Η θεματοποίηση του calculus graphing σχήματος

Περίληψη

Η προσπάθεια για κατανόηση του πως οικοδομείται η ικανότητα των φοιτητών να σχεδιάζουν το γράφημα

μιας συνάρτησης από δοσμένες αναλυτικές συνθήκες (για την 1η και 2η παράγωγο, τα όρια και την

συνέχεια) σε συγκεκριμένα διαστήματα του πεδίου ορισμού της, μπορεί να γίνει με χρήση της τριάδας

ανάπτυξης ενός σχήματος στο πλαίσιο της θεωρίας APOS. Η εφαρμογή των genetic decomposition για τα

σχήματα των ιδιοτήτων και του διαστήματος έδειξαν την αλληλεπίδρασή τους από την οποία γεννήθηκε το

calculus graphing σχήμα που είναι ικανό να υποστηρίξει την προσπάθεια αυτή. Στην μελέτη της Cooley et al

(2007) καθορίστηκε ότι οι φοιτητές έχουν θεματοποιήσει το σχήμα της γραφικής αναπαράστασης μιας

συνάρτησης αν επιδεικνύουν ότι λειτουργούν στο trans – property trans – interval επίπεδο ανάπτυξης του

σχήματος και έχουν περαιτέρω επιδείξει την ικανότητα να ξανασκεφτούν την λύση σε ένα σύνθετο

πρόβλημα γραφικής αναπαράστασης συνάρτησης όταν ποικίλες συνθήκες αλλάξουν, προσδιορίζοντας

ποιες ιδιότητες του γραφήματος αλλάζουν και ποιες παραμένουν αμετάβλητες. Είναι τελικά δυνατή η

θεματοποίηση του calculus graphing σχήματος;

Η θεωρία APOS γενικά

Η θεωρία APOS (Action, Process, Object, Schema) έχει τις ρίζες της στην εργασία του Jean Piaget, είναι

εποικοδομιστική και στην ανάπτυξή της έπαιξε ρόλο η ιδέα της στοχαστικής αφαίρεσης του Piaget.Οι

θεμελιώδης ιδέες της εισήχθησαν στις αρχές του 1980. Η θεωρία APOS εστιάζει αρχικά στην μοντελοποίηση

του τι μπορεί να συμβαίνει στο μυαλό ενός ατόμου όταν αυτό προσπαθεί να μάθει μαθηματικές έννοιες και

ύστερα χρησιμοποιεί αυτά τα μοντέλα για να σχεδιάσει αντικείμενα - υλικά για την μαθησιακή διαδικασία

και/ή να εκτιμήσει τις μαθητικές επιτυχίες ή αποτυχίες σε σχέση με μαθηματικές προβληματικές

καταστάσεις.

Η έρευνα και η ανάπτυξη αναλυτικών προγραμμάτων που είναι βασισμένη στην θεωρία APOS, εστίασε

κυρίως στην μάθηση μαθηματικών από μαθητές δευτεροβάθμιας και μετά-δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης

όπου τα αντικείμενα στα οποία ενεργούν είναι αφηρημένα. Αυτό διότι στην θεωρία APOS η φαντασία

παίζει ισχυρό ρόλο στην εσωτερίκευση μιας δράσης (action) σε διεργασία (process). Παρόλα αυτά έχει γίνει

αρκετή δουλειά και στα μαθηματικά της πρωτοβάθμιας και γυμνασιακής εκπαίδευσης, όπως επίσης

υπάρχει σε αρχική φάση δουλειά για την εφαρμογή της θεωρίας APOS σε περιοχές μάθησης εκτός

μαθηματικών όπως είναι η επιστήμη των υπολογιστών.

Οι πνευματικές κατασκευές που συναποτελούν την θεωρία APOS είναι (Action, Process, Object, Schema)

2

και οι μηχανισμοί με τους οποίους αυτές οι κατασκευές κατασκευάζονται

Ένα από τα βασικά εργαλεία που χρησιμοποιείται στην έρευνα (και στην ανάπτυξη αναλυτικών

προγραμμάτων) που είναι βασισμένη στην θεωρία APOS, είναι η genetic decomposition. Η genetic

decomposition είναι ένα υποθετικό μοντέλο από πνευματικές κατασκευές που ο μαθητής πρέπει να κάνει

στην προσπάθειά του να μάθει μαθηματικές έννοιες.

Ο σχεδιασμός και η εφαρμογή μαθήματος που χρησιμοποιεί την θεωρία APOS γίνεται κυρίως με τον κύκλο

διδασκαλίας ACE χρησιμοποιώντας δηλαδή Activities , Class discussions, Exercises. Ο κύκλος διδασκαλίας

ACE είναι μια προσέγγιση μαθήματος που υποστηρίζει την ανάπτυξη των πνευματικών κατασκευών που

απαιτούνται για την genetic decomposition.

Κεντρικό ρόλο στην θεωρία APOS παίζουν τα σχήματα (schema) και η θεματοποίηση (thematization) ενός

σχήματος, του μηχανισμού δηλαδή που εμπλέκεται όταν ένα σχήμα μετατρέπεται σε συνεκτικό αντικείμενο

ώστε να μπορούμε να δράσουμε πάνω σ αυτό.

Η στοχαστική αφαίρεση και μορφοποίηση της θεωρίας APOS

Αρχικά ο όρος στοχαστική αφαίρεση χρησιμοποιείται και με την έννοια της επίγνωσης, συναίσθησης, και

στοχαστικής σκέψης για το περιεχόμενο και τις διεργασίες στο περιεχόμενο, και με την έννοια της

ανάκλασης τους από ένα χαμηλότερο γνωστικό επίπεδο σε ένα υψηλότερο.

Ύστερα, ο όρος στοχαστική αφαίρεση, χρησιμοποιείται με την έννοια της αναδόμησης και αναδιοργάνωσης

του περιεχομένου και των διεργασιών σ αυτό το υψηλότερο επίπεδο, το οποίο έχει ως αποτέλεσμα να

γίνουν οι διεργασίες περιεχόμενο πάνω στο οποίο νέες διεργασίες μπορούν να εφαρμοστούν.

Παράδειγμα από τις συναρτήσεις

Οι συναρτήσεις αρχικά ορίζονται ως διεργασίες που αντιστοιχίζουν τα στοιχεία ενός συνόλου που

ονομάζεται πεδίο ορισμού στα στοιχεία ενός άλλου συνόλου του συνόλου τιμών.

3

Σε υψηλότερο επίπεδο οι συναρτήσεις ενός χώρου συναρτήσεων γίνονται το περιεχόμενο πάνω στο οποίο

νέες διεργασίες – πράξεις κατασκευάζονται.

Παράδειγμα από τα κλάσματα

Το κλάσμα

και το κλάσμα

είναι διαιρέσεις που μας δείχνουν πόσες φορές χωρά ο β στον α και πόσες

φορές χωρά ο δ στον γ. Πάνω σ αυτές τις διεργασίες μπορούν να εφαρμοστούν πράξεις νέες δηλαδή

διεργασίες.

Η στοχαστική αφαίρεση του Piaget μορφοποιήθηκε στην θεωρία APOS. Οι πνευματικές κατασκευές της

Δράσης (Action), της Διεργασίας (Process), του Αντικειμένου (Object), και του Σχήματος (Schema) καθώς και

οι πνευματικοί μηχανισμοί της Εσωτερίκευσης (interiorization), του Συγχρονισμού (coordination), της

αντιστροφής (reversal), της ενθυλάκωσης ( encapsulation) και της θεματοποίησης (thematization)

μορφοποιήθηκαν στην αναπτυξιακή εξέλιξη APOS.

Οι δράσεις λειτουργούν πάνω στα αντικείμενα, οι δράσεις εσωτερικεύονται σε διαδικασίες, οι διαδικασίες

ενθυλακώνονται σε αντικείμενα, τα οποία αντικείμενα απενθυλακώνονται πίσω στις διαδικασίες από τις

οποίες προήλθαν. Το όλο σύστημα είναι μέρος ενός σχήματος.

Η ανάπτυξη δεν προχωρά πάντα γραμμικά από το ένα επίπεδο στο άλλο. Αντιθέτως, όταν η περίσταση το

απαιτεί, το άτομο μπορεί να πάει πίσω ή μπροστά μεταξύ των επιπέδων.

Η θεωρία APOS και οι άλλες προσεγγίσεις

Λίγο μετά την διατύπωση της θεωρίας APOS από τον Dubinsky η Sfard άρχισε να μιλά για Operational και

Structural Conceptions (Λειτουργικές και κατασκευαστικές έννοιες ) (1987) που αργότερα τα άλλαξε σε

process και object (1991). Λίγο μετά οι Gray & Tall εισήγαγαν την έννοια του procept η οποία είναι ένα

4

αμάλγαμα από τρία συνθετικά στοιχεία: την process, το object που παράγεται από την process και ένα

σύμβολο που χρησιμοποιείται για να παραστήσει την διεργασία ή το αντικείμενο.

Καμία από αυτές τις θεωρητικές προοπτικές δεν ασχολείται με τις actions ή την κατασκευή των processes

(όπως την εσωτερίκευση των actions σε process ) όπως επίσης δεν γίνεται καμιά αναφορά σε τίποτα

παρόμοιο με τα σχήματα (schemas), παρόλο που οι Tall και Vinner ανάφεραν την concept image (εννοιακή

εικόνα) που είναι παρόμοια με το σχήμα αλλά με μερικές διαφορές.

Η εννοιακή εικόνα είναι όλες οι πνευματικές εικόνες που συνδέονται στο μυαλό ενός ατόμου με το όνομα

της έννοιας και με όλες της τις ιδιότητες. Η εννοιακή εικόνα είναι αποτέλεσμα της εμπειρίας και

συνοδεύεται από παραδείγματα και αντιπαραδείγματα. Έτσι το σύνολο των μαθηματικών αντικειμένων που

ο μαθητής τα σκέφτεται ως παραδείγματα μιας έννοιας δεν είναι απαραιτήτως το ίδιο με το σύνολο των

μαθηματικών αντικειμένων που καθορίζονται από τον επίσημο ορισμό.

Σχήμα Εννοιακή εικόνα

Περιγράφει τις πνευματικές κατασκευές που

εμπλέκονται στο μυαλό του ατόμου που κατανοεί ή

προσπαθεί να κατανοήσει τα μαθηματικά που έχουν

σχέση με μια έννοια

Έχει σχέση με τα μαθηματικά που εμπλέκονται με

μια έννοια

Ένα σχήμα μπορεί να θεματοποιηθεί σε αντικείμενα

στα οποία μπορούν να εκτελεστούν ενέργειες οι

οποίες μπορούν να γίνουν μέρος άλλου σχήματος

Δεν περιγράφονται τέτοιες δραστηριότητες

Ένα σχήμα περιλαμβάνει την έννοια της συνοχής

που λαμβάνει υπόψη την χρήση ενός σχήματος στην

διαχείριση μαθηματικών προβληματικών

καταστάσεων

Δεν υπάρχει η έννοια της συνοχής

Τέλος καμία από τις δυο προσεγγίσεις δεν δίνει έμφαση στην εφαρμογή των θεωρητικών προοπτικών στον

σχεδιασμό και την εφαρμογή μαθημάτων.

Η ορολογία της θεωρίας APOS

ACTIONS

Σύμφωνα με τον Piaget και όπως υιοθετήθηκε από την θεωρία APOS μια έννοια αρχικά συλλαμβάνεται ως

δράση που είναι μια εξωτερικά κατευθυνόμενη μεταμόρφωση ( μετασχηματισμός) ενός αντικειμένου ή

πολλών αντικειμένων που πιο μπροστά έχουν συλληφθεί. Μια δράση είναι εξωτερική με την έννοια ότι

5

κάθε βήμα της μεταμόρφωσης χρειάζεται να παρουσιαστεί λεπτομερώς και να καθοδηγηθεί με εξωτερικές

οδηγίες. Επιπροσθέτως κάθε βήμα υποβάλει το επόμενο, που σημαίνει ότι τα βήματα μιας δράσης δεν

μπορούν ακόμη να προβλεφθούν και κανένα δεν μπορεί να προσπεραστεί. Το άτομο που είναι

περιορισμένο σε μια εννοιακή δράση βασίζεται σε εξωτερικές οδηγίες.

Για παράδειγμα στην περίπτωση της έννοιας της συνάρτησης ένα άτομο έχει «δραστική κατανόηση» όταν

για να την διαχειριστεί είναι απαραίτητο να του δοθεί ό αλγεβρικός τύπος, ο οποίος λειτουργεί ως ένα

σύνολο εξωτερικών οδηγιών (σειρά πράξεων) που εφαρμόζονται βήμα - βήμα ώστε μετά την

αντικατάσταση στην θέση της ανεξάρτητης μεταβλητής μιας αριθμητικής τιμής να υπολογιστεί η αριθμητική

τιμή στην οποία αυτή αντιστοιχίζεται. (σελίδα 20 (31 από 259)).

Οι δράσεις μπορεί να είναι βασικές ή πιο περίπλοκες. Για παράδειγμα δράσεις απαιτούνται για την

κατασκευή μιας προσέγγισης του ορισμένου ολοκληρώματος, διαχωρίζοντας ένα διάστημα σε

συγκεκριμένα υποδιαστήματα δοσμένου μεγέθους, στην κατασκευή των ορθογωνίων, στον υπολογισμό του

εμβαδού κάθε ορθογωνίου και στον υπολογισμό του αθροίσματος των εμβαδών όλων των ορθογωνίων.

Interiorization & Process

Ένας τρόπος κατασκευής διεργασιών είναι ο πνευματικός μηχανισμός της εσωτερίκευσης (interiorization).

Interiorization είναι ο πνευματικός μηχανισμός που επιτρέπει στο άτομο τα παρακάτω: Καθώς οι δράσεις

επαναλαμβάνονται και το άτομο τις αναστοχάζεται, μπορεί σιγά – σιγά να αποκτήσει εσωτερικό έλεγχο

επάνω τους και να πάψει να βασίζεται σε εξωτερικές σειρές οδηγιών. Έτσι το άτομο εφαρμόζει τα βήματα

της δράσης χωρίς απαραιτήτως να παρουσιάζει το κάθε βήμα λεπτομερώς έχοντας την ευχέρεια να

προσπερνά βήματα ή να τα αντιστρέφει.

Αν και η δράση και η διεργασία μπορεί να μοιάζουν για μια δοσμένη έννοια ή μπορεί να περιέχουν τους

ίδιους μετασχηματισμούς , διαφέρουν με την ακόλουθη έννοια: για την δράση κάποιος πρέπει να κάνει τον

μετασχηματισμό είτε φυσικά είτε πνευματικά ενώ για την διεργασία κάποιος μπορεί να διεκπεραιώσει τον

μετασχηματισμό χωρίς να του είναι απαραίτητο να περάσει δια μέσου κάθε βήματος.

Για παράδειγμα στο ορισμένο ολοκλήρωμα η δράση του προσδιορισμού του αθροίσματος Riemann για ένα

συγκεκριμένο διάστημα εσωτερικεύεται σε διαδικασία όταν ένα άτομο μπορεί να περιγράψει πως το

άθροισμα Riemann μπορεί να προσδιοριστεί για ένα ακαθόριστο διάστημα και μπορεί να φανταστεί την

διαδικασία να συνεχίζεται με ελαττούμενο το πλάτος κάθε υποδιαστήματος.

Encapsulation and Objects

6

H ενθυλάκωση (encapsulation) συμβαίνει όταν το άτομο εφαρμόζει μια δράση πάνω σε μια διεργασία. Έτσι

το άτομο βλέπει μια δυναμική κατασκευή (την διεργασία) ως στατική κατασκευή στην οποία μπορούν να

εφαρμοστούν δράσεις. Ο μηχανισμός της ενθυλάκωσης είναι και ο πιο δύσκολος.

Για παράδειγμα η περιοχή κάτω από ένα τόξο μιας συνάρτησης σε ένα κλειστό διάστημα είναι το όριο του

αθροίσματος Riemann ( μια δράση δηλαδή που εφαρμόζεται πάνω στην διεργασία του αθροίσματος

Riemann). Με στόχο να προσδιοριστεί η ύπαρξη αυτού του ορίου και/ή να υπολογιστεί η τιμή του το άτομο

πρέπει να ενθυλακώσει την διεργασία του αθροίσματος Riemann σε αντικείμενο (Object).

De-encapsulation Coordination and Reversal of Process

De-encapsulation

Όταν η διεργασία ενθυλακωθεί σε αντικείμενο μπορεί να απενθυλακωθεί (αν υπάρξει ανάγκη) πίσω στην

υποκρυπτόμενη διεργασία. Με άλλα λόγια εφαρμόζοντας τον μηχανισμό της απενθυλάκωσης το άτομο

μπορεί να επιστρέψει στην διεργασία που πυροδότησε το αντικείμενο.

Coordination

Ο μηχανισμός του συντονισμού είναι απαραίτητος για την κατασκευή ορισμένων αντικειμένων. Δύο

αντικείμενα μπορούν να απενθυλακωθούν, οι διαδικασίες τους να συντονιστούν και οι συντονισμένες

διαδικασίες να ενθυλακωθούν σε ένα νέο αντικείμενο. Προσοχή!!! Ο μηχανισμός του συντονισμού και το

πώς συμβαίνει πνευματικά είναι προς το παρόν υπό διερεύνηση.

Παράδειγμα: για να συνθέσουμε δύο συναρτήσεις και ώστε να πάρουμε την τα δύο αντικείμενα

συναρτήσεις πρέπει να απενθυλακωθούν στις διεργασίες που πυροδότησαν την εμφάνισή τους. Αυτές οι

διεργασίες συντονίζονται εφαρμόζοντας την διεργασία της στα στοιχεία που παίρνουμε εφαρμόζοντας

την διεργασία της Η νέα διαδικασία που προκύπτει ενθυλακώνεται σε ένα νέο αντικείμενο.

Reversal

Μια διεργασία μπορεί να αντιστραφεί δημιουργώντας μια νέα διεργασία η οποία όταν ενθυλακωθεί μας

δίνει ένα νέο αντικείμενο.

Για παράδειγμα ο Dubinsky (1991) παρουσιάζει την γέννηση μιας νέας διαδικασίας με τον μηχανισμό της

αντιστροφής σε σχέση με την ολοκλήρωση.

«Ένας μαθητής μπορεί να έχει εσωτερικεύσει την δράση της παραγώγισης μιας συνάρτησης και να είναι

ικανός να παραγωγίζει επιτυχώς ένα μεγάλο αριθμό συναρτήσεων χρησιμοποιώντας ποικιλία τεχνικών. Αν η

διεργασία εσωτερικευθεί ο μαθητής μπορεί να την αντιστρέψει για να λύσει προβλήματα στα οποία δίνεται

η συνάρτηση και ζητείται να βρεθεί η συνάρτηση της οποίας η παράγωγος είναι η δοσμένη συνάρτηση».

Thematization and Schemas

7

Από την αλληλεπίδραση των στοιχείων του παρακάτω σχεδιαγράμματος ξεπηδά το σχήμα (schema).

Σύμφωνα με τον Dubinsky ένα σχήμα χαρακτηρίζεται από δυναμισμό και συνεχή ανακατασκευή. Βασικό

επίσης χαρακτηριστικό ενός σχήματος είναι η συνοχή του. Μέτρο της συνοχής ενός σχήματος είναι η

ικανότητα του ατόμου να διαπιστώνει πότε το σχήμα μπορεί να χρησιμοποιηθεί ώστε το άτομο να εμπλακεί

σε συγκεκριμένη μαθηματική κατάσταση. Από την στιγμή που το σχήμα κατασκευαστεί ως συνεκτική

συλλογή από κατασκευές (Actions, Processes, Objects, and other Schemas) και οι συνδέσεις εδραιωθούν

μεταξύ αυτών των κατασκευών, τότε μπορεί (το σχήμα) να μεταμορφωθεί σε μια στατική κατασκευή

(Object) και/ή μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως δυναμική κατασκευή που απορροφά άλλα συγγενή σχήματα ή

αντικείμενα.

Η κατασκευή ενός σχήματος ως πνευματικού αντικειμένου κατακτάται δια μέσου του μηχανισμού της

θεματοποίησης (Thematization). Αυτός ο μηχανισμός επιτρέπει στο άτομο να εφαρμόσει μετασχηματισμούς

στο σχήμα.

Genetic decomposition

Η genetic decomposition είναι ένα υποθετικό μοντέλο των πνευματικών κατασκευών που είναι

απαραίτητες για την μάθηση συγκεκριμένων μαθηματικών εννοιών. Συνήθως ξεκινά ως υπόθεση βασισμένη

στις εμπειρίες των ερευνητών για την μάθηση και την διδασκαλία μιας έννοιας, την γνώση τους για την

θεωρία APOS, την μαθηματική τους γνώση, την έρευνα που έχει ήδη εκδοθεί για την έννοια και την ιστορική

εξέλιξη της έννοιας. Μέχρι να ελεγχθεί πειραματικά η genetic decomposition είναι μια υπόθεση. Μια

genetic decomposition αποτελείται από μια περιγραφή των δράσεων που ένας μαθητής χρειάζεται για να

ενεργήσει σε ήδη υπάρχοντα μαθηματικά αντικείμενα και στη συνέχεια περιέχει εξηγήσεις για το πώς αυτές

οι δράσεις εσωτερικεύονται σε διεργασίες. Κατόπιν η διεργασία ενθυλακώνεται σε αντικείμενο. Είναι

δυνατό μια έννοια να περιέχει πολλές δράσεις, διεργασίες και αντικείμενα. Μια genetic decomposition

μπορεί να περιέχει περιγραφή για το πώς αυτές οι κατασκευές συγγενεύουν και οργανώνονται σε

μεγαλύτερες πνευματικές κατασκευές που ονομάζονται σχήματα. Στην περιγραφή ενός σχήματος πρέπει να

8

περιέχεται εξήγηση του πως ένα σχήμα θεματοποιείται σε αντικείμενο. Η genetic decomposition επίσης

εξηγεί οτιδήποτε είναι γνωστό για τις αναμενόμενες αντιδράσεις (συμπεριφορές) των μαθητών που

δείχνουν διαφορές στην ανάπτυξη των κατασκευών από τους μαθητές.

Επιπροσθέτως η genetic decomposition πρέπει να περιέχει περιγραφή των προαπαιτούμενων κατασκευών

οι οποίες μπορούν να εξηγήσουν διαφορές στην ανάπτυξη των μαθητών και μπορεί να παίζουν ρόλο στις

διακυμάνσεις της απόδοσής τους στα μαθηματικά.

Έτσι μια genetic decomposition είναι ένα επιστημολογικό και γνωστικό μοντέλο μιας μαθηματικής έννοιας.

Μια πρωταρχική genetic decomposition μπορεί να καθοδηγήσει την ανάπτυξη μιας συμπεριφοράς σε ένα

μάθημα. Η εφαρμογή του μαθήματος παρέχει μια ευκαιρία για συλλογή στοιχείων από τα γραπτά των

συμμετεχόντων και/ή από τις συνεντεύξεις τους.

Στην ανάλυση των στοιχείων δύο ερωτήσεις τίθενται;

Έκαναν οι μαθητές τις πνευματικές κατασκευές που προβλέφθηκαν από την genetic decomposition;

Πόσο καλά έμαθαν οι μαθητές το περιεχόμενο των μαθηματικών του μαθήματος;

Οι απαντήσεις σ αυτές τις ερωτήσεις μπορεί να οδηγήσουν σε διόρθωση της genetic decomposition και/ή

του μαθήματος. Σ αυτό το σημείο η genetic decomposition δεν λαμβάνεται πλέον ως πρωταρχική.

Περεταίρω ραφινάρισμα είναι πιθανό καθώς κάθε ραφινάρισμα μπορεί να οδηγήσει σε περεταίρω

διόρθωση του μαθήματος που παρέχει την ευκαιρία για ανάλυση νέων στοιχείων. Ιδεωδώς ο κύκλος

ραφινάρισμαδιόρθωσηανάλυση στοιχείων οδηγεί σε genetic decomposition που κατοπτρίζει πολύ

καλά το πώς μπορεί να μαθευτεί η έννοια από πολλά άτομα και γι αυτό μπορεί να χρησιμοποιηθεί στο

σχεδιασμό ενός μαθήματος που επηρεάζει θετικά την μάθηση της έννοιας από τους μαθητές.

Θέματα που πρέπει να διευκρινιστούν.

Ο μαθητής στην έρευνα που είναι βασισμένη στην θεωρία APOS δεν είναι συγκεκριμένος αλλά είναι

αντιπροσωπευτικός της τάξης των μαθητών που μαθαίνει την έννοια.

Η genetic decomposition μπορεί να μην είναι μοναδική. Αυτό που είναι σημαντικό είναι ότι μια

genetic decomposition προβλέπει τις πνευματικές κατασκευές που συνάγονται από τις αναλύσεις

των στοιχείων που συλλέγονται στα πειραματικά σχέδια.

Μπορεί να φαίνεται ότι μια genetic decomposition αναπτύσσεται γραμμικά επειδή η genetic

decomposition μιας έννοιας περιγράφεται γραμμικά. Στην ανάπτυξη μιας έννοιας πιο πιθανό είναι

να υπάρχουν διαφορετικές διαδρομές, ξεκινήματα, σταματήματα, ασυνέχειες. Επιπροσθέτως η

9

genetic decomposition προβλέπει εάν ένα άτομο θα εφαρμόσει μια δεδομένη κατασκευή όταν θα

κληθεί. Δεν προσφέρει αποκλειστική θεωρητική ανάλυση για το πώς μαθαίνονται τα μαθηματικά.

Παρά τις ατομικές διαφορές η genetic decomposition περιγράφει τις κατασκευές που ένας μαθητής

χρειάζεται να κατασκευάσει καθώς μαθαίνει μια έννοια. Όταν επαληθευθεί εμπειρικά μπορεί να

προσφέρει ένα χρήσιμο μοντέλο μάθησης, όπως έχει αποδειχθεί από ένα αριθμό εμπειρικών ερευνών που

δείχνουν την αποτελεσματικότητα της θεωρίας APOS ως εργαλείο για την περιγραφή των συλλήψεων των

μαθητών και τον σχεδιασμό αποτελεσματικών μαθημάτων.

Τέλος στην έρευνα που είναι βασισμένη στην θεωρία APOS οι όροι conception (η έννοια όπως κατανοήθηκε

από το άτομο) και concept ( η έννοια όπως συμφωνήθηκε από τους μαθηματικούς) είναι διαφορετικές

ιδέες. Έτσι μια genetic decomposition είναι ένα μοντέλο ανάπτυξης των conception ενός ατόμου που

ευθυγραμμίζεται ( είναι σύμφωνη) με ένα concept.

Το σχήμα στην θεωρία APOS

Το σχήμα έγινε μέρος της θεωρίας APOS από το ξεκίνημά της. Το σχήμα ενός ατόμου για μια συγκεκριμένη

μαθηματική έννοια είναι η συλλογή του από δράσεις, διεργασίες, αντικείμενα και άλλα σχήματα που

συνδέονται με κάποιες γενικές αρχές ή σχέσεις που δημιουργούν ένα πλαίσιο στο μυαλό του ατόμου που

μπορεί να εφαρμοστεί σε μια προβληματική κατάσταση που ενέχει αυτή την έννοια. Το πλαίσιο αυτό

πρέπει να είναι συνεκτικό με την έννοια ότι δίνει με λεπτομέρεια ή περιληπτικά τρόπους για να

προσδιορίσει ποια φαινόμενα περιλαμβάνονται στο σχήμα και ποια όχι (Dubinsky and McDonald 2001). Ένα

σχήμα πρέπει να θεματοποιηθεί για να γίνει πνευματικό αντικείμενο (cognitive object) στο οποίο δράσεις

και διεργασίες μπορούν να εφαρμοστούν. Με την συνειδητή αποθεματοποίηση του σχήματος, είναι πιθανό

να πάρουμε τις αυθεντικές δράσεις, διαδικασίες αντικείμενα και άλλα σχήματα από τα οποία το σχήμα

κατασκευάστηκε.

Ένα συγκεκριμένο σχήμα μπορεί να μην είναι προσβάσιμο σε όλες τις περιπτώσεις διότι η μάθηση των

μαθηματικών είναι μη γραμμική. Η κατασκευή ενός σχήματος και η ανάπτυξή του μπορεί να εξηγεί γιατί οι

μαθητές έχουν δυσκολίες με τις διαφορετικές διαστάσεις ενός θέματος και μπορεί ακόμα να έχουν

δυσκολίες με την ίδια κατάσταση όταν την συναντήσουν σε διαφορετικές χρονικές στιγμές.

Είναι σημαντικό να τονιστεί ότι η κατασκευή ενός σχήματος μπορεί να διαφέρει ανάμεσα στα άτομα διότι

κάθε άτομο κατασκευάζει διαφορετικού είδους σχέσεις μεταξύ των συστατικών ενός σχήματος.

Παράδειγμα: Το σχήμα της συνάρτησης

Μπορεί να συντεθεί από διαφορετικούς τύπους συναρτήσεων όπως πραγματικές, συναρτήσεις πολλών

μεταβλητών, διανυσματικές συναρτήσεις ή προτασιακές συναρτήσεις. Οι διαφορετικοί τύποι συναρτήσεων

10

μπορεί να έχουν κατασκευαστεί ως διεργασίες ή αντικείμενα μαζί με τις πράξεις (operations) που μπορούν

να εφαρμοστούν σ αυτά. Για μερικούς μαθητές, οι διαφορετικοί τύποι συναρτήσεων μπορεί να

συσχετίζονται με την ιδέα ότι είναι διαδικασίες που εφαρμόζονται σε ένα σύνολο από τιμές εισαγωγής για

να πάρουμε ένα σύνολο από τιμές εξαγωγής. Οι συναρτήσεις διαφέρουν στον τύπο των τιμών εισαγωγής,

στην φύση των διεργασιών που εφαρμόζονται στις τιμές εισαγωγής και στα αποτελέσματα των διεργασιών.

Αν και το σχήμα καθενός μπορεί να περιέχει τους ίδιους τύπους συναρτήσεων τα συστατικά ή το είδος των

σχέσεων που κατασκευάστηκαν μεταξύ τους μπορεί να διαφέρουν.

Καθώς ένα άτομο μαθαίνει μαθηματικά, πρέπει να συσχετιστούν και να χρησιμοποιηθούν διαφορετικές

έννοιες σε δραστηριότητες επίλυσης προβλήματος. Κάποιες φορές νέες δράσεις διεργασίες και αντικείμενα

μπορεί να αφομοιωθούν σε ένα σχήμα που έχει κατασκευαστεί πιο μπροστά ιδρύοντας νέες σχέσεις μεταξύ

των συνθετικών του σχήματος. Σε άλλες περιστάσεις ένα σχήμα μπορεί να είναι συγγενές με ένα ή

περισσότερα σχήματα το οποίο οδηγεί στην δημιουργία ενός νέου πιο εκτεταμένου σχήματος.

Όταν κάποιος έρθει σε επαφή με μια μαθηματική προβληματική κατάσταση, ανακαλεί ένα σχήμα και

χρησιμοποιεί κάποια από τα συστατικά του στοιχεία και κάποιες από τις σχέσεις ώστε να μπορεί να

διαχειριστεί την κατάσταση. Όταν συναντούν την ίδια κατάσταση διαφορετικά άτομα μπορεί να

χρησιμοποιήσουν τα ίδια συστατικά στοιχεία αλλά να κατασκευάσουν διαφορετικές σχέσεις μεταξύ των

στοιχείων αυτών. Η μελέτη των σχέσεων μαζί με τον τύπο των κατασκευών που εφαρμόζει για να

διαχειριστεί μια συγκεκριμένη προβληματική κατάσταση προδίδει το οικοδόμημα του σχήματος και δίνει

πληροφορίες για την ανάπτυξή του.

Σε εργασίες με την θεωρία APOS για την ανάπτυξη σχημάτων οι ερευνητές χρησιμοποίησαν την τριάδα “the

triad” μια πρόοδο από τρία στάδια που προτάθηκε από τους Piaget και Garcia(1983/1989). Ο μηχανισμός

της προσαρμογής (accommodation) δίνει εξηγήσεις της εξέλιξης από το ένα στάδιο της τριάδας στο

επόμενο. Κάθε διαδοχικό στάδιο της τριάδας εμπλέκει την ανάπτυξη των σχέσεων και των

μετασχηματισμών που το άτομο μπορεί να δημιουργήσει μεταξύ ξεχωριστών κατασκευών εντός του

σχήματος όπως και την ανάπτυξη της συνοχής του σχήματος με όρους πιθανής εφαρμογής του σε

συγκεκριμένες προβληματικές καταστάσεις.

Ανάπτυξη ενός σχήματος στο μυαλό ενός ατόμου

Οι Piaget και Garcia ονομάζουν τα επίπεδα που εμπλέκονται στην ανάπτυξη ενός σχήματος intra- , inter-,

και trans-. Μετά την – βάζουμε το όνομα του σχήματος.

Intra- επίπεδο

Στην θεωρία APOS το Intra- επίπεδο στην ανάπτυξη ενός σχήματος χαρακτηρίζεται από την εστίαση στις

ξεχωριστές δράσεις, διεργασίες, και αντικείμενα σε απομόνωση από άλλα γνωστικά αντικείμενα. Στο Intra-

11

επίπεδο ο μαθητής επικεντρώνεται σε επαναλαμβανόμενη δράση ή λειτουργία και μπορεί να αναγνωρίσει

μερικές σχέσεις ή μετασχηματισμούς μεταξύ των δράσεων πάνω σε διαφορετικά συστατικά στοιχεία του

σχήματος.

Στον κανόνα της αλυσίδας Το άτομο έχει μια συλλογή από κανόνες ώστε να υπολογίζει μερικές ξεχωριστές

περιπτώσεις όπου ο κανόνας της αλυσίδας χρησιμοποιείται λεπτομερώς όπως στην αλλά δεν βλέπει

καμιά ομοιότητα ή συγγένεια μεταξύ αυτών των περιπτώσεων. (Clark et al 1999).

inter - επίπεδο

Το επίπεδο αυτό χαρακτηρίζεται από την κατασκευή των σχέσεων και των μετασχηματισμών μεταξύ των

διεργασιών και των αντικειμένων που φτιάχνουν το σχήμα. Στο επίπεδο αυτό το άτομο μπορεί να αρχίσει

να ομαδοποιεί αντικείμενα και ακόμη να τα καλεί με το ίδιο όνομα.

Στον κανόνα της αλυσίδας Το άτομο αναγνωρίζει ότι διαφορετικές περιπτώσεις του κανόνα της αλυσίδας

αναπαριστούν κάτι ποιό γενικό. Έτσι του γίνεται γνωστό ότι οι διαφορετικές περιπτώσεις συσχετίζονται και

οι ξεχωριστές περιπτώσεις είναι στιγμιότυπα ενός πιο γενικού κανόνα. (Clark et al 1999).

trans- επίπεδο

Καθώς ο μαθητής στοχάζεται στις σχέσεις που αναπτύχθηκαν στο inter- επίπεδο νέες κατασκευές ξεπηδούν.

Με σύνθεση αυτών των σχέσεων ο μαθητής γίνεται γνώστης των μετασχηματισμών που εμπλέκονται με το

σχήμα και κατασκευάζει μια υποβόσκουσα κατασκευή. Αυτό οδηγεί στην ανάπτυξη του σχήματος στο trans-

επίπεδο.

Μια κρίσιμη πτυχή του trans- επιπέδου είναι η συνοχή. Η συνοχή επιδεικνύεται από την ικανότητα του

ατόμου να αναγνωρίζει τις σχέσεις που περιέχονται στο σχήμα και όταν συναντά μια προβληματική

κατάσταση, να καταλαβαίνει αν η προβληματική κατάσταση ταιριάζει στο πεδίο του σχήματος.

Στον κανόνα της αλυσίδας Μπορεί να συσχετίσει την σύνθεση των συναρτήσεων με την παραγωγισιμότητα

και αναγνωρίζει την ποικιλία των εφαρμογών του κανόνα της αλυσίδας . Η ικανότητα να καταλαβαίνει την

γενική αρχή (Clark et al 1999).

Αλληλεπίδραση σχημάτων

Στην διαδικασία της μάθησης καθώς η γνώση αναπτύσσεται το άτομο μπορεί να κατασκευάσει σχήματα

που συνυπάρχουν τα οποία συνεχώς αλλάζουν. Όταν έρχεται αντιμέτωπο με μια προβληματική κατάσταση

το άτομο μπορεί να συνταιριάξει διαφορετικά σχήματα.

Δυο μελέτες για το calculus graphing σχήμα

Οι Baker et al (2000) και Cooley et al (2007) περιέγραψαν τις προσπάθειες μαθητών να λύσουν ένα calculus

graphing πρόβλημα με όρους αλληλεπίδρασης των δύο σχημάτων.

12

Στην πρώτη μελέτη οι Baker et al (2000) διερεύνησαν πως οι μαθητές συσχέτισαν πληροφορίες που

αφορούν της 1η και 2η παράγωγο, την συνέχεια και τα όρια για να σχεδιάσουν το γράφημα μιας

συνάρτησης. Διενεργήθηκαν συνεντεύξεις κατά τις οποίες δόθηκε το ακόλουθο πρόβλημα:

Πρόβλημα

a. Σχεδίασε την γραφική παράσταση μιας συνάρτησης που ικανοποιεί τους παρακάτω συνθήκες:

Οι μαθητές που τουλάχιστο κατά ένα μέρος σχεδίασαν επιτυχώς το γράφημα της συνάρτησης κλήθηκαν να

απαντήσουν και στην παρακάτω ερώτηση:

b. Αν αποσύρουμε την συνθήκη της συνέχειας αλλά οι άλλες συνθήκες παραμείνουν, το γράφημα

αλλάζει;

Οι μαθητές αντιμετώπισαν πολλές δυσκολίες στην προσπάθειά τους να ασχοληθούν με την προβληματική

κατάσταση. Προσπάθησαν να δουλέψουν σε κάθε διάστημα χωριστά, απέτυχαν να συνδέσουν διεργασίες

που προέκυπταν από τις δοσμένες συνθήκες όπως επίσης απέτυχαν να εφαρμόσουν διεργασίες στο πλάτος

όλου του πεδίου ορισμού . Έτσι δεν κατάφεραν να σχεδιάσουν ένα σωστό γράφημα της συνάρτησης.

Στην ανάλυση των στοιχείων οι συγγραφείς ξεσκέπασαν την αλληλεπίδραση δύο σχημάτων ως πηγή

δυσκολιών. Τα ονόμασαν το σχήμα του διαστήματος (interval) και το σχήμα των ιδιοτήτων (property). Έτσι

ανέπτυξαν genetic decompositions για τα σχήματα και την αλληλεπίδρασή τους, τα οποία είχαν ως

αποτέλεσμα ένα νέο σχήμα που το ονόμασαν calculus graphing σχήμα.

Στην δεύτερη εργασία Cooley et al (2007) χρησιμοποίησαν τις ίδιες genetic decompositions για να δουν αν

οι μαθητές που επιτυγχάνουν στην ανάλυση κάνουν τις ίδιες πνευματικές κατασκευές καθώς εργάζονται με

μια σειρά από προβλήματα που περιλαμβάνουν το αρχικό με προσθήκη νέων προβλημάτων.

Αυτό πρόσφερε την ευκαιρία να εξετάσουν τον τρόπο που οι μαθητές χρησιμοποιούν την γνώση τους όταν

κληθούν να αντιμετωπίσουν διαφορετικά αναπαραστασιακά περιβάλλοντα και να αναλύσουν την

ικανότητά τους να ανασύρουν και να χρησιμοποιήσουν τα διαφορετικά κομμάτια του calculus graphing

σχήματος. Οι συγγραφείς ενδιαφέρονταν να μάθουν πως οι μαθητές μπορούν να εφαρμόσουν και/ή να

ανακατασκευάσουν και να συσχετίσουν τα σχήματα του διαστήματος (interval) και της ιδιότητας (property)

όταν το πρωτότυπο πρόβλημα τροποποιηθεί. Στους μαθητές δόθηκαν ερωτήσεις αυξανόμενης δυσκολίας

13

διαφορετικές από αυτές που συναντά κανείς σε μαθήματα ανάλυσης. Ο λόγος για την εισαγωγή των

ερωτήσεων ήταν για να δουν πως οι μαθητές θα διαχειριστούν πνευματικές κατασκευές που είχαν ήδη

κατασκευάσει όταν θα έρχονταν αντιμέτωποι με νέες προβληματικές καταστάσεις.

Η ανάπτυξη του calculus graphing σχήματος

Οι ερευνητές βρήκαν ότι οι διαφορές στις δυσκολίες και στην απόδοση των μαθητών μπορούν να

αποδοθούν στην ικανότητα των μαθητών να συσχετίσουν τα σχήματα του διαστήματος και των ιδιοτήτων. Η

genetic decomposition για κάθε ένα από τα σχήματα είναι:

Ανάπτυξη του σχήματος των ιδιοτήτων

Το σχήμα των ιδιοτήτων εμπλέκει την κατανόηση κάθε δοσμένης συνθήκης και πως μεταφράζεται στο

γράφημα της συνάρτησης καθώς και συγχρονισμό των συνθηκών.

Οι συνθήκες περιέχουν πληροφορίες για την 1η και 2η παράγωγο ( που είναι θετική , αρνητική, μηδέν), τα

όρια της συνάρτησης και της 1ης παραγώγου και την συνέχεια της συνάρτησης.

Intra – property stage

Ο μαθητής μπορεί να αναπαραστήσει – μεταφράσει μια δοσμένη συνθήκη και να την συνδέσει με την

μορφή που πρέπει να πάρει το γράφημα της συνάρτησης. Ένας μαθητής στο επίπεδο αυτό αξιοποιεί για

παράδειγμα μόνο την συνθήκη για την 1η παράγωγο και παρά το γεγονός ότι έχει επίγνωση των άλλων

ιδιοτήτων, όπως προκύπτουν από τις συνθήκες του προβλήματος, δεν μπορεί να τις συσχετίσει για να

φτιάξει το γράφημα της συνάρτησης. Αν δύο ιδιότητες επικαλύπτονται (παραγωγισιμότητα, συνέχεια) ο

μαθητής περιγράφει την συμπεριφορά της συνάρτησης χρησιμοποιώντας μόνο την μια ιδιότητα διότι

αποτυγχάνει να ολοκληρώσει την περιγραφή του πως αυτές οι ιδιότητες συγχρονισμένα επηρεάζουν το

γράφημα της συνάρτησης.

Inter – property stage

Ο μαθητής χρησιμοποιεί δυο ή περισσότερες συνθήκες ταυτοχρόνως, ακόμα και για τις συνθήκες που είναι

επικαλυπτόμενες, δίνοντας πληροφορίες για το πώς επηρεάζουν το γράφημα της συνάρτησης.

Trans – Property stage

Ο μαθητής συντονίζει όλες τις συνθήκες που δόθηκαν και εξηγεί πως επηρεάζουν το γράφημα της

συνάρτησης σε ένα διάστημα και ποιες όχι. Έτσι λέμε ότι ο μαθητής επιδεικνύει ότι έχει κατακτήσει την

συνοχή του σχήματος.

Ανάπτυξη του σχήματος του διαστήματος

14

Οι σημαντικές διαστάσεις αυτού του σχήματος είναι η κατανόηση του συμβολισμού του διαστήματος, η

σύνδεση γειτονικών διαστημάτων και ο συντονισμός επικαλυπτόμενων διαστημάτων.

Intra – interval stage

Ο μαθητής εργάζεται σε απομονωμένα διαστήματα και του δημιουργείται σύγχυση όταν οι πληροφορίες

που του δίνονται απαιτούν την επικάλυψη διαστημάτων ή των συγχρονισμό γειτονικών διαστημάτων .

Inter – interval stage

Ο μαθητής αρχίζει να συντονίζει δύο ή περισσότερα διαστήματα όταν το απαιτούν οι συνθήκες που

δόθηκαν αλλά όχι κατά μήκος όλου του πεδίου ορισμού.

Trans – interval stage

Ο μαθητής μπορεί να συντονίσει όλα τα διαστήματα κατά μήκος όλου του πεδίου ορισμού. Μπορεί όταν

είναι απαραίτητο να επικαλύπτει κα να συνδέει γειτονικά διαστήματα. Ο μαθητής επιδεικνύει την συνοχή

του σχήματος όταν μπορεί να περιγράψει τι επηρεάζει το γράφημα και τι όχι όταν συνδέει ή επικαλύπτει

διαστήματα.

Όταν αυτές οι δυο τριάδες συνδυαστούν σε διπλή τριάδα είναι πιθανό να αναλυθεί η αλληλεπίδραση και

των δυο σχημάτων και να περιγραφεί ένα μοναδικό σχήμα το οποίο μπορεί να κληθεί calculus graphing

σχήμα. Παρακάτω δίνεται η genetic decomposition για το σχήμα αυτό.

Ανάπτυξη του calculus graphing σχήματος

Intra – property Intra – interval stage

Ο μαθητής αξιοποιεί απομονωμένες δοσμένες συνθήκες σε απομονωμένα διαστήματα εξηγώντας πως

επηρεάζουν το γράφημα της συνάρτησης. Δεν συντονίζει πολλαπλές συνθήκες σε ένα διάστημα ούτε πολλά

διαστήματα.

Intra – property Inter – interval stage

Ο μαθητής εξηγεί πως μια συνθήκη επηρεάζει τμήματα του γραφήματος της συνάρτησης χρησιμοποιώντας

την σε περισσότερα του ενός διαστήματα του πεδίου ορισμού της συνάρτησης.

Intra – property trans – interval stage

Ο μαθητής εξηγεί με συνέπεια πως μια μόνο ιδιότητα επηρεάζει το γράφημα της συνάρτησης σε όλο το

πεδίο ορισμού της.

15

Inter – property Intra – interval stage

Ο μαθητής συντονίζοντας περισσότερες από μια ιδιότητες σε ξένα διαστήματα, μπορεί να εξηγήσει την

μορφή του γραφήματος στα διαστήματα αυτά. Δεν μπορεί να συνδέσει γειτονικά διαστήματα του πεδίου

ορισμού.

Inter – property Inter – interval stage

Ο μαθητής συντονίζοντας δύο ή περισσότερες ιδιότητες σε τουλάχιστο δύο γειτονικά διαστήματα του

πεδίου ορισμού, μπορεί να εξηγήσει πως επηρεάζεται το γράφημα της συνάρτησης.

Inter – property trans– interval stage

Ο μαθητής συντονίζοντας δύο ή περισσότερες ιδιότητες (αλλά όχι όλες) σε όλο το πεδίο ορισμού, μπορεί με

συνέπεια να σχεδιάσει το γράφημα της συνάρτησης.

Trans – property Intra – interval stage

Ο μαθητής συντονίζοντας όλες τις ιδιότητες σε απομονωμένα διαστήματα μπορεί να εξηγήσει πως

επηρεάζουν το γράφημα της συνάρτησης στα διαστήματα αυτά. Δεν έχει όμως την ικανότητα να δώσει

εξηγήσεις για την μορφή γειτονικών τμημάτων του γραφήματος.

Trans – property Inter – interval stage

Ο μαθητής συντονίζοντας όλες τις ιδιότητες σε πλάτος μέρους αλλά όχι όλου του πεδίου ορισμού μπορεί να

δώσει εξηγήσεις για την μορφή του γραφήματος. Ο μαθητής συνδέει γειτονικά διαστήματα αλλά έχει ακόμα

δυσκολίες σε ορισμένα σημεία.

Trans – property Trans – interval stage

Ο μαθητής συντονίζοντας όλες τις ιδιότητες σε όλο το εύρος του πεδίου ορισμού μπορεί να εξηγήσει την

μορφή του γραφήματος και με συνέπεια να το σχεδιάσει.

Η πρώτη εργασία (Baker et al 2000) έδειξε μεγάλη ποικιλία διαφορών μεταξύ των μαθητών, και η genetic

decomposition αποδείχθηκε χρήσιμο εργαλείο για την περιγραφή με λεπτομέρειες των κατασκευών των

μαθητών.

Στην δεύτερη εργασία (Cooley et al 2007) η χρησιμότητα της genetic decomposition αποδείχθηκε ξανά και

πολλοί μαθητές έδωσαν στοιχεία αποτελεσματικής περιγραφής των σχέσεων και επιτυχούς εξήγησης των

σκέψεων, δείχνοντας ότι είχαν κατασκευάσει το calculus graphing σχήμα στο Trans – property Trans –

interval stage .

16

Και στις δύο εργασίες βρέθηκαν παραδείγματα μαθητών σε κάθε ένα από τα επίπεδα του calculus graphing

σχήματος εκτός από το trans - property intra - interval stage. Από τα αποσπάσματα που παρουσιάζουν

κάποιες από τις απαντήσεις των μαθητών στις συνεντεύξεις έχουμε:

Carol Σχεδίασε το γράφημα κυρίως χρησιμοποιώντας πληροφορίες από την 1η παράγωγο. Κοντά στο

γράφημα κατασκεύασε πίνακα με τα πρόσημα της 2ης παραγώγου αλλά δεν το χρησιμοποίησε.

John Δυσκολεύτηκε να συσχετίσει ιδιότητες κάποιων διαστημάτων όπως επίσης να συσχετίσει

ιδιότητες κατά μήκος γειτονικών διαστημάτων. Σύνδεσε τις συνθήκες στο με το

γράφημα αλλά δεν μπόρεσε να σκεφτεί ότι το γράφημα έχει cusp.

Stacey Χρησιμοποίησε κυρίως την 1η παράγωγο, παρόλο που έγραψε σημειώσεις για την καμπυλότητα

(concavity) και τα σημεία καμπής και χρησιμοποίησε αυτές τις σημειώσεις καθώς σχεδίαζε το

γράφημα. Αν και δούλεψε με τις ενώσεις των διαστημάτων σε όλο το πεδίο ορισμού χρειάστηκε

σημαντική βοήθεια για να συνδυάσει, συσχετίσει, συγχρονίσει την συνθήκη με το όριο και

αντιμετώπισε δυσκολίες να σκεφτεί τις συνθήκες στο . Αν και μπόρεσε να συσχετίσει τις

περισσότερες από τις ιδιότητες δεν τα κατάφερε στα . Δεν μπόρεσε να

μεταφέρει πληροφορίες στο γράφημα αν και τις συσχέτισε λεκτικά.

Η Θεματοποίηση ενός σχήματος

Η θεματοποίηση είναι ο μηχανισμός με τον οποίο ένα σχήμα μετατρέπεται σε αντικείμενο, ώστε να είναι

δυνατό να παρουσιαστούν δράσεις ή να εφαρμοστούν διεργασίες επάνω του. Έτσι η θεματοποίηση ενός

σχήματος επιδεικνύεται από την επίγνωση που έχει ένα άτομο για την γενική συμπεριφορά προβλημάτων

σχετικών με το σχήμα, την ευέλικτη χρήση του σε διαφορετικές καταστάσεις και την ικανότητά του να

παρουσιάζει συνειδητές δράσεις πάνω του.

Υπάρχει μόνο μια εργασία για την θεωρία APOS που εστιάζει στην θεματοποίηση ενός σχήματος (Cooley et

al 2007). Σ αυτή την εργασία, συμμετείχαν 28 φοιτητές που με επιτυχία παρακολούθησαν μαθήματα

ανάλυσης.

Δόθηκαν εννιά προβλήματα. Τα πρώτα οκτώ αναπτύχθηκαν με βάση την genetic decomposition του

calculus graphing σχήματος και ζητούσαν πληροφορίες για το πώς επηρεάζουν το γράφημα της συνάρτησης

η 1η παράγωγος, η 2η παράγωγος, η συνέχεια, οι τιμές κάποιων ορίων και οι σχέσεις μεταξύ όλων αυτών.

Στόχος των οκτώ πρώτων προβλημάτων ήταν οι απαντήσεις και οι τεχνικές των φοιτητών από διάφορες

προοπτικές, να γίνει χρήση διαφόρων αναπαραστάσεων γραφικών και αλγεβρικών, όπως και να

προετοιμαστούν οι φοιτητές για την ένατη ερώτηση. Η ένατη ερώτηση στόχευε να δώσει αποδείξεις

διατήρησης της κατανόησης και θεματοποίησης του σχήματος και δόθηκε μόνο στους φοιτητές που

απάντησαν με επιτυχία στις οκτώ πρώτες ερωτήσεις. Η genetic decomposition του calculus graphing

σχήματος χρησιμοποιήθηκε για να κατηγοριοποιηθούν οι φοιτητές που συμμετείχαν στα επίπεδα της

17

διπλής τριάδας που περιγράψαμε παραπάνω. Όταν ένας φοιτητής κατηγοριοποιηθεί στο trans επίπεδο

τότε μπορεί να έχει θεματοποιήσει το σχήμα και σύμφωνα με τους Asiala et al (1996) μπορεί να στοχαστεί

στο σχήμα σαν να ήταν αντικείμενο όπως και να εφαρμόσει δράσεις πάνω σ αυτό.

Το τελευταίο πρόβλημα που οι φοιτητές έπρεπε να σκεφτούν είναι:

Πρόβλημα 9

a. Σχεδίασε την γραφική παράσταση μιας συνάρτησης που ικανοποιεί τους παρακάτω όρους:

b. Υπάρχουν άλλες γραφικές παραστάσεις που ικανοποιούν τις ίδιες συνθήκες; Δικαιολογήστε την

απάντησή σας.

c. Αν αποσύρουμε την συνθήκη της συνέχειας αλλά οι άλλες συνθήκες παραμείνουν, το γράφημα

αλλάζει;

d. Αν αποσύρουμε όλες τις συνθήκες για την 1η παράγωγο αλλά αφήσουμε τις άλλες συνθήκες, τότε το

γράφημα αλλάζει; Με ποιο τρόπο; Υπάρχουν άλλα πιθανά γραφήματα; Αν υπάρχουν άλλα πιθανά

γραφήματα μπορείτε να σχεδιάσετε ένα παράδειγμα;

e. Αν αποσύρουμε όλες τις συνθήκες για την 2η παράγωγο αλλά οι υπόλοιπες συνθήκες παραμείνουν,

αλλάζει το γράφημα; Με ποιο τρόπο; Υπάρχουν άλλα πιθανά γραφήματα; Αν υπάρχουν άλλα

πιθανά γραφήματα μπορείτε να σχεδιάσετε ένα παράδειγμα;

Οι φοιτητές που κληθήκαν να απαντήσουν στο πρόβλημα 9 βρέθηκαν αντιμέτωποι με τον συγχρονισμό

αρκετών ιδιοτήτων που αλλάζουν σε επικαλυπτόμενα διαστήματα στην προσπάθειά τους να σχεδιάσουν το

γράφημα της συνάρτησης. Οι απαιτούμενες συσχετίσεις φαίνονται σχηματικά παρακάτω:

18

Η κατηγοριοποίηση των φοιτητών φαίνεται στο παρακάτω πίνακα:

Στον πίνακα βλέπουμε ότι ακόμα και οι φοιτητές που θεωρούνταν επιτυχημένοι στα μαθηματικά από τους

εκπαιδευτές τους επέδειξαν το σχήμα της γραφικής αναπαράστασης συνάρτησης στα πρώτα επίπεδα

ανάπτυξής του. Χρησιμοποίησαν τις γνώσεις τους για αναλύσουν επιτυχώς μερικά από τα προβλήματα

αλλά απέτυχαν να ενοποιήσουν όλες τις λεπτομέρειες όταν ήρθαν αντιμέτωποι με σύνθετες καταστάσεις.

Μόνο έξι φοιτητές βρέθηκαν στο επίπεδο trans – trans και θεωρήθηκε ότι στο επίπεδο αυτό είναι πιθανό να

έχει γίνει η θεματοποίηση του σχήματος. Στην θεωρία APOS για να πούμε ότι ένας φοιτητής έχει

θεματοποιήσει ένα σχήμα πρέπει να μπορεί να δράσει πάνω σ αυτό σαν να ήταν αντικείμενο. Σ αυτή την

μελέτη οι φοιτητές θεωρήθηκαν ότι έχουν θεματοποιήσει τα σχήματά τους αν ήταν ικανοί να εξηγήσουν

ξεκάθαρα τι αλλάζει και τι παραμένει αμετάβλητο όταν οι συνθήκες του προβλήματος 9 αλλάξουν. Έτσι από

τους έξι (6) φοιτητές που βρέθηκαν στο trans – property trans – interval επίπεδο, μόνο μια φοιτήτρια

θεωρήθηκε ότι έχει θεματοποιήσει το σχήμα της.

19

Η Susan ήταν μια από τους 5 φοιτητές που ενώ κατατάσσεται στο trans- interval trans-property επίπεδο

αποτυγχάνει να κατακτήσει την θεματοποίηση. Έτσι στο πρόβλημα 9 ενώ συσχετίζει όλες τις δοσμένες

συνθήκες κατά μήκος των διαστημάτων και συνθέτει τους διαφορετικούς μετασχηματισμούς που είναι

απαραίτητοι ώστε να γίνει το γράφημα της συνάρτησης δεν μπόρεσε να απαντήσει για την συμπεριφορά

της συνάρτησης όταν η συνθήκη της συνέχειας έπαψε να ισχύει και είχε δυσκολία να σκεφτεί ποιες

ιδιότητες του γραφήματος θα παραμείνουν αμετάβλητες και ποιες θα αλλάξουν. Αν και είναι συνειδητή

δηλαδή για το calculus graphing σχήμα η ασυνέπεια να παρουσιάσει δράσεις στο σχήμα δείχνει ότι η

θεματοποίηση δεν συνέβη ακόμα.

Μόνο μια από τους 28 φοιτητές η Clara έδωσε στοιχεία θεματοποίησης. Είχε την ικανότητα να περιγράψει

ποιες ιδιότητες της συνάρτησης παρέμειναν αμετάβλητες όταν εισήχθησαν αλλαγές στο πρόβλημα. Εξήγησε

λεπτομερώς τις αλλαγές στο γράφημα από κάθε αλλαγή στο πρόβλημα, πράγμα που δείχνει ότι το σχήμα

ήταν ένα αντικείμενο γι αυτή.

Η Clara έδειξε ότι οι σχέσεις μεταξύ των εννοιών στο σχήμα της ήταν σταθερές και ότι διαφορετικά

κομμάτια του σχήματός της μπορούν να προσπελαθούν και να επανεκτιμηθούν κατάλληλα. Μπορούσε να

δράσει πάνω στο σχήμα ως αντικείμενο. Στις εξηγήσεις της επέδειξε συνειδητό έλεγχο των συνεπειών των

δράσεων. Έτσι οι ερευνητές σκέφτηκαν ότι είναι καθαρά στοιχεία θεματοποίησης του σχήματος.

Το γεγονός ότι ήταν βρέθηκε φοιτητής που θεματοποίησε το calculus graphing σχήμα μας δίνει στοιχεία ότι

η θεματοποίηση ενός σχήματος είναι πιθανή. Επίσης δείχνει ότι είναι πιθανό να βρεθούν στοιχεία

συνειδητής και ευέλικτης χρήσης της μαθηματικής γνώσης από τους φοιτητές, αν και είναι απαραίτητη

περισσότερη έρευνα για να δούμε πόσο κοινό είναι αυτό το επίπεδο κατανόησης.

Ο μόνος φοιτητής σε αυτή την εργασία που έδειξε στοιχεία θεματοποίησης του calculus graphing σχήματος

είχε ήδη παρακολουθήσει τρία μαθήματα calculus και ένα ανάλυσης. Αυτό το στοιχείο δείχνει ότι η

20

θεματοποίηση ενός σχήματος παίρνει χρόνο και ότι πολλές ευκαιρίες στοχασμού και άλλες μαθησιακές

στρατηγικές είναι απαραίτητες για να κατακτηθεί. για να υποστηριχθεί αυτό το συμπέρασμα σίγουρα

χρειάζεται περισσότερη έρευνα.

Βιβλιογραφία

I. Arnon et al., APOS Theory: A Framework for Research and Curriculum Development in Mathematics

Education, DOI 10.1007/978-1-4614-7966-6, © Springer Science & Business Media New York 2014

Baker, B., Cooley, L., & Trigueros, M. (2000). A calculus graphing schema. Journal for Research in

Mathematics Education, 31, 557–578.

Cooley, L., Trigueros, M., & Baker, B. (2007). Schema thematization: A theoretical framework and an

example. Journal for Research in Mathematics Education, 38, 370–392.