UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DECHIHUAHUA

Facultad De Ingeniería

Materia:Ecuacion

esDiferenciales

Fecha de entrega 25/11/2014

DeflexiónDe UnaViga

Se resolverá la deflexión de una viga con valores en la frontera por medio de la transformada de Laplace.

Catedrática: Ing. Karla Bojorquez Gutiérrez

Alumnos MatriculaIrving Martin Salcido Medrano 282103Alejandro Romo González 281972Marcos Gallegos Hernández 281834

IntroducciónLa transformada de Laplace es un operador lineal sumamenteútil a la hora de resolver de manera más eficaz lasecuaciones diferenciales de orden superior las cuales tienenuna gran aplicación en diversas ramas de las matemáticas y dela física.

En esta ocasión abordaremos una de sus aplicaciones eningeniería civil, la cual se centra en las vigas. Estasúltimas son un elemento fundamental en la construcción, nosolo soportan presión y peso, sino también flexión y tensión,además han ayudado a construir muchas estructuras incluso enel mundo antiguo.

El problema que resolveremos se trata sobre la deflexión deuna viga con valores en la frontera, por lo tanto parainiciar necesitamos saber más sobre estos elementosestructurales lineales o unidimensionales de la construcción.

Después nos adentraremos en el modelo matemático del fenómenoque analizaremos (deflexión de una viga), veremos los métodoscon los cuales vamos a solventar el problema que se nosplantea.

Por último nos centraremos en la resolución del problema enparticular, realizando los cálculos necesarios yexplicándolos de manera detallada, una vez hecho estomostraremos la gráfica que se genera con el ejercicio casoparticular que se nos ha planteado, para así pasar a laconclusión del problema.

VigasLa viga es una estructura horizontal que puede sostener cargaentre 2 apoyos sin crear empuje lateral en estos. El uso másimportante de estas, es quizás el que se aplica a laestructura de puentes. Son un elemento estructural, es decir,forma parte del diseño de una estructura rigiéndose por losprincipios de la resistencia de materiales y de laingeniería.

Son elementos lineales, los cuales también son llamadosprismas mecánicos o unidimensionales. Estos son alargados yson sometidos a un estado de tensión plana.

Por lo anterior dicho se sabe que las vigas estas sometidas auna tensión por lo tanto con los distintos materiales se

comportara de una forma diferente por ejemplo el acero hace alas vigas mas rígidas, las de aluminio son más flexibles ylas de madera tienen mayor elasticidad, no obstante cualquierviga se romperá cuando se aplica una cantidad de presiónexcesiva.

El uso de vigas está sumamente extendido por lo cual seutilizan en la construcción desde rascacielos a estadios,aunque también se pueden utilizar en la construcciónresidencial por lo tanto existe una gran variedad de tipos yclasificación de las vigas, que van desde el tipo dematerial, forma en que se colocan hasta el tipo de soportenecesario para cada estructura.

Deflexión de una vigaSe entiende por deflexión a la deformación que sufre unelemento por el efecto de las flexiones internas, tornándoseen una curvatura o desviación de un curso o línea horizontal.

La problemática de la deflexión de vigas y ejes en unadeterminada estructura, es un tema muy importante para losingenieros y en especial para los ingenieros civiles que alconstruir una edificación pueden presentar inconvenientesdebido a la deflexión de las vigas de la obra que se estérealizando.

Para prevenir daños como la deflexión de las vigas esnecesario identificar adecuadamente cada uno de los factoresque pueden llegar a tener un gran impacto en una edificaciónen el futuro, lo que ocasionaría un colapso de laedificación.

La deflexión, matemáticamente es una función y(x) que estágobernada por una ecuación diferencial lineal de cuartoorden.Considérese una viga de longitud L de un material homogéneo yque también es uniforme en su sección transversal tal como semuestra en la figura a. El eje de simetría se indica por lalínea punteada.

Si se aplica una carga a la viga en un plano vertical quecontiene al eje de simetría, la viga experimenta unadistorsión y la curva que conecta los centroides de lassecciones transversales se llama curva de deflexión o curvaelástica, esto se muestra en la figura b.

La curvatura de deflexión se aproxima a la forma de una viga.El eje x coincide con el eje de simetría de la viga y que ladeflexión y(x), medida desde este eje es positiva si es haciaabajo.

En la teoría de elasticidad se muestra que el momento deflexión M(x) en un punto x lo largo de la viga se relacionacon la carga por unidad de longitud w(x) mediante laecuación:

d2Mdx2

=w(x)

Además, el momento de flexión M(x) es proporcional a lacurvatura de κ de la curva elástica.

M (x)=EIκ

Donde E e I son constantes; E es el modulo de Young deelasticidad del material de la viga e I es el momento deinercia de una sección transversal de la viga. El producto sellama rigidez flexional de la viga.La curvatura está dada por κ=y'' /¿. Cuando la deflexión y(x) espequeña, la pendiente se acerca a cero, y por tanto y''/¿ seacerca a uno. Si se permite que κ≈y'', la ecuación M (x)=EIκ seconvierte en M=EIy''. La segunda derivada de esta últimaexpresión es:

d2Mdx2=EI

d2

dx2 y''=EId

4ydx4

Por lo tanto la deflexión y(x) satisface la ecuacióndiferencial de cuarto orden.

EId4ydx4

=w (x)

Las condiciones de frontera (contorno o región donde estádefinida la ecuación diferencial) asociadas con esta ultimaecuación depende de los apoyos extremos de la viga.

Empotrada en ambos extremos

Las condiciones en la frontera en x=0 y x=L son y=0,y'=0

Libres

Las condiciones en la frontera del lado en voladizo son x=0y x=L son y''=0,y'''=0

Apoyados

Las condiciones en la frontera en x=0 y x=L son y=0,y''=0

Planteamiento del problemaEl problema que se nos plantea en el proyecto es elsiguiente:

Una viga esta empotrada en su extremo izquierdo y simplementeapoyado en el derecho.Encuentre la deflexión y(x) cuando la carga está dada por:

w (x)={w0,0<x<L2

0, L2

<x<L }Graficar la solución cuando w0=48EI y la viga mide un metrode largo. Considere que la viga es de granito y el momento deinercia es de I=1kgm2

Existen varias maneras de resolver este tipo de situaciones,a nosotros se nos indico que debe de ser resuelta por el

método de la transformada de Laplace y una función llamadafunción escalón unitario o función de Heaviside, la cual seexplicara mejor.

Función escalón unitario

En ingeniería es común encontrar funciones que están ya sea“activadas” o “desactivadas”. Es conveniente entonces definiruna función especial la cual se llama función escalónunitario o función de Heaviside en honor al matemático inglésOliver Heaviside. Es una función matemática que tiene comocaracterística, el tener un valor de 0 para todos los númerosnegativos (desactivado) y de 1 para todos los positivos(activado), esta función se aplica en la fuerza externa queactúa en un sistema mecánico, o un voltaje aplicado a uncircuito.La función escalón unitario U(t−a) se define como.

U (t−a )={0,0≤t<a1,t≥a

Para nuestro problema solo tomaremos el eje t positivo talcomo muestra la figura.Cando una función f definida para t≥0 se multiplica poru=(t−a), la función escalo unitario “desactiva” una parte dela grafica de esa función.

La función escalón unitario también se puede usar paraescribir funciones definidas por tramos en forma compacta,tenemos 2 tipos distintos los cuales son:

f (t)={g (t ),0≤t<ah (t),t≥a }

Estas se puede escribir como: f (t)=g (t)−g (t )u (t−a )+h (t)u(t−a)

Y análogamente tenemos.

f (t)={ 0,0≤t<ag (t ),a≤t<b

0,t≥b }f (t)=g (t) [u (t−a)−u(t−b)]

Transformada de LaplaceLa transformada de Laplace puede ser usada para resolverecuaciones diferenciales lineales y ecuaciones integrales,comúnmente a problemas con coeficientes constantes.Cuando se resuelven estas ecuaciones usando la técnica de latransformada, se cambia de una ecuación diferencial a unaecuación algebraica.

Sea f una función definida para t≥0, la transformada deLaplace de f(t) se define como

L {f(t)}=∫0

+∞

e−stf(t)dt

Transformada de una derivadaSi necesitamos encontrar la transformada de Laplace de unaderivada de orden n de una funcion f(t) se aplica losiguiente.

L{dndtn f(t)}=S

nF (s )−Sn−1f (0)−Sn−2f' (0 )−Sn−3f'' (0)−…−fn−1(0)

Resolución del problema

La función es a tramos por lo tanto convertimos

w(x)={w0,0<x<L2

0, L2

<x<L } a su forma compacta a partir de la función escalón, por locual para dejar un cero en la primera parte tal como en lafunción de Heaviside, de la función a tramos extraemos w0 yrealizamos la operación necesaria para hacer que la segundaparte de la función siga siendo cero.

w (x)=wo{ 0,0<x<L2

−wo,L2<x<L}La segunda parte de la función a tramos es la que semultiplica por la función de escalón unitario dando comoresultado lo siguiente.

w0−w0u(x−L2

)

Ya que nuestra viga esta empotrada en x=0 y apoyadosimplemente en x=L tenemos las siguientes condiciones:

y (0)=0,y' (0)=0,y'' (L )=0Yy''' (L )=0

Igualamos w(x) a la ecuación diferencial de cuarto orden quesatisface la deflexión de una viga.

EIy''''=w0[1−u(x−L2

)]

Aplicamos la transformada de una derivada a la ecuaciónanterior.

EIL {y''''}=w0L{[1−u(x−L2

)]}EI [S4Y (S)−S3y (0)−S2y' (0 )−Sy'' (0)−y'''(0) ]

Aplicando linealidad en la segunda parte de la ecuación.

w0[L {1 }−L{u(x−L2 )}]

Resolviendo.

L {1 }=1S

Con el segundo teorema de traslación.

L{u(x−L2 )}f (t )=1,a=

L2∴(e

−LS2 )(1S )

La expresión total seria.

EI [S4Y (S)−S3y (0)−S2y' (0 )−Sy'' (0)−y'''(0) ]=w0[1S−e

−LS2

S ]Dadas nuestras condiciones en la frontera y (0) y y' (0 ) seráncero por lo tanto la ecuación se simplifica a lo siguiente.

EI [S4Y (S)−Sy'' (0 )−y''' ]=w0[1S−e

−LS2

S ]De aquí hacemos y''=C1 y y'''=C2 y despejamos Y(S), acontinuación se muestran el resultado de las operacionesantes mencionadas.

EI [S4Y (S)−SC1−C2 ]=w0[1S−e

−LS2

S ]S4Y (S)−SC1−C2=

w0

EI [ 1S−e

−LS2

S ]S4Y (S)=SC1−C2+

w0

EI [1S−e

−LS2

S ]

Y (S )=SC1S4 −

C2S4 +

w0

EI[1S−

e−LS2

S ]S4

Y (S )=C1S3

+C2S4 +

w0

EI [ 1S5−e−LS2

S5 ]Aplicamos la transformada inversa para encontrar y(x).

L−1 {Y(S)}=L−1 {C1S3 +C2S4

+w0

EI [ 1S5−e−LS2

S5 ]}L−1 {Y(S)}=y(x)

Aplicando linealidad.

L−1C1 { 1S3 }n=2,2!=2∴ C12x2

L−1C2 { 1S4 }n=3,3!=6∴ C26x3

L−1{ 1S5 }n=4,4!=24∴ 124

x4

L−1−{(eLS2 )( 1S5 )}n=4,4!=24,a=

L2∴−

124 (x−

L2 )

4

La expresión general es.

y (x)=C12x2+c2

6x3+

w0

EI¿

Tomamos nuestras segundas condiciones y (L)=0 y y'' (L )=0 por lotanto igualamos a cero nuestra expresión general ysustituimos nuestras variables por la longitud L.

Aplicamos la primera condición.

y (L)=C12L2+C2

6L3+

w0

EI¿

Ya que L>L2 no “desactiva” la función por lo cual no se

multiplica por la función escalón unitario, entonces:

y (L)=C12L2+

C26L3+

w0

EI¿

y (L)=C12L2+C2

6L3+

w0

EI [ 124 L4− 1384

L4]=0y (L)=C1

2L2+

C26L3+

5w0L4

128EI=0

Aplicamos la segunda condición por lo tanto sacamos lasegunda derivada.

y(x)'=C1x+C22x2+

w0

EI [16 x3−16 (x−

L2 )

3]y(x)''=C1+C2x+

w0

EI [ 12x2−12 (x−

L2 )

2]y(L)''=C1+C2L+

w0

EI [12 L2−12 (L−L

2 )2]=0

y(L)''=C1+C2L+w0

EI [12 L2−18L2]=0

y(L)''=C1+C2L+3w0L

2

8EI=0

Entonces tenemos nuestro sistema de ecuaciones para averiguarel valor de las constantes.

C12L2+C2

6L3+

5w0L4

128EI=0

C1+C2L+3w0L

2

8EI=0

Resolviendo el sistema de ecuaciones, despejamos “C1” en lasegunda ecuación.

C1=−C2L−3w0L

2

8EI

Sustituimos el valor obtenido en la primera ecuación.

(−C2L−3w0L

2

8EI)

2L2+

C26L3+

5w0L4

128EI=0

(−C2L2

−3w0L

2

16EI)L2+C2

6L3+

5w0L4

128EI=0

−C2L3

2−3w0L

4

16EI+C26L3+

5w0L4

128EI=0

Dejamos los términos con “C2” de un lado y del otro, lostérminos independientes.

−C22

L3+C26L3=

3w0L4

16EI−5w0L

4

128EI

Sacamos “C2” y “w0L

4

EI” como factor común.

C2(−L32

+L3

6)=3w0L

4

16EI−5w0L

4

128EI

C2(−L33

)=w0L

4

EI(316

−5

128)

C2(−L33

)=w0L

4

EI(19128

)

Ahora despejamos “C2”.

C2=

w0L4

EI(19128

)

(−L33

)

Realizamos la división y obtenemos el valor de “C2”.

C2=−( 57128

)w0LEI

Lo sustituimos en la segunda ecuación.

C1=−(−(57128

)w0LEI

)L−3w0L

2

8EI

Resolvemos.

C1=( 57128 ) w0L2

EI−(

38

)w0L

2

EI

C1=w0L

2

EI(57128

−38)

C1=(9

128)w0L

2

EI

Sustituimos los valores de C1 y C2 en la expresión general.

y (x)=(9128

)w0L

2

EI2

x2+−(

57128

)w0LEI

6x3+

w0

EI¿

Simplificando

y (x)=9w0L

2

256EIx2−

19w0L256EI

x3+w0

EI¿

Factorizando

y (x)=9w0L2

256EI x2−

19w0L256EI x

3+w0

24EI [x4−(x−L2 )

4

u(x−L2) ]

A continuación se observa la representación gráfica de ladeflexión de la viga, con el caso particular dew0=48EI,I=1kgm2 con la viga de granito y un metro de largo.

Bibliografía:

Dennis G. Zill y Michael R. Cullen. Ecuaciones diferenciales con problemascon valores en la frontera. 7th ed.; 2009.

F.P. Beer & F- Russell. . Mecánica de materiales. 2nd ed.; 1982