Ch¬ng tr×nh m«n häc C¬ lý thuyÕt

TRƯƠNG CAO ĐĂNG NGHÊ VIÊT - ĐƯC HA TINH _____________________________________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 1

ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH HÀ TĨNH

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT -ĐỨC

GIÁO TRÌNH MÔN HỌC: CƠ LÝ THUYẾT

Hệ cao đẳng nghề, nghề CTTBCK

(Lưu hành nội bộ)


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 2

MUC LUC

Chương1: CAC KHAI NIỆM CƠ BAN VA CAC TIÊN ĐỀ TINH HỌC

1. Các khái niệm cơ bản………………………....……………...............................3

2. Các tiên đề tĩnh học………………………....……………………......................6

3. Liên kết và phản lực liên kết…………………….....…………………................7

Chương 2: HỆ LƯC PHẲNG

1. Hệ lực phẳng đồng quy………………………………………...........................13

2. Hệ lực phẳng song song…………………………………………......................16

Chương 3: MÔMEN - NGÂU LƯC

1. Mô men………………………………………...................................................20

2. Ngẫu lực………………….. …………………………………………...............22

3. Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng bất kỳ…....………………….……....….25

4. Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng song song…....…………….……....…...30

Chương 4: MA SAT - TRỌNG TÂM - CÂN BĂNG ÔN ĐINH

1. Ma sát……………………….. ...........................................................................33

2. Trọng tâm…………………..………………………..........................................37

3. Cân bằng ổn định……………..…………………………..................................42

Chương 5: HỆ LƯC KHÔNG GIAN

1. Chiếu một lực lên 3 trục - Mô men của một lực đối với một trục…..........…... 46

2. Điều kiện cân bằng của một hệ lực không gian…………………....……....…..48

Chương 6: ĐÔNG LƯC HỌC CHÂT ĐIÊM - ĐÔNG LƯC HỌC VÂT RĂN

1. Động lực học chất điểm……………..……………………………....................54

2. Động lực học vật rắn…………………………………………...........................63

Chương 7: CAC ĐINH LÝ CƠ BAN CUA ĐÔNG LƯC

1. Công của lực - Công suất……………………...…………………….................73

2. Các định lý cơ bản của động lực học………...………………….......................77


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 3

Chương 1: CAC KHAI NIỆM CƠ BAN VA CAC TIÊN ĐỀ TINH HỌC

1. CAC KHAI NIỆM CƠ BAN. Thời gian: 2h

1.1. VÂT RĂN TUYỆT ĐỐI.

- Vật rắn tuyệt đối là một vật rắn vô hạn các chất điểm mà khoảng cách giữa hai

điểm bất kỳ luôn luôn không đổi. Đây là mô hình đơn giản nhất của vật thể, nó được xem

xét khi biến dạng của nó có thể bỏ qua được do bé quá hoặc không đóng vai trò quan

trọng đối với mục tiêu khảo sát. Vật rắn tuyệt đối được gọi tắt là vật rắn.

- Trong trường hợp này chúng được coi như không bị biến dạng, nói cách khác là

rắn tuyệt đối. Vậy: vật rắn tuyệt đối là một vật thể mà khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ

thuộc vật luôn luôn không đổi. Cơ học quan niệm vật tuyệt đối rắn là vật khi chịu lực tác

dụng của lực, có hình dạng và kich thước không đổi.

1.2. LƯC.

1.2.1. Khái niệm. Lực là tác động tương hô tư những vật hoặc tư môi trường chung

quanh lên vật đang xet, làm cho vật thay đổi vận tốc hoặc làm cho vật biến dạng. Ví dụ:

Đâu búa tác động lên vật ren là lực tác động tư vật này sang vật khác. Trọng lực tác động

vào vật là lực hấp dẫn (còn gọi là lực hút) của trái đất lên vật đó (trọng lượng là một

thành phân của trọng lực, với sai số nhỏ trọng lượng của vật coi như trung với trọng lực

của vật đó). Để xác định được một lực ta cân có ba yếu tố:

- Điểm đặt của lực là nơi mà tại đó vật nhận được tác dụng tư vật khác.

- Hướng chỉ phương và chiều tác dụng của lực cũng là phương và chiều chuyển

động của chất điểm (vật thể có kich thước vô cùng bé) tư trạng thái yên nghỉ dưới tác

động cơ học.

- Cường độ tác động hay còn gọi là trị số biểu thị độ mạnh hay yếu của lực.

1.2.2. Đo lưc. Treo các vật có khối lượng khác nhau vào một lò xo thẳng đưng, độ gian

của lò xo tỉ lệ với khối lượng của vật. Mặt khác tại một địa điểm xác định, trọng lượng

của vật tỉ lệ với khối lượng của nó: mgP (1.1.1)

P : trọng lượng; m : khối lượng; g : gia tốc trọng trường (g = 9,81 m/s2)

Như vậy có thể rút ra kết luận: độ gian của lò xo tỉ lệ với trọng lượng của vật. Căn

cư vào kết luận này người ta chế tạo các dụng cụ đo trị số của lực đó gọi là lực kế (Hình

1.1.1). Dung lực kế đo được trọng lượng, tư đó lại suy ra khối lượng của vật. Như vậy

dùng lực kế ta cũng đo được khối lượng của vật một cách gián tiếp (công thưc 1.1.1)


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 4

Hinh 1.1.1. Đo lực Hình 1.1.2. Biểu diễn lực tác dụng lên vật thể.

Đơn vị chinh để đo trị số của lực là Niu tơn, kí hiệu: N. Bội số của niutơn là kilô

niutơn: kN (1kN = 103N), mêga niutơn: MN (1MN = 106N)

1.2.3. Biêu diên lưc. Đối chiếu với các khái niệm toán học đa biết ta thấy về mặt hình

học có thể biểu diễn lực dưới dạng một véctơ trong đó:

- Gốc của vectơ là điểm đặt lực.

- Phương và chiều của vectơ là phương và chiều của lực. Giá mang vectơ lực được

gọi là đường tác dụng lực.

- Chiều dài vectơ là trị số của lực được lấy theo một tỷ lệ nhất định (với tỉ lệ xích

được chọn trước).

Chẳng hạn trên hình 1.1.2, vec tơ AB biểu diễn lực tác dụng lên một vật rắn, trong

đó: + Gốc A là điểm đặt của lực AB

+ Đường thẳng chưa lực AB là phương của lực, còn gọi là đường tác dụng của

lực, mút B chỉ chiều của lực AB

+ Độ dài của AB biểu diễn trị số của lực AB theo một tỷ lệ xich nào đó, chẳng

hạn trị số của lực AB là 200N, nếu biểu diễn lực đó theo tỉ lệ 10N trên một độ dài 1mm

thì độ dài của AB là: 10

200 = 20 mm.

Để đơn giản, thường ki hiệu lực bằng một chữ in hoa và ghi dấu vec tơ trên chữ in

hoa đó, vi dụ: ,F ,Q ,N ,P ,R ,S …

1.3. HỆ LƯC.

1.3.1. Hai lưc trưc đối: là hai lực có cung trị số, cung đường tác dụng nhưng ngược

chiều nhau (Hình 1.1.3a, b).


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 5

Hinh 1.1.3. Hai lực trao đôi Hình 1.1.4. Hệ lực tác dụng lên vật thể

1.3.2. Hệ lưc: là tập hợp nhiều lực tác dụng lên một vật rắn (Hình 1.1.4): 421 ,,, FFFF

Tuỳ thuộc đường tác dụng của các lực nằm trong cùng một mặt phẳng hay không

cùng một mặt phẳng chúng ta có hệ lực mặt phẳng hay hệ lực không gian. Cũng tuỳ

thuộc đường tác dụng gặp nhau hoặc song song với nhau ta có hệ lực đồng quy (hình

1.1.5), hệ lực song song (hình 1.1.6).

Hình 1.1.5

Hình 1.1.6

1.3.3. Hệ lưc tương đương: Hai hệ lực được gọi là tương đương khi chúng gây cho cung

một vật rắn các trạng thái chuyển động cơ học như nhau (hình 1.1.7).

Kí hiệu: kNFFF ,...,,,...,, 2121 , dấu ≡ đọc là tương đương.

Hình 1.1.7 Hình 1.1.8


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 6

1.3.4. Hơp lưc: Hợp lực của hệ là một lực duy nhất tương đương với hệ lực. Gọi R là

hợp lực của hệ lực NFFF ,...,, 21 thì NFFFR ,...,, 21 (hình 1.1.8).

1.3.5. Hệ lưc cân băng: là hệ lực khi tác dụng vào vật rắn se không làm thay đổi trạng

thái động học của vật rắn (nếu vật đang đưng yên thì đưng yên, nếu vật đang chuyển

động thì chuyển động tịnh tiến thẳng đều). Nói cách khác, hệ lực cân bằng tương đương

với 0: 0,...,, 21 NFFF

+ Vật chịu tác dụng bơi hệ lực cân bằng được gọi là vật ơ trạng thái cân bằng;

+ Vật ơ trạng thái cân bằng nếu nó đưng yên hoặc chuyển động tịnh tiến thẳng

đều.

2. CAC TIÊN ĐỀ TINH HỌC. Thời gian: 1h

Tiên đề là những mệnh đề đơn giản, cơ bản và được rút ra tư thực tiễn (không

chưng minh). Chúng ta nghiên cưu hệ tiên đề tĩnh học làm cơ sơ cho việc nghiên cưu về

sự cân bằng của vật rắn.

2.1. TIÊN ĐỀ 1: (tiên đề về hai lực cân bằng). Điều kiện cân và đủ để hai lực tác dụng

lên một vật rắn được cân bằng là chúng phải trực đối nhau. (hình 1.2.1)

Hình 1.2.1

2.2. TIÊN ĐỀ 2: (tiên đề thêm bớt hai lực cân bằng). Tác dụng của một hệ lực lên một

vật rắn không thay đổi khi thêm vào hoặc bớt đi hai lực cân bằng.

Như vậy nếu: ', FF

là hai lực cân bằng thì (hình 1.2.2a):

Hình 1.2.2

',,,...,',..., 2121 FFFFFFFF NN

hoặc nếu hệ lực có hai lực 1F

và 2F

cân bằng thì (hình 1.2.2b):

NN FFFFFF ,...,",..., 4321


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 7

Hệ quả: (định lý trượt lực): Tác dụng của lực lên vật rắn không thay đổi khi trượt lực

trên đường tác dụng của nó (hình 1.2.3).

Hình 1.2.3 Hình 1.2.

Thực vậy, khi thêm hai lực cân bằng ( BB FF ',

) tại B có cung cường độ với lực AF

ta có (hình 1.2.4): ABBA FFFF ,',

. Hai lực AB FF ,' là hai lực cân bằng nên dựa vào

định luật 2 có thể bớt hai lực này. Vậy: BF

AF

Như vậy trong trường hợp vật rắn (chỉ đối với vật rắn) điểm đặt của lực không cân

chú ý. Chỉ có đường tác dụng của lực là quan trọng. Lực trong tĩnh học vật rắn có tính

chất của vectơ trượt.

2.3. TIÊN ĐỀ 3. (tiên đề về quy tắc hình bình hành lực): Hai lực tác dụng lên vật rắn tại

một điểm tương đương với một lực tác dụng tại cung điểm đó và có vectơ lực bằng vectơ

cheo của hình bình hành có hai cạnh là hai vec tơ lực của các lực đa cho (hình 1.2.5)

Hinh 1.2.5 Hinh 1.2.6

Nhờ tiên đề này cho phep sư dụng phep tinh cộng vec tơ để cộng lực. Do hệ quả

trượt lực, điều kiện hai lực đặt tại một điểm có thể mơ rộng thành điều kiện hai đường tác

dụng của hai lực gặp nhau.

2.4. TIÊN ĐỀ 4. (tiên đề tác dụng và phản tác dụng): Lực tác dụng và lực phản tác dụng

giữa hai vật có cung cường độ, cung đường tác dụng và hướng ngược chiều nhau (Hình

1.2.6)

Chú ý rằng lực tác dụng và phản tác dụng không phải là hai lực cân bằng vì chúng

không tác dụng lên cung một vật rắn. Tiên đề phản tác dụng đúng cho mọi hệ quy chiếu

(quán tinh và không quán tinh) và làm cơ sơ cho việc mơ rộng các kết quả đa khảo sát đối

với một vật cho vật khác trong bài toán hệ vật.

3. LIÊN KẾT VÀ PHAN LƯC LIÊN KẾT. Thời gian: 3h

3.1. KHÁI NIỆM.

Vật tự do và vật chịu liên kết.


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 8

+ Vật tự do là vật không có liên quan gì đến các vật khác và có thể thực hiện được

mọi di chuyển trong không gian tại thời điểm đang xet.

+ Một vật trong không gian ba chiều có thể có 6 di chuyển khác nhau gọi là 6 bậc

tự do (dọc theo ba trục và quay quanh ba trục). Mọi chuyển động của vật trên thực tế đều

có thể quy về sự tổng hợp của một trong các chuyển động đó. Liên kết là những điều kiện

ràng buộc di chuyển của vật. Trong tĩnh học các điều kiên ràng buộc được thực hiện bằng

sự tiếp xúc hoặc nối (bản lề, dây...hình 1.3.1a, b) trực tiếp giữa các vật.

Hình 1.3.1

+ Vật chịu liên kết là vật có một hay nhiều phương di chuyển bị hạn chế hay cản

trơ bơi những vật khác. Các vật chịu liên kết được gọi là những vật không tự do. Lực tác

dụng tương hô giữa các vật liên kết với nhau được gọi là lực liên kết. Các lực không phải

là lực liên kết được gọi là lực đặt vào (lực hoạt động).

+ Vật gây liên kết: Tất cả những đối tượng có tác dụng khống chế dịch chuyển của

vật đang khảo sát được gọi là các liên kết.

3.2. PHAN LƯC LIÊN KẾT.

3.2.1. Định nghĩa. Những lực mà các vật khác tác dụng lên vật đang khảo sát làm hạn

chế hay cản trơ chuyển động của nó gọi là các phản lực liên kết (lực phản tác dụng do các

liên kết gây ra). Đối với một vật thì lực do các vật khác tác dụng lên nó được gọi là các

phản lực liên kết, còn các lực do nó tác dụng lên vật liên kết với nó (thường là liên kết

tựa) được gọi là áp lực (hình 1.3.2 a, b).

3.2.2. Nguyên tắc xác định phản lưc liên kết.

- Phản lực liên kết bao giờ cũng đặt vào vật thể khảo sát tại điểm tiếp xúc giữa nó

và vật gây liên kết.

- Phản lực liên kết cung phương nhưng ngược chiều với chuyển động bị cản trơ.

Nói cách khác nó vuông góc với phương của chuyển động.

- Trị số của phản lực liên kết phụ thuộc vào các lực chủ động tác dụng lên vật.


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 9

Hình 1.3.2

3.2.3. Giải phóng liên kết. Vật không tự do cân bằng có thể được xem là vật tự do cân

bằng, bằng cách giải phóng tất cả các liên kết và thay thế tác dụng các liên kết được giải

phóng bằng các phản lực liên kết thich hợp. (Hình 1.3.3)

Hinh 1.3.3

Chú ý rằng các phản lực liên kết sinh ra để ưng phó với các lực đặt vào. Chúng là

các ân trong bài toán tĩnh học. Trong một số trường hợp dựa vào kết cấu của các liên kết

có thể đoán nhận được phương và chiều của các phản lực liên kết, còn trong mọi trường

hợp trị số của chúng là chưa biết.

3.2.4. Các loại liên kết. Một số quy tắc xác định các đặc trưng (phương và chiều) của

phản lực liên kết đối với một số liên kết thường gặp.

a. Liên kêt tựa (không ma sát): hai vật trưc tiếp tựa lên nhau, tiếp xúc theo bề mặt hoặc

đường hoặc điểm: phản lực tựa có phương vuông góc với mặt tựa (hoặc đường tựa), có

chiều cản trơ (theo phương pháp tuyến) di chuyển của vật ký hiệu là N (hình 1.3.4a, b, c).

b. Liên kêt dây mềm, thẳng và không giản. Phản lực của dây tác dụng lên vật khảo sát

đặt vào điểm buộc dây và hướng vào dây. Phản lực của vật rắn tác dụng lên dây được gọi

là sưc căng dây, ký hiệu là T. Sưc căng dây hướng dọc dây và hướng ra đối với mặt cắt

dây, làm dây luôn ơ trạng thái căng (hình 1.3.5).


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 10

Hình 1.3.4

Hình 1.3.5

c. Liên kêt bản lề: Hai vật có liên kết bản lề khi chúng có trục (chốt) chung, có thể quay

đối với nhau. Trong trường hợp này hai vật tựa vào nhau theo đường nhưng điểm tựa

chưa được xác định. Phản lực liên kết R đi qua tâm của trục và có phương, chiều chưa

được xác định. Phản lực được phân thành hai thành phân vuông góc với nhau yx RR

,

nằm trong mặt phẳng thẳng góc với đường trục tâm của bản lề (hình 1.3.6).

Hình 1.3.6

d. Liên kêt gối: dung để đỡ các dàn, khung,...Có loại gối cố định và gối con lăn. Phản lực

liên kết của gối cố định được xác định như liên kết bản lề, còn phản lực liên kết của gối

con lăn được tìm theo quy tắc của phản lực liên kết tựa (hình 1.3.7).

Hình 1.3.7

e. Liên kêt gối cầu: Được thực hiện nhờ một quả câu gắn vào đâu một vật gây liên kết.

Phản lực gối đâu đi qua tâm O của vỏ câu, còn phương và chiều chưa được xác định.


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 11

Thường phản lực gối câu được phân thành ba thành phân vuông góc ( ),,( zyx RRR

(hình

1.3.8).

Hình 1.3.8 Hình 1.3.9

Trường hợp liên kết cối (ổ chặn) tương tự như liên kết gối câu đa trình bày trên,

nghĩa là chỉ biết điểm đặt của phản lực liên kết, còn phương chiều của nó chưa được xác

định. Do vậy phản lực được chia thành ba thành phân vuông góc với nhau, trong đó có

một thành phân hướng theo phương bị chặn, còn hai thành phân khác nằm trong mặt

phẳng vuông góc với các phương bị chặn (hình 1.3.9).

g. Liên kêt ngàm: là liên kết khi vật được nối cưng vào một vật khác (ví dụ trường hợp

hai vật được hàn cưng với nhau). Trong trưòng hợp ngàm phẳng (hệ lực khảo sát là hệ

lực phẳng), phản lực liên kết gồm hai lực thẳng góc với nhau và một ngẫu lực nằm trong

mặt phẳng chưa hai thành phân lực và cũng là mặt phẳng tác dụng của hệ lực (hình

1.3.10).

Hình 1.3.10 Hình 1.3.11

Đối với ngàm không gian (hệ lực khảo sát là hệ lực không gian) phản lực liên kết

gồm ba thành phân lực vuông góc với nhau (dọc 3 trục toạ độ) và ba thành phân ngẫu

lực trong 3 mặt phẳng toạ độ (hình 1.3.11).

h. Liên kêt thanh. Liên kết thanh được thực hiện nhờ các thanh thoả man các điều kiện

sau: chỉ có lực tác dụng ơ hai đâu, còn dọc thanh không có lực nào tác dụng và trọng

lượng thanh được bỏ qua (ví dụ các thanh không trọng lượng, liên kết bằng liên kết trụ

hoặc câu). Phản lực có phương qua hai điểm chịu lực (hình 1.3.12).


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 12

Nói chung liên kết có thể có kết cấu đa dạng, xác định phương chiều của phản lực

liên kết trong trường hợp chung theo quy tắc sau: tương ưng với hướng di chuyển thẳng

bị ngăn trơ có phản lực ngược chiều, tương ưng với hướng di chuyển quay bị ngăn trơ có

ngẫu lực ngược chiều.

Hình 1.3.12 Hình 1.3.13

3.2.5. Xác định hệ lưc tác dung lên vât khảo sát.

- Khi khảo sát một vật rắn, ta phải tách vật rắn khỏi các liên kết và xác định hệ lực

tác dụng lên vật rắn đó. Hệ lực tác dụng lên vật khảo sát bao gồm các tải trọng và các

phản lực. Tải trọng trực tiếp tác động lên vật khảo sát. Việc đặt các tải trọng lên vật khảo

sát thường it khó khăn, vấn đề quan trọng là các phản lực cho đúng và đây đủ. Muốn thế

chúng ta lân lượt thay các liên kết bằng các phản lực tương ưng, công việc đó được gọi là

giải phóng liên kết.

- Sau khi giải phóng liên kết, vật khảo sát được coi như một vật tự do cân bằng

dưới tác dụng của hệ lực bao gồm các tải trọng và các phản lực.

Vi du 1.3.1: Cân trục có trọng lượng P đặt ơ điểm C, mang vật nặng Q

. (hình 1.3.13).

Trục thẳng đưng AB của cân trục được liên kết bằng ổ trục B và ổ chặn A. Xác định hệ

lực tác dụng lên cân trục.

Bài giải

Tách cân trục khỏi ổ trục B và ổ chặn A, nó chịu tác dụng bơi hệ lực:

- Các tải trọng P và Q

và các phản lực:

+ Phản lực do ổ trục tác dụng vào B là BN .

+ Phản lực do ổ chặn tác dụng vào A là AX

và AY

.

Như vậy cân trục cân bằng dưới tác dụng của hệ lực phẳng bất kỳ

,,,,, AAB YXNQP

). Tưc là: ( ,,,,, AAB YXNQP

) ~ 0.


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 13

Chương 2: HỆ LƯC PHẲNG

1. HỆ LƯC PHẲNG ĐÔNG QUY. Thời gian: 4h

1.1. CHIẾU MÔT LƯC LÊN HAI TRỤC TỌA ĐÔ.

1.1.1. Định nghĩa.

* §Þnh nghÜa: HÖ lùc ph¼ng ®ång quy lµ hÖ lùc gåm çc

lùc cã ®êng t¸c dông cïng n»m trong mét mÆt ph¼ng vµ

c¾t nhau t¹i mét ®iÓm.

1.1.2. Chiếu môt lưc lên hệ toa đô

vuông goc.

Gi¶ sö lùc F cã

®êng t¸c dông hîp víi

trôc Ox mét gãc nhän

, cÇn x¸c ®Þnh h×nh

chiÕu cña lùc F lªn

çc trôc Ox vµ Oy.

H×nh chiÕu lùc F

lªn trôc nµo lµ ®é dµi

®¹i sè cña ®o¹n th¼ng

giíi h¹n bëi h×nh

chiÕu cña gèc vµ mót lùc lªn trôc ®ã.

H×nh chiÕu cña lùc F lªn trôc Ox vµ Oy ®îc ký hiÖu

lµ Fx, Fy.

Fx = F.cos

Fy = F.sin Trong ®ã:

: gãc hîp bëi ®êng t¸c dông cña lùc F víi

trôc Ox.

LÊy dÊu (+) khi ®i tõ ®iÓm chiÕu gèc ®Õn ®iÓm

chiÕu ngän cña vÐct¬ lùc cïng chiÒu víi chiÒu

d¬ng cña trôc.

LÊy dÊu (-) khi ®i tõ ®iÓm chiÕu gèc ®Õn ®iÓm

chiÕu ngän cña vÐct¬ lùc ngîc chiÒu víi chiÒu

d¬ng cña trôc.

* Trêng hîp ®Æc biÖt:

+) F Ox th×: Fx = F

Fy = 0

Fy

O x

Fx

C

D

y

F

y

Fy

O x

Fx

B

A

F

y

Fy

O x

Fx

F 'F


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 14

+) F Oy th×: Fy = F

Fx = 0

Ngîc l¹i khi biÕt h×nh chiÕu

Fx vµ FY cña

F lªn trôc Ox vµ Oy ta hoµn

toµn x¸c ®Þnh ®îc lùc F b»ng

c«ng thøc sau:

- TrÞ sè: F = 22

yx FF

- Híng: cos = F

Fx , sin = F

Fy

1.2. THU GỌN HỆ LƯC PHẲNG ĐÔNG QUY.

1.2.1. Hơp lưc của hai lưc đồng quy.

Quy tăc hinh binh hành lực. Giả sư có hai lực F 1 và F 2 đồng quy tại O (Hình 2.1.5)

Hinh 2.1.5

Theo tiên đề hình bình hành lực, chúng ta có hợp lực R đặt tại O, phương chiều và

trị số được biểu diễn bằng đường cheo của hình bình hành lực.

- Trị số của R :

Ap dụng định li hàm số cosin cho tam giác OAC, ta có:

180cos2 21

2

2

2

1

2 FFFFR

Vì: cos180cos

Nên: cos2 21

2

2

2

1

2 FFFFR

- Phương chiều của R : Ap dụng định li hàm số sin cho tam giác OBC ta có:

1

1

sin

F =

2

2

sin

F =

)180sin(

R


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 15

Vì sin(180-α) = sinα nên: 1

1

sin

F =

2

2

sin

F =

sin

R.

Suy ra: sinα1 = R

F1 sinα, sinα2 = R

F2 sinα

1, 2 xác định phương chiều của R .

1.2.2. Hơp lưc của môt hệ lưc phẳng đồng quy.

a. Phương phap hinh hoc

Ta xÐt trêng hîp hÖ gåm ba lùc

1F , 2F , 3F . ¸p dông quy t¾c céng

vÐct¬ theo h×nh tam gi¸c ta cã:

BO1 = 1F + 2F

BO1 + 3F = R = 1F + 2F + 3F .

V× R ( 1F , 2F , 3F ) nªn lµ hîp

lùc cña hÖ.

Trêng hîp tæng qu¸t:

R = 1F + 2F + ... + nF =

n

i

iF1

= F

NÕu gäi Rx, Ry lµ h×nh

chiÕu cña hîp lùc R lªn

çc trôc Ox vµ Oy. Gäi F1x,

F2x, F3x vµ F1y, F2y, F3y lµ

h×nh chiÕu cña çc lùc 1F ,

2F , 3F lªn çc trôc t¬ng

øng th× theo ®Þnh lý h×nh

chiÕu cña vÐct¬ tæng ta

cã:

Rx = F1x+ F2x+ F3x = xF

Ry = F1y+ F2y+ F3y = yF

Tæng qu¸t trêng hîp cã n lùc th×:

Rx = F1x+ F2x+ ... Fnx = xF

Ry = F1y+ F2y+ ... Fny = yF

Ta cã:

- TrÞ sè: R = 22

yx RR = 22 )()( yx FF (2.1)

- Híng: cos = R

Rx = F

Fx

(2.2)

Ry

Rx

C

O1

y

1F

F1

y

B

A

O x

2F

3F

R

F1

x F2

x

F3

x

F2

y

F3

y


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 16

sin = R

Ry =

F

Fy

Nh vËy: hÖ lùc ph¼ng ®ång quy cã hîp lùc. Hîp lùc ®ã

cã trÞ sè vµ híng ®îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (2.1)

vµ (2.2).

1.3. ĐIỀU KIỆN CÂN BĂNG CUA HỆ LƯC PHẲNG ĐÔNG QUY.

HÖ lùc ph¼ng ®ång quy c©n b»ng khi hîp lùc R = 0.

Theo c«ng thøc (2.1) th×:

R = 22 )()( yx FF muèn R = 0 th×:

xiF = 0

yiF = 0

C«ng thøc (3.1) lµ ®iÒu kiÖn c©n b»ng cña hÖ lùc ph¼ng

®ång quy.

VËy: §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó hÖ lùc ph¼ng ®ång quy c©n

b»ng lµ tæng h×nh chiÕu çc lùc lªn hai trôc to¹ ®é ®Òu

ph¶i b»ng kh«ng.

VD1:

P = 25KN, = 140. X¸c ®Þnh N, S? Gi¶i:

Pist«ng c©n b»ng díi t¸c dông

cña lùc ®· cho P , ph¶n lùc cña

xilanh N lªn pist«ng vµ ph¶n lùc

cña thanh truyÒn S .

ViÕt ph¬ng tr×nh c©n b»ng cho hÖ

ta cã:

xF = N - S.sin = 0

(1)

yF = S.cos - P = 0 (2)

tõ (2) S = cos

P =

014cos

25 = 25,8KN

thay S vµo (1) N = S.sin = 25,8.sin140 =

6,2KN

VËy ¸p lùc cña pist«ng lªn thµnh xilanh cã trÞ sè 6,2KN

cïng ph¬ng, ngîc chiÒu víi N , cßn lùc t¸c dông lªn

thanh truyÒn cã trÞ sè

25,8KN, cïng ph¬ng, ngîc

chiÒu víi S

VD2.

P = 80KN, rßng räc A cã b¸n

kÝnh kh«ng ®¸ng kÓ. X¸c

(3.

1)

A

B

P

x

y

N

S

P

600

A

B

P

C

300

D

x

y

T=P

SAB

P

SAC

300

600

A


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 17

®Þnh ph¼n lùc cña thanh AB, AC (SAB,SAC?). Bá qua ma s¸t

ë rßng räc, träng lîng cña çc thanh vµ d©y.

Gi¶i:

XÐt sù c©n b»ng cña rßng räc A, çc lùc t¸c dông

lªn rßng räc cã:

Träng lîng P , søc c¨ng d©y T = P (v× bá qua ma s¸t)

vµ çc ph¶n lùc cña liªn kÕt thanh ABS , ACS cã chiÒu gi¶

®Þnh nh trªn h×nh vÏ. Rßng räc cã b¸n kÝnh kh«ng ®¸ng

kÓ ta cã thÓ xem P ,T , ABS , ACS lµ hÖ lùc ph¼ng ®ång quy.

Chän hÖ trôc xAy nh h×nh vÏ, ta cã çc ph¬ng tr×nh

c©n b»ng:

xF = T.cos300 - P.cos600 - SAC = 0

(1)

yF = SAB - P.sin600 - T.sin300 = 0

(2)

Tõ ph¬ng tr×nh (1) cã:

SAC = T.cos300 - P.cos600 = P(cos300 -

cos600)

SAC = 80(2

3-

2

1) = 29,3KN

Tõ ph¬ng tr×nh (2):

SAB = P.sin600 + T.sin300 = (sin600 +

sin300)

SAB = (2

1 +

2

3) = 109,3KN

SAB, SAC tÝnh ra lµ sè d¬ng chøng tá chiÒu gi¶ thiÕt cña

ABS , ACS lµ ®óng víi chiÒu thùc.

2. HỆ LƯC PHẲNG SONG SONG. Thời gian: 4h

2.1. Khái niệm. Hệ lực phẳng song song là một trường hợp đặc biệt của hệ lực phẳng

(có các đường tác dụng song song và nằm trong một mặt phẳng)

2.2. Thu gän hai lùc song song.

Hai lùc song song cïng chiÒu.

Gi¶ sö cã hai lùc song song

cïng chiÒu 1F ®Æt ë A vµ 2F ®Æt ë

O

B

F1

C

R

N

A

F2

I

K

Q2 Q1

R2

R’

1

Q’

2

Q’

1

R1

R’

2 M F’

1

F’

2


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 18

B, cÇn ph¶i chøng tá hÖ cã hîp

lùc vµ x¸c ®Þnh hîp lùc Êy.

T¹i A vµ B ta thªm vµo hai

lùc c©n b»ng 1Q vµ 2Q .

Hîp 1Q vµ 1F ®îc 1R , hîp

2Q vµ 2F ®îc 2R .

Ta cã:

( 1F , 2F ) ( 1F , 2F , 1Q , 2Q ) ( 1R , 2R )

V× 1R , 2R lµ lùc ®ång quy cã hîp lùc nªn hÖ 1F , 2F cã hîp

lùc.

Trît 1R vµ 2R vÒ ®iÓm ®ång quy O ®îc 1'R vµ 2'R . Sau ®ã

ph©n tÝch 1'R vµ 2'R thµnh hai lùc nh cò, çc lùc 1'Q , 2'Q

c©n b»ng nhau cã thÓ bá ®i, 1'F vµ 2'F cïng ph¬ng chiÒu

®Æt ë O.

1'F + 2'F = R v× F1 = F’1 vµ F2 = F’2 nªn R = F1 +

F2

Trît R vÒ C trªn AB:

ACO INO CO

CA =

1

1

F

Q

(1)

BCO KMO CO

CB =

2

2

F

Q =

2

1

F

Q (2)

Chia (1) cho (2): CB

CA =

1

2

F

F

(3)

2F

CA =

1F

CB =

12 FF

CBCA

Hay: 2F

CA =

1F

CB =

R

AB

Nh vËy: Hai lùc song song cïng chiÒu cã hîp lùc, hîp

lùc ®ã song song cïng chiÒu víi çc lùc ®· cho, cã trÞ

sè b»ng tæng trÞ sè çc lùc, cßn ®iÓm ®Æt chia trong

®êng nèi ®iÓm ®Æt hai lùc thµnh hai ®o¹n th¼ng tû lÖ

nghÞch víi trÞ sè cña hai lùc Êy.

VD1.

AB = 0,6m; P1 = 60KN; P2 =

20KN.

X¸c ®Þnh AC = ? ®Ó AB

n»m ngang.


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 19

Gi¶i:

§Ó thanh AB n»m ngang th×

®iÓm ®ì C ph¶i trïng víi

®iÓm ®Æt cña hîp lùc R

cña 1P vµ 2P .

R = P1 + P2 =60 + 20 =

80KN

Ta cã: 2P

AC =

R

AB

R

ABP .2 = 80

6,0.20 = 0,15m

VD2.

LAB = 7m; P = 14KN; LAD= ? §Ó FA= 5KN.

Gi¶i:

Ta cã: FB = P – FA = 14 - 5 = 9KN

Vµ: B

AD

F

L =

ABL

P LAD =

AB

B

L

PF .

LAD = 7

14.9 = 4,5m.

Thu gän hai lùc song song ngîc chiÒu.

Gi¶ sö cã hai lùc 1F , 2F song song ngîc chiÒu vµ

kh«ng cïng trÞ sè (F1, F2). Ta cÇn chøng tá r»ng hÖ ( 1F ,

2F ) cã hîp lùc vµ x¸c ®Þnh hîp lùc Êy.

Ph©n tÝch 1F thµnh hai lùc song song cïng chiÒu 1'F vµ

2"F víi 1'F = - 2F

Nh vËy: ( 1F , 2F ) ( 1'F , 2"F , 2F ) 1'F = R

1'F t¬ng ®¬ng víi hÖ lùc 1F , 2F nªn 1'F chÝnh lµ hîp

lùc R cña hÖ lùc nµy.

F’1 + F”1 = F1

F’1 = F1 - F” v× 1'F = R , F2 = F”1

R = F1 - F2

A

P2

C B

P1

R P1 P2

A C B

A D B

P

FA FB

A

1F

B

2F

C A B

1'F 1"F

2F

C A B

RF 1'


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 20

Ta cã:

AB

CA =

1

1"

F

F =

R

F2 , ¸p dông tÝnh chÊt cña lÖ thøc

ta cã:

ABCA

CA

=

RF

F

2

2 hay CB

CA =

1

2

F

F (4)

2F

CA =

1F

CB =

21 FF

CACB

hay 2F

CA =

1F

CB =

R

AB (5)

Nh vËy: hai lùc song song ngîc chiÒu kh«ng cïng trÞ

sè cã hîp lùc. Hîp lùc song song cïng chiÒu víi lùc cã

trÞ sè lín, cã trÞ sè b»ng hiÖu trÞ sè hai lùc vµ ®iÓm

®Æt chia ngoµi ®iÓm ®Æt nèi hai lùc ®· cho thµnh hai

®o¹n th¼ng tû lÖ nghÞch víi trÞ sè hai lùc Êy.

VD:

Hai lùc 1F , 2F song song

ngîc chiÒu. F1 = 30KN, F2 =

20KN, AB = 0,2m. X¸c ®Þnh hîp

lùc R cña hÖ lùc Êy.

Gi¶i:

Ta cã: R = F1 - F2 = 30 - 20 = 10KN

2F

CA =

R

AB

CA = R

FAB 2. =

10

20.2,0 = 0,4m

1F R

C

A B

2F


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 21

Chương 3: MÔ MEN - NGÂU LƯC

1. MÔ MEN. Thời gian: 2h

1.1. MÔ MEN CUA MÔT LƯC ĐỐI VỚI MÔT ĐIÊM.

Hinh 3.1.1

Thùc tÕ chøng tá r»ng mét lùc t¸c dông lªn vËt r¾n

võa cã kh¶ n¨ng lµm cho vËt r¾n di chuyÓn võa cã kh¶

n¨ng lµm cho vËt r¾n quay. XÐt vÒ m«men cña mét lùc ®èi

víi mét ®iÓm lµ xÐt kh¶ n¨ng cña lùc lµm vËt quay quanh

®iÓm ®ã.

Gi¶ sö vËt r¾n cã thÓ quay quanh ®iÓm O cè ®Þnh.

T¸c dông quay mµ F g©y ra cho

vËt phô thuéc vµo trÞ sè cua lùc

(F) vµ kho¶ng çch a tõ O ®Õn ®êng

t¸c dông cña lùc. Cßn chiÒu quay mµ

lùc g©y ra cho vËt cã thÓ lµ thuËn

hay ngîc chiÒu kim ®ång hå. §¹i

lîng ®Æc trng cho c¶ t¸c dông

quay vµ chiÒu quay ®ã ®îc gäi lµ

m«men cña mét lùc ®èi víi mét ®iÓm.

§Þnh nghÜa: M«men cña mét lùc ®èi víi mét ®iÓm lµ mét

®¹i lîng ®¹i sè cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi b»ng tÝch sè gi÷a

trÞ sè cña lùc víi çnh tay ®ßn vµ cã dÊu (+) hay (-)

tïy thuéc vµo chiÒu quay cña lùc F quanh t©m O lµ

ngîc hay thuËn chiÒu kim ®ång hå.

om ( F ) = F.a (3.1)

om ( F ): ký hiÖu m«men cña lùc F ®èi víi ®iÓm O

a O

F


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 22

F: trÞ sè cña lùc

a: çnh tay ®ßn

hoÆc ký hiÖu: mo( F ) = F.a * Çch x¸c ®Þnh m«men cña mét lùc ®èi víi mét ®iÓm:

- Tõ ®iÓm lÊy m«menh¹ ®êng vu«ng gãc ®Õn ®êng t¸c

dông cña lùc ®Ó t×m çnh tay ®ßn a.

- TÝnh m« men theo c«ng thøc (3.1), khi x¸c ®Þnh

chiÒu quay ®Ó lÊy dÊu cÇn ®øng ë ®iÓm lÊy m«men

vµ vßng theo chiÒu cña lùc quanh ®iÓm ®ã.

Vi du 3.1.1:

X¸c ®Þnh m«men cña çc lùc 1F vµ 2F ®èi víi çc ®iÓm

A vµ B nh h×nh vÏ. BiÕt 1F = 10KN; 2F = 12KN; = 300;

AC = CD = DB = 2m.

Gi¶i:

Am ( 1F ) = -F1.AI = -F1.AC.sin

=

= -10.2.sin300 =

-10KNm.

Am ( 2F ) = -F2.AD = -12.4 = -

18KNm.

Bm ( 1F ) = F1.BK = F1.CB.sin =

= 10.4.sin300 =

20KNm.

Bm ( 2F ) = F2.BD = 12.2 = 24KNm.

Ví du 3.1.2: Tìm mô men của các lực 1F

và 2F

cho ơ hình 3.1.2 đối với điểm O. Biết 1F

= 2F

= 320N, OA = 0,4m, = 30o.

Hinh 3.1.2 Hinh 3.1.3

Bài giải

A B

NB

D C

I

K

1F 2F


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 23

Cánh tay đòn của lực 1F

: a1 = OA = 0,4m. Cánh tay đòn của lực 2F

: a2 = OH =

OAsin30o = 0,4.0,5 = 0,2m.

Mô men của lực 1F

đối với điểm O là: mo( 1F

) = -F1.a1 = -320.0,4 = -128 Nm

Mô men của lực 2F

đối với điểm O là: mo( 2F

) = F2.a2 = 320.0,2 = 64 Nm

Hình 3.1.2 là sơ đồ của một tay quay, qua ví dụ trên cho thấy: Lực tác dụng vuông

góc với trục quay se cho tác dụng quay lớn nhất.

1.2. ĐINH LÝ VARINHÔNG.

Mô men của hợp lực của một hệ lực phẳng đối với một điểm nào đó nằm trên mặt

phẳng bằng tổng đại số mô men của các lực thành phân đối với điểm đó:

)()( FmRm oo (3.1.3)

Thật vậy, giả sư hệ lực là hai lực đồng qui 1F và 2F đặt tại O có hợp lực là R

(Hình 3.1.3), O là một điểm bất kì nằm trên mặt phẳng của hệ lực đó.

Ta phải chưng minh: mo( R ) = mo( 1F ) + mo ( 2F ). Nối OA, tư O ke đường thẳng

Ox vuông góc với OA. Tư mút các lực 1F , 2F và R hạ các đường Bb, Cc, Dd vuông góc

với Ox. Ta có: mo( 1F ) = 2SOAB = OA.Ob

mo( 2F ) = 2SOAC = OA.Oc

mo( R ) = 2SOAD = OA.Od

Theo hình ve Od = Ob. Vì thế: Mo( R ) = OA.(Ob + Oc) = OA.Ob + OA.Oc

Suy ra: mo( R ) = mo( 1F ) + mo( 2F )

Tổng quát: Nếu R là hợp lực của hệ lực phẳng nFFF ,...., 21 thì:

mo( R ) = mo( 1F ) + mo( 2F ) + … + mo( nF ) = mo( F )

2. NGÂU LƯC. Thời gian: 2h

2.1. KHÁI NIỆM NGÂU LƯC.

2.1.1. Định nghĩa.

a. Các ví du: Hình 3.2.1 là các vi dụ thực tế về ngẫu lực, hình a cắt ren nhờ tác dụng

quay của ngẫu lực đặt vào tay quay tarô, hình b và c là vặn vit nhờ tác dụng quay của

ngẫu lực đặt vào tuanơvit...

b. Định nghĩa: Hệ lực gồm hai lực song song, ngược chiều có trị số bằng nhau nhưng

không cung đường tác dụng gọi là ngẫu lực, ký hiệu ( F , F ). Khoảng cách d giữa hai

đường tác dụng của hai lực gọi là cánh tay đòn của ngẫu lực (Hình 3.2.2).


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 24

Mômen của ngẫu lực bằng mômen của một lực thành phân đối với điểm nằm trên

đường tác dụng của lực kia, tưc là: ''00 FmFmFdm

(3.2.1)

O nằm trên đường tác dụng của 'F

, còn O' nằm trên đường tác dụng của lực F

.

Hinh 3.2.1 Hinh 3.2.2 Hình 3.2.3

- Mômen của ngẫu lực '. FF

đối với một điểm O (tưc tổng mômen của các lực F

và 'F

đối với điểm O) chính bằng mômen của ngẫu lực (hình 3.2.3).

Ngẫu lực có tác dụng làm quay vật. Ta trượt các lực để cho đoạn nối điểm của hai

lực là cánh tay đòn, tư đây ta quy ước biểu diễn ngẫu lực như vậy.

2.1.2. Các yếu tố của ngẫu lưc. Một ngẫu lực đặc trưng bơi các yếu tố sau:

a. Mặt phẳng tác dụng của ngẫu lực là mặt phẳng chưa 2 lực thành phân của ngẫu lực, gọi

tắt là mặt phẳng ngẫu lực.

b. Chiều quay của ngẫu lực trong mặt phẳng ngẫu lực: hoặc thuận với chiều kim đồng hồ

hoặc ngược lại.

c. Cường độ tác dụng của ngẫu lực: được đặc trưng bơi tích số F.d được gọi là trị số

mômen của ngẫu lực, trong đó F là trị số của các lực thành phân, d là khoảng cách giữa

hai lực thành phân, được gọi là tay đòn ngẫu lực. Đơn vị ngẫu lực là Niutơnmet, ki hiệu:

Nm và các bội số của nó như: Kilôniutơnmet (kNm), Mêganiutơnmet (MNm).

Trong hệ lực không gian ngẫu lực được biểu diễn bằng vectơ mômen ngẫu lực, ký

hiệu là m , nó được xác định (hình 3.2.4):

Hình 3.2.4 Hình 3.2.5

- Phương: vuông góc với mặt phẳng ngẫu lực.

- Chiều: nhìn tư ngọn xuống gốc vectơ thấy chiều quay của ngẫu lực ngược chiều

quay của kim đồng hồ.


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 25

- Môđun của vectơ mômen ngẫu lực bằng trị số mômen ngẫu lực tưc bằng F.d.

Quy ước gốc của vectơ m nằm trên mặt phẳng ngẫu lực.

Trong trường hợp các ngẫu lực tác dụng trong cùng một mặt phẳng hoặc trong các

mặt phẳng song song với nhau, ngẫu lực được biểu diễn qua mômen đại số ngẫu lực, ký

hiệu: dFm . , lấy dấu + khi chiều quay ngẫu lực ngược chiều kim đồng hồ và lấy dấu -

trong trường hợp ngược lại. Thí dụ (hình 3.2.5):

..;.;. 333222111 dFmdFmdFm

2.1.3. Tính chất của ngẫu lưc trên môt mặt phẳng.

a. Tác dụng của một ngẫu lực không thay đổi khi ta di chuyển vị tri trong mặt phẳng tác

dụng của nó.

b. Có thể biến đổi lực và cánh tay đòn của ngẫu lực tuy ý, miễn là bảo đảm trị số và chiều

quay của nó. Đặc biệt có thể biến đổi hệ ngẫu lực phẳng về chung một cách tay đòn.

Hinh 3.2.6 Hinh 3.2.7

Tư các tinh chất trên có thể rút ra: tác dụng của ngẫu lực trên một mặt phẳng hoàn

toàn được đặc trưng bằng chiều quay và trị số mômen của nó. Điều này cho phep chúng

ta biểu diễn một ngẫu lực bằng chiều quay và trị số mô men của nó như hình 3.2.6b.

2.2. THU GỌN HỆ NGÂU LƯC.

Giả sư cho hệ ngẫu lực phẳng lân lượt có mômen là m1, m2,…mn (Hình 3.2.7)

Chúng ta biến đổi hệ ngẫu lực này thành hệ ngẫu lực ( 1F , 1F ), ( 2F , 2F ), … ( nF , nF )

có cung cánh tay đòn a.

Hợp lực R của các lực ( 1F , 2F .... nF ) đặt tại A và B là hai lực song song, ngược

chiều, có cung trị số R = RA = RB = F1 - F2 +…+ Fn tạo thành ngẫu lực ),( RR

Ngẫu lực ),( RR gọi là ngẫu lực tổng hợp có mô men:

M = Ra = F1a - F2a +…+ Fna = m1 + m2 +…+ mn

Tổng quát: M = m (3.2.2)


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 26

Hợp một hệ ngẫu lực phẳng cho ta một ngẫu lực tổng hợp có mô men bằng tổng

đại số mô men các ngẫu lực thuộc hệ.

Vi du 3.2.1: Hệ ngẫu lực phẳng gồm các ngẫu lực lân lượt có mô men m1 = 60Nm, m2 =

120Nm, m3 = - 30Nm. Hay xác định:

- Mô men của ngẫu lực tổng hợp?

- Ngẫu lực tổng hợp có cánh tay đòn là 0,5m thì trị số của R bằng bao nhiêu?

Bài giải

Theo công thưc (1.2.6), ngẫu lực tổng hợp có mô men là:

M = m = m1 + m2 + m3 = 60 + 120 - 30 = 150Nm

Mặt khác: M = Ra R = 5,0

150

a

M = 300N

2.3. ĐIỀU KIỆN CÂN BĂNG CUA HỆ NGÂU LƯC.

Muốn hệ ngẫu lực phẳng cân bằng thì ngẫu lực tổng hợp của nó phải cân bằng, khi

đó M = 0. Nhưng M = m, nên điều kiện cân bằng của hệ ngẫu lực phẳng là:

m = 0 (3.2.3)

Điều kiện cân và đủ để một hệ ngẫu lực phẳng cân bằng là tổng đại số mô men của

các ngẫu lực thuộc hệ bằng 0.

Vi du 3.2.2: Bánh răng quay được quanh trục O, có bán kinh OA = r = 10 cm, chịu tác

dụng của một ngẫu lực có M = 20Ncm và được giữ cân bằng nhờ con cóc AB có trọng

lượng không đáng kể. Góc giữa hai đoạn thẳng AB và OA bằng 45. Bỏ qua ma sát ơ ổ

trục quay O và trọng lượng của bánh răng. Tìm phản lực của con cóc và của trục quay O

(Hình 3.2.8)

Hinh 3.2.8

Bài giải

Khảo sát sự cân bằng của bánh răng O. Bánh răng chịu tác dụng một ngẫu lực

phẳng gồm: ngẫu lực có mô men quay M, ngẫu lực phản lực R của trục và phản lực S

của con cóc (đường truyền lực qua con cóc là đường AB, do đó đường truyền lực qua ổ

trục O phải là đường song song với AB để sao cho hai lực thành phân S và R hình


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 27

thành một ngẫu lực cân bằng với ngẫu lực có mô men quay M), có cánh tay đòn là r.sin

45.

Ap dụng phương trình cân bằng (3.2.3): m = -M + S.rsin45 = 0

S = r

M

r

M 2

45sin.

= 2,84N, R = S = 2,84N

3. ĐIỀU KIỆN CÂN BĂNG CUA HỆ LƯC PHẲNG BÂT KỲ. Thời gian: 2h

3.1. ĐIỀU KIỆN CÂN BĂNG TÔNG QUÁT.

3.1.1. Hệ lưc phẳng bất kỳ. Hệ lực phẳng bất kỳ là hệ lực gồm các lực có đường tác

dụng nằm bất kỳ trong cung một mặt phẳng. (Hình 3.3.1).

Hình 3.3.1 Hình 3.3.2

Hệ lực phẳng bất kì là trường hợp tổng quát của hệ lực phẳng.

3.1.2. Véctơ chính của hệ lưc phẳng. Cho hệ lực phẳng NFFF ,...,, 21 .

a. Định nghĩa: Vectơ chinh của hệ lực phẳng kí hiệu 'R

là vectơ tổng của các vectơ lực

của hệ lực:

N

k

KN FFFFR1

21 ...'

(3.3.1)

b. Xac định véctơ chinh: Có thể sư dụng phương pháp ve đa giác lực (hình 3.3.2).

Trong trường hợp này đa giác lực là đa giác phẳng. Cũng có thể xác định vectơ

chính qua các hình chiếu của nó trên hai trục toạ độ vuông góc:

N

k

kxNxxxx FFFFR1

21 ...' (3.3.2)

N

k

kyNyyyy FFFFR1

21 ...'

Trị số, phương và chiều của vectơ chinh được xác định theo công thưc:

'

')',cos(;

'

')',cos(;' 2'2'

R

RROy

R

RROxRRR

yx

yx (3.3.3)

3.1.3. Mômen chính của hệ lưc phẳng đối với môt điêm.


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 28

a. Mômen của một lực đối với một điểm: Mômen của một lực đối với điểm O, ký hiệu:

Fmo

là một đại lượng đại số (hình 3.3.3): FdFmo

(3.3.4)

Hình 3.3.3 Hình 3.3.4 Hình 3.3.5

Trong đó: F là trị số của lực, d là khoảng cách thẳng góc tư O đến đường tác dụng

của lực được gọi là tay đòn mômen, lấy dấu "+" khi lực có chiều quay quanh O ngược

với chiều kim đồng hồ và lấy dấu "-" trong trường hợp ngược lại.

Mômen của lực đối với điểm bằng không khi lực đi qua điểm lấy mômen (d = 0).

Về trị số mômen của lực đối với điểm bằng hai lân diện tích của tam giác có đỉnh là điểm

lấy mômen, có cạnh đáy là vectơ lực: OABdtFmo 2

Chú ý:

- Mômen của ngẫu lực bằng mômen của một lực thành phân đối với điểm nằm

trên đường tác dụng của lực thành phân kia, tưc là (hình 3.3.4): O nằm trên đường tác

dụng của 'F

, còn O' nằm trên đường tác dụng của lực F

.

''00 FmFmFdm

(3.3.5)

- Mômen của ngẫu lực '.FF

đối với một điểm O (tưc tổng mômen của các lực F

và 'F

đối với điểm O) chính bằng mômen của ngẫu lực (hình 3.3.5):

FmFmohFOHFOHFOHFOHOHFFdm

00 '".'.'..)'(

b. Mômen chính của hệ lực phẳng đối với điểm O là đại lượng đại số, ký hiệu om , bằng

tổng mômen của các lực của hệ lực đối với điểm O:

N

k

KNo FmFmFmFmm1

002010 ... (3.3.6)

Nhận xét:

- Vectơ chinh là vectơ tự do, còn mômen chính phụ thuộc vào điểm lấy mômen,

nghĩa là mômen chinh đối với hai điểm khác nhau se khác nhau:

''0

' Rmmm OO (3.3.7)


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 29

Trong đó: Om và '

Om là mômen chính của hệ lực đối với điểm O và O' tương ưng,

còn 0'0 'Rm là mômen đối với điểm O' của vectơ chinh đặt tại O.

- Đối với hệ lực đồng quy thì mômen chính của hệ lực đối với điểm đồng quy

bằng 0. Đối với hệ ngẫu lực thì vectơ chinh của hệ ngẫu lực luôn luôn bằng 0, còn

mômen chính của hệ ngẫu lực đối với điểm bất kỳ nào cũng bằng mômen của ngẫu lực

tổng cộng, tưc bằng tổng mômen các ngẫu lực thành phân của hệ ngẫu lực.

3.1.4. Điều kiện cân băng.

Định lý 3.3.1: Điều kiện cân và đủ để hệ lực phẳng cân bằng là vectơ chinh và mômen

chính của hệ lực đối với một điểm bất kỳ phải đồng thời triệt tiêu.

0

0'

0,...,,

1

0

1

21 N

k

kO

N

k

k

N

Fmm

FR

FFF (3.3.8)

Chứng minh: Điều kiện cân được chưng minh dựa vào các dạng chuân của hệ lực vì nếu

điều kiện (3.3.8) không thoả mãn thì hệ lực phẳng hoặc tương đương với một lực hoặc

một ngẫu lực, chưng đều thoả man định luật 1. Điều kiện đủ là hiển nhiên vì khi vectơ

chính bằng 0, hệ lực thu gọn về tâm 0 se được một ngẫu lực, tưc thu gọn về hai lực. Do

ngẫu lực bằng 0 thì hai lực đó là hai lực cân bằng.

3.2. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CÂN BĂNG. Điều kiện (3.3.8) có thể được viết

dưới dạng các phương trình được gọi là các phương trình cân bằng. Có ba dạng phương

trình cân bằng:

Dạng 1: Điều kiện cân và đủ để hệ lực cân bằng là tổng hình chiếu các lực trên hai trục

toạ độ vuông góc và tổng mômen các lực đối với một điểm bất kỳ đồng thời triệt tiêu

(hình 3.3.6): 0;0;01

0

11

k

N

k

N

k

ky

N

k

kx FmFF (3.3.9)

Hình 3.3.6

Hình 3.3.7


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 30

Hai phương trình đâu tương đương với 0'1

V

k

kFR còn phương trình cuối tương

đương với 01

00

k

N

k

Fmm . (3.3.10)

Dạng 2: Điều kiện cân biết và đủ để hệ lực phẳng cân bằng là tổng hình chiếu các lực

trên một trục và tổng mômen các lực đối với hai điểm A và B tuỳ ý triệt tiêu với điều

kiện AB không vuông góc với trục chiếu (hình 3.3.7).

0;0;0111

k

N

k

k

N

k

N

k

kx FBmFAmF (3.3.11)

Chứng minh: Điều kiện cân được chưng minh dựa vào dạng chuân: nếu một trong ba

điều kiện trên không được thoả mãn thì hệ lực đa cho tương đương với một lực hoặc một

ngẫu lực, tưc không thoả man định luật 1. Vậy hệ lực không thể cân bằng. Để chưng

minh điều kiện đủ ta nhận xét rằng nếu cả ba điều kiện trên được thoả mãn thì hệ lực

không có hợp lực, cũng không thể tương đương với ngẫu lực )0( R thì dựa vào hai điều

kiện cuối và dựa và định lý Varinhông:

0;0 RmFmRmFm BkBAkA

Tưc là hợp lực R phải đi qua hai điểm A và B. Điều này mâu thuân với điều kiện

đâu: .0cos RRF xkx

Vì R 0; cos 0 (do AB không vuông góc với trục chiều x) nên R cos không

thể triệt tiêu.

Hệ lực cũng không thể tương đương với một ngẫu lực mo nào khác 0 vì trong

trường hợp này do vectơ chinh triệt tiêu và do công thưc biến thiên mômen chính (công

thưc 3.3.10), ta có: 01

0

k

N

k

A

A

Fmmm

Dạng 3: Điều kiện cân và đủ để hệ lực phẳng cân bằng là tổng mômen của các hệ lực đối

với ba điểm A, B, C không thẳng hàng triệt tiêu (hình 3.3.8).


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 31

Hình 3.3.8 Hình 3.3.9

Chứng minh: Điều kiện cân là hiển nhiên vì nếu một trong ba điều kiên trên thoả mãn thì

hệ lực tương đương với ngẫu lực khác 0, se không thoả man định luật 1. Để chưng minh

điều kiện đủ tuơng tự cách chưng minh cho dạng 2, nếu ba điều kiện được thoả mãn thì

hệ lực không thể có hợp lực vì dựa vào định lý Varinhông, nếu ba điều kiện trên thoả

mãn thì hợp lực phải đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Điều này vô lý, vậy

0R tưc 0' R . Hệ lực cũng không thể tương đương với một ngẫu lực 0

m nào khác 0, vì

khi 0' R ta có (dựa vào định lý biến thiên mômen chính 3.3.11):

01

0

k

N

k

AA FmMm

0;0;01

kCkBk

N

k

A FmFmFm (3.3.12)

Ví du 3.3.1: Một cột đồng chất, có trọng lượng P chiều dài 2a được chôn thẳng đưng

(ngàm). Cột chịu tác dụng lực nằm ngang F đặt tại A và ngẫu lực m (hình 3.3.9), tìm:

- Phản lực tại ngàm O.

- Trạng thái lực mặt cắt ngang cách chân trụ khoảng cách x.

Bài giải

Để xác định phản lực tại O ta giải phóng cột khỏi ngàm O và xem cột là vật tự do

(không còn bị ngàm nữa) dưới tác dụng của các lực đặt vào (lực hoạt động) gồm: trọng

lượng P , lực F , ngẫu lực m và các phản lực liên kết ngàm gồm hai lực thành phân

vuông góc, 00 , YX và ngẫu lực phản lực 0

m . Cột se cân bằng dưới tác dụng của hệ lực:

0),,,,,(0

00 mFPmYX . Sư dụng các phương trình cân bằng dạng 1, ta có:

00 FXFx , 00 PYFy , 0200

FammFm

Trong các phương trình này các ân là Xo, Yo, mo. Giải ra ta nhận được:

Xo = -F, Yo = P, mo = m + 2aF

4. ĐIỀU KIỆN CÂN BĂNG CUA HỆ LƯC PHẲNG SONG SONG: Thời gian: 1h

Hệ lực phẳng song song là một trường hợp đặc biệt của hệ lực phẳng (có các

đường tác dụng song song và nằm trong một mặt phẳng) nên tư điều kiện cân bằng của

hệ lực phẳng có thể suy ra điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng song song.


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 32

Giả sư hệ lực phẳng song song ( F 1, F 2, … , F n) (Hình 3.4.1). Chọn hệ trục Oxy

có trục Oy song song với các lực, lúc đó hiển nhiên Fx = 0 nên các dạng phương trình

cân bằng của hệ lực song song là:

Hinh 3.4.1

4.1. DẠNG 1. Điều kiện cân và đủ để một hệ lực phẳng song song cân bằng là tổng hình

chiếu của các lực lên trục song song với chúng và tổng đại số mô men của các lực đối với

một điểm bất kì trên mặt phẳng tác dụng của các lực đều bằng không.

0)(

0

Fm

F

o

y (3.4.1)

(Dạng này được suy ra tư dạng 1 của hệ lực phẳng bất kì)

4.2. DẠNG 2. Điều kiện cân và đủ để một hệ lực phẳng song song cân bằng là tổng đại

số mô men của các lực đối với hai điểm bất kì trên mặt phẳng tác dụng của các lực đều

bằng không (đường thẳng đi qua 2 điểm bất kì không song song với phương các lực).

0)(

0)(

Fm

Fm

B

A (3.4.2)

Phương AB không song song với các lực.

(Dạng này được suy ra tư dạng 2 của hệ lực phẳng bất kì).

Vi du 3.4.1: Cân trục trọng lượng P = 40 kN, vật nặng Q = 10 kN (Hình 3.4.2). Xác định

phản lực tư đường ray tác dung lên hai bánh xe. Biết a= 1m, b= 4m

Bài giải

Khảo sát sự cân bằng của cân trục. Nó chịu

tác dụng của hệ lực phẳng song song:

- Các tải trọng P , Q

- Các phản lực NA , NB


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 33

Vì cân trục cân bằng, nên ta có lực phẳng song song cân bằng ( P , Q , NA , NB) ~ 0

Chọn trục Ay song song với các lực và lập hệ phương trình cân bằng (dạng 1)

Fy = NA - NB - P - Q = 0 (1)

mA ( F ) = 2NB - 1.P - 5.Q = 0 (2)

Tư (2) ta có: NB = 2

10.540

2

5

QP = 45 Kn Hinh 3.4.2

Tư (1) ta có: NA = P + Q - NB = 40 +40 - 45 = 5 kN

Ví dụ 3.4.2: Ôtô có sơ đồ như trên hình 3.4.3.

Hình 3.4.3

a. Khi không chơ hàng trục trước chịu lực tác dụng của lực có trị số 1,5 kN, trục sau -

1kN. Xác định khoảng cách x tư trọng tâm ôtô tới trục trước.

b. Muốn thay bánh sau người ta đặt kích ơ cuối bánh ôtô. Tìm trị số lực F nhỏ nhất mà

kích tác dụng vào ôtô (coi như ôtô vẫn nằm ngang).

Bài giải

a. Ô tô cân bằng dưới tác dụng của hệ lực phẳng song song ( P , AN , BN ) (Hình 3.4.3a).

Trong đó: P trọng lượng ô tô khi không chơ hàng: NA = 1,5 kN, NB = 1 kN

Chọn trục Ay song song với các lực và lập hệ phương trình cân bằng dạng 1.

Fy = NA - NB - P = 0 (1)

mo ( F ) = 4NB - xP = 0 (2)

Tư (1) tìm được: P = NA + NB = 1,5 + 1 = 2,5 kN

Tư (2) tìm được: x = P

N B4 =

5,2

4 = 1,6m


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 34

b. Ôtô khi thay bánh sau cân bằng dưới tác dụng của hệ lực phẳng song song ( P

, AN

, F

)

(Hình 3.4.3b). Để tìm trị số của lực F

ta chỉ cân lập một phương trình cân bằng:

mA ( F ) = 5.F - 1,6P = 0

F - 5

6,1 P =

5

5,2.6,1 = 0,8 kN

Chương 4: MA SAT - TRỌNG TÂM - CÂN BĂNG ÔN ĐINH

1. MA SÁT. Thời gian:2h

1.1. MA SÁT TRƯỢT.

1.1.1. Định nghĩa. Ma sát trượt là sự cản xuất hiện khi một vật trượt hoặc có khuynh

hướng trượt tương đối trên mặt một vật khác. Nguyên nhân chinh của sự ma sát trượt là

do mặt tiếp xúc không tuyệt đối nhăn.

Ma sát trượt thường gặp ơ phanh ham, ổ trượt v.v...

1.1.2. Các định luât ma sát trươt.

a. Thi nghiệm cu lông. Trên mặt bàn nằm ngang không nhăn đặt vật D có trọng lược P.

Vật được buộc vào dây và luồn qua ròng rọc C, đâu E của dây treo đĩa cân (hình 4.1.1)

Hinh 4.1.1 Hinh 4.1.2

Khi chưa đặt kết quả cân, vật D cân bằng dưới tác dụng của hai lực: trọng lượng

bản thân P và phản lực N . Cho trọng lượng Q khá nhỏ vào đĩa cân, vật vẫn nằm trên;


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 35

chưng tỏ phản lực ngoài thành phân pháp tuyến N còn xuất hiện thêm thành phân tiếp

tuyến phản lại sự trượt, ta gọi là phản lực ma sát trượt, ki hiệu F ms. Tăng dân Q, vật vẫn

chưa trượt, chưng tỏ lực ma sát có trị số tăng dân để luôn cân bằng với Q: Fms = Q

Tăng Q đến trị số Qmax vật bắt đâu trượt chưng tỏ lực ma sát tăng đến trị số giới

hạn và gọi là lực ma sát lớn nhất, ki hiệu Fmax. Tóm lại, khi một vật trượt hoặc có khuynh

hướng trượt tương đối trên mặt một vật khác, ngoài phản lực pháp tuyến N còn có phản

lực ma sát trượt F ms.

b. Cac định luật ma sat trươt. Tư kết quả thi nghiệm Cu lông, ta rút ra các định luật ma

sát trượt.

- Lực ma sát trượt tiếp tuyến với mặt tiếp xúc, ngược chiều với khuynh hướng làm

trượt vật và có trị số nằm trong giới hạn tư 0 đến Fmax: 0 < Fms Fmax (4.1.1)

- Trị số của lực ma sát trượt lớn nhất tỉ lệ với phản lực pháp tuyến.

Fmax = fN (4.1.2)

Hệ số tỷ lệ f gọi là hệ số ma sát trượt. Hệ số ma sát trượt phụ thuộc vào vật liệu

(thep, gô, đồng..), trạng thái bề mặt (trơn, nhám, khô...) nhưng không phụ thuộc vào diện

tich của mặt tiếp xúc và được xác định bằng thực nghiệm, dưới đây là hệ số ma sát của

một vài loại vật liệu thường gặp.

Vât liệu Hệ số f

Thep với thep

Thep với gang

Gô dán với gô dán

Đai truyền da với gô

Đai truyền da với gang

0,17

0,17

0,2 - 0,4

0,4

0,28

- Lực ma sát tĩnh lớn hơn lực ma sát động

c. Goc ma sat. Khi có ma sát, phản lực gồm hai thành phân: phản lực pháp tuyến N và

phản lực ma sát F ms. Hợp lực R của N và F ms gọi là phản lực toàn phân. Khi F ms đạt

đến F max thì R đạt đến R max. Góc giữa phản lực toàn phân R max với phản lực pháp

tuyến N được gọi là góc ma sát, ki hiệu φ (Hình 4.1.2)

Ta có: Fmax = Ntgφ. Mặt khác: Fmax = fN (theo 4.1.2) Nên: fN = Ntgφ

Do đó: f = tgφ (4.1.3)

Vậy: hệ số ma sát trượt bằng góc ma sát.


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 36

Tư (4.1.2) và (4.1.3) ta suy ra điều kiện để một vật không trượt (còn gọi là điều

kiện tự ham): Fms Fmax hay Fms fN (4.1.4)

Mặt khác nếu gọi hợp lực của các lực tác dụng vào vật có khuynh hướng trượt là

S , góc nhọn hợp bơi lực S với phương pháp tuyến là . Dưới tác dụng của S thành

phân làm vật trượt là Q = Ssin, thành phân pháp tuyến N = Scos. Lực ma sát lớn nhất

Fmax = fN = fScos. Điều kiện để vật không trượt là: Fms Fmax.. Mà:

Fms = Q. Nên: Ssin fScos hay: sin fcos

cos

sin f, thay f = tg tg tg

Vậy: (4.1.5

Vi dụ: VËt cã träng lîng P = 10 KN ®Æt trªn mÆt

ph¼ng nghiªng AB. HÖ sè ma s¸t gi÷a vËt víi mÆt ph¼ng

nghiªng f = 0,2.

- X¸c ®Þnh gãc ®Ó vËt kh«ng trît.

- TÝnh lùc ma s¸t khi = 50.

Gi¶i:

Gi¶ sö cho t¨ng dÇn tõ 00 ®Õn

mét gi¸ trÞ 1 nµo ®ã vËt b¾t

®Çu trît lóc ®ã Fms ®¹t ®Õn

gi¸ trÞ Fmax. ta x¸c ®Þnh gãc

nghiªng giíi h¹n 1, vËt sÏ c©n

b»ng khi 1.

0cos. PNY (1)

cos.PN

cos..max PfNfF

0sin. PFX ms (2)

Khi = 1 th× cos.max PfFFms nªn ta cã

0sincos. 11 PPf

chia c¶ hai vÕ cho 1cos. P víi chó ý 0cos. 1 P :

2,01 ftg

'18110

1

Nh vËy vËt c©n b»ng khi '18110

1 .

*Khi = 50 th× lùc ma s¸t cha ®¹t ®Õn cùc ®¹i tøc Fms < Fmax. Tõ ph¬ng tr×nh (2) ta cã:

872,0872,0.105sin.10sin. 0 PFms

Lóc ®ã: 9962,09962,0.10.1,0cos.max PfF .

Râ rµngkhi vËt c©n b»ng nhng kh«ng ph¶i c©n b»ng giíi

h¹n (s¾p trît) th×:

Fms < Fmax

P

N

Fms

y

x


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 37

1.2. MA SAT LĂN.

1.1.2. Ma sát lăn.

a. Định nghĩa. Ma sát lăn là sự cản xuất hiện khi một vật lăn hoặc có khuynh hướng lăn

trên mặt một vật khác. Nguyên nhân chinh của ma sát lăn là do mặt tiếp xúc không tuyệt

đối cưng nên có biến dạng tạo thành mô rất nhỏ cản lại sự lăn.

b. Định luật về ma sat lăn.

Xet con lăn trọng lượng P đặt trên mặt phẳng nằm ngang không tuyệt đối cưng.

Tác dụng vào con lăn một lực nằm ngang Q cách mặt lăn một khoảng cách h.

(hình 4.1.4). Con lăn cân bằng dưới tác dụng của hệ lực phẳng ( P , Q , R ) trong đó R là

phản lực do mô cản lại sự lăn. Phân tich lực R thành hai thành phân N và F .

Hình 4.1.4 Hinh 4.1.5

Lập hệ phương trình cân bằng của hệ lực cân bằng ( P , Q , N , F ):

Fx = Q - F = 0 (1)

Fy = N - P = 0 (2)

Tư (1) tìm được: F = Q, tư (2) tìm được: N = P

Các lực Q và F lập thành ngẫu lực ( Q , F ) có trị số mô men là Qh làm cho con lăn

có khuynh hướng lăn. Các lực N và P lập thành ngẫu lực ( N , P ) có tri số mô men là

Nd cản lại sự lăn của con lăn. Ngẫu lực ( N , P ) được gọi là ngẫu lực ma sát lăn.

Mô men m = Nd của ngẫu lực ma sát lăn ( N , P ) được gọi là mô men ma sát lăn.

Tư thực nghiệm ta có các định luật ma sát lăn:

- Ngẫu lực ma sát lăn có trị số mô men giới hạn tư 0 đến mmax

0 < m mmax (4.1.6)

- Trị số ma sát lăn lớn nhất tỉ lệ với phản lực pháp tuyến


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 38

mmax = kN (4.1.7)

Hệ số tỉ lệ k gọi là hệ số ma sát lăn có thư nguyên là chiều dài và được xác định

bằng thực nghiệm. Dưới đây là hệ số ma sát lăn của một vài loại vật liệu thường gặp:

Vât liệu k(m)

Thep thường với thep thường

Thep tôi với thep tôi

Gang với gang

Gô với thep

Gô với gô

0,005

0,001

0,005

0,03-0,04

0,05-0,08

Khi con lăn sắp lăn: mmax = kN = Nd

hay: k = d (4.1.8)

Hệ số ma sát lăn bằng cánh tay đòn của ngẫu lực ma sát lăn lớn nhất.

Tư các công thưc (4.1.6) và (4.1.7) suy ra điều kiện để con lăn không lăn (tự ham)

là trị số mô men ma sát lăn nhỏ hơn hoặc bằng trị số mô men ma sát lăn lớn nhất.

m kN (4.1.9)

và điều kiện để con lăn không lăn và không trượt là: fNF

kNm

(4.1.10)

Vi du 4.1.1: Con lăn hình trụ đường kinh d = 0,6m, trọng lượng P = 3kN lăn đều trên mặt

phẳng ngang nhờ tác dụng của lực S theo hướng của tay đây AO (Hình 4.1.5)

Cho biết AO dài 1,5m, độ cao của điểm A là h = 1,05 m. Xác định lực S , biết hệ

số ma sát lăn k = 0,005 m.

Bài giải


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 39

Dời lực S trên đường tác dụng của nó về O và phân tich thành hai lực thành phân Q

và T . Ta có: Q = Scos, T = Ssin. Mà sin = 5,1

3,005,1

1

rh= 0,5

= 30. Con lăn chịu tác dụng của hệ hai ngẫu lực. T và P gây ra phản lực N tạo thành

ngẫu lực ma sát lăn có mô men m = kN = k(T+P) = k(Ssin + P). Q và F tạo thành ngẫu

lực gây nên sự lăn của con lăn có mô men là Qr. Khi lăn đều hệ hai ngẫu lực trên cân

bằng, tưc là: k(Ssin + P) = Qr kSsin + kP = rScos và

rScos - kSsin = kP S(rcos - ksin) = kP. Thay số:

S = 5,0.005,0886,0.3,0

005,0.3000

sincos

kr

kP = 58,3N

2. TRỌNG TÂM. Thời gian: 2h

2.1. KHÁI NIỆM.

Trọng tâm là khối tâm của vật rắn mà tại đó điểm đặt của hợp lực của hệ trọng lực

do trái đất tác dụng lên vật rắn.

2.2. TỌA ĐÔ TRỌNG TÂM HÌNH PHẲNG.

2.2.1. Khối tâm của cơ hệ: Xét một cơ hệ gồm N chất điểm NkM k ...3,2,1 , có khối

lượng Mk, vectơ định vị kr . Điểm hình học C được gọi là khối tâm cơ hệ nếu vị trí của nó

được xác định theo công thưc sau (hình 4.2.1):

k

kk

C

k

kk

C

k

kk

C

k

N

k

kk

Cm

zmz

m

ymy

m

xmx

m

rm

r ;;1 (4.2.1)

Hình 4.2.1 Hình 4.2.2


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 40

2.2.2. Khối tâm của vât rắn: Xét một vật rắn và chia nó thành nhiều phân tư nhỏ Mk (số

phân tư tiến đến vô tận), có khối lượng mk, vectơ định vị kr . Điểm hình học C mà vị trí

của nó được xác định theo công thưc:

v

N

k

kN

N

k

kkN

C dmrM

m

rm

r1

lim

lim

1

1 (4.2.2)

Được gọi là khối tâm của vật rắn (hình 4.2.2), trong đó:

N

k

kN

mM1

lim là khối

lượng vật rắn. Tư đó ta nhận được các công thưc xác định khối tâm của vật rắn:

v

N

k

kkN

C xdmMM

mx

x1

lim1

v

N

k

kkN

C ydmMM

my

y1

lim1 (4.2.3)

v

N

k

kkN

C zdmMM

mz

z1

lim1

Trong trường hợp vật rắn nằm gân trái đất thì khối tâm trùng với trọng tâm (là

điểm đặt của hợp lực của hệ trọng lực do trái đất tác dụng lên vật rắn).

Nếu vật là một khối đồng chất có thể tích V và có khối lượng riêng (khối lượng

của một đơn vị thể tích) là thì M = V, dm = dV. Do đó ta có:

V

C

V

C

V

C

V

C

zdVV

zydVV

yxdVV

x

dVrv

r

1;

1;

1

1

)(

)( (4.2.4)

Đặc biệt đối với một tấm phẳng đồng chất có tiết diện F thì:

F

SydF

Fy

F

SxdF

Fx x

F

C

y

F

C 1

;1

(4.2.5)

trong đó: )()(

;F

y

F

x xdFSydFS (4.2.6)

được gọi là mômen tĩnh của tiết diện F đối với trục x và y tương ưng (hình 4.2.3).

Dựa vào định nghĩa có thể suy ra tiếp các định lý sau:


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 41

Định lý 4.1: Nếu vật rắn đồng nhất có tâm (trục, mặt phẳng) đối xưng thì khối tâm (trọng

tâm) của nó nằm tại tâm (trục, mặt phẳng) đối xưng.

Định lý 4.2: Nếu vật rắn gồm các phân mà khối tâm (trọng tâm) của chúng nằm trên một

đường thẳng (mặt phẳng) thì khối tâm (trọng tâm) của vật cùng nằm trên đường thẳng

(mặt phẳng ) đó.

Hình 4.2.3

Áp dụng các định li trên ta tìm ngay được:

Hình 4.2.4 Hình 4.2.5

- Khối tâm (trọng tâm) của một thanh thẳng đồng chất tại điểm giữa của thanh.

- Khối tâm (trọng tâm) của tam giác đồng chất là giao điểm của các trung tuyến

(hình 4.2.4)

- Khối tâm (trọng tâm) của cung tròn đồng chất AB có bán kính R và góc tại tâm

2OAB được tính theo công thưc (hình 4.2.5a):

sinRxc (4.2.7)

- Nếu cung AB là nữa đường tròn 2

thì khối tâm (trọng tâm) tính theo công

thưc (hình 4.2.5b):

RxC

2 (4.2.8)

- Khối tâm (trọng tâm) của một quạt tròn đồng chất AOB tâm O, có bán kính R và

góc tại tâm 2AOB được tính theo công thưc (hình 4.2.6a)


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 42

Hình 4.2.6

3

sin2 RxC (4.2.9)

- Nếu quạt AOB là nữa mặt tròn (2

) thì khối tâm (trọng tâm) tính theo công

thưc (hình 4.2.7b): 3

4RxC (4.2.10)

- Khối tâm (trọng tâm) của vật ghep, ta có định lý sau:

Định lý 4.3: Nếu tấm phẳng đồng chất được ghép tư m phân, môi phân có diện tích Fi, có

mômen tĩnh đối với các trục x, y tương ưng là Sxi, Syi thì khối tâm (trọng tâm) của nó

được tính theo công thưc:

m

i

i

m

i

xi

Cm

i

i

m

i

yi

C

F

S

y

F

S

x

1

1

1

1 ; (4.2.11)

Ví du 4.2.2: Tìm khối tâm (trọng tâm) của tấm đồng chất hình chữ L có kích thưoc cho

trên (hình 4.2.8).

Bài giải

Chia tấm hình chữ L thành hai tấm hình chữ nhật có khối tâm (trọng tâm) C1 và

C2, ta có: x1 = 1cm; y1 = 5cm; x2 = 3cm; y2 = 1cm; F1 = 20cm; F2 = 4cm2.


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 43

Hình 4.2.8

Theo công thưc 4.2.11 ta dễ dàng tìm được:

2

111 100520 cmyFS x

2

111 20120 cmxFS y

2

222 414 cmyFS x

2

111 20120 cmxFS y

Vậy: cmFF

SSx

yy

C3

4

24

32

420

1220

21

21

cmFF

SSyC 3,4

24

104

420

4100

21

21

Ví du 4.2.3: Tìm khối tâm (trọng tâm) của tấm tròn đồng chất tâm O, bán kính R, bị

khuyết mảnh tròn tâm A, bán kính r. Biết OA = a, a + r < R (hình 4.2.9)

Hình 4.2.9

Bài giải

Xem tấm bị khuyết là kết quả của việc ghép tấm tròn nguyên có khối tâm (trọng

tâm) tại O (0, 0), diện tích 2

1 RF với mảnh tròn có khối tâm (trọng tâm) là A (0, 0) với

diện tích âm 2

2 RF .


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 44

Do tấm có trục Ox đối xưng nên khối tâm (trọng tâm) nằm trên trục này (yc = 0)

còn: 22

2

22

22

21

2211

21

21 0

rR

ar

rR

arR

FF

yFyF

FF

SSx

yy

C

Dấu "-" chưng tỏ C nằm bên trái tâm O.

3. CÂN BĂNG ÔN ĐINH. Thời gian: 2h

3.1. KHÁI NIỆM CHUNG.

Vật rắn có ba trạng thái cân bằng: cân bằng ổn định, cân bằng không ổn định và

cân bằng phiếm định.

3.1.1. Cân băng ôn định.

Hinh 4.3.1 Hinh 4.3.2 Hinh 4.3.3

Chẳng hạn vật có trọng tâm thấp hơn tâm quay O (Hình 4.3.1). Ơ vị tri ban đâu

trọng lượng P và phản lực R cân bằng. Nếu nghiêng vật, xuất hiện ngẫu lực ( R , P ) có

khuynh hướng quay vật trơ về vị tri ban đâu, vật ơ trạng thái cân bằng ổn đinh.

Điều kiện để vật cân bằng ổn định là trọng tâm của vật phải thấp hơn tâm quay.

3.1.2. Cân băng không ôn định.

Chẳng hạn vật có trọng tâm ơ trên tay quay, nếu vật lệch không nhiều so với vị tri

cân bằng thì xuất hiện ngẫu lực ( P , R ) có khuynh hướng quay vật xa vị tri ban đâu, vật ơ

trạng thái cân bằng không ổn định. (Hình 4.3.2).

Cân bằng không ổn định xảy ra khi trọng tâm của vật ơ trên tâm quay.

3.1.3. Cân băng phiếm định.

Chẳng hạn vật có trọng tâm trung với tâm quay, trọng tâm của vật vẫn giữ

nguyên, vật rắn được cân bằng ơ mọi vị tri. (Hình 4.3.3)

Vật ơ trạng thái cân bằng phiếm định.

3.2. ĐIỀU KIỆN CÂN BĂNG ÔN ĐINH CUA VÂT TƯA TRÊN MẶT PHẲNG

NGANG. HỆ SỐ ÔN ĐINH.


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 45

Giả sư vật tựa trên mặt phẳng ngang, dưới tác dụng của lực ngang Q , vật có

khuynh hướng lật quanh điểm A (Hình 4.3.4).

Gọi mô men của các lực đối với điểm A có khuynh hướng làm cho vật lật là mô

men lật, ký hiệu Mlật . Ơ vi dụ đang xet Mlật = Q.h.

Gọi mô men của các lực đối với điểm A có khuynh hướng giữ cho vật ổn định gọi

là mô men ổn, ký hiệu Mổn . Ơ vi dụ đang xet Mồn = Pa.

Hinh 4.3.4 Hinh 4.3.5

Khi Mồn = Mlật thì vật ơ trạng thái cân bằng giới hạn.

Muốn làm cho vật cân bằng ổn định thì: Mồn > Mlật

Hay: k = Mồn/ Mlật > 1

K gọi là hệ số ổn định về lật, k > 1

Hệ số ổn định về lật k được quy định trong các quy phạm thiết kế, thường lấy k =

1,5 - 2

Vi du 4.3.4: Cân trục tháp thẳng đưng chạy trên hai bánh xe A và B và dàn nằm ngang

CD với đối trọng C. Biết trọng lượng của tháp là P1 = 20 kN đặt ơ C1 của dàn kể cả đối

trọng là: P2 = 10 kN, đặt ơ C2. Tìm trọng lượng lớn nhất Q mà cân trục mang được, biết

hệ số ổn định k = 1,5. Các kich thước cho trên hình 4.3.5.

Bài giải

Khi nâng một vật cân trục có khả năng bị lật quanh B.

Ta có: Mồn = P1 x 0,5 + P2 x 1,5

= 20 x 0,5 + 10 x 1,5 = 25 kNm

Mlật = Q . 1,5

k = Mồn / Mlật = 1,5


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 46

hay 1,5 Mlật = Mồn

1,5 . Q . 1,5 = 25

Q = 5,1.5,1

25 = 11 Kn

BÀI TÂP Thời gian: 1 h

TOM TĂT PHƯƠNG PHAP GIAI BÀI TOAN

VÂT RĂN CÂN BĂNG DƯƠI TAC DUNG CỦA HÊ LƯC PHĂNG

1. Bai toán tim phản lưc liên kết. Mô hình của bài toán là cho vật rắn cân bằng ơ một vị

tri xác định, biết các tải trọng, tìm các phản lực liên kết tác dụng lên vật rắn đó.

Bài giải gồm trình tự các bước sau:

a. Chon vật cân băng vật chịu tac dung của cac tải trong và cac phản lực cần tim.

b. Đăt lực. Trước hết đặt đây đủ các tải trọng, sau đó đặt các phản lực ơ các liên kết. Phải

nắm chắc đặc điểm của các liên kết để xác định phương chiều của các phản lực. Cuối

cung là giải phóng các liên kết, vật khảo sát được coi là vật tự do cân bằng dưới tác dụng

của hệ lực bao gồm các tải trọng và các phản lực.

c. Lập phương trinh cân băng và giải bài toan. Ơ đây chỉ nêu phương pháp hình chiếu

vì thường dung hơn cả.

- Chọn hệ trục tọa độ thich hợp sao cho bài toán được giải đơn giản nhất (các trục

song song hoặc vuông góc với nhiÒu lực nhất của hệ).

- Lập hệ phương trình cân bằng. Với hệ lực phẳng bất kỳ có ba dạng phương trình

cân bằng nhưng thường áp dụng dạng 1 và dạng 2. Hệ lực phẳng song song có 2 dạng

phương trình cân bằng giải theo dạng 1 thường nhanh chóng hơn. Hệ lực phẳng đồng qui

chỉ có một dạng phương trình cân bằng.

- Giải các phương trình cân bằng, tìm ra kết quả của bài toán.

- Nhận định kết quả: Khi đa tìm được kết quả cân thư lại hoặc liên hệ với đâu bài

xem kết quả có phu hợp không, trường hợp giải ra lực có trị số âm cân đổi chiều ngược

lại.

2. Bai toán tim điều kiện cân băng.

Mô hình của bài toán là cho một vật rắn chịu tác dụng của một hệ lực phẳng, phải

tìm vị tri cân bằng của vật hoặc phải tìm điều kiện ràng buộc các lực để đặt vật cân bằng

ơ một vị tri nào đó.

Phương pháp giải cũng như bài toán tìm các phản lực liên kết, nghĩa là cũng khảo

sát vị tri cân bằng của vật rắn dưới tác dụng của các tải trọng và các phản lực, do đó ta


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 47

nhận được một hệ lực phẳng cân bằng, viết phương trình cân bằng và giải quyết bài toán

đề ra. Điều chú ý ơ đây là chọn phương trình cân bằng sao cho tránh được các

phản lực, lập được phương trình cân bằng cho phep tìm ngay ra điều kiện cân bằng.

Ngoài bài toán tìm điều kiện cân bằng tổng quát, còn hai loại bài toán thường gặp

là bài toán cân bằng đòn và bài toán cân bằng vật lật.

Chương 5: HỆ LƯC KHÔNG GIAN

1. CHIẾU MÔT LƯC LÊN 3 TRỤC - MÔMEN CUA MÔT LƯC ĐỐI VỚI

MÔT TRỤC: Thời gian: 2h

1.1. CHIẾU MÔT LƯC LÊN 3 TRỤC TỌA ĐÔ.

Gi¶ sö lùc F lµm víi çc trôc Ox, Oy, Oz nh÷ng gãc

nhän lµ , , . CÇn x¸c ®Þnh çc h×nh chiÕu X, Y, Z cña F lªn çc trôc Êy.

Trªn h×nh vÏ ta thÊy çc h×nh

chiÕu X, Y, Z cã trÞ sè lµ ®é

dµi çc c¹nh cña h×nh hép cã

F lµ ®êng chÐo.

XÐt vu«ng OBA cã:

OB = Y = F.cos

vu«ng OAD cã:

OD = X = F.cos

y

x

z

O X

D

B

E

Z

Y

F A


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 48

vu«ng OAE cã:

OE = Z = F.cos

Hình 5.1.1

Nhng h×nh chiÕu cã thÓ cã dÊu ©m hay d¬ng nªn ta cã:

X = Fcos

X = Fcos (5.1)

Z = Fcos

Trong ®ã:

- H×nh chiÕu cã dÊu (+) hay (-) nÕu ®i tõ ®iÓm chiÕu

gèc ®Õn ®iÓm chiÕu ngän cña lùc nÕu cïng chiÒu hay

ngîc chiÒu víi trôc täa ®é.

- , , :lµ gãc nhän hîp bëi ®êng t¸c dông cña

lùc víi çc trôc täa ®é Ox, Oy, Oz.

Trong thùc tÕ nhiÒu khi ®Ó x¸c ®Þnh h×nh chiÕu cña

lùc F lªn ba trôc ®Çu tiªn chiÕu lªn trôc Oz vµ mÆt

ph¼ng xOy:

OE = Z = F.cos

F’ = F.cos

Sau ®ã chiÕu vÐct¬ 'F lªn hai

trôc Ox vµ Oy:

OD = F’cos = F.cos.cos

OB = F’.sin = F.cos.sin

Tõ ®ã ta cã c«ng thøc x¸c ®Þnh

h×nh chiÕu X, Y, Z nh sau:

X = F.cos.cos

Y = F.cos.sin (5.2)

Z = F.cos

Trong ®ã:

Hình 5.1.2

- : gãc nhän hîp bëi ®êng t¸c dông lùc F vµ mÆt

ph¼ng xOy.

- : gãc nhän hîp bëi h×nh chiÕu cña lùc F lªn mÆt

ph¼ng xOy ( 'F ) víi trôc Ox.

- : gãc nhän hîp bëi ®êng t¸c dông cña lùc F vµ

trôc Oz, = 900 -

y

x

z

O X

D

B

E

Z

Y

F A

'F


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 49

- DÊu () lÊy nh trªn. * Çc trêng hîp ®Æc biÖt:

- NÕu lùc song song víi trôc nµo th× ®é lín cña h×nh

chiÕu lùc lªn trôc ®ã b»ng trÞ sè cña lùc, cßn h×nh

chiÕu lªn trôc kia b»ng kh«ng.

VD: Nh h×nh vÏ a ta cã:

F1 Oz Z1 = -F1, X1 = 0, Y1 = 0

F2 Oy X2 = 0, Y2 = F2, Z2 = 0

- NÕu lùc n»m trªn mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi trôc nµo

th× h×nh chiÕu cña lùc lªn trôc ®ã b»ng kh«ng.

VD: Nh h×nh vÏ b ta cã: Z1 =

0, Y2 = 0

Hình 5.1.3

1.2. MÔ MEN CUA 1 LƯC ĐỐI VỚI MÔT TRỤC.

Cho lùc F vµ mét trôc nµo ®ã,

dùng mÆt ph¼ng (P) bÊt kú vu«ng gãc

víi trôc z vµ c¾t trôc t¹i O. Gäi 'F

lµ h×nh chiÕu cña F lªn mÆt ph¼ng

(P), ta cã ®Þnh nghÜa:

M«men cña lùc F ®èi víi trôc z lµ

m«men cña h×nh chiÕu lùc lªn mÆt

ph¼ng vu«ng gãc víi trôc ®èi víi giao ®iÓm cña trôc vµ

mÆt ph¼ng vu«ng gãc ®ã.

aFFm z '.)( (5.3)

Trong ®ã:

Hình 5.1.4

- )(Fm z : lµ ký hiÖu m«men cña

lùc F ®èi víi trôc z.

(b)

1F

y

2F

x

z

O

Z1

1F

y Y2

2F

x

z

O

(a)

P

O

z

a 'F

F


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 50

- F’: lµ trÞ sè h×nh chiÕu

cña lùc F lªn mÆt ph¼ng vu«ng

gãc víi trôc z

- a: kháang çch tõ O ®Õn F’

- )(Fm z cã dÊu (+) khi nh×n tõ

chiÒu d¬ng trôc z thÊy lùc cã

khuynh híng lµm vËt quay ngîc

chiÒu kim ®ång hå,

)(Fm z cã dÊu (-) trong trêng hîp ngîc l¹i.

Nh vËy: m«men cña lùc ®èi víi mét trôc lµ ®¹i lîng

®Æc trng cho t¸c dông quay quanh trôc do lùc ®ã g©y

ra.

1.2.1. Çch tÝnh m«men cña mét lùc ®èi víi mét trôc.

Tõ ®Þnh nghÜa ta suy ra çch tÝnh m«men cña mét lùc ®èi

víi mét trôc nh sau:

- X¸c ®Þnh h×nh chiÕu cña lùc lªn mÆt ph¼ng vu«ng gãc

víi trôc (thuËn lîi nhÊt lµ lÊy mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi

trôc chøa ®iÓm ®Æt lùc).

- Tõ giao ®iÓm cña trôc víi mÆt ph¼ng vu«ng gãc h¹

®êng vu«ng gãc víi h×nh chiÕu lùc ®Ó x¸c ®Þnh çnh tay

®ßn a.

- TÝnh m«men theo c«ng thøc (5.3)

1.2.2. Çc trêng hîp ®Æc biÖt

- Khi lùc F song song víi trôc z th×:

0)( Fm z v× F’ = 0

- Khi lùc F cã ®êng t¸c dông c¾t trôc z th×:

0)( Fm z v× a = 0

- Khi lùc F n»m trong mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi trôc

z th×:

aFFm z .)(

1.2.3. §Þnh lý Varih«ng

NÕu mét hÖ lùc kh«ng gian cã hîp lùc th× m«men cña

hîp lùc Êy ®èi víi mét trôc b»ng tæng m«men cña çc lùc

thµnh phÇn ®èi víi cïng trôc ®ã.

n

i

izz RmRm1

)()( (5.4)

2. ĐIỀU KIỆN CÂN BĂNG CUA MÔT HỆ LƯC KHÔNG GIAN:

Thời gian: 3h

2.1. HỆ LƯC KHÔNG GIAN BÂT KỲ.


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 51

HÖ lùc kh«ng gian bÊt kú khi t¸c dông lªn vËt r¾n cã

thÓ lµm vËt di chuyÓn theo ba trôc vµ quay quanh ba

trôc. S¸u chuyÓn ®éng ®éc lËp ®ã ®îc gäi lµ s¸u bËc tù

do cña vËt r¾n trong kh«ng gian. VËt r¾n c©n b»ng khi

çc chuyÓn ®éng ®ã kh«ng cã hoÆc ®Òu, muèn vËy ph¶i cã

s¸u ph¬ng tr×nh:

0 X

0Y

0Z (5.5)

0)( Fmx

0)( Fmy

0)( Fmz

Nh vËy: §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó hÖ lùc kh«ng gian bÊt

kú c©n b»ng lµ tæng h×nh chiÕu cña çc lùc lªn çc trôc

vµ m«men cña çc lùc ®èi víi çc trôc ®Òu ph¶i b»ng

kh«ng.

2.2. HỆ LƯC KHÔNG GIAN SONG SONG.

HÖ lùc kh«ng gian song song lµ

trêng hîp ®Æc biÖt cña hÖ lùc kh«ng

gian bÊt kú nªn cã thÓ suy ra ®iÒu

kiÖn c©n b»ng cho hÖ lùc kh«ng gian

song song tõ hÖ ph¬ng tr×nh c©n

b»ng (4.5) cña hÖ lùc kh«ng gian bÊt

kú.

Gi¶ sö cã hÖ lùc kh«ng gian song

song ( 1F , 2F ,..., nF ). Chän hÖ trôc

täa ®é Oz song song víi çc lùc th× ta cã:

0 X

0Y

0)( Fmz

Hình 5.1.5

Do vËy tõ ®iÒu kiÖn (5.5) ta cã ®iÒu kiÖn c©n b»ng

cña hÖ lùc kh«ng gian song song nh sau:

0Z

0)( Fmx (5.6)

0)( Fmy

Nh vËy ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó hÖ lùc kh«ng gian

song song c©n b»ng lµ tæng h×nh chiÕu cña çc lùc lªn

y

x

z

O

1F

... 2F

nF


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 52

çc trôc song song víi çc lùc vµ tæng m«men cña çc

lùc ®èi víi çc trôc cßn l¹i ®Òu ph¶i b»ng kh«ng.

2.3. HỆ LƯC KHÔNG GIAN ĐÔNG QUY.

Gi¶ sö cã hÖ lùc kh«ng gian ®ång quy ( 1F ,

2F ,..., nF ). Chä hÖ trôc täa ®é cã gèc trïng víi ®iÓm

®ång quy cña çc lùc, khi ®ã ta lu«n cã:

0)( Fmx

0)( Fmy

0)( Fmz

Do ®ã ta cã ®iÒu kiÖn c©n b»ng cña hÖ lùc kh«ng gian

®ång quy:

0 X

0Y

(5.7)

0Z

VËy ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó hÖ lùc kh«ng gian ®ång

quy c©n b»ng lµ tæng h×nh chiÕu cña çc lùc lªn çc

trôc täa ®é ®Òu ph¶i b»ng kh«ng.

Ví du 5.2.1: Một trục keo AB có đường trục nằm ngang và được đỡ trên hai ổ trục (bản lề

trụ) A và B. Hai nhánh đai của puli có đường kính D = 0,6m, chịu các lực căng T1 = 5kN,

T2 = 2kN. Vật được kéo có trọng lượng P = 5kN và tang tời có đường kính d = 0,3 m.

Trục tời chịu tác dụng ngẫu lực cản có mômen M.

Xác định ngẫu lực cản M cân thiết để ngẫu lực cân bằng và các phản lực tại các

gối trục A và B. Bỏ qua ma sát. Các kich thước được cho trên hình 5.2.1.

Bài giải

Trục keo được cân bằng dưới tác dụng của hệ lực:

0),,,,,,,( 21 BABA ZZXXTTMP

Chọn hệ trục toạ độ như trên hình 5.2.1, các phương trình cân bằng của hệ lực có

dạng:


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 53

0X433

0222

04

0

0

B21

21

21

aaTaTFm

Md

PD

TD

TFm

aZaPFm

ZZPF

XXTTF

z

y

Bx

BAz

BAx

Thay các giá trị bằng số vào hệ phương trình trên và giải chúng, ta nhận được :

xA = -1,75kN; ZA = 3,75kN; XB = -5,25kN.

ZB = 1,25kN; M = 0,15kN.

Hình 5.2.6


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 54

Hình 5.2.7

Ví du 5.2.2: TÊm ch÷ nhËt träng lîng P ®îc gi÷ n»m ngang

nhê liªn kÕt cÇu A, b¶n lÒ B vµ thanh CE t¹o víi ph¬ng

th¼ng ®øng mét gãc 300. T×m ph¶n lùc t¹i A,B vµ øng lùc

trong thanh CE (h×nh vÏ 5.2.7)

1, Chän vËt kh¶o s¸t vµ ®Æt lùc ho¹t ®éng vµ lùc liªn

kÕt:

- XÐt tÊm ABCD: T¹i A cã liªn kÕt cÇu, t¹i B liªn

kÕt b¶n lÒ, t¹i C cã lªn kÕt thanh.

- HÖ lùc c©n b»ng: oSZXZYXP BBAAA

),,,,,,(

2, HÖ ph¬ng tr×nh c©n b»ng:

n

i

Bz

n

i

y

n

i

Bx

BAz

Ay

BAx

SbXbm

SaPam

SbZbPbm

PSZZR

YR

SXXR

1

0__

1

0__

1

0__

0

0

060cos..2.2

060cos..32.

060sin.2.2.

060sin

0

060cos

Gi¶i ra ta ®îc:

0;6

3;

2;0;0;

3

3 BBAAA Z

PX

PZYX

PS

Ví du 5.2.3: TÊm ph¼ng ®ång chÊt h×nh ch÷ nhËt, träng lîng

200N, l¾p vµo têng nhê gèi cÇu A vµ b¶n lÒ B vµ ®îc

gi÷ c©n b»ng ë vÞ trÝ n»m

ngang nhê d©y CE nghiªng

60o so víi ®êng th¼ng

®øng AE. BiÕt ®êng

chÐo AC nghiªng 45o víi

c¹nh AD, T×m ph¶n lùc ë

A,B vµ søc c¨ng d©y CE

( Hình 5.2.8 )

45

o

o

60

A B

CD

z

y

x

XA

ZA

YA

ZB

XB

TCE

P


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 55

Hình 5.2.8

1. Kh¶o s¸t c©n b»ng tÊm ph¼ng díi t¸c dông çc lùc:

- Lùc cho: P =200 N; - Ph¶n lùc liªn kÕt:

T¹i gèi cÇu A: AAA ZYX

;;

T¹i b¶n lÒ B: BB ZX

;

T¹i d©y CE:

EFT

HÖ lùc t¸c dông vµo hÖ gåm: 0);;;;;;(

CEBBAAA TZXZYXP

2. Ph¬ng tr×nh c©n b»ng:

Rx = XA + XB - TCE cos300 cos450 = 0

Ry = YA – TCE .cos300 cos450 = 0

Rz = ZA + ZB + TCE cos600 – P = 0

ΣmOX = ZB .AB + TCE cos600 .CD – P.AB/2 = 0

ΣmOY = - TCE cos600 .BC + P.BC/2 = 0

ΣmOZ = - XB .AB = 0

+ Gi¶i hÖ ta ®îc:

TCE = 200N; XA = 86,6N; YA = 150N; ZA = 100N;

XB = 0; ZB = 0;

Ví du 5.2.4: Trôc AB n»m ngang trªn hai æ ®ì A vµ B (b¶n

lÒ), mang ®Üa C vµ thanh DE (®Òu cã träng lîng kh«ng

®¸ng kÓ). Trôc c©n b»ng díi t¸c dông cña hai vËt nÆng

: Q = 250 N treo ë ®Çu d©y quÊn quanh vµnh ®Üa vµ P = 1

KN g¾n vµo ®Çu E. BiÕt DE nghiªng 30o so víi ®êng th¼ng

®øng, b¸n kÝnh ®Üa b»ng 20 cm, çc kÝch thíc kh¸c ghi

nh h×nh vÏ. T×m chiÒu dµi DE vµ ph¶n lùc çc æ ®ì.


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 56

Hình 5.2.9

1. Kh¶o s¸t c©n b»ng cña trôc AB díi t¸c dông çc lùc: - Lùc cho: P =1K N; Q = 250N - Ph¶n lùc liªn kÕt:

T¹i æ ®ì A: AA ZX

;

T¹i æ ®ì B: BB ZX

;

HÖ lùc t¸c dông vµo hÖ gåm: 0);;;;;(

BBAA ZXZXQP

2. Ph¬ng tr×nh c©n b»ng: (1®) Rx = XA + XB = 0

(1)

Rz = ZA + ZB – P - Q = 0 (2)

ΣmOX = ZB .AB - Q .CA – P.DA = 0 (3)

ΣmOZ = - XB .AB = 0 (4)

Ph¬ng tr×nh c©n b»ng ®èi víi trôc quay OY:

ΣmOY = - Q .20 – P.DE.sin300 = 0 (5)

+ Gi¶i hÖ ta ®îc: (1®)

XA = XB = 0; ZA = 300N; ZB = 950N; DE = 10cm

Chương 6: ĐÔNG LƯC HỌC CHÂT ĐIÊM ĐÔNG LƯC HỌC VÂT RĂN

D

CA

B

o30

20cm

70cm

30cm

yz

x

QP

E

ZA

XA

ZB

XB


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 57

1. ĐÔNG LƯC HỌC CHÂT ĐIÊM. Thời gian: 3h

1.1. NHỮNG KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU VÀ CÁC TIÊN ĐỀ ĐÔNG LƯC HỌC.

1.1.1. Những khái niệm mở đầu.

a. Chất điểm: Là mô hình đơn giản nhất của vật thể khi kich thước của nó có thể bỏ qua

được do quá nhỏ so với các vật thể khác (như kich thước của viên đạn so với quả đất khi

xét chuyển động của viên đạn so với quả đất) hoặc không đóng vai trò quan trọng trong

chuyển động được khảo sát (như chuyển động của vật rắn tịnh tiến). Trong chuyển động

nhất điểm có thể ơ trạng thái tự do (được gọi là chất điểm tự do) hoặc không tự do (được

gọi là chất điểm không tự do).

Chất điểm tự do là chất điểm mà tại thời điểm khảo sát các di chuyển (vô cùng bé)

của nó tư vị tri đang xet theo bất kỳ phương nào cũng không bị cản trơ. Chất điểm không

tự do còn được gọi là chất điểm đang xet các di chuyển (vô cùng bé) của nó tư vị tri đang

xét bị cản trơ ít nhất theo một phưpơng trình nào đó. Đối với chất điểm không tự do tồn

tại các điều kiện ràng buộc về vị trí, vận tốc đối với chuyển động của chất điểm tự do

(định luật thay thế liên kết chương 1) nhờ giải phóng liên kết và thêm những phản lực

liên kết (hình 6.1.1b).

Hình 6.1.1

Chất điểm không tự do có thể được thay thế bằng chất điểm tự do nhờ giải phóng

liên kết và thêm những phản lực liên kết (hình 6.1.1b).

b. Cơ hệ: Là một tập hợp hữu hạn hoặc vô hạn các chất điểm, trong đó chuyển động của

một chất điểm bất kỳ phụ thuộc vào chuyển động của các chất điểm còn lại, tưc chuyển

động của các chất điểm phụ thuộc vào nhau. Có cơ hệ tự do và cơ hệ không tự do. Cơ hệ

tự do gồm chỉ các chất điểm tự do. Cơ hệ không tự do gồm các chất điểm không tự do, ví

dụ các cơ cấu máy, các vật rắn tuyệt đối ...

Cơ hệ không tự do có thể được khảo sát như cơ hệ tự do nhờ định luật thay thế

liên kết.


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 58

c. Lực. Khái niệm lực đa được đĩnh nghĩa trong tĩnh học. Tuy nhiên trong tĩnh học chỉ đề

cập đến lực bằng cả phương, chiều và trị số. Trong động lực học, lực nói chung là đại

lượng biến đổi theo thời gian cả về độ lớn và hướng: F = F(t,r,v)

d. Hệ quy chiêu quán tính. Hệ quy chiếu quán tính là hệ quy chiếu trong đó định luật

quán tinh được nghiệm đúng. Trong kỹ thuật hệ quy chiếu gắn liền với trái đất được xem

là hệ quy chiếu quán tính (hệ quy chiếu quán tính gân đúng).

1.1.2. Các tiên đề đông lưc hoc.

a. Tiên đề 1. Chất điểm không chịu tác dụng của lực nào se chuyển động thẳng đều.

Trạng thái đưng yên hoặc chuyển động thẳng đều của chất điểm được gọi là trạng thái

quán tính của nó.

Như vậy theo định luật này: nếu không có lực tác dụng lên chất điểm (chất điểm

như vậy được gọi là chất điểm cô lập) thì nó có trạng thái quán tinh. Nói khác đi, chất

điểm cô lập se bảo toàn trạng thái quán tính của mình cho đến khi chưa có lực buộc nó

thay đổi trạng thái quán tính của nó. Do đó định luật quán tính cho một tiêu chuân về hệ

quy chiếu quán tính và khẳng định lực là nguyên nhân làm biến đổi trạng thái chuyển

động.

b. Tiên đề 2: Trong hệ quy chiếu quán tinh, dưới tác dụng của lực chất điểm chuyển động

với gia tốc cung hướng với lực và có trị số tỉ lệ với cường độ của lực: maF (6.1.1)

Trong đó: hệ số tỉ lệ m có giá trị không đổi, nó là số đo quán tinh của chất điểm

được gọi là khối lượng của chất điểm. Định luật này còn được gọi là định luật 2 Niutơn.

Nếu 0F thì 0a (bao gồm ơ trường hợp 0v ), tưc chất điểm có trạng thái

quán tính. Khi chất điểm rơi tự do trong trọng trường, ta có: mgP

Tư đây ta nhận được mối quan hệ giữa khối lượng và trọng lượng chất điểm.

Trong đó g = 9,81m/s2, được gọi là gia tốc trọng trường (gia tốc của rơi tự do).

Để khảo sát bài toán động lực học ngoài hai định luật nêu trên, ta còn sư dụng các

định luật đa nêu trong tĩnh học như. Định luật tác dụng và phản tác dụng. Định luật thay

thế tương đương liên kết.

1.2. HAI BAI TOAN CƠ BAN CUA ĐÔNG LƯC HỌC.

1.2.1. Bài toán thứ nhất - bài toán thuân: Cho biết chuyển động của chất điểm, hãy xác

định lực tác dụng lên chất điểm.


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 59

Hình 6.1.2

Ví du 6.1.1: Thang máy đi lên với gia tốc a. hay xác định phản lực của sàn thang máy lên

người (hình 6.1.2)

Bài giải

Xem người là một chất điểm chuyển động cùng gia tốc a của thang máy dưới tác

dụng của trọng lực (sưc hút của quả đất) và phản lực của sàn thang máy. Gia tốc a đa cho,

còn phản lực chưa biết, nên bài toán thuộc bài toán thư nhất. Chọn phương dương hướng

thẳng đưng lên. Ap dụng định luật 2 Niutơn ta có: NPam

Chiếu hai vế của đẳng thưc vectơ lên trục thẳng đưng, ta có (hình 6.1.2b): ma = N - P

Khi a = 0 (tưc thang máy đưng yên hoặc chuyển động thẳng đều) thì N = P, tưc

bằng phản lực do mặt đất tác dụng lên người. Phản lực này được gọi là phản lực tĩnh, kí

hiệu Nt, (hình 6.1.2a).

Vậy phản lực khi thang máy chuyển động lên với gia tốc a se bằng (hình 6.1.2b):

N = Nt(l + g

a)

Tưc là phản lực tăng so với phản lực tĩnh, do đó con người cảm thấy khó chịu khi đi

thang máy có gia tốc ngược với trọng trường hay khi máy bay tăng tốc để chiếm độ cao.

Khi thang máy đi xuống ta có (hình 6.1.2c): N = Nt(l - g

a)

Tưc là phản lực giảm so với phản lực tỉnh và điều này làm cho con người cảm thấy

như bi hẫng hụt. Cảm giác này cũng xuất hiện cho hành khách đi máy bay khi máy bay hạ

cánh.

1.2.2. Bài toán thứ hai - bai toán ngươc: Cho biết lực tác dụng lên chất điểm và các

điều kiện đâu của chuyển động (vị tri ban đâu và vận tốc ban đâu). Hay xác định chuyển

động của chất điểm.


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 60

Như đa biết tư phương trình cơ bản của động lực học chất điểm, gia tốc có thể

được xác định tư phương trình vi phân chuyển động chất điểm. Do đó để tìm chuyển

động của chất điểm cân phải tich phân phương trình vi phân chuyển động. Nếu tìm được

các tích phân chúng se chưa các hằng số tich phân. Để xác định các hằng số tích phân

chúng ta thay các vị tri đâu và vận tốc đâu vào biểu thưc nghiệm.

Vi du 6.1.2: Một quả câu khối lượng m rơi tự do tư điểm 0 không vận tốc đâu dưới tác

dụng của trọng lực trong môi trường không cản. Tìm quy luật chuyển động của quả câu

(hình 6.1.3).

Bài giải

Xem quả câu như một chất điểm chuyển động theo phương thẳng đưng hướng

xuống. Phương trình vi phân chuyển động của quả câu là:

m x = P = mg x = g

Do đó: dt

xdx

= g d x = gdt

Hinh 6.1.3 Hinh 6.1.4

Tư phương trình này ta nhận được: x = gt + C1 dt

dx = gt + C1

Do đó: dx = gtdt + C1dt

Vậy: x = 2

1gt2 + C1t + C2


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 61

Để xác định C1 và C2 ta thay điều kiện đâu x(0) = 0, x (0) = 0 vào các biểu thưc

của vận tốc và quang đường đi, ta có: C1 = 0; C2 = 0

Vậy: x = 2

1gt2

Trong môi trường không cản quả câu rơi nhanh dân đều với gia tốc a = g =

9,8m/s2.

Vi du 6.1.3: Giải ví dụ 6.1.2 khi kể đến sưc cản môi trường tỉ lệ bậc nhất với vận tốc và

hệ số tỉ lệ không đổi, tưc lực cản có biểu thưc canF = - x

Bài giải

Phương trình vi phân chuyển động của quả câu là: m x = mg - x

Tư đây: dt

xdx

= g - n x với n =

m

Phương trình này có thể viết trong dạng: xng

xd

= dt

Hay: xng

xngd

)( = -ndt

Trong biểu thưc nhận được ơ vế trái tư là vi phân của mẫu và vì g - n x > 0 nên:

ln1

1

C(g - n x ) = -nt

Do đó: g = n x = C1c -nt

Giải phương trình này đối với x , ta có:

v x dt

dx =

n

1(g - C1c-nt) (a)

dx = n

1(g - C1c-nt) dt

Khi lấy tich phân hai vế, chúng ta nhận được: x = n

gt +

2

1

n

Cc-nt + C2 (b)

Để xác định các hằng số tich phân ta thay các điều kiện đâu x (0) = 0; x(0) = 0 vào

các biểu thưc (b) và (a) tương ưng, ta có: 0 = n

1(g - C1)

0 = 2

1

n

C + C2

Tư đây ta tinh được: C1 = g và C2 = -2

1

n

C= -

2n

g


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 62

Vậy phương trình chuyển động của quả câu se là: x = n

gt +

2n

ge-nt -

2n

g

Còn vận tốc của quả câu được tinh theo biểu thưc: v = x = n

g(1 - e-nt)

Khi t thì v n

g = const, tưc quả câu se tiến đến trạng thái chuyển động đều

với vận tốc được gọi là vận tốc tới hạn, ki hiệu v hoặc vgh: v = n

g

Đây là một tinh chất rất quan trọng: lực cản nhớt (lực can ti lệ vơi vận tôc) làm đều

chuyển động.

Vi du 6.1.4: Một vật nặng có khối lượng m được treo vào đâu một lò xo có độ cưng c

nằm cân bằng tại vị tri O. Kéo vật nặng ra khỏi vị trí cân bằng với độ lệch xo và cho nó

vận tốc ban đâu vo hướng về vị tri cân bằng O, hay tìm chuyển động của vật (hình 6.1.5).

Hinh 6.1.5

Bài giải

Vật nặng được xem như một chất điểm chuyển động thẳng dưới tác dụng của trọng

lực và lực đàn hồi lò xo: Flx = c, ơ đây c = const được gọi là hệ số cưng của lò xo, - độ

gian (co) của lò xo được kể tư vị tri không biến dạng. Chọn trục Ox hướng thẳng xuống.

Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm là: m x = P - c = P - c(x + 0)

0 là độ gian của lò xo ưng với vị tri cân bằng, x là tọa độ của chất điểm kể tư vị tri

cân bằng tĩnh O. Khi chú ý rằng tại vị tri cân bằng trọng lực P được triệt tiêu với lực đàn

hồi của lò xo tại vị tri này, tưc P = c0. Do đó phương trình được rút gọn thành:

x = -k2x (a)

Trong đó: k = m

cđược gọi là tân số riêng của dao động.

Phương trình (a) có thể viết trong dạng: x dx

xdx

dt

dx

dx

xd

dt

xd

= -k2x

Tư đây ta nhận được: x d x = -k2xdx


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 63

Bằng cách lấy nguyên hàm hai vế ta có: 2

2x= -k2

2

2x (b)

Khi thay các điều kiện x (0) = v0; x(0) = 0 và (b) ta tinh được hằng số C1:

22

2

0

22

01

kvC

và thay (b) vào (a), ta được: 2

0

22

0

22 kvxkx

Do đó: x dt

dx = k 22 xA với A =

2

2

02

0k

v

Tư đây ta nhận được: kdtxA

dx

22

Bằng phep biến đổi biến: x = Asinu, dx = Acosudu, ta có:

kdtduxA

dx

22

Khi lấy nguyên hàm hai vế của đẳng thưc trên, ta nhận được: u = kt + C2

Để xác định hằng số C2 ta thay điều kiện đâu vào. Dễ dàng tinh được:

2

2

02

0

02 arcsin

)0(arcsin)0(

k

vA

xuC

Vậy quả câu se chuyển động theo luật (hình 6.1.6)

2

2

02

0

0

2

2

02

0 arcsinsinsin

k

vkt

k

vuAx

Là hàm điều hòa theo thời gian. Đây là tinh chất chung của chuyển động của chất

điểm dưới tác dụng của lực hướng tâm tỉ lệ với khoảng cách tư điểm đó đến tâm hút.

Asin với A = 2

2

02

0k

v ; = arcsin

2

2

02

0

0

k

v


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 64

Hinh 6.1.6

1.3. LƯC QUÁN TÍNH – NGUYÊN LÝ ĐALAMBE.

1.3.1. Lưc quán tính. Khảo sát chất điểm dưới tác dụng của lực F chuyển động với gia

tốc a đối với hệ quy chiếu quán tinh. Ta đưa vào định nghĩa:

Lực quán tính của chất điểm, kí hiệu là Fqt có cung phương, ngược chiều với gia

tốc chất điểm và có giá trị bằng tích của khối lượng với gia tốc của chất điểm:

Fqt = ma (6.1.2)

Cân nhấn mạnh rằng lực quán tính của chất điểm không phải là lực tác dụng lên

chất điểm. Để làm ro ta xét hai ví dụ sau: Giả sư dưới tác dụng của lực F xe chạy với gia

tốc a . Theo định luật 2 của động lực học, ta có F = m a . Khi ta tác dụng lên xe một lực

F (lực này đặt lên xe) thì để bảo toàn quán tính của nó xe có tác dụng lại 'F , lực này đặt

lên tay đây (không đặt lên xe). Do định luật tác dụng và phản tác dụng ta có:

F = - F = ma = Fqt

Vậy lực quán tính của xe không phải là lực tác dụng lên xe mà lực tư xe tác dụng

lên tay đây (Hình 6.1.7)

Hình 6.1.7 Hình 6.1.8


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 65

Ta khảo sát một ví dụ khác: một chất điểm có khối lượng m buộc vào đâu một sợi

dây, nó quay điều với vận tốc 0. Gia tốc chất điểm là gia tốc hướng tâm. Lực quán tính

của chất điểm là lực ly tâm. Lực này không đặt lên chất điểm mà chính là lực chất điểm

tác dụng lên dây và nhờ nó mà dây luôn luôn căng. Lực tác dụng lên chất điểm. Ngoài

trọng lực có lực do dây tác dụng lên chất điểm (phản lực của dây có tác dụng lên chất

điểm). Lực này hướng về tâm (lực hướng tâm) ngược chiều với lực quán tính (Hình

6.1.8)

1.3.2. Nguyên lý Đalămbe.

a. Nguyên ly Đalămbe đối với chất điểm: Tại môi thời điểm lực quán tính của chất điểm

cân bằng với lực tác dụng lên chất điểm. qtF = ± F = 0 (6.1.3)

Để khẳng định sự đúng đắn của nguyên lý ta dựa vào định luật của Niutơn. Thực

vậy theo định luật 2 Niutơn ta có (Hình 6.1.9): ma = F

tư đó: F + (- ma ) = 0 → F + qtF = 0

Hình 6.1.9

Chú thích:

1. Nguyên lý chỉ khẳng định sự cân bằng về lực (hai lực cung phương, ngược chiều và

cung cường độ) chư không phải sự cân bằng của chất điểm.

2. Trong trường hợp của chất điểm không tự do, lực tác dụng lên chất điểm là hợp lực

của lực hoạt động và lực liên kết.

3. Trạng thái cân bằng về lực được thiết lập ơ một thời điểm. Do đó có thể thiết lập điều

kiện cân bằng (các phương trình cân bằng) đối với hệ trục động bất kỳ.

Ví du 6.1.5: Một quả câu nhỏ trọng lượng P được treo vào toa xe chuyển động thẳng với

gia tốc a. Dây treo quả câu bị lệch một góc α = const so với đường thẳng đưng. Xác định

gia tốc a của toa xe (Hình 6.1.10).


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 66

Hình 6.1.10

Bài giải

Xem quả câu như một chất điểm chịu tác dụng của trọng lực và phản lực dây T do

dây tác dụng lên quả câu. Lực quán tính của chất điểm do gia tốc của chất điểm (tưc gia

tốc của xe) se bằng: qtF = - ma = - g

pa

Còn lực thật tác dụng lên quả câu là hợp lực của trọng lực P và phản lực dây. Theo

nguyên lý Đalămbe ta có: P + T + qtF = 0

Chiếu hai vế của đẳng thưc này lên phương ∆ thẳng góc dây. Ta nhận được:

qtF cosα - P sinα = 0 → g

pacosα - P sinα = 0

2. ĐÔNG LƯC HỌC VÂT RĂN.

Thời gian: 2h

2.1. ĐÔNG LƯC HỌC VÂT RĂN TINH TIẾN.

2.1.1. Định nghĩa. Chuyển động của vật rắn được gọi là tịnh tiến khi một đoạn thẳng bất

kì thuộc vật giữ phương không đổi trong quá trình chuyển động.

Ví du 6.2.1: Chuyển động của một thùng xe trên đoạn đường thẳng (hình 6.2.1), chuyển

động của thanh truyền AB trong cơ cấu hình bình hành (hình 6.2.2), chuyển động của tay

biên AB của tàu hoả (hình 6.2.3).

Hình 6.2.1 Hình 6.2.2 Hình 6.2.3

2.1.2. Định lý 6.1: Khi vật rắn chuyển động tịnh tiến, các điểm thuộc vật ve nên những

quỹ đạo đồng nhất (có thể đặt trùng khít lên nhau), tại môi thời điểm các điểm thuộc vật

có vận tốc bằng nhau và gia tốc bằng nhau.


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 67

Chứng minh: Lấy hai điểm bất kì A, B thuộc vật. Các vectơ định vị của chúng liên hệ

thưc sau: ABrr AB

Hình 6.2.4

Trong đó: AB là vectơ hằng: có modun không đổi (do tính chất vật rắn tuyện đối)

và phương, chiều không đổi (do vật rắn chuyển động tịnh tiến). Do đó vị trí của điểm B

có được bằng cách trượt điểm A trên giá của vectơ AB với vectơ bằng AB . Trong phép

trượt này quỹ đạo điểm A se đến trùng với quỹ đạo điểm B, tưc quỹ đạo điểm A có thể

đặt trùng lên quỹ đạo điểm B (hình 6.2.4)

Do AB là vectơ hằng nên: 0dt

ABd

Vậy: ABAB vv

dt

rd

dt

rd

ABAB aatd

rd

td

rd

2

2

2

2

Như vậy về mặt động học vật rắn chuyển động tịnh tiến được thay thế bằng một

chất điểm.

2.2. ĐÔNG LƯC HỌC VÂT RĂN QUAY QUANH TRỤC CỐ ĐINH.

2.2.1. Định nghĩa. Chuyển động của vật rắn có hai điểm luôn luôn cố định được gọi là

chuyển động quay quanh một trục cố định. Đường thẳng qua hai điểm cố định được gọi

là trục quay (hình 6.2.5)


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 68

Hình 6.2.5

Khi một vật quay quanh một trục cố định, môi điểm thuộc vật chuyển động trên

một đường tròn có tâm nằm trên trục quay, có bán kính bằng khoảng cách tư điểm đó đến

trục quay (bán kính quay của điểm).

Để khảo sát chuyển động của vật chỉ cân khảo sát chuyển động của một tiết diện

phẳng bất kì vuông góc với trục quay.

2.2.2. Khảo sát chuyên đông của vât.

a. Phương trinh chuyển động: Góc định vị của tiết diện phẳng là góc giữa trục cố

định Ix với bán kính quay IM của tiết diện phẳng: t (6.2.1)

được gọi là phương trình chuyển động của vật quay.

b. Vận tốc góc của vật, kí hiệu : )(.

tdt

d

(6.2.2)

Dấu của biểu diễn chiều quay:

> 0 - vật quay theo chiều dương

< 0 - vật quay theo chiều âm.

- Giá trị của vận tốc góc biểu diễn tốc độ quay của vật, được tính bằng

rad/s (hoặc 1/s): )/(30

sradn

(6.2.3)

trong đó: n là số vòng quay trong một phút của vật.

c. Gia tốc góc của vật: , kí hiệu :

dt

d(rad/s2 hoặc 1/s2) (6.2.4)


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 69

d. Dấu hiệu chuyển động quay nhanh dần, chậm dần: chuyển động quay được gọi

nhanh dân (chậm dân) nếu tăng theo thời gian (giảm theo thời gian). Do đó dấu hiệu

của chuyển động nhanh dân, chậm dân se là:

0

0

(6.2.5)

Dấu ">" ưng với chuyển động nhanh dân, còn dấu : "<" ưng với chuyển động

chậm dân.

e. Các chuyển động quay đăc biệt (chọn chiều dương thuận chiều quay)

* Chuyển động quay đều: 0)(;0; 000 ttconst (6.2.6)

trong đó: 00 t .

* Chuyển động quay biến đổi đều:

000

2

000000 )()(2

1;)(; ttttttconst (6.2.7)

trong đó: 0000 );( tt . Dấu "+" ưng với chuyển động nhanh dân đều, còn dấu "-"

ưng với chuyển động chậm dân đều.

2.2.3. Khảo sát chuyên đông của các điêm thuôc vât.

Khảo sát một điểm M có bán kính quay R (R = IM).

a. Phương trinh chuyển động của điểm M doc theo quỹ đạo:

)(tRs (6.2.8)

b. Vận tốc của chất điểm M: dt

OMdvM

- Phương: vuông góc với bán kính quay R.

- Chiều: thuận chiều quay (thuận với ).

- Giá trị: vM = R (2.2.9)

c. Gia tốc của điểm M: nt

M aaa

trong đó: ta là thành phân gia tốc tiếp, còn na là gia tốc pháp.

* Gia tốc tiếp ta :

- Phương vuông góc với bán kính quay.

- Chiều: thuận chiều v nếu vật quay nhanh dân và ngược chiều v nếu vật quay

chậm dân (thuận chiều với ).


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 70

- Giá trị: Rat (6.2.10)

* Gia tốc pháp na :

- Phương: dọc bán kính quay.

- Chiều: hướng về trục quay (gia tốc hướng tâm).

- Giá trị: 2Ran (6.2.11)

2.3. PHƯƠNG TRÌNH CƠ BAN.

2.3.1. Phương trinh vi phân chuyên đông của chất điêm dạng véctơ.

Như đa biết, trong hệ quy chiếu quán tính chuyển động của chất điểm tuân theo

quy luật cơ bản của động lực học. Nếu gọi r là véctơ định vị của chất điểm trong hệ quy

chiếu quán tính, ta có: ),,(

.

rrtFrm (6.2.12)

Phương trình (6.2.12) được gọi là phương trình vi phân chuyển động của chất

điểm dạng véctơ.

2.3.2. Phương trinh vi phân chuyên đông của chất điêm dạng toạ đô Đềcác.

Chọn hệ trục toạ độ Đềcác vuông góc gắn vào hệ quy chiếu quán tính. Khi chiếu

hai vế của đẳng thưc vectơ (6.2.12) lên trục toạ độ, ta được:

),,,,,,( zyxzyxtFxm x

),,,,,,( zyxzyxtFym y (6.2.13)

),,,,,,( zyxzyxtFzm z

Đó là phương trình vi phân chuyển động của chất điểm dạng toạ độ Đề các. Khi

chất điểm chuyển động trong mặt phẳng hoặc dọc theo đường thẳng thì số phương trình

giảm xuống còn tương ưng hai hoặc một.

2.4. MÔ MEN QUÁN TÍNH CUA VÂT RĂN ĐỐI VỚI MÔT TRỤC.

2.4.1. Các định nghĩa.


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 71

Hình 6.2.6

- Mômen quán tính của vật rắn đối với trục z, kí hiệu Iz, là đại lượng vô hướng

được xác định theo công thưc (hình 6.2.6):

dmmIV

kkN

Z

)(

22lim (6.2.14)

trong đó: k là khoảng cách của phân tư Mk đối với trục z.

- Mômen quán tính của vật rắn đối với các trục toạ độ: chúng được tính theo công

thưc:

)(

22

V

Z dmyxI

)(

22

V

y dmxzI (6.2.15)

)(

22

V

x dmzyI

- Mômen quán tinh tich là các đại lượng sau:

V

N

k

kkkN

xy xydmmyxI1

lim

V

N

k

kkkN

yz yzdmmzyI1

lim (6.2.16)

V

N

k

kkkN

xz zxdmmxzI1

lim

Rõ ràng là: xzIzxzyyzyxxy IIIII ,, (6.2.17)

Trục quán tính chính: Trục x được gọi là trục quán tính chính, nếu:

0 xzxy II (6.2.18)


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 72

Tương tự trục y là trục quán tính chính nếu 0 yzyx II , còn trục z là quán tính

chính khi 0 zyzx II .

Rõ ràng nếu hai trục là trục quán tính thì trục thư ba cũng là trục quán tính chính.

- Trục quán tính chính trung tâm: trục quán tính chính qua khối tâm được gọi là

trục quán tính chính trung tâm.

- Mômen quán tính của vật rắn đối với một điểm

N

k V

kkN

dmrrmI1

22

0 lim (6.2.19)

Dễ dàng chỉ ra rằng: zyx IIII

2

10 (6.2.20)

- Bán kính quán tính: M

I zqt 2 (6.2.21)

Đại lượng M

I zqt 2 được gọi là bán kính quán tính của vật rắn đối với trục z.

Đơn vị của mômen quán tính kgm2 (kilôgam met bình phương), đơn vị của bán

kính quán tính là m (mét).

Trong trường hợp đối với tiết diện phẳng F (hình 6.2.7)

Hình 6.2.7

F

xy

F

y

F

x xydFIdFxIdFyI ;; 22 (6.2.22)

- Mômen quán tinh độc cực I0:

yx

F

IIdFrI 2

0 (6.2.23)

Hệ trục có Ixy = 0 được gọi là hệ trục chính. Hệ trục có:

Ixy = 0; Sx = Sy = 0. (6.2.24)

được gọi là hệ trục quán tính chính trung tâm.


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 73

Tương ưng với hệ trục quán tính chính (hệ trục quán tính chính trung tâm) ta có

các mômen quán tính chính (các mômen quán tính chính trung tâm).

2.4.2. Các định lý.

Định lý 6.2.1: Mômen quán tính của vật rắn đối với trục bằng tổng mômen quán tính

của nó đối với trục song song với trục qua khối tâm C của vật và tích của khối lượng

vật với bình phương khoảng cách giữa hai trục (hình 6.2.8):

I = Ic + Md2 (6.2.25)

Hình 6.2.8 Hình 6.2.9 Hình 6.2.10

Định lý 6.2.3: Nếu vật rắn đồng chất có một trục đôi xưng thì trục thẳng góc với mặt

phẳng đối xưng là trục quán tính chính tại giao điểm của mặt phẳng đối xưng và trục

(hình 6.2.9).

Định lý 6.2.4: Nếu vật rắn đồng chất có một trục đối xưng thì trục đó là trục quán tính

chính trung tâm (hình 6.2.10)

Mômen quán tính của một số đồng chất:

- Thanh đồng chất có chiều dài L, khối lượng m (hình 6.2.11)

0;3

;12

22

yzxc ImL

IImL

I (6.2.26)

Hình 6.2.11

- Vành tròn đồng chất có bán kính R, khối lượng m (hình 6.2.12):


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 74

2;

22 mR

IImRI zyx (6.2.27)

Hình 6.2.12 Hình 6.2.13

- Mặt tròn đồng chất, bán kính R, khối lượng m (hình 6.2.13)

4;

2

22 mRII

mRI zyx (6.2.28)

- Tấm chữ nhật đồng chất, có các cạnh 2a, 2b, khối lượng m (hình 6.2.14):

12;

12

22 mbI

mbI yx (6.2.29)

Hình 6.2.14

- Trụ tròn xoay đồng chất, có khối lượng m, bán kính R, chiều cao h:

+ Trụ rông (hình 6.2.15):

62;

222 h

Rm

IImRI yxz (6.2.30)

+ Trụ đặc (hình 6.2.16):

34;

2

22

2 hR

mII

mRI yxz (6.2.31)


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 75

Hình 6.2.15 Hình 6.2.16

Các kết quả trên có thể áp dụng để tính trực tiếp cho truờng hợp của tiết diện

phẳng có tiết diện F, ví dụ ta có:

- Vành tròn đồng chất: 22

;42

42 RFRIIRFRI zyx

(6.2.32)

- Mặt tròn đồng chất: 4

;2

44 RII

RI zyx

(6.2.33)

- Tấm chữ nhật đồng chất: 12

;12

33 baI

abI yx

(6.2.34)

VÝ dô øng dông:

* VÝ dô 1: ( C¬ cÊu ph¼ng)

§Üa ph¼ng cã b¸n kÝnh R = 0,5m l¨n kh«ng trît

theo mÆt ph¼ng nghiªng. T¹i thêi ®iÓm kh¶o s¸t t©m cña

®Üa cã vËn tèc VA = 1m/s vµ gia tèc WA = 3m/s2. T×m:

- VËn tèc gãc cña ®Üa, vËn tèc çc ®iÓm C, D, E

- Gia tèc gãc cña ®Üa, gia tèc çc ®iÓm B, C. BiÕt

BD ┴ CE; CE song song víi mÆt ph¼ng nghiªng.

Bµi gi¶i:


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 76

§Üa l¨n kh«ng trît trªn mÆt ph¼ng nghiªng nªn çc

®iÓm thuéc ®Üa chuyÓn ®éng song ph¼ng (trõ ®iÓm A).

+ TÝnh ω, VC , VD , VE :

T©m vËn tèc cña ®Üa trïng

víi ®iÓm tiÕp xóc B. Do ®ã

vËn tèc gãc cña ®Üa lµ:

)/(25,0

1. sradAP

VA

MÆt kh¸c: EP

V

DP

V

CP

V

AP

V EDCA .

)/(22

.1. smR

R

AP

CPVV AC

)/(22

.1. smR

R

AP

DPVV AD

)/(22

.1. smR

R

AP

EPVV AE

+ TÝnh gia tèc gãc cña ®Üa ε, vµ WB, WC:

- Gia tèc gãc cña ®Üa: )/(65,0

3. 2sradAP

WA

- TÝnh WB:

Chän ®iÓm A lµm cùc ta cã ph¬ng tr×nh gia tèc:

n

BABAA

n

BB WWWWW (a)

BW : ph¬ng vu«ng gãc víi AB, chiÒu gi¶ thiÕt

n

BW : ph¬ng AB, chiÒu tõ B → A

BAW : ph¬ng vu«ng gãc víi AB, chiÒu gi¶ thiÕt, trÞ

sè :

)/(35,0.6. 2smBAWB

n

BAW : ph¬ng AB, chiÒu tõ B

→ A, trÞ sè:

A

WA

VA

B

C

E

D

P

VC

VD

VE

A

WA

C

E

D

B

WBA

n

t

WBA

WB

t

WB

n


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 77

)/(25,0.2. 222 smBAW n

B

Nh vËy trong ph¬ng tr×nh (a) cã hai Èn sè BW vµ

n

BW .

ChiÕu (a) lªn ph¬ng cña BW ta cã:

033 BAAB WWW

ChiÕu (a) lªn ph¬ng cña

n

BW ta cã:

)/(2 2smWW n

BA

n

B

Do ®ã: )/(2)()( 222 smWWWW n

B

n

BBB

- TÝnh WC: H×nh ph¼ng quay

tøc thêi quanh t©m vËn tèc nªn

ta cã thÓ viÕt ph¬ng tr×nh gia

tèc ®iÓm C díi d¹ng sau:

22 )()( n

CCC WWW

Trong ®ã:

CW - Ph¬ng vu«ng gãc víi PC,

chiÒu thuËn víi ε vµ cã trÞ sè:

)/(232.5,0.6. 2smPCWC

n

CW Ph¬ng PC, híng tõ P→C vµ cã trÞ sè:

)/(222.5,0.2. 222 smPCW n

C

Do ®ã: )/(1,526)22()23()()( 22222 smWWW n

CCC

Chương 7: CAC ĐINH LÝ CƠ BAN CUA ĐÔNG LƯC HỌC

1. CÔNG CUA LƯC - CÔNG SUÂT. Thời gian: 3h

1.1. CÔNG CUA LƯC - CÔNG SUÂT.

1.1.1. Công của lưc. Công của lực là đại lượng đánh giá tác dụng của lực theo di chuyển

của điểm đặt lực. Khi có lực tác dụng làm cho chất điểm di chuyển được một đoạn, nó

liên hệ với một đại lượng được gọi là công của lực.

C

P

D

E

A

t

WC

n

WC

WC


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 78

* Công của lực không đổi và điểm đặt lực di chuyển dọc theo đường thẳng trùng

với phương của lực tác dụng, ký hiệu A được tính theo công thưc: FsA (7.1.1)

lấy dấu "+" khi điểm của lực di chuyển cùng chiều lực, lấy dấu "-" trong trường hợp

ngược laị (hình 7.1.1 a, b)

Hình 7.1.1

* Trường hợp phương của lực hợp với phương di chuyển một góc (hình 7.1.2 a,

b) ta phân lực F ra hai thành phân 1F và 2F .

Thành phân 1F không gây chuyển động theo phương di chuyển 2F dọc phương di

chuyển. Lực 1F không gây chuyển động theo phương của nó, nên công ưng với nó bằng

không, công thành phân 2F hướng dọc phương di chuyển, công của nó được tính theo

công thưc (7.1.1). Vậy công của lực F bằng công của lực 2F :

sFsFA cos2 (7.1.2)

Hình 7.1.2

Khi 2

0

thì A > 0 và khi đó ta có công động.

Khi

2

thì A < 0 và khi đó ta có công cản.

Đơn vị công bằng đơn vị lực x đơn vị độ dài.

Đơn vị công thường được dung là Niutơn.met (Nm) và các bội số của nó. Đơn vị

Nm còn được gọi là jun (J).

* Trường hợp khi lực có phương, chiều và giá trị thay đổi (hình 7.1.3):


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 79

Hình 7.1.3

Trong trường hợp này ta tính công của lực ưng với di chuyển bé (di chuyển vô

cung be). Khi đó có thể xem đoạn đường di chuyển là thẳng và lực có phương, chiều và

giá trị không đổi (bỏ qua sự thay đổi bé của chúng) và nhờ vậy có thể sư dụng công thưc

(7.1.1). Công của lực trong di chuyển vô cùng bé của điểm đặt lực được gọi là công

nguyên tố, ký hiệu dA được tính theo công thưc: dsFdA t

Trong đó: tF là hình chiếu của lực F trên phương tiếp tuyến của quỹ đạo điểm đặt

lực, còn ds là đoạn di chuyển. Dễ dàng nhận được: rdsdFFt ;cos

Trong đó: là góc giữa lực F và phương dương tiếp tuyến (phương dương của

tiếp tuyến được chọn phù hợp với phương dương của quỹ đạo của điểm đặt lực), rd là

vectơ di chuyển vô cung be, do đó: dzFdyFdxFrdFrdFrdFdA zyx ,cos (7.1.3)

Để tính công A của lực khi điểm đặt lực di chuyển tư vị trí M1 đến vị trí M2 ta cân

chia cung M1M2 thành nhiều cung nhỏ và tính công (công nguyên tố) trong các đoạn di

chuyển nhỏ cộng lại. Bằng cách ta có: 2

1

2

1

M

M

zy

r

r

dzFdyFFxdxrdFA (7.1.4)

1.1.2. Công suất. Công suất của lực là công của lực ưng với một đơn vị thời gian. Ký

hiệu W.

* Trong trường hợp lực có phương, chiều và giá trị không đổi, điểm đặt lực di

chuyển theo đường thẳng thì: 12t

AW

t

A là công của lực sinh ra trong khoảng thời gian (t2 - t1) ưng với điểm đặt lực di

chuyển tư M1 đến M2, nó được tính theo công thưc (7.1.2) hoặc công thưc (7.1.3)

Đơn vị của công suất là jun/giây, ký hiệu J/s, còn được gọi là oát, ký hiệu là W.


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 80

* Trong trường hợp lực thay đổi theo thời gian về phương, chiều và giá trị, còn

điểm đặt lực di chuyển theo đường cong thì:

zFyFxFvFdt

rdF zyx

dt

dAW (7.1.5)

Công suất của hệ lực ),...,,( 21 NFFF được tính theo công thưc:

N

k

kkzkkykkx

N

k

kk zFyFxFvF11dt

dAW (7.1.6)

Công A của lực có thể tính theo công thưc: WdtA (7.1.7)

ơ đây cận lấy tich phân được lấy ưng với vị trí của cơ hệ của vị tri đâu và vị trí cuối của

cơ hệ trong di chuyển.

1.2. HIỆU SUÂT.

1.2.1. Định nghĩa hiệu suất. Trong giai đoạn chuyển động bình ổn của máy, ngoài lực

phát động do động cơ phát ra còn có lực cản có ich tiêu hao vào việc thực hiện các yêu

câu của quá trình công tác và lực cản vô ich không tránh khỏi như lực ma sát trong các

khớp. Gọi công của các lực đó trong một chu kỳ làm việc của máy lân lượt là công động

Ad, công cản có ich i

cA và công cản vô ich v

cA .

Theo định lý biến thiên động năng (định lý 7.1.1), ta có:

T2 - T1 = Ad - i

cA - v

cA (7.1.8)

Trong đó: T1 và T2 là trị giá động năng của máy ưng với điểm đâu và cuối của một

chu kỳ làm việc của máy.

Vì sau một chu kỳ làm việc máy trơ lại vị tri xuất phát nên T1 = T2. Do đó tư

(7.1.7), ta có: Ad - i

cA - v

cA = 0

Vậy: Ad = i

cA - v

cA (7.1.9)

Như vậy toàn bộ công động do động cơ cung cấp trong một chu kỳ tiêu hao một

phân vào việc thực hiện các yêu câu của quá trình công tác và một phân để thắng công

cản vô ich. Phân sau cung là điều không mong muốn. Do đó phân công vô ich càng be

càng tốt. Vì lý do đó người ta đưa ra một chỉ số đánh giá chất lượng của máy:

= dA

c

iA

< 1 (7.1.10)

được gọi là hiệu suất của máy. Hiệu suất càng lớn máy được đánh giá càng có

chất lượng tốt.


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 81

Khái niệm hiệu suất được sư dụng trong ý nghĩa rộng rai. Đó là tỉ số giữa lượng

được sư dụng có ich và lượng được cung cấp để thực hiện một công việc nào đó. Trong

lĩnh vực khảo sát động lực ta có hiệu suất cơ cấu, hiệu suất của một phân tư, hiệu suất của

day các phân tư máy.

1.2.2. Hiệu suất của các phần tư nối tiếp. Khảo sát day các phân tư nối tiếp: công phát

ra các phân đưng trước là công nhận vào của phân tư đưng tiếp sau (hình 7.1.4). Cơ cấu

bánh răng (hình 7.1.5a,b) là một vi dụ về day phân tư nối tiếp.

Hinh 7.1.4

Gọi i là hiệu suất của phân tư thư i và là hiệu suất của toàn day:

i = i

i

A

A1 ; =

d

c

A

A (7.1.11)

Hình 7.1.5

Trong đó: Ad là công đưa vào phân tư đâu và Ac là công phát ra của phân tư cuối.

Dựa vào định nghĩa nêu trên, ta có thể viết:

= 1-n

n

s

1s

2

3

1

2

d

1

d

c

A

A ...

A

A ...

A

A

A

A

A

A

A

A = 12…n =

n

1 i

i (7.1.12)

Như vậy, hiệu suất của một day phân tư nối tiếp bằng tich các hiệu suất của các

phân tư trong day.

1.2.3. Hiệu suất của day phần tư nối song song. Day phân tư song song là một day gồm

các phân tư mà môi phân tư đều nhận công tư một phân tư gốc không qua bất kỳ phân tư

nào. Gọi i là hiệu suất của phân tư thư i và là hiệu suất của day (hình 7.1.6):


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 82

i = di

ci

A

A ; =

d

c

A

A (7.1.13)

Vì Ad = Adi = i

ciA

, Ac = Aci

Nên =

i

ci

ci

d

c

A

A

A

A

Hinh 7.1.6

2. CAC ĐINH LÝ CƠ BAN CUA ĐÔNG LƯC HỌC: Thời gian: 2h

2.1. ĐINH LÝ BIẾN THIÊN ĐÔNG NĂNG.

Gọi WF và Wqt lân lượt là tổng công suất của các lực tác dụng lên cơ hệ và của các

lực quán tính của các chất điểm thuộc cơ hệ: WF = .

1

k

N

k

k vF

(7.2.1)

Wqt = k

qt

k vF = - kkk vam = - k

k

k vdt

vdm = -

dt

d(

kk vm 2

2

1 ).

Đại lượng 2

1mk

kv 2

được gọi là động năng của chất điểm Mk và:

T = 2

1 k

2k vm (7.2.2)

được gọi là động năng của cơ hệ. Đơn vị của động năng là kg 2

2

s

m.

Vậy: Wqt = -dt

dT (7.2.3)

Vì hệ lực (7.2.1) cân bằng nên tổng công suất của các lực thuộc hệ triệt tiêu.

Vậy: Wqt + WF = 0 dt

dT = kvF (7.2.4)


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 83

Định ly 7.2.1: Đạo hàm theo thời gian động năng của cơ hệ bằng tổng công suất của tất

cả các lực (gồm các nội lực và ngoại lực hoặc các lực liên kết và lực hoạt động) tác dụng

lên các chất điểm thuộc cơ hệ.

Tư (7.2.4) ta có: dT = kvF dt = kFrF = kdA (7.2.5)

Định ly 7.2.2: Vi phân động năng cơ hệ bằng tổng cộng nguyên tố của các lực (nội lực

và ngoài lực hoặc lực hoạt động và lực liên kết) tác dụng cơ hệ.

Khi tich phân hai vế của đẳng thưc (7.2.5) với các cận tương ưng, ta có:

T - T0 = kA (7.2.6)

Định ly 7.2.3: Biến thiên động năng của cơ hệ trong một khoảng thời gian nào đó bằng

tổng cộng của các lực (nội lực và ngoại lực hoặc lực hoạt động và lực liên kết) sinh ra

trong chuyển dời ưng với khoảng thời gian đó.

Định li động năng phản ánh sâu sắc bản chất quá trình thay đổi chuyển động của

cơ hệ và nhờ nó trang thái chuyển động của cơ hệ được nghiên cưu sâu sắc.

2.2. ĐINH LÝ BIẾN THIÊN ĐÔNG LƯỢNG.

Gọi 'R = kF + kqtF = 0. (7.2.7)

kF là hợp lực của ngoại lực và nội lực tác dụng lên chất điểm Mk. Vì vectơ chinh

của hệ nội lực triệt tiêu nên: kF = e

kF + i

kF = c

kF

Còn: qt

kF = -mk ka = -mkd

dvk = -

dt

d (mk kv ).

mk kv = Q được gọi là động lượng của cơ hệ, là đại lượng đặc trưng cho chuyển động

cơ hệ.

Vậy đẳng thưc (a) có thể viết như sau: c

kF - dt

Qd = 0

Tư đó ta nhận được : dt

Qd =

c

kF (7.2.8)

Vậy ta có định lý sau:

Định lý 7.2.4: Đạo hàm động lượng của cơ hệ theo thời gian bằng tổng quát các ngoại

lực (vectơ chinh của hệ ngoại lực) tác dụng lên cơ hệ.

Tư (7.2.8) ta có: d Q = c

kF dt

Tích phân hai vế trong khoảng thời gian tư t1 đến t2 ta nhận được:


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 84

2Q - 1Q = 1

2

t

t

e

k dtF = 2

1

t

t

e

k dtF = e

kS (7.2.9)

Định lý 7.2.5: Biến thiên của động lượng của cơ hệ trong một khoảng thời gian nào đó

bằng tổng xung lực các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ trong khoảng thời gian đó.

Đối với một trục Ox cố định, ta có: dt

dQx = kxeF (7.2.10)

Qx(2) = Qx

(2) = 2

2

t

t

kxe dtF = kx

eS (7.2.11)

Trong đó: Chỉ số x ký hiệu hình chiếu đại lượng tương ưng trên trục x.

Chú ý:

1. Nội lực không ảnh hương đến sự biến đổi của động lượng cơ hệ.

2. Nếu c

kF = 0, tưc vectơ chinh của hệ ngoại lực triệt tiêu, thì động lượng cơ hệ được

bảo toàn, tưc: Q = const (7.2.12)

3. Nếu c

kxF = 0, tưc tổng hình chiếu các ngoại lực trên trục cố định x triệt tiêu, thì hình

chiếu của động lượng trên trục x được bảo toàn, tưc:

Qx = const (7.2.13)

Các chú ý 1 và 2 là nội dung của các định lý bảo toàn động lượng và hình chiếu

động lượng trên một trục.

Các định lý trên có thể được áp dụng trực tiếp đối với chất điểm. Khi xem chất

điểm là cơ hệ đặc biệt gồm chỉ một chất điểm.

TÀI LIÊU THAM KHAO

1. C¬ häc lý thuyÕt: Chu T¹o §oan - Nhµ xuÊt b¶n GTVT, Hµ

Néi 2002.

2. Gi¸o tr×nh C¬ häc: GS.TSKH §ç Sanh, GS.TS NguyÔn V¨n

§×nh - GS.TSKH NguyÔn V¨n Khang - Nhµ xuÊt b¶n Gi¸o dôc, Hµ

Néi 2000.

3. C¬ kü thuËt: PGS.TS NguyÔn V¨n V¬ng, TS Phan H÷u Phóc -

Nhµ xuÊt b¶n GD, Hµ Néi 2001.

4. Søc bÒn vËt liÖu: TrÇn Trung DiÖm - Nhµ xuÊt b¶n §H vµ

THCN, Hµ Néi 1989.


___________________________________________________________________________

Cơ ly thuyêt 85

Documents

Ch¬ng tr×nh m«n häc C¬ lý thuyÕt