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UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO MARIA LÚCIA TAVARES DE CAMPOS

DISCURSOS SOBRE CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL

REAL EM AMBIENTE VIRTUAL COLABORATIVO: UMA PERSPECTIVA DA COGNIÇÃO CORPORIFICADA

SÃO PAULO 2014

MARIA LÚCIA TAVARES DE CAMPOS DOUTORADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

DISCURSOS SOBRE CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL EM AMBIENTE VIRTUAL COLABORATIVO:

UMA PERSPECTIVA DA COGNIÇÃO CORPORIFICADA

Tese apresentada à Banca Examinadora do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da Universidade Anhanguera de São Paulo como exigência parcial para a obtenção do grau de Doutor em Educação Matemática, sob a orientação da Professora Dra. Janete Bolite Frant.

SÃO PAULO 2014

Autorizo a reprodução e divulgação total ou parcial deste trabalho, por qualquer meio convencional ou eletrônico, para fins de estudo e pesquisa, desde que citada a fonte.

C214d Tavares de Campos, Maria Lúcia. Discursos sobre continuidade de funções reais de variável real em

ambiente virtual colaborativo: uma perspectiva da cognição corporificada. / Maria Lúcia Tavares de Campos. – São Paulo: Universidade Anhanguera de São Paulo – UNIAN, 2014.

xviii, 508 p.: il.; 30cm. Tese (Doutorado em Educação Matemática)–Coordenadoria de Pós-

Graduação, Universidade Anhanguera de São Paulo – UNIAN, 2014.

Orientadora: Professora Dra. Janete Bolite Frant. Referências bibliográficas: p. 475 – 490.

1. Função. 2. Continuidade. 3. Cálculo diferencial. 4. Cognição

Corporificada. 5. MEA. 6. Aprendizagem colaborativa. 7. Ambiente virtual de aprendizagem. I. Frant, Janete Bolite. II. Universidade Anhanguera de São Paulo. III. Título.

CDD 510.9

FOLHA DE APROVAÇÃO

TAVARES DE CAMPOS, Maria Lucia. DISCURSOS SOBRE CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS

DE VARIÁVEL REAL EM AMBIENTE VIRTUAL COLABORATIVO: UMA PERSPECTIVA DA

COGNIÇÃO CORPORIFICADA. Tese apresentada ao Programa de Pós-Graduação em

Educação Matemática da Universidade Anhanguera de São Paulo como requisito parcial para

obtenção do título de Doutora em Educação Matemática, sob a orientação da Profa. Dra.

Janete Bolite Frant.

Aprovada em: 29/08/2014

BANCA EXAMINADORA

___________________________________________________________________________

Orientadora: Profa. Dra. Janete Bolite Frant Universidade Anhanguera de São Paulo – UNIAN – São Paulo – SP

___________________________________________________________________________

Prof. Dr. Arthur Belfort Powell Rutgers University – New Brunswick – New Jersey

___________________________________________________________________________

Profa. Dra. Monica Karrer Universidade Anhanguera de São Paulo – UNIAN – São Paulo – SP

___________________________________________________________________________

Profa. Dra. Monica Rabello Castro Universidade Estácio de Sá – UNESA – Rio de Janeiro – RJ

___________________________________________________________________________

Prof. Dr.Wanderley Moura Rezende Universidade Federal Fluminense – UFF – Niterói – RJ

Ao meu pai, Manoel Tavares de Campos (in memoriam), o grande responsável por essa conquista,

a minha verdadeira estrela-guia.

À minha filha, Júlia (in memoriam), lindo amor da minha vida,

minha grande fonte de inspiração.

À minha mãe, doçura e simplicidade que cativam. Mulher simples, que me ensinou a ler e escrever.

Minha primeira professora.

Aos meus filhos, Felipe e Gabriel, preciosidades da minha vida.

Ao meu marido Abramo Hefez,

grande exemplo de ser humano e de profissional.

AGRADECIMENTOS

A Deus, que me deu forças para trilhar esse caminho, permitindo que eu aprendesse tanto, como

educadora e como pessoa, e continuasse acreditando, que a superação é possível, e que sempre temos muito a

contribuir nessa vida.

À minha orientadora Profa. Dra. Janete Bolite Frant, pelo seu acolhimento incondicional, pelo

entusiasmo e alegria contagiantes ao conduzir nossos grupos de estudos e nossos momentos de orientação.

Quanto aprendizado! Obrigada pela compreensão, pela força, pelo carinho, minha querida orientadora e

amiga.

Aos professores membros da Banca de Defesa dessa tese: Prof. Dr. Arthur Powell, Profa. Dra. Monica

Karrer, Profa. Dra. Monica Rabello Castro, Prof. Dr. Wanderley Moura Rezende por aceitarem fazer parte

desse trabalho e pelas valiosas contribuições. E a Profa. Dra. Rosana Nogueira de Lima, membro da Banca de

Qualificação pela leitura cuidadosa do trabalho apresentado para a qualificação e pelas valiosas sugestões e

correções propostas.

À Profa. Dra. Tânia Maria Mendonça Campos pela dedicação e competência na condução do

Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da Universidade Anhanguera de São Paulo, nos

dando a oportunidade de conviver com pesquisadores de renome na área da Educação Matemática.

A todos os professores do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática pelo entusiasmo e

competência na condução das disciplinas e pela atmosfera acolhedora que sempre nos propiciaram.

Aos funcionários técnicos administrativos pela simpatia e eficiência, sempre dando soluções aos

nossos questionamentos e em especial ao Guilherme, cuja serenidade e competência nos ajudaram sempre.

À UNIBAN pela bolsa de tutoria que financiou parte desse estudo.

À UFF e em especial aos meus colegas do GMA, por me concederem a oportunidade de me afastar

para realizar meus estudos.

À nossa “turma” de doutorado: Ana Lúcia Junqueira, Andreia Maciel, Cláudia Carvalho, Cristina

Polito, Edite Resende Vieira, Fabiane Marcondes. Encontramo-nos em um dia chuvoso, enquanto

aguardávamos a entrevista de ingresso no programa e ao longo de quatro anos fomos estreitando laços e nos

apoiando, compartilhando momentos de muito trabalho, mas também de muitas alegrias.

Em especial, agradeço à minha querida amiga de tantos anos, Ana Lúcia Junqueira. Agradeço o

acolhimento, a força de sempre, a sua energia, com ela aprendi muito e sem ela, essa caminhada, com certeza,

teria sido muito mais difícil.

Ao professor e querido amigo, Dr. Wanderley Moura Rezende, que em inúmeras conversas durante o

cafezinho no GMA, me mostrou, com muito entusiasmo, o caminho da Educação Matemática e da UNIBAN e

gentilmente permitiu que eu aplicasse minhas atividades aos seus alunos da disciplina Funções, do Curso de

Especialização em Educação Matemática do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade Federal

Fluminense.

Agradeço aos alunos, e também professores, Alequice, Carolzinha, Cateto, Cranio,

Fernanda, Galois, Glasm, Johnny, Kaka, May, Nina, Peu, Suzana, Vmais

participantes da nossa pesquisa, pelo entusiasmo, seriedade e envolvimento nas tarefas. Eles tornaram os

nossos encontros prazerosos. Com eles aprendi muito.

A minha amiga Sonia Krapas, por me fazer acreditar que esse projeto era possível, por todo apoio e

carinho.

Ao meu marido, Abramo Hefez e aos meus filhos, Felipe e Gabriel por administrarem tão longa

ausência. Sei que não foi fácil.

Aos amigos e parentes, que mesmo sem entender muito bem, a complexidade dessa empreitada,

torciam por mim.

Muito obrigada...

“A utopia está lá no horizonte.

Me aproximo dois passos, ela se afasta dois passos.

Caminho dez passos e o horizonte corre dez passos.

Por mais que eu caminhe, jamais alcançarei.

Para que serve a utopia?

Serve para isso:

para que eu não deixe de caminhar.”

Eduardo Galeano

RESUMO

O objetivo dessa pesquisa é investigar e analisar a produção de significados para continuidade de funções reais de variável real por licenciados em Matemática, enquanto interagiam em um ambiente virtual colaborativo. Para compor o cenário de pesquisa escolheu-se a plataforma Virtual Math Team – VMT, plataforma desenhada para permitir que estudantes de Matemática trabalhem de forma colaborativa. O VMT é um ambiente educacional colaborativo e auxilia professores e pesquisadores a melhor compreender como um grupo de pessoas pensam, tomam decisões, resolvem problemas e aprendem por meio da aprendizagem colaborativa apoiada por computador – CSCL. Duas questões principais orientaram essa pesquisa: identificar e analisar os aspectos que favorecem ou não a evolução dos discursos neste ambiente virtual e, que significados relacionados à noção de continuidade são produzidos pelos participantes? A pesquisa é qualitativa e baseada no design, o Design Experiment, uma metodologia que tem um caráter pragmático, assim como teórico e é interativa, iterativa e flexível onde é previsto um cenário inicial, que incorpora as características tecnológicas, os recursos instrucionais e estratégias de ensino para permitir o discurso entre os participantes. E este cenário é modificado de acordo com as análises parciais. A pesquisa foi realizada em três fases: primeira, levantamento bibliográfico e elaboração das tarefas – a fase prospectiva; segunda, implementação das tarefas, análises parciais e reflexão; e terceira, análise final. A coleta de dados ocorreu de modo virtual e presencial e incluiu planilhas (Logs) e vídeos gerados pelo VMT. As ideias do Modelo de Estratégia Argumentativa – MEA (CASTRO; BOLITE FRANT, 2011), da Metáfora do Participacionismo (SFARD, 2008), da Teoria da Cognição Corporificada (LAKOFF; JONHSON, 1980, 1999; LAKOFF; NÚÑEZ, 2000) apoiaram a análise dos dados. Após a análise dos diálogos produzidos pelos participantes da pesquisa constatou-se a interação entre eles, a troca de ideias, a formulação de conjecturas, a exposição de raciocínios, a defesa de convicções, o compartilhamento de soluções. Pode-se afirmar que o VMT atendeu as expectativas da pesquisa, de colocar o aluno no papel de protagonista da produção coletiva do conhecimento, negociando significados, socializando as informações, envolvendo-se em um discurso matemático para aprender matemática (SFARD, 2008). Alguns dos significados matemáticos produzidos, enquanto os participantes trabalhavam nas questões das tarefas propostas foram: uma função é uma relação em que algo age em função de outro algo, função bem definida é contínua, uma função é contínua em um ponto, se o limite da função

nesse ponto é igual ao valor da função no ponto, podemos desenhar uma função contínua tirando o lápis do papel. Destacou-se a seguinte montagem: Função Por Partes é Função Composta e a seguinte argumentação: a definição por épsilons e deltas é um malabarismo para se chegar a um resultado que pode ser visto intuitivamente. Essa investigação buscou contribuir com a literatura da área e viabilizou novas abordagens para o ensino de Cálculo Diferencial, mais especificamente para o ensino de continuidade de funções reais.

Palavras-chave: Função. Continuidade. Cálculo Diferencial. Cognição Corporificada. MEA. Aprendizagem Colaborativa. Ambiente Virtual de Aprendizagem.

ABSTRACT

The aim of this research is to investigate and analyze meaning production for continuous real function by mathematics teacher while interacting in a virtual collaborative environment. To compose the research scenario, we chose the Math Virtual Team – VMT, a platform designed to allow Math students to work in a collaborative way. The VMT was developed as a collaborative educational ambient and it helps teachers and researchers to better understand how a group of people think, take decisions, solve problems and learn through a Computer-Supported Collaborative Learning – CSCL. Two main questions guided this research: identify and analyze aspects that favour or not the evolution of discourse within this virtual ambient and, what meanings related to the notion of continuity are produced by the participants? This research is qualitative and based on design experiment, a methodology that has pragmatic as well as a theoretical character, and is interactive, iteractive and flexible, where an initial scenario is forecasted to incorporate technological characteristics, instructional resources and teaching strategies to allow discourse among participants. And this scenario is changeable according to partial analysis. This research was conducted in three phases: a bibliographic search, tasks and scenario first elaborations – the prospective phase; second, the tasks implementation; partial analysis and reflection; and third final analysis. The data collection was carried out in virtual and presential modes and includes worksheets (Logs) and videos generated by VMT. The ideas from the Argumentative Strategy Model – MEA (CASTRO; BOLITE FRANT, 2011), from the Participationism Metaphor (SFARD, 2008), the Corporified Cognition Theory (LAKOFF; JONHSON, 1980, 1999; LAKOFF; NÚÑEZ, 2000), supported the data analysis. After the analysis of the dialogs produced by the participants of the research we noticed that the interaction among them, the ideas exchange, the conjectures formulation, the expositions of reasoning, the defense of convictions, the solutions sharing, were present. It is possible to affirm that the VMT corresponded to the expectation of the research to put the student in a protagonist role in the collective production of knowledge, negotiating meanings, socializing information, participating from a mathematical discussion to learn mathematics (SFARD, 2008). Some of the mathematical meanings produced while the participants were working on the questions from the proposed tasks were: a function is a relation in which something acts as a function of something else, a well-defined function is continuous, a function is continuous at a point if the limit of the function at that point is equal to the value of the function at the point, we can draw a continuous function taking off the pencil from the paper. We highlight the following blend: A piecewise defined function is a composite function and the following argumentation: the epsilon-delta definition is a juggling to reach a result that can be seen intuitively. This investigation aimed to contribute to the literature in the field and allows new approaches for the teaching of Differential Calculus, more specifically for the teaching of the continuity concept of real functions.

Key-words: Function. Continuity. Differential Calculus. Corporified Cognition. MEA. Collaborative learning, Virtual Learning Environment.

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO .................................................................................................................. 19

O PROBLEMA DA PESQUISA .................................................................................................. 25

ESTRUTURA DO TRABALHO DE PESQUISA ............................................................................ 25

1 UM OLHAR RETROSPECTIVO .......................................................................................... 27

1.1 SOBRE A EVOLUÇÃO DA IDEIA MATEMÁTICA DE CONTINUIDADE E DE FUNÇÃO – UMA

PERSPECTIVA HISTÓRICA ...................................................................................................... 27

1.1.1 Pressupostos da Noção de Função ....................................................................................... 28

1.1.2 A Análise e a Síntese de Descartes ....................................................................................... 29

1.1.3 Newton e Leibniz .................................................................................................................. 30

1.1.4 A Noção de Função e de Continuidade ................................................................................ 32

1.2 REVISÃO DE LITERATURA E O ENSINO DO CÁLCULO ...................................................... 54

1.2.1 Reflexões sobre o Ensino do Cálculo .................................................................................... 55

1.2.2 O Ensino de Cálculo: Investigações sobre o Ensino e a Aprendizagem de Limite ................ 67

1.2.3 O Ensino do Cálculo: Investigações sobre o Ensino e a Aprendizagem de Continuidade .... 83

1.3 A ABORDAGEM DO CONCEITO DE CONTINUIDADE EM ALGUNS LIVROS TEXTOS ....... 123

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ........................................................................................ 149

2.1 CONHECIMENTO E LINGUAGEM. CONCEITO ................................................................ 149

2.2 O MODELO DA ESTRATÉGIA ARGUMENTATIVA – MEA ................................................ 153

2.3 A TEORIA DA COGNIÇÃO CORPORIFICADA ................................................................... 157

2.4 MONTAGEM CONCEITUAL ............................................................................................ 165

2.5 O AMBIENTE VIRTUAL DE APRENDIZAGEM .................................................................. 174

3 METODOLOGIA E PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS ................................................. 189

3.1 FASE 1: FASE PROSPECTIVA .......................................................................................... 194

3.2 FASE 2: IMPLEMENTAÇÃO DAS TAREFAS ..................................................................... 195

3.3 PARTICIPANTES DA PESQUISA ...................................................................................... 197

3.4 O AMBIENTE E A DINÂMICA DOS ENCONTROS ............................................................ 202

3.5 COLETA DOS DADOS: COMO OCORREU? ..................................................................... 206

3.6 ANÁLISE DOS DADOS .................................................................................................... 207

4 DESENVOLVIMENTO DE APPLETS ................................................................................. 209

4.1 APPLET 1: “EIXOS PARALELOS – CONHECENDO A FUNÇÃO”. A RELAÇÃO ENTRE 𝑥 e 𝑓𝑥

ATRAVÉS DE EIXOS PARALELOS .......................................................................................... 211

4.2 APPLET 2: EIXOS PARALELOS E EIXOS CARTESIANOS – CONSTRUINDO O GRÁFICO DA

FUNÇÃO. A RELAÇÃO ENTRE 𝑥 e 𝑓𝑥 ATRAVÉS DE EIXOS PARALELOS E DE UM SISTEMA DE

EIXOS CARTESIANOS ........................................................................................................... 213

4.3 APPLET 3: O PROBLEMA DO MONGE ........................................................................... 214

5 FASE 3: ANÁLISE POR ENCONTRO E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS ................................ 217

5.1 PRIMEIRO ENCONTRO – TAREFA de Familiarização e Ambientação ........................... 217

Questão da Tarefa: Conhecendo o VMT. Trabalhando na Sala de Aula ...................................... 219

Questão da Tarefa: VMT a distância – uma familiarização ......................................................... 223

5.2 SEGUNDO ENCONTRO. TAREFA 1: Funções. Uma visualização com Eixos Paralelos .. 234

Questão da Tarefa 1 .................................................................................................................... 236

5.3 TERCEIRO ENCONTRO. TAREFA 2: Eixos Paralelos e Eixos Cartesianos. Conhecendo e

Agrupando Funções ............................................................................................................ 256

Questão Tarefa 2: ........................................................................................................................ 257

5.4 QUARTO ENCONTRO. TAREFA 3: Continuidade. O que é isso? ................................... 274

Questão 1 da Tarefa 3 ................................................................................................................. 275




5.5 QUINTO ENCONTRO: TAREFA 4: O aluno: o VMT e a continuidade ............................ 357

Questão (I) da Tarefa 4 ................................................................................................................ 359

Questão (II) da Tarefa 4 ............................................................................................................... 386

Questão (II) da Tarefa 4 – Item(1) ............................................................................................... 386



6 DISCUSSÕES FINAIS ..................................................................................................... 419

6.1 O VMT NA NOSSA PESQUISA ........................................................................................ 420

6.2 FUNÇÃO CONTÍNUA. AFINAL O QUE É ISSO? ............................................................... 437

CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................................. 465

REFERÊNCIAS ................................................................................................................. 475

APÊNDICE A – As questões analisadas na pesquisa .......................................................... 491

APÊNDICE B – Instruções de acesso à plataforma VMT .................................................... 500

APÊNDICE C – Modelo dos termos de consentimento ...................................................... 505

19

INTRODUÇÃO

Essa pesquisa teve como objetivo investigar e analisar a produção de significados

para continuidade de funções reais de uma variável real, por licenciados em Matemática, em

um ambiente virtual colaborativo.

Esse tema de pesquisa surgiu da minha experiência profissional de mais de 20 anos

como docente no Ensino Superior. Os alunos apresentam uma enorme dificuldade nas

primeiras disciplinas de Cálculo Diferencial e os índices de reprovação e de abandono são

altíssimos, chegando a ser acima de 70%1 em algumas turmas, principalmente de alunos dos

Cursos de Matemática, Física e Estatística. A dificuldade já é evidente na compreensão do

conceito de função. Um grande número de alunos de Pré-Cálculo e de Cálculo I quando

solicitados a esboçar um gráfico de função com determinadas características, raramente

apresenta gráficos de funções com alguma “descontinuidade”, mesmo quando as

características exigidas permitem isso. A forte tendência desses alunos é pensar função em

termos de função “contínua”. Função contínua? Descontinuidade? Esses conceitos suscitam

boas discussões entre os professores de Cálculo, que raramente chegam a um consenso

sobre como abordar esse tema em suas aulas. O que observamos, finalmente, é que o

ensino de continuidade é feito de forma superficial e a falta de produção de significado para

continuidade por parte dos alunos leva a uma grande dificuldade na compreensão de

teoremas importantes do Cálculo Diferencial e Integral e de outras disciplinas de diferentes

cursos.

Analisamos alguns livros textos de Cálculo: Anton, Bivens e Davis (2007), Thomas et al.

(2002), Stewart, J. (2009), Edwards e Penney (1997), Hughes-Hallett et al. (2008), Guidorizzi

(1985) e constatamos que entre os autores desses livros não há uma escolha única sobre

como “contar” para os alunos o que é uma função contínua. O tema é abordado de

diferentes formas que, segundo os autores, são “mais intuitivas” ou “menos intuitiva”, são

“mais rigorosas” ou “menos rigorosas”.

Na comunidade acadêmica em geral encontramos uma grande preocupação com o

rendimento dos alunos nas disciplinas de Cálculo, não só quanto ao número de aprovação e

1 Esse índice foi encontrado num levantamento feito pela pesquisadora, em turmas de Cálculo I dos anos 2005, 2006 e 2007 e encontram-se nos arquivos do Departamento de Matemática Aplicada da UFF.

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reprovação, mas também quanto à compreensão dos conceitos, que são apresentados. O

ensino de Cálculo tem sido um tema muito abordado nas pesquisas de Educação

Matemática. No III Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática (SIPEM)

em 2006, 62% dos trabalhos apresentados ao Grupo de Trabalho em Educação Matemática

no Ensino Superior da SBEM (GT 4) tratavam do Ensino de Cálculo e de Análise. Em 2009, no

IV SIEPEM esse percentual foi de 48%, um percentual igualmente alto.

Os conceitos de limite e continuidade, que são de fundamental importância para o

ensino de Análise Matemática e de várias disciplinas de áreas como Física, Engenharia,

Economia, Administração, têm sido foco da atenção de muitos pesquisadores em Educação

Matemática. Ainda é válida a afirmação de Tall e Vinner (1981a), que o tópico Funções

Contínuas é a verdadeira besta negra (bête noire) da Análise. Esses conceitos são conhecidos

na Educação Matemática como conceitos difíceis, ardilosos para professores ensinarem e

para alunos aprenderem.

Algumas pesquisas que encontramos na literatura matemática nacional e

internacional (TALL; VINNER, 1981a; HITT, 1994, 1998; HITT; PLANCHART, 1998; REZENDE,

2003a; MASTORIDES; ZACHARIADES, 2004) destacam dificuldades de alunos e também de

professores na compreensão do conceito de continuidade e mesmo no conceito de função.

Minha experiência com alunos de Pré-Cálculo e de Cálculo I corrobora esta ideia.

Com essas inquietudes, chego ao doutorado e reflexões possibilitadas por discussões

que aconteciam num grupo de estudos sobre a Teoria da Cognição Corporificada

(Embodiment), me levaram a pensar sobre a minha prática docente e a querer investigar o

tema continuidade sob a ótica dessa teoria. Segundo Lakoff e Núñez (1998), a ciência

cognitiva tem mostrado que as ideias surgem e são moldadas pelo corpo e pela mente e a

experiência humana do dia a dia.

Segundo Núñez, Edwards e Matos (1999), a Teoria da Cognição Corporificada

(Embodiment) utiliza as ferramentas da linguística cognitiva para analisar o conceito de

continuidade e oferece respostas férteis para esse o tema.

Para Núñez (2003, 2009) existem dois conceitos de continuidade, a continuidade

natural, que é caracterizada por um processo contínuo, sem buracos, sem interrupções ou

mudanças bruscas, que surge no Século XVII e que deu conta de todos os objetos

matemáticos existentes até o Século XIX e a definição por e 𝛿 , adotada por Weierstrass no

21

Século XIX, demanda outros mecanismos cognitivos, como as ideias de preservação de

proximidade e ausência de movimento.

A continuidade natural é chamada por muitos, de “intuitiva” e “não-rigorosa” e a

definição por e 𝛿 de “rigorosa”, aquela que generaliza o conceito de continuidade natural

e que muitas vezes é reivindicada como a essência da ideia de continuidade.

Para Núñez (2003, 2009) essas definições são ideias metafóricas, que envolvem

mecanismos cognitivos radicalmente diferentes, produzem resultados diferentes e cada uma

delas é perfeitamente válida na sua própria esfera, nenhuma é melhor ou mais abrangente

que a outra.

Lakoff e Núñez (1998) afirmam que:

Para discutir ideias matemáticas exclusivamente a partir de uma perspectiva científica, é preciso voltar-se para a ciência cognitiva, que ao longo das últimas duas décadas tem mostrado que as ideias não são puramente abstratas, de livre flutuação, não corporificadas, entidades transcendentes, mas sim que as ideias surgem e são moldadas pela estrutura de corpos humanos e cérebros e a natureza da experiência humana cotidiana. (Damásio, 1994; Dehaene, 1997; Edelman, 1992; Johnson, 1987; Lakoff & Johnson, 1980, 1998; Lakoff & Núñez, 1997, 1999; Núñez, 1995, 1997; Thelen, 1995; Varela, Thompson & Rosh, 1991). Por esta razão, o próprio compromisso do estudo científico das ideias matemáticas coloca essa noção em desacordo com a filosofia apriorística, humano-independente da Matemática na qual o programa de aritmetização de Weierstrass estava imerso, e no qual grande parte da Matemática contemporânea ainda está2. (LAKOFF; NÚÑEZ, 1998, p. 86, ênfase do autor, tradução nossa).

Para além das dificuldades de compreensão dos conceitos apresentados nas

disciplinas iniciais de Cálculo por parte dos nossos alunos, que já é uma questão muito

preocupante para a comunidade acadêmica, existe também uma grande preocupação com a

metodologia utilizada nas nossas salas de aula. Quando pensamos na sala de aula das nossas

universidades o que encontramos? Um professor aguardando seus alunos entrarem em sala,

se sentarem e aquietarem-se para poder iniciar a aula. Uma sala arrumada de forma a evitar

2 Texto original: To discuss mathematical ideas at all from a scientific perspective, one must turn to cognitive science, which over past two decades has shown that ideas are not purely abstract, free-floating, disembodied, transcendente entities, but rather that ideas arise from and are shaped by structure of human bodies and brains and the nature of everyday human experience (Damásio, 1994; Dehaene, 1997; Edelman, 1992; Johnson, 1987; Lakoff & Johnson, 1980, 1998; Lakoff & Núñez, 1997, 1999; Núñez, 1995, 1997; Thelen, 1995; Varela, Thompson & Rosh, 1991). For this reason, the very undertaking of the scientific study of mathematical ideas puts one at odds with the a priorist, human-independent philosophy of mathematics in which Weierstrass’ arithmetisation programme was immersed, and in which much of contemporary mathematics still is.

22

que os alunos conversem e, quando o fazem, o professor interrompe a aula pedindo aos

alunos, às vezes não muito cordialmente, que façam silêncio.

Mas que aula é essa? É aula onde o professor fala e os alunos escutam, o professor

escreve no quadro e os alunos copiam, o professor toma as decisões e os alunos executam.

O professor “ensina” e o aluno “aprende”. Afinal, que ensino é esse, que é praticado nas

nossas escolas e universidades? É um ensino pautado na fala do professor e no livro didático

e, algumas vezes, complementado pelo uso de alguma mídia digital (computador, internet)

ou recurso audiovisual (projetor multimídia, TV, DVD).

Becker (2012) faz uma reflexão sobre esse tipo de professor. Ele escreve:

Penso que o professor age assim porque acredita que o conhecimento pode ser transmitido para o aluno. Ele acredita no mito da transmissão do conhecimento – do conhecimento como conteúdo conceitual, como estrita mensagem verbal. Mas, não só. Acredita, também, que se transmite o conhecimento como forma, estrutura ou capacidade; embora acredite com frequência que a capacidade de conhecer é inata. (BECKER, 2012, p. 14, ênfase do autor).

Para a Psicologia Genética o conhecimento é algo a ser construído pelos indivíduos

na sua interação com o meio social e o meio físico e assim a aprendizagem acontece pela

ação dos indivíduos. Por mais que o ensino possa colaborar com a aprendizagem, a

verdadeira fonte de aprendizagem é a ação que o sujeito pratica. O sujeito aprende por

meio das ações que pratica e busca as verdades nas ações que tem êxito (BECKER, 2012).

Para Becker (2012, p. 34), dessas concepções emergem as compreensões de aprendizagem

que podemos ver citadas nas expressões:

[...] “aprender não é transferir conteúdo a ninguém” (Piaget), “aprender não é memorizar o perfil do conteúdo transferido no discurso vertical do professor” (Freire), “ensinar significa deixar aprender” [...] (Heidegger), “aprendizagem é explicar como o sujeito consegue construir e inventar” (Piaget). (BECKER, 2012, p. 34).

Pensando em propor uma dinâmica alternativa à sala de aula, decidimos usar as

tecnologias de informação e comunicação (TIC) na investigação de um cenário de

aprendizagem, baseado na Teoria da Cognição Corporificada e da Aprendizagem

Colaborativa.

Segundo Bairral (2009), as TIC podem ser conceituadas como um tipo de tecnologia

que tem quatro características essenciais: conectividade, integração de mídias, dinâmica e

construção hipertextual, e interatividade. O autor ainda enfatiza que as TIC possibilitam a

23

comunicação de muitos indivíduos com muitos indivíduos, pressupõe um trabalho coletivo e

favorece um trabalho colaborativo.

Para Valente (1993, 2009), o uso do computador na educação pode enriquecer

ambientes de aprendizagem, nos quais o aluno, interagindo com os objetos desse ambiente,

tem a chance de construir o seu conhecimento. O aluno deixa de ser instruído, ensinado,

para ser o construtor do seu próprio conhecimento, agora em um novo paradigma, o

construcionismo, que tem foco na aprendizagem e não no ensino. Essa tecnologia também

propicia um aspecto reflexivo importante, que leva o aprendiz a rever seus conceitos ao

refletir sobre os resultados obtidos, depurando-os ou construindo novos conhecimentos. Os

novos conhecimentos geram novas descrições e, portanto, novas execuções, novas

reflexões. Essas ações foram caracterizadas como o ciclo de ações: descrição-execução-

reflexão-depuração-nova descrição.

Em uma das minhas atividades no doutorado, tive a oportunidade de conhecer e

experenciar a plataforma Virtual Math Team – VMT em um curso ministrado na UNIBAN3

pelo pesquisador Dr. Arthur Powell, da Rutgers University, New Jersey, Estados Unidos, um

dos pesquisadores envolvido nesse projeto.

Virtual Math Team – VMT4 é um projeto de pesquisa coordenado pelo professor

pesquisador Dr. Gerry Stahl da iSchool5, Drexel University, Pensilvânia, desde a sua criação

em 2003, com financiamento da National Science Foundation (NSF). É um projeto vinculado

à iSchool e ao Math Forum6 da Drexel University e desde a sua criação já contou com a

colaboração de pesquisadores da Carnegie Mellon University (CMU), Rutgers University,

Brasil (UNIBAN e UFRRJ7), Hawai e Singapura. No Brasil esse projeto contou com o

envolvimento e a colaboração dos pesquisadores Dra. Janete Bolite Frant (UNIBAN) e o Dr.

Marcelo Bairral (UFRRJ) e alguns de seus alunos de mestrado e doutorado

A plataforma VMT é um ambiente de aprendizagem que permite a conectividade, a

construção hipertextual e a interatividade. Além disso, o VMT possibilita entender como

3 UNIBAN – Universidade Bandeirante Anhaguera, que a partir de novembro de 2013 passou a chamar Universidade Anhanguera de São Paulo – UNIAN-SP.

4 Informações sobre o VMT podem ser encontradas em: http://www.gerrystahl.net/vmt/

5 iSchool – College of Information Science and Technology (College da Ciência da Informação e Tecnologia) da Drexel University, Philadelphia, Pennsylvania.

6 O Math Forum é um dos principais centros na internet para a matemática e educação matemática. Operando sob a responsabilidade da Escola de Educação da Drexel, sua missão é fornecer recursos, materiais, atividades, interação pessoa-a-pessoa nessas áreas.

7 UFRRJ – Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro.

http://www.gerrystahl.net/vmt/

http://www.themathforum.org/

24

grupos de pessoas podem aprender de forma mais eficaz por meio da aprendizagem

colaborativa apoiada por computador – CSCL (Computer-Supported Collaborative Learning).

Quando o foco é a aprendizagem matemática, o raciocínio matemático encontra

nesse contexto um meio privilegiado de desenvolvimento. É preciso que haja interação para

que aconteça troca de ideias, formulação de conjecturas, compartilhamento de soluções,

exposição de raciocínios, defesa de convicções. Nesse ambiente de aprendizagem o aluno

não mais está diante de uma exposição de definições, propriedades e teoremas, numa

atitude passiva que lhe exigirá, como consequência, a memorização e repetição de

procedimentos.

A interação, o diálogo e a colaboração são fatores preponderantes para o sucesso do

processo de produção do conhecimento num ambiente de aprendizagem amparado pelas

TIC. A colaboração faz parte da interatividade, pressupõe que todos atuem como parceiros

no processo da construção do conhecimento, que tenham voz e sejam ouvidos, que realizem

as tarefas de forma coletiva, um complementando o trabalho do outro, que aprendam e

também ensinem. Vale lembrar que colaborar é diferente de cooperar. Em grupos

cooperativos a aprendizagem é, na verdade, realizada individualmente, pois cooperar é

apenas auxiliar o outro na realização de alguma tarefa e contribuir com seus resultados

individuais para formar o produto do grupo.

Freire (2011, p. 108) em sua obra Pedagogia do Oprimido escrita em 1968, já dizia:

“Não é no silêncio que os homens se fazem, mas na palavra, no trabalho, na ação-reflexão”.

Apoiados nas convicções de Becker, Bairral, Valente, Freire e Stahl escolhemos o

ambiente de aprendizagem VMT para investigar e analisar a produção de significados para

continuidade de funções reais por alunos, licenciados em Matemática e cursando

Especialização em Educação Matemática, que acreditamos, contribuirá significativamente

para as pesquisas no campo da Educação Matemática.

A opção teórica, escolhida por nós, articula a Teoria da Cognição Corporificada

(LAKOFF; JONHSON, 1980, 1999; LAKOFF; NÚÑEZ, 2000) e o Modelo da Estratégia

Argumentativa – MEA (CASTRO; BOLITE FRANT, 2011), e esta escolha se deveu ao fato de

estudarmos a produção de significados para continuidade de funções reais de uma variável

real, por meio das linguagens escrita, oral, pictórica e gráfica desvendando aspectos da

compreensão e aprendizagem desse conceito. Embora existam muitas pesquisas em Ensino

do Cálculo, a originalidade de nossa pesquisa reside na nossa opção teórica e na utilização

25

do ambiente virtual colaborativo VMT. Essa originalidade pode ser percebida observando a

extensa revisão de literatura que apresentamos no Capítulo 2.

O PROBLEMA DA PESQUISA

Acreditando no potencial dos ambientes virtuais de aprendizagem e no suporte que

esses ambientes proporcionam à aprendizagem colaborativa, a pesquisa que apresentamos

tem por objetivo investigar e analisar a produção de significados para continuidade de

funções reais de uma variável real, por licenciados em Matemática, em um ambiente virtual

colaborativo. Para tal vamos elaborar um cenário que promova a discussão sobre o tema

entre os participantes.

Levando em consideração o objetivo acima, apresentamos duas questões

orientadoras da nossa pesquisa:

Identificar e analisar os aspectos que favorecem ou não a evolução dos

discursos nesse ambiente virtual.

Que significados matemáticos relacionados à noção de continuidade são

produzidos pelos participantes?

ESTRUTURA DO TRABALHO DE PESQUISA

No Capítulo 1: Um olhar retrospectivo, apresentamos de maneira resumida, um

panorama da evolução do conceito de continuidade desde as suas origens até a concepção

que possuímos deste conceito na atualidade, e como este não pode ser dissociado da noção

de função, desenvolvemos, também brevemente, a evolução dessa noção. Trazemos uma

revisão de literatura focada no ensino do cálculo: reflexões sobre o ensino do cálculo;

investigações sobre o ensino e aprendizagem de limite; investigações sobre o ensino e

aprendizagem de continuidade, e uma análise de alguns livros textos de Cálculo adotados

em instituições de ensino superior no Brasil, no que diz respeito à forma como o conceito de

continuidade é abordado.

No Capítulo 2 trazemos a fundamentação teórica que adotamos para a pesquisa, que

articula as Teorias da Cognição Corporificada (LAKOFF; JONHSON, 1980, 1999; LAKOFF;

26

NÚÑEZ, 2000) e o Modelo da Estratégia Argumentativa (CASTRO; BOLITE FRANT, 2011). Essa

articulação se deveu ao fato de estudarmos a produção de significados para continuidade de

funções reais, por meio das linguagens escrita, oral, pictórica e gráfica desvendando

aspectos da compreensão e aprendizagem desse conceito. Complementando tal

fundamentação teórica, apresentamos a nossa escolha para a noção de linguagem (CASTRO;

BOLITE FRANT, 2011), noções sobre montagem conceitual, um mapeamento que nos ajudou

a interpretar alguns dos resultados provenientes da análise dos diálogos produzidos pelos

alunos, e as características do VMT, uma plataforma virtual, que foi desenhada para

estudantes de matemática trabalharem em grupos, colaborativamente.

No Capítulo 3 abordamos a metodologia e os procedimentos metodológicos da

pesquisa. A metodologia de pesquisa é o Design Experiment, uma metodologia que tem um

caráter pragmático, assim como teórico e é interativa, iterativa e flexível. Descrevemos os

participantes da pesquisa, como a coleta dos dados ocorreu e as principais fases da análise

desses dados.

No Capítulo 4 apresentamos os applets que desenvolvemos para explorarmos os

conceitos de função: Applet 1: “Eixos paralelos – conhecendo a função”. A relação entre 𝑥 e

𝑓(𝑥) por meio de eixos paralelos. Applet 2: Eixos Paralelos e Eixos Cartesianos – construindo

o gráfico da função. A relação entre 𝑥 e 𝑓(𝑥) através de eixos paralelos e de um sistema de

eixos cartesianos. Applet 3: O Problema do Monge.

No Capítulo 5 trazemos a análise e discussão dos resultados, que foi feita encontro

por encontro, e com base no Modelo da Estratégia Argumentativa – MEA, que nos ajudou a

explicitar os argumentos dos alunos durante o desenvolvimento das atividades e, com o

apoio da Teoria da Cognição Corporificada.

No Capítulo 6: Discussões Finais, falamos sobre a plataforma VMT na nossa pesquisa.

As dúvidas que surgiram, as características e potencialidades da plataforma, como os alunos

avaliaram a plataforma e como nós avaliamos o uso do VMT na nossa pesquisa e uma

síntese final sobre o que os alunos falaram sobre função e continuidade de função.

Em Considerações Finais, apresentamos reflexões que consideramos relevantes sobre

o caminhar da investigação, o ambiente virtual escolhido, o VMT – Virtual Math Team, e os

significados para continuidade produzidos pelos participantes da pesquisa.

27

1 UM OLHAR RETROSPECTIVO

Para fundamentar e subsidiar a investigação e análise da produção de significados

para continuidade de funções reais de uma variável real, sentimos necessidade de um olhar

retrospectivo sobre a história da Matemática, para entendermos a origem e a evolução da

ideia matemática de continuidade e de função, assim como um olhar retrospectivo ao

caminho percorrido por inúmeros pesquisadores na investigação do ensino e da

aprendizagem de continuidade de funções, sob diversas perspectivas e ainda um

levantamento sobre a abordagem do conceito de continuidade em alguns livros textos de

Cálculo adotados em instituições de ensino superior brasileiras.

1.1 SOBRE A EVOLUÇÃO DA IDEIA MATEMÁTICA DE CONTINUIDADE E DE FUNÇÃO – UMA PERSPECTIVA HISTÓRICA

A observação imediata de si está longe de ser suficiente para aprender a se conhecer: precisamos de história, pois o

passado continua a correr em nós em cem ondas; nós próprios nada somos senão aquilo que sentimos dessa correnteza a cada instante.

Friedrich Nietzsche (1983, p. 138)

Minha experiência como professora de Cálculo e de Pré-Cálculo na universidade me

mostrou que os alunos, quando pensam em função, pensam em função contínua. Na maioria

das vezes uma função, para eles, é aquela cujo gráfico não apresenta saltos ou buracos.

Raramente, quando solicitados a esboçar o gráfico de uma função com determinadas

características, apresentam gráficos de funções descontínuas, mesmo quando funções

descontínuas satisfazem as características solicitadas. Se observarmos os gráficos

apresentados como exemplos para ilustrar o tópico Funções nos vários livros textos usados

no ensino do Cálculo, na maioria das vezes são gráficos de funções contínuas. Outro aspecto

que observamos quando analisamos o tópico Continuidade de Funções em vários livros

textos usados no ensino de Cálculo foi a variedade de formas de se abordar e definir esse

conceito.

Motivados por essas constatações, apresentamos, de maneira resumida, um

panorama da evolução do conceito de continuidade desde as suas origens até a concepção

que possuímos deste na atualidade. Como o atual conceito de continuidade não pode ser

dissociado da noção de função, desenvolvemos, também brevemente, a evolução dessa

28

noção. Utilizamos a seguinte argumentação de Monna (1972), porém em sentido reverso,

como justificativa para esta escolha:

Achei necessário tratar o problema de continuidade de funções porque a história do desenvolvimento do conceito de função está tão entrelaçada com a noção de continuidade que raramente podemos escrever sobre um sem escrever sobre o outro. (MONNA, 1972, p. 58, tradução nossa).8

1.1.1 Pressupostos da Noção de Função

O Século XVII caracteriza-se pela ruptura com importantes paradigmas da

matemática grega que reinavam absolutos até então. Apesar de toda a sofisticação que os

gregos introduziram na Matemática, com a criação e adoção do método axiomático

dedutivo, a geometria que eles desenvolveram era baseada na intuição e na percepção

sensorial que tinham do mundo. Isto os levou a ter uma grande dificuldade em lidar com os

números, pois os vinculavam a significados geométricos. Não sendo capazes de criar um

modelo que incluísse os números irracionais, tiveram que utilizar estratégias como a teoria

das proporções de Eudoxo, que, por um lado, resolvia as dificuldades internas à sua teoria,

mas por outro, os afastava da conceituação moderna dos números reais, pilar da

Matemática contemporânea.

A geometria grega era estática, ocupando-se primordialmente com a forma e não

com a variação e por isso o conceito de função não foi desenvolvido (BOYER, 1959, p. 56), e

certos paradoxos, como os de Zenão, os gregos não conseguiram resolver satisfatoriamente.

A matemática grega ficou envolvida em questões de ordem filosófica, como, por exemplo, a

dicotomia aristotélica entre o contínuo e o discreto. Aristóteles (cerca 384 a.C.–322 a.C.)

pretendeu explicar os paradoxos de Zenão, afirmando que o movimento era contínuo,

enquanto que os números eram descontínuos. Aristóteles explicava o significado de sua

noção de contínuo com as seguintes palavras: “Por contínuo eu entendo aquilo que é divisível

em divisíveis que são infinitamente divisíveis” (BOYER, 1959, p. 42, tradução nossa)9.

A Matemática grega chegou ao seu auge com os Elementos de Euclides (cerca 330

a.C. –260 a.C.), os trabalhos de Arquimedes (287 a.C.–212 a.C.) entre eles O Método, um

8 No original: I found it necessary to treat the problem of continuity of functions because the history of the development of the concept of function is so interwoven with the notion of continuity that one can scarcely write about the one without writing about the other.

9 No original: By continuous I mean that which is divisible into divisibles that are infinitely divisible.

http://pt.wikipedia.org/wiki/287_a.C.


29

método de exaustão que é uma antecipação do Cálculo Integral, e com Apolônio (cerca de

262 a.C.–194 a.C.), O Grande Geômetra, cuja obra principal é o trabalho intitulado As

Cônicas. As obras de Apolônio contribuíram fortemente com o desenvolvimento da

Geometria Analítica de René Descartes (1596–1650) e Pierre Fermat (1601–1665). Mas a

Matemática grega ficou praticamente estagnada por dificuldades de ordem conceitual: a

discussão filosófica sobre infinito e infinitésimo e o conceito de número e sobretudo pelo

predomínio de Roma que não privilegiou o desenvolvimento da Matemática. A Matemática

passou a ter outros epicentros, como China, Índia e o mundo Árabe, com ênfase no

desenvolvimento da Álgebra. Entretanto, segundo Monna (1972), a noção de função não

teve lugar na Matemática grega, pois as curvas eram definidas por suas propriedades

geométricas e não por meio de equações.

O desenvolvimento da Álgebra no mundo árabe resgatou a Matemática dos

babilônios, dando ênfase à resolução das equações algébricas. Ponto alto desse

desenvolvimento foi a obra de Muhammad ibn Musa al Khwarizmi, no Século IX, na qual são

resolvidas equações do primeiro e segundo graus.

Toda esta herança matemática chega tardiamente à Europa medieval no Século XII.

Divulgada por Leonardo de Pisa (cerca de 1170–1250), encontra condições para se

desenvolver por meio dos trabalhos dos matemáticos bolonheses do Século XVI que

estenderam a resolução das equações até o quarto grau e iniciaram, com Jerônimo Cardan

(1501–1576) e Rafael Bombelli (1526–1572), o formalismo algébrico, posteriormente

aprimorado por François Viète (1540–1603) e outros.

1.1.2 A Análise e a Síntese de Descartes

Estavam assim postas as condições para realizar um sonho dos matemáticos:

algebrizar a geometria. Este processo teve início no Século XVII com os trabalhos de Fermat

e de Descartes que permitiram, por meio da introdução de coordenadas, descrever curvas

por meio de equações e dessas extrair propriedades geométricas das mesmas.

No entanto, o método de Descartes não rompia totalmente com os paradigmas da

geometria grega. Descartes não considerava um problema geométrico resolvido com apenas

a exibição das equações e das respectivas raízes que determinavam tais soluções (a chamada

análise). Equações algébricas faziam apenas parte do processo e não bastavam como





30

solução, era preciso que a solução fosse justificada geometricamente (a chamada síntese).

Era predominante na época o pensamento de que problemas geométricos requeriam

soluções geométricas e não algébricas. Uma vez encontrada uma solução de um problema

geométrico, usualmente em termos da interseção de curvas, as construções geométricas dos

segmentos representando essas soluções deveriam ser realizadas, ou pelo menos indicadas.

Como as construções pressupostas por Descartes deveriam ser realizadas apenas com um

número finito de equações polinomiais, sem que interviesse a noção de ponto em

movimento, de variação, de infinitésimo ou de infinito, o caráter estático da geometria grega

ainda permanecia na nova geometria e o conceito de função não aparecia de modo explícito.

Mas, apesar disso, segundo Monna (1972, p. 58), Descartes com sua aplicação de métodos

algébricos à geometria abriu o caminho para a introdução da noção de função, que se

desenvolveu gradualmente até sua forma moderna.

Para Descartes, curvas eram definidas por equações polinomiais da forma

𝑓(𝑥, 𝑦) = 0 , não ficando evidenciado o caráter dinâmico ou a relação de dependência

funcional entre as incógnitas 𝑥 e 𝑦 . Observemos que Descartes excluiu de suas

considerações na obra La Géométrie as curvas mecânicas, ou seja, curvas obtidas pelo

movimento de figuras no plano, como a espiral de Arquimedes, a cicloide (uma particular

trocoide), a quadratriz, etc., e que não são descritíveis por equações polinomiais, sendo

portanto curvas não algébricas.

1.1.3 Newton e Leibniz

Pouco tempo depois, foi iniciada uma das mais espetaculares conquistas da

Matemática – o Cálculo Diferencial e Integral – por Isaac Newton (1642–1727) e Gottfried

Leibniz (1646-1716), que dominavam o método geométrico dos gregos, e de Bonaventura

Cavalieri (1598–1647), que redescobriu os métodos infinitesimais, e dominavam também os

métodos algébricos de Descartes e John Wallis (1616–1703).

Entretanto, o Cálculo desenvolvido por Newton e Leibniz não era o Cálculo das

funções, mas sim o Cálculo das curvas. A busca era por métodos para resolver problemas de

mecânica e problemas sobre a geometria das curvas, como por exemplo: tangentes e

curvaturas de curvas, velocidade de pontos que se movem ao longo de curvas, determinação

de áreas e volumes, que não podiam ser resolvidos pelos métodos “finitos” de Descartes,

31

que se caracterizava pela utilização de um número finito de construções e de operações e

que foi denominado de análise comum.

Newton, grandemente influenciado pelo livro La Géométrie de Descartes (1886),

conserva o método de análise e síntese de Descartes ao longo de seus trabalhos, mas vai

além de Descartes e surge então, a nova análise que ultrapassa as limitações da análise

comum de Descartes, introduzindo as noções de infinito, infinitésimo, somas e produtos

infinitos para resolver os problemas postos na época sobre a geometria das curvas.

O problema de traçar tangentes a figuras geométricas vem desde a antiguidade, os

gregos sabiam traçar tangente a círculos e cônicas, mas tinham dificuldades em definir o que

seria uma reta tangente a uma curva em um determinado ponto. Euclides definia reta

tangente a um círculo como uma reta que toca o círculo em apenas um ponto. Esta noção,

como os gregos também sabiam, só se aplica a poucas curvas, como as cônicas. Euclides, em

Os Elementos, tenta generalizar esta noção como segue:

Uma tangente é uma reta que toca uma curva e tal que, no espaço entre a reta e a curva, nenhuma outra reta pode ser interposta. (BOYER, 1959, p. 51).

Essa definição não é nada operacional, pois não serve para determinar retas

tangentes, nem para provar que determinada reta é tangente a uma curva dada. Newton em

The Method of Fluxions and Infinite Series: with its application to the geometry of curve-lines,

escrito em 1671 e publicado em 1736 e Leibniz em Nova Methodus pro Maximis et Minimis,

publicado em 1684 na revista Acta Eruditorum, mostram como determinar a reta tangente a

uma curva em um determinado ponto. No trabalho acima citado, Leibniz, introduz a

derivada por meio da notação 𝑑𝑦

𝑑𝑥 como sendo a razão de dois infinitésimos, enuncia

regras, sem demonstração, para derivar somas, produtos, potências e quocientes, e define a

reta tangente a uma curva como sendo a reta limite de retas secantes. Por seu lado,

Newton, assume uma visão cinemática das curvas e das grandezas geométricas, que chamou

de fluentes e cujas velocidades chamou de fluxões, denotando por �̇� e �̇� as fluxões

(derivadas com relação ao tempo) dos fluentes 𝑦 e 𝑥 . Utilizando essa sua noção de fluxões,

Newton define a inclinação da reta tangente a uma curva como sendo a razão �̇�

�̇� entre as

velocidades do ponto da curva nas direções ortogonais do eixo 𝑦 e do eixo 𝑥 .

Nota-se, portanto, um germe de noção de dependência funcional entre as variáveis

𝑦 e 𝑥 em Leibniz e entre 𝑥 , 𝑦 e 𝑡 em Newton. A maior contribuição de Newton para o

32

desenvolvimento do conceito de função foi o seu uso de séries de potências, conforme

veremos mais adiante.

1.1.4 A Noção de Função e de Continuidade

Nicole d’Oresme (1323–1382), no Século XIV, Galileu Galilei (1564–1642), Johannes

Kepler (1571–1630), e Evangelista Torricelli (1608–1647), nos Séculos XVI e XVII, realizaram

estudos pioneiros sobre a natureza do movimento dos corpos. Nesses estudos subjaz as

noções do conceito de função. Em Boyer (1974) e Rezende (2003a, 2009), podemos ver as

contribuições de Nicole d’Oresme, François Viète e Galileu Galilei para o desenvolvimento do

conceito de função.

Oresme, ao estudar o movimento de um corpo que se desloca com aceleração

constante, traçou um gráfico para representar a maneira pela qual a velocidade e o tempo,

duas grandezas relacionadas entre si, variam. Em uma reta horizontal, ele marcou pontos

representando instantes do tempo, que chamou de longitudes. Para cada instante, Oresme

traçou um segmento de reta, perpendicularmente à reta de longitudes, que chamou de

latitude. O comprimento desse segmento representa a velocidade. Assim, Oresme

representou graficamente duas grandezas relacionadas entre si, variando ao mesmo tempo.

Essa representação gráfica ilustra a relação entre as variações dessas duas grandezas, que é

uma relação (taxa de variação) constante

Figura 01 – Representação gráfica de Nicole d’Oresme

Fonte: Elaborado pela pesquisadora com o uso do Software GeoGebra

François Viète (1540-1603) em sua obra mais famosa, In artem analyticam isagoge,

de 1591, contribuiu fortemente para o desenvolvimento da Álgebra. Nessa obra, Viète

introduziu uma convenção tão simples quanto fecunda, “usou uma vogal para representar,

em álgebra, uma quantidade suposta desconhecida, ou indeterminada, e uma consoante

para uma grandeza ou número supostos conhecidos ou dados”.

33

Galileu Galilei considerado um dos fundadores do método experimental e da ciência

moderna, questionou publicamente dois grandes pilares da filosofia cristã: o homem como

centro do universo e a física de Aristóteles como modelo para a ciência. Contrariando a

tradição aristotélica, provou, por meio de um experimento, que a velocidade de um corpo

em queda não é proporcional ao seu peso e, que o espaço 𝑠 percorrido por um corpo em

queda livre (no vácuo) é diretamente proporcional ao quadrado do tempo 𝑡 levado para

percorrer este espaço, estabelecendo assim a relação funcional entre as grandezas 𝑠 e 𝑡 .

Coube a Newton estabelecer uma teoria matemática para o movimento, dando

fundamentação matemática aos trabalhos de Galileu, Kepler e Torricelli, por meio do Cálculo

Diferencial. A noção de função não estava presente explicitamente nos trabalhos de

Newton, mas ele entendia que uma equação 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0 estabelecia uma relação de

dependência de uma das variáveis em função da outra (funções algébricas). Tanto que no

início da sua já citada obra Method of Fluxions and Infinite Series, ele mostra como

desenvolver em séries de potências formais, até mesmo com expoentes fracionários, uma

das variáveis em função da outra em uma relação do tipo 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0, antecipando-se à

descoberta do Teorema da Função Implícita e das funções analíticas.

Por outro lado, a palavra função aparece pela primeira vez nos manuscritos de

Leibniz do ano de 1673, em particular, no manuscrito denominado O método inverso das

tangentes ou sobre as funções (Methodus tangentium inversa, seu de fonctionibus)

(YOUSCHKEVITCH, 1976, p. 56). Pela palavra função, ele entendia grandezas geométricas

relacionadas com pontos variáveis sobre uma curva.

Como Mahnke (1926) observa:

Leibniz ainda não utiliza a palavra função para designar a relação formal que liga a ordenada de um ponto de uma curva à sua abscissa, mas, como atesta o início do manuscrito, ele já tem no espírito o conceito geral de função que denomina utilizando a palavra relatio. [...] não se pode dizer que utiliza a palavra função no sentido que é dada pelos matemáticos contemporâneos, mas, preferencialmente, no sentido corrente de função de um organismo, de uma máquina.[...]. (MAHNKE, 1926, p. 47, apud YOUSCHKEVITCH, 1976, p. 56, tradução nossa).10

10

No original: LEIBNIZ gebraucht allerdings in der vorliegenden Handschrift Jfir diese gesetzliche Beziehung, in

der die Ordinate einer Kurve zu ihrer Abszisse ... steht, noch nicht das Wort Funktion; abet wie der Anfang der Handschrift beweist, hat er den Funktionsbegriff schon im weitesten Sinne gebildet und benennt ihn mit dem Wort relation. […] hat das Wort Funktion noch nicht ganz den heutigen mathematischen Sinn, sondern eher den, den wit in der Sprache des tiiglichen Lebens mit ibm verbinden; es bedeutet also etwa die " Verrichtung ", die ein Glied eines Organismus oder ein Tell einer Maschine […]

http://www.infoescola.com/biografias/galileu-galilei/

34

Na correspondência entre Johann Bernoulli (1667–1748) e Leibniz no período 1694-

1698, a noção de função foi se restringindo ao significado de uma variável dependendo de

outra por meio de uma expressão analítica. A primeira definição impressa de função como

expressão analítica que aparece é atribuída a J. Bernoulli no artigo Remarques sur ce qu’on a

donné jusqu’ ici de solutions des problèmes sur les isopérimètres, publicado no Mémoires de

l’Academie Royale des Sciences de Paris, 1718, p. 100-134 (YOURSCHKEVITCH, 1976, p. 60).

Definição: Chama-se função de uma grandeza variável uma quantidade composta de alguma maneira que seja desta grandeza e de constantes. (RÜTHING, 1984, p. 72, tradução nossa).11.

Bernoulli ainda propõe 𝜑𝑥 para caracterizar uma função, notação na qual o

argumento 𝑥 não tem parênteses, e 𝑥 denota a grandeza variável. Nesta definição não está

explícito o modo de se compor a variável com as constantes para obter uma função.

Leonhard Euler (1707–1783) retoma essa definição de função na sua obra de 1748,

Introductio in Analysin Infinitorum. Nessa obra, no volume 1, Euler procura se ocupar do

conceito de função na sua visão algébrica da análise, o que permitiu a aritmetização da

geometria, deixando a teoria de curvas planas para o volume 2. Euler (1922) introduziu a

notação 𝑓(𝑥) para uma função da variável 𝑥 e explicitando vários modos de compor a

variável com as constantes.

A definição de Euler (1922):

Uma função de uma quantidade variável é uma expressão analítica composta, de qualquer modo que seja, por tal quantidade variável e por números ou quantidades constantes. (EULER, 1922, p. 18, tradução nossa).12

Euler (1922) entendia por quantidade variável, uma quantidade indeterminada, ou

uma quantidade universal, que compreende todos os valores determinados. É uma

quantidade que compreende todos os números, tantos os positivos quanto os negativos, os

números inteiros e fracionários, aqueles que são racionais, transcendentes, irracionais, não

excluindo o zero nem os números imaginários. (EULER, 1922, p. 17 e 18, apud

YOUSCHKEVITCH, 1976, p. 61).

11

No original: Définition: On appelle fonction d’une grandeur variable une quantité composée de quelque manière que ce soit de cette grandeur variable et de constantes.

12 No original: Functio quantitates variabilis est expression analytica quomodocunque composite ex illa quantitate variabili et numeris seu quantitatibus constantibus.

35

Para a composição da sua expressão analítica, Euler admitia operações algébricas,

inclusive solução de equações algébricas, limites de sequências, somas de séries infinitas e

assim, ele introduz as funções algébricas: polinomiais, racionais e raízes de equações

polinomiais. Em seguida, introduz várias funções transcendentes, como as trigonométricas,

logarítmicas, etc. e uma infinidade de outras obtidas pelo cálculo integral e pelas soluções de

equações diferenciais. Na tentativa de representar todas essas funções de um modo

unificado, Euler utiliza os desenvolvimentos em séries de potências de funções para seu

estudo, sem, entretanto, conseguir provar que todas as funções englobadas por sua

definição são assim representáveis, permitindo o uso de séries com expoentes negativos e

até fracionários, na vizinhança de alguns pontos isolados especiais, como foi feito

anteriormente por Newton, para representar funções algébricas.

Hawkins (1979) resume a contribuição de Euler para o surgimento de função como

um conceito importante:

Embora a noção de função não tenha se originado com Euler, ele foi o primeiro a dar a ela proeminência, tratando o Cálculo como uma teoria formal de funções. (HAWKINS, 1979, p. 3, apud KLEINER, 1989, p. 285, tradução nossa).13.

Euler (1922), para dar um tratamento analítico para curvas que podiam ser descritas

mecanicamente como movimento contínuo de um ponto, e portanto, um tratamento mais

adaptado ao cálculo infinitesimal, considerou as curvas como tendo sua origem em funções.

Para ele, toda função de 𝑥 fornece uma curva ou uma linha reta e, inversamente, uma curva

pode definir uma função. Isso levou Euler a dividir as curvas em dois tipos: uma curva

representada por uma única equação algébrica ou transcendental, que era chamada de

curva contínua e curvas que precisavam de diferentes equações para representar suas

diferentes partes, que eram chamadas de descontínuas ou mistas ou irregulares ou ainda

mecânicas. Isto porque tais curvas não podiam ser representadas por uma única lei.

Euler afirma que quando fala de continuidade de uma curva não está falando de

conexão entre as várias partes que a constituem, ou seja, de continuidade de traçado da

curva (continuitas tractu), mas sim da unicidade da lei analítica que define a curva. Assim

para Euler, os dois ramos de uma hipérbole constituem uma curva contínua, pois pode ser

definida pela equação 𝑥𝑦 = 1.

13

No original: Although the notion of function did not originate with Euler, it was he who first gave it prominence by treating the calculus as a formal theory of functions.

36

Figura 02 – Gráfico da curva 𝑥𝑦 = 1, contínua segundo Euler


Por outro lado, em Truesdell (1960, p. 247), podemos entender o significado de

função descontínua para Euler:

[...] Veja também E322, “De usu functionum discontinuarum in analysis [...]; in § 3, EULER diz o que ele quer dizer por “funções descontínuas”: “...suas várias partes não pertencem uma a outra, ao contrário elas não são determinadas por uma mesma equação...Também são incluídas as linhas comumente chamadas ‘mistas’, onde partes cortadas de várias linhas curvas são unidas juntas ou partes de uma mesma linha são unidas de uma diferente forma,” por exemplo, como numa linha poligonal. “E portanto mesmo se cada parte está contida em uma certa equação, não existe uma única equação para toda a extensão...”[...]. (TRUESDELL, 1960, p. 247, tradução nossa).14

Segundo Youschkevitch (1976, p. 68) Euler incluia nas funções descontínuas, as

funções traçadas pelo movimento livre das mãos, pois essas curvas também, não são

determinadas por nenhuma equação específica.

Como exemplos temos:

14

No original: (...) See also E322, “De usu functionum discontinuarum in analysi,” (...) in § 3 Euler tells what he means by “discontinuous functions”: “...their several parts do not belong to one another, but rather are determined by no certain equation...Also to be included are the lines commonly called ‘mixed’, where parts cut off from various curved lines are joined together, or parts of the same line are united in a different way,” e. g. as in a polygonal line. “And thus even if each part is contained in a certain eqaution, there is not a single equation for the whole extent...” (TRUESDELL, 1960, p. 247).

37

Figura 03 – Gráfico de curvas descontínuas segundo Euler

Fonte: Elaborado pela pesquisadora com o uso do Software GeoGebra e o Paint.

Segundo, Kleiner (1989, p. 285), para entender as concepções de continuidade e

descontinuidade de Euler, devemos mencionar um artigo de fé dos matemáticos do Século

XVIII: “Se duas expressões analíticas coincidem em um intervalo, então coincidem sempre”.

Essa não era uma suposição absurda já que as funções consideradas na época eram

funções dadas por expressões analíticas (aquelas que hoje chamamos de função analítica),

de forma que qualquer pequena parte de uma curva determinava a curva inteira.

A nota no.18, no rodapé da página 64 de Youschkevitch (1976), mostra que

recentemente, alguns autores atribuem o significado atual de função diferenciável às

funções contínuas de Euler e o significado atual de função contínua, mas não diferenciável

em pontos isolados, às funções descontínuas dele.

O que foi crucial para o subsequente desenvolvimento do conceito de função

proveniente dos trabalhos de Euler foi o Problema da Corda Vibrante, que é o problema das

vibrações infinitamente pequenas de uma corda homogênea, finita, fixa nas duas

extremidades. O problema é determinar a função que descreve a forma da corda em cada

instante 𝑡, após ser deformada em uma certa forma inicial e então liberada para vibrar. Euler

e Jean d’Alembert (1717–1783) não se entendiam sobre o tipo de função que resolvia esse

problema, e, na troca de correspondência entre eles, a palavra continuidade foi usada várias

vezes.

38

Segundo Edwards (1979, p. 302), Euler e D’Alembert não concordavam sobre o tipo

de função arbitrária que poderia ser assumida para representar a posição inicial da corda.

Para D’Alembert tal função deveria ser expressa em todo lugar por uma única e mesma

equação algébrica ou transcendental para poder aplicar as operações do cálculo com

legitimidade. Estas curvas devem estar sujeitas à lei de continuidade, que diz que uma

variável não poderá passar de um valor a outro sem passar por todos os valores

intermediários. Euler, ao contrário, por causa da natureza física do problema, teve a ideia

ousada de não sujeitar sua corda a nenhuma função, dizendo que elas podiam ser quaisquer,

irregulares e descontínuas, isto é, funções que correspondem a diferentes funções contínuas

em diferentes intervalos, podiam também ser funções cujos gráficos podiam ser traçados a

mão livre e uma tal função não estaria sujeita a nenhuma lei de continuidade.

A discussão em torno do Problema da Corda Vibrante se perpetuou entre os grandes

geômetras do Século XVIII até os últimos anos daquele século e, conforme apontado na

literatura, essa polêmica levou Euler a dar (no prefácio do seu Instituitones calculi

differentialis publicado em 1755, p. 4) uma definição mais ampla de função que é

essencialmente equivalente às modernas definições de função :

Se certas quantidades dependem de outras quantidades de tal maneira que, estas variam, então chamamos as primeiras quantidades funções das últimas. Essa denominação é de natureza mais ampla e compreende qualquer método, por meio do qual, uma quantidade pode ser determinada por outras. Se, no entanto, 𝑥 denota uma quantidade variável, então todas as quantidades que dependem de x de alguma maneira ou são determinadas por 𝑥 são chamadas funções de 𝑥. (EULER, 1913, p. 4 apud YOUSCHKEVITCH, 1976, p. 70, tradução nossa).15

A definição de função como uma expressão algébrica, segundo Euler, é apresentada

por ele no primeiro capítulo do volume 1 da sua obra Introductio in Analysin Infinitorum

(Lausanne, 1748) e nenhuma menção é feita às funções descontínuas nesse volume,

segundo Jourdain (1913, p. 671, nota de rodapé (1)). Euler só apresenta a divisão de curvas

em contínuas e descontínuas no primeiro capítulo do segundo volume dessa mesma obra.

Segundo Correia (1999, p. 16), Euler atribuía às curvas descontínuas o caráter de não-

funções, já que não eram descritas por uma única expressão algébrica. A nova definição de

15

lf some quantities so depend on other quantities that if the latter are changed the former undergo change, then the former quantities are called functions of the latter. This denomination is of broadest nature and comprises every method by means of which one quantity could be determined by others. If, therefore, 𝑥 denotes a variable quantity, then all quantities which depend upon 𝑥 in any way or are determined by it are called functions of it (tradução citada em YOUSCHKEVITCH, 1976, p. 70).

39

função de Euler incorpora então, as curvas descontínuas, na concepção de Euler, que

passam a ser chamadas de funções descontínuas.

As discussões sobre a natureza das “funções arbitrárias” que surgem na integração

das equações diferenciais parciais, como, por exemplo, aquelas que representam o

movimento de uma corda vibrando, prosseguiram intensamente durante os últimos anos do

Século XVIII entre numerosos matemáticos, entre eles, Euler, D’Alembert, Louis François

Antonie Arbogast (1759–1803), Joseph-Louis Lagrange (1736–1813), Jean-Antoine de

Condorcet (1743–1749), Gaspard Monge (1746–1818).

As discussões mostraram a necessidade de uma separação mais clara entre função

contínua e função descontínua.

Diante dessa situação polêmica, a Académie Impériale des Sciences de St.

Pétersbourg resolveu oferecer em 1787, um prêmio para a melhor resposta à seguinte

questão:

Determinar se as funções arbitrárias introduzidas pela integração de equações diferenciais, que têm mais de duas variáveis, pertencem às curvas ou superfícies quaisquer, sejam algébricas, transcendentes, ou mecânicas, sejam descontínuas ou produzidas pelo movimento livre da mão; ou então, se elas só podem legitimamente ser expressas por equações algébricas ou transcendentes. (ARBOGAST, 1791, p. 95, tradução nossa).16

Arbogast apresentou à Academia a obra Mémoire sur la nature des fonctions

arbitraire – qui entrent dans les intégrales des équations aux différentielles partielles

(Memória sobre a natureza das funções arbitrárias – que entram nas integrais das equações

de derivadas parciais), onde ele concorda com Euler sobre o tipo de função que resolve o

problema colocado, mas vai além. Ele mostra que as funções podem ser descontínuas, mas

não só no sentido de Euler, que ele julgava limitado, mas num sentido mais amplo, e nesse

trabalho ele define as funções descontínuas em pontos isolados, que denomina de funções

descontíguas, o que se tornou importante na abordagem mais rigorosa de Cauchy para a

Análise.

16

No original: Déterminer si les fonctions arbitraires introduites par l’intégration des équations différentielles qui ont plus de deux variables, appartinnient à des courbes ou surfaces quelconques, soit algébriques, transcendantes ou mécaniques, soit discontinues ou produites par le mouvement libre de la main; ou bien, si elles ne Peuvent légitimement être rapportées qu’à des courbes continues & susceptibles d’être exprimées par des équations algébriques ou transcendentes.

40

Em 1790 Arbogast ganhou o premio com a obra que apresentou, e nessa obra ele

escreveu (ARBOGAST, 1791):

A lei de continuidade consiste em que uma quantidade não passará de um estado ao outro, sem passar por todos os estágios intermediários sujeitos à mesma lei. As funções algébricas são consideradas contínuas, porque os diferentes valores dessas funções dependem da mesma maneira dos valores da variável; e supondo que a variável cresce continuamente, a função receberá variações correspondentes; mas ela não passará de um valor ao outro, sem passar por todos os valores intermediários. Assim, a ordenada 𝑦 de uma curva algébrica, quando a abscissa 𝑥 varia, não poderá passar bruscamente de um valor ao outro, não poderá haver salto de uma ordenada à outra, que difira de uma quantidade atribuível (assignable); mas todos os valores sucessivos de 𝒚 devem estar encadeados por uma mesma lei, que fazem com que suas extremidades constituam o curso de uma curva regular e contínua. (ARBOGAST, 1791, p. 9, tradução nossa, grifo nosso).

Analisamos, a seguir, o que Arbogast escreveu e para isso fizemos três recortes na

citação acima.

Observe que quando Arbogast escreveu: “As funções algébricas são consideradas

contínuas, porque os diferentes valores dessas funções dependem da mesma maneira dos

valores da variável; (...) todos os valores sucessivos de 𝒚 devem estar encadeados por uma

mesma lei, que fazem com que suas extremidades constituam o curso de uma curva

regular e contínua“, ele está concordando com noção de continuidade de Euler.

Quando Arbogast escreveu: “A lei de continuidade consiste em que uma quantidade

não passará de um estado ao outro, sem passar por todos os estágios intermediários (...)

mas ela não passará de um valor ao outro, sem passar por todos os valores intermediários.”

está pedindo que a sua função contínua tenha a propriedade do valor intermediário,

propriedade que rapidamente passou a desempenhar um papel importante no Cálculo.

O trecho: “Supondo que a variável cresce continuamente, a função receberá

variações correspondentes (..). Assim, a ordenada 𝑦 de uma curva algébrica, quando a

abscissa 𝑥 varia, não poderá passar bruscamente de um valor ao outro, não poderá haver

salto de uma ordenada à outra, que difira de uma quantidade atribuível (assignable)”

ressalta a ideia daquele momento, que uma função contínua era uma função que não

apresentava saltos.

41

Arbogast (1791, p. 9, 10 e 11) também escreve:

Esta continuidade pode ser destruída de duas maneiras: 1ª. A função pode mudar de forma, quer dizer, a lei, segundo a qual a função depende da variável, pode mudar de repente. Uma curva formada de um conjunto de várias porções de curvas diferentes está nesse caso. Na Figura 1, a curva ABCD, na qual a porção de A até B é uma porção de parábola, de B até C uma porção de elipse, de C até D uma porção de círculo, a continuidade será rompida nos pontos B e C. Essa curva, que é em geral uma função de 𝑥, não pode ser determinada em todos os pontos por uma mesma equação, mas por equações diferentes, onde uma começa, quando a outra cessa de ter lugar. Não é mesmo necessário que a função 𝑦 seja expressa, num certo intervalo PQ, por uma equação; ela pode continuamente mudar de forma, e a linha ABCD, ao invés de ser um conjunto de curvas regulares, pode ser tal, que em cada um desses pontos ela se torna uma curva diferente; isto é, ela pode ser inteiramente irregular e não seguir nenhuma lei em nenhum intervalo, por menor que ele seja. Tal curva será uma curva traçada ao acaso, pelo movimento livre da mão. Esse tipo de curva não pode ser representada nem por uma única, nem por várias equações, sejam algébricas, sejam transcendentes. Nós chamaremos curvas descontínuas, tanto aquelas que são formadas pela reunião de várias porções de curvas, quanto àquelas que, traçadas pelo movimento livre da mão, não são submetidas a nenhuma lei, em nenhuma parte do seu curso; desde que as partes dessa curva se liguem umas as outras sem interrupção. Nós nomeamos superfícies descontínuas, aquelas que passam por curvas descontínuas, ou planas, ou de dupla curvatura. Por função descontínua, nós entendemos essas funções que representam esse tipo de curva ou de superfície. (ARBOGAST, 1791, p. 9-11, tradução nossa).

Figura 04 – Gráfico de uma curva descontínua segundo Arbogast

Fonte: Figura 1 retirada do anexo Sur la nature des fonctions arbitraires

Planche I de Arbogast (1791)

Até aqui, Arbogast concordou com as noções de continuidade e descontinuidade de

Euler. As funções descontínuas de Arbogast são as funções descontínuas de Euler, que são as

42

funções definidas por leis distintas em intervalos distintos e as definidas por lei alguma

(funções cujos gráficos são desenhados à mão livre). Essas funções descontínuas são funções

contínuas no sentido moderno.

Segunda maneira que a continuidade pode ser destruída:

2ª. A lei de continuidade é ainda rompida, quando as diferentes partes de uma curva não se juntam umas às outras. Esta é a curva da Figura 2, composta das porções AB, B’C, C’D. Aqui a segunda porção B’C não começa no ponto B onde termina a primeira, a porção B’C está mais elevada; de modo que nesse caso, à mesma abscissa AP correspondem duas ordenadas PB e PB’, onde a primeira pertence à porção AB, e a outra à porção B’C. Nós chamaremos as curvas dessa espécie, curvas descontíguas, porque todas as suas partes não se juntam, ou não são contíguas umas as outras; e nós daremos o nome de funções descontíguas, as funções que supostamente respondem às curvas dessa natureza. As porções AB, B’C, C’D podem estar sujeitas à lei de continuidade, ou ser traçadas sem lei. (ARBOGAST, 1791, p. 11, tradução nossa).

Figura 05 – Gráfico de uma curva descontígua segundo Arbogast

Fonte: Figura 2 retirada do anexo Sur la nature des fonctions arbitraires Planche I de Arbogast (1791)

Essas funções descontíguas estão mais próximas do sentido moderno de

continuidade por partes, são funções descontínuas em um conjunto finito/discreto de

pontos.

Esta terminologia se mantém até ser questionada por Bernard Bolzano (1781–1848)

em um trabalho de 1817, que ficou por longo tempo desconhecido, e por Augustin-Louis

Cauchy (1789–1857) em seu livro Cours d’Analyse, 1821.

43

A nota no. 18 no rodapé da página 64 de Youschkevitch (1976) mostra que,

recentemente, alguns autores atribuem o significado atual de função diferenciável às

funções contínuas de Euler e às suas funções descontínuas o significado atual de funções

contínuas, mas não diferenciável em pontos isolados.

Bolzano, no seu memorável trabalho de 1817 com o sugestivo título: Rein

analytischer Beweis des Lehrsatzez, dasz zwischen je zwey Werthen, die ein entgegegesetztes

Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege (traduzido para o

inglês: Purely Analytic Proof of the Theorem that between any two Values, which give Results

of Opposite Sign, there lies at least one Real root of the Equation) apresenta uma definição

de continuidade, alguns anos antes de Cauchy:

A definição de Bolzano:

De acordo com uma definição correta, a expressão que uma função 𝑓𝑥 varia segundo a lei da continuidade para todos os valores de 𝑥 dentro ou fora de certos limites significa apenas que, se 𝑥 é qualquer um desses valores a diferença 𝑓(𝑥 + 𝜔) − 𝑓𝑥 pode ser tornada menor do que qualquer quantidade, desde que 𝜔 possa ser tomado tão pequeno quanto se queira. (RUSS, 2004, p. 256, tradução nossa).17

A expressão “dentro ou fora de certos limites” é explicada por Bolzano com um

exemplo e apenas quer dizer que 𝑥 varia em uma união de intervalos, alguns desses

podendo ser ilimitados. Bolzano passa a encarar a continuidade como propriedade local das

funções, em contraste com a definição global de Euler.

Segundo Russ (2004), Bolzano no seu trabalho de 1817 critica as provas dadas até

então ao teorema citado no título do trabalho e hoje conhecido como Teorema do Valor

Intermediário, baseadas em intuição cinemática ou geométrica. Bolzano critica o fato de se

admitir que uma função 𝑓 é contínua se, quando 𝑓(𝑥) = 𝛼 , 𝑓(𝑦) = 𝛽 , 𝛼 ≠ 𝛽, 𝑓 assume,

para todo 𝑧, 𝑥 < 𝑧 < 𝑦, todos os valores entre 𝛼 e 𝛽 . Ele dizia que isso é um conceito

incorreto de continuidade (unrichtiger Begriff der Stetigkeit) (BOLZANO, 1817, p. 7).

Ao longo do trabalho, Bolzano não explicita, porém, a sua definição de função, mas

subentende-se tratar-se de polinômios ou de funções algébricas, pois o artigo é dedicado a

provar o resultado utilizado, sem prova, um ano antes por Gauss na sua segunda

17

No original: According to a correct definition, the expression that a function 𝑓𝑥 varies according to the law of continuity for all values of 𝑥 is any such value the difference 𝑓(𝑥 + 𝜔) − 𝑓𝑥 can be made smaller than any given quantity, provided 𝜔 can be taken as small as we please […].

44

demonstração do Teorema Fundamental da Álgebra, de que um polinômio de grau ímpar

com coeficientes reais possui uma raiz real (propriedade do valor intermediário). No corpo

do artigo, Bolzano dá uma prova (ainda incompleta nos padrões atuais, por falta de uma

conceituação precisa de número real na época) de que toda função contínua possui a

propriedade do valor intermediário, no penúltimo parágrafo prova que toda função

polinomial é contínua e finalmente, no último parágrafo, conclui o Teorema do Valor

Intermediário para polinômios. Como já observamos antes, Bolzano, no prefácio de seu

trabalho, afirma que a continuidade de curvas e de funções podem não ser conceitos

equivalentes, antecipando-se ao exemplo de Jean-Gaston Darboux (1842–1917) de 1875, em

(DARBOUX, 1875)18, que mostra a existência de funções definidas em intervalos, que

possuem a propriedade do valor intermediário, mas que são descontínuas em todos os

pontos.

Darboux (1875) define continuidade de uma função 𝑓(𝑥) da seguinte maneira:

Uma função 𝑓(𝑥) é dita contínua, para o valor 𝑥 = 𝑥0, quando podemos tomar ℎ suficientemente pequeno para que se tenha

𝑓(𝑥0 ± 𝜃ℎ) − 𝑓(𝑥0) <

em valor absoluto, 𝜃 podendo tomar todos os valores positivos menor que 1, e ser tão pequeno quanto desejado. (DARBOUX, 1875, p. 60, tradução nossa).19

Um exemplo de uma função que tem a propriedade do valor intermediário, mas que não é contínua é a função

𝑔(𝑥) = {𝑠𝑒𝑛 (1

𝑥) , 𝑠𝑒 −

2

𝜋 ≤ 𝑥 ≤

2

𝜋 , 𝑥 ≠ 0

0 , 𝑠𝑒 𝑥 = 0

18

O exemplo de Darboux é obtido por um método indutivo, não construtivo. Para uma construção explícita de um exemplo, veja http://en.wikipedia.org/wiki/Conway_base_13_function.

19 Do original: Une fonction 𝑓(𝑥) est dite continue, pour la valeur 𝑥 = 𝑥0, quand on Peut prendre ℎ assez petit pour que l’on ait

𝑓(𝑥0 ± 𝜃ℎ) − 𝑓(𝑥0) < en valeur absolue, 𝜃 pouvant prendre toutes les valeurs positives plus petites que 1, et étant aussi petit qu’on le veut.

http://en.wikipedia.org/wiki/Conway_base_13_function

45

Figura 06 – A função 𝑦 = 𝑔(𝑥) , uma Função Monstro


Cauchy foi um dos mais extraordinários matemáticos da primeira metade do Século

XIX, numa época em que Paris ainda se via como o centro do mundo matemático. Cauchy e

Carl Friedrich Gauss (1777–1855) podem ser considerados os primeiros matemáticos

verdadeiramente modernos.

No seu livro Cours d’Analyse de 1821 Cauchy anuncia um programa para introduzir

um maior rigor na análise matemática.

Cauchy (1844) observou que os conceitos de continuidade e descontinuidade de Euler

eram inconsistentes, e mostra essa inconsistência dando como exemplo a função:

ℎ(𝑥) = {−𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 0 𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0

,

que por ser definida por mais de uma expressão, é descontínua, segundo Euler, mas que, ao

ser representada por uma única expressão:

ℎ(𝑥) = |𝑥| = √𝑥2 , para −∞ < 𝑥 < ∞ ,

é ao mesmo tempo contínua, à maneira de Euler. Ele, então, apresenta sua definição de

função e de continuidade de função e afirma que segundo essas definições essa situação

paradoxal não acontece.

Sua definição de função é:

Nomeamos quantidade variável aquelas que consideramos que devem receber sucessivamente vários valores diferentes uns dos outros... Quando quantidades variáveis são tão ligadas entre si que, o valor de uma delas sendo dado, se possa concluir os valores de todas as outras, concebemos comumente essas diversas quantidades expressas por meio de uma dentre elas, que assume então o nome de variável independente; e as outras quantidades, expressas por meio da variável independente, são o

46

que chamamos de funções desta variável. (CAUCHY, 1823, p. 17, tradução nossa).20

Apesar da aparência mais geral dessa definição, ela está na prática atrelada às

funções analíticas por meio do conceito de tão ligadas, que Cauchy não explicita.

Cauchy tornou fundamental o conceito de limite de D’Alembert. Dispensando

infinitésimos, deu a esse conceito um caráter aritmético mais preciso e apresentou a

seguinte definição, relativamente precisa, de limite:

Quando os valores sucessivos atribuídos a uma variável se aproximam indefinidamente de um valor fixo de modo a finalmente diferir deste, de tão pouco quanto se queira, esse últimochama-se o limite de todos. (Cauchy, Resumé des leçons données a l’École Polytechnique sur le Calcul Infinitesimal, 1823, apud BOYER, 1974, p. 380).

Mas isso não significava que Cauchy queria banir os infinitésimos, o que ele pretendia

era reconciliar o “rigor” com a “simplicidade” das quantidades infinitamente pequenas.

Meu principal objetivo é reconciliar o rigor, que foi o princípio-guia de meu curso de análise [Cours d’analyse] com a simplicidade alcançada ao considerarmos diretamente as quantidades infinitamente pequenas. (Cauchy, Resumé des leçons données a l’École Polytechnique sur le Calcul Infinitesimal, 1823, apud BARON; BOS, 1985, v. 4, p. 46)

Um fato notável é que Cauchy (1823) em seu trabalho Résumé des leçons données à

l’école royale polytechnique sur le calcul infinitésimal de 1823, retoma a discussão da noção

de função contínua, dando a seguinte definição de continuidade de função, já no sentido

moderno:

Quando a função 𝑓(𝑥) admitindo um valor único e finito para cada valor de 𝑥 compreendido entre dois valores dados, a diferença 𝑓(𝑥 + 𝑖) − 𝑓(𝑥) é sempre dentro desses limites, uma quantidade infinitamente pequena, dizemos que 𝑓(𝑥) é função contínua da variável 𝑥 entre esses limites dados. (CAUCHY, 1823, p. 20, tradução nossa).21

20

No original: On nomme quantité variable celle que l’on considère comme devant recevoir successivement plusieurs valeurs différentes les unes des autres... Lorsque des quantités variables sont tellement liées entre elles que, la valeur de l‘une d’elles étant donnée, on puisse en conclure les valeurs de toutes les autres, on conçoit d’ordinaire ces diverses quantités exprimées au moyen de l’une d’entre elles, qui prend alors le nom de variable indépendante; et les autres quantités, exprimées au moyen de la viariable indépendantes, sont ce qu’on appelle des fonctions de cette variable.(CAUCHY, 1823, p. 17).

21 No original: Lorsque la fonction 𝑓(𝑥) admettant une valeur unique et finie pour toutes les valeurs de 𝑥 comprises entre deux limites donnés, la différence 𝑓(𝑥 + 𝑖) − 𝑓(𝑥) est toujours entre ces limites une quantité infiniment petite, on dit que 𝑓(𝑥) est fonction continue de la variable 𝑥 entre ces limites dont il s’agit (CAUCHY, 1823, p 20).

47

Note que na definição de continuidade de Cauchy, a função é considerada definida

em um intervalo aberto e limitado e 𝑖 denota uma quantidade infinitamente pequena

(infinitesimal), sobre o qual Cauchy (1823) escreve:

Quando os valores numéricos sucessivos de uma mesma variável decrescem indefinidamente de maneira a ficarem abaixo de qualquer número dado, esta variável se torna o que chamamos um infinitésimo ou uma quantidade infinitamente pequena. Uma variável dessa espécie tem por limite o zero. (CAUCHY, 1823, p. 16, tradução nossa).22

Esta definição de infinitesimal mostra, que para Cauchy, infinitésimo era uma variável

dependente e não um número pequeno fixo como para matemáticos que o precederam.

Cauchy e Bolzano deram à continuidade um caráter local, ao contrário do caráter

global de continuidade devido à Euler.

A definição de continuidade de Cauchy, apesar da grande semelhança com a de

Bolzano, é menos moderna do que a desse matemático, pois utiliza a noção, hoje abolida da

Análise Clássica (em contraposição à Análise Standard), de infinitésimos. Por outro lado, não

é claro que Cauchy desconhecesse os trabalhos de Bolzano, pois nem sempre costumava dar

em seus livros os créditos às demonstrações que por ventura não fossem suas.

As definições de Cauchy e Bolzano vêm tentar esclarecer as muitas ideias de

continuidade apresentadas pelos analistas do Século XVIII. Essas ideias tinham se tornado

muito confusas, pois, segundo Grabiner (1981, p. 88), as propriedades apresentadas, muitas

vezes eram consideradas equivalentes e outras vezes, embora compartilhando o mesmo

nome, eram tidas como diferentes. Uma função podia ser considerada contínua se atendia a

propridade do valor intermediário; se era representada por uma única expressão; se não

dava “saltos”; se, dada uma mudança 'insensível' na variável independente, sofria ela

própria uma mudança 'insensível', se era diferenciável.

Cauchy (1897) “prova” o Teorema que afirma que a soma de uma série infinita

convergente de funções contínuas é uma função contínua. Não fica claro a que tipo de

convergência Cauchy se referia, pois aparentemente no enunciado a convergência

considerada era pontual, enquanto a convergência utilizada na prova era a uniforme,

conceito somente explicitado alguns anos depois. Em 1826, Niels Henrik Abel (1802–1829)

22

No original: Lorsque les valeurs numériques successives d’une même variable décroissent indéfiniment de manière à s’abaisser au dessous de tout nombre donné, cette variable devient ce qu’on nomme un infiniment petit ou une quatité infiniment petite. Une variable de cette espèce à pour zéro pour limite (CAUCHY, 1823, p 16).

48

dá um contraexemplo a esse “teorema” de Cauchy, exibindo uma série trigonométrica cuja

soma é uma função descontínua:

Alguns historiadores alegam que Augustin Louis Cauchy, em 1821, publicou uma afirmação falsa, mas com uma suposta prova, que o limite pontual de uma sequência de funções contínuas é sempre contínua; no entanto, Lakatos oferece uma reavaliação da abordagem de Cauchy. Niels Henrik Abel em 1826 encontrou supostos contraexemplos a esta declaração no contexto das séries de Fourier, argumentando que a prova de Cauchy tinha que estar incorreta. Cauchy finalmente respondeu em 1853 com uma clarificação da sua formulação de 1821. (tradução nossa)23

Fato importante é que Abel utiliza para seu exemplo a nova teoria das séries de

Fourier, que passará a revolucionar a teoria das funções contínuas.

O exemplo apresentado por Abel foi a seguinte série dada por Euler (1760):

𝑠𝑒𝑛𝑥 −𝑠𝑒𝑛2𝑥

2+

𝑠𝑒𝑛3𝑥

3−

𝑠𝑒𝑛4𝑥

4+ ⋯

cuja soma é a extensão periódica de período 2π , da função 𝑓 definida por:

𝑓(𝑥) = {

𝑥

2, 𝑠𝑒 − 𝜋 < 𝑥 < 𝜋

0, 𝑠𝑒 𝑥 = −π 0, 𝑠𝑒 𝑥 = π

.

São séries desse tipo que começaram a mostrar fenômenos de descontinuidade e via-se

então que a ideia de descontinuidade precisava ser melhor conceituada.

23

No original: Some historians claim that Augustin Louis Cauchy in 1821 published a false statement, but with a purported proof, that the pointwise limit of a sequence of continuous functions is always continuous; however, Lakatos offers a re-assessment of Cauchy's approach. Niels Henrik Abel in 1826 found purported counterexamples to this statement in the context of Fourier series, arguing that Cauchy's proof had to be incorrect. Cauchy ultimately responded in 1853 with a clarification of his 1821 formulation. Disponível em: http://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_convergence. Acesso em: 09/10/2012).

http://en.wikipedia.org/wiki/Augustin_Louis_Cauchy

http://en.wikipedia.org/wiki/Imre_Lakatos

http://en.wikipedia.org/wiki/Niels_Henrik_Abel

http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_series

http://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_convergence

49

Figura 07 – Gráfico da função 𝑦 = 𝑓(𝑥) , o exemplo de Abel

Fonte: Elaborado pela pesquisadora com o uso do Software GeoGebra.

Fourier (1822) envia para a Academia de Ciências em 1807 o trabalho Mémoire sur la

propagation de la chaleur dans les corps solides, publicado em 1822 sob o título Théorie

analytique de la chaleur, no qual funções periódicas são desenvolvidas em séries de senos e

cossenos. Essas séries acabam por representar certas funções com comportamentos

inesperados. O tratamento de Joseph Fourier (1768–1830) carecia de rigor, e foi objeto de

intensos estudos por J. P. G. Lejeune Dirichlet (1805–1859) e G. F. Bernhard Riemann (1826–

1866). Começam assim a surgir funções que não são analíticas, motivando Dirichlet a dar

uma definição mais moderna de função, desatrelando-a da particularidade das funções

analíticas.

Dirichlet (1837, apud CORREIA, 1999) expressa sua definição de função e de

continuidade deixando claro que o seu entendimento de continuidade se opunha à

concepção de Euler:

Entendam-se por a e b dois valores fixos e por 𝑥 uma grandeza variável que assuma progressivamente todos os valores situados entre a e b. Ora, se a cada 𝑥 corresponder um único y finito de tal modo que, enquanto 𝑥 percorre continuamente o intervalo de a a b, 𝑦 = 𝑓(𝑥) também varia gradualmente, então 𝑦 chama-se uma função contínua [stetige oder continuirliche] de 𝑥 para este intervalo. Aqui, não é necessário de modo nenhum,que 𝑦 dependa de 𝑥 segundo a mesma lei em todo o intervalo, nem sequer é preciso pensar-se numa dependência exprimível por meio de operações matemáticas. Representada geometricamente, quer dizer, quando 𝑥 e 𝑦 são pensadas como abcissa e ordenada, uma função contínua aparece como uma curva conexa da qual apenas um ponto corresponde a cada abcissa compreendida entre a e b. Esta definição não prescreve nenhuma lei comum para as partes individuais da curva; esta pode pensar-se como composta de partes dos géneros mais diversos, ou desenhada inteiramente sem lei. Daqui decorre que uma tal função só deve ser encarada como completamente definida para um intervalo quando, ou for

50

graficamente dada para toda a extensão do mesmo, ou satisfizer leis matemáticas válidas para as partes individuais do mesmo. Enquanto se tiver apenas definido uma função para uma parte do intervalo, o género de prolongamento para o resto do intervalo permanece deixado inteiramente ao arbítrio. (DIRICHLET, 1837, p. 135-136, apud CORREIA, 1999, p. 81).

A importância da definição de Dirichlet é que não se trata apenas de uma definição

geral, mas de uma definição que ele efetivamente utiliza. Dirichlet foi o primeiro a levar a

sério a noção de função como uma correspondência arbitrária, já que matemáticos de Euler

à Cauchy, na realidade, pensavam em função como curva ou como dada por uma expressão

analítica. Dirichlet também foi um dos primeiros a restringir explicitamente o domínio de

uma função a um intervalo. Para dar um exemplo de uma função que não satisfaz às

hipóteses do seu teorema sobre representabilidade por séries de Fourier, Dirichlet define a

função monstro:

𝐷(𝑥) = {1, 𝑠𝑒 𝑥 é 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 0, 𝑠𝑒 𝑥 é 𝑖𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙

Este foi o primeiro exemplo de uma função que não é dada por expressões analíticas,

que não é uma curva desenhada a mão livre e que é descontínua (no sentido atual) em

todos os pontos. Observemos que a definição de continuidade de Dirichlet é menos precisa

do que as definições de Bolzano e Cauchy.

Como já descrevemos anteriormente, e como também foi escrito por Poincaré

(1899), no início do Século XIX, o conceito de função era ainda restrito e impreciso e as

funções descontínuas, as funções não deriváveis, as funções criadas artificialmente

indignavam os geômetras. Naquele momento os matemáticos não eram guiados por uma

definição clara e rigorosa de função, mas sim por uma certa intuição e um instinto um pouco

obscuro. A fronteira entre as funções analíticas e as outras funções estava longe de estar

definida e assim muitas funções eram excluídas do cenário matemático. A teoria moderna

das funções teve quatro fundadores: Gauss, Cauchy, Riemann e Weiertrass, cada um

desempenhando um papel próprio, essencial, igualmente importante.

Gauss não exerceu muita influência nesse desenvolvimento, pois seus escritos foram

encontrados muito depois da sua morte em 1855 e não tinham sido divulgados antes.

Cauchy, que realmente inicia essa nova fase da teoria das funções, na sua definição de

função já trabalha sobre bases aritméticas sólidas, apesar de ainda mostrar um pouco da

indecisão de seus antecessores. Bernhard Riemann (1826–1866) tem um método favorável

51

às descobertas. Sua obra tem uma concepção fortemente intuitiva e geométrica e sua

definição de função, como explicitado em Rüthing (1984), é:

Vamos supor que 𝑧 é uma quantidade variável que pode assumir, gradualmente, todos os possíveis valores reais então, se para cada um desses valores corresponde um único valor da quantidade indeterminada 𝑤, 𝑤 é chamada uma função de 𝑧... Obviamente, esta definição não estabelece, inteiramente, nenhuma lei entre valores individuais da função como se essa função fosse definida para um certo intervalo e a forma da sua continuação fora desse intervalo é completamente arbitrária. Não faz ...diferença se se define a dependência da quantidade 𝑤 sobre a quantidade 𝑧 como uma quantidade arbitrária dada, ou como uma quantidade determinada por certas operações de quantidades. (.RIEMANN, 1851, p. 3 e 4, apud, RÜTHING, 1984, p. 74 e 75, tradução nossa da tradução feita do alemão para o inglês por Rüthing).24

Finalmente, chegamos a Karl T. W. Weierstrass (1815–1897), cujo método é o

método de demonstração e a sua tendência é aritmitizante. Sua definição de função é de um

rigor simples, que se adapta com facilidade à generalizações. Como explicitado em Monna

(1972):

O estudo das funções analíticas era para Weierstrass um estudo local. Tratava-se de representar uma função e de reconhecer as suas propriedades na vizinhança imediata de um ponto dado. Daí o papel privilegiado atribuído aos desenvolvimentos convergentes em um circulo ou em uma coroa descrita ao redor do ponto. Para a escola de Weierstrass, definir uma função é dar-se, em suma, uma série de Taylor, pois dessa série pode-se teoricamente, pelo método do prolongamento analítico, deduzir o valor da função em todo ponto no qual ela é definida. (MONNA, 1972, p. 65, tradução nossa).25

Weierstrass, como parte de um programa de aritmetização, não só contribuiu para

uma definição satisfatória de número real, como também para uma definição “mais

24

Do inglês: Let us suppose that 𝑧 is a variable quantity which can assume, gradually, all possible real values then, if to each of its values there corresponds a unique value of the indeterminate quantity 𝑤, 𝑤 is called a function of 𝑧... Obviously, this definition establishes, entirely, no law between the single values of the function as, if this function has been defined for a certain interval, the manner of its continuation outside of the interval is completely arbitrary. It makes...no difference, whether one defines the dependence of the quantity 𝑤 on the quantity 𝑧 as an arbitrarily given one, or as one determined by certain operations of quantities. Tradução de Rüthing (1984).

25 No original: L'étude des fonctions analytiques était pour Weierstrass une étude locale. Il s'agissait de représenter une fonction et d'en reconnaitre les propriétés au voisinage immédiat d'un point donné. D'où le rôle privilegié attribué aux développements convergeant dans un cercle ou dans une couronne décrite autour d'un point. Pour l'école de Weierstrass, définir une fonction, c'est em somme se donner une série de Taylor, puisque aussi bien de cette série on Peut téoriquement, par la méthode du prolongement analytique, déduire la valeur de la fonction en tout point oh elle est définie.

52

moderna” do conceito de limite. A definição de Cauchy usara frase como “valores

sucessivos” ou aproximar-se indefinidamente” ou “tão pequeno quanto se queira”. Embora

sejam sugestivas, e provavelmente pedagogicamente reconfortantes falta-lhes a precisão,

que em geral se espera da Matemática. Em suas conferências, portanto, Weierstrass dava

ênfase ao que as vezes se chamou a “teoria estática da variável”. Heine, em seus Elemente

de 1872, influenciado pelas aulas de Weierstrass, definiu o limite de uma função 𝑓(𝑥) em

𝑥0 como segue:

Se, dado qualquer , existe um 𝜂𝑜 tal que para 0 < 𝜂 < 𝜂𝑜 a diferença 𝑓(𝑥0 ± 𝜂) − 𝐿 é menor em valor absoluto que , então 𝐿 é o limite de 𝑓 (𝑥) para 𝑥 = 𝑥0. (BOYER, 1974, p. 411).

Nessa definição fria e precisa não há sugestão de entidades fluindo e gerando

magnitudes de dimensão superior, nenhum recurso a pontos ou retas móveis, nenhum

abandono de quantidades infinitamente pequenas. Só restam os números reais, a operação

de adição (e sua inversa, a subtração) e a relação “menor que”. A linguagem sem

ambiguidades e o simbolismo de Weierstrass e Heine expulsaram do Cálculo a noção de

variabilidade e tornaram desnecessários o persistente apelo a infinitesimais fixos. A “Idade

do Rigor” chegara verdadeiramente, substituindo os antigos artifícios heurísticos e os

antigos conceitos intuitivos por precisão lógica crítica. Hoje o 𝜂 é subistituído por outra

letra grega, 𝛿 , mas as definições de limite de uma função encontradas em livros atuais são

essencialmente as mesmas que Weierstrass e Heine introduziram há quase um século. As

chamadas provas por épsilons e deltas são agora parte do instrumental comum aos

matemáticos. (BOYER, 1974).

Coube a Weierstrass, dentro de seu programa de aritmetização da análise e eliminação

de qualquer resquício de natureza geométrica da teoria, definir a noção de continuidade em

termos de épsilons e deltas, como a utilizamos atualmente. Com o uso das séries de Fourier

consegue em 1872 dar um exemplo de uma função contínua, não diferenciável em nenhum

ponto (WEIERSTRASS, 1895), desvinculando assim, continuidade de diferenciabilidade. Esse

exemplo causou comoção no meio matemático, pois, até então, acreditava-se que uma

função contínua só pudesse ser não diferenciável em pontos isolados de seu domínio, pois

se acreditava também que uma função contínua seria representada por uma curva, que teria

uma tangente em cada ponto.

53

A definição de função contínua dada por Weierstrass (1874) é:

Aqui nós chamamos uma quantidade 𝑦 uma função contínua de 𝑥, se após tomar uma quantidade 𝜖, a existência de 𝛿 pode ser provada, tal que para qualquer valor entre 𝑥0 − 𝛿 …𝑥0 + 𝛿, o corresponde valor de 𝑦 fica entre 𝑦0 − …𝑦0 + . (WEIERSTRASS, 1874, apud DIMITRIC, 2012, p. 3, tradução nossa).26

Com a conjuntização da Matemática, iniciada por Georg Cantor (1845–1918) e

aprofundada por Richard Dedekind (1831–1916), cujo brilhantismo ia muito além dos

resultados matemáticos que apresentou, emerge finalmente a definição atual de função,

estampada no primeiro livro da série de Nicolas Bourbaki27, em 1939 , encerrando todas as

questões sobre o que seria uma função. Essa definição diz que:

Sejam 𝐸 e 𝐹 dois conjuntos, que podem ser ou não ser distintos. Uma relação entre um elemento variável 𝑥 de 𝐸 e um elemento variável 𝑦 de 𝐹 é chamada uma relação funcional em 𝑦, se para todo 𝑥 ∈ 𝐸, existe um único 𝑦 ∈ 𝐹 que está na dada relação com 𝑥. Damos o nome de função à operação que desta maneira associa a cada elemento 𝑥 ∈ 𝐸 o elemento 𝑦 ∈ 𝐹 que está na dada relação com 𝑥; 𝑦 é dito ser o valor da função no elemento 𝑥, e a função é dita ser determinada pela dada relação. Duas relações funcionais equivalentes determinam a mesma função. (BOURBAKI, 1968, p. 351, apud RÜTHING, 1984, p. 77, tradução nossa).28

Atualmente, a definição de continuidade de função real de variável real é a de

Weierstrass. No entanto, com a topologização da Análise, permitindo a utilização de

domínios bem gerais para funções, existem muitas definições de continuidade

surpreendentemente diferentes. Harper (2008)29 mostra pelo menos cinco diferentes

definições de função contínua de variável real encontradas em dez livros textos publicados

26

No original: Here we call a quantity 𝑦 a continuous function of 𝑥, if upon taking a quantity 𝜖, the existence of 𝛿 can be proved, such that for any value between 𝑥0 − 𝛿 …𝑥0 + 𝛿, the corresponding value of 𝑦 lies between 𝑦0 − …𝑦0 + . 27

Nicolas Bourbaki é o pseudônimo de um grupo de matemáticos, principalmente franceses, que a partir de 1935, escreveu uma série de livros que apresentam uma matemática moderna e avançada. Com o objetivo de fundamentar toda a matemática na teoria dos conjuntos, o grupo se pautou no rigor e na generalidade. Vários conceitos e terminologias criados pelo grupo ainda hoje são discutidos. Disponível em http://en.wikipedia.org/wiki/Nicolas_Bourbaki. Acesso em 27/10/2012.

28 No original: Let 𝐸 and 𝐹 be two sets, which May or May not be distinct. A relation between a variable element 𝑥 of 𝐸 and a variable element 𝑦 of 𝐹 is called a functional relation in 𝑦 if, for all 𝑥 ∈ 𝐸, there exists a unique y ∈ F which is in the given relation with 𝑥. We give the name of function to the operation which in this way associates with every element 𝑥 ∈ 𝐸 the element y ∈ F which is in the given relation with 𝑥; 𝑦 is said to be the value of the function at the element 𝑥, and the function is said to be determined by the given relation. Two equivalent functional relations determine the same function (BOURBAKI, 1968, p. 351).

29 Este artigo pode ser acessado em: <http://researcharchive.vuw.ac.nz/handle/10063/410>.

http://en.wikipedia.org/wiki/Nicolas_Bourbaki

http://researcharchive.vuw.ac.nz/handle/10063/410

54

entre 1893 e 1992 e mostra o que elas implicam para a continuidade em 𝑥 = 0 de três

funções com domínios distintos apresentadas por ele no artigo.

Depois desse caminhar pela história dos conceitos de função e de continuidade, fica

para nós claro, que as ideias matemáticas não nascem prontas e acabadas, elas evoluem

gradualmente, e vão se adequando às necessidades das teorias e das pesquisas vigentes. É

muito importante que levemos em consideração o conhecimento histórico da construção de

um conceito para compreendermos as dificuldades que devem ser superadas no processo de

ensino e aprendizagem desse conceito.

A seguir, apresentamos o que chamamos de Revisão de Literatura e o Ensino do

Cálculo, que é desenvolvida em três etapas: Reflexões sobre o Ensino do Cálculo; O Ensino

do Cálculo: investigações sobre o ensino e a aprendizagem de Limite; O Ensino do Cálculo:

investigações sobre o ensino e a aprendizagem de Continuidade.

1.2 REVISÃO DE LITERATURA E O ENSINO DO CÁLCULO

A nossa revisão de literatura começa focando o Ensino do Cálculo, buscando

entender como era esse ensino na década de 1980, quando ocorreu o importante

movimento da Reforma do Cálculo de repercussão internacional e nacional. A seguir, nossa

atenção se volta para o conceito de limite, por ser um conceito que está imbricado com o

conceito de continuidade, foco da nossa investigação. Buscaremos na literatura nacional e

internacional pesquisas que têm o conceito de continuidade como foco principal, sob as

mais diversas perspectivas e abordagens e, em particular aquelas que se aproximam da

nossa fundamentação teórica–metodológica (LAKOFF; NÚÑEZ, 2000; CASTRO; BOLITE

FRANT, 2011; SFARD, 2008) e que também nos ajudem a encontrar respostas para as nossas

inquietações relativas ao ensino e à aprendizagem de Cálculo, com os quais estamos

envolvidas há tantos anos.

Gostaríamos de deixar registrado uma citação de René Thom30, que nos remete à

década de 1960, e se refere ao movimento da chamada Matemática Moderna, que

pretendia a renovação pedagógica do ensino da Matemática e a modernização dos

30

René Thom é um matemático francês nascido em 1923, Medalha Fields (1958), a maior premiação internacional para os matemáticos, equivalente ao Prêmio Nobel. Conhecido pelo desenvolvimento da teoria das catástrofes, um tratamento matemático de ação contínua produzindo um resultado descontínuo.

55

currículos. Thom observa que nenhum destes dois objetivos é para ser mais preciso,

"moderno" nem mesmo recente e diz que:

A ansiedade sobre o ensino de matemática de uma forma heurística ou criativa não data de ontem [...]. Descende diretamente da pedagogia exibida na lição que Sócrates deu para o pequeno escravo de Menon. [...] O verdadeiro problema que enfrenta o ensino da matemática não é o de rigor, mas o problema do desenvolvimento do "sentido", da "existência" de objetos matemáticos. (THOM, 1972, p. 195, 202, ênfase do autor, tradução nossa).31

As palavras de René Thom ecoam por toda a nossa revisão de literatura. Parece que o

tempo não passou. Mas, o mais importante, foi ver o envolvimento de tantos pesquisadores

buscando oferecer respostas para os inúmeros obstáculos que o ensino da Matemática

enfrenta, e parece que desde sempre.

1.2.1 Reflexões sobre o Ensino do Cálculo

Várias são as pesquisas que trazem estatísticas de não-aprovação – isto é, reprovação

por nota, por falta ou por desistência – da disciplina Cálculo Diferencial e Integral, e apontam

as mais variadas razões para isso. Esses índices traduzem as dificuldades dos alunos quanto à

aprendizagem dos conceitos envolvidos nessa disciplina.

Saback (1980) comprova que o alto índice de reprovação nas disciplinas de Cálculo I32

nos cursos de engenharia não é um fato novo e esses dados são frequentes na literatura.

Em sua tese de doutorado, Barufi (1999) mostra os alarmantes índices de não

aprovação em disciplinas de Cálculo sob a responsabilidade do Instituto de Matemática e

Estatística da Universidade de São Paulo (IME/USP). A taxa de aprovação, no período de

1990 a 1995, não é superior a 45%. Mostra, também, que mesmo entre os alunos da Escola

Politécnica da USP, o índice de não-aprovação, nesse mesmo período, varia de 20% a 75%.

31

Texto original: The anxiety about teaching mathematics in a heuristic or creative way does not date from yesterday (as Professor Pólya’s contribution to congress thought shows). It is directly descend from the pedagogy displayed in the lesson that Socrates gave to the small slave of Menon’s. [..] The real problem which confronts mathematics teaching is not that of rigour, but the problem of the development of ‘meaning’, of the ‘existence’ of mathematical objects.

32 A disciplina de Cálculo Diferencial e Integral de uma variável real pode aparecer no nosso texto com vários nomes diferentes, dependendo da instituição, do curso ao qual estivermos nos referindo. Pode ser, por exemplo: Cálculo Diferencial e Integral I, Cálculo I, Cálculo A, Cálculo Aplicado I.

56

Na Universidade Federal Fluminense (UFF), Rezende (2003), mostra que no período

de 1996 a 2000 o índice de não-aprovação encontra-se na dramática faixa de 45% a 95%,

sendo que, para o Curso de Matemática, este não é inferior a 65%.

Figura 08 – Índice de não-aprovação em cursos de Cálculo na UFF

Fonte: Rezende (2003a, p. 2)

Dados coletados nos arquivos do GMA – Departamento de Matemática Aplicada da

UFF, departamento ao qual a pesquisadora está vinculada, mostram que apesar das várias

iniciativas tomadas por professores e pela instituição esses índices de não-aprovação

persistem. No período de 2005 a 2007, a faixa de não-aprovação em Cálculo I (GMA 06076)

para alunos de licenciatura e bacharelado em Matemática era de 62% a 84%, em

Matemática Básica (GMA 04075) era de 50% a 64%. Uma das iniciativas para tentar melhorar

esses índices foi a de dar uma maior atenção aos conteúdos básicos de Matemática

necessários para um bom desempenho na disciplina de Cálculo, e a disciplina Matemática

Básica (GMA 04075), que tinha uma carga horária semanal de 4 horas foi substituída pelas

disciplinas Matemática Básica (GMA 00115) e Pré-Cálculo (GMA 00116), que juntas, somam

8 horas de carga horária semanal. Foram coletados os dados de não-aprovação dessas

disciplinas no período de 2008 a 2009 (primeiro semestre) e em Matemática Básica a faixa

de não-aprovação é de 64% a 75% e a de Pré-Calculo é de 68% a 82%.

57

Zeferino; Wrobel; Carneiro (2013) citam índices bastante atuais e não menos

alarmantes. Dos 330 alunos das Engenharias Ambiental, Civil, Elétrica e Mecânica que no

semestre 2011-2, cursavam a disciplina Cálculo I (MAT09570) na Universidade Federal do

Espírito Santo, 46% não foram aprovados.

Os índices de não aprovação nas disciplinas Matemática Básica (64% a 75%) e Pré-

Calculo (68% a 82%) da Universidade Federal Fluminense citados anteriormente fortalecem

o pensamento de muitos pesquisadores e professores da área, que afirmam que grande

parte dos alunos que ingressam na universidade carecem de uma melhor formação básica

em matemática. Perguntamo-nos: será que o motivo de tantas reprovações está mesmo na

falta de base dos alunos? Ou estará no processo de aprendizagem? Na metodologia de

ensino? Na prevalência da técnica sobre o significado? Será que estamos permitindo que os

nossos alunos produzam significados para as noções básicas do Cálculo? Como responder a

todas essas indagações?

Baldino (apud OLIMPIO JUNIOR, 2006, p. 4 e 5), um pesquisador dedicado ao ensino e

à aprendizagem de Cálculo, disse numa lista eletrônica de discussões da Sociedade Brasileira

de Educação Matemática – SBEM:

Colocar um aluno “hipossuficiente” na universidade é um bom começo [...] exige investimento e pesquisa. Por exemplo, como organizar um curso de Cálculo para alunos que: Não fazem 347 vezes 347 divididos por 347 sem usar a calculadora, mesmo quando instados pelos colegas; Não conseguem pronunciar a frase "o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos Catetos"; nas várias tentativas truncam o início ou o fim da frase ou falam outra coisa no meio; Não conseguem substituir 8 por 2 ao cubo em uma expressão aritmética;[...] Não distinguem área de perímetro; Têm muita dificuldade em marcar pontos no plano coordenado; Precisam da calculadora para dividir 1 por 0,1 [...] Acham que a=b e b=c não implica a=c; [...] É preciso, primeiro, mostrar que esse problema existe, e que boa parte dos alunos que o vestibular nos dá, são assim (de 10 a 15% no nosso curso); segundo, é preciso que a Educação Matemática se ponha a resolver esse problema. (BALDINO, apud OLIMPIO JUNIOR, 2006, p. 4 e 5, ênfase nossa).

Devemos também, refletir sobre como muitos dos nossos alunos chegam à universidade.

Buerk (1990) cita algumas das metáforas ditas por seus estudantes num primeiro dia

de aula num seminário sobre escrita em matemática quando foram solicitados a dizer o que

pensavam da Matemática:

58

Uma linha de montagem onde um grande número de pessoas faz exatamente a mesma tarefa dia após dia, ano após ano. Uma sala de aula gigante com milhões de homens recitando o Teorema de Pitágoras. Uma porta fechada: todas as informações estão lá, somente eu não tenho a chave. O deserto do Saara: eu vagando sem rumo, tentando encontrar a direção certa, mas sempre sendo enganado por miragens. Areia movediça: encontro-me afogando em uma massa de equações e variáveis, achando que quanto mais eu luto, mais eu me afogo. (BUERK, 1990, p. 78, tradução nossa)33

Buerk (1990) acredita que essas metáforas mostram que os alunos chegam a uma

aula de Matemática relutantes, sentindo-se impotentes, intimidados diante da Matemática,

pensando nela como uma disciplina mecânica, na qual se deve decorar e memorizar

conteúdos e procedimentos. Cabe a nós, professores e pesquisadores mudar a concepção

que esses alunos têm da Matemática como disciplina e de si mesmos como aprendizes da

Matemática.

Essa situação alarmente do ensino do Cálculo que acabamos de expor, nos leva a

uma indagação: esse fenômeno acontece apenas nas universidades brasileiras? As

dificuldades referentes ao ensino e à aprendizagem de Cálculo ultrapassam as nossas

fronteiras. Trabalhos sobre esse tema têm recebido destaque na literatura internacional

especializada.

David Tall34, por exemplo, um dos principais articuladores da pesquisa sobre o

pensamento matemático avançado, cujas indagações giram em torno das dificuldades

encontradas no ensino e na aprendizagem do Cálculo, é envolvido com o tema desde a

década de 70. Tall, em 1991, lança a obra Advanced Mathematical Thinking (Pensamento

Matemático Avançado) que envolve vários outros pesquisadores da área da psicologia

cognitiva. Mais adiante voltaremos a falar de sua pesquisa.

33

Texto original: An assembly line where a large group of people perform the exactly same task day after day, year after year. A giant classroom with millions of men reciting the Pythagorean theorem. A closed door: all the information is there, only I don’t have the key. The Sahara Desert: I Wander about aimlessly, trying to find the right direction, yet Always being fooled by mirages. Quicksand: I find myself drowning in a mass of equations and variables, finding that the more I struggle, the more I drown.

34 Professor Emérito da Universidade de Warwick (Warwick University). Pesquisador do Pensamento Matemático Avançado, com inúmeros artigos e livros publicados focando o Cálculo, nos mais variados aspectos.

59

Nos Estados Unidos, na década de 1980, um movimento impactou o ensino do

Cálculo com reflexos inclusive no Brasil. Foi o chamado Calculus Reform (Reforma do

Cálculo).

A Conferência de Tulane, realizada na Tulane University, em janeiro de 1986 e

organizada por Ron Douglas35, é muitas vezes considerada como sendo o berço da reforma

do Cálculo, e podemos ler na literatura, que essa conferência surge do debate contínuo

versus discreto iniciado por Tony Ralston36. Murphy (1999) e Kastem (1988) argumentam

que o debate contínuo versus discreto surge muito antes na comunidade científica, em 1979,

quando aparece o primeiro Sistema de Álgebra Computacional (CAS) para micro

computadores, que tornou possível o primeiro experimento usando CAS no ensino do

Cálculo, quando também, o acesso aos microcomputadores ficava financeiramente mais

viável. Com o desenvolvimento dessa área computacional, cresce a demanda pela

matemática discreta e o ensino do Cálculo, que já vinha enfrentando sérias dificuldades, se

torna o foco da discussão por uma abordagem discreta. Mesmo matemáticos (LAX37, 1984;

DOUGLAS, 1985a, 1987) que defendiam o Cálculo, tal como era, reconheciam os problemas

que o ensino do Cálculo vinha enfrentando.

Lax (1984), no seu documento In Praise of Calculus….(Em louvor do Cálculo), diz que a

educação dos futuros matemáticos devia ser planejada levando-se em conta o estado da

Matemática do momento, bem como as tendências do seu futuro desenvolvimento e o

desenvolvimento das ciências relacionadas à Matemática. Nesse documento, Lax dá razão a

Tony Ralston, quando este afirma que a crescente presença dos computadores de alta

velocidade no universo matemático faz emergir uma gama enorme de problemas discretos,

de natureza combinatória, que são um grande desafio intelectual e são importantes em uma

ampla variedade de aplicações, mas Lax diz que: “[...] é tão errado quanto errado pode ser,

dizer que o cálculo perde em qualquer sentido, relativo ou absoluto, a sua importância na

formulação de noções e resoluções de problemas matemáticos.” (LAX, 1984, p. 379, grifo do

35

Ronald George Douglas, nascido em 1938, é um matemático americano, mais conhecido por seu trabalho em álgebras de operadores (operator algebras), e hoje é um “Distinguished Professor” no Departamento de Matemática na Universidade Texas A&M.

36 Anthony (Tony) Ralston é Professor Emérito da Ciência da Computação e Matemática da Universidade Estadual de Nova York em Buffalo (State University of New York at Buffalo).

37 Peter David Lax, matemático húngaro, nascido em 1926 é descrito como o matemático mais versátil de sua geração. Ele se destaca por aliar a matemática pura à aplicada no estudo das equações diferenciais, é pesquisador no Courant Institute of Mathematical Sciences, o departamento da Universidade de Nova York. Recebeu e o prêmio Abel de 2005, considerado informalmente o "Nobel da Matemática".

60

autor, tradução nossa). Na opinião de Lax, não enfatizar suficientemente o Cálculo durante

os anos de formação de futuros matemáticos, impediria que esses estudantes conhecessem

o amplo panorama de ramos da Matemática nos quais poderiam atuar.

Quanto ao cálculo: matemáticos não precisam de menos, mas mais disso. A verdadeira crise é que no presente o Cálculo é mal ensinado, o currículo permaneceu estacionário, e modernos pontos de vista, especialmente aqueles que têm a ver com o papel de aplicações e computação, são mal representados. (LAX, 1984, p. 380, grifo do autor, tradução nossa).38

Mas, segundo, Douglas (1986) e Murphy (1999) a intenção real da Conferência de

Tulane era a melhoria do Cálculo. O trabalho da conferência era estudar uma reformulação

completa do curso de Cálculo ministrado nas universidades americanas, tanto no conteúdo

como na pedagogia. A meta era na direção de um conteúdo mais enxuto e encontrar

maneiras criativas para ajudar os alunos a obter uma compreensão mais profunda das ideias

de cálculo. Consta do relatório final dessa conferência conhecido por Toward a Lean and

Lively Calculus o incentivo do uso de computadores e de Sistemas de Computação Algébrica

(CAS) no ensino do Cálculo para libertar os alunos da computação e manipulação de

símbolos algébricos, permitindo-lhes assim explorar as grandes ideias do Cálculo e usar essas

ideias para resolver (modelar) os problemas da vida real. Douglas (1987) diz que as

recomendações da reunião para um primeiro curso de Cálculo foram para um conteúdo mais

enxuto, “sem”:

taxas relacionadas, regra de l’Hôpital, definição de limite por − 𝛿 , redução na ênfase em soma de Riemann e no cálculo de derivada pela definição [...] ênfase em função dada graficamente ou numericamente, em ideias numéricas elementares (Método de Newton e Regra de Simpson), e o uso de calculadoras de mão. (DOUGLAS, 1987, p. 439, tradução nossa).39

Douglas (1987)

[...] chegou à conclusão de que [as recomendações] são radicais e não se encaixam em uma mudança no curso de cálculo atual. Em particular, ele

38

Texto original: As to calculus: mathematicians need not less, but more of it. The real crisis is that at the present it is badly taught; the syllabus has remained stationary, and modern points of view, especially those having to do with the role of applications and computing, are poorly represented. (LAX, 1984, p. 380, grifo do autor).

39 Texto original:The course is definitely leaner. Related rates, l’Hôpita’s rule, and the − 𝛿 definition of limit are all out. There is a reduction in emphasis on Riemann sums and on computation of derivatives from the definition. […] emphases on functions given graphically or numerically, on elementary numerical ideas (Newton's Method and Simpson's Rule), and on the use of hand-held calculators.

61

não acredita que o curso recomendado pode ser ensinado a partir de livros existentes. (DOUGLAS, 1987, p. 439, tradução nossa).40

e novos livros textos deveriam ser pensados.

Logo após a Conferência de Tulane, a Associação Matemática da América (MAA)

nomeou uma Comissão de Reforma do Cálculo para planejar os próximos passos.

Segundo Hughes-Hallett (2006), no final de 1980 uma variedade de projetos são

implementados em várias instituições de ensino para melhorar o ensino do Cálculo. Projetos

que redesenhavam o currículo e a pedagogia para usar o poder das novas ferramentas

computacionais, por exemplo, os softwares Cálculo e Mathematica, da Universidade de

Illinois, o Projeto CALC, da Universidade de Duke (Duke University), projetos que fortaleciam

o trabalho em grupo, como o projeto colaborativo do Estado do Novo México. Ao longo dos

anos esses projetos foram se integrando.

Para Hughes-Hallett e Gleason (1992), o aspecto mais difícil no ensino do Cálculo, e o

mais necessário também, é levar os alunos a pensar. Para tentar mudar essa situação,

Hughes-Hallett e Gleason, conjuntamente com professores de outras oito instituições

propõem um projeto para criar um currículo baseado na crença que três aspectos do Cálculo

– gráfico, numérico e analítico – devem ser sempre enfatizados. Essa abordagem é chamada

por eles de Regra dos Três, e leva os alunos a se deparar, repetidamente, com o significado

gráfico e numérico das ideias do Cálculo, o que, segundo os autores, irá incentivar a

compreensão dessas ideias.

Todos os programas da Reforma do Cálculo focaram a atenção no desenvolvimento

da capacidade de pensar e na compreensão conceitual, eliminando a possibilidade do aluno

acreditar que aprendeu Cálculo, quando demonstrou apenas, capacidade de memorizar

fórmulas e manipular símbolos. Para isso, muitos participantes da Conferência de Tulane

sugeriram a Regra dos Cinco, onde a comunicação escrita deveria se juntar aos outros quatro

aspectos do Cálculo. Assim a Regra dos Cinco é caracterizada pelos segunites aspectos:

gráfico, numérico, analítico, verbal e escrito.

Hughes Hawellet (2006) aponta também a influência que a Reforma do Cálculo teve

nos livros textos. Antes da reforma, em meados da década de 1980, os exercícios não

padrão, que não podiam ser resolvidos imitando um exemplo desenvolvido no texto, eram

40

[…] has come to the conclusion that [the recommendations] are radical and would not fit into a change in the current calculus course. In particular he does not believe that the recommended course can be taught from existing books

62

poucos e vinham no final das listas de exercícios. Já na década de 1990, uma variedade

muito maior desses exercícios não padrão, foram introduzidos nos livros textos de Cálculo.

Hoje, podemos constatar, o uso da Regra dos Quatro nos livros de Cálculo (ANTON; BIVENS;

DAVIS, 2007) em problemas que usam múltiplas representações – gráfica, numérica,

analítica e verbal – o que estimula o aluno a uma compreensão dos conceitos, já que ele não

encontra no texto, um modelo de exercício para reproduzir. Há um esforço para se mudar o

foco do ensino do Cálculo, para baseá-lo tanto nos conceitos quanto nos procedimentos.

A maioria dos textos agora também já permite o uso da tecnologia. Embora muitas

vezes esse uso apareça apenas como um complemento na teoria e nos exercícios, mais

problemas que envolvem Sistemas de Álgebra Computacional foram acrescentados aos

livros textos.

Para exemplificar o que foi dito acima, vamos transcrever aqui algumas informações

que constam dos prefácios de alguns livros textos:

Em Anton, Bivens e Davis (2007, Prefácio ix, grifo nosso) podemos ler:

Computação Gráfica Nesta edição fazemos uso extensivo da moderna computação gráfica para esclarecer conceitos e desenvolver a habilidade do estudante de visualizar objetos matemáticos, particularmente os do espaço tridimensional. [...].

Regra dos Quatro A “regra dos quatro” diz respeito à apresentação dos conceitos dos pontos de vista verbal, algébrico, visual e numérico. De acordo com a filosofia pedagógica atual, sempre que indicado, utilizamos essa abordagem.

Em Thomas et al (2002, Para o Professor, xi, x, grifo nosso) consta:

Tecnologia: Ferramentas Gráficas e Uso do Computador De modo geral, todas as seções do texto contêm exercícios que exploram padrões numéricos ou que requerem o uso de uma calculadora gráfica e pedem aos alunos que gerem e interpretem gráficos, para que entendam as relações entre a matemática e o mundo real.

Dominando Habilidades e Conceitos Com uma forte ênfase no desenvolvimento de habilidades, o livro apresenta uma série de exemplos e discussões que encorajam os alunos a pensar gráfica, analítica e numericamente. [...]

Já em Hughes-Hallett et al (2008, Prefácio v, vi) lemos:

[...] Esta edição de Cálculo prossegue com o nosso esforço em mudar o foco do ensino do cálculo baseando-nos tanto nos conceitos quanto nos procedimentos.

63

O DESENVOLVIMENTO DAS HABILIDADES MATEMÁTICAS Para utilizar o cálculo de maneira efetiva, os estudantes necessitam de habilidades tanto em manipulação simbólica quanto no uso de computadores e de máquinas de calcular. [...] O livro não requer um software ou tecnologia específica. Ele foi usado com calculadoras gráficas, software gráfico e sistemas de álgebra computacional. Qualquer tecnologia capaz de traçar gráficos de funções e fazer integração numérica é suficiente.[...]

A TERCEIRA EDIÇÃO: UM CURRÍCULO EM EVOLUÇÃO

[...] Nosso livro tem as mesmas qualidades das edições anteriores, que foram adotadas como padrão em outros livros-textos: A Regra dos Quatro [onde os tópicos, quando apropriado, devem ser apresentados sob as formas geométrica, numérica, analítica e verbal], ênfase em modelagem, uma exposição compreensível aos estudantes e uma atitude flexível em relação à tecnologia. [...]

Em 06 de maio de 1992, no Rio de Janeiro (Brasil), a União Internacional de

Matemática declarou o ano 2000 como o Ano Mundial da Matemática. Essa declaração do

Rio definiu três objetivos:

Identificar as principais questões em aberto para a pesquisa em Matemática – os grandes desafios do Século XXI.

Promover a Matemática como uma chave para o desenvolvimento, as relações entre a Matemática, a Educação Matemática, as aplicações com outras áreas das ciências.

Melhorar a imagem da Matemática na sociedade por meio de exemplos e aplicações cientificamente precisas, bem como por meio do aspecto cultural da Matemática, graças em parte, à História da Ciência. (ROCHA, 2000)

Na França, a pedido do ministro da Educação Nacional foi formada uma comissão

para reflexão sobre o Ensino das Matemáticas (Commission de Réflexion sur l’Enseignement

des Mathématiques)41, presidida por Jean-Pierre Kahane e com a participação da

pesquisadora Michèle Artigue42. Essa Comissão foi estabelecida em 1999 e ao longo dos

41

As informações sobre essa comissão e seus relatórios estão disponíveis em: Commission de réflexion sur l'enseignement des mathématiques. Rapports d'étape: Présentation des rapports de la commission. Publications de la Société Mathématique de France – SMF, mar. 2001. Dispon[ivel em: <http://smf4.emath.fr/en/Enseignement/CommissionKahane/>. Acesso em: 24 ago. 2013.

42 Michèle Artigue é uma pesquisadora matemática francesa, professora titular do Departamento de Matemática da Universidade Paris Diderot – Paris 7. Suas principais áreas de pesquisa em Educação Matemática estão relacionadas ao ensino e à aprendizagem da matemática em nível universitário, especialmente a didática do Cálculo e da Análise e a integração de tecnologia informática na Educação

http://smf4.emath.fr/en/Enseignement/CommissionKahane/RapportsCommissionKahane.pdf


http://smf4.emath.fr/en/Enseignement/CommissionKahane/

64

quatro anos de sua existência produziu relatórios sobre os temas: Informática, Geometria,

Cálculo, Probabilidade e Estatística. Formação inicial e continuada dos professores de

Matemática43.

Vários motivos levaram a Comissão a fazer do Cálculo um dos seus temas de reflexão.

Um deles foi o desenvolvimento das tecnologias da informação que, também na França,

modificou profundamente as práticas associadas ao cálculo, tanto as práticas cotidianas e

sociais, quanto as práticas científicas. Algorítmos do cálculo que ocupavam um tempo

importante da aprendizagem escolar foram implementados em calculadoras bastante

simples e o poder computacional dessas novas ferramentas, encurtando o tempo necessario

para esses cáculos, modifica a relação entre o cálculo e o raciocínio, favorecendo

explorações, simulações, experimentações.

No relatório sobre a Informática, a Comissão mostrou o impacto que o uso da

tecnologia teve sobre o desenvolvimento da Matemática, e afirmou que o impacto sobre o

ensino da Matemática foi menor do que o esperado.

A Comissão diz que não se pode deixar de questionar sobre o que pode ser, sobre o

que deve ser o ensino do Cálculo, quanto ao conteúdo e forma, levando em consideração as

necessidades culturais, científicas e sociais as quais deve responder.

Citando um extrato do relatório sobre a informática e o ensino da Matemática:

[...] Desde 1984, o impacto sobre a matemática tornou-se evidente. O impacto sobre o conteúdo do ensino de matemática é muito menor do que o esperado. O relatório fornece formas de avançar nessa direção. Ele insiste, sobre escrever programas, que articulem o raciocínio, a formalização, a lógica e a eficácia. Ele mostra como algumas noções matemáticas são suscitadas ou ressuscitadas pelo uso da informática. (Commission de réflexion sur l'enseignement des mathématiques. Rapports d'étape. Présentation des rapports de la commission, mar. 2001, p. 4, tradução nossa).44

E no relatório sobre o Cálculo, a Comissão escreve:

Matemática, além de contribuições teóricas para: as relações entre a epistemologia e a didática, a engenharia didática, e mais recentemente a rede de quadros teóricos.

43 Os quatro primeiros relatórios foram publicados em 2002 no livro intitulado “L'enseignement des sciences mathématiques: rapport au Ministre de l'Éducation nationale”, sob a direção de Jean-Pierre Kahane e editado por Odile Jacob/Centre National de Documentation Pédagogique.

44 Texto original: Depuis 1984, l'impact sur les mathématiques est devenu évident. L'impact sur le contenu de l'enseignement des mathématiques est bien moindre que prévu. Le rapport donne des voies pour avancer dans cette direction. Il insiste, à propos de l'écriture des programmes, sur l'articulation entre raisonnement, formalisation, logique et effectivité. Il montre comment certaines notions mathématiques se trouvent suscitées ou ressuscitées par l'informatique.


65

O relatório sobre o cálculo do Ensino Fundamental ao Cálculo Diferencial e Integral é um desafio, uma vez que inclui aspectos e ramos. Sua originalidade é captar os aspectos epistemológicos e didáticos comuns a vários níveis e vários usos. Assim como, a distinção entre o cálculo exato e o cálculo aproximado, a articulação entre os mecanismos do cálculo e o raciocínio, a comparação de números e grandezas, e a forma como a informática influencia a concepção do cálculo. [...]. (Commission de réflexion sur l'enseignement des mathématiques. Rapports d'étape: Présentation des rapports de la commission, mar. 2001, p. 4 e 5, tradução nossa).45

O movimento da Reforma do Cálculo também se fez sentir no Brasil a partir dos anos

1990. Dois projetos de grande repercussão nacional, o PROGENGE – Programa de

Desenvolvimento das Engenharias e o PROIN – Programa de Apoio à Integração

Graduação/Pós-Graduação implicaram mudanças no ensino do Cálculo, principalmente na

introdução dos programas de Sistemas de Computação Algébrica (CAS) nas disciplinas iniciais

de Cálculo para os cursos de Engenharia e Matemática.

O PRODENGE é um programa que propõe uma reforma nacional da Engenharia, e foi

lançado em setembro de 1995 numa ação conjunta da FINEP, da CAPES e SESu, além do

CNPq46.

Segundo Longo (2004), o objetivo do PRODENGE era modernizar e estruturar os

cursos de Engenharia no Brasil, tanto no ensino como nas pesquisas. Um dos subprogramas

do PRODENGE, o REENGE – Reengenharia dos Cursos de Engenharia tinha como um dos seus

objetivos promover uma maior aproximação e entrosamento das Faculdades de Engenharia

com os institutos ou departamentos de Matemática, Física, Química, Biologia, e Informática,

julgados fundamentais para a formação básica dos engenheiros. O Projeto PRODENGE durou

um pouco mais de seis anos e gerou, Brasil afora, inúmeros produtos, dentre eles

laboratórios de Cálculo, de Física, e específicos das Engenharias.

A UFF participou desse programa com o projeto PRODINE-UFF – Programa de

Desenvolvimento Interdisciplinar em Engenharia na UFF. Esse projeto previa integração

45

Texto original: Le rapport sur le calcul, de l'enseignement élémentaire au calcul différentiel et intégral, est une gageure, tant il comporte d'aspects et de branches. Son originalité est de saisir les aspects épistémologiques et didactiques communs à plusieurs niveaux et plusieurs usages. Ainsi de la distinction entre calcul exact et calcul approché, de l'articulation entre la mécanique du calcul et le raisonnement, de la place comparée des nombres et des grandeurs, et de la manière dont l'informatique influe sur la conception du calcul.

46 CAPES – Coordenação de Aperfeiçoamento do Pessoal do Ensino Superior, órgão do MEC. FINEP – Financiadora de Estudos e Projetos. SESu – Secretaria de Educação Superior órgão do MEC. CNPq – Conselho Nacional do Desenvolvimento Científico e Tecnológico.



66

entre os ciclos básico e profissional dos cursos de Engenharia, investimento no primeiro

semestre desse curso, introdução de Sistemas de Computação Algébrica, principalmente nas

disciplinas do primeiro semestre. O Instituto de Matemática participou com três

subprojetos, sendo um deles o Laboratório de Cálculo –Álgebra Linear – Geometria Analítica

que propunha uma mudança pedagógica estrutural do ensino das disciplinas de Cálculo,

Álgebra Linear e Geometria Analítica para os alunos da Engenharia, principalmente

introduzindo recursos computacionais no ensino dessas disciplinas.

Do Relatório de Atividades de 1997 desse subprojeto47, podemos sentir fortemente a

influência do projeto “Calculus Reform” no ensino do Cálculo no Brasil. Extraímos desse

relatório o seguinte trecho:

[...]quanto ao software a ser utilizado, por uma questão de custo/benefício, vamos usar o Maple V (um software excelente) [..]. Quanto à maneira de dar o curso, vamos dar aulas de Cálculo I no Laboratório, como está sendo feito no MIT, em Harvard, North Carolina (Raleigh) e Duke. Quanto ao material a ser apresentado em sala de aula, vamos basear o nosso curso no programa desenvolvido na University of North Carolina (Raleigh). Essa decisão se deve a vários fatores, um deles sendo que dentre os projetos mais conceituados nos Estados Unidos, é o único que usa o Maple V e computadores PC-Windows 95.

Em cada semestre dos anos 1998 e 1999 duas turmas de Cálculo para alunos de

Engenharia fizeram parte dessa experiência e no ano 2000, apenas uma turma por semestre.

Naquele momento, nem todos os alunos tinham familiaridade com computadores, muitos

não tinham acesso regular à Internet e uma disciplina inteiramente ministrada com o uso de

computadores não foi bem avaliada pelos alunos que fizeram parte da experiência. Esses

alunos declararam que nem aprenderam Cálculo como os alunos das turmas não

experimentais e nem adquiriram domínio suficiente sobre o software usado, de modo a o

utilizarem em outros contextos. Devido à resistência dos alunos em participar dessas turmas,

o projeto foi encerrado em 2001. Como toda experiência tem o seu lado positivo, os

professores envolvidos nesse projeto ficaram muito mais cautelosos quanto à introdução de

recursos computacionais no ensino das disciplinas de Cálculo e desde então nenhuma outra

turma teve aula ministrada totalmente com o uso de computadores.

O PROIN, editado pela CAPES em outubro de 1995, teve por objetivo a melhoria do

ensino de graduação, com ênfase nas disciplinas que envolviam estudantes na fase inicial

47

Esse relatório foi gentilmente cedido para consulta pelo Departamento de Matemática Aplicada da UFF.

67

desses cursos de graduação, por meio de projetos centrados numa estreita articulação entre

as áreas de pós-graduação e de graduação. Esse programa tinha interesse em projetos

inovadores para o ensino de graduação em termos de currículos, metodologias de ensino,

novas tecnologias, incorporação de avanços científicos e perspectivas interdisciplinares,

organização e utilização de laboratórios e outros ambientes ou salas especiais para ensino.

Em termos de foco, aproximadamente 50% dos projetos concentraram-se na informatização

do ensino, pela criação/atualização/consolidação de laboratórios ou salas especiais,

informatizadas, ou pelo uso da informática no ensino.

Na UFF o projeto PROIN – Qualidade e Integração na Matemática da UFF – teve

dentre os seus objetivos diminuir a repetência e a evasão, montagem do Laboratório de

Matemática para dar suporte computacional e acadêmico às atividades do PROIN, a

modernização do ensino das disciplinas do primeiro semestre da graduação, dentre elas

Matemática Básica e Cálculo I, introduzindo o uso de informática no seu ensino. E mais uma

vez, surge no Brasil um programa nacional que incentiva o uso de Sistemas de Computação

Algébrica na disciplina Cálculo I. Esse programa funcionou até o ano 2000, quando, diante de

diversas dificuldades, a CAPES extinguiu o programa.

O que não fomos capazes de perceber naquela época, e pela minha experiência como

professora de Cálculo há pelo menos 30 anos, não fomos até agora, é que projetos para o

uso de computadores no Ensino de Cálculo devem ser precedidos de projetos para o Ensino

de Cálculo. Precisamos, antes de qualquer coisa, identificar em cada momento, quais os

obstáculos que esse ensino enfrenta e qual projeto queremos para ele, tendo em mente,

principalmente, que aprender é produzir significados.

1.2.2 O Ensino de Cálculo: Investigações sobre o Ensino e a Aprendizagem de Limite

As pesquisas sobre o Ensino do Cálculo continuam recebendo destaque no Brasil e na

literatura internacional especializada, e tem seguido várias orientações e abordagens: o uso

de novas tecnologias, compreensão de tópicos específicos de Cálculo, a produção de

significados por alunos, a prática docente de professores de Cálculo, estudo de currículos e

desenvolvimento curricular, modelagem matemática. Observamos que uma boa parte das

pesquisas que focam a compreensão conceitual, a produção de significados por alunos do

68

ensino superior para os principais conceitos do Cálculo – função, limite, continuidade,

derivada, integral – abordam apenas um conceito.

Numa primeira etapa, buscaremos na literatura pesquisas relacionadas ao ensino e

aprendizagem de Cálculo Diferencial e Integral, em especial aquelas mais recentes ou de

grande relevância que abordem tópicos sobre limites, produção de significados de objetos

matemáticos relacionados ao Cálculo, e também as que tenham maior proximidade com a

nossa investigação em termos da fundamentação teórico – metodológica. Analisar trabalhos

que consideram não só as ideias dos alunos, mas também suas falas são importantes tanto

do ponto de vista da constituição do pensar matemático avançado, como da construção de

significados para objetos matemáticos.

Como podemos ler em Pinto (2002), no contexto brasileiro o primeiro Grupo de

Trabalho em Educação Matemática no Ensino Superior se constituiu no ano 2000, durante o

VII ENEM, realizado em Serra Negra, São Paulo durante o I Seminário Internacional de

Pesquisa em Educação Matemática – I SPEM. Segundo a autora, os trabalhos apresentados

se enquadram num dos seguintes quatro grandes temas: (1) a prática docente, as

representações sociais dos professores e a produção de saberes sobre o ensinar/aprender

pelos professores nas universidades; (2) conceituação, reconstrução e produção de

significado pelos alunos nas universidades; (3) conceituação, definição e argumentação em

Matemática; (4) a Matemática-Instrumento e os usuários da Matemática.

As investigações de Barufi (1999) e Reis (2001), que se enquadram no tema (1) acima

mencionado, são realizadas a partir da análise de livros didáticos. Já a pesquisa de SAD

(1998, 2000) incluída no tema (2), investiga a produção de significados e conhecimentos a

partir do Cálculo, observando alunos de um curso inicial de Cálculo e usando como

fundamentação teórica o Modelo Teórico dos Campos Semânticos. Enquadrando-se no tema

(3), a pesquisa de Vianna (1998), investiga a compreensão do teorema Fundamental do

Cálculo, o que lhe dá a oportunidade de investigar também a compreensão de conceitos

como, função, continuidade, derivada e integral. A autora usa na sua pesquisa questionários

e entrevistas. Falando um pouco dessas pesquisas:

Barufi (1999) em sua tese de doutorado buscou compreender, (a) as dificuldades com

o ensino do Cálculo Diferencial e Integral nos cursos iniciais da Universidade, à luz do

referencial teórico da rede de conhecimentos e significados. Na sua investigação, a autora

tenta descobrir que organização leva à construção dos significados, a comunicação, a

69

revelação dos conhecimentos, e, nesse estudo, o professor e as novas tecnologias se

constituem instrumentos facilitadores da aprendizagem. Focou sua investigação nos livros

didáticos, que considera “[...] um “porto seguro” onde o professor ancora o curso, evitando

desvios de rota em demasia.” (BARUFI, 1999, p. 48, ênfase da autora). Concluiu que as

dificuldades existentes no ensino do Cálculo Diferencial e Integral não residem na falta de

bons livros, e escreveu:

Em particular, no que diz respeito ao trabalho com o Cálculo, ele [o computador] é uma ferramenta extremamente útil para propiciar a formulação de inúmeros questionamentos, reflexões e análises que fazem com que a sala de aula se torne visivelmente um ambiente onde relações podem ser estabelecidas, possibilitando articulações diversas e, portanto, a construção do conhecimento. (BARUFI, 1999, p. 167),

Concordamos com a autora que só o livro texto não é suficiente para a negociação

dos significados e a construção do conhecimento. É preciso que os alunos possam refletir,

interagir, colaborar uns com os outros, pois acreditamos que aprender é uma ação social.

Para que eles aprendam matemática é precisam que se envolvam num discurso matemático

e para isso as tecnologias podem contribuir muito. Quanto a “bons livros”, mencionados

pela autora, isso é uma questão muito relativa. Um livro ser “bom” ou não depende do que

esperamos dele como um “parceiro” do processo ensino e aprendizagem.

Em seu doutorado, Reis (2001), mediante a análise de livros didáticos e de entrevistas

com professores-pesquisadores e autores de estudos e livros didáticos, busca compreender

como se dá a relação entre rigor e intuição no ensino universitário de Cálculo e Análise. A

pesquisa mostra que, nas abordagens de livros didáticos essa relação é quase sempre

desigual e dicotômica. Reis ressalta que os depoentes identificaram rigor com formalismo e

que defendem a necessidade de um rompimento com o ensino formalista (FIORENTINI,

1995), tradicionalmente utilizado no ensino de Cálculo no Brasil. Eles apontam alternativas

que tentam priorizar as ideias intuitivas para que o tratamento rigoroso não venha impedir a

compreensão e o significado das mesmas.

Sad (1998, 2000) investiga a pluralidade na produção de significados e

conhecimentos a partir do Cálculo. A autora é motivada principalmente pela preocupação

com a construção do conhecimento do aluno e com a contribuição para o desenvolvimento

do pensamento diferencial e integral do estudante do ensino superior. Acompanhou durante

um ano, como observadora participante, turmas de Matemática, Geologia e Física, num

70

curso inicial de Cálculo. A análise dos dados coletados é fundamentada no Modelo Teórico

dos Campos Semânticos – MTCS – que se mostrou adequada e apontou diferentes modos de

produção de significados, objetos e conhecimentos em relação ao Cálculo. Para o estudo da

fala, da linguagem e da produção de significados, a autora recorreu ainda a Bakhtin e

Vigotsky, a Vigotsky e a Brunner respectivamente. Ao final da pesquisa a autora sugere ao

professor que busque compartilhar com os alunos as mudanças, relações e semelhanças

entre Campos Semânticos, sempre por meio do diálogo. Gostaria de transcrever aqui os

resultados e direcionamentos apontados pela pesquisadora:

O processo ensino/aprendizagem, particularmente do Cálculo, está centralizado em que: aprender é produzir significado. Como a produção de significados é cognitivamente dinâmica, devemos atentar para as mudanças e relações entre Campos Semânticos;

As diversificações encontradas na função semântica da linguagem matemática em diferentes textos, incluindo estudos históricos-epistemológicos da matemática, reforça a importância de dedicarmos uma maior atenção à enunciação na qual são produzidos os significados para o texto lido.

A fala é uma construção social, cuja demanda provém de um interlocutor e carrega os significados por meio da linguagem. Os objetos do cálculo são concebidos em meio de diferentes demandas por parte dos alunos. Portanto, é primordial na aprendizagem, dar maior importância à fala dos alunos se queremos analisar como e o que estão aprendendo.

Os procedimentos didáticos-pedagógicos que se impõem como necessários à aprendizagem, à observação da formação de significados matemáticos no início do 3º. grau, devem privilegiar e preocupar-se com as atividades em grupos (socialização dos significados, diálogos e críticas), as diferentes interpretações de textos, as narrativas como diários de classe, e outras, onde o papel central é a exposição do aluno, e não do professor. (SAD, 1998, p. 521).

Vianna (1998) investigou a compreensão do Teorema Fundamental do Cálculo por

alunos de graduação dos cursos de informática, matemática e engenharia. Os alunos,

sujeitos da pesquisa, responderam questionários e um grupo de 17 alunos foi selecionado

para entrevista. A autora concluiu que a compreensão desse teorema esbarra em

dificuldades com a compreensão dos conceitos de função, continuidade e integral. Observou

também, que na realidade, os alunos não compreendem o que é uma demonstração e o seu

papel na generalização de uma proposição, e mais, que os alunos não se interessam, em

geral, pelo aspecto teórico do curso.

Em outubro de 2003, na cidade de Santos, é realizado o II SIPEM e Nasser (2004)

observa que o número de trabalhos submetidos para apresentação no Grupo de Trabalho

71

em Educação Matemática no Ensino Superior, quase dobrou com relação ao I SIPEM, e que

grande parte desses trabalhos é sobre o uso de novas tecnologias no ensino/aprendizagem

de Cálculo. Nasser (2004) diz que esse aumento no número da pesquisa reforça a ideia de

que os docentes do ensino superior começam a se preocupar com a aprendizagem dos seus

alunos, buscando novos métodos de ensino.

As pesquisas de Gomes, E (2012) e de Gomes, G (2009) mostram como o ensino do

Cálculo, mais precisamente as dificuldades que alunos de cursos de Engenharia encontram

nas disciplinas iniciais de Cálculo Diferencial e Integral, é um tema recorrente nos congressos

sobre o ensino de Engenharia e também nos congressos de Educação Matemática, nos

grupo de trabalho em Educação Matemática no Ensino Superior.

Gomes, E. (2012) apresenta um levantamento dos trabalhos publicados nos anais do

Congresso Brasileiro de Ensino de Engenharia – COBENGE, relacionados ao ensino de Cálculo

para ingressantes em cursos de Engenharia, nos últimos cinco anos (publicações no período

de 2007-2011). São 26 artigos, muitos deles já pautados em pesquisas na área de Educação

Matemática, apontando preocupação com as dificuldades dos alunos com a aprendizagem

de conceitos do Cálculo e a utilização das Tecnologias de Informação e Comunicação (TICs)

nas abordagens desses conceitos. A autora observa que o fracasso detectado pela evasão e

reprovação é, em geral, atribuído à defasagem Ensino Médio/Ensino Superior e que muitos

artigos já se baseiam em pesquisas na área de Educação Matemática ou buscam

investigações que discutem teorias da aprendizagem.

Gomes, G (2009), na revisão da literatura de sua tese, apresenta várias pesquisas que

abordam dificuldades encontradas por alunos de cursos de Engenharia com relação a

conteúdos de Matemática: Cury, (2003) – falta de conhecimento da Matemática elementar;

Biembengut, (1997) – disciplinas básicas de Matemática para os cursos de Engenharia

priorizam as técnicas e não a compreensão dos conceitos, Máximo e Murta (2004) – Cálculo

é ensinado de forma descontextualizada, sem conexão com outras disciplinas e a prática

pedagógica, em geral, é bastante conservadora e tradicional; Ubuz (2007) –concepções e

equívocos relacionados à interpretação do gráfico de uma função e a construção do gráfico

de sua derivada.

Gomes, G (2009) busca identificar com sua pesquisa a Matemática que alunos de

Engenharia utilizam nos seus Trabalhos de Conclusão de Cursos (TCCs) a visão que esses

alunos têm da Matemática que foi ensinada ao longo de seus estudos universitários com

72

relação as suas áreas de formação. Os sujeitos da pesquisa são alunos de um curso de

Engenharia Mecânica e um de Engenharia de Produção. Para a análise dos dados coletados,

a autora embasa sua fundamentação teórica no pensamento matemático (SCHOENFELD,

1992; STERNBERG, 1996; CARDELLA, 2007, 2008), em resolução de problemas (STERNBERG,

2000), em cultura (GEERTZ, 2008a, 2008b), em linguagem e discurso (CASTRO; BOLITE

FRANT, 2002; CASTRO; FRANT; NEPOMUCENO; SALES; COVRE, 2004). Sendo a pesquisa de

caráter qualitativo, ela foi embasada na metodologia denominada Grounded Theory que foi

criada por Glaser e Strauss em 1967 e desenvolvida por autores como Charmaz (2006),

Corbin; Strauss (2008). O modelo analítico desenvolvido por Powell, Francisco e Maher

(2004), constituído de sete fases interativas não-lineares, foi usado na análise dos dados em

vídeo. A pesquisadora pode concluir que a modelagem matemática e a estimativa aparecem

nos dois TCCs analisados, mesmo sendo esses trabalhos de diferentes ramos da Engenharia.

Gomes, G. (2009) diz também:

[...] Outro fator que nos chama a atenção foi a crença evidenciada nas falas dos dois estudantes, a qual, ainda que expressa diferentemente, corroboram a constatação de Schoenfeld (1992) de que “a Matemática aprendida na escola tem pouco ou quase nada a ver com o mundo real” (p. 402). (GOMES, G., 2009, p. 141).

Para tentar resolver essa lacuna, a pesquisadora acredita que os professores que

lecionam disciplinas de Matemática nos cursos de Engenharia, poderiam fazer um esforço

para mostrar aos alunos o poder da Matemática nas questões da Engenharia, por meio da

modelagem e aplicações, mesmo sem abrir mão dos pensamentos matemáticos necessários.

Vamos agora, voltar nossa atenção para investigações relativas ao ensino e

aprendizagem de limites. É importante tomarmos conhecimento dos sujeitos pesquisados,

do referencial teórico–metodológico usado e dos resultados obtidos, pois esse material será

para nós uma rica fonte de pesquisa, já que o tema que investigamos – continuidade – está

imbricado com o conceito de limite.

Como já falamos anteriormente, no cenário internacional as pesquisas relativas ao

ensino e à aprendizagem da Matemática no ensino superior começam a se consolidar na

década de 80, quando, em 1985, durante o encontro anual do International Group for the

Psychology of Mathematics Education, é criado o grupo de trabalho em Pensamento

Matemático Avançado. David Tall, um dos principais articuladores da área de pesquisa em

pensamento matemático avançado elabora em 1991, a obra Advanced Mathematical

73

Thinking (Pensamento Matemático Avançado), que compartilha com vários outros autores,

entre eles, Aline Robert, Bernard Cornu, Ed Dubinsky, James Kaput, Michèle Artigue,

Theodore Eisenberg, Tommy Dreyfus.

A obra aborda três linhas de pesquisa: (I). a natureza e a psicologia do pensamento

matemático avançado, (II). a teoria cognitiva do pensamento matemático avançado, (III).

pesquisas sobre o ensino e aprendizagem do pensamento matemático avançado em

diferentes áreas. Na linha (III) de pesquisa, encontramos investigações que abordam:

pesquisa em ensino e aprendizagem de Matemática em nível avançado, funções e

dificuldades de aprendizagem associadas, limites, Análise Matemática, pensamento

matemático avançado e o computador.

David Tall começou a pensar sobre o Cálculo há mais de 35 anos (TALL, 1975a) e

desde então se tornou um importante articulador de pesquisas que abordam as dificuldades

dos alunos na aprendizagem de conceitos básicos do Cálculo e de seus fatores de conflito

cognitivo, investigou dentre outros, os conceitos de limite e continuidade: (TALL; VINNER,

1981a; TALL, 1993; TALL, 2010)

Em 1992 o movimento da Reforma Cálculo estava na sua primeira fase de

desenvolvimento, de entusiasmo. Segundo Tall (1993), o movimento de Reforma do Cálculo

começou a partir de uma atmosfera geral de insatisfação com os níveis de aprovação dos

alunos nas disciplinas de Cálculo, e não de qualquer base empírica clara. Para Tall (1993),

Cálculo significa uma variedade de coisas diferentes em diferentes países em um espectro

que vai de:

1..cálculo – ideias informais de taxa de variação e as regras de diferenciação com a integração como o processo inverso, tendo o cálculo de áreas, volumes, etc como aplicações de integração,

a

2..análise formal – ideias formais de completude, definições de limites por e 𝛿, continuidade, diferenciação, integração de Riemann, e

demonstrações formais de teoremas como Teorema do Valor Médio, o Teorema Fundamental do Cálculo. (TALL, 1993, p. 1, tradução nossa).48

48

Texto original: 1. calculus – informal ideas of rate of change and the rules of differentiation with integration as the inverse process, with calculating areas, volumes etc. as applications of integration to 2. formal analysis – formal ideas of completeness, definitions of limits, continuity, differentiation, Riemann integration, and formal deductions of theorems such as mean-value theorem, the fundamental theorem of calculus

74

Falando das dificuldades dos alunos com o aprendizado do Cálculo, Tall (1993) afirma que:

Independentemente da forma como o Cálculo é abordado, alguns conceitos são inerentemente difíceis e parecem causar problemas, não importando como eles são ensinados. O conceito de limite, por exemplo, cria um certo número de dificuldades cognitivas. Como podemos depreender de Cornu (1981), Orton (1980a, 1980b, 1983a, 1983b), Robert (1982), Schwarzenberger e Tall (1978), Sierpinska (1985, 1987) e tantos outros, para alunos e professores o cálculo de limite é cercado de mistérios, não é apenas uma sequência de manipulações aritméticas e álgebricas. Até mesmo os significados de termos como "limite", "tende a", "abordagens", "tão pequeno quanto quisermos" que estão corporificados na linguagem cotidiana, entram em conflito com os conceitos formais. Outro conflito que surge é com o processo de "uma variável se tornar arbitrariamente pequena", que muitas vezes é interpretado como uma "quantidade variável ser arbitrariamente pequena", sugerindo implicitamente conceitos infinitesimais, mesmo quando estes não são explicitamente ensinados. (TALL, 1993, p. 2, tradução nossa).

Na linha de pesquisa Epistemologia e Cálculo devemos mencionar Williams (1991) e

os trabalhos Sierpinska (1987), Cornu (1983) e Rezende (1994) que investigam dificuldades

de aprendizagem no ensino de Cálculo, focando os obstáculos epistemológicos do conceito

de limite. Sierpinska (1987) desenvolveu uma pesquisa de nível pedagógico, com grupos de

estudantes de arquitetura, e baseou sua investigação nas dimensões cognitivas e sociais dos

obstáculos epistemológicos, ressaltou que muitas das convicções dos alunos se justificam

por razões sociais e não cognitivas, que aceitam certas convenções informadas por seu

professor como um conhecimento social sem questionamentos. Nesse artigo a autora coloca

a necessidade do aparecimento de conflitos mentais, por meio de questões desafiadoras

para a superação desses obstáculos, obtendo assim, um salto qualitativo no nível cognitivo

do aluno. A autora concluiu que apesar de nenhum dos obstáculos epistemológicos ter sido

completamente superado, acredita que os conflitos mentais estabelecidos tenham sido o

ponto inicial para isso. Ela não investigou esses conflitos dentro do processo histórico da

construção da operação de limite – assim como Bachelard sugere que se faça. Isso coube a

Cornu (1983), que em sua tese de doutorado desenvolveu um estudo dos obstáculos

epistemológicos da operação de limite dentro do seu processo histórico de construção, que

permite identificar quais são os principais obstáculos à aquisição da noção de limite, assim

como também identificar outras noções que ajudam a noção de limite a se desenvolver.

Segundo Cornu (1981), para a maioria dos conceitos matemáticos, o ensino não

começa em território virgem. No caso de limites, o aluno traz para a sala de aula imagens,

75

ideias, intuições que surgem a partir da sua experiência diária (o que Cornu chama de

modelo espontâneo) interferindo na definição matemática. Em geral as palavras “limite” e

“tende a” não são usadas num mesmo contexto: “limite” significa algo mais preciso, e

“tende a” alguma coisa mais vaga. Para muitos alunos, a noção de limite é a de algo que não

se pode cruzar, é uma restrição, uma proibição, o fim. Para alguns é visto como algo

alcançável e para outros como inacessível. O termo “tende a” é usado pelos alunos com

significados bastante distintos, que nem sempre estão de acordo com o uso matemático

correto (de acordo com o autor). “Tende a”, pode significar se aproxima, mas: pode

eventualmente ficar longe, ou pode alcançar; ou nunca atinge. Essas são possibilidades que

dão ao termo “tende a” uma noção de variação, pois, para que uma grandeza tenda para um

número, ela tem que variar. Mas segundo Cornu (1981, p. 4, tradução nossa) “[...] para

muitos, a noção de limite não contém qualquer, ideia de variação, de movimento, de

reaproximação desse limite”49.

É recorrente encontrar na literatura pesquisadores (CORNU, 1981, 1983; SIERPINSKA,

1987) afirmando que concepções espontâneas, conhecimento social, linguagem cotidiana

interferem nas definições matemáticas dos conceitos, causando obstáculos na

aprendizagem. Segundo Sierpinska (1987), para que esses obstáculos sejam superados é

necessário que se provoque conflitos mentais, por meio de questões desafiadoras. Para

Núñez (2003) não há nada de errado com a nossa intuição, com a linguagem cotidiana, a

linguagem comum. O que na prática da Matemática é muitas vezes chamado de "intuição"

ou “ideias ingênuas” expressas pela "linguagem cotidiana", e vistas como algo vago e

impreciso, são de fato estruturas conceituais muito bem organizadas, baseadas em sistemas

de ideias enraizadas nas experiencias corpóreas (bodily-grounded), com estruturas

inferenciais muito precisas. Para Núñez (2003), infelizmente em matemática, o que conta

são as estritas e rigorosas regras matemáticas. Ele afirma que a linguística cognitiva mostra

que metáfora conceitual e montagem conceitual (conceptual blending) tratam do

pensamento e da cognição, não são meros fenômenos linguísticos.

Uma análise crítica e detalhada dos trabalhos de Sierpinska (1987) e Cornu (1983)

pode ser estudada na dissertação de mestrado de Rezende (1994), na qual o autor

desenvolve uma análise histórico-epistêmica da operação de limite, tal como sugere

49

Texto original: […] pour beaucoup, la notion de limite ne contient aucune, idée de variation, de mouvement, de rapprochement de cette limite.

76

Bachelard e uma análise pedagógica dessa operação, por meio de uma pesquisa de campo

com professores de matemática do ensino médio e superior e, também, com estudantes de

Matemática que já haviam feito um curso inicial de Cálculo Diferencial e Integral.

Não podemos deixar de mencionar o artigo Models of limit held by college Calculus

students, de Williams (1991) que faz um estudo sobre “o entendimento do conceito de

limite e fatores que afetam esse entendimento” com 10 alunos do segundo semestre de

Cálculo, que foram selecionados após terem respondido um questionário com três questões

sobre limite e terem suas respostas identificadas com modelos informais comuns de limite.

Nesse estudo, o autor apresentou a esses alunos descrições e exemplos de limites que

conflitavam com os seus pontos de vista. A intenção era (a) produzir um estado de conflito

cognitivo que incentivasse os alunos a alterar suas visões de limite e (b) estudar como o

entendimento do conceito de limite dos alunos podem ser alterados e tornados mais

rigorosos.

O autor cita várias pesquisas que confirmam que um entendimento completo do

conceito de limite entre estudantes é relativamente raro, que dúvidas como se limite é um

processo dinâmico ou um objeto estático, se o limite pode ou não ser atingido são bastante

frequentes (DAVIS; VINNER, 1986; TALL, 1980; TALL; VINNER, 1981; SIERPINSKA, 1987;

ROBERT, 1982; CORNU, 1981, 1983).

Segundo os dados da pesquisa, Williams afirma que os dois tipos de modelos mais

comuns entre os alunos pesquisados (modelos espontâneos de limite, segundo Cornu) são:

“limite visto como algo que não pode ser atingido” e “limite visto como um processo

dinâmico”. Quanto ao primeiro modelo, que é entendido por muitos alunos como “um

ponto ou um número que está lá, que a função chega perto, mas nunca alcança”, foi

explicado por alguns alunos como se “o gráfico fosse descontínuo naquele ponto, e tivesse

um círculo vazio no lugar daquele ponto”. O aspecto dinâmico do segundo modelo apontado

foi interpretado pelos alunos de duas formas: como o processo de avaliar uma função em

diferentes pontos escolhidos cada vez mais próximos de um valor 𝑠 ,

(𝑠𝑒 𝑥 ⟶ 𝑠 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑓(𝑥) ⟶ 𝐿 (𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒)) ou como a descrição do processo mental de

imaginar um ponto se movendo sobre o gráfico para cada vez mais próximo do ponto limite.

Segundo Williams (1991), a tentativa de criar conflitos cognitivos que levassem a uma

mudança conceitual por parte dos alunos nem sempre foi bem sucedida, principalmente

devido ao valor que os alunos dão à praticidade e simplicidade dos modelos alternativos de

77

limite, à crença na verdade matemática, às demandas diárias das aulas de cálculo, as

experiencias prévias com gráficos, fazendo com que considerem os gráficos a priori.

Williams (1991) acredita que

[...] a falta de valorização para o pensamento formal foi o que efetivamente eliminou qualquer motivação para [o aluno] aprender o que é, afinal, uma verdadeira definição formal de limite. [...] Assim como os modelos informais de limite dos alunos tendem a se assemelhar (a) àqueles da comunidade matemática antes de Cauchy, é possível que só apreciando os tipos de problemas que motivaram o trabalho de Cauchy, poderemos motivar os estudantes a compreender suas implicações. Talvez isso queira dizer que os contextos histórico e cultural que emprestaram vitalidade à obra original são o melhor meio de abordar a compreensão daquele trabalho. (WILLIAM, 1991, p. 235, tradução nossa).50

Em suas conclusões, o autor sugere que, para melhorar a compreensão de limite dos

alunos a partir de um ponto de vista formal é necessário instruções mais cuidadosas e

explícitas, que avaliem os vários modelos de limite construídos pelos alunos e “em certo

sentido, seu conhecimento prévio de gráficos e funções devem ser desconstruídos, para

expor as suposições subjacentes que definições formais tentam resolver” (WILLIAM, 1991, p.

235, tradução nossa)51.

Procuramos apontar as principais pesquisas que investigam dificuldades relativas ao

ensino e à aprendizagem do conceito de limite, sob as mais variadas abordagens, pois esse

conceito ocupa uma posição central que permeia toda a análise matemática como

fundamento da teoria de continuidade e de cálculo diferencial e integral. Sabemos também

que concepções errôneas sobre limite não só afetam a compreensão do limite em si, mas

podem causar dificuldades em tópicos posteriores, como continuidade e diferenciabilidade

de funções. Essas pesquisas são ricas fontes de informação para nós, pois o nosso objetivo é

investigar e analisar a produção de significados para continuidade de funções reais por

licenciados em Matemática.

Os obstáculos ligados à noção de limite, sejam de origem epistemológica ou didática,

estão longe de estarem resolvidos e pesquisas mais recentes podem comprovar isso.

50

Texto original: […] a lack of appreciation for formal thinking, which effectively removed any motivation to learn what is, after all, a very formal definition of limit. [...] Just as student's informal limit models tend to parallel those of the mathematical community prior to Cauchy, it is possible that only by appreciating the sorts of problems that motivated Cauchy's work will students be motivated to understand its implications. Perhaps this is to say that the very historical and cultural contexts that lent vitality to the original work are the best medium through which to approach the understanding of that work.

51 Texto original: In some sense, their prior knowledge of graphs and functions must be deconstructed, to expose the underlying assumptions that formal definitions attempt to address.

78

Citamos a tese de doutorado de Celestino (2008), que tem por objetivo investigar as

concepções sobre limite e possíveis imbricações entre obstáculos epistemológicos

relacionados a essas concepções, com análise dos resultados fundamentada em Cornu

(1983), Sierpinska (1985) e Robert (1982).

Larsen e Swinyard (2012) afirmam em seu artigo, que relativamente pouco se sabe

sobre como os alunos reagem quando devem, de forma coerente, trabalhar com a definição

formal de limite em cursos mais avançados e que a maioria das pesquisas sobre o conceito

de limite é focada na definição informal, no contexto dos cursos iniciais de Cálculo e

sugerem que os alunos têm muita dificuldade para compreender a definição formal. Para

responder a pergunta: “no processo de geração de uma definição precisa de limite, que

desafios os alunos enfrentam, e como esses desafios são resolvidos?” (LARSEN; SWINYARD,

2012, p. 466, tradução nossa), os autores propõem elaborar um quadro conceitual de limite,

de acordo com o modelo cognitivo de Cottrill et al. (1996), chamado de decomposição

genética que descreve em 7 etapas o que significa vir a compreender a definição formal de

limite, as quatro primeiras tratam do conceito de limite informal e as três últimas estão

preocupadas com a formalização desses processos, elas incidem sobre a definição formal de

limite. Cottrill et al. (1996) encontraram evidências empíricas para as 4 primeiras etapas e

Larsen e Swinyard (2012) em sua investigação encontraram evidências para as três últimas

etapas que, segundo eles, são as etapas que representam diferenças matemáticas

interessantes entre a definição formal de limite e as concepções informais típicas de

estudantes de um primeiro curso de Cálculo.

Ainda na linha de pesquisa Epistemologia e Cálculo, mencionamos Rezende (2003a),

que acreditando que as dificuldades de aprendizagem no ensino de Cálculo estão além das

técnicas e métodos de ensino, que não são de natureza psicológica, mas sim de natureza

epistemológica, propõe fazer dois mapeamentos para levantar essas dificuldades de

natureza epistemológica. Um é o mapeamento conceitual do Cálculo com suas ideias e

procedimentos básicos e outro, elaborado após esse, é o que mapeia as dificuldades

mencionadas acima. Para elaborar o mapeamento dessas dificuldades de natureza

epistemológica, precisou buscar as dificuldades de aprendizagem dos alunos (encontradas

na revisão bibliográfica e na sua experiência como professor de Cálculo) e compreender os

obstáculos epistemológicos e a evolução histórica das ideias básicas e dos procedimentos do

próprio Cálculo. Assim, a partir do entrelaçamento dos fatos históricos e pedagógicos, tendo

79

como pano de fundo as dualidades essenciais e os mapas conceituais do cálculo, explicita

cinco macro-espaços de dificuldades de aprendizagem de natureza epistemológica: o eixo

discreto/contínuo; o eixo da permanência/variabilidade; o eixo do finito/infinito; o eixo

local/global; e o eixo da construção/sistematização. O autor afirma que:

A partir do mapeamento realizado foi observado, em essência, um único lugar-matriz das dificuldades de aprendizagem de natureza epistemológica do ensino de Cálculo: o da omissão/evitação das ideias básicas e dos problemas construtores do Cálculo no ensino da Matemática em sentido amplo. (REZENDE, 2003a, p. 402, ênfase do autor).

Nas conclusões, Rezende (2003a) escreve:

[...] gostaríamos de fazer um manifesto público em prol de uma reflexão de natureza epistemológica sobre o ensino básico de matemática. A formatação algébrica a que está submetido este ensino é uma herança de uma visão estruturalista da matemática, inspirada no fenômeno da matemática moderna. Engana-se quem pensa que este modo de ver a matemática e o seu ensino tenha ficado no passado e que o movimento construtivista veio romper essas barreiras. [...] É preciso compreender a natureza do conhecimento matemático, de suas construções e justificativas. Em outras palavras, é preciso construir uma epistemologia da matemática. (REZENDE, 2003a, p. 442).

Vamos analisar agora algumas pesquisas que envolvem a Matemática no ensino

superior, duas delas focadas no ensino do Cálculo e que têm como referencial teórico a

articulação da Teoria da Cognição Corporificada (LAKOFF; JOHNSON, 2000) com o Modelo da

Estratégia Argumentativa (CASTRO; BOLITE FRANT, 2011), uma proposta de Bolite Frant para

que se possa compreender a produção de significados e a constituição de objetos

matemáticos em sala de aula. Dentre as pesquisas que analisaremos estão as pesquisas de

doutorado, de Dall’Anese (2006) e de Mometti (2007), orientadas pela professora Dra.

Janete Bolite Frant, e que estão inseridas em um projeto maior intitulado: Projeto de

Cálculo: Linguagem, Corporiedade e Tecnologia, coordenado pela professora Janete.

Dall’Anese (2006), em sua tese de doutorado, buscou investigar e analisar a produção

de significados para taxa de variação, estudada como derivada de uma função de uma

variável real. Trabalhou com um grupo de 20 alunos de pós-graduação, todos professores de

Matemática do ensino fundamental e/ou médio e que já tinham cursado Cálculo em sua

graduação. Elaborou tarefas que privilegiavam o diálogo entre professor, aluno e tecnologia,

pois estava interessado em identificar e compreender argumentos e metáforas que o fizesse

entender quando e se os alunos modificavam seus pontos de vista com relação ao tema

80

abordado. O autor acredita que por meio da análise e compreensão do discurso do aluno –

as falas orais, gestuais, apontamentos escritos ou pictóricos e as interações do grupo – e das

metáforas e argumentos que emergem desse discurso, é possível identificar os objetos

matemáticos que estão sendo constituídos pelos alunos, enquanto trabalham em sala de

aula, em tarefas com e sem o uso de computador.

As perguntas específicas que o pesquisador deseja responder são:

A partir dos argumentos dos alunos, que metáforas podem ser levantadas e qual o papel das mesmas na compreensão da taxa de variação.

A partir de tarefas envolvendo velocidade de um móvel, que significados são produzidos para velocidade média? E para velocidade instantânea? Que relações, caso existam, são produzidas por estes alunos entre a distância percorrida e velocidade num dado intervalo de tempo?

Quais os argumentos dos alunos sobre os aspectos visual – algébrico;

estático – dinâmico nas atividades no computador? (DALL’ANESE, 2006, s. p.)

Dall’Anese (2006) observou, a partir dos vídeos, que a didática escolhida para a sala

de aula favoreceu a participação de todos nos momentos de discussão, permitindo que os

participantes expusessem, sem medo de errar, suas estratégias, dúvidas e modo de pensar.

Nas suas conclusões o autor escreve:

Vimos nessa pesquisa que para a compreensão de taxa de variação três espaços mentais foram utilizados: o de gráficos cartesianos, o de fórmulas analíticas, e um terceiro espaço que contém a relação entre os dois. Observamos, ainda, que não foi possível estabelecer mapeamentos unidirecionais, pois cada espaço mental alimentava inferências no outro e se alimentava das inferenciais dos demais. Isto evidenciou que de fato o processo é mais complexo que a passagem de um espaço a outro e esse tipo de mapeamento ainda requer futuras investigações. (DALL’ANESE, 2006, p. 120).

A pesquisa apresentada por Mometti (2007) é pautada na reflexão sobre a prática de

professores de Cálculo Diferencial e Integral e nas contribuições dessa reflexão para o

desenvolvimento profissional desses professores. A pesquisa investiga professores, que são

participantes de um grupo de discussão em uma universidade particular do Estado de São

Paulo com cerca de 14.000 alunos, com índices de reprovação na disciplina de Cálculo

Diferencial e Integral chegando a 45%. Mometti (2007) centrou sua pesquisa

especificamente sobre o conceito de Integral de Riemann de função de uma variável real.

Sua pesquisa de caráter qualitativo foi respaldada na Teoria da Cognição Corporificada de

(LAKOFF; JONHSON, 1980; LAKOFF; NÚÑEZ, 2000; NÚÑEZ, 2005) e no Modelo da Estratégia

81

Argumentativa (CASTRO; BOLITE FRANT, 2002), pois a linguagem é um elemento central

desse trabalho e essas teorias permitem uma reflexão sobre a forma como pensamos e

aprendemos conceitos novos, permitem o levantamento e a análise das metáforas

empregadas e dos argumentos enunciados na discussão sobre a prática. Segundo Mometti

(2007, p. 20) três indagações nortearam sua investigação:

Como os professores caracterizam conceito e quais as implicações desta caracterização na sua prática pedagógica?

Quais argumentos utilizados pelos professores na reflexão sobre o ensino e a aprendizagem dos processos infinitos subjacentes ao conceito de integral?

Quais as contribuições do grupo de discussão sobre a própria prática no desenvolvimento profissional? (MOMETTI, 2007, s. p.).

O autor concluiu que o grupo de discussão ajudou os professores a repensar a sua

prática pedagógica e que os modelos teóricos adotados foram o diferencial dessa pesquisa,

permitindo o levantamento dos implícitos nas falas dos professores e ajudando a explicitar

formas de pensar e agir que os professores empregam em sala de aula, quase que

automaticamente, sem uma reflexão mais profunda. Os professores participantes puderam

aprofundar o processo reflexivo e manifestaram o desejo de continuar com os encontros

para dar continuidade às discussões e reflexões sobre o ensino do Cálculo.

A pesquisa de doutorado de Kindel (2012) fez parte do projeto LOVE-ME – Learning Objects

in Virtual Environments: Mathematics Education coordenado pela professora Janete Bolite

Frant, em sua fase inicial e depois ficou vinculado ao Projeto e: Math52. Nessa investigação,

Kindel (2012) tem como objetivo analisar a produção de significados para a noção de infinito

por licenciandos de Matemática. Para isso, elaborou e implementou tarefas sobre

sequências e séries infinitas e sobre cardinalidade. Analisou a constituição de objetos

matemáticos relacionados aos infinitos potencial e atual e buscou identificar que

mapeamentos cognitivos emergem ou não, durante a constituição desses objetos nas

interações entre os participantes. Essa pesquisa foi motivada pelo fato da ideia de infinito se

apresentar como uma das dificuldades para a compreensão do conjunto dos números reais

por estudantes de diferentes níveis e surgiu pelas lacunas encontradas na literatura e pela

experiência profissional da pesquisadora. A autora evidencia que o objetivo da pesquisa não

é o de fazer a análise do discurso dos licenciandos sobre o infinito nem o de ver o que falta

no discurso, no sentido do que é formalmente definido em Matemática, como já foi feito em

52

Para maiores detalhes ver http://andromeda.rutgers.edu/~powellab/.

http://andromeda.rutgers.edu/~powellab/

82

pesquisas anteriores. A busca nessa pesquisa é efetivamente pelo que foi dito sobre infinito

pelos participantes, no contexto social e cultural no qual as discussões aconteceram. A

dinâmica de trabalho ocorreu mediante encontros presenciais e virtuais no ambiente VMT

que é fundamentado no conceito CSCL, a aprendizagem colaborativa apoiada por

computador e, consequentemente, apoia pesquisas que investiguem a aprendizagem

colaborativa. Por suas características, o ambiente VMT permite que se acompanhe as

mudanças nos discursos dos participantes durante o processo de resolução do problema e

na colaboração com outro, características essas que levou a pesquisadora a escolher o VMT

como plataforma de trabalho.

Segundo a autora, nessa pesquisa, os recursos multimidiáticos estão sendo vistos

como prótese, e o ambiente VMT, como prótese, pode oferecer uma outra forma de se

falar/escrever. Segundo Castro; Bolite Frant, (2011, p.21) “o uso da tecnologia como prótese

oferece, [...], a possibilidade de construção de um texto em um campo semântico diferente

do que se está acostumado a trabalhar”, e ainda dizem:

Ao pensar em prótese, geralmente, pensamos somente nas próteses reparadoras, mas hoje as próteses vão além de reparar, elas servem para que se faça de modo diferente o que se fazia antes sem elas [...] O que é produzido pertence a um domínio semântico e epistemológico diferente (CASTRO; BOLITE FRANT, 2011, p. 20 e 21).

A metodologia adotada por Kindel (2012) foi o Design Experiment em três ciclos. A

fundamentação teórico-metodológica articulou o Modelo da Estratégia Argumentativa –

MEA, proposto por Castro; Bolite Frant (2011), e a Teoria da Cognição Corporificada,

segundo Lakoff e Nunez (2000). Os resultados mostraram que o ambiente favoreceu

diferentes modos de expressão dos participantes. Em relação à compreensão da noção de

infinito, essa pesquisa, como outras, apontou o infinito potencial como o mais presente nas

interações e respostas dos estudantes. Além disso, outras possibilidades foram vistas: a ideia

de religiosidade associada ao infinito potencial; o impasse entre zero como limite e o infinito

como soma dos termos de uma sequência infinita, entre outras.

As investigações feitas por Cornu (1981), Williams (1991) e Larsen e Swinyard (2012)

sobre o entendimento do conceito de limite, os fatores que afetam esse entendimento, a

forma como os alunos reagem quando devem lidar com a definição formal de limite, e as

questões elaboradas para desenvolverem essas pesquisas foram muito importantes para

83

orientar a escolha de pesquisas para serem revisadas que abordam o conceito de

continuidade, e também para pensarmos nas tarefas da nossa pesquisa.

1.2.3 O Ensino do Cálculo: Investigações sobre o Ensino e a Aprendizagem de Continuidade

Muitos pesquisadores já mencionaram que a continuidade é um tópico essencial ao

desenvolvimento do Cálculo. Costumeiramente é ensinado em um primeiro curso de

Cálculo, normalmente em um ou dois dias, voltando à cena inúmeras vezes durante o

desenvolvimento do curso, nos principais teoremas do Cálculo, dos quais é parte

fundamental. Esse tema tem sido foco da atenção de muitos pesquisadores em Educação

Matemática, que abordam a questão sob diversas perspectivas. Para alguns o foco da

investigação está no professor, para outros no aluno. Outros ainda buscam entender se a

dificuldade dessa aprendizagem está nas concepções do aluno ou se na forma como é

ensinado, ou ainda se a dificuldade é intrínseca ao conceito. O importante é que essas

diversas perspectivas enriquecem e ampliam a análise deste tópico. Buscamos na literatura

nacional e internacional pesquisas que julgamos representativas dessa variedade de

perspectivas. É possível ver nos artigos, dissertações e teses analisados, que o tema

continuidade até hoje vem sendo discutido de forma recorrente em trabalhos científicos.

Optamos por deixar registrado, alguns resultados de atividades aplicadas aos alunos em

alguns dos artigos, dissertações e teses que consultamos. Esses resultados são bastante

significativos para nossa pesquisa.

Começamos citando Cornu (1991) que em seu artigo “Limits” fala da tendência dos

alunos apresentarem gráficos conexos (connectedness), quando solicitados a esboçar o

gráfico de uma função contínua. Segundo o autor, o conceito de limite é uma noção

particularmente difícil, que ocupa uma posição central que permeia toda a análise

matemática – é a base da teoria da aproximação, da continuidade, e da diferenciabilidade e

do cálculo integral. Cornu (1991) diz que o uso da linguagem cotidiana para falar de

continuidade, explica o fato dos alunos esboçarem gráficos conexos para funções contínuas.

Nesse trabalho, Cornu (1991) introduz o que chama de concepções espontâneas

(spontaneous conceptions), que são as ideias, imagens, intuições, representações,

conhecimentos que vem das experiências, da linguagem do dia a dia que uma pessoa forma

sobre um determinado tópico, antes de qualquer ensino formal e diz que

84

A continuidade sofre por ter uma concepção espontânea que é evocada por meio do uso da linguagem cotidiana em frases como "choveu continuamente durante todo o dia" (ou seja, não houve pausa nas chuvas) ou "a linha férrea é continuamente soldada" (o que significa que não há lacunas no trilho). Este ponto de vista é muitas vezes reforçado pelas tentativas do professor em dar uma visão simples da noção de continuidade, falando do gráfico "ser em um único pedaço" ou "desenhado sem tirar o lápis fora do papel", assim confundindo as noções matemáticas de continuidade e de conexos. (CORNU, p. 156 e 157, 1991).53

Cornu (1991) cita uma pesquisa feita por Tall e Vinner (1981a) sobre continuidade de

funções com estudantes do primeiro ano da universidade. Antes de abordar essa pesquisa,

vamos entender o que Tall e Vinner (1981a) chamam de imagem do conceito (concept

image) e definição do conceito (concept definition)54.

Tall e Vinner (1981a) fazem distinção entre a definição que os alunos podem ter de

um tópico (definição do conceito) e as imagens e ideias que esse conceito evoca. (imagem do

conceito).

Os autores dizem que:

[...] usaremos o termo imagem do conceito para descrever a estrutura cognitiva global que está associada com o conceito, e inclui todas as imagens mentais e propriedades e processos associados a esse conceito. (Tall; Vinner, 1981a, p. 2, tradução nossa, ênfase nossa).55

As pesquisas mostram que embora os alunos conheçam a definição formal de um

conceito, aquela aceita pela comunidade matemática em geral, eles se utilizam das suas

imagens conceituais para trabalhar os problemas, e isto pode causar um conflito cognitivo,

já que estas imagens podem não estar alinhadas com a definição formal do conceito. A

imagem do conceito é construída pela vivência de um indivíduo ao longo dos anos e pode

mudar com o tempo, o que para os autores explicaria a inconsistência encontrada em

muitos trabalhos dos alunos. Outra preocupação, é que sendo a imagem do conceito

construída com base na experiência do aluno, é importante que o aluno seja exposto a

53

Texto original: Continuity suffers from having a spontaneous conception that is evoked through the use of everyday language in phrases such as “it rained continuously all day” (meaning there was no break in the rainfall) or “the railway line is continuously welded" (meaning that there are no gaps in the rail). This viewpoint is often reinforced by teacher's attempts to give a simple insight into the notion of continuity by speaking of the graph “being in one piece” or “drawn without taking the pencil off the paper’, thereby confusing the mathematical notions of continuity and connectedness.

54 Como tradução livre de concept image encontramos os termos: conceito imagem ou imagem do conceito (a que adotaremos),e como tradução livre de concept definition encontramos os termo: conceito definição ou definição do conceito (a que adotaremos).

55Texto original: […] shall use the term concept image to describe the total cognitive structure that is

associated with the concept, which includes all the mental pictures and associated properties and processes.

85

exemplos variados, pois caso contrário, ele construiria uma imagem do conceito com muitas

incoerências com relação à definição do conceito, o que aumentaria a possibilidade de

conflitos cognitivos.

Os conceitos de limite e continuidade são abordados nesse estudo, e, segundo os

autores, as imagens que os alunos fazem desses conceitos, provavelmente contêm fatores

que conflitam com a definição formal. Esses conflitos nem sempre são percebidos pelos

estudantes, mas acabam causando dificuldades no momento de lidar com esses temas com

mais rigor.

Tall e Vinner (1981a, p. 13, tradução nossa) iniciam o tópico funções contínuas

dizendo: “este tópico é verdadeiramente a besta negra da análise. A imagem do conceito

deriva inicialmente de uma variedade de fontes, por exemplo, o uso coloquial do termo

“contínuo” em frases como [...] “choveu continuamente o dia todo” (significando que não

houve pausa nas chuvas)”56.

Vamos relatar um estudo que os autores realizaram com 41 estudantes da Inglaterra,

que obtiveram graus A ou B nos exames A-Level, que tradicionalmente são aplicados a

estudantes com 18 anos, que desejam ingressar na universidade para estudar Matemática.

Tall e Vinner (1981a) queriam saber que imagem do conceito os estudantes têm de

continuidade quando chegam à universidade. Para isso, os autores pediram que os alunos

respondessem a seguinte pergunta: Quais das seguintes funções são contínuas? Se possível,

explique sua resposta. As funções apresentadas aos alunos foram:

56

Texto original: This topic is truly the bête noire of analysis. The concept image derives initially from a variety of sources, for instance the colloquial usage of the term “continuous” […] “it rained continuously all day” (meaning there were no breaks in the rainfall).

86

Figura 09 – Gráficos das funções do estudo realizado por Tall e Vinner (1981a, p. 14 e 15)

Fonte: Tall e Vinner (1981a, p. 14 e 15). Elaborado pela pesquisadora com o uso do Software GeoGebra

A Figura 10 a seguir, contabiliza as respostas dos alunos quanto à classificação das

funções em contínuas ou descontínuas, mostrando também quantos alunos não

responderam o questionário.

57

Escrevemos as leis de formação das funções 𝑓3 e 𝑓4 como no artigo original. Note que 𝑓4(0) = 0 e 𝑓4(0) = 1 , o que faz com que 𝑓4 não seja função.

57

87

Figura 10 – Respostas dos alunos na pesquisa de Tall e Vinner (1981a)

Fonte: Tall e Vinner (1981a, p. 15)

Segundo a definição formal de limite, as funções 𝑓1 e 𝑓3 são contínuas.

Tall e Vinner (1981a) dizem que a maioria das justificativas para a função 𝑓1 ser

contínua foi baseada em argumentos errados, no sentido estrito da definição formal do

conceito e foram: “porque a função é dada por uma única fórmula” ou “o gráfico não tem

buracos ou separações”. Nós diríamos que surge aqui a imagem do conceito de conexos

(connectedness) (contiguidade, segundo Arbogast (1791)) para o gráfico de uma função

contínua e gostaríamos de lembrar que a imagem do conceito “a função é dada por uma

única lei”, nos remete a ideia inicial de Euler (1748) sobre função contínua. No caso da

função 𝑓3 os argumentos a favor da continuidade foram na maioria dos casos, “o gráfico é

em um único pedaço” e argumentos para justificar a descontinuidade estão entre as

respostas: “ a função não é dada por uma única fórmula” ou “existe uma mudança repentina

no gradiente”.

A função 𝑓2 com frequência causa alguma discussão na comunidade matemática,

mas de acordo com a definição por 𝜖 − 𝛿 essa função é contínua no domínio

{𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≠ 0}.

O quadro dado acima, mostra que a maioria dos estudantes decidiu pela não

continuidade da função, apenas 6 deles disseram que a função é contínua dando a seguinte

justificativa: “a função é contínua porque é dada por uma única fórmula”. E mais uma vez

esses alunos se reportam à ideia inicial de função contínua de Euler (1748). A maioria dos

argumentos apresentados para justificar que a não continuidade da função 𝑓2 está entre:

“o gráfico não é em um único pedaço”, “a função não está definida na origem”, “a função

alcança o infinito na origem”.

Total de estudantes: 41 𝒇𝟏 𝒇𝟐 𝒇𝟑 𝒇𝟒 𝒇𝟓

contínua 41 6 27 1 8

descontínua 0 35 12 28 26

não respondeu 0 0 2 2 7

88

A função 𝑓4 foi considerada descontínua pela maioria que respondeu, com diferentes

argumentos: “o gráfico não tem um único pedaço”, “existe um pulo na origem”, “não é dada

por uma única fórmula”.

A função 𝑓5 causou muitos problemas. Para muitos estudantes a função é descontínua, pois

“não é possível desenhá-la”. Um aluno justificou a continuidade dizendo, “ela segue um

padrão contínuo de continuidade” (qual?).

Os autores concluíram que as imagens conceituais dos estudantes sobre

continuidade estão estreitamente ligados à linguagem informal que é usada para descrever

continuidade. A maioria dos estudantes evocou a imagem do conceito de um gráfico “sem

buracos”, “desenhado em um só pedaço” para uma função contínua e veja que,

considerando o conceito global de continuidade, alguns evocaram a imagem do conceito de

uma função “dada por uma única expressão”. Esses estudantes não foram capazes de

perceber que uma função pode ser contínua e ainda assim ter um gráfico que não é conexos

(connectedness) (contíguo).

Segundo Tall e Vinner (1981a), esses conceitos imagens conflitam com a definição

formal de continuidade de uma função definida num subconjunto 𝐷 dos números reais. A

definição formal mencionada é:

uma função 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ ⟶ ℝ é contínua em 𝑎 ∈ 𝐷 se,

∀ > 0 , ∃ 𝛿 > 0 , tal que se 𝑥 ∈ 𝐷 e |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 , então |𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)| < .

Para os autores, alguns desses conflitos estão relacionados à natureza do conjunto

𝐷. Por exemplo, a função 𝑓: ℚ ⟶ ℚ , com ℚ representando o conjunto dos números

racionais e é definida por:

𝑓(𝑥) = {0, 𝑥 < 0 𝑜𝑢 𝑥2 < 2

1 , 𝑥 > 0 𝑒 𝑥2 > 2

é uma função contínua que conflita com todas as imagens conceituais mencionados acima,

que são: seu gráfico tem uma quebra, não é dada por um única expressão, seu gráfico não

tem uma só parte. Vale lembrar que para Euler (1748) essa função também não é contínua.

A função

𝑔(𝑥) = {𝑥 , 𝑥 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙

1 − 𝑥 , 𝑥 𝑖𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 ,

chamada por Tall e Vinner de “estranho animal” ou “criatura exótica” é contínua em um

único ponto, 𝑥 =1

2 e conflita com todas as imagens evocadas pelos estudantes mencionadas

89

acima e mais, seu gráfico não varia suavemente e não tem a propriedade global de

continuidade (noção de continuidade sobre um intervalo).

Para Stewart, I. (1995, p. 238 e 239) a definição formal de continuidade de uma

função em todo o seu domínio, que mencionamos acima, é concebida para eliminar “pulos”.

Ele também cita um exemplo de uma função, que chama de “uma função muito engraçada”

que é contínua em uns pontos e não contínuas em outros, e diz “[...] embora possamos ter

uma boa definição, pode não ser exatamente aquela que pretendíamos”. (STEWART, I.,

1995, p. 239, tradução nossa) 58. A “função muito engraçada”, que com certeza para os

alunos deve ser bastante “sem graça”, por conflitar com as imagens que os alunos têm de

continuidade é:

ℎ(𝑥) = {0 , 𝑠𝑒 𝑥 𝑖𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙

1

𝑞 , 𝑠𝑒 𝑥 =

𝑝

𝑞 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 ,

uma função é contínua em todos os irracionais e descontínua em todos os racionais e,

Stewart, I. (1995, p. 239) completa “ mais curiosamente, não é possível encontrar uma

função que seja contínua em todos os racionais e descontínua em todos os irracionais!”59.

Para Tall e Vinner (1981a), as imagens mentais que servem bem aos alunos em um

estágio inicial podem tornar-se um impedimento quando estes avançam em seus estudos.

Em estágios mais avançados fica muito mais difícil visualizar os conceitos como imagens

mentais. Por exemplo, como visualizar uma função que é contínua, mas não é diferenciável

em ponto algum do seu domínio? Os autores finalizam dizendo:

Bruner sugere que o processamneto icônico limitou ideias e insiste num movimento em direção ao nível simbólico. Mas o estudante, agarrado a sua imagem do conceito inadequado, pode achar tal desenvolvimento difícil de ser atingido. Nesse e em outros aspectos, a dificuldade de formar uma imagem do conceito apropriada, e os efeitos coercitivos de um inadequada imagem do conceito, pode prejudicar seriamente o desenvolvimento da teoria formal na mente do aluno. (TALL; VINNER, 1981a, p. 17, tradução nossa)60.

58

Texto original: […] although we May have a good definition it might not be exactly the one we intended. 59

Texto original: Even more curiously, it is not possible to find a function which is continuous at all rational points but discontinuous at all irrational points.

60Texto original: Bruner suggested that iconic processing limited ideas and urged a movement onto the symbolic level. But the student, saddled with his inadequate concept image, May find such a development difficult to achieve. In these and other ways, the difficulty of forming an appropriate concept image, and the coercive effects of an inappropriate one having potential conflicts, can seriously hinder the development of the formal theory in the mind of the individual student.

90

As ideias de Tall e Vinner (1981a) sobre imagem do conceito e definição do conceito

também estão presentes nas investigações de Abreu (2011)61. O autor pesquisou as relações

entre intuição e rigor e entre imagem conceitual e definição conceitual, que podem ser

manifestadas pelos alunos nos processos de ensino e de aprendizagem de limites e

continuidade em Cálculo I para a construção da sua dissertação de mestrado. Procurou

também caracterizar o papel das definições formais nesses processos. Essa pesquisa foi

realizada com 56 alunos dos cursos de Licenciatura em Matemática e Bacharelado em

Estatística da Universidade Federal de Ouro Preto, que cursavam a disciplina Cálculo

Diferencial e Integral I. O autor apresenta uma abordagem histórica sobre a evolução dos

conceitos de Limite e Continuidade, pois, segundo ele, as relações entre rigor e intuição

desses conceitos aparecem fortemente, quando do estabelecimento de definições e

propriedades a eles relacionadas. Essa investigação tem um caráter diagnóstico, qualitativa

em sua essência e os instrumentos para a coleta de dados foram duas atividades com

questões abertas. Após a análise das atividades, Abreu (2011) apresentou as seguintes

considerações com relação ao tema continuidade:

Sobre as relações entre imagem conceitual e definição conceitual em

continuidade observou que os alunos não associam continuidade à necessidade da

existência dos limites laterais, apenas à definição da função no ponto, o que retrata uma

imagem conceitual desconectada de uma imagem conceitual de limites. O autor observou

que a definição da função no ponto é uma das (três) condições para a continuidade da

função no referido ponto, apresentada aos alunos na grande maioria dos livros textos.

Concluiu que a principal imagem conceitual evocada foi a possibilidade de se traçar/esboçar

o gráfico da função sem interrupções, o que nos remete à visão clássica sobre não haver

interrupção ou salto na função para que ela seja contínua. Como foi solicitado ao aluno que

descrevesse em palavras o conceito de continuidade, ou seja, que desse uma definição

conceitual para continuidade, o autor pode perceber, baseando-se em Tall e Vinner (1981a),

que as definições conceituais remetem a imagens conceituais restritas e/ou equivocadas,

como no caso da imagem de que “ser contínua é possuir imagem”.

61

Osvaldo Honório de Abreu , nas notas de rodapé (1) e (2) da sua Dissertação de Mestrado (2011), esclareceu que escolheu traduzir “Concept Image” por “Imagem Conceitual” e “Concept Definition” por Definição Conceitual. Essas não foram as nossa escolhas, mas sempre que nos referirmos a Abreu (2011) usaremos as escolhas feitas por ele.

91

Sobre as relações entre intuição e rigor em continuidade concluiu que os

alunos se mostram limitados quando têm que transitar entre as representações gráfica e

algébrica, pois parecem apenas interpretar a continuidade a partir de uma intuição gráfico-

geométrica e isso leva a um descompasso entre a imagem conceitual evocada na

continuidade e sua definição formal. Na questão:

De acordo com as definições precisas de continuidade, o que significam as afirmações:

a) Existe 𝑓(𝜋) , existe lim𝑥⟶𝜋 𝑓(𝑥) e lim𝑥⟶𝜋 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝜋).

b) Para todo > 0 real dado, existe 𝛿 > 0 tal que, se 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) e |𝑥 − 4| < 𝛿 ,

então |𝑓(𝑥) − 𝑓(4)| < ,

apenas um total de 33, 9% dos alunos respondeu que no item a) a função é contínua, mas

quando solicitados a responder dentre os itens a) e b), qual indicava a continuidade da

função em 𝑥 = 𝜋, apenas 10,7% das resposta foram consideradas corretas. Para o item b)

não houve nenhum acerto. É importante lembrar que as definições formais de continuidade

já haviam sido trabalhadas pelo professor das turmas. Para o autor ficou a impressão de que

nenhum aluno pareceu construir imagens conceituais ou definição conceitual que se

aproximasse da definição utilizando e 𝛿.

O autor lembra que segundo Vinner (1991), os hábitos de pensamento cotidianos

prevalecem, e o aluno não se reporta à definição formal. Vinner (1991) diz que na maioria

dos casos, a referência à imagem conceitual será bem sucedida, o que desencoraja as

pessoas a se referirem à definição conceitual. Ao associar a continuidade de uma função no

ponto à apenas a existência de um valor da função nesse ponto, os alunos recorrem a uma

imagem conceitual bastante intuitiva, mas sem “consultar” sua definição formal.

Já Mescolin (2010) na sua pesquisa de mestrado se baseia nas concepções espontâneas de

Cornu (1991).

O autor acreditando que o conceito de continuidade é essencial na construção de

teoremas importantes do Cálculo e que é tratado de maneira superficial nos primeiros

cursos de Cálculo, buscou discutir se as concepções espontâneas dos alunos podem

contribuir para a construção desse conceito. A proposta do autor era favorecer a

interlocução entre professores e alunos para promover a discussão sobre exemplos

apresentados e possibilitar a construção do conceito de continuidade. Para isso, propôs

atividades investigativas de forma a criar um ambiente que favorecesse essa interlocução.

92

Com essas atividades, Mescolin (2010) buscava verificar de que forma os alunos classificam

uma função em contínua ou não contínua. Se usando suas concepções espontâneas

(CORNU, 1991) ou a definição matemática adotada para essa tarefa de classificação. Uma

indagação que o autor se fez foi se as concepções espontâneas sobre o conceito de

continuidade poderiam se tornar um obstáculo para a aprendizagem desse conceito.

Mescolin (2010) inicialmente analisou como o conceito de continuidade é definido e

desenvolvido nos livros textos convencionalmente adotados em universidades de nosso país,

e observou qual a sua relevância para um curso de Cálculo em uma variável. Apresentou

também algumas sugestões para tornar a discussão da definição expressa por meio de

e 𝛿 mais acessível aos alunos.

Para responder as questões dessa pesquisa foi aplicado um conjunto de atividades,

precedidas por um questionário, que buscou coletar dados a respeito da formação básica

dos alunos participantes e das concepções e imagens que possuíam a respeito do conceito

de continuidade. O grupo era formado por 10 alunos iniciantes de um curso de Licenciatura

em Matemática.

Sobre a indagação se as concepções espontâneas dos alunos, em particular a respeito

do conceito de continuidade podem contribuir para a construção do conceito, o autor

observou que, sete alunos relacionaram a continuidade à ausência de interrupções, falhas

ou situações semelhantes, dois alunos pensaram na função constante quando se fala em

contínua e um aluno afirmou que algo contínuo é algo que não tem fim. É importante

informar que a definição de continuidade adotada enfatizava que é necessário que uma

função esteja definida no ponto para o qual se quer observar a continuidade e que nesse

caso uma função é contínua num intervalo aberto no qual está definida, se não apresenta as

tais interrupções, buracos, falhas, que foi apontado por sete dos 10 alunos participantes no

questionário. O autor concluiu então, que as concepções espontâneas apresentadas pelos

alunos contribuíram de maneira ímpar para a construção do conceito de continuidade, uma

vez que estas puderam facilitar a compreensão do conceito, apoiando-se numa ideia

adquirida previamente a um ensino formal. O autor disse que não encontrou situação

alguma na qual as concepções espontâneas tenham atrapalhado a aprendizagem dos

conceitos.

Sobre a pergunta até que ponto, os alunos classificam uma função em contínua ou

descontínua com base nas suas concepções e não na definição de continuidade adotada,

93

Mescolin (2010) observou que, logo após a escolha da definição de continuidade a ser usada,

seis dos 10 alunos classificaram a função 𝑓(𝑥) =1

𝑥 , 𝑥 ≠ 0 como descontínua, mas

quando a função 𝑔(𝑥) = {1

𝑥 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≠ 0

0 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 0 , apareceu na questão seguinte,

os 10 alunos mudaram de ideia e responderam que só fazia sentido analisar a continuidade

em 𝑥 = 0 para a função 𝑔 , e não para a função 𝑓 , pois este ponto faz parte do domínio

da função 𝑔, mas não do domínio da função 𝑓 . Numa outra questão posterior, a função

𝑓 ∶ ℕ ⟶ ℕ , 𝑓(𝑥) = 𝑥 , foi classificada por 9 dos 10 alunos como contínua. Alguns deles

defenderam a continuidade apesar de “aparentemente” a função não ser contínua.

A partir dessas respostas, o autor concluiu que os alunos usam as definições formais

e também suas concepções espontâneas para classificar uma função quanto à continuidade,

uma vez que grande parte dos alunos envolvidos recorreu à definição ao classificar uma

função, e ainda usou um termo do cotidiano para ajudar a confirmar sua resposta. O autor

termina suas argumentações com uma citação de Sztajn (1999, p. 28):

Quem dirá que não considera os conhecimentos prévios dos alunos e não busca trabalhar a partir deles? Quem ousará afirmar que o conhecimento não é construído? Ou ainda, que não é preciso relacionar as ideias matemáticas, trabalhando a ampliação dos conceitos?

Fernando Hitt, em 1992, iniciou um projeto relacionado à construção dos conceitos

de função, limite e continuidade, envolvendo professores de Matemática do ensino

secundário (High School), estudantes do ensino secundário e do primeiro ano da

universidade. Em 1994 Hitt decidou pesquisar como os professores de Matemática tratam os

conceitos de função e de continuidade de função em sala de aula. Achou importante olhar

na história, como esses conceitos apareceram e foram evoluindo, pois gostaria de saber se

sua investigação revelaria dificuldades na compreensão desses conceitos relacionadas ao

contexto histórico da evolução dos mesmos. Usou questionários que incluem questões

referentes a algumas das habilidades, que os professores exigem dos seus estudantes nos

cursos de Matemática pré-universitários e no primeiro ano da universidade. Esse

experimento foi conduzido com 29 professores do México. Na primeira parte desse artigo, o

autor faz uma retrospectiva da evolução histórica do conceito de função contínua.

No questionário da pesquisa, Hitt (1994) pediu dentre outras coisas, que os

professores construíssem duas funções com um determinado tipo de propriedade, que

94

continha restrições. Muitos professores não conseguiram encontrar um segundo exemplo

para as mesmas propriedades. Não pensaram nas funções descontínuas, nem nas funções

definidas por mais de uma expressão algébrica.

Hitt (1994) concluiu que os professores, quando introduzem o conceito de função,

tem a tendência de fazê-lo pensando em funções contínuas e com pouca habilidade para

isso. A ideia intuitiva de função desses professores está relacionada ao conceito função-

continuidade definida por uma única expressão algébrica. Esta é a ideia inicial de Euler

(1748) sobre função. Segundo Hitt (1994), isso é consistente com a história das ideias

matemáticas intuitivas dos Séculos XVIII e XIX, que deram origem a definições e tratamentos

ou procedimentos similares àqueles usados pelos professores de Matemática de hoje.

Para Hitt (1994) parece que, mesmo aprendendo o que é uma função descontínua,

este conceito não se tornou um elemento ativo do pensamento matemático desses

professores. O autor acredita que é preciso sugerir novas formas de introduzir o conceito de

função para os alunos dos cursos iniciais de Cálculo da universidade, diferentes daquelas

apresentadas nos livros textos, que na maioria das vezes traz, como exemplos de função,

funções contínuas. Essa estratégia na introdução do conceito de função leva o aluno a ter

dificuldades na construção do conceito de continuidade. O autor fala também do cuidado

que se deve ter ao introduzir a tecnologia nesses cursos, pois muitos softwares gráficos

usados nas escolas secundárias usam o conceito de função atrelado às funções que são

expressas por uma fórmula.

Em 1998, Hitt e Planchart afirmam que, em várias investigações ligadas ao projeto

iniciado em 1992, o foco estava no professor, e puderam detectar os tipos de dificuldades

que professores do ensino secundário apresentavam na construção do conceito de função.

Essas dificuldades surgem quando esses professores relacionam o conceito de função a

funções contínuas expressas por uma única fórmula, ideias essas consistentes com o

desenvolvimento matemático desses conceitos nos Séculos XVIII e XIX (HITT, 1994, 1998).

Hitt e Planchart (1998) decidem então, analisar essa mesma questão do ponto de

vista do aluno. Decidem investigar a concepção que um aluno, que completou o seu

primeiro ano de universidade, tem sobre o conceito de função. Buscam também

compreender que ideias foram geradas por esse aluno sobre esse conceito durante o

processo normal de ensino, e que conhecimentos matemáticos foram mobilizados por ele

95

durante a construção desse conceito. Esse aluno cursou Pré-Cálculo usando o livro

Precalculus with Graphing and Problem Solving (SMITH, 1993).

Essa investigação levou em consideração as diferentes representações de função que

o livro texto adotado apresenta. Hitt e Planchart (1998, p. 275) apresentam uma tabela com

um resumo dos tipos de representação e a frequência com que cada tipo aparece no livro

texto.

Figura 11 – Levantamento das diferentes representações de função e a quantidade de vezes que aparecem no texto de Pré-Cálculo adotado

Tipo de Função

Tipo de Representação e a Frequência que aparece no livro texto

Regra verbal

Tabela Expressão

algébrica Gráfico Mapeamento

Conjunto de Pares Ordenados

Discreta uma duas uma uma muitas uma

Contínua (uma só expressão algébrica)

nenhuma nenhuma muitas muitas uma uma

Contínua (mais que uma expressão algébrica)

nenhuma nenhuma nenhuma muitas uma uma

Descontínua (Funções racionais)

nenhuma nenhuma muitas muitas nenhuma nenhuma

Fonte: Hitt e Planchart (1998, p. 275, tradução nossa)

O livro enfatiza o reconhecimento gráfico de funções contínuas. Não existe tarefa

específica relacionada à conversão de representações, de um registro gráfico para um

registro algébrico. A função discreta só é abordada no começo do capítulo de funções para

explicar domínio e imagem de uma função, usando a ideia de mapeamento.

Nas suas conclusões, os autores apontam que o estudante reconheceu as tabelas

como representações de funções, mas não conseguiu identificar gráficos discretos como

representações de funções. Para o estudante, a representação gráfica de uma função deve

ser contínua e expressa por uma fórmula, apesar de identificar as principais características

de um gráfico: domínio, imagem, e o conjunto 𝐺 = {(𝑥, 𝑟(𝑥)) | 𝑥 ∈ 𝐷 } , sendo 𝐷 o

domínio da função 𝑟. Constatou-se que esse aluno iniciou o seu estudo de funções usando

tabelas e na construção do gráfico foi orientado a unir pontos, gerando graficos de funções

96

que seguramente eram contínuas. Esse processo de ensino gerou um obstáculo cognitivo no

estudante. Nos estudos com professores de Matemática (HITT, 1994, 1998), a ideia que

surge sobre função é a de função-continuidade como a do aluno, ideia também enfatizada

pelo livro texto mencionado acima.

Os autores se fazem a seguinte pergunta: poderia o estudante ser capaz de isolar as

ideias de função e de continuidade por ele mesmo? Eles acreditam que não. Pensam que é

preciso diversificar mais os exemplos usados no ensino de funções, apresentar mais

exemplos de funções discretas e seus gráficos e dizem que as novas tendências nos livros de

Pré-Cálculo mostram que isso já está acontecendo. Os resultados da pesquisa mostram que

é importante construir um ambiente de aprendizagem no qual o aluno seja implicitamente

obrigado a encontrar funções descontínuas e/ou funções expressas por mais que uma

fórmula. Por exemplo, construir três funções que tenham a propriedade, |𝑓(𝑥)| = 2 , para

todo 𝑥 real ou construir três funções que tenham a propriedade, 𝑓(𝑓(𝑥)) = 1 , para todo

𝑥 real. A ideia é provocar diferentes pensamentos relacionados à construção de funções

descontínuas e funções definidas por duas ou mais expressões algébricas ( funções partidas)

em um ambiente de aprendizagem em um contexto de múltiplas representações.

Em 2004, Mastorides e Zachariades voltam a pesquisar professores do ensino

secundário e baseiam essa pesquisa em Shluman (1996).

Mastorides e Zachariades (2004) fizeram um estudo com professores do ensino

secundário para explorar a compreensão e o raciocínio sobre limite e continuidade. O estudo

é baseado em 15 professores de Matemática do ensino secundário, que faziam mestrado em

Educação Matemática. Todos tinham graduação em Matemática e já tinham feito um curso

de Cálculo em livros como Spivak (1967). Esses professores fizeram no seu mestrado um

curso sobre o ensino do Cálculo, no qual discutiram os conceitos e dificuldades relacionadas

aos conceitos de limite e continuidade. A investigação foi baseada em um questionário que

esses professores responderam ao final desse curso e em entrevistas nos quais suas

respostas foram discutidas.

Os autores basearam a investigação em Shulman (1986) que identificou dois

componentes no conhecimento profissional dos professores: o conhecimento do conteúdo e

conhecimento pedagógico do conteúdo. Para Shulman (1986, p. 9, tradução nossa) “Pensar

corretamente sobre o conhecimento do conteúdo requer ir além do conhecimento de fatos

ou conceitos de um domínio. Isto requer a compreensão da estrutura do conteúdo

97

específico”62. E no conhecimento pedagógico do conteúdo Shulman (1986, p. 9, tradução

nossa) inclui ”[...] a mais útil forma de representação daquelas ideias, as mais poderosas

analogias, ilustrações, exemplos, explanações, e demonstrações – em uma palavra, as

formas de representação e formulação do conteúdo que o faz compreensível para os

outros”63.

Mastorides e Zachariades (2004) buscaram compreender qual a extensão do

conhecimento do conteúdo específico dos professores do ensino secundário sobre os

conceitos de limite e continuidade e o conhecimento pedagógico que esses professores

tinham desse conteúdo.

Nas suas conclusões os autores apontam que os professores demonstraram ter uma

compreensão muito débil das noções de limite e continuidade, e que não desenvolveram

uma articulação entre essas duas noções. Usualmente exibem uma compreensão puramente

instrumental desses conceitos. O conhecimento do conteúdo era incompleto, o que afetou o

conhecimento pedagógico do conteúdo. Algumas das principais dificuldades encontradas

nesse estudo foram:

Alguns não conseguem ler corretamente o gráfico de uma função e argumentar

graficamente.

Não conseguem passar corretamente do verbal para o simbólico e vice-versa.

Dificuldades em compreender o significado de uma inequação como as que

aparecem nas “complexas” definições formais de limite e continuidade

Dificuldades em compreender corretamente o significado dos quantificadores. Para

eles mudar a ordem dos quantificadores nas afirmações

∀ > 0 ∃ 𝑛0 ∈ ℕ ∶ ∀ 𝑛 ≥ 𝑛0 |𝛼𝑛 − 𝛼 | <

∃ 𝑛0 ∈ ℕ ∶ ∀ > 0 ∀ 𝑛 ≥ 𝑛0 |𝛼𝑛 − 𝛼 | < ,

não muda o significado. Para eles as duas afirmações são idênticas

A compreensão dos conceitos de limite e continuidade não é completa. Para muitos

função contínua é uma curva sem interrupções, e sequer levam em consideração se o

62

Texto original: To think properly about content knowledge requires going beyond knowledge of the facts or concepts of a domain. It requires understanding the structures of the subject matter […].

63Texto original: […] the most useful forms of representation of the ideas, the most powerful analogies, illustrations, examples, explanations, and demonstrations – in a word, the ways of representing and formulating the subjects that make it comprehensible to others

98

domínio de uma função é um intervalo ou não. Nas suas explicações gráficas é

comum usarem gráficos simples de funções monótona.

O ensino é baseado na maioria das vezes em casos específicos e exemplos dos

conceitos gerais.

Já Karatas, Guven e Cekmez (2011) querem investigar como os conceitos de limite e

continuidade atravessam a escolaridade dos alunos, ou seja, quais as modificações na

compreensão desses conceitos ao longo da escolaridade dos alunos. A pesquisa foi aplicada

à: 61 alunos do último ano do Ensino Médio, 73 estudantes do primeiro ano de um Curso de

Formação de Professores, 60 estudantes do segundo ano desse curso e 74 do terceiro ano

Analisam como os conceitos de limite e continuidade são compreendidos por estudantes em

diferentes momentos de sua formação e para isso utilizam um método de estudo cross-age

(MORGIL; YÖRÜK, 2006).

Para Karatas, Guven e Cekmez (2011), pesquisas anteriores demonstram que

professores e alunos têm ideias “erradas” sobre os conceitos de limite e continuidade e que

os equívocos e o insuficiente nível de informação dos alunos sobre esses conceitos impedem

o desenvolvimento dos conceitos de Cálculo. Citam pesquisas que enfatizam dificuldades de

aprendizagem do conceito de continuidade, usando as mais variadas abordagens, como por

exemplo, o estudo feito por Mastorides e Zachariades (2004), que abordamos anteriormente

nessa revisão bibliográfica. Descrevem que, em Bezuidenhout (2001), as concepções de

limites e continuidade estão relacionadas às concepções que os alunos têm de função, o que

leva esses alunos a tentar determinar a continuidade de uma função num ponto, analisando

se a função está definida ou não nesse ponto e que resultado semelhante foi encontrado por

Vinner (1992) em seu trabalho com 406 estudantes universitários de Cálculo. Nesse trabalho

de Vinner, muitos alunos apoiados na representação gráfica ou simbólica de uma função

expressaram sua convicção de que uma função é contínua num ponto se está definida nesse

ponto e é descontínua no ponto no qual não está definida. Em Tall; Vinner, (1981); Hitt,

(1994); Hitt, (1998); Hitt; Planchart, (1998) é forte a tendência de professores e alunos

identificarem funções contínuas com funções definidas por uma única expressão algébrica.

Essas pesquisas também são abordadas na nossa revisão bibliográfica.

Karatas, Guven e Cekmez (2011) se baseiam em Kaput (1992, 1994) e em Duval,

(1998, 2002). Segundo os autores, Kaput (1992, 1994) afirma, que para uma compreensão

mais profunda dos conceitos de Cálculo, as instruções devem ser focadas em múltiplas

99

representações (algébrica, geométrica, intuitiva) e na interação entre essas representações.

E Duval (1998, 2002) afirma, que a capacidade de identificar e representar o mesmo

conceito por meio de diferentes representações é considerada um pré-requisito para a

compreensão do conceito em questão. Para revelar a compreensão dos conceitos de limite e

continuidade e o desenvolvimento dessa compreensão, os autores desenvolveram um teste,

incluindo questões abertas sobre representações verbais, algébricas e gráficas desses

conceitos com 268 estudantes, escolhidos em duas escolas secundárias e em um

departamento de Educação Matemática elementar na Turquia. Essa escolha se deveu ao

fato de que, embora tenha havido muitos estudos sobre os conceitos de limite e

continuidade e dificuldades correlacionadas (CORNU, 1991; FERRINI - MUNDY; GRAHAM,

1991; MAMONA -DOWNS, 2001; SZYDLIK, 2000; TALL; Vinner , 1981; DAVIS; VINNER, 1986;

SIERPINSKA, 1987; AKBULUT; 2005; JORDAAN, 2005; WILLIAMS, 1991; HITT 1994;

BEZUIDENHOUT, 2001; HITT; PLANCHART, 1998; HITT; LARA, 1999; LAUTEN, et al., 1994;

BRIDGERS, 2007; BURN, 2005; BERGÉ, 2006), poucos estudos se concentraram nas

representações desses conceitos e nas relações entre essas representações (algébrica,

gráfica e verbal). Lauten et al. (1994) apontaram que existe uma relação entre as ideias de

continuidade e a representação funcional que o participante está usando. Os participantes

nesse estudo lidaram com problemas equivalentes de formas diversas, dependendo se o

contexto era gráfico ou analítico. Bridgers (2007) constatou que a maioria dos professores

que pensa em continuidade como um tópico importante, também acha que continuidade é

um conceito difícil para os alunos, mas entendem que é um conceito que os alunos precisam

aprender. Estes professores perceberam que a ligação entre a definição de uma função, a

existência do limite e a continuidade da função é confusa no pensamento dos alunos, que os

estudantes preferiram a representação gráfica no momento de decidir sobre a continuidade

de uma função.

Nas suas conclusões Karatas, Guven e Cekmez (2011) perceberam que a

compreensão da representação gráfica dos alunos diminui com o aumento da sua

escolaridade, assim como a conceituação de continuidade, e recomendam desenvolver nos

alunos suas habilidades de interpretação de diferentes representações de funções, para que

esses alunos possam entender melhor os conceitos de limite e continuidade e a relação

entre esses conceitos, utilizando para isso, múltiplas representações na concepção das

atividades instrucionais.

100

Bridgers (2007) acreditando que continuidade é um tópico presente ao longo de todo

o desenvolvimento do Cálculo, decidiu olhar para a compreensão que os professores têm de

continuidade e como isso influencia a compreensão que os alunos têm desse conceito.

Bridgers (2007), revisando a literatura referente ao ensino do Cálculo, encontrou

poucas pesquisas que abordam as concepções que os professores têm dos conceitos do

Cálculo e a influência que essas concepções têm sobre a compreensão e aprendizagem

desses conceitos pelos alunos. Para isso, buscou investigar: (a) a natureza do modo de

pensar dos professores sobre a continuidade do ponto de vista pedagógico e do conceito

matemático; (b) que pensamento os estudantes têm sobre o conceito de continuidade; (c) a

natureza da relação entre o modo de pensar de professores e alunos sobre a continuidade;

(d) como os professores interpretam o raciocínio dos alunos sobre esse conceito. O estudo

foi desenvolvido por meio de questionários e entrevistas, com a participação de 13

professores de Cálculo do ensino médio e seus alunos, na perspectiva de modelos e

modelagem (LESH; DOERR, 2003) do pensamento de professores e alunos e também na

perspectiva construtivista, segundo Driscoll (2000).

Quanto aos alunos, Bridgers (2007) pode observar, que eles têm tendência a abordar

todas as questões sobre continuidade de funções de forma gráfica, mesmo quando as

funções são apresentadas algebricamente, o que contraria alguns estudos anteriores

(DREYFUS; EISENBERG, 1982; EISENBERG, 1991, 1992). Acreditam que todas as funções que

lhes são apresentadas são contínuas. A tendência deles é não considerar funções

descontínuas.

Acreditamos que o fato dos alunos, quando solicitados a dar exemplos de funções

que satisfaçam determinadas condições, apresentem exemplos de funções que são

contínuas, se deve ao fato dos deles atravessarem a escolaridade básica lidando, quase que

exclusivamente, com funções contínuas, tanto nos livros textos como nas salas de aula.

Mesmo na universidade isso acontece, pelo menos nas disciplinas iniciais da graduação:

Matemática Básica, Pré-Cálculo, Matemática Elementar, Cálculo I. Os livros textos para essas

disciplinas, ilustram o tópico “Funções”, em geral, com gráficos contínuos, sem saltos ou

buracos.

O estudo de Bridgers (2007), mostrou muito pouca associação da continuidade com

limite. Quase a metade dos alunos não concordou que uma função contínua tem limite em

cada ponto do seu domínio. Esta falta de associação da continuidade com limite, talvez se

101

deva ao fato que muitos alunos associem continuidade com conexão (contiguidade) e alguns

acreditam que limite só se aplica a funções descontínuas. Muitos alunos tiveram dificuldade

em diferenciar continuidade de diferenciabilidade. Muitos acreditam que toda função

contínua é diferenciável. Outras pesquisas encontraram esse mesmo resultado, por exemplo

Tall e Vinner (1981). Outra dificuldade encontrada pelos alunos foi distinguir entre os

significados de uma função: ser definida em um ponto, ser contínua em um ponto e ter

limite em um ponto. Para alguns alunos esses conceitos são equivalentes.

Quanto aos professores, a autora concluiu que eles entendem que continuidade é um

importante tópico no ensino de Cáculo, viam continuidade como um conceito e um tópico

difícil, já os professores que acham que esse tema não é tão importante assim, veem

continuidade como um procedimento e um tópico fácil de abordar. Para esses professores,

falar de continuidade é falar das três condições que os estudantes precisam verificar para

ver se uma função é contínua em um ponto (segundo posso entender, esses professores

partem da visão local de continuidade para a visão global). Eles tiveram tendência a

confundir a ideia informal de conexão (contiguidade) com a ideia matemática de

continuidade. Todas as metáforas que os professores usaram para falar de continuidade

estavam relacionadas com a ideia de conexão (contiguidade). Para muitos professores o

domínio da função não desempenha um papel importante nesse estudo. A metáfora do

teste do lápis (desenhar uma curva sem tirar o lápis do papel) mostra que funções com

gráficos desconexos não podem ser contínuas no seu domínio. Esses professores indicam

que sua compreensão informal de continuidade é suficiente para entender à ideia

matemática. Eles identificaram muitas dificuldades dos alunos com respeito a ideia de

continuidade, por exemplo, relação entre: continuidade e diferenciabilidade, continuidade e

limite, continuidade e uma função ser definida em um ponto.

Para Bridgers (2007), esse estudo mostra que muitas mudanças devem ser feitas na

forma de se ensinar função e continuidade nos cursos iniciais de Cálculo. Abordar

continuidade intuitivamente usando metáforas que envolvem a ideia de conexão

(contiguidade) pode não preparar os alunos para um estudo mais rigoroso de continuidade.

A autora indica também, que os alunos devam ser mais expostos a exemplos de funções

outras ,que não as polinomiais e as racionais. Os alunos devem ser desafiados com exemplos

que apresentem problemas com a continuidade, para os quais o fato de uma função não ser

contínua leve a impossibilidade do uso de um teorema importante. Bridgers (2007, p. 186,

102

ênfase da autora) diz que: “mais exposição a “não-exemplos” pode ajudar os estudantes a

desenvolver modelos mais ricos de continuidade e descontinuidade”64.

A pesquisa a seguir investiga o conceito de continuidade, segundo uma abordagem

sócio-epistemológica e também histórica. Uma abordagem diferente das que encontramos

até agora

Estamos falando de Aparicio e Cantoral (2007), que investigam o aprendizado do

conceito de continuidade pontual de uma função real de variável real, e estão interessados

nas formas discursivas e nas ações gestuais utilizadas pelos estudantes quando discutem

essa noção. A investigação tem uma abordagem sócio-epistemológica e se apoia também

em uma revisão histórica de caráter epistemológico sobre o conceito de continuidade

pontual, pois acreditam que a forma de pensar e os erros dos estudantes podem encontrar

explicações em outras épocas da Matemática.

Aparicio e Cantoral (2007) entendem

o aspecto gesticulativo como uma forma de comunicação que serve como elo de ligação entre o significado de um conceito "matemático" e a comunicação das sensações, noções e imagens internas que se formam [ou que são criadas] no interior das pessoas. Quer dizer, o gesto denota e precede a linguagem escrita e as representações. .(APARICIO; CANTORAL, 2007, p. 8, tradução nossa).65

Para Aparicio e Cantoral (2004), a maioria dos professores de Cálculo quando

definem continuidade, começam pela continuidade num ponto do interior de um intervalo

aberto de números reais. A abordagem desse tema, em geral é algorítmica e procedimental.

Usando alguns procedimentos operacionais, decidem se a função é contínua ou descontínua

em um ponto. Depois, o professor passa a estudar a continuidade global da função em todo

o intervalo de números reais. Para os autores, essa dinâmica acarreta problemas de

aprendizagem nos alunos, pois pressupõem que a noção de continuidade, em seu sentido

global, possui um caráter apriorístico no ser humano. Para eles, as pessoas percebem os

fenômenos do mundo real de forma global e não local. Quando observam um objeto em

64

Texto original: More exposure to “non-examples” May help students to develop richer models of both continuity and discontiuity.

65Entendemos al aspecto gesticulativo como una forma de comunicación cultural que sirve de enlace entre el significado de un concepto «matemático» y la comunicación de las sensaciones, nociones (e) y imágenes internas que de éste se formen las personas. Es decir, lo gestual denota y precede al lenguaje escrito y a las representaciones.

103

queda livre, por exemplo, veem uma trajetória contínua descrevendo o movimento desse

objeto, que percorre todos os pontos intermediários dessa trajetória.

Segundo Aparicio e Cantoral (2007) na prática da sala de aula de Cálculo (e eu diria,

não só nas aulas de Cálculo) os conteúdos são inicialmente abordados de forma algorítmica

e técnica e depois, apostando na habilidade de abstração dos alunos, procuram usar uma

linguagem formal ligada à ideia de rigor matemático. Na opinião dos autores este tipo de

fato faz com que o aluno compreenda erroneamente o significado, a necessidade, o uso e a

intencionalidade de tal conceito. Acreditam que essa ação didática dos dias de hoje está

fortemente amparada no fato que “[...] a matemática, como é bem conhecido, se

desenvolveu sob a premissa que trata com objetos abstratos, precedendo, portanto, a práxis

social e de consequência externa ao indivíduo [...]” (CANTORAL, 2004, p. 1, tradução

nossa)66.

Aparicio e Cantoral (2007) acreditam que a noção de continuidade pontual é uma

consequência conceitual da noção da descontinuidade em um determinado ponto e não

consequência da continuidade global. Isto é, consideram que a noção de continuidade

pontual surge entre os alunos como um meio para evitar as descontinuidades pontuais. Eles

propõem uma investigação com um desenho experimental baseado em uma abordagem

sócio-epistemológica da investigação em Educação Matemática, abordagem essa sob um

enfoque sistêmico.

Segundo Aparicio e Cantoral (2004),

A socioepistemologia é uma abordagem que procura explicar os fenômenos educativos produzidos no campo da matemática por meio da compreensão da construção social do conhecimento e sob um enfoque sistêmico, que exige a incorporação de aspectos sociais, tais como a comunicação, a busca de consensos, a construção de linguagens e o desenho de ferramentas no estudo de tais fenômenos. Assim, a partir dessa perspectiva, a construção do conhecimento matemático está necessariamente ligada a questões mais amplas que transcendem a mera organização teórica do conteúdo: aspectos epistemológicos, práticas sócio-culturais, processos avançados do pensamento e aqueles que têm a ver com o funcionamento de uma instituição de ensino (CANTORAL, 2001). (APARICIO; CANTORAL, 2004, p. 343, tradução nossa).67

66

[...] la matematica, com'è ben noto, si è sviluppata sotto la premessa che essa tratta con oggetti astratti, precedenti quindi alla praxis sociale e di conseguenza esterna all'individuo [...].

67Texto original: La Socioepistemología es una aproximación que busca dar explicación de los fenómenos didácticos producidos en el campo de las matemáticas mediante el entendimiento de la construcción social del conocimiento y bajo un enfoque sistémico, que precisa de la incorporación de aspectos sociales, como la

104

Os autores, partindo da suposição de que uma explicação sobre a forma de pensar

dos estudantes, assim como de seus erros mais comuns, pode ser argumentada em outras

épocas da Matemática, fizeram uma revisão histórica de caráter epistemológico sobre o

conceito de continuidade pontual e escrevem:

Em uma revisão histórica, de natureza epistemológica, vemos que a percepção da continuidade global e os usos da descontinuidade pontual precedem a definição formal de continuidade pontual. Já que o conceito de continuidade, como é conhecido hoje, é desenvolvido sistematicamente até o final do Século XVIII e início do Século XIX na Europa central. Ao considerar o trabalho dos principais pensadores como Arbogast [...], Euler [...], Bolzano [...], Cauchy [...] e Weirstrass [...], observamos uma linha de raciocínio que sustenta nossa hipótese, embora se atribua a Weirstrass a definição formal do conceito de continuidade, hoje conhecida em termos da definição - (epsilon - delta). Arbogast [...] distingue duas maneiras em que se pode perder a continuidade de uma função. (APARICIO; CANTORAL, 2006, p. 10, tradução nossa)68.

Segundo Aparicio e Cantoral (2006), a continuidade pontual surge como o resultado

das patologias da continuidade global, e isso pode ser sentido no exemplo da função

𝑓(𝑥) =1

𝑥 . Segundo Arbogast essa função é descontínua, pois determina uma curva que tem

duas partes disjuntas. De acordo com Euler, é uma função contínua, pelo fato da função

estar definida por uma única expressão algébrica. No sentido moderno, essa função é

contínua e a explicação está no domínio da função. Segundo os autores, no ensino atual, o

fato de se associar a continuidade pontual à ideia de contiguidade de curvas prevalece entre

os estudantes como uma técnica discriminatória. Tall e Vinner (1981) mostram que 100%

dos alunos participantes da pesquisa afirmam que a função 𝑔(𝑥) = 𝑥2 é contínua, enquanto

78% deles indicam que a função 𝑓(𝑥) =1

𝑥 .com 𝑥 ≠ 0 é uma função descontínua, e isto se

comunicación, la búsqueda de consensos, la construcción de lenguajes o el diseño de herramientas, en el estudio de tales fenómenos. En este sentido, desde esta perspectiva, la construcción de un conocimiento matemático necesariamente se encuentra ligado a aspectos más amplios y que rebasan la mera organización teórica del contenido: Aspectos epistemológicos, prácticas socioculturales, processos avanzados del pensamiento y aquellos que tienen que ver con el funcionamiento de una institución escolar (Cantoral, 2001).

68Texto original: En una revisión histórica, de índole epistemológica, hallamos que la percepción de la continuidad global y los usos de la discontinuidad puntual preceden a la definición formal de la continuidad puntual. Ya que el concepto de continuidad tal y como es conocido en la actualidad, se desarrolla sistemáticamente hacia finales del siglo dieciocho y comienzos del siglo diecinueve en Europa central. Al considerar los trabajos de destacados pensadores como Arbogast (1759 – 1803), Euler (1707 – 1783), Bolzano (1781 – 1848), Cauchy (1789 – 1857) y Weirstrass (1815 – 1897), observamos una línea de razonamiento que sustenta nuestra hipótesis, aunque a Weirstrass se le atribuye haber dotado a dicho concepto de uma definición formal, conocida hoy día em términos de la definición - (epsilon - delta). Arbogast (1759 – 1803) distinguía dos formas en las que se podría perder la continuidad de una función

105

deve à observação da representação gráfica das funções, o que exclui uma avaliação do

domínio da função como da própria definição da função.

Figura 12 – Funções contínua e descontínua segundo Euler e Arbogast


Ainda com respeito à percepção global da continuidade, Aparicio e Cantoral (2006)

citam as pesquisas de Hitt (1994, 1998) que apontam que alunos e professores quando

solicitados a esboçar o gráfico de uma função, tendem a representá-la com a propriedade de

ser contínua, isto é, é representada por uma curva de traço contínuo, favorecendo a

percepção global de continuidade – que os autores sustentam se encontrar de maneira

natural nos raciocínios espontâneos. Sustentam ainda, que muitos dos problemas com a

noção de continuidade são resultados da própria prática didática.

A pesquisa utilizou papel, lousa e computador e se desenvolveu por meio de uma

série de atividades na tela do computador e de acordo com três fases previamente

desenhadas. A fase da preparação para a leitura das atividades, a fase do desenvolvimento

da sequência didática e a fase da institucionalização dos saberes. (APARICIO; CANTORAL,

2004, 2006, 2007).

106

Aparicio e Cantoral (2004, 2006, 2007) apontam as seguintes conclusões:

(a). Os resultados obtidos mostram a contribuição positiva do aspecto gestual no processo

de estabilização do conceito de função contínua em um ponto.

(b). A dimensão gestual em articulação com a dimensão discursiva favorece a aprendizagem

de conceitos matemáticos a partir das interações estabelecidas entre os membros do grupo

e um conhecimento a ser compartilhado.

(c). A possibilidade de visualização e a visualização de conceitos matemáticos não foram

prejudicadas por causa da utilização de uma feramenta tecnológica. A dimensão gestual

articulada com a ação de visualização de representações na tela do computador criou um

cenário no qual o aluno pode aumentar e gerar novas significações. A noção de continuidade

pontual apareceu como resultado da interação entre o aluno, seu entorno e o conceito.

(d). Obstáculos epistemológicos e cognitivos que estão ligados ao conceito de continuidade

pontual- como a noção de função- podem ser superados se se propõe cenários que

ofereçam liberdade de expressão ao estudante em um sentido amplo como se propôs nessa

pesquisa. Os estudantes são capazes de reconhecer uma função em diversas representações

e, a partir disso, desenvolver competências necessárias para analisar a propriedade de

continuidade global e continuidade pontual.

(e). O confronto dos estudantes com a noção de continuidade global e continuidade pontual

lhes permitiu gerar argumentos discursivos matemáticos e estabilizar a noção de

continuidade pontual. Entre os primeiros se encontram o uso da analogia, o recurso da

metáfora e o gestual como antecedentes aos recursos matemáticos. Expressões lingüísticas

como "salta", "saltos", "corta" "não é clara" usadas pelos alunos e acompanhadas da

dimensão gestual são finalmente amarradas a um conhecimento escolar.

(f). Colocar um estudante em um cenário no qual tenha a liberdade de empregar expressões

discursivas e gestuais, de maneira que não se veja restrito ao seu domínio do conhecimento

escolar "condicionado" permitirá que este estudante resignifique e construa noções

matemáticas. Isto lhe permitirá entender algumas formas de se produzir aprendizagem.

Vamos abordar a investigação realizada por Sales (2008) para a sua dissertação de

mestrado cujo tema é “Explorando função por meio de representações dinâmicas: narrativas

de estudantes do Ensino Médio”. O objetivo do trabalho de Sales (2008) é investigar as

107

narrativas produzidas pelos estudantes diante de uma abordagem matemática sobre

funções utilizando ambiente de geometria dinâmica Embora não seja uma investigação

sobre continuidade de funções, esse conceito surgiu enquanto os alunos trabalhavam nas

tarefas dessa investigação, que envolveram funções contínuas e não contínuas. Oito

estudantes do primeiro ano do Ensino Médio, divididos em quatro duplas, interagiram com

dois micromundos criados no Cabri-Géomètre69. Esses micromundos apresentavam as

representações gráficas de funções de forma dinâmica, ora no plano cartesiano

convencional (Cartesiangraph), ora com eixos coordenados configurados horizontalmente

(Dynagraph). Esse cenário de pesquisa, conforme observou Aparicio e Cantoral (2004, 2006,

2007), permitiu que os estudantes tivessem a liberdade de usar expressões discursivas e

gestuais fora do domínio do conhecimento escolar ao qual estavam condicionados e

produzissem narrativas, que permitiram a pesquisadora responder suas questões de

pesquisa:

Qual o papel das narrativas na construção do conhecimento de função entre estudantes do Ensino Médio?

Em quais atividades as narrativas emergem com mais frequência?

Podemos identificar estórias que representam raízes narrativas em relação ao estudo de função? (SALES, 2008, s. p.)

Para Sales (2008, p. 39) raiz narrativa é “uma estória que emerge com certa

frequência nas narrativas dos estudantes e que captura, mesmo de maneira não formal,

aspectos de uma propriedade, uma relação, uma definição matemática”.

Sales (2008) se apoiou principalmente nas ideais de Bruner (1997) sobre a

centralidade do pensamento narrativo em cognição humana, buscando entender o papel

das narrativas na produção de conhecimentos e significados matemáticos. A metodologia

adotada nessa pesquisa foi o Design Experiments e as quatro duplas de estudantes

trabalharam nesses ambientes de geometria dinâmica (Cartesiangraph e Dynagraph)

observando os comportamentos apresentados nas representações gráficas de dez diferentes

funções. Sales (2008) diz que em relação à representação gráfica

Goldenberg, Lewis e O.’Keefe (1992) descrevem, em sua pesquisa, algumas dificuldades que os estudantes têm ao interpretar gráficos de funções. Uma das dificuldades descrita por eles é uma função ser definida em R, mas seu

69

O micromundo Cabri-Géomètre3 foi desenvolvido por um grupo de cientistas em informática, especialistas em educação e professores de matemática, coordenados por Jean Marie Laborde, do Institut d'Informatique et Mathématiques Appliquées, em Genobre, na França.

108

gráfico é representado em R2, sendo que, nem sempre o estudante tem consciência desse fato. [...] Em particular, ao iniciar seus estudos sobre gráficos, normalmente, os estudantes apresentam dificuldade em distinguir as variáveis (independente e dependente) dos parâmetros que também podem variar. (SALES, 2008, p. 37 e 38).

Os micromundos mencionados acima são desenvolvidos em Cabri Géomètre. No

micromundo Cartesiangraph as representações de gráficos, que aparecem na tela do

computador são representações no plano cartesiano e os gráficos são dinâmicos. No

micromundo Dynagraph (inspirado nos estudos de Goldenberg, Lewis e O.’Keefe) as

representações de gráficos que aparecem na tela do computador são representações nas

quais os eixos 𝑥 e 𝑦 são configurados horizontalmente. A variável independente pode ser

controlada via mouse em uma linha “numérica” (eixo das abscissas), enquanto sua imagem

se move paralelamente em uma outra linha “numérica.” (eixo das ordenadas). Segundo

Sales (2008), a análise dos resultados indicou que, durante as interações com as

representações dinâmicas, os estudantes destacaram espontaneamente várias propriedades

que caracterizam os diferentes tipos de função investigada, chamando atenção para, por

exemplo, a diferença entre funções afins, funções quadráticas, e outros tipos de funções.

Mostrou também, como os comportamentos das funções foram descritos em termos de

narrativas, nas quais os estudantes atribuem sentidos para os fenômenos observados, por

meio de estórias que relacionam, metaforicamente, comportamentos matemáticos com

comportamentos humanos. A Figura 13 a seguir, mostra alguns exemplos desses grupos.

Figura 13 – Classificação no Cartesiangraph e no Dynagraph

Classificação Convencional

Classificação no Cartesiangraph

Classificação no Dynagraph

Função afim Grupo rampa Grupo das réguas

Grupo da locomotiva

Função quadrática Grupo bate e volta Grupo transferidores

Grupo elástico

Função com assíntota Grupo montanha russa Grupo do teletransporte

Grupo que gira

Função descontínua Grupo escada Grupo coelhinho Grupo pulo

Fonte: Sales (2008). Elaborado pela pesquisadora

109

Abordamos a pesquisa realizada por Sales (2008), por nos proporcionar mais uma

oportunidade de ouvir o que os alunos falam sobre função trabalhando em um cenário

dinâmico e usando como metodologia o Design Experiments. São dados importantes, que

também nos ajudaram a pensar nas tarefas da nossa pesquisa.

Encontramos na literatura a investigação realizada por Barto (2004) para a

construção de sua dissertação de mestrado, que tem como objeto de pesquisa a

continuidade de funções reais.

A pesquisa de Barto (2004) também fez parte do projeto intitulado Projeto de

Cálculo: Linguagem, Corporiedade e Tecnologia, coordenado pela professora Dra. Janete

Bolite Frant. O objetivo de Barto (2004) era investigar a produção de significados para a

continuidade de funções reais de uma variável real buscando entender, principalmente,

como ocorre a dinâmica dessa produção de significados, que significados são produzidos

para os objetos matemáticos como ponto, curva, intervalo, épsilon, delta, domínio, imagem

de função e como a teoria da Cognição Corporificada (LAKOFF; NÚÑEZ, 1997, 2000) pode

contribuir para a análise desse processo de produção.

A fundamentação teórica da pesquisa de Barto (2004) foi construída a partir da

articulação de três teorias: a teoria da Cognição Corporificada (LAKOFF; NÚÑEZ, 1997, 2000),

uma proposta da Linguística Cognitiva que inclui as metáforas conceituais para compreender

processos de aprendizagem; a teoria do Modelo da Estratégia Argumentativa – MEA,

proposta por Castro e Bolite Frant (2000), que permite construir uma rede de argumentação,

incluindo a intencionalidade da fala (escrita, oral, corporal) para a análise do discurso em

sala de aula e o Modelo Teórico dos Campos Semânticos (MTCS) proposto por Lins (1997,

1999, 2004), segundo o qual, a produção de um significado é aquilo que se pode e

efetivamente se diz de um objeto no interior de uma atividade. A metodologia usada foi um

estudo de caso, uma metodologia de caráter qualitativo, que permitiu que a pesquisadora

estivesse como observadora e participante dentro de uma sala de aula do curso de Tópicos

de Cálculo Diferencial e Integral com dez alunos, todos professores de Matemática, durante

5 encontros de 3 horas cada um.

Nas considerações finais, Barto (2004) deixa um recado para os professores de

Matemática, sugerindo que criem oportunidades de interação dos alunos com o ambiente

(professor, colegas, tecnologia, material didático, conteúdo pedagógico) para que possam

colocar seus questionamentos e expressar suas ideias, pois essa interação é um dos

110

elementos principais da dinâmica dos processos de ensino e de aprendizagem. Por meio da

expressão desses alunos (escrita, oral, corporal), os professores poderão perceber e levar em

consideração noções que possam estar impregnadas e/ou corporificadas no aluno e que são

capazes de provocar modificações nos significados dos conteúdos matemáticos.

Citamos, a seguir, alguns objetos matemáticos e a produção de significados para os

mesmos, que surgiram nessa pesquisa:

Uma função é crescente quando sobe e vai para a direita.

Uma função é crescente e positiva quando tem domínio e imagem positivos

Um ponto na reta real não tem vizinhança.

Um ponto sobre uma curva é um ponto isolado.

Analisar a continuidade local de uma função é analisar o limite da função no intervalo

que contém o ponto.

O domínio e a imagem de uma função percorrem trajetórias independentes

Épsilon e delta são intervalos numéricos. (BARTO, 2004, p. 108-112).

Uma discussão interessante aconteceu em torno da análise da continuidade da

função

𝐹(𝑥) = {0, 𝑥 < 0 1 , 𝑥 ≥ 0

, no ponto 𝑥 = 0 .

Figura 14 – Gráfico da função 𝑦 = 𝐹(𝑥)


Um dos participantes afirmou que a função era contínua porque existiam os limites à

direita e a esquerda desse ponto (𝑥 = 0). Outros participantes descartavam a

descontinuidade, pois existia uma bola aberta em um local, mas no outro que correspondia

ao caminho a seguir, existia uma bola fechada. Assim a função era contínua porque não

111

apresentava “buracos” ou “saltos” e existia o limite. O que está implícito é que eles

entendem “duas bolas abertas” como “salto ou buraco no gráfico”, pois as “bolas abertas”

impossibilitam caminhar pela curva. Nas considerações finais, Barto (2004) deixa claro que

seria interessante avançar nas investigações sobre o conceito de continuidade e se

considerar o papel da tecnologia nesse cenário.

Os resultados apontados por Barto (2004) foram importantes para nortear a nossa

investigação, que avançou na busca de significados para a continuidade de funções reais de

uma variável real, usando a plataforma de trabalho Virtual Math Team.

Para finalizar a nossa revisão de literatura, trazemos para reflexão dois artigos:

“Gesture, Abstraction, and the Embodied Nature of Mathematics” escrito por Raphael Núñez

em 2009 e “The Motion Behind the Symbols: A Vital Role for Dynamism in the

Conceptualization of Limits and Continuity in Expert Mathematics” de autoria de Tyler

Marghetis e Raphael Núñez de 2013.

Vários artigos, dissertações e teses (TALL; VINNER, 1981; MASTORIDES;

ZACHARIADES, 2004; BRIDGERS, 2007) que analisamos, apontam que alunos e até mesmo

professores têm muita dificuldade em compreender a definição formal de continuidade. As

razões apontadas pelos pesquisadores são inúmeras e as dificuldades em compreender e

usar quantificadores (universal e existencial) e inequações estão entre as principais razões

dessa dificuldade. Para Núñez, o problema está em se caracterizar a definição por e 𝛿

como uma generalização da continuidade natural, e acreditar que a definição por e 𝛿

adiciona rigor à continuidade natural. Para ele a continuidade natural (aquela que é

explicada em termos dinâmicos, como um processo contínuo que não encontra lacunas ou

saltos, baseado em situações contínuas do dia a dia) tem mecanismos cognitivos e lógicos

radicalmente diferentes da continuidade por e 𝛿, que implica na ideia de preservação de

proximidade, em situação estática. Nenhuma é melhor que a outra.

O artigo de Núñez (2009) versa sobre os mecanismos cognitivos corporificados

(esquema imagem, metáforas conceituais) de uma das ideias fundamentais do Cálculo,

continuidade de funções, conhecida como evasiva, difícil para o professor ensinar e para o

aluno aprender. E uma das perguntas que logo surge é: o que faz o ensino de continuidade

difícil? Essa pergunta deflagra muitas outras: seria a dificuldade intrínseca ao conceito?; por

que o seria?; existiria algum problema cognitivo com a ideia matemática de continuidade?

112

Para começar a refletir sobre isso, Núñez (2009) apresenta a definição de continuidade

encontrada na maioria dos livros textos:

Uma função 𝑓 é contínua em um número 𝑎 se as seguintes três condições são

verdadeiras:

1. 𝑓 é definida em um intervalo aberto contendo 𝑎 ,

2. lim𝑥⟶𝑎 𝑓(𝑥) existe, e

3. lim𝑥⟶𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) ,

e lim𝑥⟶𝑎 𝑓(𝑥) existe, significa que 𝑓 é uma função definida em um intervalo aberto

contendo 𝑎 , exceto possivelmente em 𝑎 , e que existe um número real 𝐿 satisfazendo a

seguinte sentença matemática:

∀ > 0 , real, ∃ 𝛿 > 0 tal que, se 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 , então |𝑓(𝑥) − 𝐿| < .

E assim, escrevemos que lim𝑥⟶𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿 .

Núñez (2009) questiona porque essa definição causa tanta dificuldade na mente dos

estudantes, pois, apesar da definição usar quantificadores ( ∀ > 0 , ∃ 𝛿 > 0 ), diferenças

aritméticas e desigualdades (0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 ) , estas afirmações são claras e não ambíguas.

De fato, é comum encontrar na literatura, pesquisadores da Educação Matemática

afirmando que as dificuldades com o ensino e aprendizagem de continuidade se devem a

dificuldades com o uso dos quantificadores, mas Freudenthal (1973) escreve:

As dificuldades implícitas no conceito de continuidade são quantificadores e a ordem dos quantificadores de diferentes tipos....Continuidade de 𝑓 significa intuitivamente: pequenas alterações de 𝑥 correspondem a pequenas alteraçãoes de 𝑓(𝑥), Ou: se 𝑥 muda pouco, 𝑓(𝑥), também muda pouco. Palavras como “pequeno”, “grande”, “pouco”, “muito”, “curto”, “longo”, podem esconder um quantificador, mas os critérios da linguística formal são insuficientes para saber de que tipo é. Sempre, às vezes, em toda parte, em algum lugar – exibem claramente o quantificador universal ou existencial, mas a formulação lingüística não revela que na definição de continuidade o segundo pequeno (ou pouco) esconde um quantificador universal, e o primeiro um quantificador existencial. Para compreendê-lo, uma análise lógica é um mal necessário. O significado dos quantificadores em “pequeno” ou “pouco” é mais bem indicado na formulação mais exata: mudanças suficientemente pequenas de 𝑥 correspondem a mudanças arbitrariamente pequenas de 𝑓(𝑥). Ou: se 𝑥 muda suficientemente pouco, 𝑓(𝑥) muda arbitrariamente pouco. Ainda a partir desta formulação existe uma longa etapa para compreender que o primeiro "arbitrariamente pequeno" deve ser prescrito antes do "suficientemente pequeno" ser determinado...A definição intuitiva de continuidade envolve duas dificuldades de formulação – primeiro, decodificação dos quantificadores escondidos, segundo, estabelecimento da ordem dos quantificadores de

113

diferentes tipos. Boas didáticas deveriam, pelo menos, separar uma

dificuldade da outra. (FREUDENTHAL, 1973, p. 561, apud NÚÑEZ, 2009, p. 311 e 312, tradução nossa).70

Para Núñez (2009), Freudenthal faz uma análise profunda, precisa e clara dessas

dificuldades, porém focada apenas no aspecto formal da definição por e 𝛿 , deixando de

lado a dimensão fundamental da cognição humana cotidiana, que interfere na conceituação

e compreensão dessa formalização. A análise dele parte do nível da formalização, deixando a

Matemática intocável. Para Núñez, o que falta é a verdadeira matematização da noção de

continuidade natural (LAKOFF; NÚÑEZ, 1998), que fundamenta a noção técnica expressa em

termos e 𝛿 e que será explicada em termos de metáforas e montagens no capítulo 4, no

tópico 4.1.3. Núñez (2009) argumenta que essas duas ideias – continuidade por e 𝛿 e

continuidade natural – são diferentes, com diferente estrutura semântica e diferente

organização inferencial. Essas ideias são cognitivamente opostas, a continuidade natural é

intrinsecamente holística (focada no todo) e dinâmica, enquanto a continuidade por e 𝛿

é atomística (focada nas partes) e estática, e afirma que isto sugere

que aprender e dominar a caracterização de continuidade por e 𝛿 requer um considerável esforço extra, que vai além do uso de quantificadores, o qual a Educação Matemática deveria ser capaz de direcionar e dar conta. Mas para isso, a Educação Matemática deveria chegar até a Matemática em si, e não considerar a matemática e sua formalização como certa. (NÚÑEZ, 2009, p. 312 e 313, tradução nossa) 71.

Núñez (2009) chama a atenção para a forma como muitos livros textos introduzem o

conceito de continuidade. Antes de apresentarem a definição formal por e 𝛿 , os autores

gastam algumas linhas “introduzindo” o tema por meio de uma explicação “intuitiva”,

70

The difficulties implicit in the continuity concept are quantifiers and the order of quantifiers of different kinds....Continuity of 𝑓 means intuitively: small changes of 𝑥 correspond with small changes of 𝑓(𝑥). Or: if 𝑥 changes little, 𝑓(𝑥)., also changes little. Words like “small”, “big”, “little”, “much”, “short”, “long”, May hide a quantifier, but formal linguistic criteria era often insufficient to know which kind. Always, sometimes, everywhere, somewhere – exhibit clearly the universal or existential quantifier, but the linguistic formulation does not unveil that in the continuity definition the second small (or little) hides a universal, and the first an existential, quantifier. To grasp it, a logical analysis is badly needed. The meaning of the quantifiers in “small” or “little” is better indicated in the more exact formulation: to sufficiently small changes of 𝑥 correspond arbitrarily small ones of 𝑓(𝑥). Or: if 𝑥 changes sufficiently little, 𝑓(𝑥) changes arbitrarily little. Still from this formulation it is a long step to understand that first the “arbitrarily little” must be prescribed before the “sufficiently little” is to be determined…The intuitive continuity definition involves two difficulties of formalizing – first, decoding of hidden quantifiers, second, settling the order of quantifiers of different kinds. Good didactics should at least separate these difficulties from each other. (p. 561).

71 This suggests that learning, and getting good at mastering the − 𝛿 technical characterization of continuity requires a considerable extra effort that goes beyond the use of quantifiers, which mathematics education should be able to address and account for. But for this, mathematics education must get at the very mathematics itself, and not take the mathematics and its formalizations for granted.

114

escrevendo por exemplo: uma função contínua é aquela cujo gráfico é “contínuo”, ou seja,

aquele que pode ser desenhado sem tirar o lápis do papel” ou “na fala cotidiana, um

processo “contínuo” é aquele sem lacunas, interrupções ou mudanças bruscas”. Essa

caracterização intuitiva tem algo de dinâmico, de um movimento de um ponto para outro

numa trajetória sem interrupções. Mas logo a seguir, os autores mudam radicalmente de

postura, deixando claro que essa “explicação” bastante livre e intuitiva de continuidade

serviu como mera ilustração, serviu mais para “explicar” do que “definir”, e que deve ser

seguida de uma “definição” formal rigorosa. Com isso fica o sentimento que “explicar”

alguma ideia é bom, importante, mas ensinar Matemática é “definir” entidades e

propriedades de uma forma rigorosa e precisa, que no caso da continuidade, se traduz no

uso de quantificadores, existencial e universal, e inequações. E para Núñez (2009),

[...] do ponto de vista da ciência cognitiva, o ensino com foco na definição, em vez da explicação vai contra muito do que se sabe sobre como os seres humanos aprendem e dão sentido às coisas, a partir da percepção, atenção e memória, para categorizar e resolver problemas. (NÚÑEZ, 2009, p. 314, tradução nossa).72

Segundo Núñez (2009), o que se pode apreender de tudo que se lê nas pesquisas em

Educação Matemática e dos livros textos é que

(1). a definição de continuidade por e 𝛿 torna a concepção “informal” de continuidade mais rigorosa e precisa e

(2). a definição de continuidade por e 𝛿 generaliza a concepção “informal” de continuidade. (Núñez, 2009, p. 314, ênfase do autor).73

O que nos leva a indagar: a continuidade natural não é rigorosa, nem precisa?

A continuidade natural se baseia no esquema fonte-caminho-alvo (source-path-goal-

schema), um esquema cognitivo fundamental, que diz respeito a simples movimento ao

longo de trajetórias que tem os seguintes elementos (LAKOFF; NÚÑEZ, 2000): (1). um objeto

(trajector) que se move; (2). um local de origem (o ponto de partida); (3). um alvo – isto é,

um determinado destino de trajetória; (4). uma rota da origem ao alvo; (5). A atual trajetória

72

Texto original: From the perspective of cognitive science, teaching focusing on defining rather than on explaining goes against most of what is known about how humans learn and make sense of things, from perception, attention, and memory, to categorization and problem solving.

73 (1). the e 𝛿 definition of continuity makes the so so-called “informal” conception of continuity (i. e.,

natural continuity) rigoroud and precise. (2). the e 𝛿 definition of continuity generalizes the so-called “informal” conception of continuity (i. e.,

natural continuty).

115

de movimento; (6). a posição do objeto (trajector) em um dado momento; (7). a direção do

objeto (trajector) naquele momento; e (8). a localização final do objeto (trajector), que pode

ou não ser o destino pretendido. O esquema fonte-caminho-alvo é bastante genérico e pode

ser usado para representar, por exemplo, o rastro deixado por um objeto em movimento,

obstáculos ao movimento, velocidade do movimento. Pode sofrer transformações (ser

expandido, encolhido, deformado) e ainda continuar a ser um caminho, e tem uma lógica

espacial interna e inferências incorporadas.

O esquema fonte-caminho-alvo está presente no pensamento matemático. É comum

pensarmos no gráfico de uma função no plano cartesiano como o caminho descrito por um

ponto desse gráfico e aí ouvimos expressões como: a função “sobe”, “chega” no seu máximo

e depois “desce, sem parar” e “vai” para o menos infinito.

Segundo (LAKOFF; NÚÑEZ, 2000), uma das manifestações mais importantes do

esquema fonte-caminho-alvo em linguagem natural é o que Talmy (1996, 2000) chamou de

movimento fictivo, segundo o qual uma linha é pensada como um movimento traçando

aquela linha. Isto pode ser visto em frases que usam verbos de movimento, mas na realidade

o cenário é estático. Por exemplo: “a estrada atravessa a floresta”, “a trilha atravessou vales

e montanhas”, as linhas de transmissão percorrem todas as fazendas da região”. E em

Matemática podemos ter: “ as curvas se encontram em vários pontos”, “quando 𝑥 caminha

para a direita o gráfico vai para o infinito”.

Figura 15 – Esquema fonte-caminho-alvo (source-path-goal-schema)


116

Assim, a continuidade natural baseada no esquema fonte-caminho-alvo tem as

seguintes características essenciais na sua organização inferencial: (a). continuidade, traçada

pelo movimento, ocorre ao longo do tempo; (b). O traçado do movimento é uma linha

estática, holística, sem “pulos”. Essas propriedades juntas mostram que em termos de

organização inferencial, a continuidade natural é muito precisa. A lista de vinculações é rica,

específica e não ambígua, e caracteriza com todo rigor a continuidade natural com a

precisão que as questões matemáticas até meados do Século XIX exigiam.

A continuidade natural surgiu no Século XVII, atravessou o tempo lidando com todos

os objetos matemáticos existentes, até que, em torno da metade do Século XIX, novos

objetos e problemas matemáticos emergiram e pressionaram o surgimento de novos

métodos. Os métodos exigidos por esses novos objetos e problemas matemáticos

recrutaram mecanismos cognitivos diferentes, tais como ideias de preservação de

proximidade e ausência de vazio. A definição por e 𝛿 é um novo, rigoroso e preciso

método para lidar com um amplo universo de funções e entidades matemáticas. Segundo

Núñez (2009, p. 316), “[…] fornecer um novo método com novas ideias subjacentes, não

significa necessariamente, cognitivamente, que exista uma generalização ou uma extensão

das antigas ideias” 74.

A definição por e 𝛿 é feita em termos de limite, e limites em termos de expressões

que usam quantificadores estáticos, sobre estáticos números reais (∀ > 0 , real, ∃ 𝛿 > 0 ),

e exige que certas condições, sem movimento (motion-less), descritas em termos de

diferenças aritméticas (|𝑓(𝑥) − 𝐿|) e inequações (0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿) sejam satisfeitas.

A definição por e 𝛿 também está calcada nas noções da vida cotidiana, só que na

noção estática de preservação de proximidade e falta de lacunas (buracos), que são

conceitos da vida cotidiana com uma organização inferencial que foi essencial para

Weierstrass, no Século XIX, executar o programa de aritmetização da análise.

A função 𝑓(𝑥) = {𝑥 𝑠𝑒𝑛 (

1

𝑥) , 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 0

0 , 𝑠𝑒 𝑥 = 0 é contínua em todos

os pontos, de acordo com a definição de continuidade por e 𝛿 , mas não é contínua,

segundo a definição natural de continuidade. Pelas características semânticas e da

74

Texto original: […] provinding a new method with new underlying ideas does not necessarily mean, cognitively, that there is a generalization or an extension of the old ideas.

117

organização inferencial da continuidade natural, deveríamos ser capazes de descrever as

propriedades essenciais do movimento de um ponto ao longo da curva (descrita por esse

gráfico), de dizer quão longa é a trajetória entre dois pontos dessa curva. Mas isso não é

possível, pois como a trajetória de um ponto sobre essa curva oscila sem parar, quando esse

ponto se aproxima do ponto (0,0), não podemos dizer quão longa é a trajetória entre dois

pontos localizados em planos opostos com relação ao eixo 𝑦.

Figura 16 – Gráfico da função 𝑦 = 𝑓(𝑥)


A conclusão de Núñez (2009) é que os alunos têm dificuldades de entender a

definição de continuidade por e 𝛿 , simplesmente porque esta definição não captura a

organização inferencial da noção humana cotidiana, não por causa de quantificadores ou

inequações.

Para finalizar, o autor diz que a Educação Matemática, que tem como foco principal

os seres humanos e a forma como pensam e aprendem, não deveria assumir que definições

formais em matemática tornam ideias intuitivas mais precisas e tem o poder de generalizar

essas ideias.

No artigo que acabamos de analisar (NÚÑEZ, 2009), e em outros que fazem parte da

bibliografia da nossa investigação (NÚÑEZ, 2000, 2003, 2012), Núñez discutiu como a

118

“aritmetização” do Cálculo no final do Século IXX marcou mudanças importantes nas ideias

de continuidade vigentes naquele momento. As ideias de continuidade foram se afastando

das instituições espaciais e dinâmicas e baseando seu conceito em definições estáticas e

rigorosas.

No artigo “The Motion Behind the Symbols: A Vital Role for Dynamism in the

Conceptualization of Limits and Continuity in Expert Mathematics” de autoria de Tyler

Marghetis e Raphael Núñez, de 2013, os autores argumentam que os matemáticos, tanto

historicamente quanto atualmente, se apoiam em conceituações dinâmicas de conceitos

matemáticos, como continuidade, limites e funções para orientar e restringir suas criações e

atividades.

Neste artigo os autores apresentam dois estudos sobre o papel dos sistemas

conceituais dinâmicos em provas matemáticas. A primeira é uma análise do discurso gestual

produzido por estudantes de pós-graduação de Matemática, enquanto demonstravam um

teorema, que revelou uma evocação de recursos conceituais dinâmicos nessa

demonstração. Por não ser do escopo dessa tese, não iremos abordar essa análise nessa

revisão. O segundo é um estudo do caso cognitivo-histórico de um incidente na Matemática

do Século IXX, que sugere um papel funcional para tal dinamismo no raciocínio do renomado

matemático Augustin Cauchy.

Nesse artigo, os autores argumentam que o discurso matemático contemporâneo,

permanece repleto de linguagem dinâmica, que expressões dinâmicas são recrutadas para

falar sobre entidades supostamente estáticas, apesar da posição que o raciocínio dinâmico é

não rigoroso e vago. É comum encontrar em livros textos discussões técnicas de limite e

continuidade que evocam termos dinâmicos e verbos de movimento, como por exemplo:

sen (1

𝑥) “oscila” mais e mais quando 𝑥 se “aproxima” de zero ou 𝑔(𝑥) “nunca vai além de

1", uma função é “crescente”, “oscila”, se “aproxima de um limite”. E então, Marghetis e

Núñez (2013) se perguntam: se as definições rigorosas são tão precisas e completas, por que

os matemáticos na prática, rotineiramente, usam a linguagem natural e a notação simbólica

tão rica e sugestiva?

Para os autores, uma possível razão para a presença desta linguagem cotidiana é que

ela seja a manifestação superficial dos sistemas conceituais estáveis e produtivos. Na

verdade, a estrutura inferencial da matemática pode refletir sistemas conceituais ricos e

119

comuns dos matemáticos, que são produzidos por mecanismos cognitivos cotidianos e são

moldados pelas práticas sociais e as necessidades de construção de significados

(FAUCONNIER & TURNER, 2002; LAKOFF; NÚÑEZ, 2000). Em particular, o esquema fonte-

caminho-alvo (JOHNSON, 1987) e o movimento fictício (TALMY, 2000) têm contribuido para

o significado e a estrutura inferencial de conceitos matemáticos como funções, limites e

continuidade, apesar de tais noções estarem ausentes das definições atuais desses conceitos

(LAKOFF; NÚÑEZ, 1998; NÚÑEZ, 2006).

Para Marghetis e Núñez (2013), a linguagem dinâmica não é por si só, uma evidência

conclusiva do pensamento dinâmico. As expressões dinâmicas de livros didáticos e o

discurso matemático informal poderiam ser a sedimentação dos padrões históricos de

pensamento, expressões que carecem de realidade cognitiva, e funcionam apenas, como um

atalho para os conceitos rigorosos e estáticos. A continuidade por e 𝛿 , estática e a

continuidade natural, dinâmica são evidentes em livros didáticos e no discurso expositivo. Os

autores sugerem que a conceituação dinâmica está presente durante a prática da

matemática em tempo real, mesmo quando os profissionais estão envolvidos na prova

rigorosa de teoremas. Um incidente em particular, no desenvolvimento do Cálculo em

meados do Século IXX, é esclarecedor: a formulação de Cauchy e a defesa repetida de um

teorema "falso". Este incidente histórico tem recebido considerável atenção de historiadores

da matemática. Marghetis e Núñez (2013) estavam interessados em entender como as

descobertas da ciência cognitiva podem explicar o papel especial do dinamismo neste

episódio.

Em 1821, Cauchy publicou o livro Cours d'Analyse, que muitas vezes é considerado o

livro que lançou as bases para o rigor nos conceitos centrais do Cálculo, como por exemplo,

continuidade e limite (BELL, 1940). Mas o livro Cours d'Analyse também continha uma

suposta prova de um teorema que, nas palavras do matemático Abel, "admitia exceções”.

Teorema: A função limite de uma sequência convergente de funções contínua é também contínua.

Em outras palavras, se todos os termos de uma sequência são contínuos, então o

limite dessa sequência – uma função também – deveria ser contínuo. Isto é verdade em

muitos casos. Mas, como foi dito, o teorema é aparentemente falso, existem

contraexemplos, muitos dos quais eram bem conhecidos até por Cauchy. (Laugwitz, 1987).

Em 1826, o matemático Abel sugeriu que se considerasse a série de Fourier:

120

sen(𝑥) −1

2sen(2𝑥) +

1

3sen(3𝑥) −

1

4sen(4𝑥) + ⋯…

Cada termo é contínuo, as somas parciais são contínuas, e a sequência converge para uma

função. O teorema de Cauchy afirma que a função limite é contínua. Mas da perspectiva do

Cálculo pautado pelas definições por e 𝛿 , e mesmo pelos matemáticos da época de

Cauchy, por exemplo Abel, a função é descontínua em qualquer múltiplo ímpar de 𝜋. A

despeito desse contra exemplo, Cauchy, em 1883, reiterou seu teorema e sua prova, e

defendeu uma versão levemente modificada, antes da Academia Francesa de Ciências, em

1853. Como explicar essa perseverança no erro por um grande matemático e figura central

no desenvolvimento da Análise do Século IXX?

Para Marghetis e Núñez (2013), uma possibilidade é que Cauchy estava muito

confuso. Da perspectiva do Cálculo da época, o que estava faltando era a noção de

“continuidade uniforme” (GRATTAN-GUINESS, 1979). Cauchy não foi o único a falhar em

reconhecer a continuidade uniforme, portanto sua falha não foi excepcional. Agora, se não

foi um simples descuido, o que foi então? Uma proposta alternativa, devido à Lakatos

(1978), é que a controvérsia foi o resultado de diferenças nas teorias implícitas detidas por

Cauchy e por seus críticos. Lakatos argumentou que, na geração de sua prova, Cauchy não

estava aproveitando a estrutura inferencial do Cálculo daquele momento, mas estava

operando com uma teoria idiossincrática do continuum em que o dinamismo desempenhava

um papel crucial. A compreensão de Cauchy de variável, função e continuidade era dinâmica

de maneira específica e precisa. Por exemplo, Cauchy escreveu:

On dit qu’une quantité variable devient infiniment petite, lorsque sa valeur numérique décroit indéfiniment de manière à converger vers la limite zero. (Cauchy, 1821, p. 37, ênfase do autor)

Traduzindo:

Nós dizemos que uma quantidade variável se torna infinitamente pequena, quando o seu valor numérico decresce indefinidamente de tal maneira que ele converge para o limite zero. (Cauchy, 1821, p. 37, ênfase do autor).

Em outro lugar, Cauchy define uma variável com um limite no infinito positivo como

aquela que assume valores que "aumentam cada vez mais, de tal forma que ultrapassam

qualquer número dado" (Cauchy, 1821, p. 19, tradução nossa). Aos números são concedidos

movimento e o movimento é estruturado pelo esquema de fonte-caminho-alvo: variáveis de

Cauchy estão autorizadas a circular ao longo do continuum dos números, não apenas

assumindo valores discretos, mas passando "qualquer número dado” no processo. “Para

121

Cauchy, “quantidade variável” não é simplesmente uma forma de expressão, mas uma parte

vital da teoria“ (LAKATOS, 1978, p. 156). Quando baseada em fenômenos cognitivos como

movimento fictício e esquema-imagem, a "teoria" dinâmica de Cauchy é vista como um caso

de conceituação idiossincrática.

Importante, é que o "ponto móvel" de Cauchy requer algum espaço no qual ele pode

se mover. Em Euclides ou Newton, da mesma forma, um ponto podia traçar um arco,

movendo-se em torno de um centro, e ainda assim manter a sua identidade; números eram

entidades em um espaço, como uma mancha na superfície de um quadro, e não constitutivo

do próprio espaço. Na matemática dos tempos modernos, por outro lado, a identidade de

um ponto está ligada a seu lugar no continuum; o número 2 já não é dois, se ele se move

passando de 2.1 ou deslizando para abaixo de 1,9 (LAKOFF; NÚÑEZ, 2000, cap. 12). Não é

assim para Cauchy, para quem um ponto móvel poderia manter a sua identidade, da mesma

forma como variou em todo o continuum. A argumentação na prova de Cauchy, portanto,

revela uma forte dependência do movimento fictício e o esquema de fonte-caminho-alvo,

especialmente quando se trata de continuidade e limites. Situado dentro de um sistema

conceitual que sanciona este dinamismo, a prova de Cauchy se torna inferêncialmente

coerente. Esta leitura de Cauchy, é claro, não é sem críticas. Grattan-Guinness (1979)

argumentou que a linguagem dinâmica de Cauchy era um produto de sua época, e não um

reflexo da concepção subjacente.

Segundo Marghetis e Núñez (2013), décadas de pesquisa em lingüística cognitiva e

psicologia, no entanto, demonstraram que as regularidades em linguagem metafórica muitas

vezes são indicativos de organização conceitual subjacente, como revelado por

experimentos comportamentais, estudos de gesto e de neuroimagem (NÚÑEZ; SWEETSER,

2006; SAYGIN ET AL., 2010; WILLIAMS; BARGH, 2008).

Juntamente com as evidências acima, que o movimento fictício é onipresente e

psicologicamente verdadeiro, o uso regular e generalizado de linguagem dinâmica é

evidência para, e não contra, uma interpretação dinâmica de variáveis, funções, e o

continuum. Ao defender a conceituação dinâmica de Cauchy, é claro, não estamos

descartando a possibilidade de que ele também realizou uma conceituação de fato estática.

Cauchy foi responsável pela introdução das inovações de notação que estão no coração das

definições estáticas de limites e continuidade por por e 𝛿 (GRABINER, 1983), as

122

definições que se baseiam em noções como a preservação de proximidade (NÚÑEZ; LAKOFF,

1998).

Será que a "aritmetização" do Cálculo do final do Século IXX efetivamente baniu

intuições espaciais? Os dois estudos apresentados neste artigo sugerem o contrário. Os

recursos cognitivos mobilizados por Cauchy para raciocinar sobre a continuidade das

funções permanecem presentes nas demonstrações matemáticas de estudantes de

graduação de Matemática do Século XXI. Os conceitos matemáticos que estão definidos em

termos totalmente estáticos e abstratos são, no entanto, trazidos para a vida, em virtude de

mecanismos cognitivos precisos e ao mesmo tempo dinâmicos, como movimento fictício e

esquemas fonte-caminho-alvo.

Como Wittgenstein (2009, p. 238, apud, MARGHETIS e NÚÑEZ, 2013, p. 314)

lembrou: "É claro que, em certo sentido, a Matemática é um corpo de conhecimento, mas

ainda assim, é também uma atividade."

Para Marghetis e Núñez (2013), demonstração é uma atividade hábil, que exige a

implantação simultânea de uma variedade de recursos, alguns rigorosos e abstratos (por

exemplo, a notação por e 𝛿 ), outros mais conceituais, incorporados, experimental,

humano. A nossa análise da prática matemática, histórica e contemporânea, sugere que os

sistemas conceituais desempenham um papel essencial na habilidade de provar, mesmo

quando esses sistemas-conceituais – que não são meras "vagas intuições informais" – são

inconsistentes com as definições técnicas padrão e inferências dedutivas que às vezes são

consideradas o coração da matemática.

Prática matemática é uma prática humana, uma atividade cognitiva, por excelência, e muito

dessa atividade é irredutível a formalismos e lógica. Segundo Wittgenstein (2009, p. 238,

apud, MARGHETIS e NÚÑEZ, 2013, p. 314), a natureza singular de Matemática vai exigir que

prestemos atenção aos detalhes desta atividade cognitiva.

Feita essa revisão de literatura, vimos que se faz necessário analisar como os

principais livros textos de Cálculo l adotados em instituições de ensino superior no Brasil

abordam o conceito de continuidade. É o que faremos a seguir.

123

1.3 A ABORDAGEM DO CONCEITO DE CONTINUIDADE EM ALGUNS LIVROS TEXTOS

Nessa seção, vamos analisar o conceito de continuidade apresentado em alguns

livros textos. Estamos interessados, principalmente, em analisar as ideias, os exemplos que

motivaram os autores a fazerem suas escolhas de definição de função contínua e como

fizeram a transição de uma “conversa” sobre o que é a continuidade, sejam elas chamadas

de caracterização informal, intuitiva da ideia de continuidade, para as definições

matemáticas de funções contínuas, ou caracterização rigorosa desse conceito como vários

autores mencionam. A escolha dos livros textos foi baseada na experiência da pesquisadora

como docente, ministrando Cálculo I inúmeras vezes, e que teve que fazer suas escolhas

sobre essa temática. Tentamos escolher livros textos que apresentam pontos de vista

diferentes sobre o desenvolvimento do assunto em questão e que são adotados em várias

das nossas instituições de ensino superior.

Os livros textos que analisamos constam das bibliografias básica e complementar da

disciplina Cálculo I (ou equivalente) ou Análise Matemática de algumas das seguintes

universidades brasileiras: Universidade Federal Fluminense (UFF), Universidade Federal do

Rio de Janeiro (UFRJ), Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ), Universidade

Federal do Rio de Janeiro (UNIRIO), Universidade Federal do ABC (UFABC), Universidade

Federal de Minas Gerais (UFMG), Universidade Federal do Paraná (UFPR), Universidade de

São Paulo (USP), Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP), Universidade Estadual de

Maringá (UEM), Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR). São eles75:

75

Essas informações foram obtidas nos sites dessas universidades em dezembro de 2013.

124

Figura 17 – Tabela dos livros analisados

Fonte: Elaborado pela pesquisadora

Autor(es) Título Editora Ano

Indicado nas bibliografias básica e complementar da disciplina Cálculo I (ou equivalente) das seguintes universidades brasileiras

Howard Anton, Irl Bivens e Stephen Davis

CÁLCULO (v. 1)

Porto Alegre: Bookman

2007 [8. ed.]

UFF, UFRJ, UFABC, UNICAMP

George B. Thomas et al.

CÁLCULO (v. 1)

São Paulo: Addison Wesley.

2002 [10. ed.]

UFF, UFABC, UTFPR

James Stewart

Cálculo (v. 1)

São Paulo: CENGAGE Learning

2009 [6. ed.]

UFF, UFRJ, UNIRIO, UFABC, USP,

UNICAMP, UME, UFPR

C. H. Edwards, Jr. e David E. Penney

CÁLCULO com Geometria Analítica (v. 1)

Rio de Janeiro: PHB – Prentice-Hall do Brasil

1997 [4. ed.]

UFMG, UNICAMP

Hamilton Luiz Guidorizzi

UM CURSO DE CÁLCULO (v. 1)

Rio de Janeiro: LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora S.A

1985 UFF, UNIRIO, UFABC, USP, UME, UTFPR

Deborah Hughes-Hallett et al.

CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL

Rio de Janeiro: LTC

2008 [3. ed.]

UFPR, UTFPR

Cassio Neri e Marco Cabral

Curso de Análise Real

Rio de Janeiro: Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro

2011 [2. ed.]

UFF, UFRJ

Elon Lages Lima

Análise Real: Funções de Uma Variável

Rio de janeiro: IMPA

2006 [8. ed.]

UFF, UFPR, UNICAMP

125

O que observamos nesses livros textos:

Antes de descrevermos como o tópico CONTINUIDADE é abordado no livro texto

Anton, Bivens e Davis (2007), vamos mostrar o que esses autores escrevem sobre Rigor já no

seu prefácio:

Rigor O desafio de escrever um bom livro de Cálculo está em obter o equilíbrio correto entre o rigor e a clareza. Nosso objetivo é apresentar uma Matemática rigorosa na maior extensão possível em um tratamento introdutório. Quando a clareza e o rigor colidem, escolhemos a clareza; contudo, acreditamos que é importante o estudante entender a diferença entre uma demonstração precisa e um argumento informal, de modo que tentamos tornar claro quando os argumentos apresentados são informais ou para motivação. A teoria envolvendo argumentos de 𝜖 − 𝛿 aparece em seções separadas, podendo ser estudada ou não, de acordo com a preferência do professor. (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2007, Prefácio, p. ix, grifo nosso).

Nos perguntamos o que significará “clareza” para os autores e por esta fala já no

prefácio do livro, pudemos perceber que as questões em torno das argumentações com

e 𝛿 mereceriam a nossa atenção.

Os autores Anton, Bivens e Davis (2007) iniciam o tópico CONTINUIDADE dizendo:

Uma bola de beisebol não pode desaparecer em algum ponto para reaparecer em outro e continuar seu movimento. Assim, percebemos a trajetória da bola como uma curva sem interrupções. Nesta seção vamos transladar as “curvas sem interrupções” para uma formulação matemática precisa chamada continuidade e desenvolver algumas das propriedades fundamentais das curvas contínuas. (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2007, v. 1, p. 144, grifo nosso).

A seguir, escrevem em Definição de Continuidade:

Intuitivamente, o gráfico de uma função pode ser descrito como uma curva contínua se não apresentar quebras ou buracos. Para tornar essa ideia mais precisa, precisamos entender quais propriedades de uma função podem causar quebras ou buracos. Com referência à Figura 2.5.1, podemos ver que o gráfico de uma função tem uma quebra ou buraco se ocorrer alguma das seguintes condições:

A função 𝑓 não está definida em 𝑐 (Figura 2.5.1a).

O limite de 𝑓(𝑥) não existe quando 𝑥 tende a 𝑐 (Figura 2.5.1b, Figura 2.5.1c).

O valor da função e o valor do limite em c são diferentes (Figura 2.5.1d). (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2007, v. 1, p. 144, grifo nosso).

ANTON, BIVENS E DAVIS (2007)

126

Figura 18 – Figura 2.5.1 de Anton, Bivens e Davis (2007)

Fonte: Anton, Bivens e Davis (2007, v. 1, p. 144). Elaborado pela pesquisadora com o uso do Software GeoGebra

Depois de mostrarem o que para eles significa o gráfico de uma função ter uma

quebra ou buraco, Anton, Bivens e Davis (2007) sugerem a seguinte definição:

2.5.1 DEFINIÇÃO Dizemos que uma função 𝑓 é contínua em 𝒙 = 𝒄 se

as seguintes condições estiverem satisfeitas:

1. 𝑓(𝑐) está definida.

2. 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) existe.

3. 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐).

(ANTON; BIVENS; DAVIS, 2007, v. 1, p. 144, ênfase dos autores).

Notamos que, na definição de função contínua num ponto, dada acima, o ponto 𝑐,

para o qual se pretende analisar a continuidade, não é mencionado como sendo um ponto

do domínio da função. O ponto 𝑐 estar ou não no domínio da função já é um dos requisitos

para se decidir se a função é ou não contínua nesse ponto, conforme item 1. da definição

2.5.1. Notemos o que escrevem os autores:

Se falhar uma ou mais das condições dessa definição, então dizemos que 𝑓 tem uma descontinuidade em 𝒙 = 𝒄 . Na Figura 2.5.1a, a função não está definida em 𝒙 = 𝒄 , violando a primeira condição da Definição 2.5.1.

(ANTON; BIVENS; DAVIS, 2007, v. 1, p. 144, ênfase do autor).

A seguir os autores apresentam um exemplo (Exemplo 1, p. 145) para determinar se

três funções dadas são contínuas, e dentre essas funções está a função 𝑓(𝑥) =𝑥2−4

𝑥−2 , que

segundo os autores: “a função 𝑓 não está definida em 𝑥 = 2 e, portanto, não é contínua

127

em 𝑥 = 2 “. Essa conclusão está de acordo com a Definição 2.5.1 de continuidade de uma

função em um ponto apresentada por eles na página 144.

Os autores conduzem a definição de continuidade de uma função, segundo o que

observaram logo no Prefácio do livro (p. ix), quando disseram optar pela “clareza” quando

“clareza e rigor” colidem. Dizem que é importante o aluno entender a diferença entre uma

demonstração precisa e um argumento informal, mas deixam a teoria envolvendo

argumentos de e 𝛿 em seções separadas para serem estudadas, se o professor assim o

decidir. Pela minha vivência entre professores que ensinam Cálculo, essas seções raramente

são abordadas com todos os seus detalhes nas primeiras disciplinas de Cálculo, muitas vezes

são só mencionadas e com o enfoque que a definição de continuidade por e 𝛿 é a

formalização de uma noção intuitiva.

Trazendo Núñez (2003) para nossa reflexão, vemos que para ele a visão que a

definição de continuidade por e 𝛿 é a formalização de uma noção intuitiva é equivocada

e desorientadora. A continuidade proposta por Weierstrass e a continuidade natural são

construídas com base em mecanismos cognitivos muito diferentes. Segundo o autor a

continuidade de Weierstrass, “implicitamente, nega o movimento, o fluxo, a não

fragmentação, e lida exclusivamente com entidades estáticas, discretas, atomísticas [que

tem o foco nas partes]” (p. 14). A continuidade natural envolve conteúdos cognitivos como

movimento, fluxo, mudanças ao longo do tempo e não fragmentados. São conteúdos

cognitivos fundamentados nos movimentos corporais, e de mapeamentos conceituais que

são naturais do sistema conceitual humano” (p. 14).

Analisando Thomas et al. (2002), vemos que, na página 124, antes de definir

continuidade em um ponto, os autores fazem as seguintes considerações:

Quando colocamos em um sistema de coordenadas alguns pontos do gráfico de uma função cujos valores foram gerados em laboratório ou coletados no campo, geralmente unimos esses pontos por uma curva não interrompida para mostrar quais seriam os valores prováveis da função em todos os instantes em que não medimos (Figura 1.43). Fazendo isso, estamos supondo que estamos trabalhando com uma função contínua, uma função cujos valores variam continuamente e não saltam de um valor para o outro sem assumir todos os valores entre eles. Qualquer função 𝑦 = 𝑓(𝑥) cujo gráfico possa ser esboçado sobre seu domínio em um único movimento contínuo, sem levantar o lápis, é um

THOMAS ET AL. (2002)

128

exemplo de função contínua. Estudaremos a ideia de continuidade nesta seção. Continuidade em um Ponto Funções contínuas (...). Elas também são funções que usamos para descrever como um corpo se move através do espaço ou como a velocidade de uma reação química varia com o tempo. Na realidade, tantos processos físicos ocorrem de modo contínuo que durante os Séculos XVIII e XIX raramente se pensou em pesquisar qualquer outro tipo de comportamento. Foi uma surpresa quando os físicos de 1920 descobriram que a luz vem em partículas (...). Como conseqüência dessas e de outras descobertas e em função do grande uso de funções descontínuas na ciência da computação, na estatística e em modelos matemáticos, o tema da continuidade se tornou importante tanto na prática como teoricamente. (THOMAS et al., 2002, v. 1, p. 120, grifo nosso).

Antes de apresentarem a definição de continuidade, os autores ainda dizem:

Para definirmos a continuidade em um ponto do domínio de uma função, precisamos definir a continuidade em um ponto interno (o que envolve um limite bilateral) e em um ponto final (o que envolve um limite lateral) (Figura 1.46). (THOMAS et al., 2002, v. 1, p. 121, grifo nosso).

E definem continuidade em um ponto como a seguir:

Definição Continuidade em um ponto Ponto interior: Uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥) é contínua em um ponto interior 𝒄 de seu domínio quando 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐).

Extremidades: Uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥) é contínua na extremidade esquerda 𝒂 ou é contínua na extremidade direita 𝒃 de seu domínio quando 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎+ 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎). ou 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑏− 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑏), respectivamente.

(THOMAS et al., 2002, v. 1, p. 121, ênfase dos autores).

E mais adiante, os autores deste livro observam (p. 122) que a continuidade em um

ponto pode ser resumida na forma do seguinte teste:

Teste de Continuidade

Uma função 𝑓 será contínua em 𝑥 = 𝑐 se e somente se ela obedecer às três condições seguintes:

1. 𝑓(𝑐) existe (𝑐 está no domínio de 𝑓 )

2. 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) existe (𝑓 tem um limite quando 𝑥 → 𝑐 )

3. 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐) (o limite é igual ao valor da função)

(THOMAS et al., 2002, v. 1, p. 122).

Esse teste de continuidade, que é na prática a forma como se verificará se uma

função é contínua em um ponto 𝑐 , mostra que a definição apresentada pelos autores é

129

basicamente a definição apresentada no livro texto do Anton, Bivens e Davis (2007). A

principal diferença entre elas, é que a definição apresentada em Anton, Bivens e Davis

(2007, p. 144) não menciona o ponto 𝑐 como um ponto do domínio da função, enquanto

Thomas et al (2002, p. 121) dizem “𝑦 = 𝑓(𝑥) é contínua em um ponto interior 𝒄 de seu

domínio”, o que nos levou a pensar que a continuidade da função será analisada apenas

para pontos do domínio dessa função. No entanto, logo após a definição de continuidade em

um ponto, na mesma página, Thomas et al (2002, p. 121) escrevem que se uma função não é

contínua em um ponto c, então 𝑓 é descontínua em 𝑐 e 𝑐 é dito um ponto de

descontinuidade de 𝑓 e acrescentam, observem que 𝒄 não precisa pertencer ao domínio

de 𝒇. Thomas et al. (2002, p. 123) ilustram com gráficos, possíveis descontinuidades em um

ponto, como na Figura 19 a seguir:

Figura 19 – Figura 1.50: Função contínua em (a) e não contínua em 𝑥 = 0 de (b) a (f)

Fonte: Thomas et al. (2002, v. 1, p. 123). Elaborado pela pesquisadora com o uso do Software GeoGebra

Vemos então, que uma função do tipo, 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 , para 𝑥 ≠ 0 é considerada por

esses autores como descontínua em 𝑥 = 0 . Isto mostra que para eles uma função será

descontínua em um ponto se não estiver definida nesse ponto.

130

Os gráficos da Figura 19 (acima) foram usados pelos autores para introduzir os tipos

de descontinuidade de uma função e para falar em descontinuidades removíveis ou não

removíveis.

Os autores, na página 123, escrevem:

A Figura 1.50 apresenta uma relação de tipos de descontinuidade. A função na Figura 1.50a é contínua em 𝑥 = 0 . A função na Figura 1.50b seria contínua se tivesse 𝑓(0) = 1 . A função na Figura 1.50c seria contínua se 𝑓(0) fosse 1 em vez de 2 . As descontinuidades nas Figuras 1.50b e c são removíveis. Cada função tem um limite quando 𝑥 → 0 , e podemos remover a descontinuidade fazendo 𝒇(𝟎) igual ao limite.

As descontinuidades nas Figuras 1.50d, 1.50e, 1.50f são sérias: 𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟎 𝒇(𝒙) não existe, e não existe forma de melhorar a situação trocando 𝒇 em 𝟎 . A função escada na Figura 1.50d tem uma descontinuidade de salto: os limites laterais existem, mas têm valores

distintos. A função 𝑓(𝑥) =1

𝑥2 na Figura 1.50e tem uma descontinuidade

infinita. A função na Figura 1.50f apresenta uma descontinuidade oscilante: ela oscila demais para ter um limite quando 𝒙 → 𝟎 . (THOMAS et al., 2002, v. 1, p. 123, ênfase nossa).

A forma como as ideias de descontinuidades removíveis e não removíveis foi

conduzida confunde os alunos. Ao falarem em descontinuidade removível, deixaram a

impressão de que é possível tornar uma função contínua em um ponto 𝑐 , quando ela não é,

mas atende determinadas condições, por exemplo, a existência do limite quando 𝑥 → 𝑐 .

Quando falam em remover a descontinuidade, a inferência que se faz, é que com

isso, tornam a função contínua, implicitamente está dito, que removendo a

descontinuidade, a função, e não uma nova função, ficou contínua. Seria mais rigoroso falar

em extensão contínua de uma função, pois na realidade estão falando de uma nova função,

e essa sim será contínua. Observemos como a frase: “Cada função tem um limite quando

𝑥 → 0 , e podemos remover a descontinuidade fazendo 𝒇(𝟎) igual ao limite” leva o aluno

a pensar que basta existir o 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) para a função ser contínua no ponto 𝑐 , bastando

para isso fazer 𝒇(𝒄) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) , mesmo que inicialmente a função não esteja definida

em 𝑐 .

Falam também em descontinuidades “mais sérias”, aquelas que não serão removidas

para deixar,enfim, a função contínua. Segundo Lakoff e Núñez (2000, p. 315), a função (f),

𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (1

𝑥) , é chamada de Função Monstro, oscila entre −1 e 1 indefinidamente com

freqüência cada vez maior quando 𝑥 se aproxima de zero. Foram essas funções que

131

criaram a urgente necessidade para um novo paradigma, não geométrico, para funções

contínuas, uma necessidade que os trabalhos de Dedekind e Weierstrass resolveram. É dito

na história, que Weierstrass “domou os monstros”.

Stewart, J. (2009) inicia o tópico 2.5 CONTINUIDADE escrevendo:

[...] o limite de uma função quando 𝑥 tende a 𝑎 pode muitas vezes ser encontrado simplesmente calculando-se o valor da função em 𝑎 . As funções com essa propriedade são chamadas contínuas em 𝑎 . Veremos que a definição matemática de continuidade corresponde estreitamente ao significado da palavra continuidade na linguagem do dia a dia. (Um processo contínuo é aquele que ocorre gradualmente, sem interrupções ou mudanças abruptas). (STEWART, J., 2009, v. 1, p. 107, ênfase nossa).

Segundo Núñez (2003, p.14) o autor está correto em dizer que essa é uma ideia que

decorre do discurso cotidiano, da linguagem do dia a dia: “O que Euler, Newton, Leibniz e

Fourier fizeram (inconscientemente) foi simplesmente aplicar a estrutura inferencial da

noção cotidiana de movimento, fluir, e não fragmentado a um domínio específico da

compreensão humana: funções e variações”.

Ainda na página 107, Stewart, J. apresenta uma definição de função contínua, que é

essencialmente a adotada por diversos autores, dentre eles os que já analisamos

anteriormente, Anton, Bivens e Davis (2007) e Thomas et al. (2002).

Stewart, J. (2009, p. 107) escreve:

Definição Uma função 𝑓 é contínua em um número 𝑎 se

𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)

Gostaríamos de observar que nessa definição o autor, assim como Anton, Bivens e

Davis (2007), não faz nenhuma menção ao domínio da função, nem mesmo se o número 𝑎

é um ponto do domínio dessa função.

E como nos dois livros textos já analisados, Stewart, J. (2009) apresenta as três

condições para a continuidade de 𝑓 em 𝑎 que estão implícitas na definição acima:

STEWART, J. (2009)

132

1. 𝑓(𝑎) está definida (isto é, 𝑎 está no domínio de 𝑓 )

2. 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) existe

3. 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)

(STEWART, J., 2009, v. 1, p. 107).

E sendo essas, as três condições para que uma função seja contínua em um ponto, a

definição dada por Stewart, J. (2009) também considera uma função não contínua em um

ponto 𝑎 , se este ponto não estiver no domínio da função (a condição 1 não é satisfeita).

Terá sentido, considerar uma função não contínua, em qualquer ponto que não esteja no

seu domínio? Consideramos, por exemplo, a função 𝑔(𝑥) = √𝑥 e o ponto 𝑥 = −2 , que não

está no domínio da função 𝑔 . Segundo as definições apresentadas até o momento, a função

𝑔 não é contínua em 𝑥 = −2. Isto faz algum sentido? Para mim, não!

Fomos procurar nesse livro texto de Stewart, J. (2009), em que momento e de que

forma é definido domínio de uma função. Encontramos na página 3 que:

Uma função 𝑓 é uma lei que associa cada elemento 𝑥 em um conjunto 𝐷

exatamente a um elemento 𝑓(𝑥) , em um conjunto 𝐸 .

(STEWART, J., 2009, v.1, p. 3).

A seguir, o autor diz que em geral, considera as funções cujos conjuntos, 𝐷 e 𝐸 são

conjuntos de números reais. Somente na lateral da página 7, é que o autor fala mais

claramente sobre como encontrar o domínio de uma função:

Se uma função for dada por uma fórmula e o domínio não for definido

explicitamente, convenciona-se que o domínio é o conjunto de todos os

números para os quais a fórmula tem sentido e define um número real.

(STEWART, J., 2009, v.1, p. 7).

Stewart, J. (2009, p. 107) também apresenta, a ideia geométrica de continuidade de

uma função, e diz que uma função contínua é aquela cujo gráfico não se quebra, não

apresenta buracos e pode ser traçado sem se levantar a caneta do papel.

Um tipo de exemplo apresentado pelo autor é:

133

Figura 20 – Tipos de descontinuidade de uma função 𝑓

Fonte: Stewart, J. (2009, v. 1, p. 107). Elaborado pela pesquisadora com o uso do Software GeoGebra

Para o autor:

No ponto 𝑎 = 1,5 , a função 𝑓 é descontínua, pois aí o gráfico tem um buraco, ou

como diz o autor, a razão oficial para a função 𝑓 ser descontínua é que 𝒇(𝟏, 𝟓) não está

definida. Falha a condição 1.

No ponto 𝑎 = 3 , o gráfico da função 𝑓 tem uma quebra e é descontínua aí. E a

razão oficial para essa descontinuidade é que 𝑙𝑖𝑚𝑥→3 𝑓(𝑥) não existe (os limites laterais são

diferentes). Falha a condição 2.

No ponto 𝑎 = 5 , 𝑓(5) existe e 𝑙𝑖𝑚𝑥→5 𝑓(𝑥) também existe, mas o gráfico da função

𝑓 tem uma interrupção aí e é descontínua. E a razão oficial neste caso é que

𝑙𝑖𝑚𝑥→5 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(5). Falha a condição 3.

Nos exercícios para esse tópico as funções são apresentadas por meio de gráficos ou

pelas suas leis de formação e são resolvidos pela definição, por cálculos usando

propriedades dos limites ou por teoremas de continuidade apresentados, mas não

demonstrados nesse capítulo.

Stewart, J. (2009) não apresenta “a definição precisa” de continuidade por e 𝛿 ,

mas escreve que da definição de função contínua apresentada por ele, que é 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) =

𝑓(𝑎) , pode-se concluir que:

134

[...] uma função contínua 𝑓 tem a propriedade de que uma pequena variação em 𝒙 produz apenas uma pequena modificação em 𝒇(𝒙) . De fato, a alteração em 𝒇(𝒙) pode ser mantida tão pequena quanto desejarmos mantendo a variação em 𝒙 suficientemente pequena.

(STEWART, J., 2009, v. 1, p. 107, ênfase nossa).

No tópico 2.5 CONTINUIDADE o autor não explica o que essa propriedade significa,

mas na página 97, quando iniciou o tópico 2.4 “A DEFINIÇÃO PRECISA DE LIMITE”, disse que:

A definição intuitiva de limite dada na Seção 2.2 é inadequada para alguns propósitos, pois frases como “ 𝑥 está próximo de 2 “ e “𝑓(𝑥) aproxima-se cada vez mais de 𝐿 “ são vagas. (...) devemos dar a definição precisa de

limite. (STEWART, J., 2009, p. 97, grifo nosso).

O autor desenvolveu o tópico 2.4 chegando à definição de limite por e 𝛿 , (p. 98),

apresentando exemplos e exercícios para serem resolvidos por essa “definição precisa de

limite”. Como continuidade é definida por meio de um limite, acreditamos que a definição

mais precisa de continuidade, aquela que explica a propriedade descrita pelo autor na

página 107, é baseada na definição por e 𝛿 (p. 98) para limite, mas não foi utilizada no

tópico 2.5 Continuidade

Como vimos acima, Stewart, J. (2009) fala que a definição intuitiva de limite é

inadequada para alguns propósitos e aponta para a necessidade de se dar uma definição

mais precisa de limite e consequentemente de continuidade, mas o que Núñez (2003, p. 15)

afirma, é que “a nova definição é, na verdade, uma ideia humana corporificada totalmente

diferente, e o que é pior, dizem aos alunos que a continuidade de Weierstrass captura a

própria essência da antiga ideia, que sendo “vaga” e “intuitiva” dever ser evitada” (grifo do

autor).

Edwards e Penney (1997) inicia o tópico 2.4 O Conceito de Continuidade escrevendo que:

Qualquer pessoa pode ver uma diferença drástica entre os gráficos das Figs. 2.4.1 e 2.4.2. A Fig. 2.4.1 sugere que o gráfico 𝑓(𝑥) pode ser traçado com um movimento contínuo – sem saltos – do lápis da esquerda para direita. Já na Fig. 2.4.2 o lápis deve dar um salto súbito em 𝒙 = 𝒂 . O conceito de continuidade enfatiza a propriedade que a função 𝑓 da Fig. 2.4.1 tem, mas que a função 𝑔 não tem. (EDWARDS; PENNEY, 1997, v. 1, p. 76).

EDWARDS E PENNEY (1997)

135

Figura 21 – Gráfico contínuo e gráfico não contínuo

Fonte: EDWARDS; PENNEY, 1997, v. 1, p. 76. Elaborado pela pesquisadora com o uso do Software GeoGebra

A seguir os autores introduzem a Definição de Continuidade em um ponto:

Suponhamos que a função 𝑓 seja definida em uma vizinhança de 𝑎 . Dizemos que 𝑓 é contínua em 𝑎 se 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) existe e, além disso, o valor do limite é 𝑓(𝑎) . Em outras palavras, 𝑓 é contínua em 𝑎 se 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎). (EDWARDS; PENNEY, 1997, v. 1, p. 76).

Esses autores tratam a continuidade de uma função em um ponto 𝑎 como os

autores que já analisamos, o fizeram. Usam as três condições: 1. 𝑓(𝑎) existe; 2.

𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) existe e 3. 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) para determinar se uma função é contínua em

um ponto Se uma das três condições falhar, a função não será contínua no ponto 𝑎 . Assim,

se uma função não está definida em um ponto, não será contínua nesse ponto. Aqui, porém,

existe uma diferença que merece ser ressaltada: a função 𝒇 deve ser definida em uma

vizinhança de 𝒂 . O ponto 𝑎, no qual se verifica a continuidade da função, não é um ponto

qualquer, é um ponto que chamamos de ponto de acumulação do domínio da função 𝑓 .

Com isso, a função 𝑓(𝑥) =1

𝑥−2 para 𝑥 ≠ 2 , continua sendo uma função descontínua em

𝑥 = 2 , pois não está definida nesse ponto. Mas, o exemplo que citamos anteriormente, a

função 𝑔(𝑥) = √𝑥 , não poderá ter sua continuidade analisada no ponto 𝑥 = −2 , segundo a

definição de Edwards e Penney (1997), pois a função 𝑔 não está definida em uma

vizinhança de 𝑥 = −2.

Nos exercícios de continuidade apresentados em Edwards e Penney (1997), em geral

as funções são apresentadas por suas leis de formação (registro algébrico) e a resolução

desses exercícios requer basicamente o uso das técnicas de cálculo de limites e o uso de

alguns teoremas enunciados no tópico 2.5 CONTINUIDADE.

136

Já Hughes-Hallett et al. (2008, p. 38 e 39) fazem uma introdução à continuidade na

seção 1.7, dando uma ideia do seu significado gráfico e numérico, e dizendo que a seção 2.7

investiga essa ideia em maior profundidade.

Nessa introdução, os autores escrevem que uma função é dita contínua se seu gráfico

não apresenta saltos, buracos. Dizem que seu gráfico pode ser desenhado sem se tirar o

lápis do papel e que valores próximos da variável independente correspondem a valores

próximos da variável dependente.

Hughes-Hallett et al. (2008, p. 39) escrevem que: “pequenos erros no valor da

variável independente acarretam pequenos erros no valor da função”. Nessa introdução os

autores apresentam exemplos gráficos para tentar deixar claro o significado gráfico de

continuidade.

Na seção 2.7, Hughes-Hallett et al. (2008) apresentam seguinte definição de

continuidade:

A função f é contínua em 𝑥 = 𝑐 se está definida em 𝑥 = 𝑐 e

𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐)

Em outras palavras, 𝑓(𝑥) torna-se tão perto de 𝑓(𝑐) quanto quisermos desde que 𝑥 esteja suficientemente perto de 𝑐 . A função é contínua em um intervalo [𝑎 , 𝑏] se for contínua em todos os pontos do intervalo.

(HUGHES-HALLETT et al., 2008, p. 82).

Apesar dessa definição não diferir daquelas apresentadas anteriormente em Anton,

Bivens e Davis (2007), Thomas et al. (2002) e Stewart, J. (2009), os autores, Hughes-Hallett et

al, são os únicos que explicam essa definição em termos de “preservação da proximidade”,

quando dizem: “Em outras palavras, 𝑓(𝑥) torna-se tão perto de 𝑓(𝑐) quanto quisermos

desde que 𝑥 esteja suficientemente perto de 𝑐 “.Só não usam a linguagem “rigorosa” dos

e 𝛿 .

Observamos que, nessa definição, o ponto 𝑐 também não é necessariamente um

ponto do domínio da função. Apesar dos autores terem dado um significado gráfico ao

conceito de continuidade na seção 1.7, não apresentam nenhum gráfico ilustrativo para a

definição dada na página 82.

HUGHES-HALLETT ET AL. (2008)

137

Os livros textos analisados até o momento, introduzem o conceito de continuidade

de maneira informal, intuitiva (palavras dos próprios autores) e depois passam para uma

definição mais formal, mais rigorosa (também palavras dos próprios autores). Essa definição

mais rigorosa de continuidade foi apresentada por meio de limite: 𝒇 é contínua em 𝒂 se

𝒍𝒊𝒎𝒙→𝒂 𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒂), não usando a linguagem “rigorosa” dos e 𝛿 , mas anteriormente,

trataram a noção de limite mais formalmente usando − 𝛿 , como é o caso de Anton,

Bivens e Davis (2007, p. 134), Thomas et al. (2002, p. 89), Hughes-Hallett et al. (2008, p. 51 e

55), Edwards e Penney (1997, p. 63) e STEWART, J. (2009, p. 97). Por exemplo, Edwards e

Penney (1997) na Definição de Limite escrevem que

[...] nem todos assimilam rápida ou facilmente o pleno significado do

conceito de limite. Na verdade, o significado preciso da afirmação “ 𝐹(𝑥)

tende para 𝐿 quando 𝑥 se aproxima de 𝑎 “ foi alvo de discussões

acaloradas (e por vezes acrimoniosas) durante séculos. – até fins do Século

XIX, quando então o matemático Karl Weierstrass(1815-1897) finalmente

formulou a definição de limite hoje aceita. (EDWARDS; PENNEY, 1997, p. 63,

grifo nosso).

Esta fala dos autores deixa a impressão que Weierstrass finalmente encontrou a

fórmula mágica para a compreensão do conceito de limite.

Vale observar, que o professor de Matemática, assim como autores de livros textos,

com o objetivo de facilitar ou simplificar a aprendizagem dos alunos, muitas vezes utilizam

em seu discurso, metáforas, ideias e linguagem do dia a dia. Por exemplo, no caso de

continuidade de funções, é muito comum professores iniciarem o tema apresentando o que

chamam de “ideia intuitiva, cotidiana de continuidade” para depois introduzir a “definição

formal, mais rigorosa”. Segundo Bolite Frant, Acevedo e Font (2005)

[...] para buscar uma adesão dos estudantes os professores partem de algo que supõem ser da vida cotidiana do aluno. No entanto, o domínio “cotidiano” não é sempre o mesmo para os dois, aluno e professor, porque o professor usa somente parte do conceito cotidiano que será mapeado no domínio matemático. Enfim, o docente sabe exatamente que parte desse cotidiano quer e o aluno não. Os alunos, em geral, têm um domínio “cotidiano” mais amplo que será mapeado no domínio matemático e que

não é o mesmo do professor. (BOLITE FRANT; ACEVEDO; FONT, 2005, p. 11).

138

Mas, o modelo apresentado por Bolite Frant, Acevedo e Font (2005, p. 11)

esquematizado abaixo, mostra que essas metáforas podem ter duas direções diferentes, e é

importante que se reflita sobre a tentativa de facilitar a aprendizagem, que pode na

realidade, estar dificultando este processo.

Figura 22 – Metáfora na Sala de Aula. Mapeamentos distintos matemáticas distintas

Fonte: Bolite Frant, Acevedo e Font (2005, p. 11)

A definição de limite apresentada por Edwards e Penney (1997) é a seguinte:

Definição de Limite

O número 𝐿 é o limite de 𝐹(𝑥) quando 𝑥 tende para 𝑎 se, dado um número 𝜖 > 0 arbitrário, existe um número 𝛿 >0 tal que

| 𝑓(𝑥) − 𝐿 | < 𝜖 Para todo 𝑥 tal que

0 < | 𝑥 − 𝑎 | < 𝛿 . (EDWARDS; PENNEY, 1997, v. 1, p. 63).

Observemos a naturalidade com que os autores transitam de uma definição dinâmica

“ 𝐹(𝑥) tende para 𝐿 quando 𝑥 se aproxima de 𝑎 “, que afirmam ser de difícil

compreensão, para uma definição estática que usa e 𝛿 , como se fosse uma passagem

natural e agora de assimilação rápida e fácil. Como vimos em Núñez (2003), essas duas ideias

são dois mecanismos cognitivos diferentes. Núñez diz que:

[...] a definição de limite de Cauchy-Weierstrass troca a ideia de “uma função 𝑓 se aproxima do limite 𝐿 quando 𝑥 se aproxima de 𝑎" por uma ideia diferente: preservação da proximidade a um número real. Tecnicamente, essa ideia está cristalizada em "𝑓(𝑥) está arbitrariamente próximo de 𝐿 quando 𝑥 está suficientemente perto de 𝑎“. A condição

epslon-delta expressa isso com precisão em lógica formal. (NÚÑEZ, 2003, p. 21).

139

A continuidade de Weierstrass76, usa a definição de limite, uma definição que não se

refere a trajetórias de movimento, a tempo, mas sim a elementos estáticos, como os

quantificadores existenciais, para expressar preservação de proximidade. Assim a passagem

do “intuitivo” para o “formal” não é uma extensão, mas sim uma ruptura.

Bridgers (2007) na investigação que fez para a sua tese de doutorado, abordada na

nossa Revisão de Literatura, concluiu que para muitos professores de Cálculo, o domínio da

função não desempenha um papel importante no estudo da continuidade, que a metáfora

do teste do lápis (desenhar uma curva sem tirar o lápis do papel) mostrou que funções com

gráficos desconexos (não contíguos) não podem ser contínuas no seu domínio, como é o

caso da função 𝑓(𝑥) =1

𝑥 , definida no conjunto ℝ − {0} . Para Bridgers essa forma de

abordar continuidade pode não preparar os alunos para um estudo mais rigoroso de

continuidade, no sentido de uma função não contínua levar a impossibilidade de se usar um

teorema importante, com o qual concordamos plenamente.

Buscamos por livros textos nos quais a continuidade é analisada apenas para pontos

do domínio da função. Para os autores desses livros, num ponto fora do domínio da função,

a função não é contínua nem descontínua, simplesmente nada se pode falar sobre a

continuidade da função em um tal ponto. Esses autores são Guidorizzi (1985, v. 1), Neri e

Cabral (2011) e Lima (2006).

Guidorizzi (1985) inicia o capítulo sobre limite e continuidade dizendo que vai

introduzir dois dos conceitos mais delicados do Cálculo, que são os conceitos de

continuidade e de limite.

Guidorizzi (1985, p. 68) diz que: “Intuitivamente, uma função contínua em um ponto

𝑝 de seu domínio é uma função cujo gráfico não apresenta “salto” em 𝑝 “. Guidorizzi

escreve:

76

Em NÚÑEZ (2003), assim como em alguns outros artigos, o autor chama a continuidade por e 𝛿 de continuidade de Cauchy-Weierstrass, mas inicialmente em seu livro, Where Mathematics Comes Fro (2000), Lakoff e Núñez se referem a essa continuidade como continuidade de Weierstrass, que é a forma como nos referiremos a ela.

GUIDORIZZI (1985)

140

O gráfico de 𝑓 não apresenta “salto” em 𝑝 : 𝑓 é contínua em 𝑝 . Observe

que à medida que 𝑥 se aproxima de 𝑝 , quer pela direita ou esquerda, os

valores 𝑓(𝑥) se aproximam de 𝑓(𝑝); e quanto mais próximo 𝑥 estiver de

𝑝 , mais próximo estará 𝑓(𝑥) de 𝑓(𝑝). O mesmo não acontece com a

função 𝑔 em 𝑝: em 𝑝 o gráfico de 𝑔 apresenta “salto”, 𝑔 não é contínua

em 𝑝.

Na próxima seção, tornaremos rigoroso o conceito de continuidade aqui

introduzido de forma intuitiva. (GUIDORIZZI, 1985, v. 1, p. 121 – grifo

nosso).

Figura 23 – Gráfico sem “salto” e gráfico com “salto”

Fonte: Guidorizzi (1985, v. 1, p. 68). Elaborado pela pesquisadora com o uso do Software GeoGebra

Depois dessa introdução da noção de continuidade, intuitiva (segundo Guidorizzi,

1985, v. 1), o autor apresenta três exemplos, sempre usando na resolução desses, a palavra

“intuitivamente” ou “ideia intuitiva” e usando gráficos para ilustrar tal intuição.

Já no tópico 3.2 – DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO CONTÍNUA o autor apresenta a definição,

que segundo ele, torna mais “rigoroso” esse conceito. Essa passagem da “abordagem

intuitiva para a abordagem mais rigorosa” é feita com a apresentação de alguns gráficos

ilustrativos e a apresentação da definição em e 𝛿 é desenvolvida em algumas etapas que

manipula inequações envolvendo módulo e quantificadores existencial e universal.

São apresentados os gráficos de duas funções 𝑓 e 𝑔 , que foram usados como

exemplos para distinguir os comportamentos de uma função contínua em um ponto 𝑝 (a

função 𝑓) e outra não contínua nesse ponto (a função 𝑔). O gráfico de 𝑓 não apresenta

“salto” em 𝑝 , mas o de 𝑔 sim.

141

Figura 24 – Gráfico de 𝑓 sem “salto” em 𝑝 e gráfico de 𝑔 com “salto” em 𝑝


A definição apresentada por Guidorizzi (1985, p. 74) é a seguinte:

Definição. Sejam 𝑓 uma função e 𝑝 um ponto de seu domínio. Definimos:

𝑓 é contínua em 𝑝 ⇔ {

Para todo 𝜖 > 0 dado, existe 𝛿 > 0 tal que,para todo 𝑥 em 𝐷𝑓 ,

| 𝑥 − 𝑝 | < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑝)| < 𝜖

(GUIDORIZZI, 1985, p. 74).

O autor afirma na página 73 que a função 𝑓 satisfaz em 𝑝 a propriedade:

Para todo ε > 0 dado, existe δ > 0 (δ dependendo de 𝜖 ), tal que, para todo x em Df,

𝑝 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑝 + 𝛿 ⇒ 𝑓(𝑝) − 𝜖 < 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑝) − 𝜖 . (GUIDORIZZI, 1985, p. 73).

E ilustra:

Figura 25 – Gráfico de 𝑓 satisfaz a definição de continuidade em 𝑝


142

O autor ilustra graficamente a situação de uma função 𝑔 que não satisfaz em 𝑝 a

definição de continuidade em um ponto, escrevendo que :

Qualquer que seja o δ > 0 que se tome, quando 𝑥 percorre o intervalo (𝑝 − δ , 𝑝 + δ) , 𝑔(𝑥) não permanece entre 𝑔(𝑝) − 𝜖 e 𝑔(𝑝) + 𝜖

(GUIDORIZZI, 1985, p. 73).

Figura 26 – Gráfico de 𝑔 não satisfaz a definição de continuidade em 𝑝


Após a definição de continuidade, o autor apresenta nove exemplos, basicamente

todos para provar que as funções dadas são contínuas e a resolução dos mesmos é por meio

da busca dos e 𝛿 . Os gráficos das funções, que dariam uma visão geométrica da situação e

que foram amplamente usados na ideia intuitiva apresentada pelo autor, praticamente

desaparecem dessas resoluções.

Convém lembrar aqui, que na investigação que Barto (2004) fez para a elaboração da

sua dissertação de mestrado, os alunos entendiam épsilon e delta como intervalos

numéricos. Os números e 𝛿 eram entendidos como medida de segmentos e identificados

como intervalos numéricos.

Decidimos analisar o livro “Análise Real: Funções de Uma Variável”, Lima (2006), que

embora não sendo usado como livro texto nas primeiras disciplinas de Cálculo é usado

quando esses alunos fazem disciplinas mais avançadas como Cálculo Avançado e disciplinas

de Análise Real e é interessante observar como a definição de continuidade será então

apresentada a esses alunos, após os tratamentos intuitivos das disciplinas inicias de Cálculo.

143

Em Lima (2006, p. 73) encontramos a seguinte definição de função contínua:

Uma 𝑓 ∶ 𝑋 → ℝ , definida no conjunto 𝑋 ⊂ ℝ , diz-se contínua no ponto 𝑎 ∈ 𝑋 quando, para todo 𝜖 > 0 dado arbitrariamente, pode-se obter 𝛿 > 0 tal que 𝑥 ∈ 𝑋 e |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 impliquem |𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)| < 𝜖 . Em símbolos, 𝑓 contínua no ponto 𝑎 significa:

∀ 𝜖 > 0 , ∃ δ > 0 , 𝑥 ∈ 𝑋, | 𝑥 − 𝑎 | < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)| < 𝜖 . (LIMA, 2006, p. 73).

Lima (2006, p. 74) diz que, ao contrário do caso de um limite, na definição de função

contínua num ponto 𝒂 , esse ponto deve pertencer ao conjunto 𝑿, o domínio da função.

Lima (2006) também escreve que:

Se 𝑎 é um ponto isolado do conjunto 𝑋 , isto é, se existe 𝛿 > 0 tal que 𝑋 ∩ (𝑎 − 𝛿 , 𝑎 + 𝛿) = {𝑎}, então toda função 𝑓: 𝑋 → ℝ é contínua no ponto 𝑎 . Em particular, se 𝑋 é um conjunto discreto, como ℤ por exemplo, então toda função 𝑓 ∶ 𝑋 → ℝ é contínua. (LIMA, 2006, 74, grifo nosso).

A seguir, Lima (2006) chama a atenção para a continuidade em pontos de

acumulação do domínio da função:

Se 𝑎 ∈ 𝑋 ∩ 𝑋′ , isto é, se 𝑎 ∈ 𝑋 é um ponto de acumulação de 𝑋 , então 𝑓 ∶ 𝑋 → ℝ é contínua no ponto 𝑎 se, e somente se, lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎).

(LIMA, 2006, p. 74).

Lima (2006)

Diz-se que ∈ ℝ é um ponto de acumulação do conjunto 𝑋 ⊂ ℝ quando toda vizinhança 𝑉 de 𝑎 contém algum ponto de 𝑋 diferente do próprio 𝑎 . (isto é, 𝑉 ∩ (𝑋 − {𝑎}) ≠ ∅ ). (...) Indica-se com 𝑋′ o conjunto dos pontos de acumulação de 𝑋. (...). Se 𝑎 ∈ 𝑋 não é ponto de acumulação de 𝑋 , diz-se que 𝑎 é um ponto isolado de 𝑋 (...) Quando todos os pontos do conjunto 𝑋 são isolados, 𝑋 chama-se um conjunto discreto. (LIMA, 2006, p. 74).

As ideias de “ponto de acumulação” e de “ponto isolado” deveria de alguma forma ser apresentada nos livros textos de Cálculo e usada na definição de continuidade, pois isso “qualificaria” os pontos que seriam candidatos a pontos de continuidade de uma função, evitando, por exemplo,

que se pensasse que a função 𝑓(𝑥) = √𝑥 é descontínua em 𝑥 = −2 .

LIMA (2006)

144

Em Neri e Cabral (2011) a definição de continuidade é precedida de uma longa

discussão do conceito de limite usando e 𝛿 . Os autores iniciam a discussão sobre função

contínua na p. 106 dizendo que “intuitivamente uma função 𝑓 é contínua em um ponto 𝑥0

do seu domínio se 𝑓(𝑥) está próximo de 𝑓(𝑥0) quando 𝑥 está próximo de 𝑥0 “.

(NERI; CABRAL, 2011, p. 106 – grifo nosso).

Segundo Núñez (2003) essa ideia não é intuitiva, não é a metáfora da continuidade

natural, essa abordagem nos dá uma nova metáfora: “aproximar-se de um limite é preservar

a aproximação a um número real”, que é a continuidade de Weierstrass.

Depois de algumas considerações, os autores apresentam a seguinte definição, que é

a mesma que encontramos em Lima (2006, p. 73):

Definição 7.5. Sejam 𝑓 ∶ 𝐴 ⊂ ℝ → ℝ e 𝑥0 ∈ 𝐴 . Dizemos que 𝑓 é contínua em 𝑥0 se ∀ ∈ > 0 , ∃ 𝛿 > 0 tal que, 𝑥 ∈ 𝐴 , |𝑥 − 𝑥0 | < 𝛿 implica que |𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0) | < 𝜖 . (NERI; CABRAL, 2011, p. 106).

Observamos que a noção intuitiva apresentada por vários autores para introduzir o

conceito de continuidade, aquela, segundo a qual, uma função é contínua se o seu gráfico

não apresentar saltos, “buracos”, e pode ser desenhado sem se tirar o lápis do papel, não faz

sentido em definições de continuidade adotadas por alguns autores, como por exemplo,

Guidorizzi (1985), Lima (2006) e Neri; Cabral (2011).

Como já escrevemos anteriormente, Lima (2006, 74, grifo nosso), diz que se “ 𝑋 é um

conjunto discreto, como ℤ por exemplo, então toda função 𝑓 ∶ 𝑋 → ℝ é contínua”.

Então, a função 𝑓 ∶ ℤ → ℝ , tal que 𝑓(𝑥) = {−1 , 𝑠𝑒 𝑥 ∈ ℤ 𝑒 𝑥 ≥ 0

1 , 𝑠𝑒 𝑥 ∈ ℤ 𝑒 𝑥 < 0 , é

segundo Lima (2006), uma função contínua, e como mostra o seu gráfico, apresentado a

seguir, não é possível desenhá-lo sem tirar o lápis do papel.

NERI E CABRAL (2011)

145

Figura 27 – Gráfico da função 𝑦 = 𝑓(𝑥) , 𝑥 ∈ ℤ


Neri e Cabral (2011, p107) também apresentam um exemplo, que dizem que é para

acabar com o mito que função contínua é aquela cujo gráfico pode ser desenhado sem se

tirar o lápis do papel. No exemplo 7.7, definem a função 𝑔 ∶ ℕ → ℕ , tal que 𝑔(𝑛) = 𝑛 para

todo 𝑛 ∈ ℕ e desafiam os alunos a esboçar o gráfico dessa função para que se convençam,

que não é possível desenhá-lo sem tirar o lápis do papel.

Figura 28 – Gráfico da função 𝑔(𝑛) = 𝑛 , 𝑛 ∈ ℕ


E os autores dizem também:

A função 𝑔 (...) é contínua! Você está duvidando? Vejamos com mais

detalhes. Sejam ∈ > 0 e 𝑛 ∈ ℕ Se 𝑥 ∈ ℕ e |𝑥 − 𝑛 | < 1

2 , então 𝑥 = 𝑛

e, portanto, que | 𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑛) | = 0 < 𝜖 . Concluímos que 𝑔 é contínua em 𝑛 e, como 𝑛 é arbitrário, que 𝑔 é contínua!

146

Observe que tomamos 𝛿 =1

2 independentemente de ∈ e de 𝑛 . Mais

que isto, nem a definição de 𝑔 foi necessária na demonstração. Moral da história: funções definidas em ℕ são sempre contínuas (NERI e CABRAL, 2011, p. 107, ênfase nossa).

Analisar se uma função é contínua ou não em um determinado ponto, depende da

definição de continuidade que o autor adota.

A função 𝒇(𝒙) =𝟏

𝒙 , para 𝒙 ∈ ℝ , 𝒙 ≠ 𝟎 é uma função contínua, segundo os

autores Guidorizzi (1985), Lima (2006) e Neri; Cabral (2011) e contradiz a noção intuitiva

apresentada por Anton, Bivens e Davis (2007); Hughes-Hallett et al. (2008); Stewart, J.

(2009); Thomas et al. (2002); Edwards e Penney (1997) para introduzir o conceito de

continuidade. Para esses autores uma função contínua é aquela cujo gráfico não apresenta

“saltos, interrupções, buracos”. Esta é uma controvérsia que não é resolvida, pois depende

da definição que o autor adota.

Seu gráfico:

Figura 29 – Gráfico da função 𝑓(𝑥) =1

𝑥 , para 𝑥 ≠ 0


Para desenhar o gráfico dessa função também temos que tirar o lápis do papel.

A função 𝒇(𝒙) =𝟏

𝒙 , para 𝒙 ∈ ℝ , 𝒙 ≠ 𝟎 é uma função descontínua em 𝒙 = 𝟎

segundo as definições de Anton, Bivens e Davis (2007); Hughes-Hallett et al. (2008); Stewart,

J. (2009); Thomas et al. (2002); Edwards e Penney (1997), mas para Guidorizzi (1985), Lima

(2006) e Neri e Cabral (2011) essa função é contínua em todo o seu domínio, já que 𝑥 = 0

não faz parte do domínio da função, e para eles não tem sentido perguntar pela

continuidade de uma função num ponto fora do seu domínio.

147

Um outro exemplo interessante de se citar é o da função:

ℎ(𝑥) = {𝑥 𝑠𝑒𝑛 (

1

𝑥) , 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 0

0 , 𝑠𝑒 𝑥 = 0 .

Segundo as definições de Guidorizzi (1985), Lima (2006) e Neri; Cabral (2011) a

função 𝑦 = ℎ(𝑥) é uma função contínua.

Os autores Anton, Bivens e Davis (2007); Hughes-Hallett et al. (2008); Stewart, J.

(2009); Thomas et al. (2002); Edwards e Penney (1997) apresentam duas definições para

continuidade, uma intuitiva e outra mais formal ou mais rigorosa, segundo eles. De acordo

com suas definições “mais rigorosas” essa função é contínua em todo o seu domínio, pois:

𝑙𝑖𝑚𝑥→0 𝑥 𝑠𝑒𝑛 (1

𝑥) = 0 = ℎ(0) e 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎 𝑥 𝑠𝑒𝑛 (

1

𝑥) = 𝑎 𝑠𝑒𝑛 (

1

𝑎) = ℎ(𝑎) , 𝑎 ≠ 0. No

entanto, de acordo com a definição mais intuitiva, mais natural desses autores, essa função

não é contínua, pois não somos capazes de desenhar o seu gráfico, já que a função oscila

infinitas vezes entre as retas 𝑦 = 𝑥 e 𝑦 = −𝑥 e cada vez mais rapidamente quando 𝑥 → 0.

Concluímos então, que não é possível desenhar esse gráfico sem tirar o lápis do papel, pois

vamos ficar desenhando esse gráfico indefinidamente, sem alcançarmos a origem.

Figura 30 – Gráfico da função 𝑦 = ℎ(𝑥) , para 𝑥 ∈ ℝ


Para Núñez (2009) os alunos têm dificuldades de entender a definição de

continuidade por e 𝛿 , simplesmente porque essa definição não captura a organização

inferencial da noção humana cotidiana de continuidade (continuidade natural). E afirma

148

mais uma vez, que a definição de continuidade por e 𝛿 não generaliza a noção de

continuidade natural, são dois mecanismos cognitivos diferentes e não uma passagem, uma

extensão.

Nós corroboramos com as ideias de continuidade de Guidorizzi (1985, v. 1), Neri e

Cabral (2011) e Lima (2006). Para nós a continuidade deve ser analisada apenas para pontos

do domínio da função, em um ponto fora do domínio da função, a função não é contínua

nem descontínua, simplesmente nada se pode falar sobre a continuidade da função em um

tal ponto.

A função ℎ(𝑥) = {𝑥 𝑠𝑒𝑛 (

1

𝑥) , 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 0

0 , 𝑠𝑒 𝑥 = 0 é mais uma das funções conhecidas como

Função Monstro. O comportamento dessa função numa vizinhança da origem nem sempre é

claro para os alunos. Considerando o que Lakoff e Núñez (2000, p. 307 e 315) definiram

como continuidade natural e falaram sobre as funções monstros, concordamos que essa

função não é contínua, segundo a definição de continuidade natural, mas é contínua pela

definição por e 𝛿 de Weierstrass.

149

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA “A Teoria não é um templo,

e sim um canteiro de obras”77

Neste capítulo, apresentamos a base teórica da nossa pesquisa, a Teoria da Cognição

Corporificada e o Modelo da Estratégia Argumentativa. A articulação dessas teorias nos

deram elementos para investigar e compreender a produção de significados para o conceito

de continuidade de uma função real de uma variável real, por meio das linguagens escrita,

oral, pictórica e gráfica, presentes nos diálogos dos alunos ao longo do processo de interação

no ambiente da pesquisa, desvendando aspectos da compreensão e da aprendizagem desse

conceito. A nossa fundamentação teórica está dividida nos tópicos: Conhecimento e

Linguagem, O Modelo da Estratégia Argumentativa – MEA, a Teoria da Cognição

Corporificada, a Montagem Conceitual e o Ambiente Virtual de Aprendizagem – VMT.

2.1 CONHECIMENTO E LINGUAGEM. CONCEITO [...] eu entendo que o mundo

não é visto simplesmente em cor e forma, mas também como um mundo

com sentido e significação

VYGOTSKY (1991, p. 25).

Sfard (2008) fundamenta sua pesquisa no pensamento como uma forma de

comunicação, definindo pensamento como “uma versão individualizada de comunicação

interpessoal” (SFARD, 2008, p. 81). É importante entender que a palavra comunicação não

se limita às interações mediadas pela linguagem, inclui gestos, sons, e outras formas que

tornam a comunicação eficiente.

Sfard (1998, 2008) baseia suas reflexões, argumentações e propostas em duas

perspectivas para o conhecimento, a aquisicionista e a participacionista. A perspectiva

aquisicionista, que nos remete a frases como “ganhando conhecimento”, “adquirindo

conhecimento”, “apropriando-se do conhecimento”, nos faz pensar no conhecimento como

77

De Jean-Yves Rochex, no parágrafo do livro “Vygotski et l’éducation”, em paráfrase a G. Canguilhem,

“Qu’est-ce um philosophe en France aujourd’hui”, que escreveu: “La philosophie n’est pas um temple, mais um chantier”. Fala do Prof. Dr. Jorge Tarcísio da Rocha Falcão na palestra “Competências e habilidades matemáticas na escola e fora dela: súmula de 25 anos de pesquisa” proferida na XXIX Semana da Matemática do Departamento de Matemática da Universidade de Londrina.

150

um tipo de mercadoria que pode ser adquirida, numa mente humana como um container, e

no aprendiz como aquele que se torna dono de uma mercadoria armazenada nesse

container. Nessa visão, o professor é um facilitador, um mediador que “entrega” o

conhecimento ao aluno, com se fosse uma mercadoria, que por sua vez já pode ser

transferida para outros contextos.

Já a visão participacionista, da qual compartilhamos, nos remete a frases como

“participar em”, “ser parte de”. As principais características desta visão são a participação

em atividades implementadas coletivamente e a capacidade para individualizar o coletivo.

Se pensarmos que a autora, em suas pesquisas, usa o termo discurso para denotar

qualquer instância específica de comunicação, seja com os outros ou consigo mesmo, seja

predominantemente verbal ou com a ajuda de qualquer outro sistema simbólico, aprender,

na visão participacionista, significa uma mudança no discurso, resultante das interações

entre os participantes. Assim, aprender matemática pode ser definido como a

individualização de um tipo especial de discurso, distinto por seus objetos, mediadores e

regras: o discurso matemático. Nessa visão, o professor é participante do discurso, o

conhecimento vai sendo desenvolvido durante o discurso. Quando o aluno, participante

desse discurso, se depara com uma forma discursiva diferente da sua, enfrenta um conflito,

que Sfard (2008) chama de um conflito comunicacional e ao superá-lo, o aluno modifica o

seu discurso, e se torna capaz de resolver problemas que não era capaz antes dessa

“aprendizagem”.

Sfard (2008, p. 193) diz que a matemática é um discurso autopoiético, estimula o seu

próprio desenvolvimento e produz seus próprios objetos, e que nenhum tipo de mediação

visual - simbólico, icônico, ou concreto - é suficiente para se perceber esse discurso em sua

totalidade. Afirma que os objetos matemáticos, embora considerados como inacessíveis aos

sentidos, são de fato combinações complexas de realizações visíveis.

Trazemos também para nossa reflexão, Castro e Bolite Frant (2011), que propuseram

duas metáforas para o conhecimento, a da caixa e a da faixa de Moebius. Não é incomum

ouvirmos alunos e professores falarem: “ parece que matemática não entra na cabeça dele”,

“não sabemos geometria, isso foi dado muito superficialmente”, “resolução de equação, isso

sim, o professor aprofundou bem”, ”esse menino parece que tem a cabeça oca”, “não

adianta estudar mais, estou com a cabeça cheia”, “vou parar de estudar, não cabe mais nada

na minha cabeça”. Essas expressões nos remetem a metáfora da caixa. É como se

151

tivéssemos no cérebro, uma caixa na qual armazenamos conhecimentos, alguns mais

profundamente, outros mais superficialmente. Uma caixa na qual conhecimentos também

ficam perdidos, ou até são dispensados, por falta de espaço. A metáfora da caixa está

associada ao aquisicionismo, que propõe que os conhecimentos podem ser adquiridos, e

assim podem ser colocados numa caixa e transferidos.

Não acreditando que tudo já foi criado e só está esperando o momento para entrar

“nessa caixa”, que pode não dispor de espaço para novos conhecimentos, as autoras

propõem a metáfora da Faixa de Möebius78, que tem um lado só, associada à visão

participacionista. Nessa faixa, não existe lado de dentro ou lado de fora, o interno ou o

externo. Sobre ela se pode caminhar sem parar, não há fronteiras para superar. A metáfora

da Faixa de Möebius relaciona o conhecimento como algo contínuo, sem fronteiras, sem

compartimentos e, portanto uma ação realizada pelo indivíduo num contexto social, cultural

e histórico.

Figura 31 – Duas metáforas para o conhecimento – a Caixa e a Faixa de Moebius

A Caixa Faixa de Möebius

Fonte: Faixa de Möebius :Ilustração de M.C.Escher. Caixa: elaborada pela pesquisadora

Para compreender o que para Castro e Bolite Frant (2011) significa conhecimento são

necessárias outras considerações: Para as autoras

[...] o que existe disponível ao indivíduo cognoscente [por exemplo, um livro, um comentário de um colega, a fala do professor, coisas escritas no quadro] é considerado um texto que quando apropriado torna-se conhecimento, a partir da produção de significados que este indivíduo produz para o mesmo. Os saberes produzidos ao longo das eras da

78

Uma faixa de Möbius ou fita de Möbius é uma superfície obtida pela colagem das duas extremidades de uma fita, após efetuar meia volta numa delas. É uma superfície não orientável, possui apenas um lado e apenas uma borda. Deve o seu nome a August Ferdinand Möbius, que a estudou em 1858.

http://pt.wikipedia.org/wiki/August_Ferdinand_M%C3%B6bius

http://pt.wikipedia.org/wiki/1858

152

humanidade, para nós [as autoras] são considerados textos. (CASTRO; BOLITE FRANT, 2011, p. 28, ênfase nossa).

E por produção de significados, trazemos Lins (2012, p. 28, grifo do autor): “Significado de

um objeto é aquilo que efetivamente se diz a respeito de um objeto, no interior de uma

atividade. Objeto é aquilo para que se produz significado”. Assim, um objeto novo só ganha

existência a partir do que se fala dele. Lins (2012, p. 28) ainda afirma que “sempre que há

produção de significado, há produção de conhecimento e vice-versa”.

Acreditando na natureza social e cultural da aprendizagem, trazemos também,

Rogoff (1998, 1998a), para quem o aprendizado enfoca um sistema de envolvimento

pessoal, no qual pessoas se engajam em atividades culturalmente organizadas, num

contexto social constituído por normas e práticas desenvolvidas e apropriadas pelas

gerações passadas. Os aprendizes são participantes responsáveis nessas atividades. Essa

participação enfatiza o envolvimento mútuo dos indivíduos e seus companheiros sociais,

comunicando e coordenando seus envolvimentos à medida que participam na atividade

coletiva socioculturalmente estruturada (ROGOFF, 1990; ROGOFF; GARDNER, 1984). Nesse

processo, os participantes mais experientes orientam as atividades dos novos participantes,

proporcionando aos mesmos regras, receitas, feedback espontâneo e soluções alternativas

que facilitem a plena participação.

Esse processo de participação é o meio pelo qual as pessoas se desenvolvem

cognitivamente, aprendem a participar do pensamento compartilhado. Não é apenas um

processamento de informações, que vê o desenvolvimento cognitivo como um processo de

internalização no qual alguma coisa estática atravessa a fronteira do externo para o interno

(ROGOFF, 1998). Para Rogoff (1990), o que está implícito na concepção de internalização é a

existência de um limite entre a mente individual e o mundo social externo e também o limite

entre os tempos – o antes e o depois – e isso possibilita a concepção de transmissão (e não

de transformação) de informações, permitindo o uso da metáfora do depósito de

conhecimento de informação – storage metaphor. Para Rogoff (1990, p. 197), o mundo

social (as informações, habilidades,...) “não é transmitido, mas transformado”.

Ainda dentro da nossa Fundamentação Teórica, precisamos dizer o que entendemos

por conceito.

153

“O que é um conceito?” Poderíamos escrever longamente sobre as diferentes

concepções epistemológicas para a noção de conceito, mas iniciaremos esse tema,

observando o que Castro, Bolite Frant e Lima (2000) escrevem:

[...] só podemos falar do conceito a partir dos usos que se faz dele. A questão “O que é um conceito?” deixa de fazer sentido e tem de ser substituída por outra, onde o que está em jogo são os usos concretos, práticos e que constituem, em cada contexto específico, o conceito em questão. (CASTRO; FRANT; LIMA, 2000, p. 6).

De forma coerente, nos respaldamos também em Rosch (1999, p. 61), para quem

“conceitos são sistemas abertos através dos quais os seres humanos podem aprender coisas

novas e podem inventar [...]”. Para Rosch (1999) conceitos constituem um aspecto do

estudo de categorização, que é uma das funções mais básicas dos seres humanos e segundo

Lakoff & Jonhson (1999), categorizar é um ato automático e inconsciente, é o resultado da

nossa participação no mundo, da nossa corporeidade. Conceitos humanos obtém seu

significado através do corpo e mente, não são apenas reflexos de uma realidade externa, são

especialmente moldados por nosso sistema sensório-motor.

Na maioria dos livros didáticos de Matemática conceito é definição, o que é coerente com a

visão formal dos matemáticos, mas que não é aceito por muitos educadores matemáticos,

que consideram o conceito como algo mais abrangente que sua definição. Acreditamos que

saber uma definição não significa saber um conceito. Não podemos esquecer que segundo

Rosch (1999) conceito é um sistema aberto, e portanto vai sendo construído pelo aluno na

sua participação no discurso matemático e no mundo.

Para a análise do discurso da “sala de aula” de Matemática, vamos nos apoiar no

Modelo de Estratégia Argumentativa – MEA.

2.2 O MODELO DA ESTRATÉGIA ARGUMENTATIVA – MEA

Segundo Castro e Bolite Frant (2011), o MEA é um modelo alternativo, que busca

interpretar a produção de significados através dos argumentos apresentados e não através

das palavras usadas no discurso. Na análise dos argumentos as interpretações são

procuradas muito mais na intenção do locutor de persuadir ou de incitar à ação do que em

significações pontuais de cada momento do discurso. A argumentação ressalta aspectos do

discurso que dizem respeito a sua dinâmica e, portanto, a aspectos processuais do discurso.

154

Castro e Bolite Frant (2011) afirmam que

A Teoria da Argumentação procura relacionar “o que se diz” com “o porquê se diz” e “o como se diz” e compreende como racional todo tipo de interação linguística. Por isso, busca as razões que levaram os indivíduos a dizerem o que disseram no jogo argumentativo e relaciona este dito com seus possíveis efeitos. (CASTRO; BOLITE FRANT, 2011, p. 72, ênfase das autoras).

Em um discurso, quando um tenta convencer o outro de uma tese na qual

claramente há controvérsias e acordos, o MEA tenta explicar os momentos de negociação

que ocorrem, buscando sentidos implícitos, além do que é expresso explicitamente,

buscando relacionar a ocorrência dos implícitos à intenção do falante. Implícitos esses que

não são uma excessão na linguagem, mas a regra.

Entendemos que essa Teoria de Argumentação é bastante aplicável ao nosso cenário

de pesquisa, pois as autoras afirmam que a argumentação se estende aos textos escritos, a

comunicação feita através de computadores, textos expressos em imagens enfim, não está

restrita a um determinado local ou momento e acontece sempre que há uma controvérsia

explícita ou implícita (CASTRO; BOLITE FRANT, 2011).

O Modelo da Estratégia Argumentativa (CASTRO; BOLITE FRANT, 2011) trata os

implícitos nas falas, e fala para as autoras, engloba a enunciação, a gesticulação, a escrita, e

o pictórico. As autoras, concordando com Kristeva (1969), dizem que a linguagem tem a

propriedade de organizar o pensamento. Durante o discurso, há uma constante negociação

de significados entre os sujeitos, que ao conferirem um sentido a objetos e fatos, estão

compartilhando uma compreensão sobre o que foi dito no interior dos grupos. Para as

autoras, a fala é um material privilegiado para a compreensão de processos de produção de

sentido, e alertam que a análise da fala permite diferentes recortes, dependendo daquilo

que dela se deseja extrair.

Castro e Bolite Frant (2011) propõem a criação de uma tipologia para a análise das

discussões ocorridas durante a implementação das tarefas. Segundo as autoras,

Toda tipologia e classificação são precárias diante das múltiplas possibilidades de conceber-se a estrutura de um argumento, isto é, diante do fato de um mesmo argumento sempre poder ser analisado sob outros pontos de vista, segundo os quais sua interpretação não seria mais a mesma. Porém, este procedimento é necessário para a objetividade da análise e deve ser feito conscientemente pelo pesquisador de modo a poder discernir sobre os limites dos resultados

alcançados. (CASTRO; BOLITE FRANT, 2011, p. 75).

155

Castro e Bolite Frant (2011, p. 86-87) quando falam da tipologia da análise (acordos e

argumentos), dizem que um discurso pode obter ou não a adesão do outro, e que a “Teoria

da Argumentação destaca relações entre o tipo de acordo e argumentos e os possíveis

significados que produzem efeitos sobre os auditores”. Para as autoras, página 87, “acordos

são hipóteses do locutor a partir das quais seu raciocínio se desenvolve durante a

argumentação São premissas que o locutor crê aceitas pelo seu auditório e que ele escolhe

para apoiar sua argumentação”.

Sobre a tipologia de argumentos, Castro e Bolite Frant (2011, p. 91) escrevem:

A tipologia de argumentos auxilia a análise, pois permite relacionar a intenção do locutor e os efeitos que pretende sobre o auditório. As técnicas argumentativas são geralmente utilizadas inconscientemente, porém o sentido que delas emerge deve ser considerado sempre intencional, o mesmo ocorrendo com as ambiguidades deixadas pelo locutor. (CASTRO; BOLITE FRANT, 2011, p. 91).

Os argumentos são classificados em vários tipos e vamos falar dos argumentos:

Autoridade, Analogia e Metáfora, pois são argumentos que iremos buscar nos discursos

produzidos pelos participantes da nossa pesquisa durante a realização das tarefas propostas

por nós.

Autoridade: “Argumentos que se utilizam do prestígio de uma pessoa para atribuir valor ao

que ela diz. Por exemplo: Não se deve gastar tudo o que se tem no mesmo mês. E não sou

eu que estou dizendo, meu consultor financeiro me disse.” (CASTRO; BOLITE FRANT, 2011, p.

97).

Analogia: “Analogia é sempre uma comparação feita por similitudes que aproximam dois

elementos de natureza diferente. Por exemplo: “Portela. Foi um rio que passou em minha

vida e meu coração deixou levar”. (Música de Paulinho da Viola).” (CASTRO; BOLITE FRANT,

2011, p. 100). Aqui foi feita a analogia da Escola de Samba Portela com um rio.

Metáfora: “O uso argumentativo da metáfora transporta a significação própria de um termo

a uma outra significação, que não lhe é própria senão em virtude de uma comparação que

só existe para quem a compartilha.” (CASTRO; BOLITE FRANT, 2011, p. 100). Exemplos de

metáfora: A igualdade é uma balança de dois pratos. Sabemos que em uma balança de dois

pratos, quando se coloca a mesma quantidade de objetos em cada um dos dois pratos ela

continua equilibrada. O mesmo ocorre quando retiramos a mesma quantidade de cada um

dos pratos. Função é uma máquina. Ele saiu pela tangente. Ver a situação por outro ângulo.

156

Castro e Bolite Frant (2011, p. 82) sugerem uma sequência de dez passos para que se

faça a análise dos dados obtidos numa investigação segundo o Modelo da Estratégia

Argumentativa. São os passos necessários para a montagem da Estratégia Argumentativa:

organização dos dados, estudo comparativo e apresentação dos resultados.

OS DEZ PASSOS DO MEA

A leitura exaustiva dos dados

A constituição do corpus de análise

A localização das controvérsias (para ver a evolução dos discursos)

A enunciação das teses do locutor

A busca dos argumentos utilizados

A aplicação da tipologia de análise

A montagem de esquemas

A interpretação das afirmativas representadas no esquema

A busca pelas evidências da interpretação

Os Critérios de Validação para dar confiabilidade aos resultados

Para buscar os significados de continuidade produzidos pelos estudantes de nossa

pesquisa e os tipos de mapeamentos cognitivos que emergem durante a constituição desses

objetos, entendemos que deveríamos nos respaldar na ciência cognitiva, para conhecer a

estrutura conceitual implícita da ideia de continuidade. A linguística cognitiva destaca o

papel que a linguagem cotidiana tem na construção do conhecimento, linguagem num

sentido amplo, que inclui gestos, expressões faciais entonações ou qualquer outro signo

linguístico.

Para Bolite Frant (2011) a perspectiva corporificada da linguagem nos traz que as

metáforas não são meramente figuras de linguagem, mas estão intrinsecamente

relacionadas ao pensamento. Segundo Lakoff e Johnson (1980, 1999) o nosso sistema

conceitual – o modo como pensamos e agimos – é fundamentalmente metafórico. E

seguindo os passos de Damasio (1996) e Lakoff e Johnson (1999) também não separamos

linguagem e pensamento do mesmo modo que não separamos mente e corpo. Por isso, a

articulação da Teoria da Cognição Corporificada (LAKOFF; JOHNSON, 1980, LAKOFF; NÚÑEZ,

2000; NÚÑEZ, 2009) e do Modelo da Estratégia Argumentativa (CASTRO; BOLITE FRANT,

2011) nos fez alcançar nosso objetivo.

157

2.3 A TEORIA DA COGNIÇÃO CORPORIFICADA Se assumirmos que a razão é corporificada,

então iremos querer compreender as relações entre o corpo e a mente

e encontrar os meios de cultivar os aspectos corpóreos da razão.

George Lakoff (1987, prefácio)

Para Núñez (2000), a natureza da Matemática é sobre ideias humanas que se

baseiam em mecanismos cognitivos cotidianos e em mecanismos corporais (mente e corpo).

Isso torna a Matemática um empreendimento humano. As ideias matemáticas não são

arbitrárias, no sentido que não são o produto de convenções puramente social e cultural,

apesar da dimensão socio-histórica desempenhar um papel importante na formação e

desenvolvimento dessas ideias. Existe uma estrutura conceitual que constitui a Matemática

e pode ser estudada empiricamente, por meio de métodos científicos com base na Cognição

Corporificada – Embodied Cognition – e em achados relativamente recentes na Linguística

Cognitiva. Segundo Núñez, Edwards e Matos (1999, p. 49) a Teoria da Cognição

Corporificada se fundamenda no trabalho de Rosch em psicologia cognitiva (ROSCH, 1973,

1994; VARELA et al, 1991.); Edelman (1992) em neurociência; Maturana e Varela em biologia

teórica (MATURANA e VARELA, 1987) e de forma mais explícita no trabalho de George Lakoff

e Mark Johnson, em lingüística cognitiva (LAKOFF; JOHNSON, 1980, 1998) e Lakoff e Núñez

na cognição matemática (LAKOFF; NÚÑEZ, 1997; 2000). Para todos estes estudiosos existe

uma relação íntima entre cognição, mente e viver a experiência corporal no mundo no qual

os sistemas são limitados biologicamente.

Para Lakoff e Johnson (1980), os processos de pensamento humano, a forma como

pensamos ou agimos, são em grande parte metafóricos, não é apenas uma questão de

linguagem. Nosso sistema conceitual desempenha um papel central na definição da nossa

realidade diária, é uma característica do pensamento, empregada na linguagem. Segundo

esses autores, esse sistema conceitual normalmente não é consciente. No dia a dia, na maior

parte das vezes, agimos e pensamos mais ou menos automaticamente, e como não temos

acesso direto ao nosso sistema conceitual, uma maneira de entender essas ações é usando

as palavras, a linguagem, pois a comunicação é baseada nesse mesmo sistema conceitual, a

linguagem é uma ótima fonte para se compreender o nosso sistema conceitual.

158

Um exemplo de como as expressões metafóricas, usadas na linguagem do dia a dia,

ajudam a compreender a natureza metafórica do nosso sistema conceitual é o conceito

metafórico: TEMPO É DINHEIRO.

TEMPO É DINHEIRO Você está desperdiçando meu tempo. Como você gasta seu tempo nos dias de hoje? Esse pneu furado me custou uma hora. Tenho investido muito tempo nela

Você não usa o seu tempo de forma lucrativa. (LAKOFF; JOHNSON, p. 7, 8, 1980, tradução nossa).79

Esses exemplos mostram como entendemos e experenciamos tempo como uma

espécie de coisa que pode ser gasta, desperdiçada, investida sabiamente ou pobremente.

Como TEMPO É DINHEIRO, também TEMPO É UM RECURSO LIMITADO e TEMPO É UMA

MERCADORIA VALIOSA são conceitos metafóricos. Eles são metafóricos, já que estamos

usando nossas experiências cotidianas com dinheiro, recursos limitados e mercadorias

valiosas para conceituar tempo. Segundo Lakoff e Johnson (1980, p. 5), “este é um exemplo

do que significa para um conceito metafórico [...], estruturar [...] o que fazemos e como

entendemos o que estamos fazendo quando discutimos. A essência da metáfora é

compreender e experimentar uma coisa em termos de outra”.80

Outros exemplos de metáfora:

TECNOLOGIA É PRÓTESE: segundo Castro e Bolite Frant (2011)

As tecnologias podem ter um papel que vai muito além de ser ferramenta facilitadora ou de meio para exprimir o que antes se construiu de conhecimento, podem também ser vistas como próteses que permitem ao estudante e ao professor um fazer diferente, não necessariamente melhor nem mais rápido, mas diferente. A tecnologia, muito mais do que uma ferramenta facilitadora da aprendizagem ou de meio de expressão do pensamento, oferece a possibilidade de olharmos para diferentes aspectos das interações humanas, para as quais ela cria novas possibilidades. Para nós, é esse papel que torna tecnologias tão importantes para a educação, não só em sala de aula, mas em outros Contextos Interativos de Aprendizagem. (CASTRO; BOLITE FRANT, 2011, p. 21).

DISCUSSÃO É GUERRA: vários significados podem ser dados para essa metáfora, que

surgem de experiências vividas, de espressões do cotidiano, como, “destruí sua 79

Texto original: TIME IS MONEY. You’re wasting my time. How do you spend your time these days? That flat tire cost me an hour. I’ve invested a lot of time in her. You don’t use your time profitably. 80

Texto original: This is na example of what it means for a metaphorical concept [...], to structure […] what we do and how we understand what we are doing when we argue. The essence of metaphor is understanding and experiencing one kind of things in terms of another.

159

argumentação”, “suas críticas foram direto ao alvo”. As palavras “destruí” e “alvo” estão

associadas à palavra “guerra”, que representa a palavra “discussão”. (LAKOFF; JOHNSON, 1980,

p. 4).

HOJE ELE ACORDOU PARA BAIXO. AGORA SIM, ESTOU ME SENTINDO PARA CIMA.

Neste caso a orientação espacial PARA BAIXO significa TRISTE e PARA CIMA significa FELIZ.

Essas metáforas surgem por estarmos inseridos no mundo físico com o comportamento

corporal que temos. Por exemplo, quando estamos tristes nosso corpo “se recolhe”, nossa

face fica voltada para baixo. Na Matemática também podemos sentir a presença dessa

orientação espacial através de metáforas. Por exemplo, quando estudamos o plano

cartesiano é comum ouvir: ACIMA DO ZERO É POSITIVO. ABAIXO DO ZERO É NEGATIVO.

(LAKOFF; JOHNSON, 1980, p. 15).

Para Lakoff e Johnson (1999, p. 3) as três grandes descobertas da ciência cognitiva

são: “A mente é inerentemente corporificada. Quase todo pensamento é inconsciente.

Conceitos abstratos são em grande parte metafóricos”. Com essas convicções Lakoff e

Johnson iniciam a obra: Philosophy in the flesh: the embodied mind and its challeng to

western thought, em 1999.

Núñez (2000, p. 6) explica essas três grandes descobertas da seguinte forma:

A corporificação da mente se dá através do nosso corpo, mente e das nossas

experiências na vida cotidiana, estruturando, assim, os conceitos e raciocínios humanos. E

isto inclui os conceitos e raciocínios matemáticos.

A maioria dos processos cognitivos é inconsciente. Não temos acesso direto, através

da introspecção, ao nosso sistema conceitual e isto inclui a maioria do pensamento

matemático.

O pensamento é metafórico. Os seres humanos conceitualizam conceitos abstratos

em termos concretos, usando estrutura inferencial precisa, ideias e modo de raciocínio

baseados no sistema sensório motor. O mecanismo cognitivo pelo qual o abstrato é

compreendido em termos concreto é chamado metáfora conceitual. O pensamento

matemático também faz uso de metáfora conceitual.

Segundo Núñez (2000, p. 9), uma importante descoberta da Linguística Cognitiva, é

que “conceitos são sistematicamente organizados por meio de uma vasta rede de

mapeamentos conceituais [um mecanismo que permite organizar e reorganizar o

pensamento], ocorrendo em sistemas altamente coordenados, combinados de maneira

160

complexa”. Lakoff e Núñez (2000) acreditam que a estrutura cognitiva da matemática

avançada faz uso dos mesmos mecanismos cognitivos do pensamento do dia-a-dia, como as

montagens conceituais (conceptual blends) e metáfora conceitual (conceptual metaphor). Os

autores consideram a metáfora conceitual, uma das mais importantes e que constitui a

própria estrutura da matemática. Segundo eles, as metáforas conceituais não são meras

figuras de linguagem, são mecanismos cognitivos fundamentais, são mapeamentos que

preservam inferências entre domínios. São mecanismos que projetam a estrutura inferencial

de um domínio de origem (domínio-fonte) em um domínio de destino (domínio-alvo).

No exemplo TEMPO É DINHEIRO, no qual estamos usando nossa experiência do

cotidiano com dinheiro para conceituar tempo, a metáfora conceitual é um mapeamento do

domínio-fonte, DINHEIRO, em um domínio-alvo, TEMPO.

Segundo Núñez (2000, p. 10), ao contrário do que algumas pessoas pensam as

metáforas conceituais (e mapeamentos conceituais em geral), não são meras convenções

sociais arbitrárias, elas são estruturadas nas nossas experiências do cotidiano, nas nossas

experiências corporais. Elas não residem em palavras, mas no pensamento. Por exemplo, na

maioria das culturas, o afeto é conceitualizado em termos da nossa experiência corporal de

calor:

“A platéia o aplaudiu calorosamente.” “Não entendo o motivo da sua frieza!” “Essa

comunidade está carente de calor humano.” “Que bom! A criança quando chegou,

conseguiu quebrar o gelo da situação.”

As palavras calorosamente, frieza, calor, gelo são diferentes, mas todas estão

relacionadas à palavra calor da metáfora conceitual AFETO é CALOR, um mapeamento do

domínio-fonte, CALOR, em um domínio-alvo, AFETO.

Figura 32 – Exemplo de dominíno-fonte e domínio-alvo

Fonte: elaborado pela pesquisadora

Domínio Fonte Domínio Alvo

DINHEIRO TEMPO

GUERRA DISCUSSÃO

CALOR AFETO

PROTESE TECNOLOGIA

161

Segundo Lakoff e Núñez (2000, p. XVI) o mais surpreendente de tudo, é que uma

grande parte das ideias matemáticas mais fundamentais são inerentemente metafóricas na

sua natureza:

A reta numérica, onde números são conceituados metaforicamente como pontos em uma reta. [...]. Funções trigonométricas, onde ângulos são conceituados metaforicamente como números. O plano complexo, onde a multiplicação é conceituada metaforicamente em termos de rotação.

(LAKOFF; NÚÑEZ, 2000, p. XVI, tradução nossa).81

Como as metáforas conceituais desempenham um importante papel na

caracterização de ideias matemáticas, Lakoff e Núñez (2000, p. 53) e Núñez (2000, p. 10)

distinguem duas importantes metáforas: a metáfora básica (grounding metaphors) e a

metáfora de ligação (linking metaphors). (LAKOFF; NÚÑEZ, 2000, p. 53 e NÚÑEZ, 2000, p.

10).

Metáforas Básicas. Fundamentam a nossa compreensão das ideias matemáticas em

termos da experiência do dia-a-dia. Neste caso o domínio-alvo é matemático, mas o domínio

fonte está fora da matemática. Por exemplo:

“Conjuntos são Recipientes”,

“Função é uma Máquina”,

“Cubo é um Dado”,

“Retângulo é uma Folha”,

“Reta é uma Régua”,

“Aritmética é uma Coleção de Objetos”,

“Gráfico da Função 𝑓(𝑥) = ⟦𝑥⟧ é uma Escada”.

Na metáfora “Aritmética é uma Coleção de Objetos”, o domínio fonte é a Coleção de

Objetos e o domínio alvo é a Aritmética. Esse mapeamento conceitual pretende mostrar

como a experiência corporal com os objetos da coleção de dados pode levar a compreensão

dos números. Uma coleção de dados pode ser, por exemplo, os elementos do Material

Dourado. 82

81

Texto original: The number line, where numbers are conceptualized metaphorically as points on a line. […].Trigonometric functions, where angles are conceptualized metaphorically as numbers. The complex plane, where multiplication is conceptualized metaphorically in terms of rotation.

82O Material Dourado faz parte de um conjunto de materiais idealizados pela médica e educadora italiana Maria Montessori. O Material Dourado Montessori destina-se a atividades que auxiliam o ensino e a aprendizagem do sistema de numeração decimal-posicional e dos métodos para efetuar as operações

162

Metáforas de ligação. São metáforas onde o domínio alvo e o domínio fonte são de

mesma natureza. As metáforas de ligação nos permitem conceituar um domínio matemático

em termos de outro domínio matemático. Exemplos:

“Números são pontos em uma Reta”,

“Curvas Geométricas são Equações Algébricas”,

”A Equação 𝑥2 + 𝑦2 = 1 é um Círculo”,

“Número Complexo é um Ponto no Plano (o Plano de Argand-

Gauss)”. (LAKKOF; NÚÑEZ, 2000, p. 53).

Metáforas de ligação produzem ideias matemáticas sofisticadas, às vezes chamadas

ideias abstratas. As metáforas de ligação são centrais para a criação, não só de novos

conceitos matemáticos, mas muitas vezes para a criação de novos ramos da Matemática

Alguns ramos clássicos da Matemática como a geometria analítica, trigonometria, e análise

complexa devem sua existência às metáforas de ligação.

Nossa investigação sobre a produção de significados para continuidade de funções

reais se apoiou nas ideias de Lakoff e Núñez (2000); Núñez, Edwards e Matos (1999); Núñez

(1998, 2000, 2003,2009),

Núñez (2009) iniciou seu artigo dizendo:

Uma questão essencial em Educação Matemática é como melhorar o ensino e a aprendizagem da Matemática. Uma quantidade enorme de esforços e recursos têm sido dedicados a dar respostas para essa questão, desde o planejamento curricular e formação de professores, ao design de livros didáticos, desenvolvimento de softwares, métodos de avaliação e dinâmica de sala de aula. Na busca por respostas, a Educação Matemática, ao contrário de outros domínios de ensino e de aprendizagem, geralmente age deixando a própria matéria – matemática – intocada. [...] Um fator importante é a visão amplamente difundida em nossa cultura, que a Matemática é transcendentalmente um objetivo corpo de conhecimentos, que existe independentemente dos seres humanos, ou na melhor das hipóteses, que é a "única linguagem verdadeiramente universal". [...] Assim, fatos matemáticos, teoremas, definições, provas, notações, e assim por diante, são amplamente considerados como fatos pré-existentes, não corporificados, externos aos seres humanos. Sugiro que uma maneira de fazer isso [melhorar o ensino e a aprendizagem da matemática] é informar seus objetivos e procedimentos com relação aos desenvolvimentos relativamente recentes na ciência cognitiva da matemática, isto é, o estudo científico do que são ideias matemáticas e fatos, e quais mecanismos da

fundamentais. Com o Material Dourado as relações numéricas abstratas passam a ter uma imagem concreta, facilitando a compreensão. (http://educar.sc.usp.br/matematica/m2l2.htm. Em 23 maio. 2014).

http://educar.sc.usp.br/matematica/m2l2.htm

163

imaginação humana os tornam possíveis. (NÚÑEZ, p. 309-310, 2009, grifo do autor, tradução nossa).83

Lakoff e Núñez (2000) estão convencidos que existem duas continuidades, a

continuidade natural, que surge no Século XVII com Newton e Leibniz e a definição por

e 𝛿 , adotada por Weierstrass no Século XIX. Para eles, Newton e Leibniz simplesmente

aplicaram (e provavelmente inconscientemente) a estrutura inferencial da compreensão

cotidiana de movimento, fluxo e “falta de buracos”, a um domínio específico da

compreensão humana: funções e variações. Por outro lado, a definição de Weierstrass,

envolve conteúdo cognitivo radicalmente diferente. Ela implicitamente nega movimento,

fluxo e falta de buraco, lidando exclusivamente com elementos estáticos, discretos.

Mas como Weierstrass concebeu a continuidade e 𝛿 ? Como se muda

de um modo de pensamento para outro?

Lakoff e Núñez (2000) situam a sua argumentação na história. Nossa

abordagem histórica da evolução das ideias de função e continuidade evidenciou, que no

período entre 1821 e 1870, a aritmetização do Cálculo se mostrou imperativa. Surgiram

funções cujo comportamento não se explicava pela Matemática vigente. Funções que,

segundo Lakoff e Núñez (2000), violavam o Paradigma Geométrico, que tinha como essência

a noção de curva, e que caracterizava a ideia do que deveria ser uma função .

O PARADIGMA GEOMÉTRICO:

O plano Cartesiano, com a metáfora de Descartes que Uma Função Matemática É uma Curva no Plano Cartesiano.

A caracterização geométrica do Cálculo, de Newton em termos de sequência de secantes com a tangente como um limite.

A compreensão de uma curva em termos da continuidade natural e movimento. (LAKOFF;NÚÑEZ, 2000, p. 306, tradução nossa).84

83

Texto original: An essential question in Mathematics education is how to improve the teaching and learning of the mathematics. A tremendous amount of efforts and resources are dedicated to provide answers to this question, from curriculum planning and teacher development, to textbook design, software development, evaluation methods, and classroom dynamics. In the quest for providing answers, mathematics education, unlike other domains of teaching and learning, usually proceeds leaving the very subject matter – mathematics – untouched. […]An important factor is the widely spread view in our culture that mathematics is transcendentally objective body of knowledge, which exists independently of human beings, or, at best, that is the “only truly universal language”. […] Thus, mathematical facts, theorems, definitions, proofs, notations, and so on, are largely taken as pre-given disembodied facts, external to human beings. […] I suggest that one way of doing so [improve the teaching and learning of mathematics] is by informing its goals and procedures with relatively recent developments in the cognitive science of mathematics, that is, the scientific study of what mathematics ideas and facts are and what mechanisms of human imagination make them possible.

164

Segundo os autores, o paradigma geométrico caracterizava o quadro conceitual dos

matemáticos daquela época, formava uma base intuitiva para a caracterização das funções

algébricas e trigonométricas. O paradigma geométrico permitia que os matemáticos do

período acima mencionado, usassem as intuições geométricas no estudo das funções

mapeadas de números para números.

O surgimento de funções, as chamadas funções monstros, como por exemplo as

funções 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (1

𝑥) e 𝑔(𝑥) = 𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛 (

1

𝑥) , cujos comportamentos não se enquadravam

no paradigma geométrico, fez com que esse paradigma parecesse ser um fracasso, pois o

que se pretendia era que um único paradigma caracterizasse todas as funções numéricas e

isso era esperar muito de um paradigma particular.

É creditado a Karl Weierstrass a invenção de um “substituto” aceitável para o

paradigma geométrico, que era uma versão atualizada das considerações iniciais de Cauchy

de 1821. Weierstrass, assim como Dedekind e Cauchy procuraram eliminar toda a geometria

do estudo dos números, e das funções que mapeam números em números, e isto exigiu

muitas mudanças no paradigma geométrico, essencialmente as mesmas mudanças

propostas por Dedekind, quando percebeu a essência da continuidade de uma linha reta, e

pelas mesmas razões.

Segundo Lakoff e Núñez (2000), Weierstrass concebeu a continuidade por e 𝛿 via

metáfora conceitual. Implicitamente, na teoria de Weierstrass estão as metáforas

conceituais: “Números são Pontos na Reta”, “Espaço é um Conjunto de Pontos”, que são

metáforas de ligação. Weierstrass conceituou o contínuo em termos do discreto e por meio

dessa metáfora, ele teve que ser capaz de explicar, o que “continuidade” poderia significar

para um conjunto de elementos discretos e este foi o seu maior “truque” metafórico.

Weierstrass teve que substituir o conceito de continuidade natural de uma função definida

em termos da trajetória de um ponto em movimento por um conceito que

“nega movimento, direção, aproximação a um ponto” e envolve

reconceitualização em termos estáticos e condições lógicas;

“não tem pontos”, somente números;

“não tem curvas em um plano”, somente um conjunto de pares ordenados.

84

The GEOMETRIC PARADIGM – The Cartesian plane, with Descartes’s metaphor that A Mathematical Functions Is a Curve in the Cartesian Plan. Newton’s geometric characterization of calculus in terms of a sequence of secants with a tangent as a limit. The understanding of a curve in terms of natural continuity and motion.

165

Weierstrass observou que a ideia da continuidade em si, que as propriedades que

definem o espaço da continuidade natural, poderiam ser expressas inteiramente em termos

discretos, usando números no lugar de seus correspondentes pontos no mapeamento

Números – Reta, que pode ser considerado uma montagem conceitual. Nesta montagem a

escolha de localização de pontos corresponde a uma escolha de números, toda distância

entre os pontos localizados corresponde a uma diferença aritmética entre números, que a

preservação de proximidade para pontos numa curva naturalmente contínua corresponde a

preservação de proximidade númerica para funções sobre um conjunto de números

discretos.

Assim, para Núñez (2009, p. 312) aprender e dominar a caracterização de

continuidade por e 𝛿 requer um considerável esforço extra, que vai além do uso de

quantificadores. Para o autor, deveria ficar claro para os alunos que a continuidade natural e

a definição por e 𝛿 são concebidas sobre diferentes estruturas inferenciais, que nenhuma

é melhor ou mais abrangente que a outra, e que a definição por e 𝛿 não é a formalização

da continuidade natural.

2.4 MONTAGEM CONCEITUAL

Além das Metáforas Conceituais, outro mapeamento, que nos ajudou a interpretar

algumas das nossas atividades após a análise dos diálogos, foi a Montagem Conceitual que

apresentamos a seguir.

Na Teoria da Metáfora Conceitual (LAKOFF; JOHNSON, 1980) as noções de domínio

fonte, domínio alvo, mapeamentos que preservam a estrutura inferencial entre domínios,

são usadas para discutir fenômenos linguísticos e conceituais da metáfora em inúmeros

estudos, tanto dentro do campo da linguística como fora. Fauconnier e Turner (1998)

propõem a Teoria da Montagem Conceitual.

As metáforas conceituais são analisadas como relações entre dois domínios, o fonte e

o alvo. Na montagem conceitual a unidade básica de organização cognitiva é o espaço

mental, que são concebidos como pequenos pacotes conceituais construídos enquanto

pensamos e falamos, para fins de compreensão e ação local. Espaços mentais não são

equivalentes aos domínios, mas em vez disso, eles dependem deles: espaços mentais

representam cenários específicos que são estruturados a partir de determinados domínios.

166

A montagem conceitual é uma rede de integração conceitual, faz uso de um modelo de no

mínimo três espaços: dois espaços de entrada (que, em um caso metafórico, estão

associados com o domínio fonte e o domínio alvo) e o espaço de montagem, no qual os

materiais dos espaços de entrada se combinam e interagem (GRADY; OAKLEY; COULSON,

1999). Na montagem conceitual podemos ter também um espaço genérico, que representa

a estrutura conceitual que é compartilhada por ambas as entradas O espaço genérico

captura, a qualquer momento durante a construção da rede, a estrutura que os espaços de

entrada parecem compartilhar, que por sua vez é mapeada pelo espaço genérico para cada

uma das entradas. (FAUCONNIER; TURNER, 2003, p. 47).

Fauconnier e Turner (2003) escreveram:

Montagem conceitual é uma operação mental básica que leva a um novo significado, uma visão global, e compressões conceituais úteis para a memória e manipulação de outros domínios difusos de significado. Ela desempenha um papel fundamental na construção de significado na vida cotidiana, nas artes e nas ciências, e especialmente, no campo das ciências sociais e comportamentais. A essência da operação é construir uma correspondência parcial entre dois espaços mentais de entrada, projetar seletivamente a partir desses espaços de entrada em um novo espaço mental “de montagem”, o qual então dinamicamente desenvolve uma estrutura emergente. (FAUCONNIER; TURNER, 2003, p. 57 e 58, tradução

nossa, ênfase nossa).85

Observamos que os autores falam em projeção seletiva, pois nem todos os

elementos e relações dos espaços de entrada são projetados na montagem86.

Sobre a estrutura emergente que é desenvolvida na montagem, os autores escrevem:

Estrutura emergente surge na montagem e não é copiada ali diretamente de qualquer espaço de entrada. É gerada de três maneiras: através de composição de projeções dos espaços de entrada, através de conclusões baseadas em quadros e cenários recrutados independentemente e através a elaboração (“executando a montagem”). (FAUCONNIER; TURNER, 2002,

p. 48, tradução nossa, ênfase nossa).87

85

Texto original: Conceptual blending is a basic mental operation that leads to new meaning, global insight, and conceptual compressions useful for memory and manipulation of otherwise diffuse ranges of meaning. It plays a fundamental role in the construction of meaning in everyday life, in the arts and sciences, and especially in the social and behavioral sciences. The essence of the operation is to construct a partial match between two input mental spaces, to project selectively from those inputs into a novel 'blended' mental space, which then dynamically develops emergent structure.

86 Daqui em diante escreveremos “montagem” ou “espaço de montagem”.

87 Texto original: Emergent structure arises in the blend that is not copied there directly from any input. It is generated in three ways: through composition of projections from the inputs, through completion based on independently recruited frames and scenarios, and through elaboration (“running the blend”).

167

Segundo Fauconier e Turner (2002, p. 48, tradução nossa) a “montagem pode

compor elementos dos espaços de entrada para fornecer relações que não existiam em cada

espaço de entrada separadamente”; a montagem recruta grandes cadeias de conhecimento

e estrutura de fundo, que na maioria das vezes nem percebemos, acontece

inconscientemente. Percebemos apenas partes de um quadro familiar de significados, mas,

muito mais do quadro de significados que está por trás de uma montagem, é recrutado

silenciosamente; elaboramos montagens tratando-as como simulações e executando-as com

imaginação de acordo com os princípios estabelecidos previamente para a montagem. Uma

das forças da montagem é que a elaboração pode continuar indefinidamente e seguir várias

possíveis linhas de elaboração.

Montagem opera sobre a inteira riqueza dos nossos mundos físico e mental, se utiliza

da nossa imaginação, argumentações, expressões.

O diagrama básico da Figura. 33 é um diagrama que ilustra os elementos centrais da

integração conceitual. Os círculos representam os espaços mentais; as linhas sólidas indicam

o mapeamento das correspondências e cruzamentos entre os espaços de entrada (o que

chamamos de espaço-cruzado de mapeamento)88; as linhas pontilhadas indicam conexões

entre os espaços: de entrada, o genérico, o de montagem. O quadrado sólido no espaço de

montagem representa a estrutura emergente.

88

Espaço-cruzado de mapeamento é a nossa tradução para cross-space mapping.

168

Figura 33 – Diagrama Básico da Montagem Conceitual

Fonte: Adapatado de Fauconnier e Turner (2002, p. 46). Elaborado pela pesquisadora com o

uso do software GeoGebra

Um exemplo de montagem é o caso do anúncio: “Joey, Katie e Todd realizarão sua

cirurgia de ponte de safena” (FAUCONNIER; TURNER, 2002, p. 65-67)89, que tenta persuadir

o leitor a se envolver na luta para elevar o padrão educacional das escolas americanas.

89

Texto original: Joey, Katie and Todd will be performing your by-pass.

169

Figura 34 – A cirugia de Ponte de Safena

Fonte: Fauconnier e Turner (2002, p. 67)

No anúncio está escrito:

Antes que você perceba, estas crianças vão ser médicos, enfermeiros e técnicos em medicina, possivelmente os seus. Eles precisarão de um excelente conhecimento da tecnologia de laser, computação avançada e genética molecular. Infelizmente, muito poucas crianças americanas estão sendo preparadas para lidar com questões tão sofisticadas. Se quisermos crianças que possam lidar com bons trabalhos no futuro, mais crianças precisam ter uma escolaridade mais desafiadora. [...] Se fizermos mudanças agora, poderemos evitar muita dor mais tarde. (FAUCONNIER; TURNER, 2000, p. 290-291, tradução nossa).90

Segundo Fauconnier e Turner (2000, p. 291-292), como queremos que nossos

cirurgiões sejam mais competentes do que crianças de sete anos de idade, nos deparamos

90

Texto original: Before you know it, these kids will be doctors, nurses and medical technicians, possibly yours. They’ll need an excellent grasp of laser technology, advanced computing and molecular genetics. Unfortunately, very few American children are being prepared to master such sophisticated subjects. If we want children who can handle tomorrow’s good jobs, more kids need to take more challenging academic courses. […]. If we make changes now, we can prevent a lot of pain later on.

170

com a questão de como tornar crianças, adultos mais competentes. O anúncio nos faz

pensar, que se não fizermos alguma coisa, estaremos condenando as crianças a um sistema

educacional, onde não aprenderão o que precisam para se tornarem cirurgiões

competentes.

No Espaço de Entrada 1 temos crianças que ainda devem estudar, devem ser

educadas e no Espaço de Entrada 2 temos médicos que já tiveram sua educação formal. O

espaço-cruzado de mapeamentos conecta crianças a adultos. No Espaço de Entrada 2 os

adultos são médicos cirurgiões, que não sabemos que competência têm. Nesse espaço

temos também a Sala de Cirurgia. As crianças e os cirurgiões são projetados no Espaço de

Montagem e parcialmente fundidos lá. Projetamos também a Sala de Cirurgia, que está no

Espaço de Entrada 2.

Na montagem a aparência dos médicos indica a sua competência: são médicos

crianças de sete anos de idade e, portanto, incompetentes para essa função. Na montagem

esses médicos crianças estão numa sala de cirurgia. O próprio leitor é colocado no Espaço de

Entrada 2 e é projetado na montagem como paciente, que está numa mesa de cirurgia

prestes a ser operado.

A montagem faz uma situação distante ficar urgente, trazendo-a para o presente:

você precisa de uma cirurgia de ponte de safena urgente, e que está prestes a acontecer. A

pobre educação das crianças do Espaço de Entrada 1 surgirá muito mais tarde, quando você

estará velho e precisará de uma cirurgia. Você pode ficar apático com o que acontecerá com

você daqui a 20 anos, com a educação das crianças hoje, mas não ficará indiferente com a

incompetência de cirurgiões que estão prestes a abrir o seu peito para operá-lo.

Algumas possíveis inferências e emoções que podem emergir dessa montagem:

urgência e ansiedade, que não estão nos espaços de entrada; a ignorância das crianças; a

falta de abilidade delas, que não saberão o que fazer; o desastre que será a cirurgia, pois as

crianças, não conhecendo seus limites, irão em frente; a morte do paciente porque a cirurgia

será um desastre; o sentimento de termos que agir com urgência para podermos ter

cirurgiões competentes.

171

Figura 35 – A montagem da Ponte de Safena

Fonte: elaborado pela pesquisadora com o uso do software GeoGebra

A montagem conceitual é uma teoria que nos permite conectar duas ou mais ideias

matemáticas e obter um novo conhecimento. Essa montagem recrutará conhecimentos

anteriores, experiências anteriores, uma estrutura de fundo que muitas vezes usamos

inconscientemente.

Como um exemplo matemático, mostramos a seguir a montagem dos Números

Complexos, conforme apresentada por Fauconnier (2005, p. 525-528).

Nessa montagem, os números complexos são pontos em um espaço bidimensional,

uma moderna concepção de número complexo. O número complexo 𝑃 é definido pela sua

distância à origem (seu módulo) e pelo seu argumento, que é o ângulo medido no sentido

anti-horário, a partir do eixo 𝑥 de um sistema ortogonal de coordenadas nesse espaço

bidimensional até o vetor 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ (𝑂 é a origem desse sistema).

Esses números emergem de uma fusão de elementos projetados de dois espaços de

entrada. Em um dos espaços de entrada estão os pontos de um espaço bidimensional, os

172

vetores desse plano, ângulos, a adição e multiplicação de vetores. Em outro espaço de

entrada estão os números reais positivos e negativos, adição e multiplicação de números

reais. Esses pontos projetados são novos números, números que têm ângulos, uma ideia que

não tem sentido no espaço de entrada dos números reais. E os ângulos do espaço de

entrada bidimensional também não são relacionados a números reais nesse espaço.

No espaço de montagem emergem novas operações de números. A operação com

esses novos números envolvem soma de ângulos. No espaço de entrada bidimensional não

existe a operação multiplicação, pois não podemos multiplicar pontos geométricos. No

espaço de entrada dos números reais não existem operações com ângulos, pois nesse

espaço não existem ângulos.

A operação para calcular a raiz quadrada de um número negativo não pode ser

realizada em nenhum dos espaços de entrada, mas pode ser realizada no espaço de

montagem, é mais uma operação que emerge dessa projeção, pois a raiz quadrada de um

número 𝑛 no espaço de montagem é obtida calculando-se a raiz quadrada do módulo de 𝑛

e a metade do argumento de 𝑛 .

Figura 36 – A montagem dos Números Complexos

Fonte: elaborado pela pesquisadora com o uso do software GeoGebra

173

Sendo as Montagens Conceituais importantes no processo da construção de novos

conhecimentos, mobilizando e conectando dinamicamente conhecimentos que trazemos de

espaços mentais, que podem se modificar ao longo da participação nos discursos, a nossa

conjectura inicial é que poderíamos promover um espaço de interação e colaboração, que

permitisse aos participantes realizar a sua própria montagem de função contínua, a partir

dos seguintes distintos espaços mentais: Função e o Livro Texto, Continuidade e o Livro

Texto, o ambiente VMT: a possibilidade da interação e da colaboração e Applets:

manipulação interativa de applets sobre função

Figura 37 – Conjectura de um Espaço de Montagem para Função Contínua


FUNÇÃO

Livro Texto

CONTINUIDADE

VMT: Interação e Colaboração

Applets: Manipulação interativa de applets sobre função

FUNÇÃO CONTÍNUA

Livro Texto

174

2.5 O AMBIENTE VIRTUAL DE APRENDIZAGEM

Acreditando que precisamos mudar a dinâmica das nossas aulas, que precisamos

fazer com que os alunos também se sintam responsáveis pelo processo de ensino e

aprendizagem da Matemática, buscamos meios para que através de ações colaborativas e

de interação conseguíssemos promover a produção coletiva do conhecimento, colocando o

aluno no papel de protagonista desse processo, interagindo com outros alunos, com a

Matemática, negociando significados, discutindo suas ideias e seus raciocínios matemáticos,

enfim se envolvendo em um discurso matemático para aprender matemática (SFARD, 2008).

Por isso, escolhemos para compor o nosso cenário de pesquisa, a plataforma

(ambiente online) VMT, que foi desenhada para estudantes de matemática trabalharem

colaborativamente. O projeto de pesquisa VMT coordenado pelo professor Stahl olha além

da comunicação eletrônica internacional básica. O VMT utiliza a internet para conectar os

estudantes com fontes globais de conhecimento, incluindo outros estudantes ao redor do

mundo, com informações na Web e recursos digitais. É um ambiente de aprendizagem que

permite a conectividade e a interatividade. O VMT possibilita entender como grupos de

pessoas pensam, tomam decisões, resolvem problemas e aprendem de forma mais eficaz

através da aprendizagem colaborativa apoiada por computador – CSCL.

Ainda em relação à importância da interação para o sucesso do processo de

produção do conhecimento num ambiente de aprendizagem amparado pelas TIC, Stahl

(2009) fala muito propriamente da teoria da mediação de Vygotsky:

Talvez a mais importante influência sobre as ciências de aprendizagem [...]. Esta diz que a maioria das funções superiores do pensamento humano são primeiro aprendidas socialmente, como parte das interações entre as pessoas, podendo mais tarde ser internalizadas e transformadas em habilidades mentais individuais (Vygotsky, 1930/1978, pp 52 -57). Este princípio está associado com o seu conceito de zona de desenvolvimento proximal, segundo o qual um aluno pode se engajar socialmente no trabalho colaborativo em uma tarefa que ainda não teria sido capaz de realizar por conta própria internamente. As Teorias de Vygotsky – embora não totalmente trabalhadas em sua breve vida – enfatizam a importância da interação em pequenos grupos para a construção de significado, representações, ferramentas, artefatos

175

simbólicos e fontes de conhecimento – tanto para a cultura e para o indivíduo. (STALH, G, 2009, p. 297 e 298, tradução nossa).91

Para Stahl (2009) e também para Sfard (2008), os alunos aprendem melhor

matemática se estão ativamente envolvidos em discussões matemáticas e o VMT é

projetado para incentivar os participantes a vivenciarem discussões matemáticas que são,

segundo ele, raramente encontradas nas escolas. O VMT incentiva o debate democrático,

pois as pessoas sabem que serão ouvidas e apoiadas, e por isso, se sentem livres para se

expressar. É um processo colaborativo, no qual os participantes podem desafiar uns aos

outros, entender melhor a perspectiva do outro, explicar e defender as suas próprias ideias.

Para Stahl (2009) este é um projeto complexo que conta com a colaboração de

pesquisadores e desenvolvedores de instituições americanas e de outros países, conforme já

dissemos na introdução do nosso trabalho, e com o envolvimento de estudantes de

doutorado. Este sistema inclui um certo número de ferramentas e características de chat,

que explicaremos a seguir, com integração a um quadro branco compartilhado com

estudantes a um wiki para compartilhar informações com outros grupos; a um VMT Lobby

que permite que os estudantes retornem a Chat Room92 (sala de bate-papo) ou localizem

outras salas organizadas pelos professores.

O VMT está disponível através do Math Forum na Drexel University

e no endereço http://vmt.mathforum.org/VMTLobby/.

O professor, responsável por gerar um projeto no VMT, pode abrir uma sala com

várias abas: uma de bate-papo (Chat Room), uma com um quadro branco (Whiteboard),

outra com o Sumário (Summary), uma outra aba ainda com o GeoGebra, um poderoso

aplicativo de matemática dinâmica, de código aberto, que integra geometria e álgebra em

um ambiente computacional dinâmico. Cada Chat Room tem uma janela de texto, à direita

da tela. O Whiteboard que acompanha a Chat Room é compartilhado pelos participantes da

91

91 Texto original: Perhaps the most important influence on the learning sciences[...]. This says that most

higher functions of human thought are first learned socially, as part of interactions among people; they can later be internalized and transformed into individual mental skills (Vygotsky, 1930/1978, pp. 52–57). This principle is associated with his concept of the zone of proximal development, in which a learner can engage socially in collaborative work on a task that they would not yet have been able to accomplish on their own internally. Vygotsky’s theories—although not fully worked out in his brief lifetime—emphasize the importance of small-group interaction to the construction of meaning, representations, tools, symbolic artifacts and knowledge resources—both for the culture and for the individual.

92 Usaremos indiscriminadamente: Chat Room ou sala de bate-papo ou simplesmente sala.

http://vmt.mathforum.org/VMTLobby/

176

sala para facilitar a comunicação de representações gráficas matemáticas, de fórmulas,

desenhos, além de permitir a postagem de mensagens em caixas de texto, que servem como

artefatos de conhecimentos para a memória do grupo, enquanto postagens de bate-papo

continuam rolando. É possível os alunos desenharem no Whiteboard em cores diferentes

para facilitar a identificação de quem faz a postagem. O VMT tem uma ferramenta

importante para se referenciar algo. É possível a partir de uma mensagem que está sendo

postada, se fazer referência a uma mensagem, ou a parte de uma mensagem que foi

postada anteriormente ou mesmo a algo que foi postado no Whiteboard. Assim, os

participantes da sala, podendo escrever no Chat ao mesmo tempo, têm como identificar a

quem estão respondendo. No Summary pode ser colocado o problema desafio e as

respostas dos alunos para que sejam compartilhadas e discutidas. Cada sala tem também

sumarização Wiki. O ambiente VMT é complementado com uma série de ferramentas e

recursos adicionais para apoiar o discurso matemático e a interação online síncrona e

assíncrona.

Acessando cada atividade na Chat Room podemos salvar a gravação da sessão

através do ícone “Save as JNO”. A plataforma VMT possui uma ferramenta “VMT Replayer”,

que permite reproduzir essa gravação como um filme digital. A ferramenta Replayer abre a

Chat Room com controles na parte inferior para repetir a interação entre os participantes

exatamente como aconteceu durante a sessão. Os controles são botões e controles

deslizantes para navegar na sessão em várias velocidades, para pausar e caminhar através da

sessão, assistindo ação por ação de cada participante e as interaçãoes entre eles. Para usar o

Replayer, basta clicar no link "VMT Replayer" no lado esquerdo das páginas de lobby. O

acesso a essas gravações favorece imensamente a análise da pesquisa e não encontramos

essa característica em nenhuma outra plataforma de ensino.

O VMT gera planilha em HTML, que é a “transcrição” do que acontece na janela de

bate-papo, com indicação de nomes, tempo e indicação de referência a mensagens

postadas. Chamaremos essas planilhas de “Logs”. Os Logs preservam um registro bastante

completo das interações colaborativas que acontecem nas Chat Rooms. Através do ícone

“View Chat Log” podemos baixar um arquivo HTML com a transcrição do Chat.

Uma outra ferramenta importante do VMT Chat é uma barra de rolagem, que fica no

canto esquerdo do Whiteboard (ver imagem abaixo), que podemos usar para visualizar o

histórico das ações realizadas no Whiteboard, no Summary, no GeoGebra. Podemos ver as

177

ações dos participantes nessas abas ao longo do tempo, passo a passo e

também quem executou cada ação. O texto que aparece ao longo da margem

esquerda indica quem executou a última ação e quando foi feita. Por isso nada

pode ser definitivamente “apagado” no VMT. Por exemplo, se por acaso

deletamos um objeto do Whiteboard, podemos usar a barra de rolagem, voltar

a tela para trás e copiar o objeto para a tela atual.

Indicação de quem executou a última ação no whitboarad

Barra de rolagem

Ilustrando ações no VMT:

Figura 38 – Tela VMT com acesso a gravação da sessão e a transcrição do Chat

Fonte: Plataforma VMT

178

Figura 39 – Tela captada de um vídeo de uma atividade numa sala do VMT F


Exemplos de telas do VMT identificando alguns recursos desse sistema

Figura 40 – VMT: tela de registro e tela de acesso às salas


179

Figura 41 – VMT: tela exemplificando o Whiteboard com indicação de algumas ferramentas


Figura 42 – VMT: tela exemplificando a aba do GeoGebra. Indicação de abas e Chat Room


180

Figura 43 – VMT: exemplo de tela com Summary


Figura 44 – VMT: mensagens no Chat Room: Sala 1 – Sala 2 – Sala 3


181

Figura 45 – VMT: exemplo de planilha HTML


Podemos observar na planilha do Chat da Sala Continuidade Tarefa 3_1 (Figura 45,

acima), que as 12h31, do dia 08/05, na linha 07, Carolzinha se manifesta dizendo a todos:

“olá”. Alequice, as 12h32, desse mesmo dia 08/05, responde: “fala aí carol já começou a

fazer as tarefa 1”. Johnny às 12h34 interage com o grupo falando: “coloquei uma ideia de

função contínua no summary. É isso mesmo???”. Neste recorte de planilha podemos ver a

riqueza de informações explícitas que obtemos. Tem ainda as informações implícitas que

podemos obter, analisando o Chat cuidadosamente, segundo o MEA: argumentos de

liderança, tentativas de convencimento, interações silenciosas.

O VMT foi concebido para envolver os alunos na aprendizagem através do trabalho

em grupo. A leitura das questões que são postadas no Summary ou Whiteboard é feita

individualmente, mas a negociação da forma como se vai proceder para resolver o que foi

proposto é de responsabilidade dos grupos envolvidos.

Stahl (2009a) quando iniciou o projeto VMT não tinha certeza se o pensamento

matemático poderia ser trabalhado em grupo. A tradição mostrava o matemático como um

indivíduo isolado, sempre em reflexão silenciosa, mas as pesquisas mostraram que:

182

[...] os participantes em equipes virtuais de matemática espontaneamente começam a explorar os seus problemas juntos, discutindo formações problemáticas, questões, abordagens, propostas e soluções como um grupo. Além disso, os estudantes geralmente acham essa interação altamente envolvente, estimulante e gratificante. (STAHL, 2009a, p. 13,

tradução nossa).93

Enquanto em geral, em uma sala de aula tradicional a “aprendizagem” se dá pela

aquisição de conhecimentos a partir das fontes de autoridade presentes, o professor e/ou os

livros textos adotados, o VMT tem como foco o problema matemático em discussão e o

ambiente de confiança mútua que tem que se estabelecer para que a aprendizagem possa

acontecer. Enquanto os alunos trocam ideias, consideram e desafiam uns aos outros, eles se

concentram em um objetivo comum, que fortalece a interação colaborativa. (POWELL; LAI,

2009).

Segundo O’Hara (2010, p. 32)

Os participantes de um grupo no ambiente VMT tem que negociar suas relações usando rituais como proporcionar liderança, responder um ao outro, e atribuir tarefas a cada um. Cada participante, se ativamente engajado, tem que facilitar o processo do grupo trabalhando junto. [...] Os participantes do grupo vão se tornando mais adaptados uns aos outros e líderes e seguidores vão emergindo, assim como participantes que se

envolvem em ações construtivas. (O’HARA, 2010, p. 32, tradução nossa).94

A forma de participação na aprendizagem online difere da participação do aluno na

sala de aula tradicional. No ambiente virtual, o aluno deve escrever (digitar) suas perguntas,

seus argumentos, já que não pode se pronunciar pessoalmente. O aluno tem que encontrar

na escrita dos textos no Chat uma forma de expressar suas reações, seus pensamentos, de

compartilhar sugestões na busca da resolução das questões, já que não pode contar com a

entonação da sua voz, seus gestos, expressões faciais... Vemos então que mesmo na

aprendizagem online (virtual) a escrita, a escrita matemática tem um papel fundamental.

Pela escrita no Chat os alunos buscam criar novas estratégias de soluções para questões

propostas, se engajando em experiências matemáticas de forma colaborativa.

93

Texto original: participants in virtual math teams spontaneously began to explore their problems together, discussing problem formations, issues, approaches, proposals and solutions as a group. Moreover, students generally found this interaction highly engaging, stimulation and rewarding.

94 Texto original: Team members in a VMT environment have to negotiate their relationships using rituals such as providing leadership, responding to one another, and assigning tasks to each other. Each member, if actively engaged, has to facilitate the group process by working together. […] As the group members become more adapted to each other, leaders and followers emerge, as well as participants who engage in unconstructive actions.

183

Para Powell (2013, p. 151 e 156)

[...] a escrita e a leitura continuam sendo essenciais na Educação. Importa, porém, pensar por que essas duas ferramentas são importantes na Educação Matemática. São ferramentas mentais que ajudam pessoas a pensar, a representar e a comunicar suas ideias e permitem à sociedade arquivar informação e transmitir valores e culturas. Para o indivíduo, escrever e ler são processos cognitivos: a cognição se modifica, enquanto o indivíduo escreve e lê. Assim também ocorre na aprendizagem matemática: a escrita e a leitura da linguagem natural ajudam os alunos a processar o seu entendimento da matemática, e essa modificação da cognição é o alvo da escrita e da leitura na Educação Matemática. É, na verdade, a motivação para o trabalho com Matemática. (POWELL, 2013, p. 151). As observações sobre as relações [entre os objetos matemáticos que consideram e mesmo entre essas relações], são aprofundadas com o uso da escrita, um veículo que pode resultar de uma produção colaborativa num cenário presencial ou virtual e tem implicações na aprendizagem da Matemática e no processo de ensino aprendizagem em geral (Powell e Bairral 2006). (POWELL, 2013, p. 156).

Como o projeto VMT é orientado por teorias de aprendizagem colaborativa,

construção do conhecimento de comunidade e cognição do grupo, vamos apresentar aqui as

ideias de Stahl para um modelo de construção colaborativa do conhecimento. VMT é um

ambiente de software destinado a apoiar a aprendizagem colaborativa é um KBE

(Knowledge-Building Environments).

Stahl (2006) apresentou no seu livro Group Cognition: Computer Support for Building

Collaborative Knowledge (Cognição de Grupo: Suporte Computacional para a Construção

Colaborativa do Conhecimento) uma perspectiva sobre a aprendizagem como resultante de

um processo sociocultural que incorpora a constituição individual e a constituição social do

conhecimento de forma colaborativa. Este modelo de construção colaborativa de

conhecimento incorpora ideias de várias teorias de compreensão e aprendizagem na

expectativa de proporcionar uma estrutura útil conceitual para o projeto CSCL –

Aprendizagem Colaborativa com Suporte Computacional, que estuda como pessoas podem

aprender em grupo com o auxílio do computador.

Stahl (2006, p. 210) apresenta um diagrama (Figura 46), que tenta modelar a mediação

de várias formas de compreensão pessoal e de grupo. Modela também como a construção

de conhecimento se move por diferentes tipos de artefatos verbais, simbólicos,

representacionais e computacionais. Stahl afirma que apesar de limitações e distorções esse

diagrama oferece um ponto de partida para a reflexão da aprendizagem colaborativa com

184

suporte computacional. Este modelo de diagrama foi desenvolvido por Stahl em colaboração

com o Prof. Dr.-Ing. Thomas Herrmann para substituir um modelo de diagrama (Figura 47,

abaixo) com caixas e flechas que circulou informalmente como parte de um artigo científico.

Figura 46 – A mediação entre a compreensão pessoal e a compreensão de grupo

Fonte: Stahl (2006, p. 210). Elaborado pela pesquisadora

Figura 47 – Diagrama Inicial. A mediação entre a compreensão pessoal e a compreensão de grupo

Fonte: Stahl (2006, p. 327). Elaborado pela pesquisadora com uso de “Formas” do Word

185

O modelo de diagrama inicial (Figura 47) foi feito com caixas e flechas, e pode dar a

falsa impressão que as caixas representam algum tipo de objeto e as flechas indicam um

caminho necessariamente a ser seguido. Se estivermos ciente que as caixas e as flechas são

apenas uma ideia inicial para se refletir sobre a aprendizagem colaborativa com suporte

computacional, então vale a pena tê-lo a mão para a reflexão da aprendizagem colaborativa

com suporte computacional.

Para Stahl (2006, p. 205)

Subjacente à teoria de aprendizagem definidos por este diagrama está uma epistemologia social. Indivíduos geram crenças pessoais de suas próprias perspectivas, mas o fazem com base em conhecimento sócio-cultural, a linguagem comum e representações externas. Além disso, essas crenças tornam-se conhecimento através da interação social, comunicação, discussão, esclarecimento e negociação. O conhecimento é um produto socialmente mediado. O fato de o conhecimento ser um produto da comunicação social não significa que é sem fundamento [ungrounded] ou arbitrário. O meio de conhecimento - línguagem - é fundamentado nas experiências de vida dos indivíduos, em nosso corpo físico, em nosso senso de racionalidade, nos padrões de interação de comunicação das comunidades, em tradições culturais e no vasto conhecimento de fundo que é implicitamente aceito em todos os atos de entendimento ou acordos. Além disso, o processo de comunicação que resulta em conhecimento, incorpora argumentação que podem apresentar evidência empírica e dedução lógica a partir de outros conhecimentos estabelecidos. (STAHL, 2006, p. 205, tradução nossa).95

Falando um pouco sobre o diagrama da Figura 47, Stahl (2006) escreve que Martin

Heidegger96 e Donald Schön97 argumentam que o aprendizado começa na base da pré-

compreensão tácita. Se algum colapso acontece no nosso planejamento ou atividades do

cotidiano, de alguma forma o nosso entendimento tácito se torna problemático e isso abala

a rede de significados, as crenças pessoais que usamos para dar sentido à vida, e isso então,

95

Texto original: Underlying the theory of learning defined by this diagram is a social epistemology. Individuals generate personal beliefs from their own perspectives, but they do so on the basis of socio-cultural knowledge, shared language and external representations. Further, these beliefs become knowledge through social interaction, communication, discussion, clarification and negotiation. Knowledge is a socially mediated product. The fact that knowledge is a product of social communication does not mean that it is ungrounded or arbitrary. The medium of knowledge – language – is grounded in the life experiences of individuals, in our physical embodiment, in our sense of rationality, in the interaction patterns of communicating communities, in cultural traditions and in the vast background knowledge that is implicitly accepted in every act of understanding or agreement. Furthermore, the communication process that results in knowledge incorporates argumentation that can introduce empirical evidence and logical deduction from other established knowledge.

96 Martin Heidegger é um importante filósofo alemão.

97 Donald Schön é um influente teórico americano de design.

186

deve ser reparado. Para tanto, temos que tomar consciência do tipo de problema que afetou

alguma parte desse nosso entendimento, e podemos tentar fazer isso explicando as

implicações desse entendimento, resolvendo conflitos, usando artefatos, representações

simbólicas, e revendo nossas redes de significados para chegar assim, a uma nova

compreensão dos fatos que causaram o colapso. E se formos bem sucedidos, essa nova

compreensão se integrará a nossa base de conhecimentos tácitos. Pode parecer que o que

acabamos de descrever foi realizado ao nível da compreensão pessoal, da mente individual,

mas esse é um processo essencialmente social, pois a nossa rede de significados pessoais, as

nossas crenças têm origem na cultura, na nossa relação com o outro, com o mundo, nas

nossas interações sociais anteriores. Segundo Stahl (2006, p. 204, tradução nossa):

“Interpretação acontece dentro da linguagem (Wittgenstein, 1953), da história (Gadamer,

1960/1988), da cultura (Bourdieu, 1972/1995; Bruner, 1990; Cole, 1996), das estruturas

sociais (Giddens, 1984) e da política (Habermas, 1981/1984)”.98

Não sendo possível, resolver o caráter problemático de nossa compreensão pessoal

internamente, talvez seja necessário entrar em um processo explicitamente social e criar

novos significados de forma colaborativa. Para isso, é preciso que expressemos nossa crença

pessoal em palavras e façamos uma declaração pública, que será discutida em um ambiente

social, por particiantes que raciocinarão e argumentarão segundo várias perspectivas. Essas

argumentações e esclarecimentos podem levar a acordos, ou pelo menos, ao entendimento

mútuo. Se chegarmos ao entendimento comum, esse resultado será um novo

conhecimento, aceito por essa comunidade, que foi construído de forma colaborativa a

partir de uma crença pessoal abalada.

As declarações públicas que resultam da discussão, argumentação e esclarecimento

formam uma linguagem compartilhada, criada através do processo de comunicação, que

torna-se o conhecimento colaborativo compartilhado, que através de um processo de

aprendizagem individual pode ser incorporado a cada participante. O entendimento pessoal

e o entendimento de grupo estão entrelaçados. O entendimento individual fornece o ponto

inicial desse processo e pode estar envolvido em cada fase social.

98

Texto original: Interpretation takes place within language (Wittgenstein, 1953), history (Gadamer, 1960/1988), culture (Bourdieu, 1972/1995; Bruner, 1990; Cole, 1996), social structures (Giddens, 1984) and politics (Habermas, 1981/1984).

187

Stahl (2006) explica que

Do ponto de vista cognitivo, há, naturalmente, muitas habilidades e sub-processos de trabalho que não são representados no diagrama. Estes incluem atividades consideradas habilidades pessoais, como sumarização, compreensão de texto, pensamento crítico, estruturação lógica dos argumentos. Eles também incluem habilidades de interação social, como troca de turno, reparação de mal-entendidos, a persuasão retórica, discussão interativa. Para facilitar as explicações, o diagrama ignora essas fases detalhadas e várias outras opções similares [...] e as interações múltiplas dos níveis individual e social. (STAHL, 2006, p. 206, tradução nossa, ênfase nossa).99

O modelo aqui apresentado é uma tentativa de compreender a aprendizagem como

um processo social, que incorpora várias fases distintas, que constituem um ciclo de

construção de conhecimento pessoal e social. Ao definir uma seqüência de fases típicas de

construção de conhecimentos sociais, o diagrama sugere um conjunto de pontos que podem

proporcionar a concepção de um software CSCL, que são os ambientes de construção de

conhecimento, especificamente colaborativos. Sabemos que não podemos dar suporte

computacional à cognição individual. As crenças pessoais devem ser articuladas como

declarações públicas para que possam interagir dentro de suportes computacionais. O

suporte computacional deve oferecer uma área de trabalho em que as ideias possam ser

articuladas, possam interagir com outras ideias de variados pontos de vista, e no qual os

participantes possam se aproximar de um consenso. O suporte computacional deve fornecer

um meio conveniente, no qual se possa formular, representar e comunicar ideias para as

várias fases desse processo. As várias formulações das ideias devem ser preservadas nesse

sistema computacional para permitir a análise, reflexão e continuação desse processo a

qualquer momento ou em qualquer lugar. Essas características estão todas contempladas no

projeto VMT.

99

Texto original: From a cognitive viewpoint, there are of course many skills and sub-processes at work that are not represented in the diagram. These include activities considered personal skills, like summarization, text understanding, critical thinking, logical structuring of arguments. They also include social interaction skills such as turn-taking, repair of misunderstandings, rhetorical persuasion, interactive arguing. For simplicity sake, the diagram ignores these detailed phases and various other, similar options. […] and the manifold interactions of the individual and social levels.

188

189

3 METODOLOGIA E PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS

Levando em conta que em nossa pesquisa buscamos investigar e analisar a produção

de significados para continuidade de funções reais de uma variável real por alunos em um

ambiente virtual colaborativo, buscamos uma metodologia de pesquisa que nos permitisse

analisar processos de aprendizagem matemática, que tivesse um caráter intervencionista e

pudesse ser aplicada em ambientes de interação, tal como se caracteriza um ambiente

virtual colaborativo. Esses alunos são licenciados em Matemática e cursam Especialização

em Educação Matemática.

Esses anseios nos remetem a uma visão qualitativa da metodologia, amparados

também por Bogdan e Biklen (1994), que defendem que na pesquisa qualitativa em

educação, os pesquisadores e os sujeitos da pesquisa estabelecem um diálogo, para que os

pesquisadores possam questionar constantemente os sujeitos de pesquisa e perceber como

eles interpretam suas experiências e como estruturam o mundo social em que vivem. Alves-

Mazzotti e Gewandsznajder (1998, p. 131), concordando com a caracterização de Patton

(1986) para pesquisa qualitativa, dizem que “essas pesquisas [qualitativas] partem do

pressuposto de que as pessoas agem em função de suas crenças, percepções, sentimentos e

valores e que seu comportamento tem sempre um sentido, um significado que não se dá a

conhecer de modo imediato, precisando ser desvelado”.

Na proposta qualitativa, a metodologia Design Experiment, segundo Cobb et al.

(2003) constitui um meio para lidar com a complexidade dos contextos educativos. Essa

metodologia busca compreender um complexo sistema de interações, que envolve vários

elementos de diferentes tipos e níveis, para apoiar a aprendizagem de domínios específicos.

Esse sistema, que envolve as tarefas a serem propostas aos alunos, os tipos de discurso que

os alunos são incentivados a participar, as normas de participação que são estabelecidas, as

ferramentas e material a ser utilizado, e os meios que os professores utilizarão para articular

as relações entre esses elementos, foi chamado de ecologia de aprendizagem. A metáfora da

ecologia foi usada para enfatizar o aspecto interativo entre esses elementos, e mostrar que

essa metodologia não se baseia somente em um conjunto de atividades ou fatores que

influenciam a prendizagem de um determinado domínio.

English, Lesh e Fennewald (2008) afirmam que as metodologias de design research

mostraram-se produtivas quando usadas na Educação Matemática, em pesquisas que

190

investigam a natureza do desenvolvimento de conceitos e os processos matemáticos dos

alunos.

A metodologia Design Experiments foi criada para que as pesquisas educacionais se

movessem dos laboratórios para as salas de aula, para que se pudesse ter uma visão sobre

como quando e porque as inovações funcionam na prática. Nos “laboratórios”, por exemplo,

os alunos eram distribuídos em grupos (grupos de controle) para se testar processos

matemáticos, e esses alunos não eram, na maioria das vezes, o foco da análise. O interesse

estava em se observar a diferença entre esses processos e não os significados construídos

pelos alunos.

Segundo Collins; Joseph; Bielaczyc (2004, p. 15)100 “Design Experiments foram

desenvolvidos como uma forma de se realizar pesquisa formativa para testar e refinar

projetos educacionais baseados em princípios derivados de pesquisas anteriores”.

Podemos dizer então, que Design Experiments são desenhados para potencializar as

chances de ocorrerem desenvolvimentos relevantes, observáveis, no interior de um

ambiente conceitualmente rico onde estudantes, professores e pesquisadores são vistos

como colaboradores do processo. Um processo que pode durar horas, semanas ou períodos

letivos inteiros, não tendo período de tempo definido.

Cobb et al (2003, p. 9 e 10) identificou cinco características transversais dos Design

Experiments:

Desenvolvimento de Teoria – desenvolvimento de uma classe de teorias tanto sobre o

processo de aprendizagem como sobre os meios que são projetados para apoiar a

aprendizagem, que podem ser os artefatos materiais, as práticas de ensino e de

aprendizagem, os níveis de controle, a negociação de normas e outras formas de mediação.

Os processos de aprendizagem abrangem a evolução das práticas sociais de aprendizagem

relevantes e até mesmo constructos, como a identidade e o interesse.

Natureza intervencionista – os estudos dos designs são tipicamente bancos de ensaio para a

inovação. A intenção é investigar novas formas de aprendizagem que possibilitem melhorias

educacionais, por isso é importante que se faça uma análise de pesquisas já existentes sobre

o tema para se diferenciar as condições centrais das condições subjacentes.

100

Texto original: “Design experiments were developed as a way to carry out formative research to test and refine educational designs based on principles derived from a prior research”.

191

Aspectos Prospectivo e reflexivo – prospectivo, pois os projetos são implementados como

um processo de aprendizagem hipotético. Reflexivo, pois Design Experiments são testes

dirigidos por conjecturas, realizados muitas vezes em vários níveis de análise. O projeto

inicial é uma conjectura sobre o meio de apoiar uma forma particular de aprendizagem que

será testada. Durante a realização do experimento, no entanto, conjecturas mais

especializadas são consideradas e testadas.

Iteratividade – juntos, os aspectos prospectivo e reflexivo do Design Experiments resultam

em uma quarta característica, a iteratividade do design. Como conjecturas são geradas e

talvez refutadas, novas conjecturas são desenvolvidas e submetidas a teste. O resultado é

um processo iterativo de design, com ciclos de invenção e de revisão.

Pragmático: Design Experiments reflete as suas raízes pragmáticas. As teorias desenvolvidas

durante o processo experimental são modestas não apenas porque essa metodologia está

preocupada com os processos de aprendizagem de domínios específicos, mas também

porque é responsável pela atividade de design. O desenvolvimento da teoria está

intrinsecamente ligado à prática. O valor da teoria é avaliado pela extensão de como seus

princípios apoiam e melhoram a prática. A teoria deve fazer um trabalho real.

Na construção de um Design Experiment é preciso definir a intenção teórica da

pesquisa (objetivo do estudo) para ser capaz de identificar e explicar os padrões sucessivos

no pensamento do aluno. Deve-se fazer um levantamento das pesquisas existentes para

delimitar os elementos que representam o objetivo da investigação, especificando as ideias

significativas e formas de raciocínio que constituem esse domínio. É preciso especificar os

pressupostos sobre o ponto de partida intelectual e social das formas previstas de

aprendizagem, levantando conjecturas sobre as interpretações e entendimentos iniciais dos

estudantes, identificando suas capacidades e práticas atuais. Com esses dados em mãos, a

equipe pode especificar o ponto de partida, os elementos da trajetória e os pontos futuros

de um projeto, que seja capaz de testar conjecturas sobre mudanças expressivas no

raciocínio dos estudantes, especificando os significados que darão suporte a estas

mudanças.

É importante fazer um registro abrangente do projeto em curso, sempre que

possível, por meio de registros de áudio e vídeo dos encontros, registros que documentem

as conjecturas em evolução, juntamente com as observações que são vistas como apoio ou

questionamento dessas conjecturas. O Design Experiments é também uma rica e ampla

192

fonte de dados e não se pode deixar de registrar os produtos de aprendizagem desse design,

que englobam os trabalhos dos alunos, os discursos em sala de aula, a postura corporal e

gestos, as tarefas e as estruturas de atividades, padrões de interação social, e respostas a

entrevistas, testes ou outras formas de avaliação.

Neste tipo de metodologia, o professor/pesquisador, além de ter como

responsabilidade a construção do design das tarefas (descrita acima), tem a função de criar

situações, que estimulem as interações pesquisador/aluno, aluno/aluno para que haja

possibilidade de mudança nos discursos matemáticos usuais dos alunos. Nessas interações,

o professor/pesquisador deve estar atento aos raciocínios e argumentos dos estudantes,

que podem estar repletos de implicações para futuras interações e vislumbrar aí possíveis

novos caminhos que conduzam os estudantes à aprendizagem pretendida, o que pode ser

feito por meio do refinamento do experimento.

RELAÇÃO DO NOSSO ESTUDO COM A METODOLOGIA DO DESIGN EXPERIMENT

Adotamos como metodologia de pesquisa o Design Experiment, pois a nossa

proposta tem por objetivo investigar e analisar a produção de significados para

continuidade de funções reais de uma variável real por licenciados em Matemática, em um

ambiente virtual colaborativo, o VMT. Os aspectos prospectivo, reflexivo e Iterativo do

Design Experiment nos permitiram partir de algumas conjecturas sobre as interpretações e

entendimentos iniciais dos estudantes sobre a continuidade de funções reais de uma

variável real e fazer análises, reflexões e modificações a partir do discurso dos estudantes

(seus argumentos, controvérsias, afirmações, questionamentos) e fazer novas intervenções

que nos conduziram aos resultados que apresentaremos na nossa análise dos dados.

193

Levando em conta as reflexões que fizemos sobre a metodologia Design Experiment

organizamos a nossa pesquisa em três fases, que esquematizamos a seguir:

Figura 48 – As fases da pesquisa


194

3.1 FASE 1: FASE PROSPECTIVA

Esta foi uma fase de muita reflexão e pesquisa. A continuidade de funções, nosso

tema de pesquisa, é um conceito básico do Cálculo, essencial ao seu desenvolvimento e

apontado nas pesquisas como uma das dificuldades do ensino do Cálculo. Fomos na

literatura nacional e internacional (artigos, dissertações e teses) pesquisar as dificuldades

com o ensino e a aprendizagem dos conceitos de limite e de continuidade sob as mais

variadas abordagens teóricas e metodológicas. Buscamos pesquisas recentes e as de grande

relevância para o tema. Pesquisas que usavam recursos tecnológicos ou não. Com essas

características citamos: Cornu (1981), Mastorides e Zachariades (2004), Barto (2004),

Bridgers (2007), Larsen e Swinyard (2012). Muitos pesquisadores dentre eles, Hitt (1994),

Hitt e Planchart (1998), Vianna (1998); Aparicio e Cantoral (2004, 2006, 2007) afirmaram que

a dificuldade em compreender a continuidade de funções, se deve às dificuldades com o

ensino e o aprendizado de funções. Uma pesquisa histórica nos mostrou que a origem e o

desenvolvimento desses dois conceitos estão entrelaçados e alguns pesquisadores, por

exemplo, Hitt (1994, 1998), justificaram que aquelas dificuldades estão relacionadas à

origem desses conceitos. Pesquisamos nos livros textos de Cálculo, os mais comumente

adotados em várias instituições de Ensino Superior (ver tabela dos livros pesquisados na

seção 1.3), como esses conceitos eram apresentados aos estudantes e aos professores, estes

que em muitos contextos são os maestros do ensino, e têm no livro texto sua maior fonte de

informação e de orientação pedagógica.

Para elaborar as tarefas da nossa pesquisa, nos apoiamos então, nas dificuldades

apontadas na revisão de bibliografia que fizemos, na evolução histórica da ideia de

Continuidade e Função, nas leituras atentas do tópico Continuidade nos livros textos de

Cálculo escolhidos por nós (seção 1.3), na nossa experiência como professora há muitos anos

trabalhando com o ensino e a aprendizagem de Cálculo. Criamos três applets com o uso do

software GeoGebra, que foram usados na implementação de algumas tarefas, elaboradas

com a expectativa de que permitissem investigar as estratégias engendradas pelos

participantes para sustentar seus pontos de vista.

As tarefas foram realizadas na plataforma VMT – Virtual Math Team, da qual já

falamos anteriormente no Referencial Teórico. Como já dissemos na Introdução, fui

apresentada a essa plataforma de trabalho pelo professor Dr. Arthur Powell, da Rutgers

195

University, em um curso ministrado por ele na UNIBAN em 2010. A nossa opção por essa

plataforma virtual, se deveu ao fato, desse projeto ter como um dos seus principais

objetivos, promover o discurso matemático, de possuir fortes características de colaboração

e interação, além de inúmeros recursos tecnológicos.

Nos familiarizamos com a plataforma VMT por meio do Projeto e-math: UNIBAN

filiado ao VMT Project do Math Forum da Drexel University, na Filadélfia, criado pela

professora Janete Bolite Frant, numa parceria da UNIBAN com a Rutgers University, por

intermédio do professor Arthur Powell.

3.2 FASE 2: IMPLEMENTAÇÃO DAS TAREFAS

As tarefas foram implementadas em cinco encontros. Na Figura 49, abaixo,

apresentamos um quadro com o número, o nome e os objetivos das tarefas implementadas

na Fase 2 do Design Experiment.

Figura 49 –Tarefas da Fase 2 e seus objetivos

Tarefa Nome da tarefa Objetivo

Fase 2

Familiarização e ambientação

1. Conhecendo o VMT. Trabalhando na sala de aula

Conhecer as características, as potencialidades, as ferramentas da plataforma VMT. Familiarização com a plataforma.

2. O Problema do Monge. VMT a distância – uma familiarização

Usar o VMT a distância. Estimular a interação assíncrona e o uso da plataforma para resolução de problemas.

196

Tarefa Nome da tarefa Objetivo

Fase 2

1

Funções. Uma visualização com eixos paralelos .

Levantar o que e como os alunos falam sobre função. Usar a geometria dinâmica para refletir sobre o comportamento das funções, por meio de eixos paralelos. O eixo 𝑥 e o eixo 𝑦 são configurados verticalmente. Uso do Applet 1: “Eixos Paralelos – conhecendo a função”. A relação entre 𝑥 e 𝑓(𝑥) por meio de eixos paralelos.

2

Eixos paralelos e eixos cartesianos. Conhecendo e agrupando funções.

Usar a geometria dinâmica combinando a relação entre 𝑥 e 𝑓(𝑥) por meio de eixos paralelos e a representação gráfica em eixos cartesianos para estudar o comportamento das funções e identificar padrões de comportamento. Uso do Applet 2: “Eixos Paralelos e Eixos Cartesianos – construindo o gráfico da função”. A relação entre 𝑥 e 𝑓(𝑥) por meio de eixos paralelos e de um sistema de eixos cartesianos.

3 Continuidade. O que é isso?

Continuidade natural versus

Continuidade por 𝜺 e 𝜹. Levantar o que e como os alunos falam sobre continuidade. Parte dessa tarefa foi elaborada para ser feita a distância, para propiciar mais uma oportunidade dos alunos trabalharem de forma assíncrona.

4 O aluno: o VMT e a continuidade.

Retomar os conceitos de domínio de função, função e continuidade de função. Avaliar a dinâmica das atividades e a plataforma VMT.


A descrição, o objetivo, as questões de cada uma das tarefas podem ser encontradas

no Capítulo 6, no item relativo a cada encontro. As tarefas ali descritas, já são resultados das

alterações que fizemos no nosso planejamento inicial, após as análises parcias que fizemos

depois de cada encontro.

197

3.3 PARTICIPANTES DA PESQUISA

O professor Dr. Wanderley Moura Rezende, professor do GMA – Departamento de

Matemática Aplicada da UFF, era professor da disciplina Funções do Curso de Especialização

em Educação Matemática do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade Federal

Fluminense (IME–UFF), localizado em Niterói, Rio de Janeiro, e gentilmente concordou em

disponibilizar algumas de suas aulas para que as tarefas da nossa pesquisa fossem

implementadas. Essa turma tinha 20 alunos, todos já licenciados em Matemática.

A escolha da instituição se deveu ao fato da pesquisadora ser docente do

Departamento de Matemática Aplicada – GMA e ter sua história de docência ligada a ele há

mais de 20 anos. No GMA, a pesquisadora dividiu com seus colegas muitos momentos de

reflexão sobre o ensino do Cálculo, e nada mais significativo do que voltar a esse espaço e

dividir com alunos desse Instituto essa experiência de ensino, dando a eles a oportunidade

de participar de um experimento de ensino com uso de uma tecnologia inovadora, a

plataforma VMT.

Fomos ao encontro da maioria dos alunos da turma, conversamos, apresentamos o

nosso projeto e os convidamos a participar da pesquisa. Os alunos ficaram muito

interessados em conhecer a plataforma VMT e o tópico pesquisado, continuidade de

funções reais de uma variável real, pareceu ser de interesse da maioria alunos, que

voluntariamente101 aceitaram o convite. Esse primeiro contato mostrou-se um bom início

para a construção de um cenário de aprendizagem colaborativa.

O tema da pesquisa favoreceu a dinâmica dos encontros, pois continuidade de

funções era um dos tópicos a ser abordado na disciplina Funções e assim, os nossos

encontros foram considerados, também, atividades da disciplina. O professor Wanderley

participou dos encontros, sempre que foi possível. Contamos com a participação dos 20

alunos dessa turma, que nesse primeiro contato nos concederam uma curta entrevista, por

escrito, para que pudéssemos conhecer um pouco de suas vidas acadêmica e profissional e

para que pudessem nos contar um pouco sobre as suas experiências com as disciplinas de

Cálculo. Os alunos escolheram pseudônimos que usaram para se inscrever na plataforma

VMT e para serem identificados em todas as instâncias da pesquisa. Na Figura 50, a seguir,

101

No Apêndice B estão os modelos dos termos de consentimento livre e esclarecido queforam assinados pelos participantes, nos quais consta também a permissão para uso de imagem.

198

identificamos os participantes pelos pseudônimos que escolheram, descrevemos o perfil

acadêmico de cada um, e transcrevemos pequenos relatos, significativos para a nossa

pesquisa, encontrados nas entrevistas.

Figura 50 – Participantes da pesquisa

Participantes Formação Escolas onde lecionam ou lecionaram

Ano em que ensinam ou ensinaram

Tempo de

magistério

Alequice

Licenciatura em Matemática – UERJ102. Bacharel em Sistemas de Informação – Universidade Estácio de Sá.

Rede Municipal em Petrópolis.

6º, 7º, 8º, 9º anos do Ensino Fundamental e 1º, 2º, 3º anos do Ensino Médio.

16 anos

Relato: [...] não tive muitos professores comprometidos com a aprendizagem dos alunos. [...] tinha um professor que reprovava praticamente duas turmas inteiras e nada era feito [...]. [Decidi fazer o Curso de Especialização] para melhorar minhas práticas e questionar e discutir aspectos que percebi durante meus anos de magistério

Carolzinha

Licenciatura em Matemática – FFP103-UERJ – São Gonçalo.

Rede Municipal e dois colégios particulares em Itaboraí.

6º, 7º, 8º, 9º anos do Ensino Fundamental e 1º, 2º, 3º anos do Ensino Médio.

1 ano e meio

Relato: [...] As aulas de Cálculo eram dinâmicas, não tinha aquela monotomia. Os professores eram muito bons, explicavam muito bem.

Cateto

Licenciatura em Matemática – UERJ.

Estágio com alunos surdos. Monitora no Projeto Mais Educação

Do 1º ao 9º ano do Ensino Fundamental

Relato: [Decidi fazer o Curso de Especialização] para que pudesse pensar mais sobre o processo de ensinar, como passar o conteúdo para os alunos, já que esse processo é quase inexistente na Graduação. Não gostava muito [de Cálculo]. A maior parte das aulas eram apenas expositivas e, além disso, o ritmo corrido com que era dado o conteúdo me deixava para trás [...].

102

UERJ – Universidade do Estado do Rio de janeiro 103

FFP – Faculdade de Formação de Professores

199

Cranio

Licenciatura em Matemática – CEDERJ104 – UFF.

Colégio particular em São João do Meriti – RJ.

7º, 8º, 9º anos do Ensino Fundamental e 1º, 2º anos do Ensino Médio.

4 anos e meio

Relato: Minhas aulas eram bem solitárias, já que meu curso foi semipresencial. Mas os módulos que eu estudei de Cálculo eram bem escritos. [...].

Fernanda

Licenciatura em Matemática – FFP-UERJ – São Gonçalo.

Colégio particular em São Gonçalo.

Todos os anos: da Educação Infantil ao Ensino Médio.

12 anos

Relato: [Na graduação] nos sentíamos em um “pré-mestrado”: demonstrações, demonstrações, demonstrações e nenhuma relação com a nossa prática escolar. Embora achasse sem fundamento, sem aplicação na prática docente gostava de fazer a “calculeira”, o manuseio das fórmulas, era algo “mecânico”.

Galois

Licenciatura em Matemática – UFF-Niterói.

Rede Estadual em Niterói.

Ensino Fundamental e Ensino Médio.

2 anos

Relato: [...] as aulas de Cálculo me serviam apenas como ferramentas para eu resolver problemas de Engenharia. {...} eu sentia falta de uma abordagem mais significativa sob outros aspectos como um estudo mais detalhado sobre continuidade, formalismo matemático e demonstrações. Principalmente na turma de Cálculo I, a dificuldade era imensa quando o assunto era função. Traçar gráfico, assíntota e interpretá-lo era um caos. Eu até acredito (não posso precisar) que isso se dê pelo abismo que há entre o Ensino Médio e o Ensino Superior.

Glasm


Rede Estadual em Itaboraí.

1º ano do Ensino Médio. EJA.

1 ano

Relato: [decidi fazer o Curso de Especialização] para ter mair contato com assuntos relacionados o ensino da matemática nos níveis fundamentais e médio, buscar novas tecnologias para uma aula agradável e que todos compreendam o que é ensinado. [...] [aulas de Cálculo] era difícil, mas é matemática e não existe matérias sem dificuldade.

Gods


Foi aprovada em um concurso do Estado.

Ainda não começou a dar aula.

Relato: Tive a oportunidade de fazer Cálculo I com um grande professor e a partir daí, o Cálculo foi à disciplina que eu mais gostei. Adoro mexer com contas e a parte que eu mais gosto é de construir gráficos [...].

104

CEDERJ é a sigla do "Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro".

200

Johnny

Licenciatura Plena em Matemática – Universidade Castelo Branco.

Rede Estadual em Niterói e Rede Estadual no Rio de Janeiro.

9º anos do Ensino Fundamental e e 1º, 2º, 3º anos do Ensino Médio.

2 anos e meio.

Relato: Gostava muito [das aulas de Cálculo] mesmo que eu não pudesse ver uma aplicação imediata dessa ferramenta, eu sabia que seu desenvolvimento trouxe uma revolução para a Matemática. Gostava também de estar conseguindo acompanhar um conteúdo que sempre teve fama de “bicho papão”, e até ajudava outros alunos, mesmo considerando que o aprofundamento na disciplina dentro do meu curso não fosse tão grande. Espero, a partir de agora, enxergar com melhor clareza a importância do Cálculo.

Kaka

Licenciatura e Bacharelado em Matemática – UFF-Niterói.

Colégio particular em Niterói.

6º, 7º, 9º anos do Ensino Fundamental e 1º, 2º, 3º anos do Ensino Médio.

23 anos

Relato: [Gostava das aulas de Cálculo] lembro que finalmente eu via uma relação com todas as análises e demonstrações que eram feitas no curso de Análise. Pena que fiz só um Cálculo [...]. Na época, lembro que o pessoal da Engenharia temia o Cálculo e o pessoal da Matemática temia a Análise.

May


Colégio particular na cidade do Rio de Janeiro

5º ano especializado. Alguns meses.

Relato: Cálculo foi muito difícil ainda mais o Cálculo 3, que tem que ver as figuras em 3 dimensões foi difícil.

Nina

Licenciatura em Matemática – CEDERJ– UNIRIO.

Ainda não leciona.

Relato: Sim [gostava das aulas de Cálculo]. Foi a matéria que eu mais gostei. A matéria era muito interessante e o meu Tutor era ótimo.

Peu


Colégios particulares em Niterói.

6º, 8º, 9º anos do Ensino Fundamental e 1º e 2º anos do Ensino Médio para as dependências.

2 anos

Relato: [Eu gostava das de Cálculo] quando o professor buscava explicar utilizando a história da Matemática. Em geral, as aulas foram em “cuspe e giz”, o que não me motivou. [Decidi fazer o Curso de Especializção] para continuar o processo de aprendizagem, melhorar o meu conhecimento e me preparar para o mercado.

Suzana

Licenciatura em Matemática – FFP-UERJ – São Gonçalo.

Rede Municipal no Rio de Janeiro, Rede Estadual e particular em Niterói.

6º, 7º, 8º, 9º anos do Ensino Fundamental e Pré-Vestibular.

5 anos

Relato: O que mais me tocou dentro do Cálculo foi perceber a grande utilidade dentro de diversas áreas e principalmente a grande necessidade de utilização.

201

Vmais

Ciências – Habilitação em Matemática. FERLAGOS105

Rede Minicipal de Niterói e Rede Estadual de Educação.

6º, 7º anos do Ensino Fundamental e 1º, 2º, 3º anos do Ensino Médio.

4 anos

Relato: [...] em muitos conteúdos tenho a necessidade de maior aprimoramento, de mostrar ao aluno o porquê de muitas verdades matemáticas. [...] gostava da matéria [Cálculo], porém vejo hoje que muitas coisas não eram bem definidas do ponto de vista algébrico, e que usávamos apenas definições para resolver questões de derivadas e limites sem aplicações práticas do porquê estudar limites, derivadas, equações e ainda de como isso me ajudaria no momento de dar aulas.


Os participantes Amiga, Lili, Mb e Uyio não responderam a entrevista.

Interessante observar que Cranio relatou na sua entrevista, que suas aulas eram

bem solitárias, já que seu curso foi semipresencial. Cranio foi aluno do CEDERJ – UFF, que

usa a plataforma Moodle no seu ensino a distância.

Os participantes foram distribuídos em grupos, e cada dois grupos compartilhava

uma mesma sala no VMT. Algumas tarefas foram realizadas individualmente. Esses grupos

ficaram constituídos da seguinte forma:

Figura 51 – Grupos participantes da pesquisa

Grupos participantes106

Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4 Grupo 5 Grupo 6

Cateto

Galois

Johnny

Alequice

Carolzinha

Mb

Kaka

Nina

Uyio

Aluno34

Glasm

Gods

Vmais

Cranio

Fernanda

Suzana

Amiga

Lili

May

Peu


105

FERLAGOS – Faculdade da Região dos Lagos. 106

Os nomes estão escritos exatamente da forma como os alunos se inscreveram na plataforma VMT.

202

3.4 O AMBIENTE E A DINÂMICA DOS ENCONTROS

Os encontros aconteceram no Laboratório de Informática do Curso de Matemática,

que fica no prédio do Instituto de Matemática da UFF, onde pudemos contar com 25

computadores, um Datashow, 2 filmadoras e 2 gravadores de voz. Contamos com apoio

técnico dos monitores do laboratório. O coordenador do laboratório, Alci Jorge Ferreira

Peres, foi muito prestativo e providenciou que todos os computadores pudessem acessar a

plataforma VMT. Lembramos que o sistema operacional no laboratório é LINUX107.

O laboratório tinha a configuração esboçada na Figura 52. Essa configuração permitiu

que em cada ala, que chamamos de Espaço 1 e Espaço 2, se instalassem 3 grupos,

distribuídos como na Figura 52. As setas nessa figura relacionam os grupos que interagiam

em uma mesma sala no VMT.

Figura 52 – Representação da vista superior da posição dos grupos no laboratório nos encontros 2, 3 e 4

Fonte: elaborado pela pesquisadora no GeoGebra

A seguir apresentamos uma tabela com as informações sobre os nossos cinco encontros

107

LINUX é um sistema operacional de código aberto, desenvolvido por programadores voluntários espalhados por toda internet e distribuído sob a licença pública GPL.

203

Figura 53 – Informação Geral dos Encontros


Número do Encontro

Identificação da Tarefa

Data do Encontro

Nome da Tarefa Salas (Chat Rooms) no VMT

para as Tarefas e respectivos Logs

Grupos trabalhando nas Chat Rooms

Encontro 1 Tarefa de familiarização e ambientação 03/abril/2012

1. Conhecendo o VMT. Trabalhando na sala de aula

Explorando VMT 1 Grupos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 (presencial)

2. O Problema do Monge. VMT a distância – uma familiarização

Explorando VMT 2-1 Grupo 1 e Grupo 2 (a distância)



Encontro 2 Tarefa 1 17/abril/2012

Funções. Uma visualização com eixos paralelos.

Sala Tarefa 1-1 [Log 1-1} Grupo 1 e Grupo 2

Sala Tarefa 1-2 [Log 1-2] Grupo 3 e Grupo 4

Sala Tarefa 1-3 [Log. 1-3] Grupo 5 e Grupo 6

Encontro 3 Tarefa 2 24/abril/2012

Eixos paralelos e eixos cartesianos. Conhecendo e agrupando funções.


Sala Tarefa 2-2 [Log 2-2] Grupo 3 e Grupo 4


Encontro 4 Tarefa 3 08/maio/2012

Continuidade. O que é isso?

Sala Tarefa 3-1 [Log. 3-1] Grupo 1 (sem Galois) e Grupo 2

Sala Tarefa 3-2 [Log. 3-2] Grupo 3 e Grupo 4 (sem Aluno 34)


Encontro 5 Tarefa 4 05/junho/2012

O aluno: o VMT e a continuidade.

Sala Tarefa 4-1-1 [Log. 4-1-1]

Alequice, Cateto, Carolzinha, Galois, Mb




Sala Tarefa 4-2-1 [Log. 4-2-1] Aluno 34, Glasm, Gods, Kaka, Nina, Uyio, Vmais Sala Tarefa 4-2-3 [Log. 4-2-3]


Sala Tarefa 4-3-1 [Log. 4-3-1] Amiga, Cranio, Lili, May, Peu, Suzana



204

Como durante os encontros os alunos se encontravam todos numa mesma sala,

alguns relatos sobre o ambiente dessa pesquisa e a plataforma VMT se fazem necessários.

Figura 54 – Participantes da pesquisa em ação. Uma vista do Laboratório


O acordo que estabelecemos inicialmente com os participantes da pesquisa é que

não haveria comunicação oral entre os grupos. Toda comunicação entre os grupos e com a

pesquisadora deveria ser feita através da plataforma VMT. Ao longo dos encontros, fomos

percebendo que a disposição dos computadores não era muito favorável ao trabalho

pretendido. Os alunos que ficaram no Espaço 2 tiveram uma dificuldade maior de

concentração. Era um espaço menor, os alunos ficaram mais próximos uns dos outros e

conversaram mais. Acreditamos que essa troca pessoal de ideias fez com que os grupos do

Espaço 2 escrevessem menos no Chat do VMT. Para uma próxima pesquisa com o uso da

plataforma VMT, sugerimos que os alunos sejam distribuídos em dois laboratórios.

Um outro relato importante é sobre as gravações dos encontros. Sabíamos que todo

o trabalho desenvolvido na plataforma VMT era registrado plenamente. Temos acesso a

todo o diálogo das Chat Rooms através de planilhas HTML, que imprimimos para facilitar a

análise desse material, mas que continuam acessíveis na plataforma VMT. Durante os

trabalhos na plataforma VMT podemos, a qualquer momento, “voltar no tempo” usando a

barra de rolagem e acessar tudo o que foi colocado nas abas (Whiteboard, Summary,

205

GeoGebra). O desenvolvimento de cada tarefa no VMT também foi gravado, um outro

recurso que o VMT disponibiliza, como já falamos anteriormente. Podemos assistir ao filme

de cada grupo trabalhando em sua sala. Temos a nossa disposição o filme de cada uma das

salas abertas no VMT para os nossos encontros. Um material precioso.

Durante os Encontros 2 e 3, no desenvolvimento das Tarefas 1 e 2, cada grupo

trabalhou em um único computador e os participantes de cada grupo dialogavam entre si

sobre as tarefas antes de interagirem na plataforma com o grupo com o qual dividiam a sala.

Tentamos gravar esses “diálogos presenciais”, mas como os alunos conversavam sobre as

tarefas que estavam vendo na tela dos computadores, muitas vezes não conseguíamos saber

a que eles estavam se referindo nas gravações. Tentamos fazer uma gravação síncrona da

tela do computador e da fala dos alunos, mas nem sempre fomos bem sucedidos, pois o

brilho da tela não favoreceu essa gravação. Os alunos lamentaram muito, o GeoGebra não

estar funcionando na plataforma VMT naquele momento. Outros recursos também não

estavam disponíveis, como o Wiki e o acesso a Web. Como prometido aos alunos

participantes disponibilizei aqui, algumas fotos deles durante os encontros no laboratório:

Figura 55 – Alunos trabalhando no VMT


206

3.5 COLETA DOS DADOS: COMO OCORREU?

Como o nosso objetivo era desenvolver tarefas visando a aprendizagem colaborativa,

e como tínhamos interesse no discurso dos alunos por acreditar que a aprendizagem

acontece nas interações sociais, gravamos em áudio e vídeo os alunos participantes em ação

durante os encontros. Temos a nossa disposição o filme de cada uma das salas abertas no

VMT para os nossos encontros, e assim pudemos rever o desenvolvimento de cada tarefa

em cada uma das salas tantas vezes quanto foi necessário, o que nos permitiu não perder

nenhum detalhe da participação de cada aluno nas tarefas da plataforma. Também

dispomos das planilhas geradas em HTML com a troca de mensagem entre os alunos de cada

Chat Room, que foram exaustivamente analisadas, e do material postado pelos alunos no

Whiteboard e no Summary. Esse material é basicamente composto por representações

gráficas de situações matemáticas, desenhos, mensagens de textos, postados no

Whiteboard e no Summary para ajudar a argumentação e a interação dos alunos, enquanto

o Chat continuava acontecendo e fica sempre disponível na tela. Fizemos print screen dessas

telas para poder acessá-las com facilidade, o que também fizemos com uma grande

frequência.

Fizemos uma entrevista por escrito com os participantes, e coletamos sucintos

relatórios de algumas atividades. Usamos parte de um teste, no que diz respeito ao conceito

de função, que o professor Wanderley aplicou a esses alunos no primeiro dia de aula da

disciplina.

Faz parte dos nossos dados uma entrevista, gravada em áudio e vídeo, com o

professor Wanderley, que além de professor dos alunos participantes, é um pesquisador

atuante na área de Educação Matemática e experiente no ensino de graduação e pós-

graduação do IME–UFF. O professor nos deu o seu depoimento sobre o Ensino do Cálculo,

sobre a aprendizagem do conceito de continuidade de funções reais e as suas impressões

sobre o uso da plataforma colaborativa VMT.

207

3.6 ANÁLISE DOS DADOS

A análise dos dados foi feita com base no Modelo da Estratégia Argumentativa – MEA

(CASTRO; BOLITE FRANT, 2011), que nos ajudou a explicitar os argumentos dos alunos,

localizar as controvérsias e acordos durante o desenvolvimento das tarefas e, com o apoio

da Teoria da Cognição Corporificada (LAKOFF; JOHNSON, 1980, 1999; LAKOFF; NÚÑEZ, 2000;

NÚÑEZ, 2000) pudemos levantar alguns mapeamentos conceituais. Na articulação dessas

duas teorias, buscamos interpretar a produção de significados para continuidade de funções

reais de uma variável real dos participantes da pesquisa.

Segundo Castro e Bolite Frant (2011, p. 73),

O MEA busca explicar momentos de negociação, quando um quer convencer o outro de uma tese, reconhecendo a existência de controvérsias e acordos. A Estratégia Argumentativa é a maneira pela qual descrevemos o engendrar de argumentos nas interações entre sujeitos, é uma alternativa de análise que busca sentidos além do que é expresso

explicitamente. (CASTRO; BOLITE FRANT, 2011, p. 73).

Para encontrar nos dados coletados informações que vinham ao encontro das nossas

perguntas, buscamos argumentos no interior do discurso dos participantes da pesquisa e

para isso foi preciso organizar os dados.

Segundo Miles e Huberman (2013, p. 12 e 13), as principais fases de análise de dados

são: condensação dos dados, apresentação dos dados e conclusão: desenho/verificação.

Condensar os dados significa organizar os dados de acordo com o referencial teórico e os

objetivos do pesquisador, e isto é feito ao longo de toda a pesquisa de campo. Condensação

dos dados se refere ao processo de seleção, focalização, simplificação e/ou transformação

dos dados coletados. Miles e Huberman (2013, p. 12) afirmam que ao condensar os dados,

tornamos os dados mais fortes, e que abandonaram o nome “redução dos dados”, porque

“redução” dava a sensação de enfraquecimento ou de perda de alguma coisa importante no

processo. A apresentação dos dados é um passo além. Oferece um conjunto organizado,

compactado de informações que permite desenhar conclusões e tomar novas decisões.

208

Figura 56 – Componentes da Análise de Dados: Modelo Interativo

Fonte: Miles e Huberman (2013, p. 14)

Mas, para passar por essas fases da análise, seguimos orientações sugeridas pelo

MEA (CASTRO; BOLITE FRANT, 2011, p. 81-85), que sintetizamos em: (a). leitura exaustiva do

material; (b). localização das controvérsias; (c). elaboração da tipologia. (d) Busca dos

“enunciados” e dos argumentos utilizados para sustentar esses enunciados. Lembrando que

como nem sempre é possível escrever exatamente o que o sujeito enunciou, pois pode estar

implícito na sua fala, é preciso resumir esses enunciados de forma clara. E buscar os

argumentos que sustentam os enunciados dos sujeitos, significa recriar as estratégias

geradas por eles para sustentar seus pontos de vista. (e). elaboração de esquemas

referentes ao discurso, isto é, buscar a “construção de um esquema explicativo, que coloque

em destaque o jogo argumentativo engendrado pelo sujeito, dentro do qual emerge um

sentido” (CASTRO; BOLITE FRANT, 2011, p. 84); (f). interpretação e busca pelas evidências da

interpretação, o que significa voltar aos dados coletados para buscar evidências para os

sentidos que emergem dos esquemas, na própria organização e coerência do discurso.

Conforme ilustramos na Figura 48, na Fase 2 do Ciclo do nosso Design Experiment

prevíamos análises parciais das tarefas implementadas. De fato, esse foi o nosso

procedimento. A tarefa implementada era analisada, e muitas vezes o resultado dessas

análises parciais nos fizeram modificar tarefas futuras já planejadas. Esse procedimento será

mostrado quando analisarmos cada encontro.

209

4 DESENVOLVIMENTO DE APPLETS

O professor Wanderley aplicou um teste para investigar, o que seus alunos

conheciam sobre números reais e função no primeiro dia de aula da sua disciplina Funções, e

gentilmente cedeu esse material para que pudéssemos tomar ciência dos resultados. Esses

alunos são os participantes da nossa investigação.

Sendo o objetivo da nossa pesquisa, investigar e analisar a produção de significados

para continuidade de funções reais de uma variável real, pensamos em elaborar uma

primeira tarefa, já envolvendo o tema continuidade. Levando em consideração as respostas

dos alunos sobre “função” e “variável” no teste aplicado pelo professor Wanderley, os

resultados de pesquisas que abordamos em nossa revisão de literatura (por exemplo, HITT,

1994; HITT; PLANCHART, 1998; VIANNA, 1998; APARICIO; CANTORAL, 2004, 2006, 2007), que

afirmam que as dificuldades na compreensão de continuidade começam muito antes,

começam na construção do conceito de função, repensamos o que seria a nossa Tarefa 1, e

decidimos que ela seria focada em “função”, não abordando portanto, o tema

“continuidade” nesse primeiro momento. Nos apoiamos na nossa metodologia de pesquisa,

o Design Experiment, para essas reflexões e modificações.

O nosso objetivo na elaboração das tarefas era o de estimular a produção de

significados para o tema abordado em cada tarefa, que no caso da Tarefa 1, é função.

Segundo Silva (2003), cada tarefa proposta deve possuir duas características indispensáveis

para a observação da produção de significados de uma pessoa, que se propõe a falar a partir

daquele enunciado: deve ser familiar e, ao mesmo tempo, não-usual. Familiar para

possibilitar, que os alunos falem algo a partir de seu enunciado, produzindo significados para

elementos que constituem a tarefa. Para Silva (2003), a tarefa deve ser

Familiar, no sentido de permitir que as pessoas falem a partir daquele texto e, não-usual, no sentido de que a pessoa tenha que desprender um certo esforço cognitivo na direção de resolvê-lo. O fato de a tarefa ser não-usual tem como objetivo nos permitir – enquanto professores ou pesquisadores - observar até onde a pessoa pode ir falando. [...] É importante ressaltar que a crença de que uma tarefa seja familiar e não-usual está presente apenas nas expectativas do pesquisador através do seu entendimento dos sujeitos envolvidos e do contexto onde o problema será aplicado, pois, não há nada que garanta tal crença. (SILVA, 2003, p. 53 e 54, ênfase nossa).

Levando em consideração que o conceito de função, na maioria das vezes, é

estabelecido como uma relação estática entre duas variáveis, mas que segundo Caraça

210

(2002), é um conceito que guarda em si, duas características essenciais da realidade do

universo: a da interdependência e a da fluência, e que ainda, segundo Bortolossi, Pesco e

Rezende (2012, p. 75 e 76)

[...] saber que a variação de uma grandeza depende da variação da outra é um aspecto importante no estudo do conceito de função, mas que se torna incompleto do ponto de vista epistemológico, se não estudamos como ocorre esta variação, isto é, se não conseguimos dar qualidade e quantificar este processo de variação,

decidimos elaborar tarefas sobre função, que fossem familiares, mas não usuais e em um

contexto dinâmico.

Dentre as mídias disponíveis, o GeoGebra se apresenta como um software livre com

recursos interativos, que propiciam com maestria esse caráter dinâmico. O uso desse

recurso computacional permite ao aluno vivenciar uma abordagem dinâmica de função, e dá

a ele a oportunidade de caracterizar funções a partir do seu comportamento variacional. A

minha experiência como professora, ensinando as disciplinas inicias de Pré-Cálculo e Cálculo

na universidade, mostra que os alunos, em geral, chegam à universidade tratando função

como uma correspondência estática entre os valores da variável independente 𝑥 e da

variável dependente 𝑦 . O aluno está mais familiarizado com a representação algébrica ou a

representação gráfica (uma representação estática) e a abordagem da análise numérica para

se encontrar os valores da função em determinados pontos.

Na interatividade, a dinâmica entre as ações do aluno e as reações do ambiente

informatizado, permite ao aluno constituir objetos matemáticos, e manipular esses objetos

por meio das suas várias representações. Para Valente (1993, 2009), o aspecto reflexivo, que

essa tecnologia propicia, leva o aprendiz a rever seus conceitos ao refletir sobre os

resultados obtidos, depurando-os ou construindo novos conhecimentos.

Construímos três applets que foram incorporados às tarefas implementadas no nosso

experimento de design.

211

4.1 APPLET 1: EIXOS PARALELOS – CONHECENDO A FUNÇÃO. A RELAÇÃO ENTRE 𝒙 e 𝒇(𝒙)

ATRAVÉS DE EIXOS PARALELOS108

Este Applet foi inspirado na atividade “Como b depende de a” que se encontra na

página WEB do professor Humberto Bortolossi109. Segundo Bortolossi:

Nesta atividade o assunto é abordado em um contexto diferente e pouco usual, a saber, quando um ponto do domínio e sua imagem são representados em uma mesma reta numérica. Ao interagir com o jogo proposto, o aluno terá a oportunidade de vivenciar os vários aspectos que compõem o conceito de função real. (BORTOLOSSI, página WEB, nota de rodapé 109).

Nos inspiramos também no micromundo Dynagraph, desenvolvido em Cabri Géomètre, que

apresenta na tela do computador, representações gráficas de funções nas quais os eixos 𝑥 e

𝑦 são configurados horizontamente. Esse micromundo foi selecionado por Sales (2008)

para o desenvolvimento de seu experimento em sua dissertação de mestrado. O Dynagraph

foi inspirado nos estudos de Goldenberg, Lewis e O’Keefe (1992) e segundo esses autores a

ideia dessa representação dinâmica de funções (Dynagraph) é distinguir as duas partes da

informação que o ponto (𝑥, 𝑓(𝑥)) da representação cartesiana de função codifica e fazer

uma ponte entre as representações numérica, discreta de uma função e as representações

abstratas, mais sofisticadas.

O nosso Apllet: “Eixos paralelos – conhecendo a função” foi desenvolvido com o

auxílio do software GeoGebra. Nele o eixo 𝑥 e o eixo 𝑦 foram posicionados verticalmente

com uma seta conectando o ponto do eixo 𝑥 com a sua imagem 𝑓(𝑥) no eixo 𝑦. Os eixos

são retas numeradas em uma mesma escala. Dessa forma, os alunos conseguem ver a

máquina entrada – saída, que muitas vezes são usadas para iniciar o estudo de funções

108

O Applet 1 pode ser acessado em: http://www.geogebratube.org/material/show/id/12423. 109

A atividade “Como b depende de a” pode ser acessada em: http://www.professores.uff.br/hjbortol/. Este trabalho faz parte do projeto de elaboração de conteúdos digitais para o ensino médio promovido pelo MEC e pelo MCT.

http://www.geogebratube.org/material/show/id/12423

http://www.professores.uff.br/hjbortol/

212

Figura 57 – Applet 1: Eixos paralelos – conhecendo a função


Nesse apllet a variável independente pode ser modificada dinamicamente pelo

movimento do mouse sobre um ponto (uma bolinha azul) localizado na reta vertical da

esquerda, que será considerada o eixo da variável independente, eixo 𝑥. Ao movimentar

esse ponto, a sua imagem se movimenta na outra reta numérica vertical, de acordo com a lei

de formação da função. Arrastar esse ponto no eixo da variável independente oferece aos

alunos a oportunidade de ver a função como uma relação dinâmica entre variáveis,

encorajando esses alunos a entenderem variáveis como quantidade que variam. Esse applet

propicia ao aluno perceber, a partir do comportamento variacional de uma função, como a

variação de uma grandeza depende da variação da outra grandeza.

O Applet 1 foi usado para que os alunos pudessem perceber padrões no

comportamento das 10 funções, nele inseridas. Refletir sobre as seguintes características da

função: domínio, imagem crescimento, paridade, simetrias, continuidade, e o estudo de

variações: se ∆𝑥 é a variação de 𝑥 , qual é a variação ∆𝑓(𝑥) de 𝑓(𝑥) ?

213

4.2 APPLET 2: EIXOS PARALELOS E EIXOS CARTESIANOS – CONSTRUINDO O GRÁFICO DA FUNÇÃO. A RELAÇÃO ENTRE 𝒙 e 𝒇(𝒙) ATRAVÉS DE EIXOS PARALELOS E DE UM SISTEMA DE EIXOS CARTESIANOS110

Os applets que proporcionam, simultaneamente, diferentes sistemas de

representação de funções, são importantes recursos pedagógicos, pois permitem que o

aluno interprete os efeitos de suas ações em diferentes representações, que pode ser até de

forma simultânea. Com base nisso, construímos esse applet que sincroniza a relação entre

𝑥 e 𝑓(𝑥) através de eixos paralelos e da representação do gráfico da função 𝑓(𝑥) no plano

cartesiano (eixos perpendiculares).

Figura 58 – Applet 2: Eixos Paralelos e Eixos Cartesianos – construindo o gráfico da função


O ponto (uma bolinha) a ser movimentado é a variável independente do sistema de

eixos paralelos. Ao movimentar a variável independente, sua imagem nesse sistema se move

no eixo paralelo da variável dependente, de acordo com a lei de formação da função e, ao

110

O Applet 2 pode ser acessado em: http://www.geogebratube.org/material/show/id/16745


214

mesmo tempo, se movem as variáveis dependente e independente e o ponto (𝑥, 𝑓(𝑥)) no

sistema de coordenadas cartesianas. A ferramenta “rastro” ao ser habilitada, possibilita a

construção do gráfico da função 𝑓 no plano cartesiano. No Applet 2 foram inseridas as

mesmas 10 funções do Applet 1. A possibilidade de construção do gráfico da função 𝑓 no

sistema de coordenadas cartesianas, que o Applet 2 oferece, ajuda o aluno a refletir sobre as

características que encontrou para as funções, quando trabalhou no Applet 1 e assim,

confirmá-las ou não.

4.3 APPLET 3: O PROBLEMA DO MONGE111

Esse applet é uma animação. Foi produzido para que os alunos pudessem refletir

sobre o Problema do Monge:

Um monge tibetano deixa o monastério às 7:00 horas da manhã e segue sua caminhada usual para o topo da montanha chegando lá às 7:00 horas da noite. Na manhã seguinte, ele parte do topo da montanha às 7:00 horas da manhã, pega o caminho de volta e chega ao monastério às 7:00 horas da noite. Desconsidere possíveis pequenas variações no ritmo da caminhada do monge durante a viagem. Ele já está muito bem treinado para essas caminhadas. Pergunta-se: existe algum ponto no caminho que o monge irá cruzar exatamente na mesma hora do dia em ambas as caminhadas, a da subida e a da descida?

Figura 59 – Applet 3: A caminhada do monge

Fonte: Elaborado pela pesquisadora com o uso do GeoGebra

111

O Applet 3 pode ser acessado em: http://www.geogebratube.org/material/show/id/11357 e




215

O Problema do Monge é a questão da Tarefa: VMT a distância – uma familiarização,

que foi deixada na plataforma VMT para estimular a interação assíncrona entre os

participantes da pesquisa. É uma questão que nos proporciona, mais uma oportunidade para

ouvir os alunos “falarem” de função, e uma oportunidade para “falarem” de uma importante

propriedade das funções contínuas: o Teorema do Valor Intermediário. Essa questão

também insere na nossa discussão as ideias de montagem conceitual apresentada por

Fauconnier e Turner (2002). Uma teoria que integra duas (ou mais) “ideias” para obter uma

nova, que leva a um novo significado. Esta tarefa de familiarização foi proposta para ficar

disponível na plataforma, em uma mesma sala para todos os alunos, durante a temporada

dos nossos encontros.

Figura 60 – Applet 3: E os monges se encontram! Pode ser assim?


216

217

5 FASE 3: ANÁLISE POR ENCONTRO E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS

A análise foi realizada encontro por encontro a partir de leituras exaustivas dos Logs

produzidos nas Salas (Chat Rooms) abertas para cada encontro. As leituras tinham sempre o

objetivo de destacar as sequências de diálogos relevantes para as indagações da tarefa e das

nossas questões de pesquisa. Ficamos atentos ao contexto das enunciações e para

compreender melhor o discurso, procuramos reconhecer momentos de negociação, a

existência de controvérsias e acordos, construir as argumentações. Buscamos os implícitos

nos diálogos e buscamos também, compreender a participação silenciosa de alguns alunos

no discurso.

Segundo Castro e Bolite Frant (2011),

O discurso argumentativo não é um monólogo. É, em certo sentido, sempre um diálogo. Mesmo que o interlocutor mantenha-se silencioso, mesmo que ele não ofereça réplicas orais, ainda assim, este estará sempre presente no espírito do locutor. Num texto escrito, por exemplo, quando o escritor se dirige a um grupo de pessoas, pode-se pensar que ele dialoga, uma vez que antecipa as manifestações advindas do grupo leitor. Desse modo, podemos entender quase todas as manifestações da linguagem como diálogos, se levarmos em conta os aspectos dinâmicos dessas manifestações, se pensarmos que a linguagem sempre implica a figura do interlocutor.

(CASTRO; BOLITE FRANT, 2011, p. 36).

Para atender o MEA, trouxemos aqui partes dos diálogos produzidos pelos alunos

enquanto participavam das tarefas propostas, pois segundo o MEA o diálogo só faz sentido

para o leitor se tem um contexto. Algumas vezes os diálogos apresentados são longos, mas é

exatamente para que se possa dar a ideia do contexto no qual foram produzidos.

Depois das reflexões que apontamos, quando da apresentação dos applets que

construímos (capítulo 4), decidimos que a Tarefa 1 da nossa investigação seria focada

apenas em “função”, não abordando portanto, o tema “continuidade”. Nossas reflexões e

modificações se apoiarm na nossa metodologia de pesquisa, o Design Experiment.

5.1 PRIMEIRO ENCONTRO – TAREFA de Familiarização e Ambientação

A Tarefa de Familiarização e Ambientação teve dois momentos. Um síncrono, que

aconteceu no nosso espaço de encontros, durante o qual desenvolvemos uma tarefa para

apresentar a plataforma VMT aos participantes da pesquisa. E, um momento assíncrono,

218

com uma tarefa para ser desenvolvida a distância, e mostrar outras características

importantes dessa plataforma. As tarefas foram:

TAREFA: CONHECENDO O VMT. TRABALHANDO NA SALA DE AULA

O nosso primeiro encontro foi um momento de muitas apresentações. Apresentação

do professor pesquisador, do projeto de pesquisa – seus objetivos e metodologia, da

plataforma VMT – o ambiente online escolhido para o desenvolvimento das nossas tarefas.

Explicamos aos alunos a necessidade deles assinarem, se concordassem, os termos

de consentimento de participação livre e de uso de imagens. Todos os alunos concordaram

com o conteúdo dos documentos e os assinaram112. Responderam uma entrevista (por

escrito) contando um pouco das suas experiências como professores e como estudantes de

Cálculo na graduação.

Apresentamos o projeto VMT aos alunos e seguindo um documento de instruções113,

que preparamos, acessaram a plataforma VMT, se cadastraram e escolheram um apelido

(VMT Screen Name) para serem identificados na plataforma e no nosso projeto.

A tarefa Conhecendo o VMT. Trabalhando na Sala de Aula, implementada nesse

primeiro encontro, teve como objetivo principal, familiarizar os alunos com a plataforma

VMT, para que começassem a perceber as potencialidades, características, e as possíveis

limitações dessa plataforma para os objetivos da pesquisa. Apresentamos aos participantes

as principais ferramentas que essa plataforma disponibiliza. Experenciando a plataforma,

puderam discutir entre si e com a pesquisadora, através da própria plataforma, as

dificuldades que encontraram para usar as principais ferramentas do VMT.

A meta era tentar a comunicação via plataforma, o máximo possível, o que aconteceu

com facilidade e rapidez, pois a comunicação via chat e fórum já era familiar para esses

alunos114.

Esse encontro foi apenas o início de um processo de conhecimento e domínio do

VMT, que continuou ao longo dos encontros. O encontro ocorreu das 13h às 15h com cada

112

Os modelos dos termos de consentimento livre e esclarecido que foram assinados pelos participantes, onde consta também a permissão para o uso de imagem se encontram no Apêndice B.

113 O documento com as instruções para os alunos acessarem a plataforma VMT se encontra no Apêndice A.

114 Usaremos indiscriminadamente os termos “aluno” e “participante” para nos referirmos aos sujeitos da

nossa pesquisa.

219

aluno trabalhando em um computador e em uma mesma sala, a Sala Explorando VMT 1

para que todos pudessem interagir entre si. A tarefa foi postada no Summary da sala. Desse

encontro participaram os seguintes alunos: Kaka, Nina, Gods, Cateto, Glasm, Vmais,

Amiga, Suzana, Cranio, Johnny, Fernanda, Galois e Peu. O professor Wanderley

também participou do encontro, se inscreveu na plataforam e interagiu com os alunos na

plataforma. Os alunos continuaram a entrar na sala a distância, mas nada postaram,

estavam vivenciando a interação assíncrona pela primeira vez.

A questão para a Tarefa Conhecendo o VMT. Trabalhando na Sala de Aula envolvia

funções quadráticas e seus gráficos, uma tarefa simples para estimular a interação entre os

alunos. Era uma primeira oportunidade para ouvir os alunos falarem sobre função.

Questão da Tarefa: Conhecendo o VMT. Trabalhando na Sala de Aula

Relacione o gráfico à função. Explique!

𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 + 1 𝑔(𝑥) = −2𝑥2 + 3𝑥 − 1 ℎ(𝑥) = −𝑥2 + 3𝑥 − 3

Kaka (Ln. 19), assim que entrou na plataforma, iniciou o diálogo sobre relacionar os

gráficos às funções dadas. Os alunos tiveram várias dúvidas e dificuldades. Não

compreendiam bem, porque o que era inserido no Whiteboard, de repente sumia.

Descobriram que nada sumia, bastava usar a barra de rolagem e voltar o Whiteboard para

trás, “voltar no tempo”. Cateto (Ln. 42) explicou: “vc deve estar em outro "tempo"”. Na

verdade, quando alguma coisa sumia era porque se estava procurando algo no “tempo

errado”. Os alunos sentiram dificuldade em referenciar a quem estavam respondendo no

Chat. Interagiram bastante na plataforma, colocando suas dúvidas, discutindo a questão da

tarefa, mas muitas perguntas eram feitas presencialmente. Fizemos três recortes no Log

220

dessa sala mostrando o diálogo que envolveu a questão da tarefa, as dúvidas que surgiram,

a característica social e amigável do VMT. As setas nos Logs foram colocadas por nós e

indicam a quem a mensagem era dirigida. Quando os alunos conseguiram usar a ferramenta

que faz referência a quem se responde, aparece escrito no Log: ”@: Message”

Sala Explorando VMT 1. Diálogos sobre a Questão da Tarefa

Ln. 19 – Kaka: Como a parábola azul é a única com concavidade para cima, estará

relacionada à função com o coeficiente "a" positivo

Ln. 36 – Kaka: Será que os eixos (gráficos vermelho e verde) estão em uma mesma

escala? Como acho que não, só delta nos salva.

Ln. 37 – MaluT: Mas, como faremo para decidir sobre as outras duas? Que

Características em comum elas têm @: Message 19.

Ln. 38 – MaluT: Srá que só o delta? @: Message 36.

Ln. 39 – Kaka: Creio que sim

Ln. 49 – MaluT: Quem sabe decidir sobre as outras duas funções?

Ln. 51 – Cranio: nem imagino!

Ln. 53 – Kaka: A função g tem delta maior que zero, daí, duas interseções.

Ln. 54 – Galois: As com coeficiente "a" negativo? @: Message 49.

Ln. 55 – Johnny: quanto maior o "a" em módulo mais fechada é a parábola. certo???

Ln. 57 – Kaka: DAí eu ter falado na escala. @: Message 55.

Ln. 58 – Galois: O fato de uma dasas duas parábolas está mais "aberta" que a outra

pode nos dizeralgo? @: Message 53.

Ln. 59 – MaluT: Eu acredito que não seja uma questão de escala, mas sim de zoom.

Ln. 62 – Kaka: o zoom não uma escala�

Ln. 68 – Wanderley: Zoom?! @: Message 62. Log da Sala Explorando VMT 1

Todos os alunos Em 03-04-2012. Das 14h29min às 14h57min

Já nesse primeiro encontro pudemos ver o caráter colaborativo e social de

aprendizagem que ocorre na discussão entre os participantes na plataforma VMT. Os

gráficos apresentados com eixos não enumerados propiciaram questionamentos e reflexão:

“Como a parábola azul é a única com concavidade para cima, estará relacionada à

função com o coeficiente "a" positivo” (Kaka, Ln. 19);

“Será que os eixos (gráficos vermelho e verde) estão em uma mesma escala?” (Kaka,

Ln. 36);

“A função g tem delta maior que zero, daí, duas interseções” (Kaka, Ln. 53); “quanto

maior o "a" em módulo mais fechada é a parábola. certo???” (Johnny, Ln. 55);

“o gráfico verde, tem o discriminante menor que zero” (Amiga, Ln. 64).

221

A tela abaixo mostra, que nesse primeiro encontro os alunos foram capazes de usar

algumas das ferramentas do VMT: usaram caixas de textos para escrever no Summary,

relacionaram os gráficos e as leis de formação das funções através de setas, e perceberam

que a autoria dessas ações ficava registrada na tela.

Figura 61 – Summary da Sala Explorando VMT 1


Recortes no Log da Sala Explorando VMT 1, que mostram as dúvidas que surgiram e a

característica social e amigável do VMT.

Sala Explorando VMT 1. Dúvidas

Ln. 40 – MaluT: Cadê a terceira equação?

Ln. 42 – Cateto: pois vc deve estar em outro "tempo" @: Message 40.

Ln. 43 – Vmais: mas que tempo é esse?

Ln. 44 – Suzana: eu não estou conseguindo mecher

Ln. 45 – Cranio: faça uma oração p/ ela aparecer

Ln. 56 – Cateto: O que são essas caixinhas coloridas abaixo dos nome e diálogos?????

@: Message 49.

Ln. 61 – Wanderley: Que caixinhas coloridas? @: Message 56.

Ln. 65 – Cateto: Agora sumiram. Mas tinham um monte em cima! @: Message 61.

Log da Sala Explorando VMT 1 Todos os alunos

Em 03-04-2012. Das 14h46min às 14h55min

222

Sala Explorando VMT 1. Socializando

Ln. 20 – Glasm: oi gente!!!!!!!!!11

Ln. 28 – Wanderley: Então qual é o seu nome?

Ln. 33 – Amiga: Amiga, deseja conversar com todos vocês.

Ln. 34 – Cranio: olá, galera

Ln. 35 – Vmais: Esse é bom msm ! @: Message 34.

Ln. 46 – Galois: Oi @: Message 28.

Ln. 71 – MaluT: Meus amigos, foi o maior prazer trabalhar com vocês Espero que nos

encontremos na plataforam nesses próximos dias Ln. 72 – Galois: Com certeza!!!! @: Message 71.

Log da Sala Explorando VMT 1 Todos os alunos


TAREFA: O Problema do Monge. VMT a Distância – Uma Familiarização

Essa tarefa também foi proposta no primeiro encontro, e tinha por objetivo estimular

os alunos a usar o VMT a distância, estimular a interação assíncrona e o uso da plataforma

para resolução de problemas, uma das características do VMT. O Problema do Monge foi

apresentado aos alunos através de um applet de animação, o Applet 3. Foi explicado aos

alunos, que esse problema ficaria em “salas” da plataforma, e que todos teriam acesso a

elas. A proposta era que os alunos acessassem livremente essas salas, nos horários que lhes

fossem mais convenientes, para colocar sugestões de solução, questionamentos através do

Chat, do Whiteboard ou do Summary. Poderiam ser postados desenhos, gráficos,

mensagens, sentenças matemáticas, fórmulas, tudo que estimulasse e instigasse os alunos a

continuar a “conversar” na plataforma sobre o tema, buscando dar uma resposta ao

problema. A plataforma VMT, naquele momento, não permitiu que colocássemos o applet

em nenhuma das salas criadas para essa tarefa, e então, o applet foi postado em um outro

endereço.

Escolhemos o Problema do Monge, pois acreditamos que é um problema capaz de

chamar a atenção dos alunos de Cálculo, com uma possível resolução que depende da noção

de continuidade e de uma importante propriedade das funções contínuas, que se expressa

no Teorema do Valor Intermediário, um teorema central do Cálculo e da Análise. O Teorema

do Valor Intermediário afirma que se uma função 𝑓 é contínua em um intervalo fechado

[ 𝑎, 𝑏] e 𝑤 é um número entre 𝑓(𝑎) e 𝑓(𝑏) , então existe pelo menos um número 𝑘 no

223

domínio de 𝑓 , isto é, 𝑘 ∈ [𝑎 , 𝑏] , tal que 𝑓(𝑘) = 𝑤 . Ou seja, uma função contínua em um

intervalo fechado [ 𝑎, 𝑏] assume cada valor entre 𝑓(𝑎) e 𝑓(𝑏) .

Essa questão também insere na nossa discussão as ideias de montagem conceitual

apresentada por Fauconnier e Turner (2002). Uma teoria que integra duas (ou mais) “ideias”

para obter uma nova, que leva a um novo significado.

Questão da Tarefa: VMT a distância – uma familiarização

Um monge tibetano deixa o monastério às 7h da manhã e segue sua caminhada

usual para o topo da montanha chegando lá às 7h da noite. Ele medita no topo da

montanha durante a noite. Na manhã seguinte, ele parte do topo da montanha às

7h da manhã, pega o mesmo caminho de volta e chega ao monastério às 7h da

noite. Desconsidere possíveis pequenas variações no ritmo de caminhada do

monge durante a viagem. Ele já está muito bem treinado para essas caminhadas.

Existe algum ponto no caminho que o monge irá cruzar exatamente na mesma

hora do dia em ambas as caminhadas, a da subida e a da descida?

Discuta com seus colegas de sala essa questão. Apresente sua solução. Defenda

seus argumentos!!!

O Problema do Monge como foi colocado nas salas do VMT:

Figura 62 – Summary do Problema do Monge-1


224

Figura 63 – Summary do Problema do Monge-2


Interessante observar o diálogo estabelecido entre os alunos dos Grupos 1 e 2 na Sala

Explorando VMT 2-1.

Sala Explorando VMT 2-1. Compartilhamentos e entendimentos

Ln. 8 – Johnny_15:18 (3.04): consegui entrar!

Ln. 9 – Johnny_15:18 (3.04): tchau!

Ln. 15 – Galois_18:42 (4.04): Onde estão as atividades?

Ln. 20 – Johnny_17:02 (5.04): tô curioso. Rs

Ln.23 – Galois_21:55 (5.04): Somos dois então!!! rsrs @: Message 20.

Ln. 32 – Galois_13:50 (9.04): Ja vi algo parecido com esse problema ... se não me

engano tem relaçao com o teorema do valor intermediário

Ln. 37 – Cateto _19:19 (9.04): Num sei não....estive pensando mas o teorema do valor

intermediário não garantiria apenas q existe um ponto entre cada um das duas caminhadas? Não vejo como os relacionar! @: Message 32.

Ln. 41 – Johnny_12:17 (10.04): é a mesma variação de espaço na mesma variação de

tempo? se para descer ele usa o mesmo tempo para subir e a distância é a mesma, então as velocidades de subida e descida são iguais. acho que deve existir sim um ponto que ele cruze exatamente na mesma hora.

Ln. 51 – Galois_22:15 (10.04): Dá-se a entender que ele manteve uma velocidade

constante durante a caminhada ... sendo assim, o movimento de subida e descida caracterizam-se por contínuos

Ln. 52 – Galois_22:22 (10.04): uma função contínua

Ln. 55 – Cateto_17:33 (11.04): Concordo!! E também acho q intuitivamente ( pelo

menos p mim!) parece que o ponto de encontro é no tempo e lugar (dado q é constante a velocidade e assim o caminho percorrido também) metade do caminho!! Será??? @: Message 51.

225

Ln. 58 – Cateto_17:42 (11.04): Estive pensando no Teorema do VALOR MÉDIO ....Não

seria esse o caso do encontro do dois gráficos, de subida e descida?

Ln.70 – Galois_20:28 (13.04): O fato de ser uma reta ou não eu acredito que não

importa muito ... o lance é que tanto a subida quanto a descida foram realizadas de maneira contínua ... sem que o monge parasse em determinado instante da caminhada, independente da velocidade se alterar em alguns trechos

Ln. 71 – Galois_20:36 (13.04): Talvez meu argumento não tenha sido muito

convincente, uma vez que, no próprio texto não é dito se ele para ou não em algum ponto.

Ln. 72 – Galois_20:38 (13.04): Porém eu posso representar a posição do monge como

uma função contínua

Ln. 73 – Galois _20:46 (13.04): uma função que f(t) representasse a posição do monge

em determinado momento da caminhada

Ln. 74 – Galois_20:46 (13.04): O que acharam ?

Ln. 83 – Cateto_18:25 (14.04): Acho q vc tá certo sim!! Contínua eu também acho q

seja sim a f (t)! @: Message 74

Ln. 86 – Cateto_23:44 (14.04): Tava pensando...vamos dizer que a cada hora eu ando

um unidade do espaço. Se um monge começar no cume e outro na base da montanha...eles irao se encontrar extamente no meio do caminho....acho que o mesmo acontecerá nesse caso com o monge, assim as 13 horas....metade das 12 horas que o monge leva para caminhar todo a montanha!! Será??? @: Message 74.

Ln. 91 – Galois_21:13 (15.04): Então Cateto ... independente da velocidade, se fizermos

esse esquema que vc está sugerindo, fica evidente que eles se encontrarão em algum ponto durante a caminhada @: Message 86.

Ln. 92 – Galois_21:13 (15.04): Não precisa ser exatamente no ponto médio do

percurso @: Message 86.

Ln. 93 – Galois_21:14 (15.04): Mas matematicamente, como provaríamos? @: Message

86.

Ln. 94 – Galois_21:36 (15.04): Podemos representar a posição do monge como uma

função f:[0,T1] -> R

Ln. 95 – Galois_21:37 (15.04): onde f(t) seria a posição dele ao longo do percurso

Ln. 96 – Galois_21:37 (15.04): essa função f representaria a posição de subida do monge

Ln. 97 – Galois _21:38 (15.04): Do mesmo modo, podemos pegar uma função g: [0,T2} -

> R

Ln. 98 – Galois_21:38 (15.04): onde g(t) representaria aposição do monge no momento

da descida

Ln. 99 – Galois_21:39 (15.04): O que lhe parece, cateta ?

Ln. 106 – Cateto_18:07 (16.04): é obvio (akele obvio q estános livros e vc só entende

depois de 15 dias....rsrs) que o gráfico vai ser uma reta Galois. Pq? Pq pela aula que tivemos de função e se a miha fala acima sobre a constância entre velocidade/tempo , vemos que a variação é sempre a mesma, caracterizando assim uma função afim!! @: Message 99.

Ln. 108 – Cateto_18:12 (16.04): Bem, acho então que matematicamente, tomando que

cada um dos movimentos realizados pelo monge seja uma função afim. Bastanta determinarmos essas funções @: Message 93.

226

Ln. 109 – Cateto_18:14 (16.04): depois disso igualamos as funções e veremos

onde se encontram!! @: Message 108.

Ln. 162 – Peu_13:17 (6.05): Eu faria isso, colocaria em gráfico. Gostei da ideia. Acho que

tem um ponto sim de encontro.

Ln. 163 – Peu_13:17 (6.05): E vejo esse ponto como a igualdade das funções

Ln. 168 – Peu_22:10 (7.05): Estive pensando, é possível resolver ela por geometria?

Log da Sala Explorando VMT 2-1 Grupos 1 e 2

Entre os dias 03-04 e 07-05 de 2012.

Nas telas a seguir, vemos Cateto usando outros recursos do VMT para expressar

suas ideias sobre o problema proposto. Postou gráficos, questionamentos no Whiteboard, e

esta era uma outra forma de estimular a interação, a colaboração de outros participantes

dos grupos. Nos gráficos postados, Cateto foi mostrando sua proposta de solução, e

seguindo um caminho que o conduziu ao Teorema do Valor Intermediário.

Figura 64 – Whiteboard da Sala Explorando VMT 2-1. Cateto-1 em 11-04-2012


227





Seguindo as orientações do MEA, e partindo do diálogo da Sala Explorando VMT 2-1,

apresentamos o esquema argumentativo do Problema do Monge

228

Figura 67 – Discussão Argumentativa do Problema do Monge – Galois e Cateto

Galois Cateto

Fonte: Diálogo na Sala do VMT

Os movimentos de descida e subida são contínuos.

Concordo! O encontro é na metade do caminho. Será?

A posição do monge em determinado momento da

caminhada pode ser representada por uma função

contínua f(t).

Não seria o encontro de dois gráficos, um de subida

e um de descida?

Fazendo o esquema que você sugeriu, eles se encontrarão, mas não necessariamente no

ponto médio do percurso.

Participando do Discurso

Matematicamente como faríamos?

Essas funções são funções afins. Basta determinar essas

funções. O que acha, Cateto?

É óbvio ! (?) ( akele obvio q está nos livros e vc só entende depois de 15 dias....rsrs)

𝑓: [0 , 𝑡1] ⟶ ℝ

𝑔: [0 , 𝑡2] ⟶ ℝ

Representar a posição do monge na subida pela função 𝑓 (𝑡),

e na descida pela função 𝑔 (𝑡),

Eles irão se encontrar exatamente no meio do

caminho.

Acho que você está certo, sim! E a função f(t) é

contínua, sim!

H1 O problema tem

relação com o Teorema do Valor Intermediário

H2 O teorema do Valor Intermediário

garante apenas que existe um ponto entre cada uma das duas caminhadas.

Não há como relacionar com o Teorema do Valor intermediário

O problema tem relação com o Teorema do Valor Intermediário. Igualamos as funções e vemos onde se encontram. Encontramos

o ponto pedido.

Adesão

CONTROVÉRSIA

229

Analisando o Log da Sala Explorando VMT 2-1, observamos que os alunos

entraram e saíram com frequência da sala, e o diálogo aconteceu basicamente entre Cateto

e Galois. É muito interessante observar a evolução do discurso, as negociações, a tentativa

de resolver o problema numa construção colaborativa. Partindo de uma controvérsia, o

discurso foi evoluindo em meio a questionamentos, convencimentos, ou não. Até que

chegaram a pensar em duas funções, uma para representar a posição do monge na subida,

como uma função 𝑓 ∶ [0 , 𝑇1] ⟶ ℝ , onde 𝑓(𝑡) seria a posição dele ao longo desse

percurso e a outra função 𝑔 ∶ [0 , 𝑇2] ⟶ ℝ , onde 𝑔(𝑡) representaria a posição do monge

no momento da descida. Decidiram enfim, que bastava determinar essas funções e depois,

disse Cateto (Ln. 109):

“depois disso igualamos as funções e veremos onde se encontram!!”

E assim, Galois e Cateto aderiram a tese, que existe um ponto no caminho, que o

monge irá cruzar exatamente na mesma hora do dia em ambas as caminhadas.

Trilharam um caminho para a resolução do problema, que os conduziram ao uso do

Teorema do Valor Intermediário, como supunha Galois (Ln. 32) na sua primeira fala:

“Ja vi algo parecido com esse problema ... se não me engano tem relação com o teorema do valor intermediário.”

Observando o diálogo entre Galois e Cateto sobre o Problema do Monge, e o

esquema argumentativo desse diálogo, percebemos uma Montagem representada no

esquema da figura a seguir:

230

Figura 68 – Montagem do Problema do Monge realizada por Galois e Cateto

Espaço de Subida Espaço de Descida Espaço de Montagem

Fonte: Diálogo nas Salas do VMT

Na Montagem existem dois movimentos individuais, o da subida, definido pela

função 𝑓 e o da descida, definido pela função 𝑔 , em vez de um como em cada Espaço de

Entrada, e são movimentos em direções opostas, começando em extremos opostos do

caminho, e suas posições 𝑓(𝑡) e 𝑔(𝑡) podem ser comparadas a qualquer momento da

viagem. Na estrutura que emerge na montagem, podemos ver o lugar onde o monge passa

no mesmo horário do dia, tanto na subida como na descida, e esse ponto ocorre quando

𝒈(𝒕)

Montanha

Monge

Posição do Monge subindo a montanha

definida por 𝒈(𝒕) com 𝒈: [𝟎 , 𝒕𝟐] ⟶ ℝ

𝒇(𝒕)

Montanha

Monge

Posição do Monge subindo a montanha

definida por 𝒇(𝒕) com 𝒇: [𝟎 , 𝒕𝟏] ⟶ ℝ

Montanha

Monge Posição do Monge subindo a montanha definida por 𝒇(𝒕) com 𝒇: [𝟎 , 𝒕𝟏] ⟶ ℝ

Posição do Monge descendo a montanha definida por 𝒈(𝒕) com 𝒈: [𝟎 , 𝒕𝟐] ⟶ ℝ

𝒇(𝒕) = 𝒈(𝒕)

Teorema do Valor Intermediário

231

𝑓(𝑡) = 𝑔(𝑡). Neste espaço de montagem é projetado o Teorema do Valor Intermediário, que

não estava em nenhum dos espaços de entrada.

Na Sala Explorando VMT 3-1 interagiram Kaka, Nina, Uyio, Vmais, Gods, Glasm,

Mb, Fernanda. Por desprezarem as variações no ritmo da caminhada, os alunos supuseram

que o monge caminhou numa velocidade constante e Nina (Ln. 44) e Vmais (Ln. 56)

disseram que por isso podiam considerar o caminho como uma reta e que, portanto, o

monge passaria pelo mesmo ponto às 13h, tanto na subida quanto na descida. Nina

questionou se considerando os passos do monge, poderiam considerar tal curva contínua,

no que nem ela mesma acreditava. Vmais discordou de Nina, pois para ele, não havendo

variação no ritmo da caminhada, teria que ser uma reta, tempo versus percurso. Gods (Ln.

62) se pronunciou concordando com Nina (Ln. 44), que não havendo variação no ritmo da

caminhada o monge passaria pelo mesmo lugar às 13h e disse:

“Isso pode ser explicado através de um gráfico (S x T). Na subida, partiríamos do ponto (0, 7h) até o ponto (a, 19h), onde a é o topo da montanha ou deslocamento do monge. E na descida, sairímos do ponto (a, 7h) e chegaríamos no ponto (0, 19h). Esses gráficos

se interceptam no ponto (b, 13h), onde b é a metade do caminho” (Gods, Ln.62).

Gods (Ln. 67) disse que fez um modelo no GeoGebra onde 𝐾 é o ponto de encontro e onde

se pode ver que o tempo é exatamente 13h. Kaka (Ln. 70) disse:

“Achei legal Gods mencionar gráficos mas, faria um gráfico com eixo horizontal t (tempo em horas) x eixo vertical s(espaço percorrido)”.

Apesar da interação que aconteceu entre os alunos dessa sala, nenhuma ideia final

de resolução foi apresentada pelos participantes envolvidos na questão. Nenhum dos alunos

da sala comentou a ideia apresentada por Gods, que poderia ter uma boa evolução e o

problema do monge ficou sem uma proposta final.

Nas telas a seguir, vemos os alunos usando outros recursos do VMT para

expressarem suas ideias sobre o problema proposto. Postaram gráficos, questionamentos no

Whiteboard, e esta era uma forma de estimular a interação, a colaboração entre os

participantes dos grupos.

232

Figura 69 – Whiteboard da Sala Explorando VMT 3-1. Kaka em 16-04-2012


Na Figura 69, Kaka representou graficamente no Whiteboard ,o que disse na linha

71 do Log da Sala Explorando VMT 3-1:

“Mas, o monge sairia do ponto (7, 0) e chegaria, ao ponto (19, a), onde a seria o espaço percottido por ele até o topo da montanha. Em seguida, ele permaneceria no topo até recomeçar no ponto (31, a) retornando assim ao ponto (43, 0). Note que as abscissas 13 e 37 têm a mesma ordenada, isto é, 13 horas”. E na linha 72 desse mesmo Log disse: “Eu construí um gráfico, masnãoestou conseguindo colocá-lo na tela...”

Os gráficos postados pelos alunos nos deram mais uma oportunidade para “ouvir” os

alunos falarem de “função”.

Vamos mostrar a montagem que Fauconnier e Turner (2002, p. 39) apresentaram

para mostrar, que o enigma do Monge tem solução, embora a montagem não defina em que

ponto do caminho o monge estará na mesma hora do dia nas duas jornadas, a de subida da

montanha e a da descida da montanha.

Mesmo sabendo que não é possível o monge encontrar a si mesmo, pois o monge

não pode subir e descer a montanha simultaneamente, o cenário de duas pessoas se

encontrando nessas jornadas é possível, e ajuda a resolver o enigma, mesmo que não seja o

enigma original que descreve apenas uma pessoa fazendo coisas diferentes em dias

diferentes.

233

Figura 70 – Simulação do encontro dos Monges

Fonte: TURNER, M. B. Blending Box Experiments

Ao imaginarem que o monge encontre a si mesmo, Fauconnier e Turner (2002)

fizeram uma montagem de dois espaços mentais, o espaço da jornada até o cume da

montanha, e o da jornada de volta ao pé da montanha, e essa montagem trouxe uma

estrutura emergente de um encontro, que não acontece nas jornadas separadamente. Essa

estrutura emergente fez a solução do enigma aparecer.

Figura 71 – Montagem do Enigma do Monge

Fonte: Fauconnier e Turner (2002, p. 39)

234

O Espaço de Entrada 1 representa dinamicamente toda a jornada da subida da

montanha. Ali temos: a montanha, e o monge 𝑎1 , subindo a montanha no dia 𝑑1 . O Espaço

de Entrada 2 representa dinamicamente toda a jornada de descida da montanha e aí temos:

a montanha, e o monge 𝑎2 , descendo a montanha no dia 𝑑2 . O Espaço-Cruzado de

Mapeamentos conecta: montanha, movimento individual, dia de viagem e movimento do

Espaço de Entrada 1 à montanha, movimento individual, dia de viagem e movimento do

Espaço de Entrada 2. O Espaço Genérico dessa Rede de Integração Conceitual mapeia sobre

cada espaço de entrada, e contém o que esses espaços têm em comum: um movimento

individual e a posição do monge, um caminho ligando o pé e o cume da montanha, um dia

de viagem 𝑑 e o movimento em uma direção não específica.

Cada uma das montanhas dos espaços de entrada é projetada em uma mesma

montanha no Espaço de Montagem, os dois dias de viagem 𝑑1 e 𝑑2 são mapeados em um

único dia 𝑑′ e são então fundidos. Mas os movimentos individuais dos monges 𝑎1′ e 𝑎2

′ e

suas posições são mapeados de acordo com a hora do dia, tendo a direção do movimento

preservada e que portanto não pode ser fundida. A projeção no Espaço de Montagem

preserva tempo e posição. Na Montagem existem dois movimentos individuais de 𝑎1′ e 𝑎2

′ ,

respectivamente, em vez de um, como em cada Espaço de Entrada, e são movimentos em

direções opostas, começando em extremos opostos do caminho, e suas posições podem ser

comparadas a qualquer momento da viagem, dado que eles estão viajando no mesmo dia

𝑑′. Na estrutura que emerge na montagem podemos ver o lugar de encontro das duas

pessoas.

5.2 SEGUNDO ENCONTRO. TAREFA 1: Funções. Uma visualização com Eixos Paralelos

Nesse segundo encontro, implementamos a Tarefa 1, focada em “função”, não

abordando ainda, o tema “continuidade”. A decisão de trabalhar com o tema “função”,

como já dissemos anteriormente, foi tomada principalmente, depois de termos tido acesso

as respostas dos nossos participantes de pesquisa, sobre “função” e “variável” em um teste

aplicado pelo professor Wanderley para investigar o que os alunos conheciam sobre

números reais e função. A nossa metodologia de pesquisa, o Design Experiment, nos

permitiu fazer modificações na tarefa que havíamos planejado anteriormente para esse

235

encontro. Sentimos que era necessário estimular um diálogo entre os alunos para levantar, o

que e como, os alunos falam sobre “função”.

Buscando tarefas familiares, mas não usuais e trabalhando com a geometria

dinâmica, preparamos com o auxílio do software GeoGebra o Applet 1: “Eixos paralelos –

conhecendo a função”. Esse applet foi descrito na seção 4.1. Nesse applets, o eixo 𝑥 e o

eixo 𝑦 foram posicionados verticalmente com uma seta conectando o ponto do eixo 𝑥 com

a sua imagem 𝑓(𝑥) no eixo 𝑦, e foi usado para que os alunos pudessem perceber padrões no

comportamento das dez funções inseridas nele. Nesse applet a variável independente pode

ser modificada dinamicamente pelo movimento do mouse sobre um ponto (uma bolinha)

localizado no eixo da variável independente, eixo 𝑥. Ao movimentar esse ponto, estamos

variando 𝑥 e a sua imagem 𝑓(𝑥) se movimenta na outra reta numérica vertical, de acordo

com a lei da formação da função 𝑓.

Arrastar esse ponto no eixo da variável independente oferece aos alunos a

oportunidade de ver a função como uma relação dinâmica entre variáveis, encorajando

esses alunos a entenderem variáveis como quantidade que variam. Esse applet propicia ao

aluno perceber, a partir do comportamento variacional de uma função, como a variação de

uma grandeza depende da variação da outra grandeza.

Para esse encontro os alunos estavam distribuídos em grupos e cada dois grupos

interagia numa mesma sala na plataforma VMT. As salas abertas no VMT para essa tarefa

são identificadas como: Sala Tarefa 1-1, destinada ao Grupos 1 (Cateto, Johnny, Galois) e

ao Grupo 2 (Alequice, Mb, Carolzinha); Sala Tarefa 1-2 para o Grupo 3 (Kaka, Nina, Uyio)

e o Grupo 4 (Gods, Vmais, Glasm, Aluno34) e Sala Tarefa 1-3 onde interagiram o Grupo 5

(Suzana, Cranio, Fernanda) e o Grupo 6 (May, Peu, Lili, Amiga). Os alunos de cada

grupo discutiram a tarefa entre si, e a comunicação entre os dois grupos de cada sala era

feita através da plataforma VMT. Pudemos observar que os alunos se mantiveram bastante

animados durante o encontro.

A todos participantes foi dado livre acesso às três salas abertas para o

desenvolvimento da Tarefa 1. A localização dos alunos no laboratório, favoreceu que não

houvesse “diálogos” fora da plataforma, com exceção dos grupos 5 e 6 que ficaram no

mesmo espaço, que chamamos de Espaço 2, e ficaram tentados a “dialogar

236

presencialmente”. Duas abas importantes do VMT não funcionaram durante todos os nossos

encontros, o GeoGebra e o acesso a Web. Por esse motivo, os alunos não conseguiam

acessar o applet através da plataforma VMT e cada grupo trabalhou com dois

computadores, um para o applet e outro para trabalhar na sala aberta no VMT. Em cada sala

aberta no VMT, os alunos tinham a disposição uma Chat Room (sala de bate-papo), o

Summary, no qual a tarefa estava postada e o Whiteboard onde os alunos postavam o que

era solicitado na tarefa, e outras informações, que desejavam compartilhar.

Alguns alunos, por não saberem direito qual a sala virtual de trabalho do seu grupo,

entraram em outras salas, mas não permaneceram por muito tempo. Já outros, acessaram

outras salas em busca de uma maior interação.

Questão da Tarefa 1

(1) Escreva no Whiteboard em uma sentença ou no máximo em um parágrafo o que você pensa

sobre a palavra “função”.

Esta é uma tarefa para cada aluno dessa sala.

(2) Estamos apresentando um applet com dez funções num sistema de eixos paralelos.

Observem o comportamento de cada uma dessas funções, anotem comportamentos pertinentes,

interessantes... e então, dividam115 as funções em grupos, explicando seus critérios de seleção. Dê

um nome para cada um desses grupos.

A discussão deve ser feita pelos participantes dessa sala que tentará apresentar uma única divisão

das funções em grupos. Caso não haja concordância, outras divisões podem ser apresentadas,

mas com a defesa dessa discordância.

Essa questão foi colocada no Summary das salas do VMT abertas para Tarefa 1:

115

Divisão de função é uma compressão usada pela professora e apropriada pelos alunos, que é a distribuição das funções dadas em grupos (classificação).

237

Figura 72 – Tarefa 1 no VMT

Fonte: Tela do VMT

As funções que escolhemos para o Applet 1, cujos registros algébricos não foram

apresentados aos alunos nessa tarefa foram:

𝑓1(𝑥) = 2𝑥 + 1 , 𝑓2(𝑥) = 𝑥2 , 𝑓3(𝑥) = 𝑥3 , 𝑓4(𝑥) =𝑥3

𝑥2 , 𝑓5(𝑥) =𝑥2

𝑥3 ,

𝑓6(𝑥) = 𝑥 +1

𝑥 , 𝑓7(𝑥) =

|𝑥|

𝑥 , 𝑓8(𝑥) = 𝑥|𝑥| , 𝑓9(𝑥) = 2 ⟦

𝑥

2⟧ ,

𝑓10(𝑥) = {𝑥 + 3 , 𝑥 ≤ 0

𝑥2, 𝑥 > 0

Escolhemos funções que deveriam ser bastante familiares aos nossos alunos como as

funções polinomiais: 𝑓1(𝑥) = 2𝑥 + 1 , 𝑓2(𝑥) = 𝑥2 , 𝑓3(𝑥) = 𝑥3. Funções cujas

representações gráficas poderiam ser diferentes por causa dos seus domínios, como

𝑓4(𝑥) =𝑥3

𝑥2 , 𝑓5(𝑥) =𝑥2

𝑥3 . Funções não muito familiares como:

𝑓6(𝑥) = 𝑥 +1

𝑥 , 𝑓7(𝑥) =

|𝑥|

𝑥 , 𝑓8(𝑥) = 𝑥|𝑥| , 𝑓9(𝑥) = 2 ⟦

𝑥

2⟧ .

As funções 𝑓6(𝑥) = 𝑥 +1

𝑥 e 𝑓9(𝑥) = 2 ⟦

𝑥

2⟧ são funções, que não aparecem muito

comumente, como exemplos nos livros textos de Cálculo, e quando aparecem, estão no final

238

das listas de exercícios no final do capítulo. Dos livros textos de Cálculo que analisamos, o

livro CÁLCULO com Geometria Analítica, v. 1 de C. H. Edwards, Jr. e David E. Penney (1997) é

o que mais apresenta exemplos e exercícios com a função maior inteiro, 𝑦 = ⟦𝑥⟧ . Exercícios

que envolvem modelagem matemática (p. 10), esboço de gráficos (p. 29), cálculo de limite

(p. 64), continuidade (p. 77). E o livro CÁLCULO, v. 1 de Howard Anton, Irl Bivens e Stephen

Davis (2007) traz um único exercício onde define a função e pede o esboço de alguns

gráficos (p. 39).

Do teste de investigação, que os alunos116 (participantes da pesquisa) fizeram com o

professor Wanderley, recortamos as respostas sobre variável e sobre função.

Figura 73 – Recortes das respostas sobre variável e função – disciplina Funções


Vemos que para variável produziram os seguintes significados:

116

Esses alunos permitiram que essas respostas fossem divulgadas.

VARIÁVEL??

Alequice: ente matemático que...assume

qualquer valor real

Kaka: Objeto numa igualdade...pode assumir

valores diferentes ou um só...

aluno 34: valor desconhecido que faz com que

uma sentença matemática seja aberta

Mb: quantidades que variam

Peu: Um ser abstrato que...assume qualquer

valor

May: diferença de dois pontos

Carolzinha: incógnitas

FUNÇÃO ??

Alequice e Carolzinha: relação

entre duas grandezas

Aluno34: relação binária entre

grandezas

May: variação de um ”𝑥" tendo um ”𝑦"

como resposta

Cateto: relação entre dois

conjuntos...obedece duas leis

Kaka, Mb e Peu: Relação entre dois

conjuntos

variável

Algo que varia

Algo desconhecidol

239

algo que varia como em “ser abstrato ou ente matemático que podem assumir

qualquer valor”, ou em “quantidades que variam”;

algo desconhecido, como em “incógnita” ou em “valor desconhecido que faz com

que uma sentença matemática seja aberta”.

Para função surge fortemente a ideia de relação, mas nem sempre fica claro se

existem regras para essa relação, e não há concordância entre quais objetos essa relação

atua: conjuntos, grandezas? Assim:

Voltando ao desenvolvimento da nossa tarefa. Os alunos não tiveram dificuldades

para acessar as salas no VMT. A internet e a plataforma VMT estavam funcionando

perfeitamente. Já havia duas semanas que os alunos vinham acessando a plataforma VMT

para discutir o Problema do Monge, que foi disponibilizado na plataforma para que eles se

familiarizassem com essa tecnologia, com a interação assíncrona e isso lhes deu razoável

desenvoltura com as ferramentas básicas dessa plataforma.

Os alunos acessaram as salas em torno das 13h55min, mas como é possível ver nos

Logs das salas desse encontro, não se apropriaram do enunciado do item (1) da tarefa e não

começaram a tarefa falando o que pensavam sobre função. Todos os grupos iniciaram os

trabalhos tentando classificar as funções.

Como pudemos observar durante o encontro, cada um desses grupos ficou

trabalhando no Applet 1 e interagindo somente entre os elementos do grupo, tentando

reconhecer as funções. Interagiram no applet durante 33 min. Podemos ver alguns poucos

momentos de interlocução, quando surgiu uma dúvida que o grupo não conseguiu resolver.

Sala Tarefa 1-1. Grupos 1 e 2. Função. Dúvidas

Ln. 9 – Alequice: Alguém pode nos ajudar? Uma função constante pode ser enquadrada

como função afim?

Ln. 10 – Johnny: claro...é um caso particular

Ln. 11 – Alequice: Baseado em que? Tem alguma referencia?

Ln. 12 – Alequice: Pode citar por favor

Log da Sala Tarefa 1-1 Grupos 1 e 2


FUNÇÃO É RELAÇÃO

240

Podemos observar interações colaborativas entre os alunos dos Grupos 3 e 4. Kaka

escreveu pelo Grupo 3 e Glasm escreveu pelo Grupo 4. Eles não mencionaram como

chegaram às conclusões. Observamos que apesar não ter sido pedido, que eles

encontrassem a representação algébrica das funções, essa foi a grande meta dos grupos.

Glasm do Grupo 4 até tentou dialogar sobre características das funções, mas como não

encontrou interlocução, acabou falando apenas das leis que identificou.

Sala Tarefa 1-2. Grupos 3 e 4. Colaborando

Ln. 7 – Glasm: olá pessoal, achamos q q função f1 é afim e crescente, dado que a é

maior que zero

Ln. 8 – Glasm: pessoa o que vcs estão achando dos valores se são exatos ou

aproximados

Ln. 9 – Kaka: Achamos a mesma coisa. Uma função y = ax + b

Ln. 10 – Kaka: y = 2x + 1

Ln. 11 – Glasm: isso mesmo



Algumas funções, que não eram muito familiares aos alunos desses grupos, geraram

dúvidas, como as funções 𝑓6(𝑥) = 𝑥 +1

𝑥 e 𝑓9(𝑥) = 2 ⟦

𝑥

2⟧ . Isto pode ser visto no recorte do

Log da Sala Tarefa 1-2 a seguir.

Sala Tarefa 1-2. Grupos 3 e 4. Dialogando sobre as funções 𝒇𝟓, 𝒇𝟔, 𝒇𝟗

Ln. 14 – Glasm: e a f5? o oq vcs acharam?

Ln. 16 – Kaka: Desculpem a demora, mas é porque nós empacamos na f6, pois não

conseguimos saber representa-la em f(x)

Ln. 17 – Kaka: Na f5 achamos algo como y = 1/x

Ln. 18 – Glasm: acabamos de achar isso tbm

Ln. 19 – Glasm: vamos v a 6

Ln. 20 – Glasm: achamos (1/x)+ x

Ln. 22 – Kaka: Vamos ver sobre a 6, pois nesta nos estamos em dúvida nessa

Ln. 23 – Glasm: a nove achamos q é f uma função escada

Ln. 24 – Kaka: Também achamos uma função escada na 9.

Ln. 25 – Kaka: Faz completo sentido a função da 6 de vocês



241

Podemos observar no recorte do diálogo abaixo, entre os participantes dos Grupos 5

e 6, que houve uma controvérsia quanto à função 𝑓1 . Suzana, que escreveu pelo Grupo 5

discordou de May, que escreveu pelo Grupo 6. Mas May, para convencê-la, apresentou a lei

de formação da função e mais que isso, calculou a função em três pontos, para talvez assim

conseguir convencê-la definitivamente, já que de posse desses valores, Suzana poderia

confirmar isso na representação gráfica. O convencimento aconteceu!

Sala Tarefa 1-3. Grupos 5 e 6. Convencimento. Descontração

Ln. 10 – May: a f1 esta como a reta, porém não definimos seus coeficientes

Ln. 11 – Suzana: A f1 é quadrática.

Ln. 12 – May: não é quadrática... f(x) = 2x + 1 @: Message 11:

Ln. 13 – Suzana: estavamos vendo errado

Ln. 14 – Suzana: obrigada

Ln. 15 – May: f(0) = 2.(0) + 1 = 1 f(3) = 2. (3) + 1 = 7 f(-1) = 2. (-1) + 1 = -1

Ln. 16 – May: relaxa, acontece



Apresentamos a seguir , o esquema argumentativo: 𝑓1 é uma reta:

Figura 74 – Esquema Argumentativo: 𝑓1 é uma reta?

Controvérsia Participando do discurso Adesão

Fonte: Diálogos VMT. Elaborado pela pesquisadora

𝑓1 (𝑥) = 2𝑥 + 1

𝑓1 é a reta

𝑓1 (0) = 2.0 + 1 = 1

𝑓1 (3) = 2.3 + 1 = 7

𝑓1 (−1) = 2. (−1) + 1 = −1

𝑓1 é a reta 𝑓1 (𝑥) = 2𝑥 + 1

H1

May:

𝑓1 é uma reta

X H2

Suzana:

𝑓1 é quadrática

242

Na Sala Tarefa 1-3, o diálogo parece meio “descompassado”, como já propunham as

autoras do MEA. May argumentava, propunha e não esperava resposta de Suzana, e

continuava propondo, como quando propôs uma classificação para as funções. Há uma

argumentação autoritária por parte de May, apesar de na linha 34, ela indicar entre

parênteses que é apenas uma ideia. Mas não era apenas uma sugestão, pois May (Ln. 34 e

35) se mostrou autoritária dando as funções uma classificação, como podemos ver a seguir.

Sala Tarefa 1-3. Grupos 5 e 6. Autoritarismo

Ln. 33 – May: Além disso, como é necessário classificar as funções em grupos uma

opção é classificar como funções continuas e funções descontinuas.

Ln. 34 – May: (isso é apenas uma ideia)

Ln. 35 – May: Considerando essa ideia de Continuas x Descontinuas:

Ln. 36 – May: Continuas f8, f4, f3, f2 e f1 descontinuas f10, f9, f7, f6 e f5 Log da Sala Tarefa 1-3

Grupos 5 e 6 Em 17-04-2012. Das 14h11min às 14h24min

Os Grupos 5 e 6 também apresentaram dificuldades em caracterizar a

função 𝑓6, uma função não usual, como já mencionamos anteriormente :

May começou a tentar caracterizá-la através de algumas propriedades,

como quando falou em limite pela esquerda e pela direita. E entrando no

discurso, a partir dessas observações, é que Suzana disse que 𝑓6

(𝑓6(𝑥) = 𝑥 +1

𝑥 ) era uma hipérbole degenerada. May também disse, que o

seu grupo estava com dificuldades na função 𝑓8 (𝑓8(𝑥) = 𝑥|𝑥|) e depois de alguns minutos,

informou que encontraram uma forma de caracterizar essa função, que ficou sendo

caracterizada como uma composição de funções. Isso pode ser constado no diálogo a seguir.

Sala Tarefa 1-3. Grupos 5 e 6. Dúvidas nas funções 𝒇𝟔 e 𝒇𝟖

Ln. 20 – May: e a f6? o limite de x tendendo para 0 pela direita é infinito e o limite de x

pela esquerda é menos infinito

Ln. 23 – May: o problema ta sendo na f6

Ln. 25 – May: f7: é descontinua. qndo x<0 f(x) = -1 e x>=0 f(x) = 1

Ln. 30 – May: f9 é uma função escada.

243

Ln. 31 – May: f10 é uma composição de funções. Com x<0 f é uma função do 1o. grau e

qndo x>=0 f é quadrática

Ln. 32 – May: Estamos com problemas na f6 e na f8

Ln. 37 – Suzana: f5 =1/x.f6 é uma hiperbole degenerada

Ln. 38 – May: hiperbole degenerada? @: Message 37.

Ln. 39 – May: achamos que a f8 é uma composição de funções. Para x>=O a função é x2

e para x<0 é - x2 Log da Sala Tarefa 1-3


O discurso para nossa surpresa, não se restringiu a esse segundo encontro. Essa

tarefa tinha sido proposta para ser realizada durante esse encontro, que aconteceu no dia

17 de abril. Nos dias que se seguiram, até o terceiro encontro que aconteceu no dia 24 de

abril, observamos que os alunos continuaram a dialogar via plataforma a respeito da

primeira tarefa.

Os alunos dos Grupos 1 e 2, assim como dos outros, tiveram dificuldades com as

funções não usuais, 𝑓5 , e 𝑓8. 𝑓6

E também tentaram encontrar a lei de formação das funções para tentar caracterizá-las, a

partir do seu registro algébrico.

Sala Tarefa 1-1. Grupos 1 e 2. Dialogando sobre as funções

Ln. 68 – Galois: F1: f(x)=2x+1

Ln. 69 – Galois: 4) f(x)=y

Ln. 72 – Galois: 5) f(x)=1/x

Ln. 73 – Carolzinha: ta batendo com o que nos fizemos

Ln. 74 – Carolzinha: f(x) = y ?? não seria f(x) = x?

Ln. 75 – Carolzinha: como vcs identificaram a f5??

Ln. 76 – Carolzinha: colocaram que nome nela??

Ln. 77 – Galois: Isso mesmo ... nos equivocamos ao escrever.

Ln. 78 – Galois: Avaliando as variações ... em x=0 ela não e definida e qto maior o x,

mais ela se aproxima do 0

Ln. 79 – Johnny: tá difícil definir a f6. dá uma luz aí

Ln. 80 – Galois: achamos q essas 5 podem ser classificadas como polinomiais.

244

Ln. 81 – Carolzinha: olha ta mto esquisito tb! nos achamos que esta fç e definida por

mais de uma sentença

Ln. 82 – Carolzinha: f5 não seria a hiperbole equilatera?

Ln.83 – Galois: me defina uma hiperbole equilatera

Ln. 84 – Carolzinha: daqui a pouco nos voltamos nela

Ln. 85 – Johnny: a f8 é definida por mais de uma sentença.

Ln. 86 – Galois: 8) f(x) = x, se x > igual a 0 e -(x), se x< 0

Ln. 87 – Galois: 7) f(x) = x / |x|

Ln. 88 – Carolzinha: uma hiperbole equilatera x.y = k com k > 0. Sem referencia!!!

Pesquise como nos pesquisamos KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK



O esquema argumentativo, a seguir, mostra o processo dialógico dos estudantes,

enquanto argumentavam sobre o reconhecimento e classificação da função 𝑓6 , uma função

não usual para os participantes da pesquisa. Essa função é 𝑦 = 𝑥 +1

𝑥

245

Figura 75 – Discussão Argumentativa da Função 𝑓6


Participando do discurso

Carolzinha

H1 Função 𝒇𝟔

é definida por mais de uma sentença.

Suzana

H2 Função 𝒇𝟔

é uma hipérbole.

𝒚 = 𝒙 +𝟏

𝒙

Glasm

H3 Função 𝒇𝟔 é a função

Controvérsias

Carolzinha

Glasm

Suzana

Kaka

May

ta mto esquisito tb! nos achamos que esta fç e

definida por mais de uma sentença

daqui a pouco nos voltamos nela

Desculpem a demora, mas é porque nós

empacamos na f6, pois não conseguimos saber

representa-la em f(x)

Vamos ver sobre a 6, pois nesta

nos estamos em dúvida nessa

Faz completo sentido a

função da 6 de vocês

Achamos

𝑦 = 𝑥 +1

𝑥

e a f6? o limite de x tendendo para 0 pela

direita é infinito e o limite de x pela esquerda é

menos infinito

Estamos com problemas na

f6 e na f8

Hipérbole degenerada?

f6 é uma hiperbole degenerada

Tá difícil definir a f6 dá uma luz aí! Johnny

246

Depois que os grupos disponibilizaram no Whiteboard as classificações que pensaram

para as funções, apenas Kaka do Grupo 3 se manifestou, a distância, na Sala Tarefa 1 3,

quanto à classificação postada pelo Grupo 5. Fez algumas provocações, mas que não foram

respondidas, pelo menos nessa sala. Não concordava que 𝑓1 fosse classificada como linear, e

não entendia o nome “composta” para classificar as funções 𝑓7 , 𝑓8 , 𝑓9 , 𝑓10. Para ela seriam

funções definidas por partes.

As funções que eles discutiam eram: 𝑓7(𝑥) =

|𝑥|

𝑥 , 𝑓8(𝑥) = 𝑥|𝑥| , 𝑓9(𝑥) = 2 ⟦

𝑥

2⟧ ,

𝑓10(𝑥) = {𝑥 + 3 , 𝑥 ≤ 0

𝑥2, 𝑥 > 0 .

Vemos isso a seguir em um recorte do Log 1-3.

Sala Tarefa 1-3. Kaka colaborando com os grupos 5 e 6

Ln. 76 – Kaka: Creio que a função 1 não possa ser chamada de linear pois ela não

passa pela origem. Ela poderia ser classificada como afim ou polinomial de grau 1..

Ln. 77 – Kaka: A última classificação de vocês eu não entendi bem. Eu as vejo como

funções definidas por partes. Também podem ser chamadas de compostas? Log da Sala Tarefa 1-3

Kaka


Observamos que os alunos buscaram a representação algébrica das funções para

responder o que lhes foi proposto, o que achamos bastante coerente, com o fato desses

alunos serem alunos de uma disciplina de Matemática e da abordagem algébrica ser a mais

mais comum para funções nos livros textos de Cálculo. Se sentirem obrigados a encontrar a

lei de formação da função, provavelmente é um pensamento incorporado pelas experiências

vividas no ensino médio e no ensino superior também.

Os Grupos 1 e 2 voltaram a interagir na plataforma e Alequice (Lns. 59 e 60, Log 1-1)

voltou a falar sobre definição de função, retomando a ideia de função como uma relação

entre grandezas, definição que manteve desde o teste de investigação (Figura 73). Esse

diálogo continuou acontecendo a distância, como veremos no Log do terceiro encontro.

Sala Tarefa 1-1. Alequice e sua definição de função

Ln. 59 – Alequice: Acredito que quando define-se função por meio de conjuntos você

acaba restringindo a uma simples coleção de objetos. Não havendo uma relação de variação que seria mais abrangente.

247

Ln. 60 – Alequice: Quando digo variação leia-se variação entre grandezas. Noção de

movimento. Log da Sala Tarefa 1-1

Alequice


É interessante observar como os alunos tentaram estabelecer acordos, regras de

colaboração. No recorte do Log 1-1, abaixo, podemos ver um trabalho colaborativo nas

ações desses alunos.


Ln. 24 – Cateto_14:27 (18.04): Alequice...achei uma referencia para vc. Matematica do

Ensino Médio, Vol 1 do IMPA, pag 98, Função Afim: A função Identidade é afim. Também são afins as translaçães f(x) = x+b. São ainda casos particulares de funções afins as funções lineares, f(x)=ax e as funções constantes f(x)=b.

Ln. 35 – Galois_22:02 (20.04): Alequice, por quê vc separou as funções afins das

polinomiais ?

Ln. 36 – Galois_22:03 (20.04): Não seria interessante os dois grupos compartilharem as

leis de formação das funções propostas e, a partir daí, discutir um critério de separação ?

Ln. 37 – Galois_22:04 (20.04): O que vcs sugerem ?

Ln. 44 – Carolzinha_15:55 (23.04): Concordo com você, Galois!


Como mostram os diálogos a seguir, a pesquisadora e o professor da turma

interagiram com os alunos, e as intervenções dos mesmos, era sempre na direção de

fomentar a colaboração, de estimular os alunos a compartilharem com o grupo. O professor

Wanderley questionou os alunos sobre o conceito de função, tentando provocar um discurso

nesta direção, pois esse era um tema central da sua disciplina, e essas atividades no VMT

eram parte da sua aula.

Ln. 15 – MaluT_14:50 (17.04): Olá ! Não esqueçam de colocar a vossa classificação

disponível para os seus companheiros de sala. Justifiquem para eles essa classificação. Será que eles concordam?

Log da Sala Tarefa 1-3

MaluT

Ln. 26 – MaluT_14:59 (17-04): Olá , não esqueçam de disponibilizar aqui a vossa

classificação. Vamos discutir nossas ideias com o grupo todo1 Log da Sala Tarefa 1-3

MaluT

Estabelecendo Regras de Colaboração

248


Ln. 51 – Wanderley: A "definição" de Marcos se parece mais com as "definições" do

outro grupo. O que Carolzinha e Alequice dizem a respeito?

Ln. 52 – Wanderley: E o outro grupo? O que pode falar a respeito das definições de

Carol e Alequice?

Ln. 55 – MaluT: Galois, Cateto, Nina, Carolzinha, onde estão os grupos das funções?

Estou aguardando!!!

Ln. 56 – MaluT: Vejam o que foi solicitado: vamos colocar no WhiteBoard os grupos

que vocês criaram. Log da Sala Tarefa 1-1

MaluT e Wanderley Em 23-04-2012. Das 21h32min às 23h57min

Nina do Grupo 3, queria disponilibizar no Whiteboard a classificação das funções

discutida no encontro do dia 17, mas precisava da concordância do grupo para falar pelo

grupo. Ao falar em e-mail, Nina deixou a pesquisadora Maria Lúcia e o professor Wanderley

preocupados. Vejamos a seguir esses diálogos

Ln. 41 – Nina_9:53 (22.04): Olá Kaka quando puder me mande um e-mail

([email protected]) para que eu possa te enviar a divisão das funções em grupo, para ver se você concorda. Bjs @: Message 24.


Nina

Ln. 48 – Wanderley_21:37 (23.04): E-mail?! Vou ficar de fora da conversa?

Ln. 49 – Wanderley_21:40 (23.04): Parece que concordam que é uma relação... mas

relação entre que "objetos"? E,... o que há de especial na relação?

Ln. 52 – MaluT_0:02 (24.04): Será que a divisão em grupos ficou só no e-mail? Não

estou encontrando aqui no quadro. Precisamos do quadro antes do nosso próximo encontro: amanhã!!!


MaluT e Wanderley

No final do encontro os grupos postaram no Whiteboard o que pensavam sobre a

palavra função. Na realidade eles postaram suas definições de função. Aqui faltou

experiência da pesquisadora em elaborar questão para o VMT. Acreditava que bastava

propor: “Escreva no Whiteboard em uma sentença ou no máximo em um parágrafo o que

você pensa sobre a palavra “função””, que isso levaria os alunos a falar sobre a ideia de

função também no contexto da vida cotidiana. Mas constatamos, que esse tipo de

provocação, neste ambiente, teria que ser feita de uma outra forma, que deveríamos

intervir mais, provocando assim um discurso em outra direção.

file:///D:/usuarios/Documents/A%20A%20A_TESE/PENDRIVE_JANETE_em%2012-09-2012/VMT_LOG/VMT_LOG_TAREFA%201_em%2017-04-2012/ENCONTRO%202_Continuidade_Tarefa%201_2_em%2017-04-2012_salva%20em%2024-04-2012_CHAT_roomContent.jsp.htm%23Message_24

249

Transcrevemos a seguir, o que os alunos escreveram no Whiteboard sobre a palavra

“função”

Figura 76 – Os alunos e suas ideias sobre função


GRUPO 1 Cateto, Galois, Johnny

Cateto: função é uma relação entre dois conjuntos.

Johnny: é a relação entre dois conjuntos definidas por uma lei de

formação.

Galois: É uma relação que associa cada elemento de um conjunto

(domínio) a um único elemento de outro conjunto (contra domínio).

GRUPO2 Alequice, Carolzinha, Mb

Alequice: Quando duas grandezas estão relacionadas de modo que

para cada valor de uma fica determinada um único valor da outra temos uma função.

Carolzinha: É uma relação entre duas grandezas tal que para cada

valor de uma delas está associado um único valor da outra.

Mb: Dados dois conjuntos A e B não nulos chama-se função ou

aplicação de A em B a toda relação onde cada elemento do primeiro conjunto está associado um único elemento do segundo conjunto.

GRUPO 3 KAKA, Nina, Uyio

Uma função é uma relação entre medidas.

Uma função é uma relação especial.

Uma função é uma relação em que algo age em função de outro algo.

GRUPO 4 Aluno 34, Glasm, Gods, Vmais

Função é uma relação entre duas grandezas variáveis que se relacionam de maneira que uma é dependente da outra

Função é uma relação binária entre dois conjuntos não vazios

Uma função é uma relação entre dois conjuntos A e B, não vazios, onde A é domínio e B é contradomínio.

GRUPO 5

Cranio, Suzana Fernanda,

Uma função pode ser caracterizada por uma relação entre dois conjuntos, onde cada elemento se relaciona com um único elemento do segundo conjunto

Grupo 6 Amiga, Lili, May, Peu

Uma função é uma relação entre conjuntos, onde cada elemento do primeiro conjunto tem relação com um único elemento do segundo. Observando que os elementos do segundo conjunto podem receber uma relação com mais de um elemento do primeiro conjunto.

250

Concluímos que para os alunos função é uma relação. Surgiram significados como: é

uma relação especial, o que implicitamente está escrito que é uma relação que tem

exigências, têm regras, mas talvez essas regras não estejam claras ainda. Sobre que objeto

matemático, a função deve estar definida, também há controvérsias: conjuntos, grandezas,

medidas? Um aluno do Grupo 3, não identificado na postagem, encontrou uma “forma

poética” de não se comprometer com as regras, com o domínio onde uma função deve estar

definida e escreveu: uma função é uma relação em que algo age em função de outro algo.

Vemos que para função surgiram os seguintes significados:

Essas significações, a procura incessante pela lei de formação da função, a dificuldade

em reconhecer funções não usuais podem ser explicadas pela forma como esses conceitos

estão incorporados em cada um de nós. As falas dos alunos sobre função mostram que para

eles, “função” consiste numa correspondência entre elementos, mas é preciso, como disse

Caraça (2002, p. 119) “fazer a montagem do instrumento e aperfeiçoá-lo”.

Vamos apresentar algumas abordagens de função no ensino médio e no ensino

superior.

Bolite Frant (2012) apresenta o inicio do Capítulo 3 do livro Matemática Volume

Único dos autores Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, Davi Degenszajn e Roberto Perigo. Em

“Introdução: a noção intuitiva de função”, os autores desse livro escrevem:

Função é uma relação

especial

em que algo age em função de outro algo

entre duas medidas

entre dois conjuntos

entre duas grandezas variáveis que se

relacionam de maneira que uma é dependente

da outra

251

No estudo cientifico de qualquer fenômeno, sempre procuramos identificar grandezas mensuráveis ligadas a ele e, em seguida, estabelecer as relações existentes entre essas grandezas. (IEZZI et al., p. 30, apud BOLITE FRANT, 2012, p. 8).

Segundo Bolite Frant (2012), o livro segue apresentando um exemplo denominado

Tempo e Espaço, mostra uma tabela, onde a cada instante (𝑥) corresponde uma única

distância (𝑦), que é função do instante. A fórmula que relaciona 𝑦 com 𝑥 é: 𝑦 = 500. 𝑥. A

autora afirma que:

Se este é um texto introdutório deveria dialogar muito mais com o leitor. De grandezas mensuráveis e relações existentes entre essas grandezas encontramos Tempo e Espaço que rapidamente, sem qualquer aviso, se transmutam em Instante e Distancia para mais uma vez se transmutarem em 𝑦 e 𝑥. E é esperado que o aluno que está sendo introduzido neste tópico perceba e entenda que a relação entre as grandezas é a fórmula que relaciona 𝑦 com 𝑥. (BOLITE FRANT, 2012, p. 8).

No livro de Matemática do Ensino Médio da Coleção Caderno do Professor, da

Secretaria da Educação do Estado de São Paulo (FINI, 2010) a definição de função é

apresentada como uma relação entre grandezas:

Duas grandezas 𝑥 e 𝑦 podem variar de modo interdependente, de tal forma que assumam valores inter-relacionados. Quando, deixando variar livremente os valores de uma grandeza 𝑥, notamos que os valores de outra grandeza 𝑦 também variam, de tal forma que a cada valor de 𝑥 corresponde um e somente um valor de 𝑦 , então dizemos que 𝑦 é uma função de 𝑥; dizemos ainda que 𝑥 é a variável independente e 𝑦 é a variável dependente. (CADERNO DO PROFESSOR, FINI, 2010, p. 3).

No livro Matemática. Ensino Médio de Smole e Kiyukawa (1999), os autores

apresentam a seguinte definição de função, também como uma relação entre grandezas,

mas não explicam o que entendem por grandeza:

A função é um modo especial de relacionar grandezas. Nesse tipo de relação, duas grandezas 𝑥 e 𝑦 se relacionam de tal forma que:

𝑥 pode assumir qualquer valor em um conjunto 𝐴 dado; a cada valor de 𝑥 corresponde um único valor de 𝑦 em um dado

conjunto 𝐵 ; os valores que 𝑦 assume dependem dos valores assumidos por 𝑥 .

A seguir, apresentamos uma tabela com as definições de função, e algumas

observações sobre esse tema, que achamos pertinentes para a nossa pesquisa, que

252

encontramos nos livros textos analisados por nós, quanto à definição de função contínua, e

quando possível levantamos o mapeamento realizado pelos autores (seção 1.3)117.

Figura 77 – Tabela dos livros analisados com relação à função

117

Da tabela da Figura 17, retiramos o livro Análise Real: Funções de Uma Variável de Elon Lages Lima

(2006) e acrescentamos o livro Conceitos Fundamentais da Matemática de Bento de Jesus Caraça ( 2002).

Autor(es) Definição de função e outras informações importantes relativas à função

Howard Anton, Irl Bivens e Stephen Davis

A metáfora: Função é um Programa de Computador

[...] pense em uma função como sendo um programa de computador que toma uma entrada 𝑥 , opera com ela de alguma forma e produz exatamente uma saída 𝑦 . O programa de computador é um objeto por si só, assim podemos dar-lhe um nome, digamos 𝑓. [...]. Isso sugere a definição seguinte

Uma função 𝑓 é uma regra que associa uma única saída a cada entrada. Se a entrada for denotada por 𝑥 , então a saída será denotada por 𝑓(𝑥) (leia-de “ 𝑓 de 𝑥 “). (2007, p. 2)

George B. Thomas et al.

Das metáforas:

Função é Máquina Domínio é Matéria Prima Imagem é Produto

Uma função é como uma máquina que associa um único produto a cada matéria prima disponível. A matéria prima forma o domínio da função; os produtos formam a imagem.

segue a seguinte definição:

Uma função de um conjunto 𝐷 para um conjunto ℝ é uma regra que associa um único elemento em ℝ a cada elemento em 𝐷 . (2002, p. 10, sublinhado nosso)

James Stewart

Um função 𝑓 é uma lei que associa cada elemento 𝑥 em um conjunto 𝐷 exatamente a um elemento 𝑓(𝑥) , em um conjunto 𝐸 .

Após a definição segue a metáfora: Função é Máquina

É útil considerar uma função como uma máquina. [...]. Se 𝑥 estiver no domínio da função 𝑓 , quando 𝑥 entrar na máquina, ele será aceito como entrada, e a máquina produzirá uma saída 𝑓(𝑥) de acordo com a lei que define a função.

C. H. Edwards, Jr. e David E. Penney

Uma função com valores reais 𝑓 definida em um conjunto 𝑫 de números reais é uma regra que associa a cada número 𝑥 em 𝐷 um único número real, designdo por 𝑓(𝑥) .

Após a definição segue a metáfora de ligação: Função é Fórmula

Uma função costuma ser descrita por meio de uma fórmula que especifica como calcular o número 𝑓(𝑥) em termos do número 𝑥 . (1997, p. 5)

253


Podemos observar por essas definições, que nossos alunos foram expostos a

diferentes textos, que falam sobre a definição de função durante a sua escolaridade. As

definições mostram funções como relações entre variáveis, entre grandezas, entre

elementos de conjuntos e somente o livro “Conceitos Fundamentais da Matemática” tem o

cuidado de definir o que é uma variável.

As funções usadas no Applet 1 da Tarefa 1, que são:

𝑓1(𝑥) = 2𝑥 + 1 , 𝑓2(𝑥) = 𝑥2 , 𝑓3(𝑥) = 𝑥3 , 𝑓4(𝑥) =𝑥3

𝑥2 , 𝑓5(𝑥) =𝑥2

𝑥3 ,

Hamilton Luiz Guidorizzi

Conceito é Definição

Entendemos por uma função uma terna (𝐴, 𝐵, 𝑎 ↦ 𝑏) onde 𝑨 e 𝑩 são dois conjuntos e 𝑎 ↦ 𝑏 , uma regra que nos permite associar a cada elemento 𝑎 de 𝐴 um único 𝑏 de 𝐵 . (1985, p. 37)

[...] deixaremos muitas vezes de explicitar o domínio [...] quando tal ocorrer, ficará implícito que [...] o domínio é o “maior” subconjunto de ℝ para o qual faz sentido a regra em questão. (1985, p. 38)

Deborah Hughes-Hallett et al.

Uma grandeza 𝐻 é uma função de outra grandeza, 𝑡 , se a cada valor de 𝑡 estiver associado um único valor de 𝐻 . Dizemos que 𝐻 é o valor da função ou a variável dependente, e 𝑡 é o argumento ou a variável independente(1997, p. 2)

Cassio Neri e Marco Cabral

Sejam 𝐴 e 𝐵 dois conjuntos não vazios. Uma função 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵 (lê-se função 𝑓 de 𝐴 em 𝐵) é definida por uma regra de associação, ou relação, entre elementos de 𝐴 e 𝐵 que a cada 𝑥 ∈ 𝐴 associa um único elemento 𝑓(𝑥) (lê-se 𝑓 de 𝑥 ) em 𝐵, dito imagem de 𝑥 por 𝑓 O conjunto 𝐴 é o domínio de 𝑓 enquanto que 𝐵 é o contradomínio de 𝑓 . (2011, p. 6)

Bento de Jesus Caraça

Sejam 𝑥 e 𝑦 duas variáveis representativas de conjuntos de números; diz-se que 𝑦 é uma função de 𝑥 e escreve-se 𝑦 = 𝑓(𝑥) , se entre as duas variáveis existe uma correspondência unívoca no sentido 𝑥 ⟶ 𝑦 . A 𝑥 chama-se variável independente, a 𝑦 variável dependente.

Para indicar que 𝑦 é uma função de 𝑥 , usaremos também escrever simplesmente 𝑦 (𝑥) .

Conceito de variável: Seja 𝐸 um comjunto qualquer de números, conjunto finito ou infinito, e convencionemos representar qualquer dos seus elementos por um símbolo, por ex.: 𝑥 . A este símbolo, representativo de qualquer dos elementos do conjunto 𝐸 , chamamos variável. [...] o símbolo 𝑥 [...] é, afinal, o símbolo da vida colectiva do conjunto, vida essa que se nutre da vida individual de cada um dos seus membros, mas não se reduz a ela. (2002, p. 119, 120, 121)

254

𝑓6(𝑥) = 𝑥 +1

𝑥 , 𝑓7(𝑥) =

|𝑥|

𝑥 , 𝑓8(𝑥) = 𝑥|𝑥| , 𝑓9(𝑥) = 2 ⟦

𝑥

2⟧ ,

𝑓10(𝑥) = {𝑥 + 3 , 𝑥 ≤ 0

𝑥2, 𝑥 > 0 ,

foram agrupadas pelos alunos, esses grupos foram nomeados e postados no Whiteboard das

salas desse encontro. A seguir, estão as classificações apresentadas pelos grupos.

Figura 78 –Classificação das funções apresentadas pelos grupos – Tarefa 1

Classificação das funções apresentadas na Tarefa 1

Após interagirem com o Applet 1

GRUPOS 1 e 2

Afim: 𝑓1 e 𝑓4 ......Quadrática: 𝑓2 e 𝑓8 Cúbica: 𝑓3 Degrau: 𝑓9 , Modular: 𝑓6

Não conseguimos classificar (função 𝑓7 e 𝑓10.). Não encontramos a lei de formação

GRUPO 3

Dividimos as funções em:

Contínuas: 𝑓1 , 𝑓2, 𝑓3 e 𝑓8

Não-Contínuas: 𝑓4 , 𝑓5 , 𝑓6, 𝑓7 , 𝑓9 , 𝑓10.

GRUPO 4

Funções Não Simétricas: 𝑓1 , 𝑓7 , 𝑓9 , 𝑓10

Funções Simétricas: 𝑓2, 𝑓3 , 𝑓4, 𝑓5 , 𝑓6 e 𝑓8

Simétricas com relação a origem: 𝑓3 , 𝑓4, 𝑓5 , 𝑓6 e 𝑓8

Simétricas com relação ao eixo 𝒚 : 𝑓2

GRUPO 5

Função Linear: 𝑓1 Função Quadrática: 𝑓2, Função Cúbica: 𝑓3 Função Constante: 𝑓4 Hipérbole Degenerada: 𝑓5 , 𝑓6 Funções Compostas: 𝑓7 , 𝑓8 , 𝑓9 , 𝑓10

GRUPO 6 Contínuas: 𝑓1 , 𝑓2, 𝑓3 , 𝑓4 , 𝑓8 Não-Contínuas: 𝑓5 , 𝑓6, 𝑓7 , 𝑓9 , 𝑓10.

Fonte: Whiteboard das Salas da Tarefa 1

Comentamos a seguir, o que nos chamou a atenção nessas classificações.

255

Os Grupos 1 e 2 terem classificado a função 𝑓4(𝑥) =𝑥3

𝑥2 , como função afim; a função

𝑓8(𝑥) = 𝑥|𝑥| , como quadrática e a função 𝑓6(𝑥) = 𝑥 +1

𝑥 como modular. Observamos

que 𝑓8(𝑥) = 𝑥|𝑥| = {𝑥2 , 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0

−𝑥2 , 𝑠𝑒 𝑥 < 0 . Como esses alunos classificaram corretamente

a função 𝑓1(𝑥) = 2𝑥 + 1 como função afim, nos perguntamos se o Apllet 1 não

possibilitou aos Grupos 1 e 2 compreenderem que 𝑥 = 0 não pertencia ao domínio

da função, ou se classificaram a função como afim, mesmo percebendo isso.

O Grupo 3 ter classificado como contínuas as funções 𝑓1 , 𝑓2, 𝑓3 e 𝑓8, que são as

únicas funções que não apresentam nenhuma quebra, ruptura ou buraco nos seus

gráficos. Como não havíamos disponibilizado a lei de formação dessas funções, a

inferência que fazemos é que para esse grupo, o Applet 1 atendeu os nossos

objetivos, possibilitou aos alunos desse grupo compreenderem as principais

características das funções apresentadas.

O Grupo 4 ter classificado a função 𝑓7 como não simétrica. Como o grupo classificou

corretamente as outras simetrias, inferimos que o Apllet 1 não possibilitou ao Grupo

4 compreender o comportamento da função 𝑓7(𝑥) =|𝑥|

𝑥

O Grupo 5 ter classificado a função 𝑓4(𝑥) =𝑥3

𝑥2 constante, as funções 𝑓5(𝑥) =𝑥2

𝑥3 ,

𝑓6(𝑥) = 𝑥 +1

𝑥 como hipérboles degeneradas e as funções 𝑓7(𝑥) =

|𝑥|

𝑥 ,

𝑓8(𝑥) = 𝑥|𝑥| , 𝑓9(𝑥) = 2 ⟦𝑥

2⟧ , 𝑓10(𝑥) = {

𝑥 + 3 , 𝑥 ≤ 0

𝑥2, 𝑥 > 0 .como funções compostas.

Observamos que na literatura matemática as funções 𝑓7 , 𝑓8 , 𝑓9 , 𝑓10 são

consideradas funções definidas por partes.

O Grupo 6 ter classificado a função 𝑓4(𝑥) =𝑥3

𝑥2 como contínua, a única do conjunto

das contínuas ( 𝑓1 , 𝑓2, 𝑓3 , 𝑓4 , 𝑓8 ) que apresenta uma quebra. Nos perguntamos: o

Applet 1 não possibilitou aos alunos observar esse “buraco” no gráfico?

256

5.3 TERCEIRO ENCONTRO. TAREFA 2: Eixos Paralelos e Eixos Cartesianos. Conhecendo e Agrupando Funções

As salas abertas no VMT para essa tarefa são identificadas como Sala Tarefa 2-1, Sala

Tarefa 2-2 e Sala Tarefa 2-3. Em cada sala interagiram dois grupos de três ou quatro alunos

cada um, e cada grupo trabalhou com dois computadores, um para o applet e outro para

trabalhar na sala aberta no VMT. Em cada sala do VMT os alunos tinham a disposição uma

Chat Room, o Summary, no qual a tarefa foi postada e o Whiteboard para os alunos

postarem o que era solicitado na tarefa e outras informações que desejavam compartilhar.

Os alunos de cada grupo discutiam a tarefa entre si e a comunicação entre os dois

grupos de cada sala era feita através da plataforma VMT.

A Sala Tarefa 2-1 foi destinada ao Grupo 1 (Cateto, Johnny, Galois) e ao Grupo 2

(Alequice, Mb, Carolzinha). Na Sala Tarefa 3-2 interagiram o Grupo 3 (Kaka, Nina,

Uyio) e o Grupo 4 (Gods, Vmais, Glasm, Aluno34) e na Sala Tarefa 3-3 o Grupo 5

(Suzana, Cranio, Fernanda) e o Grupo 6 (May, Peu, Lili, Amiga). Analisando as

planilhas HTML geradas pelo VMT com os diálogos produzidos em cada sala, observamos

que durante o encontro Galois e Johnny falavam pelo Grupo 1, Alequice pelo Grupo 2,

Kaka e Nina pelo Grupo 3, Gods pelo Grupo 4, Suzana pelo Grupo 5 e Lili pelo Grupo 6.

Na Tarefa 1 buscamos entender o que os alunos falam sobre o tema “Função”. Foi pedido

que eles dividissem as dez funções que compunham o Apllet 1 em grupos, segundo

comportamentos observados por eles. Analisando os diálogos desenvolvidos pelos grupos e

a classificação das funções apresentadas, observamos que os alunos tiveram dificuldades em

produzir discursos relativos às funções não usuais como as funções 𝑓5 , 𝑓6 , 𝑓8, 𝑓9 , e que

ficaram em busca do registro algébrico das funções para tentar classificá-las. Essas funções

são: 𝑓5(𝑥) =𝑥2

𝑥3 , 𝑓6(𝑥) = 𝑥 +1

𝑥 , 𝑓8(𝑥) = 𝑥|𝑥| , 𝑓9(𝑥) = 2 ⟦

𝑥

2⟧ Por isso, fizemos o redesing

da nossa Tarefa 2, e continuamos o trabalho com funções nesse terceiro encontro.

Pensamos em um Applet que trabalhasse a montagem do registro gráfico das funções

apresentadas no Applet 1, usando a visualização com eixos paralelos e o registro gráfico com

eixos cartesianos, que é mais familiar a eles. Os alunos puderam continuar a refletir sobre as

funções apresentadas na Tarefa 1, e sobre as conclusões a que chegaram, e assim, confirmá-

257

las ou modificá-las. Apresentamos também dez funções no seu registro algébrico, para que

eles as associassem as funções trabalhadas nos Apllets. Dessa forma puderam refletir

também, sobre as expressões algébricas que encontraram, ou não, quando da execução da

Tarefa 1. A Tarefa 2 foi mais um momento de reflexão e de consolidação de alguns aspectos

do tema Função discutidos pelos alunos na Tarefa 1.

O Applet 2 permitia aos alunos verem a construção dos gráficos das funções

apresentadas no Applet 1 em um sistema de eixos cartesianos, ao mesmo tempo que

trabalhavam mais uma vez a visualização dessas funções em eixos paralelos. Como a

representação em eixos paralelos não era familiar aos nossos alunos, algumas dúvidas sobre

o comportamento das funções ainda permaneciam e esta era mais uma oportunidade para

esclarecê-las.

Questão Tarefa 2:

No primeiro encontro foram apresentadas 10 funções visualizadas em eixos paralelos.

No Applet 2 você poderá ver a construção do gráfico dessas funções em um sistema de eixos

cartesianos, simultaneamente à visualização em eixos paralelos.

Trabalhe nesse APPLET e reflita sobre os grupos de funções que você criou no Encontro 1.

Responda: A divisão das funções a que seu grupo chegou na Tarefa 1 continua a mesma?

Se sua reposta for NÃO, apresente aqui a nova divisão do seu grupo e justifique a mudança.

Agora, associe cada expressão algébrica dada a seguir a uma das funções 𝑓1 , 𝑓2 , 𝑓3 , 𝑓4 , 𝑓5 ,

𝑓6 , 𝑓7 , 𝑓8 , 𝑓9 , 𝑓10 .

(a) 𝑦 = 𝑥3 (b) 𝑦 =𝑥2

𝑥3 (c) 𝑦 =|𝑥|

𝑥 (d) 𝑦 = 2𝑥 + 1

(e) 𝑦 = 𝑥2 (f) 𝑦 = 𝑥. |𝑥| (g) 𝑦 =𝑥3

𝑥2

(h) 𝑦 = {𝑥 + 3 , 𝑥 ≤ 0

𝑥2 , 𝑥 > 0 (i) 𝑦 = 𝑥 +

1

𝑥 (j) 𝑦 = 2 ⟦

𝑥

2 ⟧.

Depois dessa associação, dê o domínio de cada uma dessas funções.

Se o seu grupo parceiro de sala apresentou respostas diferentes, comente essas diferenças aqui.

Essa tarefa deve ser feita no Whiteboard.

258

O encontro começou com os alunos acessando a plataforma, sem dificuldades, e com

a pesquisadora entrando nas salas, cumprimentando os alunos, colocando as instruções no

Summary das salas para que eles realizassem a tarefa:

Ln. 3 – MaluT: Aqui mesmo no Summary, você já tem espaço para responder suas

questões. O caminho para encontrar o APPLET 2 é o mesmo da tarefa passada. www.uff.br/gma Disciplinas: Informações diversas aos alunos. Disciplina Funções (2012-1) do Curso de Especialização em Ensino da Matemática (APPLET 2) Bom trabalho. Não

esqueça que seus companheiros de sala estão aguardando você aqui.


Em 24-04-2014. Às 2:06

A pesquisadora, ao escrever (Ln. 3, Log 2-1):

“Não esqueça que seus companheiros de sala estão aguardando você aqui”,

estava no seu papel de investigadora, lembrou os alunos que a participação deles é muito

importante para a evolução do discurso, ela estava fomentando a colaboração.

Galois, do Grupo 1, demonstrando entrosamento e descontração, saúda os amigos

do Grupo 2, chamando-os de hiperbólicos, numa alusão a função, que na Tarefa 1,

Carolzinha do Grupo 2, propôs classificar como hipérbole equilátera. Questionada sobre o

que significava uma hipérbole equilátera, Carolzinha propôs a Galois pesquisar, como ela

havia feito. Acreditamos que a descontração nesse tipo de tarefa, “conversar sobre

matemática online”, é bastante importante para o envolvimento de todos nas discussões.

Destacamos um recorte do Log 2-1, que transcreve esse momento:

Ln. 7 – Galois: entra na sala

Ln. 8 – Galois: Fala hiperbólicos

Ln. 12 – Alequice: nós tb estamos! Viu a def de hiperbole equilatera na atividade

anterior?

Ln. 102 – Cateto: Achei no livro do Impa, Mat p o Ensino Medio Vol 1 pg 98, a definição

de hiperbole equilátera p akela função mesmo! Bacana nunca tinha ouvido falar nesse nome... @: Message 12.



Ressaltamos o contexto colaborativo e social da aprendizagem, que ocorre na

discussão entre os participantes na plataforma VMT, os participantes se sentem motivados a

file:///D:/usuarios/Documents/A%20A%20A%20A%20A%20A%20A%20A%20A_VMT_VIDEO_LOG_TELA_PLAYER_TESE/VMT_A_LOG/VMT_LOG_TAREFA%202_em%2024-04-2012/ENCONTRO%203_Continuidade_Tarefa%202_1_em%2024-04-2012_salva%20em%2022-05-2012_CHAT_roomContent.jsp.htm%23Message_12

259

pesquisar, a aprender coisas novas, como o participante Cateto (linha 102) que foi

pesquisar em livros o que era, afinal, uma hipérbole equilátera.

Quanto à pergunta inicial da tarefa, se a divisão em grupos das funções apresentadas

na Tarefa 1, continuava a mesma, somente os Grupos 1 e 2 iniciaram a Tarefa 2 falando

sobre isso, mas não encontramos a divisão proposta pelo Grupo 1:

Ln. 10 – Alequice: Vocês mudaram a classificação de vocês? Vcs conseguiram acertar

todas?

Ln. 11 – Johnny: acertar todas não. mas estamos conseguindo comparar a maioria das

nossas respostas com as expressões dadas.

Ln. 12 – Alequice: nós tb estamos! Viu a def de hiperbole equilatera na atividade

anterior? Log da Sala Tarefa 2-1


Concluímos que mais uma vez, o grande interesse dos alunos foi trabalhar na

associação das expressões algébricas com as funções apresentadas no Applet 2. Do Grupo 1,

apenas Galois escreveu no Whiteboard sobre a divisão das funções em grupos.

Figura 79 – Galois: sobre a divisão das funções em grupo em 24.04

Fonte: Whiteboard da Sala Tarefa 2-1 do VMT

Galois afirmou, que embora a Tarefa 2 apresentasse os mesmos gráficos da Tarefa 1,

a lei de formação das funções, apresentadas na Tarefa 2, poderia modificar a classificação

anterior. Fica implícito nessa fala de Galois, a importância que os alunos dão ao registro

algébrico das funções, e se estivermos atentos a alguns livros textos de Cálculo adotados em

nossas universidades, veremos, que apesar das edições mais recentes terem uma

abordagem gráfica mais sólida, os tópicos sobre funções ainda apresentam longas listas com

funções apresentadas no seu registro algébrico (ver, por exemplo, STEWART, 2009, p. 34, 35,

60; EDWARDS JUNIOR; PENNEY, 1997, v.1, p. 10, 28, 64).

Para associar as expressões algébricas dessa tarefa às funções 𝑓1 , 𝑓2 , 𝑓3 , 𝑓4 , 𝑓5 ,

𝑓6 , 𝑓7 , 𝑓8 , 𝑓9 , 𝑓10 dos Applets 1 e 2, os alunos dos Grupos 1 e 2 dialogaram mostrando que

Associação das funções está no sumário. A divisão das funções mudaria pela maneira como elas foram apresentadas nessa atividade. Embora tenham o mesmo gráfico, a lei de formação nos daria outra visão quanto a classificação

260

na dinâmica das discussões os argumentos vão sendo construídos de forma colaborativa. A

seguir apresentamos um recorte desse discurso.

Sala Tarefa 2-1. Grupos 1 e 2. Diálogos sobre a associação das funções

Ln. 16 – Alequice: já acharam a f8?

Ln. 17 – Johnny: achamaos

Ln. 18 – Alequice: entao blz!!!!!

Ln. 19 – Johnny: é a c

Ln. 20 – Johnny: c não. É f

Ln. 22 – Galois: O que significa os 2 colchetes na J?

Ln. 23 – Alequice: fç degrau

Ln. 24 – Galois: E a função F @: Message 18.

Ln. 25 – Alequice: é a 𝑓8

Ln. 28 – MaluT: Já entendeu a função? @: Message 22.

Ln. 32 – Galois: Por eliminação, concluimos que seria a funcao degrau (𝑓9). Porem nao

entendemos a notacao @: Message 28.

Ln. 33 – Alequice: existem varias notaçoes para a funcao degrau esta e apenas uma

Ln. 34 – MaluT: Dado um x, o valor de f(x) é o primeiro inteiro a esquerda do x

Ln. 35 – Galois: Ah sim ... nao conheciamos essa notacao @: Message 34

Ln. 36 – Galois: E o dominio vcs concordam?? @: Message 33.

Ln. 37 – Alequice: tem em alguns livros de calculo



Vemos que a função 𝑓9, que na tarefa está associada a função 𝑦 = ⟦𝑥

2⟧ , continuou

suscitando grandes dúvidas. MaluT (Ln. 29) perguntou: “Já entendeu a função?” e Galois (Ln.

32) respondeu:

“Por eliminação, concluimos que seria a funcao degrau (𝑓9). Porem nao entendemos a notação”.

A seguir, apresentamos um recorte do diálogo dos Grupos 3 e 4 produzido, quando

os alunos desses grupos, intergiam na busca de associar as funções 𝑓1 , 𝑓2 , 𝑓3 , 𝑓4 , 𝑓5 , 𝑓6 ,

𝑓7 , 𝑓8 , 𝑓9 , 𝑓10 as expressões algébricas apresentadas nessa tarefa.

Sala Tarefa 2-2. Grupos 3 e 4. Diálogos sobre a função 𝒚 = 𝟐 ⟦𝒙

𝟐⟧

Ln. 12 – Nina: O que significa na função J-y=2[[x/2]]?

Ln.13 – Nina: Minha dúvida é em relação aos colchetes...

Ln. 14 – MaluT: Esta é a função maior inteiro. Se n<=x. @: Message 12..






file:///D:/usuarios/Documents/A%20A%20A%20A%20A%20A%20A%20A%20A%20A%20_TESE_ApÃ³s%20QUALIFICAÃ�Ã�O/A_ANALISE%20DADOS_LOGS/ENCONTRO%203_24-04-2012/ENCONTRO%203_Continuidade_Tarefa%202_2_em%2024-04-2012_salva%20em%2022-05-2012_CHAT.htm%23Message_12

261

Ln. 15 – Kaka: Não deveria então ser menor inteiro?

Ln. 16 – Nina: A função o f9 é a letra J?O que vocês acham?

Ln. 18 – Gods: A letra j está com dois colchetes. está correto?

Ln. 20 – Nina: Sim está correto, acabamos de descobrir pela tia malu no quadro

acima... @: Message 18.

Ln.21 – Nina: Esses dois colchetes é a função maior inteiro. @: Message 18.

Ln. 22 – MaluT: esses dois colchetes existem sim, é a função maior inteiro. Conhecem?

@: Message 21.

Ln. 46 – Johnny: eu também não conhecia essa notação. acho que essa função maior

inteiro foi que o bruno dassie disse que representa o preço do táxi em função da quilometragem. mas considerando que o táxi aumenta de valor até quando está parado, deixaria de ser função. teríamos duas imagens para o mesmo domínio. @:

Ln. 53 – Nina: Olá Johnny, concordo com você quando diz que a função maior inteiro

poderia ser utilizada para modelar o valor pago no táxi, contudo teríamos que desconsiderar o tempo e fazer uma função valor x quilometragem, né? @: Message 46.

Ln. 56 – Johnny: exatamente. a quilometragem seria a variável independente. @:

Message 53. Log da Sala Tarefa 2-2 Grupos 3 e 4 e Johnny

Em 24-04-2012. Da Ln. 12 a Ln. 27. Das 14h37min às 15h04min Em 26-04-2012. Ln. 46. Às 19h28min

Em 27-04-2012. Da Ln. 53 a Ln. 56. Das 16h46min às 19h11min

Analisando os diálogos dos alunos dos Grupos 3 e 4, vemos que os alunos vão

argumentando, colaborando, de forma que a função não usual 𝑦 = 2 ⟦𝑥

2⟧ , que na tarefa

estava associada a função 𝑓9 , foi ficando mais familiar. Ressaltamos que a colaboração, a

interação não aconteceu somente entre alunos da mesma sala. Johnny, do Grupo 1, entrou

na sala de trabalho dos Grupos 3 e 4, e na linha 46, respondendo à pergunta que a

pesquisadora fez na linha 22, trouxe para reflexão dos Grupos 3 e 4 um exemplo de uma

situação prática que ele julgava ser modelada pela função escada: o preço do táxi em função

da quilometragem.

Observamos que no diálogo estabelecido entre Nina e Johnny, a respeito do exemplo

sobre a função escada, a fala vai na direção de domínio, imagem, valor da função em um

ponto. Johnny (Ln. 46) disse:

“[...]teríamos duas imagens para o mesmo domínio”.

No contexto apresentado seria várias imagens para o mesmo valor de 𝑥.

Percebemos, que os participantes da sala Continuidade Tarefa 2-2, também

trabalharam de forma bastante descontraída. Nina (Ln. 20, Log 2-2) escreveu:






262

”Sim está correto, acabamos de descobrir pela tia malu no quadro acima...”

A seguir, apresentamos um outro recorte do diálogo dos Grupos 3 e 4 produzido

quando os alunos desses conversavam sobre as funções desse applet.

Sala Tarefa 2-2. Grupos 3 e 4. Diálogos sobre a função 𝒚 =𝒙𝟐

𝒙𝟑 e a função 𝒚 =𝒙𝟑

𝒙𝟐

Ln. 23 – Gods: A FUNÇÃO DA LETRA B PODERIA SER ESCRITA NA FORMA 1/X ??

Ln. 24 – Kaka: Reparem que o domínio da função 4 é dado pelos reais diferentes de

zero, tendo em vista e lei de formação. é muito difícil perceber isso nos eixos paralelos. Quem tem tremor essencial não consegue ajeitar o mouse e jamais vai descobrir o domínio da 𝒇𝟒 .

Ln. 25 – Gods: KKKKKKKKKKK

Ln. 27 – Nina: Sim poderia. @: Message 23.

Log da Sala Tarefa 2-2 Grupos 3 e 4 e Johnny


Kaka e Gods (linhas 23, 24, 25, 27) estabeleceram um diálogo sobre a função da

letra (b) 𝑦 =𝑥2

𝑥3 , que está associada a função 𝑓5 , e sobre a função da letra (g) 𝑦 =𝑥3

𝑥2 ,

associada a função 𝑓4 . Esse diálogo propiciou uma reflexão interessante sobre a

visualização de funções por eixos paralelos. Kaka argumentou, que na visualização por eixos

paralelos, é difícil perceber que o domínio da função 𝑓4 é ℝ − {0} . Ela falou:

De fato, nem sempre é fácil perceber o domínio de uma função, quando se usa a

visualização por eixos paralelos. É preciso, que se caminhe muito devagar com o mouse

sobre o eixo da variável independente, ou que já se tenha uma ideia do domínio para tentar

confirmá-lo. Essa é uma observação importante que deve constar da apresentação desses

applets, quando do seu uso em alguma outra tarefa.

Observemos agora o diálogo da Sala Tarefa 2-3 onde os Grupos 5 e 6 interagiam.

Sala Tarefa 2-3. Grupos 5 e 6. Sobre a associação das funções

Ln. 9 – Lili: f1 é uma reta

Ln. 10 – Lili: f1 = 2x + 1

Ln. 11 – Lili: f1 é a letra d e Dom (f1) = Reais

Ln. 12 – Lili: f 2 é a parábola y=x^2 (letra e) Dom (f2) = reais

“Quem tem tremor essencial não consegue ajeitar o mouse e jamais vai descobrir o domínio”


263

Ln. 13 – Lili: f3 é y=x é (letra a) Dom (f3) = reais

Ln. 14 – Lili: f4 é uma reta y=x ( letra j) Dom (f4) = reais

Ln. 15 – Lili: ops é a letra g e o Dom (f4) = reais /{0} @: Message 14.

Ln. 16 – Lili: f5 é y=1/x ou (x^2/x^3) ( letra b) Dom (f5) = reais /{0}

Ln. 17 – Lili: f6 é a letra c e o Dom (f6) = reais / {0}

Ln. 19 – Lili: ops essa é a f7 e não a f6@: Message 17.

Ln. 21 – Lili: f6 é y=x+(1/x) (letra i) Dom (f6) = reais / {0}

Ln. 22 – Lili: f10 é a letra h e seu Dom (f10)=reais

Ln. 23 – Suzana: f1=d

Ln. 24 – Suzana: f2=e

Ln. 25 – Suzana: f3=a

Ln. 26 – Lili: f8 é a letra f Dom(f8) = reais /{0}

Ln. 27 – Lili: ops Dom (f8) = reais @: Message 26.

Ln. 28 – Lili: e por último a f9 é a letra j e seu Dom (f9) = reais

Ln. 34 – Fernanda: Iniciei a associação espero a contribuição de vocês para

terminarmos a atividade. Log da Sala Tarefa 2-3


Vemos que esses grupos, na realidade, não interagiram enquanto trabalhavam no

VMT durante o encontro no dia 24 de abril. Durante o encontro, observei que os alunos de

cada um desses grupos, dialogavam entre si para fazer uma proposta de associação das

funções e de seus domínios. O “diálogo” pareceu meio “descompassado”. Lili, escrevendo

pelo grupo 6, digitava as respostas das questões da Tarefa 2 e não interagiu com Suzana do

Grupo 5, que nas linhas 23, 24 e 25, colocou a opinião do seu grupo sobre as funções

𝑓1 , 𝑓2 , 𝑓3 . Vemos que os grupos não estavam trabalhando em colaboração. Nesse

encontro, os grupos 5 e 6 usaram a plataforma apenas para “depositar” as respostas dos

itens da questão da Tarefa 2. Para trabalhos futuros, é preciso que inicialmente,

perguntemos aos participantes da pesquisa, o que entendem por trabalho em grupo, por

trabalho colaborativo. É importante que reservemos um tempo para conversar sobre a

“filosofia”, as potencialidades da plataforma, e não apenas sobre as ferramentas para sua

funcionalidade.

Fernanda, do Grupo 5, entrou na sala já em um diálogo assíncrono, às 18h31min, e

como podemos ver na linha 34 do diálogo acima, ela informou que deixou a sua colaboração

quando disse:

264

“Iniciei a associação espero a contribuição de vocês para terminarmos a atividade”.

Essa colaboração foi postada por Fernanda no Whiteboard dessa sala às 19h28min. Veja a

seguir:

Figura 80 – Fernanda: proposta de associação de funções

Fonte: Whiteboard da Sala Tarefa 2-3

Mas, Kaka do Grupo 3, visitou essa sala e estimulou um diálogo assíncrono com

participantes do Grupo 6. Percebemos com isso a importância de alguém que provoque e

estimule os diálogos nos grupos. Vejamos a seguir esse dialógo.

Sala Tarefa 2-3. Grupos 6 e Kaka. Diálogos sobre a função 𝒚 =𝒙𝟑

𝒙𝟐

Ln. 14 – Lili_14:41 (24.04): f4 é uma reta y=x ( letra j) Dom (f4) = reais

Ln. 15 – Lili_14:44 (24.04): ops é a letra g e o Dom (f4) = reais /{0} @: Message 14.

Ln. 43 – Kaka_16:35 (26.04): Creio que a função 4 não poderia ser considerada uma

reta pois o ponto (0, 0) não está presente nela.

Ln. 52 – May_18:47 (28.04): acho que poderia sim, mas seria descontínua só no ponto

Ln. 67 – Lili _19:22 (2.05): Kaka, f4 é reta sim e passa pela origem... mas, por outro

lado, caso não passasse pela origem não a impediria de ser uma reta. @: Message 43.


Grupo 6 e Kaka

Da visita de Kaka à Sala Tarefa 2-3, surgiu um diálogo interessante sobre a função da

letra (g) 𝑦 =𝑥3

𝑥2 , que foi associada, corretamente, pelo Grupo 6 à função 𝑓4. Apesar de Lili

(Ln. 15, Log 2-3) ter dito que 𝐷𝑜𝑚(𝑓4) = ℝ − {0}, ela classificou a função 𝑓4 =𝑥3

𝑥2 como uma

reta (Ln. 14. Log 2-3) e reafirmou isso na linha 67:

265

“Kaka, f4 é reta sim e passa pela origem... mas, por outro lado, caso não passasse pela

origem não a impediria de ser uma reta “ (Lili, Ln. 67).

Para muitos dos alunos da nossa pesquisa, função e domínio não “caminham de

mãos dadas”

Do diálogo acima, surgiu uma controvérsia com as seguintes hipóteses:

Essa controvérsia não foi resolvida na discussão dessa tarefa. Veremos se na próxima tarefa,

que quando essa função foi novamente abordada, os alunos retomaram essa discussão.

Os participantes da pesquisa continuaram buscando, em contatos assíncronos, mais

tarefas para realizar. Isto nos fez interpretar, que os alunos ficaram entusiasmados com o

tema discutido e com a plataforma VMT. Vejamos a seguir.

Sala Tarefa 2-2. Grupos 1 e 4. Acesso assíncrono. Tarefas

Ln. 125 – aluno 34: Prof: Wanderley há mais algumas atividade a ser realizada.

Ln. 148 – Johnny: minha sala nem é essa daqui mas to procurando alguma tarefa nova

p participar, mas acho que a profa não postou mais nenhuma não né?????

Ln. 149 – Vmais: nao

Ln. 150 – Vmais: acredito que só amanha

Ln. 151 – Vmais: essa semana deviamos só continuar as discursoes

sobre as tarefas que já estavam

Ln. 152 – Vmais: vou indo

Ln. 154 – Vmais: até amanha


Grupo 4 e Johnny


O Terceiro Encontro presencial realizado em 24 de abril, se encerrou por volta das

15h, mas Alequice, que juntamente com Carolzinha, apresentou, no teste investigativo

que fizeram com o professor Wanderley, uma definição de função como uma relação entre

duas grandezas, retomou a discussão sobre o conceito de função, agora de forma

Kaka

H2

A função 𝒇𝟒 não pode ser considerada uma reta, pois o ponto (𝟎, 𝟎) não está presente nela.

Lili

H1

O domínio da função 𝒇𝟒(𝒙) =𝒙𝟑

𝒙𝟐 é

ℝ − {𝟎} e 𝒇𝟒 é a reta 𝒚 = 𝒙

Controvérsia

266

assíncrona. Alequice já havia tentado retomar essa discussão no segundo encontro, quando

no Log da Sala Tarefa 1-1 escreveu:

“Acredito que quando define-se função por meio de conjuntos você acaba restringindo a uma simples coleção de objetos. Não havendo uma relação de variação que seria

mais abrangente” (Alequice, Ln. 59, Log 1-1).

“Quando digo variação leia-se variação entre grandezas. Noção de movimento”

(Alequice, Ln. 60, Log 1-1).

A seguir, nas linhas 52 a 57, 67, 83 a 85, 92 e 93, 95, 98, 102, 108, 129 do Log da Sala

Tarefa 2-1 está o diálogo provocado, de forma assíncrona, por Alequice. Nina e Kaka do

Grupo 3 e Cranio do Grupo 5 também se envolveram nesse discurso.

Sala Tarefa 2-1. Grupos 1 e 2, Nina, Kaka, Cranio. Conceito de função

Ln. 52 – Alequice_18:15 (25-04): Pesquisei em diversos livros e mto poucos falam sobre

o conceito de funções como uma relação entre duas grandezas.

Ln. 53 – Alequice_18:16 (25-04): Mesmo bons trabalhos como os abaixo

Ln. 54 – Alequice_18:16 (25-04):

http://www.feg.unesp.br/extensao/teia/aulas/AulasModulo03-pdf/ConceitoFuncao.PDF

Ln. 55 – Alequice_18:16 (25-04):

http://www.ufrrj.br/emanped/paginas/conteudo_producoes/docs_30/professores.pdf

Ln. 56 – Alequice_18:16 (25-04):

http://www.ccmn.ufrj.br/curso/trabalhos/pdf/matematica-trabalhos/funcoesem/trabalhos%20%20aprovados/o%20conceito%20de%20fun%C7%C3o.pdf

Ln. 57 – Alequice_18:21 (25-04): não dão o conceito de função como relação entre duas

grandezas. Eles introduzem função com tal mas não definem usando o conceito de variável. Eles acabam caindo no que fazem os nossos livros: definição por conjuntos. Em apenas um livro vi o conceito como um relacionamento entre variáveis: Conceito Fundamentais da Matemática do Bento de Jesus Caraçaa. Gostaria de saber dos colegas se os mesmos já viram o conceito deste livro e o q acham da definição dada por conjuntos.

Ln. 67 – Johnny_19:16 (26-04): a definição de função do caraça é bem mais abranjente

que o comum. primeiro ele expõe o surgimento do conceito a partir de necessidades práticas (assim como acontece com os nú naturais , racionais reais...) focando bastante na questão da correspondência, da relação entre variáveis. mas como não poderia deixar de ser , depois ele também trilha pelo caminho corriqueiro dos conjuntos domínio, contra-domínio, e lei de formação. @: Message 57.

Ln. 83 – Cranio (Gr 5)_10:57 (30-04): a definição seja via conjunto contra domínio, ou

grandezas, para mim soa bem semelhante. Não sei se estou errado. Mas acho que podemos pensar nas duas coisas dependendo da circunstância em que em que determinado assunto aparece.


267

Ln. 84 – Cranio (Gr 5)_11:01 (30-04): Notem que na situação em que tivemos que fazer

os exercícios propostos pela plataforma bastou analizar dois conjuntos numéricos hora limitado hora não. Note que não havia grandeza alguma. No entanto existem exercícios em que as grandezas aparecem e, Logo, são importantes.

Ln. 85 – Cranio (Gr 5)_11:04 (30-04): será que o conjunto de uma grandeza X não tem

x elementos, assim como um conjunto Y não tem y elementos e que ambos são relacionados por alguma fórmula ou lei?

Ln. 92 – Alequice_18:56 (01-05): Cranio no caso em que estavamos analisando nós, pelo

menos para mim, não estavamos analisando conjuntos numericos. Nós estavamos analisando valores em uma reta numerada ninguém afirmou que tratava-se de um conjunto em especial. Veja se não foi isso?

Ln. 93 – Alequice_19:01 (01-05): Cranio vc falou que a definição por conjuntos ou

grandezas soam bem semelhantes. Mas veja só quando falamos em grandeza a ideia de fluencia fica mto mais facil de observar que qdo falamos em conjunto. Fica mais facil, pelo menos para mim, de entender pois estamos vendo valores variar em nossa vida do tempo todo. Qto a pensarmos o conceito de função de acordo como o assunto aparece vc tem razão.

Ln. 94 – Alequice_19:02 (01-05): Vou colocar no whiteboard o conceito de função

baseado em variação de grandezas e em conjuntos para compararmos - com as devidas referências.

Ln. 95 – Alequice_19:18 (01-05): Observe que na primeira definição ele fala em variáveis

e conjuntos de números. Acho que fica mto mais forte o conceito e tem mto mais a ver com o que observamos em nosso redor: variação de grandezas. O que vcs acham?

Ln. 98 – Nina (Gr 3)_10:29 (01-05): Concordo com você Johnny, o livro do caraça é bem

mais abrangente, creio que é um tipo de livro voltado para professores mesmo, pois ele dá uma aprofundada em algumas questões. @: Message 67.

Ln. 108 – Cateto_21:47 (03-05): Alequice...concordo com o Cranio que a definição de

função por conjuntos ou grandezas é mesmo mt parecida com a por grandezas.Tive até uma dificuldade em postar aqui a definição por conjuntos...veja se esta seria a definição por conjuntos...depois de mt pensar analisar achei que sim!!! @: Message 93.

Ln. 129 – Johnny_17:21 (06-05):a definição de função do caraça é mais inclinada a

uma significação. para contextualizar em sala de aula fica melhor. essa difinição do elon é mais técnica, e com mais notações, didaticamente acho pior para se trabalhar em sala. o curioso é que esse livro do elon é usado como base do material lecionado no profmat, que tem a finalidade de melhorar a dinâmica em sala de aula. @: Message 95.


Grupos 1 e 2, Nina, Kaka, Cranio

Alequice, do Grupo2, envolvido com a discussão, pesquisou nos livros e postou uma

definição de função no Whiteboard em 01-05-2012. Ele postou uma definição de função que

encontrou no livro Conceitos Fundamentais da Matemática de Bento de Jesus Caraça, 1958

e que ele julgou ser uma definição que envolvia variação de grandezas. Postou também a

definição de função usando conjuntos encontrada no livro de Elon Lages Lima, A Matemática

do Ensino Médio, Volume 1.





268

Figura 81 – Conceito de função colocado no Whiteboard por Alequice em 01-05-2012

Fonte: Whiteboard da Sala Tarefa 2-1 do VMT – Alequice

Apresentamos a seguir, um esquema argumentativo sobre definição de função, que

surgiu de uma discussão entre os alunos Alequice, Johnny, Cranio, Nina e Cateto, depois

de uma provocação de Alequice, quando envolvidos na Tarefa 1. Alequice disse (Lns. 59 e

60, Log. 1-1):

“Acredito que quando define-se função por meio de conjuntos você acaba restringindo a uma simples coleção de objetos. Não havendo uma relação de variação que seria mais abrangente” “Quando digo variação leia-se variação entre grandezas. Noção de movimento”.

Alequice postou no Whiteboard da Sala Tarefa 2-1 duas definições de função. Uma,

extraída do livro de Bento de Jesus Caraça, de 1958, Conceitos Fundamentais da Matemática

e a outra, do livro de Elon Lages Lima et al., A Matemática do Ensino Médio, v.1. E a

controvérsia que encontramos nessa discussão foi:

Função é uma relação entre grandezas versus

Função é uma relação entre conjuntos

269

Figura 82 – Esquema argumentativo sobre definição de função. Função é uma relação entre grandezas? Função é uma relação entre conjuntos?

Fonte: Log da Sala Tarefa 2-1

270

A seguir estão as respostas dos alunos às questões da Tarefa 2.

Lembramos, que as funções da Tarefa 2, as mesmas da Tarefa 1 são:

𝑓1(𝑥) = 2𝑥 + 1 , 𝑓2(𝑥) = 𝑥2 , 𝑓3(𝑥) = 𝑥3 , 𝑓4(𝑥) =𝑥3

𝑥2 , 𝑓5(𝑥) =𝑥2

𝑥3 ,

𝑓6(𝑥) = 𝑥 +1

𝑥 , 𝑓7(𝑥) =

|𝑥|

𝑥 , 𝑓8(𝑥) = 𝑥|𝑥| , 𝑓9(𝑥) = 2 ⟦

𝑥

2⟧ ,

𝑓10(𝑥) = {𝑥 + 3 , 𝑥 ≤ 0

𝑥2, 𝑥 > 0

Os Grupos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 concordaram que a associação das funções é a seguinte:

Figura 83 – Associação das expressões algébricas às funções na Tarefa 2

Fonte: Whiteboard e Summary do VMT

Os Grupos 1, 2, 3, 4, 6 concordaram com o seguinte quadro de domínios das funções:

Figura 84 – Domínio das funções da Tarefa 2 Fonte: Whiteboard e Summary do VMT

O Grupo 5 não respondeu sobre o domínio das funções.

Quanto à pergunta, se divisão das funções continuava a mesma, temos as seguintes

respostas acompanhadas de alguns comentários:

𝑓1(𝑥) = 2𝑥 + 1 𝑓2(𝑥) = 𝑥2 𝑓3(𝑥) = 𝑥3 𝑓4(𝑥) =𝑥3

𝑥2

𝑓5(𝑥) =𝑥2

𝑥3 𝑓6(𝑥) = 𝑥 +1

𝑥 𝑓7(𝑥) =

|𝑥|

𝑥 𝑓8(𝑥) = 𝑥|𝑥|

𝑓9(𝑥) = 2 ⟦𝑥

2⟧ 𝑓10(𝑥) = {

𝑥 + 3 , 𝑥 ≤ 0

𝑥2, 𝑥 > 0

𝐷𝑜𝑚(𝑓10) = ℝ

𝐷𝑜𝑚(𝑓1) = ℝ 𝐷𝑜𝑚(𝑓2) = ℝ 𝐷𝑜𝑚(𝑓3) = ℝ

𝐷𝑜𝑚(𝑓4) = ℝ − {0} 𝐷𝑜𝑚(𝑓5) = ℝ − {0} 𝐷𝑜𝑚(𝑓6) = ℝ − {0}

𝐷𝑜𝑚(𝑓7) = ℝ − {0} 𝐷𝑜𝑚(𝑓8) = ℝ 𝐷𝑜𝑚(𝑓9) = ℝ

271

Figura 85 – Divisão das funções da Tarefa 2 após o trabalho no Applet 2

Divisão das funções da Tarefa 2 após a interagirem no Applet 2 e comentários

GRUPO 1:

Galois escreveu no Whiteboard:

A divisão das funções mudaria, pela maneira como elas foram apresentadas nessa atividade. Embora tenham o mesmo gráfico, a lei de formação nos daria outra visão quanto à classificação.

GRUPO 2: A divisão das funções continua a mesma. Divisão apresentada na Tarefa 1: Afim: 𝑓1 e 𝑓4 ....Quadrática: 𝑓2 e 𝑓8 Cúbica: 𝑓3 Degrau: 𝑓9 , Modular: 𝑓6 Não conseguimos classificar (função 𝑓7 e 𝑓10.). Não encontramos a lei de formação

GRUPO 3:

Quanto à divisão das funções, se continua a mesma, Nina escreveu no Whiteboard em 24 -

04: “Sim. Contínuas: 𝑓1 , 𝑓2, 𝑓3 e 𝑓8 e Não-Contínuas: 𝑓4 , 𝑓5 , 𝑓6, 𝑓7 , 𝑓9 , 𝑓10.

GRUPO 4:

Gods escreveu no Whiteboard em 24 - 04:

“nossa classificação em relação à simetria feita na atividade anterior permanece a mesma”. A saber: Funções Não Simétricas: 𝑓1 , 𝑓7 , 𝑓9 , 𝑓10 Funções Simétricas: 𝑓2, 𝑓3 , 𝑓4, 𝑓5 , 𝑓6 e 𝑓8 Simétricas com relação a origem: 𝑓3 , 𝑓4, 𝑓5 , 𝑓6 e 𝑓8 Simétricas com relação ao eixo 𝒚 : 𝑓2

GRUPO 5: O Grupo 5 não respondeu se mantinha ou não a divisão das funções apresentadas anteriormente no Encontro 2. Suzana escreveu no Whiteboard em 01 - 05: “Eu só consegui identificar cada função com a ajuda da construção. A função escada é realmente bem difícil de visualizar, mas acho que isso se deve ao pouco contato que temos com esse tipo de função”.

272

GRUPO 6: No Encontro 1, o Grupo 6 apresentou a seguinte classificação de funções:

Contínuas: 𝑓1 , 𝑓2, 𝑓3 , 𝑓4 , 𝑓8

Não-Contínuas: 𝑓5 , 𝑓6, 𝑓7 , 𝑓9 , 𝑓10.

No Encontro 2, o Grupo 6 não mencionou uma classificação para as funções, mas em 25-04,

May, escrevendo pelo grupo, colocou no Whiteboard um quadro com as funções, seus

domínios e uma classificação para cada uma delas.

𝑓1 é a reta 𝑦 = 2𝑥 + 1 𝐷𝑜𝑚(𝑓1) = ℝ

𝑓2 é a parábola 𝑦 = 𝑥2 𝐷𝑜𝑚(𝑓2) = ℝ

𝑓3 é a cúbica 𝑦 = 𝑥3 𝐷𝑜𝑚(𝑓3) = ℝ

𝑓4 é a reta 𝑦 =𝑥3

𝑥2 𝑫𝒐𝒎(𝒇𝟒) = ℝ − {𝟎}

𝑓5 é a hipérbole 𝑦 =𝑥2

𝑥3 𝐷𝑜𝑚(𝑓5) = ℝ − {0}

𝑓6 é a hipérbole 𝑦 = 𝑥 +1

𝑥 𝐷𝑜𝑚(𝑓6) = ℝ − {0}

𝑓7 é a composição de duas constantes 𝒚 =|𝑥|

𝑥 𝐷𝑜𝑚(𝑓7) = ℝ − {0}

𝑓8 á composição de duas metades de parábolas 𝑦 = 𝑥|𝑥| 𝐷𝑜𝑚(𝑓8) = ℝ

𝑓9 é a função escada 𝐷𝑜𝑚(𝑓9) = ℝ

𝑓10 é a composição de uma reta e meia parábola

𝑦 = {𝑥 + 3 , 𝑥 ≤ 0

𝑥2, 𝑥 > 0 𝐷𝑜𝑚(𝑓10) = ℝ

Peu escreveu no Whiteboard em 30-04:

“Concordo com todas as classificações. Agora eu consigo ver as hipérboles! Mas não enxergo

a 𝒇𝟗 como escada, preciso do gráfico pra isso, fiz por exclusão”.

Fonte: Whiteboard e Summary do VMT

Nas respostas dadas pelos grupos vemos a importância que o registro algébrico das

funções tem para os alunos. Galois escreveu no Whiteboard:

“Embora tenham o mesmo gráfico, a lei de formação nos daria outra visão quanto à classificação”.

Alunos do Grupo 2 postaram:

“Não conseguimos classificar (função 𝑓7 e 𝑓10.). Não encontramos a lei de formação”.

Observamos, mais uma vez, que alguns alunos falam de função sem se preocupar

com o seu domínio. O Grupo 6 escreveu que 𝑓4 é a reta 𝑦 =𝑥3

𝑥2 , mas disse que 𝑫𝒐𝒎(𝒇𝟒) é

273

ℝ − {𝟎}. Os alunos do Grupo 6 usaram a palavra composição com um significado diferente,

daquele usado para composição de funções na literatura matemática. Por exemplo, para

esses alunos:

a função 𝑓7 é a composição de duas constantes 𝒚 =|𝑥|

𝑥 ;

a função 𝑓8 á composição de duas metades de parábolas 𝑦 = 𝑥|𝑥| ;

a função 𝑓10 é a composição de uma reta e meia parábola

𝑦 = {𝑥 + 3 , 𝑥 ≤ 0

𝑥2, 𝑥 > 0

Das conclusões dos alunos do Grupo 6 destacamos a seguinte Montagem:

Função Por Partes é Função Composta,

que apresentamos a seguir118

Figura 86– Montagem : Por Partes é Composta


118

Compor: tornar unido, juntar partes foi retirado do Dicionário Houaiss da língua portuguesa, 1.ed. Rio de Janeiro: Objetiva, 2009.

274

Segundo Fauconier e Turner (2002), nosso Espaço Mental é dinâmico, assim após a

exploração com applets, e a participação dos alunos nos discursos produzidos durante a

implementação das Tarefas 1 e 2, houve uma modificação na montagem anterior de

Funções, que todos tínhamos. Essa nova Montagem é representada no esquema da figura a

seguir.

Figura 87 – Montagem : Função


5.4 QUARTO ENCONTRO. TAREFA 3: Continuidade. O que é isso?

Nesse quarto encontro nossa tarefa abordou o tema “Continuidade”. Analisando os

diálogos produzidos pelos grupos, durante o desenvolvimento da Tarefa 2, que ainda era

sobre o tema “Funções”, percebemos que muitos alunos não levavam em consideração o

domínio quando analisavam as funções. Decidimos então, preparar para a Tarefa 3 –

Continuidade. O que é isso?, questões sobre continuidade de função, nas quais o domínio

das funções envolvidas, interferisse na análise da questão. Com isso tivemos mais uma

oportunidade, para ouvir o que os alunos falam sobre domínio de uma função.

As salas para essa tarefa são: Sala Tarefa 3-1, Sala Tarefa 3-2 e Sala Tarefa 3-3. Nesse

encontro cada aluno trabalhou em um computador, a comunicação foi toda através do VMT

275

e os alunos trabalharam muito atentamente e interagiram bastante, o que poderá ser

observado nos Logs das salas. A Sala Tarefa 3-1 foi destinada aos Grupos 1 e 2 (Cateto,

Johnny, Galois, Alequice, Mb, Carolzinha). Na Sala Tarefa 3-2 interagiram os Grupos 3

e 4 (Kaka, Nina, Uyio, Gods, Vmais, Glasm, aluno 34) e na Sala Tarefa 3-3 os Grupos

5 e 6 (Suzana, Cranio, Fernanda, May, Peu, Lili, Amiga).

A Tarefa 3 é composta de sete questões e foi pensada para ser trabalhada de forma

síncrona nesse encontro presencial do dia 08 de maio e de forma assíncrona nos dias entre

esse e o quinto encontro presencial do dia 05 de junho. Como eram muitas questões, elas

foram colocadas no Summary e também no Whiteboard. Esses quadros ficaram um pouco

confusos, e depois refletindo sobre isso, vimos que poderíamos ter disponibilizado as

questões aos poucos, durante o encontro, mas os alunos já bastante familiarizados com o

VMT, foram colaborando uns com os outros e encontrando as questões da tarefa. Alguns

alunos entregaram um material escrito, que continham gráficos da Questão 4.

O Professor Wanderley e o aluno Galois do Grupo 1 não participaram desse

encontro, pois eram responsáveis por atividades na VI Semana da Matemática da UFF, que

começava nesse mesmo dia.

Decidimos analisar somente as questões 1, 2, 3 e 5, pois elas já nos oferecem um rico

e longo material de pesquisa. Deixaremos os dados das questões 4, 6 e 7 para trabalhos

futuros. Analisaremos questão por questão

Questão 1 da Tarefa 3

(a) Estamos interessados em saber o que vem a sua cabeça quando ouve a palavra continuidade em diversos contextos, não apenas o matemático

(b) Escreva o que significa para você uma função ser contínua.

(c) Gostaríamos de saber se você conhece propriedades das funções contínuas. Conte-nos o que lembra.

Apresentamos a seguir, recortes dos diálogos referentes a essa questão produzidos

nas salas abertas no VMT para esse encontro.

276

Sala Tarefa 3-1. Grupos 1 e 2. Diálogos sobre a Questão 1

Ln. 7 – Carolzinha: olá

Ln. 8 – Alequice: fala ai carol ja comecou a fazer as tarefa 1

Ln. 9 – Johnny: colcoquei uma ideia de função contínua no summary. É isso

mesmo???

Ln. 10 – MaluT: Pode ser no Summary, mas é bom você ir avisando como fez agora. @:

Message 9.

Ln. 11 – Johnny: alguém lembra das propriedades de função contínuas?

Ln. 12 – Carolzinha: não lembro! =(

Ln. 13 – Johnny: nem eu.

Ln. 14 – Cateto: Nem eu.

Ln. 15 – Carolzinha: Alequice?

Ln. 16 – Alequice: basicamente o limite da função no ponto tem que ter o mesmo

valor da função naquele ponto

Ln. 17 – Johnny: os dois limites??? tanto o limite esquerdo quanto o direito? @:

Message 16.

Ln. 18 – Alequice: lim f(x) qdo x tende a b tem que ser igual a f(b)

Ln. 19 – Alequice: sim os dois limites tanto pela direita quanto pela esquerda

Ln. 20 – Cateto: Isso ai Alequice. Ta certo.

Ln. 21 – Carolzinha: muito bem!

Ln. 22 – Alequice: vlw

Ln. 23 – Alequice: tem tb a questao de ser derivável num ponto

Ln. 24 – Cateto: Podemos dizer então que os limites laterais são iguais em qq ponto da

função. Isso não seria uma propriedade de continuidade....resposta da C)?????

Ln. 25 – Cateto: Acho que a melhor resposta da B) seria é uma função que não

apresenta "buracos", pontos que não pertencem a função....o que acham????

Ln. 26 – Alequice: mas quando falamos em continuidade de funçao por limite, acho,

que so podemos ver para um ponto nao estou bem certo

Ln. 27 – Johnny: RESpondendo assim fica muito vago. acho que buracos não éuma

definição muito precisa. @: Message 25.

Ln. 28 – Cateto: rs ok jhonny.....

Ln. 29 – Carolzinha: tb acho, Johnny

Ln. 30 – Carolzinha: precisamos melhorar isso

Ln. 31 – Alequice: vcs já pensarm no item a

Ln. 32 – Carolzinha: o item a é continuidade de forma abrangente...

Ln. 33 – Alequice: f10 e uma funcao continua pois o ponto que poderia ser de

descontinuidade foi redefinido

Ln. 34 – Johnny: acho que a palavra buracos pode ser usada no item a. @: Message

32.

Ln. 513 – Galois: Por Partes: Tarefa 3: Numero 1: a) algo continuo, onde nao ha

interrupçao ... dar sequencia a algo ... continuar um processo

277

Ln. 514 – Galois: b) funçao ser continua, para mim eh aquela cujo grafico nao

apresenta "buracos" ... onde para qualquer x, exista uma imagem ... onde ela esta definida

Ln. 515 – Galois: c) lembro de alguns teoremas sobre continuidade, como: teorema de

rolle, bolzano, regra de l'hopittal, tfc ...

Ln. 516 – Galois: Tartefa 3. Numero 2: as fçs 1 e 3 sao continuas ... estao definidas para

todo x real. nao ha "buracos" em seus graficos.

Ln. 517 – Galois: Ja as demais, nao estao definidas em x=0 ... nao sao continuas nesse

ponto.

Ln. 518 – Galois: Mais tarde eu posto minhas respostas para a tarefa 3 em diante ...

Desculpem a ausencia Log da Sala Tarefa 3-1

Questão 1 – Grupos 1 e 2 Em 08-05-2012. Das 12h31min (Ln. 07) às 12h47min (Ln. 34)

Em 15-05-2012. Das 11h01min (Ln. 513) às 12h22min (Ln. 518)


Ln. 13 – Uyio: Quando penso em continuidade, penso em sequencia, algo sequencial.

Uma coisa vindo imediatamente após a outra. Tipo: alguém vai dar continuidade a um trabalho, vai dar sequência a ele. Penso sempre em seguir uma mesma ideia.

Ln. 14 – Nina: Quando penso na palavra continuidade vem na minha cabeça, algo que

posso desenhar se tirar o lápis da folha.

Ln. 15 – Kaka: Algo ininterrupto.

Ln. 16 – Vmais: Podemos dizer que uma função é continua quando existe um "salto"

em determinado ponto do dominio. ou seja a função não é definida para tal ponto, ou nao existe imagem pela função dada para tal ponto.

Ln. 18 – Nina: ops faltou o "m" em sem,

Ln. 19 – Vmais: perdao descontinua quando existe o salto

Ln. 20 – Kaka: Também penso como você Nina.

Ln. 21 – Vmais: Mas podemos desenhar uma função continua tirando o lapis do papel,

caso do exemplo 1 a função é continua mas tiramos o lápis do papel para desenhar

Ln. 23 – Uyio: Pra mim, uma função é contínua quando, caso a imagem seja limitada

(tipo, Im (f) = [a,b]) todos os pontos entre a e b tenham ligação com o domínio.

Ln. 25 – Nina: Uma função é contínua quando, o limite pelos dois lados tende ao

mesmo valor.

Ln. 26 – Vmais: Concordo com vc!

Ln. 27 – Vmais: Concordo com Uyio @: Message 23.

Ln. 28 – Uyio: Pois uma pega de onde a outra parou, dá uma continuidade.

Ln. 29 – Kaka: Não concordo com você Uyio

Ln. 30 – Vmais: sim, como no exemplo da f10

Ln. 31 – Vmais: Por que Kaka ?

Ln. 32 – Kaka: Pra mim, o primeiro exemplo não representa uma função contínua.

Ln. 33 – Kaka: Ela tem domínio real, mas isso não significa que ela seja contínua.

278

Ln. 34 – Uyio: De certa forma sim, mas mesmo que de uma forma diferente, um ponto

da imagem dá continuidade a outro, não que se ligue, de fato.

Ln. 35 – Uyio: É tipo uma história: pra ter uma noção, as vezes temos que conta-la de

vistas diferentes, que são incomuns entre si.

Ln. 37 – Uyio: Um dia lembro que estudo ciências exatas, tô viajando.

Ln. 39 – Nina: É não tinha pensado nesse caso.... @: Message 21.

Ln. 43 – Uyio: Tipo, pra que haja uma continuidade na história, temos que buscar

outras informações./

Ln. 47 – Uyio: Eu não lembro muita coisa de funções contínuas. Aprendi iddo em 2007, e

nunca mais voltei a estudar. Quiça em 2010, com análise real.

Ln. 107 – Glasm: uma função é continua quando não tem "quebra" na construção do

seu gráfico,né? Log da Sala Tarefa 3-2

Questão 1 – Grupos 3 e 4 Em 08-05-2012. Das 12h31min às 13h06min


Ln 5 – Peu: 1a) A palavra continuidade me da ideia de algo continuo

Ln. 9 – May: 1 a continuidade algo nunca acaba

Ln. 11 – Peu: é... também acho isso

Ln. 13 – May: função contínua é uma função que não há uma ruptura

Ln 14 – Peu: 1b) Uma função contínua é uma função que em todos os pontos do

domínio que vc desenhe no gráfico, não seja precise tirar o lápis do papel

Ln. 15 – Peu: ruptura, no sentido de pulo, certo? @: Message 13.

Ln. 16 – Peu: gostei dessa palavra, ruptura, ou mesmo, "romper o movimento"

Ln. 17 – May: função contínua não me lembro disso muito bem não... o que lembro era

que tinha que analisar onde havia o ligamento dos pontos mas já esqueci como se faz

Ln. 57 – MaluT: Mesmo que você não lembe do que aprendeu no seu curso, veja o que

o você pensaria sobre isso agora. lembre que não estamos atrás de certo ou errados, mas sim do que você pode pensar sobre isso.

Ln. 58 – Suzana: cheguei um pouco depois mais vou dar minha ideia de continua. a meu

ver é algo que não sobre nenhuma interrupção

Ln. 61 – Suzana: a função contínua é a função que não possui "buracos"

Ln. 65 – Peu: não apresentam interrupção, algo continuo, em movimento

Ln. 66 – Peu: (gostei disso, em movimento, algo que não esta parado)

Ln. 67 – Suzana: não me lembro das propriedades

Ln. 70 – Lili: 1) continuidade = não tem buracos

Ln. 136 – Fernanda: Olá pessoal cheguei atrasada com sempre. Estava trabalhando.

Ln. 142 – Fernanda: Já li todos os comentários que vocês fizeram hoje, concordo a

função contínua é aquela conhecida que já chamamos vulgarmente de sem "sem buraco"

279

Ln 157 – Fernanda: Não me recordo das aulas de cálculo funções contínuas, limites ,

derivadas(Propriedades, teoremas ...), mas vamos ver se ainda sai algo da minha caixola.

Ln. 181 – Amiga: podemos pensar na palavra continuidade em outros contextos, como

sendo uma curva que não quebra, e que também não tenha buracos. pode ter começo e fim, ou, não pode ter começo e fim

Ln 185 – Cranio: em minha cabeça, continuidade é algo sem barreiras no contexto

analisado.

Ln 192 – Cranio: para mim uma função é contínua quando não há falha na linha que

configura o gráfico dado pela relação do domínio com o contradomínio.

Ln 208 – Cranio: conheço propriedades de função contínua sim. Lembro-me que uma

função é contínua quando não há fralha na correspondência do domínio com o contradomínio.

Sala Tarefa 3-3 Questão 1 – Grupos 5 e 6


Vemos nos diálogos produzidos pelos alunos das Salas Tarefa 3-1, Tarefa 3-2, Tarefa

3-3 uma rica colaboração e interação. Johnny, do Grupo 1, no início do diálogo da Sala

Tarefa 3-1, Ln. 9, comunicou que colocou uma ideia de função contínua no Summary dessa

sala. No dia 08 de maio, às 12h32min, ele postou o seguinte:

Figura 88 – Johnny: Ideias sobre continuidade – Summary em 08-05-2012 – 12h32min

Fonte: Summary da Sala Tarefa 3-1 do VMT

Mesmo alunos, que chegaram atrasados ao encontro, fizeram questão de participar

do diálogo, colaborar com o grupo como podemos observar em algumas “falas” de alunos da

Sala Tarefa 3-3.

“cheguei um pouco depois mais vou dar minha ideia de continua. a meu ver é algo que

não sobre nenhuma interrupção” (Suzana, Ln. 58, Log 3-3);

“Olá pessoal cheguei atrasada como sempre. Estava trabalhando”. “Já li todos os comentários que vocês fizeram hoje, concordo a função contínua é aquela conhecida

que já chamamos vulgarmente de sem "sem buraco" (Fernanda, Lns. 136 e 142, Log

3-3).

280

O diálogo teve início com Johnny, Carolzinha e Cateto dos Grupos 1 e 2

demonstrando dúvidas sobre as propriedades das funções contínuas (Lns. 11, 12, 13 e 14,

Log 3-1), quando Carolzinha (Ln. 15, Log 3-1) solicitou a participação de Alequice, que se

pronunciou: “basicamente o limite da função no ponto tem que ter o mesmo valor da

função naquele ponto” (Ln.16, Log 3-1), ao que Cateto (Ln. 20, Log 3-1) e Carolzinha (Ln.

21, Log 3-1) imediatamente concordaram: “Isso aí, Alequice. Ta certo”. “Muito bem!”. Para

nós, estava implícito nesse diálogo o respeito que os alunos desses grupos tinham pela

opinião de Alequice. Continuamos a observar a relação desses alunos com Alequice e

percebemos, que a liderança de Alequice foi se evidenciando ao longo do desenvolvimento

das tarefas. Iremos apontar isso, sempre que for o caso.

Vamos destacar, a seguir, os principais significados para continuidade que foram

produzidos pelos alunos dos Grupos 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Cateto (Ln. 25, Log 3-1) propôs uma

resposta para o item (b) da Questão 1: “Escreva o que significa para você uma função ser

contínua”.

“Acho que a melhor resposta da B) seria é uma função que nao apresenta "buracos",

pontos que não pertencem a função....o que acham????” (Cateto, Ln. 25, Log 3-1).

Johnny (Lns. 27 e 34, Log 3-1) achou que “buracos” não era uma definição muito

precisa, que a definição ficava muito vaga, mas que a palavra “buraco” poderia ser usada no

item (a), que pergunta sobre continuidade de forma abrangente. Carolzinha (Lns. 29 e 30,

Log 3-1) concordou com Johnny, sugerindo que deveriam melhorar essa ideia de função

contínua.

O que apareceu nesse diálogo, quando perguntamos sobre o que vinha a cabeça dos

alunos quando ouviam a palavra continuidade, pensando nessa palavra em vários

contextos, foram as ideias que muitos livros didáticos de Cálculo (por exemplo, Anton,

Bivens e Davis (2007); Thomas et al (2002), Stewart, J. (2009); Hughes-Hallett et al (2008);

Guidorizzi (1985) trazem como ideias intuitivas para introduzir o conceito de continuidade:

281

“uma função que nao apresenta "buracos"” (Cateto, Ln. 25, Log 3-1);

“aquilo que não tem interrupção” (Johnny, Summary, 08-05, 13h32min);

“algo que posso desenhar se tirar o lápis da folha” (Nina, Ln. 14, Log 3-2),

“não tem "quebra" na construção do seu gráfico” (Glasm, Ln. 107, Log 3-2);

“é uma função que não há uma ruptura” (May, Ln. 13, Log 3-3);

“não apresentam interrupção, algo continuo, em movimento” (Peu, Ln. 65, Log 3-

3); “quando não há falha na linha que configura o gráfico dado pela relação do

domínio com o contradomínio” (Cranio, Ln. 192, Log 3-3).

Por outro lado quando perguntamos sobre o significado de função contínua e suas

propriedades alguns alunos apresentaram ideias que envolviam limites, como

“basicamente o limite da função no ponto tem que ter o mesmo valor da função

naquele ponto” (Alequice, Ln. 16, Log 3-1);

“uma função é contínua quando, o limite pelos dois lados tende ao mesmo valor”

(Nina, Ln. 25, Log 3-2).

Surgiram então as dúvidas:

“os dois limites?? tanto o limite esquerdo quanto o direito?” (Johnny, Ln. 17, Log

3-1); “mas quando falamos em continuidade de funçao por limite, acho, que so podemos

ver para um ponto nao estou bem certo” (Alequice, Ln. 26, Log 3-1);

“tem tb a questao de ser derivável num ponto” (Alequice, Ln; 23, Log 3-1),

“uma função é contínua quando, caso a imagem seja limitada (tipo, Im (f) = [a,b])

todos os pontos entre a e b tenham ligação com o domínio” (Uyio, Ln. 23, Log 3-2).

Nessa primeira questão, nenhum aluno mencionou a ideia de continuidade por

e 𝛿 .

De um diálogo entre os alunos dos Grupos 3 e 4, surgiu pela primeira vez a ideia que

uma função é contínua em um ponto, se for definida nesse ponto, mesmo que se tire o

lápis do papel para traçar o seu gráfico, como podemos ver a seguir.

Nina: Quando penso na palavra continuidade vem na minha cabeça, algo que posso

desenhar se tirar o lápis da folha (Ln. 14, Log 3-2).

Kaka: Algo ininterrupto (Ln. 15, Log 3-2).

Nina: ops faltou o "m" em sem (Ln. 18, Log 3-2).

Vmais: Mas podemos desenhar uma função continua tirando o lapis do papel, caso

do exemplo 1 a função é continua mas tiramos o lápis do papel para desenhar ((Ln. 21, Log 3-2).

282

Uyio: Pois uma pega de onde a outra parou, dá uma

continuidade (Ln. 28, Log 3-2).

Kaka: Não concordo com você Uyio (Ln. 29, Log 3-2).

Vmais: sim, como no exemplo da f10 (Ln. 30, Log 3-2).

Vmais: Por que Kaka ? (Ln. 31, Log 3-2).

Kaka: Pra mim, o primeiro exemplo não representa uma

função contínua (Ln. 32, Log 3-2).

Kaka: Ela tem domínio real, mas isso não significa que ela seja contínua (Ln. 33, Log 3-

2).

Uyio: DE certa forma sim, mas mesmo que de uma forma diferente, um ponto da

imagem dá continuidade a outro, não que se ligue, de fato (Ln. 34, Log 3-2).

Nina: É não tinha pensado nesse caso.... (Ln. 34, Log 3-2).

No diálogo acima apareceu uma controvérsia, com Nina e Kaka defendendo a hipótese:

H1: Uma função é contínua se eu posso desenhar o seu gráfico sem tirar o lápis do papel,

e Vmais e Uyio defendendo a hipótese:

H2: Posso desenhar o gráfico de uma função contínua tirando o lápis do papel.

Apenas Nina, depois das argumentações do grupo, se manifestou dizendo que não

tinha pensado na hipótese proposta por Vmais, de que é possível desenhar uma curva

contínua tirando o lápis do papel. Os outros participantes do discurso mantiveram, naquele

momento, as suas hipóteses.

A seguir, apresentamos um esquema argumentativo dessa discussão.

283

Figura 89 – Esquema argumentativo – Função Contínua: tiro o lápis do papel ou não?


Nina e Kaka H1

Uma função é contínua se eu posso desenhar o seu gráfico sem tirar o lápis do papel

H2

Podemos desenhar uma função continua tirando o lápis do papel. A função 𝑓10 é contínua

Vmais e Uyio

H2

Posso desenhar o gráfico de uma função contínua tirando o lápis do papel

H2

Controvérsia

Participando do discurso

Vmais

Kaka

Concordo com Uyio

Uma pega de onde a outra parou, dá uma

continuidade.

Ela tem domínio real, mas isso não significa

que ela seja contínua.

Continuidade: algo que posso desenhar sem tirar o lápis da folha.

Nina

É não tinha pensado nesse

caso....

De certa forma sim, mas mesmo que de uma forma

diferente, um ponto da imagem dá continuidade a outro, não que se ligue, de

fato.

Não concordo com você Uyio. A função

𝑓10(𝑥) = {𝑥 + 3 , 𝑥 ≤ 0

𝑥2 , 𝑥 > 0

não é contínua

Uyio

A função tem

que ser definida

no ponto.

Se uma extremidade do gráfico

é fechada então o gráfico tem

continuidade, mesmo que ele

dê um salto.

284

Resumimos a seguir, os significados produzidos pelos alunos para continuidade em

diversos contextos e também o que significava para eles uma função ser contínua.

Figura 90 – Significados produzidos pelos alunos para continuidade

CONTINUIDADE?!

NÃO APRESENTA SALTOS

NÃO APRESENTA BURACOS

não tem quebra na construção do gráfico

ALGO QUE NÃO PARA

POSSO DESENHAR SEM TIRAR O LÁPIS DO PAPEL

Algo Ininterrupto é algo contínuo

algo em movimento

algo que continua a acontecer O TEMPO

quando não rompe o movimento

seguir a mesma ideia

algo sequencial

Fonte: Diálogos no VMT. Elaborado pela pesquisadora

Mas, os alunos Uyio e Vmais, dialogando na Sala Tarefa 3-2, produziram um

significado diferente para continuidade, que mostraremos no diagrama a seguir.

285

Figura 91 – Significados produzidos para continuidade pelos alunos Uyio e Vmais

PODEMOS DESENHAR UMA FUNÇÃO CONTÍNUA

TIRANDO O LÁPIS DO PAPEL.

Como a função

Uma pega de onde a outra parou, dá continuidade!!!

Um ponto da imagem dá continuidade a outro,

não que se ligue, de fato.


Quanto a uma função ser contínua, encontramos as seguintes falas:

Figura 92– Significados produzidos para função contínua


Função contínua: basicamente, o limite da função no ponto tem que ter o mesmo valor da função naquele ponto.

Alequice

Dizer que os limites laterais são iguais em qualquer ponto da função.

Cateto

Função contínua é aquela que pode ser derivada em todos os pontos.

Johnny

Acho que buracos não é uma definição muito precisa [para função contínua].

Johnny

A função é definida em todos os pontos.

Implícito na fala de Vmais

286

Na Questão 1, buscamos conhecer as ideias dos alunos sobre continuidade nos

diversos contextos, conhecer o que significava para eles uma função ser contínua.

Na Questão 2, voltamos a apresentar em dois tipos de registro, o algébrico e o

gráfico, algumas das funções da Tarefa 1, para que os alunos analisassem a continuidade das

mesmas. Gostaríamos de saber, se os alunos ao se depararem com exemplos diversificados,

mudariam seus discursos sobre continuidade de função, com relação ao que apresentaram

na Questão 1, e qual a evolução desse discurso ao longo das discussões da Questão 2.


Considerando algumas funções da Tarefa 1

𝑓1(𝑥) = 2𝑥 + 1 , 𝑓3(𝑥) = 𝑥3 , 𝑓4(𝑥) =𝑥3

𝑥2 , 𝑓5(𝑥) =𝑥2

𝑥3 , 𝑓6(𝑥) = 𝑥 +1

𝑥 ,

𝑓7(𝑥) =|𝑥|

𝑥 , 𝑓9(𝑥) = 2 ⟦

𝑥

2⟧

Analise cada uma das funções abaixo quanto a sua continuidade. Justifique todas as suas respostas.

287

288

Analisando os Logs das três salas abertas no VMT para a discussão das questões 2, 3 e

5 da Tarefa 3, observamos que as dinâmicas de discussão nessas salas foram bastante

diferentes, e decidimos então, analisar cada sala separadamente.

Questão 2 Sala Tarefa 3-1. Log 3-1. Grupos 1 e 2

Analisando o Log da Sala Tarefa 3-1, observamos que esses alunos após a discussão

da Questão 1, discutiram a Questão 3 e não a Questão 2. Carolzinha considerando que a

Questão 3 estava resolvida (Lns 73 e 74), suficientemente discutida e acordada, e tentando

organizar os trabalhos, propôs na linha 69, continuar a tarefa, como veremos no diálogo a

seguir.

Sala Tarefa 3-1. Grupos 1 e 2. Estabelecendo acordos. Questão 2

Ln. 69 – Carolzinha: vamos fazer a 2, gente?

Ln. 70 – Carolzinha: no whiteboard

Ln. 71 – Cateto: Acho melhor continuarmos fazendo a 3 né?! Jácomeçamos. @:

Message 70.

Ln. 72 – Alequice: vc acha, carol, q a fç 5 e continua?

Ln. 73 – Carolzinha: na verdade, já falamos de todas as letras... não acha Cateto?

Ln. 74 – Carolzinha: q falta?

Ln. 75 – Cateto: Agora q percebi. É verdade acabou!!rsrsr @: Message 74.

Ln. 76 – Carolzinha: hahaha

Ln. 77 – Carolzinha: vamos organinzar isso....

Ln. 78 – Carolzinha: f1 Log da Sala Tarefa 3-1


Carolzinha (Ln. 69) quando disse: “vamos fazer a 2, gente?”, propôs retomar a

tarefa na ordem em que ela se apresentava. Observamos nesse diálogo, os alunos

estabelecendo acordos, buscando adesão, organizando o trabalho (Lns 70,71). Quando

Alequice (Ln. 72) perguntou:

“vc acha, carol, q a fç 5 é continua?”

289

Carolzinha (Ln. 76), com bastante descontração e familiaridade (“hahaha”),

discordou, e tentando organizar o trabalho disse (Ln. 77): “vamos organinzar isso....”, e

propôs (Ln. 78) começar do começo, da função 𝑓1. Observemos o seguinte diálogo:

Sala Continuidade Tarefa 3-1. Grupos 1 e 2. Organizando os trabalhos

Ln. 77 – Carolzinha: vamos organinzar isso...

Ln. 78 – Carolzinha: f1

Ln. 79 – Alequice: f1 continua

Ln. 80 – Carolzinha: todo mundo concorda?

Ln. 81 – Johnny: concordo

Ln. 82 – Carolzinha: Cateto?

Ln. 84 – Carolzinha: proxima...

Ln. 85 – Carolzinha: f3

Ln. 90 – Alequice: vou dar um pulo danado!! O que vcs acham da f9? Continua em

todos os pontos??

Ln. 92 – Carolzinha: calma, Alequeci

Ln. 155 – Alequice: o unico ponto que pode gerar descontinuidade e o 0 entao

determinando os limites laterais temos: pela direita +infinito e pela esquerda -infinito logo o limite não existe

Ln. 157 – Carolzinha: vc estão falando de qual, Alequice?

Ln. 158 – Carolzinha: f6?

Ln. 159 – Cateto: sim @: Message 157.

Ln. 160 – Carolzinha: hum...

Ln. 161 – Carolzinha: e f7, gente?

Ln. 245 – Carolzinha: passamos ao proximo exercício

Log da Sala Tarefa 3-1 Organizando os trabalhos – Grupos 1 e 2


Carolzinha conduziu os trabalhos, estimulou a participação de seus parceiros de sala

no discurso, e buscava a adesão do grupo para as suas propostas:

“todo mundo concorda?” (Carolzinha, Ln. 80).

Esse diálogo aponta Carolzinha, como uma líder organizacional dos trabalhos dessa

sala. Regras sociais foram sendo estabelecidas, a medida que se faziam necessárias, não

foram impostas, o grupo era livre para desenvolver suas regras.

O diálogo a seguir, nos mostra que os trabalhos na Sala Tarefa 3-1, entre os

alunosdos Grupos 1 e 2, aconteceram de forma descontraída, amigável, o que favoreceu e

estimulou a interação entre eles.

290

Sala Tarefa 3-1. Grupos 1 e 2. Descontração no discurso

Ln. 112 – Carolzinha: f4 é a identidade

Ln. 113 – Johnny: identidade acho que não. ela não é definida p x=0.

Ln. 114 – Alequice: f4 nao e a identidade ela se "parece" com a identidade

Ln. 116 – Carolzinha: parece mais não é

Ln. 117 – Carolzinha: rsrs

Ln. 119 – Alequice: pois nao esta definida em xis igual a zero

Ln. 120 – Carolzinha: pois é

Ln. 121 – Alequice: com certeza KKKK

Ln. 122 – Cateto: Isso ai Carol fomos enganadas! @: Message 117.

Ln. 123 – Carolzinha: hahahahaha

Ln. 124 – Alequice: carol e Cateto muitas vezes as aparencias enganam KKKK

Ln. 126 – Carolzinha: quem ve cara, não ve coração

Ln. 128 – Carolzinha: mas então... continuando com a continuidade

Ln. 129 – Alequice: KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK

Ln. 131 – Alequice: essa foi boa continuando a continuidade KKK

Ln. 169 – Alequice: na f4 a fç nao esta definida para x =0. O q podemos fazer e redefinir

a fç. P ex qdo x = 0 f(x) = 2.

Ln. 175 – Johnny: a lei de formação dela ficaria parecida com a fç identidade, mas

apenas para fins de cálculo do limite. tá dizendo porque já vi aplicações desse tipo em outros exemplos de fçs.

Ln. 181 – Alequice: nesse caso Johnny vc evitou a descontinuidade da fç.

Ln. 182 – Johnny: rsrsrsrsrsrs. eu sou muito espertinhio né??? o verdadeirop jeitinho

brasileiro. srrsrsrsrs @: Message 181.

Ln. 218 – Alequice: Nos estamos fazendo a f9

Ln. 219 – Cateto: Não conseguimos ainda entender direito a f9! @: Message 215.

Ln. 241 – Alequice: depois podemos discutir mais pela plataforma

Ln. 242– Carolzinha: ok

Ln. 244 – Alequice: Apareceu heim Carol KKKKKKK

Ln. 246 – Carolzinha: kkkkkkkkkkkkkk

Ln. 247 – Alequice: tava meio sumida KKKKKK

Ln. 248 – Carolzinha: maior briga, não me meto

Ln. 250 – Alequice: ta certa kkkkkk

Ln. 252 – Cateto: Tava entendendo td!! kietinha!! @: Message 247.

Ln. 259 – Alequice: vamos discutir logo sobre esse trem o tempo te passando

Ln. 260 – Carolzinha: tá certo sô Log da Sala Tarefa 3-1

Descontração no Discurso – Grupos 1 e 2 Em 08-05-2012. Das 13h14min às 14h04min





291

Observemos, que quando Johnny (Ln. 182) disse: eu sou muito espertinhio né???”,

estava buscando a adesão do grupo e vemos também que Carolzinha teve uma

participação silenciosa no discurso. Ela optou por não falar, e isso pode ser constatado no

diálogo acima. Quando abordada por Alequice (Ln. 244), que disse: “Apareceu heim Carol

KKKKKKK”, Carolzinha (Ln. 248) respondeu: “maior briga, não me meto”.

Os Grupos 1 e 2 dialogaram sobre a Questão 2 entre as linhas 69 e 260 do Log da Sala

Tarefa 3-1. Algumas funções, como por exemplo 𝑓4(𝑥) =𝑥3

𝑥2 e 𝑓9(𝑥) = 2 ⟦𝑥

2⟧ geraram uma

discussão mais longa, por isso fizemos recortes no Log dessa tarefa para mostrar com mais

detalhes essas discussões.

Sala Tarefa 3-1. Grupos 1 e 2. Diálogo entre os Grupos 1 e 2 sobre as funções 𝒇𝟏 , 𝒇𝟑 , 𝒇𝟓 , 𝒇𝟔 , 𝒇𝟕 da Questão 2

Ln. 79 – Alequice: f1 continua

Ln. 80 – Carolzinha: todo mundo concorda?

Ln. 81 – Johnny: concordo

Ln. 82 – Carolzinha: Cateto?

Ln. 83 – Cateto: OK @: Message 82

Ln.86 – Johnny: f3 tb é contínua

Ln. 87 – Cateto: OK @: Message 86.

Ln. 88 – Johnny: certo?

Ln. 89 – MaluT: Porque? Por favor, dê a sua argumentação!!!!! @: Message 79.

Ln. 91 – Johnny: porque a fç está bem definida em todos os pontos.

Ln. 95 – Cateto: Vou me meter! Pois é derivavel em todos os pontos!.

Ln. 96 – Carolzinha: não há buracos, ne Cateto?

Ln.97 – Carolzinha: rs

Ln. 100 – Carolzinha: f4 tb é contínua, não é gente?

Ln. 101 – Carolzinha: f5 eu acho q não

Ln. 102 – Alequice: nao pois nao e definida para x = 0

Ln. 103 – Cateto: Na verdade as funções que forem definidas como Polinomios são

sempre continuas né?? @: Message 91.

Ln. 104 – Johnny: qual o comportamento de f4 no ponto x=0? podemos calcular o lmite

né?

Ln. 105 – Alequice: todas as funções polinomiais são continuas em todos os ptos

Ln. 106 – Alequice: nao qdo x = 0 o limite não existe

Ln. 107 – Cateto: Isso num engloba f1, f3, f4 f5....o resto eu fikei na duvida!!??????? @:

Message 105.





292

Ln. 108 – Carolzinha: f5 não 'polinomial’

Ln. 111 – Alequice: f4 3 f5 nao sao fçs polinomiais

Ln. 134 – Carolzinha: f5 não é contínua não

Ln. 135 – Alequice: com certeza nao e pois nao esta definida para x = 0

Ln. 136 – Cateto: Mesmo argumento da f4 né? Nãso definida para zero, ppor causa da

divisão!! @: Message 134.

Ln. 137 – Alequice: essa fç tb parece a hiporbole equilatera

Ln. 140 – Carolzinha: a tal da hipérbole equilátera

Ln. 141 – Carolzinha: aprendi com Alequice

Ln. 145 – Alequice: f6 tb nao e continua

Ln. 146 – Carolzinha: nem passou perto

Ln. 147 – Alequice: nao e definida,tb,em x = 0

Ln. 148 – Johnny: também não está definida para x=0. @: Message 145.

Ln. 149 – Cateto: Tem uma assintota né isso!!!rsrsrsr @: Message 148.

Ln. 150 – Alequice: com certeza. assintota vertical

Ln. 151 – Johnny: mas apenas abservar o gráfico pode dar resultados? não

deveríamos calcular os limites???

Ln. 155 – Alequice: o unico ponto que pode gerar descontinuidade é o 0 entao

determinando os limites laterais temos: pela direita +infinito e pela esquerda -infinito logo o limite nao existe

Ln. 156 – Alequice: por isso ate que o eixo y e um assintota vertical

Ln. 161 – Carolzinha: e f7, gente?

Ln. 162 – Carolzinha: não é continua tb não...

Ln. 163 – Alequice: estou falando da f6

Ln. 164 – Johnny: esse argumento é legal tanto para f5 também, né? @: Message 155.

Ln. 165 – Alequice: com certeza!

Ln. 516 – Galois: Tartefa 3. Numero 2: as fçs 1 e 3 sao continuas ... estão definidas para

todo x real. não ha "buracos" em seus graficos.

Ln. 517 – Galois: Ja as demais, nao estão definidas em x=0 ... nao são continuas nesse

ponto. Log da Sala Tarefa 3-1

𝑓1 , 𝑓3 , 𝑓5 , 𝑓6 , 𝑓7 - Questão 2 – Grupos 1 e 2 Em 08-05-2012. Das 13h06min às 13h26min

Em 15-05-2012. Lns 516 e 517. Das 11h09min às 11h10min

Os alunos não tiveram dificuldades em classificar as funções 𝑓1(𝑥) = 2𝑥 + 1 e

𝑓3(𝑥) = 𝑥3 como funções contínuas, pois como observou Alequice (Ln. 105):

“todas as funções polinomiais são contínuas em todos os pontos”

Para a função 𝒇𝟑(𝒙) = 𝒙𝟑 também surgiram argumentos como:

“está bem definida em todos os pontos” (Johnny, Ln. 91; Galois, Ln. 516),





293

“Pois é derivável em todos os pontos!” (Cateto, Ln. 95),

“não há buracos” (Carolzinha, Ln. 96; Galois, Ln. 516).

Observamos que Galois voltou a participar dos diálogos e argumentou na linha 513:

“função ser continua, ...é aquela cujo grafico não apresenta "buracos" ... onde para qualquer x, exista uma imagem” (Ln. 514).

Cateto (Ln. 107) não se mostrou muito seguro, quanto as funções 𝑓4(𝑥) =𝑥3

𝑥2 e

𝑓5(𝑥) =𝑥2

𝑥3 serem ou não funções polinomiais.

Os alunos dos Grupos 1 e 2 (Ln. 101, 102, 134, 135, 145, 146, 147, 148) concluíram

que:

as funções 𝒇𝟓(𝒙) =𝒙𝟐

𝒙𝟑 e 𝒇𝟔(𝒙) = 𝒙 +𝟏

𝒙 não são contínuas por não serem

definidas em 𝒙 = 𝟎.

Johnny, que desde a linha 37, vinha falando em calcular os limites da função no

ponto para analisar a continuidade, voltou a argumentar sobre isso na linha 151:

“mas apenas abservar o gráfico pode dar resultados? não deveríamos calcular os

limites???” (Johnny, Ln. 151).

Alequice (Lns. 145 e 147), já convencido, que o único ponto de descontinuidade

𝑓6(𝑥) = 𝑥 +1

𝑥 é o zero, respondeu para Johnny, na linha 155, que:

“determinando os limites laterais tem os: pela direita +infinito e pela

esquerda -infinito logo o limite nao existe” (Alequice, Ln. 155)

Lembramos, que Alequice (Ln. 16), quando colocou suas ideias sobre

continuidade de uma função em um ponto, disse: “basicamente o limite da função no

ponto tem que ter o mesmo valor da função naquele ponto”, mas ao longo do diálogo

sobre a Questão 2 da Tarefa 3, modificou o seu discurso, sugerindo que se observasse se a

função estava ou não definida no ponto para avaliar a continuidade da função naquele

ponto.

A função 𝑓7(𝑥) =|𝑥|

𝑥 foi considerada uma função não contínua por

Carolzinha (Lns. 161 e 162), sem argumentações. Nesse discurso foi

relembrada a hipérbole equilátera, que apareceu na Tarefa 2. Alequice (Ln. 137) falou que a

294

função 𝑓5(𝑥) =𝑥2

𝑥3 parecia a hipérbole equilátera, e Carolzinha (Lns. 140 e 141) respondeu

que era a tal da hipérbole equilátera, que ela tinha aprendido com ele. Para Galois (Ln. 517),

excetuando as funções 𝑓1 e 𝑓3 , as demais são não são contínuas em 𝑥 = 0 , pois não estão

definidas nesse ponto.

No diálogo acima os alunos interagiram, colaboraram, buscaram adesão aos seus

discursos (Ln. 96, 100, 104, 136, 164)

“não há buracos, ne Cateto?” (Carolzinha, Ln. 96);

“f4 tb é contínua, não é gente?” (Carolzinha, Ln. 100);

“Na verdade as funções que forem definidas como Polinomios são sempre continuas

né??” (Cateto, Ln. 103);

“qual o comportamento de f4 no ponto x=0? podemos calcular o lmite né?” (Johnny,

Ln. 104) “Mesmo argumento da f4 né? Nãso definida para zero, ppor causa da divisão!!”

(Cateto, Ln. 136)

“esse argumento é legal tanto para f5 também, né?” (Johnny, Ln. 164),

e foram modificando suas ideias de continuidade. A intervenção da pesquisadora (Ln. 89) foi

no sentido de orientar para que houvesse mais discussão:

Alequice: f1 continua (Ln. 79, Log3-1)

MaluT: Porque? Por favor, dê a sua argumentação!!!!! (Ln. 89, Log. 3-1)

Nesse diálogo foram produzidos os seguintes significados para continuidade de uma

função :

O diálogo sobre a função 𝑓4(𝑥) =𝑥3

𝑥2 , cujo gráfico foi

apresentado aos alunos nessa Tarefa 3, ocorreu de forma

descontraída, o que favoreceu e estimulou a interação entre

eles, possibilitando a construção de novos conhecimentos.

Função NÃO DEFINIDA no ponto NÃO É CONTÍNUA

Função DEFINIDA no ponto é

CONTÍNUA

295

Sala Tarefa 3-1. Grupos 1 e 2. Diálogo entre os Grupos 1 e 2 sobre a função

𝒇𝟒(𝒙) =𝒙𝟑

𝒙𝟐 da Questão 2

Ln. 100 – Carolzinha: f4 tb é contínua, não é gente?

Ln. 104 – Johnny: qual o comportamento de f4 no ponto x=0? podemos calcular o

lmite né?

Ln. 105 – Alequice: todas as funções polinomiais são continuas em todos os ptos

Ln. 106 – Alequice: nao qdo x = 0 o limite não existe

Ln. 111 – Alequice: f4 3 f5 nao sao fçs polinomiais

Ln. 112 – Carolzinha: f4 é a identidade

Ln. 113 – Johnny: identidade acho que não. ela não é definida p x=0.

Ln. 114 – Alequice: f4 nao e a identidade ela se "parece" com a identidade

Ln. 116 – Carolzinha: parece mais não é

Ln. 119 – Alequice: pois nao esta definida em xis igual a zero

Ln. 122 – Cateto: Isso ai Carol fomos enganadas!

Ln. 124 – Alequice: carol e Cateto muitas vezes as aparencias enganam KKKK



Ln. 136 – Cateto: Mesmo argumento da f4 né? Nãso definida para zero, ppor causa da

divisão!! @: Message 134.

Ln. 167 – Johnny: e a f4? nessa a gente pode definir o limite. certo?

Ln. 168 – Cateto: Acho q não pois estariamos dividindo por zer entendeu.... @:

Message 167.



Ln. 170 – Alequice: nesse caso a fç passa a ser continua em x = 0.

Ln. 171 – Johnny: mas para calcular o limite de f4 faríamos uma transformação na

função e não estaríamos mais dividindo por 0. @: Message 168.

Ln. 172 – Alequice: e isso ai

Ln. 173 – Johnny: então o limite de f4 existe e é zero?

Ln. 174 – Cateto: passou a ser a identidade né nao?????? @: Message 173.

Ln. 175 – Johnny: a lei de formação dela ficaria parecida com a fç identidade, mas

apenas para fins de cálculo do limite. tá dizendo porque já vi aplicações desse tipo em outros exemplos de fçs.

Ln. 176 – Cateto: Entendo. Mas foi essa a ideia da Carol e a a minha e o Alequice

discordou! @: Message 175.

Ln. 177 – Carolzinha: rsrsrsrrs

Ln. 178 – Alequice: qdo assumir q o valor da fç q falei acima ele passa a ser o limite da fç

qdo x -> 0. O grafica ainda vai ficar com um buraco veja a f10 do summary

Ln. 179 – Johnny: vc's disseram que a função era identidade. e realmente não é. to

falando de calculo de limite. @: Message 176.

Ln. 180 – Carolzinha: já entendi







296

Ln. 181 – Alequice: nesse caso Johnny vc evitou a descontinuidade da fç.

Ln. 182 – Johnny: rsrsrsrsrsrs. eu sou muito espertinhio né??? o verdadeirop jeitinho

brasileiro. srrsrsrsrs @: Message 181.

Ln. 184 – Carolzinha: rsrsrs

Ln. 185 – Alequice: Cateto veja minha postagem em baixo da sua em q vc diz q discordei

de vc.

Ln. 192 – Cateto: Mas então fazendo isso o Jhonny realmente consegue calcular os

milimites laterais né nao??? @: Message 181.

Ln. 196 – Johnny: consegue calcular os limites. mas não quer dizer q f4 seja contínua;.

rs @: Message 192.

Ln. 197 – Cateto: Entendi! @: Message 196.

Ln. 199. – Alequice: sim mais ai ele teve q redefinir a fç e como Johnny disse acima a

f4 nao passou a ser continua Log da Sala Tarefa 3-1

𝑓4 - Questão 2 – Grupos 1 e 2 Em 08-05-2012. Das 13h10min às 13h40min

Percebemos nesse diálogo duas controvérsias:

H1: A função 𝒇𝟒(𝒙) =𝒙𝟑

𝒙𝟐 é a identidade X H2: A função 𝑓4(𝑥) =𝑥3

𝑥2 não é a identidade

e

H1: A função 𝑓4(𝑥) =𝑥3

𝑥2 é contínua X H2: A função 𝑓4(𝑥) =𝑥3

𝑥2 não é contínua

Apresentamos a seguir o esquema argumentativo – A Função 𝑓4(𝑥) =𝑥3

𝑥2 é a

identidade?





297

Figura 93 – Esquema argumentativo – A Função 𝑓4(𝑥) =𝑥3

𝑥2 é a identidade?

Carolzinha

Johnny

Alequice

Cateto

ADESÃO


𝒇𝟒 é a identidade, não é gente?

[Carolzinha buscando

adesão a sua tese]

Parece mais não é!

Identidade, acho que não.

Não está definida para 𝒙 = 𝟎 .

Com a transformação

𝒙𝟑

𝒙𝟐= 𝒙

A função 𝒇𝟒 ficaria parecida com a função Identidade,

mas só para calcular o

limite.

𝒇𝟒 não é a identidade. Ela “parece” com a

identidade.

Muitas vezes as

aparências

enganam. KKKK

Fomos

enganadas!

A função 𝒇𝟒(𝒙) =𝒙𝟑

𝒙𝟐 não é a identidade

Carolzinha e Cateto

H1

A função 𝑓4(𝑥) =𝑥3

𝑥2 é a

identidade

Alequice e Johnny

H2


𝑥2 não é a

identidade

Controvérsia

298

A segunda controvérsia surgiu:

Johnny (Ln. 167), como no diálogo sobre as funções 𝑓1 , 𝑓3 , 𝑓5 , 𝑓6 , 𝑓7 (Ln. 151),

propôs, calcular o limite da função 𝑓4 [no ponto 𝑥 = 0] e explicou para Cateto como fazer

isso, já que Cateto (Ln. 168) argumentou que não era possível calcular esse limite, pois

estariam dividindo por zero.

Johnny (Ln. 171) argumentou:

“mas para calcular o limite de f4 faríamos uma transformação [inferimos que a

transformação seja 𝑥3

𝑥2 = 𝑥 ] na função e não estaríamos mais dividindo por 0”.

(Johnny, Ln. 171).

Johnny (Ln. 175) buscando adesão a sua tese, perguntou:

“então o limite de 𝒇𝟒 existe e vale zero?”. (Johnny, Ln. 173)

Johnny (Lns. 175, 196) afirmou para Cateto, que dessa forma conseguiria calcular o

limite, mas a função 𝑓4 não se tornaria a função identidade, e nem contínua, e que já havia

visto isto sendo feito em outros exemplos. Johnny disse:

“a lei de formação dela ficaria parecida com a função identidade, mas apenas para fins

de cálculo de limite”. (Johnny, Ln. 175)

Carolzinha

H1


𝑥2 é contínua

Alequice e Cateto

H2


𝑥2 não é contínua

Controvérsia

299

As argumentações de Johnny convenceram Carolzinha (Ln. 180) e Cateto (Ln.

197), que afirmaram ter entendido [que a função 𝑓4 não é a função identidade].

Em um primeiro momento, para Alequice (Ln. 181), a transformação que Johnny

propôs, passou a evitar a descontinuidade da função 𝑓4:

“nesse caso Johnny vc evitou a descontinuidade da fç“.(Alequice, Ln. 181).

Ao que Johnny (Ln. 182) descontraidamente respondeu:

“rsrsrsrsrsrs. eu sou muito espertinhio né??? o verdadeirop jeitinho brasileiro. “rrsrsrsrs”.

Mas, Johnny (Ln. 196) esclareceu:

“consegue calcular os limites. mas não quer dizer q f4 seja contínua;. rs”.

Interessante observar, as argumentações de Alequice sobre a continuidade de uma

função, especialmente a função 𝑓4 :





Ln. 170 – Alequice: nesse caso a fç passa a ser continua em x = 0.

Ln. 171 – Johnny: mas para calcular o limite de f4 faríamos uma

transformação na função e não estaríamos mais dividindo por 0.

Ln. 178 – Alequice: qdo assumir q o valor da fç q falei acima ele

passa a ser o limite da fç qdo x -> 0. O grafica ainda vai ficar com um buraco veja a f10 do summary.

Ln. 181 – Alequice: nesse caso Johnny vc evitou a

descontinuidade da fç.

Ln. 192 – Cateto: Mas então fazendo isso o Jhonny realmente consegue calcular os

milimites laterais né nao??? @: Message 181.

Ln. 196 – Johnny: consegue calcular os limites. mas não quer dizer q f4 seja contínua;.

rs.

Ln. 199. – Alequice: sim mais ai ele teve q redefinir [transformar] a fç e como Johnny

disse acima a f4 nao passou a ser continua.

Como vimos na Ln. 135, para Alequice, se uma função não for definida em um ponto,

então a função não é contínua. Mas para ele também, se a função não for definida em um

ponto 𝑥0 , é possível torná-la contínua nesse ponto, bastando para isso, dar um valor para


300

𝑓(𝑥0) e, esse valor passaria também, a ser o limite da função no ponto em questão (Ln.

169, 170, 178).

É importante lembrar, o que era até aqui uma função contínua para Alequice. Nas

linhas 16, 18, 19 e 33 ele escreveu:

“basicamente o limite da funcao no ponto tem que ter o mesmo valor da função naquele ponto”. (Ln. 16)

“lim f(x) qdo x tende a b tem que ser igual a f(b)”. (Ln. 18)

“sim os dois limites tanto pela direita quanto pela esquerda”. (Ln. 19)

“f10 é uma funcao continua pois o ponto que poderia ser de descontinuidade foi redefinido”. (Ln. 33)

Sendo a definição da função 𝑓10 , 𝑓10(𝑥) = {𝑥 + 3 , 𝑥 ≤ 0

𝑥2 , 𝑥 > 0 , inferimos ser 𝑥 = 0 o

ponto que Alequice menciona na linha 33.

Vemos uma relação entre a argumentação de Alequice para tornar uma função

contínua em um ponto, e o que os autores Thomas et al. (2002) escrevem sobre

descontinuidades removíveis no livro texto CÁLCULO, v.1:

A função na Figura 1.50c seria contínua se 𝑓(0) fosse 1 em vez de 2 . As

descontinuidades nas Figuras 1.50b e c são removíveis. Cada função tem

um limite quando 𝑥 → 0 , e podemos remover a descontinuidade

fazendo 𝒇(𝟎) igual ao limite. (THOMAS et al., 2002, v. 1, p. 123).

Como já escrevemos anteriormente, seção 1.3, na forma como os autores falam em

descontinuidades removíveis, está implícito que, se removemos a descontinuidade, a

301

função, e não uma nova função, se tornou contínua. Seria mais rigoroso, falar em extensão

contínua de uma função, e talvez assim os alunos se confundissem menos.

Nesse diálogo, os alunos não chegaram a um acordo sobre o limite da função 𝑓4 no

ponto 𝑥 = 0 , e o que isso implicaria na continuidade da função, mas Alequice (Ln. 135) e

Cateto (Ln. 136) concluiram que 𝑓4 =𝑥3

𝑥2 não é contínua, pois não está definida em 𝑥 = 0

E assim, mais uma vez, reafirmaram a hipótese

A função 𝑓9(𝑥) = 2 ⟦𝑥

2⟧ , uma função não familiar aos alunos, motivou muita

discussão na Tarefa 2. Na Tarefa 3 não foi diferente.

A seguir apresentamos as trocas de ideias dos Grupos 1e 2 sobre a função 𝑓9 .

Sala Tarefa 3-1. Grupos 1 e 2. Diálogo entre os Grupos 1 e 2 sobre a função

𝒇𝟗(𝒙) = 𝟐 ⟦𝒙

𝟐⟧ da Questão 2

Ln. 90 – Alequice: vou dar um pulo danado!! O que vcs acham da f9? Continua em

todos os pontos??

Ln. 198 – Johnny: f9 é contínua????

Ln. 200 – Cateto: Para mim sim!! @: Message 198.

Ln. 202 – Carolzinha: v está alndo da f9, Cateto?

Ln. 203 – Cateto: sim carol!! @: Message 202.

Ln. 204 – Alequice: f9 continua ou descontinua??

Ln. 205 – Alequice: acho q continua

Ln. 206 – Johnny: parece contínua. não sei usar essa notação que está na lei de

formação da função.

Ln. 207 – Cateto: continua @: Message 204.

Ln. 208 – Carolzinha: como calcular o limite dessa função?

Ln. 209 – Johnny: pelo gráfico, parece que todos os pontos do domínio têm imagem.

mas como saber o que acontece onde não conseguimos ver?

Ln. 210 – Alequice: essa fç nao e continua. Observe p ex o x = 4. Qdo x tende a 4 pela

direita 4 e qdo tende pela esquerda 2 logo o limite nao existe.

Função NÃO DEFINIDA em um ponto NÃO É CONTÍNUA




302

Ln. 211 – Alequice: alguem pode criticar?? kkkk

Ln. 212 – Cateto: Então tb num consigo chegar a uma boa conclusão com essa notação

e como a f4 pela notação ja me enganou....estou com mt duvida! @: Message 211

Ln. 213 – Carolzinha: não entedi não

Ln. 214 – Alequice: observe o grafica e veja o q acontece qdo x tende a 4 pela direita e

esquerda

Ln. 217 – Cateto: Então mas quando penso na notação que conheço de função escada!

Ela é sim continua.. @: Message 214.

Ln. 219 – Cateto: Não conseguimos ainda entender direito a f9! @: Message 215.

Ln. 220 – MaluT: O que você está em dúvida?

Ln. 221 – Cateto: Queremos calcular os limites mas essa notação da função f9 não esta

clara para nenhum de nos! @: Message 220.

Ln. 222 – Alequice: Olha so veja o que acontece em um ponto especifico

Ln. 223 – Alequice: o 4 p ex

Ln. 224 – Cateto: Mas Alequice....lembra da notação típica da função escada? @:

Message 223.

Ln. 225 – Alequice: veja q para valores pela esquerda de 4 o lim qdo x tende a 4 e 2 e

pela esquerda e 4

Ln. 227 – Alequice_13:54 (8.05): [x]

Ln. 228 – Alequice: ou como a descrita no summaty

Ln. 229 – Johnny: os limites laterais são diferentes. isso prova que a fç não é

contínua? @: Message 225.

Ln. 230 – Cateto: A função dá um salto mas continua definida! Assim como F10 não é

nao????? @: Message 228.

Ln. 231 – Alequice: sim mas o limite do ponto nao é igual ao valor da fç no ponto pois

o limite nao existe

Ln. 232 – Alequice: o limite da fç no ponto tem que ser igual ao valor da fç nesse ponto.

Ln. 233 – Johnny: os limites existem mas um deles é diferente do valor da fç no

ponto. é isso? @: Message 231

Ln. 234 – Cateto_13:59 (8.05): Ainda acho q o limite da função no ponto 4 é 2 ! E a

função no ponto 4 é 2 !....né nao??? @: Message 232.

Ln. 235 – Alequice: para que o liimite exista os limites laterais tem que ser igauis nesse

caso eles nao sao e o limite nao existe no ponto

Ln. 236 – Johnny: entendi.

Ln. 237 – Alequice: Cateto veja o que acontece qdo x ->4 pela esquerda ele nao vai para

2 e sim para 4 da uma olhada

Ln. 239 – Cateto: Eu ainda acho q isso é o mesmo q dizer q a f 10 da questa 3 entao tb

num é continua! @: Message 236.

Ln. 240 – Cateto: Ok ....concordarei e estudarei!! rsrsrsrs Vamos caminhar @: Message

238.

Ln. 241 – Alequice: depois podemos discutir mais pela plataforma

Ln. 242 – Carolzinha:ok

Ln. 243 – Cateto: rsrsrs













303

Ln. 244 – Alequice: Apareceu heim Carol KKKKKKK

Ln. 246 – Carolzinha: kkkkkkkkkkkkkk

Ln. 247 – Alequice: tava meio sumida KKKKKK

Ln. 248 – Carolzinha: maior briga, não me meto

Ln. 250 – Alequice: ta certa kkkkkk

Ln. 252 – Cateto: Tava entendendo td!! kietinha!! @: Message 247.

Ln. 259 – Alequice: vamos discutir logo sobre esse trem o tempo te passando

Ln. 260 – Carolzinha: tá certo sô Log da Sala Tarefa 3-1

𝑓9 - Questão 2 – Grupos 1 e 2 Em 08-05-2012. Das 13h08min às 14h02min

A discussão começa, com Johnny (Ln. 198) colocando sua dúvida sobre a

continuidade da função 𝑓9 , e continua como vemos abaixo:

“f9 é contínua????” (Johnny, Ln. 198)

“Para mim sim!!” (Cateto, Ln. 200)

“f9 continua ou descontinua??” (Cateto, Ln. 200)

“acho q continua” (Alequice, Ln. 205)

“parece contínua. não sei usar essa notação que está na lei de formação da função”.

(Johnny, Ln. 206)

“continua”. (Cateto, Ln. 207)

Para Johnny (Ln. 206), a função parece contínua. Interpretamos que a dúvida de

Johnny surgiu porque, por um lado, ele sempre buscou analisar a continuidade de uma

função em um ponto, calculando o limite da função nesse ponto (Lns 17, 37, 45, 104, Log 3-

1). Por outro lado, era importante para Johnny (linha 209) que a função estivesse definida

no ponto e isto ele já havia manifestado, quando justificou que a função 𝑓3(𝑥) = 𝑥3 era

contínua “porque a fç está bem definida em todos os pontos” (Ln. 91, Log 3-1). No caso da

função 𝑓9(𝑥) = 2 ⟦𝑥

2⟧ , Johnny (Lns. 206, 209) manifestou ter dificuldades em entender a

notação da função, em usar a lei de formação da função para calcular o limite, e em saber se

a função está definida em todos os pontos, como podemos ver nas linhas 206 e 209.


304

“parece contínua. não sei usar essa notação que está na lei de formação da função”

(Johnny, Ln. 206)

“pelo gráfico, parece que todos os pontos do domínio têm imagem. mas como saber o que acontece onde não

conseguimos ver?” (Johnny, Ln. 209)

Analisar os limites pelo gráfico, como sugeriu Alequice (Lns 210, 214, 225), parecia

um problema para Johnny, pois como ele argumentou (Ln. 209): “como saber o que

acontece onde não conseguimos ver?”

Cateto também manifestou suas dificuldades com a notação da função 𝑓9 . Ele disse,

que com essa notação, não conseguia chegar a uma conclusão sobre a continuidade da

função e disse:

“num consigo chegar a uma boa conclusão com essa notação e como a f4 pela notação

ja me enganou....estou com mt duvida!” (Cateto, Ln. 212)

“mas quando penso na notação que conheço de função escada! Ela é sim continua”.

(Cateto, Ln. 217)

“Não conseguimos ainda entender direito a f9!” (Cateto, Ln. 219)

“Queremos calcular os limites mas essa notação da função f9 não esta clara para

nenhum de nos!” (Cateto, Ln. 221).

Inicialmente, Alequice (Ln. 205) achou que 𝑓9 era contínua, mas mudou seu

discurso (Ln. 210), pois analisou os limites laterais dessa função em 𝑥 = 4 , e chegou a

conclusão que eles são diferentes, e que portanto, o 𝑙𝑖𝑚𝑥→4 𝑓9 não existia (Ln. 225, 231,

232). Interessante, é que ele pediu que alguém criticasse esse seu argumento (Ln. 211):

“essa fç nao e continua. Observe p ex o x = 4. Qdo x tende a 4 pela direita 4 e qdo tende

pela esquerda 2 logo o limite nao existe”. (Alequice, Ln. 210)

“alguem pode criticar?? Kkkk”. (Alequice, Ln. 211),

talvez para fomentar mais ainda a discussão ou por dúvida mesmo, já que na linha 33

analisou como contínua a função 𝒇𝟏𝟎 em 𝒙 = 𝟎 , e a situação da função 𝒇𝟏𝟎 em 𝒙 = 𝟎 é

semelhante a situação da função 𝒇𝟗 em 𝒙 = 𝟒 , o que Cateto observou na linha 230.

Para compreendermos melhor essas argumentações, apresentamos a seguir as leis

de formação das funções 𝒇𝟗 e 𝒇𝟏𝟎 e seus gráficos.

305

𝑓9(𝑥) = 2 ⟦𝑥

2⟧ 𝑓10(𝑥) = {

𝑥 + 3 , 𝑥 ≤ 0

𝑥2 , 𝑥 > 0

Para Alequice (Ln. 231), “limite do ponto nao é igual ao valor da fç no ponto pois o

limite nao existe”, do que Cateto (Ln. 234) discordou, pois para ele limite da função no

ponto 𝑥 = 4 é 2 e 𝑓9(4) = 2. Para Cateto, apesar da função dar um salto em ponto 𝑥 = 4 ,

ela continuava definida nesse ponto, o mesmo que acontecia com a função 𝑓10 da Questão

3, que foi analisada como contínua (Lns. 33, 35, 36) no ponto 𝑥 = 0 pelo grupo.

“A função dá um salto mas continua definida!” Assim como F10 não é nao?????

(Cateto, Ln. 230).

A argumentação que Cateto apresentou na linha 234, é a mesma apresentada por

Alequice, quando analisou a continuidade das funções 𝑓10 , 𝑔 , ℎ da Questão 3.

Primeiro na linha 33, observou se as funções eram ou não definidas nos pontos onde

apresentavam um salto, que seriam os pontos a serem analisados, quanto a continuidade.

Depois, nas linhas 40, 41 e 42 analisou lateralmente os limites dessas funções nesses pontos,

mas apenas quando a função estava definida no ponto, pois se não estivesse definida, já não

seria contínua. Mas não calculou corretamente esses limites, apenas deu ao limite o valor da

função no ponto. Alequice (Ln 36) afirmou que a função 𝑓10 é contínua em x=0.

306

A liderança de Alequice, também prevaleceu nas discussões sobre a função 𝑓9 . Na

linha 210, depois de algumas reflexões, ele afirmou que a função 𝑓9 não é contínua. O

diálogo continuou e depois de várias argumentações,

Johnny (Ln. 236) disse: “entendi”, concordando com as colocações de Alequice.

Cateto (Ln. 240) disse, de forma não muito convincente:

“Ok ....concordarei e estudarei!! Rsrsrsrs.

Carolzinha, segundo Cateto (Ln. 252), “tava entendendo td!! kietinha!!”.

Carolzinha, optou por não se pronunciar, participou silenciosamente das discussões,

e quando Alequice (Ln. 244) disse: “apareceu heim Carol”, ela argumentou (Ln. 248):

“maior briga, não me meto.

Observamos, que quando a pesquisadora (Ln. 220) pergunta para Cateto: “o que

você está em dúvida?”, ela pediu um esclarecimento com o objetivo de fomentar mais

discussão, de fazer os alunos refletirem. Depois dessa intervenção, Cateto respondeu, e os

alunos continuaram interagindo, e colaborando uns com os outros sobre a função 𝑓9 , ainda

por um bom tempo, como se pode ver no Log 3-1. A pesquisadora optou por interagir,

quando fosse necessário fazer alguma provocação, levantar algum ponto que julgasse

importante para a discussão. Decidiu “ouvir” os alunos, o que não se faz com muita

frequência nas aulas presenciais tradicionais.

Apresentamos o esquema argumentativo: 𝑓9(𝑥) = 2 ⟦𝑥

2⟧ é contínua ?

307

Figura 94 –Esquema argumentativo: A função 𝑓9(𝑥) = 2 ⟦𝑥

2⟧ é contínua?

ARGUMENTAÇÃO dos Grupos 1 e 2

CONTROVÉRSIA

ADESÃO


Questão 2 Sala Tarefa 3-1 Log 3-1 Grupos 1 e 2

Os alunos não tiveram dificuldades em classificar as funções 𝑓1(𝑥) = 2𝑥 + 1 e 𝑓3(𝑥) = 𝑥3

como funções contínuas, pois como observou Alequice (Ln. 105): “todas as funções

polinomias são contínuas em todos os pontos”.

Para a função 𝒇𝟑(𝒙) = 𝒙𝟑 também surgiram argumentos como: está bem definida em todos os

pontos” (Johnny, Ln. 91; Galois, Ln. 516), “Pois é derivável em todos os pontos!” (Cateto, Ln. 95),

“não há buracos” (Carolzinha, Ln. 96; Galois, Ln. 516).

A função está definida em todos os pontos

A função dá um salto em 𝑥 = 4, mas continua definida

Os limites laterais em 𝑥 = 4 são diferentes

(Johnny)

O lim𝑥→4 𝑓9 não

existe (Alequice).

Limite no ponto 𝑥 = 4 não é igual ao valor da função no

ponto (Alequice).

𝑓9(𝑥) = 2 ⟦𝑥

2⟧

Cateto

H1

é contínua

𝑓9(𝑥) = 2 ⟦𝑥

2⟧

Alequice

H2

não é contínua

𝑓9(𝑥) = 2 ⟦𝑥

2⟧

não é contínua

SINTETIZANDO: as principais ideias

308

Concluíram que: as funções 𝒇𝟓 =𝒙𝟐

𝒙𝟑 e 𝒇𝟔(𝒙) = 𝒙 +𝟏

𝒙 não são

contínuas por não serem definidas em 𝒙 = 𝟎

Johnny (Ln. 151) questionou se os limites da função 𝒇𝟔(𝒙) = 𝒙 +𝟏

𝒙

não deveriam ser calculados.

A função 𝑓7(𝑥) =|𝑥|

𝑥 foi considerada uma função não contínua por

Carolzinha, sem argumentações.

Para Galois, excetuando as funções 𝑓1(𝑥) = 2𝑥 + 1 e 𝑓3(𝑥) = 𝑥3 , as demais são eram

contínuas em 𝑥 = 0 , pois não estavam definidas nesse ponto.

Nesse diálogo foram produzidos os seguintes significados para continuidade de uma função:

Função DEFINIDA no ponto é CONTÍNUA.


E percebemos as seguintes controvérsias sobre a função 𝑓4(𝑥) =𝑥3

𝑥2

(1)

Carolzinha e Cateto: H1 – A função 𝑓4(𝑥) =𝑥3

𝑥2 é a identidade

VERSUS

Alequice e Johnny : H2 – A função 𝑓4(𝑥) =𝑥3

𝑥2 não é a identidade.

(2)

Carolzinha: H1 – A função 𝑓4(𝑥) =𝑥3

𝑥2 é contínua

VERSUS

Alequice e Cateto: H2 – A função 𝑓4(𝑥) =𝑥3

𝑥2 não é contínua.

Nesse diálogo os alunos não chegaram a um acordo sobre o limite da função 𝑓4(𝑥) =𝑥3

𝑥2 no

ponto 𝑥 = 0 , mas Alequice e Cateto concluiram que 𝑓4 =𝑥3

𝑥2 não era contínua, pois não

estava definida em 𝑥 = 0 E assim, mais uma vez, reafirmaram a hipótese



2⟧ , uma função não familiar aos alunos, motivou muita discussão nessa

Questão 2 daTarefa 3, assim como já havia sido na Tarefa 2.

309

Inicialmente, Alequice achou que 𝑓9 era contínua, pois estava definida em todos os pontos,

mas mudou seu discurso, pois chegou a conclusão que o 𝑙𝑖𝑚𝑥→4 𝑓9 não existia.

Cateto também manifestou suas dificuldades com a notação da função 𝑓9 , e disse que com

essa notação, não conseguia chegar a uma conclusão sobre a continuidade da função.

Alequice sugeriu que se calculasse os limites pelo gráfico e Johnny argumentou: “como

saber o que acontece onde não conseguimos ver?”

Cateto ficou confuso. Para ele, apesar da função dar um salto em ponto 𝑥 = 4 , ela

continuava definida nesse ponto, o mesmo que acontecia com a função 𝑓10 da Questão 3,

que foi analisada como contínua no ponto 𝑥 = 0 pelo grupo.

𝑓9(𝑥) = 2 ⟦𝑥

2⟧ 𝑓10(𝑥) = {

𝑥 + 3 , 𝑥 ≤ 0

𝑥2 , 𝑥 > 0

A liderança de Alequice também prevaleceu nas discussões sobre a função 𝑓9 , e depois de

algumas reflexões, ele afirmou que a função 𝑓9 não é contínua, e Johnny, Cateto e

Carolzinha concordaram com as colocações de Alequice.

Questão 2 Sala Tarefa 3-2. Log 3-2. Grupos 3 e 4

Os Grupos 3 e 4, que compartilhavam a Sala Tarefa 3-2, discutiram as questões 2 e 3

da Tarefa 3 simultaneamente, opinaram sobre uma ou outra, sem seguir uma determinada

ordem. Encontramos no Log dessa sala apenas as seguintes falas sobre a Questão 2.

Sala Continuidade Tarefa 3-2. Grupos 3 e 4. Diálogo sobre a Questão 2

Ln. 48 – Kaka: Creio que questão 2, as funções f1 e f3 são contínuas e as demais Não

são.

Ln. 50 – MaluT: Kaka, gostaria de saber porque você pensa assim! @: Message 48.

310

Ln. 53– MaluT: Não se esqueçam de dizer porque pensam que é contínua ou

descontínua @: Message 52.

Ln. 54 – Vmais: a f9 também é continua, lembram é a função maior inteiro

Ln. 62 – Vmais: questão 2, f1, f3 continua, f4,f5 e f7 descontinua no x=0, f9 continua

função maior inteiro.

Ln. 70 – Uyio: f1 contínua, assim como a f2 e a f9. Já as demais são descontínuas, pois o

0 Não possui ligação com o domínio.

Ln. 106 – Nina: Questão 2: f1e f3 contínua Log da Sala Tarefa 3-2


As funções 𝑓1(𝑥) = 2𝑥 + 1 e 𝑓3(𝑥) = 𝑥3 foram consideradas contínuas por todos

os participantes dessa sala, e apesar de não justificarem, essa afirmação é coerente com o

que eles falaram sobre continuidade na Questão 1:

“continuidade é algo ininterrupto” (Kaka, Ln. 15);

“uma função é contínua em um ponto porque o limite lateral à direita e o limite a

esquerda nesse ponto coincidem” (Kaka, inferido da Ln. 56)

“uma função é contínua quando, o limite pelos dois lados tende ao mesmo valor”

(Nina, Ln. 25; Vmais, Ln. 26);

“função é contínua em um ponto quando está definida nesse ponto” (Vmais, Ln. 16;

Uyio, Ln. 55).

As funções 𝑓4(𝑥) =𝑥3

𝑥2 , 𝑓5(𝑥) =𝑥2

𝑥3 , 𝑓6(𝑥) = 𝑥 +1

𝑥 , 𝑓7(𝑥) =

|𝑥|

𝑥 foram

consideradas descontínuas por todos os alunos dessa sala, exceto por Nina, que não se

pronunciou sobre essas funções. Para Uyio (Ln. 70), essas funções são descontínuas, pois

não estão definidas em 𝑥 = 0. O mesmo para Vmais. Para ele (Ln. 16) uma função é

contínua em um ponto quando está definida nesse ponto, então interpretamos, que para

Vmais as funções 𝑓4(𝑥) =𝑥3

𝑥2 , 𝑓5(𝑥) =𝑥2

𝑥3 , 𝑓7(𝑥) =|𝑥|

𝑥 não são contínuas, porque não

estão definidas em 𝑥 = 0 . Kaka não apresentou justificativa para suas afirmações.


2⟧ foi considerada contínua por Uyio (Ln. 70) e também por

Vmais (Ln. 54), e pelas justificativas já apresentadas anteriormente por esses alunos (Ln. 70

e Ln. 16), a função 𝑓9 é contínua porque está definida em todos os números reais. Já Kaka

311

considerou essa função descontínua, mas não justificou. Inferimos que seja pelo que ela

declarou na linha 56:

“uma função é contínua em um ponto porque o limite lateral à direita e o limite

a esquerda nesse ponto coincidem” (Kaka, inferido da Ln. 56).

Nesse diálogo foram produzidos os seguintes significados para continuidade de uma

função :

Apresentamos a seguir, os esquemas argumentativos dessas ideias:

Figura 95 –Esquema argumentativos da H1. Questão 2-Tarefa 3 – Grupos 3 e 4

Argumentação Adesão

Diálogos no VMT. Elaborado pela pesquisadora

Figura 96 –Esquema argumentativos da H2. Questão 2-Tarefa 3 – Grupos 3 e 4 Argumentação Adesão


H1

Kaka


𝑥2 ,

𝑓5(𝑥) =𝑥2

𝑥3 , 𝑓6(𝑥) = 𝑥 +1

𝑥 ,

𝑓7(𝑥) =|𝑥|

𝑥 não são contínuas

Não estão definidas em 𝑥 = 0

Todos os alunos da

sala, exceto Nina, que

não se pronunciou.

H2

Kaka, Nina, Uyio

As funções 𝑓1(𝑥) = 2𝑥 +

1 e 𝑓3(𝑥) = 𝑥3 são

contínuas

Estão definidas em todos

os reais (Uyio)

Limite lateral à direita e o limite à esquerda nesse

ponto coincidem (Kaka,

Nina)

Todos os alunos da sala



CONTÍNUA

Função é contínua em um ponto porque o limite lateral à direita e o limite lateral à esquerda nesse

ponto coincidem

312

Figura 97 –Esquema argumentativos da controvérsia H3 e H4. Questão 2-Tarefa 3 – Grupos 3 e 4

Argumentação Adesão



Os alunos Kaka, Vmais, Uyio e Nina dos Grupos 3 e 4 consideraram as funções

𝑓1(𝑥) = 2𝑥 + 1 e 𝑓3(𝑥) = 𝑥3 contínuas, o que é coerente com o que eles falaram sobre

continuidade na Questão 1: “uma função definida em todos os pontos “, “uma função em

que o limite lateral à direita e o limite lateral à esquerda no ponto conincidem”.


𝑥2 , 𝑓5(𝑥) =𝑥2

𝑥3 , 𝑓6(𝑥) = 𝑥 +1

𝑥 , 𝑓7(𝑥) =

|𝑥|

𝑥 foram consideradas

descontínuas por todos os alunos dessa sala, exceto por Nina, que não se pronunciou sobre

essas funções. Para Uyio essas funções são descontínuas, pois não estão definidas em 𝑥 =

0. O mesmo para Vmais. Kaka não apresentou justificativa para suas afirmações.


2⟧ foi considerada contínua por Uyio e Vmais porque está definida em

todos os números reais. Já Kaka considerou essa função descontínua, mas não justificou.

Inferimos, que seja pelo que ela declarou na linha 56, Log 3-2:

H4

Kaka

𝑓

9(𝑥) = 2 ⟦

𝑥

2⟧

H3

Vmais

é contínua

X

H4

Kaka 𝑓9

(𝑥) = 2 ⟦𝑥

2⟧ não

é contínua

Está definida em todos os reais.

Limite lateral à direita e o limite à esquerda nos inteiros não coincidem

H3

Uyio e Vmais


313

“uma função é contínua em um ponto porque o limite lateral à direita e o limite a

esquerda nesse ponto coincidem” (Kaka, inferido da Ln. 56).

Nina não opinou sobre essa função.

Nesse diálogo foram produzidos os seguintes significados para continuidade de uma função:

Função DEFINIDA no ponto é CONTÍNUA.

Função NÃO DEFINIDA no ponto NÃO É CONTÍNUA.


ponto coincidem.

QUESTÃO 2 SALA TAREFA 3-3. LOG 3-3. Grupos 5 e 6

Mostraremos no Log da Sala Tarefa 3-3 a interação entre Peu e May quando

dialogavam sobre a Questão2 da Tarefa 3.


Ln. 20 – Peu: f1 e f3sãocontínuas em todos os pontos do domínio

Ln. 21 – May: f3 é contínua também não há ruptura e seu domínio são os reais

Ln. 22 – Peu: a f4 não é cpntínua em todos os pontos

Ln. 25 – Peu: ela tem problemas no x = 0

Ln. 26 – May: ok

Ln. 27 – Peu: f4 = x^3/x^2

Ln. 30 – Peu: f5 é x^2/x^3

Ln. 31 – May: não é contínua porque não contém o x=0

Ln. 32 – Peu: que não é contínua em x=0, porém é contínua em todos os outros pontos

Ln. 35 – May: concordo é a mesma coisa da f4

Ln. 36 – Peu: o mesmo acontece com a f6 e f7

Ln. 37 – May: a 6 e 7 também é isso

Ln. 38 – Peu: não são contínuas em x=0, porém são contínuas em todo resto

Ln. 39 – May: acho que não é continua a f9

Ln. 40 – Peu: alias, é possível isso né? Não ser continua em um ponto mas ser contínua

em todo resto?

Ln. 41 – May: porque mesmo sendo o domínio os reais a imagem são só os números

naturais pares

Ln. 42 – Peu: novamente, a função escada... vou estudar mais ela. f9 é descontinua,

em diversos pontos, porém é contínua em alguns intervalos

314

Ln. 45 – Peu: é... não vejo outra explicação

Ln. 47 – May: acho que não porque lembro vagamente do cálculo porque tinha que

fazer derivadas das funções nos ponto de encontro e analisar

Ln. 49 – May: não são contínuas

Ln. 50 – Peu: a f9?

Log da Sala Tarefa 3-3 Questão 2 – Grupos 5 e 6


As falas de Peu (Ln. 42)

“novamente, a função escada... vou estudar mais ela. f9 é descontinua, em diversos pontos, porém é contínua em alguns intervalos”

e de May (Ln. 47)

“acho que não porque lembro vagamente do cálculo porque tinha que fazer derivadas das funções nos ponto de encontro e analisar”,

mostraram que para Peu, até o momento daquele encontro, a função escada continuava

sendo um texto, que ainda não se havia se apropriado desse texto, o mesmo para May, com

relação ao Cálculo. Quando May falou “lembro vagamente do cálculo”, ela estava dizendo,

que muitos dos temas que estudou no Cálculo permaneceram como texto, que não se

apropriou deles, por isso, essa sensação de lembrar vagamente. A participação desses alunos

nas tarefas da nossa pesquisa, permitiu que eles participassem de um discurso matemático e

fossem modificando ideias, que tinham permanecido como texto até aquele momento.

Peu e May analisaram a continuidade das funções usando a ideia que Núñez (2000)

chama de “continuidade natural”, ideias, que alguns dos livros textos de Cálculo adotados

nas nossas universidades (por exemplo, Anton, Bivens e Davis (2007); Thomas et al (2002),

Stewart, J. (2009)) usam para introduzir esse conceito. Por exemplo, em Stewart, J. (2009, p.

107), podemos ler:

Veremos que a definição matemática de continuidade corresponde estreitamente ao significado da palavra continuidade na linguagem do dia a dia. (Um processo contínuo é aquele que ocorre gradualmente, sem interrupções ou mudanças abruptas) (STEWART, J., 2009, v. 1, p. 107).

Resumimos as ideias discutidas por Peu e May nos seguintes quadros

argumentativos:

315

H1

ARGUMENTAÇÃO

Figura 98 – Esquemas argumentativos da H1. Questão 2-Tarefa 3 – Grupos 5 e 6



𝑥2 , 𝑓5(𝑥) =𝑥2

𝑥3 , 𝑓6(𝑥) = 𝑥 +1

𝑥 ,

𝑓7(𝑥) =|𝑥|

𝑥 só não são contínuas em 𝑥 = 0

Não estão definidas em 𝑥 = 0 (May e Peu)

Apresentam algum tipo de interrupção, quebra de movimento

em 𝑥 = 0 (May)

316

H2

ARGUMENTAÇÃO

H3

ARGUMENTAÇÃO

Figura 99 – Esquemas argumentativos d H2 e H3. Questão 2-Tarefa 3 – Grupos 5 e 6


“Não há uma ruptura” (May)

“Não precisa tirar o lápis do papel para desenhar o gráfico” (Peu))

“O domínio são os reais” (May)

As funções 𝑓1(𝑥) = 2𝑥 + 1 e 𝑓3(𝑥) = 𝑥3 são contínuas

𝑓9(𝑥) = 2 ⟦𝑥

2⟧ não é contínua

“Porque mesmo o domínio sendo os reais, a imagem são só os números naturais

pares” (May)

Apresentam algum tipo de interrupção, quebra de movimento em 𝑥 = 0 (May)

317

QUESTÃO 2 SALA TAREFA 3-3 LOG 3-3 Grupos 5 e 6

Somente, Peu e May dialogaram sobre a Questão2 da Tarefa 3, na Sala Tarefa 3-3.

As funções 𝑓1(𝑥) = 2𝑥 + 1 e 𝑓3(𝑥) = 𝑥3 foram consideradas contínuas por eles. Segundo

May, o domínios dessas funções são todos os reais e seus gráficos não apresentam rupturas,

e para Peu (Ln. 14) não era preciso tirar o lápis do papel para desenhar os gráficos dessas

funções.

Para Peu e May as funções 𝑓4(𝑥) =𝑥3

𝑥2 , 𝑓5(𝑥) =𝑥2

𝑥3 , 𝑓6(𝑥) = 𝑥 +1

𝑥 , 𝑓7(𝑥) =

|𝑥|

𝑥 só não

são contínuas em 𝑥 = 0. Eles argumentaram que essas funções não estão definidas em

𝑥 = 0 , e para May seus gráficos apresentam algum tipo de interrupção, quebra no

movimento em 𝑥 = 0.

Também consideraram a função 𝑓9(𝑥) = 2 ⟦𝑥

2⟧ não contínua. May

argumentou, que mesmo o domínio sendo os reais, a imagem era

só os números naturais pares e o gráfico apresentava algum tipo de

interrupção.

Peu mostrou, que até o momento dos encontros, a função escada continuava sendo um

texto para ele, que ainda não se havia se apropriado desse texto, o mesmo para May, com

relação ao Cálculo.

Observações finais sobre a Questão 2 da Tarefa3

Analisando os diálogos produzidos pelos alunos enquanto discutiam a Questão 2,

vemos que surgiu fortemente a ideia que uma função é contínua em um ponto se for

definida nesse ponto. Alunos como Johnny do Grupo 1, Alequice do Grupo 2 e Kaka do

Grupo 3, se referiram várias vezes ao limite da função no ponto, mas na maioria das vezes, a

continuidade da função em um ponto dependeu da função estar ou não definida nesse

ponto. Os alunos tinham a sua disposição o registro gráfico e o registro algébrico das

funções. Quando analisavam os limites mencionavam com frequência o registro gráfico. Não


318

observamos o uso de técnicas para calcular limites e nem o uso da definição por e 𝛿 , ou

alguma ideia que envolvesse essa definição.

A Questão 3 da Tarefa 3 foi elaborada com três funções partidas, em duas leis, que

diferem entre si apenas em 𝑥 = 0 . O discurso produzido pelos alunos, enquanto discutiram

essa questão, nos deu mais uma oportunidade de “ouvir” o que os alunos falam sobre

continuidade de uma função em um ponto. Oportunidade de entender, o quanto para eles, a

definição da função em um ponto, importa para a continuidade da função nesse ponto, o

que eles pensam sobre limites laterais de uma função em um ponto, e como a existência ou

não desse limite e o seu valor, quando o limite existir, interferem na continuidade da função

nesse ponto. Analisamos somente o discurso produzido pelos Grupos 1 e 2.


Considere as funções:

𝑓10(𝑥) = {𝑥 + 3 , 𝑥 ≤ 0

𝑥2 , 𝑥 > 0 𝑔(𝑥) = {

𝑥 + 3 , 𝑥 < 0

𝑥2, 𝑥 > 0 ℎ(𝑥) = {

𝑥 + 3 , 𝑥 < 0−1 , 𝑥 = 0

𝑥2, 𝑥 > 0

(a) Analisando os gráficos das funções 𝑓10 , 𝑔 , ℎ, você diria que essas funções apresentam descontinuidade? Justifique.

(b) Qual é o domínio dessas funções?

(c) Determine: (i) lim𝑥→0− 𝑓10(𝑥) e lim𝑥→0+ 𝑓10(𝑥)

(ii) lim𝑥→0− 𝑔(𝑥) e lim𝑥→0+ 𝑔(𝑥)

(ii) lim𝑥→0− ℎ(𝑥) e lim𝑥→0+ ℎ(𝑥)

(d) O que podemos afirmar sobre a continuidade das funções 𝑓10 , 𝑔 , ℎ em 𝑥 = 0 ?

Justifique sua resposta.

319

Apresentamos a seguir, o discurso dos alunos dos Grupos 1 e 2 sobre a Questão 3.

Nesse discurso os alunos negociam, compartilham entendimentos no caminho da

construção colaborativa de novos conhecimentos.

QUESTÃO 3 Sala Tarefa 3-1. Log 3-1. Grupos 1 e 2

Sala Tarefa 3-1. Grupos 1 e 2. Diálogos sobre a Questão 3. Dialogando e colaborando

Ln. 33 – Alequice: f10 e uma função continua pois o ponto que poderia ser de

descontinuidade foi redefinido

Ln. 35 – Cateto: Concordo com vc Alequice...f10(x) e h(x) são continuas pelo mesmo

argumento

Ln. 36 – Alequice: f10 é continua qdo x = 0 desculpem

Ln. 37 – Johnny: tu chegou a calcular os limites da função? eles são diferentes. mas

acho também que a primeiro função é contínua. @: Message 33.

Ln. 38 – Alequice: limites de qual fç Johnny?

Ln. 39 – Johnny: dessas 3 que foram propostas

Ln. 40 – Alequice: o lim de f10 qdo tende a zero tanto pela esquerda quanto pela

direita e 3

Ln. 41 – Alequice: na g o lim nao existe

Ln. 42 – Alequice: e na f e -1

Ln. 43 – Alequice: nao e isso?

Ln. 44 – Cateto: Concordo com vc...Alequice o limite (i) são iguais a 3 sim!

Ln. 45 – Johnny: quando f10 tende a zero pela esquerda o limite não é zero não????

to meio perdido?

Ln. 46 – Carolzinha: tb pensei assim

Ln. 47 – Johnny: corrigindo. quando tende a zero pela direita;

Ln. 48 – Cateto: é assim mesmo que define a g....Não existe o limite??? Fiquei na

duvida. Não lembro mais disso! @: Message 41.

Ln. 49 – Cateto: Não Jhonny. Pois a função é bem definida no ponto zero. A f10 (x) @:

Message 47.

Ln. 50 – Alequice: na f10 a fç esta definida em 3 pois qdo x = 0 f(x) = 3

Ln. 51 – Carolzinha: hummmm

Ln. 52 – Johnny: fechou. Então só a g não é contínua?

Ln. 53 – Alequice: em f a fç nao esta definida em x = 0 vj q nenhuma das desigualdades

tem o sinal de=

Ln. 54 – Carolzinha: isso!

Ln. 55 – Carolzinha: entendi!

Ln. 56 – Cateto: Acho q é isso sim! @: Message 52.

320

Ln. 57 – Carolzinha: e o domínio ds funções?

Ln. 58 – Carolzinha: f é real

Ln. 59 – Alequice: f10 e h R, g R - {0}

Ln. 60 – Johnny: f e h acho que o domínio é R

Ln. 61 – Carolzinha: isso

Ln. 62 – Carolzinha: tb acho!

Ln. 63 – Johnny: g acho que o domínio R \ {0}

Ln. 64 – Carolzinha: issso e h e real tb Log da Sala Tarefa 3-1


Para acompanhar a evolução do discurso dos alunos dos Grupos 1 e 2, gostaríamos

de lembrar, que quando eles dialogaram sobre a Questão 1, Alequice (Lns. 16, 26, Log 3-1)

disse:

“para uma função ser contínua “basicamente o limite da função no ponto tem que ter

o mesmo valor da função naquele ponto”” (Alequice, Ln.16, Log 3-1);

“só podemos ver para um ponto” (Alequice, Ln.26, Log 3-1).

E Cateto (Ln. 24, Log 3-1) disse:

“uma propriedade de continuidade é: “os limites laterais são iguais em qq ponto da

função”” (Cateto, Ln.24, Log 3-1).

Alequice (Ln. 33) iniciou os diálogos sobre a Questão 3 dizendo que a função 𝑓10

era contínua, e na linha 36, se desculpou, dizendo que a função 𝑓10 era contínua no ponto

𝑥 = 0 . Em sua argumentação não mencionou o limite da função no ponto 𝑥 = 0 . Ele disse:

“continua pois o ponto que poderia ser de descontinuidade foi redefinido” (Alequice,

Ln. 33).

Interpretamos, que Alequice se referia ao ponto 𝑥 = 0 , e que disse isso, porque a função

𝑓10 é definida em 𝑥 = 0 , e se não fosse, seria descontínua, pois os limites laterais em

𝑥 = 0 são diferentes e a função apresenta um salto nesse ponto.

Vemos uma relação entre essa argumentação de Alequice e o que os autores

Thomas et al. (2002) escrevem sobre descontinuidades removíveis no livro texto CÁLCULO,

v.1, p. 123. A forma como escrevem pode confundir os alunos, e levá-los a acreditar, que é

321

possível tornar uma função contínua em um ponto, bastando para isso definir

convenientemente a função no ponto em questão.

Observando o que Alequice disse nas linhas 40, 41 e 42:

“o lim de f10 qdo tende a zero tanto pela esquerda quanto pela direita e 3” (Ln. 40) [que é o valor de 𝑓10 no ponto

𝑥 = 0]

“na g o lim nao existe” (Ln. 41) [lembramos que a função 𝑔 não

está definida em 𝑥 = 0].

“e na f e -1” (Ln. 42) [aqui Alequice diz que o limite da função ℎ (ele se equivocou e escreveu 𝑓 ) no ponto 𝑥 = 0 é −1 , que é o valor de ℎ no ponto 𝑥 = 0] ,

não ficou claro se Alequice calculou o limite das funções no ponto 𝑥 = 0 , incorretamente,

ou se para ele esse limite é o valor da função no ponto, quando esse valor existir. O diálogo

produzido entre as Linhas 33 e 56, nos levou a inferir, que a afirmação “basicamente o

limite da função no ponto tem que ter o mesmo valor da função naquele ponto”, feita por

Alequice (Ln. 16), está sendo usada por ele, não para calcular inicialmente os limites laterais

da função em um ponto 𝑥 = 𝑎 , e verificar se esses valores coincidem com 𝑓(𝑎) . Mas está

sendo interpretada, como dar ao limite da função em um ponto, o valor 𝑓(𝑎) , caso a função

esteja definida nesse ponto. Assim ele garante que uma função definida em um ponto seja

contínua nesse ponto, pois o limite da função no ponto, também importava para ele.

Observemos o argumento que Alequice usou com Johnny (Lns. 52, 53):

Ln. 52 – Johnny:“fechou. Então só a g não é contínua? ”

Ln. 53 – Alequice:“em f a fç nao esta definida em x = 0 vj q nenhuma das

desigualdades tem o sinal de=”. [Aqui Alequice se equivocou escreveu 𝑓 , deveria ter

escrito 𝑔 ]

O Log acima mostra que Alequice exerceu um papel de liderança nessa sala.

Cateto (Ln. 35) concordou com Alequice:

“Concordo com vc Alequice...f10(x) e h(x) são continuas pelo mesmo argumento”

(Cateto, Ln. 35).

322

Aparentemente, Cateto não se importou com os limites laterais, apesar de na linha

24 dizer, que uma propriedade de continuidade é: “os limites laterais são iguais em qq

ponto da função”.

Johnny (Lns. 37, 45, 47, 52) questionou Alequice sobre os limites laterais, se sentiu

meio perdido, mas ainda assim, também concordou com Alequice:

“tu chegou a calcular os limites da função? eles são diferentes. mas

acho também que a primeiro função é contínua”. (Johnny, Ln.37).

“quando f10 tende a zero pela esquerda o limite não é zero

não???? to meio perdido?” (Johnny, Ln.45).

“corrigindo. quando tende a zero pela direita” (Johnny, Ln.47).

“fechou. Então só a g não é contínua?” (Johnny, Ln52).

O diálogo abaixo entre Carolzinha e Alequice mostra uma certa desconfiança de

Carolzinha, mas ela também concordou com Alequice:

Alequice: “na f10 a fç esta definida em 3 pois qdo x = 0 f(x) = 3” (Ln.50);

Carolzinha: “hummmm” (Ln.50);

Alequice: “em f a fç nao esta definida em x = 0 vj q nenhuma das desigualdades tem o

sinal de=” (Ln.53) [Aqui Alequice se equivocou escreveu 𝑓 . Deveria ter escrito 𝑔 ];

Carolzinha: “isso!” (Ln.54);

Carolzinha: “entendi!” (Ln.54).

Cateto, Johnny e Carolzinha usaram o argumento de autoridade quando

concordaram com Alequice. A autoridade de Alequice garantia força a seus argumentos.

É interessante observar que quando Alequice argumenta ele afirma suas ideias, mas

os outros participantes do diálogo, na maioria das vezes argumentam usando a palavra

”acho”, como podemos observar nas linhas 56, 60, 62 e 63.

Desse diálogo também surgiram as seguintes teses:

CONTÍNUA é BEM DEFINIDA Função NÃO DEFINIDA em um ponto NÃO É CONTÍNUA

323


Para Alequice as funções 𝑓10 e ℎ são contínuas, pois são definidas em 𝑥 = 0 e a função 𝑔

não é contínua, pois não é definida em 𝑥 = 0 .

Não ficou claro, se Alequice calculou o limite das funções 𝑓10 e ℎ no ponto 𝑥 = 0

incorretamente, ou se ele deu ao limite o valor da função no ponto, quando esse valor

existia.

Carolzinha, Cateto e Johnny apesar de questionarem as argumentações de Alequice,

seguiram o líder, e concluíram, que somente a função 𝑔 não era contínua. Desse diálogo

também surgiram as seguintes teses:

CONTÍNUA é BEM DEFINIDA.

Função NÃO DEFINIDA em um ponto NÃO É CONTÍNUA.

Na Questão 5 da Tarefa 3 os alunos se depararam com a continuidade de uma

função discutida de forma gráfica, através do cálculo de limite, e pela primeira vez, por

e 𝛿 . A questão foi pensada de forma a oferecer para cada item, duas soluções, a do João e

a da Beatriz, alunos “imaginários”, e, os nossos alunos tiveram que se pronunciar sobre essas

soluções. Vamos analisar o discurso produzido pelos alunos, e continuar acompanhando a

evolução desse discurso.


324

Item (a) Calcule lim𝑥→1(2𝑥 + 1)


Considere o seguinte exercício:

(a) Calcule lim𝑥→1(2𝑥 + 1).

(b) Analise a continuidade da função 𝑓: ℝ − {1} → ℝ , tal que 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 ;

(c) Analise a continuidade da função 𝑔(𝑥) = {2𝑥 + 1 , 𝑥 ≠ 12 , 𝑥 = 1

Este exercício foi resolvido por João e Beatriz, dois alunos de Cálculo I e as resoluções estão abaixo.

Analise as resoluções de João e Beatriz, discuta as semelhanças e ou as diferenças.

Resolução do João

Analisando o gráfico de 𝑦 = 2𝑥 + 1 , vemos que o lim𝑥→1(2𝑥 + 1) = 3.

Resolução da Beatriz

Fazendo 𝑥 = 1 em 𝑦 = 2𝑥 + 1 , obtemos 𝑦 = 3, então vou provar que

lim𝑥→1(2𝑥 + 1) = 3 :

Para qualquer > 0, existe um 𝛿 > 0 , tal que |(2𝑥 + 1) − 3| < sempre que

0 < |𝑥 − 1| < 𝛿.

|(2𝑥 + 1) − 3| < ⇔ − < (2𝑥 + 1) − 3 < , sempre que 0 < |𝑥 − 3| < 𝛿.

Como |(2𝑥 + 1) − 3| = |2𝑥 − 2| = 2|𝑥 − 1| , portanto –𝜀

2 < 𝑥 − 1 <

𝜀

2.

Logo, basta tomarmos 𝛿 ≤ 𝜀

2 , isto é para qualquer > 0 existe um 𝛿 < , tal que

|(2𝑥 + 1) − 3| < sempre que, 0 < |𝑥 − 3| < 𝛿.

325

Item (b) Analise a continuidade da função 𝑓: ℝ − {1} → ℝ , tal que 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1


A função 𝑓: ℝ − {1} → ℝ , tal que 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 só não

é contínua em 𝑥 = 1 , pois não está definida em 𝑥 = 1 e

vendo o gráfico dessa função vemos que ele tem um buraco

no ponto (1,3).


A função 𝑓: ℝ − {1} → ℝ , tal que 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 é contínua, porque é uma reta e 𝑥 = 1 não faz parte do domínio da função.

Item (c) Analise a continuidade da função 𝑔(𝑥) = {2𝑥 + 1 , 𝑥 ≠ 12 , 𝑥 = 1


A função 𝑔(𝑥) = {2𝑥 + 1 , 𝑥 ≠ 12 , 𝑥 = 1

também só não

é contínua em 𝑥 = 1 , pois apesar de estar definida em 𝑥 = 1 , vendo o gráfico dessa função observamos que ele tem um buraco no ponto (1,3) e apresenta um salto.


A função 𝑔(𝑥) = {2𝑥 + 1 , 𝑥 ≠ 12 , 𝑥 = 1

está definida em todos os

pontos do conjunto dos números reais.

Como lim𝑥→1(2𝑥 + 1) = 3 ≠ 𝑓(1) = 2 então a função não é contínua em 𝑥 = 1 .

Mas a função é contínua em qualquer 𝑥 ≠ 1.

Uma outra forma de provar é :

Para qualquer > 0 , não existe um 𝛿 > 0 , tal que |𝑓(𝑥) − 3| < sempre que

0 < |𝑥 − 1| < 𝛿.

326

Quando no item (b) da Questão 5, apresentamos a função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 , definida

em ℝ − {1} , o que fizemos foi propor a controvérsia a seguir, que foi discutida pelos

participantes de todos os grupos.

Questão 5 Sala tarefa 3-1. Log 3-1. Grupos 1 e 2

Interessante observar como os alunos dessa sala negociam e estabelecem acordos

para desenvolver a tarefa. Isso já foi destacado no recorte do Log dessa sala, referente à

Questão 2, que se encontra em Sala Tarefa 3-1. Grupos 1 e 2. Estabelecendo acordos.

Questão 2.

Sala Tarefa 3-1. Grupos 1 e 2. Estabelecendo acordos. Questão 5

Ln. 382 – Alequice: acho que podemos passar para a proxima. O que vcs acham?

Ln. 383 – Cateto: Assim....questão 5????

Ln. 384 – Carolzinha: Concordo

Ln. 392 – Alequice: O exercicio pede para que analisemos as resoluções de João e

Beatriz...

Ln. 418 – Cateto: Estou indo p o sumary

Ln. 427 – Carolzinha: gente, vamos finalizar?

Ln. 428 – Alequice: Para todos que ficam Ciao. Fui!!!!

Ln. 430 – Carolzinha: eu tb

Ln. 431 – Carolzinha: beijos

Ln. 432 – Cateto: bye



Os alunos dessa sala iniciaram a discussão da Questão 5 respondendo aos itens (a) e

(b), até que Alequice (Ln. 392) chamou a atenção de todos, dizendo que o exercício pedia

para que eles analisassem as resoluções de João e Beatriz e não que resolvessem os itens (a),

(b) e (c).

H1: A função 𝑓 É CONTÍNUA pois 𝑥 = 1 NÃO PERTENCE ao seu domínio

X H2: A função 𝑓 NÃO É CONTÍNUA pois 𝑥 = 1 NÃO PERTENCE ao seu domínio

327

Sala Tarefa 3-1. Grupos 1 e 2. Iniciando as negociações. Questão 5

Ln. 386 – Cateto: 5) a) 3


Ln. 388 – Cateto: (b) retirado o 1 vai ter um BURACO (HAHAA) logo descontinua!


Ln. 391 – Carolzinha: lá vm ela com os buracos...

Ln. 392 – Alequice: O exercicio pede para que analisemos as resoluções de João e

Beatriz...

Ln. 393 – Carolzinha: eu acho q a b não é contínua não

Ln. 394 – Carolzinha: q vcs acham?



Podemos observar do Log acima, que quando Cateto (Ln. 388) disse:

“(b) retirado o 1 vai ter um BURACO (HAHAA) logo descontinua!”,

ele continuava mantendo o seu discurso, continuava mantendo a ideia de função contínua

que apresentou na linha 25:

“Acho que a melhor resposta da B) seria é uma função que não apresenta "buracos",

pontos que não pertencem a função....o que acham????” (Cateto, Ln. 25).

Carolzinha (Lns. 387, 393) concordou com Cateto, quanto a função 𝑓 não ser

contínua e concordou também com o valor do lim𝑥→1(2𝑥 + 1), calculado corretamente por

Cateto. Interpretamos que não tiveram dificuldades para calcular esse limite, que pode ter

sido resolvido graficamente ou apenas usando a técnica de substituição para cálculo de

limites.

Questão 5. Item (a) Sala Tarefa 3-1. Log 3-1. Grupos 1 e 2

Apresentamos a seguir o diálogo produzido pelos alunos dos Grupos 1 e 2 quando

discutiam o item (a) da Questão 5.

328

Sala Tarefa 3-1. Grupos 1 e 2. Dialogando sobre o Item (a) – Questão 5

Ln. 402 – Alequice: Carol o que vc achou da solução dada pela Beatriz para a letra a?

Ln. 404 – Johnny: a solução da a é mais sofisticada. Rs

Ln. 406 – Carolzinha: acho q está certa

Ln. 407 – Carolzinha: como Johnny falou, mais sofisticada

Ln. 408 – Alequice: utiliza episilons e deltas mutio mais sofisticada concordo com vc

Johnny


Ln. 413 – Cateto: Acho q a solução da Beatriz para questão (a) está correta sim

Alequice! @: Message 402.

Ln. 414 – Alequice: Tb acho q esta correta.

Ln. 419 – MaluT: Sofisticada, mas é interessante para os alunos de Cálculo I? Que visão

de continuidade a Beatriz passa para nós? @: Message 407.

Ln. 421 – Alequice: Não acho que esta solução seja interessante para alunos de Calculo

1. Para mim ela passa um visão muito complicada de continuidade, uma visão muito abstrata.

Ln. 422 – Cateto: Acho q para um aluno do Calculo I essa resolução não parece clara!!

Acho q ng de cal I entende direito isso!! @: Message 419.

Ln. 423 – Carolzinha: tb acho

Ln. 424 – Carolzinha: essa é a parte chata do Cálculo

Ln. 425 – Alequice: Acho que tem q fazer um malabarismos muito grande para se

chegar aum resultado que pode ser visto muito mais intuitivamente.

Ln. 426 – Carolzinha: sem dúvida, alequice

Ln. 435 – Johnny: passa uma visão de continuidade através de distancias entre dois

pontos. é um meio alternativo apesar da demonstração mais complicada. Log da Sala Tarefa 3-1

Questão 5 – Item(a) – Grupos 1 e 2 Em 08-05-2012. Das 14h48min às 14h58min

Os alunos não comentaram a resolução que João deu para o item (a), resolução que

usava apenas o registro gráfico da função. Mas, todos os alunos dessa sala interagiram e

opinaram sobre a resolução que Beatriz apresentou, usando e 𝛿 . A pesquisadora (Ln.

419), também fez sua intervenção para fomentar ainda mais a discussão, e tentar direcioná-

la para o ensino e aprendizagem de Cálculo. Essa intervenção foi na tentativa de fazê-los

refletir, pois com isso estariam refletindo sobre a própria aprendizagem. Antes dessa

intervenção, Johnny, Carolzinha, Alequice e Cateto consideravam a resolução de

Beatriz::

329

“mais sofisticada” (Johnny, Ln. 404; Carolzinha, Ln. 407; Alequice, Ln. 408)

“correta” (Carolzinha, Ln. 406; Cateto, Ln. 413; Alequice, Ln. 414)

Depois da intervenção da pesquisadora (Ln. 419), que questionou:

“Sofisticada, mas é interessante para os alunos de Cálculo I? Que visão de

continuidade a Beatriz passa para nós? (MaluT, Ln.419),

Carolzinha, Alequice e Cateto consideraram a resolução de Beatriz :

“não interessante para os alunos de Calculo I” (Alequice, Ln. 421)

“uma visão complicada” (Alequice, Ln. 421)

“uma visão abstrata” (Alequice, Ln. 421)

“nada clara para aluno de Calculo I” (Cateto, Ln. 422)

“ninguém de Cálculo I entende direito” (Cateto, Ln. 422)

“a parte chata do cálculo” (Carolzinha, Ln. 424)

“um malabarismo para se chegar a um resultado que pode ser visto

intuitivamente” (Alequice, Ln. 435);

Somente Johnny, que antes da intervenção da pesquisadora, achava a

resolução da Beatriz mais sofisticada, continuou defendendo a sua tese, quando disse (Ln. 435)

“uma visão de continuidade através de distancia entre dois pontos” (Johnny, Ln. 435);

“um meio alternativo, apesar da demonstração complicada” (Johnny, Ln. 435).

Interpretamos, que o intuitivo a que se referiu Alequice (Ln. 435), quando disse que

a resolução de Beatriz era um “malabarismo” para se chegar a um resultado que podia ser

visto mais intutivamente, é a representação gráfica. Lembramos que a grande maioria dos

livros textos de Cálculo que analisamos, inicia o tópico sobre continuidade introduzindo esse

conceito de forma intuitiva. Por exemplo, Em Definição de Continuidade, Anton, Bivens e

Davis (2007) escrevem:

330

Intuitivamente, o gráfico de uma função pode ser descrito como uma curva contínua se não apresentar quebras ou buracos. Para tornar essa ideia mais precisa, precisamos entender quais propriedades de uma função podem causar quebras ou buracos.[...]. (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2007, v. 1, p. 144, grifo nosso).

E a seguir, os autores apresentam quatro gráficos para mostrar, intuitivamente, as situações de quebras ou buracos em gráficos, que caracterizam as descontinuidades das funções.

Figura 100 – Gráficos descontínuos segundo Anton, Bivens e Davis (2007, v. 1)

Fonte: Anton, Bivens e Davis (2007, v. 1, p. 144). Elaborado pela pesquisadora com o uso do Software GeoGebra

Gostaríamos de observar que a resolução da Beatriz para esse item (a) não está correta, e isso

não foi percebido pelos alunos dessa sala. Interpretamos que a sofisticação (Ln. 407, 408), a

abstração e complicação (Ln. 421), que eles atribuíram a uma resolução por − 𝛿

impediram que os alunos analisassem corretamente a resolução apresentada por Beatriz.

A seguir, apresentamos um esquema argumentativo para mostrar o processo

dialógico dos alunos dos Grupos 1 e 2, enquanto argumentavam sobre o item(a) da Questão

5.

331

Figura 101 – Esquema argumentativo do Item (a) –Questão 5 – Grupos 1 e 2


e

𝛿

H1

H3

não interessante

para os alunos de Calculo I

(Alequice)

uma visão complicada

(Alequice)

uma visão abstrata

(Alequice)

nada clara para aluno de Calculo I

(Cateto)

ninguém de Cálculo I entende

(Cateto)

A parte chata do Cálculo

(Carolzinha

)

Um malabarismo para chegar a um resultdo que pode ser

visto intuitivamente

(Alequice)

uma visão de continuidade

através de distancia

entre dois pontos

(Johnny)

um meio alternativo, apesar da

demonstração complicada

(Johnny)

mais sofisticada

(Carolzinha)

correta

(Carolzinha,

Cateto,

Alequice)

mais sofisticada

(Johnny,)

H2 H4

S

Sofisticada,

mas

interessante

para o Cálculo

I?

(pesquisadora)

332

Questão 5. Item (b) Sala Tarefa 3-1. Log 3-1. Grupos 1 e 2

A seguir temos um recorte do Log 3-1 da Sala Tarefa 3-1 referente ao item (b) da

Questão 5

Sala Tarefa 3-1. Grupos 1 e 2. Dialogando. Questão 5. Item (b).

Ln. 395 – Alequice: A resolução dada por Beatriz para a letra b esta correta??

Ln. 396 – Carolzinha: eu acho q não

Ln. 397 – Carolzinha: q vc acha?

Ln. 398 – Alequice: Acho q e a resolucao dada esta errada.

Ln. 399 – Carolzinha: e vcs, Cateto e Johnny?

Ln. 400 – Alequice: Como a funcao nao e definida em 1 o limite que e 3 nao e igual a

f(1).


Ln. 403 – Johnny: em x=1 na letra b a fç fica sem imagem.

Ln. 415 – Cateto: Mas a solução da letra (b) da beatriz concordo com vc

Alequice q está errada! @: Message 398.

Ln. 416 – Alequice: Mto errada!

Ln. 417 – Carolzinha: rs

Log da Sala Tarefa 3-1 Questão 5 – Item(b) – Grupos 1 e 2


O que disseram João e Beatriz:


A função 𝑓: ℝ − {1} → ℝ , tal que 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 só não é contínua em 𝑥 = 1 , pois não está

definida em 𝑥 = 1 e vendo o gráfico dessa função vemos que ele tem um buraco no ponto (1,3).



Nesse item os alunos também não mencionaram a resolução de João. Mas

analisando o que Cateto (Ln. 388) disse:

“retirado o 1 vai ter um BURACO (HAHAA) logo descontinua” (Cateto, Ln. 388)

e Johnny na linha 403:

333

“em x=1 na letra b a fç fica sem imagem” (Johnny, Ln. 403),

vemos, que ambos concordam com o João, que a função 𝑓 não é

contínua em 𝑥 = 1 , pois não está definida nesse ponto e o gráfico tem

um buraco no ponto (1,3).

Alequice (Ln. 395), que exerce uma liderança nesse grupo, iniciou

o diálogo perguntando ao grupo se a resolução da Beatriz para a letra (b)

estava correta?

Implicitamente, Alequice (Lns. 398, 400) estava buscando adesão para o que

pensava:

“Acho q e a resolucao dada esta errada” (Alequice, Ln. 398)

“Como a funcao nao e definida em 1 o limite que e 3 nao e igual a f(1)” (Alequice, Ln.

400).

Carolzinha (Ln. 401) e Cateto (Ln. 415) concordaram com Alequice sem

apresentar seus próprios argumentos. Johnny (Ln. 403) sim, apresentou o seguinte

argumentou:

“em x=1 na letra b a fç fica sem imagem” (Johnny, Ln. 403).

Lembramos que Johnny (Ln. 91, Log 3-1), quando perguntado se a função 𝑓9 era

contínua, concordou e respondeu: “porque a fç está bem definida em todos os pontos”.

Alequice (Ln. 400) continuou mantendo o seu discurso. Inicialmente, ele disse que

para uma função ser contínua:

“basicamente o limite da função no ponto tem que ter o mesmo valor da função

naquele ponto” (Alequice, Ln. 16).

Mais uma vez, o significado para função contínua, que surgiu enquanto os alunos dos

Grupos 1 e 2 argumentavam sobre o Item (b) da Questão 5 foi:

Função CONTÍNUA é

função BEM DEFINIDA

Função NÃO DEFINIDA em um ponto NÃO É

CONTÍNUA

334

É interessante observar como Alequice justifica a não continuidade de uma função 𝑓

em um ponto 𝑥0 , quando 𝑓 não está definida nesse ponto . Para ele, lim𝑥→𝑥0𝑓(𝑥) =

𝑓(𝑥0) , mas como garantir essa igualdade se a função não está definida no ponto? E assim,

para ele, se a função não está definida no ponto não é contínua.

A resposta da Beatriz foi pensada para provocar o discurso da seguinte tese:

Se uma função não é definida em um ponto então ela não é contínua e nem descontínua nesse ponto. A continuidade de uma função só deve ser analisada para pontos do

domínio.

Essa é a abordagem dos livros textos Guidorizzi (1985), Neri e Cabral (2011), Lima

(2006) analisados por nós, quanto ao tema continuidade. E é também a tese que

defendemos, mas os alunos dos Grupos 1 e 2 até o momento dessa discussão não

argumentaram nesse sentido.

Questão 5. Item (c) Sala Tarefa 3-1. Log 3-1. Grupos 1 e 2

A seguir temos o recorte do Log 3-1 da Sala Tarefa 3-1 referente ao item (c) da

Questão 5.

Sala Tarefa 3-1. Grupos 1 e 2. Dialogando sobre o Item (c) – Questão 5

Ln. 410 – Carolzinha: então passemos pra c

Ln. 411 – Carolzinha: está no summary

Ln. 412 – Carolzinha: a resolução de joao e beariz

Ln. 420 – Alequice: A resposta para a letra c do João esta incompleta. Ele usa o grafico

como argumentação. Log da Sala Tarefa 3-1

Questão 5 – Item(c) – Grupos 1 e 2 Em 08-05-2012. Das 14h50min às 14h54min

335

Para João a função 𝑔(𝑥) = {2𝑥 + 1 , 𝑥 ≠ 12 , 𝑥 = 1

também só não é

contínua em 𝑥 = 1 , pois apesar de estar definida em 𝑥 = 1 , vendo o

gráfico dessa função ele tem um buraco no ponto (1,3) e apresenta

um salto.

Somente Alequice (Ln. 420) se pronunciou quanto à

resolução do João para o item(c), argumentou:

“a resposta para a letra c do João esta incompleta. Ele usa o grafico como

argumentação” (Alequice, Ln. 420).

Lembramos que Alequice considerou contínua a função ℎ da

Questão 3 (gráfico ao lado) e tem considerado contínuas todas as

funções que são definidas no ponto analisado, eexceto a função

𝑓9(𝑥) = 2 ⟦𝑥

2⟧, por isso a argumentação de Alequice (Ln. 420) não ficou

clara para nós.

Os alunos dessa sala não comentaram a resolução de Beatriz para o item(c).

Questão 5 – Itens (a), (b) e (c) SalaTarefa 3-1 Log 3-1 Grupos 1 e 2

Como na discussão de outras questões, os alunos dos Grupos 1 e 2 iniciaram os diálogos

estabelecendo acordos.

Item (a):

Não dialogaram sobre a resolução do João, somente sobre a resolução por

e 𝛿 apresentada pela Beatriz.

Johnny, Carolzinha, Alequice e Cateto inicialmente consideravam a resolução de Beatriz:

“mais sofisticada”, “correta”


“Sofisticada, mas é interessante para os alunos de Cálculo I? Que visão de

continuidade a Beatriz passa para nós? (MaluT, Ln.419),

Carolzinha, Alequice e Cateto consideraram a resolução de Beatriz :


336

“não interessante para os alunos de Calculo I”,

“uma visão complicada”, “uma visão abstrata”,

“nada clara para aluno de Calculo I”,

“ninguém de Cálculo I entende direito”,

“a parte chata do cálculo”,

“um malabarismo para se chegar a um resultado que pode ser visto intuitivamente”

Somente, Johnny que antes da intervenção da pesquisadora achava a resolução da Beatriz

mais sofisticada, continuou defendendo a sua tese, quando disse (Ln. 435)

“uma visão de continuidade através de distancia entre dois pontos”

“um meio alternativo, apesar da demonstração complicada”

Item (b):

O que fizemos nesse item foi propor a seguinte controvérsia:

H1: A função 𝒇 É CONTÍNUA pois 𝒙 = 𝟏 NÃO PERTENCE ao seu domínio

X H2: A função 𝒇 NÃO É CONTÍNUA pois 𝒙 = 𝟏 NÃO PERTENCE ao seu domínio

Os alunos não mencionaram a resolução do João, mas percebemos que eles concordaram

com João, que a função 𝑓: ℝ − {1} → ℝ , tal que 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 só não é contínua em

𝑥 = 1. Alequice (Ln. 398 e Ln. 400) achou a resolução da Beatriz errada e argumentou:

“Acho q e a resolucao dada esta errada” e

“Como a funcao nao e definida em 1 o limite que e 3 nao e igual a f(1)”

Carolzinha e Cateto concordaram com Alequice sem apresentar seus próprios

argumentos. Johnny (Ln. 403) sim, apresentou o seguinte argumento: “em x=1 na letra b a

fç fica sem imagem”. Mais uma vez, o significado para função contínua, que surgiu enquanto

os alunos dos Grupos 1 e 2 argumentavam sobre o Item (b) da Questão 5 foi:

Função CONTÍNUA é função BEM DEFINIDA


337

Item (c):

Somente Alequice argumentou sobre a resolução de João, que diz que a função 𝑔(𝑥) =

{2𝑥 + 1 , 𝑥 ≠ 12 , 𝑥 = 1

também só não é contínua em 𝑥 = 1. Alequice (Ln. 420).disse:

“a resposta para a letra c do João esta incompleta. Ele usa o grafico como argumentação”

A argumentação de Alequice, não ficou clara para nós. Os alunos não comentaram a

resolução da Beatriz.

Questão 5. Item (a) Sala Tarefa 3-2. Log 3-2. Grupos 3 e 4

O Item (a) da Questão 5 pede que se

Analise as resoluções de João e Beatriz , discuta as semelhanças e ou as diferenças para a questão: Calcule 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏(𝟐𝒙 + 𝟏)


Analisando o gráfico de 𝑦 = 2𝑥 + 1 , vemos que o lim𝑥→1(2𝑥 +1) = 3.


Fazendo 𝑥 = 1 em 𝑦 = 2𝑥 + 1 , obtemos 𝑦 = 3, então vou provar que lim𝑥→1(2𝑥 + 1) = 3 :

Para qualquer > 0, existe um 𝛿 > 0, tal que |(2𝑥 + 1) − 3| < sempre que

0 < |𝑥 − 1| < 𝛿.

|(2𝑥 + 1) − 3| < ⇔ − < (2𝑥 + 1) − 3 < , sempre que 0 < |𝑥 − 3| < 𝛿. Como

|(2𝑥 + 1) − 3| = |2𝑥 − 2| = 2|𝑥 − 1| , portanto –𝜀

2 < 𝑥 − 1 <

𝜀

2.



|(2𝑥 + 1) − 3| < sempre que, 0 < |𝑥 − 3| < 𝛿.

A seguir, apresentamos o recorte do Log 3-2 da Sala Tarefa 3-2 relativo a resolução

por e 𝛿 de Beatriz no item (a).

338

Sala Tarefa 3-2. Grupos 3 e 4. Questão 5. Item (a). As argumentações sobre 𝜺 𝐞 𝜹

Ln. 217 – Kaka: Como eu estudei isso faz uns 20 e tantos anos, só me lembro daquela

parada: para todo e>0 existe delta >0 tal que se...

Ln. 248 – Vmais: essa resolução de beatriz na questão 5a, não lembro de mais nada

disso, falou meio grego para mim, a sensação q tenho é q não estudei nada em 4 anos de facu! ai meu pai, mas alguem esta com esta sensação?

Ln. 251 – Kaka: é justamente a resolução da Beatriz que eu me lembro. Mais ou menos.

Vocês me deixam constrangida, viram em 2006. Vi em 1986.

Ln. 252 – Uyio: Direto do Túnel do tempo....

Ln. 254 – Kaka: Na minha época era tanto episilon e delta que seria difícil não me

lembrar depois de 8 análises.

Ln. 255 – Nina: Olá Vmais essa parte é Matéria de análise real. Matéria mais difícil da

graduação.....rsrs @: Message 248.

Ln. 257 – MaluT: Você estudou isso em Cálculo? Fez algum exercício? @: Message 253.

Ln. 258 – Vmais: Pow estudei isso, mas neh com varias analises eu consigo garvar isso

td na minha mente! @: Message 255.

Ln. 260 – Uyio: Sim, eu fiz. Mas eu não lembro o que significam esses epcilons e esses

deltas. Não mesmo. Tá rachando a cuca, tentando até colocar uma musiquinha aqui pra refrescar, mas nada. Faz sentido, mas não sei qual esses epsilons e deltas. @: Message 257.

Ln. 261 – Kaka: é justamente a tomada de bolas no contradomínio e bolas no domínio

tais que, blá, blá blá, novamente. Vi isso em análise. Como eu disse, na minha época o foco era análise e não Cálculo. Vi muita análise e apenas 1 Cálculo.

Ln. 262 – Kaka: Se você chegar aqui eu tento te explicar, Malu.

Ln. 263 – Vmais: puts nao sei se é sorte ou azar o seu! kkkkkkkkkkk

Ln. 264 – Kaka: Sorte e azar.

Ln. 265 – Vmais: prós e contras! Não consigo entender analise, preciso de umas aulas

particulares Kaka @: Message 261.

Ln. 268 – Kaka: A função será contínua se, para cada bola em torno de f(a), existir uma

bola em torno de a tal que para todo x da bola de a, f(x) esteja na bola de f(a). Não sei se é bem assim...

Ln. 270 – MaluT: Deu uma boa ideia. No nosso caso, essas bolas são intervalos em

tornos dos pontos @: Message 268.

Ln. 286 – Vmais: Acredito que a resolução de Joao e beatriz estejam corretas no item a.

Log da Sala Tarefa 3-2 Questão 5 – Item(a) – Grupos 3 e 4


Analisando a parte do discurso relativo ao uso de e 𝛿 , produzido pelos alunos que

compartilhavam essa sala, pudemos perceber que a única aluna que tem alguma

familiaridade com esses termos é Kaka, que na linha 254 disse:

339

“Na minha época era tanto episilon e delta que seria difícil não me lembrar depois de

8 análises” (Kaka, Ln. 254).

Apesar da familiaridade com os termos e de dizer que:

“A função será contínua se, para cada bola em torno de f(a), existir uma bola em torno

de a tal que para todo x da bola de a, f(x) esteja na bola de f(a)...” (Kaka, Ln. 268),

Kaka não analisou a resolução da Beatriz para o item (a) da Questão 5, que é uma resolução

que usou a definição de continuidade por e 𝛿 , mas que não está correta.

Os alunos Vmais, Nina e Uyio manifestaram suas dificuldades com a solução por

e 𝛿 , como vemos a seguir.

“essa resolução de beatriz na questão 5a, não lembro de mais nada disso, falou

meio grego para mim, a sensação q tenho é q não estudei nada em 4 anos de facu!”

(Vmais, Ln. 248).

“Direto do Túnel do tempo....” (Uyio, Ln. 252).

“essa parte é Matéria de análise real. Matéria mais difícil da graduação.....rsrs”

(Nina, Ln. 255)

“não lembro o que significam esses epcilons e esses deltas. Não mesmo Tá

rachando a cuca”(Uyio, Ln. 260).

Quando esses alunos dizem “não lembro”, não significa que esqueceram alguma

coisa, significa que quando estudaram, não se apropriaram do texto disponível sobre o tema

e 𝛿 . Assim como Castro e Bolite Frant (2002), entendemos como texto, tudo que existe

disponível ao indivíduo cognoscente, por exemplo, um livro, um comentário de um colega, a

fala do professor, coisas escritas no quadro.

Apresentamos a seguir a parte do Log 3-2 relativa a resolução dada por João ao item (a).

Sala Tarefa 3-2. Grupos 3 e 4. Questão 5. Resolução do João

Ln. 266 – Glasm: o limite na letra a

Ln. 267 – Glasm: pode ser calculado direto

Ln. 279 – Nina: 5-a)=3 @: Message 268.

Ln. 286 – Vmais: Acredito que a resolução de Joao e beatriz estejam corretas no item a.



340

Com relação à resolução que João deu ao item (a) Glasm (Ln. 267) e Nina (Ln. 279)

disseram que o limite lim𝑥→1(2𝑥 + 1) pode ser calculado direto. Interpretamos que “pode

ser calculado direto”, significa que o limite pode ser calculado substituindo-se 𝑥 por 1 na

expressão 2𝑥 + 1 , uma das técnicas para calcular limite. Os alunos não analisaram a

resolução de João para esse item. Vmais (Ln. 286) falou que acreditava que as resoluções

de João e Beatriz estavam corretas, mas não justificou essa afirmação.


O Item(b) da Questão 5 pede que se

Analise as resoluções de João e Beatriz , discuta as semelhanças e ou as diferenças para a questão:

Analise a continuidade da função 𝑓: ℝ − {1} → ℝ , tal que 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1


A função 𝑓: ℝ − {1} → ℝ , tal que 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 só não é contínua em 𝑥 = 1 , pois não está definida em 𝑥 = 1 e vendo o gráfico dessa função vemos que ele tem um buraco no ponto (1,3).



As argumentações sobre o item (b) são apresentadas a seguir e foram retiradas do

Log da Sala Continuidade Tarefa 3-2.

Sala Continuidade Tarefa 3-2. Grupos 3 e 4. Dialogando sobre o Item(b) – Questão 5

Ln. 273 – Uyio: Na 5b aí que a gente bate cabeça na nossa Definição de continuidade.

Ln. 274 – Uyio: Eu concordo com a Beatriz pelo fato do 1 não pertencer ao domínio,

mas a visão do João é boa.

Ln. 275 – MaluT: Qual a Definição que você está usando para pensar nos exercícios? @:

Message 273.

Ln. 276 – Uyio: A da Beatriz, aquela que eu falei anteriormente, de todos num intervalo

terem relação com o domínio.

Ln. 278 – MaluT: Por que é boa? Está de acordo com sua ideia de continuidade? @:

Message 274.

341

Ln. 284 – Nina: 5-b)não é contínua, pois não está definida para x=1.

Ln. 285 – Uyio: Professora, então, eu sigo o exemplo da Beatriz. Só que o raciocício do

João faz sentido. Aquela ideia de não tirar o lápis da folha. @: Message 283.

Ln. 291 – Vmais: A resolução do item b, traz as mesmas indagações que estavamos

tendo no começo, será que a continuidade depende do limite(se consideramos que 1 nao faz parte do limite logo nao faz parte da função) entao a função sera continua ou pelo resolução de João como 1 nao esta definido na função f entao f é descontinua.

Ln. 292 – Glasm: concordo com a resposta da beatriz no item 5-b

Ln. 293 – Vmais: desculpe gente pensei em uma coisa e digitei outra, depende do

dominio da função considerando o domínio R -1 @: Message 291.

Ln. 302 – Vmais: Então no item 5b a função nao é continua

Ln. 305 – Uyio: Sim, é. Pois nesta, 1 não pertence ao domínio. @: Message 302.

Ln. 324 – Kaka: é interessante perceber que na resolução da 5b de João, pelo fato dele

perceber apenas o salto, ele tirou uma conclusão errada. Já beatriz, coisa de mulheres, mais detalhista, percebeu que a função não está definida em x=1, mas, mesmo assim, é contínua.

Ln. 326 – Kaka: x=1 seria o famoso ponto de acumulação. Ele não precisa estar no

domínio para ser analisado.

Ln. 327 – Glasm: isso mesmo/

Ln. 460 – Vmais: No item c juro q estou na duvida, vendo as argumentações diria até q

os dois estão certos, o que é um ABSURDO pois a função não pode ser continua e descontinua, por intuição diria que não é continua, logo João estaria certo, mas não sei bem como argumentar pq a solução de Beatriz, acredito que o embasamento dela "pq x=1 não faz parte do domínio da função" não garanta a continuidade, realmente em Dúvida peço ajuda aos colegas.


Em 08-05-2012. Das 14h14min às 14h38min Em 19-05-2012. Ln. 460. às 19h05min

Analisando o trecho do discurso, relativo ao item (b) da Questão 5 produzido pelos

alunos da Sala Tarefa 3-2, nos chamou a atenção os alunos declararem suas dúvidas com

relação a definição de continuidade. Nos chamou a atenção porque até agora os alunos não

questionavam as suas definições, assim inferimos que os encontros, as discussões sobre

continuidade, as interações entre eles proporcionou essa reflexão. Uyio (Ln. 273) e Vmais

(Ln. 291) disseram que:

“Na 5b aí que a gente bate cabeça na nossa Definição de continuidade” (Uyio, Ln. 273);

“A resolução do item b, traz as mesmas indagações que estavamos tendo no começo, será que a continuidade depende do domínio (se consideramos que 1 nao faz parte do domínio logo nao faz parte da função) entao a função sera continua,...ou pelo resolução

de João como 1 nao esta definido na função f entao f é descontinua” (Vmais, Ln. 291)

342

Quando apresentamos a função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 , definida em ℝ − {1} colocamos em

discussão duas hipóteses:

E encontramos nas falas de Uyio (Lns: 274, 285), as duas seguintes ideias:

"Eu concordo com a Beatriz pelo fato do 1 não pertencer ao domínio, mas a visão do

João é boa". (Uyio, Ln. 274);

"Professora, então, eu sigo o exemplo da Beatriz. Só que o raciocício do João faz

sentido. Aquela ideia de não tirar o lápis da folha" (Uyio, Ln. 285),

o que causou um conflito, pois ao concordar com a Beatriz, a ideia intuitiva de desenhar uma

curva, sem tirar o lápis do papel, ficava prejudicada. Mas finalmente, Uyio (Ln. 305)

concordando com Vmais, falou

"Sim, é [isso, a função não é contínua]. Pois nesta, 1 não pertence ao domínio" (Uyio,

Ln. 305).

Para Nina (Ln. 284) a função do item (b) não é contínua:

"5-b)não é contínua, pois não está definida para x=1" (Nina, Ln. 284).

Nina continuou mantendo o seu discurso sobre continuidade de uma função. Para

ela (Lns. 25, 58, 145), se uma função não está definida em um ponto não é contínua nesse

ponto.

Vmais depois de colocar as suas indagações (Ln. 291), se pronunciou (Ln.302) sobre

a continuidade da função falando

"Então no item 5b a função nao é continua" (Vmais, Ln. 291)

e voltou a refletir (Ln. 460) sobre o item (b), que equivocadamente chamou de item (c)

falando:

"No item c juro q estou na duvida, vendo as argumentações diria até q os dois estão certos, o que é um ABSURDO pois a função não pode ser continua e descontinua, por intuição diria que não é continua, logo João estaria certo, mas não sei bem como argumentar pq a solução de Beatriz, acredito que o embasamento dela "pq x=1 não faz

H1: A função 𝑓 É CONTÍNUA pois 𝑥 = 1 NÃO PERTENCE ao seu domínio

X

H2: A função 𝑓 NÃO É CONTÍNUA pois 𝑥 = 1 NÃO PERTENCE ao seu domínio

343

parte do domínio da função" não garanta a continuidade, realmente em Dúvida peço

ajuda aos colegas" (Vmais, Ln. 460).

Lembramos que para Vmais (Lns. 16, 21, 67) se uma função não está definida em um

ponto, então não é contínua. Vmais concordou com João, já que a função não está definida

em 𝑥 = 1, mas não conseguiu discordar totalmente da colocação de Beatriz. Quando trouxe

(Ln. 291) a reflexão:

“será que a continuidade depende do domínio (se consideramos que 1 nao faz parte do

domínio logo nao faz parte da função) então a função será contínua” (Vmais, Ln. 291),

interpretamos que ele ficou em dúvida se deveria analisar a continuidade da função em um

ponto que não faz parte da função.

Para Kaka (Ln. 324) e Glasm (Lns. 292, 295) a resposta correta é a da Beatriz.

Segundo Kaka (Ln. 324):

"é interessante perceber que na resolução da 5b de João, pelo fato dele perceber

apenas o salto, ele tirou uma conclusão errada" (Kaka, Ln. 324):

“Beatriz...percebeu que a função não está definida em x=1, mas, mesmo assim, é

contínua” Kaka (Ln. 324):

Gostaríamos de lembrar que Kaka, para analisar a continuidade da função em um

ponto, buscava analisar os limites laterais da função nesse ponto e verificar se esses valores

eram iguais (Lns. 25, 29, 32, 48, 296, 297), não se importando com o valor da função nesse

ponto e fazia isso mesmo quando a função não era definida no ponto (Ln. 56). Quando Kaka

disse, que João tirou conclusão errada, interpretamos que segundo ela, ele deveria calcular

os limites laterais nesse ponto, pois como esses limites são iguais, a função é contínua no

ponto. Mesmo argumento serve para a observação sobre Beatriz. Vemos implícito na fala de

Kaka, que ela concordou com a tese da Beatriz, mas não com os seus argumentos. Para

Kaka, a função é contínua, porque os limites laterais são iguais, não porque não está

definida no ponto.

344

Na discussão sobre o item (b), Glasm, (Lns. 292, 327) concordando com Beatriz fez

uma mudança no seu discurso. Para Glasm (Lns. 107, 128, 130), uma função é contínua em

um ponto quando não tem quebra no gráfico e está definida nesse ponto.

Questão 5. Item (c) Sala Tarefa 3-2. Log 3-2. Grupos 3 e 4

O Item(c) da Questão 5 pede que se

Analise as resoluções de João e Beatriz , discuta as semelhanças e ou as diferenças para a

questão:

Analise a continuidade da função 𝑔(𝑥) = {2𝑥 + 1 , 𝑥 ≠ 12 , 𝑥 = 1


A função 𝑔(𝑥) = {2𝑥 + 1 , 𝑥 ≠ 12 , 𝑥 = 1

também só não é contínua em

𝑥 = 1 , pois apesar de estar definida em 𝑥 = 1 , vendo o gráfico dessa função observamos que ele tem um buraco no ponto (1,3) e apresenta um salto.


A função 𝑔(𝑥) = {2𝑥 + 1 , 𝑥 ≠ 12 , 𝑥 = 1

está definida em todos os pontos do conjunto dos

números reais.

Como lim𝑥→1(2𝑥 + 1) = 3 ≠ 𝑓(1) = 2 então a função não é contínua em 𝑥 = 1 . Mas a função é contínua em qualquer 𝑥 ≠ 1.


Para qualquer > 0 , não existe um 𝛿 > 0 , tal que |𝑓(𝑥) − 3| < sempre que 0 <

|𝑥 − 1| < 𝛿.

As argumentações sobre o item (c) são apresentadas a seguir e foram recortadas do

Log da Sala Tarefa 3-2.


Ln. 287 – Uyio: Mas se eu for concordar com a Beatriz no item c da 5, vou me

contradizer, graças a Definição de continuidade que ela propos.

Ln. 288 – MaluT: Qual é a Definição da Beatriz? Me explique com suas palavras @:

Message 287.

Ln. 289 – Uyio: Se f(1) for igual a uma coisa, e lim x->1 f(x) for outra, x é descontínuo

nesse ponto 1

345

Ln. 290 – Uyio: Vai um pouco contra aquilo que eu propuz no início da aula.

Ln. 294 – Nina: 5-c) não é contínua.

Ln. 295 – Glasm: concordo q é continua

Ln. 296 – Uyio: Estar definida em todos os pontos não quer dizer que a função é

contínua?

Ln. 297 – Kaka: não

Ln. 298 – Uyio: Ahn, então foi nisso que eu me embolei, na hora de defnir continuidade.

Ln. 299 – Glasm: concordo com Nina, os limites foram diferentes @: Message 294.

Ln. 301 – Uyio: Sobre a 5c, os dois acharam a descontinuidade, mas a Beatriz foi

novamente mais contundente que o João, usando a abordagem certa. Ela nem precisava ter citado a Definição de limite, ao meu ver.

Ln. 303 – Glasm: sobre a c

Ln. 304 – Glasm: ela é descontinua naquele Ponto

Ln. 313 – Nina: na 5-c) é que tenho dúvidas, o que vocês acham? @: Message 303

Ln. 316 – Kaka: A resolução de Beatriz é perfeita. Não é contínua. @: Message 313.

Log da Sala Tarefa 3-2 Questão 5 – Item(c) – Grupos 3 e 4


Observemos o que Nina (Lns. 294, 313) falou:

"5-c) não é contínua" (Nina, Ln. 294)

"na 5-c) é que tenho dúvidas, o que vocês acham?" (Nina, Ln. 313).

Por que essa dúvida de Nina? Pela primeira vez, ela se deparou com uma função que

é definida em um ponto e os limites laterais nesse ponto são iguais. Mas, não são iguais ao

valor da função no ponto. O que fazer? Está implícito no questionamento dela, na linha 313,

que ela está em conflito. Até então os limites laterais eram diferentes e isso já garantia a não

continuidade da função no ponto. No único exemplo que demos, 𝑓4(𝑥) =

𝑥3

𝑥2 , com limites

laterais iguais no ponto analisado, 𝑥 = 0 , a função não era definida no ponto, e portanto já

descontínua para ela.

Mas Kaka (Ln. 316), muito segura das suas convicções, respondeu:

"A resolução de Beatriz é perfeita. Não é contínua",

mas não apresentou seus argumentos.

No diálogo sobre a questão colocada no Item (c), vemos pela primeira vez, Kaka

comparando o valor do limite no ponto com o valor da função nesse ponto.

346

Esse item proporcionou a Uyio uma oportunidade para refletir sobre o que pensava

sobre continuidade de uma função. Para ele a continuidade estava relacionada a função

estar ou não definida em um ponto (Lns. 60, 70, 86). Se ele aceitasse as resoluções de João e

Beatriz, teria que aceitar uma função não ser contínua em um ponto onde estava definida e

isto contrariaria seus argumentos anteriores (Lns. 34, 55, 60, 86). Observemos as falas de

Uyio e a intervenção de Kaka:

Uyio: Mas se eu for concordar com a Beatriz no item c da 5, vou me contradizer, graças

a Definição de continuidade que ela propôs (Ln. 287)

MaluT: Qual é a Definição da Beatriz? Me explique com suas palavras. (Ln. 288)

Uyio: Se f(1) for igual a uma coisa, e lim x->1 f(x) for outra, x é descontínuo nesse ponto

1 (Ln. 289)

Uyio: Vai um pouco contra aquilo que eu propuz no início da aula (Ln. 290)

Uyio: Estar definida em todos os pontos não quer dizer que a função é contínua? (Ln.

296)

Kaka: não (Ln. 297)

Uyio: Ahn, então foi nisso que eu me embolei, na hora de defnir continuidade (Ln. 298)

Uyio: Sobre a 5c, os dois acharam a descontinuidade, mas a Beatriz foi novamente

mais contundente que o João, usando a abordagem certa. Ela nem precisava ter citado a Definição de limite, ao meu ver (Ln. 301).

Quando Uyio (Ln. 301) falou que Beatriz foi mais contundente, usou a abordagem

certa, interpretamos que Uyio estava valorizando a abordagem mais formal de continuidade,

a definição por limites, já que João resolveu a questão de forma mais intuitiva, usando

gráfico, falando em buracos e saltos.

Questão 5 – Itens (a), (b) e (c) Sala Tarefa 3-2 Log 3-2 Grupos 3 e 4

Item (a):

Kaka foi a única aluna que mostrou familiaridade com a definição de continuidade por

e 𝛿 . Os alunos Vmais, Nina e Uyio manifestaram suas dificuldades com a solução por

e 𝛿: “não lembro de mais nada disso”, “falou meio grego para mim”, “Direto do Túnel do

tempo....”, “Matéria mais difícil da graduação”, “não lembro o que significam esses epcilons

e esses deltas”, “Tá rachando a cuca”.


347

Os alunos desses grupos não analisaram a resolução de João, mas

mostraram que sabiam calcular o limite lim𝑥→1(2𝑥 + 1) , por

substituição, fazendo 𝑥 = 1 na expressão 2𝑥 + 1 .

Item (b):

Quando apresentamos a função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 , definida em ℝ − {1} colocamos em

discussão duas hipóteses:

H1: A função 𝑓 É CONTÍNUA pois 𝑥 = 1 NÃO PERTENCE ao seu domínio.

X H2: A função 𝑓 NÃO É CONTÍNUA pois 𝑥 = 1 NÃO PERTENCE ao seu domínio.

Essas duas ideias causaram um conflito em Uyio, que disse que se concordasse com a

Beatriz, a ideia intuitiva de desenhar uma curva, sem tirar o lápis do papel, ficaria

prejudicada.

Uyio concordou com Vmais, que a função 𝑓 não é contínua, pois 𝑥 = 1 não pertence ao

seu domínio. Nina manteve o seu discurso: não está definida em um ponto, não é contínua

nesse ponto.

Para Kaka e Glasm a resposta correta é a da Beatriz. Kaka concordou com a tese da

Beatriz, mas não com os seus argumentos. Para Kaka a função 𝑓 é contínua em 𝑥 = 1,

porque os limites laterais nesse ponto são iguais e não porque a função não está definida em

𝑥 = 1 e criticou os argumentos de João. Glasm concordando com Beatriz, fez uma

mudança no seu discurso.

Item (c):

Inicialmente Nina afirmou que a função 𝑔(𝑥) = {2𝑥 + 1 , 𝑥 ≠ 1

2 , 𝑥 = 1 não era

contínua, mas depois das argumentações de seus companheiros de sala,

disse que tinha dúvidas.

Para Kaka a solução de Beatriz é perfeita.

Para Uyio, até esse exemplo, a continuidade estava relacionada a função estar ou

não definida em um ponto. Se ele aceitasse as resoluções de João e Beatriz teria que aceitar

uma função não ser contínua em um ponto onde estava definida e isto contrariaria seus

348

argumentos anteriores. Ele também disse que Beatriz foi mais contundente, usou a

abordagem certa .

Questão 5. Sala Tarefa 3-3 Log 3-3. Grupos 5 e 6

O diálogo nessa sala caminhou de forma meio descompassada. May, Suzana e Peu

interagiam, enquanto Cranio, que entrou na sala quase uma hora após o início do encontro,

decidiu trabalhar nas questões na ordem em que foram propostas, para apresentar suas

ideias sobre continuidade e suas opiniões sobre os exercícios. Não interagiu muito. O mesmo

aconteceu com Fernanda e Amiga.

Os alunos começaram a discussão do item (a) da Questão 5 dando suas respostas

para o lim𝑥→1(2𝑥 + 1).

Sala Tarefa 3-3. Grupos 5 e 6. Questão 5 – Item (a)

Ln. 194 – May: na 5 o lim dá 2*1+1=3

Ln. 199 – Suzana: questão 5 a)3

Ln. 200 – Peu: 5a) limite é 3 @: Message 194

Ln. 227 – Fernanda: Questão nú 5 o limite é igual a 3

Ln. 263 – Cranio: questão 5

Ln. 264 – Cranio: resposta é 3

Ln. 267 – Amiga: na nú 5 letra a) a resposta é 3

Ln. 272 – Cranio: p/ a questão nú5 a)



Para May, Suzana, Peu, Fernanda, Cranio e Amiga

lim𝑥→1(2𝑥 + 1) = 3 . Apenas May (Ln. 194) deixou claro como encontrou

a sua resposta, ela disse que: “o lim dá 2*1+1=3”. Interpretamos que os

outros alunos calcularam o limite pelo gráfico ou usaram a técnica da

substituição, como May.

349

Questão 5. Item (a) SalaTarefa 3-3. Log 3-3. Grupos 5 e 6

Analise as resoluções de João e Beatriz , discuta as semelhanças e ou as diferenças para a questão: Calcule 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏(𝟐𝒙 + 𝟏)




Fazendo 𝑥 = 1 em 𝑦 = 2𝑥 + 1 , obtemos 𝑦 = 3, então vou provar que lim𝑥→1(2𝑥 + 1) = 3 :

Para qualquer > 0, existe um 𝛿 > 0, tal que |(2𝑥 + 1) − 3| < sempre que

0 < |𝑥 − 1| < 𝛿.

|(2𝑥 + 1) − 3| < ⇔ − < (2𝑥 + 1) − 3 < , sempre que 0 < |𝑥 − 3| < 𝛿. Como

|(2𝑥 + 1) − 3| = |2𝑥 − 2| = 2|𝑥 − 1| , portanto –𝜀

2 < 𝑥 − 1 <

𝜀

2.



|(2𝑥 + 1) − 3| < sempre que, 0 < |𝑥 − 3| < 𝛿.

As argumentações sobre o item (a) são apresentadas a seguir e foram recortadas do


Sala Tarefa 3-3. Grupos 5 e 6. Dialogando sobre o Item (a) – Questão 5

Ln. 210 – May: pensei que nem João a resolução da beatriz não irira pensar nela

Ln. 211 – Suzana: nem eu @: Message 210.

Ln. 246 – Fernanda: ótima resolução de Beatriz(letra a), na letra b não entendo x=1

não faz parte do domínio?

Ln. 247 – MaluT: Por que ótima? Está de acordo com o que você pensa de

continuidade? e a do João, o que você acha? @: Message 246

Ln. 255 – Fernanda: Malu , relamente não é ótimaa única coisa que a Beatriz fez foi

demonstração de limite.

Ln. 258 – Suzana: que eu considero difícil de entender @: Message 255.

Ln. 261 – Fernanda: Eu havia achado a resolução de João muito simples e óbvia.

350

Ln. 275 – Cranio: os dois alunos obtiveram o mesmo resultado só que um de uma

forma mais formalizada e o outro de maneira intuitiva, aplicando uma substituição simples

Ln. 277 – Peu: é... mas vc teria qual pensamento? Eu só teria o pensamento da Beatriz

em uma aula de análise @: Message 275.

Ln. 278 – MaluT: Qual você acha mais interesante? Se for o caso, lógico @: Message

275.

Ln. 279 – MaluT: Como você ensinaria seus alunos de Cálculo I? Mencionaria a Beatriz?

@:Message 277.

Ln. 281 – Fernanda: Em uma aula de Cálculo mencionaria a Beatriz

Ln. 282 – Peu: sim, mencionaria, falaria de um curso, cadeira, especializado(a), com um

formalidade maior

Ln. 283 – Peu: mas não cobraia dele, em calculo 1, com certeza que não

Ln. 285 – Peu: mesmo sendo alunos de matemática

Ln. 286 – Peu: eu ensinaria de maneira intuitiva em um primeiro momento, e depois

formalizaria, porém não chegaria a ensinar o jeito "beatriz" @: Message 279.

Ln. 287 – Peu: apenas comentaria em sala @: Message 286.



Vemos que May e Suzana (Lns. 210, 211, 258) pensaram como João. May disse que

não pensaria como Beatriz e Suzana considerou difícil entender a resolução da Beatriz, a

que usa e 𝛿 .

Para Cranio (Ln. 275) a resolução de João é uma maneira mais intuitiva de explicar

o exercício, bastando fazer uma substituição simples para chegar à conclusão, mas também

concordou com a resolução de Beatriz, que considerou mais formal.

Na realidade, a resolução proposta por João, não foi o

cálculo do limite substituindo 𝑥 = 1 na função 𝑦 = 2𝑥 + 1. Ele

propôs, que simplesmente, se analisasse o gráfico dessa

função.

Para Fernanda (Lns. 246, 261, 281) a resolução de

Beatriz é ótima e a usaria numa aula de Cálculo, já que a

resolução de João é muito simples e óbvia. O que Beatriz fez foi a demonstração de limite.


351

"Por que ótima? Está de acordo com o que você pensa de continuidade? e a do João, o

que você acha?" (MaluT, Ln. 247),

Fernanda (Ln. 255) argumentou, que realmente [a resolução da Beatriz] não é

ótima, que a única coisa que ela fez foi fazer a demonstração por limite.

Já Peu, (Lns. 277, 282, 283, 285, 286, 287) disse que ensinaria seus alunos de Cálculo

I, mesmo sendo alunos de Matemática, primeiro de maneira intuitiva, depois formalizaria a

explicação, mas sem ensinar o jeito "beatriz", que seria apenas comentado em sala de aula.

Ele disse, que o pensamento de Beatriz só deveria ser abordado numa aula de Análise, e que

nunca deveria ser cobrado numa aula de Cálculo I.

A seguir, apresentamos um esquema argumentativo para mostrar o processo

dialógico dos alunos dos Grupos 5 e 6, enquanto argumentavam sobre o item(a) da Questão

5.

352

Figura 102 – Esquema argumentativo do Item (a) –Questão 5 – Grupos 5 e 6


Não é ótima, apenas

demonstra o

limite.

(Fernanda)

Difícil de entender.

(Suzana)

Não pensaria nela.

(May)

Ótima resolução.

(Fernanda)

H2 H4

e

𝛿

IN TER VEN ÇÃO

Está de

acordo com o que você pensa de

continuidade?

H1

Mais formal.

(Cranio)

Só para um curso de Análise.

(Peu)

Ensinaria de maneira intuitiva em um primeiro

momento, depois formalizaria, mas não ensinaria o "jeito Beatriz", mesmo para os

alunos de Cálculo da Matemática.

(Peu)

Em uma aula de Cálculo

mencionaria Beatriz

(Fernanda)

Mencionaria Beatriz, mas não cobraria deles.

(Peu) IN TER VEN ÇÃO

Como você

ensinaria seus

alunos de Cálculo I?

H3

353


O Item(b) da Questão 5 pede que se

Analise as resoluções de João e Beatriz , discuta as semelhanças e ou as diferenças para a questão:

Analise a continuidade da função 𝑓: ℝ − {1} → ℝ , tal que 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1


A função 𝑓: ℝ − {1} → ℝ , tal que 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 só não é contínua em 𝑥 = 1 , pois não está definida em 𝑥 = 1 e vendo o gráfico dessa função vemos que ele tem um buraco no ponto (1,3).



As argumentações sobre o item (b) são apresentadas a seguir e foram retiradas do

Log da Sala Continuidade Tarefa 3-3.

Sala Tarefa 3-3. Grupos 5 e 6. Dialogando sobre o Item (b) – Questão 5

Ln. 201 – May: na b não é contínua em x=1 de resto é ela é contínua

Ln. 202 – Peu: b) ela é contínua em todo domínio

Ln. 203 – Peu: ah sim, ela não é continuam em x = 1 pq esse ponto não é do domínio

Ln. 218 – May: só não concordo com a letra b da resolução da beatriz

Ln. 230 – Fernanda: b) se D= R-{1} não haverá continuidade para função

anteriormente citada.

Ln. 280 – Cranio: na minha opinião em relação ao item b)

Ln. 284 – Cranio: concordo com Beatriz



No item (b) da Questão 5 May, Peu e Fernanda (Lns 201, 203, 230) concordaram

que a função 𝑓: ℝ − {1} → ℝ , tal que 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟏 não é contínua em 𝒙 = 𝟏 e segundo

Peu e Fernanda, porque este ponto não faz parte do domínio da função. E como para

May, essa função não é contínua em 𝑥 = 1, ela (Ln. 218) não concordou com a resolução de

Beatriz para esse item. Já Cranio (Ln. 284) concordou com Beatriz, sem argumentar.

354

As argumentações dos alunos são coerentes com a definição "mais formal" de

continuidade que encontramos em livros textos de Cálculo adotados nas nossas

universidades (por exemplo, Anton, Bivens e Davis (2007); Thomas et al (2002); Stewart, J.

(2009)). Anton, Bivens e Davis (2007) sugerem a seguinte definição:

2.5.1 DEFINIÇÃO Dizemos que uma função 𝑓 é contínua em 𝒙 = 𝒄 se as seguintes condições estiverem satisfeitas:




(ANTON; BIVENS; DAVIS, 2007, v. 1, p. 144, grifo dos autores).

E escrevem:


(ANTON; BIVENS; DAVIS, 2007, v. 1, p. 144, ênfase do autor).

E como vemos, se a primeira condição falhar, se a função não for definida em um

ponto, não será contínua nesse ponto.

QUESTÃO 5. ITEM (c) Sala Tarefa 3-3. Log 3-3. Grupos 5 e 6

O Item(c) da Questão 5 pede que se

Analise as resoluções de João e Beatriz , discuta as semelhanças e ou

as diferenças para a questão:

Analise a continuidade da função 𝑔(𝑥) = {2𝑥 + 1 , 𝑥 ≠ 12 , 𝑥 = 1


A função 𝑔(𝑥) = {2𝑥 + 1 , 𝑥 ≠ 12 , 𝑥 = 1

também só não é contínua em 𝑥 = 1 , pois apesar de

estar definida em 𝑥 = 1 , vendo o gráfico dessa função observamos que ele tem um buraco no ponto (1,3) e apresenta um salto.


A função 𝑔(𝑥) = {2𝑥 + 1 , 𝑥 ≠ 12 , 𝑥 = 1

está definida em todos os pontos do conjunto dos

números reais.

Como lim𝑥→1(2𝑥 + 1) = 3 ≠ 𝑓(1) = 2 então a função não é contínua em 𝑥 = 1 . Mas a função é contínua em qualquer 𝑥 ≠ 1.

355


Para qualquer > 0 , não existe um 𝛿 > 0 , tal que |𝑓(𝑥) − 3| < sempre que 0 < |𝑥 − 1| < 𝛿.

As argumentações sobre o item (c) são apresentadas a seguir e foram recortadas do



Ln. 205 – May: na c parece não ser contínua

Ln. 206 – Suzana: acho que não é contínua

Ln. 207 – Suzana: c) @: Message 206.

Ln. 209 – Peu: também achei ela descontínua @: Message 205

Ln. 236 – Peu: novamente, na 5c, eu faria como o João

Ln. 239 – May: faria como João novamente

Ln. 240 – Suzana: eu tb @: Message 236

Ln. 242 – May: o da betariz entendi, é a resolução do João só que de uma maneira

mais formal.

Ln. 245 – Peu: ah sim... bem mais formal @: Message 242.

Log da Sala Tarefa 3-3 Questão 5 – Item(c) – Grupos 5 e 6


Peu, May e Suzana (Lns. 205, 206, 209) "acharam" a função

𝑔(𝑥) = {2𝑥 + 1 , 𝑥 ≠ 1

2 , 𝑥 = 1 não contínua e ao argumentarem (Lns. 236, 239, 240) que

resolveriam esse item como João, estavam argumentando de forma intuitiva, estavam

mantendo discursos anteriores:

May: função contínua é uma função que não há uma ruptura (Ln. 13, Log 3-3);

Peu : ruptura, no sentido de pulo, certo?” (Ln. 15, Log 3-3);

Suzana: função contínua é a função que não possui “buracos” (Ln. 61, Log 3-3);

Peu: não apresentam interrupção, algo continuo, em movimento” (Ln. 65, Log 3-3),

Foi assim exatamente, a forma como João argumentou, quando disse que a função 𝑔 não

era contínua, porque o o gráfico dessa função tinha um buraco no ponto (1,3) e apresentava

um salto.

May (Ln. 245) afirmou que a resolução da Beatriz é igual a resolução do João, só que

mais formal, e Peu (Ln. 245) concordou: "ah sim... bem mais formal".

356

Não pensaria nela. (May)

Considero difícil de entender. (Suzana)

Obteve o mesmo resultado que João, só que de maneira mais formal (Cranio)

Só teria o pensamento da Beatriz em uma aula de Análise (Peu)

Como você ensinaria seus alunos de Cálculo I?

Mencionaria a Beatriz? (pesquisadora)

Em uma aula de Cálculo mencionaria Beatriz (Fernanda)

Mencionaria Beatriz, mas não cobraria deles (Peu)

Ensinaria de maneira intuitiva em um primeiro momento, depois formalizaria, mas não ensinaria o "jeito Beatriz", mesmo para os alunos de Cálculo da

Matemática (Peu).

Gostaríamos de observar que a resolução por e 𝛿 dada por Beatriz, não está

correta, os quantificadores estão incorretos. Mais uma vez, os alunos não avaliaram a

solução dada por e 𝛿 e acreditaram que estava correta, o que nos levou a interpretar que

os alunos não se apropriaram dessa definição.

Questão 5 – Itens (a), (b) e (c) Sala Tarefa 3-3 Log 3-3 Grupos 5 e 6

Item (a):

May e Suzana pensaram como João. Interpretamos que

analisaram lim𝑥→1(2𝑥 + 1) pelo gráfico da função.

Quanto à resolução por e 𝛿 apresentada por Beatriz,

disseram:

Figura 103 – Sobre a resolução de Beatriz – Grupos 5 e 6



357

Ótima resolução de Beatriz (Fernanda)

Por que ótima? Está de acordo com

o que você pensa de continuidade?

(pesquisadora)

Realmente não é ótima. A única coisa que a beatriz fez foi

demonstração de limite (Fernanda)

Figura 104 – Sobre a resolução de Beatriz – Fernanda


Item (b):

May, Peu e Fernanda concordaram que a função 𝑓: ℝ − {1} → ℝ , tal que 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1

não é contínua em 𝑥 = 1 , e segundo Peu e Fernanda, porque este ponto não faz parte do

domínio da função. E como para May essa função não é contínua em 𝑥 = 1 , ela não

concordou com a resolução de Beatriz para esse item. Já Cranio concordou com Beatriz,

sem argumentar.

Item (c):

Peu, May e Suzana "acharam" a função 𝑔(𝑥) = {2𝑥 + 1 , 𝑥 ≠ 1

2 , 𝑥 = 1 não contínua, e ao

falarem que resolveriam esse item como João, estavam argumentando de forma intuitiva,

como já o fizeram anteriormente: “função contínua é uma função que não há uma ruptura”,

“função contínua é a função que não possui “buracos””.

João também argumentou intuitivamente, quando disse que a função 𝑔 não era contínua,

porque o o gráfico dessa função tinha um buraco no ponto (1,3) e apresentava um salto.

May afirmou que a resolução da Beatriz é igual a resolução do João, só que mais formal, e

Peu (Ln. 245) concordou: "ah sim... bem mais formal".

5.5 QUINTO ENCONTRO: TAREFA 4: O aluno: o VMT e a continuidade

Esse encontro foi pensado para ouvir os depoimentos dos participantes da nossa

investigação sobre a plataforma VMT e para observar a evolução das ideias iniciais de

358

continuidade que eles apresentaram nos encontros anteriores e em momentos de interação

assíncrona. Observar se ocorreram mudanças nesse discurso. As funções foram elaboradas

depois de uma análise parcial dos dados coletados nas tarefas anteriores, o que nos fez

trazer novamente a função não familiar 𝑦 = ⟦𝑥⟧ , que motivou muita discussão na Tarefa 2 e

na Tarefa 3, uma função inspirada na função 𝑓4(𝑥) =𝑥3

𝑥2 , que também fomentou longos

diálogos, e nos propiciou uma controvérsia: 𝑓4 é a função identidade ou não? Trouxemos

funções cujos gráficos apresentam algum tipo de “quebra”, “interrupção” em pontos, que

pertencem ao gráfico da função e também em pontos que não pertencem ao seu gráfico,

funções cujos gráficos não são contíguos.

Nesse encontro cada aluno trabalhou em um computador e a comunicação entre eles

foi através do VMT. Dessa vez ficou mais claro, que a disposição dos computadores não era

muito favorável a concentração. Os alunos que ficaram no que chamamos de ESPAÇO 1,

estavam sempre mais concentrados. O ESPAÇO 2 era mais apertado, o que fazia com que os

alunos ficassem muito próximos uns dos outros, facilitando a dispersão. Não contamos com

a presença do professor Wanderley nesse encontro.

Relembrando. As seguintes salas foram abertas para esse encontro:

Figura 105 – Salas no VMT – Tarefa 4

Alunos participantes Salas e respectivos Logs Tarefas

Grupos 1: Cateto, Galois

Grupo 2: Alequice, Carolzinha, Mb

Sala Tarefa 4-1-1 [Log 4-1-1] Exercício I

Sala Tarefa 4-1-2 [Log 4-1-2] Exercício II-1

Sala Tarefa 4-1-3 [Log 4-1-3] Exercício II-2 e 3


Grupos 3: Kaka, Nina, Uyio

Grupo 4: Gods, Glasm, Vmais,

Aluno34

Sala Tarefa 4-2-1 [Log 4-2-1] Exercício I e II-1



Grupos 5: Cranio, Suzana

Grupo 6: Lili, May, Peu, Amiga

Sala Tarefa 4-3-1 [Log 4-3-1] Exercício I e II-1




359

Decidimos analisar somente os Exercícios I, II-1, II-2, II-3. Os dados coletados nos

Exercícios II-4 e II-5 serão utilizados em trabalhos futuros.

Questão (I) da Tarefa 4

Responda:

(1) O que você aprendeu com esses encontros? O que você desejaria saber mais sobre continuidade? O que você não entendeu e que poderíamos modificar nas atividades para um próximo curso.

(2) Como você explicaria para alguém que não participou da pesquisa o que é uma função contínua.

(3) Como professor você usaria a plataforma VMT? Justifique.

(4) Como aluno, dê duas características da plataforma que mais chamaram sua atenção positivamente e duas características negativas que lhe chamaram atenção.

(5) A troca de ideias, a opinião de dos colegas, a reflexão que o VMT propicia provocou alguma mudança em suas ideias iniciais sobre alguma questão aqui abordada. Qual e por quê?

Questão (I). Item (1) Sala Tarefa 4-1-1. Log 4-1-1. Grupos 1 e 2

O que falaram os alunos dos Grupos 1 e 2 sobre o Item (1)?

O que você aprendeu com esses encontros? O que você desejaria saber mais sobre continuidade? O que você não entendeu e que poderíamos modificar nas atividades para um próximo curso

Sala Tarefa 4-1-1. Grupos 1 e 2. O que você aprendeu nesses encontros? Organizando e conduzindo o discurso

Ln. 7 – Carolzinha: E aí, pessoal/1

Ln. 8 – Galois: E ai!!!

Ln. 9 – Carolzinha: 1- Bem, relembrei conteúdos dados na época da faculdade.

Ln. 10 – Carolzinha: e vcs, o q aprenderam?

Ln. 11 – Galois: E essa revisao? Foi melhor ou nao do que as aulas que vc teve na

faculdade? @: Message 10

Ln. 12 – Alequice: Tirei algumas duvidas q pairavam sobre a minha kbça

Ln. 13 – Galois: Cite-nos um exemplo, Alequice @: Message 12

Ln. 14 – Carolzinha: São momentos diferentes, não tem como comparar... Agora uma

fase mais madura...

360

Ln. 15 – Alequice: Deu para discutir bastante sobre os assuntos. Achei mto interessante

esse tipo de abordagem

Ln. 16 – Carolzinha: tb, Alequice! aprendi muito com vc, vlw!


Ln. 18 – Carolzinha: sou sua fã



Ln. 21 – Alequice: tirei algumas duvidas sobre continuidade de fçs

Ln. 23 – Galois: Entao vc acredita que, para um aluno chegar a um grau de maturidade

sobre continuidade, ele deveria ver isso mais vezes durante o ensino basico? @: Message 14:

Ln. 26 – Carolzinha: eu acredito q sim, Galois!

Ln. 28 – Alequice: Acho que nao precisa ser nenhum matematico profissional para

discutir o conceito de continuidade

Ln. 29 – Carolzinha: verdade

Ln. 97 – Carolzinha: as atividades foram bem elaboradas e conseguimos enterder

direitinho tudo q foi passado!

Ln. 103 – Cateto: Concordo com o Alequice nessa resposta da 1) realmente a

discussão esclarece os conceitos! Aprendi bastante tb... Log da Sala Tarefa 4-1-1

Questão (I) – Item (1) – Grupos 1 e 2 Em 05-06-2012. Das 12h31min às 13h

Interessante observar como os alunos estavam familiarizados com a filosofia do VMT.

Familiarizados com a característica colaborativa do VMT e com as possibilidades de

negociação que essa platafoma oferece, foram formulando perguntas, conduzindo o

discurso:

Carolzinha: e vcs, o q aprenderam? (Ln. 10);

Galois: E essa revisao? Foi melhor ou nao do que as aulas que vc teve na faculdade?

(Ln. 11);

Galois: Cite-nos um exemplo, Alequice (Ln. 13).

Observando o seguinte diálogo entre Alequice e Carolzinha:

Alequice: Acho que nao precisa ser nenhum matematico profissional para discutir o

conceito de continuidade (Ln. 28)

Carolzinha: verdade (Ln. 29)

Carolzinha: as atividades foram bem elaboradas e conseguimos enterder direitinho

tudo q foi passado! (Ln. 97),

interpretamos, que a possibilidade de interagir, de compartilhar conhecimentos “sem

censura”, os deixou confiantes para discutir o que foi proposto nas tarefas pois, como disse

361

Alequice e também, Carolzinha, não precisava ser nenhum matemático profissional para

isso, implicitamente, para ele bastava encontrar um ambiente que possibilitasse isso.

Alequice postou no Whiteboard o que pensava sobre as indagações apresentadas

nesse Item(1)

Figura 106 – O que você aprendeu com esses encontros – Alequice

Fonte: Whiteboard do VMT

Para Alequice, segundo o que postou no Whiteboard

a discussão de conceitos matemáticos, como foi trabalhada nas nossas tarefas através do VMT, é mais importante para a aprendizagem do que ficar fazendo vários exercícios.

Mb postou no Whiteboard que

Para Mb a discussão esclarece e amplia a ideia, o conceito, é uma forma de

lapidação do aprendizado

É senso comum, que a discussão esclarece e amplia a ideia, o conceito, enfim um ponto positivo que posso destacar é a discussão coletiva como forma de lapidação do aprendizado. Mais aplicações do conceito e que se explorasse um paralelo com outros saberes da matemática. Seria interessante a contextualização do tema, a construção

de modelos que pudessem ser aplicados ao cotidiano. (Mb, Whiteboard, em 05-06-2012, 14h18min).

362


No item (2) estávamos interessados em saber como os alunos explicariam o que é

uma função contínua, para alguém que não participou da pesquisa

Sala Tarefa 4-1-1. Grupos 1 e 2. O que é uma função contínua?

Ln. 12 – Alequice: Tirei algumas duvidas q pairavam sobre a minha kbça

Ln. 13 – Galois_12:35: Cite-nos um exemplo, Alequice @: Message 12

Ln. 21 – Alequice: tirei algumas duvidas sobre continuidade de fçs

Ln. 30 – Carolzinha: agora vamos definir o conceito de funçãocontínua?

Ln. 34 – Alequice: como está nos livro de calculo Carol?

Ln. 36 – Carolzinha: respondento a questão 2

Ln. 41 – Galois: Que conjunto de objetos precisaria alguem saber para definirmos uma

função continua a ele? So a funcao? So o grafico? Log da Sala Tarefa 4-1-1

Questão (I) – Item (2) – Grupos 1 e 2 Em 05-06-2012. Das 12h34min às 12h42min

Pelo diálogo acima, percebemos que os alunos ainda buscavam construir o

significado de continuidade interagindo colaborativamente. O livro texto apareceu como

uma forte referência: “como está nos livro de calculo Carol?” (Alequice, Ln. 34). Lembramos

aqui, que quando os alunos falaram sobre continuidade na Tarefa 3, Sala Tarefa 3-1,

apareceu (Ln. 25 do Log 3-1, Summary) a ideia intuitiva que alguns dos livros textos por nós

analisados (por exemplo, Anton, Bivens e Davis (2007); Thomas et al (2002); Stewart, J.

(2009)), usaram para introduzir o conceito de função contínua:

“é uma função que nao apresenta "buracos", pontos que não pertencem a função....o

que acham????” (Cateto, Ln. 21, Log 3-1).

“o que é continuidade? Será que o senso comum diz que é aquilo que não tem

interrupção?” (Johnny, Summary da Sala Tarefa 3-1).

Galois (Ln. 41) fez o seguinte questionamento:

“Que conjunto de objetos precisaria alguem saber para definirmos uma função continua a ele? So a funcao? So o grafico?”

Nessa sua indagação, Alequice colocou a possibilidade de se definir função contínua

através do gráfico, o que seria uma definição intuitiva de continuidade. Por “só a função”,

interpretamos, que seria usar a lei de formação da função, o que permitiria falar em

363

continuidade de maneira mais formal, que foi a forma como Alequice começou a falar de

continuidade na Tarefa 3:

“basicamente o limite da funcao no ponto tem que ter o mesmo valor da função

naquele ponto” (Alequice, Ln. 16, Log 3-1).

Depois de uma rica troca de ideias, Alequice (Ln. 68), um líder desse grupo, disse:

“Vou responder as questões no whiteboard galera. Depois volto”, e postou no Whiteboard uma

definição de continuidade, que mostrou uma mudança no seu discurso. Pela primeira vez

apresentou um ideia de continuidade, que envolve a ideia de preservação de proximidade a

um número real. Ele postou:

Figura 107 – Continuidade por Alequice

Fonte: Whiteboard do VMT

Essa é a ideia que está expressa em : “ 𝑓(𝑥) está arbitrariamente próximo de 𝑓(𝑎)

quando 𝑥 está suficientemente próximo de 𝑎 “, que é uma ideia que pode ser expressa com

precisão por e 𝛿 .

E agora, reflexões sobre os Itens (3) e (4).

Questão (I). Itens (3) e (4) Sala Tarefa 4-1-1. Log 4-1-1.Grupos 1 e 2

Nos Itens (3) e (4) indagamos os seguinte:



364

As argumentações dos alunos dos Grupos 1 e 2 sobre esses itens são apresentadas a

seguir, e foram recortadas do Log da Sala Tarefa 4-1-1.

Sala Tarefa 4-1-1. Grupos 1 e 2. VMT, você usaria? Características positivas e negativas.

Ln. 42 – Carolzinha: gente, vcs usarim o vmt em sala de aula?

Ln. 43 – Alequice: Acho que sim.

Ln. 44 – Carolzinha: bem, eu até usaria, porém a realidade é um pouco diferente..

Ln. 45 – Alequice: As atividades deveriam ser bem amarradas. Para não haver

dispersão

Ln. 46 – Galois: Independente do vmt ou outro tipo de plataforma, essa abordagem

coletiva poderia ser trabalhada

Ln. 47 – Carolzinha: com ctz

Ln. 48 – Galois: o trabalho coletivo **

Ln. 49 – Galois: ai caberia a nos, identificar uma melhor maneira de fazermos isso ...

que tecnologia usar

Ln. 54 – Alequice:Acredito que o único empecilho seria a viabilidade tecnica para isso

Ln. 55 – Carolzinha: É verdade!

Ln. 73 – Galois: Quanto a característica positiva nessa interface, eu destaco a

possibilidade do trabalho coletivo e as diferentes abordagens que podem ser trabalhadas, principalmente quanto a utilizaçao do geogebra

Ln. 74 – Carolzinho: exato

Ln. 75 – Carolzinho: assino embaixo, Galois

Ln. 82 – Carolzinha: Galois, e as caracterisiticas negativas?

Ln. 83 – Galois: De negativo, so acho que usamos pouco o geogebra ... talvez algumas

construçoes pudessem ter nos ajudado nesse sentido sobre o que foi trabalhado

Ln. 84 – Carolzinha: eu não consigo ver... acho q tudo q abordamos aqui foi positivo

Ln. 85 – Carolzinha: o fato de abordar mais o geogebra... não sei não

Ln. 86 – Carolzinha: eu, por exemplo, sei nada de geogebra

Ln. 87 – Galois: eu fiquei meio "viciado" quanto ao uso dele na universidade @:

Message 86

Ln. 88 – Galois: meio que criei uma dependencia srsrsrs

Ln. 89 – Carolzinha: a sim... rsrsrs

Log da Sala Tarefa 4-1-1 Questão (I) – Itens (3) e (4) – Grupos 1 e 2


365

Para os alunos dessa sala, a experiência com o VMT foi muito rica. Pudemos ver nos

encontros presenciais, o entusiasmo com que trabalharam. Destacaram como característica

positiva a possibilidade do trabalho coletivo, que a plataforma VMT possibilita.

O único ponto negativo da plataforma VMT foi apontado por Galois (Ln. 83), e foi o

fato de não ter conseguido acessar o GeoGebra através da palataforma VMT. Segundo

Galois, a construção de gráficos de funções ajudaria na compreensão das questões

apresentadas nas tarefas. Sabendo que no momento dos nossos encontros o Geogebra não

estava acessível pelo VMT, disponibilizamos outros computadores para que esse acesso

fosse possível. Eles consideraram que o uso dessa plataforma na Educação Básica, ou de

outra equivalente que apresente uma abordagem colaborativa, seria interessante, mas

dependeria de viabilidade técnica, de propostas bem estruturas para que não houvesse

dispersão por parte dos alunos.

A seguir, mostramos um recorte do Log 4-1-1 que evidencia a importância que os

alunos deram ao aspecto colaborativo da plataforma VMT.

Sala Tarefa 4-1-1. Grupos 1 e 2. A importância cognitiva do VMT. Colaboração. Interação.

Ln. 23 – Galois: Entao vc acredita que, para um aluno chegar a um grau de maturidade

sobre continuidade, ele deveria ver isso mais vezes durante o ensino basico? @: Message 14

Ln. 24 – Alequice: para mim a melhor parte foi poder discutir com os colegas sobre

conceitos mto complexos

Ln. 25 – Carolzinha: a discussão foi ótima msm!

Ln. 26 – Carolzinha: eu acredito q sim, Galois!

“Quanto a característica positiva nessa interface, eu destaco a possibilidade do trabalho coletivo e a diferentes abordagens que podem ser trabalhadas, principalmente

quanto a utilizaçao do geogebra” (Galois, Ln. 73);

“o trabalho coletivo” (Galois, Ln. 73);

“assino embaixo, Galois” (Carolzinha, Ln. 75);

“acho q tudo q abordamos aqui foi positivo” (Carolzinha,

Ln. 84).

366

Ln. 27 – Alequice: É acho q deveria ver mais no ensino básico mas de situações na

universidade que o levassem a discutir o conceito de continuidade

Ln. 28 – Alequice: Acho que nao precisa ser nenhum matematico profissional para

discutir o conceito de continuidade

Ln. 29 – Carolzinha: verdade

Ln. 31 – Galois: Embora todos aqui tenham feito matematica, cada um a fez ora em

algum lugar diferente ou em epocas distintas ... o importante das discussões propostas foram os fato de cada um poder contribuir com sua visão, seu ponto de vista

Ln. 32 – Galois: Concordo @: Message 28

Ln. 33 – Alequice: concordo com o q vc disse Galois

Ln. 50 – Carolzinha: discutir, expor ideias, trocar informações... Sempre muito

positivo!

Ln. 51 – Alequice: Concordo plenamente. O trabalho cooperativo, a troca de ideias

online é muito interessante e muito construtiva

Ln. 52 – Galois: sem contar que ajudaria o aluno que eh mais introvertido ... que tem

vergonha de fazer alguma pergunta ...

Ln. 57 – Carolzinha: o aluno não precisaria se identificar e tal...

Ln. 58 – Alequice: vc tocou num ponto que acho mto importante. Eu msm sou muito

timido

Ln. 59 – Carolzinha: É isso q eu penso, alequice!

Ln. 61 – Galois: Eh importante sabermos como o colega pensa ... As vezes esse tipo de

conhecimento nos ajuda a criar/aperfeiçoar nossos pontos de vistas Log da Sala Tarefa 4-1-1


Os nossos alunos observaram que na plataforma VMT, a aprendizagem acontece

através das interações entre os alunos, que assim vão construindo o conhecimento de forma

colaborativa. Os alunos vão ensinando uns aos outros, através da reflexão das suas crenças

pessoais, das suas perguntas e das suas respostas, da negociação, do entendimento

compartilhado socialmente. A fala dos nossos alunos está em sintonia perfeita com as

colocações de Stahl (2006, p. 205).


[...] Indivíduos geram crenças pessoais de suas próprias perspectivas, mas o fazem com base em conhecimento sócio-cultural, a linguagem comum e representações externas. Além disso, essas crenças tornam-se conhecimento através da interação social, comunicação, discussão, esclarecimento e negociação. O conhecimento é um produto socialmente mediado. (STAHL, 2006, p. 205).

367

Os alunos dos Grupos 1 e 2 falam:

Figura 108 – A importância cognitiva do VMT. Grupos 1 e 2

Fonte: Log 4-1-1 do VMT

Alequice:

para mim a melhor parte foi poder discutir com os colegas sobre conceitos mto complexos

Carolzinha:

a discussão foi ótima msm

Galois: Embora todos aqui tenham feito matematica, cada um a fez ora em algum lugar diferente ou em epocas distintas ... o importante das discussões propostas foram os fato de cada um poder contribuir com sua visão, seu ponto de vista

Carolzinha: discutir, expor ideias, trocar informações... Sempre muito positivo!

Alequice: O trabalho cooperativo, a troca de ideias online é muito interessante e muito construtiva.

Galois: sem contar que ajudaria o aluno que eh mais introvertido ... que tem vergonha de fazer alguma pergunta...

Alequice: vc tocou num ponto que acho mto importante. Eu msm sou muito tímido.

Galois: Eh importante sabermos como o colega pensa ... As vezes esse tipo de conhecimento nos ajuda a a criar/aperfeiçoar nossos pontos de vistas

368


No Item (5) buscamos saber se

A troca de ideias, a opinião de dos colegas, a reflexão que o VMT propicia provocou alguma mudança em suas ideias iniciais sobre alguma questão aqui abordada. Qual e por quê?

A seguir, apresentamos um recorte do Log 4-1-1, que mostra os diálogos produzidos

pelos alunos dos Grupos 1 e 2, quando discutiam sobre mudanças nos seus discursos sobre

continuidade e função contínua.

Sala Tarefa 4-1-1. Grupos 1 e 2. Reflexão e mudança nas ideias iniciais

Ln. 90 – Galois: E entao Carolzinha ... e a 5 ?

Ln. 91 – Carolzinha: acho q mudança não...

Ln. 92 – Galois: mais reflexao que mudança ?

Ln. 93 – Carolzinha: as ideias aqui abordadas aprimoraram meu conhecimento

Ln. 94 – Cateto: Mais resgate na memoria temporaria q me ajudou a passar em

calculo...rsrs @: Message 92

Ln. 95 – Galois: exato @: Message 93

Ln. 96 – Carolzinha: enfim...

Ln. 98 – Carolzinha: ok, Galois?

Ln. 99 – Galois: Ok, Carolzita !!!

Ln. 100 – Galois: Concuerdo e assino embaixo

Log da Sala Tarefa 4-1-1 Questão(I) – Item (5) – Grupos 1 e 2


Segundo Carolzinha (Ln. 93), e com a concordância de Galois (Lns. 95, 99, 100), a

participação nas tarefas, nos discursos, não provocaram mudanças nas suas ideias iniciais

sobre continuidade e função contínua. Essa participação propiciou, mais reflexão, que

mudança, e também, o aprimoramento dos conhecimentos que já traziam.

369



O que você aprendeu com esses encontros? O que você desejaria saber mais sobre continuidade? O que você não entendeu e que poderíamos modificar nas atividades para um próximo curso?

Sala Tarefa 4-2-1. Grupos 3 e 4. O que você aprendeu nesses encontros?

Ln. 8 – Kaka: (1) Aprendi que a nossa memória é muito interessante. Foi só puxar o fio

do novelo e as coisas foram clareando. Os exercícios foram mostrando aos poucos todas as nossas imperfeições na definição de continuidade. Creio que não tivemos tempo para fazer um fechamento, isto é, o que realmente era verdadeiro? O que era falso?

Ln. 9 – Kaka: (1) A continuidade pode ser vista no ensino médio? Com que

profundidade para não se cometer erros?

Ln. 10 – Vmais: Ao fazer as questões relembramos muitas coisas que vamos dizer

estavam arquivadas, e também a troca de ideias com os colegas foram muito positivas, as vezes uma ideia que parecia ser verdadeira ao ser confrontada com a opinião do colega me fazia ver q não era bem assim, e sozinha talvez demorasse mais tempo para enxergar.

Ln. 16 – Uyio: (1) De especial, consegui perceber de fato a questão de continuidade,

algo que desde a graduação eu não consegui pegar direito, apesar de ter feito uma monografia sobre Valor Principal de Cauchy. E caso eu me aprofundasse mais no tema, iria fazer uma analogia a este tema, pois é o tratamento de descontinuidade nas integrais. Sobre as atividades, gostei bastante. Creio que os diversos exemplos mostrados serviram de muita base para explicar continuidade.

Log da Sala Tarefa 4-2-1 Questão (I) – Item (1) – Grupos 3 e 4


Gostaríamos de ressaltar a importância que os alunos dos Grupos 3 e 4 também

deram ao aspecto interativo, colaborativo do VMT. Vmais, Kaka e Uyio disseram:

“a troca de ideias com os colegas foram muito positivas, as vezes uma ideia que parecia ser verdadeira ao ser confrontada com a opinião do

colega me fazia ver q não era bem assim” (Vmais, Ln. 10)

“Os exercícios foram mostrando aos poucos todas as nossas

imperfeições na definição de continuidade” (Kaka, Ln. 8)

“os diversos exemplos mostrados serviram de muita base para

explicar continuidade” (Uyio, Ln. 16).

370

Interpretamos que Vmais, Kaka e Uyio anunciaram nessas falas, que as questões

apresentadas nas tarefas, os estimulou a dialogar sobre o tema continuidade, discutir ideias

que traziam e que estavam sendo questionadas através dos exercícios.





Ln. 11 – Kaka: (2) Alguém com que formação?

Ln. 12 – Vmais: Sobre continuidade isso deu muito assunto, pq varias vezes nos

pegamos fora da sala também discutindo sobre a definição correta, e varias são as definições que acredito que não chegamos há um denominador comum, rsrsrs

Ln. 17 – Uyio: (2) (2)Diria que uma função é continua se, para o domínio da função, eu

não tiro o lápis do papel

Ln. 30 – Vmais: Obs, não chegamos a definição de continuidade

Ln. 33 – Kaka: (2) Não se deixe enganar. Algumas funções parecem não ser contínuas,

mas são. A ideia de não tirar o lápis do papel é boa, mas nem sempre é válida. Veja o exemplo da função f(x)=1/x. Para traçarmos o seu gráfico temos que tirar o lápis do papel, porém em IR* ela é contínua. Para uma definição de continuidade, creio que seria difícil com breves palavras passar a ideia. Creio que teríamos muitos exemplos e em seguida, a definição com vizinhanças e tudo o mais.

Ln. 36 – Vmais: kkkkkkkk, essa interação é ótima, como falei não chegamos a

conclusão de continuidade, e eu ainda não tenho uma opinião formada sobre isso @: Message 31



O recorte do Log 4-2-1 da Sala Tarefa 4-2-1 acima, nos mostrou que até o momento

dessa discussão os alunos dos Grupos 3 e 4 não tinham chegado a “um denominador

comum” sobre continuidade de uma função, como disse Vmais (Ln. 12).

De fato, foram vários os significados, que os alunos dos Grupos 3 e 4 produziram para

continuidade, enquanto trabalhavam nas questões da Tarefa 3. Ao longo dos discursos

produzidos na Tarefa 3, pudemos observar que não houve convencimentos, mas houve

muita reflexão, muita troca de ideias.

371

Vmais (Ln. 12) disse que continuidade deu muito assunto, que várias vezes

discutiram fora da sala sobre a definição “correta”, mas acreditava que não tinham chegado

a um denominador comum sobre essa definição. Segundo Vmais (Ln. 30) o grupo não

chegou “a” definição de continuidade, disse (Ln. 36) que achou essa interação ótima, mas

que ainda não tinha uma opinião formada sobre isso. Gostaríamos de observar, que nem

todos os livros textos de Cálculo e Análise apresentam a mesma definição de continuidade e

isso já mostramos na análise que fizemos de alguns livros textos de Cálculo e Análise Real.

Pela nossa experiência ensinando Cálculo no Ensino Superior não se discute com os alunos

essa realidade, não se explica a escolha que se faz para definir função contínua e essas

dúvidas vão se cristalizando ao longo do tempo

Vmais começou o seu discurso sobre continuidade de função na Tarefa 3 dizendo:

“Podemos dizer que uma função é continua quando existe um "salto" em determinado ponto do dominio. ou seja a função não é definida para tal ponto, ou nao existe

imagem pela função dada para tal ponto” (Vmais, Ln. 16, Log 3-2);

“perdão descontinua quando existe o salto” (Vmais, Ln. 19, Log 3-2);

“Mas podemos desenhar uma função continua tirando o lápis do papel, caso do exemplo 1 [função 𝑓10 ] a função é contínua mas

tiramos o lápis do papel para desenhar (Vmais, Ln. 21, Log 3-2).

Inferimos dessas falas de Vmais, que para ele uma função é contínua em um ponto,

se for definida nesse ponto, se permitindo até desenhar o gráfico de uma função contínua

tirando o lápis do papel, como no caso da função 𝒇𝟏𝟎

.

Uyio (Ln. 17) disse que para ele, uma função é contínua se, para o domínio da

função, não tira o lápis do papel para desenhar o seu gráfico. Uyio já defendeu essa ideia

quando analisou as funções 𝑓10 , 𝑔 , 𝑓9 da Tarefa 3, o que podemos ver nas seguintes falas:

Uyio: DE certa forma sim [a função f10 é contínua], mas

mesmo que de uma forma diferente, um ponto da imagem dá continuidade a outro, não que se ligue, de fato (Ln. 34, Log 3-2).

Uyio: Na g(x) o x = 0 não dá continuidade a

função, não existe ninguém relacionado a ele (Ln. 55, Log 3-2).

372

Uyio: f1 contínua, assim como a f2 e a f9. Já as demais são descontínuas, pois o 0

não possui ligação com o domínio [aqui, Uyio se equivocou, é f3 e não f2] (Ln. 70, Log 3-2)

Interpretamos dessas enunciações, que Uyio, ao afirmar que as funções 𝑓10 e 𝑓9 são

contínuas, e a função 𝑔 não, aceitou que o gráfico de uma função contínua tenha saltos,

mas exigiu que a função esteja definida para o número real 𝒙 , onde ocorrem o salto, o

buraco ou a interrupção.

Para Kaka (Ln. 33, Log 4-2-1)

“uma definição de continuidade, creio que seria difícil com breves palavras passar a ideia. Creio que teríamos muitos exemplos e em seguida, a definição com vizinhanças e tudo o mais”.

Kaka no Log 3-2 da Sala Tarefa 3-2 já havia mencionado uma definição com

vizinhanças:

“A função será contínua se, para cada bola em torno de f(a), existir uma bola em torno de a tal que para todo x da bola de a, f(x) esteja na bola de f(a). Não sei se é bem

assim” (Kaka, Ln. 268, Log 3-2).

Lembramos aqui, que Kaka na sua graduação fez várias disciplinas de Análise, antes

de fazer uma única disciplina de Cálculo e como ela disse na linha 254 do Log 3-2 da Tarefa 3:

“Na minha época era tanto episilon e delta que seria difícil não me lembrar depois de 8 análises”.

Kaka mostrou uma mudança no seu discurso.

Nos diálogos produzidos enquanto trabalhavam nas questões da Tarefa 3, Kaka (Lns.

32, 33, 56, 59, 144, 161 do Log 3-2) afirmou, que se o limite da função em um ponto não

existir, por exemplo, se os limites laterais forem diferentes, a função não seria contínua

nesse ponto, mesmo que estivesse definida nesse ponto. Por isso para ela (Ln. 32), as

funções 𝑓10 , 𝑔 já mencionadas acima e a função ℎ , não são contínuas.

373

E na linha 48 desse mesmo Log, Kaka disse que a função

𝑓5(𝑥) =𝑥2

𝑥3 não é contínua.

Já na linha 33 do Log 4-2-1, da Sala Tarefa 4-2-1, Kaka

concordou que é possível traçar o gráfico de uma função

contínua tirando o lápis do papel, admitindo que a função

𝒇(𝒙) =𝟏

𝒙 é contínua em ℝ − {𝟎}.

E 𝑓(𝑥) =1

𝑥=

𝑥2

𝑥3= 𝑓

5(𝑥)


Questão (I). Itens (3) e (4) Sala Tarefa 4-2-1. Log 4-2-1. Grupos 3 e 4

Nos Itens (3) e (4) indagamos os seguinte:



As argumentações dos alunos dos Grupos 3 e 4 sobre esses itens são apresentadas a

seguir, e foram recortadas do Log da Sala Tarefa 4-2-1.

Sala Tarefa 4-2-1. Grupos 3 e 4. VMT, você usaria? Características positivas e negativas

Ln. 14 – Kaka: (3) Talvez para alunos da graduação ou pós, creio que seria muito bom.

Para o fundamental ou médio, creio que não seria muito legal. Acredito que poderíamos usar a plataforma em algumas aulas e, em seguida, deveríamos fazer um fechamento presencial

Ln. 15 – Vmais: Concordo com a Kaka para o fund. e médio creio que não seria muito

legal.

Ln. 18 – Kaka: (4) Positivamente, sem sombra de dúvidas, trocar informações é

muuuuuiiiito legal. Poder estudar na hora em que for conveniente também é bastante positivo. Interessante também é perceber como alguns conceitos são ingratos para serem escritos.

Ln. 19 – Uyio: (3) Eu não usaria a plataforma VMT unicamente por complicações com o

Java. Fora isso, ela é eficiente.

374

Ln. 20 – Vmais: Acredito que no fund e médio, os alunos achariam que a sala de aula

virtual, seria uma sala de bate papo, seria aquela algazarra, rsrs, mas mesmo achando que inicialmente nao seria tão legal, pode ser que se eles fossem estimulados a usar a plataforma talvez alguns falassem mais o que acham da matemática ou sobre uma questão, eles poderiam ficar mais a vontade para opinar, porém isso só msm na prática para saber se daria ou não certo.

Ln. 21 – Kaka: (4) Pontos negativos Deveríamos ter tempo suficiente para dominar a

linguagem da plataforma e usar todos os seus recursos. Não sei se falo demais, sinto falta de um fechamento presencial.

Ln. 23 – Vmais: Sobre a plataforma, achei muito interessante que nada se perde, td

está aqui basta voltar no tempo

Ln. 24 – Uyio: (4) Eu gostei dela ter em ?anexo? um geogebra para se fazer gráficos das

funções, e ainda mais por ter um bate-papo bem funcional. Mas, fora isso não gostei dos embates perdidos que eu tive com a instalação da plataforma Java para instalar o programa, além de ter um conteúdo livre demais. Creio que as salas deveriam ter um moderador, pois por desconhecer como que se usa o programa, alguém pode sem querer estragar o trabalho feito por outros nele.

Ln. 26 – Vmais: A troca de ideias como falei na primeira resposta,é uma das coisas

mais interessantes pois possibilita uma troca de ideias enorme. Log da Sala Tarefa 4-2-1

Questão 1 – Itens (3) e (4) – Grupos 3 e 4 Em 05-06-2012. Das 12h48min às 13h

Pelas falas acima percebemos que a plataforma VMT foi bem aceita pelos alunos dos

Grupos 3 e 4 também. O seu caráter interativo, colaborativo foi bastante destacado. Trocar

ideias, como dizem os alunos, foi muito bom para eles, permitiu que se dialogasse sobre as

questões propostas. Afinal todos tinham voz, eram respeitados, podiam colocar suas ideias

para o grupo e ponderar sobre o que o colega dizia e isto podia ser feito a qualquer hora.

Minha experiência profissional mostra, que na sala de aula presencial tradicional de muitas

instituições de ensino superior, o professor fala e o aluno escuta.




Ocorreram mudanças nos discursos sobre continuidade e função contínua dos alunos

dos Grupos 3 e 4? Vamos aos diálogo produzido por esses alunos.

375


Ln. 25 – Uyio: (5) Mudou completamente, pois apesar de ter visto continuidade na

graduação, sempre tive problema com cálculos, e por isso nunca entendi direito a noção de continuidade

Ln. 27 – Kaka: (5) Sim. Teve uma função que eu não descobri a sua lei de formação

e alguém cantou a bola e foi super útil. A disposição dos exercícios foi muito boa, o "moderador" sabia quais eram os nossos pontos falhos e nos fez enxerga-los através de exemplos.

Ln. 39 – Vmais: Ainda tenho duvidas sobre continuidade @: Message 36

Ln. 41 – Uyio: Eu to pegando minhas duvidas de continuidade e jogando tudo na

definição. Até que ela tá me ajudando um pouco. Log da Sala Tarefa 4-2-1

Questão 1 – Item (5) – Grupos 3 e 4 Em 05-06-2012. Das 12h59min às 13h15min

Sobre mudanças nas ideias iniciais temos as seguintes falas:

Glasm, Gods e Nina postaram no Whiteboard as respostas para o que foi

questionado na Questão (I). Uma questão que avalia o uso da palataforma VMT, a

característica colaborativa desse ambiente virtual de aprendizagem, as tarefas propostas, as

características da plataforma VMT, que significados foram produzidos por eles para

continuidade e função contínua. Mostramos a seguir, essas postagens.

Mudou completamente (Uyio)

A disposição dos exercícios foi muito boa, o "moderador" sabia

quais eram os nossos pontos falhos e nos fez enxerga-los através

de exemplos (Kaka)

Ainda tenho duvidas sobre continuidade (Vmais)

376

Lembremos que, Glasm (Ln.105, Log.3-2, Tarefa 3) já dizia:

“uma função é continua quando não tem "quebra" na construção do seu gráfico, né?”

Glasm (1) Aprendi que embora todos nós graduados em matemática, todos

tivemos dificuldades primeiro em determinar o que é continuidade e depois

desenvolver os exercícios. As atividades em geral, foram muito boas, porém

deveríamos ter tido uma “REVISÃO DE CONTINUIDADE”.

(2) É a função, cujo gráfico não apresenta salto ou furo.

(3) Sim usaria. É uma ótima ferramenta para ser utilizada pelos alunos, aumenta a proximidade entre eles e o professor.

(4) O programa é bem fácil de usar, rápido e dinâmico. Negativo – muitas instruções em inglês.

(5) Sim. O nosso grupo foi muito participativo, em alguns momentos devido as opiniões dos meus amigos percebi que ainda tenho q pesquisar muito sobre o assunto

Gods (1) Aprendi um pouco mais sobre continuidade. Gostaria de conhecer outras funções contínuas e fazermos outras atividades sobre o assunto.

(2) Função contínua é uma função que não tem “saltos”, nem buracos.

(3) Sim. Achei a plataforma um ótimo espaço para discussão de trabahos e atividades.

(4) Positiva: Prático uso. Negativa: Uma pessoa poder apagar o q o outro fez e os registros de conversação antigos não aprecerem. (5) Sim. A discussão em grupo sobre os assuntos abordados foi muito boa, pude ajudar e fui ajudada com relação a compreensão de algumas questões

377

Lembremos também, que Nina (Ln. 14, 25, 58, Log 3-2, Tarefa 3) falava em função

contínua com sendo aquela cujo gráfico podia ser desenhado sem se tirar o lápis do papel,

que estava definida em todos os pontos e que em cada ponto o limite existe. Vejamos isso

a seguir:

“Quando penso na palavra continuidade vem na minha cabeça, algo que posso

desenhar se tirar o lápis da folha” (Nina, Ln. 14, Log 3-2);

“Uma função é contínua quando, o limite pelos dois lados tende ao mesmo valor”

(Nina, Ln. 25, Log 3-2);

“g(x) é descontínua, pois não tem imagem (Nina, Ln. 58, Log 3-2.)



O que você aprendeu com esses encontros? O que você desejaria saber mais sobre continuidade? O que você não entendeu e que poderíamos modificar nas atividades para um próximo curso

Nina

(1) Inicialmente aprendi que não sabia quase nada sobre continuidade. Gostaria de ter uma aula sobre continudade onde fossem tratadas e analisadas todas as questões que fizemos, admito que ainda tenho dúvidas em algumas delas.

(2) Função contínua é uma função que podemos desenhar sem retirar o lápis do papel, ou seja uma função que não tem saltos

(3) Sim. Eu usaria a plataforma, achei muito importante a interação entre os alunos. Creio que isso possa ajudar na aprendizagem.

(4) Positiva – Fácil de usar. Negativa – Não consegui usar o GeoGebra.

(5) Sim. Houve vezes que a ideia do amigo me ajudou a entender o problema “é bom ter uma visão diferente do problema que se quer resolver”.

(6)

378


Ln. 8 – Cranio: sinceramente, não aprendi muita coisa porque foram discussões em

cima de discussões e o q é o certo a final?

Ln. 9 – Cranio: ninguém disse o q era certo e sim cada um deu sua opinião.

Ln. 13 – Peu: acabei lembrando sobre que a continuidade só vale para domínio R e

imagens reais.

Ln. 15 – Lili: Relembrei conteúdos de matérias da disciplina de Cálculo: Limites e

Continuidades

Ln. 16 – Peu: talvez um mediador por sala, para não apenas conduzir mas para corrigir

determinados conceitos errados... @: Message 9.

Ln. 18 – Lili: Não tenho certeza de tudo que foi dito

Ln. 22 – May: não sei bem dizer porque respondendo as questões do fórum escrevi o

que achava e li e discuti também o que os outros também achavam

Ln. 24 – Lili: se tivessem mais monitoria pelo mediador seria mais fácil se encontrar

visto que todos colocavam o que pensavam e não sabemos se estava tudo correto

Ln. 25 – Suzana: fiquei confusa com essa forma de trabalhar

Ln. 28 – Suzana: de certa forma, ainda tenho dúvidas sobre continuidade, pois as

respostas eram muito abertas e não teve uma afirmação do que realmente estaria certo



Analisando os Logs das salas onde interagiam os grupos 5 e 6 pudemos observar que

havia participação, mas não havia muita interlocução, esses alunos não interagiam muito

entre si. O Log 4-3-1 acima, nos mostrou que a busca pelo certo ou errado foi uma constante

nas falas dos alunos dos Grupos 5 e 6, que sentiram a falta de um mediador para dizer se as

colocações dos alunos estavam certas ou erradas. Faltou a autoridade do professor, a qual

os alunos se acostumaram ao longo da sua escolaridade. Também não conseguimos

identificar um líder nesses grupos. Talvez uma liderança poderia ter dado a segurança, que

os alunos buscavam.

“sinceramente, não aprendi muita coisa porque foram discussões em cima de

discussões e o q é o certo a final?” (Cranio, Ln. 8);

“ninguém disse o q era certo e sim cada um deu sua opinião” (Cranio, Ln. 9);

“não sabemos se estava tudo correto” (Lili, Ln. 24);

“de certa forma, ainda tenho dúvidas sobre continuidade, pois as respostas eram muito

abertas e não teve uma afirmação do que realmente estaria certo” (Suzana, Ln. 28).

379

Quando apresentamos o nosso projeto no primeiro encontro, dissemos que

estávamos interessados em ouvir os alunos e saber o que falavam sobre continuidade e que

significados produziam para função contínua. Para nós não havia certo ou errado. Isso foi

reafirmado várias vezes durante os encontros. É importante para futuras pesquisas com o

uso do VMT, que consigamos entender porque apenas com esses dois grupos a colaboração,

a negociação, o compartilhamento não aconteceu como prevíamos. Será que faltou

mediação, como sugeriram Peu (Ln. 16) e Lili (Ln. 24)?





Ln. 31 – May: tentei entender o que função continua mas ainda não cheguei a conclusão

nenhuma não sei o que tá certo ou errado

Ln. 35 – Peu: uma função contínua pra mim é uma função sem buracos no gráfico

tendo como domínio todos os reais, assim como sua imagem,

Ln. 36 – Lili: 2) com o que foi dito durante todas as aulas nas plataformas eu ficaria

completamente confusa ao formar um conceito de continuidade. Acho que eu iria pesquisar na internet ou em livros pra dizer a alguém o que é continuidade

Ln. 38 – May: para mim uma função continua é uma função continua que não há saltos

de um gráfico para o outro

Ln. 43 – Suzana: 2) diria que é uma função que não possui "buracos"



Vemos que para Peu (Ln. 35), May (Ln. 38) e Suzana (Ln. 43) função contínua é

aquela cujo gráfico não tem buracos e nem saltos. E Peu, ainda acrescentou, uma função

contínua tem como domínio todos os números reais (Ln. 35).

Essa ideia de função contínua é a mesma apresentada por eles inicialmente, na

Questão 1 da Tarefa 3, no quarto encontro. Não houve modificação nesse discurso ao longo

da realização das outras tarefas. Para Peu, May e Suzana uma função é contínua se seu

380

gráfico pode ser desenhado sem tirar o lápis do papel (Ln. 14, Log 3-3), não tem

interrupção (Lns. 14, 58, Log 3-3), não possue buracos (Ln. 61, Log 3-3) e tem como domínio

todos os reais (Lns. 13, 21,58, 61, 65, Log 3-3).

Lili, que na linha 24, buscava “uma autoridade” para avaliar se o que diziam estava

certo ou errado, não se sentindo segura quanto o que significava uma função ser contínua

escreveu na linha 36: “Acho que eu iria pesquisar na internet ou em livros pra dizer a

alguém o que é continuidade”, e aí mais uma vez, Lili buscou uma autoridade, agora a do

livro texto.


Questão (I). Itens (3) e (4) SalaTarefa 4-3-1. Log 4-3-1. Grupos 5 e 6

Sala Tarefa 4-3-1. Grupos 5 e 6. VMT, você usaria? Características positivas e negativas.

Ln. 14 – Cranio: 3) acho que não. por que eu tive dificuldades de usar a mesma.

Ln. 26 – Peu: as atividades durante as aulas fluiram melhor do que as atividades em

casa. isso ficou bem claro. Talvez por conta do horário de cada um nem sempre os alunos entravam no mesmo horário

Ln. 29 – Lili: 3) Eu ainda não usaria a plataforma em meu trabalho porque ainda não

estou 100% segura de sua praticidade

Ln. 30 – Lili: Achei a plataforma um pouco difícil de entender

Ln. 32 – Lili: Acho que meus alunos também ficariam confusos

Ln. 34 – Cranio: concordo com vc pneu sobre a questão do encontro dos colegas online

fora de sala.

Ln. 42 – May: como professor eu não usaria a plataforma acho que presecial seria mais

legal a discussão

Ln. 47 – Suzana: 3) a plataforma possui muita informação, por isso não utilizaria.

Ln. 48 – Peu: 3-com salas de informáticas com internet, acho possível um trabalho de

construção sobre os conceitos das operações básicas no 6º. ano (por exemplo, ou EJA), fazendo eles participarem do forum, ou mesmo sobre a validade das propriedades pode ser válido. e é mais fácil de "medir" a participação dos alunos.

Ln. 51 – Lili: 4) positivas: interatividade e construção do conceito de forma lúdica;

negativas: falta de embasamento teórico e falta de tutoria/monitoramento para sabermos se estamos no pensamento correto

Ln. 56 – Suzana: 4) interação, a possibilidade de uma continuidade fora do horario da

aula

381

Ln. 57 – Peu: 4 - formalizar na escrita é muito complicado. faltou comunicação entre nos

participantes em momentos fora da sala de aula

Ln. 63 – Suzana: 4)isso é verdade, mas mesmo em horários alternados, seria possível

um comentar a solução do outro @: Message 57

Ln. 64 – Peu: positivos: poder trabalhar fora de sala. Como a plataforma é online,

facilita a busca por informação

Ln. 66 – Lili: Tentei fazer isso mas meu computador em casa não entrava direito na

plataforma. Acho que o problema era o Java no meu computador @: Message 63.

Ln. 67 – Peu: sim sim claro... é pq qndo estamos todos juntos no mesmo horário as

discussões ficaram melhores @: Message 63. Log da Sala Tarefa 4-3-1

Questão (I) – Itens (3) e (4) – Grupos 5 e 6 Em 05-06-2012. Das 12h49min às 13h05min

Segundo o Log acima, os alunos dos grupos 5 e 6 tiveram mais dificuldades para usar

a plataforma que os outros grupos. Acharam que a plataforma é difícil de entender (Lili, Ln.

30), possui informação demais (Suzana, linha 47), apresenta problemas com o Java, e por

isso não usariam a plataforma VMT em suas aulas. Peu (Ln. 48) acha que seria “possível um

trabalho de construção sobre os conceitos das operações básicas no 6º. ano (por exemplo,

ou EJA)” na plataforma VMT. Apesar de alguns alunos (Cranio, Lns. 14, 34; Peu, Lns. 26 e

67) apontarem dificuldades em usar a plataforma de forma assíncrona, Suzana (Ln. 54) e

Peu (Ln. 64).indicaram como ponto positivo da plataforma o fato de poder trabalhar fora de

sala. Para Lili (Ln. 51) a interatividade também apareceu como ponto positivo, assim como

a possibilidade da construção de um conceito de forma lúdica.

Gostaríamos de trazer, um recorte do Log 2-2, da Sala Tarefa 2-2, quando os alunos

de todos os grupos dialogavam de forma assíncrona sobre a Tarefa 2.

Ln. 70 – Cranio_19:22 (30.04): olá pessoal, cadê vcs?

Ln. 83 – Cranio_23:14 (4.05): e também gostaria de encontrar pessoas online p/ trocar

idéias sobre o assunto: função. Mas gostaria que fosse online p/ q o assunto flua melhor

Ln. 99 – Cranio_22:44 (4.05): pessoal estou com dificuldades de encontrar os

integrantes do meu grupo on line

Ln. 106 – Lili_9:54 (6.05): Cranio, vc nao precisa estar online ao mesmo tempo dos

demais participantes... apenas deixar sua mensagem registrada com suas opiniões... @: Message 99.

Ln. 140 – Aluno34_19:52 (7.05): Têm alguém on?

382

Ln. 145 – Vmais_22:43 (7.05): alguem on junto cmg q milagre

Ln. 146 – Johnny_22:43 (7.05): p mim tb é um milagre. Rs

Log da Sala Tarefa 2-2 Diálogo assíncrono entre os dias 30-04 e 05-05 de 2012

Os alunos Cranio, Aluno34, Vmais, Johnny, manisfestaram suas dificuldades com

o uso assíncrono da plataforma. Lili (Ln. 106) explicou: “Cranio, vc nao precisa estar online

ao mesmo tempo dos demais participantes... apenas deixar sua mensagem registrada com

suas opiniões...”. No encontro presencial seguinte, para a realização da Tarefa 3,

conversamos sobre o que significava interagir de forma assíncrona na plataforma VMT.

Acordamos que todos poderiam acessar a plataforma a qualquer momento, postar suas

ideias sobre o tema do momento, ou suas dúvidas, e até sugerir novas questões para serem

discutidas.




Mudanças no discurso sobre continuidade e função contínua? Vamos aos diálogo

produzido pelos alunos.


Ln. 27 – Cranio: 5) achei q algumas coisas q meus colegas disseram sim me ajudaram a

refletir. Porém pouca afirmação e muito opinião sem convicção

Ln. 40 – Lili: 5) A troca de ideias é sem dúvida uma ótima forma de discussão sobre

qualquer conteúdo, mas esta tem que ter embasamento teórico... Coisa que aqui na plataforma não tivemso

Ln. 41 – Lili: Estava tudo muito solto

Ln. 46 – May: trocar as ideias não mudou a minha opinião já que eu não sei o que é

certo Log da Sala Tarefa 4-3-1

Questão (I) – Item (5) – Grupos 5 e 6 Em 05-06-2012. Das 12h52min às 12h59min

Apesar dos alunos dos Grupos 5 e 6 terem mantido as suas ideias iniciais sobre

continuidade e funções contínuas, para nós foi muito importante oferecer a eles uma

383

oportunidade para refletirem e trocarem ideias sobre esses temas, uma oportunidade para

conhecer novas formas de ensino e aprendizagem em Matemática. Para nós, é participando

do discurso matemático que se vai modificando e acrescentando conhecimentos. Nesse

processo de participação, as pessoas se desenvolvem cognitivamente, aprendem a participar

do pensamento compartilhado. Acreditamos que depois de tudo que eles experenciaram,

não são mais os mesmos.

Pelas falas de alguns alunos, interpretamos que eles buscavam a autoridade de um

professor para “dar” a eles a definição de função contínua, como foi até então na

escolaridade deles. Destacamos as seguintes falas:

“Estava tudo muito solto” (Lili, Ln. 41);

“trocar as ideias não mudou a minha opinião já que eu não sei o que é certo” (May,

Ln. 46);

“falta de tutoria/monitoramento para sabermos se estamos no pensamento correto”

(Lili, Ln. 51).

E fica uma reflexão paras futuras pesquisas com o VMT: será que teria sido importante uma

maior intervenção da pesquisadora?

384

Questão (I) Tarefa 4 Todos os Grupos

O que pensam nossos alunos?

SOBRE AS TAREFAS

As atividades foram bem elaboradas e conseguimos entender direitinho

tudo que foi passado!

Acho que tudo que abordamos aqui foi positivo.

“Os exercícios foram mostrando aos poucos todas as nossas imperfeições

na definição de continuidade

Os diversos exemplos mostrados serviram de muita base para explicar

continuidade

A disposição dos exercícios foi muito boa, o "moderador" sabia quais eram

os nossos pontos falhos e nos fez enxergá-los através de exemplos.

As atividades em geral, foram muito boas, porém deveríamos ter tido uma

“REVISÃO DE CONTINUIDADE”.

Sinceramente, não aprendi muita coisa porque foram discussões em cima

de discussões e o que é o certo a final?

Ninguém disse o que era certo e sim cada um deu sua opinião.

Não sabemos se estava tudo correto.

GRUPOS 5 e 6

GRUPOS 1 e 2

GRUPOS 3 e 4


385

SOBRE CONTINUIDADE

Creio que poderíamos definir como contínua as funções em que pequenas

variações no objeto implicam em pequenas variações na imagem.

Diria que uma função é continua se, para o domínio da função, eu não tiro

o lápis do papel.

Não chegamos a conclusão de continuidade, e eu ainda não tenho uma

opinião formada sobre isso.

Uma função é continua em um ponto, quando for definida no ponto.

É possível traçar o gráfico de uma função contínua tirando o lápis do papel.

A função 𝑓(𝑥) =1

𝑥 é contínua em ℝ − {0}.

São várias as definições de continuidade.

É a função, cujo gráfico não apresenta salto ou furo.

Função contínua é uma função que não tem “saltos”, nem buracos.

Função contínua é uma função que podemos desenhar sem retirar o lápis

do papel, ou seja uma função que não tem saltos.

De certa forma, ainda tenho dúvidas sobre continuidade, pois as respostas

eram muito abertas e não teve uma afirmação do que realmente estaria

certo.

Função contínua é aquela cujo gráfico não tem buracos e nem saltos.

Uma função contínua tem como domínio todos os números reais.

É a função, cujo gráfico não apresenta salto ou furo.

(Gods)

Função contínua é uma função que podemos desenhar sem retirar o lápis do papel, ou

seja uma função que não tem saltos (Nina)

Função contínua é aquela cujo gráfico não tem buracos e nem saltos (Peu, May,

Suzana)

Uma função contínua tem como domínio todos os números reais (Peu)

MUDANçAS

GRUPOS 3 e 4

GRUPOS 5 e 6

GRUPOS 1 e 2

386

A síntese das respostas às perguntas (3), (4) e (5) abaixo, foram inseridas na seção

6.1 O VMT na nossa pesquisa.




Questão (II) da Tarefa 4

Vamos analisar a continuidade de algumas funções:

(1) 𝑓1(𝑥) = {𝑥2 , 𝑥 < 01 , 𝑥 = 0

−𝑥2 + 2 , 𝑥 > 0

(2) 𝑓2(𝑥) = 𝑥2−1

𝑥+1 (3) 𝑓3(𝑥) = 𝑥 − ⟦𝑥⟧

Questão (II) da Tarefa 4 – Item(1)

(1) Analise a continuidade da função

𝑓1(𝑥) = {𝑥2 , 𝑥 < 01 , 𝑥 = 0

−𝑥2 + 2 , 𝑥 > 0

,

cujo gráfico está ao lado.

João e Maurício já fizeram seu dever de casa, suas respostas estão a seguir:

João respondeu

A função só não é contínua em 𝑥 = 0 , é só olhar no gráfico e ver que a função tem buracos para 𝑥 = 0 .

Maurício respondeu

Como a função está definida em 𝑥 = 0 , então ela é contínua em 𝑥 = 0 . Na realidade não tem buraco, o ponto (0,1) está lá. É um falso buraco!

Agora é sua vez.

Comente as soluções de João e Maurício e dê a sua solução. Justifique todas as suas respostas!

387

Questão (II). Item(1) Sala Tarefa 4-1-2. Log 4-1-2. Grupos 1 e 2

A seguir, apresentamos os dialógos produzidos pelos alunos dos Grupos 1 e 2

enquanto discutiam o Item(1) da Questão (II).

Sala Tarefa 4-1-2. Questão (II)-Item (1). Grupos 1 e 2. João ou Maurício? Algum

deles tem razão?

Ln. 20 – Galois: Voltei vivo do duelo ... Vamos ao trabalho !!!

Ln. 21 – Carolzinha: bora

Ln. 23 – Alequice: e ai o que vcs acham? Fç continua?

Ln. 24 – Galois: Corrijam-se se eu estiver equivocado: O limite qndo x->0 tem valores

distintos

Ln. 26 – Alequice: sim

Ln. 27 – Alequice: acho q esta função não e continua para x = 0

Ln. 28 – Carolzinha: os limites laterais são diferentes?

Ln. 31 – Alequice: sim

Ln. 32 – Alequice: para x -> 0+ o lim f(x) vai para zero

Ln. 33 – Alequice: para x -> 0- o lim f(x) vai para 2

Ln. 34 – Alequice: Logo podemo dizer que o lim não existe

Ln. 36 – Carolzinha: pois é

Ln. 37 – Galois: os limites laterais são diferentes

Ln. 39 – Alequice: A resposta de Mauricio esta errada. Vejam o que ele fala

Ln. 40 – Alequice: Ele fala em falso buraco

Ln. 47 – Galois: eu justificaria essa questão usando llimites laterais

Ln. 53 – Alequice: Eu tambem faria isso usaria lim laterais. Veja, tb, que ele usa o fato

de a fç estar definida no ponto para justificar a continuidade.

Ln. 56 – Carolzinha: acho q ele precisa estudar mais um pouquinho

Ln. 57 – Alequice: só isso não é suficiente para dizer que a função é continua num

ponto

Ln. 58 – Galois: ele parece ignorar a fç para qndo x>0 e x<0 e se preocura so qndo x=0

Ln. 61 – Galois: por isso talvez ele tenha confundido os conceitos

Ln. 62 – Galois: usou somente o fato de a fç estar definida num ponto para justificar a

continuidade

Ln. 63 – Carolzinha: verdade...

Ln. 64 – Alequice: faltou utilizar acho que o principal lim f(x) = f(a) quando x -> a

Ln. 66 – Galois: Exato, Alequice @: Message 64

Ln.70 – Galois: Vamos duela na Av1_3

Log da Sala Tarefa 4-1-2 Questão (II)-Item (1) – Grupos 1 e 2

388


No diálogo acima, observamos que para Alequice (Lns. 53, 57), Galois (Lns. 61, 62) e

Carolzinha (Lns. 56, 63) não basta a função estar definida em um ponto do domínio para

ser contínua nesse ponto. Galois (Ln. 47) e Alequice (Ln. 53) disseram que justificariam essa

questão usando os limites laterais e finalmente na linha 64, Alequice argumentou:

“faltou utilizar acho que o principal lim f(x) = f(a) quando x -> a” (Alequice, Ln. 64).

Vemos assim, que os alunos Alequice, Galois e Carolzinha produziram o seguinte

significado para função contínua:

que está de acordo com o que Alequice postou no Whiteboard, quando discutiu a Questão

1, dessa Tarefa 4:

O diálogo acima, mostrou também uma mudança no discurso dos alunos dos Grupos

1 e 2 sobre a ideia de função contínua.

Apesar de Alequice (Ln. 16, Log 3-1, Tarefa3) ter enunciado que:

“basicamente o limite da função no ponto tem que ter o mesmo valor da função naquele ponto”,

quando analisou as funções da Tarefa 3, observava se a função estava definida no ponto. Se

estivesse definida no ponto, então era contínua. Para ele o limite da função nesse ponto, é o

valor que a função tem nesse ponto. Podemos ver isso no seguinte diálogo, retirado do Log

3-1:

𝒍𝒊𝒎𝒙→𝒂

𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒂)

Uma função é contínua em 𝒙 = 𝒂 , se

Creio que poderíamos definir como contínua, as funções em que pequenas variações no objeto implicam em variações na imagem.

389

“o lim de f10 qdo tende a zero tanto pela esquerda quanto

pela direita e 3 [que é o valor de f10 em x=0]” (Alequice, Ln.

40, Log 3-1);

“na g o lim nao existe” (Alequice, Ln. 41,

Log 3-1);

“e na h e -1” (Alequice, Ln. 42, Log 3-1);

“nao e isso?” (Alequice, Ln. 43, Log. 3-1).

Por isso, quando a função não estava definida em um ponto, não era possível dar ao

limite um valor e a função então, não era contínua. Isso pode ser comprovado nas linhas

134, 135, 145, 147, Log 3-1, Tarefa 3.

Ln. 134 – Carolzinha: f5 não é contínua, não


Ln. 145 – Alequice: f6 tb nao e continua

Ln. 147 – Alequice: nao é definida tb em x = 0

𝑓5(𝑥) =𝑥2

𝑥3 𝑓6(𝑥) = 𝑥 +1

𝑥

Interessante observar como os alunos dos Grupos 1 e 2 estavam integrados,

estabeleciam diálogos descontraídos, amigáveis e com observações interessantes sobre

situações que ocorrem durante a aprendizagem numa linguagem muito própria e carregada

de significados:

Ln. 39 – Alequice: A resposta de Mauricio esta errada. Vejam o que ele fala

Ln. 40 – Alequice: Ele fala em falso buraco

Ln. 41 – Galois: Esse lance de "falso buraco" nao se soou legal

Ln. 43 – Alequice: Pegou pesado... :-(


Ln. 46 – Galois: faltou ele definir "falso buraco" srsrs

Ln. 48 – Alequice: Acho que esse kra fez por fazer. Sabe aquela questão q vc tem

apenas alguma ideia do que seja... Entao foi isso que ele fez

390

Ln. 49 – Carolzinha: só pra não deixar em branco


Ln. 51 – Alequice: Tirou as palavras da minha boca, ou melhor, das minhas teclas kkkkk

Ln. 52 – Carolzinha: kkkkkkk

Ln. 56 – Carolzinha: acho q ele precisa estudarmais um pouquinho

Ln. 59 – Alequice: Um pouquinho só não um MONTÃO.

Ln. 61 – Galois: por isso talvez ele tenha confundido os conceitos




O gráfico da função que está sendo discutida nesse Item (1) é:

E o que está sendo analisado, são as respostas que João e Maurício

deram a questão da continuidade da função 𝑓1 no ponto 𝑥 = 0.

João respondeu:

A função só não é contínua em 𝑥 = 0 , é só olhar no gráfico e ver que a função tem buracos para 𝑥 = 0 .

Maurício respondeu:

Como a função está definida em 𝑥 = 0 , então ela é contínua em 𝑥 = 0 . Na realidade não tem

buraco, o ponto (0,1) está lá. É um falso buraco!

A seguir apresentamos os dialógos produzidos pelos alunos dos Grupos 3 e 4


391

Sala Tarefa 4-2-1. Questão (II)-Item (1). Grupos 1 e 2. João ou Maurício? Algum

deles tem razão?

Ln. 29 – Vmais: Não chegamos a uma conclusão sobre definição, mas concordo com

João, pensando que para ser continua lim f(x) como x tendendo a zero pela esquerda é 0 e pela direita 2 que é diferente do f(0)=1 a função não é continua em x=0

Ln. 31 – Uyio: Sobre a interpretação de João, não concordo com ela, pois neste caso,

lim x ? +0 e lim x ? -0 são diferentes. Logo não haveria continuidade do ?0 a esquerda? pro ?0 a direita?

Ln. 32 – Vmais: Não chegamos a uma conclusão sobre a definição de continuidade @:

Message 29.

Ln. 35 – Nina: Questão (II)- Creio que João está correto ao dizer que f1(x) não é

contínua, sendo que na minha opinião a justificativa está errada, pois ela não é contínua porque tem saltos.

Ln. 36 – Vmais: kkkkkkkk, essa interação é ótima, como falei não chegamos a

conclusão de continuidade, e eu ainda não tenho uma opinião formada sobre isso @: Message 31.

Ln. 40 – Uyio: Sobre o ? falso buraco? de Maurício, ele deve confundir continuidade

com algum outro axioma de funções. Mesmo que exista lim x ? +0, lim x ? 0 e lim x ? -0, isso não significa que a função é contínua naquele ponto.

Ln. 42 – Kaka: (II) (1) João foi muito superficial na sua resposta. De fato a função não é

contínua em x=0, mas não é porque tem "buraco" que uma função deixa de ser contínua. Deve-se analisar o domínio dessa função, entre outras coisas.

Ln. 43 – Kaka: (II) (1) Maurício argumenta de forma equivocada. Não é porque uma

função está definida em um elemento do domínio que ela será contínua nesse elemento. No que a função está definida em x=0 isso só prova que a função tem domínio real.

Ln. 47 – Nina: Concordo com você Kaka, a função estar definida em todos os pontos de

x não garati que ela seja contínua. @: Message 43. Log da Sala Tarefa 4-2-1

Questão (II)-Item (1) – Grupos 3 e 4 Em 05-06-2012. Das 13h09min às 13h25min

Kaka (Ln. 42), Nina (Ln. 35), Uyio (Ln. 31) e Vmais (Ln. 29) concordaram com João

que a função 𝑓1 não é continua em 𝑥 = 0 , mas não concordaram com a argumentação dele,

exceto Vmais que não se pronunciou quanto a isso.

Para Kaka (Ln. 42), buraco no gráfico não garante que a função não seja contínua

nesse ponto, é preciso analisar o domínio da função e isso, mais uma vez mostra uma

mudança no discurso de Kaka sobre a continuidade de uma função. Kaka (Ln. 43) discordou

de Maurício, pois como já havia dito:

392

“Ela tem domínio real, mas isso não significa que ela seja contínua” (Kaka, Ln. 33, Log

3-2).

Uyio também mostrou uma mudança no seu discurso sobre continuidade. Como ele

mesmo disse na linha 25 do Log da Sala Tarefa 4-2-1 ao responder o Item (5) da Questão (I)

sobre mudanças em suas ideias iniciais:

“Mudou completamente” (Uyio, Ln. 25, Log 4-2-1)

Ele não concordou com a argumentação de João (Ln. 31), pois para ele era preciso

observar que lim𝑥→0−

𝑓1(𝑥) ≠ lim𝑥→0+

𝑓1(𝑥) . É interessante comentar que na Tarefa 3, as

análises de Uyio (Ln. 55 e 70, Log 3-2) eram sempre baseadas no fato da função estar ou

não definida no ponto em questão

Uyio, discordando de Maurício, falou na linha 40, do Log acima:

“Sobre o ? falso buraco? de Maurício, ele deve confundir continuidade com algum outro axioma de funções. Mesmo que exista lim x ? +0, lim x ? 0 e lim x ? -0, isso não

significa que a função é contínua naquele ponto” (Uyio, Ln. 40).

A argumentação de Nina (Ln. 35) para a não continuidade da função 𝑓1 no ponto

𝑥 = 0 é o salto que o gráfico da função apresenta nesse ponto , e não o buraco, que o João

usou como justificativa. Essa argumentação de Nina está coerente com o que ela postou no

Whiteboard como resposta ao Item (2) da Questão (I):

“Função contínua é uma função que podemos desenhar sem retirar o lápis do papel,

ou seja uma função que não tem saltos“ (Nina, Whiteboard, Sala Tarefa 4-2-1).

Vmais, durante a resolução das questões da Tarefa 3, usou os seguintes argumentos

para uma função não ser contínua em um ponto:

não estar definida nesse ponto (Lns. 67 e 75. Log 3-2); existir um salto no gráfico da função e a função não estar definida no ponto onde

ocorre o salto (Lns. 16 e 21. Log 3-2); os limites laterais da função nesse ponto serem diferentes (Lns. 25 e 26. Log 3-2).

Vmais (Ln. 32, Log 4-2-1) disse: ”Não chegamos a uma conclusão sobre a definição

de continuidade”, e como tinha três possibilidades de argumentos, decidiu usar o fato de

que lim𝑥→0−


𝑓1(𝑥) (Ln. 29. Log 4-2-1) para justificar a não continuidade da

função 𝑓1 no ponto 𝑥 = 0 .

393


A seguir apresentamos os dialógos produzidos pelos alunos dos Grupos 5 e 6


Sala Tarefa 4-3-1. Questão (II)-Item (1). Grupos 1 e 2. João ou Maurício? Algum deles tem razão?

Ln. 44 – Cranio: eu concordo com a visão de maurício.

Ln. 45 – Cranio: eu também penso asim

Ln. 49 – Cranio: para mim joão está muito preso ao gráfico

Ln. 50 – Peu: completamente! @: Message 49

Ln. 52 – May: na atividade 1 não é contínuo já que houve um salto entre os gráficos

Ln. 60 – May: para eu iria fazer como joão

Ln. 61 – Lili: II.1) Em x = 0 a função não é contínua, ela dá um salto

Ln. 62 – Cranio: a tá

Ln. 65 – May_13:04 (5.06): com joão mesmo respondeu os gráficos estáo separados

então é contínua

Ln. 68 – Lili: Eu acho que a função não é contínua pois ao desenharmos o gráfico ela dá

um salto em x=0. Ela está definida nesse ponto e sua imagem está representada em y=1. Porém não é continua ali

Ln. 69 – Cranio: p/ mim ela não é derivável em x=0 mas é contínua no mesmo.

Ln. 70 – Suzana: tb acho @: Message 69

Ln. 71 – Peu: ela não é contínua em x=0, concordo com vc e com o João. @: Message

68

Ln. 72 – Cranio: pois toda função derivável é contínua e nem toda função continua é

derivável

Ln. 73 – Cranio: se estiver enganado me corrija

Ln. 74 – Lili: Ih gente, então estou novamente confusa

Ln. 75 – Lili:já não estou certa se minha resposta está correta

Ln. 76 – Lili: Preciso de alguém pra me ensinar isso de novo

Ln. 77 – Cranio: preciso reler alguns livros dee análise e de Cálculo

Ln. 78 – Suzana: quando os limites são diferentes a esquerda e a direita não é

continua naquele ponto???? É isso?? @: Message 68

Ln. 79 – Cranio: não sei se é assim que pode ser respondida essa pergunta

Ln. 80 – Peu: É! E o ponto tem q estar definido no dominio @: Message 78

Ln. 81 – Cranio: confesso q não me lembro disso

Ln. 82 – Cranio: mas se for por isso que a Suzana disse, então não é continua

Ln. 83 – Cranio: pois limite a direita é 2 e a esquerda é 0.

Ln. 84 – Suzana: isso mesmo @: Message 82

Ln. 85 – Peu: aham. é por isso q eu acho q não é contínua @: Message 83

394

Ln. 92 – Cranio: um exemplo, digamos que o ramo do gráfico à direita esteja junto do

ramo da esquerda. sendo o ponto x = 0 não definido. Porém os limites laterais seriam iguais e o ponto x = 0 não faz parte do dominio.

Ln. 93 – Cranio: então ela também seria contínua?

Ln. 94 – Cranio: ou não?

Ln. 96 – Cranio: ajudem-me

Ln. 97 – Cranio: desculpem com x = 0 no domínio

Ln. 98 – Cranio: desculpem de novo x = o não pertencente ao dominio

Ln. 99 – Cranio: memso



Do diálogo acima, vemos que somente Cranio (Ln. 44) concordou com o Maurício.

Para Cranio uma função é contínua em um ponto quando é definida nesse ponto. Na linha

234, Log 3-3, Tarefa 3 ele afirmou:

“bom! na minha opinião a f10 e h são contínuas pois o ponto está definido p/ as

funções”.

As funções 𝑓10 e ℎ têm os seguintes gráficos:

Então, é coerente que ele concorde com a tese do Maurício, que a

função 𝑓1 é contínua no ponto 𝑥 = 0.

Mas Cranio, interagindo com o grupo sobre a função 𝑓1 dessa Tarefa 4, foi refletindo

sobre suas ideias iniciais de função contínua, fazendo seus questionamentos, emitindo suas

opiniões e solicitando a colaboração do grupo, como podemos ver pelas seguintes

expressões:

395

“se estiver enganado me corrija” (Cranio, Ln. 73);

“não sei se é assim que pode ser respondida essa pergunta” (Cranio, Ln. 79);

“confesso que não me lembro disso” (Cranio, Ln. 81);

“ou não?” (Cranio, Ln. 94);

“ajudem-me” (Cranio, Ln. 96).

Quando Suzana (Ln. 78. Log 4-3-1. Tarefa 4) questionou:

“quando os limites são diferentes a esquerda e a direita não é continua naquele ponto???? É isso??” (Ln. 78. Log 4-3-1),

Cranio (Lns. 82, 83. Log 4-3-1), calculando esses limites corretamente, disse que se Suzana

estivesse correta, então a função 𝑓1 não seria contínua. E avançando nas suas reflexões (Lns

92 – 99. Log.4-3-1), perguntou ao grupo, se uma função com dois ramos, que se unem a

direita e a esquerda do ponto 𝑥 = 0 , que não pertence ao domínio, e com limites laterais

quando 𝑥 tende a zero iguais, seria contínua? Com essa pergunta, Cranio questionava, se

uma função 𝑓 não definida em um ponto 𝑥0 , mas com lim𝑥→ 𝑥0

−𝑓(𝑥) = lim

𝑥→ 𝑥0+𝑓1(𝑥) , seria

contínua. Essa pergunta era uma boa oportunidade para se refletir sobre a continuidade de

uma função em um ponto que não pertence ao seu domínio, mas seu questionamento não

teve eco nesse grupo, e sua pergunta ficou sem resposta. É interessante observar que apesar

de toda a confusão quanto à continuidade de uma função, Cranio soube “recitar” o

seguinte importante teorema que envolve a continuidade de uma função. Decorou bem o

texto:

“p/ mim ela não é derivável em x=0 mas é contínua no mesmo” (Cranio, Ln. 69. Log 4-

3-1);

“pois toda função derivável é contínua e nem toda função continua é derivável”

(Cranio, Ln. 72. Log 4-3-1).

Peu, May, e Lili analisaram a função 𝑓1 com os argumentos que já vinham usando

antes: “saltos no gráfico da função”. Vejamos abaixo:

“não é contínuo já que houve um salto entre os gráficos” (May, Ln. 52. Log 4-3-1)

“Eu acho que a função não é contínua pois ao desenharmos o gráfico ela dá um salto em x=0. Ela está definida nesse ponto e sua imagem está representada em y=1. Porém

não é continua ali” (Lili, Ln. 68. Log 4-3-1)

396

“ela não é contínua em x=0, concordo com vc [Lili, linha 68] e com o João” (Peu, Ln. 71.

Log 4-3-1).

Suzana também avançou nas sua reflexões. Nas funções da Tarefa 3 não havia usado

o fato dos limites laterais da função em um ponto serem diferentes para justificar uma

descontinuidade da função, mas na discussão da continuidade da função 𝑓1 da Tarefa 4, ela

perguntou:

“quando os limites são diferentes a esquerda e a direita não é continua naquele ponto???? É isso??” (Suzana, Ln. 78. Log 4-3-1),

o que provocou uma discussão interessante:

Cranio: não sei se é assim que pode ser respondida essa pergunta (Ln. 79)

Peu: É! E o ponto tem q estar definido no dominio (Ln. 80)

Cranio: confesso q não me lembro disso (Ln. 81)

Cranio: mas se for por isso que a Suzana disse, então não é continua (Ln.82)

Cranio: pois limite a direita é 2 e a esquerda é 0 (Ln. 83)

Suzana: isso mesmo (Ln. 84)

Peu: aham. é por isso q eu acho q não é contínua (Ln. 85)

Questão (II) Item (1) Tarefa 4 Todos os Grupos

Grupos 1 e 2:

O diálogo produzido pelos alunos desses grupos quando discutiam

sobre o Item (1) da Questão (II), que pede que se analise as respostas

de João e Maurício para a continuidade da função 𝑓1 , mostrou uma

mudança no discurso desses alunos sobre a ideia de função contínua.

Observamos que enquanto discutiam o Item (1) da Questão (II), de forma bastante

descontraída, os alunos Alequice, Galois e Carolzinha, produziram o seguinte significado

para função contínua:

Uma função é contínua em 𝒙 = 𝒂 , se 𝒍𝒊𝒎𝒙→𝒂 𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒂).

Este significado está de acordo com o que Alequice postou no Whiteboard, quando discutiu

a Questão 1, dessa Tarefa 4:


397


Grupos 3 e 4:

Kaka, Nina, Uyio e Vmais concordaram com João que a função 𝑓1

não é contínua no ponto 𝑥 = 0 , mas não concordaram com a

argumentação dele, que disse que a função não é contínua, pois seu gráfico tem um buraco

para 𝑥 = 0.

Para Kaka é preciso analisar o domínio da função. Domínio real não garante a continuidade.

Uyio disse que mudou completamente. Para ele, é preciso calcular os limites laterais da

função no ponto, se forem diferentes, então não é contínua. Nina argumentou que a função

𝑓1 não é contínua no ponto 𝑥 = 0, pois o gráfico tem um salto em 𝑥 = 0 .

Vmais disse que não chegaram a uma conclusão sobre a definição de continuidade, mas,

usou o fato de que lim𝑥→0−


𝑓1(𝑥) para justificar a não continuidade da função 𝑓1

no ponto 𝑥 = 0 .

Grupos 5 e 6:

Cranio concordou com Maurício, pois para Cranio uma função é contínua, quando está

definida no ponto. Mas Cranio continuou interagindo, buscando respostas para as suas

dúvidas, que acabaram ficando sem respostas.

Peu, May e Lili analisaram a função com os argumentos que já usavaram para as outras

funções: saltos e buracos no gráfico da função.

Suzana avançou nas reflexões e questionou: “quando os limites são diferentes a esquerda e

a direita não é continua naquele ponto???? É isso??”

Essa reflexão de Suzana levou Cranio e Peu a argumentarem usando os limites laterais da

função no ponto: “mas se for por isso que a Suzana disse, então não é continua, pois limite

a direita é 2 e a esquerda é 0” (Cranio, Ln.82, Ln. 83); “ é por isso q eu acho q não é

contínua” (Peu , Ln. 85).

A seguir apresentamos o Item (2) da Questão (II) da Tarefa 4.

398


(2) Considere a função 𝒇𝟐(𝒙) = 𝒙𝟐−𝟏

𝒙+𝟏

João e Beatriz resolveram fazer o gráfico da função 𝑦 = 𝑓2(𝑥) . Estes gráficos estão a seguir:

Gráfico do João Gráfico da Beatriz

(a) O que você acha dos gráficos de João e Beatriz. Comente esses gráficos. E o seu gráfico? Qual seria?

(b) Qual é o domínio da função 𝑦 = 𝑓2(𝑥).

(c) Fale sobre a continuidade da função 𝑦 = 𝑓2(𝑥). Esta função apresenta alguma descontinuidade?

Justifique todas as suas respostas!


A seguir apresentamos o diálogo produzido pelos alunos dos Grupos 1 e 2 enquanto

discutiam ao Item (2) da Questão (II)

399

Sala Tarefa 4-1-3. Questão (II) – Item (2) – Grupos 1 e 2. Dialogando sobre a função

𝒇𝟐(𝒙) = 𝒙𝟐−𝟏

𝒙+𝟏

Ln. 25 – Galois: Nessa questao 2, ficou claro que Joao dividiu x^2-1 por x+1

Ln. 26 – Alequice: sim foi isso que ele fez

Ln. 27 – Cateto: Acho q o grafico certo é o do João!!

Ln. 28 – Galois: e adotou f2(x)=x-1

Ln. 29 – Galois: Minto, onde eu disse Joao, na verdade eu queria dizer beatriz

Ln. 30 – Alequice: o gráfico de João é o correto e o de Beatriz esta errado pois ela

desconsiderou que a fç não está definida para x = -12

Ln. 31 – Cateto: ok

Ln. 32 – Cateto: b)

Ln. 33 – Cateto: Dominio??

Ln. 34 – Alequice: Sim Beatriz dividiu sim por x – 1 mas o o gráfico que ela fez está

errado. Isso só vale para o calculo de lim

Ln. 35 – Cateto: Dominio: R- {-1}


Ln. 37 – Galois: os dois graficos sao de x-1 ... mas a bia desconsiderou o fato de a fç ser

x-1/x+1

Ln. 38 – Alequice: Tem um teorema que diz para que uma vizinha de um ponto qdo uma

dessas fçs não esta definida neste ponto elas tem o mesmo comportamento

Ln. 39 – Galois: Na b) Joao, ao fazer o grafico teve o cuidado de estudar o dominio,

diferentemente da bia

Ln. 40 – Alequice: é msm. Infelizmente por isso que a Bia errou...

Ln. 41 – Galois: Bia não foi cuidadosa com a fç

Ln. 42 – Alequice: nem um pouquinho...

Ln. 44 – Galois: E sobre a descontinuidade?

Ln. 45 – Alequice: a fç e descontinua em x = -1

Ln. 46 – Galois: perfeitamente

Ln. 47 – Alequice: Apesar do lim da fç exister esta fç ñ é definida para x = -1

Ln. 48 – Cateto: isso ai...

Ln. 49 – Galois: vamos para o whiteboard ?

Ln. 50 – Carolzinha: fui

Ln. 51 – Galois: acorda carolzinha !!! srsrsr

Ln. 52 – Carolzinha: hahahha

Log da Sala Tarefa 4-1-3 Questão (II)-(2) – Grupos 1 e 2


400

O diálogo foi basicamente conduzido por Galois e Alequice. Eles compreenderam

que João e Beatriz simplificaram a expressão 𝑥2−1

𝑥+1 , e que para Beatriz (Lns 25, 26, 34, 37) a

função 𝑓2 era 𝑓2(𝑥) = 𝑥 − 1. Também observaram, que o gráfico correto é o do João, pois

segundo eles, Beatriz não estudou corretamente o domínio, não observou que a função

𝑓2(𝑥) = 𝑥2−1

𝑥+1 não está definida para 𝑥 = −1. Cateto (Ln. 31) concordou com essas

observações.

O que chamou atenção, foi o fato de Galois (Ln. 37) achar que os dois gráficos são da

função 𝑦 = 𝑥 − 1 , apesar de demonstrar saber que o domínio da função 𝑓2(𝑥) = 𝑥2−1

𝑥+1 é

ℝ − {−1}, e de dizer, que Beatriz não teve o cuidado de estudar o domínio, como vemos a

seguir:

Galois: os dois graficos sao de x-1 ... mas a bia desconsiderou o fato de a fç ser x-1/x+1

(Ln. 37)

Galois: Na b) Joao, ao fazer o grafico teve o cuidado de estudar o dominio,

diferentemente da bia (Ln. 39)

Alequice: é msm. Infelizmente por isso que a Bia errou... (Ln. 40)

Galois: Bia não foi cuidadosa com a fç (Ln. 41)

Na realidade, João esboçou o gráfico da função 𝑓2(𝑥) = 𝑥2−1

𝑥+1 e Beatriz o gráfico da

função 𝑦 = 𝑥 − 1.

Apesar de Alequice mostrar modificações em seus discursos sobre continuidade de

uma função ao longo da participação nas tarefas, o diálogo acima mostrou que Alequice

primeiramente analisa se a função está ou não definida no ponto para decidir se a função é

contínua, como vemos a seguir, nas linhas 45 – 47:

Alequice: a fç e descontinua em x = -1 (Ln. 45).

Galois: perfeitamente (Ln. 46).

Alequice: Apesar do lim da fç exister esta fç ñ é definida para x = -1 (Ln. 47).

Cateto: isso ai... (Ln. 48).

A modificação no discurso que mencionamos acima, ocorreu, porque para Alequice,

não bastava mais uma função ser definida em um ponto para ser contínua, precisa mais,

precisava que, 𝑙𝑖𝑚𝑥→ 𝑥0

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0) . Mas se a função não está definida em um ponto então

isso já é suficiente para a função não ser contínua. E foi assim que Alequice (Ln. 47)

401

argumentou com a adesão de Galois (Ln. 46) e Cateto (Ln. 48), que têm em Alequice um

líder.

Questão (II). Item(2) Sala Tarefa 4-2-3.Log 4-2-3. Grupos 3 e 4

Apresentamos a seguir, as argumentações dos Grupos 3 e 4 sobre a função

𝑓2(𝑥) = 𝑥2−1

𝑥+1 , sua continuidade e os gráficos apresentados por João e Beatriz.

Os gráficos da função 𝒇𝟐(𝒙) = 𝒙𝟐−𝟏

𝒙+𝟏 apresentados por João e Beatriz estão abaixo


Sala Tarefa 4-2-3. Questão (II) – Item (2). Grupos 3 e 4. Dialogando sobre a função

𝒇𝟐(𝒙) = 𝒙𝟐−𝟏

𝒙+𝟏

Ln. 13 – Vmais: O gráfico de Beatriz está errado, pois ela desconsiderou que o ponto x=-

1 não está definido na função

Ln. 17 – Vmais: Função f2 @: Message 13

Ln. 18 – Vmais: O dominio de f2 seria R - {-1]

Ln. 19 – Kaka: (2) a - João foi mais feliz ao perceber que x=-1 não faz parte do domínio

dessa função. Meu gráfico seria o de João.

Ln. 20 – Kaka: (2) b – IR - {-1}

Ln. 21 – Uyio: Meu gráfico se assemelharia ao de João, pois não podemos pensar o

ponto x = -1 como pertencente ao domínio de f2, para que esta seja uma função.

Ln. 22 – Uyio: Isso na 2ª @: Message 21

Ln. 23 – Vmais: a função f2 não é contínua e, x=-1

Ln. 26 – Vmais: faltou dizer que concordo com o gráfico de João. @: Message 13

Ln. 27 – Uyio: Já na 2b, O domínio são os números reais menos x = -1 @: Message 21.

402

Ln. 34 – Kaka: (2) c – A função não apresenta descontinuidade. Poderíamos

argumentar que por não estar definida em x=-1, ela não seria contínua nesse número. Porém, para qualquer vizinhança de y=-2, existe uma vizinhança de x=-1 tal que a imagem da vizinhança de x=-1 está contida na vizinhança de y=-2.

Ln. 38 – Uyio: Na 2c), a funçao e continua, pois existe lim x-> -1+ e lim x->-1-, e estes

sao iguais

Ln. 49 –Glasm: 2) escolheria o grafico de João e o dominio seria todos os números reais

menos o – 1

Ln. 52 – Gods: Sobre a questão 2 ela é contínua para todos os valores de x menos para

x= -1. O gráfico correto é o do João. O domínio da f2 é R - {-1}

Ln. 54 – Nina: QUESTÃO 2- a) Creio que o gráfico do João está correto e o meu seria

semelhante ao dele. b) domínio é igual R - (-1). c) Creio que a função f2(x) é contínua, pois x=-1 não faz parte do domínio.



Os alunos dos Grupos 3 e 4 concordaram que o domínio da função 𝑓2 é ℝ − {−1} e

que o gráfico correto é o do João, pois −1 não pertence ao domínio da função 𝑓2 .

Nina (Ln. 54) respondeu:

“a função é contínua, pois 𝒙 = −𝟏 não faz parte do domínio da função” (Nina, Ln.

54).

Essa é uma mudança no discurso de Nina, pois como podemos

ver nas linhas 58 e 152, Log. 3-2, Tarefa 3, ela analisou como

descontínua a função 𝑔 da Questão 3, Tarefa 3, por não estar definida

no ponto 𝑥 = 0 .

Para Uyio (Ln. 38), a função 𝒇𝟐(𝒙) = 𝒙𝟐−𝟏

𝒙+𝟏 é contínua, porque

os limites laterais lim𝑥→−1−

𝑓2(𝑥) , lim𝑥→−1+

𝑓2(𝑥) são iguais. Gostaríamos

de observar que na Tarefa 3, as análises de Uyio (Ln. 55 e 70. Log 3-2,

Tarefa 3) eram sempre baseadas no fato da função estar ou não definida

no ponto em questão, mas na Tarefa 4, Questão (II), Item (1), ele não

concordou com a argumentação de João (Ln. 31. Log 4-2-1), pois para

ele era preciso observar que lim𝑥→0−


𝑓1(𝑥)

403

Kaka (Ln. 19) concordou com o gráfico do João, e disse (Ln. 34) que a função

𝒇𝟐(𝒙) = 𝒙𝟐−𝟏

𝒙+𝟏 não apresenta descontinuidade, e sua argumentação foi baseada em

“vizinhanças”:

“A função não apresenta descontinuidade. Poderíamos argumentar que por não estar definida em x=-1, ela não seria contínua nesse número. Porém, para qualquer vizinhança de y=-2, existe uma vizinhança de x=-1 tal que a imagem da vizinhança de

x=-1 está contida na vizinhança de y=-2” (Kaka, Ln. 34).

Kaka (Ln. 268, Log 3-2. Tarefa 3) já havia mencionado uma definição de continuidade

baseada em vizinhanças:

“A função será contínua se, para cada bola em torno de f(a), existir uma bola em torno de a tal que para todo x da bola de a, f(x) esteja na bola de f(a). Não sei se é bem

assim” (Kaka, Ln. 268).

Para Vmais a função 𝒇𝟐 não é contínua em 𝒙 = −𝟏. Não

argumentou, mas nas linhas 67, 71 e 75, Log 3-2, Tarefa 3, disse que a

função 𝑔 não era contínua, pois não estava definida no ponto, enquanto

as funções 𝑓10 e ℎ eram

contínuas, pois estavam

definidas em 𝑥 = 0.

Para Gods (Ln. 52), a função 𝒇𝟐 não é contínua em 𝑥 = −1 . Ele não argumentou,

mas na Questão (I) dessa tarefa, escreveu no Whiteboard, que função contínua é aquela

que não tem saltos e nem buracos.

Glasm (Ln. 49), disse que escolheria o gráfico do João, mas não se pronunciou

quanto à continuidade. Glasm também respondeu a Questão (I) no Whiteboard dizendo

que função contínua é a função, cujo gráfico não apresenta salto ou furo” e já pensava

assim quando trabalhava na Tarefa 3: “uma função é continua quando não tem "quebra"

na construção do seu gráfico, né?” (Glasm, Ln. 105. Log 3-2. Tarefa 3).

Nesse diálogo apareceu a controvérsia:

H1: A função 𝑓2 é contínua em 𝑥 = −1

X H2: A função 𝑓2 não é contínua em 𝑥 = −1

404

Apresentamos a seguir, o esquema argumentativo dessa controvérsia

Figura 109 –Argumentação: A função 𝑓2(𝑥) = 𝑥2−1

𝑥+1 é contínua?

ARGUMENTAÇÃO ADESÃO

CONTROVÉRSIA

Fonte: Diálogos e Whiteboard no VMT. Elaborado pela pesquisadora


Apresentamos a seguir, as argumentações dos Grupos 5 e 6 sobre a função

𝑓2(𝑥) = 𝑥2−1

𝑥+1 , sua continuidade e os gráficos apresentados por João e Beatriz.


𝒇𝟐(𝒙) = 𝒙𝟐−𝟏

𝒙+𝟏

Ln. 7 – Peu: o gráfico de joão está certo, o ponto (-1,-2) esta fora do dominio, e por isso

é aberto

Ln. 8 – Peu: assim meu gráfico é o mesmo que o do joão @: Message 7.

Ln. 9 – Peu: o dominio é reais - {-1}

Ln. 10 – Peu: não a função é contínua apesar do gráfico ter um salto

H1

𝒇𝟐(𝒙) = 𝒙𝟐−𝟏

𝒙+𝟏

é contínua em

𝑥 = −1

X

H2

𝒇𝟐(𝒙) = 𝒙𝟐−𝟏

𝒙+𝟏

não é contínua

em 𝑥 = −1

𝒇𝟐(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟏

𝒙 + 𝟏

H1

é contínua em 𝒙 = −𝟏

Nina, Uyio e

Kaka

A função não está definida em 𝒙 = −𝟏

Os limites laterais em 𝒙 = −𝟏 são iguais.

Para cada bola em torno de f(a) existe uma bola em torno de a tal que para todo x da bola de a, f(x) esteja na bola de f(a)

A função não está definida em 𝒙 = −𝟏

A função tem um buraco em 𝒙 = −𝟏

𝒇𝟐(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟏

𝒙 + 𝟏

H2

não é contínua em 𝒙 = −𝟏

Vmais, Glasm e

Gods

405

Ln. 11 – May: acho que o joão está certo porque o denominador da fração tem que ser

diferente de zero para isso x não pode ser -1

Ln. 12 – Peu: isso ai! @: Message 11

Ln. 13 – Suzana: joão está certo.

Ln. 14 – Suzana: o mesmo de joão

Ln. 15 – May: o dominio da função são os reais / {-1}

Ln. 16 – May: pensando bem esse gráfico não poderia ser uma hipébole?

Ln. 17 – Suzana: isso mesmo @: Message 9.

Ln. 19 – Peu: como??? @: Message 16.

Ln. 20 – May: ah é o resto dá zero

Ln. 21 – Peu: continuo sem entender @: Message 20.

Ln. 22 – May: o resto da divisão igual a zero @: Message 21.

Ln. 23 – Lili: 2.b) dom f = R-(-1)

Ln. 24 – May: a função f2 é descontinua porque não há o ponto x=-1

Ln. 25 – Peu: ah sim @: Message 22.

Ln. 26 – Lili: 2.c) Esta função é contínua, pois mesmo tendo o buraco em x=-1 ela não

está definida neste ponto

Ln. 27 – Peu: mas o ponto x = -1 ta fora do dominio @: Message 24.

Ln. 34 – Lili: 2.a) Eu faria o gráfico rosa, tirando o ponto x=-1 que não faz parte da

função. Acho que esse é o gráfico correto Log da Sala Tarefa 4-3-3

Questão (II)-(2) – Grupos 5 e 6 Em 05-06-2012. Das 13h28min às 13h39min

Todos os participantes dos Grupos 5 e 6 concordaram que o

gráfico certo é o do João, pois compreenderam corretamente o

domínio da função 𝑓2 .

Para Peu (Ln. 10)

“A função é contínua apesar do gráfico ter um salto” (Peu, Ln. 10).

Isto mostra uma mudança no discurso de Peu, pois para Peu

(Ln. 59, Log 3-3. Tarefa 3) a função 𝑔 da Tarefa 3, que não estava

definida em 𝑥 = 0 e cujo gráfico tem um salto, era descontínua.

Lili (Ln. 26) disse:

“a função 𝒇𝟐 é contínua, pois mesmo tendo o buraco em x=-1 ela não está definida

neste ponto”.

406

Para May (Ln. 24), a função 𝒇𝟐 não é contínua pois não está definida em 𝒙 = −𝟏 .

May manteve o seu discurso. Para May (Ln. 13, 83, 201, Log 3-3, Tarefa 3 e Ln. 52, Log 4-3-

1) uma função é contínua quando o seu gráfico não apresenta rupturas de qualquer maneira

(saltos ou buracos).

Observamos então, que o fato da função 𝑓2 não estar definida em 𝑥 = −1 , garantiu

a continuidade dessa função em 𝑥 = −1 , para Lili e a descontinuidade da função em

𝑥 = −1 , para May.


Grupos 1 e 2

Galois, Alequice, com a concordância de Cateto, compreenderam que João e Beatriz

simplificaram a expressão 𝑥2−1

𝑥+1 , que o gráfico correto é o do João, e que Beatriz não estudou

corretamente o domínio, não observou que a função 𝑓2(𝑥) = 𝑥2−1

𝑥+1 não está definida para

𝑥 = −1.

Galois achou que os dois gráficos são da função 𝑦 = 𝑥 − 1 , apesar de demonstrar saber que

o domínio da função 𝑓2(𝑥) = 𝑥2−1

𝑥+1 é ℝ − {−1}.

Alequice argumentou, que apesar de lim𝑥→−1

𝑓2(𝑥) existir, a função 𝑓2 não é contínua pois

não está definida em 𝑥 = −1 . Essa argumentação teve a adesão de Galois e Cateto, que

têm em Alequice um líder.

Grupos 3 e 4

Todos os alunos dos Grupos 3 e 4, que participaram dessa tarefa, concordaram que o

domínio da função 𝑓2(𝑥) = 𝑥2−1

𝑥+1 é ℝ − {−1} e que o gráfico correto é o do João, pois

−1 ∉ 𝐷𝑜𝑚( 𝑓2).

Nina, Uyio e Kaka aderiram a hipótese H1: 𝑓2(𝑥) = 𝑥2−1

𝑥+1 é contínua em 𝑥 = −1.


407

Nina considerou 𝑓2 contínua em 𝑥 = −1 , por não estar definida nesse ponto, o que

mostrou uma mudança no seu discurso.

Para Uyio, 𝑓2 é contínua em 𝑥 = −1 , pois os limites laterais nesse ponto são iguais. Na

Tarefa 3, Uyio baseava sua análise de continuidade no fato da função estar ou não definida

no ponto em questão.

Para Kaka, a função 𝑓2 é contínua em 𝑥 = −1, pois “para qualquer vizinhança de y=-2,

existe uma vizinhança de x=-1 tal que a imagem da vizinhança de x=-1 está contida na

vizinhança de y=-2”. Uma definição por " e 𝛿 ".

Vmais, Glasm e Gods aderiram a hipótese H2: 𝑓2(𝑥) = 𝑥2−1

𝑥+1 não é contínua em 𝑥 = −1.

Glasm e Gods não apresentaram suas argumentações nessa tarefa, mas para eles até

então, função contínua era aquela cujo gráfico não apresentava saltos e nem buracos.

Vmais também não argumentou.

Grupos 5 e 6

Todos os alunos dos Grupos 5 e 6, que participaram dessa tarefa, concordaram que o gráfico

certo é o do João, pois compreenderam corretamente o domínio da função 𝑓2.

Para Peu, a função 𝑓2 é contínua apesar do gráfico ter um salto, o que

mostrou uma mudança no seu discurso, pois para ele a função 𝑔 da Tarefa

3, cujo gráfico está ao lado era descontínua.

Para Lili “a função 𝑓2 é contínua, pois mesmo tendo o buraco em x=-1,

ela não está definida neste ponto”. E para May, a função 𝑓2 não é contínua pois não está

definida em 𝑥 = −1 .

A seguir apresentamos o Item (3) da Questão (II) da Tarefa 4.

408


E agora é a vez da função 𝑓3(𝑥) = 𝑥 − ⟦𝑥⟧ .

Lembram do que significa ⟦𝒙⟧ ? O gráfico de 𝒚 = 𝒇𝟑(𝒙) está abaixo.

Analise a função 𝒇𝟑(𝒙) = 𝒙 − ⟦𝒙⟧ , quanto a sua continuidade. Justifique todas as suas

respostas!


Interessante, observar o diálogo que esta sala estabeleceu sobre a função “maior

inteiro”, 𝑦 = ⟦𝑥⟧. Esta função foi apresentada aos alunos já na Tarefa 1 e continuou presente

na segunda, terceira e quarta tarefas. Não era uma função familiar aos alunos. Podemos ver

alguma reflexão sobre ela nos diálogos dos Grupos 1 e 2 (Ln. 290 – 296) e dos Grupos 3 e 4

(Ln. 298) enquanto realizavam a Tarefa 3, mas no diálogo abaixo podemos ver a evolução na

compreensão dessa função. O que Alequice questionou foi o nome da função, ele achou

que deveria ser a função menor inteiro, pois quando ele explicou essa função, disse: “x = 1,1

[x] = 1 pois a definição de [x] é o menor inteiro menor ou igual a x”, ele não percebeu que

⟦1,1⟧ = 1 significa que ele está considerando como definição de ⟦𝒙⟧ o maior inteiro menor

ou igual a 𝒙 .

409


𝒚 = ⟦𝒙⟧

Ln. 63 – Carolzinha: q função é essa msm?

Ln. 64 – Galois: degrau/escada

Ln. 65 – Cateto: isso mesmo Galois....aprendi isso aki

Ln. 67 – Glasm: vcs lembram o q significa aquele simbolo aí?

Ln. 68 – Carolzinha: isso q queria saber


Ln. 70 – Glasm: essa é a primeira coisa q temos q saber

Ln. 71 – Glasm: kkkkkkk

Ln. 72 – Alequice: [x] é o maior inteiro

Ln. 74 – Alequice: por exemplo para x = 1,1 [x] = 2

Ln. 89 – Gods: o q é [[x]]?

Ln. 90 – Galois: Chegou atrasado hein Gods @: Message 89.

91 Ln. – Gods: acabei de ver @: Message 89.

Ln. 94 – Galois: Alequice definiu [x] para nos la em cima ... srsrs @: Message 89

Ln. 95 – Alequice: gente desculpe a minha falha onde disse funcão maior inteiro disse

que x = ,1 [x] = 2 mas está errado o certo é x = 1,1 [x] = 1 pois a definição de [x] é o menor inteiro menor ou igual a x

Ln. 131 – Alequice: [x] é o menor inteiro menor ou igual a x. Assim [2.5] = 2

Ln. 138 – Alequice: Nesse caso não pode ser a função maior inteiro esse gráfico so faz

sentido se [x] for o menor inteiro menor que x

Ln. 139 – Mb: Vlw

Ln. 141 – Glasm: kk




𝒇𝟑(𝒙) = 𝒙 − ⟦𝒙⟧

Ln. 62 – Galois: Poderiamos usar o fato de os limites laterais serem diferentes para

justificar a descontinuidade?

Ln. 63 – Carolzinha: q função é essa msm?

Ln. 64 – Galois: degrau/escada

Ln. 65 – Cateto: isso mesmo Galois....aprendi isso aki

Ln. 66 – Alequice: apenas para os pontos inteiros não?


410

Ln.78 – Mb: A função não é continua. Poderia usar o fato dos saltos para justificar?

Ln. 79 – Glasm: + os pontos estão definidos

Ln. 80 – Glasm: apesar do salto

Ln. 81 – Alequice: acho que apenas para os pontos inteiros. Pegue um valor, por

exemplo, entre 1 e 2.

Ln. 82 – Galois: mas os limites laterais nesses pontos possuem 2 valores distintos

Ln.83 – Cateto: sim mas o limite lateral deste ponto ...não é o mesmo

Ln. 84 – Alequice: apenas nos pontos inteiros

Ln. 85 – Cateto: rsrsrs foi mal Galois....num vi q ja tinha escrito isso @: Message 82.

Ln. 86 – Glasm: vero

Ln. 87 – Galois: Beleza @: Message 85

Ln.88 – Galois: Reiterando a fala do Alequice, apenas para pontos inteiros

Ln. 135 – Mb: Não tem aquela coisa do lápis que se não me engano "Euler" falou, ou

seja as funções continuas são aquelas em que o lápis não sai do papel, e a questão dos limites laterais, essas idéias servem para justificar a resposta?

Ln. 136 – Galois: eu acredito que sim

Ln. 137 – Galois: em carater mais formal, a questao dos limites laterais

Ln. 142 – Glasm: então podemos concluir q...?

Ln. 143 – Galois: Vamos duelar na Tarefa 4 ...

Ln. 144 – Galois: Sigam-me os bons !!!

Ln. 147 – Cateto: ok



Ao longo das análises das questões que compõem as tarefas, observamos que as

ideias de função contínua foram se modificando.

Galois (Ln. 514, Log 3-1. Tarefa 3) disse:

“função ser continua, para mim é aquela cujo grafico não apresenta "buracos" ... onde para qualquer x, exista uma imagem ... onde ela esta definida” (Galois, Ln. 514, Log 3-1).

Para ele, no momento da Tarefa 3, uma função era contínua se seu gráfico não

apresentasse buraco onde estava definida.

Já, quando analisou a função 𝑓1 da Questão (II) – Item (1),

Galois (Ln. 24, 37, 47, Log 4-1-2) concluiu que essa função não é

contínua em 𝑥 = 0 , pois os limites laterais dessa função em 𝑥 = 0

são diferentes:

411

O mesmo argumento foi usado por Galois

(Ln. 62, 82, 84, 137, Log 4-1-3) para justificar a não

continuidade da função 𝑓3(𝑥) = 𝑥 − ⟦𝑥⟧ nos

números inteiros:

Galois: Poderiamos usar o fato de os limites laterais serem diferentes para justificar a

descontinuidade? (Ln. 62);

Galois: mas os limites laterais nesses pontos possuem 2 valores distintos (Ln. 82);

Alequice: apenas nos pontos inteiros (Ln. 84);

Galois : em carater mais formal, a questao dos limites laterais (Ln. 137).

Alequice manteve o seu discurso. Para ele (Ln. 62, 81, 84, Log 4-1-3) a função

𝑓3(𝑥) = 𝑥 − ⟦𝑥⟧ só não é contínua nos inteiros porque os limites laterais nesses pontos são

diferentes.

Glasm, do Grupo 4, visitante nessa sala, que falou (Ln. 158, Log 3-2): “estamos

lentas ou confusas, rsrs”, continuou confusa. Argumentou (ln. 79, 80, Log 4-1-3) que apesar

dos “saltos” a função era definida nos inteiros. Depois dessas observações, querendo uma

resposta para as suas dúvidas perguntou na linha 142: “então podemos concluir q...?” Mas,

ficou sem resposta.

Para Mb (Ln. 78, Log 4-1-3) a função 𝑓3 não é contínua e questionou se poderia usar

o fato do gráfico da função apresentar saltos para justificar isso. Falou:

“Não tem aquela coisa do lápis que se não me engano "Euler" falou, ou seja as funções continuas são aquelas em que o lápis não sai do papel, e a questão dos limites laterais,

essas idéias servem para justificar a resposta?” (Mb, Ln. 135, Log 4-1-3).

Galois (Lns. 136, 137) concordou com Mb que os saltos poderiam justificar a

descontinuidade da função 𝑓3 em 𝑥 = 0 , mas em “caráter mais formal”, disse que

justificaria essa questão usando os limites laterais.

Vamos aproveitar esta oportunidade para falar que Euler não classificou como

contínua, as funções que são traçadas sem se tirar o lápis do papel. Euler incluía as funções

traçadas pelo movimento livre das mãos, nas funções descontínuas. A mão estando livre, a

cada instante pode-se mudar o traçado da curva, de forma que, pode não haver uma mesma

412

equação para todos os pontos da curva traçada, e para Euler uma função contínua era

aquela representada por um única equação algébrica ou transcendental.


A seguir apresentamos o diálogo produzido pelos alunos dos Grupos 3 e 4 quando

argumentavam sobre a função 𝒇𝟑(𝒙) = 𝒙 − ⟦𝒙⟧ do Item (3) da Questão (II).

Sala Tarefa 4-2-3. Questão (II) – Item (3). Grupos 3 e 4. Dialogando sobre a continuidade da função 𝒇𝟑(𝒙) = 𝒙 − ⟦𝒙⟧

Ln. 11 – Nina: (3) creio que f3(x) não seja contínua, pois o limite pela direita e pela

esquerda de cada ponto pertencente ao conjunto dos números inteiros é diferente. Nesse caso também vale argumentar que a função tem saltos.

Ln. 33 – Vmais: Sobre a função f3 considero descontinua, mas ainda não sei bem como

explicar o pq é descontinua, poderia falar sobre os saltos da função mais seria muito superficial, falta um pouco mais de embasamento teorico na definição.

Ln. 39 – Uyio: Na 3, creio que a funçao seja descontinua pois, por exemplo, em x = 1,

lim x ->1+ e lim -> 1- nao sao iguais.

Ln. 40 – Kaka: (3) A função não é contínua, pois, por exemplo, se tomarmos uma

vizinhança de raio 1/2 em torno de f(1)=0, não existirá uma vizinhança em torno de 1 que tenha imagem contida na primeira vizinhança citada. Em outras palavras, a função não é contínua em 1.

Ln. 41 – Kaka: OK uyio, concordo também. @: Message 39.

Ln. 42 – Nina: O que significa [[x]] mesmo, vocês se lembram?.

Ln. 43 – Uyio: leaves the room

Ln. 44 – MaluT: Quem me explicaria como conseguimos esse gráfico a partir da lei de

formação da f3?

Ln. 46 – Vmais: Função maior inteiro @: Message 42

Ln. 50 –Glasm: questão 3 agora

Ln. 51 –Glasm: já sabem o significado?



Nina (Ln. 11), Uyio (Ln. 39), Kaka (Ln. 41) concordaram que a função 𝑓3 não é

contínua nos inteiros, porque lim𝑥→𝑎−

𝑓3(𝑥) ≠ lim𝑥→𝑎+

𝑓3(𝑥) , para todo número inteiro 𝑎 . O

fato da função estar definida em todo número inteiro 𝑎 , não foi levado em consideração

file://grupos

413

por esses alunos. A existência do “salto” no gráfico apareceu como uma justificativa

informal, muito superficial, sem embasamento teórico, como disse Vmais (Ln. 33).

Kaka foi a única aluna que justificou (Lns. 199 e 268, Log 3-2; Ln. 34 e 40, Log 4-2-3),

a continuidade ou a descontinuidade da função, através de e 𝛿 , mas sem usar essa

terminologia. Mas foi um argumento que não teve eco. Por exemplo, na linha 34, Log 4-2-3,

quando discutiam a continuidade da função 𝒇𝟐(𝒙) =𝒙𝟐−𝟏

𝒙+𝟏 , ela disse:

“A função não apresenta descontinuidade. Poderíamos argumentar que por não estar definida em x=-1, ela não seria contínua nesse número. Porém, para qualquer vizinhança de y=-2, existe uma vizinhança de x=-1 tal que a imagem da vizinhança de x=-1 está contida na vizinhança de y=-2 (Kaka, Ln. 34, Log 4-2-3).

E na linha 40 do Log 4-2-3 acima, Kaka dialogando sobre a função 𝒇𝟑(𝒙) = 𝒙 − ⟦𝒙⟧

falou: “A função não é contínua, pois, por exemplo, se tomarmos uma vizinhança de raio 1/2 em torno de f(1)=0, não existirá uma vizinhança em torno de 1 que tenha imagem contida na primeira vizinhança citada. Em outras palavras, a função não é contínua em

1” (Kaka, Ln. 40, Log 4-2-3).

Como dissemos acima, Kaka foi a única aluna que justificou a continuidade, ou não,

de uma função através de ℰ e 𝛿, em alguns momentos dos discursos, mesmo sem usar

exatamente essa terminologia. Todos os participantes da nossa pesquisa são graduados em

Matemática e nas palavras deles, a definição por ℰ e 𝛿 , que usamos em uma das nossas

tarefas é:

Difícil de entender

uma visão abstrata

nada clara para aluno de Cálculo I

um malabarismo para se chegar a um resultado que pode ser visto intuitivamente

ninguém de Cálculo I entende direito

uma visão complicada a parte chata do Cálculo

Não pensaria nela.

414


Sala Tarefa 4-3-3. Questão (II) – Item (3). Grupos 5 e 6. Dialogando sobre a continuidade da função 𝒇𝟑(𝒙) = 𝒙 − ⟦𝒙⟧

A função 𝑦 = ⟦𝑥⟧ , conhecida como função maior inteiro ou função escada já tinha

gerado dúvidas em outras tarefas. Peu (Ln. 42, Log 3-3) falou: “novamente, a função

escada... vou estudar mais ela”. Essa falta de familiaridade com a função maior inteiro levou

os alunos desses dois grupos a dialogar sobre ela, na tentativa de conhecer melhor a sua lei

de formação. Vejamos isso no recorte do Log da Sala Tarefa 4-3-3.

Sala Tarefa 4-3-3. Questão (II) – Item(3). Grupos 5 e 6. Dialogando sobre a função 𝒚 = ⟦𝒙⟧

Ln. 28 – Lili: No exercício 3 o que significa este símbolo envolvendo o x???

Ln. 29 – May: [[x]] significa a parte inteira do número@: Message 28.

Ln. 30 – Lili: Me explique com exemplos pra ficar mais fácil de entender, por favor @:

Message 29.

Ln. 31 – May: por exemplo 3/2=1 @: Message 30.

Ln. 32 – Peu: não lembro q significa [[x]]

Ln. 33 – May: seria 1,5 só pego o 1

Ln. 35 – Lili: ok, obrigada! @: Message 33.

Ln. 37 – May: só pego a parte da frente do numero esqueço as casas depois da virgula

Ln. 45 – Peu: alguém lembra o que significa [[x]]??? @: Message 32.

Ln. 46 – Peu: como que disso vai para o gráfico

Ln. 51 – Cranio: eu tb não lembrava o significado das barras ao lado de x

Ln. 52 – Cranio: mas um colega me ajudou, dizendo que se tratava do maior inteiro

Ln. 53 – Cranio: logo pense nos decimais anteriores ao inteiro e o maior interiro vindo

em seguida

Ln. 54 – Cranio: espero que isso ajude

Ln. 55 – Suzana: não to conseguindo lembrar não

Ln. 56 – Peu: huumm.. isso me faz lembrar algo.. mas ainda assim. Ta muito vago @:

Message 53.

Ln. 62 – Cranio: tente pegar x=2,3 logo o seu maior inteiro é x=3. e 3 - 2,3 é igual a 0,7

Ln. 63 – Cranio: e fazendo x=2 o maior inteiro seria o 2 e 2 - 2 = 0

Ln. 64 – Cranio: espero que isso ajude

Ln. 65 – Cranio: acho que é isso

Log da SalaTarefa 4-3-3

415

Questão (II)-Item (3) – Grupos 5 e 6 Em 05-06-2012. Das 13h37min às 14h01min

Cranio, motivado pelo nome da função maior inteiro, deu uma explicação incorreta

sobre como calcular a função em um ponto. Cranio (Ln. 62) falou: “tente pegar x=2,3 logo o

seu maior inteiro é x=3 [...]”. Na verdade, ⟦𝑥⟧ significa o maior inteiro que é menor ou

igual a 𝒙 . A explicação que May (Ln. 29, 31, 33) deu também não está correta, pois não

funciona para os inteiros negativos. Por exemplo, para 𝑥 = −2,4 , como −3 < −2,4 < −2,

então ⟦−2,4⟧ = −3 . As várias representações dessa função (lei de formação, eixos paralelos,

eixos cartesianos) apresentadas nas Tarefas 1 e 2 ainda não foram suficientes para os alunos

dos Grupos 5 e 6 se apropriarem dessa função. Vejamos o que disse May:

Sobre a continuidade da função 𝑓3(𝑥) = 𝑥 − ⟦𝑥⟧, os alunos disseram:

Sala Tarefa 4-3-3. Questão (II) – Item(3). Grupos 5 e 6. Dialogando sobre a continuidade da função 𝒇𝟑(𝒙) = 𝒙 − ⟦𝒙⟧

Ln. 38 – May: para mim não é contínua porque há saltos no gráficos

Ln. 39 – Peu: também achei isso @: Message 38.

Ln. 41 – Lili: 3) Pra mim essa função não é contínua, pelo mesmo motivo dos outros

exercícios... Ela está definida nesses pontos porém tem um salto nos mesmos

Ln. 47 – Lili: pelo que alguns colegas disseram ela não é continua, pois nos pontos x

inteiros os limites laterais são diferentes e os pontos estão definidos. E então ela não seria continua. visto por esse argumento.

Log da Sala Tarefa 4-3-3 Questão (II)-Item(3) – Grupos 5 e 6


Vemos que permaneceu a ideia de que se há um salto no gráfico de uma função,

então ela não é contínua.


Grupos 1 e 2

Os alunos dos Grupos 1 e 2 dialogaram inicialmente sobre a função “maior inteiro”,

𝑦 = ⟦𝑥⟧ , uma função não familiar aos alunos e que continuou gerando dúvidas. Alequice


416

questionou o nome da função, ele achou que deveria ser a função menor inteiro, pois

quando ele explicou essa função, linha 95 desse Log, disse: “x = 1,1 [x] = 1 pois a definição de

[x] é o menor inteiro menor ou igual a x”, ele não percebeu que ⟦1,1⟧ = 1 significa que ele está

considerando como definição de ⟦𝒙⟧ o maior inteiro menor ou igual a 𝒙 .

Alequice e Galois concluiram que a função 𝑓3(𝑥) = 𝑥 − ⟦𝑥⟧ não é contínua nos números

inteiros, porque os limites laterais nesses pontos são diferentes. Para eles a função ser

definida no ponto, já não era suficiente para garantir a continuidade nesse ponto.

Glasm, do Grupo 4, visitante nessa sala, argumentou que apesar dos “saltos” a função era

definida nos inteiros e buscando uma resposta para essa dúvida perguntou na linha 142:

“então podemos concluir q...?” Mas, ficou sem resposta.

Para Mb a função 𝑓3 não é contínua, e questionou se poderia usar o fato do gráfico da

função apresentar saltos para justificar isso. Falou:

“Não tem aquela coisa do lápis que se não me engano "Euler" falou, ou seja as funções continuas são aquelas em que o lápis não sai do papel, e a questão dos limites laterais,

essas idéias servem para justificar a resposta?” (Mb, Ln. 135, Log 4-1-3).

Galois concordou com Mb, que os saltos poderiam justificar a descontinuidade da função

𝑓3 em 𝑥 = 0 , mas apenas em caráter informal, em “caráter mais formal”, disse que

justificaria essa questão usando os limites laterais.

Mb, quando falou nos saltos que o gráfico mostrava, mencionou Euler, como vemos acima.

O discurso produzido pelos alunos dos Grupos 1 e 2, quando argumentaram sobre a função

𝑓3(𝑥) = 𝑥 − ⟦𝑥⟧ mostrou mais uma vez, a liderança exercida por Alequice nos Grupos 1 e 2.

Nesse diálogo encontramos falas como: “Grande Alequice !!!”, “por isso q sou fã dele”,

“tranquilo Alequice”, “continuamos sendo seus fãs”.

Grupos 3 e 4

Nina, Uyio, Kaka concordaram que a função 𝑓3 não é contínua nos inteiros, porque

lim𝑥→𝑎−

𝑓3(𝑥) ≠ lim𝑥→𝑎+

𝑓3(𝑥) , para todo número inteiro 𝑎 . O fato da função estar definida

em todo número inteiro 𝑎 , não foi levado em consideração por esses alunos. A existência

do “salto” no gráfico apareceu como uma justificativa informal, muito superficial, sem

embasamento teórico, como disse Vmais (Ln. 33).

417

Kaka foi a única aluna que justificou, a não continuidade da função, através de ℰ e 𝛿 , mas

sem usar essa terminologia. Kaka dialogando sobre a função 𝒇𝟑(𝒙) = 𝒙 − ⟦𝒙⟧ falou:

“A função não é contínua, pois, por exemplo, se tomarmos uma vizinhança de raio 1/2 em torno de f(1)=0, não existirá uma vizinhança em torno de 1 que tenha imagem contida na primeira vizinhança citada. Em outras palavras, a função não é contínua em

1” (Kaka, Ln. 40, Log 4-2-3).

Grupos 5e 6

Os alunos dialogaram sobre a função 𝒚 = ⟦𝒙⟧ , surgiram dúvidas, mas os alunos foram

interagindo, expondo as sua ideias. May e Cranio mostraram em suas falas, o quanto até

aquele momento, ainda não tinham se apropriado dessa função.

Os alunos concordaram que como há saltos no gráfico, então a função não é contínua.

418

419

6 DISCUSSÕES FINAIS

A nossa pesquisa teve como objetivo investigar e analisar a produção de significados

para continuidade de funções reais de uma variável real, por licenciados em Matemática, em

um ambiente virtual colaborativo. Esse tema surgiu das nossas inquietudes como professora

do Ensino Superior. Percebíamos a dificuldade que os alunos apresentavam na compreensão

do conceito de função e na noção de continuidade e funções contínuas, e a falta de

produção de significado para essas noções, leva a uma grande dificuldade na compreensão

de teoremas importantes do Cálculo Diferencial e Integral e de outras disciplinas de

diferentes cursos. Algumas pesquisas que encontramos na literatura matemática nacional e

internacional (TALL; VINNER, 1981a; HITT, 1994, 1998; HITT; PLANCHART, 1998; REZENDE,

2003a; MASTORIDES; ZACHARIADES, 2004) também destacam as mesmas dificuldades, por

parte de alunos e até de professores.

Acreditando no potencial dos ambientes virtuais de aprendizagem e no suporte que

esses ambientes proporcionam à aprendizagem colaborativa, escolhemos trabalhar com a

plataforma VMT e buscamos responder duas questões que direcionaram a nossa pesquisa,

que teve como fundamentação teórica as ideias do Modelo da Estratégia Argumentativa –

MEA (CASTRO; BOLITE FRANT, 2011), a Metáfora do Partipacionismo (SFARD, 2008) e a

Teoria da Cognição Corporificada (LAKOFF; JONHSON, 1980, 1999; LAKOFF; NÚÑEZ, 2000).

As duas questões que orientarem a nossa pesquisa são:

Identificar e analisar os aspectos que favorecem ou não a evolução dos

discursos nesse ambiente virtual.

Que significados matemáticos relacionados à noção de continuidade

são produzidos pelos participantes?

Iniciamos as nossas discussões finais falando sobre a plataforma VMT na nossa

pesquisa. As dúvidas que surgiram, as características e potencialidades da plataforma, como

os alunos avaliaram a plataforma e como nós avaliamos o uso do VMT na nossa pesquisa.

420

6.1 O VMT NA NOSSA PESQUISA

A plataforma VMT não era familiar aos nossos alunos, mas isso não foi um problema

para que eles se envolvessem com a nossa proposta de pesquisa, já na primeira tarefa.

Como dissemos anteriormente, a plataforma VMT foi desenhada para estudantes de

matemática trabalharem colaborativamente, em grupos, e apesar da familiaridade dos

alunos com várias formas de comunicação digital, algumas dúvidas sobre o uso da

plataforma VMT, surgiram, durante o desenvolvimento das nossas tarefas. Potencialidades

da plataforma VMT também foram evidenciadas nesses encontros. Trazemos aqui trechos

de diálogos que evidenciam esses fatos.

O nosso trabalho na plataforma VMT começou de forma síncrona, com todos os

alunos presentes, em um mesmo espaço para a realização da tarefa. As salas que abrimos no

VMT eram de livre acesso a todos os participantes. No final do primeiro encontro

disponibilizamos uma tarefa com o Problema do Monge para ser discutido de forma

assíncrona.

Os alunos foram estimulados a acessar a plataforma VMT entre os encontros

presenciais. Poderiam acessá-la de qualquer computador que tivesse o Java instalado. As

argumentações abaixo, mostram que, ou não estava claro para alguns alunos o que era usar

o VMT de forma assíncrona, ou que eles queriam trabalhar com o grupo colaborativamente.

Lili (Ln. 106, Log 2-2, 06-05) argumentou:

“Cranio, vc nao precisa estar online ao mesmo tempo dos demais participantes... apenas deixar sua mensagem registrada com suas opiniões”.

Da fala de Cranio (Ln. 83, Log 2-3, 04-05), interpretamos que para ele, no diálogo

síncrono o trabalho colaborativo flui melhor:

“gostaria de encontrar pessoas online p/ trocar idéias sobre o assunto: função. Mas gostaria que fosse online p/ q o assunto flua melhor”.

Os diálogos a seguir mostram dúvidas que surgiram a respeito do acesso assíncrono.

421

Sala Tarefa 2-2. Todos os Grupos. Acesso assíncrono. Dúvidas

Ln. 70 – Cranio_19:22 (30.04): olá pessoal, cadê vcs?

Ln. 99 – Cranio _22:44 (4.05): pessoal estou com dificuldades de encontrar os

integrantes do meu grupo on line

Ln. 106 – Lili_9:54 (6.05): Cranio, vc nao precisa estar online ao mesmo tempo dos

demais participantes... apenas deixar sua mensagem registrada com suas opinioes... @: Message 99.

Ln. 132 – Carolzinha_16:45 (7.05): olá!!!

Ln. 140 – aluno34_19:52 (7.05): Têm alguém on?

Ln. 141 – aluno34_19:55 (7.05): ????

Ln. 145 – Vmais _22:43 (7.05): alguem on junto cmg q milagre

Ln. 146 – Johnny _22:43 (7.05): p mim tb é um milagre. rs

Log da Sala Tarefa 2-2 Grupos 1, 2, 3, 4, 5, 6

Sala Tarefa 2-3. Grupos 2, 5 e 6. Acesso assíncrono

Ln. 57 – Cranio_11:19 (30.04): pessoal, mais tarde entrarei no chat novamente para

podermos falar sobre as atividades online.

Ln. 73 – Lili_10:19 (4.05): e ai, gente... alguma novidade?

Ln. 81 – Cranio _23:03 (4.05): estou sem sorte de encontrar vcs on line

Ln. 83 – Cranio _23:14 (4.05): e também gostaria de encontrar pessoas online p/ trocar

idéias sobre o assunto: função. Mas gostaria que fosse online p/ q o assunto flua melhor

Ln. 84 – Cranio _23:14 (4.05): beleza?

Ln. 86 – Cranio _23:15 (4.05): ffuuuuuuuuuuiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Ln. 102 – Carolzinha_16:43 (7.05): olá!!!

Log da Sala Tarefa 2-3 Grupos 2, 5, 6

A busca por parceiros para dialogar sobre as tarefas na plataforma, nos fez inferir que

os alunos se entusiasmaram com o tema e com a plataforma VMT.

Algumas dúvidas sobre a plataforma VMT e dificuldades com o seu uso ainda

continuaram presentes no quarto encontro.

Observamos, por exemplo, que ouve um pouco de “ruído” na comunicação entre

Peu e May, quando dialogavam sobre a Questão 2 da Tarefa 3 na Sala Tarefa 3-3.

Creditamos essas dificuldades à falta de experiência com a plataforma naquele momento.

Acesso Assíncrono. Dúvidas

422

Éramos todos aprendizes. Teria sido melhor se todos nós tivéssemos usados mais setas de

referência a uma mensagem postada, explicado melhor a que ou a quem estávamos nos

referindo. Podemos ver isso no recorte do diálogo abaixo.

Sala Tarefa 3-3. Grupos 5 e 6. Diálogos sobre a Questão 2. ”Ruído” na Comunicação

Ln. 47 – May: acho que não porque lembro vagamente do cálculo porque tinha que

fazer derivadas das funções nos ponto de encontro e analisar

Ln. 48 – Peu: acho q não o que? @: Message 47.

Ln. 49 – May: não são contínuas

Ln. 50 – Peu: a f9?

Ln. 51 – May: q f9?

Ln. 52 – Peu: do que vc ta falando? Acho q me perdi em algum momento

Ln. 53 – May: se refere a questão 3

Ln. 54 – Peu: Aaaaa! Ta.

Ln. 55 – May: ok.

Ln. 56 – Peu: eu tava imaginando que era sobre a questão 2 ainda.

Log da Sala Tarefa 3-3 Questões 2 – Grupos 5 e 6


Outras dúvidas e dificuldades surgiram, como podemos ver em recortes do Log da

Sala Tarefa 3-3, quando alunos dos Grupos 5 e 6 discutiam a Questão 1 da Tarefa 3.

Sala Tarefa 3-3. Grupos 5 e 6. Dúvidas e dificuldades com o VMT.

Ln 88 – Lili: oi gente, boa tarde! Sei que não estou em sala, mas gostaria de participar

da atividade de alguma forma... Minha mãe ta com dengue e eu to em casa esses dias pra ajudar.

Ln 91 – Lili: Onde se encontra a atividade desta semana?

Ln 92 – Peu: tarefa 1 no "summary" @: Message 91.

Ln 94 – MaluT: Sinto pela sua mãe, mas pode começar a interagir já. Via ser ótimo.

Participe como se estivesse aqui, pois hoje todo mundo está trabalhando sozinho. @: Message 88.

Ln 95 – Lili: ok, obrigada! @: Message 94

Ln 98 – MaluT: Você lembra se é sal1 , 2 ou 3? é só ir pelo mesmo caminho e entrar em

Tarefa 3 1 ou tarefa 3.2 ou tarefa 3.3 @: Message 91.

Ln 104 – Lili: sim, sou dessa sala... fiz as tarefas 1.3 e 2.3. Agora entrei na tarefa 3.3...

423

Ln. 132 – Lili: May, aqui no meu pc não ta aparecendo sumary em lugar nenhum...

onde fica? @: Message 122.

Ln 133 – May: no terceiro negocinho lá em cima do lado do whiteboard @: Message

132.

Ln 134 – Lili: hummmm... aqui ta tudo cinza @: Message 133.

Ln 135 – May: é ai mesmo no terceiro @: Message 134.

Ln 189 – MaluT: Olá todos, vou apagar do presente os gráficos da questao 2. Para

acessar é só voltar no tempo.

Ln 190 – Lili: gente, não ta dando certo tentar compartilhar alguma coisa das

atividades aqui da minha casa. Não consegui acessar os exercícios e estou apenas lendo o que vocês estão escrevendo

Ln 221 – MaluT: Estou deixando as questões 1 e 3 só no passado para ganhar espaço

para o item C0 da questão 5

Ln 223 – Cranio: po tiraram o exercício número 3

Ln 225 – Suzana: vai do lado e volta a linha do tempo @: Message 223.



A Tarefa 3 era longa, e para esse quarto encontro muitas questões foram postadas no

Summary e também no Whiteboard. Alguns alunos diziam que as tarefas “sumiam” da tela.

Os alunos ainda não tinham familiaridade com a “Barra de Rolagem”, com a “volta no

tempo” e com as abas abertas nas salas, mas a interação e a colaboração entre eles foi

contribuindo para que “esses pequenos mistérios da plataforma fossem desvendados”.

Podemos ver isso a seguir:

Lili: May, aqui no meu pc não ta aparecendo sumary em lugar nenhum... onde

fica? (Ln. 132, Log 3-3);

Lili: no terceiro negocinho lá em cima do lado do whiteboard (Ln. 133, Log 3-3);

Cranio: po tiraram o exercício número 3 (Ln. 223, Log 3-3);

Suzana : vai do lado e volta a linha do tempo (Ln. 225, Log 3-3).

Um recorte do Log da Sala Tarefa 3-2 mostra as dúvidas que os alunos ainda tinham

sobre o uso do Summary e do Whiteboard. Vemos também a descontração que esse

ambiente proporciona, favorecendo a interação e a colaboração entre os participantes.

424

Sala Tarefa 3-2. Grupos 3 e 4. Dúvidas e dificuldades com o VMT. Compartilhamento. Colaboração

Ln. 57 – Uyio: Cara, eu tô apanhando muito aqui, desculpem os transtornos. @:

Message 55.

Ln. 61 – Kaka: Malu, cadê o gráfico da h?

Ln. 64 – Kaka: Já me achei.

Ln. 66 – Uyio: Agora sim que eu vi a 2 :)

Ln. 76 – Uyio: Escrevo como falo. Porcaria...

Ln.82 – Kaka: No strreesssss Uyio. Estamos apanhando juntos... @: Message 76.

Ln. 83 – Vmais: kkkkkkkkkk

Ln. 85 – Uyio: rs @: Message 82.

Ln. 92 – Glasm: opa estavca na tarefa errada



As expressões “kkkkkkkkkk”, “rs” demonstram a descontração. O símbolo “ :)” é para

nós, um gesto. Os alunos vão encontrando formas de expressar emoções e sentimentos. A

fala de Kaka (Ln. 82) “No strreesssss Uyio. Estamos apanhando juntos...” mostra o

acolhimento e a colaboração entre eles.

Gostaríamos de destacar o que alguns alunos falaram sobre as potencialidades do

VMT, a importância do VMT como ferramenta de ensino e aprendizagem, as dúvidas que

alguns alunos tiveram sobre o que é permitido, ou não, no VMT. Observemos o que a aluna

Fernanda (Lns. 186 e 191, Log 3-3) falou:

“Peu você está colando, buscando informações em sites, isso vale?”

“Acho melhor então entrar nesta plataforma em casa pois consultando materiais dos nossos cadernos antigos pagamos menos mico!”

A expressão “Peu você está colando”, nos remete as salas de aulas tradicionais, onde

muitas vezes ao aluno não é permitido a troca de ideias e interagir significa “colar”.

É importante notar como muitos alunos perceberam as potencialidades, o

funcionamento do VMT, perceberam que o importante era a troca de ideias, não tiveram

Potencialidades e Características

425

medo de se expor, não estavam se sentindo avaliados por aquilo que diziam, interpretamos

que o importante para eles, era trazer argumentos para que o grupo refletisse e o discurso

acontecesse, mesmo que precisassem buscar informações na web, como vemos a seguir.

Sala Tarefa 3-3. Grupos 5 e 6. Potencialidades do VMT. Isso pode?

Ln 186 – Fernanda: Peu você está colando, buscando informações em sites, isso

vale?

187 – Lili: acho que vale sim... qq fonte de pesquisa é legal @: Message 186.

Ln 188 – Lili: o importante é estar trocando ideias e informações @: Message 186.

Ln 191 – Fernanda_13:45 (8.05): Acho melhor então entrar nesta plataforma em casa

pois consultando materiais dos nossos cadernos antigos pagamos menos mico!

Ln 195 – Suzana: relaxa é uma boa forma de aprender. @: Message 191.

Ln 196 – Lili: pesquisa em sites tbm @: Message 191.

Ln 197 – Peu: eu fiz isso!! @: Message 196.



O mesmo tipo de discurso aconteceu entre alunos dos Grupos 3 e 4 quando

trabalhavam na Tarefa 3. A seguir está um trecho do diálogo entre esses alunos onde

podemos constatar essa preocupação.

Sala Tarefa 3-2. Grupos 3 e 4. Potencialidades do VMT. Isso pode?

Ln. 161 – Kaka: Como já falei, creio que todas as funções da questão 3 são

descontínuas

Ln. 163 – Uyio: Depende da definição de continuidade que temos. Por isso estamos

confusos, pelo menos eu. Não lembro muito bem da definição de continuidade, e me parece tentador não procurar sobre isso na internet e descobrir sozinho. @: Message 161.

Ln. 164 – Nina: Acho que não pode pesquisar não hein... Professora vai te colocar de

castigo. rsrs @: Message 163.

Ln. 165 – Uyio: rs

Ln. 166 – Glasm: kkkkkkkkkkk

Ln. 168 – Vmais: Também fiquei tentada ao mesmo ato, mas não podeeee.... e

realmente nao lembro a definição de contiunidade de uma função.

Isso pode?

426

Ln. 176 – Vmais: alguém chegou a alguma conclusão sobre a definição de

continuidade??

Ln. 180 – Kaka: Estou vendo algumas definições na internet. Temos que falar em

ponto de acumulação , etc, etc, @: Message 176.

Ln. 181 – Glasm: q isso

Ln. 182 – Glasm: Não pode Não

Ln. 183 – Glasm: kkkkkk



Estávamos sempre atentos aos significados produzidos para continuidade de função

pelos participantes da pesquisa.

“Depende da definição de continuidade que temos. Por isso estamos confusos, pelo

menos eu. Não lembro muito bem da definição de continuidade.[...]” (Uyio, Ln. 163);

“alguém chegou a alguma conclusão sobre a definição de continuidade??” (Vmais. Ln.

176),

As falas que encontramos no diálogo acima, mostram que alguns alunos estavam

procurando “a definição” de continuidade, que fizesse com que todos classificassem as

funções da mesma forma. Como vimos na seção 1.1, a história nos mostra que a evolução do

conceito continuidade nos oferece vários olhares para continuidade. Nem mesmo os livros

textos de Cálculo introduzem e definem continuidade de uma única forma, como vimos no

seção 1.3. Quando o tema continuidade é abordado nas nossas aulas de graduação, de

acordo com a nossa visão participacionista, deveríamos conversar sobre isso com os alunos,

explicar as nossas escolhas para continuidade de função, até mesmo porque, segundo Núñez

(2000, 2009) movemos mecanismos cognitivos diferentes quando usamos uma ou outra

definição.

Inferimos que entusiasmado com o VMT, Uyio, que interagia na Sala Tarefa 3-2,

achou mais desafiador, encontrar uma resposta para “o que é afinal continuidade”,

interagindo e colaborando com os parceiros de sala.

Uyio: e me parece tentador não procurar sobre isso na internet e descobrir sozinho”

(Ln. 163);

Nina: Acho que não pode pesquisar não hein... Professora vai te colocar de castigo

(Ln. 164);

Vmais: Também fiquei tentada ao mesmo ato, mas não podeeee...(Ln. 168);

Kaka: Estou vendo algumas definições na internet (Ln. 180);

427

Glasm: Não pode Não (Ln. 182)

Nina (Ln. 402, Log 3-2) também se manifestou a esse respeito:

Boa noite Prof. Malu, estou respondendo a todas as perguntas sem auxílio de pesquisas, até porque entendi que o objetivo da senhora era estudar o quanto aprendemos sobre continuidade na faculdade, está correto ou a pesquisa é permitida?

(Nina, Ln. 402, 10-05).

E a pesquisadora MaluT (Ln. 407, Log 3-2) respondeu

Nina, Boa tarde! acho ótima a sua ideia de inicialmente, responder sem fazer pesquisa. Gostaria mesmo de saber o que é para você continuidade, depois de já ter estudado esse tema. Vou pedir só para você dar uma justificativa para as suas respostas. Vai ajudar seus colegas de sala comentar suas respostas. Quando for falsa, tente, por exemplo, dar um exemplo mostrando que não funciona. Se você quiser desenhar, você pode fazer um gráfico, "a mão livre" aqui no Whiteboard. Use traços e curvas cujos comandos estão na barra de ferramentas ao lado da setinha. Legal a sua participação!

(MaluT, Ln. 407, 11-05).

Os diálogos produzidos nas salas abertas no VMT para a discussão das tarefas, que

apresentamos ao longo do capítulo 5, mostraram que os alunos foram trocando ideias,

modificando o discurso, considerando e desafiando uns aos outros, e com isso foram se

concentrando em um objetivo comum, fortalecendo a interação colaborativa.

Segundo Powell e Lai (2009), o VMT tem como foco, não só o problema matemático

em discussão, mas também o ambiente de confiança mútua que tem que se estabelecer

para que a aprendizagem possa acontecer, e os diálogos que apresentamos mostram com

frequência, o ambiente de confiança, de interesse e descontração, que se estabeleceu entre

os participantes da pesquisa

Segundo Stahl (2006), quando não somos capazes de resolver internamente o caráter

problemático de nossa compreensão pessoal de um determinado tema, uma forma de

resolver essa questão é participar de um processo explicitamente social e criar novos

significados de forma colaborativa. Podemos fazer isso expressando a nossa crença pessoal

em palavras para os participantes de um ambiente social, que discutirão o que foi declarado,

raciocinando e argumentando segundo várias perspectivas. Essas argumentações e

esclarecimentos podem levar a acordos, ou pelo menos, ao entendimento mútuo, e se há

um entendimento comum, esse resultado será um novo conhecimento, aceito por essa

comunidade, que foi construído de forma colaborativa a partir de uma crença pessoal

abalada.

428

O ambiente VMT permitiu que essas etapas de interação acontecessem, propiciou o

compartilhamento de entendimentos e a socialização das informações.

Para exemplificar apresentamos o diálogo produzido pelos alunos dos Grupos 5 e 6

quando discutiam o Item (1) da Questão (II) da Tarefa 4. É um diálogo onde os participantes

declararam suas ideias, raciocinaram, argumentaram, pediram e deram esclarecimentos.

Vemos os alunos participando de um discurso matemático, enfrentando conflitos,

modificando seu discurso e produzindo conhecimentos.

Nesse item os alunos tinham que comentar as soluções

que João e Maurício deram para a análise da continuidade da

função 𝑓1(𝑥) = {𝑥2 , 𝑥 < 01 , 𝑥 = 0

−𝑥2 + 2 , 𝑥 > 0

,

e deveriam dar a sua própria solução.


João respondeu: A função só não é contínua em 𝑥 = 0 , é só olhar no gráfico e ver que a função tem buracos para 𝑥 = 0 .

Maurício respondeu: Como a função está definida em 𝑥 = 0 , então ela é contínua em 𝑥 = 0 . Na realidade não tem buraco, o ponto (0,1) está lá. É um falso buraco

Sala Tarefa 4-3-1. Questão (II)-Item (1). Grupos 1 e 2. João ou Maurício? Algum deles tem razão?

Ln. 44 – Cranio: eu concordo com a visão de maurício.

Ln. 45 – Cranio: eu também penso asim

Ln. 49 – Cranio: para mim joão está muito preso ao gráfico

Ln. 50 – Peu: completamente! @: Message 49

Ln. 52 – May: na atividade 1 não é contínuo já que houve um salto entre os gráficos

Ln. 60 – May: para eu iria fazer como joão

Ln. 61 – Lili: II.1) Em x = 0 a função não é contínua, ela dá um salto

Ln. 62 – Cranio: a tá

Ln. 65 – May_13:04 (5.06): com joão mesmo respondeu os gráficos estáo separados

então é contínua

Ln. 68 – Lili: Eu acho que a função não é contínua pois ao desenharmos o gráfico ela dá

um salto em x=0. Ela está definida nesse ponto e sua imagem está representada em y=1. Porém não é continua ali

Ln. 69 – Cranio: p/ mim ela não é derivável em x=0 mas é contínua no mesmo.

Ln. 70 – Suzana: tb acho @: Message 69

Ln. 71 – Peu: ela não é contínua em x=0, concordo com vc e com o João.

429

Ln. 72 – Cranio: pois toda função derivável é contínua e nem toda função continua é

derivável

Ln. 73 – Cranio: se estiver enganado me corrija

Ln. 74 – Lili: Ih gente, então estou novamente confusa

Ln. 75 – Lili: já não estou certa se minha resposta está correta

Ln. 76 – Lili: Preciso de alguém pra me ensinar isso de novo

Ln. 77 – Cranio: preciso reler alguns livros de análise e de Cálculo

Ln. 78 – Suzana: quando os limites são diferentes a esquerda e a direita não é

continua naquele ponto???? É isso?? @: Message 68

Ln. 79 – Cranio: não sei se é assim que pode ser respondida essa pergunta

Ln. 80 – Peu: É! E o ponto tem q estar definido no dominio @: Message 78

Ln. 81 – Cranio: confesso q não me lembro disso

Ln. 82 – Cranio: mas se for por isso que a Suzana disse, então não é continua

Ln. 83 – Cranio: pois limite a direita é 2 e a esquerda é 0.

Ln. 84 – Suzana: isso mesmo @: Message 82

Ln. 85 – Peu: aham. é por isso q eu acho q não é contínua @: Message 83

Ln. 92 – Cranio: um exemplo, digamos que o ramo do gráfico à direita esteja junto do

ramo da esquerda. sendo o ponto x = 0 não definido. Porém os limites laterais seriam iguais e o ponto x = 0 não faz parte do dominio.

Ln. 93 – Cranio: então ela também seria contínua?

Ln. 94 – Cranio: ou não?

Ln. 96 – Cranio: ajudem-me

Ln. 97 – Cranio: desculpem com x = 0 no domínio

Ln. 98 – Cranio: desculpem de novo x = 0 não pertencente ao dominio

Ln. 99 – Cranio: memso



Segundo O’Hara (2010, p. 32)

Os participantes de um grupo no ambiente VMT tem que negociar suas relações usando rituais como proporcionar liderança, responder um ao outro, e atribuir tarefas a cada um. Cada participante, se ativamente engajado, tem que facilitar o processo do grupo trabalhando junto. [...] Os participantes do grupo vão se tornando mais adaptados uns aos outros e líderes e seguidores vão emergindo, assim como participantes que se envolvem em ações construtivas. (O’HARA, 2010, p. 32, tradução nossa).

Os participantes dos grupos, de fato se adaptaram bem uns aos outros. Os

participantes dos Grupos 1 e 2, assim como os participantes dos Grupos 3 e 4, trabalharam

de forma descontraída, o que propiciou uma boa interação e colaboração entre eles. Ficou

evidente em muitos dos diálogos produzidos pelos Grupos 1 e 2 que Alequice emergiu como

430

um líder dos participantes desses grupos. A seguir mostramos os diálogos produzidos pelos

alunos dos Grupos 1 e 2, quando argumentavam sobre a função 𝑓3(𝑥) = 𝑥 − ⟦𝑥⟧ . A

liderança de Alequice é evidente nesse discurso.

Sala Tarefa 4-1-3. Questão (II)-Item (3). Grupos 1 e 2. A liderança de Alequice


Ln. 73 – Galois: Grande Alequice !!! @: Message 72

Ln. 74 – Alequice: por exemplo para x = 1,1 [x] = 2

Ln. 75 – Carolzinha: por isso q sou fã dele

Ln. 76 – Alequice: assim vou ficar envergonhado...

Ln.77 – Galois: tbm sou fa srsrs

Ln. 89 – Gods: o q é [[x]]?

Ln. 90 – Galois: Chegou atrasado hein Gods @: Message 89.

Ln. 92 – Gods: kkkkkkkkkk

Ln. 94 – Galois: Alequice definiu [x] para nos la em cima ... srsrs @: Message 89

Ln. 95 – Alequice: gente desculpe a minha falha onde disse funcão maior inteiro disse

que x = ,1 [x] = 2 mas está errado o certo é x = 1,1 [x] = 1 pois a definição de [x] é o menor inteiro menor ou igual a x

Ln. 101 – Alequice: Estou me retratando acima vejam la

Ln. 102 – Galois: tranquilo Alequice ...

Ln. 103 – Carolzinha: blz, Alequice

Ln. 112 – Carolzinha: nem prestamos atenção

Ln. 113 – Carolzinha: alequice, vc está muito tenso

Ln. 114 – Galois: Foi erro do teclado @: Message 111

Ln. 115 – Alequice: mas eu sim

Ln. 116 – Carolzinha: continuamos sendo seus fãs

Ln. 117 – Alequice: espero q tenha sido

Ln. 118 – Alequice: kkKKK

Ln. 131 – Alequice: [x] é o menor inteiro menor ou igual a x. Assim [2.5] = 2

Ln. 132 – Alequice: assim se x = 1.2 temos que f(1.2) = 1.2 - 1 = 0.2

Ln. 133 – Galois: entendi

Ln. 134 – Carolzinha: eu tb!

Log da Sala Tarefa 4-1-3

Questão (II)-Item (3) – Grupos 1 e 2 Em 05-06-2012. Das 13h45min às 14h

Os Grupos 5 e 6 participaram das tarefas na plataforma VMT, mas nem sempre

coloboraram ou interagiram entre si. Muitas vezes usaram o ambiente para “depositar” as

431

respostas das questões propostas. Sentiram falta de uma maior mediação, da autoridade do

professor para lhes dizer, se o que postavam ou questionavam estava certo ou errado.

Várias vezes durante os encontros, conversamos e esclarecemos que não estávamos

buscando o “certo ou o errado”, mas sim o que eles pensavam sobre os temas abordados

nas nossas tarefas. Como vemos, nem sempre a interação entre os participantes de um

grupo, a colaboração entre eles, a participação no discurso transcorre como o esperado, e

isso nos fez ver, que o professor precisa ficar mais atento a dinâmica e aos pleitos do grupo

para fazer as intervenções necessárias ou até mesmo fazer mudanças no grupo que favoreça

a participação de alguém, que provoque e estimule mais os diálogos, que modifique a

dinâmica do grupo, como foi o caso de Kaka do Grupo 3, quando visitou a Sala Tarefa 2-3,

e estimulou um diálogo assíncrono interessante, sobre a função da letra (g) 𝑦 =𝑥3

𝑥2 com

participantes do Grupo 6. Vejamos a seguir esse dialógo.

Sala Tarefa 2-3. Grupos 6 e Kaka. Diálogos sobre a função 𝒚 =𝒙𝟑

𝒙𝟐

Ln. 14 – Lili_14:41 (24.04): f4 é uma reta y=x ( letra j) Dom (f4) = reais

Ln. 15 – Lili_14:44 (24.04): ops é a letra g e o Dom (f4) = reais /{0} @: Message 14.

Ln. 43 – Kaka_16:35 (26.04): Creio que a função 4 não poderia ser considerada uma

reta pois o ponto (0, 0) não está presente nela.

Ln. 52 – May_18:47 (28.04): acho que poderia sim, mas seria descontínua só no ponto

Ln. 67 – Lili _19:22 (2.05): Kaka, f4 é reta sim e passa pela origem... mas, por outro

lado, caso não passasse pela origem não a impediria de ser uma reta. @: Message 43.

Log da Sala Continuidade Tarefa 2-3

O diálogo abaixo exemplifica a busca dos participantes dos Grupos 5 e 6 pelo “o que

é certo afinal?”

432


Ln. 8 – Cranio: sinceramente, não aprendi muita coisa porque foram discussões

em cima de discussões e o q é o certo a final?

Ln. 9 – Cranio: ninguém disse o q era certo e sim cada um deu sua opinião.

Ln. 13 – Peu: acabei lembrando sobre que a continuidade só vale para domínio

R e imagens reais.

Ln. 15 – Lili: Relembrei conteúdos de matérias da disciplina de Cálculo: Limites e

Continuidades

Ln. 16 – Peu: talvez um mediador por sala, para não apenas conduzir mas para

corrigir determinados conceitos errados... @: Message 9.

Ln. 18 – Lili: Não tenho certeza de tudo que foi dito

Ln. 22 – May: não sei bem dizer porque respondendo as questões do fórum

escrevi o que achava e li e discuti também o que os outros também achavam

Ln. 24 – Lili: se tivessem mais monitoria pelo mediador seria mais fácil se

encontrar visto que todos colocavam o que pensavam e não sabemos se estava tudo correto

Ln. 25 – Suzana: fiquei confusa com essa forma de trabalhar

Ln. 28 – Suzana: de certa forma, ainda tenho dúvidas sobre continuidade, pois as

respostas eram muito abertas e não teve uma afirmação do que realmente estaria certo



Depois dos participantes da pesquisa terem trabalhado no ambiente VMT em várias

questões sobre função e continuidade de função, perguntamos a eles:

Como professor você usaria a plataforma VMT? Justifique.

Como aluno, dê duas características da plataforma que mais chamaram sua atenção positivamente e duas características negativas que lhe chamaram atenção.

A seguir apresentamos o que os participantes dos vários grupos falaram sobre o

ambiente VMT.

O que pensam os nossos alunos sobre o VMT?

433

SOBRE O VMT

Achei muito interessante esse tipo de abordagem.

A discussão de conceitos matemáticos, como foi trabalhada nas nossas tarefas

através do VMT, é mais importante para a aprendizagem do que ficar fazendo vários

exercícios.

Essa discussão esclarece e amplia a ideia, o conceito. É uma forma de

lapidação do aprendizado.

Como positivo, eu destaco a possibilidade do trabalho coletivo e as diferentes

abordagens que podem ser trabalhadas, principalmente quanto a utilização do

GeoGebra.

O trabalho coletivo é muito positivo.

A melhor parte foi poder discutir com os colegas sobre conceitos muito complexos.

A discussão foi ótima mesmo.

O importante das discussões propostas foram os fato de cada um poder contribuir

com sua visão, seu ponto de vista.

Discutir, expor ideias, trocar informações... Sempre muito positivo!

O trabalho cooperativo, a troca de ideias online é muito interessante e

muito construtiva.

Sem contar que ajudaria o aluno que é mais introvertido, que tem vergonha de

fazer alguma pergunta...

É importante sabermos como o colega pensa... Às vezes esse tipo de conhecimento

nos ajuda a criar/aperfeiçoar nossos pontos de vista.

GRUPOS 1 e 2

434

As trocas de ideias com os colegas foram muito positivas, as vezes uma ideia que

parecia ser verdadeira ao ser confrontada com a opinião dos colegas me fazia ver

que não era bem assim.

Essa interação é ótima.

Positivamente, sem sombra de dúvidas, trocar informações é muuuuuiiiito

legal. Poder estudar na hora em que for conveniente também é bastante

positivo.

Achei muito interessante que nada se perde, tudo está aqui basta

voltar no tempo.

Eu gostei do VMT ter em anexo um GeoGebra para se fazer gráficos das funções, e

ainda mais por ter um bate-papo bem funcional.

A troca de ideias como falei na primeira resposta, é uma das coisas mais

interessantes pois possibilita uma troca de ideias enorme.

É uma ótima ferramenta para ser utilizada pelos alunos, aumenta a proximidade

entre eles e o professor.

O programa é bem fácil de usar, rápido, dinâmico e prático.

Achei a plataforma um ótimo espaço para discussão de trabalhos e atividades.

A plataforma é difícil de entender

Possui informação demais

Apresenta problemas com o Java, e por isso não usariam a plataforma VMT em minhas aulas.

Um ponto positivo da plataforma é o fato de poder trabalhar fora de sala.

A interatividade também apareceu como ponto positivo, assim como a

possibilidade da construção de um conceito de forma lúdica.

A troca de ideias é sem dúvida uma ótima forma de discussão sobre

GRUPOS 3 e 4

GRUPOS 5 e 6

435

Também perguntamos aos participantes se:

A troca de ideias, a opinião de dos colegas, a reflexão que o VMT propicia

provocou alguma mudança em suas ideias iniciais sobre alguma questão aqui

abordada. Qual e por quê?

SOBRE AS MUDANÇAS

A participação propiciou mais reflexão, que mudança, e o aprimoramento dos

conhecimentos que já traziam

Mudou completamente , pois apesar de ter visto continuidade na graduação,

sempre tive problema com cálculos.

Aconteceram mudanças, sim. O nosso grupo foi muito participativo, em alguns

momentos devido as opiniões dos meus amigos percebi que ainda tenho que

pesquisar muito sobre o assunto.

Inicialmente aprendi que não sabia quase nada sobre continuidade.

Aconteceram mudanças, sim. Houve vezes que a ideia do amigo me ajudou a

entender o problema “é bom ter uma visão diferente do problema que se

quer resolver”.

Achei que algumas coisas que meus colegas disseram sim me ajudaram a refletir.

Porém pouca afirmação e muita opinião sem convicção.

Trocar ideias não mudou a minha opinião já que eu não sei o que é certo.

Estava tudo muito solto.

GRUPOS 1 e 2

GRUPOS 3 e 4

GRUPOS 5 e 6

436

Para responder uma das nossas questões de pesquisa: Indentificar e analisar os

aspectos que favorecem ou não a evolução dos discursos nesse ambiente virtual, nos

reportamos a Stahl (2006, 2009).


Indivíduos geram crenças pessoais de suas próprias perspectivas, mas o fazem com base em conhecimento sócio-cultural, a linguagem comum e representações externas. Além disso, essas crenças tornam-se conhecimento através da interação social, comunicação, discussão, esclarecimento e negociação. O conhecimento é um produto socialmente mediado.

Concordamos com Stahl, que quando o foco é a aprendizagem matemática, o

raciocínio matemático encontra no contexto da aprendizagem colaborativa apoiada por

computador (CSCL), que no nosso caso foi a plataforma VMT, um meio privilegiado de

desenvolvimento. Analisando os diálogos produzidos pelos participantes da pesquisa,

constatamos a interação entre eles, a troca de ideias, a formulação de conjecturas, o

compartilhamento de soluções, a exposição de raciocínios, a defesa de convicções. Nesse

ambiente os participantes não tinham uma atitude passiva, mas sim participativa, que lhes

propiciou uma reflexão sobre os seus conceitos

Concordamos também quando Stahl (2009) diz, que os alunos aprendem melhor

matemática se estão ativamente envolvidos em discussões matemática. No

desenvolvimento das nossas tarefas, pudemos observar, que o ambiente VMT favoreceu o

envolvimento dos participantes da pesquisa em discussões matemáticas que nem sempre,

são encontradas nas salas de aula das nossas escolas e universidades. Os diálogos

produzidos pelos alunos, enquanto discutiam sobre funções e continuidade, mostraram que

o ambiente VMT propiciou o debate democrático, onde os participantes eram ouvidos e

apoiados, e assim, conseguiam se expressar, conseguiam participar do discurso matemático.

Os alunos desafiavam uns aos outros, explicavam e defendiam suas ideias, procuravam

entender a perspectiva do outro. Apenas os grupos 5 e 6, como já exemplificamos

anteriormente, nem sempre se mostraram entusiasmados com o trabalho na plataforma

VMT. Buscaram, algumas vezes, por um mediador, que pudesse lhes mostrar, o que estava

certo, ou, o que estava errado, nas colocações desses grupos. Talvez uma maior intervenção

437

de um “mediador” pudesse ter incentivado as interações e provocado mais discursos sobre

os temas abordados.

Podemos afirmar que o VMT atendeu as nossas expectativas, pois o nosso objetivo

era colocar os nossos alunos participando em discursos matemáticos, pois matemática é

uma forma de discurso (SFARD, 2008) e em geral, o VMT permitiu colocar isso em prática.

6.2 FUNÇÃO CONTÍNUA. AFINAL O QUE É ISSO?

Nossa Tarefa 1 foi focada em “função”. A decisão de trabalhar com esse tema, foi

tomada, principalmente, depois de termos tido acesso às respostas dos nossos participantes

de pesquisa em um teste aplicado pelo professor Wanderley para investigar, o que esses

alunos conheciam sobre números reais e função. A nossa metodologia de pesquisa, o Design

Experiment, nos permitiu fazer as modificações necessárias em nosso planejamento inicial.

Sentimos que era importante estimular um diálogo entre os alunos para levantar, o que e

como, falam sobre “função”. Preparamos com o auxílio do software GeoGebra o Applet 1:

“Eixos paralelos – conhecendo a função, que oferece aos alunos, a oportunidade de ver a

função como uma relação dinâmica entre variáveis, encorajando esses alunos a entenderem

variáveis como quantidade que variam e, a partir do comportamento variacional de uma

função, perceber como a variação de uma grandeza depende da variação da outra grandeza.

O Apllet 1 foi usado para que os alunos pudessem perceber padrões no comportamento das

dez funções inseridas nele.

Analisando as respostas dos alunos sobre função e sobre variável no teste, aplicado

pelo professor Wanderley, vemos que para variável os alunos produziram os seguintes

significados:

variável

Algo que varia

Algo desconhecidol

438

algo que varia como em “ser abstrato ou ente matemático que podem assumir

qualquer valor”, ou em “quantidades que variam”;

algo desconhecido, como em “incógnita” ou em “valor desconhecido que faz com

que uma sentença matemática seja aberta”.

E para função surgiu fortemente a ideia de relação, mas nem sempre deixavam claro

se existiam regras para essa relação, e não houve concordância entre quais objetos essa

relação atua: conjuntos, grandezas? Assim, para função surgiu o significado:

Embora não fosse do escopo dessa tese o trabalho com funções reais, estávamos

querendo mais, olhar para continuidade, foi muito importante levantar o que os alunos

falavam sobre domínio, imagem e como esses tópicos são trabalhados nos livros textos.

Na Tarefa1 apresentamos um applet com dez funções num sistema de eixos paralelos e

pedimos que observando o comportamento de cada uma dessas funções, anotassem

comportamentos pertinentes, interessantes e então, distribuíssem as funções dadas em

grupos, explicando seus critérios de seleção, dando um nome para cada um desses grupos.

Nossa hipótese era que as ideias de variável e de dependência pudessem ser exploradas de

fato, já que a relação entre 𝑥 e 𝑓(𝑥) através de eixos paralelos não aparece nos livros textos.

Os participantes exploraram funções usuais, mas também funções não usuais como já

apontamos na análise das nossas questões, funções como 𝑓6(𝑥) = 𝑥 +1

𝑥 , 𝑓7(𝑥) =

|𝑥|

𝑥 , 𝑓8(𝑥) = 𝑥|𝑥| , 𝑓9(𝑥) = 2 ⟦

𝑥

2⟧ , 𝑓10(𝑥) = {

𝑥 + 3 , 𝑥 ≤ 0

𝑥2, 𝑥 > 0 e foram capazes de

chegar até a lei de formação da maioria dessas funções, o que não foi pedido, e quem

consegue chegar a lei de formação é porque compreendeu o comportamento da função.

O apllet foi construído pensando na discussão entre variável e função e isso de fato

aconteceu. Assim, o que era uma hipótese, agora é uma tese.

Uma importante discussão sobre a definição de função surgiu entre os alunos

Alequice, Johnny, Cranio, Nina e Cateto, depois de uma provocação de Alequice,

quando envolvidos na Tarefa 1. Alequice disse:

FUNÇÃO É RELAÇÃO

439

“Acredito que quando define-se função por meio de conjuntos você acaba restringindo a uma simples coleção de objetos. Não havendo uma relação de variação que seria mais abrangente” “Quando digo variação leia-se variação entre grandezas. Noção de movimento”.

Alequice postou no Whiteboard da Sala Tarefa 2-1 duas definições de função. Uma

extraída do livro de Bento de Jesus Caraça, de 1958: Conceitos Fundamentais da Matemática

e a outra do livro de Elon Lages Lima et al.: A Matemática do Ensino Médio, volume.1. E

surgiu entre eles, a seguinte controvérsia:

Para Alequice relação entre conjuntos, “não capta a noção de variação de

grandezas, que existe ao nosso redor, não capta a noção de movimento, de fluência”. Para

Johnny, não há diferença entre as duas definições. Ele diz que “o conjunto de uma

grandeza 𝑋 tem 𝑥 elementos, assim como um conjunto 𝑌 tem 𝑦 elementos e ambos são

relacionados por alguma fórmula ou lei”.

Para Cranio

“a definição do Caraça é mais abrangente. A definição de função do Caraça é

mais inclinada a uma significação. Melhor para contextualizar em sala de aula”.

“A definição do Elon é mais técnica, e com mais notações. Didaticamente acho pior para se trabalhar em sala”.

Alequice postou no Whiteboard da sua sala em 01-05-2012 as seguintes definições de

função. Isto pode ser visto na Figura 81, que reapresentamos abaixo.

Alequice e Carolzinha

H1 Função é uma relação entre grandezas

Versus

Johnny e Cranio

H2 Função é uma relação entre conjuntos

440

Como disse Caraça (2002, p. 118) a criação de um conceito matemático dá-se de

“uma gestação lenta em que necessidade e instrumento interactuam, ajudando-se e

esclarecendo-se mutuamente”. De fato, como já vimos na retrospectiva histórica que

apresentamos, o desenvolvimento do conceito de função, como frequentemente acontece

na Matemática, passou por uma sucessão de estágios. A primeira definição explícita de

função como uma expressão analítica data de 1718 e é devida a Johann Bernoulii:

Definição: Chama-se função de uma grandeza variável uma quantidade composta de alguma maneira que seja desta grandeza e de constantes. (RÜTHING, 1984, p. 72, tradução nossa).

O maior avanço nesse conceito foi feito por Euler, que ao longo do seu trabalho usou

um certo número de definições e em 1748 escreveu:

Uma função de uma quantidade variável é uma expressão analítica composta, de qualquer modo que seja, por tal quantidade variável e por números ou quantidades constantes”. (EULER,1922, p. 18, tradução nossa).

Euler entendia por quantidade variável, uma quantidade indeterminada, ou uma

quantidade universal, que compreende todos os valores determinados. É uma quantidade

que compreende todos os números, tantos os positivos quanto os negativos, os números

inteiros e os fracionários, aqueles que são racionais, transcendentes, irracionais, não

excluindo o zero nem os números imaginários.

441

Segundo Hawkins (1979, p. 3), embora a noção de função não tenha se originado

com Euler, ele foi o primeiro a dar a ela proeminência, tratando o Cálculo como uma teoria

formal de funções.

O conceito de função foi se modificando e com a “conjuntização” da Matemática,

iniciada por Georg Cantor e aprofundada por Richard Dedekind, emerge a definição de

função, estampada no primeiro livro de série de Nicolas Bourbaki, em 1939, encerrando na

época, todas as questões sobre o que seria uma função:

“Sejam E e F dois conjuntos, que podem ser ou não ser distintos. Uma relação entre um elemento variável 𝑥 de E e um elemento variável 𝑦 de F é chamada uma relação funcional em 𝑦, se para todo 𝑥 ∈ E , existe um único 𝑦 ∈ F que está na dada relação com 𝑥. Damos o nome de função à operação que desta maneira associa a cada elemento 𝑥 ∈ E o elemento 𝑦 ∈ F que está na dada relação com 𝑥; 𝑦 é dito ser o valor da função no elemento 𝑥, e a função é dita ser determinada pela dada relação. Duas relações funcionais equivalentes determinam a mesma função. (BOURBAKI, 1968, p. 351, apud RÜTHING, 1984, p. 77, tradução nossa).

A evolução histórica do conceito de função que mostramos na seção 1.1, nos trouxe

então, uma definição de função, de 1718, devida a Johann Bernoulii, que fala em “função de

uma grandeza variável” e a definição iniciada por Georg Cantor e aprofundada por Richard

Dedekind, publicada em 1939, que traz função como uma relação entre elementos variáveis

de dois conjuntos

Conhecendo a história da construção de um conceito, é possível compreender as

dúvidas que surgem no processo de ensino e aprendizagem desse conceito, como as dúvidas

tão bem colocadas por Alequice, Johnny, Cranio, Nina e Cateto, quando discutiram sobre

função na Tarefa 1. Interessante também, foram os livros textos escolhidos por Alequice

para provocar essa discussão no seu grupo. A discussão entre eles propiciou muita reflexão,

mas não houve um convencimento, as argumentações não levaram os participantes

aderirem a uma única hipótese.

Uma outra constatação importante é que para muitos dos participantes da nossa

pesquisa, função e domínio não “caminham de mãos dadas”. Por exemplo, na discussão

sobre a função 𝑦 =𝑥3

𝑥2 , o Grupo 6 associou corretamente essa função à função 𝑓4 do Applet

1, mas apesar de Lili do Grupo 6, ter dito que 𝐷𝑜𝑚(𝑓4) = ℝ − {0}, ela classificou a função

442

𝑓4 =𝑥3

𝑥2 como uma reta. E assim, surgiu mais uma controvérsia, que não foi resolvida

durante essa discussão, com as seguintes hipóteses:

Importante essa constatação, pois para o ensino de continuidade, função, domínio

precisam andar de mãos dadas.

Os Grupos 1 e 2 também discutiram e argumentaram sobre a função 𝑓4(𝑥) =𝑥3

𝑥2 . E a

questão era: a função 𝑓4(𝑥) =𝑥3

𝑥2 é a função identidade ou não? E mais uma vez, vemos

que os alunos tinham dúvidas quanto ao domínio de uma função. A controvérsia era:

Depois de discutirem e argumentarem aderiram a Hipótese H2: A função 𝑓4(𝑥) =𝑥3

𝑥2

não é a identidade. Concluíram que ela parecia a identidade, mas não era, que com a

transformação 𝑥3

𝑥2 = 𝑥, a função 𝑓4 ficaria parecida com a função Identidade, mas só para

calcular o limite. Não era a função identidade, pois não estava definida para 𝑥 = 0 . Para

Alequice, “muitas vezes as aparências enganam. KKKK” e Cateto disse: “Fomos enganadas!”

Ainda sobre funções, os alunos do Grupo 6 usaram a palavra composição com um

significado diferente daquele usado para composição de funções na literatura matemática.

Por exemplo, para esses alunos:

Kaka

H2

A função 𝒇𝟒 não pode ser considerada uma reta, pois o ponto (𝟎, 𝟎) não está presente nela.

Lili

H1

O domínio da função 𝒇𝟒(𝒙) =𝒙𝟑

𝒙𝟐 é

ℝ − {𝟎} e 𝒇𝟒 é a reta 𝒚 = 𝒙

Controvérsia

Carolzinha e Cateto

H1


𝑥2 é a

identidade

Alequice e Johnny

H2


𝑥2 não é a

identidade

Controvérsia

443

a função 𝒇𝟕 do Applet 1, que está associada a função 𝒚 =|𝒙|

𝒙 é a composição de

duas constantes;

a função 𝒇𝟖 do Applet 1, que está associada a função 𝑦 = 𝑥|𝑥| é a composição de duas metades de parábolas;

a função 𝒇𝟏𝟎 do Applet 1, que está associada a função

𝒚 = {𝒙 + 𝟑 , 𝒙 ≤ 𝟎

𝒙𝟐, 𝒙 > 𝟎 é a composição de uma reta e meia parábola.

Das conclusões dos alunos do Grupo 6, destacamos a seguinte Montagem, mostrada

na Figura 86, e que reapresentamos a seguir:

Função Por Partes é Função Composta

MONTAGEM: Por Partes é Composta

444

Após a exploração com applets e a participação dos alunos nos discursos produzidos

durante a implementação das Tarefas 1 e 2, houve uma modificação na montagem anterior

de Funções, que todos tínhamos, pois segundo Fauconier e Turner (2002), nosso Espaço

Mental é dinâmico. Essa nova Montagem é representada no esquema da Figura 87, e que

reapresentamos a seguir.

O tema “Continuidade” foi abordado na Tarefa 3. Preparamos a Tarefa 3 –

Continuidade. O que é isso?, com questões sobre continuidade de função, onde o domínio

das funções envolvidas interferisse na análise da questão, pois muitos alunos na Tarefa 2,

que ainda era sobre o tema “Funções”, não levavam em consideração o domínio quando

analisavam as funções. Com isso tivemos mais uma oportunidade para ouvir o que os alunos

falavam sobre domínio de uma função.

Na Questão 1 da Tarefa 3, pedimos que os participantes falassem sobre continuidade

em diversos contextos, não apenas o matemático e escrevessem o que significava para eles

uma função ser contínua.

Sobre continuidade os nossos participantes produziram os seguintes significados, que

reunimos na Figura 90, e que reapresentamos abaixo:

445

CONTINUIDADE?!

NÃO APRESENTA SALTOS

NÃO APRESENTA BURACOS

não tem quebra na construção do gráfico

ALGO QUE NÃO PARA

POSSO DESENHAR SEM TIRAR O LÁPIS DO PAPEL

Algo Ininterrupto é algo contínuo

algo em movimento

algo que continua a acontecer O TEMPO

quando não rompe o movimento

seguir a mesma ideia

algo sequencial

E os alunos Uyio (Grupo 3) e Vmais (Grupo 4) dialogando na Sala Tarefa 3-2

produziram um significado diferente para continuidade, que mostramos no diagrama da

Figura 91, que reapresentamos a seguir.

446

PODEMOS DESENHAR UMA FUNÇÃO CONTÍNUA

TIRANDO O LÁPIS DO PAPEL.

Como a função

Uma pega de onde a outra parou, dá continuidade!!!

Um ponto da imagem dá continuidade a outro,

não que se ligue, de fato.

Quanto a uma função ser contínua, encontramos as seguintes falas, reunidas na

Figura 92, que reapresentamos a seguir.

Função contínua: basicamente, o limite da função no ponto tem que ter o mesmo valor da função naquele ponto.

Alequice

Dizer que os limites laterais são iguais em qualquer ponto da função.

Cateto

Função contínua é aquela que pode ser derivada em todos os pontos.

Johnny

Acho que buracos não é uma definição muito precisa [para função contínua].

Johnny

A função é definida em todos os pontos.

Implícito na fala de Vmais

447

Os significados para continuidade produzidos pelos alunos, exceto para Uyio e

Vmais são as ideias, descritas abaixo, e que encontramos no livros textos de Cálculo por nós

analisados no Capítulo 1, para introduzir intuitivamente o conceito de função contínua. Esses

livros são adotados em várias das nossas universidades, o que nos leva a compreender os

significados apresentados pelos participantes.

Anton, Bivens e Davis (2007, , v. 1, p. 144, grifo nosso): Intuitivamente, o gráfico de uma função pode ser descrito como uma curva contínua se não apresentar quebras ou buracos.

Thomas et al. (2002, v. 1, p. 120, ênfase nossa): Qualquer função 𝑦 = 𝑓(𝑥) cujo gráfico possa ser esboçado sobre seu domínio em um único movimento contínuo, sem levantar o lápis, é um exemplo de função contínua.

Stewart, J. (2009, , v. 1, p. 107): a definição matemática de continuidade corresponde estreitamente ao significado da palavra continuidade na linguagem do dia a dia. (Um processo contínuo é aquele que ocorre gradualmente, sem interrupções ou mudanças abruptas).

Edwards e Penney (1997, , v. 1, p. 76): o gráfico 𝑓(𝑥) pode ser traçado com um movimento contínuo – sem saltos – do lápis da esquerda para direita.

Hughes-Hallett et al. (2008, p. 38 e 39): uma função é dita contínua se seu gráfico não apresenta saltos, buracos. Dizem que seu gráfico pode ser desenhado sem se tirar o lápis do papel.

Na história, o conceito de função contínua, seguindo o que Caraça (2002, p. 118)

disse a respeito da criação de um conceito matemático, também teve “uma gestação lenta”,

e a necessidade e o instrumento interatuam, ajudando-se e esclarecendo-se mutuamente.

Falando de Euler, que sempre é muito citado nas análises de funções contínuas.

Euler na sua obra de 1748, Introductio in Analysin Infinitorum, apresentou uma

divisão das curvas em dois tipos:

Curva contínua: aquela representada por uma única equação algébrica ou

transcendental

Curvas descontínuas ou mistas ou irregulares ou ainda mecânicas: curvas que não

podiam ser representadas por uma única lei. Estão incluídas nessas curvas, aquelas

traçadas pelo movimento livre das mãos, pois essas curvas também não são

determinadas por nenhuma equação específica.

448

Para Euler, continuidade não significava conexão entre as várias partes que

constituem uma curva, mas significa sim, unicidade da lei analítica, que define a curva. Por

isso, para Euler os dois ramos de uma hipérbole constituem uma curva contínua, pois pode

ser definida pela equação 𝑥𝑦 = 1 . Euler, assim como Arbogast, em sua obra de 1791,

também considerou descontínuas as curvas desenhadas pelo movimento livre das mãos. Por

isso, não encontramos na história, respaldo para as ideias usadas para introduzir o conceito

de continuidade nos livros textos e usadas pelos professores em sala de aula.

Na Questão 2 da Tarefa 3 pedimos que os participantes analisassem as funções

𝑓1(𝑥) = 2𝑥 + 1 , 𝑓3(𝑥) = 𝑥3 , 𝑓4(𝑥) =𝑥3

𝑥2 , 𝑓5(𝑥) =𝑥2

𝑥3 , 𝑓6(𝑥) = 𝑥 +1

𝑥 , 𝑓7(𝑥) =

|𝑥|

𝑥 ,

𝑓9(𝑥) = 2 ⟦𝑥

2⟧ , quanto a sua continuidade.

As funções 𝒇𝟏(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟏 ,

𝒇𝟑(𝒙) = 𝒙𝟑 foram consideradas contínuas

por todos os participantes e as

argumentações foram:

Todas as funções polinomiais são contínuas em todos os pontos (Alequice),

Estão bem definidas em todos os pontos (Johnny, Galois, Uyio),

Pois é derivável em todos os pontos! (Cateto),

Não há buracos (Carolzinha; Galois),

Limite lateral à direita e o limite à esquerda nesse ponto coincidem (Kaka, Nina),

O domínio são todos os reais (May),

Não há ruptura (May),

Não precisa tirar o lápis do papel para desenhar o gráfico (Peu).

449

As funções 𝒇𝟒(𝒙) =

𝒙𝟑

𝒙𝟐 , 𝒇𝟓(𝒙) =

𝒙𝟐

𝒙𝟑 , 𝒇𝟔(𝒙) = 𝒙 +𝟏

𝒙 , 𝒇𝟕(𝒙) =

|𝒙|

𝒙 foram

consideradas não contínuas.

As argumentações apresentadas pelos participantes foram:

Não estão definidas em 𝒙 = 𝟎 (todos os participantes),

Apresentam algum tipo de interrupção, quebra de movimento em

𝒙 = 𝟎 (May)


2⟧ , uma função não

familiar aos alunos, motivou muita discussão nessa

Tarefa 3, assim como já havia sido na Tarefa 2.

450

A função 𝒇𝟗(𝒙) = 𝟐 ⟦𝒙

𝟐⟧ foi considerada contínua pelos alunos Uyio e Vmais, pois

está definida em todos os pontos.

Mas, 𝒇𝟗(𝒙) = 𝟐 ⟦𝒙

𝟐⟧ foi considerada descontínua por outros alunos e as

argumentações apresentadas foram:

Os limites laterais dessa função em 𝒙 = 𝟒 são diferentes e, portanto o 𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟒 𝒇𝟗

não existe (Alequice, que convenceu também Johnny, Cateto e Carolzinha;

Kaka),

Porque mesmo o domínio sendo os reais, a imagem são só os números naturais

pares (May),

Apresentam algum tipo de interrupção, quebra de movimento em 𝒙 = 𝟎 (May).

Nos diálogos produzidos enquanto os alunos discutiam a Questão 2 da Tarefa 3

foram produzidos os seguintes significados para continuidade de uma função :

Analisando os diálogos produzidos pelos alunos, enquanto discutiam essa questão,

observamos que os alunos, primeiro verificavam se a função estava definida no ponto a ser

analisado. Se não estivesse definida nesse ponto, então já era considerada não contínua. Na

maioria dos casos e para a maioria dos nossos participantes a continuidade da função em

um ponto está associada à definição da função nesse ponto, que é a primeira das três

condições para continuidade da função em um ponto, apresentada aos alunos na grande

maioris dos livros textos de Cálculo.

As argumentações dos alunos são coerentes com a definição "mais formal" de

continuidade que encontramos em livros textos de Cálculo adotados nas nossas


ponto coincidem


CONTÍNUA


451

universidades (por exemplo, Anton, Bivens e Davis (2007); Thomas et al (2002); Stewart, J.

(2009)). Anton, Bivens e Davis (2007) sugerem a seguinte definição:

2.5.1 DEFINIÇÃO Dizemos que uma função 𝑓 é contínua em 𝒙 = 𝒄 se as seguintes condições estiverem satisfeitas:




E escrevem:


(ANTON; BIVENS; DAVIS, 2007, v. 1, p. 144, grifo dos autores).

E como vemos, se a primeira condição falhar, se a função não for definida em um

ponto, não será contínua nesse ponto.

Mas, se a função for definida no ponto, então para a maioria dos alunos isso já

garante a continuidade da função nesse ponto. Para alguns poucos alunos, Alequice,

Johnny, Kaka, por exemplo, caso a função estivesse definida em um ponto, mas

apresentasse algum salto, interrupção ou buraco no seu gráfico, então os limites laterais

nesse ponto deveriam ser calculados. Se fossem diferentes, isso implicaria que a função não

era contínua no ponto.

Investigações buscando entender o que alunos e professores entendem por função

contínua têm sido realizadas ao longo dos anos, usando diferentes referenciais teóricos e

muitas delas foram abordadas por nós na nossa revisão de literatura.

Tall e Vinner (1981) perguntaram a 41 alunos, que desejavam ingressar na

universidade para estudar Matemática, quais das seguintes funções apresentadas por eles

eram contínuas, e se possível, gostariam que os alunos explicassem suas respostas. Dentre

as quatro funções apresentadas estavam as funções: 𝑓1(𝑥) = 𝑥2 e 𝑓

2(𝑥) =

1

𝑥 , 𝑥 ≠ 0

452

Os 41 alunos responderam que a função 𝑓1(𝑥) = 𝑥2 é contínua, mas segundo os

autores, baseados em argumentos errados, no sentido estrito da definição formal do

conceito. Justificaram a continuidade, pelo fato do gráfico não ter buracos ou separações,

argumentos também usados por nossos alunos quando analisaram funções polinomiais, e

também, porque a função é dada por uma única fórmula. Já 35 dos 41 alunos consideraram

a função 𝑓2(𝑥) =

1

𝑥 , 𝑥 ≠ 0 descontínua, e os argumentos apresentados estão entre: o

gráfico não é em um único pedaço e a função não está definida na

origem, justificativa essa, usada pelos participantes da nossa

pesquisa para afirmar que a função 𝒇𝟓(𝒙) =𝒙𝟐

𝒙𝟑 não é contínua.

Segundo Arbogast essa função é descontínua, pois determina uma

curva que tem duas partes disjuntas, e para Euler, é uma função

contínua, pois está definida por uma única expressão algébrica. Segundo Aparicio e Cantoral

(2006), o fato de se associar a continuidade a ideia de contiguidade de curvas, prevalecia

entre os estudantes como uma técnica discriminatória. Ainda hoje é assim. Vinner (1992) em

seu trabalho com 406 estudantes universitários de Cálculo, mostrou que muitos alunos

apoiados na representação gráfica ou simbólica de uma função, expressaram sua convicção

de que uma função é contínua num ponto, se está definida nesse ponto, e é descontínua no

ponto onde não está definida, que é um significado para continuidade produzido pelos

nossos alunos 20 anos depois.

A Questão 3 foi elaborada com três funções partidas, em duas leis, que diferem entre

si, apenas em 𝑥 = 0 . O discurso produzido pelos alunos, enquanto discutiram essa questão,

nos deu mais uma oportunidade de entender, o quanto para eles, o fato da função estar

definida em um ponto, importa para a continuidade da função nesse ponto; o que eles

453

pensam sobre limites laterais de uma função em um ponto, e como a existência, ou não,

desse limite e o seu valor, quando existir, interferem na continuidade da função nesse

ponto.

As funções consideradas foram:

𝑓10(𝑥) = {𝑥 + 3 , 𝑥 ≤ 0

𝑥2 , 𝑥 > 0 𝑔(𝑥) = {

𝑥 + 3 , 𝑥 < 0

𝑥2, 𝑥 > 0 ℎ(𝑥) = {

𝑥 + 3 , 𝑥 < 0−1 , 𝑥 = 0

𝑥2, 𝑥 > 0

Aqui também surgiram os significados que

Para Alequice as funções 𝑓10 e ℎ são contínuas, pois são definidas em 𝑥 = 0 e a

função 𝑔 não é contínua, pois não é definida em 𝑥 = 0 . Carolzinha, Cateto e Johnny

apesar questionarem as argumentações de Alequice, seguiram o líder e concluíram que

somente a função 𝑔 não era contínua. O diálogo produzido nessa discussão nos fez inferir

que Alequice usava a sua ideia inicial de continuidade: “basicamente o limite da função no

ponto tem que ter o mesmo valor da função naquele ponto”, mas não calculava

corretamente os limites laterais da função em um ponto 𝑥 = 𝑎 , ou nem mesmo calculava.

Verificava se a função era definida em 𝑥 = 𝑎 , e caso isso fosse verdade, já garantia a

continuidade da função, pois ele dava ao limite da função em 𝑥 = 𝑎 , o valor 𝑓(𝑎). Assim ele

garantia que uma função definida em um ponto é contínua nesse ponto, que é o

argumento, que usou com Johnny.

Na Questão 5 da Tarefa 3 os alunos se depararam com a continuidade de uma função

discutida de forma gráfica, através do cálculo de limite, e, pela primeira vez, por e 𝛿 . A

questão foi pensada, de forma a oferecer para cada item, duas soluções, a do João e a da

BEM DEFINIDA é CONTÍNUA Função NÃO DEFINIDA em um ponto NÃO É CONTÍNUA

454

Beatriz, alunos fictícios criados para as nossa tarefas, e os nossos alunos tiveram que se

pronunciar sobre essas soluções.

O Item (a) pedia que se calculasse lim𝑥→1(2𝑥 + 1). A solução apresentada por Beatriz

foi:

Fazendo 𝑥 = 1 em 𝑦 = 2𝑥 + 1 , obtemos 𝑦 = 3, então vou provar que lim𝑥→1(2𝑥 + 1) = 3 : Para qualquer > 0, existe um 𝛿 > 0 , tal que |(2𝑥 + 1) − 3| < sempre que 0 < |𝑥 − 1| < 𝛿. |(2𝑥 + 1) − 3| < ⇔ − < (2𝑥 + 1) − 3 < , sempre que 0 < |𝑥 − 3| < 𝛿.


2 < 𝑥 − 1 <

𝜀

2.


2 , isto é para qualquer > 0 existe um

𝛿 < , tal que |(2𝑥 + 1) − 3| < sempre que, 0 < |𝑥 − 3| < 𝛿.

Johnny, Carolzinha, Alequice e Cateto inicialmente consideravam a resolução de

Beatriz :

Figura 110 – Argumentações sobre a resolução da Beatriz – Grupos 1 e 2

Mas, após a intervenção da

Pesquisadora:

Sofisticada, mas é

interessante para os

alunos de Cálculo I?

Que visão de continuidade

a Beatriz passa para

nós? (Pesquisadora)

Fonte: Diálogos no VMT

“mais sofisticada”

Johnny,

Carolzinha,

Alequice)

“correta”

(Carolzinha,

Cateto,

Alequice)

“não interessante para os alunos de

Calculo I” (Alequice)

“uma visão complicada” (Alequice)

“uma visão abstrata” (Alequice)

“nada clara para aluno de Calculo I”

(Cateto)

“ninguém de Cálculo I entende direito”

(Cateto)

“a parte chata do cálculo” (Carolzinha)


intuitivamente” (Alequice)

455

Somente, Johnny que antes da intervenção da pesquisadora achava a resolução da Beatriz

mais sofisticada, continuou defendendo a sua tese, quando disse

“uma visão de continuidade através de distancia entre dois pontos” (Johnny);

“um meio alternativo, apesar da demonstração complicada” (Johnny).

Quando Alequice disse, que a resolução de Beatriz é um

malabarismo, que se podia chegar ao resultado de forma

intuitiva, interpretamos que ele se referia a resolução que João

deu usando o gráfico da função, e ao valor de 𝛿 , que nessa

resolução, parece para os alunos, saído da cartola do mágico.

Lembramos que a grande maioria dos livros textos de Cálculo que analisamos, inicia o

tópico sobre continuidade introduzindo esse conceito de forma “intuitiva”. Por exemplo, Em

Definição de Continuidade, Anton, Bivens e Davis (2007) escrevem:

Intuitivamente, o gráfico de uma função pode ser descrito como uma curva contínua se não apresentar quebras ou buracos. Para tornar essa ideia mais precisa, precisamos entender quais propriedades de uma função podem causar quebras ou buracos.[...]. (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2007, v. 1, p. 144, grifo nosso).

E depois disso, ilustram essa situação com gráficos de funções que apresentam

quebras ou buracos.

Kaka foi a única aluna que mostrou familiaridade com a definição de continuidade

por e 𝛿 . Os alunos Vmais, Nina e Uyio manifestaram suas dificuldades com a solução por

e 𝛿 , como vemos a seguir.

“essa resolução de beatriz na questão 5a, não lembro de mais nada disso, falou

meio grego para mim, a sensação q tenho é q não estudei nada em 4 anos de facu!”

(Vmais)

“Direto do Túnel do tempo....” (Uyio)

“essa parte é Matéria de análise real. Matéria mais difícil da graduação.....rsrs”

(Nina)

“não lembro o que significam esses epcilons e esses deltas. Não mesmo Tá

rachando a cuca”(Uyio)

456

Ótima resolução de Beatriz (Fernanda)

Por que ótima? Está de acordo com o que você

pensa de continuidade? (pesquisadora)

Realmente não é ótima. A única coisa que a beatriz

fez foi demonstração de limite (Fernanda)

Entendemos, assim como Castro e Bolite Frant (2002), que quando esses alunos

dizem “não lembro”, não significa que esqueceram alguma coisa, significa, que quando

estudaram, não se apropriaram do texto disponível sobre o tema e 𝛿 e, portanto, não

compreendem, “parece grego”.

Os alunos May, Suzana, Cranio, Peu, Fernanda disseram:

Mas, após a intervenção

da pesquisadora:

Como você ensinaria

seus alunos de Cálculo I?

Mencionaria a Beatriz?

(pesquisadora)

Essas são as Figuras 103 e 104, que reapresentamos aqui.

“Não pensaria nela”

(May)

“Considero difícil de

entender”. (Suzana)

“Obteve o mesmo resultado que João, só que de maneira mais formal”

(Cranio)

Só teria o pensamento da Beatriz em uma aula

de Análise (Peu)

Em uma aula de Cálculo

mencionaria Beatriz (Fernanda)

Mencionaria Beatriz, mas não

cobraria deles (Peu)

Ensinaria de maneira intuitiva em um primeiro momento, depois formalizaria, mas não ensinaria o "jeito Beatriz", mesmo para os alunos de Cálculo da Matemática

(Peu).

457

Ao propor a resolução da Beatriz, a nossa intenção foi proporcionar aos participantes

uma oportunidade para discutirem a continuidade por e 𝛿 , mas a sofisticação, atribuída

pelos alunos, à essa resolução, não permitiu que eles percebessem, que apesar da Beatriz

usar “épsilons” e “deltas”, seus cálculos não estavam corretos, o que vem ao encontro de

nossa posição teórica sobre apropriação de um texto, e daí encontrarmos nas falas dos

alunos: “uma visão complicada”, “uma visão abstrata”, “não interessante para alunos de

Cálculo I”, “um meio alternativo, apesar da demonstração complicada”, “ótima resolução”.

Retomando a nossa revisão de literatura, Abreu (2011) pesquisou as relações entre

intuição e rigor, que podem ser manifestadas pelos alunos nos processos de ensino e de

aprendizagem de limites e continuidade em Cálculo I. O autor procurou também,

caracterizar o papel das definições formais nesses processos. Pelo percentual de acerto, das

questões envolvendo continuidade de uma função por limite e por e 𝛿 , o autor ficou com

a impressão que nenhum aluno pareceu construir imagens conceituais ou definição

conceitual que se aproximasse da definição utilizando e 𝛿 . Segundo Vinner (1991), os

hábitos de pensamento cotidianos prevalecem, e o aluno não se reporta à definição formal.

Ao associar a continuidade de uma função no ponto à apenas a existência de um valor da

função nesse ponto, os alunos recorrem a uma imagem conceitual bastante intuitiva, mas

sem “consultar” sua definição formal.

Assim como em Vinner (1991) e Abreu (2011), os nossos alunos, ao se depararem

com questões de continuidade resolvidas pela definição por e 𝛿 , mostraram pelas suas

falas, não terem se apropriado dessa definição. Os resultados da nossa investigação

mostram, que muitas vezes, o que prevaleceu foram as ideias de continuidade incorporadas

do nosso cotidiano. Nossa pesquisa corrobora com a literatura, pois ao associar a

continuidade de uma função no ponto à apenas a existência de um valor da função nesse

ponto, nossos alunos também recorreram a uma ideia bastante intuitiva, e sem se

reportarem a definição “formal” por e 𝛿 .

Segundo Marghetis e Núñez (2013) e Núñez (2003) a noção de continuidade por

e 𝛿 é muitas vezes descrita como difícil de ensinar, antiintuitiva, e aquela que gera

conflitos conceituais. Segundo Núñez (2003), o que existe são duas ideias matemáticas de

continuidade de funções, metafóricas por natureza, que envolvem mecanismos cognitivos

diferentes, a continuidade natural, que se caracteriza pela dinâmica, pelo movimento que se

dá sem mudanças bruscas, e a continuidade por e 𝛿 , que nega o movimento e lida com

458

entidades estáticas e discretas. Isto leva a consequências conflitantes, principalmente

quando se insiste em dizer que uma é a generalização da outra. Uma é considerada intuitiva

e a outra rigorosa, aquela que capta o significado preciso do conceito de continuidade. Na

definição por e 𝛿 não existe menção a movimento ou espaço, há apenas diferenças

matemáticas “estáticas”, quantificadores universal e existencial sobre números reais e

desigualdades “estáticas”. O que há, é a “noção estática de preservação de proximidade

perto de um ponto”.

Segundo Marghetis e Núñez (2013), o discurso matemático contemporâneo

permanece repleto de linguagem dinâmica e se questionam, porque os matemáticos, na

prática, usam rotineiramente essa linguagem dinâmica tão rica e evocativa, se para eles, as

definições rigorosas são precisas e completas? O fazem, por exemplo, quando usam verbos

de movimento, dizendo, por exemplo, que " 𝑠𝑒𝑛 (1

𝑥) oscila mais e mais, quando 𝑥 se

aproxima de zero”. O que os autores afirmam, é que os conceitos essenciais em Cálculo que

foram definidos em termos abstratos e estáticos, são, no entanto, dinamicamente

conceituados tanto na prática histórica como na contemporânea e que o discurso

matemático dinâmico tem um papel importante nas descobertas, inferências e provas.

No discurso produzido pelos participantes da nossa pesquisa, o movimento, do qual

fala a continuidade natural, está no gráfico. Palavras como “se aproxima”, “se aproxima de

3 , pela direita e pela esquerda” indicam movimento, mas um movimento que está servindo

para o aluno pensar o estático. Dizer que "𝑓(𝑥) caminha ou tende para 𝑓(𝑎) , quando 𝑥 se

aproxima de 𝑎 ", é falar em preservação de proximidade, significa “manter 𝑓(𝑥) próximo de

𝑓(𝑎) , sempre que 𝑥 estiver próximo de 𝑎" . Muitas vezes é difícil para os alunos

perceberem o aspecto estático envolvido nesta definição por e 𝛿 . Não sabemos se esses

alunos foram apresentados a essa definição em algum momento, mas se foram, inferimos

que a definição “dinâmica” de continuidade não contribuiu para a compreensão da definição

de continuidade por e 𝛿 .

Para pesquisas futuras, sugerimos abordar a questão da relação entre intuição e rigor

na continuidade de funções partindo da perspectiva da Cognição Corporificada, pois é

preciso entender melhor, porque os alunos se sentem desencorajados a se reportarem a

definição por e 𝛿 de limite e continuidade.

459

Finalizando, na Questão (II) da Tarefa 4 os alunos tiveram que discutir sobre a

continuidade das funções 𝑓1 , 𝑓2 e 𝑓3 .

(1) 𝑓1(𝑥) = {𝑥2 , 𝑥 < 01 , 𝑥 = 0

−𝑥2 + 2 , 𝑥 > 0

(2) 𝑓2(𝑥) = 𝑥2−1

𝑥+1 (3) 𝑓3(𝑥) = 𝑥 − ⟦𝑥⟧

O diálogo produzido pelos alunos dos Grupos 1 e 2 quando discutiam sobre o as

funções da Questão (II) mostraram uma mudança no discurso desses alunos sobre a ideia

de função contínua. Para Alequice, se a função estivesse definida no ponto, então era

contínua, pois para ele o limite da função nesse ponto, é o valor que a função tem no ponto.

Se não estivesse definida no ponto, então não era contínua, já falhava a primeira condição

exigida nas definições de continuidade em um ponto, apresentada na maioria dos livros

didáticos, analisados por nós. E também, porque não existiria um valor para dar ao limite da

função no ponto. No entanto, observamos que enquanto discutiam, de forma bastante

descontraída, sobre a função 𝑓1 da Questão (II), que decidiram não ser contínua, os alunos

Alequice, Galois e Carolzinha, produziram o seguinte significado para função contínua:

Isto está de acordo com o que Alequice postou no Whiteboard, quando discutiu a

Questão 1, dessa Tarefa 4:

𝒍𝒊𝒎𝒙→𝒂

𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒂)

Uma função é contínua em 𝒙 = 𝒂 , se


460

Mesma argumentação foi usada por esses alunos, para decidir que as funções 𝑓2 e

𝑓3 não são contínuas.

Em 𝑓2(𝑥) = 𝑥2−1

𝑥+1 , lim

𝑥→−1 𝑓2(𝑥) existe, mas a função 𝑓2 não é contínua pois

não está definida em 𝑥 = −1. E a função 𝑓3(𝑥) = 𝑥 − ⟦𝑥⟧ não é contínua nos números inteiros, porque os limites laterais nesses pontos são diferentes. Para eles a função ser definida no ponto, já não era suficiente para garantir a continuidade dessa função nesse ponto.

Apresentaremos a seguir, os significados que os alunos dos Grupos 3 e 4 produziram

sobre continuidade de uma função, quando dialogavam sobre as funções 𝑓1 , 𝑓2 e 𝑓3

Kaka: a função 𝑓1 não é contínua em 𝑥 = 0 , é preciso analisar o domínio da função,

domínio real não garante continuidade.

A função 𝒇𝟑 não é contínua nos inteiros, porque 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂−

𝒇𝟑(𝒙) ≠ 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂+

𝒇𝟑(𝒙) , para

todo número inteiro 𝑎. Kaka foi a única aluna que justificou, a não continuidade da

função, através de e 𝛿 , mas sem usar essa terminologia. Kaka dialogando sobre

a função 𝒇𝟑(𝒙) = 𝒙 − ⟦𝒙⟧ falou:

Uyio: a função 𝑓1 não é contínua em 𝑥 = 0 , é preciso calcular os limites laterais da

função no ponto, se forem diferentes, então não é contínua. A função 𝑓2 é contínua em 𝑥 = −1 , pois os limites laterais nesse ponto são iguais. Aqui e na função 𝑓3 , Uyio não se preocupou com a definição da função no ponto. A função 𝑓3 não é contínua nos inteiros, porque os limites laterais são diferentes para todo número inteiro 𝑎.

Nina: a função 𝑓1 não é contínua no ponto 𝑥 = 0, pois o gráfico tem um salto em

𝑥 = 0 . A função 𝑓2 é contínua em 𝑥 = −1 , por não estar definida nesse ponto, o que mostrou uma mudança no seu discurso. A função 𝑓3 não é contínua nos inteiros, porque os limites laterais são diferentes para todo número inteiro 𝑎 . Não se não se

preocupou com a definição da função no ponto.

“A função não é contínua, pois, por exemplo, se tomarmos uma vizinhança de raio 1/2 em torno de f(1)=0, não existirá uma vizinhança em torno de 1 que tenha imagem contida na primeira vizinhança citada. Em outras palavras, a função não é contínua em 1”.

A função 𝑓2 é contínua em 𝑥 = −1, pois “para qualquer vizinhança de 𝑦 = −2 existe uma vizinhança de 𝑥 = −1 tal que a imagem da vizinhança de 𝑥 = −1 está contida na vizinhança de 𝑦 = −2 ”. Uma definição por "𝜺 − 𝜹 ".

461

Vmais: Não chegamos a uma conclusão sobre a definição de continuidade, mas como

lim𝑥→0−


𝑓1(𝑥) , então a função 𝑓1 não é contínua em 𝑥 = 0 . A função 𝑓2

não é contínua em 𝑥 = −1, e inferimos, que seja porque, não está definida em 𝑥 = −1 .

Sobre a função 𝑓3, justificou, que a existência do “salto” no gráfico apareceu como uma justificativa informal, muito superficial, sem embasamento teórico.

Então:

Não está definida no ponto, então é contínua no ponto.

Não está definida no ponto, então não é contínua no ponto.

Limites laterais diferentes em um ponto, então não é contínua.

O gráfico tem um salto, então a função não é contínua.

Salto no gráfico é uma argumentação muito superficial, sem embasamento teórico.

Limites laterais no ponto são iguais, então é contínua no ponto (não se preocupou com a definição da função no ponto)

Apresentaremos a seguir, os significados que os alunos dos Grupos 5 e 6 produziram

sobre continuidade de uma função, quando dialogavam sobre as funções 𝑓1 , 𝑓2 e 𝑓3

Peu: analisou a função 𝑓1 com os argumentos, que já havia usado

anteriormente para as outras funções: saltos e buracos no gráfico da função.

Também concordou com Cranio, que a função 𝑓1 não era contínua em 𝑥 = 0 ,

pois os limites laterais nesse ponto são diferentes. A função 𝑓2 é contínua, apesar do gráfico ter um salto. A função 𝑓3 não é contínua, pois tem salto no gráfico.

May: analisou a função 𝑓1 com os argumentos, que já havia usado

anteriormente para as outras funções: saltos e buracos no gráfico da função. A função 𝑓2 não é contínua pois não está definida em 𝑥 = −1. A função 𝑓3 não é contínua, pois tem salto no gráfico.

Lili: analisou a função 𝑓1 com os argumentos que já havia usado anteriormente

para as outras funções: saltos e buracos no gráfico da função. A função 𝑓2 é contínua, pois mesmo tendo o buraco em x=-1, ela não está definida neste ponto.

Suzana: avançou nas reflexões e questionou:

“quando os limites são diferentes a esquerda e a direita não é continua

naquele ponto???? É isso??”

462

Cranio: A função 𝒇𝟏 é contínua em 𝒙 = 𝟎 , pois está definida nesse ponto. Mas

questionou:

A função 𝒇𝟑 não é contínua, pois tem salto no gráfico.

Então:

Não está definida no ponto, então é contínua no ponto.

Não está definida no ponto, então não é contínua no ponto.



Pode ser contínua, mesmo tendo um salto no gráfico.

Retomando a nossa questão de pesquisa:

Que significados matemáticos relacionados à noção de continuidade são produzidos pelos participantes?

Apresentamos a seguir, os significados para continuidade de uma função, produzidos

pelos participantes da nossa pesquisa, enquanto dialogavam sobre função e continuidade

durante cinco encontros. Os discursos produzidos durante esses encontros, foram

evoluindo, sendo modificados por uns e sendo mantidos por outros, muitas vezes num

caminhar de ida e volta.

Isso confirma a nossa conjectura inicial, que poderíamos promover um espaço de

interação e colaboração, que permitisse aos participantes realizar a sua própria montagem

de função contínua, a partir dos seguintes distintos espaços mentais: Função e o Livro Texto,

Continuidade e o Livro Texto, o ambiente VMT: a possibilidade da interação e da

colaboração e Applets: manipulação interativa de applets sobre função

se for por isso que a Suzana disse, então não é continua, limite a direita é 2 e a esquerda é 0.

463

Enfim.....

Figura 111 – Significados para função contínua

Fonte: Diálogos no VMT

Fonte:Diálogos no VMT

Finalizando as análises apresentamos a montagem da nossa tese.

Uma função é contínua em 𝒙 = 𝒂 , se 𝒍𝒊𝒎𝒙→𝒂 𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒂)

e

Contínua são as funções em que pequenas variações no objeto

implicam em variações na imagem.

É contínua no ponto porque não está definida no ponto.

Não é contínua no ponto porque

não está definida no ponto


Limites laterais iguais no ponto, então é contínua no ponto



464

Figura 112 – Uma Montagem do meu caminhar para a Tese


Função e Continuidade:

uma perspectiva histórica de

evolução

Revisão de

Literatura e o

Ensino de Cálculo

Os livros textos

e o conceito de

continuidade

Fundamentação teórica:

MEA Teoria da Cognição

Corporificada Participacionismo

VMT

CSCL. – Aprendizagem

colaborativa apoiada

por computador

Design Experiment

Experiência Profissional

TAREFAS

APPLETS

TESE: Discursos sobre Continuidade de Funções Reais

de Variável Real em Ambiente Virtual Colaborativo:

Uma Perspectiva da Cognição Corporificada

ANÁLISES

465

CONSIDERAÇÕES FINAIS

No texto que segue, apresentamos reflexões sobre o caminhar e resultados dessa

investigação, levando em consideração as questões que orientaram essa pesquisa, o

ambiente virtual escolhido o VMT – Virtual Math Team, a perspectiva teórica da Cognição

Corporificada e o MEA – Modelo da Estratégia Argumentativa, que apoiou a análise dos

dados da pesquisa.

Consideramos que o desenvolvimento dessa pesquisa se justificou, tanto pela

relevância do tema abordado, pois, o conceito de continuidade é essencial para a construção

de teoremas importantes do Cálculo e da Análise Matemática e é, geralmente, tratado de

maneira superficial nos primeiros cursos de Cálculo, bem como pela utilização de um

ambiente virtual que permite a aprendizagem colaborativa.

Embora não fosse do escopo dessa tese o trabalho com funções reais, foi muito

importante levantar o que, e como, os alunos falavam sobre domínio, imagem e como esses

tópicos e a continuidade são trabalhados nos livros textos.

Uma análise dos principais livros textos de Cálculo, adotados em universidades

brasileiras, mostrou que não há uma definição única de continuidade de função adotada por

eles. Os autores introduzem o conceito de continuidade, segundo eles, de forma “intuitiva”,

“não rigorosa” com o objetivo de fazer com que os alunos compreendam o conceito de

continuidade. Evocam imagens incorporadas do nosso cotidiano, como continuidade sendo

algo ininterrupto, que acontece sem mudanças bruscas, que não apresenta saltos ou

buracos, e a seguir, segundo os próprios autores, “generalizam” essas ideias e oferecem aos

leitores, estudiosos do tema, uma definição “formal”, “mais rigorosa”. Em geral, essa

definição “rigorosa” é apresentada usando limites, onde o movimento, o dinâmico da

continuidade natural (NÚÑEZ, 2003, 2013) está presente, e não pela definição por e 𝛿 que

nega o movimento e lida com entidades estáticas e discretas. A definição apresentada pela

maioria dos livros textos que analisamos é uma definição dada por meio de três condições

que devem ser verificadas:

Uma função 𝑓 é contínua em 𝑥 = 𝑐 , se as seguintes condições estiverem satisfeitas:

1. 𝑓(𝑐) está definida. 2. 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) existe. 3. 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐).

466

O que encontramos no discurso dos nossos alunos é que se a primeira condição não for

satisfeita, então a função não é contínua. Este foi um significado que surgiu fortemente, logo

no início do desenvolvimento das tarefas.

Não é contínua porque não está definida no ponto.

Esse significado, inicialmente produzido, de forma quase unânime pelos participantes

da pesquisa, nos leva a uma reflexão sobre a definição de continuidade apresentada nos

livros textos de Cálculo que analisamos: Anton, Bivens e Davis (2007), Thomas et al. (2002) e

Stewart, J. (2009), Edwards, Jr. e Penney (1997), Guidorizzi (1985), Hughes-Hallett et al.

(2008). Dentre estes, somente Guidorizzi (1985) menciona a definição de continuidade por

e 𝛿 , que mostramos não ser compreendida pelos participantes da nossa pesquisa, e já o

faz na introdução desse conceito, e também o único que na definição de continuidade, exige

que o ponto pertença ao domínio da função, por isso, funções que são consideradas

contínuas em Guidorizzi (1985), por exemplo, 𝑓(𝑥) =1

𝑥 , 𝑥 ≠ 0, são consideradas não

contínuas para os outros autores . Entendemos que devemos dialogar com os nossos alunos

sobre essas diferenças na abordagem da continuidade de uma função em um ponto, em

primeiro lugar, porque compartilhamos da visão participacionista do conhecimento,

proposta por Sfard (2008) e assim, para nós, o saber acontece em um contexto social, onde

os aprendizes são participantes responsáveis nesse processo. Em segundo lugar, porque em

geral, quando ministramos aulas de Cálculo na graduação, adotamos um livro texto e

recomendamos outros tantos em uma bibliografia complementar. Sem contar, que quando

esses alunos avançam nos seus estudos, os livros de Análise Real, por exemplo, Lima (2006)

e Neri e Cabral (2011), definem continuidade apenas em pontos do domínio da função,

quando, milagrosamente, funções que eram consideradas descontínuas, passam a ser

contínuas, causando conflitos epistemológicos desnecessários.

Para Núñez (2003), a noção de continuidade por e 𝛿, muitas vezes descrita como

difícil de ensinar, antiintuitiva e aquela que gera conflitos conceituais, não é a formalização

da continuidade natural, o que existe são duas ideias matemáticas de continuidade de

funções, metafóricas por natureza, que envolvem mecanismos cognitivos diferentes: a

continuidade natural, que se caracteriza pela dinâmica, e a continuidade por e 𝛿, que

nega o movimento e lida com entidades estáticas e discretas, e isto leva a consequências

conflitantes. Mais adiante comentamos sobre a evolução histórica deste tópico.

467

Os participantes da nossa pesquisa tiveram a oportunidade de dialogar, refletir,

trocar ideias sobre essa definição, quando foi pedido a eles, que analisassem a solução por

e 𝛿 , dada por Beatriz, a aluna fictícia criada para as nossas tarefas. Com exceção de Kaka,

uma das 18 participantes da pesquisa, os outros não tinham familiaridade com os “épsilons”

e “deltas”, mostraram nas suas argumentações, que a continuidade por e 𝛿, se manteve

para eles como um texto, que não se apropriaram dela:

“uma visão complicada”,

“uma visão abstrata”,

“a parte chata do Cálculo”,


intuitivamente”,

“essa resolução de beatriz na questão 5, não lembro de mais nada disso,

falou meio grego para mim”.

A revisão de literatura e a nossa experiência como professora de Cálculo, nos

mostraram, pelo menos em parte, o cenário que existia no ensino e na aprendizagem de

função e continuidade de função, e nos subsidiaram na elaboração das tarefas. A

metodologia que adotamos, o Design Experiment, permitiu o redesenho cíclico das tarefas,

sempre que percebíamos por meio das análises parciais dos resultados, que alguma ideia

sobre função ou continuidade de função precisava ser retomada com outros exemplos, com

outro enfoque ou estratégia para provocar uma maior reflexão dos alunos. Quando

perguntados sobre o que poderíamos modificar nas tarefas para um próximo curso,

constatamos as seguintes falas, que foram interpretadas por nós, segundo os temas que

apresentamos no quadro abaixo.

468

TEMA Fala dos Participantes

Superando a baixa estima

os exercícios foram mostrando aos poucos todas as nossas

imperfeições na definição de continuidade

Sequencialidade das tarefas

“os diversos exemplos mostrados serviram de muita base

para explicar continuidade”

“a disposição dos exercícios foi muito boa, o “moderador”

sabia quais eram os nossos pontos falhos e nos fez

enxergá-los através de exemplos”

Dificuldade na quebra da aula tradicional

“sinceramente, não aprendi muita coisa porque foram

discussões em cima de discussões e o que é certo afinal”

O diálogo estimulado, verdades temporárias

“ninguém disse o que era certo e sim cada um deu sua

opinião”

Na história, a evolução das ideias de função e continuidade de função evidenciaram

as várias etapas pelas quais passaram esses conceitos. Acompanhando Descartes, Newton,

Leibniz, Bernoulli, Euler, Arbogast, Bolzano, Darboux, Cauchy, Fourier, Dirichlet e

Weierstrass, fomos vendo essas ideias sendo modificadas e se adequando as exigências

científicas de cada época. A pesquisa histórico-epistemológica da construção de um conceito

não é meramente uma ilustração, ela permite que se entenda melhor as dúvidas inerentes à

aprendizagem desse conceito, o que possibilita pensar e planejar estratégias que favoreçam

esse aprendizado.

Gostaria de deixar registrado nessas considerações finais, que ao contrário do que é

citado em Stewart, I (1995, p. 237) e mencionado por outros autores que citam Stewart, I.,

Euler não considerava contínuas as funções cujos gráficos eram desenhados pelo movimento

livre da mão, sem retirá-la do papel. Ao contrário, essas funções eram consideradas não

contínuas por Euler, pois não eram definidas por uma única lei. As referências sobre esse

fato podem ser encontradas no capítulo 1, seção 1.1.4.

Para além das dificuldades de compreensão dos conceitos de função e continuidade

de função apresentados nas disciplinas iniciais de Cálculo, existe uma grande preocupação

com a metodologia de ensino utilizada nas nossas salas de aula. Em geral, o ensino nas

universidades é pautado na fala do professor, no livro didático e, algumas vezes,

469

complementado pelo uso de alguma mídia digital (computador, internet) ou recurso

audiovisual (projetor multimídia, TV, DVD). Acreditando que precisamos mudar essa

dinâmica, que precisamos fazer com que os alunos se sintam responsáveis pelo processo de

ensino e aprendizagem da Matemática, buscamos meios, para que através de ações

colaborativas e de interação, promovêssemos a produção coletiva do conhecimento,

colocando o aluno no papel de protagonista desse processo, interagindo com outros alunos,

com a Matemática, negociando significados, discutindo ideias, se envolvendo em um

discurso matemático para aprender Matemática (ROGOFF, 1998, 1998a; SFARD, 2008;

STAHL, 2009), por isso escolhemos a plataforma VMT para compor o nosso cenário de

pesquisa.

A plataforma VMT foi desenhada para grupos de estudantes de Matemática

trabalharem colaborativamente, vivenciarem discussões matemáticas, que como já

dissemos são raramente encontradas nas salas de aula presenciais, tradicionais. As tarefas

foram planejadas para serem desenvolvidas na plataforma de forma síncrona, com os alunos

divididos em pequenos grupos e cada dois grupos interagindo numa mesma sala virtual

aberta no VMT. Mas, os encontros dos alunos não se limitaram aos momentos síncronos no

Laboratório de Informática do Curso de Matemática na UFF, os alunos continuaram a buscar

interação de forma assíncrona nos intervalos entre os encontros. Analisando os diálogos

produzidos por eles, enquanto trabalhavam nas tarefas, pudemos perceber que os mesmos

interagiam entre si, trocavam ideias, expunham raciocínios, defendiam conjecturas,

compartilhavam soluções. Alguns se apropriaram de ideias, modificando seus discursos e

outros não.

Participar e conduzir a pesquisa foi muito gratificante. O que elaboramos não foi

apenas um teste diagnóstico para saber o que “não andava bem” com a continuidade de

funções, foi muito mais, foi uma intervenção, e isso não encontramos em nenhuma das

pesquisas que fizeram parte da nossa vasta revisão bibliográfica. Os alunos, pelas suas

interações na plataforma, nos ofereceram um rico material de pesquisa sobre grandeza,

variável, função, continuidade de função, liderança, organização de discurso, e o nosso

cenário de pesquisa propiciou a eles, oportunidade de reflexão, de participação em uma

atividade colaborativa de aprendizagem. Percebemos o entusiasmo com que participavam

das tarefas, não por parte de todos, devo registrar. Ouvir os alunos falando o que se segue, é

extremamente gratificante para um professor, educador, pesquisador.

470

É uma ótima ferramenta para ser utilizada pelos alunos, aumenta a

proximidade entre eles e o professor [mesmo sendo uma atividade

virtual!!!].

A discussão de conceitos matemáticos, como foi trabalhada nas nossas

tarefas através do VMT, é mais importante para a aprendizagem do que

ficar fazendo vários exercícios.

Essa discussão esclarece e amplia a ideia, o conceito. É uma forma de

lapidação do aprendizado.

O importante das discussões propostas foram os fato de cada um poder

contribuir com sua visão, seu ponto de vista.

O trabalho cooperativo, a troca de ideias online é muito interessante e

muito construtiva.

Sem contar que ajudaria o aluno que é mais introvertido, que tem

vergonha de fazer alguma pergunta...

Mas como nem tudo são flores, ouvir de alguns alunos, o que se segue, nos fez

refletir sobre a nossa participação nos grupos.

Achei que algumas coisas que meus colegas disseram sim me ajudaram a

refletir. Porém pouca afirmação e muita opinião sem convicção.

Trocar ideias não mudou a minha opinião já que eu não sei o que é

certo.

Estava tudo muito solto.

A plataforma é difícil de entender

Possui informação demais

Aprendemos com esses alunos, que não podemos ter uma atitude única com todos

os alunos ou grupos que interagem na plataforma. Os Grupos 5 e 6 da nossa pesquisa

sentiram falta de uma mediação maior, de mais intervenção da nossa parte. Buscavam por

alguém que dissesse se o que pensavam ou propunham estava certo ou errado. Apesar de

não ser este o foco da nossa investigação, pois não buscávamos “o certo ou o errado”, mas

sim, o que os alunos pensavam sobre continuidade de função, esse clamor dos alunos devia

ter sido atendido adequadamente. O professor/mediador precisa ficar mais atento para

471

tomar decisões: mudar o grupo ou mesmo fazer algumas intervenções e até quem sabe,

fazer despertar uma liderança no grupo, que possa ser o mediador, às vezes tão necessário.

Nos Grupos 1 e 2, o aluno Alequice, foi notadamente um líder. Os alunos dos Grupos 3 e 4

foram muito participativos e os diálogos fluíram bem. Quando perguntamos aos alunos se a

troca de ideias, a opinião dos colegas, a reflexão que o VMT propiciou alguma mudança em

suas ideias iniciais sobre alguma questão aqui abordada, os alunos dos Grupos 3 e 4

responderam:

Aconteceram mudanças, sim. O nosso grupo foi muito participativo, em

alguns momentos devido as opiniões dos meus amigos percebi que ainda

tenho que pesquisar muito sobre o assunto.

Aconteceram mudanças, sim. Houve vezes que a ideia do amigo me

ajudou a entender o problema “é bom ter uma visão diferente do

problema que se quer resolver”.

O que não podemos deixar de ressaltar é o fato de que o cenário constando das

tarefas, das propostas da professora/pesquisadora, dos grupos e do uso do VMT possibilitou

o “dar voz aos alunos”. Os alunos puderam se pronunciar, expressar suas ideias, sem medo

de errar e de serem julgados. Isso não é muito comum na sala de aula, presencial e

tradicional, onde em geral o professor fala e o aluno escuta.

No momento da implementação das nossa tarefas, infelizmente a Aba GeoGebra e a

Aba Web Page não estavam funcionando. Isso dificultou um pouco o desenvolvimento das

tarefas, pois duas delas envolviam applets, mas o problema foi resolvido com o uso de um

computador extra para cada dupla de grupos. Muitos alunos lamentaram não poder usar o

GeoGebra na plataforma, pois argumentaram que o GeoGebra auxiliaria na reflexão das

questões propostas. A aba Geogebra hoje já funciona no VMT, dado que Arthur Powell e

seus alunos de pós graduação na Rutgers University vem colaborando com Gerry Stahl para

isso.

O MEA – Modelo da Estratégia Argumentativa nos ajudou a elaborar as tarefas e a

analisar os diálogos dos alunos. Ficamos atentos em elaborar tarefas que promovessem o

discurso. E na análise dessas conversas, o MEA nos levou a buscar argumentos enunciados

pelos participantes, a localizar acordos e controvérsias, a perceber a evolução do discurso, a

constatar se na evolução do discurso os participantes abandonavam suas teses iniciais e

aderiam a teses propostas por outros. Entre outros localizamos argumentos de autoridade.

472

Construímos vários esquemas argumentativos que nos ajudaram a encontrar e analisar os

significados produzidos pelos alunos para continuidade de função.

Enquanto os alunos dialogavam sobre função e continuidade de função os discursos

foram evoluindo, sendo modificados em alguns momentos e mantidos em outros. A

produção de significados para continuidade de função apresentou uma trajetória com

muitas idas e vindas, e destacamos os seguintes significados:

A função não é contínua porque não está definida no ponto.

Uma função é contínua em 𝒙 = 𝒂 , se 𝒍𝒊𝒎𝒙→𝒂 𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒂).

Contínua são as funções em que pequenas variações no objeto implicam

em variações na imagem.

É contínua no ponto porque não está definida no ponto.


Limites laterais iguais no ponto, então é contínua no ponto



A função não é contínua porque não está definida no ponto foi um significado que

surgiu fortemente, logo no início do desenvolvimento das tarefas, foi modificado por uns e

mantido por outros.

Vinte anos depois, nossa pesquisa corrobora com a literatura, pois Karatas, Guven e

Cekmez (2011), escreveram que em Bezuidenhout (2001), alunos tentam determinar a

continuidade de uma função num ponto, analisando se a função está definida ou não nesse

ponto. Afirmaram também, que em um trabalho com 406 estudantes universitários de

Cálculo, Vinner (1992) mostrou que muitos alunos apoiados na representação gráfica ou

simbólica de uma função expressaram sua convicção de que uma função é contínua num

ponto se está definida nesse ponto e é descontínua no ponto onde não está definida.

473

A constatação que vinte anos depois, os alunos ainda associam a continuidade da

função em um ponto ao fato da função estar ou não definida nesse ponto, nos leva a pensar

que as ideias de continuidade dos alunos estão incorporadas das noções de continuidade do

cotidiano. Estar definida no ponto pode evitar “buracos” ou “interrupções”. Isto nos leva a

propor que pesquisas futuras, abordem a questão da relação entre intuição e rigor na

continuidade de funções partindo da perspectiva da Cognição Corporificada, pois é preciso

entender melhor, porque os alunos se sentem desencorajados a se reportarem a definição

por e 𝛿 de limite e continuidade. Entendemos também, que os applets que construímos

para explorar o conceito de função, principalmente o Applet 1, que usa a relação entre 𝑥 e

𝑓(𝑥) por meio de eixos paralelos, podem contribuir para que o aluno compreenda a relação

entre a continuidade natural e a continuidade por e 𝛿 , pois possibilitam a percepção da

relação entre as variações da variável independente 𝑥 e da variável dependente 𝑦 .

Sugerimos também que novas pesquisas sejam realizadas com o uso da plataforma VMT,

que poderá ser usado à distância, de forma assíncrona ou mesmo síncrona. O VMT poderá

ser usado também, como parte de uma disciplina presencial, onde problemas específicos

seriam discutidos e os tópicos principais da disciplina, abordados de forma colaborativa,

para que os professores pudessem saber o que pensam os alunos sobre cada tópico antes

dele ser abordado em aula.

Pelo que expusemos acima, entendemos que a nossa pesquisa cumpriu seu objetivo,

investigando e analisando a produção de significado para continuidade de funções reais, por

licenciados em Matemática em um ambiente virtual que se revelou muito propício à

colaboração, à interação, à reflexão, ao compartilhamento de resultados, ao

desenvolvimento do discurso. As tarefas que elaboramos não constituíram apenas um teste

diagnóstico. Na realidade fizemos uma intervenção. As tarefas propiciaram aos alunos o

envolvimento no discurso matemático para refletir sobre os temas abordados. Envolveram

applets por nós elaborados, com atividades não usuais, como a relação entre 𝑥 e 𝑓(𝑥)

através de eixos paralelos. O referencial teórico também foi um outro diferencial na nossa

pesquisa.

Gostaria de finalizar esse texto declarando que trabalhar com esse tema, nessa

plataforma, com os alunos Alequice, Carolzinha, Cateto, Cranio, Fernanda, Galois,

Glasm, Johnny, Kaka, May, Nina, Peu, Suzana, Vmais foi um prazer enorme.

474

Aprendi muito com esses alunos, tão gentilmente “emprestados” pelo professor Wanderley,

ao abrir um espaço nas suas aulas para a aplicação da pesquisa. A análise dos inúmeros

discursos produzidos por eles, me fez também uma participante desses discursos, e com

certeza saí muito modificada dessa experiência.

475

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491

APÊNDICE A – As questões analisadas na pesquisa

PRIMEIRO ENCONTRO – Tarefa de Familiarização e Ambientação

Questão da Tarefa: Conhecendo o VMT. Trabalhando na Sala de Aula

Relacione o gráfico à função. Explique!

𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 + 1 𝑔(𝑥) = −2𝑥2 + 3𝑥 − 1 ℎ(𝑥) = −𝑥2 + 3𝑥 − 3

Questão da Tarefa: VMT a distância – uma familiarização

Um monge tibetano deixa o monastério às 7h da manhã e segue sua caminhada

usual para o topo da montanha chegando lá às 7h da noite. Ele medita no topo da

montanha durante a noite. Na manhã seguinte, ele parte do topo da montanha às

7h da manhã, pega o mesmo caminho de volta e chega ao monastério às 7h da

noite. Desconsidere possíveis pequenas variações no ritmo de caminhada do

monge durante a viagem. Ele já está muito bem treinado para essas caminhadas.

Existe algum ponto no caminho que o monge irá cruzar exatamente na mesma

hora do dia em ambas as caminhadas, a da subida e a da descida?

Discuta com seus colegas de sala essa questão. Apresente sua solução. Defenda

seus argumentos!!!

492

SEGUNDO ENCONTRO. TAREFA 1: Funções. Uma visualização com Eixos Paralelos

Questão da Tarefa 1

(1) Escreva no Whiteboard em uma sentença ou no máximo em um parágrafo o que você pensa

sobre a palavra “função”.

Esta é uma tarefa para cada aluno dessa sala.

(2) Estamos apresentando um applet com dez funções num sistema de eixos paralelos.

Observem o comportamento de cada uma dessas funções, anotem comportamentos pertinentes,

interessantes... e então, dividam as funções em grupos, explicando seus critérios de seleção. Dê

um nome para cada um desses grupos.

A discussão deve ser feita pelos participantes dessa sala que tentará apresentar uma única divisão

das funções em grupos. Caso não haja concordância, outras divisões podem ser apresentadas,

mas com a defesa dessa discordância.

TERCEIRO ENCONTRO. TAREFA 2: Eixos Paralelos e Eixos Cartesianos. Conhecendo e

Agrupando Funções

Questão Tarefa 2

No primeiro encontro foram apresentadas 10 funções visualizadas em eixos paralelos.

No Applet 2 você poderá ver a construção do gráfico dessas funções em um sistema de eixos

cartesianos, simultaneamente à visualização em eixos paralelos.

Trabalhe nesse APPLET e reflita sobre os grupos de funções que você criou no Encontro 1.

Responda: A divisão das funções a que seu grupo chegou na Tarefa 1 continua a mesma?

Se sua reposta for NÃO, apresente aqui a nova divisão do seu grupo e justifique a mudança.

Agora, associe cada expressão algébrica dada a seguir a uma das funções 𝑓1 , 𝑓2 , 𝑓3 , 𝑓4 , 𝑓5 ,

𝑓6 , 𝑓7 , 𝑓8 , 𝑓9 , 𝑓10 .

(a) 𝑦 = 𝑥3 (b) 𝑦 =𝑥2

𝑥3 (c) 𝑦 =|𝑥|

𝑥 (d) 𝑦 = 2𝑥 + 1

(e) 𝑦 = 𝑥2 (f) 𝑦 = 𝑥. |𝑥| (g) 𝑦 =𝑥3

𝑥2

(h) 𝑦 = {𝑥 + 3 , 𝑥 ≤ 0

𝑥2 , 𝑥 > 0 (i) 𝑦 = 𝑥 +

1

𝑥 (j) 𝑦 = 2 ⟦

𝑥

2 ⟧.

Depois dessa associação, dê o domínio de cada uma dessas funções.

Se o seu grupo parceiro de sala apresentou respostas diferentes, comente essas diferenças aqui.

Essa tarefa deve ser feita no WhiteBoard.

493

QUARTO ENCONTRO. TAREFA 3: Continuidade. O que é isso?


(a) Estamos interessados em saber o que vem a sua cabeça quando ouve a palavra continuidade em diversos contextos, não apenas o matemático

(b) Escreva o que significa para você uma função ser contínua.

(c) Gostaríamos de saber se você conhece propriedades das funções contínuas. Conte-nos o que lembra.


Considerando algumas funções da Tarefa 1

𝑓1(𝑥) = 2𝑥 + 1 , 𝑓3(𝑥) = 𝑥3 , 𝑓4(𝑥) =𝑥3

𝑥2 , 𝑓5(𝑥) =𝑥2

𝑥3 , 𝑓6(𝑥) = 𝑥 +1

𝑥 ,

𝑓7(𝑥) =|𝑥|

𝑥 , 𝑓9(𝑥) = 2 ⟦

𝑥

2⟧

Analise cada uma das funções abaixo quanto a sua continuidade. Justifique todas as suas respostas.

494

495


Considere as funções:

𝑓10(𝑥) = {𝑥 + 3 , 𝑥 ≤ 0

𝑥2 , 𝑥 > 0 𝑔(𝑥) = {

𝑥 + 3 , 𝑥 < 0

𝑥2, 𝑥 > 0 ℎ(𝑥) = {

𝑥 + 3 , 𝑥 < 0−1 , 𝑥 = 0

𝑥2, 𝑥 > 0

(a) Analisando os gráficos das funções 𝑓10 , 𝑔 , ℎ, você diria que essas funções apresentam descontinuidade? Justifique.

(b) Qual é o domínio dessas funções?

(c) Determine: (i) lim𝑥→0− 𝑓10(𝑥) e lim𝑥→0+ 𝑓10(𝑥)

(ii) lim𝑥→0− 𝑔(𝑥) e lim𝑥→0+ 𝑔(𝑥)

(ii) lim𝑥→0− ℎ(𝑥) e lim𝑥→0+ ℎ(𝑥)

(d) O que podemos afirmar sobre a continuidade das funções 𝑓10 , 𝑔 , ℎ em 𝑥 = 0 ?

Justifique sua resposta.


Considere o seguinte exercício:

(a) Calcule lim𝑥→1(2𝑥 + 1).

(b) Analise a continuidade da função 𝑓: ℝ − {1} → ℝ , tal que 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 ;

(c) Analise a continuidade da função 𝑔(𝑥) = {2𝑥 + 1 , 𝑥 ≠ 12 , 𝑥 = 1

Este exercício foi resolvido por João e Beatriz, dois alunos de Cálculo I e as resoluções estão abaixo.

Analise as resoluções de João e Beatriz, discuta as semelhanças e ou as diferenças.

496

Item (a) Calcule lim𝑥→1(2𝑥 + 1)




Fazendo 𝑥 = 1 em 𝑦 = 2𝑥 + 1 , obtemos 𝑦 = 3, então vou provar que

lim𝑥→1(2𝑥 + 1) = 3 :

Para qualquer > 0, existe um 𝛿 > 0 , tal que |(2𝑥 + 1) − 3| < sempre que

0 < |𝑥 − 1| < 𝛿.

|(2𝑥 + 1) − 3| < ⇔ − < (2𝑥 + 1) − 3 < , sempre que 0 < |𝑥 − 3| < 𝛿.


2 < 𝑥 − 1 <

𝜀

2.



|(2𝑥 + 1) − 3| < sempre que, 0 < |𝑥 − 3| < 𝛿.

Item (b) Analise a continuidade da função 𝑓: ℝ − {1} → ℝ , tal que 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1


A função 𝑓: ℝ − {1} → ℝ , tal que 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 só não

é contínua em 𝑥 = 1 , pois não está definida em 𝑥 = 1 e

vendo o gráfico dessa função vemos que ele tem um buraco

no ponto (1,3).



497

Item (c) Analise a continuidade da função 𝑔(𝑥) = {2𝑥 + 1 , 𝑥 ≠ 12 , 𝑥 = 1


A função 𝑔(𝑥) = {2𝑥 + 1 , 𝑥 ≠ 12 , 𝑥 = 1

também só não

é contínua em 𝑥 = 1 , pois apesar de estar definida em 𝑥 = 1 , vendo o gráfico dessa função observamos que ele tem um buraco no ponto (1,3) e apresenta um salto.


A função 𝑔(𝑥) = {2𝑥 + 1 , 𝑥 ≠ 12 , 𝑥 = 1

está definida em todos os

pontos do conjunto dos números reais.

Como lim𝑥→1(2𝑥 + 1) = 3 ≠ 𝑓(1) = 2 então a função não é contínua em 𝑥 = 1 .

Mas a função é contínua em qualquer 𝑥 ≠ 1.


Para qualquer > 0 , não existe um 𝛿 > 0 , tal que |𝑓(𝑥) − 3| < sempre que

0 < |𝑥 − 1| < 𝛿.

QUINTO ENCONTRO: TAREFA 4: O aluno: o VMT e a continuidade

Questão (I) da Tarefa 4

Responda:

(1) O que você aprendeu com esses encontros? O que você desejaria saber mais sobre continuidade? O que você não entendeu e que poderíamos modificar nas atividades para um próximo curso.

(2) Como você explicaria para alguém que não participou da pesquisa o que é uma função contínua.




498

Questão (II) da Tarefa 4

Vamos analisar a continuidade de algumas funções:

(1) 𝑓1(𝑥) = {𝑥2 , 𝑥 < 01 , 𝑥 = 0

−𝑥2 + 2 , 𝑥 > 0

(2) 𝑓2(𝑥) = 𝑥2−1

𝑥+1 (3) 𝑓3(𝑥) = 𝑥 − ⟦𝑥⟧


Analise a continuidade da função

𝑓1(𝑥) = {𝑥2 , 𝑥 < 01 , 𝑥 = 0

−𝑥2 + 2 , 𝑥 > 0

,

cujo gráfico está ao lado.


João respondeu

A função só não é contínua em 𝑥 = 0 , é só olhar no gráfico e ver que a função tem buracos para

𝑥 = 0 .

Maurício respondeu

Como a função está definida em 𝑥 = 0 , então ela é contínua em 𝑥 = 0 . Na realidade não tem

buraco, o ponto (0,1) está lá. É um falso buraco!

Agora é sua vez.

Comente as soluções de João e Maurício e dê a sua solução. Justifique todas as suas respostas!

499


Considere a função 𝒇𝟐(𝒙) = 𝒙𝟐−𝟏

𝒙+𝟏

João e Beatriz resolveram fazer o gráfico da função 𝑦 = 𝑓2(𝑥) . Estes gráficos estão a seguir:


(a) O que você acha dos gráficos de João e Beatriz. Comente esses gráficos. E o seu

gráfico? Qual seria?

(b) Qual é o domínio da função 𝑦 = 𝑓2(𝑥).

(c) Fale sobre a continuidade da função 𝑦 = 𝑓2(𝑥). Esta função apresenta alguma

descontinuidade?

Justifique todas as suas respostas!


E agora é a vez da função 𝑓3(𝑥) = 𝑥 − ⟦𝑥⟧ .

Lembram do que significa ⟦𝒙⟧ ? O gráfico de 𝒚 = 𝒇𝟑(𝒙) está abaixo.

Analise a função 𝒇𝟑(𝒙) = 𝒙 − ⟦𝒙⟧ , quanto a sua continuidade. Justifique todas as suas

respostas!

500

APÊNDICE B – Instruções de acesso à plataforma VMT

BEM VINDO AO VMT_Virtual Math Team

O projeto VMT_Virtual Math Teams oferece a você a oportunidade de interagir com outros estudantes on line. Você trabalhará num determinado Projeto e estará conectado à uma “SALA” para desenvolver esse projeto. Não se preocupe, ao longo desse texto, você verá o que “SALA” significa.

Usando o CHAT do VMT e o WHITEBOARD que é compartilhado com os seus colegas de “SALA” de projeto, on line, vocês poderão discutir problemas matemáticos, fazer tarefas juntos, conversar sobre qualquer tópico de Matemática.

Para usar o VMT CHAT você precisa do Java Web Start. Se você ainda não tem o JAVA instalado no seu computador, você pode obter as instruções para download diretamente de Java page.. (Atenção: com a tecla Control (Ctrl) pressionada, clique com o mouse em “Java page”, que está em azul. Essa página abrirá e você poderá baixar o JAVA no seu computador).

Ao clicar em “Java page” você encontrará a seguinte tela: Clique em “Download Java Now” Aparecerá a seguinte tela:

http://java.com/en/download/installed.jsp?detect=jre&try=1

501

Clique em “Agree and start Free Download”

CADASTRAMENTO Agora você deve se cadastrar, para isso siga o passo a passo seguinte:

Acesse o seguinte endereço:

http://vmt.mathforum.org/VMTLobby/register.jsp

Atenção: com a tecla Control (Ctrl) pressionada, clique com o mouse no endereço acima, que está em azul. Essa página abrirá e você encontrará a seguinte tela:

Preencha como no exemplo abaixo e troque:

O nome (First Name) Inicial do nome do meio (Middle Initial) O último nome (last name) ESCOLHA um apelido(VMT Screen Name) que não o identifique facilmente O e-mail.

http://vmt.mathforum.org/VMTLobby/register.jsp

502

Clique em Submit. Uma senha será enviada para o seu e-mail. Você poderá alterá-la, em momento adequado, para uma senha que lhe seja mais familiar, mais fácil de memorizar.

Aparecerá a seguinte tela:

503

Clique em “here to change your password” Assim você poderá trocar sua senha. Aparecerá a seguinte tela:

Troque a sua senha e clique em “Submit”.

Aparecerá a tela:

Clique em: “Return to the login page”

Você chegará a seguinte tela:

Agora, clique na setinha ao lado de 2012-1. Aparecerá: Continuidade

javascript:newwin('http://vmt.mathforum.org/vmtwiki/index.php/VMTTopics/Continuidade%20')

504

Veja a tela: Clique na setinha ao lado de Continuidade. Você encontrará várias salas de trabalho:

Você escolherá uma das Salas “Explorando VMT”

505

APÊNDICE C – Modelo dos termos de consentimento

MODELO DO TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO A SER UTILIZADO COM OS

ALUNOS

TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO

Título da Pesquisa: “A noção de continuidade de funções reais de variável real na

perspectiva da cognição corporificada e da aprendizagem

colaborativa em ambiente virtual”

Nome da Pesquisadora: Maria Lúcia Tavares de Campos

Nome da Orientadora: Prof. Dra. Janete Bolite Frant.

Instituição a que pertence os pesquisadores: UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO

(Anhanguera - UNIBAN)

O Sra (Sr.) está sendo convidada (o) a participar desta pesquisa que tem como

finalidade a melhoria do ensino de Cálculo. Esta disciplina apresenta muitas dificuldades

tanto para alunos quanto para professores. De acordo com dados do censo do MEC a

reprovação/abandono fica em torno de 80%. Os alunos não compreendem os tópicos

envolvidos e os professores se sentem frustrados com o insucesso dos alunos.

Ao participar deste estudo a Sra (Sr.) permitirá que a pesquisadora, Profa. Maria

Lúcia Tavares de Campos faça a coleta de dados para sua pesquisa. Esses dados serão

coletados durante as aulas da disciplina Funções do Curso de Especialização em Ensino de

Matemática da UFF – Universidade Federal Fluminense para professores da Educação Básica

em horários acordados com o professor da disciplina.

A coleta de dados será feita por meio de gravações de áudio e de vídeo, de relatórios

gerados a partir do ambiente colaborativo utilizado, de relatórios produzidos pelos alunos da

disciplina. As atividades serão realizadas em cinco encontros com duração aproximada de

uma hora.

O material coletado durante o projeto será de uso exclusivo do grupo de pesquisa e

esperamos que revele informações importantes sobre o ensino do Cálculo, que possam

provocar modificações significantes nesse ensino. Esperamos também que revele

506

informações importantes sobre como o uso de ambientes tecnológicos colaborativos podem

contribuir para a produção de significados de conteúdos matemáticos. Dessa forma,

esperamos que sua participação resulte em avanços para os conhecimentos pertinentes ao

campo da educação matemática.

Todas as informações coletadas neste estudo são estritamente confidenciais Os

resultados dessa pesquisa poderão ser utilizados pelos pesquisadores em publicações em

periódicos, livros, eventos científicos, cursos e outras divulgações acadêmico-científicas.

Nessas divulgações seu nome será trocado por um pseudônimo para garantir sua

integridade como participante. A veiculação de sua imagem em divulgações científicas só

será realizada com seu consentimento.

A Sra (Sr.) tem liberdade de se recusar a participar e ainda se recusar a continuar

participando em qualquer fase da pesquisa, sem qualquer prejuízo pessoal. Não há despesas

pessoais em qualquer fase do estudo, assim como não há compensação financeira

relacionada à sua participação e sempre que quiser poderá pedir mais informações sobre a

pesquisa através do telefone da pesquisadora do projeto, Profa. Maria Lúcia Tavares de

Campos e, se necessário, através do telefone do Comitê de Ética em Pesquisa.

A participação nesta pesquisa não traz complicações legais. Os procedimentos

adotados nesta pesquisa obedecem aos Critérios da Ética em Pesquisa com Seres Humanos

conforme Resolução no. 196/96 do Conselho Nacional de Saúde. Nenhum dos

procedimentos usados oferece riscos à sua dignidade.

Após estes esclarecimentos, solicitamos o seu consentimento de forma livre para

participar desta pesquisa. Portanto preencha, por favor, os itens que se seguem: Confiro que

recebi cópia deste termo de consentimento, e autorizo a execução do trabalho de pesquisa e

a divulgação dos dados obtidos neste estudo.

______________________________

Nome e Assinatura do Participante da Pesquisa

__________________________________

Nome e Assinatura do Pesquisador

507

___________________________________

Nome e Assinatura do Orientador

Pesquisadora: Maria Lúcia Tavares de Campos. RG: 4422105-8 SSP-SP. Telefone: (21) 8122-

8517.

Orientadora: Profa. Dra. Janete Bolite Frant. RG: 3134792-5. Telefone: (11) 8965-9697.

Telefone da Comissão de Ética: (11) 2972-9008 - (11) 2972-9025.

E-mail: [email protected]

Termo de consentimento de participação

Eu,________________________________, RG ___________________, declaro

estar suficientemente informado a respeito das informações que li acima, ou que foram

lidas para mim, a respeito do projeto “A noção de continuidade de funções reais de variável

real na perspectiva da cognição corporificada e da aprendizagem colaborativa em

ambiente virtual”.

Ficaram claros para mim quais são os propósitos do estudo, os procedimentos, as

garantias de confidencialidade e autorizo a veiculação dos resultados para os usos

mencionados. Está claro também que minha participação é isenta de qualquer tipo de

despesas. Assim sendo, concordo em participar deste estudo e poderei retirar o meu

consentimento a qualquer momento, antes ou durante o mesmo, sem penalidades ou

prejuízo para mim e sem prejuízo para a continuidade da pesquisa em andamento.

Niterói, _____ de ____________ de _______

Assinatura do sujeito de pesquisa Assinatura da pesquisadora responsável

508

Assinatura da testemunha Assinatura da testemunha

Declaro que obtive de forma apropriada e voluntária o Consentimento Livre e Esclarecido

deste sujeito de pesquisa ou representante legal para a participação neste estudo.

Assinatura do responsável pelo estudo

Data: __/__/____

Termo de consentimento para o uso de imagens

Declaro também meu consentimento na veiculação de minha imagem para fins de

divulgação científica, nas condições do TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO,

que li acima, ou que foram lidas para mim, a respeito do projeto .

Niterói, _____ de ____________ de _______

Assinatura do sujeito de pesquisa Assinatura da pesquisadora responsável

Assinatura da testemunha Assinatura da testemunha