FLUJO EN TUBERÍA

FLUJO EN TUBERÍA

INTRODUCCIÓN A LA ECUACIÓN DE CONTINUIDAD

Balance de materia sobre un pequeño elemento de volumen a través del cual

circula fluido.

Se deja que el tamaño de este volumen tienda a cero, por lo cual

se considera al fluido como un continuo, obteniendo la ecuación

diferencial parcial deseada.


𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑑𝑒 𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎

=𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎

−𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎

𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎

∆𝑥 ∆𝑦 ∆𝑧 𝜕𝜌

𝜕𝑡=

∆𝑦 ∆𝑧 𝜌𝑣𝑥 𝑥

− 𝜌𝑣𝑥 𝑥+∆𝑥

+ ∆𝑥 ∆𝑧 𝜌𝑣𝑦 𝑦

− 𝜌𝑣𝑦 𝑦+∆𝑦

+ ∆𝑥 ∆𝑦 𝜌𝑣𝑧 𝑧

− 𝜌𝑣𝑧 𝑧+∆𝑧


Describe la velocidad de la variación respecto al tiempo de la densidad del fluido en un punto fijo en el espacio

Ecuación de continuidad

Ecuación de continuidad con

notación vectorial

𝜕𝜌

𝜕𝑡= −

𝜕

𝜕𝑥𝜌𝑣𝑥 +

𝜕

𝜕𝑦𝜌𝑣𝑦 +

𝜕

𝜕𝑧𝜌𝑣𝑧

𝜕𝜌

𝜕𝑡= −(𝛻 ∙ 𝜌v)

Velocidad de incremento de materia por unidad de volumen

Velocidad neta de adición de materia por convección, por unidad de volumen

DERIVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA

La energía mecánica no se conserva en un sistema de flujo

La ecuación de variación de energía mecánica puede deducirse a partir de la ecuación de movimiento.

𝜕

𝜕𝑡𝜌v = − 𝛻 ∙ ρvv − 𝛻𝑝 − 𝛻 ∙ 𝜏 + 𝜌𝑔

Velocidad de incremento de

cantidad de movimiento por

unidad de volumen

Velocidad de adición de cantidad de movimiento por

convección por unidad de volumen

Velocidad de adición de cantidad de movimiento por transporte molecular por unidad de volumen

Fuerza extrema

sobre el fluido por unidad de

volumen


Ecuación de variación para energía cinética

Tomando el producto punto del vector vectorial v con la ecuación de movimiento y reordenando los términos con la ecuación de continuidad

separando en dos partes cada uno de los términos que contienen a ρ y 𝜏 se obtiene:

𝜕

𝜕𝑡

1

2𝜌𝑣2 = − 𝛻 ∙

1

2𝜌𝑣2v − 𝛻 ∙ 𝑝v − 𝑝 −𝛻 ∙ v − 𝛻 ∙ 𝜏 ∙ v − −𝜏: 𝛻v + 𝜌(v ∙ 𝑔)

Velocidad de incremento de

energía cinética por unidad de volumen

Velocidad de adición de

energía cinética por convección por unidad de

volumen

Velocidad de trabajo

realizado por la presión

del entorno sobre el fluido

Velocidad de conversión

reversible de energía

cinética en energía interna


realizado por las fuerzas

viscosas sobre el fluido

Velocidad de conversión

irreversible de energía

cinética en energía interna


realizado por la fuerza

externa sobre el fluido


Ecuación de variación de energía cinética

más energía potencial

Energía potencial

Reescribiendo el último término de la ecuación de

variación para energía cinética

Utilizando la ecuación de

continuidad se puede sustituir

𝑔 = −𝛻𝜙

−𝜌 v ∙ 𝛻𝜙 = − 𝛻 ∙ ρv𝜙 + 𝜙(𝛻 ∙ 𝜌v)

+𝜙 𝛻 ∙ 𝜌v por − 𝜙𝜕𝜌

𝜕𝑡 −𝜙

𝜕𝜌

𝜕𝑡= −

𝜕(𝜌𝜙)

𝜕𝑡

𝜕

𝜕𝑡

1

2𝜌𝑣2 + 𝜌𝜙

= − 𝛻 ∙1

2𝜌𝑣2 + 𝜌𝜙 v − 𝛻 ∙ 𝑝v

− 𝑝 −𝛻 ∙ v − 𝛻 ∙ 𝜏 ∙ v − (−𝜏: 𝛻v)

BALANCE DE ENERGÍA • ESCALA MACROSCÓPICA

𝑑

𝑑𝑡𝐾𝑡𝑜𝑡 + 𝜙𝑡𝑜𝑡 =

1

2𝜌1 𝑣1

3 + 𝜌1𝜙1 𝑣1 𝑆1 −1

2𝜌2 𝑣2

3 + 𝜌2𝜙2 𝑣2 𝑆2

+ 𝑝1 𝑣1 𝑆1 − 𝑝2 𝑣2 𝑆2 + 𝑊𝑚 + 𝑝 𝛻 ∙ v 𝑑𝑉 + (𝜏: 𝛻v)𝑑𝑉

𝑉(𝑡)𝑉(𝑡)

Velocidad de incremento de las energías cinéticas y potencial en el

sistema

Velocidad a la que las energías cinética y potencial entran en el sistema en el

plano 1

Velocidad a la que las energías cinética y potencial salen del

sistema en el plano 2

Velocidad neta a la que el entorno realiza trabajo sobre el fluido

en los planos 1 y 2 por medio de la

presión

Velocidad a la que las

superficies móviles realizan trabajo sobre el

fluido

Velocidad a la que aumenta o disminuye la energía mecánica

debido al ensanchamiento o la compresión del fluido

Velocidad a la que disminuye la energía mecánica debido a la

disipación viscosa

BALANCE DE ENERGÍA

• ESCALA MACROSCÓPICA

Energía cinética total dentro del sistema

Energía potencial total dentro del sistema

La energía mecánica total cambia debido a una diferencia entre las velocidades de adición debido al

trabajo realizado sobre el fluido por el entorno y a los efectos de compresibilidad, así como a la disipación

viscosa

𝐾𝑡𝑜𝑡 = 1

2𝜌𝑣2 𝑑𝑉

𝜙𝑡𝑜𝑡 = 𝜌𝜙 𝑑𝑉

BALANCE DE ENERGÍA

• ESCALA MACROSCÓPICA El balance macroscópico de energía mecánica puede

expresarse de una manera mas breve como:

Término compresión Es positivo en compresión

Es negativo en ensanchamiento Es cero cuando se supone que el

fluido es incompresible

Término de la disipación viscosa (o de pérdida de fricción) Es positivo para líquidos

newtonianos

𝜕

𝜕𝑡𝐾𝑡𝑜𝑡 + 𝜙𝑡𝑜𝑡 = −∆

1

2

𝑣3

𝑣+ 𝜙 +

𝑝

𝜌𝑤 + 𝑊𝑚 − 𝐸𝑐 − 𝐸𝑣

𝐸𝑣 = − 𝜏: 𝛻v

𝑉 𝑡

𝑑𝑉 𝐸𝑐 = − 𝑝(𝛻 ∙ v)𝑑𝑉

𝑉(𝑡)

PRINCIPIO DE BERNOULLI

Para un sistema no relativista, la energía neta transferida al sistema es igual al incremento de la energía del sistema mas la energía que sale del sistema

z 1

z 2

A 2

A 1

X

Y

Tiempo 1



z 1

z 2

D x 1

D x 2

A 2

A 1 v 1

v 2

X

Y

Tiempo 1

Tiempo 2

m

m



z 1

z 2

D x 1

D x 2 p 2

A 2

A 1 u 1

u 2

r

p 1

X

Y

Tiempo 1

Tiempo 2

m

m

Q

W


Puede derivarse a partir de la ecuación de momentum, la ecuación de Euler o de un balance de energía

en 1 interna

Energía Energía Energía Energía

Entrando A cinética potencial

Energía que entra en A1

11 1 1 12

E m u gz e

Energía que sale en A2

en 2 interna

Energía Energía Energía Energía

Saliendo A cinética potencial

12 2 2 22

E m u gz e

12 1 2 1 2 12

E m u u g z z e e D


A medida que ocurre el

flujo del fluido, el fluido que entra en 𝐴1

realiza un trabajo al sistema, pues ejerce

una fuerza 𝑝1𝐴1´, Así, el fluido se desplaza ∆𝑥1

El trabajo realizado, por unidad de tiempo en

La masa que pasa por unidad de tiempo es

Luego, el trabajo realizado, por unidad de tiempo es:

Ahora, entre

𝐴1y 𝐴2, se puede transferir calor y realizar trabajo. Luego:

Energía que entra entre 𝐴1y 𝐴2 = 𝑚𝑞

𝐴1 = 𝑝1𝐴1

∆𝑥1

𝑡

𝑚 = ρ1𝐴1

∆𝑥1

𝑡

𝐴1 =𝑚 𝑝1

ρ1

Energía que entra entre 𝐴1y 𝐴2 = 𝑚𝑤

PRINCIPIO DE BERNOULLI Trabajo realizado Trabajo realizado Energía que entra Energía que sale

en A1 en A2 entre A1 y A2 entre A1 y A2E

D

1 2 1 2

1 2 1 2

mp mp p pE mq mw m q w

r r r r

D

1 212 1 2 1 2 12

1 2

p pu u g z z e e q w

r r

Igualando a la ecuación de balance de energía del fluido:

12 1 2 1 2 12

u u g z z h h q w

Teniendo en cuenta el trabajo de flujo H=U + pV

PRINCIPIO DE BERNOULLI 1

2 1 2 1 2 12u u g z z h h q w

Cada término representa energía por unidad de masa del fluido

La suma de los términos o cabezas hidrostáticas será siempre

constante

Estado Estacionario No hay fricción

PRINCIPIO DE BERNOULLI En el flujo de fluidos reales, existen “pérdidas” de energía debido a:

• Fricción • Separación • Disipación turbulenta

Es necesario introducir un término que de cuenta de las irreversibilidades energéticas

Estas irreversibilidades dan cuenta de la transformación irreversible de

energía mecánica en energía interna

12 1 2 1 2 12 wu u g z z h h q w l D

PÉRDIDAS CONTINUAS

Originadas por el rozamiento y son función de: • Rugosidad de la tubería • Viscosidad del fluido • Régimen de funcionamiento - Turbulento Re > 4000 - De transición 2300 < Re < 4000 - Laminar Re < 2300 • Caudal circulante, es decir, velocidad

del fluido

Las pérdidas de carga continuas por rozamiento en tuberías pueden calcularse mediante: • Fórmulas

Logarítmicas • Fórmulas

Empíricas

ECUACIÓN DE DARCY - WEISBACH La pérdida de carga continua es directamente proporcional a la velocidad del líquido y a la longitud del tramo de tubería que se esta considerando, e inversamente proporcional a su diámetro

Ecuación general de Darcy - Weisbach

ℎ𝑐 = 𝑝é𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑑𝑒𝑏𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝑙𝑎 𝑓𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖ó𝑛

𝑓 = 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝐷𝑎𝑟𝑐𝑦

𝐿 = 𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑢𝑏𝑒𝑟í𝑎

𝐷 = 𝐷𝑖á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑢𝑏𝑒𝑟í𝑎

𝑉 = 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜

𝑔 = 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑

𝑓 es adimensional y es función del número de

Reynolds y de la rugosidad relativa de la

tubería

ℎ𝑐 = 𝑓 ∙𝐿

𝐷∙

𝑉2

2 ∙ 𝑔

ECUACIÓN DE DARCY - WEISBACH La ecuación de Darcy – Weisbach puede expresarse en función del caudal circulante ya que este fluye ligado al diámetro y a la velocidad media por la relación:

Sustituyendo la ecuación de Darcy - Weisbach

Ecuación de Darcy – Weisbach en función del

caudal

𝑄 = v ∙ S = v ∙ π ∙𝐷2

4 ⇒ v =

4𝑄

𝜋𝐷2

ℎ𝑐 = 𝑓𝐿

𝐷∙

16𝑄2

𝜋2𝐷4 ∙1

2𝑔

ℎ𝑐 = 0.0826 𝑓 𝑄2

𝐷5 𝐿

REGÍMENES DE FLUJO

La ecuación de

Fanning nos permite obtener

un factor de fricción

adimensional que es proporcional a

la caída de presión

Flujo Laminar: Combinando las ecuaciones de Fanning y de Hagen-Poiseuille, se puede obtener la siguiente expresión para el factor

de fricción:

Flujo turbulento: Caida de presión depende del estado de la superficie. Para distintos

materiales existe un coeficiente de rugosidad relativa al diámetro de la tubería.

(Diagrama de Moody)

𝑓 =𝐷 ∆𝑃

2 𝐿𝜌v2

𝑓 =16

𝑅𝑒

DIAGRAMA DE MOODY

Gráfica del valor del factor de fricción (f) en función de

Re para la región laminar

y turbulenta, en coordenadas logarítmicas

FLUJO EN MEDIOS POROSOS

Ley de Darcy: El caudal de un

fluido que circula por un medio poroso lineal depende

de:

1. Las propiedades geométricas del sistema: Área y Longitud

2. Las características del fluido: Viscosidad

3. Las condiciones de flujo: diferencia de presión entre los extremos del sistema

𝑄 =𝐾𝐴

µ

𝑑𝑃

𝑑𝐿

Donde 𝐾 es la permeabilidad del

medio poroso

FLUJO EN MEDIOS POROSOS Velocidad real y velocidad de Darcy

En cualquier conducto de flujo siempre se

cumple la ecuación de continuidad, según la

cual el caudal es constante e igual al

producto de la velocidad por la

sección:

Aplicando este concepto en la ley de Darcy se calcularía una velocidad falsa (o

velocidad de Darcy), ya que no toda la sección de flujo esta disponible para la

circulación de fluidos

𝑣 =𝑣𝐷

ϕ𝑒

Dónde: 𝑣 velocidad lineal media del fluido

𝑣𝐷 velocidad de Darcy ϕ𝑒 porosidad efectiva

FLUJO EN MEDIOS POROSOS Velocidad real y velocidad de Darcy

En cualquier conducto de flujo siempre se

cumple la ecuación de continuidad, según la

cual el caudal es constante e igual al

producto de la velocidad por la

sección:

Para determinar la velocidad real se parte de la velocidad media lineal

𝑣𝑟𝑒𝑎𝑙 = 𝑣 ∗ 𝜏

Dónde: 𝜏 es la tortuosidad del

medio

FLUJO EN MEDIOS POROSOS Multifásico

Se respeta la ecuación de Darcy pero se le agrega un factor de corrección, el cual toma la forma de una curva y depende de la

saturación de los fluidos

Permeabilidad relativa

𝑄𝑜 =𝐾 𝐾𝑟𝑜 𝐴

µ𝑜

𝑑𝑃𝑜

𝑑𝐿 𝑄𝑤 =

𝐾 𝐾𝑟𝑤 𝐴

µ𝑤

𝑑𝑃𝑤

𝑑𝐿 Flujo bifásico O-W

En ausencia de presión capilar, ambas diferencias de presión son iguales

FLUJO EN MEDIOS POROSOS Multifásico

Las expresiones de permeabilidad relativa pueden modificarse a permeabilidad efectiva

𝑄𝑜 =𝐾𝑜 𝐴

µ𝑜

𝑑𝑃𝑜

𝑑𝐿 𝑄𝑤 =

𝐾𝑤 𝐴

µ𝑤

𝑑𝑃𝑤

𝑑𝐿 Flujo bifásico O-W

Permeabilidad efectiva: capacidad de un medio porosos de conducir una fase a una determinada saturación de fluidos

EJERCICIO

Determine la velocidad en el punto F y la presión en B. Considere las pérdidas por el sistema iguales a 0,5m

EJERCICIO Hallando la velocidad en F con un balance entre A y F

Dónde

Además 𝑣𝐴 puede considerarse igual a cero y ℎ𝑓′ =

ℎ𝑓

𝑔= 0,5𝑚

Luego

𝑃𝐴

ρ𝐴+ 𝑔𝑍𝐴 +

𝑣𝐴2

2=

𝑃𝐹

ρ𝐹+ 𝑔𝑍𝐹 +

𝑣𝐹2

2+ ℎ𝑓

𝑃𝐴 = 𝑃𝐹 = 0 ρ𝐴 = ρ𝐵 = 1000𝑘𝑔

𝑚3

ℎ𝑓 = 0,5𝑚 ∗ 9,8𝑚

𝑠2 = 4,9𝑚2

𝑠

EJERCICIO Suponiendo flujo turbulento en la tubería

Y despejando 𝑣𝐹 se tiene

𝑔𝑧𝐴 = 𝑔𝑧𝐹 +𝑣𝐹

2

2+ ℎ𝑓

𝑣𝐹 = 𝑧𝐴 − 𝑧𝐹 ∗ 𝑔 − ℎ𝑓 ∗ 2 == 3,0𝑚 ∗ 9,8𝑚

𝑠2 − 4,9𝑚

𝑠∗ 2 = 7,0

𝑚

𝑠

Observando que: 𝑄 = 𝐴𝐹 ∗ 𝑣𝐹 = 3,14159 ∗0,025 2

4∗ 7,0 = 3,436114 ∗ 10−3

𝑚3

𝑠

Para calcular PB tomemos los puntos A y B 𝑔𝑧𝐴 =𝑃𝐵

ρ+ 𝑔𝑧𝐵 +

𝑣𝐵2

2+ ℎ𝑓

EJERCICIO

Sobreestimando las pérdidas

Si no existieran pérdidas

𝑣𝐵 =𝑄

𝐴𝐵=

3,436114 ∗ 10−3

1,257 ∗ 10−3 = 2,733583𝑚

𝑠

𝑃𝐵 = ρ 𝑔 𝑧𝐴 − 𝑧𝐵 −𝑣𝐵

2

2− ℎ𝑓 = 1000 ∗ 9,81 ∗ 0 −

2,7335832

2− 4,9 =

−8636,2𝑘𝑔

𝑚3

𝑚2

𝑠2 = −8,6362𝑘𝑃𝑎

𝑃𝐵 = ρ 𝑔 𝑧𝐴 − 𝑧𝐵 −𝑣𝐵

2

2= 1000 ∗ 9,81 ∗ 0 −

2,7335832

2= −1,8681𝑃𝑎

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