Estudio de la estructura causal de la métrica de Gödel

Estudio de la estructura causal de la métrica de Gödel

Marco Antonio Luna Pacheco

Diciembre 2014

1. Introducción

Las soluciones a las ecuaciones de campo de Einstein son soluciones a la métrica, esdecir, el objeto geométrico fundamental para describir el espacio-tiempo. Dependiendo de lasolución utilizada, el espacio-tiempo poseerá ciertas características y ciertas singularidades.

Este ensayo se ocupará de estudiar las propiedades causales de la métrica de Gödel. Estamétrica es una solución exacta de las ecuaciones de campo de Einstein, propuesta en 1949,que describe un universo que se comporta como un fluido perfecto, libre de presión, en elque existen curvas temporales cerradas, la que implica que un objeto podría influir en supasado, haciendo que el estudio de las propiedades causales de esta solución sea impotante.

Estudiar la solución de Gödel a las EFE, o soluciones similares, nos facilita el estudio desoluciones exactas más complejas, además de ayudarnos a comprender las relaciones causalesentre dos puntos en el espacio-tiempo, los resultados del estudio de estas propiedades, puedenutilizarse para probar la existencia de las singularidades.

En la sección 2, se describen las ecuaciones de Einstein, así como la definición de unacurva causal, la cual será útil para estudiar a fondo las propiedades causales del espacio-

tiempo de Minkowksi en la sección 3. En la sección 3.4 se introducirán por primera vez lascurvas temporales cerradas. Se estudiará la solución de Gödel a las EFE, en la sección 4,incluyendo una demostración de que la métrica de Gödel es solución, así como el estudio desus propiedades y estructura causal.

2. Relatividad General

Las Ecuaciones de Campo de Einstein, también conocidas como EFE por sus siglas eningles, son ecuaciones tensoriales que describen la geometría del espacio-tiempo. Las EFE,igualan la curvatura del espacio-tiempo con el tensor de energía-momento.

R

ab

� 1

2g

ab

R =8⇡g

c

4T

ab

(1)

Donde:

G

ab

= R

ab

� 12Rg

ab

, es el tensor de curvatura de Einstein, formado a partir de lasderivadas del tensor métrico g

ab

.

T

ab

, es el tensor de energía-momento.

k = 8⇡gc

4 , donde g es la constante de gravitación universal.

1

3 PROPIEDADES CAUSALES DEL ESPACIO-TIEMPO 2

R

ab

, R y son el tensor y el escalar de curvatura de Ricci, respectivamente, que sedefinen como las diferentes contracciones del tensor de Riemann:

R

ab

=X

c

R

c

acb

R =X

ab

g

ab

R

ab

.

Tomando esto en cuenta, podemos reescribir las ecuaciones como:

G

ab

= kT

ab

(2)

Estas ecuaciones, que describen el campo gravitatorio, a su vez, deben ser tales que, siU es una vecindad normal convexa, y p y q son puntos en U , entonces, puede enviarse unaseñal en U , entre p y q, si y sólo si, p y q pueden unirse mediante una curva C

1 contenida enU , cuyo vector tangente es un vector temporal o un vector isótropo para cualquiera de suspuntos; a esta curva se le llama curva tipo no-espacio (non-spacelike curve) o curva causal,a este postulado, lo llamaremos, postulado (a).

A la relación entre p y q, o relación causa/efecto, se le llama causalidad, y depen-diendo de la métrica que caracterice el espacio de trabajo, el espacio-tiempo tendrá ciertaspropiedades causales.

3. Propiedades Causales del Espacio-Tiempo

El estudio de las relaciones causales, es equivalente al estudio del conjunto de todas lasmetricas g conformes a la métrica g, donde:

g = ⌦2g

Donde ⌦ es una función distinta de la función cero y g 2 C

r. Bajo esta transformaciónconforme de la métrica, una curva geodésica no permanecerá, en general, siendo una curvageodésica, salvo el caso en el que ésta sea una curva nula, e incluso en este caso, un paráme-tro afín a lo largo de la curva, no lo seguirá siendo. De hecho, en la mayoría de los casos, laposibilidad de extender todas las geodésicas a valores arbitrarios de sus parámetros afines,dependerá del factor conforme.

Clarke (1971) y Sieffert (19968) demostraron que, dada una físicamente razonable con-dición de causalidad, cualquier métrica de Lorentz es conforme a otra, que en la que todaslas geodésicas nulas y geodésicas dirigidas al futuro tipo tiempo son completas.

3.1. Orientabilidad3.1.1. Orientabilidad en el tiempo

En nuestra vecindad del espacio-tiempo existe una flecha del tiempo o flecha temporal

bien definida, dada por el incremento de entropía de sistemas termodinámicos cuasi-aislados,es decir, tenemos claro que el tiempo avanza y podemos distinguir el futuro del pasado. Seríarazonable suponer que existe una flecha local del tiempo definida continuamente en cadapunto del espacio-tiempo, sin embargo, para poder hablar acerca de relaciones causales entreeventos, solamente necesitaremos poder definir continuamente una división de vectores tipo


no-espacio en dos casos, los cuales diremos están dirigidos al futuro o al pasado.Si es posible realizar esta división, diremos que el espacio-tiempo es orientable en el

tiempo. Sin embargo, si el espacio-tiempo (M, g) no es orientable en el tiempo, entoncesexiste un mapeo doble (M, g) que sí lo es, así que si nuestro espacio de trabajo resulta noser orientable en el tiempo, trabajaremos con M.

3.1.2. Orientabilidad en el espacio

Si es posible dividir bases de tres ejes tipo tiempo en bases que puedan verse comoorientadas a la derecha o a la izquierda de manera continua, diremos que el espacio-tiempo

es orientable en el espacio. En particular, si asumimos que el espacio-tiempo es orientableen el tiempo, debe ser también orientable en el espacio.

3.2. Curvas CausalesSupondremos a nuestro espacio de trabajo como orientable en el tiempo, por lo que po-

demos distinguir entre dos orientaciones temporales; futuro y pasado. Sin embargo, debemosdividir el futuro y el pasado en cronológico y causal.

3.2.1. Pasado Cronológico y Causal

Si reemplazamos futuro por pasado, y + por - en las definiciones de futuro cronológico y

causal, obtendremos las correspondientes a los casos del pasado.

3.2.2. Futuro Cronológico

Sean los conjuntos, P y U 2 M, definimos el futuro cronológico I+(P,U), de P relativoa U , como el conjunto de todos los puntos en U , que pueden alcanzarse desde P por unacurva tipo tiempo dirigida al futuro en U . Denotaremos I+(P,U) con I+(P), además estees un abierto, ya que si p 2 M puede alcanzarse mediante una curva futuro-dirigida desdeP, entonces existe una vecindad alrededor de p que también lo es.

3.2.3. Futuro Causal

El futuro causal de P relativo a U , se denota por J +(P,U), o J +(P) y se define comola unión de P \ U con el conjunto de los puntos en U que pueden alcanzarse desde P poruna curva tipo no-espacio dirigida al futuro. Es la región del espacio-tiempo que puede sercausalmente afectada por eventos en P.

Sabemos que una curva tipo no-tiempo entre dos puntos, que no sea una geodésica nula,puede ser deformada en una curva tipo tiempo entre los dos puntos. Entonces, si U es unabierto, y p, q, r 2 U ;

q 2 J +(p,U), r 2 I+(q,U)q 2 I+(p,U), r 2 J +(q,U)

�implica r 2 I+(p,U)

Definimos ahora K como la cerradura de K y K ⌘ K \ ( ¯M�K) como la frontera de K. Delo anterior se sigue que:

I+(p,U) = J +(p,U)I

+(p,U) = J

+(p,U)


3.2.4. Futuro Horismos

El futuro horismos de P con respecto de U , denotado por E+(P,U) se define como elconjunto de eventos p relativo a U que puede ser afectado causalmente por eventos en U :

E+(P,U) = J +(P,U)� I+(P,U)

Si U es un abierto, los eventos en E+(P,U) estarán en geodésicas nulas dirigidas al futurodesde P y si U es una vecindad normal convexa alrededor de p, E+(P,U) consiste de lasgeodésicas nulas dirigidas al futuro en U desde p, y forma la frontera en U de I+(P,U)y J +(P,U). De hecho, en el espacio-tiempo de Minkowski, el cono nulo de p forma lafrontera de los futuros causal y cronológico; esto puede no ser cierto para espacios-tiempo

más complicados.A partir de este punto, extenderemos la definición de curvas tipo no-espacio y tipo tiempo

de suaves por pedazos a continuas. Diremos que una curva continua � : F 7�! M, dondeF es un intervalo conexo de R1, está dirigida al futuro y es de tipo no-espacio si para cadat 2 F hay una vecindad G de t 2 F y una vecindad normal convexa U de �(t) en M tal quepara cada t1 2 G, �(t1) 2 J�(�(t),U) � �(t) si t � 1 < t, y �(t1) 2 J +(�(t),U) � �(t) sit < t1. Diremos que � está dirigida al futuro y es de tipo tiempo, si se cumplen las mismascondiciones reemplazando J por I.

Definiremos ahora los conceptos de punto final futuro, curva inextensible en el futuro,punto límite y curva límite:

Punto final futuro: Diremos que un punto p es el punto final futuro de una curvatipo no-espacio dirigida al futuro � : F 7�! M, si para cada vecindad V de p, hay unt 2 F tal que �(t1) 2 V, 8t1 2 F , con t1 � t.

Curva inextensible en el futuro: Una curva de tipo no-espacio, será inextensible

en el futuro, en un conjunto P, si no tiene un punto final futuro en P.

Punto límite: Un punto p es considerado el punto límite de una sucesión infinita decurvas �

n

tipo no-espacio, si toda vecindad de p intersecta todas las �

n

para una n

suficientemente grande.

Curva límite: Llamaremos a � la curva límite de una sucesión �

n

, si hay una subsu-cesión �

0n

de �

n

, tal que para cada p 2 �, �0n

converge a p.

Lema 1: Sea P un conjunto abierto y �

n

una sucesión infinita de curvas tipo no-espacio enP inextensibles en el futuro en P. Si p 2 P es un punto límite de �

n

, entonces, a través dep pasa una curva � tipo no-espacio que es inextensible en el futuro en P y que es una curvalimite de la suceción �

n

.

3.3. Fronteras AcronalesSi tenemos una vecindad normal convexa U , la frontera de I+(p,U) o J +(p,U) está

formada por las geodésicas nulas dirigidas hacia el futuro desde p. Diremos que:

Conjunto Acronal: P es un conjunto en el que ninguno de los puntos dentro de élno pueden ser unidos por una curva causal; i.e. si I+(P) \ P = ?.

Conjunto Futuro: Diremos que P es un conjunto futuro si P � I+(P).


Nota: Si P es un conjunto futuro, M�P es un conjunto pasado. Ejemplos de conjuntosfuturos son: I+(N ) y J +(N ), para N cualquier conjunto.

Proposición 1: Si P es u conjunto futuro, entonces la frontera de P (P), es una subvarie-dad C1� tridimensional cerrada, encajada y acronal.

Llamaremos a un conjunto con las propiedades de P enunciadas en la proposición ante-rior, frontera acronal. Dicho conjunto puede ser dividido en cuarto subconjuntos disconexosPN , P+, P�, P0 de la siguiente manera: para un punto p 2 P pueden o no existir puntos p,r 2 P con p 2 E�(q)�q, r 2 E+(q)�q. Las diferentes posibilidades definen los subconjuntosde P de la siguiente manera:

Si q 2 PN

, entonces r 2 E+(p), ya que r 2 J +(p) y r 3 I+(p). Esto implica que hayun segmento de geodésica nula en P que pasa por q.

Si q 2 P+ (o P�), entonces q es el punto final futuro (o pasado) de una curva geodésicanula en P.

El subconjunto P0 es acausal.

Lema 2: Sea W una vecindad de q 2 P donde P es un conjunto futuro; entonces:

1. I+(q) ⇢ I+(P �W) ) q 2 PN

[ P+.

2. I�(q) ⇢ I�(M� P �W) ) q 2 PN

[ P�.

Diremos que un conjunto abierto U es simplemente causal, si para cada conjunto compactoK ⇢ U ,

J +(K) \ U = E+(K) \ UJ�(K) \ U = E�(K) \ U

Esto es equivalente a decir que J +(K) y J�(K) son cerrados en U .

3.4. Condiciones de CausalidadEs necesario ahora, definir las curvas temporales cerradas, ya que la condición de crono-

logía de un espacio-tiempo depende enteramente de que no haya curvas de este tipo en suestructura. Diremos que una CTC (closed timelike curve) es: una curva temporal �(t) queempieza y acaba en el mismo evento, i.e. �(0) = �(1), y no es una curva constante.

A pesar de las paradojas lógicas que este tipo de curvas puedan suscitar, y que día adía no experimentemos un universo que se comporta de esta manera, es importante no des-cartar la posibilidad de la existencia de puntos en el espacio-tiempo donde la condición decronología no se cumpla. Llamaremos a estos puntos, conjunto que viola la cronología deM, que tiene las siguientes propiedades:

El conjunto que viola la cronología de M, es la unión disconexa de los conjuntos dela forma I+(q) \ I�(q), q 2 M.

Si M es un compacto, el conjunto que viola la cronología de M es no vacío.

Del último resultado, podríamos inferir que el espacio-tiempo no es un compacto.Diremos que la condición de causalidad se cumple si no hay curvas cerradas tipo no-

espacio. En este caso tenemos:


El conjunto de puntos en los que la condición de causalidad no se cumple es la unióndisconexa de los conjuntos de la forma J�(q) \ J +(q), q 2 M.

En particular, si la condición de causalidad se viola en q 2 M, pero la condición de cronolo-gía se conserva, debe haber una geodésica nula � a través de q. Sea v un parámetro afín en� y . . . , v�1, v0, v1, v2, . . . valores sucesivos de v en q. Comparemos ahora en q, el vector tan-gente @

@v

��v=v0

y el vector tangente @

@v

��v=v1

, obtenido de transportar paralelamente @

@v

��v=v0

alrededor de �. Como ambos apuntan en la misma dirección, deben ser proporcionales:

@

@v

��v=v1

= a

@

@v

��v=v0

La distancia cubierta en el n� esimo circuito de �, (vn+1 � v

n

) es igual a a

�n(v1 � v0).Entonces, si a > 1, v nunca alcanza el valor (v1�v0)(1�a

�1) y entonces � es geodésicamenteincompleta en la dirección del futuro. Similarmente, si a < 1, � es incompleta en la direccióndel pasado y si a = 1, � es completa en ambos sentidos.

Ya que el factor a es un invariante bajo transformaciones conformes, la incompletez esindependiente del factor conforme. Cabe señalar que esto sucede solamente si existe unaviolación de la causalidad en algún sentido; sin embrago si la condición fuerte de causalidad

se cumple, una transformación conforme adecuada de la métrica, hará completas todas lasgeodésicas nulas.

Tenemos ahora que:

Si � es una geodésica nula que es incompleta en la dirección del futuro, entonces existeuna variación de � que manda cada punto de � hacia el futuro y que produce unacurva cerrada tipo tiempo.

Proposición 2: Si;

• R

ab

K

a

K

b � 0 para cada vector nulo K.• Todas las geodésicas nulas contienen un punto en el que K[aRb]cd[eKf ]K

c

K

d esdiferente de cero, donde K es el vector tangente.

• La condición de cronología se cumple en M.

Entonces, la condición de causalidad se cumple en M.

Esto nos muestra que en soluciones a las EFE con sentido físico real, las condiciones decausalidad y cronología son equivalentes.

Describiremos ahora, las tres condiciones de causalidas más comunes e importantes:

1. Condición de futuro/pasado distinguible: Se cumple en p 2 M si toda vecindadde p contiene una vecindad de p en la que ninguna curva de tipo no-espacio dirigidaal futuro/pasado desde p es intersectada mas de una vez. Esto es, que si I+(q) =I+(p) ) q = p.

2. Condición de causalidad fuerte, o fuertemente causal: Un espacio-tiempo es fuer-temente causal si toda vecindad de p contiene una vecindad de p donde ninguna curvatipo no-espacio es intersectada más de una vez; es decir, si x e y pertenecen a la ve-cindad y z está en el futuro causal de x (y), entonces z también pertenece a dichavecindad.


Si se cumplen las condiciones de la proposición 2, y además se cumple que: M es una geo-désica nula completa, entonces la condición de causalidad fuerte se cumple en M. De hecho,la condición fuerte de causalidad implica la condición de futuro/pasado distinguible, por loque si ésta se cumple en M, también lo harán las otras.

Relacionado con estas tres condiciones de causalidad también está el fenómeno de apri-

sionamiento. Una curva tipo no-espacio � que sea inextensible al futuro, puede hacer unade las siguientes tres cosas si se sigue hacia el futuro:

1. Puede entrar y permanecer dentro de un conjunto compacto P. En este caso diremosque � está totalmente futuro-aprisionada en P.

2. Puede no permanecer dentro de ningún conjunto compacto, pero reingresar conti-nuamente a un conjunto P compacto. En este caso diremos que � está parcialmentefuturo-aprisionada en P.

3. Puede no permanecer dentro de ningún conjunto P compacto y no reingresar a ningúnconjunto más que un número finito de veces.

Apesar de que el aprisionamiento no sucede solamente cuando se viola la causalidad, pode-mos tener el siguiente resultado:Proposición 3: Si la condición de causalidad fuerte se cumple en un conjunto compactoP, no puede haber curvas inextensibles al futuro de tipo no-espacio, total o parcialmenteaprisionadas en P.

Las relaciones causales en (M,g) pueden ser usadas para establecer una topología en M,esta topología se conoce como Topología de Alexandrov. Esta es la topología en la que unconjunto es abierto si y sólo si es la unión de uno o más conjuntos de la forma I+(p)\I�(q),p, q 2 M.

Supóngase que la condición de causalidad fuerte se cumple en M. Entonces alrededor decada punto r 2 M podemos encontrar una vecindad localmente causal U . Si la condición decausalidad fuerte se cumple podemos determinar la estructura topológica del espacio-tiempo

mediante el estudio de las relaciones causales. Sin embargo, la imposición de la condición decausalidad fuerte no excluye todas las patologías causales; de hecho se puede estar a puntode violar la condición de cronología, ya que con la más mínima variación de la métrica po-demos llegar a curvas cerradas tipo tiempo. Para lidiar con ello, definiremos una condiciónde causalidad estable.

Diremos que un espacio-tiempo es establemente causal si y sólo si existe una función f

en M cuyo gradiente es tipo tiempo en cualquier punto, es decir, su gradiente es un campovectorial temporal dirigido hacia el pasado.

3.5. Hiperbolicidad GlobalDiremos que un conjunto N es globalmente hiperbólico si se cumple la condición de

causalidad en N y para cada dos puntos p, q 2 N , J +(p) \ J�(q) es compacto y estácontenido en N . N es simplemente causal, si para cada conjunto compacto K contenido enN , J +(K) \N y J�(K) \N , son cerrados en N . Tenemos ahora que:

Un conjunto abierto, globalmente hiperbólico N es causalmente simple.

Si un espacio-tiempo es globalmente hiperbólico, será posible predecir todo aquello quesuceda en ese espacio-tiempo, o una región del mismo, empleando las EFE.

4 LA MÉTRICA DE GÖDEL 8

4. La Métrica de Gödel

La métrica de Kurt Gödel es una solución a las ecuaciones de campo de Einstein, queproponen un espacio-tiempo homogéneo, con materia que se comporta como polvo, es decir,sin presión, en rotación y en la que existen curvas cerradas de tipo tiempo. La soluciónde Gödel a las ecuaciones de campo de Einstein es la variedad R4, con una métrica quepuede escribirse en coordenadas pseudocartesiianas (t, x, y, z). En esta solución, el tensor deenergía-momento, está dado por: T

ab

= ⇢u

a

u

b

, donde ⇢ es la densidad de materia y u

a

es elcuadri-vector unitario de la velocidad.

Comenzaremos escribiendo las EFE:

R

ab

� 1

2g

ab

R =8⇡g

c

4T

ab

Sin embargo, si tomamos en cuenta la constante cosmológica, podemos reescribir el Tensorde Einstein como:

G

ab

= R

ab

� 1

2Rg

ab

+ ⇤gab

Por lo que las EFE resultan:

R

ab

� 1

2Rg

ab

+ ⇤gab

=8⇡g

c

4T

ab

(3)

Consideremos ahora la métrica propuesta por Gödel:

ds

2 = �dt⌦ dt+ dx⌦ dx� e

2p2!x

2dy ⌦ dy + dz ⌦ dz � e

p2!x(dt⌦ dy + dx⌦ dt) (4)

Donde ! > 0 es constante y es la magnitud de la vorticidad del vector de flujo u

a

. Lasecuaciones de campo se satisfacen si u

a = �

a

0 y 4⇡⇢ = !

2 = �⇤. Podemos escribir lamétrica, como lo hizo Gödel, como:

ds

2 = a

2(dx20 � dx

21 +

e

2x1

2dx

22 � dx

23 + 2ex1

dx0dx2 (5)

Donde a > 0 es una constante. Ahora, la matriz g

ab

y su inversa, están dadas por:

g

ab

= a

2

2

664

1 0 e

x1 00 �1 0 0e

x1 0 12e

2x1 00 0 0 �1

3

775

y

g

ab = 1a

2

2

664

�1 0 2e�x1 00 �1 0 0

2e�x1 0 �2e�2x1 00 0 0 �1

3

775

Se propone el siguiente cambio de coordenadas:

e

x1 = cosh(2r) + cos(�)sinh(2r)

x2ex1 =

p2sin(�)sinh(2r)

tan(�

2+

x0 � 2t

2p2

= tan(�

2)e�2r

y = 2x3


Para r � 0, 0 � � 2⇡. La métrica, bajo este cambio de coordenadas puede reescribirsecomo:

ds

2 = 4a2(dt2 � dr

2 � dy

2 + (sinh4(r)� sinh

2(r))d�2 + 2p2sinh2(r)d�dt) (6)

Esta forma de la métrica exhibe la simetría rotacional de la solución alrededor del eje r = 0.Como vimos anteriormente, esta métrica tiene una constante cosmológica negativa, lo quecorresponde a una presión positiva.

4.1. Demostración de que la métrica de Gödel es solución a las EFEMostraremos que la variedad (R4, g) es solución a las EFE para un universo lleno de

materia pulvurenta, con densidad constante ⇢ = 18⇡Ga

2 , y constante cosmológica ⇤ = � 1a

2 .Primero, completaremos el cuadrado de la métrica, con lo que obtenemos:

ds

2 = a

2((dx0 +1

2e

x1dx2)

2 � dx

21 �

1

2e

2x1dx

22 � dx

23)

Para calcular el tensor de curvatura de Ricci, debemos primero calcular los símbolos deChristoffel, los cuales están dados por:

�c

ab

=1

2g

dc(@g

bd

@x

a

+@g

ad

@x

b

� @g

ab

@x

d

)

Sin embargo, en este caso, el cálculo de los símbolos de Christoffel, se reduce tan sólo a:

�001 = 1

�012 =

1

2e

x1 = �102

�122 =

1

2e

2x1

�201 = �e

�x1

Esto es posible ya que los demás símbolos de Christoffel son cero, y, @

@x

a = 0, excepto sia = 1. De hecho, g = det(g

ab

) = a

8

2 e

2x1 , por lo que podemos calcular el tensor de Ricci dela siguiente manera:

R

ab

=@

@x

1�1ab

+ �1ab

� �c

da

�d

cb

Calculando los coeficientes diferentes de cero:R00 = 1

R02 = e

x1 = R20

R22 = e

2x1

Sea el vector ua = ( 1a

, 0, 0, 0), tal que ua

= (a, 0, aex1, 0). Tendremos entonces R

ab

= 1a

2ua

u

b

.Y para el escalar de Ricci:

R = R

a

a

=1

a

2u

a

u

b

=1

a

2

Con lo que el tensor de Einstein es:

G

ab

= R

ab

� 1

2Rg

ab

=1

a

2u

a

u

b

� 1

2

1

a

2g

ab

= 8⇡G⇢u

a

u

b

+ ⇤gab

(7)


Que es la ecuación de Einstein para un universo con materia que se comporta como polvo,con densidad ⇢. Por lo que la métrica de Gödel es solución a las EFE.

4.2. Propiedades de la métrica de GödelLas partículas en este universo tienen un vector velocidad u

b = ( 1a

, 0, 0, 0), por lo quees claro que viajan a través de las lineas x0, de las coordenadas originales, a una velocidadconstante. Llamaremos a estas líneas lineas de mundo de materia. Algunas de las propiedadesde la solución de Gödel son:

El espacio-tiempo tiene un grupo penta-dimensional de isometrías que es transitivo,es decir, es homogéneo; para cualesquiera dos eventos A,B 2 M, existe una transfor-mación de M que manda A en B.

M tiene de hecho simetría rotacional.

M es orientable en el tiempo.

M tiene curvas tipo tiempo cerradas.

No existe una coordenada temporal global en M.

El espacio-tiempo de Gödel es una solución a las EFE libre de singularidades.

Es geodésicamente completo.

No es globalmente hiperbólico.

Para poder estudiar a fondo y demostrar algunas de estas propiedades, en especial, la existen-cia de curvas cerradas tipo tiempo, que implicará que no es globalmente hiperbólico, debemosnotar que (M, g) puede escribirse como la suma directa de las variedades (M1, g1) = R3 y(M2, g2) = R. De hecho:

ds

21 = a

2(dx20 � dx

21 +

e

2x1

2dx

22 + 2ex1

dx0dx2)

ds

22 = a

2dx

33

Como la componente de M2 es plana, puede ser descartada, y tan sólo nos enfocaremosen el estudio de M1, la cual, si suprimimos la componente x3, podremos visualizar en unespacio tridimensional. El comportamiento de (M1, g1) con x3 suprimida se presenta en lafigura 1.


Figura 1: El diagrama representa la simetría rotacional alrededor del eje r = 0, y la invariazaen el tiempo. El cono de luz se abre y se vuelca conforme r aumenta (linea L), lo que resultaen curvas cerradas tipo tiempo. El diagrama no representa correctamente el hecho de quetodos los puntos son equivalentes (Hawking & Ellis, 1973).

Para mostrar la existencia de curvas cerradas tipo-tiempo, y por ende, la no existenciade una coordenada temporal global en M, mostraremos primero que este espacio-tiempo esorientable en el tiempo.

Demostración: Mostrar que este espacio-tiempo es orientable en el tiempo, se reducea probar que todos los vectores nulos y tipo tiempo pueden dividirse en vectores + o �, detal manera que si ⇠ es un vector (+), �⇠ sera un vector(�), y que el límite de los vectores+ o �, si son distintos de cero, será un vector + o �, respectivamente.

Esto es cierto, ya que el campo vectorial ub define una orientación en el tiempo paraM. De hecho, si ⇠ es un vector tipo tiempo, diremos que ⇠u = g

ab

u

a

⇠

b es un vector (+), sig

ab

u

a

⇠

b

> 0 y que es un vector (�), si gab

u

a

⇠

b

< 0. Como este mapeo es lineal, el espacio-

tiempo es orientable en el tiempo.Mostraremos ahora la existencia de curvas cerradas tipo tiempo y la inexistencia de una

coordenada temporal global en M.Demostración: Los conos de luz en el eje r = 0 contiene la dirección vertical del dia-

grama @

@t

0 , pero no las direcciones horizontales @

@r

y @

@�

. Conforme nos alejamos del eje,los conos de luz se abren y se inclinan en la dirección de �, de tal manera que en el radior = log(1 +

p2), @

@�

es un vector nulo, y el círculo del mismo radio alrededor del origen esuna curva nula cerrada.

Para valores mayores de r, @

@�

es un vector tipo tiempo, y los círculos de radio r cons-tante, t0 son curvas cerradas tipo tiempo. Como (M1, g1) tiene un grupo tetra-dimensionalde isometrías transitivo, existen curvas cerradas de tipo tiempo a través de cada punto de

5 DISCUSIÓN GENERAL 12

(M1, g1), y por ende a través de cada punto de (M, g).La existencia de curvas cerradas tipo tiempo implica que no hay superficies tridimensio-

nales sin frontera encajadas en M que sean de tipo espacio en todos sus puntos. Una curvacerrada tipo tiempo, que cruzara dicha superficie, la cruzaría un número impar de veces.Esto significaría que la curva no es homotópica al cero, lo que contradice el hecho de queM es simplemente conexo, y homeomorfo a R4, de donde vemos que este espacio-tiempo noes globalmente hiperbólico.

La existencia de curvas cerradas tipo tiempo también implica que no existe una coorde-nada temporal global t en M que aumente a lo largo de cada curva nula, o de tipo tiempo,dirigida al futuro.

5. Discusión General

Las relaciones causales entre dos eventos en el espacio-tiempo establecen la influencia deuno sobre el otro, sin embargo, en un espacio-tiempo como el de Gödel, con la existencia decurvas temporales cerradas, no existe la certeza de que la causa precede al efecto. Las curvascerradas de tipo tiempo que existen en la solución de Gödel, nos permitirían, si tuviésemosun cohete que pudiese hacerlo, viajar a través de ellas hasta el pasado.

La posibilidad que ofrecen las CTC de viajar al pasado y cambiarlo, originan múltiplesparadojas: uno podría llegar al momento previo al lanzamiento de nuestro cohete e impedirque partiéramos... Pero, si nunca despegamos, ¿cómo es posible que hayamos estado ahípara impedir el despegue? Otro ejemplo del paradójico viaje en el tiempo, al pasado, es laparadoja del abuelo.

Se ha intentado solucionar la creación de paradojas que parece inherente al viaje alpasado de muchas formas, entre ellas:

Un universo en el que no somos libres de realizar todos los experimentos, es decir,el concepto de libre albedrío debe ser modificado. Bajo esta premisa, no sería posibleviajar al pasado, o más generalmente, alterar la causalidad. Ejemplos de este universo,es el propuesto por Schmidt (1966) 1.

La existencia de universos paralelos, de tal manera que al viajar al pasado y alterarlo,cambiara el futuro de otro universo, en el que matamos a nuestro abuelo y no nacimos,o el cohete nunca despego, pero nuestro universo permaneciera intacto.

Una restricción a las CTC, argumentando que sólo podrían viajar en el tiempo, aque-llos viajantes que no impidieran el origen de su viaje. Recientemente se realizó unexperimento sobre esto en el MIT, a cargo de Seth Lloyd y fue publicado en Physical

Review Letters

2.

Abordar el problema de la existencia de curvas cerradas tipo tiempo, parece ser fundamentalpara entender la estructura del espacio-tiempo mismo, y a su vez revela que hay otrasposibilidades para explicar la evolución del universo de manera más compleja.

1Schmidt,H. (1966), Model of an oscillating cosmos which rejuvenates during contraction, J. Math. Phys.7,494–509.

2Seth Lloyd, et al. “Closed Timelike Curves via Postselection: Theory and Experimental Test of Consis-tency.” Physical Review Letters 106, 040403 (2011). DOI:10.1103/PhysRevLett.106.040403.

6 CONCLUSIONES 13

6. Conclusiones

La métrica que representa la solución de Gödel a las EFE, está formada por materiacomún, como a la que estamos acostumbrados, sin embargo en este universo, existen curvascerradas de tipo tiempo, lo cual no es compatible con la intuición que tenemos acerca delespacio-tiempo en el que vivimos.

A pesar de que la métrica de Gödel no parece ser una solución que se ajuste al universoque experimentamos día con día, quizá podría hacernos pensar en que nuestra concepcióndel tiempo es incompleta, como Gödel mismo creía. No resulta difícil ver que el lógico-matemático que demostrara la incompletez de las matemáticas, con un teorema que paralograrlo adquiere la estructura de una paradoja lógica, utilizara las paradojas temporalespara probar que existe la posibilidad de que la causalidad sea mucho más compleja de loque imaginamos, y que aún hay mucho por descubrir en cuanto a la esctructura del espacio-

tiempo.Mi opinión es que el estudio de soluciones semejantes a la de Gödel es más que sólo un

ejercicio matemático interesante. Como Einstein nos mostró, debemos ver la física desdeuna perspectiva que nos haga cuestionar todo aquello que damos por sentado, y que comoaprendimos a lo largo del último siglo con la llegada de la teoría de la relatividad y lamecánica cuántica, puede resultar incluso contra-intiutiva. Al final, en sus palabras: "Lo

más incomprensible del universo, es que podamos comprenderlo".Esta solución, que fue entregada a Einstein como un regalo de cumpleaños, lo hizo dudar

de la verosimilitud de sus ecuaciones de campo, y explorar todas las posibilidades filosóficasque implicaría una estructura temporal con dichas características. Hoy en día, el estudiode las CTC, parece estar de la mano con el estudio de las posibilidades de cuantizar lagravedad, como una solución para erradicar las paradojas del viaje temporal. Quizá estéaquí la llave para descubrir una teoría unificada, donde el tiempo y la causalidad tenganuna interpretación probabilística, lo cual no le haría mucha gracia a Einstein, y las paradojasdemuestren ser, lejos de un problema, la solución que hemos buscado a lo largo de tantotiempo.

7. Bibliografía

Hawking, S., & Ellis, G. (1973). The large scale structure of space-time (1st ed., p.385). Cambridge [England: Cambridge University Press.

Kurt Gödel (1949). An Example of a New Type of Cosmological Solution of Einstein’s

Field Equations of Gravitation. Rev. Mod. Phys. 21: pp. 447.

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Estudio de la estructura causal de la métrica de Gödel