Evaluatie van de nieuwe inzichten over knik van kolommen in gewapend beton

Faculteit Ingenieurswetenschappen

Vakgroep MEMC

Proefschrift ingediend tot het behalen van de academische graad van Burgerlijk Bouwkundig Ingenieur door

EVA LANTSOGHT

ACADEMIEJAAR 2007-2008

PROMOTOR: PROF. DR. IR. JOHN VANTOMME

Evaluatie van de nieuwe inzichten over knik van kolommen in gewapend beton

Voorwoord

De voorliefde voor alle vormen van kunst, waaronder de bouwkunst, zijn mij met de paplepel ingegeven. Ik droomde er dan ook al op jonge leeftijd van om aan grote bouwprojecten te kunnen meewerken. Mijn voorliefde voor dit vakgebied is in de loop der jaren enkel nog gegroeid door verschillende interessante projecten op de VUB, door de werfbezoeken die we in het kader van onze opleiding brachten en verder door mijn vakantiewerk en stage in studiebureau's. Deze interesse bracht mij dan ook tot de keuze van het onderwerp voor dit afstudeerwerk.

Verder bleek de VUB voor mij ook de ideale plek om een evenwicht tussen studie en ontspanning te vinden, en om meer te leren dan enkel hetgene in cursussen opgenomen staat.

Dit afstudeerwerk heeft mij een aantal zaken bijgeleerd die voor mij nieuw waren. In de loop van de voorbije maanden heb ik geleerd om regelmatig te werken en om een groot project in haalbare onderdelen op te splitsen. Het was bovendien erg verrijkend om zo diep op een onderwerp te kunnen ingaan.

Graag zou ik mijn promotor Professor Vantomme danken voor het beantwoorden van mijn vragen en de hulp bij zowel de berekeningsdetails als de aanpak en planning van dit afstudeerwerk.

Ook Ir. Roger Moortgat van studiebureau Establis zou ik willen danken voor de vele informatie die hij mij over dit onderwerp bezorgde.

Verder wil ik mijn ouders danken, omdat ze het voor mij mogelijk maakten om te studeren en voor hun niet-aflatende steun. Ook mijn zus wil ik danken voor haar steun. In dit rijtje mag ik ook mijn vrienden en vriendinnen niet vergeten, die mij op de juiste momenten vanachter mijn boeken weghaalden en steeds bereid zijn om naar mij te luisteren.

Samenvatting

Dit afstudeerwerk “Evaluatie van de nieuwe inzichten over knik van kolommen in gewapend

beton”, heeft als doel het toetsen van de nieuwe berekeningsmethoden in de EN1992-1-1 (2004) aan

de hand van de NBN B15-002.

In dit werk werden zowel parameterstudies uitgevoerd, handberekeningen als berekeningen met

spreadsheets. In het bijzonder werd gebruik gemaakt van de spreadsheet van The Concrete Society,

die het interactiediagram voor een doorsnede belast in samengestelde buiging met druk, opstelt en

waarmee dus eenvoudig de wapening bepaald kan worden.

In hoofdstuk 2 worden een aantal gekende methodes om het knikprobleem aan te pakken,

bestudeerd. Hierbij werd ten eerste gekeken naar de methodes van het CEB, omwille van hun

historische relevantie. Bovendien werden enkele buitenlandse normen, ter vergelijking, bestudeerd.

Verder werd de methode die door De Vos in zijn afstudeerwerk uitgewerkt werd, geciteerd,

aangezien het gebruik van zijn tabellen voor praktische berekeningen ons tijdens de oefeningen

betonberekeningen aangeleerd werd. In dit onderdeel wordt ook de methode van de nominale

stijfheid opgenomen.

In hoofdstuk 3 wordt de vergelijking tussen de NBN B15-002 (1999) en de EN1992-1-1:2004

uitgevoerd. Een aantal parameterstudies komen aan bod in dit hoofdstuk. Hier wordt vooral

gekeken naar de verschillen in de formules an sich.

In hoofdstuk 4 zijn de case studies opgenomen. Deze hebben tot doel om gehele

berekeningsmethodes te evalueren. De buitenlandse normen en andere methodes uit hoofdstuk 2

worden door middel van een eenvoudig voorbeeld vergeleken met methodes uit de NBN B15-002

(1999) en de EN 1992-1-1:2004. De invloed van kruip, van de nieuw opgenomen betonklassen, van

de vorm van de doorsnede en van het gekozen wapeningsstaal wordt bestudeerd. De berekening van

de effectieve lengte van kolommen in raamwerken wordt vergeleken voor de NBN B15-002 (1999)

en de EN 1992-1-1:2004.

Summary

The goal of this work, “Evaluation of new insights on buckling instability of columns in reinforced

concrete”, is to compare new calculation methods in the EN1992-1-1 (2004) with the NBN

B15-002 (1999).

In this work, parameter studies were carried out, as well as hand calculations and calculations with

spreadsheets. Particularly the spreadsheet of The Concrete Society has been used, which draws the

interaction diagram for a section in combined bending and axial force and with which the

reinforcement can easily be determined.

In chapter 2, some well-known methods to solve the buckling problem are studied. First the

methods of the CEB are studied for their historic relevance. Moreover, some foreign design codes

are introduced, as a comparison. Furthermore, the method which has been developed by De Vos in

his thesis, is cited, for the use of his tables for practical calculations has been taught to us in the

course of concrete design. In this part, the methode of the nominal stiffness is introduced as well.

In chapter 3, the NBN B15-002 (1999) and the EN 1992-1-1:2004 are compared. Some parameter

studies are used to illustrate the differences in the formulas. The differences between the formulas

themselves are studied.

Chapter 4 consists of case studies. The aim of these case studies is to evaluate entire calculation

methods. The foreign design codes and other methods from chapter 2 are compared in a simple

example to compare the simplified methods of the NBN B15-002 (1999) and the EN

1992-1-1:2004. The influence of creep, of the newly added concrete classes, of the form of the

section and of the choosen steel grade are analysed. The calculation of the effective length of

columns in frames is compared for the NBN B15-002 (1999) and the EN 1992-1-1:2004.

Résumé

Cette thèse “Evaluation des nouvelles notions du flambement des poteaux en béton armé” vise à

évaluer les nouvelles méthodes de calcul dans la EN1992-1-1 (2004) au moyen de la NBN B15-002

(1999).

Dans cet ouvrage, des études parametriques, des calculs manuels et des calculs sur base de tableurs

ont été exigés. Particulièrement le tableur du Concrete Society a été employée. Cette feuille établit

le diagramme d'intéraction pour une section en flexion composée avec la pression et permet de

déterminer aisément le renforcement du béton.

Dans le chapître 2, quelques méthodes connues pour calculer les effets de deuxième ordre sont

énumérées. Premièrement les méthodes du CEB sont étudiées pour leur importance historique.

Ensuite, quelques normes étrangères sont introduites pour la comparaison. Par ailleurs, la méthode

développée par De Vos dans sa thèse a été citée, car l'emploi de ses tables pour des calculs pratiques

nous est appris pendant les exercices de calcul du béton. Dans cette partie, la méthode basée sur

une rigidité nominale est introduite.

Dans le chapître 3, la comparaison entre la NBN B15-002 (1999) et la EN 1992-1-1:2004 est

effectuée. Quelques études paramétriques sont prises en considération. On regarde surtout les

differences entre les formules elles-mêmes.

Dans le chapître 4 quelques poteaux sont calculés. Ces calculs ont pour but d'évaluer les méthodes

de calcul dans leur ensemble. Les normes étrangères et les autres méthodes du chapître 2 sont

comparées avec les méthodes de la NBN B15-002 (1999) et la EN 1992-1-1:2004 au moyen d'un

exemple simple. L'influence du fluage, des nouvelles classes de béton, de la forme de la section et

de l'acier d'armature choisi est etudiée. Le calcul de la longeur effective des poteaux en portique est

comparé pour la NBN B15-002 (1999) et la EN 1992-1-1:2004.

Gebruikte symbolen

De notaties van de verschillende publicaties terzake werden gerespecteerd. Een overzicht van de gebruikte symbolen werd voor de duidelijkheid opgenomen.

a laterale vervorming, tweede orde-excentriciteit (CEB)

Ac betondoorsnede

As staaldoorsnede

e totale excentriciteit

e0 begin-excentriciteit (NL)

e01 eerste orde-excentriciteit onderaan

e02 eerste orde-excentriciteit bovenaan

e2 tweede orde-excentriciteit

ea additionele excentriciteit

ec toeslagexcentriciteit (NL)

Ecd designwaarde van de elasticiteitsmodulus van beton

Ecm gemiddelde waarde van de elasticiteitsmodulus van beton

EI stijfheid doorsnede

ei additionele excentriciteit

Es elasticiteitsmodulus van staal

et totale excentriciteit (NL)

Ey elasticiteitsmodulus staal

e excentriciteit van de resultaten ten opzichte van het zwaartepunt van de doorsnede

fcd rekenwaarde van beton

fcdu ultieme rekenwaarde van beton

fck karakteristieke sterkte van het beton

fyd rekensterkte staal

fyk karakteristieke vloeisterkte staal

Gk,j karakteristieke waarde van de permanente lasten (EN)

h totale hoogte (EC), nuttige hoogte (buitenlandse normen, CEB)

ht totale hoogte (CEB, buitenlandse normen)

i traagheidsstraal

l0 effectieve lengte

lc lengte van de kolom (EN)

lc effectieve lengte (CEB)

lcol lengte van de kolom

le effectieve lengte

m aantal verticale elementen

M01 eerste orde-moment onderaan

M02 eerste orde-moment bovenaan

M0e equivalent eerste orde-moment

M1d rekenwaarde van het eerste orde-moment

M2d rekenwaarde van het tweede orde-moment

Mi intern weerstandsbiedende moment van de basisdoorsnede

n aantal verdiepingen

NB kniklast (nominale stijfheid)

Nbal normaalkracht die, uitgeoefend op een doorsnede, haar uiterste momentcapaciteit maximaliseert

Nc kniklast van de kolom

Nd rekenwaarde van de normaalkracht (CEB)

Nsd rekenwaarde normaalkracht (ENV)

Nud rekenwaarde van de uiterste draagkracht van de doorsnede uitsluitend aan een centrische langskracht onderworpen

N resultante interne normaalspanningen in doorsnede voor een gekozen vervormingstoestand

P karakteristieke waarde van de voorspankrachten (EN)

Qk,i karakteristieke waarde van de veranderlijke lasten (EN)

r gyrostraal (AS)

Rad rekenwaarde van staal (CEB)

Rak karakteristieke waarde van staal (CEB)

Rbd rekenwaarde van beton (CEB )

Rbk karakteristieke waarde beton (CEB)

rm verhouding tussen de eerste orde-momenten1r kromming

s lengte kolom (DIN)

Sd rekenwaarde van de sollicitaties (CEB)

SG karakteristieke waarde van de permanente lasten (CEB)

Spk karakteristieke waarden van de voorspankrachten (CEB)

SQik karakteristieke waarden van de veranderlijke lasten (CEB)

u betondekking (CEB)

βR rekenwaarde betonsterkte (DIN)

βR250 rekenwaarde betonklasse BN 250 (DIN)

γa veiligheidsfactor op de karakteristieke waarde van het staal (CEB)

γb veiligheidsfactor op de karakteristieke waarde van het beton (CEB)

γg veiligheidsfactor op de permanente lasten (CEB)

γp veiligheidsfactor op voorspankrachten (CEB)

γq veiligheidsfactor op de variabele lasten (CEB)

ε1 rek ter hoogte van de meest gedrukte betonvezel

ε2 rek in het gedrukte staal

ε3 rek in het midden van de doorsnede

ε4 rek in het getrokken staal

ε5 rek in meest getrokken betonvezel

εyd rekenwaarde van de rek aan de elasticiteitsgrens van de wapening

θ hoekverdraaiing

θ1 krommingscoëfficiënt

λ slankheid

μ dimensieloos moment

ν dimensieloze normaalkracht

ν hellingshoek ten opzichte van verticale

ρub evenwichtskromming (AS)

σa spanning in het staal (CEB)

σb spanning in het beton (CEB)

φef kruipfactor

ψ0i samenstelfactoren (CEB)

ω mechanisch wapeningspercentage

Ωa oppervlakte staaldoorsnede (CEB)

Ωb oppervlakte betondoorsnede (CEB)

Inhoudstafel

1. Inleiding1. Context.............................................................................................................................................12. Doel van het werk.............................................................................................................................23. Organisatie van het werk..................................................................................................................2

2. Verschillende methodes om slanke kolommen te berekenen1.Inleiding.............................................................................................................................................22. De CEB methodes............................................................................................................................2

2.1 De algemene methode [1,2,3,9].................................................................................................92.2. Methode van de evenwichtstoestand [1,2,3]...........................................................................112.3. Benaderende methode ter berekening van tweede orde-momenten [2,3]...............................132.4. Methode van de modelkolom - Nominale kromming [1,2,3,4]..............................................15

3. De tabellen van De Vos [2].............................................................................................................174. Buitenlandse normen......................................................................................................................22

4.1. Australische norm AS 3600 – 1994 [6]...................................................................................224.2. Franse vereenvoudigde formule [8]........................................................................................26

5. Interactiediagramma's [1,2,6,13,16]...............................................................................................286. Methode van de nominale stijfheid, EN 1992-1-1:2004 § 5.8.7....................................................287. Conclusie........................................................................................................................................33

3. Vergelijking van de normen voor de berekening van tweede orde-effecten: NBN B15-002 (1999) --- EN 1992-1-1:20041.Inleiding.............................................................................................................................................32. Vergelijking van de regels................................................................................................................4

2.1. Berekening van de slankheid....................................................................................................42.2. Het slankheidscriterium..........................................................................................................132.3. Methode van de modelkolom / nominale kromming..............................................................182.4. Methode van de nominale stijfheid.........................................................................................292.5. De algemene methode.............................................................................................................342.6. Berekening van kruip..............................................................................................................352.7. Drukstaven met biaxiale excentriciteit...................................................................................432.8. Globale tweede orde-effecten in gebouwen............................................................................50

3. Conclusie........................................................................................................................................51

4. Case studies1. Inleiding............................................................................................................................................42. Referentieverslag volgens EN1992-1-1 (2004)................................................................................4

2.1. Volgens NBN B15-002 (1999)..................................................................................................52.2. Volgens EN 1992-1-1:2004.......................................................................................................5

2.2.1. Korte kolom......................................................................................................................52.2.2. Slanke kolom.....................................................................................................................8

2.3. Samenvattende tabel...............................................................................................................17

3. Ingeklemde kolom..........................................................................................................................183.1. Tabellen van De Vos...............................................................................................................19

3.1.1. C25/30.............................................................................................................................193.1.2. C90/105...........................................................................................................................203.1.3. C25/30 met verbetering αe..............................................................................................21

3.2. Nederlandse norm VB 1974...................................................................................................213.3. Duitse norm DIN 1045...........................................................................................................223.4. Australische norm...................................................................................................................243.5. CEB: Benaderde methode.......................................................................................................27

3.5.1. Eerste methode................................................................................................................273.5.2. Tweede methode..............................................................................................................28

3.6. CEB: Methode van de evenwichtstoestand............................................................................303.7. Eindige elementen...................................................................................................................333.8. Samenvatting van de resultaten..............................................................................................34

4. Scharnierende kolom......................................................................................................................374.1. Franse vereenvoudigde methode............................................................................................374.2. Bespreking resultaten..............................................................................................................38

5. Invloed betonklasse........................................................................................................................396. Invloed van kruip............................................................................................................................41

6.1. Methode van de modelkolom NBN B15-002 (1999).............................................................426.1.1. Vereenvoudigde berekening van kruip ...........................................................................426.1.2. Kruip berekend volgens NBN B15-002 (1999) Bijlage 3...............................................42

6.2. Volgens EN1992-1-1:2004......................................................................................................446.3. Samenvatting .........................................................................................................................44

7. Effectieve lengte van kolommen in raamwerken...........................................................................477.1. Kolom 1..................................................................................................................................47

7.1.1. Volgens NBN B15-002 (1999)........................................................................................487.1.2. Volgens EN1992-1-1:2004..............................................................................................507.1.3. Eindige Elementen..........................................................................................................51

7.2. Conclusie................................................................................................................................528. Biaxiale buiging..............................................................................................................................57

8.1. Berekening volgens NBN B15-002 (1999)............................................................................588.2. Berekening volgens EN1992-1-1:2004..................................................................................598.3. Invloed parameters op voorwaarde ........................................................................................608.4. Conclusie................................................................................................................................63

9. Globale tweede orde-effecten in gebouwen...................................................................................639.1. Voorbeeld 1.............................................................................................................................649.2. Voorbeeld 2.............................................................................................................................659.3. Conclusie................................................................................................................................67

10. Invloed wapeningsstaal................................................................................................................6711. Invloed van de vorm.....................................................................................................................6812. Evaluatie berekening volgens BAEL ...........................................................................................6813. Conclusie......................................................................................................................................68

5. Conclusies1. Samenvatting ...................................................................................................................................12. Conclusies.........................................................................................................................................3

Symbolenlijst

Bibliografie

Inleiding

1. Context

De context van dit afstudeerwerk is een vergelijking van de EN1992-1-1:2004 en de NBN B15-002

(1999) berekeningscodes voor beton en een situering van de historische groei van de oplossing voor

het berekenen van betonnen elementen. Specifiek wordt in dit werk gekeken naar de berekening van

slanke gedrukte kolommen.

De ontwikkeling van de Eurocodes situeert zich in de Europese eenmaking. Op basis van het

beginsel van vrij verkeer van goederen, diensten en personen is een unificatie van de

berekeningscodes een logisch gevolg. Dit eenmakingsproces is echter een proces van erg lange

duur, omdat de lokale bouwtradities van de Europese landen diep geworteld zitten.

Onder invloed van technologische evoluties en de globalisatie van de wereld worden nieuwe

berekeningsmethodes ontwikkeld en verspreid. De berekeningscodes evolueren mee, wat tot uiting

komt in de twee bestudeerde versies van Eurocode 2.

Dit afstudeerwerk onderzoekt knik van kolommen in gewapend beton. De studie van knik heeft in

het verleden reeds vele wiskundigen en ingenieurs gefascineerd. De meeste bekende daarvan is

Leonhard Euler die in 1757 zijn formule voor Euleriaanse knik opstelde. In de loop van de

geschiedenis is men steeds specifieker knik gaan bestuderen, naargelang de randvoorwaarden en het

materiaal. Daarom kan men heden-ten-dage voor elk bouwmateriaal een (eventueel

vereenvoudigde) methode vinden om het knikprobleem op te lossen.

1

Inleiding

2. Doel van het werk

Het doel van dit werk is een evaluatie van de nieuwe inzichten voor de berekening van knik in

gewapend beton te maken. Deze nieuwe inzichten vinden hun weerslag in de laatste nieuwe versie

van Eurocode 2, de EN1992-1-1 uit 2004. De evaluatie gebeurt aan de hand van de vorige versie

van Eurocode 2, de NBN B15-002 uit 1999 en aan de hand van enkele (oudere) nationale normen

en berekeningsmethoden.

Er werd hier enkel gekeken naar gewapend beton. Voorgespannen beton en andere vormen van

structureel beton worden buiten beschouwing gelaten.

3. Organisatie van het werk

Om de nieuwe inzichten over knik van kolommen in gewapend beton te evalueren, werden

verschillende wegen bewandeld. Er werd zowel gekeken naar de normatieve berekeningsmethoden

voor slanke kolommen, als naar enkele nationale normen, zowel oude als momenteel gebruikte als

naar de methodes van het CEB. Specifiek voor beide versies van de Eurocode 2 werd een

vergelijking gemaakt van de methode om knik te berekenen. Daarbij werden de verschillen tussen

de formules in detail bestudeerd. Om de globale verschillen te bestuderen, werden ten slotte een

aantal case studies uitgevoerd.

Voor de berekeningen werd gebruik gemaakt van het rekenblad van The Concrete Society.

In hoofdstuk 2 en 3 wordt herhaaldelijk uit de literatuur en de normen geciteerd. Daarom werd

geopteerd om de citaten gewoon te drukken, en de bespreking cursief weer te geven. Om zo dicht

mogelijk bij de oorspronkelijke teksten te blijven, werden de originele notaties overgenomen. Een

overzicht van de verschillende notaties is opgenomen in de symbolenlijst. Aan de formules werd

een eigen nummering gevoegd. Indien in de normtekst verwezen wordt naar een figuur, zal in dit

-I.2-

Inleiding

werk het nummer opnieuw cursief gedrukt staan. De nummering uit de norm wordt steeds

voorafgegaan door de naam van de norm en zijn paragraaf.

-I.3-

Verschillende methodes om slanke kolommen te berekenen

Inhoudstafel1.Inleiding.............................................................................................................................................22. De CEB methodes............................................................................................................................2

2.1 De algemene methode [1,2,3,9].................................................................................................92.2. Methode van de evenwichtstoestand [1,2,3]...........................................................................112.3. Benaderende methode ter berekening van tweede orde-momenten [2,3]...............................132.4. Methode van de modelkolom - Nominale kromming [1,2,3,4]..............................................15

3. De tabellen van De Vos [2].............................................................................................................174. Buitenlandse normen......................................................................................................................22

4.1. Australische norm AS 3600 – 1994 [6]...................................................................................224.2. Franse vereenvoudigde formule [8]........................................................................................26

5. Interactiediagramma's [1,2,6,13,16]...............................................................................................286. Methode van de nominale stijfheid, EN 1992-1-1:2004 § 5.8.7....................................................287. Conclusie........................................................................................................................................33

Lijst van figurenFig. 1: Rekdistributie in UGT [1].........................................................................................................6Fig. 2: Eerste en tweede orde-moment van een modelkolom [9].........................................................7Fig. 3: Krachtenevenwicht in doorsnede [2], formule (2.2.9)............................................................10Fig. 4: Kromming ten gevolge van de inwendige krachten [2]..........................................................10Fig. 5: Grafische voorstelling evenwichtsmethode [2].......................................................................13Fig. 6: Breuk door instabiliteit [1]......................................................................................................17Fig. 7: Breuk door ontoereikendheid der materialen [1]....................................................................17Fig. 8: Waarden voor αe [2]...............................................................................................................20Fig. 9: Bepaling secansstijfheid [6]....................................................................................................24Fig. 10: Sterkte van een excentrisch belaste kolom [6]......................................................................26

Lijst van tabellenTabel 1: Veiligheidsfactoren bij formule (2.2.3), CEB/FIP 1976 , en bij opmerking, EN 1990:2002. 4Tabel 2: Samenstelfactoren bij formule (2.2.3), CEB/FIP 1976...........................................................4Tabel 3: Samenstelfactoren, EN1990:2002, Table A1.1.......................................................................5

2


1.Inleiding

Dit hoofdstuk behandelt verschillende methodes waarmee men het knikprobleem kan oplossen en

dus een slanke kolom kan wapenen. De CEB methodes, de praktische methode van De Vos, enkele

buitenlandse normen, de interactiediagramma's en de methode van de nominale stijfheid worden

behandeld op basis van de geraadpleegde literatuur.

Het doel van dit hoofdstuk is om gekend methodes samen te brengen. Hierbij werd dicht bij de

gepubliceerde teksten gebleven en zodoende werden ook hun notaties integraal behouden. Een

symbolenlijst is voor de duidelijkheid toegevoegd op het einde van dit afstudeerwerk.

Uitgebreide berekeningen en het vergelijken van de methodes komen niet aan bod in dit hoofdstuk.

2. De CEB methodes

In de jaren '70 ontwikkelde het CEB (Comité Euro-International du Béton) samen met het FIP

(Fédération Internationale de la Précontrainte) methodes voor de berekening van knik in kolommen

van gewapend beton. Deze methodes, opgenomen in [3], zijn semiprobabilistische methodes,

gebaseerd op rekenen met grenstoestanden. Ze hebben tot doel de duurzaamheid en veilige

mechanische weerstand te garanderen. Hiervoor wordt geëist dat de toelaatbare last een fractie van

deze van de grenstoestand bedraagt. Een veiligheidsfactor wordt toegepast op de lasten, de

weerstand van de gebruikte materialen, de berekeningshypothese en de uitvoeringsvoorwaarden. Dit

wordt in de berekening verwezenlijkt door het gebruik van rekenwaarden.

De rekenwaarde van de betondruksterkte is:

(2.2.1)

met

-II.2-

Rbd=Rbk

b


● γb 1,5;

● Rbk karakteristieke waarde: voor 95% van de proeven is de breukweerstand groter dan

Rbk.

De rekenwaarde van staal is:

(2.2.2)

met:

● γa 1,15;

● Rak karakteristieke waarde: voor 95% van de proeven is de weerstand groter dan Rak.

Ook voor de belastingen wordt een rekenwaarde ingevoerd, deze bedraagt volgens het CEB Bulletin

117 van 1976:

(2.2.3)

met:

● SQik veranderlijke lasten;

● SG permanente lasten;

● SQ1k meest nadelige veranderlijke last;

● γpSpk term voor de voorspanning.

Opmerking: Tegenwoordig (EN 1990 (2002), formule 6.10) gebruikt men

met:

● G permanente lasten;

-II.3-

Rad=Rak

a

Sd=g S Gp S pkq[S Q1k∑i2

oi S Qik ]

∑j≥1

G, j Gk , j p PQ ,1 Q k ,1∑i1

Q ,i0, i Q k , i


● Q veranderlijke lasten;

● Qk,1 de meest nadelige veranderlijke belasting;

● γpP term voor de voorspanning.

De waarden voor γ, gebruikt door het CEB/FIP en van de EN 1990:2002 zijn opgenomen in Tabel

1. Tussen haakjes zijn ter vergelijking de waarden opgenomen uit de EN 1990:2002.

Tabel 1: Veiligheidsfactoren bij formule (2.2.3), CEB/FIP 1976 , en bij opmerking, EN 1990:2002

Max Minγg 1,3 (1,35) 1,0 (1)

γp 0,9 (1) 1,2 (1,3)

γq 1,5 (1,5) 0 (0)

Bespreking: De Eurocodes zijn ook opgebouwd vanuit de filosofie van het rekenen met

grenstoestanden. De waarden voor de veiligheidsfactoren, zie Tabel 1, zijn in de loop der jaren

enigszins gewijzigd.

De waarden voor ψ in formule (2.2.3) zijn opgenomen in Tabel 2.

Tabel 2: Samenstelfactoren bij formule (2.2.3), CEB/FIP 1976

Woningen, bureaus 0,5Parkings 0,6Bruggen, straten 0,5Wind en sneeuw 0,5

De waarden voor ψ uit de EN1990:2002 werden in Tabel 3 opgenomen.

-II.4-


Bespreking: Bij het vergelijking van de factoren uit de EN 1990:2002, zie Tabel 3, met de waarden

van het CEB/FIP (1976), zie Tabel 2, kan men een meer gedifferentieerd beeld opmerken.

De basishypothesen voor de methode van het CEB/FIP uit 1976 zijn de volgende:

● De hypothese van Bernouilli is geldig, het vervormingsdiagram is lineair.

● Voor de uiterste grenstoestand van beton in stuik bedraagt εb -3,5‰ in enkelvoudige buiging

en -2‰ in enkelvoudige druk.

● Voor de uiterste grenstoestand van staal bedraagt εa 10 ‰ in het getrokken staal.

● Het gebruikte spanningsvervormingsdiagramma van staal is het bilineaire diagramma.

● Het gebruikte spanningsvervormingsdiagramma van beton is het parabool-

rechthoekdiagramma. De factor 0,85 wordt bijkomend ingevoerd bij (2.2.1) zodat

-II.5-

Tabel 3: Samenstelfactoren, EN1990:2002, Table A1.1


(2.2.4)

Deze factor 0,85 houdt rekening met het kruipfenomeen, de gevolgen van wisselende

belastingen en het feit dat er zich soms minderwaardig beton bevindt aan het oppervlak van

het gedrukte deel.

● De rekdistributie in uiterste grenstoestand wordt opgedeeld in 5 zones, zie Fig. 1.

● De treksterkte van beton wordt 0 verondersteld.

Bespreking: In EN 1992-1-1:2004 werd de factor 0,85 uit formule (2.2.4) vervangen door α=1. Het

Belgisch NTD behoudt echter α=0,85.

In de CEB aanbevelingen van 1970 werden volgende criteria opgenomen voor de slankheid λ:

● λ < 35 : geen tweede orde-effecten in rekening brengen;

● λ < 140 voor normaal beton;

● λ < 80 voor licht beton;

met =l c

ien i= I

A (2.2.5)

-II.6-

Rbd=0,85 Rbk

b

Fig. 1: Rekdistributie in UGT [1]


De waarde van de effectieve lengte lc kan gehaald worden uit de elasticiteitstheorie of op basis van

berekeningen van de rotaties en verplaatsingen aan de uiteinden van het bouwelement.

Bespreking: Het slankheidscriterium volgens de NBN B15-002 (1999) en de EN 1992-1-1:2004

wordt besproken in hoofdstuk 3. Ook de berekening van lc, tegenwoordig l0, volgens de NBN

B15-002 (1999) en de EN 1992-1-1:2004 komt in hoofdstuk 3 aan bod.

Het knikfenomeen treedt op onder invloed van een excentrische normaalkracht, zie Fig. 2. De

doorbuiging heeft een invloed op de verdeling en de grootte van de inwendige krachten en het

draagvermogen. Onder invloed van kruip neemt de doorbuiging meer en meer toe.

De excentriciteit van de normaalkracht en de eventuele horizontale kracht geven aanleiding tot het

eerste orde-moment, M1 in Fig. 2 en een laterale vervorming.

(2.2.6)

Deze laterale vervorming heeft een tweede orde-moment en bijhorende vervorming (=a in Fig. 2)

als gevolg:

-II.7-

M 1=NeHl

Fig. 2: Eerste en tweede orde-moment van een modelkolom [9]


(2.2.7)

Dit proces, zoals weergegeven in Fig. 2, gaat door tot op het ogenblik waarop evenwicht wordt

bereikt tussen de uitwendige en inwendige krachten, en dit voor alle doorsneden.

De kolom kan op twee manieren falen:

● door ontoereikendheid van de materialen (meestal korte kolommen);

● door breuk door instabiliteit (meestal slanke kolommen).

Volgende parameters zijn bepalend voor het gedrag van de kolom:

● de slankheid;

● de manier waarop de lasten aangebracht worden;

● de vorm van de dwarsdoorsnede;

● de randvoorwaarden;

● de eigenschappen van de materialen;

● de hoeveelheid en verdeling van de wapening;

● de duur en grootte van de permanente lasten.

De additionele excentriciteit ea wordt bij de excentriciteit van de normaalkracht e0 gerekend en is

een bijkomende veiligheid tegen:

● de onzekerheid op de juiste positie van de lasten;

● het niet recht zijn van de as van de kolom;

● een onregelmatigheid in het beton ter hoogte van een bepaalde sectie.

Als praktische waarde neemt men in de CEB-methode:

(2.2.8)

-II.8-

M 2=Na

ea=max 1000

ht ;ht

30of 2cm


Bespreking: Het belang van de additionele excentriciteit werd experimenteel aangetoond in [7].

Op basis van deze inzichten, stelde het CEB in 1970 volgende berekeningsmethoden voor:

● de algemene methode;

● de methode van de evenwichtstoestand;

● de benaderende methode ter berekening van tweede orde-momenten.

Later werd hieraan de methode van de modelkolom toegevoegd, dit is een speciaal geval van de

algemene methode.

2.1 De algemene methode [1,2,3,9]

Deze methode, zoals beschreven in 1976 door het CEB/FIP in [3], levert de beste benadering op

voor het berekenen van tweede orde-effecten in slanke kolommen. De vervormingen worden

geschat aan de hand van scheurvorming, het effect van de wapening op de stijfheid en de effecten

van kruip. Het draagvermogen van het element is strikt verbonden met het verband tussen de lasten

en de vervormingen. Bij slanke stukken in gewapend beton dient men rekening te houden met een

dubbele niet-lineariteit:

● de geometrische niet-lineariteit of het tweede-orde effect: een vervorming geeft aanleiding

tot een tweede orde-moment, zie Fig. 2;

● de materiële niet-lineariteit: de moment-krommingsrelatie van de doorsnede is niet lineair.

De algemene methode berust op het principe dat in elke doorsnede de evenwichts- en

compatibiliteitsvoorwaarden voldaan moeten zijn om een evenwicht tussen externe en interne

krachten te garanderen, zie Fig. 3. Dit leidt tot volgende vergelijkingen:

(2.2.9)

-II.9-

N d= ∫gedrukt beton

b d b∫staal

a d a

M d= ∫gedrukt beton

b zb d b∫staal

a za d a


De kromming te wijten aan de inwendige krachten moet gelijk zijn aan de kromming van de elastica

van de kolom in iedere doorsnede. Aan de hand van Fig. 4 bekomt men volgende uitdrukking voor

de kromming te wijten aan de inwendige krachten, voorgesteld in Fig. 3 en op basis van de notaties

in Fig. 3.

(2.2.10)

-II.10-

Fig. 3: Krachtenevenwicht in doorsnede [2], formule (2.2.9)

1r=4−1

ht−u

Fig. 4: Kromming ten gevolge van de inwendige krachten [2]


De kromming van de elastica wordt gegeven door:

(2.2.11)

Om rekening te houden met de materiële niet-lineariteit gebruikt men de reeds beschreven

spannings-vervormingsdiagramma's.

De betrekking tussen de kromming en de aangrijpende lasten wordt gevonden door een iteratief

proces: men stelt een waarde voorop voor de kromming en lost de vergelijkingen hiermee op, dit

herhaalt men tot de vooropgestelde kromming in overeenstemming is met de resulterende

buigmomenten en normaalkrachten. Voor de berekening moet de kolom opgedeeld worden in een

aantal elementen, want het buigmoment varieert langsheen de kolom. Om het draagvermogen van

een kolom te berekenen laat men de waarde van de normaalkracht in stappen toenemen en berekent

men het evenwicht tot een ultieme knikgrenstoestand gevonden wordt.

Bespreking: Door de complexiteit van de berekening is een computer nodig en moet er beroep

gedaan worden op eindige elementen-methodes.

De algemene methode is opgenomen in zowel NBN B15-002 (1999) als EN 1992-1-1 (2004). In

deze normen worden echter geen formules aangereikt voor de algemene methode; enkel algemene

principes worden aangereikt. Een verdere bespreking van de normvoorschriften volgt in hoofdstuk

3.

2.2. Methode van de evenwichtstoestand [1,2,3]

Deze sterk vereenvoudigde methode zoekt naar een evenwicht tussen de uitwendige krachten en de

interne spanningen in de doorsnede onder de meest ongunstige combinatie der lasten. Men gaat na

of er een evenwichtstoestand bestaat voor de doorsnede.

De basis van deze methode is volgende stelling:

-II.11-

1r= d 2 y

dx2


Er bestaat een evenwicht tussen de uitwendige krachten en interne spanningen als

(2.2.12)

● N de resultante van de interne normaalspanningen in de doorsnede voor een gekozen

vervomingstoestand

● Nd de rekenwaarde van de externe op de kolom aangrijpende langskracht

● e de excentriciteit van de resultante ten opzichte van het zwaartepunt van de doorsnede

● e de totale excentriciteit

e=eaM 1dM 2d

N d met M1d de rekenwaarde van het eerste orde-moment

M2d de rekenwaarde van het tweede orde-moment

Deze methode kan ook grafisch uitgedrukt worden, zie Fig. 5. De gebogen lijn stelt de inwendige

e-1/r relatie voor van de gegeven basissectie voor de gegeven normaalkracht. De rechte stelt de

uitwendige totale excentriciteit voor met de tweede orde-excentriciteit als richtingscoëfficiënt.

Een evenwichtstoestand kan slechts mogelijk zijn als de rechte R de kromme Nd snijdt.

Het evenwicht is bereikt wanneer een punt binnen de gearceerde oppervlakte van Fig. 5 gevonden

wordt, dus als beide condities uit (2.2.12) voldaan zijn.

Bespreking: Ten opzichte van de algemene methode is deze methode minder uitgebreid. Ze leent

zich daarom beter voor gebruik in handberekeningen. In de NBN B15-002 (1999) §4.3.5.6.3 (8) van

het NTD is deze methode opgenomen. In de EN 1992-1-1:2004 werd deze methode niet opgenomen.

Door zijn opbouw is de methode echter vooral geschikt om een reeds gewapende doorsnede te

controleren.

-II.12-

NN d

ee


2.3. Benaderende methode ter berekening van tweede orde-momenten

[2,3]

Bij gebruik van deze methode wordt een slanke kolom berekend als een korte kolom, belast met Ned

en M=M1d+M2d. Het tweede orde-moment wordt als volgt geschat:

(2.2.13)

Het CEB bulletin 93 en 103 geeft op basis van (2.2.13) volgende formules voor het gereduceerd

tweede orde-moment:

(2.2.14)

Deze formules zijn volgens [2] in goede overeenstemming met proefresultaten, maar zijn, ook

volgens [2] soms onveilig ten opzichte van de algemene methode. Ze zijn daardoor vooral geschikt

voor een voorontwerp.

-II.13-

Fig. 5: Grafische voorstelling evenwichtsmethode [2]

M 2d=N dl e

2

101r

2=0,1l e

ht2

0,0035f yk

E yvoor≤0,5

2=0,05l e

ht

2

0,0035f yk

E yvoor 0,5


De methode kan op twee manieren gebruikt worden.

De eerste manier verloopt als volgt:

● Bereken μ2 zoals in vergelijking (2.2.14), maar neem ν1,2.

● Bereken het gereduceerd totaal moment.

● Bepaal het wapeningspercentage uit een interactiediagramma, maar met 1,2 ν en 1,2μ.

● De additionele excentriciteit wordt niet in rekening gebracht.

De tweede manier is een combinatie met de methode van de modelkolom (beschreven in hoofdstuk

2.4 van dit werk)

● Gebruik (2.2.13) dimensieloos:

(2.2.15)

● Voor ≤0,5 wordt de krommingscoëfficiënt θ1 ingevoerd

(2.2.16)

(2.2.15) wordt dan:

(2.2.17)

met:

μ af te lezen uit de tabellen van De Vos [2] voor slankheid = 0;

μ1 af te lezen uit de tabellen van De Vos [2] voor de gegeven slankheid.

-II.14-

2=0,1l e

h t2 ht

r

1=h t

r

1

2=0,1l e

ht

2

1

=12

1=10−1h t

l e

2 1


● Voor ν>0,5 wordt analoog te werk gegaan en de krommingscoëfficiënt θ2 ingevoerd

(2.2.18)

zodat met (2.2.14)

(2.2.19)

● Bij toepassing van deze iteratieve manier dient de additionele excentriciteit wel in rekening

gebracht te worden.

Bespreking: Deze methode is door zijn stap-voor-stap aanpak geschikt voor handberekeningen.

2.4. Methode van de modelkolom - Nominale kromming [1,2,3,4]

De methode van de modelkolom is een benaderende methode, afgeleid van de algemene methode.

Door de dubbele niet-lineariteit en het opdelen in elementen, eist de algemene methode veel

rekenwerk. In de methode van de modelkolom wordt de kolom niet opgedeeld in elementen.

Een modelkolom heeft per definitie volgende eigenschappen:

● De kolom is ingeklemd aan de basis en vrij aan de top.

● De doorbuiging aan de top, zie Fig. 2, gemeten vanaf de raaklijn aan de basis, voldoet aan

volgende relatie:

(2.2.20)

Formule (2.2.20) wordt ook wel de basishypothese van de methode van de modelkolom

genoemd.

● De methode eist niet dat de vervormde elastica van de kolom een sinusoïde is, enkel dat de

kolom een krommingsverdeling bezit waarvoor voldaan is aan de basishypothese (2.2.20).

In vele praktische gevallen is de methode van de modelkolom een goede benadering volgens [2].

-II.15-

2=20 −1ht

l e

2

a=l e

2

10 1r0=0,4 l 2 1

r0

2=ht

r2


Het tweede orde-moment wordt als volgt uitgedrukt:

(2.2.21)

De berekening verloopt dan als volgt:

● Aan de hand van de evenwichts- en compatibiliteitsbetrekkingen wordt de moment-

krommingsrelatie gezocht, met de optredende normaalkracht als parameter.

● Voor de basisdoorsnede wordt de eerste orde-momentcapaciteit gezocht, dit is het maximale

eerste orde-moment dat gedragen kan worden.

(2.2.22)

met Mi het intern weerstandsbiedende moment van de basisdoorsnede

Uit deze relatie kan men zien dat het tweede orde-moment in een M – 1/r0 diagramma wordt

voorgesteld als een rechte door de oorsprong met 0,4Nl2 als richtingscoëfficiënt. Dit is

slechts geldig wanneer alle andere parameters behalve Mi en 1/r0 constant gehouden

worden.

Het punt I op de diagramma's (Fig. 6 en Fig. 7) duidt op de ultieme knikgrenstoestand.

Deze kan bereikt worden door instabiliteit (Fig. 6) of door ontoereikendheid van de

materialen (Fig. 7) . De kans op bezwijken door instabiliteit vergroot als l groot is en als N

groot is.

-II.16-

M 2=N0 ,4 l 2 1r0

M 1=M i−0,4 Nl2 1r0


Bespreking: In de NBN B15-002 (1999) en de EN 1992-1-1:2004 is de methode van de modelkolom

opgenomen. Deze wordt in de EN 1992-1-1:2004 de methode van de nominale kromming genoemd.

3. De tabellen van De Vos [2]

Deze tabellen en grafieken zijn opgesteld aan de hand van de methode van de modelkolom en laten

ons toe het eerste orde-moment af te lezen voor een rechthoekige doorsnede als functie van

volgende dimensieloze parameters:

● De dimensieloze axiale last d=N d

b ht f cdu (2.3.1)

-II.17-

Fig. 6: Breuk door instabiliteit [1]

Fig. 7: Breuk door ontoereikendheid der materialen [1]


● Het mechanisch wapeningspercentage d=As f yd

bh t f cdu (2.3.2)

● De dimensieloze kniklengtel e

ht= 2l

ht (2.3.3)

● De dimensieloze eerste orde-momentcapaciteit 1=M 1d

bht2 f cdu

(2.3.4)

Ook de ligging van de wapening in de doorsnede en de staal- en betonkwaliteit worden in rekening

gebracht. De breuk kan optreden door ontoereikendheid van de materialen of door instabiliteit.

De praktische tabellen maken het mogelijk om

● M1 te bepalen voor N en alle andere parameters eigen aan de kolom gegeven.

● de doorsnede te dimensioneren wanneer M1 en N gegeven zijn.

De methode laat enkel een juiste dimensionering toe voor de basisdoorsnede van een kolom,

ingeklemd aan de voet en vrij aan de top en voor de middendoorsnede van een aan beide uiteinden

scharnierend opgelegde kolom. De basishypothese (2.2.20) moet voldaan zijn voor de

krommingsdistributie ten gevolge van de belastingen.

Als de krommingsdistributie niet voldoet aan de basisrelatie, kan men de tabellen toch gebruiken,

mits een reductie op de eerste orde-momentcapaciteit. Men voert dan het verbeterde eerste orde-

moment in (voor berekening, zie [2]):

(2.3.5)

Voor de tabellen wordt vergelijking (2.3.5) in gereduceerde vorm geschreven:

(2.3.6)

Hierin zijn:

-II.18-

M 1v=M 1[11−M 1

Me ]

met e=16−

1

1,2−

2

2,4

1v=11−1

e


● μ1 gereduceerde eerste orde-momentcapaciteit, te lezen uit reeks A van de tabellen van

De Vos.

● αe coëfficiënt afhankelijk van het belastingsgeval, zie Fig. 8.

● μ gereduceerd totaal moment ter hoogte van de basisdoorsnede voor de

vervormingstoestand die de eerste orde-moment capaciteit oplevert. Dit is a priori

niet gekend.

Dit laatste werd opgelost door een tweede reeks tabellen, reeks B, waarin de vervormingstoestand

aangegeven wordt die de eerste orde-momentcapaciteit oplevert, door middel van de rek in de meest

gedrukte betonvezel ε1 en deze in het getrokken staal ε4. De tabellen reeks B hebben een dubbel

doel:

● de ontwerper informeren over de vervormingstoestand van de doorsnede bij gebruik van de

eerste reeks tabellen (A);

● de reduktieformule (2.3.6) kunnen gebruiken.

De formule (2.3.6) kan ook geschreven worden als:

(2.3.7)

De uitdrukking voor μ2 kan geschreven worden als (voor uitwerking: zie [2]) :

(2.3.8)

met u de betondekking.

-II.19-

1v=112e

12

2= 110

l e

ht

2 1−4

1− uht


-II.20-Fig. 8: Waarden voor αe [2]


De methode die gebruikt maakt van de tabellen van De Vos, kan als volgt samengevat worden:

1. Voor een controleprobleem:

● Gegeven: N', de kwaliteit van de materialen, de lengte van de kolom, de afmetingen van

de doorsnede.

● Gevraagd: μmax = μ1v

● Oplossing:

○ Lees μ1 af in één van de tabellen uit reeks A.

○ Bereken μ2 aan de hand van (2.3.8), waarbij de vervormingstoestand afgelezen

wordt uit één van de tabellen uit reeks B.

○ Gebruik (2.3.6) om μ1v te bepalen.

2. Voor een ontwerpprobleem:

● Gegeven: N', de kwaliteit van de materialen, de lengte van de kolom.

● Gevraagd: A, A', ht

● Oplossing:

○ Kies een waarde voor ν.

○ Bereken h t=N d

b f cdu.

○ μ1v is gekend en μ1 wordt gezocht .

○ Door omvorming van formules wordt volgende uitdrukking voor μ1 gevonden:

(2.3.9)

○ μ2 moet bepaald worden aan de hand van (2.3.8). De waardes van ε1 en ε4 zijn

-II.21-

1=12[1v−21e22e−1v

241v2]


onbekend. Onderzoek heeft echter uitgewezen dat de waarde van μ2 quasi constant

blijft voor ν constant en waarden voor ω van 0,1 à 0,15 tot 1. De αe methode kan dus

ook gebruikt worden voor ontwerpproblemen.

○ Bereken αe .

○ Lees de vervormingstoestand af in één van de tabellen B.

○ Bereken μ2.

○ Bereken μ1.

○ Lees ω af uit één van de tabellen A.

Bespreking: Deze methode is geschikt voor handberekeningen. Aan de hand van het verbeterde

eerste orde-moment kunnen verschillende belastingsgevallen in rekening gebracht worden.

4. Buitenlandse normen

In het werk van De Vos [2] werden de Nederlandse norm VB 1974 en Duitse norm DIN 1045

opgenomen. Ze worden gebruikt in een case study in hoofdstuk 4.

4.1. Australische norm AS 3600 – 1994 [6]

De Australische norm is volledig opgebouwd rond interactiediagrammen. De maximale waarde

voor de slankheid waarbij geen tweede orde-effecten berekend moeten worden, is:

(2.4.1)

Hierin is:

● Le de effectieve lengte van de kolom;

-II.22-

Le

r≤25

ofLe

r≤601

M 1i

M 2i1−

N i

0,6 N uo


● r de traagheidsstraal;

● M1i het eerste orde-moment onderaan de kolom;

● M2i het eerste orde-moment bovenaan de kolom;

● Nuo de ultieme druksterkte.

De verhouding van de inwendige momenten is positief wanneer de kolom gebogen is in dubbele

kromming, negatief in enkel kromming. De gyrostraal in (2.4.1) wordt als volgt berekend:

(2.4.2)

Voor rechthoekige doorsneden is r=0,3D, met D de afmeting van de richting waarin de stabiliteit

beschouwd wordt. Voor cirkelvormige doorsneden is r=0,25D.

De maximale waarde van de slankheid is 120.

Het moment waarvoor de sectie ontworpen wordt, is:

(2.4.3)

Voor een kolom uit een niet-schrankend raamwerk is:

(2.4.4)

met

(2.4.5)

Deze coëfficiënt wordt gebruikt om een kolom met ongelijke eindmomenten om te vormen tot een

equivalente kolom met gelijke eindmomenten kmM2i. De verhouding van de eindmomenten is

positief wanneer de kolom gebogen is in dubbele kromming en negatief in enkele kromming.

Om δb te bepalen is de kniklast van de kolom nodig:

(2.4.6)

-II.23-

r= E s I sE c I c

E s A sE c Ac

M i=M 2iN i≡M 2i

b=k m

1−N i

N c

≥1.0

k m=0,6−0,4M 1i

M 2i≥0,4

N c=2 EI

Le2


De waarde van de stijfheid EI varieert met de waarde van de axiale last en het moment op de

kolom. Ter vereenvoudiging wordt gebruik gemaakt van de secansstijfheid om de kolomstijfheid te

bepalen. Voor een wijde waaier van punten (Mu,Nu) is de waarde van secansstijfheid relatief

constant.

Op het evenwichtspunt van Fig. 9 is de secansstijfheid:

(2.4.7)

Uit het rekdiagramma wordt de evenwichtskromming bepaald:

(2.4.8)

en

(2.4.9)

(2.4.9) invullen in (2.4.8) levert:

(2.4.10)

(2.4.10) invullen in (2.4.7) levert:

(2.4.11)

-II.24-

EI=M ub

ub

ub=cu

k uod o

k uo=cu

cusy

ub=cusy

d o

EI=M ub d o

cusy

Fig. 9: Bepaling secansstijfheid [6]


De AS3600 – 1994 is opgesteld voor wapeningen met vloeispanning 400 MPa en een vloeirek van

0,002 en een maximum vervorming in het beton van 0,003. Als men dit invult, bekomt men:

(2.4.12)

Om rekening te houden met kruip, wordt dit:

(2.4.13)

met G de permanente lasten en Q de mobiele lasten.

Voor staal met vloeigrens 500 MPa wordt dit:

(2.4.14)

Het effect van het invoeren van de coëfficiënt φ wordt aangetoond in Fig. 10. De grootste waarde

van (Mu,Nu) in Fig. 10 is (Mub,Nub).

-II.25-

EI=200do M ub

EI=200 d oM ub

1d

met d=G

GQ

EI=182d o M ub

1d


Bespreking: In hoofdstuk 4 zal nagegaan worden in hoeverre deze methode vergelijkbaar is met de

methode van de nominale stijfheid.

4.2. Franse vereenvoudigde formule [8]

Op basis van de algemene methode werden formules uitgewerkt die lijken op de formules die in de

Franse norm BAEL gebruikt worden. Binnen een afgebakend en beperkt veld van toepassing geven

deze formules resultaten die volgens [8] maximaal 0,5% conservatiever dan de algemene methode

zijn.

De voorwaarden zijn:

● kolom van een gebouw aan beide zijden opgelegd en met gecentreerde lasten;

● de slankheid ≤ 120;

-II.26-

Fig. 10: Sterkte van een excentrisch belaste kolom [6]


● 20 ≤ fck ≤ 50 MPa;

● in de knikrichting: h ≥ 0,15 m;

● afstand d' van de wapening tot de dichtsbijzijnde rand ≤ min[0,30h ; 100mm];

● symmetrische wapening;

● belasting op ten vroegste 28 dagen;

● gewoon (N) of snel (R) cement;

● relatieve vochtigheid: 40 ≤ RH ≤ 100%.

De formules zijn hieronder weergegeven.

Voor een rechthoekige sectie:

(2.4.15)

Analoge formules voor cirkelvormige secties kunnen in [8] gevonden worden. Verder vermeldt [8]

dat kruip berekend moet worden volgens de methode beschreven in de EN 1992-1-1:2004 Bijlage

B.

Bespreking: De voorwaarden van deze methode zijn geldig voor een groot aantal praktische

gevallen. In hoofdstuk 4 zal deze methode voor een praktisch voorbeeld uitgewerkt worden.

-II.27-

N Rd=k h k s[bh f cdAs f yd ]

= 0,86

1 62

2 als≤60

= 321,3

als 60≤≤120

k h=0,750,5h1−6 voor h50,anders k h=1

k s=1,6−0,6f yk

500voor f yk500 en 40,anders k s=1

=A s

bh

= d 'h

=L012

h


5. Interactiediagramma's [1,2,6,13,16]

Interactiediagramma's kunnen gebruikt worden als toepassing van de algemene methode om het

gebruik van een computer te omzeilen.

Op de assen van zo'n diagramma vindt men het gereduceerde eerste orde-moment en de

gereduceerde axiale last. Men heeft een kromme per waarde van het mechanisch

wapeningspercentage. Ieder interactiediagram is slechts geldig voor:

● 1 waarde van de slankheid;

● 1 vorm van de dwarsdoorsnede;

● 1 staalsoort;

● 1 schikking van de wapening in de doorsnede;

● 1 soort randvoorwaarden.

Bespreking: In hoofdstuk 4 zullen de interactiediagrammen gebruikt worden. Ze zijn geschikt voor

het gebruik in handberekeningen.

6. Methode van de nominale stijfheid, EN 1992-1-1:2004 § 5.8.7.

EN 1992-1-1:2004 § 5.8.7. schrijft voor:

(1) Om een tweede orde-analyse te maken, gebaseerd op de buigstijfheid, worden de effecten van

scheuren, niet-lineariteiten in het materiaal en kruip verrekend in de buigstijfheid. Dit heeft ook een

betrekking op nabije elementen die in de analyse betrokken worden, zoals platen, balken en

funderingen. Waar nodig, moet de grond-structuurinteractie in rekening gebracht worden.

Bespreking: Deze methode biedt een andere manier om een slanke kolom te dimensioneren. Er

wordt niet meer gewerkt met de vervorming van een modelkolom. Deze methode baseert zich op het

-II.28-


concept van een nominale stijfheid, waarin de effecten, opgesomd in artikel 1 van de EN

1992-1-1:2004, verrekend worden. In EN 1992-1-1:2004 §5.8.7.2. is de berekening van de

nominale stijfheid opgenomen.

(2) Het verkregen moment wordt dan gebruikt om de sectie te dimensioneren op buigmoment en

axiale last.

Bespreking: In EN 1992-1-1:2004 §5.8.7.3. is de berekening van de moment-vergrotingsfactor

opgenomen. Het is aan de hand van deze factor dat het dimensionerende moment berekend wordt.

Deze factor is afhankelijk van de nominale stijfheid van de sectie.

EN 1992-1-1:2004 §5.8.7.2. schrijft volgende artikels voor in verband met de bepaling van de

nominale stijfheid.

(1) De nominale stijfheid van slanke drukstaven wordt als volgt berekend:

(2.6.1)

Hierin zijn:

● Ecd de designwaarde van de elasticiteitsmodulus van beton;

● Ic het traagheidsmoment van de betondoorsnede;

● Es de designwaarde van de elasticiteitsmodulus van staal;

● Is het traagheidsmoment van de staaldoorsnede;

● Kc houdt rekening met de effecten van scheurvorming, kruip etc.;

● Ks houdt rekening met de wapening.

Bespreking: Ic wordt hier bepaald aan de hand van de niet-gescheurde betondoorsnede. Het is de

factor Kc die (onder andere) het effect van de scheurvorming in rekening brengt.

-II.29-

EI=K c E cd I cK s E s I s


(2) Als ρ ≥ 0,002 mogen volgende factoren gebruikt worden:

● Ks = 1;

● (2.6.2)

○ ρ het geometrisch wapeningspercentage, As/Ac;

○ As de oppervlakte wapening;

○ Ac de betondoorsnede;

○ φef de effectieve kruipverhouding;

○ k1 hangt af van de betonklasse

(2.6.3)

○ k2 hangt af van de normaalkracht en de slankheid

(2.6.4)

■ met n de relatieve normaalkracht

(2.6.5)

■ met λ de slankheid

als de slankheid niet gedefinieerd is, mag men nemen voor k2

(2.6.6)

(3) Een vereenvoudigd alternatief voor ρ ≥0,01 is:

-II.30-

k 1= f ck

20MPa

k 2=n 170

≤0,20

n=N Ed

Ac f cd

k 2=n 0,30≤0,20

K c=k 1 k2

1ef


● Ks = 0;

● (2.6.7)

Deze vereenvoudigde methode kan gebruikt worden als een eerste stap, waarna een accuratere

berekening volgens (2) kan volgen.

Bespreking: Uit (2) en (3) ziet men dat Ks de waarde 0 of 1 aanneemt. Deze factor duidt dus op het

al dan niet in rekening brengen van de volledige stijfheid van de wapening. De waarde van ρ in (3)

is beduidend hoger dan deze in (2), nochtans zou met een hogere wapening de bijdrage van het

staal verwaarloosd worden. De verklaring hiervoor kan zijn dat (3) vooral aangewezen is als eerste

iteratiestap, wanneer men nog geen wapening bepaald heeft.

(4) In hyperstatische constructies moet het nadelige effect van scheurvorming in nabije elementen

in rekening gebracht worden. De uitdrukkingen uit artikels (1), (2) en (3) zijn niet algemeen geldig

voor dergelijke elementen. Gedeeltelijke scheurvorming en tension stiffening mogen in rekening

gebracht worden. Ter vereenvoudiging mogen volledig gescheurde dwarsdoorsnedes verondersteld

worden. De stijfheid moet gebaseerd worden op de effectieve modulus van beton:

(2.6.8)

EN 1992-1-1:2004 §5.8.7.3 schrijft volgende artikels voor ter berekening van het dimensionerende

moment.

(1) Het totale dimensionerende moment, met inbegrip van het tweede orde-moment, kan uitgedrukt

worden als een vergroting van de buigmomenten uit een lineaire analyse, namelijk:

(2.6.9)

Hierin zijn:

● M0Ed het eerste orde-moment;

-II.31-

E cd ,eff =Ecd

1ef

M Ed=M 0Ed [1

N B/N Ed−1]

K c=0,3

10,5ef


● β een factor die afhangt van de verdeling van de eerste en tweede orde-momenten;

● NEd de designwaarde van de normaalkracht;

● NB de kniklast voor de nominale stijfheid.

Bespreking: Formule (2.6.9) toont dus dat de tweede orde-effecten berekend worden door de

verhouding van de normaalkracht ten opzichte van de ultieme kniklast te gebruiken. De kniklast

wordt bijvoorbeeld bepaald als N B=2 EI

l 02 , naar analogie met de Euleriaanse kniklast en met

EI de nominale stijfheid.

(2) Voor geïsoleerde kolommen met een constante dwarsdoorsnede en normaalkracht, kan men

uitgaan van een sinusvormige verdeling van het tweede orde-moment. Dan is

(2.6.10)

Hierin is c0 afhankelijk van de verdeling van het eerste orde-moment. Bijvoorbeeld is c0 = 8 voor

een constante verdeling en c0 = 9,6 voor een parabolische verdeling en =12 voor een symmetrische

driehoekige verdeling.

(3) Voor elementen zonder horizontale belasting, met verschillende eindmomenten M01 en M02

kunnen deze verschillende momenten vervangen worden door een equivalent constant eerste orde-

moment M0e. Hierbij moet dan c0 = 8 gebruikt worden. De waarde c0=8 is ook van toepassing op

elementen in dubbele kromming. Men dient op te merken dat in sommige gevallen, afhankelijk van

de slankheid en de normaalkracht, de eindmomenten groter kunnen zijn dan het vergroot equivalent

moment.

(4) Waar EN 1992-1-1:2004 §5.8.7.3 (2) of (3) niet geldig is, neemt men β=1. Vergelijking (5.28)

(hier formule (2.6.9)) wordt dan:

-II.32-

=2

c0


(2.6.11)

Dit is ook geldig voor de globale analyse van zekere structuren, zoals structuren met afschuifmuren

en gelijkaardige, waar het overheersende effect het buigmoment in de schorende elementen is. Voor

andere structuren geeft Bijlage H.2 een meer algemene aanpak.

Bespreking: Artikel 4 stelt dus dat β=1, wat overeenkomt met c0=π2. Dit is minder streng dan de

waarde c0=8 die gebruikt wordt wanneer het eerste orde-moment constant is.

Praktisch start men dus met de berekening van de nominale stijfheid volgens formule (2.6.1.).

Vervolgens berekent men de kniklast, waarna volgens formule (2.6.9) het dimensionerende moment

berekend wordt. De doorsnede wordt dan berekend als een geval van gecombineerde

normaalkracht en buiging.

Deze methode is dus niet geëvolueerd uit de publicaties van het CEB/FIP, en benadert het

knikprobleem op een andere manier.

7. ConclusieIn dit hoofdstuk werden een aantal verschillende berekeningsmethoden geciteerd en werden kort de

belangrijkste formules uit deze methodes aangehaald. De nadruk hier werd gelegd op de algemene

aanpak die gebruikt werd in de methodes. Dit toont dat men ofwel het knikprobleem oplost op basis

van de vervormingen, ofwel op basis van de buigstijfheid van de kolom.

Een meer gedetailleerde analyse van het verschil tussen de methodes, met name het verschil tussen

de methodes opgenomen in de NBN B15-002 (1999) en de EN 1992-1-1:2004 (de algemene

methode, de methode van de nominale kromming en de methode van de nominale stijfheid), komt

aan bod in een verder deel van dit werk. Hierbij zullen de verschillen tussen de NBN B15-002

(1999) en de EN 1992-1-1 (2004) besproken worden in hoofdstuk 3. In hoofdstuk 4 zullen

vervolgens praktische voorbeelden uitgewerkt worden. Ook zal het verschil met de behandelde

buitenlandse normen en de interactiediagramma's getoetst worden.

-II.33-

M Ed=M 0Ed

1−N Ed /N B

Vergelijking van de normen voor de berekening

van tweede orde-effecten:

NBN B15-002 (1999) --- EN 1992-1-1 (2004)

Inhoudstafel1.Inleiding.............................................................................................................................................32. Vergelijking van de regels................................................................................................................4

2.1. Berekening van de slankheid....................................................................................................42.2. Het slankheidscriterium..........................................................................................................132.3. Methode van de modelkolom / nominale kromming..............................................................182.4. Methode van de nominale stijfheid.........................................................................................292.5. De algemene methode.............................................................................................................342.6. Berekening van kruip..............................................................................................................352.7. Drukstaven met biaxiale excentriciteit...................................................................................432.8. Globale tweede orde-effecten in gebouwen............................................................................50

3. Conclusie........................................................................................................................................51

Lijst van figurenFig. 1: Voorbeelden van verschillende knikmodes en hun overeenkomstige effectieve lengte, figure 5.7. uit EN 1992-1-1 (2004).................................................................................................................5Fig. 2: Nomogrammen voor de bepaling van de effectieve lengte: NBN B15-002: 1999, figuur 4.27..............................................................................................................................................................6Fig. 3: Voorbeeld van berekening van kA, uit NBN B15-002 (1999), §4.3.5.3.5................................7Fig. 4: Niet-schrankende raamwerken: bepaling van β volgens (3.2.4.), EN 1992-1-1 (2004) §5.8.3.2 (3)...........................................................................................................................................9Fig. 5: Schrankende raamwerken: Bepaling van de effectieve lengte ten opzichte van de lengte van de kolom, volgens (3.2.5.), EN 1992-1-1 (2004) §5.8.3.2 (3)............................................................10Fig. 6: Verband tussen moment en hoekverdraaiing, voor een ingeklemd element...........................11Fig. 7: Bijdrage van balken en kolommen tot het moment en de totale hoekverdraaiing in een knooppunt...........................................................................................................................................12Fig. 8: NBN B15-002 (1999) figuur 4.28: slankheidsgrenswaarden voor geïsoleerde elementen met volledige of elastische inklemming in niet-schrankende raamwerken §4.3.5.5.3 (2), hier formule (3.2.10)...............................................................................................................................................14Fig. 9: Rekenmodel voor de totale excentriciteit, Fig. 4.29 uit NBN B15-002 (1999)......................19Fig. 10: Vergelijking factoren NBN B15-002 (1999) en EN 1992-1-1:2004.....................................23Fig. 11: Verloop van β in functie van λ voor verschillende betonklassen, op basis van EN

3

Vergelijking van de normen voor de berekening van tweede orde-effecten

1992-1-1:2004 §5.8.8.3 (4).................................................................................................................27Fig. 12: Vergelijking Kφ in functie van φ voor verschillende betonklassen, op basis van EN 1992-1-1:2004 §5.8.8.3 (4).................................................................................................................27Fig. 13: Variatie Kφ ifv φ voor vaste betonklasse en variërende slankheid, op basis van EN 1992-1-1:2004 §5.8.8.3 (4).................................................................................................................28Fig. 14: k2 in functie van de slankheid voor verschillende waarden van n, volgens EN 1992-1-1 §5.8.7.2 (2).........................................................................................................................................30Fig. 15: Variatie van k1 in functie van de betonklasse, volgens EN 1992-1-1 §5.8.7.2 (2)...............30Fig. 16: Kc voor verschillende betonklassen, volgens EN 1992-1-1 §5.8.7.2 (2)..............................31Fig. 17: Invloed van kruip op Kc, volgens EN 1992-1-1 §5.8.7.2 (2)...............................................31Fig. 18: e2 als functie van NB/NEd, uit [4], volgens EN 1992-1-1:2004, §5.8.7.3 .........................33Fig. 19: Bepaling van de uiteindelijke kruipcoëfficiënt voor beton onder normale omstandigheden, figure 3.1. EN 1992-1-1 (2004)..........................................................................................................42Fig. 20: NBN B15-002 (1999), §4.3.5.6.4 Fig. 4.31..........................................................................44Fig. 21: EN 1992-1-1:2004 §5.8.9, Fig. 5.8.......................................................................................46Fig. 22: Aparte controle als ez >0,2h, Fig. 4.32 uit de NBN B15-002 (1999) §4.3.5.6.4..................47Fig. 23: Verloop van a in functie van Ned/NRd volgens EN 1992-1-1 §5.8.9 (4).............................49

Lijst van tabellenTabel 1: Materiaalkarakteristieken volgens EN 1992-1-1 (2004), tabel 3.1 en § 3.2.2(3).................17Tabel 2: Tabel 3.3. uit NBN B15-002 (1999) kruipcoëfficiënt...........................................................36 Tabel 3: exponent a voor rechthoekige secties..................................................................................48

-III.2-


1.Inleiding

In dit hoofdstuk worden de NBN B15-002 (1999) en de EN 1992-1-1 (2004) vergeleken in hun

benadering van het probleem van de tweede orde-effecten in kolommen. De regels beschreven in de

normen worden gedetailleerd vergeleken. De normteksten worden geciteerd en besproken.

Volledige case studies van kolommen worden in hoofdstuk 4 van dit werk behandeld.

De NBN B15-002 (1999) omvatte een algemene methode en een vereenvoudigde methode. De

vereenvoudigde methode was de methode van de modelkolom.

In de EN 1992-1-1 (2004) staan naast een algemene methode twee vereenvoudigde methodes. De

NBN B15-002 (1999) sprak van de methode van de modelkolom, in de EN 1992-1-1:2004 heet dit

de methode van de nominale kromming. Dit is omdat alle vereenvoudigde methodes in feite een

soort van modelkolom gebruiken. De methode van de nominale stijfheid is nieuw in de EN

1992-1-1:2004.

In de methode van de modelkolom uit de NBN B15-002 (1999) ging men er van uit dat de kolom

reeds gedimensioneerd was, en dat het maximaal op te nemen moment gecontroleerd moest worden.

De EN 1992-1-1:2004 gaat uit van een nog te dimensioneren kolom, waarbij de staalsectie a priori

onbekend is. Deze verandering van principe heeft geen weerslag gehad op de formules.

De algemene methode verhuisde van Bijlage 3 in de NBN B15-002 (1999), naar EN 1992-1-1:2004

§5.8.6. Deze reikt geen formules aan om te berekenen volgens deze methode, maar geeft enkel

algemene aanwijzingen die in rekening gebracht moeten worden bij het berekenen van slanke

kolommen volgens de algemene methode.

De EN 1992-1-1:2004 besteedt meer aandacht aan de berekening van de effecten van kruip.

De hoogste betonklasse die in de NBN B15-002 (1999) voorkwam was C50/60. In de EN

-III.3-


1992-1-1:2004 is dit C90/105.

De methode voor het bepalen van de slankheid van kolommen in een raamwerk is grondig

gewijzigd. Het nomogram dat in de NBN B15-002 (1999) gebruikt werd, is niet meer opgenomen in

de EN 1992-1-1 (2004). Ook voor geïsoleerde kolommen is de berekening van de slankheid

veranderd. De EN 1992-1-1:2004 legt geen maximale waarde voor de slankheid meer op waarboven

geen vereenvoudigde methodes gebruikt mogen worden.

De formules van de NBN B15-002 (1999) en de EN 1992-1-1:2004 worden in dit hoofdstuk naast

elkaar gelegd en grondig vergeleken.

2. Vergelijking van de regels

2.1. Berekening van de slankheid

De slankheid van een kolom met constante doorsnede bedraagt, volgens NBN B15-002 (1999)

§4.3.5.3.5 (2) en volgens EN 1992-1-1 (2004) §5.8.3.2 (1):

(3.2.1)

met:

● l0 de effectieve lengte;

● i de traagheidsstraal van de niet-gescheurde betondoorsnede.

EN 1992-1-1: 2004 – fig. 5.7. geeft een aantal algemeen gekende waarden voor l0 voor geïsoleerde

kolommen (zie Fig. 1).

-III.4-

=l 0

i


Bespreking: Deze of een gelijkaardige figuur stond niet in de NBN B15-002 (1999).

Voor kolommen die onderdeel zijn van raamwerken, verschilt de aanpak uit de NBN B15-002

(1999) en de EN 1992-1-1 (2004).

NBN B15-002 (1999) §4.3.5.3.5. schrijft voor:

(1) De effectieve hoogte of lengte van een kolom:

(3.2.2)

in gebouwen kan worden bepaald door middel van figuur 4.27 (hier Fig. 2), waarin de coëfficiënten

kA en kB de stijfheid van de inklemming aan de kolomeinden weergeven.

-III.5-

Fig. 1: Voorbeelden van verschillende knikmodes en hun overeenkomstige effectieve lengte, figure 5.7. uit EN 1992-1-1 (2004)

l 0=l col


(3.2.3)

waarin:

● Ecm de elasticiteitsmodulus van het beton;

● Icol, Ib traagheidsmoment (bruto-doorsnede) van kolom resp. ligger;

● lcol kolomhoogte, gemeten tussen de middens van de inklemmingen;

● leff de effectieve overspanning van de ligger;

● α factor voor de inklemmingsvoorwaarden van de ligger aan het tegenovergelegen

einde:

○ α=1,0 bij volmaakte of elastische inklemming aan het tegenovergelegen uiteinde;

-III.6-

Fig. 2: Nomogrammen voor de bepaling van de effectieve lengte: NBN B15-002: 1999, figuur 4.27

k Aof k b=∑ Ecm

I col

l col

∑ Ecm I b

leff


○ α=0,5 indien het tegenovergelegen uiteinde scharnierend is;

○ α=0 voor uitkragende ligger.

Ter verduidelijking werd een verklarende figuur (zie Fig. 3) opgenomen in de NBN B15-002 (1999):

Bespreking: Artikel 1 zegt dat kA en kB de stijfheid van de inklemming geven. In feite zijn deze

factoren soepelheden. Indien

● kA of kB = 0 heeft men een volmaakte inklemming;

● kA of kB = ∞ heeft men een vrij draaiende knoop.

Indien het beton van balken en kolommen tot dezelfde sterkteklasse behoort, verdwijnt Ecm uit de

formule voor kA of kB.

-III.7-

Fig. 3: Voorbeeld van berekening van kA, uit NBN B15-002 (1999), §4.3.5.3.5.


De waarde van β is begrensd tot 1 voor een niet-schrankend raamwerk en tot ∞ voor een

schrankend raamwerk. Het nomogram, Fig. 2, maakt door middel van de arcering duidelijk dat de

minimale waarde van kA en kB = 0,4.

In de EN 1992-1-1 (2004) wordt de waarde voor de effectieve lengte bepaald door de formules in

§5.8.3.2.

(3) Voor niet-schrankende raamwerken geldt:

(3.2.4)

Voor schrankende raamwerken geldt:

(3.2.5)

Bespreking: Om een idee te krijgen van de betekenis van de formules (3.2.4) en (3.2.5), werden

deze uitgerekend en in grafiek gezet. Hoewel β niet meer voorkomt in de EN 1992-1-1 (2004), werd

hier geopteerd om de waarde van l0

lin de grafieken uit te zetten, dit is dus hetgeen in de NBN

B15-002 (1999) als β aangeduid werd. Voor de eenvoud wordt deze factor hier dan ook β genoemd.

Fig. 4 toont voor verschillende waarden van k1 de waarde van β in functie van k2 voor een niet-

schrankend raamwerk. De maximale waarde van β voor niet-schrankende raamwerken is 1, net

zoals bij het nomogram uit de NBN B15-002 (1999).

Fig. 5 toont voor verschillende waarden van k1 de waarde van β in functie van k2 voor een

schrankend raamwerk. De maximale waarde van β voor k1 en k2 groot, is oneindig. Indien één van

de factoren k echter gelijk is aan 0, kan de waarde van β maximaal 2 worden. Ook het nomogram

uit de NBN B15-002 (1999) toont dat bij grote soepelheden de waarde van β oneindig kan worden.

-III.8-

l 0=0,5 l 1 k 1

0,45k 11

k 2

0,45k 2

l 0=l . max[110k 1 k 2

k 1k 2; 1

k1

1k 11

k 2

1k 2]


-III.9-

Fig. 4: Niet-schrankende raamwerken: bepaling van β volgens (3.2.4.), EN 1992-1-1 (2004) §5.8.3.2 (3)


(3, vervolg) De relatieve rotatiesoepelheden k1 en k2 (aan beide uiteinden van de beschouwde

kolom) worden als volgt bepaald:

(3.2.6)

Hierin zijn:

● ϑ de hoekverdraaiing van de schorende elementen door het moment M, zie ook Fig. 1;

● EI de buigstijfheid van de kolom;

● l de vrije lengte van de kolom tussen de opleggingen.

Voor k=0 heeft men een volmaakte inklemming, en k=∞ geeft een vrij uiteinde. Omdat een

volmaakte inklemming zeldzaam is, wordt een minimale waarde van 0,1 aangeraden voor k1 en k2.

Bespreking: De bepaling van de soepelheidsfactor k lijkt minder eenvouding dan in de NBN

B15-002 (1999). De invloed van de balken zit volledig vervat in θ.

-III.10-

k= M

EIl

Fig. 5: Schrankende raamwerken: Bepaling van de effectieve lengte ten opzichte van de lengte van de kolom, volgens (3.2.5.), EN 1992-1-1 (2004) §5.8.3.2 (3)


Volgende definitie, zie ook Fig. 6, voor het moment is gekend: M= met κ de rotationele

stijfheid, die men ook kan schrijven als = M . De soepelheid k kan men dan omgekeerd

schrijven als k= M . De definitie van de soepelheid in de EN 1992-1-1 (2004) is echter

k= M

EIl , en wordt de relatieve rotatiesoepelheid genoemd in (3). In Fig. 6 heeft men (zie [15])

dat M= EIL zodat de soepelheid k hier geschreven wordt als k=

M= L

EI . De factor LEI

is dus een maat voor de soepelheid van de kolom. De factor k drukt dan de relatieve soepelheid van

de balken aan de opleggingen van de kolom uit, ten opzichte van de soepelheid van een ingeklemde

kolom. Dit ziet men door de formule voor k te herschrijven als k=

MLEI

.

Op deze manier zit in de uitdrukking voor k het effect van de balken en kolommen die toekomen in

het knooppunt. Alle elementen die toekomen op de knoop dragen immers bij tot het moment, zie Fig.

7.

-III.11-

Fig. 6: Verband tussen moment en hoekverdraaiing, voor een ingeklemd element


In de case study in hoofdstuk 4 wordt de effectieve lengte voor een aantal kolommen in raamwerken

bepaald.

(4) Als in een eindpunt van de kolom een andere kolom toekomt die bijdraagt tot de verdraaiing in

knik, dan dient EI/l in de definitie van k vervangen te worden door [(EI/l)a +(EI/l)b ], met a en b de

twee kolommen.

Bespreking: Dit is vergelijkbaar met formule (3.2.3), waarbij in de NBN B15-002 (1999) EI/l van

de kolommen die in een knoop toekomen, gesommeerd worden in de teller. De EN 1992-1-1 (2004)

voegt daar bij dat dit enkel aangewezen is, indien de kolom die op het knooppunt toekomt, bijdraagt

tot de verdraaiing in knik.

(5) In de definitie van de effectieve lengte moet de stijfheid van de schorende elementen het effect

van scheurvorming in rekening brengen, tenzij bewezen kan worden dat geen scheurvorming

optreedt in ULS.

(6)Voor andere gevallen dan beschreven in (2) en (3), zoals kolommen met variërende doorsnede of

normaalkracht, wordt de effectieve lengte als volgt berekend:

-III.12-

Fig. 7: Bijdrage van balken en kolommen tot het moment en de totale hoekverdraaiing in een knooppunt


(3.2.7)

Hierin zijn:

● EI een representatieve buigstijfheid;

● NB de kniklast in functie van EI. De traagheidsstraal i in uitdrukking (5.14) (hier

formule (3.2.1)) moet overeenkomen met deze EI.

Bespreking: De bepaling van de effectieve lengte van kolommen in raamwerken volgens het

nomogram uit de NBN B15-002 (1999) lijkt anders in aanpak dan volgens de formules uit de

EN1992-1-1 (2004). In hoofdstuk 4 wordt de effectieve lengte van een aantal kolommen in

raamwerken bepaald volgens het nomogram uit de NBN B15-002 (1999), volgens de formules uit

de EN 1992-1-1 (2004) en aan de hand van ESA PT.

2.2. Het slankheidscriterium

Wanneer een kolom de kritieke slankheid overschrijdt, is deze kolom knikgevoelig en zal ze

berekend moeten worden voor tweede orde-effecten.

NBN B15-002 (1999) §4.3.5.3.5 (2) schrijft voor dat geïsoleerde kolommen slank beschouwd

worden als:

(3.2.8)

Hierin is:

(3.2.9)

NBN B15-002 (1999) §4.3.5.5.3. (2) schrijft voor dat geïsoleerde kolommen in niet-schrankende

raamwerken niet moeten gecontroleerd worden op tweede orde-effecten indien:

(3.2.10)

-III.13-

l 0= EIN B

max25 ; 15u

u=N sd

Ac f cd

≤252−e01

e02


zelfs wanneer de kolom volgens 4.3.5.3.5 (hier formule (3.2.8)) kan worden beschouwd als slank.

e01 en e02 geven de excentriciteit van de axiale last aan de uiteinden van het element weer;

aangenomen wordt dat ∣e01∣≤∣e02∣ .

Bespreking: De waarde van λ voor geïsoleerde kolommen in niet-schrankende raamwerken kan

maximaal 75 bedragen, voor e01=-e02. Het verloop van dit criterium wordt in Fig. 8 weergegeven.

EN 1992-1-1 (2004) §5.8.3.1. (1) schrijft voor dat tweede orde-effecten verwaarloosd mogen

worden als λ kleiner is dan: (formule 5.13N)

(3.2.11)

Artikel (1) stelt dat dit een alternatief is voor §5.8.2 (6), waarin gesteld wordt dat tweede orde-

effecten verwaarloosd mogen worden indien ze minder dan 10% van het overeenkomstige eerste

-III.14-

limiet=20ABCn

Fig. 8: NBN B15-002 (1999) figuur 4.28: slankheidsgrenswaarden voor geïsoleerde elementen met volledige of elastische inklemming in niet-schrankende raamwerken §4.3.5.5.3 (2), hier formule (3.2.10)


orde-effect bedragen.

Bespreking: Volgens de norm is (3.2.11) dus een vereenvoudigd criterium ten opzichte van het

algemeen geldende normvoorschrift dat tweede orde-effecten mogen verwaarloosd worden indien

ze minder dan 10% van de eerste orde-effecten bedragen.

In uitdrukking 5.13N, (hier (3.2.11)) zijn:

● A= 110,2ef

en A=0,7 als φef onbekend is;

● B=12 en B=1,1 als ω onbekend is;

● C=1,7−r m en C=0,7 als rm onbekend is;

● φef is de effectieve kruipverhouding;

● =As f yd

Ac f cdhet mechanisch wapeningspercentage;

● As de totale langswapening ;

● n=N Ed

Ac f cdde relatieve normaalkracht;

● r m=M 01

M 02de verhouding tussen de eerste orde-momenten. Deze is positief

wanneer beide momenten trek geven aan dezelfde zijde, anders

negatief. rm dient gelijkgesteld te worden aan 1 voor:

○ niet-schrankende raamwerken waarin de momenten enkel het

gevolg zijn van onvolkomendheden of horizontale belastingen;

○ schrankende raamwerken in het algemeen.

Bespreking: φef wordt de kruipverhouding genoemd. In hoofdstuk 2.5. van dit werk wordt verder

-III.15-


ingegaan op deze factor.

De verhouding e01

e02uit de NBN B15-002 (1999) is vervangen door de verhouding

M 01

M 02in rm in

de EN 1992-1-1 (2004). In de EN 1992-1-1 (2004) wordt gewerkt met momenten, terwijl de NBN

B15-002 (1999) werkt met excentriciteiten. In het geval van een constante normaalkracht is er dus

geen verschil tussen beide verhoudingen.

Verder kan men een verschil in schrijfwijze opmerken: νu uit de NBN B15-002 (1999) wordt in de

EN1992-1-1:2004 geschreven als n. De uitdrukking blijft hetzelfde.

Als men in de formule (3.2.11) de waarden A=0,7; B=1,1 en C=0,7 invult, krijgt men:

(3.2.12)

Met een algemene waarde voor A, B en C leidt dit dus tot een verstrenging ten opzichte van de 15 in

de teller in (3.2.8), het slankheidscriterium uit de NBN B15-002 (1999).

De waarden A,B en C kunnen echter variëren en op basis van hun (theoretische) limieten, kunnen

ook de (theoretische) limieten van λlimiet bepaald worden. Dit zal nu uitgewerkt worden.

Voor A moet gekeken worden naar φef . Uit figure 3.1. van de EN 1992-1-1 (2004) volgt dat in de

limiet φef kan variëren tussen 0 en 7. Dit invullen, geeft dat A kan variëren tussen 0,42 en 1.

De waarde van B is afhankelijk van ω. EN 1992-1-1:2004 §9.5.2. geeft de minimale en maximale

hoeveelheden wapening:

(3.2.13)

Aangezien NEd om het even wat kan zijn, zal gerekend worden met een minimale staaldoorsnede van

-III.16-

limiet=10,78n

A smin=max0,10N Ed

f yd; 0,002 Ac

Asmax=0,04 Ac


0,002 Ac . In de nieuwe versie van Eurocode 2 zijn volgende waarden van materiaaleigenschappen

vastgelegd:

Tabel 1: Materiaalkarakteristieken volgens EN 1992-1-1 (2004), tabel 3.1 en § 3.2.2(3)

Minimum (MPa) Maximum (MPa)Staal fyk

fyd

400

348

600

522Beton fck

fcd

12

8

90

60

Om de extreme waarden voor ω te bepalen, worden nu alle minimale waarden in de formule voor

de minimale wapening ingevoerd, en alle maximale waarden in de formule voor de maximale

wapening.

(3.2.14)

Voor de waarde van rm neemt men minimaal -1 en maximaal 1, naar analogie met de grenzen voor

e01

e02. Dit levert dan een waarde voor C tussen 0,7 en 2,7. Het combineren van 20AminBminCmin en

20AmaxBmaxCmax levert dan als domein voor 20ABC [5,9;124,55]. Deze grenzen zijn mogelijk, maar

hun kans van voorkomen zal klein zijn.

In hoofdstuk 4 wordt het slankheidscriterium gebruikt en zal gekeken worden of de EN

1992-1-1:2004 een verstrenging of versoepeling betekent. Hier kan reeds geconcludeerd worden

dat het nieuwe slankheidscriterium veel bredere grenzen afbakent en minder gemakkelijk een snelle

handberekening toelaat.

-III.17-

min=As f yd

Ac f cd=

0,002 Ac f yd

Ac f cd=0,002 .348MPa

60 MPa=1,16.10−2

max=0,04 Ac f yd

Ac f cd=0,04.522 MPa

8MPA=2,16


2.3. Methode van de modelkolom / nominale kromming

NBN B15-002 (1999) § 4.3.5.6. en EN 1992-1-1 (2004) § 5.8.8 worden hier vergeleken.

In NBN B15-002 (1999) §4.3.5.6.2 worden eerste en tweede orde-effecten vertegenwoordigd door

een excentriciteit.

NBN B15-002 (1999) §4.3.5.6.2 schrijft voor:

(1) Voor excentriciteiten van eerste orde die aan beide uiteinden gelijk zijn, geldt:

(3.2.15)

waarin:

● e0 de excentriciteit van eerste orde: Msd1/Nsd:

○ Msd1 het aangrijpende eerste orde-moment;

○ Nsd de aangrijpende langskracht.

● ea de bijkomende eerste orde-excentriciteit, uit NBN B15-002 (1999) §4.3.5.4 (3):

ea=l0

2

○ met l0 de effectieve lengte, zie formule (3.2.1);

○ ν hellingshoek ten opzichte van de verticale, uit NBN B15-002 (1999),

§2.5.1.3(4):

= 1100 l

Indien er n doorlopende verticale bouwdelen zijn, gebruikt men αnν met

-III.18-

e tot=e0eae2


n= 11n

2

● e2 excentriciteit van tweede orde, met inbegrip van eventuele kruip, berekend volgens

de benaderende methode uit NBN B15-002 (1999) §4.3.5.6.3.

Bespreking: De berekening van de tweede orde-excentriciteit gebeurt aan de hand van de methode

van de modelkolom uit NBN B15-002 (1999) §4.3.5.6.3.

Indien de excentriciteiten van eerste orde aan beide uiteinden verschillend zijn (Fig. 9 b en c),

gebruikt men een equivalente excentriciteit (formule NBN B15-002 (1999) §4.3.5.6.2 (1-b) 4.66 en

4.67).

(3.2.16)

waarin e01 en e02 de excentriciteit van de eerste orde aan de twee einden weergeven, en ∣e02∣≥∣e01∣

-III.19-

Fig. 9: Rekenmodel voor de totale excentriciteit, Fig. 4.29 uit NBN B15-002 (1999)

ee=max 0,6e020,4e01 ;0,4e02


EN 1992-1-1:2004, §5.8.8.2 geeft:

(1) Het totaal design moment is:

(3.2.17)

met:

● M0Ed het eerste orde-moment met inbegrip van het effect van de imperfecties (deze staan

beschreven in hoofdstuk 2 van dit werk)

● M2 het nominale tweede orde-moment. Het mag parabolisch of sinusoïdaal genomen

worden.

Voor hyperstatische elementen is M0Ed bepaald door de randvoorwaarden, terwijl de waarde van M2

via de effectieve lengte afhankelijk is van de randvoorwaarden.

Voor de berekening van het eerste orde-moment, moet men EN 1992-1-1:2004 §5.2. en §6.1.(4)

raadplegen. In artikel (1) wordt echter niet verwezen naar deze paragrafen. In EN 1992-1-1:2004

§5.2. wordt het effect van de imperfecties uitgedrukt als een helling (5) en alternatief als een

excentriciteit of horizontale kracht (7). EN 1992-1-1:2004 §6.1.(4) geeft de minimale excentriciteit

voor een doorsnede belast met een axiale kracht. De combinatie van beide wordt hier gebruikt om

het eerste orde-moment te bepalen.

(3.2.18)

met:

● e0=max h30

, 20mm , uit EN 1992-1-1:2004 §6.1.(4); (3.2.19)

● e i=i

l 0

2, uit EN 1992-1-1:2004 §5.2. (7) (3.2.20)

Hierin zijn, volgens EN 1992-1-1:2004 §5.2. (5) :

-III.20-

M Ed=M 0EdM 2

M 0Ed=N Ed e ie0


○ i=0.h .m met

■ h=2 l

en 23≤h≤1 ;

■ m=0,51 1m met m het aantal verticale elementen;

■ 0=1

200 .

EN 1992-1-1 §5.8.8.2 (2) schrijft voor dat verschillende eerste orde-eindmomenten M01 en M02

vervangen mogen worden door een equivalent eerste orde-moment M0e:

(3.2.21)

Als M01 en M02 trek geven aan dezelfde zijde, moeten ze gelijke tekens hebben, anders

tegengestelde tekens. Bovendien moet ∣M 02∣≥∣M 01∣ .

Bespreking: In de EN 1992-1-1:2004 werkt men met momenten. Aangezien uitgegaan wordt van

een constante normaalkracht, is er geen verschil tussen artikels (1) en (2) uit de EN1992-1-1:2004

§5.8.8.2 en NBN B15-002 (1999)§4.3.5.6.2. (1a-b).

NBN B15-002 (1999) §4.3.5.6.3 (2) schrijft voor dat voor een modelkolom kan worden

aangenomen dat de maximum uitbuiging, welke gelijk is aan de excentriciteit van tweede orde e2,

gegeven wordt door:

(3.2.22)

met:

● l0 de effectieve lengte van de kolom;

●K 1=

20

−0,75 voor 15≤≤35

K 1=1 voor35;

-III.21-

M 0 e=0,6 M 020,4 M 01≥0,4 M 02

e2=K1l 0

2

101r


●1r de kromming in de kritische doorsnede aan de voet.

EN 1992-1-1:2004 §5.8.8.2. (3) geeft het nominaal tweede orde-moment als:

(3.2.23)

met:

● NEd de designwaarde van de normaalkracht;

● e2=1r

l02

c;

●1r de kromming;

● l0 de effectieve lengte;

● c een factor die afhangt van de krommingsverdeling.

(4) Voor een constante dwarsdoorsnede wordt c=10 gebruikt. Als het eerste orde-moment constant

is, moet een lagere waarde beschouwd worden (8 als ondergrens, wat overeenstemt met een

constant totaal moment). De waarde van c hangt af van de verdeling van de totale kromming.

Bespreking: De vorm van de formules voor de berekening van de tweede orde-excentriciteit volgens

de NBN B15-002 (1999) en de EN 1992-1-1:2004 zijn dus analoog, beiden vinden hun oorsprong in

de uitbuiging die verkregen wordt bij een sinusoïdaal verloop van de kromming. Dit verloop geeft

aanleiding tot π2 ≈10 in de uitdrukkingen voor de tweede orde-excentriciteit.

Bij EN 1992-1-1:2004 (4) geeft men als onderwaarde c=8 voor een constant totaal moment. Dit

constant totaal moment is echter een weinig voorkomend geval.

Bij het vergelijken van de factoren 1/c uit de EN 1992-1-1:2004 en K1/10 uit de NBN B15-002

(1999) bekomt men de grafiek weergegeven in Fig. 10.

-III.22-

M 2=N Ed e2


De EN 1992-1-1:2004 is dus strenger voor kolommen met een slankheid kleiner dan 35. Ook het

gebruik van de factor c, die ten minste 8 bedraagt, zou een verstrenging ten opzichte van de factor

10 uit de NBN B15-002 (1999) kunnen betekenen. De aanbevolen waarde voor c is echter 10, wat

voor slankheden groter dan 35 geen verschil maakt.

NBN B15-002 (1999) §4.3.5.6.3 (5) schrijft voor dat in gevallen waarin geen grote nauwkeurigheid

vereist is, de kromming afgeleid kan worden uit:

(3.2.24)

waarin:

● εyd de rekenwaarde van de rek aan de elasticiteitsgrens van de wapening;

yd=f yd

E s

● d de effectieve hoogte van de doorsnede in de verwachte richting van bezwijken door

-III.23-

1r=2 K2

yd

0,9d

Fig. 10: Vergelijking factoren NBN B15-002 (1999) en EN 1992-1-1:2004


instabiliteit.

(6) K2 geeft de vermindering van de kromming 1/r bij toenemende langskracht weer, en wordt als

volgt verkregen:

K 2=N ud−N sd

N ud−N bal≤1

waarin:

● Nud de rekenwaarde van de uiterste draagkracht van de doorsnede uitsluitend aan een

centrische langskracht onderworpen. Deze waarde kan aangenomen worden als:

N ud= f cd Ac f yd As ;

● Nsd de rekenwaarde van de werkelijke aangrijpende langskracht;

● Nbal de langskracht die, uitgeoefend op een doorsnede, haar uiterste momentcapaciteit

maximaliseert. Voor symmetrisch gewapende rechthoekige doorsneden neemt men:

N bal=0,4 f cd Ac .

Het is steeds langs de veilige kant om K2 = 1 te nemen.

EN 1992-1-1:2004 §5.8.8.3 beschrijft de berekening van de kromming.

(1) Voor elementen met een constante symmetrische dwarsdoorsnede (inclusief de wapening), mag

men gebruiken:

(3.2.25)

met:

● Kr een correctiefactor afhankelijk van de normaalkracht;

-III.24-

1r=K r K

1r 0


● Kφ een correctiefactor afhankelijk van kruip;

●1r0=

yd

0,45d ;

● yd=f yd

E s;

● d de nuttige hoogte.

(2) Als niet alle wapening geconcentreerd zit op de tegenoverliggende zijden, maar een deel ervan

verdeeld is over het buigvlak, dan is d gedefinieerd als d =h/2i s waarbij is de traagheidsstraal

van de volledige wapeningsoppervlakte is.

(3) Kr moet genomen worden als: K r=nu−n

nu−nbal≤1 met:

● n de relatieve normaalkracht n=N Ed

Ac f cd;

● nu=1 ;

● nbal de waarde van n bij maximale momentweerstand. De waarde 0,4 mag hiervoor

gebruikt worden;

● =As f yd

Ac f cd;

● As de totale oppervlakte wapening;

● Ac is de oppervlakte van de betonnen dwarsdoorsnede.

(4) Het effect van de kruip moet in rekening gebracht worden met volgende factor:

K =1ef≥1

met:

-III.25-


● φef de effectieve kruipverhouding (zie formule (3.2.40));

● =0,35f ck

200−

150;

● λ is de slankheid.

Bespreking: Het verschil tussen beide formules zit dus in de factoren K. Een herwerkte vorm van de

factoren (berekening, zie [4]) K2 en Kr ziet er als volgt uit:

(3.2.26)

Aangezien Kr groter is dan K2 geeft dit een grotere waarde voor de kromming, en dus het tweede

orde-moment. Dit betekent dus een verstrenging ten opzichte van de NBN B15-002 (1999).

Een factor die rekening houdt met kruip is nieuw. De factor β in functie van de slankheid voor de

verschillende betonklassen verloopt zoals weergegeven in Fig. 11.

-III.26-

K 2=0,85

f yd A s

Ac f cd−

N sd

Ac f cd

1f yd As

Ac f cd−0,4

K r=1

As f yd

Ac f cd−

N Ed

Ac f cd

1A s f yd

Ac f cd−0,4


Voor een vaste waarde van de slankheid kan nu het verloop van Kφ in functie van φ bepaald worden.

De factor φ bevindt zich in een interval tussen 0 en 7, deze waarde wordt op de x-as in Fig. 12

geplaatst. In Fig. 12 werd slankheid 20 gekozen:

-III.27-

Fig. 11: Verloop van β in functie van λ voor verschillende betonklassen, op basis van EN 1992-1-1:2004 §5.8.8.3 (4)

Fig. 12: Vergelijking Kφ in functie van φ voor verschillende betonklassen, op basis van EN 1992-1-1:2004 §5.8.8.3 (4)


Voor verschillende waarden van de slankheid wordt nu de variatie van Kφ in functie van φ

onderzocht, voor betonklasse C35/45. De resultaten zijn weergegeven in Fig. 13.

Hieruit kan men een aantal conclusies trekken.

● De factor β neemt af met toenemende slankheid.

● De factor β bevindt zich in het interval [-0,53;0,8].

● Kφ bedraagt ten minste 1, en stijgt met toenemende waarde voor φ.

● De waarde van Kφ neemt sneller toe bij hogere betonklassen.

● Bij hogere slankheid neemt de waarde van Kφ minder snel toe.

Indien met kruip rekening gehouden wordt, zal de kromming dus toenemen, waardoor het tweede

orde-moment groter wordt, wat een verstrenging betekent.

-III.28-

Fig. 13: Variatie Kφ ifv φ voor vaste betonklasse en variërende slankheid, op basis van EN 1992-1-1:2004 §5.8.8.3 (4)


2.4. Methode van de nominale stijfheid

Deze methode heeft geen gelijke in de NBN B15-002 (1999). De normvoorschriften werden

geciteerd in het hoofdstuk 2 van dit werk. In deze paragraaf zal wat dieper ingegaan worden op de

parameters in de formules.

Factor Kc (formule (2.6.2)) is volgens EN 1992-1-1 §5.8.7.2 (2):

(3.2.27)

Hierin zijn:

● φef de effectieve kruipverhouding (zie formule (3.2.40));

● k 1= f ck

20in MPa;

● k 2=n 170

≤0,20 met n=N Ed

Ac f cd

als λ niet gedefinieerd is, neemt men k 2=n0 ,30≤0,20 .

Bespreking: Deze waarde voor k2 stemt overeen met λ=51.

Voor verschillende waarden van n wordt in Fig. 14 k2 uitgezet ten opzichte van de slankheid λ.

-III.29-

K c=k 1

k 2

1ef


Voor hoge waarden van n wordt de maximale waarde van 0,2 dus reeds bereikt voor relatief lage

slankheden. Voor stijgende waarden van n komen de grafieken ook dichter bij elkaar te liggen.

In Fig. 15 wordt de invloed van de betonklasse op factor k1 bestudeerd.

De waarde van k1 varieert tussen 0,77 voor C12/15 en 2,12 voor C90/105.

-III.30-

Fig. 14: k2 in functie van de slankheid voor verschillende waarden van n, volgens EN 1992-1-1 §5.8.7.2 (2)

Fig. 15: Variatie van k1 in functie van de betonklasse, volgens EN 1992-1-1 §5.8.7.2 (2)


In Fig. 16 werd er van uitgegaan dat λ onbekend is, en werd φ=0 gekozen. De variatie van Kc in

functie van n werd uitgezet voor verschillende betonklassen. Kc varieert tussen 0 en 0,42.

Voor een vaste betonklasse C35/45 en verschillende waarden van φ werd hetzelfde gedaan, zie Fig.

17. Bij n=1 varieert de waarde van Kc tussen Kc =0,26 voor φ=0 en Kc =0,033 voor φ=7.

Hieruit kan men dus besluiten voor Kc dat:

● Hoe hoger de kruipfactor is, hoe lager de stijfheid wordt. Dit is te verwachten.

● Kc wordt groter naarmate de betonklasse beter wordt. Dit heeft te maken met het effect van

tension stiffening bij hogere betonklassen.

-III.31-

Fig. 16: Kc voor verschillende betonklassen, volgens EN 1992-1-1 §5.8.7.2 (2)

Fig. 17: Invloed van kruip op Kc, volgens EN 1992-1-1 §5.8.7.2 (2)


● Hoe hoger n is, hoe hoger Kc wordt. Het beton geeft dus een hoger aandeel in de stijfheid als

het zwaarder belast wordt.

● Hoe hoger λ is, hoe hoger Kc wordt. Dit zou betekenen dat een slankere kolom meer

bijdraagt tot de stijfheid.

● Kc varieert tussen 0 en 0,45. Er zal dus steeds maximaal met ongeveer de helft van de

stijfheid van de betondoorsnede gerekend mogen worden.

EN 1992-1-1 §5.8.7.3 (1) schrijft voor dat het uiteindelijke moment waarop gedimensioneerd wordt,

geschreven kan worden als vergroting van het buigmoment dat men met een lineaire analyse

bekomt:

(3.2.28)

met:

● M0Ed het eerste orde-moment;

● β een factor die afhangt van de verdeling van de eerste en tweede orde-momenten;

● Ned de rekenwaarde van de axiale last;

● NB de kniklast bekomen met de nominale stijfheid.

Bespreking: Deze uitdrukking kan herschreven worden (voor berekening zie [4]) als:

(3.2.29)

met:

(3.2.30)

-III.32-

M Ed=M 0Ed [1

N B

N Ed−1

]

M Ed=M 0EdM 0Ed e2

e2=2

c0N B

N Ed−1


De factor e2 werd bestudeerd in functie van NB/NEd met een c0=8:

De factor e2 wordt oneindig als NB en NEd aan elkaar gelijk worden. Op dat ogenblik heeft de

normaalkracht al de knikcapaciteit opgebruikt, en is de kolom geknikt. Tussen 1 en 2,2 geeft de

verhouding aanleiding tot een verdubbeling van het eerste orde-moment.

In hoofdstuk 4 van dit werk zullen een aantal case studies uitgevoerd worden aan de hand van deze

methode en ter vergelijking met andere methodes.

-III.33-

Fig. 18: e2 als functie van NB/NEd, uit [4], volgens EN 1992-1-1:2004, §5.8.7.3


2.5. De algemene methode

NBN B15-002 (1999) §4.3.5.2 en Bijlage 3 en EN 1992-1-1 (2004) §5.8.6 worden hier vergeleken.

NBN B15-002 (1999) §4.3.5.2 schrijft het volgende voor:

(4) Voor normale gebouwen bestaat de in de volgende bepalingen weergegeven ontwerpprocedure

uit de volgende drie stappen:

(a) de draagconstructie of constructie-elementen worden als volgt geklasseerd:

○ al of niet geschoord;

○ al of niet schrankend.

(b) Voor de klassering van de draagconstructie wordt de noodzaak om met tweede orde-

effecten rekening te houden, vastgesteld door de slankheid te vergelijken met grenswaarden,

die in de bepalingen hieronder (zie hoofdstuk 3, §2.1 van dit werk) voor dit doel zijn

gegeven. Dit geldt voor:

○ de draagconstructie in haar geheel, indien ze schrankend is;

○ afzonderlijke kolommen die beschouwd worden als op zichzelf staande kolommen.

(5) Meer nauwkeurige rekenmethoden worden in Bijlage 3 beschreven.

In EN 1992-1-1:2004 §5.8.6. zijn richtlijnen met betrekking tot de algemene methode opgenomen.

(1)De algemene methode is gebaseerd op een niet-lineaire analyse, waarbij rekening gehouden

wordt met de geometrische niet-lineariteiten, dit zijn de tweede orde-effecten. De algemene regels

voor niet-lineaire analyse zijn van toepassing.

(2) Spannings-vervormingsdiagramma's voor beton en staal, geschikt voor globale analyse, worden

-III.34-


gebruikt. Het effect van kruip dient in rekening gebracht te worden.

(3) De spannings-vervormingsdiagramma's uit de Eurocode 2 mogen gebruikt worden. Met

spanning-rekdiagramma's gebaseerd op designwaarden, kan een designwaarde van de ultieme

belasting onmiddellijk uit de analyse gehaald worden. Men vervangt fcm door fcd en Ecm door

Ecd=Ecm/γcE met γcE =1,2.

(4) In afwezigheid van meer accurate modellen, mag kruip in rekening gebracht worden door alle

rekwaarden te vermenigvuldigen met een factor (1+φef), met φef de effectieve kruipverhouding.

(5) Het gunstige effect van tension stiffening mag in rekening gebracht worden. Aangezien dit een

gunstig effect is, mag het weggelaten worden voor de eenvoud.

(6) Gewoonlijk worden de evenwichtsvoorwaarden en rekcompatibiliteiten in een aantal

doorsneden gecontroleerd. Een eenvoudiger alternatief is het beschouwen van enkel de kritieke

dwarsdoorsnede(s) en een relevante variatie van de kromming tussenin aan te nemen.

Bespreking: De adviezen in verband met de algemene methode stonden in de NBN B15-002 (1999)

in Bijlage 3 en kan men nu terugvinden in EN 1992-1-1:2004 §5.8.6. In vergelijking met de Bijlage

3 van de NBN B15-002 (1999) is het meest opvallende verschil de overgang van factor γcE =1,35

naar 1,2 in de berekening van Ecd. De adviezen die aangereikt worden, zijn vrij gelijklopend in

beide normen. Bovendien blijven deze zeer algemeen. De flowcharts uit Bijlage 3 van de NBN

B15-002 (1999) zijn niet meer opgenomen in de EN 1992-1-1:2004.

2.6. Berekening van kruip

De EN 1992-1-1:2004 vermeldt vaak dat rekening met kruip gehouden moet worden. In de formules

voor de berekening van tweede orde-effecten werd dan ook de effectieve kruipverhouding φef

opgenomen, die in EN 1992-1-1:2004 §5.8.4 besproken wordt. In de NBN B15-002 (1999) werd in

-III.35-


Bijlage 3 bij de algemene methode slechts vermeld dat rekening gehouden moest worden met kruip.

Er werd geen methode aangereikt om dit te doen.

Om de berekening van kruip te bestuderen, wordt hier een paragraaf gewijd aan de bepaling van de

kruipfactor volgens de NBN B15-002 (1999) (tabel 3.3 en Bijlage 1) en de EN 1992-1-1:2004

(§5.8.4, figuur 3.1 en Bijlage B).

In de NBN B15-002 (1999) werd de eindwaarde van de kruipcoëfficiënt bepaald uit een tabel, (zie

hier Tabel 2). De bepaling van de kruipfactor aan de hand van de tabel is geldig voor gevallen

waarin de nauwkeurigheid minder groot moet zijn, en waarbij op tijdstip t0 het beton maximaal

blootgesteld wordt aan een druk van 0,45 fck. De tabellen zijn geldig voor gemiddelde temperaturen

van het beton tussen 10ºC en 20ºC, en voor temperatuurswisselingen tussen -20ºC en 40ºC.

Schommelingen in relatieve vochtigheid tussen RH=20% en RH=100% zijn aanvaardbaar.

Met:

● Ac de oppervlakte van de betondoorsnede;

● u de omtrek van de betondoorsnede.

-III.36-

Tabel 2: Tabel 3.3. uit NBN B15-002 (1999) kruipcoëfficiënt


Lineaire interpolatie tussen de waarden van de tabel is toegestaan.

In NBN B15-002 (1999) Bijlage 1, A1.1.2 werd een uitgebreidere methode opgenomen. De kruip

wordt daarin als volgt berekend:

(3.2.31)

Hierin zijn:

● 0=RH f cmt 0 de fictieve kruipcoëfficiënt

waarin:

○ RH=11−RH

100

0,10 3h0brengt de invloed van de relatieve vochtigheid op de fictieve

kruipcoëfficiënt in rekening; (3.2.32)

○ f cm=16,8

f cmbrengt de invloed van de betonsterkte op de fictieve kruipcoëfficiënt

in rekening; (3.2.33)

○ t 0=1

0,1t00,20

brengt de invloed van de ouderdom bij belasten op de fictieve

kruipcoëfficiënt in rekening; (3.2.34)

○ h0=2Ac

ude gemiddelde straal van een element. (3.2.35)

● c t−t 0=[t−t0

ht−t 0]0,3

drukt de ontwikkeling van kruip in de tijd uit (3.2.36)

met:

○ h=1,5[10,012RH 18 ]h0250≤1500 een coëfficiënt die functie is van de fictieve

hoogte en de relatieve vochtigheid. (3.2.37)

-III.37-

t , t0=0ct−t 0


● de invloed van het cementtype wordt in rekening gebracht met:

t 0=t 0,T 9

2t 0,T 1,21

≥0,5 (3.2.38)

met:

○ α = -1 voor cement met trage binding type S;

= 0 voor cement met normale of snelle binding, type N en R;

= 1 voor cement met snelle binding en hoge sterkte RS.

○ t0,T is de ouderdom bij belasten, aangepast aan de invloed van temperatuur :

tT=∑i=1

n

e[− 4000

273T t j −13,65]

t j voor een interval van 0 tot 80ºC (3.2.39)

De betekenis van de gebruikte symbolen is:

● t de ouderdom van het beton in dagen op het beschouwde ogenblik;

● t0 de ouderom van het beton in dagen bij het belasten;

● fcm de gemiddelde druksterkte van het beton in MPa op 28 dagen;

● RH de relatieve vochtigheid van de omgeving in %;

● tT de ouderdom van het beton in functie van de temperatuur, kan t vervangen;

● T(Δtj) de temperatuur in ºC gedurende een periode Δtj;

● Δtj het aantal dagen tijdens dewelke de temperatuur T overweegt.

De waarden van φ(t,t0) moeten gebruikt worden met de tangensmodulus E c28=1,05 E cm .

EN 1992-1-1: 2004 §5.8.4 bespreekt het effect van kruip op de tweede orde-effecten.

-III.38-


(1) Kruip moet in rekening gebracht worden bij de studie van tweede orde-effecten. Er moet

rekening gehouden worden met de algemene regels in verband met kruip (EN 1992-1-1:2004

§3.1.4.) en de duur van verschillende belastingen in de beschouwde belastingscombinatie.

(2) Deze duur van de belasting wordt in rekening gebracht op een vereenvoudigde manier door een

effectieve kruipverhouding φef die de kruipvervorming geeft overeenstemmend met de quasi-

permanente belastingen indien deze gebruikt wordt met de rekenwaarde van de belastingen.

(3.2.40)

met:

● ∞ , t0 de uiteindelijke kruipcoëfficiënt, bepaald volgens EN 1992-1-1:2004 §3.1.4.;

● M 0Eqp het eerste orde-buigmoment in de quasi-permanente belastingscombinatie (GGT);

● M 0Ed het eerste orde-buigmoment in de ontwerp-belastingscombinatie (UGT).

Het is ook mogelijk om φef te baseren op de totale buigmomenten MEqp en MEd, maar dit vereist

iteraties en een verificatie van de stabiliteit onder quasi-permanente belasting met φef = φ(∞, t0).

(3) Als de verhouding M0Eqp/M0Ed varieert in een element of in een structuur, mag de verhouding

berekend worden voor de sectie met het maximaal moment of mag een representatieve gemiddelde

waarde gebruikt worden.

(4) Kruip mag verwaarloosd worden, φef=0 mag verondersteld worden, als volgende drie

voorwaarden vervuld zijn:

● ∞ , t0 ≤2 ;

● ≤75 ;

●M 0Ed

N Ed≥h .

-III.39-

ef=∞ ,t0

M 0Eqp

M 0Ed


Hierbij is M0Ed het eerste orde-moment en h is de hoogte van de dwarsdoorsnede in de beschouwde

richting.

Bespreking: Eerst en vooral is het nieuw in de EN 1992-1-1:2004 dat een paragraaf gewijd wordt

aan de invloed van kruip op de tweede orde-effecten. Artikel 4 betekent dat voor licht belaste, vrij

slanke kolommen waar de uiteindelijke kruipfactor vrij laag is, kruip verwaarloosd mag worden.

De algemene berekening van ∞, t0 verloopt in EN 1992-1-1:2004 met een grafiek, figure 3.1

(zie Fig. 19), de berekening van kruip in de tijd is nog steeds opgenomen in een bijlage (EN

1992-1-1:2004, Bijlage B).

EN 1992-1-1:2004 §3.1.4 (1) geeft dat kruip van het beton afhankelijk is van de vochtigheidsgraad

van de omgeving, de dimensies van het element en de samenstelling van het beton. Kruip is ook

beïnvloed door de ouderdom van het beton bij de eerste belasting en hangt af van de duur en grootte

van de belasting.

(2) De kruipfactor φ(t,t0) houdt verband met Ec, de tangensmodulus, die als 1,05 Ecm genomen kan

worden. Wanneer grote nauwkeurigheid niet vereist is, mag de waarde gevonden uit EN

1992-1-1:2004, figure 3.1 (hier: Fig. 19) gebruikt worden, op voorwaarde dat het beton niet

onderworpen wordt aan een drukspanning groter dan 0,45 fck op t0 , het ogenblik van belasten.

(4) Wanneer de drukspanning van het beton op t0 de waarde van 0,45fck(t0) overschrijdt, dan moet

kruip niet-lineariteit in rekening gebracht worden. Een dergelijke hoge spanning kan het resultaat

zijn van voorspanning. In dergelijke gevallen moet de niet-lineaire kruipfactor bepaald worden als:

(3.2.41)

Hierin zijn:

● k ∞ ,t 0 de niet-lineaire kruipcoëfficiënt die ∞ , t 0 vervangt;

-III.40-

k ∞ ,t 0=∞ , t 0e1,5 k −0,45


● k= c

f cmt 0de spannings-sterkteverhouding, met σc de drukspanning en fcm(t0) de

gemiddelde beton-drukspanning op het ogenblik van het belasten.

Bespreking: Kruip is groter voor binnen- dan voor buitencondities, dit geldt zowel voor de grafiek

uit de EN 1992-1-1:2004 als voor de tabel uit de NBN B15-002 (1999). De limieten zijn veranderd.

In de NBN B15-002 (1999) is de maximale waarde 5,5 terwijl dit in de EN 1992-1-1:2004

maximaal 7 bedraagt. De minimale waarde van de fictieve afmeting h0 is in de NBN B15-002

(1999) 50mm, terwijl dit in de EN 1992-1-1:2004 nu 100mm bedraagt.

De formule die de kruip niet-lineariteiten in rekening brengt (hier formule (3.2.41)) was niet

opgenomen in de NBN B15-002 (1999).

-III.41-


In EN 1992-1-1:2004, Bijlage B.1 zijn meer gedetailleerde berekeningen opgenomen die het

verloop van de kruip in de tijd geven. Deze zijn gelijklopend met de berekeningen uit NBN B15-002

Bijlage 1, A1.1.2. Daarom is in wat volgt niet de volledige normtekst geciteerd, maar zijn enkel de

veranderingen aangehaald.

Vergelijking (3.2.32) wordt beperkt tot fcm =35 MPa, en als volgt aangevuld:

(3.2.42)

met:

(3.2.43)

-III.42-

RH=[11−RH /1000,1 3h0

1]2 voor f cm35 MPa

1=[ 35f cm

]0,7

2=[ 35f cm

]0,2

Fig. 19: Bepaling van de uiteindelijke kruipcoëfficiënt voor beton onder normale omstandigheden, figure 3.1. EN 1992-1-1 (2004)


Ook formule (3.2.37) wordt beperkt tot fcm =35MPa. Voor hogere betonklassen wordt dit:

(3.2.44)

Hierin is:

(3.2.45)

Bespreking: De uitbreiding van de formules is te verklaren door het feit dat de EN 1992-1-1:2004

hogere sterkteklassen tot C90/105 toelaat. De NBN B15-002 (1999) had als hoogste sterkteklasse

C50/60. De formules veranderen voor de sterkteklassen hoger dan C35/45.

In [4] werd een vergelijking van de bepaling van de kruipfactor volgens de NBN B15-002 (1999) en

de EN 1992-1-1:2004 gemaakt. Daarin werd aangetoond dat de EN 1992-1-1:2004 strenger is voor

lagere betonklassen en soepeler voor hogere. Voor binnencondities is de EN1992-1-1:2004

gunstiger vanaf klasse C30/37, voor buitencondities vanaf C35/45. Dit komt door de bepaling aan

de hand van de sterkteklasse in de EN1992-1-1:2004, terwijl de NBN B15-002 (1999) eenzelfde

kruipgedrag voor alle sterkteklassen beschouwde.

In hoofdstuk 4 zal in een case study de invloed van de kruipberekening op de tweede orde-effecten

volgens de NBN B15-002 (1999) en de EN 1992-1-1:2004 bestudeerd worden.

2.7. Drukstaven met biaxiale excentriciteit

Hiervoor worden NBN B15-002 (1999) §4.3.5.6.4 en EN 1992-1-1 (2004) §5.8.9 vergeleken.


(1) Voor elementen met rechthoekige doorsnede is het toegestaan, een afzonderlijk nazicht in de

twee hoofdrichtingen y en z (zie figuur 4.31, hier Fig. 20) uit te voeren, indien de verhouding

tussen de daarmee corresponderende excentriciteiten ey/b en ez/h voldoet aan één van de volgende

voorwaarden:

-III.43-

h=1,5[10,012 RH 18 ]h02503≤15003

3=[ 35f cm

]0,5


(3.2.46)

(dit houdt in dat in figuur 4.31 (hier Fig. 20) het aangrijpingspunt van Nsd zich in het gearceerde

gebied bevindt). De excentriciteiten ey en ez zijn de excentriciteiten in de richting van de

doorsnedematen b resp. h. Ze hoeven ea, zoals bepaald door NBN B15-002 (1999) formule 4.61,

niet te bevatten. Wanneer niet aan de gestelde voorwaarden wordt voldaan, is een verfijnde

berekening vereist.

In EN 1992-1-1:2004 §5.8.9 geeft men:

(2) Afzonderlijke berekeningen in beide hoofdrichtingen, zonder rekening te houden met biaxiale

buiging, mogen als een eerste stap uitgevoerd worden. Imperfecties moeten enkel in rekening

gebracht worden in de richting waar ze de meest nadelige gevolgen hebben.

(3) Verdere berekeningen zijn niet nodig indien de slankheidsverhoudingen aan volgende twee

voorwaarden voldoen:

(3.2.47)

en indien de relatieve excentriciteiten ey/h en ez/b voldoen aan één van de volgende voorwaarden:

-III.44-

∣e z /he y /b∣≤0,2 of ∣e y /b

e z /h∣≤0,2

y

z≤2 en

z

y≤2

Fig. 20: NBN B15-002 (1999), §4.3.5.6.4 Fig. 4.31


(3.2.48)

met:

● b,h breedte en hoogte van de sectie;

● beq=i y 12 en heq=i z12 geven een equivalente rechthoekige sectie;

● λy, λz de slankheden l0/i voor respectievelijk de y- en z-as;

● iy, iz de traagheidsstralen voor respectievelijk de y- en z-as;

● e z=M Edy

N Edde excentriciteit volgens de z-as;

● e y=M Edz

N Edde excentriciteit volgens de y-as;

● MEdy is de rekenwaarde van het moment rond de y-as, met inbegrip van het tweede orde-

moment;

● MEdz is de rekenwaarde van het moment rond de z-as, met inbegrip van het tweede orde-

moment;

● NEd is de rekenwaarde van de normaalkracht in de beschouwde belastingscombinatie.

-III.45-

e y /heq

e z /beq≤0,2 of

e z /beq

e y /heq≤0,2


Bespreking: Het invoeren van beq en heq heeft te maken met het feit dat in de NBN B15-002 (1999)

de voorwaarden enkel van kracht waren voor rechthoekige secties. In de EN 1992-1-1:2004 is deze

beperking opgeheven. Dit wordt weerspiegeld in de opgenomen figuren, hier Fig. 20 en Fig. 21.

Formule (3.2.47) is nieuw en breidt de voorwaarde die in de NBN B15-002 (1999) stond, uit. Voor

een rechthoekige sectie kan de slankheid geschreven worden als:

Het criterium kan dan herschreven worden als:

Dit criterium betekent dus dat de afmetingen van de sectie in de y- en z-richting niet te sterk mogen

verschillen.

De NBN B15-002 (1999) vermeldde dat men eventueel ea kon weglaten. In de EN 1992-1-1:2004

komt deze regel niet meer voor.

-III.46-

Fig. 21: EN 1992-1-1:2004 §5.8.9, Fig. 5.8

=l 0

i=

l 0

IA

=l 0

bh3

12bh

=l 012

h

y

z=h

b≤2 en

z

y=b

h≤2



(3) In de gevallen waarin ez >0,2h (zie figuur 4.32, hier Fig. 22) zijn aparte controles alleen

toegestaan, wanneer de controle op buiging langs de secundaire as van de doorsnede (z in figuur

4.31, hier Fig. 20) wordt gebaseerd op de verminderde breedte h', zoals weergegeven in figuur 4.32

(hier Fig. 22). De waarde van h' kan worden bepaald uitgaande van een lineaire spanningsverdeling

bijv. van:

(3.2.49)

waarin:

● Nsd de langskracht met negatief teken voor druk;

● Zc het bruto weerstandsmoment;

● eaz de additionele excentriciteit in de z-richting.

(4) Wanneer niet wordt voldaan aan de eis van artikel 1 is een meer gedetailleerde berekening

noodzakelijk.

-III.47-

N sd

Ac−

N sd e zeazZ c

=0

Fig. 22: Aparte controle als ez >0,2h, Fig. 4.32 uit de NBN B15-002 (1999) §4.3.5.6.4


Bespreking: Er wordt in de NBN B15-002 (1999) niet vermeld hoe men een doorsnede in biaxiale

buiging kan controleren indien deze niet voldoet aan (3). In de EN 1992-1-1:2004 is geen

equivalent van (3) opgenomen.

EN 1992-1-1 §5.8.9 schrijft voor:

(4) Als de voorwaarde van uitdrukking (5.38) (hier formules (3.2.47) en (3.2.48)) niet voldaan is,

moet rekening gehouden worden met biaxiale buiging, inclusief het tweede orde-effect in elke

richting (tenzij dit mag verwaarloosd worden volgens 5.8.2 (6) of 5.8.3, hier formule (3.2.11)). In

de afwezigheid van accuratere methode om doorsneden in biaxiale buiging te dimensioneren, mag

volgende vereenvoudigd criterium gebruikt worden:

(3.2.50)

met:

● MEdz en MEdy de rekenwaarde van het moment rond de respectievelijke as, met inbegrip van

het tweede orde-moment;

● MRdz en MRdy het weerstandsmoment rond de beschouwde as;

● a een exponent:

○ a=2 voor ronde en elliptische dwarsdoorsnedes;

○ voor rechthoekige dwarsdoorsnedes heeft men:

Tabel 3: exponent a voor rechthoekige secties

NEd/NRd 0,1 0,7 1a 1 1,5 2

met lineaire interpolatie voor tussenliggende waarden.

-III.48-

M Edz

M Rdz

a

M Edy

M Rdy

a

≤1


NEd is de rekenwaarde van de normaalkracht;

NRd = Acfcd + Asfyd is de rekenwaarde van de weerstand tegen normaalkracht van

de sectie,

met:

Ac de bruto betonsectie;

As de oppervlakte longitudinale wapening.

Bespreking: Voor rechthoekige secties geeft Tabel 3 grafisch het resultaat opgenomen in Fig. 23.

Uit deze figuur blijkt dus duidelijk dat a niet lineair toeneemt, maar sterker toeneemt naarmate de

rekenwaarde van de belasting dichter bij de maximale waarde van de normaalkracht komt. Voor

hogere waarden van de normaalkracht, zal de verhouding van momenten lager worden door de

grotere waarde van a en wordt het criterium dus minder streng. De reden hiervoor is niet zo

duidelijk.

-III.49-

Fig. 23: Verloop van a in functie van Ned/NRd

volgens EN 1992-1-1 §5.8.9 (4)

0 0,2 0,4 0,6 0,8 10

0,5

1

1,5

2

2,5

a

NEd/NRd

a


2.8. Globale tweede orde-effecten in gebouwen

De beide versies van de norm vermelden dat globale tweede orde-effecten verwaarloosd mogen

worden wanneer deze niet meer dan 10% van het eerste orde-moment bedragen. De EN

1992-1-1:2004 spendeert een paragraaf aan de globale tweede orde-effecten in gebouwen.

EN 1992-1-1:2004 §5.8.3.3 schrijft voor:

(1) Als een alternatief voor 5.8.2 (6) (het artikel dat schrijft dat tweede orde-effecten verwaarloosd

mogen worden wanneer deze minder dan 10% van de eerste orde-effecten bedragen) mogen globale

tweede orde-effecten in gebouwen verwaarloosd worden indien:

(3.2.51)

met:

● FV,Ed de totale verticale belasting op geschoorde en schorende elementen;

● ns het aantal verdiepingen;

● L de totale hoogte van het gebouw boven het niveau van de rotatieweerstand;

● Ecd de rekenwaarde van de E-modulus van beton;

● Ic het traagheidsmoment van de oppervlakte van de schorende elementen (niet-

gescheurde betonnen doorsnede);

● k1 een parameter waarvan de aanbevolen waarde 0,31 bedraagt.

Uidrukking 5.18 (hier formule (3.2.51)) is enkel geldig indien voldaan is aan onderstaande

voorwaarden:

● de torsionele stabiliteit is niet bepalend, de structuur is redelijk symmetrisch;

● de globale afschuifvervormingen zijn beperkt, bijvoorbeeld een schorend systeem dat

-III.50-

F V , Ed≤k 1

ns

ns1,6∑ Ecd I c

L2


hoofdzakelijk bestaat uit afschuifwanden zonder grote openingen;

● de schoorelementen zijn stijf verbonden aan de basis, rotaties zijn verwaarloosbaar;

● de stijfheid van de schorende elementen is redelijk constant over de hoogte;

● de totale verticale last neemt toe per verdieping.

Bespreking: Deze voorwaarden drukken uit dat formule (3.2.51) geldig is voor niet te hoge,

symmetrische gebouwen met niet te veel ramen. Voor conventionele flatgebouwen en

kantoorgebouwen is dit dus toepasbaar. Speciale structuren vereisen een gedetailleerdere studie.

EN 1992-1-1:2004 §5.8.3.3 schrijft voor:

(2) k1 in uitdrukking 5.18 (hier formule (3.2.51)) mag vervangen worden door k2, indien

geverifieerd kan worden dat de schorende elementen ongescheurd zijn in de uiterste grenstoestand.

De waarde van k2 kan in het nationaal toepassingsdocument gevonden worden. De aanbevolen

waarde bedraagt 0,62. In gevallen waar het schorende systeem significante globale

afschuifvervormingen en/of eindrotaties heeft, wordt verwezen naar Bijlage H.

Bespreking: Dit betekent dus dat, als bewezen kan worden dat de schorende elementen ongescheurd

zijn, de totale verticale belasting dubbel zo groot mag worden in het criterium voor de

verwaarlozing van de tweede orde-effecten dan in het geval waarin dit niet zo is.

In de informatieve Bijlage H is meer gedetailleerde informatie opgenomen. In hoofdstuk 4 wordt

een case study gewijd aan het bestuderen van het criterium uit formule (3.2.51) en de formules uit

Bijlage H van de EN 1992-1-1:2004.

3. Conclusie

De meest opvallende verandering in de berekening van tweede orde-effecten tussen NBN B15-002

-III.51-


(1999) en EN 1992-1-1 (2004) is uiteraard het opnemen van de methode van de nominale stijfheid

in de normtekst. De paragraaf over globale tweede orde-effecten in gebouwen is ook nieuw.

De berekening van het slankheidscriterium veranderde en de slankheid van raamwerken werd

anders geformuleerd, waardoor eenvoudige handberekeningen minder evident worden.

De methode van de nominale kromming, voorheen methode van de modelkolom, gaat in de EN

1992-1-1:2004 uit van de berekening van een tweede orde-moment, waar dit in de NBN B15-002

(1999) de berekening van een tweede orde-excentriciteit was. In grote lijnen zijn de denkwijzen

voor deze methode echter onveranderd.

De algemene methode is in de EN1992-1-1:2004 in §5.8.6 opgenomen, terwijl in de NBN B15-002

(1999) verwezen werd naar Bijlage 3. Er worden geen hapklare formules aangeboden, de ontwerper

krijgt slechts algemene richtlijnen ter berekening met de algemene methode.

De berekening van kruip is licht gewijzigd door het gebruik van de grafieken in de

EN1992-1-1:2004 in plaats van de tabel uit de NBN B15-002 (1999). De uitvoerige berekening van

kruip is nog steeds behouden in een bijlage, Bijlage B uit de EN1992-1-1:2004 en Bijlage 1, A1.1.2

uit de NBN B15-002 (1999) , en vertoont enkel wijzigingen in de formules naar aanleiding van het

toelaten van hogere sterkteklassen van beton in de EN 1992-1-1:2004. Nieuw is dat EN

1992-1-1:2004 §5.8.4 handelt over de invloed van kruip op tweede orde-effecten.

De berekening voor drukstaven met een biaxiale excentriciteit is uitgebreid naar andere vormen van

doorsneden in de EN 1992-1-1:2004 §5.8.9 dan enkel de rechthoekige doorsnede uit de NBN

B15-002 (1999) §4.3.5.6.4. Bovendien wordt een toetsingsregel aangereikt om drukstaven in

biaxiale buiging te controleren.

-III.52-

Case studies

Inhoudstafel1. Inleiding............................................................................................................................................42. Referentieverslag volgens EN1992-1-1 (2004)................................................................................4

2.1. Volgens NBN B15-002 (1999)..................................................................................................52.2. Volgens EN 1992-1-1:2004.......................................................................................................5

2.2.1. Korte kolom......................................................................................................................52.2.2. Slanke kolom.....................................................................................................................8

2.3. Samenvattende tabel...............................................................................................................173. Ingeklemde kolom..........................................................................................................................18

3.1. Tabellen van De Vos...............................................................................................................193.1.1. C25/30.............................................................................................................................193.1.2. C90/105...........................................................................................................................203.1.3. C25/30 met verbetering αe..............................................................................................21

3.2. Nederlandse norm VB 1974...................................................................................................213.3. Duitse norm DIN 1045...........................................................................................................223.4. Australische norm...................................................................................................................243.5. CEB: Benaderde methode.......................................................................................................27

3.5.1. Eerste methode................................................................................................................273.5.2. Tweede methode..............................................................................................................28

3.6. CEB: Methode van de evenwichtstoestand............................................................................303.7. Eindige elementen...................................................................................................................333.8. Samenvatting van de resultaten..............................................................................................34

4. Scharnierende kolom......................................................................................................................374.1. Franse vereenvoudigde methode............................................................................................374.2. Bespreking resultaten..............................................................................................................38

5. Invloed betonklasse........................................................................................................................396. Invloed van kruip............................................................................................................................41

6.1. Methode van de modelkolom NBN B15-002 (1999).............................................................426.1.1. Vereenvoudigde berekening van kruip ...........................................................................426.1.2. Kruip berekend volgens NBN B15-002 (1999) Bijlage 3...............................................42

6.2. Volgens EN1992-1-1:2004......................................................................................................446.3. Samenvatting .........................................................................................................................44

7. Effectieve lengte van kolommen in raamwerken...........................................................................477.1. Kolom 1..................................................................................................................................47

7.1.1. Volgens NBN B15-002 (1999)........................................................................................487.1.2. Volgens EN1992-1-1:2004..............................................................................................507.1.3. Eindige Elementen..........................................................................................................51

7.2. Conclusie................................................................................................................................528. Biaxiale buiging..............................................................................................................................57

8.1. Berekening volgens NBN B15-002 (1999)............................................................................588.2. Berekening volgens EN1992-1-1:2004..................................................................................59

4

Case studies

8.3. Invloed parameters op voorwaarde ........................................................................................608.4. Conclusie................................................................................................................................63

9. Globale tweede orde-effecten in gebouwen...................................................................................639.1. Voorbeeld 1.............................................................................................................................649.2. Voorbeeld 2.............................................................................................................................659.3. Conclusie................................................................................................................................67

10. Invloed wapeningsstaal................................................................................................................6711. Invloed van de vorm.....................................................................................................................6812. Evaluatie berekening volgens BAEL ...........................................................................................6813. Conclusie......................................................................................................................................68

Lijst van figurenFig. 1: Korte kolommen uit [14]...........................................................................................................4Fig. 2: Slanke kolom uit [14]................................................................................................................5Fig. 3: Grafische voorstelling van de maximale kracht........................................................................8Fig. 4: Bepaling van de wapening......................................................................................................10Fig. 5: Bepaling van de wapening......................................................................................................12Fig. 6: Bepaling van de wapening......................................................................................................14Fig. 7: Schets voor berekening traagheidsmoment wapening............................................................16Fig. 8: Rekdistributie [6]....................................................................................................................25Fig. 9: Gebruikte symbolen................................................................................................................26Fig. 10: Gebruikte interactiediagram..................................................................................................28Fig. 11: Interactiediagram V15...........................................................................................................30Fig. 12: Congruente driehoeken.........................................................................................................32Fig. 13: Berekening wapening in ESA...............................................................................................34Fig. 14: Vergelijking totaal moment...................................................................................................40Fig. 15: Vergelijking tweede orde-moment........................................................................................40Fig. 16: Bepaling van de kruipfactor..................................................................................................43Fig. 17: Bepaling kruipfactor.............................................................................................................44Fig. 18: Raamwerk type 1..................................................................................................................48Fig. 19: Bepaling van β......................................................................................................................49Fig. 20: Bepaling van β......................................................................................................................50Fig. 21: Bestudeerde gevallen............................................................................................................53Fig. 22: Schets doorsnede...................................................................................................................58Fig. 23: Analytische oplossing voorwaarden......................................................................................62Fig. 24: Voorbeeld 1...........................................................................................................................64Fig. 25: Voorbeeld 2...........................................................................................................................65

Lijst van TabellenTabel 1: Samenvatting voorbeeld 1, slanke kolom.............................................................................18Tabel 2: Berekening Mub...................................................................................................................25Tabel 3: Overzicht case study 2..........................................................................................................35

-IV.2-

Case studies

Tabel 4: Vergelijking met stijfheden...................................................................................................35Tabel 5: Vergelijking voorbeeld 3.......................................................................................................38Tabel 6: Bepaling kruipfactor.............................................................................................................42Tabel 7: Berekening kruipfactor volgens bijlage norm......................................................................43Tabel 8: Samenvatting case study kruip.............................................................................................44Tabel 9: Kruipfactor............................................................................................................................45Tabel 10: Niet-schrankende raamwerken...........................................................................................53Tabel 11: Schrankende raamwerken...................................................................................................56

-IV.3-

Case studies

1. Inleiding

In dit hoofdstuk worden een aantal praktische voorbeelden uitgewerkt om het verschil tussen de EN

1992-1-1 (2004) en de NBN B15-002 (1999) te bestuderen. De methodes besproken in hoofdstuk 2

en 3 worden in dit hoofdstuk in praktische voorbeelden gebruikt.

In de case studies werd standaard uitgegaan van de factor α=1 voor de berekeningen volgens de EN

1992-1-1:2004. In een aantal case studies werd ook gerekend met α=0,85, zoals in het Nationaal

Toepassingsdocument bij de EN 1992-1-1:2004.

2. Referentieverslag volgens EN1992-1-1 (2004)

Gegeven zijn beton C25/30, staal BE500 een betondekking van 3cm en een minimale excentriciteit

van 20mm. Twee kolommen worden bestudeerd, zie Fig. 1 en Fig. 2.

-IV.4-

Fig. 1: Korte kolommen uit [14]

Case studies

2.1. Volgens NBN B15-002 (1999)

De berekening volgens de NBN B15-002 (1999) is overgenomen uit het Referentieverslag [14] dat

gebruikt werd tijdens de oefeningen “Berekening van Betonconstructies”. De berekening kan

gevonden worden in Bijlage A van dit werk.

De berekeningen geven dat de kolom uit Fig. 1 niet knikgevoelig is. De kolom uit Fig. 2 is

knikgevoelig en moet gewapend worden met 4φ25mm per zijde.

2.2. Volgens EN 1992-1-1:2004

2.2.1. Korte kolom

De kolommen uit Fig. 1 worden hier beschouwd.

a) Kolom tussen verdieping 0 en 1

Hier wordt opnieuw eerst de slankheid λ van de kolom bepaald.

-IV.5-

Fig. 2: Slanke kolom uit [14]

Case studies

=l 0

i

i= I c

Ac= bh3

121bh= 0,42

12=0,115m

l 0=0,8 l=0,8.3 ,5m=2,8m⇒=24,3

Vervolgens wordt de maximale slankheid als volgt bepaald:

limiet=20 ABC n

A= 110,2ef

; ef onbekend A=0,7

B=12 ; onbekend B=1,1C=1,7−r m ; rm onbekend C=0,7

Als men de waarde van n berekend heeft, kan de limietwaarde van de slankheid bepaald worden:

n=N Ed

Ac f cd= 4,057 MN

0,4 m.0 ,4m.16 ,7 MN /m2=1,52

limiet=20.0,7.1 ,1. 0,71,52

=8,74

De kolom is dus knikgevoelig. Met de regels van de NBN B15-002 (1999) was geen

knikberekening nodig.

De kolommen tussen verdieping 1 en 2 en tussen verdieping 2 en 3 worden ook bestudeerd. De

berekeningen zijn opgenomen in Bijlage A. De kolommen tussen verdieping 1 en 2 en tussen

verdieping 2 en 3 zijn ook knikgevoelig. Volgens de EN 1992-1-1:2004 moet er dus vaker een

tweede orde-berekening voor kolommen uitgevoerd worden.

b) Opmerking

Wanneer is de kolom tussen verdieping 0 en 1 nu niet knikgevoelig? Om het antwoord op deze

vraag te weten, worden de waarde van de slankheid en de limietwaarde van de slankheid aan elkaar

gelijkgesteld. De formules worden herschreven in functie van de onbekenden x (de zijde) en Fmax.

-IV.6-

Case studies

=2,8x 12=9,7

x

Om de limietwaarde van de slankheid in functie van de onbekenden te schrijven, moet eerst de

dimensieloze normaalkracht herschreven worden in functie van de maximale kracht waarvoor de

sectie niet knikgevoelig is.

n=Fmax

x2 16,7MN /m2

limiet=20.1,1.0 ,7.0 ,7

F max

x216,7

Gelijkstellen van de slankheid en zijn limietwaarde levert:

9,7x=20.1,1.0 ,7.0,7. x.4 ,087

F max

0,22= x2

F max

4,85.10−2= x4

Fmax

Fmax=20,63 x4

Voor een aantal waarden van de zijde x werd de kracht berekend. Grafisch wordt dit voorgesteld in

Fig. 3, met als waarde voor x=0,1m Fmax = 2 KN en voor x=1m Fmax= 21 MN:

-IV.7-

Case studies

Voor secties met een zijde boven 0,6m, loopt de op te nemen kracht snel toe. Om een kracht van

1MN op te vangen, is een sectie met zijde van bijna 50cm nodig om geen tweede orde-effecten te

moeten beschouwen. Deze grafiek illustreert dus dat volgens de EN 1992-1-1:2004 voor veel

praktische gevallen sneller rekening zal moeten gehouden worden met tweede orde-effecten.

2.2.2. Slanke kolom

In Bijlage A werd aangetoond dat deze kolom knikgevoelig is.

a) Methode van de nominale kromming, zonder kruip

Deze methode leunt sterk aan bij de methode van de modelkolom uit de NBN B15-002 (1999). Het

dimensionerende moment is M Ed=M 0EdM 2 . Het eerste orde-moment brengt de geometrische

excentriciteit in rekening. Men beschouwt M 0Ed=N Ed .e0e i met

e0=max h30

, 20 mm=20 mm en e i=i

lo

2. Hierin is i=0 .h .m met

-IV.8-

Fig. 3: Grafische voorstelling van de maximale kracht

Case studies

23≤h=

2 l≤1⇒h=0,74 en 0=

1200 zodat

i=1

200.0,74 .1=3,7.10−3 en dus e i=i

l 0

2=3,7.10−3 . 5,84m

2=1,08cm . Het eerste orde-

moment bedraagt dus M 0Ed=N Ed e ie0=3525 kN . 1,08cm2cm=109kNm . Het tweede

orde-moment wordt berekend aan de hand van de nominale kromming.

M 2=N Ed .e2

e2=1r

l 02

cc=10

1r=K r K

1r 0

In dit voorbeeld is de wapening nog niet gekend, en wordt geen rekening met kruip gehouden. De

factoren zijn dus gelijk aan 1.

1r0=

f yd

E s 0,45d= 434MPa

200GPa.0 ,45.0,35 m=1,38.10−2

m

e2=1,38.10−2

m. 5,84m2

10=4,707.10−2 m

M 2=N Ed .e2=3525kNm.4 ,707.10−2 m=166 kNm

De kolom moet dus berekend worden voor samengestelde buiging met NEd = 3525 kN en MEd = 275

kNm.

Om snel de wapening te bepalen, wordt gebruik gemaakt van de spreadsheet van The Concrete

Society die het interactiediagram opstelt voor EC2, zie Fig. 4.

-IV.9-

Case studies

-IV.10-

Fig. 4: Bepaling van de wapening

Case studies

De doorsnede moet vergroot worden. Kies een nieuwe doorsnede van 50cmx50cm. Een aantal

zaken die herberekend moeten worden, zijn hieronder weergegeven:

i=0,144=40,46

n= 3,525MN0,5m.0 ,5m.16 ,7 MPa

=0,844

limiet=11,7

De kolom is dus nog steeds knikgevoelig.

Nu worden de elementen van de tweede orde-berekening die veranderd zijn, herberekend.

1r0=

f yd

E s 0,45 d= 434 MPa

200 GPa .0,45.0 ,45 m=1,07.10−2

m

⇒ e2=1r

l 02

c=1,07.10−2

m. 5,84 m2

10=3,65.10−2 m

⇒M 2=N Ed . e2=3525 kN . 3,65.10−2 m=129 kNm

Om de wapening te bepalen moet nu een geval van samengestelde buiging bestudeerd worden met

NEd = 3525 kN en MEd = 238 kNm.

Aan de hand van de spreadsheet, zie Fig. 5, wordt de wapening bepaald.

-IV.11-

Case studies

-IV.12-


Case studies

De wapening bedraagt hier nu 3 φ 20mm per zijde, in totaal 8 φ 20mm. In een laatste iteratie wordt

de invloed van het wapeningspercentage (dat nu gekend is) bestudeerd.

=As f yd

Ac f cd=80,01m 2. 434 MPa

0,5m2. 16,7 MPa=0,261

K r=nu−n

nu−nbal=1,261−0,844

1,261−0,4=0,484

1r=K r

1r0=0,484 . 1,07.10−2

m=5,18.10−3

m

Met deze kromming wordt het tweede orde-moment:

e2=1r

l 02

c=5,18.10−3

m. 5,84 m2

10=1,77.10−2 m⇒M 2=N Ed .e2=3525kN .1,77.10−2 m=62kNm

De wapening wordt bepaald voor een geval van samengestelde buiging met normaalkracht voor

NEd=3525 kN en MEd = 171 kNm, zie Fig. 6. Men kan al opmerken dat het dimensionerende moment

kleiner geworden is tegenover de vorige iteratiestap.

-IV.13-

Case studies

Schijnbaar kan de wapening verlaagd worden tot 2 φ 20mm per zijde. Dit verandert wel de

berekeningen.

=As f yd

Ac f cd=40,01m2. 434 MPa

0,5m2 .16,7 MPa=0,131

K r=nu−n

nu−nbal=1,131−0,844

1,131−0,4=0,392

1r=K r

1r0=0,392. 1,07.10−2

m=4,19.10−3

m

Het tweede orde-moment bedraagt nu:

e2=1r

l02

c=4,19.10−3 . 5,84m2

10=1,43.10−2 m⇒M 2=N Ed .e2=3525kN . 1,43.10−2 m=50 kNm

-IV.14-


Case studies

Men heeft nu een geval van samengestelde buiging met normaalkracht met NEd = 3525 kN en MEd =

159 kNm. De wapening van 2 φ 20mm per zijde is dus voldoende. De wapening die bekomen wordt

met de EN 1992-1-1:2004 is beduidend minder dan met de NBN B15-002 (1999). Dit is

gedeeltelijk te verklaren door het veranderen van de factor α van 0,85 naar 1. Bovendien is het

eerste orde-moment lager door het verlagen van de waarde van e0.

De berekeningen voor een effectieve kruipverhouding φef = 1,8 zijn opgenomen in Bijlage A van dit

werk. De benodigde wapening bedraagt 2 φ 20mm per zijde.

Verder zijn de berekeningen volgens het NTD, met α=0,85 opgenomen in Bijlage A. Er werd een

berekening zonder kruip gemaakt en een berekening voor een effectieve kruipverhouding φef = 1,8.

De wapening bedraagt in beide gevallen 3 φ 20mm per zijde.

b) Methode van de nominale stijfheid, zonder kruip

Deze methode is nieuw in de EN 1992-1-1:2004. In de berekening wordt onmiddellijk uitgegaan

van een doorsnede van 50cmx50cm en een wapening van 2 φ 20mm per zijde.

EI=K c Ecd I cK s E s I s

E cd=Ecm

ce=

31 GPa1,2

=25,8 GPa

De berekening van de factoren Ks en Kc hangt af van de waarde van ρ.

=As

Ac=

40,012

0,52 =5,03.10−30,002

K c=k 1 k2

1ef

k 1= f ck

20 =1,118

-IV.15-

Case studies

k 2=n170

=0,844.40,46170

=0,2

⇒ K c=8,02.10−2

I c=0,54

12=5,208.10−3m4

De factoren die de stijfheid van het staal in rekening brengen, kunnen nu al berekend worden omdat

we al een idee hebben van de wapening. Indien dit niet zo zou zijn, zou men enkel met de eerste

term rekenenen en dan in een volgende iteratie de wapening in rekening brengen.

Om het traagheidsmoment te berekenen, worden de afstanden gebruikt aangeduid in Fig. 7.

tussenafstand=500−2.20−2.10−2.30=380 mm

x=380mm2

2=380mm

220mm

2=200 mm

l= x12 d

2

2

=20022002=283mm

I s=4. r 4

4 . r 2. l 2

I s=4.104

4 . 102 . 2832=1,007.10−4 m4

-IV.16-

Fig. 7: Schets voor berekening traagheidsmoment wapening

Case studies

Nu kan de stijfheid bepaald worden.

EI=K c E cd I cK s E s I s=8,02.10−2.25 ,8GPa.5 ,208.10−3 m41.200.GPa.1,007.10−4 m4=31MNm2

Het moment wordt vervolgens berekend als:

M Ed=M 0Ed [1

N B

N Ed−1]

=2

c0

Voor c0 wordt de waarde 8 gebruikt omdat het verloop van het eerste orde-moment hier constant is.

=2

8=1,234

N B=2 EI

l 02 =

2.31 MNm2

5,84 m2=8,95 MN

⇒M Ed=109kNm [1 1,2348,95 MN3,525 MN −1

]=196 kNm

Om de wapening te bepalen, moet men opnieuw de doorsnede beschouwen onder samengestelde

buiging met normaalkracht met NEd = 3525 kN en MEd = 201 kNm. Dit wordt berekend aan de hand

van de spreadsheet van The Concrete Society. Opnieuw blijkt de wapening van 2φ20mm te

voldoen.

De berekeningen, rekening houdend met kruip, zijn analoog aan deze in de vorige paragraaf en

kunnen teruggevonden worden in Bijlage A van dit werk. Ook hier wordt een effectieve

kruipverhouding φef =1,8 verondersteld. De benodigde wapening is hier 3φ20mm per zijde.

De berekeningen, rekening houdend met het NTD, zijn tevens terug te vinden in Bijlage A.

2.3. Samenvattende tabel

-IV.17-

Case studies

De resultaten van deze case study voor de slanke kolom uit Fig. 2 worden in Tabel 1 samengevat.

Tabel 1:Samenvatting voorbeeld 1, slanke kolom

Berekeningswijze wapeningNBN B15-002 (1999), referentieverslag 12φ25 mmEN 1992-1-1:2004, nominale kromming, zonder kruip 4φ20 mmEN 1992-1-1:2004, nominale kromming, met kruip 4φ20 mmEN 1992-1-1:2004, nominale kromming, NTD, zonder kruip 8φ20 mmEN 1992-1-1:2004, nominale kromming, NTD, met kruip 8φ20 mmEN 1992-1-1:2004, nominale stijfheid, zonder kruip 4φ20 mmEN 1992-1-1:2004, nominale stijfheid, met kruip 8φ20 mmEN 1992-1-1:2004, nominale stijfheid, NTD, zonder kruip 12φ20 mmEN 1992-1-1:2004, nominale stijfheid, NTD, met kruip 12φ20 mm

Dit toont dat, voor dit geval de invloed van kruip met de gebruikte kruipfactor beperkt is. De

berekeningen met de EN 1992-1-1:2004 leveren minder wapening op dan deze volgens de NBN

B15-002 (1999). Dit is te verklaren door het lagere eerste orde-moment door het verkleinen van e0

in de EN 1992-1-1:2004. Wanneer het NTD gevolgd wordt, wordt een zwaardere wapening

gevonden. Deze is nog steeds lichter dan wat gevonden werd aan de hand van de NBN B15-002

(1999). De gevonden wapening is zwaarder voor de methode van de nominale stijfheid dan voor de

methode van de nominale kromming uit de EN 1992-1-1:2004. De methode van de nominale

stijfheid geeft hier iets hogere totale momenten dan de methode van de nominale kromming.

De berekeningen in ESA PT geven een dimensionerend moment van 128 kNm, wat vergelijkbaar,

doch iets minder is dan de waarde gevonden in de berekeningen met de vereenvoudigde methodes.

3. Ingeklemde kolom

In deze case study wordt het eenvoudige geval van een 3m lange, aan de voet ingeklemde kolom,

-IV.18-

Case studies

belast met een normaalkracht van 2,5MN bestudeerd. Dit eenvoudige geval werd gekozen om veel

methodes met elkaar te kunnen vergelijken. Gekozen wordt een kolom met initieel de sectie

50cmx50cm en S500 wapeningsstaal. De berekeningen worden uitgevoerd voor C25/30 en in een

aantal gevallen voor C90/105. Men heeft dus volgende materiaaleigenschappen:

C25 /30 f cd=16,7 MPa , f cdu=14,1 MPaC90 /105 f cd=60 MPa , f cdu=51 MPa

S500 f yd=434 MPa

3.1. Tabellen van De Vos

3.1.1. C25/30

De dimensieloze parameters zijn volgende:

a 'h= 5cm

50cm=0,1

d=N d

b ht f cdu= −2,5MN

0,5m.0 ,5m.14 ,1 MPa=−0,709

l e

ht=

2lht=

6m0,5m

=12≈10

De berekening van de eerste orde-excentriciteit en het eerste orde-moment werden opgenomen in

Bijlage B van dit werk. Het eerste orde-moment bedraagt 168 kNm. Het dimensieloze moment

wordt dan:

d=M 1d

b h t2 f cdu

=0,186

Uit tabel 6A van De Vos volgt dan:

=0,05

⇒=As f yd

bh t f cdu

Uit de tabel kan afgeleid worden dat de betonsectie nog verkleind kan worden, bijvoorbeeld tot

-IV.19-

Case studies

40cmx40cm. De dimensieloze parameters worden dan:

a 'h= 5cm

40cm=0,125

d=N d

b ht f cdu= −2,5 MN

0,4 m.0 ,4 m.14 ,1 MPa=−1,1

l e

ht=

3m.240cm

=15⇒ interpoleren tussen de waarde voor 10 en20

e1=5,73 cmM 1d=5,73cm.2 ,5 MN=143 kNm

d=M 1d

b ht2 f cdu

=0,159

Aan de hand van de waardes voor l e

ht10 en 20 in tabel 6A kan door interpolatie de wapening

bepaald worden.

=0,330,482

=0,405

=As f yd

bht f cdu⇒ A s=2105 mm2

Dit geeft als wapening 5φ25mm per zijde, in totaal dus 16φ25mm. Om te controleren of de

dimensies niet te hard verkleind werden, wordt de tussenafstand nagegaan.

tussenafstand= 400−2.30−2.8−5.254

≈50⇒OK

3.1.2. C90/105

De berekeningen verlopen analoog aan de berekeningen voor C25/30 en werden opgenomen in

Bijlage B van dit werk. De betonsectie kan verkleind worden tot 30cmx30cm en de benodigde

wapening bedraagt 2φ25mm per zijde, of 4φ25mm. Men dient hierbij op te merken dat de tabellen

van De Vos in feite niet opgesteld zijn voor deze recente betonklasse.

-IV.20-

Case studies

3.1.3. C25/30 met verbetering αe

Deze berekeningsmethode bouwt voort op 3.1.1. Uit Fig.8 van hoofdstuk 2 (p. II.20) vindt men αe =

-0,25. Uit tabel 6B van De Vos worden ε1 en ε4 bepaald, met le

h=15 , ω=0,4 en ν=-1,1. Door

interpolatie bekomt men

1=−0,290−0,236

2=−0,263.10−2 en 4=

−0,002−0,0112

=−0,0065.10−2 . Hieruit volgt

2=10

l e

ht2 1−4

1− uht

=−1,110

6m0,4 m

2 −0,263−0,0065

1001− 5cm40cm

=0,076 en dus ook

1v=112e

12=0,15910,076.−0,25

0,1590,076=0,146 . Dit geeft als mechanisch

wapeningspercentage via tabel 6A en interpolatie uiteindelijk ω=0,36 zodat As = 1862 mm2.

3.2. Nederlandse norm VB 1974

Deze methode werd besproken in [2]. Een voorbeeld wordt uitgewerkt om de evolutie van de

berekening van de excentriciteit te onderzoeken. Uit de belastingsschema's opgenomen in [2] blijkt

dat dit voorbeeld een type 3 is. Dit geeft: =C

C−0,5 N d' l met C de veerconstante van de

inklemming. De inklemming in het voorbeeld wordt perfect stijf verondersteld en C=∞ genomen.

Dit geeft dan ξ=1. Voor de berekening van de “toeslagexcentriciteit” wordt een verschil gemaakt

tussen e0 < 0,5ht en e0 ≥ 0,5ht. Voor type 3 geldt:

e0=qhd l2

N d' =

25 kNm3 .0 ,4 m.0 ,4 m.3m2

2500 kN=1,44cm0,5ht=20cm . De toeslagexcentriciteit moet

-IV.21-

Case studies

berekend worden als:

ec=3[h te0 4−2] l100ht

2

=3[ 40cm1,44cm 4−2] 3m100.0,40 m

2

=0,72cm e=2,16cm

Het dimensionerende moment bedraagt hiermee M=N .e=2500 kN . 2,16cm=54kNm .

Dimensieloos wordt dit =M

b h2 f cdu

= 54kNm0,4m3 .14,1MPa

=6.10−2. Om een idee van de

wapening te krijgen, kan interactiediagram V15 gebruikt worden. Hiervoor wordt nog υ=-1,1

gebruikt. Men vindt dan dat ω=0,12 en dus als oppervlakte staal A s=b hf cdu

f yd=624 mm2 . Een

wapening van 2φ20mm per zijde voldoet hier aan.

3.3. Duitse norm DIN 1045

Deze methode, zoals beschreven in [2], is vooral geschikt ter controle van een reeds bepaalde

wapening. Daarom zal hier uitgegaan worden van de kolom 40cmx40cm met wapening 5φ25mm

per zijde en zal hiervoor de excentriciteit berekend worden.

De basishypothesen in deze norm waren anders dan deze van het CEB en later de Eurocodes. Ze

zijn beschreven in [2]. Bij het trekken van conclusies uit deze methode zal dus rekening gehouden

moeten worden met de veranderde basishypothesen. Berekeningen op basis van de gekende

basishypothesen zijn hier echter niet aangewezen, omdat deze methode gebruik maakt van tabellen

en grafieken die opgesteld zijn in de geest van deze methode. In [10], [11] en [12] wordt de link met

de materiaaleigenschappen uit de Eurocodes gelegd. Betonklasse C25/30 wordt hier Bn 250

genoemd, met βR = 175 kg/cm2 en Fb ,n

Fb=1 . Bijgevolg:

-IV.22-

Case studies

F b , n=40cm.40cm=1600cm2

F e=F e'=5. . 1,25cm2=24,54cm2

ges0, n=F eF e

'

F b , n=2.24,54cm2

1600cm2 =0,031

n= NF b , n

=−2,5 MN0,16 m2 =15,6 MPa

De eenheden in de Duitse tabel zijn ton/m2. De waarde van n moet dus als 1560 ton/m2 geschreven

worden. Voor de eenvoud wordt ges μ0,n = 0,03 genomen. Uit de tabel uit [2] en lineaire interpolatie

volgt:

n=−1400⇒m=123,6 k u=1,53 bu=78,5n=−1600⇒m=47,1 k u=0,69 bu=67,9⇒n=−1560⇒m=62,4 k u=0,86 bu=70,0

Bovendien geldt: s

100d= 2l

100d= 2.3m

100.0,35m=0,17

Vervolgens schrijft men:

maII=

maIn s

100d

2

5m−ma

I

bu−5ku

1n s100d

2 4bu

maI=mb

I

Als men m, n, ku, bu en s100d

2

invult en de termen herschikt, bekomt men

maI=4,3−0,96ma

II . Hierbij kan maII uit een interactiediagramma (zie [2]) gehaald worden. Daarin

is S

R=24 zodat 0=o

S

R=

F e

bdS

R=24,54 cm2

1600cm2 .24=0,368 en

n= Nbd R

= −2,5MN0,4 m.0 ,4m.17 ,5 MPa

=−0,893 . In de DIN 1045 wordt d gebruikt voor de hoogte

en h voor de nuttige hoogte.

-IV.23-

Case studies

Met deze gegevens kan uit het interactiediagram opgenomen in [2] de waarde voor m gevonden

worden: m=0,02=M a

II

bd 2R

⇒M aII=0,02.0,4 m3. 17,5MPa=22,4kNm . In de gewenste vorm

wordt dit: maII=

M aII

Fb ,n d= 22,4kNm

0,16m2. 0,4 m=350 kN

m2=35 tm2 zodat

maI=4,3−0,96ma

II=−29,3 tm2 . Bovendien is

maI=

e0 Nd Fbn

⇒ e0=−29,3 tm2 .0 ,4m.0 ,16m2 1

250t=1,2mm en ea=

l e

300= 6m

300=2cm

⇒ e1=2,12cm . Dit is veel minder dan in 3.1., maar vergelijkbaar met de Nederlandse methode

uit 3.2.

3.4. Australische norm

Ook hier wordt onmiddellijk uitgegaan van een sectie van 40cmx40cm en een wapening van

5φ25mm per zijde. De methode is beschreven in hoofdstuk 2 en in detail in [6]. Het op te nemen

moment bedraagt M i=M 2iN i≡M 2i met b=

k m

1−N i

N c

. Hierin is

k m=0,6−0,4M 1i

M 2i≥0,4⇒ k m=0,4 . Nc is de kniklast: N c=

2 EILe

2 en de stijfheid EI wordt

bepaald als: EI=182d 0 M ub

1d. Mub is het particuliere ultieme buigmoment voor ku = 0,545 en

-IV.24-

Case studies

wordt berekend, zoals beschreven in [6], in Tabel 2.

Tabel 2 wordt opgesteld zoals beschreven in wat volgt. De plaats van de wapeningsstaven wordt

berekend aan de hand van de tussenafstand. Deze bedraagt 400−5.25−2.8−2.30

4≈50mm met

aan de zijkanten de 3cm betondekking en een beugel van 8mm. Met de tussenafstand en Fig. 8

worden de waardes xi voor het staal bepaald. Voor het beton is dit k u d

2=0,545.0 ,5 m.0 ,85

2. De

-IV.25-

Tabel 2: Berekening Mub

Fig. 8: Rekdistributie [6]

laag i xi mm epsilon_i sigma_i (MPa) Ai (mm 2̂) Fi (kN) D/2 – xi (mm) Mi (kNm)staal 1 350,5 -0,00253 -434 2454 -1065,04 -150,5 160,29staal 2 275,5 -0,00135 -270 982 -265,14 -75,5 20,02staal 3 200,5 -0,00017 -33,16 982 -32,56 -0,5 0,02staal 4 125,5 0,00102 203,68 982 182,28 74,5 13,58staal 5 50,5 0,00220 434 2454 1020,71 149,5 152,6beton 6 80,75 21,25 64600 1372,75 119,25 163,7

1213 510,2

Case studies

rekwaardes zijn bekomen door lineaire interpolatie, zoals ook in Fig. 8 getoond wordt. De gebruikte

formule is i=0,003k u d

k u d− x i , zie Fig. 9.

De waarden voor σ in het staal werden bepaald als s=min E , f y met E=200 Gpa. Voor

beton geldt c=0,85 f ck . Voor de berekening van de nuttige betonoppervlakte gebruikt men

Ac=b k u d . Vervolgens wordt de kracht Fi bepaald als het product van spanning en oppervlakte.

Voor de staven met xi < γkud geldt dat Fi verminderd moet worden met 0,85fcAi om rekening te

houden met de afwezigheid van beton op de plaatsen waar de wapeningsstaven ruimte innemen.

Uiteindelijk heeft men M ub=0,6.510 kNm=306kNm . Voor βd =1 (geen variabele lasten,

maximaal kruipeffect) krijgt men voor EI = 9746 kNm2. Dit geeft vervolgens

N c=2 EI6m2

=29746 kNm2

36m2 =2672kN=2,7MN en dus b=

0,4

1−N i

N c

= 0,4

1− 2,5 MN2,7 MN

=5,4. Om

maximaal het effect van deze methode te bekijken, zal het eerste orde-moment uit 3.1.1.

overgenomen worden, M1i=143kNm waaruit volgt dat Mi = 143kNm.5,4=772kNm. Vervolgens

wordt interactiediagram Chart RCB 3.1. C19 uit [6] geconsulteerd. Op de as staat

M u

Ag D= 0,6.772kNm

0,16m2. 0,4 m=7,2 MPa en

N u

Ag=0,6.2 ,5MN

0,16 m2 ≈10 MPa . Dit geeft een enorm hoge

waarde voor ρ=0,07. Voor dit geval zou de doorsnede vergroot moeten worden.

-IV.26-

Fig. 9: Gebruikte symbolen

Case studies

Als echter βd =0,5 (permanente en variabele lasten zijn ongeveer even groot) genomen wordt, krijgt

men als stijfheid EI=13000 kNm2, als kniklast Nc=3,6 MN en δb=1,3. Dan wordt Mi=187 kNm en

komt M u

Ag D=1,8MPa . Met deze gegevens levert het interactiediagram ρ≈0,01 op. Een

wapening die hier aan zou voldoen is 4φ25mm, wat dus een sterke reductie van de wapening zou

betekenen. Deze conclusie dient echter met voorzichtigheid behandeld te worden, in dit geval

zouden meerdere iteraties nodig zijn om tot een oplossing te komen en meer gegevens over de

permanente en variabele lasten zijn nodig om de exacte waarde van β te kennen. Men kan wel

stellen dat de methode erg gevoelig is voor de waarde van β.

3.5. CEB: Benaderde methode

3.5.1. Eerste methode

Deze methode, zoals beschreven in hoofdstuk 2 onder 2.3, brengt een factor 1,2 op de dimensieloze

krachten in rekening. In 3.1. werd reeds bepaald dat υ=-1,1. De formule voor μ2 wordt gehaald uit

het CEB Bulletin 93 en 103, voor │ν│>0,5.

2=0,05l e

h t

2

0,0035f yk

E y=0,05 6m

0,4m

2

0,0035500 MPa200GPa

=0,0675

Bij deze methode moet men geen additionele excentriciteit in rekening brengen, dus wordt het

eerste orde-moment en het dimensieloze eerste orde-moment als volgt berekend:

e0=max0,02 m ;0,1h=4cm⇒M 1d=2,5 MN.4cm=100kNm

1d=M 1d

bh t2 f cdu

=0,111

⇒d=1d2d=0,178 x1,2=0,214

Ook op υ wordt een factor 1,2 toegepast, zodat υ=-1,32. Op basis van grafiek V15 uit [2], zie Fig.

-IV.27-

Case studies

10, voor gecombineerde normaalkracht en buiging wordt dan de waarde voor ω bepaald. Deze

bedraagt 0,43 zodat A s=b ht

f cdu

f yd=0,34 . 0,4m.0 ,4m. 14,1MPa

434 MPa=2235 mm2 . De wapening van

5φ25mm die in 3.1. gevonden werd, voldoet aan de gevonden oppervlakte staal volgens deze

methode. Voor dit voorbeeld zijn beide methodes dus zeer gelijkaardig. Indien men over

interactiediagramma's voor samengestelde buiging en normaalkracht beschikt, leent deze methode

zich zeer goed voor het uitvoeren van handberekeningen.

3.5.2. Tweede methode

Deze tweede methode, zoals beschreven onder 2.3 in hoofdstuk 2, is een combinatie met de

-IV.28-

Fig. 10: Gebruikte interactiediagram

Case studies

methode van de modelkolom. In deze methode wordt de accidentele excentriciteit wel in rekening

gebracht. Volgens het CEB moet deze berekend worden als ea=max 1000

ht ,ht

30, 2cm met

=l 012

hzodat ea=

521000

0,4 m ; 0,4 m30

; 2cm=max 2,08cm ;1,33cm ;2cm=2,08cm . Dit

is dus iets groter dan de waarde die gevonden werd aan de hand van de NBN B15-002 (1999).

Echter, om tot een vergelijking van de methodes an sich te bekomen, zal hier gerekend worden met

de additionele excentriciteit bekomen met de NBN B15-002 (1999). Dit geeft dan volgende eerste

orde-moment:

M 1=2,5 MN.5 ,73 cm=143 kNm

1=M 1

b ht2 f cdu

=0,159

In de eerste stap wordt μ2 berekend zoals in de eerste methode.

21=0,05. l e

h t

2

0,0035f yk

Ea=0,05. 6m

0,4m

2

0,0035 434MPa200GPa

=0,064

De som van μ1 en (μ2)1 is μ=0,223. Aan de hand van grafiek V15 wordt de waarde voor ω bepaald,

ω=0,35. In tabel 6A van De Vos worden vervolgens μ (voor slankheid=0) en μ1 (voor de slankheid

van de kolom) bepaald. Zo bekomt men μ=0,224 en μ1 = 0,5.0,184+0,5.0,105=0,145. Met deze

gegevens wordt (μ2)2 bepaald als μ -μ1 =0,0795. Vervolgens gebruikt men deze (μ2)2 en de initiële

waarde van μ1 om μ te bepalen: μ=μ1 + (μ2)2 = 0,239. Op basis van grafiek V15, zie Fig. 11, wordt nu

ω=0,37 bepaald. Op basis van deze waarde voor ω worden nu opnieuw μ en μ1 bepaald uit tabel 6A

van De Vos, zoals hierboven uitgelegd. Hiervoor wordt lineaire interpolatie gebruikt en verder een

analoge redenering als hierboven gevolgd:

-IV.29-

Case studies

=0,6.0 ,2240,4.0 ,260=0,238

1=0,6.0,1840,4.0 ,2180,6.0,1050,40,133

2=0,157

⇒23=0,082⇒3=0,0820,159=0,214

Men ziet dus dat de convergentie bereikt is, er kan geen andere waarde dan ≈0,24 op de as van

grafiek V15, zie Fig. 11, gebruikt worden. De benodigde oppervlakte staal is dus

A s=b ht

f cdu

f yd=1923mm2 . Dit is dus iets minder dan met de eerste methode, maar levert

desalniettemin ook een wapening van 5φ25mm per zijde.

3.6. CEB: Methode van de evenwichtstoestand

Deze methode werd in hoofdstuk 2 onder 2.2 beschreven en wordt in detail uitgelegd in [1] en [2]

en werd oorspronkelijk beschreven in [3]. Deze methode is geschikt om te controleren of een

beschouwde doorsnede voldoende gedimensioneerd is, dus zal hier de doorsnede 40cmx40cm met

-IV.30-

Fig. 11: Interactiediagram V15

Case studies

wapening 5φ25mm per zijde gecontroleerd worden. Men beschikt over volgende gegevens:

kniklengte l0=6m, kolomdoorsnede 40cmx40cm, As=2454mm2, Nsd=2,5MN en e1=5,73cm en vraagt

zich af of een evenwichtstoestand mogelijk is.

In eerste instantie wordt een kromming 1r=12.10−3

mgekozen. Dit geeft

e=e1l 0

2

2 . 1r=5,73cm6m2

2 . 12.10−3

m=10,1cm . Aangezien 1

r=12.10−3=

∣s∣∣c∣d

vindt

men dat ∣s∣∣c∣=0,35.12.10−3=4,2.10−3 . Een voorbeeld van een rekdistributie die hiermee

overeenstemt is εc=-3,5.10-3 en εs=0,7.10-3. Gezien de absolute waarde-strepen kan men zich de

vraag stellen of εs positief al dan niet negatief kan zijn. Als men aan de gedrukte kant van de

doorsnede bovenaan εc=-3,5.10-3 heeft, kan men maximaal -x‰ in het staal bekomen:

h3,5

=h−dx

⇒ h−dh

.3,5=0,4 . Hieruit volgt dus dat εs positief is en de doorsnede zich in

domein 2a bevindt. Met deze rekken vindt men dat s=E ss=140 MPa en σc = 14,1 MPa. Om

de neutrale vezel te bepalen, gebruikt men congruente driehoeken zoals geschetst in Fig. 12:

3,5x= 0,7

d−x⇒3,5.35cm=4,2 x⇒ x=29,2cm . Op die manier kan men ook de rek en de spanning

in het gedrukte staal bepalen: 3,529,2cm

=s2

24,2cm⇔s2=2,9⇒ s2=434 MPa .

-IV.31-

Case studies

Hiermee kunnen de evenwichtsvergelijkingen ingevuld worden:

N=0,81.b.x.f cdus2 . As2− s1 . A s1

N=0,81.0,4 m.0 ,292m.14 ,1MPa434MPa.2425mm2−140 MPa.2425mm2=2047kN

Deze waarde voor N is niet groot genoeg. Om de waarde voor N te verhogen, moet x toenemen. Dit

kan door een kleinere waarde voor 1r te kiezen, bijvoorbeeld

1r=10.10−3⇒∣s∣∣c∣=3,5.10−3 .

Een rekdistributie die hieraan voldoet, is εc=-3,5.10-3 en εs=0. De rek in het gedrukte staal wordt

dan als volgt bepaald: x=d⇒ 3,535cm

= 30cm

⇒=3⇒ s2=434 MPa . Aan de hand van de

gevonden spanningsverdeling, kan men dan de evenwichtsvergelijkingen invullen:

N RD=0,81.b.x.f cdu s2 . As2=0,81.0 ,4m.0 ,35m ,14,1 MPa2425mm2 . 434 MPa=2651 KN ,

wat groter is dan NEd=2500kN.

Nu een waarde voor N gevonden werd, groter dan de opgelegde, moet gecontroleerd worden of de

daarbij horende excentriciteit ook groter is dan de opgelegde. Hiervoor wordt de tweede

evenwichtsvergelijking uitgewerkt:

-IV.32-

Fig. 12: Congruente driehoeken

Case studies

M Rd=0,81.b.x.f cdud−0,416 x s2 A s2d−aM Rd=0,81.0 ,4m.0 ,35m.14 ,1MPa 0,35 m−0,416.0 ,35m434MPa.2425mm2.0 ,3m=643 kNm

⇒ eR=M Rd

N Rd=643kNm

2651kN=24,2cm

De excentriciteit bij deze kromming is e=5,73cm6m2

210.10−3

m=9,4cmeR . De doorsnede

voldoet dus.

Wanneer men ogenblikkelijk een goede waarde voor de kromming kiest, is deze methode snel om

doorsneden te controleren. Indien dit niet zo is, kan deze methode wat meer tijd in beslag nemen.

3.7. Eindige elementen

De berekening werd uitgevoerd in ESA, volgens EC-EN. Voor wapening wordt de optie B500A

gekozen. ESA berekent de waarde van l0 als 6,073m en de slankheid λ= 52,6. Er werd niet-lineair

gerekend. Voor C25/30 werd een dimensionerend moment van 146 kNm gevonden en een

benodigde wapening van 4φ40mm, zie Fig. 13. Voor C90/105 bedroeg het totale moment 245 kNm

en de wapening 4φ28mm.

-IV.33-

Case studies

3.8. Samenvatting van de resultaten

De berekeningen volgens de methode van de modelkolom uit de NBN B15-002 (1999) en de

methode van de nominale kromming en de methode van de nominale stijfheid uit de EN

1992-1-1:2004 en ook rekening houdend met het NTD voor C25/30 en C90/105 werden in Bijlage

B opgenomen.

-IV.34-

Fig. 13: Berekening wapening in ESA

Case studies

Tabel 3: Overzicht case study 2

Methode Klasse Wapening Doorsnede e1 e2

Tabellen van De Vos C25/30 16φ25mm 40cmx40cm 5,73cm nnTabellen van De Vos C90/105 4φ25mm 30cmx30cm 4,73cm nnDe Vos met verbetering C25/30 12φ25mm 40cmx40cm 5,73cm nnNederlandse VB 1974 C25/30 4φ20mm 40cmx40cm 1,44cm 0,72cmDIN 1045 C25/30 16φ25mm 40cmx40cm 2,12cm 8,96mmAustralische norm AS 3600 C25/30 4φ25mm 40cmx40cm nvt nvtCEB benaderde 1e C25/30 16φ25mm 40cmx40cm 4cm 2,4cmCEB benaderde 2e C25/30 16φ25mm 40cmx40cm 5,73cm 2,96cmEvenwichtstoestand C25/30 16φ25mm 40cmx40cm 5,73cm 3,67cmNBN B15-002 modelkolom C25/30 16φ25mm 40cmx40cm 5,73cm 1,79cmNBN B15-002 modelkolom C90/105 8φ25mm 35cmx35cm 4,73cm 5,79cmEC2-1-1 nominale kromming C25/30 12φ20mm 40cmx40cm 3,5cm 1,64cmEC2-1-1 nominale kromming C90/105 4φ20mm 35cmx35cm 3,5cm 5,79cmEC2-1-1 nominale kromming, NTD C25/30 16φ20mm 40cmx40cm 3,5cm 2,72cmEC2-1-1 nominale kromming, NTD C90/105 4φ20mm 35cmx35cm 3,5cm 5,79cmEC2-1-1 nominale stijfheid C25/30 12φ20mm 40cmx40cm nvt nvtEC2-1-1 nominale stijfheid C90/105 4φ20mm 35cmx35cm nvt nvtEC2-1-1 nominale stijfheid, NTD C25/30 16φ20mm 40cmx40cm nvt nvtEC2-1-1 nominale stijfheid, NTD C90/105 4φ20mm 35cmx35cm nvt nvtESA C25/30 4φ40mm 40cmx40cm nn nnESA C90/105 4φ28mm 35cmx35cm nn nn

Tabel 4: Vergelijking met stijfheden

Methode Betonklasse Wapening Doorsnede EIAS 3600 C25/30 16φ25mm 40cmx40cm 9746 kNm2 voor β=1

13000 kNm2 voor β=0,5EC2-1-1 stijfheid C25/30 12φ20mm 40cmx40cm 23500 kNm2

EC2-1-1 stijfheid C90/105 4φ20mm 35cmx35cm 19520 kNm2

Op basis van deze case study kan men zien dat:

● Voor betonklasse C25/30 de resultaten minder gespreid zijn dan voor klasse C90/105. Voor

-IV.35-

Case studies

klasse C90/105 leveren de tabellen van De Vos een kleinere doorsnede dan de andere

methodes.

● De EN 1992-1-1:2004 geeft voor zijn beide methodes hier opnieuw minder wapening dan de

NBN B15-002 (1999).

● De wapening die gevonden wordt, rekening houdend met het NTD bij de EN

1992-1-1:2004, bedraagt voor de lage betonklasse 1 staaf meer per zijde. Ze is echter nog

steeds minder dan de wapening die gevonden werd voor de NBN B15-002 (1999). Het NTD

bij de EN 1992-1-1:2004 maakt geen verschil voor betonklasse C90/105.

● De verbeterde methode van De Vos maakt hier wel degelijk een verschil ten opzichte van de

gewone methode. Het kan economisch voordelig zijn de verbeterde methode te gebruiken.

● De oude nationale normen (Nederlandse en Duitse) leveren een minder grote excentriciteit

op voor het knikprobleem. De fysische achtergrond van deze methodes komt minder naar

voor in deze normen.

● De benaderde methodes van het CEB zijn gemakkelijk in gebruik voor handberekeningen en

leveren resultaten die sterk vergelijkbaar zijn met de NBN B15-002 (1999)

● De resultaten bekomen met de methode van de nominale stijfheid en de methode van de

nominale kromming uit de EN 1992-1-1:2004 zijn vergelijkbaar.

● De methode van de nominale stijfheid en de Australische norm maken beide gebruik van een

stijfheid, maar de resultaten tonen hier dat het verschil tussen beide berekeningswijzen groot

is.

● De momenten gevonden met ESA zijn iets lager dan deze gevonden met de methode van de

nominale stijfheid of de methode van de nominale kromming. De resultaten zijn echter goed

vergelijkbaar.

-IV.36-

Case studies

4. Scharnierende kolom

Aangezien de Franse vereenvoudigde methode enkel geldig is voor scharnierende kolommen, zal

hier een voorbeeld van een scharnierende kolom van 5m, belast met 2500 kN, uitgewerkt worden.

Als materialen worden beton C25/30 en S500 wapeningsstaal gekozen. Initieel wordt uitgegaan van

een sectie van 50cmx50cm.

4.1. Franse vereenvoudigde methode

Eerst en vooral moet gecontroleerd worden of voldaan is aan de voorwaarden voor deze methode.

In Bijlage C werd aangetoond dat de benodigde betondoorsnede 35cmx35cm bedraagt. De

slankheid bedraagt =l 012

h=0,8.5m.12

0,35m=40 en dit is kleiner of gelijk aan 120. De waarde

van fck moet groter of gelijk zijn aan 20, dit is ook voldaan. De hoogte is groter of gelijk aan 0,15m

en de betondekking ≤ min [0,3h;100mm]=100mm. De voorwaarden zijn dus voldaan. De

basisformule van deze methode is N Rd=kh k s [bhf cdAs f yd ] . De waarde voor α bedraagt

= 0,86

1 62 2=

0,86

1 4062

2=0,6072. De waarde voor ks = 1 en voor

k h=0,750,5 h1−6 met =d 'h= 5cm

35cm=0,143 en =

As

bh. Voor kh kan men alles

behalve As invullen en bekomt men

k h=0,750,5.0 ,35cm1−6As

0,35m20,143=0,925−6,479 A s . Dit alles kan nu in de

basisformule ingevuld worden:

-IV.37-

Case studies

2,5 MN=[0,925−6,479 A s]0,6072[0,35m216,7 MPaA s 434MPa ] . Herschikken van deze

vergelijking levert volgende kwadraatsvergelijking: 0=−1,351236,2 A s−1710 A s2 . De

oplossing hiervoor is As=5978mm2, dit is de totale wapening in één richting. Per zijde heeft men dus

As = 2989mm2 nodig. Een wapening die hier aan voldoet is de zware wapening van 4φ32mm per

zijde. De tussenafstand wordt nog gecontroleerd, deze bedraagt

tussenafstand=350−4.32−2.30−2.83

=49mm≈50mm en is dus OK.

4.2. Bespreking resultaten

De berekeningen aan de hand van de tabellen van De Vos, de methode van de modelkolom uit de

NBN B15-002 (1999) en de methode van de nominale kromming en de methode van de nominale

stijfheid volgens de EN 1992-1-1:2004 en het NTD werden opgenomen in Bijlage C van dit werk.

In Bijlage C werd ook nagegaan of men eventueel de tabellen van De Vos zou kunnen gebruiken

voor berekeningen volgens de EN1992-1-1:2004 door de parameters die in de EN1992-1-1:2004

gebruikt worden, in te vullen. De resultaten van de berekeningen zijn in Tabel 5 opgenomen.

Tabel 5: Vergelijking voorbeeld 3

Methode Wapening per zijdeDe Vos 4φ25mmDe Vos, parameters volgens EN 1992-1-1:2004 3φ20mmModelkolom NBN B15-002 (1999) 3φ32mmNominale kromming EN 1992-1-1:2004 4φ25mmNominale kromming EN 1992-1-1:2004, NTD 4φ25mmNominale stijfheid EN 1992-1-1:2004 3φ25mmNominale stijfheid EN 1992-1-1:2004, NTD 4φ25mmFranse vereenvoudigde methode 4φ32mm

In dit voorbeeld levert de NBN B15-002 (1999) meer wapening dan de EN 1992-1-1:2004. De

-IV.38-

Case studies

methode van de nominale kromming levert hier meer wapening dan de methode van de nominale

stijfheid uit de EN 1992-1-1:2004. Opvallend is ook dat de tabellen van De Vos hier minder

wapening opleveren dan de methode van de modelkolom uit de NBN B15-002 (1999).

De Franse methode geeft de meeste wapening en de tabellen van De Vos aan de hand van de

materiaalparameters van de EN 1992-1-1:2004 geeft de minste wapening. Men kan dus niet zomaar

eenvoudig de materiaalparameters aanpassen en in de tabellen van De Vos gebruiken om op een

gemakkelijke manier de wapening voor een slanke kolom volgens EN1992-1-1 (2004) te bepalen.

Men kan de tabellen van De Vos eventueel wel gebruiken om een eerste schatting van de wapening

te maken.

De invloed van het NTD bij de EN 1992-1-1:2004, en dus de factor α=0,85 is hier opnieuw vrij

beperkt.

5. Invloed betonklasse

Een ingeklemde kolom van 4m, belast met 2,5 MN normaalkracht wordt beschouwd. De doorsnede

is 50cmx50cm met 4φ25mm wapening S500 per zijde. Het totale moment en het tweede orde-

moment werden berekend aan de hand van de methode van de modelkolom volgens de NBN

B15-002 (1999) en met de methode van de nominale kromming en de methode van de nominale

stijfheid volgens de EN 1992-1-1:2004. Deze berekeningen zijn opgenomen in Bijlage D.

-IV.39-

Case studies

Grafisch worden de resultaten in Fig. 14 en Fig. 15 voorgesteld.

-IV.40-

Fig. 14: Vergelijking totaal moment

Fig. 15: Vergelijking tweede orde-moment

Case studies

De resultaten voor het totaal moment lopen sterk uit elkaar. Voor de lage betonklassen is er enige

analogie tussen de methode van de nominale kromming en de methode van de modelkolom. Voor

grotere betonklassen lopen deze echter sterk uit elkaar, onder andere door het verschil in berekening

van het eerste orde-moment. Het totale moment bekomen met de methode van de nominale stijfheid

varieert nauwelijks met de betonklasse en is opvallend lager dan het totale moment bekomen met de

andere methodes.

De resultaten voor het tweede orde-moment vertonen een grote overeenkomst voor de methode van

de nominale kromming en de methode van de modelkolom. Dit is te verwachten aangezien beide

methodes op dezelfde redenering steunen. Voor lage betonklassen is het tweede orde-moment

berekend met de EN 1992-1-1:2004 groter dan dit berekend met de NBN B15-002 (1999). De

methode van de nominale kromming geeft een heel ander beeld van het tweede orde-moment. Het

tweede orde-moment blijft voor deze methode nagenoeg constant over de hele range van

betonklassen. Het tweede orde-moment bekomen met de methode van de nominale stijfheid is voor

dit voorbeeld overal lager dan dit bekomen met de methode van de nominale kromming of de

methode van de modelkolom.

6. Invloed van kruip

Een ingeklemde kolom van 4,5m lengte, belast met een normaalkracht van 3MN wordt bestudeerd.

De invloed van kruip wordt bestudeerd voor C12/15, C35/45 en C90/105, zowel volgens de

methode van de modelkolom uit de NBN B15-002 (1999) als volgens de methode van de nominale

kromming en de methode van de nominale stijfheid uit de EN 1992-1-1:2004. De berekeningen

worden uitgevoerd voor het geval er geen kruip wordt beschouwd, voor het geval kruip berekend

wordt met de vereenvoudigde methode en voor het geval men kruip volgens de normbijlage

berekent. De vochtigheid RH bedraagt 80% en het tijdstip van belasten is 28 dagen.

-IV.41-

Case studies

6.1. Methode van de modelkolom NBN B15-002 (1999)

De berekening met verwaarlozing van kruip werd opgenomen in Bijlage E.

6.1.1. Vereenvoudigde berekening van kruip

De waarde van de kruipfactor wordt bepaald aan de hand van tabel 3.3 uit de NBN B15-002 (1999).

De waarde van 2Ac/u = h0 is afhankelijk van de doorsnede. Men heeft 2Ac

u=2z2

4z= z

2. In de

tabel vindt men dat de kruipfactor 1,7 bedraagt voor 2Ac/u=150 en dat deze 1,5 bedraagt voor

2Ac/u=600. Via lineaire interpolatie kan de gepaste waarde van de kruipfactor gevonden worden.

Tabel 6: Bepaling kruipfactor

z (mm) h0 (mm) φ550 275 1,64500 250 1,65400 200 1,68De norm schrijft voor dat rekening gehouden moet worden met kruip, maar vermeldt nergens op

welke manier dit precies moet gebeuren. Daarom zal hier aangenomen worden dat de kromming

vergroot met een factor (1+φ) onder invloed van kruip. De berekeningen zijn opgenomen in Bijlage

E.

6.1.2. Kruip berekend volgens NBN B15-002 (1999) Bijlage 3

In de bijlage van de norm is een uitgebreidere werkwijze opgenomen om de kruipfactor te bepalen.

Het verloop van de kruip in de tijd wordt ook bepaald. De formule hiervoor is

-IV.42-

Case studies

t , t0=0ct−t 0 met 0=RH f cmt 0 . Hierin is RH=11− RH

1000,10 3h0

en

f cm=16,8 f cm

en t0=1

0,1t00,20=

10,1280,20=0,488 . Bovendien is

c t−t 0=[t−t0ht−t 0

]0,3

en h=1,5[10,012 RH 18]h0250≤1500 . De berekeningen werden

opnieuw aan de hand van een spreadsheet uitgevoerd, zie Tabel 7.

Het verloop van de kruip in de tijd werd grafisch bepaald, zie Fig. 16.

In vergelijking met de berekeningen aan de hand van de tabel uit de NBN B15-002 (1999) is de

waarde van de kruipfactor op oneindig meer voor de laagste betonklasse en minder voor de hoogste.

De berekeningen werden dus enkel voor fck = 12MPa en fck = 90 MPa uitgevoerd. De berekeningen

-IV.43-

Fig. 16: Bepaling van de kruipfactor

Tabel 7: Berekening kruipfactor volgens bijlage norm

fck (MPa) fcm (MPa) β(fcm) φRH φ0 βh12 20 3,76 1,31 2,4 860,3435 43 2,56 1,32 1,65 804,8590 98 1,7 1,34 1,11 693,88

Case studies

werden in Bijlage E opgenomen.

6.2. Volgens EN1992-1-1:2004

De berekening met verwaarlozing van kruip werd opgenomen in Bijlage E.

De kruipfactor die gebruikt wordt voor de methode volgens de EN 1992-1-1:2004 wordt bepaald

aan de hand van Fig. 3.1. uit de norm, zie Fig. 17.

De berekeningen zijn opgenomen in Bijlage E. De berekening van de kruip volgens de bijlage bij de

EN 1992-1-1:2004 lijkt sterk op de berekening besproken in 6.1.2 en wordt in Bijlage E

opgenomen. Ook de berekeningen aan de hand van de methode van de nominale stijfheid zijn in

Bijlage E opgenomen.

6.3. Samenvatting De resultaten kunnen als volgt samengevat worden in Tabel 8.

Tabel 8: Samenvatting case study kruip

-IV.44-

Fig. 17: Bepaling kruipfactor

Tabel 1: Berekening wapeningfck (MPa) wapening φ Ecd (Gpa) Kc Is (m4) EI (MNm2)

12 5φ25 2,57 6,3 0,04 4,45E-004 91,0935 1,18 13 0,11 3,30E-004 73,7990 0,53 23,97 0,2 1,86E-004 47,29

4φ254φ25

Nb (MN) Med (kNm) wapening11,1 180 4φ258,99 2005,76 289

4φ202φ16

Case studies

Methode Kruip? fck (MPa) Ac As (mm) per zijdeModelkolom Nee 12 55cmx55cm 4φ32Modelkolom Nee 35 50cmx50cm 4φ20Modelkolom Nee 90 40cmx40cm 3φ20Modelkolom Tabel 12 55cmx55cm Te veelModelkolom Tabel 35 50cmx50cm 5φ32Modelkolom Tabel 90 40cmx40cm Te veelModelkolom Bijlage 12 55cmx55cm Te veelModelkolom Bijlage 35 50cmx50cm 5φ32Modelkolom Bijlage 90 40cmx40cm Te veelNom. Kromming Nee 12 55cmx55cm 5φ25Nom. Kromming Nee 35 50cmx50cm 2φ16Nom. Kromming Nee 90 40cmx40cm 4φ20Nom. Kromming Grafiek 12 55cmx55cm 5φ25Nom. Kromming Grafiek 35 50cmx50cm 2φ16Nom. Kromming Grafiek 90 40cmx40cm 4φ25Nom. Kromming Bijlage 12 55cmx55cm 5φ25Nom. Kromming Bijlage 35 50cmx50cm 2φ16Nom. Kromming Bijlage 90 40cmx40cm 4φ25Nom. Stijfheid Nee 12 55cmx55cm 4φ25Nom. Stijfheid Nee 35 50cmx50cm 2φ16Nom. Stijfheid Nee 90 40cmx40cm 2φ16Nom. Stijfheid Grafiek 12 55cmx55cm 4φ25Nom. Stijfheid Grafiek 35 50cmx50cm 2φ20Nom. Stijfheid Grafiek 90 40cmx40cm 4φ20Nom. Stijfheid Bijlage 12 55cmx55cm 4φ25Nom. Stijfheid Bijlage 35 50cmx50cm 2φ20Nom. Stijfheid Bijlage 90 40cmx40cm 4φ20

Tabel 9: Kruipfactor

Norm Kruip fck (MPa) Ac φNBN B15-002 Tabel 12 55cmx55cm 1,64NBN B15-002 Tabel 35 50cmx50cm 1,65

-IV.45-

Case studies

NBN B15-002 Tabel 90 40cmx40cm 1,68NBN B15-002 Bijlage 12 55cmx55cm 2,4NBN B15-002 Bijlage 35 50cmx50cm 1,65NBN B15-002 Bijlage 90 40cmx40cm 1,11EN1992-1-1 Grafiek 12 55cmx55cm 2,1EN1992-1-1 Grafiek 35 50cmx50cm 1,5EN1992-1-1 Grafiek 90 40cmx40cm 0,8EN1992-1-1 Bijlage 12 55cmx55cm 2,57EN1992-1-1 Bijlage 35 50cmx50cm 1,18EN1992-1-1 Bijlage 90 40cmx40cm 0,53

De waarden voor de kruipfactor die met de tabel van de NBN B15-002 berekend werden, waren

enkel afhankelijk van de waarde van h0, waardoor de factor ongeveer gelijk is voor de 3

beschouwde betonklassen. De bijlage van de NBN B15-002 (1999) brengt de invloed van fck wel in

rekening. Daardoor wordt de kruipfactor hoger voor de lagere betonklasse en lager voor de hogere.

De waarden bepaald aan de hand van de grafiek uit de EN1992-1-1:2004 houden ook rekening met

fck en geven dus een hogere kruipfactor voor de lagere sterkteklasse en een lagere voor de hogere.

De kruipfactor voor fck=35MPa is lager dan de waarde bekomen aan de hand van de tabel uit de

NBN B15-002 (1999). In vergelijking met de bijlage uit de NBN B15-002 (1999), geeft de bijlage

uit de EN 1992-1-1:2004 enkel voor de laagste klasse een hogere factor; voor de middenklasse en

hoge klasse is de factor nu lager. In vergelijking met de waarde uit de grafiek krijgen we hetzelfde

beeld: enkel de laagste klasse wordt strenger benaderd.

De invloed van kruip op de wapening is beter geïntegreerd in de EN 1992-1-1:2004. Voor de NBN

B15-002 (1999) wordt nergens aangeduid op welke manier de kruipfactor in rekening gebracht

moet worden.

Indien geen rekening gehouden wordt met kruip, levert de NBN B15-002 (1999) de zwaarste

wapening. De EN 1992-1-1:2004 levert een zwaardere wapening met de methode van de nominale

-IV.46-

Case studies

kromming dan met de methode van de nominale stijfheid.

Indien men de kruip bepaalt aan de hand van de tabel of grafiek opgenomen in de norm, levert de

NBN B15-002 (1999) duidelijk een zwaardere wapening en voldoet voor het geval met fck=12MPa

en het geval met fck=90MPa de doorsnede zelfs niet. In de methode van de nominale stijfheid is de

invloed van kruip op de gevonden wapening groter voor fck=90 MPa dan in de methode van de

nominale kromming voor de EN 1992-1-1:2004.

Indien kruip bepaald wordt aan de hand van de bijlage bij de norm, levert de NBN B15-002 (1999)

opnieuw de zwaarste wapening. De resultaten met de methode van de nominale kromming en de

methode van de nominale stijfheid zijn vergelijkbaar. Opvallend opnieuw is de invloed van kruip op

de wapening bepaald aan de hand van de methode van de nominale stijfheid. Indien men geen kruip

beschouwt, is de wapening vrij klein. Indien men echter rekening houdt met kruip, zal de stijfheid

beduidend minder worden, en is een grotere wapening nodig om de kniklast voldoende groot te

houden.

7. Effectieve lengte van kolommen in raamwerken

In deze case study zullen voor een aantal kolommen in raamwerken de slankheid en de effectieve

lengte berekend worden, zowel voor het geval van een schrankend als van een niet-schrankend

raamwerk, en dit volgens de NBN B15-002 (1999) en de EN 1992-1-1:2004 en aan de hand van

ESA PT. De invloed van de oplegging van kolom en balken, van het verschil in betonklasse tussen

kolom en balken en van geometrische parameters wordt bestudeerd.

7.1. Kolom 1

Beschouw een raamwerk zoals in Fig. 18. De betonklasse van balken en kolom is dezelfde, deze

bedraagt C20/25.

-IV.47-

Case studies

7.1.1. Volgens NBN B15-002 (1999)

a) Niet-schrankend raamwerk

De geometrische parameters bedragen hier: I balk=bh3

12=0,4m.0,5m 3

12=4,16667.10−3 m4 ,

lbalk=7m, I kolom=bh3

12=0,4m 4

12=2,1333.10−3 m4 en lkolom=5m. De waarde van kA=0 want de kolom

is aan de voet ingeklemd. De NBN B15-002 (1999) beveelt aan ten minste kA=0,4 te nemen. De

-IV.48-

Fig. 18: Raamwerk type 1

Case studies

waarde van kB bedraagt k B=∑ Ecm

I col

l col

∑ E cmI b

l b

=

2,1333.10−3m4

5m

2.0,5. 4,16667.10−3 m4

7m

=0,7168 . De waarde van β

wordt dan bepaald aan de hand van het nomogram uit de NBN B15-002 (1999), zie Fig. 19.

De waarde van β=0,7 zodat l0=3,5m en de slankheid wordt dan =l 012

z=30 .

b) Schrankend raamwerk

De waarde voor β wordt afgelezen uit het nomogram, zie Fig. 20.

-IV.49-

Fig. 19: Bepaling van β

Case studies

Dit geeft dus β=1,2 zodat l0=6m en λ=52.

7.1.2. Volgens EN1992-1-1:2004

De waarde van k wordt bepaald aan de hand van k= M

EIl . De waarden van θ en M werden uit

[15] gehaald in functie van de randvoorwaarden. Dit levert hier Mbalk= Ql2

24 EI8

Ql=

l b

3 Eb I ben

M

kolom= Ql2

48EI8

QL=

l col

6 E col I colzodat

k 1=13

lb

I b

I col

l col1

6=1

314m

4,1667.10−3m4 . 2,1333.10−3m4

5m1

6=0,6445 . De kolom is aan de voet

ingeklemd zodat k2=0, maar de EN 1992-1-1:2004 schrijft voor dat k2 ten minste 0,1 moet zijn.

-IV.50-

Fig. 20: Bepaling van β

Case studies

a) Niet-schrankend raamwerkVoor een niet-schrankend raamwerk wordt β berekend als

=0,51 k 1

0,45k 11

k 2

0,45k 2=0,51 0,6445

0,450,64451 0,1

0,450,1=0,685 . Hiermee

wordt de effectieve lengte l0=3,43m en λ=30.


Voor een schrankend raamwerk heeft men: =max [110 k1 k 2

k1k 2;1

k 1

1k 11

k 2

1k2]

=max [110.0,6445.0 ,10,64450,1

;1 0,644510,6445

1 0,110,1

]=max [1,37 ;1,52]=1,52 . Hiermee

bekomt men l0=7,59m en λ=66.

7.1.3. Eindige Elementen

In ESA PT kan de slankheid van een element eenvoudig bepaald worden. Het volstaat om van een

ingegeven raamwerk in het submenu “Beton” de optie “slankheid beton” te nemen. De resultaten

kunnen dan onmiddellijk afgelezen worden uit het afdrukvoorbeeld. Een korte vergelijking leert ons

dat dit programma de slankheid op dezelfde manier berekent wanneer men als norm EN of ENV

kiest.

De berekening van β is beschreven in [17]. Zowel voor niet-schrankende als voor schrankende

raamwerken wordt een formule gebruikt die niet uit de NBN B15-002 (1999) of de EN

1992-1-1:2004 komt. Net als in de formule uit de EN 1992-1-1:2004 wordt gebruikt gemaakt van

een soepelheid (hier het omgekeerde, dus een stijfheid), maar de gebruikte formules voor β zijn

anders.

-IV.51-

Case studies


ESA levert ons dat β=0,55 en l0=2,767m en λ=24.


In dit geval is β=1,14 en dus l0=5,706m en λ=49.

In Bijlage G worden nog een aantal andere voorbeelden uitgewerkt.

7.2. Conclusie

De resultaten van de berekeningen uit Bijlage G zijn ondergebracht in tabellen. De vergelijking

gebeurt op basis van de waarden van β. Voor alle duidelijkheid zijn de bestudeerde gevallen

samengebracht, zie Fig. 21.

-IV.52-

Case studies

Voorbeeld 8 bestudeert een kolom met een hogere sterkte als betonklasse. Voorbeeld 9 beschouwt

een kolom van 30cmx30cm, terwijl in voorbeeld 10 de sectie 50cmx50cm wordt. Voorbeeld 11

beschouwt een kolom van 8m, terwijl deze in voorbeeld 12 3m bedraagt. Voorbeeld 13 beschouwt

een balk van 8m en een balk van 2 m. Voorbeeld 14 beschouwt twee balken van 2m.

Tabel 10: Niet-schrankende raamwerken

Nummer NBN B15-002 (1999) EN1992-1-1:2004 ESAVoorbeeld 1 0,7 0,685 0,55Voorbeeld 2 0,73 0,822 0,60Voorbeeld 3 0,8 0,68 0,77Voorbeeld 4 0,662 0,574 0,54Voorbeeld 5 0,676 0,66 0,55Voorbeeld 6 0,82 0,883 0,78

-IV.53-

Fig. 21: Bestudeerde gevallen

Case studies

Voorbeeld 7 0,8133 0,891 0,51Voorbeeld 8 0,711 0,694 0,56Voorbeeld 9 0,662 0,646 0,52Voorbeeld 10 0,74 0,719 0,60Voorbeeld 11 0,667 0,613 0,54Voorbeeld 12 0,7206 0,705 0,59Voorbeeld 13 0,662 0,672 0,54Voorbeeld 14 0,662 0,644 0,53

Voor deze niet-schrankende raamwerken geldt voor alle voorbeelden behalve voorbeeld 3 dat ESA

de laagste waarde voor β geeft en bijgevolg dus de kortste effectieve lengte. De waarden die met

beide normen gevonden worden, zijn vergelijkbaar.

Voorbeeld 1 wordt als referentie genomen waartegenover de andere voorbeelden vergeleken

worden. Intuïtief verwacht men dat de effectieve lengte van 2 groter zal zijn dan van 1 door de

andere condities aan de voet. Dit komt effectief naar voor in de resultaten van beide normen en het

programma.

Voorbeeld 3 is moeilijker in te schatten. Enerzijds zijn de balken nu ingeklemd, waardoor de

stijfheid verhoogt, maar anderzijds is de kolom nu scharnierend aan de voet waardoor de stijfheid

verlaagt. De NBN B15-002 (1999) en ESA tonen een vergroting van de factor β terwijl de EN

1992-1-1:2004 een lichte verkleining van β toont.

Van voorbeeld 4 is opnieuw makkelijk in te schatten dat de stijfheid groter zal zijn ten opzichte van

voorbeeld 1 door de inklemming van de balken. Beide normen en ESA leveren dit resultaat.

Opvallend is wel dat ESA maar een zeer kleine daling van β toont. Hieruit kan verondersteld

worden dat ESA de invloed van de balken minder sterk in rekening brengt.

Van voorbeeld 5 verwacht men een situatie tussen voorbeeld 1 en 4 in. Dit is zo voor de

berekeningen volgens de normen. Maar door het kleine verschil tussen voorbeeld 1 en 4 in ESA, is

-IV.54-

Case studies

de waarde van β voor voorbeeld 5 gelijk geworden aan die van voorbeeld 1.

Voorbeeld 6 geeft een grotere effectieve lengte -geheel volgens de verwachting- voor beide normen

en het programma.

Voorbeeld 7 is opnieuw moeilijker in te schatten. Enerzijds kan een accumulatie van fouten leiden

tot een grotere rotatie van de knoop, maar anderzijds kan een aanliggende kolom ook mogelijk het

roteren van de knoop tegenwerken. Dit komt ook naar voor in de resultaten. Beide normen geven

ten opzichte van voorbeeld 2 een grotere effectieve lengte, terwijl ESA een lagere waarde geeft.

Voorbeeld 8 toont ons een kolom met een hogere betonklasse, die dus relatief stijver is en bijgevolg

meer kracht naar zich toe trekt, waardoor de effectieve lengte verhoogt. Dit komt in beide normen

en ESA in enige mate tot uitdrukking.

Voor voorbeeld 9 is een omgekeerde redenering te volgen. De kolom krijgt een kleinere sectie,

wordt relatief minder stijf, zal minder van de krachten naar zich toetrekken zodat de effectieve

lengte afneemt. Ook dit komt tot uiting in alle resultaten.

Hetzelfde ziet men in voorbeeld 10. Men kan opmerken dat de invloed van een vergroting van de

sectie op de effectieve lengte groter is dan van de verandering van betonklasse.

Voorbeelden 11 en 12 tonen de invloed van de lengte. Een gelijkaardige redenering laat ons een

lagere waarde voor β verwachten voor voorbeeld 11 en een grotere voor voorbeeld 12. Dit komt ook

in de resultaten tot uiting, al is de invloed hiervan minder sterk dan van een verandering van de

afmetingen van de doorsnede.

Door de lengte van de balken te verminderen, zoals in voorbeelden 13 en 14, kan men een daling

van de waarde van β verwachten, wat tot uiting komt in de berekeningen volgens de norm en met

ESA.

-IV.55-

Case studies

Tabel 11: Schrankende raamwerken

Nummer NBN B15-002 EN1992-1-1 ESA

Voorbeeld 1 1,2 1,52 1,14Voorbeeld 2 1,24 2,25 1,26Voorbeeld 3 2,16 2,5 2,21Voorbeeld 4 1,15 1,27 1,11Voorbeeld 5 1,167 1,41 1,13Voorbeeld 6 2,2 2,73 2,24Voorbeeld 7 1,426 3,02 1,03Voorbeeld 8 2,22 1,56 1,17Voorbeeld 9 1,15 1,35 1,06Voorbeeld 10 1,315 1,71 1,28Voorbeeld 11 1,163 1,27 1,11Voorbeeld 12 1,27 1,63 1,25Voorbeeld 13 1,15 1,46 1,10Voorbeeld 14 1,15 1,34 1,06

Voor de schrankende raamwerken zijn de waarden die met de 3 methoden gevonden worden over

het algemeen vergelijkbaar. Er kan geen uitspraak gedaan worden over welke methode nu het meest

conservatief is, aangezien de resultaten door elkaar lopen. De resultaten verschillen hier ook het

sterkst voor voorbeeld 3.

Intuïtief verwacht men dat de effectieve lengte van 2 groter zal zijn dan van 1 door de andere

condities aan de voet. Dit komt effectief naar voor in de resultaten van beide normen en het

programma, maar in de NBN B15-002 (1999) is de invloed vrij beperkt.

Voorbeeld 3 is moeilijker in te schatten. In het geval van schrankende raamwerken zorgt het

scharnier aan de voet voor een sterke vergroting van de effectieve lengte.

Van voorbeeld 4 is opnieuw makkelijk in te schatten dat de stijfheid groter zal zijn ten opzichte van

voorbeeld 1 door de inklemming van de balken. Beide normen en ESA leveren dit resultaat. De

invloed van de inklemming van de balken is echter veel kleiner dan de invloed die bij voorbeeld 3

-IV.56-

Case studies

gezien werd door het scharnierend maken van de voet.

Van voorbeeld 5 verwacht men een situatie tussen voorbeeld 1 en 4 in. Bij ESA en de berekening

volgens de EN 1992-1-1:2004 ligt het resultaat dichter tegen dat van voorbeeld 1, terwijl voor de

NBN B15-002 (1999) het resultaat dichter bij voorbeeld 4 ligt.

Voorbeeld 6 geeft een grotere effectieve lengte -geheel volgens de verwachting- voor beide normen

en het programma.

De resultaten voor voorbeeld 7 vertolken de tegenstrijdigheid die eerder aangehaald werd. Voor de

NBN wordt een lichte stijging, voor de EN een sterke stijging en met ESA een lichte daling

opgetekend.

Voorbeeld 8 toont, zoals verwacht, een stijging van de waarde van β, maar deze is veel geringer

voor de berekening volgens de EN 1992-1-1:2004 en ESA dan voor de berekening volgens de NBN

B15-002 (1999).

Voorbeelden 9, 10, 11 en 12 geven resultaten volgens de verwachtingen. De invloed van de sectie is

hier ook groter dan de invloed van de lengte. Ook voorbeelden 13 en 14 geven resultaten die

voldoen aan de verwachtingen.

8. Biaxiale buiging

In deze case study wordt eerst een voorbeeld uitgewerkt volgens NBN B15-002 (1999) en de

EN1992-1-1:2004. Vervolgens worden nog de invloed van de doorsnede, en voor de EN

1992-1-1:2004 ook van verschillende lasten en van de betonklasse bestudeerd.

Men bestudeert een ingeklemde kolom van 4m lengte, belast met een normaalkracht van 2MN.

Hierbij is de sectie 30cmx70cm, de staalsoort S500 en de betonklasse C25/30.

-IV.57-

Case studies

8.1. Berekening volgens NBN B15-002 (1999)

Op basis van de figuur uit de NBN B15-002 (1999) kan de doorsnede zoals in Fig. 22 voorgesteld

worden.

De berekening van de excentriciteit volgens de y-as en volgens de z-as zijn opgenomen in Bijlage

H.

De voorwaarde om de effecten volgens beide assen apart te mogen bekijken, is

∣ez / he y /b∣≤0,2 of ∣e y /b

ez /h∣≤0,2 . Met de excentriciteiten zoals berekend in Bijlage H geeft dit

∣15,36 cm /70cm12,28 cm /30cm∣=0,54 of 12,28 cm /30cm

15,36 cm /70cm=1,87 . De voorwaarde is niet voldaan.

Als e z0,2 h is mag met een verminderde hoogte gerekend worden. Hier is 15,36cm>14cm dus

-IV.58-

Fig. 22: Schets doorsnede

Case studies

bij controle langs de secundaire as z mag men met de verminderde breedte h' werken. Deze breedte

wordt berekend uit N sd

Ac−

N sd e zeazZ c

=0 . Men heeft dus

N sd

bh '−

N sd ezeaz

bh' h'2−h 'h

22A s

h2−c

=0 dus

−2MN0,3m.h'

2MN15,36cm2cm

0,3m.h' −h '20,35m 2.402.10−6 m20,35m−0,05m

=0. De oplossing hiervan is

h'=35cm. Volgens de z-as moet nu dus gewerkt worden met een gereduceerde breedte van 35cm. De

berekening van de wapening met deze gereduceerde breedte is opgenomen in Bijlage H.

8.2. Berekening volgens EN1992-1-1:2004

De berekening van de excentriciteit volgens de y- as en de z-as is opgenomen in Bijlage H. In de

EN 1992-1-1:2004 werd de voorwaarde uitgebreid met een tweede voorwaarde. De eerste

voorwaarde is nog steeds ∣ez/ he y /b∣≤0,2 of ∣e y /b

ez /h∣≤0,2 , wat zich hier vertaalt als

∣ez/ he y /b∣=∣14,61cm /70cm

7,92cm /30cm ∣=0,79 en ∣e y /be z /h∣=1,264 . De tweede voorwaarde luidt

y

z≤2 en

z

y≤2 . Hier is

z

y=2,3 en dus is ook de tweede voorwaarde niet voldaan. Deze

doorsnede moet dus berekend worden als een doorsnede in biaxiale buiging.

-IV.59-

Case studies

De EN 1992-1-1:2004 voorziet hiervoor een handige controletoets: M Edz

M Rdz

a

M Edy

M Rdy

a

≤1 . De

waarde van a wordt bepaald door de verhouding N Ed

N Rd. Hier is N Rd=Ac f cdAs f yd . Voor de

wapening wordt uit praktisch oogpunt nu gekozen voor 2φ25mm in de y-richting, zodat de totale

wapening bestaat uit 10φ25mm. Dan is

N Rd=0,3 m.0 ,7 m.16 ,7 MPa1012,5 mm2 434MPa=5,637 MN . De verhouding is nu

N Ed

N Rd= 2MN

5,637MN=0,35 . Lineaire interpolatie geeft dat voor een verhouding van 0,35 geldt dat

a=1,2. Vervolgens moeten de waarden van het weerstandsmoment nog bepaald worden. Deze zijn

M Rdz=Ac f cdb22A s f yd

b2−c

M Rdz=0,3m.0 ,7m.16 ,7MPa.0 ,15m2.512,5mm 2 434 MPa 0,15m−0,05m=739 kNm en

M Rdy=Ac f cdh22 As f yd

h2−c

M Rdy=0,3 m.0 ,7 m.16 ,7 MPa.0 ,35 m2.212,5 mm2 434MPa 0,35 m−0,05m=1228 kNm .

Nu zijn alle waarden gekend om de formule te toetsen: 280kNm739kNm

1,2

157kNm1228kNm

1,2

=0,3971

en dus voldoet de doorsnede.

8.3. Invloed parameters op voorwaarde

Het uitwerken van een aantal voorbeelden voor het criterium uit de NBN B15-002 (1999) en van de

EN 1992-1-1:2004 zijn opgenomen in Bijlage H.

-IV.60-

Case studies

Men zich afvragen of er eigenlijk wel gevallen bestaan waarvoor de beide voorwaarden uit de EN

1992-1-1:2004 voldaan zijn en de doorsnede volgens beide assen afzonderlijk berekend mag

worden. Om dit op te lossen, wordt analytisch te werk gegaan. De twee voorwaarden zijn enerzijds

∣e y /bez / h∣≤0,2 of ∣ez /h

e y /b∣≤0,2 en anderzijds y

z≤2 en

z

y≤2 . Dat kan hier geschreven worden

als het volgende stelsel:

e y /be z /h

≤0,2 of ≥5

bh≤2 en h

b≤2

. Hier zal de tweede voorwaarde herschreven worden

als hb=2 , in de veronderstelling dat h de grootste afmeting van de doorsnede is. Dan herschrijft

het stelsel zich als

e y /be z/h

≥5

hb=2

zodat e y

e z≥5 b

h=2,5 . Nu kunnen de uitdrukkingen voor de

excentriciteiten ingevuld worden:

max h30

;20mm 2cmK ry

f yd

E s 0,45h−0,0582

10...

...≥2,5[max b30

; 20mm2cmK rz .f yd

E s 0,45b−0,0582

10]

Hierbij wordt nog steeds uitgegaan van de kolom uit 8.1., maar met een niet nader bepaalde

rechthoekige doorsnede en een niet nader bepaalde belasting. Verder uitwerken van vorige

uitdrukking leidt tot:

-IV.61-

Case studies

max 2b20

;20mm 2cmK ry3,09.10−2

2b−0,05≥2,5[max b

30;20mm2cmK rz . 3,09.10−2

b−0,05]

Uit de voorbeelden die in Bijlage H uitgewerkt zijn, kan men ter vereenvoudiging overnemen dat

Kry=1 en dat Krz zeer klein is, bijvoorbeeld 0,01. Met deze gegevens kan voor verschillende waarden

van b het linker- en rechterlid van deze vergelijking uitgewerkt worden, zie Fig. 23.

Deze figuur laat duidelijk zien dat voor kleine waarden van de breedte een oplossing kan gevonden

worden waarvoor de doorsnede niet in biaxiale buiging moet berekend worden. Er bestaat dus wel

degelijk een doorsnede die voldoet aan de voorwaarde!

Een mogelijke oplossing is dus de doorsnede met afmetingen 30cmx60cm. Welke krachten geven

dan een doorsnede dit niet biaxiaal berekend moet worden? Voor Kry had men 1 genomen:

K ry=nu−n

nu−nbal=1 als n≈nbal . Dit is dus als

N Ed

bhf cd≈0,4 of

N Ed≈0,4.0 ,3m.0 ,6 m.16 ,7MPa≈1,202MN . Voor Krz wou men een zo laag mogelijke waarde,

bijvoorbeeld 0,01. Dit krijgt men als K rz=nu−n

nu−nbal=0,01 , dus als n zo groot mogelijk is,

-IV.62-

Fig. 23: Analytische oplossing voorwaarden

Case studies

bijvoorbeeld voor n≈nu , dit is als 1A s f yd

Ac f cd≈

N Ed

Ac f cd, dus als Ac f cdAs f yd≈N Ed .

Om de gedachten te vestigen, zal een wapening van 5φ25mm genomen worden, dit is een

oppervlakte staal van 2454mm2 per zijde, een waarde die realistisch is gezien de berekeningen in de

vorige paragrafen. Dit wordt dan N Ed≈0,6 m.0 ,3 m.16 ,7 MPa2454.10−6 m2 434MPa≈5MN .

In Bijlage H wordt ten slotte nog de invloed van de betonklasse onderzocht.

8.4. Conclusie

Bij een gelijke belasting volgens beide assen, is een zeer groot verschil in breedte en hoogte nodig

om volgens de NBN B15-002 (1999) de doorsnede per as te mogen berekenen. Indien de

voorwaarde niet voldaan is, moet met een verminderde breedte h' gerekend worden.

De voorwaarde volgens de EN1992-1-1:2004 om de doorsnede per as te mogen berekenen, is nog

strenger. Er kan echter wel een geval gevonden worden waarvoor beide voorwaarde geldig zijn. De

berekening van een doorsnede in biaxiale buiging is eenduidiger geworden: er moet voldaan

worden aan een voorwaarde opgenomen in de EN 1992-1-1:2004.

De invloed van de betonklasse is beperkt.

9. Globale tweede orde-effecten in gebouwen

In een korte case study worden de gevolgen van de formules die in §5.8.3.3. en bijlage H

opgenomen zijn bestudeerd. In deze case study zal dus enkel gekeken worden naar de

EN1992-1-1:2004.

-IV.63-

Case studies

9.1. Voorbeeld 1

Beschouw het “gebouw” weergegeven in Fig. 24.

Een belasting van 1kN/m2 werkt in op de verdieping. Alle secties zijn 40cmx40cm voor de eenvoud

van de berekeningen. De kolommen zijn 4m, de balken volgens de y-as 7m en die volgens de x-as

3m. Het beton is klasse C35/45. Deze structuur werd in ESA ingegeven ter bepaling van de reacties.

De reactiekracht bedraagt 40,57 kN. Dit betekent dat F v , Ed=4.40,57kN=162kN . De

voorwaarde uit de norm is dat als F v , Ed≤k 1

ns

ns1,6∑ Ecd I c

L2 er geen rekening met tweede orde-

effecten gehouden moet worden. In dit geval is ns=1, dit is het aantal verdiepingen. De aanbevolen

waarde voor k1=0,31. De lengte L=4m, dit is de totale hoogte van het gebouw. De waarde van Ecd

wordt op de gekende methode bepaald: E cd=Ecm

1,2=34GPa

1,2=28,3GPa . Het traagheidsmoment

-IV.64-

Fig. 24: Voorbeeld 1

Case studies

van de elementen die horizontale stijfheid leveren, is I c=0,4m4

12=2,13333.10−3 m4 . Nu zijn

alle factoren gekend die nodig zijn om de voorwaarde in te vullen:

162kN≤0,31. 111,6

2.2,1333.10−3 m4 18,3GPa4m2

=900kN . De voorwaarde is dus voldaan, de

tweede orde-effecten mogen verwaarloosd worden in de berekeningen.

9.2. Voorbeeld 2

Hier wordt het “gebouw” uit Fig. 25 bestudeerd.

-IV.65-

Fig. 25: Voorbeeld 2

Case studies

De belasting bedraagt nu 3kN/m2 per verdiep. Voor het overige zijn de afmetingen en

materiaaleigenschappen overeenkomstig het vorige voorbeeld. Uit ESA wordt gehaald dat de reactie

per verdieping 51,07 kN bedraagt. De totale verticale kracht is dan F v , Ed=3.4.51,05 kN=613 kN

De voorwaarde is F v , Ed≤k 1

ns

ns1,6∑ Ecd I c

L2 . Met alle gegevens ingevuld, wordt dit:

613kN≤0,31. 34,6

28,3GPa.2 ,1333.10−3 m4.2.3

12m2=509kN . Hier is niet aan voldaan, de norm

verwijst ons door naar bijlage H. In dit geval wordt een schorend systeem zonder significante

afschuifvervormingen beschouwd. Daarvoor geldt dat tweede orde-effecten verwaarloosd mogen

worden indien F v , Ed≤0,1 F v , BB . Hierin is F v , BB=∑ EI

l 2 met =7,8ns

ns1,61

10,7 k en

k= M

EIL . De waarde van

M wordt uit [15] gehaald. Dit is

M= Ql2

48EI8Ql= L

6EIzodat

k=Lcol

6Lbalk=0,222 . Hiermee wordt =7,8 . 3

4,61

10,7.0 ,222=4,4 . Voor EI schrijft de norm

voor dat men EI=0,4 Ecd I c=0,4.28 ,3 GPa.2 ,1333.10−3 m4=24,15 MNm2 moet nemen. Alles

samen geeft dit dan F V , BB=4,4. 24,15MNm2

12m2.6=4430kN . De voorwaarde F V , Ed≤0,1 FV , BB

wordt nu 613kN≤443kN . Dit is dus niet voldaan, er moet rekening gehouden worden met

tweede orde-effecten. Men kan trouwens opmerken dat de voorwaarde uit de bijlage in dit geval iets

conservatiever is dan de voorwaarde uit de paragraaf van de norm.

Om de tweede orde-effecten in rekening te brengen, wordt een horizontale kracht berekend. Deze

-IV.66-

Case studies

bedraagt F H , Ed=

F H ,0 Ed

1−F V , Ed

FV , B

. In dit geval is F V , Ed=613 kN en F V , B=F V , BB=4430 kN . De

waarde van FH,0Ed wordt uit ESA gehaald. Deze bedraagt 9,88 kN. De formule kan nu ingevuld

worden: F H , Ed=

9,88 kN

1− 613kN4430kN

=11,47kN. Als men de wapening kent, moet FV,B berekend worden

aan de hand van de methode van de nominale stijfheid. Men kan dus bijvoorbeeld iteratief te werk

gaan. Voor de verdere berekening van de structuur wordt deze horizontale kracht dan in het

programma als een last ingegeven.

9.3. Conclusie

De EN 1992-1-1:2004 voorziet een eenvoudige toestingsregel om te controleren of globale tweede

orde-effecten in rekening gebracht moeten worden in de structuur. De bijlage van de norm voorziet

een iets uitgebreidere versie van deze regel, aangevuld met een berekeningsmethode voor de tweede

orde-effecten. Deze formules zijn in combinatie met een softwarepakket en eenvoudig in gebruik.

10. Invloed wapeningsstaal

Deze case study is opgenomen in Bijlage I. Er wordt in aangetoond dat de NBN B15-002 (1999)

meer wapening oplevert dan de EN 1992-1-1:2004 en dat bij het overgaan van wapening S400 naar

S500 een staaf per zijde uitgespaard kan worden. Berekeningen met α=0,85 in de EN

1992-1-1:2004 tonen aan dat dit hoogstens een wapeningsstaaf per zijde meer oplevert. In dit

voorbeeld levert de methode van de nominale kromming uit de EN 1992-1-1:2004 met α=0,85

dezelfde wapening als de methode van de modelkolom uit de NBN B15-002 (1999).

-IV.67-

Case studies

11. Invloed van de vorm

In Bijlage J is een case study opgenomen die de invloed van de vorm bestudeert. Daaruit blijkt dat

een vierkante vorm het minste wapening oplevert. Verder blijkt dat met de methode van de

nominale stijfheid uit de EN 1992-1-1:2004 een rechthoekige sectie beduidend minder wapening

oplevert dan met de methode van de modelkolom uit de NBN B15-002 (1999) of de methode van

de nominale kromming uit de EN 1992-1-1:2004. De methode van de nominale kromming geeft

hier resultaten die het best vergelijkbaar zijn met de berekeningen in ESA. De vereenvoudigde

methoden blijken niet goed geschikt voor de berekening van ronde kolommen. Door zijn aanpak is

de methode van de nominale stijfheid het meest geschikt voor het berekenen van andere vormen

van doorsneden.

12. Evaluatie berekening volgens BAEL

In Bijlage K werd een berekening volgens de BAEL vergeleken met een berekening volgens de

NBN B15-002 (1999) en de EN 1992-1-1:2004. Deze toont aan dat de waarde, verkregen met de

BAEL, tussen de waarde bekomen met de NBN B15-002 (1999) en de EN 1992-1-1:2004 ligt. Een

vereenvoudiging van de resultaten voor een handberekening, blijkt economisch niet erg interessant.

13. Conclusie

Aan de hand van deze case studies werden de methodes uit hoofdstuk 2 en 3 bestudeerd.

Het slankheidscriterium uit de EN 1992-1-1:2004 is strenger dan dit van de NBN B15-002 (1999),

men zal dus vaker een tweede orde-berekening moeten uitvoeren.

De methode van de modelkolom uit de NBN B15-002 (1999) is conservatiever dan de methode van

de nominale kromming en de methode van de nominale stijfheid uit de EN 1992-1-1:2004. Voor een

-IV.68-

Case studies

aantal gevallen vindt men bij toepassing van α=0,85 zoals vereist in het NTD van de EN

1992-1-1:2004 met de methode van de nominale kromming dezelfde wapening als met de methode

van de modelkolom uit de NBN B15-002 (1999). Voor een aantal gevallen is het tweede orde-

moment berekend met de EN 1992-1-1:2004 groter dan dit berekend met de NBN B15-002 (1999).

Het eerste orde-moment met de NBN B15-002 (1999) is meestal echter hoger, wat de zwaardere

wapening verklaart.

De methode van de nominale kromming en de methode van de nominale stijfheid uit de EN

1992-1-1:2004 geven vergelijkbare resultaten. In de meeste van de bestudeerde gevallen geeft de

methode van de nominale kromming een hoger dimensionerend moment, maar in een aantal

gevallen geeft het een lager dimensionerend moment. Men kan dus geen uitspraak doen over welke

methode het meest conservatief is.

De fysische achtergrond van de bestudeerde buitenlandse normen (Nederlandse, Duitse,

Australische en Franse) is niet zo duidelijk. Het zijn rekenregels die stap-voor-stap te volgen zijn.

De resultaten bekomen met de methodes van het CEB en de tabellen van De Vos zijn vergelijkbaar

met deze bekomen met de methode van de nominale kromming uit de NBN B15-002 (1999).

De invloed van de betonklasse is gelijkaardig voor de methode van de nominale kromming uit de

EN 1992-1-1:2004 en de methode van de modelkolom uit de NBN B15-002 (1999). Het totale

moment bekomen met de methode van de nominale stijfheid is nauwelijks beïnvloed door de

betonklasse. De schikking van de wapening is echter van grote invloed op de methode van de

nominale stijfheid.

De totale momenten bekomen in ESA PT zijn vergelijkbaar met deze bekomen volgens de methode

van de nominale kromming en de methode van de nominale stijfheid uit de EN 1992-1-1:2004.

De EN 1992-1-1:2004 besteedt meer aandacht aan de berekening van de invloed van kruip. De

-IV.69-

Case studies

invloed op de methode van de nominale kromming en de nominale stijfheid is vergelijkbaar.

De berekening van de effectieve lengte van kolommen volgens de EN 1992-1-1:2004 is erg

verschillend van de berekening volgens de NBN B15-002 (1999), maar de resultaten zijn vrij

gelijkaardig en vergelijkbaar met de resultaten uit ESA PT.

Het criterium voor biaxiale buiging uit de EN 1992-1-1:2004 is strenger dan dit uit de NBN

B15-002 (1999). Er kan analytisch wel een geval gevonden worden waarvoor geen biaxiale buiging

beschouwd moet worden.

Algemeen kan dus gesteld worden dat er sneller een tweede orde-berekening gemaakt moet worden

volgens de EN 1992-1-1:2004, maar dat deze een minder grote wapening oplevert dan de NBN

B15-002 (1999) door de verkleining van het eerste orde-moment.

-IV.70-

Conclusies

1. Samenvatting van de voornaamste bevindingen in dit werk

Dit werk vergelijkt de NBN B15-002 (1999) en de EN 1992-1-1:2004 in hun aanpak van het

knikprobleem. De vergelijking gebeurt aan de hand van literatuurstudie, van het vergelijken van de

formules uit de NBN B15-002 (1999) en de EN 1992-1-1:2004 en van het uitwerken van een aantal

case studies.

Hoofdstuk 2 bespreekt de twee denkrichtingen in het behandelen van het knikprobleem: enerzijds

kan men de vervormingen, en dus de tweede orde-excentriciteit bestuderen, anderzijds kan men de

kniklast zoeken op basis van de nominale stijfheid van de beschouwde sectie.

De methode van de modelkolom uit de NBN B15-002 (1999), de methode van de nominale

kromming uit de EN 1992-1-1:2004 en de methodes van het CEB benaderen het knikprobleem op

basis van de vervormingen. In deze filosofie wordt een tweede orde-moment bij het eerste orde-

moment opgeteld en wordt vervolgens de doorsnede berekend voor samengestelde buiging met

druk. In deze methode geeft de eerste orde-excentriciteit aanleiding tot een vervorming. Deze

vervorming induceert een tweede orde-moment, en bijgevolg dus een extra vervorming.

In de methode van de nominale stijfheid uit de EN 1992-1-1:2004 wordt de kniklast van de sectie

berekend aan de hand van een buigstijfheid, die rekening houdt met de invloed van scheuren, niet-

lineariteiten in het materiaal en kruip. Tenslotte wordt met een moment-vergrotingsfactor het

5

Conclusies

oorspronkelijke moment vergroot tot het dimensionerende moment voor de slanke kolom. De

kolom wordt dan berekend in samengestelde buiging met druk.

In hoofdstuk 3 worden de formules uit de NBN B15-002 (1999) en de EN 1992-1-1:2004 ter

berekening van slanke kolommen vergeleken.

Het slankheidscriterium wordt in de EN 1992-1-1:2004 anders berekend en is uitgebreider

geworden ten opzichte van de NBN B15-002 (1999).

De berekeningsmethode van de effectieve lengte van kolommen in raamwerken is veranderd. In de

NBN B15-002 (1999) wordt gebruik gemaakt van nomogrammen, terwijl in de EN 1992-1-1:2004

dit vervangen is door formules. In hoofdstuk 4 wordt aangetoond dat beide methodes vergelijkbare

resultaten geven. De filosofie die aan de basis ligt, is onveranderd.

De methode van de modelkolom uit de NBN B15-002 (1999) berekent een tweede orde-

excentriciteit. De vergelijkbare methode van de nominale kromming uit de EN 1992-1-1:2004

berekent een tweede orde-moment. Dit maakt in wezen geen verschil en beide methodes zijn dan

ook in grote lijnen hetzelfde.

De algemene methode staat in de NBN B15-002 (1999) in de bijlage, en staat in de EN

1992-1-1:2004 in een paragraaf van de norm. Er worden enkel richtlijnen gegeven, hapklare

formules worden niet aangeboden.

De berekening van kruip verloopt in de NBN B15-002 (1999) aan de hand van een tabel op basis

van de geometrie, terwijl dit in de EN 1992-1-1:2004 aan de hand van een grafiek is, die ook de

invloed van de betonklasse in rekening brengt. De invloed van kruip op tweede orde-effecten is

opgenomen in een paragraaf van de EN 1992-1-1:2004.

-V.2-

Conclusies

In hoofdstuk 4 worden case studies uitgevoerd.

Het slankheidscriterium uit de EN 1992-1-1:2004 is strenger dan dit uit de NBN B15-002 (1999).

Er zal dus sneller een tweede orde-berekening uitgevoerd moeten worden.

De methode van de modelkolom uit de NBN B15-002 (1999) is in sommige gevallen vergelijkbaar

met en anders conservatiever dan de methode van de nominale kromming en de methode van de

nominale stijfheid uit de EN 1992-1-1:2004. De methode van de nominale kromming en de

methode van de nominale stijfheid leveren vergelijkbare resultaten. De methode van de nominale

stijfheid is nauwelijks beinvloed door de betonklasse.

De dimensionerende momenten berekend met ESA PT zijn vergelijkbaar met deze berekend met de

vereenvoudigde methodes uit de EN 1992-1-1:2004.

De methodes om de effectieve lengte van kolommen in raamwerken te berekenen, leveren

gelijkaardige resultaten voor de NBN B15-002 (1999), de EN 1992-1-1:2004.

Het criterium voor het beschouwen van biaxiale buiging uit de EN 1992-1-1:2004 is strenger dan

dit uit de NBN B15-002 (1999). Er kan analytisch wel een geval gevonden worden waarvoor geen

biaxiale buiging beschouwd moet worden. In de EN 1992-1-1:2004 is een toetsingsregel

opgenomen voor doorsneden waarvoor biaxiale buiging beschouwd moet worden, wat nieuw is ten

opzichte van de NBN B15-002 (1999).

2. Conclusies

In de EN 1992-1-1:2004 is een nieuwe methode geïntroduceerd om het knikprobleem aan te

pakken, de methode van de nominale stijfheid. Men heeft dus twee grote methodes om slanke

kolommen te wapenen.

In de methode van de nominale kromming, wordt via een factor op de kromming rekening

-V.3-

Conclusies

gehouden met kruip en met de invloed van toenemende langskracht. In de methode van de

modelkolom uit de NBN B15-002 (1999) houdt deze factor enkel rekening met de invloed van

toenemende langskracht.

De methode van de nominale stijfheid brengt de invloed van scheuren, niet-lineariteiten in het

materiaal en kruip in rekening via een factor op de stijfheid van het beton. Voor de stijfheid van het

staal is de schikking van de wapeningsstaven belangrijk.

Beide methodes benaderen het instabiliteitsprobleem, dat in werkelijkheid snel en explosief

optreedt, op een gelijkwaardige manier. Beide brengen beïnvloedende effecten via factoren in

rekening. De werkwijze die in deze methodes gevolgd wordt, is daarentegen niet gelijkaardig.

Uit de vergelijking van de normen, blijkt dat het slankheidscriterium en het criterium voor biaxiale

buiging strenger geworden zijn. Men moet volgens de EN 1992-1-1:2004 sneller tweede orde-

effecten in rekening brengen of sneller een doorsnede beschouwen als een geval van biaxiale

buiging dan in de NBN B15-002 (1999). Uit de berekeningen blijkt dat de gevonden wapening

meestal minder (en soms vergelijkbaar) is voor de EN 1992-1-1:2004 dan voor de NBN B15-002

(1999). De reden hiervoor is dat het te beschouwen eerste orde-moment kleiner geworden is. In

sommige gevallen is het te beschouwen tweede orde-moment volgens de EN 1992-1-1:2004 met de

methode van de nominale kromming groter dan dit volgens de NBN B15-002 (1999). De methode

van de nominale stijfheid en de methode van de nominale kromming uit de EN 1992-1-1:2004

leveren vergelijkbare waarden op voor het totale dimensionerende moment. Deze resultaten zijn

ook vergelijkbaar met het totale moment dat men vindt aan de hand van een berekening in ESA PT.

De berekeningsmethode van de effectieve lengte van kolommen in raamwerken is verschillend voor

de NBN B15-002 (1999) en de EN 1992-1-1:2004, maar de bekomen resultaten en de filosfie die

-V.4-

Conclusies

aan de basis van de berekening ligt, zijn vergelijkbaar. De EN 1992-1-1:2004 benadert het

knooppunt echter globaler, terwijl de NBN B15-002 (1999) een knooppunt meer puntsgewijs

benaderde.

De evolutie van de rekenmiddelen wordt ook weerspiegeld door de norm. In de case studies wordt

duidelijk dat de methodes uit de NBN B15-002 (1999) en de methodes van het CEB vooral gebruik

maakten van tabellen en grafieken, terwijl de methodes uit de EN 1992-1-1:2004 meer gebruikt

worden samen met spreadsheets. Dit betekent echter nog niet dat in de EN 1992-1-1:2004 geen

tabellen en grafieken meer gebruikt worden.

-V.5-

Bibliografie

Gebruikte normen

EN 1992-1-1:2004

EN 1990: 2002

EN 1991-1-1:2002

NBN B15-002:1999

Geraadpleegde literatuur

[1] VANTOMME,J., Berekening van betonconstructies, Cursustekst VUB, 2006

[2] DE VOS, F., Uitwerking praktische berekeningsmethode voor knik in gewapend beton uitgaande van CEB richtlijnen, Afstudeerwerk VUB, 1977

[3] CEB/FIP, Buckling and Instability, The construction Press, Lancaster, 1978

[4] DEMUYNCK, K., De nieuwe Eurocode 2 en zijn impact op de berekening van structuurelementen in gewapend beton, Afstudeerwerk VUB, 2007

[5] MOSS,R. BROOKER, O., How to design concrete structures using Eurocode 2: 5. Columns. The Concrete Center, Surrey, 2006 (+ spreadsheet)

[6] CENTER FOR CONSTRUCTION TECHNOLOGY RESEARCH, Cross-section strength of columns, Part 1: AS 3600 Design, Sydney, 2000

[7] GERMAIN, O., ESPION, B., Slender high-strength RC columns under eccentric compression, ULB, 2005

[8] Poteaux courants rectangulaires de bâtiments, 2005

[9] ROSLER, M., Stabilit ät, TFH Berlin, Fachgebiet Massivbau, 2006

[10] Bewehrungsstahl: Entwicklung in Deutschland, http://de.wikipedia.org/wiki/Bewehrungsstahl

[11] Spreng LR Richtlinie Bauweise und Einrichtung,

http://www.umwelt-online.de/regelwerk/anlasi/spreng/spreng.rl/200/220_ges.htm

[12] SCHWENK ZEMENT, Beton – Herstellung nach den neuen Normen, Ulm

[13] BETONVERENIGING, THE CONCRETE SOCIETY, DEUTSCHER BETON-VEREIN, Design Aids for EC2, Cornwall, 1997

[14] VANTOMME, J., MAES, J. Stabiliteit der betonnen constructies, Referentieverslag: Kolommen, VUB

[15] LEIJENDECKERS, P.H.H., FORTUIN, J.B., VAN HERWIJNEN, F., SCHWIPPERT, G.A., Poly-technisch zakboek, Elsevier, Arnhem, 2002

[16] DAVIDOVICI, V., Formulaire du b éton armé

[17] BASTIAENS, A., 2 nd order calculation of concrete columns: Design in Scia.ESA PT – Eurocode 2, 2008

http://de.wikipedia.org/wiki/Bewehrungsstahl

http://www.umwelt-online.de/regelwerk/anlasi/spreng/spreng.rl/200/220_ges.htm

Faculteit Ingenieurswetenschappen

Vakgroep MEMC

Proefschrift ingediend tot het behalen van de academische graad van Burgerlijk Bouwkundig Ingenieur door

EVA LANTSOGHT

ACADEMIEJAAR 2007-2008

PROMOTOR: PROF. DR. IR. JOHN VANTOMME

Evaluatie van de nieuwe inzichten over knik van kolommen in gewapend beton: Bijlagen

Aanvullingen bij case study: Referentieverslag

volgens EN 1992-1-1:2004

1. Probleemstelling

Gegeven zijn beton C25/30, staal BE500 een betondekking van 3cm en een minimale excentriciteit

van 20mm. Twee kolommen worden bestudeerd, zie Fig. 1 en Fig. 2.

2. Volgens NBN B15-002 (1999)

De berekening volgens de NBN B15-002 (1999) is overgenomen uit het Referentieverslag [14] dat

gebruikt werd tijdens de oefeningen “Berekening van Betonconstructies”.

Bijlage A

Fig. 1: Kolom zonder knik, uit [14]

Bijlage A: Referentieverslag volgens EN 1992-1-1:2004

2.1. Korte kolom

De slankheid λ van de onderste kolom uit Fig. 1 wordt als volgt berekend:

=l0

il 0=0,8.3 ,5m

i= I c

Ac= b.h3

121

b.h

i= 0,4.0 ,43

121

0,4.0 ,4=0,115

= 2,80m0,115m

=24,3≤25

Hieruit kan men besluiten dat de kolom niet knikgevoelig is.

2.2. Slanke kolom

Opnieuw bepaalt men eerst de slankheid λ van de kolom.

-A.2-

Fig. 2: Slanke kolom uit [14]


=l 0

il 0=0,8.7 ,30m=5,84 m

en

i= I c

Ac= b.h3

121

b.h

i= 0,40.0 ,403

121

0,40.0 ,40=0,115 m

= 5,84 m0,115 m

=50,825

De kolom is dus knikgevoelig. Ook het tweede slankheidscriterium wordt gecontroleerd:

u=N sd

Ac f cd

u=3,525MN

0,4.0 ,4.16 ,7=1,3

u=1,14 .u=50,8.1 ,14=57,915

Zoals reeds gezien werd hierboven, is de kolom knikgevoelig. Men moet tweede orde-effecten in

rekening brengen. Dit doet men met de methode van de modelkolom en de tabellen van De Vos.

De eerste orde-excentriciteit wordt berekend als e1=e0ea , met e0 = max(0,02m;0,1h) =

max(0,02m;0,04m) = 0,04m en ea = de additionele excentriciteit rekening houdend met

geometrische afwijkingen:

ea=l0

400indien l≥4m

ea=5,84 m

400=0,0146 m

e1=0,040,0146=0,055m⇒M d=3,525 MN.0 ,055m=0,194 MNm

Vervolgens worden de tabellen van De Vos gebruikt om het mechanisch wapeningspercentage voor

deze doorsnede te bepalen.

-A.3-


l 0

h=5,84 m

0,40m=14,6≈15

a 'h=0,05

0,40=0,125≈0,1

1=0,194MNm

0,40.0,402.14 ,1 MNm2

=−1,56

As2

As1=1 Symm.wapening

⇒Tabel 6Al 0

h=10⇒=0,617

l 0

h=20⇒=0,773

⇒=0,6170,7732

=0,695

A st=As1=A s2= .b0.h. f cdu

f yd=0,695.0 ,40m.0 ,40m.14 ,1MPa

434MPa=3613mm2

⇒4420mm=13816 mm2≫400.400.0,04=6400mm2

De doorsnede is dus te klein.

Men kiest nu een doorsnede van 50cmx50cm en herhaalt de berekeningen. De eerste orde-

excentriciteit wordt bepaald als e1=e0ea , met e0 = max(0,02m;0,1h) = max(0,02m;0,05m) =

0,05m en ea=5,84 m

400=0,0146m , zodat e1 = 0,05 + 0,0146 = 0,065m en dus is het eerste orde-

moment M1d=3,525MN.0,065m=0,229MNm.

Het tweede orde-moment wordt nu bepaald met de methode van de modelkolom uit de NBN

B15-002 (1999) en vervolgens wordt de benodigde wapening afgelezen uit een interactietabel voor

samengestelde buiging met druk. Dit geeft als berekeningen:

-A.4-


M c=N sdl0

2

102 K 1 K 2

f yd

0,9 d E s=3525 5,842

102.1.1. 434MPa

0,9.0,45.200GPa=129kNm

M tot=M dM c=229 kNm129kNm=358kNm ; N d=3525kNd=0,171 en d=−0,844

tot=0,4

As , tot=tot .bhf yd

f cd

=3848mm2

Nu ligt de voorziene wapening voldoende lager dan de maximale wapening (As,max=10.000mm2).

Vervolgens berekent men nog eens de wapening in deze nieuwe doorsnede aan de hand van de

tabellen van De Vos.

l 0

h=5,84 m

0,50 m=11,7

a 'h=0,05

0,50=0,10

1=0,229 MNm

0,50.0 ,502.14 ,1 MNm2

=0,13

= −3,525MN

0,50.0 ,50.14 ,1 MNm2

=−1,00

As2

As1=1 Symmetrische wapening

⇒Tabel 6A

⇒l 0

h=10⇒=0,223 ;

l0

h=20⇒=0,252

⇒=0,223.0 ,80,252.0 ,2=0,229

A st=As1=A s2= .b0.h . f cdu

f yd=0,229.0 ,50m.0 ,50m.14 ,1MPa

434MPa=1860mm2

⇒425mm / zijde

De uiteindelijke wapening bedraagt dus 4φ25mm per zijde.

-A.5-


3. Volgens EN 1992-1-1:2004

3.1. Korte kolom

a) Kolom tussen verdieping 1 en 2

Opnieuw wordt gestart met de bepaling van de slankheid λ.

l 0=0,8 l=0,8.3 ,3 m=2,64m

=l 0

i=22,9

Vervolgens gaat men over op de bepaling van de maximale slankheid:

n=N Ed

Ac f cd= 3,525 MN

0,4 m.0 ,4m.16 ,7 MNm2

=1,32

⇒limiet=9,38

Ook deze kolom moet berekend worden als een knikgevoelige kolom.

b) Kolom tussen verdieping 2 en 3

De slankheid van deze kolom is dezelfde als voor de kolom tussen verdieping 1 en 2. De maximale

slankheid wordt berekend als:

n=N Ed

Ac f cd= 2,660 MN

0,4 m.0 ,4m.16 ,7 MNm2

=0,996

⇒limiet=10,8

3.2. Slanke kolom

De slankheid van de kolom wordt bepaald.

-A.6-


=l0

ii=0,115m

l 0=0,8.7 ,3m=5,84 m =50,8

Hierop volgt de bepaling van de maximale slankheid.

limiet=20 ABC

n=20.0,7.1,1.0 ,7

n

n= 3,525MN0,4m.0 ,4m ,16,7 MN /m2=1,319

⇒limiet=9,39

De kolom is dus effectief knikgevoelig, zoals verwacht.

a) Methode van de nominale kromming, met kruip

In de berekeningen, die voortbouwen op de berekeningen uit hoofdstuk 4 van dit werk, zal nu een

waarde van de effectieve kruipverhouding φef = 1,8 gebruikt worden. Nog steeds wordt het totale

moment berekend als M Ed=M 0EdM 2 . Het eerste orde-moment blijft onveranderd 109 kNm.

Het tweede orde-moment wordt berekend aan de hand van de nominale kromming. Om de

berekeningen niet tot in den treure te rekken, wordt hier ineens uitgegaan van een wapening 2 φ

20mm per zijde en een doorsnede van 50cmx50cm.

K =1ef

=0,35f ck

200

150=0,35 25

200−

50,8150

=0,136

K=11,8.0 ,136=1,24

1r =K K r

1r0=1,24.0,392 .9,46.10−3=

4,60.10−3

m


e2=1r

l 02

c=4,6.10−3

m. 5,84m2

10=1,6.10−2 m⇒M 2=N Ed .e2=3525 kN . 1,6.10−2 m=55kNm

-A.7-


De wapening wordt berekend voor een geval van samengestelde buiging met normaalkracht met

NEd = 3525 kN en MEd = 164 kNm. De wapening blijft dus onveranderd en bedraagt 2φ20mm per

zijde.

b) Methode van de nominale kromming, zonder kruip, NTD

Hier zal onmiddellijk uitgegaan worden van een wapening van 4φ20mm in het totaal.

=As f yd

Ac f cd=40,01m2. 434 MPa

0,5m2 .14,1 MPa=0,155

n=N Ed

Ac f cd= 3,525 MN

0,5m.0 ,5m.14 ,1 MPa=1

K r=nu−n

nu−nbal= 1,155−1

1,155−0,4=0,205

1r=K r

1r 0=0,205. 1,07.10−2

m=

2,197.10−3

m


e2=1r

l02

c=2,197.10−3 . 5,84 m2

10=7,49.10−3 m⇒M 2=N Ed . e2=3525kN . 7,49.10−3 m=26 kNm


135 kNm. De wapening moet verhoogd worden tot 3φ20mm per zijde, in totaal 8φ20mm.

Dit geeft dan

=As f yd

Ac f cd=80,01m 2. 434 MPa

0,5m 2. 14,1MPa=0,309

K r=nu−n

nu−nbal= 1,309−1

1,309−0,4=0,340

1r=K r

1r0=0,340 . 1,07.10−2

m=3,637.10−3

m

Hiermee wordt het tweede orde-moment:

-A.8-


e2=1r

l 02

c=3,637.10−3. 5,84m2

10=1,24.10−2 m⇒M 2=N Ed .e2=3525kN .1,24.10−2 m=44 kNm


153 kNm. De wapening van 3φ20mm per zijde voldoet hieraan.

c) Methode van de nominale kromming, met kruip, NTD

Ook hier wordt de effectieve kruipverhouding φef = 1,8 gebruikt. Hier wordt onmiddellijk uitgegaan

van een wapening 3 φ 20mm per zijde en een doorsnede van 50cmx50cm. De waarde van Kφ wordt

uit a) gehaald en bedraagt 1,24. De kromming wordt dan:

1r=K K r

1r 0=1,24.0,340. 1,07.10−2

m=4,511.10−3

m


e2=1r

l 02

c=4,511.10−3

m. 5,84m2

10=1,54.10−2 m⇒M 2=N Ed .e2=3525 kN . 1,54.10−2 m=54 kNm

De wapening wordt berekend voor een geval van samengestelde buiging met normaalkracht met

NEd = 3525 kN en MEd = 163 kNm. De wapening blijft dus onveranderd en bedraagt 3φ20mm per

zijde.

d) Methode van de nominale stijfheid, met kruip

Om de invloed van kruip te onderzoeken, wordt een kruipfactor φef =1,8 verondersteld. Dit heeft

effect op de waarde van K c=k 1 k2

1ef=2,86.10−2 . Er wordt onmiddellijk uitgegaan van een sectie

van 50cmx50cm en een wapening van 2φ20mm per zijde.

Dit levert voor het traagheidsmoment van het staal Is =1,026.10-4m4. Dit geeft dan volgende waarde

-A.9-


voor de stijfheid:

EI=K c E cd I cK s E s I s=2,86.10−2 . 25,8GPa 5,208.10−3 m4200GPa.1 ,026.10−4 m4=24 MNm2

Zodat het moment als volgt wordt:

N Ed=2 EI

l 02 =2. 24MNm2

5,84m 2=7,05MN

M Ed=M 0Ed 1

N B

N Ed−1

=109kNm 1 1,2347,05MN3,525MN

−1=243 kNm

Voldoet de wapening 2 φ 20mm per zijde voor de samengestelde buiging met normaalkracht met

NEd = 3525 kN en MEd = 243 kNm? Het interactiediagram van The Concrete Society leert ons dat de

wapening opgevoerd moet worden tot 3φ20mm per zijde. Daarvoor bedraagt Is=1,026.10-4m4 en de

overige waarden blijven dus gelijk. De uiteindelijke waarde voor de wapening is dus 3φ20mm per

zijde.

e) Methode van de nominale stijfheid, zonder kruip, NTD

Om de wapening te bepalen, rekening houdend met de voorschriften van het NTD, moet men

opnieuw de doorsnede beschouwen onder samengestelde buiging met normaalkracht met NEd =

3525 kN en MEd = 201 kNm zoals berekend in hoofdstuk 4. Dit wordt berekend aan de hand van de

spreadsheet van The Concrete Society. Dit geeft dat de wapening verhoogd moet worden tot

4φ20mm per zijde. De waarde van Is bedraagt dan 2,166.10-4 m4. Dit geeft dan voor de stijfheid:

EI=Kc Ecd I cK s E s I s=8,02.10−2.25 ,8GPa.5 ,208.10−3 m41.200.GPa.2 ,166.10−4 m4=54MNm2

De kniklast bedraagt dan:

N B=2 EI

l02 =2.54 MNm2

5,84m 2 =15,63 MN

⇒M Ed=109kNm [1 1,23415,63 MN3,525 MN

−1]=148kNm

. Men beschouwt een

-A.10-


geval van samengestelde buiging met normaalkracht met NEd = 3525 kN en MEd = 148 kNm. De

wapening kan verlaagd worden tot 3φ20mm per zijde. Dan wordt het traagheidsmoment

Is=1,026.10-4 m4. Dit geeft dan een stijfheid van EI = 31 MNm2. Dan wordt de kniklast 8,97 MN en

het dimensionerende moment 196 kNm. De uiteindelijke wapening is dus 4φ20 mm per zijde.

f) Methode van de nominale stijfheid, met kruip, NTD

De waarde van Kc bedraagt hier 2,86.10-2. Er zal hier onmiddellijk met een wapening van 4φ20 mm

per zijde gewerkt worden. De stijfheid bedraagt dan 47 MNm2. De kniklast hiervoor bedraagt 13,6

MN en het dimensionerende moment is 156 kNm. De wapening van 4φ20 mm per zijde voldoet

hier dus aan.

De conclusies van deze case study zijn opgenomen in hoofdstuk 4 van dit werk.

-A.11-

Aanvullingen bij case study: Ingeklemde kolom

1. Probleemstelling

Een aan de voet ingeklemde kolom, belast met een normaalkracht, wordt bestudeerd. Gekozen

wordt een kolom, zie Fig. 1, met initieel de sectie 50cmx50cm en S500 wapeningsstaal. De

berekeningen worden uitgevoerd voor C25/30 en in een aantal gevallen voor C90/105.

2. Tabellen van De Vos

2.1. C25/30

De berekening van de eerste orde-excentriciteit gebeurt op basis van NBN B15-002:1999.

Bijlage B

Fig. 1: Ingeklemde kolom

Bijlage B: Ingeklemde kolom

e1=e0ea

e0=max0,02 m ;0,1h=max 0,02m ;0,05m=5cm

ea=l o

2

= 1100 l

1200

= 11003

ea=1,73cme1=6,73 cm

⇒M 1d=N Ed .e1=168kNm

2.2. C90/105

Hier wordt ogenblikkelijk uitgegaan van een sectie van 40cmx40cm.

a 'h= 5cm

40cm=0,125

d=N d


0,4 m.0 ,4m.51 MPa=−0,306

l e

ht=

2lht=

6m0,4m

=15

Aan de hand van het eerste orde-moment wordt het dimensieloze moment:

d=M 1d

b h t2 f cdu

=4,4.10−2

Aan de hand van de waardes voor l e

ht10 en 20 in tabel 6A blijkt dat met deze betonklasse de

sectie nog verminderd kan worden, tot bijvoorbeeld 30cmx30cm.

-B.2-


a 'h= 5cm

30cm=0,166≈0,15

d=N d


0,3m.0 ,3m.51 MPa=−0,54

le

ht=

2lh t=

6m0,3m

=20

e1=4,73cm⇒M 1d=118kNm

d=M 1d

b ht2 f cdu

=8,6.10−2

Tabel 6A wordt hiervoor gebruikt.

=0,07⇒ As=759 mm2

De wapening die geplaatst moet worden, bedraagt 2φ25mm per zijde, of 4φ25mm.

3. NBN B15-002 (1999): Methode van de modelkolom

3.1. C25/30

Ook voor deze methode wordt onmiddellijk verondersteld dat een wapening van 5φ25mm aanwezig

is. Deze methode is geschikt voor een waarde van de slankheid tot 140. De slankheid van dit

element bedraagt =

l 0

i= 6m

0,4 m4

120,4 m2

=52. Om het tweede orde-moment te berekenen,

berekent men met deze methode e2=l 0

2

101r

waarin 1r=2 K2

yd

0,9d=2 K 2

f yd

E s0,9 d . De waarde

van K2 wordt op volgende wijze gevonden: K 2=N ud−N sd

N ud−N bal≤1 . De norm vermeldt bovendien

hoe Nud, Nbal en Nsd bepaald worden:

-B.3-


N ud= f cd Ac f yd As=14,1 MPa.0 ,4 m.0 ,4 m434MPa.160,0125 m2=5665kN en

N bal=0,4 f cd Ac=0,4.16 ,7 MPa.0 ,4 m.0 ,4 m=1069kN en Nsd is gegeven, 2500 kN. Bijgevolg is

K 2=5665kN−2500kN5665kN−1069kN

=0,69 . Nu kan de kromming berekend worden als

1r=2.0,69. 434MPa

200GPa.0 ,9.0 ,35m=9,51.10−3

men bijgevolg is e2=

6m 2

109,51.10−3

m=3,4 cm . Het

totale moment is M sd=M 1M 2=e1e2N sd=5,73cm3,4 cm2500kN=229kNm .

Vervolgens wordt in het interactiediagramma V15 het mechanisch wapeningspercentage afgelezen

voor =M sd

b ht2 f cdu

= 0,229MNm0,4 m3 .14,1MPa

=0,25 en =−1,1 . De waarde voor ω die met Fig. 2

gevonden wordt, is 0,34. Dit geeft een benodigde wapening A s=b ht

f cdu

f yd=2079mm2 , de

wapening van 5φ25mm per zijde voldoet dus.

-B.4-


3.2. C90/105

Hiervoor wordt vertrokken van de sectie 30cmx30cm en een wapening van 2φ25mm per zijde. De

slankheid bedraagt nu =

l 0

i= 6m

0,3 m4

120,3 m 2

=69. Om K2 te bepalen wordt Nud berekend:

N ud= f cd Ac f yd As=51MPa.0 ,3m.0 ,3 m434MPa . 40,0125 m 2=5442kN en

N bal=0,4 f cd Ac=0,4.60 MPa.0 ,3 m.0 ,3 m=2160 kN zodat

K 2=N ud−N sd

N ud−N bal=5442−2500

5442−2160=0,90≤1 . De kromming bedraagt nu

1r=2K 2

f yd

E s 0,9d=2.0,90. 434MPa

200GPa.0 ,9m.0 ,25m=1,74.10−2

m en de tweede orde-excentriciteit

-B.5-

Fig. 2: Interactiediagram V15


e2=l 0

2

10. 1r=1,74.10−2

m6m2

10=6,25cm . De eerste orde-excentriciteit is

e1=e0ea=max0,02 m ;0,1h1,73cm=3cm1,73cm=4,73cm . Het dimensionerende

moment is nu M=2500 kN.10 ,98 cm=274 kNm . Dimensieloos wordt dit

= Mbh2 f cdu

= 0,274 MNm0,3m351MPa

=0,20 en = Nbh f cdu

= −2,5 MN0,3m2 51MPa

=−0,545≈−0 ,5 . Met

het interactiediagram vindt men dan dat ω=0,93 zodat A s=b ht

f cdu

f yd=9821mm2 . Dit is te veel

om op een zijde van de kolom te plaatsen. De doorsnede zal dus vergroot moeten worden,

bijvoorbeeld tot 35cmx35cm. Dan wordt

N ud=51MPa.0 ,35 m.0 ,35 m434 MPa.40,0125 m2=7100 kN en

N bal=0,4 f cd Ac=0,4 .60 MPa.0,35 m.0 ,35 m=2940 kN zodat K 2=7100−25007100−2940

=1,12 en dus

K2 = 1. De kromming is nu 1r=2 K2

f yd

E s 0,9d=2.1. 434MPa

200GPa.0 ,9.0 ,30 m=1,607.10−2

m . De

tweede orde-excentriciteit is e2=l 0

2

101r=6m2

101,607.10−2

m=5,79.10−2

m. De totale excentriciteit is

nu e tot=e0eae2=3,5 cm1,73 cm5,79 cm=11,02 cm . Het dimensionerende moment

bedraagt dan M Ed=N Ed . e tot=2500 kN . 11,02 cm=275 kNm . Dimensieloos wordt dit

= Mbh2 f cdu

= 0,275MNm0,35m351MPa


= −2,5 MN0,35m 251 MPa

. Deze waarden zijn

vrij laag en maken een goede aflezing van het diagramma in Fig. 3 moeilijk. De waarde van ω≈0,10

-B.6-


zodat A s=b ht

f cdu

f yd=0,10 .0,35m2 51MPa

434MPa=1440mm2 . Een wapening van 3φ25mm per

zijde voldoet hier aan. Dit verandert opnieuw een aantal parameters en een derde iteratie dringt zich

op. Nu is N ud=51 MPa . 0,35 m.0 ,35 m434MPa.80,0125 m 2=7952 kN en

K 2=7952−25007952−2940

=1,11 zodat K2 = 1 en alles hetzelfde blijft.

-B.7-


4. EN1992-1-1(2004): Methode van de nominale kromming

4.1. C25/30

Ook voor deze methode is het handig reeds een waarde van de wapening te kennen. In dit voorbeeld

zal daarom vertrokken worden van een wapening 5φ25mm per zijde en zullen iteraties nodig zijn.

Met deze methode wordt de kolom berekend in samengestelde buiging met druk. De waarde van het

-B.8-

Fig. 3: Gebruikte interactiediagram


moment dat men gebruikt is M Ed=M 0EdM 2 . Hierin is M 2=N Ed .e2 met e2=1r

l02

c.

Hierbij vermeldt de norm dat een lagere waarde van c gebruikt mag worden indien het eerste orde-

moment een constante waarde is. De norm geeft echter geen indicatie voor de waarde van c die

gebruikt kan worden, dus zal hier verder met c=10 gewerkt worden. De waarde van de kromming

wordt berekend als 1r=K r K

1r 0

met

1r0=

yd

0,45d=

f yd

E s 0,45d= 434MPa

200GPa 0,45.0 ,35m=1,38.10−2

m en K r=nu−n

nu−nbal≤1 . In de formule

voor Kr zijn n=N Ed

Ac f cd= 2,5 MN

0,4 m.0 ,4 m.16 ,7 MPa=0,936 , nbal = 0,4 en

nu=1=1As f yd

Ac f cd=1160,0125 m2 . 434MPa

0,4 m.0 ,4m.16 ,7MPa=2,28 , zodat K r=

2,28−0,9362,28−0,4

=0,71 .

Kruip wordt niet in rekening gebracht, dus Kφ = 1. Dit levert volgende waarde voor de kromming:

1r=0,71. 1,38.10−2

m=9,87.10−3

mzodat e2=

1r

lo2

c=9,87.10−3

m6m2

10=3,55cm . Het eerste orde-

moment wordt berekend als M 0Ed=N Ed e ie0 .

Hierin is e0=max h30

,20mm =max 400mm30

,20mm=2cm en e i=i

l0

2met i=0hm

waarin h=2 l

= 23

=1,15 en 23≤ h≤1⇒h=1 en 0=

1200 . Dus is

e i=i

l 0

2=5.10−3 6m

2=1,5cm . Dus is e1 = 3,5cm. Het dimensionerende moment is dan

M Ed=N ed e1e2=2,5MN 3,5 cm3,55cm=176kNm . Er wordt dus gedimensioneerd voor

samengestelde buiging met druk met MEd = 176 kNm en NEd = 2500 kN. Hiervoor wordt de

-B.9-


spreadsheet gebruikt en vindt men dat een wapening van 4φ20mm voldoet.

De waarde voor Kr moet nu aangepast worden.

Voor nu=1=1As f yd

Ac f cd=112. .10mm2 . 434 MPa

0,4m.0 ,4m.16 ,7MPa=1,61 krijgt men

K r=1,61−0,936

1,61−0,4=0,54 en 1

r=0,54. 1,38.10−2

m=7,39.10−3

mzodat

e2=7,39.10−3 6m2

10=2,66cm waardoor het totaal moment nu

M Ed=2,5 MN 3,5cm2,66 cm=154 kNm wordt. De gekozen wapening van 4φ20mm per zijde

is ook voor samengestelde buiging met MEd = 154 kNm en NEd = 2500 kN goed. Er moet dus niet

verder geïtereerd worden.

4.2. C90/105

Om nutteloze berekeningen te vermijden, wordt hier onmiddellijk uitgegaan van een doorsnede van

35cmx35cm en een wapening van 3φ25mm per zijde. Dan wordt

1r0=

yd

0,45d=

f yd

E s 0,45d= 434MPa

200GPa.0 ,45.0 ,3m=1,607.10−2

m . Voor Kr krijgt men nu

K r=nu−n

nu−nbalmet n=

N Ed

Ac f cd= 2,5MN

0,35m.0 ,35m.60MPa=0,34 , nbal = 0,4 en

nu=1=1As f yd

Ac f cd=180,0125m2 .434 MPa

0,35m.0 ,35m.60MPa=1,23 dus K r=

1,23−0,341,23−0,4

=1,07

waardoor Kr = 1 genomen wordt. Bijgevolg is 1r=1,607.10−2

men

-B.10-


e2=1r

l 02

c=1,607.10−2

m6m2

10=5,79cm zodat de totale excentriciteit

e tot=e0eae2=2cm1,5 cm5,79 cm=9,29cm bedraagt. Het dimensionerend moment is nu

M Ed=N Ed . e tot=2500 kN . 9,29 cm=232 kNm en NEd = 2500 kN. De spreadsheet toont dat de

wapening verlaagd kan worden tot 2φ20mm per zijde.

Met deze wapening wordt nu=1=140,01m2 434 MPa0,35m.0 ,35m.60MPa

=1,074 en dan wordt

K r=1,074−0,341,074−0,4

=1,09 dus Kr =1 en de berekeningen veranderen verder niet. De wapening van

2φ20mm per zijde voldoet dus.

4.3. C20/25, NTD

Hier zal initieel uitgegaan worden van een wapening van 4φ20mm. Men had hierboven reeds

gevonden dat 1r0=1,38.10−2

m . Rekening houdend met het NTD vindt men

n=N Ed

Ac f cd= 2,5 MN

0,4 m.0 ,4 m.14 ,1 MPa=1,108 en

nu=1=1As f yd

Ac f cd=1120,01 m2 434 MPa

0,4 m.0 ,4 m.14 ,1 MPa=1,725 . Dan wordt

K r=nu−n

nu−nbal=1,725−1,108

1,725−0,4=0,466 . De kromming wordt dan

1r=K r

1r 0=

1,38.10−2

m0,466=6,427.10−3

m zodat de tweede orde-excentriciteit

-B.11-


e2=1r

l 02

c=6,427.10−3

m6m2

10=2,31.10−2 m . Het tweede orde-moment is dan 58 kNm en het totale

dimensionerende moment is dan 145 kNm. Met de spreadsheet van The Concrete Society vindt men

dan dat de wapening verhoogd moet worden tot 5φ20mm per zijde.

Dan vindt men nu=1=1160,01 m2 434 MPa0,4 m.0 ,4 m.14 ,1 MPa

=1,967 en wordt

K r=nu−n

nu−nbal=1,967−1,108

1,967−0,4=0,55 en

1r=K r

1r 0=0,55. 1,38.10−2

m=

7,56.10−3

m zodat

e2=1r

l 02

c=7,56.10−3

m6m2

10=2,72.10−2 m . Het tweede orde-moment bedraagt dan 68 kNm en het

totale dimensionerende moment is dan 155 kNm. De spreadsheet leert ons dat de wapening van

5φ20mm per zijde hieraan voldoet.

4.4. C90/105, NTD

Hier wordt initieel uitgegaan van een wapening van 2φ20mm per zijde. Men heeft

1r0=

1,607.10−2

m , zie het voorgaande. Nu is n=N Ed

Ac f cd= 2,5 MN

0,35 m.0 ,35 m.0 ,85.60 MPa=0,4 ,

waardoor Kr=1 wordt. De berekeningen blijven dus behouden, het dimensionerende moment

bedraagt 232 kNm. De spreadsheet toont ons dat de gekozen wapening voldoet.

5. EN1992-1-1(2004): Methode van de nominale stijfheid

5.1. C25/30

Ook hier zal in eerste instantie vertrokken worden van een doorsnede met wapening 5φ25mm per

zijde. De nominale stijfheid is gedefinieerd als EI=K c Ecd I cK s E s I s . Allereerst wordt het

-B.12-


wapeningspercentage bepaald, om te zien welke formules gebruikt moeten worden. Dit is

=As

Ac=

16.12,5 mm2

0,4m.0 ,4m=4,9.10−22.10−3 . Hiervoor geldt dat Ks = 1 en dat K c=

k 1 k2

1ef.

Kruip wordt hier niet beschouwd, dus φef wordt 0 genomen. Voor k1 heeft men

k 1= f ck

20=25

20=1,118 en k 2=n

170≤0,20 met

n=N Ed

Ac f cd= 2,5MN

0,4 m.0 ,4m ,16 ,7MPa=0,936

zodat k 2=0,936 . 52170

=0,286≤0,2⇒ k2=0,2 zodat K c=0,2.1,118=0,2236 . Verder is

I c=bh3

12=0,4m4

12=2,13.10−3 m4 en Ecd=

31GPa1,2

=25,8GPa . Om Is te bepalen, wordt eerst

een kleine schets, zie Fig. 4, gemaakt.

-B.13-

Fig. 4: Schets van de situatie, ter berekening van het traagheidsmoment


De tussenafstand is hier: tussenafstand= 400−5.25−2.8−2.304

=49,75 mm . Dus is x1=74,75mm

zodat l 1=147,5mm 274,75mm 2=165,4mm en x2 = 2.x1 = 149,5 mm zodat

l 2= 147,5mm2149,5 mm2=210 mm . Nu kan men Is berekenen als

I s=8 r 4

4 r2 l1

24 r4

4 r2 l 2

24 r 4

4

I s=8 12,54

4 12,52165,424 12,54

4 12,52 2102 . 12,54=1,94.10−4 m4. Alle

onbekenden in de formule voor de stijfheid zijn nu gekend; deze bedraagt

EI=0,2236.25,8.103 MPa.2 ,13.10−3 m4200.103 MPa.1 ,94 .10−4 m4=51,1 MNm2 .Hiermee

wordt de kniklast bepaald als N B=2 EI

l 02 =251,1 MNm2

6m2=14,01 MN . De factor β is hier

=2

c0=2

8=1,234 . Het eerste orde-moment wordt bepaald als:

M 0Ed=2,5 MN.3 ,5 cm=87,5 kNm . Het totale dimensionerende moment is bijgevolg:

M Ed=M 0Ed11,234

14,01 MN2,5MN −1

=111kNmen NEd is 2500 kN. Met de spreadsheet van The

Concrete Society vindt men dat de wapening verlaagd kan worden tot 3φ20 mm per zijde.

In een tweede iteratie zal de bijdrage van het staal aan de totale stijfheid bepaald worden met deze

nieuwe wapening. Het wapeningspercentage is nu =80,01m2

0,4m.0 ,4m=1,6.10−22.10−3 . Om het

traagheidsmoment van het staal te bepalen, wordt opnieuw eerst een schets, zie Fig. 5, gemaakt.

-B.14-


Hier bedraagt de tussenafstand= 400−3.20−2.8−2.302

=132 mm . Op basis hiervan bepaalt men

x = tussenafstand + φ = 152 mm,

zodat l=147,5mm2152mm 2=212 mm . Het traagheidsmoment van het staal wordt nu

bepaald als:

I s=4 r 4

4 r2 l24 r 4

4=4 104

4102 .21224 104

4I s=5,65.10−5 m4

.

De stijfheid is nu

EI=0,2236.25,6.103 MPa.2 ,13.10−3 m4200.103 MPa .5,65.10−5 m4=23,5MNm2 . De nieuwe

kniklast bedraagt N b=2 EIl 0

2 =2 23,5MNm2

6m2 =6,44 MN . Het dimensionerend moment bedraagt

nu M Ed=M 0Ed 1

N B

N Ed−1

=87,5 kNm1 1,2346,44 MN2,5 MN −1

=156 kNm. De wapening moet dus

-B.15-

Fig. 5: Schets bij de berekening van het traagheidsmoment


verhoogd worden tot 4φ20mm per zijde.

5.2. C90/105

Hier zal onmiddellijk vertrokken worden van een sectie van 35cmx35cm en wapening van 2φ20mm

per zijde. Het wapeningspercentage bedraagt =As

Ac= 40,01m2

0,35 m.0 ,35m=1,03.10−22.10−3 . De

waarde van K c=k 1 k2

1efmet k 1= f ck

20= 90

20=2,12 en k 2=n

170≤0,20 . Hierbij zijn

=l 0

i=

l 0

IA

= 6m

0,35m2

12

=59,4en n=

N Ed

Ac f cd= 2,5MN

0,35m.0 ,35m.60MPa=0,34 . Dus is

k 2=0,34. 59,4170

=0,119 en K c=k 1 k 2=2,12.0 ,119=0,252 . Verder is

I c=bh3

12=0,35m4

12=1,25.10−3 m4 en E cd=

441,2

=36,7GPa . Om het traagheidsmoment van

het staal te berekenen, wordt de schets uit Fig. 6 gebruikt.

-B.16-


Hier is d=25cm/2 = 12,5 cm en dat x=350−2.20−2.8−2.302

10=127mm en dus

l= x2d 2=178mm . De waarde van

I s=4 r 4

4 r2 l 2=4 104

4102178mm 2=3,98.10−5 m4 levert ons als stijfheid

EI=K c Ecd I cK s E s I s=0,252.36,7.103 MPa . 1,25.10−3 m4200.103 MPa .3,98.10−5 m4

EI=19,52 MNm2 . De kniklast bedraagt N B=2 EI

l 02 =219,52 MNm2

6m2 =5,352MN . Het

dimensionerende moment is M Ed=M 0Ed1

1,2345,352

2,5 −1=182kNm

. De spreadsheet toont aan dat

de afmetingen verminderd kunnen worden tot 30cmx30cm, mits de wapening 3φ20mm per zijde

-B.17-

Fig. 6: Schets ter berekening van het traagheidsmoment van het staal


bedraagt. De slankheid bedraagt nu =

l 0

i= 6m

0,3 m2

12

=69,3. Verder is

n=N Ed

Ac f cd= 2,5 MN

0,3m.0 ,3m.60 MPa=0,463 en dus k 2=n

170=0,189 . Nu is

K c=k 1 k 2=2,12 .0,189=0,4 en I c=bh3

12=0,3m4

12=6,75.10−4 m4 . Voor de berekening van Is

wordt opnieuw beroep gedaan op een schets, zie Fig. 7.

In deze schets zijn d=10cm en de tussenafstand bedraagt

tussenafstand=300−2.8−2.30−3.202

=82 mm en dus is x=82mm20 mm=102mm en

l= x2d 2=143mm . Het traagheidsmoment bedraagt dus

. I s=4 r 4

4 r2 l24 r 4

4=4 104

4102 . 1432104=2,58.10−5 m4 De stijfheid is nu

EI=K c E cd I cK s E s I s=0,4.36,7.103 MPa . 6,75.10−4 m4200.103 MPa .2 ,58.10−5 m4 dus

-B.18-

Fig. 7: Schets ter berekening van het traagheidsmoment van het staal


EI=15MNm2. De kniklast bedraagt nu N b=2 EI

l 02 =2. 15MNm2

6m2=4,13MN zodat het

dimensionerende moment M Ed=M 0Ed1

1,2344,13MN2,5MN −1

=253 kNm. De spreadsheet van The

Concrete Society leert ons dat de vorige optie beter was, en dus een sectie van 35cmx35cm nodig is

met een wapening van 2φ20mm per zijde.

5.3. C25/30, NTD

De combinatie van MEd = 156 kNm en NEd = 2500 kN wordt hier gecontroleerd. De wapening moet

verhoogd worden tot 5φ20mm per zijde. Dit geeft een traagheidsmoment van het staal van

1,308.10-4 m4. De stijfheid wordt dan 38 MNm2. Dit levert een kniklast van 10,5MN, zodat het

dimensionerende moment 121kNm bedraagt. De wapening van 5φ20mm per zijde voldoet dus.

5.4. C90/105, NTD

Hier toont de spreadsheet aan dat de wapening uit 5.2. voldoet.

De conclusies van deze case study zijn opgenomen in hoofdstuk 4 .

-B.19-

Aanvullingen bij case study: Scharnierende

kolom

1. Probleemstelling

In deze case study wordt de scharnierende kolom uit Fig. 1 bestudeerd. De betonklasse is C25/30 en

het wapeningsstaal S500. Initieel wordt uitgegaan van een sectie van 50cmx50cm.

2. Tabellen van De Vos

2.1. Tabellen van De Vos

De dimensieloze parameters zijn hier: a 'h= 5cm

50cm=0,1 en

Fig. 1: Voorbeeld 3

Bijlage C

Bijlage C: Scharnierende kolom

d=N d

b ht f cdu= −2,5MN0,5m 2 14,1MPa

=−0,709 en l e

ht=0,8.5m

0,5m=8 . De eerste orde-excentriciteit

bedraagt e1 = e0 + ea met e0=max0,02 m ;0,1h=5cm en ea=l0

2met

= 1100 l

= 11005

1200

=5.10−3 zodat ea=5.10−3.0 ,8.5m

2=1cm en dus e1 = 6cm. Dit

levert dan als eerste orde-moment M 1=N .e1=2500kN . 6cm=150 kNm . Dimensieloos wordt

dit =M 1d

bht f cdu=8,5.10−2 . Tabel 6A leert ons dat de sectie verkleind kan worden, bijvoorbeeld

tot 40cmx40cm. Dan worden de dimensieloze parameters a 'h= 5cm

40cm=0,125≈0,1 en

d=N d

bht f cdu= −2,5MN0,4m2 14,1MPa

=−1,1 en l e

ht=0,8.5m

0,4 m=10 . Voor e0 heeft men nu

e0=max0,02 m ;0,1m=4cm zodat e1 = 5cm. Het eerste orde-moment is dan M1 = 125 kNm.

Dimensieloos wordt dit 1=M 1

bh2 f cdu

=1,73.10−2 . Tabel 6A toont hier opnieuw dat deze sectie

niet economisch is, een sectie van 30cmx30cm wordt nu voorgesteld. Dit levert dan

a 'h= 5cm

30cm=0,167 en d=

N d

bh f cdu= −2,5 MN0,3 m2 . 14,1MPa

=−1,97 , wat buiten de tabel valt. De

sectie moet vergroot worden, men kiest nu een sectie van 35cmx35cm. Dit levert

a 'h= 5cm

35cm=0,14≈0,1 en d=

N d

bh f cdu= −2,5MN0,35m214,1MPa

=−1,4 en

-C.2-


l e

ht=0,8.5m

0,35m=11,4≈10 . De eerste orde-excentriciteit bedraagt nu e1 = e0 + ea = 3,5cm + 1 cm =

4,5cm. Het eerste orde-moment is dan M1 = 112,5 kNm. Dimensieloos wordt dit

1=M 1

bht2 f cdu

= 0,1125 MNm0,35m 314,1MPa

=0,186 . Aan de hand van tabel 6A van De Vos vindt men dan

ω=0,5.

De wapening bedraagt dan A s=b hf cdu

f yd=0,5.0,35 m2 14,1MPa

434MPa=1990mm2≈1963 mm2 , wat

een wapening van 4φ25mm per zijde betekent.

2.2. De Vos met parameters van EN1992-1-1:2004

De waarde van α bedraagt in de EN 1992-1-1:2004 α =1. Dit levert dan fcdu = fcd = 16,7MPa. Om

nutteloos rekenwerk te vermijden, wordt hier onmiddellijk uitgegaan van een sectie van

35cmx35cm. Dan heeft men a 'h=0,14 en d=

N d

b hf cdu= −2,5MN0,35 m2 .16,7 MPa

=−1,22≈−1,2 en

l e

ht=0,8.5m

0,35m=11,4≈10 . De eerste orde-excentriciteit volgens de EN 1992-1-1:2004 bedraagt

e0=max h30

, 20mm =max 11,7mm ; 20mm=20mm en e i=i

l0

2met i=0hm en

23≤n=

2 l

≤1⇒n=0,89 en 0=1

200 , dus i=1

2000,89=4,47.10−3 en dus

e i=i

l 0

2=4,47.10−30,8. 5m

2=8,9mm . De eerste orde-excentriciteit bedraagt dus e1 = 2,89cm.

-C.3-


Het eerste orde-moment is dan 22,4 kNm. Dimensieloos wordt dit

1=M 1

bh2 f cdu

= 0,0224 MNm0,35m 316,7 MPa

=3,1.10−2 . In tabel 6 A vindt men dan dat ω=0,15 voor

μ=0,024 en ω=0,20 voor μ=0,053 zodat de waarde voor ω=0,162 gevonden wordt door lineaire

interpolatie. De oppervlakte wapening wordt dan

A s=b hf cdu

f yd=0,162.0,35m2 16,7 MPa

434MPa=764mm2 . Een wapening van 3φ20mm per zijde

voldoet hieraan. Dit is dus beduidend minder dan met de waarden uit de NBN B15-002 (1999).


Uit 2.1 kan overgenomen worden dat e1=4,5cm. Om onnodig rekenwerk te vermijden, zal

onmiddellijk uitgegaan worden van een wapening van 4φ25mm per zijde en een sectie van

35cmx35cm.

Deze methode is geschikt voor een slankheid kleiner dan 120. De slankheid bedraagt hier

=l 0

i= 0,8.5 m0,35 m12

=40. De tweede orde-excentriciteit wordt in deze methode berekend als

e2=l 0

2

101r

met hierin 1r=2 K2

f yd

E s 0,9d en K 2=N ud−N sd

N ud−N bal≤1 . De waarden van Nud en Nbal

worden als volgt bepaald:

N ud= f cd Ac f yd As=0,85.16 ,7MPa . 0,35m.0 ,35m434 MPa .120,0125m 2=4,295 MN

en

-C.4-


N bal=0,4 f cd Ac=0,4.16 ,7MPa . 0,35m.0 ,35 m=0,818 MN . Dit geeft dan

K 2=4,295MN−2,5 MN

4,295 MN−0,818 MN=0,516 zodat 1

r=2.0,516 434 MPa

200GPa .0,9.0 ,3m=8,299.10−3

men dus

e2=0,8.5m2

10.8 ,299.10−3=1,33.10−2 m . Het totale dimensionerende moment is

M sd=N sd e1e2=2500 kN 4,5cm1,33cm=146 kNm . Dimensieloos wordt dit

= Mbh2 f cdu

= 0,146MNm0,35m314,1 MPa


= −2,5 MN0,35m214,1 MPa

=−1,4 . Met

interactiediagram V15, zie Fig. 2, vindt men dan dat ω=0,53 zodat de benodigde oppervlakte staal

A s=b hf cdu

f yd=2109mm2 . De wapening moet dus verhoogd worden tot 3φ32mm per zijde.

Dit geeft dan: N ud= f cd AcAs f yd=14,1 MPa 0,35 m2434 MPa 80,016 m 2=4,52 MN

zodat K 2=4,52 MN−2,5MN

4,52 MN−0,818MN=0,546 en 1

r=2.0,546. 434 MPa

200GPa.0 ,9.0 ,3m=8,77.10−3

m. De

tweede orde-excentriciteit is dan e2=0,8.5m2

108,77.10−3

m=1,4.10−2 m . Het totale

dimensionerende moment is dan M sd=N sd e1e2=2500 kN 4,5 cm1,4 cm=148 kNm .

Dimensieloos wordt dit = 0,148 MNm0,35m314,1 MPa

=0,24 en ν=1,4. De convergentie is dus bereikt.

De wapening bedraagt 3φ32mm per zijde.

-C.5-


4. EN1992-1-1 (2004): Methode van de nominale kromming

4.1. EN 1992-1-1:2004

Ook hier zal vertrokken worden van een wapening van 4φ25mm per zijde en een doorsnede van

35cmx35cm. Men heeft dan 1r0=

yd

0,45d=

f yd

E s 0,45d= 434MPa

200GPa 0,45.0 ,3m=1,607.10−2

m en

K r=nu−n

nu−nbalmet n=

N Ed

Ac f cd= 2,5 MN0,35m2 16,7MPa

=1,222 en

-C.6-



nu=1=1As f yd

Ac f cd=1 120,0125 m2 .434 MPa

0,35 m216,7 MPa=2,25 en nbal = 0,4 zodat

K r=2,25−1,2222,25−0,4

=0,556 . Aangezien hier geen rekening wordt gehouden met kruip is Kφ=1 en

is dus 1r=K r

1r 0=0,556 . 1,607.10−2

m=8,93.10−3

m . De tweede orde-excentriciteit bedraagt nu

e2=1r

l 02

c=8,93.10−3

m0,8.5m2

10=1,43cm . De eerste orde-excentriciteit is e1=e0+ei. Men heeft

e0=max h30

, 20mm =max 11,6mm ;20mm=20mm . Verder is e i=i

l0

2met i=0 hm

en αm =1 en 23≤h=

2 l

≤1⇒h=0,89 en 0=1

200 zodat

e i=0h

l 0

2= 1

200.0 ,89. 0,8.5m

2=8,9 mm . De eerste orde-excentriciteit is dus 2,89cm.

Het dimensionerende moment bedraagt MEd = NEd (e1 + e2) = 2500kN(2,89cm+1,43cm) = 108kNm

en de dimensionerende normaalkracht bedraagt 2500 kN. Aan de hand van de spreadsheet van The

Concrete Society ziet men vervolgens dat de benodigde wapening 4φ25mm per zijde bedraagt.

4.2. NTD

Hier wordt vertrokken van de wapening van 4φ25mm per zijde. Men heeft uit het voorgaande dat

1r0=1,607.10−2

m . Nu wordt n=N Ed

Ac f cd= 2,5 MN0,35m2 14,1MPa

=1,45 en

-C.7-


nu=1=1As f yd

Ac f cd=1120,0125 m2 434 MPa

0,35 m2 14,1 MPa=2,48 zodat

K r=nu−n

nu−nbal=2,48−1,45

2,48−0,4=0,495 . Dit geeft een kromming van

1r=K r

1r 0=0,495.1,607 .10−2

m=7,96.10−3

m . De tweede orde-excentriciteit is nu

e2=1r

l02

c=7,96.10−3

m0,8.5m 2

10=1,27cm . Het dimensionerende moment is dan MEd=104 kNm.

De wapening voldoet hieraan.

5. EN1992-1-1 (2004): Methode van de nominale stijfheid

Ook hier zal onmiddellijk uitgegaan worden van een sectie van 35cmx35cm en een wapening van

4φ25mm. De nominale stijfheid wordt berekend als EI=K c Ecd I cK s E s I s . Allereerst wordt

het wapeningspercentage bepaald: =As

Ac=1212,5mm2

0,35m.0 ,35m=4,8.10−22.10−3 . Voor deze

waarde van ρ heeft men dat Ks=1 en dat K c=k 1 k2

1ef, waarin φef=0 omdat er geen rekening

gehouden wordt met kruip. Men heeft k 1= f ck

20=25

20=1,118 en k 2=n

170≤0,20 met

n=N Ed

Ac f cd= 2,5 MN0,35m2 16,7MPa

=1,222 zodat k 2=1,222.40

170=0,288≤0,20⇒ k 2=0,20 .

-C.8-


Bijgevolg is K c=k 1 k 2=1,118 .0,20=0,2236 . Verder is I c=bh3

12=0,35m4

12=1,2505.10−3 m4

en E cd=31GPa

1,2=25,8GPa . Om het traagheidsmoment van het staal te bepalen, wordt eerst een

schets gemaakt, zie Fig. 3.

Hierin is de tussenafstand=350mm−4.25mm−2.30mm−2.8mm3

=58mm . Daarmee wordt

d=350mm−2.30mm−2.8mm−2.12,5mm2

=124,5mm zodat

x1=tussenafstand

2

2=41,5mm en

x2=32tussenafstand=3

225mm58mm=124,5mm . Dit geeft

l 1=124,5 mm 241,5 mm2=131mm en l 2= 124,5 mm2124,5 mm2=176mm . Het

-C.9-

Fig. 3: Schets van de doorsnede


traagheidsmoment is dan I s=4 r 4

4 r2 l 2

28 r4

4 r2 l 1

2

I s=4 12,54

412,5217628 12,54

412,521312=1,284.10−4 m 4 . De stijfheid

kan nu berekend worden als

EI=K c E cd I cK s E s I s=0,2236.25,8.103 MPa .1 ,2505.10−3 m4200.103 MPa . 1,284.10−4 m4

EI=32,89MNm2 . Hiermee bedraagt de kniklast N B=2 EIl 0

2 =2.32 ,89MNm2

0,8.5m2=20,29MN .

Het dimensionerende moment wordt berekend als M ED=M 0Ed1

N B

N Ed−1

. Hierin is

M 0Ed=N Ed e1=2500 kN . 28,9 mm=72,3 kNm en =2

c0=2

8=1,234 zodat

M Ed=72,3kNm 1 1,23420,29MN2,5MN −1

=85kNm.

De wapening kan hier ook verminderd worden tot 3φ25mm per zijde. Dit ziet men met de

spreadsheet van The Concrete Society.

Dan is Is=6,102.10-5m4. De stijfheid bedraagt dan EI=19,42 MNm2 en de kniklast NB=12 MN. Dan

is het dimensionerende moment 96 kNm en vindt men met de spreadsheet dat de wapening van

3φ25mm hier voor voldoet.

Volgens het NTD moet de wapening verhoogd worden tot 4φ25mm per zijde.

De conclusies van de berekeningen zijn opgenomen in hoofdstuk 4.

-C.10-

Aanvullingen bij case study:

Invloed betonklasse

1. Probleemstelling

Een kolom, zie Fig. 1, wordt voor verschillende betonklassen uitgerekend.

De doorsnede is 50cmx50cm. Wapeningsstaal S500 wordt gebruikt en er wordt uitgegaan van een

(louter hypothetische) wapening van 4φ25mm per zijde. Voor de verschillende betonklassen zal nu

het dimensionerende moment gezocht worden, achtereenvolgens voor de methode van de

modelkolom uit de NBN B15-002 (1999), de methode van de nominale kromming

(EN1992-1-1:2004) en de methode van de nominale stijfheid (EN1992-1-1:2004). De resultaten

worden uiteindelijk bijeengebracht in een samenvattende grafiek.

De slankheid van het element bedraagt =l 0

i=8m12

0,5 m=55,4 .

Bijlage D

Fig. 1: beschouwde kolom

Bijlage D: Invloed betonklasse

2. NBN B15-002: Methode van de modelkolom

De eerste orde-excentriciteit wordt berekend als e1=e0+ea. Hierin is

e0=max0,02 m ;0,1 h=5cm en ea=l0

2met = 1

100 l≥ 1

200=5.10−3 zodat ea=2cm . De

eerste orde-excentriciteit bedraagt dus 7cm. De tweede orde-excentriciteit wordt berekend als

e2=l 0

2

101r

met 1r=2 K 2

f yd

E s 0,9den K 2=

N ud−N sd

N ud−N bal≤1 met

N ud= f cd Ac f yd As en N bal=0,4 f cd Ac . De berekeningen werden in Tabel 1 samengevat.

-D.2-

Tabel 1: Berekening volgens NBN B15-002 (1999)

fck (MPa) fcd (MPa) fcdu (MPa) Nbal (MN) Nud (MN) K212 8 6,8 0,8 4,26 0,5116 10,67 9,07 1,07 4,82 0,6220 13,33 11,33 1,33 5,39 0,7125 16,67 14,17 1,67 6,1 0,8130 20 17 2 6,81 0,935 23,33 19,83 2,33 7,51 0,9740 26,67 22,67 2,67 8,22 145 30 25,5 3 8,93 150 33,33 28,33 3,33 9,64 1

1/r (1/m) e2 (m) etot (m) Mtot (kNm) M2 (kNm)5,45E-003 3,49E-002 0,1049 262 876,63E-003 4,24E-002 0,1124 281 1067,63E-003 4,89E-002 0,1189 297 1228,70E-003 5,57E-002 0,1257 314 1399,60E-003 6,14E-002 0,1314 329 1541,04E-002 6,64E-002 0,1364 341 1661,07E-002 6,86E-002 0,1386 346 1711,07E-002 6,86E-002 0,1386 346 1711,07E-002 6,86E-002 0,1386 346 171


3. EN1992-1-1 (2004): Methode van de nominale krommingDe eerste orde-excentriciteit bedraagt hier e1=e0+ei. Hierin is e0=max h

30;20mm =20mm en

e i=i

l 0

2met i=0hm en h=

24

=1 zodat i=1

200en dus ei=

1200

8m2=2cm . De eerste

orde-excentriciteit bedraagt dus 4cm. De tweede orde-excentriciteit bedraagt e2=1r

l02

c. Hierin is

1r=K r K

1r 0

met 1r0=

f yd

E s 0,45den K r=

nu−nnu−nbal

≤1 met nu=1=1A s f yd

Ac f cden n=

N Ed

Ac f cden

nbal = 0,4. De resultaten van de berekeningen zijn in Tabel 2 opgenomen.

-D.3-

Tabel 2: Berekening volgens EN 1992-1-1:2004, methode van de nominale kromming

fck (MPa) fcd (MPa) nu n Kr 1/r (1/m)12 8 2,28 1 0,68 7,29E-00316 10,67 1,96 0,75 0,78 8,31E-00320 13,33 1,77 0,6 0,85 9,15E-00325 16,67 1,61 0,48 0,93 1,00E-00230 20 1,51 0,4 1 1,07E-00235 23,33 1,44 0,34 1 1,07E-00240 26,67 1,38 0,3 1 1,07E-00245 30 1,34 0,27 1 1,07E-00250 33,33 1,31 0,24 1 1,07E-00255 36,67 1,28 0,22 1 1,07E-00260 40 1,26 0,2 1 1,07E-00270 46,67 1,22 0,17 1 1,07E-00280 53,33 1,19 0,15 1 1,07E-00290 60 1,17 0,13 1 1,07E-002


4. EN1992-1-1: Methode van de nominale stijfheid

De eerste orde-excentriciteit wordt op dezelfde wijze berekend als in de vorige paragraaf. Het eerste

orde-moment is dan M 0Ed=2500kN.4cm=100kNm . De nominale stijfheid wordt berekend als

EI=K c E cd I cK s E s I s . Het wapeningspercentage bedraagt

=120,0125m 2

0,5 m2=2,4.10−22.10−3 zodat Ks=1 en

K c=k 1 k2

1efmet k 1= f ck

20en k 2=n

170met n=

N Ed

Ac f cd. Verder is

I c=bh3

12=0,5m4

12=5,208.10−3 m4 en Ecd=

E c

1,2. Het traagheidsmoment van het staal wordt

berekend aan de hand van een schets, zie Fig. 2.

-D.4-

e2 (m) M2 (m) etot (m) Mtot (kNm)4,67E-002 116,69 0,09 2175,32E-002 132,96 0,09 2335,85E-002 146,37 0,1 2466,41E-002 160,15 0,1 2606,86E-002 171,46 0,11 2716,86E-002 171,46 0,11 2716,86E-002 171,46 0,11 2716,86E-002 171,46 0,11 2716,86E-002 171,46 0,11 2716,86E-002 171,46 0,11 2716,86E-002 171,46 0,11 2716,86E-002 171,46 0,11 2716,86E-002 171,46 0,11 2716,86E-002 171,46 0,11 271


De tussenafstand bedraagt tussenafstand=500−4.25−2.8−2.303

=108mm en

d =500−2.8−2.30−252

=199,5mm zodat x1=t2

2=66,5mm en x2=

32t=199,5 mm .

Op die manier heeft men l 1=d 2x12=210mm en l 2=d 2x2

2=282mm . Het

traagheidsmoment bedraagt I s=4 r 4

4 r2 l2

28 r4

4 r2 l 1

2

I s=4 12,54

412,52.28228 12,54

412,52 2102=3,296.10−4 m4 . Het dimensionerende

moment wordt berekend als M Ed=M 0Ed 1

1,234N B

N Ed−1

. De resultaten van de berekeningen zijn

in Tabel 3 bijeengebracht.

-D.5-

Fig. 2: Schets van de doorsnede voor de berekening van het traagheidsmoment


De bespreking van de resultaten werd in hoofdstuk 4 opgenomen.

-D.6-

Ec (Gpa) Ecd (Gpa) EI (MNm2) Nb (MN) M (kNm)27 22,5 84,07 12,97 12929 24,17 88,43 13,64 12830 25 91,96 14,18 12631 25,83 95,12 14,67 12533 27,5 94,29 14,54 12634 28,33 92,99 14,34 12635 29,17 91,98 14,18 12636 30 91,19 14,06 12737 30,83 90,56 13,97 12738 31,67 90,05 13,89 12739 32,5 89,63 13,82 12741 34,17 89 13,72 12742 35 88,03 13,58 12844 36,67 87,76 13,53 128

Tabel 3: Berekening volgens EN 1992-1-1:2004, methode van de nominale stijfheidfck (MPa) fcd (MPa) k1 n k2 Kc

12 8 0,77 1,25 0,2 0,1516 10,67 0,89 0,94 0,2 0,1820 13,33 1 0,75 0,2 0,225 16,67 1,12 0,6 0,19 0,2230 20 1,22 0,5 0,16 0,235 23,33 1,32 0,43 0,14 0,1840 26,67 1,41 0,38 0,12 0,1745 30 1,5 0,33 0,11 0,1650 33,33 1,58 0,3 0,1 0,1555 36,67 1,66 0,27 0,09 0,1560 40 1,73 0,25 0,08 0,1470 46,67 1,87 0,21 0,07 0,1380 53,33 2 0,19 0,06 0,1290 60 2,12 0,17 0,05 0,11

Aanvullingen bij case study: Invloed van kruip

1. Probleemstelling

Om de invloed van kruip te berekenen zal nagegaan worden voor 3 betonklassen wat de bekomen

wapening is volgens de methode van de modelkolom uit de NBN B15-002 (1999), de methode van

de nominale kromming en methode van de nominale stijfheid uit de EN 1992-1-1:2004. Dit zal

gebeuren zonder rekening te houden met kruip, rekening houdend met kruip volgens de norm en

volgens de uitgebreide methode uit de bijlage. De sectie van de doorsnede wordt aangepast

naargelang de betonklasse, en de berekeningen werden deels met de hand en deels met een

spreadsheet uitgevoerd. Fig. 1 schetst de kolom.

De 3 betonklassen zijn C12/15, C35/45 en C90/105. Deze laatste is evenwel niet opgenomen in de

NBN B15-002 (1999), maar voor de denkoefening zal het toch opgenomen worden in deze case

studie.

De vochtigheid RH bedraagt 80% en het tijdstip van belasten is 28 dagen.

Fig. 1: Schets van case study 5

Bijlage E

Bijlage E: Invloed van kruip

2. Methode van de modelkolom NBN B15-002 (1999)

2.1. Met verwaarlozing van kruip

De eerste orde-excentriciteit bedraagt e1=e0+ea met e0=max(0,02m;0,1h) en ea=l 0

400=2,25cm .

Voor h=55cm (C12/15) heeft men dus e0=5,5cm en M1=232,5 kNm, voor h=50cm (C35/45) is

eo=5cm en M1=217,5kNm en voor h=40cm (C90/105) is e0=4 cm en M1=187,5 kNm.

De tweede orde-excentriciteit wordt met de gekende formules berekend: e2=l 0

2

101r

met

1r=2 K2

f yd

E s 0,9dmet K 2=

N ud−N sd

N ud−N balen N ud= f cd Ac f yd A s en N bal=0,4 f cd Ac . Initieel

wordt uitgegaan van een wapening van 5φ25mm per zijde. In het interactiediagram, zie Fig. 2,

werden de dimensieloze waarden = Mb h2 f cdu

en = Nbh f cdu

en =As f yd

bhf cdugebruikt. De

berekeningen werden met een spreadsheet uitgevoerd en zijn in Tabel 1 weergegeven. Tabel 2 geeft

de waarden in de tweede iteratiestap.

-E.2-

Tabel 1: Berekening zonder kruip, eerste iteratiestapz (m) fck (MPa) fcd (MPa) fcdu (MPa) Nud (MN) Nbal (MN) K2

0,55 12 8 6,8 5,47 0,97 0,550,5 35 23,33 19,83 8,37 2,33 0,890,4 90 60 51 11,57 3,84 1

1/r (1/m) e2 (m) M2 (kNm) Mtot (kNm) μ ν ω5,29E-003 4,28E-002 128,48 360,98 0,319 1,5 0,669,53E-003 7,72E-002 231,63 449,13 0,181 0,6 0,091,38E-002 1,12E-001 334,8 522,3 0,160 0,4 0,05


-E.3-

Tabel 2: tweede iteratiestapAs (mm 2̂) Nud (MN) K2 1/r (1/m) e2 (m) M2 (kNm)

9651 6,25 0,61 5,93E-003 4,80E-002 144,123770 6,59 0,84 9,04E-003 7,32E-002 219,662513 9,25 1 1,38E-002 1,12E-001 334,8

Mtot (kNm) μ ω Asreq (mm2)376,62 0,33 0,7 3222,95 OK437,16 0,18522,3 0,16


-E.4-



2.2. Vereenvoudigde berekening van kruip

De berekeningen werden opnieuw aan de hand van een spreadsheet en interactiediagram V15

uitgevoerd. De eerste iteratiestap is opgenomen in Tabel 3.

Dit levert voor de eerste doorsnede 6φ32mm per zijde en voor de tweede 5φ32mm per zijde. De

derde doorsnede is te klein. In een tweede iteratiestap, zie Tabel 4, worden enkel de eerste twee

doorsneden beschouwd.

Voor de doorsnede met fck = 35MPa is de convergentie bereikt. De doorsnede met fck = 12MPa is te

klein voor de benodigde wapening. Het interactiediagram is opgenomen in Fig. 3.

-E.5-

Tabel 4: Tweede iteratiestap

Tabel 3: Berekening van de wapeningφ M2kruip (kNm) Mtot (kNm) μ ν ω Asreq (mm 2̂)

1,64 380,49 612,99 0,54 1,5 0,96 4550 6φ321,65 582,1 799,6 0,32 0,6 0,3 3427 5φ321,68 897,26 1084,76 0,33 0,4 0,26 4888 ---

As (mm 2̂) Nud (MN) K2 1/r (1/m) e2 (m) M2kruip (kNm) Mtot (kNm)16085 9,04 0,75 1,91E-002 0,15 462,92 695,4212868 10,54 0,92 2,61E-002 0,21 634,02 851,52

μ ω Asreq (mm 2̂)0,61 1,06 5024,010,34 0,31 3541,67


-E.6-



2.3. Kruip berekend volgens NBN B15-002 (1999) Bijlage 3

De kruipfactor werd bepaald in hoofdstuk 4. Vervolgens wordt de sectie berekend volgens de

methode van de modelkolom, met de berekende kruipfactor. Enkel voor C12/15 en C90/105

verschilt de kruipfactor ten opzichte van de bepaling met de tabel uit de NBN B15-002 (1999). De

resultaten met de methode van de modelkolom zijn in Tabel 5 opgenomen. Het interactiediagramma

is opgenomen in Fig. 4

De beide doorsneden zijn dus te klein.

-E.7-

Tabel 5: Berekening wapeningfck (MPa) M2kruip (kNm) Mtot (kNm) μ ν ω Asreq (mm2)

12 2,39 593,79 826,29 0,73 1,5 1,2 5687,5690 1,11 705,24 892,74 0,27 0,4 0,19 3497,14

φ∞


-E.8-



3. Volgens EN1992-1-1:2004, Methode van de nominale

kromming

3.1. Met verwaarlozing van kruip

Allereerst wordt het eerste orde-moment bepaald aan de hand van de eerste orde-excentriciteit.

Deze bedraagt e1 = ei + e0 met e0=max h30

,20mm =20 mm voor alle doorsnedes en

e i=i

l 0

2met i=

1200

hm met 23≤h=

2l

=0,943≤1 zodat ei=1

200.0 ,943.4 ,5 m=2,12 cm dus

e1 = 4,12 cm voor alle doorsneden. Hieruit volgt dat M1=123,6 kNm voor alle doorsneden. De

berekeningen werden opnieuw in een spreadsheet uitgevoerd. In de eerste iteratiestap wordt de

volgende wapening gebruikt: 6φ25mm voor fck = 12 MPa; 4φ20mm voor fck = 35 MPa en 3φ20mm

voor fck = 90 MPa. Het tweede orde-moment wordt berekend als M2 = NEd e2 met

e2=1r

l02

cmet 1

r=K r K

1r 0

waarbij 1r0=

f yd

E s 0,45den

K r=nu−n

nu−nbalmet nu=1=1

A s f yd

Ac f cden n=

N Ed

Ac f cd. De berekeningen werden uitgevoerd in

een spreadsheet en vervolgens werd de benodigde wapening berekend door de spreadsheet met het

interactiediagram van The Concrete Society. De resultaten zijn in Tabel 6 en Tabel 7 bijeengebracht.

-E.9-

Tabel 6: Berekening wapeningz (m) fck (MPa) fcd (MPa) nu n Kr 1/r (1/m) e2 (m)

0,55 12 8 2,76 1,24 0,64 6,21E-003 0,050,5 35 23,33 1,28 0,51 0,87 9,33E-003 0,080,4 90 60 1,11 0,31 1 1,38E-002 0,11


In een tweede iteratiestap levert dit:

3.2. Berekening van kruip aan de hand van de grafiek

De kruipfactor werd bepaald in hoofdstuk 4. De formules voor de bepaling van het tweede orde-

moment blijven grotendeels hetzelfde. Hier komt bij dat

K =1ef≥1 met =0,35f ck

200−

150. De berekeningen zijn hieronder in Tabel 8

samengebracht.

De eerste twee wapeningen zijn volledig bepaald, voor de laatste is nog een iteratie nodig, zie Tabel

9.

-E.10-

Tabel 7: Tweede iteratiestap

Tabel 8: Berekening met kruip uit de grafiek

nu Kr 1/r (1/m) e2 (m) M2 (kNm) Mtot (kNm) wapening2,41 0,58 5,61E-003 0,05 136,39 260 5φ251,06 0,83 8,86E-003 0,07 215,3 3391,17 1 1,38E-002 0,11 334,8 458

2φ164φ20

fck (MPa) φ λ β 1/r (1/m) e2 (m)12 2,1 57 0,03 1,07 5,99E-003 0,0535 1,5 62 0,11 1,16 1,03E-002 0,0890 0,8 78 0,28 1,22 1,69E-002 0,14

Kφ

M2 (kNm) Mtot (kNm) wapening145,58 269 5φ25250,6 374409,9 533 4φ25

2φ16

M2 (kNm) Mtot (kNm) wapening151 275 5φ25

226,6 350334,8 458

2φ164φ20


Aangezien Kr =1 blijven alle verdere berekeningsstappen gelijk en is de convergentie bereikt.

3.3. Berekening van kruip volgens de bijlage bij EN1992-1-1:2004

In EN 1992-1-1:2004 Bijlage B werd een uitgebreidere methode voor de berekening van

kruipeffecten opgenomen. De invloed van het spanningsniveau wordt als volgt in rekening

gebracht: k ∞ ,t 0=∞ , t0exp1,5 k −0,45 met k=c

f cm= N

Ac f cm. Verder is

t , t0=0ct , t 0 met 0=RH f cmt0 . Hierbij is

RH=11− RH

1000,1 3h0

voor f cm≤35MPa

RH=[11− RH

1000,1 3h0

1]2 voor f cm35MPa

met 1=[35f cm

]0,7

en 2=[35f cm

]0,2

en 3=[ 35f cm

]0,5

Verder is f cm=16,8 f cm

en t 0=1

0,1t 00,2=

10,1280,2=0,488 en er geldt dat

h=1,5[10,012RH 18 ]h02503 ,=15003 en c t , t 0=[t−t 0

ht−t 0]0,3

. De resultaten van de

berekening van de kruip zijn in Tabel 10 opgenomen.

-E.11-

Tabel 9: Tweede iteratieAs (mm2) nu Kr

1963 1,09 1


Grafisch wordt het verloop van de kruip in de tijd als voorgesteld zoals in Fig. 5.

De berekening van de wapening werd verder uitgevoerd met behulp van een spreadsheet. De

resultaten worden weergegeven in Tabel 11.

-E.12-

Tabel 10: Berekening kruipfactorfck (MPa) h0 (mm) fcm (MPa) α1 α2 α3 φRH

12 275 20 1 1 1 1,3135 250 43 0,87 0,96 0,9 1,2290 200 98 0,49 0,81 0,6 0,95

Fig. 5: Verloop van de kruip in de tijd

Tabel 11: Bepaling van de wapening

β(fcm) φ0 φ0k βH3,76 2,4 2,57 662,52,56 1,53 1,18 600,551,7 0,79 0,53 449,4

fck (MPa) φ 1/r (1/m) e2 (m) M2 (kNm) Mtot (kNm) wapening12 2,57 1,08 6,08E-003 0,05 147,63 271 5φ2535 1,18 1,13 1,00E-002 0,08 243,15 36790 0,53 1,15 1,58E-002 0,13 384,87 508 4φ25

Kφ

2φ16


4. Volgens EN1992-1-1:2004, Methode van de nominale

stijfheid

4.1. Verwaarlozing van kruip

De nominale stijfheid wordt berekend als EI=K c Ecd I cK s E s I s . Voor een

wapeningspercentage ρ>0,2% heeft men dat K c=k 1 k2

1efmet k 1= f ck

20en k 2=n

170≤0,20 .

Het traagheidsmoment van het staal werd bepaald aan de hand van een zelf opgestelde spreadsheet,

zie Bijlage F. De uitwerking en de bepaling van het dimensionerend moment gebeurden aan de hand

van een spreadsheet. Met dat moment en de dimensionerende langskracht werd de wapening

bepaald aan de hand van de spreadsheet van The Concrete Society. De resultaten zijn in Tabel 12

samengebracht.

Een tweede iteratie werd uitgevoerd, zie Tabel 13.

-E.13-

Tabel 12: Berekening volgens methode van de nominale stijfheid

λ k2 Kc Ecd (Gpa) Ic (m4) Is (m4)56,69 0,2 0,15 22,5 7,63E-003 4,45E-00462,35 0,19 0,25 28,33 5,21E-003 1,03E-00477,94 0,14 0,3 36,67 2,13E-003 1,86E-004

EI (MNm2) Nb (MN) Med (kNm) wapening115,58 14,08 165 4φ2557,34 6,99 23860,91 7,42 227

2φ162φ16

Tabel 13: Tweede iteratiewapening Is (m4) EI (MNm2) Nb (MN)4φ25 4,18E-004 115,58 14,08

6,70E-005 57,34 6,993,82E-005 60,91 7,42

2φ162φ16


En dit toont ons dat het aanpassen van de wapening nauwelijk effect had op de kniklast zodat de

convergentie bereikt is.

4.2. Berekening kruip aan de hand van de grafiek

De factor die aangepast dient te worden is K c=k 1 k2

1ef. Voor de rest zijn de berekeningen

analoog. Ze zijn opgenomen in Tabel 14 en Tabel 15.

Vervolgens wordt verder gerekend met de hoogste betonklasse, zie Tabel 16.

Om de kniklast dus significant groter te houden dan de optredende normaalkracht, moet de

wapening van 4φ20mm per zijde behouden worden in de hoogste betonklasse.

4.3. Berekening kruip volgens bijlage

De berekening van de kruipfactor werd in 3.3. uitgevoerd. De formules gebruikt voor deze methode

-E.14-

Tabel 15: Tweede iteratie

Tabel 16: Laatste iteratie

Tabel 14: Bepaling van de wapeningfck (MPa) fcd (MPa) Ec (Gpa) φ Kc EI (MNm2) Nb (MN) Med (Mnm) wapening

12 8 27 2,1 0,05 93,91 11,44 178 4φ2535 23,33 34 1,5 0,1 31,07 3,79 706 moet meer zijn90 60 44 0,8 0,17 23,48 2,86 -3172 moet meer zijn

wapening EI (MNm2) Nb (MN) Med (kNm) wapening4φ25 93,91 11,44 178 4φ25

38,19 4,65 40052,99 6,46 256 2φ20

2φ20 2φ204φ25

Is (m4) EI (MNm2) Nb (MN) Med (kNm) wapening1,23E-004 40,39 4,92 3624φ20


werden eerder reeds aangehaald. Het volstaat dus de berekeningen hier te plaatsen, zie Tabel 17.

Dit levert dus dezelfde wapening als de berekening met kruip volgens de grafiek.

De conclusies van deze case study zijn opgenomen in hoofdstuk 4.

-E.15-

Tabel 17: Berekening wapeningfck (MPa) wapening φ Ecd (Gpa) Kc Is (m4) EI (MNm2) Nb (MN) Med (kNm) wapening

12 4φ25 2,57 27 0,04 4,18E-004 92,55 11,28 179 4φ2535 1,18 34 0,11 1,03E-004 40,79 4,97 35690 4φ20 0,53 44 0,2 1,23E-004 43,19 5,26 326 4φ20

2φ20 2φ20

Opstellen rekenblad ter berekening van het

traagheidsmoment van rechthoekige

doorsneden

1. Probleemstelling

Voor de methode van de nominale stijfheid dient men, bij de berekening van de nominale stijfheid

EI, het traagheidsmoment van het staal Is te kennen. De berekening van Is is rekenintensief. Het zou

dus handig zijn om over een spreadsheet te beschikken die voor een vierkante en/of rechthoekige

doorsnede de waarde van Is bepaalt.

2. Opstellen van de spreadsheet

Om eenvoudig het traagheidsmoment van het staal te kunnen bepalen, werd een spreadsheet

opgesteld. Hierbij werd de tussenafstand bepaald volgens basis en hoogte als

t b=b.1000−2beugel−2c−n

n−1en analoog voor th. De afstand d werd bepaald als

d b=1000h−2beugel−2c−

2en analoog voor dh. De waardes van x werden bepaald als

x i=als rest n ;2=0 ; 0,5t. 12 i−1 ; i−1t en x1=0 voor n=oneven en

x1=t

2 voor n=even. De waarden van de lengtes zijn l i= x i2d 2 met dan de juiste waarden

voor b en h. Het traagheidsmoment wordt dan berekend als de som van de traagheidsmomenten van

Bijlage F

Opstellen rekenblad ter berekening van het traagheidsmoment van rechthoekige doorsneden

de staven zelf en dan het tweede deel uit de formule van Steiner op basis van de afstand. Dit is dan

I scentr=2n

2

4

4 en afstand 1=als rest n ,2=0 ;4

2

2

l12 ;2

2

2

l12 en

afstand i=4 li2

2

2

. De som van dit alles is dan Is. De spreadsheet wordt weergegeven in Fig.

1.

-F.2-

Opstellen rekenblad ter berekening van het traagheidsmoment van rechthoekige doorsneden

-F.3-

Fig. 1: Opgestelde spreadsheet

Aanvullingen bij case study: Effectieve lengte

van kolommen in raamwerken

1. Probleemstelling

In hoofdstuk 3 van dit werk, werden NBN B15-002 (1999) §4.3.5.3.5. en EN 1992-1-1:2004

§5.8.3.2. vergeleken in hun aanpak om de effectieve lengte van kolommen in raamwerken te

bepalen. Om de veranderde normvoorschriften te evalueren, wordt in deze case study voor een

aantal kolommen de effectieve lengte bepaald. De effectieve lengte wordt bepaald aan de hand van

de NBN B15-002 (1999), de EN 1992-1-1:2004 en met ESA PT. De raamwerken worden zowel

niet-schrankend als schrankend beschouwd.

In hoofdstuk 4 werd een eerste voorbeeld uitgewerkt.

2. Kolom 2

In dit voorbeeld wordt de configuratie uit Fig. 1 bestudeerd.

Bijlage G

Bijlage G: effectieve lengte van kolommen in raamwerken

2.1. Volgens NBN B15-002 (1999)Uit het voorbeeld van hoofdstuk 4 wordt overgenomen dat kA=0,7168. Men heeft nu dezelfde

configuratie aan de onderzijde van de kolom zodat ook kB=0,7168.

a) Niet-schrankend raamwerkOp analoge wijze als in het voorbeeld van hoofdstuk 4 wordt uit het nomogram de waarde van β

afgeleid. Deze bedraagt 0,73 zodat l0=3,65m en λ=32.

b) Schrankend raamwerkHet nomogram geeft hier β=1,24 zodat l0=6,2m en λ=54.

-G.2-



2.2. Volgens EN1992-1-1:2004

Aan de hand van [15] vindt men dat M

balk

= M

kolom

= l3 EI zodat

k 1=k 2=13

l b

I b

I col

l col1

3=1

314m

1,4667.10−3m42,1333.10−3 m4

5m1

3=0,811 .


Voor een niet-schrankend raamwerk heeft men =0,51 0,8110,450,811

2

=0,822 waardoor

l0=4,11m en λ=36.

b) Schrankend raamwerkVoor een schrankend raamwerk is

=max [110.0,8112

2 .0 ,811;1 0,811

10,811

2

]=max [2,25 ;2,10]=2,25 . Hier is dan l0=11,2m en

λ=97.

2.3. Eindige Elementen

a) Niet-schrankend raamwerkHiervoor geeft ESA β=0,6, l0=2,984m en λ=26.

b) Schrankend raamwerkDe resultaten van de berekening leveren hier β=1,26; l0=6,308m en λ=55.

3. Kolom 3In dit voorbeeld wordt de configuratie uit Fig. 2 bestudeerd.

-G.3-


3.1. Volgens NBN B15-002 (1999)De waarde van α bedraagt nu 1 door de inklemming van de balken. De waarde van kA=∞ en

k B=

2,1333.10−3 m4

5m

2. 4,16667.10−3 m4

7m

=0,3584 en dit wordt dus -wegens het voorschrift dat k minstens 0,4

moet zijn- kB=0,4.

a) Niet-schrankend raamwerkAan de hand van het nomogram vindt men dat β=0,8. Dit betekent dus dat l0=4m en λ=35.

b) Schrankend raamwerkHier levert het nomogram dat β=2,16, dus l0=10,8m en λ=94.

-G.4-



3.2. Volgens EN1992-1-1:2004

Men heeft nu M

balk

=0 en M

kolom

= l3EI , zodat k 1=

M

EIl=1

3en k 2=∞ .


Men heeft =0,51 1 /30,451/3

2=0,68 zodat l0=3,4m en λ=29.


Hier is =max [110. 13

; 1 1/311/3

2 ]=max[2,08 ; 2,5]=2,5 en dus is l0=12,5m en λ=108.


a) Niet-schrankend raamwerkHiervoor geeft ESA dat β=0,77 en l0=3,861m en λ=33.

b) Schrankend raamwerkIn het geval van een schrankend raamwerk vindt men met ESA dat β=2,21 en l0=11,061m en λ=96.

4. Voorbeeld 4In dit voorbeeld wordt een raamwerk beschouwd waarvan de 3 leden ingeklemd zijn op hun

uiteinden, zie Fig. 3.

-G.5-


4.1. Volgens NBN B15-002 (1999)In dit geval is kA=0 en door de minimumwaarde kA=0,4. De waarde van kB wordt overgenomen uit

voorbeeld 3, kB=0,4.

a) Niet-schrankend raamwerkHiervoor geeft het nomogram dat β=0,662 zodat l0=3,31m en λ=29.

b) Schrankend raamwerkDit geval levert β=1,15 en l0=5,75m en λ=50.

4.2. Volgens EN1992-1-1:2004

Hier is M

balk

=0 en M

kolom

= l6EI

zodat k 1=l

6EIEIl=1

6 en k2=0,1.


De formule geeft hier =0,51 1 /60,451/6

1 0,10,450,1

=0,574 . Hiermee wordt l0=2,87m

en λ=25.

-G.6-



b) Schrankend raamwerkHier vindt men voor β:

=max [110 1/6.0,11/60,1

; 1 1 /611/6

1 0,110,1

]=max [1,27 ;1,25]=1,27 . Hiermee wordt

l0=6,37m en λ=55.


a) Niet-schrankend raamwerkHier geeft ESA dat β=0,54 zodat l0=2,717m en λ=24.

b) Schrankend raamwerkDe berekeningen met ESA PT leveren hier β=1,11 zodat l0=5,564m en λ=48.

5. Voorbeeld 5De configuratie wordt in Fig. 4 getoond.

-G.7-


5.1. Volgens NBN B15-002 (1999)In dit geval is opnieuw de voet ingeklemd zodat kA=0,4 (de laagst toegestane waarde). Voor kB geldt

k B=

2,13333.10−3 m4

5m1,5.4,1667.10−3 m4

7m

=0,478 .

a) Niet-schrankend raamwerkHier geeft het nomogram dat β=0,82 zodat l0=4,1m en dus is de slankheid λ=36.

b) Schrankend raamwerkMet het nomogram vindt men hier dat β=2,2 zodat l0=11m en λ=95.

5.2. Volgens EN 1992-1-1:2004

Hier vindt men M

balk , links

=0 en M

balk , rechts

=l b

3 EI ben

M

kolom=

l kolom

6 EI kolom. Met deze

-G.8-



waarden wordt k 1=13

l b

I b

I kol

l kol1

6=1

37m

4,16667.10−3 m42,1333.10−3 m4

5m1

6=0,406 en k2=0,1.


De formule levert hier =0,51 0,4060,450,406

1 0,10,450,1

=0,66 . Dit levert dan l0=3,3m

en λ=29.


Hier wordt =max [110.0,406.0 ,10,4060,1

;1 0,40610,406

1 0,110,1

]=max[1,34 ;1,41]=1,41 .

Dan krijgt men een effectieve lengte l0=7,03m en λ=61.


a) Niet-schrankend raamwerkMet ESA vindt men hier β=0,55; l0=2,742m en λ=24.

b) Schrankend raamwerkDe resultaten van ESA zijn hier: β=1,13; l0=5,634m en λ=49.

6. Voorbeeld 6

De configuratie uit Fig. 5 wordt hier bestudeerd.

-G.9-


6.1. Volgens NBN B15-002 (1999)De kolom is scharnierend aan de voet dus kA=∞ en uit voorbeeld 5 halen we dat kB=0,478.

a) Niet-schrankend raamwerkMet het nomogram vindt men dat β=0,82 en dus l0=4,1m en λ=36.

b) Schrankend raamwerkHiervoor geeft het nomogram dat β=2,2 waardoor l0=11m en λ=95.

6.2. Volgens EN 1992-1-1:2004

Hier heeft men m

balk ,links=0 en

Mbalk , rechts

=lb

3 EI ben

M

kolom=

l kol

3 EI kol. Hiermee wordt

k 1=13

lb

I b

I col

l col1

3=1

37m

4,1667.10−3 m42,1333.10−3 m4

5m1

3=0,572 en k 2=∞ .

-G.10-




De formule levert hier =0,51 0,5720,450,572

2=0,883 . Hiermee is l0=4,42m en λ=38.


Hier wordt =max [110.0,572 ;1 0,57210,572

2]=max [2,59 ;2,73]=2,73 . Dit levert dan

l0=13,6m en λ=118.


a) Niet-schrankend raamwerkHet programma levert hiervoor β=0,78 zodat l0=3,889m en λ=34.

b) Schrankend raamwerkMet ESA vindt men hiervoor dat β=2,24; l0=11,191m en λ=97.

7. Voorbeeld 7In Fig. 6 is de configuratie opgenomen.

-G.11-


Hierbij gaat onze aandacht naar de middenste kolom.

7.1. Volgens NBN B15-002 (1999)

In dit voorbeeld is kA=kB en geldt k A=2

I col

l col

2.0,5I b

l b

=2. 2,13333.10−3 m4

5m4,1667.10−3 m4

7m

=1,43 .

a) Niet-schrankend raamwerkHet nomogram levert hier β=0,8133; l0=4,07m en λ=35.

b) Schrankend raamwerkMet het nomogram vindt men hiervoor dat β=1,426; l0=7,13m en λ=62.

-G.12-



7.2. Volgens EN1992-1-1:2004

In dit geval geldt M

balk

=l b

3 EI ben

M

kolom=

l kol

3EI kol. Aangezien er op elk knooppunt nu 2

kolommen toekomen heeft men

k 1=k 2=23

lb

I b

I col

l col 2

3=2

314m

4,1667.10−3 m4 . 2,1333.10−3 m4

5m2

3=1,622 .


Hiervoor levert de formule =0,51 1,6220,451,622

=0,891 zodat l0=4,46m en λ=39.


Met de formule vindt men =max [110.1,6222

2.1,622; 1 1,622

11,622

2

]=max [3,02 ;2,62]=3,02 en

hiermee wordt dan l0=15m en λ=131.


a) Niet-schrankende raamwerkenHiervoor levert de software dat β=0,51 en l0=2,551m en λ=22.

b) Schrankende raamwerkenIn dit geval wordt β=1,03 en l0=5,127m en λ=44.

8. Invloed hoge sterkte kolomIn dit voorbeeld wordt de configuratie van voorbeeld 1 hernomen, maar voor de kolom wordt

betonklasse C50/60 genomen terwijl de balken C20/25 blijven.

8.1. Volgens NBN B15-002 (1999)De materiaalparameters volgens de NBN B15-002 (1999) geven voor C50/60 een stijfheid

-G.13-


Ecm=37GPa en voor C20/25 Ecm=29 Gpa. De voet is ingeklemd zodat kA=0,4 genomen wordt. Voor

kB vindt men k B=37GPa . 2,1333.10−3 m4

5m

29GPa 4,16667.10−3 m4

7m

=0,91 .

a) Niet-schrankend raamwerkHet nomogram levert hier β=0,711 zodat l0=3,56m en λ=31.

b) Schrankend raamwerkHier geeft het nomogram β=2,22 zodat l0=11,1m en λ=96.

8.2. Volgens EN 1992-1-1:2004De materiaalparameters volgens de EN 1992-1-1:2004 zijn Ecm=37 GPa voor C50/60 en Ecm=30

GPa voor C20/25. Voor k2 heeft men door de inklemming 0,1 en de formule voor k1 geeft:

k 1=13

l b E col I col

Eb I b l col1

6=1

314m.37GPa.2 ,667.10−3 m4

4,16667.10−3 m4. 30GPa.5m1

6=0,765 .


Hiervoor is =0,51 0,7650,450,765

1 0,10,450,1

=0,694 en dus is l0=3,47m en λ=30.


De formule geeft hier =max [0,5110 .0,765.0,10,7650,1

;1 0,76510,765

1 0,110,1

]

=max [1,37 ;1,56]=1,56 zodat l0=7,82m en λ=68.

-G.14-


9. Voorbeeld 9In dit voorbeeld wordt de doorsnede van de kolom 30cmx30cm. Voor het overige wordt de

configuratie van voorbeeld 1 behouden, zie Fig. 7.

9.1. Volgens NBN B15-002 (1999)

In dit geval wordt I kol=bh3

12=0,3m4

12=6,75.10−4 m4 . Men heeft kA=0,4 door de minimumeis en

k B=

6,75.10−4 m4

5m2.0,5.4 ,1667.10−3 m4

7m

=0,2268 0,4 .

-G.15-



a) Niet-schrankend raamwerkDe waarde voor β is hetzelfde als in voorbeeld 4. Dit geeft hier l0=3,31m en λ=38.

b) Schrankend raamwerkOok hier is de waarde voor β dezelfde en krijgt men l0=5,75m en λ=66.

9.2. Volgens EN1992-1-1:2004

Men krijgt in dit geval k 1=13

lb

I b

I col

l col1

6=1

314m

4,1667.10−36,75.10−4 m4

5m1

6=0,318 en k2=0,1.


Hier krijgt men =0,51 0,3180,450,318

1 0,10,450,1

=0,646 zodat l0=3,23m en λ=37.

b) Schrankend raamwerkDe formule levert in dit geval:

=max [110.0,318.0 ,10,3180,1

;1 0,31810,318

1 0,110,1

]=max [1,33 ;1,35]=1,35 . Dit geeft dan

l0=6,77m en λ=78.


a) Niet-schrankend raamwerkHier levert ESA ons dat β=0,52 en l0=2,613m en λ=30.

b) Schrankend raamwerkDe software geeft hier β=1,06 zodat l0=5,285m en λ=61.

10. Voorbeeld 10In dit voorbeeld wordt de sectie van de kolom verbreed tot 50cmx50cm. Voor het overige blijft de

-G.16-


configuratie van voorbeeld 1 behouden, zie Fig. 8.

10.1. Volgens NBN B15-002 (1999)

Voor het traagheidsmoment heeft men nu I kol=0,5m4

12=5,2083.10−3 m4 . Door de inklemming

is kA opnieuw 0,4 en verder is k B=

5,2083.10−3 m4

5m4,1667.10−3 m4

7m

=1,75 .

a) Niet-schrankend raamwerkHiervoor geeft het nomogram dat β=0,74 en l0=3,7m zodat λ=26.

b) Schrankend raamwerkMen vindt hier met het nomogram dat β=1,32 zodat l0=6,58m en λ=46.

-G.17-



10.2. Volgens EN1992-1-1:2004De waarde van k2 bedraagt opnieuw 0,1 en voor k1 vindt men

k 1=13

14m4,1667.10−3 m4

5,20833.10−3 m4

5m1

6=1,333 .


De waarde van β wordt met de formule =0,51 1,3330,451,333

1 0,10,450,1

=0,719 zodat

l0=3,59m en λ=25.


Hier geeft de formule voor β =max [110.1,333.0 ,11,3330,1

;1 1,33311,333

1 0,110,1

]

=max [1,39 ;1,71]=1,71 zodat l0=8,57m en λ=59.


a) Niet-schrankend raamwerkDe software geeft hier β=0,60 en l0=2,982m en λ=21.

b) Schrankend raamwerkHier geeft ESA dat β=1,28 zodat l0=6,392 en λ=44.

11. Voorbeeld 11De lengte van de kolom wordt nu 8m genomen en voor de rest blijft de configuratie dezelfde als in

voorbeeld 1, zie Fig. 9.

-G.18-


11.1. Volgens NBN B15-002 (1999)

Nog steeds is door de inklemming kA=0,4. Voor kB heeft men nu k B=

2,1333.10−3 m4

8m4,16667.10−3 m4

7m

=0,45 .

a) Niet-schrankend raamwerkHet nomogram leert ons dat β=0,667 zodat l0=5,33m en λ=46.

b) Schrankend raamwerkMet het nomogram vinden we dat β=1,16 zodat l0=9,3m en λ=81.

11.2. Volgens EN1992-1-1:2004Hier vindt men opnieuw dat k2=0,1 door de inklemming. Verder is

-G.19-



k 1=13

lb

I b

I col

l col1

6=1

314m

4,1667.10−3m42,133.10−3 m4

8m1

6=0,1667 .


Hier vindt men voor =0,51 0,16670,450,1667

1 0,10,450,1

=0,613 zodat l0=4,9m en λ=42.


Hier is =max [110.0,1667.0 ,10,16670,1

;1 0,1666710,1667

1 0,110,1

]=max [1,27 ;1,25]=1,27 zodat

l0=10,2m en λ=88.


a) Niet-schrankend raamwerkHier geeft ESA dat β=0,54, l0=4,353m en λ=38.

b) Schrankend raamwerkMet de software vindt men hier dat β=1,11 en l0=8,917m en λ=77.

12. Voorbeeld 12Hier wordt de lengte van de kolom 3m genomen en voor de rest de configuratie van voorbeeld 1

behouden, zie Fig. 10.

-G.20-


12.1. Volgens NBN B15-002 (1999)

De waarde van kA is nog steeds 0,4 door de inklemming. Voor kB krijgt men

k B=

2,133.10−3 m4

5m4,1667.10−3 m4

7m

=1,2 .

a) Niet-schrankend raamwerkMet het nomogram vindt men hier β=0,72 zodat l0=2,16m en λ=19.

b) Schrankend raamwerkHet nomogram levert hier β=1,27 zodat l0=3,81m en λ=33.

-G.21-



12.2. Volgens EN1992-1-1:2004

Hier vindt men voor k1 dat k 1=13

l b

I b

I col

l col1

6=1

314m

4,1667.10−3m42,1333.10−3 m4

3m1

6=0,963 .


Hier wordt =0,51 0,9630,450,963

1 0,10,450,1

=0,705 zodat l0=2,11m en λ=18.

b) Schrankend raamwerkMet de formule vindt men nu:

=max [110.0,963.0 ,10,9630,1

;1 0,96310,963

1 0,110,1

]=max [1,38 ;1,63]=1,63 waarmee

l0=4,88m en λ=42.


a) Niet-schrankend raamwerkESA geeft hier dat β=0,59 en l0=1,761m en λ=15.

b) Schrankend raamwerkHiervoor vindt men β=1,25 en l0=3,738m en λ=32.

13. Voorbeeld 13In dit voorbeeld wordt de lengte van de balken assymmetrisch verdeeld: 1 balk is nu 8m en de

andere is 2m. Het overige is hetzelfde als in voorbeeld 1, zie Fig. 11.

-G.22-


13.1. Volgens NBN B15-002 (1999)Nog steeds is kA=0,4 door de inklemming aan de voet. Voor kB krijgt men nu

k B=

2,1333.10−3 m4

5m

0,5. 4,16667.10−3 m4

5m0,5. 4,1667.10−3 m4

2m

=0,33 dus moet men kB=0,4 nemen. Men krijgt

dan dezelfde situatie als in voorbeeld 4.

a) Niet-schrankend raamwerkHiervoor heeft men β=0,662 zodat l0=3,31m en λ=29.

b) Schrankend raamwerkIn dit geval is β=1,15 en l0=5,75m en λ=50.

-G.23-



13.2. Volgens EN1992-1-1:2004

Hier vindt men voor k 1=13

10m4,16667.10−3 m4 . 2,1333.10−3 m4

5m1

6=0,508 .


Voor dit type vindt men met de formule =0,51 0,5080,450,508

1 0,10,450,1

=0,672 zodat

l0=3,36m en λ=29.

b) Schrankend raamwerkDe formule geeft hier

=max [110.0,508.0 ,10,5080,1

;1 0,50810,508

1 0,110,1

]=max [1,35 ;1,46]=1,46 . Hiermee

wordt l0=7,29m en λ=63.


a) Niet-schrankend raamwerkHier levert ESA β=0,54 en l0=2,689m en λ=23.

b) Schrankend raamwerkMet de software vindt men hier dat β=1,1 en l0=5,486m en λ=48.

14. Voorbeeld 14In dit voorbeeld is de lengte van beide balken verkort tot 2m. Al het overige is behouden zoals in

voorbeeld1, zie Fig. 12.

-G.24-


14.1. Volgens NBN B15-002 (1999)

Opnieuw is kA hier 0,4 door de inklemming en is k B=

2,133.10−3 m4

5m4,16667.1−−3 m4

2m

=0,2 zodat kB=0,4. Dit

is dus net zoals in voorbeeld 4.

a) Niet-schrankend raamwerkHiervoor vindt men met het nomogram dat β=0,662 zodat l0=3,31m en λ=29.

b) Schrankend raamwerkHet nomogram levert hier dat β=1,15 en l0=5,75m en λ=50.

-G.25-



14.2. Volgens EN1992-1-1:2004

Hier is k 1=13

4m4,1667.10−3 m4

2,1333.10−3 m4

5m1

6=0,303 en k2 is opnieuw 0,1 door de

inklemming.


Hier geldt dat =0,51 0,3030,450,303

1 0,10,450,1

=0,644 zodat l0=3,22m en λ=28.

b) Schrankend raamwerkDe formule geeft

=max [110.0,303.0 ,10,3030,1

;1 0,30310,303

1 0,110,1

]=max [1,32 ;1,34]=1,34 zodat l0=6,72m

en λ=58.


a) Niet-schrankend raamwerkESA geeft hier β=0,53 en l0=2,626m en λ=23.

b) Schrankend raamwerkMet de software vindt men β=1,06 en l0=5,319m en λ=46.

Een bespreking van de resultaten van deze case study is opgenomen in hoofdstuk 4.

-G.26-

Aanvullingen bij case study: Biaxiale buiging

1. Probleemstelling

Het criterium voor biaxiale buiging wordt eerst met een voorbeeld uitgewerkt volgens NBN

B15-002 (1999) en EN1992-1-1:2004. Vervolgens worden nog de invloed van de doorsnede, en

voor de EN 1992-1-1:2004 ook van verschillende lasten en van de betonklasse bestudeerd.

Men bestudeert de kolom uit Fig. 1. Hierbij is de sectie 30cmx70cm, de staalsoort S500 en de

betonklasse C25/30.

Bijlage H

Fig. 1: Kolom voor case study 7

Bijlage H: Biaxiale buiging

2. Berekening volgens NBN B15-002 (1999)

2.1. Bepaling excentriciteit volgens y-as

De slankheid in deze richting bedraagt =

l 0

i=

l o

bh3

12bh

=l 012

h=8m.12

0,7m=40

. Voor de

excentriciteit e0 vindt men e0=max0,02 m ;0,1 h=7cm en ea=l0

2met

= 110012

≥ 1200

=5.10−3 zodat ea=5.10−3 8m2=2cm . De eerste orde-excentriciteit bedraagt

dus 9cm.

Om de tweede orde-excentriciteit te bepalen wordt initieel uitgegaan van een wapening van

2φ25mm. De tweede orde-excentriciteit wordt berekend als e2=l 0

2

101r

met 1r=2 K2

f yd

E s 0,9 d en

K 2=N ud−N sd

N ud−N bal≤1 . Hierbij is

-H.2-

Fig. 2: Schets doorsnede


N ud= f cd Ac f yd As=0,85.16,7MPa .0 ,3m.0 ,7 m434 MPa.40,0125m 2 m2=3,833MN en

N bal=0,4 f cd Ac=0,4 . 16,7 MPa . 0,3 m.0 ,7 m=1,403 MN zodat

K 2=3,833 MN−2MN

3,833MN−1,403MN=0,75 .

Hiermee wordt 1r=2 K2

f yd

E s 0,9d=2.0,75. 434MPa

200GPa.0 ,9.0,65 m=5,596.10−3

m en dus

e2=l 0

2

101r=8m2

105,596.10−3

m=3,58cm . Hieruit volgt dus dat ey=12,58 cm.

De initeel gekozen wapening wordt gecontroleerd aan de hand van interactiediagram V15.

Dimensieloos zijn de krachten =M Ed

bh2 f cdu

= 2 MN .12,58cm0,3 m . 0,7m2 14,1MPa

=0,12 en

=N Ed

bh f cdu= 2MN

0,3.0 ,7.14 ,1MPa . Uit het diagramma volgt dat ω=0,05 zodat

A s= Ac

f cdu

f yd=341mm2 wat overeenstemt met 2φ16mm. Dit geeft dus As=804 mm2 zodat

N ud= f cd AcAs f yd=0,85.16,7 MPa.0 ,3 m.0 ,7m804.10−6 m2 434 MPa=3,330 MN .

Hiermee wordt K 2=3,330MN −2MN

3,330MN −1,403 MN=0,69

en 1r=2.0,69. 434MPa

200GPa.0 ,9.0 ,65m=5,119.10−3

men dus e2=

l 02

101r=3,28cm . De totale

excentriciteit ey=12,28cm. Ter controle van de wapening worden de dimensieloze krachten bepaald

-H.3-


als =M Ed

b h2 f cdu

= 2 MN 12,28cm0,3.0,7 m214,1 MPa

=0,12 . Convergentie is dus bereikt, ey=12,28cm.

2.2. Bepaling excentriciteit volgens z-asHier is e0=0,02m ;0,1h=3cm en ea is nog steeds 2cm zodat e1=5cm. De slankheid volgens

deze richting is =l 012h

=92 . Initieel wordt een wapening van 2φ16mm gekozen. Hierbij is

K2=0,69. Dit geeft dan 1r=2 K2

f yd

E s 0,9d=2.0,69. 434MPa

200GPa.0,9.0 ,25m=1,33.10−2

m en dus

e2=l 0

2

101r=8m2

101,33.10−2

m=8,52cm . Bijgevolg is ez=13,52 cm. Ter controle van deze initieel

gekozen wapening worden de dimensieloze krachten berekend als

=N Ed

bh f cdu= 2MN

0,3m.0 ,7m.14 ,1MPa=0,7 en =

M Ed

bh2 f cdu

= 2MN.13 ,52cm0,7.0,3m 214,1MPa

=0,30 . Uit

het interactiediagramma wordt afgelezen dat hiervoor ω=0,307 is zodat

A s= Ac

f cdu

f yd=2095mm2 . Een wapening van 5φ25mm voldoet hieraan. Nu is

N ud= f cd AcAs f yd=0,85.16,7 MPa.0 ,3m.0 ,7m100,0125m 2.434 MPa=5,111 MN .

Hiermee wordt K 2=5,111MN−2MN

5,111MN −1,403MN=0,84 en dus

1r=2 K2

f yd

E s 0,9d=2.0,84 434MPa

200GPa.0 ,9.0 ,25m=1,62.10−2

m waaruit volgt dat

-H.4-


e2=l 0

2

101r=10,36cm . Hieruit volgt dat ez=15,36 cm. Ter controle van de wapening berekent men

= 2MN 15,36cm0,7m0,3m2 14,1MPa

=0,35 . Hiermee stemt ω=0,36 overeen zodat

A s= Ac

f cdu

f yd=2456mm2 . De wapening was dus OK en de convergentie is bereikt.

2.3. Met verminderde breedteVolgens de z-as moet nu dus gewerkt worden met een gereduceerde breedte van 35cm. Men heeft

e0=3cm en ea=2cm zodat e1=5cm. Er zal vertrokken worden van een wapening van 4φ25mm,

1963mm2. Om de tweede orde-excentriciteit te berekenen, wordt de gekende strategie gevolgd. Dan

is N ud= f cd Ac f yd As=0,85.16,7 MPa.0 ,3 m.0 ,35 m434MPa.80,0125 m2=3,195 MN

en N bal=0,4 f cd Ac=0,4.16 ,7MPa.0 ,35m.0 ,3m=0,701MN .

Bijgevolg is K 2=3,195 MN−2MN

3,195 MN−0,701 MN=0,479 en

1r=2K 2

f yd

E s 0,9d=2.0,479. 434MPa

200GPa.0 ,9.0,25 m=9,24.10−3

m en dus is e2=l 0

2

101r=5,92cm . De

totale excentriciteit is nu ez=10,92cm. Om de wapening te bepalen, worden dimensieloze krachten

bepaald: =N Ed

bh f cdu= 2MN

0,35 m.0 ,3 m.14 ,1 MPa=1,35 en

=M Ed

bh2 f cdu

= 2MN.10 ,92cm0,35m.0,3m2 .14,1 MPa

=0,49 . Aan de hand van het interactiediagramma, vindt

men ω=0,84. De benodigde wapening is dus

-H.5-


A s= Ac

f cdu

f yd=0,84.0 ,35m.0 ,3m. 14,1 MPa

434MPa=2865mm2 . Een wapening die hieraan voldoet is

6φ25mm, 2945mm2. Hiermee wordt nu een tweede iteratie uitgevoerd. Men krijgt dan

N ud= f cd Ac f yd As=0,85.16,7 MPa.0 ,3 m.0 ,35 m434 MPa.120,0125 m2=4,047 MN .

Dan is K 2=4,047 MN−2MN

4,047 MN−0,701 MN=0,612 en

1r=2 K2

f yd

E s 0,9d=2.0,612. 434MPa

200GPa.0 ,9.0,25 m=1,18.10−2

m en dus e2=l 0

2

101r=7,55cm .

Hiermee wordt ez=12,55cm. Voldoet de wapening hieraan? De dimensieloze krachten zijn nu

υ=1,35 en = 2MN.12 ,55cm0,35.0,3m2.14 ,1MPa

=0,57 . Aan de hand van het interactiediagramma vindt

men nu dat ω=0,9 De benodigde wapening is dan A s=0,9.0 ,35m.0 ,3m. 14,1MPa434MPa

=3070mm2 .

Een wapening die hieraan voldoet is 4φ32mm per zijde, dus As=3217mm2. Een derde iteratie dringt

zich op.

Men heeft dan:

N ud= f cd Ac f yd As=0,85.16 ,7MPa.0 ,3 m.0 ,35 m434MPa. 80,016 m2=4,283MN

zodat K 2=4,283 MN−2MN

4,283 MN−0,701 MN=0,637 en

1r=2 K2

f yd

E s 0,9d=2.0,637 434MPa

200GPa.0 ,9.0,25 m=1,23.10−2

m en dus e2=l 0

2

101r=7,87cm . De

totale excentriciteit in de z-richting is dan ez=12,87cm. De dimensieloze grootheden zijn dan ν=1,35

en = 2MN .12 ,87cm0,35m .0,3m2.14 ,1 MPa

=0,58 . In het interactiediagram V15 vindt men dan dat

-H.6-


ω=0,91. De benodigde wapening bedraagt A s=0,91.0 ,3m.0 ,35m 14,1MPa434 MPa

=3104 mm2 . De

gekozen wapening voldoet hieraan, de convergentie is bereikt.

3. Berekening volgens EN1992-1-1:2004

3.1. Bepaling van de excentriciteit volgens de y-as

Voor de bepaling van de excentriciteiten zal de methode van de nominale kromming gebruikt

worden, aangezien deze het meest overeenstemt met de methode van de modelkolom uit de NBN

B15-002 (1999) en de focus hier vooral ligt op de implementatie van de formules voor de

berekening van biaxiale buiging.

De eerste orde-excentriciteit wordt bepaald als e1=e0ei met

e0=max h30

, 20mm =23,3mm en e i=i

l0

2met i=0hm=5.10−3 want h=

2 l

=1 , dus is

e i=5.10−3 .4 m=2cm . De totale eerste orde-excentriciteit is nu e1=4,33cm.

Om de tweede orde-excentriciteit te bepalen, zal initieel uitgegaan worden van een wapening van

2φ16mm. De factor Kr wordt berekend als K r=nu−n

nu−nbal. Hierin is

nu=1=1As f yd

Ac f cd=1 48mm 2 .10−6 434MPa

0,3m.0 ,7m.16 ,7 MPa=1,10 en

n=N Ed

bhf cd= 2MN

0,3m.0 ,7 m.16 ,7MPa=0,570 . Dus is K r=

1,10−0,5701,10−0,4

=0,757 . Hieruit volgt

-H.7-


dat 1r=K r

f yd

E s 0,45d=0,757. 434MPa

200GPa .0 ,45.0 ,65m=5,62.10−3

m en dus is e2=1r

l02

c=3,6cm . De

totale excentriciteit ey is dus 7,92cm. Aan de hand van de spreadsheet van The Concrete Society

wordt de wapening bepaald voor het geval van gecombineerde normaalkracht en buiging met

NEd=2MN en MEd=158 kNm. De wapening voldoet, er moeten geen verder iteraties uitgevoerd

worden.

3.2. Bepaling van de excentriciteit volgens de z-asDe eerste orde-excentriciteit wordt berekend met e0=2cm en ea=2cm zodat e1=4cm. In eerste

instantie zal uitgegaan worden van een wapening van 5φ25mm. Dezelfde strategie als hierboven

wordt gevolgd om de tweede orde-excentriciteit te bepalen. Hier is

nu=1=1As f yd

Ac f cd=11012,5mm2 434MPa

0,3m.0 ,7m.16 ,7 MPa=1,607 , dus is

K r=1,607−0,570

1,607−0,4=0,859 zodat 1

r=0,859 434MPa

200GPa.0 ,45.0 ,25m=1,66.10−2

men bijgevolg

e2=1r

l02

c=10,61cm . De totale excentriciteit is ez=14,61cm. De wapening wordt snel

gecontroleerd in de spreadsheet in het geval van gecombineerde normaalkracht met buiging met

NEd=2MN en MEd=292kNm. De wapening voldoet hieraan.

4. Invloed parameters op voorwaarde

4.1. Volgens NBN B15-002 (1999)De formules werden in een spreadsheet overgenomen, om een aantal voorbeelden eenvoudig te

kunnen uitwerken. In eerste instantie werden de resultaten van het voorgaande voorbeeld in de

kolommen ingevuld om de werking van de spreadsheet te controleren, zie Tabel 1.

-H.8-


Een tweede doorsnede die ingevoerd werd, was een vierkante doorsnede. De wapening werd hierbij

steeds in de kolom voor As ingevuld zodat enkel de laatste iteratie getoond wordt. Men heeft μ=0,26

en ν=0,9 zodat aan de hand van interactiediagram V15 een wapening van 4φ25mm gekozen werd.

De voorwaarde is hier dan ∣e y /bez/ h∣=0,27

0,27=1 , deze doorsnede moet gecontroleerd worden als een

geval van biaxiale buiging. De resultaten zijn in Tabel 2 samengebracht.

Op zoek naar een doorsnede die niet berekend moet worden als een geval van biaxiale buiging,

zullen de afmetingen dus nog sterker uiteenlopend gemaakt moeten worden. Het volgende is dan

ook een rechthoek met als afmetingen 20cmx80cm. Men heeft μ=0,13 en ν=0,9 zodat ω=0,14 en er

gerekend wordt met een wapening van 2φ25mm in de y-richting. In de z-richting geeft een

wapening van 9φ32mm μ=0,97 en ν=0,9 zodat ω≈1,2 met het interactiediagram. De resultaten zijn

in Tabel 3 opgenomen.

-H.9-

Tabel 1: Resultaten aan de hand van de spreadsheet voor uitgewerkte voorbeeld

Tabel 2: Berekening vierkante doorsnede

Tabel 3: Derde voorbeeld

b (m) h (m) e0 (m) e1 (m) As (mm2) fcd (MPa) Nud (MN) Nbal (MN) K2 1/r (1/m) e2 (m)0,3 0,7 0,07 0,09 804 16,7 3,33 1,4 0,69 5,12E-003 0,030,7 0,3 0,03 0,05 4908 16,7 5,11 1,4 0,84 1,62E-002 0,1

ey (m) ey/b µ ν ω0,12 0,41 0,12 0,67 0,050,15 0,22 0,34 0,67 0,36

b (m) h (m) e0 (m) e1 (m) As (mm2) fcd (MPa) Nud (MN) Nbal (MN) K2 1/r (1/m) e2 (m)0,4 0,4 0,04 0,06 3926 16,7 3,98 1,07 0,68 9,36E-003 0,06

ey (m) ey/b µ ν ω As (mm2)0,12 0,3 0,26 0,88 0,3 1847

b (m) h (m) e0 (m) e1 (m) As (mm2) fcd (MPa) Nud (MN) Nbal (MN) K2 1/r (1/m) e2 (m)0,2 0,8 0,08 0,1 1964 16,7 3,12 1,07 0,55 3,52E-003 0,020,8 0,2 0,02 0,04 14476 16,7 8,55 1,07 0,88 2,81E-002 0,18

ey (m) ey/b µ ν ω As (mm2)0,12 0,61 0,13 0,88 0,14 837,310,22 0,28 0,97 0,88 1,2 7388,02


De voorwaarde invullen, levert nu ∣e y /bez/ h∣=0,61

0,28=2,18 en ∣ez/ h

e y /b∣=0,46 . Ook deze sectie wordt

berekend als een geval van biaxiale buiging.

Het vierde voorbeeld is een rechthoek met afmetingen 30cmx100cm. In een eerste iteratie is in de

y-richting μ=0,07 en ν=0,5 zodat ω zeer klein is en met een wapening van 2 φ16mm gerekend zal

worden. In de z-richting is μ=0,27 en ν=0,5 zodat ω=0,186 en een wapening van 5φ25mm gekozen

wordt. Met deze waarde van wapening wordt convergentie bereikt. De resultaten zijn opgenomen in

Tabel 4.

De voorwaarde wordt hier ∣e y /bez/ h∣=3 en ∣e z /h

e y /b∣=0,33 . Ook deze doorsnede voelt de effecten van

de biaxiale buiging.

In een volgend voorbeeld wordt een doorsnede van 1,2mx0,2m bestudeerd. Hierbij is in de y-

richting μ=0,08 en ν=0,6 zodat een wapening van 2φ16mm voldoet en in de z-richting is μ=0,64 en

ν=0,6 zodat een wapening van 15φ25mm nodig is. De resultaten zijn in Tabel 5 samengevat.

-H.10-

Tabel 4: Resultaten vierde voorbeeld

Tabel 5: Voorbeeld 5b (m) h (m) e0 (m) e1 (m) As (mm2) fcd (MPa) Nud (MN) Nbal (MN) K2 1/r (1/m) e2 (m)

0,2 1,2 0,12 0,14 804 16,7 3,76 1,6 0,82 3,42E-003 0,021,2 0,2 0,02 0,04 14726 16,7 9,8 1,6 0,95 3,06E-002 0,2

ey (m) ey/b µ ν ω As (mm2)0,16 0,81 0,08 0,59 0 00,24 0,2 0,69 0,59 0,76 7018,62

b (m) h (m) e0 (m) e1 (m) As (mm2) fcd (MPa) Nud (MN) Nbal (MN) K2 1/r (1/m) e2 (m)0,3 1 0,1 0,12 804 16,7 4,61 2 1 5,08E-003 0,03

1 0,3 0,03 0,05 4908 16,7 6,39 2 1 1,93E-002 0,12

ey (m) ey/b µ ν ω As (mm2)0,15 0,51 0,07 0,47 0 00,17 0,17 0,27 0,47 0,19 2147,14


De voorwaarde is nu ∣e y /bez/ h∣=0,81

0,2=4,05 en ∣ez /h

e y /b∣=0,25 , ook deze doorsnede moet worden

berekend in biaxiale buiging.

Een laatste voorbeeld behandelt een rechthoek van 1,5mx0,2m. Hierbij is in de y-richting μ=0,06 en

ν=0,5 zodat ω zeer klein is en een wapening van 2φ16mm aangenomen wordt. In de z-richting is

μ=0,56 en ν=0,5 zodat ω=0,58 en een wapening van 14φ25mm genomen wordt. De resultaten zijn

verder in Tabel 6 weergegeven.

De voorwaarde wordt nu ∣e y /be y /h∣=0,96

0,16=6 en ∣ez /h

e y /b∣=0,16 . Bij deze is dus een geval gevonden

waarvoor de doorsnede niet als een geval van biaxiale buiging berekend dient te worden. Het valt

wel op dat dit een zeer weinig realistische doorsnede is. Hierbij moet men wel rekening houden met

het feit dat men hier uitgegaan is van het feit dat eenzelfde kracht inwerkt op beide assen, wat

bijvoorbeeld voorkomt in een 3D raamwerk met zowel vanuit de y-richting als de z-richting een

vergelijkbare balk met een vergelijkbare belasting. In structuren die meer 2D werken, zal de kracht

niet gelijk zijn in beide richtingen.

4.2. Volgens EN1992-1-1:2004In hoofdstuk 4 werd analytisch een oplossing voor het criterium gezocht.

In een spreadsheet werd ter vergelijking het eerste voorbeeld uitgewerkt voor de betonklasse

C12/15 en voor C50/60. Voor C12/15 zijn de resultaten in Tabel 7 weergegeven.

-H.11-

Tabel 6: Voorbeeld 6b (m) h (m) e0 (m) e1 (m) As (mm2) fcd (MPa) Nud (MN) Nbal (MN) K2 1/r (1/m) e2 (m)

0,2 1,5 0,15 0,17 804 16,7 4,61 2 1 3,33E-003 0,021,5 0,2 0,02 0,04 13744 16,7 10,22 2 1 3,22E-002 0,21

ey (m) ey/b µ ν ω As (mm2)0,19 0,96 0,06 0,47 0 00,25 0,16 0,58 0,47 0,58 6695,39


Hier wordt de verhouding dan ∣e y /bez/ h∣=1,19 en ∣e z /h

e y /b∣=0,84 . Voor betonklasse C50/60 worden

de resultaten in Tabel 8 gegeven.

Hiermee wordt de verhouding ∣e y /bez/ h∣=1,30 en ∣ez / h

e y /b∣=0,77 , dus iets verder verwijderd van de

voorwaarde om de doorsnede niet als een geval van biaxiale buiging te moeten berekenen. De

invloed is echter vrij gering.

De conclusies van deze case study zijn in hoofdstuk 4 opgenomen.

-H.12-

Tabel 7: Berekening voor lage betonklasse

Tabel 8: Berekeningen voor hoge betonklasse

b(m) h(m) e0 (m) e1 (m) As (mm2) fcd (MPa) nu n Kr 1/r (1/m)0,3 0,7 0,02 0,04 1964 8 1,51 1,19 0,29 2,12E-0030,7 0,3 0,02 0,04 4908 8 2,27 1,19 0,58 1,11E-002

e2 (m) ey (m) ey/b λ Med (kNm)0,01 0,06 0,19 40 1140,07 0,11 0,16 92 222

b(m) h(m) e0 (m) e1 (m) As (mm2) fcd (MPa) nu n Kr 1/r (1/m)0,3 0,7 0,02 0,04 1964 33,3 1,12 0,29 1 7,42E-0030,7 0,3 0,02 0,04 4908 33,3 1,3 0,29 1 1,93E-002

e2 (m) ey (m) ey/b λ Med (kNm)0,05 0,09 0,3 40 1820,12 0,16 0,23 92 327

case study: Invloed wapeningsstaal

1. Probleemstelling

In deze case study zal gekeken worden naar het verschil tussen een kolom gewapend met S400 en

S500 wapeningsstaal. Wapeningsstaal S200 werd buiten beschouwing gelaten, aangezien dit niet

meer opgenomen is in de EN 1992-1-1:2004. In dit geval wordt de kolom uit Fig. 1 bestudeerd:

De vergelijking zal plaatsvinden voor de methode van de modelkolom uit de NBN B15-002 (1999)

en de methode van de nominale kromming en de nominale stijfheid uit de EN1992-1-1:2004. De

slankheid van deze kolom bedraagt =l 012

h=0,8.8m12

0,4m=55 .

Fig. 1: Beschouwde kolom

Bijlage I

Bijlage I: Invloed wapeningsstaal


2.1. Wapening S400

De eerste orde-excentriciteit wordt berekend als e1=e0ea met e0=max0,02 m ;0,1h=4cm

en ea=l 0

400=0,8.8m

400=1,6cm . Dus bedraagt de eerste orde-excentriciteit 5,6cm. De tweede

orde-excentriciteit wordt berekend als e2=l 0

2

101r

met 1r=2 K2

f yd

E s 0,9d . Daarin is

K 2=N ud−N sd

N ud−N balmet N ud= f cd Ac f yd As en N bal=0,4 f cd Ac . Een eerste gok voor de

wapening is een wapening van 4φ32mm per zijde. De berekeningen werden uitgevoerd in een

spreadsheet en zijn in Tabel 1 opgenomen.

De gekozen waarde is dus goed. Aan de hand van interactiediagram V13 werd de waarde van ω

bepaald.

2.2. Wapeningsstaven S500

Hier wordt intieel uitgegaan van een wapening van 5φ25mm. De resultaten van de berekening zijn

in Tabel 2 weergegeven.

-I.2-

Tabel 2: Berekeningen met eerste wapeningTabel 3: Resultaten met tweede wapeningTabel 1: Berekeningen voor gekozen wapeningz (m) F (MN) e1 (m) fyd (MPa) As (mm2) Nud (MN) Nbal (MN) K2 1/r (1/m) e2 (m)

0,4 3 5,60E-002 348 9651 5,63 1,07 0,58 6,36E-003 2,61E-002

etot (m) M (Mnm) µ ν ω As (mm2)8,21E-002 0,25 0,23 1,12 0,35 2688,7


De gekozen wapening van 5φ25mm per zijde voldoet dus.

3. EN1992-1-1:2004, Methode van de nominale kromming

3.1. Wapeningsstaal S400

De eerste orde-excentriciteit wordt bepaald als e1=e0ea met e0=max h30

;20mm en

e i=0hm

l 0

2met h=

2 l

= 28

=0,707 zodat e i=1

20028

0,8.82 . De tweede orde-

excentriciteit wordt berekend als e2=1r

l 02

cmet

1r=K r

1r 0

en 1r0=

f yd

E s 0,45d en

K r=nu−n

nu−nbal≤1 met nu=1=1

As f yd

Ac f cd. Hier wordt uitgegaan van een wapening van

5φ25mm. De berekeningen werden uitgevoerd in een rekenblad en zijn in Tabel 3 samengebracht.

In de spreadsheet van The Concrete Society werd deze doorsnede gecontroleerd als een geval van

samengestelde buiging met druk. De wapening die gevonden wordt is 5φ25mm per zijde.

3.2. Wapeningsstaal S500Er wordt op analoge wijze tewerkgegaan. De resultaten zijn in Tabel 4 samengebracht.

-I.3-

Tabel 2: Resultaten voor berekening met S500

Tabel 3: Bepaling wapening

z (m) F (MN) e1 (m) fyd (MPa) As (mm2) Nud (MN) Nbal (MN) K2 1/r (1/m) e2 (m)0,4 3 5,60E-002 434 7854 5,68 1,07 0,58 8,01E-003 3,28E-002

etot (m) M (Mnm) µ ν ω As (mm2)8,88E-002 0,27 0,25 1,12 0,38 2339,54

z(m) F (MN) e1 (m) fyd (MPa) As (mm2) nu n Kr 1/r (1/m)0,4 3 0,03 348 5890,49 1,77 1,12 0,47 5,21E-003

e2 (m) etot (m) M (kNm)0,02 5,26E-002 158


Met de spreadsheet van The Concrete Society kan men zien dat de wapening verminderd kan

worden tot 4φ25mm.

3.3. Wapeningsstaal S400, NTD

Hiervoor wordt hetzelfde rekenblad gebruikt, zie Tabel 5.

De benodigde wapening bedraagt 4φ32mm per zijde. Dit is te zwaar voor deze doorsnede.

3.4. Wapeningsstaal S500, NTD

Hier wordt een wapening van 5φ25mm per zijde, zie Tabel 6.

4. EN1992-1-1:2004, Methode van de nominale stijfheid

4.1. Wapeningsstaal S400

De stijfheid wordt berekend als EI=K c E cd I cK s E s I s met E cd=Ecm

1,2=31GPa

1,2=25,8MPa

en Ks=1 en K c=k 1 k 2= f ck

20.min n.

170;0,20 . De resultaten zijn in Tabel 7 weergegeven.

-I.4-

Tabel 4: Resultatenz(m) F (MN) e1 (m) fyd (MPa) As (mm2) nu n Kr 1/r (1/m)

0,4 3 0,03 434 5890,49 1,96 1,12 0,54 7,38E-003e2 (m) etot (m) M (kNm)

0,03 6,15E-002 185

Tabel 5: Berekeningen volgens NTDz(m) F (MN) e1 (m) fyd (MPa) As (mm2) nu n Kr 1/r (1/m) e2 (m) etot (m) M (kNm)

0,4 3 0,03 348 9651 2,49 1,33 0,55 6,13E-003 0,03 5,64E-002 169

Tabel 6: Berekening volgens NTD

z(m) F (MN) e1 (m) fyd (MPa) As (mm2) nu n Kr 1/r (1/m) e2 (m) etot (m) M (kNm)0,4 3 0,03 434 7854 2,51 1,33 0,56 7,71E-003 0,03 6,29E-002 189


Opnieuw werd de wapening gecontroleerd aan de hand van de spreadsheet van The Concrete

Society en verlaagd tot 4φ25mm.

Met α=0,85 vindt men dat een wapening van 5φ25mm per zijde nodig is.

4.2. Wapeningsstaal S500Dezelfde methode werd gevolg. De resultaten staan in Tabel 8.

De gekozen wapening van 4φ25mm per zijde voldoet dus. Ook met α=0,85 vindt men dat een

wapening van 4φ25mm per zijde nodig is.

5. Conclusies

In ESA vindt men voor S400 wapeningsstaal een moment van 130 kNm en een wapening van

4φ32mm per zijde. Voor S500 wapeningsstaal vindt men een moment van 167 kNm en een

wapening van 5φ28mm per zijde.

De wapening die men hier bekomt is groter volgens de NBN B15-002 (1999). Een uitvoering met

S500 wapeningsstaal betekent een besparing van 1 staaf per zijde. De methode van de nominale

kromming uit de EN 1992-1-1:2004 geeft hier een hogere wapening dan de methode van de

-I.5-

Tabel 7: Resultaten berekening volgens methode van de nominale stijfheidz (m) F (MN) e1 (m) fyd (MPa) As (mm2) Kc Ic (m 4̂) Is (m 4̂)

0,4 3 0,03 348 1963 0,22 2,13E-003 1,86E-004

EI (MNm2) Nb (MN) Med (Mnm)49,41 11,91 133

Tabel 8: Berekening voor S500z (m) F (MN) e1 (m) fyd (MPa) As (mm2) Kc Ic (m 4̂) Is (m 4̂)

0,4 3 0,03 434 1963 0,22 2,13E-003 1,86E-004

EI (MNm2) Nb (MN) Med (Mnm)49,51 11,93 133


nominale stijfheid. ESA levert een wapening die dichter bij de NBN B15-002 (1999) aansluit, maar

de momenten zijn in overeenstemming met wat gevonden werd aan de hand van de methode van de

nominale kromming en de nominale stijfheid uit de EN 1992-1-1:2004. Het gebruik van α=0,85 in

de EN 1992-1-1:2004 geeft hoogstens een wapeningsstaaf per zijde meer dan wanneer men α=1

gebruikt. De methode van de nominale kromming volgens de EN 1992-1-1:2004 met α=0,85 geeft

hier dezelfde resultaten als de methode van de modelkolom uit de NBN B15-002 (1999).

-I.6-

case study: Invloed vorm

1. Probleemstelling

In deze case study zullen een vierkante, rechthoekige en cirkelvormige sectie bestudeerd worden.

Deze hebben allen dezelfde oppervlakte voor hun doorsnede. Voor de vierkante sectie wordt

40cmx40cm gekozen. Dezelfde oppervlakte bekomt men met een rechthoekige sectie van

20cmx80cm. Om een cirkelvormige sectie te vinden die dezelfde oppervlakte heeft, stelt men

r2=1600cm2⇒ r= 1600 =22,5cm . De werkelijke oppervlakte met een straal van 22,5cm is

1590cm2, wat dus zeer dicht bij de oorspronkelijke oppervlakte ligt. Voor deze case study wordt

betonklasse C35/45 en wapeningsstaal S500 gebruikt. De kolom uit Fig. 1 wordt beschouwd.

De evaluatie van de invloed van de secties gebeurt aan de hand van de 3 methodes: methode van de

Bijlage J

Fig. 1: Kolom onder studie

Bijlage J: Invloed vorm

modelkolom uit de NBN B15-002 (1999) en uit de EN1992-1-1:2004 de methode van de nominale

kromming en de methode van de nominale stijfheid.

2. Methode van de modelkolom

2.1. Vierkante sectie

Bij de berekening wordt opnieuw de gekende methode gevolgd. Hier is de eerste orde-excentriciteit

e1=e0ea met e1=max0,02 m;0,1 h=4cm en ea=l 0

400=2.4m

400=2cm zodat e1=6cm.

Voor de eenvoud van de berekeningen, werd opnieuw een eenvoudig rekenblad opgesteld voor dit

geval. De gebruikte formules zijn: e2=l 0

2

101r

en 1r=2 K2

f yd

E s 0,9 d en K 2=N ud−N sd

N ud−N bal≤1

met N ud= f cd Ac f yd As en N bal=0,4 f cd Ac . Een eerste gok voor de wapening is 4φ25mm

per zijde. Voor de dimensieloze krachten gebruikt men =M Ed

bh2 f cduen =

N Ed

b h f cd. De waarde

van ω wordt dan uit het interactiediagram V15 afgelezen. De resultaten van de spreadsheet zijn in

Tabel 1 opgenomen.

De wapening voldoet dus, en de convergentie is bereikt.

-J.2-

Tabel 1: Berekening vierkante sectiez (m) e1 (m) fcd (MPa) fyd (MPa) As (mm2) Nud (MN) Nbal (MN) K2 1/r (1/m) e2 (m)

0,4 0,06 23,33 434 5890 5,73 1,49 0,76 0,01 0,07etot (m) M (Mnm) μ ν ω Asreq (mm2)

0,13 0,32 0,25 0,8 0,27 1974,19


2.2. Rechthoekige sectie

a) Volgens de basis

Dezelfde formules als in de vorige paragraaf werden gebruikt. De eerste gok voor de wapening hier

bedraagt 2φ25mm per zijde. De resultaten zijn in Tabel 2 opgenomen.

Dit toont dus dat de goede wapening gekozen was, en dat de convergentie bereikt is.

b) Volgens de hoogte

Een eerste schatting van de wapening is 5φ25mm, dit is een oppervlakte staal van 2454mm2. De

resultaten voor deze wapening zijn in Tabel 3 opgenomen. De waarde van ω is moeilijk te bepalen,

aangezien deze zich aan het uiteinde van het diagram bevindt.

Een schatting van ω=1,1, wat betekent dat een wapening van 10φ32mm nodig zou zijn. De

tussenafstand bedraagt dan 800−10.32−2.30−2.8

9=45≈OK , wat een beetje aan de kleine kant

is. In een tweede iteratie, zie Tabel 4, wordt met deze wapening gerekend.

-J.3-

Tabel 2: Berekening rechthoekige sectie volgens de basis

Tabel 3: Berekening rechthoekige sectie volgens de hoogte

Tabel 4: Tweede iteratie rechthoekige sectie langs de hoogte

b (m) h (m) e1 (m) fcd (MPa) fyd (MPa) As (mm2) Nud (MN) Nbal (MN) K2 1/r (1/m)0,2 0,8 0,1 23,33 434 1963 4,03 1,49 0,6 0,01

e2 (m) etot (m) M (Mnm) μ ν ω Asreq (mm2)0,04 0,14 0,35 0,14 0,8 0,11 782,37

b (m) h (m) e1 (m) fcd (MPa) fyd (MPa) As (mm2) Nud (MN) Nbal (MN) K2 1/r (1/m) e2 (m)0,8 0,2 0,04 23,33 434 4908 5,3 1,49 0,74 0,03 0,21

etot (m) M (Mnm) μ ν ω Asreq (mm2)0,25 0,61 0,97 0,8 1,1 8041,86

b (m) h (m) e1 (m) fcd (MPa) fyd (MPa) As (mm2) Nud (MN) Nbal (MN) K2 1/r (1/m)0,8 0,2 0,04 23,33 434 16085 10,15 1,49 0,88 0,03


De convergentie is dus bereikt. Dit voorbeeld toont ons onmiddellijk dat een rechthoekige sectie

minder interessant is dan een vierkante. De totale wapening bedraagt hier namelijk 20φ32mm.

2.3. Cirkelvormige sectie

Hier zal initieel uitgegaan worden van een wapening van 6φ32mm. Dezelfde berekeningswijze als

hierboven wordt gevolgd. Voor de dimensieloze krachten heeft men echter = Mh3 f cdu

en

= Nh2 f cdu

. De waarde van h=2r. Het interactiediagram, zie Fig. 2 wordt gehaald uit [13]. De

waarde van dh=

2 r−0,04h

=2 0,23−0,04

2.0,23≈0,8 . De waarden van de berekening in de

spreadsheet zijn in Tabel 5 opgenomen.

De waarde van ω werd gevonden aan de hand van het interactiediagram dat hieronder opgenomen

is, zie Fig. 2. Een tweede iteratie is nodig, men gaat hier uit van 12φ25mm, zie Tabel 6.

-J.4-

Tabel 5: Berekening cirkelvormige sectie


r (m) e1 (m) fcd (MPa) fyd (MPa) As (mm2) Nud (MN) Nbal (MN) K2 1/r (1/m) e2 (m)0,23 0,07 23,33 434 4825 5,25 1,48 0,73 0,01 0,06



Tabel 6: Tweede iteratier (m) e1 (m) fcd (MPa) fyd (MPa) As (mm2) Nud (MN) Nbal (MN) K2 1/r (1/m) e2 (m)

0,23 0,07 23,33 434 5890 5,85 1,55 0,78 0,01 0,06


Over de volledige doorsnede worden dus 12φ25mm geplaatst. Dit is dezelfde hoeveelheid wapening

als voor de vierkante sectie. De bekisting voor een cirkelvormige kolom is moeilijker uit te voeren,

en daarom zal in de praktijk de vierkante kolom dus de beste keuze zijn.

3. Methode van de nominale kromming EN 1992-1-1:2004


De eerste orde-excentriciteit wordt berekend als e1=e0ei met e0=max h30

,20mm en

-J.5-

Fig. 2: Gebruikte diagramma [13]


e i=0hm

l 0

2met 0=

1200

en h=m=1 . De tweede orde-excentriciteit wordt berekend als

e2=1r

l02

cen 1

r=K r

f yd

E s 0,45d met K r=nu−n

nu−nbal. Hierin is nu=1=1

As f yd

Ac f cden

n=N ed

Ac f cd. Een eerste gok voor de wapening is 4φ25mm per zijde. De berekeningen zijn in

Tabel 7 samengebracht.

Aan de hand van de spreadsheet van The Concrete Society, kan gezien worden dat de wapening

verminderd kan worden tot 3φ25mm per zijde. De berekeningen leveren dan de waarden uit Tabel 8

op.

De convergentie is nu bereikt. De totale wapening bedraagt 8φ25mm.


a) Volgens de basis

Een eerste gok voor de wapening is 2φ25mm per zijde. De resultaten zijn in Tabel 9 samengebracht.

-J.6-

Tabel 7: Berekening vierkante sectie

Tabel 8: Tweede iteratie vierkante sectie

Tabel 9: Berekening rechthoekige sectie volgens basis

z(m) e1 (m) fcd (MPa) fyd (MPa) As (mm2) nu n Kr 1/r (1/m) e2 (m) etot (m) M (kNm)0,4 0,04 23,33 434 5890 1,68 0,67 0,79 0,01 0,07 0,11 274

z(m) e1 (m) fcd (MPa) fyd (MPa) As (mm2) nu n Kr 1/r (1/m) e2 (m) etot (m) M (kNm)0,4 0,04 23,33 434 3927 1,46 0,67 0,74 0,01 0,07 0,11 264

b (m) h(m) e1 fcd (MPa) fyd (MPa) As (mm2) nu n Kr0,2 0,8 0,05 23,33 434 1964 1,23 0,67 0,67


De wapening voldoet dus.

b) Volgens de hoogte

Hier wordt in eerste instantie uitgegaan van de 10φ32mm per zijde die gevonden werden met de

methode van de modelkolom. De resultaten van de spreadsheet zijn in Tabel 10 opgenomen.

Aan de hand van de spreadsheet van The Concrete Society kan men zien dat de gekozen wapening

niet voldoende is. Men zou feitelijk 12φ40mm nodig hebben per zijde. Dit is echter een veel te

zware wapening, en men kan stellen dat dit geen efficiënte vorm van doorsnede is.

3.3. Cirkelvormige sectieHier zal initieel vertrokken worden van een wapening van 6φ32mm. De resultaten worden dan

opgenomen in Tabel 11.

Deze methode geeft de laagste waarde voor MEd en is dus de meest performante doorsnede.

4. Methode van de nominale stijfheid


De nominale stijfheid wordt bepaald als EI=K c Ecd I cK s E s I s met

-J.7-

Tabel 10: Berekening rechthoek volgens hoogte

Tabel 11: Cirkelvormige sectie

1/r (1/m) e2 (m) etot (m) M (kNm)4,34E-003 0,03 0,07 186

b (m) h(m) e1 fcd (MPa) fyd (MPa) As (mm2) nu n Kr 1/r (1/m)0,8 0,2 0,04 23,33 434 16085 2,87 0,67 0,89 2,86E-002

e2 (m) etot (m) M (kNm)0,18 0,22 558

r (m) e1 (m) fcd (MPa) fyd (MPa) As (mm2) nu n Kr 1/r (1/m) e2 (m) etot (m) M (kNm)0,23 0,04 23,33 434 4826 1,56 0,67 0,76 0,01 0,06 0,1 248


E cd=Ecm

=34GPa1,2

=28,33GPa en I c=0,4m4

12=2,13333.10−3 m4 . Verder is

K c=k 1 k 2= f ck

20.min [ n

170;0,20]= f ck

20.min [

N Ed

Ac f cd

l 012h

1170

;0,20] . De waarde van Is werd

bepaald aan de hand van de zelf opgestelde spreadsheet. In eerste instantie wordt uitgegaan van een

wapening van 3φ25mm. Hiervoor zijn de resultaten opgenomen in Tabel 12.

Controle in de spreadsheet van The Concrete Society leert ons dat de wapening verlaagd kan

worden tot 2φ25mm. Dan worden de resultaten, zie Tabel 13.

De convergentie is dus bereikt.


a) Volgens de basisDe wapening van 2φ16 werd hier gecontroleerd, zie Tabel 14.

De spreadsheet van The Concrete Society leert ons dat dit een goede wapening is.

-J.8-

Tabel 12: Resultaten vierkante sectiez (m) e1 (m) fcd (MPa) fyd (MPa) Kc Is (m4) EI (MNm2) NB (Mn) Med (kNm)

0,4 0,04 23,33 434 0,26 8,79E-005 33,57 5,18 215

Tabel 14: Berekening rechthoekige sectie

Tabel 13: tweede iteratiez (m) e1 (m) fcd (MPa) fyd (MPa) Kc Is (m4) EI (MNm2) NB (Mn) Med (kNm)

0,4 0,04 23,33 434 0,26 8,79E-005 33,56 5,18 215

b(m) h(m) e1 (m) fcd (MPa) fyd (MPa) Kc Is (m4) EI (MNm2) NB (MN) MED (kNm)0,2 0,8 0,05 23,33 434 0,18 1,03E-004 31,53 4,86 269


b) Volgens de hoogteHier wordt initieel vertrokken van een wapening van 10φ32mm, zie Tabel 15.

In een tweede iteratie, zie Tabel 16, wordt een wapening van 4φ25mm gebruikt.

De spreadsheet van The Concrete Society leert ons dat 6φ25mm per zijde nodig zijn. Een derde

iteratie dringt zich op, zie Tabel 17.

De convergentie is dus bereikt. Voor deze sectie krijgt men dus een heel andere wapening dan

wanneer men de methode van de nominale kromming uit de EN 1992-1-1:2004 of de methode van

de modelkolom uit de NBN B15-002 (1999) zou gebruiken.

4.3. Cirkelvormige sectie

De bepaling van het traagheidsmoment werd hier manueel uitgevoerd, zie Fig. 3.

-J.9-

Tabel 15: Rechthoekige sectie volgens hoogte, eerste iteratie

Tabel 1: Rechthoekige sectie volgens de hoogte, tweede iteratieTabel 16: Rechthoekige sectie, volgens hoogte, tweede iteratie



Tabel 17: Rechthoekige sectie, methode van de nominale stijfheid, derde iteratieb(m) h(m) e1 (m) fcd (MPa) fyd (MPa) Kc Is (m4) EI (MNm2) NB (MN) MED (kNm)

0,8 0,2 0,04 23,33 434 0,26 1,44E-004 44,73 6,9 170


Hier kan het traagheidsmoment berekend worden als I s=6 r 4

4 r 2 afstand 2 met

afstand=R−40−2=169 . De resultaten zijn in Tabel 18 weergegeven.

De bekomen waarde voor het moment is minder dan deze voor de methode van de modelkolom,

zodat de gekozen wapening zeker voldoet. De waarde van het traagheidsmoment van het staal, en

bijgevolg de stijfheid van de doorsnede, zijn sterk onder de invloed van de waarde van de afstand

uit de formule van Steiner.

5. Resultaten van ESA PT

In ESA werden de resultaten, opgenomen in Tabel 19, gevonden.

-J.10-

Fig. 3: Doorsnede kolom

Tabel 18: Cirkelvormige sectier(m) e1 (m) fcd (MPa) fyd (MPa) Kc Is (m4) EI (MNm2) NB (Mn) Med (kNm)

0,23 0,04 23,33 434 0,26 1,38E-004 43,61 6,73 173


Tabel 19: Resultaten ESA PT

Doorsnede Wapening Moment40cmx40cm 16φ25mm 250 kNm80cmx20cm 22φ40mm My = 232 kNm

Mz = 552 kNmr=22,5cm Te veel 585 kNm

6. Conclusie

Uit de handberekeningen komen de vierkante en de cirkelvormige sectie naar voor als de meest

optimale. De vierkante sectie lijkt het meest aangewezen voor gebruik. De wapening volgens de

hoogte van de rechthoekige sectie verschilt zeer sterk per methode. Volgens de methode van de

modelkolom en de methode van de nominale kromming bekomt men een veel te zware wapening

voor de sectie, en zou deze sectie dus vergroot moeten worden. De methode van de nominale

stijfheid levert echter geen problemen voor het berekenen van deze sectie en levert ook geen al te

zware wapening. Door zijn aanpak is de methode van de nominale stijfheid ook het meest geschikt

voor het berekenen van andere vormen van doorsneden.

Aan de hand van de opgestelde spreadsheets voor het bepalen van Is, is de methode van de nominale

stijfheid iets sneller in de berekening van een sectie dan de andere methodes.

De methode van de nominale kromming geeft momenten die het best vergelijkbaar zijn met de

berekening in ESA. Opvallend is dat de cirkelvormige sectie niet voldoet in ESA. De

vereenvoudigde methodes zijn dus niet geschikt voor het berekenen van ronde secties.

-J.11-

case study: Evaluatie berekening volgens BAEL

1. Probleemstelling

In deze case study wordt een kolom, die ik op mijn stage volgens de Franse BAEL berekende,

berekend volgens de NBN B15-002 (1999) en de twee methodes uit de EN1992-1-1:2004, ter

vergelijking van de methodes.

Het betreft een kolom van 13m, ingeklemd aan de voet, met een doorsnede van 50cmx80cm. De

betonklasse is C50/60 en het wapeningsstaal S500.

2. Berekening volgens de BAEL

De z-richting is dimensionerend. De kolom is belast zoals voorgesteld in Fig. 1.

De resultanten van de krachten kunnen dan berekend worden. Voor de normaalkracht kijkt men

enkel naar het eigengewicht. N=25 kNm3 .13m .0 ,5m.0 ,8m=130 kN , zodat bijgevolg

Bijlage K

Fig. 1: Belasting

Bijlage K: Evaluatie berekening volgens BAEL

N Ed=1,35 N=175,5 kN . Het moment wordt veroorzaakt door de verdeelde belasting:

M=pl 2

2 =4,09 kN

m13m 2

2 =346kNm . Volgens de BAEL is dan M Ed=M 1,5.1 ,2=622 kNm

het eerste orde-moment. De berekening van het tweede orde-moment gebeurde aan de hand van een

MathCad bestand. De excentriciteit ten gevolge van de imperfecties wordt volgens de BAEL

berekend als ea=l

100=13cm . Het tweede orde-moment werd berekend volgens annexe E7,

waarbij de kromming berekend wordt zoals volgens de EN1992-1-1:2004 in de methode van de

nominale kromming. Het totale moment werd dan berekend als 720 kNm. De benodigde wapening

hiervoor werd bepaald aan de hand van een spreadsheet in Excel en de abacus uit [16]. Dit geeft een

benodigde oppervlakte staal van 2759mm2.

3. Berekening volgens NBN B15-002 (1999)

De waarde van NEd werd hierboven reeds berekend en bedraagt 175,5 kN. Voor de rekenwaarde van

het moment, neemt men nu M Ed=1,5M =1,5.346kNm=519kNm . De berekening van het

tweede orde-moment gebeurde aan de hand van een rekenblad, met als waarde van l0=26m. De

waarde van ω werd afgeleid uit het interactiediagram V15. De resultaten zijn in Tabel 1

samengebracht.

-K.2-

Tabel 1: Resultaten volgens NBN B15-002b (m) h (m) e1 (m) fcd (MPa) fyd (MPa) As (mm2) Nud (MN) Nbal (MN) K2 1/r (1/m)

0,5 0,8 0,15 33,33 434 4908 13,46 5,33 1 0,01



Een wapening van 5φ32mm voldoet hieraan. Een tweede iteratie dringt zich op, zie Tabel 2.

De overige waarden zijn hetzelfde en de convergentie is dus bereikt.

4. Methode van de nominale kromming (EN 1992-1-1:2004)

Initieel wordt hier uitgegaan van een wapening van 5φ32mm, wat een oppervlakte staal van

4021mm2 is. Met het rekenblad wordt het totale moment berekend, en dan aan de hand van de

spreadsheet van The Concrete Society wordt gekeken naar de wapening. De resultaten van de

berekeningen zijn in Tabel 3 samengebracht.

Een wapening van 4φ25mm volstaat hiervoor. In een tweede iteratie zal dus een oppervlakte staal

van 1963mm2 gecontroleerd worden, zie Tabel 4.

De wapening voldoet dus, de convergentie is bereikt.

5. Methode van de nominale stijfheid (EN1992-1-1:2004)

De rekenwaarde van de elasticiteitsmodulus van het staal bedraagt hier

-K.3-

Tabel 2: Resultaten tweede iteratie

Tabel 3: Berekening volgens methode van de nominale kromming

Tabel 4: controle wapening

b (m) h (m) e1 (m) fcd (MPa) fyd (MPa) As (mm2) Nud (MN) Nbal (MN) K20,5 0,8 0,15 33,33 434 8042 14,82 5,33 1

b (m) h(m) e1 fcd (MPa) fyd (MPa) As (mm2) nu n Kr 1/r (1/m) e2 (m) etot (m) M (kNm)0,5 0,8 0,09 33,33 434 8042 1,26 0,01 1 6,43E-003 0,43 0,53 611

b (m) h(m) e1 fcd (MPa) fyd (MPa) As (mm2) nu n Kr 1/r (1/m) e2 (m) etot (m) M (kNm)0,5 0,8 0,09 33,33 434 1963 1,06 0,01 1 6,43E-003 0,43 0,53 611


E cd=37GPa

1,2=30,833GPa . In een eerste schatting wordt uitgegaan van een wapening van

4φ25mm, zie Tabel 5.

Aan de hand van de spreadsheet van The Concrete Society blijkt dat deze wapening voldoet. Er

dienen dus geen verdere iteraties uitgevoerd te worden.

6. Controle in ESA PT

ESA levert hier een moment van 351 kNm en een wapening van 4φ28mm in het totaal. In ESA

werd het krachtenverloop onvereenvoudigd ingegeven, wat de gunstigere resultaten verklaart.

7. Conclusie

De berekening volgens de BAEL geeft een benodigde wapening die tussen de waardes bekomen

door NBN B15-002 (1999) en de EN 1992-1-1:2004 ligt. Een vereenvoudiging van de resultaten

voor een handberekening, blijkt economisch niet erg interessant.

-K.4-

Tabel 5: Berekeningen volgens de methode van de nominale stijfheidb(m) h(m) e1 (m) fcd (MPa) fyd (MPa) Kc Is (m4) EI (MNm2) NB (MN) MED (kNm)

0,5 0,8 0,09 33,33 434 0,01 5,67E-004 122,41 1,79 590

Documents

Evaluatie van de nieuwe inzichten over knik van kolommen in gewapend beton