Exames EF de anos anteriores e sua Resolucao

Prof. Claude Boemare - Universidade de Aveiro

Elementos de Física

I

Uma lente convergente com uma distância focal de 20 cm forma, sobre um alvo a 40 cm da lente, uma imagem nítida de um certo objecto.

a) Determine a localização do objecto e a

ampliação da imagem. Para obter no alvo uma imagem três vezes maior que a anterior coloca-se a 30 cm da lente convergente e centrada no mesmo eixo, uma lente divergente. A posição do alvo é ajustada até se observar a imagem focada. b) Determine o deslocamento a dar ao

alvo para se observar a imagem final. c) Determine a distância focal que a

lente divergente deve ter.

Solução:

a) Objecto

1

𝑝1+1

𝑞1=1

𝑓1 𝑓1 = +0.2 𝑚 𝑞1 = +0.4 𝑚

𝑝1 =𝑞1𝑓1𝑞1 − 𝑓1

= +0.4 𝑚 𝑚1 = −𝑞1𝑝1= −1

b) Deslocamento do alvo.

𝑑 = 𝑞1 + 𝑝2 𝑚2 = ±3 = −

𝑞2𝑝2

AC1 Ano lectivo 2009/10 1º Semestre Data: 25 de Novembro 2009 Hora: 15:00 horas Duração:2 horas

Cotação: I – 5,0 valores II - 5,0 valores III - 5,0 valores IV - 5,0 valores

Alvo

Alvo


𝑝2 = 𝑑 − 𝑞1 = 0.3 − 0.4 = −0.1 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑝2 < 0 𝑒 𝑞2> 0 (𝑖𝑚𝑎𝑔𝑒𝑚 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑑𝑎) → 𝑚2 > 0

𝑚2 = 3 = −

𝑞2𝑝2 → 𝑞2 = −3𝑝2 = 0.3 𝑚

O alvo está a 0.3 m da lente divergente ou seja a 0.3+0.3=0.6 m da lente convergente, tem de ser deslocado de 0.2 m.

1

𝑝2+1

𝑞2=1

𝑓2 𝑓2 =

𝑝2𝑞2𝑝2 + 𝑞2

= −0.15 𝑚

II Uma massa de 100 g, está presa a uma mola e a oscilar em torno da posição x=0, segundo a horizontal. Em t=0 s, a massa passa pela posição x = A/2, deslocando-se para a esquerda. Em t=2s, a massa atinge a posição de máxima elongação, x =A. a) Sabe-se que a posição onde a energia cinética da massa é igual à energia potencial

se situa em x=2cm. Determine a amplitude do movimento. b) Determine a fase inicial do movimento. c) Determine o período do movimento e escreva a função da posição da massa ao

longo do tempo. d) Determine a constante elástica da mola. e) Escreva a equação da força a que a massa está sujeita ao longo do tempo. f) Se a partícula estiver na realidade sujeita a amortecimento viscoso, e se a amplitude

do seu movimento oscilatório for reduzida a 10% da amplitude inicial em 10s, qual é a constante de amortecimento, b?

Solução:

a) Amplitude

𝐸𝑐 = 𝐸𝑝 =1

2𝑘𝑥2 =

𝐸𝑚2=1

2𝑘𝐴2 ∗

1

2 → 𝐴 = 𝑥√2 = 0.02√2 𝑚

b) Fase inicial

𝑥(0) =𝐴

2= 𝐴 sin(0 + 𝜙) → sin𝜙 =

1

2

{

𝜙 =

𝜋

6𝑜𝑢

𝜙 =5𝜋

6

𝑉𝑜𝑠𝑐(0) =2𝜋

𝑇𝐴 sin𝜙 < 0 → sin 𝜙 < 0 → 𝜙 =

5𝜋

6 𝑟𝑎𝑑

c) Período

𝑥(2) = 𝐴 = 𝐴 sin (2𝜋2

𝑇+5𝜋

6) →

4𝜋

𝑇+5𝜋

6=5𝜋

2 → 𝑇 =

12

5= 2.4 𝑠


𝑥(𝑡) = 0.02√2 sin (5𝜋

6𝑡 +

5𝜋

6)

d) K

𝑇 = 2𝜋√𝑚

𝑘 → 𝑘 = 4𝜋2

𝑚

𝑇2=0.5𝜋2

3 𝑁.𝑚−1

e) Força

𝐹(𝑡) = −𝑘𝑥(𝑡) = −𝜋2√2

310−3 sin (

5𝜋

6𝑡 +

5𝜋

6) 𝑁

f) Amortecimento

𝐴(𝑡) = 𝐴0𝑒−𝜆2𝑚

𝑡 → 𝜆 = ln (𝐴0𝐴(𝑡)

)2𝑚

𝑡= 2 ∗ 10−2 ln 10 𝑘𝑔. 𝑠−1

III Uma corda sujeita está sujeita a uma perturbação vertical periódica Y. A figura representa a deformação vertical uma corda medida ao longo do tempo em dois pontos distintos da mesma. A curva a cheio corresponde à extremidade da corda em x= 0 m e a curva a tracejado a um ponto colocado em x= 2 m. a) Determine a frequência do

movimento? b) Determine a velocidade de

propagação da onda que se propaga na corda.

c) Escreva a função da onda que se propaga no sentido positivo, supondo a corda alinhada com o eixo dos XX.

d) Determine a energia transferida, em cada segundo, ao longo da corda.

Solução: a) Frequência

𝑇 = 2 𝑠 → 𝑓 = 0.5 𝐻𝑧

b) Velocidade de propagação

Os pontos estão em oposição de fase

Δ𝜙 = |𝜙2 − 𝜙1| = 𝜋

0 1 2 3 4

-2

0

2

Y / c

m

Tempo /s


Δϕ = 2π (t

T−x1𝜆) − 2𝜋 (

𝑡

𝑇−𝑥2𝜆) =

2𝜋

𝜆(𝑥2 − 𝑥1) = 𝜋

𝜆 = 2(𝑥2 − 𝑥1) = 4 𝑚

𝑉𝑝𝑟𝑜𝑝 =𝜆

𝑇= 2 𝑚. 𝑠−1

c) Equação de onda

𝑦(𝑥, 𝑡) = 2 sin [2𝜋 (𝑡

2−𝑥

4) + 𝜙]

𝑞𝑑 𝑡 = 0 𝑒 𝑥 = 0 → 𝑦(0; 0) =𝐴

2= 𝐴 sin𝜙 →

{

𝜙 =

𝜋

6𝑜𝑢

𝜙 =5𝜋

6

𝑒 𝑉𝑜𝑠𝑐(0; 0) =2𝜋

𝑇cos𝜙 < 0 → cos𝜙 < 0 → 𝜙 =

5𝜋

6

𝑦(𝑥, 𝑡) = 2 sin [2𝜋 (𝑡

2−𝑥

4) +

5𝜋

6]

d) Energia

𝐸 = 𝑃 ∗ 𝑡 =1

2𝜌𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 ∗ 𝜔

2 ∗ 𝐴2 ∗ 𝑉𝑝𝑟𝑜𝑝

IV Um carro de polícia encontra-se estacionado na berma da estrada, e emite um sinal sonoro com uma dada frequência f. Este sinal é recebido pelo condutor de um carro que transita a uma dada velocidade Vcarro que se afasta do carro da polícia. Determine a velocidade de circulação do carro, sabendo que o sinal recebido pela polícia, após a reflexão no carro, tem uma frequência F=3/4 f. (Considere a Vsom= 340 m/s)

Solução: Dois trajectos Policia-carro

𝑓1 = 𝑓 {1 −

𝑉𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜𝑉𝑠𝑜𝑚1

}

Carro-Policia


𝑓2 = 𝑓1 {1

1 +𝑉𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜𝑉𝑠𝑜𝑚

}

𝑓2 = 𝑓 {1 −

𝑉𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜𝑉𝑠𝑜𝑚


}

𝑓2𝑓=3

4= {

1 −𝑉𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜𝑉𝑠𝑜𝑚


} → 3

4(𝑉𝑠𝑜𝑚 + 𝑉𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜) = 𝑉𝑠𝑜𝑚 − 𝑉𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜

𝑉𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜 =𝑉𝑠𝑜𝑚7



I Duas ondas de igual amplitude são emitidas em oposição de fase a partir de duas fontes pontuais sonoras, F1 e F2, separadas de 2 km e posicionadas simetricamente relativamente à origem, como se indica na figura. As ondas propagam-se com uma velocidade de 400m/s, e têm associado um c.d.o de λ=1km:

a) Determine a diferença de fase entre as ondas no eixo das ordenadas. Explique claramente o seu raciocínio.

b) Determine a diferença de fase entre as ondas para qualquer ponto do eixo das abcissas exterior à linha que une as fontes. Explique claramente o seu raciocínio.

c) Escreva uma expressão em função do ângulo θ (ver figura) que permita determinar o ponto de coordenadas (1km, ymin), para o qual se dá interferência construtiva das duas ondas. Onde ymin, representa o valor mínimo de ordenada nessas condições.

Solução:

𝑜𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑠𝑒 → Δ𝜙 = 𝜋

a) No eixo das ordenadas as duas ondas percorrem a mesma distância, não há introdução duma

diferença de fase espacial ( 2π*(x2-x1)/) portanto a diferença de fase inicial mantem-se. Ou seja π.

b) As duas fontes estão separadas por 2km ou seja 2 comprimentos de onda: 2. Portanto para qualquer ponto do eixo do x exterior, além da diferença de fase inicial (π) teremos agora que adicionar uma diferença de fase espacial devido à diference de caminho:

2π*(x2-x1)/= 2π*(2)/=4π logo Δ𝜙 = 𝜋 + 4𝜋 = 𝜋 Interferência sempre destrutiva

c) Ponto P As equações de onda de F1 e F2.

{

𝑦1(𝑥1; 𝑡) = 𝐴 sin [2𝜋 (

𝑡

𝑇−𝑥1𝜆) + 𝜋]

𝑦2(𝑥2; 𝑡) = 𝐴 sin [2𝜋 (𝑡

𝑇−𝑥2𝜆)]

Onde resultante

AC 2

Cotação

I-7 valores II-7valores III-6 valores

Ano lectivo 2009/10 1º Semestre Data: 22 de Janeiro 2010 Hora: 10:00 horas Duração:1.5 horas

Não é permitido o uso de máquina de calcular

x

y

F1 F2 θ

P


𝑦(𝑥, 𝑡) = 2𝐴 cos[2𝜋𝑥1 − 𝑥22𝜆

−𝜋

2] sin [2𝜋 (

𝑡

𝑇−𝑥1 + 𝑥22𝜆

) +𝜋

2]

Interferência construtiva quando a amplitude da onde resultante for máxima:

𝐴′ = 2𝐴 cos [2𝜋𝑥1 − 𝑥22𝜆

−𝜋

2] → cos [2𝜋

𝑥1 + 𝑥22𝜆

−𝜋

2] = ±1

2𝜋𝑥1 − 𝑥22𝜆

−𝜋

2= 𝑛𝜋 (𝑛 = 0,1,2… . ) → 𝑥1 − 𝑥2 = (2𝑛 + 1)

𝜆

2

𝑥1 =

𝑦

sin 𝜃 𝑒 𝑥2 = 𝑦 (𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (1𝑘𝑚; 𝑦) 𝑒𝑠𝑡á 𝑛𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝐹2)

𝑦𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎 =2𝑛 + 1

1sin 𝜃

− 1

𝜆

2=(2𝑛 + 1) sin 𝜃 𝜆

2 − 2 sin 𝜃 𝑒 𝑦𝑚𝑖𝑛 =

sin 𝜃 𝜆

2 − 2 sin 𝜃

II Fotões de 60keV de energia, emitidos por uma fonte radioactiva de 241Am, incidem no alvo de berílio (WBe=4,98 eV), tal como se mostra na figura ao lado. (h.c=1240 eV.nm; c=h/mec =2,43x10-3 nm) a) Qual o comprimento de onda mínimo dos fotões que poderá ser

observado no lado esquerdo após a interacção da radiação incidente com o alvo de berílio.

b) Qual a sua energia mínima? c) Considere agora que substituímos a fonte de 241Am por uma

lâmpada com emissão no ultravioleta, de comprimento de onda de 200nm. Estabeleça uma expressão analítica, a mais simplificada possível, que a partir das grandezas conhecidas, lhe permita determinar o comprimento de onda mínimo que poderá ser atribuído aos electrões produzidos no Be.

Solução:

a) Efeito Compton

Δ𝜆 = 2.43(1 − cos 𝜃) 𝑝𝑚

Lado esquerdo: ≥ π/2

𝜆1 =ℎ𝑐

𝐸𝑓𝑜𝑡ã𝑜=

1240

60 × 103≅ 20.7 𝑝𝑚 𝜆2 = 𝜆1 + 2.43 = 23.13 𝑝𝑚

b) Energia mínima

𝐸𝑚𝑖𝑛 =1240

23.13 × 10−3≅ 54 𝑘𝑒𝑉

c) Efeito foto-eléctrico

Foto-electrões

𝐸𝑐 ≤ℎ𝑐

𝜆−𝑊 =

1240

200− 4.98 = 1.22 𝑒𝑉 = 1.952 × 10−19 𝐽

Comprimento de Onda de Broglie


𝜆 =ℎ

𝑝=

ℎ

𝑚𝑣 𝑒 𝐸𝑐 =

1

2𝑚𝑣2 =

1

2𝑚(𝑚𝑣)2 =

1

2𝑚𝑝2

𝑝 = √2𝑚 ∗ 𝐸𝑐 → 𝜆 =ℎ

√2𝑚 ∗ 𝐸𝑐

𝜆𝑚𝑖𝑛 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐸𝑐 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 → 𝜆𝑚𝑖𝑛 =ℎ

√2𝑚 ∗ 1.952 × 10−19 𝑚

III

Uma amostra de material radioactivo contém 1018 átomos. A meia vida do material é de

2x103 dias.

a) Mostre que o nº de átomos por decair num dado instante t é dado por N(t)=No/2n,

quando t=nT1/2 ( sendo n=0,1,2…).

b) Determine a fracção de átomos do material inicial que ainda existe após 6x103dias.

c) Determine a actividade inicial da amostra.

d) Este material pode ser utilizado para datação de achados arqueológicos? Justifique.

Solução: a) Demonstração

𝑁(𝑡) = 𝑁0𝑒−𝜆𝑡𝑁0𝑒

− ln 2𝑡

𝑇1/2 = 𝑁0𝑒− ln 2

𝑛𝑇1/2𝑇1/2 = 𝑁0𝑒

−𝑛 ln 2 = 𝑁0𝑒− ln 2𝑛 =

𝑁02𝑛

b) Átomos 6x103 dias representa 3 tempo de meia vida, ou seja o número de átomos foi 3 vezes por metade.

𝑁 (3𝑇12) =

𝑁02 × 2 × 2

=𝑁023=𝑁08= 1.25 × 1017 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑓𝑟𝑎𝑐çã𝑜 é 1/8

c) Actividade

𝑎0 = 𝜆𝑁0 =ln 2

𝑇1/2∗ 𝑁0 =

ln 2

2 × 103 ∗ 24 ∗ 36001018 ≅ 4 × 109 𝐵𝑞

d) Datação? Não. Tempo de meia vida é 2000 dias que corresponde a mais ou menos 5.5 anos e os achados têm mais de 1000 anos portanto nestes achados o material radioactivo já não está presente.



I Considere um objecto (O) com 2 cm de altura colocado a uma distância de 30 cm de uma lente biconvexa de distância focal de 20 cm. No outro lado da lente está colocado, a 100 cm desta, um espelho côncavo de raio R=60 cm. a) Determine a posição da imagem dada

pela lente L. b) Qual a posição da imagem final formada

após a reflexão no espelho? c) Caracterize a imagem final formada após reflexão no espelho.

Solução:

a) Posição

1

𝑝1+1

𝑞1=1

𝑓1 → 𝑞1 =

𝑝1𝑓1𝑝1 − 𝑓1

= 60 𝑐𝑚

b) Imagem final

𝑑 = 𝑞1 + 𝑝2 → 𝑝2 = 40 𝑐𝑚

1

𝑝2+1

𝑞2=1

𝑓2=2

𝑅 → 𝑞2 =

𝑝2𝑓2𝑝2 − 𝑓2

= 120 𝑐𝑚 < 0 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑒𝑚 𝑟𝑒𝑎𝑙

𝑚 = 𝑚1 ∗ 𝑚2 = (−

𝑞1𝑝1) (−

𝑞2𝑝2) > 0 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑒𝑚 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎

Cotação

I-3 valores II-3.5 valores III-3.5 valores IV-3,5 valores V-3.5 valores VI-3 valores

Exame Final Ano lectivo 2009/10 1º Semestre Data: 22 de Janeiro 2010 Hora: 10:00 horas Duração: 3 horas


L E

O


II

Uma mola é montada horizontalmente, com a extremidade esquerda mantida em estado estacionário. Fixando um dinamómetro à extremidade livre da mola e aplicando uma força de tracção verificou-se a proporcionalidade entre a força exercida e a deformação da mola, em que uma força de 6,0 N provoca uma deformação de 3,0 cm. O dinamómetro foi então substituído por um bloco de 0,50 kg que após libertado a 4,0 cm da posição de equilíbrio oscila em torno da posição de equilíbrio, como se ilustra na figura. a) Determine a constante da mola, e diga qual o seu significado físico. b) Estabeleça a equação do movimento do bloco.

c) Determine o instante (em π segundos) em que o bloco passa pela 2ª vez na posição de equilíbrio.

d) Determine o valor máximo e mínimo da aceleração do bloco e respectivas posições do bloco.

e) Explique o que esperaria acontecer ao sistema físico anterior, quando sobre ele passa a actuar uma força do tipo VbF

, onde V

representa o vector velocidade. Para um

coeficiente de amortecimento de 2 kg/s estabeleça a nova equação do movimento. Como poderia contrariar este efeito?

Solução:

a) Constante da mola

𝐹𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 = 𝑘𝑥 → 𝑘 =𝐹𝑒𝑙𝑎𝑠𝑥

= 200 𝑁.𝑚−1 b) Equação

𝑇 = 2𝜋√𝑚

𝑘= 2𝜋√

1

2∗1

200=𝜋

10𝑠

𝑞𝑑 𝑡 = 0 𝑦(𝑡 = 0) = 𝐴 = 𝐴 sin (2𝜋𝑡

𝑇+ 𝜙) → sin𝜙 = 1 → 𝜙 =

𝜋

2 𝑟𝑎𝑑

𝑦(𝑡) = 4 sin (20𝑡 +

𝜋

2)

c) Instante t (2ª vez em y=0)

𝑦(𝑡) = 0 = 4 sin (20𝑡 +𝜋

2) → 20𝑡 +

𝜋

2= 𝜋 𝑜𝑢 2𝜋 𝑜𝑢 3𝜋

Note: não pode ser =0 porque é um momento anterior. Segundo instante é =2π.

20𝑡 +𝜋

2= 2𝜋 → 𝑡 =

3𝜋

40 𝑠

d) Aceleração

𝑎(𝑡) = −(2𝜋

𝑇)2

𝑦(𝑡) → |𝑎𝑚𝑎𝑥| = (2𝜋

𝑇)2

𝐴 𝑞𝑑 𝑦 = ±𝐴


e) Amortecimento

Devido à aplicação duma força proporcional e contrária à velocidade, o movimento harmónico simples transforma-se em movimento harmónico amortecido, ou seja a amplitude do movimento vai diminuir com o tempo e a frequência angular modifica-se.

𝐴 = 𝐴0𝑒−𝑏2𝑚

𝑡 𝑒 𝜔 = √𝑘

𝑚− (

𝑏

2𝑚)2

𝑦(𝑡) = 𝐴0𝑒−𝑏2𝑚

𝑡 sin (𝜔𝑡 +𝜋

2)

Para contrária o amortecimento é necessário aplicar uma força periódica que teria uma expressão do tipo

𝐹 = 𝐹0 cos𝜔𝑓𝑡

III A amplitude de um movimento ondulatório transversal que se propaga da direita para a esquerda ao longo de uma corda é 0,62 m. A corda tem um densidade linear de 4 kg/m e está sujeita a uma tensão de 4 N. No instante t=0 s o deslocamento da extremidade da corda é y=-0,6 m e desloca-se no sentido negativo. No instante t= 3/8 s o deslocamento da extremidade é agora -0,62 m. Determine: a) a fase inicial; b) o período da oscilação; c) a velocidade de propagação; d) o comprimento de onda.

Solução:

𝑉𝑝𝑟𝑜𝑝 = √𝐹

𝜌= 1 𝑚. 𝑠−1

𝑞𝑑 𝑡 = 0 𝑦(𝑥 = 0; 𝑡 = 0) = −0.6 = 0.6√2 sin(0 − 0 + 𝜙)

sin𝜙 = −1

√2 →

{

𝜙 = −

𝜋

4

𝜙 = −3𝜋

4

𝑉𝑜𝑠𝑐(0; 0) =2𝜋

𝑇cos𝜙 < 0 → cos𝜙 < 0 → 𝜙 = −

3𝜋

4 𝑟𝑎𝑑

𝑞𝑑 𝑡 =3

8𝑠 𝑦 (0;

3

8) = −0.6√2 = 0.6√2 sin (2𝜋

3

8𝑇− 0 −

3𝜋

4)

sin (2𝜋3

8𝑇− 0 −

3𝜋

4) = −1 → 2𝜋

3

8𝑇− 0 −

3𝜋

4= −

𝜋

2


𝑇 = 3 𝑠

𝜆 = 𝑉𝑝𝑟𝑜𝑝 ∗ 𝑇 = 3 𝑚 Para os problemas IV, V e VI ver “AC2 09/10”


IV Duas ondas de igual amplitude são emitidas em oposição de fase a partir de duas fontes pontuais sonoras, F1 e F2, separadas de 2 km e posicionadas simetricamente relativamente à origem, como se indica na figura. As ondas propagam-se com uma velocidade de 400m/s, e têm associado um c.d.o de λ=1km:

a) Determine a diferença de fase entre as ondas no eixo das ordenadas. Explique claramente o seu raciocínio.

b) Determine a diferença de fase entre as ondas para qualquer ponto do eixo das abcissas exterior à linha que une as fontes. Explique claramente o seu raciocínio.

c) Escreva uma expressão em função do ângulo θ (ver figura) que permita determinar o ponto de coordenadas (1km, ymin), para o qual se dá interferência construtiva das duas ondas. Onde ymin, representa o valor mínimo de ordenada nessas condições.

V Fotões de 60keV de energia, emitidos por uma fonte radioactiva de 241Am, incidem no alvo de berílio (WBe=4,98 eV), tal como se mostra na figura ao lado. (h.c=1240 eV.nm; c=h/mec =2,43x10-3 nm)

a) Qual o comprimento de onda mínimo dos fotões que poderá ser observado no lado esquerdo após a interacção da radiação incidente com o alvo de berílio.


lâmpada com emissão no ultravioleta, de comprimento de onda de 200nm. Estabeleça uma expressão analítica, a mais simplificada possível, que a partir das grandezas conhecidas, lhe permita determinar o comprimento de onda mínimo que poderá ser atribuído aos electrões produzidos no Be,.

VI Uma amostra de material radioactivo contém 1018 átomos. A meia vida do material é de 2x103 dias.

a) Mostre que o nº de átomos por decair num dado instante t é dado por N(t)=No/2n, quando t=nT1/2 ( sendo n=0,1,2…).

b) Determine a fracção de átomos do material inicial que ainda existe após 6x103dias. c) Determine a actividade inicial da amostra. d) Este material pode ser utilizado para datação de achados arqueológicos? Justifique.

x

y

F1 F2 θ

P



I A- Um tanque cheio de água (na=4/3) tem uma profundidade real de d=1m. Qual é a

profundidade aparente do tanque quando observado por um observador que recebe raios centrais.

B- Determine o raio de um espelho convexo, para que se obtenha uma imagem direita cujo

tamanho é 1/5 do tamanho do objecto colocado a 15 cm do espelho.

Solução:

A) Profundidade

𝑛1

𝑝+

𝑛2

𝑞=

𝑛2 − 𝑛1

𝑅= 0 → 𝑞 = −

𝑝

𝑛= −

3

4 𝑚

A profundidade aparente é 0.75 m.

B) Raio do espelho Imagem direita implica que a ampliação lateral seja positiva.

𝑚 = +1

5= −

𝑞

𝑝 → 𝑞 = −

𝑝

5

1

𝑝+

1

𝑞=

1

𝑓=

2

𝑅 → 𝑓 =

𝑅

2=

𝑝𝑞

𝑝 + 𝑞= −

𝑝

4= −

15

4 → 𝑅 = −7.5 𝑐𝑚

II A equação do movimento de um sistema Massa/mola é dada pela seguinte expressão (com o tempo dado em segundos)

cm4t5sen10tx .

a) Determine a amplitude, o período e a fase inicial da oscilação da mola. b) Determine a constante da mola, Kmola, sabendo que a massa é de 10kg. c) Qual é a posição e a velocidade do corpo no instante inicial? d) Após o instante inicial, quanto tempo demora o corpo a passar na posição de

equilíbrio?

Cotação

I- 4 valores II-4 valores III-4 valores IV-4 valores V- 4 valores VI-4 valores

Exame Recurso Ano lectivo 2009/10 1º Semestre Data: 22 de Janeiro 2010 Hora: 10:00 horas Duração:1h:30min (AC1/AC2); 2h:30min (Ex.Completo)



e) Suponha que se aplica uma força periódica ao sistema com uma frequência angular de 4 rad/s. Diga, justificando, se o sistema entra em ressonância?

Solução:

Sistema massa-mola:

𝑥(𝑡) = 𝐴 sin (2𝜋𝑡

𝑇+ 𝜙)

a)

𝐴 = 10 𝑐𝑚 ; 𝑇 =2𝜋

5 𝑠 ; 𝜙 = −

𝜋

4 𝑟𝑎𝑑

b) Constante da mola

𝑇 = 2𝜋√𝑚

𝑘 → 𝑘 = 4𝜋2 ∗

𝑚

𝑇= 100𝜋 𝑁. 𝑚−1

c) Instante inicial

𝑥(0) = 10 sin −𝜋

4= −5√2 𝑐𝑚 ; 𝑉𝑜𝑠𝑐(0) = 10 ∗ 5 ∗ cos −

𝜋

4= 25√2 𝑚. 𝑠−1

d) Tempo

𝑥(𝑡) = 0 = 10 sin (5𝑡 −𝜋

4)

Posição inicial negativa e velocidade de oscilação inicial positiva, logo a primeira fase que satisfaz à equação será 0.

5𝑡 −𝜋

4= 0 → 𝑡 =

5𝜋

4 𝑠

e) Ressonância Para entrar em ressonância a frequência angular da força tem de ser igual à frequência angular própria do oscilador

𝜔 = √𝑘

𝑚=

2𝜋

𝑇= 5 𝑟𝑎𝑑. 𝑠−1

Não há ressonância.

III Uma onda transversal harmónica de f = 400 Hz propaga-se numa corda com uma amplitude de 2

cm. Dois pontos separados de 2 cm estão num dado instante desfasados de 6

rad.

a) Determine o comprimento de onda. b) Determine o valor da velocidade de propagação. c) Determine o valor máximo da velocidade transversal.

Solução:

𝑦(𝑥; 𝑡) = 𝐴 sin [2𝜋 (𝑡

𝑇−

𝑥

𝜆)]

a) C.D.O usando a diferença de fase

Δ𝜙 =𝜋

6= [2𝜋 (

𝑡

𝑇−

𝑥1

𝜆)] − [2𝜋 (

𝑡

𝑇−

𝑥2

𝜆)] = 2𝜋

|𝑥1 − 𝑥2|

𝜆


λ = 12(x1 − x2) = 24 cm

b) Velocidade de propagação

𝑉𝑝𝑟𝑜𝑝 = 𝜆 ∗ 𝑓 = 96 𝑚. 𝑠−1

c) Velocidade de oscilação máxima

𝑉𝑜𝑠𝑐 =2𝜋

𝑇𝐴 cos [2𝜋 (

𝑡

𝑇−

𝑥

𝜆)] → 𝑉𝑜𝑠𝑐 𝑚á𝑥 =

2𝜋

𝑇𝐴 = 16𝜋 𝑚. 𝑠−1

IV Considere uma corda de um de comprimento L e densidade linear 0,1kg/m fixa apenas numa extremidade que foi colocada a vibrar.

a) Sabendo que a distância entre nós sucessivos no 3º harmónico é de 20 cm, determine o comprimento da corda L.

b) Determine a frequência fundamental de vibração da corda, quando esta está sujeita a uma força de 160N.

c) Escreva a equação Y(x,t) que descreve a onda estacionária quando a corda vibra no seu modo fundamental e tem um deslocamento máximo transversal de 2 cm.

Solução:

a) Ondas estacionárias

𝑓𝑛 = 𝑛𝑓1 𝑒 𝜆𝑛 = 𝜆1/𝑛

Primeiro harmónico

𝐿 =𝜆1

4 → 𝜆1 = 4𝐿 → 𝜆3 =

4𝐿

3

Terceiro harmónico

𝜆3

2=

4𝐿

6= 0.2 𝑚 𝐿 = 0.3 𝑚

b) Frequência fundamental (ou1ºharmónico)

𝑉𝑝𝑟𝑜𝑝 = √𝐹

𝜌= 40 𝑚. 𝑠−1 → 𝑓1 =

𝑉𝑝𝑟𝑜𝑝

𝜆1

=40

1.2= 33.3 𝐻𝑧

c) Equação de onda

𝑦(𝑥, 𝑡) = 0.02 cos (𝜋

0.06𝑥) sin (

2𝜋

0.03𝑡)


IV Seleccione, para cada uma das situações abaixo indicadas, as afirmações que completam correctamente cada uma das frases indicadas e justifique analiticamente a sua resposta (use as relações matemáticas que descrevem o fenómeno em causa). I- Sobre uma placa metálica incide radiação de uma dada frequência f verificando-se a libertação de electrões. a) No caso de apenas duplicar a frequência da fonte de radiação que incide sobre a mesma placa metálica, verifica-se que….

A …o nº de electrões libertados duplica. B …a energia cinética dos electrões duplica. C ….o nº de electrões libertados mantém-se constante. D …a energia cinética dos electrões libertados mantém-se constante.

b) Quando a potência da fonte de radiação que incide sobre a mesma placa metálica é reduzida a ½ do seu valor inicial, verifica-se que….

A …o nº de electrões libertados se reduz a metade. B …a energia cinética dos electrões se reduz a metade. C ….o nº de electrões libertados mantém-se constante. D …a energia cinética dos electrões libertados aumenta.

II- Considere uma partícula de massa m e que se move a uma velocidade v (v << c). Se o comprimento de onda de Broglie associado à partícula, aumentar para o dobro, a energia cinética da partícula …..

A … aumenta para o dobro. B ….reduz-se a metade. C ….reduz-se de ¼. D … aumenta 4 vezes.

Solução:

I a) Efeito fotoeléctrico : a multiplicação da frequência unicamente aumenta a energia dos fotões que vai se traduzir num aumento da energia cinética dos electrões. Resposta C

𝐸𝑐 = ℎ𝑓 − 𝑊 Ib) A redução da potência faz diminuir o número de fotões. Como cada fotão produz um electrão, uma diminuição de metade da potência divida o número de fotões por 2 e portanto de electrões por 2. Resposta A II Broglie. A energia cinética e função do inverso ao quadrado do comprimento de onda de Broglie. Resposta C

𝐸𝑐 =1

2𝑚𝑉2 =

1

2𝑚𝑝2 𝑒 𝑝 =

ℎ

𝜆𝑏𝑟𝑜𝑔𝑙𝑖𝑒

→ 𝐸𝑐 =ℎ2

2𝑚 ∗ 𝜆𝑏𝑟𝑜𝑔𝑙𝑖𝑒2

VI Uma amostra de um dado isótopo radioactivo, com um tempo de meia vida de 8 dias, apresenta uma actividade de 5.4 mCi, quando sai do laboratório imediatamente após a sua preparação. Quando é recebida num outro laboratório, a sua actividade era já 2,7 mCi. (Nota: ln2=0.69).

a) Qual o valor da actividade inicial em Bq.


b) Qual o intervalo de tempo decorrido até a amostra chegar ao laboratório médico? c) Determine o nº de núcleos radioactivos presentes na amostra no momento da sua

preparação, sabendo que após 32 dias estavam presentes na amostra apenas 1012 núcleos.

Solução:

a) 1Ci=3.7x1010 Bq. a0=19.98x107 Bq b) Tempo

𝑎(𝑡) = 2.7 =5.4

2 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑡 = 𝑇1/2 = 8 𝑑𝑖𝑎𝑠

c) Numero de átomos 32 dias são 4 tempos de meia vida. Portanto o número de átomos ao fim de 32 dias foi dividido por 16. Ou seja havia 16x1012 átomos inicialmente.



I Considere um peixe num lago a uma dada profundidade que quando observado parece

distar 30cm da superfície. O índice de refracção da água é nágua=4/3.

a) A que distância da superfície está o peixe na realidade?

b) Com o intuito de o observar melhor coloca-se uma lente biconvexa, com uma

distância focal de 120 cm, a 30cm da superfície. Determine a que distância da

superfície se forma a imagem do peixe e caracterize-a.

Solução

a) Parece distar: imagem virtual q1=-30.

𝑛1𝑝1+𝑛2𝑞1=𝑛2 − 𝑛1𝑅1

= 0 (𝑅1 = ∞)

𝑝1 = −𝑛1𝑛2𝑞1 = −

431(−30) = 40 𝑐𝑚

b) Lente biconvexa f2=+120 d=30 cm

𝑑 = 𝑞1 + 𝑝2 𝑝2 = 𝑑 − 𝑞1 = 60 𝑐𝑚

1

𝑝2+1

𝑞2=1

𝑓2 𝑞2 =

𝑝2 ∗ 𝑓2𝑝2 − 𝑓2

=60 ∗ 120

60 − 120= − 60 𝑐𝑚 < 0 𝐼𝑚𝑔 𝑉𝑖𝑟𝑡𝑢𝑎𝑙

𝑚2 = −𝑞2𝑝2 > 0 𝐼𝑚𝑔 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎

AC1 Ano lectivo 2010/11 1º Semestre Data: 24 de Novembro 2010 Hora: 15:30 horas Duração:2 horas


Cotação: I – 5,0 valores II - 5,0 valores III - 5,0 valores IV - 5,0 valores


II Um corpo de massa m=1kg, preso a uma mola, executa um movimento harmónico

simples. O período de oscilação é de 0,6 s. A velocidade de oscilação máxima é 22

m/s . No instante t=0 s o deslocamento é x=0,6 m e o corpo afasta-se da posição de

equilíbrio.

a) Qual é a amplitude do movimento?

b) Determine a fase inicial do movimento.

c) Suponha que a partir de um dado instante o sistema fica sujeito a uma força de

atrito.

i) Se a amplitude do movimento se reduzir a metade ao fim de 1 s,

qual o valor da constante de amortecimento?

ii) Qual a fracção de energia que é dissipada ao fim de 1 s.

Solução

a)

𝑉𝑚𝑎𝑥 =2𝜋

𝑇∗ 𝐴 = 2𝜋√2 𝐴 = 𝑇√2 = 0.6√2 𝑚

b)

i)

𝑦(0) = 0.6 𝑒 𝑉𝑜𝑠𝑐(0) > 0

𝑦(0) = 𝐴 ∗ sin(0 + 𝜙) = 0.6 sin𝜙 =1

√2

{

𝜙 =

𝜋

4 𝑟𝑎𝑑

𝑜𝑢

𝜙 =3𝜋

4 𝑟𝑎𝑑


𝑇𝐴 cos(0 + 𝜙) > 0 𝑙𝑜𝑔𝑜 cos 𝜙 > 0 𝜙 =

𝜋

4 𝑟𝑎𝑑

ii)

𝑦(0) = 𝐴 cos(0 + 𝜙) = 0.6 cos 𝜙 =1

√2

{

𝜙 =𝜋

4 𝑟𝑎𝑑

𝑜𝑢

𝜙 = −𝜋

4 𝑟𝑎𝑑

𝑉𝑜𝑠𝑐(0) = −2𝜋

𝑇𝐴 sin(0 + 𝜙) > 0 sin𝜙 < 0 𝜙 = −

𝜋

4 𝑟𝑎𝑑

c) Sdfgsfd


𝐴(1) =𝐴02= 𝐴0𝑒

−𝑏2𝑚

𝑡 → ln1

2= −

𝑏

2𝑚 → 𝑏 = 2𝑚 ln 2 ≅ 1.4 𝑘𝑔. 𝑠−1

𝐸(1) =1

2𝐾𝐴2 =

1

2𝐾𝐴02

4=1

4𝐸0 → 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑠𝑝𝑎𝑑𝑎 =

3

4 𝐸0 =

3

8𝐴02

III Um movimento ondulatório transversal propaga-se ao longo de uma corda de

comprimento 2 m e massa 400 g. Um ponto P da corda, situado a 50 cm da extremidade

livre, começa a vibrar no sentido positivo 5,0 s depois de esta ter entrado em vibração

(instante inicial), atingindo a elongação máxima, igual a 10 cm, 2,0 s mais tarde.

a) Determine a velocidade de propagação da onda e a tensão a que a corda se

encontra sujeita.

b) Calcule a frequência e o comprimento de onda.

c) Indique um ponto da corda que esteja a vibrar em fase e outro que esteja a

vibrar em oposição de fase relativamente ao ponto P.

d) Determine a fase inicial e a função de onda.

Solução

𝑉𝑝𝑟𝑜𝑝 =𝑑

𝑡=0.5

5= 0.1 𝑚. 𝑠−1 𝑚𝑎𝑠 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑒𝑚 𝑉𝑝𝑟𝑜𝑝 = √

𝐹

𝜌= √

𝐹𝑚𝑙

𝐹 = 𝑉𝑝𝑟𝑜𝑝 ∗𝑚

𝑙= 0.02 𝑁

O ponto P demora 2 segundos para passar da posição de equilíbrio até a posição extrema

𝑇

4= 2 𝑇 = 8 𝑠 𝑓 =

1

8= 0.125 𝐻𝑧


𝑇 → 𝜆 = 𝑉𝑝𝑟𝑜𝑝 ∗ 𝑇 = 0.8 𝑚

Em fase: distância entre os pontos P (xP = 0.5) e Q em fase tem de ser igual a um número inteiro de comprimento de onda:

𝑥𝑄 = 𝑛 ∗ 𝜆 + 𝑥𝑃 (𝑛 = 0,1,2,3, …… ) Em oposição de Fase: distância entre os pontos P (xP = 0.5) e S em oposição de fase tem de ser igual a um número impar de meio comprimento de onda:

𝑥𝑆 = (2𝑛 + 1)𝜆

2 (𝑛 = 0,1,2,3, …… )


IV Uma fonte emitindo ondas sonoras com uma frequência de 1000 Hz afasta-se com uma

velocidade de 1/2 Vsom de um observador que está em repouso. Essa fonte aproxima-se

de um objecto que se desloca no sentido do observador com uma de 1/4 Vsom.

Determine a frequência das ondas recebidas pelo observador quando:

a) são provenientes directamente da fonte;

b) são provenientes da reflexão no objecto.

Solução

a) directamente: Há afastamente logo f2 detectada é inferior f emitida.

𝑓2 = 𝑓 ∗ {1

1 +𝑉𝑓𝑉𝑠

} = 𝑓 ∗2

3

b) após reflexão: 2 caminhos: fonte-objecto e objecto-observador Fonte-objecto: a fonte aproxima-se do objecto e o objecto aproxima-se da fonte:

𝑓3 = 𝑓 {1 +

𝑉𝑜𝑏𝑗𝑉𝑆

1}{

1

1 −𝑉𝑓𝑉𝑠

} = 𝑓 {1 +



}

Objecto-observador: O objecto aproxima-se e é agora a fonte:

𝑓4 = 𝑓3 {1

1 −𝑉𝑜𝑏𝑗𝑉𝑠

}

No compute dos dois:

𝑓4 = 𝑓 {1 +



}{1

1 −𝑉𝑜𝑏𝑗𝑉𝑠

} = 𝑓(

5412

)(1

34

) =10

3𝑓




I A figura representa uma onda harmónica transversal estacionária no instante t=2s. Um ponto da corda com elongação máxima atinge a posição de equilíbrio ao fim de 2s.

a) Determine o comprimento de onda.

b) Determine o período de vibração da corda. c) Escreva a equação de onda harmónica transversal estacionária na corda. d) Determine a frequência que teria de aplicar para que a corda vibre no primeiro

harmónico.

Solução:

Distância entre os dois pontos em oposição de fase é 5m:

λ

2= 5 → λ = 10 m

O tempo para passar da posição extreme até a posição de equilíbrio é um quarto de período.

T

4= 2 → T = 8 s

Onda estacionaria

y(x ; t) = 2A = 2A sin [2πx

λ] cos [2π

t

T] = 4 sin [

π

5x] cos [

π

4t]

AC2

Ano lectivo 2010/11 1º Semestre Data: 21 de Janeiro 2011 Hora: 10:00 horas Duração:1.5 horas

Cotação: I – 7.0 valores II - 4,0 valores III - 4,0 valores IV - 5,0 valores

y (cm)

X(m) (m)

5 m

2


O comprimento da corda é L=20 m é uma corda presa nas duas extremidades (as duas extremidades são nós no gráfico). No fundamental ou 1º harmónico, tem o mínimo de nós possível, ou seja 2. A distância entre 2 nós consecutivos é /2.

L =λ

2 → λ = 40 m

Das alíneas anteriores:

Vprop =λ

T=

10

8 → ffundamental =

Vprop

λ=

1

32 Hz

Outra maneira é ver que a corda no instante t=2s está a ressoar no 4 harmónico, logo a frequência do fundamental é um quarto.

II 1. No modelo atómico de Bohr para o átomo de hidrogénio, o electrão move-se em torno do protão em órbitas circulares.

a) Diga qual a transição a que corresponderá o comprimento de onda mais curto da radiação absorvida ou emitida por um átomo de hidrogénio. Justifique.

b) Das seguintes transições possíveis para o átomo de hidrogénio indique, justificando, aquela que corresponde à:

i) emissão de um fotão com maior comprimento de onda. ii) absorção da menor energia.

ni= 2 → nf= 3 ni= 2 → nf= 5 ni= 4 → nf= 3 ni= 4 → nf= 2

2. Sobre a superfície do sódio metálico fez-se incidir energia proveniente de duas fontes de radiação F1 e F2, com energias de 2 eV e 6 eV, respectivamente. Sabendo que a função trabalho do sódio metálico é 2,3 eV, quantos electrões são efectivamente extraídos quando se faz incidir, de cada vez, dois fotões provenientes de cada uma das fontes. Justifique.

iii) Fonte F1 – 2 foto-electrões Fonte F2 – 2 foto-electrões

iv) Fonte F1 – 2 foto-electrões Fonte F2 – 6 foto-electrões

v) Fonte F1 – 0 foto-electrões Fonte F2 – 2 foto-electrões

vi) Fonte F1 – 1 foto-electrões Fonte F2 – 3 foto-electrões

Solução: 1)


a) menor comprimento de onda maior energia, portanto transição entre os níveis n=1 e n=∞.

b) i) Emissão: n_final inferior é a n_inicial, duas possibilidades 4-3 e 4-2,

maior comprimento de onda (menor energia) portanto é a transição 4-3 ii) Absorção: n_final é superior a n_inicial, 2-5 ou 2-3, menor energia 2-3

2) Para cada fotão um foto-electrão. A energia do fotão tem de ser superior ao

trabalho de extracção, portanto a fonte F1 não produz foto-electrão. A única possibilidade é F1 0 foto-electrão e F2 2 foto-electrões, reposta V)

III 1. Numa experiência de efeito de Compton, qual o ângulo para o qual os fotões desviados têm a menor energia. Justifique devidamente a sua resposta.

i) = 0 ii) = 45 iii) = 90 iv) = 180

2. Considere uma partícula de massa m que se move a uma velocidade v (v<<c). Se a energia cinética da partícula aumentar para o quádruplo, o comprimento de onda de Broglie associado à partícula vai:

a) Aumentar para o quádruplo b) Reduzir para metade c) Aumentar para o dobro d) Reduzir para um quarto

Justifique devidamente a sua resposta.

Solução:

1) Menor energia implica maior variação de comprimento de onda:

Δ𝜆 = 2.43(1 − cos 𝜃) → Δ𝑚𝑎𝑥 é 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝜃 = 180°

2) O comprimento de onda de Broglie e a energia cinética da partícula são:

𝜆 =ℎ

𝑝 𝑒 𝐸𝑐 =

1

2𝑚𝑉2 =

1

2𝑚∗ 𝑝2

𝜆 =ℎ

√2𝑚 ∗ 𝐸𝑐


Portanto se a energia aumentar o comprimento de onda vai diminuir (o habitual) em proporção à raiz quadrado da energia cinética. Raiz(4)=2 logo a comprimento de onda vai reduzir de metade.

IV A actividade de uma amostra de Bismuto-210 foi medida em laboratório e obteve-se

BqA 51 1014 . Passados 5 dias voltou-se a medir a actividade do Bismuto-210 e

obteve-se 𝐴1 = 7,0 × 105 𝐵𝑞. (Obs: use ln 2 = 0,7 nos cálculos que efectuar).

a) Determine o tempo, T1, de meia-vida do Bismuto-210 (em dias). b) Qual a probabilidade de desintegração de um núcleo de Bismuto-210? c) Quantos núcleos de Bismuto-210 restam na amostra ao fim dos 5 dias?

O Bismuto-210 decai para formar Polónio-210 que tem um tempo de meia-vida de aproximadamente T2 = 150 dias, dando posteriormente origem a Chumbo-206, que é um elemento estável, de acordo com o seguinte esquema:

𝐵𝑖83

210 → 𝑃𝑜84210 → 𝑃𝑏82

206

d) Calcule a actividade do Polónio-210 ao fim dos 150 dias, sabendo que o número de núcleos de Polónio-210 varia com o tempo de acordo com a seguinte

expressão

N2(t) 1

2 1N1(0) e

1t e2t , onde 1 e 2 são as constantes de

decaimento do Bismuto-210 e do Polónio-210, respectivamente. O que conclui?

Solução:

a) Actividade:

𝑎(5 𝑑𝑖𝑎𝑠) = 𝑎0 𝑒− ln 2∗

5𝑇1

ln (𝑎

𝑎0) = − ln 2 ∗

5

𝑇1 → 𝑇1 =

5 ln 2

ln 2= 5 𝑑𝑖𝑎𝑠

b) Probabilidade é a constante de decaimento:

𝜆1 =ln 2

𝑇12

=ln 2

5 ∗ 24 ∗ 3600 =

7

4.3210−6 𝑠−1

c) Número de átomos:


𝑁(5) =𝑎(5)

𝜆=

7 × 105 ∗ 𝑇12

ln 2= 𝑇1

2∗ 104 = 4.32 × 109 ∗ á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠

d) Actividade do Po:

𝑎2(𝑡) = 𝜆2 ∗ 𝑁2(𝑡) =𝜆2𝜆1

𝜆2 − 𝜆1𝑁1(0)(𝑒𝜆1𝑡 − 𝑒𝜆2𝑡)

𝑎2(150 𝑑𝑖𝑎𝑠) =𝜆1𝑁1(0)

1 −𝜆1

𝜆2

(0 −1

2) =

15

29𝑎1(0) =

210

29105 𝐵𝑞 ≅ 𝑎1(5 𝑑𝑖𝑎𝑠)



I 1- Quando colocamos um objecto pontual real diante de um espelho plano, a distância

entre ele e a sua imagem é 320cm. Se esse objecto for deslocado de 40cm na direcção do

espelho, qual será a nova distância em relação à respectiva imagem?

2 - Um raio de luz passa de uma placa de vidro de índice de refracção n=1,5 para o ar. O

comprimento de onda da radiação no vidro é de 333nm.

a) Qual o comprimento de onda da luz no ar?

b) A frequência de radiação é igual ou diferente nos dois meios? Justifique.

c) Qual o ângulo crítico a partir do qual se dá a reflexão interna total?

Solução:

1) Para um espelho a distância objecto-imagen é (para uma lente é d = p + q):

𝑑 = 𝑝 − 𝑞 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑙ℎ𝑜 é 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑝 = −𝑞

𝑝 =𝑑

2= 160 𝑐𝑚

Agora p = 160-40 = 120 cm portanto d = 2 p = 240 cm

2) Vidro – Ar.

𝑛𝑖 =𝐶

𝑉𝑖=

𝐶

𝜆𝑖𝑓 → 𝐶 = 𝑛1𝜆1𝑓 = 𝑛2𝜆2𝑓 → 𝜆2 =

𝑛1

𝑛2𝜆1 =

321

∗ 333

= 499.5 𝑛𝑚 A frequência da radiação não muda de um meio para outro, só mudam as velocidades de propagação e os comprimentos de onda. A reflexão interna total acontece quando o ângulo refractado é igual a π/2.

Cotação

I-3,0 valores II-3,5 valores III-3,5 valores IV-3,5 valores V-3,5 valores VI-3,0 valores

Exame Final Ano lectivo 2010/11 1º Semestre Data: 21 de Janeiro 2011 Hora: 10:00 horas Duração: 3 horas



𝑛1 sin 𝜃𝐶 = 𝑛2 sin 𝜃𝑟 = 𝑛2 → sin 𝜃𝐶 =𝑛2

𝑛1=

2

3

II Numa mola de comprimento L=5 cm e de constante elástica, Kmola=20 N/m foi suspenso

um corpo de massa M=0,2 kg. O sistema encontra-se na vertical sobre a acção do campo

gravítico terrestre (g=9,8 m/s2).

a) Qual o comprimento da mola na situação de equilíbrio?

b) Determine o período de oscilação quando o sistema é colocado a oscilar.

c) Qual a amplitude do movimento quando o corpo parte da posição de equilíbrio

com uma velocidade inicial de 1 m/s?

d) Nas condições da alínea anterior escreva a altura do corpo em função do tempo,

considerando que o vector velocidade inicial é dirigido para cima.

e) Considere o mesmo sistema, nas condições iniciais da alínea c), agora sujeito a

amortecimento com b=2 kg/s. Qual o valor de afastamento máximo em relação à

posição de equilíbrio que é possível ser medido na situação de amortecimento?

Solução:

a) Mola em equilíbrio:

𝐾𝑥 = 𝑚𝑔 → 𝑥 =

𝑚𝑔

𝑘= 0.098 𝑚

O comprimento é L=0.05+0.098=0.148 m

b) Período

𝑇 = 2𝜋√𝑚

𝑘=

𝜋

5 𝑠

c) Na posição de equilíbrio a velocidade de oscilação é máxima.

𝑉𝑜𝑠𝑐−𝑚á𝑥 =2𝜋

𝑇𝐴 → 𝐴 =

𝑉𝑜𝑠𝑐𝑇

2𝜋= 0.1 𝑚

d) Quando t=0 temos y(0)=0 (posição de equilíbrio) e Vosc (0) > 0. Quando t=T/4

teremos y(T/4)=A.

𝑦 (𝑇

4) = 𝐴 = 𝐴 sin (2𝜋

𝑇4𝑇

+ 𝜙) → sin (𝜋

2+ 𝜙) = 1


𝜋

2+ 𝜙 =

𝜋

2 → 𝜙 = 0 𝑟𝑎𝑑

Note: se uso o cos em vez de sin, ϕ=-π/2.

e) Em primeira aproximação vamos considerar o período do movimento amortecido igual ao do movimento harmónico simples. O afastamento máximo será observado quando t=T/4.

𝐴 = 𝐴0𝑒−𝑏

2𝑚𝑡 → 𝐴𝑚á𝑥 = 𝐴0𝑒−

𝑏2𝑚

𝑇4 = 0.1 𝑒

𝜋4

III Um pescador colocado num barco parado ao largo da costa, observa a chegada de

ondas que se propagam em direcção à praia (perpendicularmente à linha de costa) com

um movimento ondulatório de acordo com a equação,

3

240 cos51 tx,)t,x(h ,

onde ),( txh é a altura (em metros) da água num ponto a uma distância x (em metros) do

barco no instante t (em segundos).

a) Qual a velocidade de propagação da onda?

b) Determine o valor da velocidade de oscilação do barco decorrido ¾ do período de

oscilação. Considere que o barco está em x=0.

c) Suponha que o pescador afasta da posição de equilíbrio um corpo (1kg) colocado

na extremidade de uma mola (Kmola=/2 Nm-1) que se encontra suspensa no tecto

da cabine. Diga, justificando, se o sistema Mola/Corpo entra em ressonância

(despreze o atrito do ar).

d) Suponha agora que o barco se aproxima perpendicularmente da linha de costa, a

uma velocidade de 36 km/h. Qual a frequência das ondas medida pelo pescador

após o barco entrar em movimento?

Solução:

A equação de onda tem a forma geral:

ℎ(𝑥; 𝑡) = 𝐴 cos [2𝜋 (𝑥

𝜆−

𝑡

𝑇) + 𝜙]


𝐴 = 1.5 𝑚 ; 𝜆 = 80 𝑚 ; 𝑇 = 4 𝑠 ; 𝜙 =𝜋

3 𝑟𝑎𝑑

a) Velocidade de propagação:


𝑇= 40 𝑚. 𝑠−1

b) Velocidade de oscilação:

𝑉𝑜𝑠𝑐(𝑥; 𝑡) =𝑑ℎ(𝑥; 𝑡)

𝑑𝑡=

3𝜋

4sin [

𝜋

40𝑥 −

𝜋

2𝑡 +

𝜋

3]

Quando t=3/4 T:

𝑉𝑜𝑠𝑐 (0;3

4𝑇) =

3𝜋

4sin [−

3𝜋

2+

𝜋

3] =

3𝜋

4sin [−

7𝜋

6] =

3𝜋

8 𝑚. 𝑠−1

c) Para entra em ressonância a frequência angular própria do sistema massa-mola

tem de ser igual à frequência angular da onda: ω onda = π/2 rad.s-1. Não entre porque:

𝜔𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎−𝑚𝑜𝑙𝑎 = √𝑘

𝑚= √

𝜋

2

d) Observador em movimento (Efeito Doppler) e a afastar da fonte, f2 medida é inferior a f1 emitida:

𝑓2 = 𝑓1 {

1 −𝑉𝑏𝑎𝑟𝑐𝑜

𝑉𝑝𝑟𝑜𝑝

1} =

1

4(1 −

36 ×103

360040

) =3

8𝐻𝑧

IV A figura representa uma

onda harmónica transversal

estacionária no instante t

= 2s. Um ponto da corda

com elongação máxima

atinge a posição de

equilíbrio ao fim de 2s.

a) Determine o comprimento de onda.

b) Determine o período de vibração da corda.

y (cm)

X(m) (m)

5 m

2


c) Escreva a equação de onda harmónica transversal estacionária na corda.

Solução: ver AC2 10/11

V 1. No modelo atómico de Bohr para o átomo de hidrogénio, o electrão move-se em torno

do protão em órbitas circulares.

a) Das seguintes transições possíveis para o átomo de hidrogénio indique,

justificando devidamente, aquela que corresponde à:

i) absorção da menor energia

ni= 2 → nf= 3

ni= 2 → nf= 5

ni= 4 → nf= 3

ni= 4 → nf= 2

2. Sobre a superfície do sódio metálico fez-se incidir energia proveniente de duas fontes

de radiação F1 e F2, com energias de 2 eV e 6 eV, respectivamente. Sabendo que a função

trabalho do sódio metálico é 2,3 eV, quantos electrões são efectivamente extraídos

quando se faz incidir, de cada vez, dois fotões provenientes de cada uma das fontes.

Justifique.

ii) Fonte F1 – 2 foto-electrões

Fonte F2 – 2 foto-electrões

iii) Fonte F1 – 2 foto-electrões


iv) Fonte F1 – 0 foto-electrões


v) Fonte F1 – 1 foto-electrões


3. Numa experiência de efeito de Compton, qual o ângulo para o qual os fotões

desviados têm a menor energia. Justifique devidamente a sua resposta.

i) = 0


ii) = 45

iii) = 90

iv) = 180


VI A actividade de uma amostra de Bismuto-210 foi medida em laboratório e obteve-se

BqA 51 1014 . Passados 5 dias voltou-se a medir a actividade do Bismuto-210 e

obteve-se Bq,A 51 1007 . (Obs: use ln 2 = 0,7 nos cálculos que efectuar).

a) Determine o tempo de meia-vida do Bismuto-210 (em dias).

b) Qual a probabilidade de desintegração de um núcleo de Bismuto-210?

c) Quantos núcleos de Bismuto-210 restam na amostra ao fim dos 5 dias?

O Bismuto-210 decai para formar Polónio-210 que tem um tempo de meia-vida de

aproximadamente 150 dias, dando posteriormente origem a Chumbo-206, que é um

elemento estável, de acordo com o seguinte esquema:

(1)83

210Bi T1/ 2?

(2)84

210Po T1/ 2150 d

(3)82

206Pb

d) Calcule a actividade do Polónio-210 ao fim dos 150 dias, sabendo que o número

de núcleos de Polónio-210 varia com o tempo de acordo com a seguinte expressão

N2(t) 1

2 1

N1(0) e1t e2t , onde 1 e 2 são as constantes de decaimento

do Bismuto-210 e do Polónio-210, respectivamente. O que conclui?




I

Um naturalista quer fotografar um rinoceronte a 75m de distância. O animal tem 4.0m de largura,

e a sua imagem no filme deve ser de 1.2cm de largura.

a) Que distância focal deve ter a lente?

b) Qual seria o tamanho da imagem utilizando-se uma lente normal de 50mm de distância

focal?

c) Que tipo de espelho esférico deve ser usado, e qual o seu raio, para fornecer uma imagem

direita de 1/5 do tamanho de um objecto colocado a 15cm do espelho?

Solução:

a) Ampliação lateral (a imagem forma-se no filme, portanto é real, m negativo):

𝑚 =ℎ′

ℎ= −

𝑞

𝑝 → 𝑚 = −

0.012

4 → 𝑞 = 0.003 𝑝

1

𝑝+1

𝑞=1

𝑓 → 𝑓 =

𝑝𝑞

𝑝 + 𝑞=

0.003𝑝2

𝑝 + 0.003𝑝=0.003

1.00375 ≅ 0.23 𝑚

b) f=0.5m

𝑞 =𝑝𝑓

𝑝 − 𝑓=75 ∗ 0.5

75 − 0.5= 0.5034 𝑚

ℎ′ = ℎ ∗ (−𝑞

𝑝) =

ℎ𝑓

𝑝 − 𝑓= 4 ∗

0.5

74.5≅ 0.27 𝑚

c) Imagem direita : m positivo

𝑚 =1

5= −

𝑞

𝑝 → 𝑞 = −

𝑝

5

𝑓 =𝑅

2=

𝑝𝑞

𝑝 + 𝑞= −

𝑝

4= −3.75 𝑐𝑚 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑙ℎ𝑜 𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑥𝑒 𝑒 𝑅 = −7.5 𝑐𝑚

Cotação

I- 4 valores II-4 valores III-4 valores IV-4 valores V- 4 valores VI-4 valores

Exame Recurso Ano lectivo 2010/11 1º Semestre Data: 8de Fevereiro 2011 Hora: 10h:00min Duração:1h:30min (AC1/AC2); 2h:30min (Ex.Completo)



II Tiraram-se duas fotografias a um pêndulo, nos

instantes t=0s e t=2s, tendo-se obtido figuras

semelhantes às ilustradas em baixo. Partindo da

configuração em t=0s, o pêndulo atingiu pela

primeira vez o deslocamento angular máximo em

t=2s. Determine:

a) O período do pêndulo.

b) A fase inicial.

c) O comprimento do pêndulo.

d) A velocidade da massa no instante inicial.

Solução:

Quando t=0 s

𝜃(0) =𝜃𝑚á𝑥2

𝑉𝑜𝑠𝑐(0) < 0

𝜃𝑚á𝑥2

= 𝜃𝑚á𝑥 sin(0 + 𝜙) → sin𝜙 =1

2 → {

𝜙 =𝜋

6𝑜𝑢

𝜙 = 5𝜋/6


𝑇𝜃𝑚á𝑥 cos(0 + 𝜙) < 0 → cos𝜙 < 0 → 𝜙 =

5𝜋

6𝑟𝑎𝑑

Quando t=2 s

𝜃(2) = −𝜃𝑚á𝑥 = 𝜃𝑚á𝑥 sin (2𝜋2

𝑇+5𝜋

6) →

4𝜋

𝑇+5𝜋

6=3𝜋

2

𝑇 = 6 𝑠

Comprimento do pêndulo

𝑇 = 2𝜋√𝑙

𝑔 → 𝑙 =

𝑇2𝑔

4𝜋2=90

𝜋2 𝑚

Velocidade de oscilação inicial


𝑇𝜃𝑚á𝑥 cos(𝜙) =

𝜋

3

𝜋

3 (−

√3

2) = −

𝜋2

6√3 𝑟𝑑. 𝑠−1

30º

60º

t=0s t=2s


III A figura representa a forma de uma corda no instante t=2s percorrida por uma onda que se

propaga no sentido positivo do eixo OX e

cuja velocidade de propagação é de 1m/s.

a) Determine o período do movimento.

b) Escreva a função de onda que

descreve este movimento.

c) Determine a diferença de fase entre dois

pontos que distam 5 m.

Solução: Os pontos em x=0 e x=2 estão em fase, portanto a distância entre eles é um comprimento de onda.

𝜆 = 2𝑚 𝑒 𝑉𝑝𝑟𝑜𝑝 =𝜆

𝑇 → 𝑇 =

𝜆

𝑉𝑝𝑟𝑜𝑝= 2 𝑠

Quando t=2 s e x=0:

𝑦(0; 2) =𝐴

2 𝑒 𝑉𝑜𝑠𝑐 < 0

𝐴

2= 𝐴 sin (2𝜋

2

𝑇− 0 + 𝜙) →

{

4𝜋

𝑇+ 𝜙 =

𝜋

6𝑜𝑢

4𝜋

𝑇+ 𝜙 =

5𝜋

6

𝑉𝑜𝑠𝑐(0; 2) =2𝜋

𝑇cos (

4𝜋

𝑇+ 𝜙) < 0 →

4𝜋

𝑇+ 𝜙 =

5𝜋

6

𝜙 = −7𝜋

6=5𝜋

6 𝑟𝑎𝑑 (𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑎 𝑓𝑎𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑡𝑒𝑚 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 > −𝜋 𝑒 < 𝜋)

0 2 4 6

-2

-1

0

1

2

Y /

cm

x / m


IV Duas fontes (F1 e F2) excitadas em fase por um mesmo amplificador emitem ondas harmónicas

de igual frequência. (R1=3 m e R2=1 m)

a) Sabendo que no ponto Q se observa

interferência destrutiva, qual é o comprimento

de onda das ondas emitidas?

b) Qual é a distância d mínima entre as fontes

para que se observe interferência construtiva

no ponto P do eixo dos X? (caso não tenha

respondido à alínea anterior use 8 m para o

valor do comprimento de onda)

c) Qual(ais) o(s) tipo(s) de interferência(s) possível (eis) de observar ao longo do eixo YY?

Justifique.

Solução:

a) Interferências destrutivas: as ondas estão em oposição de fase

Δ𝜙 = |𝜙2 − 𝜙1| = (2𝑛 + 1)𝜋

Δ𝜙 = |[2𝜋 (𝑡

𝑇−𝑥2𝜆)] − [2𝜋 (

𝑡

𝑇−𝑥1𝜆)]| = 2𝜋

𝑥1 − 𝑥2𝜆

= (2𝑛 + 1)𝜋 = 𝜋

𝜆 = 2(𝑥1 − 𝑥2) = 4 𝑚

b) Interferência construtivas: as ondas estão em fase.

Δ𝜙 = |𝜙2 − 𝜙1| = 2𝑛𝜋

Δ𝜙 = |[2𝜋 (𝑡

𝑇−𝑥2𝜆)] − [2𝜋 (

𝑡

𝑇−𝑥1𝜆)]| = 2𝜋

𝑥1 − 𝑥2𝜆

= 2𝑛𝜋 = 2𝜋 (𝑑 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑎)

𝑥1 − 𝑥2𝜆

=𝑑

𝜆= 1 𝑑 = 𝜆

c) Segundo yy’ teremos interferências construtivas porque x1=x2, a diferença de caminho é

nula.

V Uma lâmpada emite luz com um comprimento de onda de 600 nm. A lâmpada tem uma potência

de 100 W e uma eficiência de 10%, irradiando uniformemente em todas as direcções.

a) Quantos fotões são emitidos num segundo pela lâmpada?

b) Uma placa metálica circular, de diâmetro 2cm, está situada a 1m da lâmpada, voltada para

ela. Quantos fotões incidem nessa placa?

Q

F1 F2 P X

Y

x d

d/2

R1 R2


c) Sabendo que o potencial de paragem dos electrões emitidos pela placa é de 1.0V, qual é

a energia cinética desses electrões? Apresente o resultado em e.V.

d) Quantos electrões são extraídos por segundo da placa metálica?

e) Qual é o trabalho de extracção do metal em causa? Apresente o resultado em e.V.

Solução:

a) Número de fotões:

𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑒𝑚𝑖𝑡𝑖𝑑𝑎 = 𝐸𝑒𝑚𝑖 = 𝑃 ∗ 𝑡 ∗ 0.1 = 10 𝐽

𝑁º𝑓𝑜𝑡õ𝑒𝑠 =𝐸𝑒𝑚𝑖𝐸𝑓𝑜𝑡ã𝑜

=10 ∗ 600 ∗ 10−9

6.62 ∗ 10−34 ∗ 3 ∗ 108≅ 3 ∗ 1019 𝑓𝑜𝑡õ𝑒𝑠

b) Número de fotões incidentes

𝐷𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑡õ𝑒𝑠 =𝑁º𝑓𝑜𝑡õ𝑒𝑠

Á𝑟𝑒𝑎 =

𝑁º𝑓𝑜𝑡õ𝑒𝑠

4𝜋𝑅2 (𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎)

𝑁º𝑓𝑜𝑡õ𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 =𝑁º𝑓𝑜𝑡õ𝑒𝑠

4𝜋𝑅2𝐴𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 = 𝑁º𝑓𝑜𝑡õ𝑒𝑠

𝜋𝑟2

4𝜋𝑅2= 𝑁º𝑓𝑜𝑡õ𝑒𝑠

0.012

4 ∗ 12

≅ 7.5 ∗ 1014 𝑓𝑜𝑡õ𝑒𝑠

c) Potencial de paragem:

𝑑. 𝑑. 𝑝 = 1 𝑉 → 𝐸𝑐 = 𝑒 ∗ 𝑑𝑑𝑝 = 1 𝑒𝑉

d) O número igual aos fotões incidentes

e) Trabalho de extracção.

𝐸𝑐 = 𝐸𝑓𝑜𝑡ã𝑜 −𝑊 → 𝑊 = 𝐸𝑓𝑜𝑡ã𝑜 − 𝐸𝑐 =1240

600− 1 ≅ 2.1 − 1 ≅ 1.1 𝑒𝑉.

VI A- Uma amostra de sódio-24 (24Na), cujo período de semi-vida é de 15,0 horas, foi enviado de

Lisboa para o Hospital D. Pedro em Aveiro. A sua actividade ao chegar ao hospital, passadas 3

horas, era de 16 mCi.

a) Sendo o período de semi-vida deste nuclídeo de 15,0 horas, isso significa que a sua

actividade ao fim de 30,0 h

i. é zero.

ii. ¼ do valor inicial.

iii. ½ do valor inicial.

iv. 1/8 do valor inicial.

b) Se o volume de nuclídeo enviado tiver sido de 80 ml e o tratamento a efectuar assim que

o fármaco chega ao Hospital, necessitar de 100Ci, o volume a administrar ao doente

será:


i. 2 ml

ii. ½ ml

iii. 5 ml

iv. 0.5 ml

B- Considere o método de datação pelo carbono-14 (T1/2=5730 anos). Avalie, justificando, a

veracidade das afirmações seguintes.

i. O método de datação por carbono-14 permite saber quanto tempo viveu um dado ser

vivo.

ii. Com o método de datação por carbono-14 determina-se com rigor a idade de qualquer

achado arqueológico do tempo da queda do Império Romano (500 d.C).

Solução: A

a) 30 horas corresponde a 2 tempo de semi-vida: a actividade é reduzida 2 vez por dois, portanto a actividade ao fim de 30 horas é um quarta da actividade inicial.

b) Regra de 3:

0.1 𝑚𝐶𝑖 → 𝑥 𝑒 16 𝑚𝐶𝑖 → 80 𝑚𝑙

𝑥 = 0.1 ∗80

16= 0.5 𝑚𝑙

B

i) Não, permita saber o tempo que decorreu desde a morta através da medição da concentração de isótopos 14C radiactivos que vai diminuída depois da morte.

ii) Não com rigor, porque o tempo decorrido desde a criação dos achados (1500 anos) é muito pequeno relativamente ao tempo de semi-vida (5730 anos). Mas podemos obter uma data aproximativa. Por exemplo se olhamos para a variação em percentagem da actividade para 3 datas em torno de 1500 anos: 1450 anos 83,91 % da actividade inicial 1500 anos 83,40 % da actividade inicial 1550 anos 82,90 % da actividade inicial



I Considere um objecto colocado a uma distância de 30 cm de uma lente convergente

com uma distância focal de 20 cm. No outro lado da lente está colocado um espelho

divergente de raio de curvatura R=10 cm.

a) Determine a posição e natureza da imagem dada pela lente L.

b) Sabendo que imagem final formada após a reflexão no espelho é virtual e está a

10 cm do espelho, calcule a distância entre o espelho e a lente.

Solução:

a) Posição e natureza da primeira imagem:

Lente convergente f1 = + 20 cm

1

𝑝1+

1

𝑞1=

1

𝑓1 → 𝑞1 =

𝑝1 ∗ 𝑓1

𝑝1 − 𝑓1= 60 𝑐𝑚 𝑒 𝑚1 = −

𝑞1

𝑝1= −2

q1 > 0 imagem real ; m1 < 0 imagem invertida

b) Distância d?

Imagem final virtual q2 < 0 logo q2 = -10 cm

Espelho divergente f2 <0 logo f2 = -R/2= - 5 cm

Cotação

I-5 valores II-5 valores

AC1 Ano lectivo 2011/12 1º Semestre Data: 26 de Outubro 2011 Hora: 15:30 horas Duração: 45 min



1

𝑝2+

1

𝑞2=

1

𝑓2 → 𝑝2 =

𝑞2 ∗ 𝑓2

𝑞2 − 𝑓2= −10 𝑐𝑚

𝑑 = 𝑞1 + 𝑝2 = 50 𝑐𝑚

II Considere um peixe num lago a uma dada profundidade que quando observado parece

distar 30cm da superfície. O índice de refracção da água é nágua=4/3.

a) A que distância da superfície está o peixe na realidade?

b) Um insecto que se encontra a 30 cm acima superfície da água, a que distância

parece estar quando observado pelo peixe?

c) Com o intuito de o observar melhor coloca-se uma lente convergente, com uma

distância focal de 120 cm, a 30cm acima da superfície. Determine a posição da

imagem final do peixe e caracterize-a.

Solução:

a) Distância real do Peixe?

Parece distar = imagem virtual logo q1 < 0 : q1 = -30 cm

Dois meios de índice de refração diferentes e interface plana R1 = ∞

𝑛1

𝑝1+

𝑛2

𝑞1=

𝑛2 − 𝑛1

𝑅1= 0 → 𝑝1 = −

𝑛1

𝑛2𝑞1 = −

431

(−30) = 40 𝑐𝑚

b) Situação inversa, 1º meio ar e 2º agua

𝑞1 = −𝑛2

𝑛1𝑝1 = −

431

(30) = − 40 𝑐𝑚


c) Segundo elemento ótico.

f2 = +120 cm e d= 30 cm

𝑝2 = 𝑑 − 𝑞1 = 30 − (−30) = 60 𝑐𝑚

𝑞2 =𝑝2 ∗ 𝑓2

𝑝2 − 𝑓2= −120 𝑐𝑚

Q q2 < 0 Imagem virtual (lógico o olho humane só pode ver imagens virtuais ou

objetos reais).

Ampliação lateral total positiva imagem direita.



I Um corpo de massa 0.5 kg preso a uma mola (K = 200 N/m) executa um movimento harmónico simples com uma amplitude igual a 2 m. A posição inicial é -A/√2 e o corpo desloca-se em direcção à posição de equilíbrio. a) Determine a fase inicial. b) Quando o deslocamento do corpo é igual a metade da amplitude:

1. Determine a energia potencial elástica e a energia cinética do oscilador 2. Determine o primeiro instante de tempo em que isso acontece.

c) De seguida, o oscilador fica sujeito a amortecimento (b = 0.5 kg/s):

1. Determine a variação de energia mecânica durante os primeiros 3 segundos. 2. Se pretender manter a oscilação com uma amplitude igual à amplitude inicial,

determine a potência média da força exterior a aplicar ao oscilador?

Solução:

a) Fase inicial.

𝑦(0) = −𝐴

√2 𝑒 𝑉𝑜𝑠𝑐(0) > 0 𝑒 𝑇 = 2𝜋 √

𝑚

𝑘=𝜋

10 𝑠

𝑦(𝑡) = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 (2𝜋𝑡

𝑇+ 𝜙) → 𝑦(0) = −

𝐴

√2= 𝐴 𝑠𝑒𝑛(𝜙)

𝑠𝑒𝑛𝜙 = −1

√2 →

{

𝜙 = −

𝜋

4𝑜𝑢

𝜙 = −3𝜋

4

𝑉𝑜𝑠𝑐 =2𝜋

𝑇𝐴 cos (2𝜋

𝑡

𝑇+ 𝜙) 𝑉𝑜𝑠𝑐(0) =

2𝜋

𝑇𝐴 cos𝜙 > 0 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝜙 = −

𝜋

4 𝑟𝑎𝑑

b) Y(t)=A/2:

1) Energias:

𝐸𝑝 =1

2𝑘𝑦2 =

1

2𝑘𝐴2

4= 100 𝐽

Cotação

I -8 valores II -7 valores III- 5 valores

AC2 Ano lectivo 2011/12 1º Semestre Data: 23 de Novembro 2011 Hora: 15:30 horas Duração: 1h30 min



𝐸𝑐 = 𝐸𝑚 − 𝐸𝑝 =1

2𝑘𝐴2 −

1

2𝑘𝐴2

4=1

2𝑘𝐴2

3

4= 300 𝐽

2) Primeiro Instante:

𝑦(𝑡) =𝐴

2= 𝐴𝑠𝑒𝑛 (2𝜋

𝑡

𝑇−𝜋

4)

𝑠𝑒𝑛 (2𝜋𝑡

𝑇−𝜋

4) =

1

2 → 2𝜋

𝑡

𝑇−𝜋

4=𝜋

6 → 𝑡 =

5

24𝑇 =

𝜋

48 𝑠

c) Amortecimento.

Variação de Energia

Δ𝐸 = 𝐸(3) − 𝐸(0) = 𝐸0 (𝑒−𝑏𝑚𝑡 − 1) = 𝐸0(𝑒

−3 − 1)

ΔE =1

2𝑘𝐴2(𝑒−3 − 1) = 400(𝑒−3 − 1) 𝐽

Potencia

𝑃𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 =Δ𝐸

Δ𝑡=400(𝑒−3 − 1)

3 𝑊

II A figura representa uma onda harmónica no instante t=1s, que se propaga numa corda no sentido positivo com uma velocidade de 10 m/s. A velocidade máxima de oscilação de qualquer ponto da corda é igual a 2m/s. a) Determine o período do movimento. b) Determine a fase inicial. c) Determine a amplitude do movimento. d) Represente a forma da corda no instante t = 4 s.

Solução:

a) Período:

y (m)

x(m) (m)

5 m


Comprimento de onda (gráfico) λ=4*5=20 m como T=λ/VProp =20/10=2 s

b) Fase inicial: (Várias maneiras de resolver, vamos usar a mais simples) Quando t=1s e para x=0.5 m temos y(0.5;1) = - A.

𝑦(0.5; 1) = −𝐴 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 (2𝜋𝑡

𝑇+ 𝜙) = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 (2𝜋

1

2+ 𝜙)

𝑠𝑒𝑛(𝜋 + 𝜙) = −1 → 𝜋 + 𝜙 = −𝜋

2 → 𝜙 = −

3𝜋

2=𝜋

2 𝑟𝑎𝑑

c) Amplitude

𝑉𝑜𝑠𝑐𝑚á𝑥 =2𝜋

𝑇𝐴 → 𝐴 = 𝑉𝑜𝑠𝑐 ∗

𝑇

2𝜋= 2 𝑚

d) No instante t=4 s decorreu 1 período e meio. Todos os pontos estarão em oposição

de fase relativamente ao instante t=1s. Os pontos que estavam em –A estarão em A e vice versa.


III Um carro da polícia está parado na berma da estrada no intuito de medir, através de um radar, a velocidade dos automóveis. Um carro passa e afasta-se do radar a uma velocidade de 100 m/s. A onda enviada pelo radar tem uma frequência f1 = 1100 Hz e desloca-se a uma velocidade de 1000 m/s. a) Determine a frequência, f2, recebida por um observador que está no carro. b) Determine a frequência, f3, detectada pelo radar após reflexão no carro. c) Se a diferença entre f1 e f3 for de 50 Hz qual seria a velocidade do carro?

Solução:

a) F2.

𝑓2 = 𝑓1(

1 −𝑣𝑐𝑣𝑝

1) = 990 𝐻𝑧

b) F3

𝑓3 = 𝑓2(1

1 +𝑣𝑐𝑣𝑝

) = 𝑓1(


1 +𝑣𝑐𝑣𝑝

) = 900 𝐻𝑧

c) Diferença = 50 Hz.

Δ𝑓 = 𝑓1 − 𝑓3 = 𝑓1

(

1 − (


1 +𝑣𝑐𝑣𝑝

)

)

Δ𝑓

𝑓1= 1 −

𝑣𝑝 − 𝑣𝑐

𝑣𝑝 + 𝑣𝑐 →

Δ𝑓

𝑓1(𝑣𝑝 + 𝑣𝑐) = 2𝑣𝑐

𝑣𝑐 =𝑣𝑝 (

Δ𝑓𝑓1)

2 −Δ𝑓𝑓1

= 𝑣𝑝Δ𝑓

2𝑓1 − Δ𝑓=1000

43 𝑚/𝑠

Tabela de Valores e-0.5 e-1 e-1.5 e-2 e-2.5 e-3 e-3.5 e0.5 e1 e1.5 e2 e2.5 e3 e3.5

0.61 0.37 0.22 0.14 0.08 0.05 0.03 1.65 2.72 4.48 7.40 12.20 20.10 33.12


I

Dois altifalantes iguais estão separados de uma distância de 12m encontrando-se ligados a um oscilador com uma frequência de 68Hz. A posição dos altifalantes e o sistema de coordenadas (x,y) com origem no ponto a meia distância entre os altifalantes está representado na figura. Considere a velocidade do som igual a 340m/s.

a) Quais os pontos (no eixo dos x) situados entre os altifalantes em que há interferência construtiva? Exprima o resultado em termos da coordenada x desses pontos.

b) Quais os pontos (no eixo dos x) entre os altifalantes em que há interferência destrutiva? Exprima o resultado em termos da coordenada x desses pontos.

c) Considere que uma pessoa se encontra numa posição com coordenada y=120m de acordo com a figura. Qual é o menor valor da coordenada x (diferente de zero) da posição em que a pessoa ouviria som com um máximo de intensidade?

Solução:

a) Interferência construtiva:

Duas ondas que se propagam em sentidos contrários (como os altifalantes estão excitados pelo mesmo amplificador as fontes estão em fase podemos escolher qualquer valor para a fase inicial):

Cotação

I -8 valores II -7 valores III- 5 valores

AC3 Ano lectivo 2011/12 1º Semestre Data: 14 de Dezembro 2011 Hora: 15:30 horas Duração: 1h30 min Não é permitido o uso de máquina de calcular

d=12m

(x,y)

x

y L=120m


𝑉𝑉𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 = 𝜆𝜆𝜆𝜆 → 𝜆𝜆 =𝑉𝑉𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝜆𝜆 =

34068

= 5 𝑚𝑚

�𝑦𝑦1(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 �2𝜋𝜋 �

𝑡𝑡𝑇𝑇−𝑥𝑥1𝜆𝜆��

𝑦𝑦2(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 �2𝜋𝜋 �𝑡𝑡𝑇𝑇

+𝑥𝑥2𝜆𝜆��

𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 2𝐴𝐴 cos �𝜋𝜋𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2

𝜆𝜆� 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 �2𝜋𝜋 �

𝑡𝑡𝑇𝑇

+𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1

2𝜆𝜆��

Amplitude da onde resultante:

𝐴𝐴´ = 2𝐴𝐴 cos �𝜋𝜋𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2

𝜆𝜆�

Interferência construtiva:

𝐴𝐴´ = 2𝐴𝐴 → cos �𝜋𝜋𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2

𝜆𝜆� = ±1 → 𝜋𝜋

𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2𝜆𝜆 = 𝑠𝑠𝜋𝜋

𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 𝑠𝑠𝜆𝜆 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑐𝑐 𝑥𝑥1 =𝑑𝑑2 + 𝑥𝑥 ; 𝑥𝑥2 = 𝑥𝑥 −

𝑑𝑑2

𝑥𝑥 = 𝑠𝑠𝜆𝜆2 = 𝑠𝑠

52 (𝑚𝑚) (𝑠𝑠 = ±0,1,2,3 … . )

b) Interferência destrutiva.

Mesma raciocino:

𝐴𝐴´ = 0 → cos �𝜋𝜋𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2

𝜆𝜆� = 0 → 𝜋𝜋

𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2𝜆𝜆 = (2𝑠𝑠 + 1)

𝜋𝜋2

𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = (2𝑠𝑠 + 1)𝜆𝜆2

𝑥𝑥 = (2𝑠𝑠 + 1)𝜆𝜆4 = (2𝑠𝑠 + 1)

54 (𝑚𝑚) (𝑠𝑠 = ±0,1,2,3 … … . )

c) Máxima intensidade implica interferência construtiva.

Se consideramos o ângulo ϑ (relativamente ao eixo dos y) sobre o qual são visto os máximos de interferência num alvo colocado a uma distância L do eixo dos x, podemos escrever:

𝑑𝑑 sen 𝜃𝜃 = 𝑠𝑠𝜆𝜆 Como L » d então 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 ≈ 𝑡𝑡𝑡𝑡𝜃𝜃 = 𝑥𝑥𝑛𝑛/𝐿𝐿

𝑥𝑥𝑛𝑛 =𝑠𝑠𝜆𝜆𝐿𝐿𝑑𝑑 (𝑠𝑠 = 0,1,2,3 … . )


II Observa-se o efeito fotoeléctrico quando se fazem incidir dois lasers de igual potência e de comprimentos de onda 𝜆𝜆1 e 𝜆𝜆2= 𝜆𝜆1/2 sobre um material com um trabalho de extracção W.

1) Escolha a afirmação que lhe pareça MAIS correcta, JUSTIFICANDO: i) A energia cinética dos fotoelectrões libertados pelo laser 1 é:

a) Duas vezes superior à energia cinética dos fotoelectrões libertados pelo laser 2.

b) Duas vezes inferior à energia cinética dos fotoelectrões libertados pelo laser 2.

c) Superior à energia cinética dos fotoelectrões libertados pelo laser 2. d) Inferior à energia cinética dos fotoelectrões libertados pelo laser 2.

ii) O número de fotoelectrões libertados pelo laser 1 é:

a) Maior que o número de fotoelectrões libertado pelo laser 2. b) Menor que o número de fotoelectrões libertado pelo laser 2. c) Igual ao número de fotoelectrões libertado pelo laser 2.

iii) O potencial de paragem dos fotoelectrões para experiências com o laser 1 é:

a) Duas vezes superior ao potencial de paragem dos fotoelectrões para experiências com o laser 2.

b) Duas vezes inferior ao potencial de paragem dos fotoelectrões para experiências com o laser 2.

c) Superior ao potencial de paragem dos fotoelectrões para experiências com o laser 2.

d) Inferior ao potencial de paragem dos fotoelectrões para experiências com o laser 2.

2) Considere agora um material em que W=2eV e que 𝜆𝜆1 = 700𝑠𝑠𝑚𝑚. Haverá efeito

fotoeléctrico com os dois lasers? Justifique. (nota: use que hc=1240eV.nm)

Solução: 1) Efeito fotoelétrico.

i) Energia Cinética

𝐸𝐸𝑐𝑐 =ℎ𝑐𝑐𝜆𝜆 −𝑊𝑊

Maior o comprimento de onde menor é a energia do fotão mas a energia cinética não proporcional a energia do fotão. A energia será portanto só inferior, reposta d).

ii) Número de fotões


A potência é igual ao número de fotões emitidos por segundo multiplicado pela energia de cada fotão. A potência igual um laser de comprimento de onda maior emita mais fotões que um de comprimento de onde menor. Portanto o laser 1 emita mais fotões por segundo. Como para cada fotão temos um foteletrão para o laser 1 o número de fotoeletrões é maior, resposta a).

iii) Potencial de paragem. O potencial de paragem é proporcional à energia cinética dos fotoeletrões mas não à energia dos fotões incidente portanto só pode ser maior ou menor.

Δ𝑉𝑉 =𝐸𝐸𝑐𝑐𝑠𝑠 =

ℎ𝑐𝑐𝜆𝜆 −𝑊𝑊𝑠𝑠

Como a energia cinética dos fotoeletrões 1 é inferior a d.d.p será inferior.

2) Efeito fotoelétrico Haverá efeito fotoelétrico se a energia dos fotões for superior ao trabalho de extração W.

𝐸𝐸𝑓𝑓1 =ℎ𝑐𝑐𝜆𝜆 =

1240700 ≃ 1.8 𝑠𝑠𝑉𝑉 < 𝑊𝑊 não há fotoeletrão

𝐸𝐸𝑓𝑓2 =1240350 ≃ 3.6 𝑠𝑠𝑉𝑉 > 𝑊𝑊 há fotoeletrão

III Uma amostra de um dado isótopo radioactivo, com um tempo de meia vida de 8 dias,

apresenta uma actividade de 1.38 x 1012 decaimentos/hora, quando sai do laboratório

imediatamente após a sua preparação. Quando é recebida num outro laboratório, a sua

actividade era já 0.69 x 1012 decaimentos/hora. ( ln2 = 0.69 )

a) Qual é o intervalo de tempo decorrido até a amostra chegar ao segundo

laboratório?

b) Determine o nº de núcleos radioactivos presentes na amostra no momento da sua

preparação, sabendo que após 32 dias estavam presentes na amostra apenas 1012

núcleos.

Solução:

a) Decaimento radioativo


𝑎𝑎(𝑡𝑡) = 𝑎𝑎0𝑠𝑠− ln2 𝑡𝑡

𝑇𝑇1/2

ln �𝑎𝑎(𝑡𝑡)𝑎𝑎0

� = − ln 2𝑡𝑡𝑇𝑇12

→ 𝑡𝑡 =ln 1.38.1012

0.69.1012ln 2 𝑇𝑇1

2= 8 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑎𝑎𝑠𝑠

b) Número de átomos.

𝑁𝑁(𝑡𝑡) = 𝑁𝑁0𝑠𝑠−𝑙𝑙𝑛𝑛2 𝑡𝑡

𝑇𝑇1/2

𝑁𝑁0 = 𝑁𝑁(𝑡𝑡). 𝑠𝑠𝑙𝑙𝑛𝑛2 𝑡𝑡𝑇𝑇1

2 = 1012. 𝑠𝑠𝑙𝑙𝑛𝑛2328 = 1012𝑠𝑠ln24 = 4.1012 á𝑡𝑡𝑐𝑐𝑚𝑚𝑐𝑐𝑠𝑠



I Duas lentes estão separadas de uma distância de 1 m e colocadas de modo a que os seus eixos coincidam. Um objecto é colocado 1 m à frente da primeira lente. A imagem formada pelas duas lentes é real e forma-se a seguir à segunda lente a uma distância de 1 m. A ampliação lateral total é +3. Determine:

a) Onde se forma a imagem obtida a partir da primeira lente. b) As distâncias focais de cada uma das lentes.

Solução:

d = 1m ; I2 é real logo q2 >0 e q2 = +1 m ; m=+3

⎩⎪⎨

⎪⎧

1𝑝𝑝1

+1𝑞𝑞1

=1𝑓𝑓1

𝑑𝑑 = 𝑞𝑞1 + 𝑝𝑝21𝑝𝑝2 +

1𝑞𝑞2

=1𝑓𝑓2

𝑒𝑒 𝑚𝑚 =𝑞𝑞1𝑝𝑝1

𝑞𝑞2𝑝𝑝2

a) Posição de I1.

𝑚𝑚 =𝑞𝑞11

1𝑝𝑝2

= 3 → 𝑞𝑞1 = 3𝑝𝑝2 → 𝑑𝑑 = 3𝑝𝑝2 + 𝑝𝑝2

𝑝𝑝2 =14 (𝑚𝑚) 𝑒𝑒 𝑞𝑞1 =

34 (𝑚𝑚)

b) Distâncias focais.

𝑓𝑓1 =𝑝𝑝1𝑞𝑞1𝑝𝑝1 + 𝑞𝑞1

=1 ∗ 3

41 + 3

4=

37 (𝑚𝑚)

𝑓𝑓2 =𝑝𝑝2𝑞𝑞2𝑝𝑝2 + 𝑞𝑞2

=14 ∗ 114 + 1

=15 (𝑚𝑚)

Cotação

I -3,5 valores II -3,5 valores III- 3,5 valores IV- 3,0 valores V – 3,5 valores VI – 3,0 valores

Exame Final Ano lectivo 2011/12 1º Semestre Data: 20 de Janeiro 2012 Hora: 10:00 horas Duração: 2h30 min Não é permitido o uso de máquina de calcular


II Uma massa de 0,5kg, está presa a uma mola e a oscilar em torno da posição x=0. Em t=0 s, a massa passa pela posição x = A/2, deslocando-se no sentido negativo. Em t=2s, a massa atinge a posição x = 0. a) Sabe-se que a posição onde a energia cinética da massa é igual à energia potencial

se situa em x=2cm. Determine a amplitude do movimento. b) Determine a fase inicial do movimento. c) Determine o período do movimento. d) Se a partícula estiver na realidade sujeita a amortecimento viscoso, e se a amplitude

do seu movimento oscilatório for reduzida a 50% da amplitude inicial em 1s, qual é a constante de amortecimento, b?

Solução:

𝑥𝑥(0) =𝐴𝐴2

𝑒𝑒 𝑉𝑉𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜(0) < 0 ; 𝑥𝑥(2) = 0 a) Energia.

𝐸𝐸𝑚𝑚 = 𝐸𝐸𝑜𝑜 + 𝐸𝐸𝑝𝑝 = 2 ∗ 𝐸𝐸𝑝𝑝 = 2 ∗12𝑘𝑘𝑥𝑥

2 =12 𝑘𝑘𝐴𝐴2

𝐴𝐴 = 𝑥𝑥√2 = 2√2 (𝑚𝑚)

b) Fase inicial.

𝑥𝑥(0) = 𝐴𝐴 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠(0 + 𝜙𝜙) =𝐴𝐴2 → 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠𝜙𝜙 =

12 → �

𝜙𝜙 =𝜋𝜋6

𝜙𝜙 =5𝜋𝜋6

𝑉𝑉𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜(0) =2𝜋𝜋𝑇𝑇 𝐴𝐴 cos𝜙𝜙 < 0 → cos𝜙𝜙 < 0 → 𝜙𝜙 =

5𝜋𝜋6 (𝑟𝑟𝑟𝑟𝑑𝑑)

c) Periodo.

𝑥𝑥(2) = 𝐴𝐴 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠 �2𝜋𝜋2𝑇𝑇 +

5𝜋𝜋6� = 0 →

4𝜋𝜋𝑇𝑇

+5𝜋𝜋6 = 𝜋𝜋 (𝑉𝑉𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 < 0)

𝑇𝑇 = 24 (𝑠𝑠)

d) Amortecimento.

𝐴𝐴 = 𝐴𝐴0𝑒𝑒− 𝑏𝑏2𝑚𝑚𝑡𝑡 𝑒𝑒 𝐴𝐴(1) = 0.5 𝐴𝐴0


ln12

= −𝑏𝑏

2𝑚𝑚𝑡𝑡 → 𝑏𝑏 =

2𝑚𝑚𝑡𝑡

ln 2 = ln 2 = 0.69 (𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑠𝑠)

III Uma onda harmónica propaga-se ao longo de uma corda inicialmente em repouso. Qualquer ponto da corda atinge o deslocamento máximo vertical de +5 cm em cada 50 ms. A distância que separa dois máximos de deslocamento em qualquer instante é de 5,0 m

a) Estabeleça a função de onda, sabendo que para a partícula em x= 0 m e no instante t=0s o deslocamento é igual a 1/2 do deslocamento máximo e está a deslocar-se em direcção à posição de equilíbrio.

b) Determine o valor da tensão do fio sabendo que a densidade linear da corda é de 1×10-2 kg/m.

Solução:

a) Função de onda.

Atinge o deslocamento máximo em cada 50 ms logo o período T= 50 ms. Distância entre 2 dois máximo é 5 m logo o comprimento de onde λ= 5 m.

𝑦𝑦(𝑡𝑡; 𝑥𝑥) = 𝐴𝐴 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠 �2𝜋𝜋 �𝑡𝑡𝑇𝑇−𝑥𝑥𝜆𝜆�+ 𝜙𝜙�

𝑦𝑦(0; 0) =𝐴𝐴2 = 𝐴𝐴 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠𝜙𝜙 → �

𝜙𝜙 =𝜋𝜋6


𝑉𝑉𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜(0; 0) < 0 → cos𝜙𝜙 < 0 → 𝜙𝜙 =5𝜋𝜋6 (𝑟𝑟𝑟𝑟𝑑𝑑)

Função de onda:

𝑦𝑦(𝑡𝑡; 𝑥𝑥) = 5 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠 �2𝜋𝜋 �𝑡𝑡

0.05 −𝑥𝑥5� +

5𝜋𝜋6� (𝑐𝑐𝑚𝑚)

b) Tensão no fio.

𝑉𝑉𝑝𝑝𝑝𝑝𝑜𝑜𝑝𝑝 =𝜆𝜆𝑇𝑇 = �

𝐹𝐹𝜌𝜌 → 𝐹𝐹 =

𝜆𝜆2

𝑇𝑇2 ∗ 𝜌𝜌 = 100 (𝑚𝑚/𝑠𝑠)


IV Duas fendas estão espaçadas entre si de 0,06 mm e situam-se num plano paralelo ao plano de observação, colocado a 1,5 m. Verifica-se que, neste plano, a segunda franja brilhante se encontra a 3 cm da linha central. (utilize a aproximação dos ângulos pequenos

θθθ ≈≈ sintan rad) a) Determine o comprimento de onda da luz. b) Calcule a distância entre dois mínimos de interferência adjacentes. c) Determine o sem do ângulo correspondente à segunda franja escura.

Solução:

Dupla fenda: 𝑟𝑟𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠𝑎𝑎 = 𝑠𝑠𝜆𝜆 ângulos pequeno 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠𝑎𝑎 = 𝑡𝑡𝑘𝑘𝑎𝑎 =

𝑥𝑥𝑛𝑛𝐿𝐿

a) C.d.o.

𝑟𝑟𝑥𝑥𝑛𝑛𝐿𝐿 = 𝑠𝑠𝜆𝜆 → 𝜆𝜆 =

𝑟𝑟𝑥𝑥𝑛𝑛𝑠𝑠𝐿𝐿 =

0.06 ∗ 302 ∗ 1500

= 0.0006 (𝑚𝑚𝑚𝑚) = 600 (𝑠𝑠𝑚𝑚) (600 nm visível resultado coerente.)

b) Distância ente dois mínimos adjacentes.

A distância entre dois mínimos adjacentes é igual à distância entre 2 máximos adjacentes que no nosso caso é 3/2, ou seja 1.5 cm. Verificação. Interferência destrutiva.

𝑥𝑥𝑛𝑛 = (2𝑠𝑠 + 1) 𝜆𝜆2𝐿𝐿𝑟𝑟

𝑥𝑥𝑛𝑛+1 − 𝑥𝑥𝑛𝑛 =𝜆𝜆𝐿𝐿𝑟𝑟 = 15 𝑚𝑚𝑚𝑚 = 1.5 𝑐𝑐𝑚𝑚

c) Ângulo.

𝑟𝑟 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠𝑎𝑎𝑛𝑛 = (2𝑠𝑠 + 1)𝜆𝜆2

Segunda frange escura n=1.

𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠 𝑎𝑎1 =32𝜆𝜆𝑟𝑟 = 0.015

A aproximação verifique-se: 𝑡𝑡𝑘𝑘𝑎𝑎 =

𝑥𝑥2𝐿𝐿 = 0.015

V Suponha que se faz incidir sobre um metal um laser de comprimento de onda 400 nm e com uma potência de 5 mW. O comprimento de onda limite para ocorrer emissão fotoeléctrica no potássio é de 620 nm. (nota: hc=1240 eV.nm = 2x10-16 J.nm)


a) Qual o trabalho de extracção do potássio em electrões-volt? b) Qual a energia cinética máxima dos electrões libertados? c) Qual a diferença de potencial eléctrico que é necessária aplicar para parar todos

os electrões? d) Quantos electrões são libertados por segundo?

Solução:

a) Trabalho de extração.

𝐸𝐸𝑜𝑜 =ℎ𝑐𝑐𝜆𝜆−𝑊𝑊 𝑒𝑒 𝑊𝑊 =

ℎ𝑐𝑐𝜆𝜆𝑜𝑜

=1240620

= 2 𝑒𝑒𝑉𝑉

b) Energia Cinética.

𝐸𝐸𝑜𝑜 =ℎ𝑐𝑐𝜆𝜆−𝑊𝑊 =

1240400

− 2 = 1.1 𝑒𝑒𝑉𝑉

c) D.d.p.

Δ𝑉𝑉 =𝐸𝐸𝑜𝑜(𝐽𝐽)𝑒𝑒 = 1.1 (𝑉𝑉)

d) Número de fotoeletrões.

Número de fotoeletrões = número fotões= energia por segundo / energia 1 fotão Energia por segunda é a potência.

𝐸𝐸𝑓𝑓𝑜𝑜𝑡𝑡ã𝑜𝑜 =ℎ𝑐𝑐

𝑙𝑙𝑟𝑟𝑚𝑚𝑏𝑏𝑑𝑑𝑟𝑟 =2 ∗ 10−16

400 = 5 ∗ 10−19 (𝐽𝐽)

𝑠𝑠º𝑓𝑓𝑜𝑜𝑡𝑡õ𝑒𝑒𝑜𝑜 =𝑃𝑃

𝐸𝐸𝑓𝑓𝑜𝑜𝑡𝑡ã𝑜𝑜=

0.0055 ∗ 10−19

= 1019 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑡𝑡õ𝑒𝑒𝑠𝑠.

VI Num serviço de medicina nuclear foi administrada a um paciente uma certa quantidade de radioisótopo 99mTc (T1/2=6 h). Sabendo que após 1 dia a actividade no paciente é de 6,9x1010 Bq, determine:

a) Qual a actividade inicial do 99mTc administrado. b) A quantidade (núcleos) de 99mTc administrada ao paciente.

Solução:

a) Atividade inicial.

𝑟𝑟(𝑡𝑡) = 𝑟𝑟0𝑒𝑒−𝑙𝑙𝑛𝑛2 𝑡𝑡

𝑇𝑇1/2


𝑟𝑟0 = 𝑟𝑟(24ℎ) ∗ 𝑒𝑒𝑙𝑙𝑛𝑛2246 = 6.9 ∗ 1010𝑒𝑒𝑙𝑙𝑛𝑛24 = 6.9 ∗ 1010 ∗ 16 = 10.04 ∗ 1010𝐵𝐵𝑞𝑞

b) Número de núcleos.

𝑟𝑟0 =ln 2𝑇𝑇1

𝑁𝑁0 → 𝑁𝑁0 = 𝑟𝑟0 ∗𝑇𝑇1

ln 2 = 6.9 ∗ 1010 ∗ 166 ∗ 3600

0.69= 2.16 ∗ 1015 Núcleos


Avaliação Discreta 1 2012/13 - Elementos de Física



I

a) De quantos centímetros parece aproximar-se um objecto quando observado

perpendicularmente através de um vidro de janela de espessura igual a e =3 cm e de

índice de refracção n=3/2 ?

b) Um raio de luz que faz um ângulo de θi = 30o com a normal à superfície da janela de

vidro. Calcule a distância d que o raio percorre no vidro antes de sair da placa.

II

Uma lente divergente produz uma imagem virtual de 1/2 do tamanho de um objecto. A

distância entre a lente e a imagem é 10 cm. A seguir a lente está colocado, a 30 cm desta,

um espelho convexo de raio de curvatura |R| = 40 cm.

a) Determine a posição do objecto.

b) Determine a distância focal da lente.

c) Qual a posição da imagem final formada após a reflexão no espelho?

d) Caracteriza a imagem formada após reflexão no espelho.

AD1

Ano lectivo 2012/13

1º Semestre

Data: 31 de Outubro 2012

Hora: 15:30 horas

Duração:1h30

Cotação:

I – 6,0 valores

Prof. Claude Boemare - Universidade de Aveiro 2012


III

Uma massa de 5kg, está presa a uma mola e a oscilar. Em t=0 s, a massa passa pela

posição x = -A/2, deslocando-se em direcção da posição de equilíbrio. Em t=5s, a massa

atinge a elongação máxima, x =A.

a) Determine a fase inicial do movimento.

b) Determine o período do movimento.

c) Sabe-se que a posição onde a energia cinética da massa é igual à energia potencial se

situa em x=2cm. Determine a amplitude do movimento.

d) Determine a constante elástica da mola.

e) Se a partícula estiver na realidade sujeita a amortecimento, e se a amplitude do seu

movimento oscilatório for reduzida a 10% da amplitude inicial em 10s, qual é a

constante de amortecimento, b?

Sin(10) Sin(20) Sin(30) Sin(40) Sin(50) Sin(60) Sin(70) Sin(80)

0.17 0.33 0.5 0.64 0.67 0.87 0.94 0.99

Cos(10) Cos(20) Cos(30) Cos(40) Cos(50) Cos(60) Cos(70) Cos(80)

0.99 0.94 0.87 0.77 0.64 0.5 0.34 0.17

AD1 31/10/2012

I (6 valores)

a) (4 pts) n1= 1 ; n2= n = 3/2 ; e =3 cm (0.5)

𝑛𝑛1𝑃𝑃1

+𝑛𝑛2𝑄𝑄1

=𝑛𝑛2 − 𝑛𝑛1𝑅𝑅1

= 0 (𝑅𝑅1 = ∞)

(0.5) 𝑒𝑒 = 𝑄𝑄1 + 𝑃𝑃2 𝑃𝑃2 = 𝑒𝑒 − 𝑄𝑄1

(0.5) 𝑛𝑛2𝑃𝑃2

+𝑛𝑛1𝑄𝑄2

=𝑛𝑛1 − 𝑛𝑛2𝑅𝑅2

= 0 (𝑅𝑅2 = ∞)

(0.5) 𝑥𝑥 = 𝑃𝑃1 + 𝑒𝑒 + 𝑄𝑄2



(0.5)

𝑃𝑃1 = −𝑄𝑄1𝑛𝑛

; 𝑄𝑄2 = −𝑃𝑃2𝑛𝑛

= −𝑒𝑒 − 𝑄𝑄1𝑛𝑛

(1.5)

𝑥𝑥 = −𝑄𝑄!

𝑛𝑛+ 𝑒𝑒 −

𝑒𝑒𝑛𝑛

+𝑄𝑄1𝑛𝑛

= 𝑒𝑒 �1 −1𝑛𝑛� = 1 𝑐𝑐𝑐𝑐

b) (2 pts) θi = 30°.

(0.5) 𝑛𝑛1 ∗ sin(𝜃𝜃𝑖𝑖) = 𝑛𝑛2 ∗ sin(𝜃𝜃𝑡𝑡)

(0.5)

sin(𝜃𝜃𝑡𝑡) =23∗ sin(𝜃𝜃𝑖𝑖) =

13

(0.5) logo 𝜃𝜃𝑡𝑡 = 20°

(0.5)

cos(𝜃𝜃𝑡𝑡) =𝑒𝑒𝑑𝑑

𝑑𝑑 =𝑒𝑒

cos(𝜃𝜃𝑡𝑡)=

30.94

≈ 3.2 𝑐𝑐𝑐𝑐



II (7 valores) Tabela de correcção:

Q1 f2 valor/sinal

m1 valor/sinal

P1 f1 valor/sinal

P2 Q2 Imag Virtual

Imag Direct

1 0.5/0.5 0.5/0.5 0.5 0.5/0.5 1 0.5 0.5 0.5

𝑄𝑄1 < 0 (𝑖𝑖𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖𝑒𝑒𝑐𝑐 𝑣𝑣𝑖𝑖𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑖𝑖𝑣𝑣) 𝑄𝑄1 = −10 𝑐𝑐𝑐𝑐

𝑑𝑑 = 30 𝑐𝑐𝑐𝑐 ;

𝑓𝑓2 =𝑅𝑅22

= −20 𝑐𝑐𝑐𝑐

a)

𝑄𝑄1 < 0 𝑒𝑒 𝑃𝑃1 > 0 ⇒ 𝑐𝑐1 = −𝑄𝑄1𝑃𝑃1

> 0

𝑐𝑐1 = +12

⇒ 𝑃𝑃1 = −𝑄𝑄1 ∗ 2 = 20 𝑐𝑐𝑐𝑐

b)

𝑓𝑓1 =𝑃𝑃1 ∗ 𝑄𝑄1𝑃𝑃1 + 𝑄𝑄1


c) 𝑃𝑃2 = 𝑑𝑑 − 𝑄𝑄1 = 40 𝑐𝑐𝑐𝑐

𝑄𝑄2 =𝑃𝑃2 ∗ 𝑓𝑓2𝑃𝑃2 − 𝑓𝑓2

= −403≈ −13.3 𝑐𝑐𝑐𝑐

d) 𝑄𝑄2 < 0 𝐼𝐼𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖𝑒𝑒𝑐𝑐 𝑣𝑣𝑖𝑖𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑖𝑖𝑣𝑣

𝑐𝑐 = 𝑐𝑐1 ∗ 𝑐𝑐2 =𝑄𝑄1𝑃𝑃1∗𝑄𝑄2𝑃𝑃2

> 0 𝐼𝐼𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖𝑒𝑒𝑐𝑐 𝐷𝐷𝑖𝑖𝑣𝑣𝑒𝑒𝑐𝑐𝑣𝑣𝑖𝑖



III (7 valores)

m = 5kg ; x(0) = -A/2 ; Voscilação (0) > 0 ; x(5) = A

a) 2 pts (1 pts para a velocidade de oscilação)

𝑥𝑥(𝑣𝑣) = 𝐴𝐴 ∗ 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛 �2𝜋𝜋𝑇𝑇∗ 𝑣𝑣 + 𝛿𝛿� 𝑜𝑜𝑣𝑣 𝑥𝑥(𝑣𝑣) = 𝐴𝐴 ∗ 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠(

2𝜋𝜋𝑇𝑇∗ 𝑣𝑣 + 𝛿𝛿2)

i)

𝑥𝑥(0) = −𝐴𝐴2

= 𝐴𝐴 ∗ 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛(0 + 𝛿𝛿) sin(𝛿𝛿) = −12

𝑠𝑠𝑜𝑜𝑣𝑣𝑣𝑣çõ𝑒𝑒𝑠𝑠: 𝛿𝛿 = −𝜋𝜋6

𝑜𝑜𝑣𝑣 𝛿𝛿 = −5𝜋𝜋6

𝑉𝑉𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜(0) = 𝜔𝜔 ∗ 𝐴𝐴 ∗ cos(𝛿𝛿) > 0 𝑣𝑣𝑜𝑜𝑖𝑖𝑜𝑜 𝛿𝛿 = −𝜋𝜋6

𝑣𝑣𝑖𝑖𝑑𝑑

Atenção: alguns alunos em vez de usar −𝜋𝜋6 vão usar 11𝜋𝜋

6. Consideram

correcto.

ii)

𝑥𝑥(0) = −𝐴𝐴2

= 𝐴𝐴 ∗ cos(0 + 𝛿𝛿2) cos(𝛿𝛿2) = −12

𝑠𝑠𝑜𝑜𝑣𝑣𝑣𝑣çõ𝑒𝑒𝑠𝑠: 𝛿𝛿2 = +2𝜋𝜋3

𝑜𝑜𝑣𝑣 𝛿𝛿2 = −2𝜋𝜋3

𝑉𝑉𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜(0) = −𝜔𝜔 ∗ 𝐴𝐴 ∗ sin(𝛿𝛿2) > 0 𝑣𝑣𝑜𝑜𝑖𝑖𝑜𝑜 𝛿𝛿2 = −2𝜋𝜋3

𝑣𝑣𝑖𝑖𝑑𝑑

Atenção: alguns alunos em vez de usar −2𝜋𝜋3

vão usar 4𝜋𝜋3

. Consideram correcto.

b) 1 pts Os alunos que usaram as segundas opções da fase inicial, vão obter um Período negativo igual a -7.5 s em vez de 15 s. só 0.5 pt. i)

𝑥𝑥(5) = 𝐴𝐴 = 𝐴𝐴 ∗ sin �2𝜋𝜋𝑇𝑇∗ 5 −

𝜋𝜋6�

10𝜋𝜋𝑇𝑇

−𝜋𝜋6

=𝜋𝜋2

⇒ 𝑇𝑇 = 15 𝑠𝑠

ii)

𝑥𝑥(5) = 𝐴𝐴 = 𝐴𝐴 ∗ cos (2𝜋𝜋𝑇𝑇∗ 5 −

2𝜋𝜋3

)



10𝜋𝜋𝑇𝑇

−2𝜋𝜋3

= 0 ⇒ 𝑇𝑇 = 15 𝑠𝑠

c) Energia: 2pts (1)

𝐸𝐸𝑜𝑜 = 𝐸𝐸𝑝𝑝 =12𝑘𝑘𝑥𝑥2 𝐸𝐸𝑚𝑚 = 𝐸𝐸𝑜𝑜 + 𝐸𝐸𝑝𝑝

(0.5)

𝐸𝐸𝑝𝑝 =𝐸𝐸𝑚𝑚2

=12𝑘𝑘𝐴𝐴2 ∗

12

=12𝑘𝑘𝑥𝑥2

(0.5) 𝐴𝐴 = 𝑥𝑥√2 = 2√2 𝑐𝑐𝑐𝑐

d) 1 pts

𝑇𝑇 = 2𝜋𝜋�𝑐𝑐𝑘𝑘

⇒ 𝑘𝑘 =4𝜋𝜋2𝑐𝑐𝑇𝑇2

=4𝜋𝜋2

45 𝑁𝑁/𝑐𝑐

Cuidado: para os alunos que obtiveram 7.5 s para o período


⇒ 𝑘𝑘 =4𝜋𝜋2𝑐𝑐𝑇𝑇2

=16𝜋𝜋2

45 𝑁𝑁/𝑐𝑐

e) 1 pts

𝐴𝐴(𝑣𝑣 = 10) = 0.01 ∗ 𝐴𝐴0 = 𝐴𝐴0 𝑒𝑒−𝑏𝑏2𝑚𝑚∗10

ln(0.01) = −𝑏𝑏

10∗ 10 ⇒ 𝑏𝑏 = ln (10)



Problema Exame Final Avaliação D2

I 4 X

II 4 X

III 4 7

IV 4 6

V 4 7

I (só exame Final 4 pts) Considere um objecto colocado a uma distância de 40 cm de uma lente convergente com uma distância focal de 30 cm. No outro lado da lente está colocado um espelho divergente de raio de curvatura R=|20| cm.

a) Determine a posição da imagem dada pela lente. b) Determine a ampliação lateral e natureza da imagem. c) Sabendo que imagem final formada após a reflexão no espelho é virtual e está a

20 cm do espelho, calcule a distância entre o espelho e a lente.

Solução

a) Posição Imagem 1

1𝑝𝑝1

+1𝑞𝑞1

=1𝑓𝑓1

→ 𝑞𝑞1 =𝑝𝑝1𝑓𝑓1𝑝𝑝1 − 𝑓𝑓1

= 120 𝑐𝑐𝑐𝑐

b) Ampliação e natureza

𝑐𝑐1 = −

𝑞𝑞1𝑝𝑝1

= −3 < 0 𝐼𝐼𝑐𝑐𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝑐𝑐 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝐼𝐼𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝐼𝐼

𝑞𝑞1 > 0 𝐼𝐼𝑐𝑐𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝑐𝑐 𝑖𝑖𝐼𝐼𝐼𝐼𝑟𝑟

c) Distância espelho – lente

𝑞𝑞2 < 0 → 𝑞𝑞2 = −20 𝑐𝑐𝑐𝑐

AD2 e Exame Final Ano lectivo 2012/13 1º Semestre Data: 11 de Janeiro 2013 Hora: 10 horas Duração:1h30 / 2h30

Cotação: Ver Tabela


𝑓𝑓2 =𝑅𝑅22

= −10 𝑐𝑐𝑐𝑐 𝐼𝐼 𝑝𝑝2 =𝑞𝑞2𝑓𝑓2𝑞𝑞2 − 𝑓𝑓2


𝑖𝑖 = 𝑞𝑞1 + 𝑝𝑝2 = 100 𝑐𝑐𝑐𝑐

II (só exame Final 4 pts)

Um corpo de massa m=1kg, preso a uma mola, executa um movimento harmónico simples. O período de oscilação é de 1,2 s. No instante t=0 s o deslocamento é x= -1,2m em direcção da posição máxima. A velocidade de oscilação máxima é 2π√2 m/s.

a) Qual é a amplitude do movimento? b) Qual é a energia potencial no instante inicial. c) Determine a fase inicial do movimento. d) Suponha que a partir de um dado instante o sistema fica sujeito a uma força de

atrito. i. Se a amplitude do movimento se reduzir a metade ao fim de 1 s, qual

o valor da constante de amortecimento? ii. Qual a fracção de energia que é dissipada ao fim de 1 s.

Solução

𝑥𝑥(𝑖𝑖) = 𝐴𝐴 sin �2𝜋𝜋𝑖𝑖𝑇𝑇

+ 𝜙𝜙� 𝐼𝐼 𝑉𝑉𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜(𝑖𝑖) =2𝜋𝜋𝑇𝑇𝐴𝐴 cos �2𝜋𝜋

𝑖𝑖𝑇𝑇

+ 𝜙𝜙� a)

𝑉𝑉𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑚𝑚á𝑥𝑥𝑥𝑥𝑚𝑚𝑥𝑥 =2𝜋𝜋𝑇𝑇𝐴𝐴 = 2𝜋𝜋√2 → 𝐴𝐴 = 𝑇𝑇√2 = 1.2 √2 𝑐𝑐

b) Energia potencial


→ 𝑘𝑘 =4𝜋𝜋2𝑐𝑐𝑇𝑇2

𝐸𝐸𝑝𝑝 =12𝑘𝑘𝑥𝑥2 =

12𝑘𝑘 �

−𝐴𝐴√2

�2

=12∗

4𝜋𝜋2𝑐𝑐𝑇𝑇2

∗ �𝑇𝑇√2√2

�2

= 2𝜋𝜋2 𝐽𝐽

c) Fase inicial

𝑥𝑥(0) = −1.2 𝑐𝑐 𝐼𝐼 𝑉𝑉𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜(0) > 0

−1.2 = −𝐴𝐴√2

= 𝐴𝐴 sin(0 + 𝜙𝜙) → sin𝜙𝜙 = −1√ 2

→ �𝜙𝜙 = −

𝜋𝜋4

𝜙𝜙 = −3𝜋𝜋4

𝑉𝑉𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜(0) =2𝜋𝜋𝑇𝑇𝐴𝐴 cos(0 + 𝜙𝜙) > 0 → cos𝜙𝜙 > 0 → 𝜙𝜙 = −

𝜋𝜋4

𝑖𝑖𝐼𝐼𝑖𝑖

d) Amortecimento i) Constante de amortecimento

𝐴𝐴(𝑖𝑖 = 1) =𝐴𝐴02

= 𝐴𝐴0𝐼𝐼− 𝑏𝑏2𝑚𝑚𝑡𝑡 → ln

12

= −𝑏𝑏

2𝑐𝑐 → 𝑏𝑏 = 2𝑐𝑐 ∗ ln 2 = ln 4 𝑘𝑘𝐼𝐼. 𝑠𝑠−1


ii) Energia dissipada

𝐸𝐸𝑚𝑚(𝑖𝑖) =12𝑘𝑘𝐴𝐴2(𝑖𝑖) → 𝐸𝐸𝑚𝑚(𝑖𝑖 = 1) =

12𝑘𝑘 �𝐴𝐴02�2

=14𝐸𝐸𝑚𝑚(0)

Energia dissipada é ¾ da energia inicial.

Avaliação Discreta e Exame Final

III (7 pts)

Uma fonte começa a emitir, em t = 0 s, duas ondas em fase, com a mesma frequência e amplitude, mas que se propagam a velocidades diferentes. Um observador a uma distância d da fonte, recebe a primeira onda ao fim de um instante t e a segunda onda 1 segundo mais tarde. A velocidade de propagação de cada onda é V1= 400 m/s e V2= 300 m/s.

a) Determine a distância d entre a fonte e o observador e o tempo t que demora a primeira onda a percorrer a distância d.

b) Num instante posterior à chegada das duas ondas e sabendo que o período das ondas é 3 s, escreva as duas funções de onda.

c) Qual é diferença de fase entre as duas ondas detectadas pelo observador? d) Nas condições da alínea anterior qual é a amplitude da onda resultante?

Solução: a) 3 pts

𝑉𝑉1 = 𝜆𝜆1 ∗ 𝑓𝑓 =𝜆𝜆1𝑇𝑇

=𝑖𝑖𝑖𝑖

𝐼𝐼 𝑉𝑉2 = 𝜆𝜆2 ∗ 𝑓𝑓 =𝜆𝜆2𝑇𝑇

=𝑖𝑖

𝑖𝑖 + 1

⎩⎪⎨

⎪⎧𝑖𝑖 = 𝑖𝑖 ∗ 𝑉𝑉1 = (𝑖𝑖 + 1) ∗ 𝑉𝑉2

𝑉𝑉2 =𝑖𝑖

𝑖𝑖𝑉𝑉1

+ 1

⎩⎪⎨

⎪⎧𝑖𝑖 =

𝑉𝑉2 ∗ 𝑖𝑖𝑉𝑉1 − 𝑉𝑉2

=300100

= 3 𝑠𝑠

𝑖𝑖 =𝑉𝑉2 ∗ 1

1 − 𝑉𝑉2𝑉𝑉1

= 1200 𝑐𝑐

b) 1 pt

𝜆𝜆1 =𝑉𝑉1𝑓𝑓

= 3 𝑉𝑉1 𝐼𝐼 𝜆𝜆2 =𝑉𝑉2𝑓𝑓

= 3 𝑉𝑉2 𝑟𝑟𝑙𝑙𝐼𝐼𝑙𝑙 𝜆𝜆1 =43∗ 𝜆𝜆2


⎩⎪⎪⎨

⎪⎪⎧𝑦𝑦1(𝑥𝑥; 𝑖𝑖) = 𝐴𝐴 sin�2𝜋𝜋 �

𝑖𝑖𝑇𝑇−𝑖𝑖𝜆𝜆1��

𝑦𝑦2(𝑥𝑥; 𝑖𝑖) = 𝐴𝐴 sin�2𝜋𝜋 �𝑖𝑖𝑇𝑇−𝑖𝑖𝜆𝜆2��

c) 2 pts

Δ𝜙𝜙 = 2 ∗ 𝜋𝜋 �𝑖𝑖𝜆𝜆2−𝑖𝑖𝜆𝜆1� = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗

𝑖𝑖𝜆𝜆2�1 −

34� =

𝜋𝜋2𝑖𝑖𝜆𝜆2

=2𝜋𝜋3𝑖𝑖𝐼𝐼𝑖𝑖

d) 1 pt

𝑦𝑦(𝑥𝑥; 𝑖𝑖) = 𝑦𝑦1(𝑥𝑥; 𝑖𝑖) + 𝑦𝑦2(𝑥𝑥; 𝑖𝑖) = 2𝐴𝐴 cos �Δϕ2� sin �2𝜋𝜋 �

𝑖𝑖𝑇𝑇−

12�𝑖𝑖𝜆𝜆2−𝑖𝑖𝜆𝜆1��

𝐴𝐴′ = 2𝐴𝐴 cos �Δ𝜙𝜙2� = 2𝐴𝐴 cos

𝜋𝜋3

= 𝐴𝐴

IV (6 pts) Dois aviões deslocam-se na mesma direcção e no mesmo sentido, com as velocidades V1 e V2. Cada avião emite respectivamente ondas sonoras de frequência f1 e f2 que se propagam com velocidade Vs. A frequência detectada pelo primeiro avião das ondas provenientes do segundo é f3 e o segundo avião detecta ondas com frequência f4 provenientes do primeiro avião.

a) Considere que o primeiro avião se aproxima de um observador estacionário com a velocidade V1. Escreve a expressão da frequência detectada pelo observador.

b) Escreva as expressões das frequências f3 e f4 em função das velocidades de cada avião e da frequência das ondas emitidas.

c) Sabendo que as razões entre as ondas emitidas e recebidas são f3/f2 = 5/4 e f4/f1 = 2, determine as velocidades de cada avião em função da velocidade do som (VS).

Solução:

𝑽𝑽𝟏𝟏�� 𝑽𝑽𝟐𝟐��

a) Observador 1 pt

𝑓𝑓𝑜𝑜𝑏𝑏𝑜𝑜 = 𝑓𝑓1 �1

1 − 𝑉𝑉1𝑉𝑉𝑜𝑜

�

b) Expressões 3 pts

𝑓𝑓3 = 𝑓𝑓2 �1 + 𝑉𝑉1

𝑉𝑉𝑆𝑆1 + 𝑉𝑉2

𝑉𝑉𝑆𝑆

�


𝑓𝑓4 = 𝑓𝑓1 �1 − 𝑉𝑉2

𝑉𝑉𝑆𝑆1 − 𝑉𝑉1

𝑉𝑉𝑆𝑆

�

c) Velocidades 2 pts

⎩⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎧5

4=

1 + 𝑉𝑉1𝑉𝑉𝑆𝑆

1 + 𝑉𝑉2𝑉𝑉𝑆𝑆

𝑉𝑉𝑆𝑆4

= 𝑉𝑉1 −54𝑉𝑉2

2 =1 − 𝑉𝑉2

𝑉𝑉𝑆𝑆1 − 𝑉𝑉1

𝑉𝑉𝑆𝑆

𝑉𝑉𝑆𝑆 = 2𝑉𝑉1 − 𝑉𝑉2

𝑉𝑉1 =23𝑉𝑉𝑆𝑆 𝐼𝐼 𝑉𝑉2 =

13𝑉𝑉𝑆𝑆

V (7 pts) Uma amostra de um isótopo radioactivo, de tempo de meia vida é de 360 min e de constante radioactiva de 3.2x10-5 s-1, apresenta uma actividade de 2x109 Bq um dia após a sua preparação. Determine:

a) A actividade inicial da amostra b) O número de átomos presente inicialmente

Este decaimento produz indirectamente fotões de 400 nm de comprimento de onda e que incidem sobre um metal provocando a criação de fotoelectrões. A diferença de potencial eléctrico necessária para fazer parar os electrões é de 0.82 volts. (hc = 1240eV.nm) Determine:

c) O trabalho de extracção. d) O número de foto-electrões criados durante o 1º dia e durante a 1ª semana. e) A potência luminosa emitida pela amostra no instante t = 12 horas.

Solução: a) e b) 3 pts

𝑇𝑇12

= 360 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 = 6 ℎ𝑙𝑙𝑖𝑖𝐼𝐼𝑠𝑠 𝐼𝐼 1 𝑖𝑖𝑖𝑖𝐼𝐼 = 24 ℎ𝑙𝑙𝑖𝑖𝐼𝐼𝑠𝑠 = 4𝑇𝑇12

𝐼𝐼0 = 16 𝐼𝐼 = 3.2 × 1010 𝐵𝐵𝑞𝑞

𝐼𝐼 = 𝜆𝜆𝜆𝜆 𝜆𝜆0 =𝐼𝐼0𝜆𝜆

=3.2 × 1010

3.2 × 10−5= 1015 á𝑖𝑖𝑙𝑙𝑐𝑐𝑙𝑙𝑠𝑠

Outra maneira para a actividade:

𝐼𝐼 = 𝐼𝐼0𝐼𝐼−𝜆𝜆𝑡𝑡 = 𝐼𝐼0𝐼𝐼−𝑙𝑙𝑙𝑙2∗ 𝑡𝑡𝑇𝑇1

2 𝜆𝜆0 =𝐼𝐼0𝜆𝜆


𝐼𝐼0 =𝐼𝐼

𝐼𝐼−𝑙𝑙𝑙𝑙2∗ 𝑡𝑡𝑇𝑇1

2

=𝐼𝐼

𝐼𝐼−𝑙𝑙𝑙𝑙2∗246

=𝐼𝐼124

= 𝐼𝐼 ∗ 16 = 3.2 × 1010 𝐵𝐵𝑞𝑞

Efeito fotoeléctrico:

c) 1 pt

𝐸𝐸𝑜𝑜 =ℎ𝑐𝑐𝜆𝜆−𝑊𝑊 =

1240(𝐼𝐼𝑉𝑉.𝑖𝑖𝑐𝑐)𝜆𝜆(𝑖𝑖𝑐𝑐) −𝑊𝑊 = 3.1 −𝑊𝑊 = 0.82 𝐼𝐼𝑉𝑉

𝑊𝑊 = 2.28 𝐼𝐼𝑉𝑉

d) 2 pts

O número de foto-electrões corresponde ao número de decaimento durante o tempo (fotões emitidos), ou seja o número de átomos que desapareceram. 1 dia:

Nºfoto−electrões = Δ𝜆𝜆 = 𝜆𝜆0 − 𝜆𝜆 = 𝜆𝜆0 −𝜆𝜆016

=1516

𝜆𝜆0

= 0.9375 × 1015 𝑓𝑓𝑙𝑙𝑖𝑖𝑙𝑙 − 𝐼𝐼𝑟𝑟𝐼𝐼𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖õ𝐼𝐼𝑠𝑠

1 semana: quase todos os átomos radioactivos desapareceram logo o número de decaimento é igual ao número inicial de átomos.

e) Potencia: 1 pt

O número de fotões emitidos por segundos é igual à actividade. A actividade t=12 horas é igual a N0/4 ou N(1 dia)*4.

𝑃𝑃 =𝐸𝐸𝑒𝑒𝑚𝑚𝑥𝑥𝑡𝑡𝑥𝑥𝑡𝑡𝑥𝑥

𝑠𝑠𝐼𝐼𝐼𝐼𝑠𝑠𝑖𝑖𝑖𝑖𝑙𝑙= 𝜆𝜆º𝑓𝑓𝑜𝑜𝑡𝑡õ𝑒𝑒𝑜𝑜 𝑒𝑒𝑚𝑚𝑥𝑥𝑡𝑡𝑥𝑥𝑡𝑡𝑜𝑜𝑜𝑜/𝑜𝑜𝑒𝑒𝑠𝑠𝑠𝑠𝑙𝑙𝑡𝑡𝑜𝑜 �𝑖𝑖 = 12 ℎ𝑙𝑙𝑖𝑖𝐼𝐼𝑠𝑠 = 2𝑇𝑇1

2� ∗ 𝐸𝐸𝑖𝑖𝐼𝐼𝑖𝑖𝐼𝐼𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑡𝑡𝑒𝑒 1𝑓𝑓𝑜𝑜𝑡𝑡ã𝑜𝑜

= 4 ∗ 2 × 109 ∗ℎ𝑐𝑐

𝜆𝜆(𝑐𝑐𝐼𝐼𝑖𝑖𝑖𝑖𝑙𝑙𝑠𝑠) = 2 ∗ 6.62 ∗ 3 × 10−34+8+7+9 ≅ 4 × 10−9 𝐽𝐽. 𝑠𝑠−1



I (AD1: 8pts ; Exame Completo: 4 pts) Considere um objecto colocado a uma distância de 10 cm de uma lente divergente de distância focal de 20 cm. No outro lado da lente está colocado, a 100 cm desta, um espelho de esférico. A ampliação lateral total após reflexão no espelho é 2 e a imagem formada é invertida.

a) Determine e caracterize a posição da imagem dada pela lente. b) Caracterize a imagem final formada após reflexão no espelho c) Qual a posição da imagem final formada após a reflexão no espelho? d) Determine o tipo de espelho e o seu raio.

Solução

a) Imagem dada pela lente:

𝑞𝑞1 =𝑝𝑝1 ∗ 𝑓𝑓1𝑝𝑝1 − 𝑓𝑓1

=10 ∗ (−20)

10 + 20= −

203𝑐𝑐𝑐𝑐 < 0 𝐼𝐼𝑐𝑐𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝑐𝑐 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝐼𝐼𝑣𝑣

𝑐𝑐1 = −𝑞𝑞1𝑝𝑝1

=23

> 0 𝐼𝐼𝑐𝑐𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑣𝑣𝑣𝑣𝐼𝐼𝑐𝑐𝑣𝑣𝐼𝐼

b) Imagem Final

Imagem final invertida implica que a ampliação lateral total seja negativa.

𝑐𝑐𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = −2 =ℎ𝑖𝑖𝑖𝑖𝑡𝑡𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖ℎ𝑡𝑡𝑜𝑜𝑜𝑜𝑖𝑖𝑜𝑜𝑡𝑡𝑡𝑡

𝑝𝑝2 = 𝑑𝑑 − 𝑞𝑞1 = 100 +203

=320

3 𝑐𝑐𝑐𝑐

𝑐𝑐𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑐𝑐1 ∗ 𝑐𝑐2 = �−𝑞𝑞1𝑝𝑝1� �−

𝑞𝑞2𝑝𝑝2� = −2 → 𝑞𝑞2 > 0 → 𝐼𝐼𝑐𝑐𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝑐𝑐 𝑅𝑅𝐼𝐼𝐼𝐼𝑣𝑣

c) Posição

𝑞𝑞2 = −2 ∗10

− 203∗

3203

= 320 𝑐𝑐𝑐𝑐

d) Tipo de espelho

1𝑝𝑝2

+1𝑞𝑞2

=2𝑣𝑣

→ 𝑣𝑣 =2 ∗ 𝑝𝑝2 ∗ 𝑞𝑞2𝑝𝑝2 + 𝑞𝑞2

= 160 𝑐𝑐𝑐𝑐 > 0 𝐼𝐼𝑒𝑒𝑝𝑝𝐼𝐼𝑣𝑣ℎ𝑜𝑜 𝑐𝑐ô𝑛𝑛𝑐𝑐𝐼𝐼𝑣𝑣𝑜𝑜.

Recurso Ano lectivo 2012/13 1º Semestre Data: 29 de Janeiro 2013 Hora: 10:00 horas Duração:1h30/2h30

II (AD1: 5 pts ; Exame Completo: 2.5 pts)

Um homem para se barbear encontra-se a p=45 cm de um espelho esférico. A ampliação desejada é 3.

a) Qual a natureza e a posição da imagem? Justifique. b) Qual deverá ser o raio r de curvatura do espelho e de que tipo de espelho se trata?

Solução a) Natureza imagem:

O olho humano só pode ver objectos reais ou imagens virtuais. Logo a imagem é virtual.

𝑞𝑞 < 0 → 𝑐𝑐 = −𝑞𝑞𝑝𝑝

= +3 → 𝑞𝑞 = −3 ∗ 𝑝𝑝 = −135 𝑐𝑐𝑐𝑐

b) Raio de curvatura

1𝑝𝑝

+1𝑞𝑞

=2𝑣𝑣

→ 2𝑣𝑣

=1𝑝𝑝−

13𝑝𝑝

→ 𝑣𝑣 =2 ∗ 𝑝𝑝 ∗ 𝑞𝑞𝑝𝑝 + 𝑞𝑞

= 3𝑝𝑝 = 135 𝑐𝑐𝑐𝑐

Raio positivo logo é um espelho côncavo.

III (AD1: 7 pts ; Exame Completo: 3.5 pts)

A ponta da agulha, de massa 10g, duma máquina de costura move-se com um movimento harmónico simples ao longo do eixo OY com um período de 4π s. No instante t=0 a sua posição é +2 m e a sua velocidade -1m/s.

a) Calcule a amplitude do movimento. b) Calcule a fase inicial e escreva a expressão para a posição da ponta da agulha em função

do tempo. c) Depois de desligar o motor da máquina a agulha continua a se mover mas a amplitude

do movimento se reduz em metade em 0.01 s. Calcule a constante de amortecimento.

Solução

a) Amplitude

𝑦𝑦(𝑣𝑣) = 𝐴𝐴 sin �2𝜋𝜋𝑇𝑇∗ 𝑣𝑣 + 𝜙𝜙� 𝑜𝑜𝑣𝑣 𝑦𝑦(𝑣𝑣) = 𝐴𝐴 cos �

2𝜋𝜋𝑇𝑇∗ 𝑣𝑣 + 𝜙𝜙2�

𝜔𝜔 =2𝜋𝜋𝑇𝑇

=12

𝑣𝑣𝐼𝐼𝑑𝑑. 𝑒𝑒−1

𝑉𝑉𝑡𝑡𝑜𝑜𝑜𝑜 = 𝐴𝐴𝜔𝜔 cos[𝜔𝜔𝑣𝑣 + 𝜙𝜙] 𝑜𝑜𝑣𝑣 𝑉𝑉𝑡𝑡𝑜𝑜𝑜𝑜 = −𝐴𝐴𝜔𝜔 sin[𝜔𝜔𝑣𝑣 + 𝜙𝜙2]

cos2 𝜃𝜃 + sin2 𝜃𝜃 = 1 → 𝑦𝑦2 +𝑉𝑉𝑡𝑡𝑜𝑜𝑜𝑜2

𝜔𝜔2 = 𝐴𝐴2

𝐴𝐴 = �𝑦𝑦2 +𝑉𝑉𝑡𝑡𝑜𝑜𝑜𝑜2

𝜔𝜔2 = √4 + 4 = 2√2

b) Fase inicial e equação do movimento:

i) 1ª possibilidade.

𝑦𝑦(0) = +2 = 2√2 sin(0.5 ∗ 0 + 𝜙𝜙) → sin𝜙𝜙 =1√2

→

⎩⎪⎨

⎪⎧ 𝜙𝜙 =

𝜋𝜋4

𝑣𝑣𝐼𝐼𝑑𝑑



𝑉𝑉𝑡𝑡𝑜𝑜𝑜𝑜(0) =12∗ 𝐴𝐴 ∗ cos(0 + 𝜙𝜙) < 0 → cos𝜙𝜙 < 0 → 𝜙𝜙 =

3𝜋𝜋4

𝑣𝑣𝐼𝐼𝑑𝑑 ii) 2ª Possibilidade

𝑦𝑦(0) = +2 = 2√2 cos(0 + 𝜙𝜙2) → cos𝜙𝜙2 =1√2

→

⎩⎪⎨

⎪⎧ 𝜙𝜙2 =

𝜋𝜋4


𝜙𝜙2 = −𝜋𝜋4


𝑉𝑉𝑡𝑡𝑜𝑜𝑜𝑜(0) = −12∗ 𝐴𝐴 ∗ sin(0 + 𝜙𝜙2) < 0 → sin𝜙𝜙2 > 0 → 𝜙𝜙2 =

𝜋𝜋4


c) Constante de amortecimento

𝐴𝐴(0.01) =𝐴𝐴02

= 𝐴𝐴0𝐼𝐼− 𝑜𝑜2𝑖𝑖𝑡𝑡 = 𝐴𝐴0𝐼𝐼

− 𝑜𝑜0.02∗0.01 = 𝐴𝐴0𝐼𝐼

−𝑜𝑜2

𝑏𝑏 = 2 ln 2 𝑘𝑘𝐼𝐼. 𝑒𝑒−1

IV (AD2: 7 pts ; Exame Completo: 3.5 pts) A figura representa uma onda a propagar-se numa corda ao longo do eixo dos xx. A curva a cheio representa a forma da corda no instante t1=0,1s e a curva a ponteado representa a forma da mesma corda no instante t2=0,2s.

a) Qual é o comprimento de onda? b) Determine o período e a velocidade de propagação da onda. c) A velocidade de oscilação do ponto em x=0m no instante t=0.1s é positiva ou negativa?

Justifique. d) Determine a fase inicial.

Solução

a) Comprimento de Onda Pelo gráfico: λ = 4 m

b) Período e Velocidade Duas maneiras: A onda deslocou-se de 1 m em 0.1 s:

𝑉𝑉𝑝𝑝𝑝𝑝𝑡𝑡𝑝𝑝 = 10 𝑐𝑐. 𝑒𝑒−1 ou o ponto em x=0 (por exemplo) passou da posição de equilíbrio y(0.1)=0 para a posição extrema y(0.2)= -A em 0.1 s ou seja:

𝑇𝑇4

= 0.1 → 𝑇𝑇 = 0.4 𝑒𝑒 Depois:

𝑉𝑉𝑝𝑝𝑝𝑝𝑡𝑡𝑝𝑝 =𝜆𝜆𝑇𝑇

c) A velocidade de oscilação O ponto em x=0 vai passar de y(t=0.1s)=0 para y(t=0.2) = -A logo a sua velocidade és negativa. Pode também justificar dizendo que o ponto em x=0 vai reproduzir em t>0.1 o movimento de um ponto em x<0.

d) Fase inicial Varias maneiras em função do ponto e do instante escolhido. Mais simples: t=0.2s e x=0m i) 𝑦𝑦(𝑥𝑥; 𝑣𝑣) = 𝐴𝐴 sin(𝜔𝜔𝑣𝑣 − 𝑘𝑘𝑥𝑥 + 𝜙𝜙)

x(m)

2 4

y(m)

-1

1

𝑦𝑦(0.2; 0) = −1 = 1 sin �2𝜋𝜋0.20.4

− 0 + 𝜙𝜙� → 𝜋𝜋 + 𝜙𝜙 = −𝜋𝜋2

→ 𝜙𝜙 = −3𝜋𝜋2

=𝜋𝜋2𝑣𝑣𝐼𝐼𝑑𝑑

ii) 𝑦𝑦(𝑥𝑥; 𝑣𝑣) = 𝐴𝐴 sin(𝑘𝑘𝑥𝑥 − 𝜔𝜔𝑣𝑣 + 𝜙𝜙2)

𝑦𝑦(0.2; 0) = −1 = 1 sin �0 − 2𝜋𝜋0.20.4

+ 𝜙𝜙2� → −𝜋𝜋 + 𝜙𝜙2 = −𝜋𝜋2

→ 𝜙𝜙2 =𝜋𝜋2


Mais complicado, por exemplo: t=0.1s e x=0m

𝑦𝑦(𝑥𝑥; 𝑣𝑣) = 𝐴𝐴 sin �2𝜋𝜋𝑇𝑇𝑣𝑣 −

2𝜋𝜋𝜆𝜆𝑥𝑥 + 𝜙𝜙3�

𝑦𝑦(0; 0.1) = 0 = 1 sin �2𝜋𝜋0.10.4

− 0 + 𝜙𝜙3� →

⎩⎨

⎧𝜋𝜋2

+ 𝜙𝜙3 = 0𝑜𝑜𝑣𝑣

𝜋𝜋2

+ 𝜙𝜙3 = 𝜋𝜋

𝑉𝑉𝑡𝑡𝑜𝑜𝑜𝑜(0; 0.1) = 𝐴𝐴𝜔𝜔 cos �2𝜋𝜋0.10.4

− 0 + 𝜙𝜙3� < 0 → cos �𝜋𝜋2

+ 𝜙𝜙3� < 0 → 𝜋𝜋2

+ 𝜙𝜙3 = 𝜋𝜋

𝜙𝜙3 =𝜋𝜋2


V (AD2: 6 pts ; Exame Completo: 3 pts) Uma corda está a ressoar no 7º harmónico com uma frequência de 420 Hz. A velocidade de propagação das ondas na corda é de 1000 m/s.

a) Qual é a frequência do 1º harmónico? b) Qual é o comprimento de onda do 5º harmónico? c) Sabendo que a corda tem um comprimento de 4.2 m, determine se ela está presa nas

duas extremidades ou só numa.

Solução Ondas estacionárias.

𝑓𝑓𝑛𝑛 = 𝑛𝑛 ∗ 𝑓𝑓1 𝐼𝐼 𝜆𝜆𝑛𝑛 =𝜆𝜆1𝑛𝑛

=𝑉𝑉𝑝𝑝𝑝𝑝𝑡𝑡𝑝𝑝𝑛𝑛 ∗ 𝑓𝑓𝑛𝑛

a) 1º harmónico:

𝑓𝑓1 =𝑓𝑓𝑛𝑛𝑛𝑛

=420

7= 60 𝐻𝐻𝐻𝐻

b) 5º harmónico

𝜆𝜆5 =𝜆𝜆15

=

𝑉𝑉𝑝𝑝𝑝𝑝𝑡𝑡𝑝𝑝𝑓𝑓15

=206𝑐𝑐

c) Presa numa extremidade ou duas?

Se for nas duas extremidades a distância no primeiro harmónico entre dois nós é:

𝐿𝐿 =𝜆𝜆12

=�1000

60 �2

=253𝑐𝑐

Se for presa numa extremidade só, no primeiro harmónico a distância entre um nó e um ventre é:

𝐿𝐿 =𝜆𝜆14

=�1000

60 �4

≅ 4.2 𝑐𝑐 A corda está presa só numa extremidade.

VI (AD2: 7 pts ; Exame Completo: 3.5 pts) Fotões de 62keV de energia, emitidos por uma fonte radioactiva de 241Am, incidem no alvo de berílio (WBe=4,98 eV), tal como se mostra na figura ao lado. (h.c=1240 eV.nm; λc=h/mec =2,43x10-3 nm)

a) Qual o comprimento de onda mínimo dos fotões que poderá ser observado no lado esquerdo após a interacção da radiação incidente com o alvo de berílio.


lâmpada com emissão no ultravioleta, de comprimento de onda de 200nm. Estabeleça uma expressão analítica, a mais simplificada possível, que a partir das grandezas conhecidas, lhe permita determinar o comprimento de onda mínimo que poderá ser atribuído aos electrões produzidos no Be,.

Solução

a) Efeito Compton

Δ𝜆𝜆 = 2.43(1 − cos 𝜃𝜃) 𝑝𝑝𝑐𝑐 Lado esquerdo: θ ≥ π/2

𝜆𝜆1 =ℎ𝑐𝑐(𝐼𝐼𝑉𝑉.𝑛𝑛𝑐𝑐)𝐸𝐸𝑓𝑓𝑡𝑡𝑡𝑡ã𝑡𝑡(𝐼𝐼𝑉𝑉) =

124062 × 103

= 20 𝑝𝑝𝑐𝑐

𝜆𝜆2 = 𝜆𝜆1 + 2.43 �1 − cos

𝜋𝜋2

� = 22.43 𝑝𝑝𝑐𝑐

b) Energia mínima: comprimento de onda máximo, θ = π rad

𝜆𝜆2 = 𝜆𝜆1 + 4.86

𝐸𝐸𝑖𝑖𝑖𝑖𝑛𝑛 =1240

24.86 × 10−3≅ 49.6 𝑘𝑘𝐼𝐼𝑉𝑉

c) Efeito fotoeléctrico

Foto-electrões

𝐸𝐸𝑜𝑜 ≤ℎ𝑐𝑐𝜆𝜆−𝑊𝑊 =

1240200

− 4.98 = 1.22 𝐼𝐼𝑉𝑉 = 1.952 × 10−19 𝐽𝐽

Comprimento de Onda de Broglie

𝜆𝜆 =ℎ𝑝𝑝

=ℎ

𝑐𝑐𝑖𝑖𝑣𝑣 𝐼𝐼 𝐸𝐸𝑜𝑜 =

12𝑐𝑐𝑖𝑖𝑣𝑣2 =

12𝑐𝑐𝑖𝑖

(𝑐𝑐𝑖𝑖𝑣𝑣)2 =1

2𝑐𝑐𝑖𝑖𝑝𝑝2

𝑝𝑝 = �2𝑐𝑐𝑖𝑖 ∗ 𝐸𝐸𝑐𝑐 → 𝜆𝜆 =ℎ

�2𝑐𝑐𝑖𝑖 ∗ 𝐸𝐸𝑐𝑐

𝜆𝜆𝑖𝑖𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑞𝑞𝑣𝑣𝐼𝐼𝑛𝑛𝑑𝑑𝑜𝑜 𝐸𝐸𝑜𝑜 𝑐𝑐á𝑥𝑥𝑣𝑣𝑐𝑐𝐼𝐼 → 𝜆𝜆𝑖𝑖𝑖𝑖𝑛𝑛 =ℎ

�2𝑐𝑐𝑖𝑖 ∗ 1.952 × 10−19 𝑐𝑐

Prof. Claude Boemare – Universidade de Aveiro -2012

Mecânica

Importante:

- O valor da aceleração da gravidade a utilizar é 10 m/s2.

- Não é permitida a utilização da calculadora.

I

Uma partícula de massa m possui um movimento circular de raio R=2m. No instante t=1 s o espaço percorrido s no arco de circunferência é de 3 m. O movimento realiza-se num plano horizontal a uma altura de 5 m. Se a expressão da velocidade angular for 13 2 t (rad/s), determine:

a) As expressões das acelerações angular e centrípeta. b) A expressão do espaço percorrido s. c) As expressões das forças responsáveis pelo movimento. d) No instante t=3 s, a partícula fica sujeita unicamente ao seu peso.

Determine o tempo de queda e a velocidade da partícula quando ela atinge o chão.

UNIVERSIDADE DE AVEIRO

DEPARTAMENTO DE FÍSICA

3810-193 AVEIRO

1ª Frequência de Avaliação Contínua Ano lectivo 2009/10 2º Semestre Data: 8 de Abril 2010 Hora: 18h15 Duração: 1h 30m

Cotação: I - 10 valores II - 10 valores


II

Considere a figura abaixo, sendo a massa do corpo A igual a mA. Os coeficientes de atrito são estático e e cinético c.

a) 0s corpos estão na iminência de se mover. Represente as forças que actuam sobre o corpo A nos dois casos possíveis (faça duas figuras).

b) Para cada um dos casos anteriores, determine a expressão da massa do corpo B que mantém o sistema dos dois corpos em equilíbrio?

c) O sistema está agora em movimento. Determine a expressão da aceleração do sistema em cada um dos casos.

Formulário

;u dtdv

|v|v

dtdv

ta ;nur

2vca ;2dt

(t)r2d=(t)a ;dt(t)rd=(t)v (t);r t

(t) ; dt

(t)d=(t) ;

2dt

)(2d = (t) t ;

dtpdF

; vmp ; NFa

Constantes:

g= 10 ms-2

G = 6,67 x 10-11 Nm2kg-2

MT = 5,98 x 1024 kg ; RT = 6,37 x 106 m; DT-S = 1,496 x 1011 m ; MS = 1,991x 1030 kg

A B


Solução

I

𝜔 = 3 ∗ 𝑡2 + 1 (𝑚/𝑠)

a) As Acelerações:

𝑎𝑐 = 𝑅 ∗ 𝜔2 𝑎𝑡 = 𝑅 ∗ 𝛼 = 𝑅 ∗𝑑𝜔

𝑑𝑡= 𝑅 ∗ 6 ∗ 𝑡

b) Espaço percorrido:

𝑣(𝑡) = 𝑅 ∗ 𝜔(𝑡) = 𝑅 ∗ (3 ∗ 𝑡2 + 1)

𝑠(𝑡) − 𝑠(1) = ∫𝑣(𝑡) ∗ 𝑑𝑡

𝑡

1

= 𝑅 ∫(3 ∗ 𝑡2 + 1) ∗ 𝑑𝑡

𝑡

1

= [𝑡3 + 𝑡]1𝑡 = 𝑡3 + 𝑡 − 2

𝑠(𝑡) = 𝑡3 + 𝑡 + 1 (𝑚)

c) Forças:

𝐹𝑡 = 𝑚 ∗ 𝑎𝑡 = 𝑚 ∗ 𝑅 ∗ 6 ∗ 𝑡 𝐹𝑐 = 𝑚 ∗ 𝑎𝑐 = 𝑚 ∗ 𝑅 ∗ (𝜔2 + 1)

d) Tempo de queda e velocidade:

No instante t=3 s a velocidade é:

𝑣(3) = 𝑅(27 + 1) = 28 ∗ 𝑅 = 56 (𝑚/𝑠) Movimento a duas dimensões:

𝑉𝑥 = 𝑉0

𝑉𝑦 = −𝑔 ∗ 𝑡 𝑒

𝑥 = 𝑣0 ∗ 𝑡

𝑦 = 𝑦0 −𝑔2 ∗ 𝑡2 = 𝐻 −

𝑔2 ∗ 𝑡2

O tempo de queda é obtido quando y=0:

𝑡 = √2 ∗ 𝐻

𝑔= 1 (𝑠)


𝑉 = √𝑉𝑥2(𝑡) + 𝑉𝑦2(𝑡) = √𝑉02 + 𝑔2 ∗

2 ∗ 𝐻

𝑔= √𝑉0

2 + 2 ∗ 𝑔 ∗ 𝐻

II

a) Dois casos possíveis: A sobe e B desce ou A desce e B sobe, o que vai mudar é sentido da força de atrito estático. Caso 1:A quer subir Caso 2: A quer descer

b) Massa do corpo B: Em todos os casos, o atrito é estático e é máximo.

𝐹𝑎 = 𝜇𝑒 ∗ 𝑁 Corpo B (nos dois casos):

0 = 𝑚𝐵 ∗ 𝑔 − 𝑇2 𝑇2 = 𝑚𝐵 ∗ 𝑔

Caso 1 (subir):

0 = −𝑚𝐴 ∗ 𝑔 ∗ sin 𝛼 + 𝑇1 − 𝐹𝑎0 = 𝑁 − 𝑚𝐴 ∗ 𝑔 ∗ cos 𝛼

𝑇1 = 𝑚𝐴 ∗ 𝑔 ∗ sin 𝛼 + 𝐹𝑎 = 𝑚𝐴 ∗ 𝑔(sin 𝛼 + 𝜇𝑒 ∗ cos 𝛼)

A B

��

𝑃𝐴

𝑃𝐴

𝑇1 𝑇1

𝐹𝐴

𝐹𝐴


Como as tensões são iguais:

𝑇1 = 𝑇2 = 𝑚𝐴 ∗ 𝑔(sin 𝛼 + 𝜇𝑒 ∗ cos 𝛼) = 𝑚𝐵 ∗ 𝑔

𝑚𝐵 = 𝑚𝐴 ∗ (sin 𝛼 + 𝜇𝑒 ∗ cos 𝛼) Caso 2 (descer):

0 = −𝑚𝐴 ∗ 𝑔 ∗ sin 𝛼 + 𝑇1 + 𝐹𝑎0 = 𝑁 − 𝑚𝐴 ∗ 𝑔 ∗ cos 𝛼

Só muda o sinal da força de atrito logo:

𝑇1 = 𝑇2 = 𝑚𝐴 ∗ 𝑔(sin 𝛼 − 𝜇𝑒 ∗ cos 𝛼) = 𝑚𝐵 ∗ 𝑔

𝑚𝐵 = 𝑚𝐴 ∗ (sin 𝛼 − 𝜇𝑒 ∗ cos 𝛼)

c) Aceleração nos dois casos: O atrito é agora cinético e sempre em sentido oposto a aceleração. Caso 1:

Corpo B

𝑚𝐵 ∗ 𝑎 = 𝑚𝐵 ∗ 𝑔 − 𝑇2 Corpo A:

𝑚𝐴 ∗ 𝑎 = −𝑚𝐴 ∗ 𝑔 ∗ sin 𝛼 + 𝑇1 − 𝐹𝑎0 = 𝑁 − 𝑚𝐴 ∗ 𝑔 ∗ cos 𝛼

(𝑚𝐴 + 𝑚_𝐵) ∗ 𝑎 = 𝑚𝐵 ∗ 𝑔 − 𝑚𝐴 ∗ 𝑔 ∗ sin 𝛼 − 𝜇𝑐 ∗ 𝑚𝐴 ∗ 𝑔 ∗ cos 𝛼

𝑎 =𝑚𝐵 − 𝑚𝐴 ∗ (sin 𝛼 + 𝜇𝑐 ∗ cos 𝛼)

𝑚𝐴 + 𝑚𝐵𝑔

Caso 2: Resolução idêntica, mas a aceleração muda de sentido assim como o atrito.

𝑚𝐵 ∗ 𝑎 = −𝑚𝐵 ∗ 𝑔 + 𝑇2


𝑚𝐴 ∗ 𝑎 = 𝑚𝐴 ∗ 𝑔 ∗ sin 𝛼 − 𝑇1 − 𝐹𝑎0 = 𝑁 − 𝑚𝐴 ∗ 𝑔 ∗ cos 𝛼

𝑎 =−𝑚𝐵 + 𝑚𝐴 ∗ (sin 𝛼 − 𝜇𝑐 ∗ cos 𝛼)

𝑚𝐴 + 𝑚𝐵𝑔


- O valor da aceleração da gravidade a utilizar é 10 m/s2.

- Não é permitida a utilização da calculadora.

I

A figura representa dois pêndulos simples de comprimento L = 1, suspensos no ponto O, de massas m1 e m2=3 m1, estão inicialmente nas posições A1 e A2. O pêndulo 1 faz um ângulo inicial de com a vertical, é largado sem velocidade inicial colidindo elasticamente com o pêndulo 2.

a) Qual é a expressão da velocidade da partícula 1 quando está na posição vertical? b) Determine as expressões das velocidades das partículas depois da colisão (atenção

aos sinais). c) Determina as expressões dos ângulos máximos atingidos por cada uma das

partículas após a colisão (1 e 2).

II

Avaliação Continua 2

Ano lectivo 2009/10

2º Semestre

Data: 8 de Junho 2010

Hora: 18h 15min

Duração: 1 h 30min

O

m1

A1 m2

A2

h

Cotação:

I – 10 valores

II - 10 valores


Um cilindro (momento de inércia I = (½) MR2) de massa M e de raio R, parte da base de um plano inclinado de ângulo . A velocidade inicial do centro de massa é v0 (rola sem deslizar).

a) Qual é a expressão da altura máxima que o cilindro atinge? b) Determine a expressão da aceleração do centro de massa de duas maneiras,

usando: a. A conservação da energia mecânica, b. As leis de Newton (momentos das forças).


Solução

I

a) Velocidade de 1 quando está na vertical:

∆𝐸𝑐 = 𝑊𝑝 +𝑊𝑇

𝑊𝑇 = 0 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 �� ⊥ 𝑑𝑟 𝑊𝑃 = −𝑚1 ∗ 𝑔 ∗ ∆𝑦 = −𝑚1 ∗ 𝑔 ∗ (−ℎ) 𝑒 ℎ = 𝑙 ∗ (1 − cos 𝛼)

∆𝐸𝑐 = 𝐸𝑐𝑓 − 𝐸𝑐𝑖 = 𝐸𝑐𝑓 − 0 =1

2∗ 𝑚1 ∗ 𝑉1

2 = 𝑚1 ∗ 𝑔 ∗ 𝑙 ∗ (1 − cos 𝛼)

𝑉12 = √2 ∗ 𝑔 ∗ ℎ = √2 ∗ 𝑔 ∗ 𝑙 ∗ (1 − cos 𝛼)

b) Velocidades das partículas depois da colisão: Em qualquer colisão há conservação do momento linear. Neste caso como a colisão é elástica há também conservação da energia cinética.

{∆𝐸𝑐 = 0

∆𝑃 = 0

{

1

2∗ 𝑚1 ∗ 𝑉1𝑖

2 =1

2∗ 𝑚1 ∗ 𝑉1𝑓

2 +1

2∗ 𝑚2 ∗ 𝑉2𝑓

2

𝑚1𝑉1𝑖 = −𝑚1 ∗ 𝑉1𝑓 +𝑚2 ∗ 𝑉2𝑓

O sinal menos da velocidade do corpo 1 após a colisão indique que o corpo 1 volta para traz, pois o corpo 2 tem uma massa 3 vezes maior.

O

m1

A1 m2

A2

h

��

��


Dados:

{𝑚2 = 3𝑚1

𝑉1𝑖 = 𝑉1

Logo:

{𝑉1𝑖2 = 𝑉1𝑓

2 + 3𝑉2𝑓2

𝑉1𝑖 = −𝑉1𝑓 + 3𝑉2𝑓

{

1

3∗ (𝑣1𝑖

2 − 𝑉1𝑓2 ) = 𝑉2𝑓

2

1

9∗ (𝑉1𝑖 + 𝑉1𝑓)

2= 𝑉2𝑓

2

13∗ (𝑣1𝑖

2 − 𝑉1𝑓2 )

19 ∗

(𝑉1𝑖 + 𝑉1𝑓)2=3 ∗ (𝑉1𝑖 − 𝑉1𝑓) ∗ (𝑉1𝑖 + 𝑉1𝑓)

(𝑉1𝑖 + 𝑉1𝑓)2 =

𝑉2𝑓2

𝑉2𝑓2 = 1

3 ∗ (𝑉1𝑖 − 𝑉1𝑓)

(𝑉1𝑖 + 𝑉1𝑓)= 1

{

𝑉1𝑓 =

𝑉1𝑖2

𝑉2𝑓 =𝑉1𝑖2

c) Alturas e/ou ângulos máximos atingidos pelas massas: Para as duas massas a resolução é a mesma:

∆𝐸𝑐 = 𝑊𝑝 +𝑊𝑇 = 𝑊𝑃 = 𝑚 ∗ 𝑔 ∗ ℎ 1

2∗ 𝑚 ∗ 𝑉𝑓

2 = 𝑚 ∗ 𝑔 ∗ ℎ = 𝑚 ∗ 𝑔 ∗ 𝑙 ∗ (1 − cos 𝛼)

ℎ =𝑉𝑓2

2 ∗ 𝑔

cos 𝛼 =2 ∗ 𝑔 ∗ 𝑙 − 𝑉𝑓

2

2 ∗ 𝑔 ∗ 𝑙

𝑉𝑓 é {𝑉1𝑓 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜1

𝑉2𝑓 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 2


II

a) Altura máxima:

∆𝐸𝑐 = 𝑊𝑃 +𝑊𝑁 +𝑊𝐹𝑎

�� ⊥ 𝑑𝑟 𝑊𝑁 = 0 Atrito estático 𝑊𝐹𝑎 = 0

𝑊𝑃 = −𝑚 ∗ 𝑔 ∗△ 𝑦 = −𝑚 ∗ 𝑔 ∗ ℎ

𝐸𝑐 = 𝐸𝐶𝑇 + 𝐸𝐶𝑅 =1

2∗ 𝑚 ∗ 𝑉𝐶𝑀

2 +1

2∗ 𝐼𝐶𝑀 ∗ 𝜔

2

𝐸𝑐 =3

4∗ 𝑚 ∗ 𝑉𝐶𝑀

2

ℎ =3

4 ∗ 𝑔∗ 𝑉𝐶𝑀

2

b) Aceleração:

i) Usando a Energia:

∆𝐸𝑐 = 𝑊𝑃 +𝑊𝑁 +𝑊𝐹𝑎 = −𝑚 ∗ 𝑔 ∗ ℎ

∆𝐸𝑐 = 𝐸𝑐𝑓 − 𝐸𝑐𝑖 = 0 −1

2∗ 𝐼𝐶𝑀 ∗ 𝜔0

2 −1

2∗ 𝑉0

2 = −3

4∗ 𝑚 ∗ 𝑉0

2

𝑉02 =

4

3∗ 𝑔 ∗ ℎ =

4

3∗ 𝑔 ∗ 𝑥 ∗ sin 𝜃

A aceleração é constante:

𝑉2 − 𝑉02 = 2 ∗ 𝑎 ∗ 𝑥 0 −

4

3∗ 𝑔 ∗ 𝑥 ∗ sin 𝜃 = 2 ∗ 𝑎 ∗ 𝑥


𝑎 = −2

3∗ 𝑔 ∗ sin 𝜃

ii) Usando as lies de Newton: Calculando os momentos no ponto Q de contacto com o plano inclinado:

∑��𝑄

= 𝐼𝑄 ∗ ��

��𝐹𝑎 = 0 𝑒 ��𝑁 = 0

��𝑃 = −𝑚 ∗ 𝑔 ∗ sin 𝜃

𝐼𝑄 = 𝐼𝐶𝑀 +𝑚 ∗ 𝑅2 =3

2∗ 𝑚 ∗ 𝑅2

{−𝑚 ∗ 𝑔 ∗ sin𝜃 =3

2∗ 𝑚 ∗ 𝑅2 ∗ 𝛼

𝑎𝐶𝑀 = 𝑅 ∗ 𝛼

𝑎 = −2

3∗ 𝑔 ∗ sin 𝜃

��

𝐹𝐴

��

𝜔

Q

- Considere o valor da aceleração da gravidade igual a 10 m/s2.

I

Um bloco de 2,00 kg é largado do repouso de um plano inclinado de θ=30º=π/6 e de uma altura h=5,0 m, como se ilustra no esquema. Considere que não há atrito e que o plano inclinado está sobre uma mesa de altura H= 0,55 m.

a) Determine a aceleração do bloco quando desce o plano. b) Qual é o módulo da velocidade do bloco quando deixa o plano? c) Quanto tempo durou a queda desde a mesa? d) Qual a distância, R, atingida pelo bloco no chão? e) A massa do bloco afecta os cálculos que realizou? Justifique a sua resposta.

II

Um corpo de massa 0,5kg é largado de uma altura de 5m ao longo de uma calha, sobre a qual desliza sem atrito. Na parte inferior da calha o corpo choca com um bloco de massa 2kg que se encontra em repouso. Após a colisão, o bloco desliza ao longo de um plano horizontal, sendo o coeficiente de atrito entre o bloco e o plano de 0,8. Ao fim de 1m pára.

a) Determine a velocidade do corpo na base da calha, b) Qual é a velocidade do bloco após a colisão? c) Determine a altura que o corpo sobe após a colisão d) Diga qual o tipo de colisão aqui descrito (elástica ou não). Justifique

devidamente a sua resposta.

UNIVERSIDADE DE AVEIRO

DEPARTAMENTO DE FÍSICA

Exame Final Ano lectivo 2009/10 2º Semestre Data: 28 de Junho 2010 Hora: 15h00 Duração: 2h 30m

5

Cotação: I – 5 valores II – 5 valores III – 5 valores IV – 5 valores


III

Uma placa de massa mp está pendurada numa barra de massa mb . A barra está presa na parede e é mantida na horizontal por um cabo, como se ilustra na figura abaixo. Os valores são os seguintes:

mp= 1,0 kg mb= 0,5 kg L2= 1,6 m L1= 4/3 m sen (α) =3/5 cos(α) = 4/5

O

a) Qual é o momento da tensão T exercida pelo cabo sobre a barra em torno do ponto O. Exprima o resultado em função do módulo da tensão T (O é o ponto de encaixe da barra na parede).

b) Calcule o módulo da tensão T? c) Determine a força vertical (F1) e a força horizontal (F2) no ponto O de encaixe

da barra com a parede.

IV O fio de um cilindro de massa M e raio R é puxado por uma força de intensidade F como mostra a figura abaixo. O cilindro não desliza. (momento de inércia de um cilindro é 1/2 MR2)

a) Represente as outras forças que estão a actuar no cilindro. b) Determine as expressões das intensidades das forças que representou na alínea

anterior em função de F, de M e de g (aceleração da gravidade). c) Determine a expressão da aceleração do centro de massa do cilindro.

α

L1

L2


Solução

I

a) Forças Aplicadas:

�𝐹𝐹𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒�� = 𝑚𝑚 ∗ ��𝑎

�𝑚𝑚 ∗ 𝑎𝑎 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ sin𝜃𝜃0 = 𝑁𝑁 −𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ cos 𝜃𝜃

𝑎𝑎 = 𝑔𝑔 ∗ sin𝜃𝜃 = 5 (𝑚𝑚/𝑠𝑠2)

b) Velocidade na base do plano inclinado (duas possibilidade de resolução): i) Movimento Rectilíneo Uniformemente Acelerado:

�𝑉𝑉 = 𝑉𝑉0 + 𝑎𝑎 ∗ 𝑡𝑡

𝑥𝑥 = 𝑥𝑥0 + 𝑉𝑉0 ∗ 𝑡𝑡 +𝑎𝑎2 ∗ 𝑡𝑡^2 → 𝑉𝑉2 − 𝑉𝑉02 = 2 ∗ 𝑎𝑎 ∗ 𝑥𝑥

𝑉𝑉2 = 2 ∗ 𝑎𝑎 ∗ 𝑥𝑥 𝑉𝑉 = �2 ∗ 𝑎𝑎 ∗ ℎsin𝜃𝜃 = 10 (𝑚𝑚/𝑠𝑠)

𝑃𝑃�

𝑁𝑁��


ii) Variação da Energia Cinética:

∆𝐸𝐸𝑐𝑐 = 𝑊𝑊𝑝𝑝 + 𝑊𝑊𝑁𝑁 = 𝑊𝑊𝑝𝑝

𝐸𝐸𝑐𝑐𝑐𝑐 − 𝐸𝐸𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝐸𝐸𝑐𝑐𝑐𝑐 =12∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑉𝑉𝑐𝑐2 = −𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ ∆𝑦𝑦 = −𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ ℎ

𝑉𝑉𝑐𝑐 = �2 ∗ 𝑔𝑔 ∗ ℎ = 10 (𝑚𝑚/𝑠𝑠)

c) Tempo de queda (qd y = 0):

�𝑎𝑎𝑒𝑒 = 0𝑎𝑎𝑦𝑦 = −𝑔𝑔 �

𝑉𝑉𝑒𝑒 = 𝑉𝑉0𝑒𝑒 = 𝑉𝑉0 ∗ cos 𝜃𝜃𝑉𝑉𝑦𝑦 = 𝑉𝑉𝑜𝑜𝑦𝑦 − 𝑔𝑔 ∗ 𝑡𝑡 = −𝑉𝑉0 ∗ sin𝜃𝜃 − 𝑔𝑔 ∗ 𝑡𝑡

�𝑥𝑥 = 𝑥𝑥0 + 𝑉𝑉0 ∗ cos 𝜃𝜃 ∗ 𝑡𝑡

𝑦𝑦 = 𝑦𝑦0 − 𝑉𝑉0 ∗ sin𝜃𝜃 ∗ 𝑡𝑡 − 𝑔𝑔2� ∗ 𝑡𝑡2

𝑥𝑥0 = 0 ; 𝑉𝑉0 = 𝑉𝑉𝑐𝑐 = 10 (𝑚𝑚 𝑠𝑠⁄ ) ; 𝑦𝑦0 = 𝐻𝐻 = 0.55 (𝑚𝑚)

0 = 𝐻𝐻 − 𝑉𝑉0 ∗ sin𝜃𝜃 ∗ 𝑡𝑡 −𝑔𝑔2 ∗ 𝑡𝑡

2

𝑡𝑡1,2 =𝑉𝑉0 ∗ sin𝜃𝜃 ± �𝑉𝑉02 ∗ sin2 𝜃𝜃 + 4 ∗ 𝐻𝐻 ∗ 𝑔𝑔/2

−𝑔𝑔 = 0.1 (𝑚𝑚/𝑠𝑠)

d) Alcance R:

𝑥𝑥 = 𝑉𝑉0 ∗ cos 𝜃𝜃 ∗ 𝑡𝑡 =√32 (𝑚𝑚)

e) A massa não afecta os cálculos. Só poderia se houvesse atrito.


II

a) Velocidade na base da calha:

∆𝐸𝐸𝑐𝑐 = 𝑊𝑊𝑃𝑃 + 𝑊𝑊𝑁𝑁 = 𝑊𝑊𝑝𝑝 = −𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝐻𝐻

12 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑉𝑉𝑐𝑐𝑐𝑐2 − 0 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝐻𝐻

𝑉𝑉𝑐𝑐𝑐𝑐 = �2 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝐻𝐻 = 10 (𝑚𝑚/𝑠𝑠)

b) Velocidade do Bloco: após a colisão o bloco desliza até parar ao fim de uma distância d:

∆𝐸𝐸𝑐𝑐 = 𝑊𝑊𝑝𝑝 + 𝑊𝑊𝑁𝑁 + 𝑊𝑊𝐹𝐹𝐹𝐹 = 𝑊𝑊𝐹𝐹𝐹𝐹 = −𝐹𝐹𝐴𝐴 ∗ 𝑑𝑑 = −𝜇𝜇 ∗ 𝑚𝑚𝑏𝑏 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝑑𝑑

0 −12 ∗ 𝑚𝑚𝑏𝑏 ∗ 𝑉𝑉𝑏𝑏𝑐𝑐2 = −𝜇𝜇 ∗ 𝑚𝑚𝑏𝑏 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝑑𝑑

𝑉𝑉𝑏𝑏𝑐𝑐 = �2 ∗ 𝜇𝜇 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝑑𝑑 = 4 (𝑚𝑚/𝑠𝑠)

c) Velocidade do corpo após a colisão:

∆𝑝𝑝�� = 0� 𝑚𝑚𝑐𝑐 ∗ 𝑉𝑉𝑐𝑐𝑐𝑐 = −𝑚𝑚𝑐𝑐 ∗ 𝑉𝑉𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑚𝑚𝑏𝑏 ∗ 𝑉𝑉𝑏𝑏𝑐𝑐

𝑉𝑉𝑐𝑐𝑐𝑐 =𝑚𝑚𝑏𝑏

𝑚𝑚𝑐𝑐∗ 𝑉𝑉𝑏𝑏𝑐𝑐 − 𝑉𝑉𝑐𝑐𝑐𝑐 = 6 (𝑚𝑚/𝑠𝑠)

H=5 m


d) Altura de subida do corpo:

∆𝐸𝐸𝑐𝑐 = 𝑊𝑊𝑝𝑝 + 𝑊𝑊𝑁𝑁 = 𝑊𝑊𝑃𝑃 = −𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝐻𝐻2

𝐸𝐸𝑐𝑐𝑐𝑐 − 𝐸𝐸𝑐𝑐𝑐𝑐 = 0 − 𝐸𝐸𝑐𝑐𝑐𝑐 = −12∗ 𝑚𝑚𝑐𝑐 ∗ 𝑉𝑉𝑐𝑐𝑐𝑐2 = −𝑚𝑚𝑐𝑐 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝐻𝐻2

𝐻𝐻2 =𝑉𝑉𝑐𝑐𝑐𝑐2

2 ∗ 𝑔𝑔 = 1.8 (𝑚𝑚)

e) Tipo de Colisão:

∆𝐸𝐸𝑐𝑐 = 𝐸𝐸𝑐𝑐𝑐𝑐 − 𝐸𝐸𝑐𝑐𝑐𝑐 =12∗ 𝑚𝑚𝑏𝑏 ∗ 𝑉𝑉𝑏𝑏𝑐𝑐2 +

12∗ 𝑚𝑚𝑐𝑐 ∗ 𝑉𝑉𝑐𝑐𝑐𝑐2 −

12∗ 𝑚𝑚𝑐𝑐 ∗ 𝑉𝑉𝑐𝑐𝑐𝑐2 = 0

Logo a colisão é elástica.


III a) Momento da Tensão:

𝑀𝑀𝑇𝑇� = 𝑇𝑇 ∗ 𝑑𝑑 = 𝑇𝑇 ∗ 𝐿𝐿1 ∗ sin𝛼𝛼 =45 ∗ 𝑇𝑇

b) Os corpos estão em equilíbrio:

�𝑀𝑀� = 0�

Os momentos das forças calculados no ponto O:

𝑀𝑀𝐹𝐹1 = 0 𝑀𝑀𝐹𝐹2 = 0

𝑀𝑀𝑃𝑃𝑝𝑝 = −𝐿𝐿2 ∗ 𝑚𝑚𝑝𝑝 ∗ 𝑔𝑔 𝑀𝑀𝑃𝑃𝑏𝑏 = −𝐿𝐿22 ∗ 𝑚𝑚𝑏𝑏 ∗ 𝑔𝑔 𝑀𝑀𝑇𝑇 =

45 ∗ 𝑇𝑇

𝑇𝑇 =54∗ 𝐿𝐿2 ∗ 𝑔𝑔 ∗ �𝑚𝑚𝑝𝑝 +

𝑚𝑚𝑏𝑏

2 � = 25 (𝑁𝑁)

c) Forças no ponto de encaixe O:

𝐹𝐹2 = 𝑇𝑇 ∗ cos𝛼𝛼 = 20 (𝑁𝑁)

𝐹𝐹1 = 𝑚𝑚𝑏𝑏 ∗ 𝑔𝑔 + 𝑚𝑚𝑝𝑝 ∗ 𝑔𝑔 − 𝑇𝑇 ∗ sin𝛼𝛼 = 0

α

L1

L2

𝑃𝑃𝑏𝑏�� 𝑃𝑃𝑝𝑝��

𝑇𝑇� d

𝐹𝐹1�� 𝐹𝐹2��


IV

Usando os momentos: No ponto P de contacto:

� 𝑀𝑀�𝑃𝑃

= 𝐼𝐼𝑃𝑃 ∗ 𝛼𝛼�

𝐼𝐼𝑃𝑃 = 𝐼𝐼𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚 ∗ 𝑅𝑅2 =12 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑅𝑅2 + 𝑚𝑚 ∗ 𝑅𝑅2 =

32 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑅𝑅2

No ponto P só a força F tem um momento diferente de zero:

𝑀𝑀𝐹𝐹 = 2 ∗ 𝑅𝑅 ∗ 𝐹𝐹 𝑒𝑒 𝛼𝛼 =𝑎𝑎𝑅𝑅

𝐹𝐹 ∗ 2 ∗ 𝑅𝑅 =32 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑅𝑅2 ∗ 𝛼𝛼 =

32 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑅𝑅 ∗ 𝑎𝑎

𝑎𝑎 =43∗𝐹𝐹𝑚𝑚

𝐹𝐹 + 𝐹𝐹𝐹𝐹 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑎𝑎 𝐹𝐹𝐹𝐹 =𝐹𝐹3

𝑃𝑃 = 𝑁𝑁 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔

𝑃𝑃�

𝑁𝑁��

𝐹𝐹𝐹𝐹��

p


Mecânica

I

A

Um objecto de massa M move-se com uma trajectória circular e uma velocidade linear V, de módulo constante. O vector posição muda de direcção de um ângulo θ em cada segundo. Determine as expressões:

a) da velocidade angular ω e do raio R da trajectória; b) da aceleração; c) do módulo da força aplicada ao corpo.

(As expressões só podem conter as variáveis V, θ e M).

B

Considere agora que o corpo está sujeito a uma aceleração tangencial constante, at . Em t = 1 s, a velocidade linear é v = 0 m/s e o deslocamento no arco de circunferência é s = 1 m. Determine as expressões:

d) das velocidades linear v(t) e angular ω(t); e) do deslocamento no arco de circunferência s(t) e do ângulo θ (t); f) da aceleração centrípeta; g) dos módulos das forças tangencial e centrípeta.

(As expressões só podem conter as variáveis at , R e M ).

II

Um corpo M está em repouso (ponto A) sobre um plano inclinado de ângulo α variável. Aumenta-se o ângulo até ao valor crítico (αc), a partir do qual o corpo vai movimentar-se. O corpo desce o plano até embater numa mola de constante elástica k (ponto B), comprimindo a mola de x, até parar (ponto C). De seguida, devido à acção da mola, o corpo volta a subir o plano inclinado até parar (ponto D). Só existe atrito entre os pontos A e B de coeficiente µ. Determine as expressões da:

AC1

Ano lectivo 2010/11

2º Semestre

Data: 13 de Abril 2011

Hora: 15:15 horas

Duração: 1h30

Cotação:

I – 10,0 valores

II - 10,0 valores


a) tangente do ângulo crítico αc; b) velocidade em B (considera αc como uma variável conhecida); c) variação de comprimento da mola x; d) distância d2 entre B e D.

(As expressões só podem conter as variáveis αc , µ, k, M e d1)

d1

d2 x

A

D

B C

α


Solução

I

A

______________________________________________________________________

Movimento Circular Uniforme: 𝑎𝑎𝑡𝑡 = 0 𝑒𝑒 𝑎𝑎𝑐𝑐 = 𝑣𝑣2/𝑅𝑅 = 𝜔𝜔2 ∗ 𝑅𝑅

Velocidade angular e raio do movimento 𝜔𝜔 = 𝜃𝜃/𝑡𝑡 = 𝜃𝜃 𝑣𝑣 = 𝑅𝑅 ∗ 𝜃𝜃 𝑅𝑅 = 𝑣𝑣/𝜃𝜃

Força resultante 𝐹𝐹 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑎𝑎𝑐𝑐 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑣𝑣2/𝑅𝑅 = 𝜔𝜔2 ∗ 𝑅𝑅 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑣𝑣 ∗ 𝜃𝜃

B

- Movimento Circular Uniformemente Acelerado:

𝑞𝑞𝑞𝑞𝑎𝑎𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞 𝑡𝑡 = 1𝑠𝑠 𝑣𝑣(1) = 0 𝑒𝑒 𝑠𝑠(1) = 1𝑚𝑚

Velocidade linear: 𝑣𝑣(𝑡𝑡) − 𝑣𝑣(1) = ∫ 𝑎𝑎𝑡𝑡 ∗ 𝑞𝑞𝑡𝑡 = [𝑎𝑎𝑡𝑡 ∗ 𝑡𝑡]1𝑡𝑡𝑡𝑡1 = 𝑎𝑎𝑡𝑡 ∗ 𝑡𝑡 − 𝑎𝑎𝑡𝑡

Velocidade linear e angular: 𝑣𝑣(𝑡𝑡) = 𝑎𝑎𝑡𝑡 ∗ 𝑡𝑡 − 𝑎𝑎𝑡𝑡 𝑒𝑒 𝜔𝜔(𝑡𝑡) = 𝑣𝑣(𝑡𝑡)/𝑅𝑅 = (𝑎𝑎𝑡𝑡 ∗ 𝑡𝑡 − 𝑎𝑎𝑡𝑡)/𝑅𝑅

Deslocamento: 𝑠𝑠(𝑡𝑡) − 𝑠𝑠(1) = ∫ 𝑣𝑣(𝑡𝑡) ∗ 𝑞𝑞𝑡𝑡 = [𝑎𝑎𝑡𝑡/2 ∗ 𝑡𝑡2 − 𝑎𝑎𝑡𝑡 ∗ 𝑡𝑡]1𝑡𝑡𝑡𝑡1

𝑠𝑠(𝑡𝑡) =𝑎𝑎𝑡𝑡2 ∗ 𝑡𝑡2 − 𝑎𝑎𝑡𝑡 ∗ 𝑡𝑡 +

𝑎𝑎𝑡𝑡2 + 1

Ângulo: 𝜃𝜃(𝑡𝑡) = 𝑆𝑆(𝑡𝑡)/𝑅𝑅

Aceleração Centrípeta: 𝑎𝑎𝑐𝑐 = 𝑣𝑣2/𝑅𝑅 = (𝑎𝑎𝑡𝑡 ∗ 𝑡𝑡 − 𝑎𝑎𝑡𝑡)2/𝑅𝑅

Forças Centrípeta: 𝐹𝐹𝑐𝑐 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑎𝑎𝑐𝑐 = 𝑚𝑚 ∗ (𝑎𝑎𝑡𝑡 ∗ 𝑡𝑡 − 𝑎𝑎𝑡𝑡)2/𝑅𝑅

Força Tangencial: 𝐹𝐹𝑡𝑡 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑎𝑎𝑡𝑡

θ

𝑟𝑟(𝑡𝑡 + 1)

𝑟𝑟(𝑡𝑡)


II

- No ângulo crítico ainda não há movimento e o atrito estático é máximo:

𝑦𝑦: 0 = 𝑅𝑅 −𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ cos𝛼𝛼 𝑒𝑒 𝐹𝐹𝑎𝑎 = 𝜇𝜇𝑒𝑒 ∗ 𝑅𝑅

𝑥𝑥: 0 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ sin𝛼𝛼 − 𝐹𝐹𝑎𝑎 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 sin𝛼𝛼 − 𝜇𝜇 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ cos𝛼𝛼

Logo tan𝛼𝛼𝑐𝑐 = 𝜇𝜇

- Entre os pontos A e B só actuam as forças: Peso, Atrito Cinético e Reacção Normal.

O corpo parte do repouso.

A variação de energia cinética entre a A e B é:

∆𝐸𝐸𝑐𝑐 = 𝑊𝑊𝑃𝑃 + 𝑊𝑊𝑁𝑁 + 𝑊𝑊𝐹𝐹𝑎𝑎

O trabalho da reacção normal é nulo.

Variação de energia cinética: ∆𝐸𝐸𝑐𝑐 = −𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ ∆𝑦𝑦 − 𝐹𝐹𝑎𝑎 ∗ 𝑞𝑞1

onde: ∆𝑦𝑦 = −𝑞𝑞1 ∗ sin𝛼𝛼 𝑒𝑒 𝐹𝐹𝑎𝑎 = 𝜇𝜇𝑐𝑐 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ cos𝛼𝛼

∆𝐸𝐸𝑐𝑐 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝑞𝑞1 ∗ (sin𝛼𝛼 − 𝜇𝜇𝑐𝑐 ∗ cos𝛼𝛼)

∆𝐸𝐸𝑐𝑐 = 𝐸𝐸𝐵𝐵 − 𝐸𝐸𝐴𝐴 = 12∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑉𝑉𝐵𝐵2 − 0 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝑞𝑞1 ∗ (sin𝛼𝛼 − 𝜇𝜇𝑐𝑐 ∗ cos𝛼𝛼)

𝑉𝑉𝑏𝑏 = �2 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝑞𝑞1 ∗ (sin𝛼𝛼 − 𝜇𝜇𝑐𝑐 ∗ cos 𝛼𝛼)

d1

d2 x

A

D

B C

α

𝐹𝐹𝑎𝑎�� 𝑁𝑁��

𝑃𝑃�

𝐹𝐹𝑒𝑒��


- Entre os pontos B e C actuam: Peso, Reacção Normal e Força elástica.

A variação de energia cinética entre a B e C é:

∆𝐸𝐸𝑐𝑐 = 𝑊𝑊𝑃𝑃 + 𝑊𝑊𝑁𝑁 + 𝑊𝑊𝐹𝐹𝑒𝑒

𝑊𝑊𝐹𝐹𝑒𝑒 =12∗ 𝑘𝑘�𝑥𝑥𝑖𝑖2 − 𝑥𝑥𝑓𝑓2� 𝑒𝑒 𝑊𝑊𝑃𝑃 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝑥𝑥 ∗ sin𝛼𝛼

𝑥𝑥𝑖𝑖 = 0 𝑒𝑒 𝑥𝑥𝑓𝑓 = 𝑥𝑥

∆𝐸𝐸𝑐𝑐 = 𝐸𝐸𝑐𝑐 − 𝐸𝐸𝐵𝐵 = 0 −12∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑉𝑉𝑏𝑏2 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝑥𝑥 ∗ sin𝛼𝛼 −

12∗ 𝑘𝑘𝑥𝑥2

Portanto:

A variação de energia cinética entre A e C é:

∆𝐸𝐸𝑐𝑐𝐴𝐴𝐴𝐴 = ∆𝐸𝐸𝐴𝐴−𝐵𝐵 + ∆𝐸𝐸𝐵𝐵−𝐶𝐶 = 0

0 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝑞𝑞1 ∗ (sin𝛼𝛼 − 𝜇𝜇𝑐𝑐 ∗ cos𝛼𝛼) + 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝑥𝑥 ∗ sin𝛼𝛼 −12 ∗ 𝑘𝑘𝑥𝑥

2

- Entre os pontos A e D actuam: Peso, Normal, Atrito e força elástica.

A variação de energia cinética é:

∆𝐸𝐸𝑐𝑐 = 𝑊𝑊𝑃𝑃 + 𝑊𝑊𝑁𝑁 + 𝑊𝑊𝐹𝐹𝑒𝑒 + 𝑊𝑊𝐹𝐹𝑎𝑎 = 0

𝑊𝑊𝐹𝐹𝑒𝑒 = 0 𝑝𝑝𝑞𝑞𝑟𝑟𝑞𝑞𝑞𝑞𝑒𝑒 𝑊𝑊𝐵𝐵𝐶𝐶 = −𝑊𝑊𝐶𝐶𝐵𝐵

𝑊𝑊𝑝𝑝 = −𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ ∆𝑦𝑦 𝑒𝑒 𝑊𝑊𝐹𝐹𝑎𝑎 = −𝐹𝐹𝑎𝑎 ∗ 𝑞𝑞

d é a distância percorrida, ou seja: 𝑞𝑞 = 𝑞𝑞1 + 𝑞𝑞2

A variação de altura é : ∆𝑦𝑦 = (𝑞𝑞2 − 𝑞𝑞1) sin𝛼𝛼 (negativa)

𝑊𝑊𝐹𝐹𝑎𝑎 = −(𝑞𝑞1 + 𝑞𝑞2) ∗ 𝜇𝜇 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ cos𝛼𝛼

𝑊𝑊𝑝𝑝 = 𝑚𝑚𝑔𝑔(𝑞𝑞1 − 𝑞𝑞2) sin𝛼𝛼

0 = 𝑊𝑊𝑃𝑃 + 𝑊𝑊𝐹𝐹𝑎𝑎

𝑞𝑞2 =(sin𝛼𝛼 − 𝜇𝜇 ∗ cos𝛼𝛼)(sin𝛼𝛼 + 𝜇𝜇 ∗ cos𝛼𝛼) 𝑞𝑞1


Mecânica

I

Um automóvel de 1500 kg de massa colide, num cruzamento perpendicular, com uma carrinha de 2500 kg de massa. O automóvel e a carrinha deslizam juntos após a colisão parando ao fim de 3,6 m contados a partir do local da colisão. Nesse momento, fazem um ângulo de 53o com a direcção inicial do automóvel, conforme se ilustra na figura. ( µC=0,5, cos(53º) = 0,6, sen(53º) = 0,8 e g=10m/s2).

a) Determine a força de atrito que faz parar o sistema automóvel/carrinha a partir do instante da colisão.

b) Determine o trabalho realizado pela força de atrito desde o instante da colisão até pararem. c) Determine a velocidade do sistema automóvel/carrinha imediatamente após a colisão. d) Determine o módulo das velocidades do automóvel e da carrinha imediatamente antes da

colisão.

II

AC2 Ano lectivo 2010/11

2º Semestre


Hora: 18h15

Duração: 1h30.

Cotação:

I – 10,0 valores

II - 10,0 valores

Automóve

Carrinha

Antes da Imediatamente após a colisão

53º


Uma esfera de raio R=0,5 m e massa M=4 kg sobe um plano inclinado 30º com a horizontal, rolando sem escorregar. No instante inicial encontrava-se na base do plano, deslocando-se com uma velocidade angular ω=10 rad/s. (Momento de inércia da esfera ICM=2/5 (MR2), g =10m/s2, sen(30º) = 0,5, cos(30 º) = 0,87)

a) Determine a velocidade do centro de massa (CM) da esfera. b) Determine a energia cinética da esfera na base do plano. c) Determine a distância percorrida pela esfera no plano inclinado até parar. d) Determine a aceleração do CM da esfera. e) Determine a força de atrito entre a esfera e o plano.


Solução

I

Carrinhas + Carro deslizam juntos e param ao fim de uma distância d:

a) 𝐹𝐹𝑎𝑎 = 𝜇𝜇𝑐𝑐 ∗ 𝑁𝑁 = 𝜇𝜇𝑐𝑐 ∗ (𝑚𝑚𝑎𝑎 + 𝑚𝑚𝑐𝑐) ∗ 𝑔𝑔 = 20000 (𝑁𝑁) b) 𝑊𝑊𝐹𝐹𝑎𝑎 = −𝐹𝐹𝑎𝑎 ∗ 𝑑𝑑 = −𝜇𝜇𝑐𝑐 ∗ (𝑚𝑚𝑎𝑎 + 𝑚𝑚𝑐𝑐) ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝑑𝑑 = −72000 (𝐽𝐽) c) ∆𝐸𝐸𝑐𝑐 = 𝑊𝑊𝑝𝑝 + 𝑊𝑊𝑁𝑁 + 𝑊𝑊𝐹𝐹𝑎𝑎

𝑊𝑊𝑝𝑝 = 0 𝑒𝑒 𝑊𝑊𝑁𝑁 = 0

∆𝐸𝐸𝑐𝑐 = 𝐸𝐸𝑐𝑐𝑐𝑐 − 𝐸𝐸𝑐𝑐𝑐𝑐 = −𝐸𝐸𝑐𝑐𝑐𝑐 = −12 ∗

(𝑚𝑚𝑎𝑎 + 𝑚𝑚𝑐𝑐)𝑉𝑉02 = 𝑊𝑊𝐹𝐹𝑎𝑎 = −𝐹𝐹𝑎𝑎 ∗ 𝑑𝑑

= −𝜇𝜇𝑐𝑐 ∗ (𝑚𝑚𝑎𝑎 + 𝑚𝑚𝑐𝑐) ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝑑𝑑

𝑉𝑉 = �2 ∗ 𝜇𝜇𝑐𝑐 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝑑𝑑 = 6 (𝑚𝑚/𝑠𝑠)

Outra resolução possível é:

O conjunto tem um Movimento Uniformemente Acelerado:

� 𝑉𝑉2 − 𝑉𝑉02 = −𝑉𝑉02 = 2 ∗ 𝑎𝑎 ∗ 𝑑𝑑(𝑚𝑚𝑎𝑎 + 𝑚𝑚𝑐𝑐) ∗ 𝑎𝑎 = −𝐹𝐹𝑎𝑎 = −𝜇𝜇𝑐𝑐 ∗ (𝑚𝑚𝑎𝑎 + 𝑚𝑚𝑐𝑐) ∗ 𝑔𝑔 𝑉𝑉0 = �2 ∗ 𝜇𝜇𝑐𝑐 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝑑𝑑

d) Colisão perfeitamente Inelástica: 𝑃𝑃𝑥𝑥𝑐𝑐 = 𝑃𝑃𝑎𝑎𝑐𝑐 = 𝑚𝑚𝑎𝑎 ∗ 𝑉𝑉𝑎𝑎𝑐𝑐 = 𝑃𝑃𝑥𝑥𝑐𝑐 = 𝑃𝑃𝑎𝑎+𝑐𝑐 = (𝑚𝑚𝑎𝑎 + 𝑚𝑚𝑐𝑐) ∗ 𝑣𝑣0 ∗ cos 𝜃𝜃 𝑃𝑃𝑦𝑦𝑐𝑐 = 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑚𝑚𝑐𝑐 ∗ 𝑉𝑉𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑃𝑃𝑦𝑦𝑐𝑐 = 𝑃𝑃𝑎𝑎+𝑐𝑐 = (𝑚𝑚𝑎𝑎 + 𝑚𝑚𝑐𝑐) ∗ 𝑣𝑣0 ∗ sin𝜃𝜃

𝑉𝑉𝑎𝑎 =𝑚𝑚𝑎𝑎 + 𝑚𝑚𝑐𝑐

𝑚𝑚𝑎𝑎∗ 𝑉𝑉0 ∗ cos 𝜃𝜃 = 9.6 (𝑚𝑚/𝑠𝑠)

𝑉𝑉𝑐𝑐 =𝑚𝑚𝑎𝑎 + 𝑚𝑚𝑐𝑐

𝑚𝑚𝑐𝑐∗ 𝑉𝑉0 ∗ sin𝜃𝜃 = 5.76 (𝑚𝑚/𝑠𝑠)

Automóvel

Carrinha

Antes da colisão Imediatamente após a colisão

53º


II

a) Velocidade do centro de massa:

𝑉𝑉𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑅𝑅 ∗ 𝜔𝜔0 = 5 (𝑚𝑚/𝑠𝑠)

b) Energia Cinética:

𝐸𝐸𝑐𝑐 = 𝐸𝐸𝑐𝑐 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 + 𝐸𝐸𝑐𝑐 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑎𝑎𝑡𝑡𝑡𝑡 =12 ∗ 𝐼𝐼𝑐𝑐𝑐𝑐 ∗ 𝜔𝜔0

2 +12 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑉𝑉𝑐𝑐𝑐𝑐2

=12 ∗

�25 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑅𝑅2 + 𝑚𝑚 ∗ 𝑅𝑅2� ∗ 𝜔𝜔0

2 =7

10 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑅𝑅2 ∗ 𝜔𝜔02

= 70 (𝐽𝐽)

c) Distância Percorrido:

∆𝐸𝐸𝑐𝑐 = 𝑊𝑊𝑝𝑝 + 𝑊𝑊𝐹𝐹𝑎𝑎 + 𝑊𝑊𝑁𝑁

𝑊𝑊𝑁𝑁 = 0 como o atrito é estático 𝑊𝑊𝐹𝐹𝑎𝑎 = 0

𝑊𝑊𝑃𝑃 = −𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ ∆𝑦𝑦 = −𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝑥𝑥 ∗ sin𝜃𝜃

∆𝐸𝐸𝑐𝑐 = 𝐸𝐸𝑐𝑐𝑐𝑐 − 𝐸𝐸𝑐𝑐𝑐𝑐 = −𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝑥𝑥 ∗ sin𝜃𝜃

0 −7

10 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑅𝑅2 ∗ 𝜔𝜔02 = −𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝑥𝑥 ∗ sin𝜃𝜃

𝑥𝑥 =7 ∗ 𝑅𝑅2 ∗ 𝜔𝜔0

2

10 ∗ 𝑔𝑔 ∗ sin𝜃𝜃 = 3.5 (𝑚𝑚)


d) Aceleração do centro de Massa:

Duas maneiras de resolver: i) Com a segunda lei da dinâmica:

𝑚𝑚 ∗ ��𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐 = ��𝐹𝑒𝑒𝑥𝑥𝑟𝑟 (1) 𝑀𝑀�𝑄𝑄 = 𝐼𝐼𝑄𝑄 ∗ 𝛼𝛼� (2)

𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑅𝑅 ∗ 𝛼𝛼

No ponto Q: 𝑀𝑀𝑁𝑁 = 0 𝑀𝑀𝐹𝐹𝑎𝑎 = 0 𝑀𝑀𝑃𝑃 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝑅𝑅 ∗ sin𝜃𝜃

𝐼𝐼𝑄𝑄 = 𝐼𝐼𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑚𝑚 ∗ 𝑅𝑅2 =25 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑅𝑅2 + 𝑚𝑚 ∗ 𝑅𝑅2 =

75 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑅𝑅2

Substituindo na equação (2):

𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝑅𝑅 ∗ sin𝜃𝜃 =75 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑅𝑅2 ∗ 𝛼𝛼 =

75 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑅𝑅2 ∗

𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑅𝑅

𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐 =57 ∗ 𝑔𝑔 ∗ sin𝜃𝜃 = 3.6 (𝑚𝑚/𝑠𝑠2)

ii) Movimento Uniformemente Acelerado:

𝑉𝑉2 − 𝑉𝑉02 = 2 ∗ 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐 ∗ 𝑥𝑥

0 − 𝑉𝑉02 = 𝑅𝑅2 ∗ 𝜔𝜔02 = 2 ∗ 𝑎𝑎 ∗

7 ∗ 𝑅𝑅2 ∗ 𝜔𝜔02

10 ∗ 𝑔𝑔 ∗ sin𝜃𝜃


e) Força de atrito (atrito estático – rola sem deslizar):

𝑚𝑚 ∗ 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ sin𝜃𝜃 − 𝐹𝐹𝑎𝑎

𝐹𝐹𝑎𝑎 =27 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ sin𝜃𝜃 = 5.7 (𝑁𝑁)

𝑁𝑁��

𝑃𝑃�

𝐹𝐹𝑎𝑎��

Q ��𝑎


Mecânica

I

Uma partícula de massa M=10 kg desloca-se no plano XY com velocidade

jtit)t(v 32 += (m/s). Supondo que em t = 0 s a partícula se encontra no ponto

de coordenadas x0= 1 m, y0 = -2 m, determine:

a) aceleração da partícula. b) a força resultante exercida sobre a partícula no instante t=1 s c) a posição da partícula no instante t=1s d) o trabalho realizado pela força resultante sobre a partícula desde o instante

t=0 até t=1s. Nota: se não resolveu alguma alínea cujo resultado necessita para outra seguinte,

poderá atribuir um valor razoável ao resultado em falta para a resolução da seguinte.

II

Duas massas, mA e mB, encontram-se ligadas por um fio inextensível e de massa desprezável através duma roldana de massa desprezável. A massa mA encontra-se sobre um plano inclinado de ângulo θ , enquanto a massa mB se encontra suspensa verticalmente pelo fio. Despreza todos os tipos de atrito. (g = 10 m/s, sen(30º) = 0.5, cos(30 º) = 0.87),:

a) Represente as forças aplicadas em cada uma das massas e escreva as respectivas equações de movimento.

b) Encontre as expressões para a aceleração das massas e para a tensão no fio. c) Supondo que mA = 2 kg, mB = 4 kg e θ = 30º calcule a aceleração e diga em

que sentido se movimenta o sistema das duas massas.

Exame Final Ano lectivo 2010/11

2º Semestre


Hora: 15h 00min

Duração: 2h 30min

Cotação:

I – 7 valores

II - 3 valores

III - 5 valores

IV – 5 valores


III

Uma bala de 0.02 kg é disparada na horizontal e fica cravada num bloco de madeira de 0.12kg que se encontra assente numa mesa (ver esquema). No momento do embate a velocidade da bala é de 7 m/s. Entre o bloco e a mesa existe atrito de coeficiente cinético igual a 0,25. Determine:

a) a velocidade do conjunto após a colisão, b) a variação de energia cinética na colisão, c) a aceleração do conjunto após o embate; d) a distância percorrida pelo conjunto (bloco + bala) até parar.

IV

Uma escada homogénea de 5 m de comprimento e de 20,0 kg de massa, está apoiada numa parede vertical (despreza o atrito entre a parede e a escada) e num piso rugoso (há atrito), como mostra a figura seguinte. A escada tem uma inclinação com a horizontal de θ =53º. Se a distância da parede à extremidade inferior da escada não for superior a 3,0 m, a escada está em equilíbrio e para distâncias superiores a esta, a escada pode deslizar. ( cos(53º) = 0.6, sen(53º) = 0.8, tan (53º) = 4/3 e g=10m/s).

a) Faça o diagrama das forças aplicadas à escada e escreva as condições de equilíbrio estático quando a base da escada está na posição x = 3m.

b) Determine a força que actua entre a parede e o topo da escada, nas condições da alínea anterior,

c) Determine as forças que actuam entre a escada e o chão assim como o coeficiente de atrito estático.



Solução

I

a) Aceleração:

��𝑎 =𝑑𝑑��𝑣𝑑𝑑𝑑𝑑

= 2 ∗ 𝚤𝚤 + 3 ∗ 𝚥𝚥 (𝑚𝑚/𝑠𝑠2)

b) Força resultante:

��𝐹 = 𝑚𝑚 ∗ ��𝑎 = 20 ∗ 𝚤𝚤 + 30 ∗ 𝚥𝚥

c) Posição:

𝑟𝑟(𝑑𝑑) − 𝑟𝑟0�� = � ��𝑣(𝑑𝑑) ∗ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡

0

= �𝑑𝑑2 ∗ 𝚤𝚤 +32 ∗ 𝑑𝑑

2 ∗ 𝚥𝚥�0

𝑡𝑡

= 𝑑𝑑2 ∗ 𝚤𝚤 +32 ∗ 𝑑𝑑

2 ∗ 𝚥𝚥

𝑟𝑟(𝑑𝑑) = 𝑑𝑑2 ∗ 𝚤𝚤 +32 ∗ 𝑑𝑑

2 ∗ 𝚥𝚥 − 𝑟𝑟0�� = (𝑑𝑑2 + 1) ∗ 𝚤𝚤 + (32 ∗ 𝑑𝑑

2 − 2) ∗ 𝚥𝚥

d) Trabalho:

𝑊𝑊𝐹𝐹 = � ��𝐹𝑡𝑡

0

∗ 𝑑𝑑𝑟𝑟(𝑑𝑑) = ��𝐹 ∗ �𝑑𝑑𝑟𝑟(𝑑𝑑)𝑡𝑡

0

= ��𝐹 ∗ [𝑟𝑟(𝑑𝑑)]0𝑡𝑡 = ��𝐹 ∗ [𝑟𝑟(𝑑𝑑) − 𝑟𝑟0�� ]

= (20 ∗ 𝚤𝚤 + 30 ∗ 𝚥𝚥) ∗ �𝑑𝑑2 ∗ 𝚤𝚤 +32 ∗ 𝑑𝑑

2 ∗ 𝚥𝚥� = 20 ∗ 𝑑𝑑2 +902 ∗ 𝑑𝑑2

𝑊𝑊𝐹𝐹(𝑑𝑑 = 1) = 65 (𝐽𝐽)


II

a)

b) Aceleração:

Corpo A: � 𝑥𝑥: 𝑚𝑚𝐴𝐴 ∗ 𝑎𝑎𝐴𝐴 = 𝑇𝑇1 − 𝑚𝑚𝐴𝐴 ∗ 𝑔𝑔 ∗ sin𝜃𝜃 𝑦𝑦: 0 = 𝑅𝑅 −𝑚𝑚𝐴𝐴 ∗ 𝑔𝑔 ∗ cos 𝜃𝜃

Corpo B: 𝑚𝑚𝐵𝐵 ∗ 𝑎𝑎𝐵𝐵 = 𝑚𝑚𝐵𝐵 ∗ 𝑔𝑔 − 𝑇𝑇2 Fio inextensível, roldana e fio de massas desprezáveis:

𝑇𝑇1 = 𝑇𝑇2 = 𝑇𝑇 𝑒𝑒 𝑎𝑎𝐴𝐴 = 𝑎𝑎𝐵𝐵 = 𝑎𝑎

𝑎𝑎 =𝑚𝑚𝐵𝐵 ∗ 𝑔𝑔 −𝑚𝑚𝐴𝐴 ∗ 𝑔𝑔 ∗ sin𝜃𝜃

𝑚𝑚𝐴𝐴 + 𝑚𝑚𝐵𝐵

𝑇𝑇 =𝑚𝑚𝐴𝐴 ∗ 𝑚𝑚𝐵𝐵 ∗ 𝑔𝑔(1 − sin𝜃𝜃)

𝑚𝑚𝐴𝐴 + 𝑚𝑚𝐵𝐵

c) Verificação do sentido do movimento:

𝑎𝑎 = 5 (𝑚𝑚/𝑠𝑠2) O valor é positivo logo o sentido arbitrário escolhido (representação) está correcto. A massa A sobe e a massa B desce.

𝑁𝑁��

𝑃𝑃𝐴𝐴��

𝑇𝑇1��

𝑇𝑇2��

𝑃𝑃𝐵𝐵��

𝑎𝑎𝐴𝐴��

𝑎𝑎𝐵𝐵��


III

a) Colisão perfeitamente inelástica a uma dimensão:

∆𝑝𝑝�� = 0� 𝑃𝑃�𝑖𝑖 = 𝑃𝑃�𝑓𝑓

𝑚𝑚𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 ∗ 𝑉𝑉𝑏𝑏𝑖𝑖 = (𝑚𝑚𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑚𝑚𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏) ∗ 𝑉𝑉𝑓𝑓

𝑉𝑉𝑓𝑓 =𝑚𝑚𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏

𝑚𝑚𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑚𝑚𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏∗ 𝑉𝑉𝑏𝑏𝑖𝑖 = 1 (𝑚𝑚/𝑠𝑠)

b) Variação de Energia Cinética:

∆𝐸𝐸𝑏𝑏 = 𝐸𝐸𝑏𝑏𝑓𝑓 − 𝐸𝐸𝑏𝑏𝑖𝑖 =12∗ (𝑚𝑚𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑚𝑚𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏) ∗ 𝑉𝑉𝑓𝑓2 −

12∗ 𝑚𝑚𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 ∗ 𝑉𝑉𝑏𝑏𝑖𝑖2 = −0.42 (𝐽𝐽)

c) Aceleração:

(𝑚𝑚𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑚𝑚𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏) ∗ ��𝑎 = ��𝐹𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡 = ��𝐹𝑏𝑏 + 𝑃𝑃� + 𝑁𝑁��

𝑁𝑁 = (𝑚𝑚𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑚𝑚𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏) ∗ 𝑔𝑔 Atrito cinético: 𝐹𝐹𝑏𝑏 = 𝜇𝜇 ∗ 𝑁𝑁 = 𝜇𝜇 ∗ (𝑚𝑚𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑚𝑚𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏) ∗ 𝑔𝑔

(𝑚𝑚𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑚𝑚𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏) ∗ 𝑎𝑎 = 𝐹𝐹𝑏𝑏 = 𝜇𝜇 ∗ (𝑚𝑚𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑚𝑚𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏) ∗ 𝑔𝑔

𝑎𝑎 = 𝜇𝜇 ∗ 𝑔𝑔 = 2.5 (𝑚𝑚/𝑠𝑠2)

d) Distância percorrida (duas resoluções possíveis): i) Movimento Rectilíneo Uniformemente acelerado:

𝑉𝑉2 − 𝑉𝑉02 = 2 ∗ 𝑎𝑎 ∗ 𝑥𝑥 −𝑉𝑉02 = 2 ∗ 𝑎𝑎 ∗ 𝑥𝑥 𝑒𝑒 𝑉𝑉0 = 𝑉𝑉𝑓𝑓 (𝑣𝑣𝑒𝑒𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑣𝑣 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑑𝑑𝑣𝑣 )

𝑎𝑎 = −𝜇𝜇 ∗ 𝑔𝑔 (sinal : aceleração contrária ao movimento)

𝑥𝑥 =𝑣𝑣𝑓𝑓2

2 ∗ 𝜇𝜇 ∗ 𝑔𝑔 = 0.2 (𝑚𝑚)

ii) Variação de energia cinética: ∆𝐸𝐸𝑏𝑏 = 𝑊𝑊𝐹𝐹𝑏𝑏 + 𝑊𝑊𝑃𝑃 + 𝑊𝑊𝑁𝑁 = 𝑊𝑊𝐹𝐹𝑏𝑏

∆𝐸𝐸𝑏𝑏 = 𝐸𝐸𝑏𝑏𝑓𝑓 − 𝐸𝐸𝑏𝑏𝑖𝑖 = −𝐸𝐸𝑏𝑏𝑖𝑖 = −12 ∗

(𝑚𝑚𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑚𝑚𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏) ∗ 𝑉𝑉𝑓𝑓2 = −𝐹𝐹𝑏𝑏 ∗ 𝑥𝑥 12∗ (𝑚𝑚𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑚𝑚𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏) ∗ 𝑉𝑉𝑓𝑓2 = 𝜇𝜇 ∗ (𝑚𝑚𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑚𝑚𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏) ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝑥𝑥

𝑥𝑥 =𝑣𝑣𝑓𝑓2

2 ∗ 𝜇𝜇 ∗ 𝑔𝑔 = 0.2 (𝑚𝑚)


IV

a) Equilíbrio estático: Atrito estático máximo: 𝐹𝐹3 = 𝜇𝜇𝑒𝑒 ∗ 𝐹𝐹2

Condições de equilíbrio: �∑𝑀𝑀� = 0�

∑ ��𝐹 = 0�

Forças: �𝐹𝐹1 − 𝐹𝐹3 = 0𝐹𝐹2 − 𝑃𝑃 = 0

Momentos das forças calculados no ponto A:

𝑀𝑀𝐹𝐹2 = 0 𝑀𝑀𝐹𝐹3 = 0 𝑀𝑀𝑃𝑃 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗𝑣𝑣2 ∗ cos 𝜃𝜃 𝑀𝑀𝐹𝐹1 = −𝐹𝐹1 ∗ 𝑣𝑣 ∗ sin𝜃𝜃

b) Força F1 :

O somatório dos momentos em A é nulo:

0 + 0 + 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗𝑣𝑣2∗ cos 𝜃𝜃 − 𝐹𝐹1 ∗ 𝑣𝑣 ∗ sin𝜃𝜃 = 0

𝐹𝐹1 =𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ cos 𝜃𝜃

2 ∗ sin𝜃𝜃 = 75 (𝑁𝑁)

c) Forças F2 , F3 e o coeficiente de atrito µe :

𝐹𝐹1 = 𝐹𝐹3 = 75 (𝑁𝑁) 𝑒𝑒 𝐹𝐹2 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 = 200 (𝑁𝑁) 𝑒𝑒 𝜇𝜇𝑒𝑒 =𝐹𝐹3𝐹𝐹2

= 0.375

𝐹𝐹1��

𝐹𝐹2��

𝐹𝐹3��

𝑃𝑃�

𝑥𝑥 A

B

l


Mecânica

I (AC1)

Uma partícula de massa m possui um movimento circular de raio R=2m. No instante t=1s o espaço percorrido S no arco de circunferência é de 3 m. O movimento realiza-se num plano horizontal a uma altura de 5 m. Se a expressão da velocidade angular for 13 2 += tω (rad/s), determine:

a) As expressões das acelerações angular e centrípeta. b) A expressão do espaço percorrido S em função do tempo. c) As expressões das forças responsáveis pelo movimento. d) No instante t=3 s, a partícula fica sujeita unicamente ao seu peso. Determine o

tempo de queda e as componentes da velocidade da partícula quando ela atinge o chão (g = 10 m/s2).

II (AC1)

Considere um corpo de 10 kg colocado sobre um plano inclinado de ângulo igual a 37o.

A. Suponha que o corpo desce o plano com uma aceleração de 5,2 ms-2. a) Determine a força de atrito. b) Determine o coeficiente de atrito cinético.

B. Suponha, agora, que se fixa um fio (de massa desprezável e inextensível) ao corpo 1 e que aquele passa numa roldana (de massa desprezável) colocando em suspensão o corpo de massa m2, conforme se vê no esquema.

Exame de Recurso Ano lectivo 2010/11

2º Semestre

Data: 11 de Julho 2011

Hora: 15 horas

Duração: 2h30.

1

1 2

Cotação:

I – 5 valores

II - 5 valores

III – 5 valores

IV – 5 valores


Considere o coeficiente de atrito estático entre o corpo 1 e o plano inclinado igual a 0,2 e despreze o atrito entre o fio e a roldana. c) Qual é a massa mínima que o corpo 2 deve ter para que desça e arraste

consigo o corpo 1?

(obs: sen 37 0,6 cos37 0,8o o= = g = 10 m/s2)

III (AC2)

Uma esfera de massa m1 = 1 Kg desloca-se a uma velocidade de V1 = 6 m/s colide elasticamente com uma outra esfera, com uma massa m2 = 4 m1 inicialmente em repouso, e é desviada segundo um ângulo de 90o enquanto a segunda esfera é desviada de um ângulo α.

a) Escreva as equações que descrevem a colisão, b) Determina o módulo da velocidade da segunda esfera após a colisão, c) Determine a tangente do ângulo α, d) Determine o módulo da velocidade da primeira esfera após a colisão.

IV (AC2)

Um iô-iô, de raio R = 2 m e de massa M = 1 Kg, sobe o fio como mostra a figura seguinte. Calcule:

a) A aceleração angular. b) A aceleração do centro de massa. c) A tensão no fio. d) A altura até parar, sabendo que inicia o

movimento com uma velocidade do centro de massa V0= 1m/s.

2

21 mRI = g = 10 m/s2


Solução

I

𝜔𝜔 = 3 ∗ 𝑡𝑡2 + 1 (𝑚𝑚/𝑠𝑠)

a) As Acelerações:

𝑎𝑎𝑐𝑐 = 𝑅𝑅 ∗ 𝜔𝜔2 𝑎𝑎𝑡𝑡 = 𝑅𝑅 ∗ 𝛼𝛼 = 𝑅𝑅 ∗𝑑𝑑𝜔𝜔𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑅𝑅 ∗ 6 ∗ 𝑡𝑡


𝑣𝑣(𝑡𝑡) = 𝑅𝑅 ∗ 𝜔𝜔(𝑡𝑡) = 𝑅𝑅 ∗ (3 ∗ 𝑡𝑡2 + 1)

𝑠𝑠(𝑡𝑡) − 𝑠𝑠(1) = �𝑣𝑣(𝑡𝑡) ∗ 𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡

1

= 𝑅𝑅�(3 ∗ 𝑡𝑡2 + 1) ∗ 𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡

1

= [𝑡𝑡3 + 𝑡𝑡]1𝑡𝑡 = 𝑡𝑡3 + 𝑡𝑡 − 2

𝑠𝑠(𝑡𝑡) = 𝑡𝑡3 + 𝑡𝑡 + 1 (𝑚𝑚)

c) Forças:

𝐹𝐹𝑡𝑡 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑎𝑎𝑡𝑡 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑅𝑅 ∗ 6 ∗ 𝑡𝑡 𝐹𝐹𝑐𝑐 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑎𝑎𝑐𝑐 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑅𝑅 ∗ (𝜔𝜔2 + 1)

d) Tempo de queda e velocidade: No instante t=3 s a velocidade é:

𝑣𝑣(3) = 𝑅𝑅(27 + 1) = 28 ∗ 𝑅𝑅 = 56 (𝑚𝑚/𝑠𝑠) Movimento a duas dimensões:

�𝑉𝑉𝑥𝑥 = 𝑉𝑉0

𝑉𝑉𝑦𝑦 = −𝑔𝑔 ∗ 𝑡𝑡 𝑒𝑒 �

𝑥𝑥 = 𝑣𝑣0 ∗ 𝑡𝑡

𝑦𝑦 = 𝑦𝑦0 −𝑔𝑔2 ∗ 𝑡𝑡

2 = 𝐻𝐻 −𝑔𝑔2 ∗ 𝑡𝑡

2

O tempo de queda é obtido quando y=0:

𝑡𝑡 = �2 ∗ 𝐻𝐻𝑔𝑔

= 1 (𝑠𝑠)

𝑉𝑉 = �𝑉𝑉𝑥𝑥2(𝑡𝑡) + 𝑉𝑉𝑦𝑦2(𝑡𝑡) = �𝑉𝑉02 + 𝑔𝑔2 ∗2 ∗ 𝐻𝐻𝑔𝑔 = �𝑉𝑉02 + 2 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝐻𝐻


II

A

a) Desce com uma aceleração a=5.2 m/s2 :

𝑚𝑚 ∗ 𝑎𝑎 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ sin𝜃𝜃 − 𝐹𝐹𝐴𝐴

𝐹𝐹𝐴𝐴 = 𝑚𝑚 ∗ (𝑔𝑔 ∗ sin𝜃𝜃 − 𝑎𝑎) = 8 (𝑁𝑁) b) Coeficiente de atrito:

O atrito é cinético.

𝐹𝐹𝐴𝐴 = 𝜇𝜇𝐶𝐶 ∗ 𝑁𝑁 = 𝜇𝜇𝐶𝐶 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ cos 𝜃𝜃

𝜇𝜇𝐶𝐶 =𝐹𝐹𝐴𝐴

𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ cos 𝜃𝜃 = 0.1

c) Massa mínima do corpo 2: A força de atrito é estática e máxima.

∑ 𝐹𝐹�� = 0� ; 𝐹𝐹𝐴𝐴 = 𝜇𝜇𝑒𝑒 ∗ 𝑁𝑁 𝑒𝑒 𝑇𝑇1 = 𝑇𝑇2 Corpo 1:

�0 = 𝑇𝑇1 − 𝐹𝐹𝐴𝐴 −𝑚𝑚1 ∗ 𝑔𝑔 ∗ sin𝜃𝜃

0 = 𝑁𝑁 −𝑚𝑚1 ∗ 𝑔𝑔 ∗ cos 𝜃𝜃

Corpo 2: 0 = 𝑚𝑚2 ∗ 𝑔𝑔 − 𝑇𝑇2

logo: 0 = 𝑚𝑚2 ∗ 𝑔𝑔 − 𝑇𝑇2 + 𝑇𝑇1 − 𝑚𝑚1 ∗ 𝑔𝑔 ∗ sin𝜃𝜃 − 𝜇𝜇𝑒𝑒 ∗ 𝑚𝑚1 ∗ 𝑔𝑔 ∗ cos 𝜃𝜃

𝑚𝑚2 = 𝑚𝑚1 ∗ (sin𝜃𝜃 + 𝜇𝜇𝑒𝑒 ∗ cos 𝜃𝜃)

1

1 2


III

a) Colisão a duas dimensões e elástica. Conservação da energia cinética e do momento linear:

Δ𝑃𝑃� = 0� 𝑒𝑒 Δ𝐸𝐸𝐶𝐶 = 0

⎩⎪⎨

⎪⎧

𝑃𝑃𝑥𝑥 ∶ 𝑚𝑚1 ∗ 𝑉𝑉1𝑖𝑖 + 0 = 0 + 𝑚𝑚2 ∗ 𝑉𝑉2𝑓𝑓 ∗ cos𝛼𝛼

𝑃𝑃𝑦𝑦: 0 = 𝑚𝑚1 ∗ 𝑉𝑉1𝑓𝑓 − 𝑚𝑚2 ∗ 𝑉𝑉2𝑓𝑓 ∗ sin𝛼𝛼

𝐸𝐸𝐶𝐶 ∶ 12∗ 𝑚𝑚1 ∗ 𝑉𝑉1𝑖𝑖2 =

12∗ 𝑚𝑚1 ∗ 𝑉𝑉1𝑓𝑓2 +

12∗ 𝑚𝑚2 ∗ 𝑉𝑉2𝑓𝑓2

b) c) e d) Velocidades das esferas 1, 2 e o ângulo α:

⎩⎪⎨

⎪⎧

𝑉𝑉1𝑖𝑖 = 4 ∗ 𝑉𝑉2𝑓𝑓 ∗ cos𝛼𝛼

𝑉𝑉1𝑓𝑓 = 4 ∗ 𝑉𝑉2𝑓𝑓 ∗ sin𝛼𝛼

𝑉𝑉1𝑖𝑖2 = 𝑉𝑉1𝑓𝑓2 + 4 ∗ 𝑉𝑉2𝑓𝑓2

⎩⎪⎨

⎪⎧

𝑉𝑉1𝑖𝑖2 + 𝑉𝑉1𝑓𝑓2 = 16 ∗ 𝑉𝑉2𝑓𝑓2

𝑉𝑉1𝑖𝑖2 − 𝑉𝑉1𝑓𝑓2 = 4 ∗ 𝑉𝑉2𝑓𝑓2 ⇒

⎩⎪⎨

⎪⎧

𝑉𝑉1𝑓𝑓 = 𝑉𝑉1𝑖𝑖 ∗ �35

𝑉𝑉2𝑓𝑓 =𝑉𝑉1𝑖𝑖√10

𝑉𝑉1𝑓𝑓𝑉𝑉1𝑖𝑖

=4 ∗ 𝑉𝑉2𝑓𝑓 ∗ cos𝛼𝛼4 ∗ 𝑉𝑉2𝑓𝑓 ∗ sin𝛼𝛼 ⇒ tan𝛼𝛼 = �3

5 = 0.6


IV

Todo o problema pode ser resolvido usando o conceito de energia ou as leis da dinâmica.

As únicas forças aplicadas são o peso e a tensão, e elas são constantes portanto temos um movimento uniformemente acelerado. Os sentidos positivos são dados pelo sentido do movimento.

𝑉𝑉2 − 𝑉𝑉02 = 2 ∗ 𝑎𝑎𝐶𝐶𝐶𝐶 ∗ 𝑥𝑥

i) Usando a variação da energia cinética:

Δ𝐸𝐸𝐶𝐶 = 𝐸𝐸𝐶𝐶𝑓𝑓 − 𝐸𝐸𝐶𝐶𝑖𝑖 = 0 − 𝐸𝐸𝐶𝐶𝑖𝑖 = 𝑊𝑊𝑃𝑃 + 𝑊𝑊𝑇𝑇 = −𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝑥𝑥 O trabalho da tensão é nulo, não há no ponto de contacto.

𝐸𝐸𝐶𝐶𝑖𝑖 = 𝐸𝐸𝐶𝐶 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑡𝑡 + 𝐸𝐸𝐶𝐶 𝑇𝑇𝑟𝑟𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 =12 ∗ 𝐼𝐼𝐶𝐶𝐶𝐶 ∗ 𝜔𝜔

2 +12 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑣𝑣𝐶𝐶𝐶𝐶2 =

34 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑉𝑉02

com VCM = R ω = V0. A altura até parar:

0 −34∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑉𝑉02 = −𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝑥𝑥 ⇒ 𝑥𝑥 =

34 ∗

𝑉𝑉02

𝑔𝑔

A aceleração do centro de massa e aceleração angular:

0 − 𝑉𝑉02 = −43 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝑥𝑥 = 2 ∗ 𝑎𝑎𝐶𝐶𝐶𝐶 ∗ 𝑥𝑥 ⇒ 𝑎𝑎𝐶𝐶𝐶𝐶 = −

23 ∗ 𝑔𝑔

𝑎𝑎𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝑅𝑅 ∗ 𝛼𝛼 ⇒ 𝛼𝛼 = −23 ∗

𝑔𝑔𝑅𝑅

Tensão no fio:

𝑚𝑚 ∗ 𝑎𝑎𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝑇𝑇 −𝑚𝑚𝑔𝑔 ⇒ 𝑇𝑇 =13 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔


ii) Usando as leis da dinâmica:

�∑��𝐹 = 𝑚𝑚 ∗ ��𝑎𝐶𝐶𝐶𝐶

∑𝑀𝑀�� = 𝐼𝐼 ∗ ��𝛼

Se aplicamos a segunda equação (os momentos) no ponto d’aplicação da tensão (ponto Q), obtemos que o momento da tensão é nulo (é também correcto efectuar os cálculos no C.M. a única diferença são contas mas demoradas):

𝑀𝑀𝑇𝑇 = 0 𝑒𝑒 𝑀𝑀𝑃𝑃 = −𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝑅𝑅

𝐼𝐼𝑄𝑄 = 𝐼𝐼𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚 ∗ 𝑅𝑅2 =32 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑅𝑅2

−𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝑅𝑅 =32 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑅𝑅2 ∗ 𝛼𝛼 =

32 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑅𝑅2 ∗

𝑎𝑎𝐶𝐶𝐶𝐶𝑅𝑅

𝑎𝑎𝐶𝐶𝐶𝐶 = −23 ∗ 𝑔𝑔 𝑒𝑒 𝛼𝛼 = −

23 ∗

𝑔𝑔𝑅𝑅

𝑇𝑇 = 𝑚𝑚 ∗ (𝑎𝑎 + 𝑔𝑔) =13 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔

𝑉𝑉2 − 𝑉𝑉02 = 0 − 𝑉𝑉02 = 2 ∗ 𝑎𝑎 ∗ 𝑥𝑥 ⇒ 𝑥𝑥 = −𝑉𝑉02

2 ∗ 𝑎𝑎 =34 ∗

𝑉𝑉02

𝑔𝑔


Mecânica


I

Uma partícula tem um movimento rectilíneo. A sua velocidade varia no tempo como indicado no gráfico. Na tabela apresenta-se algumas das grandezas que descrevem o movimento nos vários intervalos de tempo. Os valores de algumas das variáveis estão também indicados:

t1 = 2 s ; t2 = 5 s ; t3 = 6 s ; a1 = 1 m/s2.

0 ≤ t ≤ t1 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎12� 𝑡𝑡2 (m)

t1 ≤ t ≤ t2 𝑣𝑣 = 𝑣𝑣1 (m∗ 𝑠𝑠−1)

t2 ≤ t ≤ t3 𝑎𝑎2 = − 4 (𝑚𝑚 ∗ 𝑠𝑠−2)

AC1

Ano lectivo 2011/12

2º Semestre

Data: 28 de Março 2012

Hora: 15:30 horas

Duração: 1h30.

V(t)

t t1 t2

t3

Cotação:

I - 7 valores

II - 6 valores

III - 7 valores

Professor Claude Boemare – Universidade de Aveiro - 2012

a) Represente os gráficos do deslocamento e da aceleração em função do tempo. b) Determine a velocidade no instante t1 (v1). c) Determine o deslocamento no instante t2. d) Determine a velocidade no instante t3. e) Determine a distância percorrida até ao instante t3.

II

Um carro, de massa m, percorre, a uma velocidade constante v, a curva duma estrada não inclinada e de raio R.

a) Determine a expressão da velocidade máxima que permite ao carro dar a curva. b) No caso de não haver atrito qual deverá ser a inclinação da curva para permitir ao

carro seguir a trajectória. c) Considere agora que o carro parte do repouso com uma aceleração constante, a.

Qual é a expressão do deslocamento no arco de circunferência em função do tempo, sabendo que quando t=1s o deslocamento é igual a -3 m?

III

Três massas estão ligadas através de dois fios inextensíveis e de massas desprezáveis (ver a figura). Existe atrito entre a mesa e o corpo 2. Os coeficientes de atrito são µc=0.3 e µe=0.5. O atrito no eixo das roldanas e as suas massas são desprezáveis. A relação entra as massas dos corpos 1 e 3 é : m3=2m1 .

a) Represente as forças que actuam sobre cada corpo (represente cada corpo separadamente).

b) Determine a expressão da massa mínima do corpo 2 (m2) para manter o sistema em equilíbrio.

c) Neste caso determine as tensões nos fios. d) Sendo a massa do corpo 2 igual à da alínea b), o corpo 1 é substituído por outro

corpo de massa m4=4m1 e o sistema entra em movimento. Determine a aceleração de cada corpo.


m1

m2

m3 mesa


Solução

I

B1

A1 A2 A3

A4


b) Velocidade no instante t1 : No intervalo 0 ≤ t ≤ t1 = 2 s:

𝑣𝑣(𝑡𝑡) =𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑡𝑡

= 𝑎𝑎1 𝑡𝑡 Logo

𝑣𝑣(𝑡𝑡1) = 𝑣𝑣1 = 2 𝑚𝑚/𝑠𝑠

c) Deslocamento no instante t2 :

𝑣𝑣(𝑡𝑡2) = 𝑣𝑣(𝑡𝑡1) = 𝑣𝑣1

𝑥𝑥(𝑡𝑡2) − 𝑥𝑥(0) = 𝑥𝑥(𝑡𝑡2) − 0 = � 𝑣𝑣(𝑡𝑡) d𝑡𝑡 = 𝐴𝐴1 + 𝐴𝐴2

𝑡𝑡2

0

𝐴𝐴1 = 𝑣𝑣1 ∗

12∗ 𝑡𝑡1 𝑒𝑒 𝐴𝐴2 = 𝑣𝑣1 ∗ (𝑡𝑡2 − 𝑡𝑡1)

𝑥𝑥(𝑡𝑡2) = 8 𝑚𝑚

d) Velocidade no instante t3 :

𝑣𝑣(𝑡𝑡3) − 𝑣𝑣(𝑡𝑡2) = 𝑣𝑣(𝑡𝑡3) − 𝑣𝑣1 = � 𝑎𝑎(𝑡𝑡) d𝑡𝑡 = 𝐵𝐵1

𝑡𝑡3

𝑡𝑡2

𝐵𝐵1 = (𝑡𝑡3 − 𝑡𝑡2) ∗ 𝑎𝑎2 = −4

𝑣𝑣(𝑡𝑡3) = −4 + 𝑣𝑣1 = −2 𝑚𝑚/𝑠𝑠

e) Distância total percorrida:

Quando a velocidade é igual zero, ou seja no instante t4, a distância percorrida é igual ao deslocamento, 𝑥𝑥(𝑡𝑡4) = 𝑥𝑥1. Depois de este instante o sentido do movimento muda e o deslocamento é 𝑥𝑥(𝑡𝑡3) = 𝑥𝑥2 no instante t3 .

𝑣𝑣(𝑡𝑡4) − 𝑣𝑣(𝑡𝑡2) = 0 − 𝑣𝑣1 = (𝑡𝑡4 − 𝑡𝑡2) ∗ 𝑎𝑎2

𝑡𝑡4 = −(𝑣𝑣1 − 𝑡𝑡2 ∗ 𝑎𝑎2)

𝑎𝑎2= 5.5 𝑠𝑠

𝑥𝑥(𝑡𝑡4) = 𝑥𝑥(𝑡𝑡2) + 𝐴𝐴3 = 8.5 𝑚𝑚 𝑥𝑥(𝑡𝑡3) = 𝑥𝑥(𝑡𝑡4) + 𝐴𝐴4 = 8 𝑚𝑚


II a) Velocidade Máxima:

Movimento Circular Uniforme:

𝑎𝑎𝑡𝑡 = 0 𝑒𝑒 𝑎𝑎𝐶𝐶 =𝑉𝑉2

𝑅𝑅

�𝑚𝑚 ∗ 𝑎𝑎𝐶𝐶 = 𝐹𝐹𝐴𝐴𝑁𝑁 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔

Velocidade máxima ⇒ Atrito estático máximo ⇒ 𝐹𝐹𝐴𝐴 = 𝜇𝜇 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔

𝑚𝑚 ∗ 𝑎𝑎𝑐𝑐 = 𝑚𝑚 ∗𝑉𝑉2

𝑅𝑅 = 𝜇𝜇 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ⇒ 𝑉𝑉 = �𝜇𝜇 ∗ 𝑅𝑅 ∗ 𝑔𝑔

b) Sem atrito mas com uma inclinação α :

𝑚𝑚 ∗ 𝑎𝑎𝑐𝑐 ∗ cos𝛼𝛼 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ sin𝛼𝛼 ⇒ 𝑣𝑣2

𝑅𝑅 cos𝛼𝛼 = 𝑔𝑔 sin𝛼𝛼 ⇒ tan𝛼𝛼 =𝑣𝑣2

𝑅𝑅𝑔𝑔

c) Deslocamento, s(t), no arco de circunferência:

𝑠𝑠(𝑡𝑡) − 𝑠𝑠(𝑡𝑡1) = �𝑣𝑣(𝑡𝑡) d𝑡𝑡𝑡𝑡

𝑡𝑡1

= �𝑎𝑎 ∗ 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑡𝑡 =𝑡𝑡

1

�𝑎𝑎2𝑡𝑡2�

1

𝑡𝑡=𝑎𝑎2

(𝑡𝑡2 − 1)

𝑠𝑠(𝑡𝑡) =

𝑎𝑎2 ∗ 𝑡𝑡

2 −𝑎𝑎2 − 3

𝑁𝑁��

𝑃𝑃� ��𝐹𝐴𝐴

��𝑎𝐶𝐶

��𝑎𝐶𝐶 𝑁𝑁��

𝑃𝑃�


III

b) Massa m2 mínima para manter o sistema em equilíbrio: Corpo 1:

0 = 𝑚𝑚1 ∗ 𝑔𝑔 − 𝑇𝑇1 Corpo 2:

0 = 𝑇𝑇3 + 𝐹𝐹𝐴𝐴 − 𝑇𝑇4 𝑒𝑒 0 = 𝑁𝑁 −𝑚𝑚2 ∗ 𝑔𝑔 Corpo3:

0 = 𝑇𝑇2 − 𝑚𝑚3 ∗ 𝑔𝑔 Sistema na iminência de se movimentar ⇒ força de atrito estático máxima Fios inextensíveis ⇒ 𝑇𝑇1 = 𝑇𝑇3 𝑒𝑒 𝑇𝑇4 = 𝑇𝑇2

0 = 𝑚𝑚1 ∗ 𝑔𝑔 − 𝑇𝑇1 + 𝑇𝑇3 + 𝐹𝐹𝐴𝐴 − 𝑇𝑇4 + 𝑇𝑇2 − 𝑚𝑚3 ∗ 𝑔𝑔

0 = 𝑚𝑚1 ∗ 𝑔𝑔 + 𝜇𝜇𝑒𝑒 ∗ 𝑚𝑚2∗𝑔𝑔 −𝑚𝑚3∗𝑔𝑔

𝑚𝑚2 =𝑚𝑚3 − 𝑚𝑚1

𝜇𝜇𝑒𝑒=𝑚𝑚1

𝜇𝜇𝑒𝑒= 2𝑚𝑚1

c) Tensões nos fios:

𝑇𝑇3 = 𝑇𝑇1 = 𝑚𝑚1 ∗ 𝑔𝑔

𝑇𝑇4 = 𝑇𝑇2 = 𝑚𝑚3 ∗ 𝑔𝑔 = 2 ∗ 𝑚𝑚1 ∗ 𝑔𝑔

d) Aceleração dos corpos:

Fios inextensíveis ⇒ os corpos têm todos a mesma aceleração Movimento ⇒ o atrito é cinético. O sentido positivo escolhido é na descida do corpo 𝑚𝑚4 = 4 ∗ 𝑚𝑚1

𝑃𝑃�3 𝑃𝑃�1

𝑃𝑃�2

𝑇𝑇� 2 𝑇𝑇�1

𝑇𝑇�4 𝑇𝑇� 3 𝑁𝑁��

��𝐹𝐴𝐴


As equações rescrevem-se assim:

⎩⎪⎪⎨

⎪⎪⎧𝑚𝑚4 ∗ 𝑎𝑎 = 𝑚𝑚4 ∗ 𝑔𝑔 − 𝑇𝑇1

𝑚𝑚2 ∗ 𝑎𝑎 = 𝑇𝑇3 − 𝐹𝐹𝐴𝐴 − 𝑇𝑇4

𝑚𝑚3 ∗ 𝑎𝑎 = 𝑇𝑇2 − 𝑚𝑚3 ∗ 𝑔𝑔

𝐹𝐹𝐴𝐴 = 𝜇𝜇𝐶𝐶 ∗ 𝑚𝑚2 ∗ 𝑔𝑔

(𝑚𝑚4 + 𝑚𝑚2 + 𝑚𝑚3) ∗ 𝑎𝑎 = 𝑚𝑚4 ∗ 𝑔𝑔 − 𝑇𝑇1 + 𝑇𝑇3 − 𝐹𝐹𝐴𝐴 − 𝑇𝑇4 + 𝑇𝑇2 − 𝑚𝑚3 ∗ 𝑔𝑔

= 𝑚𝑚4 ∗ 𝑔𝑔 − 𝐹𝐹𝐴𝐴 −𝑚𝑚3 ∗ 𝑔𝑔

𝑎𝑎 =4𝑚𝑚1 − 𝜇𝜇𝑐𝑐2𝑚𝑚1 − 2𝑚𝑚1

4𝑚𝑚1 + 2𝑚𝑚1 + 2𝑚𝑚1𝑔𝑔 =

1.48𝑔𝑔 = 0.175 ∗ 𝑔𝑔 (𝑚𝑚/𝑠𝑠2)


Mecânica

É proibido o uso da calculadora

I

Um corpo de massa 0,5kg é largado de uma altura de 5m ao longo de uma calha, sobre a qual desliza sem atrito. Na parte inferior da calha o corpo choca com um bloco de massa 2kg que se encontra em repouso. Após a colisão, o bloco desliza ao longo de um plano horizontal, sendo o coeficiente de atrito entre o bloco e o plano de 0,8. Ao fim de 1m pára.

a) Determine a velocidade do corpo na base da calha b) Qual é a velocidade do bloco após a colisão? c) Qual é a velocidade do corpo após a colisão? d) Determine a altura que o corpo sobe após a colisão e) Diga qual o tipo de colisão aqui descrito (elástica ou não), justifique

devidamente a sua resposta.

II

A figura representa dois pêndulos simples de comprimento L = 1, suspensos no ponto O, de massas m1 e m2=3 m1, estão inicialmente nas posições A1 e A2. O pêndulo 1 faz um ângulo inicial de α com a vertical, é largado sem velocidade inicial colidindo elasticamente com o pêndulo 2.

a) Qual é a expressão da velocidade da partícula 1 quando está na posição vertical? b) Determine as expressões das velocidades das partículas depois da colisão (atenção

aos sinais). c) Determina as expressões dos ângulos máximos atingidos por cada uma das

partículas após a colisão (α1 e α2).

AC2 Ano lectivo 2011/12 2º Semestre Data: 30 de Maio 2012 Hora: 15:30 horas Duração: 1h30.

5

Cotação:

I - 7 valores

II - 6 valores

III - 7 valores


III

Uma esfera (momento de inércia ICM = 2/5 MR2) de massa M e de raio R, parte da base de um plano inclinado de ângulo θ. A velocidade inicial do centro de massa é v0 e rola sem deslizar.

a) Determine a expressão da energia cinética inicial na base do plano. b) Qual é a expressão da altura máxima que a esfera atinge? c) Determine a expressão da aceleração do centro de massa de duas maneiras,

usando: 1) A conservação da energia mecânica, 2) As leis de Newton (momentos das forças).

d) Determine a força de atrito entre a esfera e o plano.

O

α

m1

A1 m2

A2

h

θ


Solução

I (7 valores)

a) Velocidade na base da calha (1.5 pts):

∆𝐸𝐸𝑐𝑐 = 𝑊𝑊𝑃𝑃 + 𝑊𝑊𝑁𝑁 = 𝑊𝑊𝑝𝑝 = −𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝐻𝐻 (0.5)

12∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑉𝑉𝑐𝑐𝑐𝑐2 − 0 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝐻𝐻 (0.5)

𝑉𝑉𝑐𝑐𝑐𝑐 = �2 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝐻𝐻 = 10 (𝑚𝑚/𝑠𝑠) (0.5)

b) Velocidade do Bloco (1.5 pts): após a colisão o bloco desliza até parar ao fim de uma distância d:

∆𝐸𝐸𝑐𝑐 = 𝑊𝑊𝑝𝑝 + 𝑊𝑊𝑁𝑁 + 𝑊𝑊𝐹𝐹𝐹𝐹 = 𝑊𝑊𝐹𝐹𝐹𝐹 = −𝐹𝐹𝐴𝐴 ∗ 𝑑𝑑 = −𝜇𝜇 ∗ 𝑚𝑚𝑏𝑏 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝑑𝑑 (0.5)

0 − 12∗ 𝑚𝑚𝑏𝑏 ∗ 𝑉𝑉𝑏𝑏𝑏𝑏2 = −𝜇𝜇 ∗ 𝑚𝑚𝑏𝑏 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝑑𝑑 (0.5)

𝑉𝑉𝑏𝑏𝑏𝑏 = �2 ∗ 𝜇𝜇 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝑑𝑑 = 4 (𝑚𝑚/𝑠𝑠) (0.5)

c) Velocidade do corpo após a colisão (2 pts):

∆𝑝𝑝�� = 0� (0.5) 𝑚𝑚𝑐𝑐 ∗ 𝑉𝑉𝑐𝑐𝑐𝑐 = −𝑚𝑚𝑐𝑐 ∗ 𝑉𝑉𝑐𝑐𝑏𝑏 + 𝑚𝑚𝑏𝑏 ∗ 𝑉𝑉𝑏𝑏𝑏𝑏 (0.5)

𝑉𝑉𝑐𝑐𝑏𝑏 = 𝑚𝑚𝑏𝑏

𝑚𝑚𝑐𝑐∗ 𝑉𝑉𝑏𝑏𝑏𝑏 − 𝑉𝑉𝑐𝑐𝑐𝑐 = 6 (𝑚𝑚/𝑠𝑠) (1)

H=5 m


d) Altura de subida do corpo (1 pts):

∆𝐸𝐸𝑐𝑐 = 𝑊𝑊𝑝𝑝 + 𝑊𝑊𝑁𝑁 = 𝑊𝑊𝑃𝑃 = −𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝐻𝐻2 (0.5)

𝐸𝐸𝑐𝑐𝑏𝑏 − 𝐸𝐸𝑐𝑐𝑐𝑐 = 0 − 𝐸𝐸𝑐𝑐𝑐𝑐 = −12∗ 𝑚𝑚𝑐𝑐 ∗ 𝑉𝑉𝑐𝑐𝑏𝑏2 = −𝑚𝑚𝑐𝑐 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝐻𝐻2

𝐻𝐻2 =𝑉𝑉𝑐𝑐𝑏𝑏2

2 ∗ 𝑔𝑔 = 1.8 (𝑚𝑚) (0.5)

e) Tipo de Colisão (1 pts):

Colisão elástica: ∆𝐸𝐸𝑐𝑐 = 0 (0.5)

∆𝐸𝐸𝑐𝑐 = 𝐸𝐸𝑐𝑐𝑏𝑏 − 𝐸𝐸𝑐𝑐𝑐𝑐 = 1

2∗ 𝑚𝑚𝑏𝑏 ∗ 𝑉𝑉𝑏𝑏𝑏𝑏2 + 1

2∗ 𝑚𝑚𝑐𝑐 ∗ 𝑉𝑉𝑐𝑐𝑏𝑏2 −

12∗ 𝑚𝑚𝑐𝑐 ∗ 𝑉𝑉𝑐𝑐𝑐𝑐2 = 0 (0.5)

Como há conservação da energia cinética a colisão é elástica.


II (6 valores)

a) Velocidade de 1 quando está na vertical (2 pts):

∆𝐸𝐸𝑐𝑐 = 𝑊𝑊𝑝𝑝 + 𝑊𝑊𝑇𝑇 (0.25)

𝑊𝑊𝑇𝑇 = 0 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑇𝑇� ⊥ 𝑑𝑑𝑝𝑝�� (0.5) 𝑊𝑊𝑃𝑃 = −𝑚𝑚1 ∗ 𝑔𝑔 ∗ ∆𝑦𝑦 = −𝑚𝑚1 ∗ 𝑔𝑔 ∗ (−ℎ) 𝑝𝑝 ℎ = 𝑙𝑙 ∗ (1 − cos𝛼𝛼) (0.5) ∆𝐸𝐸𝑐𝑐 = 𝐸𝐸𝑐𝑐𝑏𝑏 − 𝐸𝐸𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝐸𝐸𝑐𝑐𝑏𝑏 − 0 = 1

2∗ 𝑚𝑚1 ∗ 𝑉𝑉12 = 𝑚𝑚1 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝑙𝑙 ∗ (1 − cos𝛼𝛼) (0.25)

𝑉𝑉1 = �2 ∗ 𝑔𝑔 ∗ ℎ = �2 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝑙𝑙 ∗ (1 − cos𝛼𝛼) (0.5)

b) Velocidades das partículas depois da colisão (3 pts): Em qualquer colisão há conservação do momento linear. Neste caso como a colisão é elástica há também conservação da energia cinética.

�∆𝐸𝐸𝑐𝑐 = 0∆𝑃𝑃�� = 0�

(0.5)

�12∗ 𝑚𝑚1 ∗ 𝑉𝑉1𝑐𝑐2 = 1

2∗ 𝑚𝑚1 ∗ 𝑉𝑉1𝑏𝑏2 + 1

2∗ 𝑚𝑚2 ∗ 𝑉𝑉2𝑏𝑏2

𝑚𝑚1𝑉𝑉1𝑐𝑐 = −𝑚𝑚1 ∗ 𝑉𝑉1𝑏𝑏 + 𝑚𝑚2 ∗ 𝑉𝑉2𝑏𝑏 (equa1) (1)

O sinal negativo da velocidade do corpo 1 após a colisão indique que o corpo 1 volta para traz, pois o corpo 2 tem uma massa 3 vezes maior.

Dados:

�𝑚𝑚2 = 3𝑚𝑚1𝑉𝑉1𝑐𝑐 = 𝑉𝑉1

Logo:

O

α

m1

A1 m2

h

𝑃𝑃�

𝑇𝑇�


�𝑉𝑉1𝑐𝑐2 = 𝑉𝑉1𝑏𝑏2 + 3𝑉𝑉2𝑏𝑏2

𝑉𝑉1𝑐𝑐 = −𝑉𝑉1𝑏𝑏 + 3𝑉𝑉2𝑏𝑏 (0.5)

�

13∗ �𝑣𝑣1𝑐𝑐2 − 𝑉𝑉1𝑏𝑏2 � = 𝑉𝑉2𝑏𝑏2

19∗ �𝑉𝑉1𝑐𝑐 + 𝑉𝑉1𝑏𝑏�

2= 𝑉𝑉2𝑏𝑏2

13 ∗ �𝑣𝑣1𝑐𝑐

2 − 𝑉𝑉1𝑏𝑏2 �19 ∗ �𝑉𝑉1𝑐𝑐 + 𝑉𝑉1𝑏𝑏�

2 =3 ∗ �𝑉𝑉1𝑐𝑐 − 𝑉𝑉1𝑏𝑏� ∗ �𝑉𝑉1𝑐𝑐 + 𝑉𝑉1𝑏𝑏�

�𝑉𝑉1𝑐𝑐 + 𝑉𝑉1𝑏𝑏�2 =

𝑉𝑉2𝑏𝑏2

𝑉𝑉2𝑏𝑏2= 1

3 ∗ �𝑉𝑉1𝑐𝑐 − 𝑉𝑉1𝑏𝑏��𝑉𝑉1𝑐𝑐 + 𝑉𝑉1𝑏𝑏�

= 1

�𝑉𝑉1𝑏𝑏 = 𝑉𝑉1𝑖𝑖

2

𝑉𝑉2𝑏𝑏 = 𝑉𝑉1𝑖𝑖2

(0.5)

Se na equação de conservação do momento linear (equação 1) uso um sinal positivo para a velocidade final do corpo 1, aqui tem de aparecer um sinal negativo. (0.5) (pela coerência)

c) Alturas e/ou ângulos máximos atingidos pelas massas (1 pts): Para as duas massas a resolução é a mesma:

∆𝐸𝐸𝑐𝑐 = 𝑊𝑊𝑝𝑝 + 𝑊𝑊𝑇𝑇 = 𝑊𝑊𝑃𝑃 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ ℎ 12∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑉𝑉𝑏𝑏2 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ ℎ = 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝑙𝑙 ∗ (1 − cos𝛼𝛼) (0.5)

ℎ =𝑉𝑉𝑏𝑏2

2 ∗ 𝑔𝑔

cos𝛼𝛼 =2 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝑙𝑙 − 𝑉𝑉𝑏𝑏2

2 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝑙𝑙 (0.5)

𝑉𝑉𝑏𝑏 é �𝑉𝑉1𝑏𝑏 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑝 𝑐𝑐𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝1𝑉𝑉2𝑏𝑏 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑝 𝑐𝑐𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 2


III (7 valores)

a) Energia Cinética na base do plano (1.5 pts): Energia cinética de rotação e de translação:

𝐸𝐸𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝐸𝐸𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐸𝐸𝐶𝐶𝑇𝑇 =12∗ 𝐼𝐼𝐶𝐶𝐶𝐶 ∗ 𝜔𝜔2 +

12∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑉𝑉𝐶𝐶𝐶𝐶2 (0.5)

=12∗

25∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑅𝑅2 ∗ �

𝑉𝑉𝐶𝐶𝐶𝐶2

𝑅𝑅2 �+12∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑉𝑉𝐶𝐶𝐶𝐶2 (0.5)

=7

10 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑉𝑉𝐶𝐶𝐶𝐶2

𝑉𝑉𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝑉𝑉0

𝐸𝐸𝐶𝐶𝑐𝑐 =7

10 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑉𝑉02 (0.5)

b) Altura máxima (1.5 pts):

∆𝐸𝐸𝑐𝑐 = 𝑊𝑊𝑃𝑃 + 𝑊𝑊𝑁𝑁 + 𝑊𝑊𝐹𝐹𝐹𝐹

𝑁𝑁�� ⊥ 𝑑𝑑𝑝𝑝�� 𝑊𝑊𝑁𝑁 = 0 (0.5)

Atrito estático 𝑊𝑊𝐹𝐹𝐹𝐹 = 0 (0.5)

𝑊𝑊𝑃𝑃 = −𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗△ 𝑦𝑦 = −𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ ℎ

𝐸𝐸𝐶𝐶𝑏𝑏 − 𝐸𝐸𝐶𝐶𝑐𝑐 = 0 −7

10 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑉𝑉02 = −𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ ℎ

ℎ =7

10 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝑉𝑉02 (0.5)

θ


c) Aceleração (3.5 Pts): i) Usando a Energia (1 pts):

ℎ = 𝑥𝑥 ∗ sin𝜃𝜃

onde x é a distância percorrida no plano inclinado e temos do alínea anterior:

𝑉𝑉02 =107∗ 𝑔𝑔 ∗ ℎ =

107∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝑥𝑥 ∗ sin𝜃𝜃

A aceleração é constante (M.R.U.A.):

𝑉𝑉2 − 𝑉𝑉02 = 2 ∗ 𝑝𝑝 ∗ 𝑥𝑥 𝑝𝑝 0 −107∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝑥𝑥 ∗ sin𝜃𝜃 = 2 ∗ 𝑝𝑝 ∗ 𝑥𝑥 (0.5)

𝑝𝑝 = −57 ∗ 𝑔𝑔 ∗ sin𝜃𝜃 (0.5)

O sinal negativo indique que a aceleração é contrária ao movimento.

ii) Usando as leis de Newton (2.5 pts):

∑ 𝑀𝑀�𝑄𝑄 = 𝐼𝐼𝑄𝑄 ∗ 𝛼𝛼� 𝑝𝑝 ∑ ��𝐹 = 𝑚𝑚 ∗ ��𝑝 (0.1) Calculando os momentos no ponto Q de contacto com o plano inclinado:

𝑀𝑀�𝐹𝐹𝐹𝐹 = 0� 𝑝𝑝 𝑀𝑀�𝑁𝑁 = 0� (0.3 + 0.3)

𝑀𝑀�𝑃𝑃 = −𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ sin𝜃𝜃 (0.5)

𝐼𝐼𝑄𝑄 = 𝐼𝐼𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚 ∗ 𝑅𝑅2 =75 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑅𝑅2 (0.5)

𝑃𝑃�

𝐹𝐹𝐴𝐴��

𝑁𝑁��

𝜔𝜔

Q


�−𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ sin𝜃𝜃 =75∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑅𝑅2 ∗ 𝛼𝛼

𝑝𝑝𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝑅𝑅 ∗ 𝛼𝛼 (0.5)

𝑝𝑝 = −57 ∗ 𝑔𝑔 ∗ sin𝜃𝜃

O sinal negativo indique que a aceleração é contrária ao movimento

d) Força de Atrito (0.8pts): Suponhamos que o sentido da força de atrito estático é para cima (como representado):

𝑚𝑚 ∗ ��𝑝 = 𝑃𝑃� + 𝑁𝑁�� + ��𝐹𝐴𝐴 A projecção dessa equação (atenção que as grandezas são módulos, ou seja têm de ser positivas):

�𝑚𝑚 ∗ 𝑝𝑝 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ sin𝜃𝜃 − 𝐹𝐹𝐴𝐴0 = 𝑁𝑁 −𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ cos 𝜃𝜃 (0.5)

𝐹𝐹𝐴𝐴 = 𝑚𝑚(𝑔𝑔 ∗ sin𝜃𝜃 − 𝑝𝑝) =27 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔

O facto de termos encontrado FA positiva indique que efectivamente a força de atrito está dirigida para cima. Se tivéssemos representado a força de atrito para baixo teríamos encontrado um módulo negativo. (0.3 pela coerência de sinal)


Mecânica

I

O vector aceleração de uma partícula em movimento é expresso pela função: itta ˆ6)( =

(m/s2) com t em segundos. A partícula encontra-se inicialmente no ponto P (x=1,y=3) metros e, passados 3 segundos, a sua velocidade é jiv ˆ2ˆ3 +=

(m/s).

a) Determine o vector velocidade em função do tempo. b) Determine o vector posição em função do tempo. c) Qual é a nova aceleração que deve ter a partícula a partir do instante t=3s, para

parar no instante t=6s.

II

O sistema (massa + apoio) respresentado na figura roda num plano horizontal com uma velocidade angular de 2 rad.s-1 . O corpo de massa 10 kg está ligado à haste por um fio de comprimento 2.5 m e assente no apoio inclinado de α = 37°. Despreze as forças de atrito. Calcule:

Exame Final

Ano lectivo 2011/12

2º Semestre


Hora: 15 horas

Duração: 2h30.

𝛼𝛼

Cotação:

I - 4 valores

II - 4 valores

III - 4 valores

IV 4 valores

V 4 valores

a) a aceleração centrípeta da massa. b) a reacção normal exercida na massa. c) a tensão no fio.

(obs: sen 37 0,6 cos37 0,8o o= = g = 10 m/s2)

III

Considere a figura seguinte, constituída por uma calha horizontal sem atrito e um looping vertical de raio R, sem atrito, colocado no fim da calha, e de um plano d’inclinação α com atrito estático µ. Uma massa m, considerada pontual, é lançada na secção horizontal com a ajuda duma mola, de constante de elasticidade K, comprimida de uma distância D. Determine as expressões (as expressões só poderão conter as variáveis: K, R, g, m, µ, h) :

a) Da velocidade mínima quando a massa passa no topo de looping; b) Do valor mínimo de D para a massa poder dar a volta ao looping; c) Sendo D metade do valor calculado na alínea anterior, até que ângulo θ, com a

vertical se desloca no looping? d) O corpo é agora largado do plano inclinado. Qual é a altura mínima, h, para a dar

a volta ao looping?

IV

Uma esfera de massa m viajando a uma velocidade de 3 m/s colide elasticamente com uma outra esfera, com o dobro da massa e inicialmente em repouso, e é desviada segundo um ângulo de 90o. Determine:

a) Em que direcção a segunda esfera se movimenta depois da colisão? b) Quais as velocidades finais das duas esferas? c) Que fracção da energia cinética inicial é transferida para a segunda esfera?

V

Um disco de 4 kg de massa pode rodar em torno do eixo central que passa pelo ponto O. Sobre o cilindro são aplicadas quatro forças conforme se ilustra na figura, de intensidades F1=4 N, F2=3 N, F3=8 N e F4=4.9 N. (R = 2 m, α = 53°, Icm=1/2mR2, cos(53°) = 0.6 e sin(53°) = 0.8 ).

a) Determine a intensidade da aceleração angular do cilindro e identifique se o mesmo roda no sentido horário ou anti-horário.

b) Determine a energia cinética de rotação do cilindro ao fim de 1s. O cilindro encontra-se inicialmente em repouso.

c) O cilindro está agora colocado num plano inclinado. Determine a inclinação, θ, do plano para este descer, rolando sem escorregar, com uma aceleração angular igual à calculada em a). As forças representadas na figura deixaram de estar aplicadas no cilindro. (se não resolveu a alínea a) considere α = 2 rad/s2).

α

α

��𝐹2

��𝐹1

��𝐹3

��𝐹4

R

R/2

Solução

I

��𝑎 = 6 ∗ 𝑡𝑡 ∗ 𝚤𝚤 𝑉𝑉� (3) = 3𝚤𝚤 + 2𝚥𝚥 𝑟𝑟 = 𝚤𝚤 + 3𝚥𝚥

a) Velocidade: (1.5)

𝑉𝑉� − 𝑉𝑉� (3) = � ��𝑎 ∗ 𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡

3= [3 ∗ 𝑡𝑡2]3𝑡𝑡 ∗ 𝚤𝚤 = (3𝑡𝑡2 − 27)𝚤𝚤

𝑉𝑉� = (3𝑡𝑡2 − 24)𝚤𝚤 + 2𝚥𝚥

b) Posição: (1.5)

𝑟𝑟 − 𝑟𝑟(0) = � 𝑉𝑉� 𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡

0= [𝑡𝑡3 − 24𝑡𝑡]0𝑡𝑡 ∗ 𝚤𝚤 + [2𝑡𝑡]0𝑡𝑡 ∗ 𝚥𝚥

𝑟𝑟 = (𝑡𝑡3 − 24𝑡𝑡 + 1)𝚤𝚤 + (2𝑡𝑡 + 3)𝚥𝚥

c) Aceleração entre t =3 e 6 s: (1)

𝑉𝑉� (3) = 3𝚤𝚤 + 2𝚥𝚥

𝑉𝑉� − 𝑉𝑉� (3) = � ��𝑎𝑑𝑑𝑡𝑡6

3= ��𝑎 [𝑡𝑡]36 = ��𝑎(6 − 3)

��𝑎 = −𝚥𝚥 −23 𝚥𝚥

II

a) Aceleração Centrípeta: (1.5)

𝑎𝑎𝑐𝑐 = 𝜔𝜔2 ∗ 𝑅𝑅 𝑒𝑒 𝑅𝑅 = 𝑙𝑙 cos𝛼𝛼

𝑎𝑎𝑐𝑐 = 𝜔𝜔2𝑙𝑙 cos𝛼𝛼 = 8 𝑚𝑚. 𝑠𝑠−2

b) e c) Tensão e Reacção: (2.5)

�𝑚𝑚 ∗ 𝑎𝑎𝑐𝑐 cos𝛼𝛼 = 𝑇𝑇 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 sin𝛼𝛼

𝑚𝑚𝑎𝑎𝑐𝑐 sin𝛼𝛼 = 𝑁𝑁 −𝑚𝑚𝑚𝑚 cos𝛼𝛼

�𝑁𝑁 = 𝑚𝑚(𝑎𝑎𝑐𝑐 sin𝛼𝛼 + 𝑚𝑚 cos𝛼𝛼) = 128 𝑁𝑁

𝑇𝑇 = 𝑚𝑚(𝑎𝑎𝑐𝑐 cos𝛼𝛼 − 𝑚𝑚 sin𝛼𝛼) = 4 𝑁𝑁

III

a) Na parte superior do looping (ponto que vamos chamar B) na condição de velocidade mínima a reacção normal é nula (é a condição limite): (1)

𝑚𝑚 ∗ 𝑎𝑎𝑐𝑐 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑚𝑚 ⇒ 𝑉𝑉𝐵𝐵2

𝑅𝑅 = 𝑚𝑚 ⇒ 𝑉𝑉𝐵𝐵 = �𝑅𝑅𝑚𝑚

b) Valor mínimo de D (usa a variação da energia cinética, trabalho da normal é

nulo): (1)

Δ𝐸𝐸𝐶𝐶 = 𝐸𝐸𝐶𝐶𝐶𝐶 − 𝐸𝐸𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝐸𝐸𝐶𝐶𝐶𝐶 =12 ∗ 𝑚𝑚𝑉𝑉𝐵𝐵

2

ΔEC = WP + WN + WF elastica = −𝑚𝑚𝑚𝑚Δ𝑦𝑦 +12𝐾𝐾

�𝑥𝑥𝐶𝐶2 − 𝑥𝑥𝐶𝐶2� = −𝑚𝑚𝑚𝑚2𝑅𝑅 +12𝐾𝐾𝐷𝐷2

𝐷𝐷 = �5𝑚𝑚𝑅𝑅𝑚𝑚𝐾𝐾

c) D2 = D/2: (1)

ΔEC = WP + WN + WF elastica = −𝑚𝑚𝑚𝑚Δ𝑦𝑦 +12𝐾𝐾 �

𝐷𝐷2

4 � = 0

Δy = R(1 − cos 𝜃𝜃)

−𝑚𝑚𝑚𝑚𝑅𝑅(1 − cos 𝜃𝜃) +12𝐾𝐾 �

14

5𝑚𝑚𝑅𝑅𝑚𝑚𝐾𝐾

� = 0

cos 𝜃𝜃 =38

d) Altura mínima h: (1)

Δ𝐸𝐸𝐶𝐶 = 0 = 𝑊𝑊𝑃𝑃 + 𝑊𝑊𝑁𝑁 + 𝑊𝑊𝐹𝐹 𝐴𝐴𝑡𝑡𝐴𝐴𝐶𝐶𝑡𝑡𝐴𝐴 = −𝑚𝑚𝑚𝑚Δ𝑦𝑦 − 𝐹𝐹𝐴𝐴 ∗ 𝑑𝑑

Δ𝑦𝑦 = 𝑦𝑦𝐶𝐶 − 𝑦𝑦𝐶𝐶 = 2𝑅𝑅 − ℎ 𝑒𝑒 𝑑𝑑 =ℎ

sin𝛼𝛼

−𝑚𝑚𝑚𝑚(2𝑅𝑅 − ℎ) − 𝜇𝜇𝑚𝑚𝑚𝑚ℎcos𝛼𝛼sin𝛼𝛼 = 0

ℎ =2𝑅𝑅 sin𝛼𝛼

sin𝛼𝛼 − 𝜇𝜇 cos𝛼𝛼

IV

Colisão elástica a duas dimensões:

Δ𝑃𝑃� = 0� 𝑒𝑒 Δ𝐸𝐸𝐶𝐶 = 0 ; 𝑚𝑚2 = 2𝑚𝑚1

a) e b) As equações da colisão: (3)

⎩⎪⎨

⎪⎧𝑃𝑃𝑥𝑥 ∶ 𝑚𝑚1𝑉𝑉1𝐶𝐶 = 𝑚𝑚2𝑉𝑉2𝐶𝐶 cos𝛼𝛼 (1)𝑃𝑃𝑦𝑦 ∶ 0 = 𝑚𝑚1𝑉𝑉1𝐶𝐶 − 𝑚𝑚2𝑉𝑉2𝐶𝐶 sin𝛼𝛼 (2)

Δ𝐸𝐸𝑐𝑐 = 0 ⇒ 12𝑚𝑚1𝑉𝑉1𝐶𝐶2 =

12𝑚𝑚1𝑉𝑉1𝐶𝐶2 +

12𝑚𝑚2𝑉𝑉2𝐶𝐶2 (3)

�(1)2 + (2)2 ⇒ 𝑉𝑉1𝐶𝐶2 + 𝑉𝑉1𝐶𝐶2 = 4𝑉𝑉2𝐶𝐶2

(3) ⇒ 𝑉𝑉1𝐶𝐶2 − 𝑉𝑉1𝐶𝐶2 = 2𝑉𝑉2𝐶𝐶2 ⇒ 𝑉𝑉2𝐶𝐶 = 𝑉𝑉1𝐶𝐶 =

𝑉𝑉1𝐶𝐶√3

(2) ÷ (1) ⇒ tan𝛼𝛼 =𝑉𝑉1𝐶𝐶𝑉𝑉1𝐶𝐶

=1√3

c) Fracção de Energia Cinética: (1)

𝐸𝐸𝐶𝐶𝐶𝐶 =12 ∗ 𝑚𝑚1𝑉𝑉1𝐶𝐶2

𝐸𝐸𝐶𝐶𝐹𝐹 =12 ∗ 𝑚𝑚1𝑉𝑉1𝐶𝐶2 +

12 ∗ 𝑚𝑚2𝑉𝑉2𝐶𝐶2

𝐸𝐸𝐶𝐶2𝐶𝐶𝐸𝐸𝐶𝐶𝐶𝐶

=12𝑚𝑚2𝑉𝑉2𝐶𝐶2

12𝑚𝑚1𝑉𝑉1𝐶𝐶2

=23

V

a) Aceleração Angular: (2)

�𝑀𝑀��𝐶𝐶𝐶𝐶

= 𝐼𝐼𝐶𝐶𝐶𝐶 ∗ ��𝛼

Como as forças estão todas no mesmo plano os vectores momentos estão todos na mesma direcção.(𝑀𝑀�� = 𝑟𝑟 ∧ ��𝐹 𝑀𝑀�� ⊥ 𝑟𝑟 𝑒𝑒 ��𝐹 propriedade do produto vectorial) Vamos escolher um sentido positivo de rotação arbitrário: o sentido anti-horário.

𝑀𝑀𝐹𝐹1 = −𝑅𝑅2

cos𝛼𝛼 ∗ 𝐹𝐹1 ; 𝑀𝑀𝐹𝐹2 = −𝑅𝑅 sin𝛼𝛼 ∗ 𝐹𝐹2 ; 𝑀𝑀𝐹𝐹3 = +𝑅𝑅 ∗ 𝐹𝐹3 ∶ 𝑀𝑀𝐹𝐹4 = 0

𝑅𝑅 ∗ 𝐹𝐹3 − 𝑅𝑅 sin𝛼𝛼 ∗ 𝐹𝐹2 −𝑅𝑅2

cos𝛼𝛼 ∗ 𝐹𝐹1 =12𝑚𝑚𝑅𝑅2 ∗ 𝛼𝛼

𝛼𝛼 =2𝐹𝐹3 − 2F2sin𝛼𝛼 − F1cos𝛼𝛼

𝑚𝑚𝑅𝑅 = 1.1 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑. 𝑠𝑠−2

O resultado é positivo portanto a aceleração angular está no sentido escolhido.

b) Energia de rotação: (1)

𝐸𝐸𝐶𝐶 =12 𝐼𝐼𝐶𝐶𝐶𝐶𝜔𝜔

2 =12 (

12𝑚𝑚𝑅𝑅

2)𝜔𝜔(𝑡𝑡 = 1)2

𝜔𝜔(𝑡𝑡 = 1) = 𝛼𝛼 ∗ 𝑡𝑡 = 𝛼𝛼 ∗ 1 (𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑙𝑙𝑒𝑒𝑟𝑟𝑎𝑎çã𝑜𝑜 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑚𝑚𝑎𝑎𝑙𝑙𝑎𝑎𝑟𝑟 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑎𝑎𝑠𝑠𝑡𝑡𝑎𝑎𝑎𝑎𝑡𝑡𝑒𝑒)

𝐸𝐸𝐶𝐶 =𝑚𝑚𝑅𝑅2

4 𝛼𝛼2 = 1.21 𝐽𝐽

c) Inclinação θ: (1) As únicas forças aplicadas ao corpo são: o peso, a reacção norma e a força de atrito estático. No ponto, Q, de contacto entre o cilindro e o plano inclinado, só o peso tem o momento diferente de zero.

𝑀𝑀𝑃𝑃 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 sin𝜃𝜃 = 𝐼𝐼𝑄𝑄𝛼𝛼

𝐼𝐼𝑄𝑄 = 𝐼𝐼𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑅𝑅2 =32𝑚𝑚𝑅𝑅

2

sin𝜃𝜃 =𝐼𝐼𝑄𝑄𝛼𝛼𝑚𝑚𝑚𝑚 =

3𝛼𝛼2𝑚𝑚 = 0.15 ∗ 𝛼𝛼 ⇒ sin𝜃𝜃 = �

0.165𝑜𝑜𝑎𝑎0.3

Mecânica

I

O vector aceleração de uma partícula em movimento é expresso pela função: itta ˆ6)( =

(m/s2) com t em segundos. A partícula encontra-se inicialmente no ponto P (x=1,y=3) metros e, passados 3 segundos, a sua velocidade é jiv ˆ2ˆ3 +=

(m/s).

a) Determine o vector velocidade em função do tempo. b) Determine o vector posição em função do tempo. c) Qual é a nova aceleração (constante) que deve ter a partícula a partir do instante

t=3s, para parar no instante t=6s.

II

O sistema (massa + apoio) respresentado na figura roda num plano horizontal com uma velocidade angular de 2 rad.s-1 . O corpo de massa 10 kg está ligado à haste por um fio de comprimento 2.5 m e assente no apoio inclinado de α = 37°. Despreze as forças de atrito. Calcule:

Exame de Recurso

Ano lectivo 2011/12

2º Semestre

Data: 9 de Julho 2012

Hora: 15 horas

Duração: 2h30.

𝛼𝛼

Cotação:

I - 4 valores

II - 4 valores

III - 4 valores

IV 4 valores

V 4 valores

a) a aceleração centrípeta da massa. b) a reacção normal exercida na massa. c) a tensão no fio.

(obs: sen 37 0,6 cos37 0,8o o= = g = 10 m/s2)

III

Uma esfera de massa m = 1 kg presa por uma corda de comprimento L = 1m é largada, a partir do repouso, da posição A (ver figura).

a) Calcule a energia cinética da esfera na posição B.

A corda embate num prego, P, localizado a uma distância d abaixo do ponto de suspensão.

b) Calcule a velocidade mínima que deva ter a esfera na vertical do ponto P para dar a volta.

c) Calcule a distância d mínima de modo à esfera descrever um círculo completo centrado em P.

IV

A

B

Um pica-pau de cabeça vermelha perfura o tronco de uma árvore bastante dura. A velocidade da sua cabeça é de 10 m/s antes do impacto. Se a massa da sua cabeça for de 0,06 kg e a força média, exercida sobre ela durante o impacto, for de 6,0 N, determinar para cada picada:

a) O tempo que a cabeça do pica-pau demora a parar. b) A aceleração média exercida sobre a cabeça. c) A profundidade do orifício feito no tronco (admita que a aceleração é constante).

V

Um disco de 4 kg de massa pode rodar em torno do eixo central que passa pelo ponto O. Sobre o cilindro são aplicadas quatro forças conforme se ilustra na figura, de intensidades F1=4 N, F2=3 N, F3=8 N e F4=4.9 N. (R = 2 m, α = 53°, Icm=1/2mR2, cos(53°) = 0.6 e sin(53°) = 0.8 ).

a) Determine a intensidade da aceleração angular do cilindro e identifique se o mesmo roda no sentido horário ou anti-horário.

b) Determine a energia cinética de rotação do cilindro ao fim de 1s. O cilindro encontra-se inicialmente em repouso.

c) O cilindro está agora colocado num plano inclinado. Determine a inclinação, θ, do plano para este descer, rolando sem escorregar, com uma aceleração angular igual à calculada em a). As forças representadas na figura deixaram de estar aplicadas no cilindro. (se não resolveu a alínea a) considere α = 2 rad/s2).

α

α

��𝐹2

��𝐹1

��𝐹3

��𝐹4

R

R/2

Solução

I

��𝑎 = 6 ∗ 𝑡𝑡 ∗ 𝚤𝚤 𝑉𝑉� (3) = 3𝚤𝚤 + 2𝚥𝚥 𝑟𝑟 = 𝚤𝚤 + 3𝚥𝚥

a) Velocidade: (1.5)

𝑉𝑉� − 𝑉𝑉� (3) = � ��𝑎 ∗ 𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡

3= [3 ∗ 𝑡𝑡2]3𝑡𝑡 ∗ 𝚤𝚤 = (3𝑡𝑡2 − 27)𝚤𝚤

𝑉𝑉� = (3𝑡𝑡2 − 24)𝚤𝚤 + 2𝚥𝚥

b) Posição: (1.5)

𝑟𝑟 − 𝑟𝑟(0) = � 𝑉𝑉� 𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡

0= [𝑡𝑡3 − 24𝑡𝑡]0𝑡𝑡 ∗ 𝚤𝚤 + [2𝑡𝑡]0𝑡𝑡 ∗ 𝚥𝚥

𝑟𝑟 = (𝑡𝑡3 − 24𝑡𝑡 + 1)𝚤𝚤 + (2𝑡𝑡 + 3)𝚥𝚥

c) Aceleração entre t =3 e 6 s: (1)

𝑉𝑉� (3) = 3𝚤𝚤 + 2𝚥𝚥

𝑉𝑉� − 𝑉𝑉� (3) = � ��𝑎𝑑𝑑𝑡𝑡6

3= ��𝑎 [𝑡𝑡]36 = ��𝑎(6 − 3)

��𝑎 = −𝚥𝚥 −23𝚥𝚥

II

a) Aceleração Centrípeta: (1)

𝑎𝑎𝑐𝑐 = 𝜔𝜔2 ∗ 𝑅𝑅 𝑒𝑒 𝑅𝑅 = 𝑙𝑙 cos𝛼𝛼

𝑎𝑎𝑐𝑐 = 𝜔𝜔2𝑙𝑙 cos𝛼𝛼 = 8 𝑚𝑚. 𝑠𝑠−2

b) e c) Tensão e Reacção: (1.5 + 1.5)

�𝑚𝑚 ∗ 𝑎𝑎𝑐𝑐 cos𝛼𝛼 = 𝑇𝑇 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 sin𝛼𝛼

𝑚𝑚𝑎𝑎𝑐𝑐 sin𝛼𝛼 = 𝑁𝑁 −𝑚𝑚𝑚𝑚 cos𝛼𝛼

�𝑁𝑁 = 𝑚𝑚(𝑎𝑎𝑐𝑐 sin𝛼𝛼 + 𝑚𝑚 cos𝛼𝛼) = 128 𝑁𝑁

𝑇𝑇 = 𝑚𝑚(𝑎𝑎𝑐𝑐 cos𝛼𝛼 − 𝑚𝑚 sin𝛼𝛼) = 4 𝑁𝑁

III

a) Energia cinética em B (1): Duas forças aplicadas: Peso e Tensão

Δ𝐸𝐸𝑐𝑐 = 𝐸𝐸𝐶𝐶𝐶𝐶 − 𝐸𝐸𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝐸𝐸𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝑊𝑊𝑃𝑃 + 𝑊𝑊𝑇𝑇 O trabalho da tensão é nulo (Força perpendicular ao deslocamento).

𝐸𝐸𝐶𝐶𝐶𝐶 = −𝑚𝑚 ∗ 𝑚𝑚 ∗ Δ𝑦𝑦 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝐿𝐿 = 10 𝐽𝐽

b) Na parte superior e na vertical do ponto P (ponto que vamos chamar C) na condição de velocidade mínima a tensão é nula (é a condição limite): (1.5)

𝑚𝑚 ∗ 𝑎𝑎𝑐𝑐 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑚𝑚 ⇒ 𝑉𝑉𝐶𝐶2

𝑟𝑟 = 𝑚𝑚 ⇒ 𝑉𝑉𝐶𝐶 = �𝑟𝑟𝑚𝑚

c) Valor mínimo de d (usa a variação da energia cinética, trabalho da tensão é

nulo): (1.5)

Δ𝐸𝐸𝐶𝐶 = 𝐸𝐸𝐶𝐶𝐶𝐶 − 𝐸𝐸𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝐸𝐸𝐶𝐶𝐶𝐶 =12 ∗ 𝑚𝑚𝑉𝑉𝐶𝐶

2 − 0 =12 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑟𝑟 ∗ 𝑚𝑚 = WP = −𝑚𝑚𝑚𝑚Δ𝑦𝑦

= −𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑟𝑟 − 𝑑𝑑)

𝑑𝑑 =32𝑟𝑟 =

35 𝐿𝐿

IV

Há três maneiras para iniciar o problema:

Cotação 1.5 valor para os 2 primeiros valores correctos, 1 valor para o ultimo.

1) Variação de energia 2) Variação do momento linear, 3) Dinâmica 1) Energia:

Δ𝐸𝐸𝐶𝐶 = 𝐸𝐸𝐶𝐶𝐶𝐶 − 𝐸𝐸𝐶𝐶𝐶𝐶 = 0 −12𝑚𝑚𝑉𝑉02 = 𝑊𝑊𝐹𝐹 = −𝐹𝐹 ∗ 𝑑𝑑

d =mV02

2F = 0.5 𝑚𝑚

𝑉𝑉2 − 𝑉𝑉02 = 0 − 𝑉𝑉02 = 2 ∗ 𝑎𝑎 ∗ 𝑑𝑑

𝑎𝑎 = −𝑉𝑉02

2𝑑𝑑 = −𝐹𝐹𝑚𝑚 = −100 𝑚𝑚/𝑠𝑠2

𝑉𝑉 = 𝑉𝑉0 + 𝑎𝑎 ∗ 𝑡𝑡 = 0

𝑡𝑡 = −𝑉𝑉0𝑎𝑎 = 0.1 𝑠𝑠

2) Momento linear: Δ𝑝𝑝 = ∫ 𝐹𝐹 ∗ 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝐹𝐹 ∗ 𝑡𝑡

𝑡𝑡 =Δ𝑝𝑝𝐹𝐹 =

𝑚𝑚𝑉𝑉0𝐹𝐹 = 0.1 𝑠𝑠

𝑉𝑉 = 𝑉𝑉0 + 𝑎𝑎𝑡𝑡

𝑎𝑎 = −𝑉𝑉0𝑡𝑡 = −100 𝑚𝑚/𝑠𝑠2

𝑥𝑥 = 𝑑𝑑 = 𝑉𝑉0 ∗ 𝑡𝑡 +𝑎𝑎2 ∗ 𝑡𝑡

2 =𝑉𝑉0 ∗ 𝑡𝑡

2 = 0.5 𝑚𝑚

3) Dinâmica

𝑚𝑚 ∗ 𝑎𝑎 = −𝐹𝐹 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑙𝑙 𝑎𝑎 = −𝐹𝐹𝑚𝑚

= −100 𝑚𝑚/𝑠𝑠2

𝑉𝑉 = 𝑉𝑉0 + 𝑎𝑎 ∗ 𝑡𝑡 = 0

𝑡𝑡 = −𝑉𝑉0𝑎𝑎 = 0.1 𝑠𝑠

𝑥𝑥 = 𝑑𝑑 = 𝑉𝑉0 ∗ 𝑡𝑡 +𝑎𝑎2∗ 𝑡𝑡2 =

𝑉𝑉0 ∗ 𝑡𝑡2

= 0.5 𝑚𝑚

V

a) Aceleração Angular: (2 : cada momento das força com os sinais certos 0.5, sinal errado com o sentido positivo escolhido só 0.3 )

�𝑀𝑀��𝐶𝐶𝐶𝐶

= 𝐼𝐼𝐶𝐶𝐶𝐶 ∗ ��𝛼

Como as forças estão todas no mesmo plano os vectores momentos estão todos na mesma direcção.(𝑀𝑀�� = 𝑟𝑟 ∧ ��𝐹 𝑀𝑀�� ⊥ 𝑟𝑟 𝑒𝑒 ��𝐹 propriedade do produto vectorial) Vamos escolher um sentido positivo de rotação arbitrário: o sentido anti-horário.

𝑀𝑀𝐹𝐹1 = −𝑅𝑅2

cos𝛼𝛼 ∗ 𝐹𝐹1 ; 𝑀𝑀𝐹𝐹2 = −𝑅𝑅 sin𝛼𝛼 ∗ 𝐹𝐹2 ; 𝑀𝑀𝐹𝐹3 = +𝑅𝑅 ∗ 𝐹𝐹3 ∶ 𝑀𝑀𝐹𝐹4 = 0

𝑅𝑅 ∗ 𝐹𝐹3 − 𝑅𝑅 sin𝛼𝛼 ∗ 𝐹𝐹2 −𝑅𝑅2

cos𝛼𝛼 ∗ 𝐹𝐹1 =12𝑚𝑚𝑅𝑅2 ∗ 𝛼𝛼

𝛼𝛼 =2𝐹𝐹3 − 2F2sin𝛼𝛼 − F1cos𝛼𝛼

𝑚𝑚𝑅𝑅 = 1.1 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑. 𝑠𝑠−2

O resultado é positivo portanto a aceleração angular está no sentido escolhido.

b) Energia de rotação: (1)

𝐸𝐸𝐶𝐶 =12 𝐼𝐼𝐶𝐶𝐶𝐶𝜔𝜔

2 =12 (

12𝑚𝑚𝑅𝑅

2)𝜔𝜔(𝑡𝑡 = 1)2

𝜔𝜔(𝑡𝑡 = 1) = 𝛼𝛼 ∗ 𝑡𝑡 = 𝛼𝛼 ∗ 1 (𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑙𝑙𝑒𝑒𝑟𝑟𝑎𝑎çã𝑙𝑙 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑚𝑚𝑎𝑎𝑙𝑙𝑎𝑎𝑟𝑟 𝑎𝑎𝑙𝑙𝑎𝑎𝑠𝑠𝑡𝑡𝑎𝑎𝑎𝑎𝑡𝑡𝑒𝑒)

𝐸𝐸𝐶𝐶 =𝑚𝑚𝑅𝑅2

4 𝛼𝛼2 = 4.4 𝐽𝐽

c) Inclinação θ: (1) As únicas forças aplicadas ao corpo são: o peso, a reacção norma e a força de atrito estático. No ponto, Q, de contacto entre o cilindro e o plano inclinado, só o peso tem o momento diferente de zero.

𝑀𝑀𝑃𝑃 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 R sin𝜃𝜃 = 𝐼𝐼𝑄𝑄𝛼𝛼

𝐼𝐼𝑄𝑄 = 𝐼𝐼𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝑅𝑅2 =32𝑚𝑚𝑅𝑅

2

sin𝜃𝜃 =𝐼𝐼𝑄𝑄𝛼𝛼𝑚𝑚𝑚𝑚𝑅𝑅 =

3𝑅𝑅𝛼𝛼2𝑚𝑚 = 0.3 ∗ 𝛼𝛼 ⇒ sin𝜃𝜃 = �

0.33𝑙𝑙𝑎𝑎0.6

Mecânica


I

Uma partícula tem um movimento retilíneo. A velocidade varia no tempo como indicado no gráfico sendo a velocidade inicial igual a 1 m/s. 𝑡𝑡1 = 3 𝑠𝑠, 𝑡𝑡2 =6 𝑠𝑠 𝑒𝑒 𝑡𝑡3 = 9 𝑠𝑠

a) Represente os gráficos do deslocamento e da aceleração em função do tempo.

b) Determine a aceleração nos 3 intervalos. c) Determine o deslocamento no instante 𝑡𝑡3 d) Determine a distância percorrida até esse instante.

V

1t2t 3t

1V

0V

AC1 Ano letivo 2012/13 2º Semestre Data: 17 de Abril 2013 Hora: 15:30 horas Duração: 1h30.

Cotação: I - 6 valores II - 7 valores III - 7 valores

II

Três massas estão ligadas através de dois fios inextensíveis e de massas desprezáveis (ver a figura). Existe atrito entre a mesa e o corpo 2. Os coeficientes de atrito, cinético e estático, são µc=0.4 e µe=0.8. O atrito no eixo das roldanas e as suas massas são desprezáveis. A relação entra as massas dos corpos 1 e 3 é: m3=3.8m1. (o ângulo do plano inclinado é α=26º sendo que: cos(26º)=0.9 e sen(26º)=0.44, g=10 m/s2)

a) Represente as forças que atuam sobre cada corpo (represente cada corpo separadamente).

b) Determine a expressão da massa mínima do corpo 2 (m2) para manter o sistema em equilíbrio.

c) Sendo a massa do corpo 2 igual à da alínea b), o corpo 3 é substituído por outro corpo de massa m4=4m1 e o sistema entra em movimento. Determine a aceleração de cada corpo. (caso não consiga determinar a massa do corpo 2 pode exprimir o resultado em função da massa “m2” sendo essa a única incógnita do resultado)

III Um corpo de massa m = 1kg parte do repouso (ponto A) e desliza, sem atrito, numa calha desde uma altura h = 20m até ao ponto B. De seguida, percorre na horizontal uma distância d = 100 m numa superfície com atrito (coeficiente de atrito µ) até ao ponto C. Por fim, entra numa zona (sempre na horizontal) onde não há atrito, e vai embater numa mola (de constante elástica k = 100 N/m) comprimindo a mola até se imobilizar, ponto D.

α

1

2

3

a) Qual é a expressão e o valor da energia cinética no ponto B? b) Sabendo que a mola foi comprimida de 1 metro até se imobilizar no ponto

D, determine a velocidade no ponto C. c) Qual é a expressão do trabalho da força de atrito entre os pontos B e C? d) Qual é a expressão da variação da energia cinética entre os pontos B e C? e) Qual é o valor do coeficiente de atrito?

A h B C D d

Solução I

a) Representações:

b) Nos 3 intervalos o declive da velocidade é constante. Logo a aceleração é

constante em cada intervalo. De 0 até t2 a aceleração é negativa. No último intervalo a aceleração é positiva (ver os declives da velocidade).

𝑣𝑣(𝑡𝑡1) − 𝑣𝑣(0) = 0 − 1 = � 𝑎𝑎1𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡1

0= 𝑎𝑎1 � 𝑑𝑑𝑡𝑡

3

0= 𝑎𝑎1 ∗ (𝑡𝑡1 − 0)

V

1t2t 3t

1V

0V

x

t

a2

a1

t

𝑎𝑎1 = −13

(𝑚𝑚/𝑠𝑠2)

𝑣𝑣(𝑡𝑡2) = 𝑣𝑣1 = 𝑣𝑣(0) + 𝑎𝑎1 ∗ 𝑡𝑡2 = −1(𝑚𝑚/𝑠𝑠)

𝑣𝑣(𝑡𝑡3) − 𝑣𝑣(𝑡𝑡2) = � 𝑎𝑎2𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡3

𝑡𝑡2= 𝑎𝑎2 � 𝑑𝑑𝑡𝑡

𝑡𝑡3

𝑡𝑡2= 𝑎𝑎2 ∗ (𝑡𝑡3 − 𝑡𝑡2)

𝑎𝑎2 =0 − (−1)

3=

13

(𝑚𝑚/𝑠𝑠2)

c) Deslocamento no instante t3 :

𝑥𝑥(𝑡𝑡3) − 𝑥𝑥(0) = � 𝑣𝑣𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡3

0= 𝐴𝐴1 + 𝐴𝐴2 + 𝐴𝐴3

=12∗ 𝑣𝑣0 ∗ 𝑡𝑡1 +

12∗ 𝑣𝑣1(𝑡𝑡2 − 𝑡𝑡1) +

12∗ 𝑣𝑣1(𝑡𝑡3 − 𝑡𝑡2) = −

32

𝑚𝑚

d) Distância percorrida:

𝑑𝑑 = |𝑥𝑥(𝑡𝑡1)| + |𝑥𝑥(𝑡𝑡2)| + |𝑥𝑥(𝑡𝑡3)| = 2|𝑥𝑥(𝑡𝑡1)| + |𝑥𝑥(𝑡𝑡3)| =92 𝑚𝑚

II

b) Massa m2 mínima para manter o sistema em equilíbrio: Corpo 1:

0 = 𝑚𝑚1 ∗ 𝑔𝑔 − 𝑇𝑇1 Corpo 2:

0 = 𝑇𝑇3 + 𝐹𝐹𝐴𝐴 − 𝑇𝑇4 −𝑚𝑚2 ∗ 𝑔𝑔 ∗ sin𝛼𝛼 𝑒𝑒 0 = 𝑁𝑁 −𝑚𝑚2 ∗ 𝑔𝑔 ∗ cos𝛼𝛼 Corpo 3:

0 = 𝑇𝑇2 − 𝑚𝑚3 ∗ 𝑔𝑔 Sistema na iminência de se movimentar ⇒ força de atrito estático máxima Fios inextensíveis ⇒ 𝑇𝑇1 = 𝑇𝑇3 𝑒𝑒 𝑇𝑇4 = 𝑇𝑇2

0 = 𝑚𝑚1 ∗ 𝑔𝑔 − 𝑇𝑇1 + 𝑇𝑇3 + 𝐹𝐹𝐴𝐴 −𝑚𝑚2 ∗ 𝑔𝑔 ∗ sin𝛼𝛼 − 𝑇𝑇4 + 𝑇𝑇2 − 𝑚𝑚3 ∗ 𝑔𝑔

0 = 𝑚𝑚1 ∗ 𝑔𝑔 + 𝜇𝜇𝑒𝑒 ∗ 𝑚𝑚2 ∗ 𝑔𝑔 ∗ cos 𝛼𝛼 −𝑚𝑚2 ∗ 𝑔𝑔 ∗ sin𝛼𝛼 −𝑚𝑚3∗𝑔𝑔

𝑚𝑚2 =𝑚𝑚3 −𝑚𝑚1

𝜇𝜇𝑒𝑒 ∗ cos𝛼𝛼 − sin𝛼𝛼 =2.8

0.28 ∗ m1 = 10𝑚𝑚1

c) Aceleração dos corpos:

𝑃𝑃3

𝑃𝑃1

𝑃𝑃2 𝑇𝑇2

𝑇𝑇1 𝑇𝑇4

𝑇𝑇3

𝐹𝐹��𝐴

𝑁𝑁

Fios inextensíveis logo os corpos têm todos a mesma aceleração Movimento ⇒ o atrito é cinético. O sentido positivo escolhido é na descida do corpo 𝑚𝑚4 = 4 ∗ 𝑚𝑚1 As equações rescrevem-se assim:

⎩⎪⎪⎨

⎪⎪⎧

𝑚𝑚4 ∗ 𝑎𝑎 = 𝑚𝑚4 ∗ 𝑔𝑔 − 𝑇𝑇2

𝑚𝑚2 ∗ 𝑎𝑎 = 𝑇𝑇4 − 𝐹𝐹𝐴𝐴 + 𝑚𝑚2 ∗ 𝑔𝑔 ∗ sin𝛼𝛼 − 𝑇𝑇3

𝑚𝑚1 ∗ 𝑎𝑎 = 𝑇𝑇1 − 𝑚𝑚1 ∗ 𝑔𝑔

𝐹𝐹𝐴𝐴 = 𝜇𝜇𝐶𝐶 ∗ 𝑚𝑚2 ∗ 𝑔𝑔 ∗ cos𝛼𝛼

(𝑚𝑚4 + 𝑚𝑚2 + 𝑚𝑚3) ∗ 𝑎𝑎 = 𝑚𝑚4 ∗ 𝑔𝑔 − 𝐹𝐹𝐴𝐴 + 𝑚𝑚2 ∗ 𝑔𝑔 ∗ sin𝛼𝛼 −𝑚𝑚1 ∗ 𝑔𝑔

= 𝑚𝑚4 ∗ 𝑔𝑔 − 𝐹𝐹𝐴𝐴 −𝑚𝑚3 ∗ 𝑔𝑔

𝑎𝑎 =4𝑚𝑚1 − 𝜇𝜇𝑐𝑐10 ∗ 𝑚𝑚1 ∗ cos𝛼𝛼 + 10 ∗ m1 ∗ sin𝛼𝛼 −𝑚𝑚1

4𝑚𝑚1 + 10𝑚𝑚1 + 𝑚𝑚1𝑔𝑔 =

3.815 𝑔𝑔 (𝑚𝑚/𝑠𝑠2)

III A h B C d D

A-B:

Δ𝐸𝐸𝐶𝐶 = 𝐸𝐸𝐶𝐶𝐵𝐵 − 𝐸𝐸𝐶𝐶𝐴𝐴 = 𝑊𝑊𝑃𝑃 + 𝑊𝑊𝑁𝑁 = 𝑊𝑊𝑃𝑃 = −𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ (−ℎ) = 𝑚𝑚𝑔𝑔ℎ

𝐸𝐸𝐶𝐶𝐵𝐵 =12∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑉𝑉𝐵𝐵2 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ ℎ = 200 (𝐽𝐽)

B-C:

Δ𝐸𝐸𝐶𝐶 = 𝐸𝐸𝐶𝐶𝐶𝐶 − 𝐸𝐸𝐶𝐶𝐵𝐵 = 𝑊𝑊𝑃𝑃 + 𝑊𝑊𝑁𝑁 + 𝑊𝑊𝐹𝐹𝐴𝐴 = 𝑊𝑊𝐹𝐹𝐴𝐴 = −𝐹𝐹𝐴𝐴 ∗ 𝑑𝑑

𝑊𝑊𝐹𝐹𝐴𝐴 = −𝐹𝐹𝐴𝐴 ∗ 𝑑𝑑 = −𝜇𝜇 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝑑𝑑

𝐸𝐸𝐶𝐶𝐶𝐶 − 𝐸𝐸𝐶𝐶𝐵𝐵 =12 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑉𝑉𝑐𝑐2 − 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ ℎ = −150 (𝐽𝐽)

C-D:

Δ𝐸𝐸𝐶𝐶 = 𝐸𝐸𝐶𝐶𝐷𝐷 − 𝐸𝐸𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝑊𝑊𝑃𝑃 + 𝑊𝑊𝑁𝑁 + 𝑊𝑊𝐹𝐹𝐸𝐸 = 𝑊𝑊𝐹𝐹𝐸𝐸 =12 ∗ 𝑘𝑘 ∗

�𝑥𝑥𝑖𝑖2 − 𝑥𝑥𝑓𝑓2�

−𝐸𝐸𝐶𝐶𝐶𝐶 = −12 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑉𝑉𝑐𝑐2 = −

12 ∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝑥𝑥𝑓𝑓

2

𝑥𝑥𝑓𝑓 = 𝑉𝑉𝑐𝑐 ∗ �𝑚𝑚𝑘𝑘 = 1 (𝑚𝑚)

𝐸𝐸𝐶𝐶𝐶𝐶 − 𝐸𝐸𝐶𝐶𝐵𝐵 = 𝑊𝑊𝐹𝐹𝐴𝐴 = −𝜇𝜇 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝑑𝑑 ⇒ 𝜇𝜇 =𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ ℎ − 1

2 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑉𝑉𝑐𝑐2

𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝑑𝑑 = 0.15

Mecânica

Não é permitido o uso da máquina de calcular.

I

Um carrinho de massa Mc = 50 kg encontra-se em repouso sobre uma superfície e preso a uma mola (k = 200 N/m). Não há atrito entre o carrinho e a superfície. O carrinho dispara um projétil, de massa mp = 2 kg e, simultaneamente, recua para a esquerda. O projétil sai do canhão com velocidade 𝑉𝑉𝑝𝑝 = 1,25 𝑚𝑚/𝑠𝑠 na horizontal.

a) Calcule a velocidade de recuo (𝑉𝑉𝑐𝑐) do carrinho imediatamente depois do disparo. b) Determine o valor x de quanto a mola é comprimida até o canhão parar. c) A seguir, o projétil colide com um corpo de massa idêntica e preso a um fio de massa

desprezável. Determine a altura máxima atingida pelo corpo.

h

xpV

AC2

Ano letivo 2012/13 2º Semestre Data: 5 de Junho 2013 Hora: 15h 30min Duração: 1h 30min

Cotação: I - 7 valores II - 6 valores III - 7 valores

Professor Claude Boemare - Universidade de Aveiro - 2013

II

O fio enrolado em volta de uma esfera de massa m e raio R é puxado pela ação duma força F como mostra a figura. A esfera rola mas não desliza (o momento de inércia em torno do centro de massa da esfera é 2/5 mR2).

a) Represente as forças que estão a atuar na esfera. b) Determine a expressão da aceleração do centro de massa da esfera. c) Determine as expressões das intensidades de todas as forças em função de m, F, R

e de g (aceleração da gravidade).

III

Uma escada homogénea, de 5 m de comprimento e de 5 kg de massa, está apoiada numa parede vertical (despreze o atrito entre a parede e a escada) e num piso rugoso (há atrito), como mostra a figura seguinte. Se a distância da parede à extremidade inferior da escada não for superior a x = 3 m (o ângulo com a horizontal será θ=53º), a escada está em equilíbrio. Para distâncias superiores a esta, a escada pode deslizar. Inicialmente ninguém sobe a escada.

( cos(53º) = 0,6 ; sen(53º) = 0,8 ; tan (53º) = 4/3 e g=10m/s2) a) Faça o diagrama das forças aplicadas na escada e escreva as condições de equilíbrio

estático quando a base da escada está na posição x = 3m. b) Determine a força que atua entre a parede e o topo da escada, nas condições da alínea

anterior. c) Determine as forças que atuam entre a escada e o chão, assim como o coeficiente de

atrito estático. d) Uma pessoa de 50 kg sobe a escada. O piso é diferente e o coeficiente de atrito entre

a escada e o chão é agora de 0,5. Até que distância d da base da escada a pessoa pode ir sem que a escada deslize?

F

x d


Solução

I

a) Conservação do momento linear:

𝑃𝑃𝑖𝑖 = 0 = 𝑃𝑃𝑓𝑓 = −𝑀𝑀𝑐𝑐 ∗ 𝑉𝑉𝑐𝑐 + 𝑚𝑚𝑝𝑝 ∗ 𝑉𝑉𝑝𝑝

𝑉𝑉𝑐𝑐 =𝑚𝑚𝑝𝑝

𝑀𝑀𝑐𝑐∗ 𝑉𝑉𝑝𝑝 = 2

50∗ 1.25 = 2.5

50= 0.05 (𝑚𝑚/𝑠𝑠)

b) Conservação da energia:

ΔE𝐶𝐶 = 0 − 12

∗ 𝑀𝑀𝑐𝑐 ∗ 𝑉𝑉𝑐𝑐2 = 𝑊𝑊𝑃𝑃 + 𝑊𝑊𝑁𝑁 + 𝑊𝑊𝐹𝐹𝐹𝐹 = 𝑊𝑊𝐹𝐹𝐹𝐹 = −1

2∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝑥𝑥2

𝑥𝑥 = 𝑉𝑉𝑐𝑐 ∗ �𝑀𝑀𝑐𝑐𝑘𝑘

= 𝑉𝑉𝑐𝑐 ∗ 0.5 = 0.025 (𝑚𝑚)

c) Colisão: Conservação do momento linear

Se considerar a colisão elástica como as massas são iguais o projéctil após a colisão está parado, logo a velocidade do corpo, V2 é igual à velocidade do projéctil antes da colisão.

𝑉𝑉2 = 𝑉𝑉𝑝𝑝 Se considerar que a colisão é perfeitamente inelástica a velocidade do conjunto é igual à metade da velocidade do projéctil.

𝑉𝑉2 =𝑉𝑉𝑝𝑝

2

Subida do corpo: conservação da energia.

ΔEc = 12

∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑉𝑉22 = 𝑊𝑊𝑝𝑝 + 𝑊𝑊𝑇𝑇 = 𝑊𝑊𝑃𝑃 = −𝑚𝑚𝑚𝑚ℎ

ℎ = 𝑉𝑉22

2 ∗ 𝑚𝑚=

⎩��⎨��⎧ℎ =

𝑉𝑉𝑝𝑝2

2 ∗ 𝑚𝑚≈ 0.078 (𝑚𝑚)𝑜𝑜𝑜𝑜

ℎ =𝑉𝑉𝑝𝑝

2

8 ∗ 𝑚𝑚≈ 0.02 (𝑚𝑚)


II

Usando os momentos: No ponto Q de contacto:

� 𝑀𝑀�𝑄𝑄

= 𝐼𝐼𝑃𝑃 ∗ 𝛼𝛼

𝐼𝐼𝑄𝑄 = 𝐼𝐼𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑚𝑚 ∗ 𝑅𝑅2 = 25

∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑅𝑅2 + 𝑚𝑚 ∗ 𝑅𝑅2 = 75

∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑅𝑅2

No ponto Q só a força F tem um momento diferente de zero:

𝑀𝑀𝐹𝐹 = 2 ∗ 𝑅𝑅 ∗ 𝐹𝐹 𝑒𝑒 𝛼𝛼 = 𝑎𝑎𝐶𝐶𝐶𝐶𝑅𝑅

𝐹𝐹 ∗ 2 ∗ 𝑅𝑅 = 75

∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑅𝑅2 ∗ 𝛼𝛼 = 75

∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑅𝑅 ∗ 𝑎𝑎

𝑎𝑎𝐶𝐶𝐶𝐶 =107

∗𝐹𝐹𝑚𝑚

𝐹𝐹 + 𝐹𝐹𝑎𝑎 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑎𝑎 𝐹𝐹𝑎𝑎 = 3𝐹𝐹7

Se tivéssemos representado a força de atrito em sentido contrário teríamos obtido um módulo negativo. Ou seja olhando para o sinal obtido sabemos o sentido da força.

𝑃𝑃 = 𝑁𝑁 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑚𝑚

𝑃𝑃�

𝑁𝑁��

𝐹𝐹𝑎𝑎��

Q


III

a) Equilíbrio estático: Atrito estático máximo: 𝐹𝐹3 = 𝜇𝜇𝐹𝐹 ∗ 𝐹𝐹2

Condições de equilíbrio: �∑𝑀𝑀� = 0∑𝐹𝐹 = 0

Forças: �𝐹𝐹1 − 𝐹𝐹3 = 0𝐹𝐹2 − 𝑃𝑃 = 0

Momentos das forças calculados no ponto A:

𝑀𝑀𝐹𝐹 2 = 0 𝑀𝑀𝐹𝐹 3 = 0 𝑀𝑀𝑃𝑃 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑙𝑙2

∗ cos 𝜃𝜃 𝑀𝑀𝐹𝐹 1 = −𝐹𝐹1 ∗ 𝑙𝑙 ∗ sin 𝜃𝜃

b) Força F1 :

O somatório dos momentos em A é nulo:

0 + 0 + 𝑚𝑚 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑙𝑙2

∗ cos 𝜃𝜃 − 𝐹𝐹1 ∗ 𝑙𝑙 ∗ sin 𝜃𝜃 = 0

𝐹𝐹1 =𝑚𝑚 ∗ 𝑚𝑚 ∗ cos 𝜃𝜃

2 ∗ sin 𝜃𝜃= 18.75 (𝑁𝑁)

𝐹𝐹1��

𝐹𝐹2��

𝐹𝐹3�� 𝑃𝑃�

𝑥𝑥 A

B

l


c) Forças F2 , F3 e o coeficiente de atrito e :

𝐹𝐹1 = 𝐹𝐹3 = 18.75 (𝑁𝑁) 𝑒𝑒 𝐹𝐹2 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑚𝑚 = 50 (𝑁𝑁)

𝐹𝐹3 = 𝜇𝜇𝐹𝐹 ∗ 𝐹𝐹2 → 𝜇𝜇𝐹𝐹 = 𝐹𝐹3𝐹𝐹2

= 0.375

d) Uma pessoa de peso PP sobe. Momentos das forças calculados no ponto B:

𝑀𝑀𝐹𝐹1 = 0

𝑀𝑀𝐹𝐹2 = +𝐹𝐹2 ∗ 𝑙𝑙 ∗ cos 𝜃𝜃 𝑀𝑀𝐹𝐹3 = −𝐹𝐹3 ∗ 𝑙𝑙 ∗ sin 𝜃𝜃 𝑀𝑀𝑃𝑃 = −𝑃𝑃 ∗ 𝑙𝑙2

∗ cos 𝜃𝜃

𝑀𝑀𝑃𝑃 = −𝑃𝑃𝑝𝑝 ∗ (𝑥𝑥 − 𝑑𝑑) = −𝑃𝑃𝑝𝑝 ∗ (𝑙𝑙 ∗ cos 𝜃𝜃 − 𝑑𝑑)

𝐹𝐹2 ∗ 𝑙𝑙 ∗ cos 𝜃𝜃 − 𝐹𝐹3 ∗ 𝑙𝑙 ∗ sin 𝜃𝜃 − 𝑃𝑃 ∗ 𝑙𝑙2

∗ cos 𝜃𝜃 − 𝑃𝑃𝑝𝑝 ∗ (𝑙𝑙 ∗ cos 𝜃𝜃 − 𝑑𝑑) = 0

Forças:

⎩��⎨��⎧ 0 = −𝐹𝐹3 + 𝐹𝐹1

0 = 𝐹𝐹2 − 𝑃𝑃 − 𝑃𝑃𝑃𝑃

𝐹𝐹3 = 𝜇𝜇 ∗ 𝐹𝐹2 = 𝑃𝑃 + 𝑃𝑃𝑃𝑃

(𝑃𝑃 + 𝑃𝑃𝑃𝑃 ) ∗ 𝑙𝑙 ∗ (cos 𝜃𝜃 − 𝜇𝜇 ∗ sin 𝜃𝜃) − �𝑃𝑃2

+ 𝑃𝑃𝑝𝑝� ∗ 𝑙𝑙 ∗ cos 𝜃𝜃 + 𝑃𝑃𝑃𝑃 ∗ 𝑑𝑑 = 0

𝑑𝑑 =�𝑃𝑃2 + 𝑃𝑃𝑝𝑝� ∗ 𝑙𝑙 ∗ cos 𝜃𝜃 − (𝑃𝑃 + 𝑃𝑃𝑃𝑃) ∗ 𝑙𝑙 ∗ (cos 𝜃𝜃 − 𝜇𝜇 ∗ sin 𝜃𝜃)

𝑃𝑃𝑃𝑃= 2.05 (𝑚𝑚)


itta ˆ6)(

jiv ˆ2ˆ3

2 1

3

Cotação: I - 4 valores II - 4 valores III - 4 valores IV 4 valores V 4 valores

IV

x d

Mecânica

I (AC1: 6.5 valores)

Uma partícula de massa m possui um movimento circular de raio R=2m. No instante t=1 s o espaço percorrido s no arco de circunferência é de 3 m. O movimento realiza-se num plano horizontal a uma altura de 5 m. Se a expressão da velocidade angular for ω = 3t2+1 (rad/s), determine:

a) As expressões das acelerações angular e centrípeta. b) A expressão do espaço percorrido s . c) As expressões das forças responsáveis pelo movimento.

Solução:

𝜔𝜔 = 3 ∗ 𝑡𝑡2 + 1 (𝑚𝑚/𝑠𝑠) a) As Acelerações:

𝑎𝑎𝑐𝑐 = 𝑅𝑅 ∗ 𝜔𝜔2 𝑎𝑎𝑡𝑡 = 𝑅𝑅 ∗ 𝛼𝛼 = 𝑅𝑅 ∗𝑑𝑑𝜔𝜔𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑅𝑅 ∗ 6 ∗ 𝑡𝑡


𝑣𝑣(𝑡𝑡) = 𝑅𝑅 ∗ 𝜔𝜔(𝑡𝑡) = 𝑅𝑅 ∗ (3 ∗ 𝑡𝑡2 + 1)

𝑠𝑠(𝑡𝑡) − 𝑠𝑠(1) = �𝑣𝑣(𝑡𝑡) ∗ 𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡

1

= 𝑅𝑅�(3 ∗ 𝑡𝑡2 + 1) ∗ 𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡

1

= [𝑡𝑡3 + 𝑡𝑡]1𝑡𝑡 = 𝑡𝑡3 + 𝑡𝑡 − 2

𝑠𝑠(𝑡𝑡) = 𝑡𝑡3 + 𝑡𝑡 + 1 (𝑚𝑚)

c) Forças:

𝐹𝐹𝑡𝑡 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑎𝑎𝑡𝑡 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑅𝑅 ∗ 6 ∗ 𝑡𝑡 𝐹𝐹𝑐𝑐 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑎𝑎𝑐𝑐 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑅𝑅 ∗ (𝜔𝜔2 + 1)

Exame de Recurso

Ano lectivo 2012/13 2º Semestre Data: 3 de Julho 2013 Hora: 15 horas Duração: 1h30/2h30.

Cotação Exame Completo: I - 4 valores III - 4 valores IV 4 valores V 4 valores VI Valores

II ( Só AC1: 6.5 valores) Considere um corpo de 10 kg colocado sobre um plano inclinado de ângulo igual a 37o. Suponha que o corpo desce o plano com uma aceleração de 5,2 ms-2.(sen 37 0,6 cos37 0,8)o o= =

a) Determine a força de atrito. b) Determine o coeficiente de atrito.

Suponha, agora, que se fixa um fio (de massa desprezável e inextensível) ao corpo 1 e que aquele passa numa roldana (de massa desprezável) colocando em suspensão verticalmente um corpo de massa m2,.Considere o coeficiente de atrito estático entre o corpo 1 e o plano inclinado igual a 0,2 e despreze o atrito entre o fio e a roldana.

c) Qual é a massa mínima que o corpo 2 deve ter para que desça e arraste

consigo o corpo 1?

Solução:

a) Desce com uma aceleração a=5.2 m/s2 :

𝑚𝑚 ∗ 𝑎𝑎 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ sin𝜃𝜃 − 𝐹𝐹𝐴𝐴

𝐹𝐹𝐴𝐴 = 𝑚𝑚 ∗ (𝑔𝑔 ∗ sin𝜃𝜃 − 𝑎𝑎) = 8 (𝑁𝑁)

b) Coeficiente de atrito: O atrito é cinético.

𝐹𝐹𝐴𝐴 = 𝜇𝜇𝐶𝐶 ∗ 𝑁𝑁 = 𝜇𝜇𝐶𝐶 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ cos 𝜃𝜃

𝜇𝜇𝐶𝐶 =𝐹𝐹𝐴𝐴

𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ cos 𝜃𝜃 = 0.1

c) Massa mínima do corpo 2: A força de atrito é estática e máxima.

1

1 2

∑ 𝐹𝐹�� = 0� ; 𝐹𝐹𝐴𝐴 = 𝜇𝜇𝑒𝑒 ∗ 𝑁𝑁 𝑒𝑒 𝑇𝑇1 = 𝑇𝑇2

Corpo 1:

�0 = 𝑇𝑇1 − 𝐹𝐹𝐴𝐴 −𝑚𝑚1 ∗ 𝑔𝑔 ∗ sin𝜃𝜃

0 = 𝑁𝑁 −𝑚𝑚1 ∗ 𝑔𝑔 ∗ cos 𝜃𝜃

Corpo 2: 0 = 𝑚𝑚2 ∗ 𝑔𝑔 − 𝑇𝑇2

logo: 0 = 𝑚𝑚2 ∗ 𝑔𝑔 − 𝑇𝑇2 + 𝑇𝑇1 − 𝑚𝑚1 ∗ 𝑔𝑔 ∗ sin𝜃𝜃 − 𝜇𝜇𝑒𝑒 ∗ 𝑚𝑚1 ∗ 𝑔𝑔 ∗ cos 𝜃𝜃

𝑚𝑚2 = 𝑚𝑚1 ∗ (sin𝜃𝜃 + 𝜇𝜇𝑒𝑒 ∗ cos 𝜃𝜃)

III (AC1: 7 valores) Uma esfera de massa m presa por uma corda de comprimento L é largada, a partir do repouso, da posição A (ver figura).

a) Determine a expressão da energia cinética da esfera na posição B.

A corda embate num prego, P, localizado a uma distância d abaixo do ponto de suspensão. E a esfera roda agora entorno desse ponto.

b) Determine a expressão da velocidade mínima que deva ter a esfera na vertical e encima do ponto P para dar a volta.

c) Determine a expressão da distância d mínima de modo à esfera descrever um círculo completo centrado em P.

Solução:

a) Descida de esfera:

Δ𝐸𝐸𝐶𝐶 = 𝐸𝐸𝐶𝐶𝐶𝐶 − 𝐸𝐸𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝐸𝐸𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝑊𝑊𝑃𝑃 + 𝑊𝑊𝑇𝑇 = −𝑚𝑚𝑔𝑔Δ𝑦𝑦 = 𝑚𝑚𝑔𝑔𝑚𝑚

b) Velocidade no ponto máximo (que vamos chamar C). Lei de Newton:

𝑚𝑚(𝑎𝑎𝐶𝐶�� + 𝑎𝑎𝑡𝑡�� ) = 𝑚𝑚��𝑎𝐶𝐶 = 𝑃𝑃� + 𝑁𝑁�� No limite N=0 (no ponto C):

�𝑎𝑎𝐶𝐶 =

𝑉𝑉2

𝑟𝑟𝑒𝑒

𝑚𝑚 ∗ 𝑎𝑎𝐶𝐶 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔

→ 𝑉𝑉2 = 𝑟𝑟𝑔𝑔 = (𝑚𝑚 − 𝑑𝑑) ∗ 𝑔𝑔

c) Distancia d:

Δ𝐸𝐸𝐶𝐶 = 𝐸𝐸𝐶𝐶 − 𝐸𝐸𝐴𝐴 = 𝑊𝑊𝑃𝑃 + 𝑊𝑊𝑇𝑇 = 𝑊𝑊𝑃𝑃 = −𝑚𝑚𝑔𝑔Δ𝑦𝑦 = −𝑚𝑚𝑔𝑔(2𝑟𝑟 − 𝑚𝑚)

𝐸𝐸𝐶𝐶 − 0 =12𝑚𝑚

(𝑚𝑚 − 𝑑𝑑) ∗ 𝑔𝑔 = −𝑚𝑚𝑔𝑔(2(𝑚𝑚 − 𝑑𝑑) − 𝑚𝑚)

𝑑𝑑 =35𝑚𝑚

A

B

IV (AC2) Uma esfera de massa m1 com velocidade V1 colide elasticamente com uma outra esfera de massa m2 = 2m1 inicialmente em repouso e é desviada segundo um ângulo de 90o, relativamente à direcção inicial.

a) Escreva as equações que descrevem este tipo de colisão. b) Determine as velocidades finais das duas esferas. c) Qual é o ângulo entre a velocidade da segunda esfera e a horizontal depois da

colisão? d) Que fracção da energia cinética inicial é transferida para a segunda esfera?

Solução:

Colisão elástica: conservação do momento linear e da energia cinética:

a) Equações:

⎩⎪⎨

⎪⎧

𝑃𝑃𝑥𝑥 ∶ 𝑚𝑚1 ∗ 𝑉𝑉1 + 0 = 0 + 𝑚𝑚2 ∗ 𝑉𝑉2𝐶𝐶 ∗ cos 𝜃𝜃

𝑃𝑃𝑦𝑦: 0 = 𝑚𝑚1 ∗ 𝑉𝑉1𝐶𝐶 − 𝑚𝑚2 ∗ 𝑉𝑉2𝐶𝐶 ∗ sin𝜃𝜃

12 ∗ 𝑚𝑚1 ∗ 𝑉𝑉12 =

12 ∗ 𝑚𝑚1 ∗ 𝑉𝑉1𝐶𝐶2 +

12 ∗ 𝑚𝑚2 ∗ 𝑉𝑉2𝐶𝐶2

b) Velocidades:

⎩⎪⎨

⎪⎧

𝑉𝑉1 = 2 ∗ 𝑉𝑉2𝐶𝐶 ∗ cos 𝜃𝜃

𝑉𝑉1𝐶𝐶 = 2 ∗ 𝑉𝑉2𝐶𝐶 ∗ sin𝜃𝜃

𝑉𝑉12 = 𝑉𝑉1𝐶𝐶2 + 2 ∗ 𝑉𝑉2𝐶𝐶2

⎩⎪⎨

⎪⎧

𝑉𝑉12 + 𝑉𝑉1𝐶𝐶2 = 4 ∗ 𝑉𝑉2𝐶𝐶2

𝑉𝑉12 − 𝑉𝑉1𝐶𝐶2 = 2 ∗ 𝑉𝑉2𝐶𝐶2 ⇒

⎩⎪⎨

⎪⎧

𝑉𝑉1𝐶𝐶 =𝑉𝑉1√3

𝑉𝑉2𝐶𝐶 =𝑉𝑉1√3

c) Ângulo:

tan 𝜃𝜃 =𝑉𝑉1𝐶𝐶𝑉𝑉1

=1√3

d) Fracção d’energia cinética:

𝐸𝐸𝐶𝐶2𝐸𝐸𝐶𝐶𝐶𝐶

=12 ∗ 𝑚𝑚2 ∗ 𝑉𝑉2𝐶𝐶2

12 ∗ 𝑚𝑚1 ∗ 𝑉𝑉12

=23

V (AC2) Considere uma barra uniforme de extremidades A e B, comprimento L e massa mB. Existe um ponto fixo C, pertencente à barra, em torno do qual a barra pode rodar. A distância entre o ponto C e o centro de massa da barra é x. A barra está numa posição horizontal de equilíbrio estável apoiada nos pontos A e C. Um homem com massa mH desloca-se ao longo da barra partindo de A. Sabendo que mB =2 mH, determine:

a) A expressão da força de reacção no ponto A, quando o homem se encontra em A. b) A expressão da força de reacção no ponto C, quando o homem se encontra em C. c) As expressões da distância máxima desde A que o homem se pode deslocar,

mantendo o equilíbrio.

Solução:

�∑��𝐹 = 𝑅𝑅�𝐴𝐴 + 𝑅𝑅� 𝐶𝐶 + 𝑃𝑃�𝐻𝐻 + 𝑃𝑃�𝐶𝐶 = 0�

∑𝑀𝑀�� = 𝑀𝑀�� 𝑅𝑅𝑅𝑅 + 𝑀𝑀�� 𝑅𝑅𝑐𝑐 + 𝑀𝑀�� 𝑃𝑃ℎ + 𝑀𝑀�� 𝑃𝑃𝑃𝑃 = 0�

a) Reacção em A: Os momentos das forças calculados em C:

∑𝑀𝑀�� = 𝑀𝑀�� 𝑅𝑅𝑅𝑅 + 0 + 𝑀𝑀�� 𝑃𝑃ℎ + 𝑀𝑀�� 𝑃𝑃𝑃𝑃 = 0�

−𝑅𝑅𝐴𝐴 �𝑚𝑚2

+ 𝑥𝑥�+ 𝑃𝑃𝐻𝐻 �𝑚𝑚2

+ 𝑥𝑥� + 𝑃𝑃𝐶𝐶 𝑥𝑥 = 0

𝑅𝑅𝐴𝐴 =𝑃𝑃𝐻𝐻 �

𝑚𝑚2 + 𝑥𝑥�+ 𝑃𝑃𝐶𝐶 𝑥𝑥𝑚𝑚2 + 𝑥𝑥

= 𝑚𝑚𝐻𝐻 ∗ 𝑔𝑔 ∗𝑚𝑚 + 6𝑥𝑥𝑚𝑚 + 2𝑥𝑥

b) Reacção em C: Os momentos das forças calculados em A:

A C B

∑𝑀𝑀�� = 0 + 𝑀𝑀�� 𝑅𝑅𝑐𝑐 + 𝑀𝑀�� 𝑃𝑃ℎ + 𝑀𝑀�� 𝑃𝑃𝑃𝑃 = 0�

+𝑅𝑅𝐶𝐶 �𝑚𝑚2

+ 𝑥𝑥� − 𝑃𝑃𝐻𝐻 �𝑚𝑚2

+ 𝑥𝑥� − 𝑃𝑃𝐶𝐶𝑚𝑚2

= 0

𝑅𝑅𝐶𝐶 =𝑃𝑃𝐻𝐻 �

𝑚𝑚2 + 𝑥𝑥�+ 𝑃𝑃𝐶𝐶𝑚𝑚

2𝑚𝑚2 + 𝑥𝑥

= 𝑚𝑚𝐻𝐻 ∗ 𝑔𝑔 ∗2𝑥𝑥 + 5𝑚𝑚𝑚𝑚 + 2𝑥𝑥

c) Distância Máxima:

No limite a reacção em A é nula. Os momentos das forças calculados em C:

∑𝑀𝑀�� = 0 + 0 + 𝑀𝑀�� 𝑃𝑃ℎ + 𝑀𝑀�� 𝑃𝑃𝑃𝑃 = 0�

−𝑃𝑃𝐻𝐻 ∗ �𝑑𝑑 −𝑙𝑙2 − 𝑥𝑥�+ 𝑃𝑃𝐶𝐶 ∗ 𝑥𝑥 = −𝑃𝑃𝐻𝐻 ∗ �𝑑𝑑 −

𝑙𝑙2 − 𝑥𝑥�+ 2 ∗ 𝑃𝑃𝐻𝐻 ∗ 𝑥𝑥 = 0

𝑑𝑑 =𝑃𝑃𝐻𝐻 �

𝑚𝑚2 + 𝑥𝑥� + 2 ∗ 𝑃𝑃𝐻𝐻 ∗ 𝑥𝑥

𝑃𝑃𝐻𝐻=𝑚𝑚2 + 3𝑥𝑥

VI (AC2) Uma esfera de raio R e massa M sobe um plano inclinado de θ com a horizontal, rolando sem escorregar. No instante inicial encontrava-se na base do plano, deslocando-se com uma velocidade angular ω0. (Momento de inércia da esfera ICM=2/5 (MR2)

a) Determine a velocidade do centro de massa (CM) da esfera. b) Determine a energia cinética da esfera na base do plano. c) Determine a distância percorrida pela esfera no plano inclinado até parar. d) Determine a aceleração do CM da esfera. e) Determine a força de atrito entre a esfera e o plano.

a) Velocidade do centro de massa:

𝑉𝑉𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑅𝑅 ∗ 𝜔𝜔0 = 5 (𝑚𝑚/𝑠𝑠)

b) Energia Cinética:

𝐸𝐸𝑐𝑐 = 𝐸𝐸𝑐𝑐 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑡𝑡 + 𝐸𝐸𝑐𝑐 𝑡𝑡𝑟𝑟𝑅𝑅𝑡𝑡𝑡𝑡 =12 ∗ 𝐼𝐼𝑐𝑐𝑐𝑐 ∗ 𝜔𝜔0

2 +12 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑉𝑉𝑐𝑐𝑐𝑐2

=12 ∗

�25 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑅𝑅2 + 𝑚𝑚 ∗ 𝑅𝑅2� ∗ 𝜔𝜔0

2 =7

10 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑅𝑅2 ∗ 𝜔𝜔02

= 70 (𝐽𝐽)

c) Distância Percorrido:

∆𝐸𝐸𝑐𝑐 = 𝑊𝑊𝑝𝑝 + 𝑊𝑊𝐹𝐹𝑅𝑅 + 𝑊𝑊𝑁𝑁

𝑊𝑊𝑁𝑁 = 0 como o atrito é estático 𝑊𝑊𝐹𝐹𝑅𝑅 = 0

𝑊𝑊𝑃𝑃 = −𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ ∆𝑦𝑦 = −𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝑥𝑥 ∗ sin𝜃𝜃

∆𝐸𝐸𝑐𝑐 = 𝐸𝐸𝑐𝑐𝐶𝐶 − 𝐸𝐸𝑐𝑐𝐶𝐶 = −𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝑥𝑥 ∗ sin𝜃𝜃

0 −7

10∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑅𝑅2 ∗ 𝜔𝜔0

2 = −𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝑥𝑥 ∗ sin𝜃𝜃

𝑥𝑥 =7 ∗ 𝑅𝑅2 ∗ 𝜔𝜔0

2

10 ∗ 𝑔𝑔 ∗ sin𝜃𝜃 = 3.5 (𝑚𝑚)

d) Aceleração do centro de Massa: Duas maneiras de resolver: i) Com a segunda lei da dinâmica:

𝑚𝑚 ∗ ��𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐 = ��𝐹𝑒𝑒𝑥𝑥𝑡𝑡 (1) 𝑀𝑀�𝑄𝑄 = 𝐼𝐼𝑄𝑄 ∗ 𝛼𝛼� (2)

𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑅𝑅 ∗ 𝛼𝛼

No ponto Q: 𝑀𝑀𝑁𝑁 = 0 𝑀𝑀𝐹𝐹𝑅𝑅 = 0 𝑀𝑀𝑃𝑃 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝑅𝑅 ∗ sin𝜃𝜃

𝐼𝐼𝑄𝑄 = 𝐼𝐼𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑚𝑚 ∗ 𝑅𝑅2 =25 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑅𝑅2 + 𝑚𝑚 ∗ 𝑅𝑅2 =

75 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑅𝑅2

Substituindo na equação (2):

𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝑅𝑅 ∗ sin𝜃𝜃 =75 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑅𝑅2 ∗ 𝛼𝛼 =

75 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑅𝑅2 ∗

𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑅𝑅


ii) Movimento Uniformemente Acelerado:

𝑉𝑉2 − 𝑉𝑉02 = 2 ∗ 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐 ∗ 𝑥𝑥

0 − 𝑉𝑉02 = 𝑅𝑅2 ∗ 𝜔𝜔02 = 2 ∗ 𝑎𝑎 ∗

7 ∗ 𝑅𝑅2 ∗ 𝜔𝜔02

10 ∗ 𝑔𝑔 ∗ sin𝜃𝜃


e) Força de atrito (atrito estático – rola sem deslizar):

𝑚𝑚 ∗ 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ sin𝜃𝜃 − 𝐹𝐹𝑅𝑅

𝐹𝐹𝑅𝑅 =27 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ sin𝜃𝜃 = 5.7 (𝑁𝑁)

𝑁𝑁��

𝑃𝑃�

𝐹𝐹𝑅𝑅��

Q ��𝑎

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Exames EF de anos anteriores e sua Resolucao