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Diseño de un proyecto de aula para la
enseñanza de la función lineal mediado por
resolución de situaciones problema en el
contexto rural
Jhoymar Stiwar Palacios Izquierdo
Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Exactas
Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales Medellín
2018
2
Diseño de un proyecto de aula para la
enseñanza de la función lineal mediado por
resolución de situaciones problema en el
contexto rural
Jhoymar Stiwar Palacios Izquierdo
Trabajo final de maestría presentado como requisito parcial para optar al título de:
Magister en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales
Director: M. SC. ELMER JOSÉ RAMÍREZ MACHADO
Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Medellín, Colombia
2018
3
Dedicatoria o Lema
A mi esposa Katia por apoyar y disfrutar todos
mis aprendizajes familiares y profesionales.
A mi madre Bienvenida por motivarme a
cualificar mi saber.
A mi padre por ser ejemplo de superación e
inspirarme a ser mejor un gran maestro.
A mi hija valentina y a mi hermana Gretell por
sacrificar tiempo de calidad en la realización de
esta Maestría.
4
Agradecimientos
A mi director M. SC. Elmer José Ramírez Machado por sus asesorías constantes, sus
recomendaciones e inspirarme a la investigación como rutina de enseñanza.
A los profesores de la maestría por señalar vacíos donde mi práctica o discurso presentaba
oportunidades de mejora.
A la Universidad Nacional de Colombia sede Medellín, por atreverse a abrir un programa
de maestría y cualificar docentes en el arte de enseñar.
5
Resumen
Este trabajo tiene como objetivo diseñar e implementar un proyecto de aula para la
enseñanza de la función lineal, favoreciendo el pensamiento variacional y la
resolución de problema en los estudiantes de grado noveno de la Institución
Educativa Rural Santa rosa de lima en el municipio de Giraldo, Antioquia. Para ello,
se usaron 5 fases en investigación acción educativa para realizarlo: caracterización
y análisis, diseño e implementación y por último evaluación. Como primer paso, la
caracterización del proceso de enseñanza y aprendizaje de la función lineal se
realizó a través del diseño y aplicación de encuestas que con las cuales se
indagaron los sistemas de creencias y dominios del conocimiento en el grupo de
estudiantes y sobre estrategias cognitivas y metacognitivas en algunos docentes
del área. A partir de los datos obtenidos mediante encuesta, se utilizó una matriz de
transposición didáctica y de allí, se identificaron las estrategias que conformarán la
intervención de los estudiantes con aras de ayudar a la comprensión, entre ellas,
por medio de guías didácticas los estudiantes se enfrentaron a situaciones
problemas y se les indujo con estrategias cooperativas a reconocer y traducir entre
los diferentes registros de la función lineal y afín. Finalmente se evalúa el dominio
de conocimiento de los estudiantes, a través de una prueba de comprensión final.
Los resultados muestran que después de la aplicación del proyecto de aula, los
estudiantes no solo reconocieron las funciones lineales y afines, sino que, las
usaron para comprender y solucionar situaciones problema logrando desempeños
de más alto nivel. Finalmente, con este trabajo se evidenció que la enseñanza para
comprensión y las estrategias de aprendizaje cooperativo, potenciaron la resolución
de situaciones problema, las competencias comunicativas y visibilizaron los
procesos cognitivos de los estudiantes.
Abstract
The purpose of this work is to design and implement a classroom project for the
teaching of the linear function, to improve the variational thinking and problem
solving in ninth grade students of the Rural Education Institution Santa Rosa de Lima
in the municipality of Giraldo , Antioquia. The methodology of this final work was
applied to 18 students of the IER Santa Rosa de Lima. Five phases were used in
educational action research to carry it out: characterization and analysis, design and
implementation and, finally, evaluation. As a first step, the characterization of the
teaching and learning process of the linear function was carried out through the
design and application of surveys that inquired into belief systems and knowledge
6
domains in the group of students and about cognitive and metacognitive strategies
in math teachers. From the data obtained through a survey, a matrix of didactic
transposition was used and, from there, the strategies that will make up the
intervention of the students with the aim of helping the understanding, through
guides were identified. Didactic sequence faced the students with situational
problems and induced them with cooperative strategies to recognize and translate
between the different records of the linear and related function. Finally, the
knowledge domain of the students was evaluated through a final comprehension
test. The results show that after the application of the project in the classroom,
students not only recognized the linear and related functions, but they used them to
understand and solve problematic situations and achieve higher level performances.
This work showed that teaching for understanding and cooperative learning
strategies, promoted the resolution of problematic situations, communicative skills
and make visible the cognitive processes of students.
Palabras claves: enseñanza para la comprensión, proyecto de aula, enseñanza de la
función afín, modalidades de enseñanza, aprendizaje cooperativo.
7
Contenido Resumen ............................................................................................................................................5
Introducción .....................................................................................................................................11
1. Aspectos preliminares ..............................................................................................................14
1.1. Planteamiento del problema ............................................................................................14
1.1.1. Descripción del problema .........................................................................................14
1.1.2. Formulación del problema........................................................................................16
1.2. Justificación ......................................................................................................................16
1.3. Objetivos ..........................................................................................................................19
1.3.1. Objetivo General ......................................................................................................19
1.3.2. Objetivos Específicos ................................................................................................20
2. Marco Referencial ....................................................................................................................20
2.1. Antecedentes .......................................................................................................................21
2.2. Referente Teórico .............................................................................................................23
2.3. Referente Conceptual .......................................................................................................31
2.4. Marco Espacial .................................................................................................................37
2.5. Marco Legal ......................................................................................................................40
3. Diseño Metodológico. ..............................................................................................................40
3.1. Enfoque ............................................................................................................................41
3.2. Método .............................................................................................................................41
3.3. Instrumentos de recolección de la Información ...............................................................43
3.4. Población y muestra .........................................................................................................44
3.5. Impacto esperado.............................................................................................................45
3.6. Planificación de actividades ..............................................................................................46
3.7. Cronograma de actividades ..............................................................................................47
4. Trabajo Final .............................................................................................................................48
4.1. Diagnostico Y Caracterización...........................................................................................48
4.1.1. Encuesta a docentes .................................................................................................48
Análisis de los datos obtenidos de las encuestas a docentes ...................................................49
4.1.2. Encuesta sobre dominios de conocimiento en estudiantes ......................................58
8
Resultados de encuesta sobre dominios de conocimiento ......................................................60
4.1.3. Encuesta sobre sistemas de creencia en estudiantes ...............................................61
4.1.4. Trasposición Didáctica ..............................................................................................67
4.2. Diseño Del Proyecto De Aula ............................................................................................71
4.2.1. Coherencia vertical y horizontal de estándares relacionados ...................................71
4.2.2. Estructura de las clases .............................................................................................72
4.2.3. La evaluación ............................................................................................................73
4.2.4. Intervención .............................................................................................................74
4.2.5. Aplicación y Estructura Del Proyecto De Aula ...........................................................75
4.3. Evaluación ........................................................................................................................77
4.3.1. Resultados prueba de comprensión final .................................................................77
5. Conclusiones y recomendaciones ............................................................................................79
5.1. Conclusiones.....................................................................................................................79
5.2. Recomendaciones ............................................................................................................83
Referencias.......................................................................................................................................86
Anexos ..............................................................................................................................................90
A. Anexo: Encuesta para docentes sobre Estrategias cognitivas y metacognitivas...................90
B. Anexo: Encuesta para estudiantes sobre dominios de conocimiento ..................................94
C. Anexo: Cuestionario para estudiantes sobre sistemas de creencias acerca de las
matemáticas ...............................................................................................................................103
D. Anexo: Guía didáctica 1– Elementos de la función lineal ...................................................106
E. Anexo: Guía didáctica 2- Reconocer modelos de funciones lineales y afines .....................116
F. Anexo: Guía didáctica 3– Proceso de Modelación ..............................................................120
G. Anexo: Guía didáctica 4 - Proceso de Ajuste ......................................................................126
H. Anexo: Guía didáctica 5 – Solución de situaciones problema .............................................130
I. Anexo: Taller de comprensión de situaciones lineales .......................................................137
J. Anexo: Prueba Final de comprensión de funciones lineales y afines .................................140
9
LISTA DE ILUSTRACIONES
Ilustración 1. Procesos generales de la matemática según MEN ......................... 25
Ilustración 2 Elementos de la EpC. Elaboración propia ....................................... 26
Ilustración 3 FormaciAdaptado de De Miguel Díaz 2005 ...................................... 30
Ilustración 4 Algunas modalidades de enseñanza. Adaptado de de Miguel 2005. 30
Ilustración 5. Métodos coherentes a la propuesta. Adaptado de De Miguel 2005. 31
Ilustración 6. Categorías de investigación. Elaboración propia ............................ 35
Ilustración 7. Interacción-traducción entre formas de representación de funciones
...................................................................................................................... 37
Ilustración 8. Elementos da la trasposición didáctica a realizar en la propuesta. .. 67
10
LISTA DE TABLAS
Tabla 1. Elementos De La Enseñanza Para La Comprensión. ............................. 26
Tabla 2. Procesos De Traducción Entre Procesos De Representación. Adaptado
De Janvier (1987) .......................................................................................... 37
Tabla 3 Niveles Educativos En Población De Giraldo. Fuente: Plan De Desarrollo
2016. ............................................................................................................. 38
Tabla 4. Normagrama De La Enseñanza De Las Matemáticas. Elaboración Propia
...................................................................................................................... 40
Tabla 5. Niveles De Desempeño En Cada Indicador ........................................... 60
Tabla 6. Resultados Porcentuales De Encuesta A Estudiantes. ........................... 60
Tabla 7. Niveles De Desempeño En Encuesta De Dominios De Conocimiento A
Estudiantes .................................................................................................... 61
Tabla 8. Trasposición Didáctica Sobre Elementos Diagnosticados. Elaboración
Propia ............................................................................................................ 68
Tabla 9. Coherencia Vertical De Estándares De Competencia Del Pensamiento
Variacional A Través De Todos Los Niveles .................................................. 71
Tabla 10. Resultados Prueba Final De Comprensión De Funciones Afines ......... 77
11
Introducción
El presente trabajo se construye sobre la necesidad de enseñar de manera efectiva
las funciones lineal y afín, siempre con la idea de superar el mero conocimiento
acerca de este objeto matemático y lograr una simbiosis con los procesos de
reconocimiento de la realidad del estudiante. Es así, se construye un viaje de
indagación de estrategias y visiones sobre la forma de acercar al estudiante al
pensamiento variacional, con pretensión de inducirlo a reconocer de manera cada
elemento que conforma este tipo de función y hacer fácil los procesos de conversión
entre registros.
En la comprensión pretendida por este documento se erige como meta de la
enseñanza del pensamiento variacional que el docente muestre con distintas
algoritmos y registros el sentido y comprensión de los fenómenos de cambio que
existen en la naturaleza y el mismo universo, las los represente y facilite su
caracterización con fines prácticos o predictivos. Es de notar que, para construir
esta meta, es necesario que al estudiante se le induzca al reconocimiento del
fenómeno de cambio y luego se procure la trasformación de esos datos obtenidos
experimental, situacional o hipotéticamente, a registros que facilitan el análisis e
identificación de sus características.
Uno de los grandes retos en la enseñanza es la articulación entre las áreas del
conocimiento que se imparten en las instituciones educativas. Es común que la
planificación se realice por áreas o incluso de forma personal, dejando cerrada la
posibilidad de convergencia en hilos conductores, lo que facilitaría la sinergia de
12
comprensiones en los estudiantes. Además, el desconocimiento sobre aspecto de
la enseñanza como el método, técnicas e instrumentos de evaluación, las
modalidades y una concepción de competencia, todo esto, dificulta la concreción en
las aulas de clase, la secuencia de estrategias y el aprovechamiento pleno de
recursos y evidencia de desempeños de comprensión superiores.
La investigación aquí desarrollada se basa en la investigación de tipo cualitativo del
paradigma y pretende apoyar la enseñanza de la función lineal y afín velando
porque el estudiante realice desempeños superiores en forma gradual al
comprenderlas y su aprendizaje esté mediado por estrategias de tipo cooperativo y
en la resolución de situaciones problema. No obstante, adelantará una revisión
desde la epistemología de la función que vislumbre una mejor manera de enseñarla
en el contexto rural de la Institución Educativa Rural Santa Rosa de Lima del
municipio de Giraldo, Antioquia. La propuesta se fundamenta en la teoría de
aprendizaje cooperativo y la enseñanza para la comprensión. Trasforma en
capacidad del investigador en su forma de estructurar la enseñanza, la utilización
de estrategias que hagan al estudiante protagonista de un desempeño en conjunto
de sus compañeros, y que le exige desarrollar no sólo habilidades cognitivas, sino
sociales y potencia la construcción de sentidos alrededor de conceptos como
proporcionalidad, función lineal y afín.
En primera instancia se realizan encuestas para la caracterización de las
concepciones conceptuales y utilitarias que poseen los estudiantes del objeto
matemático, bien llamados, sistemas de creencias y dominio de conocimiento. A su
vez se encuestan algunos docentes de matemáticas acerca de las estrategias
cognitivas y metacognitivas utilizadas al realizar la enseñanza de la función lineal.
Una vez representados los resultados de forma gráfica, se analizan con la intención
de aislar elementos que mejorarán la enseñanza de la función lineal respondiendo
también al interés de cambiar la perspectiva o sistemas de creencias de los
estudiantes tras aplicar el proyecto de aula. De este análisis surge el diseño del
proyecto de aula, con elementos desde la didáctica que atacan los elementos
diferenciadores de la solución de situación problema y secuencia de desempeños.
13
La realización de este proyecto está ligada a la cualificación del docente de
matemáticas, quien busca convertirse en investigador de su práctica, pone en tela
de juicio sus métodos, técnicas e instrumentos de evaluación y sus formas de
construir la competencia en los estudiantes. Además de aportar a la comunidad
sobre la enseñanza de las funciones lineales, se verá impactada la comunidad
educativa de la IER, al establecerse precedentes y estilos de enseñanza más
coherentes con el modelo humanista de enseñanza que allí se imparte. la
incoherencia entre lo establecido como objetivos de aprendizaje y las estrategias de
enseñanza imperantes en la práctica del docente. Es común encontrar que el
docente de matemáticas desconozca los aspectos epistemológicos de los objetos
matemáticos, y, por ende, se pierde la potencia en las estrategias que elije para
hacer que se apropien sus estudiantes.
Posteriormente, se procede a implementar el proyecto de grado en los estudiantes
de grado noveno promoviendo el reconocimiento de relaciones lineales y la
traducción entre tipos de registro (tabular, gráfico, lenguaje natural o algebraico),
culminando con el análisis de la comprensión a través de una prueba escrita final
realizada a los estudiantes, y que evidencia la habilidad entrenada de utilizar
elementos de las funciones lineales y afines para resolver situaciones problema,
comparar procesos y entender fenómenos. De esta manera, este trabajo se
convierte en un referente didáctico de la enseñanza para la comprensión a través
de la travesía conceptual y cognitiva a la que se induce al aprendiz, quien finalmente
habrá realizado desempeños de distinto nivel de exigencia cognitiva.
14
1. Aspectos preliminares
1.1. Planteamiento del problema
1.1.1. Descripción del problema
La experiencia como docente en el área matemática a través del departamento de
Antioquia, me ha facilitado identificar dificultades que año a año presentan los
estudiantes al desarrollar pensamiento variacional y al resolver situaciones
problema en pruebas externas e internas.
Los estudiantes se muestran desorientados en cuanto a las estrategias de
resolución de problemas, desconocen las fases de verificación, identificación de
variables, formulación de estrategias de solución, y pretenden finalmente dar
solución a éstas situaciones examinadas sólo con la identificación temática o
contextual del problema.
Respecto al desarrollo de pensamiento variacional en los estudiantes, prima en ellos
la dificultad para reconocer los datos, incógnitas e información sobrante en los
enunciados, una marcada deficiencia en la interpretación de información descrita en
los problemas, lo que conlleva, a que divaguen en la elección de procedimientos y
operaciones para resolverlos. No se evidencia lógica en sus razonamientos, los
problemas resueltos carecen de secuencia clara de estrategias.
Se evidencia en los resultados de las pruebas saber 9 del anterior año, que a los
estudiantes les cuesta comprender enunciados, situaciones problema y soluciones
analíticas, modelar las relaciones entre magnitudes y además poco entrenamiento
en procesos matemáticos como: formulación, modelación y resolución de
problemas. Hasta ahora, la mayoría considera que sus buenos desempeños y el
desarrollo de habilidades sólo obedecen a la repetición o ejecución de
procedimientos vistos en ejercicios, talleres y actividades evaluativas. Es en este
sentido que el MEN a través de sus lineamientos, propone a los docentes conectar
las futuras estructuras algorítmicas de los estudiantes con su contexto social,
15
familiar y sus centros de interés, llevándolos a reconocer estructuras variacionales
en ellos y abstraer a un lenguaje matemático para ser analizadas.
En una educación como la que requiere el país, se deben redoblar esfuerzos por
construir significados en los estudiantes, hacerlos reconocer su entorno y las
relaciones que operan sobre la comunicación, ayudándolos a ser críticos de toda
información. Por ello, es nocivo que en las aulas exista una ruptura entre las
competencias a evaluar y los instrumentos de evaluación, allí se cultiva en los
estudiantes un sentimiento de apatía hacia la realización de actividades dentro y
fuera del aula, y por supuesto esto conlleva a un bajo rendimiento académico en el
área y en otras afines, como las ciencias naturales.
Todo lo anterior nos lleva a identificar la gravedad de los asuntos de la práctica
docente, ya que una debilidad en la estructuración de las clases, sus criterios de
evaluación, métodos y técnicas utilizadas conlleva a un incremento en los niveles
de desmotivación, pérdida del área y deserción escolar en los chicos de básica
secundaria.
Así pues, la dificultad para comprender la información de lenguaje matemático,
simbólico o gráfico puede deberse a que falta en los docentes la determinación de
asociar a la cotidianidad del alumno cada elemento con el cual se desea conectar;
de esta forma, se lograría que el aprendiz identifique en los problemas cotidianos,
ventajas notables al solucionarlos mediante procesos y herramientas de la
matemática, por cuanto le permite llegar a la generalización de estos fenómenos.
Además, debemos resaltar que no existe entrenamiento en la identificación,
redacción, razonamiento, comunicación y resolución de problemas desde
pensamiento variacional. Pero no sólo es el maestro quien debe movilizarse,
también las instituciones educativas, ya que en la mayoría no se llevan a cabo
procesos de integración curricular en los que reconstruyan su currículo y lo pongan
en servicio del contexto, y utilizando como insumos para sincronizar las metas de
evaluación como: los derechos básicos de aprendizaje, las matrices de referencia y
documentos de orientación pedagógica, todos ofrecidos por el Ministerio de
16
Educación, y convencer a los docentes de reflexionar acerca de su práctica y llegar
con ello, a mejorar la calidad educativa de la institución y del país.
Por último, un aspecto que dificulta los procesos de enseñanza aprendizaje de
conceptos como el de la función lineal por medio de la modelación, es que la poca
conectividad a internet existente en la mayoría de instituciones rurales restringe el
uso de herramientas virtuales de aprendizaje autónomo que acompañen y
potencien los procesos presenciales, la asesoría individual y colaboren con la
disminución de la zona de desarrollo próximo del estudiante y la creación de redes
de aprendizaje entre pares. De manera, que la sub- utilización de los equipos
tecnológicos deja por fuera del proceso una herramienta, que de otra manera
pudiera mejorar el ambiente de aula e involucrar los diversos estilos de aprendizaje
de los chicos en procesos de cognición significativos.
Así pues, de lo antes expuesto, se evidencia la necesidad de diseñar de estrategias
de enseñanza aprendizaje que junto a la resolución de problemas mejoren el nivel
de comprensión de la función lineal en estudiantes del grado noveno y conlleva a
formular la siguiente pregunta:
1.1.2. Formulación del problema
¿Qué estrategias didácticas contribuyen al desarrollo de competencias del
razonamiento cuantitativo en el aprendizaje de la función lineal mediante el modelo
del proceso de enseñanza aprendizaje?
1.2. Justificación
17
Las dificultades en cuanto al modelamiento de problemas y fenómenos en
estudiantes de la básica secundaria, parecen obstruir el proceso de abstracción y la
forma como se construye significado a cualquier concepto, afectando a su vez, la
selección de algoritmos cuando de resolución de problemas se trata y el
reconocimiento de relaciones desde la cotidianidad. Esto se ha evidenciado de igual
forma en la enseñanza del concepto de función lineal en grados novenos.
Atendiendo la enseñanza bajo la guía de los Derechos Básicos de Aprendizaje, los
lineamientos curriculares y los estándares del Ministerio de Educación Nacional
MEN, se debería en el aula propiciar intervenciones que acerquen estrategias que
ayuden a mejorar la comprensión de fenómenos del contexto para el estudiante,
haciendo que mediante las matemáticas pueda abordarlos y en gran medida
dilucidar soluciones e incluso formulando situaciones similares.
Se presenta en las aulas una gran disyunción entre lo que propone el MEN y las
estrategias que hacen parte de la práctica docente; aunque se propone la utilización
de experiencias significativas según un conjunto de competencias que pretenden el
éxito de los estudiantes en las pruebas realizadas por el estado, en las aulas,
difícilmente se ejecutan estrategias en donde se logra transposición didáctica en el
área de matemáticas, por lo tanto se deja de interrelacionar pensamientos
matemáticos y componentes de otras ciencias, negando a los estudiantes ver el
mundo de forma integral, y no como conjunto de partes sin secuencia o relación.
La construcción que los estudiantes realizan de conceptos como la función lineal
comúnmente se lleva cabo en ambientes pasivos, donde sólo se transmite
información, donde prima la ejercitación de algoritmos y donde se propone la
identificación magnitudes y relaciones proporcionales en ejercicios carentes de
realidad y que por supuesto tampoco motivan la investigación y la autoformación.
De esta forma, los docentes llevan a cabo una enseñanza descontextualizada a los
estudiantes para que tengan capacidad de resolver pruebas externas, sin ayudarlos
a reconocer relaciones matemáticas en su cotidianidad, ni entrenarse en los
procesos de formulación resolución de problemas.
18
Otra razón para investigar en estrategias que posibiliten la mejora de la comprensión
de enunciados y la modelación de situaciones o fenómenos, es que la gran mayoría
de las instituciones educativas están enfocadas en incrementar el desempeño de
sus estudiantes en pruebas externas tanto en Saber noveno como en Saber once,
demostrando una educación para el logro y competencia y no para una aprehensión
de los pensamientos matemáticos. La educación del siglo XXI debe hacer del
estudiante alguien capaz de reconocer esas realidades sociales, políticas y
educativas que recaen sobre su comunidad. Sería plausible entonces, esa
capacidad para discernir la información que, entre medios, comercio y publicidad
hacen llegar al estudiante, y que tratan de mostrar una realidad parcial y enlodar en
la ignorancia al resto de su comunidad. Lo anterior, está enmarcado en el modelo
pedagógico social que en algunas instituciones poseen y que bajo enfoque como el
holístico procuran en el aprendiz una actitud crítica frente a su entorno social y
realidad comunitaria.
A esto se suma que algunos docentes sienten que su práctica no puede cambiar sin
antes tener a su disposición herramientas y materiales educativos, cosa que se ha
demostrado, es independiente de la recursividad para con lo poco que hay en las
instituciones para permitirles a los chicos dialogar con magnitudes, conceptos y
fenómenos que tienen explicación desde lo matemático y construirles con ello una
visión creativa de la educación. Dicho de otra manera, es necesario encontrar la
manera para integrar las nuevas tecnologías al aula de clase, mejorando el
ambiente y además facilitando la atención personal y el avance libre y responsable
por contenidos y desempeños por parte del estudiante, pese a las dificultades para
lograr conectividad de internet en los colegios.
Así pues, en las aulas se debería cambiar de un aprendizaje pasivo en donde el
docente y el libro son la autoridad y fuente de conocimiento, a uno activo donde la
observación del mundo, sus avances, construcciones científicas y cultura, sean
fuente de conocimiento. Dejar de usar el laboratorio solo para confirmar lo aprendido
y utilizarlo para aprender conceptos a partir de análisis de la modelación de
19
fenómenos, creación de materiales logrando así aprender de los errores en un
proceso que dejaría lo inductivo para hacer razonamiento deductivo.
Es por ello que se realiza esta propuesta de investigación, pretendiendo ayudar a
docentes - en su mayoría rurales - que al igual que el autor requieren en su medida
estrategias para la construcción de conceptos por medio de un aprendizaje activo
de sus estudiantes, con ayuda de las rutinas de pensamiento para la comprensión
conceptos buscando siempre un instrumento que permita la reflexión continua de
su práctica desde una perspectiva crítica de los contextos. De esta manera, lograr
transponer saberes y ayudar al proceso cognitivo de reconocimiento del mundo, sin
frontera alguna, con regiones interconectadas e interdependientes a las que el
estudiante debe ir acercándose de manera paulatina desde diferentes niveles de
complejidad. Y en los cuales prime la comprensión y el establecimiento de estilos
de pensamiento estructurados y potencializados.
Finalmente, con ésta propuesta se aspira lograr la cualificación del docente
investigador, puesto que le permitirá reflexionar sobre su práctica pedagógica
encontrándose con la ardua tarea de construir bajo su filosofía pedagógica, una
metodología de movilización de pensamientos y aprendizajes para con sus
estudiantes. Reconociendo así con éxito la influencia del ambiente de aula y la
cercanía del saber con el contexto de sus estudiantes como facilitador de proyectos
de aprendizaje. Se generará también oportunidad de impactar la significancia de las
estrategias y competencias vivenciadas por sus alumnos en el aula.
1.3. Objetivos
1.3.1. Objetivo General
20
Diseñar un proyecto de aula que contribuya a la enseñanza de la función lineal
mediado por resolución de situaciones en el contexto de la IER Santa rosa de lima
1.3.2. Objetivos Específicos
Diagnosticar los sistemas de creencias y dominio de conocimiento que tienen
los estudiantes y las estrategias cognitivas y metacognitivas que usan los
docentes en la enseñanza de la función lineal.
Interpretar los sistemas de creencias y dominio de conocimiento que tienen
los estudiantes y las estrategias cognitivas y metacognitivas que usan los
docentes en el aprendizaje y enseñanza de la función lineal.
Elaborar un proyecto de aula para los estudiantes del grado noveno de la
I.E.R. Santa rosa de lima, que les potencie en los procesos de modelación y
comunicación de la función lineal y el reconocimiento de sus registros de
representación a través de situaciones problemas.
Implementar el proyecto de aula en la IER Santa rosa de lima, con los
estudiantes de grado noveno para contribuir a la enseñanza de la función
lineal y sus registros.
Valorar el impacto de las estrategias implementadas en la comprensión de la
función lineal, sus representaciones y uso en la modelación de situaciones
problemas.
2. Marco Referencial
21
2.1. Antecedentes En la presente, veremos una selección de trabajos de investigación en aspectos
didácticos, pedagógicos y metodológicos que han potenciado con algunos
mediadores la enseñanza de la función afín o lineal, o han usado la resolución de
problemas como medio para desarrollo de competencias matemáticas desde el
pensamiento variacional. En estos antecedentes se basa la incursión en estrategias
didácticas que utilizan el contexto para involucrar a los estudiantes en procesos de
aprendizaje de la función afín.
En Villa (2015) se estudian las estrategias que algunos en algunos docentes
permiten favorecer la comprensión de los problemas de enunciados verbales y así
usarlos como como principal manera de hacer modelación matemática. Lo que es
relevante de este trabajo para la presente propuesta es su afirmación, de que las
situaciones o enunciados deben involucrar aspectos de la cotidianidad y cultura de
los estudiantes, para que se construyan reales relaciones entre las matemáticas y
el contexto del estudiante, haciéndolo partícipe desde su inclusión en procesos de
estudio sociodemográfico o construcción social.
De igual manera, Bossio (2014) presenta bases para la investigación en modelación
matemática en aulas de clase en contexto colombiano. Allí se encuentra sustento
teórico de la aplicación de metodologías que cumplan con el objetivo trazado incluso
en los estándares colombianos en enseñanza de matemáticas, la necesidad de
enseñar desde el contexto y en esta medida se propone el uso de situaciones del
contexto estudiantil para dinamizar la construcción de modelos lineales.
Mientras Matus y Guzman (2009), presenta una base teórica sobre ABP y evidencia
que existe relevancia en el trabajo en equipo porque permite identificar necesidades
para la comprensión, desarrolla habilidades metacognitivas, refuerza las relaciones
interpersonales y la amistad con los miembros del equipo, genera apertura y
sensibilidad a los estímulos externos y mensajes emitidos por el mediador y así, se
incentiva entre los miembros de equipo, los procesos socio-cognitivos. Se reconoce
22
entonces la efectividad del aprendizaje cooperativo, que potencia las competencias
y las diferentes formas de desempeñarse con diferentes contextos basados en el
mismo concepto.
Según Londoño y Muñoz (2011), quienes desarrollaron “estrategias para saber de
qué manera un proceso de modelación matemática permite a estudiantes del
grado once, construir relaciones lineales entre dos variables mediante situaciones
en contexto reales, concluyen que las situaciones enmarcadas en contextos que
le son familiares a los estudiantes desencadenan múltiples ideas, propuestas y
análisis sobre esa porción de realidad que se busca modelar mediante relaciones
matemáticas, tales situaciones e ideas, otorgan un papel al estudiante de
empoderamiento sobre ellas, pues su conocimiento de uso y funcionamiento
se transforman en una necesidad digna de pensarse desde construcciones
matemáticas. Es por ello que, estas situaciones generan una conexión con las
experiencias, la vida cotidiana y los conocimientos empíricos o interiorizados por los
estudiantes sobre el fenómeno estudiado”.
Roldán (2013), en su estudio concluye que “comprender lo que es función lineal
requiere que el estudiante se aleje de la definición formal que se da –en clase y en
textos- de ella, y que, a partir de la creación de modelos, la relación de los mismos
con datos teóricos y experimentales de situaciones que representan, llegue a una
definición propia con sentido que refleje su aprehensión de los elementos teóricos
que le subyacen. Es decir, Para que los estudiantes aprendan que es función lineal
deben no solo memorizar una definición dada, debe planteárseles diferentes
situaciones en las que apartar de la confrontación de datos y diferentes
representaciones generen modelos de función lineal en los que los elementos
teóricos pendiente e intercepto tengan sentido”.
Flórez (2013) en su trabajo “El diseño secuencial estructurado de actividades.
Potenciador de aprendizaje significativo de la función lineal afín” dice que el
concepto de función lineal debe tener un significado lógico dentro del contexto de
23
estudiante. Manifiesta que “conviene elevar al máximo el impulso cognoscitivo,
despertando la curiosidad intelectual y utilizando materiales que atraigan la
atención” (Ausubel, Novak y Hanesian, 1978). En este trabajo se revela
inicialmente que los educandos muestran algunas incertidumbres conceptuales,
de interpretación y falta de coordinación entre los registros de datos, gráfico
y tabulación de los mismos, tienen diferentes dificultades al pasar de una
tabla de datos a la gráfica, realizan una representación incorrecta de estos
valores y muy pocos estudiantes justifican sus respuestas, se observa que no
están acostumbrados a comunicar por escrito sus resultados. La filosofía de este
trabajo pedagógico investigativo no es castigar el error y premiar la respuesta
correcta después del correctivo conceptual con, la respectiva mediación docente.
La contextualización del concepto de función lineal, que se evidenció en cada una
de las situaciones problemas presentadas en cada una de las actividades, fue lo
que detonó la curiosidad y el interés por aprender acerca de la función lineal. El
éxito estuvo en la relación de los nuevos aprendizajes con las ideas previas que
presentaron cada uno de los educandos.
Para facilitar el aprendizaje significativo de la función lineal y la construcción del
concepto y desarrollo del pensamiento conceptual, es fundamental que los
estudiantes estén sometidos a experiencias en donde puedan modelar una
situación problema que les permita construir y reconstruir la realidad. El docente
debe jugar un papel protagónico en la construcción del concepto de función lineal,
debido a que debe idear las actividades necesarias en una secuencia creciente de
complejidad que le permita al educando adquirir las competencias necesarias, para
así tener éxito al final de dicho proceso.
2.2. Referente Teórico
24
El presente trabajo final se encuentra sustentado en los siguientes referentes
teóricos:
Enseñanza para la comprensión de David Perkins
Modalidades de enseñanza para el desarrollo de competencias de De
Miguel Díaz
Aprendizaje Cooperativo de Ramón Ferreiro
El presente proyecto de aula concibe la enseñanza de las funciones en un entorno
rural mediado por la resolución de problemas, se abre camino a través de
estrategias de aula pertinentes, concepciones y criterios de evaluación
diferenciados, así como de la conformación de guías para el desarrollo del
pensamiento variacional. Décadas atrás, David Perkins, junto a colaboradores de
la talla de Howard Gardner iniciaron un proyecto en la Universidad de Harvard, la
llamada Enseñanza para la comprensión, apuesta que se basa en tres conceptos
que transforman los roles de los actores del aula, tal y como se ha entendido hasta
ahora y éstos son: conocimiento, habilidad y comprensión. Se entiende por
conocimiento aquella elaboración personal a partir de la información que está a la
mano del sujeto, y que se evidencia desde la reproducción o la acción. De igual
manera, la habilidad es la capacidad de usar rutinas de desempeño interiorizadas,
y se evidencia, desde la acción en situaciones, problemas o pruebas estándares.
La presente propuesta de enseñanza aprendizaje en el aula fundamenta el
desarrollo de procesos cognitivos superiores al de la operatividad, desarrollo de
algoritmos y solución de ejercicios sobre la función lineal. Se trata de un proyecto
de aula para la enseñanza de la función lineal que visiona el desarrollo de
competencias y no solo de conocimientos, añora la comprensión no solo
reproducción. Busca una sinergia entre elementos metodológicos y didácticos para
construir los cimientos del concepto de competencia, que según de Miguel Díaz
2005 es “la capacidad que tiene un estudiante para afrontar con garantías
situaciones problemáticas en un contexto académico o profesional determinado”.
25
Así se constituye la propuesta ya en términos de los lineamientos curriculares del
MEN que sugieren a los docentes “analizar y modelar distintos fenómenos y
procesos no sólo en problemas y situaciones del mundo de la vida cotidiana, sino
también de las ciencias naturales y sociales y de las matemáticas mismas” y que,
además, utilicen los procesos matemáticos mostrados a continuación:
Ilustración 1. Procesos generales de la matemática según MEN
de los cuales se utilizará el de la resolución de problemas vista como una estrategia
didáctica que a partir de guías hace posible que los estudiantes se enfrenten a
distintas situaciones problema y le hacen representar su comportamiento de formas:
gráfica, tabular, descriptiva y algebraica.
La comprensión de la función lineal, más que un fin, se convierte en un medio de
aprendizaje, acercamiento a la ciencia, al contexto y estructuras del pensamiento
variacional. Se puede definir la comprensión como esa capacidad para pensar,
actuar y resolver problemas en situaciones inéditas usando sus conocimientos,
representándolos de múltiples formas y extrapolando a cotidianidades para dar
cuenta de su utilidad. Se estructura, en este sentido, el rol del docente, pues ahora
su apuesta está en preguntar cuidadosamente y llevar a sus estudiantes a procesos
que permitan un flujo continuo de pensamientos, a través de las preguntas
indicadas, como lo ha hecho saber Perkins, (1988). Iniciaremos entonces el viaje a
través de la enseñanza de las relaciones entre dos variables y la construcción del
concepto de función, para la cual la usaremos el marco de la Enseñanza para la
Comprensión. Para definirlo, Perkins (1998), utiliza preguntas guías, así:
Procesos generales
Resolución y planteamiento de
problemasRazonamiento Comunicación Modelación
Elaboración, comparación y ejercitación de procedimientos
26
Tabla 1. Elementos de la enseñanza para la comprensión.
Preguntas guías Elementos de la EpC
¿Qué realmente deseamos que los estudiantes comprendan?
Hilos conductores
¿Qué elementos guiarán el proceso de comprensión?
Tópicos generadores
¿Para qué se debe comprender el concepto? Metas de comprensión
¿Cómo podemos promover la comprensión del tema?
Desempeños de comprensión
¿Cómo podrán estudiantes y docentes averiguar que tanto comprenden?
Valoración continua
Estos interrogantes se convierten en los 5 elementos que conforman el marco
conceptual de la Enseñanza para la Comprensión en Blyte, Tina et al, (1998), en su
orden jerárquico son: hilos conductores, tópicos generadores, metas de
comprensión, desempeños de comprensión y valoración continua.
Primero, los hilos conductores, aquellas preguntas, ideas o afirmaciones que
orientan el proceso de aprendizaje hacia aquello que es realmente importante
aprender a lo largo de la unidad de intervención diseñada. Dan sentido, conexiones
y profundidad a todas las acciones en la propuesta de enseñanza del concepto de
función lineal y cohesiona las habilidades que se prevé construir en torno a su
Comprensión
Tópicos e hilos
conductores
Metas de comprensión
Desempeños de
comprensión
Valoración continua
Ilustración 2 Elementos de la EpC. Elaboración propia
27
comprensión. Pero, no cualquier pregunta o afirmación es conductora, podría
decirse que requiere de ciertas características, como no ser de resolución a corto
plazo, deberán ser conocidas por todos los actores, tanto docentes como
estudiantes y ayudarán a entender por qué se construye el concepto de función y
cómo es útil para los estudiantes al enfrentar su cotidianidad o campo laboral con
una visión modeladora de situaciones donde existe una relación entre dos variables.
Para la presente propuesta, un posible hilo conductor sería: ¿Cómo saber la
rentabilidad de un negocio? ¿puedo saber cuál será mi ganancia sin haber realizado
el negocio?
En cuanto a los tópicos generativos, se entienden como los temas que guiarán el
proceso y que están asociados al hilo conductor y propician una secuencia de
comprensión en los aprendices. Estos ejes son centrales en el aprendizaje y en la
indagación de cualquier disciplina, y posibilitan el desarrollo de propuestas como la
presente y la ejecución de las mismas. En esta propuesta se pretende entonces
realizar un viaje a través de tópicos como: variación lineal, función afín, recta, teoría
de gráficas, ganancia, pérdida y resolución de problemas. Logrando así, crear un
vínculo con las preocupaciones e intereses de los estudiantes, la pasión en el
docente, y sirviendo como puente entre los saberes previos de los estudiantes y la
profundidad del concepto estudiado. Siendo aún, necesario aclarar que su selección
depende de una condición de abundancia de recursos que viabilizan indagarlos,
permitiendo dar sobre éstos miradas complementarias a su primer acercamiento.
El siguiente punto, les compete a las metas de comprensión, aquellos enunciados
o preguntas que expresan el deseo final de comprensión tras cada acción o
habilidad mostrada por los estudiantes. Se convierten entonces, en una forma
puntual de mostrar lo relevante que será para los estudiantes ese proceso; son el
para qué de cada proceso o nuevo aprendizaje. Definen de manera específica los
procesos, preguntas o ideas que el aprendiz comprenderá mejor por medio de su
indagación. Deberán seleccionarse de un conjunto capacidades básicas para la
comprensión del concepto de función. La idea con ellas, es fijarlas desde procesos
28
mentales incrementando así la complejidad. De manera tal, que, para la presente
propuesta de enseñanza del concepto de función, se han seleccionado entre otros,
metas de comprensión como:
Ahora bien, de los desempeños de comprensión, que son como la piedra filosofal
de la enseñanza para la comprensión de Perkins, se sabe que a través de ellos se
desarrolla y evidencia la comprensión que tiene un estudiante. Los desempeños son
insumo para lograr comprensión, es decir, no son sólo actividades que evidencian,
sino que también, son oportunidades de comprender la variación, representaciones
gráfica tabular y descriptiva, o bien, comunicar mejor la relación entre dos variables,
dando sentido el concepto de función afín y resolviendo situaciones inéditas con
estas representaciones.
Éstos desempeños son de tipo secuencial, deben guiar el objeto de comprensión y
ser de complejidad suficiente para no quedar en el sentido de actividad y trascender
las metas de comprensión pactadas. Tienen la capacidad de poner al estudiante en
un entorno inédito, probar sus asociaciones y motivarlo a decidir, actuar o
representar de distinta forma una función. En la presente propuesta se pretende
además, utilizar mediadores que ayuden a esta labor de evidenciar y potenciar
comprensiones, herramientas móviles que pueden usarse offline en el entorno rural
como que el que se pretende intervenir, con aplicaciones como Geómetra para
modelar y observar el comportamiento de las variables dependientes en situaciones
Los estudiantes comprenderán cómo las funciones afines representan situaciones de dependencia entre dos o más variables y las traduce a formas gráfica, tabular y descriptiva.
El estudiante reconoce situaciones en su contexto que pueden ser analizadas por medio de la función afín, reconociendo los procesos de traducción que realiza al resolver y predecir valores o condiciones del problema.
El estudiante utiliza los pasos de polya para resolver problemas matemáticos y reconoce caminos efectivos hacia la solución de situaciones en su contexto.
29
indicadas y desconocidas por medio del análisis gráfico de las funciones que las
representan; Posibilitando la modelación de las situaciones adaptadas al contexto
rural con sus diferentes actividades económicas.
De igual manera, la valoración continua, conlleva a acordar criterios de evaluación
con los estudiantes, y que, por tanto, deben ser públicos, para retroalimentar sus
desempeños de comprensión, dejando espacios frecuentes de reflexión durante el
proceso de aprendizaje, dirigiendo a los estudiantes a procesos como la
autoevaluación y coevaluación, propendiendo la reflexión con múltiples
perspectivas de desempeño. En este proceso, se ofrece a los estudiantes una
respuesta clara, que le ayuda a mejorar sus desempeños posteriores y que viabiliza
utilizar los desempeños de comprensión para construir y no solo para finalizar el
proceso. Así pues, la propuesta de enseñanza de la función, utilizarán rúbricas de
conjunta construcción con estudiantes, de manera que sirvan como criterio de
calidad del desempeño o producto a realizar, se usarán así, para realizar borradores
o bosquejos del producto final a entregar y darán espacio a socialización de análisis
del principio o relación fundante en la situación problema enfrentada.
Como parte final del proceso está la necesario ahondar en el desarrollo de
competencias, pues de allí, radican las relaciones sinérgicas que darán a la
propuesta su carácter didáctico y que acercan al investigador a su proceso del saber
sabio al saber enseñado en las aulas de clase. Bien atrás, de este escrito se
menciona que De Miguel Díaz (2005), resalta el desarrollo de competencias como
un ejercicio de consciencia de la práctica docente, y que desde la metodología
apunta a la cualificación de los estudiantes. Este autor reconoce como elementos
fundantes del proceso: la evaluación auténtica, las modalidades y métodos de
enseñanza, de los cuales esbozaremos en aras de la propuesta.
Es importante para el proceso de enseñanza aprendizaje la consecución de
competencias, que al igual de la comprensión es la finalidad de cualquier enseñanza
del siglo XXI. Para de Miguel Díaz el docente debe estar consciente de categorías
como modalidad, método y evaluación. De ello depende en gran medida el éxito de
una práctica docente y en nuestro caso de la enseñanza de la función afín.
30
Ilustración 3 FormaciAdaptado de De Miguel Díaz 2005
Las modalidades se entienden como los escenarios donde se busca realizar
procesos de enseñanza aprendizaje y que además se clasifican en función del
propósito didáctico del mismo, los recursos disponibles y las actividades a realizar.
Para el proyecto de aula presente se seleccionaron de entre otros, las siguientes
modalidades de enseñanza:
Ilustración 4 Algunas modalidades de enseñanza. Adaptado de de Miguel 2005
El método se entiende como la forma de encaminar los procesos que los estudiantes
han de desarrollar, los recursos con que contarán y la finalidad de la actividad.
Tendrá entre otras cosas que adecuarse a cosas como: el contenido, el contexto, y
el desarrollo cognitivo del estudiante, para que de esta manera la acción que se
pretende desde lo didáctico sea coherente con las metas de comprensión trazadas
y negociadas con los mismos.
Competencias
Modalidades
Métodos
Evaluación
Clases teóricas
•Momentos de trabajo donde prima la demostración y exposición por parte de los participantes (docente o estudiantes).
• Cognición
Tutorías
•Orientación del docente a uno o dos integrantes de la clase y que encamina las estrategias o procedimientos que realizan.
•Cognición y metacognición
Estudio y trabajo en grupo
•Preparación de talleres, investigaciones o análisis de datos para entregar en clase mediante trabajo en equipos.
•Aprendizaje cooperativo
Estudio y trabajo individual
•Estudio personal o preparación de productos, exposiciones y talleres para entregar en clase.
•Muestra de aprendizaje autónomo
31
En aras del desarrollo de esta investigación, seleccionamos los siguientes como
métodos coherentes con la solución del problema identificado, como lo son:
Ilustración 5. Métodos coherentes a la propuesta. Adaptado de De Miguel 2005
De igual forma, Ramón Ferreiro (2007), menciona que el aprendizaje cooperativo,
fomenta la participación de los estudiantes en su aprendizaje, posibilita el desarrollo
de cognición y estimula la conciencia socio afectiva, por lo que finalmente se
reconoce que potencia la construcción de conocimiento al tiempo que fortalece
valores en los estudiantes o individuos participantes.
Y finalmente la evaluación sostiene toda la base evolutiva de la cognición del
estudiante antes, durante y después de la intervención didáctica. Es por ello, que,
en el texto ahora estudiado, el autor propone al igual que De Miguel (2005), que la
evaluación sea usada como criterio para realizar previo, durante y al final del
aprendizaje y no solo como un dato aislado del proceso de enseñanza. Debe
también permitirse un lenguaje claro, bien conocido y acordado con los estudiantes
y conocido por los mismos desde el inicio de la intervención. Y la evaluación debe
permitirse regir fuera de la subjetividad del docente, abriéndose paso a la evaluación
entre pares, y al reconocimiento de la autoevaluación.
Es por ello, que en la propuesta se pretende utilizar entre otras técnicas e
instrumentos de evaluación: prueba de desarrollo, autoevaluación y portafolio.
2.3. Referente Conceptual
Aprendizaje cooperativo
•Equipos pequeños y heterogéneos cooperan en el desarrollo de un
constructo o evidencia.
Método del caso
•Una situacion hipotética o real sirve como
elemento de análisis y solución
32
Es posible que desde las matemáticas la idea más útil para comprender el mundo
real sea la función, y se evidencia como aquella regla que predice la dependencia
de una cantidad sobre otra, para casos como, la distancia recorrida en un viaje en
automóvil, que depende del tiempo transcurrido. Es posible reconocer esa relación
no solo en casos experimentales o científicos, sino principalmente en situaciones
cotidianas, y propiciar en el estudiante: “el reconocimiento, la percepción, la
identificación y la caracterización de la variación y el cambio en diferentes contextos,
así como con su descripción, modelación y representación en distintos sistemas o
registros simbólicos, ya sean verbales, icónicos, gráficos o algebraicos” como
establece el Ministerio de Educación Nacional en sus Estándares básicos de
competencias en matemáticas (2006). Además de considerar al tópico funciones
lineales hace parte del pensamiento variacional y sistemas algebraicos.
La OCDE en sus Marcos de Evaluación de la prueba PISA (2016) considera de gran
importancia, alcanzar la comprensión del concepto de función en el pensamiento
variacional, proceso que año tras año se construye y que conforma la lista de
habilidades o capacidades que valora este organismo internacional. Entre los
procesos valorados por PISA como evidencias de la competencia matemática, está
el de la formulación, que requiere traducción de un escenario del mundo real, por
medio de estructura, representación y especificidad. Y finalmente algunos
desempeños relacionados con el pensamiento variacional y que lo evidencian
como: “reconocimiento de patrones en problemas, representación mediante
símbolos, comprensión de las relaciones entre lenguajes contextuales y simbólico
matemático” en OCDE (2016). Además, su enseñanza es primordial para asegurar
elementos de los cálculos diferencial e integral, que dilucidan herramientas para el
desempeño laboral de los estudiantes.
La enseñanza del concepto de función debe responder a retos como los
mencionados por Ugalde (2013): “Primero, que el verdadero reto al enseñar el
concepto de función radica en cómo diseñar actividades para que los estudiantes
descubran el concepto de función por sí mismos, y no por una simple exposición
por parte del docente. Segundo, que la historia es el mejor referente de obstáculos
33
y catalizadores del concepto de función, y que, al enseñar, el proceso de enseñanza
aprendizaje debe ser un reflejo de ese proceso histórico”. De manera que, el estudio
del pensamiento variacional, idealizado por el MEN en sus Lineamiento Curriculares
en Matemáticas (1998): “puede ser iniciado pronto en el currículo de matemáticas.
El significado y sentido acerca de la variación puede establecerse a partir de las
situaciones problemáticas cuyos escenarios sean los referidos a fenómenos de
cambio y variación de la vida práctica”. Uno de los problemas para la enseñanza del
concepto de función, es que se pretende abarcar su aprendizaje solo en los grados
superiores, ya como requisito al cálculo diferencial. Errando así, al aislar el proceso
de construcción del concepto a lo meramente matemático, desfigurando las posibles
explicaciones a los fenómenos naturales, científicos y cotidianos que puede
iniciarse desde primaria, ya que como dice Courant and Robbins (1941): “El
concepto de función es de capital importancia, no sólo en la matemática pura, sino
también en las aplicaciones prácticas. Las leyes de la física no son proposiciones
respecto a la forma en que dependen ciertas cantidades de otras, cuando algunas
de ésta varían. Así, el tono de la nota emitida por cuerda vibrante depende de su
longitud, de su peso y de la tensión a que está sometida; la presión atmosférica
depende de la altitud; la energía de una bala, de su masa y de su velocidad. La
tarea del físico consiste en determinar la naturaleza exacta o aproximada de esa
dependencia funcional”.
Es evidente que el concepto de función es importante más allá del currículo y la
escuela, por ejemplo, siendo camino para la solución de problemas del tipo
variacional. Es así, como un agricultor que conoce la regla que relaciona su
producción de panela con la cantidad de unidades de caña plantadas por hectárea,
entonces puede decidir cuantas plántulas sembrar por hectárea para maximizar su
producción de panela. Así mismo, si un biólogo halla la función que le permite
calcular según sea la masa corporal del paciente los mg de antibiótico necesarios
para recuperar el estado de salud del mismo. De igual manera se pueden
aprovechar relaciones como: la estatura en función de la edad de un niño, el precio
34
de un producto en función de la demanda del mismo, el peso de un astronauta
dependiendo de su elevación sobre la superficie terrestre; o bien, la cantidad de sal
necesaria para un sancocho dependiendo de la cantidad de porciones que se han
de preparar, la cantidad de cloro necesario para desinfectar una piscina a razón de
la capacidad de la misma. De cualquier forma, la función es un concepto necesario
en el camino del desarrollo de habilidades de comprensión a través de múltiples
estrategias que posibilitan la visualización del pensamiento variacional en los
estudiantes.
Ahora bien, la presente propuesta de aula, selecciona elementos de la resolución
de problemas como garantes del desarrollo de desempeños de comprensión acerca
de la función afín.
En principio, la resolución de problemas, es una comprensión que se perfecciona
día a día, durante toda la vida, y que conduce a los estudiantes a desarrollar
estrategias mentales para hacerles fácil y habitual la resolución de situaciones
cotidianas aplicando algoritmos matemáticos aprehendidos a largo de la educación
oficial básica y secundaria.
Es una habilidad de la cual se harán mejores cuanto más la ejerciten, de la misma
manera que un ajedrecista mejora sus estrategias de juego con cada nueva partida.
Cada oportunidad de mejora o de ejercitación, que en este caso está constituida por
cada situación problema a la que hace frente el estudiante, tendrá entonces un
papel protagónico, ya que le permite al sujeto que la estudia expandir su frontera de
comprensión, al conectarse con la realidad del estudiante y hacerse fácil de
manipular como constructo mental. Así se logra mayor comprensión del objeto de
conocimiento y en este caso mayor desempeño en competencias de razonamiento
y resolución de problemas.
Según los Lineamiento Curriculares 1998, para Polya “resolver un problema es
encontrar un camino allí donde no se conocía previamente camino alguno, encontrar
la forma de salir de una dificultad, encontrar la forma de sortear un obstáculo,
35
conseguir el fin deseado, que no es conseguible de forma inmediata, utilizando los
medios adecuados”.
De igual manera, Polya propuso las siguientes fases para resolver problemas:
i. Comprensión del problema
ii. Concepción del plan
iii. Ejecución del plan
iv. Visión retrospectiva
Cada una de ellas, permite un avance cognitivo para la solución del problema,
reflejan una conciencia de los pasos realizados y una esperada solución, pero es
poco común que los estudiantes los sigan. Es por ellos, que Schoenfeld, señala que
existen aspectos que trascienden lo oportuno y diverso de los contextos dados en
las situaciones problema, y que limitan el sendero trazado por Polya. Entre ellos,
tenemos: el dominio de conocimiento y el sistema de creencias que poseen los
estudiantes y las estrategias cognitivas y metacognitivas utilizadas por los docentes
para la aprehensión de contenidos y desarrollo de competencias. A continuación,
veremos en que influyen estas categorías que desde ahora llamaremos didácticas
y analíticas.
Ilustración 6. Categorías de investigación. Elaboración propia
Los dominios del conocimiento, son aquellas intuiciones, algoritmos y concepciones
con que cuenta un estudiante en el ámbito matemático, que le facilitan manipular y
trabajar bajo las reglas del mismo.
Categorías analíticas
Dominio del conocimiento
Sistema de creencias
Categorías Didácticas
Estrategias cognoscitivas
Estrategias metacognitivas
36
El sistema de creencias es la visión e imaginario que tiene un individuo acerca de
las matemáticas y de sí mismo, condicionando la manera en que analiza, concibe,
manipula un problema y también las técnicas y procedimientos que selecciona o
evita. De igual forma, determina el tiempo y esfuerzos invertidos en la solución de
una situación, que es particular para cada individuo.
Por su parte las estrategias cognoscitivas, son métodos que ayudan a manipular,
simplificar y graficar un problema, así como, representar datos de forma tabular y
encontrar en ellos patrones de comportamiento para finalmente reconstruir y
aprehender el problema.
De manera complementaria, en la resolución de problemas existen estrategias que
no se encargan de analizar y operar sobre los datos del problema, sino de hacer
control y monitorio a este proceso operativo e intencional, logrando hacer verídica
cada conclusión o dato obtenido del mismo. Así pues, dichas estrategias, como su
nombre lo dicen, va más allá de lo cognitivo y son llamada metacognitivas.
Comprende fases de control como la planeación, evaluación y control de estrategias
cognoscitivas.
Por último, es necesario ahondar en el desarrollo de competencias, pues de allí,
radican las relaciones sinérgicas que darán a la propuesta su carácter didáctico y
que acercan al investigador a su proceso del saber sabio al saber enseñado en las
aulas de clase. Bien atrás, de este escrito se menciona que de Miguel Díaz 2005,
resalta el desarrollo de competencias como un ejercicio de consciencia de la
práctica docente, y que desde la metodología apunta a la cualificación de los
estudiantes. Este autor reconoce como elementos fundantes del proceso: la
evaluación auténtica, las modalidades y métodos de enseñanza, los cuales
esbozaremos en aras de la propuesta.
En esta perspectiva, es menester reconocer autores como Sierra, M. Vásquez, M.
Gonzalez, T. y López C. de la Universidad de Salamanca (1998) quienes
reconocieron la importancia de un proceso de traducción entre representaciones
37
(verbales, tabulares, gráficas, algebraicas), dando por sentado, que existe una gran
responsabilidad en la adjudicación y diseño de tareas que sobre lenguajes
matemáticos se proponen a los estudiantes. De manera definitiva se propone dotar
a los estudiantes de conciencia para la traducción entre estas formas de
representación, y como es mencionado por Azcárate y Deuloffu (1996) citando a
Janvier (1987), toda la traducción se resume a un conjunto de procesos que
podemos y deber estar en competencias de diferenciar en las prácticas de aula,
como lo son:
Tabla 2. Procesos de traducción entre procesos de representación. Adaptado de Janvier (1987)
Hacia
Desde
Descripción
verbal
Tablas Gráficas Expresiones
algebraicas
Descripción
verbal
_______
Medida Boceto Modelo
Tablas Lectura ________ Dibujo Ajuste
Gráficas Interpretar Lectura ________ Ajuste
Expresiones
algebraicas Interpretar Cálculo Grafica ________
Es por esto que se propondrán actividades que promuevan la traducción entre estas
categorías:
Ilustración 7. Interacción-traducción entre formas de representación de funciones
2.4. Marco Espacial
38
La institución educativa rural santa rosa de lima se encuentra ubicada en el
corregimiento de Manglar, que pertenece al municipio de Giraldo, Antioquia. Se
encuentra sobre la vía que comunica al Urabá antioqueño con la capital del
departamento, a 4,3 kilómetros de la cabecera municipal.
El corregimiento cuenta al menos con 497 habitantes, funda su economía en la
producción de hortalizas, frijol maíz, cebolla junca y tomate. Y ahora aprovecha el
proyecto del Túnel de Toyo como fuente económica de decenas de familias que se
han reubicado allí por oportunidades laborales. Además, por su zona de influencia
sus habitantes viven también de la minería, tanto artesanal, como de los empleos
que han ofrecido para la comunidad algunas multinacionales, que impactan y
desarrollan proyectos de extracción de oro en la zona.
En el aspecto educativo, la población residente en Giraldo fue caracterizada de la
manera como indica la tabla, según el nivel educativo alcanzado:
Nivel educativo alcanzado Población
Sin nivel educativo 12,3%
Básica primaria 58,5%
Básica secundaria 23,2%
Profesional 1,2%
Especialización maestría o doctorado 0,2%
Tabla 3 Niveles educativos en población de Giraldo. Fuente: Plan de desarrollo 2016.
Y se encuentra también una gran cantidad de población en edad escolar que está
por fuera del sistema educativo por temas como la deserción escolar, trabajo infantil,
ausencia o abandono por parte de los padres.
Manglar cuenta con el servicio de los 6 centros educativos que conforman a la IER
Santa Rosa de Lima que atienden las veredas (CER el balso, CER Fernando
Hincapié, CER Tinajitas, CER el tambo y CER el Toyo). Su sede secundaria solo
cuenta con 5 años de creada y con 3 de estar egresando bachilleres académicos.
39
La Institución está compuesta por sedes que construyen el mismo horizonte
institucional, en los niveles de preescolar, primaria y secundaria, está en proceso
de desarrollar de la mano de los docentes jefes de área una integración curricular y
la delimitación de aspectos académicos, que den respuesta al contexto de la IER, a
partir de la aplicación del modelo pedagógico humanista en todos los grados, ya
que, desde los centros rurales, se trabaja con Escuela Nueva.
Para el momento de aplicación de la propuesta, la institución no contaba con los
elementos electrónicos necesarios para realizar una mediación a través de cursos
en plataformas LMS bien sea online u offline.
Se espera que la propuesta de intervención en el grado noveno, mejore la
comprensión de las funciones lineales y competencias en el pensamiento
variacional, a la luz del modelo pedagógico de la institución, ya que dialoga en sus
principios con la visión de la Institución y con el perfil de los egresados de la
institución. Se pretende impactar positivamente en la institución no sólo desde los
rendimientos de los estudiantes, sino también desde la construcción de saber
pedagógico entre los colegas docentes, inspirando a una cultura de la enseñanza
para la comprensión y desde las particularidades del contexto. Además, se espera
crear una experiencia que conecte a los chicos de la básica secundaria con el uso
de una plataforma virtual offline en relación con procesos de aprendizaje, sirviendo
de medio para la modelación de comportamientos desde la matemática.
40
2.5. Marco Legal
Tabla 4. Normagrama de la enseñanza de las matemáticas. Elaboración propia
3. Diseño Metodológico.
Referente legal Cita textual Relevancia pedagógica
Artículo 22
Ley 115 de 1994
El desarrollo de las capacidades para el
razonamiento lógico, mediante el dominio
de los sistemas numéricos, algebraicos,
geométricos, métricos, lógicos, analíticos
de conjuntos de operaciones y relaciones,
así como su utilización en la interpretación
y solución de los problemas de la ciencia,
de la tecnología y los de la vida cotidiana
Visiona unas metas de comprensión que
encaminen las prácticas pedagógicas y la
selección de criterios de evaluación para
cada nivel de aprendizaje de las
matemáticas. Entre los cuales hay un
espacio primordial para la identificación,
interpretación y síntesis de relaciones o
patrones de comportamiento de variables,
desde la flexibilidad de lo cotidiano hasta lo
riguroso de lo disciplinar.
Lineamientos
curriculares en
matemáticas
(MEN, 1994)
El significado y sentido acerca de la
variación puede establecerse a partir de las
situaciones problemáticas cuyos
escenarios sean los referidos a fenómenos
de cambio y variación de la vida práctica
Muestra no solo lo secuencial del proceso
de comprensión del concepto de función,
sino también, metodologías que dialogan
con una construcción a partir de lo
contextual, y que permita al estudiante
construir y representar su conocimiento.
Estándares
Básicos de
Competencia en
Matemáticas
(MEN, 2006)
En la función lineal con “nociones y
conceptos propios del pensamiento
variacional, como constante, variable,
función, razón o tasa de cambio,
dependencia e independencia de una
variable con respecto a otra, y con los
distintos tipos de modelos funcionales
asociados a ciertas familias de funciones,
como las lineales y las afines (o de gráfica
lineal), las polinómicas y las exponenciales,
así como con las relaciones de
desigualdad y el manejo de ecuaciones e
inecuaciones.”
Direcciona que el concepto de función debe
ser desarrollado en todos los niveles de la
educación, logrando en final, ayudar a que
los estudiantes cada una de las formas de
abstracción y representación requeridas
para su comprensión.
Derechos básicos
de aprendizaje en
Matemáticas -
Nivel secundaria
DBA (MEN,2015)
Usa propiedades y modelos funcionales
para analizar situaciones y para establecer
relaciones funcionales entre variables que
permiten estudiar la variación en
situaciones intraescolares y extraescolares.
Fijan unos aprendizajes fundamentales
sobre los cuales se edifica el desarrollo
futuro del individuo, que obligan al docente a
articularlos al contexto con enfoques,
metodologías y estrategias definidos en el
PEI para recrear planes de área y aula que
ayuden a la comprensión del concepto de
función.
41
3.1. Enfoque La investigación acción, es una metodología de investigación definida por Kurt
Lewin en 1973, encaminada a “mejorar la práctica a través de su transformación, al
mismo tiempo que procura comprenderla” dicho por Bausela (2000). De esta forma
se convirtió en ese proceso cíclico de exploración, actuación y valoración de
resultados, que visiona mejorar la práctica desde la reflexión de las experiencias
propuestas, y la transformación de las mismas, a la luz de los fenómenos propios
de la labor, de los sujetos de investigación y de la efectividad obtenida por medio de
la metodología aplicada. Así, la metodología permite a los maestros autonomía
profesional que contrasta con la práctica no reflexiva que aprisiona al profesional en
la rutina y el simple cumplimiento de programaciones temáticas. De manera, que
con la investigación acción el docente se hace a la innovación, al seguimiento
permanente de los efectos de esta última y la sistematización de la práctica como
un saber práctico, efectivo y sustentado.
Entre los triunfos que la metodología ofrece al investigador está el saber
pedagógico, el cual como menciona Restrepo (2004): “se convierte en un proyecto
de vida para el maestro”. Invita a quien la utiliza a optimizar sus procesos de
enseñanza impactando en el aprendizaje y el protagonismo de los actores (maestro
y estudiante), por cuenta de la capacidad de deconstrucción y reconstrucción de
prácticas efectivas. Esta metodología como menciona convierte en sujetos activos
de su formación posibilitando desarrollar destrezas, expandir la teoría y resolver
problemas. Trasciende la valoración de pruebas de hipótesis para llegar a
conclusiones, pues transforma tanto al investigador como las situaciones en las que
éste actúa.
3.2. Método
42
El proyecto de aula a intervenir está basado en la investigación acción educativa y
está compuesto por 5 momentos en los cuales se desmonta y reestructura la
práctica de quien investiga, y son en su orden:
El primer momento es diagnóstico, y prevé la identificación de los dominios de
conocimiento y sistemas de creencias de los estudiantes además de las estrategias
cognitivas y metacognitivas utilizadas por los docentes para enseñar la función afín.
Para finalmente realizar un análisis con un elemento integrador, de tipo
transposición didáctica, de elaboración propia en la investigación.
El segundo momento de investigación es el de análisis, que pretende identificar
categorías relevantes en la enseñanza de la función afín, así como seleccionar los
elementos que conformarán la propuesta desde lo didáctico y lo metodológico.
En el tercer momento, el de diseño, se elabora finalmente proyecto de aula como
propuesta de intervención, se estructuran las guías didácticas basados en
resolución de situaciones problema y sus respectivos desempeños de comprensión,
se precisa el aprendizaje cooperativo como eje transversal a la enseñanza para
comprender la función afín y se definen criterios de evaluación colaborativa. Todo
lo anterior, basados en las categorías que emergen tanto del diagnóstico como del
análisis documental.
El cuarto momento, el de intervención, tendrá primero la socialización de las metas
de comprensión y aplicación de las guías didácticas por resolución de problemas,
al igual que habrá interacción con algunos recursos offline que facilitan el análisis
gráfico y el dominio de estructuras de solución de Polya. Por último, se aplican los
desempeños de comprensión movilizan el pensamiento variacional en los
estudiantes.
Por último, en el quinto momento, se analizarán los resultados de encuestas que
evidencien la actitud y opinión de los estudiantes del impacto sobre su aprendizaje
y el nivel de desempeño alcanzados mediante la metodología e instrumentos
43
utilizados como estrategia para la compresión del concepto de función afín, además
de comparar avances en comprensión. Como parte de los criterios de
autoevaluación, se construye con los estudiantes la siguiente escala de
comprensión, como Rúbrica de desempeño final.
3.3. Instrumentos de recolección de la Información
La concreción de la propuesta requiere de instrumentos de recolección de
información que faciliten el diálogo cualitativo con la población objetivo, como son:
La encuesta: es un instrumento que hará visibles a diagnóstico las estrategias
cognitivas y metacognitivas utilizadas por los docentes. De esta manera, podrán
formularse los elementos concretos que guían la propuesta desde lo
metodológico.
Cuestionarios: es un instrumento que hará visibles a diagnóstico los sistemas
de creencias y dominios de conocimiento en estudiantes. De esta manera,
podrán formularse los elementos concretos que guían la propuesta desde lo
didáctico. Se utilizará el Cuestionario Mathematics-Related Beliefs
Questionnaire (MRBQ) para analizar la escala de Likert será utilizado el software
SPSS versión 23 de prueba.
Guías didácticas: es un instrumento que facilita la navegación de los
estudiantes por esa secuencia de desempeños graduales que construyen las
metas de comprensión que se pretende alcancen. De su desarrollo se
reconocerá niveles alcanzados de desempeño y elementos acertados en la
formulación de la propuesta.
44
Prueba de comprensión: Posibilita información escrita de rendimientos,
características y tópicos poco desarrollados en los talleres, que facilitan
establecer si el estudiante está comprendiendo el tema y cómo lo está haciendo.
Prueba tipo saber: Este instrumento dilucida en nivel final de comprensión que
alcanzaron los estudiantes, permite identificar la adaptabilidad de los estudiantes
a diferentes sistemas formales de lenguaje matemático, y su resolución de
problemas o ejercicios sobre la función afín.
3.4. Población y muestra
Para la investigación, elaboración e intervención de la propuesta se eligen dos
grupos focales, docentes y discentes. La propuesta de intervención, tendrá en
cuenta a estos grupos, ya que es necesario un dialogo sobre la práctica didáctica
(enseñanza aprendizaje) y los elementos que permiten mejorarla, a través de
reflexiones acerca de dos categorías como son: la didáctica y la analítica, de las
cuales se ahondó en el Marco Conceptual.
Docentes
Este grupo focal está conformado por los 5 docentes, que desde sus diferentes
Instituciones aceptaron el reto de aportar con su experiencia para el desarrollo de
esta propuesta y además posibilitar la identificación de las estrategias cognitivas y
metacognitivas utilizadas en el desarrollo del pensamiento variacional.
Estudiantes
Grupo conformado por los 18 estudiantes del grado noveno de entre 14 y 18 años
de edad pertenecientes a estratos 1 y 2 de la I.E.R. Santa Rosa de Lima, con bajos
recursos económicos y cuyas familias refieren bajos niveles educativos. El
establecimiento es carácter oficial y atiende población mixta en jornada de la
45
mañana, en el corregimiento de Manglar del municipio de Giraldo, jurisdicción del
departamento de Antioquia.
3.5. Impacto esperado
La implementación de este proyecto de aula convoca no sólo a los estudiantes a
mejorar y desarrollar una estrategia tal que se mejoren sus desempeños de
comprensión acerca de la función afín a través de la resolución de situaciones
problemas, sino también, al docente hacerse a una forma de investigación-acción
que le sea cotidiano en el desarrollo de sus labores docentes facilitándole resolver
las mediaciones entre saber sabio y saber enseñado en el área de matemáticas,
además de permitirle forjarse un sello característico en su estilo de enseñanza. Se
prevé facilitarles a los aprendices acceso a recursos virtuales pese a la ausencia de
conectividad en la Institución Educativa. A través del viaje por los recursos
diseñados, se espera desarrollar con los estudiantes procesos de traducción entre
formas representativas de funciones y reconocimiento de relaciones lineales en
diferentes contextos.
46
3.6. Planificación de actividades
Fases Objetivos Actividades
Caracterización Diagnosticar los sistemas de creencias y dominio de conocimiento que tienen los estudiantes y las estrategias cognitivas y metacognitivas que usan los docentes en el aprendizaje y enseñanza de la función lineal.
1.1. Revisión bibliográfica de los documentos rectores del MEN en busca de aprendizajes esperados con el pensamiento variacional y los sistemas analíticos en las matemáticas del grado noveno. 1.2. Elaboración de una encuesta a docentes de matemáticas sobre estrategias cognitivas y metacognitivas utilizadas para enseñar la función lineal. 1.3. Elaboración de una encuesta sobre sistemas de creencias y dominios de conocimientos de los estudiantes de grado noveno.
Análisis Interpretar los sistemas de creencias y dominio de conocimiento que tienen los estudiantes y las estrategias cognitivas y metacognitivas que usan los docentes en el aprendizaje y enseñanza de la función lineal.
2.1. Aplicación de la encuesta sobre estrategias cognitivas y metacognitivas utilizadas por los docentes de matemáticas en la enseñanza de la función lineal 2.2. Aplicación de la encuesta sobre sistemas de creencias y dominios de conocimientos a los estudiantes de grado noveno de la IER Santa rosa de lima del municipio de Giraldo. 2.3. Matriz de trasposición didáctica entre teorías, elementos de interés y aspectos didácticos de la propuesta.
Diseño Elaborar un proyecto de aula para los estudiantes del grado noveno de la I.E.R. Santa rosa de lima, que les permita desarrollar las competencias y en final la comprensión de la función lineal y sus representaciones mediante situaciones problemas.
3.1. Diseño de guías didácticas para la construcción del significado de los elementos de la línea recta o función afín a partir de situaciones problema. 3.2 Diseño de instrumentos de evaluación de la comprensión de la función afín. 3.3. Selección de directrices didácticas para el proyecto de aula articulando elementos afines al desarrollo de comprensión y competencias.
Intervención Implementar el proyecto de aula en la IER Santa rosa de lima, con los estudiantes de grado noveno para contribuir a la enseñanza de la función lineal y sus representaciones.
4.1. Aplicación del proyecto de aula basado en la intervención con las secuencias didácticas. 4.2. Aplicación de una prueba objetiva para valorar los aprendizajes.
Evaluación Valorar el impacto de las estrategias implementadas en la comprensión de la función lineal, sus representaciones y uso en la modelación de situaciones problemas.
5.1. Construcción de instrumentos observación de la práctica docente para los procesos realizados en la implementación del proyecto de aula. 5.2 Análisis de los resultados obtenidos en la implementación del proyecto de aula.
47
3.7. Cronograma de actividades
ACTIVIDADES
SEMANAS
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Actividad 1.1 X X
Actividad 1.2 X X
Actividad 1.3 X X
Actividad 2.1 X X
Actividad 2.2 X X
Actividad 2.3 X X X
Actividad 3.1 X X X X
Actividad 3.2 X X X X
Actividad 3.3 X X X X
Actividad 4.1 X X X X
Actividad 4.2 X X X
Actividad 5.1 X X X
Actividad 5.2 X X X X
48
4. Trabajo Final
A continuación, se evidencia el desarrollo de cada una de las fases para lograr el
diseño e intervención del proyecto de aula para la enseñanza de la función afín. De
allí, que cada actividad responda al objetivo general de la presente propuesta y de
solución al problema que la motiva.
4.1. Diagnostico Y Caracterización
Para alcanzar los objetivos planteados de caracterización se elabora un diagnóstico
a través de dos instrumentos: el primero es una encuesta A realizada a 5 docentes
de matemáticas de distintas instituciones educativas oficiales del departamento, de
las cual, se obtuvieron dominios de conocimiento que fueron valorados en los
estudiantes a través del segundo instrumento, la encuesta B que fue aplicada al
grupo que va a ser intervenido en la IER Santa rosa de lima. Y finalmente, todas las
relaciones identificadas en ambas servirán de la mano al rastreo bibliográfico de
estrategias didácticas para la posterior elaboración del proyecto de aula que
responda al objetivo general del presente trabajo.
4.1.1. Encuesta a docentes
Este instrumento de recolección de información diagnóstica sobre la enseñanza de
la función afín, indaga en docentes del área de matemáticas. Para lograr
información concluyente para un diagnóstico, se indaga acerca de las estrategias
cognitivas y metacognitivas utilizadas por los docentes para enseñar la función lineal
y afín, además de descubrir los tópicos generativos o conocimientos que debe
dominar un estudiante para comprender el concepto de función afín, aspectos
fundantes de la planeación, desarrollo y evaluación de la práctica docente en el
ámbito del pensamiento variacional. Es por ello que se establecen las siguientes
categorías:
49
1. Modalidades
2. Métodos
3. Evaluación
4. Estrategias cognitivas
5. Estrategias metacognitivas
6. Aspectos disciplinares
La encuesta a docentes podrá leerse en el ANEXO 1.
Análisis de los datos obtenidos de las encuestas a docentes
A continuación, haremos un viaje a través de cada categoría de análisis:
Pregunta 1.
El 80% de los docentes encuestados reconoce la clase teórica como una de las
modalidades que más utiliza para enseñar matemáticas, siendo ésta quien ocupa el
33% en la selección de modalidades. Además, sólo fueron reconocidas como
modalidades usadas en la enseñanza en el siguiente orden: trabajo autónomo,
trabajo en grupo, clase práctica y seminario taller.
4
1 2 0 0 2
3
MODALIDADES
¿Qué modalidad(es) utiliza para enseñar?
Clase teórica Seminario taller clase práctica practicas externas
tutorias trabajo en grupo trabajo autónomo
50
Pregunta 2.
A la pregunta sobre los métodos que utilizan para enseñar, un 80% de los docentes
opta por la resolución de problemas, seleccionando, además: lección magistral,
estudio de casos, aprendizaje basado en problemas y aprendizaje cooperativo, en
menor número de veces. De manera que, para la presente propuesta de trabajo es
un aliciente realizar una integración entre el aprendizaje cooperativo y el aprendizaje
basado en problemas.
Pregunta 3.
20
40
80
20 0 20 0
MÉTODOS
¿Qué método (s) utiliza para enseñar?
leccion magistral estudio de casos
resolución de problemas aprendizaje basado en problemas
aprendizaje orientado por proyectos aprendizaje cooperativo
contrato de aprendizaje
0% 0 40%
80%
40% 0 20% 0 0
TÉCNICAS
¿Qué instrumentos utiliza para evaluar el aprendizaje sobre las funciones afines?
diario de clase escala de observación
cuadernos de clase talleres de solución de problemas
producciones orales o escritas puesta en común
pruebas objetivas escritas exposiciones
portafolio
51
A la pregunta frente a los instrumentos utilizados para la enseñanza de las funciones
afines, los docentes dieron un 80% de apoyo a los talleres de solución de
problemas, y en un 40% a cuaderno de clase y producciones escritas u orales.
Además, un 20% de los docentes declaran utilizar las pruebas objetivo escritas
como instrumento de evaluación.
Nótese que los docentes no utilizan instrumentos de evaluación como las
exposiciones, portafolio, puesta en común, diario de clase y escalas de observación,
las cuales constituirían un tipo de evaluación auténtica, en la que se descentraliza
la misma, y se dan criterios claros previo a las actividades o desempeños que se
desean en los estudiantes.
Pregunta 4
A la pregunta ¿Qué herramientas usas cuando enseña funciones lineales? Los
docentes respondieron así:
Imagen 1. Respuestas pregunta 4 de Encuesta a docentes
52
De aquí se puede evidenciar que los docentes dan prelación a la utilización
de herramientas digitales para la enseñanza de funciones lineales, como
videos, calculadoras y software graficador. Al mismo tiempo se reconoce el
poder una clase magistral como un buen posibilitador de comprensiones, de
la mano de resolución de problemas. Además, se observa una incoherencia
en los docentes en cuanto a los aspectos que no reconocieron como métodos
de enseñanza y sí como instrumentos de enseñanza.
Pregunta 5
En esta pregunta se propuso a cada docente que, indique de un grupo de
afirmaciones, por cuales tiene afinidad en su concepción de la evaluación y la
práctica de la misma para con sus estudiantes. De manera que se
A partir de los datos podemos ver entonces que, aunque todos los docentes indican
ser afines a prácticas de evaluación auténtica durante la enseñanza de las
matemáticas, sólo en el 40% de los participantes se presenta una diferencia
significativa entre su afinidad por la evaluación auténtica y por la tradicional. Siendo
60%
80%
60%
80%
60%
40%
20%
40%
20%
40%
DOCENTE 1 DOCENTE 2 DOCENTE 3 DOCENTE 4 DOCENTE 5
¿Cuáles de mis prácticas señalan evaluación auténtica y cuales evaluación
tradicional?
evaluación auténtica evaluación tradicional
53
los docentes 2 y 4, quienes lo evidencian, con su 80% de afinidad por la auténtica y
tan solo un 20% afín a la evaluación tradicional.
Con enorme sorpresa nos encontramos que la totalidad de los docentes
encuestados, reconocen estar mayormente inclinados a la evaluación auténtica.
Pero es desconcertante que, pese lo antes mencionado, los docentes son afines de
igual forma a algunas prácticas de evaluación tradicional. Podría pensarse que no
poseen una postura clara frente a ambos tipos de evaluación.
Pregunta 6.
A la pregunta ¿Qué es lo que más se les dificulta a los estudiantes al aprender de
la función afín?
Imagen 2. Respuesta a pregunta 6 de encuesta a docentes
De esta manera, los docentes encuestados coinciden al reconocer lo que más se
les dificulta a los estudiantes para comprender la función afín es la interpretación de
los enunciados problema para llegar a la ecuación y la posterior elaboración de su
54
representación gráfica. Todo esto se convierte en una selección de 2 de los
procesos de traducción de formas de representación mencionados por Janvier
(1978), reconociendo que la interpretación y el trazado son de vital importancia en
el aprendizaje de las funcione lineales y afines.
Pregunta 7.
El 60% de los docentes considera que la resolución y planteamiento de problemas
es entre los procesos de la matemática indicados en los lineamientos curriculares,
el que más dificultad causa a los estudiantes que desarrollan pensamientos
matemáticos, y es de esperar pensamiento variacional.
También reconocen que el razonamiento y la modelación son procesos de especial
importancia debido a las dificultades que presentan los chicos cuando las están
desarrollando.
Pregunta 8.
¿Qué conceptos previos debe poseer un estudiante para acercase a comprender
las funciones afines?
2
3
20
PROCESOS
¿Qué procesos resultan dificiles para tus estudiantes cuando resuelven
problemas?
razonamiento
resolución y planteamiento
modelar
elaborar, comparar y ejercitar procedimientos
55
Imagen 3. Respuestas a pregunta 8 de encuesta a docentes
En opinión de los docentes para alcanzar comprensión de la función afín, no solo
son necesarios conocimientos en pensamiento variacional, pues el pensamiento
geométrico (plano cartesiano) y pensamiento numérico, son indispensables para tal
fin. Esto está de acuerdo con Duval (2004), quien refiere que “el uso de un solo
registro de representación no permite la comprensión del objeto matemático
(función), pues de las dos actividades cognitivas principales: tratamiento y
conversión, y de éstas, la segunda es la que proporciona la toma de conciencia de
las características del objeto, lo que implica mínimo dos registros diferentes de
representación”.
Pregunta 9.
Desde su experiencia ¿Qué debería saber hacer un estudiante que comprende
efectivamente las funciones afines?
56
Imagen 4. Respuestas pregunta 9 de encuesta a docentes
Para los docentes participantes, lo que inicialmente debería saber el estudiante es
modelar, es decir, a partir de situaciones que se le presente en la vida cotidiana,
debe ser capaz de tabular y graficar para llegar a la ecuación, representando el
comportamiento de la función de otras maneras. De igual manera, algunos docentes
reconocen que la resolución de problemas es un fin del proceso de comprensión de
conceptos involucrados en la función lineal, siendo importante las concepciones
algebraica y geométrica de la misma.
Pregunta 10.
¿En qué formas se puede representar una función afín?
La mayoría de docentes reconoce la representación gráfica como lenguaje de
expresión para las funciones afines. Pese a ello, se evidencia poca conciencia sobre
las formas de representación de funciones, ya que la forma descriptiva o enunciada
(lenguaje natural) es también importante, pues a través de ella, se puede desarrollar
con los estudiantes capacidad para reconocer las funciones en la cotidianidad.
57
Imagen 5. Respuestas a la pregunta 11 de la encuesta docente
Es por ello, que el dominio sobre el tema de función afín no sólo se resume a su
parte disciplinar sino que la normativa o legal es de vital importancia para reconocer
los enfoques y procesos en lo que se debe hacer mayor énfasis a la hora de llevar
al aula cualquier tópico generativo.
Pregunta 11.
¿Qué tipo de situaciones o problemas podrá resolver un estudiante aplicando las
funciones afines y lineales?
Los docentes reconocen que los estudiantes que comprendan la función afín,
podrán resolver situaciones de proporcionalidad lineal, de allí, podrían los
estudiantes reconocer elementos de la función afín como son, la razón de cambio y
el valor mínimo.
58
Imagen 6. Respuestas a la pregunta 11 de encuesta a docentes
Además, los docentes evidencian que existe gran diversidad de contextos en los
que la función afín puede ser reconocida por los estudiantes y aprovechada para
fines educativos por los docentes. Primando, la selección de situaciones cercanas
al contexto del estudiante como: tarifas de servicios públicos y los procesos
contables de ganancia, pérdidas y viabilidad de proyectos económicos. De allí,
evidenciamos que el desarrollo de pensamiento matemático, se ve enriquecido con
contenidos de otras disciplinas y que permiten un desarrollo integrado de los DBA.
4.1.2. Encuesta sobre dominios de conocimiento en estudiantes
Se aplica una encuesta para el rastreo de dominios de conocimiento en los
estudiantes de grado noveno de la IER Santa Rosa de Lima. Se pretende entonces
identificar los dominios de conocimiento citados por los docentes en el cuestionario
anterior ya que edifican la comprensión de las funciones afín y lineal.
59
La que se aplicó a los estudiantes fue una encuesta que consta de 17 preguntas de
selección múltiple. Y condujo a una valoración de los procesos de traducción de
formas de representación como: modelación, ajuste, cálculo y trazado. De igual
manera la encuesta a docentes arrojó una lista de conocimientos que son insumo
al proceso de compresión de la función afín, y por ende en esta encuesta se
pretende reconocer el dominio que sobre éstos tiene los estudiantes:
Plano cartesiano Operaciones con números
reales
Valor numérico de una
expresión algebraica
Ecuación Función Variables
Siendo el primer contacto con el proyecto a los estudiantes se les hizo partícipes de
los objetivos del mismo, se socializaron los criterios de evaluación. Además, se
reafirma el sentido diagnóstico de la misma, para que los estudiantes no escatimen
en conocimientos y rigurosidad al realizarla.
Los conocimientos reconocidos por los docentes como previos a la comprensión de
la función afín fueron traducidos a criterios de evaluación que podrán valorarse en
el cuestionario, así:
C1) Reconoce el tipo proporcionalidad en una situación problema
C2) Calcula el valor numérico de una variable según el de
otra independiente.
C3) Ubica puntos en el plano cartesiano y reconoce patrones de
comportamiento.
C4) Ajusta datos a partir de un enunciado y los representa en tablas o
gráficas
C5) Calcula elementos de una función lineal basado en aspectos
analíticos o geométricos
C6) Modelar el comportamiento de una variable de acuerdo a una
descripción del mismo.
C7) Identifica la pendiente como razón de cambio y el intercepto como
un valor mínimo
60
La escala que posibilita valorar los desempeños deberá ser la misma que la
definida por el Sistema Institucional de Evaluación y es mostrada en la siguiente
tabla.
Rango % de
aptitud
Desempeño
0 – 30% Insuficiente
30% - 60% Mínimo
60% - 80% Satisfactorio
80% - 100% Avanzado
Tabla 5. Niveles de desempeño en cada indicador
La encuesta de dominios de conocimiento podrá leerse en el ANEXO 2.
Resultados de encuesta sobre dominios de conocimiento
Los resultados de la encuesta realizada a los estudiantes, se muestran en la tabla
4. Podrá identificarse los dominios de conocimiento alcanzados por los estudiantes
que hasta el grado noveno han alcanzado los estudiantes.
Tabla 6. Resultados porcentuales de encuesta a estudiantes.
Se puede evidenciar que algunos estudiantes no llegan ni al 40% de dominio sobre
los conocimientos valorados en la prueba. Además, puede verse como en criterios
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 DESEMPEÑO
E001 50% 25% 50% 50% 20% 17% 20% 33%
E002 100% 100% 75% 75% 100% 83% 0% 76%
E003 100% 25% 75% 25% 40% 0% 0% 38%
E004 75% 50% 50% 50% 60% 50% 20% 51%
E005 25% 25% 75% 25% 40% 0% 20% 30%
E006 50% 75% 50% 50% 0% 0% 20% 35%
E007 0% 75% 25% 50% 40% 50% 0% 34%
E008 100% 50% 50% 75% 80% 67% 80% 72%
E009 100% 75% 50% 50% 40% 17% 40% 53%
E010 75% 0% 25% 50% 40% 33% 20% 35%
E011 75% 50% 50% 50% 40% 33% 20% 45%
E012 50% 25% 25% 25% 40% 33% 0% 28%
E013 50% 50% 50% 50% 20% 0% 0% 31%
E014 25% 25% 25% 25% 20% 17% 20% 22%
E015 100% 75% 100% 75% 80% 83% 80% 85%
E016 50% 50% 50% 50% 20% 0% 0% 31%
E017 100% 100% 75% 50% 40% 0% 0% 52%
Promedio por criterio 66% 51% 53% 49% 42% 28% 20%
44%DESEMPEÑO GRUPO
% LOGRO POR CRITERIOESTUDIANTE
61
como: modelación del comportamiento de variables e identificación de razón de
cambio se alcanzan niveles de desempeño insuficientes (menores al 30%).
Los estudiantes presentan un nivel mínimo de desempeño en criterios como: C2,
C3, C4 y C5. Lo que quiere decir que los conocimientos que hasta ahora han
desarrollado los estudiantes, podrían ser suficientes para enfrentar la propuesta, y
podrían por qué no, ser incluso mejorados a través de ella.
A continuación, se muestra la distribución de los criterios según el nivel de desempeño alcanzado
Tabla 7. Niveles de desempeño en encuesta de dominios de conocimiento a estudiantes
Nivel de desempeño Criterio
Insuficiente
Modelar el comportamiento de una variable de acuerdo a una descripción del mismo.
Identifica la pendiente como una razón de cambio
Mínimo
Calcula el valor numérico de una variable según el de otra independiente.
Ubica puntos en el plano cartesiano y reconoce patrones de comportamiento.
Ajusta datos a partir de un enunciado y los representa en tablas o gráficas
Calcula elementos de una función lineal basado en aspectos analíticos o geométricos
Satisfactorio
Reconoce el tipo proporcionalidad y la razón de cambio en una situación problema
4.1.3. Encuesta sobre sistemas de creencia en estudiantes
Parte del diagnóstico pretende identificar los sistemas de creencias que tienen los
estudiantes sobre las matemáticas. La encuesta está basada en De Corte y de Op
‘t Eynde (2002), quienes presentan una encuesta (ver anexo 3), que permite analizar
las siguientes categorías que consolidan las respuestas a las creencias de los
estudiantes sobre aspectos, referentes a la actividad matemática, y para ellos, los
autores, reconocen las siguientes categorías que se analizarán en la encuesta:
Creencias sobre la educación matemática, que incluye: 1) creencias de los estudiantes sobre las matemáticas, 2) creencias sobre el aprendizaje y la resolución de problemas matemáticos, 3) creencias sobre la enseñanza de la matemática.
62
Creencias de los estudiantes sobre sí mismos, se refieren a: 1) su creencia intrínseca relativa a la orientación de la meta relacionada con las matemáticas, 2) creencia extrínseca de la orientación de la meta, 3) creencia sobre el valor de la tarea, 4) creencia sobre el control, 5) creencia sobre la auto-eficacia.
Creencias de los estudiantes sobre su contexto específico de la clase, entre las que se puede distinguir: 1) creencias sobre el papel y el funcionamiento de su profesor, 2) creencias sobre el papel y el funcionamiento de los estudiantes en su propia clase, 3) creencias sobre las normas y las prácticas sociomatemáticas en la clase.
Además, para el análisis de las creencias se utilizará en software en versión de
prueba SPSS 25 de IBM. También Gómez, I. Op ’t Eynde, P. De Corte, E. (2006),
se identifican aspectos importantes para reconocer la interacción entre estos
resultados.
Resultados encuesta sobre sistemas de creencias en
estudiantes
A partir del Software SPSS versión 25, desde una versión gratuita de prueba de 12
días obtuvimos los estadísticos que a continuación serán usados para analizar los
resultados de la encuesta en estudiantes de grado noveno sobre los sistemas de
creencias acerca de las matemáticas. Es por ello, que primero comprobamos que
el conjunto de datos sea fiable para realizar análisis de factores. Y al tener un Alfa
de Cronbach mayor a 0,8 se tiene evidencia de que el conjunto de datos es fiable.
63
Gráfico 1. Resultados - Creencias sobre el rol y la función del docente.
Entre las actitudes o creencias que tienen los estudiantes frente al profesor, se
evidencia que tienen con 61,11% de favorabilidad frente a su labor y sus
capacidades para mediar y liderar su aprendizaje. Entre un 29,9% restante muestra
una creencia desfavorable acerca de su labor.
Gráfico 2. Resultados - Creencias sobre el significado y la competencia de las matemáticas
64
Del anterior gráfico se observa como los datos de respuesta a la encuesta
agrupados porque conforman las creencias sobre el significado y la competencia de
las matemáticas, permiten decir que el 66% de los estudiantes tiene una actitud
favorable frente al valor de las tareas y consideran la auto eficacia como parte
esencial de los objetivos que construye el pensamiento y ejercitación matemáticos.
Gráfico 3. Resultados - Creencias sobre la matemática como actividad social
De las creencias sobre la matemática como actividad social, se puede evidenciar
que más del 55% de los estudiantes tienen una opinión desfavorable o muy
desfavorable sobre la utilidad de la matemática en la vida real, lo cual sería lo mismo
que no reconocerla como una actividad humana, edificante y necesaria. Sólo el
44,4% reconocen la utilidad de las matemáticas, marcado resultado que indica en
general que los estudiantes han asistido a clases durante estos años sin construir
una relación tan importante como la de la utilidad matemática en la cotidianidad.
Una real oportunidad y responsabilidad docente,
65
Gráfico 4. Resultados - Creencias sobre la matemática como dominio de excelencia
Acerca de las creencias que tienen los estudiantes de la matemática como dominio
de excelencia podemos evidenciar, un resultado muy contundente, con el cual el
100% de los estudiantes opina de forma desfavorable y muy desfavorable acerca
de la resolución de problemas, el aprendizaje en matemática y por tanto muestran
no tener orientación a la meta como un principio o una actitud de combate cognitivo.
Esto evidencia que las prácticas educativas para ellos, no han logrado edificar un
concepto auto capacidad y, por ende, una visión en la que se no reconocen que
realizar esfuerzos tiene recompensas, ni se ven atraídos por el aprendizaje, sino
que su único objetivo es la obtención de notas y aprobación de materias.
66
Gráfico 5. Resultados unificados de creencias sobre las matemáticas
Por último, sobre los datos se agruparon todas las preguntas para un análisis
general, y se obtuvo como evidencia que, la mayoría 72% de los estudiantes tienen
creencias favorables acerca de las matemáticas, mientras un 28% no reconocen lo
importante que han sido las matemáticas para el hombre.
Una vez consolidados los resultados del diagnóstico y en consonancia con las
búsquedas bibliográficas, se procede a concretar los aspectos preponderantes de
la propuesta logrando que convoque los retos didácticos del pensamiento
variacional y el interés en construir comprensión de la función lineal en la planeación
y diseño de un proyecto de aula que fortalezca los procesos de traducción entre
formas de representar la función afín, a través de la resolución de problemas.
67
4.1.4. Trasposición Didáctica
En la práctica docente, se llega comúnmente a preguntas sobre el contenido, el
método y las modalidades de enseñanza, las metas de comprensión en los
estudiantes y los desempeños de comprensión que ayudarán a conseguirlas. Pero,
además, se indaga sobre las estrategias que posibilitan un aprendizaje significativo
y unos niveles altos de comprensión sobre un concepto de interés.
Es por ello, que se propone la trasposición didáctica como el proceso que conduce
un saber sabio o científico, a convertirse en un saber que pueda ser objeto de la
enseñanza. Así, potenciar en los estudiantes, la apropiación de ese saber, para
aplicarlo en su cotidianidad, a través de implicar sus centros de interés, hace uso
de mediadores enriquecidos de contexto que mejoren su capacidad final para
resolver problemas, como lo propone la actual investigación y proyecto de aula.
Luego de analizar los antes mencionados instrumentos de diagnóstico, se
procederá a elaborar un instrumento que permite la triangulación de 3 elementos de
interés para la trasposición. Así, pretende hacer una construcción sobre didáctica
que acerque los conceptos científicos que serán convertidos en prácticas de
enseñanza efectivas.
Ilustración 8. Elementos da la trasposición didáctica a realizar en la propuesta.
Saber sabio
Saber enseñado
Didáctica
68
Entendemos como D’Amore, B. (2006) contempla que “para un futuro parece ser
también de notable y definitiva importancia el concepto de transposición didáctica
entendida como el trabajo de adaptación, de transformación del saber en objeto de
enseñanza, en función del lugar, del público y de las finalidades didácticas que nos
ponemos”
A continuación, ilustramos las relaciones triangulares que se reconocen en el
siguiente instrumento de transposición didáctica. Entre las categorías analizadas
están por un lado las teorías reconocidas en esta propuesta (enseñanza para la
comprensión, aprendizaje cooperativo, modalidades de enseñanza para el
desarrollo de competencias.
La forma del instrumento utilizado para trasponer dos categorías, teorías y variables
de análisis que permiten a la propuesta darse forma. Así, para cada teoría se analiza
su aporte con el proceso de resolución de problemas indicado por los Lineamientos
curriculares, también la selección de las estrategias que imperan y construyen su
práctica, y que cambio metodológico deberían hacer los para aprovechar dicha
teoría.
Al haber teoría, procesos y estrategias se busca un cambio metodológico y por ende
en esta propuesta se esperan ciertos resultados con la selección de elementos
diferenciadores del proceso enseñanza aprendizaje de la función afín.
Tabla 8. Trasposición didáctica sobre elementos diagnosticados. Elaboración propia
MATRIZ DE TRASPOSICIÓN DIDÁCTICA
Autores Teorías
Saber sabio Saber enseñado
L. curriculares
(Resolución de
problemas)
Estrategias Cambio
metodológico
Propuesta en el
trabajo
Resultado
esperado
Perkins, D. Enseñanza para la
comprensión
Privilegia la identificación contextos enriquecedores, problemas de investigación para estructurar la forma en que desarrolla comprensiones en sus estudiantes. Es afín a la resolución de problemas por cuanto los problemas constituyen contextos que estructuran una propuesta de intervención.
Promueve el diseño de la interacción entre el objeto disciplinar y el estudiante, dado que promueve una escalera conceptual para alcanzar comprensiones, y para ello utiliza los contextos o ambientes simulados. Sugiere establecer niveles de comprensión graduales, que permitan el alcance de una comprensión final de mayor grado.
Dar protagonismo al estudiante en cuanto a la evaluación. Evaluación basada en criterios (públicos y acordados con los estudiantes. Docente que identifique relaciones entre el contexto y el estudiante y que promueva un sano ambiente de aula. Conectar con los estudiantes ayudándolos a definir metas respecto al aprendizaje y ser constante en evaluar de
Utilizar el marco de EpC definiendo hilos de conductores y metas de comprensión para la propuesta. Estructurar de forma gradual los desempeños o actividades a realizar, con miras al alcance de unas metas de comprensión Promover la evaluación auténtica, con criterios de autoevaluación y valoración continua de aprendizajes.
El estudiante es consciente de los criterios evaluación, las metas propuestas y de los pasos que va realizando para alcanzarla.
69
Sugiere utilización de estrategias de visualización del pensamiento del estudiante y el docente (mapas mentales).
forma auténtica su avance y final comprensión del objeto conceptual.
Ferreiro, R. Aprendizaje
cooperativo
Si los problemas propuestos parten de los centros de interés de los estudiantes o del contexto de los mismos, se logrará establecer un buen ambiente de aula. Si la interacción entre pares no está mediada por conceptos y ejercitación, sino mejor de una búsqueda de estrategias para la solución será mayor el impacto del aprendizaje social.
Sugiere utilizar procesos de interacción social que pongan a cada estudiante un rol a desempeñar, y así, facilitar el desarrollo de conciencia de aquello que se aprende y comparte. Propone que los momentos para aprender, deben darse en el aula de clases, para que hayan procesos de meta-cognición que conlleven a cambiar las creencias que tienen los estudiantes los estudiantes sobre la matemática.
Propone disponer en cada sesión de clase, de unos momentos mínimos para reflexionar, evidenciar e interactuar con pares estudiantes y un nuevo conocimiento, apoyado en estrategias didácticas que faciliten los significados y la estructura de los mismos.
Se pretende utilizar la estructura de la clase cooperativa, concretando desde lo didáctico la interacción que se logra entre los estudiantes y la auto-reflexión y recapitulación que éste hace de lo aprendido. Se utilizarán distintas técnicas e instrumentos de evaluación.
El estudiante estará llamado a la reflexión sobre cada aprendizaje construido. También se valorarán no solo el resultado cognitivo en los estudiantes, sino también sus actitudes y sobre todo los procedimientos y algoritmos de solución.
De Miguel
Díaz
Modalidades de
enseñanza para
desarrollo de
competencias
La resolución de problemas se ve enriquecida por modalidades como las clases prácticas, el trabajo en grupo, seminarios-talleres y finalmente la tutoría y el trabajo autónomo. También se ve posible en un método como el aprendizaje basado en problemas, donde se construyen aprendizajes activos por medio de su desarrollo. Como método, la resolución promueve que se identifique una situación problemática, luego se definen criterios, para formular y presentar hipótesis acerca de ella y promover soluciones alternativas por parte de un grupo pequeño de estudiantes La resolución de problemas es vista como un fin y un medio para desarrollar competencias.
Una vez seleccionado el método a utilizar, esta teoría te define las estrategias de enseñanza primordiales, los procesos cognitivos a desarrollar con los estudiantes estudiantes, pues en los métodos de enfoque en socialización, promueven por ejemplo estrategias de aprendizaje cooperativo, de enseñanza por centro de interés y aprendizaje basado en problemas. Define completamente los aspectos metodológicos de cada método y modalidad de enseñanza que deberá ser acorde a la competencia que se desea desarrollar en los estudiantes.
Exige un cambio en la manera de planear y relacionar las competencias que se desean desarrollar, con las modalidades con que cuenta la institución, los métodos que hacen posible esa competencia al igual que la forma de evaluarla. El docente debería cualificarse en todos los aspectos que tienen que ver con su enseñanza, entender su rol, los procedimientos e instrumentos de evaluación, métodos y modalidades de enseñanza, para poder pensar en algo más allá de lo metodológico. Para poder analizar la didáctica de su práctica compaginando su saber disciplinar.
Seleccionar como método de enseñanza, el aprendizaje basado en problemas y la resolución de problemas, y de ellos, tomar elementos como tipo de evaluación y estrategias de enseñanza y tareas del profesor.
Es espera una cualificación del docente investigador acerca de los métodos de enseñanza y su relación con la evaluación con miras al desarrollo de competencias. Se espera que la propuesta cuente con un enfoque de resolución de problemas, no solo desde procedimientos algorítmicos, sino también, heurísticos y de reconocimiento.
Finalmente, un aspecto crucial en el diseño de los elementos del proyecto de aula,
es el anterior análisis, donde se concluye mayor importancia en aspectos didácticos
y conceptuales que en la mediación a través del uso de recursos digitales o software
en la planificación de enseñanza las funciones lineales. Así, se dejan de lado los
intereses del investigador por integrar herramientas digitales o software de
modelación, y se prefiere diseñar una experiencia de aprendizaje para los
estudiantes de la IER Santa Rosa de Lima, en los que prime el ambiente de aula,
desarrollo de prácticas heurísticas y meta-cognición. Pretendiendo acercarse más
a las estrategias didácticas de aprendizaje cooperativo y basando en resolución de
problemas como enfoque integrador de la propuesta.
Aun así, se reconoce que la Plataforma offline llamada Moodlebox con que se
contaba en la investigación, desde el recurso que la contiene que es la Raspberrypi3
es un efectivo potenciador de los procesos de integración de Objetos virtuales de
70
Aprendizaje a entornos donde no existe conexión a internet, pero se cuenta con
elementos tecnológicos como computadoras o tabletas.
Así pues, se desiste de la realización del curso en Moodle sobre algoritmos de
resolución de problema instruidos por Polya y Schoenfeld, proponiendo así,
integrarlos al proceso de desarrollo de las guías de traducción entre formas de
representación de funciones afines y lineales. Y encaminando esfuerzos a la
definición y mejora del proceso didáctico, conceptual y motivacional del aula de
clases.
Finalmente, se erige el proyecto de aula en el marco de desempeños progresivos
expresados en EpC de Perkins (1998), las estructuras relacionales del aprendizaje
cooperativo según Ferreiro (2003) y la concepción de competencia dada por De
Miguel Díaz (2005), visionando impactar en el desempeño de los estudiantes de
grado noveno en procesos de comunicación y modelación de funciones lineales y
afines.
71
4.2. Diseño Del Proyecto De Aula
El proyecto a presentar está integrado por cuatro secuencias didácticas, un taller
general de resolución de problemas de traducción entre formas de representación
de funciones afines y una prueba final que evalúa los aprendizajes alcanzados por
los estudiantes
Para su construcción fueron seleccionados elementos que para la investigación
resultan representativos de la Enseñanza para la comprensión, modalidades de
enseñanza y la propuesta de Carlos Eduardo Vasco sobre formalización y
estructuralismo.
4.2.1. Coherencia vertical y horizontal de estándares
relacionados
A continuación, se detalla la malla coherente de estándares que relacionan Los
estándares de Matemáticas del MEN 2006.
COHERENCIA VERTICAL DE ESTÁNDARES DE COMPENTENCIA
Al finalizar 7° Describo y represento situaciones de variación
relacionando diferentes representaciones (diagramas, expresiones verbales generalizadas y tablas).
Al finalizar 9°
Analizo las propiedades de correlación positiva y negativa entre variables, de variación lineal o de proporcionalidad
directa y de proporcionalidad inversa en contextos aritméticos y geométricos.
Al finalizar 9° Identifico relaciones entre propiedades de las gráficas y
propiedades de las ecuaciones algebraicas.
Al finalizar 9° Identifico y utilizo diferentes maneras de definir y medir la
pendiente de una curva que representa en el plano cartesiano situaciones de variación
Al finalizar 11° Analizo las relaciones y propiedades entre las expresiones
algebraicas y las gráficas de funciones polinómicas
Tabla 9. Coherencia vertical de estándares de competencia del pensamiento variacional a través de todos los niveles
Estándares en pensamientos diferentes al variacional pero que aportan al desarrollo
de competencias y permiten una sinergia de procesos de aprendizaje, y una
verdadera transposición a contextos fuera del matemático.
72
COHERENCIA HORIZONTAL
ESTÁNDAR INICIAL PENSAMIENTO GEOMETRICO
PENSAMIENTO MÉTRICO
PENSAMIENTO ALEATORIO
Analizo las propiedades de correlación positiva y negativa entre variables, de variación lineal o de
proporcionalidad directa y de proporcionalidad inversa en contextos
aritméticos y geométricos.
Uso representaciones geométricas para resolver y formular problemas en
las matemáticas y en otras disciplinas.
Justifico la pertinencia de utilizar unidades de
medida estandarizadas en situaciones tomadas de
distintas ciencias.
Resuelvo y formulo problemas seleccionando información relevante en
conjuntos de datos provenientes de fuentes
diversas. (prensa, revistas, televisión, experimentos, consultas, entrevistas).
4.2.2. Estructura de las clases
Un aspecto fundamental en la enseñanza aprendizaje aquí visionada es la
estructura de cada encuentro con los estudiantes, la cual se basa en el aprendizaje
cooperativo:
1) Activación para el esfuerzo intelectual: busca crear un ambienta que ponga
en juego la atención tanto emocional como cognitiva de los estudiantes frente
al esfuerzo intelectual a realizar.
En nuestra propuesta cada clase tendrá destinada una actividad de
motivación como lo es la frase mural, traída de distintos elementos literarios
e históricos.
2) Repaso de lo aprendido: busca señalar los aspectos significativos para el
desempeño de los estudiantes en la propuesta. En el presente trabajo se
optó por ser gráfico, utilizando un mapa mental para ilustrar los procesos
previos y conceptos macro del aprendizaje a abordar.
3) Procesamiento de la información: momento de interacción con el material, la
tarea y el equipo a desarrollar.
4) Interdependencia social positiva: momento de comunicación de resultados
entre delegados de los distintos equipos de trabajo.
5) Reflexión de qué se aprendió y cómo: busca que el estudiante tenga
conciencia del aprendizaje que realiza y la manera como lo hace competente.
73
Es responsabilidad del docente permitir los espacios para los momentos 1,2 se
lleven a cabo durante la propuesta, pues las secuencias sólo dilucidan la realización
de los momentos 3, 4 y 5.
4.2.3. La evaluación
evaluación propuesta como instrumento de aprendizaje y no sólo de evidencia final,
permite dar indicios a los estudiantes de aquellos procesos que deben refinar. Para
el proyecto de aula se todo aprendizaje se construye basado en los criterios de
evaluación y metas de comprensión propuestas referente a los estándares de la
función afín y el pensamiento variacional del grado noveno.
Elementos básicos en la evaluación aplicados a través de la propuesta para
evidenciar las comprensiones alcanzadas es:
ELEMENTO 1. Taller general de resolución de problemas: elemento
de análisis general de las comprensiones realizadas por los
estudiantes, al igual que valora su competencia en resolución
de problemas sobre funciones afines y lineales.
ELEMENTO 2. Rúbrica de autoevaluación: instrumento descentralizador
de la evaluación,
Ofrece criterios claros de evaluación al estudiante y hace
transparente la valoración.
ELEMENTO 3. Prueba de dominio de conocimientos.: instrumento de
valoración de saberes del estudiante, por tanto, enfrenta al
mismo con un conjunto de preguntas de selección múltiple.
Basado en las competencias estructuradas en el plan de área de matemáticas de la
Institución Educativa Rural Santa rosa de lima, en los procesos de traducción entre
formas de representación de la función afín y en la coherencia ilustrada
anteriormente, las metas de comprensión concretadas son:
74
4.2.4. Intervención
La propuesta facilita a los estudiantes recursos, modos de interactuar, ambiente de
aprendizaje, estrategias de cooperación y desarrollo de la comprensión de las
funciones afines, no sólo desde el pensamiento variacional, sino los antes
mencionados en las tablas de coherencia vertical y horizontal.
Dicha comprensión se pretende a través de un viaje que los lleva de su lenguaje
natural hasta uno más elaborado y finalmente simbólico, que permite simplicidad
para analizar situaciones del contexto que los rodea, o que por el contrario la aleja
de estos contextos, produciendo una intertextualidad, que conlleva a la conciencia
de la generalización.
Este proyecto de aula, está diseñado para el contexto de los estudiantes de la IER
Santa Rosa de Lima, en el corregimiento de Manglar, del municipio de Giraldo, en
el departamento de Antioquia. Los estudiantes que participan del proyecto cuentan
con una edad entre los 13 y 18 años, conforman la totalidad del grado noveno. Entre
esta comunidad, se presentan fenómenos que distraen del óptimo rendimiento
académico, como lo es el establecimiento de plazas de vicio, la constitución de
hogares en los que los menores están casi al abandono de uno o ambos padres, en
difíciles condiciones económicas o incluso intentos de suicidio. Con todo y eso, la
apuesta del docente es a invertir en el desarrollo de ambientes de aula motivantes,
sin distractores comportamentales y con toda la estructura de una clase cooperativa,
para promover también competencias emocionales y la sana convivencia.
METAS DE COMPRENSIÓN
•Identificar elementos de la función afín y lineal en enunciados y descripciones
•Comparar funciones por sus características algebraicas o gráficas
•Justifica el uso de procedimientos algebraicos, gráficos o analíticos para resolver una situación problema.
•Predice valores de una función o el comportamiento de la misma
•Formula ecuaciones que modelan situaciones cotidianas que se rigen por la función afín
•Formula problemas que puedan ser resueltos por conversión entre formas de representación de la funciones afines y lineales.
75
Para la implementación fueron descargados los cursos creados con Moodlebox en
una Raspberrypi3, basado en la importancia didáctica de la propuesta y las
relaciones a construir entre los individuos que primarán, como desarrollo del
aprendizaje cooperativo.
4.2.5. Aplicación y Estructura Del Proyecto De Aula
MOMENTO 1. SITUACIÓN PROBLEMA NARUTO
En esta secuencia se pretende iniciar con una motivación al aprendizaje, llamando
a los estudiantes a reconocer su lenguaje natural y a partir de él, construir otras
formas de representar en las cuales se encontrarán con el significado de: pendiente,
razón de cambio, funciones por tramo, intercepto y valor mínimo de una función.
Todos ellos, relacionados a la comprensión de la función afín o desde la visión
geométrica: la recta.
Se enfrentarán los chicos al Problema de Naruto, iniciando a reconocer elementos
de la función afín. Luego desarrollan las actividades que ella se proponen en
equipos de 3 integrantes. Para posteriormente, realizar una asesoría académica
entre alumnos (AAA), descrita por Ferreiro (2007).
Es de notar, que varias de las gráficas utilizadas para la elaboración de la presente
guía, fueron realizadas con la ayuda del programa Minimat de la autoría del profesor
Arturo Jessie Manuel de la Universidad Nacional de Colombia, sede Medellín, y
coordinador de la Maestría en Enseñanza de las ciencias exactas y naturales.
MOMENTO 2. APROPIACIÓN DE REGISTROS DE REPRESENTACIÓN
Esta secuencia está conformada por 4 momentos:
En el primero de ellos, se inicia con la formalización de los saberes, partiendo de la
diferenciación entre función lineal y afín en la guía 2: reconocer modelos lineales
76
y afines. Y realizando actividades de identificación de funciones lineales, afines o
no lineales de un conjunto.
Como segundo momento, se abre paso al proceso de traducción entre formas de
representación de la función afín, con la aplicación de la guía 3: para modelar
datos. Allí, el estudiante deberá resolver una situación problema, utilizando las
formas y estrategias de resolución de problemas basados en modelar información
descriptiva.
Como tercer momento se aplicará la guía 4 para trazado de datos, donde los
estudiantes aprenderán a traducir datos tabulares a fórmulas, y de allí, analizar el
comportamiento de la función que se explicita. Y desarrollar las actividades
planteadas, además de una prueba de comprensión y resolución de problemas.
En el cuarto momento, se realizará una lluvia de ideas para redactar problemas
entre todos los estudiantes, y para ello, se pedirá a los chicos que indaguen
situaciones en su contexto o de afinidad con la realidad del país. Se procederá con
guía 5 para solución de situaciones problema.
MOMENTO 3. TALLER DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
En este momento los estudiantes realizarán un taller de situaciones de las cuales
se hizo construcción en la lluvia de ideas realizada en la anterior sesión. Se valorará
el desempeño de los estudiantes en procesos como: modelar, trazar, dibujar,
calcular e interpretar. Además, los estudiantes resolverán una prueba de
comprensión, que permitirá realizar una coevaluación de los aprendizajes.
MOMENTO 4. PRUEBA FINAL TIPO SABER
Finalmente, se precisa de una prueba final que valore lo que avanzaron los
estudiantes en la ejecución del proyecto de aula. Tendrá en cuenta ejercicios tipo
saber tomados del ICFES, y las cartillas preparatorias para pruebas saber 9 de los
años 2014 y 2015.
77
4.3. Evaluación
4.3.1. Resultados prueba de comprensión final
Luego de la aplicación de diversos instrumentos de evaluación de desarrollo e
incluso de selección múltiple, se aplica a los estudiantes una prueba de
comprensión y selección múltiple que, aunque con estructura de la prueba de
dominio de conocimiento facilita otro tipo de análisis.
De sus resultados se analizarán el desempeño de los estudiantes en procesos de
traducción de representaciones de función lineal como: medir, trazar, ajustar,
calcular y modelar sobre funciones afines y conceptos previos como la
proporcionalidad y el reconocimiento de variables dependiente e independiente.
Tabla 10. Resultados prueba final de comprensión de funciones afines
Por la cual se evidencia que hay una notoria mejora en los niveles de desempeño
alcanzado en la mayoría de los estudiantes, comparando con la prueba inicial.
Siendo los procesos de medición, trazado y cálculo, lo que tuvieron un mayor nivel
MED
IR
TRA
ZAR
AJU
STA
R
CA
LCU
LAR
MO
DEL
AR
E001 100% 67% 20% 50% 50% 57%
E002 67% 100% 60% 50% 50% 65%
E003 100% 100% 60% 100% 75% 87%
E004 67% 67% 40% 50% 0% 45%
E005 67% 33% 60% 0% 0% 32%
E006 100% 100% 80% 50% 50% 76%
E007 67% 67% 40% 50% 50% 55%
E008 33% 33% 40% 50% 50% 41%
E009 33% 0% 0% 50% 0% 17%
E010 100% 33% 60% 50% 50% 59%
E011 67% 67% 40% 50% 75% 60%
E012 33% 100% 40% 50% 50% 55%
E013 100% 100% 80% 100% 75% 91%
E014 33% 67% 40% 100% 25% 53%
E015 100% 100% 60% 100% 0% 72%
E016 67% 67% 40% 50% 75% 60%
E017 100% 100% 80% 100% 75% 91%
Grupo 73% 71% 49% 62% 44%
60%
ESTUDIANTE
% DESEMPEÑO EN PROCESOS
DES
EMP
EÑO
Desempeño
78
de desempeño grupal superando el 60% de aprobación. Y rezagados los procesos
de ajuste y modelación con tan solo 49% y 44% de aprobación entre los estudiantes.
Se considera entonces que los procesos guiados por las secuencias didácticas del
proyecto de aula que utilizaban el lenguaje natural y construyen simbolismos, han
sido efectivos frente al nivel básico de dominio de conocimiento que evidenció el
grupo de estudiantes en 4 de los 7 criterios evaluativos en su prueba diagnóstica.
79
5. Conclusiones y recomendaciones
5.1. Conclusiones
Tras llevar a cabo los procesos de diagnóstico, análisis, diseño, implementación y
evaluación del proyecto de aula resulta imperativo resaltar los siguientes hallazgos:
Primero, al diagnosticar los sistemas de creencias y dominio de conocimiento que
tienen los estudiantes, se concluye que:
En la encuesta sobre dominio de conocimientos, se evidencia especial dificultad
de los estudiantes para llevar a cabo los procesos de modelación del
comportamiento de variables y en la identificación de razones de cambio en
diferentes contextos, por lo cual se orienta la elección de procesos a impactar
con el presente proyecto de aula.
Los estudiantes muestran 100% de actitud desfavorable o muy desfavorable
frente a las matemáticas como dominio de excelencia, lo que podría significar
que las prácticas educativas que han experimentado no han logrado que asocien
esfuerzos en el aprendizaje con recompensas cognitivas, o bien, no se han visto
atraídos por las estrategias usadas por sus docentes, por lo cual la única razón
que ha tenido la realización de tareas y actividades es meramente la aprobación
de la materia en su Institución Educativa.
Segundo, se identifican las estrategias cognitivas y metacognitivas que usan los
docentes en la enseñanza de la función lineal, y se concluye que:
De las encuestas realizadas a docentes de matemáticas sobre estrategias
cognitivas y metacognitivas usadas en la enseñanza de la función lineal y afín,
se deduce que, los docentes desconocen los elementos que conllevan al
desarrollo de competencias (De Miguel 2005) y que argumentan una mejor
planificación de la práctica de aula, por lo cual los desempeños que pueden
realizar con sus estudiantes son del mismo nivel, no permiten a los estudiantes
80
avanzar en su construcción mental del objeto matemático desde niveles básicos
a desempeños de tipo superior como los comunicativos mencionados por
Perkins & Blythe, (2005).
Los docentes encuestados suelen utilizan un grupo de instrumentos de
evaluación que se aleja de la evaluación auténtica, propuesta por la
investigación. Desaprovechando que la originalidad de los desempeños
enfoquen la atención del aprendiz, según muestra la encuesta en sus respuestas
a puntos 5 a 9. Además, se reconoce que los procesos de modelación y
razonamiento son de vital importancia y resultan los más difíciles de didactizar.
Tercero, en cuanto al diseño de un proyecto de aula para aplicarlos con estudiantes
de grado noveno de la I.E.R. Santa Rosa de Lima que posibilite la apropiación de la
función lineal y sus diferentes registros de representación, se concluye que:
La trasposición didáctica realizada muestra que en la medida en que los
estudiantes se apropien de más registros de representación, se consolida sus
niveles de comprensión sobre cualquier objeto matemático, como en este caso
las funciones lineales y afines, reafirmando lo dicho por Duval (2004). Es por
ello, que en la propuesta se emplearán los procesos de transformación como
desempeños de comprensión de las funciones y se facilitará el empleo de
distintos sistemas de representación semiótica, elegida según el propósito de la
actividad matemática o situación propuesta.
En la matriz de transposición didáctica se evidenció que aspectos como la
didáctica, metodología y relaciones socio-cognitivas, pueden imperar en los
objetivos de investigación sobre los objetos virtuales o plataformas offline como
elección de mediación de la enseñanza de funciones afín y lineal.
En cuarto lugar, luego de implementar el proyecto de aula basado en la teoría socio-
cultural en la IER Santa rosa de lima, que contribuye tanto al reconocimiento del
cambio y la variación, como a la enseñanza de la función lineal y sus registros de
representación, se concluye que:
81
A través de la puesta en escena del proyecto de aula se comprueban las
indicaciones de Duval sobre la importancia de los procesos de representación
semiótica que verdaderamente aportan a la diversificación de los desempeños
de comprensión propuestos en el proyecto para estudiantes de grado noveno.
Vemos pues, una mejoría enorme en procesos que hacen puente en los registros
tabulares y los de tipo algebraico a través de situaciones problema, lo que no se
traduce en una mejoría en la modelación de situaciones problema de todos los
estudiantes objetivo.
En el diseño de las guías didácticas para la traducción entre registros de
representación semiótica, se utilizaron los pasos que Polya propone para
resolver problemas dando con ellos forma a las preguntas guías de cada
formato. Es de resaltar, que a los estudiantes les cuesta más realizar
representaciones mentales para cumplir el primer paso (entender el problema) y
tener conciencia situacional para ver la coherencia de los resultados, para aplicar
el cuarto paso (mirar hacia atrás). De manera que el modelo de Polya para
resolución de problemas fue efectivo en guiar las metacogniciones de los
estudiantes, lo cual se tradujo, en una real comprensión de los pasos y el
seguimiento de ellos ante los demás retos, pruebas y talleres desarrollados.
Fue entonces positivo usar los pasos de Polya en la formación de estructuras
mentales para proceso de resolución de problemas. Aunque el poder reconocer
estructuras de resolución no aseguró que se resolvieran acertadamente todas
las pruebas, dado que el paso de ejecución de planes propuesto falló la
traducción entre algunos registros, evidenciado en los resultados de la prueba
de comprensión para cada uno de los procesos propuestos (medición, trazado,
ajuste, calculo y modelación).
Evidentemente se presentaron falencias considerables en la aprehensión de los
procesos de ajuste (paso de registros gráfico a expresiones algebraicas) lo cual,
resultó afectando obtención de modelos (paso de registros verbales a
expresiones algebraicas). Así, se obtienen resultados que respaldan el uso de
desempeños que llevan a la traducción entre registros de representación
semiótica de las funciones lineales, haciendo evidente que entre mayor número
82
de registros reconozca un estudiante, más complejos serán los problemas que
podrá resolver, demostrando un nivel de comprensión superior.
Al combinar estrategias didácticas del aprendizaje cooperativo de Ferreiro y
elementos planificadores del ambiente de enseñanza de la enseñanza para la
comprensión de Perkins potenció que el ambiente de clase estuviera asegurado
y que la atención de los estudiantes estuviera dispuesta a la realización de los
diferentes desempeños y a la socialización de los mismos. Así pues, los
estudiantes experimentan interacciones con el medio social y se enriquecen las
comprensiones que realizan.
Finalmente, al valorar el impacto de las estrategias implementadas en la
comprensión de la función lineal, sus representaciones y uso en la modelación de
situaciones problemas, se concluye que:
La evaluación continua de las traducciones y demás desempeños realizados,
fue primordial para la consecución de debates entre estudiantes que permitieron
dilucidar caminos correctos o eficientes para resolver cada situación problema.
Se identificó en los mismos la capacidad que tienen los estudiantes para hacer
uso de métodos heurísticos de solución de problemas. De esta manera, se
evidencia la aplicación de una evaluación autentica, que acompaña todo el
proceso y que no sesga el desempeño de cada estudiante con base en
resultados anteriores. La estrategia de acompañamiento a cada estudiantes y
equipo de trabajo es imperativa para lograr que cada desempeño sea realizado
con total dedicación por parte de los estudiantes.
Desde la experiencia que el investigador obtuvo con el diseño y aplicación de
esta propuesta, se considera que los esfuerzos docentes deben estar en la
consecución de sentidos a las actividades y objetos matemáticos que se
pretenden acercar al estudiante, logrando mejoría tanto en ambiente de aula,
como en apropiación de algoritmos y métodos heurísticos de solución de
problemas.
Finalmente, se evidenció que, para alcanzar mayores niveles de comprensión
de la función lineal en nuestros estudiantes, hace falta que el docente se haga
83
investigador de su propia práctica, que se cualifique en cuanto a la normatividad
y los aspectos de marco lógico de la enseñanza de las matemáticas. Siendo
conscientes de su enseñanza y logrando el uso de elementos integradores del
currículo para alcanzar el aprendizaje de los estudiantes. Además, que el
desarrollo de las clases de forma cooperativa con momentos de reflexión y
recapitulación, además de la definición de las estrategias didácticas de
socialización ayudó a que los estudiantes mantuvieran la atención en la
realización de las actividades y se disminuyeron los tiempos muertos o de
indisciplina que durante las sesiones tradicionales se presentaban.
5.2. Recomendaciones
84
El proyecto de aula diseñado desde los marcos de la enseñanza para la
comprensión, el aprendizaje cooperativo y las modalidades de enseñanza para el
desarrollo de competencias sobre la función afín y el pensamiento variacional en el
grado noveno de la IER Santa Rosa de Lima, tuvo que prescindir de una
herramienta con enorme potencial de mejora de la comprensión que en otro
contexto, facilitará el desarrollo de autonomía en la incursión por los recursos e
interacción con modeladores gráficos que facilitan a los estudiantes reconocer
fácilmente los elementos de las funciones lineales afines. Es por ello, que se sugiere
para un próximo acercamiento en la enseñanza con recursos físicos necesarios,
utilizar la plataforma Moodle bien sea desde su versión web o con ayuda de una
Raspberry pi3 la moodlebox, ambas con capacidad para administrar diferentes
recursos que median procesos de pensamiento individual en los estudiantes.
Para futuras intervenciones donde se usen estrategias para la resolución de
problemas como las propuestas por Polya se recomienda hacer énfasis en el
acompañamiento conceptual de los objetos matemáticos, sobretodo previo a la
ejecución de plan elegido, ya que podría disminuir los posibles errores en la solución
y seguimiento de algoritmos propios del objeto. Además, es necesario acompañar
con rubricas de evaluación cada una de las actividades desarrolladas en la
propuesta. Facilitando así, la auto-regulación en los estudiantes durante cada fase
del proceso.
Según el MEN en sus Lineamiento Curriculares, los estudiantes deberían tener
dominio de conocimiento, reconocer maneras de abordar y manipular un problema
y una opinión positiva acerca de las matemáticas que les facilite reconocer su
aplicabilidad en lo cotidiano, para finalmente pensar en desempeñarse de manera
efectiva en la resolución de problemas matemáticos. Se considera que los bajos
niveles de desempeño en algunos de los estudiantes que participaron de la
propuesta, se debe a la disparidad o ausencia de uno de estos elementos (dominio
85
de conocimiento, creencias positivas sobre las matemáticas y estrategias
cognoscitivas), por lo cual el desarrollo errado de algunos desempeños y pruebas
de comprensión. En estos estudiantes la comprensión no ha sido lograda en niveles
altos y debería procederse a una intervención que utilice sus centros de interés y
que facilite su inmersión en el mundo de la matemática de manera amena y se creen
en ellos valores de excelencia y persistencia frente a los problemas matemáticos.
Para facilitar la apropiación de objetos matemáticos a partir de un lenguaje natural
se recomienda entrenar a los estudiantes previamente en reconocimiento
elementos diferenciadores en situaciones contexto y la traducción entre registros y
por desempeños graduales refinar su representación hasta un lenguaje simbólico,
como lo señala Vasco (1998), al describir la importancia que tiene el proceso de
formalización del saber. La estructura cognitiva del aprendiz se integra a un número
mayor de preceptos si parte de lenguajes naturales y finalmente dota de
simbolismos y lenguajes ajenos al natural.
Además, se recomienda eliminar límites conceptuales o temáticos al planteamiento
de actividades, ya que algunos estudiantes podrían reconocer situaciones
cotidianas que se explican s, guiarles por el paso de un tipo de registro a otro y así
analizar situaciones o fenómenos naturales, científica o sociales de las cuales
obtener datos, los cuales en su mayoría son de tipo tabular y por eso de allí debería
partir el trabajo de reconocimiento de cambios, para finalmente usar los otros
registros con objetivo predictivo y comunicativo.
86
Referencias
Bausela, E. (2000). La docencia a través de la investigación-acción. Revista Iberoamericana de Educación (ISSN: 1681-5653). Berrío, M. (2012) Elementos que intervienen en la construcción que hacen los estudiantes frente a los modelos matemáticos: el caso del cultivo de café. Tesis de Maestría no publicada (Programa en Enseñanza de las Ciencias), Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín Bossio, J. 2014. Un proceso de modelación matemática desde una situación en el contexto del cultivo de plátano con estudiantes de grado décimo al generar modelos lineales. Medellín, Colombia. Bran, F. (2017). Desarrollo de competencias matemáticas que contribuyen al pensamiento numérico a través del razonamiento y la resolución de problemas. Medellín, Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias. Courant, R; Robbins, H. (1941). ¿Qué es la matemática? Una exposición elemental de sus ideas y métodos. Traducción por: Luis Bravo. Aguilar S. A. de Ediciones 1979. Quinta Edición. Madrid Cuevas, C. Pluvinage, F. (2017). Revisitando la noción de función real. Revista El Cálculo y su Enseñanza, Enseñanza de las Ciencias y la Matemática Volumen 8, Cinvestav-IPN, Ciudad de México. Diaz, José. (2013). El concepto de Función: ideas pedagógicas a partir de su historia e investigaciones. Revista el Cálculo y su enseñanza. Volumen 4. México. Duval, R. (2004) los problemas fundamentales en el aprendizaje de la matemática y las formas superiores en el desarrollo cognitivo. Santiago de Cali: Universidad del Valle. Estadísticas básicas del municipio de Giraldo, CDIM. 2010. Ferreiro, R. (2004). Un modelo educativo innovador: el aprendizaje cooperativo. Revista de Renovación Pedagógica, 46(51), 277-286. Ferreiro, R. (2003). Estrategias didácticas del aprendizaje cooperativo. Una nueva forma de enseñar y aprender: el constructivismo social. México: Trillas.
87
Florez, Hermes (2013). El diseño secuencial estructurado de actividades. Potenciador de aprendizaje significativo de la función lineal afín. Medellín, Universidad nacional de Medellín. Gómez, I. Op ’t Eynde, P. De Corte, E. 2006. Creencias de los estudiantes de matemáticas. La influencia del contexto de clase. Enseñanza de las ciencias. Facultad de Ciencias de la Universidad Complutense de Madrid, y CIPT de la Universidad de Leeuven. Bélgica. Gutiérrez, O. (2013). Una propuesta didáctica que permita abordar y potencializar la aprehensión del concepto de proporcionalidad en estudiantes de la educación básica secundaria (Tesis de Maestría). Universidad Nacional de Colombia, Manizales. Kapp, K. (2012). The gamification of learning and instruction: game-based methods and strategies for training and education. San Francisco: Pfeiffer Londoño, Sandra. Muñoz, Lina (2011). La modelación matemática: un proceso para la construcción de relaciones lineales entre dos variables. Medellín. Universidad de Antioquia. Matus, R. Guzmán J. (2009). Uso del aprendizaje basado en problemas en un curso de matemáticas. Tijuana, México. MEN. (2006). Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas. Potenciar el pensamiento matemático: ¡un reto escolar !, EDUTEKA. República de Colombia. Recuperada en septiembre 15, 2017, del sitio Web: Portal MEN Estándares Básicos de Competencias en http://www.mineducacion.gov.co/1621/articles-340021_recurso_1.pdf MEN. República de Colombia. (2016). Derechos Básicos de Aprendizaje, 2da versión. Recuperada el 2 de Febrero de 2017, de sitio Web: Colombiaaprende, Recursos descargables. MEN. (1998). Lineamientos curriculares en Matemáticas. Bogotá. Recuperada en septiembre 11, 2017, del sitio Web: Portal MEN Estándares Básicos de Competencias en http://www.mineducacion.gov.co/1621/articles-89869_archivo_pdf9.pdf OECD (2016) PISA 2015 Assessment and Analytical Framework: Science, Reading, Mathematic and Financial Literacy, PISA, OECD Publishing, Paris. http://dx.doi.org/10.1787/9789264255425-en Plan de desarrollo municipal 2012 – 2015 – Giraldo Antioquia Perkins, David & Blythe, Tina. (2005. Vol. 14, No. Abril). Ante todo, la comprensión. En: Revista Magisterio Educación y Pedagogía, Bogotá.
88
Perkins, David. (1998), ¿Qué es la comprensión? En: STONE WISKE, Martha (comp.). La Enseñanza para la Comprensión: vinculación entre la investigación y la práctica. Quilmes, Paidós. Rendón, P. (2009). Conceptualización de la razón de cambio en el marco de la Enseñanza de la Comprensión. Tesis de maestría. Universidad de Antioquia. Medellín Restrepo, B. (2004). La investigación acción educativa y la construcción de saber pedagógico. Educación y Educadores. Num 7 pp 45-55. Rescatada de: http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=83400706 Rojas, L. M. (Julio, 2009). Estrategias didácticas para la comprensión del concepto de variable en la resolución de problemas. (Ponencia para V Simposio Latinoamericano para la Integración de la Tecnología en el Aula de Matemáticas y Ciencias). Guadalajara Roldán, Edwin (2013). El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica. Bogotá, Universidad Nacional de Colombia, Facultad de Ciencias. Roque, J. W. (2009). Influencia de la enseñanza de la matemática basada en la resolución de problemas en el mejoramiento del rendimiento académico (Tesis de Maestría). Universidad Nacional mayor de San Marcos, Lima. Suarez, C. (2015) Relaciones que establecen algunos estudiantes de educación media entre las matemáticas escolares y la cotidianidad. Universidad de Antioquia. Medellin Ugalde, W. (2013). Funciones: desarrollo histórico del concepto y actividades de enseñanza aprendizaje. Revista Digital Matemática. Vol. 14 No. 1. San José de Costa Rica Valencia, P. A. (2015). Propuesta para la enseñanza en el aula del concepto de variable algebraica a través de situaciones problema. (Tesis de Maestría). Universidad Nacional de Colombia, Medellín. Villa-Ochoa, J. A. (2010). Modelación Matemática en el aula de clase. Algunos elementos para su implementación. Conferencia presentada en el primer seminario de Educación Matemática, Historia y Entomatemáticas, Universidad de Medellín, Medellin. Villa-Ochoa, Jhony (2009). Presente y futuro de la investigación en modelación en Educación Matemática en Colombia. En: G. García (Ed.), Memorias 10º Encuentro colombiano de Matemática Educativa. San Juan de Pasto: Asocolme.
89
WISKE, Martha Stone. (Compiladora) La enseñanza para la comprensión. Vinculación entre la investigación y la práctica. Paidós, 1999 Villa, J. 2015. Modelación matemática a partir de problemas de enunciados verbales: un estudio de caso con profesores de matemáticas. Medellín. Universidad de Antioquia Zuñiga, M. (2009). Un estudio acerca de la construcción del concepto de función, visualización. En alumnos de cálculo 1. UPN Francisco Morazán. Tegucigalpa.
90
Anexos
A. Anexo: Encuesta para docentes sobre Estrategias
cognitivas y metacognitivas
En el marco de la maestría en Enseñanza de las ciencias exactas y naturales de la Universidad
Nacional y del proyecto: “diseño de un proyecto de aula para la enseñanza de la función lineal a través de la resolución de situaciones problema en el contexto de la
IER Santa Rosa de Lima”.
ENCUESTA A DOCENTES
CATEGORÍAS PREGUNTAS OPCIONES DE RESPUESTA
MO
DA
LID
AD
¿Qué modalidad (es) utiliza para enseñar la
función lineal?
Clases teóricas
Seminarios talleres
Clases prácticas
Prácticas externas
Tutorías
Nombre:
Institución donde labora
Indique los siguientes datos personales
Experiencia docente (años): Género:
Ultimo título obtenido
Indique Título e Institución otorgante
Pregrado: Título Institución
Completo
Incompleto
Posgrado: Título Institución
Completo
Incompleto
Grados en los que labora: 6° 8° 10°
7° 9° 11°
SECRETARIA DE EDUCACIÓN PARA LA CULTURA DE ANTIOQUIA
INSTITUCIÓN EDUCATIVA RURAL SANTA ROSA DE LIMA CORREGIMIENTO MANGLAR - MUNICIPIO DE GIRALDO
Resoluciones: 03877/ 2003, 9696/2004, 021354/2008, 026477/2011 Dirección Sede principal: Corregimiento de Manglar. DANE: 205306000099. NIT: 900085481-9.
ÀREA: Matemáticas PERÍODO:2 GRADO: Noveno
DOCENTE: Jhoymar Palacios Izquierdo
TEMA: Funciones lineales y afines CONTEXTO: Rural
91
Estudio y trabajo en grupo
Estudio y trabajo autónomo
MÉ
TO
DO
¿Qué método(s) utiliza para enseñar la función
lineal?
Lección magistral
Estudio de casos
Resolución de problemas y ejercicios
Aprendizaje basado en problemas
Aprendizaje orientado a proyectos
Aprendizaje cooperativo
Contrato de aprendizaje
¿Qué técnicas utiliza para enseñar las
funciones lineales?
Pruebas objetivas.
Pruebas de respuestas
corta.
Pruebas de desarrollo.
Trabajos y proyectos.
Informes/memorias de
prácticas.
Pruebas de ejecución de tareas reales y/o
simuladas.
Sistemas de auto-
evaluación.
Escalas de actitudes.
Técnicas de observación.
Portafolio.
EV
AL
UA
CIÓ
N
¿Qué instrumentos utiliza para evaluar el aprendizaje sobre la
función lineal?
Diario de clase
Escalas de observación
Cuadernos de clase
Talleres de solución de
problemas
Producciones orales o
escritas
Puesta en común
Pruebas objetivas escritas
Exposiciones
¿Qué herramientas usa cuando enseña
funciones lineales?
92
Según tu práctica docente en la Institución donde laboras, indica si cada afirmación aplica o no con tus estrategias de enseñanza
AFIRMACIÓN APLICA NO
APLICA
Se presentan tareas que indiquen el desarrollo de una única habilidad, conocimiento o actitud. presenta al alumno tareas o desafíos de la vida real para cuya resolución debe desplegar un conjunto integrado de conocimientos, destrezas y actitudes. Establece para un conjunto de competencias niveles de desempeño o criterios orientan la calificación o evaluación del alumno Define para cada conjunto de temas, las competencias a alcanzar o desarrollar por los estudiantes en un determinado tiempo El profesor no es el único actor de la evaluación, también los estudiantes autoevalúan sus desempeños o evalúan entre pares. Es el profesor quien puede definir los procedimientos y contenidos de la evaluación así como emitir juicios de valor sobre el desempeño de los alumnos en los protocolos de exámenes. Se integra dentro del aprendizaje las actividades evaluativas retroalimentando a los estudiantes sus logros y dificultades. Se promueve es uso de rúbricas y evaluación entre pares. Las actividades evaluativas están orientadas a obtener niveles de desempeño finales de los estudiantes, certificando a la calidad del mismo. Existe un uso combinado e integrado de diferentes estrategias y procedimientos evaluativos (tanto sumativos y formativos) Evaluación mediante un único procedimiento y estrategia. Priman las pruebas escritas o ensayos.
ES
TR
AT
EG
IAS
ME
TA
CO
GN
ITIV
AS
¿Qué es lo que más se les dificulta a los
estudiantes al aprender de la función afín?
¿Qué proceso resulta más difícil para tus
Razonamiento
Resolución y planteamiento
93
estudiantes cuando resuelven problemas?
de problemas
Comunicar
Modelar
Elaborar, comparar y
ejercitar procedimientos A
SP
EC
TO
S
DIS
CIP
LIN
AR
ES
¿Qué conceptos previos debe poseer un
estudiante para acercase a comprender
las funciones afines?
Desde su experiencia ¿Qué debería saber hacer un estudiante
que comprende efectivamente las funciones afines?
¿En qué formas se puede representar una
función afín?
¿Qué tipo de situaciones o
problemas podrá resolver un estudiante
aplicando las funciones afines y lineales?
94
B. Anexo: Encuesta para estudiantes sobre dominios
de conocimiento
1. Una empresa cobra $25.000 diarios por el arriendo de un automóvil, más $50 por kilómetro recorrido. De acuerdo
con la información anterior, ¿cuál es la variable independiente y cuál es la variable dependiente?
A. Variable independiente: velocidad de automóvil
Variable dependiente: tiempo del recorrido
B. Variable independiente: kilómetros recorridos
Variable dependiente: costo del arriendo
C. Variable independiente: costo del arriendo
Variable dependiente: kilómetros recorridos
D. Variable independiente: tiempo del recorrido
Variable dependiente: costo del arriendo
2. ¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a la de una función lineal?
SECRETARIA DE EDUCACIÓN PARA LA CULTURA DE ANTIOQUIA
INSTITUCIÓN EDUCATIVA RURAL SANTA ROSA DE LIMA CORREGIMIENTO MANGLAR - MUNICIPIO DE GIRALDO
Resoluciones: 03877/ 2003, 9696/2004, 021354/2008, 026477/2011 Dirección Sede principal: Corregimiento de Manglar. DANE: 205306000099. NIT: 900085481-9.
ÀREA: Matemáticas PERÍODO:2 GRADO: Noveno
DOCENTE: Jhoymar Palacios Izquierdo
TEMA: Funciones lineales y afines CONTEXTO: Rural
95
3. La función 𝑓(𝑡) = 1,8𝑡 + 32, donde t es la temperatura en grados celcius (ºC), permite determinar la temperatura
en grados Fahrenheit (ºF). Si un día la temperatura máxima en Viña del Mar fue de 18 ºC, ¿Cuál fue la medida en
ºF?
a. 0,4º𝐹
b. 32,4 º𝐹
c. 64,4 º𝐹
d. 96,4 º𝐹
4. La expresión s(f)=80t relaciona la distancia recorrida en kilómetros por un vehículo en función del tiempo
transcurrido en horas. A partir de lo anterior, ¿en cuántas horas un vehículo recorre 320km?
a. 3 horas
b. 2 horas
c. 4 horas
d. 5 horas
5. Analiza los datos de la tabla, que muestra la relación que existe entre la distancia por un automóvil y el tiempo que
demora en recorrerla, luego responde:
Distancia recorrida (km) 30 42 54 72
Tiempo que demora (min) 20 28 36 48
¿Qué tipo de relación tienen las variables?
a. Directa
b. Inversa
c. Compuesta
d. Inversa
6. Considera la tabla anterior, si llamamos 𝑡 al tiempo y 𝑑 la distancia. ¿cuál es la función que representa la distancia
recorrida a partir del tiempo transcurrido?
a. 𝑡 = 1,5 ∙ 𝑑
b. 𝑑 = 1,5 ∙ 𝑡
c. 𝑑 = 2,5 ∙ 𝑡
d. 𝑡 = 3,5 ∙ 𝑑
7. Con la misma velocidad, ¿en qué tiempo el automóvil recorre 240 km?
a. 300 min
b. 240 min
c. 360 min
d. 160 min
8. ¿A qué función corresponde la expresión 6x-3y-18=0 al despejar y?
a. 𝑌 = 2𝑥 − 6
b. 𝑌 = 3𝑥 − 6
c. 𝑌 = 2𝑥 − 1
96
d. 𝑌 = 2𝑥 + 6 9. La función 6x-3y-12=0, ¿en qué punto intersecta al eje x?
a. (-3,0)
b. (-12,0)
c. (4,0)
d. (2,0)
10. En una cuenta telefónica se cobra un cargo fijo de $300, y por cada minuto adicional se cobran $100. ¿Cuál función
representa el cobro de esta cuenta telefónica?
a. 𝑦 = 300𝑥
b. 𝑦 = (300 + 100)𝑥
c. 𝑦 = 300 + 100𝑥
d. 𝑦 = 300𝑥+100
11. La recta que tiene pendiente igual 3/2 y pasa por el punto A (-3,2) tiene por ecuación:
a. 𝑥 − 2𝑦 + 7 = 0
b. 3𝑥 − 2𝑦 + 13 = 0
c. 3𝑥 + 2𝑦 − 2 = 0
d. 3𝑥 + 2𝑦 − 5 = 0
12. La recta de ecuación 6𝑥 − 3𝑦 + 1 = 0 tiene pendiente igual a:
a. -2
b. -1/2
c. ½
d. 2
13. La recta que pasa por los puntos 𝐴 (1,2) 𝑦 𝐵 (7,4) tiene pendiente igual a:
a. -3
b. -1/3
c. 1/3
d. 3
14. En la figura, la pendiente del segmento 𝐴𝐶 es:
a. -7/5
b. -5/7
c. 5/7
d. 7/5
15. La recta 𝑦 =2
3𝑥 +
2
3 tiene por ecuación general a:
a. 2𝑦 − 3𝑥 + 1 = 0
b. 3𝑦 + 2𝑥 − 1 = 0
c. 3𝑦 − 2𝑥 + 1 = 0
d. 2𝑥 − 3𝑦 − 1 = 0
16. El punto que NO pertenece a la recta de ecuación 2𝑦 − 3𝑥 + 1 = 0 es:
a. A (-2,-1)
97
b. A (1,1)
c. A (4,3)
d. A (10,8)
17. Si la pendiente de la recta es ¾ y su coeficiente de posición es 2/3, entonces la ecuación general de la dicha recta
es:
a. 3𝑥 − 4𝑦 + 8 = 0
b. 4𝑥 + 3𝑦 + 8 = 0
c. 9𝑥 − 12𝑦 + 8 = 0
d. 12𝑥 − 9𝑦 − 8 = 0
18. La recta 8𝑥 + 5𝑦 − 40 = 0 corta al eje de ordenadas en:
a. -8
b. 8
c. -5
d. 5
19. La expresión y=mx+b corresponde a la ecuación de una línea recta. De acuerdo con esta información, la ecuación
de la recta representada en la siguiente gráfica es:
a. 𝑦 =4
3𝑥 − 3
b. 𝑦 =3
4𝑥 − 3
c. 𝑦 =3
4𝑥 − 4
d. 𝑦 = 3𝑥 +3
4
20. La representación gráfica de la función f(x)=mx+b, es una recta con pendiente m y cuyo intercepto con el eje y es
(0,b)
¿Cuál es la gráfica de la función 𝑓(𝑥) =3
2𝑥 + 3 ?
98
99
COMPRENSIÓN DE LA FUNCIÓN LINEAL Y AFÍN
1. EXCURSIÓN A CARTAGENA
En la empresa en que labora Juan desean hacer una excursión, contactan a una agencia de turismo que ofrece los
siguientes precios para viajes a Cartagena como destino de grupo, de acuerdo con el número de personas que
tomen conjuntamente el plan.
Número de personas Valor de plan ($)
2 600.000
3 800.000
4 1´000.000
5 1´200.000
6 1´400.000
¿Cuál de las siguientes gráficas representa de manera correcta la relación entre el número de personas y el valor
del plan?
Determina además la cantidad que deben pagar si desean viajar los 23 empleados del departamento de Pinturas al
que Juan pertenece
2. Dos cursos de una Normal superior participan en un concurso de recolección de material reciclable que consiste
acopiar la mayor cantidad de kilogramos de papel de periódico. Uno de los cursos lleva 40kg de papel acopiado y
recolecta papel a razón de 3 kg diarios. Mientras que el otro apenas va a comenzar, pero quiere recoger mínimo
8kg diarios de papel periódico.
100
¿Cuántos días necesita el curso que apenas ha comenzado a recolectar papel, para alcanzar al otro?
a. 6 días
b. 3 días
c. 5 días
d. 8 días
3. MODELACIÓN AL 100% Usando una bomba se va a pasar agua del tanque 1 al tanque 2 que está vacío (ver
figura). El agua que está en el tanque 1 alcanza una altura de 1.200 mm. A partir del momento en que se enciende
la bomba, la altura del tanque 1 disminuye 10 mm por minuto y la del tanque 2 aumenta 50 mm por minuto.
¿Cuál expresión permite encontrar los minutos (x) que deben transcurrir, a partir del momento en que se enciende
la bomba, para que la altura del agua en los dos tanques sea la misma?
a. 1200 − 10𝑥 = 50𝑥
b. 1200𝑥 + 30𝑥 = 30𝑥
c. 𝑥 + 𝑥 = 50 + 30
d. 600 − 𝑥 = 𝑥
4. CONSUMO DE COMBUSTIBLE EN AUTOMÓVIL
La gráfica representa la cantidad de galones de gasolina que tiene el tanque de un automóvil, cuando se desplaza
entre dos ciudades.
El conductor afirma que el automóvil consumió en total 4 galones de gasolina en este desplazamiento.
Esta afirmación es
a. falsa, porque consumió 5 galones en total.
b. falsa, porque consumió 1 galón en total.
c. verdadera, porque inició su recorrido con 4 galones y terminó sin gasolina.
d. verdadera, porque inició su recorrido con 5 galones y terminó con 1 galón.
5. PROBLEMA DE LOS RESORTES
La figura muestra la longitud inicial de un resorte (en cm), y la que alcanza este resorte cuando sostiene
bloques de distintas masas (en g).
101
¿Cuál de las siguientes gráficas representa correctamente la relación entre la masa del bloque y la
longitud del resorte?
6.
El siguiente aviso se encuentra en la entrada de un parque deportivo
La expresión que permite determinar el valor que debe pagar un grupo por el alquiler de la cancha de microfútbol, para
un partido, dependiendo del número de jugadores que utilice la ducha es a = 2.000j + 60.000, donde a representa el
valor a pagar y j el número de jugadores que usan el servicio de ducha.
¿En cuál de las siguientes tablas se representa correctamente la relación entre el costo por pagar y el número de
jugadores que utilizan la ducha?
102
Nota: Por cuestión de espacio, se presenta de esta manera la prueba tipo saber que fue
aplicada a los estudiantes de grado noveno de IER Santa Rosa de Lima.
Referencias:
MEN 2015. Cartillas pruebas saber grado noveno.
MEN 2014. Cartillas pruebas saber grado noveno.
103
C. Anexo: Cuestionario para estudiantes sobre
sistemas de creencias acerca de las matemáticas
Bajo las siguientes escalas responda:
PREGUNTA
Mu
y d
e a
cu
erd
o
De a
cu
erd
o
Po
co
de
acu
erd
o
En
de
sa
cu
erd
o
Mu
y e
n d
esa
cu
erd
o
1. Cometer errores es una parte importante del aprendizaje de la matemática.
2. El trabajo en grupo facilita el aprendizaje de las matemáticas.
3. El aprendizaje matemático es principalmente memorización.
4. Es una pérdida de tiempo cuando el profesor nos hace pensar solos sobre cómo se resolvería un nuevo problema.
5. Cualquiera puede aprender matemáticas.
6. En los problemas de matemáticas hay diversas formas para llegar a encontrar una solución correcta
7. Las matemáticas te capacitan para comprender mejor el mundo en que vives.
8. Resolver un problema exige pensar mucho y ser un estudiante inteligente.
9. Las Matemáticas están en continua expansión. Muchas cosas quedan aún por descubrir.
10. Hay una sola forma de pensar la solución correcta de un problema de matemáticas.
Indique los siguientes datos personales
Nombre: Grado:
Edad:
SECRETARIA DE EDUCACIÓN PARA LA CULTURA DE ANTIOQUIA
INSTITUCIÓN EDUCATIVA RURAL SANTA ROSA DE LIMA CORREGIMIENTO MANGLAR - MUNICIPIO DE GIRALDO
Resoluciones: 03877/ 2003, 9696/2004, 021354/2008, 026477/2011 Dirección Sede principal: Corregimiento de Manglar. DANE: 205306000099. NIT: 900085481-9.
ÀREA: Matemáticas PERÍODO:2 GRADO: Noveno
DOCENTE: Jhoymar Palacios Izquierdo
TEMA: Funciones lineales y afines CONTEXTO: Rural
INSTRUCCIONES: Resuelve en equipos de 3 integrantes cada uno de los siguiente problemas y pon a consideración los pasos que
sobrarían en la misma.
104
11. Mucha gente utiliza las matemáticas en su vida diaria.
12. Los que son buenos en matemáticas pueden resolver muchos problemas en pocos minutos.
13. Sólo estoy satisfecho cuando logro buenas calificaciones en matemáticas.
14. Pienso que seré capaz de usar lo que he aprendido en matemáticas y también en otros cursos.
15. Creo que recibiré este año una excelente nota en matemáticas.
16. Para ser el mejor y controlar las matemáticas. Quiero demostrar al profesor que yo soy mejor que muchos otros estudiantes.
17. Me gusta hacer matemáticas.
18. Espero lograr un buen resultado en los trabajos y los exámenes de matemáticas.
19. Quiero hacer bien las matemáticas y demostrar al profesor que mis compañeros son tan buenos como yo.
20. Puedo comprender el material del curso de matemáticas.
21. Para mí las matemáticas es una asignatura importante.
22. Prefiero las tareas matemáticas, me esfuerzo para encontrar una solución.
23. Puedo comprender incluso las cosas más difíciles que nos dan en clase de matemáticas.
24. Mi mayor preocupación cuando aprendo las matemáticas es obtener buenas calificaciones.
25. Si trabajo duro, entonces puedo comprender toda la materia del curso de matemática.
26. Cuando tengo oportunidad, escojo las tareas de matemáticas que puedo aprender, aunque no estoy seguro de lograr una buena calificación.
27. Estoy muy interesado en matemáticas.
28. Teniendo en cuenta el nivel de dificultad de nuestro curso de matemáticas, el profesor, mis habilidades y mis conocimientos. Tengo confianza que lograré un buen resultado en matemáticas.
29. Nuestro profesor piensa que los errores están bien y son buenos para el aprendizaje.
30. Nuestro profesor presta atención a cómo nos sentimos en las clases de matemáticas.
31. Nuestro profesor explica por qué las matemáticas son importantes
32. Nuestro profesor primero muestra paso a paso cómo nosotros debemos resolver un problema específico, y antes él nos da ejercicios similares
33. Nuestro profesor quiere que estemos a gusto cuando aprendemos nuevas cosas.
34. Nuestro profesor comprende los problemas y las dificultades que experimentamos.
35. Nuestro profesor escucha atentamente cuando preguntamos o decimos algo
105
36. Nosotros realizamos bastantes trabajos en grupo en clase.
37. Nuestro profesor nos da tiempo para explorar realmente nuevos problemas y tratar de obtener estrategias de resolución.
38. Nuestro profesor está contento cuando nos esforzamos mucho, aunque nuestros resultados no sean buenos.
39. Nuestro profesor es muy amable con nosotros
40. Nuestro profesor trata de hacer las lecciones de matemáticas interesantes.
41. Nuestro profesor piensa que él es el mejor para conocer todas las cosas.
42. Nuestro profesor quiere que comprendamos el contenido del curso de matemáticas, no que lo memoricemos.
43. No está permitido preguntar a los compañeros para que me ayuden en las tareas de clase.
44. Nuestro profesor no se preocupa de nuestros sentimientos en clase. Él o ella está totalmente absorto en el contenido del curso de matemáticas.
Estos ítems se pueden agrupar en subescalas que miden las siguientes dimensiones:
las creencias acerca del papel y la función del profesor
29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39,40, 41, 42, 43, 44
creencias sobre el significado y la competencia en matemáticas
2, 3, 4,15, 17, 18, 20, 21, 22, 23, 25, 27, 28
creencias sobre las Matemáticas como una actividad social
1, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 27
creencias sobre las matemáticas como un dominio de excelencia
10, 12, 13, 16, 19, 24
106
D. Anexo: Guía didáctica 1– Elementos de la función
lineal
Estudiante: ____________________________________ Grado: _________ Fecha: __________
Naruto, es un niño que estudia en la I.E.R. Pedro Pablo Castrillón, en donde las clases
empiezan a las 7.00 am. Él vive a 1800 metros al norte del colegio. Todos los días
Naruto sale a las 6.00 am, avanzando 100m cada minuto, pasa a recoger a Sakura, una
compañera de clases que vive a 3000 metros al sur de su casa. Éste espera durante 10
minutos al frene de la casa de Sakura y se dirigen juntos al colegio, avanzando 80
metros cada minuto.
1. Elabora un dibujo, en donde se ilustre el recorrido que realiza Naruto todos los días,
indicando las distancias entre lugares (casa de Naruto-colegio y casa de Naruto-casa
de Sakura)
2. ¿A qué distancia se encuentra la casa de
Sakura del colegio?
3. ¿Cuántos metros recorre Naruto todos los
días, desde que sale de su casa hasta que llega
al colegio?
4. ¿A qué hora llegan Naruto y Sakura al
colegio?
5. Llena las tablas que encuentras a
continuación, en donde se analiza a qué
distancia se encuentra Naruto de su casa
cada cinco minutos.
Tramo 1
Hora Minutos transcurridos
Distancia a casa de Naruto
6:00
6:05 6:10
6:15
6:20 6:25 6:30
SECRETARIA DE EDUCACIÓN PARA LA CULTURA DE ANTIOQUIA
INSTITUCIÓN EDUCATIVA RURAL SANTA ROSA DE LIMA CORREGIMIENTO MANGLAR - MUNICIPIO DE GIRALDO
Resoluciones: 03877/ 2003, 9696/2004, 021354/2008, 026477/2011 Dirección Sede principal: Corregimiento de Manglar. DANE: 205306000099. NIT: 900085481-9.
ÀREA: Matemáticas PERÍODO:2 GRADO: Noveno
DOCENTE: Jhoymar Palacios Izquierdo
TEMA: Funciones lineales y afines CONTEXTO: Rural
INSTRUCCIONES: Resuelve en equipos de 3 integrantes cada uno de los siguiente problemas y pon a consideración los pasos que
sobrarían en la misma.
GUÍA 1. RECORRIDO DE NARUTO PARA IR A LA ESCUELA
107
6. Realiza un gráfico en el plano cartesiano para
cada tramo recorrido, ubicando en el eje de las x los minutos transcurridos y en
el eje de las y la distancia hasta la casa de Naruto.
Grafico del tramo 1
Grafico del tramo 2
Tramo 2 Hora Minutos
transcurridos Distancia a casa de Naruto
6:30 6:35 6:40
Tramo 3 Hora Minutos
transcurridos Distancia a casa de Naruto
6:40 6:45 6:50 6:55
108
Grafico del tramo 3
109
7. Unifica los tres tramos en un solo grafico
110
8. Los graficos generados en el punto anterior estan compuestos por parejas
ordenadas (X1, Y1), (X2, Y2), (X3, Y3), etc. En el primer tramo se graficaron 7
puntos, en el segundo tramo tres y en el tercer tramo cuatro. Utilizando estas
parejas ordenadas podemos hallar la pendiente de cada tramo. La pendiente nos
dice que tan inclinada queda el segmento de recta que se grafique. Para hallar la
pendiente llena la siguiente tabla utilizando la tasa de variacion como se muestra
a continuacion:
9.
Pendiente (m):
𝑚 =𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
Tramo 1
111
Parejas ordenadas (𝑥1, 𝑦1); (𝑥2, 𝑦2)
Resta Abscisa
𝑥2 − 𝑥1
Resta Ordenada 𝑦2 − 𝑦1
División entre ordenadas y abscisas
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
Pendiente (m)
(0, 0); (5, 500) 5 − 0 = 5 500 − 0 = 500 500
5
100
(5, 500); (10, 1000) 10 − 5 = 500 − 1000 =
Tramo 2 Parejas ordenadas Resta
Abscisa 𝑥2 − 𝑥1
Resta Ordenada 𝑦2 − 𝑦1
División entre ordenadas y abscisas
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
Pendiente (m)
(30, 3000); (35, 3000)
Tramo 3
Parejas ordenadas Resta Abscisa
𝑥2 − 𝑥1
Resta Ordenada 𝑦2 − 𝑦1
División entre ordenadas y abscisas
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
Pendiente (m)
(40, 3000); (45, 2600)
10. Observa los resultados obtenidos, ¿en qué momento cambia la pendiente?
11. Establece tres ecuaciones (una para cada tramo) que prediga la distancia a la
cual va a estar Naruto de su casa en cualquier instante.
Tramo 1
112
En el problema dicen que en el primer tramo (primeros 30 minutos) Naruto
camina 100 metros cada minuto, por lo que el primer minuto avanza 100
metros, en el segundo minuto avanza 200 metros y así sucesivamente como
se muestra en la siguiente tabla.
Tramo 1 Hora Minutos
transcurridos Distancia a casa de Naruto
6:00 0 D = 100(0) = 0 6:01 1 D = 100(1) = 100 6:02 2 D = 100(2) = 200 6:03 3 D = 100(3) = 300 6:04 4 D = 100(4) = 400 6:05 5 D = 100(5) = 500 6:06 6 D = 100(6) = 600 6:07 7 D = 100(7) = 700 6:08 8 D = 100(8) = 800 6:09 9 D = 100(9) = 900 6:10 10 D = 100(10) = 1000 … … … 6:30 30 D = 100(30) = 3000
Al observar bien la tabla podemos notar un patron de comportamiento.
𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑁𝑎𝑟𝑢𝑡𝑜
= 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 (𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑐𝑢𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠)
Si D es la distancia a la casa de Naruto, T es el tiempo transcurrido en minutos
y sabiendo que la pendiente hallada para este tramo fue de 100, podemos
generalizar la expresion para cualquier tiempo de la siguiente manera:
𝐷 = 100 (𝑇)
Esta expresion nos permite calcular la distancia a la que esta naruto de su
casa en cualquier instante, para el primer tramo, sin necesidad de recurrir a
la tabla.
Por ejemplo,
Para T= 15 minutos tenemos:
𝐷 = 100 (15)
𝐷 = 1500 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠
para T= 30 minutos tenemos:
𝐷 = 100 (30)
𝐷 = 3000 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠
113
Tramo 2
En el segundo tramo Naruto espera a Sakura, es decir, no avanza al
transcurrir el tiempo por lo que se obtiene la siguiente tabla.
Se debe tener en cuenta que la casa de Sakura esta a 3000 metros de la casa
de Naruto
Tramo 2 Hora Minutos
transcurridos Distancia a casa de Naruto
6:30 0 D = 3000 + 0 (0) = 3000 6:31 1 D = 3000 + 0 (1) = 3000 6:32 2 D = 3000 + 0 (2) = 3000 6:33 3 D = 3000 + 0 (3) = 3000 6:34 4 D = 3000 + 0 (4) = 3000 6:35 5 D = 3000 + 0 (5) = 3000 … … … 6:40 10 D = 3000 + 0 (10) = 3000
En este tramo la distancia a la casa de Naruto no varia por lo que siempre es
la misma, es decir 3000 metros. Esto se debe a que Naruto se queda
esperando a Sakura.
En este tramo, la distancia a la casa de Naruto siempre sera 3000 metros
independientemente del tiempo transcurrido. Recordemos que la pendiente
para este tramo fue de 0, por lo que la expresion que generaliza la situacion
es:
𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑁𝑎𝑟𝑢𝑡𝑜
= 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 + 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 (𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑒𝑛 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠)
Si D es la distancia a la casa de Naruto,Di es la distancia a la que estaba naruto
de su casa al iniciar este tramo, T es el tiempo transcurrido en minutos,
podemos generalizar la expresion para cualquier tiempo de la siguiente
manera:
𝐷 = 3000 + 0 (𝑇)
Esta expresion nos permite calcular la distancia a la que está naruto de su
casa en cualquier instante, para el segundo tramo, sin necesidad de recurrir
a la tabla.
Notemos que esta expresion tambien se aplica al primer tramo, pero en este
caso la distancia es igual a cero.
Tramo 3
114
El tercer tramo inicia justo cuando Naruto sale de la casa de Sakura y en ese
momento, recordemos, estan a 3000 metros de la casa inicial. En la siguiente
tabla se muestra el recorrido de ambos desde las 6:40 solo hasta las 6:50,
teniendo en cuenta que cada minuto se devolvio 80 metros hasta llegar a las
escuela.
Tramo 3 Hora Minutos
transcurridos Distancia a casa de Naruto
6:40 0 D = 3000 + (- 80)(0) = 3000 6:41 1 D = 3000 + (- 80)(1) = 2920 6:42 2 D = 3000 + (- 80)(2) = 2840 6:43 3 D = 3000 + (- 80)(3) = 2760 6:44 4 D = 3000 + (- 80)(4) = 2640 6:45 5 D = 3000 + (- 80)(5) = 2600 6:46 6 D = 3000 + (- 80)(6) = 2520 6:47 7 D = 3000 + (- 80)(7) = 2440 6:48 8 D = 3000 + (- 80)(8) = 2360 6:49 9 D = 3000 + (- 80)(9) = 2280 6:50 10 D = 3000 + (- 80)(10) =2200 … … … 6:55 15 D = 3000 + (- 80)(15) =1800
Si observamos el patron en los datos registrados en la tabla podemos obtener
la siguiente expresion.
𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑁𝑎𝑟𝑢𝑡𝑜
= 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 + 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 (𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑒𝑛 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠)
Si D es la distancia a la casa de Naruto, T es el tiempo transcurrido en minutos
y sabiendo que la pendiente hallada para este tramo fue de - 80, podemos
generalizar la expresion para cualquier tiempo de la siguiente manera:
𝐷 = 3000 − 80 (𝑇)
Esta expresion nos permite calcular la distancia a la que esta naruto de su
casa en cualquier instante, para el tercer tramo, sin necesidad de recurrir a
la tabla.
Por ejemplo,
Para T= 12 minutos tenemos: 𝐷 = 3000 − 80 (12)
𝐷 = 3000 − 960
𝐷 = 2040 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠
115
para T= 15 minutos tenemos:
𝐷 = 3000 − 80 (15)
𝐷 = 3000 − 1200
𝐷 = 1800 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠
Analisis gráfico del primer tramo:
como cada minuto que transcurre Naruto
avanza 100 metros. Si se unen todos los puntos se forma una linea recta.
116
E. Anexo: Guía didáctica 2- Reconocer modelos de
funciones lineales y afines
Para resolver problemas sobre funciones lineales y afines, el proceso más complejo es el de modelar, es decir, encontrar ecuaciones que describan el comportamiento de la proporcionalidad directa, evidenciando la dependencia de una variable frente a la otra. De esta manera, en el proceso de resolver problemas en los que se presume relación de linealidad entre dos magnitudes, es de especial utilidad: Identificar dentro del contexto del problema, los elementos: razón de cambio y valor inicial de la función.
Así pues, la razón de cambio, es aquella constante que en geometría llamamos pendiente, y que nos evidencia una relación a la cual varía una magnitud respecto a otra. Bien puede ser, el precio por cada kg de guayaba, la distancia recorrida por cada unidad de tiempo, el número de páginas que podemos leer en cada hora, o el valor a pagar en una carrera por cada 200m recorridos en un taxi. Toda éstas son formas que tiene una tasa, razón o rata de cambio y que entenderemos como pilar para la existencia de bien sea una función lineal o un afín.
Como segundo elemento, se presenta la posibilidad de que en problema exista un valor mínimo, que tomará la variable de análisis (dependiente). Puede ser entendida como, el
Razón de cambio
•Pendiente
Valor mínimo
•Coeficiente de posición
Modelo de una
función afín
𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏
Variable dependiente Variable independiente
GUÍA 2. ANÁLISIS DE LA FUNCIÓN LINEAL Y AFÍN
SECRETARIA DE EDUCACIÓN PARA LA CULTURA DE ANTIOQUIA
INSTITUCIÓN EDUCATIVA RURAL SANTA ROSA DE LIMA CORREGIMIENTO MANGLAR - MUNICIPIO DE GIRALDO
Resoluciones: 03877/ 2003, 9696/2004, 021354/2008, 026477/2011 Dirección Sede principal: Corregimiento de Manglar. DANE: 205306000099. NIT: 900085481-9.
ÀREA: Matemáticas PERÍODO:2 GRADO: Octavo
DOCENTE: Jhoymar Palacios Izquierdo
TEMA: Funciones lineales y afines CONTEXTO: Rural
DESEMPEÑOS DE COMPRENSIÓN: Identificar elementos de la función afín y lineal en enunciados y descripciones Comparar funciones por sus características algebraicas o gráficas
INSTRUCCIONES: Resalta o subraya lo que consideras importante. Resuelve la actividad propuesta para cada guía
117
valor mínimo de una carrera cuando tomas un taxi, la cantidad inicial de dinero con que cuenta una empresa que va a vender productos, el costo inicial de una motocicleta que se devalúa, y así una cantidad de valores que responden al valor de la variable dependiente justo cuando su variable independiente es igual a 0.
La existencia de un valor mínimo (coeficiente de posición) en la función, define la clase de función que se está modelando: función afín para los casos que poseen tanto razón de cambio como valor mínimo, y función lineal en aquellos en que la relación posee razón de cambio y carece de valor mínimo.
Así pues, de la proporcionalidad directa pueden emanar dos tipos de función, la lineal y la afín. En ambos casos, se puede analizar el proceso como en la existencia de costos fijos y costos variables.
ELEMENTOS DE LA
FUNCIÓN AFÍN
ELEMENTOS DE LA
FUNCIÓN LINEAL
𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏
Razón de cambio Coeficiente de posición
Reconocer el tipo de función
Función linealRazón de cambio
Función afín
Razón de cambio
Valor mínimo
𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥
Razón de cambio
118
ACTIVIDAD 1:
1. Para cada ecuación, identifica la función que evidencia, según sea:
Función lineal
Función no lineal
Función afín
ECUACIÓN TIPO DE FUNCIÓN
𝑵 =𝟒𝟎𝟎𝟎
𝟑𝟒𝑴 +
𝟒𝟑𝟎𝟎
𝟑𝟒
𝒇(𝒙) = 𝟐𝟑𝟎𝟎𝒙 + 𝟓𝟐𝟎𝟎𝟎
𝒀 = 𝟖𝟓𝑴 + 𝟏𝟐𝟎
𝒀 = 𝟒𝟎𝟎𝟎𝑴
𝒉𝟐 = 𝟏𝟓𝒋
𝒀 = 𝟒𝟎𝟎𝟎𝑴𝟐 + 𝟒𝟑𝟎𝟎
𝒀 = 𝟒𝟎𝟎𝟎𝑴𝟐 + 𝟒𝟑𝟎𝟎
𝒀 = 𝟒𝟎𝟎𝟎𝑴𝟑
ACTIVIDAD 2: ANÁLISIS DE LA FUNCIÓN LINEAL Y AFÍN
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DESEMPEÑOS DE COMPRENSIÓN: Identificar elementos de la función afín y lineal en enunciados y descripciones Comparar funciones por sus características algebraicas o gráficas
INSTRUCCIONES: Resuelve la actividad propuesta para cada guía Trabaja con tu pareja de comprensión y recuerda dejar evidencia para tu portafolio
119
2. Para cada una de las funciones afines o lineales, ordena en forma descendente respecto al valor de su pendiente. ¿Cuál función tiene mayor razón de cambio?
ECUACIÓN ORDEN DE PENDIENTE
𝑵 =𝟒𝟎𝟎𝟎
𝟑𝟒𝑴 +
𝟒𝟑𝟎𝟎
𝟑𝟒
𝒇(𝒙) = 𝟐𝟑𝟎𝟎𝒙 + 𝟓𝟐𝟎𝟎𝟎
𝒀 = 𝟖𝟓𝑴 + 𝟏𝟐𝟎
𝒀 = 𝟒𝟎𝟎𝟎𝑴
𝒉𝟐 = 𝟏𝟓𝒋
𝒀 = 𝟒𝟎𝟎𝟎𝑴𝟐 + 𝟒𝟑𝟎𝟎
𝒀 = 𝟒𝟎𝟎𝟎𝑴𝟐 + 𝟒𝟑𝟎𝟎
𝒀 = 𝟒𝟎𝟎𝟎𝑴𝟑
VALORACIÓN: Sustentaciones escritas y orales acerca de los procedimientos elegidos para
resolver los problemas, formas de cálculo, y modelación de situaciones de proporcionalidad directa.
Evaluación continua y periódica como medio de preparación para el examen final de la propuesta didáctica.
CRITERIOS DE EVALUACION: Realización de actividad y entrega del producto (40%) Sustentación y reflexión sobre la actividad (60%)
120
F. Anexo: Guía didáctica 3– Proceso de
Modelación
Basemos el proceso de modelación en la resolución del siguiente problema:
a. Halle la ecuación que permite calcular la ganancia obtenida por José
Hilario en función de la cantidad de mangos que logre vender
Para hallar dicha ecuación, en otras palabras, para modelar esta situación problema, seguiremos los siguientes pasos de análisis.
PASO 1. Definir las variables dependiente e independiente
Las variables del problema serían:
José Hilario es un chico que vive en la vereda el Toyo del municipio de Giraldo, y se
imagina en todo momento formas de ayudar a su madre con el sostenimiento de su
hogar, ya que su padre falleció hace unos años. El día de hoy José decide negociar con
un vecino para que le permita coger mangos de su propiedad. Su vecino accede por el
pago de $32000 y José ansioso de aprovechar la oportunidad, promete a un amigo
pagarle $13000 por ayudarlo a coger mangos y cargarlos desde la finca. Luego de 1
hora de trabajo, logran recoger aproximadamente 100 mangos que luego pretende
vender a los viajeros de la carretera que lleva a Urabá a un precio de $1500 por mango.
a. Halle la ecuación que permite calcular la ganancia obtenida por José Hilario en
función de la cantidad de mangos que logre vender.
b. ¿Qué ganancia obtendría José Hilario si llegara a vender todos los mangos?
c. ¿Cuántos mangos tendría que vender José Hilario para obtener una ganancia de
60mil pesos?
GUÍA 3: MODELAR FUNCIONES LINEAL Y AFÍN
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TEMA: Funciones lineales y afines CONTEXTO: Rural
DESEMPEÑOS DE COMPRENSIÓN: Predice valores de una función o el comportamiento de la misma Formula ecuaciones que modelan situaciones cotidianas que se rigen por la función afín
INSTRUCCIONES: Resuelve la actividad propuesta para cada guía Trabaja con tu pareja de comprensión y recuerda dejar evidencia para tu portafolio
121
PASO 2. Identificar los elementos de la función lineal o afín
Iniciemos por identificar las cantidades del problema: Dineros que José Hilario adeuda por el negocio y que piensa pagar al final del día, y son:
I. Pago al vecino por permitirle coger sus mangos = $32.000 II. Pago a su amigo por ayudarle en la recolección = $13.000
En total las deudas de José Hilario suman unos = $45.000 Es decir que podríamos considerar que José Hilario aún sin vender algún mango, tiene una ganancia negativa (una deuda) de unos $45.000, y es de allí, que con cada venta tratará de hacer su ganancia crecer. Así pues, nuestro primer elemento identificado es el Valor inicial de la función, que sería 𝒃 = −𝟒𝟓. 𝟎𝟎𝟎. Es la ganancia que obtendrá José de no vender mangos (𝑥 = 0). Y al existir, este elemento, se define esta proporcionalidad lineal como una función afín. Como segundo elemento, está la cantidad que por cada venta permite aumentar la ganancia que obtiene José Hilario, el precio de cada mango: 𝒎 = 𝟏𝟓𝟎𝟎 Será para nosotros la razón de cambio.
PASO 3. Formular la ecuación lineal
Reemplazando los valores antes mencionados en la 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏:
Con esta expresión, puedo hallar la ganancia que obtendrá José Hilario dependiendo del número de mangos que logre vender en la carretera a Urabá
b. ¿Qué ganancia obtendría José Hilario si llegara a vender todos los mangos?
Los problemas de función lineal y afín tienen sentido, solo si proponemos
condiciones a la ecuación que lo modela. Nos entregan un dato condicional bajo el
cual debemos despejar la otra variable que es desconocida (la incógnita que nos
muestran en la pregunta)
𝑉. 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝑔𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎 = 𝑓(𝑥)
𝑉. 𝑖𝑛𝑑𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑔𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑒 = 𝑥
𝑅𝑎𝑧𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝒎 = 𝟏𝟓𝟎𝟎
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝒃 = −𝟒𝟓𝟎𝟎𝟎
𝒇(𝒙) = 𝟏𝟓𝟎𝟎𝒙 − 𝟒𝟓𝟎𝟎𝟎
122
Para evaluar las condiciones que ilustra la pregunta (que José Hilario venda todos los
mangos), usaremos el procedimiento indicado.
PASO 1. Identificar las condiciones que debemos evaluar en el modelo
Tendremos que relacionar las condiciones e incógnita del problema.
Incógnita: la ganancia de José Hilario ($)
Condición: José Hilario vende todos los mangos (100 unidades)
PASO 2. Evaluar las condiciones en el modelo
Parar ello, reemplazamos el dato dado en la ecuación y despejamos la variable o valor desconocido (bien sea x o f(x))
Se usará el modelo obtenido para reemplazar el valor de 𝒙 por 𝟏𝟎𝟎 y hallar el desconocido de f(x), así:
c. ¿Cuántos mangos tendría que vender José Hilario para obtener una ganancia de 60mil pesos?
Para evaluar las condiciones que ilustra la pregunta (que José Hilario venda todos los
mangos), usaremos el procedimiento indicado.
PASO 1. Identificar las condiciones que debemos evaluar en el modelo
Tendremos que relacionar las condiciones e incógnita del problema.
Incógnita: la cantidad de mangos que tendría que vender José Hilario
Condición: Obtener una ganancia de $60.000
𝑔𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎 = 𝐟(𝐱) =?
𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑔𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑒 = 𝒙 = 𝟏𝟎𝟎
𝑔𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎 = 𝐟(𝐱) = 𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎
𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑔𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑒 = 𝒙 = ?
𝑓(𝑥) =? 𝑥 = 100
Partimos de la ecuación modelo: 𝑓(𝑥) = 1500𝑥 − 45000
Reemplazando 𝑥 = 100
𝑓(𝑥) = 1500(100) − 45000 𝑓(𝑥) = 150000 − 45000
𝒇(𝒙) = 𝟏𝟎𝟓𝟎𝟎𝟎 Así, la ganancia que obtendrá
José Hilario por vender 100 mangos, será de $105.000
123
PASO 2. Evaluar las condiciones en el modelo
Parar ello, reemplazamos el dato dado en la ecuación y despejamos la variable o valor desconocido (bien sea x o f(x))
Se usará el modelo
obtenido para reemplazar el valor de 𝒙 por 𝟏𝟎𝟎 y hallar el
desconocido de f(x), así:
𝒇(𝒙) = 𝟔𝟎. 𝟎𝟎𝟎
𝒙 = ?
Partimos de la ecuación modelo:
𝐟(𝐱) = 𝟏𝟓𝟎𝟎𝐱 − 𝟒𝟓𝟎𝟎𝟎 Reemplazando 𝑓(𝑥) = 60.000
60.000 = 1500(𝒙) − 45.000 60.000 + 45.000 = 1.500𝒙
105.000 = 1500𝒙
𝑥 =105000
1500
𝒙 = 𝟕𝟎 Así, para obtener una ganancia de $60.000 José Hilario tendrá
que vender 70 mangos
124
a. Halle la ecuación que permite calcular la ganancia obtenida por Víctor diariamente.
b. ¿Qué ganancia obtendrá Víctor si llega a transportar a 49 personas?
Víctor trabaja para su tío en una mototaxi, haciendo viajes entre Manglar y Giraldo. A
diario, paga a su tío $32.000 de producido y además debe llenar el tanque de la moto
con $23.000 de gasolina. Víctor cobra por cada viaje $3000 a sus pasajeros.
a. Halle la ecuación que permite calcular la ganancia obtenida por Víctor
diariamente.
b. ¿Qué ganancia obtendrá Víctor si llega a transportar a 49 personas?
c. ¿Cuántas personas tendrá que transportar Víctor para obtener una ganancia de
$170.000?
d. ¿Cuál es la cantidad mínima de pasajeros que tendrá que transportar Víctor para
lograr pagar las deudas sin obtener ganancia?
PROCESO DE MODELACIÓN (de descripción a fórmulas)
ACTIVIDAD 3: MODELAR FUNCIONES LINEAL Y AFÍN
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DESEMPEÑOS DE COMPRENSIÓN: Predice valores de una función o el comportamiento de la misma Formula ecuaciones que modelan situaciones cotidianas que se rigen por la función afín
INSTRUCCIONES: Resuelve la actividad propuesta para cada guía Trabaja con tu pareja de comprensión y recuerda dejar evidencia para tu portafolio
125
c. ¿Cuántas personas tendrá que transportar Víctor para obtener una ganancia de
$170.000?
d. ¿Cuál es la cantidad mínima de pasajeros que tendrá que transportar Víctor para
lograr pagar las deudas sin obtener ganancia?
126
G. Anexo: Guía didáctica 4 - Proceso de Ajuste
Una de las tareas más comunes como parte de la comprensión de las funciones lineales y afines, consiste en formular la ecuación modelo de una función a partir de sus resultados tabulares. Y como es sabido, las relaciones de proporcionalidad directa, solo requieren 2 puntos coordenados para describirlo tanto gráfica como algebraicamente.
Así suponemos pues 2 puntos conocidos para describir una recta:
𝑆𝑒𝑎𝑛 𝐴 𝑦 𝐵 𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑒𝑐𝑒𝑛 𝑎 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎
𝐴: (𝑥1, 𝑦1) ⋀ 𝐵: (𝑥2, 𝑦2)
Y podremos en principio, hallar la razón de cambio que describe la función calculándola de forma analítica, así:
𝑅𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 = 𝑃𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 =𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑦
𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑥
𝒎 =𝒚𝟐 − 𝒚𝟏
𝒙𝟐 − 𝒙𝟏
Ahora nos falta identificar el punto por el cual intercepta al eje Y, es decir, su coeficiente de posición
Luego el elemento que nos falta identificar en este par de puntos coordenados es el coeficiente de posición.
Ejemplo: Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos A:(6,1) y B:(3,-3)
𝑚 = 𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝒎 =−3 − 1
3 − 6 =
−4
−3 =
𝟒
𝟑
Sabemos entonces que la razón de
cambio será: 𝟒
𝟑
3 unidades a la derecha y 4 hacia arriba.
GUÍA 4: AJUSTE DE FUNCIONES LINEALES Y AFINES
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INSTRUCCIONES: Resuelve la actividad propuesta para cada guía Trabaja con tu pareja de comprensión y recuerda dejar evidencia para tu portafolio
127
Para calcular el coeficiente de posición lo que haremos será usar la ecuación de la recta:
𝑚 =𝑦 − 𝑦0
𝑥 − 𝑥0
Ahora, elige un punto de los que te fueron dados (𝑥0, 𝑦0) y junto con la pendiente (𝑚) podrás hallar la función y descubrir el valor del coeficiente de posición. Ésta ecuación es llamada, ecuación punto pendiente.
Es así como la función afín que se descubre opera sobre los puntos A:(6,1) y B:(3,-3), es:
𝒚 =𝟒
𝟑𝒙 − 𝟕
Y su representación gráfica sería:
Ejemplo 2. Si uno de los puntos de la recta es (𝑥0, 𝑦0)=(6,1) y la
razón de cambio es 4
3,
podremos encontrar la función, al reemplazar en la ecuación punto-pendiente.
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0)
𝑦 − 1 =4
3(𝑥 − 6)
3𝑦 − 3 = 4(𝑥 − 6) 3𝑦 − 3 = 4𝑥 − 24 3𝑦 = 4𝑥 − 24 + 3
3𝑦 = 4𝑥 − 21
𝑦 =4𝑥 − 21
3
𝒚 =𝟒
𝟑𝒙 − 𝟕
Coeficiente de posición
𝒚 − 𝒚𝟎 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟎)
Ecuación punto - pendiente
128
En la mayoría de problemas sobre funciones afines se utiliza mucho la descripción como forma de hacer explícita información que sólo de manera analítica podemos operar. Es posible que en un problema nos ofrezcan condiciones de la función ya resuelta, es decir, que nos den datos (el valor de la variable dependiente para cierto valor de la independiente).
En el enunciado del problema se reconocen parejas de condiciones con su valor solución. En datos analíticos lo siguiente visto como
Proposición del problema
Explicación Dato analítico Punto (𝒙, 𝒚)
Al vender 100 bombones Gokú obtiene $20.000
Al aplicar la función al valor 𝑥 = 100, el valor obtenido es 20.000
𝑓(100)= 20.000
𝑨 = (𝟏𝟎𝟎, 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎)
Si vende 500 bombones Gokú obtendrá $40.000
Al aplicar la función al valor x=500, el valor obtenido es $40.000
𝑓(500)= 40.000
𝑩 = (𝟓𝟎𝟎, 𝟒𝟎𝟎𝟎)
De modo que podamos a partir de los puntos 𝑨 = (𝟏𝟎𝟎, 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎)𝒚 𝑩 = (𝟓𝟎𝟎, 𝟒𝟎𝟎𝟎) hallar la expresión de función afín que modela la situación.
¡Ahora si estás listo para resolver el problema!
SITUACIÓN PROBLEMA:
Al vender 100 bombones, Gokú obtiene $20.000 de ganancia, pero si en realidad vende 500 bombones obtendrá $40.000. Encuentra una expresión que permita calcular las ganancias de Gokú si vende sólo 30 bombones.
AJUSTE CURVAS (datos tabulares no analíticos a Fórmulas)
ACTIVIDAD 4: AJUSTE DE FUNCIONES LINEALES Y AFINES
SECRETARIA DE EDUCACIÓN PARA LA CULTURA DE ANTIOQUIA
INSTITUCIÓN EDUCATIVA RURAL SANTA ROSA DE LIMA CORREGIMIENTO MANGLAR - MUNICIPIO DE GIRALDO
Resoluciones: 03877/ 2003, 9696/2004, 021354/2008, 026477/2011 Dirección Sede principal: Corregimiento de Manglar. DANE: 205306000099. NIT: 900085481-9.
ÀREA: Matemáticas PERÍODO:2 GRADO: Octavo
DOCENTE: Jhoymar Palacios Izquierdo
TEMA: Funciones lineales y afines CONTEXTO: Rural
DESEMPEÑOS DE COMPRENSIÓN: Predice valores de una función o el comportamiento de la misma Formula ecuaciones que modelan situaciones cotidianas que se rigen por la función afín
INSTRUCCIONES: Resuelve la actividad propuesta para cada guía Trabaja con tu pareja de comprensión y recuerda dejar evidencia para tu portafolio
129
Encuentra una expresión que permita calcular las ganancias de Gokú si vende sólo 30 bombones.
Finalmente sabemos que la expresión que modela las ganancias de Gokú respecto a la cantidad de bombones vendidos es:
Con ella, podrás prever la ganancia de Gokú si te
dan la cantidad de bombones que vendió Ahora vamos a evaluar la ganancia de Gokú al vender los 30 bombones:
Halla la pendiente
Elige 1 punto y usa ecn punto pendiente
Evalúa f(30) en la expresión que hallaste
130
H. Anexo: Guía didáctica 5 – Solución de
situaciones problema
1. En Bancolombia se ofrece un plazo fijo al 5% anual con una comisión de mantenimiento de $40.000 anuales sea cual sea la inversión realizada.
Encuentra la expresión que relaciona el interés producido con el capital que se invierte.
¿Qué interés producirá la inversión de $ 6`000.000 a un plazo de en un año?
¿Cuál será el valor que se invirtió, si se obtuvieron $122.500 de intereses?
2. Luego de ahorrar por un año, decides comprar desde internet un PlayStation 4 que viene desde la ciudad de Qingdao de la República Popular de China. La consola de juegos viene en un Barco que viaja en línea recta hasta Buenaventura donde lo recogerás. La distancia
PRUEBA DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS - TRADUCCION ENTRE FORMAS
DE REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES LINEALES Y AFINES
SECRETARIA DE EDUCACIÓN PARA LA CULTURA DE ANTIOQUIA
INSTITUCIÓN EDUCATIVA RURAL SANTA ROSA DE LIMA CORREGIMIENTO MANGLAR - MUNICIPIO DE GIRALDO
Resoluciones: 03877/ 2003, 9696/2004, 021354/2008, 026477/2011 Dirección Sede principal: Corregimiento de Manglar. DANE: 205306000099. NIT: 900085481-9.
ÀREA: Matemáticas PERÍODO:2 GRADO: Octavo
DOCENTE: Jhoymar Palacios Izquierdo
TEMA: Funciones lineales y afines CONTEXTO: Rural
DESEMPEÑOS DE COMPRENSIÓN: Justifica el uso de procedimientos algebraicos, gráficos o analíticos para resolver una situación problema. Predice valores de una función o el comportamiento de la misma Formula ecuaciones que modelan situaciones cotidianas que se rigen por la función afín
INSTRUCCIONES: Utiliza los pasos que te parecieron más efectivos en la solución de problemas Realiza en parejas la siguiente prueba
Tiempo de aplicación= 2 horas Lugar: aula de clase
131
que recorrerá el barco será de 15222 km, en promedio se acercará a Buenaventura a una velocidad de 40km/h.
Encuentra una ecuación que relacione la distancia del barco a Buenaventura con las horas que han transcurrido desde su partida en Qingdao
¿Cuánto tardará en llegar el barco?
3. Cada semana Candelaria y su madre preparaban una olla de sancocho con carne salada, pollo y hueso, acompañado por arroz y ensalada. Toda la preparación tenía un precio de $200.000 y de ella son servidas porciones que se venden a $9.500 cada una. o ¿Cuánto obtendrá de ganancia la familia si en total se logran vender 180 platos de
sancocho?
o ¿Cuántos platos habrá vendido Candelaria para obtener tras un día $200.000 de ganancia?
o Identifica las variables y ecuación resultante.
4. A partir de la función por partes indicada:
132
𝑔(𝑥) = {−3 + 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −12𝑥 − 3 𝑠𝑖 − 1 < 𝑥 < 12𝑥 + 3 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1
Construir una tabla de valores para −4 ≤ 𝑥 ≤ 5
Graficar la función representada tanto por la tabla como por la expresión algebraica
Determina la imagen de la función para los siguientes valores: 𝑓(0), 𝑓(−1), 𝑓(1), 𝑓(10), 𝑓(−20)
x Imágenes de x G(x) -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
133
Determina la pendiente y el intercepto con el eje 𝑦 para la presenta función.
5. Juan hace cuentas con el dueño del Trapiche acerca de su salario del actual mes. Aclara que trabajo además de sus 8 horas diarias, 7 horas extras por semana, lo que representaría unas 28 horas extras en el mes. Sabiendo que en el trapiche se paga mensual un salario de $750.000 por las 8 horas de labor diarias y además por cada hora extra se pagan $3.800. ¿Cuánto deberá p recibir Juan este mes? ¿Qué expresión permitirá calcular los salarios del Trapiche dependiendo de las horas extras laboradas?
¿Cuánto deberían recibir Amaranto y Clodomiro quienes hicieron respectivamente 80 y 23 horas extras este mes?
¿Cuántas horas habrá laborado Tulio sabiendo que este mes su salario fue de $1´198.400?
134
6. Alfonso trabaja en un motocarro todos los días en Giraldo, dado que el vehículo no es suyo debe cancelar al sueño del mismo $30.000 diarios. Por el transporte, cobra al menos $3.000 a cada persona que con él desea viajar. Su situación es similar a la de los otros 15 compañeros de la empresa de transporte a la que pertenece. Encuentra la ecuación que permite calcular las ganancias diarias de un motoraton
Calcule el salario de Alfonso si en un transporta a 35 personas.
Determina la ganancia de los colegas que transportaron a 15, 23 y 42 pasajeros en un día.
7. En mayo será el lanzamiento del CD de CARLOS VIVES, por tanto, debe realizarse un concierto para su lanzamiento que cuesta unos 700 millones de pesos. Sabemos además que cada persona deberá pagar una boleta que cuesta en promedio $80.000. Encuentra una ecuación que permita calcular la ganancia del evento respecto a la cantidad de entradas vendidas.
135
Si la asistencia fuera de 21.500 espectadores, ¿qué ganancia obtuvieron los promotores?
Si en total se recogieran $37`000.000 ¿qué cantidad de personas habrían asistido?
8. Una empresa multinivel vende kits de aseo le paga a sus empleados de la siguiente manera: reciben diariamente $30.00 fijos, y por cada kit que vendan les pagan $2.500 de comisión, determina cuál es la función que modela esta situación.
Represéntala gráficamente e identifica cada uno de los elementos de la función lineal en la situación planteada.
136
9. Compara lo que ofrece esta empresa con relación a otra, que ofrece $20.000 de tarifa fija, y $4.500 por cada kit que vende. ¿Cuál de las dos empresas paga mejor a sus empleados? ¿Cuál empresa paga mejor a un empleado que vende al día 10 kits?
VALORACIÓN: Precisar las operaciones y procedimientos escogidos para resolver cada problema Dar respuesta efectiva a la pregunta que se realizó.
CRITERIOS DE EVALUACION: Realización de actividad y entrega del producto (40%) Sustentación y reflexión sobre la actividad (60%) REFERENCIAS Cuadernillo pruebas saber 9 Matemáticas – año 2015. MEN - ICFES
137
I. Anexo: Taller de comprensión de situaciones
lineales
1. MODELANDO GASTOS FAMILIARES
A Faustino le dan de $20.000 para sus onces y gasta en la escuela $1.500 cada día. Mientras
a su hermana le entregan $12.000 de los cuales gasta cada día $750 en el colegio.
Encuentra la función que expresa la cantidad de dinero (y) que cada persona tendrá en
relación al número de días que transcurren (x).
Diseña un gráfico mostrando ésta función para cada persona
¿Cuántos días tendrán ambos hermanos la misma cantidad de dinero?
¿Cuánto tarda cada uno en gastar todo su capital?
2. SALARIO DEL CORTADOR DE CAÑA
Juan hace cuentas con el dueño del Trapiche acerca de su salario del actual mes. Aclara que
trabajo además de sus 8 horas diarias, 7 horas extras por semana, lo que representaría unas
28 horas extras en el mes. Sabiendo que en el trapiche se paga mensual un salario de
$750.000 por las 8 horas de labor diarias y además por cada hora extra se pagan $3.800.
¿Cuánto deberá p recibir Juan este mes?
¿Qué expresión permitirá calcular los salarios del Trapiche dependiendo de las horas extras
laboradas?
Determina:
¿Cuánto deberían recibir Amaranto y Clodomiro quienes laboraron 80 y 23 horas extras este
mes?
¿Cuántas horas habrá laborado Tulio sabiendo que este mes su salario fue de $1´198.400?
3. SALARIO DIARIO DE UN MOTORATÓN
Alfonso trabaja en un motocarro todos los días en Giraldo, dado que el vehículo no es suyo
debe cancelar al sueño del mismo $30.000 diarios. Por el transporte, cobra al menos $3.000
a cada persona que con él desea viajar. Su situación es similar a la de los otros 15
compañeros de la empresa de transporte a la que pertenece.
Calcule el salario de Alfonso si en un transporta a 35 personas.
Encuentra la ecuación que permite calcular las ganancias diarias de un motoraton
Determina la ganancia de los colegas que transportaron a 15, 23 y 42 pasajeros en un día.
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INSTITUCIÓN EDUCATIVA RURAL SANTA ROSA DE LIMA CORREGIMIENTO MANGLAR - MUNICIPIO DE GIRALDO
Resoluciones: 03877/ 2003, 9696/2004, 021354/2008, 026477/2011 Dirección Sede principal: Corregimiento de Manglar. DANE: 205306000099. NIT: 900085481-9.
ÀREA: Matemáticas PERÍODO:2 GRADO: Noveno
DOCENTE: Jhoymar Palacios Izquierdo
TEMA: Funciones lineales y afines CONTEXTO: Rural
INSTRUCCIONES: Resuelve en equipos de 3 integrantes cada uno de los siguiente problemas y pon a consideración los pasos que
sobrarían en la misma.
138
4. CONCIERTAZO DE CARLOS VIVES
En mayo será el lanzamiento del CD de CARLOS VIVES, por tanto, debe realizarse un
concierto para su lanzamiento que cuesta unos 700 millones de pesos. Sabemos además
que cada persona deberá pagar una boleta que cuesta en promedio $80.000.
Encuentra una ecuación que permita calcular la ganancia del evento respecto a la cantidad
de entradas vendidas.
Si la asistencia fuera de 21.500 espectadores, ¿qué ganancia obtuvieron los promotores?
Si en total se recogieran $37`000.000 ¿qué cantidad de personas habrían asistido?
5. DEPRECIACIÓN DE UN COMPUTADOR
El precio de un computador nuevo es $4.250.000 y su valor decrecerá $385.000 cada año.
¿Cuál será el precio del computador al cabo de 7 años?, ¿cuál es la función que representa
el costo (c) del computador al cabo de t años?, ¿Cuántos años transcurrirán hasta que el
precio del computador esté debajo de $3.500.000?
6. PAGO DE HONORARIOS
Una empresa multinivel vende kits de aseo le paga a sus empleados de la siguiente manera:
reciben diariamente $30.00 fijos, y por cada kit que vendan les pagan $2.500 de comisión,
determina cuál es la función que modela eta situación. Represéntala gráficamente e
identifica cada uno de los elementos de la función lineal en la situación planteada.
Compara lo que ofrece esta empresa con relación a otra, que ofrece $20.000 de tarifa fija, y
$4.500 por cada kit que vende. ¿Cuál de las dos empresas paga mejor a sus empleados?
¿Cuál empresa paga mejor a un empleado que vende al día 10 kits?
7. Pedro trabaja lavando autos. Por cada auto que lava gana $21 000. Hoy al iniciar el día
cuenta su dinero y ve que tiene $60 000.
¿Qué ecuación modela la cantidad de dinero que tiene Pedro en función de la cantidad
de autos que ha lavado?
Determina cuánto dinero tendrá si lava 24 autos
8. El director de una escuela analiza la matrícula de sus estudiantes. El año que se fundó la
escuela, inició con 500 estudiantes. A partir de entonces la matrícula de estudiantes fue
aumentado en 50 cada año.
¿Qué función modela la cantidad de estudiantes de acuerdo a los años transcurridos
desde la fundación?
Usa la función para determinar cuántos estudiantes habrá después de 16 años.
Determina cuántos años tendrán que pasar para que el colegio tenga 1200 estudiantes.
9. L`E TOUR DE FRANCE
En la 4 etapa del Tour de Francia con final en escalada, un corredor escapado está a 8 Km
de la meta y circula a 10Km/h. Mientras tanto, un grupo que lo persigue se encuentra a
139
10Km del final acercándose a la meta a 15Km/h. ¿Alcanzarán al escapado si mantienen las
velocidades?
En caso afirmativo ¿cuánto tardarán y a qué distancia de la meta lo hacen?
10. TRAIDO DESDE CHINA
Luego de ahorrar por un año, decides comprar desde internet un PlayStation 4 que viene
desde la ciudad de Qingdao de la República Popular de China. La consola de juegos viene
en un Barco que viaja en línea recta hasta Buenaventura donde lo recogerás. La distancia
que recorrerá el barco será de 15222 km, en promedio se acercará a Buenaventura a una
velocidad de 40km/h.
¿Cuánto tardará en llegar el barco?
Encuentra una ecuación que relacione la distancia del barco a Buenaventura en términos
de las horas que han transcurrido desde su partida en Qingdao
11. LA SANCOCHADA
Cada semana Candelaria y su madre preparaban una olla de sancocho con carne salada,
pollo y hueso, acompañado por arroz y ensalada. Toda la preparación tenía un precio de
$200.000 y de ella son servidas porciones que se venden a $9.500 cada una.
o ¿Cuánto obtendrá de ganancia la familia si en total se logran vender 180 platos de
sancocho?
o ¿Cuántos platos habrá vendido Candelaria para obtener tras un día $200.000 de
ganancia?
o Identifica las variables y ecuación resultante.
FUNCIONES POR TRAMOS
12. Un plan de telefonía celular cuesta $39.000. Incluye 400 minutos gratis y cada minuto
adicional de llamada cuesta $200. El costo mensual es una función de la cantidad de
minutos empleados, y se expresa como:
𝐶(𝑥) = {$39000 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 400$39000 + 200(𝑥 − 400) 𝑠𝑖 𝑥 > 400
Determine Costo de una mensualidad en la que gasten 100, 400, y 800 minutos.
140
J. Anexo: Prueba Final de comprensión de
funciones lineales y afines
K. Una empresa cobra $25.000 diarios por el arriendo de un automóvil, más $50 por kilómetro recorrido.
De acuerdo con la información anterior, ¿cuál es la variable independiente y cuál es la variable
dependiente?
E. Variable independiente: velocidad de automóvil
Variable dependiente: tiempo del recorrido
F. Variable independiente: kilómetros recorridos
Variable dependiente: costo del arriendo
G. Variable independiente: costo del arriendo
Variable dependiente: kilómetros recorridos
H. Variable independiente: tiempo del recorrido
Variable dependiente: costo del arriendo
L. ¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a la de una función lineal?
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INSTITUCIÓN EDUCATIVA RURAL SANTA ROSA DE LIMA CORREGIMIENTO MANGLAR - MUNICIPIO DE GIRALDO
Resoluciones: 03877/ 2003, 9696/2004, 021354/2008, 026477/2011 Dirección Sede principal: Corregimiento de Manglar. DANE: 205306000099. NIT: 900085481-9.
ÀREA: Matemáticas PERÍODO:2 GRADO: Noveno
DOCENTE: Jhoymar Palacios Izquierdo
TEMA: Funciones lineales y afines CONTEXTO: Rural
INSTRUCCIONES: Resuelve en equipos de 3 integrantes cada uno de los siguiente problemas y pon a consideración los pasos que
sobrarían en la misma.
141
M. La función 𝑓(𝑡) = 1,8𝑡 + 32, donde t es la temperatura en grados celcius (ºC), permite determinar
la temperatura en grados Fahrenheit (ºF). Si un día la temperatura máxima en Viña del Mar fue de 18
ºC, ¿Cuál fue la medida en ºF?
a. 0,4º𝐹
b. 32,4 º𝐹
c. 64,4 º𝐹
d. 96,4 º𝐹
N. La expresión s(f)=80t relaciona la distancia recorrida en kilómetros por un vehículo en función del
tiempo transcurrido en horas. A partir de lo anterior, ¿en cuántas horas un vehículo recorre 320km?
a. 3 horas
b. 2 horas
c. 4 horas
d. 5 horas
O. Analiza los datos de la tabla, que muestra la relación que existe entre la distancia por un automóvil y
el tiempo que demora en recorrerla, luego responde:
Distancia recorrida (km) 30 42 54 72
Tiempo que demora (min) 20 28 36 48
¿Qué tipo de relación tienen las variables?
a. Directa
b. Inversa
c. Compuesta
d. Inversa
P. Considera la tabla anterior, si llamamos 𝑡 al tiempo y 𝑑 la distancia. ¿cuál es la función que
representa la distancia recorrida a partir del tiempo transcurrido?
a. 𝑡 = 1,5 ∙ 𝑑
b. 𝑑 = 1,5 ∙ 𝑡
c. 𝑑 = 2,5 ∙ 𝑡
d. 𝑡 = 3,5 ∙ 𝑑
Q. Con la misma velocidad, ¿en qué tiempo el automóvil recorre 240 km?
a. 300 min
b. 240 min
c. 360 min
d. 160 min
R. ¿A qué función corresponde la expresión 6x-3y-18=0 al despejar y?
a. 𝑌 = 2𝑥 − 6
b. 𝑌 = 3𝑥 − 6
c. 𝑌 = 2𝑥 − 1
d. 𝑌 = 2𝑥 + 6 S. La función 6x-3y-12=0, ¿en qué punto intersecta al eje x?
a. (-3,0)
b. (-12,0)
c. (4,0)
d. (2,0)
T. En una cuenta telefónica se cobra un cargo fijo de $300, y por cada minuto adicional se cobran $100.
¿Cuál función representa el cobro de esta cuenta telefónica?
a. 𝑦 = 300𝑥
b. 𝑦 = (300 + 100)𝑥
c. 𝑦 = 300 + 100𝑥
d. 𝑦 = 300𝑥+100
U. La recta que tiene pendiente igual 3/2 y pasa por el punto A (-3,2) tiene por ecuación:
a. 𝑥 − 2𝑦 + 7 = 0
b. 3𝑥 − 2𝑦 + 13 = 0
c. 3𝑥 + 2𝑦 − 2 = 0
142
d. 3𝑥 + 2𝑦 − 5 = 0
V. La recta de ecuación 6𝑥 − 3𝑦 + 1 = 0 tiene pendiente igual a:
a. -2
b. -1/2
c. ½
d. 2
W. La recta que pasa por los puntos 𝐴 (1,2) 𝑦 𝐵 (7,4) tiene pendiente igual a:
a. -3
b. -1/3
c. 1/3
d. 3
X. En la figura, la pendiente del segmento 𝐴𝐶 es:
a. -7/5
b. -5/7
c. 5/7
d. 7/5
Y. La recta 𝑦 =2
3𝑥 +
2
3 tiene por ecuación general a:
a. 2𝑦 − 3𝑥 + 1 = 0
b. 3𝑦 + 2𝑥 − 1 = 0
c. 3𝑦 − 2𝑥 + 1 = 0
d. 2𝑥 − 3𝑦 − 1 = 0
Z. El punto que NO pertenece a la recta de ecuación 2𝑦 − 3𝑥 + 1 = 0 es:
e. A (-2,-1)
f. A (1,1)
g. A (4,3)
h. A (10,8)
AA. Si la pendiente de la recta es ¾ y su coeficiente de posición es 2/3, entonces la ecuación general de
la dicha recta es:
a. 3𝑥 − 4𝑦 + 8 = 0
b. 4𝑥 + 3𝑦 + 8 = 0
c. 9𝑥 − 12𝑦 + 8 = 0
d. 12𝑥 − 9𝑦 − 8 = 0
BB. La recta 8𝑥 + 5𝑦 − 40 = 0 corta al eje de ordenadas en:
e. -8
f. 8
g. -5
h. 5
CC. La expresión y=mx+b corresponde a la ecuación de una línea recta. De acuerdo con esta
información, la ecuación de la recta representada en la siguiente gráfica es:
143
e. 𝑦 =4
3𝑥 − 3
f. 𝑦 =3
4𝑥 − 3
g. 𝑦 =3
4𝑥 − 4
h. 𝑦 = 3𝑥 +3
4
DD. La representación gráfica de la función f(x)=mx+b, es una recta con pendiente m y cuyo intercepto
con el eje y es (0,b)
¿Cuál es la gráfica de la función 𝑓(𝑥) =3
2𝑥 + 3 ?
144
COMPRENSIÓN DE LA FUNCIÓN LINEAL Y AFÍN
7. EXCURSIÓN A CARTAGENA
En la empresa en que labora Juan desean hacer una excursión, contactan a una agencia de turismo que ofrece
los siguientes precios para viajes a Cartagena como destino de grupo, de acuerdo con el número de personas
que tomen conjuntamente el plan.
Número de personas Valor de plan ($)
2 600.000
3 800.000
4 1´000.000
5 1´200.000
6 1´400.000
¿Cuál de las siguientes gráficas representa de manera correcta la relación entre el número de personas y el
valor del plan?
Determina además la cantidad que deben pagar si desean viajar los 23 empleados del departamento de
Pinturas al que Juan pertenece
145
8. Dos cursos de una Normal superior participan en un concurso de recolección de material reciclable que
consiste acopiar la mayor cantidad de kilogramos de papel de periódico. Uno de los cursos lleva 40kg de papel
acopiado y recolecta papel a razón de 3 kg diarios. Mientras que el otro apenas va a comenzar, pero quiere
recoger mínimo 8kg diarios de papel periódico.
¿Cuántos días necesita el curso que apenas ha comenzado a recolectar papel, para alcanzar al otro?
e. 6 días
f. 3 días
g. 5 días
h. 8 días
9. MODELACIÓN AL 100% Usando una bomba se va a pasar agua del tanque 1 al tanque 2 que está vacío (ver
figura). El agua que está en el tanque 1 alcanza una altura de 1.200 mm. A partir del momento en que se
enciende la bomba, la altura del tanque 1 disminuye 10 mm por minuto y la del tanque 2 aumenta 50 mm por
minuto.
¿Cuál expresión permite encontrar los minutos (x) que deben transcurrir, a partir del momento en que se
enciende la bomba, para que la altura del agua en los dos tanques sea la misma?
a. 1200 − 10𝑥 = 50𝑥
b. 1200𝑥 + 30𝑥 = 30𝑥
c. 𝑥 + 𝑥 = 50 + 30
d. 600 − 𝑥 = 𝑥
10. CONSUMO DE COMBUSTIBLE EN AUTOMÓVIL
La gráfica representa la cantidad de galones de gasolina que tiene el tanque de un automóvil, cuando se
desplaza entre dos ciudades.
El conductor afirma que el automóvil consumió en total 4 galones de gasolina en este desplazamiento.
Esta afirmación es
EE. falsa, porque consumió 5 galones en total.
FF. falsa, porque consumió 1 galón en total.
GG. verdadera, porque inició su recorrido con 4 galones y terminó sin gasolina.
146
HH. verdadera, porque inició su recorrido con 5 galones y terminó con 1 galón.
11. PROBLEMA DE LOS RESORTES
La figura muestra la longitud inicial de un resorte (en cm), y la que alcanza este resorte cuando sostiene
bloques de distintas masas (en g).
¿Cuál de las siguientes gráficas representa correctamente la relación entre la masa del bloque y la
longitud del resorte?
12.
El siguiente aviso se encuentra en la entrada de un parque deportivo
La expresión que permite determinar el valor que debe pagar un grupo por el alquiler de la cancha de microfútbol,
para un partido, dependiendo del número de jugadores que utilice la ducha es a = 2.000j + 60.000, donde a
representa el valor a pagar y j el número de jugadores que usan el servicio de ducha.
¿En cuál de las siguientes tablas se representa correctamente la relación entre el costo por pagar y el número de
jugadores que utilizan la ducha?
147
Nota: Por cuestión de espacio, se presenta de esta manera la prueba tipo saber que
fue aplicada a los estudiantes de grado noveno de IER Santa Rosa de Lima.
Referencias:
MEN 2015. Cartillas pruebas saber grado noveno.
MEN 2014. Cartillas pruebas saber grado noveno.
