ESCUELA POLITECNICA NACIONALFACULTAD DE INGENItrRIA MECANICA

MATEMATICAS AVANZADASDEBUR 7: ECUACION DE LAPLACE nN TRES YARTABLES ESpACTALES

1. Encuentre la solución u{r,e') de la ecuación de Laplace elt la regiónl¡ rr r ,it(t,.0', ,)l , * J,' + z' > 1| considerando que en la frontera se tiene: u{I,rp) = f (rp)

2, Sea u{r.E) la temperatura de estado estable en un casquete esñrico de radio interio¡ a v tadioexterior ó. Encuentre u{r,q) si u(a,g)= "f{q} y u(b,p)=g.

3. Repita el ejercicio 2. con la condicio¡r u{b,rp}= g(q)

4, Encuentre Ia temperatura de estado eslable eü una esfera hcmogénea de radio unitario. cuando lasuperficie se mantiene a las temperaturas siguientes:

a) cost p b) casZr¡t c) 2seirp -7 d) senag

5, Encuentre la temperatura de estado estable en un hemisftrio homogéneo de radio I, considerandoque la superficie plana se mantiene a ceró. -v que la superficie esferica tiene la temperatura I {q} ,

.l* /\donde J Y/t l= 0 .

ó. Encuentre la temperatura de estado estable en la región cilíndrica r <l y 0 < z <rl, considerandoque la solución Xt es independiente de 0,yu{r.0}= fQ}, u{r.a)= gQ}, u(1,')=9.

7, Resuelva el problema 6. bajc las condiciones de fronterau{,-,0)= l'?), u(r,a)= s{r). u(t.r)= 196.

8. Encuentre la distribución de temperatura de estado estable u = u(r,2) en el cilindror < 1, 0 < z < a, considerando que

a(r,O)= 1gg. u(r,a):A, u(l,t)=g

9. Detennine la distribución de temperatura de estado estacionario u = u{r,z) en la región cilíndricar < 1. 0 < z < a. considerando que

u{r.A}= f{r}, u{r.a}=199. u,(l.z)=g{la última condicién aftrma que la superficie lateral del ciiindro está aislada en forma que el calorno fluye a través de ella).

10. Para unaplaca circular de radic unidad que tiene sus caras planas aisladas, si la temperatura iniciales F{r}, demuestre que la ecuación diferencial que rige a la temperarura es:

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