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XIV SEMINARIO IBEROAMERICANO DE REDES DE AGUA Y
DRENAJE
Previsão de demanda em tempo real usando Série de Fourier
Adaptativa
Bruno Melo Brentan (1) Edevar Luvizotto Jr (2), Joaquin Izquierdo Sebastían (3),
Rafael Perez-García (4) (1) FEC-Unicamp, Campinas, São Paulo, Brasil, [email protected]
(2) FEC-Unicamp, Campinas, São Paulo, Brasil, [email protected]
(3) FluIng-IMM, Universtitat Politècnica de València, Valencia, Spain, [email protected]
(4) FluIng-IMM, Universtitat Politècnica de València, Valencia, Spain, [email protected]
RESUMO. A importância da previsão de demanda de agua aumenta com a complexidade dos
sistemas de abastecimento. Diversos métodos para previsão de demanda foram propostos na
literatura, destacando-se os métodos baseados em analise de séries temporais e em Redes
Neurais Artificiais, esses últimos necessitam estudo detalhado das variáveis e escolha da melhor
arquitetura para a obtenção de resultados confiáveis. Esse trabalho apresenta um método de
correlação de dados, Série de Fourier, aplicado à previsão de demanda em tempo real com
atualização simultânea dos coeficientes da série. Um distrito real de abastecimento de água foi
analisado pelo método mostrando boa aproximação entre os valores medidos em campo e os
valores previstos. O ponto mais interessante dessa aplicação está na agilidade de calculo e pela
ausência do uso de informações dos fatores físicos eu influenciam na demanda de água.
ABSTRACT. The relevance of the water demand forecasting increases with the complexity of
the water supply systems (WSSs). Several methods to water demand forecasting were proposed
and the main methods are based on time-series analysis and Artificial Neural Network data
fitting, those need a detailed study of the variables and the choice of the best architecture of
neural network to have significant results. This work presents a known method of correlation
data, Fourier Series, applied to real-time forecasting of the demand, with a real time
actualization at the series coefficients. A real district of water supply was analyzed by this
method showing a good approximation of the measured and forecasted values. The most
interesting point of the application is the agility of calculation and the without need to have
information of the factors those influence at water demand.
Palavras Chave: Redes de abastecimento de água, Previsão de demanda em tempo real, Série de
Fourier.
Key-Words: Water Supply Networks, Real Time Forecasting, Water Demand, Fourier Series
INTRODUÇÃO
A previsão da demanda de água é necessária não só para o planejamento e projeto de novos
sistemas de abastecimento de água (SAAs), mas também para a operação e o gerenciamento dos
sistemas existentes. As companhias de abastecimento de água devem saber o comportamento da
demanda em tempo real para poder operar e gerenciar os sistemas com segurança, atendendo às
demandas ao menor custo possível. Normalmente a operação do SAA usa a previsão a curto
prazo no intuito de tomar decisões sobre bombas e válvulas, com a vantagem de que a demanda
em tempo real inclui também as perdas físicas dos sistemas, o que pode ser útil às empresas
para uma gestão mais bem adequada de fugas e consequentemente redução de custos
operacionais (Alvisi, Francini & Marinelli 2007). Assim, um modelo de previsão em tempo real
preciso pode ajudar o operador a identificar vazamentos uma vez que a demanda real divirja de
maneira significante da demanda prevista (Odan & Reis, 2010).
Tradicionalmente, ferramentas de inteligência artificial como Redes Neurais Artificiais (RNAs),
tem sido utilizadas para essa finalidade. O uso das RNAs se consolidou com aplicações
desenvolvidas por diversos pesquisadores e permitiram uma maior facilidade nos procedimentos
das empresas de abastecimento (Tiwari & Adamowski, 2014), Todavia, na maior parte das
aplicações das RNA, o processo de treinamento é difícil e requer um estudo estatístico das
variáveis envolvidas no problema.
Trabalhos recentes utilizam como variáveis de entrada a temperatura, pluviosidade, umidade e
fatores sociais para a previsão de demanda e aplicado não só arquiteturas de RNAs, mas
também outros métodos baseados em aprendizado de máquinas (Bougadis, Adamowski &
Diduch, 2005), (Firat, Yurdusev, & Turan, 2009), (Herrera, Torgo, Izquierdo & Perez-Garcia,
2010), ou modelos híbridos (Odan & Reis, 2010). Contudo, poucos estudos apresentam a real
correlação entre a demanda e esses fatores. O uso dessas ferramentas pode ser prejudicado se a
correlação real não é conhecida, isso porque, uma vez treinada, a resposta obtida de uma RNA
pode ser correta do ponto de vista matemático, mas sem real ligação com o problema físico.
A análise da demanda medida em um setor mostra que o consumo de água pode ser considerado
como uma série temporal quase periódica. Além disso, se o setor medido for um setor
residencial, a flutuação da demanda é normalmente conhecida. Analisando-o é possível
verificar que o maior dessa série de tendência é normalmente de uma semana, ainda que exista
um ciclo menor, cujo período é de um dia (An, Shan, Cercone & Ziarko, 1995).
Para mostrar o comportamento geral de demanda dessa região, a figura 1 apresenta o consumo
de água durante uma semana, a saber, 07 a 13 de janeiro de 2013. É possível observar que o
ciclo de consumo se repete ao longo dessa. Tal periodicidade do consumo de fica mais evidente
quando observada sob a representação em coordenadas polares, proposta por Yang (2007,2015).
A análise de demanda de água apresentada nesse trabalho usa uma série temporal real, obtida
com a medição do consumo em um setor residencial da cidade de Franca, Estado de São Paulo,
Brasil. A medição foi realizada a cada 20 minutos ao longo de 26 meses.
Sendo o volume total consumido em um dia dado por r e o dia da semana representado por θ,
normalizado entre 0 e 2π, um ponto de consumo por ser representado em coordenadas polares
pelas transformações apresentadas pela equação (1) e (2):
𝑥 = 𝑟. cos(𝜃) (1)
𝑦 = 𝑟. 𝑠𝑒𝑛(𝜃) (2)
O gráfico da figura 02 apresenta o consumo de duas semanas seguidas em coordenadas polares.
Nota-se assim a quase periodicidade ao longo de uma semana com desvios dos efeitos externos
na demanda, como temperatura, pluviosidade ou umidade do ar.
Figura 1. Demanda de água ao longo 7 dias, representação convencional (07/01/13 a 13/01/13)
Figura 2. Volume consumido de água por dia, ao longo de 2 semanas, representação em
coordenadas polares (07/01/13 a 20/01/13)
Utilizando a mesma representação polar aplicada ao consumo diário, a figura 03 apresenta
quatro dias de uma mesma semana, a saber, 07 e 18 de janeiro de 2013. Comprovando a
observação de An, et al. (1995), o consumo diário também é quase periódico. Ainda vale
observar que a variação da demanda de água entre dois pontos de medição não tem uma
mudança expressiva.
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
1 2 3 4 5 6 7 8
De
man
da
de
águ
a (l
/s)
Dia da Semana
SexQuiQuaTer DomSábSeg
-2500
-2000
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
-2500 -2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000 2500
Y=r
.se
n(θ)
X=r.cos(θ)
07/01 a 13/01
14/01 a 20/01
Seg
Ter
Qua
Qui
Sex
Sáb
Dom
Figura 3. Demanda de água diária em coordenadas polares
Há que se observar a mudança no comportamento da demanda entre dias normais e finais de
semana. Essa significativa mudança faz com que o ciclo completo de demanda seja semanal,
ainda que, ao longo de um dia, haja significativa periodicidade.
Evidenciando comportamento ao longo do dia, na tentativa de obter uma forma alternativa ao
formato estatístico da análise de entrada de dados para previsores de demanda, este trabalho
apresenta um conhecido método de correlação de dados, Série de Fourier, aplicado à previsão de
demanda em tempo real com atualização constante dos coeficientes da série. Em outras palavras
os coeficientes são reajustados a cada iteração e assim apresentando uma nova aproximação
para a demanda.
MATERIAIS E MÉTODOS
A formulação matemática apresentada por Luvizotto Jr. (1992) mostra o ajuste trigonométrico,
uma forma de ajustar pontos por senos e cossenos espaçados de maneira irregular. O autor
mostra que o mesmo ajuste trigonométrico com espaçamento regular entre os pontos, é o ajuste
por Serie de Fourier. Assim, para pontos igualmente espaçados, normalizados pela equação (3),
a Série de Fourier pode ser escrita como apresenta a equação (4).
𝑥𝑖 = 2.𝜋.𝑖
𝑁 (3)
Em que xi é a abscissa normalizada no intervalo [0,2π], i é a posição do ponto no intervalo de
validação e N é o numero total de pontos dentro do intervalo de avaliação.
𝑓(𝑥𝑖) = 𝑎0 + ∑ (𝑎𝑗 . cos (𝑗. 𝑥𝑖) + 𝑏𝑗 . sen (𝑗. 𝑥𝑖)𝑀𝑗=0 (4)
Onde f(xi) é o valor da função aproximada pela Série de Fourier, j é o j-ézimo termo da série
com M termos e aj e bj são os coeficientes ajustáveis da série.
Considerando-se que d seja a demanda medida em campo e d* a demanda calculada pelo
método, o erro quadrático e pode ser escrito pela equação (5):
𝑒 = (𝑑 − 𝑑∗)2 (5)
Ou substituindo d* na forma apresentada pela equação (4):
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30
Y=(
r.se
nθ
)
X= (r.cosθ)
Seg
Ter
Sex
Dom
12h00
18h00
0h00
06h00
𝑒 = (𝑑 − 𝑎0 + ∑ (𝑎𝑗 . cos (𝑗. 𝑥𝑖) + 𝑏𝑗 . sen (𝑗. 𝑥𝑖)𝑀𝑗=0 )
2 (6)
Aplicando o método dos mínimos quadrados para obter os termos da série, o sistema linear a ser
resolvido pode ser encontrado pela equação (7):
[
𝜕𝑒
𝜕𝑎0
𝜕𝑒
𝜕𝑎𝑗
𝜕𝑒
𝜕𝑏𝑗]
= [0] (7)
Segundo Ralston (1978), mostra que a ortogonalidade entre senos e cossenos resulta nas
condições expressas pelas equações (8), (9) e (10):
∑ sen(𝑗. 𝑥𝑖) . sen(𝑘. 𝑥𝑗)𝑁𝑖=1 = {
0 para 𝑗 ≠ 𝑘𝑁
2para 𝑗 = 𝑘 ≠ 0
0 para 𝑗 = 𝑘 = 0
(8)
∑ cos(𝑗. 𝑥𝑖) . cos(𝑘. 𝑥𝑗)𝑁𝑖=1 = {
0 para 𝑗 ≠ 𝑘𝑁
2para 𝑗 = 𝑘 ≠ 0
0 𝑓𝑜𝑟 𝑗 = 𝑘 = 0
(9)
∑ sen(𝑗. 𝑥𝑖) . cos(𝑘. 𝑥𝑗)𝑁𝑖=1 = 0 para todo 𝑗, 𝑘 (10)
Com as quais, a equação (6) resulta no sistema linear apresentado pela equação (11):
[
𝑁 0 0
0 𝑁2⁄ 0
0 0 𝑁2⁄
] . [
𝑎0
𝑎𝑗
𝑏𝑗
] = [
∑ 𝑑𝑖𝑁𝑖=𝑖
∑ 𝑑𝑖 . cos (𝑗. 𝑥𝑖)𝑁𝑖=𝑖
∑ (𝑑𝑖 . 𝑠𝑒𝑛(𝑗. 𝑥𝑖)𝑁𝑖=𝑖
] (11)
A solução do sistema linear é direta e resulta nas seguintes expressões (12), (13) e (14) para os
coeficientes a0, aj e bj:
𝑎0 =∑ 𝑑𝑖
𝑁𝑖=1
𝑁 (11)
aj = 2.∑ di.cos (j.xi)
Ni=1
N (12)
𝑏𝑗 = 2.∑ 𝑑𝑖.sin (𝑗.𝑥𝑖)
𝑁𝑖=1
𝑁 (13)
Com os coeficientes da série calculados e conhecendo o comportamento da demanda durante o
dia, a equação (4) pode ser usada para a previsão de demanda. Essa equação tem a informação
da demanda até o passo de tempo N, e observando o comportamento diário da demanda é
possível confirmar que não há expressivas alterações entre um passo de tempo N e um passo de
tempo N+1. Então a demanda d* é prevista os coeficientes ajustados e aplicando-os ao passo
N+1.
Como observado no gráfico da figura 1, a diferença real entre a demanda em um passo de tempo
N e um passo de tempo N+1 é pequena, e isso garante que a aplicação do método não leve a um
erro significativo. Quando a distância entre o intervalo de ajuste dos coeficientes da série e o
passo de tempo a ser previsto aumenta, os erros de previsão certamente aumentarão. Assim
para que esse erro não aconteça, a cada passo de tempo atualizam-se os coeficientes da série
incrementando para o ajuste, a demanda medida no passo de tempo anterior e movendo a janela
de dados. A nova janela de dados incorpora o valor real da demanda medida no tempo N+1.
Para ilustrar esse processo de atualização a figura 4 mostra a previsão de demanda para dois
passos de tempo seguidos.
Figura 4. Esquema de previsão de demanda com parâmetros atualizados
A avaliação do modelo é feita com parâmetros estatísticos aplicados a outros métodos de
previsão de demanda como, erro quadrático médio (RMSE), coeficiente de correlação (R²) e o
erro percentual de média absoluta (MAE %), seguindo a proposta de análise de sensibilidade
de Alvisi, et al. (2007). O RMSE e o MAE% são obtidos pelas equações (15) e (16).
𝑅𝑀𝑆𝐸 = √1
𝑛∑ (𝑑𝑖 − 𝑑𝑖
∗)𝑛𝑖=1 (14)
𝑀𝐴𝐸% = 1
𝑛. ∑ |
𝑑𝑖−𝑑𝑖∗
𝜇𝑜𝑏𝑠|𝑛
𝑖=1 . 100 (15)
em que d e d* são as demandas medida e prevista , respectivamente, no passo de tempo i, n é o
numero de pontos avaliados e 𝜇𝑜𝑏𝑠 é a média da série observada.
O RMSE e o MAE% ajudam a avaliar a acurácia do modelo. O erro quadrático médio avalia o
desvio direto entre a demanda prevista e medida em campo, enquanto, a erro percentual de
média absoluta avalia a variação da demanda prevista comparada a media da série analisada.
Finalmente o coeficiente de correlação que é obtido por regressão linear entre a demanda
prevista e medida.
APRESENTAÇÃO DE RESULTADOS
Essa seção apresenta a aplicação da Série de Fourier Adaptativa a três diferentes períodos com
comportamentos diferentes de demanda.
O primeiro teste, T1, utilizou dados de campo obtidos entre 01/03/2012 e 03/03/2012. O ajuste
inicial de termos foi feito com os dados do primeiro dia. O gráfico apresentado na figura 05
mostra o comportamento da demanda no dia em que foi feita a previsão, comparando com a
demanda real. Para conhecer o potencial de aplicação do método, avaliaram-se três números
diferentes de termos para a série de Fourier. A tabela 01 apresenta os parâmetros estatísticos de
avaliação dos dados. A figura 06 apresenta a correlação linear entre a previsão de demanda feita
com 15 termos da série de Fourier e a demanda medida. Nota-se a proximidade da relação
linear, evidenciando o bom desempenho do método.
Figura 5. Previsão de demanda e comparação com valores reais para o teste T1
Figura 6. Correlação entre demanda prevista e demanda medida.
Tabela 1. Parâmetros estatísticos de avaliação para o teste T1
Numero de Termos RMSE (l/s) R² MAE%
5 1,07 0,9828 2,83
10 0,76 0,9925 2,01
15 0,65 0,9943 1,72
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0 12 24 36 48 60 72
De
man
da
pre
vist
a (l
/s)
Intervalo de medição
5
10
15
Real
15
20
25
30
35
40
15 20 25 30 35 40
De
man
da
pre
vist
a (l
/s)
Demanda real (l/s)
O teste T2 empregou dados obtidos entre 12/02/2014 e 15/02/2014. Também para o primeiro
ajuste dos parâmetros da série de Fourier utilizou-se o primeiro dia desse período. A figura 7
mostra o gráfico de evolução da demanda prevista com números distintos de termos na série. A
figura 8 apresenta a correlação linear entre a demanda prevista e medida, enquanto a tabela 2
mostra os parâmetros estatísticos que avaliam a acurácia do método para o caso aplicado.
Figura 7. Previsão de demanda e comparação com valores reais para o teste T2
Figura 8. Previsão de demanda e comparação com valores reais para o teste T2
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0 12 24 36 48 60 72
De
man
da
pre
vist
a (l
/s)
Intervalo de medição
5
10
15
Real
10
15
20
25
30
35
40
45
50
10 15 20 25 30 35 40 45 50
De
man
da
real
(l/
s)
Demanda prevista (l/s)
Tabela 2. Parâmetros estatísticos de avaliação para o teste T3
Número de Termos RMSE (l/s) R² MAE %
5 0,95 0,9894 2,40
10 0,65 0,9960 1,56
15 0,54 0,9974 1,26
Por fim, o teste T3 empregou dados de campo obtidos entre 15/04/2014 e 17/04/2014, que
apresenta um pico de demanda diferente do padrão esperado é apresentado no gráfico da figura
9. Nota-se que para esse exemplo um numero maior de termos da série de Fourier foi necessário
para descrever de maneira mais próxima do real o comportamento da descarga instantânea. O
gráfico da figura 10 apresenta a correlação linear entre a demanda prevista e medida e por fim,
tabela 03 apresenta os parâmetros estatísticos de avaliação do método.
Figura 9. Previsão de demanda e comparação com valores reais para o teste T2
Figura 10. Previsão de demanda e comparação com valores reais para o teste T3
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0 10 20 30 40 50 60 70 80
De
man
da
pre
vist
a (l
/s)
Intervalo de medição
5
10
15
25
Real
15
20
25
30
35
40
45
50
15 20 25 30 35 40 45 50
De
man
da
real
(l/
s)
Demanda prevista (l/s)
Tabela 3. Parâmetros estatísticos de avaliação para o teste T3
Número de termos RMSE (l/s) R² MAE%
5 1,7 0,8981 5,91
10 1,15 0,9094 2,74
15 0,85 0,9178 1,97
25 0,45 0,9229 1,17
ANALISE DOS RESULTADOS
A avaliação dos três casos evidencia a capacidade da Série de Fourier aplicada a previsão de
demanda no sistema de abastecimento de água. O primeiro e segundo casos apresentam uma
série com consumo padrão de consumo. Nesses casos a série apresentou um bom desempenho,
mesmo com poucos termos e evidencia o aumento no numero de termos aumenta o desempenho
de previsão. Isso pode ser verificado pelas tabelas de parâmetros estatísticos, uma vez que os
desvios diminuem significativamente com o incremento do número de termos da série e o
coeficiente de correlação aumenta, chegando a valores de 0,99. O esforço computacional para a
previsão utilizando o método proposto é baixo, o que possibilita o uso de um grande numero de
termos da série.
O terceiro caso uma descarga atípica pode ser observada no sistema. Alguma manobra de
manutenção ou um consumo incomum é observado nesse período. Para esse caso, o numero
reduzido de termos da serie de Fourier não foi capaz de representar de maneira adequada o
comportamento da demanda. Para reproduzir a demanda de maneira eficaz se fez necessário o
aumento do numero de termos na série.
Para consumos comuns, o método apresentou resultados satisfatórios, o erro quadrático médio e
o erro percentual médio absoluto diminuíram significantemente com o aumento do numero de
termos da série e o coeficiente de correlação em todos os casos esteve acima de 0,98.
Para o consumo incomum observado no teste três, o método necessitou de mais termos para
fazer uma boa previsão de demanda. Entretanto a correlação dentre a demanda prevista e
medida foi acima de 0,92, o que aponta para o desempenho satisfatório. A capacidade de prever
a demanda em intervalos críticos está associada à habilidade da serie em reproduzir picos e
fazer boa interpolação de dados.
CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES
A previsão de demanda de água é um dos mais importantes desafios operacionais e de gestão
dos sistemas de abastecimento de água. Diversos métodos estatísticos e computacionais foram
propostos para resolver esse problema, e recentemente o uso de ferramentas de inteligência
artificial vem sendo aplicado.
Esse trabalho apresentou uma abordagem diferente da tradicional para a previsão de demanda
de água. Uma ferramenta simples e conhecida de correlação de dados, por meio de Série de
Fourier, foi aplicada. A principal motivação para o uso da serie foi a facilidade e a rapidez de
calcular os parâmetros e a sua aplicabilidade para futuros modelos de controle em tempo real.
Os resultados mostrados aqui validam da ferramenta e mostram um diferente caminho para a
previsão de demanda para sistemas de abastecimento de água, sem o conhecimento direto dos
fatores que influenciam na demanda, como temperatura, pluviosidade ou umidade do ar.
AGRADECIMENTOS
Os autores (1) e (2) agradecem a CAPES pela bolsa de doutorado concedida pelo plano PDSE,
ao grupo FluIng, na figura dos autores (3) e (4) pela acolhida e cumplicidade no
desenvolvimentos dos atuais trabalhos e à SABESP, pelo fornecimento dos dados.
REFERÊNCIAS
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demand forecasting, Journal of Hydroinformatics, 09.1; 39-50.
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demand prediction, Proceedings in the Workshop on Machine Learning and Expert System
(IJCAI’95), pp. 187–202.
Bougadis, J., Adamowsky, K. and Diduch R. (2005), Short-term municipal water demand
forecasting, Hydrological Process, 19, 137-148.
Firat, M., Yurdusev, M., and Turan, M. (2009), Evaluation of artificial neural network
techniques for municipal water consumption modeling. Water Resour. Manage., 23(4), 617–
632. 2009.
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Luvizotto Jr. E. (1991), Representação Analítica Das Curvas Características Das Maquinas
Hidráulicas Para Simulações Computacionais Master Thesis. University of São Paulo.
Ralston, A. (1978), A first Course in Numeriucal Analysis. McGrow-Hill Book Company.
Odan, F. K. and Reis, L. F. R. (2012), Hybrid Water Demand Forecasting Model Associating
Artificial Neural Network with Fourier Series; J. Water Resources Planning Management
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Tiwani M. K. and Adamowski, J. F. (2014), Medium-Term Urban Water Demand Forecasting
with Limited Data Using an Ensemble Wavelet–Bootstrap Machine-Learning Approach;
Journal of Water Resources Planning and Management, 10.1061.
