–1(y y–1)z = x– 1z ∈ H. Vaäy ~ laø baéc caàu. • NHAÄN XEÙT:



1) Quan heä töông ñöông ~ noùi ñeán ôû treân chia G thaønh caùc lôùp töông ñöông. Kí hieäu a seõ ñöôïc duøng ñeå chæ lôùp töông ñöông chöùa phaàn töû a, khi ñoù a = aH = {ax : x ∈ H}

Tha töû baát kì thuoäc lôùp töông ñöông

aät vaäy, giaû söû b laø moät phaàn , khi ñoù a~b, töùc laø a–1b ∈ H, töø ñoù b = a (a–1b) ∈ aH. Vaäy a ⊂ aH. Ngöôïc laïi, giaû söû b laø moät

haàn töû kì thuoäc aH, khi ñoù toàn taïi moät phaàn töû x thuoäc H sao cho b = ax hay x p baát= a–1b, töùc laø a–1b ∈ H. Vaäy a ~ b vaø töø ñoù aH ⊂ a . Töø nhaän xeùt 1) suy ra raèng, ñoái vôùi hai lôùp keà baát kì aH vaø bH cuûa H trong G thì hoaëc laø chuùng truøng nhau hoaëc laø chuùng rôøi nhau. 2) Lôùp keà aH truøng vôùi H khi vaø chæ khi a ∈H. Thaät vaäy, giaû söû coù aH = H. Goïi e laø

uûa G, do H laø nhoùm con ân ephaàn töû ñôn vò c ne ∈H, töø ñoù a = ae∈ aH = H. Ngöôïc laïi, giaû söû a∈H, ta seõ chæ ra aH = H. Vì H laø nhoùm con neân töø a∈H suy ra ax vôùi moïi x ∈ H vaø ñieàu naøy coù nghóa laø aH ⊂ H. Baây giôø giaû söû b laø moät phaàn

∈ H töû baát

kì cuûa H. Vì H laø nhoùm con neân a–1 ∈ H vaø a–1b ∈ H, töø ñoù b = (a a–1)b = a(a–1b) aH. Vaäy H ∈ ⊂ aH.

• Hoaøn toaøn töông töï, ta kí hieäu Ha laø lôùp keà phaûi cuûa H trong G, noù goàm taát caû caùc phaàn töû xa vôùi x ∈ H, vaø truøng vôùi lôùp töông ñöông a chöùa phaàn töû a trong quan heä töông ñöông ñöôïc xaùc ñònh bôûi x ~ y ⇔ xy–1 ∈ H Trong caùc phaàn sau, neáu khoâng chæ roõ, ta noùi lôùp keà coù nghóa laø lôùp keà traùi. • Neáu duøng daáu + ñeå kí hieäu pheùp toaùn trong nhoùm G, thì lôùp keà traùi vaø phaûi cuûa H trong G seõ ñöôïc vieát laø a + H = {a + x : x H}; H + a = {x + a : x ∈ ∈ H}

Coøn caùc quan heä töông ñöông seõ ñöôïc vieát laø

x ~ y ⇔ (– x )+ y ∈ H ; x ~ y ⇔ y + (– x) ∈ H )

4.2 Meänh ñeà Cho G laø moät nhoùm, vaø H laø moät nhoùm con. Khi ñoù soá caùc phaàn töû cuûa moät lôùp keà aH baèng s á caùco phaàn töû trong H.



Chöùng minh: Xeùt aùnh xaï H → aH, x a ax. AÙnh xaï naøy laø moät song aùnh, thaät vaäy roõ raøng noù laø toøan aùnh, hôn nöõa noù laø ñôn aùnh vì töø ax = ax' suy ra x = x' (luaät giaûn öôùc trong nhoùm). Vì G höõu haïn neân H cuõng höõu haïn, töø ñoù soá phaàn töû cuûa H phaûi baèng soá phaàn töû cuûa aH. • Cho G laø moät nhoùm, vaø H laø moät nhoùm con. Soá caùc lôùp keà rôøi nhau cuûa tronH g

ñöôïc goïi laø chæ soá cuûa H trong G. Chæ soá naøy taát nhieân coù theå laø voâ haïn. Neáu G

ònh lí (Lagrange)

Glaø nhoùm höõu haïn, thì chæ soá cuûa moät nhoùm con baát kì laø höõu haïn. Chæ soá cuûa moät nhoùm con H trong G seõ ñöôïc kí hieäu laø (G : H).

4.3 Ñ

(caáp cuûa G) = (G : H) × (caáp cuûa H)

ø , khi ñoù G ñöôïc phaân hoaïch aønh (G : H) lôùp, soá phaàn töû cuûa moãi lôùp, theo meänh ñeà 5.3, baèng caáp cuûa H.

) Ñònh lí Lagrange cuõng chæ ra raèng caáp cuûa moät nhoùm con cuûa moät nhoùm

) Sau ñaây laø moät öùng duïng cuûa ñònh lí Lagrange. Giaû söû G laø moät nhoùm höõu aá ù, xn

c cl cuûa G sinh bôûi x : H =(x) = {xk, k

Cho G laø moät nhoùm höõu haïn vaø H laø moät nhoùm con. Khi ñoù Chöùng minh: Vì G höõu haïn neân soá caùc lôùp keà (G : H) la höõu haïnthTöø ñoù suy ra ñaúng thöùc caàn chöùng minh. • NHAÄN XEÙT: 1höõu haïn laø öôùc cuûa caáp cuûa nhoùm ñoù. 2haïn c p n. Khi ño vôùi moïi x G ta coù = e. ∈ Thaät vaäy, xeùt nhoùm con y ic ∈ 9}.Vì H höõu haïn

hö c aû g haïn xk = xm (vôùi k > m). Khi ño = = V àn aïi nh s gu d ôn l cho xl = e.

o o ân n a co tín a 0 = e, ûa ñ àu g moät trong caùc phaàn

û ö ca t k = xm vôùi 0 m < k s –1, thì ta coù xk –m = e vôùi 0 < k – m < s, nhöng ñieàu naøy maâu thuaån vôùi giaû

phaàn töû baát kì cuûa H, töùc laø a = xk vôùi k laø moät soá nguyeân naøo ñoù. Chia k cho s ta ñöôïc k = sq + r vôùi 0

neân toàn taïi nhöõng luõy t øa u x baèng nhau, chaúnù, xk –m xm – m a0 = e. aäy to t öõng oá muõ n yeân ö g saoïi s laø s á nguye döông hoû nh át ù h ch át aáy. Ta chæ ra raèng caùc phaàn töû xGx, x2, …, xs – 1 laø khaùc nhau, vaø moïi phaàn töû cu H e baèn aáy. Tr ôùc heát ùc phaàn öû noùi ôû treân laø khaùc nhau, vì neáu x ≤tö

≤thieát veà s. Baây giôø, giaû söû a laø moät

≤ r < s. Khi ñoù a = xk = sq + r = (xs)qxr = exr = xr. Töø ñoù suy ra caáp cuûa H baèng s. Theo ñònh lí Lagrange thì s x

laø öôùc cuûa n, töùc laø n = sp.Töø ñoù xn = xsp = (xs)p = ep = e.

4.4 Nhoùm con chuaån taéc • Moät nhoùm con H cuûa moät nhoùm G ñöôïc goïi laø nhoùm con chuaån taéc neáu vaø chæ neáu xH = Hx vôùi moïi x ∈ G



Coù theå phaùt bieåu ñònh nghóa nhoùm con chuaån taéc döôùi daïng töông ñöông: • Moät nhoùm con H cuûa nhoùm G laø chuaån taéc khi vaø chæ khi x–1a x ∈ H vôùi moïi a ∈ H vaø moïi x ∈ G. Ta seõ chæ ra raèng hai ñònh nghóa neâu ôû treân laø töông ñöông. Thaät vaäy, giaû söû coù xH

Hx vôùi moïi x G. Goïi a laø phaàn töû baát kì cuûa H, khi ñoù toàn taïi a' H sao cho xa = ∈ ∈= a'x, suy ra a = x–1a' x ∈ H. Ngöôïc laïi, giaû söû coù x–1a x ∈ H vôùi moïi a H vaø

oïi x G. Vôùi phaàn töû a baát kì thuoäc H, vaø x ∈

m ∈ ∈ G ta chæ caàn chæ ra toàn taïi hai phaàn töû a' vaø a'' ∈ H sao cho xa = a''x vaø ax = xa', vì khi suy ra ngay xH = Hx.

où theå thaáy hai àn töû a'' caàn tìm laø a' = x–1a x ñoù

C pha a, ∈ H vaø a'' = (x–1)–1ax–1 = x ax–1

CHUÙ YÙ: Ñieàu kieän vôùi moïi x

∈ H.

∈ X : xH = Hx khoâng coù nghóa laø vôùi baát kì a

) Moïi nhoùm con cuûa moät nhoùm giao hoaùn ñeàu chuaån taéc. Chaúng haïn n9 laø

•thuoäc H thì phaûi coù xa = ax maø ñieàu kieän naøy chæ coù nghóa laø vôùi moãi a ∈ H seõ toàn taïi a'∈ H sao cho xa = a'x. • VÍ DUÏ: 1nhoùm con chuaån taéc cuûa nhoùm ( 9 , +). 2) Taâm cuûa nhoùm G, Z(G) = {x ∈ G : gx = xg, vôùi moïi g∈G}, laø nhoùm con chuaån taéc cuûa G. Thaät vaäy, vôùi moïi x∈ G, vôùi moïi h ∈ Z(G) ta coù x–1h x = x–1 (h x) = x–1 (x h) = (x–1 x) h = h ∈ Z(G). 3) Neáu S vaø T laø caùc nhoùm con chuaån taéc cuûa nhoùm G thì S ∩ T cuõng laø nhoùm con chuaån taéc cuûa G. Thaät vaäy, vôùi moïi x∈ G, vôùi m hoïi ∈ S ∩ T, vì h ∈ S vaø h ∈ T neân x–1h x ∈ S vaø x–1h x ∈ T, töø ñoù x–1h x ∈ S ∩ T. 4) Xeùt nhoùm caùc pheùp theá S3 = {song aùnh σ : {1, 2, 3} {1, 2, 3}} vôùi pheùp

maø caùc phaàn töû laø (ôû ñaây, kí hieäu →

toaùn hôïp caùc aùnh xaï σ = (σ (1) (2) (3))):

= (123),

σ σ

σ 1 σ 2 = (132), = (213), σ 3 σ 4 = (231), σ 5 = (312), σ 6 = (321) Khi ñoù nhoùm con H = { } laø chuaån taéc vì

H = H = H,

σ 1, σ 4, σ 5

σ 1 σ 1 σ 2H = H = {σ 2 σ 2, σ 3, σ 6}; σ 3H = Hσ 3 = { σ 3, σ 2, σ 6};

H = H = H, σ 4 σ 4 σ 5H = H = H, σ 5 σ 6H = H σ 6 = { σ 6, σ 3, σ 2}.

4.5 Nhoùm thöông

• Cho (G, •) laø nhoùm vaø H laø moät nhoùm con chuaån taéc cuûa G. Xeùt taäp G/H goàm caùc



lôùp keà traùi aH (cuõng laø keà phaûi do H laø chuaån taéc), chuù yù raèng noù cuõng laø taäp thöông ñoái vôùi quan heä töông ñöông ñaõ noùi trong 5.1

a seõ xaây döïng moät caáu truùc nhoùm treân taäp G/H baèng caùch xaùc ñònh pheùp toùan

h bH = a'b'H ( do (ab)–1

' b' = b (a a') b' = (b (a a') b)(b b') ∈ H ). Vaäy • thöïc söï laø moät pheùp toùan

ø coäng thì pheùp toùan treân taäp thöông G/H seõ ñöôïc vieát

b

H àn töû nghòch ñaûo cuûa a + H ø (–a) + H

vaø laø

aâp thöông 9 /m 9 = {

Tnhaân treân G/H nhö sau aH • bH = abH Vôùi moïi a, a', b, b' ∈ G, neáu (aH, bH) = (a'H, b'H) t ì a

–1 –1 –1 –1 –1 atrong treân G/H. Noù coù tính keát hôïp , phaàn töû ñôn vò laø 1GH, phaàn töû nghòch ñaûo cuûa aH laø a–1H. Khi ñoù (G/H, •) laø moät nhoùm vaø ñöôïc goïi laø nhoùm thöông cuûa G treân H. • Neáu G la nhoùm (a + H) + (b + H) = (a + ) + H vaø nhoùm thöông (G/H, + ) coù phaàn töû ñôn vò laø 0 + , phala • VÍ DUÏ: Xeùt (9 , +) laø nhoùm coäng caùc soá nguyeân, (m 9 ,+) laø nhoùm conchuaån taéc do (9 ,+) giao hoùan.

a = a + m 9 : 0 ≤ a ≤T m –1}

cuøng vôùi pheùp toùan (a + m9) + (b + m9) = (a + b) + m9 taïo thaønh nhoùm thöông (9 /m 9 , +), coøn ñöôïc kí hieäu 9m , vaø ñöôïc goïi laø nhoùm caùc soá nguyeân modulo m . Phaàn töû ñôn vò laø a 0 = 0 + m9, phaàn töû nghòch ñaûo cuûa laø a− .

aba b = • CHUÙ YÙ: Treân 9m , xeùt pheùp toaùn nhaân . Neáu m laø soá nguyeân toá thì 0 a b 19m – { } laø nhoùm giao hoaùn vôùi phaàn töû ñôn vò laø phaàn töû nghòch ñaûo cuûa laø

vôùi ab ≡ 1( mod m) • Minh hoïa trong 95



0+ •0 1 2 3 4 0

4321

4321

0

0432

1

1043

2

2104

3

3210

4

43210

0000

01 2 3 40 0 0 0

4321

3142

2413

1234

5. Ñoàng caáu nhoùm

5.1 Ñònh nghóa

Cho (G, ) vaø (H, ) laø hai nhoùm. AÙnh xaï f : G H ñöôïc goïi laø moät ñoàng caáu c p a , töùc laø

• * ⊥(nhoùm) neáu noù baûo toaøn caù heùp to ùn cuûa nhoùm

→

f(a * b) = f(a) ⊥ f(b) vôùi moïi a, b ∈ G. • Moät ñoàng caáu f ñöôïc goïi laø ñôn caáu, toaøn caáu, ñaúng caáu neáu aùnh xaï f töông

ùng laø ñôn aùnh, toaøn aùnh, song aùnh. Neáu G = H thì ñoàng caáu f ñöôïc goïi laø moät töï ñoàn aùnh ñöôïc goïi laø moät töï ñaúng caáu. Trong

öôøng hôïp f : G H laø moät ñaúng caáu thì ta cuõng noùi nhoùm G ñaúng caáu vôùi nhoùm

= c G}

VÍ DUÏ:

g thöôøng áu f

( , +) , ). Xeùt soá 2 Θ , vì f song aùnh neân toàn taïi a

ög caáu cuûa G. Moät töï ñoàng caáu song

tr →H, vaø vieát G H. • KÍ HIEÄU: Hom(G, H) = {ñoàng caáu f: G → H} End(G) {töï ñoàng aáu f : G G} Aut(G) = {töï ñaúng caáu f : G

≅

→→

•

1) (3*+ , •) ≅ (3 , +) vì coù moät ñaúng caáu f : (3*

+ , •) → (3 , +), f(x) = lnx, ôû ñaây * laø taäp caùc soá thöïc döông vaø • vaø + laø caùc pheùp toaùn nhaân vaø coäng thoâng thöôøng. 3 +

2) Hai nhoùm (Θ, +) vaø (Θ*

+ , •) vôùi caùc pheùp toaùn nhaân vaø coäng thoântreân taäp soá höõu tæ khoâng theå ñaúng caáu vôùi nhau. Thaät vaäy, giaû söû coù moät ñaúng ca: Θ → Θ + • +( * ∈ * ∈ Θ

f(a) = f(

sao cho 2 =

2a + 2

a ) = f( 2a )f( 2

a ) = [f( 2a )]2, nhöng ñieàu naøy daãn ñeán maâu thuaãn vì khoâng

hoaùn vò cuûa taäp G. Vôùi moãi a

coù soá höõu tæ naøo maø bình phöông cuûa noù baèng 2. 3) Cho (G, •) laø moät nhoùm vaø S(G) laø nhoùm caùcthuoäc G, xeùt aùnh xaï Ta : G → G, Ta (x) = ax.



Ta thaáy raèng, Ta laø moät song aùn thaät vaäy, noù laø ñôn aùnh vì neáu ax = ayh, thì x = y uaät giaûn öôùc trong moät nhoùm); noù laø toaøn aùnh vì vôùi moïi x (l ∈ G ta coù x = Ta(a–

taäp aáu. Thaät vaäy, noù laø ñoàng caáu vì vôùi moïi , b G ta coù Tab(x) = abx = Ta(Tb(x)), noù laø ñôn aùnh vì neáu Ta(x) = Tb(x), töùc

ì do luaät giaûn öôùc ta coù a = b.

2 hình mo

1x). Töø ñoù T ∈ S(G). Ngöôøi ta goïi T laø pheùp tònh tieán traùi bôûi a. a a

Baây giôø xeùt aùnh xaï a a Ta töø nhoùm (G, • ) ñeán nhoùm (S(G), o) caùc hoùan vò cuûa hôïp G. Coù theå chæ ra noù laø moät ñôn c

a ∈laø ax = bx, th Teân goïi cuûa aùnh xaï Ta ñöôïc laáy töø hình hoïc Euclide. Ñaët G = 3 = 3 × 3 , ta dung G nhö moät maët phaúng vaø ãi phaàn töû cuûa G laø moät vector. Khi ñoù vôùi A ∈3 × 3 , aùnh xaï TA : G → G, TA(X) = X + A chính laø pheùp tònh tieán theo vector A thoâng thöôøng. 4) Cho (G, +) vaø (H,+) laø hai nhoùm giao hoaùn. Ta coù theå laøm Hom(G, H) trôû thaønh moät nhoùm nhö sau. Neáu f, g ∈ Hom(G, H) ta xaùc ñònh f + g : G → H laø aùnh xaï ñöôïc cho bôûi (f + g)(x) = f(x) + g(x) vôùi moïi x ∈ G. Vieäc kieåm tra noù laø moät nhoùm laø khoâng khoù, phaàn töû ñôn vò laø ñoàng caáu x a 0, phaàn töû nghòch ñaûo cuûa f laø ñoàng caáu x a – f(x). 5) Cho H laø moät nhoùm con cuûa nhoùm G. Khi ñoù aùnh xaï i : H → G, i(x) = x laø moät ñôn caáu, goïi laø ñôn caáu chính taéc. 6) Cho H laø moät nhoùm con chuaån taéc cuûa nhoùm G. Khi ñoù aùnh xaï π : G → G/H, π (x) = xH,

olaø moät ñoàng caáu nhoùm töø nhoùm G ñeán nx

h ùm thöông G/H. Thaät vaäy, vì ta coù (xy) yH = xH yH = (x) (y). Hôn nöõa, ñoàng caáu naøy laø moät toaøn caáu, goïi laø toøan

.

π π π=

caáu chính taéc

5.2 AÛnh vaø nhaân cuûa ñoàng caáu • Cho f : G → H laø moät ñoàng caáu töø nhoùm (G, •) ñeán nhoùm (H, •), caùc phaàn töû ñôn vò cuûa G vaø H ñöôïc kí hieäu laàn löôït laø 1

{xG vaø 1H. Ta seõ goïi caùc taäp hôïp Imf =

f(G) = {f(x), x ∈ G} vaø Kerf = f –1(1H) = ∈ G : f(x) = 1H} laàn löôït laø aûnh vaø

5.3 Caùc tính chaát cuûa ñoàng caáu nhoùm

nhaân cuûa ñoàng caáu f.

oàng caáu nhoùm. Hôn nöõa, hôïp • Tính chaát 1 Hôïp cuûa hai ñoàng caáu nhoùm laø moät ñcuûa hai ñaúng caáu laø moät ñaúng caáu.



Chöùng minh: Giaû söû f : (X. •) (Y, •) vaø g : (Y, •) (Z, •) laø hai ñoàng caáu nhoù o f laø moät ñoàng caáu vì

)) = (go

a) f(1 ) = 1H. = [f(a)]–1 vôùi moïi a G.

höùng minh: 1G)f(1G), töø ñoù f(1G) = 1H (luaät giaûn öôùc)

uy ra töø f(a)f(a– 1) = f(aa– 1) = f(1G) = 1H.

–1 cuûa G. Hôn nöõa neáu

ö

→ →m. Goïi a, b laø hai phaàn töû baát kì cuûa X. Khi ñoù g

(go f)(ab) = g(f(ab)) = g [f(a)f(b)] = g(f(a))g(f(b f)(a) (go f)(b) • Tính chaát 2: Cho f : (G, •) → (H, •) laø moät ñoàng caáu nhoùm; 1G ,1H laàn löôït laø phaàn töû ñôn vò cuûa G vaø H. Khi ñoù G

b) f(a– 1) ∈Ca) Ta coù f(1G)1H = f(1G) = f(1G1G) = f(b) S • Tính chaát 3: Giaû söû f : (G, •) → (H, •) laø moät ñoàng caáu nhoùm. Khi ñoù a) Neáu A laø moät nhoùm con cuûa G thì f(A) laø moät nhoùm con cuûa H. Hôn nöõa neáu A

chuaån taéc thì f (A) cuõng chuaån taéc. b) Neáu B laø moät nhoùm con cuûa H thì f (B) laø moät nhoùm con

B chuaån taéc thì f –1(B) cuõng chuaån taéc. Ch ùng minh: a) Vì A laø nhoùm con neân 1G ∈A, do ñoù f(1G) = 1H ∈ f(A), töùc laø f(A) ≠ ∅. Giaû söû y1, y2 laø hai phaàn töû baát kì cuûa f(A). Khi ñoù, toàn taïi x1, x2 ∈ A sao cho

− − −y1 = f(x1), y2 = f(x2). Ta coù y1y 2 = f(x11) [f(x2)]–1 = f(x1) f(x 2 ) = f(x1

1x 2 ). Maët

khaùc, vì A laø nhoùm con cuûa G neân x

1

1x 12− ∈ A, do ñoù y1y = f(x1x ) f(A). Vaäy

A) laø nhoùm con.

12− 1

2− ∈

f(b) Vì B laø nhoùm con neân 1H ∈ B, do ñoù f(1G) = 1H ∈ B, suy ra 1G ∈ f (B),–1 töùc

ø f –1(B) ≠ ∅. Giaû söû x1, x2 laø hai phaàn töû baát kì cuûa f –1(B). Khi ñoù f(x1), f(x2) ∈ laB. Ta coù f(x x1 ) = f(x1) f(x ) = f(x1) [f(x2)]–1. Maët khaùc, vì B laø nhoùm con cuûa H 1

2− 1

2−

neân f(x1) [f(x2)]–1 = f(x1x 12− ) ∈ B. Töø ñoù x1x 1

2− ∈ f –1(B).

Giaû söû B laø chuaån taéc. Vôùi moïi a ∈ f –1(B) vaø x ∈ G, do f laø ñoàng caáu neân ta coù f(x–

–1)f(a)f(x) = [f(x)]–1f(a)f(x). Vì f(a)1ax) = f(x ∈ B vaø B chuaån taéc neân [f(x)]–1f(a)f(x) taéc.

• NHAÄN XEÙT: Töø tính chaát 3 suy ra ngay raèng, Ker f = f –1(1H) vaø Im f = f(G) laàn löôït laø caùc nhoùm con cuûa G vaø H, hôn nöõa Ker f laø nhoùm con chuaån taéc.

(H . Khi ñoù ) f laø ñôn caáu khi vaø chæ khi Kerf = {1G}.

caáu khi vaø chæ khi Imf = H

H. Vôùi x baát

thuoäc B. Töø ñoù suy ra x–1ax thuoäc f –1(B), töùc laø f –1(B) laø chuaån

• Tính chaát 4: Giaû söû f : (G, •) → , •) laø moät ñoàng caáu nhoùm ab) f laø toaøn Chöùng minh: a) • Giaû söû f laø ñôn caáu. Tröôùc heát ta coù {1G} ⊂ Kerf vì f(1G) = 1



kì thuoäc Kerf, ta coù f(x) = 1H = f(1G), do f ñôn aùnh neân suy ra x =1{1 }.

G, töø ñoù Kerf ⊂ G

• Baây giôø giaû thieát Kerf = {1G} vaø giaû söû f(x1) = f(x2) vôùi moïi x1, x2 G.

1x ) =1H, töø ñoù x1x ∈

12− 1

2− ∈Khi ñoù ta coù f(x1)[f(x2)]–1 =1H, suy ra f(x Kerf = {1G}, töùc

ø x1x = 1G hay x1 = x2. Vaäy f laø ñôn aùnh. töø ñònh nghóa cuûa toaøn aùnh.

• T û f : (G, •) (H, •) laø moät ñoàng caáu nhoùm. Khi ñoù

12−la

b) Suy ra tröïc tieáp

ính chaát 5: Giaû sö → f(an) = [f(a)]n vôùi moïi n ∈ 9

höùng minh: Qui naïp cho n ∠, coøn laïi söû duïng ñònh nghóa luõy thöøa aâm.

ònh lí ( cô baûn cuûa ñoàng caáu nhoùm)

∈ C

5.4 Ñ oCho f laø m ät ñoàng caáu töø nhoùm G ñeán nhoùm H vaø π : G → G/Kerf laø toaøn caáu

chính taéc töø nhoùm G ñeán nhoùm thöông G/kerf . Khi ñoù toàn taïi duy nhaát moät ñoàng caáu f* : G/kerf → H sao cho f = f*o π , töùc laø bieåu ñoà sau giao hoaùn: G H

f

* *

* *

ñoù f(x–1y) = f(x–1)f(y) = [f(x)]–1f(y) = 1H, hay f(x) = f(y).

• f* = f(x)f(y) = f*(xA)f*(yA)

f laø duy nhaát, thaät vaäy giaû söû coù moät ñoàng caáu khaùc g : G/A H sao cho f = coù

g (xA) = g

π f*

G/Kerf

Hôn nöõa, f laø moät ñôn caáu vaø Im f = f(G) = Imf Chöùng minh: Ñaët K = Kerf vaø seõ chæ ra ñoàng caáu caàn tìm laø f : G/K → H, f (xK) = f(x) • Tröôùc heát f* laø ñöôïc xaùc ñònh ñuùng ñaén, thaät vaäy giaû söû xA = yA thì ta coù x–

1y ∈A = Kerf, töø

laø moät ñoàng caáu vì f*(xA.yA) = f*(xyA) = f(xy)

* *• →g*o π . Khi ñoù vôùi moïi xA G/A ta ∈

* * (x)) = (g o )(x) = f(x) = (f*o * π π )(x) = f*( π( π (x)) = f*(xA)

ùc la ø g = f .

ø th t vaäy giaû söû coù f (xA) = f (yA), suy ra f(x) = f(y), töø ñoù f(x–1y) = H, töùc laø x–1y

* *tö

* * *• f la ñôn aùnh, aä

(x–1)f(y) = [f(x)]–1f(y) = 1f ∈ Kerf = A, vaäy xA = yA.



*• Vì π laø toaøn caáu neân f(G) = (f o π )(G) = f*( π (G)) = f*(G/K) = Im f*

5.5 Heä quaû 1) Vôùi moïi ñoàng caáu nhoùm f : G → H ta coù f(G) ≅ G/Kerf ) Vôùi moïi toaøn caáu nhoùm f : G H ta coù H → ≅2 G/Kerf

Vôùi

• VÍ DUÏ:

m ∈∠ f : (9, +) ∀*, •), f(k) = cos , xeùt ñoàng caáu → (mk2 π

+ isin mk2 π

, khi ñoù ta

coù

Imf = f( ) = { cos 9mk2 π

+ isin mk2 π

, k = 0, 1, 2,…, m –1} = m 1

Kerf = {k 9 : cos ∈ mk2 π

+ isin mk2 π

= 1} = {km, m ∈ 9 } = m9

Theo heä quaû 5.5 thì f(9 ) ≅ 9m = 9 /m 9

6. Nhoùm cyclic

6.1 Ñònh nghóa

sao cho G = (a) = {an, n 9}, khi ñoù a goïi laø phaàn töû sinh cuûa G.

l th ïi töû x

• Moät nhoùm G ñöôïc goïi laø cyclic, neáu vaø chæ neáu toàn taïi moät phaàn töû a ∈ G

∈ Neáu nhoùm cyc ic G ñöôïc vieát eo loái coäng thì mo phaàn ∈ G ñeàu coù daïng x = na, n 9. • VÍ1) Nhoùm (töû sinh duy nhaát cuûa

∈ DUÏ:

9, +) laø nhoùm cyclic vôùi phaàn töû sinh laø 1 hay –1. Ñoù cuõng laø phaàn 9, vì giaû söû coù a ≠ ± 1 laø moät phaàn töû sinh thì do na ≠ 1 voùi

moïi n ∈ 9 neân 1 ∉ 9. 2 m aø 1) Nhoùm (9 , +) laø nhoùm cyclic vôùi phaàn töû sinh l . Chuù yù raèng nhoùm n

aøy laø höõu haïn caáp m.

6.2 Caáp cuûa moät phaàn töû trong nhoùm • Cho (G, •) laø moät nhoùm. Moät phaàn töû a ∈ G ñöôïc goïi laø coù caáp höõu haïn neáu toàn

ïp naøy ta goïi soá nguyeân döông nhoû nhaát m sao cho am = 1 caáp cuûa phaàn töû a, vaø kí hieäu m = ord(a) taïi moät soá nguyeân k > 0 sao cho ak = 1G. Trong tröôøng hô

G laø



• Phaàn töû a∈ G ñöôïc goïi laø coù caáp voâ haïn neáu vaø chæ neáu vôùi moïi soá nguyeân k ≠ k ≠ 1G.

0 ta coù a

6.3 Ñònh lí ( phaân loaïi nhoùm tuaàn hoaøn) Giaû söû G = (a) laø nhoùm cyclic vôùi phaàn töû sinh laø a. Khi ñoù

Neáu a coù caáp n thì G 9n , +) b) Neáu a coù caáp voâ haïn thì G , +)

Xeùt toaøn caáu f : (9, +) G, f(k) = ak.

ä quaû 5.5 cuûa ñònh lí ñoàng caáu ta 9n = 9 /n .

≅ (a)

≅ (9

Chöùng minh: →

a) Neáu a coù caáp n thì Kerf = n9, vaø theo he≅ coù G 9

b) Neáu a coù caáp voâ haïn thì roõ raøng Kerf = {0}, vaø cuõng theo heä quaû 5.5 cuûa ñònh lí ñoàng caáu ta coù G ≅ 9 /{0} ≅ (9, +).

caáp n thì G laø nhoùm höõu haïn caáp n, cuï theå G = {a0 2, …, an–1}; coøn neáu p

ät nhoùm leân moät taäp hôïp

NHAÄN XEÙT: Töø ñònh lí 6.3 suy ra moïi nhoùm cyclic G maø phaàn töû sinh cuûa noù coù

= e, a, ahaàn töû sinh coù caáp voâ haïn thì G laø nhoùm voâ haïn.

7. Taùc ñoäng cuûa mo

7.1 Ñònh nghóa: • Cho moät taäp hôïp X vaø moät nhoùm G. Noùi raèng nhoùm G taùc ñoäng leân taäp hôïp X neáu vaø chæ neáu toàn taïi moät aùnh xaï G × X → X, (g, x) a g.x sao cho a) e.x = x vôùi moïi x ∈ X, vaø e laø phaàn töû ñôn vò cuûa G b) (g.h).x = g.(h.x), vôùi moïi g, h ∈ G, vôùi moïi x ∈ X. • VÍ

tieán traùi G × G G, (g, x) g.x

) Pheùp lieân hôïp G × G G, (g, x) gxg–1 Ta chæ ra, chaúng haïn pheùp lieân hôïp laø moät taùc ñoäng nhoùm, thaät vaäy roõ raøng ta coù

–1 = x vaø (g.h).x = (gh)x(gh)–1 = g(hxh–1)g–1 = g(h.x)g–1 = g.(h.x).

{ gag–1, a

DUÏ: 1) Coù theå cho nhoùm G taùc ñoäng leân chính noù theo caùc caùch sau a) Pheùp tònh → a

b) Pheùp tònh tieán phaûi G × G → G, (g, x) a xg–1 c → a

e.x = exe 2) Nhoùm G coù theå taùc ñoäng lieân hôïp leân taäp caùc taäp con P(G) cuûa noù theo caùch sau: G × P(G) → P(G), (g, A) a gAg–1 = ∈A}.



7.2 Nhoùm con oån ñònh cuûa moät phaàn töû • Cho nhoùm G taùc ñoäng treân taäp X vaø x ∈ X. Khi ñoù, taäp hôïp

= {g G ∈ G : g.x = x}

e

x

laø moät nhoùm con cuûa G, thaät vaäy vì ∈ Gx neân Gx ≠ ∅. Maët khaùc, vôùi moïi g, h ∈ Gx ta coù x = g.x = g.(h–1.h.x) = (g.h–1)(h.x) = (g.h–1)x, töùc laø h.g–1 ∈ Gx.

aø nhoùm con oån ñònh cuûa phaàn töû x Ta seõ goïi Gx l ∈ G

VÍ DUÏ:

= {g

•1) Neáu nhoùm G taùc ñoäng leân chính noù baèng lieân hôïp thì Gx G : g.xg–1 = x} = {g∈ ∈ G : g.x = x.g}.

ñöôïc goïi laø caùi ta

aùc taäp con cuûa noù noù baèng lieân hôïp

Taäp hôïp naøy âm hoùa cuûa x.

2) Neáu nhoùm G taùc ñoäng leân taäp P(G) cthì GA = {g ∈ G : g.Ag–1 = A} = {g∈ G : g.A = A.g}. Taäp hôïp naøy ñöôïc goïi laø caùi chuaån hoùa cuûa A.

7.3 Quyõ ñaïo cuûa moät phaàn töû • Cho nhoùm G taùc ñoäng treân taäp X vaø x ∈X, khi ñoù taäp G.x = {g.x, G} ñöôïc

hoaëc truøng Gx Gy thì s = gx = g'y vôùi g, g' laø hai phaàn töû naøo ñoù

cuûa G. Do ño G.s = G.g.x = G.g'.y. Vaäy, Gx = Gy = Gs.

, trong ñoù xi laø caùc

ñaïo khaùc nhau, vaø I laø moät taäp chæ soá.

. Nhoùm ñoái xöùng

g∈goïi laø quõi ñaïo cuûa phaàn töû x ñoái vôùi nhoùm G. • NHAÄN XEÙT: Hai quõi ñaïo cuûa hai phaàn töû x, y cuûa X hoaëc rôøi nhaunhau. Thaät vaäy, neáu s ∈ ∩

ix.GNhö vaäy taäp X laø hôïp cuûa caùc quõi ñaïo rôøi nhau X = U

Ii∈phaàn töû cuûa caùc quõi

8

8.1 Ñònh nghóa • Neáu X laø taäp khaùc roãng, S(X) laø taäp caùc song aùnh töø X leân X thì ñoái vôùi pheùp hôïp caùc aùnh xaï, S(X) laø moät nhoùm maø ta thöôøng goïi laø nhoùm ñoái xöùng (hoaëc coøn goïi laø nhoùm hoaùn vò) treân X. Moät tính chaát lyù thuù cuûa nhoùm ñoái xöùng laø keát quaû sau ñaây



8.2 Ñònh lí (Ceyley)

∈

Moïi nhoùm (G, •) ñeàu laø nhoùm con cuûa nhoùm ñoái xöùng S(G). Chöùng minh: Xeùt ñôn caáu f : G → S(G), f(a) = fa vôùi fa(x) = ax ∀x G

8.3 Nhoùm ñoái xöùng Sn

• Neáu X = {1,2,...,n}, n 2, thì nhoùm S(X) ñöôïc goïi laø nhoùm ñoái xöùng baäc n vaø kí hieäu phaàn töû Sn ñöôïc goïi laø moät pheùp theá, hay hoùan vò cuûa

= ⎜⎛

)n(...)2(n...21

σ hay ñôn giaûn hôn

≥ σ ∈ laø Sn . Moãi

{1,2,...,n}, thöôøng ñöôïc vieát döôùi daïng :

σ ⎟⎟⎠

⎞σ = ( )1(σ )2(σ . . . ). )n(σ⎜

⎝ )1( σσ

8.4 r - chu trình Moät hoùan vò σ • ∈ Sn goïi la ø r-c u trìn neáu coù moät taäp con {jh h ,1 ..., jr} goàm

r phaàn töû cuûa {1,2,...,n} sao cho

⎩

⎧)m()j( i

σσ

==

mj 1i+

r21

rj,...,j,jm,

j)j,1r,...,2,1j,≠∀

( 1⎨

=σ−=∀

Taäp hôïp {j1,..., jr} ñöôïc goïi laø aù cuûa r - chu trình gi σ , vaø thöôøng kí hieäu laø σ • (j ,..., j ) hay j →= 1 r 2 ... 1.

⎝ 34251ôïc laø

{j ,..., j }

1 → j → jr → j

• VÍ DUÏ: ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ 54321

laø 3 - chu trình (2,5,3) ⎠

• Moät 2-chu trình ñö goïi chuyeån vò. • Hai chu trình (j1,..., jr) vaø (h1,..., hs) ñöôïc goïi laø rôøi nhau neáu vaø chæ neáu 1 r ∩ {h ,..., h } = 1 s ∅ • NHAÄN XEÙT: 1) Ta xem σ = id laø 1-chu trình, id = (i), vaø thöôøng vieát id = (1). 2) Neáu σ laø moät chuyeån vò thì

σ = σ –1.

3) Tích caùc chu trình rôøi nhau coù tính chaát giao hoaùn. 4) Trong r-chu trình σ = (j1 r k+1 ,..., j ) ta coù j = σ k (j1 ), k = 1, 2, ..., r –1.



8.5 Tính chaát 1) (j1, j2, .., jr) = (j2, j3, .., jr, j1) = … = (jr, j1, .., 2 jr– )

2, .., j m ⎛ r21..

j....jj

áu

ord (j1, j2, .., jr) = r. Chö ra töø ñònh nghóa, 2) chöùng minh baèng qui naïp vaø 3) suy ra tröïc

)

, jr–1

2) (j1, j r) = ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝ +++ rm2m1m j. .jj

,

ôû haøng döôùi j

⎞

r + h = jk ne h ≡ k( mod r)

3)ùng minh: 1) suy

tieáp töø 2

8.6 Ñònh lí Moïi σ ∈ Sn luoân coù theå phaân thaønh tích moät soá höõu haïn caùc chuyeån vò.

1. Xeùt

Chöùng minh : Ta chöùng minh baèng quy naïp theo n Vôùi n = 2 laø hieån nhieân, giaû söû ñònh lí ñuùng vôùi n – σ ∈ Sn vaø giaû söû (n) = σk. Goïi laø chuyeån vò (k, n). Suy ra : (ρ ρ σ )(n) = n, töùc laø ρσ xem nhö laø phaàn töû cuûa S . Theo giaû thieát quy naïp

n–1 ρσ laø tích cuûa nhöõng chuyeån vò ρ σ = . . . . –1 .

σ 1 σ k

Vì ρ= ρ neân : σ = ρ σ 1 . . σ k.

8.7 Ñònh liù Moïi phaàn töû cuûa Sn ñeàu coù theå phaân tích thaønh tích caùc chu trình ñoâi moät rôøi nhau, söï phaân tích treân laø duy nhaát (sai khaùc veà thöù töï caùc chu trình). Chöùng minh : 1) Söï toàn taïi Ta baét ñaàu vôùi daõy 1, σ (1), σ 2(1), …., σ k(1),… (1)

ì n + 1 soá töï nhieân 1 (1), (1), …., , σ σ 2 σ n(1) ñeàu thuoäc {1, 2, …, n} neân toàn taïi s, t V∈ {0,1, 2, …, n} sao cho s < t vaø σ s(1) = σ t(1). Neáu ñaët m = t – s ∈ {1, 2, …, n}

ta coù (1) = 1. Vaäy taäp hôïp {q thì σ m ∈{1, 2, …, n} : σ q(1) = 1} laø khaùc roãng vaø do ñoù coù soá beù nhaát p. Khi ñoù p soá töï nhieân 1, σ (1), …., σ p–1(1) laø khaùc nhau töøng ñoâi

oät, vì neáu toàn taïi s, t sm ∈{0,1, 2, …, p –1} sao cho s < t vaø σ (1) = (1) thì seõ coù

1

σ t

σ m(1) = 1 vôùi m = t – s ∈ {1, 2, …, p –1}, traùi vôùi tính chaát cuûa p. Nhö vaäy töø daõy (1) ta tìm ñöôïc moät p - chu trình → σ (1) → σ 2(1) → …→ σ p–1(1) → 1

(1, (1), 2(1), …., p–1(1)) thì xeùt daõy 2, . Neáu 2 2∉ σ σ σ σ (2), σ (2), …, (2),… vaø σ k



laäp luaän töông töï nhö treân, töø daõy naøy tìm ñöôïc moät q - chu trình

2 (2) (2) ….

→ σ → σ 2 → → σ q–1(2) 1

, ta tìm ñöôïc caùc chu trình rôøi nhau maø

→ . Baèng caùch naøy, sau moät soá höõu haïn böôùchôïp cuûa chuùng laø σ .

Söï duy nhaát. Giaû söû = c1 o c2 o … o cr = d1 o d2 o … o ds laø hai daïng phaân σ2)tích cuûa σ thaønh caùc chu trình töøng ñoâi moät rôøi nhau. Neáu σ = id thì khaúng ñònh laø roõ raøng. Giaû söû σ ≠ id, khi ñoù toàn taïi i∈{1, 2, …, n} sao cho σ (i) ≠ i va ø m {1,

m

u trình coøn laï ta suy ra r = s vaø { c1, 2, … ,cr } = {d1, d2, … ,ds}

DUÏ: Xeùt σ = = (1,2,3,7)o(5,8,6)

a baét ñaàu ôû 1 vaø tìm ñöôïc chu trình ñaàu tieân 1 3 7 1, sau ñoù baét ñaàu g tröôøng hôïp naøy laø 5, vì 4 khoâng thay ñoåi, 5

5.

Cho Sn. Ta noùi raèng caëp (

∈2, …, r}, k ∈ {1, 2, …, s} sao cho i thuoäc giaù cuûa chu trình c vaø giaù cuûa chu trình dk. Do ta coù theå hoaùn vò voøng quanh caùc phaàn töû trong moät chu trình maø khoâng laøm noù thay ñoåi vaø cuõng nhö trong 1) toàn taïi soá töï nhieân p sao cho cm = dk = ( i,σ (i), …., σ (i)). Laëp laïi lí luaän töông töï cho caùc chp–1 i,c

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛6158473287654321

.VÍ

→ 2 → → →T

vôùi soá nhoû nhaát coøn laïi , tron → 8 → 6 →

σ ∈ σ (i),σ (j)) laø moät nghòch theá trong hoaùn vò (hoaëc ø moät nghòch theá cuûa ) neáu coù i < j vaø

σ•σ σ (i) >σla (j). Ta kí hieäu soá caùc nghòch theá

uûa laø I( ), vaø goïi ) = (–1) laø kí soá cuûa c σ σ ε ( σ )(I σ σ . Ta noùi raèng hoaùn vò laø haün(töông öùng: leû) neáu ) = 1(töông öùng:

σ ε ( σ ε (σ ) = –1).

8.8 Heä quaû

c

o cho = t1 o t2 o … o tN . Khi ñoù, Giaû söû σ ∈ Sn vaø t1, t2, …, tN laø nhöõng chuyeån vò cuûa {1, 2, …,n} sa σ ε ( σ ) = (–1) . Nhö theá moät hoaùn vò chaün (töông öùng: leû) chæ coù theå phaân tích thaønh moät soá chaün (töông öùng: leû) nhöõng

Chöùng minh: Do 8.7, giaû söû ñöôïc raèng

N

chuyeån vò.

σ phaân tích moät caùch duy nhaát thaønh tích höõng chu trình ñoâi moät khoâng giao nhau nhö sau

n

Hieån nhieân laø (1) = (id) = 0. Ta chöùng minh raèng tính chaát chaün, leû cuûa

n σ = (i1 i2 . . . ir)(j1 j2 . . . js). . .(m1 m2 . . .mk). (1) Xeùt aùnh xaï ϕ : S → 9 , ϕ ( σ ) = (r – 1) + (s – 1) + …+ (k – 1).

ϕ ϕ ϕ (σ )



σ cuõng laø tính chaát chaün, leû cuûa soá nhöõng chuyeãûn vò trong moïi caùch phaân tích thaønh tích nhöõng chuyeån vò.

1 2 h

Ta coù nhaän xeùt raèng, neáu {a, c , c . . .c } ∩ {b,d1,. . . dk}ø = ∅ thì (a c1 c2 …ch b d1 … dk )(ab) = (a d1… dk)(b c1 c2 …ch)

(ad1 …dkb c1c2 …ch) , vaø (a c1c2 …ch)(b d1 … dk)(ab) = Töø ñoù suy ra ϕ ( σ o(ab)) = ϕ (σ ) ± 1 (2) trong ñoù daáu + hay – phuï thuoäc vaøo vieäc a, b ôû trong hai chu trình khaùc nhau, hay ôû trong cuøng moät chu trình cuûa (1). Baây giôø, giaû söû σ laø tích cuûa m chuyeån vò sau ñaây : σ = (ab)(cd). . .(pq) (khi ñoù

–1

(3)

ϕ ( σ ) laø soá caùc chuyeån vò trong phaân tích).Vì (ab) = (ab) neân σ o(pq) . . . (cd)(ab) = 1. Töø (2) vaø (3) suy ra : ϕ ( σ ) 4434421

m.1...11 ±±±± = 0

ϕNhö vaäy, tính chaün, leû cuûa ( σ ) laø tính chaün, leû cuûa m

VÍ DUÏ: Ñaët A = { S : • σ ∈ ε ( σ ) = 1}, khi ñoù A laø moät nhoùm con chuaån taéc cuûa

n n n

S vaø caáp cuûa A baèng nöûa caáp cuûa S . n n n

Thaät vaäy, xeùt aùnh xaï ε : (S , o) → ({–1, 1}. • ), σ a ε (σ ). Khi ñoù laø moät toaøn εn

caáu nhoùm vaø Ker ε = A . Vaäy A lan n ø moät nhoùm con ch aån taéc cuûa ≅ {–1, 1} neân (S : A ) = 2. Töø ñoù theo ñònh lí Lagrange, caáp cuûa A

u Sn vaø do Sn/An

n n n baèng nöûa caáp cuûa Sn. Nhoùm An coøn ñöôïc goïi laø nhoùm luaân phieân.



BAØI TAÄP

ø caùc pheùp toaùn trong treân G ñöôïc xaùc ñònh bôûi 1. Cho G = { a,b} va

a b a b+ ⋅ a a b a

b b a b

èng (G,+),(G,.) laø caùc nhoùm giao hoaùn. ) AÙnh xaï ñoàng nhaát id : (G,+)→ (G, .) coù phaûi laø ñaúng caáu nhoùm?

. Cho 9 laø taäp caùc soá nguyeân vaø treân noù xaùc ñònh pheùp toaùn trong * nhö sau : + n – 1 vôùi m, n

b aa b

a) Chöùng minh rab 2. Cho G = { 1,2,3,4 } vaø pheùp toaùn trong * treân G ñöôïc xaùc ñònh bôûi

1*

11

22

33

44

2 2 1 4 3

3 3 4 1 24 4 3 2 1

Chöùng minh raèng (G,*) laø nhoùm giao hoaùn. 3. Cho G = {1, 2, 3} vaø * laø moät pheùp toùan trong treân G. Bieát raèng caáu truùc ñaïi soá (G, *) laø moät nhoùm. Haõy xaùc ñònh pheùp toùan * . 4 m * n = m ∈ 9 .

b) AÙnh xaï ñoàng nhaát id : (9,+) → (9,*) coù phaûi laø ñaúng caáu nhoùm ?

*

ùm iao hoaùn.

) Chöùng minh raèng 3 × 3 laø moät nhoùm con cuûa G. ( 3 laø taäp caùc soá thöïc

. Cho G = 3* × 3 vaø pheùp toaùn trong treân G xaùc ñònh bôûi

a) Chöùng minh raèng ( 9 ,+) laø nhoùm giao hoaùn.

5. Cho G = 3* × 3 vaø * pheùp toaùn trong treân G xaùc ñònh bôûi

(x, y) (x', y') = (xx', xy' + y)

a) Chöùng minh raèng ( G ,*) laø nho khoâng gb *

+*+

döông) 6 *



(x, y) * (x', y') = (xx', xy' + 'x

y)

a) Haõy xaùc ñònh taâm Z(G) = {a) Chöùng minh raèng ( G ,*) laø nhoùm.

b ∈ G : ag = ga vôùi moïi g ∈ G} cuûa G. c

n) Chöùng minh raèng 3*×{0}, {1} × 3, Θ* ×Θ laø caùc nhoùm con cuûa G.

d) Chöùng mi h raèng vôùi k ∈3 x–1)), x , taäp hôïp Hk = {(x, k(x – ∈ 3*} laø moät nhoùm

7. Cho (G,.) laø nhoùm sao cho moïi x

con giao hoaùn cuûa G.

∈ G ñeàu coù x2 = 1. Chöùng minh raèng G laø

nhoùm coù tính chaát laø toàn taïi ba soá nguyeân döông lieân tieáp i sao

. Cho E = {a + b

nhoùm giao hoaùn. 8. Giaû söû (G,.) laøcho (ab)i = ai bi . Chöùng minh raèng G laø nhoùm giao hoaùn.

9 3 : a,b ∈ Q }. Chöùng minh raèng

) (E*, •) laø nhoùm con cuûa (R*, •), ôû ñaây E* = E – {0}

höùng minh raèng

1. Cho (G, •) laø moät nhoùm, x G. Chöùng toû taäp xGx–1 = {xgx-1, g G} oùm con cuûa G.

oät nhoùm con cuûa nhoùm (∀, +) thoûa maõn : x + ix2

a) (E,+) laø nhoùm con cuûa (R,+). b 10. Cho (G, •) laø moät nhoùm, x ∈ G vaø C(x) = {g ∈ G : gx = xg }. CC(x) laø nhoùm con cuûa G. 1 ∈ ∈laø nh 12. Cho G laø m ∈ G vôùi

3. Cho moät nhoùm G höõu haïn caáp 4 sinh bôûi S ={x, y} sao cho x2 = y2 = e

= {e, x, y, xy}

4. Cho moät nhoùm G caáp 8 sinh bôûi caùc phaàn töû x, y sao cho x4 = y2 = e

aø taát caû caùc phaàn töû cuûa G. Xaùc ñònh taát caû caùc hoùm con cuûa G.

töû i, j, k sao cho

í hieäu i2 bôûi m. Chæ ra raèng e, i, j, k, m, mi, mj, mk laø caùc phaàn töû phaân bieät cuûa G.

nion, ngöôøi ta vieát – 1, – i, –j, – k thay cho m, mi, mj, mk )

moïi x ∈[0,1]. Chöùng minh raèng G = ∀. 1vaø xy = yx. Haõy xaùc ñònh taát caû caùc nhoùm con cuûa G. Chæ ra raèng G 1vaø xy = yx3. Chæ ra raèng caùc phaàn töû xiyj ,vôùi i = 0, 1, 2, 3 vaø j = 0,1 laø caùc phaàn töû phaân bieät cuûa G vaø töø ñoù chuùng ln 15. Cho moät nhoùm G caáp 8 sinh bôûi caùc phaàn ij = k, jk = i, ki = j, i2 = j2 = k2. KXaùc ñònh taát caû caùc nhoùm con cuûa G. (Nhoùm G nhö theá ñöôïc goïi laø nhoùm quater



16. Cho moät nhoùm G caáp 12 sinh bôûi caùc phaàn töû x, y sao cho x6 = y2 = e vaø xy = x5. Chæ ra raèng caùc phaàn töû xiyj , vôùi i = 0, 1, 2, 3, 4, 5 vaø j = 0,1, laø caùc phaàn töû

c nhoùm con cuûa G.

oùm. ) Chöùng minh raèng (Aut(G), o) laø nhoùm.( o laø pheùp toùan hôïp caùc aùnh xaï)

. Chöùng minh raèng fa Aut(G).

yphaân bieät cuûa G. Xaùc ñònh taát caû caù 17. Cho (G, • ) laø moät nhab)Vôùi a ∈ G , xeùt aùnh xaï fa : G → G, fa (g) = aga–1, g ∈ G∈c) Chöùng minh raèng Int(G) = {fa : a ∈G} laø nhoùm con cuûa Aut(G). d) Chöùng minh raèng moät nhoùm con H cuûa G laø chuaån taéc neáu vaø chæ neáu fa(H) = H

vôùi moïi fa Int(G). r =

Z(G) = taâm cuûa G (xem baøi 6.b)

∈e) Chöùng minh raèng aùnh xaï ϕ : G → Int(G), a a fa laø moät ñoàng caáu vaø Ke ϕ

f) Chöùng minh raèng aùnh G/Z(G) ≅ Int(G). 18. Cho f : ( 9 ,+) → ({–1, 1},• ) , f(n) = (–1)n. Chöùng minh raèng f laø toaøn caáu

9/ .

⎛ ba

Chöùng minh raèng f : (V,•) (3*, •), a

a, laø toaøn caáu nhoùm.

moät phaàn töû cuûa G. Chöùng toû raèng: f : (9, +) (G, • ), f(n) = a , laø moät ñoàng caáu nhoùm.

,

2. Cho (G, • ) laø moät nhoùm sao cho toàn taïi soá töï nhieân n thoûa maõn tính chaát fn : G ùng toû raèng

nhoùm. Haõy xaùc ñònh Kerf vaø Kerf

19. V = { ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝ d0

: a,b,d ∈ 3⎞ vaø ad ≠ 0 }

a) Chöùng minh raèng (V, .) laø nhoùm con cuûa (GL3(2), •)

b→ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛d0

ab)

20. Cho (G, • ) laø moät nhoùm vaø a laø

na) →b) Moïi ñoàng caáu f: (9, +) → (G, • ) thoûa f(1) = a ñeàu coù daïng f(n ) = an. c) Haõy xaùc ñònh taäp End(9,+) = {töï ñoàng caáu f : (9 +) → (9 ,+ )}

21. Cho (G, • ) laø moät nhoùm sao cho f : G → G, f(x) = x3, laø moät toaøn caáu nhoùm. Chöùng toû raèng G laø nhoùm giao hoùan.

2→ G, fn(x) = xn, laø moät toaøn caáu nhoùm. Chö xn–1y = yxn–1, vôùi moïi x, y ∈ G 23. Cho (G,+) laø nhoùm giao hoaùn. Goïi End(G) taäp caùc töï ñoàng caáu cuûa G. Treân

:èn d(G),+) laø nhoùm giao hoaùn.

) Chöùng minh raèng End(9,+) ñaúng caáu vôùi (9,+). 24.

End(G) xaùc ñònh pheùp toaùn coäng nhö sau (f + g)(x) = f(x) + g(x) a) Chöùng minh ra g (Enb



a) Chöùng minh raèng taäp con A = {2n3m , m, n ∈ 9} laø nhoùm con cuûa nhoùm (Θ, •). b) Chöùng minh raèng A ñaúng caáu vôùi nhoùm con B = {a + bi, a, b ∈ 9}

5. Chöùng minh raèng moïi nhoùm con cuûa moät nhoùm cyclic laø nhoùm cyclic.

7. Cho (G,•) laø nhoùm cyclic caáp n vaø m

cuûa nhoùm (∀, +). 2 26. Chöùng toû raèng aûnh ñoàng caáu cuûa moät nhoùm cyclic laø moät nhoùm cyclic 2 ∈ ∠ laø moät öùôùc cuûa n. Chöùng minh raèng

ùng 2 phaàn töû sinh. Tìm taát caû sinh cuûa nhoùm tuaàn hoaøn caáp n.

0. Cho (G, • ) laø nhoùm; a, b laø hai phaàn töû cuûa G vaø f

G coù ñuùng moät nhoùm con caáp m. 28. Chöùng minh raèng moïi nhoùm cyclic voâ haïn coù ñucaùc phaàn töû 29. Tìm taát caû caùc töï ñoàng caáu nhoùm cuûa nhoùm cyclic caáp n . 3 ∈ End(G). Chöùng minh

èng a) ord(ab) = ord(ba)

b) ord(a) = ord(a-1 ). c) ord(a) laø boäi cuûa ord(f(a)). 31. Tìm taát caû caùc nhoùm con cuûa a) Nhoùm cyclic caáp 6. b) Nhoùm cyclic caáp 24. 32. Chöùng minh raèng moïi nhoùm coù caáp ≤ 5 ñeàu giao hoaùn . 33. Chöùng minh raèng moïi nhoùm giao hoaùn caáp 6 coù chöùa moät phaàn töû caáp 3 ñeàu laø nhoùm cyclic. 34. Chöùng minh raèng nhoùm thöông cuûa moät nhoùm cyclic laø moät nhoùm cyclic. 35. Giaû söû (G, • ) laø nhoùm cyclic voâ haïn coù phaàn töû sinh laø x. Vôùi m ∠ ñaët Hm = { xkm : k ∈ 9 }. Chöùng minh raèng a) Hm laø nhoùm con cuûa G. b) Neáu m ≠ n thì Hm ≠ Hn . c) Moïi nhoùm con cuûa G ñeàu coù daïng Hm vôùi m laø moät soá töï nhieân naøo ñoù. 36. Chöùng minh raèng Int(G) (xem baøi 13.) laø chuaån taéc trong Aut(G) . 37. Cho (G, • ) laø moät nhoùm; A vaø B laø caùc nhoùm con chuaån taéc sao cho A B = {1}. Chöùng minh raèng ab = ba , vôùi moïi a

ra

∈

∩∈ A , b∈ B.



38 a) Cho (G, • ) laø moät nhoùm cuûa G. Chöùng

inh raèng G/H laø nhoùm gia

oùm, vaø H laø nhoùm con chuaån taéc cuûa G. Chöùng o neáu vaø chæ neáu xyx–1y–1

giao hoaùn, vaø H laø nhoùm cono hoaùn. m

b) Cho (G, • ) laø moät nhtoû raèng G/H laø nhoùm gia ∈ H, vôùi moïi x, y G. )Ta goïi C(G) = { xyx–1y–1, x, y

∈

c ∈ G} laø nhoùm con caùc hoaùn töû cuûa G, caùc phaàn

hoaùn.

on chuaån taéc trong G. Ñaët AB = { ab :

töû cuûa noù ñöôïc goïi laø caùc hoaùn töû. Chöùng toû raèng C(G) laø moät nhoùm con chuaån taéccuûa G. d) Chöùng minh raèng G/C(G) laø giao 39. aCho (G,•) l ø nhoùm; A, B laø caùc nhoùm c ∈ A ; b ∈ B }. Chöùng minh raèng a

a) AB laø nhoùm con cuûa G. b) A laø nhoùm con chuaån taéc cuûa AB, A ∩ B laø nhoùm con chuaån taéc cuûa B. c) AB/A ≅ B/A ∩ B . 40. Cho (∀,+) laø nhoùm coäng caùc soá phöùc, (3,+) laø nhoùm coäng caùc soá thöïc vaø aùnh xaï f : (∀ ,+) ⎯→ (3, +), f(a + bi) = b ; a,b ∈ 3. a) Chöùng minh raèng f laø toaøn caáu nhoùm. b) Xaùc ñònh Kerf, ∀/Ker(f) c) Chöùng minh raèng ∀/3

41. Moät pheùp ñoái xöùng cuûa moät hình hình hoïc laø moäõt pheùp theá cuûa taäp hôïp X caùc

2. Kí hieäu ∆3 laø nhoùm ñoái xöùng cuûa moät tam giaùc ñeàu vaø goïi laø nhoùm tam giaùc

- R laø pheùp quay taâm O, goùc quay 1200.

b toaùn cho ∆3 . Suy ra raèng : ∆3 ≅ S3 .

ñieåm cuûa hình ñoù vaø baûo toaøn khoaûng caùch. Chöùng minh raèng taäp hôïp caùc pheùp ñoái xöùng cuûa caùc hình hình hoïc laø moät nhoùm ñoái vôùi pheùp hôïp caùc aùnh xaï. 4ñeàu. a) Chöùng minh raèng : ∆3 = {1, R, R2, D1, D2, D3 }. Trong ñoù : - Di laø pheùp ñoái xöùng qua ñöôøng cao ñi qua ñænh thöù i. b) Haõy laäp aûng


Documents

CHNG 1 AI CNG VE CAU TRUC AI SO