Mata Kuliah: MA1001

KALKULUS 1

Tahap Persiapan Bersama (TPB)

Page 2

Deskripsi Mata Kuliah:Mata kuliah ini dimaksudkan untuk memberi kemampuan pada mahasiswa tentang konsep-konsep matematika mengenai: Sistem Bilangan Real dan Pertidaksamaan

Fungsi, Limit, dan Kekontinuan Turunan dan Penggunaannya Anti Turunan dan Integral Tertentu

Teorema Dasar Kalkulus Pertama dan Keduaserta mampu menerapkannya dalam penyelesaian soal/masalah.

Page 3

Capaian Pembelajaran:Setelah mengikuti kuliah ini, mahasiswa diharapkan memiliki: Keterampilan teknis baku yang didukung oleh

konsep, rumus, metode, dan penalaran yang sesuai;

Pola berpikir yang kritis, logis dan sistematis; serta kreativitas dalam pemecahan masalah yang terkait dengan Kalkulus 1;

Kemampuan membaca dan menggunakan informasi  secara mandiri dari sumber‐sumber belajar, khususnya buku teks, untuk dapat menyelesaikan masalah‐masalah terkait.

Kemampuan mengkomunikasikan hasil pemikiran dan pekerjaannya baik secara lisan maupun tulisan;

Kesiapan untuk mempelajari matakuliah lain, yang memerlukan kalkulus sebagai prasyarat, secara mandiri.

Page 4

KEHADIRANsyarat kehadiran 80%, keterlambatan maksimal 10 menit

PERFORMAPakaian sopan, bersih, rapi, dan bersepatu.

PENILAIANTugas Mandiri : 20%Pretest/Postest/Quiz : 20%Ujian Tengah Semester (UTS) : 25%Ujian Akhir Semester (UAS) : 35%

PUSTAKA [1] Dale Varberg, Edwin Purcell and Steve Rigdon, Calculus, Prentice Hall, 2007, 9th ed[2] James Stewart, Calculus, Brooks/Cole Publishing Company, 1999, 4th ed.[3] Thomas, Calculus, Pearson Education, 2005, 11th ed.

Kontrak Perkuliahan:

Page 5

BAB 1. PendahuluanOutline:1.1 Sistem Bilangan Real1.2 Pertidaksamaan1.3 Nilai Mutlak1.4 Akar Kuadrat1.5 Sistem Koordinat dan Garis Lurus1.6 Teknik Menggambar Grafik suatu Persamaan Garis

Page 6

Sistem BilanganNOL Himp. Bilangan

ASLI

Himp. Bilangan CACAH

Himp. Bilangan BULAT NEGATIF

Himp. Bilangan BULAT

Himp. Bilangan PECAHAN

Himp. Bilangan RASIONAL

Himp. Bilangan IRASIONAL

Himp. Bilangan REAL

Himp. Bilangan IMAGINER

Himp. Bilangan KOMPLEKSGambar Diagram Sistem

Bilangan

Page 7

Bilangan Asli dan Bilangan Bulat Sistem bilangan merupakan dasar kalkulus..Apakah itu bilangan real dan bagaimana sifat-sifatnya? Untuk memahami sistem bilangan real, kita akan memulai dengan beberapa sistem bilangan yang sederhana.

Himpunan yang paling sederhana adalah himpunan bilangan asli, dinotasikan dengan N = {1, 2, 3, 4, 5, ...}

Dengan bilangan asli kita biasa menghitung banyaknya buku, kursi, permen, bolpoint, dan lain-lain.

Dalam bilangan asli terdiri dari bilangan 1, bilangan prima dan bilangan komposit.

Gabungan antara himpunan bilangan asli, nol, dan himpunan lawan dari bilangan asli disebut sebagai himpunan bilangan bulat,dinotasikan dengan Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}.

Page 8

Bilangan Rasional dan Irasional

Page 9

Perlu diingat bahwa dalam perhitungan pembagian bilangan real dengan nol tidak pernah diperkenankan karena hubungan dalam bentuk

mengakibatkanJika p ≠ 0, persamaan ini bertentangan dengan sifat perkalian dengan bilangan nol; Jika p = 0, persamaan ini dipenuhi oleh sebarang bilangan y, maka pembagian nol dengan nol tidak mempunyai nilai tunggal. Ini merupakan suatu keadaan yang secara matematik tidak bermakna. Sehingga, bentuk seperti dan

tidak menyatakan suatu nilai dan dikatakan tak terdefinisi.

Pembagian dengan Nol

Page 10

Bilangan RealGabungan himpunan bilangan rasional dan irasional adalah himpunan bilangan real, dinotasikan R.

Berikut ilustrasi hubungan himpunan-himpunan bilangan di atas

Bil. ASLI Bil. BULATBil. RASIONAL

Bil. REAL

Gambar Garis Bilangan

Gambar Hubungan Himpunan Bilangan

Page 11

Bilangan RealAntara dua bilangan real sebarang a dan b, berapapun jaraknya, terdapat suatu bilang real lain, misalnya x1 = (a + b)/2 adalah bilangan real di tengah-tengah a dan b.

Demikian halnya, terdapat bilangan real lain misal x2 yang terletak di antara a dan x1

Terdapat pula bilangan real lain x3 yang terletak di antara x1 dan x2

Hal ini dapat terus berulang tanpa ada habisnya. Sehingga dapat disimpulkan bahwa antara sebarang dua bil real a dan b terdapat takterhingga banyaknya bilangan real

Page 12

Sistem bilangan real dapat diperluas lagi menjadi sistem bilangan komples. Bentuk umum bilangan kompleks berbentuk a + bi dengan a dan b adalah bilangan real dan i = √-1.

Sistem bilangan kompleks akan dibahas lebih jauh dalam mata kuliah lain seperti Analisis kompleks atau Fungsi Peubah Kompleks dan yang berkaitanq.

Dalam Kalkulus domain pembahasannya hanya dalam lingkup sistem bilangan real.

Bilangan Kompleks

Page 13

Kalkulator dan Komputer

Saat ini banyak jenis kalkulator yang sudah mampu melakukan perhitungan operasi dengan angka (numerik), grafik, dan simbol, bahkan sudah mampu mengurai/memfaktorkan bentuk aljabar seperti (x – 3y)12 atau memecahkan akar-akar dari persamaan polinomial seperti x3 – 2x2 + x = 0.

Software komputer seperti Mathlab, Mathematica, Maple dan lainnya dapat melakukan bahkan lebih jauh dari contoh di atas.

Dalam penggunaan kalkulator perlu diketahui kapan kalkulator dan komputer memberikan solusi eksak dan kapan solusi hampiran/pendekatan/perkiraan/aproksimasi.

Page 14

Seringkali dalam permasalahan sehari-hari, penyelesaiannya berupa penyelesaian aproksimasi/hampiran. Tidak semuanya masalah mempunyai penyelesaian eksak.

Dalam bentuk desimal, bilangan irasional tidak dapat disajikan dengan ketepatan yang sempurna, tetapi berupa nilai hampiran.

Contohnya: π yang sering digunakan dengan nilai hampirannya 3,14. Padahal, berapapun banyaknya tempat desimal yang digunakan untuk menghampiri nilai π, bahkan jika ditulis sampai 2000 tempat desimal, itu pun masih merupakan nilai hampiran dari π, bukan nilai sebenarnya. Oleh karena itu π termasuk bilangan irasional

Namun, semakin banyak tempat desimal yang disediakan untuk menulis bilangan irasional, akan semakin mendekati nilai sebenarnya.

Aproksimasi/Perkiraan/Hampiran

Page 15

Contoh 1:Pada gambar garis bilangan di bawah ini, berikan tanda tempat titik-titik 2; -3; -1/2; -2; π; -1,75; dan √2.

Saat menentukan di mana letak titik π dan √2, perlu adanya perkiraan/hampiran desimalnya.

-4

0 4

Page 16

Contoh 2:Misalkan daerah arsiran (region) R pada gambar di samping diputar terhadap sumbu horizontal. Perkirakan volume cincin padat yang dihasilkan. (tidak perlu nilai eksaknya) Penyelesaian:Daerah R panjangnya 3 satuan dan tingginya 0,9 satuan. Sehingga, diperkirakan luasnya 3 (0,9) ≈ 3 satuan persegi. Bayangkan cincin padat yang terbentuk itu di belah dan diletakkan mendatar, akan membentuk sebuah balok sepanjang kira-kira 2πr ≈ 2(3)(6) = 36 satuan. Volume balok adalah luas penampang dikali tinggi. Jadi, kira-kira volume cincin padat itu adalah 3(36) = 108. Jika hasil perkiraan Anda jauh dari

108, teliti kembali jawaban Anda.

Page 17

Pertidaksamaan Contoh pertidaksamaan sederhana:(i) 3x – 18 > 9 (iv) x2 – x – 6 ≤ 0(ii) -5 < 2x + 6 < 4 (v) (x + 1) (x – 1)2(x – 3) ≤ 0(iii) 3x + 7 > 5x – 9 (vi)

Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah mencari semua himpunan bilangan real yang membuat pertidaksamaan itu berlaku. Berbeda dengan persamaan, yang himpunan pemecahannya umumnya terdiri dari satu bilangan atau mungkin sejumlah bilangan berhingga, himpunan pemecahan suatu pertidaksamaan biasanya terdiri dari suatu interval bilangan atau gabungan dari beberapa interval bilangan.

021

xx

Page 18

Himpunan penyelesaian suatu pertidaksamaan akan dapat dinyatakan dalam notasi himpunan damupun dalam bentuk interval.

Himpunan penyelesaian {x | a < x < b} dapat ditulis dengan (a, b)yang menunjukkan interval terbuka yang terdiri semua bilangan real antara a dan b, tidak termasuk titik-titik ujung a dan b.Contoh: (-1, 6) = {x | -1 ≤ x ≤ 6}

Himpunan penyelesaian {x | a ≤ x ≤ b} dapat ditulis dengan [a, b]yang menunjukkan interval tertutup yang terdiri semua bilangan real antara a dan b, termasuk titik-titik ujung a dan b.Contoh: [-1, 5] = {x | -1 ≤ x ≤ 5}

Interval

Page 19

IntervalTabel berikut menunjukkan beberapa macam interval:

Page 20

Menyelesaikan Pertidaksamaan Prosedur menyelesaikan pertidaksamaan adalah mengubah pertidaksamaan satu langkah demi satu langkah hingga diperoleh himpunan penyelesaiannya jelas.

Dapat dilakukan operasi-operasi tertentu (tambah, kurang, kali, bagi, akar, pangkat) pada kedua ruas pada suatu pertidaksamaan. Perlakuan pada kedua ruas harus sama. Ingat! Tidak ada operasi coret dalam operasi hitung. Itu hanya istilah teknik/cara saja

Contohnya: Kedua ruas ditambah atau dikurangi dengan suatu bilangan

Kedua ruas dikali atau dibagi dengan suatu bilangan positif

Jika kedua ruas dikali atau dibagi dengan bilangan negatif, tanda pertidaksamaan harus berbalik arah

Page 21

Contoh 3:Selesaikan pertidaksamaan 2x – 7 < 4x – 2 dan tunjukkan garis bilangan himpunan penyelesaiannya.Penyelesaian: 2x – 7 < 4x – 2 2x < 4x – 2 + 7 (kedua ruas ditambah 7) 2x – 4x < 5 (kedua ruas dikurangi 4x atau ditambah -4x) – 2x < 5 x > -5/2 (kedua ruas dibagi -2 atau dikali -1/2) Himpunan penyelesaiannya = {x | x > -5/2} atau ditulis dalam bentuk interval (-5/2, ∾) atau dapat juga ditunjukkan dengan garis bilangan

Page 22

Contoh 4:Selesaikan pertidaksamaan -5 ≤ 2x + 6 < 4 dan tunjukkan garis bilangan himpunan penyelesaiannya.Penyelesaian: -5 ≤ 2x + 6 < 4 -5 – 6 ≤ 2x < 4 – 6 (kedua ruas dikurangi 6) -11 ≤ 2x < -2

≤ x < -2/2 (kedua ruas dibagi -2 atau dikali -1/2)

≤ x < -1

Himpunan penyelesaiannya = {x | -11/2 ≤ x < -1} atau ditulis dalam bentuk interval [-11/2, -1) atau dapat juga ditunjukkan dengan garis bilangan

211

211

Page 23

Contoh 6:Selesaikan pertidaksamaan kuadrat x2 – x < 6Penyelesaian:Pertama, pindahkan semua suku bukan nol ke salah satu ruas dan faktorkan. x2 – x < 6 x2 – x – 6 < 0 (dikurangi 6) (x + 2)(x – 3) < 0 (faktorkan)Ingat bahwa, x – a bernilai positif untuk x > a dan bernilai negatif untuk x < a

Berdasarkan hasil uji titik tersebut, maka himpunan penyelesaiannya adalah{x | -2 < x < 3} atau ditulis (-2, 3)

Page 24

Contoh 7:Selesaikan pertidaksamaan kuadrat 3x2 – x – 2 > 0Karena, 3x2 – x – 2 = (x – 1)(3x +2) = 3(x – 1)(x +2/3) Jadi, titik pemisahnya adalah 1 dan -2/3Bisa dipilih titik uji x = -1, x = 0, dan x = 2 Diperoleh informasi seperti gambar di samping:

Penyelesaian:

Berdasarkan hasil uji titik tersebut, makahimpunan penyelesaiannya adalah {x | x < -2/3 ⋃ x > 1 } atau ditulis dalam interval (-∾, -2/3) ⋃ (1, ∾)

Page 25

Contoh 8:Selesaikan pertidaksamaan (x +1) (x – 1)2 (x – 3) ≤ 0

Amati, hasil bagi tersebut berubah tanda pada x = -1, 1, dan 3 Dapat diambil titik uji x = -2, x = 0, x = 2, dan x = 4. Berdasarkan hasil uji titik tersebut diperoleh

Penyelesaian:

Berdasarkan hasil uji titik tersebut diperoleh himpunan penyelesaian = [-1, 1] ⋃ [1, 3] = [-1, 3]

Page 26

Contoh 9:Selesaikan pertidaksamaan

Hati-hati. Jangan langsung kalikan kedua ruas dengan (x +2) karena (x + 2) mungkin bernilai positif atau negatif, sehingga harus mempertimbangkan apakah tanda pertidaksamaan perlu dibalik atau tidak. Sehingga harus mengurai dua permasalahan. Lebih mudah jikamengamati hasil bagi tersebut berubah tanda pada x = 1 dan x = -2.Dapat diambil titik uji x = -3, x = 0, dan x = 2. Pada x = 2, nilai menjadi tak terdefinisi. Jadi, x = 2 tidak masuk dalam himpunan penyelesaian.Berdasarkan hasil uji titik tersebut diperoleh himpunan penyelesaian = (-∾, -2) ⋃ [1, ∾)

021

xx

Penyelesaian:

21

xx

Page 27

Contoh 10:Selesaikan pertidaksamaan 1,319,2

xPenyelesaian:Jangan langsung kalikan kedua ruas dengan x karena mungkin x bernilai positif atau negatif, sehingga harus mempertimbangkan apakah tanda pertidaksamaan perlu dibalik atau tidak.

Tetapi, dalam kasus ini berada di antara 2,9 dan 3,1 menjamin bahwa x positif (tidak perlu membalik tanda pertidaksamaan) 2,9x < 1 < 3,1x ⇔ 2,9x < 1 dan 1 < 3,1x

⇔ dan

⇔

⇔ Jadi, HP =

x1

9,21

1,31

x

x1,31

9,21

x

2910

3110

x

2910,31

10

Page 28

Nilai Mutlak Konsep nilai mutlak sangat berguna dalam Kalkulus.

Nilai mutlak suatu bilangan real x, dinyatakan dengan |x|, didefinisikan sebagai

|x| = x jika x ≥ 0 |x| = -x jika x < 0

Misalnya |7| = 7, |0| = 0, dan |-4| = -(-4) = 4

Salah satu cara terbaik menganalogikan nilai mutlak adalah dengan konsep jarak (tak berarah).

|x| adalah jarak antara titik x dengan 0 (titik asal).

|x - a| adalah jarak antara titik x dengan titik a.

Page 29

Sifat-sifat Nilai Mutlak

Nilai mutlak tidak menimbulkan masalah dalam operasi perkalian dan pembagian, tetapi tidak demikian dalam operasi penjumlahan dan pengurangan

Sifat nilai mutlak:1) |ab| = |a||b|2)

3) |a + b| ≤ |a| + |b| (pertidaksamaan segitiga)

4) |a – b| ≥ ||a| – |b||5) |a| < |b| ⇔ a2 < b2

ba

ba

Page 30

Pertidaksamaan yang melibatkan Nilai Mutlak Jika |x| < 3, maka jarak antara x dengan titik asal harus lebih kecil dari 3. Dengan kata lain, x lebih besar dari -3 dan lebih kecil dari 3; yaitu -3 < x < 3.

Jika Jika |x| > 3, maka jarak antara x dengan titik asal harus lebih besar dari 3. Ini dapat terjadi jika x lebih besar dari 3 atau x lebih kecil dari -3; yaitu x < -3 atau x > 3.

|x| < a ⇔ –a < x < a

| x| > a ⇔ x < -a atau x > a

Page 31

Contoh 11:Selesaikan pertidaksamaan |x – 4| < 2 dan tunjukkan penyelesaiannya pada garis bilangan. Intrepretasikan nilai mutlak tersebut sebagai suatu jarak.

Berdasarkan definisi nilai mutlak, maka|x – 4| < 2 ⇔ -2 < x – 4 < 2

⇔ -2 + 4 < x < 2 + 4⇔ 2 < x < 6

Dalam bentuk jarak, lambang |x – 4 | < 2 menyatakan jarak antara x dengan 4 harus lebih kecil dari 2. Bilangan x yang memenuhinya adalah 2 < x < 6. Dapat juga dinyatakan dalam bentuk interval (2, 6).

Penyelesaian:

Page 32

Contoh 12:Selesaikan pertidaksamaan |3x – 5| ≥ 1 dan tunjukkan penyelesaiannya pada garis bilangan.

Berdasarkan definisi nilai mutlak, maka |3x – 5| ≥ 1 ⇔ 3x – 5 ≤ -1 atau 3x – 5 ≥ 1

⇔ 3x ≤ 4 atau 3x ≥ 6 ⇔ x ≤ 4/3 atau x ≥ 2

Himpunan penyelesaian dari |3x – 5| ≥ 1 adalah gabungan dua interval (-∾, 4/3] ⋃ [2, ∾)Dapat dinyatakan dalam garis bilangan:

Penyelesaian:

Page 33

Contoh 13:Misalkan ε (epsilon) adalah bilangan positif. Tunjukkan bahwa

Dalam konteks jarak, ini berarti jarak antara x dan 2 lebih kecil dari ε/5 jika dan hanya jika jarak 5x dan 10 daripada ε.

Penyelesaian:

10552 xx

10552 xx

105)2(525

xxx

(kedua ruas dikalikan 5)(|5| = 5)(|a||b| = |ab|)

Page 34

Contoh 14:Misalkan ε (epsilon) adalah bilangan positif. Carilah bilangan positif δ(delta) sedemikian hingga

Penyelesaian: 1863 xx

)3(6 x (faktorkan)

(|6| = 6)(|ab| = |a||b|)

186x

(kedua ruas dibagi 6)63

x

36x 36 x

Jadi, kita pilih δ = ε/6. Dengan mengikuti implikasi mundur, terlihat bahwa

186633 xxx

Page 35

Contoh 16:Sebuah beker gelas ½ liter (500 cm3)mempunyai jari-jari dalam 4 cm. Seberapa dekat kita harus mengukur tinggi air h dalam gelas untuk meyakinkan kita mempunyai ½ liter air dengan galat lebih kecil dari 1%, yakni galat lebih kecil dari 5 cm3?

Penyelesaian: Volume air dlm gelas = V = πr2h = 16πh

1,009947,0947,9165

16500

51650016

51650016

51650016

h

h

h

h

h

550016 h

Jadi, kita harus mengukur tinggi air tersebut sampai ketelitian sekitar 0,1 cm

Page 36

Contoh 17:Selesaikan pertidaksamaan

Penyelesaian:

623 xx

Gunakan sifat |a| < |b| ⇔ a2 < b2

|x + 3| < 2|x – 6| ⇔ |x + 3| < |2x – 12| ⇔ (x + 3)2 < (2x – 12)2

⇔ 9x2 + 6x + 1 < 4x2 + 48x + 144 ⇔ 5x2 + 54x – 143 < 0

⇔ (x + 13)(5x – 11) < 0Titik pemisah pertidaksamaan ini adalah adalah -13 dan 11/5.Titik tersebut membagi garis bilangan menjadi tiga interval (-∾, -13), (-13, 11/5), dan (11/5, ∾)Pilih titik uji, misalnya -14, 0 dan 3, akan diperoleh bahwa himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah dalam interval(-13, 11/5).

Page 37

Latihan Mandiri

Latihaan Soal di buku Dale Varberg, Edwin Purcell and Steve Rigdon, Calculus, Prentice Hall, 2007, 9th edProblem Set 0.1 page 6 – 7 Problem Set 0.2 page 14 – 16

Siapkan diri pertemuan berikutnya Pretest/Postest/Quiz...

...... .....