UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

POSGRADO EN CIENCIAS FÍSICAS INSTITUTO DE CIENCIAS NUCLEARES

FENÓMENOS CRÍTICOS EN SISTEMAS ÁTOMO-CAMPO

QUE PARA OPTAR POR EL GRADO DE: DOCTOR EN CIENCIAS (FÍSICA)

PRESENTA: MIGUEL ANGEL BASTARRACHEA MAGNANI

TUTOR PRINCIPAL: JORGE GUSTAVO HIRSCH GANIEVICH

INSTITUTO DE CIENCIAS NUCLEARES, UNAM

MIEMBRO DEL COMITÉ TUTORAL: ROCÍO JÁUREGUI RENAUD

INSTITUTO DE FÍSICA, UNAM

MIEMBRO DEL COMITÉ TUTORAL: OCTAVIO HÉCTOR CASTAÑOS GARZA

INSTITUTO DE CIENCIAS NUCLEARES, UNAM

MÉXICO, D. F. ENERO 2016

UNAM – Dirección General de Bibliotecas

Tesis Digitales

Restricciones de uso

DERECHOS RESERVADOS ©

PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL

Todo el material contenido en esta tesis esta protegido por la Ley Federal del Derecho de Autor (LFDA) de los Estados Unidos Mexicanos (México).

El uso de imágenes, fragmentos de videos, y demás material que sea objeto de protección de los derechos de autor, será exclusivamente para fines educativos e informativos y deberá citar la fuente donde la obtuvo mencionando el autor o autores. Cualquier uso distinto como el lucro, reproducción, edición o modificación, será perseguido y sancionado por el respectivo titular de los Derechos de Autor.

Agradecimientos

Son muchos a quienes les debo agradecer el haber logrado este trabajo. Es el final de unlargo proyecto lleno de aciertos y tropiezos, de tristeza y de felicidad. Una gran cantidad depersonas importantes me han acompanado en las peripecias de este camino. Pero entre estaspersonas, en particular les dedico este texto a los siguientes.

En primer lugar, a Nadia R. Eres parte de mi vida y no podrıa haber logrado todo esto sinti. He pasado contigo muchos anos de aventuras y desventuras. Pero se que si hay alguien enquien puedo confiar mi vida, esa eres tu.

En segundo lugar a mi familia. A mis padres Haydee y Jose Luis pues a pesar de las grandesdificultades a lo largo de todos estos anos, se que estan ahı y siempre lo estaran para mi.A mi abuela Haydee que, aunque ya no me recuerda, yo siempre recordare su ayuda en losmomentos difıciles. A mi hermano Luis que me ha ensenado a seguir vivo y a mi hermanoDiego por su fortaleza para seguir adelante. A Raquel por sus ganas de luchar y nunca dejarde echarle ganas. Y a Isabel, Andrea, Antonia y Bulmaro por todo el amor y el carino.

En tercer lugar, a mi mentor y amigo Jorge H. quien no solo me ha ensenado tanto en lafısica, sino tambien en la vida. Gracias por tan buenas charlas, que, en diferentes ocasionesme ayudaron a seguir adelante. Y tambien, muchas gracias por confiar en mi.

Tambien dedico este trabajo a todos mis amigos, con los que he pasado muchas aventurasen este y en otros mundos. Muchas gracias por haber compartido la vida y tantas historiasconmigo: Giovani, Alina, Pepe, Paco, Rafa, Carlos, Samuel y Minerva. Y a aquellos que sonmis amigos sin importar las circunstancias y en los que se que puedo confiar. Gracias portodo el apoyo: Cuauhtli, Gilberto, Haydee, Gustavo, Aitor y Talıa. Por ultimo, al Cırculode Copilco por todas esas veladas de intensa actividad intelectual. Gracias Eduardo, Ivan,Gerardo e Irene.

Asimismo, le agradezco a Blas R. L., porque sin el este trabajo no hubiera sido posible.Gracias por tantas recomendaciones y charlas durante los ultimos anos.

Igualmente, le dedico este trabajo a Sergio L., por haberme ayudado a recuperar el gustopor la fısica y por nuestra colaboracion, que espero siga muchos anos mas.

Finalmente, te dedico esta tesis Carolina F. Cambiaste mi vida para siempre y aunquellegaste al final, siempre seras importante para mi.

Abstract

This PhD thesis gathers my work about the Dicke model over the last years. The purpose ofthis text is double. First, to be a complete review of the Dicke Hamiltonian, a simple modeloriginally employed to describe the atom-field interaction, which in the last years has gainedrenewed interest both practical and theoretical for applications over different fields suchlike the quantum computation and quantum information theory. As a toy model, the Dickemodel allows the study of several topics like quantum chaos and quantum phase transitions.Therefore, as a review, we present the complete thermodynamic treatment and the semi-classical approximation employing coherent states to exhibit one of the most importantfeatures of the Hamiltoniano, the superradiant phase transition.

In second place, we have developed and applied efficient numerical solutions to the Hamil-tonian. Given the algebraic features of the model, until now, there is no way to solve itanalytically, so it is necessary to do it numerically in an efficient manner such that it canbe possible to access to the huge richness its spectrum possess. By employing a previousproposal, we have studied the convergence of this numerical solutions and we showed theiradvantages. Then, we applied these solutions in order to study the Hamiltonian spectrum,where we found regions of quantum chaos and regularity, as well as, the excited-state quan-tum phase transitions (ESQPT). First, we employed Peres lattices to study qualitativelythis fetures of the spectrum. Then, we go deeper into the properties of the model from aquantitatively point of view, using a quantum-classical corrrespondence. We analized theproperties of the energy surfaces along the Poincare sections of the correspondent classicalmodel. Also, we studied the level statistics by taking advantage of the semi-classical densityof states. With all of this, we identified in both levels, classical and quantum, the chaos andregularity in the spectrum, as well as, the meaning of the ESQPT.

iv

Resumen

Esta tesis de doctorado recopila mi trabajo sobre el modelo de Dicke en los ultimos anos. Laintencion de este texto es doble. Primero, hacer una revision completa del Hamiltoniano deDicke, un modelo sencillo originalmente usado para describir la interaccion atomo-campo,que en los ultimos anos ha resultado de interes tanto teorico como practico para aplicacionesen diferentes areas como la teorıa de la informacion y el computo cuanticos. Como modelo dejuguete, el modelo de Dicke posibilita el estudio de varios temas como el caos cuantico, lastransiciones de fase cuanticas. Ası, a modo de revision, presentamos el tratamiento termo-dinamico completo y el semi-clasico con estados coherentes para exhibir uno de sus aspectosmas importantes: la transicion de fase superradiante.

En segundo lugar, se desarrollaron y aplicaron soluciones numericas eficientes al Hamil-toniano. Dadas las caracterısticas del modelo, hasta ahora no hay una forma de resolverloanalıticamente, por lo que es necesario hacerlo numericamente de forma que se pueda accedera la enorme riqueza de su espectro. Retomando una propuesta previa, estudiamos la conver-gencia de estas soluciones numericas eficientes y mostramos sus ventajas. Luego, aplicandoestas soluciones nos fue posible estudiar el espectro del Hamiltoniano, donde encontramosregiones de caos cuantico y de regularidad, ası como las transiciones de fase cuanticas deestados excitados (ESQPT). Primero, usando las redes de Peres, estudiamos cualitativamen-te estas caracterısticas del espectro. Luego, profundizamos en las propiedades del modeloen forma cuantitativa usando una correspondencia cuantico-clasica. Analizamos las propie-dades de las superficies de energıa junto con las secciones de Poincare del modelo clasicocorrespondiente. Tambien, estudiamos la estadıstica de niveles aprovechando la densidad deestados semi-clasica. Con todo esto, pudimos identificar en ambos niveles, clasico y cuantico,el caos y la regularidad en el espectro, ası como darle significado a las ESQPT.

vi

Publicaciones

Publicaciones de partida de la tesis.

Algunos de los resultados que se muestran fueron publicados previamente al desarrollodel trabajo de tesis doctoral y pertenecen a mi trabajo de maestrıa.

1. M. A. Bastarrachea-Magnani and J. G. Hirsch, Numerical Solutions of the DickeHamiltonian. Rev. Mex. Fis. S 57 (3), 0069 (2011).

Publicaciones en las que estos resultados fueron reportados.

Las siguientes publicaciones son resultado directo del trabajo de la tesis doctoral.

1. M. A. Bastarrachea-Magnani and J. G. Hirsch, Convergence in numerical Solu-tions of the Dicke Hamiltonian. AIP Conf. Proc. 1488, 418 (2012).

2. M. A. Bastarrachea-Magnani, O. Castanos, E. Nahmad-Achar, Ramon Lopez-Pena, y J. G. Hirsch, Fidelity, susceptibility and critical exponents in the Dickemodel, Proceedings of Nuclear Physics Symposium (Cocoyoc). J. Phys.: Conf. Ser.492, 012012 (2014).

3. M. A. Bastarrachea-Magnani and J. G. Hirsch, Efficient basis for the Dicke ModelI: theory and convergence in energy. Phys. Scrip. T160, 014005 (2014).

4. J. G. Hirsch and M. A. Bastarrachea-Magnani, Efficient basis for the Dicke Mo-del II: wave function convergence and excited states. Phys. Scrip. T160, 014018(2014).

5. M. A. Bastarrachea-Magnani and J. G. Hirsch, Peres Lattices and Chaos in theDicke Model. J. Phys.: Conf. Ser. 512, 012004 (2014).

6. M. A. Bastarrachea-Magnani, S. Lerma-Hernandez, and J. G. Hirsch, Comparativequantum and semiclassical analysis of atom-field systems. I. Density of states andexcited-state quantum phase transitions. Phys. Rev. A 89, 032101 (2014).

7. M. A. Bastarrachea-Magnani, S. Lerma-Hernandez, and J. G. Hirsch, Compa-rative quantum and semiclassical analysis of atom-field systems. II. Chaos andregularity. Phys. Rev. A 89, 032102 (2014).

8. M. A. Bastarrachea-Magnani, B. Lopez-del-Carpio, S. Lerma-Hernandez, and J.G. Hirsch, Chaos in the Dicke model: Quantum and Semiclassical analysis. Phys.Scripta. , (2015).

Publicaciones resultantes de esta tesis.

El siguiente trabajo se ha desarrollado a partir de esta tesis, sin embargo, por cuestionesde espacio se ha decidido no incluirlo.

1. M. A. Bastarrachea-Magnani, B. Lopez-del-Carpio, J. Chavez-Carlos, S. Lerma-Hernandez, and J. G. Hirsch, Delocalization and quantum chaos in atom-fieldsystems. arXiv:1509.05918 (2015).

viii

Indice general

Agradecimientos I

Abstract III

Resumen V

Publicaciones VII

Indice general IX

Prefacio XIII

1. Computo e Informacion Cuanticos 11.1. El computo y la teorıa de la informacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Computo e informacion clasicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Los recursos cuanticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1. Enredamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2. Coherencia y decoherencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3. Codificacion de qubits. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.1. Atomos naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.2. Atomos artificiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.3. Fotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.4. Poniendo las piezas juntas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4. Algunos modelos para describir sistemas de qubits . . . . . . . . . . . . . . . 111.4.1. Hamiltonianos para atomos artificiales . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4.2. Hamiltoniano de Lipkin-Meshkov-Glick . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5. Conclusiones del capıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2. El modelo de Dicke 152.1. Atomos en cavidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1. Cuantizacion del campo electromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . 162.1.2. Hamiltoniano atomico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2. Hamiltoniano de Dicke y la RWA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.1. El modelo de Dicke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

ix

2.2.2. Los Hamiltonianos de Rabi y Jaynes-Cummings . . . . . . . . . . . . 232.2.3. El Hamiltoniano de Tavis-Cummings . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3. El modelo de Dicke en el contexto actual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3.1. Superradiancia y teorema no-go . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3.2. Comentario sobre las realizaciones experimentales . . . . . . . . . . . 282.3.3. Interes teorico en el Hamiltoniano de Dicke . . . . . . . . . . . . . . . 302.3.4. Algunas extensiones y modificaciones del modelo . . . . . . . . . . . 31

2.4. Conclusiones del capıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3. La transicion de fase termica 333.1. Un poco de historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2. Un breve repaso de Termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3. La funcion de particion canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.4. Promedios termodinamicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.4.1. Numero de fotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.4.2. Operadores de pseudoespın . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.5. Tavis-Cummings. δ = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.5.1. Fase normal de TC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.5.2. Fase superradiante de TC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.6. Dicke. δ = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.6.1. Fase normal de Dicke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.6.2. Fase superradiante de Dicke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.7. Caso intermedio δ 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.8. Diagrama de fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.9. Conclusiones del capıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4. La QPT superradiante y la aproximacion semi-clasica 674.1. Transicion de fase termicas y cuanticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.2. Hamiltoniano algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.2.1. La representacion simetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.2.2. La paridad del Hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.3. Hamiltoniano semi-clasico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.3.1. Superficie de energıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.3.2. El estado base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.3.3. Estado base de Dicke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.4. Conclusiones del capıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5. Soluciones al Hamiltoniano de Dicke 835.1. Soluciones en el lımite termodinamico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.1.1. Fase normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.1.2. Fase superradiante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.1.3. Lımites y posibilidades de las soluciones con la aproximacion de Holstein-

Primakoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

x

5.2. Lımites integrables del modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.2.1. Soluciones en el lımite γ → 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.2.2. Soluciones en el lımite ω0 → 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.3. Soluciones numericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.4. Breve comentario sobre las soluciones analıticas . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.5. Conclusion del Capıtulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6. Convergencia de las soluciones numericas 99

6.1. Convergencia del estado base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.1.1. Criterio de convergencia en la energıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.1.2. Truncamiento para el estado base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.1.3. Truncamiento contra precision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6.2. Convergencia en los estados excitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.3. Convergencia en la funcion de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

6.3.1. Criterio de convergencia en la funcion de onda . . . . . . . . . . . . . 115

6.4. Aplicacion: Susceptibilidad de la Fidelidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6.5. Conclusiones del capıtulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

7. El Espectro, el caos y la ESQPT 127

7.1. Caos y regularidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

7.1.1. Integrabilidad y caos clasico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

7.1.2. Caos cuantico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

7.1.3. Estadıstica de niveles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

7.2. BCE con la paridad bien definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

7.3. Redes de Peres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

7.3.1. Redes de Peres en el modelo de Tavis-Cummings . . . . . . . . . . . 134

7.3.2. Redes de Peres en el modelo de Dicke . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

7.4. ESQPT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

7.4.1. ESPQT en los modelos de Dicke y TC . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

7.5. Conclusiones del capıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

8. Correspondencia cuantico-clasica 147

8.1. Estructura de las superficies clasicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

8.2. Aproximacion semi-clasica a la DoS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

8.2.1. Caso Tavis-Cummings (δ = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

8.2.2. Caso Dicke (δ = 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

8.2.3. Comparacion con la DoS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

8.3. Estadıstica de niveles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

8.4. Caos y correspondencia cuantico-clasica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

8.4.1. Correspondencia en la fase normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

8.4.2. Correspondencia en la fase superradiante . . . . . . . . . . . . . . . . 167

8.5. Conclusiones del capıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

xi

Conclusiones de la Tesis 173

Apendices 175

A. El qubit. 177A.1. El sistema de dos niveles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177A.2. La esfera de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

B. Estados coherentes. 181B.1. Algebra de Heisenberg-Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

B.1.1. Reglas de conmutacion y el espacio de Fock . . . . . . . . . . . . . . 182B.1.2. Estados coherentes de Glauber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183B.1.3. Propiedades de los estados coherentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

B.2. Algebra de SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186B.2.1. Operadores de pseudoespın colectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186B.2.2. Espacio de estados de Dicke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187B.2.3. Estados coherentes de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

B.3. Propiedades de los estados coherentes de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . 191

C. Deduccion de los traslapes de la BCE. 195

Bibliografıa 201

xii

Prefacio

En este trabajo exploraremos las propiedades del modelo de Dicke, un paradigma de laoptica cuantica que pese a tener mas de sesenta anos sigue en boga gracias a su peculiarcombinacion de simplicidad y riqueza teorica. Originalmente fue propuesto por R. H. Dickeen el ano de 1954. En aquella epoca gran parte del interes por desarrollar un modelo sencillopara la interaccion radiacion-materia se debıa a la necesidad de construir fuentes de emisionestimulada y coherente como el maser o el laser.

Durante los anos 60 y 70, el estudio de la transicion de fase termica superradiante se convir-tio en una fuente de polemica hasta que se creyo encontrar una respuesta sencilla: que no eraposible experimentalmente. Aun cuando algunos disentıan, el tema se enfrio y no fue hastafinales de la decada de los 90 y principios de este siglo que el tema de la transicion de fasecuantica en el modelo de Dicke regreso de la muerte. La razon: el desarrollo tecnologico. Enlas ultimas decadas el control sobre los sistemas cuanticos ha avanzado notablemente, a talgrado que se les empezo a considerar como candidatos para el computo y el procesamientode la informacion. Muchas ideas buenas en la fısica y en la ciencia en general, lo son no soloporque resuelven el problema para el cual fueron creadas, sino porque tambien tienen aplica-cion en otras areas, es decir, tienen exito como modelo de diferentes sistemas. Ası, el modelode Dicke paso de ser una descripcion sencilla de la interaccion entre radiacion y materia, auna forma de modelar la interaccion entre sistemas de dos niveles y osciladores, sea como unmodelo de juguete de la interaccion espın-boson o como un modelo general de qubits inter-actuando con un resonador. El impulso definitivo al modelo lo trajo consigo la realizacionexperimental de la transicion de fase superradiante con un condensado de Bose-Einstein enredes opticas en el ano 2010,

El objetivo de este trabajo doctoral es, por una parte, realizar una revision crıtica del Ha-miltoniano de Dicke, de su transicion de fase termica y promedios termodinamicos -cuyasexpresiones explıcitas difıcilmente se encuentran en la literatura- ası como de la transicion defase cuantica superradiante. Por otro lado, exhibir la riqueza de su espectro accesible solo me-diante soluciones numericas. Nuestra contribucion a la literatura es doble. Primero, a travesdel desarrollo y estudio de soluciones numericas eficientes que permiten explorar el espectrodel Hamiltoniano en regiones de interes fısico con gran facilidad. Segundo, aprovechandoestas soluciones numericas y las propiedades algebraicas del Hamiltoniano, contribuımos almostrar las propiedades de su espectro, en conexion con temas de gran importancia en la ac-tualidad como el caos cuantico, el enredamiento, la decoherencia y la termalizacion. Si bien,en este trabajo no nos centraremos en el enredamiento, la decoherencia y la termalizacion,

xiii

sino mas bien en el caos cuantico y su correspondencia clasica en este Hamiltoniano, nuestroestudio senta las bases para la exploracion ulterior de estos temas. El Hamiltoniano de Dickenos abre las puertas a gran variedad de sistemas y a una pletora de preguntas fundamentalessobre los sistemas cuanticos y su conexion con la termodinamica y la mecanica clasica.Ya dicho esto, el trabajo se organiza como sigue. En el capıtulo 1 a modo de motivacion da-remos una breve introduccion sobre el contenido de la teorıa de la informacion cuantica y elcomputo cuantico. En el capıtulo 2 presentaremos los pormenores del Hamiltoniano de Dicke,su deduccion y el estado de la cuestion en terminos de sus realizaciones experimentales. Enel capıtulo 3 utilizaremos la termodinamica del modelo y en el capıtulo 4 usaremos las tecni-cas del analisis semiclasico para deducir la transicion de fase cuantica superradiante. En elcapıtulo 5 exploraremos los lımites integrables del Hamiltoniano y sus soluciones numericaseficientes. En el capıtulo 6 discutiremos la convergencia de estas soluciones numericas, nece-sarias para poder explorar el espectro del Hamiltoniano y exhibir su riqueza. En el capıtulo 7examinaremos la idea de caos cuantico y presentaremos el otro fenomeno crıtico del modelo:las transiciones de fase de estados excitados. La principal razon por la cual este trabajotiene el tıtulo de fenomenos crıticos es porque incorporamos el estudio de estas transiciones.En el capıtulo 8, analizaremos una correspondencia entre los resultados cuanticos obtenidosmediante las soluciones numericas eficientes y los resultados clasicos obtenidos a traves de laaproximacion semi-clasica con estados coherentes para la transicion de fase cuantica de estosexcitados y el caos en el espectro del Hamiltoniano. Finalmente, en el capıtulo 9 presenta-remos las conclusiones. Tambien incluimos tres apendices con informacion suplementaria ynecesaria para entender algunos pasos dentro del trabajo, el Apendice A tiene una brevedescripcion del formalismo de los qubits; el Apendice B trata sobre los estados coherentes deGlauber y de Bloch y un poco sobre el algebra que les corresponde. Finalmente, el Apendi-ce C trae los detalles sobre la deduccion de los elementos de matriz de la base coherenteeficiente.

xiv

Capıtulo 1

Computo e Informacion Cuanticos

El modelo de Dicke es un paradigma de la optica cuantica que tiene conexion con una granvariedad de sistemas y fenomenos. Entre las disciplinas en las que el modelo resulta de graninteres tenemos el computo cuantico y la teorıa de la informacion cuantica, que en nuestraepoca son de gran importancia tanto por la promesa de nuevos desarrollos tecnologicos comopara la discusion en fısica fundamental.

A modo de introduccion de la tesis, este primer capıtulo esta dedicado a una breve exposicionde estos temas. Esto nos mostrara la importancia del modelo de Dicke para la investigacionactual y, por otro lado, nos servira de preambulo para el lenguaje y notacion que seguiremosa lo largo del trabajo.

1.1. El computo y la teorıa de la informacion

1.1.1. Computo e informacion clasicos

La computacion es una disciplina que tuvo su auge y crecimiento durante el siglo XX,desde el planteamiento de Alan Turing y otros en los anos 30 hasta la realizacion practicaa nivel electronico de estas ideas en lo que conocemos actualmente como computadoras.El computo consiste en la implementacion de algoritmos para la realizacion de calculos yuna computadora es un dispositivo fısico que nos ayuda a procesar informacion ejecutandoalgoritmos, es decir, un procedimiento bien definido con una descripcion finita para realizarel procesamiento de la informacion [1].

Una de las cosas mas importantes para realizar calculos es la cantidad de recursos que unacomputadora usa para resolver el problema, sea tiempo o espacio. A esto se le llama lacomplejidad de la computacion. La complejidad de los problemas computacionales se midea traves del orden mas alto en las expresiones para cuantificar los recursos computacionales.Basicamente existen dos tipos de clases de complejidad computacional, los problemas Py NP. Los problemas P son, en terminos generales, aquellos que se pueden resolver sinproblemas en computadoras clasicas. Se llaman ası porque la medida de sus recursos esta enel orden polinomial. Mientras que los NP son los que no son de orden polinomial y en

1

consecuencia difıciles de computar. El gran problema de la computacion actual es determinarsi los problemas P y los NP en realidad corresponden a la misma clase de complejidad [2].

Por otra parte, las teorıas de la computacion confıan en lo que se conoce como la tesisde Church-Turing. La tesis de Church-Turing dice que si un problema se resuelve en unacomputadora que reuna las condiciones de ser una maquina universal de Turing [3], entoncescualitativamente se podra resolver en todas las computadoras posibles. La maquina de Turinges un constructo abstracto, pero define la nocion de computabilidad: si se puede resolver enella, es computable. Originalmente, la tesis de Church-Turing no se referıa a la complejidad,es por eso que se habla de la tesis de fuerte de Church-Turing que habla de maquinas deTuring probabilısticas [1]. No nos interesa profundizar en los problemas de la teorıa de lacomputacion, solo enfatizar que el problema de la complejidad se reduce al de verificar lacomputabilidad en las maquinas de Turing que cumplan la tesis fuerte y que considere lasleyes de la fısica, puesto que los dispositivos de computo siempre se encuentran realizados ensistemas fısicos a pesar de que se basan en modelos computacionales idealizados. Esto noslleva a la teorıa de la informacion.

La teorıa de la informacion tambien se desarrollo a mitad del siglo XX con el objetivo inicialde responder preguntas practicas ccomo definir la cantidad de informacion que contenıaun mensaje que se deseaba transmitir por canales de comunicacion -como el telegrafo y eltelefono [4]. Ası, el objetivo de la teorıa de la informacion es cuantificarla. La unidad mınimade informacion es entonces el bit, cuyos valores posibles son 0 y 1. Sin embargo, para describir,almacenar y procesar la informacion siempre se necesita de un sistema fısico, es decir, lainformacion es fısica [5]. Tıpicamente el valor digital de un 1 bit se representa fısicamenteen sistema clasicos a traves de voltajes o magnetizaciones. La teorıa de la informacion tratasobre como procesar la informacion y esto es de vital importancia para el computo cuantico.Es por eso que ambas disciplinas estan fuertemente relacionadas entre sı.

El siguiente paso natural es pensar en los sistemas cuanticos, puesto que la mecanica cuanticaes la descripcion mas fundamental de los sistemas fısicos y en ultima instancia las compu-tadoras se podrıan implementar y la informacion se podrıa codificar en ellos. Conforme losanos fueron pasando, las computadoras fueron desarrollando mayor capacidad y poder decomputo. Esto lo describe la Ley de Moore, una observacion empırica que sugiere que cadados anos se duplica el numero de transistores en las computadoras [6]. Debido al crecimientoen el numero de componentes, se dio lugar a un proceso de miniaturizacion. Por lo que,sucesivamente, las computadoras son cada vez mas pequenas llegando a niveles donde losefectos cuanticos empiezan a jugar un papel no solo importante sino crucial. Inevitablemen-te, se volvio indispensable el estudio del computo y del procesamiento de informacion en lossistemas cuanticos. Ası es como surgen la teorıa de la informacion cuantica y el computocuantico.

El computo cuantico aparece entonces como respuesta a la necesidad de un nuevo paradigmaen el desarrollo de las computadoras. Su objeto de estudio es el procesamiento de informacione implementacion de algoritmos en sistemas cuanticos. Por su parte, la informacion cuanticaes el analogo de la teorıa de la informacion y su objetivo sera la teorıa de la cuantificacionde informacion en los sistemas cuanticos. Sin embargo, el proposito no es solo desarrollar

2

modelos computacionales y de procesamiento de informacion basados en los principios dela mecanica cuantica, sino tambien el diseno y la construccion de computadoras basadas enestos principios, o computadoras cuanticas. La esperanza es que las computadoras cuanticassean capaces de superar el poder de computo de las computadoras clasicas al aprovechar losrecursos cuanticos. Los casos mas importantes son el del algoritmo de factorizacion de Shor[7] y la transformada discreta de Fourier [8], algoritmos cuanticos que resuelven problemasde manera polinomial y por tanto, eficiente. Por otro lado, en principio las computadorascuanticas podrıan superar barreras que las computadoras clasicas ven como infranqueables.Conforme los dispositivos de computo se miniaturizan, no solo se empiezan a manifestar losefectos cuanticos, sino que tambien los fenomenos termicos se convierten en una barrera paraciertos dispositivos. En particular, parece que la barrera existe con el computo clasico peroel computo cuantico la puede superar. Por ultimo, R. Feynmann propuso en 1982 la ideade los simuladores cuanticos, sistemas cuanticos de muchos cuerpos que se emplearıan parasimular otros sistemas y resolverlos [9]. Estos, podrıan ser usados para estudiar problemasque una supercomputadora no podrıa.

En la actualidad, aunque la promesa consistıa en que las computadoras cuanticas fuerancualitativamente mas poderosas que las clasicas, esto no ha sido probado en general. Ası queprobablemente las computadoras clasicas sigan estando en boga sin ser reemplazadas porcompleto por las cuanticas. La investigacion esta activa y esta es una razon mas para dedi-carse al estudio del computo y de la informacion cuanticos.

1.2. Los recursos cuanticos

Como vimos, las computadoras clasicas utilizan informacion en terminos digitales. En elcaso del mundo cuantico se necesita substituir el bit por un analogo que funcione de manerasimilar. La opcion natural para modelar un bit es a traves de una base de dos estadosortogonales en el espacio de Hilbert. A este bit cuantico se le llama qubit (por su nombreen ingles de quantum bit). El qubit es un objeto matematico que se realiza en los sistemasfısicos. Tıpicamente se representa de forma matematica a traves de un sistema de espın 1/2puesto que estos han sido ampliamente estudiados en la literatura desde los albores de lamecanica cuantica. Para ver los detalles de la representacion matematica del qubit, vease elApendice 1.

Al tratar al qubit como un objeto abstracto es posible desarrollar una teorıa general inde-pendiente del sistema fısico en particular en el que se realiza. La distincion principal con elcaso clasico es que el qubit se puede preparar en una superposicion arbitraria. Mientras elbit solo puede manifestarse en dos estados posibles, 0 y 1 el qubit puede estar en cualquiercombinacion lineal de estos dos,

|ψ〉 = α0|0〉+ α1|1〉. (1.1)

Donde |0〉 y |1〉 son estados que se escogen para definir la base computacional. Aquı α0 yα1 son numeros complejos que cumplen la condicion |α0|2 + |α1|2 = 1, para que el estado

3

este normalizado, y que nos permite interpretar a α0 (α1) como la amplitud de probabilidadde que el estado se encuentre en |0〉 (|1〉) tras una medicion.

Clasicamente la informacion (que el estado sea 0 o 1) siempre se encuentra como tal antes ydespues de una medicion. Sin embargo, en el caso de los qubits, la informacion contenida enellos solo se puede acceder antes, al preparar el estado, y despues, al medirlo. El resultadoes que siempre que se mide un qubit se obtiene un bit de informacion. Despues de que elestado fue preparado y antes de la medicion, el qubit esta definido por las amplitudes deprobabilidad complejas y, en este, sentido, es como si el qubit tuviese infinita informacionclasica [2]. La informacion clasica del qubit esta oculta y solo se resuelve despues de lamedicion. Esto va de la mano del Teorema de No-Clonacion [15]. Puesto que no hay formade determinar dichas amplitudes de probabilidad, o de determinar el estado cuantico, sinhacer un numero infinito de mediciones. Gracias al principio de superposicion y, en general,a que al manipular los qubits se puede apelar a los recursos del mundo cuantico, es que elcomputo cuantico y el procesamiento de informacion cuanticos se han vuelto tan atractivosen las ultimas decadas. Por ejemplo, una de las tecnicas es el paralelismo cuantico [1], enel que se pretende realizar calculos ’como si’ fuesen en paralelo desde el punto de vista delcomputo clasico.

1.2.1. Enredamiento

Uno de los aspectos fundamentales que distinguen a los qubits de los bits es el enredamiento.Originalmente fue senalado por A. Einstein, Podolsky y Rosen a traves de la paradoja EPR[10] y discutido por Bohr [11]. Fue E. Schrodinger, sin embargo, quien introdujo el terminoen aleman Verschrankung para describir el fenomeno y fue el quien lo tradujo personalmenteal ingles como entanglement [12, 13]. En su respuesta a EPR, Schrodinger argumento querespecto al enredamiento “el mejor conocimiento del todo no incluye el mejor conocimientode todas sus partes, incluso si ellas se encontraran enteramente separadas y entonces virtual-mente capaces de ser posiblemente mejor conocidas”[12]. Es decir, en un estado enredadohay mayor conocimiento del sistema completo que de sus partes por separado [15].

El enredamiento es un fenomeno cuantico que ocurre en sistemas cuanticos con mas de unsubsistema. Se reconoce cuando el estado del sistema ya no se puede separar como el productode los estados de sus subsistemas, lo que en terminos practicos se denomina separabilidad.De esta forma, podemos definir un estado enredado a partir de lo siguiente:No existe una base tal que un estado enredado puede ser factorizado como el producto deestados individuales de cada subsistema.Un estado enredado no puede ser escrito en ninguna base como un producto entre los estadosde los modos individuales de los subsistemas y es por eso que se relaciona con la “pureza”del estado cuantico de cada subsistema. En terminos de qubits cuando hablamos de sistemasque poseen mas subsistemas, hablamos de sistemas multipartitas o de multiples qubits [21].Por ejemplo, si tomamos un sistema bipartita, es decir, de dos subsistemas, podemos tomarcomo ejemplo de estado enredado a los estados de Bell conocidos por ser estados de maximoenredamiento. En terminos de la polarizacion de fotones, horizontal H y vertical V , para dos

4

subsistemas A y B un estado de Bell serıa,

|Ψ(+)〉 =1√2

(|H〉A|H〉B + |V 〉A|V 〉B) . (1.2)

De hecho, podemos escribir todos los estados de Bell en una notacion condensada:

|Ψ(±)〉 =1√2

(|HH〉 ± |V V 〉) ,

|Φ(±)〉 =1√2

(|HV 〉 ± |V H〉) .(1.3)

Pero como ejemplo particular, tomemos el estado |Ψ(+)〉 en esta notacion,

|Ψ(+)〉 =1√2

(|H H〉+ |V V 〉) (1.4)

Podemos ver que 1.4 es un estado enredado al preguntarnos si existe un conjunto de coefi-cientes tales que se pueda expresar como un estado separable:

1√2

(|H H〉+ |V V 〉) = (cα|H〉+ sα|V 〉)× (cβ|H〉+ sβ|V 〉) (1.5)

Desarrollando el producto tendremos:

1√2

(|H H〉+ |V V 〉) = cαcβ|H H〉+ cαsβ|H V 〉+ sαcβ|V H〉+ sαsβ|V V 〉 (1.6)

Para satisfacer esta condicion se debe cumplir que, simultaneamente, cαcβ = sαsβ = 1/√

2y cαsβ = sαcβ = 0. Sin embargo, esto es imposible. Por tanto, el estado no es separable enesta base. Ahora, vamos a mostrar que no es separable en ninguna base. Si tomamos a losestados:

|α〉 = cosα |H〉+ senα |V 〉|α⊥〉 = senα|H〉 − cosα |V 〉|H〉 = cosα |α〉+ senα |α⊥〉|V 〉 = senα |α〉 − cosα |α⊥〉

(1.7)

Se puede mostrar que los estados |α〉 y |α⊥〉 son una base arbitraria de polarizacion enterminos del angulo α para cada uno de los dos fotones [15]. Entonces, cambiando el estado

5

1.4 a la base general|α〉, |α⊥〉

, tenemos:

|Ψ〉 =1√2

(|H H〉+ |V V 〉) =

=1√2

[(cosα |α〉+ senα |α⊥〉

) (cosα |α〉+ senα |α⊥〉

)+

+(senα |α〉 − cosα |α⊥〉

) (senα |α〉 − cosα |α⊥〉

)]=

1√2

[(cos2 α + sen2α)|αα〉+ (cosα senα− senα cosα)|αα⊥〉+ =

+(senα cosα− cosα senα)|α⊥ α〉+ (cos2 α + sen2α)|α⊥ α⊥〉]

=

|Ψ〉 =1√2

(|αα〉+ |α⊥ α⊥〉

)(1.8)

Vemos que, sin importar la base el estado siempre esta enredado. Para sistemas mixtos, lacondicion de separabilidad esta en terminos de la matriz de densidad. Un estado separableserıa el que se puede escribir como [16],

ρ =∑i

piρiA ⊗ ρiB. (1.9)

Cuando no es posible escribirlo ası, hablamos de un estado enredado. Regresando al casogeneral el enredamiento se puede relacionar con la “pureza” del estado cuantico de cadasubsistema. Ası, para cada subsistema podemos obtener la matriz de densidad reducidaρA = TrB (ρ) y con esta cuantificar el enredamiento. Cuando se considera una sistema sinel otro, su estado es mixto, aun cuando se encuentran ambos en un estado enredado puro.Ası, se puede identificar, a primera aproximacion, el enredamiento, a traves de las matricesde densidad reducidas de cada subsistema. Si Tr [(ρA)2] = 1 el estado |Ψ〉 no es enredadoy si Tr [(ρA)2] < 1 lo es. Por supuesto, hay otras formas de caracterizar el enredamientocomo la entropıa de Von Neumann, por ejemplo. La bibliografıa es amplia y existe una grandiscusion acerca de como cuantificarlo [17].En la actualidad, el enredamiento es un ingrediente clave en muchas aplicaciones del compu-to, algoritmos y el procesamiento de informacion cuanticos. Los ejemplos mas claros sonla teleportacion cuantica, la encriptacion cuantica y el paralelismo cuantico [2, 15, 1]. Sinembargo, el tema de las correlaciones cuanticas esta lejos de cerrarse, pues estas no se re-ducen solo al enredamiento, existen otras como la discordia cuantica [18, 19, 20]. Esta seencuentra en relacion con otro tema importantes que comentaremos en la siguiente seccion,la decoherencia. Por lo que respecta al enredamiento, la discusion acerca de el es ampliay muy extendida, sin embargo, no va ser un tema que abordaremos en este trabajo, auncuando hay muchos estudios donde lo calculan sobre el Hamiltoniano de Dicke, por lo queno profundizaremos mas al respecto.

1.2.2. Coherencia y decoherencia

Para el computo cuantico y el procesamiento de informacion cuantica el tema de la decohe-rencia es de vital importancia. La coherencia es un concepto proveniente de la optica clasica

6

[22]. Vista de forma general, describe la correlacion entre las cantidades fısicas de una onda.Se podrıa definir como la concordancia de la evolucion de algunos procesos oscilatorios en eltiempo [23]. En particular, la idea de coherencia es que dada la suma de ondas, los terminosde interferencia se mantengan. Cuando estos terminos desaparecen porque los diferencias defase varıan desordenadamente, la onda deja de ser coherente y se pierden las correlaciones.Ası, cuando hablamos de coherencia en la optica clasica, existe un tiempo de coherencia yuna longitud de coherencia dentro de los cuales, las fases entre las diferentes componentes dela onda varıan conjuntamente y cantidades como los campos electromagneticos y sus inten-sidades estan altamente correlacionadas [24]. Dado que la mecanica cuantica es una teorıaondulatoria, el concepto de coherencia se hereda inmediatamente al mundo microscopico.En el caso cuantico, cuando hay coherencia, las correlaciones cuanticas como el enredamientose mantienen, ası como otras cantidades como la pureza del estado cuantico. Es decir, dentrode los tiempos y longitudes de coherencias, los efectos cuanticos son predominantes. Porejemplo, para el caso de un conjunto de atomos la coherencia se puede interpretar como laoscilacion conjunta en fase entre todos ellos, por eso, a traves de la inversion de poblacionhablamos de que el laser es un estado coherente.Por otra parte tenemos la decoherencia. Fuera de los tiempos y longitudes de coherencia,el estado cuantico deja ser puro y se pierden las correlaciones cuanticas. Tıpicamente seentiende que la decoherencia es producto de la interaccion con un medio ambiente o banotermico y el resultado final es que lleva al sistema cuantico al mundo clasico [25]. Por ejemplo,con los atomos, la emision individual deja de ser coherente con la de los demas y al producirseuna variedad de fases distintas, la emision se vuelve termica.Siendo la decoherencia el exponente de la destruccion de las correlaciones cuanticas, es unode los problemas mas grandes que se presentan para el procesamiento y el almacenamientode informacion cuantica. Esta evita, por ejemplo, la preservacion de los estados cuanticos, esdecir, borra las memorias cuanticas. En otras palabras, la decoherencia provoca perdida deinformacion cuantica. Por esto, aunque la informacion cuantica puede ser mas “valiosa” quela clasica, es tambien mas fragil. Es por eso que la mayor parte del esfuerzo en estas areas secentra en encontrar y disenar sistemas que poseen tiempos y longitudes de coherencia largos[26]. De igual forma que en el caso del enredamiento, no es objetivo de este trabajo el temade la decoherencia, lo mencionamos pues es relevante para la investigacion en estas areas.Sin embargo, en la busqueda por encontrar tambien, en diferentes sistemas, areas del espaciode Hilbert que sean menos susceptibles a la interaccion con el ambiente y en consecuencias ala decoherencia, es importante el conocimiento de las propiedades espectrales de los sistemascuanticos, cosa en la que, como veremos en capıtulos posteriores, este trabajo contribuye.

1.3. Codificacion de qubits.

Ahora bien, como hemos dicho la informacion es fısica. Por esta razon toca hablar ahorade como codificar a los qubits o mejor dicho, en donde. El reto consiste en encontrar ydescribir sistemas cuanticos adecuados para la implementacion de las computadoras cuanticasy para el procesamiento de la informacion cuantica; ası como en el desarrollo de tecnicas

7

experimentales para controlarlos. En la actualidad se encuentra gran variedad de sistemasdesde atomos naturales e iones hasta atomos artificiales, es decir, sistemas controlables dedos niveles. A continuacion se describiran brevemente estos sistemas con la pretension depresentar un panorama general del estado de la cuestion [27].

1.3.1. Atomos naturales

Los atomos naturales son sistemas de multiples niveles energeticos que, como su nombre loindica, se encuentran en la naturaleza. Este es el caso de los atomos neutros y los iones. Enestos sistemas, en principio, se pueden implementar qubits de forma inmediata. Los atomosneutros son los candidatos mas obvios para realizar qubits, debido a que poseen muchosniveles de energıa, algunos muy estables. Teoricamente, los qubits se pueden realizar, bajociertas aproximaciones, sobre dos de esos niveles atomicos estables. Otro punto a favor esque el control que se ha logrado de los atomos neutros es muy grande. Ejemplos son elatrapamiento y enfriamiento con trampas magneto-opticas [28] o las redes opticas (opticallattices) [29].

Experimentalmente, para codificar el qubit se pueden utilizar dos niveles de energıa con unatransicion entre ellos que pueda ser estimulada vıa laser; esta transicion atomica estableceun estado base y un excitado, quienes definen el sistema de dos niveles en cuestion. Entre lasventajas de los atomos neutros estan que los qubits se pueden inicializar con relativa facilidadmediante bombeo optico y enfriamiento laser, manipular con radiacion electromagnetica ymedirse a traves de flourescencia inducida vıa laser. Ademas, debido a su debil interaccioncon el ambiente y tambien entre ellos, tienen largos tiempos de coherencia (hasta del ordende segundos). Por otra parte, como desventaja, justo debido a que interactuan debilmenteentre sı es difıcil enredar estados de multiples qubits.

La otra opcion a los atomos neutros son los iones. Como poseen carga electrica, se puedenatrapar en campos electromagneticos. La fuerte interaccion entre ellos facilita la implemen-tacion de puertos de dos o mas qubits (a diferencia de los atomos neutros) sin comprometerlos largos tiempos de coherencia. En el caso de los iones, la informacion cuantica puede sercodificada tanto en las transiciones atomicas, analogamente al caso de los atomos neutros,ası como en los estados de movimiento colectivo. Los estados internos de energıa, al igualque con los atomos neutros, exhiben tiempos de coherencia muy grandes; en cambio, los es-tados de movimiento no, pues son del orden de ms o menores. Con los iones la inicializaciontambien puede ser hecha con bombeo optico y enfriamiento laser y se pueden medir con granprecision con flourescencia inducida vıa laser. Actualmente se pueden enredar decenas deiones e implementar qubits en ellos [30].

1.3.2. Atomos artificiales

Los atomos artificiales son sistemas fısicos disenados por el hombre que presentan un com-portamiento similar al de los atomos naturales, por lo cual se puede codificar cuanticamenteinformacion en ellos. Entre los que se han vuelto mas populares por su progreso experimental

8

se encuentran los circuitos superconductores, ası como los espines en solidos donde podemosencontrar a los llamados puntos cuanticos y las imperfecciones en diamante.

Los circuitos superconductores son tıpicamente circuitos de escala micrometrica que operan atemperaturas de mK. Aunque son macroscopicos pueden exhibir comportamientos cuanticosaplicables al computo cuantico. Consisten en circuitos RLC que contienen elementos nolineales llamados uniones de Josephson. En general, un circuito LC es un oscilador armonico,por lo cual estos sistemas tienen un numero infinito de niveles equiespaciados y no es posibletomar solo dos niveles para codificar el qubit. Por esta razon se introduce una no linealidadpor medio de la union, la cual permite cambiar el espaciamiento entre niveles y con estoutilizar los dos mas bajos para implementar el qubit. Es mas, hay varias formas de codificarqubits en estos circuitos: como qubit de carga (codificado en el numero de electrones desuperconduccion en una pequena isla), como un qubit de flujo (codificado en la direccionde la corriente en un ciclo); o como un qubit de fase (codificado en los estados oscilatoriosdel circuito). Para ver mas sobre los diferentes tipos de qubits superconductores vease [31]y [32].

Los qubits de un circuito superconductor se pueden controlar por medio de microondas,voltajes, campos magneticos y corrientes, es decir, electronicamente, ademas de que se lespuede medir con gran precision. Entre las ventajas que los qubits superconductores poseen seencuentran: que la resistencia, la fuente mas seria de ruido y disipacion, se hace cero graciasa la superconductividad; podrıan permitir la realizacion del computo cuantico en chips puesse pueden disenar y acoplar en arreglos. La segunda es que los tiempos de coherencia de losqubits superconductores son largos, aunque no tanto como con los atomos naturales, peropudiendo alcanzar decenas de µs.

El otro conjunto de sistemas de atomos artificiales son los de espines en solidos. Dado que unapartıcula con espın s = 1/2 es basicamente un qubit (porque tiene dos estados posibles±1/2),varios sistemas de estado solido donde es posible el control y medicion de espines nuclearesy electronicos resultan apropiados para su implementacion. Entre los mas representativosse encuentran los puntos cuanticos superconductores [33] y vacancias de nitrogeno NV endiamante [34]. Los puntos cuanticos son nanoestructuras en las cuales los electrones sonatrapados en tres dimensiones. Los centros NV son defectos en las capas de diamante dondese toman dos nitrogenos cercanos substituyendo un atomo de carbon y una vacancia. Estosqubits de estado solido son atractivos porque, como los circuitos superconductores, pueden serdisenados en arreglos y con caracterısticas de acuerdo a la necesidad. Requieren temperaturasde algunos grados K y pueden ser manipulados electrica y opticamente. Los tiempos decoherencia sin embargo son del orden de µs, menores que los de los circuitos pero aunası bastante buenos.

Tanto en atomos artificiales como en naturales el espaciamiento entre niveles de energıa paralos qubits es comparable y se encuentra en la region de las microondas (iones y circuitossuperconductores) o en la region optica (atomos neutros, iones y puntos cuanticos). Por loque, en terminos generales la tecnologıa para la manipulacion de estos sistemas esta dis-ponible, o se esta desarrollando -como en el caso del control fino con las microondas. Encualquier caso, hasta el momento son opciones viables para la implementacion de qubits. En

9

el caso particular de los atomos naturales tienen varios niveles con potencial de ser usadospara codificar la informacion. Los niveles muy estables, protegidos contra decoherencia, sepueden usar para memorias cuanticas y las transiciones rapidas entre niveles para puertos dedos qubits. Por otra parte, los atomos artificiales son diferentes entre sı y tienen limitacionesgeometricas, por lo que deben ser cuidadosamente disenados y fabricados. En este sentido, nose encuentran al alcance inmediato como los atomos naturales, pero pueden ser construıdosa demanda.

1.3.3. Fotones

Otro tipo de sistemas, diferentes a los atomos, en los que se han realizado qubits son losfotones. Los qubits se pueden codificar en la polarizacion, por ejemplo. La optica cuanticaes la disciplina que se dedica al estudio de estos sistemas, de la naturaleza de la luz comopartıcula y la interaccion de esta con la materia. Los estados de fotones funcionan bien comoqubits debido a que pueden llevar informacion cuantica por largas distancias sin ser afecta-dos severamente por ruido o decoherencia. Sin embargo, no son muy utiles para memoriascuanticas puesto que se ha vuelto difıcil lograr la implementacion de puertos de dos o masqubits con ellos. El problema con los fotones al usarlos como qubits radica en que no es facilhacerlos interactuar ni se pueden tener confinados facilmente, por eso se piensa en que suutilidad radica en ser mensajeros de informacion entre los otros sistemas que la almacenany procesan, es decir, como qubits viajeros. La bibliografıa en torno a la implementacion dequbits en fotones es excesivamente amplia y solo los mencionamos aquı para completar elpanorama de los avances en el computo y el procesamiento de informacion cuanticos.

1.3.4. Poniendo las piezas juntas.

En la actualidad se piensa que, para lograr la implementacion de una computadora cuanticase pueden aprovechar todos los sistemas que hemos discutido. Mientras los atomos naturalespueden servir como memorias cuanticas gracias a su proteccion contra la decoherencia, loscircuitos superconductores podrıan ser utilizados como unidades de procesamiento de infor-macion ya que se pueden disenar segun la necesidad. Ambos pueden ser acoplados mediantefotones, como qubits viajeros, con lo cual se podrıa proveer de medios para lograr computocuantico en grandes escalas, y comunicacion cuantica de larga distancia. Es importante hacernotar que los atomos naturales han ganado terreno gracias al estudio de efectos cuanticos encavidades QED.Una cavidad QED (“Quantum Electrodynamics” por sus siglas en ingles) es una cavidadformada por paredes reflejantes en la que los modos de radiacion electromagnetica son con-finados e interactuan con atomos; de forma que no se puede ignorar la naturaleza cuanticade los fotones para su descripcion. El estudio de estos sistemas se denomina ElectrodinamicaCuantica de Cavidades [35]. Estas son de nuestro interes debido a que en ellas se puedelograr la interaccion controlada entre fotones y atomos y los modelos teoricos que estudia-remos versan sobre esto. Sin embargo, no profundizaremos en su estudio, mas que bajo lasaproximaciones que nos llevan al modelo de Dicke.

10

En el caso de los atomos artificiales se han vuelto populares los circuitos QED, tambienpara el computo cuantico [36]. Estos, de manera similar a las cavidades QED, confinanfotones en resonadores, para que interactuen con los atomos artificiales, es decir, con losqubits superconductores. En particular, uno de los primeros circuitos QED en desarrollarsefueron las cajas de pares de Cooper [37]. Una caja de pares de Copper es una pequenaisla superconductora donde se forma un qubit de carga a traves de los pares de Copperdel superconductor. Ambos, las cavidades QED y los circuitos QED poseen caracterısticasparecidas entre sı que permiten describirlos con modelos similares. Debido a nuestro interesteorico de describir estos sistemas, dejaremos atras las realizaciones experimentales de losdiferentes sistemas fısicos con los cuales se pueden codificar qubits, y nos adentraremos enalgunos de los modelos sencillos para describirlos.

1.4. Algunos modelos para describir sistemas de qubits

En el siguiente capıtulo describiremos a detalle el Hamiltoniano de Dicke nuestro objeto deestudio en este trabajo. Sin embargo, antes de eso, deseamos revisar brevemente algunosmodelos cuanticos que, por su simplicidad, se utilizan como aproximacion para describirvarios de los sistemas experimentales antes mencionados.

1.4.1. Hamiltonianos para atomos artificiales

Como se describe en el Apendice A, la forma tradicional de describir a los qubits y a lasoperaciones sobre de ellos son las matrices de espın de Pauli. Por otro lado, se ha demostradoque los circuitos superconductores se pueden comportar como partıculas cuanticas [38]. Enel caso de un qubit de flujo conformado con juntas Josephson en un circuito superconductor,el Hamiltoniano estara entonces dado por:

Hfq = −h2

(ε (fε, fα)σz + ∆ (fα)σx) (1.10)

Donde se describe el qubit a traves de operadores de pseudoespın y las matrices de espınde Pauli. En este caso, ∆ es un acoplamiento de tunelaje entre los qubits de flujo, hε es laenegıa magnetica, y fα y fε son flujos. Este Hamiltoniano se puede usar, por ejemplo, paradescribir transiciones entre estados cuanticos macroscopicos clasicos y cuanticos [39].Si tomamos ahora como ejemplo otro sistema de atomos artificiales que consiste en un cristalde iones confinado en una trampa atomica interactuando con un campo magnetico externo,en este caso los qubits estarıan codificados en los espines de estos iones. El Hamiltonianoque describe al sistema [40] esta dado por:

HI =∑m,n

Jmnσzmσ

zn +Bσxn (1.11)

Reconocemos a este Hamiltoniano como el de Ising con un campo magnetico; un sistema bienconocido, siendo el modelo de dos dimensiones un paradigma de las transiciones de fase [41].

11

Aquı Jmn son coeficientes de acoplamiento entre los espines y B corresponde a un campomagnetico externo. Hamiltonianos tipo Ising tambien son comunes para la descripcion desistemas de atomos artificiales y han sido estudiados desde hace mucho tiempo, en el contextode sistemas magneticos, sobre todo por metodos numericos.Como ultimo ejemplo de Hamiltonianos de sistemas de atomos artificiales, entre otros quehay en la literatura, tenemos el sistema compuesto por los espines electronicos, donde secodifican los qubits, en un ensamble de vacancias de nitrogeno en defectos de diamante o NV,interactuando con un resonador en microondas. El Hamiltoniano de este sistema esta dado,bajo ciertas consideraciones [42], por:

HNV = ~ωra†a+~2

∑i,j

ωijσzij + ~

∑i,j

gij(σ+ija+ a†σ−ij

)(1.12)

Aquı, a diferencia de los dos Hamiltonianos anteriores, aparece un termino que describe unmodo de campo electromagnetico dentro de una cavidad. Este, como veremos en el siguientecapıtulo, se puede describir a traves de operadores bosonicos de creacion y aniquilacion.Aquı ωr es la frecuencia del modo de oscilacion, ωij es la frecuencia de transicion entre cadaqubit y por ultimo hay un termino de interaccion entre el modo y el qubit correspondientemodulado por un parametro gij que contabiliza la fuerza del acoplamiento. La suma sobre jcorre sobre dos ensambles de qubits, mientras que la suma sobre i corre sobre las diferentesfrecuencias de transicion y acoplamientos que pudiesen haber. Este Hamiltoniano es ya muyparecido a aquellos sobre los que versa este trabajo, los Hamiltonianos de Tavis-Cummingsy de Dicke. En esta direccion, por ejemplo, acoplando los atomos artificiales a un modo deuna cavidad resonante, el sistema se puede describir por [43]:

HcircuitQED,TC = ~ωra†a+∑j

[~2ωjσ

zj + ~gj

(a†σ−j + aσ+

j

)](1.13)

Como veremos el Hamiltoniano de Dicke es una forma general sencilla de Hamiltonianos deeste tipo. Por lo pronto revisaremos brevemente el Hamiltoniano de Lipkin-Meshkov-Glick,un modelo sencillo de espines, cuya referencia como Hamiltoniano algebraico vale la penatener presente.

1.4.2. Hamiltoniano de Lipkin-Meshkov-Glick

Un Hamiltoniano importante por su similitud algebraica con el Hamiltoniano de Dicke esel modelo de Lipkin-Meshkov-Glick (LMG) [44]. Aunque el Hamiltoniano de LMG fue con-cebido inicialmente como un modelo de prueba para la fısica nuclear, y es bastante facilde resolver de manera exacta, tiene mucha informacion util para sistemas conformados poroperadores de pseudoespın. Para modelar sistemas de espines interactuantes, ha sido sujetode estudio por mucho tiempo, debido en parte a su simplicidad teorica y su utilidad para ladescripcion de otros sistemas cuanticos, el LMG es usado como una aproximacion a modelostipo Ising y tambien es un ejemplo de como tratar semi-clasicamente a transiciones de fase

12

de segundo orden en el lımite termodinamico. El Hamiltoniano es:

HLMG = εJz +λ

2

(J2

+ + J2−)

+γ

2(J+J− + J−J+) (1.14)

Donde los operadores Jz, J+ y J− son sumas sobre matrices de espın de Puli y en consecuenciase consideran operadores colectivos de pseudoespın. Sus propiedades algebraicas se resumenen el Apendice B.En el modelo de LMG el termino λ aniquila pares de partıculas en un nivel y crea pares enotro. Por otro lado el termino γ baja una partıcula mientras sube otra y viceversa, siendo λy γ la magnitud de estos acoplamientos. En cuanto a la solucion del Hamiltoniano, es facil deresolver pero no es trivial [45]. El Hamiltoniano ademas, tiene una simetrıa de paridad quepermite escribir a las eigenfunciones como combinaciones lineales de estados pares e impares.Este Hamiltoniano ha sido ampliamente estudiado y es de gran utilidad porque sirve comomodelo de prueba para una gran cantidad de herramientas.

1.5. Conclusiones del capıtulo

A lo largo de este capıtulo hemos discutido a modo de introduccion y motivacion los aspectosgenerales del computo y de la informacion cuanticos, al igual que el desarrollo en la imple-mentacion de qubits. El objetivo comun es la construccion de una computadora cuantica,sin embargo, el desarrollo de estas disciplinas tambien podrıa ayudar a entender algunas delas reglas simples pero contraintuitivas de la mecanica cuantica y ası responder preguntasfundamentales. El Hamiltoniano de Dicke es un modelo viejo y sencillo pero con una granriqueza teorica que colinda con muchos de estos temas. Este trabajo no versa precisamentesobre estos, sino sobre el modelo de Dicke, sus soluciones, fenomenos crıticos y propiedadesespectrales. Si bien, esta fue una introduccion a uno de los panoramas dentro del cual elmodelo de Dicke puede ser inscrito. A partir del siguiente capıtulo empezaremos a tratar conel Hamiltoniano de Dicke.

13

14

Capıtulo 2

El modelo de Dicke

La primera parte de este capıtulo esta abocada a la derivacion del Hamiltoniano de Dicke enlos terminos algebraicos que lo hacen de gran interes desde el punto de vista teorico ası comoen discutir brevemenre sus realizaciones experimentales. Por otro lado, en la segunda partese discutira sobre el contexto del modelo en la actualidad, la relevancia de su estudio, y conalgunas modificaciones o consideraciones tıpicas que se le hacen para estudiar todo tipo desistemas.

2.1. Atomos en cavidades

A continuacion haremos la deduccion del Hamiltoniano de Dicke. Originalmente, este fueplanteado por Dicke en 1954 [46] como una descripcion sencilla del problema de N atomosen una cavidad interactuando con un modo de radiacion electromagnetica. Supongamos Natomos dentro de una cavidad interactuando con radiacion electromagnetica y las siguienteshipotesis.

Gas diluido. Los atomos conforman un gas diluido de densidad constante ρ de talsuerte que estan lo suficientemente separados entre sı como para no interactuar entreellos.

Aproximacion de onda larga. Pensando en que la longitud de onda del campo elec-tromagnetico en la cavidad es grande, permite escribir los potenciales electromagneti-cos, principalmente el potencial vectorial, como independientes de la posicion. Es decir,todos los atomos interactuan con el mismo campo pues no ven su estructura.

El Hamiltoniano del sistema completo que da cuenta de la interaccion, esta compuesto por dospartes. La primera sera la energıa asociada al campo electromagnetico dentro de la cavidadHf y la segunda a la energıa atomo-campo H1. Esta a su vez se debera separar en una parteasociada solo a los atomos H0 y otra a la interaccion Hint. Ası, nuestro Hamiltoniano finalsera:

HD = Hf +H1 = Hf +H0 +Hint (2.1)

15

En las siguientes secciones revisaremos cada uno de los terminos para construir el Hamilto-niano completo.

2.1.1. Cuantizacion del campo electromagnetico

La energıa del campo electromagnetico clasico esta dada por,

Hf =1

2

∫Vd3r

(ε0| ~E(~r, t)|2 +

1

µ0

| ~B(~r, t)|2)

(2.2)

Donde ε0 y µ0 son la permitividad y permeabilidad del vacıo respectivamente y V es elvolumen efectivo considerado, en nuestro caso el volumen de la cavidad.Sea una cavidad electromagnetica a lo largo de la longitud z de longitud L. Suponemos quela cavidad tiene longitud L en las tres direcciones pero, sin perdida de generalidad, tomamosen cuenta solamente en las oscilaciones del campo en direccion z. La cavidad se constituye dedos paredes perfectamente conductoras en z = 0 y z = L. Ademas de cumplir las ecuacionesde Maxwell en el vacıo, el campo de un solo modo debe ser una onda estacionaria que sepropaga en direccion z y cuya amplitud es cero en las paredes. Suponiendo, que el campoesta polarizado en direccion x, el campo electrico esta dado por,

~E(z, t) =

√2ω2

Vε0ex q(t) sen(kz), (2.3)

y, resolviendo las ecuaciones de Maxwell en el vacıo, el campo magnetico es,

~B(z, t) =1

ωc

√2ω2

Vε0ey q(t) cos(kz). (2.4)

Donde ex y ey son vectores unitarios en direccion x y y, ω es la frecuencia del modo electro-magnetico, k = ω/c es el numero de onda y c = 1/

√ε0µ0 la velocidad de la luz en el vacıo.

El volumen efectivo de la cavidad se puede considerar como V = L3. q(t) es un factor dedependencia temporal del campo. Finalmente, debido a que la cavidad tiene longitud finita,solo hay ciertos modos posibles, aquellos que cumplan, dada las condiciones de frontera, conωm = cmπ

L. Si sustituımos las expresiones para ~E y ~B en 2.2 tendremos que,

Hf =1

2

∫Vd3r

[ε0

(2ω2

Vε0

)q2(t)sen2(kz)|ex|2

+1

µ0

(µ0ε0k

)2(

2ω2

Vε0

)q2(t)cos2(kz)|ey|2

]=

Hf =1

2

(2ω2

V

)∫Vd3r[q2(t)sen2(kz) +

µ0ε0k2

q2(t)cos2(kz)].

(2.5)

Ademas, sabemos que,∫ L

0

∫ L

0

∫ L

0

sen2(kz)dx dy dz = L2

∫ L

0

sen2(kz)dz =L3

2=V2. (2.6)

16

Por lo que tendremos entonces,

Hf =1

2

(2ω2

V

)V2

(q(t) +

1

ω2q(t)

). (2.7)

Para obtener finalmente,

Hf =1

2

(ω2 q(t) + q(t)

). (2.8)

Ahora, solo nos resta pensar esta expresion como la de la energıa de una partıcula de masaunitaria, donde su momento es p(t) = q(t) y reemplazar toda la expresion por sus operadorescuanticos correspondientes. Con esto, el Hamiltoniano del campo se convierte en:

Hf =1

2

(ω2 q(t) + p(t)

). (2.9)

Nos conviene utilizar operadores de creacion y aniquilacion del algebra de Heisenberg-Weyl(ver Apendice 2),

a =

√1

2~ω(ωq + ip) , a† =

√1

2~ω(ωq − ip) ,

q =

√~

2ω

(a+ a†

), p = −i

√~ω2

(a− a†

).

(2.10)

Con lo cual los campos electromagneticos nos quedan como,

~E(z, t) =

√~ωVε0

ex[a(t) + a†(t)

]sen(kz),

~B(z, t) =

−iωc

√~ωVε0

ey[a(t)− a†(t)

]cos(kz).

(2.11)

Y el Hamiltoniano del campo es,

Hf (t) = ~ω(a†(t)a(t) +

1

2

). (2.12)

2.1.2. Hamiltoniano atomico

Para escribir el Hamiltoniano atomico suponemos que cada atomo tiene solo un electronque participara de la interaccion. Ası, para cada atomo tenemos un carga interactuan-do con los campos electromagneticos externos. A traves del acoplamiento mınimo con unpotencial vectorial ~A(~ri, t), el Hamiltoniano dependiente del tiempo es,

H1(t) =N∑i=1

[1

2m

(~pi −

e

c~A(~ri, t)

)2

+ VCoulomb(~ri)

]. (2.13)

17

Donde m es la masa de los atomos, ~pi y ~ri son el momento y posicion del i-esimo atomo,y VCoulomb(~ri) y ~A(~ri, t) son los potenciales escalar y vectorial del campo electromagneticorespectivamente. Desarrollando el termino al cuadrado obtenemos,

H1(t) =N∑i=1

1

2m

[|~pi|2 +

(ec

)2

| ~A(~ri, t)|2+

− e

c

(~pi · ~A(~ri, t) + ~A(~ri, t) · ~pi

)]+ VCoul(~ri)

.

(2.14)

Por otra parte, como las relaciones de conmutacion canonicas nos dicen que,[rki , p

`α

]= i~δi,αδk,`[

p`α, A(~ri)]

= −i~∂A(~ri)

∂r`iδi,α

(2.15)

Donde i, α son ındices que denotan a las partıculas y k, ` a las componentes cartesianas.Entonces,

~pi · ~A(~ri) =∑k

pkiAk(~ri) =

∑k

(Ak(~ri)p

ki +

[pki , A

k(~ri)])

=

=∑k

(Ak(~ri)p

ki +

[pki , A

k(~ri)])

=

=∑k

(Ak(~ri)p

ki − i~

∂Ak(~ri)

∂rki

)=

= ~A(~ri) · ~pi − i~∇ · ~A(~ri) =

= ~A(~ri) · ~pi

(2.16)

Donde, en el ultimo paso usamos la norma de Coulomb (∇ · ~A = 0). Nuestro Hamiltonianoes ası,

H1(t) =N∑i=1

1

2m

[|~pi|2 +

(ec

)2

| ~A(~ri, t)|2+

−2e

c~A(~ri, t) · ~pi

]+ VCoul(~ri)

.

(2.17)

Ahora, usamos la aproximacion de longitud de onda larga con las cargas consideradas enel centro de la cavidad L/2 por simplicidad y sin perdida de generalidad. En ese caso,~A(~ri, t) = ~A(xi, yi, zi, t) ∼ ~A(L

2, L

2, L

2, t) = ~A(t). Recordando que sen

(k L2

)= 1, el campo

electrico en 2.11 resulta,

~E

(L

2, t

)=

√~ωVε0

ex[a(t) + a†(t)

]. (2.18)

18

Es decir, la aproximacion implica que tendremos un campo uniforme en el espacio que soloposee dependencia temporal. Esto nos deja el Hamiltoniano como,

H1(t) =N∑i=1

1

2m

[|~pi|2 +

(ec

)2

| ~A(t)|2 − 2e

c~A(t) · ~pi

]+ VCoul(~ri)

. (2.19)

A continuacion usaremos una transformacion unitaria dependiente del tiempo sobre el Ha-miltoniano. Para ver como funcionan las transformaciones unitarias dependientes del tiempo,vemos que usando la ecuacion de Schrodinger,

i~(d|φ(t)〉dt

)= H(t)|φ(t)〉. (2.20)

Buscamos una solucion de la forma, |φ(t)〉 = U(t)|ψ(t)〉. Con U(t) una transformacion uni-taria. Al sustituir en la ecuacion anterior tendremos,

i~U(t)

(d|ψ(t)〉dt

)+ i~|

(dU(t)

dt

)ψ(t)〉 = H(t)U(t)|ψ(t)〉. (2.21)

Usando U †(t) del lado izquierdo, tendremos la ecuacion de Schrodinger para |ψ(t)〉,

i~(d|ψ(t)〉dt

)=

[−i~U †(t)

(dU(t)

dt

)+ U †(t)H(t)U(t)

]|ψ(t)〉 = H ′(t)|ψ(t)〉. (2.22)

Vemos que la accion de la transformacion unitaria sobre el Hamiltoniano es finalmente,

H ′(t) = −i~U †(t)(dU(t)

dt

)+ U †(t)H(t)U(t). (2.23)

Y recordamos que seguimos en la representacion de Heisenberg con los operadores depen-dientes del tiempo. Ahora, proponemos para nuestro Hamiltoniano H1(t) la transformacion

U(t) = exp

[i

~c

N∑α=1

e~rα · ~A(t)

](2.24)

Esta es una transformacion de Pauli-Fierz-Kramers que es un tipo de transformacion dePower-Zineau [47, 48]. Para aplicar la transformacion al Hamiltoniano, calculamos la derivadade U(t),

U †(t)dU(t)

dt= U †(t)U(t)

i

~c

N∑α=1

e~rα ·d ~A(t)

dt(2.25)

Pero recordamos que por las ecuaciones de Maxwell, para un campo electrico en la normade Coulomb, se cumple que [49]:

~E(t) = −1

c

d ~A(t)

dt(2.26)

19

Ası,

U †(t)dU(t)

dt= − i

~

N∑α=1

e~rα · ~E(t) (2.27)

Lo que sigue es aplicar la transformacion sobre H1. Como la transformacion solo dependede ~ri solo nos interesa ver que sucede con los terminos con ~pi. Para calcular la accion de latransformacion unitaria sobre pi, usamos el lema de Baker-Hausdorf [50],

U †pkiU = pki +ie

~c

[pki ,

N∑α=1

~rα · ~A(t)

]+

1

2

(ie

~c

)2[pki ,

[pki ,

N∑α=1

~rα · ~A(t)

]]+ ... (2.28)

Debemos calcular primero el conmutador.[pki ,

N∑α=1

~rα · ~A(t)

]=

N∑α=1

3∑`=1

A`(t)[pki , r

`α

]=

=N∑α=1

3∑`=1

A`(t)(−i~δi,αδk,`) =

= −i~Ak(t)

(2.29)

Claramente, los siguientes conmutadores seran iguales a cero. Por tanto, el momento πkiresultante de la transformacion unitaria es,

πki = U †(t)pkiU(t) = pki +e

cAk(t)

pki = U †(t)pkiU(t) = πki −e

cAk(t)

(2.30)

Ası, la transformacion sobre H1 es,

U †(t)H1(t)U(t) =N∑i=1

1

2m

3∑k=1

[(πki −

e

cAk(t)

)2

+(ec

)2

Ak(t)2+

−2e

cAk(t)(πki −

e

cAk(t))

]+ VCoul(~ri)

=

=N∑i=1

1

2m

3∑k=1

[(πki)2 − 2e

cπki A

k(t) +(ec

)2 (Ak(t)

)2+(ec

)2 (Ak(t)

)2+

−2e

cAk(t)πki + 2

(ec

)2 (Ak(t)

)2]

+ VCoul(~ri)

=

=N∑i=1

1

2m

3∑k=1

(πki)2

+ VCoul(~ri)

=

=N∑i=1

[1

2m|~πi|2 + VCoul(~ri)

].

(2.31)

20

Nuestro Hamiltoniano queda entonces finalmente como,

H1 =N∑i=1

(~π2i

2m+ VCoul(~ri)− ~E(t) · e~ri

). (2.32)

Con H1 = H0 +Hint y

H0 =N∑i=1

H i0 =

N∑i=1

(~π2i

2m+ VCoul(~ri),

)(2.33)

Hint =N∑i=1

H iint = − ~E(t) ·

N∑i=1

e~ri. (2.34)

Tenemos un sistema de N atomos, donde supondremos que cada atomo tiene solo un electronque participara de la interaccion y que tiene n niveles, descrito por un Hamiltoniano libreH0 y donde el termino de interaccion describe las interacciones dipolares de cada atomo porseparado con el campo. Sea |ψin〉 el eigenestado con energıa Ei

n del i-esimo atomo, entonces

H0|ψn〉 = En|ψn〉. (2.35)

Con esto podemos expresar H i0 y H i

1 en esta base, con lo que tendrıamos:

H i0 =

... 0 00 Ei

1 00 0 Ei

0

,

H iint =

... .... ........ H i

11 H i01

... H i10 H i

00

.

(2.36)

Donde,

H inm = 〈ψin|Hint|ψim〉 = − ~E(t) · 〈ψin|e~ri|ψim〉 = − ~E(t) ·

∫d3riψ

i∗n (~ri)e~riψ

im(~ri). (2.37)

Ahora, notamos que el Hamiltoniano H i0 es invariante ante reflexiones (~ri = −~ri). Sus ei-

genfunciones en la representacion espacial ψn(~ri) poseen entonces paridad definida. Por estarazon, los elementos de matriz H i

nn en la diagonal de H iint son cero, quedando la informacion

de la interaccion en los terminos de las triangulares. De hecho, los terminos no diagonalesdescriben amplitudes de las transiciones dipolares entre diferentes niveles. Considerando losniveles con energıa Ei

n y Eim, la frecuencia de transicion serıa ωinm = (Ei

m − Ein)/~.

La aproximacion mas fuerte es la que nos falta hacer. Para poder estimular alguna de lastransiciones entre niveles, debemos considerar que la frecuencia del campo ω es cercana aωnm. Debido a que los niveles de energıa atomicos no son equidistantes, podemos pensar que

21

el campo externo solo excita la transicion entre dos niveles n y m y ningun otra. Esto nospermite enfocarnos en un bloque 2x2 de las matrices H i

0 y H iint, que corresponden solo a la

transicion que queremos excitar. Esta es la aproximacion de dos niveles [51]. Asignandoal nivel inferior o base la etiqueta n = 0 (estado |0〉) y al superior o excitado m = 1 (estado|1〉), tendremos que H i

0 y H iint se pueden aproximar -sobre esa transicion- como:

H i0 =

(Ei

1 00 Ei

0

),

H iint =

(0 H i

01

H i10 0

).

(2.38)

Como los atomos son todos iguales y no interactuan entre sı, podemos pensar que estamos ex-citando la misma transicion para todos y que ωimn = ω0 ∀i. Entonces retiramos el superındicei. Lo mismo sucede para el acoplamiento, donde definimos un parametro de interaccion (real)~g que es el valor esperado del momento dipolar,

√~~g = −〈ψi0|e~ri|ψi1〉 = −〈ψi1|e~ri|ψi0〉 = −〈0|e~ri|1〉 ∀i (2.39)

Ası obtenemos un sistema de N atomos de dos niveles. De manera conveniente tomamos elcero de energıa justo entre E1 y E2 y definimos ω0 = 1

2(E1 − E0). Dado que las operaciones

sobre sistemas de dos niveles se pueden describir mediante las matrices de espın de Pauli(ver Apendice 2), vemos que podemos escribir H i

0 y H iint como,

H i0 =

(ω0

20

0 −ω0

2

)=

~ω0

2

(1 00 −1

)=

~ω0

2σiz,

H iint = ~E(t) ·

√~~g(

0 11 0

)= ~E(t) ·

√~~g σix.

(2.40)

Ası, tras la aproximacion de dos niveles, tendremos que H1(t) es:

H1 =N∑i=1

[~ω0

2σiz + ~E(t) ·

√~~g σix

]. (2.41)

Y sustituyendo el campo electrico en terminos de los operadores de creacion y aniquilacion2.18,

H1 =N∑i=1

[~ω0

2σiz +

(ex ·√~~g)√ ~ωVε0

[a(t) + a†(t)

]σix

]. (2.42)

Escribimos el volumen efectivo en terminos de la densidad del gas de atomos V = ρN ydefinimos un nuevo valor para el acoplamiento,

γ =

√ω

ρε0(ex · ~g) . (2.43)

Con lo cual, nos queda finalmente el Hamiltoniano atomico:

H1(t) = H0 +Hint(t) =N∑i=1

[~ω0

2σiz +

~γ√N[a(t) + a†(t)

]σix

]. (2.44)

22

2.2. Hamiltoniano de Dicke y la RWA

2.2.1. El modelo de Dicke

Escribimos nuestro operador atomo-campo Haf (t) = Hf (t) +H1(t) como,

HD = ~ω(a†(t)a(t) +

1

2

)+N∑i=1

~ω0

2σiz +

~γ√N[a(t) + a†(t)

]σix

. (2.45)

Finalmente, ignorando el termino ~ω2

en Hf por ser un desplazamiento en la energıa y cam-biandonos a la representacion de Schrodinger para eliminar la dependencia temporal de losoperadores de creacion y aniquilacion, tendremos el conocido Hamiltoniano de Dicke,

HD = ~ωa†a+N∑i=1

[~ω0

2σiz +

~γ√N(a+ a†

)σix

]. (2.46)

Nos conviene, sin embargo, utilizar operadores colectivos para la parte atomica (ver Apendice2), que definimos como,

Jµ =1

2

N∑i=1

σiµ. (2.47)

De esta forma tenemos el Hamiltoniano de Dicke como se le reconoce en la literatura actual:

HD = ~ωa†a+ ~ω0Jz +2~γ√N(a+ a†

)Jx. (2.48)

Por razones de simplicidad, lo escribiremos a lo largo del texto con ~ = 1 y sin la notacion deoperadores ni en los operadores de creacion y aniquilacion ni en los de pseudoespın colectivo.El Hamiltoniano que usaremos es entonces,

HD = ωa†a+ ω0Jz +2γ√N(a+ a†

)Jx. (2.49)

Este es el modelo cuyas propiedades estudiaremos a lo largo de la tesis. Revisaremos susfenomenos crıticos (la transicion de fase termica, la transicion de fase cuantica y la transicionde fase cuantica de estados excitados), ası como las propiedades de su espectro. En lo queresta de este capıtulo nos interesa mencionar algunos lımites conocidos del Hamiltoniano,algunas extensiones del mismo, el interes en su estudio y su relevancia actual.

2.2.2. Los Hamiltonianos de Rabi y Jaynes-Cummings

Cuando consideramos solo un atomo (N = 1) tenemos como lımite del Hamiltoniano deDicke, al Hamiltoniano de Rabi,

HR = ω a†a+ω0

2σz + γ σx

(a+ a†

). (2.50)

23

El modelo de Rabi es el modelo mas simple para el estudio de un qubit interactuando conradiacion. Fue introducido por Rabi en 1936 [52, 53] y probablemente es el modelo cuanticomatematicamente mas sencillo despues del oscilador armonico. A diferencia del modelo deDicke donde tenemos operadores de pseudoespın colectivos, aquı nos quedamos unicamentecon las matrices de espın de Pauli.El significado de los terminos en el Hamiltoniano es mucho mas sencillo, mientras los opera-dores de creacion a† y aniquilacion a crean y destruyen fotones en el campo respectivamente,los operadores σ+ y σ− excitan o desexcitan el unico sistema de dos niveles. Ası, los termi-nos aσ+ y a†σ− son tales que, en el sistema acoplado, un foton es destruıdo para excitar alatomo y un foton es creado cuando se desexcita, respectivamente. Estos terminos conservanel numero de excitaciones y son llamados resonantes. Los otros dos terminos, a†σ+ y aσ−son llamados antirresonantes y no conservan el numero de excitaciones. La diferencia conel modelo de Dicke es que en vez de las matrices de espın de Pauli, tendremos excitacionescolectivas del sistema atomico descritas por los operadores J .Sin embargo, a pesar de la aparente la simplicidad que el modelo de Rabi trae consigo,tambien hereda una variedad de cosas interesantes y complicaciones del modelo de Dicke.En particular esta el problema sobre su integrabilidad, puesto que aparentemente carecede una cantidad conservada ademas de la energıa. En la actualidad la discusion sobre laintegrabilidad del modelo de Rabi se reanudo con el trabajo de D. Braak en 2011 y continuahasta la fecha [54, 55, 56, 57, 58].Por otra parte, no es el modelo de Rabi el mas conocido en aplicaciones de optica cuantica,sino su aproximacion el Hamiltoniano de Jaynes-Cummings (JC) [59]. Para evitar las difi-cultades que llevaba consigo el Hamiltoniano de Rabi, Jaynes y Cummings propusieron enlos anos 60 emplear la aproximacion de onda rotante [60, 22] (Rotating Wave Approximationo RWA, por sus siglas en ingles) sobre el Hamiltoniano de Rabi, con la cual ignoraban losterminos del Hamiltoniano σ+a

† y σ−a. En sistemas opticos tıpicos, el valor de la frecuen-cia efectiva de estos terminos los hace oscilar rapidamente en el tiempo, de tal suerte queal promediarlos temporalmente se acercan a cero y pueden ser despreciados. Tras la RWAobtenemos el Hamiltoniano de Jaynes-Cummings (JC):

HJC = ωa†a+ω0

2σz +

γ

2

(σ+a+ σ−a

†.)

(2.51)

Su principal ventaja radica en que se puede resolver diagonalizando en subespacios finitosde su cantidad conservada, el numero de excitaciones:

C = a†a+1

2(σz + 1) . (2.52)

La RWA esta justificada en ciertos regımenes, en particular en condiciones de resonancia(ω0 ≈ ω) y para acoplamientos debiles. Esto fue suficiente a lo largo de muchos anos perocon el avance de las tecnicas experimentales, se empezo a investigar regiones de acoplamientomas fuerte donde la RWA dejaba de tener sentido.En la actualidad se considera a diferentes sistemas de atomos artificiales como candidatospara ser modelados con Hamiltonianos tipo Rabi y JC, por ejemplo, sistemas de vacancias

24

de nitrogeno en defectos de diamante o NV que interactuan con resonadores en microondas[42]. Segun el acoplamiento, se consideran varios regımenes. En el acoplamiento debil (WCWeak Coupling) el valor del acoplamiento es menor que la tasa de decaimiento de la cavidady que todas las tasas de decoherencia; mientras que en el acoplamiento fuerte (SC StrongCoupling) es del orden de dichas tasas o mayor. En el acoplamiento debil y hasta el fuertese puede tomar la RWA.Por otro lado, se denomina regimen de acoplamiento ultrafuerte (USC Ultra-Strong Coupling)cuando la fuerza del acoplamiento es comparable a fracciones de la frecuencia del modog/ω & 0.1. En este regimen la RWA se rompe y el modelo de JC tiene que dar paso al modelode Rabi. Por ultimo, se tiene el regimen fuerte profundo (DSC “Deep-Strong Coupling”)donde g/ω & 1. Mientras el regimen SC ha sido ampliamente explorado experimentalmentey el USC se ha explorado en sistemas de atomos artificiales, el DSC esta siendo estudiadoteoricamente y en vıas de ser realizado experimentalmente, por ejemplo, [61]. Soluciones alHamiltoniano de Rabi sin la RWA han sido estudiadas ampliamente, vease algunos casosrepresentativos [62].Son varios los sistemas fısicos donde se puede hacer la aproximacion de dos niveles y modelarcon este tipo de Hamiltonianos, siendo los modelos de Rabi y JC modelos estandar de librode texto. La bibliografıa es vasta y un buen comienzo para revisar mas sobre sus propiedadesdinamicas es [63]. Ademas, ahora hay un interes activo en entender las propiedades delmodelo de Rabi para dos qubits dada la facilidad de su realizacion en atomos artificiales[64, 65]. Nuestro interes esta en estudiar directamente el modelo de Dicke. A continuacionmencionaremos un poco mas sobre el equivalente en N 6= 1 del modelo de JC, es decir, laversion integrable del modelo de Dicke: el modelo de Tavis-Cummings.

2.2.3. El Hamiltoniano de Tavis-Cummings

De la misma manera que la RWA se utiliza sobre el Hamiltoniano de Rabi, esta se puedeutilizar sobre el Hamiltoniano de Dicke [66]. Se obtiene entonces el Hamiltoniano de Tavis-Cummings (TC) [67]:

HTC = ωa†a+ ω0Jz +γ√N(aJ+ + a†J−

)(2.53)

Al igual que el modelo de JC, este Hamiltoniano puede ser diagonalizable en subespaciosfinitos de los eigenvalores del numero de excitaciones, la cantidad conservada:

Λ = a†a+ Jz −1

2

(1−√

4J2 + 1). (2.54)

El Hamiltoniano de Tavis-Cummings es de gran importancia para nuestro trabajo, puestoque corresponde a la contraparte integrable del modelo de Dicke. Como veremos en losultimos capıtulos, el Hamiltoniano de Dicke no es integrable y presenta caos cuantico, ambaspropiedades ausentes en el Hamiltoniano de TC. Por tanto, es un buen punto de referenciapara entender muchos de nuestros resultados. Es por eso, que podemos escribir ambos, el

25

Hamiltoniano de Dicke y el Hamiltoniano de Tavis-Cummings en una sola expresion,

HD,δ = ωa†a+ ω0Jz +γ√N[aJ+ + a†J− + δ

(a†J+ + aJ−

)]. (2.55)

Que tambien se puede escribir como:

HD,δ = ωa†a+ ω0Jz +γ√N[(1 + δ)

(a+ a†

)Jx + i (1− δ)

(a− a†

)Jy]. (2.56)

Ası, cuando δ = 0 tendremos el Hamiltoniano de Tavis-Cummings y cuando δ = 1 tendremosel de Dicke. En la siguiente seccion comentaremos sobre la relevancia del modelo de Dickeen la investigacion actual y el estado de la cuestion.

2.3. El modelo de Dicke en el contexto actual

Hemos visto que el Hamiltoniano de Dicke fue originalmente pensado con el fin de describirun sistema de N atomos de dos niveles interactuando con un modo de radiacion electro-magnetica dentro de una cavidad. Debido a su simplicidad algebraica, sin embargo, en losultimos anos se ha considerado como una buena descripcion inicial para ganar intuicion so-bre la descripcion y el comportamiento de sistemas cuanticos manipulados en el laboratorio.Dado que podemos pensar al sistema de N sistemas de dos niveles como N bosones, fer-miones o partıculas distinguibles, el modelo bien puede ser desde una descripcion basica dela interaccion espın-boson, hasta, en el lenguaje del computo cuantico, el punto de partidapara el analisis de N qubits provenientes de puntos cuanticos, condensados de Bose-Einstein,circuitos superconductores (QED) o polaritones [68, 69, 36, 43], interactuando con un reso-nador. Ası, a pesar de que el modelo se podrıa considerar viejo, el interes en estudiarlo se harenovado en los ultimos anos con el fin de cubrir tanto necesidades teoricas como experimen-tales. Aunque a lo largo de este trabajo comentaremos en detalle algunos de estos temas,haremos enfasis en ellos aquı para mostrar la vigencia y relevancia del modelo.

2.3.1. Superradiancia y teorema no-go

El rasgo mas representativo del Hamiltoniano de Dicke es su transicion de fase termica desegundo orden que da origen a una transicion de fase cuantica (quantum phase transitiono QPT) en el lımite termodinamico a temperatura cero. Esta fue senalada por primeravez por K. Hepp y E. H. Lieb [70] y luego revisada por varios autores [71, 72, 73, 74].El estudio termodinamico completo lo estudiaremos hasta el capıtulo 3. Esta transicion hasido considerada como un ejemplo paradigmatico del comportamiento cuantico colectivo [66].Cuando la interaccion atomo-campo alcanza cierto valor crıtico, el sistema pasa de un estadonormal, con cero fotones y atomos excitados en promedio, a un estado superradiante, en elque el numero de fotones y atomos excitados se vuelve comparable al numero de atomostotal del sistema. La emision promedio de fotones es distinta de cero y se dice que haysuperradiancia, pues es una emision coherente, colectiva y macroscopica [82].

26

Tras la prediccion de la transicion de fase se iniciaron tanto su busqueda experimental co-mo una discusion extensa sobre la posibilidad de observarla. Varios autores senalaron laimposibilidad de la observacion experimental debido a la existencia de teoremas ’no-go’. Seindico que la transicion se debıa a que en el Hamiltoniano un termino diamagnetico no apa-recıa, aunque la aseveracion fue hecha para el modelo TC [75]. Si regresamos a la deducciondel Hamiltoniano cuantico, recordamos que la energıa cinetica estaba expresada en terminosdel acoplamiento mınimo,

HCav(t) = ~ωa†a+N∑i=1

[1

2m

(~pi − e ~A(~ri, t)

)2

+ VCoulomb(~ri)

](2.57)

Cuando desarrollamos el termino para el acoplamiento mınimo:

HCav = ~ωa†a+N∑i=1

1

2m

[(~pi)

2 + e2 ~A2(~ri) + e(~p · ~A(~ri) + ~A(~ri) · ~p

)]+ VCoulomb(~ri)

,

(2.58)podemos continuar la deduccion de tal forma que obtenemos el siguiente Hamiltoniano deDicke,

HD,A2 = ωa†a+ ω0Jz +γ√N(a+ a†

)(J+ + J−) + κ

(a+ a†

)2(2.59)

La discusion gira en torno al termino diamagnetico κ(a + a†)2. Los argumentos principalespara decir que la transicion no es posible se basan en la regla de suma de Thomas-Reiche-Kuhn (TRK). Se sabe que las reglas de suma se pueden generalizar y usar para estimartransiciones entre estados para cualquier operador. En el caso del modelo de Dicke, la reglade suma establece una relacion entre los parametros del Hamiltoniano:

|〈e|~d|g〉|2ω0 <e2

2m(2.60)

Donde |〈e|~d|g〉| es el elemento de transicion dipolar entre los estados base y excitado delatomo individual de dos niveles. Sin embargo, para que exista la transicion la desigualdaddebe ocurrir al reves:

|〈e|~d|g〉|2ω0 >e2

2m(2.61)

Por lo cual no existirıa la transicion. Usando una violacion de la desigualdad, en [75] se afirmaque la transicion de fase en el modelo es un artificio matematico debido a haber despreciadoel termino diamagnetico.El uso de la regla de suma TRK se conoce como teorema no-go para transiciones de fasecuanticas. Ası, se publicaron otros argumentos donde se extendıa el teorema no-go paramostrar que la transicion de fase no podıa aparecer y que para mantener la invariancia denorma (de gauge en ingles) era necesario que estuviesen los terminos contrarrotantes (sinRWA) junto con el diamagnetico [86], [87] y [85]. Aunque ya se habıa mostrado entoncesque la transicion no podıa existir en un sistema de atomos de dos niveles con transiciones

27

dipolares electricas, era necesario establecer entonces un criterio para decidir si habıa o notransicion de fase. Finalmente, se mostro que en un sistema ası y con el regımen SC, en ellımite termodinamico e inclusive con el termino diamagnetico no podıa haber una transicionde fase superradiante [88]. Es decir, se considero, bajo el modelo de Dicke, que la transicionde fase superradiante no es posible en atomos reales y cavidades QED. Tiempo despues,en el formalismo de invariancia de norma se mostro que sı era posible la transicion de fasesuperradiante eliminando incluso terminos cuadraticos en el Hamiltoniano y quedandose conterminos lineales dipolares electricos [49]. La diferencia es que en esta ocasion se incluıadependencia temporal en la invariancia de norma. Principalmente, el argumento consistıa enque los trabajos anteriores no habıan tratado correctamente la interaccion dipolar electricaen el formalismo de invarianza de norma. Lo que sucede es que los Hamiltonianos HD en2.1 y HCav se pueden relacionar entre sı a traves de una transformacion de norma comolo hicimos al principio del capıtulo. La aproximacion de dos niveles rompe, sin embargo, lainvariancia de norma, de tal forma que los Hamiltonianos HD y HD,A2 no se pueden conectarpor una transformacion de norma [66].La problematica continua con la aparicion de los circuitos QED debido a que al modelarloscon un Hamiltoniano tipo Dicke tambien se esperarıa ver en ellos la transicion de fase super-radiante, pero algunos no esperan que sea posible; ası Hamiltonianos como en (2.59) estansiendo estudiados, extendiendose esta discusion a sistemas de circuitos QED acoplados [83],[84]. En la actualidad ambas posiciones persisten, tanto las que mantienen la imposibilidadde que la transicion de fase superradiante del modelo de Dicke pueda ser observada experi-mentalmente, como los que afirman la posicion contraria. Uno de los principales problemasa considerar es que los sistemas experimentales tıpicamente son sistemas abiertos ya sea pordisipacion o por la variacion temporal de algunos parametros y el modelo de Dicke como tal,ası como la transicion de fase, se predicen para modelos cerrados. En resumen, el debate sobrela validez de la descripcion del Hamiltoniano a estos sistemas y de la posibilidad de la QPTsuperradiante esta lejos de terminar y continua hasta nuestros dıas [85, 86, 87, 88, 89, 90].Finalmente, el impulso mas fuerte en el interes actual del modelo, fue gracias al desarrollode tecnicas novedosas para la manipulacion de sistemas cuanticos en el laboratorio, conlas que se logro la proeza experimental de realizar la QPT empleando un condensado deBose-Einstein (Bose-Einstein Condensate o BEC) en una red optica [91].

2.3.2. Comentario sobre las realizaciones experimentales

Recordando el capıtulo anterior donde revisamos los distintos sistemas en los que los qubitsse podıan codificar, daremos una vista rapida a algunos avances en la realizacion del mode-lo de Dicke. En el sistema original de atomos en cavidades, la principal barrera teorica esel teorema no-go. Sin embargo, existen otros inconvenientes para la realizacion fısica. Porejemplo, la aproximacion es valida para cuando el sistema es un gas diluido, si la distanciaentre los atomos empieza a disminuir, sienten la interaccion dipolar entre ellos y, si es grande,la emision cooperativa disminuye, afectando la superradiancia. Tambien se debe considerarque el tamano caracterıstico de la cavidad debe ser menor que la longitud de onda de laradiacion para que los atomos interactuen con la misma fase, es decir, el sistema debe estar

28

en la aproximacion de onda larga para que los atomos no vean la estructura del campo elec-tromagnetico. De hecho, otro de los problemas y quiza el mas importante durante anos, fuela imposibilidad de obtener acoplamientos fuertes capaces de llegar al acoplamiento crıtico,pues difıcilmente se podıa cambiar el acoplamiento atomo-campo. Conforme la tecnologıafue mejorando, se popularizo el uso de cavidades opticas donde se podıa lograr un regimende acoplamiento fuerte, haciendo que el modelo ya tuviera validez, aunque presentaba elproblema de flujos de partıculas. Incluso hubo una propuesta importante con transicionesRaman [76]. El problema de la intensidad del acoplamiento, sin embargo, puede ser superadoen sistemas de atomos artificiales donde la interaccion es controlable [77].

Otro de los primeros sistemas considerado como posible candidato para realizar el modelo deDicke fue uno compuesto de atomos de Rydberg y una cavidad en microondas [78]. Un atomode Rydberg es un atomo excitado con uno o mas electrones que tiene numeros cuanticosprincipales muy grandes, teniendo fuertes respuestas a los campos electricos y magneticos.Debido a que los atomos de Rydberg son relativamente grandes (∼ 1µm) y tienen largostiempos de vida (decenas de µs), se consideraban una buena opcion para realizar Dicke. Sinembargo, estos sistemas tienen el inconveniente de ser abiertos y que los atomos entren ysalgan de la cavidad, por lo cual el tratamiento del modelo de Dicke no es adecuado porqueel numero de partıculas es variable.

Un avance mas reciente fue el desarrollo de trampas de iones. Dado que estas trampasmantienen a los iones dentro, existe la posibilidad de realizar el modelo de Dicke al mantenerel numero de iones constante; para dos iones en una cavidad, vease [79]. Tambien, como semenciono en la seccion de atomos artificiales, se han modelado circuitos QED con el modelode TC, por ejemplo ver [43]. Entre las ventajas ya senaladas de los atomos artificiales, loscircuitos QED tienen un acoplamiento fuerte lo cual resulta de utilidad para el modelo deDicke.

En resumen, vemos que han habido complicaciones experimentales a lo largo de los anospara validar el modelo. Aunque no es la primera vez que se observa la transicion de fasesuperradiante [80], la realizacion con BEC en redes opticas por Baumann y Esslinger en el2010 fue de gran importancia por ser una cavidad optica y parecerse al problema tradicionalde atomos en cavidades (en la teorıa, en la practica el experimento es muy sofisticado). Elsistema experimental consiste en un BEC que es atrapado en una cavidad optica ultrafina y esconducido y bombeado por un laser que puede ser manipulado para cambiar el acoplamientoefectivo y ası ver la transicion y ambas fases a partir de la organizacion de los atomos delcondensado. Sin embargo, el sistema experimental en este caso es abierto, teniendo disipacion,por lo cual el modelo de Dicke no ajusta a la perfeccion. Aun ası, se mostro que el sistemadado por el condensado [91] (notese que no son atomos reales en una cavidad, sino que esuna transicion de autoorganizacion) realiza el modelo de Dicke [81]. De tal suerte que, a laluz de la realizacion experimental de la transicion de fase superradiante en un sistema tipoDicke, ha aumentado el interes en el estudio del modelo y de sus propiedades.

29

2.3.3. Interes teorico en el Hamiltoniano de Dicke

Desde el punto de vista teorico, el Hamiltoniano de Dicke ofrece una gran variedad de aspectosde interes no solo por sı mismos sino tambien como ejemplos basicos para entender otrossistemas mas complicados. El interes teorico en el modelo regreso en el ano 2003 cuando T.Brandes y C. Emary lo conectaron con temas de interes actual como el caos cuantico y elenredamiento [92, 93, 103] y la existencia de soluciones exactas en el lımite termodinamico.

Y no es solo que el modelo sea paradigma para la optica cuantica, pues los Hamiltonianos deJC y TC cumplen bien esa funcion en innumerables casos y aplicaciones. El interes teoricoen el modelo de Dicke radica en la gran cantidad de fenomenos que se pueden estudiartomandolo como un modelo de juguete, como aproximacion a sistemas mas complicados oen sı mismo.

El primer aspecto importante y con el cual muchos de los demas estan relacionados es lano integrabilidad. Este aspecto lo discutiremos con mas detalle en los ultimos capıtulos.En este momento, lo importante es resaltar que los fenomenos crıticos, el caos cuantico, laruptura espontanea de la simetrıa y el enredamiento que se pueden estudiar en el modeloestan fuertemente relacionados con que sea no integrable.

Por otra parte, la no integrabilidad que le da la enorme riqueza teorica al modelo, tambiencomplica la posibilidad de solucionarlo. Como veremos en el capıtulo 5, C. Emary y T.Brandes [92, 93] desarrollaron un analisis pionero que hasta la fecha se mantiene comouna referencia fundamental para el estudio del modelo. En ese trabajo se encontraron porprimera vez soluciones exactas en el lımite termodinamico que daban la mejor descripcion decampo medio para el estado base. Estas soluciones analıticas provenientes de un desarrollo deHolstein-Primakoff, permiten obtener exponentes crıticos en el estado base para la energıa,la fraccion de atomos excitados, el numero de fotones, sus fluctuaciones y la concurrencia[92, 94, 95, 96]. Sin embargo, para un numero finito de atomos N es necesario tener cuidadoen el desarrollo de Holstein-Primakoff debido al comportamiento singular alrededor de laQPT [97, 98, 99], tema al que regresaremos brevemente mas adelante.

Esto lleva al uso de soluciones numericas exactas y al estudio de las mismas. Y es aquı dondenuestro trabajo resulta de suma importancia. Este trabajo gira en torno al desarrollo deeste tipo de soluciones y las ventajas que aportan, ası como de sus problemas. Aunquerecientemente se ha encontrado la existencia de soluciones analıticas al modelo que permitenobtener su espectro [54, 55, 56, 57, 58], su uso y sus propiedades estan abiertas aun a lainvestigacion, por lo cual, las soluciones numericas exactas se mantienen en la actualidadcomo la mejor opcion para el estudio del Hamiltoniano, su espectro y sus observables, sobretodo en regiones de acoplamiento ultra-fuerte.

Es gracias a estas soluciones que pudimos explorar dos aspectos importantes del espectrodel modelo, presentes tambien en otros sistemas. El primero es otro fenomeno crıtico quese conoce como transiciones de fase cuanticas de estados excitados (Excited-State QuantumPhase Transitions o ESQPT). Estas tienen lugar a lo largo del espectro para valores fijos delos parametros del Hamiltoniano [100] y se manifiestan como singularidades en la densidad deniveles, los parametros de orden y las propiedades de las funciones de onda [101, 102]. El es-tudio de las ESQPT es importante pues se ha indicado que pueden tener efectos importantes

30

en la decoherencia en sistemas cuanticos sintonizables ası como en la evolucion temporal dequantum quenches. El otro aspecto es la aparicion de caos cuantico en el espectro del modelode Dicke, relacionada con la ESQPT, relacion que no esta aun clara. Veremos en los ultimoscapıtulos como gracias a las soluciones numericas, podemos establecer una correspondenciaclara entre el caos clasico y el caos cuantico reflejado en el espectro del Hamiltoniano.

2.3.4. Algunas extensiones y modificaciones del modelo

Con el fin de lograr una descripcion mas fiel de los experimentos ası como validar la transicionde fase superradiante, se han estudiado diversas modificaciones al modelo. Aparte de losHamiltonianos con terminos diamagneticos y cuadraticos como el de (2.59), mencionaremos,a continuacion, algunas otras variantes de modelos tipo Dicke, con la intencion de mostrarel amplio panorama en el que el modelo basico se puede desenvolver.

1. Hamiltoniano de Dicke con acoplamiento entre qubits. En el caso de que se quieranconsiderar interacciones entre los atomos de tipo dipolar electrico, se le puede anadiral Hamiltoniano terminos tipo Ising:

HDI = ωa†a+ ω0Jz +2γ√N(a+ a†

)Jx +

Ω

2N

N∑i6=j

(σixσ

jx + σiyσ

jy

)(2.62)

Donde Ω es la fuerza de interaccion entre dos atomos de dos niveles, siendo este terminoel que involucra el resultado de la interaccion entre los atomos. Este Hamiltoniano tam-bien presenta una transicion de fase superradiante, ademas de tener varias transicionesde primer orden [104]. Hamiltonianos de este tipo podrıan ser utiles tambien para elestudio de atomos artificiales.

2. Hamiltoniano de Dicke con terminos no lineales en el campo. Por ejemplo, para consi-derar autointeracciones y su relacion con el efecto Stark anadiendo un termino propor-

cional a(a†a)2

[108] o para estudiar luz no lineal incluyendo el termino diamagnetico(a†+a)2 [106]. Tambien se pueden considerar modelos muy generales para acoplamien-tos no lineales como el modelo de Kochetov [107, 108],

HD = ωa†a+ ω0Jz + γ[(a†)kalf(a†a)J+ + f(a†a)(a†)lakJ+

]. (2.63)

3. Hamiltonianos de Dicke fuera de equilibrio (forzados). Con el fin de extender el modeloa sistemas fuera de equilibrio y tener grados de libertad no sujetos a la regla de sumaque, en consecuencia, permitan la transicion, se puede pensar en una generalizaciondel modelo de Dicke dependiente del tiempo, donde, tanto la frecuencia del modo deradiacion, como la frecuencia de la transicion atomica y el parametro de interacciondependan del tiempo [109] [110]:

HD(t) = ω(t)a†a+ ω0(t)Jz +2γ(t)√N(a+ a†

)Jx (2.64)

31

Estos Hamiltonianos de Dicke se consideran “forzados” (driven en ingles). Como ejem-plo, se han estudiado tomando a γ como una modulacion monocromatica con unacontribucion estatica:

γ(t) = γ + ∆g cos (Ωt) (2.65)

Este Hamiltoniano de Dicke presenta transiciones de fase alternas que no estan sujetasa la regla de suma debido a que se deben a efectos fuera de equilibrio [111]; es poreso que tambien se ha estudiado ya la dinamica de Hamiltonianos tipo Dicke en estascondiciones [112]

4. Hamiltonianos de Dicke fuera de equilibrio (disipacion). Otro ejemplo que es de intereses el incluir terminos disipativos en el formalismo. Esta serıa una mejor aproximacion aun experimento ya que los sistemas fısicos reales normalmente se encuentran abiertos.En este caso se introduce un operador de ruido ξ(t) y el tratamiento involucra elestudio de sistemas con disipacion. Vease [113, 114, 115]. Por supuesto, tratar consistemas abiertos e incluir ademas la presencia de disipacion es un problema bastanteamplio, complicado pero tambien de interes activo en la actualidad.

Entre otras, estas son varias de las modificaciones del modelo de Dicke que han sido estudia-das, con el fin de entender mejor diferentes fenomenos y tener una mejor perspectiva de larealizacion experimental del modelo ası como de sus consecuencias. Y por supuesto, no sonlas unicas que se encuentran en la literatura, pero suficientes para dar un panorama generalde la actividad teorica y experimental que el modelo de Dicke ha generado.

2.4. Conclusiones del capıtulo

En este capıtulo presentamos el objeto de nuestro estudio, el Hamiltoniano de Dicke. Primero,lo dedujimos de su planteamiento original en atomos en cavidades. Luego, vimos algunos lımi-tes conocidos del modelo: los Hamiltonianos de Rabi, Jaynes-Cummings y Tavis-Cummings.Despues discutimos la relevancia del modelo y el porque de su interes tanto en el terrenoteorico como experimental. Con este capıtulo y junto con el capıtulo 1 terminamos la in-troduccion al trabajo. A partir de ahora, revisaremos los diferentes fenomenos crıticos quepresenta el modelo, empezando en el siguiente capıtulo con la transicion de fase termicasuperradiante.

32

Capıtulo 3

La transicion de fase termica

En este capıtulo se presenta con detalle el analisis termodinamico del Hamiltoniano de Dickey, en consecuencia, la razon por la cual fue conocido originalmente: la transicion de fasetermica superradiante. El conocimiento de la termodinamica de los sistemas cuanticos nosdara elementos para estudiar mas adelante sus propiedades cuanticas, aun cuando la conexionentre el espectro de un sistema cuantico y su termodinamica no este completamente clara ysea un tema de investigacion actual.

3.1. Un poco de historia

Originalmente, el planteamiento termodinamico completo fue presentado por Hepp y Lieb en1973 [116, 117] para el Hamiltoniano de Tavis-Cumming, empleando desigualdades de traza.El metodo, bastante complicado, fue simplificado considerablemente utilizando el metodointegral de Laplace y extendido al caso multimodo por Wang y Hioe [71]. Luego los terminoscontrarrotantes fueron incluidos por Charmichael, Gardiner y Walls [73], y Comer-Duncan[74]. Posteriormente, varios autores profundizaron en la termodinamica del modelo. Las di-ferentes aproximaciones incluyen, mostrar que la termodinamica de otros sistemas como losde espines interactuantes es la misma [118]; la solucion a traves de linearizar el Hamilto-niano [119], luego extendida por [120]; usar el metodo variacional sobre la energıa libre [121];utilizar aproximaciones de campo medio [122]; incluir en la termodinamica el termino A2

[123, 124]; emplear metodos perturbativos en la funcion de particion [125]; y considerar lasdiferentes multiplicidades en la termodinamica del sistema de N sistemas de dos niveles(bosones, fermiones y partıculas indistinguibles) [126]. Finalmente, R. Gilmore dedica uncapıtulo completo en su libro sobre teorıa de catastrofes para el estudio de la termodinamicadel modelo usando esta tecnica [143]. Tambien existe un trabajo sobre el tratamiento micro-canonico [128], aunque incompleto. El metodo que presentamos en este capıtulo reproduceel seguido por [71], [73] y [74].

33

3.2. Un breve repaso de Termodinamica

En principio, la termodinamica de un sistema fısico solo depende de que este sea capaz dellegar a equilibrio. Los mecanismos con los que dicho sistema puede llegar a tal equilibrioy con los cuales se puede definir una temperatura son harina de otro costal; sin embargo,un tema muy importante en la actualidad. La pregunta ¿cual es el mecanismo por el cuallos sistemas cuanticos de muchos cuerpos cerrados llegan a equilibrio? [129] es una de lasinterrogantes que, con suerte, seran respondidas paulatinamente en los proximos anos.Por lo pronto, no necesitamos describir el mecanismo de equilibrio. Lo que supondremos esque su termodinamica se puede describir por un ’ensamble’ canonico, es decir, el sistemaforma parte de un conjunto de sistemas identicos a el, que constituyen el bano termico conel que interactua, de tal suerte que puede llegar a equilibrio. Con esto podemos definir unatemperatura absoluta T y como resultado del equilibrio termico, la matriz de densidad sepuede aproximar a una distribucion de Gibbs [41]:

ρ =exp(−βH)

Z(T,N ). (3.1)

Donde β = (kBT )−1 y kB es la constante de Boltzmann. Como es bien sabido [41], dado queTr (ρ) = 1, de aquı se puede obtener una funcion de particion canonica,

Z(T,N ) = Tr[exp(−βH)

]. (3.2)

Las propiedades termodinamicas del sistema estan completamente contenidas en esta repre-sentacion termodinamica. Para extraer esta informacion se debe calcular, primero la funcionde particion, luego la energıa libre de Helmholtz F (T,N ), y finalmente la energıa libre deHelmholtz por partıcula f(T ),

f(T ) = lımN→∞

1

NF (N , T )V = lım

N→∞− 1

N1

βln [Z(T,N )] . (3.3)

Las funciones termodinamicas que nos interesan son la entropıa S(T,N ) = −Tr(ρ lnρ), laenergıa interna U(T,N ) y el promedio termodinamico de observables como el numero defotones a†a o la diferencia de poblacion Jz. Tomando la ecuacion termodinamica de Euler ysu forma diferencial [130, 131],

F (T,N ) = U(T,N )− T S(T,N ) y

dF = dU − T dS,(3.4)

la entropıa por partıcula S(T ) se puede obtener facilmente como,

S(T ) = −(∂f

∂T

)= lımN→∞

S(T,N )

N= lımN→∞

− 1

N

(∂F

∂T

)N ,V

=

= lımN→∞

1

N

kB ln [Z(T,N )] +

1

βZ∂Z(T,N )

∂T

,

(3.5)

34

Mientras que la energıa interna por partıcula U(T ) esta dada por,

U(T ) = lımN→∞

1

NU(T,N ) = lım

N→∞

1

N[F (T,N ) + T S(T,N )] . (3.6)

En cuanto al promedio termodinamico en equilibrio de cualquier otro operador de interes A,se puede calcular mediante su traza con la matriz de densidad,

A(T ) = lımN→∞

1

N〈A(T,N )〉 = lım

N→∞

1

NZTr[A exp(−βH)

](3.7)

En lo que resta de la capıtulo, calcularemos la funcion de particion canonica para el Hamil-toniano de Dicke y analizaremos el diagrama de fases resultante segun los parametros delHamiltoniano.

3.3. La funcion de particion canonica

Antes que nada, tenemos que calcular la funcion de particion canonica.

Zδ(T,N ) = Tr [exp(−βHD,δ)] . (3.8)

Siendo, como ya sabemos, el Hamiltoniano de Dicke,

HD,δ = ωa†a+ ω0Jz+

+γ√N[(1 + δ)(a+ a†)Jx − i(1− δ)(a† − a)Jy

].

(3.9)

Con i =√−1. Hay que hacer notar que si expresamos al Hamiltoniano como una suma de

Hamiltonianos desacoplados para cada espın, podremos realizar nuestro calculo de la funcionde particion con mayor claridad.Recordando que, Jµ = 1

2

∑Nk=1 σ

kµ con µ = x, y, z, el Hamiltoniano se puede escribir como:

HD,δ =N∑k=1

ω

a√N

a†√N

+ω0

2σkz+

+γ

2√N[(1 + δ)(a+ a†)σkx − i(1− δ)(a† − a)σky

).

(3.10)

Podemos observar que tenemos N hamiltonianos Hδ,k con HD,δ =∑

kHδ,k, tales que,

Hδ,k = ωa√N

a†√N

+ω0

2σkz+

+γ

2√N[(1 + δ)(a+ a†)σkx − i(1− δ)(a† − a)σky

] (3.11)

Esto significa que es un sistema cuantico de muchos cuerpos local [129]. Tambien nos permitesimplificar el calculo porque podremos separar la funcion de particion en N funciones de

35

particion individuales para cada atomo. Ahora, para calcular la traza, elegimos sin perdidade generalidad a los estados coherentes de Glauber para la parte bosonica y estados de espınindividual para la atomica:

|Ψ〉 = |α〉 ⊗ |s1〉 ⊗ |s2〉 ⊗ · · · ⊗ |sN 〉. (3.12)

En el Apendice A el lector puede revisar las propiedades de los estados coherentes de Glauber.Calculamos entonces la funcion de particion como:

Zδ(T,N ) =

∫d2α

π

∑s1=±

∑s2=±

· · ·∑sN=±

〈α|〈s1|〈s2| · · · 〈sN |e−βHD,δ |α〉|sN 〉 · · · |s2〉|s1〉. (3.13)

Ahora, siguiendo a [71, 73], suponemos que podemos escribir operadores nuevos b y b† tales

que b = a√N y b† = a†√

N y que se cumplen las siguientes dos hipotesis:

1. Que los lımites a/√N y a†/

√N existen.

2. Que se puede cambiar el orden de los dos siguientes lımites,

lımN→∞

lımR→∞

R∑r=0

(−βHD)r

r!. (3.14)

Donde el segundo lımite es resultado de desarrollar en serie de Tayor la exponencial.

Entonces, en el lımite termodinamico, la relacion de conmutacion entre los nuevos operadoreses tal que:

lımN→∞

[b, b†] = lımN→∞

[a√N,a†√N

]= lımN→∞

1

N= 0. (3.15)

Podemos acomodar entonces los operadores de creacion y aniquilacion en e−βHD,δ en ordennormal, de forma que sea facil la evaluacion cuando usemos los estados coherentes de Glauber,a|α〉 = α|α〉 y 〈α|a† = 〈α|α∗. Obtenemos entonces que:

〈α|e−βHD |α〉 = exp

N∑k=1

[ω|α|2

N+ω0

2σkz +

γ

2√N((1 + δ)Re(α)σkx − (1− δ)Im(α)σky

)].

(3.16)Vemos que podemos reacomodar la suma de la funcion de particion en el producto de sumas

de exponenciales para Hδ,k(α) = ω|α|2N + hδ,k(α), puesto que para cada espın el argumento de

la exponencial esta desacoplado. Escribimos entonces la funcion de particion como:

Zδ(T,N ) =

∫d2α

πe−βω|α|

2N∏k=1

∑sk=±

〈sk|e−βhδ,k(α)|sk〉. (3.17)

Donde,

hδ,k(α) =ω0

2σkz +

γ

2√N[(1 + δ)Re(α)σkx − (1− δ)Im(α)σky

]. (3.18)

36

Para poder calcular la traza, podemos encontrar los eigenvectores de hδ,k y expresar la trazaen esa base. En la base de σkz , tenemos que hδ,k es:

hδ,k(α) =

(ω0

2γ√N [(1 + δ)Re(α) + (1− δ)iIm(α)]

γ√N [(1 + δ)Re(α)− i(1− δ)iIm(α)] −ω0

2

).

(3.19)La ecuacion de eigenvalores es:

− (ω0

2− u)(

ω0

2+ u)− γ2

N[(1 + δ)2Re2(α) + (1− δ)2Im2(α)

]= 0. (3.20)

Los eigenvalores u±(α), resultan ser:

uδ,±(α) = ±√ω2

0

4+γ2

N[(1 + δ)2Re2(α) + (1− δ)2Im2(α)], (3.21)

y los eigenvectores:

|uδ,±〉 =

√uδ,± − a2uδ,±

( ω02

+uδ,±(α)γ√N

[(1+δ)Re(α)−(1−δ)i Im(α)]

1

). (3.22)

Entonces, evaluando la traza para los espines en esta base, obtenemos:

Zδ(T,N ) =

∫d2α

πe−βω|α|

2N∏k=1

∑uk=uδ,±(α)

e−βuk . (3.23)

Que se puede escribir como,

Zδ(T,N ) =

∫d2α

πe−βω|α|

2 (e−βuδ,+(α) + e−βuδ,−(α)

)N. (3.24)

Por conveniencia, definimos una nueva funcion χδ(α) tal que:

χδ(α) =

√1 +

4γ2

ω20N

[(1 + δ)2Re2(α) + (1− δ)2Im2(α)]. (3.25)

Con lo cual tendremos que,

uδ,+(α) = −uδ,−(α) =ω0

2χδ(α) (3.26)

Igual por conveniencia, definimos una nueva funcion,

φδ(α) =−βω|α|2

N+ ln

2 cosh

[βω0

2χδ(α)

]. (3.27)

37

La funcion de particion es finalmente,

Zδ(T,N ) =

∫d2α

πeN φδ(α). (3.28)

Ahora, para resolverla, primero escribimos α = x+ iy y la integral en terminos de x y y. Lasfunciones φδ(α) y χδ(α) son,

χδ(x, y) =

√1 +

4γ2

ω20N

[(1 + δ)2x2 + (1− δ)2y2], (3.29)

φδ(x, y) =−βωN

(x2 + y2) + ln

2 cosh

[βω0

2χδ(x, y)

]. (3.30)

Y tenemos que la funcion de particion es:

Zδ(T,N ) =

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

dx dy

πeNφδ(x,y). (3.31)

Como veremos a continuacion, podemos resolver esto para dos casos: (i) Dicke (δ = 1), (ii)Tavis-Cummings (δ = 0). Tambien es posible resolverlo para el caso intermedio (δ 6= 0), delcual comentaremos un poco mas al respecto al final del capıtulo. En las siguientes seccionesresolveremos para cada uno de los dos casos y se mostrara el resultado termodinamico de losmismos.

3.4. Promedios termodinamicos

Antes de continuar, nos ocuparemos de plantear las expresiones para el valor esperado delnumero de fotones y de los operadores de pseudo-espın colectivos en terminos del numerocomplejo α y de las variables reales x, y.⟨(

a†a

N

)k⟩δ

=1

ZδTr

[(a†a

N

)ke−β HD,δ

]y⟨

JµN

⟩δ

=1

ZδTr

(JµNe−β HD,δ

).

(3.32)

Con µ = x, y, z.

3.4.1. Numero de fotones

Empezamos con las potencias del operador de numero. Si utilizamos el mismo formalismopara encontrar la funcion de particion y usamos las hipotesis antes dichas para escribir todo

38

en forma antinormal, puesto que este operador solo afecta al oscilador, tendremos la siguienteexpresion, ⟨(

a†a

N

)k⟩δ

=1

Zδ

∫d2α

π

(|α|2

N

)keN φδ(α). (3.33)

O usando x, y y desarrollando el binomio de Newton nos quedamos con una expresion queintegraremos para cada valor de δ.⟨(

a†a

N

)k⟩δ

=1

Zδ

k∑l=0

(kl

)∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

dx dy

π

(x2)k−l(y2)l

N keN φδ(x,y) . (3.34)

Finalmente, nos interesa el lımite termodinamico de las observables, por lo que buscaremoscalcular para cada δ:

nkδ = lımN→∞

⟨(a†a

N

)k⟩δ

. (3.35)

3.4.2. Operadores de pseudoespın

Ahora nos ocupamos de encontrar una expresion general para Jµ. En este caso el operadorno afecta al oscilador pero sı a los espines, por lo que tenemos que irnos unos pasos haciaatras para calcularlo. Vemos que la parte del campo queda igual que en nuestro calculo dela funcion de particion, por lo que la expresion desde la que partimos es,⟨JµN

⟩δ

=1

NZδ

∫d2α

πe−βω|α|

2∑s1=±

∑s2=±

· · ·∑sN=±

〈s1|〈s2| · · · 〈sN |Jµe−β∑k hk(α)|sN 〉 · · · |s2〉|s1〉.

(3.36)Usando de nuevo que Jµ = 1

2

∑N` σ

`µ y vemos que es posible tambien reordenar los ındices

de nueva cuenta de tal suerte que,⟨JµN

⟩=

1

NZδ

N∑`=1

∫d2α

2πe−βω|α|

2N∏k

∑sk=±

〈sk|σ`µ e−βhk(α)|sk〉 (3.37)

Como el operador de Pauli solo afecta a uno de los espines, podemos separarlo del resto,⟨JµN

⟩=

1

NZδ

N∑`=1

∫d2α

2πe−βω|α|

2∑s`=±

〈s`|σ`µe−β h`(α)|s`〉N∏k 6=`

∑sk=±

〈sk|e−βhk(α)|sk〉. (3.38)

Para los demas espines los elementos de matriz se resuelven como anteriormente lo hemoshecho. Ahora tenemos que prestar atencion a la matriz σ`µ e

−β h`(α). Para evaluarla debemosver la forma de las matrices σ`µ en la nueva base uδ,±, es decir, la accion de esos operadoressobre los elementos de la nueva base. Nos interesa evaluar la siguiente expresion:∑

u`=uδ,±

〈u`|σ`µe−β h`(α)|u`〉. (3.39)

39

Escribiendo las matrices de espın de Pauli usando la delta de Kronecker como:

σµ =

(δµ,z δµ,x − iδµ,y

δµ,x + iδµ,y −δµ,z

), (3.40)

Y usando los eigenvectores |u±〉 en 3.22 expresados en la base de espın 1/2 y multiplicandolas matrices, tendremos que el resultado de evaluar estos eigenvectores bajo la accion de lasmatrices de espın de Pauli es:

〈uδ,±|σµ|uδ,±〉 =1

2uδ,±

ω0δµ,z +

γ√N

[(1 + δ)Re(α)δµ,x − (1− δ)Im(α)δµ,y]

(3.41)

Ahora, evaluamos nuestros elementos de matriz, dandonos cuenta de que para toda ` tenemosel mismo elemento:

N∑`=1

[〈u`,δ,+|σµ e−βhδ,`(α)|u`,δ,+〉+ 〈u`,δ,−|σµ e−βhδ,`(α)|u`,δ,−〉

]=

= −2N senh

(βω0

2χδ(α)

)ω0 χδ(α)

ω0δµ,z +

γ√N

[(1 + δ)Re(α)δµ,x − (1− δ)Im(α)δµ,y.]

(3.42)

Por tanto, la expresion para calcular Jµ es, usando 3.38:⟨JµN

⟩δ

= − 1

Zδ

∫d2α

2πe−βω|α|

2 tanh(βω0

2χδ(α)

)ω0 χδ(α)

(2 cosh(

βω0

2χδ(α))

)N×

×ω0δµ,z +

γ√N

[(1 + δ)Re(α)δµ,x − (1− δ)Im(α)δµ,y]

.

(3.43)

Y en las variables x, y tenemos:⟨JµN

⟩δ

= − 1

Zδ

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

dx dy

2πe−βω(x2+y2) tanh

(βω0

2χδ(x, y)

)ω0 χδ(x, y)

(2 cosh(

βω0

2χδ(x, y))

)N×

×ω0δµ,z +

γ√N

[(1 + δ)x δµ,x − (1− δ) y δµ,y].

(3.44)

Que finalmente nos queda como:⟨JµN

⟩δ

= − 1

Zδ

∫dα2

2π

tanh(βω0

2χδ(α)

)ω0 χδ(α)

eNφδ(α)×

×ω0δµ,z +

γ√N

[(1 + δ)x δµ,x − (1− δ) y δµ,y].

(3.45)

O en las variables x, y,⟨JµN

⟩δ

= − 1

Zδ

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

dx dy

2π

tanh(βω0

2χδ(x, y)

)ω0 χδ(x, y)

eNφδ(x,y)×

×ω0δµ,z +

γ√N

[(1 + δ)x δµ,x − (1− δ) y δµ,y].

(3.46)

40

De igual forma que con el operador de numero de fotones, calcularemos tambien el lımitetermodinamico de nuestro promedio de los operadores de pseudoespın:

σµ,δ = lımN→∞

⟨JµN

⟩δ

. (3.47)

3.5. Tavis-Cummings. δ = 0.

Para resolver el caso de TC, nos damos cuenta de que, gracias a que δ = 0, la dependenciafuncional en x y y es a traves de r2 = x2 + y2, esto se debe a la simetrıa conservada en elHamiltoniano. Entonces, nos pasamos a coordenadas polares (r, θ),

χ0(r) =

√1 +

4γ2

ω20

r2

N, (3.48)

φ0(r) =−βωN

r2 + ln

2 cosh

[βω0

2χ0(r)

], (3.49)

Z0(T,N ) =1

π

∫ ∞0

∫ 2π

0

r dr dθ eNφ0(r). (3.50)

Tenemos que resolver entonces la siguiente integral:

Z0(T,N ) =

∫ ∞0

2r dr eNφ0(r). (3.51)

Sin embargo, vemos que nos conviene hacer un cambio de variable v = r2/N (2rdr = dvN )para quitar la dependencia en N . Nuestras funciones y la integral quedan definidas como,

χ0(v) =

√1 +

4γ2

ω20

v, (3.52)

φ0(v) = −βωv + ln

2 cosh

[βω0

2χ0(v)

], (3.53)

La expresion exacta para la funcion de particion es,

Z0(T,N ) = N∫ ∞

0

dv eNφ0(v) . (3.54)

Resolveremos esta integral a traves del metodo integral de Laplace o de los descensos bruscos(steepest descents) [132]. Para una funcion del tipo es f(x), si se tiene un valor maximo x0 enel intervalo donde esta definida, la integral se puede aproximar como:∫

dx g(x)esf(x) ∼

√2π

sf ′′(x0)g(x0) es f(x0) (3.55)

41

Multiplicando por un factor 1/2 si x0 es un lımite del intervalo de integracion. Aplicando elmetodo, tendremos la siguiente solucion:

Z0(T,N ) = N

√2π

N |φ′′0(vs)|eNφ0(vs). (3.56)

Nos falta identificar el valor de vs. Calculamos la primera y la segunda derivada de φ0(v)para encontrarlo. Definiendo η = βω0

2y γc,0 =

√ω0ω, las derivadas son:

φ′0(v) = −βω(

1− γ2

γ2c,0

tanh (η χ0(v))

χ0(v)

), (3.57)

φ′′0(v) = −4ω2

ω20

γ4

γ4c,0

η

χ30(v)

[η χ0(v) sech2 (η χ0(v))− tanh (η χ0(v))

]. (3.58)

Para encontrar los extremos, hacemos la primera derivada de φ0(v) igual a cero. Tenemosuna solucion vs, que cumple la siguiente ecuacion trascendental,

tanh (η χ0(vs)) =γ2c,0

γ2χ0(vs). (3.59)

Sin embargo, vemos que la tanh(x) solo esta definida en el intervalo −1 ≤ x ≤ 1, por loque tenemos dos casos posibles dependiendo de los parametros en el Hamiltoniano. Cuandoγ < γc,0 la tangente hiperbolica no tiene ninguna region donde este definida. Entonces, lafuncion φ0(v) es monotona decreciente con un maximo en vs = 0. Esta region la denominamosfase normal.En cambio, cuando γ > γc,0 tenemos una region donde esta definida la tangente hiperbolicay otra en la que no. Esto depende del valor de β. Ası que existe un valor de βc a partir delcual la tangente hiperbolica esta definida. Este valor esta dado por:

tanh (ηc) =γ2c,0

γ2(3.60)

Es decir, cuando χ0(vs) = 1, coincidiendo con vs y asegurando la continuidad con la otra fase.Ası, con β < βc,0 (T > Tc) no hay solucion y tenemos la fase normal de nuevo con vs = 0.Pero para β > βc,0 (T < Tc) la solucion esta dada por la ecuacion 3.59 y denominaremosesta region como fase superradiante. A continuacion, trataremos ambas fases por separado.

3.5.1. Fase normal de TC

Recordando, esta fase ocurre con γ < γc,δ o con γ > γc,δ y T > Tc. Nuestro valor es vs = 0 ynos da como resultado lo siguiente:

χ0(vs = 0) = 1, (3.61)

42

φ0(vs = 0) = ln [2 cosh (η)] . (3.62)

φ′′0(vs = 0) = −η4ω2

ω20

γ4

γ4c,0

[η sech2 (η)− tanh (η)

]. (3.63)

Considerando el factor de 1/2 por ser punto extremo, sustituyendo en la ecuacion 3.56 lafuncion de particion resulta,

Z0(T,N ) =1

2

√√√√ πN2ω2

ω20

γ4

γ4c,0η[η sech2 (η)− tanh (η)

] eN ln[2 cosh(η)]. (3.64)

Si definimos una nueva funcion,

w0(η) = η(η sech2(η)− tanh(η)

)(3.65)

La funcion de particion de TC en la fase normal es,

Z0(T,N ) =1

2

√πN2

ω20

ω2

γ4c,0

γ4w− 1

20 (η) eN ln[2 cosh(η)]. (3.66)

Ahora veremos el valor de las funciones termodinamicas principales. La energıa libre es:

− β F0(T,N ) = ln

1

2

√π

2

ω20

ω2

γ4c,0

γ4w− 1

20 (η)

+1

2lnN +N ln [2 cosh (η)] (3.67)

Tomando el lımite termodinamico, la energıa libre por partıcula esta dada finalmente por:

−β f0(T ) = φ0(vs = 0) = ln [2 cosh (η)] . (3.68)

Para calcular la entropıa necesitamos la derivada de la funcion de particion. Al hacerlo nosquedamos con,

1

βZ0

∂Z0

∂T= − 1

2β w0(T )

∂w0(T )

∂T+Nβ

∂φ0(0)

∂T. (3.69)

Y tenemos que,1

2β w0

∂w0(T )

∂T= −kB

(1

2+

η2 tanh(η) sech2(η)

η sech2(η)− tanh(η)

)(3.70)

La entropıa es:

S0(T,N ) = kB

ln1

2

√π

2

ω20

ω2

γ4c,0

γ4w− 1

20 (η)

+

+η2 tanh(η) sech2(η)

w0(η)+

1

2+

1

2lnN+

+N ln [2 cosh (η)]− η tanh(η) .

(3.71)

43

En el lımite termodinamico, la entropıa por partıcula es entonces:

S0(T ) = kB ln [2 cosh (η)]− η tanh(η) . (3.72)

Y la energıa interna es:

U0(T,N ) =ω0

2tanh(η)

[η sech2(η)

η sech2(η)− tanh(η)−N

]+kBT

2. (3.73)

Y en el lımite termodinamico la energıa interna por partıcula es:

U0(T ) = −ω0

2tanh(η) (3.74)

Ahora veremos el resultado para el numero de fotones y los operadores atomicos para TC enla fase normal. Primero calculamos el valor esperado del operador (a†a)k usando 3.34. Sinembargo, es mas conveniente utilizar coordenadas polares pues no tenemos que expresar laintegral en teminos del binomio.⟨(

a†a

N

)k⟩=

1

Z0

∫ ∞0

∫ 2π

0

rdr dθ

π

(r2)k

N keN φ(r). (3.75)

Calculamos inmediatamente la integral en θ y cambiamos de variable v = r2/N ,⟨(a†a

N

)k⟩=NZ0

∫ ∞0

dv (v)k eN φ0(v). (3.76)

Utilizamos el metodo integral de Laplace en el maximo vs. Tendremos:⟨(a†a

N

)k⟩=

1

Z0

√2πN|φ′′(0)|

eN φ0(0)(vs)k = (vs)

k. (3.77)

Pero, como estamos en el caso de la fase normal, el maximo esta en vs = 0. Ası que finalmente,tras tomar el lımite termodinamico, nos queda:

nk0 = 0 . (3.78)

Ahora, veamos que sucede con los operadores Jµ. Una vez mas cambiamos a las variables ry θ, ⟨

JµN

⟩= − 1

Z0

∫ ∞0

∫ 2π

0

rdr dθ

2πe−βωr

2 tanh (η χ0(r))

ω0 χ0(r)(2 cosh(η χ0(r)))N ×

×ω0δµ,z +

γ√N

[(1 + δ) r cos(θ) δµ,x − (1− δ) r sen(θ) δµ,y]

(3.79)

44

Hacemos la integral de θ y cambiamos a la variable v = r2/N . Notamos que,∫ 2π

0

dθ cos(θ) = 0 y

∫ 2π

0

dθ sen(θ) = 0. (3.80)

Nos queda entonces:⟨JµN

⟩= −NZ0

∫ ∞0

dve−Nβω v

2χ0(v)tanh (η χ0(v)) (2 cosh(η χ0(v)).)N δµ,z. (3.81)

Y nuestra integral queda como:⟨JµN

⟩= −NZ0

∫ ∞0

dvtanh (η χ0(v))

2χ0(v)eNφ0(v)δµ,z . (3.82)

De nueva cuenta, usamos el metodo integral de Laplace:⟨JµN

⟩= −tanh (η χ0(vs))

2χ0(vs)δµ,z, (3.83)

y evaluamos en vs = 0:

σµ0 = −1

2tanh (η) δµ,z . (3.84)

Ya con esto hemos calculado todas las observables que nos interesaban.Como resumen, escribimos todas las funciones termodinamicas calculadas para el caso de lafase normal de Tavis-Cummings (δ = 0).

−β f0(T ) = ln [2 cosh (η)] ,

S0(T ) = kB

ln [2 cosh (η)]− βω0

2tanh (η)

,

U0(T ) = −ω0

2tanh (η) ,

nk0(T ) = 0,

σµ0(T ) = −1

2tanh (η) δµ,z.

(3.85)

Como podemos ver, simplemente esto corresponde a la termodinamica de un conjunto de Nespines desacoplados del campo. Es por eso que se cumple para la energıa interna que,

U0(T ) = ω0σz0. (3.86)

Como nos interesa tener una representacion termodinamica completa, despejamos tambienla temperatura en terminos de la energıa interna y luego la sustituimos en la entropıa.

η = arctanh

(−2U0

ω0

). (3.87)

45

Ademas,

cosh(x) =1√

1− tanh2(x). (3.88)

Por lo que,

S0(U0) = kB

ln(2)− 1

2ln

[1−

(−2U0

ω0

)2]

+

(−2U0

ω0

)arctanh

(−2U0

ω0

)(3.89)

Si redefinimos una energıa adimensional unph como,

u0,nph = −2U0

ω0

(3.90)

La entropıa queda finalmente como:

S0(u0,nph) = kB

ln(2)− 1

2ln(1− u2

0,nph

)+ u0,nph arctanh (u0,nph)

(3.91)

Ya calculadas las funciones termodinamicas en la fase normal, veremos que sucede en la fasesuperradiante.

3.5.2. Fase superradiante de TC.

Esta fase ocurre cuando γ > γc,0 y T < Tc. Sin embargo, ahora el valor de vs 6= 0 y se obtienea partir de la siguiente ecuacion trascendental:

tanh (η χ0(vs)) =γ2c,0

γ2χ0(vs). (3.92)

Recordando que:

vs =ω2

0

4γ2(χ2

0 − 1). (3.93)

Reescribimos φ0(vs) como,

φ0(vs) = −η2

γ2c,0

γ2(χ2

0(vs)− 1) + ln [2 cosh (η χ0(vs))] (3.94)

Siguiendo el mismo procedimiento que en la seccion anterior, la segunda derivada es evaluadaen vs:

φ′′0(vs) = −4ω2

ω20

γ4

γ4c,0

η

χ30(vs)

[η χ0(vs) sech2 (η χ0(vs))− tanh (η χ0(vs))

]. (3.95)

46

En este caso, la funcion w0 es,

w0(ηχ0) = ηχ0(vs)[ηχ0(vs) sech2(ηχ0(vs))− tanh(ηχ0(vs))

]. (3.96)

Pero, usando que sech2(x) = 1− tanh2(x) y la ecuacion 3.92 tendremos que:

w0(ηχ0) = η χ20(vs)

γ2c,0

γ2

[η

[γ2

γ2c,0

−γ2c,0

γ2χ2

0(vs)

]− 1

]. (3.97)

Con lo cual,

φ′′0(vs) = −4ω2

ω20

γ4

γ4c,0

w0(ηχ0)

χ40(vs)

. (3.98)

La funcion de particion, siguiendo 3.64 es entonces:

Z0(T,N ) =

√πN2

ω20

ω2

γ4c,0

γ4χ2

0(vs)w− 1

20 (ηχ0) eNφ0(vs) . (3.99)

Con esto, la energıa libre es:

−β F0(T,N ) = ln

√π

2

ω20

ω2

γ4c,0

γ4χ2

0w− 1

20 (ηχ0)

+1

2lnN

+N−η

2

γ2c,0

γ2(χ2

0 − 1) + ln [2 cosh (η χ0)]

(3.100)

Y la energıa libre por partıcula en el lımite termodinamico se convierte en:

−β f0(T ) = −η2

γ2c,0

γ2(χ2

0 − 1) + ln [2 cosh (η χ0)] . (3.101)

De igual forma que en el caso de la fase normal, requerimos calcular la derivada de la funcionde particion.

1

βZ0

∂Z0

∂T= − 1

2β w0(T )

∂w0(ηχ0)

∂T+

2

βχ0(vs)

∂χ0(vs)

∂T+Nβ

∂φ0(vs)

∂T(3.102)

Y tenemos que,1

β χ0

∂χ0(T )

∂T= kB

[1 +

ηχ20

w0

γ2c,0

γ2

](3.103)

− 1

2β w0

∂w0(ηχ0)

∂T= kB

[1 +

γ2c,0

γ2

ηχ20

2w0

−(

1− 1

w0

)1

kBβχ0

∂χ0

∂T

]=

=kB2

γ2c,0

γ2

(ηχ2

0

w0

)[2η

w0

(γ2

γ2c,0

−γ2c,0

γ2χ2

0

)− 1

] (3.104)

47

1

β

∂φ0(χ0)

∂T= −kBη

2

2

γ2c,0

γ2

(χ2

0 + 1)

(3.105)

La entropıa es entonces:

S0(T,N ) = kBln

√π

2

ω20

ω2

γ4c,0

γ4χ2

0w− 1

20 (ηχ0)

+kB2lnN

+ kB

[− 1

2β w0(T )

∂w0(ηχ0)

∂T+

2

βχ0(vs)

∂χ0(vs)

∂T

]kBN

−η

2

γ2c,0

γ2(χ2

0 − 1)− η

2

γ2c,0

γ2(χ2

0 + 1) + ln [2 cosh (η χ0)]

+

(3.106)

S0(T,N ) = −kBln

√√√√ 2πN

2βω2

ω0

γ2

γ2c,0

1χ20(vs)

η[γ2

γ2c,0− γ2c,0

γ2χ2

0(vs)]− 1

+

[1

βχ0

∂χ0

∂T− 1

2β w0,S(T )

∂w0,S(T )

∂T+kB2

]+ kBN

−η

2

γ2c,0

γ2(χ2

0 − 1)− η

2

γ2c,0

γ2(χ2

0 + 1) + ln [2 cosh (η χ0)]

.

(3.107)

Haciendo un poco de algebra y tomando el lımite termodinamico, la entropıa por partıculase convierte en:

S0(T ) = kB

(ln [2 cosh (η χ0)]− η γ

2

γ2c,0

tanh2 (η χ0)

). (3.108)

La energıa interna nos queda como:

U0(T,N ) =

[1

βχ0

∂χ0

∂T− 1

2β w0,S(T )

∂w0,S(T )

∂T+kB2

]−N

ω0

4

γ2c,0

γ2(χ2

0 + 1)

.

(3.109)

Y la energıa por partıcula es en el lımite termodinamico:

U0(T,N ) = −ω0

4

(γ2

γ2c,0

tanh2(η χ0) +γ2c,0

γ2

). (3.110)

De nuevo, calculamos el resultado para el promedio termodinamico del numero de fotones ylos operadores de pseudoespın. Para el numero de fotones utilizamos el resultado en 3.111con vs usando ademas la ecuacion trascendental.⟨(

a†a

N

)k⟩0

= (vs)k. (3.111)

48

Con lo que obtenemos:

(n)k0 =

(ω2

0

4γ2c,0

)k (γ2

γ2c,0

tanh2 (η χ0)−γ2c,0

γ2

)k. (3.112)

Ahora, para los operadores de pseudoespın el procedimiento es casi identico que en el casode la fase normal. Las integrales en θ son identicas y finalmente, como en la ecuacion 3.83nos quedara una expresion del tipo:⟨

JµN

⟩0

=tanh (η χ0(vs))

2χ0(vs)δµ,z, (3.113)

Al usar la ecuacion trascendental nos queda finalmente:

σµ0 = −γ2c,0

γ2

δµ,z2

. (3.114)

De nueva cuenta, como resumen, escribimos todas las funciones termodinamicas calculadaspara el caso de la fase superradiante de Tavis-Cummings (δ = 0).

−β f0(T ) = −η2

γ2c,0

γ2(χ2

0 − 1) + ln [2 cosh (η χ0)] ,

S0(T ) = kB

(ln [2 cosh (η χ0)]− η γ

2

γ2c,0

tanh2 (η χ0)

),

U0(T ) = −ω0

4

(γ2

γ2c,0

tanh2(η χ0) +γ2c,0

γ2

),

(n)k0 =

(ω2

0

4γ2c,0

)k (γ2

γ2c,0

tanh2 (η χ0)−γ2c,0

γ2

)k,

σµ0 = −γ2c,0

γ2

δµ,z2.

(3.115)

De igual forma, como con el caso de la fase normal, nos interesa tener la entropıa en terminosde la energıa interna. Primero tenemos que,

tanh(ηχ0) =

√−γ2c,0

γ2

(4U0

ω0

+γ2c,0

γ2

)(3.116)

y que,

χ0 =γ2

γ2c,0

√−γ2c,0

γ2

(4U0

ω0

+γ2c,0

γ2

). (3.117)

49

Entonces, usando nuestra ecuacion trascendental,

η =

arctanh

(√−γ2c,0

γ2

(4U0ω0

+γ2c,0γ2

))γ2

γ2c,0

√−γ2c,0

γ2

(4U0ω0

+γ2c,0γ2

) . (3.118)

La temperatura en terminos de la energıa es,

β =2

ω0

arctanh

(√−γ2c,0

γ2

(4U0ω0

+γ2c,0γ2

))γ2

γ2c,0

√−γ2c,0

γ2

(4U0ω0

+γ2c,0γ2

) . (3.119)

La entropıa es finalmente,

S0(U0) = kB

ln(2)− 1

2ln

[1−

(−γ2c,0

γ2

(4U0

ω0

+γ2c,0

γ2

))]+

+γ2

γ2c,0

arctanh

[√−γ2c,0

γ2

(4U0ω0

+γ2c,0γ2

)]γ2

γ2c,0

√−γ2c,0

γ2

(4U0ω0

+γ2c,0γ2

) (−γ2c,0

γ2

(4U0

ω0

+γ2c,0

γ2

)) .

(3.120)

Si redefinimos una energıa adimensional usph,0 como,

usph,0 =

√−γ2c,0

γ2

(4U0

ω0

+γ2c,0

γ2

)(3.121)

La entropıa nos queda finalmente como:

S0(usph,0) = kB

ln(2)− 1

2ln(1− u2

sph,0

)− usph,0arctanh (usph,0)

. (3.122)

Y vemos que corresponde a la misma relacion funcional que encontramos en la fase normal.En las siguientes secciones desarrollaremos el caso δ = 1 o el antirresonante, correspondienteal modelo de Dicke.

3.6. Dicke. δ = 1.

Para el caso de Dicke, seguimos el trabajo de [74] y [73]. El procedimiento sera muy similaral de Tavis-Cummings, con algunas diferencias. Retomamos las expresiones que tenıamospero con δ = 1 y de nuevo, η = βω0

2. Entonces nuestras funciones nos quedan como:

χ1(x) =

√1 +

16γ2

ω20N

x2, (3.123)

50

φ1(x, y) = −βωN(x2 + y2

)+ ln 2 cosh [η χ1(x)] (3.124)

Vemos que la dependencia en y es relativamente sencilla, por lo que podemos integrarlafacilmente, no ası la de x. Tenemos entonces que la funcion de particion es:

Z1(T,N ) =

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

dx dy

πeNφ1(x)e−βω y

2

, (3.125)

con,

φ1(x) = −βωx2

N+ ln 2 cosh [η χ1(x)] (3.126)

Integrando en y:

Z1(T,N ) =2√πβω

∫ ∞0

dx eNφ1(x). (3.127)

Hacemos el cambio de variable u = x/√N (hay que notar que este cambio es diferente al de

TC por un orden de magnitud). Nuestra integral es entonces:

Z1(T,N ) = 2

√Nπβω

∫ ∞0

du eNφ1(u). (3.128)

Con:

χ1(u) =

√1 +

16γ2

ω20

u2, (3.129)

φ1(u) = −βω u2 + ln 2 cosh [η χ1(u)] . (3.130)

Definimos γc,1 =√ωω0

2y aplicamos el metodo integral de Laplace,

Z1(T,N ) = 2

√1

βω2|φ′′1(us)|

eNφ1(us). (3.131)

La primera y la segunda derivada de φ(u) son:

φ′(u) = −2βωu

[1−

(γ

γc,1

)2tanh (η χ1(u))

χ(u)

], (3.132)

φ′′(u) = −2βω

1−

(γ

γc,1

)2tanh (η χ1(u))

χ(u)

− u2

χ21(u)

ω2

γ2c,1

(γ

γc,1

)4 [η sech2(η χ1(u))− 1

χ(u)tanh(η χ1(u))

] (3.133)

Sin embargo, vemos inmediatamente que φ′(us) = 0 tiene dos soluciones. La primera esus = 0 que correspondera a la fase normal, justo como en el caso de TC, pues 0 ≤ u <∞, es

51

decir, φ(u) es monotona decreciente con maximo en us = 0 para u > 0. Para el segundo caso,tenemos dos soluciones. Justo como en el caso de Tavis-Cummings, tenemos una ecuaciontrascendental que nos da el valor del maximo:

tanh (η χ1(u)) =

(γc,1γ

)2

χ1(u). (3.134)

Para que la tanh(x) esta bien definida, tenemos dos fases. Cuando γ < γc,1 la tanh(x) noesta definida y volvemos al caso us = 0, es decir, la fase normal. Cuando γ > γc,1 tenemosuna temperatura crıtica:

tanh (η) =

(γc,1γ

)2

, (3.135)

tal que para β < βc (T > Tc) no hay solucion y tenemos la fase normal una vez mas, peropara β > βc (T < Tc) hay solucion y tenemos la fase superradiante. De nuevo, estudiaremosambas fases por separado a continuacion.

3.6.1. Fase normal de Dicke.

Como en TC esta fase ocurre con γ < γc,1 o con γ > γc,1 y T > Tc. Nuestro valor es us = 0.Nuestras funciones toman los siguientes valores:

χ1(us = 0) = 1, (3.136)

φ1(us = 0) = ln 2 cosh [η ] . (3.137)

φ′′1(us = 0) = −2βω

[1−

(γ

γc,1

)2

tanh (η )

](3.138)

Usando el Metodo de Laplace, la funcion de particion resulta,

Z1(T,N ) =1

βω

√√√√ 1

1−(

γγc,1

)2

tanh (η )eN ln[2 cosh(η )]. (3.139)

Ahora, calculamos las funciones termodinamicas. La energıa libre de Helmholtz es,

− β F1(T ) = ln

1

βω

√√√√ 1

1−(

γγc,D

)2

tanh (η )

+N ln [2 cosh (η )] . (3.140)

Que en el lımite termodinamico da finalmente,

−β f1(T ) = φ1(us = 0) = ln [2 cosh (η )] . (3.141)

52

Al igual que en TC, para calcular la entropıa necesitamos calcular ∂Z∂T

. Sea

w1(T ) = 1−(γ

γc,1

)2

tanh (η) . (3.142)

Entonces,1

βZ1

∂Z1

∂T= kB

1− 1

2kBβ

1

w1(T )

∂w1(T )

∂T+NkBβ

∂φ(T )

∂T

. (3.143)

Por lo que,

1

βZ1

∂Z1

∂T= kB

1− η

[1

2w1(T )

(γ

γc,1

)2

sech2 (η) +N tanh (η)

](3.144)

Por tanto, la entropıa es:

S1(T,N ) = kB

(ln

[w

1/21 (T )

βω

]+ 1− η

2w1(T )

(γ

γc,1

)2

sech2 (η) +

+N ln [2 cosh (η)]− η tanh (η)) .(3.145)

En el lımite termodinamico la entropıa nos queda:

S1(T ) = kB ln [2 cosh (η)]− η tanh (η) . (3.146)

Por su parte, la energıa interna es:

U1(T,N ) =1

β

1− η

2w1(T )

(γ

γc,1

)2

sech2 (η)−N η tanh (η)

. (3.147)

Y en el lımite termodinamico queda como:

U1(T ) = −ω0

2tanh (η) . (3.148)

Ahora, queremos calcular los promedios termodinamicos de las observables. Para hacerlotenemos que volver un poco en las integrales. Empezamos con el numero de fotones. Partimosde la ecuacion 3.34. De nueva cuenta, la dependencia en y es tal que se puede integrarfacilmente.⟨(

a†a

N

)k⟩1

=1

NkZ1

k∑l=0

(k

l

)∫ ∞−∞

dy e−βωy2

(y2)l∫ ∞−∞

dx

π(x2)k−leNφ1(x). (3.149)

Con un cambio de variable t = βωy2 ( 12√βωtdt = dy) la integral en y es:∫ ∞

−∞dy e−βωy

2

(y2)l =Γ(l + 1

2

)(βω)l

√βω

(3.150)

53

Tras resolver la integral para y tenemos,⟨(a†a

N

)k⟩1

=1

NkZ1

k∑l=0

(k

l

)Γ(l + 1

2

)(βω)l

√βω

∫ ∞−∞

dx

π(x2)k−leNφ1(x). (3.151)

Luego, cambiamos de variable u = x√N :⟨(

a†a

N

)k⟩1

=1

Z1

k∑l=0

(k

l

)Γ(l + 1

2

)N l(βω)l

√βω

2√Nπ

∫ ∞0

du (u2)k−leNφ1(u). (3.152)

Usando el metodo integral de Laplace en la integral de u:⟨(a†a

N

)k⟩1

=1

Z1

k∑l=0

(k

l

)Γ(l + 1

2

)√πN l(βω)l

[2

√1

βω2|φ′′1(us)|

eNφ1(us)

](u2

s)k−l. (3.153)

Que nos da finalmente, ⟨(a†a

N

)k⟩1

=k∑l=0

(k

l

)Γ(l + 1

2

)√πN l(βω)l

(u2s)k−l. (3.154)

Como estamos en la fase normal us = 0, solo cuando k = l tenemos algo distinto de cero.Ası que, ⟨(

a†a

N

)k⟩1

=Γ(k + 1

2

)√πNk(βω)k

. (3.155)

Y en el lımite termodinamico tenemos finalmente:

(n)k1 = 0 . (3.156)

Ahora trabajamos con los operadores de pseudoespın. Partimos de la ecuacion 3.46, sustitu-yendo el caso para δ = 1:⟨

JµN

⟩1

= − 1

Z1

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

dx dy

2π

tanh (η χ1(x))

ω0 χ1(x)eNφ1(x)e−βωy

2×

×ω0δµ,z +

2γx√Nδµ,x

.

(3.157)

De nueva cuenta, la integral en y es sumamente sencilla. Tras hacerla, tendremos entonces:⟨JµN

⟩1

= − 1

Z1

√π

βω

∫ ∞−∞

dx

2π

tanh (η χ1(x))

ω0 χ1(x)eNφ1(x)

ω0δµ,z +

2γx√Nδµ,x

. (3.158)

Hacemos el cambio de variable a u:⟨JµN

⟩1

= − 2

Z1

√πNβω

∫ ∞0

du

2π

tanh (η χ1(u))

ω0 χ1(u)eNφ1(u) ω0δµ,z + 2γuδµ,x . (3.159)

54

Y luego integramos con el metodo de Laplace:⟨JµN

⟩1

= − 1

Z1

[2

√1

βω2|φ′′1(us)|

eNφ1(us)

]tanh (η χ1(us))

2ω0 χ1(us)ω0δµ,z + 2γusδµ,x . (3.160)

Quedandonos finalmente:⟨JµN

⟩1

= − tanh (η χ1(us))

2ω0 χ1(us)ω0δµ,z + 2γusδµ,x . (3.161)

En el caso en el que us = 0 tendremos:⟨JµN

⟩1

= − tanh (η)

2δµ,z. (3.162)

Y en el lımite termodinamico:

σµ1 = − tanh (η)

2δµ,z . (3.163)

De nuevo, pero ahora para el caso de Dicke (δ = 1), escribimos todas las funciones termo-dinamicas calculadas para la fase normal:

−β f1(T ) = ln [2 cosh (η )] ,

S1(T ) = kB ln [2 cosh (η)]− η tanh (η) ,

U1(T ) = −ω0

2tanh (η) ,

(n)k1 = 0,

σµ1 = −1

2tanh (η) δµ,z.

(3.164)

Notamos que, de la misma forma que sucedio con Tavis-Cummings:

U1(T ) = ω0σµ1 (3.165)

Ahora ponemos la entropıa en terminos de la energıa interna.

η = arctanh

(−2U1

ω0

). (3.166)

Ademas,

cosh(x) =1√

1− tanh2(x). (3.167)

55

Por lo que,

S1(U1) = kB

ln(2)− 1

2ln

[1−

(−2U1

ω0

)2]

+

(−2U1

ω0

)arctanh

(−2U1

ω0

)(3.168)

Si redefinimos una energıa adimensional u1,nph como,

u1,nph = −2U1

ω0

(3.169)

La entropıa queda finalmente como:

S1(u1,nph) = kB

ln(2)− 1

2ln(1− u2

1,nph

)+ u1,nph arctanh (u1,nph)

(3.170)

Las expresiones son, por supuesto, las mismas que en el caso del Hamiltoniano de TC, puescorresponde a la fase normal, al sistema desacoplado termodinamicamente. En la siguienteseccion trataremos con el caso de la fase superradiante.

3.6.2. Fase superradiante de Dicke

Esta fase ocurre cuando γ > γc,1 y T < Tc. Sin embargo, ahora el valor de us 6= 0 y se obtienea partir de la siguiente ecuacion trascendental:

tanh (η χ1(us)) =γ2c,1

γ2χ1(us). (3.171)

Recordando que:

u2s =

ω20

16γ2(χ2

1 − 1). (3.172)

Reescribiremos nuestras expresiones en terminos de χ1(us). Primero, tendremos que,

φ1(us) = −η2

γ2c,1

γ2

(χ2

1(us)− 1)

+ ln [2 cosh (ηχ1(us))] . (3.173)

Y, para la segunda derivada, usando que sech2(x) = 1 − tanh2(x) y la ecuacion 3.171.Entonces tendremos:

φ′′1(us) = −2βω(1− χ2

1(us))

χ21(us)

η

[γ2

γ2c,1

−γ2c,1

γ2χ2

1(us)

]− 1

. (3.174)

Ahora, definimos la funcion w1 como,

w1(χ1) =(1− χ2

1(us))

χ21(us)

η

[γ2

γ2c,1

−γ2c,1

γ2χ2

1(us)

]− 1

. (3.175)

56

La funcion de particion, siguiendo 3.131 es entonces:

Z1(T,N ) =2

βωw1(χ1)−1/2eNφ(χ1) (3.176)

Ahora, podemos calcular la energıa libre, que es:

−β F1(T,N ) = ln

(2

βω

)− 1

2ln [w1(χ1(us))] +

+N[−η

2

γ2c,1

γ2

(χ2

1(us)− 1)

+ ln [2 cosh (ηχ1(us))]

].

(3.177)

Y la energıa libre por partıcula en el lımite termodinamico se convierte en:

−β f1(T ) = −η2

γ2c,1

γ2(χ2

1 − 1) + ln [2 cosh (η χ1)] . (3.178)

Toca ahora calcular la derivada de la funcion de particion.

1

βZ1

∂Z1

∂T= kB

1− 1

2kBβ w1(χ1)

∂w1(χ1)

∂T+NkBβ

∂φ1(χ1)

∂T

(3.179)

Y tenemos que,1

β χ1

∂χ1(T )

∂T= −kBη

γ2

γ2c,1

(1− χ21)

w1(χ1)χ21

(3.180)

− 1

2β w1

∂w1(ηχ1)

∂T= kB

η(γ2

γ2c,1− γ2c,1

γ2χ12

)η(γ2

γ2c,1− γ2c,1

γ2χ12

)− 1×

×

ηχ1

1−χ21

χ21

+(ηχ1)2(

γγc,1

)4 (η(γ2

γ2c,1− γ2c,1

γ2χ12

)− 1) +

1

2

(3.181)

1

β

∂φ1(χ1)

∂T= −kBη

2

γ2c,1

γ2

(χ2

1 + 1)

(3.182)

La entropıa es entonces:

S1(T,N ) = kBln

(2

βωω−1/21 (ηχ1)eNφ(ηχ1)

)+

+

[kB +

1

βω1(ηχ1)

∂ω1(ηχ1)

∂T+Nβ

∂φ1(ηχ1)

∂T

] (3.183)

57

S1(T,N ) = kBln

(2

βωω−1/21 (ηχ1)

)+

[kB +

1

βω1(ηχ1)

∂ω1(ηχ1)

∂T

]+

+ kBN(−η

2

γ2c,1

γ2(χ2

1 − 1) + ln [2 cosh(ηχ1)]

)+

+ kBN[η

2

γ2c,1

γ2(χ2

1 − 1)− η γ2

γ2c,1

tanh2(ηχ1)

] (3.184)

Haciendo un poco de algebra y tomando el lımite termodinamico, la entropıa por partıculase convierte en:

S1(T ) = kB

ln [2 cosh (η χ1)]− η γ

2

γ2c,1

tanh2(ηχ1)

. (3.185)

La energıa interna nos queda como:

U1(T,N ) =

[1

βχ1

∂χ1

∂T− 1

2β w1(T )

∂w1(T )

∂T+kB2

]−N

ω0

4

γ2c,1

γ2(χ2

1 + 1)

.

(3.186)

Y la energıa por partıcula es en el lımite termodinamico:

U1(T,N ) = −ω0

4

(γ2

γ2c,1

tanh2(η χ1) +γ2c,1

γ2

). (3.187)

De nuevo, calculamos el resultado para el promedio termodinamico del numero de fotones ylos operadores de pseudoespın. Para el numero de fotones utilizamos el resultado en 3.111con vs resultante de la ecuacion trascendental.⟨(

a†a

N

)k⟩0

= (vs)k. (3.188)

Con lo que obtenemos:

(n)k1 =

(ω2

0

16γ2c,1

)k (γ2

γ2c,1

tanh2 (η χ1)−γ2c,1

γ2

)k. (3.189)

Por su parte, el valor esperado de los valores de pseudoespın de la ecuacion 3.161 es,⟨JµN

⟩1

= − tanh (η χ1(us))

2ω0 χ1(us)ω0δµ,z + 2γusδµ,x , (3.190)

58

donde, sustituimos el valor de us, teniendo que,⟨JµN

⟩1

= −γ2c,1

γ2

δµ,z +

ω0

4γ

[γ4

γ4c,1

tanh2 (η χ1)− 1

]δµ,x

. (3.191)

Que nos queda finalmente como:⟨JµN

⟩1

= −γ2c,1

γ2

δµ,z +

γ

ω

[γ2

γ2c,1

tanh2 (η χ1)−γ2c,1

γ2

]δµ,x

. (3.192)

En resumen, los promedios termodinamicos del Hamiltoniano de Dicke en la fase superra-diante son:

−β f1(T ) = −βω0

4

[(γ

γc,1

)2

tanh2(η χ1)−(γc,1γ

)2]

+ ln [2 cosh (η χ1 )] ,

S1(T ) = kB ln [2 cosh (η χ1)]− η tanh (ηχ1) ,

U1(T ) = −ω0

4

[(γ

γc,1

)2

tanh2(η χ1) +

(γc,1γ

)2],

(n)k1 =

ω2

0

16γ2c,1

[(γ

γc,1

)2

tanh2(η χ1)−(γc,1γ

)2]k

,

σµ1 = −γ2c,1

2γ2

δµ,z +

γ

ω

[(γ

γc,1

)2

tanh2(η χ1)−(γc,1γ

)2]δµ,x

.

(3.193)

Ahora, el valor esperado del operador Jx es el que se parece mas a la energıa. Esto es comoun sistema magnetico en el que la magnetizacion quedo alineada en la direccion x. Nos tocaexpresar la entropıa en terminos de la energıa. Vemos que,

tanh(ηχ1) =

√−γ2c,1

γ2

(4U1

ω0

+γ2c,1

γ2

)(3.194)

y tambien que,

χ1 =γ2

γ2c,1

√−γ2c,1

γ2

(4U1

ω0

+γ2c,1

γ2

). (3.195)

Usamos la ecuacion trascendental y obtenemos,

η =

arctanh

(√−γ2c,1

γ2

(4U1ω0

+γ2c,1γ2

))γ2

γ2c,1

√−γ2c,1

γ2

(4U1ω0

+γ2c,1γ2

) . (3.196)

59

Ası, la temperatura como funcion de la energıa interna es,

β =2

ω0

arctanh

(√−γ2c,1

γ2

(4U1ω0

+γ2c,1γ2

))γ2

γ2c,1

√−γ2c,1

γ2

(4U1ω0

+γ2c,1γ2

) . (3.197)

La entropıa es finalmente,

S1(U1) = kB

ln(2)− 1

2ln

[1−

(−γ2c,1

γ2

(4U1

ω0

+γ2c,1

γ2

))]+

+γ2

γ2c,1

arctanh

[√−γ2c,1

γ2

(4U1ω0

+γ2c,1γ2

)]γ2

γ2c,1

√−γ2c,1

γ2

(4U1ω0

+γ2c,1γ2

) (−γ2c,1

γ2

(4U1

ω0

+γ2c,1

γ2

)) .

(3.198)

Si redefinimos una energıa adimensional usph,1 como,

usph,1 =

√−γ2c,1

γ2

(4U1

ω0

+γ2c,1

γ2

)(3.199)

La entropıa nos queda finalmente como:

S1(usph,1) = kB

ln(2)− 1

2ln(1− u2

sph,1

)− usph,1arctanh (usph,1)

. (3.200)

Con esto, hemos terminado el calculo completo de las propiedades termodinamicas del modelode Dicke, que no se encuentran en la literatura (salvo en [128]) y son de gran importanciapara vincularlas con las propiedades espectrales del Hamiltoniano. En lo que sigue, veremosbrevemente el diagrama de fases resultante.

3.7. Caso intermedio δ 6= 0

Este caso es de sumo interes porque presenta aspectos interesantes, al aparecer una nueva fasetermodinamica. Ademas, es llamativo para el estudio de la transicion entre integrabilidad yno integrabilidad en sistemas sintonizables [133]. Sin embargo, excede los objetivos de estetrabajo y presenta algunas dificultades tecnicas, por lo que se propone como una lınea detrabajo futuro. En lo que sigue, nos concentraremos en estudiar los lımites de las expresionesencontradas y en dibujar el diagrama de fases.

60

3.8. Diagrama de fases

En esta seccion observaremos el comportamiento termodinamico de ambos sistemas y di-bujaremos su diagrama de fases. Nos damos cuenta que, el diagrama de fases para Dicke yTC son casi identicos, donde lo unico que varia es el valor del acoplamiento crıtico dondeocurre la transicion, siendo respectivamente γc,1 =

√ωω0/2 y γc,0 =

√ωω0. De esta forma, el

analisis a continuacion se aplica casi por completo a ambos modelos. En la figura 3.1 vemosel comportamiento de la temperatura crıtica como funcion del acoplamiento.

Figura 3.1: Temperatura crıtica Tc como funcion del acoplamiento γ para el Hamiltonianode Dicke. Con ω = ω0 = 1.

En la figura 3.2 vemos el comportamiento del promedio del numero de fotones y del operadorJz en el diagrama de temperatura y acoplamiento. Podemos observar que, como lo hemoscomentado a lo largo del capıtulo, es parecido a un sistema magnetico: a bajos acoplamientosy altas temperaturas, el desorden cancela el comportamiento colectivo de la superradiancia;mientras que esta ocurre a acoplamientos altos y a temperaturas bajas.Por otra parte, nos interesa observar el comportamiento de la energıa para toda temperatura.Notamos inmediatamente que la energıa debe ser siempre negativa, y que a temperaturasaltas para todo acoplamiento siempre corresponde a la fase normal. Debido a la dependenciaen la tanh(η) en el lımite T →∞ (β → 0), la energıa vale,

lımT→∞

U0(T ) = 0. (3.201)

Por otra parte, en el lımite T = 0 la energıa es,

U0(T = 0) =

−ω0

2γ ≤ γc,0

−ω0

4

(γ2c,0γ2

+ γ2

γ2c,0

)γ ≥ γc,0.

(3.202)

61

Esto ultimo es muy importante, puesto que nos muestra que incluso cuando las contribucio-nes termicas no son importantes, el sistema presenta una transicion de fase en el valor delacoplamiento crıtico γc,δ. Este fenomeno es conocido como Transicion de Fase Cuantica ytrataremos sobre el en el siguiente capıtulo. Con esto, en la figura 3.3 se muestra el diagramade fases de la energıa en terminos de la temperatura y el acoplamiento.Tambien, podemos sustituir en la energıa el valor para la temperatura crıtica y ası encontrarla ’energıa crıtica’ como funcion del acoplamiento. La temperatura crıtica ocurre en el lımiteχδ → 1, entonces, sustituyendo este valor en la energıa de la fase superradiante nos da,

U1(Tc) = −ω0

2

γ2c,δ

γ2. (3.203)

En la figura 3.4 vemos el diagrama de fases a traves de la energıa como funcion del acopla-miento.Finalmente, es interesante observar la representacion termodinamica de la entropıa. Vimosque la entropıa para ambos sistemas se puede escribir como,

Sδ(uδ) = kB

ln(2)− 1

2ln(1− u2

δ

)+ uδarctanh (uδ)

. (3.204)

Donde,

uδ =

−2Uδ

ω0Fase normal√

−γ2c,δγ2

(4Uδω0

+γ2c,δγ2

)Fase superradiante

(3.205)

Cuando la energıa interna alcanza su valor maximo Uδ = 0 entonces el sistema atomicoqueda saturado, tomando la entropıa el valor de Sδ(0) = ln(2).

3.9. Conclusiones del capıtulo

A lo largo de este capıtulo hemos calculado la termodinamica del sistema atomo-campodescrito por el modelo de Dicke y su aproximacion el modelo de Tavis-Cummings. Estosmodelos son un caso paradigmatico de la termodinamica de los sistemas atomo-campo. Elobjetivo en hacer esta revision es poseer una lista de los diferentes promedios termodinamicosde manera explıcita, dado que difıcilmente se encuentran en la literatura.Por otro lado, vimos que tienen una transicion de fase termica similar a la de un sistemamagnetico donde a bajas temperaturas y acoplamientos fuertes el sistema atomico se orienta’en otra direccion’ dando como resultado la superradiancia, es decir, que el promedio ter-modinamico del numero de fotones sea distinto de cero. Aun mas importante es el hechode que a temperatura cero, la transicion de fase se mantiene. Temperatura cero significa enterminos fısicos, que la energıa termica disponible kBT es muy baja comparada con la unidadde energıa propia del sistema (en este caso cuantico). En consecuencia, la transicion de fasea T = 0 no se debe a fluctuaciones termicas y se denomina Transicion de Fase Cuantica.Hablaremos mas de este tipo de transiciones en el capıtulo siguiente.

62

Figura 3.2: (Arriba) promedio termodinamico del numero de fotones n1 y (abajo) de ladiferencia de poblaciones σµ1 para el modelo de Dicke en el espacio de temperatura T yacoplamiento γ. La lınea roja corresponde a la temperatura crıtica y nos separa la fasenormal de la superradiante. Con ω = ω0 = 1.

63

Figura 3.3: Energıa interna U1 para el modelo de Dicke en el espacio de temperatura T yacoplamiento γ. La lınea negra corresponde a la temperatura crıtica y nos separa la fasenormal de la superradiante. Con ω = ω0 = 1.

64

0.8

0.6

T 0.4

0.2

- 0.4

- 0.6

0.0 - 0.8 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

- 1.0 y

Figura 3.4: Energıa interna U1 para el modelo de Dicke como funcion del acoplamiento γ. Enla figura podemos observar los diferentes regımenes de energıa. La zona gris representa unaregion de energıa no definida. Por encima de 2U1/ω0 = 0 el sistema atomico esta saturado yesa region no es accesible termodinamicamente, pues es el lımite de temperatura infinita.

65

66

Capıtulo 4

La QPT superradiante y laaproximacion semi-clasica

Este capıtulo esta dedicado a comentar brevemente la naturaleza de las transiciones de fasecuanticas o QPT. En particular, nos interesa confirmar por otros medios no termicos, laexistencia de la singularidad en las propiedades del estado base que aparece al variar algunparametro del Hamiltoniano, definicion basica de la QPT. En el caso de la QPT superra-diante, lo haremos a traves del analisis semi-clasico, es decir, obtendremos un Hamiltonianoclasico efectivo correspondiente al lımite clasico del Hamiltoniano de Dicke, por medio deuna aproximacion de campo medio con estados coherentes. Luego, identificaremos la energıadel estado base a traves de encontrar los puntos estables de la superficie clasica de energıa.Ademas, discutiremos un poco sobre la importancia de las QPT en la investigacion actual,sobre todo, de la QPT superradiante. En capıtulos posteriores utilizaremos varios de losresultados de este capıtulo.

4.1. Transicion de fase termicas y cuanticas

Las transiciones de fase termicas son cambios abruptos en las caracterısticas macroscopi-cas de un sistema, que suceden al cambiar sus variables termodinamicas, por ejemplo, latemperatura T [41]. Tıpicamente, las transiciones de fase termicas se presentan en los expe-rimentos asociadas a singularidades en las funciones termodinamicas. Los puntos donde estopasa se llaman puntos crıticos y usualmente marcan la transicion entre un comportamientodel sistema a otro, es decir de una fase a otra.

Basicamente hay dos formas posibles en las que las transiciones pueden ocurrir. En la primeraforma, llamadas transiciones de fase discontinuas o de primer orden, dos o mas estados oconfiguraciones diferentes del sistema que coexisten en ambos lados del punto crıtico tambienlo hacen en este, con lo cual aparecen discontinuidades en las cantidades termodinamicasconforme se pasa por el punto crıtico, entre fases estables. En el otro caso, en una transicionde fase continua o de segundo orden, las dos fases del sistema se hacen identicas al acercarseal punto crıtico de forma que el sistema se encuentra en una fase unica y crıtica [134]. Las

67

transiciones de fase tienen un origen termico y se consideran como tales solo cuando tomamosel lımite termodinamico. Como vimos en el capitulo anterior, el lımite termodinamico setoma cuando el tamano del sistema se hace infinito (tradicionalmente a traves del numerode partıculas N → ∞), de suerte que, aunque las variables extensivas del sistema tiendena infinito, las intensivas tienden a un valor constante. Cuando consideramos sistemas detamano finito, en cambio solo tenemos lo que se llama precursor de la transicion de fase ocrossover [135].

Cuando a T = 0 se sigue observando un cambio de fase en el sistema, la transicion no debesu origen a un efecto termico sino a uno cuantico y entonces se habla de una transicionde fase cuantica o QPT (Quantum Phase Transition en ingles). En la fısica estadıstica seconsidera siempre la competencia entre dos unidades energeticas, la propia del sistema EQ,por ejemplo en el caso de osciladores serıa la unidad ~ω; y la unidad de energıa termica kBT .Para altas temperaturas los efectos termicos dominan pues el sistema cuantico puede accedercasi a cualquier nivel energetico gracias a que la unidad de energıa termica supera su propiaunidad de energıa; todo cambia a temperaturas pequenas la energıa propia del sistema esmucho mas grande que la termica y en consecuencia el sistema no puede disponer de esta paraexcitar sus niveles de energıa. Si bien, sabemos que por la tercera ley no podemos alcanzar elcero absoluto, el significado de T = 0 implica que la energıa termica es tan baja que el sistemacuantico no tiene energıa termica disponible y se encuentra en su estado base y primerosexcitados. Es por eso, que si a T = 0 sobrevive la transicion de fase, esta se debe directamentea un cambio en las propiedades del estado base, es decir, son las fluctuaciones cuanticas lasresponsables de la transicion y no las fluctuaciones termicas. Si la transicion persiste en ellımite termodinamico produce como resultado modificaciones en las interacciones entre losconstituyentes del sistema y en consecuencia en las variables macroscopicas del mismo. LasQPT son un tema de gran interes en la actualidad, puesto que se presentan en gran variedadde sistemas, desde sistemas observables como estrellas de neutrones hasta atomos artificialesdisenados a voluntad como con los puntos cuanticos [136].

Podemos considerar un Hamiltoniano H(γ) que varıa como funcion de un acoplamientoadimensional o un parametro de control γ [137]. Hay que observar la evolucion de la energıadel estado base como funcion de este parametro. Para el caso de un sistema finito la energıadel estado base sera, de manera generica una funcion suave y analıtica de γ. Sin embargo,pongamos como ejemplo, que el Hamiltoniano es tal que acopla una cantidad que conmutacon el ([H0, H1] = 0):

H(γ) = H0 + γH1 (4.1)

Esto implica que aunque las eigenfunciones de H0 sean independientes de γ, los eigenvaloresde H(γ) sı dependeran de γ. Ası, puede suceder que haya cruce de niveles (una marcacaracterıstica de las transiciones de fase cuanticas) en el que, por ejemplo, el estado base y elprimer excitado se crucen a un valor de γ = γc y la energıa del estado base ya no sea analıticacomo funcion de γ. Ademas, cuando se toma el lımite termodinamico, no solamente un crucede niveles puede provocar que la energıa del estado base deje de ser analıtica, sino tambienuna cercanıa entre los niveles (que su diferencia de energıa sea muy pequena), llamadoscruces evitados. De manera generica, se identifican estos puntos de no-analiticidad como

68

transiciones de fase cuanticas y como consecuencia de cambiar la estructura del espectrode bajas energıas al pasar por el punto crıtico γc las cantidades fısicas tendran tambiendiferentes comportamientos.Un metodo comunmente utilizado para clasificar las transiciones termicas es la clasificacionde Ehrenfest. En esta, el orden de la transicion de fase queda determinando por el orden dela derivada de la energıa libre (u otra variable termodinamica apropiada) que es discontinuaen el punto crıtico. Sin embargo, la clasificacion de Ehrenfest es poco precisa, por lo que setiende a clasificar a las transiciones de fase termicas, como senalamos lıneas anteriores, entransiciones de primer orden o discontinuas y de segundo orden o continuas [138]. En el casode las QPT enfatizamos que, cuando hay un cruce de niveles la transicion es discontinua en ellımite termodinamico y se considera de primer orden y si no, normalmente es una transicionde fase continua y en consecuencia de segundo orden. En general, para los sistemas cuanticoslas transiciones de fase de segundo orden son aquellas donde la escala caracterıstica de lasfluctuaciones de la energıa se va a cero al llegar al valor crıtico del parametro de control γ.Por ejemplo, una escala caracterıstica puede ser la diferencia de energıa ∆γ entre el estadobase y el primer excitado; al acercarse al valor crıtico de γ = γc, ∆γ tiende a cero. De maneraque, una forma de conocer las caracterısticas de la transicion es observar como la energıacaracterıstica tiende a cero, por ejemplo:

∆γ ∼ |γ − γc|β (4.2)

El valor de β es llamado exponente crıtico. Las transiciones de fase son fenomenos complica-dos y complejos que sin embargo se pueden simplificar a traves del concepto de universalidad.Varias propiedades de los sistemas cerca de una transicion de fase resultan ser en gran me-dida independientes de las interacciones individuales de atomos y moleculas. De forma quemuchos sistemas caen en un numero relativamente pequeno de clases diferentes entre sı o cla-ses de universalidad, caracterizadas por propiedades globales como las simetrıas subyacentesdel Hamiltoniano, entre otras. Este fenomeno encuentra una explicacion (mas que nada unaconjetura) bajo el formalismo de renormalizacion [134] y [139]. Los exponentes crıticos sonlas potencias con las que cantidades termodinamicas caracterısticas tienden a cero conformese acercan al punto crıtico. Comunmente resultan ser universales e independientes de las ca-racterısticas microscopicas del Hamiltoniano H(γ), siendo propios de la transicion y la clasede universalidad correspondiente. Los exponentes crıticos permiten estudiar las caracterısti-cas de las transiciones de fase y clasificarlas en clases de universalidad. Parte del problemaconsiste en encontrar cantidades caracterısticas que se vayan a cero al acercarse al puntocrıtico y sean adecuadas para el estudio de los exponentes. Estas cantidades se denominanparametros de orden. En el caso en el que la temperatura es mayor a cero T > 0 dos cosaspueden suceder, una, que la singularidad solo ocurra en T = 0 y no para temperaturas ma-yores, y otra, que para T > 0 haya una lınea en el espacio de parametros T y γ en la que semantiene la singularidad para temperaturas mayores y que tiene su origen desde T = 0 conγ = γc. En el ultimo caso, en las vecindades de la lınea si la energıa cuantica caracterısticadel sistema EQ y la termica KT cumplen que:

EQKT 1 (4.3)

69

Entonces se puede hacer un analisis clasico alrededor de la transicion, como por ejemplo,analizar el espacio de parametros para estudiarla para T > 0 y como una buena aproxima-cion en T = 0 usando tecnicas clasicas. En lo que sigue haremos uso de las tecnicas de laaprroximacion de campo medio con estados coherentes o aproximacion semi-clasica con elfin de identificar la QPT del estado base del modelo de Dicke.

4.2. Hamiltoniano algebraico

El modelo de Dicke es un Hamiltoniano algebraico debido a que sus terminos estan expresadosa traves de operadores que pertenecientes a ciertos grupos particulares. Estos grupos formanun algebra, es decir, un conjunto particular de reglas de conmutacion. Los operadores delcampo (a, a†, a†a y la identidad I ) siguen el algebra de Heinseberg-Weyl, mientras que losoperadores de pseudo-espın (Jz, J+ y J−) siguen el algebra de SU(2) (Vease el Apendice B).Esto permite aprovechar las propiedades de estos grupos para estudiar el Hamiltoniano.

4.2.1. La representacion simetrica

Una de las propiedades mas importantes es que el Hamiltoniano conmuta con el operadorJ2. Esto es inmediato debido a que este operador conmuta con todas las direcciones del ope-rador de pseudoespın [J2, Jµ] = 0. Como resultado, el Hamiltoniano no mezcla los diferenteseigenvalores del operador J2, es decir, j(j + 1) (con ~ = 1). El valor maximo correspondea j = N /2 y este valor corresponde al conjunto de 2j + 1 = N + 1 estados simetricos delHamiltoniano, por lo que decimos que corresponde a la representacion simetrica [51]. El restode representaciones con 0 < j < N

2tiene una degeneracion Y (j,N ) que en el caso en el que,

se considere que los atomos son partıculas distinguibles [140] es

Y (j,N ) =

(N

N2− j

)−(

NN2− j − 1

), (4.4)

Al considerar todas las representaciones y sus multiplicidades obtenemos el conjunto totalde estados 2N que corresponden a N sistemas de dos niveles. Tıpicamente, el Hamiltonianose trabaja unicamente en la representacion simetrica, es decir, restringido al subespaciode j = N /2 donde tambien se puede pensar al sistema como un conjunto de N bosones.Exceptuando en la termodinamica donde utilizamos estados que involucraban a todos losespines y en consecuencia a todos los eigenvalores de J2, a lo largo de este trabajo y siguiendoa la mayorıa de los autores que han trabajado al modelo de Dicke en los ultimo anos, nosrestringiremos a partir de ahora a la representacion simetrica.

4.2.2. La paridad del Hamiltoniano

Por otra parte, como dijimos con anterioridad, el Hamiltoniano de TC tiene una cantidadconservada, el numero total de excitaciones,

Λ = a†a+ Jz +1

2

(√4J2 + I− I

)= a†a+ Jz + j I. (4.5)

70

El Hamiltoniano de Dicke no conmuta con este operador, sin embargo, conmuta con eloperador paridad definido como,

Π = exp (iπΛ) . (4.6)

Veamos como. Consideremos la transformacion unitaria:

U = eiφ0Λ, (4.7)

donde φ0 es un angulo arbitrario. Vemos que:

UaU † = eiφ0a†aae−iφ0a

†a. (4.8)

Debido a que los operadores atomicos conmutan con los operadores del campo. Recordamosque el lema de Baker-Hausdorf para cualesquiera dos operadores A y B [50]:

eiλABeiλA = B + iλ [A,B] +(iλ)2

2![A [A,B]] + ... (4.9)

Y el teorema de Baker-Hausdorf-Campbell para dos operadores A y B donde [A,B] 6= 0 pero[A [A,B]] = [B [A,B]] = 0

eA+B = e−12

[A,B]eAeB = e12

[A,B]eBeA. (4.10)

Esto nos da con n = a†a y [n, a] = −a:

eiφ0nae−iφ0n = a+ iφ0[n, a] +(iφ0)2

2![n, [n, a]] +

(iφ0)3

3![n, [n, [n, a]]] + ... =

= a− iφ0a+(iφ0)2

2!a− (iφ0)3

3!a+ ... =(

1− iφ0a+(iφ0)2

2!− (iφ0)3

3!+ ...

)a =

eiφ0nae−iφ0n = e−iφ0a.

∴ UaU † = e−iφ0a.

(4.11)

Si esto es ası, entonces:

(UaU †)† = (e−iφ0a)† = Ua†U † = eiφ0a†. (4.12)

Por tanto:

∴ UaU † = e−iφ0a , Ua†U † = eiφ0a†. (4.13)

Ahora vemos que pasa para los operadores atomicos.

UJ+U† = eiφ0JzJ+e

−iφ0Jz . (4.14)

71

Pues J+ conmuta con J2 y con el operador de numero. Aplicamos una vez mas el lema deBaker-Hausdorf, recordando que [Jz, J+] = J+ con ~ = 1.

eiφ0JzJ+e−iφ0Jz = J+ + iφ0[Jz, J+] +

(iφ0)2

2![Jz, [Jz, J+]] +

(iφ0)3

3![Jz, [Jz, [Jz, J+]]] + ... =

= J+ + iφ0J+ +(iφ0)2

2!J+ +

(iφ0)3

3!J+ + ... =

= (1 + iφ0 +(iφ0)2

2!+

(iφ0)3

3!+ ...)J+ =

eiφ0J+.

∴ UJ+U† = eiφ0J+.

(4.15)

Tenemos entonces:

(UJ+U†)† = (eiφ0J+)† = UJ−U

† = e−iφ0J−. (4.16)

Por tanto:∴ UJ+U

† = eiφ0J+ , UJ−U† = e−iφ0J− . (4.17)

Por otro lado, es inmediato que:

UJzU† = Jz . (4.18)

Si ahora transformamos el Hamiltoniano de Dicke:

HD = ωa†a+ ω0Jz +γ√N

(a+ a†

)(J+ + J−) . (4.19)

La transformacion unitaria nos da:

UHDU† = ωa†a+ ω0Jz +

γ√N

(ae−iφ0 + a†eiφ0

) (J+e

iφ0 + J−e−iφ0

)=

= ωa†a+ ω0Jz +γ√N

(aJ+ + a†J−

)+

γ√N

(a†J+e

2iφ0 + aJ−e−2iφ0

).

(4.20)

Con el fin de que el Hamiltoniano sea invariante a esta transformacion unitaria, pedimos que2φ0 = 2π. Por tanto:

Si φ0 = π ⇒ UHDU† = HD. (4.21)

Ası, tenemos que el operador U = eiπΛ conmuta con el Hamiltoniano. Con esto se puedenconstruir los proyectores:

PS =1

2

(1 + eiπΛ

), PA =

1

2

(1− e−iπΛ

)(4.22)

Estos proyectores cumplen el algebra del grupo cıclico C2. Ya que hemos revisado estas dospropiedades importantes del Hamiltoniano, propiedades resultantes de que el Hamiltonianosea algebraico, ahora veremos como obtener un lımite semi-clasico del Hamiltoniano usandoestados coherentes.

72

4.3. Hamiltoniano semi-clasico

El modelo de Dicke se puede estudiar a traves de una aproximacion semiclasica. Esta es unaaproximacion de orden cero que se basa en una funcion de onda variacional en la aproximacionde campo medio. Se supone que si se parte de un estado inicial condensado, por ejemplo,un estado coherente, en el tiempo la dinamica permanecera alrededor de ese estado [141].Es decir, se puede estudiar la dinamica ignorando las fluctuaciones cuanticas. Tıpicamente,se calcula el valor esperado del Hamiltoniano con respecto a estados coherentes y se usa lasuperficie semi-clasica resultante sobre un espacio de parametros para encontrar los puntosestables e inestables y separatrices. Luego, se puede usar el formalismo de teorıa de catastrofespara determinar las propiedades de estabilidad del sistema. La teorıa de catastrofes estudiala propension de los sistemas estables a presentar discontinuidades y divergencias. Sirveentonces para el estudio de las transiciones de fase ya que permite clasificar a los sistemas atraves de pequenos cambios en los parametros de control. La separatriz del sistema da unapauta para clasificar las regiones en el espacio de parametros donde estan las transicionesde fase, es decir, para caracterizar las distintas fases del sistema [142]. El modelo de Dickey el de TC han sido paradigmas en esta direccion [143] y se han estudiado ampliamente eneste contexto [146, 147, 148, 149, 150, 151, 66] al igual que el modelo de LMG que comparteparte de la estructura algebraica del modelo de Dicke [144, 145].Esta aproximacion es posible en este tipo de sistemas porque, si consideramos solo la re-presentacion simetrica el Hamiltoniano de Dicke se puede considerar como un sistema dedos grados de libertad, uno para los fotones y otro para el espacio atomico. Al tomar ellımite clasico ~ → 0, este corresponde al lımite termodinamico N → ∞, siempre y cuandoel producto ~N permanezca constante. Entonces, este procedimiento es facil en este tipode Hamiltonianos que presentan esta estructura algebraica, como en el Hamiltoniano deLipkin-Meshkov-Glick. Ademas, tambien se pueden obtener los mismos resultados a travesde una descripcion de Hartree-Fock como se ha hecho con el modelo LMG [152]. Senalamos,sin embargo, que este no es el unico lımite clasico del Hamiltoniano. Para estudiar otros sepueden comenzar con la siguiente referencia [153].Lo importante para nuestro trabajo es, primero, obtener un Hamiltoniano clasico efectivo y,segundo, usar el metodo variacional para encontrar el estado coherente que mejor aproximaal estado base del sistema con el fin de observar la QPT. No dedicaremos tiempo al estudiocon teorıa de catastrofes, pues excede los objetivos de nuestro trabajo.

4.3.1. Superficie de energıa

Entonces, podemos tomar estados coherentes de Glauber y de Bloch y calcular el valoresperado del Hamiltoniano en ese estado. Esto nos da un Hamiltoniano clasico efectivo.Tomemos el Hamiltoniano:

HD,δ = ωa†a+ ω0Jz +γ√N[(1 + δ)

(a+ a†

)Jx + i (1− δ)

(a− a†

)Jy], (4.23)

con el fin de incluir en el analisis a ambos, los Hamiltonianos de Dicke y TC. Usaremos elproducto tensorial entre los estados coherentes de Glauber para la parte fotonica y de Bloch

73

o atomicos para el sistema de pseudo-espın,

|α, z〉 ≡ |α〉 ⊗ |z〉 =

=e−|α|22

(1 + |z|2)j

∞∑n=0

j∑m=−j

αn√n!

√(2j

j +m

)zj+m|n〉 ⊗ |j,m〉.

(4.24)

Donde |n〉 son estados de Fock y |j,m〉 son estados de Dicke. Utilizando las propiedades delos estados coherentes (vease Apendice B), el valor esperado es,

Hcl,δ(α, z) = 〈α, z|HD,δ|α, z〉 =

= ω|α|2 − ω0j

(1− |z|2

1 + |z|2

)+

γ√

2j

1 + |z|2[(1 + δ)(α + α∗) (z + z∗) + (1− δ)(α− α∗) (z − z∗)] .

(4.25)

Nos conviene, sin embargo, utilizar variables clasicas canonicas. Primero, para la parte fotoni-ca utilizamos variables de oscilador armonico clasico con mω = 1, por lo que definimos,

α =1√2

(q + ip) y α∗ =1√2

(q − ip) , q =1√2

(α + α∗) y p = − i√2

(α− α∗) , (4.26)

tales que sus parentesis de Poisson sean q, p = 1. Mientras que para la parte atomica,podemos pensar en componentes de momento angular clasico jx, jy y jz que satisfagan lasreglas del parentesis de Poisson jµ, jν = εµ,ν,k jk y que tambien respeten la condicion denormalizacion j2 = j2

x+ j2y + j2

z donde N = 2j. Estas variables, siendo tres, se restrigen a dospor esta condicion de normalizacion. En consecuencia, nos podemos quedar con dos variables,la componente en z, P = jz = −j cosθ donde θ es el angulo polar y el angulo azimutal delvector ~j = (jx, jy, jz), Q = φ = tan(jy/jx), de tal suerte que sean variables canonicas quesatisfagan Q,P = 1. Tıpicamente, el parametro z del estado coherente atomico se puedeexpresar en terminos de estos dos angulos θ y φ,

z = tan

(θ

2

)e−iφ, (4.27)

que, en terminos de las variables canonicas antes senaladas nos queda como:

z =

√√√√1 + jzj

1− jzj

e−iφ, (4.28)

con

1 + |z|2 =2

1− jzj

. (4.29)

Sustituyendo en Hcl tendremos,

Hcl,δ =ω

2

(q2 + p2

)+ ω0jz + γ

√j

√1− j2

z

j2[(1 + δ)q cos (φ)− (1− δ)p sen (φ)] . (4.30)

Este es el Hamiltoniano clasico efectivo que corresponde al Hamiltoniano de Dicke, calculadotiempo atras en [154, 155].

74

4.3.2. El estado base

Lo que nos interesa ahora es hallar una aproximacion a la energıa del estado base. El estadocoherente elegido no era mas que una funcion de prueba variacional. Lo que queremos esencontrar los parametros del estado coherente que minimizan la superficie de energıa en4.30. Esto es equivalente a encontrar los puntos de estabilidad de las ecuaciones dinamicasque resultan del Hamiltoniano clasico. Entonces, calculamos las ecuaciones de movimiento atraves de las ecuaciones de Hamilton. Estas son:

−p =∂Hcl

∂q= ω q + γ

√j

√1−

(jzj

)2

(1 + δ)cos(φ),

q =∂Hcl

∂p= ω p− γ

√j

√1−

(jzj

)2

(1− δ)sen(φ),

φ =∂Hcl

∂jz= ω0 −

γ√j

j

jz√1−

(jzj

)2[(1 + δ)q cos(φ)− (1− δ)p sen(φ)] ,

−jz =∂Hcl

∂φ= −γ

√j

√1−

(jzj

)2

[(1 + δ)q sen(φ) + (1− δ)p cos(φ)] .

(4.31)

Ahora, igualamos a cero las cuatro ecuaciones de Hamilton para encontrar los puntos establesde la superficie de energıa clasica. Veamos los dos casos.

Estado base de Tavis-Cummings

Primero, el caso δ = 0 que corresponde a TC. En este caso, las ecuaciones son:

−p =∂Hcl

∂q= ω q + γ

√j

√1−

(jzj

)2

cos(φ),

q =∂Hcl

∂p= ω p− γ

√j

√1−

(jzj

)2

sen(φ),

φ =∂Hcl

∂jz= ω0 −

γ√j

j

jz√1−

(jzj

)2[q cos(φ)− p sin(φ)] ,

−jz =∂Hcl

∂φ= −γ

√j

√1−

(jzj

)2

[q sin(φ) + p cos(φ)] .

(4.32)

Tras igualar a cero las ecuaciones de movimiento para encontrar los extremos de la superficiede energıa, vemos que, de la ultima ecuacion tenemos dos posibilidades.

75

1. Que jz,m = ±j. En este caso, todas las demas ecuaciones tienen soluciones sencillas.Porque la primera y la segunda son automaticamente cero y hacen a la tercera igual-mente cero. Con lo cual nos queda,

(qm, pm) = 0. (4.33)

Con φm quedando indenfinida. En este primer caso, solo nos quedaremos con el valornegativo de jz,m puesto que estamos buscando los valores mınimos.

2. Que jz,m 6= ±j entonces solo nos queda que,

pm = −tan (θ) qm. (4.34)

Que, junto con sustituir la primera y la segunda en la tercera nos queda que,

(qm, pm) = ∓γ√j

ω

√1−

(γc,0γ

)4

(−cos(φ), sen(φ)) . (4.35)

y tambien,

jz,m = −j(γc,0γ

)2

(4.36)

Donde γc,0 =√ωω0. Vemos que el segundo caso solo es posible mientras γ ≥ γc,0, por lo que

nos estamos encontrando con la separacion entre la fase normal, que corresponde al primercaso, y la fase superradiante, que corresponde al segundo.

Ası, el valor del estado coherente que nos da la energıa del estado base esta dado por,

αm = 0 y zm = 0 (4.37)

en el primer caso y para la fase superradiante,

αm√j

= ±γω

√1−

(γc,0γ

)4

e−iφ y zm =

√√√√√1 +γ2c,0γ2

1− γ2c,0γ2

e−iφ. (4.38)

Ahora, si sustituimos estos valores en la superficie de energıa semiclasica,

Hcl,0(q, p, jz, φ) =ω

2

(q2 + p2

)+ ω0jz + γ

√j

√1− j2

z

j2[q cos (φ)− p sen (φ)] . (4.39)

76

En el caso (1) tendremos que la energıa es Hcl,0(0, 0,−jω0, φ) = −ω0j. En el caso (2) ten-dremos que,

Hcl,0(qm, pm, jm, φ) =ω

2

γ2 j

ω2

(1−

(γc,0γ

)4)(

cos2(φ) + sen2(φ))

+

− ω0j

(γc,0γ

)2

− γ√j

√1−

(γc,0γ

)4γ√j

ω

√1−

(γc,0γ

)4 (cos2(φ) + sen2(φ)

)=

= ω0j

γ2

2γ2c,0

(1−

(γc,0γ

)4)−(γc,0γ

)2

− γ2

γ2c,0

(1−

(γc,0γ

)4)

∴ Hcl,0(qm, pm, jm, φ) = −ω0j

2

(γ2

γ2c,0

+γ2c,0

γ2

).

(4.40)

Por tanto, la energıa del estado base esta dada por:

Eg.s.0

ω0j=

−1 γ < γc,0

−12

(γ2

γ2c,0+

γ2c,0γ2

)γc,0 < γ

. (4.41)

Con lo cual recuperamos la QPT superradiante. Ahora veamos el caso del Hamiltoniano deDicke, que es casi identico.

4.3.3. Estado base de Dicke

Para el Hamiltoniano de Dicke tenemos δ = 1 y las ecuaciones de movimiento estan dadaspor:

−p =∂Hcl

∂q= ω q + 2γ

√j

√1−

(jzj

)2

cos(φ),

q =∂Hcl

∂p= ω p,

φ =∂Hcl

∂jz= ω0 −

2γ√j

j

jz√1−

(jzj

)2q cos(φ),

−jz =∂Hcl

∂φ= −2γ

√j

√1−

(jzj

)2

q sen(φ).

(4.42)

Igual que en el caso anterior, igualamos las ecuaciones a cero. Inmediatamente observamosde la segunda ecuacion que siempre pm = 0. Luego, tenemos nuevamente dos casos:

1. Que jz,m = ±j. Una vez mas, esto hace que todas las demas ecuaciones tengan solu-ciones triviales. Con esto nos queda la fase normal,

(qm, pm) = 0. (4.43)

77

Y de nueva cuenta, en este primer caso, solo nos quedaremos con el valor negativo dejz,m.

2. Que jz,m 6= ±j entonces solo nos queda que,

sen(φm) = 0. (4.44)

Que, junto con sustituir la primera y la segunda en la tercera obtenemos,

(qm, pm) = ∓2γ√j

ω

√1−

(γc,1γ

)4

(1, 0)) . (4.45)

y tambien,

jz,m = −j(γc,1γ

)2

(4.46)

Donde γc,1 =√ωω0/2. Igualmente, vemos que el segundo caso solo es posible con γ ≥ γc,1.

Para Dicke el valor del estado coherente que nos da la energıa del estado base esta dado por,

αm = 0 y zm = 0 (4.47)

en la fase normal y en la fase superradiante por,

αm√j

= ∓2γ

ω

√1−

(γc,1γ

)4

y zm =

√√√√√1 +γ2c,1γ2

1− γ2c,1γ2

. (4.48)

A diferencia del caso de TC, en el de Dicke el angulo φ no quedo indeterminado. La razonde esto proviene de que en TC existe una simetrıa adicional (la conservacion del numero deexcitaciones) que en Dicke no se mantiene.Ahora, si sustituimos estos valores en la superficie de energıa semi-clasica,

Hcl,1(q, p, jz, φ) =ω

2

(q2 + p2

)+ ω0jz + 2γ

√j

√1− j2

z

j2q cos (φ) . (4.49)

Al igual que en el caso de TC, en la fase normal tendremos que Hcl,1(0, 0,−jω0, φ) = −ω0j.Y para la fase superradiante,

Hcl,1(qm, 0, jm, cos(φm) = ±) =ω

2

4γ2 j

ω2

(1−

(γc,1γ

)4)

(±1)2+

− ω0j

(γc,1γ

)2

− 2γ√j

√1−

(γc,1γ

)42γ√j

ω

√1−

(γc,1γ

)4

(±1)2 =

= ω0j

γ2

2γ2c,1

(1−

(γc,1γ

)4)−(γc,1γ

)2

− γ2

γ2c,1

(1−

(γc,1γ

)4)

∴ Hcl,1(qm, 0, jm, cos(φm) = ±) = −ω0j

2

(γ2

γ2c,1

+γ2c,1

γ2

).

(4.50)

78

Por tanto, la energıa del estado base esta dada por:

Eg.s.1

ω0j=

−1 γ < γc,1

−12

(γ2

γ2c,1+

γ2c,1γ2

)γc,1 < γ

. (4.51)

Vemos que corresponde a la misma forma funcional que para TC, solo cambiando el valordel parametro crıtico. En la figura 4.1 vemos el camportamiento de la energıa interna comofuncion del acoplamiento.

Figura 4.1: Energıa del estado base Eg.s.1 para el modelo de Dicke como funcion del acopla-

miento γ. Calculado en resonancia ω = ω0 = 1.

Como las transiciones de fase tıpicamente se manifiestan como cambios en las observables delsistema, tambien podemos calcularlas. Para el modelo de Dicke el valor esperado del numerode fotones es, ⟨

a†a⟩

=⟨α, z|a†a|α, z

⟩=

1

2

(p2 + q2

). (4.52)

Y, evaluando en los valores de las variables canonicas que encontramos para el estado basetendremos, ⟨

a†a⟩1

g.s.

j=

0 γ ≤ γc,14γ2

ω2

(1−

(γc,1γ

)4)

γ ≥ γc,1. (4.53)

Por otro lado, el valor esperado de la diferencia de poblacion es,

〈Jz〉 = 〈α, z|Jz|α, z〉 = jz. (4.54)

Que, al calcular en el estado base nos resulta,

〈Jz〉1g.s.j

=

−1 γ ≤ γc,1

−(γc,1γ

)2

γ ≥ γc,1. (4.55)

79

En la figura 4.2 observamos estos dos comportamientos.

Figura 4.2: Valor esperado del numero de fotones (izquierda) y de la diferencia de poblaciones(derecha) en el estado base para el modelo de Dicke como funcion del acoplamiento γ.Calculado en resonancia ω = ω0 = 1.

Lo que hemos hecho en este capıtulo es mostrar una forma de obtener la transicion de fasecuantica que obtuvimos como lımite de temperatura cero de la transicion de fase termica.Aquı, sin referencia a la temperatura es posible identificar el cambio estructural del esta-do base a traves de una aproximacion de campo medio. La singularidad del estado basees detectada como un cambio en la estructura de puntos de estabilidad del sistema clasicocorrespondiente al sistema cuantico. El ejercicio que hemos hecho en este capıtulo sera nece-sario para entender con mayor detalle la singularidad que nos encontraremos mas adelanteen el espectro conocida como transicion de fase cuantica de estados excitados y que tiene suorigen en la QPT.

80

4.4. Conclusiones del capıtulo

Durante este capıtulo nos enfocamos en revisar la aparicion de la QPT mas alla de la descrip-cion termica. Aprovechando las propiedades algebraicas del Hamiltoniano y utilizando unadescripcion de campo medio a traves de estados coherentes, encontramos el Hamiltonianoclasico que corresponde al modelo de Dicke. Esta superficie clasica se puede estudiar paraencontrar las fases de estabilidad del sistema, en particular, vimos que, al buscar los puntosfijos estables igualando a cero las ecuaciones de Hamilton, podemos encontrar la energıadel estado base y calcular las observables mas importantes. En particular, pudimos observarla presencia de la QPT. En capıtulos posteriores veremos la utilidad de la aproximacionsemi-clasica cuando estudiemos el espectro.No es interes de este trabajo revisar todos los estudios que se han hecho en torno a laQPT de Dicke, puesto que queremos ir mas alla y estudiar el espectro, cosa que veremosen los siguientes capıtulos. La literatura es amplia y muchos de estos estudios tienen quever con la presencia de caos clasico en el Hamiltoniano clasico correspondiente. Ası, losestudios iniciales de caos partieron de esta direccion [156, 157, 158, 159]. Luego, desde elrenovado interes gracias a las aproximaciones de Holstein-Primakoff [92, 93], se asocio el caoscuantico a la fase superradiante. Se encontro conexion con el enredamiento y la decoherencia[160, 161, 162], y desde entonces han sido ampliamente estudiados. Otras cosas que se hanhecho es calcular los exponentes crıticos [94] y la concurrencia [96], ası como extender elestudio a acoplamientos inhomogeneos [163].Sin embargo, la mayor parte de estos estudios han tratado la relacion entre el caos, el enre-damiento y la decoherencia con la QPT solo en terminos del estado base y de los primerosestados excitados y poco se decıa sobre el resto del espectro. En parte esto se debıa a lafalta de tecnicas eficientes numericas que dieran acceso a los estados excitados y las solucio-nes numericas tradicionales podıan ser muy complicadas, sobre todo para el acoplamientofuerte y ultra-fuerte ası como para una gran cantidad de atomos. En el siguiente capıtuloveremos las formas de resolver el modelo y presentaremos nuestra contribucion importanteen esta direccion: las soluciones numericas eficientes dadas por lo que llamaremos como basecoherente eficiente (BCE).

81

82

Capıtulo 5

Soluciones al Hamiltoniano de Dicke

Ya vimos en capıtulos anteriores los principales aspectos por los que el Hamiltoniano de Dic-ke resulta de interes tanto en el terreno teorico como en el experimental. Tambien discutimoslos dos fenomenos crıticos mas conocidos, la transicion de fase termica y la transicicon defase cuantica (QPT). En este capıtulo discutiremos las formas mas conocidas para resolver elHamiltoniano. Primero, revisaremos el tratamiento, ahora considerado canonico, con trans-formaciones de Holstein-Primakoff en el lımite termodinamico. Al ser este procedimientoincapaz de describir todas las regiones del espectro y ante la falta de soluciones analıticasmas desarrolladas, nos vemos obligados a emplear soluciones numericas. Para entenderlas, re-visaremos los lımites integrables del modelo. Finalmente, empezaremos la discusion sobre lassoluciones numericas que continuaremos en el siguiente capıtulo. Ademas, se comentara bre-vemente sobre los recientes avances en el estudio de soluciones analıticas exactas.

5.1. Soluciones en el lımite termodinamico.

El principal problema es que mas alla de los lımites integrables las soluciones analıticas exac-tas del Hamiltoniano son mucho mas complicadas y de hecho se creyo por muchos anos queno existıan, a esto regresaremos brevemente al final del capıtulo. Sin embargo, hay solucio-nes analıticas exactas en el lımite termodinamico que fueron propuestas por C. Emary y T.Brandes en el 2003 [93]. Estas soluciones se han convertido en la referencia inmediata parael estudio del Hamiltoniano ası como en su tratamiento canonico. En esta seccion veremoscomo derivarlas y comentaremos brevemente sobre sus problemas.

Entre las varias representaciones de los operadores del algebra de SU(2), utilizamos la re-presentacion en serie de un solo boson conocida como transformacion de Holstein-Primakoff[164]. Esta es,

Jz = b†b− j,

J+ = b†√

2j − b†b,

J− =√

2j − b†b b.

(5.1)

83

Siempre y cuando se cumpla la siguiente relacion de conmutacion para los operadores bosoni-cos b y b†, [

b, b†]

= 1. (5.2)

Es decir, resultan seguir el algebra de Heisenberg-Weyl. Una vez mas, recordamos el Hamil-toniano de Dicke (~ = 1)

HD = ωa†a+ ω0Jz +γ√N(a+ a†

)(J+ + J−) . (5.3)

Ahora, la transformacion deja al Hamiltoniano de Dicke representado en terminos de dosbosones como,

HD = ωa†a+ ω0b†b+

γ√N(a+ a†

) (b†√

2j − b†b+√

2j − b†b b)− jω0. (5.4)

Recordando que los operadores de pseudoespın cumplen que N = 2j, tendremos que,

HD = ωa†a+ ω0b†b+ γ

(a+ a†

)(b†

√1− b†b

2j+

√1− b†b

2jb

)− jω0. (5.5)

Ya sabemos que hay dos fases, la normal y la superradiante. Usando el lımite termodinamicopodemos hacer que la aproximacion de Holstein-Primakoff nos convierta el Hamiltoniano enuno de dos asciladores acoplados. En ambas fases, una vez tomado el lımite termodinamicotendremos un Hamiltoniano de dos bosones con terminos cuadraticos, es decir, acoplados.Para resolverlo, se propone una transformacion de Bogoliubov, una transformacion unitariaentre representaciones unitarias de algun algebra de relaciones de conmutacion o anticon-mutacion [165], en la que se pasa de una representacion de bosones a otra, tambien de dosbosones, pero en la que el Hamiltoniano queda expresado como dos osciladores desacopla-dos. A continuacion veremos cada fase de manera independiente siguiendo el procedimientoen [93] donde se construye la transformacion de Bogoliubov a traves de transformaciones acuadraturas y rotaciones.

5.1.1. Fase normal

La aproximacion que tomaremos para eliminar las raıces cuadradas en nuestras expresionesy simplificar el Hamiltoniano, es considerar que en el lımite termodinamico N → ∞, sipensamos en una aproximacion de campo medio, es decir, sustituir el operador de numerob†b por su valor esperado 〈b†b〉, la cantidad

〈b†b〉2j

<< 1 (5.6)

cantidad es muy pequena y tiende a cero. Usando esto, tendremos lo siguiente:√1− b†b

2j' 1. (5.7)

84

Con lo que el Hamiltoniano se puede aproximar a un Hamiltoniano H(1) en el lımite termo-dinamico,

H(1) = ωa†a+ ω0b†b+ γ

(a† + a

) (b† + b

)− jω0. (5.8)

Vemos que este es un Hamiltoniano de dos osciladores con un termino cuadratico por lo quepodemos usar transformaciones de Bogoliubov para desacoplarlos. Siguiendo el procedimien-to en [93], nos pasamos primero a las cuadraturas x, px, y, py,

x =

(a† + a

)√

2ω, y =

(b† + b

)√

2ω0

, (5.9)

px = iω

2

(a† + a

), py = i

ω0

2

(b† + b

).

Tras usar las cuadraturas, el Hamiltoniano se convierte en:

H(1) =1

2

(p2x + p2

y + ω2x2 + ω20y

2 + 4γ√ωω0xy − ω − (2j + 1)ω0

). (5.10)

Ahora hacemos una rotacion con respecto a un angulo θ(1) por determinar.

x = q1 cos θ(1) + q2 sin θ(1), y = −q1 sin θ(1) + q2 cos θ(1), (5.11)

px = p1 cos θ(1) + p2 sin θ(1), py = −p1 sin θ(1) + p2 cos θ(1).

El Hamiltoniano tras la rotacion se vuelve:

H(1) =1

2

(p2

1 + p22 + q2

1

(ω2 cos θ(1)2

+ ω20 sin θ(1)2 − 2γ

√ωω0 sin 2θ(1)

)+q2

2

(ω2

0 cos θ(1)2+ ω2 sin θ(1)2

+ 2γ√ωω0 sin 2θ(1)

)+q1q2

(4γ√ωω0 cos 2θ(1) +

(ω2 − ω2

0

)sin 2θ(1)

)− ω − (2j + 1)ω0

). (5.12)

La rotacion nos sirve para eliminar el termino cruzado al elegir el valor correcto del anguloθ(1). Haciendo esto tendremos,

tan 2θ(1) =4γ√ωω0

ω20 − ω2

,

tan θ(1)± =

ω2 − ω20 ±

√(ω2

0 − ω2)2 + 16γ2ωω0

4γ√ωω0

.

Se obtienen dos soluciones para los angulos denotadas por ±. Sin embargo, usar cualquie-ra de las dos nos da el mismo resultado, pues solo intercambian las nuevas coordenadas.Sustituyendo el angulo nos queda:

H(1) =1

2

(p2

1 + p22 + ε

(1)−

2q2

1 + ε(1)+

2q2

2 − ω − (2j + 1)ω0

). (5.13)

Donde ε(1)± son las energıas de cada oscilador, que estan dadas por:

ε(1)±

2=

1

2

(ω2 + ω2

0 ±√

(ω20 − ω2)2 + 16γ2ωω0

). (5.14)

85

Ahora regresamos a operadores bosonicos c1 y c2 mediante las siguientes transformaciones:

q1 =

(c†1 + c1

)√

2ε(1)−

, q2 =

(c†2 + c2

)√

2ε(1)+

, (5.15)

p1 = iε

(1)−

2

(c†1 − c1

), p2 = i

ε(1)+

2

(c†2 − c2

).

Finalmente aplicando esta ultima transformacion, nos queda el Hamiltoniano desacopladoen dos osciladores:

H(1) = ε(1)− c†1c1 + ε

(1)+ c†2c2 +

1

2

(ε

(1)− + ε

(1)+ − ω − (2j + 1)ω0

)(5.16)

No nos detendremos en analizar el Hamiltoniano, puesto que simplemente representa dosmodos de oscilacion cuanticos y su espectro es entonces sencillo. La energıa de cada oscila-dor 5.14, sin embargo, impone una condicion de validez sobre la solucion. Claramente, existeun valor crıtico para el acoplamiento, que reconocemos entonces como el valor de la QPT,γ ≤ γc =

√ωω0

2. Ahora toca analizar la otra fase, la superradiante.

Como ultimo comentario, hay que hacer notar que, dado que el Hamiltoniano tiene terminoscuadraticos, la forma de resolverlo en general es a traves de transformaciones de Bogoliu-bov entre los operadores bosonicos. El procedimiento seguido usando transformaciones acuadraturas y rotaciones es equivalente a encontrar la transformacion de Bogoliubov quediagonaliza al sistema. Esta transformacion es,

a† =1

2

cos θ(1)√ωε

(1)−

((ω + ε

(1)− )c†1 + (ω − ε(1)

− )c1

)+

sin θ(1)√ωε

(1)+

((ω + ε

(1)+ )c†2 + (ω − ε(1)

+ )c2

) ,

a =1

2

cos θ(1)√ωε

(1)−

((ω − ε(1)

− )c†1 + (ω + ε(1)− )c1

)+

sin θ(1)√ωε

(1)+

((ω − ε(1)

+ )c†2 + (ω + ε(1)+ )c2

) ,

b† =1

2

− sin θ(1)√ω0ε

(1)−

((ω0 + ε

(1)− )c†1 + (ω0 − ε(1)

− )c1

)+

cos θ(1)√ω0ε

(1)+

((ω0 + ε

(1)+ )c†2 + (ω0 − ε(1)

+ )c2

) ,

b =1

2

− sin θ(1)√ω0ε

(1)−

((ω0 − ε(1)

− )c†1 + (ω0 + ε(1)− )c1

)+

cos θ(1)√ω0ε

(1)+

((ω0 − ε(1)

+ )c†2 + (ω0 + ε(1)+ )c2

) .

(5.17)

86

5.1.2. Fase superradiante

El procedimiento es, por supuesto, analogo al de la fase normal. Sin embargo, aquı despla-zamos los operadores bosonicos originales como se muestra a continuacion.

a† → c† + α√

2j,

b† → d† + β√

2j.(5.18)

Con esta transformacion, el Hamiltoniano exacto nos queda como,

H = ω(c†c+ α

√2j(c† + c) + 2jα2

)+ ω0

(d†d+ β

√2j(d† + d) + 2jβ2 − j

)+ γ√k(c† + c+ 2α

√2j)(

d†√ξ +

√ξd− 2β

√2j√ξ).

(5.19)

Donde, √ξ =

√1− d†d− β

√2j(d† + d)

2jky k = 1− β2. (5.20)

Ahora, de manera similar a lo que se hizo en la fase normal, tomamos el lımite termodinamico,aproximado en este caso por,

〈d†d〉2j

<< 1. (5.21)

Esto, nos permite desarrollar la raız a primer orden.√1− d†d− β

√2j(d† + d)

2jk' 1− 1− d†d− β

√2j(d† + d)

4jk. (5.22)

Haciendo esta aproximacion y quedandonos hasta orden cuadratico en los operadores bosoni-cos, el Hamiltoniano se convierte en,

H(2) = ωc†c+

(ω0 +

2γαβ√k

)d†d

−√

2j(

2γβ√k − ωα

) (c† + c

)√2j

(2γα

(1− 2β2

√k

)− ω0β

)(d† + d

)+

γαβ

2k√k

(2− β2)(d† + d)2

+ γ

(1− 2β2

√k

)(c† + c

) (d† + d

)+

(2j(ωα2 + ω0β

2 − ω0

2

)− γαβ√

k(4k2j + 1)

)(5.23)

Originalmente, el desplazamiento de los operadores bosonicos quedo indeterminado. Ahora,con el fin de eliminar los terminos lineales, nos quedan dos ecuaciones, podemos identificar

87

el valor de esos parametros de estados coherentes α y β y esto nos da dos posibles solucionespara ellos.

2λβ√k − ωα = 0,

2λα

(1− 2β2

√k

)− ω0β = 0.

(5.24)

La primera solucion que nos queda es α = 0 y β = 0, con lo que recuperamos la solucion dela fase normal. La segunda solucion para los parametros es:

α =γ

ω

√1− µ2,

β =

√1− µ

2,

con µ =ωω0

4γ2=γ2c

γ2.

(5.25)

Ahora, usando esta solucion y eliminando los terminos lineales, el Hamiltoniano nos quedacomo:

H(2) = ωc†c+ω0

2µ(1 + µ)d†d+

ω0(1− µ)(3 + µ)

8µ(1 + µ)(d† + d)

2+

γµ

√2

1 + µ(c† + c)(d† + d)− 2j

(γ2

ω+ω0µ

4

)− γ2

ω(1− µ).

(5.26)

Se procede a diagonalizar el Hamiltoniano como se hizo en la fase normal usando transfor-maciones a cuadraturas y rotaciones. Ası, primero pasamos el sistema a cuadraturas X, PX ,Y y PY ,

X =(c† + c)√

2ω, Y =

(d† + d)√2ω

,

Px = iω

2(c† + c), Py = i

ω

2(d† + d).

(5.27)

Donde ω = ω0(1+µ)2µ

. Luego, hacemos una rotacion por un angulo θ(2) para eliminar terminoscruzados, eligiendo un valor correcto para el angulo.

X = Q1 cos θ(2) +Q2 sin θ(2), Y = −Q1 sin θ(2) +Q2 cos θ(2),

Px = P1 cos θ(2) + P2 sin θ(2), Py = −P1 sin θ(2) + P2 cos θ(2).

De nuevo, para eliminar terminos lineales el angulo se define como,

tan 2θ(2) =2µ2ωω0

ω20 − µ2ω2

,

tan θ(2)± =

µ2ω2 − ω20 ±

√(ω2

0 − µ2ω2)2 + 4µ4ω2ω20

2µ2ωω0

. (5.28)

88

Luego, regresamos de nuevo a la representacion de bosones e1 y e2.

Q1 =

(e†1 + e1

)√

2ε(2)−

, Q2 =

(e†2 + e2

)√

2ε(2)+

,

P1 = iε

(2)−

2

(e†1 − e1

), P2 = i

ε(2)+

2

(e†2 − e2

).

Donde las energıas de cada oscilador ε(2)± estan dadas por:

(ε(2)± )2 =

1

2

ω2

µ2+ ω2

0 ±

√(ω2

0

µ2− ω2)2 + 4ω2

0ω2

. (5.29)

Y finalmente el Hamiltoniano queda desacoplado en dos osciladores:

H(2) = ε(2)− e†1e1 + ε

(2)+ e†2e2 − 2j

(γ2

ω+ω0µ

4

)+

+1

2

(ε

(2)− + ε

(2)+ − ω −

ω0 (1 + µ)

2µ− 2γ2

ω(1− µ)

).

(5.30)

Al igual que en la fase normal, se impone una condicion sobre la energıa para que el Hamil-toniano sea valido, en este caso se debe cumplir que γ ≥ γc =

√ωω0

2. Por ultimo, se muestran

las transformaciones de Bogoliubov correspondientes,

c† =1

2

cos θ(2)√ωε

(2)−

((ω + ε

(2)− )e†1 + (ω − ε(2)

− )e1

)+

sin θ(2)√ωε

(2)+

((ω + ε

(2)+ )e†2 + (ω − ε(2)

+ )e2

) ,

c =1

2

cos θ(2)√ωε

(2)−

((ω − ε(2)

− )e†1 + (ω + ε(2)− )e1

)+

sin θ(2)√ωε

(2)+

((ω − ε(2)

+ )e†2 + (ω + ε(2)+ )e2

) ,

d† =1

2

− sin θ(2)√ωε

(2)−

((ω + ε

(2)− )e†1 + (ω − ε(2)

− )e1

)+

cos θ(2)√ωε

(2)+

((ω + ε

(2)+ )e†2 + (ω − ε(2)

+ )e2

) ,

d =1

2

− sin θ(2)√ωε

(2)−

((ω − ε(2)

− )e†1 + (ω + ε(2)− )e1

)+

cos θ(2)√ωε

(2)+

((ω − ε(2)

+ )e†2 + (ω + ε(2)+ )e2

) .

(5.31)

Con esto se desacopla el Hamiltoniano tanto en la fase superradiante como en la fase normalen dos osciladores que corresponden entonces a la solucion exacta del Hamiltoniano en ellımite termodinamico, lo que permite su inmediata diagonalizacion.

89

5.1.3. Lımites y posibilidades de las soluciones con la aproxima-cion de Holstein-Primakoff

El principal problema radica en que en la vecindad de la QPT las soluciones obtenidas con laaproximacion de Holstein-Primakoff predicen singularidades que no se encuentran en la dia-gonalizacion exacta [97]. Estas singularidades provienen de haber truncado el Hamiltonianoal despreciar terminos de ordenes superiores en las potencias de N . Esto se vuelve signifi-cativo para el modelo de N finita y cerca de la QPT donde no es claro que efectivamente

el exponente crıtico del valor esperado del operador b†b sea tal que 〈b†b〉N << 1, puesto que

la aproximacion cuadratica falla y la dinamica ya no se describe con dos osciladores. Ası,la aproximacion de Holstein-Primakoff provee una aproximacion de campo medio que, comovimos, describe bien ambas fases. sobre todo para el estado base, las regiones a bajas energıasy cerca de los lımites integrables (en la fase normal γ → 0, en la fase superradiante γ >> 1cuando ω0 es constante y que en el lımite es ω0 → 0). Al mismo tiempo, las soluciones deHolstein-Primakoff tienen informacion extremadamente util pues permiten calcular los ex-ponentes crıticos de la QPT, ası como otras cantidades como las fluctuaciones de algunasobservables y la concurrencia [93, 166, 96] y se pueden reconciliar con las del caso finito atraves de renormalizacion [97, 99].

Estas soluciones se convirtieron en los ultimos anos en la piedra de toque para discutir variosaspectos importantes del Hamiltoniano, pues permiten extraer los exponentes para la energıadel estado base por partıcula, la fraccion de atomos excitados y el numero de fotones poratomo, sus fluctuaciones y la concurrencia [93, 94], ası como para analizar el caos cuantico[93, 167] y el enredamiento [161]. Sin embargo, un estudio mas detallado del espectro masalla de la aproximacion cuadratica y en el modelo finito es necesario y no esta cubierto porestas soluciones por lo que debemos pasar a las soluciones numericas exactas. En lo que restadel capıtulo revisaremos los lımites integrables y estas soluciones numericas.

5.2. Lımites integrables del modelo.

En esta seccion revisamos los lımites integrables del modelo que nos brindan bases en lasque podemos diagonalizar el Hamiltoniano numericamente. Por supuesto, otro de los lımitesintegrables es el Hamiltoniano de Tavis-Cumming, el cual sera de importancia para estetrabajo mas adelante, pero que revisamos en el capıtulo 2. Aunque discutiremos con masdetalle la idea de integrabilidad en sistemas cuanticos, a esta altura del texto la definicion deintegrabilidad es que un sistema integrable tiene tantas cantidades conservadas como gradosde libertad. En ocasiones, sobre todo pensando en sistemas sencillos, esta definicion coincidecon la de exactamente soluble, es decir, que las soluciones se pueden expresar explıcitamenteen terminos de funciones previamente conocidas.

90

5.2.1. Soluciones en el lımite γ → 0.

Una de las soluciones inmediatas del Hamiltoniano es el lımite de acoplamiento cero γ → 0.En este caso, el Hamiltoniano de Dicke se transforma en,

H(1)D = ωa†a+ ω0Jz. (5.32)

Claramente, el Hamiltoniano tiene una solucion analıtica inmediata: el producto tensorialentre estados de Fock para los fotones y estados de Dicke para los atomos. Es decir, loseigenestados exactos son,

|Ψ(1)〉 = |n〉 ⊗ |j,m〉 = |n; j,m〉. (5.33)

Con,

a†a|n; j,m〉 = n|n; j.m〉,Jz|n; j,m〉 = m|n; j,m〉,J2|n; j,m〉 = j(j + 1)|n; j,m〉.

(5.34)

En este lımite el Hamiltoniano es claramente integrable, pues basta con considerar al opera-dor de numero o al operador Jz, pues ambos conmutan con el Hamiltoniano. En el sentidoen que lo estamos manejando, el Hamiltoniano es integrable de nuevo porque, para cadasubespacio correspondiente a cada eigenvalor de J2, tiene suficientes cantidades conservadascomo grados de libertad y su solucion exacta es |Ψ(1)〉. Debido a que los estados de los fotonesson los de la base de Fock, denominaremos a partir de este momento a la base |Ψ(1)〉 comola base de Fock.

La base de Fock tiene gran importancia porque se ha usado ampliamente como una basepara resolver numericamente el Hamiltoniano. Sin embargo, como veremos en breve y en elcapıtulo 6, no es la mejor opcion para estudiar las regiones mas interesantes del espectro.Para eso estara la base coherente eficiente.

5.2.2. Soluciones en el lımite ω0 → 0.

Aunque no es obvio y a veces se confunde con el lımite γ →∞, existe otro lımite integrablecon solucion analıtica exacta cuando ω0 → 0. Con el fin de hacer evidente este lımite, haremosuna transformacion sobre el Hamiltoniano de Dicke. Primero, hacemos un desplazamientosobre los operadores de creacion a† y aniquilacion a,

A† = a† +GJx y A = a+GJx. (5.35)

91

Donde G = 2γ

ω√N . Sustituyendo en el Hamiltoniano de Dicke tendremos,

HD = ω(A† −GJx

)(A−GJx) + ω0Jz +

2γ√N(A−GJx + A† −GJx

)Jx =

= ω[A†A−G

(A+ A†

)Jx +G2 J2

x

]+

2γ√N[(A+ A†

)GJx − 2GJ2

x

]+ ω0Jx =

= ω[A†A−G

(A+ A†

)Jx +G2 J2

x

]+ ωG

[(A+ A†

)GJx − 2GJ2

x

]+ ω0Jz =

= ω[A†A+G2 J2

x − 2G2 J2x −G

(A+ A†

)+G

(A+ A†

)]+ ω0Jz =

∴ HD = ω(A†A−G2 J2

x

)+ ω0Jz.

(5.36)

Luego, podemos aplicar una rotacion de −π2

alrededor del eje y sobre los operadores depseudoespın colectivos,

(Jx, Jy, Jz)→(J ′z, J

′y,−J ′x

). (5.37)

Con lo que finalmente el Hamiltoniano nos queda como,

HD = ω(A†A−G2J

′2z

)− ω0J

′x. (5.38)

Si tomamos el lımite ω0 → 0, tendremos el siguiente Hamiltoniano,

H(2)D = ω

(A†A−G2J

′2z

). (5.39)

Nuevamente hay una solucion analıtica exacta: el producto tensorial entre estados de numerodel operador A†A y estados de Dicke para la parte atomica. De forma que los eigenestadosexactos son,

|Ψ(2)〉 = |N ; j,m′〉. (5.40)

Con,

A†A|N ; j,m′〉 = N |N ; j.m′〉,J ′z|N ; j,m′〉 = m′|N ; j,m′〉,J2|N ; j,m′〉 = j(j + 1)|N ; j,m′〉.

(5.41)

Ahora tenemos que hacer un par de precisiones para aclarar la naturaleza de estos eigenes-tados. Para la parte atomica hay que tener presente que estos estados son eigenestados en labase de Dicke del operador J ′z = Jx, es decir, el estado de Dicke considerado es eigenestadode Jx, |N ; j,m′〉 = |N ; j,mx〉. Por otra parte, para la parte de los fotones calculemos laaccion del operador de aniquilacion A sobre el estado con N = 0 y pongamoslo en terminosdel operador de aniquilacion original a,

A|N = 0; j,m′〉 = 0, pero

(a+GJ ′z)|N = 0; j,m′〉 = 0

a|N = 0; j,m′〉 = −GJ ′z|N = 0; j,m′〉a|N = 0; j,m′〉 = −Gm′|N = 0; j,m′〉

(5.42)

92

El estado del vacıo de los operadores A† y A es un eigenestado del operador a con valorα = −Gm′, es decir, un estado coherente en la base de Fock. Entonces, podemos ver alos estados de esta base como excitaciones del operador de numero A†A sobre un estadocoherente. Es por eso que llamaremos a esta base base coherente. Y debido a que, comopronto veremos y detallaremos luego en el capıtulo 6 resulta mas eficiente que la base de Focken la mayorıa de las regiones de parametros del Hamiltoniano, la llamamos base coherenteeficiente (BCE).Comunmente, se tiende a pensar que esta base corresponde al lımite γ → 0 pero esto nosucede ası. Debido a que tıpicamente se considera al sistema en resonancia ω = ω0, es decir,con ω0 fijo, al aumentar γ y entrar a la fase superradiante, las soluciones se parecen a laBCE, sin embargo, como hemos visto, esta base solo es solucion exacta cuando ω0 → 0.Tanto A†A como J ′z conmutan con el Hamiltoniano, por lo que existen dos cantidades conser-vadas para los dos grados de libertad en la representacion simetrica. Entonces, en este lımite,el sistema es tambien integrable. Ası, estos son los dos lımites integrables del Hamiltonianoen terminos de sus parametros. Esto fue reportado en [168] y nos ayudaran para resolvernumericamente el Hamiltoniano.

5.3. Soluciones numericas

Resolver la ecuacion estacionaria de Schrodinger consiste en encontrar sus estados propioso eigenestados ası como la energıa correspondientes a cada uno de ellos o eigenenergıas.Para hacerlo numericamente necesitamos escribirlo en terminos de alguna base convenienteque nos proporciona elementos de matriz del Hamiltoniano, es decir, una representacionmatricial del mismo. Desde el punto de vista de las matrices, esto implica diagonalizar lamatriz y obtener eigenvectores y eigenvalores, quienes corresponden a los estados propiosy a las energıas. Una vez elegida la base, solo nos resta calcular los elementos de matriz ydiagonalizar.Entonces, el problema de resolver numericamente gira en torno a encontrar una base dondediagonalizar el Hamiltoniano. La opcion inmediata para el Hamiltoniano de Dicke es sinduda, la base de Fock, que vimos en el capıtulo anterior, y que esta compuesta por elproducto tensorial de estados de Fock para la parte bosonica y de estados de Dicke para lade pseudoespın,

|n〉 ⊗ |j,m〉 = |n; j,m〉, (5.43)

que corresponde a la solucion exacta en el caso desacoplado. Podemos calcular los elementosde matriz facilmente, y de hecho son realmente sencillos. Estos son:

〈n′; j,m′|HD|n; j,m〉 = (ωn+ ω0m) δn′,nδm′,m +γ√N

(√nδn′,n−1 +

√n+ 1δn′,n+1

)×

×(√

j(j + 1)−m(m+ 1)δm′,m+1 +√j(j + 1)−m(m− 1)δm′,m−1

).

(5.44)

Sin embargo, no podemos continuar sin enfrentarnos primero a un problema de gran impor-tancia presente sobre todo en este tipo de Hamiltonianos. Debido a que el espacio de bosones

93

no esta acotado por arriba y la matriz tendrıa en consecuencia una dimension infinita en labase de Fock, debemos, para cada eigenestado, elegir cierto valor del numero de fotones nmax,eigenvalor del operador a†a como un truncamiento para la diagonalizacion numerica. Esto nospermitira trabajar con matrices cuadradas de dimension finita dim = ((2j + 1)(nmax + 1))2.El precio a pagar por usar un truncamiento es que para algunos eigenestados la base nosera suficiente como para obtenerlos, es decir, tendremos que lidiar con problemas de con-vergencia de las soluciones numericas. Estos problemas los estudiaremos con mas detalle enel siguiente capıtulo.

Por lo pronto, podemos ver en un analisis preliminar, el comportamiento del truncamientonecesario para la convergencia del estado base como funcion del numero de atomos N y delacoplamiento γ, con el fin de ilustrar los problemas que la base de Fock presenta para lassoluciones numericas.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.00

20

40

60

80

γ

nmax

Figura 5.1: Truncamiento o valor mınimo nmax que garantiza la convergencia del estado basecontra el acoplamiento γ para la condicion resonante ω0 = ω = 1. Para los valores del numerode atomos: j = 1 (azul), j = 2 (rojo), j = 5 (verde), j = 10 (violeta) y j = 20 (negro). Lospuntos faltantes para j = 10 y j = 20 lo son porque resultaba impracticable calcularlos conlos recursos disponibles en ese momento. La lınea punteada indica la QPT.

Como podemos ver de la figura 5.1, el truncamiento necesario para asegurar la convergenciadel estado base es fuertemente dependiente del numero de atomos considerados y del acopla-miento. Conforme aumentamos el numero de atomos, el truncamiento es mayor y el tamanode las matrices a diagonalizar crece, demandando mas recursos computacionales. Es mas, con-

94

forme aumentamos el acoplamiento, en las regiones de acoplamiento fuerte y ultra-fuerte, degran interes en la investigacion actual, el truncamiento mınimo se vuelve mas grande. Y solopara el estado base. Para los estados excitados el truncamiento sera aun mayor. El resultadofinal es que la base de Fock resulta impracticable para un estudio completo del Hamiltoniano.

Es por eso que debemos buscar una base alternativa para diagonalizar numericamente. Lasolucion fue propuesta por Q. H. Cheng y Y. Y. Zhang en 2008 [95]. Su propuesta fue utilizarla base del lımite integrable ω0 → 0, o base coherente eficiente (BCE). Parte de nuestro tra-bajo fue explorar sus ventajas, que revisaremos en el capıtulo siguiente. Provisionalmente,realizamos un ejercicio similar al de la base de Fock. Primero, encontramos los elementos dematriz del Hamiltoniano en la BCE. El costo de usar esta base es, como habıamos comen-tado, que al ser estados coherentes en la base de Fock forman una base sobrecompleta. Enconsecuencia, ya no sera una expresion tan simple como en 5.44. Los elementos de matrizson,

〈N ′, j,m′x|HD|N, j,mx〉 = ω(N −G2m2

x

)δN ′,Nδm′x,mx+

− ω0

(√j(j + 1)−m(m+ 1)δm′,m+1〈N ′,m′x|N,mx + 1〉b+

+√j(j + 1)−m(m− 1)δm′,m−1〈N ′,m′x|N,mx − 1〉b

).

(5.45)

Tenemos que calcular los traslapes (overlaps) 〈N ′,m′x|N,mx〉b. entre los estados de numerodel operador A = a+GJx.Ası, el traslape entre dos estados coherentes es,

〈n′(β)|n(α)〉 = 〈β|Bn′(A†)n√n′!n!

|α〉 =

(−1)n′Dn′,n si β > α

(−1)nDn′,n si β < αδα,β si β = α

. (5.46)

Con,

Dn′,n = e−g2/2

min(n′,n)∑k=0

√n′!n!

(n′ − k)!(n− k)!k!

((−1)−kgn+n′−2k

), (5.47)

y con g = |α− β|. Para el caso de la BCE en Dicke tendremos que α = −Gm y β = −Gm′,por lo que:

si m > m′ ⇒ β > α,

si m < m′ ⇒ β < α,

si m = m′ ⇒ β = α.

(5.48)

Ası, los overlaps que buscabamos son,

〈N ′; j,m′|N ; j,m〉 =

(−1)N′DN ′,N si m > m′

(−1)NDN ′,N si m < m′

δN ′,N si m = m′. (5.49)

95

Con,

DN ′,N = e

(−(G|m−m′|)2

2

)min(N ′,N)∑

k=0

√N ′!N !

(N ′ − k)!(N − k)!k!

((−1)−k(G|m−m′|)N+N ′−2k

). (5.50)

Usando estos elementos de matriz, comparamos los resultados del truncamiento entre laBCE y la base de Fock. Es importante hacer notar que, si bien los eigenestados del operadorde numero N = A†A ya no representan el numero de fotones como los de n = a†a, sinoexcitaciones atomo-campo; ambos son representativos del tamano de la matriz a diagonalizary es por eso que son comparables. En el caso de la BCE, la dimension de las matrices adiagonalizar sera por analogıa dim = ((2j + 1)(Nmax + 1))2. En la figura 5.2 mostramos losresultados para la BCE.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.00

10

20

30

40

γ

Nmax

Figura 5.2: Truncamiento Nmax contra el acoplamiento γ para la condicion resonante ω0 =ω = 1. Para los valores del numero de atomos: j = 1 (azul), j = 2 (rojo), j = 5 (verde),j = 10 (violeta) y j = 20 (negro). La lınea punteada indica la QPT.

Podemos observar que, aunque para ambas bases los resultados en la base normal son pa-recidos, en la fase superradiante se observa una clara disminuicion en el truncamiento parala BCE. Esta disminucion es notoria tambien al incrementar j, pues no crece tan rapidocomo lo hace en la base de Fock. Con esto tenemos una base propuesta que nos permitirıaexplorar con mayor facilidad regiones de parametros y del espectro que con la base de Fockserıa imposible estudiar. Estos resultados fueron reportados en [169].

96

5.4. Breve comentario sobre las soluciones analıticas

Recientemente, D. Braak propuso la integrabilidad del modelo de Rabi [54]. Se suponıa esteHamiltoniano como no integrable y sin soluciones analıticas. Sin embargo, debido a que en elcaso de un atomo, el algebra se rige por las propiedades de las matrices de espın de Pauli queestan en dos dimensiones, D. Braak mostro que la paridad es suficiente como cantidad con-servada y en consecuencia el Hamiltoniano es integrable y tiene soluciones analıticas. Luego,para el caso de Dicke, mostro que aun cuando sigue sin ser integrable, es posible construirsoluciones analıticas siguiendo el mismo procedimiento que en Rabi [55]. Estas solucionesanalıticas exactas han sido usadas para calcular parte del espectro de estos Hamiltonianos.Sin embargo, las propiedades de estas soluciones no se han explorado por completo y suinvestigacion tanto desde el punto de vista matematico como fısico aun se encuentra endesarrollo [56, 57, 58]. Es por eso que las soluciones numericas siguen vigentes como la formamas viable para estudiar el espectro y las observables del sistema. No profundizaremos masen estas soluciones pues exceden los objetivos de este trabajo.

5.5. Conclusion del Capıtulo 5

A lo largo de este capıtulo hemos explorado las posibles formas para diagonalizar el Hamil-toniano de Dicke. Primero, en el lımite termodinamico donde tiene una solucion exacta quepermite entender el comportamiento del Hamiltoniano a bajas energıas. La descripcion fallacerca de la transicion de fase cuantica y para energıas elevadas es insuficiente. Es por eso quese desarrollan soluciones numericas tomando como bases para la diagonalizacion numericalos lımites integrables del modelo. En el siguiente capıtulo compararemos con mas detallelas ventajas de la base coherente eficiente y en lo que resta del trabajo veremos lo que puedehacerse aprovechando este recurso.

97

98

Capıtulo 6

Convergencia de las solucionesnumericas

El objetivo de este capıtulo es mostrar que las soluciones numericas exactas son mas eficientesque el metodo tradicional empleado para diagonalizar el Hamiltoniano con la base de Fock,ası como estudiar su convergencia en diferentes regiones y sus alcances. Primero, veremoscual es el criterio de convergencia y a que se refiere este termino. Luego, estudiaremos elcomportamiento del truncamiento para el estado base y despues para los estados excitados.Analizaremos tambien la convergencia en la funcion de onda y con esto definiremos un criteriode convergencia mas adecuado. Finalmente, como una aplicacion de las soluciones numericascalcularemos el escalamiento de la Fidelidad y de la Susceptibilidad de la Fidelidad paraidentificar la QPT.

6.1. Convergencia del estado base

En el capıtulo anterior comparamos de forma preliminar el truncamiento correspondientea cada una de las bases, la de Fock y la BCE. Ahora, comentaremos con un poco masde detalle lo que sucede en diferentes regiones de parametros. Sin embargo, antes debemosexplicar que entendemos por convergencia.

6.1.1. Criterio de convergencia en la energıa

Como se explico, al elegir cierto valor del truncamiento, por ejemplo nmax en la base de Fock,la dimension de la matriz a diagonalizar es ((2j + 1)(nmax + 1))2. Esta matriz se diagonalizay se obtienen eigenvalores y eigenvectores. Un eigenestado del Hamiltoniano expresado enla base elegida para diagonalizar, puede tener componentes sobre todos los estados. Espera-mos que la distribucion de componentes del eigenestado sea tal que este centrada cerca dealgun estado de tal forma que al aumentar el truncamiento se vaya completando hasta que,para cierto truncamiento dado, se haya cubierto la mayor parte de dicha distribucion. Ası, sitomamos alguna observable como la energıa para un estado particular, podemos observar la

99

diferencia entre la energıa calculada para algun truncamiento nmax y la energıa calculada conel siguiente valor nmax + 1. En principio, por lo que se ha dicho, se espera que esta diferenciatienda a cero conforme el truncamiento aumenta -y que sea exacto cuando nmax →∞ porqueno habrıa truncamiento. A esto le llamamos la convergencia numerica. Si esta diferencia esgrande, significa que el truncamiento elegido es insuficiente. Si esta diferencia es pequenasignifica que se ha cubierto la mayor parte del eigenestado. Ası, bajo cierta tolerencia ε ele-gida a voluntad, se puede determinar la convergencia de las soluciones y que tan bueno es eltruncamiento.

Consideremos el k-esimo eigenestado del Hamiltoniano. Si resolvemos en la base de Fock,pediremos que la diferencia de energıas para dos truncamientos sucesivos ∆Ek

F sea menorque la tolerancia numerica deseada, es decir,

∆EkF = |Ek(nmax)− Ek(nmax − 1)| < ε. (6.1)

Donde Ek(nmax) es la energıa calculada diagonalizando con el truncamiento nmax. Lo mismose define para la BCE pero en terminos de su truncamiento correspondiente Nmax,

∆EkC = |Ek(Nmax)− Ek(Nmax − 1)| < ε. (6.2)

Basta decir que usamos este criterio para identificar los truncamientos mınimos necesariosen ambas bases en el capıtulo 5.

6.1.2. Truncamiento para el estado base

Una vez claro lo que entendemos como convergencia, extendemos la comparacion entre labase de Fock y la BCE en las regiones donde vimos puede ser interesante. Queremos com-parar el truncamiento al aumentar el numero de atomos, para acoplamientos fuertes y parael caso fuera de resonancia. En las figuras 6.1, 6.2, 6.3, 6.4 y 6.5 vemos los resultados paraestos casos, respectivamente.

Conforme el numero de atomos crece, el truncamiento necesario para obtener la convergenciadeberıa crece tambien, pues de manera natural se necesita una mayor cantidad de fotonespara tener la dinamica completa. Esto es mas relevante para acoplamientos fuertes pues alser la fase superradiente, demanda la participacion de una mayor cantidad de excitaciones enel espacio de Fock. La base de Fock sigue este comportamiento de forma natural, pero parala BCE no sucede ası porque esta escrita en terminos de excitaciones atomo-campo, es decir,N no representa fotones sino excitaciones elementales donde no se distingue la diferenciaentre los atomos y los bosones del campo. Aunque no es obvia la razon de que la BCE seatan eficiente, podemos ver en las figuras 6.1 y 6.2 que los resultados son contundentes: laBCE necesita un truncamiento mucho menor en todas las regiones. Confirma con esto loencontrado en el capıtulo 5.Por ultimo, tenemos el caso en el que nos salimos de la condicion de resonancia ω0 = ω.Presentamos los resultados para varios acoplamientos y numeros de atomos en las figuras

100

5 10 15 20 25 30 35 40 j0.0

0.5

1.0

1.5

nmax, Nmax

Γ=0.001

5 10 15 20 25 30 35 40 j0

5

10

15

20

nmax, Nmax

Γ=0.5

5 10 15 20 25 30 35 40 j0

10

20

30

40

50

60

70

nmax, Nmax

Γ=1.0

Figura 6.1: Truncamiento para la base de Fock, nmax (lınea roja) y para la BCE Nmax (lıneaazul) como funciones de j con ω0 = ω = 1 para varios valores del acoplamiento: (arriba) fasenormal con γ = 0.001; (en medio) alrededor de la QPT γ = 0.5; y (abajo) fase superradianteγ = 1.0. Tolerancia ε = 1x10−6.

101

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Γ0

5

10

15

20

25

30

nmax, Nmax

j=5

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Γ0

10

20

30

40

50

nmax, Nmax

j=10

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Γ0

20

40

60

80nmax, Nmax

j=20

Figura 6.2: Truncamiento para la base de Fock, nmax (lınea roja) y para la BCE Nmax (lıneaazul) como funciones de γ con ω0 = ω = 1 para varios valores del numero de atomos: (arriba)j = 5; (en medio) j = 10; y (abajo) j = 20. Tolerancia ε = 1x10−6.

102

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Ω00

1

2

3

4

5nmax, Nmax

j=5, 10, 20, SupPh Ω0<0.1

Figura 6.3: Truncamiento para la base de Fock, nmax (lınea roja) y para la BCE Nmax (lıneaazul) como funciones de ω0 con γ = 0.05 y ω = 1. En la fase superradiante (SupPh). Losresultados para j = 5, j = 10 y j = 20 todos los resultados coinciden. Tolerancia ε = 1x10−6.

6.3, 6.4 y 6.5. En estas figuras se confirman lo que referimos sobre la naturaleza de las bases.Al observar el truncamiento vemos que la BCE es excelente para ω0 pequenas mientras quela base de Fock exige un truncamiento mayor. Sin embargo, al contrario de lo que sucedıa enfuncion del acoplamiento, la BCE empieza a exigir un truncamiento mayor para ω0 grandesen comparacion con la base de Fock. Esto tiene relacion con la naturaleza de las soluciones.y en concordancia con lo que dijimos lıneas atras sobre el tipo de excitaciones que representaNmax. Claramente, el truncamiento que cada base va exigir esta en relacion con que tanparecida es la eigenbase a ella. Por eso, en ω0 = 0 la BCE es la mejor porque es la solucionexacta. Al aumentar ω0 se va perdiendo esto. Aunque solo fuera de resonancia observamosuna zona en la cual la base de Fock parece mejor que la BCE, no profundizaremos mas en estecaso pues para aplicaciones practicas el problema cerca de resonancia es el mas importante.Ası, tenemos resultados importantes para la convergencia del estado base. La ventaja de laBCE es clara cuando incrementamos N sobre todo en la fase superradiante. Mientras en labase de Fock el truncamiento crece rapidamente, en la base coherente disminuye lentamentey relativamente se mantiene constante. Esto permite alcanzar valores mas grandes de N contruncamientos muy pequenos. Segundo, es claro que, mientras los resultados en el trunca-miento para la fase normal son relativamente el mismo para ambas bases, al entrar en la fasesuperradiante volvemos a tener el mismo resultado: mientras que en la base de Fock crece,en la BCE se mantiene casi constante y pequeno para valores grandes del acoplamiento. Estoes de suma importancia para resolver regiones de gran interes como el acoplamiento fuertey el ultra-fuerte. Ademas, el hecho de que la BCE y la base de Fock sean muy parecidasen la fase normal es natural, puesto que en el lımite γ → 0, la base coherente eficiente setransforma en una base de Fock rotada (pues los eigenestados atomicos son los de Jx),

lımγ→0

A = lımγ→0

(a+

2γ

ω√N

)= a, lım

γ→0|N ; j,mx〉 = |n; j,mx〉. (6.3)

103

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0Ω00

2

4

6

8

10

12

14

nmax, Nmax

j=5, SupPh Ω0<1.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0Ω00

5

10

15

20

nmax, Nmax

j=10, SupPh Ω0<1.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0Ω00

5

10

15

20

25

30

nmax, Nmax

j=20, SupPh Ω0<1.0

Figura 6.4: Truncamiento para la base de Fock, nmax (lınea roja) y para la BCE Nmax (lıneaazul) como funciones de ω0 con γ = 0.5 y ω = 1. Para varios valores del numero de atomos:(arriba) j = 5; (en medio) j = 10; y (abajo) j = 20. Tolerancia ε = 1x10−6. Se indica laregion de la fase superradiante (SupPh) para ω0.

104

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Ω00

5

10

15

20

25

30

nmax, Nmax

j=5, SupPh Ω0<4.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Ω00

10

20

30

40

50nmax, Nmax

j=10, SupPh Ω0<4.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Ω00

20

40

60

80nmax, Nmax

j=20, SupPh Ω0<4.0

Figura 6.5: Truncamiento para la base de Fock, nmax (lınea roja) y para la BCE Nmax (lıneaazul) como funciones de ω0 con γ = 1.0 y ω = 1. Para varios valores del numero de atomos:(arriba) j = 5; (en medio) j = 10; y (abajo) j = 20. Tolerancia ε = 1x10−6. Se indica laregion de la fase superradiante (SupPh) para ω0.

105

0.5 1.0 1.5 2.0 Γ

20

40

60

80

100

nmax

j=5

0.5 1.0 1.5 2.0 Γ

20

40

60

80

100

120

nmax

j=10

Figura 6.6: Comparacion entre nmax calculado numericamente usando el criterio de conver-gencia de la energıa (lınea punteada) y la estimacion 〈nmax〉 utilizando estados coherentes(lınea discontinua). Con valores de j = 5, 10, en resonancia y tolerancia ε = 1x10−6.

En consecuencia, usar la BCE es lo mas adecuado pues incluso ofrece un truncamientopequeno en la fase normal.Lo importante es entonces que la BCE nos permite, al menos para el estado base, diagonalizarcon un truncamiento pequeno comparado con la base de Fock, para cualquier acoplamientoy numero de atomos, lo cual nos da una gran ventaja tecnica para estudiar el Hamiltoniano.Como una forma de ratificar estos resultados, podemos estimar analıticamente el valor denmax haciendo uso de la aproximacion semiclasica con estados coherentes proyectados [149].La estimacion analıtica de nmax nos da:

〈nmax〉 = 〈a†a〉+ 5〈∆a†a〉 =

= Nγ2

(1−

(√ωω0

2γ

)4)

+ 5

√√√√Nγ2

(1−

(√ωω0

2γ

)4)

(6.4)

Podemos comparar este ajuste con nuestro resultados numericos. Esto se muestra en la figura6.6. El comportamiento encontrado es una cota para el valor esperado calculado analıtica-mente. Esto fortalece los resultados para la base de Fock y los resultados de la comparacionentre ambas bases.

6.1.3. Truncamiento contra precision

Por ultimo, antes de analizar la convergencia en los estados excitados y las funciones deonda, podemos seleccionar la precision que queramos en el estado base, conociendo que tanrapido ∆E se va a cero al incrementar nmax y Nmax. Para varios j representativos y conγ = 0.5, en resonancia, se muestran los resultados en la figura 6.7.mClaramente, incrementar la precision en la energıa usando la base de Fock demanda un nmaxmas grande al incrementar j. En la base coherente, los valores requeridos son mas pequenos y

106

5 10 15 20 25 nmax0

2

4

6

8

10

-Log10HDEFL

2 4 6 8 10 12 14 Nmax0

2

4

6

8

10

-Log10HDECL

Figura 6.7: Convergencia ∆E como funcion de nmax (derecha) and Nmax (izquierda). Deizquierda a derecha, j = 1 (azul), 5, 10, 20, 30 and 40 (verde). Para γ = 0.5, ω0 = ω = 1.

parecen ser bastante independientes de j en los casos analizados, incluso es claramente linealen las coordenadas semilogarıtmicas. Un ajuste para j = 40 nos da la siguiente relacion entreNmax y ∆EC :

−Log10∆EC = 0.278 + 0.732Nmax ⇒ ∆EC = 0.526 10−0.732Nmax (6.5)

Hasta el momento, en terminos de la convergencia en la energıa hemos mostrado que la BCEes la mejor opcion para resolver el estado base. Ahora, veremos lo que sucede con los estadosexcitados.

6.2. Convergencia en los estados excitados

Siguiendo el mismo criterio de convergencia usado para el estado base, extendemos el estudiodel truncamiento para los estados excitados. Esto es un paso crucial puesto que tener unabuena cantidad de estados excitados convergidos permite realizar estudios del espectro. Estosresultados se pueden ver en la figura 6.8 para el estado base y los primeros excitados. Podemosver que para la base de Fock obtenemos algo muy similar: entre mas excitado este el estado,mayor es la dimensionalidad requerida para la convergencia al aumentar el acoplamiento yel numero de atomos. En cambio, para la BCE los resultados son asombrosos. Con solo unvalor para el truncamiento, podemos asegurar la convergencia de varios estados excitados.Para j = 20 representa un factor de 8 en el tamano de la matriz a diagonalizar.Con el fin de explorar para cuantos estados excitados las energıas pueden ser estimadas conprecision, en la figura 6.9 se muestran las diferencias de energıa ∆E como funcion del k-esimoestado para ambas bases, tanto en coordenadas lineales como en semilogarıtmicas. Es claroque hay muy pocos estados con energıas convergidas al emplear la base de Fock mientrasque hay mas de cien calculados con la precision deseada en la base coherente.Un recuento cuantitativo de estos resultados se resume en la tabla 6.1. Se muestra el numerode estados cuya ∆E es menor que una tolerancia ε para j y nmax o Nmax. Las dos toleranciaempleadas son ε1 = 10−6 y ε2 = 10−4.Vemos que el numero de estados convergidos, para un numero de atomos dado, es pormucho mas grande en la BEC que en la base de Fock. Ademas, para la BEC, ∆E aumenta

107

5 10 15 20 j0

20

40

60

80nmax

5 10 15 20 25 30 35 40 j0

5

10

15

20

nmax

5 10 15 20 j0

5

10

15

Nmax

5 10 15 20 25 30 35 40 j0

5

10

15

20

Nmax

Figura 6.8: nmax y Nmax como funciones de j para el estado base (azul) y los primerosestados excitados (rojo, cafe, morado). (Arriba) para la base de Fock con (izquierda) γ = 0.5y (derecha) γ = 1.0. (Abajo) para la BEC en esos mismos valores del acoplamiento. Calculadocon ω0 = ω = 1 y tolerancia = ε = 10−6.

108

500 1000 1500k

1

2

3

4

5

6

DEF

20 40 60 80 100 120 140k

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

Log10HDEFL

500 1000 1500k

2

4

6

8

10

DEC

20 40 60 80 100 120 140k

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

Log10HDECL

Figura 6.9: ∆E para todos los estados donde k es un ındice que numera los estados. Conj = 40, γ = 0.5, ω0 = ω = 1, nmax = Nmax = 20 and ε = 10−6. (Derecha) ∆E para todoslos estados, (izquierda) un acercamiento en coordenadas semilogartimicas de los estadosconvergidos, cuya ∆E es menor que la tolerancia ε. (Arriba) usando la base de Fock, (abajo)usando la BEC.

109

ε1 ε2j nmax/Nmax Fock BCE Fock BCE10 10 0 10 2 2510 15 3 38 9 6910 20 11 81 25 130

20 10 0 12 2 2920 15 1 43 4 7920 20 6 101 13 156

40 10 0 13 0 3040 15 0 51 2 9040 20 2 113 5 180

Cuadro 6.1: Numero de estados cuya ∆E es menor que una tolerancia ε para diferentesnumeros de atomos y acoplamientos en ambas bases. Tolerancias ε1 = 10−6 and ε2 = 10−4,γ = 0.5, ω = ω0 = 1.0.

lentamente y en una forma mucho mas suave con los estados excitados de lo que lo hace conla base de Fock donde fluctua fuertemente. El numero de estados convergidos reportado secuenta desde el estado base hasta el primer estado excitado cuya diferencia de energıa seamayor que la tolerancia numerica elegida. La posibilidad y ventaja de estudiar el espectroempleando la BEC es evidente. Aquellos estados convergidos con una precision menor a 10−6

con nmax = Nmax = 15 para j = 10 son solo 3 para la base de Fock y 38 para la BEC, esdecir, un factor de 10; para j = 20 son 1 a 43 y para j = 40 ninguno a 51.

6.3. Convergencia en la funcion de onda

Al resolver un problema cuantico de muchos cuerpos usualmente encontrar numericamentela energıa del estado base demanda menos recursos que los necesarios para obtener la funcionde onda con una precision similar. La funcion de onda del k-esimo estado excitado expresadaen la base de Fock o en la BCE, dados j y el truncamiento correspondiente nmax o Nmax es,

|Ψ1F 〉 =

nmax∑n=0

j∑m=−j

C1,Fm,n|n; j,m〉, y |Ψ1

C〉 =Nmax∑N=0

j∑m=−j

C1,Cm,N |N ; j,m〉. (6.6)

Lo que nos interesa para estudiar la convergencia en la funcion de onda es la distribucion deleigenestado sobre la base en la que se esta diagonalizando, explıcitamente sobre el espaciode numero correspondiente. Es por eso que nos interesa calcular la probabilidad Pn de tenern fotones para el k-esimo estado en la base de Fock,

Pn = |〈n|Ψ1F 〉|2 =

∑m

|C1,Fm,n|2. (6.7)

110

0 2 4 6 8 10 n0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0Pn

j=5, Γ=0.5

0 5 10 15 n0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0Pn

j=10, Γ=0.5

0 5 10 15 20 25 30 n0.00

0.05

0.10

0.15

0.20Pn

j=5, Γ=1.0

0 10 20 30 40 50 n0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10Pn

j=10, Γ=1.0

Figura 6.10: Pn como funcion de n para el estado base calculado en la base de Fock. (Arriba,izquierda) γ = 0.5, j = 5 and nmax = 10; (arriba, derecha) γ = 0.5, j = 10 and nmax = 15;(abajo izquierda) γ = 1.0, j = 5, and nmax = 30; (abajo, derecha) γ = 1.0, j = 10, andnmax = 50. Todos los resultados con ω = ω0 = 1, con tolerancia ε = 10−6.

y, de forma similar, la probabilidad PN de tener N fotones para el k-esimo estado en la BCE,

PN = |〈N |Ψ1C〉|2 =

∑m

|C1,Cm,N |

2 (6.8)

En la figura 6.10 se muestra la distribucion de probabilidad para el estado base como funciondel truncamiento para la base de Fock usando dos acoplamientos representativos γ = 0.5and 1.0 y en la figura 6.11 lo mismo para la BCE.En todas las graficas de las figuras 6.10 y 6.11 las coordenadas independientes n o N songraficadas hasta su valor maximo nmax o Nmax. Es claro que en la medida en la que lascomponentes contribuyen a la funcion de onda deben ser incluidas en el calculo para obtenerla precision deseada en la energıa de cada estado. Se puede observar de las figuras que paraγ = 0.5, el acoplamiento crıtico, la probabilidad mas grande es no tener fotones en la basede Fock o cero excitaciones en la BCE. En la region superradiante con γ = 1.0 la situaciones diferente. En la base de Fock la distribucion parece una curva Gaussiana, con su maximoen el numero de fotones proporcional al numero de atomos, mientras que en la base cohe-

111

0 2 4 6 8 N0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0PN

j=5, Γ=0.5

0 2 4 6 8 N0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0PN

j=10, Γ=0.5

0 2 4 6 8 10 12 N0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0PN

j=5, Γ=1.0

0 2 4 6 8 N0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0PN

j=10, Γ=1.0

Figura 6.11: PN como funcion de N para el estado base calculado en la BCE. (Arriba,izquierda) γ = 0.5, j = 5 and Nmax = 7; (arriba, derecha) γ = 0.5, j = 10 and Nmax = 7;(abajo izquierda) γ = 1.0, j = 5, and Nmax = 11; (abajo, derecha) γ = 1.0, j = 10, andNmax = 8. Todos los resultados con ω = ω0 = 1, con tolerancia ε = 10−6.

112

0 2 4 6 8 10 n0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0Pn

j=5, Γ=0.5

0 5 10 15 n0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0Pn

j=10, Γ=0.5

0 5 10 15 20 25 30 n0.00

0.05

0.10

0.15

0.20Pn

j=5, Γ=1.0

0 10 20 30 40 50 n0.00

0.05

0.10

0.15

0.20Pn

j=10, Γ=1.0

Figura 6.12: Pn como funcion de n para el quinto excitado calculado en la base de Fock.(Arriba, izquierda) γ = 0.5, j = 5 and nmax = 10; (arriba, derecha) γ = 0.5, j = 10 andnmax = 15; (abajo izquierda) γ = 1.0, j = 5, and nmax = 30; (abajo, derecha) γ = 1.0,j = 10, and nmax = 50. Todos los resultados con ω = ω0 = 1, con tolerancia ε = 10−6.

rente la probabilidad de tener cero excitaciones permanece dominante. Este es el poder dela base coherente, la que permite obtener numericamente las funciones de onda cuando serıaimpracticable con la base de Fock.

Igualmente que con el estado base, vemos las funciones de onda para el quinto estado ex-citado. En la base de Fock la forma Gaussiana se mantiene solo para el estado base y elprimer excitado. Para los estados excitados en cambio, Pn la distribucion es una combina-cion de varias Gaussianas como puede verse en la figura 6.12. Explica el porque se necesitaun truncamiento grande para la convergencia: este debe ser lo suficientemente grande comopara cubrir todas las Gaussianas participantesPor otra parte, en la figura 6.13 se muestran los resultados de PN para el mismo estadoexcitado. En este caso la distribucion esta localizada, con su maximo en dos excitacionesno en cero excitaciones como en el estado base. Sin embargo, sigue manteniendose que unnumero pequeno de excitaciones permite la descripcion del quinto estado excitado en la BCE.Es quiza esta propiedad de que las distribuciones de las funciones de onda esten localizadas

113

0 2 4 6 8 N0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0PN

j=5, Γ=0.5

0 2 4 6 8 N0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0PN

j=10, Γ=0.5

0 2 4 6 8 10 12 N0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0PN

j=5, Γ=1.0

0 2 4 6 8 N0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0PN

j=10, Γ=1.0

Figura 6.13: PN como funcion de N para el quinto excitado calculado en la BCE. (Arriba,izquierda) γ = 0.5, j = 5 and Nmax = 7; (arriba, derecha) γ = 0.5, j = 10 and Nmax = 7;(abajo izquierda) γ = 1.0, j = 5, and Nmax = 11; (abajo, derecha) γ = 1.0, j = 10, andNmax = 8. Todos los resultados con ω = ω0 = 1, con tolerancia ε = 10−6.

114

lo que hace que se requiera un truncamiento menor que en la base de Fock.Con esto hemos mostrado que la BCE requiere truncamientos pequenos en las regiones masimportantes de los parametros del Hamiltoniano ası como a lo largo del espectro confiandoen la convergencia en terminos de la energıa. Sin embargo, el criterio de convergencia de laenergıa presenta algunas complicaciones. Por eso, se propondra en la siguiente seccion uncriterio de convergencia basado en la funcion de onda.

6.3.1. Criterio de convergencia en la funcion de onda

El analisis de la convergencia tambien puede ser realizado pidiendo convergencia en la funcionde onda. Por eso es util estudiar el traslape entre la funcion de onda del k-esimo estadocalculada con nmax, Ψk

F (nmax), y la obtenida con nmax + 1, denotada por Ψ1F (nmax + 1).

Definimos el criterio de precision en la funcion de onda como,

∆PF ≡ 1−∣∣〈Ψ1

F (nmax + 1)|Ψ1F (nmax)〉

∣∣= 1−

∣∣∣∣∣nmax∑n=0

j∑m=−j

C1,Fn,m(nmax + 1)C1,F

n,m(nmax)

∣∣∣∣∣≤ 1−

nmax∑n=0

j∑m=−j

∣∣C1,Fn,m(nmax + 1)

∣∣2∆PF =

j∑m=−j

∣∣∣C1,Fnmax+1,m(nmax + 1)

∣∣∣2 .Por supuesto hay una definicion para la precision en la BCE, ∆PC calculada en la basecoherente.

∆PC ≤j∑

m=−j

∣∣∣C1,CNmax+1,m(Nmax + 1)

∣∣∣2 . (6.9)

Usaremos la igualdad para obtener una cota superior a la precision de las funciones de ondacalculadas con ambas bases. Este es un criterio de convergencia que presenta una gran ventajacon respecto al criterio de la energıa: requiere menos recursos computaciones porque solonecesita la informacion de un valor del truncamiento (nmax) en vez de dos (nmax and nmax +1). Pero antes de usarlo debemos mostrar que efectivamente nos da informacion adecuadacomo criterio de convergencia. En la figura 6.14 se muestran las graficas del −Log10(∆PF )y −Log10(∆PC) como funcion de nmax y Nmax, respectivamente para el estado base; con elfin de observar que tan rapida va la convergencia como funcion del truncamiento. Como sepuede ver se parecen mucho a las graficas que tenıamos anteriormente para ∆E, indicandonuevamente la ventaja de usar la base coherente, y, a la vez, que el comportamiento delcriterio es el esperado.Como en el caso de ∆E podemos hacer un ajuste lineal para ∆PC respecto de Nmax paraj = 40,

−Log10 (∆PC) = 1.45 + 0.811Nmax ⇒ ∆PC = 0.0354 10−0.811Nmax . (6.10)

115

5 10 15 20 25 nmax0

2

4

6

8

10

-Log10HDPFL

2 4 6 8 10 12 Nmax0

2

4

6

8

10

-Log10HDPCL

Figura 6.14: Convergencia ∆P como funcion de nmax (derecha) and Nmax (izquierda). Deizquierda a derecha, j = 1 (azul), 5, 10, 20, 30 and 40 (verde). Para γ = 0.5, ω0 = ω = 1.

0 2 4 6 8 10-Log10HDEFL0

2

4

6

8

10

-Log10HDPFL

0 2 4 6 8 10-Log10HDECL0

2

4

6

8

10

-Log10HDPCL

Figura 6.15: ∆P como funcion de ∆E para las dos bases. como en las figuras 6.7 y 6.15tenemos j = 1 (azul), 5, 10, 20, 30 and 40 (verde). Para γ = 0.5, ω = ω0 = 1.

Con lo que vemos que la precision aumenta rapidamente para el truncamiento. Ası, podemosfinalmente encontrar una correspondencia entre los dos criterios. La figura 6.15 muestra lasfiguras para −Log10(∆P ) vs −Log10(∆E) para ambas bases para el estado base con j = 40.Vemos que para ambas bases la relacion entre los criterios de convergencia es muy cercanaa un comportamiento lineal. Exhibe entonces que los dos criterios de convergencia son equi-valentes en ambas bases. Un ajuste lineal para cada caso en la figura 6.15 nos da ∆E enfuncion de ∆P ,

−Log10 [∆PF (nmax)] = −0.607− 0.859 Log10 [∆EF (nmax)]

⇒ ∆PF (nmax) = 4.04 [∆EF (nmax)]0.859 (6.11)

−Log10 [∆PC(Nmax)] = −0.809− 0.863 Log10 [∆EC(Nmax)]

⇒ ∆PC(Nmax) = 6.44 [∆EC(Nmax)]0.863 (6.12)

Concluimos entonces que ambos criterios de convergencia son equivalentes y que podemosusarlos de acuerdo a los intereses especıficos de cada calculo. Sin embargo, dado que el criterio∆P necesita menos recursos por depender solo de un valor del truncamiento es mucho massencillo. Finalmente, en la figura 6.16 mostramos la grafica de ∆P como una funcion delk-esimo estado, como lo hicimos antes con ∆E en la figura 6.9. En este ejemplo, empleamosj = 40, γ = 0.5, ω = ω0 = 1, Nmax = 20, and ε = 10−6.

116

500 1000 1500 k0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

DPF

20 40 60 80 100 120 140k

-10

-8

-6

-4

-2

0

Log10HDPFL

500 1000 1500 k0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

DPC

20 40 60 80 100 120 140k

-15

-10

-5

0

Log10HDPCL

Figura 6.16: ∆P para todos los estados donde k es un ındice que numera los estados. Conj = 40, γ = 0.5, ω0 = ω = 1, nmax = Nmax = 20 and ε = 10−6. (Derecha) ∆E para todoslos estados, (izquierda) un acercamiento en coordenadas semi-logarıtmicas de los estadosconvergidos, cuya ∆P es menor que la tolerancia ε. (Arriba) usando la base de Fock, (abajo)usando la BEC.

117

2 4 6 8 10 12 14-Log10HDECL2

4

6

8

10-Log10HDPCL

Figura 6.17: ∆PC contra ∆EC para los primeros 250 estados, cuya convergencia esta bajoε2 = 10−4. Con j = 40, γ = 0.5, ω0 = 1, Nmax = 20

Es remarcable observar que un truncamiento pequeno de la BCE permite calcular cientos deestados con sus funciones de onda convergidas, y que ∆PC , para estos estados crece en unaforma suave y casi monotona como funcion del ındice k. Este no es el caso con la base deFock, donde ∆PF fluctua en ordenes de magnitud entre un estado dado y el siguiente.

En la figura 6.17 se muestra ∆PC versus ∆EC en escala logarıtmica para los primeros 250estados excitados cuya convergencia es con la BCE ∆E < 1×10−4. Un ajuste lineal de estosdatos es,

−Log10 [∆PC(k)] = 0.71077− 1.10337 Log10 [∆EC(k)]

⇒ ∆PC = 0.19464 [∆EC(k)]1.10337 (6.13)

El numero de estados cuya ∆P es menor que una tolerancia ε para j y nmax o Nmax sepresenta en la tabla 6.2. Las dos tolerancias seleccionadas son ε1 = 10−6 y ε2 = 10−4 conγ = 0.5 y ω = ω0 = 1.

Las ventajas asociadas con el uso de la BCE son aun mas claras en este caso porque el numerode estados cuya funcion de onda ha convergido con la tolerancia seleccionada es mayor queaquellos cuyas energıas han convergido. Debe mencionarse que, sin embargo, la precision en∆P es absoluta porque en el mejor caso para un estado completamente convergido es cero,y en la peor situacion, para funciones de onda completamente diferentes, su valor es uno. Alcontrario, la escala de energıa es arbitraria y puede tener valores positivos y negativos inclusopara energıas cercanas a cero. Esto hace uso del error relativo usado en [95, 169] peligrosocuando la energıa de referencia es muy pequena. Pero para los valores energeticos de losestados excitados un valor fijo de la tolerancia implica que es necesario tener mas dıgitossignificativos en la energıa calculada, complicando las cosas a energıas altas. Por esta razon elcriterio ∆E es menos flexible que el de ∆P : cada estado excitado con energıa convergida tienela garantıa de la convergencia en la funcion de onda. La BCE resulta entonces prometedorapara el estudio del espectro.

118

ε1 ε2j nmax/Nmax Fock BCE Fock BCE10 10 1 18 4 3710 15 7 55 15 9110 20 20 112 39 166

20 10 0 21 2 4320 15 3 65 8 10620 20 8 136 20 193

40 10 0 23 0 4840 15 1 70 4 13140 20 4 154 12 241

Cuadro 6.2: Numero de estados cuyo ∆P es menor que la tolerancia ε para j y nmax y Nmax.Tolerancias ε2 = 10−6 y ε2 = 10−4, γ = 0.5, ω = ω0 = 1.

6.4. Aplicacion: Susceptibilidad de la Fidelidad

Como aplicacion del uso de la BCE veremos como identificar QPT usando la herramientaconocida como Fidelidad. Esta es un concepto que emerge de la teorıa de la informacioncuantica y puede ser usada para determinar un cambio repentino en el estado base de unsistema cuantico como funcion de un parametro de control. En anos recientes se ha convertidoen una poderosa herramienta para el estudio de las QPT en sistemas cuanticos de muchoscuerpos [174]. La Fidelidad describe el traslape entre dos estados cuanticos. Consideremosun sistema cuantico de muchos cuerpos con Hamiltoniano,

H(γ) = H0 + γ H1. (6.14)

Donde H1 es un Hamiltoniano de interaccion y γ es un parametro de control. Sea |ψ(γ)〉 uneigenestado de H(γ) y |ψ(γ′)〉 un eigenestado de H(γ′). La Fidelidad entre estos dos estadosesta dada por:

F (γ, γ′) = |〈ψ(γ)|ψ(γ′)〉| . (6.15)

La Fidelidad mide la cantidad de informacion compartida entre los dos estados cuanticosconsiderados, siendo su interpretacion geometrica la cercanıa entre estos estados, es decir, laFidelidad se puede considerar como la distancia en el espacio de estados. Siendo la QPT uncambio abrupto en las propiedades del sistema cuando el parametro de control cambia, unmınimo en la fidelidad permite localizarla y caracterizarla. Aun mejor, la segunda derivadade la Fidelidad, conocida como Susceptibilidad de la Fidelidad, es mas sensible a la QPT. Sidesarrollamos en serie de Taylor la Fidelidad alrededor de su mınimo para |γ − γ′| pequenotendremos,

F (γ, γ′) = 1− (γ − γ′)2

2χF + ..., (6.16)

con lo que la susceptibilidad de la Fidelidad resulta,

χF = lımγ−γ′→0

−2 ln(F (γ, γ′))

(γ − γ′)2=

2(1− ln(F (γ, γ′))

(γ − γ′)2. (6.17)

119

çç

çç

çç

ç

ç

ç

ç

ç

ç

ç

ç

ç

ç

ç

ç

ç

çç ç

ç

ç

ç

ç

ç

ç

ç

ç

ç

ç

ç

çç

çç

çç

çç

ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç

òò

òò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

òò

òò

òò

òò

òò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò

óó

ó

ó

ó

ó

ó

ó

ó

ó

ó

ó

ó

ó

ó

ó

óó

ó

ó

ó

ó

ó

ó

ó

ó

ó

ó

ó

ó

ó

óó

óó

óó

óó

óó

óó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó

ó ó

à

à

à

à

à

à

à

à

à

à

à

à

à

à

à

àà

à

à

à

à

à

à

à

à

à

à

à

à

à

àà

àà

àà

àà

àà

àà

àà à à à à à à à à à à à à à à à à à

á

á

á

á

á

á

á

á

á

á

á

á

á

á

áá

á

á

á

á

á

á

á

á

á

á

á

á

á

á

áá

áá

áá

áá

áá

áá

áá

áá á á á á á á á á á á á á

0.52 0.54 0.56 0.58 0.60Γ

0.9970

0.9975

0.9980

0.9985

0.9990

0.9995

1.0000

FHΓ,Γ+dΓL

Figura 6.18: Fidelidad como funcion del acoplamiento. Con γ de γc = 0.5 a 0.6, dγ = 0.001,ω0 = ω = 1 y N = 100, 120, 140, 160, 180, 200 (de arriba hacia abajo). Nmax = 8.

Es util elegir γ′ = γ + dγ con el fin de calcular correctamente el lımite.Por otra parte, en el lımite termodinamico, la Fidelidad se va a cero en la QPT, mientras quela Susceptibilidad se va a infinito. Para sistemas finitos, el valor mınimo de la Fidelidad y elvalor maximo de su Susceptibilidad indican el precursor de la QPT. Es por eso que calcularel comportamiento de estas cantidades en funcion del numero de atomos N nos permiteencontrar exponentes crıticos de la transicion [175, 66].Finalmente, podemos obtener curvas universales para algunas observables como la Fideli-dad o su Susceptibilidad [176]. Para un analisis de escalamiento finito podemos definir unacantidad universal llamada la susceptibilidad especıfica [177],

χs =χF (γmax)− χF (γ)

χF (γ)(6.18)

Esto nos permite comparar cantidades sin importar el numero de atomos.Calculamos estas cantidades como funcion del acoplamiento para el estado base, resolviendonumericamente el Hamiltoniano usando la BCE. En las figuras 6.18 y 6.19 se muestran losresultados para la fidelidad usando distintos valores del numero de atomos y en las figuras6.20 y 6.21 lo mismo pero para la susceptibilidad de la fidelidad.Podemos localizar el valor del acoplamiento para el cual ocurre el precursor de la transicionde fase cuantica -solo en el lımite termodinamico es γc =

√ωω0/2. Este valor es el maximo

de la susceptibilidad y el mınimo de la fidelidad y lo llamamos γmax. En la figura 6.22 elvalor de γmax se muestra para cada N en una escala logarıtmica. Un ajuste lineal nos da,

Log10 (γmax − γc) = −0.285094− 0.668233Log10 (N ) ,

(γmax − γc) = 0.518688N−0.668223.(6.19)

De donde podemos obtener el exponente crıtico de la transicion ν = 0.668223 ' 2/3, que seencuentra acorde con resultados previos [175, 66].

120

ì ìì

ìì

ì

ì

ì

ì

ì

ìì ì

ì

ì

ì

ìì

ìì

ì ì ì ì ì ì ì

íí

í

í

í

í

í

í

í

íí

í

í

í

í

íí

íí í í í í í í í í

ôô

ô

ô

ô

ô

ô

ô

ô

ô

ô

ô

ô

ô

ôô

ôô

ô ô ô ô ô ô ô ô ô

õ

õ

õ

õ

õ

õ

õ

õ

õ

õ

õ

õ

õ

õõ

õõ

õõ

õ õ õ õ õ õ õ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

ææ

ææ

ææ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

ææ

æ

0.505 0.510 0.515 0.520 0.525Γ

0.975

0.980

0.985

0.990

0.995

1.000

FHΓ,Γ+dΓL

Figura 6.19: Fidelidad como funcion del acoplamiento. Con γ de γc = 0.5 a 0.6, dγ = 0.001,ω0 = ω = 1 y N = 300, 400, 500, 600, 800 and 1000 (de arriba hacia abajo). Nmax = 8.

çç

çç

çç

ç

ç

ç

ç

ç

ç

ç

ç

ç

ç

ç

ç

ç

çç ç

ç

ç

ç

ç

ç

ç

ç

ç

ç

ç

ç

çç

çç

çç

çç

ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç

òò

òò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

òò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

òò

òò

òò

òò

òò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò

óó

ó

ó

ó

ó

ó

ó

ó

ó

ó

ó

ó

ó

ó

ó

ó ó

ó

ó

ó

ó

ó

ó

ó

ó

ó

ó

ó

ó

ó

óó

óó

óó

óó

óó

óó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó

ó

à

à

à

à

à

à

à

à

à

à

à

à

à

à

à

àà

à

à

à

à

à

à

à

à

à

à

à

à

à

àà

àà

àà

àà

àà

àà

àà

à à à à à à à à à à à à à à à à

á

á

á

á

á

á

á

á

á

á

á

á

á

á

á

á

á

á

á

á

á

á

á

á

á

á

á

á

á

á

áá

áá

áá

áá

áá

áá

áá

áá

á á á á á á á á á á á

0.50 0.52 0.54 0.56 0.58 0.60Γ

1000

2000

3000

4000

5000

6000ΧHΓL

Figura 6.20: Susceptibilidad de la fidelidad como funcion del acoplamiento. Con γ de γc = 0.5a 0.6, dγ = 0.001, ω0 = ω = 1 y N = 100, 120, 140, 160, 180, 200 (de arriba hacia abajo).Nmax = 8.

121

ì ìì

ìì

ì

ì

ì

ì

ì

ì ìì

ì

ì

ì

ìì

ìì

ì ì ì ì ì ì

íí

í

í

í

í

í

í

í í

í

í

í

í

íí

íí

í í í í í í í í

ô

ô

ô

ô

ô

ô

ô

ôô

ô

ô

ô

ô

ô

ôô

ôô

ô ô ô ô ô ô ô ô

õ

õ

õ

õ

õ

õ

õ õ

õ

õ

õ

õ

õ

õõ

õõ

õõ

õ õ õ õ õ õ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

ææ

ææ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

ææ

0.500 0.505 0.510 0.515 0.520 0.525Γ

10 000

20 000

30 000

40 000

50 000

ΧHΓL

Figura 6.21: Susceptibilidad de la fidelidad como funcion del acoplamiento. Con γ de γc = 0.5a 0.6, dγ = 0.001, ω0 = ω = 1 y N = 300, 400, 500, 600, 800 y 1000 (de arriba hacia abajo).Nmax = 8.

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

2.2 2.4 2.6 2.8 3.0Log10HNL

-2.5

-2.0

Log10HΓMax-ΓcL

Figura 6.22: Log10 (γmax) como funcion de Log10 (N ). Con N de 100 a 1000. γc = 0.5. Elajuste lineal se coloca en rojo.

122

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

400 600 800 1000 N

-0.010

-0.008

-0.006

-0.004

-0.002

Log10HFMinL

Figura 6.23: Log10(Fmin) como funcion de N . Con N de 100 a 1000. γc = 0.5. El ajuste aorden cuadratico se muestra en rojo.

En la figura 6.23 el logaritmo del valor mınimo de la Fidelidad log10 (Fmin) se grafica contrael logaritmo del numero de atomos.El ajuste cuadratico de los puntos es:

Log10(Fmin) = 0.000351536− 6.90731× 10−6N − 4.23857× 10−9N 2. (6.20)

Esperamos que al incrementar el numero de atomos, el coeficiente del termino cuadratico sevaya a cero. En otra palabras, que la contribucion cuadratica solo sea requerida para valorespequenos de N . Por otra parte, en la figura 6.24 se muestra el logaritmo del valor maximode la susceptibilidad de la fidelidad χFmax como funcion del logaritmo del numero de atomos.Al ajustar linealmente la curva logarıtmica entre el maximo de la susceptibilidad y N obte-nemos:

Log10

(χFmax

)= 0.579291 + 1.36739Log10 (N ) ,

χFmax = 3.79569N 1.36739.(6.21)

El exponente crıtico en este caso es 1.36739 ' 4/3 acorde con los que se encuentran enotros modelos similares como el modelo de Lipkin-Meshkov-Glick [99], y que pertenecen ala misma clase de universalidad [178, 179]. Finalmente, calculamos la curva universal de lasusceptibilidad especıfica para todo valor de N . Mostramos los resultados en la figura 6.25.Esta curva universal garantiza que el exponente crıtico calculado es correcto, pues la curvaconverge para todos los valores de N alrededor del acoplamiento crıtico del modelo finitoγmax. Estos resultados coinciden con los de [96]. Con esto hemos calculado la fidelidad y sususceptibilidad para el estado base y ajustando logarıtmicamente las curvas como funciondel numero de atomos N , hemos encontrado los exponentes crıticos de la transicion,

(γmax − γc) ' N−0.668223 ' N−2/3 and χFmax ' N1.36739 ∼ N4/3. (6.22)

123

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

2.2 2.4 2.6 2.8 3.0Log10HNL

3.6

3.8

4.0

4.2

4.4

4.6

Log10H ΧMaxF L

Figura 6.24: Log10

(χFmax

)como funcion de Log10 (N ). Con N de 100 a 1000. γc = 0.5. El

ajuste lineal se muestra en rojo.

á

á

á

á

á

á

á

á

á

á

á

á

á

á

á

á

áá

áá

áááááááá

áá

áá

áá

áá

áá

áá

áá

áá

áá

áá

áá

áá

áá

áá

áá

áá

áá

áá

áá

áá

áá

áá

áá

áá

áá

áá

áá

áá

áá

áá

áá

áá

áá

áá

áá

á

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

òò

òò

òòòòòòòò

òò

òò

òò

òò

òò

òò

òò

òò

òò

òò

òò

òò

òò

òò

òò

òò

òò

òò

òò

òò

òò

òò

òò

òò

òò

òò

òò

òò

òò

òò

òò

òò

òò

òò

òò

ò

ó

ó

ó

ó

ó

ó

ó

ó

ó

ó

ó

ó

ó

óó

ó ó ó óó

óó

óó

óó

óó

óó

óó

óó

óó

óó

óó

óó

óó

óó

óó

óó

óó

óó

óó

óó

óó

óó

ó ó ó óó

ó

à

à

à

à

à

à

à

à

à

à

à

à

àà

à à à àà

àà

à

à

à

à

àà

àà

àà

àà

àà

àà

àà

àà

àà

àà

àà

àà

àà

àà

àà

àà

àà à

á

á

á

á

á

á

á

á

á

á

á

áá

á á á áá

áá

á

á

á

á

áá

áá

áá

áá

áá

áá

áá

áá

áá

áá

áá

áá

áá

áá

áá

áá

á

ì

ì

ì

ì

ì

ì

ì

ì

ì

ìì ì ì

ìì

ì

ì

ì

ì

ìì

ìì

ìì

ìì

ìì

ìì

ìì

ìì

ìì

ìì

ìì

í

í

í

í

í

í

í

íí í

íí

í

í

í

í

íí

íí

íí

íí

íí

íí

íí

íí í

ô

ô

ô

ô

ô

ô

ôô ô

ô

ô

ô

ô

ô

ôô

ôô

ôô

ôô

ôô

ôô

ô

õ

õ

õ

õ

õ

õõ õ

õ

õ

õ

õ

õ

õõ

õõ

õõ

õõ

õõ

õõ

æ

æ

æ

æ

æ

ææ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

ææ

ææ

æ

æ

æ

æ

æ

æ æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

ææ

æ

-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 N23HΓ-ΓmaxL

2

4

6

8

10

ΧS

Figura 6.25: Curva universal para χS como funcion de N ν (γ − γmax). Con N de 100 a 1000.γc = 0.5, α = 2/3.

124

6.5. Conclusiones del capıtulo 6

Hemos mostrado que empleando la base coherente eficiente, las eigenenergıas y las eigenfun-ciones se pueden encontrar para el estado base y los estados excitados del Hamiltoniano deDicke, con un truncamiento mucho mas pequeno para muchos atomos y con una cantidadmucho mayor de estados excitados que en el caso de utilizar la base de Fock. Estos resulta-dos son particularmente relevantes en la fase superradiante. Vimos tambien que la BCE nospermitio calcular con facilidad a traves de la fidelidad y su susceptibilidad los exponentescrıticos de la QPT. En lo que sigue veremos la ventaja de usar esta base numerica paraextender el analisis sobre el espectro donde veremos el siguiente fenomeno crıtico en el mo-delo de Dicke la transicion de fase cuantica de estados excitados, ası como tambien el caoscuantico. Todos estos resultados fueron reportados en [168, 172, 173, 180].

125

126

Capıtulo 7

El Espectro, el caos y la ESQPT

En este capıtulo y el siguiente estudiaremos las propiedades del espectro del Hamiltoniano deDicke. Primero, hablaremos un poco sobre el concepto de caos clasico y el de caos cuanticosenalando la forma tıpica de cuantificarlos. Despues de eso, extenderemos la base coherenteeficiente para que nos posibilite el calculo de la estadıstica de niveles al considerar la paridaddel Hamiltoniano. Despues presentaremos las redes de Peres, una herramienta visual de granimportancia en este este trabajo. Veremos las redes de Peres tanto del Hamiltoniano deTavis-Cummings como del de Dicke.

7.1. Caos y regularidad

7.1.1. Integrabilidad y caos clasico

La nocion de integrabilidad proviene de la fısica clasica. Un sistema clasico integrable esaquel que tiene tantas cantidades conservadas como grados de libertad. Como menciona-mos anteriormente, se dice entonces que se puede resolver exactamente porque en muchoscasos, su movimiento se puede reducir a cuadraturas. Sus trayectorias en el espacio faseson orbitas regulares que se restringen a toros. La no integrabilidad en un sistema clasi-co esta fuertemente ligada al caos [181, 182]. Suponiendo una funcion hamiltoniana clasicaH0 integrable, podemos hacer que la integrabilidad se pierda paulatinamente al anadir untermino perturbativo H1 tal que los parentesis de Poisson no sean cero con la Hamiltonianaoriginal (H0, H1 6= 0) a traves de la dependencia con algun parametro. La nueva funcionHamiltoniana es,

H = H0 + γ H1. (7.1)

Las cantidades conservadas pueden dejar de serlo porque ya no conmutan con la perturbacionH1 y entonces el sistema deja de ser integrable porque ya no tiene suficientes cantidadesconservadas como grados de libertad. Conforme la fuerza de la perturbacion se incrementa,los toros paulatinamente se destruyen y las orbitas regulares se convierten en orbitas caoticasaunque algunas de ellas persisten. Esto se conoce como el teorema de Kolmogorov-Arnold-Moser o Teorema KAM [183]. Lo que esto nos muestra es que existe una gran riqueza en el

127

espacio fase de los sistemas no integrables.Una forma muy util de visualizar esto es a traves de las secciones de superficie Poincare osecciones de Poincare. Una seccion de Poincare es un subespacio de menor dimension queel espacio fase del sistema que es transversal al flujo del sistema. De esta forma se observaen ella las intersecciones de una orbita periodica a partir de condiciones iniciales dentro dela seccion y se observa los puntos en los cuales la orbita regresa a la seccion. El resultadoes una superficie (tıpicamente de dos dimensiones) donde se pueden observar los puntosde interseccion. Si se emplea una seccion de Poincare para observar el comportamiento desistemas integrables, las trayectorias en el espacio fase se pueden ver como curvas regulares.Por otro lado, si se observan las trayectorias de sistemas no integrables, empezaran a aparecerpatrones irregulares, ahı donde se encontraban las orbitas del sistema integrable, hasta queel espacio fase representado por la seccion de Poincare, para perturbaciones fuertes, se cubredensamente por los puntos de las trayectorias.Como un comentario adicional, el caos en los sistemas cuanticos se puede cuantificar apartir del exponente de Lyapunov [184]. Esta cantidad es una medida de la divergenciaa primer orden entre dos trayectorias cercanas. De esta forma, cuando el exponente deLyapunov es cero, el sistema es regular. Pues las orbitas no se separaran entre sı en elespacio fase. En cambio, cuando el exponente de Lyapunov es positivo, la diferencia a primerorden entre las trayectorias diverge exponencialmente, esta es una de las caracterısticas masreconocibles del caos clasico: la sensibilidad a condiciones iniciales. Esto es el hecho de queuna ligera perturbacion en una condicion inicial puede terminar en una region del espaciofase completamente distinta de la de la condicion inicial. Sin embargo, en este trabajo noslimitaremos al estudio cualitativo del caos clasico a traves de las secciones de Poincare,dejando el estudio del exponente de Lyapunov para trabajos futuros.Para los sistemas cuanticos, en cambio, la definicion de integrabilidad no es tan clara comoen los sistemas clasicos. En gran medida porque no hay una definicion de caos cuanticocomo explicaremos en la siguiente seccion. Sin embargo, por lo que respecta a este trabajo,pensaremos la no integrabilidad de los sistemas cuanticos como en los sistemas clasicos:si hay suficientes cantidades conservadas como grados de libertad el sistema es integrable.Esto quiere decir que podemos etiquetar de manera natural con tantos numeros cuanticoscomo grados de libertad los eigenestados del sistema. Si esto no es posible, el sistema no esintegrable. Esta es solo una definicion operativa que, como veremos, se encuentra acorde conla comparacion que haremos entre el Hamiltoniano de Dicke y el de Tavis-Cummings.

7.1.2. Caos cuantico

Una de las interrogantes consiste en preguntarse que propiedades tienen los sistemas cuanti-cos cuyo lımite clasico es tal que no es integrable y que presentan caos clasico. La respuestano es trivial. Principalmente porque, si bien se puede asociar a los sistemas cuanticos un es-pacio fase, a traves de estados coherentes y de las distribuciones de quasiprobabilidad [185],no existen trayectorias en el espacio fase. En consecuencia, como casi todos los rasgos quecaracterizan al caos clasico estan en terminos de las trayectorias, en particular la sensibilidada condiciones iniciales, no se puede asociar caos en los sistemas cuanticos como en el sentido

128

clasico. En segundo lugar, el caos esta asociado fuertemente a la existencia de ecuacionesde movimiento no lineales. Pero, a diferencia de las ecuaciones de Hamilton, la ecuacion deSchrodinger es lineal, lo que, formalmente, imposibilita una dinamica caotica.A pesar de esto, el principio de correspondencia pide que en la region semiclasica, a esca-las mayores que la longitud de onda de De Broglie, la mecanica cuantica se convierta enla mecanica clasica [186]. Ası, la rama de la fısica que estudia como los sistemas dinami-cos caoticos clasicos pueden ser descritos en terminos de la mecanica cuantica y estudia lafrontera entre estos dos mundos a traves de su correspondencia, se denomina caos cuantico.Si bien, por muchos anos el caos cuantico fue un topico de interes meramente academico,con el desarrollo de tecnicas experimentales de manipulacion de sistemas cuanticos la opticacuantica hizo contacto con el caos cuantico, y ahora este se presenta como una fuente detecnicas novedosas para entender el control de la dinamica en sistemas cuanticos complejos[187].

7.1.3. Estadıstica de niveles

El caos implica impredictabilidad, fluctuaciones y la necesidad de realizar analisis estadısti-cos. Es por eso que, tradicionalmente el estudio del caos cuantico se realiza a traves dela estadıstica de niveles tambien conocida como dinamica de niveles [188]. El nombre de’dinamica’ proviene de que podemos considerar el parametro γ como un ’tiempo’, habiendode hecho un analogo directo entre la estadıstica de niveles y el analisis de series de tiempo[189]. En los analisis de niveles de energıa la serie se construye ordenandolos por energıascrecientes, de tal forma que el “contador de niveles” es lo que reemplaza al tiempo.Las medidas estadısticas para caracterizar el caos cuantico estan relacionadas ıntimamentecon el deseo de cuantificar los rasgos espectrales de los sistemas complejos. En particular,la Teorıa de Matrices Aleatorıas (Random Matrix Theory en ingles o RMT) [190], se desa-rrollo en la fısica nuclear para caracterizar los espectros de nucleos complejos. Con la teorıade matrices aleatorias se construyen Hamiltonianos donde las entradas de la matriz sonnumeros aleatorios. Sin embargo, estas matrices Hamiltonianas construidas aleatoriamentequedan clasificadas en tres clases de universalidad bajo la accion del operador de inversiontemporal,

Hamiltonianos sin simetrıa de inversion temporal se representan con matrices hermi-tianas invariantes bajo la accion de operadores unitarios.

Hamiltonianos con simetrıa de inversion temporal y sin interaccion de espines se re-presentan con matrices reales invariantes bajo la accion de operadores ortogonales.

Hamiltonianos con simetrıa de inversion temporal y con interaccion de espines se re-presentan con matrices reales de cuaterniones invariantes bajo la accion de operadoressimplecticos.

Para cada uno de ellos se define una distribucion particular de orden dos o gaussiano. Ası,el conjunto de todas las matrices aleatorias que obedezcan cada una de las distribuciones

129

-unitaria, ortogonal y simplectica- se denominan Gaussian Unitary Ensemble (GUE), Gaus-sian Orthogonal Ensemble (GOE) y Gaussian Symplectic Ensemble (GSE). Desde la teorıade la informacion los Gaussian Ensembles son los ensambles de matrices cuyas distribucionesde elementos continen la menor informacion para una varianza dada [186].Para varios sistemas se ha encontrado que su estadıstica de niveles se muestra de acuerdocon las predicciones del ’Ensemble’ Ortogonal Gaussiano (Gaussian Orthogonal Ensemble oGOE) de la RMT, sugiriendo que el fenomeno es generico para todos los sistemas caoticoscon esta simetrıa. De hecho, el resultado importante de la RMT es que las propiedadesestadısticas de muchos sistemas con Hamiltonianos desconocidos se pueden predecir usandolas matrices aleatorias de la clase adecuada. Esta hace a la RMT una herramienta util paracaracterizar espectros que requerirıan grandes esfuerzos para computar.Por otra parte, Bohigas, Gionnoni y Schmit conjeturaron que las propiedades de las fluc-tuaciones espectrales en la dinamica caotica de los sistemas cuanticos son universales y quecoinciden con las de la RMT [191]. Es ası como se identifica a los sistemas regulares de loscaoticos a partir de su distribucion del espaciamiento entre niveles tambien llamada distri-bucion de vecinos cercanos (Nearest Neighbour Distribution en ingles o NND). Los sistemasregulares tienen una dinamica de niveles regular, mientras que los sistemas caoticos tienenuna dinamica de niveles caotica o irregular. Ası, la dinamica de niveles irregular es, por sı so-la y sin ninguna referencia al caos clasico, uno de los posibles indicadores de caos cuantico.Esto puede ser cuantificado a traves del cumulante de la distribucion,

I(s) =

∫ s

0

P (s′)ds′. (7.2)

Donde P (s) es la distribucion de probabilidad -normalizada y con la tendencia removida(unfolded)- de la diferencia entre niveles adjacentes s = En+1 − En. Los sistemas regulares-tıpicamente- presentan una distribucion Poissoniana,

P (s) = exp(−s), (7.3)

mientras que en el caso de los sistemas caoticos la distribucion tıpica es de Wigner-Dyson,

P (s) =πs

2exp

(−π

4s2). (7.4)

Por otro lado, el otro proceso mas sugerente y natural para estudiar el caos cuantico, escomparar las estructuras del espacio fase clasico con la densidad de estados cuantica o conla evolucion de la funcion de onda sobre el espacio fase. Esto se puede hacer a traves de unaaproximacion semi-clasica como la teorıa de orbitas periodicas o, como lo haremos nosotros, atraves de una aproximacion de campo medio con estados coherentes. Esta aproximacion semi-clasica, sin embargo, esta acotada por construccion a sistemas cuanticos con contrapartesclasicas bien definidas. Por suerte, este es el caso del modelo de Dicke, como ya vimos encapıtulos anteriores. Hay una gran variedad de estrategias para estudiar y cuantificar el caoscuantico [192], sin embargo, ahora lo que nos interesa es estudiar el espectro en el modelode Dicke.

130

7.2. BCE con la paridad bien definida

Como vimos en el capıtulo 2, el Hamiltoniano de Dicke tiene una paridad definida dada porel operador

Π = eiπΛ = eiπ(Jz+j)eiπa†a. (7.5)

Esta cantidad conservada, si bien no es suficiente para hacer al Hamiltoniano ’integrable’ enlos terminos discutidos en la primera seccion, produce una degeneracion en el espectro queimpide realizar la estadıstica de niveles correctamente. Para poder extraer las fluctuacionescon facilidad, nos conviene separar en paridad (p = ±1) los eigenestados y eigenergıas desdeel principio. La BCE no es un conjunto de eigenestados del operador de paridad, por lo queconstruiremos una base coherente eficiente que sea tambien un conjunto de eigenestados deloperador de paridad. Para hacerlo, queremos calcular la accion del operador de paridad sobrelos estados de la BCE. Primero, Recordamos que los estados de la BCE se pueden pensarcomo estados coherentes en la base de Fock,

|N ; j,m′〉 =

(A†)N

√N !|N = 0; j,m〉 =

=1√N !

(a† +

2γ√ωN

m′)N ∣∣∣∣α = − 2γ

ω√Nm′⟩|jm′〉,

(7.6)

Esto muestra que los estados de la BCE son proporcionales a los estados de Dicke |j;m′〉.Ahora, dado que los operadores atomicos y los bosonicos conmutan entre sı:

Π|N ; j,m′〉 = exp[iπ(a†a+ Jz + j

)]|N ; j,m〉 = eiπa

†aeiπ(Jz+j)|N ; j,m〉 =

=eiπa

†a

√N !

(a† +

2γ

ω√Nm′)N ∣∣∣∣α = − 2γ

ω√Nm′⟩eiπ(Jz+j)|j,m′〉

(7.7)

Por otra parte, en la base rotada sucede que, Jz = −J ′x, por lo que, en primer lugar queremoscalcular,

eiπ(Jz+j)|j,m′〉 = exp [iπ (−J ′x + j)] |j,m′〉, (7.8)

para mostrar que,

eiπ(Jz+j)|j,m′〉 = |j,−m′〉. (7.9)

Primero, podemos escribir un operador de rotacion como [193],

D(R) = exp(−iφ ~J · n

). (7.10)

El efecto de este operador es rotar a los estados alrededor del eje n en un angulo φ. Podemosidentificar entonces al operador exp [iπ (J ′x + j)] como un operador de rotacion alrededor del

131

eje x en un angulo −φ. Para mostrarlo podemos usar el lema Baker-Hausdorff sobre J ′z,

eiφ(−J ′x+j)J ′ze−iφ(−J ′x+j) = J ′z + iφ [j − J ′x, J ′z] +

(iφ)2

2![j − J ′x, [j − J ′x, J ′z]] + · · ·

= J ′z − iφ[J ′x, J′z] +

(iφ)2

2![J ′x[J

′x, J

′z]] + · · · =

= J ′z − iφ(−iJ ′y) +(iφ)2

2![J ′x,−iJ ′y] + · · ·

= J ′z − φ(J ′y) +(iφ)2

2!(−i2)J ′z + · · ·

= J ′z

(1− φ2

2!+ · · ·

)− J ′y

(φ− φ3

3!+ · · ·

)=

∴ eiπ(−J ′x+j)J ′ze−iπ(−J ′x+j) = J ′z cos(φ)− J ′y sen(φ).

(7.11)

Con este resultado vemos lo siguiente,

eiπ(−J ′x+j)J ′z|j,m′〉 = eiπ(−J ′x+j)J ′ze−iπ(−J ′x+j)eiπ(−J ′x+j)|j,m′〉 =

=J ′z cos(π)− J ′y sen(π)

eiπ(−J ′x+j)|j,m′〉 =

= (−J ′z)eiπ(−J ′x+j)|j,m′〉 = m′ eiπ(−J ′x+j)|j,m′〉

⇒ J ′z

(eiπ(−J ′x+j)|j,m′〉

)= −m′

(eiπ(−J ′x+j)|j,m′〉

)∴ eiπ(−J ′x+j)|j,m′〉 = |j,−m′〉.

(7.12)

Esto se puede ver en [194]. Tenemos entonces que,

Π|N ; j,m′〉 =eiπa

†a

√N !

(a† +

2γ

ω√Nm′)N ∣∣∣∣α = − 2γ

ω√Nm′⟩|j,−m′〉. (7.13)

Ahora queremos mostrar que:

eiπa†a(a†)k|α; j,m′〉 = (−1)k(a†)k| − α; j,m′〉. (7.14)

132

Esto se puede mostrar a partir de las propiedades de los estados coherentes,

eiπa†a(a†)k|α; j,m′〉 = eiπa

†a(a†)k∞∑k′=0

e−|α|22

(α)k′

√k′!|k′; j,m′〉 =

= eiπa†a∞∑k′=0

e−|α|22

(α)k′

√k′!

√(k′ + k)!

k!|k′ + k; j,m′〉 =

=∞∑k′=0

eiπ(k′+k)e−|α|22

(α)k′

√k′!

√(k′ + k)!

k!|k′ + k; j,m′〉 =

= (a†)k∞∑k′=0

eiπ(k′+k)e−|α|22

(α)k′

√k′!|k′; j,m′〉 =

=(eiπ)k

(a†)k∞∑k′=0

e−|α|22

(α eiπ)k′

√k′!|k′; j,m′〉 =

= (−1)k (a†)k∞∑k′=0

e−|α|22

(−α)k′

√k′!|k′; j,m′〉 =

∴ eiπa†a(a†)k|α; j,m′〉 = (−1)k (a†)k| − α; j,m′〉.

(7.15)

Con esto tenemos que,

Π|N ; j,m′〉 =(−1)N√N !

(a† − 2γ

ω√N

(m′)N ∣∣∣∣−α =

2γ

ω√Nm′⟩|j,−m′〉. (7.16)

Reacomodando los signos,

Π|N ; j,m′〉 =(−1)N√N !

(a† +

2γ

ω√N

(−m′))N ∣∣∣∣−α = − 2γ

ω√N

(−m′)⟩|j,−m′〉. (7.17)

Nos damos cuenta de que del lado izquierdo tenemos el estado de la BCE con −m, por lotanto,

Π|N ; j,m′〉 = (−1)N |N ; j,−m′〉. (7.18)

Si escribimos el operador de paridad en el subespacio de |N ; j,m〉 y |N ; j,−m〉 de la basecoherente eficiente, tendremos que,

Π =

(0 (−1)N

(−1)N 0

). (7.19)

Al diagonalizarlo encontramos los estados de la BCE que son eigenestados simultaneos deloperador de paridad,

|N ; j,m′; p〉 =

=1√

2(1 + δm′,0)

(|N ; j,m′〉+ p(−1)N |N ; j,−m′〉

) (7.20)

133

Con p = ±1 los eigenestados del operador de paridad. Usando esta base podemos separardesde el principio los dos sectores de paridad diferentes en el modelo de Dicke y extender laBCE para el estudio del espectro y un tamano grande del numero de atomos. Denominamosa esta base Base Coherente Eficiente con paridad bien definida (BCEP). A continuacionveremos la aplicacion inmediata del uso de la BCEP, el estudio del espectro, empezandocualitativamente con las redes de Peres.

7.3. Redes de Peres

Las redes de Peres son un metodo propuesto por A. Peres en 1984 [195] para identificar visualy cualitativamente la perdida de integrabilidad en los sistemas cuanticos. En este sentidojuegan un rol similar al de las secciones de Poincare y se consideran su analogo cuantico. Paraentenderlas, supongamos que tenemos un sistema cuantico de dos grados de libertad y unHamiltoniano no perturbado H0, integrable en el sentido tradicional, hay tantas cantidadesconservadas como grados de libertad, siendo las dos constantes de movimiento la energıaH0 y la cantidad conservada I ([H0, I] = 0), al que denominamos operador de Peres. Sidibujamos una grafica entre las eigenenergıas del Hamiltoniano y los respectivos eigenvalorespara el operador de Peres, tendremos una red de puntos regularmente distribuidos porquecada nivel de energıa tiene una forma natural de etiquetarse a traves del numero cuanticoasociado con I. Cuando el sistema es perturbado, H = H0 + γH1 de tal forma que ya no seaintegrable porque el operador I ya no es una cantidad conservada ([H, I] 6= 0), aun podemosgraficar las eigenenergıas contra el valor esperado del operador de Peres. Esta eleccion nospermite conectar los casos perturbados y no perturbados y denominamos a estas graficasredes de Peres.Una perturbacion pequena no destruye la red regular del caso integrable, en vez de eso, unadistorsion localizada se crea en la red, mientras que el resto de ella permanece regular. Con-forme la perturbacion se incrementa, la parte irregular de la red se incrementa permitiendoidentificar de forma sencilla las regiones con caos clasico o regularidad en su contraparte clasi-ca. De esta forma el metodo de Peres representa una forma de detectar de manera sensible,cualitativa y visual la competencia entre el comportamiento regular y caotico en el espectrode un sistema cuantico [196]. Ademas de darnos una nocion del concepto de integrabilidadcuantica. Es mas, la libertad en elegir el operador de Peres hace posible enfocarse en variaspropiedades de estados individuales y ası seguir de cerca la forma en que el caos prolifera enel espectro del sistema.

7.3.1. Redes de Peres en el modelo de Tavis-Cummings

Antes de mostrar las redes de Peres para el caso de Tavis-Cummings, hacemos un brevecomentario sobre sus soluciones. Debido a la cantidad conservada por el Hamiltoniano deTC, la base en la que es diagonalizado para j fija, puede ser etiquetada con los numeroscuanticos m y λ, donde λ es eigenvalor del operador de numero de excitaciones Λ. Para unvalor dado de λ, el numero de estados en cada subespacio es Nst(λ) = Min(λ + 1, 2j + 1).

134

Este numero de estados crece linealmente con λ hasta λ0 = 2j, y desde ese valor permanecefijo en 2j + 1. Los eigenestados del Hamiltoniano de TC pueden ser clasificados entoncescomo E(i, λ), i = 1, Nst(λ) y para poder obtener el espectro completo del modelo de TChasta cierta energıa de referencia Eref deben incluirse todos los subespacios hasta λmax dondeMin(E(i, λmax))> Eref .Primero, es instructivo graficar las redes de Peres de la energıa E/(ωoj) contra el numerode excitaciones λ. Esto lo mostramos en la figura 7.1 para dos acoplamientos γ = γc,0 yγ = 2.0γc,0, en resonancia ω = ωo = 1, para j = 10. En ambas graficas observamos unadislocacion en la red regular en el punto de coordenadas E/(ω0j) = 1 y λ = 2j (20 en esteejemplo). Este punto es especial, pues corresponde a lo que llamaremos la transicion de fasecuantica de estados excitados (ESQPT). Para ver la ubicacion de esta dislocacion en la redcon mas claridad, podemos tomar la diferencia de energıa entre niveles sucesivos, para cadavalor de λ, esto ayuda a identificar el punto donde las diferencias tienen un mınimo. En elcapıtulo siguiente veremos que las ESQPT se pueden identificar al ver la densidad de niveles.Esto se puede ver en la figura 7.2.Por ultimo, eligiendo como operador de Peres a Jz, obtenemos una red de Peres como semuestra en 7.3 para los dos acoplamientos γ = γc,0 and γ = 2.0γc,0. Todas las redes de Peresque hemos visto son regulares, esto esta asociado a la integrabilidad del modelo. Ahorapasaremos al modelo no integrable, Dicke.

7.3.2. Redes de Peres en el modelo de Dicke

Para construir las redes de Peres en el modelo de Dicke necesitamos unicamente un operadorde Peres, debido a que el Hamiltoniano de Dicke tiene solo dos grados de libertad. Gracias ala libertad en la eleccion del operador de Peres, podemos explorar varios rasgos con diferentescantidades. La eleccion de operadores es Jz, J

2x -puesto que Jx no es una buena eleccion pues

conecta estados de diferente paridad y en una misma siempre dara cero su valor esperado- ya†a. En lo que sigue, mostramos varias redes de Peres para diferentes valores de la constantede acoplamiento γ en resonancia ω = ω0 = 1. El numero de atomos estara fijo en N = 40.Para calcular estas redes de Peres, estamos usando la BCEP.Los resultados para valores del acoplamiento cercanos a cero γ = 0.01γc se presentan enla figura 7.4. Como se puede observar de las redes los patrones son regulares. Esto es loque esperamos de un acoplamiento que esta cerca del lımite integrable γ → 0. En estecaso, las energıas son aproximadamente E(n, j,m) ≈ n+m. Podemos etiquetar cada estadocon sus numeros cuanticos, el numero de atomos excitados y el numero de fotones. Losestados degenerados se visualizan como lıneas de puntos verticales con la misma energıa perodiferente valor esperado. El estado base tiene n = 0, m = −j y E

j= −1. La degeneracion

crece linealmente con la energıa hasta 2j + 1 y permanece constante mas alla de este valor,que corresponde a E

j= 1 y que se puede ver claramente como un pico definido en las redes.

En la figura 7.5 presentamos las redes de Peres para un acoplamiento pequeno pero ya nodespreciable γ = 0.6γc. Aunque el sistema esta en una fase regular, las regiones irregularesen el espectro se pueden observar para E > 0, reflejando el hecho de que el Hamiltonianono es integrable. Podemos garantizar que los efectos observados son robustos numericamente

135

Eω0j

0 10 20 30 40-2

0

2

4

6

Eω0j

0 10 20 30 40-1

1

3

5

λ

Figura 7.1: Energıa como funcion de λ. Los parametros son j = 10, nmax = 10, λmax = 60,ω = ω0 = 1, γ = γc (arriba) y γ = 2γc (abajo)

136

∆E

0 10 20 30 40

2

3

4

5

∆E

0 10 20 30 40

1.0

1.5

2.0

2.5

λ

Figura 7.2: Diferencia de energıa entre niveles como funcion de λ. Los parametros son j = 10,nmax = 10, λmax = 60, ω = ω0 = 1, γ = γc (arriba) y γ = 2γc (abajo)

137

〈Jz〉j

〈Jz〉j

E/ω0j

Figura 7.3: Redes de Peres en el modelo de Tavis-Cummings, usando como operador de Peresa Jz. Los parametros son j = 10, λmax = 50, ω = ω0 = 1, γ = γc (arriba) y γ = 2γc (abajo).Cada color representa estados con la misma λ.

138

a) b)

c) d)

Figura 7.4: Redes de Peres en el modelo de Dicke. Fase normal cerca del acoplamiento cero.Con γ = 0.01γc y Nmnax = 250. Operadores de Peres: Jz (a), J2

x (b) y a†a (c). Y en (d)mostramos la precision numerica de la funcion de onda de cada eigenestado individual ∆P .

139

a) b)

c) d)

Figura 7.5: Redes de Peres en el modelo de Dicke. Fase normal con γ = 0.6γc y Nmnax = 250.Operadores de Peres: Jz (a), J2

x (b) y a†a (c). Y en (d) mostramos la precision numerica dela funcion de onda de cada eigenestado individual ∆P .

puesto que la precision numerica se mantiene alrededor de 10−30.

A continuacion obervamos el caso para acoplamientos representativos en la fase superradiantedonde el acoplamiento es mayor que el crıtico, γ > γc: γ = 1.5γc (figura 7.6), γ = 2.0γc(figura7.7), y, para el acoplamiento en el regimen ultrafuerte γ = 3.0γc (figura 7.8). Gracias a lasredes podemos observar varias cosas importantes.

Primero, en la red de Peres de Jz es muy notorio que hay dos cambios en la pendientede la aglomeracion de puntos, una en E/j = 1 y otra en E/j = −1. Estos cambios estanrelacionados con las transiciones de fase cuanticas de estados excitados (ESQPT), a las quele dedicaremos la siguiente seccion.

El segundo aspecto interesante es la ruptura de regularidad de la red, que es lo que espe-rarıamos de un sistema no integrable. Esto es claro con cualquiera de los operadores de Pereselegidos. Sin embargo, tambien hay una parte regular en energıas por debajo a E/j = −1que se mantiene aun al incrementar el acoplamiento. Mientras que, en la fase superradiante(figuras 7.7 y 7.8) es claro que hay una transicion de regularidad a caos. Esto lo discutiremosen el capıtulo 8.

140

U,),: (J,'\.'j

" "

" ..

_" • , "J ,

• , ~IJ

«-.)¡j I ~,,\P ,

" • .. . . .. -. .. • .., .. -.

" • , nlj

a) b)

c) d)

Figura 7.6: Redes de Peres en el modelo de Dicke. Fase superradiante con γ = 1.5γc yNmnax = 250. Operadores de Peres: Jz (a), J2

x (b) y a†a (c). Y en (d) mostramos la precisionnumerica de la funcion de onda de cada eigenestado individual ∆P .

141

a) b)

c) d)

Figura 7.7: Redes de Peres en el modelo de Dicke. Fase superradiante con γ = 2.0γc yNmnax = 250. Operadores de Peres: Jz (a), J2

x (b) y a†a (c). Y en (d) mostramos la precisionnumerica de la funcion de onda de cada eigenestado individual ∆P

142

a) b)

c) d)

Figura 7.8: Redes de Peres en el modelo de Dicke. Fase superradiante con γ = 3.0γc yNmnax = 250. Operadores de Peres: Jz (a), J2

x (b) y a†a (c). Y en (d) mostramos la precisionnumerica de la funcion de onda de cada eigenestado individual ∆P

143

7.4. ESQPT

Una transicion de fase cuantica de estados excitados (Excited-State Quantum Phase Transi-tion o ESQPT) es un fenomeno crıtico que tiene lugar a lo largo del espectro de los sistemascuanticos para valores fijos de los parametros del Hamiltoniano [197]. Originalmente, fueronanalizadas en varios modelos de fısica nuclear [197], sin embargo, en la actualidad se hansenalado en otros sistemas como cadenas de espines [198]. La forma de reconocerlas es atraves de una singularidad en la densidad de estados, hecho que afecta las propiedades de lafuncion de onda y del flujo de niveles [101, 102].

El estudio de la ESQPT se ha vuelto activo en los ultimos anos pues se ha indicado quepueden tener efectos en la decoherencia [199, 200] y en la evolucion temporal de quantumquenches [201], es decir evoluciones temporales no adiabaticas bajo accion del Hamiltoniano.Las ESQPT son facilmente reconocibles en sistemas algebraicos que tienen pocos grados delibertad [102] y tienen una explicacion en terminos de los puntos de estabilidad de la superficiede energıa semi-clasica correspondiente. Por otro lado, las ESQPT tambien estan de algunaforma relacionadas con la aparicion de caos en el espectro, sin embargo, esta relacion aun noes clara y parece depender de cada sistema en particular [202].

7.4.1. ESPQT en los modelos de Dicke y TC

En el modelo de Dicke las ESQPT fueron senaladas por primera vez por P. Perez-Fernandezet. al. en [203, 204]. En la figura 7.9 mostramos los resultados de [203] donde presentangraficas suavizadas del valor esperado del operador Jz contra la energıa. Ası, originalmentela ESPQT de Dicke se reconocio a traves de las observables. Es por eso que se pueden veren las redes de Peres.

Para Dicke, la red de Peres de Jz exhibe dos ESQPT. Hay dos cambios en la pendiente dela red. Uno en E/j = 1 y otro en E/j = −1. Las dos ESQPT son diferentes, la que seubica en E/j = 1 la llamaremos estatica porque se corresponde a la saturacion del espacioatomica. Esto es, el espacio atomico tiene un lımite de atomos en el estado excitado, y estelımite es el valor dado de N . Esto se mantiene en el lımite termodinamico en la energıaE/j = 1. Ası, la ESQPT estatica es independiente del acoplamiento. Esta ESQPT se puedever en el modelo de TC en la figura 7.3 como un maximo en E/j = 1, que, de hecho por elparecido a bajos acoplamientos entre ambos modelos, tambien se puede ver en la figura 7.4(a), ambas similares a la encontrada en [203] que se ve en la figura 7.9 (a). Por otro lado, lasegunda ESQPT ocurre en E/j = 1 y es una ESQPT a la que llamaremos dinamica porquedepende del acoplamiento. Siempre se asocia con el cambio de estado base al cruzar la fasesuperradiante. Esta transicion se puede apreciar en la figura 7.3 porque el estado de ceroexcitaciones deja de ser el estado base en TC y hay una distorsion en la red al cruzarse esteestado respecto de E/j = −1. Ası, hemos reconocido la existencia de un nuevo fenomenocrıtico en los modelos de Dicke y TC, lo que sigue es desarrollar tecnicas para entender susignificado.

144

(a) (b)

Figura 7.9: ESPQT en los modelos de Tavis-Cummings (a) y Dicke (b) predichas en [203].Podemos ver las similitudes de las figuras con las redes de Peres en el caso de acoplamientodebil 7.4 (a) y con el caso de los acoplamientos de la fase superradiante, respectivamente.

7.5. Conclusiones del capıtulo

Durante este capıtulo empezamos el estudio del espectro del Hamiltoniano de Dicke, conel fin de reconocer, al menos de manera cualitativa, los dos aspectos mas importantes: lapresencia de una transicion de fase cuantica de estados excitados y tambien de caos cuanticoen el espectro. Es por eso que primero hicimos una breve introduccion a la nocion de caoscuantico. Extendimos la BCE al caso en el que este bien definida en paridad para poderseparar de antemano los eigenestados de cada paridad y poder estudiar el espectro. Conesto, vimos las redes de Peres en el modelo de Dicke, el analogo cuantico de las seccionesde Poincare clasicas que nos ayudan tanto a caracterizar visualmente las regiones de caos,regularidad y mixtas en el espectro cuantico, como a identificar cualitativamente las ESQPT.En el siguiente capıtulo usaremos tanto las tecnicas del analisis semiclasico presentadas enel Capıtulo 4 como las soluciones numericas eficientes para realizar una correspondenciacuantico-clasica con la cual explorar el caos y, a su vez, entender el significado de la ESQPT.Algunos de estos resultados los reportamos en [205].

145

...

..

146

Capıtulo 8

Correspondencia cuantico-clasica

El objetivo de este capıtulo es estudiar la ESQPT y la aparicion de caos tanto en el modelode Dicke como en el modelo de Tavis-Cummings - como su contraparte integrable- a partir dela aproximacion semi-clasica estudiada en el Capıtulo 4 y de las soluciones numericas usandola BCE. Con respecto a las ESQPT las identificaremos en ambos modelos a partir del estudiode la aproximacion semiclasica a la densidad de estados y usaremos esta para estudiar laestadıstica de niveles. Junto con esto, usaremos la informacion de las redes de Peres y lassecciones de Poincare para establecer las bases de una correspondencia cuantico-clasica delcaos y la regularidad en el espectro.

8.1. Estructura de las superficies clasicas

Recordamos que podemos escribir al Hamiltoniano de Dicke y al de Tavis-Cummings en unasola expresion,

HD,δ = ωa†a+ ω0Jz +γ√N[(1 + δ)

(a+ a†

)+ i(1− δ)

(a− a†

)Jy]. (8.1)

que nos dio como resultado el siguiente Hamiltoniano clasico efectivo al usar estados cohe-rentes de Glauber y Bloch,

Hcl =ω

2(q2 + p2) + ω0 jz + γ

√j

√1− j2

z

j2[(1 + δ) q cosφ− (1− δ) p sinφ] . (8.2)

Tambien, habıamos encontrado los puntos fijos de la dinamica al hacer cero las ecuacionesde Hamilton.

Para poder visualizar las propiedades de los puntos fijos, podemos construir superficies deenergıa en terminos solo de las variables atomicas jz y φ. Si tomamos las ecuaciones de

147

Hamilton de p y q del capıtulo 4 y las igualamos a cero, tendremos que,

√jωp = (1− δ)γ j

ω

√1− j2

z

j2sin(φ),

√jωq = −(1 + δ)

γ j

ω

√1− j2

z

j2cos(φ).

(8.3)

Si sustituımos estos valores en el Hamiltoniano clasico, nos queda,

Eδ(jz, φ) = ω0jz +ω

2

(γ2 j

ω2

(1− j2

z

j2

)[(1 + δ)2 cos2(φ) + (1− δ)2 sen2(φ)

])+

− γ

ω

√1− j2

z

j2

γ j

ω

√1− j2

z

j2

[(1 + δ)2 cos2(φ) + (1− δ)2 sen2(φ)

]=

= ω0jz −γ2 j

2ω

(1− j2

z

j2

)[(1 + δ)2 cos2(φ) + (1− δ)2 sen2(φ)

]=

= ω0jz −γ2 j

2ω

(1− j2

z

j2

)[(1 + δ)2 (1− sen2(φ)) + (1− δ)2 sen2(φ)

]=

= ω0j

[jzj− γ2(1 + δ)2

2ωω0

(1− j2

z

j2

)(1 +

(1− δ)2 − (1 + δ)2

(1 + δ)sen2(φ)

)]= ω0j

[jzj− γ2

2γ2c,δ

(1− j2

z

j2

)(1− 4δ

(1 + δ)sen2(φ)

)]

(8.4)

Que, finalmente es una superficie de energıa en el espacio de variables atomicas,

Eδ(jz, φ)

ω0j=jzj− γ2

2γ2c,δ

(1− j2

z

j2

)(1− 4δ

(1 + δ)sen2(φ)

). (8.5)

Y en el espacio de Bloch donde usamos variables θ y φ siendo que jz = −j cos θ.

Eδ(jz, φ)

ω0j= − cos(θ)− γ2

2γ2c,δ

sen2(θ)

(1− 4δ

(1 + δ)sen2(φ)

). (8.6)

Para el modelo de TC esta superficie se transforma en,

E0(jz, φ)

ω0j= − cos(θ)− γ2

2γ2c,0

sen2(θ). (8.7)

Podemos ver que para el caso de TC la superficie de energıa es independiente de φ. Graciasa la simetrıa adicional del modelo de TC sus curvas son circulares para cualquier valor delacoplamiento. Para Dicke, en cambio, tenemos que,

E1(jz, φ)

ω0j= − cos(θ)− γ2

2γ2c,1

sen2(θ) cos2(φ). (8.8)

148

Sin embargo, es mejor utilizar el siguiente cambio de variables que nos permite apreciar conmejor detalle la forma de ls superficies,

u =

(1 +

jzj

)cos(φ),

v =

(1 +

jzj

)sen(φ),

(8.9)

En estas coordenadas las superficies de energıa para TC y Dicke son, respectivamente,

E0(u, v)

ω0j= − 1√

u2 + v2

[u+

γ2

2γ2c,0

v2

√u2 + v2

],

E1(u, v)

ω0j= − 1√

u2 + v2

[u+

γ2

2γ2c,1

u2v2

(u2 + v2)3/2

].

(8.10)

En la figura 8.1 podemos observar los cortes de nivel de esta superficie para ambos casosδ = 0 y δ = 1, en el espacio de u y v para varios acoplamientos. Cuando consideramosacoplamientos pequenos, las curvas de Dicke y TC son casi indistinguibles, con un mınimoglobal en el polo sur de la esfera de Bloch (θ = 0). Al acercarse el acoplamiento a su valorcrıtico de la fase superradiante, el mınimo global sigue siendo el polo sur, sin embargo, en elmodelo de Dicke se empieza a ver deformacion de la superficie. Ya en la fase superradiante,en el modelo de TC, el mınimo global se transforma en un maximo local y en un punto sillapara el modelo de Dicke. Ademas, aparecen dos mınimos degenerados en el caso de Dickeen φ = 0, π, mientras que el modelo de TC toma la forma de un potencial de ’sombreromexicano’.Tenemos entonces varios puntos fijos. Los puntos estables de los modelos de TC y Dickepueden ser identificados con el mınimo de energıa y en consecuencia, con la energıa delestado base. Por lo que el cambio en los puntos estables al cruzar la transicion de fasecuantica esta asociado con la QPT en el modelo cuantico. En cambio, los puntos inestablestienen un significado, como indicadores de un cambio abrupto en el espacio fase disponible.Para ver esto con mayor claridad, calcularemos la aproximacion semi-clasica a la densidadde estados.

8.2. Aproximacion semi-clasica a la DoS

A continuacion haremos el analisis clasico para obtener una aproximacion semi-clasica a ladensidad de estados (Semi-classical Density of States o SDoS). De acuerdo a la formula de latraza de Gutzwiller [188], podemos aproximar la densidad de estados calculando el volumendisponible del espacio fase para una energıa dada E. Tomando ~ = 1, esta cantidad esta dadapor,

νδ(E) =1

(2π)2

∫dq dp dφ djz δ(E −Hcl(q, p, φ, jz)). (8.11)

149

γ = 0.2γc γ = 1.0γc γ = 2.0γc

v

v

u

Figura 8.1: Curvas de nivel de la superficie de energıa para el Hamiltoniano de TC (arriba)y para el modelo de Dicke (abajo). Se consideran tres acoplamientos diferentes. Los tonososcuros indican valores pequenos de energıa. Se usan las variables u y v. [206].

150

Esta integral fue calculada en [207] a traves de una transformada inversa de Laplace de lafuncion de particion. Sin embargo, en nuestro caso, la integral se puede realizar directamente.La integral en q se puede realizar usando las propiedades de la Delta de Dirac,

νδ(E) =1

(2π)2

∫djz dφ dp dq

(δ(q − q+)

|∂Hcl/∂q|q++

δ(q − q−)

|∂Hcl/∂q|q−

), (8.12)

donde q± son las soluciones de la ecuacion cuadratica dada por

Hcl(q, p, φ, jz) = E. (8.13)

Estas son,

ωq± = −γ√j cosφ

√1− j2

z

j2(1 + δ)±

√−ω2p2 + b p+ c, (8.14)

con los coeficientes b and c dados por

b = 2ωγ√j sinφ

√1− j2

z

j2(1− δ), (8.15)

c = γ2j cos2 φ

(1− j2

z

j2

)(1 + δ)2 + 2ω(E − ωojz). (8.16)

Si evaluamos las derivadas, obtenemos,∣∣∣∣∂H∂q∣∣∣∣q+

=

∣∣∣∣∂H∂q∣∣∣∣q−

=√−ω2p2 + bp+ c, (8.17)

Con esto, la integral en q es automatica, lo que nos deja,

νδ(E) =1

(2π)2

∫djz dφ dp

2√−ω2p2 + bp+ c

. (8.18)

Los lımites de integracıon para jz y φ quedan determinados por la condicion −ω2p2 +bp+c ≥0. Ahora, para hacer la integral en p, nos damos cuenta de que podemos escribir esta condicioncomo,

− ω2p2 + bp+ c = ω2 (p+ − p) (p− p−) (8.19)

Es decir, p± son las raıces de la ecuacion −ω2p2 + bp+ c = 0,

p± =

(b

ω2∓√b2

ω2+ 4c

)(8.20)

Usando la integral nos queda,

nuδ(E) =2

ω(2π)2

∫djz dφ

dp√(p+ − p)(p− p−)

. (8.21)

151

Ahora hacemos la integral en p,∫ p+

p−

dp√(p+ − p)(p− p−)

=dp√

−p2 + p(p− + p+)− p+p−=

=dp√

−p2 + p(p− + p+)−(p++p−

2

)2+(p++p−

2

)2 − p+p−

=

=dp√

−[p−

(p++p−

2

)]2+(p+−p−

2

)2.

(8.22)

Si hacemos el cambio de variable

u =p−

(p++p−

2

)(p+−p−

2

) . (8.23)

la integral nos queda como∫ p+

p−

dp√(p+ − p)(p− p−)

=

∫ u−

u+

du√1− u2

= arcsen(u+)− arcsen(u−) =

= arcsen

[p+ −

(p++p−

2

)(p+−p−

2

) ]− arcsen

[p− −

(p++p−

2

)(p+−p−

2

) ]=

arcsen

[(p+−p−

2

)(p+−p−

2

)]− arcsen

[−(p+−p−

2

)(p+−p−

2

)] = arcsen(1)− arcsen(−1) =π

2+π

2= π.

(8.24)

Sin embargo, la condicion −ω2p2 + bp+ c ≥ 0 y que p sea real, impone condiciones sobre jzy φ como habıamos dicho. Por lo que la densidad de estados nos queda,

νδ(E) =2π

ω

1

(2π)2

∫djz

∫dφ, (8.25)

Para que las raıces p± sean reales, se debe cumplir que b2 + 4ω2 + c ≥ 0. Si substituimos losvalores de b y c en esta ecuacion, obtenemos la siguiente condicion:

γ2

2γ2c

(1− jz

2)((1− δ)2

(1 + δ)2sin2 φ+ cos2 φ)

)≥ jz − ε, (8.26)

Donde hemos usado la variable adimensional jz = jz/j (|jz| ≤ 1) y la energıa adimensionalε = E/(jω0). Esta condicion es de suma importancia porque es la que determina el dominioaccesible en el espacio de Bloch para las variables atomicas y una energıa ε. Como siempre,tenemos dos casos.

152

8.2.1. Caso Tavis-Cummings (δ = 0)

En el caso del modelo de Tavis-Cummings la condicion nos queda como,

γ2

2γ2c,0

(1− jz

2) (

sin2 φ+ cos2 φ))≥ jz − ε, (8.27)

Por tanto, y como esperabamos, no hay ninguna condicion sobre la variable φ y esta puedetomar cualquier valor en el intervalo [0, 2π). Sin embargo, esta condicion impone restriccionessobre jz y estas dependen de las dos soluciones posibles que la condicion genera al ser unaecuacion cuadratica.

γ2

2γ2c,0

jz2

+ jz −(

γ2

2γ2c,0

+ ε

)= 0 (8.28)

Las dos soluciones jz± son,

jz± =

(−γ

2c

γ2± γcγ

√2ε+

γ2

γ2c,0

+γ2c,0

γ2

). (8.29)

Pero si definimos como,

εo,0 = −1

2

(γ2

γ2c,0

+γ2c,0

γ2

), (8.30)

que reconocemos como la energıa del estado base en la fase superradiante, tenemos que,

jz± =

(−γ

2c

γ2± γcγ

√2(ε− εo,0)

). (8.31)

Estas soluciones determinan los lımites de la variable jz para cada ε. Reconocemos tresregiones diferentes.

1. Si ε > 1 la condicion se satisface en todo el intervalo de jz, es decir jz ∈ [−1, 1], esdecir, toda la esfera de Bloch es accesible.

2. Si −1 ≤ ε ≤ 1 la condicion solo se satisface para jz ∈ [−1, jz+].

3. Si ε < −1, la condicion se satisface en el intervalo jz ∈ [jz−, jz+]. Esta region sinembargo solo existe en la fase superradiante, para valores tales que ε > εo,0.

Ası, podemos realizar la integral en φ sin problemas y nos queda,

ν0(E) =1

ω

∫djz. (8.32)

Siguiendo los tres casos antes encontrados que definen la region accesible de jz segun laenergıa, la SDoS es,

ν0(E) =1

ω

j − (−j) ε > 1

jjz+ − (−j) |ε| < 1

jjz+ − jjz− εo,0 ≤ ε ≤ −1. (8.33)

153

Que podemos escribir finalmente como,

ω

2jν0(ε) =

1

ω

1 ε > 1

12

[1− γ2c,0

γ2+ γc

γ

√2(ε− εo,0)

]|ε| < 1

γc,0γ

√2(ε− ε0) εo,0 ≤ ε ≤ −1

. (8.34)

En la figura 8.2 se muestra el volumen del espacio fase disponible ası como la densidadde estados para tres acoplamientos diferentes. Podemos observar que existen dos cambiosabruptos en el volumen de espacio fase disponible en las energıas normalizadas ε = ±1, quese indican como discontinuidades en las derivadas de la densidad de estados ν ′0(ε). Ahoravemos que sucede para el modelo de Dicke.

8.2.2. Caso Dicke (δ = 1)

Para el modelo de Dicke la condicion es,

γ2

2γ2c,1

(1− jz

2)

cos2(φ) ≥ jz − ε, (8.35)

que podemos escribir como,2γ2

c,1

γ2

(jz − ε)1− jz

2 ≤ cos2(φ), (8.36)

A diferencia del caso de TC, esta condicion sı restringe los valores posibles de la variable φ

ademas de restringir a jz2. Los valores lımites de φ seran funcion de los de jz

φ± = arccos

(±γc,1

γ

√jz − ε1− jz

2

). (8.37)

Sin embargo, los valores lımite jz son los mismos que en la ecuacion 8.31 si pensamos en losvalores lımite de φ. La unica diferencia por supuesto, es el cambio γc,1 por γc,0. Al igual queen TC tenemos tres casos posibles:

1. Si ε > 1 la condicion se satisface en todo el intervalo de jz, es decir jz ∈ [−1, 1] ytambien para φ ∈ [0, 12π). De nuevo toda la esfera de Bloch es accesible.

2. Si −1 ≤ ε ≤ 1 la condicion solo se satisface para jz ∈ [−1, jz+]. Sin embargo, ahoraaparece la restriccion en φ. Si jz ∈ [−1, ε] entonces φ puede tomar valores en todo elintervalo, pero si jz ∈ [ε, y+] entonces solo se satisface para φ = 0, π.

3. Si ε < −1 pero mayor que la energıa mınima en cada fase, la condicion se satisface enel intervalo jz ∈ [jz−, jz+] Tambien, solo existe en la fase superradiante. Y la condicionsobre φ se mantiene.

154

ω ν0(ε)2j

ω ν0(ε)2j

ω ν0(ε)2j

ε

Figura 8.2: Volumen de espacio disponible ων0(ε)/(2j) para el modelo de Tavis-Cummingscomo funcion de ε ≡ E/(ω0j) para acoplamientos γ = 0.2γc (izquierda), γ = γc (centro),and γ = 2γc (derecha). Las derivadas de ν0(ε) se muestran en los cuadros insertos en cadafigura. La escala vertical se muestra en la primera figura. Ademas en la parte superior decada figura, se muestran graficas polares 1 + jz vs φ del espacio fase disponible (zonas grises)para energıas representativas ( ε = −0.5, 1.5, y una tercera figura para ε = −2.0 en el casode la fase superradiante) [206].

155

Podemos realizar la integral en φ pero depende de la zona de energıa elegida y nos queda,

ν1(E) =1

2πω

∫ j−j djz

∫ 2π

0dφ ε > 1∫ εj

−j djz∫ 2π

0dφ+

∫ j jz+jε

∫ φ+φ−

dφ |ε| < 1∫ j jz+j jz−

∫ φ+φ−

dφ εo,0 ≤ ε ≤ −1

. (8.38)

Al integrar en φ tendremos,

ν1(E) =1

2πω

2π 2j ε > 1

2π j (ε+ 1) +∫ j jz+jε

djz2 arccos(γc,1γ

√jz−ε

1−jz2 ) |ε| < 1∫ j jz+

j jz−djz2 arccos(γc,1

γ

√jz−ε

1−jz2 )dφ εo,0 ≤ ε ≤ −1

. (8.39)

Que se convierte finalmente en,

ω

2jν1(E) =

1

2πω

1 ε > 1

12

(ε+ 1) +∫ jz+ε

djz arccos(γc,1γ

√jz−ε

1−jz2 ) |ε| < 1∫ jz+

jz−djz arccos(γc,1

γ

√jz−ε

1−jz2 )dφ εo,1 ≤ ε ≤ −1

. (8.40)

En la figura 8.3 se muestra, de forma analoga al caso de TC el volumen de espacio fase dispo-nible y la densidad de estados semiclasica como funcion de la energıa para tres acoplamientosrepresentativos. Al igual que en TC los cambios en la DoS ocurren en ε = ±1 reflejados pordiscontinuidades en las derivadas. Al igual que sucedıa con las superficies semiclasicas deenergıa, TC y Dicke son muy similares a acoplamientos pequenos y empiezan a diferir alaumentar el acoplamiento donde para Dicke empieza a deformarse. Sin embargo, las dife-rencias principales entre ambos modelos son notables en la fase superradiante, puesto que elcambio de la DoS en ε = −1 es una singularidad para TC, pero para Dicke es una divergencialogarıtmica. Esto se puede entender a traves de las superficies de energıa. Debido a que enTC siempre hay una independencia respecto al angulo φ, todo su espacio fase esta siempreconectado. En cambio, para Dicke, al irse deformando el espacio fase, en la fase superradiantela singularidad en ε = −1 marca la diferencia entre dos zonas que estan desconectadas pordebajo de esa energıa pero conectadas por encima, siendo la energıa ε = −1 el punto silla.Podemos ver que estas singularidades ocurren justo en los valores de energıa donde veıamoslos cambios en las observables al analizar las redes de Peres. Es decir, reconocemos a travesde la DoS a las ESQPT como singularidades en su derivada. La singularidad en ε = −1corresponde a la ESQPT dinamica, mientras que la que se encuentra en ε = 1 a la ESQPTestatica. Entonces, el significado de las ESQPT desde el punto de vista semi-clasico es elde puntos de inestabilidad en el espacio fase que marcan cambios en el volumen de espaciofase disponible. Podemos decir entonces que los analogos cuanticos de estos cambios son lasESQPT [101, 102].Es importante recalcar que la ESQPT estatica tiene que ver con la saturacion del espacioatomico. Tanto en las redes de Peres como en el espacio fase disponible, es posible observar

156

ω ν1(ε)2j

ω ν1(ε)2j

ω ν1(ε)2j

ε

Figura 8.3: Volumen de espacio disponible ων1(ε)/(2j) para el modelo de Dicke como funcionde ε ≡ E/(ω0j) para acoplamientos γ = 0.2γc (izquierda), γ = γc (centro), and γ = 2γc(derecha). Las derivadas de ν1(ε) se muestran en los cuadros insertos en cada figura. Laescala vertical se muestra en la primera figura. Ademas en la parte superior de cada figura, semuestran graficas polares 1 + jz vs φ del espacio fase disponible (zonas grises) para energıasrepresentativas ( ε = −0.5, 1.5, y una tercera figura para ε = −1.6 en el caso de la fasesuperradiante). [206].

157

que a partir del valor de energıa de ε = 1 todo el espacio de pseudo-espın es accesible,por lo que el incremento en la energıa solo es posible a traves de la adicion de fotones enel sistema. Es por esto que la llamamos ESQPT estatica, puesto que es independiente delacoplamiento y siempre estara, dado que siempre llega un punto energetico en que el espaciofase de pseudo-espın es accesible por completo.

Ası, los puntos de estabilidad se relacionan con la QPT y los de inestabilidad con la ESQPT.Ahora, podemos comparar los resultados obtenidos para la aproximacion semi-clasica de laDoS con el calculo numerico de la DoS empleando la BCEP.

8.2.3. Comparacion con la DoS

Ahora, compararemos los resultados semiclasicos para la DoS con los resultados numericosdirectos del sistema cuantico. Para el caso de TC recordamos lo que vimos en el capıtuloanterior al construir sus redes de Peres, para poder calcular su DoS necesitamos considerartodos los valores posibles de la cantidad conservada λ para los valores de j y nmax elegidos.

Para TC estudiamos el caso en resonancia ω = ω0 = 1 y seleccionamos j = 100 (N = 200)que implica un λmax = 2000, suficiente para obtener el espectro completo. Para γ = γc,0tenemos hasta la energıa ε = 6.4 264,000 estados, mientras que para γ = 2γc,0 tenemoshasta la energıa ε = 3.3 160,000 estados. En la figura 8.4 mostramos los resultados parala densidad de estados, calculada como la derivada promedio con respecto a la energıa delnumero de orden n con el cual cada estado con energıa E aparece en el espectro, es decir∆n∆E

, escalada por el factor ω/2j. Para poder obtener esta derivada se hicieron promedios

sobre la energıa E(n) en intervalos de 600 niveles con numero promedio de estado n. Comopodemos observar, en el primer caso γ = γc,0 tenemos visible solo una ESQPT, la estatica,mientras que en el segundo caso γ = 2γc,0, ya en la fase superradiante, las dos son visiblescomo cambios en la pendiente de la DoS.

Para Dicke definimos la misma cantidad cuidando la convergencia de los eigenestados yusando la BCE. Sin embargo, las fluctuaciones en la energıa son mas pequenas que en elcaso de TC, por lo que basta con tomar promedios sobre 20 niveles. Tomamos igualmente elcaso resonante ω = ω0 = 1 con j = 40 (N = 80). En la figura 8.5 mostramos los resultadospara los dos acoplamientos γ = γc,0, donde vemos un comportamiento similar al de TC perodeformado y γ = 2γc,0 donde son claros los dos cambios de comportamiento en la DoS. Enε = −1 donde se observa lo que corresponderıa a la ESQPT dinamica y en ε = 1 dondeesta el cambio de la ESQPT estatica.

En ambos casos, una curva en rojo muestra la curva de la DoS semi-clasica que calculamosen la seccion anterior, vemos que ajusta muy bien a los puntos. Por lo que estos resultadosnumericos muestran como resultado mas importante que al compararlos con la DoS semi-clasica esta describe muy bien la tendencia de la DoS cuantica, teniendo diferencias de a lomas orden N−1, por lo que podemos utilizarlos para estudiar las propiedades estadısticas delas fluctuaciones del espectro, es decir, la estadıstica de niveles. Esto es lo que haremos acontinuacion.

158

ω2j

∆n∆E

ε ε

Figura 8.4: Promedio de la Densidad de Estados cuantica ω2j

∆n∆E

(puntos azules), en el modelo

de Tavis-Cummings como funcion de ε, para γ = γc (derecha) y γ = 2.0γc (izquierda). Lalınea roja continua es el resultado semi-clasico. [206].

ω2j

∆n∆E

ε ε

Figura 8.5: Promedio de la Densidad de Estados cuantica ω2j

∆n∆E

(puntos azules), en el modelo

de Dicke como funcion de ε, para γ = γc (derecha) y γ = 2.0γc (izquierda). La lınea rojacontinua es el resultado semi-clasico. Figura tomada de [206].

159

8.3. Estadıstica de niveles

La evidencia numerica nos mostro que la DoS semiclasica describe de manera correcta la ten-dencia en la DoS cuantica en ambos modelos. Es por eso que podemos usar la DoS semiclasicapara ejecutar lo que es conocido como ’unfolding ’: para poder extraer las fluctuaciones en elespectro, necesitamos quitar la tendencia. Esto en virtud de la idea que la tendencia dependedel sistema particular que se este estudiando, pero las fluctuaciones son universales [192].Como explicamos en el capıtulo anterior, las fluctuaciones en la estadıstica de niveles delos sistemas cuanticos que tienen caos siguen las de la distribucion gaussiana ortogonal(Gaussian Orthogonal Ensemble o GOE). Una forma de cuantificar esto es a traves de ladistribucion del espaciamiento entre primeros vecinos ( Nearest Neighbor Spacing Distributiono NNSD) que sigue, si son caoticos y sin la tendencia (’unfolded ’), la distribucion de Wignerque corresponde a la del GOE. Por su parte, los sistemas regulares e integrables siguen ladistribucion gaussiana diagonal (Gaussian Diagonal Ensemble o GDE) que corresponde a ladistribucion de Poisson la mayorıa de las veces.Utilizaremos la prueba de Anderson-Darling (A-D) [209] que es un criterio sencillo paraestablecer si un conjunto de datos sigue una distribucion dada. Primero, deseamos calcularla estadıstica de NNSD de las diferencias de energıas unfolded. Definimos al cumulante dela densidad de energıa solo para los estados con paridad positiva como,

Γ+(E) =

∫ E

Emin

ν+(E ′)dE ′ =1

2

∫ E

Emin

ν(E ′)dE ′, (8.41)

donde ν(E) es la aproximacion semi-clasica de la DoS. Nuestras energıas sin tendencia estarandadas por este cumulante, es decir, ei = Γ+(Ei). Lo que deseamos es la diferencia de energıaentre niveles sucesivos ∆i = ei+1 − ei. Sin embargo, vemos que podemos calcularla a travesde la siguiente aproximacion lineal,

∆i = ei+1 − ei = Γ+(Ei+1)− Γ+(Ei) =

=

∫ Ei+1

Emin

ν+(E ′)dE ′ −∫ Ei

Emin

ν+(E ′)dE ′ =

∫ Ei+1

Ei

ν+(E ′)dE ′.(8.42)

Suponiendo que ν+(E) es una funcion continua y que las energıas estan ordenadas (Ei+1 >Ei), usamos el teorema del valor medio y nos queda que,

∆i = ν+

(Ei+1 + Ei

2

)(Ei+1 − Ei) = ν

(Ei+1 + Ei

2

)(Ei+1 − Ei

2

). (8.43)

Ası tenemos la diferencia de energıas sin tendencia (unfolded) para primeros vecinos. Conesta serie de datos para las diferencias de energıas en un intervalo dado (que en nuestro casotomaremos como N − 1 = 300 diferencias), probaremos que el conjunto de datos siga ladistribucion de Wigner. El parametro de A-D es,

A2 = −(N − 1)−N−1∑k=1

2k − 1

N − 1(lnFw(∆k) + ln[1− Fw(∆N−k)]) , (8.44)

160

donde las diferencias ∆k se organizan en orden ascendente tales que ∆k ≤ ∆k+1, y Fw(s) esla funcion acumulativa que corresponde a la distribucion de Wigner Fw(s) =

∫ s0Pw(s′)ds′. El

parametro A-D nos sirve porque se puede mostrar que si un conjunto de datos ∆k viene dela distribucion de Wigner la probabilidad de obtener un parametro A2 mayor a 2.5 es 0.05(Pr(A2 > 2.5) = 0.05) [209]. Entonces si obtenemos un parametro de A-D mayor a 2.5 paraun conjunto consecutivo de N eigenenergıas, podemos concluir a un nivel de confianza del95 % que las propiedades estadısticas de las fluctuaciones estan descritas por una distribucionde Wigner. Ası, el parametro A-D se puede pensar como una medida de la distancia entre lasfluctuaciones de energıa del modelo de Dicke y la distribucion de Wigner. El analisis analogoa la distribucion de Poisson se puede hacer tambien. En la siguiente seccion describiremosde forma conjunto las secciones de Poincare, las redes de Peres y el parametro A-D.

8.4. Caos y correspondencia cuantico-clasica

Como vimos en el capıtulo anterior, las redes de Peres nos indicaron la presencia de caoscuantico en el modelo de Dicke. En esta seccion nos interesa observar la aparicion de caosen el espectro y su relacion con la ESQPT.

Las secciones de Poincare que mostramos en este capıtulo se construyen de la siguientemanera. Primero, resolvemos numericamente las ecuaciones de movimiento que encontramosen el capıtulo 4 y consideramos las intersecciones de las orbitas con la superficie p = 0. Estasintersecciones definen una superficie de dos dimensiones en el espacio tridimensional q-jz-φ.Sin embargo, para cada energıa E = Hcl(p = 0, q, jz, φ) tenemos una ecuacion cuadraticapara q que nos define dos casquetes dados por los dos posibles valores q±:

q±(jz, φ, ε) = −2γ

ω

√1− jz

2cosφ +±

√4γ2

ω2

(1− jz

2)

cos2 φ+2

ω

(ε− ω0jz

). (8.45)

Ası, podemos elegir puntos en cualquier de estos dos casquetes y restringirnos al espaciode variables atomicas jz y φ. En particular, en este capıtulo, elegiremos los valores de q+

y projectaremos las intersecciones sobre el plano polar [1 + (jz/j)]-φ. Como ejemplo, en lafigura 8.6 mostramos las secciones de Poincare del Hamiltoniano de TC. Podemos observarclaramente que las orbitas son regulares. Esto corresponde al hecho de que el Hamiltoniano esintegrable. Por ende, no exploraremos mas la correspondencia entre secciones de Poincare ylas redes de Peres para el Hamiltoniano de TC.

Para el modelo de Dicke, exhibiremos la presencia de caos en diferentes regiones de energıay acoplamiento y lo vincularemos con el caos obtenido del modelo semi-clasico, visualizadoa traves de la secciones de Poincare. Todos los resultados presentados se encuentran enresonancia ω = ω0 = 1 con un numero de atomos representativo j = 40. Se presentan sololos resultados con paridad positiva en el espectro y la convergencia esta asegurada con elcriterio definido para la BCE. Al mismo tiempo, analizaremos las propiedades estadısticasdel espectro considerando en todos los casos intervalos de energıa de 301 estados consecutivosde paridad positiva. Tomaremos dos casos: la fase normal y la fase superradiante.

161

Figura 8.6: Secciones de Poincare en coordenadas polares de las variables de pseudo-espın(φ and 1 + jz/j) para el Hamiltoniano clasico de Tavis-Cummings para γ = γc,0 (arriba)y γ = 2.0γc,0 (abajo). Las energıas usadas son E/(ω0j) = −0.8 (izq. arriba) and 1.2 (der.arriba), y E/(ω0j) = −1.5 (izq. abajo) and 1.5 (der. abajo). [208]

162

8.4.1. Correspondencia en la fase normal

En la figura 8.7 presentamos la red de Peres empleando Jz para un acoplamiento pequeno deγ = 0.2γc,1. Tambien mostramos las secciones de Poincare correspondientes para dos valoresrepresentativos de energıa. Para este acoplamiento pequeno nos encontramos con que tantola red de Peres como las secciones de Poincare muestran un comportamiento regular. Estodebe ser ası porque el sistema no se ha alejado mucho de la integrabilidad. La regularidad serefleja en el parametro A-D el cual es mas grande que 2.5 en todos los intervalos de energıa,lo cual significa que la distribucion de Poisson es la mas cercana, puesto que no puede serla de Wigner. En la red de Peres se ve claramente en ε = 1 la ESQPT estatica, donde Jzalcanza el valor maximo como esperamos de la ESQPT estatica.

Luego, incrementamos el acoplamiento a un valor cercano a la QPT pero aun en la fasenormal, en principio, aun es valida hasta cierto punto la aproximacion cuadratica. Esto lovemos en la figura 8.8 donde seguimos el mismo lineamiento que en la figura anterior. Vemoslas redes de Peres y en ellas solo una pequena parte a bajas energıas es regular. Esto es elefecto de la perdida de la aproximacion cuadratica. Las secciones de Poincare correspondien-tes siguen la misma ruta al caos que las redes de Peres. Para energıas cercanas al mınimo elespacio fase esta cubierto de orbitas regulares pero conforme aumentamos la energıa, algunostoros se rompen y empezamos a ver un espacio fase con mezcla de caos y regularidad o mixto.Para energıas positivas las orbitas regulares casi han desaparecido por completo y el espaciofase se cubre de trayectorias caoticas densamente.

Estos resultados se ratifican cuantitativamente con el parametro de A-D que detecta elcambio en la red de Peres. Para energıas cercanas al estado base (en la zona de aproximacioncuadratica) rechaza una distribucion de Wigner, sin embargo, conforme aumenta la energıava disminuyendo hasta que alrededor de ε = 0.2 alcanza un valor menor a 2.5 indicandoque la distribucion que describe esa zona es la de Wigner. Es mas, a altas energas, cerca deε ∼ 2.5 hay un regreso de regularidad que se observa en las secciones de Poincare y en elparametro A-D. Sin embardo, es no se puede observar tan claramente en la red de Peres. LaESQPT estatica se mantiene en ε = 1. A partir de ahı el espacio atomico esta saturado yeso se puede observar en la red donde el valor esperado de Jz es en promedio cero.

Luego, observamos el acoplamiento crıtico. Cabe aclarar que, por ser un sistema finito yrecordando el resultado del capıtulo 6, γ = γc,1 es crıtico solo en el lımite termodinamicoo en el lımite semi-clasico. De igual forma, cada vez que nos hemos referido a la ESQPTen esta seccion, hablamos del precursor de la ESQPT, puesto que esta solo sucede en ellımite termodinamico o semi-clasico. El resultado de la correspondencia se observa en lafigura . Aquı vemos que la zona de regularidad esta casi desaparecida. Esto es porque en elacoplamiento crıtico la aproximacion cuadratica falla por completo. Los aspectos irregularesde la red ya estan en energıas cercanas a ε ∼ −0.8. De hecho, estos resultados son muysimilares a los del caso γ = 0.9γc,1 Es importante hacer notar que lo que hemos mostradocualitativamente con las redes de Peres y la secciones de Poincare es que el caos no serestringe a la fase superradiante. Exceptuando en el regimen integrable cercano a γ = 0 hayaparicion de caos para energıas lo suficientemente grandes. Ahora lo que deseamos observares lo que sucede en la fase superradiante.

163

Figura 8.7: Red de Peres del operador Jz para el modelo de Dicke con γ = 0.2γc,1. Estamosusando j = 40 y Nmax = 160. Tambien se muestran las secciones de Poincare con energıasε = −0.5 y 2.0 senalando con una flecha verde donde se ubica en la red de Peres el corteaproximado de energıa. Ademas, en la misma figura se exhibe el resultado para el parametroA-D (A2/70, lınea negra solida) para probar el parecido de las fluctuaciones con la distribu-cion de Wigner. La lınea punteada horizontal muestra el valor maximo (2.5/70) para el cualla prueba no rechaza la hipotesis de que sea la distribucion de Wigner. En la misma figurapodemos observar, senalada con una flecha negra la ESQPT estatica. [208]

164

Figura 8.8: Lo mismo que en la figura 8.7 pero con γ = 0.9γc,1. De igual forma el parametroA-D esta dividido por 20 reescalarlo (A2/20 y la lınea horizontal es 2.5/20. [208]

165

I parám,;tro A-O

- 1 o

EJ!w,J1 = 1.5

EJ!wd) = -ú.5 EJ(w..-J) = 0.5

Figura 8.9: Lo mismo que en la figura 8.7 pero con γ = γc,1. De igual forma el parametroA-D esta dividido por 30 para reescalarlo (A2/30 y la lınea horizontal es 2.5/30. [208].

166

Parámet ro A-D

.~ - t:I :Lt -.~ - tl.4t

1~-11'¡.Orl¡:O~;::¡W--¡OC:.5511j.O)11:.5522j.05-t2.5 E/w"j) = -0.2

E/(ll,.,j)

E(Woj ) = -0.9 E/(wJI = -0.8

8.4.2. Correspondencia en la fase superradiante

Para los acoplamientos en la fase superradiante sabemos que habran tres regiones de energıa,una adicional al caso normal, que se encuentra por debajo de la energıa ε = −1. Esto haceque la ESQPT dinamica se manifieste. Esta region energetica, como vimos al principio delcapıtulo, corresponde en el caso clasico al movimiento de las variables de pseudoespın en eldoble pozo de potencial. El punto de inestabilidad en ε = −1 marca el final del doble pozoy un cambio abrupto en el volumen de espacio fase disponible. Como un primer ejemploconsideramos el acoplamiento γ = 1.35γc,1, cercano a la QPT pero en la fase superradiante.Los resultados de la correspondencia se muestran en la figura 8.10. Como sucedio en loscasos anteriores de la fase normal, a bajas energıas se recupera una vez mas una zona deregularidad que corresponde a la aproximacion cuadratica. Esto coincide con la aparicionde orbitas regulares en las secciones de Poincare. En la figura 8.11 se muestra una red dePeres para el mismo acoplamiento pero considerando un sistema mucho mas grande j = 100,como al aumentar el numero de atomos tenemos mas estados, podemos observar una granriqueza en terminos de regularidad y caos en los alrededores de la ESQPT. A su vez, lacuantificacion dada por el parametro A-D concide una vez mas reconociendo las zonas decaos y regularidad. Es relevante el hecho de que el parametro A-D cae drasticamente porqueesta cuantificando caos duro al pasar la ESQPT dinamica. El analogo en la secciones dePoincare es que las trajectorias caoticas cubren todo el espacio fase accesible densamente.

Para este acoplamiento, la ESQPT dinamica es claramente visible, mientras que las estaticaesta ligeramente oculta por las fluctuaciones en el valor esperado de Jz como en todos loscasos alrededor de la QPT, aunque sı es visible.

El ultimo caso que mostramos es el del acoplamiento fuerte en la fase superradiante γ =2.0γ. Esto se muestra en la figura 8.12. Cabe resaltar que este resultado, por ejemplo, serıaimposible sin la BCE, pues requerimos una cantidad grande de atomos para explorar a detalleel espectro y como vimos, la base de Fock es impracticable para estos acoplamientos. De nuevacuenta tenemos una region regular para la region baja del espectro y una region de caos duropara altas energıas. Como en los casos anteriores, observamos claramente los precursoresde la dos ESQPT en las redes de Peres. Al igual que en el caso anterior, mostramos quehay gran riqueza de regularidad y caos, exhibido tanto en la red como en sus secciones dePoincare correspondientes y capturado con el parametro A-D. Esto se muestra en la figura8.13 donde consideramos un sistema mas grande (j = 80). Podemos ver una region de caosmixto con zonas claras de regularidad y la aparicion de caos. Ahı se puede observar que elcaos no empieza justo en la ESQPT, sino alrededor de una energıa εch < 1. Entender comoaparece el caos en el espectro y su relacion con la ESQPT dinamica es un tema interesante,pero excede la extension de este trabajo. Resultados recientes que generalizan el tratamientoque hemos hecho para otros sistemas, indican que la relacion entre el caos y la ESQPT esdependiente del sistema, no algo general [202]. Lo que es cierto en el modelo de Dicke esque el abrupto cambio de volumen de espacio disponible que produce la ESQPT en el casoclasico guarda alguna relacion con la aparicion de caos en el caso cuantico.

Tambien esta relacionada con la perdida de la aproximacion cuadratica que ocurre alrededorde la QPT y de la ESQPT dinamica. Sabemos, de las soluciones usando la transformacion

167

Figura 8.10: Lo mismo que en la figura 8.7 pero en la fase superradiante con γ = 1.35γc,1.De igual forma el parametro A-D esta dividido por 160 para reescalarlo (A2/160) y la lıneahorizontal es 2.5/160. [208].

168

ESQPT

~1 +jJi l EJ(wdl = -0.8

E/!wJI = -1.16 I

Figura 8.11: Red de Peres para γ = 1.35γc,1 pero con j = 100. Esto nos permite ver de cercael espectro y observar la riqueza que posee en terminos de caos y regularidad.

169

Figura 8.12: Lo mismo que en la figura 8.7 pero en la fase superradiante con γ = 2.0γc,1.De igual forma el parametro A-D esta dividido por 100 para reescalarlo (A2/100) y la lıneahorizontal es 2.5/160. [208].

de Holstein-Primakoff, que fuera del acoplamiento crıtico y en el lımite termodinamico,podemos aproximar las soluciones a dos osciladores desacoplados. Es decir, para cualquieracoplamiento (excepto el crıtico) siempre existe una region de bajas energıas arriba de laQPT donde se puede aproximar por dos osciladores y en consecuencia la dinamica es regular.Esto se puede observar en las redes de Peres. Sin embargo, al incrementar la energıa, laaproximacion cuadratica del Hamiltoniano que da estos dos osciladores, deja de ser valida yuna dinamica mas compleja aparece dando lugar al caos.

Con esto hemos explorado cualitativamente la aparicion de caos en el espectro a traves delas redes de Peres y las secciones de Poincare. Las redes de Peres son utiles para explorar deforma rapida la presencia de caos en el espectro, ası como para identificar estados individualesen estas regiones. Tambien nos sirvieron para vincularnos con el caso clasico.

170

Figura 8.13: Red de Peres para γ = 2.0γc,1 pero con j = 80.

8.5. Conclusiones del capıtulo

En este capıtulo dimos uso tanto a las tecnicas semi-clasicas que nos permitieron obtener unHamiltoniano clasico efectivo para los Hamiltonianos de Dicke y Tavis-Cummings; ası comoa las soluciones numericas eficientes, que nos dieron la posibilidad de estudiar el espectro.Primero, usando los resultados semi-clasicos entendimos el significado de las transicionesde fase cuanticas de estados excitados, corresponden a los puntos de estabilidad clasicos ya cambios abruptos en el volumen del espacio fase disponible. Hemos visto que podemoscalcular la DoS semiclasicamente y que esta coincide con los resultados cuanticos siendo dehecho su tendencia.

Ası, decidimos realizar un estudio de la correspondencia entre la parte cuantica y la clasicaexplorando distintas energıas y acoplamientos. Las redes de Peres y las secciones de Poin-care funcionaron en terminos cualitativos para identificar visualmente el caos cuantico yel clasico, respectivamente. Con esto, encontramos que la aparicion del caos en el espectroesta relacionada de alguna manera con la perdida de la aproximacion cuadratica y que co-rresponde con el cambio abrupto de volumen de espacio disponible del caso clasico y de laESQPT reconocida semiclasicamente como singularidad en la DoS.

Los resultados fueron reforzados cuantitativamente a traves de calcular la dinamica de nive-les. Esto lo hicimos extrayendo de los datos la tendencia, aproximada con la DoS calculadasemiclasicamente y luego probando mediante el parametro de Anderson-Darling la cercanıa

171

de los datos a una distribucion de Wigner.Este estudio global nos abre todo un panorama al estudio de la correspondencia cuantico-clasica en este tipo de sistemas. Con esto terminamos el trabajo de la tesis doctoral. Estosresultados fueron publicados en [206, 208, 210].

172

Conclusiones de la Tesis

En este trabajo hemos hecho una revision del Hamiltoniano de Dicke, un paradigma de laoptica cuantica y un modelo sencillo de la interaccion radiacion-materia. Sin embargo, conel desarrollo del computo cuantico y de la teorıa de la informacion cuantica, el modelo deDicke resulta interesante al expresarse ahora en terminos de qubits, que pueden ser realizadosen gran variedad de sistemas, como circuitos superconductores o BEC en redes opticas -donde de hecho se observo la transicion de fase superradiante. Como hemos visto, una grancantidad de temas pueden ser estudiados a traves del modelo de Dicke: las transiciones defase cuanticas del estado base y de estados excitados, caos cuantico y enredamiento. Seaconsiderando al Hamiltoniano de Dicke como un modelo de juguete para entender otrossistemas mas complicados o simplemente con el fin de entender los sistemas que puedemodelar por sı mismo.

Primero, a modo de introduccion y motivacion, presentamos de manera general el panoramaactual del computo y la teorıa de la informacion cuanticos, temas donde la investigacion delmodelo de Dicke ha cobrado interes. Luego, presentamos una deduccion del Hamiltonianode Dicke desde la concepcion original en atomos en cavidades, vimos los lımites del modeloy expusimos en lıneas generales el porque de su relevancia tanto en el terreno teorico comoen el experimental. Despues, dado que uno de sus mayores atractivos es la transicion de fasecuantica superradiante, presentamos tanto el calculo de sus propiedades termodinamicas enla representacion canonica, como la deduccion de la QPT a traves de una aproximacion semi-clasica con estados coherentes. Finalmente, se describieron las diferentes formas de resolverel Hamiltoniano, tanto analıticas como numericas. Vimos entonces que, dada la dificultadde las soluciones numericas tradicionales y la imposibilidad de las soluciones que usan deldesarrollo de Holstein-Primakoff para describir la region de parametros de la QPT ası como elresto del espectro, eran necesario soluciones numericas eficientes. Es ası como presentamos elestudio de la convergencia de la base coherente eficiente (BCE), exhibiendo sus ventajas paracalcular en regiones de parametros donde resulta impracticable para las soluciones numericastradicionales. Con esta herramienta numerica, estudiamos las propiedades del espectro delHamiltoniando, identificando de forma cualitativa a traves de las redes de Peres, primero, lasllamadas transiciones de fase cuanticas de estados excitados (ESQPT); y luego realizandouna correspondencia entre las soluciones numericas y el lımite clasico obtenido con estadoscoherentes, con el fin de identificar la relacion entre caos y regularidad clasicos y cuanticospara este Hamiltoniano, ası como para entender el significado de las ESQPT.

Ası, nuestra contribucion a la investigacion actual en el tema tiene dos partes. Primero,

173

desarrollamos soluciones numericas eficientes que nos dan acceso privilegiado al espectrodel Hamiltoniano abriendonos una pletora de posibilidades. Segundo, aprovechando estassoluciones presentamos un estudio del espectro exhibiendo la riqueza que muestra en terminosde caos y regularidad, ası como las transiciones de fase cuanticas de estados excitados.Estudiamos ambas a la luz de la correspondencia con el Hamiltoniano clasico correspondienteobtenido mediante estados coherentes.A partir de esto surgen varias lıneas de investigacion que se proponen como trabajo futuro:

El estudio de las soluciones analıticas al Hamiltoniano, ası como de soluciones numeri-cas, que aun continua [211].

El estudio de las propiedades dinamicas de la ESQPT, es decir, como puede afectar ala evolucion de estados cuanticos y como podrıan ayudar o perjudicar en terminos delcontrol de estos estados [212].

La relacion entre la ESQPT y la termodinamica. La relacion entre el espectro de unsistema cuantico, sus propiedades dinamicas y la termodinamica no esta clara. Entendercomo las singularidades del espectro pueden afectar las propiedades termodinamicas ocual es su significado es un primer paso.

La exploracion de la conexion entre el mundo clasico y el cuantico mediante el estudiode la evolucion temporal de un estado coherente bajo la accion del Hamiltoniano atraves de zonas mixtas de caos y regularidad.

El Hamiltoniano tambien puede ser usado para estudiar los procesos de equilibrio y ter-malizacion en sistemas cuanticos cerrados de muchos cuerpos, tema que ha despertadogran interes en los ultimas anos [129, 213, 214, 215].

En particular, ya hemos desarrollado a detalle una lınea de investigacion como resultado deesta tesis doctoral, sin embargo no fue incluida para no extender la longitud del trabajo. Conel fin de extender cuantitativamente la correspondencia clasico-cuantica que se presento enel capıtulo 8 y basandonos en una idea originalmente presentada en [192], se propuso laRazon de Participacion de un estado coherente, que representa un punto dado en el espaciofase clasico, en la base de eigenestados del Hamiltoniano como medida del caos clasico.Se encontro una correspondencia muy buena con el exponente de Lyapunov, con lo que seconcluyo que se puede establecer una medida de caos clasico con solo la informacion delespectro cuantico. Este trabajo acaba de ser enviado para su publicacion [216].Estas son solo algunas de las lıneas de investigacion que este trabajo de doctorado ha abierto.Esperamos los resultados de la investigacion continuen y sean fructıferos para el desarrollodel conocimiento en estas areas.

174

Apendices

175

176

Apendice A

El qubit.

En este apendice resumimos brevemente la descripcion matematica del qubit y las propie-dades de las matrices de espın de Pauli.

A.1. El sistema de dos niveles

Un sistema cuantico de dos niveles o qubit puede ser descrito por el siguiente estado,

|Ψ〉 = α|0〉+ β|1〉, (A.1)

siendo |0〉 y |1〉 vectores que representan al estado base y al excitado del sistema y formanuna base. Esta base la denominamos base computacional. α, β ∈ C representan la amplitudde probabilidad de encontrar al sistema en |0〉 y |1〉 respectivamente, con la condicion denormalizacion |α|2 + |β|2 = 1. Dada esta condicion, es conveniente escribir las amplitudes,

salvo una fase global, como, α = cos( θ2)e−

iφ2 y β = sin( θ

2)e

iφ2 .

Por otro lado, podemos escribir el estado del qubit en notacion vectorial. Definiendo:

|0〉 →(

01

), |1〉 →

(10

)(A.2)

Un estado arbitrario se escribe como,

|Ψ〉 →(αβ

)=

(cos( θ

2) e−

iφ2

sin( θ2) e

iφ2

)(A.3)

Tambien nos interesa actuar sobre los qubits. Por lo que, cualquier operador f actuandosobre el sistema de dos niveles sera, en esta representacion, un matriz 2× 2,

f =

(a bc d

)(A.4)

177

Sin embargo, f se puede expresar a traves de las matrices de espın de Pauli, cuyas propiedadesy relaciones son bien conocidas y convenientes. Estas son,

σx =

(0 11 0

), σy =

(0 −ii 0

),

σz =

(1 00 −1

), I = σ0 =

(1 00 1

).

(A.5)

Que se pueden expresar en una sola matriz,

σk =

(δk,z δk,x − iδk,y

δk,x − iδk,y −δk,z

). (A.6)

O expresadas en la base computacional,

σx = |0〉〈1|+ |1〉〈0|, σy = i (|0〉〈1| − |1〉〈0|)σz = |1〉〈0| − |0〉〈1|, I = σ0 = |1〉〈0|+ |0〉〈1|.

(A.7)

A continuacion recordamos varias de sus propiedades:

1. Satisfacen las reglas de conmutacion del algebra de SU(2),

[σi, σj] = 2iεijkσk. (A.8)

2. Su regla de anticonmutacion es,

σi, σj = 2δijI. (A.9)

3. Su cuadrado es la identidad,

σ2i = I,∀i. (A.10)

4. Y su traza es cero.

Tr(σi) = 0,∀i. (A.11)

Ahora, ya equipados con las matrices de espın de Pauli, el operador f se puede expresarcomo,

f =3∑i=0

fjσj. (A.12)

Con,

fj = Tr(f σj) (A.13)

Por otra parte, conviene definir operadores escalera (de manera similar a los operadores decreacion y aniquilacion),

σ± = σx ± iσy. (A.14)

178

En terminos de estos operadores, las reglas de conmutacion se reescriben como,

[σz, σ±] = ±2σ±,

[σ+, σ−] = σz.(A.15)

Y que en la base de σz se ven como,

σk =

(0 2δk,+

2δk,− 0

). (A.16)

Ası, tenemos cualquier operacion sobre un sistema de dos niveles expresada con las matricesde espın de Pauli.

A.2. La esfera de Bloch

Una forma de visualizar graficamente el estado arbitrario de un qubit usando las matricesde espın de Pauli es a traves de la esfera de Bloch. El valor esperado de cualquier operadorf en un estado arbitrario ρ esta dado por:

〈f〉 = Tr(f ρ). (A.17)

Si tomamos el valor esperado de las matrices de espın de Pauli para un estado puro comoen la ecuacion A.1 tendremos,

〈σx〉 = 2Re(αβ) = sin(θ) cos(φ)

〈σy〉 = 2 Im(αβ) = sin(θ) sin(φ)

〈σz〉 = |α|2 − |β|2 = cos(θ)

(A.18)

Los valores 〈σk〉 se pueden considerar como las componentes de un vector unitario en unespacio isotopimo. Este es el vector de Bloch,

~R = (〈σx〉, 〈σy〉, 〈σz〉) (A.19)

La punta de este vector es un punto que se encuentra en la superficie de una esfera unitariallamada la esfera de Bloch. El vector de Bloch queda completamente especificado por losvalores θ, φ de tal suerte que a cualquier estado puro de un sistema de dos niveles le corres-ponde un punto en la esfera de Bloch. El polo norte corresponde al estado |1〉 mientras queel sur al |0〉.El vector de Bloch tambien nos permite escribir estados mixtos de manera sencilla. Si elsistema se describe por una matriz de densidad ρ,

ρ =

(ρ00 ρ01

ρ10 ρ11

). (A.20)

179

Con ~σ = (σx, σy, σz), el vector de Bloch se puede escribir como,

~R = Tr(ρ~σ) =(2Re(ρ01), 2 Im(ρ01), |ρ11|2 − |ρ00|2

). (A.21)

Tambien, dado el vector de Bloch, podemos recuperar la matriz de densidad,

ρ =1

2

(1 + ~R · ~σ

)(A.22)

Es por esto que la esfera de Bloch es de gran utilidad, pues nos permite identificar la diferenciaentre estados puros y mixtos. Esto se debe a que,

|~R|2 = R2x +R2

y +R2z = 2Tr(ρ2)− 1 (A.23)

Y como |~R|2 ≤ 1, es facil identificar a los estados puros de los mixtos puesto que la igualdadsolo se cumple para estados puros. Ası, mientras los estados puros estan en la superficie dela esfera, los estados mixtos estan dentro de la esfera. El estado completamente mixto serepresenta por la matriz de densidad ρ = I/2 corresponde al estado de longitud cero.Usando coordenadas esfericas sobre la esfera de Bloch y la parametrizacion angular antesusada, una matriz de densidad arbitraria se puede escribir como ,

ρ =

(12

(1− r cos(θ)) 12r sin(θ)eiφ

12r sin(θ)eiφ 1

2(1 + r cos(θ))

). (A.24)

Y con r = 1 recuperamos el caso de un estado puro. Esto serıa una generalizacion del estadoen A.1.

180

Apendice B

Estados coherentes.

En este apendice revisaremos las reglas de conmutacion del algebra de Heisenberg-Weyl yde SU(2) ası como las propiedades de sus estados coherentes. Conocer estas reglas es desuma importancia para muchos de los temas a lo largo del trabajo. Sobre la teorıa de estadoscoherentes vease [217]. Para mas del uso de tecnicas algebraicas en la fısica y simetrıas vease[218].

B.1. Algebra de Heisenberg-Weyl

Esta algebra surge de manera natural cuando pensamos en el oscilador armonico cuantico oen la cuantizacion del campo electromagnetico dentro de una cavidad [219]. En este caso, sepiensa en un Hamiltoniano del tipo,

H =p2

2m+κ q2

2. (B.1)

Los operadores de posicion y momento se pueden poner en terminos de nuevos operadores,el operador de creacion a† y el de aniquilacion a, que son operadores adjuntos entre sı,

a =

(1√

2m~ω

)(mωq + i p) y a† =

(1√

2m~ω

)(mωq − i p) , (B.2)

con la transformacion inversa,

p = i

√~mω

2

(a† − a

)y q =

√~

2mω

(a+ a†

). (B.3)

Con esto, al sustituir en el Hamiltoniano y considerar ω =√

κm

surge el operador de numero

n = a†a que en termino de las cuadraturas p y q es,

n =1

~ω

(p2

2m+mω2q2

2

), (B.4)

181

y el Hamiltoniano nos queda como

H = ~ω(n+

1

2

). (B.5)

Esta estructura geometrica es compleja en correspondencia uno a uno entre el espacio deHilbert y los numero complejos, y tiene una metrica explıcita dµ = dα dα∗ con estructurasimplectica. Juntos, el operador de numero, los operadores de creacion y aniquilacion, ası co-mo la identidad forman el algebra de Lie que corresponde al grupo dinamico de Heisenberg-Weyl o H4 [220].

B.1.1. Reglas de conmutacion y el espacio de Fock

Los operadores cumplen las siguientes relaciones de conmutacion:[a, a†

]= I,

[a, n] = a y[a†, n

]= −a†,

[I, n] = [I, a] =[I, a†

]= 0.

(B.6)

El espacio de Hilbert de H4 esta formado por los eigenestados del operador de numero, losestados de Fock,

n|n〉 = n|n〉. (B.7)

Que se pueden pensar en terminos de los operadores de creacion y aniquilacion definidosmediante un estado especial extremal del espacio de Hilbert o estado fiducial, el estado delvacıo |0〉, que, en terminos del oscilador armonico corresponde a cero excitaciones, su estadobase.

|n〉 =

(a†)n

√n!|0〉,

a|0〉 = 0.

(B.8)

Esta definicion parte del hecho de que los operadores de a† y a son operadores escalera, que,actuando sobre los estados de Fock nos dan:

a†|n〉 =√n+ 1|n+ 1〉

a|n〉 =√n|n− 1〉

(B.9)

Los estados de Fock forman una base, cumpliendo las condiciones de ortogonalidad y com-pletez:

∞∑n=0

|n〉〈n| = I

〈n′|n〉 = δn′,n

(B.10)

182

B.1.2. Estados coherentes de Glauber

En general, los estados coherentes se pueden obtener a partir de un estado fiducial en elespacio de Hilbert y hay tres definiciones de los mismos. Estas tres definiciones coincidenen los estados coherentes de Glauber. Estos, tambien llamados estados coherentes de campo(field coherent states en ingles) poseen varias propiedades atractivas puesto que son una des-cripcion cuantica de los campos electromagneticos clasicos y su espacio de Hilbert esta dadopor el espacio generado por los estados de Fock.Entonces, los estados coherentes se pueden definir de tres maneras distintas,

1. Como una traslacion del estado vacıo de la base de Fock a traves de un operador dedesplazamiento |α〉 = D(α)|0〉.

2. Como eigenestados del operador de aniquilacion a|α〉 = α|α〉, con α ∈ C.

3. Como estados de mınima incertidumbre ∆q∆p = ~/2. Donde ∆q y ∆p representan lasvarianzas de ambos operadores.

Vamos a revisar a continuacion cada una de estas definiciones y a mostrar su equivalencia.

Operador de desplazamiento

Podemos obtener los estados coherentes a traves de un operador de desplazamiento o detraslacion. Este operador de desplazamiento esta dado por:

D(α) = e−i~ (ζp−ηq) = eαa

†−α∗a

donde α =1√

2~ωm(ωmζ + iη) .

(B.11)

O tambien, utilizando la formula de Baker-Haussdorf (o teorema de desenredamiento) [50]:

Si [[A,B], A] = [[A,B], B] = 0

⇒ eA+B = e−[A,B]eAeB.(B.12)

Podemos escribirlo como:

D(α) = e|α|22 e−α

∗aeαa†

= e−|α|22 eαa

†e−α

∗a. (B.13)

Vemos que el operador de desplazamiento es una transformacion unitaria:

D†(α) = D(−α) = D−1(α). (B.14)

Podemos entonces obtener el estado coherente de Glauber con el operador de desplazamientocomo una transformacion del estado del vacıo:

|α〉 = D(α)|0〉. (B.15)

183

La transformacion sobre los operadores de creacion o aniquilacion nos da:

D(α)aD(α)−1 = a− α,D(α)a†D(α)−1 = a† − α∗.D(α)nD(α)−1 = n− (α a† + α∗ a) + |α|2.

(B.16)

Recuperamos la segunda definicion que dimos de los estados coherentes, pues el estado |α〉es eigenestado del operador de aniquilacion:

D(α)aD(α)−1|α〉 = (a− α)|α〉 = 0

∴ a|α〉 = α|α〉.(B.17)

Desarrollando el operador de desplazamiento, en lo que se llama la forma ordenada (a travesde la formula de Baker-Haussdorf [B.13]) en terminos de los estados de Fock, el estadocoherente se puede escribir como una combinacion lineal de los mismos:

|α〉 = e−|α|22

∞∑n=1

αn√n!|n〉. (B.18)

Usando esta expresion, podemos ver algunas propiedades de los estados coherentes de Glau-ber.

B.1.3. Propiedades de los estados coherentes

Usando la completez de los estados de Fock o la formula de Baker-Haussdorf se puede calcularel producto interno entre los estados de Glauber.

〈β|α〉 =∞∑n=1

〈β|n〉〈n|α〉 =

=∞∑n=1

e−|α|22 e−

|β|22

(α∗β)n

n!=

= exp

(−|α|2 + 2α∗β − |β|2

2

).

(B.19)

Y la norma cuadrada es:

|〈α|β〉|2 = e−|α−β|2

. (B.20)

184

Por lo cual podemos ver que no son ortogonales pero si estan normalizados. Sin embargo,son completos. Usando la completez de los estados de Fock:∫

d2α

π|α〉〈α| =

∫d2α

π

∑n

|n〉〈n|α〉〈α|∑n′

|n〉〈n′| =

=∑n′

∑n

∫d2α

π|n〉〈n′|〈n|α〉〈α|n′〉 =

=∑n′

∑n

∫d2α

π|n〉〈n′|e−|α|2/2e−|α|2/2α

n(α∗)n′

√n!n′!

=

=∑n′

∑n

(∫d2α

πe−|α|

2αn(α∗)n′

√n!n′!

)|n〉〈n′|.

(B.21)

Pero: ∫d2α

πe−|α|

2

αn(α∗)n′=

∫ ∞0

|α|n+n′+1e−|α|2

d|α|∫ 2π

0

ei(n′−n)θdθ = π n! δn,n′ . (B.22)

Ası que, finalmente se sigue que:

∴∫d2α

π|α〉〈α| = 1. (B.23)

Como cualquier estado coherente puede ser expresado en terminos de los demas, se dice quees un conjunto sobrecompleto:

|α〉 =

∫d2α

πexp

(−|α|2 + 2α∗α′ − |α′|2

2

)|α′〉. (B.24)

La sobrecompletez sucede por definir una base continua en un espacio de Hilbert discreto.Ası, podemos usar a los estados coherentes como un conjunto generador para expresar otrosestados como si fuesen una base, aun cuando no son ortogonales. Entonces un estado uoperador cualquiera se puede expresar en terminos de los estados coherentes:

|Ψ〉 =

∫d2α

πe−|α|2

2 f(α∗)|α〉

O =

∫ ∫d2α

π

d2β

π|β〉〈β|O|α〉〈α|

f(α∗) = e|α|22 〈α|ψ〉.

(B.25)

Como se menciono en la tercera definicion de los estados coherentes, vemos que estos estadosson de mınima incertidumbre:

〈α|(q − 〈q〉)2|α〉〈α|(p− 〈p〉)2|α〉 =~2

4. (B.26)

185

Con lo que mostramos la equivalencia de las tres definiciones.Finalmente, podemos calcular los elementos de matriz y valor esperado de los operadores delalgebra de Heisenberg-Weyl en terminos de los estados coherentes. Para los operadores decreacion y aniquilacion tendremos,

〈β|a†|α〉 = β∗ e−|α−β|2

2 ,

〈β|a|α〉 = α e−|α−β|2

2 ,

〈α|a†|α〉 = α∗,

〈α|a|α〉 = α.

(B.27)

Mientras que, para el operador de numero tendremos,

〈β|n|α〉 = β∗α,

〈α|n|α〉 = |α|2.(B.28)

Donde para un sistema electromagnetico se interpreta a |α|2 como el numero promedio defotones.

B.2. Algebra de SU(2)

B.2.1. Operadores de pseudoespın colectivos

Los operadores colectivos de pseudoespın se pueden definir de diferentes maneras. La reali-zacion mas proxima a nosotros es partiendo de N qubits. Definidos a traves de las matricesde espın de Pauli los operadores colectivos son,

Jα =1

2

N∑k=1

σkα (B.29)

Con α = x, y, z. Donde tenemos un espacio de Hilbert formado por el producto tensorialde espacios de Hilbert de cada sistema de dos niveles individual cuyas operaciones estanrepresentadas por su conjunto de matrices de espın de Pauli. Es facil ver que debido a laspropiedades de las matrices de espın de Pauli, los operadores colectivos de pseudoespın siguenel algebra de SU(2),

[Jα, Jβ] =1

4

N∑k=1

N∑l=1

[σkα, σlβ] =

1

4

N∑k=1

N∑l=1

δl,k 2iεα,β,γ σiγ = i εα,β,γ

1

2

N∑k=1

σkγ = i εα,β,γJγ. (B.30)

En consecuencia, los operadores de pseudoespın colectivos tambien siguen el algebra deSU(2). A su vez, podemos definir operadores colectivos de escalera,

J± =1

2

N∑k=1

σk±.

J± = Jx ± iJy.(B.31)

186

tales que se cumplan las reglas de conmutacion.

[Jz, J±] = ±2J±,

[J+, J−] = Jz.(B.32)

Estos operadores tienen tambien otras realizaciones, como por ejemplo, en terminos de ope-radores fermionicos c†αn y cαn, con k = 1, ...,N que siguen reglas de anticonmutacion,

cαn, c†α′n′

= δα,α′δn,n′ (B.33)

Los operadores colectivos de pseudoespın se pueden escribir como,

Jz =1

2

Ω∑n=1

(c†+nc+n − c†−nc−n

)J+ =

Ω∑n=1

c†+nc−n

J− =Ω∑n=1

c†−nc+n

(B.34)

Donde Ω = 2j + 1 es la degeneracion. Tambien, pueden ser realizados en terminos de dosbosones, es decir, dos operadores de creacion y aniquilacion que siguen cada uno el algebrade H4. Esto se conoce como la representacion de Jordan-Wigner,

Jz =1

2

(b†b− a†a

)J+ = b†a

J− = a†b

(B.35)

Finalmente, esta la realizacion en terminos de un solo boson, que es la transformacion deHolsterin-Primakoff y que discutimos en el Capıtulo 5.

B.2.2. Espacio de estados de Dicke

El espacio de Hilbert esta definido por los eigenestados simultaneos del operador de Casimirdel algebra de SU(2) J2 y del operador Jz. Estos son los estados de Dicke,

J2|j;m〉 = ~j(j + 1)|j;m〉 y Jz|j,m〉 = ~m|j,m〉. (B.36)

con −j ≤ m ≤ j y para una j dada entre 0 ≤ j ≤ N2

. Tıpicamente consideraremos larepresentacion mas grande posible que corresponde a la representacion simetrica 2j = N .De la misma manera que en el caso del espacio de Fock, podemos definir a los estados deDicke a partir de un estado extremo o fiducial. En este caso, es el estado que fısicamente

187

corresponda a la menor energıa del sistema de espines colectivo, |j,−j〉, aunque tambien sepodrıa definir tomando como extremo al estado |j, j〉. Con esto tendrıamos,

|j,m〉 =

√(2j

j +m

)(J+)j+m

(j +m)!|j,−j〉

J−|j,−j〉 = 0

(B.37)

De igual manera, los estados de Dicke forman una base completa,

j∑m=−j

|j,m〉〈j,m| = I,

〈j,m′|j,m〉 = δm,m′ .

(B.38)

B.2.3. Estados coherentes de Bloch

Operador de desplazamiento atomico

Definiremos al estado coherente atomico [221, 222] o estado coherente de espın [223] a travesdel operador de desplazamiento que corresponde a esta algebra. El operador de desplaza-miento se define como,

Ω(z) = ez J+−z∗ J− (B.39)

Es facil ver que la geometrıa que corresponde a los operadores Jα para 2j = N es la deuna esfera de dos dimensiones S2 conocida como la esfera de Bloch. De tal suerte que elparametro del estado coherente se puede pensar como,

z =θ

2e−iφ. (B.40)

O en terminos de los operadores Jx y Jy, vemos que,

z J+ − z∗ J− = z(Jx + iJy)− z∗(Jx − iJy)= Jx(z − z∗) + iJy(z − z∗)

= Jx

(θ

2e−iφ − θ

2eiφ)

+ iJy

(θ

2e−iφ +

θ

2eiφ)

= Jxθ

2

(e−iφ − eiφ

)+ iJy

θ

2

(e−iφ + eiφ

)= −Jxθi senφ+ Jyθi cosφ

= −iθ (Jx senφ− Jy cosφ)

(B.41)

Entonces, el operador de desplzamiento atomico es,

Ω(z) = e−iθ(Jx senφ−Jy cosφ) (B.42)

188

Es decir, mientras que en el caso del campo, el operador de desplzamiento era una traslacion,en el caso atomico representa una rotacion en el espacio de Bloch.Tambien, claramente, es un operador unitario.

Ω†(z) = Ω(−z) = Ω−1(z). (B.43)

Por otro lado, usando la formula de Baker-Campbell-Hausdorf el operador de desplazamientopuede ser escrito como [221],

Ω(τ) = eτJ+eln(1+|τ |2)Jze−τ∗J− = e−τ

∗J−eln(1+|τ |2)JzeτJ+ . (B.44)

Donde,

τ = tan

(θ

2

)e−iφ. (B.45)

Donde τ y z se relacionan a traves de una transformacion proyectiva. Es por eso, que nuestrasexpresiones a lo largo del trabajo estaran en terminos de z pero expresada como τ .El estado coherente atomico estara definido entonces como la aplicacion del operador dedesplazamiento sobre el estado extremo,

|z〉 = Ω(z)|j,−j〉. (B.46)

Tambien, nos interesa ver como se transforman los operadores de pseudoespın colectivo bajola accion de Ω(z). Para esto, podemos usar BCH una vez mas,

Ω(z)JxΩ−1(z) = Jx + Jz cosφ

(θ − θ3

3!+ · · ·

)+

+(Jy senφ cosφ+ Jx cos2 φ

)(−θ

2

2!+θ4

4!+ · · ·

)= Jx + Jz cosφ sen θ +

(Jy senφ cosφ+ Jx cos2 φ

)(cos θ − 1) =

= Jz cosφ sen θ + Jx[1 + cos2 φ (cos θ − 1)

]+ Jy [senφ cosφ (cos θ − 1)] =

= Jz cosφ sen θ + Jx

[1− 2 cos2 φ sen2

(θ

2

)]+−2Jy

[senφ cosφ sen2

(θ

2

)].

(B.47)

Ω(z)JyΩ−1(z) = Jy + Jz senφ

(θ − θ3

3!+ · · ·

)+

+(Jx senφ senφ+ Jy sen2 φ

)(−θ

2

2!+θ4

4!+ · · ·

)= Jy + Jz senφ sen θ +

(Jx senφ cosφ+ Jy sen2 φ

)(cos θ − 1) =

= Jz senφ sen θ + Jy[1 + sen2 φ (cos θ − 1)

]+ Jx [senφ cosφ (cos θ − 1)] =

= Jz senφ sen θ + Jy

[1− 2 sen2 φ sen2

(θ

2

)]− 2Jx

[senφ cosφ sen2

(θ

2

)](B.48)

189

Ω(z)J+Ω−1(z) = Jzeiφ sen θ + Jx + iJy − 2 sen2

(θ

2

)[Jx cosφ+ Jy senφ] eiφ =

= eiφJz + J+e

−iφ − sen2

(θ

2

)[J+e

−iφ + J−eiφ]

.

(B.49)

Ω(z)J−Ω−1(z) = Jze−iφ sen θ + Jx − iJy − 2 sen2

(θ

2

)[Jx cosφ+ Jy senφ] e−iφ =

= e−iφJz + J−e

iφ − sen2

(θ

2

)[J+e

−iφ + J−eiφ]

.

(B.50)

Ω(z)JzΩ−1(z) = Jz + (Jy senφ+ Jx cosφ)

(θ +

θ)3

3!+ · · ·

)+

+ Jz

(−θ

2

2!+θ4

4!+ · · ·

)= Jz cos θ − (Jy senφ+ Jx cosφ) sen θ =

= Jz cos θ − 1

2sen θ

(e−iφJ+ + eiφJ−

).

(B.51)

Finalmente, podemos expresar el estado coherente atomico en terminos de los estados deDicke. Primero, vemos que,

eln(1+|τ |2)Jz |j,−j〉 = e−jln(1+|τ |2)|j,−j〉 =1

(1 + |τ |2)j|j,−j〉, (B.52)

y que,

ez J+ |j,−j〉 =

j∑m=−j

τ j+m

(j +m)!J j+m+ |j,−j〉

=

j∑m=−j

(2j

j +m

)1/2

τ j+m|jm〉

(B.53)

Por tanto, la expresion en terminos de estados de Dicke es,

|z〉 =

j∑m=−j

(2j

j +m

)1/2τ j+m

(1 + |τ |2)j|jm〉. (B.54)

Que, en terminos de las variables angulares es,

|z〉 =

j∑m=−j

(2j

j +m

)1/2

e−iφ(j+m)(senθ

2)j+m(cos

θ

2)j−m|jm〉. (B.55)

190

B.3. Propiedades de los estados coherentes de Bloch

Usamos la completez de los estados de Dicke podemos calcular el overlap entre estadoscoherentes atomicos.

〈z|w〉 =

j∑m=−j

〈z|jm〉〈jm|w〉

=

j∑m=−j

j∑m′=−j

(2j

j +m

)1/2(τ ∗)j+m

(1 + |τ |2)j|(

2j

j +m′

)1/2τ ′j+m

′

(1 + |τ ′|2)j〈jm|jm′〉 =

=1

(1 + |τ |2)j(1 + |τ ′|2)j

j∑m=−j

(2j

j +m

)(τ ∗τ ′)j+m =

(1 + τ ∗τ ′)2j

(1 + |τ |2)j(1 + |τ ′|2)j.

(B.56)

Y entonces

|〈z|w〉|2 =(1 + 2Re(ττ ′) + |ττ ′|2)

2j

(1 + |τ |2)2j(1 + |τ ′|2)2j. (B.57)

Que en variables angulares es,

|〈z|w〉|2 = cos4j θ

2. (B.58)

Tambien, los estados coherentes atomicos forman una base sobrecompleta. Si consideramosque su normalizacion es [217],

2j + 1

4π

d2τ

(1 + |τ |2)2j=

2j + 1

4πsen θ dθ dφ. (B.59)

191

Ası tenemos [221],∫dz2|z〉〈z| = 2j + 1

4π

∫sen θ dθ dφ

∑m,m′

(2j

j +m

)1/2(2j

j +m′

)1/2

(senθ

2)2j+m+m′×

× (cosθ

2)2j−m−m′|jm〉〈jm′| =

=2j + 1

2

∑m,m′

|jm〉〈jm′| 1

2π

∫ 2pi

0

dφei(m−m′)φ×

×∫ π

0

sen θ dθ

(2j

j +m

)1/2(2j

j +m′

)1/2

(senθ

2)2j+m+m′(cos

θ

2)2j−m−m′ =

=2j + 1

2

∑m,m′

|jm〉〈jm′|δm,m′×

×∫ π

0

sen θ dθ

(2j

j +m

)1/2(2j

j +m′

)1/2

(senθ

2)2j+m+m′(cos

θ

2)2j−m−m′ =

=2j + 1

2

∑m

|jm〉〈jm|∫ π

0

sen θ dθ

(2j

j +m

)(sen

θ

2)2j+2m(cos

θ

2)2j−2m =

=∑m

|jm〉〈jm| = 1.

(B.60)

Finalmente, los valores esperados los podemos obtener a partir de la transformacion de losoperadores Jz, J+ y J− con el operador de desplazamiento. De las expresiones en B.47, B.48,B.49, B.50, y B.51 podemos ver que nos queda,

〈z|Jz|z〉 = −j cos θ

〈z|Jx|z〉 = −j sen θ cosφ

〈z|Jy|z〉 = −j sen θ senφ

〈z|J+|z〉 = −j sen θ eiφ

〈z|J−|z〉 = −j sen θ e−iφ

(B.61)

Pero,

|τ |2 = tan2

(θ

2

)√1− cos θ

1 + cos θ. (B.62)

Entonces,

cos θ =1− |τ |2

1 + |τ |2,

sen θ =2|τ |

1 + |τ |2.

(B.63)

192

Por tanto,

〈z|Jz|z〉 = −j 1− |τ |2

1 + |τ |2

〈z|Jx|z〉 = −j 2Re(τ)

1 + |τ |2

〈z|Jy|z〉 = −j 2Im(τ)

1 + |τ |2

〈z|J+|z〉 = −j 2τ

1 + |τ |2

〈z|J−|z〉 = −j 2τ ∗

1 + |τ |2.

(B.64)

193

194

Apendice C

Deduccion de los traslapes de la BCE.

Consideremos dos estados coherentes de Glauber definidos a traves del operador de desplaza-miento D(α) = eαa

†−α∗a, |α〉 = D(α)|0〉 y |β〉 = D(β)|0〉. El traslape entre estos dos estadoscoherentes esta dado por:

〈β|α〉 = e

(−|α−β|2

2

)(C.1)

Sin embargo, lo que queremos el traslape entre estados coherentes generados a partir detomar a |α〉 y |β〉 como vacıo. Es decir, aplicamos un desplazamiento sobre el operador a,

A = a− α, B = a− β. (C.2)

De tal suerte que A|α〉 = 0 y B|β〉 = 0. Claramente, estos nuevos operadores cumplen lasreglas de conmutacion del algebra de H4. Estos nuevos operadores de numero nos generanestados de numero que dependen del estado coherente seleccionado como vacıo,

|N(α)〉 =A†√N|α〉 y |N ′(β)〉 =

B†√N ′|α〉. (C.3)

Lo que deseamos calcular es el traslape,

〈N ′(β)|N(α)〉 = 〈β|BN ′(A†)N√N ′!N !

|α〉 (C.4)

Para hacerlo debemos de ver como actuan las potencias de los operadores A y B. Dado queambos operadores mantienen las reglas de conmutacion, nos interesa observar como se aplicandiferentes potencias de operadores A y B de creacion y aniquilacion. Primero, calculamosalgunas identidades,

〈β|A†|α〉 = 〈β|(a† − α∗)|α〉 = (β∗ − α∗)〈β|α〉,〈β|B|α〉 = 〈β|(a− β)|α〉 = (α− β)〈β|α〉,〈β|(A†)n|α〉 = 〈β|(a† − α∗)n|α〉 = (β∗ − α∗)n〈β|α〉,〈β|Bn|α〉 = 〈β|(a− β)n|α〉 = (α− β)n〈β|α〉.

(C.5)

195

Ahora, observamos el resultado de usar combinaciones de potencias de A y de B,

〈β|BA†|α〉 = 〈β|(a− β)(a† − α∗)|α〉 =

= 〈β|a a† − β a† − α∗ a+ α∗ β|α〉 =

= 〈β|1 + a†a− β β∗ − α∗α + α∗ β|α〉 =

= (1 + β∗ α− β β∗ − α∗α + α∗ β) 〈β|α〉 =

= (1− (α− β)(α∗ − β∗)) 〈β|α〉 =

〈β|BA†|α〉 =(1− |α− β|2

)〈β|α〉.

(C.6)

〈β|B(A†)2|α〉 = 〈β|(A†B + 1

)A†|α〉 =

= 〈β|(A†BA† + A†

)|α〉 =

= 〈β|A†(A†B + 1

)+ A†|α〉 =

= 〈β|(A†)2B + 2A†|α〉 =

= 〈β|(a† − α∗)2(a− β) + 2(a† − α∗)|α〉 =

=((β∗ − α∗)2(α− β) + 2(β∗ − α∗)

)〈β|α〉 =

〈β|B(A†)2|α〉 = (β∗ − α∗)(2− |α− β|2

)〈β|α〉.

(C.7)

〈β|B2A†|α〉 = 〈β|B(A†B + 1

)|α〉 =

= 〈β|(BA†B +B

)|α〉 =

= 〈β|(A†B + 1

)B +B|α〉 =

= 〈β|A†B2 + 2B|α〉 =

= 〈β|(a† − α∗)(a− β)2 + 2(a− β)|α〉 =

=((β∗ − α∗)(α− β)2 + 2(α− β)

)〈β|α〉 =

〈β|B2A†|α〉 = (α− β)(2− |α− β|2

)〈β|α〉.

(C.8)

Con estos resultados podemos probar que,

〈β|B2(A†)2|α〉 = 〈β|B(1 + A†B

)A†|α〉 =

= 〈β|BA† +BA†BA†|α〉 =

= 〈β|BA†(1 +BA†

)α〉 =

= 〈β|(A†B + 1

) (A†B + 2

)|α〉 =

= 〈β|A†BA†B + 3A†B + 2|α〉 =

= 〈β|A†(A†B + 1

)B + 3A†B + 2|α〉 =

= 〈β|(A†)2B2 + 4A†B + 2|α〉 =

= 〈β|(a† − α∗)2(a− β)2 + 4(a† − α∗)(a− β) + 2|α〉 =

= 〈β|(β∗ − α∗)2(α− β)2 + 4(β∗ − α∗)(α− β) + 2|α〉 =

〈β|B2(A†)2|α〉 =(2− 4|α− β|2 + |α− β|4

)〈β|α〉.

(C.9)

196

Para obtener el traslape deseado debemos hacer esto para potencias arbitrarias. Por esovamos a probar por induccion las siguientes proposiciones.

Por demostrar que B(A†)n = n(A†)n−1 + (A†)nB.

Base n = 0 B = B.Base n = 1 BA† = 1 + A†B. (Conmutador).H.I. B(A†)n = n(A†)n−1 + (A†)nB.P.I. B(A†)n+1 =

(1 + A†B

)(A†)n =

= (A†)n + A†B(A†)n == (A†)n + A†

(n(A†)n−1 + (A†)nB

)=

= (A†)n + nA†(A†)n−1 + A†(A†)nB == (n+ 1)(A†)n + (A†)n+1B

∴ B(A†)n = n(A†)n−1 + (A†)nB.

(C.10)

Por demostrar que B2(A†)n = n(n− 1)(A†)n−2 + 2n(A†)n−1B + (A†)nB2.

Base n = 0 B2 = B2.Base n = 1 B2A† = 2B + A†B2. Mostrado en (C.8).Base n = 2 B2(A†)2 = 2 + 4A†B + (A†)2B2. Mostrado en (C.9).H.I. B2(A†)n = n(n− 1)(A†)n−2 + 2n(A†)n−1B + (A†)nB2.P.I. B2(A†)n+1 = B2(A†)nA† =

=(n(n− 1)(A†)n−2 + 2n(A†)n−1B + (A†)nB2

)A† =

=(n(n− 1)(A†)n−2A† + 2n(A†)n−1BA† + (A†)nB2A†

)=

=(n(n− 1)(A†)n−1 + 2n(A†)n−1

(A†B + 1

)†+ (A†)n

(2B + A†B2

))=

=((n(n− 1) + 2n) (A†)n−1 + (2n+ 2) (A†)nB + (A†)n+1B2

)=

=(n(n+ 1)(A†)n−1 + 2 (n+ 1) (A†)nB + (A†)n+1B2

)∴ B2(A†)n = n(n− 1)(A†)n−2 + 2n(A†)n−1B + (A†)nB2.

(C.11)

Finalmente,

197

Por demostrar que Bl(A†)k =

min(l,k)∑n=0

l! k!(A†)k−nBl−n

(l − n)!(k − n)!n!

Base l = 0 (A†)k = (A†)k.Base l = 1 B(A†)k = (A†)kB + k(A†)k−1. Mostrado en (C.10).Base l = 2 B2(A†)k = (A†)kB2 + 2k(A†)k−1B + k(k − 1)(A†)k−2. Mostrado en (C.11).

H.I. Bl(A†)k =∑min(l,k)

n=0l! k!(A†)k−nBl−n

(l−n)!(k−n)!n!.

P.I. Bl+1(A†)k = B∑min(l,k)

n=0l! k!(A†)k−nBl−n

(l−n)!(k−n)!n!

=∑min(l,k)

n=0l! k!

(l−n)!(k−n)!n!

((k − n)(A†)k−n−1Bl−n + (A†)k−nBl−n+1

)=

=∑min(l,k)

n=0l! k!(A†)k−n−1Bl−n

(l−n)!(k−n−1)!n!+∑min(l,k)

n=0l! k!(A†)k−nBl−n+1

(l−n)!(k−n)!n!=

=∑min(l+1,k)

n=1l! k!(A†)k−nBl−n+1

(l−n+1)!(k−n)!(n−1)!+∑min(l,k)

n=0l! k!(A†)k−nBl−n+1

(l−n)!(k−n)!n!=

=∑l+1

n=1l! k!(A†)k−nBl−n+1

(l−n+1)!(k−n)!(n−1)!+∑l

n=0l! k!(A†)k−nBl−n+1

(l−n)!(k−n)!n!=

= (A†)kBl+1 +∑l+1

n=1l! k!(A†)k−nBl−n+1

(k−n)!((

1(l−n+1)!(n−1)!

+ 1(l−n)!n!

)=

= (A†)kBl+1 +∑l+1

n=1l! k!(A†)k−nBl−n+1

(l−n)!(k−n)!n!

(n

(l−n+1)+ 1)

= (A†)kBl+1 +∑l+1

n=1l! k!(A†)k−nBl−n+1

(l−n)!(k−n)!n!

(n+(l−n+1)

(l−n+1)

)=

= (A†)kBl+1 +∑l+1

n=1(l+1)! k!(A†)k−nBl−n+1

(l−n+1)!(k−n)!n!=

=∑l+1

n=0(l+1)! k!(A†)k−nBl−n+1

(l−n+1)!(k−n)!n!

∴ Bl(A†)k =

min(l,k)∑n=0

l! k!(A†)k−nBl−n

(l − n)!(k − n)!n!.

(C.12)

Calculamos entonces,

〈N ′(β)|N(α)〉 = 〈β|BN ′(A†)N√N ′!N !

|α〉 =

=1√

N ′!N !〈β|

min(N ′,N)∑k=0

N ′!N !(A†)N−kBN ′−k

(N ′ − k)!(N − k)!k!|α〉 =

=1√

lN ′!N !

min(N ′,N)∑k=0

N ′!N !

(N ′ − k)!(N − k)!k!〈β|(A†)N−kBN ′−k|α〉 =

=1√

N ′!N !

min(N ′,N)∑k=0

N ′!N !

(N ′ − k)!(N − k)!k!

((β∗ − α∗)N−k(α− β)N

′−k)〈β|α〉.

(C.13)

Esa serıa la expresion final. Sin embargo, para el caso del modelo de Dicke tenemos queα, β ∈ R. Entonces, definimos g = α− β = α∗ − β∗. Entonces,

198

〈N ′(β)|N(α)〉 =1√

N ′!N !

min(N ′,N)∑k=0

N ′!N !

(N ′ − k)!(N − k)!k!

((−1)N−kgN−kgN

′−k)〈β|α〉 =

= e−g2/2

min(N ′,N)∑k=0

√N ′!N !

(N ′ − k)!(N − k)!k!

((−1)N−kgN+N ′−2k

).

(C.14)

Si definimos,

DN ′,N = e−g2/2

min(N ′,N)∑k=0

√N ′!N !

(N ′ − k)!(N − k)!k!

((−1)−k|g|N+N ′−2k

). (C.15)

Finalmente, el traslape entre los estados coherentes sera,

〈N ′(β)|N(α)〉 =

(−1)N′DN ′,N si β > α

(−1)NDN ′,N si β < αδN ′,N si β = α.

(C.16)

A partir de ahora, regresamos al problema de Dicke. Como recordamos, lo que deseamoscalcular es el traslape,

〈N ′(β)|N(α)〉 = 〈β|BN ′(A†)N√N ′!N !

|α〉 (C.17)

Con lo que obtenemos lo que querıamos. Solo recordamos que para el caso de Dicke, α =−Gm y β = −Gm′ por lo que g = −G (m−m′).

199

200

Bibliografıa

[1] P. Kaye, R. Laflamme, and M. Mosca, An Introduction to Quantum Computing. (OxfordUniversity Press, U.S., 2007).

[2] M. A. Nielsen and I. L. Chuang, Quantum computation and quantum information. (Cam-bridge University Press, UK, 2000).

[3] A. Turing, On computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem.Proceedings of the London Mathematical Society. 42, 230 (1936).

[4] L. Brillouin, Science and Information Theory. (Dover, N. Y., 1962).

[5] R. Landauer, The physical nature of information. Phys. Lett. A 217, 188 (1996).

[6] G. E. Moore, Cramming more components onto integrated circuits. Electronics. 38 (8)(1965).

[7] P. W. Shor, Polynomial-Time Algorithms for Prime Factorization and Discrete Loga-rithms on a Quantum Computer. SIAM Rev. 41, 303 (1999).

[8] L. Hales, S. Hallgren, An improved quantum Fourier transform algorithm and applica-tions. Proceedings of the 41st Annual Symposium on Foundations of Computer Science515 (2000).

[9] R. Feynman, Simulating Physics with Computers. International Journal of TheoreticalPhysics 21, 467 (1982).

[10] A. Einstein, B. Podolsky, and N. Rosen, Can Quantum-Mechanical Description of Phy-sical Reality Be Considered Complete?. Phys. Rev. 47, 777 (1935).

[11] N. Bohr, Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Com-plete?. Phys. Rev. 48, 696 (1935).

[12] E. Schrodinger, Discussion of Probability Relations between Separated Systems. Mathe-matical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 31, 555 (1935).

[13] E. Schrodinger, Probability relations between separated systems. Mathematical Procee-dings of the Cambridge Philosophical Society. 32, 446 (1936).

201

[14] L. Amico, R. Fazio, A. Osterloh, and V. Vedral, Entanglement in many-body systems.Rev. Mod. Phys. 80, 517 (2008).

[15] V. Scarani, C. Lynn, and L. S. Yang, Six Quantum Pieces. A First Course in QuantumPhysics. (World Scientific, Singapore, 2010).

[16] R. Horodecki, P.Horodecki, M. Horodecki, K. Horodecki, Quantum entanglement. Rev.Mod. Phys. 81, 865 (2009).

[17] V. Vedral, M. B. Plenio, M. A. Rippin, and P. L. Knight, Quantifying Entanglement.Phys. Rev. Lett. 78, 2275 (1997).

[18] W. H. Zurek, Einselection and decoherence from an information theory perspective. An-nalen der Physik 9, 855 (2000).

[19] H. Ollivier and W. H. Zurek, Quantum Discord: A Measure of the Quantumness ofCorrelations. Phys. Rev. Lett. 88, 017901 (2001).

[20] L. Henderson and V. Vedral, Classical, quantum and total correlations. J. Phys. A:Math. Gen. 34, 6899 (2001).

[21] L. Amico, R. Fazio, A. Osterloh, and V. Vedral, Entanglement in many-body systems.Rev. Mod. Phys. 80, (2) 517 (2008).

[22] L. Mandel and E. Wolf, Optical coherence and quantum optics (Cambridge UniversityPress, England, 1995).

[23] L. A. Shieliepin, El fenomeno de la coherencia. (Editorial URSS, Sevilla, 2005).

[24] G. R. Fowles, Introduction to Modern Optics. Dover, 1989).

[25] W. H. Zurek, Decoherence and the Transition from Quantum to Classical Revisited. LosAlamos Science 27 (2002).

[26] D. Bacon, Decoherence, Control, and Symmetry in Quantum Computers. arXiv:quant-ph/0305025v1 (2003).

[27] I. Buluta, S. Ashhab and F. Nori, Natural and artificial atoms for quantum computation.Rep. Prog. Phys. 74, 104401 (2011).

[28] H. J. Metcalf, and P. van der Straten, Laser Cooling and Trapping. (Springer-Verlag,N. Y., 1999).

[29] I. Bloch, Ultracold quantum gases in optical lattices, Nature Physics 1, 23 (2005).

[30] T. Monz, P. Schindler, J. T. Barreiro, M. Chwalla, D. Nigg, W. A. Coish, M. Harlander,W. Hansel, M. Hennrich, and R. Blatt, 14-Qubit Entanglement: Creation and Coherence.Phys. Rev. Lett. 106, 130506 (2011).

202

[31] J. Clarke and F. K. Wilhelm, Superconducting quantum bits. Nature, 453, 1031 (2008).

[32] J. Q. You, and Franco Nori, Atomic physics and quantum optics using superconductingcircuits. Nature, 474, 589 (2011).

[33] D. Loss and D. P. DiVincenzo, Quantum computation with quantum dots. Phys. Rev. A57, 120 (1998).

[34] G. D. Fuchs, G. Burkard, P. V. Klimov, and D. D. Awschalom, A quantum memoryintrinsic to single nitrogen–vacancy centres in diamond. Nat. Phys. 7, 789 (2011).

[35] H. Walther, B. T. H. Varcoe, B. Engert and T. Becker, Cavity quantum electrodynamics.Rep. Prog. Phys. 69, 1325 (2006).

[36] A. Blais, R.-S. Huang, A. Wallraff, S. M. Girvin and R. J. Schoelkopf, Cavity quan-tum electrodynamics for superconducting electrical circuits: An architecture for quantumcomputation. Phys. Rev. A 69, 062320 (2004).

[37] A. Wallraff, D. I. Schuster, A. Blais, L. Frunzio, R.-S. Huang, J. Majer, S. Kumar, S.M. Girvin and R. J. Schoelkopf, Strong coupling of a single photon to a superconductingqubit using circuit quantum electrodynamics. Nature 431, 162 (2004).

[38] Y. Nakamura, Yu. A. Pashkin, and J. S. Tsai, Coherent control of macroscopic quantumstates in a single-Cooper-pair box. Nature 398, 786 (1999).

[39] A. Fedorov, P. Macha, A. K. Feofanov, C. J. P. M. Harmans and J. E. Mooij, TunedTransition from Quantum to Classical for Macroscopic Quantum States. Phys. Rev.Lett. 106, 170404 (2011).

[40] G.-D. Lin, C. Monroe, and L.-M. Duan, Sharp Phase Transitions in a Small FrustratedNetwork of Trapped Ion Spins. Phys. Rev. Lett. 106, 230402 (2011).

[41] K. Huang, Statistical Mechanics (J. Wiley & Sons, United States, 1987).

[42] R. Amsuss, Ch. Koller, T. Nobauer, S. Putz, S. Rotter, K. Sandner, S. Schneider, M.Schrambock, G. Steinhauser, H. Ritsch, J. Schmiedmayer, and J. Majer, Cavity QEDwith Magnetically Coupled Collective Spin States. Phys. Rev. Lett. 107, 060502 (2011).

[43] J. M. Fink, R. Bianchetti, M. Baur, M. Goppl, L. Steffen, S. Filipp, P. J. Leek, A. Blais,A. Wallraff, Dressed Collective Qubit States and the Tavis-Cummings Model in CircuitQED. Phys. Rev. Lett. 103, 083601 (2009).

[44] H. J. Lipkin, N. Meshkov, and A. J. Glick, Validity of many-body approximation methodsfor a solvable model, Nucl. Phys. 62, 188 (1965); 62, 199 (1965); 62, 211 (1965).

[45] P. Ribeiro, J. Vidal, and R. Mosseri, Exact spectrum of the Lipking-Meshkov-Glick modelin the thermodynamic limit and finite-size corrections. Phys. Rev. E 78, 021106 (2008).

203

[46] R. H. Dicke, Coherence in Sponteneous Radiation Processes. Phys. Rev. 93, 99 (1954).

[47] C. Cohen-Tannoudji, J. Dupont-Roc, G. Grynberg, Photons and Atoms: Introductionto Quantum Electrodynamics. (Wiley-Vcg, Verlag, 1977).

[48] C. Cohen-Tannoudji, J. Dupont-Roc, G. Grynberg, Atom-Photon Interactions: BasicProcesses and Applications. (Wiley-Vcg, Verlag, 1978).

[49] S. Sivasubramanian, A. Widom, and Y. R. Srivastava, Gauge invariant formulations ofDicke-Preparata super-radiant models. Physica A 301, 241 (2001).

[50] C. Gerry and P. Knight, Introductory Quantum Optics. (Cambridge University Press,Cambridge, 2005).

[51] A. B. Klimov and S. M. Chumakov, A group theoretical approach to quantum optics.Models of Atom-Field interactions. (Wiley-Vcg, Verlag, 2009).

[52] I. I. Rabi, On the Process of Space Quantization Phys. Rev. 49, 324 (1936).

[53] I. I. Rabi, Space Quantization in a Gyrating Magnetic Field Phys. Rev. 51, 652 (1937).

[54] D. Braak, Integrability of the Rabi Model. Phys. Rev. Lett. 107 100401 (2011).

[55] D. Braak, Solution of the Dicke model for N = 3. J. Phys. B. At. Mol. Opt. Phys. 46,224007 (2013).

[56] Q.-H. Chen, C.Wang, S. He, T. Liu, and K.-L.Wang, Exact solvability of the quantumRabi model using Bogoliubov operators. Phys. Rev. A 86, 023822 (2012).

[57] L. Duan, S. He, Q.-H. Chen, Concise analytic solutions to the quantum Rabi model withtwo arbitrary qubits. Ann. Phys. 355, 121 (2015).

[58] S. He, L. Duan, Q.-H. Chen, Exact solvability, non-integrability, and genuine multipartiteentanglement dynamics of the Dicke model. New J. Phys., 17 043033 (2015).

[59] E. T. Jaynes and F. W. Cummings, Comparison of Quantum and Semiclassical Radia-tion Theories with Application to the Beam Maser Proc. IEEE 51, 89 (1963).

[60] L. Allen, and J. H. Eberly, Optical Resonance and Two-Level Atoms (Dover, New York,1987).

[61] J. Casanova, G. Romero, I. Lizuain, J. J. Garcıa-Ripoll, and E. Solano, Deep StrongCoupling Regime of the Jaynes-Cummings Model. Phys. Rev. Lett. 105, 263603 (2010).

[62] Q-H Chen, T. Liu, Y-Y Zhang, and K-L Wang, Exact solutions to the Jaynes-Cummingsmodel without the rotating-wave approximation. Euro. Phys. Lett. 96, 14003 (2011).

[63] M. O. Scully and M. S. Zubairy, Quantum Optics (Cambridge University Press, Cam-bridge, 1997).

204

[64] S A Chilingaryan and B M Rodrıguez-Lara, The quantum Rabi model for two qubits. J.Phys. A: Math. Theor. 46 335301 (2013).

[65] S. A. Chilingaryan and B. M. Rodrıguez-Lara, Exceptional solutions in two-mode quan-tum Rabi models. arXiv:1504.02748v1 (2015).

[66] E. Nahmad-Achar, O. Castanos-Garza, R. Lopez-Pena and J. G. Hirsch, Mathematicalmethods in quantum optics: the Dicke Model. Phys. Scr. 87, 038114 (2013).

[67] M. Tavis and, F. W. Cummings, Exact Solution for a N-Molecule-Radiation-Field Ha-miltonian. Phys. Rev. 170 (2), 379 (1968).

[68] D. Schneble, Y. Torii, M. Boyd, E. W. Streed, D. E. Pritchard, and W. Ketterle, The On-set of Matter-Wave Amplification in a Superradiant Bose-Einstein Condensate. Science300, 475 (2003).

[69] M. Scheibner, T. Schmidt, L. Worschech, A. Forchel, G. Bacher, T. Passow, and D.Hommel, Superradiance of quantum dots. Nature Phys 3, 106 (2007)

[70] K. Hepp and E. H. Lieb, On the Superradiant Phase Transition for molecules in aQuantized Radiation Field: the Dicke Maser Model. Ann. Phys. (N.Y.) 76, 360 (1973);Equilibrium Statistical Mechanics of Matter Interacting with the Quantized RadiationField. Phys. Rev. A 8 (5), 2517 (1973).

[71] Y. K. Wang and F. T. Hioe, Phase Transition in the Dicke Model of Superradiance.Phys. Rev. A, 7, 831 (1973).

[72] F. T. Hioe, Phase Transitions in Some Generalized Dicke Models of Superradiance.Phys. Rev. A 8, 1440 (1973).

[73] H. J. Charmichael, C. W. Gardiner, and D. F. Walls, Higher Order Corrections to theDicke Superradiant Phase Transition. Phys. Lett. 46A, 47 (1973).

[74] G. Comer Duncan, Effect of anti-resonant atom-field interactions on phase transitionsin the Dicke model. Phys. Rev. A 9 (1), 418 (1974).

[75] K. Rzazewski, K. Wodkiewicz, and W. Zacowicz, Phase Transitions, Two-Level Atoms,and the A2 Term. Phys. Rev. Lett. 35, 432 (1975).

[76] F. Dimer, B. Estienne, A. S. Parkins, and H. J. Carmichael, Proposed realization of theDicke-model quantum phase transition in an optical cavity QED system. Phys Rev. A75, 013804 (2007).

[77] M. H. Devoret, S. Girvin, and R. Schoelkopf, Circuit-QED: How strong can the couplingbetween a Josephson junction atom and a transmission line resonator be?. Annalen derPhysik 16, 767 (2007).

205

[78] H. Walther, Experiments on cavity quantum electrodynamics. Phys. Rep. 219, 263(1992).

[79] K. Harkonen, F. Plastina, and S. Maniscalco, Dicke model and enviroment-induced en-tanglement in ion-cavity QED. Phys. Rev. A 80, 033841 (2009).

[80] N. Skribanowitz, I. P: Herman, J. C. MacGillivray, and M. S. Feld, Observation of DickeSuperradiance in Optically Pumped HF Gas.Phys. Rev. Lett. 30, 309 (1973).

[81] D. Nagy, G. Konya, G. Szirmai, and P. Domokos, Dicke Model Phase transition in theQuantum Motion of a Bose-Einstein Condensate in an Optical Cavity. Phys. Rev. Lett.104, 130401 (2010).

[82] M. Gross and S. Haroche, Superradiance: an essay on the theory of collective spontanoeusemission. Phys. Rep. 93, 301 (1995).

[83] O. Viehmann, J. von Deft, and F. Marquardt, Superradiant Phase Transitions and theStandard Description of Circuit QED. Phys. Rev. Lett. 107, 113602 (2011).

[84] C. Cuiti and P. Nataf, Comment on “Superradiant Phase Transitions and the StandardDescription of Circuit QED”. Phys. Rev. Lett. 109, 179301 (2012).

[85] J. M. Knight, Y. Aharonov, and G. T. C. Hsieh, Are super-radiant phase transitionspossible?. Phys. Rev. A 17, 1454 (1978).

[86] I. Bialynicki-Birula, and K. Rzazewski, No-go theorem concerning the superradiant phasetransition in atomic systems. Phys. Rev. A 19, 301 (1979).

[87] K. Gawedzki and K. Rzazewski, No-go theorem for the superradiant phase transitionwithout dipole approximation. Phys. Rev. A 23, 2134 (1981).

[88] G. Liberti and R. L. Zaffino, Critical properties of two-level atom systems interactingwith a radiation field. Phys. Rev. A 70, 033808 (2004).

[89] P. Nataf and C. Ciuti, No-go theorem for superradiant quantum phase transitions incavity QED and counter-example in circuit QED. Nature Comm. 1:72 (2010).

[90] A. Vukics, T. Griesser, and P. Domokos, Elimination of the A-Square Problem fromCavity QED. Phys. Rev. Lett. 112 (2014).

[91] K. Baumann, C. Guerlin, F. Brennecke, and T. Esslinger, Dicke quantum phase transi-tion with a superfluid gas in an optical cavity. Nature 464, 1301 (2010).

[92] C. Emary and T. Brandes, Quantum Chaos Triggered by Precursors of a QuantumPhase Transition: The Dicke Model. Phys. Rev. Lett. 90, 044101 (2003).

[93] C. Emary and T. Brandes, Chaos and the quantum phase transition in the Dicke modelPhys. Rev. E 67, 066203 (2003).

206

[94] J. Vidal and S. Dusuel, Finite-size scaling exponents in the Dicke model. Europhys. Lett.74, 817 (2006).

[95] Q. H. Chen, Y. Y. Zhang, T. Liu, and K. L. Wang, Numerically exact solution to thefinite-size Dicke model. Phys. Rev. A 78 051801 (2008).

[96] T. Liu, Y. Y. Zhang, Q. H. Chen, and K. L. Wang, Large-N scaling behavior of theground-state energy, fidelity, and the order parameter in the Dicke model. Phys. Rev. A80 023810 (2009).

[97] O. Castanos, E. Nahmad-Achar, R. Lopez Pena, and J. G. Hirsch, No singularities inobservables at the phase transition in the Dicke model. Phys. Rev. A 83, 051601 (R)(2011)

[98] O. Castanos, E. Nahmad-Achar, R. Lopez Pena, and J. G. Hirsch, Superradiant phasein field-matter interactions. Phys. Rev. A 84, 013819 (2011).

[99] J. G. Hirsch, O. Castanos, E. Nahmad-Achar, and R. Lopez-Pena, Virtues and limita-tions of the truncated Holstein–Primakoff description of quantum rotors. Phys. Scr. 87,038106 (2013).

[100] P. Perez-Ferandez, A. Relano, J. M. Arias, P. Cejnar, J. Dukelsky, and J. E. Garcıa-Ramos, Excited-state phase transition and onset of chaos in quantum optical models.Phys. Rev. E 83, 046208 (2011).

[101] M. A. Caprio, P. Cejnar, and F. Iachello, Excited state quantum phase transitions inmany-body systems. Ann. Phys. 323, 1106 (2008).

[102] P. Stransky, M. Macek, and P. Cejnar, Excited-state quantum phase transitions insystems with two degrees of freedom: Level density, level dynamics, thermal properties.Ann. Phys. 345, 73 (2014).

[103] N. Lambert, C. Emary, and T. Brandes, Entanglement and the Phase Transition inSingle-Mode Superradiance, Phys. Rev. Lett. 92 (7), 073602 (2004).

[104] Q.-H. Chen, T. Liu, Y.-Y. Zhang, and K.-L. Wang, Quantum Phase transitions incoupled two-level atoms in a single-mode cavity. Phys. Rev. A 82, 053841 (2010).

[105] B. M. Rodrıguez-Lara and H. M. Moya-Cessa, The exact solution of generalized Dickemodels via Susskind–Glogower operators. J. Phys. A: Math. Theor. 46 095301 (2013).

[106] B. M. Rodrıguez-Lara and R.-K. Lee, Quantum phase transition of nonlinear light inthe finite size Dicke Hamiltonian.

[107] E. A. Kochetov, Exactly solvable non-linear generalisations of the Jaynes-Cummingsmodel. J. Phys. A: Math. Gen. 20, 2433 (1987).

207

[108] B. M. Rodrıguez-Lara, F. Soto-Eguibar, A. Zarate Cardenas, and H. M. Moya-Cessa,A classical simulation of nonlinear Jaynes–Cummings and Rabi models in photoniclattices. Opt. Exp. 21, 12888 (2013).

[109] V. M. Bastidas, J. H. Reina, C. Emary, and T. Brandes, Entanglement and parametricresonance in driven quantum systems. Phys. Rev. A 81, 012316 (2010).

[110] A. Altland, V. Gurarie, T. Kriecherbauer, and A. Polkovnikov, Nonadiabaticity andlarge fluctuations in many-particle Landau-Zener problem. Phys. Rev. A 79, 042703(2009).

[111] V. M. Bastidas, C. Emary, B. Regler, and T. Brandes, Non-equilibrium Quantum PhaseTransitions in the Dicke Model. Phys. Rev, Lett. 108, 043003 (2012).

[112] M. J. Bhaseen, J. Mayoh, B. D. Simons, and J. Keeling, Dynamics of Non-EquilibriumDicke Models. Phys. Rev. A 85, 013817 (2012).

[113] D. Nagy, G. Szirmai, and P. Domokos, On the critical exponent of a quantum noisedriven phase transition: the open system Dicke-model. Phys. Rev. A 84, 043637 (2011).

[114] W. Kopylov, C. Emary, and T. Brandes, Counting statistics of the Dicke superradiancephase transition. Phys. Rev. A 87, 043840 (2013).

[115] W. Kopylov, C. Emary, E. Scholl, and T. Brandes, Time-delayed feedback control ofthe Dicke–Hepp–Lieb superradiant quantum phase transition. New J. Phys. 17, 013040(2015).

[116] K. Hepp and E. H. Lieb, Ann. Phys. (N.Y.) 76, 360 (1973);

[117] K. Hepp and E. H. Lieb, Phys. Rev. A 8 (5), 2517 (1973).

[118] I. G. Brankov, V. A. Zagrebnov, and I. S. Tonchev, Asymptotically Exact Solution ofthe Generalized Dicke Model. †N. S. Theor. Math. Phys. 22,16 (1975).

[119] R. W. Gibberd, Equivalence of the Dicke Maser Model and the Ising Model at Equili-brium Aust. J. Phys. 27, 241 (1974).

[120] R. Gilmore, and C. M. Bowden, Coupled order parameter treatment of the Dicke Ha-miltonian Phys. Rev. A. 13, 1898 (1976).

[121] B. S. Lee, The super-radiant phase transition in the Dicke model. J. Phys. A Math.Gen. 9, 573 (1976).

[122] G. Vertogen, and A. S. De Vries, The Dicke Maser Model. Phys. Lett. A. 48A, 451(1974).

[123] M. Orszag, Dicke’s model phase transition when counter-rotating and A2 terms areincluded in the Hamiltonian. J. Phys. A: Math. Gen. 10 L21 (1977).

208

[124] M. Orszag, Phase transition of a system of two level atoms. J. Phys. A: Math. Gen10, 1995 (1977).

[125] G. Liberti, and y R.L. Zaffino, Thermodynamic properties of the Dicke model in thestrong-coupling regime. Eur. Phys. J. B. 44, 535 (2005).

[126] M. Aparicio-Alcalde, M. Bucher, C. Emary, and T. Brandes, Thermal phase transitionsfor Dicke-type models in the ultrastrong-coupling limit. Phys. Rev. E 86, 012101(2012).

[127] R. Gilmore, Catastrophe Theory for Scientists and Engineers. (Dover, N. Y., 1981).

[128] W. Jaworski, Microcanonical Ensemble for a Spin System Interacting with One ModeElectromagnetic Field. Z. Phys. B 59, 483 (1985).

[129] J. Eisert, M. Friesdorf, and C. Gogolin, Quantum many-body systems out of equilibrium.Nature Phys. 11, 124 (2015).

[130] H. B. Callen, Thermodynamics and a introduction to Thermostatics (J. Wiley & Sons,United States, 1985).

[131] H. Wasserman, Thermal Physics: Concepts and Practice. (Cambridge University Press,United States, 2012).

[132] C. M. Bender and S. A. Orzag, Advanced Mathematical Methods for Scientists andEngineers. McGraw-Hill, USA, 1978.

[133] E. Solano, G. S. Agarwal, and H. Walther, Strong-Driving-Assisted Multipartite En-tanglement in Cavity QED. Phys. Rev. Lett. 90, 027903 (2003).

[134] J. Cardy, Scaling and Renormalization in Statistical Physics. (Cambridge UniversityPress, 1996).

[135] H. Nishimori and G. Ortiz, Elements of Phase Transitions and Critical Phenomena.(Oxford University Press, United States, 2011).

[136] L. D. Carr, Understanding Quantum Phase Transitions. (CRC Press, U. S., 2011).

[137] S. Sachdev, Quantum Phase Transitions (Cambridge University Press, England, 1999).

[138] G. Jaeger, The Eherenfest Classification of Phase Transitions: Introduction and Evo-lution. Arch. Hist. Exact Sci. 53, (1) 51 (1998).

[139] S-K. Ma, Modern Theory of Critical Phenomena (Westview Press, 2000).

[140] R. Rossignoli and A. Plastino, Quasispin seniority and the variational description ofthe nuclear free energy. Phys. Rev. C 30, 1360 (1984).

[141] L. Bakemeier, A. Alvermann, and H. Fehske, Dynamics of the Dicke model close to theclassical limit. Phys. Rev. A 88, 043835 (2013).

209

[142] V. Arnold, Catastrophe Theory (Springer-Verlag, Berlin, 1992).

[143] R. Gilmore, Catastrophe Theory for Scientists and Engineers. (Dover, N. Y., 1981).

[144] O. Castanos, R. Lopez-Pena, J. G. Hirsch and E. Lopez-Moreno, Phase transitions andaccidental degeneracy in nonlinear spin systems. Phys. Rev. B, 72, 012406 (2005).

[145] O. Castanos, R. Lopez-Pena, J. G. Hirsch and E. Lopez-Moreno, Classical and quantumphase transitions in the Lipkin-Meshkov-Glick model. Phys. Rev. B, 74, 104118 (2006).

[146] M. A. M. de Aguiar, K. Furuya, C. H. Lewenkopff, and M. C. Nemes, Particle-SpinCoupling in a Chaotic System: Localization-Delocalization in the Husimi DistributionsEurophys. Lett. 15 (2), 125 (1991).

[147] O. Castanos, R. Lopez-Pena, E. Nahmad-Achar, J. G. Hirsch, E. Lopez-Moreno, and J.E. Vitela, Coherent state description of the ground state in the Tavis–Cummings modeland its quantum phase transitions. Phys. Scr. 79, 065405 (2009)

[148] O. Castanos, E. Nahmad-Achar, R. Lopez-Pena, and J. G. Hirsch, Analytic approxima-tion of the Tavis–Cummings ground state via projected states. Phys. Scrip. 80, 055401(2009).

[149] O. Castanos, E. Nahmad-Achar, R. Lopez Pena, and J. G. Hirsch, Superradiant phasein field-matter interactions. Phys. Rev. A 84, 013819 (2011).

[150] E. Romera, R. del Real, and M. Calixto, Husimi distribution and phase-space analysisof a Dicke-model quantum phase transition. Phys. Rev. A 85, 053831 (2012).

[151] R. del Real, M. Calixto and E. Romera, The Husimi distribution, the Wehrl entropyand the superradiant phase in spin–boson interactions. Phys. Scr. T153, 014016 (2013).

[152] J. G. Hirsch, O. Castanos, R. Lopez-Pena, O. Jimenez F, y E. Lopez Moreno, Hartree-Fock description of spin systems. Rev. Mex. Fıs. S 53 (6), 41 (2007).

[153] R. Graham and M. Hohnerbach, Z. Phys. B 57, 233 (1984).

[154] M. A. M. de Aguiar, K. Furuya, and M. C. Nemes, The Classical Analogue of theSuperradiant Phase Transition in the Dicke Model. Quantum Optics 3, 305 (1991).

[155] M. A. M. de Aguiar, K. Furuya, C. H. Lewenkopf, and M. C. Nemes, Chaos in aspin-boson system: Classical analysis. Ann. Phys. 216, 291 (1992).

[156] C. H. Lewenkopf, M. C. Nemes, V. Marvulle, M. P. Pato, and W. F. Wrenszinski, Levelstatistics transitions in the spin-boson model. Phys. Lett. A 155, 113 (1991).

[157] K. Furuya, M. C. Nemes, and G. Q. Pellegrino, Quantum Dynamical Manifestation ofChaotic Behavior in the Process of Entanglement. Phys. Rev. Lett. 80, 5524 (1998).

210

[158] R. M. Angelo, K. Furuya, M. C. Nemes, and G. Q. Pellegrino, Recoherence in theentanglement dynamics and classical orbits in the N-atom Jaynes-Cummings model.Phys. Rev. A 64, 043801 (2001).

[159] V. Buzek, M. Orszag, M. Rosko, Instability and entanglement of the ground state ofthe Dicke model. Phys. Rev. Lett. 94, 163601 (2005).

[160] X.-W. Hou and B. Hu, Decoherence, entanglement, and chaos in the Dicke model.Phys. Rev. A 69, 042110 (2004).

[161] N. Lambert, C. Emary, and T. Brandes, Entanglement and the Phase Transition inSingle-Mode Superradiance. Phys. Rev. Lett. 92, 073602 (2004).

[162] N. Lambert, C. Emary, and T. Brandes, Entanglement and entropy in a spin-bosonquantum phase transition. Phys. Rev. A 71, 053804 (2005).

[163] H. Goto and K. Ichimura, Quantum phase transition in the generalized Dicke model:Inhomogeneous coupling and universality. Phys. Rev. A 77, 053811 (2008).

[164] T. Holstein and H. Primakoff, Field Dependence of the Intrinsic Domain Magnetizationof a Ferromagnet. Phys. Rev. 58, 1098 (1940).

[165] A. L. Fetter and J. D. Walecka, Quantum Theory of Many-Particle Physics (McGraw-Hill, 1971).

[166] J. Vidal and S. Dusuel, Finite-size scaling exponents in the Dicke model. Europhys.Lett. 74, 817 (2006)130401 (2010).

[167] C. Emary and T. Brandes, Quantum Chaos Triggered by Precursors of a QuantumPhase Transition. Phys. Rev. Lett. 90, 044101 (2003).

[168] M. A. Bastarrachea-Magnani and J. G. Hirsch, Convergence in Numerical Solutions ofthe Dicke Hamiltonian. AIP Conf. Proc. 1488, 418 (2012).

[169] M. A. Bastarrachea-Magnani and J. G. Hirsch, Numerical Solutions of the Dicke Ha-miltonian. Rev. Mex. Fis. S 57 (3), 0069 (2011).

[170] D. Braak, A generalized G-function for the Quantum Rabi Model. Ann. Phys. (Berlin)525, L23 (2013).

[171] O. Castanos, E. Nahmad-Achar, R. Lopez Pena, and J. G. Hirsch, Super-radiant phasein field-matter interactions. Phys. Rev. A 84, 013819 (2011).

[172] M. A. Bastarrachea-Magnani and J. G. Hirsch, Efficient basis for the Dicke Model I:theory and convergence in energy. Phys. Scrip. T160, 014005 (2014).

[173] J. G. Hirsch and M. A. Bastarrachea-Magnani, Efficient basis for the Dicke Model II:wave function convergence and excited states. Phys. Scrip. T160, 014018 (2014).

211

[174] S.-J. Gu, Fidelity Approach to Quantum Phase Transitions. Int. J. Mod. Phys. B. 24,4371 (2010).

[175] O. Castanos, R. Lopez Pena, E. Nahmad-Achar, and J. G. Hirsch, Quantum informa-tion approach to the description of quantum phase transitions. J. Phys.: Conf. Ser. 403012003 (2012).

[176] C.-Y. Leung, W. C. Yu, H.-M. Kwok, S.-J. Gu, and H.-Q. Lin, Scaling Behavoir ofthe Ground-State Fidelity in the Lipkin–Meshkov–Glick Model Int. J. Mod. Phys. B 261250170 (2012).

[177] H. M. Kwok, W. Q. Ning, S. J. Gu, and H. Q. Lin, Quantum criticality of the Lipkin-Meshkov-Glick model in terms of fidelity susceptibility. Phys. Rev. E 78 032103 (2008).

[178] S. Dusuel and J. Vidal, Finite-Size Scaling Exponents of the Lipkin-Meshkov-GlickModel. Phys. Rev. Lett. 93 237204 (2004).

[179] S. Dusuel and J. Vidal, Continuous unitary transformations and finite-size scalingexponents in the Lipkin-Meshkov-Glick model. Phys. Rev. B 71 224420 (2005).

[180] M. A. Bastarrachea-Magnani, O. Castanos, E. Nahmad-Achar, Ramon Lopez-Pena,y J. G. Hirsch, Fidelity, susceptibility and critical exponents in the Dicke model. Pro-ceedings of Nuclear Physics Symposium (Cocoyoc). J. Phys.: Conf. Ser. 492, 012012(2014).

[181] J. V. Jose and E. J. Saletan, Classical Dynamics A Contemporary Approach (Cam-bridge University Press, USA, 1998).

[182] H. Goldstein, C. Poole, and J. Safko, Classical Mechanics (Addison Wesley, USA,2002).

[183] V. I. Arnold, Mathematical Method of Classical Mechanics. (Springer-Verlag, N. Y.,1989).

[184] M. Cencini, F. Cecconi, A. Vulpiani, Chaos. From simple models to complex systems.(World Scientific, U. S., 2010).

[185] M. Hillery, R. F. O’ Conell, M. O. Scully, and E. P. Wigner, Distribution Functions inPhysics: Fundamentals. Phys. Rep. 106, 121 (1984).

[186] H-J. Stockman, Quantum Chaos an Introduction. ( Cambridge University Press. 1999).

[187] J. Madronero, A. Ponomarev, A. R. R. Carvalho, S. Wimberger, C. Viviescas, A.Kolovsky, K. Hornberger, P. Schlagheck, A. Krug, and A. Buchleitner, Quantum Chaos,Transport, and Control in Quantum Optics. Adv. At. Mol. Opt. Phys. 53, 33 (2006).

[188] M. C. Gutzwiller, Chaos in Classical and Quantum Mechanics (Springer-Verlag, N.Y., 1990).

212

[189] R. A. Molina, A. Relano, J. Retamosa, L. Munoz, E. Faleiro, and J. M. G. Gomez,Perspectives on 1/f noise in quantum chaos. J. Phys.: Conf. Ser. 239 012001 (2010).

[190] T. A. Brody, J. Flores, J. B. French, P. A. Mello, A. Pandey, and S. S. M. Wong,Random-matrix physics: spectrum and strength fluctuations. Rev. Mod. Phys. 53, 385(1981).

[191] O. Bohigas, M. J. Giannoni, and C. Schmit, Characterization of Chaotic QuantumSpectra and Universality of Level Fluctuation Laws. Phys. Rev. Lett. 52, 1 (1984).

[192] F. Haake, Quantum Signatures of Chaos. (Springer-Verlag, Berlin, 1991).

[193] J. J. Sakurai. Modern Quantum Mechanics. (Addison-Wesley, U. S., 1994).

[194] A. R. Edmonds, Angular Momentum in Quantum Mechanics, (Princeton UniversityPress, 1996).

[195] A. Peres, New Conserved Quantities and Test for Regular Spectra. Phys. Rev. Lett. 531711 (1984).

[196] P. Stransky, P. Hruska, and P. Cejnar, Quantum chaos in the nuclear collective model.II. Peres lattices. Phys. Rev. E 79, 066201 (2009).

[197] P. Cejnar, M. Macek, S. Heinze, J. Jolie and J. Dobes, J. Phys. A: Math. Gen. 39L515 (2006).

[198] M. Gessner, V. M. Bastidas, T. Brandes, A. Buchleitner, Semiclassical excited-statesignatures of quantum phase transitions in spin chains with variable-range interactions.arXiv:1509.08429 (2015).

[199] A. Relano, J. M. Arias, J. Dukelsky, J. E. Garcıa-Ramos, and P. Perez-Fernandez,Phys. Rev. A 78, 060102 (2008).

[200] P. Perez-Fernandez, A. Relano, J. M. Arias, J. Dukelsky, and J. E. Garcıa-Ramos,Phys. Rev. A 80, 032111 (2009).

[201] P. Perez-Fernandez, P. Cejnar, J. M. Arias, J. Dukelsky, J. E. Garcıa-Ramos, and A.Relano, Phys. Rev. A 83, 033802 (2011).

[202] P. Stransky, M. Macek, A. Leviatan, P. Cejnar, Excited-state quantum phase transitionsin systems with two degrees of freedom: II. Finite-size effects. Ann. Phys. 356, 57 (2015).

[203] P. Perez-Fernandez, A. Relano, J. M. Arias, P. Cejnar, J. Dukelsky, and J. E. Garcıa-Ramos, Excited-state phase transition and onset of chaos in quantum optical models.Phys. Rev. E 83, 046208 (2011).

[204] P. Perez-Fernandez, Estudio de transiciones de fase cuanticas en sistemas de dos ni-veles. Tesis Doctoral (Universidad de Sevilla, Sevilla, 2011).

213

[205] M. A. Bastarrachea-Magnani and J. G. Hirsch, Peres Lattices and Chaos in the DickeModel. J. Phys.: Conf. Ser. 512, 012004 (2014).

[206] M. A. Bastarrachea-Magnani, S. Lerma-Hernandez, and J. G. Hirsch, Comparativequantum and semiclassical analysis of atom-field systems. I. Density of states andexcited-state quantum phase transitions. Phys. Rev. A 89, 032101 (2014).

[207] T. Brandes, Phys. Rev. E 88, 032133 (2013).

[208] M. A. Bastarrachea-Magnani, S. Lerma-Hernandez, and J. G. Hirsch, Comparativequantum and semiclassical analysis of atom-field systems. II. Chaos and regularity.Phys. Rev. A 89, 032102 (2014).

[209] T.W. Anderson and D.A. Darling, Asymptotic Theory of Certain“Goodness of Fit”Criteria Based on Stochastic Processes. Ann. Math. Statist. 23 193 (1952).

[210] M. A. Bastarrachea-Magnani, B. Lopez-del-Carpio, S. Lerma-Hernandez, and J. GHirsch, Chaos in the Dicke model: quantum and semiclassical analysis. Phys. Scr. 90068015 (2015).

[211] F. Pan, X. Guan, Y. Wang, J. P. Draayer, A progressive diagonalization scheme forthe Rabi Hamiltonian. J. Phys. B 43, 175501 (2010).

[212] G. Engelhardt, V. M. Bastidas, W. Kopylov, and T. Brandes, Excited-state quantumphase transitions and periodic dynamics. Phys. Rev. A 91, 013631 (2015).

[213] A. Altland and F. Haake, Equilibration and macroscopic quantum fluctuations in theDicke model. N. J. Phys. 14, 073011 (2012).

[214] A. Altland and F. Haake, Quantum Chaos and Effective Thermalization. Phys. Rev.Lett. 108, 073601 (2012).

[215] I. Garcıa-Mata, A. J. Roncaglia, and D. A. Wisniacki, Relaxation of isolated quantumsystems beyond chaos. Phys. Rev. E 91, 010902(R) (2015).

[216] M. A. Bastarrachea-Magnani, B. Lopez-del-Carpio, J. Chavez-Carlos, S. Lerma-Hernandez, and J. G. Hirsch, Delocalization and quantum chaos in atom-field systems.arXiv:1509.05918 (2015).

[217] W-M. Zhang, D-H Feng, and R. Gilmore, Coherent states: Theory and some applica-tions. Rev. Mod. Phys. 62, 4 (1990).

[218] W. Greiner andB. Muller, Quantum Mechanics Symmetries. (Springer-Verlag, Heidel-berg, 1994).

[219] M. O. Scully and M. Suhail, Quantum Optics (Cambridge University Press, UK, 2001).

[220] H. Weyl, Gruppentheorie und Quantenmechanik. (Hirzel, Leipzig, 1928).

214

[221] F. T. Arecci, E. Courtens, R. Gilmore, and H. Thomas, Atomic Coherent States inQuantum Optics. Phys. Rev. A 6, 2211 (1972).

[222] L. Mandel and E. Wolf, Coherence and Quantum Optics Proceedings of the ThirdRochester Conference on Coherence and Quantum Optics held at the University of Ro-chester. (Plenum Press, N. Y., 1972).

[223] J. M. Radcliffe, Some properties of coherent spin states. J. Phys. A 4, 313 (1971).

215