Chuyªn ®Ò 2 bµi to¸n sù t¬ng giao cña 2 ®å thÞ hµm sè

Bµi to¸n t¬ng giao Tæ 4 - 12A1 - Khãa 2008-2011

Híng dÉn biªn so¹n: ThÇy gi¸o NguyÔn §øc H÷u 89

Chuyªn ®Ò 2 bµi to¸n sù t¬ng giao cña 2 ®å thÞ hµm sè

i. X©y dùng lÝ thuyÕt - XÐt 2 hµm sè y=f(x) lµ (C1) y=g(x) lµ (C2)

M(x, y) (C1) ∩ (C2) M (C1) vµ M (C2)

y f(x) y f(x)

y g(x) f(x) g(x) (*)

NhËn xÐt:

- Täa ®é giao ®iÓm M cña (C1) vµ (C2) chÝnh lµ nghiÖm cña hÖ y f(x)

y g(x)

- Ph¬ng tr×nh f(x) = g(x) ®îc gäi lµ ph¬ng tr×nh hoµnh ®é ®iÓm chung cña (C1) vµ (C2) - NghiÖm cña ph¬ng tr×nh trªn chÝnh lµ hoµnh ®é ®iÓm chung cña (C1) vµ (C2) - Sè nghiÖm cña (*) = sè ®iÓm chung (sè giao ®iÓm) cña (C1) vµ (C2)

Bµi to¸n 1: dïng ph¬ng tr×nh hoµnh ®é ®iÓm chung nghiªn cøu

sè giao ®iÓm cña 2 §THS. Ph¬ng ph¸p: §Ó nghiªn cøu sè giao ®iÓm cña 2 §THS

(C1) y=f(x,m); (C2) g=g(x,m) ta lµm nh sau:

Bíc 1: XÐt ph¬ng tr×nh hoµnh ®é ®iÓm chung cña (C1) vµ (C2) f(x,m) = g(x,m). (1) Bíc 2: BiÕn ®æi triÖt ®Ó ph¬ng tr×nh (1) Bíc 3: “Sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) = sè giao ®iÓm cña (C1) vµ (C2)” Bíc 4: BiÖn luËn sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh(1) ®Ó tõ ®ã kÕt luËn vÒ sè giao ®iÓm cña (C1) vµ (C2) Çc çch hái cña bµi to¸n nµy: Bµi to¸n nµy cã mét sè çch hái sau:

- BiÖn luËn theo tham sè m(a,k,...) sè giao ®iÓm cña 2 §THS.

- T×m §K cña tham sè m(a,k,...) ®Ó hai ®å thÞ hµm sè.....c¾t nhau t¹i n ®iÓm.

- Chøng minh r»ng 2 §THS .....c¾t nhau t¹i n ®iÓm.

Lu ý:

- Bµi to¸n t¬ng giao nµy bao giê còng gåm cã 2 phÇn: PhÇn ®Çu bao giê còng yªu cÇu t×m §K cña tham sè ®Ó 2 §THS sè c¾t nhau t¹i n ®iÓm ph©n biÖt hoÆc chøng minh 2 §THS sè c¾t nhau t¹i n ®iÓm ph©n biÖt. PhÇn sau bao giê còng hái thªm vÒ giao ®iÓm cña 2 §THS

- Khi nµy ®Ó gi¶i quyÕt phÇn sau ta chó ý mét sè ®iÓm sau:

+ Gi¶ sö M lµ ®iÓm chung cña 2 §THS (C1) y=f(x,m); (C2) g=g(x,m) + Khi ®ã xM lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh f(x,m) = g(x,m). + yM = f(xM , m) = g(xM , m)

M(xM , yM)lµ täa ®é giao ®iÓm cña (C1) vµ (C2)



VD1: T×m çc giao ®iÓm cña ®êng th¼ng y= x+1 (d)vµ parabol 2y x 2x 1 (P)

Gi¶i:

XÐt ph¬ng tr×nh hoµnh ®é ®iÓm chung cña (d) vµ (P) 2x 2x 1 x 1

2x x 2 0

x 1 y 2

x 2 y 3

VËy ®êng th¼ng c¾t parabol t¹i A(1; 2) vµ B( -2; 3 )

VD2: T×m çc giao ®iÓm cña ®êng cong (C) 3 2y 2x 3x 1 vµ parabol

( P ) 2y 2x 1 .

Gi¶i:

XÐt ph¬ng tr×nh hoµnh ®é ®iÓm chung cña (C) vµ (P)

3 2 2

2

2x 3x 1 2x 1

x (2x 1) 0

x = 0 hoÆc x = 1

2

Víi x = 0 th× y= 1

Víi x= 1

2 th× y=

3

2

VËy ( P) c¾t ( C ) t¹i A( 0;1) vµ B(1

2 ;

3

2)

VD3: T×m m ®Ó ®êng th¼ng y = m (dm) c¾t ®êng cong 4 2y x 2x 3 (C) t¹i 4 ®iÓm

ph©n biÖt.

Gi¶i:

XÐt ph¬ng tr×nh hoµnh ®é ®iÓm chung cña (C) vµ dm

4 2

4 2

x 2x 3 m

x 2x 3 m 0 (1)

§Æt X=x2, X0, ta ®îc. 2X 2X m 3 0 (2) Sè nghiÖm cña (1) = sè giao ®iÓm cña (C) vµ dm

(C) c¾t dm t¹i 4 ®iÓm ph©n biÖt Ph¬ng tr×nh (1) cã 4 nghiÖm ph©n biÖt Ph¬ng tr×nh (2) cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt.



' 0

P 0

S 0

1 2

1 2

' 0

X X 0

X X 0

m 4 0

4 m 3m 3 0

VD4: T×m m ®Ó ®êng th¼ng y = mx+1 (dm) c¾t ®å thÞ hµm sè 2x 4x 3

yx 2

(C) t¹i 2

®iÓm ph©n biÖt.

Gi¶i:


2x 4x 3

mx 1x 2

(1)

2

2

x 4x 3 (mx 1)(x 2)

x 2

f (x) (m 1)x (2m 3)x 1 0 (2)

x 2

Sè nghiÖm cña (1) = sè giao ®iÓm cña (C) vµ dm

(C) c¾t dm t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt Ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt Ph¬ng tr×nh (2) cã hai nghiÖm ph©n biÖt kh¸c -2

2

m 1 0m 1

0 m 14m 8m 5 0

f ( 2) 0

- VËy víi m 1 th× ®êng th¼ng c¾t ®å thÞ hµm sè t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt

VD5: T×m m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè 3 2y x 3x mx 1 (Cm) c¾t ®êng th¼ng y=1 (d) t¹i 3

®iÓm ph©n biÖt. Gi¶i: XÐt ph¬ng tr×nh hoµnh ®é ®iÓm chung cña (Cm) vµ d

3 2x 3x mx 1 1

3 2

2

x 3x mx 0

x(x 3x m) 0 (1)

2

x 0

x 3x m 0 (2)

Sè nghiÖm cña (1) = sè giao ®iÓm cña (Cm) vµ d

(Cm) c¾t d t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt Ph¬ng tr×nh (1) cã 3 nghiÖm ph©n biÖt Ph¬ng tr×nh (2) cã hai nghiÖm ph©n biÖt ≠ 0

m 0f (0) 0 m 0

90 9 4m 0 m

4



VËy 9

0 m4

th× bµi to¸n tháa m·n.

VD6: Cho hµm sè 3y 2x x 1 (C) ; 2y m(x 1) (C’)

T×m m ®Ó 2 ®å thÞ c¾t nhau t¹i 1 ®iÓm duy nhÊt T×m m ®Ó 2 ®å thÞ c¾t nhau t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt

Gi¶i:

- XÐt ph¬ng tr×nh hoµnh ®é ®iÓm chung cña (C) vµ (C’) : 3 22x x 1 m(x 1) (1)

3 2

2

2

2x mx x m 1 0

(x 1) 2x (m 2)x m 1 0

x 1 0 x 1

2x m 2 x m 1 0 (2)

Sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) = sè giao ®iÓm cña (C) vµ (C’)

Trêng hîp (C) c¾t (C’) t¹i 1 ®iÓm duy nhÊt Ph¬ng tr×nh (1) cã 1 nghiÖm duy nhÊt x =1 Ph¬ng tr×nh (2) v« nghiÖm 0 2m 4m 4 0

2 2 2 m 2 2 2

VËy víi 2 2 2 m 2 2 2 th× bµi to¸n tho¶ m·n Trrêng hîp (C) c¾t (C’) t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt Ph¬ng tr×nh (1) cã 3 nghiÖm ph©n biÖt Ph¬ng tr×nh (2) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x 1

2

2

m 4m 4 00

52.1 (m 2).1 m 1 0 m

2

m 2 2 2

m 2 2 2

5m

2

VËy víi

m 2 2 2

m 2 2 2

5m

2

th× bµi to¸n tho¶ m·n.

VD7: Cho hµm sè 3 2y x mx 2m 1)x m 2 (C)

BiÖn luËn theo m sè giao ®iÓm cña (C) vµ trôc hoµnh

Gi¶i:



- Ph¬ng tr×nh Ox : y 0

- XÐt ph¬ng tr×nh hoµnh ®é ®iÓm chung cña (C) vµ Ox 3 2

2

2

x mx (2m 1)x m 2 0

(x 1)[x (m 1)x m 2] 0 (1)

x 1 0 x 1

x (m 1)x m 2 0 (2)

Sè nghiÖm cña pt (1) = sè giao ®iÓm cña (C) vµ Ox - (C) c¾t Ox t¹i 1 ®iÓm duy nhÊt Ph¬ng tr×nh (1) cã 1 nghiÖm duy nhÊt Ph¬ng tr×nh (2) v« nghiÖm 0

2m 6m 7 0 1 m 7

- (C) c¾t Ox t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt Ph¬ng tr×nh (2) cã 1 nghiÖm x 1

2

2

0 m 7m 6m 7 0

m 11 (m 1).1 m 2 0 4 0

- (C) c¾t Oxt¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt Ph¬ng tr×nh (1) cã 3 nghiÖm ph©n biÖt Ph¬ng tr×nh (2) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x ≠ 1

2

2

0 m 7m 6m 7 0

m 11 (m 1).1 m 2 0 4 0

KL : + 1 m 7 th× (C) c¾t Ox t¹i 1 ®iÓm duy nhÊt

+ m 1

m 7

th× (C) c¾t Ox t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt

+ m 7

m 1

th× (C) c¾t Ox t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt.

NhËn xÐt: §èi víi trêng hîp nÕu khi gi¶i bµi to¸n d¹ng trªn mµ kh«ng nhÈm ®îc

nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc 3 ( ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm) ta cã thÓ sö dông mét sè tÝnh chÊt vÒ d¹ng §THS bËc 3 ®Ó gi¶i.

Ch¼ng h¹n : XÐt hµm sè 3 2y ax bx cx d (a 0) (C)

- §å thÞ (C) c¾t Ox t¹i 1 ®iÓm duy nhÊt

C § CT

y' 0 cã nghiÖm kÐp hoÆc v« nghiÖm

y' 0 cã 2 nghiÖm phan biÖt

y .y 0

- §å thÞ (C) c¾t Ox t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt



C § CT


y .y 0

- §å thÞ (C) c¾t Ox t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt

C § CT

y' 0

y .y 0

VD8: Cho hµm sè 3y x mx 2 (C) .

T×m m ®Ó : a) (C) c¾t Ox t¹i 1 ®iÓm duy nhÊt b) (C) c¾t Ox t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt c) (C) c¾t Ox t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt

Gi¶i:

Ta cã: 2y ' 3x m

a) (C) c¾t Ox t¹i 1 ®iÓm duy nhÊt

C § CT

y' 0 cã nghiÖm kÐp hoÆc v« nghiÖm


y .y 0

C § CT

m 0

m 0

(I)m 0

y .y 0

XÐt ph¬ng tr×nh y ' 0 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt 1 2

x ,x .

Theo ®Þnh lý Viet, ta cã: 1 2

1 2

x x 0

mx .x

3

Víi 3

1 1 1x x y x mx 2

3

2 2 2x x y x mx 2

3 3

1 1 2 2y x mx 2;y x mx 2 lµ çc gi¸ trÞ cùc trÞ cña hµm sè

3 3

C § CT 1 1 2 2

3 3 3 3 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

3 3 2 2 2

1 2 1 2 1 2

y .y (x mx 2)(x mx 2)

x x 2(x x ) mx x (x x ) m x x 2m(x x ) 4

x x 2mx x m x x 4

3 2 3

2m m m 4m2m m . 4 4

3 3 3 27

3

3

C § CT

4my .y 0 4 0 m 27 m 3 (II)

27

KÕt hîp (I) vµ (II) ta ®îc m 3 b) (C) c¾t Ox t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt

C § CT


y .y 0



3

m 0m 3

m 27

VËy víi m 3 th× bµi to¸n tho¶ m·n c) (C) c¾t Ox t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt

C § CT

y' 0

y .y 0

3

m 0m 3

m 27

VËy víi m 3 th× bµi to¸n tho¶ m·n

VD9: Cho hµm sè 4

y xx

(C)

a) Chøng minh ®êng th¼ng (d): y = 3x + m lu«n c¾t (C) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A,B.

b) Gäi I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AB, h·y t×m m ®Ó I n»m trªn ®êng th¼ng

(∆): y = 2x + 3.

Gi¶i:

a) XÐt ph¬ng tr×nh hµnh ®é giao ®iÓm cña (d) vµ (C) :

2x 4

3x 2mx

(1)

§K: x ≠ 0

22x mx 4 0 (2)

Sè nghiÖm cña (1) = sè giao ®iÓm cña (d) vµ (C)

XÐt (2) cã = m2 + 32 > 0 x ≠ 0

Vµ 2.02 + m.0 - 4 = - 4 ≠ 0 (2) lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt kh¸c 0 (1) lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt (d) lu«n c¾t (C) ë 2 ®iÓm ph©n biÖt A, B. b) Hoµnh ®é A, B chÝnh lµ 2 nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (2)

Theo ®Þnh lÝ Viet :

A B A BI I I

x x m y y mx , y 3x m

2 4 2 4

Im m

,4 4



Mµ I I

m mI y 2x 3 2 3 m 4

4 4

VËy víi m = 4 th× bµi to¸n tháa m·n.

VD10: Cho hµm sè 3 2y x 3x 4 .CMR víi mäi ®êng th¼ng ®i qua I(1,2) víi hµm sè

cã hÖ sè gãc m(m 3) ®Òu c¾t ®å thÞ (C) t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt I, A, B sao cho I lµ trung ®iÓm AB

Gi¶i:

Gäi d lµ ®êng th¼ng qua I(1,2) cã hÖ sè gãc k m d : y m(x 1) 2

d : y mx 2 m

XÐt ph¬ng tr×nh hoµnh ®é ®iÓm chung cña d vµ (C)

3 2

3 2

2

2

mx 2 m x 3x 4(1)

x 3x mx m 2

(x 1)(x 2x 2 m) 0

x 1

x 2x 2 m 0 (2)

Sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) =sè giao ®iÓm cña d vµ (C) d c¾t (C) t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt Ph¬ng tr×nh (1) cã 3 nghiÖm ph©n biÖt Ph¬ng tr×nh (2) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x 1

2

' 0 3 m 0m 3 (tm)

m 31 2.1 2 m 0

XÐt ph¬ng tr×nh (2) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt 1 2

x ,x

Theo ®Þnh lÝ ViÐt ta cã 1 2

1 2

x x 2 m

x x 2

Víi 1 1

2 2

x x y mx 2 m

x x y mx 2 m

To¹ ®é çc giao ®iÓm A 1 1x ,mx 2 m ,B

2 2(x ,mx 2 m)

Ta cã

1 2II

1 21 2 I

I

x xx 11 x

2m(x x ) 4 2m

mx 2 m mx 2 m y 2y 2

2

I lµ trung ®iÓm cña AB (®pcm)

VD11: Cho hµm sè 1

y x 2x 2

(C). T×m gi¸ trÞ cña m sao cho ®êng th¼ng y = m

c¾t ®å thÞ cña hµm sè t¹i hai ®iÓm, sao cho kho¶ng çch gi÷a hai ®iÓm ®ã b»ng 12 .



Gi¶i:

XÐt ph¬ng tr×nh hµnh ®é giao ®iÓm cña (d) vµ (C) :

1x 2 m

x 2

(1)

§K: x ≠ -2

f(x) = 2x 4 m x 5 2m 0 (2)

Sè nghiÖm cña (1) = sè giao ®iÓm cña (c) vµ (d)

(C) c¾t (d) t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt

(1) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt

(2) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt víi x 2

2

0 m 2m 4 0

f 2 0 m 2

VËy víi m < -2 hoÆc m > 2 khi ®ã ®êng th¼ng y = m c¾t ®å thÞ t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt .

- Gi¶ sö M1(x1; y1), M2(x2; y2) lµ 2 giao ®iÎm cña (C) vµ (d)

Theo ®Ò bµi ta cã

2 2 2 2 2

1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

2

2 1 1 2

M M x x y y 12 x x y y 12 x x 12

x x 4x x 12 (3)

- Do x1, x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) nªn theo ®Þnh lý Viet:

x1 + x2 = m - 4 vµ x1x2 = 5 - 2m

(1) (m - 4) 2 - 4(5- 2m) = 12 m2 - 16 = 0 m 4

m 4

(tháa m·n)

VËy víi m = 4 th× bµi to¸n tháa m·n.

VD12: T×m m ®Ó ®êng th¼ng dm: y= mx+1 c¾t ®å thÞ cña hµm sè x 1

yx 1

(C) t¹i hai ®iÓm

thuéc hai nh¸nh cña ®å thÞ.

Gi¶i:


x 1

mx 1x 1

(1)

§K: x ≠ 1

(2) 2mx mx 2 0 (2)



Sè nghiÖm cña (1) = sè giao ®iÓm cña (C) vµ dm

(C) c¾t dm t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt Ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt Ph¬ng tr×nh (2) cã hai nghiÖm ph©n biÖt ≠ 1

2

m 0m 0

0 m 8m 0

f (1) 0 2 0

m 8

m 0

- Gäi x1, x2 lµ 2 nghiÖm cña (2) víi x1 < x2

Theo ®Þnh lý Vi-et ta cã 1 2

1 2

x x 1

2x x

m

(C) c¾t dm t¹i 2 ®iÓm thuéc 2 nh¸nh cña ®å thÞ x1 < 1 < x2

(x1 - 1)(x2 - 1) < 0 x1x2 - (x1 + x2) + 1 < 0 2

m

- 1 + 1 < 0 m > 0

§èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn m > 0 th× bµi to¸n tháa m·n.

VD13: Cho hµm sè 3 2y mx x 2x 8m cã ®å thÞ ( C )

T×m m ®Ó (C ) c¾t trôc hoµnh t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt cã hoµnh ®é tho¶ m·n x < -1.

Gi¶i:

Ph¬ng tr×nh Ox: y = 0 - XÐt ph¬ng tr×nh hoµnh ®é ®iÓm chung cña (C) vµ Ox 3 2mx x 2x 8m 0 (1) 2(x 2)(mx (2m 1)x 4m) 0

2

x 2 0

mx (2m 1)x 4m 0 (2)

- Sè nghiÖm cña (1) = sè giao ®iÓm cña (Cm) vµ Ox

(Cm) c¾t Ox t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt cã hoµnh ®é x< -1 Ph¬ng tr×nh (1) cã 3 nghiÖm ph©n biÖt tháa m·n x< -1 Ph¬ng tr×nh (2) cã 2 nghiÖm tho¶ m·n x1 < x2 < -1 vµ kh¸c 2

1 2

1 2

m 0

1 1m

6 2m 0 1

m0 6

f ( 2) 0 1m

7(x 1)(x 1) 0m 0x 1 x 1 0

1m 0

4

1 1

m6 7



VËy víi 1 1

m6 7

th× bµi to¸n tháa m·n.

VD14: Cho hµm sè 3 2y x (m 3)x (2m 1)x 3(m 1) (Cm)

T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ®å thÞ (Cm) cña hµm sè trªn c¾t trôc hoµnh t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt cã hoµnh ®é d¬ng Gi¶i: - Ph¬ng tr×nh Ox: y = 0 - XÐt ph¬ng tr×nh hoµnh ®é ®iÓm chung cña (Cm) víi trôc Ox

3 2

2

2

x (m 3)x (2m 1)x 3(m 1) 0(1)

(x 3)(x mx m 1) 0

x 3 0

x mx m 1 0(2)

Sè nghiÖm cña pt (1) = sè hoµnh ®é ®iÓm chung cña (Cm) vµ Ox - (Cm) vµ Ox c¾t nhau t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt cã hoµnh ®é d¬ng Ph¬ng tr×nh (1) cã 3 nghiÖm ph©n biÖt x > 0 Ph¬ng tr×nh (2) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x > 0 vµ x ≠ 3

2

2

0 m 4m 4 0

P 0 m 1 01 m 1 2 2

S 0 m 0

3 m.3 m 1 0 4m 10 0

VËy víi 1 m 1 2 2 th× bµi to¸n tho¶ m·n NhËn xÐt: Çch gi¶i trªn cã thÓ ¸p dông t¬ng tù ®èi víi bµi to¸n t×m m ®Ó (Cm) c¾t

Ox t¹i çc ®iÓm cã hoµnh ®é ©m hay hoµnh ®é nhá h¬n (lín h¬n) 1 sè §Ó ®¬n gi¶n nã ta cã thÓ sö dông ®Þnh lý ®¶o vÒ dÊu cña tam thøc bËc hai nh sau: Cho tam thøc 2f(x) ax bx c (a 0) cã nghiÖm

1 2 1 2x ,x (x x )

- §iÒu kiÖn ®Ó n»m trong kho¶ng 2 nghiÖm cña tam thøc

1 2x x af( ) 0

- §iÒu kiÖn ®Ó c¶ 2 nghiÖm cña tam thøc lín h¬n

1 2

0

x x af( ) 0

S

2

- §iÒu kiÖn ®Ó c¶ hai nghiÖm cña tam thøc nhá h¬n

1 2

0

x x af( ) 0

S

2



Më réng cho yªu cÇu bµi to¸n: T×m m ®Ó (Cm) c¾t Ox t¹i çc ®iÓm cã hoµnh ®é thuéc

kho¶ng cho tríc Cho tam thøc 2f(x) ax bx c (a 0) cã nghiÖm

1 2 1 2x ,x (x x )

- §iÒu kiÖn ®Ó 2 nghiÖm tam thøc n»m trong kho¶ng ( , ) ( )

1 2

0

af( ) 0

x x af( ) 0

S

2

- §iÒu kiÖn ®Ó ( , ) ( ) n»m trong kho¶ng 2 nghiÖm cña tam thøc

1 2

af( ) 0x x

af( ) 0

- §iÒu kiÖn ®Ó ( , ) ( ) n»m ngoµi kho¶ng 2 nghiÖm cña tam thøc

1 2

0

x x af( ) 0

S

2

1 2

0

x x af( ) 0

S

2

VD15:T×m m ®Ó ®å thÞ (C) : 3 2y x mx (2m 1)x m 2 c¾t Ox t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt

cã hoµnh ®é lín h¬n hoÆc b»ng 1

Gi¶i:

Ph¬ng tr×nh Ox : y 0

- XÐt ph¬ng tr×nh hoµnh ®é ®iÓm chung cña (C) vµ Ox

3 2

2

2

x mx (2m 1)x m 2 0(1)

(x 1)[x (m 1)x m 2] 0

x 1

x (m 1)x m 2 0(2)

Sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) = sè ®iÓm chung cña(C) vµ Ox (C) c¾t Ox t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt cã hoµnh ®é x 1 Ph¬ng tr×nh (1) cã 3 nghiÖm ph©n biÖt x 1



Ph¬ng tr×nh (2) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x 1

20 m 6m 7 0 m 1

af(1) 0 4 0 m 7m 7

S m 1 m 31 1

2 2

VËy víi m 7 th× bµi to¸n tho¶ m·n

VD16: Cho hµm sè y= 4 2 2x (3m 4)x m cã ®å thÞ ( C ). T×m m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè

c¾t trôc hoµnh t¹i 4 ®iÓm ph©n biÖt lËp thµnh cÊp sè céng.

Gi¶i:

XÐt ph¬ng tr×nh hoµnh ®é ®iÓm chung cña (C) vµ Ox 4 2 2x (3m 4)x m = 0 (1)

§Æt t = x2 2 2(t 0) t (3m 4)t m 0 ( 2 )

Sè nghiÖm cña (1) = sè giao ®iÓm cña (Cm) vµ Ox

(Cm) c¾t d t¹i 4 ®iÓm ph©n biÖt Ph¬ng tr×nh (1) cã 4 nghiÖm ph©n biÖt Ph¬ng tr×nh (2) cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt

m 4

4m

0 45m

S 0 54m

m 03P 0

m 0

- Gi¶ sö (2) cã 2 nghiÖm t1, t2 > 0 vµ t1 < t2

Víi t = t1 x1 = 1

t

Víi t = t2 x2 = 2

t

Ph¬ng tr×nh (1) cã 4 nghiÖm ph©n biÖt theo thø tù 2 1 1 2

t ; t ; t ; t

Hoµnh ®é 4 giao ®iÓm gåm:

1 2 2 1 3 1 4 2

x t x t x t x t

§Ó chóng lËp thµnh cÊp sè céng th× ph¶i cã 2 1 1 2 1

t t 2 t t 9t

Theo ®Þnh lý Vi-et cã 1 2

2

1 2

t t 3m 4

t .t m

1

1

22 221

3m 4t

10t 3m 4 10

3m 49t m9 m

10



-19m2 + 216m + 144 = 0

m 12

12m

19

(tm)

Bµi tËp tù gi¶i Bµi 1: Cho hµm sè y = x3 - 3x + 2. Gäi d lµ ®êng th¼ng qua A(3 ; 20) , cã hÖ sè gãc m. T×m m ®Ó d c¾t ®å thÞ t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt. Bµi 2: Cho hµm sè y = 2x3 - 3x2 - 1. Gäi d lµ ®êng th¼ng qua M(0 ; -1), cã hÖ sè gãc k. T×m k ®Ó d c¾t ®å thÞ t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt. Bài 3: Cho hàm số: y = x3 – 3x2 + 4 Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1; 2) với hệ số góc k (k > 3) đều cắt đồ thị của hàm số (1) tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Bµi 4: Cho hµm sè y = x3 - 2(m + 2)x2 + (5m + 11)x - 2m - 14 T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè c¾t trôc hoµnh t¹i 3 ®iÓm cã hoµnh ®é lín h¬n 1 Bµi 5: Cho hµm sè y = x3 - (m + 2)x2 + 3x + m - 2 T×m m ®Ó ®å thÞ c¾t trôc hoµnh t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt cã hoµnh ®é d¬ng Bµi 6: Cho hµm sè y = - x4 + 5x2 - 4 (C) T×m m sao cho ®å thÞ (C) cña hµm sè ch¾n trªn ®êng th¼ng y = m ba ®o¹n cã ®é dµi b»ng nhau Bài 7: Với giá trị nào của m, phương trình 4x3 – 3x – 2m + 3 = 0 có một nghiệm duy nhất?

Bài 8: Tìm m để đường thẳng y = mx + 2m + 2 cắt đồ thị hàm số y = 2 1x

x

a) Tại hai điểm phân biệt. b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị.

Bài 9: Tìm m để đường thẳng đi qua điểm A( -1 ; -1) và có hệ số góc là m cắt đồ thị hàm

số y = 12

2

x

x tại hai điểm phân biệt.

Bài 10: Tìm m sao cho (Cm) : y = 1

2

x

mx tiếp xúc với đường thẳng y = -x + 7.

Bài 11: Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 – 2x2 + 1 tiếp xúc với đồ thị hàm số y = mx2 – 3.

Bài 12: Cho hàm số 2 1

2

xy

x

. Chứng minh rằng đường thẳng y = -x + m luôn cắt đồ thị

tại 2 điểm phân biệt A, B. Tìm m để đọan AB ngắn nhất.

Bài 13: Cho hàm số 3 4

1

xy

x

. Xác định a để đường thẳng y = ax + 3 không cắt đồ thị

Bài 14: Cho hàm số y = 2x3 – 3(m + 3)x2 + 18mx – 8. Tìm m để đồ thị của hàm số tiếp xúc với trục hoành. Bµi 15: Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña m , ®êng th¼ng y= x-m c¾t ®êng cong

2x 2xy

x 1

t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt.



Bµi 18: Cho hµm sè y = x3 - 6mx2 + 2x + 6m2 - 3m T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè c¾t trôc hoµnh t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt cã hoµnh ®é lËp thµnh mét cÊp sè céng Bµi 19: Cho hµm sè y = x3 + mx2 - x - m T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè c¾t trôc hoµnh t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt cã hoµnh ®é lËp thµnh mét cÊp sè céng Bµi 20: Cho hµm sè y = 2x4 - 5(m + 1)x2 + 4m + 6. T×m m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè:

a) C¾t Ox t¹i 4 ®iÓm ph©n biÖt b) C¾t trôc hoµnh t¹i 4 ®iÓm ph©n biÖt cã hoµnh ®é lËp thµnh 1 cÊp sè céng

Bµi 21: X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m sao cho ®å thÞ hµm sè 4 2y x 2mx 2m 1 c¾t trôc

hoµnh t¹i 4 ®iÓm ph©n biÖt lËp thµnh cÊp sè céng. X¸c ®Þnh cÊp sè céng . Bµi 22: Cho hµm sè 4 2y x (m 1)x m cã ®å thÞ lµ ( C ) . T×m çc gi¸ trÞ cña m sao cho

®å thÞ ( C ) c¾t trôc 0x t¹i 4 ®iÓm ph©n biÖt cã hoµnh ®é lËp thµnh cÊp sè céng. Bµi 23: T×m m ®Ó §THS 4 2y x 5x 4 © c¾t ®êng th¼ng d : y m t¹i 4 ®iÓm ph©n biÖt

A, B, C, D sao cho AB = BC = CD

Bµi 24: Cho hµm sè 2x mx 1

yx 1

(C) T×m m ®Ó ®êng th¼ng d: y m c¾t (C) t¹i 2 ®iÓm

ph©n biÖt A,B sao cho tam gi¸c OAB vu«ng t¹i O.

Bµi to¸n 2: dïng ®å thÞ ®Ó nghiªn cøu sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh.

Ph¬ng ph¸p: §Ó nghiªn cøu sè nghiÖm cña mét ph¬ng tr×nh nµo ®· (Thêng lµ ph¬ng tr×nh cã chøa tham sè) b»ng ®å thÞ ta lµm nh sau:

Bíc 1: BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh ®· cho vÒ d¹ng f(x) = g(m) (*) Bíc 2: Sè nghiÖm cña (*) = Sè giao ®iÓm cña 2 §THS = f(x) (C) vµ y= g(m) (dm) Bíc 3: VÏ (C) vµ (dm).

Bíc 4: Dùa vµo h×nh vÏ ®Ó nghiªn cøu sè giao ®iÓm cña 2 §THS KÕt luËn vÒ sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ban ®Çu.

Çc çch hái cña bµi to¸n nµy:

Çch 1: BiÖn luËn theo tham sè m sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh sau.

Çch 2: T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó ph¬ng tr×nh.....cã nghiÖm.

Çch 3: CMR ph¬ng tr×nh sau....lu«n cã n nghiÖm ph©n biÖt.



Mét sè chó ý: - Thêng (C) lµ ®å thÞ cña hµm sè võa ®îc kh¶o s¸t vµ vÏ ë c©u trªn v× vËy khi biÕn ®æi

ph¬ng tr×nh ®· cho vÒ d¹ng f(x) = g(m) ta cè g¾ng lùa sao cho f(x) chÝnh lµ hµm sè võa ®îc kh¶o s¸t vµ vÏ ë c©u trªn.

- VÏ (dm) lµ ®êng th¼ng song song víi Ox c¾t Oy t¹i gi¸ trÞ g(m) - Trong mét sè bµi to¸n khã th× (C) vÉn ph¶i vÏ nhng kh«ng ph¶i vÏ tõ ®Çu mµ chØ cÇn

thùc hiÖn çc ph¸p biÕn ®æi ®å thÞ lµ cã ®îc çch vÏ nhanh ®å thÞ. Thêng hay r¬i vµo çc phÐp biÕn ®æi hµm sè cã chøa dÊu

- Ph¬ng ph¸p trªn chØ dïng ®· nghiªn cøu sè nghiÖm hoÆc ®Æc tÝnh nghiÖm cña ph¬ng tr×nh cã chøa tham sè chø kh«ng dïng ®· gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh.

VD1: Cho hµm số 3 22 9 12 4y x x x C

a) Khảo s¸t sự biến thiªn vµ vẽ (C)

b) Biện luận theo m số nghiệm của ph¬ng tr×nh 01292 23 mxxx

c) T×m m để ph¬ng tr×nh sau cã 6 nghiệm ph©n biệt mxxx 1292 23

Gi¶i:

a) 1. TXĐ: R 2. Sự biến thiên

a. Giới hạn tại

32

3 41292.limlim

xxxxy

xx

b. Lập bảng biến thiªn 2y' 6x 18x 12

2y ' 0 6x 18x 12 0

2

1

x

x

Bảng biến thiên x 1 2

'y + 0 - 0 +

y

1 0

- Hàm số đồng biến trên 1, và ,2

- Hàm số nghịch biến trên 2,1

- Hàm số đạt cực đại tại 1,1 CĐCĐ yx

- Hàm số đạt cực tiểu tại 0,2 CTCT yx

3. Vẽ đồ thị - Giao với Oy: Cho x = 0 y = - 4

- Giao víi Ox: Cho y = 0 041292 23 xxx

22 . 2 5 2 0x x x

2

12

x

x



- T×m điểm uốn

Ta cã: 3

" 12 18; " 0 12 18 02

y x y x x

Điểm uốn

2

1,

2

3U

- Vẽ đồ thị

Nhận xÐt: ĐTHS nhận U làm t©m đối xứng

b) 01292 23 mxxx (1)

mxxx 441292 23

Số nghiệm của (1) bằng số giao điểm của (C) với mydm 4:

Vẽ md là đường thẳng song song với Ox cắt Oy tại -4-m

Dựa vào đồ thị ta cã:

- NÕu 4 0 4

4 1 5

m m

m m

C và md cã 1 điểm chung duy nhất

Ph¬ng tr×nh (1) cã 1 nghiệm duy nhất

- NÕu

5

4

14

04

m

m

m

m

(C) và md c· 2 điểm chung

Ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiệm ph©n biệt - NÕu 54140 mm

(C) và md cã 3 điểm chung

Ph¬ng tr×nh (1) cã 3 nghiệm ph©n biệt Vậy:

+/

5

4

m

m Ph¬ng tr×nh (1) cã 1 nghiệm duy nhất

+/

5

4

m

m Ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiệm ph©n biệt

+/ 45 m Ph¬ng tr×nh (1) cã 3 nghiệm ph©n biệt

x

y

0 1

1

1

223

2

1

2U

- 4

- 4 - m dm



c) mxxx 1292 23 (2)

3 22 9 12 4 4x x x m

Số nghiệm của (2) bằng số giao điểm của 2 ĐTHS

3 2" : 2 9 12 4C y x x x và : 4m y m

Vẽ m là đường thẳng //Ox cắt Oy tại m - 4

Vẽ "C

Đặt 41292 23 xxxxf

0

0

f x khi xf x

f x khi x

Çch vẽ: Bước 1: Giữ lại phÇn ĐTHS (C) bªn phải Oy Bước 2: Lấy đối xứng phần ĐTHS (C) bªn phải Oy qua Oy

Bước 3: T« đậm 2 phần đồ thị trªn ta được "C

Dựa vào ĐTHS Ph¬ng tr×nh cã 6 nghiệm ph©n biệt

140 m 54 m Vậy với 54 m th× bài to¸n thỏa m·n

VD2: Cho hàm số 1.2

342 2

x

xxy

a/ Khảo s¸t sự biến thiªn và vẽ ĐTHS b/ T×m m ®ể phương tr×nh 012342 2 xmxx cã 2 nghiệm ph©n biệt

Giải:

a) 1. TXĐ: R / 1

2. Sư biến thiªn a. Tiệm cận, giới hạn tại - Tiệm cận đứng Ta c·:

)1.(2

342limlim

2

11 x

xxy

xx

)1.(2

342limlim

2

11 x

xxy

xx

Đường thẳng x = 1 là đường tiệm cận đứng của ĐTHS - Tiệm cận xiªn

Ta cã: 1.2

51

xxy

02

2

5

lim1.2

5lim1lim

x

xx

xyxxx

x

y

0 1

1

1

223

2

1

2U

- 4

m - 4 m



Đường thẳng y = x - 1 là đường tiệm cận xiªn của §THS - Giới hạn tại

2

22

22

342

lim)1.(2

342limlim

xx

xxx

xxy

xxx

b. Lập bảng biến thiªn

Ta c·:

1,01

1014

1

14842

2

2

2'

x

x

x

x

xxy

Bảng biến thiªn

x 1

y’ + +

y

Hàm số đồng biến trªn ;1 ; 1;

Hàm số kh«ng đạt cực trị 3. Vẽ đồ thị

- Giao với Oy: Cho x = 0 2

3 y

- Giao với Ox: Cho y = 0 22 4 3

0 11

x xĐK x

x

22 4 3 0 x x

2 10

2 ( / )2 10

2

x

t m

x

- Vẽ đồ thị



Nhận xÐt: ĐTHS (C) nhận I làm t©m đối xứng

b) XÐt phương tr×nh 012342 2 xmxx (1) 22 4 3

2 1

x xm

x

Số nghiệm của ph¬ng tr×nh = số giao điểm của §THS

2

' 2 4 3:

2 1

x xC

x

và :md y m

Vẽ md là đường thẳng song song với Ox cắt Oy tại -m

Vẽ 'C : Đặt xf

22 4 3

2 1

x x

x

2

2

2

2 4 31

2 12 4 3

2 1 2 4 31

2 1

x xkhix

xx xy

x x xkhix

x

Çch vẽ 'C

Bước 1: Giữ lại phần (C) bªn phải đường thẳng x = 1 Bước 2: Lấy đối xứng phần (C) ở bước1 qua đường thẳng x = 1. Bước 3: T« đậm 2 phần đồ thị trªn ta thu được 'C

0 1

1

2 10

2

2 10

2

3

2

y = x - 1x=1

-m dm

x

y

x

y

0 1

1

2 10

2

2 10

2

3

2

y = x - 1x=1

I



Dựa vào §THS )1( cã 2 nghiệm ph©n biệt với m

VD3: Cho hàm số 32 24 xxy (C)

a) Khảo s¸t sự biến thiªn và vẽ đồ thị (C)

b) Biện luận theo m số nghiệm của ph¬ng tr×nh 2424 22 mmxx Giải: a) 1. TXĐ R 2. Sự biến thiªn

a. Giới hạn tại

42

44 321.lim3limlim

xxxxxy

xxx


Ta cã: xxy 44 3' ; 01.40440 23' xxxxy

1

0

x

x

Bảng biến thiªn x -1 0 1

'y + 0 - 0 + 0 -

y

4 4 3

- Hàm số đồng biến trªn 1, ; 1,0

- Hàm số nghịch biến trªn 0,1 ; ,1

- Hàm số đạt cực đại tại 1CĐx ; 4CĐy

- Hàm số đạt cực tiểu tại 0CTx ; 3CTy

3.Vẽ đồ thị - Giao với Oy: Cho x = 0 y = 3 - Giao với Ox: Cho y = 0 032 24 xx (1) Đặt t = 2x , 0t

21( )

1 2 3 03( )

t loait t

t tm

333 2 xxt - Điểm uốn

Ta cã: '' 2 '' 2 14 12 ; 0 4 12 0

3y x y x x



Điểm uốn

9

32,

3

11U ;

9

32,

3

12U

- Vẽ đồ thị

b) XÐt pt 2424 22 mmxx (2) 4 2 4 22 3 2 3x x m m

Số nghiệm của ph¬ng tr×nh (2) = số giao điểm của (C) và 4 2: 2 3m md y m m

Vẽ dm là đường thẳng song song với Ox cắt Oy tại 4 22 3m m Dựa vào ĐTHS ta cã:

+/ 24 2 22 3 4 1 0 1m m m m

dm kh«ng cắt (C) Phương tr×nh (2) v« nghiệm

+/

22

4 2

24 2

2

11 02 3 4

222 3 3

20 ô í

mmm m

mmm m

mm v l

dm cắt (C) tại 2 điểm ph©n biệt Phương tr×nh (2) cã 2 nghiệm ph©n biệt

+/2

4 2

2

002 3 3

22

mmm m

mm

dm cắt (C) tại 3 điểm ph©n biệt Phương tr×nh (2) cã 3 nghiệm ph©n biệt

+/

2

4 222

2 20 2

3 2 3 4 01 0

1

mm

m m mm

m

dm cắt (C) tại 4 điểm ph©n biệt Phương tr×nh (2) cã 4 nghiệm ph©n biệt Vậy:

+/ 1m : Phương tr×nh (2) v« nghiệm

x

y

0 1

1

4

1

333

1

3-1

32

9

3

4 22 3m m

dm



+/

1

2

2

m

m

m

Phương tr×nh (2) cã 2 nghiệm ph©n biệt

+/ 0

2

m

m


+/

2 2

0

1

m

m

m


VD4: T×m m để ph¬ng tr×nh sau cã nghiệm

22sin (5 ) ( 6) 0x m cosx m (1)

Giải: 22sin (5 ) ( 6) 0x m cosx m

22 1 cos (5 ) ( 6) 0x m cosx m 2

2

2cos 5cos 4 (cos 1)

2cos 5cos 4(*)

cos 1

x x m x

s x xm

x

(do cosx = 1 kh«ng phải lµ nghiệm của ph¬ng tr×nh) Đặt xt cos 11 t

(*) 22 5 4

1

tm

t

Nghiệm của ph¬ng tr×nh (*) là hoành độ điểm chung của 2 §THS: 22 5 4

1

t ty

t

(C) và dm:

y = m - Vẽ dm là đường thẳng //Ox cắt Oy tại m - Khảo s¸t sự biến thiªn và vẽ (C)

1. TXĐ: 1/R

2. Sư biến thiªn a. Tiệm cận, giới hạn tại - Tiệm cận đứng Ta cã:

2

11

2 5 4lim lim

1tt

t ty

t

2

11

2 5 4lim lim

1tt

t ty

t

Đường thẳng t = 1 là đường tiệm cận đứng của ĐTHS - Tiệm cận xiªn

Ta cã: 1

2 31

y tt



11

lim 2 3 lim lim 011 1

t t t

ty tt

t

Đường thẳng y = 2t - 3 là đường tiệm cận xiªn của §THS - Giới hạn tại

2 2

2

5 42

2 5 4lim lim lim

1 11t tt

t t x xyt

x x


Ta cã:

2

2

2 4 1' , 1

1

t ty t

t

2 1' 0 2 4 1 0 1 / 1

2y t t t t m t

Bảng biến thiªn t

1

12

1 1

12

y’ + 0 - - 0 +

y

2 2 1

2 2 1

- Hàm số đồng biến trªn 1 1

;1 ; 1 ;2 2

- Hàm số nghịch biến trªn 1 1

1 ;1 ; 1;12 2

- Hàm số đạt cực đại tại ; 1

1 ; 2 2 12

CĐ CĐt y

- Hàm số đạt cực tiểu tại ; 1

1 ; 2 2 12

CT CTt y

3. Vẽ đồ thị - Giao với Oy: Cho t = 0 4y

- Giao với Ox: Cho y = 0 22 5 4

01

t t

t

22 5 4 0 ô êx x V nghi m

ĐTHS kh«ng cắt Ox - Vẽ đồ thị



x

y

0 1

11

12

y = 2x - 3

x = 1

I

11

2

2 2 1

2 2 1

- 4

-1

11

2

m dm

Nhận xÐt: ĐTHS (C) nhận I làm t©m đối xứng

Ph¬ng tr×nh (1) cã nghiệm (*) cã nghiệm 1,1t

Dựa vào đồ thị 11

2 2 22

m th× bài to¸n tháa m·n.

VD5: Dïng ®å thÞ hµm sè 3 2y 2x 9x 12x 4 , biÖn luËn theo m sè nghiÖm cña ph¬ng

tr×nh 3 22x 9x 12x m 0 Gi¶i: §å thÞ cña hµm sè 3 2y 2x 9x 12x 4

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

x

y

dm

0

Ta cã 3 22x 9x 12x m 0 3 22x 9x 12x 4 m 4(*)

Sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (*) = sè giao ®iÓm cña ®å thÞ hµm sè 3 2y 2x 9x 12x 4 (C) vµ ®êng th¼ng y= - m - 4 (dm)

VËy



- NÕu m > - 4 th× ®å thÞ (C) kh«ng c¾t ®êng th¼ng (dm) Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm

- NÕu m = - 4 hoÆc m = -5 th× ®å thÞ (C) c¾t ®êng th¼ng (dm) t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm

- NÕu -5 < m < -4 th× ®å thÞ (C) c¾t ®êng th¼ng (dm) t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt ph¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm

- NÕu m<-5 th× ®å thÞ (C) c¾t ®êng th¼ng (dm) t¹i 1 ®iÓm ph©n biÖt ph¬ng tr×nh cã 1 nghiÖm

VD6: Dùa vµo ®å thÞ hµm sè 2 4y 2x x biÖn luËn sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh 4 2x 2x m 0

Gi¶i: §å thÞ cña hµm sè 2 4y 2x x

Ta cã ph¬ng tr×nh 4 2x 2x m 0 2 42x x m Sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh = sè giao ®iÓm cña ®å thÞ hµm sè 2 4y 2x x (C) vµ ®êng

th¼ng y = m (dm) VËy:

- NÕu m < 0 th× ®êng th¼ng (dm) c¾t (C) t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt => Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm

- NÕu m = 0 th× ®êng th¼ng (dm) c¾t (C) t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt => Ph¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm

- NÕu 0 < m <1 th× ®êng th¼ng (dm) c¾t (C) t¹i 4 ®iÓm ph©n biÖt => Ph¬ng tr×nh cã 4 nghiÖm

- NÕu m =1 th× ®êng th¼ng (dm) c¾t (C) t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt => Ph¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm

- NÕu m > 1 th× ®êng th¼ng (dm) kh«ng c¾t (C) => Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm

VD7: Dùa vµo ®å thÞ hµm sè 2y (x 1) (2 x) , biÖn luËn theo m sè nghiÖm cña ph¬ng

tr×nh 2 2(x 1) (2 x) (m 1) (2 m)

Gi¶i:

-2 -1 1 2

-4

-3

-2

-1

1

x

y

0

dm



-3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

0

dm

§å thÞ hµm sè 2y (x 1) (2 x)

§Æt 2k (m 1) (2 m)

Sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh 2(x 1) (2 x) k , b»ng sè giao ®iÓm cña ®å thÞ hµm sè 2y (x 1) (2 x) (C) vµ ®êng th¼ng y=k (dm)

VËy dùa vµo ®å thÞ hµm sè ta thÊy

- NÕu k < 0 th× ®êng th¼ng (dm) c¾t (C) t¹i 1 ®iÓm ph©n biÖt => ph¬ng tr×nh cã 1 nghiÖm

- NÕu k = 0 th× ®êng th¼ng (dm) c¾t (C) t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt => ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm

- NÕu 0 < k < 4 th× ®êng th¼ng (dm) c¾t (C) t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt => ph¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm

- NÕu k = 4 th× ®êng th¼ng (dm) c¾t (C) t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt => ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm

- NÕu k > 4 th× ®êng th¼ng (dm) c¾t (C) t¹i 1 ®iÓm ph©n biÖt => ph¬ng tr×nh cã 1 nghiÖm

VÉn dïng ®å thÞ ta thÊy k 0 m 2 Ph¬ng tr×nh cã 1 nghiÖm

m 1

k 0m 2

Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm

2 m 2

0 k 4m 1


m 2

k 4m 1


k 4 m 2 Ph¬ng tr×nh cã 1 nghiÖm

NhËn xÐt: Khi ®Æt Èn phô ®Ó ®a vÒ sö dông ®å thÞ hµm sè ®· vÏ cÇn lu ý mèi liªn hÖ gi÷a x vµ Èn phô míi ®Æt.

Bµi tËp tù gi¶i Bµi 1: Cho hàm số 3y x 3x 1 .

a) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ĐTHS. b) BiÖn luËn theo m sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh 3x 3x m 0

Bµi 2: Cho hàm số 4 2y x 3x 2 ,

a) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ĐTHS.



b) T×m m ®· ph¬ng tr×nh 3x 3x m 0 cã 3 nghiÖm ph©n biÖt.

Bµi 3: Cho hàm số x 1

yx 1

a) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ĐTHS.

b) BiÖn luËn theo m sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x 1

m 2x 1

Bµi 4: Dùa vµo ®å thÞ hµm sè 22x 5x 4

yx 1

a) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ĐTHS b) BiÖn luËn theo m sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh 22x (5 m)x 4 m 0

Bµi 5: Dùa vµo ®å thÞ hµm sè 22x 5x 4

yx 1

, biÖn luËn theo m sè nghiÖm cña ph¬ng

tr×nh 22sin x (5 m)cos x (m 6) 0 víi 0 x 2

Bài 6: Cho hàm số 3 23 6 2y x kx kx

a) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ĐTHS víi k = 1

4

b) BiÖn luËn theo m sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh 3 24 x 3x 6 x 4m 0

Bµi 7: Cho hàm số 4 22 4y x x

a) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ĐTHS

b) T×m m ®· ph¬ng tr×nh 2 2x x 2 m cã 6 nghiÖm ph©n biÖt.

Bài 8: Cho hàm số: y = 2 1

1

x x

x

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. b) Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: x2 + (m - 3)x - m + 3 = 0. So

sánh các nghiệm của phương trình với 2 số 0 và 2

c) Tìm k để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: 2 1

01

x xk

x

Bài 9: Cho hàm số: y = 2 3 3

2( 1)

x x

x

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

b) Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: 2

3 32 0

2( 1)

x xm

x

Bài 10: Cho hàm số: y = 22 4 3

2( 1)

x x

x

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. b) Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt: 2x2 - 4x - 3 + 2m 1x = 0

Bài 11: Cho hàm số y = x4 – 5x2 + 4

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

b) Từ đó suy ra cách vẽ đường cong sau: x4 – 5x2 + 4 + 2m – 1 = 0.



c) Tìm m để phương trình x4 – 5x2 + 4 = 2m - 1 có 8 nghiệm phân biệt Bµi 12: Cho hµm sè y = 2x3 - 9x2 + 12x - 4

a) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè.

b) BiÖn luËn theo tham sè m sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x3 - 9

2x2 + 6x + 2m = 0

c) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh: 23x - 9

2x + 12 x - m = 0 cã 6 nghiÖm ph©n biÖt

Bµi 13: Cho hµm sè y = 3 21 53

3 3x x x

a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè b. T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh 3 23 9 5 3 0x x x m cã 4 nghiÖm ph©n biÖt.

Bµi 14: Cho hµm sè y = x4 - 2mx2 + 2m - 1 (1) a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè (1) khi m = 5 b. T×m k ®Ó ph¬ng tr×nh 4 210 9x x + k - 1 = 0 cã 8 nghiÖm ph©n biÖt

Bµi 15: Cho hµm sè y = 1 + 2x2 - 4

4

x

a. Kh¶o s¸t ¹ biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè b. BiÖn luËn theo tham sè m nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x4 - 8x2 + 4m = 0 c. T×m k ®Ó ph¬ng tr×nh 4 28 4x x + 8m = 0 cã 6 nghiÖm ph©n biÖt

Bµi 16: Cho hµm sè y = 2 1

1 3

x

x

a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè b. BÞªn luËn theo k sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: 2x + 1 + k 1 3x = 0

Bµi 17: Cho hµm sè y = 1

2

x

x

a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè

b. BiÖn luËn theo m sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh 1

2

x

x

+ m = 0

Bµi 18: Cho hµm sè y = 3 2

2

x

x

a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè

b. T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh sau cã 2 nghiÖm ph©n biÖt: 3 2

2

x

x

- m2 + 2m + 6 = 0

Bµi 19: Cho hµm sè y = - x3 + 3x2 + 9x + 2 a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè b. T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh 3 23 9 2x x x = 3 + m cã 5 nghiÖm ph©n biÖt.

Bµi 20: Cho hµm sè y = - x4 + 5x2 - 4 a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè b. T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh x4 - 5x2 - m2 + 3 m = 0 cã 4 nghiÖm ph©n biÖt

Documents

Chuyªn ®Ò 2 bµi to¸n sù t¬ng giao cña 2 ®å thÞ hµm sè