آنهايكينامي حاكم بر پاسخ دي پارامترهاي در چرخ دنده ها و شناسائي لقبي عيمدلساز

فرزاد رفيعيان دانشكده مهندسي مكانيكدانشجوي كارشناسي ارشد

دانشگاه علم و صنعت ايرانir.ac.iust.mecheng@rafieian_f

حميد احمديان دانشيار دانشكده مهندسي مكانيك

دانشگاه علم و صنعت ايرانir.ac.iust@ahmadian

چكيده

خ چراميك معادله حاكم بر دين. مي باشداين مقالهموضوع چرخ دنده هامدل سازي ديناميكي و استفاده از آن براي تشخيص عيوب منبع اصلي ايجاد . از رفتار غير خطي مي باشديدنده يك معادله ديفرانسيل معمولي مرتبه اول است كه داراي جنبه هاي مختلف

در اين مقاله اين نيروها به كمك يك . برخورد دندانه ها در اثر وجود لقي مي باشدنيروهاي ناشي از رفتار غير خطي در اين معادله اين مدل پيش . شوند كه سرعت قبل از برخورد دندانه ها را در مكانيزم اتالف انرژي خود در نظر مي گيردتابع هيسترزيس مدل مي

از اين در كاربردهاي مختلفي از ديناميك اجسام استفاده شده است و در اين مقاله در راستاي استفاده در ديناميك چرخ دنده ها از در اين مقاله با ،مدل، شامل ضريب بازگشت، توان ترم سرعت، و توان ترم جابجائيپارامترهاي دخيل در اين . دشوآن استفاده مي

اين عمل با تعيين يك تابع هدف به عنوان نرم اختالف بين پاسخ هاي فركانسي بدست . استفاده از نتايج آزمايش شناسائي مي شوندنشان داده . يك پروسه بهينه سازي انجام مي گيردآمده از آزمايش و حل عددي، و مي نيمم كردن مقدار اين تابع هدف در طول

تطابق بسيار خوبي با نتايج آزمايش دارد و بدين ،شده است كه مدل با پارامترهاي شناسائي شده براي مساله ديناميك چرخ دنده ها .ر گرفته شودمشخص كننده وجود عيب لقي در سيستم به كاترتيب مي تواند با قابليت اطمينان باال براي تنظيم حدود

چرخ دنده، عيب يابي، غيرخطي، هيسترزيس، شناسائي پارامترها: واژه هاي كليدي

مقدمه - 1

متعدد ي هاي عملكرد با خرابني باشند، همواره در حي انتقال قدرت مي هاستمي سي اصلي شك از المان هاي دنده ها، كه بچرخ چرخ دنده ها تاكنون انجام شده است كه اهداف آنها كينامي دنهي در زميعيس وي مطالعاتي هاتي سبب فعالنيبد. مواجه بوده اند

بدون در نظر گرفتن ]2[ و ]1 [. پوشاندي را ميداري پازي و آنالزي از اهداف همچون كنترل نويعي بوده و محدوده وسري متغاريبس در مطالعات ]4[ و ]3[ نيهمچن. ارائه داده اند چرخ دنده ها كينامي دي خطي بر مدل سازي مرور كامل،يرخطي غكينامياثرات د

مطالعات هي كلانيدر م. چرخ دنده ها را ارائه نموده اندكينامي با داط مطالعه شده در ارتبي خطري موارد و اثرات غهي خود كلرياخده ها پرداخته اند و آشوبناك و منظم چرخ دني حركات ارتعاشي به بررسري از مطالعات اخي ارتباط، برخنيانجام شده در ا

.]10-5[ شده انجام داده اندشي آزماي هاي بر اساس تئوريمطالعات ي چرخ دنده اي هاستمي سهي در كليوجود لق. باشدي مقاله مني اي در چرخ دنده ها، موضوع اصلبي عني ، بعنوان مرسوم تريلق

دندانه ها گردد، ني ب1 تداخلدهي پدجادي تواند موجب اي ميكاف نازاني به مي حال لقنيدر ع. باشدي مي ضروريبه منظور روانكار. ندي برخورد نماگريكدي به اي جدا شده و گري حركت از همدني موجب آن است كه دندانه ها در حستمي در سزي از حد نشي بيو لق

ي اثرات زماننيا. گردنديكارافتادگ توانند موجب از ي و مندي آي به شمار مستمي سي برابيهر دو حالت ذكر شده فوق به منزله ع گسسته و به شكل متناوب در خالف جهت يكيناميحركات د ستم،ي سدر ي كه به واسطه وجود لقرندي گي مورد توجه قرار مشتريب

. گرددي شده و موجب برخورد دندانه ها مجادي استميچرخش در س به ني كه ا، باشدي دندانه ها ميري درگي سختي تناوبراتييغ تلي از قبي جفت چرخ دنده شامل مشخصاتكي يرخطي غكيناميد

با ري متغتي كمكي نه تنها يري درگيسخت. است دندانه ها يري از درگكلي سكي در ري درگيواسطه تناوب در تعداد دندانه ها يرخطيرا دچار اثرات غ ستمي حاكم بر سكينامي از لحظات حركت، دي دندانه ها در برخنيزمان است، بلكه بخاطر قطع تماس ب

. كندي منيي نسبت تماس چرخ دنده ها تعزاني را مدهي پدنيوقوع ا. دي نماي مديشد

معرفي مساله - 2

توان ي را مي جفت چرخ دنده ساده با وجود لقكي حاكم بر حركت يكينامي نشان داده شده است، معادله د1 كه در شكل همانگونه تماس در امتداد عمود بر سطح يروهاي ني مدل براني تري معادله، ابتدائنيدر استخراج ا. نوشتري ز بعد شده به صورتيبه شكل ب

].5 [ در نظر گرفته شده استي المان فنر خطكي از ي ناشيروي نيعنيتماس،

2 ( ) ( )f F tζ+ + =&& &y y y )1() در آن كه )F tشودي نوشته مري باشد و به شكل زي مي داخل وي خارجكي شامل هر دو تابع تحر :

2( ) sin( ) sin( )m aT T T ah h h hF t F F t F tφ φ= + Ω + + Ω Ω + )2(

1 Interference

Gear 1

Gear 2

Contact Zone

Backlash

متوسط بارگذاري خارجي mF ضريب ميرائي لزج، ζ، بي بعد شده زمان t، 2 تابع خطاي انتقال ديناميكيy رابطهنايدر ، ahF و ،1gd, 2gd( ،aTF ،Tφ ،TΩ(، و ابعاد )1gI, 2gI(ممان هاي اينرسي ، )1gT , 2gT( ناشي از گشتاورهاي خارجي

hφ ،hΩ ، عالمت . مي باشند3 استاتيكيخطاي انتقالدامنه نوساني، زاويه فاز، و فركانس تابع گشتاور خارجي و تابع به ترتيب )- ( . مي باشدtبر روي متغيرها نشان دهنده بي بعد بودن آنهاست و كليه مشتق گيري ها بر حسب

ي لقبي جفت چرخ دنده ساده همراه با عكي يكينامي مدل د : 1 شكل

) در رابطه فوق نيهمچن )f yي تابع تكه خطكي تماس، بعنوان ني بازگرداننده در حيروهاي ني مدل براني تري بعنوان ابتدائ : گرددي مفي تعرريتوسط رابطه ز

( ) 1

( ( ))( ( )) 0( ) 1

tf tf t

bt

−⎧⎪= = ⎨⎪ +⎩

yy

y

y

( ) 11 ( ) 1( ) 1

tt

t

> ⎫⎪− ≤ ≤ ⎬⎪< − ⎭

y

y

y

)3(

. نشان داده شده است2رابطه فوق به صورت شماتيك در شكل . د ميزان لقي مي باشbكه در آن

2 Dynamic transmission error 3 Static transmission error

Pinion 1gI , 1gd

Gear 2gI , 2gd

1gθ

2gθ

)(1 tTg

)(2 tTg

hc b2

hk Internal Excitation )(te

تابع تكه خطي نيروهاي بازگرداننده : 2 شكل در معادله فوق با ي ترم سختراتيي چرخش چرخ دنده، تغني دندانه ها در حيري درگيكيزي فدهي تر به پدنانهي نگرش واقع بكي در

: شودي نوشته مري تر در قالب رابطه زي به شكل عموميله لق شود و معاديزمان در نظر گرفته م

2 ( ). ( ) ( )w t f F tζ+ + =&& &y y y )4(

با تابع بيخواهد بود، كه در ترك) وابسته به زمانو بالتبع آن( به چرخش بسته وايتي كم،يري درگي سختزاني روش منيبد( )f y ي چرخ دنده ها،ي غلتشي هااتاقاني لي از قبي متعددي عملي كننده كاربردهااني ب،يرخطيغ /ي تابع تكه خطكيبعنوان

) تابع قتيدر حق. ]13، 12، 11[ باشد ي ها منگي از كالچ ها و كوپليساده و انواع مشخص )w t ي تناوبراتيي كننده تغانيب اتاقاني باشد و در ي مري در تعداد دندانه درگرييخ دنده ها به سبب تغ تناوب در چرنيا ].11[ است در محل تماس يري درگيسخت . استي در محل بارگذاري غلتشي در تعداد المان هاريي از تغي ناشي غلتشيها كاربرد مدلسازي ديناميكي در عيب يابي چرخ دنده ها -1- 2

و به ازاي يك بارگذاري مشخص، در حالتي كه لقي پاسخ فركانسي يك جفت چرخ دنده درگير را بر اساس مدلسازي فوق3شكل تحريك محور افقي اين نمودار كه مشخص كننده فركانس . در سيستم وجود دارد با حالتي كه لقي موجود نيست مقايسه مي كند

نوعي محور عمودي نيز مي تواند به. سيستم مي باشد، در حقيقت به نوعي بيان كننده سر عت دوراني سيستم دوار مي باشد سيستم همچون زبطور مثال يك پارامتر آماري از سيگنال ارتعاش ثبت شده ا(مشخص كننده ميزان كلي ارتعاش مجموعه باشد

rms .( در اولين نظر مشخص است كه در مقايسه با يك سيستم سالم بدون اثر لقي، يك جفت چرخ دنده معيوب در سرعت هاي .متفاوتي خواهند داشتدوراني متفاوت، رفتار ارتعاشي كامال

1 21 2 ( )

2 2g gd d

e tθ θ= − −y hk

b b−

( ( ))f ty

بدون اثر لقي) -(با اثر لقي، ) ●(پاسخ فركانسي يك جفت چرخ دنده درگير : 3 شكل

ابتدائي ترين كاربرد يك مدل ديناميكي در تشخيص يك جفت چرخ دنده معيوب از عملكرد سالم آن، مي تواند به طور مثال تعيين

در حين يك راه اندازي از سرعت صفر تا دور كاري و يا بالعكس در يك توقف سطح ارتعاش مجموعه در سرعت هاي كاري مختلف رد ليكن چنين مدل ديناميكي و پارامترهاي دخيل در آن بايستي لزوما براي مساله فيزيكي مو.از سرعت كاري تا سرعت صفر باشد

خطر را براي ميزان / هشدار/ حدود مجاز تنظيم شده و پارامترهاي آن به دقت شناسائي شده باشند تا بتوان بر اساس آننظر .ارتعاش ماشين مشخص نمود

بر اين اساس هرچقدر مدلسازي فيزيك حاكم بر مجموعه چرخ دنده واقع بينانه تر و با در نظر گرفتن جزئيات بيشتري از فيزيك

.حاكم باشد، تشخيص عيوب مختلف با دقت بشتر و قابليت اطمينان باالتري انجام خواهد گرفت هدف اين مقاله- 2- 2

در اين مقاله مدلسازي ديناميكي انجام شده توسط محققين پيشين، به منظور در نظر گرفتن جزئيات بيشتر از فيزيك حاكم بر ني در حري درگي چرخ دنده هاي دندانه هاني تماس بدهي پدراستا ني ادر. ديناميك چرخ دنده هاي درگير، توسعه داده شده است

از برخورد در معادله حاكم بر حركت ي ناشيروهاين. شودي با در نظر گرفتن اثرات برخورد در تماس مطالعه م،يعاشحركت ارت) ي توسط تابع تكه خطستمي سيكيناميد )f y دندانه ها را با يري تماس در محدوده درگهي ناحاقع تابع در ونيا. شوندي مانيب تماس در امتداد عمود بر سطح تماس را بدون در نظر يروهاي تنها ني خطنرالمان ف. دي نماي مي مدل سازي خطنر المان فكي

د و تنها ن شوي نمه اثرات اصطكاك در نظر گرفتزي نيقاتي تحقتي فعالنيدر ا. كنديگرفتن اثرات اصطكاك به معادله حركت وارد م . شودي گردد پرداخته مي مجادي آنها انيندانه ها ب برخورد دني كه در حس عمود بر سطح تمايروهايبه ن

يروي پي خطنر فكي شكل ريي تغ-روي عمود بر سطح تماس از رابطه نيروهاي برخورد، نني مختلف نشان داده اند كه در حمحققاناز مشخصات . باشدي واضح مري اصطالح غكي واژه تماس كني لد،ي آي تماس به حساب مي در واقع نوع،اگرچه برخورد. كنندينم

جادي حال اني و در عاد،ي و زعي و كند شدن سريري شتاب گع،ي به شكل سري توان مدت زمان كوتاه، اتالف انرژيبرخورد م

بازگرداننده يروهاي كننده ناني ترم بن،يشي پيقاتي تحقي هاتي از فعالياري بسدر]. 18 [ بزرگ در محل تماس را نام برديروهاين يري اخيقاتي تحقي هاتيفعال. در نظر گرفته شده استي خطنر فكيم بر حركت چرخ دنده ها مطابق با رفتار در معادله حاك

ني محققنيا. برده اندي تماس پدوده محي براي مدل سازنگونهي اي ها و كمبودهاتي به محدودكني ل]13[ و ]12[همچون از ي ناشيروهاي رابطه قبالً به منظور محاسبه ننيا. موده اند ناني بسيسترزي هيرخطي رابطه غكي برخورد را توسط يروهاين

.بكار گرفته شده استفلزي دو صفحه ني توپ بكيبرخورد

در راتيي هندسه اجسام برخورد كننده، تغلي از قبي اجسام موارد متعددني در برخورد بسيسترزي در نظر گرفتن اثرات ههنگام حاكم بر يرخطي در معادالت غي قبلني محققيبرخ. در نظر گرفته شوددي بارهيورد و غ برخورد، سرعت برخنيخواص مواد در ح

ي اجسام برخورد كننده كه بر خالف استوانه ايعالوه بر اثرات هندس. استفاده كرده اندسيسترزي چرخ دنده ها از مدل هكيناميد را در نظر رهيل مذكور اثرات سرعت برخورد، اصطكاك و غ در مدل به صورت كره در نظر گرفته شده اند، مدت،يشكل بودن در واقع

در نظر گرفته شده به واسطه ي برخورد، اتالف انرژيروهاي نبه از برخورد در رابطه محاسشي اثر سرعت پاني منيدر ا. نگرفته است . خواهد نمودكي افتد نزدي اتفاق متي به آنچه كه در واقعشتري را بسيسترزيه كه بر اساس رابطه ياضيمدل ر. پردازدي برخورد ميروي از برخورد در رابطه نشي اثرات در نظر گرفتن سرعت پيرس به برمقاله نيا

يرائي شده است كه مشنهادي ها پزمي مكانكينامي دنهي در زميگري دني گردند قبالً توسط محققي برخورد محاسبه ميروهايآن ن از يكي از برخورد بعنوان شياز آنجا كه مدل از سرعت پ. ردي گيام را در نظر م در برخورد اجسسيسترزيكل هي از سي ناشيرخطيغ

از آن را بهتر و ي بوجوده آمده ناشيروهاي دندانه ها و نني برخورد بدهي رسد كه پدي كند، به نظر مي خود استفاده ميپارامترها يرخطي تابع تكه غكي تماس، به عنوان يروهاي ني برايل مدنيبا در نظر گرفتن اثر چن. دي نماي مي مدل سازتي تر به واقعكينزد

(PN) ي بدست ميقاتي تحقتي فعالني جفت چرخ دنده در اي پاسخ فركانس،ي عدديري انتگرال گقيدر معادله حركت، و از طر .ديآ

بخش نيدر ا. پردازد ي چرخ دنده ها مي معادله حركت براكي بر سيسترزي با هيرخطي غيرائي اثرات مدل مي به معرفلوا بخش

تماس به ي سختيابستگو كه مشخص كننده ردي گي قرار مي مورد بررسكي پارامتركي با تحرستمي سكيناميمعادله حاكم بر د جينتابا در نظر گرفتن اثرات مدل فوق، با شده، جادي اي فركانسيپاسخ ها. باشديم) و متعاقباً به چرخش چرخ دنده ها(زمان

ي هاشي آزماي برخجي با نتاني بدست آمده همچنجينتا . خواهد شدسهي المان فنر مقاي برايگرفتن مدل خطحاصل از در نظر نشان داده خواهد شد كه نه تنها قي طرنيبد. خواهد شدسهي معادله حركت با كاربرد چرخ دنده ها مقاني چنيانجام شده بر رو

يكيزي فتي مدل واقعني بلكه ظاهر ادي نماي ميني بيشي پي را به خوبستمي برخورد رفتار سني حيروهاي ني شده براشنهاديمدل پ . كرده استيني بشي پزي بهتر نراديده پنيموجود در ا

ين قبلي، پارامتر هاي دخيل در مدل ديناميكي ارائه شده شناسائي خواهند قدر بخش دوم با استفاده از نتايج آزمايش موجود از محق

.ل مذكور براي تشخيص عيب لقي با استفاده از ميزان ارتعاش دستگاه تنظيم گرددد تا از اين طريق مدش

معادالت تكه ( PNTV معادله فوق در دسته معادالت ،]Qing long] 11 و Kahraman انجام شده توسطي دسته بندطبق ,PNTI, PLTV, PLTI) يعادالت مني انواع چنري با ساسهي كه در مقاشود يگفته م. رديگ ي قرار م) با زمانري متغيرخطيغ

CNTV, CNTI)قرار گرفته استي، معادله فوق كمتر مورد مطالعه و بررس . كي پارامتركيتحر -3 بازگردانندهيروهاي ني برايالمان فنر خط -1- 3

Kahraman و Blankenship ]6 [ني چنيرو بر ي متعددي هاشي حاكم بر چرخ دنده ها آزماكيزي فشتري فهم بيدر راستا آنها در مقاالت . نموده اندسهي مقايو حل عدد HB حاصل از حلجي خود را با نتاشي آزماجي انجام داده اند و نتايشيمجموعه آزما

بخش قصد بر آن است كه با اعمال مدل نيدر ا. ]8و7و6 [ ارتباط انجام داده اندني در اي كامل تري هاشي خود مجموعه آزمايبعد .مي شده، اثرات آن را مورد مطالعه قرار دهشي آزماستمي معادله حركت حاكم بر سي برخورد بر رويروهاين ي برايشنهاديپ

در نظر گرفته شد، معادله حركت ] 6[ با زمان، همانگونه كه توسطري متغي همراه با ترم سختي لقيرخطي در نظر گرفتن معادله غبا

در يي سرعت و جابجاهي اولي از شرط هايحل شد و محدوده ا Adams-Bashforth-Moulton يبا استفاده از روش عدد شي با آنچه كه از آزماستمي سي آنها پاسخ فركانسي كه به ازاي اهي قرار گرفت تا شروط اولي مورد بررس25/0 دقت با 3 و 0فاصله

ارائه شده ] Kahraman] 5 و Singh كه توسطيلي بر اساس دالي بررسنيا. شدنددايبدست آورده شده بود مطابقت داشت، پ شي حركت مطابق با آنچه كه از آزماي هامي آنها رژي بودند كه به ازاي اه در نظر گرفته شده بگونهيشروط اول. است صورت گرفت

مي رژ و،)ي حركت ارتعاشنيشدن دندانه ها در حنجدا (No-Separation ي حركتمي رژيعني ،بدست آمده بود استخراج شدند .)ي حركت ارتعاشني دندانه ها در حيجدائ( Separation يحركت

: باشدي مري تست شده بود از قرار ز، ذكر شدهيشگاهي حاكم بر آنچه كه در مجموعه آزمايكينامي دمعادله

( ) 2 ( ) {1 sin[ ]}. [ ( )] sin( )a T m aT T Tt t w t f t F F tζ φ+ + + Ω = + Ω +&& &y y y )5(

0aTF در آن كه = ،0.5mF 0.01ζ، و = ] ني همچن.= ( )]f ty يكه در آن ترم سختمحاسبه مي گردد، ) 3( توسط رابط . با زمان در نظر گرفته شده استريمتغ زمان به واسطه عمل باري متغي ترم سختي شده است كه مشخص كننده دامنه نوسانشي آزماaw مختلف ري مقادي به ازاستميس

ي و كاهش سرعت دورانشي افزالهيبوس] Blankenship] 6 و Kahraman توسطيشگاهي آزماجي نتانيا. باشدي ميريدرگ . داده شده اندشي نما4 در شكل جينتا. به دست آورده شده استستميس

ي به ازاشي دندانه ها با زمان كه از آزمايريرگ دي سختريي تغت و اثراي جفت چرخ دنده ساده با لقكي يپاسخ فركانس : 4شكل

0.20,0.15,0.10,0.05,0.02aw، ي نوسانات تابع سختزاني از مي مختلفريمقاد .]6 [ بدست آمده است≈

0.2aw يبه ازا Adams-Bashforth-Moulton يبه روش عدد) 5( از حل معادله پس هيل اوطي از شراي مجموعه ايو برا = انتخاب هي شرط اولي است كه به ازايجينتايكي از دي آي، آنچه كه به دنبال م25/0با دقت ] 0 3 [ در محدودهيسرعت و جابجائ

ش،ي دندانه ها، همانند آزماي حركت ارتعاشي بدست آمده براي هامي كه رژي معننيبد. ست مطابقت داشته اشي آزماجيشده با نتا طي از شراياري بسي رسد كه به ازاي نكته الزم به نظر منيذكر ا. بوده اند Separation و No-Separation ي حركتميشامل رژ

آمد يبدست م Back-collision از فركانس هايخ دندانه ها در بري حركت ارتعاشمي حل معادله فوق، رژي شده براشي آزماهياول . باشدي به دست آمده بود نمشيكه مطابق با آنچه كه در آزما

]6 [ انجام شده توسطشيماآز) □ (حل عددي) *(، ]1 0[با شرايط اوليه ] 5[پاسخ فركانسي معادله : 5 شكل

ي كه به خوبي به پاسخيابيبه منظور دست Adams-Bashforth-Moulton ي روش عددتي به دست آمده فوق قابلجي نتااز برخورد ارائه خواهد ني تماس در حي عموديروهاي ني براي مدليدر قسمت بعد. شديري گجهي تطابق داشته باشد نتشيبا آزما

ري تعبنينشان داده خواهد شد كه چگونه ا. بازگرداننده قرار خواهد گرفتيروهاي در محل نستميشد و در معادله حاكم بر س خواهد ي چرخ دنده ها همخوانيرخطي غستميس ي پاسخ فركانسي بر روشي حاصل از آزماجي تماس با نتايروهاي بهتر از نيكيزيف

كامل بر مدل يمرور . ضربه ارائه شده استكينامي مطالعه دي برايگري دني تماس توسط محققيروهاي ني مدل برانيا. داشت .ارائه شده است ] 17 و 16[ تماس در دهي پديكينامي ديساز

بازگردانندهيروهاي ني براسيسترزي هنرالمان ف -2- 3

به واسطه ي اتالف انرژي صورت مقدارني در اميري برخورد در نظر بگي را نوعري دو چرخ دنده درگي دندانه هاني تماس بچنانچه نقش زي سرعت برخورد دندانه ها ن، نگرشني با اني همچن. وجود خواهد داشتستمي شكل در سريي از برخورد و تغي ناشيرائيم

تلف يشتري بي برخورد كنند، انرژگريكدي به يشتريدر واقع هر چه دندانه ها با سرعت ب. شت اتالف خواهد داني ازاني در ميمهم .خواهد شد

ني ها در امزي مكانكينامي ديبرا، ]Nikravesh] 18 و Lankarani عمود بر سطح تماس توسطيروهاي ني ارائه شده برامدل

معادله حاكم بر ريرابطه ز. خط فشار بكار برده خواهد شديستا وارد شده از طرف دو دندانه در رايروي محاسبه نيبخش برا . باشدي مدل مني تماس مطابق با ايروهاين

2

( )

3(1 )[1 ]4

pn

Hertzef K δδ

δ −

−= +

&

& )6(

) رابطه ني در اكه )δ HertzK بازگشت، و بي ضرe ،ي فرورفتگنزاي مδ باشد، ي سرعت قبل از برخورد اجسام برخورد كننده م &− يروي در نظر گرفتن رابطه فوق بعنوان نبا . شوندي مشنهادي پكيزوتروپي همجنس از مواد اي گروههايتوسط قانون هرتز برا n و . خواهد بودريازگرداننده از معادله حركت از قرار ز بيروهاي تماس، ترم مربوط به ننيح

21.5

( )

21.5

( )

3(1 ) ( )( ( ) 1) .[1 ]4 ( )

( ( ))( ( )) 03(1 ) ( )[ ( ) 1] .[1 ]

4 ( )

e ttt

f tf tb

e ttt

−

−

⎧ −− +⎪

⎪⎪= = ⎨⎪ −⎪ + +⎪⎩

&

&

&

&

yy

yy

y

yy

y

( ) 1

1 ( ) 1

( ) 1

t

t

t

> ⎫⎪⎪⎪− ≤ ≤ ⎬⎪⎪

< − ⎪⎭

y

y

y

)7(

.دي نماي ماني ب6 را از قرار شكل ي فرو رفتگزاني و مروي نني رابطه بكي فوق به شكل شماتمعادله

]Nikravesh] 18 و Lankarani شده توسطشنهادي پي فرو رفتگزاني تماس بر حسب مي عموديروي ن :6 شكل

از آنجا كه . دهدي ذكر شده در باال نشان مي تماسيروي ني را به ازاي همراه با لقري جفت چرخ دنده درگيسخ فركانس پا7 شكل

برابر باي اوليهـــس به عنوان يك حدس مهند بازگشت در رابطه فوقبي افتد، ضري اتفاق مني دندانه ها در سرعت پائنيبرخورد بe = 0.99 انتخاب شده است.

با در نظر گرفتن المان فنر )*(با در نظر گرفتن المان فنر خطي براي نيروهاي تماس، ) *(، ] 5[پاسخ فركانسي معادله : 7 شكل

]6 [ انجام شده توسطشيماآز) □ (ترزيس براي نيروهاي تماس،سهي

Kahraman و Blankenship] 6[، مدل ي از سادگي را ناشي پاسخ فركانسي در شاخه باالئشي و آزمايلي تحلجي نتانيتفاوت ب دانند ي مي خارجي از نوسانات بارگذاري ناشني و همچنكينماتي كي ساخت، خطاي خطا،ي تماسيروهاي نيدر نظر گرفته شده برا

.ر گرفته شد برابر با صفر در نظي عددحل آنها جهت هيكه در معادله حاكم مقدار كل

شناسائي پارامترهاي مدل ديناميكي-4

كه رابطه حاكم بر اين نيروهاي تماس در مدل ديناميكي در نظر گرفته شده بخش اصلي معادله حركت را تشكيل مي دهند چراها از پارامترهاي مهم در بر اين اساس پارامترهاي دخيل بر ميزان اين نيرو. نيروها اثرات غيرخطي شديد به سيستم وارد كرده است

اصلي ترين p و e و nپيداست، پارامترهاي ) 6(همانگونه كه از رابطه . حركت ارتعاشي چرخ دنده هاي درگير به حساب مي آيند مقدار آنها ، مي باشند كه در بخش قبل براي بدست آوردن پاسخ فركانسي سيستمپارامترهاي تعيين كننده ميزان نيروهاي تماس

1.5nبنا بر يك حدس مهندسي اوليه برابر با = ،0.99e 1p، و = در اين بخش با استفاده از نتايج . در نظر گرفته شد= بين پاسخ هاي فركانسي بدست آمده از حل عددي و نتايج آزمايش و از طريق مي نيمم كردن فاصله] 6[شده توسط آزمايش ارائه

بدين طريق مدل ديناميكي ارائه شده با پارامترهاي شناسائي شده، كاربرد مناسب تري براي . اين پارامترها شناسائي خواهند شد .واهد كردتشخيص عيب لقي در چرخ دنده هاي درگير پيدا خ

تعريف مساله بهينه سازي- 4-1

، از )5(شناسائي پارامترهاي سيستم در اين مقاله از طريق مي نيمم كردن فاصله بين پاسخ هاي فركانسي نشان داده شده در شكل 0aTFپاسخ فركانسي بدست آمده از حل عددي در اين شكل به ازاي . نتايج آزمايش و حل عددي انجام مي گيرد = ،

0.5mF = ،0.2aw 0.01ζ، و = ]همچنين تابع . بدست آمده است) 5(دله ا در مع= ( )]f ty محاسبه مي ) 7( توسط رابطه] شكل بعنوان يك حدس اوليه بهگردد كه پارامترهاي دخيل در آن ] [0.99 1.5 1]e n p . در نظر گرفته شده است=

فوق، مقدار واقعي اين در اين بخش با اعمال يك پروسه بهينه سازي با هدف مي نيمم كردن فاصله بين پاسخ هاي فركانسي) 7(، در معادله p، و توان ترم سرعت nترم جابجائي ، توان eاين پارامترها شامل ضريب بازگشت . پارامترها شناسائي مي گردند

. دنمي باش

ير اين تابع را به شكل نرم اختالف بين دو پاسخ رابطه ز. تعريف مي شودp و n وeتابع هدف بعنوان تابعي از پارامترهاي .فركانسي بيان مي كند

2

1( , , ) ( )

NNumeric Experiment

i ii

Obj e n p FRF FRF=

= −∑ )8(

تابع هدف فوق در يك پروسه . داده آزمايشگاهي وجود دارد) 5( تعداد نقاطي است كه به ازاي آنها در شكل N=23در رابطه فوق

شود و از اين طريق پارامترهاي دخيل در سيستم به ازاي مي نيمم مقدار تابع فوق بهينه سازي به مي نيمم مقدار خود رسانده مي . شناسائي مي شوند

مي Separation و No-Separationداراي دو رژيم حركتي ) 5(الزم به ذكر است كه پاسخ فركانسي نشان داده شده در شكل

بر اين اساس . با پارامترهاي سختي و ميرائي متفاوت مي باشنداين دو رژيم حركتي در حقيقت دو سيستم مكانيكي مختلف . باشد

از اين مجموعه كه در نقطه موجود از داده هاي آزمايشگاهي و يك بار تنها براي نقاطي 23پروسه بهينه سازي يك بار براي كل اين . نداني با يكديگر نداشتنتايج بدست آمده از اين دو تحليل تفاوت چ. قرار مي گيرند انجام شدSeparationرژيم حركتي

. مي باشندSeparationموضوع روشن مي كند كه پارامترهاي دخيل در سيستم بيشتر متاثر از رفتار سيستم در رژيم حركتي نحوه بدست آوردن پاسخ فركانسي -4-2

عددي در طول يك بازه زماني به روش) 5(، رابطه )5(براي بدست آوردن هريك از نقاط پاسخ فركانسي نشان داده شده در شكل اين بدان معني است كه چنانچه براي يك نقطه فركانس تابع . برابر با زمان مورد نياز براي سه دور چرخش شافت حل شده است

3 باشد، بازه زماني براي حل عددي ifتحريك 50 1 if× كه تعداد سيكل هاي درگيري دندانه در نظر گرفته شده است، چرا ×با اين وجود چنانچه پس از اين بازه زماني پاسخ سيستم . سيكل مي باشد50ها در يك چرخش شافت برابر با تعداد دندانه ها يعني

مقادير .به حالت پايدار نرسيده باشد، مجددا طول اين بازه زماني افزايش داده خواهد شد و حل عددي مجددا انجام خواهد گرفت محاسبه شده از هارموني هاي سيگنال پاسخ سيستم بدست آمده rms، با استفاده از ]6[از آزمايش ) 5(نمايش داده شده در شكل

.، توسط رابطه زير تعيين مي گرددrA از سيگنال، rدامنه هارموني شماره . است

50 / 2

50 / 2

( ). ( )i

BWi i

rs BW

A X rs X rs+

= −

= ∑ % )9(

) در آن كه )iX rs 5( ضريب فوريه مختلط از پاسخ حوزه زمان بدست آمده از حل معادله( ،( )tyتعداد دندانه هاي . ، مي باشد

وج مختلط نشان دهنده مزد ) ˜( پهناي باند تحليلي بر حسب ضريبي از دور شافت، و عالمت BW، 50هر دو چرخ دنده برابر با در نظر گرفته شده بود، در اين مقاله نيز در نظر گرفته شد تا اثرات ] 6[ همانگونه كه در BW=4مقدار مرسوم . مي باشد

Sideband ها و Leakageميزان . ، بدين شكل در محاسبات وارد شوندrms معادل براي دامنه هارموني هاي مختلف به شكل .زير محاسبه مي گردد

2

1

R

rms rr

A A=

= ∑ )10(

در اين مقاله بجاي پروسه فوق . ماكزيمم تعداد هارموني هاي موجود در هر داده برداري را بكار گرفته است] rmsA ،]6در محاسبه

اي موجود در سيگنال را اين مقدار، متوسطي از سطح كليه هارموني ه. ميزان انحراف از ميانگين سيگنال در نظر گرفته شده است .مشخص مي كند

پروسه بهينه سازي- 4-3

داده آزمايشگاهي وجود دارد، پروسه بهينه ) 5(براي نقاطي كه به ازاي آنها در شكل ) 8(همانگونه كه بيان شد با تعريف تابع هدف ك حدس مهندسي اوليه، نقطه اوليه براي اين پروسه بعنوان ي. سازي براي مي نيمم ساختن تابع فوق اجرا شد

[ ] [0.99 1.5 1]e n p . نشان داده شده است) 5(پاسخ فركانسي به ازاي اين پارامترها در شكل . در نظر گرفته شد= . در نظر گرفته شده است) 1(محدوده مجاز براي تغييرات پارامترهاي فوق در پروسه بهينه سازي مطابق با جدول

در پروسه بهينه سازي) 6(ته شده براي پارامترهاي رابطه حدود در نظر گرف : 1جدول

Parameter Definition Upper Limit Lower Limit e Coefficient of restitution 1 0.9 n Power of displacement 3 1 p Power of Velocity 3 1

ميزان اوليه % 14,36اين پروسه مقدار تابع هدف را تا . استفاده شده استPattern Searchبراي پروسه بهينه سازي از الگوريتم

. كاهش پيدا كرده است054158/0 به 37741/0اين بدين معني است كه مقدار تابع هدف از . تكرار كاهش داد33آن در طول . يل و مقدار تابع هدف را در طول پروسه بهينه سازي نشان مي دهدروند تغيير پارامترهاي دخ) 8(شكل

)ج) (ب) (الف (

)د(

، ضريب بازگشت ▬ )ب(، توان ترم سرعت▬ )الف(بهينه سازي، روند تغيير پارامترهاي بي بعد شده در طول پروسه ) : 8(شكل تابع هدف) د(، توان ترم جابجائي▬ )ج(

en

p

ميزان % ١۴/٣۶ اوليه

] آن همگرا شده است از قرار مترهائي كه اين پروسه در انتها بهمجموعه پارا ] [ ]11094.195753.0=pneمي باشد .. با پاسخ فركانسي بدست آمده از آزمايش مقايسه مي نمايدپاسخ فركانسي سيستم را به ازاي اين مجموعه از پارامترها ) 9(شكل

همچنين در اين شكل پاسخ فركانسي سيستم به ازاي پارامترهاي اوليه در پروسه بهينه سازي نيز جهت مقايسه نشان داده شده .است

به ازاي پارامتر هاي ) ●(سازي، به ازاي پارامترهاي همگرا شده در انتهاي پروسه بهينه ) ●(پاسخ فركانسي سيستم ) : 9(شكل

]6[نتايج آزمايش ) □(اوليه،

عالوه بر آن . دارد] 6[همانگونه كه از شكل واضح است، مدل با پارامترهاي شناسائي شده تطابق بسيار خوبي با نتايج آزمايش كاهش يافته 094/1 به) 5(ر معادله ميزان توان ترم جابجائي د. مجموعه پارامترهاي بدست آمده از لحاظ فيزيكي منطقي مي باشند

ميزان اين پارامتر براي پديده هاي تماس خطي مانند آنچه كه بين دو دندانه اتفاق مي افتد، توسط محققين ديگري نيز برابر . است ].19[ پيشنهاد شده است 1با گيرينتيجه - 5

معادله حاكم بر ديناميك چرخ دنده ها براي . له انجام شدمدلسازي ديناميك چرخ دنده ها به منظور تشخيص عيب لقي در اين مقامدل در نظر گرفته شده براي نيروهاي تماس اتالف انرژي از . در نظر گرفتن نيروهاي ناشي از برخورد در اين مدل باز بيني شد

مدل در رابطه خود ميزان اين. طريق مكانيزم هيسترزيس را ناشي از برخورد دندانه ها در اثر وجود عيب لقي در نظر مي گيردساير . سرعت قبل از برخورد دندانه ها را در ترم اتالف انرژي به شكل تابعي از ضريب بازگشت در برخورد به حساب مي آورد

اين پارامترهاي دخيل در پاسخ ديناميكي سيستم . پارامترهاي كليدي مدل فوق عبارت اند از توان ترم سرعت و توان ترم جابجائي

فاده از نتايج آزمايش در طول يك پروسه بهينه سازي براي مي نيمم كردن فاصله بين پاسخ هاي فركانسي بدست آمده از با استنشان داده شد كه پاسخ فركانسي سيستم به ازاي پارامترهاي شناسائي شده تطابق بسيار . آزمايش و حل عددي، شناسائي شدند

.خوبي با نتايج آزمايش دارد

مراجع

[1]. HN. Ozguven and DR. Houser (1988), ' Mathematical models used in gear dynamics—A review', Journal of Sound and Vibration, 121(3), 383–411. [2]. R. Li and J. Wang (1997), ' Geared System Dynamic—Vibration, Shock and Noise ', Science Press, Beijing. [3]. J. Wang and R. Li and X. Peng (2003), 'Survey of Nonlinear Vibration of Gear Transmission Systems', Applied Mechanics Review, 56(3), 309-329. [4]. A. Parey and N. Tandon (2003), ' Spur Gear Dynamic Models Including Defects: A Review ', The Shock and Vibration Digest, 35(6), 465-478. [5]. A. Kahraman and R. Singh (1990), 'Non-linear dynamics of a spur gear pair', Journal of Sound and Vibration, 142(1), 49–75. [6]. G. W. Blankenship and A. Kahraman (1995), ' Steady state forced response of a mechanical oscillator with combined parametric excitation and clearance type non-linearity', Journal of Sound and Vibration, 185(5), 743-765 [7]. A. Kahraman and G.W. Blankenship, 'Experiments on nonlinear dynamic behavior of an oscillator with clearance and periodically time–varying parameters', ASME Journal of Applied Mechanics, 64, 217–226. [8]. A. Kahraman and G.W. Blankenship (1996), 'Interactions between commensurate parametric and forcing excitations in a system with clearance', Journal of Sound and Vibration, 194(3), 317–336. [9]. N. Sarkar and R. E. Ellis and T. N. Moore (1997), ' Backlash Detection in Geared Mechanisms : Modeling, Simulation, and Experimentation', Mechanical Systems and Signal Processing, 11(3), 391-408. [10]. M. H. Chen and M. J. Brennan (2000), 'Active Control of Gear Vibration using specially configured sensors and actuators', Smart Material Structure, 9, 342-350.

[11]. Ma. Qinglong and A. Kahraman (2005), 'Period-one motions of a mechanical oscillator with periodically time-varying, piecewise-nonlinear stiffness', Journal of Sound and Vibration, 284, 893-914. [12]. T.C. Kim, T.E. Rook and R. Singh (2005), 'Super- and sub-harmonic response calculations for a torsional system with clearance nonlinearity using the harmonic balance method', Journal of Sound and Vibration, 281(3-5), 965-993. [13]. T.C. Kim, T.E. Rook and R. Singh (2005), 'Effect of nonlinear impact damping on the frequency response of a torsional system with clearance', Journal of Sound and Vibration, 281(3-5), 995-1021. [14]. R. J. Comparin and R. Singh (1989), ' Nonlinear frequency response characteristics of an impact pair ', Journal of Sound and Vibration, 134, 259-290. [15]. Hertz, H., Gesammelte Werke, Vol. 1, Leipzig, Germany, 1895. [16]. G. Gilardi and I. Sharf, (2002) ' Literature survey of contact dynamics modeling ', Mechanism and Machine Theory, 37,1213-1239. [17]. S. Faik and H. Witteman (2000), ' Modeling of Impact Dynamics : A literature Survey', International ADAMS Users Conference. [18]. H.M. Lankarani, P.E. Nikravesh (1990), ' A contact force model with hysteresis damping for impact analysis of multi-body systems', Journal of Mechanical Design 112, 369–376. [19]. Nilanjan Sarkar, Randy E. Ellis, Thomas N. Moore, ' Backlash Detection in Geared Mechanisms: Modeling, Simulation, and Experimentation ', Mechanical Systems and Signal Processing, 11(3), 391–408.