Funcion de transferencia

Procesos automatizados• Un moderno avión comercial

Ejemplos de procesos automatizados

• Satélites


• Control de la concentración de un producto en un reactor químico


• Control en automóvil

El proceso de diseño del sistema de control

• Para poder diseñar un sistema de control automático, se requiere– Conocer la ecuación diferencial que describe el comportamiento del proceso a controlar.

– A esta ecuación diferencial se le llama modelo del proceso.

– Una vez que se tiene el modelo, se puede diseñar el controlador.

Conociendo el proceso …• MODELACIÓN MATEMÁTICASuspensión de un automóvil

f(t)

z(t)

kb

m

Fuerza de entrada

Desplazamiento, salida del

sistema

22 )()()()(dt

tzdmdttdzbtkztf

maF

Conociendo el proceso…• MODELACIÓN MATEMÁTICANivel en un tanque

qo(t)Flujo de salida

R (resistencia de la válvula)

h(t)

qi(t) Flujo de entrada

dttdhAth

Rtq

tqthR

dttdhAtqtq

i

o

oi

)()(1)(

)()(

)()()(

Flujo que entra – Flujo que sale = Acumulamiento

A(área del

tanque)

Conociendo el proceso…• MODELACIÓN MATEMÁTICACircuito eléctrico

)()(1

)(1)()()(

tedttiC

dttiC

tRidttdiLte

o

i

El rol de la transformada de Laplace

Conviertiendo ecs. diferenciales a ecs. algebráicas

Suspensión de un automóvil

kbsmssF

sZkbsmssZsF

sZmssbsZskZsF

dttzdm

dttdzbtkztf

2

2

2

22

1)()(

)()()()()()(

cero) a igual iniciales scondicione ndo(considera términocada a Laplace de ada transformla Aplicando

)()()()(

Función de transferencia

El rol de la transformada de LaplaceConviertiendo ecs. diferenciales a ecs.

algebráicasNivel en un tanque

111

)()(

)1)(()(

)()(1)(

Laplace de ada transformla Aplicando

)()(1)(

ARsR

RAssQ

sHR

AssHsQi

sAsHsHR

sQi

dttdhAth

Rtq

i

i


1

1)()(

1)()(E

)(1)()()(E

I(s)) para o(despejand ecuaciones las Combinando

)()(1)(1)()()(E


)()(1)(1)()()(

2

2i

i

i

RCsLCssEsE

RCsLCssEs

sCsECs

sCsERsCsELss

sEsICs

sICs

sRIsLsIs

tedttiC

dttiC

tRidttdiLte

oo

o

ooo

o

oi

El rol de la transformada de LaplaceConviertiendo ecs. diferenciales a ecs.

algebráicasCircuito eléctrico


La función de transferencia

• Nos indica como cambia la salida de un proceso ante un cambio en la entrada

• Diagrama de bloques

forzanteFunción proceso del Respuesta

)()(

proceso del entrada laen Cambioproceso del salida laen Cambio

)()(

sXsYsXsY

Proceso Entrada del proceso(función forzante oestímulo)

Salida del proceso

(respuesta alestímulo)


Diagrama de bloques• Suspensión de un automóvil

Entrada(Bache)

Salida(Desplazamiento

del coche)kbsms 21

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3x 104

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3x 10-3


Diagrama de bloques• Nivel en un tanque

Qi(s)

(Aumento del flujo de entrada

repentinamente)

H(s)(Altura del nivel en el

tanque1ARs

R

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-10

-5

0

5

10

15

20

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-10

-5

0

5

10

15

20

25


Diagrama de bloques• Circuito eléctrico

Ei(s)

(Voltaje de entrada)Eo(s)

(Voltaje de salida)1

12 RCsLCs

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4x 104

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4x 104

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Propiedades y teoremas más significantes

• TEOREMA DE VALOR FINAL(Nos indica el valor en el cual se estabilizará la respuesta)

• TEOREMA DE VALOR INICIAL(Nos indica las condiciones iniciales)

• TEOREMA DE TRASLACIÓN DE UNA FUNCIÓN(Nos indica cuando el proceso tiene un retraso en el tiempo (tiempo muerto))

Se tiene un proceso como el mostrado en la figura. El flujo de entrada cambió repentinamente de 5 m3/min a 15 m3/min

a) Cuál es la altura final del tanque una vez que alcanzó la estabilización?

b) Cuál es la altura del tanque 4 minutos después de que se aplicó el escalón.

c) Cuánto tiempo tardará el sistema en estabilizarse? (al 98.2% de la respuesta final)

5 m3/min

5 m3/minR = 2 min/m2

10 mA = 2 m2

Ejemplo aplicado

5 m3/min

5 m3/minR = 2 min/m2

10 mA = 2 m2

Ejemplo aplicado

inicial.su valor a respectocon m, 20 de cambioun tendráaltura la 10, magnitud de entrada de flujo elen escalón cambioun ante que decir, quiere Esto

2)(R 20)2(1010)(Lim)(Lim

101Lim)(Lim)(Lim

final valor de Teorema

101)(

10)(Q

15) a 5 de cambio flujo el 10, magnitud de(escalón 10)(1)(

)(

0st

0s0st

i

RssHtfsARs

RsssHtf

sARsRsH

ss

tqARs

RsQsH

i

i

Cambio en el flujo de entrada

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Cambio en la altura (salida)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

5

10

15

20

25

30

35

40

La respuesta del proceso en el tiempo

TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

hsseth

hsseth

sssssH

sssb

sssa

sb

sa

sssH

sssssssARsRsH

ss

ARsR

sQsH

t

t

s

s

i

41

41

41

120)( tanque)del inicial altura(hss 2020)(

20205)(

2055

2055

5)(

parciales fraccionesen Expansión 14

20101)2)(2(

2101)(

10)(Q1)()(

4141

41041

414141

4141

41420

i

La respuesta del proceso en el tiempo

estable estado nuevoun allegar proceso al tomarále que tiempoel Es min06.16

0.973-1ln

1200.982(20)

120)(982.0ción)estabiliza de final

valordel (98.2% estable estado al llegará tiempocuantoen calcular Para

6424.2210120)4(4en t evaluamos

escalón el aplicó se que de después minutos 4 altura lacalcular Para

120)(

41

4

41

41

41

41

tt

e

ehssth

meh

hsseth

t

t

t

Cambio en la altura (salida)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 500

5

10

15

20

25

30

35

X: 14Y: 22.65

X: 26.06Y: 29.64

El cambio en el flujo de entrada se aplicó aquí

El sistema de control automático

Nivel en un tanque – Lazo abierto (sin control)

(tiempo de estabilización = 16.06 min de acuerdo al ejemplo anterior)

Nivel en un tanque – Lazo cerrado (con control)

Qi(s)

(Aumento del flujo de entrada

repentinamente)

H(s)(Altura del nivel en el

tanque1ARs

R

Controlador1ARs

R+ -

Valor desead

oAcción

de contro

l

Variable controla

da

La ecuación del controlador

• ECUACIÓN DIFERENCIAL DE UN CONTROLADOR PID

(error) real valor ely deseado valor el entre diferencia la es E(s) Donde

11Kc)()(

)()(1E(s)Kc)()(

)()(1E(s)KcM(s)


)()(1)()(

sssE

sM

ssEsEssE

sM

ssEsEs

dttdedtteteKctm

di

di

di

di

El sistema de control automático

Nivel en un tanque – Lazo cerrado (con control)

(el tiempo de estabilización para el sistema controlado es de 4 min, a partir del cambio en la entrada)

1ARsR+

-Valor desead

oAcción

de contro

l

Variable controla

da

sKc dsi

11

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 500

5

10

15

20

25

30

35

X: 14.01Y: 29.64

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

5

10

15

20

25

30

35

La respuesta del sistema de controlde nivel• Comparación del sistema en lazo

abierto (sin control) y en lazo cerrado (con control)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 500

5

10

15

20

25

30

35

X: 26.03Y: 29.64

X: 14.01Y: 29.64

Con control Sin

control

Principales funciones a obtener de una ecuación diferencial: G(s)

y Y(s) Y(s)

Y(s)U(s)c.i.=02) G (s)

Al aplicar la Transformada de Laplace a una ecuación diferencial, dos expresiones son de gran interés:

1) Y(S): 1) Y(S): La función respuestaLa función respuesta de un sistema. (incluye las c.i. y a la función forzante)

; Función de transferenciaFunción de transferencia del sistema (considera c.i.=0 y no se sustituye la función forzante.

n(s)

n(s) 0;ceros

K( K

K :ganancia

:d

s a)... ;(s b)(s (s)

d(s) 0;p

c)...

olos (o)

: (X)

jw

x o o x x

Tanto G(s) como Y(s) estan formadas por los términos:

G(s)G(s) y Y(s)Y(s)

0 ., . 2)(; . . 8.0)0(

);(2.1)()(10

tparaideutuideuy

tutydttdy

ciaTransferendeFunciónss

sGsUsY

sUyssYsUsYyssY

tutydttdy

ic :1.012.0

1102.1)()(

)();()0(10]110)[();()()0(10)(10

)}({)}()(10{

| 0..

LLjw

X -0.1

Para la ecuación diferencial

Solución:

RespuestaFunción :)1.0()3.0(8.0

)110(4.28)(

4.28822.1]110)[(

;22.1)8.0(10]110)[(

);(2.1)()0(10)(10

)}(2.1{)}()(10{

sss

ssssY

ss

sssY

sssY

sUsYyssY

tutydttdy LL

jw

o X X -0.3 -0.1 0

Obtener: a) G(s)G(s) y, b) , b) Y(s)Y(s)

Obtención del valor inicial y Obtención del valor inicial y final de final de y(t)y(t)

RespuestaFunción :)1.0()3.0(8.0

)110(4.28)(

sss

ssssY

1.06.14.2

1.0)(

sss

bsasY

0.8

1

8.0)1.0()3.0(8.0

)1.0()3.0(8.0.)(.)0(

:

limlimlimlimssss s

ssssssYsy

inicialvalordelTeorema

jw

o X X -0.3 -0.1 0

4.1.0)3.0)(8.0(

)1.0()3.0(8.0

)1.0()3.0(8.0.)(.)(

:final valor del Teorema

limlimlim000

2

s

ssssssYsy

sss

2.4

0.8

t

Polo dominante

Gráfica aproximada de y(t) a partir de Y(s)Y(s)

12001600)(

1600]1200)[(;0)()0(200)(200

80)0( ;0)()(200

ssY

ssYsYyssY

Cytydttdy

802001600

12001600)()0( limlim

ssssYy

ss

012001600)()( limlim

00

ssssYy

ss

Un horno que se encuentra a 80°C se apaga para su enfriamiento. Considere que la relación Temperatura-flujo combustible, es representada por la ecuación Diferencial: 200y´(t) + y(t) = K u(t). Obtenga, y(0) y y()

Teorema de valor inicial:

Teorema del valor final:

t

80 ºC

0 ºC

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