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Método de Costo Mínimo
El método del costo mínimo o de los mínimos costos es un algoritmo desarrolladocon el objetivo de resolver problemas de transporte o distribución, arrojandomejores resultados que métodos como el de la esquina noroeste, dado que se enfocaen las rutas que presentan menores costos. El diagrama de flujo de este algoritmoes mucho más sencillo que los anteriores dado que se trata simplememente de laasignación de la mayor cantidad de unidades posibles (sujeta a las restriccionesde oferta y/o demanda) a la celda menos costosa de toda la matriz hasta finalizarel método.
Algoritmo de Resolución del Costo MínimoPASO 1:De la matriz se elige la ruta (celda) menos costosa (en caso de un empate, estese rompe arbitrariamente) y se le asigna la mayor cantidad de unidades posible,cantidad que se ve restringida ya sea por las restricciones de oferta o dedemanda. En este mismo paso se procede a ajustar la oferta y demanda de la fila ycolumna afectada, restándole la cantidad asignada a la celda.PASO 2:En este paso se procede a eliminar la fila o destino cuya oferta o demanda sea 0después del "Paso 1", si dado el caso ambas son cero arbitrariamente se eligecual eliminar y la restante se deja con demanda u oferta cero (0) según sea elcaso.PASO 3:Una vez en este paso existen dos posibilidades, la primera que quede un solorenglón o columna, si este es el caso se ha llegado al final el método,"detenerse".La segunda es que quede más de un renglón o columna, si este es el caso iniciarnuevamente el "Paso 1".Ejemplo del Método del Costo MínimoUna empresa energética colombiana dispone de cuatro plantas de generación parasatisfacer la demanda diaria eléctrica en cuatro ciudades, Cali, Bogotá, Medellíny Barranquilla. Las plantas 1,2,3 y 4 pueden satisfacer 80, 30, 60 y 45 millonesde KW al día respectivamente. Las necesidades de las ciudades de Cali, Bogotá,Medellín y Barranquilla son de 70, 40, 70 y 35 millones de Kw al díarespectivamente.Los costos asociados al envío de suministro energético por cada millón de KW
entre cada planta y cada ciudad son los registrados en la siguiente tabla.
Formule un modelo de programación lineal que permita satisfacer lasnecesidades de todas las ciudades al tiempo que minimice los costosasociados al transporte.Solución paso a paso
Luego esa cantidad asignada se resta a la demanda de Bogotá y a la oferta de la"Planta 3", en un proceso muy lógico. Dado que Bogotá se queda sin demanda estacolumna desaparece, y se repite el primer proceso.
Nuevo proceso de asignación
Nuevo proceso de asignación
Nuevo proceso de asignación
Una vez finalizado el cuadro anterior nos daremos cuenta que solo quedaráuna fila, por ende asignamos las unidades y se ha terminado el método.
El cuadro de las asignaciones (que debemos desarrollarlo paralelamente)queda así:
Los costos asociados a la distribución son:
En este caso el método del costo mínimo presenta un costo total superior alobtenido mediante Programación Lineal y el Método de Aproximación Vogel,sin embargo comúnmente no es así, además es simple de desarrollar y tieneun mejor rendimiento en cuanto a resultados respecto al Método de laEsquina Noroeste.Método de VogelEl método de aproximación de Vogel es un método heurístico de resoluciónde problemas de transporte capaz de alcanzar una solución básica no artificial deinicio, este modelo requiere de la realización de un número generalmente mayor deiteraciones que los demás métodos heurísticos existentes con este fin, sinembargo produce mejores resultados iniciales que los mismos.Algoritmo de Resolución del Método de Vogel.El método consiste en la realización de un algoritmo que consta de 3 pasosfundamentales y 1 más que asegura el ciclo hasta la culminación del método.PASO 1Determinar para cada fila y columna una medida de penalización restando los doscostos menores en filas y columnas.PASO 2Escoger la fila o columna con la mayor penalización, es decir que de la restarealizada en el "Paso 1" se debe escoger el número mayor. En caso de haberempate, se debe escoger arbitrariamente (a juicio personal).PASO 3De la fila o columna de mayor penalización determinada en el paso anteriordebemos de escoger la celda con el menor costo, y en esta asignar la mayorcantidad posible de unidades. Una vez se realiza este paso una oferta o demandaquedará satisfecha por ende se tachará la fila o columna, en caso de empate solose tachará 1, la restante quedará con oferta o demanda igual a cero (0).PASO 4: DE CICLO Y EXCEPCIONES- Si queda sin tachar exactamente una fila o columna con cero oferta o demanda,detenerse.
- Si queda sin tachar una fila o columna con oferta o demanda positiva, determinelas variables básicas en la fila o columna con el método de costos mínimos,detenerse. - Si todas las filas y columnas que no se tacharon tienen cero oferta y demanda,determine las variables básicas cero por el método del costo mínimo, detenerse.- Si no se presenta ninguno de los casos anteriores vuelva al paso 1 hasta quelas ofertas y las demandas se hayan agotado.Ejemplo:Una empresa energética colombiana dispone de cuatro plantas de generación parasatisfacer la demanda diaria eléctrica en cuatro ciudades, Cali, Bogotá, Medellíny Barranquilla. Las plantas 1,2,3 y 4 pueden satisfacer 80, 30, 60 y 45 millonesde KW al día respectivamente. Las necesidades de las ciudades de Cali, Bogotá,Medellín y Barranquilla son de 70, 40, 70 y 35 millones de Kw al díarespectivamente.Los costos asociados al envío de suministro energético por cada millón de KW
entre cada planta y cada ciudad son los registrados en la siguiente tabla.
Formule un modelo de programación lineal que permita satisfacer las necesidadesde todas las ciudades al tiempo que minimice los costos asociados al transporte.SOLUCIÓN PASO A PASOEl primer paso es determinar las medidas de penalización y consignarlas en eltabulado de costos, tal como se muestra a continuación.
El paso siguiente es escoger la mayor penalización, de esta manera:
El paso siguiente es escoger de esta columna el menor valor, y en una tablaparalela se le asigna la mayor cantidad posible de unidades, podemos observarcomo el menor costo es "2" y que a esa celda se le pueden asignar como máximo 60unidades "que es la capacidad de la planta 3".
Dado que la fila de la "Planta 3" ya ha asignado toda su capacidad (60 unidades)esta debe desaparecer.
Se ha llegado al final del ciclo, por ende se repite el proceso
Continuamos con las iteraciones,
Iniciamos otra iteración
Al finalizar esta iteración podemos observar como el tabulado queda una fila sintachar y con valores positivos, por ende asignamos las variables básicas y hemosconcluido el método.
Método de MultiplicadoresEste método reproduce exactamente las mismas iteraciones del método de banquillo.La principal diferencia ocurre en la forma en que las variables no básicas seevalúan en cada iteración. Asociados a cada renglón i de la tabla existenmultiplicadores Ui similarmente se asocia un multiplicador Vj a cada columna dela tabla j. Para cada variable básica Xij de la solución actual, se escribe laecuación Ui +Vj = Cij. Esas ecuaciones proporcionan m+n-1 relaciones con m+nincógnitas. Los valores de los multiplicadores pueden ser determinados a partir de lasecuaciones suponiendo un valor arbitrario para cualquiera de los multiplicadores(usualmente se establece U1=0) y resolviendo el sistema de ecuaciones paraencontrar los multiplicadores desconocidos. Una vez que se hace esto, laevaluación de cada variable no básica X pq está dada como: El criterio que se utiliza para seleccionar la variable que entra es el mismo queel método de banquillo (la mayor negativa).
Ejemplo: Una compañía está considerando una demanda de 5 clientes utilizando artículos quetienen disponibles en 2 almacenes. Los almacenes cuentan con 800 y 1000 unidadesrespectivamente. Los clientes necesitan 200, 150, 200, 180 y 500 unidadesrespectivamente. Los costos de embarque por artículo de los almacenes de losclientes son:
Resuelva el modelo de transporte empleando. a) Una solución inicial por el método de aproximación de vogel. b) La solución óptima por el método de multiplicadores.
DESTINO FICTICIO = 570 ARTÍCULOS
Z = (15)(200) + (23)(200) +(18)(180) + (40)(220) + (22)(150) + (44)(280) + (0)(570) = $35,260.
Método de Húngaro
El método Húngaro es un método de optimización de problemas de asignación,conocido como tal gracias a que los primeros aportes al método clásico definitivofueron de Dénes König y Jenő Egerváry dos matemáticos húngaros. El algoritmo talcomo se detallará a continuación está diseñado para la resolución de problemas deminimización únicamente, será entonces cuestión de agregar un paso adicional paraabordar ejercicios de maximización.PASO 1Antes que nada cabe recordar que el método húngaro trabaja en una matriz decostos n*m (en este caso conocida como matriz m*m, dado que el número de filas esigual al número de columnas n = m), una vez construida esta se debe encontrar elelemento más pequeño en cada fila de la matriz.PASO 2Una vez se cumple el procedimiento anterior se debe construir una nueva matrizn*m, en la cual se consignarán los valores resultantes de la diferencia entrecada costo y el valor mínimo de la fila a la cual cada costo corresponde (valormínimo hallado en el primer paso).PASO 3Este paso consiste en realizar el mismo procedimiento de los dos pasos anterioresreferidos ahora a las columnas, es decir, se halla el valor mínimo de cadacolumna, con la diferencia que este se halla de la matriz resultante en elsegundo paso, luego se construirá una nueva matriz en la cual se consignarán losvalores resultantes de la diferencia entre cada costo y el valor mínimo de lacolumna a la cual cada costo corresponde, matriz llamada "Matriz de CostosReducidos".PASO 4A continuación se deben de trazar líneas horizontales o verticales o ambas(únicamente de esos tipos) con el objetivo de cubrir todos los ceros de la matrizde costos reducidos con el menor número de líneas posibles, si el número delíneas es igual al número de filas o columnas se ha logrado obtener la soluciónóptima (la mejor asignación según el contexto de optimización), si el número delíneas es inferior al número de filas o columnas se debe de proceder con el paso5.PASO 5Este paso consiste en encontrar el menor elemento de aquellos valores que no seencuentran cubiertos por las líneas del paso 4, ahora se restará del restante de
elementos que no se encuentran cubiertos por las líneas; a continuación estemismo valor se sumará a los valores que se encuentren en las intersecciones delas líneas horizontales y verticales, una vez finalizado este paso se debe volveral paso 4.Ejemplo:La compañía de manufactura "Jiménez y Asociados" desea realizar una jornada demantenimiento preventivo a sus tres máquinas principales A, B y C. El tiempo quedemanda realizar el mantenimiento de cada máquina es de 1 día, sin embargo lajornada de mantenimiento no puede durar más de un día, teniendo en cuenta que lacompañía cuenta con tres proveedores de servicios de mantenimiento debe deasignarse un equipo de mantenimiento a cada máquina para poder cumplir con larealización del mantenimiento preventivo. Teniendo en cuenta que según el gradode especialización de cada equipo prestador de servicios de mantenimiento elcosto de la tarea varía para cada máquina en particular, debe de asignarse elequipo correcto a la máquina indicada con el objetivo de minimizar el costo totalde la jornada. Los costos asociados se pueden observar en la siguiente tabla:
PASO 1Encontramos el menor elemento de cada fila
PASO 2Construimos una nueva matriz con las diferencias entre los valores de la matrizoriginal y el elemento menor de la fila a la cual corresponde.
PASO 3En la matriz construida en el paso anterior se procede a efectuar el paso 1 estavez en relación a las columnas, por ende escogemos el elemento menor de cadacolumna. Igualmente construimos una nueva matriz con la diferencia entre losvalores de la matriz 2 y el elemento menor de la columna a la cual correspondecada valor.
PASO 4En este paso trazaremos la menor cantidad de combinaciones de líneas horizontalesy verticales con el objetivo de cubrir todos los ceros de la matriz de costosreducidos.
Como se puede observar el menor número de líneas horizontales y/o verticalesnecesarias para cubrir los ceros de la matriz de costos reducidos es igual a 2,por ende al ser menor que el número de filas o columnas es necesario recurrir alpaso 5.PASO 5En este paso seleccionamos el menor elemento de los elementos no subrayados.
Luego se procede a restarse de los elementos no subrayados y a adicionarse a loselementos ubicados en las intersecciones de las líneas, en este caso existe unaúnica intersección (3).
Ahora ya efectuado este paso pasamos al paso 4.
Ahora observamos cómo se hace necesario trazar tres líneas (la misma cantidad defilas o columnas de la matriz) por ende se ha llegado al tabulado final, en elque por simple observación se determina las asignaciones óptimas.
Por ende la asignación que representa el menor costo para la jornada demantenimiento preventivo determina que el Equipo 1 realice el mantenimiento de laMáquina 1, el Equipo 2 realice el mantenimiento de la Máquina 3 y el Equipo 3realice el mantenimiento de la Máquina 2, jornada que tendrá un costo total de 17unidades monetarias.
Resolución de un problema de Maximización mediante el Método HúngaroEjemplo:Una organización de recolección de café cuenta con tres equipos de siembra ycosecha del mismo (equipos 1, 2, 3). Estos equipos de trabajo se encuentranentrenados para trabajar en condiciones particulares del proceso, condicionescomo lo son el tipo de suelo, las condiciones del clima y el tipo de grano. Laorganización cuenta con cuatro terrenos disponibles para efectuar el proceso desiembra y cosecha (terrenos A, B, C, D), estos terrenos tienen condicionesparticulares de suelo, clima y tipo de grano. Cada equipo cuenta con la capacidadde efectuar el proceso en solo uno de los terrenos disponibles, salvo el equipo2, que cuenta con una serie de herramientas tecnológicas que le permiten realizarla siembra y cosecha del grano en dos de los terrenos disponibles. Se ha
contratado a un Ingeniero Industrial con el objetivo de realizar las asignacionesprecisas que maximicen la cantidad de sacos de café cosechados en total. Elsiguiente tabulado muestra la capacidad (en cientos de sacos) de cosecha de caféde cada uno de los equipos dependiendo de cada uno de los terrenos.
Solución:En este problema debemos recordar un concepto fundamental para la aplicación delmétodo húngaro, este concepto nos dice que el número de filas debe serexactamente igual al número de columnas. Por ende, la acción a realizar deberíaser crear un equipo ficticio, el cual nos deje el tabulado balanceado y a esteasignarle un número de sacos cosechados equivalente a cero en cada uno de losterrenos. Sin embargo el problema nos indica que uno de los equipos se encuentraen capacidad de que se le asignen dos terrenos, en este caso crearemos un equipo2 alternativo (Equipo 2B) el cual nos balanceará el tabulado y nos haráprescindir del equipo ficticio pensado inicialmente. A este equipo 2B quecrearemos le corresponderá la misma capacidad de cosecha del equipo 2 (enadelante equipo 2A) según el terreno, lógicamente.
Una vez balanceado el tabulado debemos de cuestionarnos acerca del criterio deoptimización, pues recordemos que el método húngaro se encuentra diseñado paraejercicios de minimización. En este caso nuestro objetivo es maximizar, por loque tendremos que aplicar un paso adicional.Lo primero que debemos hacer es ubicar el mayor valor del tabulado inicial.
En este caso este valor es 15, por lo cual procederemos a realizar la siguienteoperación con cada uno de los valores:Restaremos a 15, el valor de cada una de las celdas y este valor quedará en cadauna de las celdas correspondientes.
Ahora nuestro tabulado inicial quedará de la siguiente manera:
A partir de este tabulado ya podemos aplicar el algoritmo del método húngaro comose aplicaría en un caso e minimización (normalmente).Ahora encontramos el menor elemento de cada fila.
y se lo restamos a todas las celdas de la fila.
Ahora efectuamos este mismo paso, pero esta vez con las columnas. Elegimosel menor de los valores de cada columna y se lo restamos a cada una de lasceldas de la columna correspondiente.
Ahora procedemos a cubrir la mayor cantidad de ceros, con la menor cantidad delíneas, si el número de líneas que empleemos es igual al grado de la matriz (eneste caso matriz grado 4, 4x4) habremos llegado al final del ejercicio.
Dado que el número de líneas es igual al grado de la matriz, hemos concluido elalgoritmo. Lo único que quedará será asignar a cada equipo el terreno en el queel intercepto es igual a 0 (cero).
Las asignaciones, como es lógico deberán iniciarse por el equipo al cualsolo corresponda un terreno, en este caso al Equipo 3 le corresponde elTerreno A. De esta manera al Equipo 1 le corresponde el Terreno D. Mientrastanto el Equipo 2 se encargará de la cosecha en los terrenos B y C. Segúnel tabulado del problema (recordemos que es de maximización), la cantidadde sacos (expresada en cientos de sacos) será así:
