CONTROLO ACTIVO DE UMA PLATAFORMA VIBRATÓRIA PARA EXCITAÇÃO SÍSMICA DE MODELOS LABORATORIAIS

Carlos MOUTINHO Assistente FEUP Porto

Álvaro CUNHA Prof. Associado Agregado FEUP Porto

Elsa CAETANO Professor Auxiliar FEUP Porto

SUMÁRIO Neste artigo descreve-se a implementação de um sistema de controlo activo aplicado ao funcionamento de uma mesa vibratória destinada à excitação sísmica de modelos laboratoriais de escala reduzida. A utilização de um sistema de controlo deste género tem como objectivo tentar impor à mesa um movimento previamente definido, o qual é fortemente condicionado pela interacção entre a plataforma e o modelo laboratorial, bem como por fenómenos de natureza aleatória associados à realização de ensaios experimentais. Descreve-se o funcionamento e implementação em LabVIEW do sistema de controlo activo proposto, e compara-se a eficiência obtida tendo por base duas estratégia de controlo distintas. 1. INTRODUÇÃO Na análise experimental do comportamento dinâmico de modelos reduzidos de estruturas, é por vezes necessário realizar repetidas experiências, procurando-se, em cada uma delas, manter as mesmas condições de ensaio, particularmente no que diz respeito à aplicação de uma acção específica previamente definida. No caso concreto de uma plataforma vibratória para a aplicação de acções sísmicas, a natureza aleatória de alguns parâmetros inerentes ao próprio ensaio e a modificação introduzida pela interacção entre o modelo e a plataforma, fazem com que seja difícil reproduzir com rigor a mesma excitação de uma forma sistemática. Nestes casos, pode recorrer-se a um sistema de controlo activo que, em cada ensaio, imponha à plataforma o

612 SÍSMICA 2004 - 6º Congresso Nacional de Sismologia e Engenharia Sísmica movimento pretendido. Um sistema de controlo deste tipo é geralmente constituído por um computador digital, o qual, com base na resposta da plataforma continuamente medida através de transdutores e com o apoio de uma determinada estratégia de controlo, define a força a aplicar à plataforma de tal forma que esta siga uma trajectória previamente definida. Neste contexto, este artigo tem como principal objectivo descrever a colocação em funcionamento de uma plataforma vibratória destinada à excitação sísmica de modelos laboratoriais comandada por um sistema de controlo activo recorrendo-se para o efeito a duas estratégias de controlo distintas. No sentido de comprovar a real eficácia do sistema de controlo implementado, apresentam-se estudos comparativos que evidenciam o grau de proximidade entre o movimento pretendido para a mesa vibratória e o observado experimentalmente. 2. CONTROLO ACTIVO DA MESA VIBRATÓRIA 2.1. Esquema de funcionamento Genericamente, um sistema de controlo activo tem como objectivo actuar em tempo real sobre um dado sistema dinâmico, de modo que a evolução temporal da sua resposta siga uma trajectória previamente definida, sendo para o efeito utilizado um controlador capaz de possibilitar a determinação de um conjunto de forças de controlo, por forma a que se obtenha o comportamento pretendido. O esquema de funcionamento de um sistema deste tipo está indicado na Figura 1. Neste caso, o controlador conhece, em cada instante, os valores da resposta obtida através de um sistema de realimentação (“feedback”), calculando, a partir deles, as forças controladoras adequadas, tendo por base uma estratégia de controlo que procure atingir a resposta desejada. Essas forças podem ser aplicadas ao sistema por intermédio de actuadores que, em tempo real, interpretam o sinal de controlo gerando as correspondentes acções controladoras. Simultaneamente, a resposta do sistema é continuamente medida através de sensores e, em cada instante, transmitida ao controlador o qual pode ser analógico, caso todos os instrumentos e dispositivos sejam de natureza analógica, conduzindo à geração de um sinal de controlo contínuo no tempo, ou então digital, sendo o sinal de controlo, neste caso, de natureza discreta. O enorme desenvolvimento dos computadores digitais ocorrido nos últimos anos levou a que, na actualidade, os controladores utilizados tenham predominantemente caracter digital, constituindo uma solução mais atractiva face aos controladores analógicos, particularmente no que diz respeito ao custo, capacidade de memória e precisão.

SISTEMACONTROLO RESPOSTA

EXCITAÇÃO

ACTUADORES

SINAL DE CONTROLO

FORÇA DE

SENSORES

CONTROLADORREALIMENTAÇÃO

RESPOSTA DESEJADA Figura 1: Esquema de funcionamento de um sistema de controlo activo com realimentação

Carlos MOUTINHO, Álvaro CUNHA, Elsa CAETANO 613 A estratégia de controlo adoptada pelo controlador, além de ser condicionada pela natureza contínua ou discreta do sinal, é também dependente da existência de um modelo numérico capaz de fazer estimativas da resposta dinâmica do sistema, tendo em vista a geração do sinal de controlo. Se a estratégia de controlo incorporar o modelo do comportamento do sistema, pode fazer previsões da resposta e actuar antecipadamente na correcção do sinal de controlo, de modo a garantir que a resposta efectiva se aproxime tanto quanto possível da desejada. Assim, neste trabalho procurou-se implementar o sistema de controlo activo da mesa vibratória, utilizando para o efeito duas estratégia de controlo distintas, quer em termos da natureza contínua ou discreta do sinal, quer em termos da disponibilidade de um modelo numérico do sistema que traduza o comportamento dinâmico do sistema, apresentando-se as respectivas formulações nos pontos seguintes.

2.2. Estratégias de controlo 2.2.1. Controlo Proporcional – Integral – Diferencial (PID) Uma das estratégias de controlo que se adoptou neste trabalho é referida como sendo uma das mais utilizadas no domínio da engenharia do controlo de sistemas, particularmente nos diversos ramos da engenharia mecânica, aeronáutica e electrotécnica [4], designando-se de controlo Proporcional – Integral – Diferencial. Esta estratégia gera um sinal de controlo que é proporcional ao erro, à derivada do erro e ao integral do erro ao longo do tempo, sendo o “erro” a diferença entre a resposta do sistema e uma dada resposta de referência. A sua formulação é desenvolvida em tempo contínuo e a força de controlo é gerada sem que necessariamente exista um modelo numérico do comportamento do sistema dinâmico, sendo a sua aplicação ideal em sistemas estruturais com poucos graus de liberdade. Na Figura 2, encontra-se indicado o diagrama de blocos do funcionamento de um sistema deste género [5], no qual todas as operações matemáticas se expressam no domínio da frequência utilizando a transformada de Laplace. Na função de transferência do controlador, Gc(s), que estabelece no domínio da frequência a relação determinística entre o erro e o sinal de controlo, figuram as constantes Kp, Ki e Kd, que correspondem aos ganhos associados ao erro, derivada do erro e integral do erro ao longo do tempo, respectivamente. Estas constantes determinam e eficiência do controlador e podem ser fixadas recorrendo a diversos métodos [4], sendo usual o seu ajuste através de processos empíricos baseados na observação directa da resposta controlada. No processo de determinação das constantes há que ter em conta que, enquanto que a variação dos valores de Kp e Kd influencia o desempenho do controlador face a respostas transientes, a variação da constante Kd afecta sobretudo a sua eficácia face a respostas estacionárias.

EXCITAÇÃO

H s( )

ΣREFERÊNCIAR s( )

+-

( )E sERRO

aG s =K ( ) + +c s

1

FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIADO CONTROLADOR

U s( )SINAL DE Σ

+( )D s

+

1

FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIADO SENSOR

2H s( )

FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIADO ACTUADOR

FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIADO SISTEMA

G s( )pF s( ) ( )Y s

RESPOSTAp K i K d sCONTROLO

FORÇA DECONTROLO

Figura 2: Diagrama de blocos do funcionamento de um sistema dotado de um controlador PID

614 SÍSMICA 2004 - 6º Congresso Nacional de Sismologia e Engenharia Sísmica 2.2.2. Controlo predictivo A estratégia de controlo predictivo é formulada em tempo discreto, procurando-se, através do modelo numérico do sistema, prever em cada instante kT, sendo k um inteiro e T o intervalo de discretização temporal, a resposta do sistema num determinado instante posterior (k+λ)T, sendo λ um inteiro designado por constante de previsão. O intervalo de tempo [kT, (k+λ)T ] designa-se intervalo de previsão. Esta estratégia consiste em saber qual a sequência de valores da força de controlo capaz de produzir uma determinada sequência de respostas desejadas ao longo intervalo de previsão. O número de variáveis envolvidas neste problema pode ser substancialmente reduzido se se adoptarem algumas simplificações nesta formulação [2]. Uma delas consiste em se pretender aproximar a resposta prevista e a resposta desejada apenas no horizonte de previsão, não se impondo qualquer condição de aproximação em instantes de tempo intermédios. Outra simplificação possível consiste em adoptar uma sequência de forças de controlo de intensidade constante ao longo do intervalo de previsão, de tal forma que, da sua aplicação a partir do instante kT resulte a resposta desejada no instante (k+λ)T. Ou seja, a estratégia de controlo passa simplesmente a ter como objectivo a determinação, em cada instante de tempo kT, da sequência de forças de controlo constantes a aplicar ao sistema, de modo que a sua resposta seja a desejada no horizonte de previsão (k+λ)T. Sendo esta estratégia aplicada em cada instante de tempo discreto, há que ter em conta que enquanto o instante kT corresponde a uma situação realmente verificada, o horizonte de previsão (k+λ)T representa um intervalo de tempo de natureza fictícia, onde se implanta a estratégia de controlo. Assim, a sequência de forças de controlo surge como um artifício, na medida em que apenas o seu primeiro valor se aplica efectivamente sobre o sistema. Na verdade, ao passar-se em tempo real para o instante (k+1)T, o horizonte de previsão redefine-se e o algoritmo de controlo projecta outra sequência de forças, da qual apenas o seu primeiro valor se aplica novamente sobre o sistema, e assim sucessivamente. A formulação da estratégia simplificada de controlo predictivo aplicada ao controlo de sistemas estruturais lineares, tem como base o princípio da sobreposição modal, através do qual a evolução temporal da resposta de um sistema pode ser dado por

∑∞

=

=1

)()(),(i

ii txtxy ηφ (1)

em que y(x,t) representa a deformada da estrutura no ponto x e no instante t, φi(x) caracteriza a configuração do i-ésimo modo de vibração e ηi(t) é a correspondente coordenada modal cuja evolução temporal determina a resposta do sistema. Existindo uma excitação exterior actuante, o movimento resultante apresenta duas componentes, uma relativa à resposta em vibração livre e outra relativa às vibrações forçadas, ou seja

( ) ( )[ ] ( )[ ] filii ttt ηηη += (2)

A resposta modal em vibração livre depende das condições iniciais traduzidas por )0(iη e )0(iη& , sendo dada por

[ ]tii

aia

i

iiiiaiili etsentt

ωξ

ωω

ηηωξωηη

−

++=

)0()0(cos)0()(& (3)

em que ξi é o coeficiente de amortecimento do i-ésimo modo de vibração, ωi a respectiva frequência natural e ωi

a a correspondente frequência natural amortecida.

Carlos MOUTINHO, Álvaro CUNHA, Elsa CAETANO 615 Por sua vez, a componente referente à resposta modal em vibração forçada pode ser quantificada através do integral Duhamel, resultando

[ ] ττωτω

η τωξ dtsenefm

t ai

ttii

iaii

fi )()(1)(0

)( −= ∫ −− (4)

em que mi é a massa modal associada ao i-ésimo modo de vibração e fi representa a evolução temporal da correspondente força modal. Dado que a estratégia de controlo predictivo é formulada em tempo discreto e implementada no horizonte de previsão (k+λ)T, há que efectuar uma discretização da equação do movimento com intervalos de tempo T e considerar um intervalo de tempo [kT,(k+λ)T]. Supondo conhecida a resposta no instante kT, pretende conhecer-se a respectiva evolução no instante (k+λ)T. Ora, no caso particular do controlo activo de uma plataforma vibratória destinada à aplicação de uma excitação basal em modelos laboratoriais, importa implementar esta estratégia relativamente ao deslocamento da plataforma, coincidente com o da base do modelo, sendo este condicionado pelo movimento livre do conjunto da plataforma e do modelo, e pelo movimento forçado devido à força aplicada pelo mecanismo de funcionamento da referida plataforma. Então, o deslocamento estimado na base do modelo, ponto que se pode designar de x1, resultante da aplicação da equação do movimento em cada instante relativamente ao horizonte de previsão, é dado por

)(ˆ)(ˆ)(ˆ 110

1 xyxyxy ckkk λλλ +++ += (4)

em que )(ˆ 10 xyk λ+ é a componente do deslocamento estimado da plataforma devido ao

movimento livre do sistema e )(ˆ 1xy ck λ+ é a componente estimada do deslocamento devido à

vibração forçada. Relativamente à contribuição do movimento livre do sistema, a consideração das equações (1) a (3), tendo em conta a discretização temporal referida, assumindo ωi

a≅ωi, e tomando como significativa a contribuição para a resposta dos primeiros n modos de vibração, a estimativa desta componente do deslocamento, calculada no instante kT relativamente ao horizonte de previsão (k+λ)T, é dada por

∑=

+ =n

iik xxy

111

0 )()(ˆ φλ

Tii

ii

iiiiii eTsenkTkTTkT

λωξ

λωω

ηηωξλωη

−

++ )()()()cos()(

& (5)

Nas mesmas condições, as equações (1), (2) e (4) permitem obter a estimativa da componente do deslocamento relativa às vibrações forçadas

∑=

+ =n

ii

ck xxy

111 )()(ˆ φλ

−∫ −− ττλωτ

ω

λτλωξ dTsenef

mi

TTii

iii

)()(1

0

)( (6)

Assumindo que a força aplicada pelo mecanismo da mesa vibratória é constante no intervalo de previsão de valor cf , o integral da equação anterior tem solução analítica [1], conduzindo à seguinte equação mais simples

( )[ ]TTem

xfxy iiiTii

ii

n

ii

ck

ck λωξλω

ωφ λωξ

λ sincos11)(ˆ)(ˆ2

11

21 +−= −

=+ ∑ (7)

616 SÍSMICA 2004 - 6º Congresso Nacional de Sismologia e Engenharia Sísmica Sendo todos os parâmetros intervenientes nesta equação constantes, com a excepção da força

ckf̂ , esta equação pode ainda ser rescrita na seguinte forma

λλ Rfxy ck

ck

ˆ)(ˆ 1 =+ (8)

sendo Rλ uma constante dada por

( )[ ]TTem

xR iiiTii

ii

n

ii λωξλω

ωφ λωξ

λ sincos11)( 21

12 +−= −

=∑ (9)

Impondo o deslocamento previsto da plataforma no horizonte de previsão )(ˆ 1xyk λ+ igual a um deslocamento desejado )( 1xy d

k λ+ previamente definido, atendendo às equações (4) e (8), a força a aplicar pelo mecanismo da plataforma em cada intervalo de tempo é dada por

λ

λλ

Rxyxy

f kdkc

k)(ˆ)( 1

01 ++ −

= (10)

2.3. Implementação das estratégias de controlo em LabVIEW Tendo em vista a implementação experimental de um sistema de controlo activo associado ao funcionamento de uma plataforma vibratória destinada à excitação sísmica de modelos laboratoriais, descrita na secção seguinte, desenvolveram-se em LabVIEW dois programas distintos para funcionarem com cada uma das estratégias de controlo atrás referidas. Na Figura 3, encontra-se representado o diagrama de blocos principal do programa desenvolvido para controlo da plataforma utilizando um controlador Proporcional – Integral – Diferencial, cujo princípio de funcionamento se descreve na secção 2.2.1. A excitação sísmica que se pretende reproduzir é dada sob forma de um ficheiro, no qual se caracteriza a respectiva evolução temporal da lei de deslocamentos. Embora a estratégia seja formulada em tempo contínuo, a colheita de sinal é realizada utilizando um determinado intervalo de discretização temporal, dado o carácter digital do computador utilizado. Este facto porém, não é relevante para o desempenho do controlador, dado que a elevada frequência de aquisição de sinal conseguida pelos equipamentos actuais torna a acção de controlo equiparável a um sinal contínuo. Após a leitura da resposta da plataforma em cada instante de tempo, o controlador calcula o sinal de controlo tendo por base a estratégia adoptada, e imediatamente executa um conjunto de verificações de modo a garantir uma adequado funcionamento do sistema de controlo. Uma das verificações consiste em limitar o valor da amplitude da força de controlo, caso este ultrapasse um valor previamente definido, evitando-se eventuais danos, quer no dispositivo de aplicação de forças, quer no próprio modelo laboratorial. A outra verificação consiste em desligar imediatamente o sistema de controlo, caso os deslocamentos experimentados pela plataforma ultrapassem determinados limites previamente estabelecidos. Com este procedimento, pretende-se evitar choques com as fronteiras laterais da plataforma, causados pela imposição de uma lei de deslocamentos que ultrapasse os limites físicos de movimentação da plataforma, ou até, por uma eventual instabilidade do sistema de controlo. Estas verificações foram também implementadas no programa desenvolvido com base na estratégia de controlo predictivo descrita na secção 2.2.2, cujo diagrama de blocos principal está indicado na Figura 4. Neste caso, a implementação da estratégia pressupõe o conhecimento, em cada instante, das coordenadas modais associadas a cada modo de vibração, tendo-se desenvolvido para o efeito um estimador de estado que, a partir da resposta da estrutura ao nível da base e do piso, estime estes valores através da resolução de um sistema de equações algébricas.

Carlos MOUTINHO, Álvaro CUNHA, Elsa CAETANO 617

Figura 3: Diagrama de blocos principal do Controlador Proporcional – Integral – Diferencial

Figura 4: Diagrama de blocos principal do Controlador Predictivo

618 SÍSMICA 2004 - 6º Congresso Nacional de Sismologia e Engenharia Sísmica 3. DESCRIÇÃO DO MODELO E EQUIPAMENTOS UTILIZADOS Nesta secção, apresentam-se as principais características da plataforma vibratória e do modelo de ensaio utilizados, e descreve-se uma experiência desenvolvida, baseada na aplicação de várias acções sísmicas na base de um sistema de 1-GL. O modelo ensaiado corresponde a um pórtico de 1 piso, constituído por uma massa em aço de 8,81kg, ligada à base por intermédio de dois pilares em alumínio com 0,18kg de massa, dimensões 60×3mm2 e altura efectiva 280mm (ver Figura 5). O pórtico foi colocado sobre uma plataforma vibratória, constituída por um excitador electrodinâmico APS modelo 400 ELECTRO-SEIS, de funcionamento unidireccional, ao qual se adaptou um mesa em alumínio para suporte de modelos, sendo mobilizada no total uma massa total de 12,32kg. Com o objectivo de medir continuamente a resposta da estrutura na base e no piso, o modelo foi instrumentado com dois transdutores de deslocamento da RDP, os quais permitem avaliar o estado do sistema em cada instante, recorrendo a um estimador de estado desenvolvido no âmbito deste trabalho. Paralelamente, a reposta da estrutura foi também registada em termos de acelerações, através de dois acelerómetros miniatura da PCB, posicionados na base e no piso do modelo. A aquisição e processamento de sinal foi realizada utilizando o software comercial LabVIEW versão 6.1, com o auxílio de uma placa de conversão analógico/digital de sinal da National Instruments. Para a geração do sinal de controlo, foi utilizado um computador digital, no qual se implementou quer um controlador Proporcional–Integral–Diferencial, quer um controlador predictivo, desenvolvidos em LabVIEW. A acção de controlo correspondente é exercida utilizando o excitador electrodinâmico, o qual gera uma força proporcional à corrente emitida por um amplificador entreposto entre o excitador e o computador digital.

Figura 5: Modelo laboratorial de um pórtico de um piso sobre a plataforma vibratória

Carlos MOUTINHO, Álvaro CUNHA, Elsa CAETANO 619 4. VERIFICAÇÃO EXPERIMENTAL DA EFICÁCIA DO SISTEMA DE CONTROLO A eficácia do sistema de controlo activo desenvolvido foi testada experimentalmente através da aplicação de várias acções sísmicas na base no pórtico descrito na secção anterior. Para o efeito, seleccionou-se um conjunto de sismos reais cujo registo é conhecido, e tentou-se, para cada um deles, reproduzir a lei de deslocamentos correspondente, tendo-se posteriormente comparado a resposta efectiva na base do pórtico com a reposta desejada. A título de exemplo, apresentam-se na Figura 6 os resultados obtidos no caso do sismo de Friuli, ocorrido a 6 de Maio de 1976, e na Figura 7 os resultados para o caso do sismo de Loma Prieta ocorrido a 18 de Novembro de 1989. Como se pode constatar, em ambos os casos se verifica uma grande proximidade entre o registo real do sismo e a resposta da plataforma vibratória comandada por qualquer dos dois sistemas de controlo propostos.

-0,04

-0,03

-0,02

-0,01

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0 5 10 15 20 25 30 35 40t(s)

d(m)

REGISTO REAL

CONTROLADOR PID

CONTROLADOR PREDICTIVO

Figura 6: Comparação entre o registo real e o medido na plataforma (sismo de Friuli)

-0,04

-0,03

-0,02

-0,01

0,00

0,01

0,02

0 5 10 15 20 25 30 35 40t(s)

d(m)

REGISTO REAL

CONTROLADOR PID

CONTROLADOR PREDICTIVO

Figura 7: Comparação entre o registo real e o medido na plataforma (sismo de Loma Prieta)

-30

-20

-10

0

10

20

30

0 5 10 15 20 25 30 35 40t(s)

Fc(N)

Figura 8: Força de controlo calculada pelo controlador PID (sismo de Friuli)

620 SÍSMICA 2004 - 6º Congresso Nacional de Sismologia e Engenharia Sísmica Embora nas Figuras 6 e 7 os registos sejam praticamente coincidentes, há que salientar alguns aspectos interessantes que ficam imperceptíveis face à escala dos gráficos. Por exemplo, o controlador PID tem maior dificuldade em responder a variações bruscas do movimento do que o controlador predictivo. Tal deve-se ao facto de este controlador não dispor de um modelo do comportamento dinâmico do sistema, que permita prever tais variações, actuando antecipadamente na correcção do sinal de controlo para poder fazer face a estas situações. De facto, o controlador PID gera a acção de controlo mediante a existência de erros, o que o torna relativamente menos eficaz que o controlador predictivo. Por outro lado, ao não conhecer a resposta futura pretendida, este controlador faz permanentemente correcções à trajectória, guiado pela existência de erros e gerando forças de controlo em correspondência com esses erros, conduzindo a uma mudança constante no sentido da força de controlo. Este facto está bem patente na Figura 8, a qual representa a evolução temporal da força de controlo exigida pelo controlador PID, resultante da simulação da resposta do sismo de Friuli. O controlador predictivo por seu turno, exerce uma acção de controlo mais inteligente, antecipando a resposta pretendida e gerando uma força de controlo mais suave, conduzindo a uma resposta da mesa praticamente coincidente com a desejada. Contudo, tem a desvantagem de exigir uma modelação rigorosa do comportamento do sistema dinâmico, por vezes difícil de obter. 5. CONCLUSÕES

Neste artigo desenvolveu-se um sistema de controlo activo aplicado ao funcionamento de uma mesa vibratória destinada à excitação sísmica de modelos laboratoriais. O objectivo deste sistema é tentar impor à plataforma um movimento previamente definido, o qual é condicionado pela interacção da plataforma com o modelo, bem como por fenómenos de natureza aleatória associados à realização de ensaios experimentais. Nesse sentido, desenvolveu-se um sistema de controlo activo apoiado quer num controlador PID, quer num controlador predictivo simplificado, tendo-se implementado os seus algoritmos em LabVIEW. As experiências realizadas em torno da aplicação de diversas acções sísmicas a um modelo laboratorial de um pórtico de 1 piso evidenciaram a elevada eficácia do sistema de controlo activo, utilizando qualquer um dos controladores propostos. Apesar de não ser significativo, o controlador PID demonstrou ser relativamente menos eficiente que o controlador predictivo, quer em termos da proximidade entre a resposta desejada e medida, particularmente nas situações de variações bruscas do movimento, quer em termos da amplitude máxima da força de controlo. No entanto, tem o mérito de não necessitar da modelação numérica do sistema dinâmico para gerar a acção de controlo, indispensável no caso do controlador predictivo. 6. REFERÊNCIAS

[1] Clough, R.; Penzien, J.–Dynamic of Structures. McGraw-Hill International Editions, 1993. [2] Falcó, X.; Aparicio, A.; Barbat, A.; Rodellar, J. – Control Activo de Puentes Sometidos a

Cargas de Tráfico. CINMNE Nº6, Barcelona, 1990. [3] Moutinho, C. – Controlo Passivo e Activo de Vibrações em Pontes Pedonais. Tese de

Mestrado, FEUP, 1998. [4] Ogata, K. – Modern Control Engineering. Prentice Hall, 1996. [5] Vu, Hung.; Ramin, E. – Dynamic Systems. McGraw-Hill International Editions, 1998.