Excudebat Gratiofus Perchacinus

PROCLI DIADOCHIL T C I I

PHILOSOPHI PLATONICIA C

MATHEMATICI PROBATISSIMII N

f M y TU E y C L l DISEltmtnmKm libr»m

MMENTARIORA D

VNIVERSAM MATHEMATICAM DISCIPLINAMmiHiipiyH gitPDiTiomt tk^oiktwu

Lihti llll.

APRANCISCO BAROCIO PAT

ILmnu opera,cun,ic diligentia OJnAii tnendit expurgati : Seholiu,& Figuna,<]Uf

10 gr;co codice omnes delidcrabantnr aiiui:primum ia Romang

liogue venullace donati,& luoc recens editi

.

Cm Dieriim, Kr yhiirim llliiliriiim, dttfHt ^mtrurn :

ElichclitrerSp]»i ytlnb Inttrfrete citdtifint i

er IiiJict Utaflni mtdkilium vmmm i» tptre comtiutrmm

.

CyM V\iyiLEG 10.

VINCENTII CARDINI FLORENTINI-VCARMINA IN PROCLI, SIMVl BT '

IHTESJPH^ZTIS C07»7HEKD^IOHE31. .

* '

I-ECTOE^EM, DETrocto ctftrt fosfit vri/iuicm .

l-iVf»r fifltndm CKfus l*m fiirt Mabefin ,

Efft Gnmeires non nni$,dijit yidm.

Tefocium Vroclofummis uuue yiriius udtlf,

Huucj, Jlutle nunilms yelutreJicft luis

.

Omutmfummuiim trucut , yclDo^mutupldlo

iiutfcrtffit mguus,<fue 'ycl^lfioiclts

.

VtlUtkkobfcutdS Umbotum lucidus ymbrus.Es frobut, cr rrprobutm ruiiout lufuns

,

Crede mihi, meliusuon ysM pluribus tomis

Sii^ dtsree ,Alm bonus BibiiopoU libi

.

IN PROCLVM DB NO-.,mine eius ,& Cognomine •

FAmilixnomen quid DiidochusTuIcfibi?

FrocIusqui4fpr^riu ^oUatiudqlumquod{>uto.Ab errore procul vtiiincdicir omnia)Er candidus verbiSjS;'reGemma eft nitens, . ^MagiRracusinftacvelolimqubdVirfim ^

Vnus fiiccesfic Philorophia tvxrestsooiJ

.

Ja Eundem,xp‘ eius Vulritas.

J^KlstfUtidctuioTermilen, ,

llli^remj,}^iium,quiftpiem!u

CLerum ium muge reddidit ».

' ‘

Tu cuplis Jdurusluppiterijtuut •, -

^

TUupeprincipium mele.

Ktiurulis urnurit muximus exsTtlt i ^

Dasinu (r Sophise fimul: ~7;

VUtonis docetnt Jcripfie intureu

Doctis (jUte VLsciu dutsbus.

Huius Hicomuchidurior t/l ijuilus ;

Si luu sfuo Sebolio monet

Vustm Smyrnu bonum , spuemfibi ytndicut ,

.Ajirstumj, poliuerit •

Sed quid quidTllegurumconibicuummt^is

Hpddu: nunc memorem Sopbum ?

Trbnfirer quiHumeros, Uuimouicosfiuos,

Curfrs (preier in omnibus

"Menfurumproprium ) CT Sideru culleut ^

^ Muioribus ynicus

,

Quife confisuUtmprubeut ynduput

,

BSuioremq, Sequentibus

.

Hic ^u{uo RjgiopTolperuguudeus ,

1Hou quod nomine fit uouo : • -

Elutuu Lycio,qui leuit ubuepos. :

HumVundione iumpstus aEfifinitus .Auum,quiDrucoerutgrudur

Quem mire quoque Jnulciber

froduxii genitus putrefulminstnr

Olimconiugedefru,

Trudunt cui ytteresimperium ./{erit’

Lupfim fufeipit Lu/ulu

Ob turpemjfuciem yertice culico,

Dtiectumj, puremibuss >

Quo cufipede udbuc cluudicut uliero ’

Hic Bronte ,cr- Sterope uddiiir

Fecit quu Deus ejl tetuCiguniibus '

E’ culo iuculutus , et

yxorem obtinuit ,doHuq,Pulludu.

Quum tunc per Stygius uquut

Firmumpollicitus muximus tfiDeum.

Heros dum yoluit duium

.4mpltcti,monitubKC rrfiitk urtibus

.

^Quurefiminu proiicit

In terrum, ynde Puer, nomine boc fuit.

Hexit Cecropius opes

Sic olim ex Cecrope , ex ingenio modo .^

Pluris nomine muniu

Struxit , dicier bucjl^enitrixpoteji

.

He mirum ergo quis uudiut

Cum tum prucipuos hosperbibentyhrer

.

lunxii primus tquoSfpedes

Ft fiedos tegeret, curribus,Cr rotis.

Sucetsfitgenitusputrt

Dictus qui trouuo totus inhurtut

.

Hutos coufiquitur duos.

Et nutusgeminus, itnac mifirus uues

.

.Abfint fid yolo trugicu

,

Tectisgurriut huc,er nemore buegemut

.

Hutorum Lycusulite

Felicijmperium rextrut, uuxtrut.

Hic filus mihi dicitur

,

Qui nomen dederut fifitibiTermile.

.4 nobis ulU procul,

Dircui, lUud/e, cuncti ubeuntfimul.

Hoc guude Lyciuomine,

Quodj, i te Lycius dictus .4polloi n«»

Vndus qiiid Cupiut Lupus

Tunsjuum fienusosus^^numPueern Deus

Hinc dictus colitur /uus)

K a

t

l4tdre nidgiiifiui Lycltii procht,

Jdtus igninomum Vilt

perfttM culmintftoxiamm

,

QAmaafiro fimilis, Lt»

C4nl4imr iKgittr fectvrt^, ertj,

,

T»m C*ffd inguint, tr hottidus

Extremi CelxberjMS Ephyne D»ia.

Te te Semideo TrocI»

Effer , ijut meliMi fidero tangere

fOlfit ,Knminitms frni ,

Et fecum pariter ijuo/ijue reducere .

IN EVNDBM ABInterprete recognitum

.

C^Vintum nuoc tibi Procle debet orbit

,

Tantum Se tu ftudiii, Bar^o^ue.

Nam quantum infinuas fdentiardile

Tantum ponere diligenti* vitro

Conatur ,valeant tecens vt omnet

Etqux,& quodocear videre paflo.

Sic te te e» iKero iiKegrum reponir.

Te vere lacerum, te vt ediderunt

Qui gr*cepriui,alta proditorum

Turba jvtncariir manus dedilTe

lam viliii fitcrir malisA’ inde

Vitam vix mifcr alrliulidc tandem.

Theenix fhcenieem remmar aliam (pa'ere credo )THercurii/itiju; Tilinerua munera qui fuo decori

Ejftituis^arciifudoribut,u!^chj,nullos

SuptsiJ}uod benefit hisoTbusjit bene y/qiinpuum

A D E V N D E M,eius cognomine.

D

Byt\OCtyM

•precatio bona ob Procli rejiituilonem

.

"PI{ancifceytdknus mi pro meritityiderh opto

sit tibi yita,falui, honor yndique-, fint tui labore

feliceifemper,7Himdo quibus efl renatus ille.

Cui debent opera Euclidisfatis, ille Proetus inqua,

ynde Muhematicus cerie yaletejfe , non ba beri'

Solum per fiequifquebrtui bonus • 0 libi fit auior

,Alte boni bene tanti iterumq, iterumj, dtco,v oTo

Dii%,Dt{j,omnesfaueantfimul, apajcucta,^ fiunt.

V T tu mira Baroci

Es molesque , velox^u;

Kmm ecce triuilii

,

Giuile flfnicufR •

Pondus tu graue di£Ius

Nobis ocia milcent

Etpaies.refonasque,

Quod nunc !pm recludunt.

Hoc tam nemo venullc

Munus «mxxitu, atque

: tdfn

Vnquam coodidit ixx„ .

Summum iam deetts extas

Orbi ,nonmodb cuuAia

Notis Tm»

Annis (ic tener altus.

Felix perpetuo fis. , ^

tempore Alumne,

Et gratos habeat nos

Miutum te vique rogamus.

AttUsflX’W» «uwTB» I 7l5Xjl($l.

EViiii^aar , iffoSyt/jitt tS,Mtiufiug im, Ksu fiSpy»

fix/fiouiotr. ci fiS*"^i j^'i xTvnCt

i)'mttb, in^atfiinoiTtn

»5i fu^' xvttof ,iVl'osp^egr^

iiffu Buvuyes nctfioi i-naiun.

yayfioun liti tuit levt

l/uev tie 4u>«e' ttt niiLon.

ipslpj,^ TtUieipuinSiia

mpu yep ,oitiie oiicro/uftf.

i', I

r.'4.

4 tdU . . . IV'

. 1^;.^ -.j,-

-

j

t*V.^'r.W

t . .'1.

d-i-v. \ 'i's-

•iir'

(inr> v.-i’ .a v.V.i

0 ij

v.".w.\ i.-

r jf- -.u.. •

'd.

n

V '

D1&.’ ,d..Oi

CLARISSIMO DANIELI BARBARO^QJILEIEKSI DEiie>LATO,

FRANCISCVS BAROCIVS. i

MOR Deorum antiquisfimus,atq? nouIs(Tmus,rc-'

rum omnium autor,& feruator no ab re Patriarcha

dignisfime a lapicncisOmis philofophis, vt arbitror,

di(ftus fuit.quum enimAmor diuina quaeda res fit,

a diuinisque caufis profluat, no Imerito Deum qui-

dc, ex Dqsque genitum eum philofophi, poctfqfie

finxerut. Antiquisfimum autem cftcroru Deorumaflerunt

,quoniam tunc ortum habuit , cum fummum bonum,quod cft

primus ille vniuerforu pater,& autor Deus,triplicem Mundum ex qua-

dam informi eflTentia.qua Chaos prifci uocarunt.per conuerfionem illius

ciTennf ad fuum vnde orta cft principium, creauit, primo quidem men-tem Angelicam : deinde Mundi

,quem cernimus animam

:poftrcmo

ipfiusanimf corpus, quod ex cflis, clementis, miftisque conflat: qua:

quidem omnia iuxta fuarum.quac in mente diuina cflulgent Idearum fi-

militudincm,Dii vocantur,vtCglius,Saturnus,Iuppiter,Mars,Apollo,

Vcnus, Mercurius.Diana,Vulcanus,luno,Ncptunus,Pluto,& alq. Nouisfimum vcrd.quia duplex Amorcum fit, \mus, quo Deus Opt. Max.rerum pcrfeiflionem diligens, omnia genuit : alter, quo cuncfla inferiora

tan^^ vcftigio quodam, diuinoque femine orta, parentem fuum reco-

gnitum profequuntur,& fine pcrfccflionis fuf frui dcfidcrant,ille quidem

rebus omnibus antiquior cft, hic vero iunior . Vnde etiam principiu re-

rum, finem : Deorum primum, atep nouisfimu prifeg autoritatis phi-

lofophi,diuiniquc viri cum appellare non dubitarunt . Rerum pra;tct<ea

omnium autorcm,& feruatorem non iniuria,vt opinor,dixerunt.Amorenim, qui hac ratione comuniter ab omnibus philofophis fruendx pul-

chritudinis defiderium definitur,quia eius proprium efl,vt ad pulchritu-

dinem rapiat,ac deforme cum fbrmofo coniungat,per cun(fla ea,qu^ funt

porrigi profedo videtur . nam (vt paucisrem coraplecllar) omnia,qu^ i

prima caufa in rerum natura funt edita, aut fuperionim , aut inferiorum,

aut equalium inter fe fortita funt ordinem, atep refpct^m . Si fuperiora

fint,inferiomm funt caufp : fi inferiora,fuperiorum opera : fi ^qualia,ea-

dem natura fruuntur. Qyod fi caufx quidem fint,opera fua diligu nt , 8c

fumma

fummam compulcliritudincm.fummanique pcrfL<fHoncm defideran^:

fi aiitem opcra^caufanim Tuarum pulchritudine frui,peifcdioncquc, ex-

^ctunt:fi vero cadc natura fint prcdita,tanq fimiles 1 otius,EruTdemquc

partes mutuo afficiuntur Amorc.vt vni omnes pcrfcc^ta Totius pulchri-tudine perfrui posfint. Quod cum ita fit,omni ex parte coftat, Amoremin omnibus efle rcbus,pcrquc omnia penetrare, nec quicq reperiri pofle,

quod odio profequatur alterum, nifi per accidens . non enim per fe con-

trarium aliud fibicontrariumodit,&: fugit : fcd per accidens, acfuiipfius

Aj’nore,nc ab eo corrupatur . Cum ci^o Amor omnibus rebus tam df-

uinis,quam humanis infitus,innatusquc fit,cuinam dubium crit,fi often-

dantur rerum,omnium a(fHoncs,Amoris gratia ficri,a<rtionumqLcopera

Amore confcruari,quin A morcfietftoromnium fit,& feruatorCAt pro-

pagandae proprif cuiuscp rei perfc(ftionis cupiditas, maximusAmor eft.

Deusautem,in cuius foliimimmcnfapotcftatcrcpcritur ab (bluta perfe-

«fho,propagandf cius perfetflionis caufa cundla produxit ,ideque omni-

bus propagandi defideriu largitus eft.qug id ita fortita funt,vt quicquid

in Mundo fit,Amoris gratia fieri vidcatur.Quin etiam partium coniun-<ftioTotum cunreruat,diuifio diruit.atcp difpcrdit . Amor autem coiun-

clionis parandg vim habet.Amor igiturnon folum efficit omnia,verumetiam conferuat. Qyo circa iure autor omnium dicimr,& feruator . V e-

riim fi Amor res omnes efficiendi,& feruandi vim habet, cuicp fatis, fu-

perque perfpicuum cft,cum fcicntiaru quocp autorem,& cuftodcm cfle.

nam (fi Ariftoteli credendum eft) efdem fententig, cgdemque feientix

ffpenumcro apud homines iuxtaquafdam ordinatasVniucrfi conuolu-

tiones apparet,atqt euanefeunt. V t vero alfis maximis philofophis pla-

cuit,omncs feientix,& artes, omnia homium inuenta, omnesque demurcs,qug in toto orbe terrarum tum a Natura cditg.tum ab hominibus cx-

cogitatf,rcpertfquc fuerunt,infinitis feculis floruere poft infinita incen-

dia vicisfim,ac diluuia,quibus ia depcrierant,atq? deciderant: codemquemodo iteru florefcent,atqj penbunt. Qug quidem res cum ita fc habear,

Amore opus fuit ad rerum omnium, prgfcrtiraquc fcientiarum redinte-

grationem, &Tconfcruationem.nam poft Deucalioneos imbres propter

nimiam aquarum copiam non modo vrbes, cdificia,&T cuiufcun^ gcnc'

ris animantia (prgtcr ea,qug diuina prouidentia cuftodiuit)pcriere,veru

etiam omnis rerum mcmoria,qug in libris contincbamr,ita cxtinifhi fuit,^

yt illfprimi homines,qui ex paucis qs,qui iam relidi erant,orti funt,tanq

nouisfimi,& rerumomnium imperiti,vitam quanda fimplicem,purara,

ab omni malitia,atcp verfutia vacuam,omninoque (vt aiunt poctg) au-

ream agercnt.In qua quide aurea gtatecum rudes illi eo,quo DeusMundum prpfequitur Amoreprimum , deinde naturali hominum fcinli de-

fide-

fidcrio cxcitad,admirari,obfhipefcercq6c copiflcnt^acdemu totamMudi machinam,<;iusquc motus,& motuum cficAus peruarios cotcmplari,

nccno modo huius,modo illius rei caufam inucfbgarc , id ita facTtum' cft,

vt fcietif iterum omnes, panio quafi quoda i prindpio ortum traxerint,

hinc vires in dies furapferint,paulatimque fefe ad fummu fuf pcrfctftio'

nis euexerint . Poft vero ciim propterMundi totius reuolutioncm, tumpropter multa’, variaque in Vniuerfum ffuientia bella, quibus cuncfbe

prouincix deuaflatae (uerant,multa prfclara prifeorum Autorum operaomnibus in fcientqs radiatus interierunt : multa exegeata, at^ cueria in

lucem exierunt. Qux nimirum,vel faltem qu* in illiscondnebatur do^Ann» , ne penitus ab humano auellerentur genere , vt vixvmbra qua>dam eamm ad nos vnquam peruenire polTet,Amor plerof<^ inuaiittumillorum do<^'nas de fuo inueniendi

, tum hxc inftaurandi . nemo enimartem , vel fdendam aliquam reperire, aut difeere poteft , nifieum cumdiuinus,tum humanus Amor,necnon inuclb'gandi,inueniendiquc dcfi<

derium excitet . duplici ITquidem huiufccmodi Amore , fapienda omnismend data cn,qua fani ad Deum fuum opificem reucrdmr,cdm per hfcinferiora ipfius pulchritudinem cotempletur. Ac ne ladus in multis con-quirendis vagando.longiusquim opus eft in re manifcfta iramorer,ma-

ximum de hac re afferam argumenmm,quod egoma in meipfum expertus fum . nam cum fxpe ego mccum varias totius terrarum orbis conuo-lutiones animo reputarem

,quamplurimas fcientias

,qux alias floruere,

nunc abohtas propi,atcp deperditas efle animaduerti.quid enim deMa

themadeis dicam C Non'ne ea, qux prifeo tempore vel adolefcentulis

notisfima,fadllima, in promptuque erat, hocnoffro feculo tanquam

fnigmata , difficilima , nimisque abffrufa eruditisfimisquoque viris efle

videntur? Cuius profctffd rd caufam cdm perlxpe inueftigarem, nul-

lam aliam efle deprehendi,ni(T paudtatem feriptorum, qux i tot, tandf*

qfie clarisfimis viris in h ifce (dentqs nobis reli(fbi fuere . multx enim, 8c

vadx prxffandsfimorum Mathematicorum lucubrationestum dPro-clo,tum etiam ab alijs Autoribus comeraorantur,quarum ne veffigiura

quidem nunc extat. Hxccum multos abhinc dies, dum Mathematicis

operam nauabam,mecum cogitarem, cumque Euclidem Megarenfeminfignem Mathemadcum,qui hanim difdplinatum initiamaximo cumordine,maximoque cum arnfido tradit, d multis alta podus obrui caligi-

ne,atque demergi, quam exponi viderem , iam pndem aliquod in eumantiquum feriptum, aut commentanum defideraui,quanuis nefdusnoneffem

,quod impresfi fuerant Bafilex quatuor Prt^i Diadochi libri

ccHnraentarionim in primum Elementorum Euchdis: quos adeo lace-

ros,& corruptos inueni, vt nihil boqi ex cis elicerepotuerim • cdid nan-

que

quc erant «crindc ac fi editi nunquam fuiflcnt.VcTuntamcn cum diui*:

naprouidentia propter communem ftudioforum omnium vnluatcm

huic meo flagranti defiderio auxiliari maximo fuo Amore decrciuUct,

fccit vt cura effera in Infula Creta tertio abhinc anno quoddam vetu-

ftisfimura exemplar eorundem Procli in Euclidem commientartcrum,

qui iam impresfi fiicrant , ad manus meas perueniret ,quod lucrat i>-

drear Doni praeceptoris mei, viri fanc in graccis literis omniuni gtatis lu{

orxeorum pracftamisfimi. ex quo quidem exemplari impreflum illud

duoad potui diligenter emendaui . narailludaiam antiquum plunbua

inlocis^perfecfiuraerat. Poftea v«6cfim in Italiam reu^useffem.

&: horum iam commentariorummaximam agnouiffem

que vtilitateift, maiori quotidie ,inextinguibilique cos inftauwdi dcli-

derio, Amorcqfic ardebam. Quapropter vteiufrnqdi defideriomeo

fatislacerera, priraiim Bononiam profcifhis fura , vbi inueni duo exem-

plaria manu feripu, alterum in bibliotheca S, Saluatoris , vt appellant,

quod vnacum airj» etiam libellis vt tranfcribercnti conceflum mihi Imt a

Reuerendis viris Floriano Cedroplano Bononicnfi ,Priont^c unus

coenobn,& Raphacle Campiono Procuratore, qui nullam aUa ob rem.

nifi humanitate, Amoreque erga me quodam impulfi maximam me,

beneficia contulerunt . altcru in bibliotheca cxccllenti^nn vin Fabriiq

Garsoni medicam faculutem publice in Bononicnfi Uymnafio proh-

lentis qui etiam quf maxima fiiit cius libcralitas voluit illud ipfuin fuum

exemplar mecura afferri.quod (ane mihi non parum vtiliiaas atiuUt

,

Deinde cum illhinc difccsfiffcm. Patauiumme contuli, vbi ex tjsomnw

buscxcmplaribusquoad fieri potuitvnumintcgrumfcci.quodpoltre-

md^erxcalinguainlatinam conuerti. tura cxcrautionis caufattura

ab Amore concitatus.quolibrum hunc ,omninoqlic Mathematicas di-

fdplinasab ineunte adolefcentia profequutus fura; tum etiamvt^f

eorum meonim pcrCiafionibus morem gererem , &: communi cor

rum ftudioforum vtilitad, qui fermonem grgeum non callent, conlu-

Icrem. Ac detuquequum hoc iampridera i.multis expeefutura opus,

abfolutum, inftauratumquc vidiffem ,plurcsque ipfi

,quemadmodun^

Plato mihi,& Horatius prsEcipit ,cenfores adhibuiffcro , noluioammo

Horati) fentemiam obferuare dicends;

ScrtpfeTu <

QuoJiun Miris, mfiuyox rtiimi.*

fcd communi potius vtilitad ftudens , im^raendum illud cffcduJti

.

Qgod dum imprimebatur duo adhuc vidi graeca cxcmplaru

Vencttjsin bibliotheca San<florum Ioannis,& Pauli : alterum Patautj

«X bibliotccha Io.Vincerni) Pinclli GenueGs viri ta genere,qu5 animo,

& moribus nobilisfimi . Ex quibus fan^ omnibus,qu* hucufque vidi

exemplaribus hoc Procli Diadochi vtilisfimu,Iuddis(imum’<p volume,

a propinquo iam imeritu vindicatum, nuncprimum renouatx Phgnicis

iidlar exoritur . De cuiusonu felicisfimo primum Deo fummo rerum

opifici, deinde Amori non foliim Identiarum.veru etiam reru omnium

autori ,fcruatoriquc immottales habendx funt gratix . Vides igitur,

dignisfimc Patriarcha tum prscfentcmca Iucubradoncm,tumomnia,

qux in rerum natura orta funt, oriunturque quotidie, Amoris gratia

oriri,& fieri. Ciim iuif opus hoc Amorefadum i rac Gt,operfpretium

cA,vt quoddam etiam munus Amoris mihi fecum aficrat . Maximumautemmunus Amoris mihi videtur Amidtia. Amidtia inquam ea,qup

vera Amidtia cft.cura enim triplex fit Amor,vnus,quo iucundu : alter,

quo vtile : tertius,quo ver^bonum , honelhimquc diligimus

,quorum

aiam vnufquifcp duplex cft,fiquidem aut fimplex,aut mutuus,cumque

Amidtia omnis ab Amore tum dicatur,tu nafeatur,& nihil aliud qudm

inucteratus quidam fit Amor ,quandoquidem& Amor Amidtia qua>

dam exoriens eft , nemini plane dubium , Amicinam quoque triplicem

eflc.vn a quidem, cuius finis iucundum : alteram autem,coitis vtile : ter-;

tiam vcr6,cuius finis bonum (impliciter eft, & honeftum .:iHxc autem-

fola perfe<fbt,vcra inuiolabilis, atep indillolubilis eft,ctim cacterx omnes

vndicp claudicent, violari fadl^,di(Iblui’tpposfint.Hfc

porro& in rationalibus untu animis , 8c raro repei^r, qux i philoTo'

phis varrjs fiiit modis definita . Alij nanc^ tum ad dus finem, tum ad fu^

bicAum refpicicntes , modo habitum ex Amore diuturno contradum

ram definierunt : modo, honeftam perpetux voluntatiscomunionem,

Alt) vero, bcncuolcndam mutuam,non latcntem,proptcrbonum fim>

pliciter,atcp honeftumcomparaum . Alij prxtcrca,linnmam omnium

diuinarum,humananimque rerum cum beneuokntia, &charitatccon-

fenfionem.Ali) dcmu,aliter . Hanc fcilketca eft Amidtia,quxmaximu

Amoris munus efle mihi videtur.Vtinam aut tale munus Amoris i prf-

fend meo,Amorifque operemihi daretur.O felix opusAmoris,&mu-

nus, quod vna intcric<fla morte duf vitf fcquuntur.O diuinum lucrum,

dtuinainqfie Amidtia,'quado vnus animus duo occupat corpora, vna'tp

vita duobus agitur ab amids,quorum vtcrcp geminam habeat vium,

alterque alteri fimilis adeo fit , vt alter idem vocari posfit . Diuinam

inquam, propterea quod excepta fapienria ( vt rede ait Cic. ) nihil me-

lius homini,nihil iucundius vera, perfctflaqfie Amidtia Deus immorta-

lis vnquara dedit.in fapienda enim , Sc virtute fummum bonum prx-• • cla^

dare pofinim cft. ex quibus etiam Amicitia quidem exoritur, nam nilifl

cft,quod magis alliciac homines ad diligendum fele, quam vwtutis,mtv

rumque bonorum nmiiitudo,nccnoii ftudiorum focictas:quippe quum

propter hxc vcl ignotos etiam quodammodo diligamus. Haecdemumtalis Araicina eft, quam diu inter nos efle delideraui . femper enimaliqui ( ait C:c. ) acquirendi hint,quos diligannis,&r d quibus diligamur,

quandoquidomeharitate, beneuolcntiaquc fublata, omnis cft i vita lu-*

blata iucunditas. Quam quidem fententiam diligentisfimd femper ob-

feruandam mihi propofui. Vnde fane quum diebus pratteritis varias

ego,multiplicesque animi tui dotes pcrpend^,maximam conueniemiai

cognationemque in tuis.meifqhc idea,(idere,genio,animaejcorporifqhe

aBoftione animaduertiflem, tevnumin primiselegi, quem volui cum

mihi coniumfhiscommuni iara patria fis , Amicitia quocp pcrfvtfia con-

iungcrc.cundfafqucvcftigtjstuisrempcr infiftcrc . fpcrocnim ,& voloAmicitiam noBram ( quae beneuolentia forraBe mutua, fcd latens huc^ufque liiit ) voram , peiifcdam y indifiblubilem , fempiternamqfic fore

.

omnis enim Amicitia,quae ex optimis orta cft prindpqs.vcra eft,& per-

fcifla, nc<5 vllovnquam pado violati, difibluique poteB . nam violante

altero quidemamicorum Amicitiam,(ummum certe fui bonum ruit . ac

nemo proprij boni interitum appetit . Amicitia ergo,quam non vtile,

nec iucundum: fedbonum , 8c virtus gignit;& continet,cuni in aliqui-

bus reperitur, indolabilis vclrmnoHnt , xtemz^ att^ indifiblubilis per-

raanet.ex eaq^e fetnper maxima vtilitas,maximaquc iucunditas cfBore-

fdt . Verumenimuero quoniam tulit hanc nobis legem Natura,vt nonfine munere quopiam amicos adeamus : nihil autem mihi liiit, quod tibi

fiiturum gratius hac raca in Proclum lucubratione exiBimarem : camqualilcuncp cft., tibidicandam efle Batui . Qpod quidem exiguummeiin te Amorii pignuspro ea, qua folitus es humanitateacciperenon gra-uaberis.neminem enim habui.cui tc praeBrendum non putarim. Ac-cipe igitur hoionouumMcrcuri],Minerupque munus, vtfub tutela tui

amplisfimi nominis,maxima cum autoritate quoddie in manibus humi-num verfetur . me vero vt AmicitianoBra vera, perfedaque fit, mutuoftropet,& nonlatcnd Amotedilige Vale

Patauif. XII. Cil. Decembreis M. D. LlXi.,trt. liv if.xUd mtr;;.

/nc

-•sn

'•tr

FRANCISCI BAROCII PRAEFATIOA D

LECTOREM.

V V M opus,quodiniemultosabhincinenfesfumiiiaprim5rerum omnium cadzprouidenturufceptum fiierat,po(lmulroslabores diuino tandem auxilio completum, abfolutumq; fit , ftu-

diqfeLeaor.prudentif utmibiperfiiadeo) confilio iadumiriexillimo, fi antequam ad fcrlptaipfa Procli accedas, nonnullo-rum, qui haud paruimomenti funt , te commonefaciam . Qui-bus inArudtus, facilius poteris eorum

,qui inhoc libro pertege-

ris intelligentiam confequi . nam operepretium eft ante omnemdifciplinam,ciun ea remouere,qiu! animi ne fiiarum reminifei ra

tionum posfitimpedimento funt : tum ea cognofeere , dquibus ipfadifciplina exoritur.Primuraiuque te fcireuelim priter alios multos Proclos , unum aarisfimum omniumfuilVe , cognomine Diadochum ,hoc eft fucceflbrem, patria Lycium , Platonicum Philo-

Ibphimi, Mathenudciunq;pnftantisfimuni.qui f fi Stiidicredendum eft) magni Sy-riani fuit difcipulus, cumq; AthenienfiScholipnftii(ret,aliosiDfedifcipuiosh;u}uit,e

quorum numero unus , infiOTisq; fuit Marinus Neapolitanus eius’ fucceftor : alter M. An-tonius,dquo etiam f ut refert Spartianus) ad confulatumufqueproueSus fuit. Is fane

Proclm permulta nobis feripta reliquit, in arte Grammatica , in Philofophia, comenta-rios in Homerum , necnon in Platonem , in Hefiodi ^f)«ciau ifufat , inTheologiam Or-phei , aliaque priterea : pric ipife autem hos in primum Euclidis Elementorum libros,

quos fumma quidem admiratione dignos , fummoque ftudio in manibus habendos cen-feo, quandoquidem adtotam Mathematicen, uniuerfamquePhilolbphiam nobis adi-tum patefaciunt .& prifertim quia ex laceris antea ,& corruptis , integros (quoad fieri

potuit)a: perferos, ac omnino inftauratosnuncfefeommEus oferunt. Quam etiamob caufamtecommonitiunuolo. uthanc meam lucubrationem neque cum exemplarignco Bafilefdilaniato potius quam imprefib ,neque cum alio quopiam conferas, mul-ta enim ego uidi exemplaria maximis uarietatibus referta, ex quibus omnibus quicquiderat boni excerpfi , atque in id umuntranftuh, quod etiamprimus^ gnco in Latinumfermonem conuerti . In quo fane uertendo quanuis nefeius non eflem Horatium dixifle,

Necuerbumuerbo airabis reddere fidusinterpres: nihil tamen addendum,neque dimi-nuendum eflccenfudfed ubique uerbagrica,uerborumque fenfa,ac ueritatem latin^

reddidi : neque eos imitatus Ium, qui in uertendis libris non paucade fuo adijeiunt, per-multa pntermittunt, aut feriemAutorum, atque orinem perturbantes commutant:Theodorum Gazam interpretum omniiun Prmeipem in primis propofitum h:d>ui, mul-riiunqueinterpretatifunt, atillcfolusmihiquidemuerusuideturinterpres . uariasfi-

?

uidem multorum uidi conuerfiones, qui certe ab omnibus funt deridendi, nam alij

ut iam dixi ) nefcio'cuius rei caufa multaaddunt, omittunt, atque permutant . Alij ueropulcherrima Alitorum, & lucidisfima fenfi, obfcurisfima , fallaq; reddunt : aut quiagn-cum fermonem perfefte non callent : aut quia fcientias, atque artes ignorant, de quibusAtitotes illi pertrahant: autdemum quia quum Ciceroniana lingua fcientianim uoca-bula ( quod fieri non poteft) exprimere uoluerinr, inextricabiles Labyrin^os ingresfi,

eos etiamfecuniunapefliim trahunt, qui eorum feripta legunt. Alij 'autem barbariempasfimquandam adamantes, ita hbros i gneco fermone in latinumconiiertunt,utin-quamlibet potius aliam linguam

,quam in latinam conuerfi dici posfint . hi nanque fen-

tentiam Quintiliani non oDferinruntdicentis , Gncos Antores cransferentibus,uerbis

uti optimis licet .Alij denique nec linguas , nec fcicntus posfidentes , dum Pedagogo-tom more gricas dihiones latinis. Si grxeis cbaraheribus coufcDbunr, egregie halluci-

P R AE F A T I Onantur. Valeant igitur candide LeSor , ualeant proctJ omnes ,

qui Autores ipfos coma-c|]Iant,atqueeucrtuht. Silentio aupemprztereundum non efltem hac mea Ptocli con-

uerfione niul ta,& uaria, quar obreruanda fun t inuentumm . Primo enim Autorem hunclatinum facere pro uirili conatus fum , non ubique Ciceronis duntaxao uerba , & formas

dicendi fedando : fed (^intiliani edam , & aliorum Ladna; autoritatis uironim,qui de

hifce.quz hoc in iiolumine continentur fcientijs pertradarunt . Deinile uocabula feien-

tiaruni pasfim ( ut lieri potuit) Icgidma, fynceraqueuertereuohii. Ambitus ptfterea

orationis, liue circuitus perfpicuitads gratia quandoque immutaiii, ac ea uliis funi figu-

ra, quam v'n{or Grici iiocant. Ambiguitates infupereuitaui, atque cfFagi tumge riinatione uerborum.uei mollioribus loquutionibus, uel participiorum, grzcanimq;

dicendiformularum refolutionibus : timi etiam rede feribendi feienda , utlegentidbi

notum ent . A quibufdamdenique didionibus nccesliutis , ladnzq; linguz paupertatis

caula non ab(linui,qux exempli gratia huiulcemodi funt , Identitas , Simplicitas , 1mma-tedalitas,Totalitas, Impartibiliras,& aliaid genus : nec non iquibnfdani Aduerbi s, ut,

Vnifoimiter, Multiformiter, Impartibiliter , atque alijs: & a nonnullis proprijs (cienrix

uocibus, ut. Symptoma, Q^ifitum, Pridicamm , Subiediim , ac fimilibus :& d nomini-

bus proprijs (ciendarum, ut, Perfpediiu,& Specularia, que quidem nomina adeo diuul-

gatafuntiUt fi aliter exprella hierint,ab ommbiis non facile percipi posfint : fimiliterquc

d quibufdam didionibus crzcis,quibus ciim antiquiores plerii^j gncc ufi fint , nonnulli

iuniores.quos Icquiitus (um, eas miper latine reddidere, uerbi caula, Obtulangulum , ik

Acutangulum, quod illi Amblygomuni, Oxygoniumd; dixerunt, ciim tamen Redangu-

lum id appellarint, quod Grzci OfStiotin uocant . Idaem Qiiinquangulum, & Sexangu-

lum diximus quod Pentagonum,& Hexagonum dixere . fi enim o'(5»®iiot Redanguliun

uertunt, quur o’(kbii«*, & A’p/5Avmii»» Aaitangultim,& Obtulangulum uertendum non

ert ? Si Jliafot , Sc njlaroio* Triangulum, & Qiia<irangulum,cur Qiiin-

quangulum,& Sexangulum, fimiliterque Septangulum , Odangulum , Nonangulum, tSc

Dccangulum , licet ulterius non progrediamur > V fi tamen nos qu<^; fumus quibufdam

grzcis didionibns proptcrca quod fi uertantur, proprios feientia: limites excedunt , ut.

Theorema, Problema, Dodccagonum, Dodecaednim, Odaedrum, Icofaednmi, Sphe-

ra. Cubus, Pyramis, Conus, Cylindrus, & huiufmodi alijs . H*c omnia Ledor beneuo-le in nofira conuerfione non ab re obferuatacomperies, uni cum multis alijs,quz breui-

taris gratia in prarfentia filentio inuoluam . ex his cnini,quz dix imus , ea quoque ribi co-

gnita fient . N iinc igitur reliquum eft ut te pro uiribus meis adhorter, ut Mathematicam

uelis Philofophiam,qiura Produs nofterelcgantisfime tradit libenter ab eo fufeipere,

diligere, exercere, atque perdifeere : fi Animam tuam,& temetipfum cojgnofcere cupis.

Ani'mananqiienoftra(utdocctfapientisfimus Plato) mathematicam (ordta eft elien-

dam', unde fane mathematicaquoque i Proclo uocitatur, ft non fol lim communi nomi-

ne mathemadea, uerum etiam arithinedea, harmonica, geometrica, atque fphzrica.

Quod quidem ndiculum mihi non uidetur,ut ijs, qui ignorant caufam . Anima fiquidem

noftraomnes hafce przalTumpfitdilciplinasin fiii elTcntiam, Arithmeticen quidem,iuxta

multitudinem , clTendalesq; in ipfa exiftentes Vnitates,j£ Numeros : Harmonicen uero,

iuxtahorum Numerorum rationes, quas habent ad inuicem. quippe qiuun multitudi-

nem,quz in ipfa eft Anima concinnam,compofitamqj elfe nemo fit,qui non uideat,&(ut

inTinttoPlatodiuinusoftendit)cundzinearcpenanturhamionicc rationes, Aionxe-

aoqiDi nempe, Aumim, AnnwMU», quzquecx his compofitzfiint: Geometriam infuper

iuxta unionem, fiiiq; integritatem, formam, Sc linearem edendam.quatenus enim una,

integra, Totumq;eft,Continuiipfius eftpardceps:quatenus uero Numerus, diferetam

fibiuendicauit naturam. Venimutconrinua,auashabetinfefercditudines, quarum

una quidem Circulum Idem efticientem, altera uero Circulum quod altenmi.diuer-

liimquc eft propagantem gignit, qui porro Circuli ciim haud per Angulos redos (e m-

uicem interfecent. Signiferi , Acquatorisque nobisimaginem afferunt . Aequator enim

qui incflis eft,Idem Icmperefhcit: Signiferautem,Altcnim, atque Diuerfum.per quz

duo principia(Idem inqiiam,& Alterum) tota rerum natura in fuo pulcherrime cuftc^tur ordine . Ciim ergo Animz noftrz edentia Linearis, Cirailarisque fit,quinedam

Triangularis, atque Quadrangularis, ut Platonicis manifeftumcft, a£(utPcripatcrico

urar uerbo ) tanquamTriangulum in Quadrangulo, nemini plane dubium,quod Anima

P R AE F A T I O-Geometrum quoque in fc fe pneaflumpfic . Pricereacum Circuili, qui in ipfa runt& im-

mobiles fint,& i fc fe moueantur,inimobilc$quidem iuxta eflenciam (omne enim,quod

afemouetur.fimulmouetur, &immobileell, quandoquidem mouere ad immobilem

quodammodo pertinecuim ) mobiles autem, iuxta iiitolemadum,geminasq; circuitio-

nes , non immerito Sphzricam quoque ipfam pnfumpfit . C^uum itaque Anima nodra

mathematica fit fecundum omnes Mathematices parces , operaiprcnum eflTc cxilHmo

quemlibet, qui Animam fuam , & fc fc dcfidcratcognofccre , eoq; pnftarc c*tcris ani-

mantibus, in Mathematicis exerceri fciencijs, fine ouibus utique nunquam fe fc perfeSi

cognofecre poterit. Quapropter te(Leftbr Canaidisfimc)iterum, atque iterumhor-

tor ut hafcc icias pra cetens alijs compledaris:& fi Mathematicus breui teporis curricu

lo aipis euadere.prafens Procli doftisfimu,lacidisfiniu(^; Volumen legas, atq; perlegas.

P Rxtcr ea ,quacommuniterde tota tralatione nofiradiximus, pauca adhucquadam

potisfinuim animaduertciida fiuit amice Ledor. Primo quidem ubiamque inter

parua nofira Scholia fignum hoc t reperies, uerba ipfiun cofequeeia non inutiles lurict^

tes affcnuic, quas ex omnibus, qua uidimus exemplaribus deceppfimus. Secundo uero,

quod dum tertius liber imprimebatur duo poftremo exemplaria ad manus noftras per-

nencnmt,in quibus nonnlladcnuo in primo,fectmdoq; libro,qui ia imprcsfi erant , uaria

efle c6pcriinns.Quare inter initia libn ea imprimere fecimiis.q hoc omine fubfequuctir.

.. r ttmaKoaniipfamminuincibilemcomplecUtur,

uircfq;&c. ....

, Geometri? formas appellat , (eparari autem nos

Pag. 2p,Lin.22 .<^ a fenfilibus per huiulcemodi fomias , excita-

( riq; a fenfu ad mentem concedit &c.

, . c Verd,Hcbctudo , atque Acumen . hate enim Ma-Pag.7<J-L»n->3-iris,&c.

QV o N I A M autem in libris imprimedis uel fi Argus Lynceis oculis prxditus ma-

xima diligenria imprefloribus prieflct , fieri non pofiet, quin errores aliquot

obrepat : idcirco ea ,qtix errata efic deprehendimus , excuaenda duximus , ut i

quouis fic corrigi posfint.

Emra

Kerpiocens

Anti.

MeinnoneDecucutric

QuxtpEscucurric

MznechmosDixe

Comi culari

Corniculans

Corniculans

Ab re

Propter

AdBalimInternus

Anguli

Ipfi

Igitur

Inlinitt

AltemiimPuxoOenlaProblematis

Sic corrigito

refpiciens

auturirate

Menoneiecufrit

qui^excumtMenxcbmiosdixit

Lunulari 1Lunularis yLunularis

non ab re

przter

uib BiHexternus

TriauguU

IpGsautemFiniti

Alternarim

Pneoftenla

Theorematis

Deleas titulum,Terna pars primi Ele^tonutu

Habebant

SummanturConBitutio

Ee^guli»

habeant

lumanmr& ConAimoo

Pag.

3i6i6

3*

jr

49^477

109

109

147It6180

189

199lod

a»4

»4«

»44ayo

^66

Linea

at

sfx8

14aaa^

14XI

16

xl

17%»7xo

3 %It

»T»3la

17at

30

3 *

3»

7tS

In/choliis

&in0io.Lin.ii&ti.

(^tenunfi prxterhjecfottaffc aliquot aliadiligentiani meam effugerint, tuum eritbenigne Ledor ea prudenter emendare . Siautem ea etiam,qui (ut iiiperiusidum eft)in hac mea uerfione obferuata efle mihi perfuadeo,haud obferuata pasfun reperiesiuicparuo peccato ignofees.

A t ne fort^exiftimcsLcftorprudentiinmcidopusameinhacmcaiuucnili attate editum effe temere , hoc te no lateatquod cum iam hos libros

latinos feciflem annum pene totum ante cminTioncm confumere volui, vt non-nullos mihi , huici^i operi cenlbres adhibercm.M.Antonium Paflerum Pataui-num in primis alterum artatis noftrj AriAotclem.M.Antonium Muretum Gal-lum , loannem Falcolim Patauinum,Vincentium Cardinum Florentinum,vi-ros Latinat , & Grarcf linguae pcritiilimos, cundUsi^; Icijs praeditos:nec non Fe-licem Paciottum Vrbinatem maxime Ipei iuuenem, quum vtraque lingua pereruditura , tim in Philolbphii ftudijs ,& in Mathematicis apprime vcriatum.Cuius conlUio, accerrimew^i iudiciome perfiepe vfum efle nunquam inficiabor.Horum lan^ clarilfimorum virorum autoritate fretus,proptercommunem ftu-diolbrum vtilitatem malui non parum potius periculi liibeundo , Autoremhunc lampridcm c^eiAatum in lucem emitterequamfine vUomeo dilcrimineeum pati in tenebris vltcriuspermanere.

I ir i,

>r' . Tai' . ,• - . ,

: . j-1 . ;j J

J c

.

. ^

i: r -

iti

- M. • •*

,fX -

. .aX*'

&n V

^ i «iltMff.I2;

Ti ,;,l '.<2^

s U( I

TKc: i» {

'.'.1

'it

zt ffisyll. /i

H-014

lai" .‘1

uwm «mihrtTinniluitntai^

teur.:

c^jgtiAiA

\

CATALOGVS NOMINVM "-DEORVf^Vitorum IlluArium

, & Autorum, quonuu |ioc

in voluminementio fedlaclt.‘

Deorum.

AMor. Mercurius

.

Apollo. Neptunus. '

Bacchus. Oracula.

Ceres

.

Pluto.

Ctxlius

.

Rhea.Diana

.

baturnus.

limo Vcnus

.

luppiter»' Vcfta.

Mars. Vulcanus.

Virorum Illufltium.

Syracufius Rex.l^eron Syracufius Rex.

Pericles Atheniefis Senator clariflu

Ptolemxus Aegyptiorum Rex.

* Autorum.‘

, ;f I)

AEneas Hieropalita. ,

Ameriftns Stcfichori poet» frater.

Amphinomus

.

Amyclas Heracleotes

.

Anaxagoras Clazomenius.

Apollonius Pcrgfus.

Archimedes SyraeuGus.

Architas Tarendnus.

Ariftotcles

.

Alingus Philofophus.

Autor Epinomidis

.

Campanus.

Carpus Antiochenus

.

ChryGppus.

Cicero

.

Cratifrus Platonicus.

Cyzicinus'Athcnicnfis

.

Democritus

.

ii

Dinofrratus Men^chmi frater.

Epicurus, fcquaces

.

EratoAhenes

.

Euclides

.

Eudemus . • i'

Eudoxus Cnidius

.

Eutocius Afcalonita

.

Geminus. •*''

HermotimiftColophonioi.

V'- :u

flT

i i

! 1'

'.;ri r

7!-ibirrn'

. ons'/

Heron

.

HcGodus.‘

Hippias Eleus.-

‘

Hippocrates Gdutr

Hippocrates Chius

.

Homerus,

loannes Grammaticus. •

Interpres Hefiodi in Theogoma.Leodamas Thafiusi *

Leon. ,

'

Msr^Antoidoff. 'f'^

Marinus.

ftlenxchraus.i v

<>;: --i.

Menelaus

.

Neoclides.

Nicomedes.

Ocnopides

.

Orpheus*

Pappus

.

Perfeus.

Philippus Mendaeos

.

Philo Academicus.

Philolaus.

Plato.

Plotinus.

Plutarchus.

Porphyrius* i

Pofidonius.

-<a J 3

f:1J/ A

Ir

'D

it

..ut'.")

- >

. 11 .

fili''

.'.'1 luV

i

•J

'J

1

: l

*

a ti . . tJ

H ...

.ITi:»!'.

.2 1 :: 1 1

e

::u -. .

.vu’n'j'"

rf.nl M

P tolemaeus Piimiu

Ptolcmarus

.

Pyrrhont] philofophi.

Pythagoras

.

Quintilianus.

Simmias. • '

Simplicius

.

Spartianus

.

Spculippus.

Stoici

.

Suidas. ' '= j.

’

Thales Milcfius.

Thegtetus Athenienfit,

Theodorus Cyrengus

.

Theodorus Mathematicus

.

Theodorus Gaza

.

Theudius Magnes.

Varro.Viiflruuius. .amm;Vitellio. -'narnUt •

Xenocrates. . r> Hy.v-a--

^noSidonius. !

Zenodonis

.

ZenodoMS Andronis dilapulus

.

elenchvs librorvm,qui in eodem hoc volumine

citati fum.

Strologicatraftatio Carpi litchanki.

Bacchae Philolai

.

Cluilii , vel de Regno Plaionii

.

Commentaria Procli in Timfum Platoni».

Comentaria Procli in lib-de Rep.Platoni»

Commentaria Euiocii ATcalonic; in libro»

ConicorumA pollqriii •

Commentaria Butdciiih Archimedem.

Comentaria Simptitii in lib. Phyfle. A rift.

Cdmentaria Campani in E uclidis Eleracta.

Compendium Elementorum Aenex Hie-

rapolitx

,

Critiai Platonii.

Eleracta Geometrica,& Arithmetica Eucl.

Elementa Muflcalia eiufdcnr.

Elementa Hippoaatii Chii.

Elementa Leonti».,,

Elementa Hermorimi

.

Elementa Theudii.

Epinomides falid Platoni aTcriptui.

itfit • Hefiodi.

Gorgiai Platon<i|.

Liber Archimedi» de Circuli dimenlione.

Liber Archimedi» Aequiponderantium

.

Libri Archimedi» de Sph(ra,<Sc Cylindro.Liber Ariftoteli» de Linei» infecabilibu».

Liber Arill. deOiuinatione per fomnum,

Liber Arift.de SenTu, Sc Seniili

.

Libri Arift. Refoluiorii.

Libri Metaphylicorura Arift. XIULLibri Arift.Moralium Nicomachiorum.LibriArift.de Partibu» animalium.

Libri Arift. Phylleorum

,

Libri Arift.de Anima.Libri Arift. de Cf io.

Liber Eudemi de Angulo

.

Libri Geometricaru enarrationi! Eudemi

.

Liber Euclidi» Mendaciorum , ftue Fallar

darum

.

Liber Euclidi» dcDiuifionibua»

L ibri Corollariorum Euclidi»

.

Libri Platoni» de Rep

.

Libri Platoni» de Legibu»

.

Liber Hippocrati» Coijde Lod».

Liber Procli de motu .

Liber M. Varroni» de lingualatina. -

Liber Ptolem*i,cuititulu»eft, A minori»

buiquimduoreAi^iduSa» colncidcre.

Liber Apollonii de Cochlea,

Liber Apollonii Conicorum.

Liber Theorematum Eudoxi Cnidn.

Liber Hippocrati» Chii de Quadratur*

Lunulz. .

Liber lo. Grammatld contraProclum.

Libri Theurgir.Libri Geometrici Amyci* Heraelcot*.

Libri Geometrici Menxchml.

Libri Geometrici Dinoftrari. ^ .

Libri GeometriearumenarradonflGenum

LibriV itellioni» .

Meno Platoni»

.

Mifccllanea PorphyriI

Parmenide» Platoni»

.

PerfpeSiua Euclidi» .

Phfdo Platoni».

Phxdru» Platoni».^

Philebu» Platoni»

.

Quxftione» Philippi Metidael.

Rluale» Platoni» .

Sophifta Platoni». j

Specularia Euclidi». _Sympollum Platoni». - >JThe*tetu» Platoni»

.

Theologumena Arithraetic*.j

Theogonia Hellodi.

Theologia Orphei. ' 1

Timxu» Platoni»

.

Vita Pericli» 1 Plutarcho tradita.

FINIS.Dir

PROCLI DIADOCHI LTCIICOMMENTARIORVM

IN primvm eyclidis elementorvm

FRANCISCO BAROCIO • ' ‘

' 1

PATRITIO VENETO• ^ • *

( .• / N T B H F M S T M-

Dc Mathematicae Edentix medietateGap

.

I

.

ATHEMATICAM Eflentiam neque ex

primis eorum, qux funt generibus, neque ex viti'

mis,a (implicique eflentia fciundisedc neceffe eft,

fcd medium obtinere locum inter impartibiles,&fimplices,& incompofitas,'& indiuifibiles fubfta-

tias : 8c partibiles, atep in multiplicibus compofi»

tionibus, varqsque diuifionibus terminatas, quodenim in radonibus,qux in ipfa verfantur eodem fempermodo fe ha-

bet,& firmum cft, neque confutari poteft,formis, qux in materia fe-

runtur ipfam fuperiorem efle declarat.progredicdi vero visilla,qux

apprehendit,& qug rerum fubiecfiaru dimenfionibus prgterca vtitur,

& quf ab alr|s principqs alia pr^parat,inferiorem ipfi dat ordinem,eo

ordine,que fortita e(l impartibilis ,& in fe ipfa perfe<fie coAituta na-

tura. Q^propter(vtarbitror)& Plato coium,qu^ funt cognitiones

primis,& medijs, 5c poAremis fubAanti}sdiuidebat . & impartibili-

bus quidem intelfe<fiilcm tribuebat, qux colledbm ,& fimplici qua-

dam vi diuidit qux mente percipiuntur, 8ccum fine materia fit

,&fumma quadam puritate prxdita

, 8c quadam vnius formx rauone

feconi^iat, resque ipfas apprehendat , exteris cognitionibus excel-

lit : Parabilibus autem ^poAremamque naturam fortitis,& Senfili-

bus omnibus,opinionem,qu^ obfcuram veritatem natfla cA : Medijs

vcr6 ( cuiufmodi fanc Mathematices formx funt) Sc impardbili na-

tura inferioribus,partibilique fuperioribus, cogitationem . hxc enim

lacntc quide,fupremaque fcientia infenor eA,opinione autem perfe-

A dior.

CoduGovaiueria-

lii.

Codulio-

oii^batia

PlacoDuI

Repu. Se

aliis I lo *

cis cogni-

tionu di-

uilio.

t LIBER^ior.&r magis ccrta.atcp pura . nam proceditur quidcm.mcndrqfie

impartibilitatcm explicat, 8c intelligcntis apprehenfionis quod con-

uolucum erat euoluit : colligit autem rurfus quae diuifa funt, ad mcn>'

EorH temque refert .Quemadmodum igitur ipf? irtter fc diftani cognitio-

(iibcogni» nes , Ita (ane 3cqux fub cognitionem cadunt , natura diflintfta (unt •

du”di^- &qug intelligi quidem pofliintvnius formae cxiftcnit}s omnia fupe-

rant.Senfilia vero, fuperantur penitus a primis e(Tcntrjs. Mathema-

tica autem,& omnino quxcunqt fub cogitationem cadunt,medium

fortita funt ordinem . ciim ea quidem,qu® iniclligunturdiuifionc

vincant, fenfilibus ver6,cum materi® fint cxptTtia pr®ccllant : 8c ab

illis quidem (implici quadam vi fupe*rentur ,his autem certa quadam

ratione prfftent : & apertiores quidem quam fenfilia intelligcntis ef-

fentif notiones habcant,ip(ius vero imagines fint. Si panibiliter qui-

dem impartibilia,multiformiter autem vniformia eorum

,qu® fun*

imitentur exempla :&Tvt paucis rem completfhir, in veftibulis qui-

dem primarum formarum (int collocata, illarumquc in vnumcoa-

dtam ,impattibilem, foecundam exiftentiam patefaciant, non-

dum vero partitionem,5^ compofitionem rationum ,conucnientem

1 prspe- que imaginibus fubftantiam fuperent , nec varias , S^cogitandi vim

habentes anim® notiones tranfeurrant ,& ipfis Gmplicibus,& abEpUopii. omni materia expurgatis cognirionibuscohfrcant. Medietas itacp

Mathematicorum generum,ac formarum, in prffentia huiufcemodi

dTe intelligatur . Medium vticp complens inter impanibiles prorfiis

c(Ientias,& eas, qu® circa materiam partibiles fiunt •

Communia corum,qu® funt, MathcmaticfqueEfientif ‘

principia,Finis,& Infinitum . Cap. U.

PRincipia autem tonus Mathemanc^ Eflaitif confiderantes.ad ip-

ru pridpi fa regredimur prindpia,qu^ per tfaomnia,quf funt pcrmeant,&r om»

viJt nia i fcipfis gignunt,Fincm inquam,& Infinitum . ex his nant^duo-

' bus primis poft illamV nius caufam, quf neqt explicari, necp omni-

no comprehendi poted , cum alia omnia,tu Mathematicarum difei-

plinarum natura condituta eft. illis quidem collctflim omnia,f^f fepa-

ratim producentibus: his vero conucnienti in menfura progredienti-

bus, ac decenti ordine progreffum recipientibus,& alqs quidem pri-

mis.alqs vcr6 mcdns,alqs autem poftremis fubfiftcntibus.nara intcl-

!}'* Ictfblia quidc genera fua quada (implici vi primu Fine,Infinito'cB pa#

paniopit ocipat.quippc quf propter quidc vmonc^oC ideuiatc,hrma cp,ac it»-

bilcm

P R I M V S.

bilem cxiftctiam.Finc psrficiurmir; propter vero diuifionem inmuUdtudinem,& copiam gignendi vim habentem, diuinamq6c diucrG'

tatem,acprogre(Ium,lniinitatem nacifeuntur . Mathematica autem,

ex Fine quidcm,& InRnitate orta funt,non tamen ex primis tantum,

nec ex intcllc<ftilibus,occultirque principi^ : verum eciacxiis,qu^ ab

illis ad fecundum ordinem progrefla funt ,mediofque eorum

,quae

funt ornatus,& varietatem, qux in iplis reperitur inuicem producere

fufRdunt. Vndc fan^ in his quocp raaones in infinitum quidem pro^

grediuntur.cohibetur vero ab ca,qu^ Finis eft caufa. Numerus enim

abV nitate exorfus inceflabilem recipit accretionem , femperautem

qui acceptus e(l,finicus efl . Magnitudinum quo^ diuifio in inhni'

tum abit, omnia tamen qux diuiduntur terminata funt,totius cp par-',

riculx a(fhi Rnitx exiflunt. Atep adeo InRnitudine quidem non exi'

flente, omnes Magnitudines commefurabilcs eflent, nullaquc repe'

rirctur.qu^ aut verbis explicari , aut ratione comprehendi non pollet

(quibus fanci ea.qu^ in Geometria tradlantur, ab qs.quf in Arithme'

tica differre vidcnmr ) Sc Numeri vberem V nitatis vim offendere

minimi poffent.nct^ omnes eorum,qug fiint rationes in feiplis cople

ftcrcntur.Multiplices videlicet , vel Supcrparticularcs . omnis enim

Numerus Imutat rationem.in vnitate,&: ^ eam que ante ipsa ratione

fadla eff refpiciccns.diligcntcrque exquirens. Fine vero ablato.com'

menfurabilitas, communicatioque ranonum, & formarum vna , ea'

demque femper effentia,& xqualitas,& qugcuncp admeliorem co'

ordinationem fpc(ftant , nunquam in Mathematicis prxeepuonibus

apparerent : neque vllx horum effent fcientix : nec firrax, ac certx'

comprehenfiones . Quemadmodum igitur omnibus alqs eorum,

qux funt generibus ,ita edam Mathematicis , ambobus hifcc prind'

prjs opus eff . Poffrema vero, qugque in materia feruntur, ab ipfa’<^

natura conformantur , omnino ex fui natura ambobus frui manifeffe

videntur. Infinito quidem quo ad fubic(flam fibi fiarmarum fede: Fi'

ne vcro.qud ad rationes,& figuras,& formas. Venim quod eadem

Mathematicarum quocp Effentiarum prxexiffunt pnndpia, quf 8c

eorum omnium.qux funt, manifeffum eff

.

Qpfnam (int communia Mathematicarum Eflentiarum

.. Theoremata. Cap. 111.

QVemadmodum autem communia ipfarum prindpia,& perom-

nia Mathematica genera permeanda contemplad fumus, codefan^

A X modo

QiloMa«themacies

gfuex his

orca (ioc

principiis*

Ar^it fe

cu<^ hy-pothetico

ru modoquhd Fi«

nis,^ In*

finitu Mathematica

ru Effetta

ru princi*

pia fine •

teum qui

ate iprum

cft re/pict

ent»

Qpo Ma-terialia

nera hxt

duob* pri

cipiis fra-

ancur.

Epilogus.

ZKuiiu Ca

cmu.

CoimincjMathcnutic{ conli-

dcratiocs.

i !

Socratcsi

»;de Rcp.

ide infr^

iup.S.&icom.ij.

tibii i.

Cictulio.

'CocIuCo.

nis pro-batio.

4 LIBERmodo comunia quocp ipfarumTheoremata , Sc fimplicia,& ab vna

fcientia orta, qux cuntfcas Hraul Mathematicas cognitiones in vnumcontinet ,

confidcrabimus . 8C quomodo omnibus congruant,pof-

(intque tum in Numeris , tum in Magnitudinibus , tum in Motibus

infpici,perfcrutabimur.Huiufcemodi autem funt,omnia Proportio-

num,& Compofitionum,& Diuifionum,& C6ucrfionum,& alter-

narum Immutationum : itemque Rationum omnium , vt Multipli-

cium,& Supcrparticularium,& Superpartientium, hisque oppofito-

rura : & prorfus qux circa Aequale,& Inaequale vniuerfc, comu-

niter confiderantur.non quatenus in Figuris,vel Numeris, vel Moti-

bus funt^ fed quatenus per fc vnumquodq;horam naturam quadamhabet comunem ,

fuique (implidorem prxbet cognitionem . Atqui

pulchritudo quocp , 8c ordo omnibuscommunia funt Mathematicis

difciplinis ,& a notioribus ad ca,quae quxrantur via,& ab his ad ea

tranfitus, quxfane RcroIutioncs& Compofitiones appellantur. Si-

militudo prftcrca,atcp disfimilitudo rationum nequaquam i Mathe-

maticis generibus abfunt . Figuras enim alias quidc (imiles,alias verd

disGmilcs dicimus : codemquemodo Numeros alios quidem (imiles,

alios vero disGmilcs. Pnrtcrcaquxcuncpiuxta potentias apparent,

cunftisfirailitcrconucniunt Mathcmaricis,tum eoram.quxpofliint,

tum etiam coru,que potentiis illis fubrlciuntur. Quf fanc 8c Socrates

in libris de Republica MuOs ardua,fublimiaque loquentibus dicauir.

quippe qui comunia cuifHs Mathematicis rationibus,in limitibus ter-

minatis hiit amplcxus,in dic^tisque Numeris oblirmauit, in quibus fa-

nc menfurp quocp vbertatis,huicq6c contrarig fleriliutis apparent

.

Communia hgc quomodo fubfiflanc, &iquaconfide-rentur fcientia. Cap. II II.

OPortet autem comunia hxc non vtic^ in multis ,& diuilis formis

primo fubGflcrc arbitrari,nccp poftrcm6,& ex multisortum habere:

vcrum,yt prgcedpntia ipfas,limplicitateque,& certa quadam ratione

excellraa ponere . iccirco enim cognitio quoq; ipforam mulcas ante-

cedit cognitiones, ipGsque principia fuggerit, &T eg multg circa ipfam

fubGibint,adipfamquc referuntur . dicat enim Geometra quod qua-tuor Magnitudinibus proportionalibus exiftctibus, alternatim quo-

que proportionales erunt, demonftretque hoc propriis principqs,

quibus Anthmeticus nunquam vtcretur . dicat Gmilitcr Atithmcti-

cusquodquatuor Numeris proportionalibus exiAcntibus,aIterna-

' ; : tim

Dir

I

P R I M V S. f

timquoque proportionales erunt. hocque ex proprfjs fdenda; fu«oftendat principiis

.qnis nara cft ille

, qui alternam Rationem per fccognofeit, fiue in Magnitudinibus illa fit , fiue in Numeris r compo-fitaramque Magnitudinum, vel Numerorum diuifionem, &diuifa-rum fimiliter compofitionem C nonfunt certi panibilium quidem(dentiac,Sir co^itiones . eorum autcm,quac fine materia funt,&qua:propius intelligcntc contemplationem funt conRituta,nullam habe-mus fcicntiam,fcd multo prius illorum cognitio feientia eft,&: ab illa

identix mult^ communes fufeipiunt rationes . &: ad tantas vfque co-gnitiones fit afcenfus a magis particularibus, ad magis vniucrfalcs,

quoufque ad ipfam cius,quod eft,quatcnus eft rcuertamur feientiam.

ipla enim non qux Numeris per fc infunt, nequeadeo qux omnibuscommunia funt quantitatibus contemplari xquum libi ccnfct;fedcundlorum

,qup (uni vnam,& firmam eilentiam

, atque cxiRcntiamcontemplatur . Et proinde omnium cft feiemiarum capadsfima

,&ab illa egterae fibi omnes lua aiiumunt prinapia . femper nanque fu-

periores inferioribus primas Demonftrationum fuppofitiones prx-bent. illa autem,quf feiemiarum omnium pcrfcjfHsfima cft,omnibusex fc principia largitur, aliis quidem magis vniucrfalia,alris vero par-ticularia magis . Ideo 8c in Thcctcto Socrates iocofa ferijs comifeens.Columbis quidem fcientias,qu^ in nobis funt, comparat : volare au-tem ipfas inquit, alias quidem gregatim

, alias vero, fcorfum quoqueab altis . nam quar quidem magis comunes , magisqiie capaces funt,

multas intra fc magis particulares coraprehendun t:qux vero in for-

mas diftributa ea, qux cognitioni fiibiiciuntur atangunt , inter fe di-

ftant,nulloquemodo inuicem copulari qucunt,quandoquide a diffe-

rentibus fintexcitatx primis principiis. Vna igitur (denria omnesfcientias,& dotftrinas praecedat

,quippe qux comunia, 8c peromma

genera permeatia cognofeat, cutfiifquc Mathematiris feientiis prin-

cipia fuppeditet . Et hucufcp de ipfa dotffrina noftra terminetur

.

Comunia

narali Sci

eru,iK<];i

Mathemaccaco^oo

Diuina.

n.o:na Sei

ctia oiumSciemiaru

capacisfi-

ma, quamAri.domi

na Scictia

ru vocat i

prio poil.

tn.Socracca

io Thez-c«o.

Qyod fit inftruraeatum iudicansMa-thematicas . Cap . V

.

Epilogtu.

Pria Phi-

lofophia

,

qua Plato

Dialeaica

vocat i fe

piimo de

Rep.

POfthgc autem quod nam fit inftrumcntum aptum ad iudicandumres Mathematicas confiderabimus, &conftituemus in huius rei ex-plicationeducem Platonem,qui in libris de Repub.feorfum quidem na“to^5 i

quxfub cognitionem cadunt , feorliira vero cognitionesduiidit.& feptimocF

i}S,qux fub cogmtionem cadunt coniugadm cognitiones diftri- Si^i^

buit.

6 LIBERbuit . nam eorum,quf funt.alia quidem intelIedHIia,aIia vero fenniia

ponens, rurfus autem intelletSilium alia iterum intelle<ftilia,alia cogi-

tationi fubie<fta . & fenfilium alia quidem fenfilia.alia vero conieftu-

ralia,intellc(fiilibus quidem (quf fan^ prima funt quatuor generum)

cognitionem asfignat intelligetiara : os autem,quf cogitationi fubic-

fta funt.cogitationem : fenfilibus ver6,fidem : c6ic<fturalibus autem.

Cognitio coniedbmdi vim . eandem ratione conietfundi vim ad fenfum ha-

«a Jppj- bere oftendit.quam habet cogitatio ad intclligentiam. vis enim con-

pijtone. ic<Ttandi fenfilium fpccfira cognofcit,dum in aquis, & alrjs corporibus

pcrfpicuc imaginem referentibus infpiciuntur.quippe quf poftrema

quodamodo in aquis fortita funt fedem ,& fimulacrorum vere fa<fta

funt fimulacra. Gmilitcr cogitatio intclle<ftilium imagines infpicit,

quf i primis,& fimplicibus.&f impartibilibus formis in multitudine,

diuifionem’cp funt delapff . Quapropter huiufce quidem cognitio ab

alrjs antiquioribus dependet fuppofitionibus : intclligcntia vero ad

Mathetni iplum non fuppofiium principium peruenit . Si igitur Mathematicaetictreteo impartibilcm,ab omnique diuifione , ac varietate feparatam

fubfeantiam fortitx funt.necp eam,qug fcnfu dcprehcnditur,&: mufe

tis mutationibus obnoxiam,&T quacunq; ratione diuifibilem,cuilibet

inftrumc- manifcfeumefe.quodiuxta fuam elTcntiam cogitationi quide fubie-

funt : cogitatio autem veluti inftrumentum aptum ad iudicadum

ipfis prgcft.ficut fenfilibus fenfus,&: conicifturalibus coniedandi vis <

So»»''” Vnde fane& Socrates obfcuriorem quidem haru cognitionem pn-

Rrp”°^ ma fcientia determinat.euidcntiorem vero eo appulfu,qui in opinitv

ne politus cft. nam id quidem vitra intclligentiam obtinent, vt quodIde fupe- euolutura eft,& progrediendi vim habet conicplentur : ea vero.qua:

in ipfis reperitur rationura ftabilitate,quc etiam confutari non poteff,

opinionem fuperant. Sc quod quidem ex fuppofitione ortum trahat,

id fortitf font.iuxta primp fcicntif diminutione:quod vero in ijs for-

misconftitutf fint.qiif fine materia exiftut, iuxta perfciftiorcm fenfi-

lium cognitionem . Inftrumentum itatp aptum adiudicandum cun-«piiogui. ^35 res Mathematicas talc.ncmpe cogitationem ex fentenua Plato-

nisjftatuimus. quippe quf opinione quidem feipfam fuperiorem fta-

tuii, ab intelligentia verd fuperatur

.

Quae nam fit Mathematicorum generum , ac formarum

c(rentia,& quomodo (ubfiftat Cap. VI.

Qjjtftio . S Equitur autem , vt confideremus quae nam dicenda fit Mathema-

P R I M V S. 7.

dearum formarum,gencrumque eflentia , 8c vtnim d fenfilibus ip- ^

fam manarCjin rerumque natura fubfiftcrc fit admittendum, fiue per ‘O/*»“<»

abffracflionem ( vt dici folet ) fiue per colleiftionem particularium in sccundi

comunem vmam rationem ; an 8c ante hfe ipfam fiibfifterc fatendu, Xphio^vt aflerit Plato ,

omniumque rerum progrclTus oftendit . Primum »«•

itaque fi a fenfilibus Mathematicas formas oriri, fubfiftercque dici- p,moL°*mus,anima quidem noftra i Triangulis, vel Circulis in matenainfi-

dcntibus,Circularem,vcl Triangularem formam poftremo in fcipfa

formatc,vnde accurata illa vis,& cenitudo illa,quaj coargui conuin-

cique minimd poteft, rationibus ineft Mathematicis C hxc enimaut a fenfilibus, aut ab anima eruantur neceffeclf. Atqui i fenfili-

bus hxc educi cflimpofibile. multo enim maior certitudo illis con- CenimJ»

cedenda elTct . Ab ipfa igitur anima educeijitur,qux imperfctfiis qui-

dem perfe(fnonem,qs autem, qux certa non funtquodeertu fitadhi- nuipiae-

bet . vbi nanepin cis, qux fub fenfum cadunt impartibilc, vel lantu-

dinis expers, aur crasfitudinis percipi potuent C vbi porrd ex Circuli

Centro exeuntium Linearum equalitasC* vbi femperftabilcsLateru

rationes f vbi Angulorum reiTtitudincsC non equidem video . fiqui-

dem omnia,qux fub fenfum cadunt inuicem comifla funt

, nullumque in his fyncerum repcritur.quod i contrario purum fit, fed cunifta

panibilia,& dimenfionumplcna,&: motui obnoxia exiftunt. Quona modo igitur immobilibus rationibus ex ijs.quc mouentur,&; alio,

atque alio tempore aliter fc habent ipfam immutabilem, firmam

qfic attribuemus eflTentia C quidquid enim ab qs, qux mouemur or-

tum ducit cflentqs ,mutabilem ex ipfis habere exiffentiam nemo eft,

qui non fatcatpr . Qpo namdemum paifio certis,&: quf minime co-argui pofliint formis, a non cerris certitudinem adrjcicmus I" quic-

quid enim Imobilis cognitionis eft caufa, magis illud tale eft . Con- csclufio

felium igitur, ac receptum fit animam fbrmarum,rationumqucM a-

thematicarum ellc genitrice. Venim fi quidcpi habens exempla fc- ftio.

^

eundum cflcntiarn.conftituit eas,& funt huiufcemodi ortusquadamj

carum, qux in ipfa prxexiftebant formarum emisfiones,& Platoni

aftibulabimur hxc dicentes,

vera nobis Mathematicarum difei- seVunda

plinarum edentia erit inuenta : fi vero non habens,nequc cu rationes

prxoccuparit, tantum fubtexit ornatum materix expertem, tan-

tamquue gignit contemplationem, quomodo qux genita funtdiiu-

dicare potcft,fintric vitalia, an fubuentanea,& fimulacra pro veris C’gumemu-

quibus autem regulis vtens veritatem,quf in his eft metitur C quo de-

mum patfto edentiam ipftmuu non habens,tanum rationum pro-

ducit

CocluHoprimi ar>

gumenti

.

Secudumargumcn*

Coclufio

fecudi ar»

gumcnci.

Tertia ar»

gumentu*

8 LIBERdudt varicutcra f ^agam quippc,& incertam ita horum facicmui

fubftantiam.quxquc ad nullum terminum referatur. Si igitur anima

Mathematicas gignit formas.necp a fenlilibus rationes habet.quibua

cas conlfituit,ab illis tamen ipfas producit,ipfius vtique animae par'

tus,ac foetus, permanentes, ^ternasqhe patefaciunt formas.Secundo,

n inferius,& a fenlilibus Mathematicas colligimus rationes,quo nammodo nccefle non fuerit potiores cas perhibere demoftrationes,qup'

cunque a fenlilibus conftituuntur,&: non eas,quae a magis vniucrfali'

bus.limplicioribusque formis C caufas enim vbique demonftrationi'

bus ellc proprias ad eius,quod quxritur venatione dicimus . Si igitur

pariicularia,&: fenfilia,vniuerfalium,&: fub cogitationem cadentium

caufx funt,quid caufx e(l quod dcmonflrationis dchnitio ad magis

vniuerfalia vice particularium referatur C & corum,quac cogitationi

fubncluntur eflentia,potius quam fenfiliu elTcntia cognanor demon-

ftrationibus.magisquc affinis oftcndaturC nam neque iiquis ( vt dici

folet) demonftraritAcquicrusduobus Retftis gquales habere Angu-

los,& Acquilatcrum,& Scalenum ,is quodamodo fcit : fed qui om-

neTriangulum,& fimpliciter demonftrauit, per fe feientiam habet.

Et rurfus quod vniuerfale cft,melius eft ad dcmonftrationem, quamparticularc.itemque dcraoftrationes ex magis vniuerfalibus coftant,

atque conflantur . ex quibus autem funtdcmonftrationes, ea priora

funt , dc fingularibus natura praecellunt ,funtque caufx eorum

,quae

demonftrantur. Multum igitur abeft,vt qux dcmonftrandi vim ha-

bent feientiae pofterius genita , obfcurioraquc fenfilia refpiciant, at-

que fcrutcntur,non autem ea contcmplcntur,qug a cogitatione com-

prehenduntur,quxquc perfediora funtqs,qux i fcnfu, opinioneque

cognofeuntur . Tcrtio autem adhuc dicimus quod animam quoqueroateriaignobiliorcm faciunt qui hxc aiunt . nam fi materia quidem

elTcntialia.qufque magis eflTc dicuntur,manifeftioraqi'ie a natura acci-

pit : anima vero fecundo loco ab illis 8c fimulachra, Hc imagines po-

fterius cduiflas in fe fe informat in eflentiam minus honoratam, aufe-

rens a materia, qux fuapte natura ab ipfa feparari non poflunt,quo-

modo anima imbccilliorem.inferiorcmquc materia non offendunt ?

tum enim materia rationum materialium , tum anima formarum eft

locus . fed primarum altera ,altera fecundarum . 8c illa quidem ea-

rum ,qux prxeipue funt : hxc vero earum

,qux ab illis oriuntur

.

necnon illa quidem carum,quf fecundum cflcntiam,hfc vero earum,

qux fecundum excogitatione fatftx funt. Quona pa<flo igitur anima,

qux mcntisjintelligcntisquc eflentix priind cft particeps,&: hinc co-

gnitione.

Di:

P R I M V S.

gnirionc, touque vita rcplctur.obicuriorcs recipit formas iis, quae ab

>vUima coru, qu* funt,'& qu6 ad B IU- omnium impcrfc<ftisfima reci' -

piuntur fede C' V erucnirauero huic quidc occurrere opinioni,quffg'

pe i plerifcp exagitata,ac conuiiTra fuit,fupcruacancum fuerit . Quod tx ri$.qu^

fi nc<^ per abftra(fHonem materialium Mathematicf formae funt, ne “_

que per colIc(fHoncra eoruin,'quae in fingulis funt comunium, neque

probus pofterius genitf i fenfilibus : nccefTc eft vtitpanimam aut mebrum.

ife,aut i mente, aut& a fc& i mente ipfas accipere . At fi qUidem

i fe dunuxat,quo nam modo hae intcllc(fiilium erunt formarum

imagines C’ quomodo inter impartibilcm, partib Icquc naturam foc'

lint medif , nullam i primis quo ad EfTe pcrfetfhonem fortitj f quev5"™^

Aiodo demum ea,quae in mente funt

,primaria omnium funt rerum Ttnium

«templa f Si vero ab illa tantdm, quo paflo vis illa exercendi fui, aic se®3i

tnouendi fili, quae in anima eft permanere poterit C" Cquidemquxin

Jpfa funt rariones iuxta eorum, quae ab alio mouentur fubftantiam pnmuv.

aliunde in ipfam fluxere C' praeterea in quonam anima ab ipfa differet

materia, qux potentia foliim eft omnia, nullamque prorfos forma-- bricdfir-

tura materialium gignit C Reliquum eft igitur animam& a fc , 8f i

mente hafte producere ,ipfamqiie formarum plenitudinem cflcj

quxab intelligentibus quidem exemplis oriuntur, ex fefe aurem ad

'EfTe tranfitum fortiuntur . • Non eft igitur tabella, rationibufque va«-

cua ipfa anima,im6 femper fcripta,fefcque fuapte natura deferibena,

cura i mente quocp deferibatur . nam anima etiam ipfa.mens eft lu- cognitio

xta mentem ipfa priorem feipfam conuoluens,iraagoque ifiius,&

adumbratio extrinfccus fatfta . Si igitur illa cuntSa intclligendo co- gniruine

gnofcit.anima quoqj cuntffa animando,&: fi illa per exempla, &T ani-•

mapcritttagmcsr&fiillacontrahcndo.animadiftinguendo. Qyodaiimirum Piato c|uoque fciens ,

animam cx omnibus Mathematicis m^ani-

Tonftituit formis,camq6e diuidit per numeros, &T connetffit propor-

tionibus ,harmonicifque rationibus , &f primaria Figurarum princi-

liiatn ipfa defigit, Redum inquam,& Circulare , & Circulos in ipfa

fxiftcntes ciet intelligder . Cundf igitur res Mathematicf primiiai

iri ipfa funt anima, &: ante NumerM ,Numeri, qui per fe mouentur

:

&antcapparcntesFiguras,Figurf + ahimales:&Tanteea,quf cocin' t vitaka

nau fiint,harmonicf Rationes :& ante corpora,qug circulariter mo-

uentur, inuifibiles Circuli produdi funt . horumque omnium vber-

tas ipfii eft anima , &C ifleomatus alius eft,qui fe ipfum producit ,8C '

,

'i proprio producitur principio,& vita ftipfum explet, ab opificeqfie

fine corpoir^ac fine dimenfioneexpletur.& quando fuaspromit ra-

... B tiones.

19 LIBERdones,tunc omnes patefecit fdcnrias,atquc virtutes . His itaque for>

Quo Ma- mis anima fuam induit eflfentiam, nec cft Numerusin ipfaVniatummultitudo cxiftimandus.nequc corum.quae cura diraefione funt idea

^ed vitaliter, & intelligentcr omnia ap-^

'

parendum Humerorum,& Figurarum, 8c Radonum ,& MotuumTimiiu

. exempla tipponcnda funt, Timaum fequendo, qui omne ipfius or-tura.atcpcrcadonem ex formis compleuit Maihcmadds, oraniuque

Tulchrii. caufasinipfacollocauit. nam omnium quidemNumeroium linea'

rium,& planorum, 8c folidorum feptem termini principia compre-t rtu&m

. henderunt. Rationum vero omnium feptem radones, fecundu t

fendam in ipfa prxexdterunt . Figuratum autem prindpia , fecun'

dum opiHcam vim in ipfa collocata funt . Motuum deniep primus,qui caeteros alios comprehendit

, & mouet , vni cura ipfa fubfiftit.

omnium enim eorum, quae mouentur Circulus , motufquc circularia

tpiiogui. principium cft. Effcndalesigitur,& per fc mobiles Mathcmadcariirerum funt rationes , animas complentes ,

quas vtique radones prO'moueiis. prouoluenfqde cogitatio,omnem Matheraadearum fden'darum varietatem conftituit • nec vnquam quiclcet gignens quidemfemper, aliaquc poft alia inucniens. fuas aute indiuiduas radones ex'plicans . cuntfta Gquidem primiarie praroccupauit,& fecundum infi'

ni«m fui vira ex prjaffumpiis principiis varia produdt,proponitq6eTheoremau

.

u Qyod opus, &qux vires MathematicaeSdcnda;6nt,&quouftpfiiisadionibusfe extendant Cap. VIL

VEnim poft Mathemadeatum formarum eficndam, ad vnam ip»Suptri*in farumfeiendam recurremus, qua ante multas alias cfte oftendimus^“*’ '*

Sf infpidcmusquodnam ipOus Gt opus,quaeue ipGus vires ,& quo'

OpuiMa ufep luis agonibusprogrediantur. Opus igitur totius Mathetnadcf

fclcMi*'*cogitandi vim habens (vt antea diximus) ponendu cft. net|i

feni ciufmodi , cuiufmodi intelligens ,quod in fciplb firmiterGtum,

8cperk^ cft,& fcipfb contcntum,& in fcipfum vergensmee cuiufe

modi illud cft,quod opinioni, itep fenfiii afcribitur,h( fiquide cogni'

dones externis rebusincumbunt,& in illis agunt,& caufas coru, quae

Mcdictu ab ipGscognofcunturno habent. AtMathemadcacxtrinlecusirc'cordadonc quidem fumit inidum, in intimas vero dcGnitradones,&excitatur quide i pofterioribus.pcnienit aute in praeripuam formarfi

e(Tendam . nec Imobilis quide cius cft a<ftio,Gcut intelligcns,nccmo'tu locali

P R I M V S. ,,

tu Iocali,necp alterante.queadtnodum fctifus , fed vitali conuoluitur^

& incorporeum rationum percurritomatu^nterdum quidem i prin-

cipqsad ca, qux principqs ipfis perficiuntur pre^rediens, interdii ve-

ro retrorfum cedens : 8c interdum quidem ab q$, qua; praecognofeU'

tur ad ea,quae quamintur, interdii vero ab qs^quae in quaeflione pofi-

ta funt ad ea,quae cognitione praecedunt.Prfterca non vtpot^ ex fefe

perfc(fbomnem fuperat inquifitioncm.queadmodum mens,necp abalqs.vt fenfus, perficitur, fed quaerendo ad inucmionem procedit, &ab imperfcifload perfcifHonem afiiedit . Duplices autem habet vires,

vnas quidem in multitudinem prindpia deducentes , diucrfasque c6 •

teplationis femitas gignentes : alteras vero multos tranfitus proprias

in fuppofitiones colligendi vim habentes . cum enim principia tumVnum,&T Multitudinem,tum Finem, 8c Infinitum fibi propofiierit,

Sc ea, qug ipfi quo ad comprehefionem fubqciuntur mediu inter im^partibiles (ormas,omnifariamque partibiles fortita fint ordinem,iurc

fand (vt arbitror) cognofcedi quocp vires tonus ipforum feientij^ du'

plices e(Ic innatf funt.& vnf quidc ad vniedu nobis properant, ttiul-

titudinemqiic cotrahunt: alter^ vero fimplicia in varia,& magis vni-

uerlalia in magis particularia,& rationes in principio digeftas in fecu

da",i principrjsque multifari(i multiplicata diilinguendi vim habent.

Altius enim incohans ad ea vfcp pcrmeat,quf reru (enfiliu abfolutio'

nes funt.naturgque iungitur,5f multa vna cii naturali fdentia demo-ftrat

.quemadmodu porrd ab inferioribus alcendens ad inteliigetem

quodamodoproxime accedit cognitionem, primarumqhe rerucon-

leplationem attingit . Vndc fanti in profluentibus d fe fc limitibus

tota Mechanica,^ Perrpet?huam,& Specularia produxit confidera''

»ionc,ah'asq6cmultas fdcntias,quf fenfilibus implexf funt,per eaque

operantur .& in afcenlibus irapanibiles, bC materi^ expertes intelli.'

gentias nandfdtur:& cu ipfis partibilesapprchenfiones,& cas,quf in

progresfibus feruntur cognitiones,fuaque genera,& formas perficit,

illis'cp asfimilat efsctrjs : necno de Diis ipfis veriute.&de ijs.qu^ fiint

cot^latione i proprqsTdicat tratflatioibus. Att^ h^ede his ditfhi fint.

DcvtilitateMathcmaticxfdentiae Cap. VIIL

POftea vero (dentiae huius vtilitatem confelbm perlpiciamus

,

qux i maxime praecipuis cognitionibus v(que ad vltimas perten'

diti Timaeus itaque erudiendi viam Mathematicarum dildplinarum

appellat cognitionem,quoniam fandcam habet rationem ad vniuer'

B t rura

Vif.qiuV

catu Ma~thimiiua

Ouplicej

Mathcmaticz tei

VIIM.

Principi»

tiarhrma

licx r<.iC

tu vnu 8r

Muliitu -

do, tu Fi-

nic,& Iii-

Aniciun.

P to^rfC.

fus fcicti;

Matbetna

ticx atq;

rtgreft* .

Eitreinx

coGdera.

tioct Mathemati •

C( fcicci(.

tpilejf

.

QDiifcaufa Timj*-

Mathcmaticamco.-'

gnitionc

erudiendi

viam ap-

pellartc.

t Circumafilone.

C^iii di-

cat Socra

les vidci

leprirtiti dRcpu

r>efpccu

Plarnnis

vide Pro-

elii io le-

ptimo de

Rep.

Socrares

iiir)i;J .

t Prxlu-

dimn.

Plotinus.

Dialefli-

cis.i.Me-

taphvfi--

cii.'

Vcilitaf ,

qua affert

Marhc-rniariraad

Philolb-

phiam.Ad Theologiam.

IX L I B 'E Rforum feientiam, primamque Philofophiam

,quam eruditio ad vir--;

tutem, nam hafc quidem animam noftram probis ad vitam pcrfc'

<flam concinnat moribus.illa vero cogitarionem noftram.aninifque,

oculum ad eam.quac bine fit tcuccTtionem praeparat . Ideo& in Rc-r

publica Socrates rc<ftc dixit . oculus enim animae,qui ab alrjs nudqt-

excicatur.dcfoditurquc, a.Mathematicis tantum difciplinis recrea^

ri, cxcitarique rurfus innatus cft ad cius,quod eft contemplationem,

a fimulacris ad ea,qua: verafunt, &abobfcurolumincadid,

quod intcliigcndi vim habet lumen transferri,& prorfus a fpccu , SC

vinculis generationis autoribus in hoc exilfentibus ,matcrialibusquc.

retinaculis ad incorpoream, impartibilemquc exurgere cfTcntiam.

nam pulchritudo, 8c ordo Mathematicarum rationu, firmitudoque,

ac ftabilitas contemplationis nos ipfisconiungitintclletftilibus, per-

fctflequc in ipfis obfirmat,perpetuo quidem manentibus, Sc femper

diuina pulchritudine collucentibus, femperque mutuum ordinem

feruantibus • In Phaedro aute Socrates tres,qui cuehuntur nobis tra.»

dit, quippe qui primam quoque ipfi vitam complent , Philofophum

nemp<?,Amatorium, Qi Muficum . V erum Amatorio quidem cuc-

tfrionis initium,& via hinc cft ab apparente pulchritudiuc , excitatio--,

nibus medrjs formis pulchritudinum vtenti. Mufico ver6,qui tertiam

fonitus cft fedem ,ab qs,qux in fenfibus funt harmonrjs, ad inuifibi>

les harmonias,& rationes in his exiftentes eft tranfitus . & alteri qui-

dem vifus, alteri vero auditus rcminifcentiaeinftrumentum eft. Et.

autem,qui natura cft Philofophus, vnde tandem,& perqu» intclli-.

gentis cognitionis |reminifecntia cft,& ad id.quod vere cft , veriu-,

temque ipfam excitatio C nam hoc quoque propter imperfctftio-j

nem proprii principii opus cft . naturalis enim vinus , & ocu-

lum impcrfeclum,^ morem fortita cft . Excitatus cft igitur a feipfb,^

8C co,quod cftgaudet is,qui natura talis cft. Exihibendx autem ipli,,

inquit Plotinus,funt Mathematica diraplin^,vtcum natura afluefeat

incorporea, cumque his tanquam figuris vtentem, ad Dialctfticas ra-

.

tioncs,prorfufquc ad omnium corum,qug funt confiderationem du-.,

cercoportct.Cgtcrum q>ad Philofophiam Mathematica prfcipuam

affert vtilitatem ,ex hisperfpicuu eft . Opus cft autem vt de fingulis

quocp mentionem faciamus,& quod Thcologix quidem intclligcn-

tes apprehenfiones pr^parat.qugcuncp enim imperfctfiis ferutatu dif-

ficilia.arduaqfie ad veram Deorum cognitionem vidcntur,hxc Ma-^

thcmaticcs rationes credibilia , & manifefta , 8c cena per imagi-

nas oftenduni - nam fuperefremiaiium quidem proprietatum (t-.

P R I M V S. ij.

gnificaiioncs in Numeris indicant, intcUigentium autem Figurarum

vires in iis, quxfub cogitationem cadunt Figuris patefaciunt. PrO'

pterea fane Plato quoque multas, admirabilesque de Deis fententias

per Mathematicas formas nos edocet, Pythagoreorumque Philofo-

phia his vtens velaminibus facram diuinarum fententiarum tegit di'

fciplinam. talisenim eft& vniuerfus facer,diuinus'qj fermo,& Plilo-

lai in Bacchis ,toius'c{; modus enarrationis Pythagorf de Deis . Ad

naturalem aute contemplationem maxime confert, quippe quii ra>

tionii ordinem, quo V niuerfum fabricatu cft patefecerit, Sc propor'

tionem,qug cu<fla ea,qux in mudo funt colligauit,vt inquit Timjus,

nec non amica ffcerit quf fibi inuicc oppugnant,& conuenientia,co-

fentientiaque ea,qu^ inter fedifcrcpantjlimplicia infuper,primaria'cp

dementa conmenfurabilitatc vndequacp,&r squalitate comprehenfa

dftederit, per qug totum quocp c^Ium confedu eft, quippe quod Fi-

guras conucnientes in fuis portionibus rufcepit,item'cp proprios vni-

cuicpeomm, qug fiunt Numeros, eorumque rcuolutionibus, ac rein-

tegratiorubusinuencrit, quibus optimosfingulorum ortus, contrari-

ofqiie interitus pofliimus ratiocinari . hxc enim ( arbitror ) Timaeus

etiam vbiepoftendens, de omnium natura contemplatione Mathe-,

maticis nominibus patcfacit,clcmcntorriquc ortus Numeris , atepF^guriscxornat,&virc8,d^pasfiones,a<flioncrque ipforumadca re-

fert, tum Angulomra acumina, acobtufitjtcs, tum Laterum leuif-,

utes , vel vires contrarias ,& multitudinem, ac paucitatem peruariair

elementorum mutationk caufam efle cenfens . Ad eam autem Phi*.

Idfophiarn.quf Polkiea appellatur ,quo nam padio non dicemus ip-,

£»m muliumfane.&.admirabilitcr prodeflbitum adlionum tempora,

dimctieittenr,uim varias V.piucrfi rcuolutioncs,tu etiam cUnucnieiv^

tes ortibus Nuraeros,asfimiiantcs inquam,& disfimilitudinis autores,

fxtundos infupcr,atq? perfe<fi»s,hifqu€ conurarios,8fconcinnos vitg

miniftros,inconcinnitatcque prxbcntes,atcp omnino fertilitatem, at;

flerilitatem afferentes C Qpf porro Mufarura quot^ fermo in libro

de Repu. offendit,vniuerfum GeometricumNumoumpptiorum,

zC deteriorum generattonum autoresa ponens * morumque bono-

rum indiffolubilis pcrfeuerantix.atque optimarum Rerupublicarum

mutatipriisin eas, quxi rariohe remode, afie<ffd)u(qu&dedita: funt

.

quda enim, ad totam Mathematica difciplinam fpet^at huiufce.Nu-i

meri, qui Geometricus appellatur fcientia tradere,&ind!ad vna qua-

dam, yrputa Arithmeticam,-vel Geometriam» omnino manife-

(him eff .'per omnes fiqtudcin-Mttfhematkasdifapiinaa vbemt^

Pl«o.

PythigorcorupMlofophU.

Philolai

Ccimo in

Bacchis .

AJ Naturalcm.

Propor -

tio cu^ia,

qi Mudosut colli-

fauit. vi-

c hoc io

Timaro.

Qua J'ca

ufaTimj'

cotila .

tionc re-

rO natura

liuniMa-

chemati -

cis ezplia

cet Dominibus

.

Ad Poli-

ticam.

Muffi t.

<f Rqsub.

Nutnenis

Gmtnc -

tric*Pla-

totsis,quo

nihil ob-rcurius,vt

fit Cice-ro.tTqtmdiccnau i

comitari'

utioftrif:

I

14-

Ad mo-ralem.

Athcnif-

6t holpes

ia >. de

lesibus

.

Socrates

io Gorj.

Socrates

i nono deRep.Ad cfte*

ras Icias,

Bc artes

VtlllUS

Alathenu

tKalcix.

Socrates

i Paileb.

Epilog*.

Veima o-piuio

.

Secuoda

•ptoia .

LIBERds,{lerilitatifquerationes permeant.Ad PhilofophiamntrrusmonA

lem nos infHcuit, ad eamque podrema pcrfeifdoncm perducit, ordi>

nem, concinnamq6c vita moribus noi^rrs inferens . Figuras prftcrea

virtuti couenientcs,& modulationes,& motus nobis tradit, a quibuc

fanti AthenienOs etia hofpcs cos inditui , ac perFci vult.qui moralemvirtutem ab ineunte adolefcentia funt confecuturi . V irtutu infuper

rationes in medium affert , aliter quide in Numeris , aliter verO in Fhguris,aliter autem in Muficisconfonantns,vidorumq6cdemucxccf-

{us,atcp defe<fhis Tdicat, per quos moderati moribus,ornatiquc effid^

raur. Et iddrco Socrates in Gorgia quide Calide inordinat^,inteperi

rat^que vitx accufans.Gcomctriam inquit, ac Geometrica aequaliu.^

tem negligis : in Rcpublica vero tyrannic^ voluptatis ad regiam in**

tcruallum.iuxta planam,folidamque generationem inuenit. V cru.<>

tamen quanta cxterisquocp fdcntns, atque artibus i Mathematica'

rdenda prodeat vdlitas didicerimus vtique conOderantes quod con»tcmpladbus quidem,vt Khetodcg,atcp huiurccmodi omnibus,quap>

cuncp in fermone politf funt perfc(fdonem,ordinemquc addit : nce'

non id, quod ex primis.df mcdns ,atep vldmis ad cius limilitudincm

compleanmr . Poeticis autem exempli loco rationes Po^iatumpropofuit, quippe quae menfuras etiam tn ipfa exiffentes prxpofuit

.

Agcndbus ver6,addonem,& motum perrua8mancntcs,immobiles

qiic formas determinat, prorfus enim omnes anes (vt ait in Phi^

lebo Socrates ) Arithmetica , arte medendi , aneque ponderan^

di indigent , vel omnibus , vel aliquibus . hae autem omnes in Ma-thematicae fciendx fermonibus condnentur, Sc iuxta illos termi-

namur . Numerorum nanque diuiliones, d( dimenlionum varie-

tas, pondcrumqlie differenda ab hac cognoldintUr . Vdlitas igi--

turtodusMathemadeae fcicntixad Philofophiam ipfam,cartcral^

quefeiendas, &ancs, perfate, qua; iamdidlafum cognita eritau^

^endbus.

Qyonmdam obiedHo contra Mathematices vtilitatcm,

ipliusqtie foludo. Cap. VlllL ' s

I

At quidam ex qs ,qui ad contradicendum procliues funt pro-

pter illos, qui Geometriam fubuenere volunt, huiuicc fdendx di-<

gnitatemdcilnicre nituntur. Alff quidem bonum ab ca,decusq6c'

auferentes tanquam quae de lis verba noniadat. Alq verd,vdIio-«

res fenUlium experientias affirmantes ij» ,quae in ipfa vniuerfd

fpedan-

P R I M V S. ,f

(pedantur , verbi grada Geodariiaoi, hoceft terras diftributricem,

Gcomctria:& vulgarem Arithmcricam,Arithmetica, quf in Thetvffcmatibus cft pofiia : naudeamque Aftrologiam , ea ,

quas vniueri?

docet . non enim ditefeimus, dicunt ipfi , diuitias cognofeendo , fed

illis vtcndo,ncquc felices fumus felicitatem cognofeendo, fed felici-

ter viuendo . Quapropter 8c ad vitam humanam, & ad adiones,

non eas.quidcm Mathemadeas feiendas, quas in cognidonc, fed eas,

qux in exercitatione verfantur,prodelTc fatebimur . nam ratio-

num quidem ignari , in rerum autem particularium experientia

cxercitan,tj9,quiin contempladone folaverfati funt, advfus hu-

manos omni ex parte funt praefeantiores . Aduerlus itaejue eos,

qui haec dicunt ,refpon(um daturi fumus, Mathemadearum difei-

plinarum pulchritudinem quidemabqsofeendentes.dquibusAri-

ifocelcsquoque nobis periliadere conatus efe . tria enim haeepodsfi-

mum , Sc in corporibus ,& in animis pulchritudinem efficere , ordi-

nem inquam , conuenientiam, atquedeterminadonem fatemur . fi-

quidem turpido quoque corporea quidem i matenali inordination e,

& deformitate,& inconuenientia,& indetdiminadoneiam in com-pofito prasdominante : animas verd , ab irradonabilitate perperam,

inordinate'cp fe fe mouentc,8c rationi diflbnante,& terminum illinc

non fufeipiente exoritur . Quamobre pulchritudo edam ipfa in con-

trarijs quidcm,ordine videlicet,8f conuenienda, determinationeqfie

exiftit. Hfcautem in Mathematica fciendamaximi infpicimus.or-

dinemquidem , in pofecriorum femper , magifqhe variorum ex pri-

mis, atque fimplicioribusoflenlione , fempef enim fequentia prasce-

dendbus annexa funt,& haecquidem principi^ rationem habent, illa

vcrd,confequentium primasSuppolidones ; conuenientiam vero, in

confonantiaadinuicem eorum, quae demonflrantur,admentemqueomnium rcladone, comunis (iquidem menfiira totius fdentias menseft,i qua prindpia quocp accipit,& ad quam difeentes conuerdt : de-

terminadonem autem,in roanedbus femper, immobilibufqhe rado-

nibus, non enim interdum quas fiib ipfius cognitione cadunt aliter fe

habent qundmodumopinabilia,at(^ feniilia,fed eadem femper fe fe

offerunt,intelligcndbus'(p formis determinata funt . Si ita^ pulchri-

tudinis parandfvim habenda, hasc prasdpu^ funt, Mathemattcf au-tem res per haec expnmuntur

,perfpicuum quidem efl

,quod in his

edam eximiam illud decus repetitur.quomodo nancp eflenodebe^

mente quidem feiendam defuperilluferante, hac autem adraememproperante, nofquc i fenfii ad iliam.transferrcfeftinanteC Eruaau-

tem

Fudame-tu fecuda

opiniooii.

Rclponfio

adpuinaopinione.

Tria funt,

^ pulchri-

ludint ef-

ficiunt cxfcircntia

Anft. tj.

metliaph.

icap. }.

Qua tria

hfc i Ma-themati -

cii fiat.

Cfchifio.'

aefpefio

ad iMudiopioioa*.

L I 'B * E R

Socrates

in Tbei-teto.

Vide ttia

fine Me-nonis

Maihemarica (cien-

tia pf Ic

npeten -

daeft.

Idfifupe

riori capi

K.

Mathcmacteardea-

tia

vitacote-

plaore cft

cxpcteiia.

Fudamc-lu auptu

ab aocj .

'Arift.

Cidtifio.

Idem ait

Arift. in

prio Me-tjph.cap.

jpttao.'

.

t«e

tem rurfus vtifitacem non adhumanos v(us rc(piciehtcs,necp ncccsf^'

tati {hidentes iudicare gquum ducemus . Hccnim iplam quocp contC'-

plantem vinutem inutilem elTe fatebimur,qux feipram ab humanis

feparat, hxcque minime refpicere.nec cognofccrc appetit. Quod fa-

nc Socrates etiam in ThexKto de proceribus fatidicis exiftentibus

afHrmans, ab omni quidem ad humanam vitam rcfpcc“tu ipfos auerrtit : ab omni vero neccslitate,ac vfu bene foluiam ipforum cogitatiof

nem ad omnium corum^qux funt attollit cacumen . Et Mathemas-licam igitur fcientiam, ex ipfaque contemplationem propter fc exrpetendam efle ponendum, non autem propter vfus humanos. Si aU'tem prodeuntem ex ipfavtilitatcm ad quoddam aliud refeae opor'ict, ad intelligentcm cognitionem ipfa referenda cft . ad ipfam enimnos dcdudt,animxquc oculum ad vniuerforum cognitionem prar^-

parat, impedimenta, qux i fcnfibusproueniuntabftergcns, atqueauferens. Qpemadraodum igitur totam purgantem virtutem,nonad huius vit* vfus.fcd ad vitam contemplantem rcfpidemes vtilemi

vel inutilem dicimus , ita fan^ Mathematica* quoque finem ad men»tem

,vniucrGunquc fapiemiam referre oportet . Propterea qux in

ipfaquo^ eft a(flio,& per fc quidem,& propter vitam intelligentcm

Audio digna cft . Patet autem ipfam per fc ab, qui in ca verfantur

expeti ( quod & Ariftotelcs alicubi ait) eo quod nuKum cumCiquxrentibuspropofitum praemium, paruo tamen tempore tantumincrementi Mathematica contemplatio fiifcepit . Prpterca vcr6,quia

omnes in ipfa libenter vcrfantur,voluntqucomnibus aliisdimisfis in

ea immorari, quicunque etiam paululum cius vtilitatem primis quafi

labris tergere . Qpapropeer qui Mathematicarum difc plinarum cixr

^itionem contemnunt, voluptates,quae in ipGs fiint minime degu^

ftarunt - Nonlgitur hac de caufa Mathematicam fpernerdum,quia

ad humanos vfus nobis non prodeft ( vltimx enim cius definentisE^

8c quxcuncpcum materia operantur huiufctrmodi vfum cofiderant)

fcd contri cius immaterialitatcm, ipfique foli quid bonicflc admiran-

dum .cum enim penitus homines de rebus neccflartjs curare ccllafr

fent, ad inquintionep) Mathematicarum difciplinarum coucrfi funi^

8c non imcritd.nam prima quidem,ea,qux familiaria.onuiquecomluntfb funt,ab hominibus ftudio afteiffantur : fecunda vero, ejuf ani-

mam ab oitu feiungunt,idque,quod eft,in memoriam redigunt. t lur

igitur neceflaria quoque ante ipfa,qux propter ftipfa honorabilia

fijm,fenfuiqfic cognata ante ipfa, qux mente cognofeuntur aggredi»mur.omtw nanque onus,vitaq6c anunae,quar in fe ipfamconuerti

tur,abI j1

P R I M V S. *7

<ur,ab impcrfeifio ad perfc(fhim procedere apta nata efl . Tot aducT' ipiiogui.

(iis quoque hos,qui ^'latbcmaticam comcianunt rdendam diiHa

fine.

Aliaquorundam Platonicoru contra .Mathematicarum

vulitatem obictfdo, eiusque foluuo •

Cap. X.•p

FOrfan autcmnonnulli cx nodra &miiia infui^ctes, Platonemqhe

ndonum teftem proponentes in contemptum audidonis Maihc'

mancarum dirctplinarum rudiores prouocare conabuntur. Etenim

dicentipfumomnino Phitoibphum tn libris de Rcpublica Mathc'

maticam hanc cognitionem i choro fdciiarum excludere , ipfaroqhe

tanquam prindpia fua ignoratem redarguere,& cui prindpium qui'

dem (k, quod ne nouit quidem : finis autcm,& mcdia,ex i)s,qux non

nouit . His addentedam quoccuncp alia ibi a Socrate opprobria con^

Ira hanc conteplarioncm obiedla fiicre. Aduerfus igitur amicos viros

nos verba facientes, ipfis in memoriam redigemus ,

quod ipfe etiam

Plato animf purgatricem,furfiimque du^biccm Mathematicam efle

perfpicuii afll-ucrat,quippe quf caligine aufert ab intclligenti cogita'

tionis lumifip,quod potiusconferuandum ed, quam infiniti corpora'

Ics oculi, iuxta Homericam Mincruam,qufqie non tblum Met'

curialium, fcd Minerualium quoqi munerum ed particeps : 8i quod

ipfam vbicp fcientiam vocat.quodque excrcctibusmaximf felidiatis

caufam. Verum quid fibi velit verbis, quibus in libris de Republica

fdcntiarc(^nomenabipraabduIit,breuitcrdicam. ad dotflos enim

pr^fens erit mihi fermo . Sdenria Plato plcrifcp quide in lods, omne

(vt ita dicam) vniuerfalium appellat cognidonem.ipfam fenCuifin'

gularia cognoi«nti in diuifione opponcns.feu talis cognofeendimtv

dus arte.fcu experientia fiat .& hoc ( vt arbitror ) fcnfii in Ciuili, at'

que in Sophida feientiae vti nomine videtur , iplam quoque pnccla'

iram Sophidicam fdentiam ponens,quam Socrates in Goi^a expc'

irienriam quandam ede dixit : nec non Adulatoriam,plunmasqhc

alias, quae experientiae fiint, non autem vene fdentiae . Hanc autem

turfus vniuerfalium ct^irione diuidens in eam, qtue caufas,& eam,

quae fine caufa cognofet, alteram quidem fdemiam exidimat appel'

landara, reliquam vero, cxpericmum.&ficarribus quidem alicu'

C bi

Arjuipf*

luerw*bis Plato-

nis >07>^Rcfu.

RcIpAlio

ad Plato,

oicos.

Hotrennin OJi£

Eiplicat

Platotn

ruiccaaa.

Pb.i BiJ.

tislouf.

Pta. inCi

uili, &iii

Sophiila.

Socrattai

Gorgia.

Piatork

w

i8 LIBERfhta in

nomcti attribuit : experienti^ autem nequaquam . rea

SyiapoGo enim inquit in Sympo(io,qux nullam habarauoncm,quonam pa^

Ao fcientia e(Tct C & omnis igitur cognitio.qup rerum cognofccn<la>-

rura rationem.cauramque continet.fcientia quadam cfl. kurfus iiatp

hanc quocp feiendam, qup a caulacognofcendi vim habet SubieAo^

Quo JiiTe rum proprietate diuidit, 8( vnam quidem parabilium coicdatricem,

S'ctii*o-aheram vero comm,qux per fe funt,codcmque modo feinpcr fe ha-

ftedrt Ari bent cognitricem ponit.& iuxu hanc diuilioncm Mediana quidem,

Mor/uj** omnemque faculcate.qu^ in materialibus verfatur, a feienda feparat:“p-j- & Mathemadcara ver6,omninoquererum fempitemarum cont^Ian-

darum vim habentcm,fciendam appellat . Hanc denique lidcndam,

quam ab artibus diflinguimus diuidens, vnam quidem fuppondonis

expertem ede vult : alteram vero ex (uppolidonc fcaturire . & illam

2quidem, qux fuppolidoniseft expers, vniuerforumcognolcendo»

IV boro, vim habere : adbonum vfquc , liipremamqCieomnium caulamsc fupte- fcandere : Rnemque fcandendi bonum illud libi ehicerc : hanc verd,

vide ru- quaa dcBnita,ac determinata Gbi pracllruit principia,a quibus ea oH^

SSin dii.qux principia ipfiiconfequuntur.non plane t ad piinopium, fed

y.dcRep. ad Bncm tendere .& Oc ait Mathematicam tanquam fuppofidoni-

busvtentemabea, quxfuppofidone caret, pcrfeiflaqueeit fcientia

deficere . vna enim vere fcientia cft.per qua omnia.quar limtcogno*-

fcere apd (iimus , aqua edam principia omnibus emergunt icicntqs,

alfis quidem propinquioribus,alps vero remotioribus conAitutis. NcOXO” • dicamus igitur quod Mathcmadcam a fcictiarum numero Plato exr

pellit,fedquod eam ab vnica fcientia,qup fupremam tenet fedem ,fcy

' eundam ailcrit: nec quod dicit ipliun fua ignorare principia,fcd quod

cum ab illa acceperit,& fine vlla demonArationc habuerit, ex his ea,

Cn^^boc qux fequunturdemonArare . animam fiquidem,qux ex Mathcmar

ixmia"^ ticisconAituta eA rationibus, aliquando quidem motus prircipiunk

eAe concedit : aliquando aut,i generibus, quae intelligcndae fubqciu»

turmotum ipfum reopere.quadrantque hxc inter fe . ijs. enim, quae

ab alio mouentur qupdam roodonis e(tcau(a,non om nisautem mortus habet caufam. Eodem fanc modo& Mathematica a prima qu^dem feienda fecunda cA,& quafi refpeAu illius imper(«(bi : cA atu-

men fcientia , non vt i (lippofidone immunis , fed vt propriarum in

anima rationum cognitrix,& vt caufas conclufionum aAhens, ratio-

Epiiogui. nemquecondnenseorum,quaeipCuscognidoni fubtio'untur. Haec

itaque omniade Platonislentenda', pro Mathemaddsditflafint. .

Quae ,

in'

P R' I -V

Mnlicmatico pofhitanda Hnc,& quonam pz£to

ipfum quifpiam red^ iudicare p<^t

.

Cap. XI.

•>

QVx autem a Mathematico quis pofhilaret, 'Srquonam pado ip'

•fum quifpiam poflTct redti iudicare , deinceps dicamus . nam ille qui'

dem, inquit Ariftoteles, qui (impliciter in omnibus fiicrit eruditus,

aptus e(l ad iudicandum omnia ; illcvcrd ,qui in Mathematicis

.tantum difciplinis , reditudinis earum ,quae in his fiint rationum fer-

re poterit fententiam . Oportet ergo iudicandi terminos antea fume-

are ,& cognofeere,pnmum quidem in quibus conueniat communi-

terdemonffrare, in quibufque ad (ingulorum proprietates rclpiccre.

jnulta nancp eade,fpecie diflf^entibus infunt,vt omnibusTriangulis

duo Redi : mulca verd idem habent quid? prfdicamentum,cdmune

aiutem fpeeie in (ingulis didm,vt in Figuris,Numerilque (imilitudo

.

Non e(l autem vna in his quaerenda i Mathematico demonliratie

.

non enim eadem funt Figurarum,& Numerorum principia, vcnlm

fubiedo differunt genere. Qydd (i per fe accidens (it vnum, demon-(Iratio quoque erit vna . nam duos redos habere Angulos

, idem in

omnibus effTriangulis. f llludque,cuius caufa id contingit,ide eff in

omnibus ( Triangulum nempe Redis xquales habere externos)

triangularisque ratio . Qpemadmodum etiam quatuor Redis xqua-

les externos habere Angulos, non Triangulis modd, verOm etiam

omnibus RcdilineisineftjSf demondratio quatenus Redalinea (unt

conuenit in omnibus . nam qufiibet ratio (imul infert quidam pror-

fus proprietatem,& pas(ionem , cuius eunda peream rationem par-

ticipant, vtputa triangularera,vcl redilinearem,vel omnino Figur^.

Secundo vcrd,fi iuxta fubiedam materiam demonftrat,vtpote fi ne-

cc(Tarias, talesquc reddit rationes,qux coargui , conuinciqfie minim?

posfint, non autem probabiles, nec verifimili refertas . Simile enim

eff,inquit Ariftotcles,i Rhetorico demonlbraciones exigere,& Ma-thematico probabiliter difpuunti aflfentiri . debet fiquidem quiuis

fcientia, arteque prxditus conuenientes rebus , de quibus tradat red-

dere rationes . Similiter quoque Plato in Timxo naturalem Philo-

fophum verifimiles polhilat rationes , vrde his pertradantem : eunfi

ver6, qui de intclledilibus, Ifabilique edentia dilTeric, rationes,qux

nec conuinci, nec moueri quidem podiint . Confedim nanque feien-

tias,vel artes Subieda differre ficiunt,vtpote fi alia quidem immobi-

lia fint, aliavero.moucantur, ac firapliciora alia, alia magis copofiu;

C a &alia

Arift.ia (.

de p.nib.

animaliu,

te in prio

Tcnnini,.

^uibuiMatnemackr

•udicadut

eft.

Primuicer

muiu.

t Illudfr..

cui Id co-

nn^l,idfeftin om-mbu>,iraCulu IKK,Triiguia •

risfi na»

ScQMidu»

terminuts

Arift.p^moEtiac.cap.|.

»

Ptara ia

Tn)^.

M<taph.Ci

CjOoq

X» L I B E RIde eide &aliaquidcm intclIedHliit.altaverofcnfnia. Neque ct^oabommfto*.^feam

Mathematica eandem certitudinem requiremus • nam fi vna quidemdoMaa. feiifilia quodam pa<fto atdngat,altcravcr6intcllc<SiliumSubicflo-

rum cognitio fit.non eodem modo ambae erunt ccrtx.fcd altera ma*gis. ideo Arithmeticam harmonica dicimus certiorem. Neque om-nino Mathcmaticam,cxterafq6c fdentias qfdem vti demonArado-

Tetthuxquum cenfebimus . earum enim SubicAa haud exiguam

terroious. ipfis probent difld'entiam . Tertio autem dicimus, quod ei,qui Ma-thematicas rcAc iudieaturus eft rationes , confiderandum quid idem,

'

quid alterum.quid perfe,& per aeddens, quid Proporrio, oraniaque •

Qu» er— huiufcemodi • errores fiquidem ferdomnes drea hxc accidunt eis.qul i

maric*d « Mathematice fc demofirare exiftimant, nequaquam autem demon-iDottrado. flrantjcum idem tanquam alterum in vnaquaque fpedcdemonftrct;

vcl alterum tanquam idem : aut ciira quod eft per accidens,unquamper fe fulcipiant , vel quod per fe , tanquam quod eft per accidens^

verbi gratia,qu6d Circunferentia pulchrior fitquim reda Linea,vcl

Acqailateru<^ Aequicrus. non fpctftatenim ad Mathematicum hfc

^mnuj. ‘1'tcr‘ninarc. Qaartodeniqi loco didmus.quodcum Mathematicamedium inter intelle<flilia,ren(Hiaque obtineat locum,& multas qui-

dem rerum diuinarum imagines, multa vero naturalium rationum

Tpplkci cx^Ia in fe oftcndat,tnplices quoque in ipfa dcmonftrationcs infpi-

M«hemiquidcm,qux menti Cnt propiores,alterx autc.qux

ricjilcnio cogitationi magis accomodatx fint, tertix vero,quxopinionem at-

ftrationcjungant . oportet enimiuxta Problemata dcmonftrationcs difierre»

conuenientemque eorum,qux funt generibus diuifionem fulciperc,

fiquidem ip(a quocp Mathematica omnibus ipfis annedlitur, fuasqueEpilogui.

coaptat rationes. Verum de his quidem hacflenus.

Dtuilk)

MuhemadcaruSci-

entiaru ex

nente Py

thagorac.

Qimum,te- Quatupricipalia

Maibcmance< Su

bic£U.

quot fint totius Mathemadcf fdnif (pedes iuxu

Pythagoreorum fciuentiam. Cap. Xll.

1

De partibus autem Mathematices pofthfc determinandum, qufj

& quot numero fint.nam poft totum ipfius,at(^ integru genus , fde-

tiarum quoque magis particularium difterentias per fpccies confide<

rare par eft. Pythagorei itaquevniuerfam Mathematicam fcicnciam

quadrifariam diftnbuendam e(Tcccnfuerunt.vnam quidem cius par>

tem Quoto, alteram vero Quanto attribuentes , harumque partium

vtranque duplicem ponentes. Quotum enim autper fe fubfiftcre di>

xciunt,autiuxu rel^iffum ad aliud confiderari :Quantum vero auc

ftarc

i

P R I M V S./ a I

(larc,aut moueri. Ariituncucam quidem quod per recftQuonimcontemplari, Mulicam vero quod adaliud. Geometriam aute Qui'tum quatenus immobile eft,& Sphpricam quod per fc mouctur.C 6'

fiderarc praeterea hafce rcicntiasQjiotum,& Qiiamutp non magni'

tudinemab(blut(^,nequc multitudincin.fcdquod juxta vtrun^ eft

dclinitum . hoc enim ab infinitisablatum (cientias perpedere , ne ea,

qux vtrobiqtefl infinitatem cognitione comprehendere vanum fit

.

Cum autem hgc viri lapientisfimi dicant,non (ane Qpoturo,quod in

(cnfilibus ipfis e(l,necpQuantum illud,quod circa corpora excogita'

tur,nos intclligcndum cenfcbimus.nam horum(vt arbitror) cotem'

piatio ad naturalem fpccfbt fciennam.non autem ad Mathematicam

ip^^.Atquoniam vniuerlbrum vnionem,& diuifionem, identiu'

Mmque,vni cum diuerfitate,&r prxterh^ flaturo,& motum ad anir

main complendam rerum o(>ifcx (u(ccpit,ex hisque generibus ipfam

coiiAituit,quemadmodum Timpis nosdocuit,dicendum quod iuxta

quidem ipliusdiuerntarem,rationumq{iediuifione, ac muUitudinv.ni

confidens cogitatio, fefeqfie incciligens cllc Rc vnnm ,& multa, Nu'meros profetdd fibi proporut, produdtque, horumque cognitionem

Arithmcdcam : iuxta vero multitudinisvnionem,& fecum comumVcationc.colligationeraque Muficam fibi coparat, ideo ctia Amhmc'ticaMuficam antiquitate prgcellit.cum porro anima quocp ipfa ab or

pifice prius diuifa fit .deidc rationibus collc(da,vt enarrat Plato. Rurr

iusque iuxta quidem cum,qui in ip(a ed datum atflionem dabiliens.

Geometriam ex fc fe deprompfit,vnamque cflentialem Figuram, Sc

Figurarumomnium opifica principia : iuxta verdmotum, 8phpricl.

mouetur nancp ipfa quocp per Circulos, confidit aute (empereodemmodo.ob Circulorum caufas. Retfhim inquam,& Circulare. Si pitv

pterea hic quocp Geometria Sphericam , vt motum datus pr^c^it

.

Quoniam aut cogitatio ipfa nonad cius infinita vi proditam fbrmaru

conuolutioncm, fed ad Finis iuxta genera arabimm relpiciens hafce

genuit feientias , idcircodicunt iptas d multitudine, magnitudineqfie

infinitum abduli(lc,& circa finitura tandem vetfiiri.omniu fiquidem

prindpia, paritcr’cp multitudinis, attp magnitudinis mens in ipfa cev*

gitationc collocauit . cum enim tota ad fcipfam fimiiium partium (it,

Si vna,atcpindiuifibilis,nirfusquc diuifibilis,formaruraquc ornatum

cducens,Finis,atcp Infinitatis clTcntialis ex ipfis intclletflilibus cd par'

ticeps . verum intelligit quidem ipfa ob Finem,gignic vero vitas,ra'

tionesque variasob infiniutem. Eius ergointclligenti^ hade condi'

^cre fdentias iuxta cum,qui in ipfis cd Finem,qpn autem iijxta vitar

Infini'

Qjo Qimtcni

& Quantum*Maihcmaivco

coolulcrctur.

CigresSo.f

rTqnilHitAn»

micnrtvuj 0-’

p a cx T n'|i

ICUlCuU*.

Qjocoeitatio

Ma htir.aticai

priHlucac Tcui.

Anima prius e

liiuila , pollca

collega cx mete Platonis la

Tiirjo &'idco

Arithmetica ^c^lit Muficam.

Geoitetria prfcedit Altrono-

mia,quia momprior cll Datus

Cur dicant Pp.thagoici Ma*(Hcmaticairdr

ca finitum ver*

Cui.

Co^iratiois in

tciligni; iuxta

fuum Fine Ma-thematicas Teie

tias colhtucrut

tt t I B E k

pilogui»

AluMlthcnutiurum Diui-

£o,ex Gemini

Uotentia.

Mathematiczticti» parttj.

'Arithmetica.

Ccomrtria.

Mechanica

,

Aliralogia,

Perfpeftiua

.

Geodziia.

Canonica, liue

Regularis,

fapputattia.

Excludinir Ars

mihearis i Mathematicis Icie

tiis,qealic.

Hippocrates

in Co.de locis.

Quomudo Marhematiiis Ars

militaris vtai.'

Geomerrifdu^surTpedes, Pia

Onru conlidera

no , tt Stereo-

metria.

InBniutem . mentis (Tquidem imaginem aHI-nint.non autem vitae.

Pythagoreonim iu<p eft rententia^& quatuor fcietianim diuility

I

Alia totius Mathematicae fcientiae diuifio ex

mente Gcmtai. Cap. Xlll.i

R.Vrfus autem quidam alio modo diuidendam c(Ic Mathcma*ticam cenCent , (tcuti & Geminus . & vnani quidem ciu.s pamm in

intclleiflilibus duntaxat, alteram verdin fcnlilibus verfari volun^hxcque attingere. InteUectilla vtique appellantes quafcunque in*,

fpe^onet anima per fe fe exufeitat , (efe a materialibus leparans for«

mis . Atep eius quidem,quae in incelledblibus verfatur , duas^ longe

primas,prfcipuasqueponucpartes,Anthmeticam, Gcometriai^

eius vcro.qux in fenltlibus ofiicium.&T opus explicat fuura.fcx. Mei-

chanicam, AUrologiam,PcrfpecJtiuam , Geodxliam, Canonicam;

atep Supputatricem . Militarem autem anem, eam inquam,

qux adin(lrucndas,coordinandasq(ie pertinet acies.quam Grxe ( mnnikP )vocant.vnam aliquam ex Mathematices partibus dicendam cile noncenfent, vt quidam ali) volucre, fcdvtieam volunt, tnodd quidemarte fupputandi, vt in enumerandis legionibus : modo vero Geodae^

fia.vtindiuidendis.dimetiendisquecaftrorum metationis campi fpal

ri)s. Quemadmodum porro eo magis neque hiftoriam fcribcndi,mv-

que medendi artem Mathematices panem vllam ede dicunt,licct

penumero tum Hidorici,tum etiam Medici Mathematicis vtantuf

Theorematibus. Rerum quidem geftarum fcnptores, vel Clima-

tum litus referendo, vel vrbium Magnitudines, 8f Dimetientes, vel

A mbitus,& Circuitus colligendo : Medici vero,quam plurimas re*

in arte fua huiufccmodi vi)s dilucidando . nam vtilitatem,qux iii

Medicinam ab Aftrologia peruenit, ipfe etiam Hippocrates oftedir,

ac fer^ omnesquicuncp aliquid de opportunis temporibus, locisquife '

dixere . Eadem fane ratione, ille etiam, qui aciebus inlfruendis ope>

ram accommodat, Mathematicis quidem vtetur Theorem^ibus;

nec tamen ob hoc erit Mathematicus,quanuis interdum quidem vo*

lens,quf numerofa e(l,paucis(imam ollendere multitudinem,canra{

fuosqhe exercitus ad Figuram Circuli formetiinterdu verd ad Figuii

Qpadranguli,vel Quinquanguli,vel alterius cuiufdam Multianguli;

vbi plurimam apparere cupit. Ciim autem hxlint totius Mathema-ticxfcientip fpccies, Geom..tria rurfusdiuiditur in Planorum edtem^

pladoncm ,&Solidorum dimenGonem, qu( Scereometna vocatun

^ Tiquidcm

Digi

P R I M V S. *j

flquidcm circa Signa,‘& Lineas peculiarisqufpiam non cft tra<fhtio .Puk^.

quoniam neque bigura ^ ex his vlla fine Planis ,vtl Solidis fieri

^ “

po(Tei . nihil enim aliud agitGeometria vlla fui pane.quam vi Pia-

na.aut Solida vel conftituai : vel conftituu inicr fe compam, aut di'

pidat. Itidem Arithmetices diftributio cft in Numerorum lineariu.

&p1anomm.&folidcmim contemplationem . fpecies nanque Nu- xrtsAmhme-

meripcrfefeconfideratab Vnitate prodeuntes.&f planorum ortus

Numeromm.fimilhim inquam, atque disfimilium.folidorumquc ad noruniyfic fbb*

tenia vfcp accraionem progrelTus . GcodxGa vero. Supputatrixque

his ( Geometriae inquam, atque Arithmeticae )fimjles in dmifionc raxio.

fiint, quippequx non de intellciftilibus Numeris ,vel Figuris

,fcd de

fcnfilibus verba faciunt, neque enim Gcodxfix munus cft, vt Cyr

lindmm.aut Conum metiatur, fcd rerum materialium acctuos tan-

quam Conos,& puteos tanquam Cylindros . neque intellctftilibus id /t

alfcquitur rc<fbs Lineis , fcd fenfil bus , inrcrdum quidem certioribus G*o»«fa.

quodam pa<fto , vt radqs folaribus ; interdum verd crasfioribus, vt

Spartis,& Perpendiculo,neque Gmiliter Supputator ipfas per fcNn-

merorum infpicitpasfioncs,Fcd vtfunt in fcnfili^ipfis, vndeno-

men quoque his imponit ab cis,quas dimetitur rebus (|«^) c»..6dcrait.

quafdam, ) appellans .& nullum quidem concedu die

minimum ,vt taeit Arithmeticus

,qui vcluti qu'dcm genus ad ali-

quid, minimum illud fufeipit . vnusenim aliquis homo cft ipli pro

menfura totius hominum multitudinis, ficut Vnitas quoque com-

munis eft omnium Numerorum menfura . Perfpciftiua i urfus, atque

Canonica a Geometria, Arithnicticaque gignuntur . Et Ptrfpciftiua Cmefrcaimct

quidem radqs viforqs tanquam Line s viitur,& Angulis,qui ex hilce «“S-

conftituunniroculorum radqs. Diuiditurautem in cam.qufpropnp

numine dicitur Pcrfpe^tiua.quippequf reddit caufam caru apparen- Tmnrias ivr

liarum.quf aliterq fint fe fe nobis ofLrre folent, ob eorum, quar (ub ‘peOuj p»,e»

vifum cadunt alios atep alios fitus, &difta«as, vt Parallelarum coin-

«idcntiy.vel Quadrangulomm tanqua Circulorum af{^onis:& in ^yniucrfam Spcculariam,quc circa varias, multiplicesqucverfatur re-

specularii.

fraAiones,& imaginari» , feu conieflurali cognitioni conneifbiur:

hecnon in cam.quf Scit^phicc, hoc eftvmbrarum defignatrix ap- toapaphica

.

|>cllatur.quf oftend.tquificri posfit vt ca.quf in imaginibusapparet,

haud inconcinna, vel deformia obdefignatonim diftantias, altitudi-

toesq&evidcantur.Canonicaautero,fiue Regularis apparentescoan-

nemtarii confiderat rattoncs,Rcgularu foflioncs repenens,fcnfusquc m».»i 7 .

Vbi«vtcnsadinmia»lo,acCvtPlatoinquit>talisqciftens,vtmcnti^aures

;i xTby Cno^lc

L r B Raures ipfas prxpodiifle xndeatur.Ad hasporro,quas hucufci* enutne^

rauimus accedit ea,qu^ Mechanica nuncupatur, pars& ipfa qufdamcxiHcns totius tra^tationis,8ir cognitionis rerum rc-nfiliuiD, matcriac"

qhc* roniundarum. Sub hac vero cft inftnimcntorum cftctflrix, quae

(

)

vocatur.eorum inquam,quf gerendis funt bellis ido^

nca.qualia fan^ Archimedes etiam fertur conllruxiQc, Syracufas ter«

ra .marique oblidentibus reGlleniia. & miraculorum cf&<ftrix,qux

( ) dicitur, quippe quae alia quidem fpiritibus maximo

cum artiRcio conflruit,qucmadmodum etiam Ctcfibius, atep Heron

operantur : alia autem ponderibus, quorum motusquidem in^quili^

brium, Aatus vero aequilibrium efle caufam cenfendum , vi Timaruf

etiam determinauit : alia verd neruis, Spanisqhc animatas conuolu^

tiones, ac motus imitantibus . Sub Mechanica demum cft & xquili"

brantium omnino,& eorum, quf centropSderantia vocantur cogijH

tio:necnon (r^tt(iv«<iK)hoceft Sphgrarum cfte^trix ad cficftium

circunuolutionum imitationem,qualem Archimedes ctia fabricatus

cft : ac denic^ omnis,qug materiam mouendi vim habet. Reliqua aut

Aftrologia eft,quf de munda nis edifret i . motibus ,de corporum cg»

leftium magnitudinibus,& Figuris ,& illuminationibus, i terraquf

diftantqs , ac de omnibus,qug huiufccmodi iimt , multa quidem i

fcnfu fibi aflumens , multum verocum naturali conGderationecom^

municant . Huius autem vna pars cft Gnomonica,qug in horaru di-

mefione pofini Gnomonum exercetur. Altera cft Methcorofcopica,

qug clcuationum differentias, fidcrumqucrcpcrit diftantias , nccnon

multa alia,& varia Aftrologica perdocet Theoremata. Tertia pars

cft Dioptrica,quf fan^ quincp Solis.&T Lunp, exterarumque ftcllarit

diftantias huiufccmodi Dioptricisdignofcitinftrumentis. Talia dc

partibus quoque Mathematices a prifds tradita,memorixq(ic prodi^

ta fufccpimus . , . t

Qyomodo Dialc^Hca Mathcmaticaru feientiarum vertex fit,& quae

fit ipfarumconiundlio ex Platonis fententia. Cap.Xlili.

ATque h»c pofita fint . Illa rurfus infpiciamus quonam paifto Pia»

to DialcAicam Mathematicarum difciplinarum vcniccm , fiuc fa»

ftigium in libris dc Republica nuncupauit, & qu* nam ipfanitn

coniuncTtio fit , vt tradit etiam ille,qui Epinomidem cornpo-

videEpinomi dicamus, quod qucmadmodum mens cogitatione

fijpcrior cft, & principia dcfiipcr ipfi fuppcdiut, cogitatio»

nemif.

Mechamcf partcs.

rumeffedrix.

Miraculorum

cripicx cU.

Tifflxut.

Ae^uilibrantiu

& ceiitropon»

4;i^(ium co*gtmio

.

Sph^rarom ef«

fc^ni

.

Aftrologiar co

liierationcs,&

paries

.

Gnomonica’.

Merheoruico*

pica.

Dinptrica.

SpUoguf •

Di.

P R I M V S. iT

uoncmque ipfam ex fefc pcrfidt, eodem fan^ modo DialeifHca quo-

que purisfima Philofophia: pars exiftens, fimplicitate Mathemati-

cas difciplinas proxime vincit . Et totum ipfarum orbem complctfH-

tur, vircfque a fe fe fuggerit ipfarum fcicntrjs varias,perficiendi,

& indicandi ,intclligendi vim habentes . Refoluentem inquam,

&diuidcntcm, &: definientem, & demonftrantem : a quibus fantf

adiuta.&r perfcfta Mathematica ipfa, alia quidem per refolutionem

inuenit, alia vero percompofitionem : atque alia quidem diuidendo

explanat, alia vero definiendo : alia autem eorum,qux quxruntur

per demonftrationem colligit. Hafce quidem vias lubicdds fuis ac-

comodans, vnaquaque autem harum vtens ad infpiciendos medios

fermones fuos Vndc porro& refolutiones in ipfa,& definitiones,

&C diuifiones.ac denique demonftrationcs propriae funt.volutamr

fecundum Mathematicae cognitionismodum. Non immerito igitur

Dialctfbca Mathematicarum eft vcluti vertex.Sf faftigium . Quumoranc,quodinipfisintclligcns eft perficiat :& quod certum eft, ab

omni reprehenfione reddat immune :quodque immobile, pariter vt

eft cuftodiat ftabile : &r quod materix eft expers.& punim.admen-

ris (implicem, i materiaque feclufam naturam referat ; ipfarum prx-

tcrea prima definirionibusdiftinguat principia:generum fubinde,&

formarum.qux fub ipfis funt generibus*difcretiones oftendat : cora-

pofitiones infuper, quae ex principqs producunt ea, qux confequun-

tur principia ; nec non refolutiones, qux ad prima ,ac principia con-

furgunt.fcanduntque.edoceat . Cxteriim coniundlio quoqj Mathe-

xnaucarum difciplinarum.no vt cenfuit Eratofthenes.proportio ipfa

poneda eft . Siquide proportio vnum quiddam eorum.quf Mathe-

maticis communia funt dicitur c(k,8c eft. Multa vero prxterca alia

Ipeftant ad omnes ( vt paucis rem compleftamur ") Mathematicas

difciplinas, qux per fe infiint communi Mathematicarum naturx.

Sed quemadmodum nobis dicendum videtur, proxima quidem eft

earum coniunftio vna,&T tota Mathematica.quxomnium fcienuaru

fpedatim principia fimpliciori quoda modo in feipfam copletfiitur z

& comunitatem earum.atque dificrentiara confiderat :& quxcuncp

eadem in his omnibus reperiantur edocet:

quxeunque pluribus

infint :& quxeunque paucioribus .& ab alqs permultis ad hanc rjs,

qui apte difeunt fit rcuerfio. Hac autem fuperior Dialciflica qu^ue

Mathematicarum difciplinarum coniuncTtio eft . Quam vcmccm

etiam ipfarum ,vt iam dixi ,

Plato in lib . de Rep . vocauit : Ipfa fi-

quidemtoum Mathematicam perficit, ad mentemque potenttjs fu»

D reducit

CojudioMatbcmaticaru, noeft ,f

por-

tio, V.CVO

!uic fira-

tofthenes

Secuiufi

Marhcnix

ticaru c6-

iun^o.Plato io

R.qMb«

z6 L I B Rreducit, &ver^oftcnditcflcfcicntiam, 8^ certam efficit , nulliq(fe

TmiaMa rcprchcnfioni obnoxiani . Tcrdumvcro inter coniundiones mensipfa habet ordinem, quae eundas Dialedicas potentias vniformiter

iunflio. in fc fc comprehendit : ipfarumque varietatem, fua fimplicitatc :&

partiiionc.irapartibili cognitione : multitudincque.vnionc coardat.Ipfa ergo mens congregat quidem Dialcdicarum viamm inuolu-tiones,acdiuerticula, colligit verdfuperne omnem Mathcmaticorufermon^kogitationem : Finis autem cft tum furfum educendi'facultatis

, tum etiam cognitrids adionis'Ionge optimus . Hsc de hi»

IpumZ. quoque ime enucleata fint.

Mathematices nomen vnde fit ortum

.

Cap. XV.

RVrfus autem hoc nomen Mathematicae, Mathematicarumqficdifciplinarum vnde nam diceremus fcieniqs his ab antiquis asfigna-

tum fuille,&: quam rationem apte reddere poflemusC' Porro mihividetur tale fcientiae,quac de cogitantibus fermonibas cft appellatio^

nc,no fanc(qucadniodu plurima noium) a quibufcuip reperta fiiille:,

fed(vt eft,&: dicitur)i Pythagoreis;cum pcrfpcxifsct quidc,qj omnisqua: Mathefis

,hoc cft difciplina appellatur , rcminifccntia cft

:

quidc no extrinfccus animis aduenit,queadmodum quae i fcnfilibus

confurgunt phantafmata in phantafia informantur : Neque aduenti-

tia, afeititiaque veluii quae in opinione polita cft cognino,vcri)m cx>citamr quidem ab i}s,quf apparcnt,perficitur vero intus ab ipfa cogi-

; tatione ad fc fc conuerfa. Cumque pcrfpcxillcnt,qu6d licet ex multis

Wjto in rebus reminifccntix oftendi posfint, prxeipud tamc (vt Plato quocpMemnone

Mathcmaticis difdplinis . Nam fi quifpiam,inquit ille, in de-feripeionibus induxerit,ibi cene Mathefim rcminilcentiam elfi: fadi-

lime coprobabit . Vndc porro Socrates edam in Memnone hoc ar-

Memnone. guendi modo oftcndit,nihil aliud eflcdifccrc, quam animam iplamfuarum rationum recordari . Id autem ideo cft,quia id,quod recorda-pir nil aliud cft,quam cogitans animx pars:hgc autem in Mathema-ticarum diftiplinamm rationibus cllcnriam fuam pcrficit,ipfarum’cp

feientias in fe antea accepit, licet fecundum ipfas non agat . Habet fi-

quidem oes fecundu ellcntiS, Si occulte : Promit autem vnaquancp,cum impedimenris,quf a fcnfu proueniunt liberata fuerit. Nam fen-

fus quidem partibilibusipfamconiungunt, phantafix autem infor-

.manubus motibus replent, appedtus vero ad vitam indulgentem fle

i . (fiunt

.

Dini'

P R I M V S. 17ifHitu. Atqviipartibilc omne.cius.quxad nosmctipfos fit conucrfio-nisobflaculu cft. Btornne^quodinformatjCajquxfiarmxcftexpcrscogiiitioncra perturbat, atque offendit . Et omne penurbarionibusobnoxium,cius,quf nullis aiffecffibus 1editur adionis cft impedimen-tum. Cum igitur hxca cogitatione amoucrimus J tunc eas

,qux in

ipfa (lint rationes per iplam met cogitationem cognoftferc ppffumustSc av.tu (cientes effc 1

8

c cffcntia|cm cognitionem depromere . Oumautem vintfli.captiuique fumus : &Tanimx oculo conniuentes : nullomodo conucmcntcm riobis perfetftionem aflequi poterimus . Hxcitaque Matbefis cft, fiuc di(ciplina,qux aeternarum in anima rationu

reminifeentia eft.Mathematicaquefhoc eftdifciplinatiua fcientia.vt

fic exponi ) propterhanc ea cognitio potisfimum nuncupatur,qux

nobis ad caru rationu rcminifcctiam maxime confen.Et opus igitur, OpusMiatque officium huiufcc fdenux, quale porro fit a nomine fit manifc-fhim.Idnerope, quod infitammouetcognitionr,&exu(citat Intel- fit nuni-

ligenril,&: pui^atcogitationc,&r promit formas, quf nobis fecunduelTentia infuni^ aufert obliuionc.atquc ignorandam, qux nobis abortu noftro tnatx (unt,ct foluit vincula.qu; ab irrationabilitate pro-ueniunt : ad Dei plane fimilitudinem huius fcientix prxfidis, qui in- opu. m>tclligctia miuicra manifeftat,&: cunifia diuinis radonibus complet,& -

anim^ ad mentem erigit.ac velud d profiindo cxufdut fopore,& in- fft

quifitionc ad feipfas coumit,& obftetricationcquadam perficit, pu-rgquc mends inuentione ad vitam beata dedudt . Cui fanc nos quo-que prxfcns opus dicantes, dcMathcraadca ftiemiacomemplado-

perfaibemus

.

FRIMI ill&I fllfIS.

i

* '

^t .»iJ

•

*

>* > 'II

•.1. < ^

'

i:

D t Pirod

x8

,P ROCLI DIADOCHI

IN PRIUVM EVCLIDIS£ JL E M E N T O R. V M.

t

-fi

n-' :i

r:<;

oi\

l l B £ /I S r H D y S.

u:‘-

. r I ll, *•

.

F.pilogiJS

coru, qu;e

in prio Urbro di^a

funr.

PuSitafio

bimcbris.

Primumcbrum.

Primu ar-

gumemu

.

Secundumargumeru

Quod Geometria totius Mathematicae pars Gt , 8c

qugnam Gt ipGus materia. Cap. I.

OMM V N IA quidem,ad omncmqiic Ma^thematicam feientiam fpeifVatia, in prxdiiflis fer.'

monibus pcrfpcximus , 8f a Platone non diGen-

nentes,& ab alrjsconGdcrationci^qux ad prx"

fentem pertinent tradamm colligentes . Polthfc

autem confequens eft, vt de ipla quocp Geome-tria, deque propoGca Elementorum inftiiutione

diflferamus, cuius gratia totum hunc fermonem incepimus . Qyddigitur Georaaria quidem totius Mathematicae pars Gt, quodVp poft

Arithmeticam fecundum obtineat locum, quippe cum ab hac perfi-

ciatur,atque determinetur ( quicquid enim in ipla cxprimi,atque eo-

gnofei poteft, ab Arithmeticis rationibus determinatur ) a veteribus

ditftura fuit,nec logo indiget in prpfentia fermone. Atinobisquocp

de hac enarratio pro animi fententia Geri poflTet,G fubieiflam ipG m'a-

teriarh conGderaremus, qUem inter ea,quae furit,foriita Gt locum,&

cGcntiam . Ex hac enim bene perfpe(fta,feientiae quoque vis ipfam

cognofeentis ,vtilitafque ab ipfa proueniens ,

nec non illud,quod i

difeentibus comparatur bonum ,Eatim apparebit. Etenim dubita-

ret aliquis in quo eorum.quf funt genere Geometricam ponens ma-

teriam ab ea,quxdc ipfa habetur veritate non aberret. Si .n. Ggurac,

dequibusGcomctradiireritin fenfilibus funt, nec ab ipfa feparari

polTiint materia iQpomodo adhuc Geometriam a fenfilibus nos li-

bcrare.ad incorporeamque fubftantiam deducere,item’q? ad intelle-

(fliliuminfpeiftionem afluefaiflionem efle ,ad mentisque aifVionem

prxparare dicemus C Vbi autem impartibilc Ggnum in fcnGlibus

vnquam fpe(ftauimus,vel lineam omni latitudine carentem, vel non

tLi.i » P«’0'

19 •SECVNDVS.profundam fupcrfkicm , vcl a centro ad circunferentiam linearum

xqualitatenijVd omnino mulciangulas, mulrarumq? baOum figuras

omnes de quibus Geometria docet C" Quonademum patftohuiufce Tmiuar-

,

’ 7 ,•

• II J gunietum

fcientix rationes tales queunt permanere , vt conuinci nullo modo

posfint: cum fenlilcs quidem formx, atque figurae magis, Eminus

fufcipiant,mobilesomnes,atcp mutabiles exidant.omnique fint ma-^

teriali varietate refertx ,& xqualitas quidem vna cum fibi contraria

inxqualitatc fubllftat : impanibilia ver6,fecundum partitioncm.in'^

teruallumquc fint progrelTaC Quod fi extra materiam funt fubicefia Jembru™

Geometrix, formxque purx ,& a fenClibus feparatx : impartibiles

proculdubio omnes crunt,&: incorporcx,&T magnitudinisexpertes.

Extenfio nanque ,tumor ,

omninoque interuallu propter materiale

receptaculum formis aduenit,quod impartibilia quidem.partibiliter:

dimenfione autem carentia , vna cum dimenfione : immobilia vero,

mobiliter fufeipit . Quomodg ergo reiftam lincam,triangulum,cir' rrimCir-

culumque fecamus r Quomodo angulorum differentias dicimus,

ipforumquc,&: figurarum accretiones,atque dccretiones ,vtputa tri^ argmrxtu

angularium, vel quadrangularium C Quomodo circulorum, vel re-

«ffarum linearum contaftusr Ciin>ffa enim hfc partibilcm efTc Geo-

metricam offendunt materiam ,neque in impartibilibus infidere ra-

'

tioiiibu#. At dubia quidem talia funt, prxter illud etiam qj Plato in Qiumim

cogitatione pofitas quidem Geometrix formas appellat,progredi

autem nos a fonfilibus ad huiufccmodi formas ,exurgereque d fenfu t«ePiato

ai mentem concedit ,tametli ( vt fuperius diximus ) qux in cogita-

r‘p'’. v.fie

tione funt rationes indiuidux fint : 8^ nullo interuallo diffent : &: fc-

eundum A nimf proprietatem fubfiffant. Si autem &r rebus ipfis,&T i-j deaU

Platonis dodirinxconucnientes reddendx funt rationes, hoc pado Solutio,

diuidentes dicamus. Omne vniucrfale,vniique plura continens aut|p

in finoularibus excogitari innatum eff,apparcrcue tale, quod exiffe-

tjam quo^p in his habeat : infeparabile abipfis exiffat: in ipfifque dif-

pofitum fit,ac diffributum; &: cum his vcl fimul moueatur.vcl firmi-

ter.immobiliterque confiffat: Aut ante multa fubfifferc,multitudi-

nifquc gigncndx vim habere,multis a fefe imagines prxbens ,& ip-

fum impartibiliter quidem pr.rffruiflura eis, quibufeum panicipat ,

varias autem ad fecunda participationes fuggerens: Aut excogita-

tione i multis formari, Sc exiftentiam gignentem habere, poffremo-

que multis infidere . luxta enim has trinas fubfiffentias comperic-

mus ( vt ccnfco ) alia quidem ante multa ,alia autem in multis , alia

vero, qux per refpeAuip, quem habent adipfa,prxdicaticncmquc,

fubfiffunt.

liberTripliccj

vniuerfa*

lufornvrfunt

.

Duplexmarcria

ex fcorc«

tia Arift.

i 7« mera.

Duplexvnijcrra.

le,quod in

au^ia c(i

Arift.^.de

aJa, tcx.ao.

PUeo ia

Tiqifo.Phanralia

medsa eft

inrer fen-

xu&mc-cem.

fubfiftunt . Triplieibus autem ( vt vnico verbo abfoluam) vnfuer-

falibus formis exiftentibus,cius formae,qua multa partidpat, qiifqucin multis cft,&r particularia complet,dift'crentias,iuxta fubietftam matcriaro.confidcrabimus. Ipfiufqiic participantia duplicia ponentes,vna quidem fcnfilia.altcra vero in phantalia fubfiftcntia (materia fi’

quidem duplex cfttvna quidem eorum,quajfcnfui coniugata funttaltera vero eorum

,quae fub phantafiam cadunt , vt quodam in loco& Ariftotelcs ait ) id vniuerfale,quod in multis cftdiftributum, du-

plex efle concedemus. Alterum quidem fenfile, tanquS quo fenfilia

participent : alterum vero imaginabile, tanquam quod in phantafi*multitudinibus fubfiftat. Phantafianancp proptermomra forman-tcm,atque eo quod cum corpore , A: in corpore fubfiftit

:partibiles

fcmper, &diuifas,& figuratas fert impresfiones. Etquicquidabeacognofcitur.talc fortitu eft exiftentia . Vnde fanti &r mente pasfibileeam quifpiam vocitare non dubitauit . Atqui fi mens cft,quona mo-do non impasfibilis eft.nec materiae cxpersC” Sin autem cum pasfio-ne agit, quopadto adhuc mens vocabitur flure.n. optimo iinpasfi-bilitas quidem menti.intelligentiquc natura; competit

:pasfibile vc-

id, ab illa longe abeii efientia . Sed ( ni fallor^ ipfius inter maximiprimas, atque poftremas cognitiones medietatem explicare volens,fimul& mentem ipfam voduuit,tanquam primis fimilcm

, &r paf-fibilem, iuxta cam,quam habet cum poffremis cognationem . Namprimae quidem cogniriones.figurarum.formarumque expertes funt;intdletftilia infefe comprehendentes ,& drea fefe agentes, &Teis,qux fub cognitionem cadunt coniun(flas,abomniqucimpresfiono,acpasfione aliunde adueniente immunes.V Irimf ver6,per inftrumcn-ta fefe exercent

,& pasfiones potius funt,cogntiones extrinfecus ad-mittentes,vnaqiic cum fubieftis fefe commouentes . Tales enim(in-quit Plato) funt fenfus, qui ex violentis pasfionibus fiunt. At phan-tafia medium inter cognitiones obtinens centrum

, exdtatur quidemi fcfc,promiique id

,quod fub cognitionem cadit : c6 autem q> extra

corpus non cft , ab illa vita; impartibilitate ad panitionem,& inter-

uallum,&r figuram,ea.qua:fubipfiuscaduntcognition5deducit. Etideo quicquid nouerit, impresfio qugdam cft, &: forma intelligcntijr.

Circulum 'cp vni cum fuo cognofdt interuallo,ab externa quide ma-teria immunem

, intelletfblem vero, quae in ipfa eft materiam ha-bentem. Atqi idcirco non vnus tantum in ipfa eftdrculus,quemad-modum nccp in fenfilibus . Simul nancp apparet diftantia,maius'qt,8c minus, nccnon circulorum,ac triangulorum multitudo . Si igitur

infenfi-

Dic.

i

S E C V N D V S. JI

infcnfilibusdrculisvniucrfale distributum cft, quod vnumqucnq;

etiam ipforum,circuluni perficit, omncfquc fibipuicem Cmilcs, vna

ratione fubfiftcntcs,niagnitudinibus vero , vel (libic<ftis diflerentes

:

In ijs etiani^qui in phatafia funt arculis cft quoddam communc,cuius

omnes illi circuli participes funt,&iuxta hoc eandem omnes habent

formam,incft autem ipfisdifferctia iuxta vnum hic tantum,in phan^

tafia,fcilicct magnitudinem . Cum enim plurcs arca idem centrum

imaginatus fueris, in vnoquidem omnes fubicdo immateriali, &T ia

vita exiftentiam habcnt,qug d Gmplici corpore cft infeparabilis, in^

terualloque impartibilem fuperat dTcntiam : difterunt vero magni'

tudinc,& paruitate,& quia contincantur,&; contineant . Duplex et'

go vniucrfalc illud, quod eft in multis intelligatur . Vnum quidem

in fenfilibus : alterum vero in imaginabilibus. Duplexque circularis. Duplex^

atque triangularis,omninoquc figurae, ratio. Altera quidem in intel- & tnagu-

ledili , altera vero in fenfili materia . Pneit autem ,'hisquc antiquior

cft,quxin cogitatione refidet ratio, quxquc in ipfa confedit natura.

Altera quidem immaginabilium circulorum,& vnius in ipfis exiftcf

tis formx : altera vero fenfilium autor. Sint enim qui in ca lo funt cir

culi,& omnino qui d natura produdi funt:quorum ficut fub diftri'

butionem non cadit.quj: in cogitatione cft ratio,ita& naturalis.Sunt

nanque ea,qux cum intcruallo funt , nullis diftinda interuallis : Sc

partibilia,impartibiliter:& magnitudines, abfque magnitudinem

incorporeiscaufis.quemadmodum& e contrario impartibilia,parti'

biliter : magnitudinifquc expertia , cum magnitudine in corporeis

.

Quapropter ille quidcm,qui in cogitatione cft circulus,vnus,&rfim'

plex cft, ab interualloquc immunis :& magnitudo infuper ipfa , ex'

pers magnitudinis ibirfiguraque,nulla figura exprcfla . Nam rauones

abfque materia talia funt.Quiautcminphantafia: partibilis, figura^

tus,cura intcruallo, no vnus duntaxat, fed vnus,& plurcs, nec forma

tantiim.fcddiftributa forma.Qyi vero in fenfilibus:compolitus,ma'

gnitudinc diftans,& certa ratione diminutus,& ineptiarum plenus

:

ab immatcrialiumque puritate longe deficiens. Geometriam itaque,

cum de circulo quicquam loquitur,atqj diamctro,deque pasfionibiis, illud confi

atque afK<rtionibus,qux ad circulum fpedant,vt de contadibus : di'

uifionibiis : de qs, qux huiufmodi funt : neque de fcndlibus docC' [*iiibuj dj-

re,di{Icrcrequc dicimus (ab ipfis fiquidemfcparare conatur) neque

de ea,qux in cogitatione cft forma ( vmus enim cft drculus,ipfa verd

de pluribus fuos habet fcrmones.dc vnoquot^ proponcs,dequeom'qibus eademcontemplans :& indiuifibilis quidem ille,diuifibilis vC'

* ro.

LIBERro, qui in Geomcmacft circulus) vcrilm vniucrfale quidem ipfuiti

confiderarc fatcbimur,fcd illud^quod in imaginabilibus dillribumra

cftcirculis.Et alium quidem intueri:per aliumquc,cum,qui in cogi-

tatione eft circulum contemplari : circa alium vero dcmonftrationes

fecere.Ciim enim cogitatio rationes habeat : nequeat autem eas con-tracTte perfpicerc : diurahit ipfas.ac fubducit, 8c in phantafiam in vc-

ftibulis collocatam promitjn illaq(ie,aut etiam cum illa ipfarum dr-

cumuoluit cognitionem: diligens quidem a fenfilibus feparationcra,

imaginabilem vero materiam idoneam ad recipiendas cius formas

comperiens. Quapropter dus quoque intelleftio non fine phantalia

eft . Compofitionefque figurarum, acdiuifiones imaginabiles lunc,

cognitioque ipfarum via quidem cft,quae nos ad eam perducit eflen-

fui^nusiper cogitationem aflequimur: nondum autem ad illam

ji.i.c. 1 . deaicurrit.ciim cogitatio ipfa ad exteriora infpidat,hxcque iuxta in-

teriora contempletur, 8c rationum impresfionibus vtatur, i fefeque

ad exteriora moueatur. Qudd fi vnquam cum interualla contraxerit,

impresfionefquc, multitudinem fine impresfione , atep vniformi-

ter pcrfpexerit , ad fefe reuerti potuerit : tunc eximii rationes viderit

Gcometricas,partitionis inquam,interualliquc cxpcrtcs,atque ellcn-

Optimiij tialcs, quarum copia eft. Hxcque ipfius a<fbo finis porro Geometriafinis Geo ftudi} crit optiiTius : ac vere doni Mercurialis opus, i quadam Ca-fiudii

, 8r lypfonc ipfam ad perfc(fh’orcm, magifque intelligentem reducentis

cognitionem : ncaion ab qs, qux in phantafia funt informantibus

opus. apprehenfionibus folucnris . Et hanc quidem meditationem verum

pfoS*viI Geometricum meditari oportet, ad exdtationemque, necnon ad eudc piutar. tranfitum

,qui a phantafia ad folam cogitationem fit , ipfam per fefc

finem facere. Surripiendofefcabinteruallis,pasfibiliquc mente adeam a<fiioncm,qux in cogitatione eft . Per quam cundia fine inter-

uallo cemct,& fine pane drculum, ac dimetientem, 8cqux in dreu-,\s lo funt multiagula,omniaqfic in omnibus,& vnumquodqj feorfum.

,r Ob hoc enim offendimus etiam in phantafia,& in multiangulis cir-

oilos infcriptos,Sir in drculis muldangula : alternam rationum parris

expertium imitantes oftenfionem : Idcirco igitur 8c figurarum con-

ftiairiones,& ortus,& 'diuifiones, &rpofirioncs,& applicationes

deferibimus:quoniam phantafia infuper vrimur , huiufcemodique

cxhacdiffantqs. Siquidem forma ipfe immobilis eff,& ingenita,&indiuifibilis,& ab omni fubiedlo immunis . Venim quaecunc^ etiam

in illa latenter funt, cum interuallis, partibiliterqfie in phantafiam

produomtur . Et quod promit quidem,cogiutio cH : i quo autem

pro-

as C V N D V s, ,,

promuntur forima,quae in cogitatione eft : in quo vero eft id

,quod

promitur, pasfibilis, quae vocatur mens. Qyac fefe circa vera: menus

impartibiliwtcm obuoluit, &ri fefe purae intcliigcntiae vim ab inter-

ualloimmunemfL-parac, 8c fefe iuxta omnes informes fpecies con-format,omniaque prorfus cuadit,cx quibus conflat cogitatio ipfa,& ^qu;m nobis cfl impartibifis ratio. Hfcdemum de Gdomeirica erant

nobis dicenda materia, ciim haud ignoraremus qufcunque Porpby- p„rius quoque Philofophus in MifccUaneis confcriplit

, &: quarcunqpe riuimMi-

quaplurimi Platonicorum deferibunt. Haec autem Geometricis tra.^

(Sationibusmagiscouenirc arbitrati fumus,& Platoni, qui quf Geo- p,^

metriae fubiiciuniur ea efle vult,quae fub cogitationem cadunt . Hax mfoA iq

enim fibi inuicemcongruunt;quoniam Geometricarum formarum

^

cauCc quidem, per quas evitatio etiam dcmonflrationcs profert, in

ipfa praeextiterunt cogitatione : ipfae vero fingulx, quae diiiidunttu^

accomponuntur Figurac.in phantafia fita: funt

.

i iDfi 'I

'

rt ' Qpae flientia, Geometria fit, t, jri; Cap. U.: (<

De ipfa vero fcicnria,qux horum contemplandorum vim haber

deinceps dicamus. Geometria igitur cfl Magnitudinu, SfFiguraru,”

& in his exiflentiu Terminorum, Sc Rationum, qux in ipfis funi,&' *'

earum ,qux circa hxc contingunt Pasfionu

, variarumqfic Pofirio-

num.acMpiUU cognitrix. Abimpartibili qu de Signo progredies,

adSolida autem ufq}defcendens,muItiformc(queip^rum differen-'

nas inueniens.Rurfufquc a compofitionbus ad fimpliciora,&' ad ho-rum recurrens principia. Co.mpofitionibuscnim

, ac Refolutionibu*

YiiturifemiKT quidem a fuppofitionibus ineohans, prinripia quoquea prfuia fibi aflumendo feientia : eundis vero Dialcdiris vqs viens.

'

In principiis quidem,fbrmarum Diuifionibus i gcncribus,Dcfinicti-

bufque orationibus. In cis autem, qux pofl principia funt,Dcmon- ‘”'j

ftrationibus,ac Refolutionibus . Vt a fimplidoribus varia magisoflendat prodeuntia :& ad ipfa rurfus redeuntia . Et fcorfum qui-

dc de fibi Subiedis verba fiicicns : fcorfum autem de Pronunciatis,'

a quibus ad Dcmoflrationcscxurgit: fcorfum v’cr6 deperfe Acci- •

dentibus,qux Subicdis quocp inefle oflendit. Vnaquxcf .n. feten- JlV feu

tiarum aliud quidem habet gcnus.circa quod verfatur, cuiufquc paf-

(iones fibi confiderandas proponit i alia vero principia,quibiK vtitur Aicidem^

ia Dcraonftr«ionibus:jdia utom,quppcr fc iniunt.£t Pronundatar* iJ E qui-

Gcome—rri^ruurc-

fta.

Gcome—trij acu-denria

.

Gcomc—trij prio-

Qu« fint

q.;ta Gcotsetrici.

Qii* fint

qu^fira no

Geometri

ca.

Duplex c

qu^fi'und

ueometri

cum.

Geome-tria no ^is

exhibet in

firumenta

iudicaiuit

Arido* f.

pod.t.4^*

Arirhmeri

ca ccfcior

cftq Geomerria.

Gcomc—ma cer—ciorquamrpnenca »

& Arich-

inertca, %

MuHca.Geome-tria cer-tior quam^Mechani'

ca , Pcrfpe

Aioa , &Specttiaria.

j4 .LIBERijutdsm cumunia funt omnibus ( licet finguljc proprii ipfis in fubie.*

cta fibi viantur materia ) genus vero , & per fc accidens diuerfum.

Geometrif igitur fubic<ftaquidefunt,Triangula,Quadrangula,Ci|v

colt,Fgurxquc prorfus, ac Magnitudincs,harumquc Termini. Quasauichispcrfeinfunt.Diuifioncs.Rationcs.Contatfhis, Aequalitates^

Applicationes, ExceUus, Dcfetfhis, huiufccmodi omnia . Petitiones

verJ,&f Pronuiuiata, quibus lingula demonnrat : illud, ^ quocuncpligno,ad quodcunque figiium rctfiam lineam ducere . Et illud , fi abaequalibus aequalia ablata liierinr,quas rcmanent,asqualia efle. Quae-que his cofequentia funt.V nde etia non omne Problema,rlec Quar-

fitum omne Geometricum eft, fcd quaecunqtie ex Geometrix fluunt

principrjs . Et qui cx his coargutus, conuitflufqbe fuerit : connincctur

vdque vt Geometra . Quxeunque autem non cx his, haud Geome^trica quidem

, verum i Gcomcttica contemplationi funt aliena , Ethxc duplicia funt. Aut enim cx alqsomnino principqsQyapfitum il-

lud eft, quemadmodum Quxfiruin Muficum a Geometria alienum

dicimus, quoriam ab alrjs prorfusemanat fuppofitionibus , non autc

a Geometrif principqs: Aut tale,quod Geometricis vtatur principijs,

fed peruerfc, vt fiquis dicat parallelas coincidcrc. Et propterca Geo-metria quocp indrumcnia iudicandi nobis cxhibct,cx quibus digoo-fcerc poterimus ,.qux nam ipfius confcquantur^riucipia,&quxi

principiorum excidant vcritate.iVlodi cnim,quibus mendacia redar-

guere poiTumus prout crrant,hanc habet promisfionem. Alia hancp

Geomccrica,alia vero Arithmetica comiranrur principia.Quid enimde alqs dicendum eft , fiquidem ab qs plurimum didant C Certior

nancp alia, quam alia cdfcicntia ( vt ait Ariftotcles ) qux quidem i

fimplicioribus emanat fuppofitionibus,quam ca,quxmagis varqs

vtitur principiis:quxqlie dicit propter quid

,quam ea

,qu* tamilm

rcra ita fe habere cognofeit: & qux circa intelle<!blia verfatur, quamca,quf fenfilia attingit.Et iuxtahafcccettittidinis definitiones. Arith-

metica quidcm.Geometriaccniored: eius fiquidem principia fim-

plicitatcfua excellunt.Nam Vnitasquidc,pofitionis cftexpcrs:Pun-

(fhim vero, pofitionem habet. EtPunAim quidem, cum politione

fufccperit , Geometrix principium eft :V nitas vero,Arithmcticx^

Geometria autc certior,quam Sphfrica : Arithmetica,quam Mu-fica. Hx nanque caufas eorum,qux (ub illis continentur Theorema-tum vniuerfaliter reddunt.Geomctria rurfus.quam Mcchanica,Per-

fpeiftiua, ac Specularia: quoniam ipfx dc fenfilibus verba faciunt.

Arithmetices cigo,acGcomet|ix.prindpiaquidem abaliarum prin-

.> ci ciptjs

S E C V N D V 6. iF

apiis difil-runt, harum vero duarum fuppofitiones diftant quid ticcJ, Se

inuicem iuxta eam,quam diximus difterentiam ,inuicemque conuc-

niunt .Quapropter eorum etiam, quae in cisdcmonftraiuur ihcore-- opa JiiTe

matum,alia quidem funt ipfiscommunia ,alia vero vtrique propria.

Nam illud quidem, omnem rationem exprimi pofle, foli competit municam.

Arithmcticx : Geometriae vero minimd . Sunt enim in ipfa rationes

etiam,qux exprimi non polTunt . Illud quoque

,quadrangulorum

gnomones fecundum minus terminari ,Arithmcticx propriurn • triztiKO-

Geometria enim minimum prorfus non datur . Geometrix vero pe^

culiaria funt ea.qux circa pofitione-s verfantur : numeri enim nullani pr„pru.

' habent politionem . Qux circa contaflus : tangere enim m conti-

nuis reperimr .Qux circa eas proportioncs.quf exprimi no poliunt:

vbi enimm infinimm procedit diuiao.ibi quoque quod exprimi non

poteft extat. Ambabus autem communia funt,qux de diuilionibus

habentur,quales tradit Euclides infecundo: prxter illam, qux in

extremam Sd mediam rationem rc<Samdiuidit lineam . Rurfusau- c6mimiu

tem horum communium theorematum .alia quidcni i Geometria jhco„m,

transferuntur in Arithmeticam: aha autem contri ab Arithmetica a^o.

in Geometriam: alia vero ambabus fimiliter competunt, qua: a to-

ta Mathemarca fcietia in ipfas deueniunt.Nam permutatio quidem,

& rationu conuerlioncs.ct copofitiones.ac diuilioncs.hocmodo am-

babus comunia funt. Q.u* vero cSmcnfurabiliafunt, Arithmetica

quidem primum infpiot: poftea verd Geometria, illam' imitans.

Vnde etiam huiufcemodi comenfurabilia.hxc clTe determinat.qug-

cunen rationem ad fc inuicem habent,quam numerus ad numerum

:

vtpotcquodcommenfurabilitasin numeris prxeipue fubfiftat . Vbi

nanque numerus,ibidem etiam comenfurabile :8d vbi comenfura-

bilc.ibi &: numerus . Triangula demum.&T quadrangula Geometria

quidem primiim infpicit : iuxta proportionem autem ab ipfa acci-

piens.Arithmetica . In numeris enim figurx, iuxta caufam funt . Ab

effeiftibus igitur cxcitati.ad ipfarum caufas.qiix in numeris funt, tra-

fimus. Et quandoque quidem indifferenter eadem accidentia infpi-

cimus ,veluti cum omne multiangulum a nobis in triang^ula refolui-

tur: Quandoque vero proximo contemi fumus, veluti cum qua-

dranoulum quadranguli duplum in Geometria inuencrimus : in nu-

meris autem hoc non habentes ,vno defficiente altemm altenus du-

plu cc dicimus. Verbi gratia.cius.qui d quinario fit quadrati numen,

ille, qui fit A feptenario duplus eft, vno defficiente. At hxc quidem

in lonnum produximus, communionem ,qux iuxta harum duarum

® Ea fcicn-

LIBERfcientiarum principia cft.atqucdificrcntiamoftendcntes. Ad Gc(vmetricum fiquidem fpecflat confpicere comunia quide theoremata, i

quibus comunibus deriucntur prindpijs:propria vero, a quibus . Et

fic non Geometrica quidem,ac Geometrica diftinguere.Et hxc qui-

dem ad aliam : hxc vero, ad aliam aHerre fdenuam

.

Vndc nam totainccpcrit Geometria

,

Si quoufque pro-grediatur, quxque fit ipfius vtilitas.

Gap. 111.

ALtius autem rurfus exordium furacntes,totam contcplemurGeo-metriam.vndc nam inccperit,8f quoufque progrediatur . Sic .n. or- ^

latu.qui in ipfa eft rc£ic perfpidemus . Intelligemus fanc per omnia.a,qux funt.ipfam fimul extendi :& cunfris fuas accomodare ani-

maduerfiones : 8c omnium formas in fe continere ; Sc iuxta quidemfupremum eius.quodqfic fummam intelligendi vim habet

,ea

,qux

verefuntcircunfpicere:& imaginibus edocere diuinorum quidemornatuum proprietates, intelligcntiumque formaru potentias . Namharu quoque rationes in proprrjs habet contcplationibus . Et often-

ditquxnam Dijs quidem conuenientes figurx fint;qux vero primis,

cirentrjs : qux autem animarum fubftantqs . Iuxta vero medias co-gnitioncs,cogitantes euoluit rationes : Si eam,qux in eis eft, varieta-

tem explicat,atqueinfpidt : ipfarumquc exiftenuamoftendit.&eas,,

qux in ipfis funt pasfiones : necnon ipfarum comunitates, &: differe-

tias. E quibus fauci imaginabilesquoque figurarum informationes fi-

nibus terminatis coprehendit,ad ellcndalemque rationu redigit fub-ftantiam . luxu autem tenias cogitanris intelligentix propagario-nes,naturam confiderat,traditque quonam pado fenfilium elemen-torum formXjSt earum,qux in ipfis funt potentiarum, iuxta caufamin rationibus ipfis funt prxacceptx.Habet .n. imagines quidem vni-uerforum intelledtilium generum : exemplaria vero fenfiliu:fuam

autem iuxu ea.qux cogiutioni fubiecfla funt copleuit elTenaam. Perhaecque veluti per media ad vniuerfa ea

,qux funt , &ea ,

qux fiunt

afeendit, atque defeendit . Geometrici vero de ijs, qux funt, femperphilofophando

,in omnibus etiam virtumm rationibus coprehendft

imagines intelligcntium, animaliumqfie. Si naturalium rerum . Et

omnes ordinarim Renimpublicarum tradit ornatus:& varias ipla-

rum in feoftendit mutationes. Hxc quidem agens imateriali qua-, dara, cognofeendique vi : materia vero attingens, multas a fe fe pro-

mit

i

Di

j

S E C-V N D V S. ?7

nxitfcientias: vtGcodcfiam, Mcchanicara,& Pcr(pc<ftiua . Quibus

mortalium quoque vitani maximis afficit beneficiis . Bellica etenim

inftrumenta.ciuitatumquc propugnacula hifce feientiis conftruxit.

Et montium circuitus, locorumque fitus cognitos fecit. Menfuras

demum edocuit : alias quidem camm.qug in terra : alias vero carum,

qua: funt in mari viarum . Nccnon Libras,Trutinafquc conftruxit

.

Ex quibus xqualitatcmiuxta numerum, ccnaciuitatibus reddidit.

Itemquc totius orbis terrarum ordinem,pcr imagines clarum effecit.

Plurimaquc hominibus ab ps, qux incredibilia funt,manifcftauit,o-

mnibufquc offendit credibilia. Quale faneHieron quocjue SyracU'

fius de Archjmede dixifle fertur , cum nauem trinis inffruiTtam velis

fabricaflet, quam Ptolcmxo Aegyptiorum regi mittere prgparabat.

Cum .n. omnes vna Syracufrj naue illa protrahere minime pollent,

Archimedes Hieronem folum ipfam fubduxiffc fedt . Stupcfaiffus

autcillc,ab hac (inquit) dic dcquocunquedixcrit Archimedes, illi

credendum eff . Idem autem Gelonem etiam aiunt dixifle , ciim cO'

rona,quam fabricatus eff non foluta,fingulum comiffarum materia'

rum {jonduscomperiflet . Hxc quidem Antiquoru plurimi memo'

rix prodiderunt, Mathematicam laudibus efferre volentes prO'

inde pauca cx pluribus nos in prxfenti appofuimus.Gcometrix om'

nino cognitionem ,vtilitatemque offendentes

.

Qyis fit Geometrix ortus, quxqlie luerint ipfius

inuentores Cap. Illi.

O Rtus autc ipfius,qui hoc fcculo extiterit, poffhxc indicandus eff.

Diuinus.n. Ariffoteles dixit cafdcfcntentiasfxpe ad homines per'

uenirc iuxtaquafdam ordinatas ipfius orbis conuolutiones. Nec no'

ftris quidem temporibus primum ,vel eoru, qui a nobis cogniti funt

fcientiasconffitutioncm fufeepifle, verum in alrjsquoque conuolu'

tionibus ( nec licet dicere quot partim prxtcritis,partim autem futU'

ris )& apparuilTe ipfas, &C rurfus cuanuifle . At quoniam principia

quoque artium,atque feientiarum, iuxta prxfentcm conuolutionem

confideranda funt,dicimus quod a plcrifquc memorix proditum eff,

apud Aegyptios Geometriam primum inuenta fiiilTc, qux ab agrO'

rum emenfioneonum habuit . Hxc liquide illis nccelTaria fuit,prO'

pter Nili inundationc,conucnicntcs lingulis terminos diluentis . Nec

mirum videri conuenit a c6modo,& opportunitate tam huius,quam

aliarum feientiarum inucntioncra fumpGfle initium. Siquidem quod

in

Hiero $fricuruii

.

Gelonis

corona

«

Arifto. 1.

de coelo

rex.ii.&I . mereo.

C2p.;.

Geome—rria orrumhabuit ab

agrorumemefione

apud Aer

gy ptios*

primum.

^6 - /

Apud Phjni<*as nj-«

mcrorui-

cepit co>

gnifio

.

Mithematici clari

.

Thales MiJefids pri-

mus ,ab

Aegypto i

Grfciatn

Ocome -

maimra-ftulir.

Amerillus

Hippias

Pythago-ras.

Anatagoras.

Ocnopi -

dea.

Hippocrares.

Theodo-rus .

Plato

Leoda -

masArchitas

Theeeetus

Neoclides

Teon.

TudoXJS-

j8 LIBERin generatione fertur, ab imperfedlo ad perfctfhjm procedit. A’ fen-

fu igitur ad confiderationcm,&: ab hac ad mentem ndn immerito fiet

tranlitus. Quemadmodum ergo apud Phcnicas propter mercaturas,

atque c6menia,numerorum certa cognitio fumpfit exordium, ita fa^

nd apud Aegyptios quoque Geometria ob iam memoratam reperta

cfteaufam . Ciim itaque Thalesprimum Aegyptum peti)flet, hanccognitionem in Gnrciara tranftulit . Et multa quidem ipfe inuenit,

multonim autem principia libi fucccdcntibus enarrauit . Alia quidevniuerfalius.alia vero fenfibilius attingens . Poft hunc autem Amc'riftusStefichori Poetf frater, tanquam qui Gcometrixftudium reti'

git,deguftauitquc mcmoratur,cuius Hippiasquoque Eleus mentiO'nem fecit, vcluti in Geometria gloriam reponantis . Poft hos autemPythagoras cS Philofophia.quac circa ipfam Geomaria verfatur, in

liberalis docftrinx figura comutauit,altius ipfius prinapia colidcrans:

immatcrialitcrquc,&f intellciftiUtcr thcorcmata*pcrfcrutans. Qui fa'

ne eorum criam,qux explicari in Geometria non poftiinttracftatio''

ncm,mundanarumquc figurarum conftitutionc inuenit . Hunc vero

fccutus Anaxagoras Clazomenius multa,qux ad Geometriam per'

tinent aggrdTus cft. Ocnopidcfquc Chius,qui fuit Anaxagora ali'

quanto iunior, quorum Plato quoque in Riualibus meminit, vcluti

eorum,qui in Mathematicis gloriS lint con fccuii. Quibus fuccedens

Hippocrates Chius,qui lunulc quadraturam inuenit, Theodorufquc

Cyrenfus infignes in Geometria euafcrc. Primus nancp eorum,qui

comemorantur,Hippocratcs Elementa confcripfit : Plato autc ciim

his fuccesfiftct ,fecit tum Geometriam ipfam

, tum ctia caeteras Ma-thematicas Difciplinasmaximum fufeepifle additamentum, propter

ingens.quod ipfis adhibuit ftudium . Qycadmodum alicubi ipfe fefe

manifeftat , & volumina Mathematicis fermonibus reddendo frc'

quctia:& vbiqi excitando quod in ipfis ifiirabile cft, Philofophiaque

attingit . Hoc autem tepore friit Leodamas Thafius,& Architas

Tarentinus, Thccthctus Athenienfis : a quibus theoremata auifta

funt,adpcritiorcmqucpcmencrcconftitutioncm. Leodamante au'

tem iunior Neoclides fuit, huiusque difcipulus Leon:qui ad ea, qum

fuperiores excogitauerant multa addiderunt . Ita vt Leon Elcrticnta

quocp conftruxerit accuratius, &T propter multitudinem , & propter

vfum eorum ,qux in ipfis oftenduntur : & determinationem inuenc'

rit, quando fcilicet quod quyritur problema posfibilc fit, quandoimposlibilc. Eudoxus autem Cnidius Leonte quidem paulo iunior,

fodatis vero Platonis, primus multitudinem eorum theorematum,

qux

i

. S E C V N D.v S„

quEpvniucrfalia appellantur locupletiorem reddidit ;&f tribus Pro»porti*?tjib|Us>adiccit tfes alias : Sequ* circa fcdioiicm a Platone fum*-

pfcratlnifium, in huberiorem diHiidit multitudinem, rcroJutiombus

etiam in ipGsvfus. Amyclas vero Heracleotesvnus ex Platonis fa<

miliaribus,&: Mcna-chmus Eudoxi quidem difcipulus.cum Platone

autem vcrfatus.eiusqitc frater Dinoftratus perfectiorem adhuc tota

fecerunt Gcomctriam.Theudius autem Magncs,mm in Mathema-ticis difciplinis ,

tum etia in reliqua Philofophia praecellere vifus cft

.

Elementa nanque conftruxit egregie, multaque particularium, ma-

gis vniuerfalia fecit. Cysicinus praeterea AthenicnGsnfdem tempo»

nbus vigcns,&: in alrjs quidem Mathematicis difciplinis.potisGmiim

autem in Geometria illuftns euaGt. Diucrfabantur itaque hi inuicem

in Acadcmia,communes proponendo quaefriones.Hermotimus au-

tem Colophonius,qua:ab Eudoxo,& The^teto prius edita fuerant

huberiora fecit.copluraquc inuenit Elementa, LocosqGe nonnullos

ConfcripGt. Philippps aute Mendfus Platonis difcipulus, ab ipfoqGe

in Mathematicis difdplinUincefus, &rquxftionc8iuxta Platonis in-

ftituroncsfacicbac,& hacc Gbi proponebat exquirenda,quxeunque

Platonic^ Philofophiac conducere exifrimabat. Qui itaque hifrotias

pcrfcripfere, hucufqucfcientisc huius pcrfetflionem producunt. Noamultd aute hisiunior Eut;lidescft

,,qui Elementa collegit, & mul-

ta quidem conftruxit epntm <quae ab Eudoxo : multa vero perfecit

eorum,qux a The?teto reperta iucrant . Ea praeterea,qux a priori-

bus molliore brachio oftcnfa frierat,ad eas redegit demonftrationes,

quae nec coargui.ncccortuind poliunt. Fuit aute ifte vir primi Pto-

lemxi temporibus. Archimedes nanque in primo, & in aliis libns

Euclidis meminit. Quineiiam ferunt oGm Euclidem i Ptolemxointerrogatum clTeine aliqua ad Geometriam capcllcndam Elcmen-tari inftitutione breuior via,refpondi(Tc nullam efle via regia,qux adGeomvtria ducat . Platonis igitur familiaribus iumor quide cft, anti-

quior v«rdEratofthcoc,& Archimede (hi . n. vno,codem 'q? tfporc

vixerunt, vt tradit Eratofthenes) Seda aut Platonicus.huicquc phi-

lofopbip larailiaris cft.Vnde fan^ totius quocp Elcmctorij inftitutio

PM ftatuit.earu,qux Platonicae appellatur figuraru coftitutione.

Quae EuclidesMathematica fcriplbrit volumina.

Cap. V.

SVm iuquemulu quoque alia huiuice vui Mathematica volumi-

Am) claj

Mcnxch-mus.Dmoftra-

rm

.

Tiicutlius.

CyiridmiS

Henooti-raus.

Philippus

Meodeus.

/

Euclides •

Primus

Ptoiem.

Archime-des.

Eratofthe^

ncj.

Platomc;

figurae.

Euclidis

opera

4« LIBERna, admirandf diligcntif.peritfqiie cuiufdam confidcrationis plena

,

cftcius Pcrfpeftiua,&f Specularia . Talcsctiam,quacad

SptcuU . Muficam capcllcndam conducunt Elementares inlEtutioncs. Item-Mufic»

.

que de DiuiHonibus liber . Praecipue verd circa Geometricam Elc-mentorum mftitutionem cum quifpiam admirabitur, propter ordi-’

bus. ncm,&clcftioncmcorum,quf per Elementa diftribuit Theorema-tum,atquc Problematum. Etenim non ea alTumpfit omnia, quf po-

»»• terat dicere,fcd ea duntaxat, quae Elcmentari tradere potuit ordine.

Adhuc autc omnis generis fyllogifmoru modos, alios quidc d cauRs

fidem fufeipientet, alios vero a certis notis profe^os : omnes autem'

innincibilcs,& certos, ad feientiamque accommodatos. Piartcrho»:

autem cunflas DialecEcas vias, Diuidentem quidem , in formarum-

- inuentionibus: Definientem vero, in cflcnttalibus rationibus: De-monftrantem autem

,in his, quae d principijs ad quaefita fiunt pto-’

gresfionibus : Rcfoluentem verd, in his, qux fiunt d quStfitisiidi

principia rcuerfionibus. Quinctiam varias conuCrfionum fpecie«>,>

tum carum,qjx fimpliciores, tum etiam canim

,quar compofiiirf-'

res funt , in hac traftarionc commodrf eft ihtucri . Et^quit qui--dem tota totis conuerti po(lunt:quai ve<d,tota partibus, Afcon>ltri

:quae autem vt partes partibus . Adhut-auteha dicimus inuentio-;

^ ,nura continuationem, difpK>fitioneht,afqtk<C>rdinem prfcedentium;& Tequentium, vim.qua fingtila tradit; veT btiS quodeunque adtkps,i

vel auferens, haud fallitur a fcfchtia elapfus, ad contrariumqfieWm*^dacium,& ignorantiam deduchis. Quoniam autem multa imagina^

7 murtan^quf veritati adhyre*nt,quyqubparientibusfcietiamprindf'

pns funt confequetia, qua» tamen tendunt in eu, qui ex principijs fluit'

errorem, rudiorcsq6edec«piuiit,honim quoque perfpicacis pmdeti-tias Methodos tradidit . C^iaS habentes, exercere quidem poterimusadfalladaruminuentionem cos, qui hanc infpecftionemaggrediUfHtur, ab omniqiie deceptione permanere immunes. Atque hocfa-*

Ub^Men"obisprpparatlone ( wtwAffmy

(Ucrarum, hoc cft Mcndacioru, liur Fallaciarum infcripfit. Quippe qui modoif

varios ordinarim enumemuit, atquein vno quoque cogii^donem noflram varfis exercuit theorematibus. Et mendacio ve«(

rum comparauit, experientixqfeipfi, deceptionis redargutionem

coaptauit-. Hic itaque liber purgandi, exercendique vim habet. Ele-

mentarisverdipfiusperitx-Geomctricarum rerum contempladonit

. inftitudo, inuincibilem,pcrfccflamquc habet enarrationem

.

Quod

41SECVNDVS.Quod nam (it Gcomctrif Propolitum.

Gap. VI.

QVod igitur huius tracflationis Propofitum fit.fbrtaflc fcrfenabitnr

aliquis. £goaucemhuicquoquedicercm,Propo(itucncdiAinguen'

dum ,tum iuxta res , dc quibus quxfita hunt , tum etiam iuxta addi'

(ccntem. Et ad ipfa quidem rubict^arcfpicicntes, dicimus quodde

Mundanis vtique Figuris omnisGeometnc e(l Termo.Quippe qoi a Pnmum

limpiicibus quidem incipit, in harum vero conflitutionis varietatem

definit . Et Teorfum quidem lingulas conflituit ,fimul vero ipTanun

tn Sphgram infcriptiones, quasque habent rationes tradit .QpaprO' Qiiorudi

pterfingulorum quoque libroru Propofiia ad Mundum eflc referen

da nonnulli opinati Tunt, ipfommque vTum, atque vtilitatem, quam

ad Vniucrfi contemplatione nobis aficrrent,memorixprodidcnmt.

Ad addifcctem vero rcfpiciendo Propofitum diftingucntes,hoc ip' secundum

(iim quod (Stichiofis) dicitur, hoc cft Elementorum inftitutio, ipG

Propofitum effcdicemusrnccnonaddifcentium cogitationis pcrfc'

dbonem ad vniuerfam Geometriam . Ab his enim auTpicantes rcli'

quas quoque huiufce Tdentix partes cognofeere, varietaiequc in ipfa

exiftentem comprehendere poterimus. Et fine his imposfibilis no'

bis,incomprchcnfibilisque exterorum efldifciplina. Prindpalisfima

nanque,ac fimplicisfima,primisque fuppofitionibusmaxime cogna^

ta Theoreraau hic ordine decend congregata Tunt . Cxterommquedemonftrationesbistanquamnotisfimisviuntur, abhisquccgrcflx

funt.Qucmadmodu fan^ Archimedes quoque in tis,qux dc Sphgra, *<Ja

.

& Cylindro cofcripfit,& Apollonius,acrcliqui omnes i^,quf in hac Apoiio-

oftenfafunttra£faitione, tanquaeuidentibus videntur vdprincipip.

Propofitum igitur id cft ,addifeentes nempe ad totam Idendam Ceome--

Elcmcnds inftimere, Mundanaruraque Figurarum determinatas

conftitutiones tradere

.

Vndenam ortum fit Elcmcntaris inftitutionis nomen,

& cur qui eam tradidit (Stichiota) hoc cft .

. Elementoru inftitutor vocetur

.

Gap. VU.

HOc ipTum autem ( Sdehiofeos) hoc eft Elcmcntarisinftitudonii^

ipGusqucElcmcnd nomen, exquo Elcmcntaris quoque inftitudb, tnioipa*

F quS

/

44

Triplci

Theore-ma.

Elementuquiii.

Elementare ^uid.

Theore-mi.QjiJ fit

Tneorcmi

q mi neq;

Elementu

ei , neque

Elcmcta-

rc.

PupIcT E-

iemenrumex Mcnc-chmi fed-

cemia

.

Petitione

;

The^rcmitJ Elemctafunt.

Cur Eucli

disTheore

mata Ele-

menta vo

cemur.Difficile e

Elementa

coftnicre.

LIBERquam habet rationem, VI fanc de inferiptione etiam aliquid quara^

musC Theorematum itaque alia quidem Elementa, alia vero Ele-

mentaria appellare confucucrunt , alia autem extra horum vim de-

terminantur. Elementa igitur nominantur illa quidem, quorumconGderatio ad aliorum pertraniit feientiam

,& ex quibus dubio-^

rum ,quxm iplls contingunt fuccumt nobis folutio . Nam quem-

admodum vocis litcratae funt quaedam principia prima,& funplicif-

nma,& indiuifibilia, quibus Elementorum nomen dicamus, pnmif-

quedidtio, atque oratio ex his conllituta cfl:ita fane totius quoque

Geometrix funt quxdam Theoremata principalia, & ad ea,qux fc-

quuntur, principq rationem habentia,& ad omnia fpedantia , mul-

torumque accidentium dcmonflrationcs prxbemia,qux Elementa

appellant . Elementaria vero funt,quaecunquc ad plura fc extendut,

& limplicitatemquandam , atque fuauitatem habent,non tamen,

ciufdem funt dignitatis,cuius Elementa :ed quod fua contempla-

tio ad omnem feientiam communis non cll , Exempli gratia.

Triangulis ab eorum Angulis ad Latera duitas Perpendiculares

in vno Signo coinciderc . Quxeonque demum neque cxtenfani,

in multitudinem cognitionem babene , nec porro feitum quic-.

quam ,atque elegans patefaciunt , hxc cadunt etiam extra Ele-

mentarium vim . Rurfus autem Elementum ( vt ait Menxch-mus) dupliciter dicitur. Quod enim conHrmat, cius quod con-

firmatur Elementum cft . vt Primum apud’ Euclidem Sccundifcj

Quintique,Quartum . Sic porro multa quoque Inuiccm alterum >

alterius Elcmcmema efle dicemur . Mutuo enim confirmantur ..

Nam & ex c6 , quod cxtrinfect Rcitilincorum Angub,quatuor.

funt rcitis xquales, imrmfecorum recEs xqualium multitudo, &,c contrario ex hoc illud, ollcnditur . Sumptionique huiufccmodi

Elementum asfimilatur. Aliter praeterea dicitur Elementum, in

quod cum fit magis fimplex, compofitum diiloluitur. Ita autem,

non omne rurfus, omnis Elementum vocabitur : verum ea, quxprincipalisfima funt

,eorum

,qux in rei cffctflx ratione funt confti-

tuta . Quemadmodum Peddones., Theorematum Elementa

funt . luxta autem hoc Elementi Significatum Euclidis quoque

Elerrtenta conftrufta funt . Alia quidem illius Geometrix,qux

circa Plana verfatur, alia vero Stcrcoractrix . Eodem fan^ mo-do in Arithmeticis quoque, in Aftrononiicisque Elcmcntaresin-

ffitudones inuld::can{aipfcrc . Difficile autem hoc cft , eligere

quidem-, commodeque in vnaquaque fcicoda ordinare.Elementa,

i.i, . ex

S E C V N D V S.

<x quibus reliqua omnia egrediantur, in quxqucrefoluantur . Atep

porum, qui huic rei operam nauarunt , alq quidem plura , ali) vero

pauciora colligere potuerunt . Ei ait) quidem breuioribus vfi funt

Demondrationibus, ali) vero in inhnitam longitudinem trac'tatio'

nes produxere. Ei al*) quidem modu per imposiibile,alij vero Pro-

ponionem praetermiferunt, ali) autem praeparationes aduerlus de^

(Intentes principia moliti funt.Omninoquc plurimi Elementaris in^

(titutionis modi a lingulis (iierunt inuend . Oportet autem hanc tra^

Aationemomne quidcm,quod fupcruacaneum eft dc medio tollere:

impedimentum (iquidcm hoc in fcientia eft. Cunda vero propolitu

continentia,concludcntiaque eligere : commodisHmum enim hoc in

(ineiitia cH, atque vtilislimum. Diluciditatis autem nmul,ac breuita^

tis maximam habere curam : harum nanque contraria cogitationem

nollram penurbant . Vniuerfalem denique Theorematum in ter^

minis coprehcnlionem (ibi vendicare:quae enim dorhinam in par-

ticularia (niflra dilTecant ,incomprchenlibilcm cfhciunc cognitione.

Omnibus autem his modis Elcmentarem Euclidis inditutionem,

aliorum inditutionibus excellere facile quifpiam reperire poHct . Ip-

fius enim vtilitas quidem, ad primariarum Figurarum conteplatio-

ncra maximi confert : diluciditatem verd,ordinatamque traditione,

Hle,qui fit i fimplicioribus ad magis varia tranlitus efficit,necnon ea,

quae a comunibus notionibus habet initium cognitionis perceptio

:

Vniuerfalitatem autem demonftrationis,ea,qux fit ex primis,prin-

cipalibusqlie Theorematibus ad Quaefita migratio . Etenim qux-

cunque praetermittere videtur,vel tjfdem vi)s cognita fiunt, vt Scale-

ni, Aequicrurisque conftitutio : vel tanquam ea,qux difficilem, in-

finitamque varietatem inferunt, ab Elementonuh eleeSione long^

aliena funt, qualia funt ea,qux de Perturbatis habentur Rationibus,

qux Apollonius copiofius tradauit : vel quia ex his,qux tradita funt

tanquam ex caulis facile conftituuntur,qucadmodum plurimx An-gulorum, Linearumque fpecies . Hxc enim ab Euclide quidem

omilIafuere,apudquc alioslongum funt forata fermonem, cogno-

fcuntur autem a (implicibus . Atque hxc de vniuerfa Elementari in-

ditudone perferibenda nobis erant

.

Qtmnam fitGeometricorum fermonum ordo

,

Gap. • VIII.

Kiucrfum autem fermonum ,qui in ipGi funt ordinem hoc padlo

F a nunc

Diucrfis

moJnjmuJti Kiemcota tradide

ruor.

Condones

<juf requi-

runtur id

oprima K-IciremorU

inlhtutio-

Dcm.

Euclidis

Elemeta-ris ioiUtu-

tio oes ia

dictas Ju-bet coodi-

riuoes . Ec

ideo om-nes alioru

inditucio-

oes excel-

lit.

Cur que-daab Eu-clide prs-rermituac

Apollo-nius.

1

Prima phi

lofophia.

Nulla Teia

fiiadcmo-

Itrat prin-

cipia .

Motut, vt

iuppnlfirio

pricipiuc.

Buclides,

Quo difTe

ranc inter

fcPronun

tiacu, Peti

fio,^Sup

pofitio ex

fententia

Ari.i.po-

fle.fer.tr

4+ LIBERnunc edocebimus ,

Quoniam hanc fciemiam ( Geometriam inqua )ex fuppofitioneconftare dicimus, ex dcfinitisqueprincipqs reliqua,

quae fequiintur demonflrare (vna enim tantum abfquc fuppofitione

ell, reliquae vero omnes ab illa fua aiiumunt principia) necefle c(l

vtique Geometricam Elementorum inltitutioncm conflrucmem

feorfum quidem fcientia: tradere principia, feorfum vero, quae ex

principiis fluunt cocluflones : deque principqs nullam reddere ratio-'

nem, qux autem principia confequuntur, rationibus conflrmare.

Nulla nanque feientia fua dcmonftrat principia, neque de ipfis ver-

ba facit :vcnim circa ipfa per fefe fibi facit fidem, raagisquc funtei

cuidentia, quam qux ab illis deriuantur . Et illa quidem per fefe, hfc

vero deinceps per illa cognouit . Ita enim naturalis quoque Philofo-

phus a definito rationes propagat principio, motum cflTc fupponens .

Ita Medicus,cxtcrarumque feientiarum, atque Artium vniufcuiufi:^

peritus . Quod fiquis principia,& quae de principfjs fcatent in idem

permifeeat, is totam perturbateognitionem, caque conglutinat, qug

nullo patflo inuicem conueniunt . Principium fiquidem ,& quod abipfo emanat.natura ab inuicem diflincfla funt . Primum itacp ( vt di-:

xi ) principia, ab cis, qux prinapqs confequentia funt , diUinguendit

erant . Qyod fan^ Euclides in vnoquoque (vt ita dicam) (uorura Ii-’

brorum facit,qui ante etiam omnem tratftationcm comunia fcienrix

huius exponit principia • Deinde ipfa quoque communia principia'

in Suppofiti<;mcs,Petitiones,Pronuntiataque diuidit. Diflmintnan-

que hxc omnia inuicem,necidem cft Pronuntiatum , Sc Petitio , 8c

Suppofitio ( vt alicubi diuinus Ariftotcles aflferit ) fed ciim quidem,

&addifccnti cognitum, &T per fefe credibile fuerit quod in principii

aflumitur ordinem, hoc tale Pronuntiatum cft : vt.quf eidem fqua-

lia, ad inuicem quoque aqualia efle. Cum vero audiens dicente ali-.

quo,eius,quod diciturnotionem non habuerit,qup per fefe fidem fa-

ciat , verutamen ponit, conceditque idaffumenti, tale fuppofitio

cft.Nara quod Circulus fit eiufmodi Figura, non quidem iuxta com-

munem notionem nulla prxccdente doArina -prxfumpfimus ; veru

audicndo,abfquedemonftrationc concedimus. Cum autem rurfua

nec cognitum fuerit id,quod dia’tur,ncque ab addifeente conceflum,

aflumitur tamen,tunc id ( inquit ) Petitionem appellamus : ficut, o-

mnes re<ftos angulos gquales cfle.Hoc autem hi manifidhim faciunt,

qui de aliqua Petitione txiquam de co,quod a nullo per fc fe concedi

poteft, pertravftare ftuduerunt . Ac iuxta quidem Ariftotelis do(fW-

nain hoc modo diftinguunnir Pronunu‘atum,Pctitio, atque Suppo-

i fido

.

S E C V N D V S, 4/

puo . Saepcnumcro autem omnia quocp ha:c quidam Suppofitiones

vocant, quemadmodum Stoici omnem firaplicem Enuntiationem

Axioma vocarunt . Quaraobrem iuxta quidem horum fententiam,

Suppolitionesquoque erunt Axiomata ; iuxta vero aliorum opinio'

nem Axiomau etiam Suppolitiones appellabuntur. Rurfus autem, Qit»apri

qux ex principiis fcaturiunt , in Problemata , Thcorcmataqhc diui^nat Jn pTo

duntur . illa quidem Figurarum Ortus, Sciftiones , Ablauones, vel bicmata,

Additioncs,omnesqueprorfus,quaedrcaipfaslunt aftediones con^

tinentia : Hgc vcro.qutc per fefe lingulis accidunt oftendcntia.Qiie*- duntur.

admodum enim cffeftrices Scicniif,contemplationis funt participes;

eodem fanc modo contemplantes quoquc,operationum loco Pro^

blcmaa prxalTumpfcre . Olim autem veterum Mathematicorum

alii quidem omnia appellare Theoremata voluerunt,quemadmo' nomi opi-

dum Speufippi, Amphinomique Sccftatores, arbitrati fdentiis con-

temptantibus magis efle propriam Theorematum appellationem,

quam Problematum . Pnefertim ciim de xtemis verba faciant. Or"

tus enim in aeternis non cft.Qpamobrem neque Problema locum in

hisquidem habebit ; ortum, cffl*(flionemquc eius.quod prius no erat

cnuntiando,vtputa AequilaterisTrianguli conflitutionc , vel Qua-

dranguli data re(fla linea deferiptionem , vel rc<Jfac Linex ad datum

Signum poGiioncm. Melius itaque ( inquiunt) eft,dicerc quod om-nia,huiuRcmodi funt . Ortus autem ipforum non efficiendo, fcd eo-

gnofeendo cernimus, perinde ac fi fiant,qup femper funtaedpientes.

Qyapropter cuncfla etiam Theorcmaticci , non autem Problcmadcd

fufdpi dicemus. Alii vero contra cumfta dicenda cllc Problemata Menateh -

cenfebant:Quemadmodum qui Menfchraumfecuti funt Mathe-

matici. Munus autem Problematis efle duplex, aliquando quidem

quxfitum comparare, aliquando vero cum determinatum illud ac- blemitir

ceperint,videre vel quid fit,vel quale quid fit,vel quid afleifuonis ha-.

beat, vel quos ad aliud rcfpecSus . Et retfl^ quidem vtrique dicunt, nfchmum

Siquidem &: Speufippi fcftatores bene fditiunt . Non enim ciufino- fu.

di funt Geometrix Problemata , cuiufmodi Mechanices . Senfilia pruo™?

nanque ea funt, oitumqfic habentia , 8f cuiufcunquc generis muta- cociliatio.

tionem . Et qui Menfchmum fecuti funt, a veritate non diflenriunt.

Siquidem necpTheorematum inuentiones , abfquc in materiam ac-

ceflu efle vllo modo pofliint : materiam inquam intellet^lem . In ib

lam itaque rationes progrefl*x,ipfamque informantes,non immerito yul''JS-

vtique generationibus asfimilari dicuntur . Cogitationis nanqueno-

(br£ motum,ratbnunique iq ipfa cxiflenriura produiflionem : Figu-

rarum,

1

.00;

4« LIBERrarum ,quat in Phantafia funt, ncc non earum, quf drca ipfas vcrlan-*

niralTjdionum, ortum cfle dicimus. Ibi enim lunt & Condituno-

nes,& Scftioncs, Sc Pofitiones, 8c Applicationes, 8( Additiones,&Ablationes. Cunifta autem,qup in Cogitatione funt, (ine ortu,omni'

que mutattonc conflitcrunt . Sunt itaque 8c Problemata Geometri^

ca,& Theoremata . Quoniam autem contemplatio in ipfa abundae

Geometria, quemadmodum cffcffrio in Mechanicis , omnia quoque

Problemata contemplatione partidpant : non tamen contra . Pror^

fus nanque DemonRrationcs contemplationis funt opus, cunifla au-

tcm,qux in Geometria poflprindpia funt, per Demonfh'ationem

fumuntur . Proinde Theorema communius eft . Non omnia autem

Theoremata Problematibus egent,fed funtquxdam,qux edam ex

Aloruo-Quxfiti Demonftrationcm habent. Alq autem Theorema i

pinio , in Problemate diflinguentes aiunt , omne quidem Problema, vnum'

?«°teore quodqj eorum, qux de cius prxdicantur materia, fuumque oppofi'

mi i Pro- tum fufeipere : omne vero Theorema, prxdicatum quidem fufdpcr

Materi'fymptoma, non autem & oppolitum. Ipforum autem Materiam

Problema quidcm dico genus, de quo quaeritur, vtputaTriangulum, vel Qua<drangulum.vel Circulum : Symptoma vero prxdicatu,id, quod per

. fefe aeddens vocatur,vtputa Acqualitatem,vclSc(rtioncm,vclPofi<-

f/iTOwina tionem,vcl aliquid aliud huiulcemodi . Cilm igimr ita quifpiam pro-

pofucrit,in Circulum intendereTriangulum xquilatcrum , Proble-

ma didt. PosGs nanque in ipfum & non xquilatcrum intendere

,

Rurfusqhe fuper datam redam Lineam terminatam Triangulum

xquilatcrum conftitucre . Fieri enim poteft, vt& non xquilatcrum

conftituatur . Cum autc Ang4los,qui ad Baiim Acquicrurium funt,

xqualescffcquifpiapropofucritjThcorcma cum proponere dicen-

dum • Fieri enim non potcfl,vt non xquales etiam fint Anguli

,qui

ad Bafim funt Acquicrurium . Quo drca fiquis Problcmaticc for-

I. jnans dicat,m Scmidrculoredum vcUc extendere Angulum , Geo-'

metrix ignarus exiflimabitur . Omnis .n. qui in Semicirculo exidit,

Redus eft. In quibus ct^oSymptoma vniucrfalc eft, totaraque ma-

ceriam comitatur,hxc Theoremata dicenda funt : in quibus verd no

vniuerlale, ncc fubiedum prorfus confequitur,id Problema ponen

dam eft. V t datam redam Lineam terminatam, bifaria , vel in par-

tes xquales fecare . nam fieri potcft,vt in no xquales quoque fccrtur.

Omnem redilineum Angulum bifariam, vel in partes xquas difpc-

fccrc . datur enim 8c in non xquales diuifio . Ex data reda Linea

Quadrangulum dcfcriberc.potefl fiquidem,& non Q^adragulum

deferi-

SECVNDVS. 47

djfcribi . Atque omnia qiia:cunqucid genus funt, in Problematum

veniunt ordinem . Sedatores autem Zenodoti,qui Ocnopidis cjiii'

dem docirinae fuit familiaris. Andronis vero difcipulus, Theorema

a Problemate diftinguebant, quatenus Theorema quidem qua:rit

quid llt fymptoma,quod de ea,quae in ipfo cft materia praedicatur

:

Problema autem quo exiftente, quid Iit. Vnde Pofidonq fedatores

Theorema quidem Propofitionem definierunt, perquam quaeritur

(it nec ne : Problema vero, Propolitioiiem,in qua quaeritur quid cft,

vel quale quid cft. Et illam quidem, cotcmplantem PropoGtionem

enuntiando formare nos oportere dicebant, vt omne Triangulum

duo habet Latera reliquo maiora , omnisque Acquicruris aequales

funt, qui ad Bafim funt Anguli : Hanc vero, problematicam , vC'

luti quxrentes fit ne fuperhancc redam Lineam Triangulum con-

ftituerc . Differc enim ( dicebant ipfi ) abfolute quidem, atque inde^

(inite quaerere fithe ab hocce Signo huicce redae Lincf redam Linea

ad Angulos redos erigcre,& qua: nam fit ipfa Perpendicularis infpi-

cerc . Cyterumquod quidem nonnulla fit inter Problema,& Theo'

remadifferentia, ex his, quaciam diximus manifeftum cft . Qtiod

autem Euclidisquoque Elcraentaris inftitutio habet partim quidem

Problemata, partim vero Theoremata, hoc ex fingulis manifeftum

fkt. Siquidem ipfe quoque in fine eorum, quae demonftrantur adiC'

cit, interdum quidem L quod oftendendum erat ] interdum vero

[ quod faciendum erat jvthxc quidem particula [ quod faciendum

erat J Problematum, iUa vero [quod oftendendum erat] Theore-

matum fit defignatrix. Licet enim (vti diximus) in Problematibus

etiam Demonftratio fit, veruntamen quandoque quidem Demon-

ftratio quocp genetationis gratia, nam vt oftendamus quod id, quod

iuflum erat, fadum cft ,Demonftrationcm affumimus

:quandoque

vero, ipfaper fc fc digna eft , Gquidem Quxfiti naturam in medium

afferre poteft. inucnies autem Euclidem interdum quidem Theore-

mata Problematibus contexentem, ipfisquc altcrnatim vtentera , vt

in primo libro : Interdum vero alteris abundantem , Nam quarms

quidem liber totus Problpmatum eft, quintus verd. Theorematum^

Totidem de his etiam i nobis ditfta fint.

Q»'o di fle*

ra! Theo-i«rraa,f-

liieniare

iiivra Zc-

nojori o-

pinionem.

Tefinirio

Theorema

blcmatis a

Posiidonii

jcctarori-

bus tradi*

ta.

F.ucldit

Flenienta

risinftiru-

tio Proble

mata her,

Miicoreinau.

Huiut rei

ciuram vi •

de ifcrius

inlib.j.in-

com.pro-Ctioms 4.

^ 9.ar<]ue

aliisiiocis

.J.:.

Quod fit primi libri Propofitum.

Gap. VIUI.

POfthaec autem cum primi libri Propofitum determinaucrimus,

diui-

48 LIBERdiuifionemquc in medium attulerimus ,

traflationem de Definitio-

Pro^S nibus aggrediemur . Propofitum itaque in hoc libro eft, Recftilineo-

rum contemplationis principia tradere. Quanuis .n. Circulus,deque

ipfo con(idcratio,Reflilineorum eflmtia , ac cognitione pKcftantior

fit, de his tamen do(ftrina nobis imperfetftioribus , a fenfilibusque ad

intelle(!hlia Cogitatione transferre fclfinantibus magis conueniens

eft. Etenim fenfilibusquidem re(ftilincac Figurae funt propria:, intel-

letftilibus vero. Circulus. Quoniam fan^ quod quidem firoplex, 8c

vniforme, 8C definitum eft,natura: eorum,qua: funt competit:quod

autem varium exiftit, indefiniteque continentium Laterum numero

Maiime crefcit,ad fenfilia fpcftat. In hoc igitur libro maxime primae,pnnei-

palisfimaeque Redilineorum Figurg traduntur, Triangulum inqua,

Sctif Recti 8C Parallelogramum . In his enim tanquam fub genere Elemento-

Triiquoque caufae continentur . Aequicrus (cilicet, att^ Scalenum,

guium, & Sc quae ex his conftituuntur ,aequilaterum quidem Triangulum , Sc

^munvT Qi}adrangulum,ex quibus,quatuor Elementorum Figurae conftitu-

tx funt. Reperiemus ergo,tum aequilateri TrianguM,tum Quadran-

guli ortum, illius quidem fuper datam redam Lineam, huius verd

Trianguiu ex dau reda Linea. Aequilatemm itaqueTriangulu proxima trium

tnum^Eie Elementorum efteaufa , Ignis fcilicet, Aeris,&r Aquae. Quadrangumentorum Ium vero Terrae anilcxum eft , Acdcmum primi libri Propofitum

toti couenit tradationi, ad vniuerfamque mundanorum Elemento»^idran- rum confert cogiiitionem . Quineuam addifeentes inftitutt in eam,

quae de redilineis Figuris eft fciendam . Prima fiquidem ipfiuum rc»

d^ inucnit principia, accurateque coiligauit

.

Primi libri Diuifio Cap. X.

tni parf

dem Triangulorum ortus, proprictatesque declarat , tum iuxa An-pofitum. gulos, tum etiam iuxta Latera. Ipforum infuper comparationes fkdt

adinuiccm,atque vnumquode^ per fe fe infpidt .Triangulum nancp

vnum accipiens,intcrdum quidem i Lateribus Angulos confiderat,

interdum vero ab Angulis Latera : iuxta xqualitatem ,atip ingqua-

litatem . Duoque fupponens, eadem rurfus vanis rationibus reperit.

Sectida.St Secunda autem, contemplationem de Parallelogramis contexit,Pa-^^ropo

yjiigjjirum proprietates, Parallelogramorumquc generationes dc-

Tmii.&r feribens. ItemqucSymptomata,quacfuntinipfisdemonftrans.Tcr-^rop°

jjjycrd.Triangulorum, Parallelograraoruniquc cdmunicadonem

oftedit.

Diuiditurautem liber in tres maximaspanes ,quarum prima qui-

SECVNDVS. 4P

oftendit,& in Symptoniatibus,&m i)s,qux ad inuiceni fiuntcomparationibus. Etenim qux in eifdem, 8c in xqualibus funt BaObus

Triangula, atque Parallclograma qfdcm affici pasfionibus offendit;

& per complicationem, vtrifque in vna Bafi exilfcntibus : &T quonS,

paclo fiat Parallclogramum gquale Triangulo : ac deniq? de fjs,qux

in reiftangulis Triangulis i Lateribus deferibuntur Quadrangulis, n

quam habeat rationem quod a fubtendente redum Angulum fit, ad‘

ca,qug a comprehendentibus ipfum . Talis fit& Diuifio

.

Quxda ad lepores Praemonitio. Cap. XI.

iNcipientes autem de fingulis quoque inquirere,prxadmonemus

eos, qui letTturi fiint, non eas i nobis exigere Suniptiunculas , & Cn'

fus,& fiquid aliud id genus eff,quxeunque ab fjs

,qui nos antecefle^

runt diuulgata fuere . Nam horum quidem fatietate fumus afiecfti,&ipfa proinde rard attingemus . Quxeunque autem difficiliorem ha^

bent contemplationem ,ad vniucrfamque fpcftant Philofophiam,

horum praecipuam faciemus comemorationem . Pythagoreos imi'

tantes,quibus hoc etiam Aenigma erat in promptu r Figura,& Gra-

dus : non autem Figura,&r tres Oboli . ] offendentibus quod vtique Aenigma

oportet eam fetflari Philofophiam,qux per vnumquodep Theore'

ma Gradum afeendit, Animamqfie tollit in altum: non autem in

fenfilibus eam permanere finit,& contubernalem mortalibus explc'

re vfum,huicquc confulentem,quc hinc fit euecTtionem negligere

.

INCIPIT TEXTVS.

Signum eft, cuius pars nulla

.

Definitio

prima.

QVdd quidem iuxta Cum,qui a compofidoribus ad fimplidora fit coment.

tranfitum Geometra excucurrit a Corpore quidem, quod trinis di'

menfionibus diffat,ad Superfidc, qux hoc terminat : a (uperficie aut Ceome -

adhuiusTerminuLineamtaLineaverdadSignuabomni dimen' diJu^a?^

fione immunc, fepenumero didum fuit, 8c omnino manifefhim cft .p®®"'’"-

Quoniam autem liaTcrmuujn compluribus quidem )oos propter piidora.

G fim-

;o LIBERTermini

‘ fimplidtatem , natura compofitorutn pracftantiorcs efle videntur:

L“p7ycdcompluribus vero , ciira in qs

,quae ab ipfis terminamur habeam

Jat,«rvbi exiftcntiam, accidentibus (imiles funt, determinandum horum v-trunque in quibus eorum.qua: funt generibus infpiciatur . Dico itaip

Tnimma-quidcm,qug materix funt cxpcrtia,&f in feparatis fubliftunt

tcrialibus rationibus, formisciue ipfis,qux funt fub fc fe collocatf, feraper prius

Jiik^ora*?fortita funt fimpliciorum fubfiftentiam principaliorem, compofitio-

tciiunt c6 rum fubfiflcntia. Proptereaque& in Mente, & in Ornatibus tu mc-^fi«ori- ^ Naturis ipfis, qux proxime corpora

“i®» terminantur, Termini iuxta eflentianl prfcellunt

;

les prfcei ^ quim ip(a magis impartibilcs,& magis vniformes, & magis pri-

mbJarisil• Vnum enim in immaterialibus Formis, multitudine ;&

materia- impanibile,co,quod vndequaqueprogrcditur:&: quod tcrminat,co;

STiIo .

^crminum ab alio fufeipit perfedius eft. Qux vero materix

^ confiftunt, &afua degenerant ellentia, & circa

buscopo- fubiecflafparguntur, vnionemque. habent afeititiam, compofitio^

Jildorib"!5« lustrationes prius quam fimpliciorcs. Et proptercaqux

preceiiut. in Phantafia, 6l carum

,qux fub Phantafiam cadunt Figurarum

n^t^ materia, informata apparent, quxquc in fenfilibus funt a Natura

cci'ia?T«Prog‘^sita,prxeuntcs quidem habent eorum, qux terminantur ra^

minis ma- tiones ; Sequentes vero eorum, qux terminant , atque aduenritias.Ne enim quod trinis diftat dimenfionibus, in infinitam extendaturmagmtuinem vel imclligentia,vel fenfu,pcr Superficiem vndcqua>que terminatum fuit.& ne Plana Superficies in infinitum progreffalateat. Linea ipfamprxafTumpfit.dcterminauitque ipfi adueniens.& Signum fimiliter Lineam: ‘compofitis propter fimplicia fubfiften'

Cofirma- tibus , Etenim hocquoqucrurfusmanifeftum eft,quod in feparatis

quidem Formis,Terminorum rationes in feipfis funt , non autem inC>«. qs,qug terminantur . & manentes qux re vera funt, Sccundoru con-

ftituendorum vim habent. In infeparabilibus vero Formis, fe fc fjs ,

quxtcrminanmrdcdcrunt,inillisqucfitxfunt,&:fa(fix funt veluti

partes corum,funtquc deterioribus refertx . C^ocirca & imparti'bile ibi partibHi effentia, & Latitudinis expers Latitudineprxdirafunt. Suamqfic fimplicitatem

, atque puritatem non amplius TcT'»’

mini cuftodirc poftiint « Cum enim in alio confiftant, naturam

- luam in (ubietfti materiam immutarunt . Materia fiquidem ho.*rum penurbauit perfedionem , & Plani quidem ratio profimdumefficit Planum : Lines autem, vnicam obfcurans dimenfionem,vndiquc fit partibilis ; Signi veto , corporea perficitur

, fimulqfie

diftra-

SECVNDVS. ndtftrahiturcamrjs.qua: ab ipfo terminantur. CuncfHs enim hifcc ra^ no« hic

tionibus in materiam dclaplis, his quidem a cogitatione in intellerli- Duplicem

lem ,his vero a natura in fenfilem, fubietftis referta: funt . a fuaque

'

(implicitate in alienas compolitiones , atque Interualla dilceflcrunt.

Verum enim vero,quonam pateto cuniTtis in Mente ,

atque in Ani'

ma impartibilitcr,&: fine vlla dimenfione exiftetibus,in matena alia

quidem prxeipue, alia vero propter eius naturam panita funt C An soiutio.

etiam formis immaterialibus ordoquidam eft, vt qua:dam primum, Formaru

& qugdam medium, 8c quedam vitimum fortitf fint locum : & for- ii^mord»

marum aliae quidem magis vniformes (itnt, alix vero ,magis multi-

plicantur : alix quidem aggregatas fuas habent potentias.alix ve-

ro in Intcruallum tendentes alix quidem Fini vicinx funt, alix

autem Infinitati C* Etfi enim hifce duobus principfjs omnes panici- Rtfpodct

pant, verutamen alif quidem ab vno , alix verd ab alteroonx funt,

eiusque magis participes fiunt •Signum itaque ibi prorfus eft impar-

tibilc.fiquidem iuxta quoque Finem fubfiftit . Habet autem vim in-

Bnium latcter,qua etiam omnia producit Interualla . Progrcfliisquc

omnium Interuallorum infinitam cius explicat vim. Corpusautem, \

8C Corporis ratio infinitf naturx magis eft particeps.Quapropter ex

eorumquoque numero eft, qux aliunde terminantur , iuxtaque om- i

nes dimenfiones in infinitum diuiduntur . Quf verd inter hxc media

funt.fecundu Extremoru diftatia, aut ex eoru funt numero,qug Fine

abundant ; aut ex eorum.qux Infinitate aftiuunt. Qyocirca &T termi-

tiant,& terminantur . Siquidira quatenus ex Fine conftant , alia ter-

minare polTunt,quatenus autem infinitate partidpant.indigcnt vt ab

aliis terminentur. Cum ergo Signum quoque Terminus fit, in par-

ticipatione propriam conferuat potentiam . Ciim autem Infinitatem

latenter habeat, 8c vbique qs,qux ab ipfo terminantur adeffe coga-

tur, infinite in ipfis eft. Et quoniam Infinitum ibi vis quxdam erat,

ca,qux Interuallis diftant producere potens ,vi in qs

,qux partici-

pant adfuit . Infinitas nanque in illis quidem ( intellctfblibus in-

quam) primaria fiiit caufa, & ferax vniucrforum vis . In materia-

libus vero, imperfefla ,& vi tantum omnia exiftens. Vrquepau-

cis rem compleiftar, formx, qux propter fimpliciutem , atque im-

partibilitate in principqs liiperiorc tenent locu , in parneipationibus

feruant quidc (vt natura eiscoparatum eft ) fuam proprieutem, de-

teriores tamen copofitioribus rationibus . Materia nancp ,haru

clarius poteft fieri particeps , ad hasque potius quam ad fimplicisfi-

roas eofum,qux funt caul» fulapicndas praeparari.Qya propter fe-

G z para-

Digresfio

Sroicocu

opinio, ip

iius^;op-

pugiutio.

Cetra

faciant.

Axea.

l>oIi.

Pla.in IO.

dc Rep

.

Pythago-

rei qua de

caufa Po-lum RhceSigitlu ap

pellabat

.

Cur cen-tru louis

carcerem.

Dii Polo-rum.

I B Rparatorum quiddm principiorum vcftigia dcfccndunt iu ipfam.Sb'eundorum vero, atqueTcrtioruni participationes

, euidentiores ap-parent . Magis ergo Corporis caufac cft particeps

,quam Plani . hu-

iusquemagis,quara formx ipfius lineae . & huius adhuc raagis.quamSigni hfc omnia terminantis.atque continentis. Nam Signi ratio to-

ti huic caten^ prfcft,omniaqut partibilia vnit,ac continet,coruniquc

progrelFus terminat,&: producit omnia, atque vndequaque compre-hendit. Idcirco in imaginibus quoque alia quidem aliorum Terminifunt. Signum vero, omnium . Quod autem non opinandum cft

huiufccmodi Terminos ( Corporum inqua) fola excogitatione fub-fiftcrc,quemadmodum Stoici ccnfucrunttvcrumcfle quafdam huriufcemodi naturas in qs, quae funt, ipforuraquc rationes opificas pn»fe ferre, in memoriam quidem redigiffemus fi ad totum infpcxiffc-

xnus Mundum, &T cas,quac in ipfo fiunt conuolutiones , conuoluuo-numque Centra, nec non ad Axes per tota ipfa penetrantes. Centrananque aftu fubfiftunt, fiquidem Sphairascontinentjin ftatuquefuoconferuant , 8c ipfaru Interualla vniunt

, 8c potentias in ipfis exiften-

tes conftringunt,ad fefeque conftabiliunt. Axes autc ipfas cuoluunt,

atque circuducunt,^^ circa fe fe rcuoluunr ipfi immobiliter fiti, Quin

etiam Poli Sphgrarum& ipfos Axes terminantes,& eveteras conuo-lutiones in fcfeconftringcntcs

, quopatflo perfpicut: nonoftenduniSigna potentias habere opificas,& capaces,& eorum,quae interuallis

diftant omnium pcrfcc'in‘ccs,& vnionis,accpinccfiabilis motus praC-i

bitricesC Vndc faiic Plato quoque Adamantinam efie dicit ipforumfubfiftentiam, immutabilem ipforum eflentiae vim

,&' aternam, Sc

ftabilem, quxqiic eodem femper modo fefe habet, oftendens. Fu-'

fuinqiic ait totum circa ipfa vcrti,& circa ipforuni vnionem circufiU-

rc. Alix autem magis rcconditf, abftrufxquc orationes Opificemquoqj Mundo aiunt asfiftcrc Polis infidentcm,fuoquc diuino Amevrc Vniuerfum ad fe fe conucrtcntcm.Pythagorei vero Polum qui-

dem Rhcf Sigillum appallandum efie cenfebant. Qyoniam diuini-

tas, qux cuntfta producit animalia, cisque vita largitur,inexplicabilc,

cfficaccmque vim per hxc in vniuerfum effundit . Centnim autem,louis carcerem. Qyoniam ciim opificam cuftodiam luppiter in finu

Mundi pofuiflct,in Medio ipfam firmiter collocauit. Centro fiquide

manente Vniucrfum quoqueimmobilem fuum habet ornatum , 8casliduam conuolutionem : manentque omnia fuum cuftodientia or-

dinem immutabilem : Se qui Polis asfiftunt Drj, diuiforum colletftri-

cem , multiplicatorumque vnitricem adepti funt potentiam:quiqfic

Axes

'V0

S E C V N D V S. nAxcsfortiiifunt.conuolutionescocrccnt, a:tcrncq6ceuoluunt. Et

fi fas eft noftram in medium afferre fcmcniiam,Cctra quidem Sphae-

rarum omniu,atque Poli conciliantium Deorum Notar funt,impcr

-

ceptibilem eorum ,atque vnientem compofitionem affingentes .

Axes vero.vniucrforum ornatuum colmentias exprimunt: Mun-

danasque ipli intcgritatcs,& circunuolutionescomprehendendi vim

habent,quemadmodum illa,intclligentcs. Sphjrf autem ipfa: Deo-

rum adpcrficiendum cfficacium imagines funt,principium fini copu-

Utes,& omnibus Figuris fimplicitate, 8c fimilitudine, &T perfedione

pracflantes. Venim haec quidem in longum produximus, vtoften-

deremus impanibilium, &Tomnino eorum, qui in Mundo funtTcr-

minorum \nm, quodque ifti,quatcnus primarum,& maxime prin-

cipalium caufarum imaginem afferunt ,maximu in V niucrfo fortiti

funt ordinem. Non enim eiufmodi Termini funt Centra,& Poli,

cuiufmodi eorum,quac terminantur : fed a<fhi fubfiftunt ,habentqhe

exiftentiam ,& vim pcifciftam,quae per omnia partibilia permeat.

Multi autem cos,qui in qs

,qux terminantur imperfeft^ fubfiftunt

infpicicntcs, exilem eorum fubfiftcniiam efle exiftimant,& alq qui-

dem dicunt fola excogitatione a fenfilibus ipfos feparari, alp verd

nullibi etiam ,nifi in noftris excogitationibus eflentiam habere.Quo-

niam autem funt quidem horum omnium formx 6c in Mentis natu-

ra & in Anira® omatibus,&: in rerum natura.&T in inferioribus cor-

poribus,confiderabimusquona pa<fto iuxta ordinem in ipfis exiftcn-

in commctiam,qu® funt generibus fubfiftant. Et omnes qui-

dem' in Mente piaiex-titerunt, verum impartibilitcr,atquc vnifiarmi-

tcr : ita vt omnes fecundum vnicam formam fubfiftant ,iuxta Signi

rationem.qu® occult(i,& impartibiliter exiftit. Omnes vero in Ani-

mis.fed iuxta Line® formam. VndefancTimpus quoque ex rcdbs,

circularibusque Lineis Animam conftituit. Quilibet nanep Circulo-

rum Linea tantum eft. Omnes autc in Naturis , c®tenim iuxta Pla-

ni rationem. Quocirca Plato quoque naturales rationes corporum

conftiiuendorum vim habentcs,pcr Plana manifeftari iubebat.Cor-

porumque in Plana refolutio ad proximam eomm , qu® apparent

caufam nos adduxit . Omnesdemum in corporibus, corporaliter ta-

men . fiquidem omnes fbrm® iuxta partibilem Corporum naturam

in ipfisfubfiftunt.Omnc8 igitur vbiquc,8^ vnaqufcp iuxta proprium

ordinem apparent : diucrfitasque a pr®dominante fit potentia.

&

vbiquc quidem Signum impartibilc exiftft, quodque partibile eft

euin fimplicitate pr®ftctiuxuhanccceoru, qu®funt diminuiionc.

Dii Axiu>

Propria

opuiio

.

T

Quorudaduplet o-

pinio.pii-

ma Stoico

ruiP , fccu

daArillo.

Qfio ifti

Termini

iitbfiiboe.

Tim^uf.

Quilibet

orculoru

Linea ta>

cum eU.Pla.inTi-

m^o,vide

et a Arift«

iteniode

Coelo.

r4 LIBERhoc quoque eximiam panibilium fibi vendicauit fubfiftentiam . &interdum quidem penitus ipfa fuperat fecundu caufac excellentiam

^

interdum vero ipfis connexum eft, interdum autem aduentitiam inipfis fortitum eft exiftentiam .& tanquam quod ab infimorum par-r

?I!u«c6propriam abfumit impartibilitatem

. Qpcraad'fidcratur. modu igitur Vnitas alia quidcm cft Numcrorum genitrix, alia vero

vt fubftrata Numeris materia : & principium quidem vtraque ( nontamen id quod Numerus ) alio autem modo, atque alio principium

:

iJupiici-- ita fanc Signum quoque partim quidem cft Magnitudinum parens,

colidcrat. & autor, partim vero aliter principium.non vtique iuxta genitricem

Dubitatio. Nunquid ergo Signum folum impartibile fitC an ctia Nunc

Solutio, mTempore,Vnitasqiie in NumerisCNum aute Philofopho quidemde omnibus, quf funt, verba facienti, cunAa cene vtcuncp fub diftri^

butionem cadentia conuenit infpicerc, omnesque partium primariasfubfiftcntias

:particularium verofeientia prxdito a quibufdam defi-

nitis principiis contemplationem producenti, Si vfquc adilla recur^

Knti,progrcflus aute eorum.quac funt minime ferutanti, hanc folara

impartibilcm naturam,qu3c ad cius fpctftat prima principia,aggredi,

confiderare,& tradere 1 haneque intuen limplicitatcm,quxpraeeft

InofoMpmnibusiis.qux fub cognitionem ipficaduntir Solum igitur SignS

nmiapar iuxta Gcomarica materiam partitionis cft expers,Vnitas vcro.iuxta

foU Arithmeticam. E t Signi ratio,licet apud alium impcrfttfla fit,in prg-

Arit^"ftnti tamen feientia p^cfta eft.Siquide Medicus quoque corporum

tkl. Elementa efle ait Ignc.atquc Aquam, hisque fimilia .& ipforum rc-

folutio adharc vfquc progreditur . At Naturalis Philofophus ad alia,

qua: his limpliciora funt tranfit .& ille quidem Elementum definit.

Simplex quo ad fenfum , hic vero , limplex quo ad rationem . &vterque rc<fle qud ad propriam fdenuam . Neque igitur Signi defini^

tionem pcccaffc putauerimus, neque impcrfciftam ipfam efle pofuc^

rimus . Nam quo ad Gtomctricara materiam, eiusque principia fuf-

ficienter tradita eft. hoc fiquidemipli tantum deeft, quoniam clard

non ait quod impartibile apud me. Signum cft . mcumque princi-

pium,& Gmplicisfimu nil aliud eft,quam hoc . Et ita conuenit Ge<vdicente,audire. Euclides itaque a partiu negatione principium

Cur Eucii nobis declarauit ad totius fibi fubiedx natuncconfiderationcm. Nc'nanque orationes principrjs conueniunt,quemadmodum nos

docet Parracnides,qui primam,vltimamquecaufam folis negationi-

Siii" bus tradidit . Omne fiquidem prinripium diuerla ab cis,qua: fcatent

rarmeni-^ prindpio coiiftat cirentia :& horum negationes illius nobis patefii-

dunt

J

SECVNDVS. rr

ciunt proprietatem . Quod enim horum quidem cft caufa, nihil aute

horum eft,quorum eftcaufa,huiufcemodido<ftrina perfpicuum ht.

Forte autc quifpiam dubitet . Quomodo eunda per Formas,&: par-

tibiliterPhantafia recipiente, partium expers Signum Geometra in

ipfainfpicitCnonenim quia rationes in Cogitatione exiftentes,fed

Intelligeniiu, diuinarumque Formarum Simulachra Phantafia iuxta

propriam recipit naturam.iriformium quidem,Formas,& fub Figu-

ram non cadentium. Figuras in medium afferens . Ad qua fane am-

biguitatem dicamus,qubd imaginarii motus fpecies neque partibilis

tantum eft, neque impartibilis: Veriim ex Impartibili adPanibilc

procedit ,& ex Informi,ad id,quod cft Forma expreffum. Na fi par-

tibilis eflet tantum, non vtiqucplures Formarum in fefc cuftodirc

pofletimptesfiones, fubcuntibus praeexiftentes obfcurantibus. Si-

quidem nullum Corpus fimul,& fecundum idem pluribus contine-

tur Figuris : venim per fecundas priores delentur . Si autem imparti-

bilis,Cogitatione porr6,& Anima impartibilitcreunda fpedate no

effet inferior, neque per Formas operaretur . Quare ipfam necefle cft

incipere quidem ab Impartibili iuxta motum , illincqup t confatam

,

confperfamue promere Formam cuiuslibet eorum,qua: fub cogni-

tionem cadunt.ad ipfam penetrantium : defincre autem in Formam,

& Figuram,8c Intcruallum .

Quod G huiufccmodi naturam fortita

cft, impartibilis quoque namra quodammodo erit in ipfa .& iuxta

illam,Signum pra:cipuc eflentiam habere dicendum . Linep nanque

Forma.iuxta illam, contrada in ipfa cft. Duplicem ergo vim com-

preherdens, impariibilem,& partibilcm , habet quidem 8cSignum

impartibilitcr,8«f Intcruallapartibiliter, Quoniam autem Pythago-

rei Signum definiuntVmtatem pofitionem habentem , confideran-

dum quidnam fibi velint . Qyod itaque Numeri quidem magis im-

jnatCTialcs,magisque puri,quam Ma^tudines fint,&: quodNoe-rorum principium ,

Magnitudinum principio fimplicius fit , cuilibet

manifeftum cft. Atcum dicantVnitatem quidem politione haben-

tem, Signum cflc,oftendcrc mihi videnturquod vtiqueV nitas qui-

dem ,atque Numerus in opinione fubfiftunt . Numerum dico.

Monadicum . Qjiaproptcr Numerorum etiam quilibet, vtpu-

ta Quinarius, Septenarius vnus cft in qualibet Anima,& non plu-

res : Figuraque carent,& aduentitia Forma. Signumautem in Phan-

tafia palim fe fe offert , 8c tanquam in loco exiftit,8C materiale eft,

iuxta intcUcdilcm materiam. Non habet itaque pofitionem Vnitas,

tpaicnus immatcrialis,abomnique Inieruallo,ac loco iminums.'

Dubitatio

Solutio.

Fundainf

tum.Peimuar-

gumentu.

Secuduar

gumentu,

Coclufio.

fCouoluta

promere

tkc.

Phanrafi;

duplex

vis.

Definitio

Signi lecu

du Pytha

goreos,8e

eiua eipofitio

.

Vnitas,

&

Numeru»in opinio-

ne fubli-

flunt.

IntelleAi

lis mace-

ria.

t>c6aitio

fKunda.

Com. le-

(uoJum

.

Ali> Li-

ne* defi-

nitioncs •

Digreifio

rs LIBERbct autem politionem Signum,quatenus in Phantalif gremps appa^

ret.materialcque cxiAit . At propter principiorum communitatem,V nitas adhuc Pun/lo fimplicior cft . Siquidem iuxta politionem

Punctum Vnitatem fuperauit : appolitiones autem in qs,qux cor-

pore carent, diminutiones efficiunt eorum,qux appolitiones ipfas

recipiunt

.

Linea fecundum obtinet locum quatenus longe primum,& limpli-

cislimum clf Interualium, quod Geometra Longitudinem appella-

uit, adqciens hoc verbum [ Sine Latitudine ] quandoquidem& Li-

nea refpcifiuSuperficici.principq habet ratione. Nam Signum qui-

dem vtpote Magnitudinum omnium principiu fola negatione edo-

cuit, Lineam vero tum affirmando.tum negando . eft liquidem Lo-gitudojhacque Signi impartibilitate excedit . line Latitudine tamen,

quippe quae a egteris fciumfia cft Dimenlionibus. Nam omne porro,

quod cft Latitudinis expers, idem etiam Crasfitudine caret , non au-

tem contra . Cum ergo Latitudinem ademerit, Crasliticm quocp

fimul adcmit.Quocirca nec addidit,qu6d non craflTa quo(»,tanquam

quod confequatur notionem cius, quod fine Laritudinc cft. Definiut

autem ipfam alqs quoque vqs . alq quidem Signi Buxum diccntcs,alii

vero Magnitudinem vno contentam Intcruallo . Venim haec qui-

dem definitio pcrfetfta cft , Lineae eircmiam explicans. Qyx autem

Signi fluxum dixit, a caufa producente, ipfam manifeftarc videtur:

Sc nonomnem Lincam,fcd immaterialem exprimit . hanc enim Si-

gnum producit impariibilc cxiftens,quod tamen partibilibus exifte-

tiae cft caufa. Fluxus autem progreflum oftendit, fbccundamqucVim

«d Intcruallum omne peruenientem, nullumquc detrimentum aed-

picntem.candem quidem fempermancntcm.cuncftis autem Partibi-

iibus clTentiam praebentem. Cftcrum hfc quidem cuilibet nota, nia-

nifcftaqiie funt . At nobis metipfis magis Pythagoricos fermones in

memoriam reducemus,qui Signum quidem Vnitati, Lineam verd

Binario , Superfidem autem Ternario, Corpus vero Quaternario

proportione correfpondcntia ponunt.qux tame vt ea,qus cum In-

tcniallo

i I

m m

moij.c;-

lotex.i.

F.xcptum.

Signu du>

picx-

S E G V N D V S, fy

teruallo funt fufcipjcntcs.Monadicamquuicm repcrienius Lineam»Dyadicam autem Superficiem, Triadicum vero, folidum Corpus.

V nde etiam Ariftotcles Corpus ait Ternario perfici numero, ^niljnirum. Signum quidr propter impartibilitatem V nitati asfimilari

:

qux autem poft Signum funt , fubfiftcrc quidem iuxta Numeros ab

V nitate prodeuntcs.hancquc feruare rationem ad Signum.quam illi

ad V nitatem:pardeipare vero vnumquodcp fui proximi fuperioris,

& eundem ad propinquum,adquc fequens habere gradum,quem il-

lud ad ipfum . Exempli gratia,Lineam Binarii quidem ordinem ha'

bere ad Signum ,V nitatis vero ad Superficiem : haneque Ternani

quidem ad Signum, & Lineam, Binarii vero ad Solidum. Et prO'

ptcrca Corpus ad Signum quidem efleTctradicum, ad Lineam ve-

r6,Triadicum. Vtercp igitur ordo rationem habet. Principalior au-

«em eft Pythagorcoru ordo, qui defuper fumpfit initium, deorum,qux funt naturam confequitur . nam Signum equidem duplex eff,

vel enim per fe fe eft,vel in Linea.quod etiam cum taquam Tcrmi'

nus fit folum,& vnum,necTotum habes, nec partes, fupremam eo-

rum,qux funt imitatur naturam . QyapropterV nitati quoque prtv

portione rcfpondere pofitum fuit. Vnitas Oquidem ibi primum, vbipaternaeft Vnitas,inquitoraculum. Linea vero cum prima quidc Or«ui4.

Totum,&r partes habeat. Monadica autem fit , c6 quod vnico diftat

Intcruallo,Dyadicaq6c propter progreffum : fi.n. infinita fit.indcfi-

niti Binarii eft particeps,fi autem finita.duobus ei opus eft Terminis, , ^Vnde,& Oud .

propter hgc vtique Totalitatc imitatur,ordincmquc

illum fortita eft. Qux etiam porredta eft V nitas,&' duo gignit . hxcenim progrcflum in Longitudinem.protulit : nec non id, quod por'

'redlc,& vnico diftat Interuallo : Binariique materiam . Superfides

antcm,Tcmariuscdmfit,atque Binarius,necnon primarum Figura'

rum receptaculum, primamqueformam, atque fpedem fufccpcrit,

"Triadicx quidem naturx ca,qux funt terminanti, primum : Binario

verd ipfam diuidenti,quodamodo fimilis eft.Solidum vero cum tri'’

'plidter diftet, per Quatcmariumqfic Numerii rationes omnescom'prehendendi vim habentem diftinguatur,ad illum redudtur ordine,

in quo coiporalium quoque omatuu apparet diftinftio, necnon \Tif'

uerforii (n tres partes diuifio, vni tum Quaternaria proprietate, hoc

eft genitrice, atep ftminea. At hfe quidem fufius pertra^ri pofliint."

Lineam autem rurfus fecudam exiftentem, iuxtaqfie primam ab im-partibili natura motionem conftitutam, non immerito Pythagoreo-

tum quoque fcrmcFDyadicam appellabat. Cxterum quW &r Si^u'jiujoa H poft

vjOO‘;

f8 LIBERCur Py- poft Vni"tatern,& Linea poftBinarium,SiipcrfidesqucpoftTeni»»

tin^roia l^a^menides etiam alicubi oftendit , ab vno Multa primum"‘•'8^“°"® auferens, deinde Totum

. Qyod fi Multa ante Totu Nu-flrmcni- merus quoque ante Cotinuum,& Binarius ante Lineam,Vnitasqiic

ante Signum erit, fiquidem verbum hoc [ non multa ] V nitati com'petit,qua:; multitudinem gignit,Punflo autem [ non totum ] Totum

Di**

^ "ullani enim panem habere dicitur. Hxcde Linea di.-

pcsLnls «Safintdum accuratius naturam cius contemplamur . Admittemus

wx'.uxMautem Apollonp quoque feftatorcs diccntes,qu6d Lineae quidc no-

A|»iio- tionem habcmus,quando Longitudines tantum, aut viarum,aut pa»-luum

. rictum dimetiri iubemus . non enim Latitudine tunc, Crasfitiemquefubiungimus : fcd vnicam dutaxat confideramus diftantiam.Qycm-admodum fan(^,cujn etiam campos mctimur,Supcrficicm cernimus,ciim autem Puteos,Solidum . omnes .n. diftantiasfimul colligentes,tantum efle Putei Ipatium iuxta Longitudinem, 8c Laritudineni,&

“«s P~^”ditatem dicimus . Scnfum autem ipfius Lines habuerimus(eafas

.

vtiquc,fi diuifioncs loconi lucidorum, ab obumbratis inlpcxcrimus,nec non ad Lunam,qug fuper Terram cft . hoc naque mcdium,iuxtaLadtudincm quidcm,nullara habet diffantiam j Longitudinem au'temhabet,qugvnacumLuminc,& Vmbra extenditur.

Definitio

eeitu.

C6m. }. OMnccopofitumafimplidj&omnepartibilcabimpartibili Tcr^mmum accipit, horumque imagines «n Mathematids principtjs p»rlam fc fe ofierunt. Cum .n. Lineam a Signis tetTninaridicat,manifcr

videtur ipfam per fe fe infinitam fiicere, quippe quf propter prO'

bil^wnahabet. C^cmadmodu igitur Bi'

riiaudaaa natius ab V niutc tcrminatur,fuamque intolerabilem audaciam fubTermin2,Fincmqucrcdigit,cumabillacoerccatur:ita fand Lineaquoque Signis apud ipfam cxilfcntibus terminatur . Cilm .n. Bina'"

nafimilis fii,Signo quoque Vnitatis radonem habente, iuxta Bina"

Digresfio rij naturam partidpat. Verfim in imaginabilibus quidem, atquffin

fenfilibus Signa ipfa,qux in Linea funt. Lineam terminant . in For"mis vero immaterialibus prsextitit quidem pardu expers Signi Ra"tio,progrc(Ia autem illinc ipfa longe prixna cum Intcruallo feiplam

confti'

I

m

SECVNDVS. T9

conftitucndo,&r moucns fc fc,&: fluens in infinitum, indefinitumque

Binarium imitans,a proprio quide coercetur principio.ab eodemque

vnitur,atcp vndequacp corripitur . Infinita ergo, finitaque fimul exi-

ftit. luxta quidem fui progreflum,infinita:iuxta vero temiinairicis

caufae participatione, finita . Ciim .n. ipfi aducncrit, illius coprehen-

fione rctinetur,terminaturquc iuxta illius vnionem . Vnde porro in

Imaginibus quoque Signa finem, atep principium Linee occupando,

ipfam terminare dicuntur. Illic ergoTerminus iTerniinato fepara-

tuseft, hk vero duplex • in ipfo enimTcrminato fubfiflit. Et hoc af-

ferret vtique mirabile indicium,Formasin fe fe quidem manentes ea,

quf ipGs participant, iuxta caufam prfcedere : illis vero deditas,iuxta

illorum proprietatem fubfiftere . Siquidem vna cum ipfis multipli-

cantur,^ partiuntur.fubiedorumquediuifioncm rccipiunt.Prfterca <*‘-

hoc quocp de L inea praeaccipiendum eft,qu6d ipfa Geometra tripli- Notidu

citer vtitur. Siquidem vtvtrinque terminata, atque finita :vt in illo

Problemate.quodaitjSuper data rct^taLinea terminata Triangulum frimapro' V, . , . ^ ^

poftfiopri

fquilatcrum conftuuere . Et vt partim quidem inhnita, parnm vero mi Elemc

finita : vt in illo Problemate, quod iubet ex tribus redis Lineis,qux

tribus datis redis Lineis aquales fint, Triangulu conftruerc . in Pro- r«unda

blematis .n. Conftrudionc inquit,Ponamrquxdam reda Linea, ex

vna quidem parte finita,ex altera ver6,infinita. Et vt ex vtracp parte

infinita : vt in illo Problemate,quod inquit

,Super data redam Li- Duoded-

neara infinitam, i dato Signo,quod in ea non (it

, Perpendicularem

redam Lineam deducere. Tripliciter et^o Linea apud ipfum accipi-.

tur. Prxter hxc autem ,illud quoque fcitu dignum ciim fit non pne- «r Lin«

tereamus. Quomodo. n. Linex extremitates Signa dida funtC 8C

cuius Linex^ fiquidem neqjinfinitx,nccp cuiuslibet finitxC Nam ramr.

eft quxdam Linea ,& finita,& extremitates Signa non habens . ta-

lis .n. circularis eft,qux in fe fe coit , nec Signa extremitates habet,

quemadmodum Linea reda . talis etiam Clypei eft Linea.Num igi-

tur Lineam intueri oportet quatenus Linea eft C accipiemus.n.quan-

dam circunferenti a,qux a Signis terminatur, Linexqfie Clypei par-

tem,codem modo extremitates habentem Signa . Quxlibet autem

Circuli,Clypeique Linea quandam etia aliam fibi alTumpfit proprie-

tatem,perquam non foliim Linea eft, venim etiam Figurx perfide-

dx vim habens . Ipfx ergo Linex quidem vtrafque extremiutes ha-

bent Signa : talium vero Figurarum effcdrices,in fe fe coeunt.quod

fi deferibi quo(^ eas intclligas, reperies vtique quomodo i Signis ter-

minantur. Si vero dclcriptasiam acceperis, fineraque prindpjo con-

ii a iunxe-

Dubitacio

Solutio.

G-

«O LIBERiunxcris, non amplius ipfanim Extrema poteris infpicere.

Definitio

tjuirU'

Cfm. 4 -

Diulfio Li

DcxfccuQ

diim PUc.

ph.inPJT

tneniJO'

AriR.i.<ie

cocio t.T-

Dubitatio

Xenocra-

tis.

Apollo-nius in li-

bro de Cocblea.

P Lato quidem Lineae duas fimplicislimas,prxeipuasque ponens

fpecies.Redam vtiq},&: Circularem, reliquas omnes permiliionemex his conftiiuit.quaccuncpTortuofx dicuntur,quarum aliae quidem

Plana: funt.alix vero circa Solida fubfiftuntr&qugcunque per So-

lidorum fediones producunturcuruarum Linearum fpccies . Et vi-

detur Signum quidem (fi fas eft dicere) Vnius , iuxta Platonis fen-

teniiam.affcrre imagine . hoc nanque nullam habet pane, quemad-

modu ille quoque in Parmenide oftcndit.Qyoniam autc poftV nii,

tres funt fubftantiac,Finis.Infinitu,&: Miftum, per hafce Linearu, 8C

Angulorum,& Figuraru fpecies in reru natura producuntur . & Fi-

ni quide Circunfercntia,&: circularis Angulus,& Circulus in Planis,

& Sphgra in Solidis proportione refpondent : Infinitati vetd, Retftii

iuxta hxc omnia . eundis .n. proprie copetit, fi in vnoquocp fpede-

tur. Miffum aute,quod in his omnibus eft, Mifto illic exiftenti . Li-

nex nanque miftx funt , vt circunuolutx, implexxquc Linex ,quas

Helices appellantur . 8C Anguli,vt Semicircularisi atque Cornicula-

ris. Figurxquc Planx quidem, vt Segmenta,atque Apfides : Solidas

ver6,vt Coni.atqj Cylindri,cxterxque id genus. Finis igitur, 8c In-

finitum,& Miftum in his omnibus eft . Qyinctiam Ariftotcles Pla-

toni aftipulatur. Omnis fiquidem (inquit) Linex fpecies vel Redaeft,vel Circularis,vel ex his Mifta. Vnde& Motus tres fum,Redusvnus,alter Circularis,tertius Miftus. Ambigunt autem quidam ad-

uerfus hanc diuifionem,& dicunt non efleduastantumodofimplices

Lineas, verum quanda quoque tertia dari,Heliccm nempe, qux cir-

ca Cylindrudcfcribitur,quando,du reda Linea circa Cylindri vol-

uitur Superficie, Signum in ipfa,parili celeritate mouctur . fit .n. He-

lix,hoc eft implexa, circunuolutaque Linea,qux omnes fui partes o-

mnibus fecundu partium fimilitudinc adaptat, vt oftendit Apollo-

nius in libro de Cochlea.quf quide pasfio ex omnibus Helicibus ipfi

folicopent. Plangnancp Helicis partes inter fedisfimiles funt. nccno

cius, qux circa Conu, dc cius,qux circa Sphaeram defaibitur . S0I4

aut

Dig“'*cd t

SECVNDVS. 61

autem Cylindrica eodem fanc modo (imilium partium cft.quo etiam

Re<fla,circularisquc Linea.Nunquid itaque fiinpliccs Lincf tres fint,

& non duae tanti m C' cui dubitationi occurremus dicentes, fimiliuni

quidc panium eirehuiufcemodi Helicem, queadmodu Apollonius

quocp docuit, fimplictm autem minimi, non. n. idem clTc quod fi-

milium partium eft.&T quod fimplex . fiquidem conim ctia, quae na-

tura conftant, fimilium quidem panium funt Aurum,&r Argentum,

fimplicia autem nequaquam. Cylindricae vero Helicis Miflione ex

fimplicibus.ipfam quocp Generationem manifeftare.Oritur.n.dura

recta quide Linea circa Cylindri Axem circularitcr moucmr , Signu

vero in ipfarctfla Linea fenur.Duo igimr motus fimpliccsipfam co-

Ibtuerunt. Quamobre ex numero Miftarum eft Linearum, non au-

tem fimplicium . Quod .n. ex disfimilibus eft conflitutum , Simplex

non eft : fedMiftum . Retfleque Geminus ciim ex pluribus quidem

motibus,fimplicium quoque Linearu aliquam produci concesfiflet,

non equidem omnem ctia talem Miftam efle conccsfit : veru illam,

qux ex disfimilibus oritur motibus . fi .n. Quadrangulum ,duosque

motus,qui xquali celeritate fiant, alterum quide per Longitudinem,

alterum vero per Latitudinem intellexeris. Dimetiens producetur,

rcftaexiftcns Linea,non obid tamen Linea rctfla mixta eft.Nulla.n.

alia ipfam prxcedit Linea ,qux fit per fimpliccni motum producfta,

quemadmodum de Cylindrica Helice dicebamus.V en'm nec fi quis

in Angulo rcifto retflam fubduci Lineam excogitaucrit, bipartitaque

fccftione Circulum defcribcrc,propter hoc Linea circularis Miftionc

produtfbi eft. cius .n. qux hoc modo mouetur Extrema cum xqua-

liter moucantur ,rcifta deferibunt : biparrita vero feiTtio cum injqua-

liter deuoluatur,circulum defignat : reliqua autem Signa ,deferibunt

Ellipfim . Quapropter Lationis, qux bipartita fit feftione inxquali-

tatem confccuta eft circularis Linex generatio. c6 quod in Angulo

rciflo redam deduci Lineam.non autem fecundum naturam moueri

fuppofitumftiit. Athxcquidcde his fint fatis. Videbitur autevtrif-

que L incis fimplicibusexiftentibus ( Reda inqua,& Circulari) Re-

da vtique fimpliciorefle. in hac .n. ne opinione quide disfimilitudo

excogitari poteft . in Circulari vcrd,Concauum,& Conuexum dif-

fimilitudinem indicant .^ Reda quidem Circunferentia fecundum

excogitationem non infert ,Circunferentia vero Redam ( licet non

iuxta generationem ) iuxta tamen rcfpedum ad centrum , fecum

affert. Qyid autem fiquis ctia dicat Circunferentiam reda Linea ad

conftitutionem indigere C fi eiura redf Linej terminatg vtruuis qui-

Soii.uo

ApoIJo*

lUUS

Geminus.

r

Docuncfieum

Dubimtio

1

«t LIBERdem Extremoru mancat.altcrum vero moneatur,Circulum procul'

dubio dcfcribct,eius autc Ccntrum,mancns recfbc Linee Extremum

Solutioid,quod Circulum deferibit. Signum eft,quod circa manens

fcrtur,nonrc(flaLinca7’ diUantiam enim duntaxat ipfa determinat.

Circulare vero Lineam Signu conEicuic dumcircularicer mouctur.

Djptjfio De his autem fatis . Verum enimucro Circuiiferentia quidem Fini

proxima elTe videtur, cande ad alias Lineas habere rationem, qua

Finis ad omnia ca,qux funt.Bnita (i quidem ell, folaque ex limplici'

bus Figuram perficit. Re«fla Linea vero. Infinitati, in infinitu enim

producla nequaqua ccHat,& quemadmodu ex Fine, 8c Infinito reli'

qua omnia producfla funtieodemmodo ex Circulari,&T Redoomnemilium Linearum genus conllitutum cft, tum Planarum, tum caru,

quxinSoIidisconfiduntcorporibus. Et propter hanc caufam Ani'

ma quocp Rc<fhim,5<: Circulare fecundum elTentiam in fe pr^alTum'

pfit, vt omnem, qux in Mundo ell Infiniti coordinationem, om'nemque Finis moderetur naturam. Redo quidem progrellum, Cir'

culari vero regreflum ipforum conllituens . atque illo quidem in multitudinem ipfa producens, hoc vero eunda in vnum colligens . 8c nofolum Anima,veruetiam ille,qui Animam produxit, hasqlie poten<

das ipfi tradidit ,vtrafque primarias in fefe habet caufas . cum enim

omnium eorum.qux funt,principiu,Mcdia, finesque praeallumpfif'

K» in TiLincas terminat fecundum naturam circuiens , inquit Pia'

m;o . to . ad omnia nanque prouidis progreditur adionibus,ad fefeque re'

Timzus. uerfused,manensinfuoquod^odomore,aitTiraanu. Notaaute

tinea re-Linca rcda quidc, indeclinabilis , Sc impemcrdbilis,& immacu'

Aa cuius latx,& indcficicntis,& omnipotends,omnibusque asfidends proui'

cirwn”. Circunfcrcntia vero , atque Circuitio , cius, qux in fefe coit

retia cuius adionis,quxque ad fc fe conuertitur ,& iuxta vnum intelligente ter'Nota fit.

niinum omnibus dominatur.Cumiuque duo hfc principia Redum

Du{ qu»fdlicet,& Circulare rerum omnium Opifex in feipfo pr^pofuifiet,

i Dm juc duas a fe fe produxitVnitates . vnam quidem iuxta Circulare ageu'Vmtatci

. (gpj intclligentiumqfie ellcntiarum cffcdricem ; alteram vero iuxta

Rcdum,fenfilibusque ortum prxbentem . Quoniam autem Animamedium inter intelligentia,fenfiliaque fortitur locum

,quatenus qui'

dem intelligend cohxret naturx,iuxta Circulum agit:quatenus vC'

ro fenfilibus prxeft,iuxta Reddm prouidet. Tot edam de haru For'

fonderatca,qux funt fimilitudine,dida fuffidant . At rede Linex

definitio, dcfinidonem Euclides quidem hanc tradidit,quam pofuinius: per

«m Euciioftendit folamrpdam Lineam ei, quod inter fua litum ell SL

gna

Jbi -1 i

A.

SECVNDVS. 6}

gna aequale occupare rpacium.quaiiu.n«cfl alterius Signorum ab ab

tcrodiftaiia, tamacftrc(fif,qu«cabipfistcrminatur Lincf magnitu-

do . A tq? hoc cft ex aequali inter fua collocari Signa. Quod fi in Cir-

cunfcrcntia,vcl etiam in alia quada Linea duo Signa fumpfcris^quod

inter haec includitur Lineae fpatium, ipforum diiuntia fuperat ; om-

nisque Linea praeter retflam hoc pati videtur , Quocirca iuxta cornu-

nem quot^ notionem eos quidem,qui per retfum ambulant Lineam

neccflariumduntaxatiteriacerc Vulgus etia inquit : eos autem,qui

fionpcrrctTta.incceirariQ plurimum aberrare, Plato autc redam Lbneam fic definit. Linea reda eft,cuius Media obumbrant Extrema , „6; Vi-

hoc nanque ea quidem,qua: in diredum pofita funt pati nccelTe eft

:

qux vero in Circuli Circunferentia,,vel in alio fita funt Interuallo,

haud neceflariu cft vt hoc patiantur .Qyapropter Aftrologici quocp

|unc Sole dicunt deliquiu pati.cum ipfc,& Luna,noftcrquc oculus in

vna fuerint reda Linea . tunc .n. a Luna media inter nos, atq; ipfum

cxiftcntc obumbrari. Et forfanredxLinexpasfiooftcnderit vti^

quod in his ctia,qux funt.iuxta proceflus.qui a caufis emanat,Media reflf» Li-

quidem Extrenioru diftantiara,adinuicemque comunicationem.di-

uidendi vim habent.queadmodum fane iuxta regrefliis, qux etia ab

ipfisdiftantadprimariasconuertunturcaufas. Archimedes vero re-

damdcfiniuitLinca,minimacaru,quxTerminoshabcnt eofdcm.

Ciim.n. (vt Euclidis ait definitio) ex xquo inter fua collocata fit Si-

gna,hac dc caufa eofdc T<-‘rminos babentium minima cft . fi .n. qug-

da fuerit rainor,non ex xquo ina-f fua iaecbit Extrema .Qyin etiam «-

rcliquxomnesredx Lincg definkipnes, in eafde rajiduiit fententias.

Excpli gratia, quod infuisconftituta cft extremitatibus .& quod np

eft pars quide ipfius in fubicdo Plano,pats ver6,in fublimiori . 8c

omnes cius partes omnibus fimiliter congruunt. &: quod extremis

manentibus,ipfa quoque manet .quoddemu cu vna,qux fit fibi fpc-

cicfimilis Figura non perficit, hxc.n, omniarcdxLinex proprie^

tatem exprimuru ,qua habet ex eo quod Gmplex cft, 8c vnum habe^

breuisfimum ab Extrcmo,ad aliud Extremu progrefTum . h^c etiam

dc redx Linex definitionibus didafint.Diuidit autem mrfus Linea ai.i ii-

Geroious, primu quidem in Incompofitam, &T Compofitara . vocatg^Ve^da

autemCopofitam,rcfra'^m,Angulumquc efficiente : reliquas vero Gemioma

tpfarum orancs.lncompofitas . Deinde Compofita, in eam,qux Fi-

guramcGicii,8ceam,quxininfinituraproducitur.Figura facere dic

cens. Circularem , Clypeique Lineam ,quxque Hxdcrg fimilis cft':

non facere aute RedanguU, Obiulanguliquc Coni fe(fponcm,Conc

chx

o<

64 libereliac fimilem, Rcftam, id genus omnes . Rurfusquc alio modo Inco'

pofitac Lineae aliam quidem fimplicem efle ,aliam vero miftam . Et

fimplicis aliam quidc Figuram facere,vt Circularem : aliam vero in-

delmitam c(Te,vt Rc<ftam, Miftf aurem alia quidem in Planis,aliam

vero in Solidis efle . Et eius,quae in Planis c(l,aliam quide in fe fc co-

incidere,vt quae Figura refert Harderar,quae Ciflbides vocitatur : alia

verdin infinitum produci,vtputa Helicem. Eiusautem,quae in Soli'

dis cfl,alia quidem in Solidorum fe<flionibus excogitariralia vero cir-

ca Solida ipfa confiftere . nam Helicem quide, quae circa Sphaeram,

aut Conu defcribitur,circa Solida confiftere : Conicas vero, vel Spi-

ricas fecfliones a tali Solidoru gigni fetTuone . Iffas autc fctftiones alias

quid? a Menfchmo , Conicas fcilicet , excogitatas iui{re,quod edamEratorthenes referens ait-

t iwfthMxncchmos in Cono fecarc Temarios

.

oi5Pcnta- Alias vero i Perfeo,qui Epigtamma quoque in carum inuch-

tione compofuit, dicens.

. Tres Lineas in quinqtfecflionibuslpiricascum inueniflet

grinu/' Perfeus, harum caufa Diis facrificauit.

** Qnae quidem tres Conoru fediones funt, F*arabolc,Hypcrbolc,at(^

Spiric«fi Ellipfis.Spiricarum autc fetSionum alia quide implicata,inuolutaq6ecnouet

cft^equinf fimilis Pedicae talia autem in Medio dtlatatur,exvtraque

vero parte deficit talia vero oblonga exiftens medium quidem fpa-

tium minus habet,ad vtranque autem parte dilatatur . Caetenh^au-

tem roiftionura multitudo infinita cfl: . Solidaru nanque Figurarum

innumera eft multitudo, multiformcsqfic ipfarum conftitmintur fc-

^ones . non .n* refta Linea du circplaritcr mouctur quanda detep-

minatam facit Supcrfici?,ncque ctiJ Conicf,ncc Conchoides Lineae,

neque Circunferenti?c ipfae . Mulrifarid igitur fi fecentur htee Solida,

varias Linearum offendunt fpedes . Earum demum,quae circa Soli- '

da confiffunt Lincaru,alix quidem fimilium partiu funt, vt qux cir-

ca Cylindrum funt Helices talixverddisfimiliu partium, quemad-

Tre» fol* modu cftcr» onuics . Ex his itaque diuifionibus colligiturqudd tres

fwmiii”J Solx funt Lineae partium fimilium. Reda nepe,Circularis,&T Helix

milium Cylindrica . dux quide in Plano fimplices,vna verd miffa drea So-

Theore- lidum. Idquecuidcntcr Geminusdemonftrat ,cum infuperdemon-

m Gemiftra(rct,qu6d fi ad fimilium partium Linea ab vno Signo, dux redx

protradx fiictint Linex xquos in ipfa Angulos fiidentes, xquales

iiint. Ex eiufquc voluminibus horum demonftraiiones fhidiofis ca-

'pefTcndx funt . Oquidem ortus quoque fpiricarum , dC conchoidum,

Haederg

S E C V N V S. 6r

Hcdcrfq6c (Tmiliuin Linearum tradit . Kos vrrdipfarum quidc eo" Geminus

gnomina.diuifioriwsquc comemorauimus, ad ipfarum inquiHtionem4]

ingeniofos excitantes. Adfingularum autem inucftigatioium ratio-

nes diligenter perquirere ,fuperuacaneu in pnefenti elTc arbitramur,

cum Geometra fimpliccs,primariasqucduntaxat Lineas hic nobis

aperuerit, Retftam quidem ,in pnefenti definitione ; Circulare vero,

in Circuli traditione, tunc.n. dicet Lineam Circulum terminitem,

efie Circunferentiam. Miftf ante nullam fecit mentionem, licet An-

gulos noucrit miftos.Semicircularem nempe , atque Comicularcm:

necnon Fiouras Planas miftas,Scgmcta.f.atqt Setflores: Solidasque,

Conos vidclicct,atquc(Jylindros. Cacterorum itaque omnium tres au„

vniufcuiufq? tradidit fpecies. Linearum autc,duas tantum, ideft ^e-

«ftam,&f Circularem . cum arbitraretur opus effe in fermonibus,qui tradideriq

de fimplicibus habentur, fimplices affumere fpecies. reliqua .n.om- ,

nia. Lineis compofitiora furu..Qpamobrcm nos quoq; Geometrapi

ferentes in fimplicibus Lineis ipfarum explicatione terminabimus.

Superficiei juic cll,quf Logitudinciti, & Latitudine tartni habet. Definitio

quiota.

,n »’»' 4 ,

P Oft Signum,SiTLirica Superficies collocata eft, qiioe duplici-diftat eam. r.-

Intchiallo nim Longitudine, tum Latitudine. Crasfitudinis aute ex-

pershxcquoCp remanens, Corpore triplici dimenfionc diffante fim-

pHciore habet natura. Quocirca Geometra quocp particula [ tattim I

duobus Intcruallis adiccit,vtpotc tertio Interuallo in fuperficic non

exiftente . hxcque negationi Crasfitudinis xquipollet,vt hicquocp

Superficiei ad Solidum coparataeiuxta fimplicitatem pncftantiam,

negatione, vel xquiualentc negationi additione oftendat : diminu-

tionem verd.quam habet fi ad prxccdentia comparetur ,affirmatio-

nibus ipfis . Alij autem CorporisTerminum iplam dcfiniucrunt,idc

propemodum dicentes . fiquidc quod terminat ab co.quod termina- •

tur,vnafupcraturdiftantia . Alp vero, magnitudinem binis diftgntc

Intcruallis. Alt) demu aliter quoquomodo cius formant asfignatio-

riefri,idem declarantes . Superficiei aute cognitionem nos habere di-

cunt.cum agros dimctimur,Qorumquc extremitates, iuxta Longitu- nei fupe-

dinem,& Latitudinem difHnguimus : fenfum verd quendam cape-”

I rc.

L I B BrCjVrabras infpicicmcs . cum .n. ipGc fine Crasfitudinc fim , c6 qud<Jinteriorem Terrx partem penetrare non pofiLint , Latitudinem tan^

tdm,atque Longitudinem habent. Pythagorei autcTernano ipfan^

s asfiniilari dicebant . Quonia fan^ omnibus,quae in ipfa reperiuntur

dcin»f!- FigurisTcmarius longe prima eft caufa . Circulus .n. qui Orbicula-^

ccbMt*^rium principis cft.latcnterTernarium habct,Centro,InteruaIlo,atqt

Circunferenoa . Triangulu autem cum ompium Redilineoru prin-

cipatum teneat,vndequaque manifeftum eft, quodTernario claudi-

tur,& iuxta illum Formam fuicepit.

nem affert. Anima nanque Natunr operatione perficit, atque deter-

minat ; & Natura,Corporu Motionem : 8c ante haec Mens, Anirag

conuolutiones metitur : ipfiusque Mentis vitam,Vnu . illud .n. me-

pto*Deo! fura omniu eft. Queadmodumfan^in his quoque Solidp quidem 4Superficie, Superfiries aut d*Linea,Lineaque a Signo terminatur . il>

lud fiquidem,Terrainus omniu efl. In Formis igitur immaterialibus,

rationibusque impartibilibus Linea vniformis exiffes, in Superfidq

progrefliivariu motum terminat,ac coercet, ipfiusque proximd vnit

infinitate. In imaginibus autcumTerminatoTerminans aduenerit.

Dubitatio hoc pa<fi;oTerminu ipfi praebet. Siquis autc hicquoque qutcratquo-

nam pa<fto omnis Superficiei Extrema fint Linex , ciim non omnis

etiam finitx Extrema fint. Sphgrx nancp Superficies,terminata qui-

solurio. (Jeni eft,non autc a Lineis, fed i fc fe. Dicemus quod accipiendo Su-

perficie qnatenus duplici diftatlnteruallo, a Lineis ipfam terminari

iuxta Longitudine,Latitudincmquc reperiemus .Qydd fi Sphaerica

infpexerimus.iplam vtique accipimus vt eam,qux ia Figuram fufce<

pit,& aliam habuit qualitate , 8c finem principio coniunxit, ex duo-

busque ExtremisVnum fteit . & hoc potentia duntaxatvnum exi-

ftens, non autema^.;

'

Definitio

fexta.

7

Plana

Digit-

SECVNDVS. 67

DcHnirio

Teprima.

PRifasnonpIacuit PhilofophisPlanuSuperficiciponercfpccicm,^

verum vtidc vtrunque a{rumerc,ad Magnitudine duplici Intcruallo

diftantcmrcprgfentanda. Iu nanCpDiuinus quoque Plato Geome- piaioinr

(fiam Planorum efle dixit contemplatricem, Stcrcomctrixipfam in

diuifioneopponens,perinde ac fi eflet idem Planum,& Superficies.^

Idde admirandus eiia Arifloicics . At Euclidcs,& qui eu fccuti funi, «luribus

genus quidem Superficie faciunt,eius vero fpeciem. Planum, quead-

modum Linex, Rc(fla. Quapropter Planum quoque feorfum a Su'

perficiedcfinit.ad redae Linef fimilitudine . illa nanque fpatio.quod

inter Signa collocatum cft xqualc efle dicebat . Haneque firailiter ait

duabus pofitis redis Lineis locu occupare fpatio,quod inter duas illas

Lineas fitumcft,xquale . Hxc .n. cft,quxexxquo inter fuas collo-

cau cft Lineas, qua alij quoque, idem explicantes , in extremitatibus Aimrum

fuis conftituta dixere. Alq vero, cuius omnibus partibus recta Linea

conoruit . At quida fortalle dicant ipfam,brcuisfima quoque eadem nnitiooe»

Extrema habentiuSuperficicru. Et cuius media obumbrant Extre-

ma omnesqueredxLincxdefinitiones,in Planam quoque Superfi-

cicro,gcnus folum mutantes.transfcrre poterint . fiquide Redum,&:

Circulare &Miftud Lineis incohantia ad Solida vfquc perueniunt,

wt fimerius diximus, funt.n. tum in Superficiebus, tum inSolidis ex inc6m.4.

proportionc. Ideo Parmenides ctia omnem ait riguram aut Kedtam

cflc,aut Circularem,aut Miftam . Si vis ei^o Redu in Superficiebus

confidcrare.funie Planum, cui vario modo reda congruit Linea : fi

autem Circulare,Sphxricam accipe Superficiem : fi vero Mift u,Co- Documen

nicam,vcl Cylindricam,vcl id genus aliquam . Oportet autc (inquit

Geminus) cum Linea.itemquc Superficies Mifta dicatur, Miftionis

modum cognofccrc,quoni a diucrfus cft . Neque .n. per copofitione MKHonii

tantum ,neque per Teperationem Miftio in Lineis eft . Helix fiqui-

dem mifta eft,nec tamen cft pars quidem ipfiusrcda, pars vero Cir- in Lmeis,

cularis.veluti eorum, qux per Compofitione mifta funt. neque aiaM I_I ^l>_. i»vi .•

I t in

t-

ErrorTheodori t/a

thematici.

SupBcies

perTcpc-

raticncm

fpiftcsut.

Coiii oit*

rukhru.

Commu-ne I.tncis

Superi

ciebua.

Admirabi

Ic Siiperfi

cicrii pro-

prium .

Spirj ort*

Tres funt

Spirz

.

1 Spira co

tinua.

a Spira implidta.

3 Spira di

tjjdua

.

Tres funt

SpiriceSe

etiones

Duplici-

ter fiutmi

(he Super

Edes.Quatuorcorpora ,q

milvas hht

Supficies,

i-trib® Conicis Line

IS produ-

cuntur.Et

eoru Sup

(8 LIBERin Lineis non red^ Theodorus Mathematicus fentit . In Suberfidc-»

bus verd Miftio,nequc per Copofitionem eft, neqj per Confufione t

fcd potius perquandam Temperatione. Circulu.n.infubicdo Pla-

no intclligentes,&: Signum fublime,d Signoque ad Circuli Circun-

ferentiam redam Lineam producentes, iplamque rotantes , Conic$

vtique faciemus Supcrhciem,qux miffa ed . Rurfusque ipfam fecan-

tesrcfoluemus in fimplicia. a vertice «n. ad Balim fcdione ducen-

tes, quod fccat Planum,Circulare efticiemus. At Linearum Idea/

Miftionis modu haud perteperationem efle offendit . neque .n. iioa.

ad Elcmentoru Gmplicem remittit naturS . Superficies aute (i fcccn-:

tur,ffatim per quas eti a Lineas Cnt procreat^,nobis offendunt.Mo-;dus igitur Miffionis ( vtdidum fiiit) in Lineis ,

atque in Supcrficic-

bus idem non eff. Quemadmodu autc in Lineis erant quxda (impli-

ccs.Reda ncmpe,& Circularis, quarum vulgus etia nulla pracccdcn-;

te dodrina anticipatas notiones habet, Miffarum vero fpccies magis

artiheiofa indigebant deprehenlionc : ita nimirum in Superheiebus

quoque,carum,qux maximi Elcmentaresfunt Planarii, atejj Sphx-ricaru ex fc fe notiones habemus : carum verd

,qux per Miffionem

coffituuntur,fcicntia ipfa,ciusque ratio inueffigat varietate . Hoc aut

admirabile in ipfis eff,quod fcilicct i circulari quoque Linea , Super-

ficiei Miffio in generatione farpenumero fit. Hoc verd Spiricf quoc^

contingere dicimus Superficiei, per Circuli .n.rcuolutionc hxc in-

telligitur eredi permanentis ,& circa idem Signu,quod eiusCentru

non fit fc fc voluentis . Quo circa tripliciterquoque Spira fit . aut .n.

in Circunffrentia Centrum eff, aut intra Circunferentiam, aut cxtnu

Qiidd fi in Circunfcrcntia quidem Centrum fit, fit Spira Continua t

fi aute intra Circuferentia,Implicita : fi verd extra,Diuidua.Tresqfic

funt Spiricx fcc'fiones,iuxta hafcc tres differentias.Vcrutamen om-nis Spira miffa eff,licet vnus fit,i quo producitur,Circularisquemo-tus . Fiunt aite Superficiesmiffx tum i fimplicibus ( vt diximus ) Li-

ncis.du huiufccmodi motu moucntur,tu etia i miffis.Cum ergo tres

fint Conicae Linex,quatuor efficiunt miffas Superficies, quas vocant

Conoides . nam a Parabole quidem, qux circa Axe conuertitur,Rc-

dangulum Conoides fit : ab Ellipfi vcrd,quf Spheroidea nominan-

tur . fi circa maiore quidem Axem conuolutio fiat,Oblongu : fi verd

circa minore, Latum . Ab Hyperboledemu,Obtufangulu Conoi-

des. Sciendum autem eff,quod interdum quide ex Lineis in fupcrfi<

cicrum perucnimus cognitionem, interdum verd, contra : cx Coni-

cis .n. Spiricisque Superfidebus deprebendetuus Conicas,& Spiricas

Lineas

.

Digit,

SECVNDVS. f.9

Lineas . Quin enam hoc quoque pracaccipicndum cft de Linearum,

Superfiderumqhe differentia, quod Lineas quidem paniu fimilium

tres funt(vtfupcriusdi(ffu fuit) Superficies vero duas tatiim. Plana, guiuCo-

atque Sphasrica . non autc Cylindrica quoque ,fiquidem non omnes

omnibus Cylindricx Superficiei partes congruere pofliint . Hxede sat uiaco

Superficierum quocp differentiis a nobisdidfafint,quarumciimvna j^oilinn

Geometra clcgiffct ( PJan5 inquam) hanc vtique dcfiniuit,in hacque

vtpotefubie<fla,Figura8,hanimqucpasfioncscontcplabitur.copio' 4 utum

fior nanqueinhaccicftfcrmo, quim in aliis Supcrficicbus . rctftas

fiquidem Lineas,& Circulos ,& Helices in ipfa poflumus intelligC' secuda c5

re,ncc non Circulorum, recflarumquc Linearum Scftioncs,& Con^

ta<!his,& Applicationes, omnisque generis Angulorum conftitutio'

nes. In alqs verd Superficiebus non omnia hxc infpid poffunt. Qyo- l incaru

,

modo .n. in Sphxrica roffam deprehenderis Lineam ,autre<flilineu

Angulum 'iQuomododemum in Conica,vel Cylindrica Circuloru incom 4.

Scdiones,vclrc(ffarum Linearum infpicicsC Non imerito igiturhac

Superficiem &T definiuit,& in ipfa cunfta edendo res fuas pcrtra<ftat . «a supfi-

hinc nanque prasfentem traftatione Planam appellauit . & hoc pa' curOeo-

&o Planum quidem intelligerc oportet,vtpote proie(flu,&: ante ocu'

los conffitutum ; eunda vero in hoc Cogitatione defcribcntc,Phan- defini uci-ic

tafia quidem quafi Plano fquiparata fpcculo,rationibus vcr6,qux in

Cogitatione funt fuas in illud demittentibus imagines . nu intciii

&cotne—cna.

Definitio

octaua.

ANgulum ali) quidem vctcruPhilofophoru in Prxdicamento eo- Dipresfio

nim.qux funt ad Aliquid collocantes ,Inclinatione efie dixerunt aut

Lincarum,autPlanorum,qux ad feinuicem inclinata funt.Alt) vero opinio.

in Qualiute hunc quoque includentes, vt Reditudinem, atep OblL LESquitatem,talem dicunt Superficiei cfrc,vel Solidi pasfionem. Alrj au'

^

tem ad G^antitatem rcfcrentcs.Supcrficicm ipfum.vel Solidum efle q Fudemi.

fiucntur . Diuiditur .n. qui in Superficiebus quidem i Linea.qui ve^

ro in Solidis, a Superficie. Qyod autem ab his ( inquiunt ) diuidimr,

nil aliud cft,nifi Magnitudo,& hxc non Linearis ( Linea fiquidem i

Signo diuiditur ) reliquum igitur eft,ipfum aut Superficiem efle, aut

Solidu.

70 I B R

Tcrti^ o-

pioionis

Cofuurio.

In tcnio

EJcm.pro

|>6ae i6.

Secun4xopinionis

cofiiratto.

Primu iTt

gumcmu.

SecudumVgumccu

Wmf opi

nioots c6

futatio

.

Argumcnruin con-

trarium.

'Propria opioio.

Solidum. Verum fi Magnitudo quide cft,omnes aute eturdem ge-

neris Magnitudines, finitae exiftentcs, rationem adinuicem habent

:

Anguli quoque omnes eiufdcm generis, nempe qui in Superfidebus

funt, rationem adinuicem habebunt . Qijarc Comicularis edam ad.

Rcctilincum habebit rationem . Qux autem adinuicem ratione ha^bcnt,fi multiplicentur, poliunt feinuicem excedere . Excedet igitur

aliquando Corniculatis quocpRcifulincum. quod minime fieri po-teft . oftenditur fiquidem omni Rc«ftilineorainor. Atqui fi Quali-tas foliim cft, queadmodum Caliditas,& Frigiditas, quonam padoin partes aequales diuifibilis eft C non ,n. minus Angulis

,quam Ma-

gnitudinibus fqualitas ineft,& inaequalitas,omnindquc diuifibilitas;

verum fimiliter vtrifcp per fe fe accidunt. Quod fi ea, quibus haec perfe infunt,Quantitates quaedam funt, non aute Qualitates, manifeftu

eft vtiqj, quod Anguli quoque Qualitates non erunt. Qualitatis fi-:

quidem Magis,&: Minus propria: funt pasfiones,non aute Aequale,SC Inzquale. Non oportebat igitur Angulos ingqualcs diccre,& hucquidem maiorem,illu vero minorem : feddisfimiles, aliumqucma^gis Angulum, alium minus . Venim quod haec aliena fint a Mathe-maticarum rerum clTentia, nemo cft, qui no videat . omnis fiquidemAngulus eandem fufeipit definitionem

, neque hic quide magis An-gulus cft,illc vero minus. Tcnio fi Angulus Inclinatio cft, ac denicp

eorum,qug ad Aliquid rcferuncur,illud vticp cucniet,vtvna exiften-

te Inclinatione,vnus quoque fit Angulus,non autem plurcs . Nam fi

nihil aliud cftquam ipfc Linearum ,vel Planorum refpc(fhis, qui fieri

poteft v't vnus quide Lincarum,vcl Planorum fit rcfpc(fius, Anguli

vero plurcs c" Si itacpConum intcllexens aVcnice ad Bafim Trian-gulo difledum, vnicam quidem in Semiconio ad Venicem Trian-gularium Linearum infpicics Inclinationem : duos vero diftindosAngulos . vnum quidem Planum, ipfius fcilicct Trianguli : alterumvcr6,in mifta Coni Superficie , comprehenfum autem vtrunt^ a iara

didis binis Lineis . Non igitur harum rcfpedus Angulum feciebat.

Cgtcrum necelTc cft ipfum,aut Qpalitatcm dicerc,aut Qyantitatem,autcorum, quae lunt ad Aliquid. Nam Figunc quidem Qualitates

funt,haru vero ad fcinuicc rationes, eorum, quae ad Aliquid. Opor-tet ergo Angulum quoque fub horum tnum generum aliquo reduci,

Talibusplan^Dubi}sexiftcmibus,& Euclide quide Angulum In-

clinatione dicente, Apollonio vero Superficiei, vel Solidi in vno Si-

gno fub Linca,vel Superficie refrada coUedionem ( hic .n. omnemvniucrlalitcrAngulum definire videnir) Nobis Praeceptorem no-

ftrum

DiyiKz

V

SECVNDVS, 7 *

^humrcquemibusdicendi|incf]t. Angulum nil quidem pncdidlo'

fum ipfum per fc fc cllc : fcd per horum omnium concurfum confti-

mi • propter hanc caufam dubitationem illi$ attuliHe, qui ad Vnuquoddam fpecflarunt. Non efl aute Angulus duntaxat huiufcemodi,

fed Triangulum quocp. Qpantitatis (iquidem ipfum c(l paniceps,

^qualeqhe diciturj& in^quale.vtpote materiae ad ipfa ratione habes.

Adefl aute ipli& iuxta Bguram Qualitas ( quandoquidc tam limilia

dicanturTriangula, quam aequalia) hoc quide ab alio, illud vcr6 ab

alio habes Praedicamento . Ita ct^o Angulus quoque omnino quide

indiget fubie^a Magnitudini Quantitate > Indiget autem& Quali-'

tate,pcrquam quafi propriam habet Formam,cxiftentiacque Figu-

ram . Indiget demum 8c Linearum ipfum terminantium,vel Super-

ficierum ipfum comprehendentium rclpcAu . ex hisque condat om-pibus Angulus,nec tamenVnum aliqujd iflorum ed. Et ed quidem

diui(ibilis,& aequalitatem,atcp inxqualitatem fufeipere poted, iuxta

cam.qux in ipfo ed Qyantitatem . Npn cogitur autem eiufdcm ge-

neris Magnitudinum rationem admittere , ciim peculiare etiam ha-

beat Qualitatem,per quam fxpenuraero Anguli alq alrjs incompa-

rabiles funt ; necp vna Inclinatio vnicum perficere Angulum . fiqui-

dem Quantitas etiam,qux inter inclinatas collocata ed Lineas.ipfius

complet edentiam. Si itaque ad hafce perfpcxenmus didiiuTtioncs,

dc Abfurda diffoluemus ,& Anguli proprietatem inucnierous non

effe quidem Superdoei, vel Solidi collciflione, vt Apollonius inquit,

( cum hxcquoqueipGtiscopleant eflentiam ) verum nihil aliud efle,

qu.tm Superficiem ipfam in vno. Signo coUe<dam, ab inclinatisqfie

Lineis comprchenfam,vcl ab vna ad fe fc inclinata Linea: ipfumque

Solidum ab inclinatis ad feinuicc Superficiebus colle(ftu. Vt Quantu

(brmatum,a talique refpcc^tu conditutum definitionem ipG fuppedi-

tet : non autem Quantitas per fc,ncc Qualitas folum,nequc Relatio.

Hxede Angulorum fubdantia dicenda duximus, comunem de om-

ni Angulo praeoccupantes contcplationem.antcqua in (pedes ipfum

diuidamus. Cum autem tres de Angulo fint opiniones , Eudemus

quidem Peripatedeus,qui Librum de Angulo fcripfit , Qyalitatcm

ipfum effe concesGt . ortum .n. Anguli confiderans,nil aliud die ait,

quim Linearum Fradionem .Qyod fi Reditudo Qualitas ed, Fra-

&o quoque Qualitas erit . Proinde ipfum cura in Qualitate genera-

donem habeat,omnino Qualitatem ede . Eudides autc,& quicunc^

ipfum Inclinadonemdixerc,interea,qug funt ad Aliquid enumrant.

Quantitatem vero dixerunt ipfum, quicunque Angulum clTc dicunt

primu

Defiruil

»rgum«r*auxinip-uirn refie-

^ipofscc.

Anguli

Plani per-

foSadefi-

nirio.

Anguli Solidi perfe

Aa defo.

Yniuerla-

lis, S: pfefla AnguUdefo.

Opinionfi

4iliributio

Eudemi iu

dametumin lib. luo

d Angulo

EudiJcf

.

'T.';

L

Plmarcht,

8: Ap>»lIo

nii aliuU

fundimc-tu.n.

Fudamcti

d.'(lru^io

Piimaar-

fumentu.

ccudumargucnctu

Carpi ali*

ud funda*

meatum .

Fudameti

delinitio

Finis Di*

gresiioiHs

Angulorudiut£o.

Anguli

Sphjralcs

Anguluf

ex Clypei

Linea.Linearum

CiflToidum

dcDOUUO.AngulusCiltoiJes.

Angulus

e* Hippo

pedis Li-

neis

Tres e*Circufere

tiis Anguli fiunr.

Angulus

vcnn<}ue

couexuj

7* LIBERprimum fub Signo Intcruallum. E'quorum numero Plutarchus ctiS

cftjApoilonium quoque in eandem compellens fcnrcnnam . opor'tet .n. ( inqu:i ) clFc aliquod Intcruallum primum fub continentium

Linearum , vel Supcrficicrum Inclinatione. Imo cum Intcruallum,

quod fub Signo eft,continuumfit,ficri non potcft.vt primum acci-

piatur. omncliquidcm Intcruallum.in infinitum eftdiuifibilc. Prx-ter hoc etiam li vtcunque primum diftinxerimus, &f per illud rec^tam

duxerimus Lincam,Triangulum fit, non autc Angulus vnus . Car-pus autem Antiochenus Quantitatem quidem Angulum cfle ait, 8cdillantiam coprchcndcntium ipfum Linearum

, vel Superficicrum

:

haneque vnico diftantcm Intcruallo, non tamen idcirco Lineam cfle*

ipfum Angulum . non .n. omne, quod vnico diftat Interuallo, eflfo

Lineam. Hoc autem omnium abfurdisfimum cB, aliquam fciliccc

efle iVlagnitudinem.qca: vniw diftet IntcniallOjpnctcr Lineam,vc-nim de his quidem fatis, fuptrquc . Angulorum autem alios quidemin Superficiebus, alios vero in Seiidis confifterc dicendum. Et corii,'

qui in Superficiebus alios quidem in fimplicibus, alios vero in miftis.*

n Cylindrica nanque Superficie fietvrique Angulus, &f in Conica,in Sphaerica,& in Plana . Eorum autem, qui in fimplicibus confi-

• Junt Superficiebus,alp quidem in Sphaericis, alp vero in Planis con-‘

liniuntur . facit .n. Angulos &T iple Signifer, Aequino^ialcin duasiflccans partes , ad Superficicrum fccantium verticem . funtque in

Sphamca Superficie huiufccmodi Anguli . Eorum vero, qui in Pia-*

nis , alp quidemd fimplicibus comprehenduntur Lineis, alp aurctii imilbs,alp vero ab vtrifque . in Clypeo m. ab Axe, Clypeique LineaAngulus comprehenditur : fed harum vna quidem mifta cft , altera'

vero firaplex . Quod fi Clypeum Circulus fcccr, erit Angulus d Cir-cunfercntia,&r Eltipfi comprehenfus , Cilm autem Ciflbides, hoc eft

Hxdcrffimilc8Lincae,advnum coeuntes Signum, ficut Hgdcracfo-’lia ( illinc .n. denominationem habuere) Angulum fcccrint.a miliis

vdqj lineis talis comprehenditur Angulus . Itidem cdm Hippopeda,*hoc cft equinx fimilis Pedica: Linea^quxSpiricarum vna cft,Angu->Ium ad aliam proclinata fecerit, hunc quoque miftxcomprehenduntLinex . Qpi demum a Circunferentia,& recTta Linea continentur, dfimplicibus comprehenduntur Lineis. Horum autem rurltis alp qui-

dem a fimilibus fpecic cont incntiir,alp vero a fpccie disfimilibus. dugnanque Circunferentix fcinuicem fecando.vcl fc fc coringendo.An-gulos effidunt . ipfosqiic tripliccs,aut .n. vtrinque conuexos,quandofdlicet extra fuerint Circunfcrcntiarum Conuexa : aut vtrinque Ca-

S E C V N D V S. 7J

quando vtracp Caua extra funt,quos Syftroides vocant t aut miftos

ex conuexa, &: caua Linca,qucmadmodum Lunularcs . Quinctiam

a reda Linea,& Circunfcrcntia Anguli dupliciter continentur . aut

.n. a reda Linca,& cauaCircunferentia, vt Semicircularis : aut a rC'

da Linea,& conuexa Circunfcrcntia,vt Cornicularis . Cundi vero,

qui a duabuscomprehendutur redis Lineis, Redilinei vocabuntur,

triplicem ip(i quoque diBerentiam habentes . Hos itaque omnes, qui

in Planis Superficiebus conBituuntur Angulos Geometra in prgfen-

tia deRnit,qui comune Anguli Plani nomen iplis impofuit . & genus

quidem ipforum , Inclinationem dixit : locum aute , Planum ipfum.

Anguli nanque politionem habent : ortum vero tale,qu6d duas, fci'

licet oportet cBc Lineas ad minus,& non tres,vt in folido . hasque fe

fctangere,&r fefetangendo.non in diredo iaccre , vt Angulus Incli-

natio (it ,& Linearum comprehcnlio : non autem dtHantia tantum,

iuxu vnicum Interuallura . Videmr aute hxc deBnitio primum qui-

dem non concedere ab vna Linea Angulum perBci . atqui CiBoides

ciim vna Iit , Angulum efBdt . & Hippopeda (imiliter . totam enim

CiBbidem vocamus, non aute eius particulas ( ne aliquis dicat, quod

hxcodmtes Angulum fiiciunt ) totamque Spiricam,non partes eius.

Vtraque ergocum vna fit, ipfa ad fe fc Angulum efticit, non ad ali a.

Deinde Angulum Inclinationem definiens, peccare . Quomodo .n.

vna exiftente Inclinatione, duo erunt Anguli C Quomodo vero x-qnales,& inxqualcs adhuc dicimus Angulos C & quotcuncp alia ad-

uerfus hancopinionem obqciconfucaere.Tertio demum fupcruaca-

neamquibufdam Angulis[eBc,iuxta illam partem [& non in dire-

do lacerc 1 vt in ps,qui ex orbicularibus fiunt Lineis . nam abfquc

edam huiuGre pards adminiculo, definitio perfeda efl . harum fiqui-

dem Linearum alterius ad altera Inclinatio ipfum efficiet Angulum .

prorfus .n. fieri non poteft,vt in diredo Orbiculares laceant . Tori-

dem de Euclidis quoque definitione dicenda cenfuimus,paftim qui-

dem ipfam interpretantes, partim vero aduerfuseam dubitantes < ,

Angulutvtrin<^:ca

uu*,vtl Sjr

l(roidc«.

Angulus

Luguliris

Doo fiunt

Anguli ex

liiica rc-

cir-

curcrctia.

Angulus.Scmicirca

laris

.

Angulus

Comicu*laris.

Tres cx re

diis Lineis

fiur AnguJi,dequi-

b* iferius

ineo. jo.

Ponderat

Euclidis^

finitione .

Confutat

Euclidis d*

finirionefn

triplici fu

dameto.

Prinm fun

d.imcntu

.

Secundumfundamc*

tum.

Terriufun

damctuir.

rT<{

Def6 f.

Notam cBe dicimus,atquc imaginem coardadonis,qux Digresfio

K in

> Gof

Vniucrta-

Us Anguli

coiidera -

Oraculi.

Pulcberri

mi Angu]oru oiumcoiUeri -

lio .

Anguloru

aut in Su^

fidebus.

Angulorui^Soli

1“

Anguloru

^ui in iun

piicbuiSa

pbcklms-Anguloru<|UJ in mi>

ib« Super

iiaeuus*

Anguloru

Circula—

rmm.AnguloruKtdili—neorum.AnguloruWiftorfi.

P/thago*

rci.

Philolaus

Aimaius

Philolb-

phus.

Vide idc

Tupcriua

cap.?.

Solutio ta

cicc obic'

^oou

74 liberin diuinis generibus cft, ordini^ue diuifa in vnu ,& partibilia in im<

partibilcra naiuram,& multa in copulantem colligentis eSmunitate.

copula .n. is quoque plurium Lincaru, Superficicrumque fit,& Ma^

gnitudinis in impartibilitate Signorum collcdor ,& omnis, qux per

^fumconftituitur Figurae coprehenfor. QuapropterOracula quo-

que Angulares Figurarum copagines. Nodos nuncupant ,quatenus

imaginem afferunt coarcffatricium vnionum, diuinarumque coniun-*

dionum, perquas ea,qux natura difereta funt cohgrcnt fibi inuiccra.

Qui ergo in Superficiebus funt Anguli, magis imatcrialcsipfarum,

8C fimpliciorcs,& pcrfc(fliorcs exprimunt vniones :qui vero in Soli-

dis,cas,quc vfque ad inferiora progrediuntur, difiuntffisquc rebus cor

munitatcm,& vndequaqj partibilibus,ciufdcm naturae conftrudtio'

nem fuppeditant . Eorum autc.qui in Superficiebus, ali)quidem pri-

mas ipfarum, rraiftasque affingunt ; alfi vero cas,qux infinitate pro-

gresfionum in ipfis exiftentium complcftuntur . 8c ali) quidem intcl<

ligcntiuni Formarum vnitrices ; alij autem Scnlilium Rationum:ali>

vero carum, quae inter haf<c medium obtinent locum copulatrices.

Qui igitur ex Circunfercnrijs fiunt Anguli caufas imi)5tur,quf intel-

ligcntem varietatem in vnionem conuoluunt, Circunfcrcntix nantp

ad fc fc coire properantes, mentis,intclligcntiumque Formatu ima-

gines funt:RC(ftilinci vero cas,qux fenfilibus prfGdent,& Rationum

in his exiftentium coniun<ftionem prxbcnt:Mifti autem, comimi-

tatum.tam fenfilium,quam intelledilium Formarum, iu«a vnicam

immobilem vnionem confcruatrices . Operaepretiu cft igitur adhxc

refpiciendo Exemplaria ,fingulorum quoque caufas reddere . apud

Pythagoreos nanquc, alios Angulos Drjs alrjs dicatos inucniemus,

quemadmodum & Philolaus fecit, qui ali)s quidem Triangularem

Artguhijm : al«)» verd Quadrangularem : altjsquc alios confecrauit.

ntenon eundem pluribus Dt)s ,cidemque Deo plurcs,iuxta diucrlas;

qux in ipfo funt potentias, pennifit. Ad qux mihi videtur Afinxus

quoque Philofophusrefpiciens ,& ad opificum Triangulum,quod

totius Elcm^-^ntori) exornationis primaria cft caufa , alios quidc iuxta

Latera ; alios vero iuxta Angulos conftituifle Deos . Illos quidem,

progresfionem,atq5 potentia;hos autem,vniuerforumconiun(ffionc,

progrefloruraque rurftis in vnu collcrflionem ,fuppeditates . At hxc

quide ad corum,qug ftuit cognitionem nos dirigunt . Sj autem Lincf

hic Anguiu cotincre dicuntur,nil miru eft . nam quod in his Vnu,S£

impartibile repetitur, aducntiiiu cft : in ipfis autc Dcis,& ijs,qux v^c-

rc funt. Totum, 8c impartibile bonum, multa,atque diuiia prx«dh.

Cum

Dici-

SECVNDVS.%smmmwys}ffpffof)M

Cum vcrn rcAa Linn fiiperreflam confiftenj I.incameos, qtii fuitt ^eir-

ccps Angulos xqualcsadinuicrra Fcccrit rvtcrquc xqiulium AngulorumRefius ell ; .V qnx iiiridct redU Linea, Pcrpendkiilaris vocatur fuper

quam iiiTcdir

.

Obtufus Angulus eftiquimaiorcll Refio •

Acutus yeib

,

qui RedlocA minor

.

}“1 Ae funt triplices Angulorum fpecies,dc quibus Socrates quocp in

Republica dicit.qui cx fuppofitione apud Geometras accipiutur.Re-

(fblinco iuxta diuifionc in fpccics,hofce conftitucte Angulos,Redlu

(inqua)Obiufum,&r Acutu. Illo quidc per squalitate, &ridenritatc,

fimilitudinemque definito : his vero per Maioris,& Minoris natura,

aedeniep per inxqualitatc,& diuerfitate,& per Magis, 8( Minus in-

determinate conftitutis. At multi quidc Geometrf huiufce diuifionis

nulla pofliint reddere ratione,veriim vt fuppofitione hacquoqi vtu-

tur,trcs .f. eflc Angulos . Cum autc de caufa ipfos interrogauerimus,

harc ab ipfis non eflc poflulanda rcfpondent . Pythagorici vero tri-

plicis diftributionis folutione ad principia rcfcretcs.no funt inopes in

reddedis huius quocy RcAilineoru Anguloru differentis caufis.cu.n.

principiora vnu quidem per Fine fubfiffat,Terminiquc,&T idetitatis,

8i sclualitatis.ac denique totius melioris coordinationis caufa abfolu-

tionibus fit : alteru vero infinitu exiftat,progrefliimqu in infinitu, 8c

accretionc,& decretionc,& insqualitate, Sc omnis generis diuerfit a-

te a fe ipfo genitis tribuat , omninoque deteriori prarfit feriei,iurc fa-

propter hxc cum Rccffilinei quoque Anguli per illa conffiman-

turprincipia,quae quidc i Fine prouenit Ratio retffum effidi Angu-

lum ,vnum ,

aequalitate refpe(fhi cuiuslibet Rctffi, fimilitudineque

prxditum,& finitum fcmper,atque determinatum,eundemque ma-

ncnte,ncque accredone,neque decretionem fufeipientera:quae vero

ab Infiniate,cum fit fecunda, atque D^adica, Angulosquoque circa

ReAum duplices edidit ,inaequalitate luxca Maioris , atque Minoris

K s oatu-

Dffo IO.

Defo 11«

D<fd I».

Crm.io.Socrares i

Kcpub .

Di^esfio

Nrhago-rici C«:o«

merr^red

dunt camcur tres

fint

linei An-guli.

Kinis.

Infinitum

Fine pro-

ucnit re-

Au effidc

Angulu.

R6, q ab

Infinitofi

uenit Obciirum,&

Acutu fi"ducit An-gulum.

Rcftili-

ncoru Angulnrumfulchcrri

maaJDcos comparatio.

Rc^HU-neoru Ati

guloru aj

ea, ^ Tunc

coparario

PuJchnmi

rcrpciini

laris pjl-

cliracofi-

d(;ritio,ec

cnpaiario

PcrpcJiwU

lari 1 igu-

rarj nirti

iruralt:tu

diMcs. Hu2;<suc cau

53 viJt in

Ktmsifoini"o 19.

luM^-i;coru Ang'iIofuaJ

vttin copa

racio.

Epiiogus.

Finis Di-

grcsfionis

Prima notaJum.

16 LIBERnaturam diftindos.iuxiaquc Magis,&T Minus,motu inHnicu habcn-;

tcs, cum vnus quidem magis ,& minus Obtufus, alter vero magis,

& minus Acutus fiat . Idcirco plane recflos quidem Angulos ad diui-

norum ornatuum, diuinarumque potentiarum puros,& immacula-

tos Deos emittunt, tanquam indeclinabilis inferiorum prouidenuas

autores, Recliitudo nanque ad deterioraque infiexibilicas, &: imuta-

bilitas illis conucnit Dfjs : Obmfos vcrd,atquc Acutos Dqs progref-

fionis,S^ motus, potetiarumque varietatis praebitoribus permitti di-

cunt . Hebetudo fiquidem expanfg prorfus Formarum progresfionis

imago cft, Acumen vcr6,diuidenti, mouentique vniucrforum caufp

asfimilatur . Quin etiam in ps,quac funt, eflentiae quidem Reditudoasfimilatur,eundem Eflc fui Terminum conferuans : Accidentibus

verd, Obtufus , atque Acutus , haec .n. Magis,& Minus fufeipiunt,

&: indefinite mutari nunqua cefiant . lur^ igitur& Animam adhor-

tantur defcenfura in generationem iuxta hanc Anguli retfti indecli-

nabilem fpcciem,facerc,non vergendo ad haec magis,quam ad haec

;

Neque alia magis,alia minus afieiflando . cuiufdam .n. conuenientic,

coniuinfrionisquc naturae,vel (vt Grfci dicunt) Sympathif diftribu-

tiojipfam in materialem deducit errorem, indefinitamque varietate

.

Nota igitur eft Perpendicularis quoque Linca,inflcxibilitatis,purita-

tis,Tmaculatae potcntix,& indeclinabilis,huiufcemodi omnium. Eftautem& diuinx, intelligcntisquc menfurx Signum. Perpendiculari

fiquidem Figurarum metimur altitudines, &: ad Rctftu relatione ex-

teros definimus retftilineos Angulos , cum ipfi per fe fc indefiniti, m-

determinatiquefint. fiquidem in exceflu, dcfec^tuque infpiciuntur,

quorum vterque per fc indefinitus cft. Quapropter V irtutcni quocpdicunt iuxta Rectitudinem ftarc, vitium verd iuxta Obtuli,& AcuuInfinitatem fubfifterc,exce(rusque partiri,atque defeftus

, Si Magis,

di: Minus eius rmodcraiionem oftendcrc. Rccftilineorum igitur An-gulorum Rectum quidcm,pcrfe(fiionis, &T indeclinabilis aftionis,&Termini,5c Finis intclligentis,hisque fimilium ; Obtufum verd,atcp

Acutum,motusinfiniti,& inceflabilis progresfionis. Si diuifionis, Sc

partitionis,& omnino Infinitatis ponemus imaginem . Atque hfc dchis . Definitionibus autem Obtuli,Acutique Anguli genus adden-

dum cft . vtercp .n. cft Rcftilineus,alter quidem Reifto maior , alter

vero minor : verum non omnis abfolute, qui Reifto minor , Acutus

eft . Cornicularis nanque omni Retfto eft minor,quandoquidem Si

Acuto,ncctamen Acutus. Semicircularis itidem quocunque Reifio

eft minor.Acutus tamen non eft. Caufa autem,quoniam Mifti funt.

X

SECVNDVS, 77

^ non Rcftilinci . Qumctiam multi curuilincorum Anguloru , Rc-

diis maiores apparcbuiu.nonob id tamen Obtufi funt. Oportet fi-

quidem Obtufum, Rcctilineu efle.Hoc itaque primum adnotamus.

Deinde quod Rcc'lum Angulum ciim definire propofuiflet , redtam

fufeepit Linea fuper aliam redla Lineam ftante, & cos,qui deinceps

funt Angulos, xquales adinuicem facientem. Obtufum verb,atque

Acutum,non ite accipiens rcdlam Linea ad alterutra partem inclina^

tam : fcd i relatione ad Redtum tradidit . ipfe .n. & non Rectorum

menfura eft,quemadmodum &' inaequalium aequalitas . Lineae vero

ad alterutra inclinatae parte, erant innumerae :& non vnica tantum, gu]u!*non

queadmodu Perpendicularis . Poft haec autc illud, quod dixtC An- Rffloru

gulosxquales adinuicem] ad fumma quandam Geometricam dili- ouijdmo

gentiam fpedtare cenfemus . Oquidem fieri poterat,vt Anguli xqua-

les alqs eflcnt,nec tamen Redii . cum autc xquales adinuicc fint,Rc'

dios clTc necefle eft . Prxterea particula illa[deinceps

]addita ,

mihi

non Hdetur efle fuperuacanea, vt quibufda non redld vifum fuit : fcd

redbtudinis rationem oftenderc . ideo .n. vterque Anguloru Redhis

cft,quia ciim fint deinceps.xqualesfunt . Siquidem qux infidet rec'la

Linca,propter inflexibilitatem ad alterutra parte, xqualitatis ambo-

bus cft,&T vtrique redlitudinis caufa . Non igitur abfolute adinuicem

aequalitas,fedccnfequcntcrpofitio, vnacu xqualitate, caufa eft Aivgulorum redlitudinis. Prxtcrhxc autem omnia, hic quoque AutO'

risnoflri propofitum in memoria reuocandum ccnfeo, qudd fcilicct Quintum

dc fjs fermonrro habct,qui in vno Plano confiftunt Angulis.Qiiii--

obrem neque etiam cuiuslibet Perpendicularis hxc definitio efl:: fed

cius,qug in vno cft,codcmque Plano . Illam vero, qug Solida appeL

latur,non eft prxfentis teporis definire . Queadmodum igitur Planu

definiuit Angulum ; itactia huiufcemodi Perpendiculare.quoniam

folida Perpendicularis non ad vnica tantum rcdlam Lineam , redtos

faccredebet Angulos: vcrumadomncs,quxcamtangunt,8dinfu'

biedlo funt Plano . hoc fiquidem illi eft proprium

.

TErminus non ad omnes magnitudines referedus eft, Linepnanep Com.n.

Tcrmi'

78 LIBERTcrminus Extremum : verum ad Spaua,qux in Supcrficicbus

funt,&' ad folida Corpora . nunc .n. Terminum vocat Ambitu, quivnuquodque Spatium terminat, atque diftinguit . huiufcemodiqucTerminum,Extrcmum clEe debnit . non eo modo,quo Signum,Li-ncf Extremum dicitur : fcd eo,quo iIlud,quod includit,atcp excludit

Geome— a circuiaccntibus , Eft autem proprium hoc nomen Geometria: illi,

agros metiebatur,&'Tcrminosipfos in-

confufos,diftin<fVosque leruabant,ex qua in praefentis quocp (centiae

cognitionem peruenere . Ciim iuqj extemum Ambitum, TerminuEuclides vocaIlet,no immerito ipfum.Extremum quocp SpariorumdeBniuit. per hunc .n. quodlibet comprehenforum circuferibitur.

autem exempli caufa in Circulo, Circunferentiam quidc , Ter-

di pijnu minum ,atcp Extremum : ipfum vero Planum,quoddam Spatium:

rpanii.coincaeterisque fimiliter.

trariu vi- Tdf fu^icrt*

iiicom.i.

14.

Com.ii.. ......

Figura oniam Figura multipliciterdidtur , diucrfasque in Ijsedesdiui-

rtr&ftur ditur.operfpretium eft primum cius differentias infpiccre:poftea de

Prima fpe jjla Figura,quaein hac proponitur definitione diUcrere, Eftiuq? Fi^““ ^ra quardara,qua: per mutationem conftituitur,& a pasGone fit,du

illa.qua: Figuram redpiunt vexantur,vel diuiduntur, vel auferuntur,

vel additiones fufcipiunt,vcl alteratur, vel alias varias affetfliones pa^Scciida . tiuntur . Eft etiam Figura.quf ab Arte vtpote Fi<ftoria,vel Statuaria

fit,iuxta praeexiftentem in Arte ipfa Rationem : Ane quide fpcciera

producente. Materia vero formam, &: pulchritudinem , 8i venufta-tem illinc recipiente. Sunt autc his adhuc nobiliores, prfclariorcsqueFigurp,Naturf opifida.alic quidc in qs,quf fub Luna funt Elemetis,Rationu in ipfis exiftentium coprchcndcndaru vim habctcsialif ve-ro in calis,qux ipfor u potcntias,&T motus diftingunt.per fe fc nant:^

Si adinuice cflcftia corpora plurima, admirabileque exhibent Figu-ratu varietatc:&: alias alio in tepore formas oftcdunt,intelligctiu for-

matu imagine afferentes: &: fuis codnnis rcuolurionibus incorporeas,Tmaterialcsque Figuratu deferibunt potcntias.Suntaute rurfus pra:-

ter hasquoque purisfirax,atque perfedisfimae pulchritudines , Ani-

Tertii.

Quirta.

marum

SECVNDVS,marum Figurae,quxcum vita quidem plenx, per fcfequc mobiles

Cnt, iis,qux ab alio mouentur praeexiflum : cum vero immateriali-

tcr,& fine vlla dimenfione rubnilant,qs,quf dimcn(ioncm,& mate-

riam habent praecellunt . de quibus& Timaeus nos docuit,qui opifi-

cam,cncntialemque Animarum explicauit Figuram. Qjiineda Ani-

marum quoque Figuris Mentium Figurae longe diuiniores funt,quae

vndique quidem panibilibus edendis praellant ; vnditp vero impar-

fibili.Mentisque luce refplendent ; vniuerforum autem feTaces,eflTe-

^ces,ac pcrfctflrices funt :& omnibus ex aequo adfunt , in ipfisquc

furmitermanent: &Animamm quidem Figuris vnionem afferunt,

fenfilium vero Figurarum Tmutatione ad proprium Terminum re-

uocant . Suntdemum ab his etiam omnibus feparatae, perfectae illae,

& vniformcs,& ignotx.Sc quf exprimi non poHuntDeorum Figu-

rx,qux Figuris quide Mentium inddent, omnes verd Figuras iun-

dim terminant, cundla autem vnids fuis Terminis comprehendunt.

Quarum proprietates Theurgia quoqj exprimcns,Deorum Simula-

(hra altis alia circuambit Figuris .& alia quidem charatflcribus inex-

plicabiliter cffingit,huiufccmodi nanque charatSeres ignotas Deorii

patefaciunt vires : alia vero formis , atque imaginibus imitatur : alia

quidem ere^a, alia vero Icdentia faciens : & alia quide cordi dmilia,

?ilia autem fphxrica,alia vero alijs expreda Figuris:iV alia quide fim-

plicia,alia vero ex pluribus copofita formis ;& alia quide (acra,atquc

venerabilia,alia autem domeftica,& Deorum propriam manfoetu-

dinem exhibentia . alia verdtorua conffruens, aliasquedemum alqs

attribuens Notas.iuxta pertinentem adDeos cognatione.Cum ita^

Figura ab ipfis Deis fumat exordiura,vfquc ad inferiora peruenit , in

his quoque i primis apparens caulis . oportet (iquidem ante irapeffe-

fta.perfetfla fupponere :& ante ea,qux in alqs exiffunt,ea, qux in fe

fc lita funt : & ante ea.qux fua priuatione funt plcna,ea,qux propria

naturamfynceramcuftochunt.Figurx igitur, qux materiales funt,

materiali inuenulfate par(icipant,ncc habent conuenientem fibi pu-

ritatem . Coelcftes verd,partibiles funt, in altjsquc fubfiflunt . Ani-

marum aute, diuilionc,& varietate , omnisquc generis inuolutione

prxditx fiant . Mentium verd, vni cum vnionc progreflum in mul-

titudinem habent . Ipfx autem Deorum liberg,& vniformcs,& fira-

•plicc8,&: genitrices Figurx,antc omnia fubfilhint, omne in fc fc per-

feftionem habentes,& i fe fe cuntfHsabfolunonera formarum porri-

gentes . Non ergo multi d nobis aufcultandi , tolerartdiquc funt, qui

^cunt quafdam addiuones,& ablauones,d^ alterationca, fcnlilcs Fi-

; ; . - guras

1

Timxus.

Quinti.

Sem,8;vltinii Fi

gure fjwi

oiirni pfe

Qisfiiivi.

Theurgia

DigretCo

Figniiril

oium COO

fidcricio.

Detnocri-

ti opinio,

&ciui co

8o L I B E- R

de^t Ari! guras,producere ( motus (Tquidemcum imperfe(fH fint,princpalcm

vtique,primariamquc habere non poflentcffcftuum caufam : neque

fili. & i li. ex motibus contranjs eaede faepe fierent Figurp . ex additione nanqt,

tione”per ^ dctra<ftione,eadcm quandoque fiet Forma ) verum hfc aliis in gc-

fomnu. nerationc feruire cenfcljimus,pcrfctfboncmque ipfis ab aliis primi-

|umitiim gcnqs caufis asfignari dicemus. Neque igitur ille quidem, qux mate-lecuduir fia; expertes funt Figurae fubfiftcre non pofiimt

,illae vero tantum.

Opinio quxinmatenafunt.lubriltunt.vt quidam alicubi dicunt. At neque

Prima opi ^lii aiunt ) funt quide extra materiam, fubfiftum vero fecundum

mo.quie excogitatione duntaxat, abftraftioncm . vbi .n. certitudo,& pul-

ri"'«:crus chritudo,8ir ordo Figurarum in ps,qucpcrabftra(ffioncm fubfifhint,

Secw"^incolumis fcruaripoteftc’ eiufmodi.n.cumfint.cuiiifmodi fenfiles,

piiuo.qeft quamlongi^ab inconuincibili,puraque deficiunt certitudine. Cum

cA autem fufeipiant certinidinem,&' ordinem,& pcrfc<ftioncm,vnden5

lutario, vi hxc accipieiit C aut . n. i Senfilibus (verum in illis non erant ) aut ab

Intellecfblibus ( vcriim perfedlius erunt in illis ) na dicere ab eo,quod

noneft, omnium eft abfurdisfimum . non .n. imperfeflas quidem

19. Natura produxit Figuras,^crfe<flas vero nullo modo fubfiftcntcs re-

^"tnentVuecfas cft Animam nofttam certiorcs,& perfct^tiorcs, ma-

secudii u gisqiie ordinatas producere Figuras,quam Mens, ipfiqfie Dq . Suni

f^op^iuo ergo ante fenfiles Figuras,per fc fc mobiles,&T intclligentes,& Diui-

pinio. Figurarum Rationes . &T nos excitamurquidem a fenfilibus,pro-

ferimus verd internas Rationes, qiix aliarum Imagines funt .& his

fenfiles quidem Figuras per cxempla,Intelligentes verd,atque Diui-

nas, per Imagines cognofeimus . emergentes .n. fe feque propagan-

tes quae in nobis funt Rationes, Deorum formas oftendunt ,vnifor-

mesque vniuerforum Terminos, per quos inexplicabiliter in fefe

Quali» in cuntflaconuertunt, in fc fcqfic continent . In Deis igiturcum egregiaDcuFigu

yniuerlarum Figurarum cognitio cft, tum gignendi , & cuntfla infe-

“ riora conftituendi vis . In Naturis autem, Figurx efficientem quidemNatun».

qygj apparent potcnriam habent : cognitionis vcrd,intelligc-

Quilii intisqfic perceptionis cxpertCs funt.In Animis vero particularibus, im-

Animi». matctialisquidcm intcllc(ffiocft,&r per fefe agens cognitio; fecunda

autem,cfficaxqfic caufa,non cft . Quemadmodum igitur Natura ef-

Nuu^Jt^d ficiendo Senfilibus praceft Figuris,eodcmmodo Anima iuxta cogni-

Aiimco- tricem fui partem agcndo,promit in Phantafia tanquam in fpeculoparatio

. Rationes .Illa aute in fuis fpctfhis eas recipies, habensque

imagines earu, qux inms exiftunt Rationum,per hafcc quippe ima-

gines prfbet, Animx intus conuerfioncm,ad fc feque ab ipfis (petftric

atftione

mm m

SECVNDVS. 8i

a<ftionem . Exempli gratia, (iquis in fpeculo fc fc afpiciens,& Natu^

rx potentiam.fuaraquc pulchritudinem admiratus, fc fc videre vo-

luerit, huiufcemodiqiie potendam acceperit , ita vi denique afpiciens

Gmul, obic(!lumquc cuadat . Anima nanque hocpadoextrafein

phanufia a(picicns,& adumbratas intuens Figuras, ipfarumque pul'

chritudineadmirata,& ordinem, fuas admiratione profequitur Ra'dones, a quibus hx quoque fcaturiunt,mirificequc dcletflata, harumquidem pulchritudinem lanquam circa Specflra verfantem dimittit.

Cuam vero quxrit , introrfusqiie tranlire deOderat, & Circulum ibi,

atep Triangulum,omniaquc flmul,& impartibiliter ccrnere,fc feque

obiceftis inferere, 8c multitudinem in vnnm contrahere , ac denique

occultas,& infandas Deorunt Figuras,qux in facrarqs , adytisquc

funt,intueri . necnon incultum Deorum decorem patefacere,& Cir^

culum vtdere quolibet Centro impartibiliorem, 8c Triangulum

nullo Imeruallo dillans , ac deniqnc exterorum ,qux fub cognitio*

aemcadum quoduis in viiioncmafcendens . Figura igitur per fc

mobilis quidem, illam, qux ab alio mouetur : impardbilis autem,

per fc mobilem:qux yerdV ni eadem eft, impanibilem prxcedit

.

omnia enimcum ad Vnitaces redierint terminantur . elHi quidemcuncflis illinc ad Effe fuum aditus . Verum enimucro hxc quidemiuxta Pythe^oricum Placitum in longum produximus . Cum au*

tem Geometra eam, qux in PhainafiacR contempletur Figuram,

faan^qhe primum definiat ( fi quidem (cnfilibus etiam definitio hxcfecundo loco congniit^ Figuram cfUait, qux ab aliquo, vel ali-

quibusTerminis comprehenditur. Ciim enim ipfam vni cum ma-

teria iam accepiflct , & tanquam Intcmallis diflantcm excogi-

tet, non immerito finium, terminaumque vocitat, omne enim,

quod materiam habet vel inteliccniem, vel fcnfilem, aliunde Ter-

minum fortitur . Nec ipfum Terminus efl, fed Terminatum . ne-

que furjpfius Terminus , fed aliud quidem in ipfo Terminans, aliud

vero Terminatum, neque in ipfo ell Termino, fed ab ipfo conti-

netur. Qiiantitati enim adne(ftitur,&fimulcum illa fubfillit, ip-

Cqfie iidHKimr Qpantitas : Quantitatis vero illius 'Ratio , &afpe-

Sus, nil aliud eft,quam F^ura ,& Forma . ipfam fiquidc terminat.

CharacT:crcmquc ipfi ulcm,& Terminum vel fimplicem , vel com-pofiiu adqcit.cum .n. hpcquoc^ Finis,& Infiniti duplicc progrefTum

in proprqs Formis oftendat (queadmodum etia Anguli Ratio) vnuquideTcrminum.FormSque fimplice infert ns,qu^ab ipfa compre-

henduntur, iuxu Finem :plurcs vero, iuxu Infiniutcm . Qpo-L circa

1 :

Pulchcrri

mumcxc'pium.

Applicat

dihis eae

pium.

EpiJoguf.

Vnu hic

neo.vtetfuperius l

cbm.6 »

Finis Di>

grcifioms

Geome-tra ea c6>ccplat Fi>

|pira,<)uc

in rhaora

Ponderat

Euclidis

Defoaem

Quo ficu

ra,rjnem,

et InAniru

in .rpriis

Focmiso*ileodae

’edi LiOf

Quai>$nr

Tigura, 9al> tucii

.

(ktiiikur.

Ccfo Po-iUonii.

CoparatPofiJonii

r>cf6ncm

Dcfiniti< -

ni Eaclid.

Pupicx

C‘rculic6

iiJcrario

.

vUc c( Hj

p rius in

c6m.i.2Vjnco. 1

1

.

DuSocon,ta P.ttclt-

dicdcHni-

^ ^ umcntun.

Picresno,

Caufc Fi-

^orapcih

cient.

Fisure Rarionistn-

plcx ea

pnmaj.

SccuJaca

^ cit pruTofalicas.

Eoclidet?

lib.ic Di-

.

uT/iooSiai

'

8 t I B E Rcirca omne Figuratum aut vnum fibi vcndicauit T«ltiinum, au|

plur..'s . Euclides igitur id,quod Figuratum cft , 8( materiale,

Quantitatiqiie annexum Figuram appellans , non iniuri;! ab ali"

quo ,vel aliquibus Terminis ipfam contineri infuper dixit . Ac

Polidonius Terminum concludentem delinit Figuram , Ratio-

nem Figurae a Quantitate feparans : ipfamque terminandi,& de-

Hniemdi, Sc comprehendendi caufam elTe cenfens

.quod enim clau-^

dit,diuerfum e(l ab eo, quod clauditur . Terminusque, a Tcr>

minato . videtur quodammodo hjc quidem ad extrinfecus cir-

cumpofitum Terminum refpiccrc, ille vero ad totum rubictftum"

l^roinde alterquidem dicet Circulum iuxta totum Planum, exte-

rioremque ambitum Figuram efle : alter vero iuxta Gircunlercn"'

tiam tantum ollendit . & alter quidem definit quod fignratum ell^

quodqhc vna cum fubiccflo inrpicitur : alter rerd Circuli Ratio-'

nem definire defiderat, iplam nempe, quae Qyabtitatem terminat,*

ac concludit. Si quis autem Dialctfiiais , captiofusque vir Euclidif^

obtrectaret definitionem,quippe qUar genus, d (onnisdefiniat (quae'

enim ab vno Termino, &quxd' pluribus contincturyFigurar funti

fpecics)aduerfuBipfum vtique dicendum quod genera qtlo^>

que, formarum potentias in fefe prxoccupahint . cOmqlie prifest-

autorttatisviriabiis potcntqs, quxin generibus fimi, genera ipfa-

manifcftare volunt ,videntur quidem a (bnius- pr6pb0tirin aggte^

ditrevera autem ipfa d fcipfis edocent, &apotcnttiSi qUJc iit Ipfi^

exiftunt . Figurx igitur Ratio cum vba fit, plurium Ft^rarun^cohiprcbmditdiftcrchriaS'krxta fmcm.qrt in atque htfini-»

tatem quibant definit Rationem inanis vuquc ilon erit-, dumipotentiarum in ipfa cxiftetltium'difflTentia8 definitione' ‘tomple-»

ditur . VerWmVndrnaitt egreditur Figurae R itioj a quibusfie cau-*

fis perficitur^ Dico fane,'quod priniuBV-qCifdeni cx FinCoriturjt

Sf Infinito , ex hisqiic Proinido ipfa quoque alias qui»dem ex Fine, alias autem ex Infinito, alias verd ex Miftoprodu-'

cit fpccic8‘r Ciix!ularibuH‘qtiidsrti Finis- afliircndo Fortuaim t Rie-!

dilineis v-erd , tnfinlti : illis autem ,'qiue> ex his corf/bMtlvMif^ul

Secundo autem a Totalitatc ea perfidtwfV iu disfirtiilfei* ditv-

rimitur partes . V iide portt^ifpTa bri^^tiiilibct Forttiamm To-*

tum infert

&

vnaqH3fqufc’^Fi^rarUm'in difierlas ipfanjm' dtnC’'^

ciittir f{>etiek'.'‘'Gii‘cifius natique, & Rcdilineoram qiiodlibet,iii'

ratione disfimiies diuidi pqteft'Figuras . ,Qyod & iplc bucIideSM

Dkiiiionibu«''^eraaidat ^ aFamiquideFigiirtitujn-fimilcs datas Figu^J ns.

S E C V N D V S. 8;

ras, aliam vcr6 in disQmilcsdiuidens. Tertio ab accumulata corro- TeniacS,

boratur raultitudinCj&f propter hoc cuiufcunc]^ generis porrigit For- q»* tftac

mas, multiformesque Figurarum producit Rationes. Et fefe pro- wXtu--

pagans,non cedat vticp,donec ad vltimumquoddampcrucniat,om''

nemque Formarum varietatem aperiat.Et queadmodum illic V nu,

in eo,quod cft ; Sc id, quod cft, in Vno fimul ede oftenditur, ita fand

ipfa etia in reftilincis Figuris Circulares,?^ cotri redilineas in Circu', .>

laribuscomprehenfas oftendit . Totamq6c fui naturam in vnaquacp ^

prtjpriemanifcftatj&Tomniahaccinomnibus.quandoquidemTo'

tum etiam fimul in omnibus fit,& in vnoquocp feorfura. Hanc itaqj

vim ab illo habet ordine. QyartoiNumcrotumprimorccipitpro' Qiartici

grcsfionisformarummenfuras. VndeetiamomnesiuxtaNumerosconftituit, alias quidem iuxtafimpliciores, alias vero iuxta compo^ rius.

fitiores . Triangula fiquidem ,& Quadrangula ,& Quinquangula,

dmniaqfie Multiangula vni cum Numerorum in infinitii mutationi^

busprogrediuntur. VerOm quadecaufa hoc fiatV ulgo ^id^igno-

tiim eft. Scientibus autem vbi quidem Numerus fit,vb' vero Figura, Nunicnn

manifeda eft reddendae caufx ratio . Quintd ab aliaTotafitare fccu-' mdica^H

da,qox etiam in confimilia diuidimr, ea Formarum diiiifione reple-

tltr, qux ipfasin alias fimiles diuidi.t Formas.perquam 6c Triangu- rna.

laris Ratio inTrtangula,& Quadrangularis in Quadrangula dmidi-

tur ?& id,quod dixi in Imaginibus quocprios exercentes efiicimus,fi- daTooii-

^deiitkJrig^ prius in principiis prxextitii; Veruntamen ad hafcc

asfignatibries refpicicndoiplnrirHas de Figtiriymddcre jjodumuscau-

fas,ipfas ad fua prima reducentes principia ; Etvnaquidtfm cdmmu-*

pior Figura, huiufcemodi fortita eft ordinem , d totque caufis perfe-

dlionem fufdpit.Hinc verd ad Deorum progreditur genera,& iuxta

aKas formas aliis attribuitur,aliterqhe in alios agit. Alqs quidem Quorigu

fimpliciores praebens Figuras, alps verd ex his compofitiores . &sdps quidem primarias asfignans,& eas

,qux in Superfidebus pro-

ducuntur : alps vero ( folidorum Corporum tumorem ingrediend-

bus)eas, quae in Solidis funt fibi conuenientes Figuras . omnibus,

quidem in omnibus exiftentibus , Deorum fiquidem Formae accu-

mulatae funr,vniuerfarumquc plcnx potendarum:proprietate verd

aliud iuxta aliam producente . nam alius quidem Circularitcr habet

omnia,alius autqnTrianguIariter, alius vetd Quadr^laritcr.eo' ’

dcmqhc modo in Solidis •

ir,'

iv'

'Oin/ Cir-

' ,CK

84 I B E R

Dcfo if.

Delo tg.

rgm-t

CircuIiisel^FicuriPlinaabviu Uneicoprehcitfa, «jurCifOm*

.

ferentia jppclUrurud quam abvno Si^o eorum,qutr intra Fi-

CuraCintocareSe LinearioaJetitCT.mjitmiicemfquales funt.

CentrumverAipriuiCirculi.il Signum airpellatur.

Com. ij.

Circiilui

e oium Fi

purani p-

Aarisiima.

Socrates!

Tinreo.

TimTji.

Epilogus.

Di^resCo

C''rculus

nfeflione

t.-yoiuus

rtebet.

Ocia.

P Riraa, (implicisQma.atque pcrfccftisfiraa Figuram Circylus efLnaSolidis quidem omnibus prxflat, c6 quod in flmpliciori Ipco exiftit i

r)s verd,quac in Planis rubiifl;unt,(imilitudine,acque identitate cxc^,

Iit. Finique,S<r vnitati,ac denique meliori coordinationi proportione

refpondet . Qyaproptermundanamm,& eamm, qu^ fupra Mun^

dumfunt Figuramm diuiliones &ciens, fmipcr diuiniorisellc naturg

Circulum reperies . fi .n. in ccelum,& Generatione vniuprfum diui-'

tlas, cocio quidem formam pircularc. Generationi vero reVlam asfi-'.

gnabis.quicquid nanque in generabilibus Circulare cft, jn mutatio^

tubus nempe^atepin figuris, defuper i calo dcucnit.pereius ,n. dc-ej

cunuolutionem Generatio ad fc fe rcuoluicur :inlfabilemque muu^,tionem,adordinatam redigit continuationem.Qyod fi in Animam„& Mente ea,qux corpor? carent diftribuas , Mentis quidcelTc dptc>,

lis Circulu,Anim® yerd Reftum^ Qyocirca Anima quoque iuxuconuerfione ad.Mcntcm Circulariicrmoucri dicitur, &eandcm ha-^

bet ratione Anima ad Mcntcm,quam Gcnerauoadcqdu,pircula^j

ter .n. mouetur (inquitSocrates) quoniam Mepte imiutur..' AnijPg,autc generatio,&: progre^,fecundumre(fla fit LineS . alias .n. alqs.

fe appHcarcFormis,Animac.proprium eft.Si vero in corpus,& Ani',mara diuidere velis, omne quidc corporeum Rofti portione; onmcvero Animaie,Circuli^cntitate,Gmilitudincqucpariidparc conilif»

tues . nam illud quide copofitum eft, potetijsque varium, queadrao'.dum rccftilinc® Figur® : hoc ver6,fimplex,& intclligcs

:per fc ma>i

bilc,& per fe agens ; in fe ipfum conuerfum,in fe fcqiie agens. Vndc.porro Tim®us cjuocp ciim vniucrfi Elementa redilineisconftituiflct

Figuris.motum ipfis Circulare, &T informatione ab ea, qu® Mundo'

infidci Anima pr®buit .Vemntame quod Circulus quidc vbit^ rC',

fpcifhi aliarum Figuratu primas tenet, ex iam diiflis manifeftum cft^Operfpretium cft aute totam quocp ipfius ferie infpicerc,defupcrin-

choante , Scv%ad inferiora definente, omniaque perfidauc, iuxueorum aptitudinc,qu® ipfius fufeipiunt confordum. Dijs itatp con>.uerfioncadfuascaufas,at<^vnioncpr*bct, &hoc, quddinfeipfis

maneant, a bcatitudincqhe fua non difcedant, fummas quidc ipforu

vmo-

S E C V N D V S, 8/

vnioncs tanquam Centra obRrmans inferioribus defiderabilia, mul'

titudines vero earum,qux in ipfisfunt potentiarum circa illa Aabili'

ter collocansjillorumquc fimplicitatcconrincns. Metium autc cflen'

tqs hoc fuggcrit,qudd fcilicet in fe fc perpetuo agant,& a fc fe cogni-

tione repleantur, &f in fc fe inteiledilia contracfta teneant, in fe feque

imellc(flioocaperficiant.omnisfiquidcMcnsinttllc<ffilcfibipropo-

nit,hocque tanquam Centru cft Menti : Mens autcipfa, circa iplum

fc implicat,& agit, 8C vniiur intra fc fe vniueriis vnditp Metis aftio- ’•

ilibus» Animisvero ilJuftrat;vim perfe vinendi,pcffc-mduendi.ad Animu.

Mente conaen^i,circaMente circanfHiedijredeundiqfitiuxta pro-

priasconuoliitiones, .Mentis impartibilitate cuolucntes» rurfus ml

incalligjetcsqi^cordinacioncs tanquam Centra Animis pncflabut, ^

Animae.vcrdcircaipfaa-OrcuUritcragtt.omnisnanfp Animaiuxra^

quidc fuipartem intcUigcntc,& ipfom Vnum fuprcmufn,Ccntrum

^Iccpit! iuxtaverd mtdtitudine, Circularitervoluitor, Mentefuant

drcumplc«5tidefi<iet3n8!»Codefljbus autc corporibus,' atflmilatione CfitfHt»

i|d Mefue/imiIitudiKcm,fquationc,vniucTforum in Extremiscom-

prchcnfioncm,rcuoluuoncs,quaB in determinatis fiunt rnfftiris.ftmj

pitcmamfubGftenuam,hocqucdcmura,qudd principio, &firic'cab'

*cant,ain^la id genus. Ita vero, quxfubconcauo orbis Lunoe fiiiii' Qiutu^r

ElemctiSjptiiodum.quaein mutaiionibusfit : ad certomaffimflaridb

ijc :id,quod in gcnfe^ilibuscft ingenitura; id, quod manet, in ijsf,'

'

qua;moiicnt«r >6c id,quodmpartibilibusTcmiinatuma?xiAit.orri*'

nia .n. feroperfunt propter generationis Circulu, 6i aequabilitas fer-

uaiur in omnibus propter corruptionis reciprocatione-, nam fi gene-

ratio non regrederetur, breui quidc teporis curriculo, ipforum ordo,

totaque cuancfccret exornatio. Rurfusautem Animalibus,atqt P15-.

«js,cam,qua:mgenerationibusreperiturfimilitudinerri affot.cxfe-

minibus Gquidem hacc,cx hisque femina fiunt . 6c generatio ex fjs al-

ternarim perfidtur,atqtcircuuolutio, ab iroperfedo quidemad

(e«flura,& contri ; vt corruptio quocpvna cu generatione fit . lis ve- luturam

r6,qux praeter naturam fiunt,ordincm imponit,& ipforum tndetet-

minatS varietate adTerminum redigit, &ipfaquocpdecetcrcxof-’’

nat poftmmis fuarum poteriarum veftigns .Quapropter iuxta etiam

'

determinatos circuuoluuntur Numeros,& non modd fcrtilitates.vc- '

nim etiam ftcrilitates ilixta Circulorum alternas eouolutionn fubfi-

Aunt( vtoftendit Mufarumfermo )AT omniamala licet cx Deis 'in

Mortalium locum abicAa fint, circunuoluuntur tamen haecqudep «J'

(inquit Socrates) 5£. his cria adefl Circularisreuo}urio,Circu1arisq(ic'

ordo.

8« L ' I B E Rordo : vt nullum immodcratum,maIumquc fit,nec defeitum i Drjs

}

fcdpcrfcdrix vniucrlbrum prouidcnoa, nialorum ctia inBniiam va-

Epilogus.rictaicm ad tcrminum.conucnicntcmqucipfis redigat ordini , Cun^(fta igitur nobi^exomauit Circulus,ad vltinias vfqu^ participationes,

& nihil reliquit fu» panicipationis cxpcrs,cum decorem illis,& fimi-

circuii litudinem,3f formationem,& pcrfetflionem fuppediteuQuocirca iil

Numtri!"tluotp media continet Centra totius Numerorum progrel^

corepU.o Gonis,qo» ab V ititate vfcp ad Denarium circunuoluitur .Quinarius3tcp Scnarius cxomnibus Circularem oftendunt potentiam^

quippe quiitiiii,qu» fiunt cx fe fc progresfionibus, in fcfe:i«rum re-

cTuUri.multiplicantur

,in fc fe definunt . Progresfionii

cotcpijiio igity.r imago eft multiplicatio, fiquidemm multitudinem ext^ditur)

Rcgresfioni6yeco,cxitu$ineadcmlpcdc*HorumautevtruniCpCir-

Otjarispc»bccpotentiavexcitasquidea.mancntevclutiX^ntrb oau-"

laK,mul(itndinisprodudtriccs,cduenratrcrdi|^ff productiones muli^^^dinem>adcau(as. Duoitaq; Numcrimediiiminteromnes poslt-'

mcaua^ 'depiJocHmi^^aili projanctatera habentt^t Quorum vnus^idem-«ro«nu ompcrttaTcvlptuni.imparisqiui Narur»-com«nibilc genus pr»ce-

djtValt«T^V“6omnefi;mincum,af par, fojcundarqucferies'ad prtHpnncipia.iuxta Circularem potentiam. Venim hec qui-*

Matlicnia dem hucuftp terminata Gnt . Mathemattcamtuitc Circuli deGnitio-^accuratam vndcquacp exiftentem contemplabimur;. Figuram

contiph- ita*.p ipfum definiuit, quoniam fanc finitus eft , & ab vno Termino*vndequacp comprehenditur,& non eft infinit» natur», fed Tcrmi-

dilr“'“o^^oufociatus . Itemqiic Planu

,quia ciim Figur» vel in Supcrfici(^-

Sccuda co bi» , vel ii> folidis fpc(ftetur Corporibus, Circulus planaru Figuraru

«»''“>• prima eft, Gmplicitatc quidc folidis prpftans

, Vnitatis vero ad pla-=

Tcnia.^bvnaautcLincacoprehcnfum,cdqudd Vni

eft Grailis,& per Vnum dcGiutur,Terminorumque cxtrinfecus cir-

:

Quart^. cupoGtorum varietate non redpit. Ad hanc vero Lineam »qualcshabentem omnes ab vnoSigno eorum,qu» intraipfum funt exeun-tes quomam canira etiam Figurarum

, qu» ab vna Linea termi-.r^^^ur,ah»quidem cuntflas, qu» i ^cdio exeunt annuales habent J

ah^ V’crobaudcun(rtas. BllipGsnancpabvna comprehenditur Li-tvea,nop tamen pmnes a Centro exeuntes

, ad iplamqiic inddentes,»quali.sfuar : verum du» tantum . Necnon Planum, quod a CiflbL.^intercluditurLineak vnamhabct continentem

, non eft tamen inipfp CcnftonM^lup pmnes fquales Gnt. Qyoniam autc Centrum in

Vnumeft Signum ( plura .n. vnius haudfunt Cen-•0-. 'J tra)

'K

m

S E C V N D V S., 87

tra ) idcircoillud adiccit, ab vno Signo ad Circuli Tcritilnum-' inci- •

,

’

dentes, jcqualcsellc Lineas, infinita .n.funt intra ipfuiASighaJiO'' .. i o

nim autem omnium v'numtanium Centri vim habet. Etquravnu

hoc Signum, i quo omnes, qu» ad Circuli coincidunt Circnrifcrcn>

tiam,3cquales funt, vel intra Circulum eft, vel extra ( quilibet nancp

Circulus habet Polum,a quo omnes, que ducuntur ad CiusGirciinfc-

rentiam, aequales funt ) propterea illud addidit t eorum quf intra F?--

guram funt Signorum] nccp hoc abre fccit,Centrum folum accipies,

non autem Polum . fiquidc vultcun<fla in vno infpiccrc Plano, Po-

lus verdfubiedo Plano fublimior eft. Neceflarid igitur in fincquocp Detsce.

adiecit,qu6d hoc Signum,quod vtique iacet quidem intVa Circulum, ’ ’

omnes vcrdabipfo ad Circunterentiaincidentes,acquale8fuitt,Ccn- . .

mim eft Circuli . nara duo tantiim huiufecmodi Signa funt ,Polus

nempe,atcp Centrum . verilm illequidem extra Planum eft,hoc vc-

i

rdintra . cxepli gratia ,Si Gnomonem in Cctro Circuli ftanthn in-

tcUexeris,fuperioripfius extremitas Polus eft. omncs.n.quf ab ipfo

ad Circuli ducuntur Circunferentiam , aequales adinuicem demon-

ftrantur . fimilitcrqticin Cono,totiusConivcnex, Polus eft CirculirpUegu*’

ad‘Balimcxiftentis. Qyid igitur Circulus fit, quid Centrum, &r ea,

qo» ih Circulo ponitur Circunferetia ,quidqfic tota Circulatis Figu- •

r3,hucuftp deteterminatum eft . Rurfus ergo ex his ad Exejilarium DiprtifioJ

recai«i^as!«HKcnlplationemsin ^lisque Centrum iuxta

impartibilem,& firmam praeftantiam vbiq? intclligamus Centro.-i centr^

autmidilhlndasinmaprogfClTts^q^ Vti<>itidlnfi«uart>po-

tcmiamuhiwdincm . Cir^liiveroCitTunfeWrtHahi ,prc^cf-:-

forumn gJ-tsfiOrtcm *d Cciitrom,pcrquam poecntiarUm'mulci((idi-'’

rfWjiivfoanvyoluunturvnioriem . 5^ omne^ad illam pfOperarUr ,:&r

ciwkwmao^recuphint. E«qoernadinoduttiin’Circulo<urKfta'funt Qf^h^-

ftmul; Cenarum iintemaU», externaque CfrrtmftTtntia t ita fane in .

ilfeqwotp haud aiirfquidem rempore pnvexifttint, aliavi^rd tconfe'—•

q<wmur,v«fum vniquidem omnia funt,rpcrmahfiojptiog«flus;,‘fetp

reowlTus. Diffewnt autem haec ab iHis,edqudd illa quidt«i> hv^uifi-f- qgo dif.

b^«er,&: finen^lla dimcnfioiiefubfiftunt :hW: ycrd cUrtVdwqenfiot •1

ne; &rdiuifib»l‘tcr,alibi quidem Ccntrum.^rdjiaUterH qod*dCdn(rol

Linex alibi vero cxtrinfeca Circulum terminans Circunfcrentia . ae, ^

illiccui^ inVno funt. C^jdd fi «lud,qubd;vi« fiifgitllKJeHtH f^^

ftipias,in hoc cUnftarepedtsyQudd fi diftant^hh tibe' progVfeflum,

iniioc quocp habebisomnia; Qjjdd fi rc^ilunlifirhrfittr l Cdttf ita-*

quecun(fta|di(tui<Rm jjarfpcitejjSjS^ d<i^urti;i'diijrchftdribp

ati nien-

i

' '

j’*Cp*

l

88 I B RCirculus,

& vera

Circularis

I4c Tupe-

ritisin pri

cipio hili'

Cceri Marhematici

adctfruminteliigi -

bile pul -

cbra comparatio

DefoCc-criabOraculis rra(ii

u.

l^nma ca,

p qua Fi-

gura Cir-

cularis appamU.

Orphei

cariMo

Triadicus

Dcui.

niemc abftuIeris.poITtioncquc ipfam.circa qua fit partitio i cofpc(fhi

rcmoueris, cu^qui vere eft Circulus inuenies, ad fefe progrcdicntc,^^

fefe tcrminaniem,&: in fefe agentem, &T vnum &T multa exiftentem,

5c manentem, Sc progredieme, atep regredientem : nec non fui ma-r

xime impartibilc,maximc'cp fingulare firmiter collocantem:prorfus

autem ab hoc pijogrcdicntem iuxta rc<fiitudinem,iuxtaque eam,qu3c

in ipfo eft infinitatem : ad vnum vero fefe exfefc conuolucntem, perfimilitudinemquc,& identitatem ad impartibilem fui naturf , occul-

tatricemque in ipfo vnius vim fc fc excitantem. Quod porro vnum-

cum in gremio contineat,ac circumambiat, ipfum iuxta etiam fui ip-;

fius multitudinem aemulatur, quod nancp conuertitur, illud imita-r^

tur,quod manet. &: Circulare , eft tanqua Centrum,quod Intcruallo

difict,ad fefeque annuit,Centrum fufeipere properans,^ vnum cumillo fieri, vndeque progrefius principium habuit , ibi terminare rc-r.

grcflum.tale enim vbique Centrum eft rei amabilis loco,attp defide-t

rabilis, omnibus circa ipfum fubfifteiuibus prgpofitum,omniumqficprogrelTuum initium

, Si autor. Quam quiderem Mathematicum

quocp Centrum exprimit, omnes a fefe ad Circunferentiam inciden-

:

tes terminanck) Lineas , xqualitatemque ipfis prxbendo tanquampropriae vnionis imaginem. Ita autem Oracula quoque Centrum,definiunr. ,

Centrum cft,a quo omnes vfip ad Circunfcrcnoam {quales liuu: n£t ad quod.

.

Verum quod quidem fit diftantix Linearum mitium per parti

culam I a quo ] indicant : quod ver6 Circunferentiae medium,per particulam [ad quodij . hxc fiquidem ex omni fui partecumCentro coniungitiir . Si autem opus eft caufam quoque primamdicere, perquam Figura Circularis apparuit, perfctftioncmque fufec^

pit,fuprcmum vticp intelletfblium dicerem ordinem . nam Centrum:quidem F.iniscaufx asfimilamr: Linc{ autem ab hoc exeuntes, fiCt

multitudine , Si magnitudine quantum ad fefe infinitx , Infinitatem,

affingunt: Linea uero^qu^ infinitam iftarttm terminat exicnfioncm,

ipfamqiie rurfus cii Centrq cpniungit, ornatui illi occulto cx hiscoati

ftanti fimilis eft . Qycm Orpheus quOque Circulariter ferri 2 hist

verbis ait.

Infinitum autem fecundum Circulum infarigabiliterfo-ebatur.

Cum enim circa^udledile intellediliter moucatur,illudq6e tanqiii

Centrum fux habeat lationis , iurc ipfo Circulariter agere dicitur.’

Qaoeirca hisquoque Triadicus egreditur Deus qui progresfiop

-iiy.n nis

Digi

SECVNDVS. 8p

nis etiam reifHlinearum Figurarum prima in fc fc continuit caufam.

hinc iiquidem & nomen ipG, Sapientes, Theologicorumquc maxi-

me arcani impofuere . ex hisque manifeflum efl,quod prima quidc

Figurarum Circulus cft : Prima vero rcc^tilinearum,Triangulum.

Apparent ergo Figuraeprimum in ordinatis Deorum exornationi'

bus , fubGfhmt autem iuxta prxcxiflemes latenter in intcliedili

'

bus cauTas

.

Oimcricns autem Circuli, cft re^a quidam I inea per Ccirru(kiAa.quicxvtriqueparrea Circuli Circunfcrenrta ter-

miiur ir.Circulumquc bifariam fc:at

.

QV6d non omnem delinit Dimcticntcm.fcd Circularem tantum'

modo,pcrfpicuc Euclides ipfe oftedit

.quoniam Quadrangulorum

quoque Dimetiens eft.ac denique omnium Parallelogramoruni, eft

etiam Sphfra: in folidis Figuris. Vcriim in his quidem, Diagonius

edam nominatur : in Sphxravcro , Axisquoque dicitur : in Circulis

autem, Dimeriens tantum . Siquidem Elliplis edam,& Cylindri,&

Coni Axem dicere confucuere : Circuli ver6,propric Dimetientem.

Hxc ita<^ genere quidem rctfla Linea eft, multis aute in Circulo rC'

Ais Lineis exiftcntibus.vcluti infinitis etiam Signis,quemadmodum

Vrtum ex Signis Centrum eft,ita fanc Dimeriens quocp hxc tantum

vocatur,qux tranfit per Centrum,ncc intra Circunferentiam definit,

necp huius terminum tranfccndit : fed vtrincp ab ipfa terminatur . Et

bxc quidem ipfius ortum oftendunt . Quod autem in fine adieifhim

eft, quod bifariam quocp Circulum fecat,propriam eius in Circulum

indicat aAionem.prxter omnes alias recTtas Lineas per Centrum du'

Aas ,quxamen ex vtraque parte i Circunferentia non terminatur

.

At bifariam quidem Circulum a Dimcdentc fecari,Thaletem ferunt

primum dcmonftralTe, Caufa autem bipardtx Seifiionis eft.in dedi'

nabilisper Centru rcAx Linex tranfitus . cum .n. per medium du'

catur, femperque eundem motum iuxta omnes eius partes ad alteru'

tram partem inflexibilem feruet,fquum vtrinque ad Circuli Circun'

ferendam abfeindit . Si autem per Mathematicam quocp viam idem

oftendercdcGdcras.intelligc duAam Dimcticnrem , Sc alteram Cir'

euh partem reliqux coaptari . fi .n. aqualisnon cft,vcl intra cadit,vel

;ti M extra

Prima Fi-

gurarucir

culus, &prima ReAtlinearu

Triagulu.

Epilogus.

De/o tj.

Com. 14 «

Quodiferac Dime-tiens

, &r

Diagont*,

&r Axis.

Dimeties

in droilorarum pro

pHcdictt.

Thales.

Demoftrttto.

90 LIBERextra : vtcunquc autem fc habeat, euenietminorem rctflani Lineamcfle aequalem maiori . liquidem omnes 4 Ccjitro ad Circunferctiam,

funt aequaks . Ea igitut,quac ad exteriorem tendit Circunferentiam,ei, qu;c ad iiucriorcm,aequalis erit . at hoc fieri non poteft . cungruutergo,&: proinde aequales funt

.quamobrem Dimeriens quoque Cir-

^^*'“™fi'^n®cxiftentc Dimetiente duo Sc-

obiciHo- micirculi fiunt, infinit^ero Dimetientes per Centrum ducuntur,

?n lib c6-vtique duplicia infinitorum cfle, iuxta numemm . haec cm'm

tra Proc. nonnulli obrjriunt aduerfus Magnitudinum in infinitum fecfooncm.

rjioa*?autem dicimus qu6d fecatur quidem Magnitudo in infinitum,

digrcifio- non autem in infinita . nam hoc quidem atflu facit infinita, illud vero

Gra. inS.potentia tantum .& hoc quidem eflentiam infinito praebet, illud ve-

Sollidoduntaxat . Simul igimrcum vno Dimetiente duo funt Sc'

micirculi, nunquam tamen Dimetientes infinitarum, & fi in infini'

tum fumpt^erint . Proinde nunquam infinitorum duplicia erunt;verum dupliria

,qua: continue fiunt

, finitorum duplicia funt. fcm<^

per liquidem (iimptc Dimetientes, finit^numero funt t quomo-*

donanque non debet omnis Magnitudo finitas habere diuiliones^

cum Numerus ante Magnitudines Iit , Sc omnes ipGirum fetfHo^

ncsdcfiniat,& infiniutem preoccupet, femperque parccs.que oriun^'

tur determinet C

Com.if, Ex definitione quidem Circuli, Centri naturam inuenit, 4 cteteris

omnibus,qug funt in Circulo Signis diferepantem . A Centro vero.

Dimetientem definiuit,eamque ab altis redis, quae intra Circulum

defcribunttir Lineis feparauit . A Dimetiente autem. Semicirculum

quid nam (it edocet :& quod 4 duobusTerminis continetur, hisque

fcmperdifiTcrentibus, Reda fcilicet, atque Circunfatntia : & quodReda illa non qua:libet eft ,

fcd Circuli Dimeriens . liquidem mirnus quot^ Circuli Scgmcntura,& maius 4 Reda, Circunjferentiaque

Pi»uT9 bicontinentur , non tamen hfc Semicirculi funt . eo quod Circuli diui-

formei. fio

,per Ccntrum fadanon eft . Cundx cigo haiuftemodi Figura:,

bifor^

d;

1

mmmmm

SECVNDVS. 9i

biformes funt,quemadmodum Circulus Monadicus erat

, & cx

dislimilibusconftant.quxlibet .n. Figura

,qux i duobus Terminis

comprehenditur, vel i duabus continetur Circunferentr|s,quemad'

modum Lunularis : vel a Re<fla , 8c Circunfercntia, vt iam dicftx

Figurx : vel a duabus miHis Lineis , veluti fi dux Ellipfes fein<

uiceminterfecent( Figuram fiquidem claudent, qux inter ipfas in^

tercipitur ) vel a mifla,& Circunferentia, ficuti quando Circulus fc-

cat Ellipfim : vel a mifla , 8c redla, vtpotc Ellipfis dimidium . Se-

micirculus autem ex disfimilibus eft Lineis , verum fimplicibus,

hisqucperappofitionemfeinuicem tangentibus. Antequam igitur

fermoTriadiw definiat Figuras, iurc optimo poft Circulum,ad Bi-

formem venit Figuram, nam dux quidem reiflx Linex^nunquamfpatium comprehendent. Rcc^a vero, atque Circunferentia, duopofiiint comprehendere fpada . &dux Circunferentix fimiliter, vel

Angulos facientes, vt in Lunulari Figura: vel deangularcm etiam

Figuram perficientes, veluti fi concentricos intelligas Circulos.quod

enim medium inter vtrofque intercipitur fpanum, ^ duabus Cir-

cunfirencrjs comprehenditur : vna quidem interiori, altera vero ex-

teriori , nullusque fit -Angulus . non enim feinuicem interfecant,

quemadmodum in Lunulari,& in vtrinque conuexa Figura. Cx-terum quod idem Semicirculi Centrum fit

,quod etiam Circuli

,

manifclhua eft . Dimetiens enim Centrum in fe fe habens, Se-

micirculum complet , ab hocqfie omnes du(!bc ad Semidrcunfi: -

tendam , funt xquales . hxc nanque pars eft Circuli Circunfe-

rendx. Ad omnes autem Circuli Circunfhrcntix partes j Centroaequales incidunt redx Linex . Vnum , Sc idem igirar eft Semi-circuli, Circulique Centrum . Etclf adnoiandumquod cx omni-bus Figuris hxc foia in fuo Ambitu Centrum habet , cx omni -

bus inquam planis Figuris. Quamobrem colliges quidem, quodCentnim tres habet locos, aut enim intra Figuram, vt in Circu-

lo: aut in Ambitu, vtin Semicirculo : aut extra, vt in quibufdamConicis Lineis . Semicirculus itaque idem

,quod Circulus habet

Centrum. Qyid igitur hoc indicat, quarumue rerum afidt imagi-

nem, nifi omnes Figuras, qux a primis non prorfus di(ceflcrc,fed

ipfis quodammodo parddpant, polle ipfis concentricas effe , eif-

demque caulis parddpareC Duplidterenim Semidrculusedam cumCirculo communicat,mm iuxta Dimedentem, tum iuxu Circunle-

rendam . Proinde Centrum quoque eft ipfis conimunc . Et fbrfan

aaliniilatur vdque Semidrculiu ibeundis poil fimplidsfima prin -

' M X dpia

Monadic*

CirciJ.is.

Fipunr.q

a duobus

Teririms

coprehedt

tur diudio

Cur Eucli

des Senii*

ctrculu mhoc t.ltb.

dc(iuiat,rt

non in

vbi definit

et fcgmefi

ra . ihf .0.

locus eft

proprt us.

F:pura Lunuiaris

Corona

Vtrinque

couexa Fi

gura.

Notadum

Centnimtreshabec

locos.

Digresso

Duplid—tcf Semi-

circul* cu

Circulo

coicat

.

Pulchra fc

nucirculi

cofidera»

.. 1

91 I B Rcipiacoordinationibus,qa^ illis prindprjs p^dpant :& per cogna-;

tioncm,quam habentcum illis^licet impcrtc<^^,& dimidiatim, ad id

tamcn,quod cft,primamquc ipfarum caufam reducuntur

.

TBXTVS

ruiUy^ucarcdiicoprebcnduntur Ltocis

.

* Trihfcr» <jui lcm,qu» i tribus.

Quadrilater» Ter^qus» h quatuor.

Molrilatrfy afit.q a aJ»Ttb»s ggiumor conrchencftVttr I.aferfbus,

Com.itf.

idcifupe

riori c6.

Quomo-do Fini-

ri* mcdi*

fic iter vni

ratem , 8c

Numerii.

Qjo Se-

mcdiusHc

iter Cir-

cuIu,8irFi

guras re-

«ilmcas

.

DupHcid*

ciufatiui

rum rai>-

liim re^hnearuF^i

gurarumEuclides

mentione

fecit

.

pnmacau

ia.

Secuoda^

POfl Monadicam Figuram pdndpq rationem ad omnes Figura^

habentem, bifbrmemque Semidrcnlum , re(fHlincarum F^uraruitl

iuxta numeros in inRnituni progrellus traditur . propterea nanquC

Semicirculi quoque mentio facfta cH, tanq^m communicantis iuxta

Terminos partim quide cum Circulo,parttm verocum Reiflilincis*

Qiieadmodum eti a Binarius interVnitatem , dc Numerum medius

cll . nam R Vnitas quide componatur plus ladt,quam (i multiplice^

tur : Numerus vero conaa, plus fi multipliccnu*, quaiicomponatur:

Binarius aut fiue in fe fc multiplicetur,fiue componatur,pquale periit

cit . Queadmodum igitur ifteVnitaus i atque niulticudinis medietas

cll : ha etiam Scmidrctihis iuxta quidem Bihim cum Recftilincis co^

municatjhixicasier^ Circunfdrcnda,cutB. Circulo. Progrediunmr aut

rcfthincacFigm«ordinatimpcr Numcrlim, qui a Tcmanoindptt

vfquc ad infinitum . Iddrco Euclides quoque hinc incepit. Trilatcrj

enim inquit,& Quadrilatcrae jdeincepsque comuni nomine vocatas

Multilatcrac* Trilaterae fiquidem Multilatcrae quotp funt; venin»

habent etiapropriam praetercdmunem denominationem. Cum aq^.

tem in «;acicds propter infinitum Numerorum progrcfliim profequi

mininae potuiflimus, comuni denoQitinationc contenti fuimus . Tri'

lateraru'ver6,Qiiadrilatcrarumque duntaxat mentioneledt, quoni2

Numerorum et primi fimt in ordineTcmarius,8d Quaternarius : iUi

quidem in Impapbqspurus Impar exiftens, hicvero in Panbus,Pari

V terep itaque ab ipfo luitaflumptus in rctffilincarum Figurarum or>

him, ad fubfiftcniiam ipfaruni iuxta omnes Numeros Pares quid^

atque Imparesoftendendam .Qyinetiam ciim dc histanqua demt''

xime Elementaribus ( Triangulis inquam, atque Parallclogramis )

in primo libro doAurus fit,non imeritdad hax vfquc propriam fta>

tuit enumeratione-; reliquasvcrdomnesrctSilincas Figuras comuni

amplexus cH nomine, ^ultilaccras cas appellans . Haec igitur de his

, L fuffi

Dk"V

SECVNDVSfufficiaiu . Rurfus autem altius exordiendo dicendu,qudd planarum pbninim

Figurarum alia: quidem a fimplidbus coniinencut Lineis,aliae verd

d miftis, aliae autc ab vtrjfque . Et caru^quae a limplicibus coprehen-

fiuntur, aliae quidc a limilibus fpccie.vt re<ftilineae ; alix vero i fpccie Rcflili- -

disfimilibus,v’t Semicirculi,&Segraeta,& Apfidcs.quxScmicircu-

Its minores funt . necnon carum, quae a fimilibus fpccie continentur, culi , sc

ilif quide a Circulari coprehenduntur Liqca : alix vero a re<fia, ^

fum aqtc,qux a Circulari Linea coprehcnduntur,aIix quidc ab vna,

^ix vdto a duabus.alix autc a pluribus continentur . Ab vna quidc,

Circulus ipfc.A'duabus verOjdif quidc dcangularcs,vt Corona,qug coton^.

I concentricis Ciradis terminatur : ajix vero Angulofx, vt Lunula.^

Apluribus autcquam dnabus.proccdiis in inRnitu . a tribus nanque,

^ quatiior,dcinccpsq6e Circunfcrcntps quxda condnentur Figurap»'

p.n. tres Circuli fc fetangant, quoddam fpatium T^latcrum inter^

ppiut,^uod tribus Circunfercntqs terminatur ; fi verd quatuor,qua-

nior Cifcunfercntns terminatum : dcincepsqfic fimi|iter . Earu autf,^

quae d reftis continentur Lincis,alfapquidc i uibus ,alia:Vero a qua^

tuor.aliae autc d pluribus coprehenduntur. neque .n, a duabus rctftis Aduahu^

Lineis fpatium coprchenditur,ncc multo magis ab vma.Quaproptcr

omne quidc fpadum, quod ab vnoTermino, vel duobus c5prchcni tiu no c6-

dtur.autraifbx cfl,aut Circularo . Miilumquc dupliciter, aut quoni3

milbc i^Gim coprehendunt Linex,qucadmodum illud, quod i Cif»

(bidcLincaintercipiturtautqaiadisfimilcslpccie ipGmi connnent^ ; to.pro-

voluti ctiaApGde txluplicitcr Gquidc Miftio fit, ycl per A ppofitio-; p"

|iem,vcl pcrConfiifioncm . Omnis igitur Figura rc<n:ilinea,vcITri- pifater

latera cft.vcl Quadrilaicra.vcl gradaiim Multilatcra : non autc om»nis Trilatera, vel Quadrilatera, vel Multilatera,re<fblinca efl: . fiqui- Duplici.^

dem ex Circunferentrisquoque tantus Laterum numerus efficietur.

Et ha«: de planarum Figurarum diuifione fuffidant. Quod autem

Re^itudo progresfionis, Sc motus,& infinitatis efl Nota,quodque pigrcslio.

genitricibusDeorum coordinationibus,& alterum fadentibus, mu-ntionisque,& motus autoribus peculiaris efl, prius etiam d nobis di-'

^mfiiit. Et rctfbline® igitur FigursEhifce peculiares funt Dqs, qui vMefupe

fnrads totius Formatum progrellus a<fHonis funt principes. Qyo< qtntr»**..’

circa generatio quoque per hafce pnedpud fiiil exornata Figuras,

& ab his quatenus in motu,muudonequefubfiflitfuarafortuac(l Eicmcta-

cllcndam.r< regm-

nem. vide

etiam in

11 ... 'OU'

<5+ I B E R

Defo >4

»f •

%6 .

»7

fitl.

Ws

»9-

KmMmirEmswj:^DPDfnir. i:.tcniu>li 2uicin l-igurarum z^ulaicium ijuijcm Tmn;'uluin cu , >juu<i

tria 1 acera liabct a;<jualia>

eijuicrut autem, quoJ duotantum atqualu babet Latera

.

S alenum veri, quoJ tria habet iuxquaba Latera

.

_'rxterea Trilaterarum Figurarum Re^iaogulum quidem Triangulum eit,

quod vnumre^uaiAngulumbabec.

Obtufangulum autem, quodmum Obeufum habet Angulum.

vcutangulum veri, quod crea Angulos habet Aeuios

.

Com. 17.

DuplexTriajiilo

rudjuifio.

Diuiiio

Triagulo

tua Late-

ribus.

Diuiiio

Triangu-

lorum ab

Anguhs

Cur Eucli

des dupli-

ci Triagu

lorum tra

dat Diui-

fionem.

TnanquliQuadrila

ttrii.quod

Addoidcj

T Riangulorumdiuifio interdum quidem ab Angulis, interdum

vero a Lateribus habet initium. Et praecedit quidem ea, quae a La-teribus tanquam cognita : fcquitur aute ca, que ab Angulis unquampropria . (iquidem bi etiam tres Anguli folis redilineis conucniunt

Figuris,Rcdusnempe,Obtufus,atcp Acutus: Aequalitas vero La-terum,at(^ inaequalitas, cft vtique in non redilineis quoque Figuris*

Inquit igiturquod Triangulorum alia Acquilatcra funt, alia Acqui-

crura,aiia Scalena . aut .n. omnia Latera habent aequalia, aut omniainxqualia, aut duo duntaxat xqualia . &rurfus quod Triangulorum

alia Rcdangula funt, alia Obtufangula,alia Acutangula . & Rctfta-

gulum quidem definit quod vnum habetredum Angulum,quead-

modum etiam Obuifangulum.quod vnum habet Obtufum:plures

fiquidem vno vel Redos,vclObtufos Triangulum habere Angu-los imposfibile. Acutangulumvcr6,quodvticp omnes habet Acu-

tos . non.n.hic quoc^ fatis cH: vnicum habere Acutu . eunda liquide

Triangula hoc pado A cutangula clTcnt.nam omneTriangulu duos

Angulos velis nolis habet Acutos . tres autem Acutos, Acutangulu

folum . V idetur autem mihi Euclides ad illud folum rcfpicicns feor-

fum quidem ab Angulis, fcorfum vero a Lateribus diuifione fcdflc :

quod fcilicct non omne Triangulum Trilaterum etiam cft . funt .n.

Triangula Qpadrilatera,qux («MAM>lt)hoc cft cufpidis (imiliai

Mathematicis iplis vocantur: i Zenodoro autem hoc

cft cauum Angulum habentia . imelligc .n. vnum cx Trilatcris , fu-

perqiie

Dl{;

m

SECVNDVS. 9f

pcrquc vno Latere duas Rc<^as introrfum conftitue . Clauditur igi-

tur quoddam fpatium,quod ab externis ,& internis retftis cdprehen-

ditur Lincis.trcsque habet Angulos,vnum quidem, qui ab externis

continetur : duos ver6,qui ab his, atcp internis comprchetiduntur,ad

cxtremitates,in quibusipfx Lineae coniunguntur. Triangulum igi-

tur eft buiurcemt^i Figura Quadrilaterum . Non ergo (i quod tres

habet Angulos inucneriraus fiue Acutos, fiuevnum Re<fhim, fiue

Obtufumvnura,ftatim etiam Trilaterum, quodvd fquilaterum,

vel quoddam aliorum Trilaterorum fit , inuenimus . erit .n. fortalFc

& Quadrilaterum. Similiter autem Qyadrangula quoque reperies

habentia plura quam quatuor Latera . 8c ideo no eft temere ab An-

gulorum multitudine de pumero Laterum afferenda fententia. At

haec quidem de his fufriciant. Pythagorei autem Triangulum qui-

dem fimpliciter generationis, generabiliumque formationis dicunt

efle principium . Quocirca tum naturales , tum conftru<ftionis Ele-

mentorum Rationes ,TriangularesaiteffcTimxus . triplici nancp

diftant lnteruallo,& vndequacp partibiliu, varieque permutabilium

funt colledriccs,& materiali replentur infinitate, corporumque ma-

terialium coniun(ftioncs,folutas prae fc ferunt:quemadmodum fanti

Triangulaquocp a tribus quidem comprehenduntur retftis Lineis,

'Angulos autem habent,qui Linearum multitudinem colligunt, &Angulum ipfisaduentitium,coniun<flionemque prxbent. lure igitur

Philolaitt etiam Trianguli Angulum Dqs quatuor confecrauit,Sa-

turno, Plutonf, Marti,& Baccho, totam quadripartitam Elemen-

torum exornationem defuper i coelo.vcl i quatuor Signiferi Segme-

ds dcucnientem,in hifce comprehendens . nam Saturnus quidem to-

tam humidam. Si fiigidam conftituit effentiam , Mars aut totam ar-

dentem naturam : & Pluto quidem totam Terrcftrem continet vi-

tam, Bacchus vero humidam,&T calidam generationem regit. Cuius

cuam Vinum Noueft,humidum,calidumqueexiftens. Omnes au-

tem hi iuxta quidem operationes,quas habent in rebus inferioribus,

diff^nt *. iuxta vero proprias naturas,vm’ti funt adinuicem,propte-

rea iuxta quocp vnum Angulum,ipforum vnionem Philolaus colli-

git. Siautem Triangulorum eri a differentia: ad generationem con-

ferunt, iure optimo Triangulum principium conftitutionis eorum,

qux fub Luna funt,& autorem effe fatebimur . nam re<flus quidem

Angulus effentiam ipfis exhibet, Sfipfius Efle menfuram determi-

nat: ReAangulique Trianguli Ratio generabilium Elementorum

cfbcit effentiam. ObtuTus vero vniucifam diftandam ipfis tribuit:

Obtu-

ve! Qifo*

goniti ap-

pellatur.

Quadrangulu quin

quitarciu.

ibiLTcsfio*

l') tiwiio-

rci.

Timxus.

Arrede H*

miliritdi -

nem pul-

cherrima,

A: oora^s

Adueti

tius Angul*. qucTri

^li rres

Anguli Li

nos Triii-

pulanbus

prarber

.

Phiiolauf

quatuor

Diis Tria

gulare' Angulu cole

aauit

.

Quadri—^tita E-Icm^oruexornatio

Sarumua.

Mars.Pluto.

Bacchus

•

Nora qu^lint horuDeoru tn

ifcriorib*

operones.

Noraquar

iinc horu

-y iooglf

96

Dcoru^prix oaru

rx.

C6iirm2t|

Pythago-

reoru,

Timjidi-

^ <m alia

ratione.

l-ini% Dj-

grc'^onis

Documentum

.

Sepe Tri

anguloru

fuiK Ipcs.

Digre^So

Acquilare

rum Tria-

gulu Diut

DIS asfimi

lacur Ais.

Aequicrus

melionb*

generibus

Scalenum

Vietspar-

tibUibus.

Defb

liberObtufangulique Ratio formas materiales in magnitudine auget

,fif

in omnis generis mutatione . Acutus autem Angulus diuifibilem ip-forum natura cflicit : Acutangulique Ratio diuilToncsiplis in inhni'tu fieri prxparat. Iimpliciter\’cr6 Triangularis Ratio Interuallodi-ftantem, &f vmdequacppartibilc materialium corporum conftituite^ntiant. Totquidcdc Triangulis erant i nobis infpicicnda. Exhilce aute diuilionibusintelliges quidem omnes etiam Triangulo-rumfpecicscircfeptc numero, nec plures, neque pauciores, namxquilaurum quidc vnum cft , ciim Acutangulum tantiim fit : reli-quorum autcvtrunqueeft triplex .Acquicrus nanque aut Retftan-gulu cu, aut Obtufangulu,aut Acutangulum : Scalcnumqfic limili-ter hanc triplice habet difterentiam . Si itaque hxc quidem triplici-ter, Aequilatcravcro vnicomodofe habct.leptcomnesTriangulo-mmfpccies dicantur. Rurfus aute iuxta Laterum quot^diuifionentiTriangulorum ad ea, qux funt proportione intelligas : nam Aequi-laterurn quidc aequalitate prorfus, fimplicitateque pncflans, Diuiniscognatueft Animis ; nicnlura liquidemell ^inxqualium aequali-tas,qHeadmodum&:inforioru omnium Diuinitas.Aequicrus autemmelioribus generibus, materiale naturam dirigentibus,quoru maiorpars quidc menfura tenetur^ extrema verti inxqualitatem, materia-Icmque imoderationem attingunt : Aequicrurium nancp duo quidcLatera xqualiaflint,Balisaute inxqualis. Scalenum vero, V«ispartibilibus, qux vndequaqj claudicat,Te feque prxparant, cumadgeneratione tendant

, rcfenxque materia (int :j

ppdM

QuadrilJtCTinjm Jurem Figurarum, Quadrangulum quidem dl, qu> zmiila-cera ell,aR]iK rc£)angula

.

Altera ver* parte longior,qux reflangulaquidem, at atquilatcra non eft.

Rhombus autem,qu; atquilatera quidem,red reQlnguIa non efl.

Rhomboidesverh,qu*eroppo(itoTatera,8f Angulos habensimucemaiqua-les,neque xquiliteraell, neque rcdlangula.

Pratter has autem, reliquz Quadrilatei* Figur* , Trapeaia vocentur.

Lfuouda

SECVNDVS. P7

{\Vadrilatcranitn Figuraram primam diuiHoncm in duo membra

'^ficri oportet . & alias quidem ipfaram , Parallclograma dicere

:

alias ver6,non Parallclogramma. Paralklogrammorum autcm,alia

quidem re<ftangula,& a:quilatcra,vt Quadrangula:alia vero, ho'

ram ncuirum,vi Rhomboidea : alia autem, retfiangula quidem, fed

non a:quilatera,vt altera parte longiora : alia vero c contrario, axjui-

latera quidcm,at non rc(ftangula,vt Rhombos. Aut .n. vtroque ha^

bere oportet,acquaIitatem fcilicet Laterum,Anguloruraque recftitU'

dinem : aut neutrum ; aut alteru , hocque dupliciter . Quamobremquadrupliciter conftituitur Parallclogramum . Non Parallelogra-

moram aute alia quidem duo tantum habent Parallela Latera , non

tamen& reliqua: alia vero nulla prorfus Laterum habent Parallela.

& illa quidem vocanturTrape3ia,haec vcrd,Trapezoidea . Trape-

zioram autem, alia quidem, Latera, i quibus huiufcemodi Parallela

Latera coniunguntur , habent aequalia ; alia vero, inaequalia . 8c vo-

cantur illa quidem,Aequicrura Trapezia : hpc verd,Scalcna Trape-

zia . Q^drilatcra igitur Figura feptem nobis conftituitur modis •

Nam vnaquidem. Quadrangulum eft : altera ver6,parte altera lon-

gior : tertia ,Rhombus

:quarta , Rhomboides :

quinta , Acquicrus

Trapezium ; fexta. Scalenum Trapezium ; feptima ,Trapezoides.

Veriim Pofidonius quidc perfetSara in tot fccitmembra redlilineoru

Qyadrilatcrorum diuifionem, quippe qui feptehorum quoc^ pofuit

fpecics.qucadmodum etiamTrianguloru. Euclides vero in Parallc-

lograma quidem , Si non Parallelograma diuidere minimti potuit,

quippe qui nccp de Parallelis mentione fccit,neqp de Parallelogramo

jpfo nos docuit. Trapezia aut,Trapczoidcaque omnia , comuni no-

mine appellauit,Trapezia ipfa deferibens, ad eoru quatuor difi^en-

tiam,in quibus Parallelogramorura verificatur proprietas . haec aute

eft ex oppofito Latcra,& Angulos aequales habere. Qiiadrangulum

nancp,& Altera parte longius,ipfcque Rhombus ex oppofito Late-

ra,& Angulos habent aequales. Ipfe autem in Rhomboidc tantum

hoc addidit,ne folis ipfum negationibus dcfiniat,cum nc^ aequilatc-

ru ipfum dixi{Tet,necp rccftangulu. in quibus.n.proprrjscaremus ora-

tionibus ,c5munibus vti ncccflarium eft . Qyod vero hoc fit cuntftis

commune Parallelogrammis ipfum oftendentem audiemus . Vidc-

tur autem Sc Rhombus dimotum clTc Qpadrangulum ,& Rhom-boidesmotum parte altera longius. Quorircaiuxta quidem Late-

ra ,haec ab illis non differunt t verum iuxta Angulorum duntaxat

ObtuGutes ,& Acumina . cum illa rcdlangula Gnt . fi .n. Quadran-

N gultt

C6m. Tl.

Hiuifio

Q^Jrilarerjru Fi-

gura: u (c-

cundu PoiMontum.

Septe $\k

fp^s Quadrilarera-

rum Figu-

rarum.

Eucljdii

DiuiAo.

Parallelo

gramoru^priecas

.

In Propo(irione }4primi.

Doeuml-tum.

5>8 LIBERgulum,auc Partcaltcra longius iuxta oppoficos Angulos diftrahi iiv

tcllcx:ris,alios quidem contrahi, Acutosque fico reperies : alios vC"

ro dilatari, Obtufosque apparere. Videturque hoc nomen Rhonvbo a motu impolitum fiiifle . etenim fi Quadrangulum in modutuRhombi moucri intellexeris, iuxu Angulos tibi ordine commuta^tum videbitur . Quemadmodum porro fi Circulusedam inmodum

XXibiutio Fundae moucatur, Ellipfis flatim apparet. De ipfo autem Qua^drangulo fortalTc quaeras cur hanc habuerit denominationem

, noqautem quemadmodum Trianguli nomen omnibus cft commune^

fis etiam, qux neque aequiangula , nec^ xquilatcra funt,.fimiliterque

Qdnquanguli : iu quoque nomen Quadranguli de alfis etiam Qua>drilateris did poteU . ipfe fiquidem Geontetra in illis addidit pardeu'

Jam [Triangulum ^quilaterum] vel 1 Quinquungulum, quod ^qui«

laterum fit,atque aequiangulum^quafi posfint hxc , talia quo^ non

cflTe . Cum vero Qyadrangulifa(fta fuerit mentio , fladm xquilateru

Solutio.indicat,atquerc(flangulum. Huiufcc autem rei ratio haec cft . bo-

lum QuadranguluraTpatiu Sc iuxta Latera, 5^ iuxta Angulos*Ter-

toptimuJninanira habet . quilibet enim ipforum Rciftus cft. Angulorummenfuram interdpiens

,qux neque intenditur

,neque rcmitdmr

.

V troque igitur modo prxftans, iurt- commune obtinuit nomen. AcTriangulum licet xqualia habeat Latera, Angulos tamen omne^habet Acutos V Quinquangulumquc Obtufos omnes. Non imme-rito igitur ciim ex omnibus Quadrilatcris folum C^udranguluni

Aequalitate Laterum, Angulorumque Rctfiitudinc repletum fit,

hoc nomen fonimm fuit.prxftandbus enim formis,Totius nomen

rufchri^fxpenuraero dedicamus. Videtur autem & Pythagoreis Qua-

Pyrhjgo- drilatcrorumhoc prxdpuc diuini; eflfentix afferre imaginem. pu-

rum fiquidem , immaculatumquc ordinem per hoc potisfimum fi-

Motus ib gnificant . nam Reddtudo quidem inffexibilitatem , Aequalitas vc-

lecnunat ro firmam imiuturpotenuam. Motus enim ab Inxqualitatc ema-

Spqjaii- nat. Quies autem ab ipfa Aequalitate. Dfiergo, qui omnibus rc-

urc,iJcin busftabilis collocationis,& puri, incoiitaminatique ordinis, & in-

phibiljus declinabilis potentix funt autores, merito Quadrangulari Figura,

quafi ab imagine manifcftantur . Prxtcrhos etiam Philolaus iuxta

^ur£ xn aliam apprehenfionem Angulum Quadranguli Rhex,Cercn’8,Vc-»

ftxque Angulum appcllat.cumm.Qyadrangulum Terra coftituat,

QjuJrin proximumqiieipfius fit Elemcmum,quemadmodum a Timxo di-

roarfiTC didmus ab his verd omnibus Deis Terra ipfa, genitalia femina,

ti U£"fufofcundasqiic fufdpiat p9tcmias,.noniniuiiihifce Dijs vitam lar-

gien-

99SECVNDVS.giemibus Quadranguli A^ngulurti pcrmilit. quidam etenim Tcr^

ram , Cercrcmque ipfam, Veflam appellam , 8f tota Rhea iplam

partiepare dicunt , omnesque in ipfa clfe genitrices cau&s..Terre-

Ari igitur quadam vi vnim horum diuinorum generum vnionem'

Q^drangularem Angulum comprehendere Philolaus inquit

.

Asiimilant autem quidam vniuerfx etiamVirtutt Quadrangulum,quatenus quatuorRedos habet vnumquenquc perfeifhim . quem-admodum porro Virtutum quoque vnamquanque perfeAam dici-

mus, &C fcipCa contentam,& Meofuram ,&Tcrminum vitae , ora-

nisqucObtuli,& Acuti medietatem. Oportet aute non latere quodTriangularem quidem Angulum quatuor,Qyadrangularem vero

tribus Philolaus antibuitDqs, alternum ipforum tranlitura oAen-

den8,omniumque in omnibus communitatem. Imparium quidem

in Paribus, Pariumque in Imparibus . Ternarius igitur Tetradicus,

QiutemanusqueTriadicus facundoru quidem , emcadumque b<j-

norum participes , totam generabilium exornationem continent ,in

Aatuque fuo conferuant. Ex quibus Duodenarius ad vnicam exdta-

tur Vnitatem,louis nempe impenum.nam Dodecagoni Angululouis elle Philolaus inquit, quatenus vnica vnionc totum Duodena-rrjNumemmluppiter continet, atque confemat. praeeAenim apud

Platonem quoque Duodenario luppiter, Vniueifumque abfolutc

rcgit,& moderatur. Haec etiam de Qyadrilatcris Figuris dicenda du-

ximus, tum autoris noAn fententiam declarantes, tum etiam ad in-

fpeAiores apprehenliones tjs anfam pr^ntes,qui intcllcAilium,oc-

culiaiumquc cflenuarum cognitionem cupiunt

.

penus cl.

9. vidc nrUiuiicm

VideitcT'.

prciem mTheogo-nia Hefio

oJi.

C^orudicoicplatio

Notadumpulcherri-

mum.

Cddufio.

Duodenariu« ert Io

ui$ impe-

rium.

Dodeca—goni An-gulu loui

Philolaui

cofecraiiit

cuius eamvide ecia

apud Pia.

in IO . deRep.&; in

Epinomi-

dc-etapud

Proclu in

Thfoute,

8c api^

Plutar . in

opale Pia

citis.

EpiloguJ.

Delo if.

Q nam Gnt ParallclammElementa, quibusque in hisaeddemi-

bus cognolcantur, poftea difeemus j qux vero Parallelae rcAj Line^ s 7.k 1«.

nnt,his verbis deRnit . Oportet itaque ipGis (inquit) in vno ede PlA-

«o,&dumex vtracp parte producuntur non coindderc,red in infini-

t» produd.& non Parallds.n.n diquatenus producantur,non coin.>

N s ddet

|00 I- r B E R• cidcnt . in inBnitum autem produd,& non coindclcre,ParaIIcIas ex>

primit * neque etiam hoc abfolutc , vcriim cx vtraque parte in infini-

tum produci, &. non coincidere . nam fieri poteft vt non Parallelae

«iam ex vna parte quidem in infinitum producantur ,ex altera yerd

minimii . annuentes enim in hacce parte,plurimum ab inuicemin

Ducrefif altera difbint . Caufa autem hxc efl, quoniam dux re<fhc Lineas

nullum fpatium comprehendere poliunt, quod fi ex vtraque parte

cdprchiii annuant, hoc non accidet. Quin etiam retflas Lineas in eodem efle

funT.Tji Plano , refte infiipet acceptum fiiit . fi enim altera quidem in fubie-^

" ‘ do clTct Plano, altera vero in fublimi,‘iuxtaomnem pofitionem libi

hiccii c.i inuicem non coincidept . non tamen proinde Parallel^ funt . Vnura

raU^f « igitur Planum fit, producanturque ex vtraque parte in infinitum,&

yna pane ncutra in parte fibi inuicem coincidant . his enim exiflemibus Paral>

lclxrc(fh)cLinex erunt. & hoc rpodo Euclides quidem Parallelas

ciioncadpfinit redas Lineas. Pofidonius autem hxParallclxlunt (inquit)

Parallela qux ncquc annuunt,neque abnuunt in vno Plano : fcd xquales haa

Hnearii.'*omncs Perpcndiculates,quf a Signis alteriusad alteram duetnv*

pofijonii nir .Quaccunque vero maiores femper, atque minores fecerint Per-

Tumdlfe. pcndicularcs, coinddent aliquando.quia fibi inuicem annuunt . Per-

pcndicularis fiquidem Spatiorum altitudines ^ Lincarumqfie dillatv>

temimac tiastcrminarc pocell . Quocirca xqualibus quidem Perpendiculari.i

busexiftcMibus.afqualesctiamluntrcdhirumLincarum diftantixj

nei.&Li rnaioribusver6,atque minoribus fadisjdilhmtia quoque'fiu maior,

& minor,&lfibiiauu:cm annuant illisin partibus,in qaibusfuntPe»!i^oppea pendicularcs minores. Sdendum autem clf

,quod ipfiira non coin-

Figuraru cidcrc haud prorfus Parallelas efficit Lineas . Concentricorum nan^Circulorum Circunferentix non coincidunt : fed opus cft etiam

ipfasin infinitum produci.Hoc autem non folis Rcdis,verum etiam

ahisineft Lineis, posfibile enim cft intelligerc Helices circa redasrom. to. Lineas ordine deferibi

,qux fi vni cum redis Lineis in infinitum

rKuifio li producantur, nunquam coincidunt . Hxc itaque Geminus ex his re-

SJnJd Gcdiuilit, a principio dicens

,quod Linearum quidem alix funt ter^

minum, minatf , Figuramque contincnt, Vt Circulus, ipfiusque. Ellipfis Li'

. ^nea.necnon CilToides,& alix quam plurimx : alix vero indeterrai^

. natx, qux ininfinifum etiam producumur,vtReda,Rtfdatiguliquc

^ <}6ni,atqueObnifaiigulifcdio, nccnon Conchoides ipfa;Rurli«

autem earum v qux in infiuitura producuntur , alixquidem nullam

iomprchendutibBiguram,vt Reda,&iamdidx ConicxfeifBones:

^alix vero coeuntes,' FigunimqueBidentesyiamfinitum poftea pt^iabia ducun-

s. Digiit;^

i

SECVNDVS. !<»«

ducuntiir, Barum autem aliic quidem noncoincidunt amplius, quas

vteunque produdbc fuerint non coinddunt : aliae v^erd coinddentes

funt,qUc fcilicetquandoquccoincident. Non coincidentium autem,

aliae quidem in vnofuntinuicem Plano: aliae vero, minimd. Noncoincidentium autem , in vnoqiie Plano exiftcntium aliae quidem

xqualifcmperinteruallodiftant ab inuicem: aliae vero interuallum

femper imminuunt, queadmodum^ Hyperbole ad Redfam Lineam,

&Conchoides ad Redfam Lineam, hxliquidem cum imminuatur

femper interuallum,nunquam coincidunt . & annuunt quidem fibi-

inuicem, nunquam autem omnino annuunt. Quod edam maximiadmirabile^efl in Geome’tria Theorema, offendens Nunim quarun-

dam Linearum non annuentem , Earum autem,quac xquali femper

diflant intcruallo,qux funt rc<fffLineg, Spatium,quod . ^

inter eas politum cftnunquam imminuentes

MU / : i

-ur. ; .ii

in vno Plano , Parallclx funt

,

Totcriamabclcgan- .•

ti Gemini,

ftudio ad propolTtorum explana- • -

! donem dccerpfimiis,

^'"

• y i ]L'i . itio: • l.-.

- . •

-ib rvMr-’r sgCVMbl'.bi iritLii/jji.zutiijj.;. . :o ;i 1 r’ ; ! '=?l.ofXrr’'".n; rrp t-ni^ i.i ‘niff

; ' :rr:q -ji jji'< 'jE .‘v:, '-th- qTSiru,-. <is I ' -'p

jbiiiji.i; f>~' itiijri.Tjldo:'i ni

fupiiir.x(jp,ru3mi q o*»!! rnrl.i.j;j :;i. i ni''. oLoir. .Hi.1

snulairJnouondooHnipiipariflori.inj/lrii:.'.' * Mi.tn.-.jsl

q5fuijXup,i:,imn'i.i»;;-,-:3qTO»in»i!oi:v«i.'('i-ni . ? > i : : .•-quicsq ni

cnoiiEjinoOaibtitilifi^iE 'illi ni ^ ^ i inl Eiifjti

•

sntittjfnov.u. <1

, ,;k-” inflno^s!!:!.-! .•Jisi -in siluri s ;;

^tnut , i;>; r,LTjf:noD'ii .oiiingo^ sii^-Js-rflnom-L..:'/.

tncixi !!!ub'ifnbBfn-up.sriu:!"nn;

;Mjmi£:'-i*ii,e;ii*jbij5^Lo!»q

-ITT!r! 'i;;... ji. '-.i, IV OUptf.u ..'t

:

~s

4Wqi'i:-’ vi »ixnub’l au ','it idert^ f.

,>

-jI-jI'. •; S jp ovilp:*-. . -f i.iidi.tfh.csn-rbnt

TeiihihDain > .•TrEflxv Ti tiqbTihqi:' q.-»iip,Ptpdi

k.L ,':'i?r.!nv.pijt; 'rup,mi.' auqqiJuvq'

•O! iPi.upn t SiuSylbs 'j6 , JisfoTq Jiit.',--. L- 03ici'jqvhiV qJLin ni-b- -p

lain

Admirabi

lein Geomct.Thco.retna . de

?

iuo^in-'*

enus in

com.^

i^iarti ^Htc

^ nbfilfit

parui mo*mfci ani-

tnaduerte

musiomentahif

Aofiris.

j-j

' f

* r-.t

*>.’ -.JUX

‘li. LzoS

.# 1^

lox

Corinua-

iioL4>ri.

In cap. t.

^crionsIjbrj .

Comuni-ia< Pcti-

tionu, &Fronutij*

eorum cz

fementia

autoni,ct

Cerni II •

Eoru Jif>

fereniia

.

Spco6i>—pui.

PROCLI DIADOCHI IN PR7MVMEVPI-IDIS BJLBMENTORVM

£1

n*1 1 p t K T E \ T 1 V S.

ofur.: •(.'i-.l .

. ili.: ,1 ‘ ...Iijn -

•

De Petitione, Pronuntiato• rri ; .li ili

Cap. Vnicura

V VM Geonjetriae principia tn&nc diuila

fint, in Sup|X)fitioncs,Pctirioncs,& Pronuntia-

ta,qux nam inter hxc fit differentia in fiipcrio-

ribus tradidimus. De Petitione autem peculia-

riter, 8i Pronuntiato accuratius differere in pr*-

fentia propofitum nobis fit,quandoquidem 8C

de qs prateipu^ nunc fermonem habeamus.Suiv

politiones fiquidem, qua; & Definitiones appellantur in iam di^expofuimus , Commune igitur efttam Pronuntiatis

,quamPctitio-

nibus nulla egere demonffratione, neque Geometrica fide : fed tan-

quammanifcftasacdpijcaetcrorumque principia fieri. E)i0«unt au-

tem ab inuicem eo modo, quo;& Theoremata a Pioblcmaribus di-

ffin51afuere. quemadmodum enim in Theorematibus quidem id,

quod SubieAa confcquimr pcrfpicere , ac cognofccre proponimus;

in Problematibus vero aliquid comparare,ac facere iubcmur,eod^

fani modo 8c in Pronuntiatis quidem hxc accipiuntur,quaccunque

per fc fc cognitu manifeffa funt ,noftrisquc indoiflis nodonibus funt

in promptu : in Petitionibus vero harc accipere quaerimus, quaecunqi

fiu^,comparatuqu'e facilia funt,cum in illis accipiendis Cogitationo

defatigetur, quaeque nulla egent varietate , 8i nulla Conftni(ftionc

.

Euidens ergo,& indemonflrabilis cognitio , inconftruftaque fum-

ptio. Petitiones, a Pronuntiatis ^ftinguunt.quemadmodum etiam

demonffrans cognitio, Quaefitorumque vna cu Conftruiflionc fum-

ptio Theoremata, i Problematibus feiunxit . vbique .n> principia,

(implicitate,& indcmonffrabilitate,atqbe ed quod per fe fc fidem fe-

ciuht,f^,quxpoff principia funt pneffare oportet . vniuerfahtcr G-

quidem( inquit Speufippus) eorum, qux Cogitatio venatur, alia

quidem nullo vario peraAo decurfu profert ,& ad futura inquifiuo-

nem

Dk. .

mm m m

T E R T I V S lOJ

' ficm prcparat,caidentiorcmq6c hprum habcr apprchcnfionc,quam

obiccftorum vifusjalia vqrdciim ftatim aHcqui non posfit, per tranfi-

tum ab illis progrediens, iuxiaconfcqucntiamjpfa venari cenatur,Exepju^n

Exempli gratia, hoc quidem, a Signo adSignum retftam Lineam

duccre,tanqu5 euidcns,fa<Suquc facile fufeipit . C(im enim indecliui

Signi fluxu componanir ,fimulquc progrediatur ,

cdquod nufquam

magis.vcl minus dcdinatjin altero incidit Signo. Rurfus fi vno quL ^dem Extremorum recflac Linea? manente ,

alterum circa ipfum mo-

ucatur. Circulum nullo negotio dcfcriplit . Siquis autem vnius reuo'

lutionis Helicem deferibere voluerit,magi® varia eget machinatione,

variis nanque motibus ipfa generatur . Siquis etiam Triangulum

arquilaterum voluerit conftitucre,is quocp methodoquadam egebit,

ad Trianguli conftitutionc .dicet .n. Geometrica Mens qu6d cilm

ego intellexerim redam Lineam,quae iuxta quidem alterum E xtre<-

naonim maneat, iuxta autem alterum moucatur circa illud,& Signu,

quod d manente Extremo in ipla moucatur , vnius reuolutionis Hc^

lice dcfcripfi . cum .n. fimul& reiffec Lineae extremitas,quae deferi^

bit Circulum,6c Signum, quod in ipfa raoucturreda Linea, in eode

Signo peruenerint, atque coinciderint, talem mihi faciunt Helicem,Arq-rflite

&rnirfuscum Cirailos aequales defcripfcrim , &icdmuni fciftione riTnagu

ad Cetra Circulorum Lineas redas protraxerim, ab altcroq(icCen->

trorum,adalccnim redam Lineam duxerim , arquilaterum habebo

Triangulum. iMultu itaque abeft vi harc fimplici apprehenfione,

primaque norione perficiantur, nam comenti edemus onus iplbrum

confequi. Faciliusergo,vel difficilius haec comparari,&r vel pluribus,

vel paucioribus Mijdns oftend», propter aggredientium habitus eue-

nit:prorfusvero Demoftratione cgerc,atcp Conftrudionc,propter

Quxlitoruni proprietatem, quae a Peritionum , & Pronuntiatorum

euidentia deficit . V trunque igitur fimpicx, &; dcprehenfu facile de-

bet ede. Petitio inquam,& Pronuntiatum . Venim Petitio quidem

imperat nobis machinari, ac comparare quanda matenam, ad Sym-

ptomatis asfignationem, quae habeat fimplicem ,facilemque dcpre«

henfionem : Pronuntiatum vero ,quoddam per fe accidens dici?

,ex

fc fe audientibus cognitum . vtpotc calidum ede Ignem , vel quodda

aliud eoru,qux manifeftisfima funt,& in quibus dubitantes, aut fen-

{u.aut punipone egerc dicimus. Quamobrem ciufdem quide generis

cft Petitio,& Pronuntiatam ; difterunt aute iam dido modo . vtr li-

que, n. principium cft indemonftrabilc , venlm hopquidcm Gc : illa

vero aliter,vtdiximus, laiq aiitem alq quidem omnia illa Petitiones.

vocan-

licoUiiu-

tio.

•i»

.V

V ><> LIBERArchime- vocanda cenfcnt.ficut etiam Problemata, Quacfita omnia. Archi-

ru opinio. mcdcs nanquc Librum Aequiponderantium ircipicns^pcdmus (in-

ndoarqualibus Longitudinibus fque ponderare,

chimcjiii quanuis hoCj Pronuntiatum potius quifpiam appcllarit : alij vero o-'

J6atan-Pronuntiata vocant, queadmodum etiam Theoremata

, cun-

•.^

qux dcmonftratione indigent . iuxta emm eandem (vt videtur)

piiToT d=proportionem a propriis nominibus, ad communia tranficre . differt

c^iTo

» Theoremate, ita Petiuo i Pronuntiato . tam-riort libro ctfiambo indemonftrabilia Gnt, quemadmodum illa, dem onftra,-

vTprobicindigent . & alterum quidem tanquam facflu facile fumi-

maaTheo tur, altcrum vcTO tanquam cc^nitu fecile communi omnium con-Icnfu conceditur . Hoc itaque pado Geminus quidem Petitiou

rodTii*a Pronuntiatis diftinguit. Alq autem fortaffc dicant quod Pe-

ideinpri titiones cjuidcm.funt Geometricae materiae propria: : Pronuntiataopio capi

^ vniuerfx ,qux circa Qyantum,&: Quotum verfatur content-

Aiiorum plationi communia.nam illam quide,qux petit reftos Angulos efle

differctia^equalcs, Sc omncm rctftam Lineam hnitam in diretffum producercj

Snfi «ouit Geometres: quod vero ait qu® eidem funt xqualia , inuicern

tiatorum. quocp cflc xqualia,communis efl notio, qua tum Arithmeticus, tumetiam quifep fcientia prxditus vtiiur quod comune eft fu® acc^o^

«['o WoAriftoteles vero (vt prius etiam diximus ) Pemio-

dcdiiTcrc nem inquit cum demonArabilis fit, ab audienteque non concedatur,

li^nis'&raqnam principium tamen fufeipi : Pronuntiatum vero

,per fefe in*

Pronun- dcmonffrabile efle, omnefque id iuxta habitum confiteri, licetedamdc difputationis gratia contra ipfum dubitarint . Tres itacp cum

?ro°ca''differenti®

, iuxta quidem primam, qu® ipfo Comparare, ac

s^&pn- Cognofeere tantu Petitionem a Pronutiatodiffinguit, manifcftumrno

. cft.quod illa, qu® dicit omncsreiftos Angulos ®qualcs inuiccm cHe,non eft Petitio . nec quinta

,qu® ait, G in duas rctftas Lineasrefla in-

[^midntc ens Linca,intemos,ad eafdcmque partes Angulosduobus Reflri

^ minores fecerit, reflas illas Lineas fi in infinitum producantur coin-

PetinOjiij cidere adeas partes, in quibus funt Anguli duobus Reflis minores.

niburciT-fiquidem necp in Conftruflione fumuntur

, nec quicquam facere

numerari iubenttfed Symptoma quoddam offendunt, quod reflis Angulisdebent

. xeciis Lineis, qu® ab Angulis duobus Reflisminoribus ex-

Jidi^d*^‘ fecundam non erit Pronuntiatu ilIud,quod aitduas

ftrentam reflas Lincas Spadum non comprehendere.quod edam quidam nuctanqu^ Pronuntiatum adferibunt. hoc enim Geomctricxmaterip

eff,quemadmodum edam ilia,quae ait omnes reflos An-

-*/ sulos

T E R T I V S lor

gulos squales efTe . luxta autem tertiam,qus Ariftotelica eft.omnes

quidem.quf per demonftrationc quandam de fefc fidem faciunt,Pe-

titioiics erunt:quscunquc vero indcmonftrabiiia funt , Pronuntia-

u . Fruftra igitur Pronuntiatorum demonftrationes tradere cona-

tus eft Apollonius . recfl^ enim Geminus animaduertendo adnota-

uit,quod alrj quidem indemondrabilium quoque dcmonfhatio-

nes excogitarunt ,ab ignotioribusqiic Medrjs ea, qus funt omnibus

nota probare conati funt,quem in errorem incidit Apollonius

,qui

odendere voluit verum efle Pronuntiatum,quod ait qus eidem

funt xqualia ,& fibi inuicem xqualia ellc : alq verd qus etiam de-

monftrationc indigent , in indemonftrabilibus afiumprere . vt Eu-

clides ipfe quartam,& quintam Petitionem . hanc enim quidam ve-

luti ambiguam demonftrationc egere dicunt.quomodo nanque ri-

diculum non eft quorum conuerfa, Theoremata dcmonftrabi-

iia funt , hxc tanquam indemonftrabilia asfignare C nam quod

rciftarum coincidentium Linearum interni duobus Redlis mino-

res funt, ipfemct Euclides in illo oftendit Theoremate,quod fic

ait ^ Omnis Trianguli duo Anguli , duobus Reiftis minores funt

,

omnifariam fumpti 1 Quinetiam quod non prorfus quicunque Re-

fto squalis, Re<Sus cft.perfpicuc oftenditur. Non ergo indemon-

ftrabilia elTc horum conuerfa concedendum eft, inquit Gemi-nus . Videtur itaque iuxta huius viri ordinationem tres qui-

dem clTe Petitiones : reliquas vero duas, &r ipfarum conuerfas de-

monftrantc egere fcientia : in Pronuntiatis autem, illud ,

quod di-

cit duas Reiflas fpatium non comprehendere addi fupcruaca-

nci. Siquidem per demonftrationcm de fe fidem facit. De Pe-

titionum igitur, 8c Pronuntiatomm differentia hsc fufficiant . Rur-

fus autem Pronuntiatorum ,alia quidem funt Arithmetices Pro-

pria, alia vero Geometris, alia autem ambabus ipfis communia,

nam illud quidem, quod dicit omnem Numerum ab vnitate meti-

ri, Arithmeticum Pronuntiatum eft . illud verd, quod ait, Ae-

quales rcfts Lines fibi inuicem congruunt , nec non illud,quod

omnem Magnitudinem in infinitum eflc diuifibilem affirmat, Geo-

metrica Pronuntiata funt . illud autem,qus eidem funt squa -

lia , 8C inter fc funt squalia,omniaqfic huiufcemodi

, ambabus

communia funt . V titur autem vtraque 8c his , in quibufoinque

fuum fubicftum poftulat . vt Geometria quidem, in Magnitu-

dinibus : Arithmetica vero , in Numeris . Confimiliter au-

tem Petitionum quoque alis quidem lingulis propris funt

. O fde-

Pronuo -

fiatis cou

ircracur .

Qux (inc

Pentio—nes, ^ ^Pror.ui.tia

raex Ari.

rentcfia.

Reprehe-tiif Apol-

ioniu iu*>

xta Arift.

er Gcmint

lentetia

.

Reprehe-dit Eucli>

dc iuxta

Getnini •

et iuxta

pria fente

tia, quip-

pe^ quar

ta.&’quin

ta Petirio

ne, male i

Petitioni-

bus enu*

merauit.

In PropoHtione 17

primi Ele

menroru.

Hocinfe-

nus odendirur in c6mcnt. s.

Iuxta Gemini fente

tia exclu-

dit a Pro-

nunt.atis

vlrimu.f-

nuntiatu

.

Fpilogus.

Pronutia-

toru,cr Peritionu di

uifio, per

qua 1 . opi

niocFdfia

Petitionis

8: Pronu

riati,c6ftt

tatur.

>06 LIBERfcienttjs,alix vero coniunes omnibus , nara jllam quide.quf petit di-uiderc Numeru in partes rainimas.peculiarc Arithmetices PetitioneclTe dixeris

:qua: vero omnem recla Lineam finita in dire<ftu produ-

«rc,Geometrif:qua: autc Qyantitatcm in infinitum augere, amba-

,P genere bus comuiicm. Numerus nancp, & Magnitudo pofiunt hoc pati.accp.rur. PETITIONES.

Teriii.

I TI' 1

1I 1 I ,

- ^ 1

Pciatur abomm Sigao ad onmeSignu redam Lineam ducere

.

I Et redam Lineam terminatam fccumiumcomiauum inditeduraproducere

.

Etomm Centro, &• Interuallo Circulum ilefcribere.

Com. t. TRcsiftg tum propter facilitatem.tum quia aliquid comparare no'bis imperant, in Peutionibus ex Gemini fententia neceflarid collo-

candx funt . nam illa quidem ab omni Signo ad omne Signum recTta

Lineamducere,eamconfequitur definitionem, qux Lineam Signi

fluxum efle ait , Sc Recwm indecliuem,atcp inflexibilem fluxum. Siigitur Signum indccliui,breuisfimoque motu moueri intellexerimus,

in alterum Signum incidemus,& prima Petitio fa<fta cft, nilquc va-

rium intelleximus. Si autem ciim RcAa ipfa Signo tcirninctur,fimi-

^ liter ipfius Extremum breuisfinio,indecliuiquemotu moueri intclle--• xerimus, fecunda Petitio i facili,fimplicique apprehenCone compa-gi rata erit. Si vero terminatam rurfus redam Lineam manere quidem

fecundum alterum eius Extrenium,raoueri autem circa id,quod ma-net,fecundum rcliquu,tertia porro fada erit . nam Centrum quidc,cfl: Signum id,quod manet : Intcruallum vero , recw Linea

.quanta

Dabitjtio • n* hxc cft , tanta eft Centri ad omnes Circunferentix partes diftan-

tia. Siquis autem dubitet,quomodo motus ipfos Geometricis rebusadhibemus,Tmobilibus exiftentibus,quo autc impartibilia moucmus

Solutio (hfc.n.mininic fieri pofle)eum rogabimus non pasfim moleflu efle,

fi memoria tenet ea, quf in principio demonflrata fuere.quod vticp

Rationes eoru,quf in Phanufia iacent, omnes ibi deferibut Cogita-tionis imagincs,quaru Cogitatio ipfa ratione habet. Tabclla .n. nonfcripta.huiufcemodi Mens eft,vltima, atep pasfibilis . At nulla apud

Ment viti nos otatio hfc. Mes.n.illa,quac recipit fpccics,aliundeper motu ipfas

rccipit.&: motum quidc non corporeum, fcd imaginarium intelliga?

recipit ipc mus.impartibiliaque corporeis moueri motibus minime c5cedamus,verum imaginarios pati dccurfus. Etenim Mens impartibilis exi-

iib.cap. 1. ftens raouetur, non tamen fecundum locum*& Phantafia iuxta cius

Impar-

X

107T E R T I V S

Impartibile, proprium habet motum . nos autem ad corporeos mo-

tus refpicicnics,raoius, qui in Interuallo carentibus fiunt deferimus.

A corporeo itaque loco.extcrnisquc motibus imparcibilia pura funt:

motus vero alia fpecies.aliusque locus motibus illis cognatus inipfis

confideratur . fiquidem politionem quoque in Phantafia Signum

habere dicimus, & non quxrimus quomodo impartibile adhuc ma-^

nere poteft,quod alicubi + mouctur, & a loco comprehenditur . lo-

cus enim eorum quidem ,qux cum dimenfione funt ,

dimenfionem

habet& ipfe : impartibilium vero nullam habet dimenfionem.A lix

igimr proprix Geometricarum rerum funt fpecies. Si alix qux ab il-

lis conftituuntur : alius etiam motus corporum , Sc alius eorum ,qux

in Phantafia excogitantur : nccno alius partibilium eft locus,& alius

impartibilium. Oportetque hxc diftinguendo , rerum elTcntias non

conftinderc,nccp perturbare. Videtur autem harum trium Petitio- rigrefio.

num prima quidc,in Imaginibus nobis declarare, quomodo ea,qux

funt,in fuis caulis cStinentur impartibilibus exiftentibus, ab ipfisquc

terminantur : 8c cp etiam prius qua conftituantur,vndcquaq? ab ipfis

comprehcnfa funt . nam Signis exiftentibus reifta Linea ab altero ad

alterum ducitur,ab ipfisque terminatur.& inter ipfa recipitur. Secun-

da vcr6,quo ea,qug funt proprias habendo caufas, ad omnia progre-

diuntur continuatione in illis feruanoa , quf tandem ab ipfis no abri-

piuntur : fed propter infinitf potentif caufam,vbicp permeare co_na-

tur.Tertia aut,quo ea,quf pro^ffa funt,ad propria rurfus prindpia

regrediuntur. Signi n. quod circa manens Signum mouctur conu^

luuo Circulum producens. Circularem imitatur rcgrcirum. Scire aut

oportet cp in infinitum produci non omnibus ineft Lineis . neque .n. p‘"

Circulari,necp CifToidi, neq? omnino illis, qux Figuram defcribunt, rncumc-

quinctiam nct.p illis,quf nullam faciunt Fi^ram.net^.n.vniusi^tv

lutionis Helix in infinitu producitur . nam interduo Signa conftitui-

tur . necp vlla alia carum Lincarum,qux hocmodo fiunt . At neque

ab omni Signo ad omne Signum omnem protendere Lineam posfi-

bile eft . non enim omnis Linea inter omnia Signa fubfiftcrc poteft.

Fixe etiam de his. Ad reliqua autem pergamus. ,

Petitio 4 -

fo8 I B R

Excluiit

quarti Pcfitio a Pc

titiunu nu

mero, ru

iijxta Ge>mini, tumiuxra Ari.

fcntcntia.

ide Tupc-

rius co.i.

bui* libri.

t>em6flra

rio quirtf

Petitionis

r >

Com p Petitio fi quidem tanquam manifcfta, nullaque cgcnstles

monftratione a nobis coceditur, Petitio quidc non cft ex Gemini

fententia : fid Pronuntiatum.quoddam enim redtis Angulis perfe

accidens dicit,nihil fiinplici notione facere iubens. verum necp etiam

iuxta Ariftotelis diuifionc Petitio cft. Petitio enim ex fcntcntia illius

aliqua indiget dcmonftratione . Si vero dcmonftrilbilcm ipfam efle

dicimuSjipliusque dcmonftrationem quaereremus, necp adhuc iuxta

Gemini fententiant in Petitionibus collocanda erit. Apparctitac^

fecundum etiam noftras communes notiones redforum Angulorumaequalitas . Cum .n. vnitatis, vel Termini rationem habeat ad An-gulorum,qui vtrobicp funt accretionem in infinitum , atep decrctio'

nem,refpc<fhi cuiufcuncp Redii xqualiscft . etenim primum rcdhimAngulum hoc modo conftituimus, ftantis redta: Lincae.fupcr quamftetit vtrobique Angulos, aequales faciendo . Si autem dcmonftra.-

tionem quoque Linearem de hoc afterre oportet , Gnt duo redii An'guli vnus a bc, alter dcf.

Dico quod xquales funt . fi.n.

non funt aequales, alter ipforu

fit maior, vtputa qui ad Signu

b.Si igitur Linea d c, ad Linea

a b adaptetur , Linea e f intra

cadet. Cadat vt Linea b g,&producatur Linea bc vfcp ad

Signum h.Quonia igitur An-gulus a b c rcdhis eft. Angulus

quoque a b h redius erit,&: fibi

inuicem erunt xquales . habc'

mus.n.in Definitionibus quod

rectus Angulus ei,qui deinceps eft Angulo xqualiseft. Angulus ct'

goabhmaiorcftAnguloabg. ProducaturrurfusLinea gb vfque

adk. Quoniam igitur Angulus a bgredius cft, 5^ qui deinceps cft

Angulus,rcdhis cnt,ac propterca ipfi a b g xqualis . Angulus igitur

abk Angulo a bg xqualiseft, quapropter Angulus abh. Anguloabgminorerit,fcdcratctiammaior,quod fieri non poteft. Non cft

igitur Redius maior Rcdfo . Hoc autem ab aliis etiam expofitoribus

oftenfum fuit,8«: non multa egebat confideratione . Pappus vero rC'

dic nos animaduertit quod huius Petitionis conuerfa, vera non cft,

nempe omnem Redlo xquaIem,omnino Rcdhim cllc . verum fi re-

dlilincus fucrit,absque dubio Redlum efle . Pofle autem curuilineum

quoc^

In lo.de-

finiiioDC

.

Pappi documentu.

'VDi.;.-

109T E R T I V S

quocp Angulum Rcifto xqualcm oftcndi . Et eft manifcftum quod

huiiifccmodi Angulum ,poflc Rcchim cUc non dicemus . in recftili'

neorumenim Angulorum diuifionc Redum accipiebamus ,d redta

Linea fuper fubicifta re<ftam Lineam inflexibiliter ftante ipfum con-

ftituentes. Quapropter refto Angulo aequalis non omnino Redus

cft,fiquidera neqi redilineus. Intel-

ligantur igiturdux redx Linex x-

quales a b,& b c,Angulum,qui ad b

Signum cft.rcdum facientes ,in ip-

fisque Semicirculi.Centro, Iiiter-

uallo deferipti a e b,&T b fc. Quonia

itaque Semicirculi xquales funt, fibi

inuicera cogruent , 8c Angulus eb a

xqualised Angulofbc. Coniunis

apponatur reliquus ,nempe c b c

.

Totus igitur Redus, Corniculari xqualis eft,ipfi fcilicet e b f,Comi-

cularistamcn Redus non cft. Eodem autem modo fi etiam Obtu-

fus,vel Acutus fit Angulus a b c ,xqualis ipfi Corniculatis Angulus

oftendetur ( hoc enim eft genus illud curuilineorum Angulorum,

quod cum redilineisconuenit) praeter hoc tantum,quod animad-

uertendum cft,quod in Redo quidem

, atque in Obtufo medium

Anoulum, qui i Linea c b,& b c Circunfcrcntia continetur addere

oportet ; in Aaito ver6,auferrc . reda enim Linea c b, Circunfcrcn-

tiam b e fccat. Ponantur igitur vtriufquc fuppofitionis exemplares

deferiptiones . Hxcitacpdefcripta

fint .qux quidem oftendunt &

quod omnes Redi fibi inulcem

xquales funt , 8c quod non omni-

no Red:o xqualis , Redus 8c ipfc

cft . nam fi necp redilineus cft.quo

nam pado redum quis ipfum di-

cetC Manifcftum autc ^ ex hac

quoque Petitione,quod Anguli

Reditudo xqualitati cognata cft,

quemadmodum Acumen, atqusObtufitas, inxqualitati . etenim

Reditudo quidem ,atque xqualitas eiufdem funt coordinationis

(vtraque enim fub Fine exiftit ) vt etiam fimilitudo : Acumen vero,

atque Obtufitas eiufdem cuminxqualitate funt fcrici,vcluti 8c disfi-

militudo . ex Fine enim , atque Inlmitatc omnes prpdudx funt.

Qija-

In io.de>

fioitiooe

.

Docume*tum

.

Ide vide

in», libro

cbm.io.

4oc ;1^

I tp

retitio »

.

C6m.Pcolctnf'

in Lib.cui

tituliueft,

a minori-

bus duob*

rcdlispro

dudiascni

ciJere •

In 17. pro

pone pri-

mi Elem.

C^orjdio:^icdlio.

Gemini re

Tponiio

Ariito. I.

Ethi.csp

j.idectiu

penus i • •

iib.c. II-

Simmias i

Ph^JonePlatonis

.

de quo vi

de et Plu.

invita Pe

ricUs,

Ide !n6ne

fecundi li

bri.

LIBERQuapropter alii quiejem Qjjanticatcm

Angulorum inlpicicmcs. Rectum Re^odicunt arqualcm ; alq vero Qyalitatem,

(imilem . quod enim in Quantitatibus X'qualitas, idem iimiluudo in Qpalitati'

buscR.

(iinUjas refia» i 11 . ^ «lasc a i.u..iit<ci4ciiSir.teiisOS,^ mcaJe parte Angulo* duobus Kc^is minore* fcccrir,reftai

iIUs Linea* f)iniiiHimuproducanrurcoinddcrc,inca par-

te. in <1 la Tunt Ao'»uli duobus ReSis minore*

.

HAnc penitus c numero Petitionum delere oponet . Thcorema.n,

cfl.quod multas quidem recipit dubitationes, quas Ptoleniatus etiam

in quodam Libro folucrc fibi propofuit, multis vero Definitionir

bus,& Theorematibus in dcmonftrationeindigct,&f cius couerfum

Euclides etiam tanquam Theorema oftendit . FortalTc aute quidam

errantes, hanequoque inter Paitioncscollocandam ede ccnfcrcnt,

tanquam cam,quac propterduorum Rc(Ttorudiminutioncm,Re(fla-

rum nutus fidem per fc fe prxbct. Ad quos Geminus rttflti refpondit

diccns,qu6d ab ipfis huiufcc feientiae autoribus didicimus, non pror^

fus probabilibus imaginationibus adhibere mente , ad Gtomeiricag

rationes capclTcndas . fimilc.n. cft, inquit etia Ariftotcles, a Rheto-

rico dcmonftrationespoflulare,8c Geometram probabiliter difpu-

tantem patienter aufcultarc . &T qui apud Platone Simmias, Quo-niam ex apparentibus demonftramcs vanos efle fcio. Et hic igitur

hoc quidcm,re<ftas Lineas annueredum Angulirctfb imminuuntur,

verum,atque necciranum eft : hoc v’crd, magis atque magis du pro-

ducuntur annuentes Lineas, quandoque coinciderc, probabile,non

aute nccdlar um cft,nifi aliqua ratio demonftrct,quod in rttftis Li-

neis hoc verum eft . na clTc quidc quafdam Lineas in infinitum qui-

dc annuentes,nunquam autcoincidentes, licet incredibile, admira-

bileque videatur,nihilominus veru eft, &' in alijs L inc» formis ob-

feruatum fuit . Vtrum igitur hoc in R etftis quoque fieri posfit,quod

in illis fit Lineis ^ antequam .n. per dcmonftrationcm ipfum con-

uiccrimus,qiiae in a Iqsoftcnduntur Lineis, Phantafiarmolcftiam af-

ferunt . Quod G& rationes contra coinddennam Linearum dubita-

tos

i

T E R T I V S ..I

tcs valde mordaces elIent,quomodo no cd magis probabile hoc,atqj

irrationale i noflra docfhina expelleremus C Verum quod quidemdemonflrano quaerenda eft praefentis Theorematis, &T quod a Peti -

donum proprietate alienum eft, ex his patet:quomodo vero demo'

ftrandum ipfum (it,quibusque rationibus quae contra ipfum feruntur

inftantiac auftrendx fint,ibi dicendum , vbi&Tipfc Elementorum

inftitutor mentionem eius fatflurus eft,tanquam manifefto vtcns.tucenim neceftarium eft iplius euidentiam oftendere

,quippe quae non

inderaonftrabiliterfefe offert, venim per demonftrationem mani-ftfta fit.

PRONVNTIATA.

§(1

F.xcIudiC

oino Peti

lio hzc e

numeroPecitionu.

%

I

Qua* eidem aqualia . inter fe funr «qualia

.

Er n «qualibus «qualia adiiciantur, rota funr «qualia.

Er li ab «qualibus {qualia auferantur, qu« relinquuntur «qualia ruat

Er Ii inrqualibus «qualia adiun^nrur,tora funr in«qualia

.

Et It ab mzqualibus «qualia demdrur. reliqua inzqualia fune •

Et qu« ciurdem duplicia,libi iouicem funt «qualia .

Ec qu« ciufdem fune dimidia,«qualia funt adinuicem

.

Et qu« libi cncc iplis congruunt, adinuicem «qualia liin' .

Er torum, cH fua parte maius . ,

Et dux rc£lx Lwcx Ipaaum non coaiprebcndunt ..

Primununiiatu

Haec (lint es,qux iuxtsi omnium fententiam indemonftrabilia C6m. 4.

Proniindata vocantur, quatenus ab omnibus ffe fe habere iudicatur,

& nemo contra haec dubitat. Saepenumero .n. 8i propofitiones fim-

pliciier Pronuntiata appcllant,qualefcunque fxiennt, Huc immediatp

proprie (int,ffuc aliquaedam egeant Commonidonc,&T Stoid quide idc'in t .K

omnem (impliccm cnundatriccm Orauonc, Pronuntiatum appeP

lare confudicrunt : cumque diale<flicas nobis Artes fcnbunt,dc Pro-tiundads differerc dicunt . Accuradus autem quidam ab alfjs Propo-fidonibus Pronuntiata diftinguentes, immcdiatam,pcr fefeque pro-

pter euidentiam fidem fiicientem propofitionem,hoc nomine appcl- oeoiwtnlant

.quemadmodum etiam Adftoicles, ipfiquc Geometrae dicunt, ru opmio;

idem enim eftiuxtahorum fententiam Pronundatum, &commu- Lup.l?'

nis

1 ll

Diturur

Apolloni*

PronutJ3cadc>>

mollriuic

idc fjpC'

riustc. I*

huius lib.

In demo-flrabiliaa

dcmoftra

bilibus na

tura diife

rut.&'eo-

rufcif di-

uer({ funr

idc Arirt.

i.poi>. t.

1^8(6,

Apollonii

d^o.

t*mPro»outiatoru

^prictas

.

Secunda

Pronutia-

torum 4»-

prieta)

LIBERnis notio.Multum igitur abeftvtnos Apollonium Geometram lau'

demus,qui Pronuntiatorum quoque ( vt videtur ) dcmonftrationcs

fcripfit, quippe qui ex oppofito Euclidi fertur . nam hic quidem &demonffrahilc in Petitionibus enumerauitjllc verb indemonfirabb

lium quoque demondrationes inuenire conatus eft . Ha:c autem na>

tura ab inuicem differunt, fcicntiarumque genus diuerfum eft . caru

inquam,qux fiunt drea immediatas propoiitiones, quf omnino pro*pter cuidentiam in noftram cognitionem cadunt ; carum,qux de*

monftrationibus vtuntur,quf principia ab illis accipiunt,cunique ac*

ceperint in proprijsconclufionibus decenter vtuntur.Quod autemprimi Pronuntiati dcmoftratio.quam Apollonius inucniflefibi per*

fuafit non magis cognitum conclufione Medium habet, imo etiam

magis dubium , cognofeere quis poterit fi paululum in ipfam in*

fpexerit . Sit enim (inquit) a xqualeipfi b, & b aquale ipfi c, dico

quod etiam a ipfi c xqualc eft . Cdm enima ipfi b xqualc fit, eundem occupat locum, que

b.& quoniam b ipfi c gquale eft,eundcm,que

Sc ipfum occupat locum . & a igitur eunde oc-

cupat locum, quem c.gqualia igitur funt. In his

itaque duo prxaflumpfifle oportet . vnum qui*

dem,qu6d qux eundem occupat locum, fibi in-

uicem xqualia funt : alteruni vero,quod qux » fc <

eundcm,quemidcm occupant locum,& adinui*

cem eundem occupant locum . Quod autem hxc prxfenti Pronun-tiato obfcuriora fint , manifeftura eft

.quomodo enim qux eundem

explent locum xqualia funt C fecundum Totum,an fecundum par-

tem C vel fecundum Rationis figurationem C Propterea non omni-no admittendum cft,ad lo :um tranfire,qui ijs, quf in loco funt igno*

rior nobis eft . diffidlis enim, atep ambigua eft eflentix ipfius inucn-

tio . Ne igitur prolixa oratione vtamur,omnia Pronuntiata tanquS

immediata,ac per fe manifcfta tradeda funt,cum per fc nota& credi-

bilia fint.qui enim tis,qux manifi-ftisfima funt demonftrationem af-

fert,non cofirmat vcritatem,qup de ipfis eft : Sed minuit euidentiara,

quam in indodbs prpnotionibus habemus, hoc autem de Pronuntia-

tis prxaccipicndum eft tanquam proprietatis ipforum arbitrium .&quod omnia communis Mathematicarum feientiarum generis funt,

& non foliim in Magnitudinibus vnumquodcp horum verificari di-

citur,vcrumctiam in Numcris,&r Motibus,& Temporibus . hocque

neceflarium eft. Aequale eniro,atcp Inxqualc:&Totum,atcp pars:

&

T E R T I V S

Sc Magis.ac Minus dircrctis.continuifqGe Qpantitaribuscommuniafgm. contemplatio igitur,qux circaTcmpora,& ca^qua; circa Mo-tus,&r quw circa Numeros, dC Magnitudines verfatur, his omnibus

unquam euidentibus indiget . & in omnibus verum cE tum illud,

ejuod ait quae eidem aequalia ,& adinuicera xqualia cfTe : tum cxtC'

rorum Pronuntiatorum quodeunque a nobis Tumptam hierit.Com-munibus autem cxiflentibusvnufquist^ fecundum propriam mate-

riam vtitur, quoad ipfa requirit,& aliusquidem vt in Magni tudini-

bus,aliu8 vero vt in Numcris.alitis autem vt inTemporibus, ipfis in-

(uper vtitur .& hocmodo proprix in vnaquaque feientia conclufio-

nes hunt, licet etiam Pronuntiatacommunia fuerint . Prxterca horu

etiam numerum nccp ad minimum contrahere oportet , vt fecit Hc-Ton, qui triauntum pofuit.Pronuntiatum .n. Sc illud efl. Totum efl

(lia parte maius.Geometraquc pasfim hoc in demonflrationibus af-

(urair.necnon illud.C^x fibi metiplis cogruunt fqualia (lint. etenim

hoc ftatim in quana ‘

'ropolitione ad C^ixfitum prodefl . neque etia

alia alqsadiungere,quorum alia quidem Geometricx materix pro-

pria funt.vt duas Redlas fpatium no comprehendere, ciim Pronun-

tiata communis lint generis,vti diximus : alia vero,ca, qux iam poli-

ta (unt confequuntur,vt illud, quod ait eiufdem duplida, xqualia ef-

fe . hoc enim illud confequi'tur,quod ait li xqualibus xqualia addan-

tur ,tota aequalia effe . nam qux Dimidio funt xqualia, ciim ipfum

Dimidium a{lumpfcrint,ciufdcm duplicia quidem fiunt, (ibi inui-

cem aqualia, propter equale additamentum . 8i iuxta hanc rationem

non folilm duplicia ,vertim etiam triplicia

,ciuCdemque multiplida

omnia,aequaria apparebunt . His autem Pronunuatis quadam etiam

aliaconfcribi inquit Pappus, vt Si xqualibus inxquaiia adr)dantur,

totorum excelTus , adiuntftorum exceflui xqualis efl . & ^ contrario.

Si inxqualibus jiqualia adiungantur , totorum exceflus exceflui eoru,

qux i prindpio erant xqualis efl . 8c funt hxc quoque ex fe fe mani-(^a.oflenduntur tamen hoc modo. Sint xqualia a,

fa.adnciaturque ipfis inaxjualia c,d, (it autem c ma^ius d,ipfo e, reliquum vero fit f. Quotuam igitur a

ipfi b aequale efl, nec non f ipfi d,afip(i bd fqua.*^

le erit . nam (i xqualibus aequalia addantur,tota (lint

xqualia. ac igitur ipfum bd ipfo c tantiim fupe>

rat, quo edam c folum, ipfum d (uperabat. Rur.'

fesfint inxquaiia c,d, adiunganturque ipfis aqualia

a,b,& fit exceflus ipfius c ad d, ipfum e, rel^uum verq f. Qyo-P niam

Quo e*

comunib*

principiis

fprij fiat

cnnicltilio

nes. idemfuperius

cap. pri-

mo.Hero fria

tih Pronutiaea po-1'uic.

Refecat

reitkm,S(

7. St lo.

Pronutia

rum.Pronutia

ra comu-nis sut gcneris, iiie

fuperius .

cap. I.

Quxdamalia tro_

nuntiata*

qu^aPap’po addiin

tur .

Demon—(Irarto pti

mi ProniriaiiaP»

poadicOT

DemSftrt

tiorctudi.

1 14 . L I B R

Reliqua

cx defini'

tionib*ma

mfcfta fi-

uur.

c-t'

i J

lJ-

Eoru,qtii

cotraGeomcrriamiflant diui

fio .

fTermi -

nos

.

Stoici ,

<}uorO opi

nione vi-

We in lib.

fecundo

com. r.

Tyrrho nii

Philofo -

•phi,

Epicurei.

Zeno .Si-

donius,

liber Pofidonii ad

uerfus Zcfionem

.

t Verumcniucro ,

qui de prt

cipiis di-

uerfi inter

fc atfcriiP

fermones,

sno^erar^

a nobis cx

iis,<i pcc-duc^bfo-

Juci funt.

In com«.fequenri

.

Propofitu

Autoris {

firqueeib*.

. niam igitur a ax]uale ef^ ipfi b,& fipH afipfi b d

erit fquale . totum igitur a c ,ipfum b d, ipfo c tantum

excedit, quo etiam c, ipfum d excedebat , Haec itaque,

ia di(fta Pronuntiata confequuntur , & non immerito

in pluribus cxcplaribus prxtcrmitiuntur .Qyotcuni^

autem alia hifce addit, per defininones praealTumpta

fiicrc, illasquc confequuntur. V erbi gratia,qudd om-nes Plani,& rcftx Lincxparticulx, libiinuicem con^

gruunt.qux enim in Extremitatibus fuis collocata funt,buiu(ccmo'

di habent naturam . Et quod Lineam quidem Signum, Superbcicni

autem Linea, Solidum vero Superficies diuidit . omnia enim lisdiui-

duniur, quibus etiam proximd terminantur. Ec quod Infinitum in

Magnitudinibus ed, additione, atque diminutione,potentia autem

vtrunque . nam omne continuum diuidi, augerique in infinitum pO'

tcd. Verum cnimucro quoniam de his quoque fummatim diximus,

reliquu ed vt ea.qux principia confequuntur confideremus . hucufq^

enim principia fc extendunt . Eorum autem,qui aduerfus GeomC'

triam indant alq quidem quam plurimi contra principia dubitarunt

quippe qui t partes nullam habere fubfidentiam oAcndcre conati

funt,quorum etiam rationes funt diuulgatx , aliorum quideomnemquoque feientiam auferentium , ac veluti hodium germina ab alieri»

regione, foecundaque Philofophia demolientium,quemadmodum

Pyrrhoniorum Philofophorum : aliorum vero Gcomnrica tantum

principia fubuertere fibi proponcndum,vt Epicureorum .alp autem

cum principqs iam permififlent , non poffe inquiunt ca,qux princir

pia confequuntur demondrari ,nili quoddam aiam aliud ipfis con-.

cedatur,quod in prindpqsprfacceptum non fuerit . hunc .n. contrar

dicendi modum !Zeno exercuit, qui Sidonius quidem patria , £ picur-

reus autemSc^ fuit, aduerfus quem Pofidonius ctia integrum feri*

pfit librum, imbecillem totam ipfius opinionem odendens, t Vc<

rum cnimucro cauf^ illf.xjuydc principqsrationc reddi poterat mo>

dicrf a nobis cx fjs,qux antea explicata,in vnum coacfiae,atque interdconiundx funt «Inonis aut infedum acceffum paulo podtx>n(idc<

rabimus. Nunc vero ciimTheorcniatu,! 'roblcmatumquc ferraone

8C dc difin-entiaipforum,^ dc vtriufquc partibus,& ns,qu* in ipfis

fiunt diuifionibusrbreuitcrrcfumpfcrimus , ad expofitionem eorum,

qux ab Elementorum inditutorc odenduntur acccdcmusipulchrior

ra quidem corum,qux ab Antiquis in hifce feripta fiint decerpentes^

infinicamqucspfomm fermonum prolixitatemcontrahentes : ea vcr

r?i.'n ‘i

D- Ii;

ii

T E R T I V S »«r

ro,qux magis artificiofa funt,& methodis (cientiam patientibus ple^

na tradentes,accurat^ rerum tnuflationi magis,quam Cafuum,Sum'ptionumque varietati incumbentes, ad qux vt plurimum iuuenes

Sumptio-

nu^i Yi-

. . . .rictate li-

rinis Pnnapiorum. betet cur* - - ruat

.

currentes videmus

.

PROPOSITIONES.

I Super data refla Linea termioata, Triangulum illud, quod ^ui-iMcruracA, con(litutrc«

Propo6 -

tio prima

^ rroblcDUprimum •

Vum omnis fcienna duplex (it,& alia quidem drea immediatas

Propofidones vcrfetur,alia verddrca ca.qu^ ex illis oflenduntur, &comparantur,& omnino drea ea, qux principia confequuntur fuara

euoluat tradiadoncm.hxc rurfus in Geometricis fermonibus feipGun

in Problematumquidem peracfdonem , Theorematumque inuedo'

nem diuilit . 8c Problemata quidr appellauit ea , in quibus qux quO'dammodo non funt.compararc, manifeflare , ftrucreque proponit

:

Theoremataverd;in quibus id,quod exiftit.vcl non cxiftit,pcrfpice.'

rc,cognofccre,ac dcmonftrare IIatuit.nam illaquidem Ortus,& Po-

(iiiones,& Applicationcs,&: Deferiptiones,& Infcripriones,& Cir^

cunfcripdoncs, 8i Coapudones, Sc Contaifhis,omniaque huiufce'

modi aggredi iubent : hxc vero , Symptomata , &qux Geometrixfubieifdsper fc infunt perTuadere, deraonfiradonibusqhe conuincere

enituntur . de quibufeunque .n. Qyxlitum fieri posfibile eE , de tjs

omnibus Geometrix eft rermo,alia quidem ad Problemata, alia vc'

t6 ad Theoremata referentis . etenim ipfum t quidell ] quaerit , &hoc duplidter.nam vel rarionem,& intelligcnriam quprit : vel intel'

ligenriam,& ipfam fubie<5ri eflemiam . dico autem,verbi graria,cum

quxrat,qux fit fimiliu partium Linea . hoc .n. quaerens, vel huiufce'

modi Lineg definitionem inuenirc deliderac, quod fimilium partium

Linea e(l,qux omnes partes omnibus congruentes habet: vel iplas

Linearum partium fimilium fpecies fufripere , vtputa quod aut Rc'

Aa eft,aut Circularis,aut drea Cylindrum Helix. Praeterea ante hoc,

P s ipfum

Com. f.

Scietudu

plex*

J5i<Tercn-

ria

nurum» ec

Theore—matu.

i*D primocap.huiua

Libri.

MunusProblc - •

’

matis

.

MunusTheore-matis .

De quib*

Geome—tri^fit Car

mo.Geome-tria qrit

qua ruor

ea, <1115 4ri lolcnt.

Geome-tria qrittp

su Quidef^,dupli»

citcr«

r B 5 H

inini«

Argumftum.

Q^oGi^ ipfumCficftlperfeipfqiti tjuarritj&hocni^ximriinDctcfminatior

ra: iplum nibus, difcutiens vtrum imposiibile q^o4 ab his qu^ritur.aut pol?

^oiTwi-^ locijm habet ; Sc qijpt modis . Qyinetiam ipfum

do. Qua, [quale quid cft] cum enim per fc accidentia Triangulo, SdCirculoi

Rel^o det^ Parallelis conOderet, manifeftum efl quod ipfum [ quale eft J ibi

J’foJc6- quaerit. At caufara,& ipfum [propter quid 1 Geometriam minimi

nomi"’* contemplari pluribus yifuni fuit . huiufcc enim fententiar eft 8c Am^5^«»' cn

Ariftotelc duce , Inpeniet autem aliquis ( inquit Gemi-tftia Ge- nus) huius etiam inquifitionem in Geometria

.quomodo enim Geo-

metrx non cft qufrerc qua de caufa in Girculis quidem infinita Mul-tiangula aequilatera infcribunmr.in Sphaeris vero Multiangula foli-

da aequilatcra,atque xquiangula, ex Cmilibusque Planis conftrwfta

infinita inferibere cft imposfibilc C ad quem enim fpc(fl:a|:ct hoc in.»

ucftigarc, ac inucnirenifi ad Geometram ? Qiiando igitur fyllogiC-

pfcr (]gid musGcoractrispcrimposfibilcfuerit, Symptoma tantum inucnire

cupiunt:quando autem per praecipuam dcmonftrationem,tunc nn^

fus fi quidem in paniculari ddmonftrarioncs fiant, caufanodum nu*nifcfta cft ; fi vero in vniuerfali ,m omnibusque firmlibus , continudl

Spilogiu. & ipfum E propter quid ] manifeftum fit .Verum dc Qyaefitisquido

hfc fufficiant:. Omne autem Problema,omneque Thcorcma.quodProbiemi porfi;(Slis fuiscomplctum.cft panibus, haec omnia in folaabcrc debmgTiV:ore-^ Propofitionem, Expofitionem, Determinationem, Conftnufbone^

P";,Deraonftrationcm ,& Conclufioncm. Horum autem Propofirio

quidem inquit quo exiftente Dato,quid Quitum fit.pcrfetfla enim

Propofidaex vtrifquc conftat. Expofitio vero ipfum per fe fc Dati«

matii

tc<.

Propoli—

tiohisjof-

ficium, , - , -

Ei^ofitip excipiens,Quxftioni praeparat. Determinatio autemefeorfum Que^ms othci-; . - ^

• 1 n. f /-> n n • ^

'

«m. ,

litum quod quid clt explanat. Conitrucao vcro,ca,quj; Datodefunt

J.ad Qyaefiti venationem, adqrit . Demonftrarioautem, perite ex c5«

ficiuqi. cesfis colligit propofitum. Epilogus verd , fiuc ConcluGo , rurfus ad

nonijof- Propofitionera conuertitur confirmando id, quod oftcnfum eft.

clXiiqProblematum ,.Thcorcmatumquc |>anes totfunt;

n!s ofijciu maxime autem neceflariac,& in omnibus exiftcntcs,Propofido,Dc-

KVsuf mamonftratio,& Conclufio . nam oportet& Quacfitumprfcognofce-

ximc nc-: re, 8c Medps hoc oftendere,quodqfie oftenfum cft concludere , ha-

rumque trium vt aliqua defit fieri non poteft.rcliqux vero mulus

quidem in locis accipiuntur, in multis autem nullam afferentes vuli^r

niati^, tu tatem, omittuntur. Determinado cnim,& Expofitio non flint in il-

lo Problemate, quod ait, AequicrusTriangulumconftituerc,quodFropoii - lubcatvtrunquc conun,quiadBafi|ufuntAngulorum, reliqui dii4

i. . - 1 pium.

.Digi'

T E R T I V S 117

plum.Conftruftio autem in pluribus frequenter Theorematibus no ctoDcmo

eft, t Expofitioncfufiicientecxiftentiabfque alia additione ex daris

propofitumoftendere. Quando igitur deficere Expofitionera dici* Propofi-

inusCCumin Propofiiionc nullum luerit Datum . v^uodfiPropo*

fitio vt plurimum in Datum,& Quaefitum diuifa fuit , non tamen id "

femper fit ;vcriim aliquando folum Quaefitum dicit, quod oportet Qpaiujo

cognofcerc.vcl efficere,vt in iam ditfto Problcntate . non etrim prae-

didt quo dato oportet conftitucre Triangulum Acquietus, quod ha-

beat vtruncp eorum,qui ad Bafim funt Angulorum,reliqui duplum;

fed quod opus cft hoc comparare . Et fit quidem hic etiam ex prjco-

gnitis propofiti acceptio . etenim quid Aequicrus ,& quid Aequale,

vel Duplum cognofeiraus (/hoc autem omni cogitanti difciplina; ,

proprium inquit Ariftotcles) nihil tamen nobis fubqcitur.quemad-

modum in alqs Problematibus , vtquando dkit , datam re<flam L i-

neam terminatam bifariam fecare . Uc enim retSa Linea data eft, iu-

beraurautem ipfam bifiuiam diukkrc . Sc determinatu cftquid Da-

tura quidem fcorfum,quid vero Qjisefitum fit ,Cum igitur vtruncp Qn Detcf

Propofido habuerit, tunc dc Determinatio,& Expofiiio inuenitur ;

cum autemDatum dcficit.hxc quoque deficiunt . fiquidem Expoli- no da dac

tio,atquePctcrminatio,Dati cft. eadem enim erit cum Propofitio-

ne . nam quid aliud dices determinans in iamditTto Problemate , nili

quod huiufccmodi Aequicrus inuenire oportetC tale autemerat Pro? n^uatio

pofitio , Si igitur hoc quidem Datura, boc vero Quxfitum Propofin

lio non habuerit , Expofiiio quidem tacetur , cd quod Datum , non ^

eft : Determinatio autem praetermittituc.neeadem cum Propofitio-

nc fiat . Plura autem alia quoq; huiufccmodi Problemata repcrics,8i:

maxim(f in Arithmeticis , d( in decimo libro, vt duas retflas Lineas

potentia commenfurabiles. Medium comprehendentes inuenire,& Eiem.

omnia,qux id genus funt. Omne autem Datum quatuor his modis Documf,

dari poteft.vcl Pofirione.vel Rarionc,vcl Magnitudine,vel Forma.

nam Signum quidem Pofitipne tantum datur. Linea autem, dC alia,

omnibus . cfim enim dicimus danim Angulum reiffilineum bifariam

fecare, fpeciem Anguli qux data eft didmus,'qudd fdlicet rciflilinea,

ne qfdcm methodis curuilincum etiam bifariam fecare quaeramus.

Cumverd, quod duabus datis reifrisLinds inaequalibus, a maiore

minori xqualem abfeindere. Magnitudine datae funt . Maius enim,

& Minus : Fjnitum, 8c Infinitum, proprix Magnitudinis Prxdica-

pones funt . Cum aute dicimus,quod fi quatuor Magnitudines pro-

portionalesfuenot,permuutim quo(| proportionales cnint , eadem

rado

Jbv’ -foc^k

Qtudru-pliciter

Ditu acd

fitur . Be

ideo E<-

p6 quoq;

quldrupli

cicer fit

.

Dcmndralio Geo-metrica

• duplex f.

Perfcftio

Demonis.

C5clu(io

Geometrica dimlex

dL

>i8 LIBERratio in quaruor Magnitudinibus data cft . Cum vero in dato Sigiiq

datae rctflae Linc.T xquam redam L ineam ponere oportet , tunc Si-

gnum Politione datum cft . Vnde etiam ciim Politio varia elTe pof-fit.Conftrudio quoq; varietatem fufcipit . datum eft enim Signum,vel extra Rectam, vel in Reda & in extremitate Redjc,vcl inter

ipfius Extrema. Ciim igitur quadrupliciter Datura accipiatur,manH

feftum cft quod Expolitio quocp quadrupliciter fit . At quandoqueduos ctiam,atque tres modos connedit . Illam autem, qux Demon-ftratiodicitur,quandoquc quidem propria Dcmonftrationi haben-tem inucniemus, ex Definitionibus Mcdqs Qpflitum oftendentenuhxc .n. Demonftrationis perfedio cft

:quandocp vero ex certis No-

tis arguentem . Et oponct non latere . vbicp .n. Geometria' fermo-'

nes propter fubicdam materiam NccelTarium habent, non vbiqueautem demonftrantibus methodis perficiuntur

.quando .n. c6 quod

cxtrinfecus Triaguli Angulus duobus intrinfccis,& cx oppolito exi-:

ftcntibusxqualis cft, tres intrinfecos duobus redis zquales haberci

Triangulum oftenditur, quomodoicaufa cft dcmonftratio hax?:quomodo enim Medium certum lignum non cftc" etenim nonduniexterno exiftente Angulo,cum interni cxiftant, duobus redis xquafiles funt.eft fiquidem Triangulum, Latere etiam non produdo^'Quando autem per dcftriptioncm Circulorum

,quod conftitutu cft

Triangulum.xquilaterum elTc oftenditur, a caufa apprchenlio fit. li-

militudincm cnira,8c «qualitatem CirculorumT rianguli iuxte La-tera «qualitatis caufam elTe dicemus. Quin etiam Conclulionera du-plicem quodammodo fiteero confucuerc . cdm cnim vtm Dato ofte-

dcrinc,vt vniucrfalitcr quoque concludunt, i particulari conclulione

ad vniucrfalcm recurrentes . nam cum fubiedorum proprietate nonvuntur, fed ante oculos Datum ponentes,Angulum,vel redam Li-

neam dcfcribant,quod in hac concluditur, idem in omni etiam limili

conclufum clTc exiftimant . Ad vniuerfale igitur traftendunt ne par-

ticularem elTe Conclufionem arbitremur, tranfeendunt autem rado-

ne optima,(iquidem politis non quatenus hxc, fed quatenus alijs li-

milia (unt,ad dcmonftrationem vtuntur . non enim quatenus tantuS

propolitus Angulus cft, eatcniu bipartitam fao'unt fcdionem, fed

quatenus redilineustantdm . Eft autem Quantitasquidem propoli-

IO Angulo propria : Redilineum ver6,omnibus rcdilincis commu-ne . fit cnim datus Angulus, illc,qui cft Redus . fi igitur ReditudinS

in dcmonftrationc accipcrem,in omnem Rcdilinci fpeciem tranfte-

dere minimd poircm . Si ftutem Rqditudincm qipde ipfius non fub-

— i-- iungo.

T E R T I V. S

iungo, Rc(fHlincum autem folum cofidero, fimiliter fermo omnibus

etiam recftilincis Angulis congruet . hate autem omnia.qux prxdixi'

mus.in hocprimo Problematecontemplabimur. Nam quod Pro-

blema quidem fit patet . imponit enim nobis Trianguli xquilateri

ortum machinari . Quaeautem in hoc cft Propofitio.cxDatoquidc,

8c Quxfito conflat . nam data quidc cft rc(fla L.inea terminata,qux-

ritur autem quo nam pa<ftoin ipfa xquilatcrum Triangulum conftt-

tucrctur . &T praecedit quidem Datum,fequitur autem Quxfitum,vt

coniuntftum etiam contexere posfis.Si cft rccfta Linea terminata, fieri

poteft vt Triangulum fquiiaterum in ipfa conftituatur . neque enim

re<Tta Linea non exiftente^ Triangulum conftituerctur,nama re-

ftis comprehenditur Lineis : neque non terminata. Angulus enim

fieri non poteft,nifi in vno fiat Signo,in finita: autem Extremum Si-

gnum non eft. Poft Propofitione autem fcquitur Expolitio,Sit data

rcdla Linea tcrminata,hfcce . dc vides qutklipfium Datum (blum ait

E-xpofitio.Quxfitum minime fubiungens. Poft hanc autem Deter-

minatio , Oportet quidc in data rcita Linea terminata Triangulum

aequilaternm conftituerc . &T quodammodo Determinatio attentio-

nis eft caufa . attentiores enim ad DemSftraaoncm nos efficit, Qiic>

fitum pronuntiando, quemadmodum Expolitio dociliores agit,Da-

nim ante oculos ponendo . Poft Determinationem autem Confini'

tflio fcquitur. Centro quidem altero Extremorum reifhc Lines , in-

teruallo autem reliquo, Circulus defiribatur . rurfusque Centro qui>

dem rcliquo,intoroallo autem co,quod prius Centrum erat. Circulus

defcn'batur,& .i communi fcdionis Circulorum Signo ad recls Lwnes Extrema, Linee retftc continuentur . videsquod in Confini'

tftione Petitionibus vtor • hac quidem, Ab omni Signo ad omne Si-

gnum rc<flam Lineam ducere . & hac ,Omni Cemro Sc interuallo

Circulum deferibere . vniuerfaliterenim Petitiones quidc Confiru-

(ftionibus,Pronuntiata vero, Dcmoftrationibus vtilitatem afienint.

Sequitur itaque Demonfirario,quoniam vtrunlibet Signum eorum,

quae in data rctftafunt Linea Circuli ipfum ambientis Centrum eft,

rciia Linea,quae comunem attingitCeiSioncm , datae rc^lac Lineae

aequalis cfL Propterca fan^ quoniam etiam rehquumSignum corui

quae in datafuntrecfta Circuli ipfum continCDtis Centrumcft,comu-

nem Circulorum fe<ftionem attingens reiftaLinea.datae refla: Lincg

aequalis cft . 8c horum comonitio a Circuit definitione fk,quae onvt

nes d CcntroadCirainfcrcntiaraxqualcscflc dicebatt V tracp igi-

nir,eidem aequaliscft. Quaeauieidem pqualiaj&intcrfcfunt pqua-*

Primi Eu-

clidis Pro

blematti

,fpoiteio •

Nota quoOfttnc Prohlcma^ in

Theoremj reduci

poteft.

Primi E u-cl

.prob.

Expofitio.

Dercrmi-

nacio.

<^onftru -

In coftru

iSionc Pctitioibus,

in demo-neaur pronuntiatis

Geome-tra vtuac»

Demdt

Iio LIBERlia,pcrprimum Pronuntiatum . Tres igiturrcdf Lineae inter fcfuht

aequales. Super haciiaquc rc(fta Linea aequilatcrum TriangulumTrima fo conftitutum cft. haecquidcm cft prima Conclufio, quac Expofitio-

mi probi’ nem confequuur. Poft hanc autem cft ipfa vniucrlalis. Super data

siSa •cela Linea Triangulum fquilatcrum conftitutum cft . liuc.n.

cocluiio duplam cius, qux nunc propolita cft datam feceris, eaedem ConfttU'itiones, ac Dcmonftrationes congruunt: fiuc triplam :(iue aliam

^"0^^quomc^ocunquc maiore, vel minorem ipfa acceperis . His autem

fteifle, &• .adiunxit particulam [ quod fccillc oportuit ] Conclulionem Proble^

roofVraiTeniatica cflc oftcndctis . etenim in Theorematibus adiungit particula

o^uK[ quod oftendifle oportuit ] nam illa quidem alicuius fafluram

, haec

cSfidero. vero cius.quod cft oftcnfioncm,inucntioncmquc enuntiat. Omni^no itaque haec quideConclufionibusfubdit, oftendens quod omniaPropofitionis fafta funt,& principio finem coniungens

, conuolu-tam qufdc Mentem

, rurfusque ad principium reuertentem imitans.

Non idc autc femper adiungit, fed aliquando quidc pairicul a [ quodfccific oportuit 3 aliquando vero, particulam [ quod oportuit often-

Bpiiogm. ^ propter Problematum d Theorematibus diferepantiam . Nositaque in vno hoc primo Problemate omnia hpc exercuimus, 8( per-

fpicua fecimus . Oportet autc cos,qui audiunt in reliquis etiam haec

' ^ quaerere.qux quidem horu capitum accipiuntur,qup vero omitmnr

tur.

quotmodis Datum , datum cft. Si ex quibus principqs vdConftiu(fdoncs,vcl Demonftrationcs accipimus, horum .n. pcrfpi'

cax contcmplatio,non paruam exercitationem. Geometricorumque

fetmonum meditatione afifcrt . Verucnimucro quoniS hxc quoquedaerminata funt,agd de ps ctiam,qux his annexa funt breuiter diflc'

ramus,quid Sumptio,quid Cafus,quid Corollarium, quidinftanda»Sumptio quid tp Induiflio . Sumptionem itat^ de omni etiaPropofitione,quf

‘ in alius Propofitionis Conftruclione fumitur fxpenumero prpdicaii

dicut,cx tot Sumptionibus dcmonftraticnc ipfius fiufla efte dicentes.

Propne autem apud eo6,qui in Geometria verfantur Sumptio , cft

Propofitio fide indigens.cum enim vel in Conftrucflione, vel in De-monftradonc aliquid fumimus eorum,qux oftcnfa non funt, fed ra-

tione indigent,rune id, quod fumptura cft, veluti per fc ambiguu inr

quifitionc dignum ede arbitrati ,Sumpuonem ipfum appellamus , i

Petitione, 8i Pronundato differentem quatenus dcmonftrabilis exie

ftit , cum illa abfi^ Demonftrationc ad alionim fidem facienda perfe

fumantur . In Sumptionum autem inucndoneopdmumquide cft,

Cogitadonis ad hoc ^titudo.raultoscnimineft videre acutos in for

ludo-

12 1T E R T I V S

lutionibus , nullisque methodis hoc fadentes, quemadmodum &Cratiflusnofler,qui idoneus quidem erat ad venandum Quxfitum

cx primis,& breuibus quoad Rcri poterat : vfus autem fiiit natura ad

inuentionem. Traduntur tamen methodi optima quidem illa,quae

per Rcfolutioncm ad exploratum principium reducit Quaelitum « tres,qu^a

quam 8c Plato ( vt aiunt ) Lcodamanti tradidit , cx qua ille quoque

xnulconini in Geometria inuentor hitfhis fiiille fertur . Secunda aute,

illa,qux diuidendi vim habet,quippcqux in articulos quidem genus

propolitum diuidit : occafionem vero,per aliomm ablatione a prO'

polki Confbu(ftione , Deraonftrationi praebet.quam etiam Plato

laudibus extulit, tanquam eam, qua; feientris omnibus Ht adiutrix.

Tertia vcrd.qux per dedudHonem ad impos(ibile,non id,quod que-

ritur per fc o(fcndit,fcd oppoOtum confutat ,& per accidens verita-

tem reperit. & Sumptio quidem hanc habet contemplationem. Ca- Cafiuiid.

fusautcm,diuerfos Conffru(ftionis modos,pofitionisque mutatione

enuntiat. Signis, vel Lineis, vel Supcrficicbus, vel Solidis tranfpofi-

tis.& prorfus omnis iplius varietas circa defoiptionem afpicimr.

Quapropter Cafus quoque vocatur , c6 quod Conflm^onis tran-

fpiofitiocft. Corollarium vero, dicitur quidem& de quibufda Pro- CorolU-

blcmatibus, vt Corollaria ,qux Euclidi aferipta funt . Dicitur autem

proprid Corrollarium, cum ex qs,qux demonffrata funt quoddam

aliud Theorema apparuerit, nobis minime proponentibus,quod et

^propterca Corollarium vocarunt.tanquam lucrum quoddam, quod roocilib.

Ct prarter gignentis fcientiam Demonftrarioms propolitum. Inftan-

tia autem,totam orationis impedit viam vel Conftru<fiioni,vel De- inftandi

mondradoni occurrens . 8c non eft neccHc, queadmodum cum, qui‘

Cafum proponit, PropoGtionem veram oftendere, ita etiam cum,

qui Inftantiam : fcd opus eft Indantiam dcdrucrc , vtentemque ipfa

mendacem odcndcrc.lndu(diover6,cdtranlitus ab alio Problema-^ ^

te,vcl Theoremate ad aliud,quo cognito, aut comparato, PropoGtu <j"i4"

quoque perfpicuum ed. Exempli caufa,queadmo^m ctim 8c Cubi

duplicatio quxfita cflet,quxdionem in aliud trandulcrc, cui hoc co- metnex ,

fcquens cd,duarum nempe Mediarum inuentionem ,& quaerebant “

dcinccps.quonam paido datis duabus rccdis Lineis, duae mediae pro- fimiiitudi

portionales reperirentur. Primu autem dicunt Hippocratem Chium Hippocn

pracdifdomm Titulorum IndutfHonemfcdde, qui& Lunulae Qua-

drangulum fecit xquale, 8C alia multa in Geometria inuenit,& circa ^liduCco

Titulos omnibus ingenio praeualuit . haec etiam de his . Ad propofi-

tum autem Problenla redeamus .Q|idd igituraequilatenim quidem Edulio.

Q- Tria-

ut LIBERA”“fute

interTriangiJa optimO fit, 8c Circulo maxime? cogna-

ru omniu tum omnes i Centro ad Circunfcrcndam aequales,vnamque firapli'

^‘^“^^'‘^‘^^mcxtrinfecusipfura terminantem habenti nemo cft, cui

eft.nfimi nonfitmanifeftum. Videtur autem duorum Circulorum compre-hjur^ior henfio,horumquc cx paitc vtriufquc ( non enim in toto vtrocp de-

wiort Aein illa parte, quae cx vtriufcp partibus conftat ) ofte^

quilatcrudcrcin Imaginibusquomodo ea etia, quae a principrjs egrefla funt,

wmSi idcntitatcm,&: arqualitatem ab illis fufcipiunt.nam

dentiu c6 hoc modo& quae in diredhim moucntur. Circulo quoque Circun^

t Tmcit^loluuntur.proptcr continua generatione : &: Anime ipffcum t mo-

‘rafientes habeant, per reftitutiones,&: circunuolutiones non tra-»

tonem infientem Mentis adionem affingunt . Dicitur autc 8c a duabus Mcn-

yiijificans Animarum fons contineri. Siigitur Circulus quidemTiirfo pi efientiae Mentis imago cft,Triangulum vero, primaeA nimae

,pro.*

8' “3• pter fqualitatem,&: firailitudinem Angulomm,&: Latcmra,iure fa-

ne?& hoc per Circuloscum mediu in iplis'includatur Aequilaterumoftenfum fuerit , Si autem Sc omnis Anima a Mente progrcditur,&:ad mentem regreditur ,& Mente dupliciter paiticipat

, hac quoqueratione confentaneum quidem erit. Triangulum ciim triplicis Ani-matum fubftantif Nota fit,a duobus Circulis comprehenfum,onum

Epilogui. fufeipere. Verum cnimuero haec quidem unquam ab Imaginibusrerum naturam nobis in memoriam reducant , (^onia autem quidaaduerfus aequilatcri Trianguli conftimdoncm inftarunt totam rcfel-

MwkI Geometria putantes,breuitcr his quocp occurremus , Inquit itacpceflus , Sf Zeno iile,cuius etiam fuperius medone fcci,qu6d& fi quis principqs

Geometrarum pcrmifcrit,non tamen ea, quae principia confequuturcomuni compararet confcnfu hoc ipfis non conceflo

,quod duarum

t TrianLinearum eadem Segmenu non funt , nifi .n. hoc datum

guium"S t ^^“'I^^^miTriaiigulum minimi conftituerctur. Sit

nuiw - ^ '"‘I':*'* ) ^“P«" quaIU. Sit .n. conftitucndumeftacquilatcru Tria-

gulum.Defcribantur autem Circuli,

& a comuni ipforum fcdionc prote-danturredf Lineae c e a, c e b co-mune habentes c c Segmentum.Accidit igitur Lineas quidem ico-

t muni fedionc proccnfas, Lineae a b

dataegqualcscfle,nonautcmTrian-

guh quoque Latera efle aequalia, verum duo reliquo nu'nora,ncmpe

ipfb

Tr E ’n T r V. s

ipTo ab. Hocautem non con(li(uco,ncque etiam reliqua conniiuc'

tur . Nunquid igitur ( ait 2^no ) prindpns etiam datis reliqua mini'

mc confequuntur, mfi hoc quoque pnracceptum eflet ,nteji L ircun-

ferendarum, neque rctftarum Linearum communia efle Segmema C

Aduerfusharc porro dicendum, primum quidcqu<^ hoc quodam-

tnodo in principhs pracacccptum fuit , duarum ncpcRc6arum non noiicm.*

«fTccomune Segmentum . etenim Rctftae definido hoc comprehen-

dcbat,nquidem Retfbi eft,qux ex xquo inter fua collocata eif Signa,

hoc .n. zquale c(Te Signorum intcruallum ipli Re^,eam, qux ipCt

Signa coniungit, vn a, breuisfimamque efficit, ita vt fi quis ipfam fe-

cundum partem alterTadaptet,fecundum reliquam quoque paneipfi

congmat .^m .n. in er^^remitatibus fuis fit conlfituta ,

coqudd bre-

uisfima eft tetam in totam cadere necefle erit . Deinde qu6d etiam^

jn Petitionibus hoc manifeff^ acceptum fitit . illa .n. Petitio,qux ait. rponiia.

t& reftam Liheam terminatam in dirccffiim producere ] pcrfpicu^

oftcndit,qu6d ea,qup producitur, vna clfa dcbet,vnoquc motu pro-

duci . Si libet autem& tanquam Sumptionis Demonifradone huius

accipere , fit fi fieri potelt a b“, tpfiuS • i

:a

Alia Rc>

SecudaPe

S^mollnlio conira

Zcooof.

-•)

a c, Sfipfius a d comune Segmen-

tum.& Centro quidem b, interual-

k> autem b d ,Circulus deferibatur

a c d. t^onia igitur rc^a Linea a b c

per Centrum eft duila,Scmidrculus

cftipfe acc. &rquonia rccfla Linea

a b d pjrCcmru eff protratSa', Se-

micirculus eft ipfe a c d. Aequales

ifitur fibi inuicem funt Semiarculi

a e c, a e d, quod fieri non poteft.

Aduerfus autem hanc Dcmonftra-

tionem dicet fbrfan Zeno,quod hoc quoque. Dimetientem ipfam

Circulum bifanam fccare dcmonftratum eft,quoniam nos prxaccc- Dtmoni.

pimusduarum CircunLrcntiarum non efte comune Segmentum •

fic .n. accipiebamus alteram Circunferentiarum alteri congruere,vcl

fi non congrueret,aut exrra,aut intra cadere . fJihil autem obftat (ait

ille ) non toum toti congruere, venim fecundum aliquam partem,

donec autem non demonftretur Dimetientem bifariam Circulu di-

fpefcere.ncque edam propofitum oftcndaur . His etiam Pofidonius PoHaenii’

tertti occurrit,quippe qui acutum Epicurum irrifit tanqua confinum *^'4**^'

C[u6d licet fecundum pane Circunferendae non congruant, Demon-. vi s ftrado

Arfomentum7><nonis cocra

jOO.

, !H !- I ^ R(badQ tamen bene fuccedit . nam iuxta illam panem.in qua non eo»

gruunt, altera quidem intra ; altera vero extra erit,eademquc abfur^

da Ccquentur, keifia a Centro ad externam Circunferentiam protra^

^a . xquales .n. erunt quf a Centro runt,tum maior, qup ad Circun<«

ferentiam externam : tum minor, quae ad internam . Aut igitur toc|

toti congruet , xqualesque funt ; auc fecundum parte congruens

,

eundum reliquam vicisiim variat : aut nulk iplius pars ,nulli alteriu*

pani congruit . Si fi hoc fiicrit, vel extra cadit,vel intra , harc auten»

omnia confimiliter redarguuntur. Verum de his hfcfuf(iciant.Ze<*.

moiWatio no autem aliam Demondradone adferibit huiufccmodi,<ui etia ob<

treSiare conatur . Sit ' •

duarum Redarum ac, ad,

comunc Segmentum ipfa

a b . & excitetur ipfi a c ad utuu,

Angulos re(flos ipfa b e.

Angulus igitur e b c' re ^

(fVusefl. Si itaque Angulus

etiam c b d re<fhis eft,ac'

quales erunt,quod fierind

potell . Si autem non ,eri-

gatur ipfi a d ad Angulos

reftos ipfa b f . Angulus

Igitur fb a reAuseft.Erjit c i i w .

auce Angulus etiam e b a

rc<fhis . 8i xquales igitur adinuicem r(int,quod fled non potell . Dc-

monftraiio itaque hxc eft, qua Zeno obtreiSauit,

yeluii aliquid e^

mm.qux pofterius oftendenda fimt afliimcntcra . a dato nempe SU

,. z -gno.datxRe2heRe(flamad Angulos rctflos cxdtarc. Pofidoniiu

^ « autem nufquam quidem in Elementaribus Inftitutionibus huiufce-‘^

‘

fflodi Demonftratidncm fwi inquit, verum Zenonem fuos Georae

tras veluti flagitiofa Demonftrationc vtentes calumniari : efle autem

aliquam rapntaem pro hac etiam dicendam . Siquidem eftctiaqua>

dam prorfusvtriquc RetSarum ad Angulos reftos. quxcuncp enim

dux RcAx replum Angulum facere polTunt,hocque prxaflumpfi-

musTe^m Angulu*" definientes . tali enim inclinatione folum rc-

<bim Angulum confHtuimus . Sit autem fortafle hxc,quam erexi-

mus , fiquidem ipfe etiam Epicurus ,omncsqfic alq Philofophi mutf

ta quidem eorum, qux fieri poflTunt, multa aptem imposfibilis quoqt

nutcrix,adcoaf.qucniMrcontcroplationcm fiipponcre concedunt,

Tod-

comooacm

Dk -U

i

TER T I V 'S UTToddcmtlcapquiUuero Triangulo d»<n« fint. Oportet autem reli- Finis oi-

qua etiam Triangula con(lkucrc,& primum Acquietus s Sit igitur 8'“*'®““

Linea refta a b, fuper qua oponci

Aequicrusconflituere , & dercriban"

tuK Circuli,vt ui A?quilatcro.& pro'

ducatur ex vtracp parte Linea a b, ad

cdSigna.cb igitur, ipli ad aequalis

cH; . Lentru itaque b, Interqallo aute

cbk Circulus c e dcrcribaiuq, Rurfuf'

qiie Centroquidera a, InterualloyC'

rt>da,Circulus d e ddignctur,^ iSif

gno e, in quo Circuli feinuice intede'

eant ad a b Signa re^ae Lineaeea, c bprotendantur . Quoniam igiturea quidem ipfi ad, cb vefd ipfi hcqualis efl, aequalis autem ell ad ipl> bc,eaquQq;ipl> c b xqualis

«brit. Verum maiores etiam funt ipu a b. Aequienis igitur eil Triaiir f

gttluni a b e, quod fecilTc oportuit < A t porro iulTum Iit Scalcnu con'

Rituerc Triangulum fuper. data Reifla a b . deferibantur Circuli

Gentris,8clntcruallis, vtirvprioribus. fumatur in Circunfercii' t

tia Circuli a Centrum habcoos,Signum f,S^ protendatur re^ta Li-^

ucaa f, producaturque ad gSignum, protendatur autem retfla Linea

gh.jQaoniam igitur aCentrum eft, a f »pU ad aequalis cft. Maior

igitur eA a g, ipfaadi bo<cft ipfagb- Centrum auceeA& ipfumb,

aequalis ergo cli g b, ipfi c b. Maior eft igitur g b, ipfa b a. At g a ma-

ior cftjipfagb- Tres igiturg b,b a, a g inaequales funt. Scalcnu ergo

Triangulum cftv'Triaitacjj Triangula funteonftituta. At haec qui- nocumf-

dem diuulgata funt . Hoc verd in his pulchrumcft,quod Aequila- f-*®-

ferum quidem vridcquacp fquale cxiftens,vnico modo conftituitur,

Acquicrus autem in duobus tantum Lateribus aequalitatem habens,

dupliciter conftituitur. data. n.rctfia Linea vcl ambabus aequalibust

minor eft, quemadmodum nos fccimustyel ambabus maior Scale-

ftum vero vndicpinfquale exiftens.triplidter conftituitur. nam da<« '-i

farcAa Linea vd maxima trium eft, vel minima^yel altera c]uidem

maior.alteraverorainor.&IicetvtranquefuppoGiionemvdpro-

fcndenti.ycl contrahenti exercere , nobis aute quf fun? expoGla fiif*

fidant. Vniuerfalitcr vero contemplabimurquod Prohlematu ali« froMem»

quidem (implidter.alia autem multiplidter, alia vero inlinitis modis rairsi^I

fttint rtVoeancur autem (vtinquif Amphinomus) illaquideiD, quae

firoplicuqe fonftn»untur,oixlipatf autem, quae multylicitcrj^fc.» mwT.°*

I

ProWefMmulripli-

Ctcr oid'*

ProMemaC.:ofiKfri

cum.

EfcrkntPro:»Icnu

Imnosf&t

Jc Pi^ble

maqjtvi .

^ aijiPro

fclcma

l.)e(kicns

Problema

quid-

' L’ r K ncundumquc numerum conftruuntur , Media : illa verA, quae infini-

ti;) modis varianCjlnordinata . Quomodo igitur bimplicitcr,vcl mul>

tiplicitcr Problemata quidem condruercmur.in iam di<fcis 1'riangu-^

gulis fit manifeflum . nam Acquilaterum quidem,(implidtcr : rdi-.

quorum autem duorum alterum quidem dupliciter, alter ii vero tri-'

pliciter conllituitur. Infinitis aurem modis huiufccmodi Problema-'

ta fierent,nempe datam Re<ftam in tres partes proportionales difpc-'

fcere . Si enim in duplam rationem feAa eflfet, & quod d minori fit,>

ad maiorem forma Qpadranguia deficiens applicatum fuerit,in trcs>

p Ttesxqualescrudiuifa. Si vero maius Segmentu, minore maius'

quim duplum elTet , vtputa triplum, ad maiufqfie ei, quod a minori

'

fit aequale quadrangula forma deficiens applicatum cfTct.tn tresinae-;

quales proportionales partes diuifaerii . Qironiam igitur infinitis*

modis in duas partes fecari pollet, quaru maior vel dupla efl, vel tri-

pla ( multiplex .n. ratio in infinitum procedit) infinitis modis tn-

tres quocp proportionales partes fecabitur . Scire autc oportetquddmultipliciter etiam Problema dicitur > etenim omne quod proponi-tur,Problema appellatur.fiue difeendi, fiue faciendi gratia propona-

tur. Proprie autem in Mathematicis difciplims Problema vocam^’

quod ad contemplante operationem proponitur, quod nancpin his

fit.fineni contemplationem habet. &T faepenumero quidem eorumetiam,qux fieri non poflunr.quxda Problemata vocant.Magis pro-

pnV autem id.quod fieri poteft, df Excedens non cft, nccji Deficiens

hocfortitu cft nomen . Eftaute Excedensquidem .quodait huiu-

fcemodi Triangulum Aequilatenim conftitiiere, quod habeat An-gulum verticalem duarum Tertiarum Rctfti . hoc .n. (uperuacaneu

cft,firuftraq6c adiicintr. nam omni Acquilatcro Triangulo ineft.-

Eorum autem. quxcxcedunt ,quxcuncpquidem incongruentibus,

non exiftcntibufqOe Symptomatibus redundant, Imposfibiifa haec

appellant:qupeump vero his,quf accidere poliunt,Maiora Proble-

mata haec nuncupant. Deficiens autem Problema eft, quod Minus

etiS quiim Problema vocatur.iliud,quod additione alia indiget,vt ab

fndeterminatione,in ordine,Scicntiam'qt pariente Terminu reducam

tur. : Veluti tiquis dicat Triangulum Aequicrusconftitucre.routilu

enim hoc cft , atep tndeterminamm , cgetqlie aliquo ,qui fubiungat,

quale Aequicrus,vm]m illud, quod Bafim maiorem : an illud, quodminorem vtroqt aequalium Lateru habet.necnon vtrum illud,quod

verncalcm Anglii vtnufqfeorum ,qui ad Balim funt dulpu habet,

vt&miqu?drangulum : an illud ,:quod vtnunc^ eonim, qui ad Ba-.

'I :> Cm

Di

T B R T r V S >»7

Cm (iint Angulorum eius^qui ad verticem ellduplu habet: vel quodfecundum quadam aliam rationem hofce habet Angulos, Triplam

fialicetjvcl Qyadruplam . fieri .n. poteft vt infinitis variet modis.Exhis iuque manifclhim ell,qu6d ea, quae proprie Problemata appeP

lantur,indeterminationcm effugere debent , 8c no efle ex eorum nu'mero,quae infinitis modis fiunt. Problemata tamen &illa dicuntur

per Problematis aequiuocationem . Primum igitur ElementorumProblema,huncin modum caeterisprxEat. quoniam neque Exce^

dens,neque Deficiens, neque Indeterminatum eft, neque multiplici'

tcr,vel infinitis modis c5ffruitur . tale .n. efle oportuit, quod eft alio-

rum Elementum futurum

.

Hoc po-nitur! Propone io.

<]uaitiHle

met.

Quale detcfTcpfcftu

Problemaquod &^^pric pro

biema dici

rur.

Primfi pro

blcma pri

mi Elcm

.

Crtens,f-

blcmarib*

prcilac.

Propodrio

fecunda.

Problemafccudum •

pRoblematura quemadmodum& Theorematum aha quidc funt

fine Cafu, alia vero multos habent Cafus . Quaecunc^ igitur eandem

habent vim pluribus deftriptionibus aducnientem , Pofitionesque

mutanda eundem Demonftradonis feruant modu , hacc Cafum ha-

bere dicuntur tquaccunque vero iuxta vnam tantum Pofitionera,

vnamqucConlbfudtionem procedunt, fine Cafu hacc funt.fimpli-

citer .n. Cafus ipfe drea ConftruAionem 8c Theorematum,& Pro-

blematum apparet. Secundum itacp Problemamultos habet Cafus. caTus io

Datum autem eft in ipfoSignum quidem, Pofidone,fiquidem hocAionedl.

tantummodo dari poteft : rc(fla Lineaverd,& forma ( non .n. fira-

pliciter Linea eft, fcd talis ) 5c PoGdonc.quaeritur fiquidem huicce

redhc Lineae,ad datum Signum equam rc(flamLineam ponere,vbi-

cunque hoc pofitum fuerit. Manifeftum eftautem,quod omnino in

Qooimf.

fubiedlo Plano Signum eft, in quo edam re<ffa Linea, non in fubli tmn

miori . omnibus .n. Planorum Problemadbus , atque Theoremad-

bus.vnum fubijci Planum odftimandum eft . Si quis autem dubitet^ ‘

quomodo datae retffx Lineaeaequalemponere iubet , quid .n. fi infi-

niu data eft C praefens nanque Datum ad finitam , ad infinitamque

pertinet. fiquidciaomne,qaodinquifidoni8grada propofitum no- «Wdp^'bis

I': Googja^

1x8 LIBERbis c(l, atqueTuppofitum GgniRcat . declarat autem& ipfe , aliquan^

do quidem dicens. Super data reda Linea terminata Triangulum

{«foion™ scquilaterum conllituerc : aliquando vero ,Superdatam recTtam Li-

Soiutio. neam infinitam , Perpendicularem deducere . Siquis itaque hocmo'do dubitct.diccndum quod cum cam,qux datae cft aqualis ad datum

Signum ponere adhortatus c(let,quomodo hincmanifeflum tibi nofecit quod data, finita cA C prorfus enim omnis

,quae efl adSignum

ponenda , fecundum ipfum Signum terminata efl. Quamobremmulto prius illa terminata cfl

,quae ei

,quae ponitur , xqualis cxiUit

.

Simul igitur ad datum Signum dixit, 8c vtranque retiam Lineam

tum datam, tum eam, quam ipfi ponit xqualem terminauit. Qydd

Varii hui» autem praefentis Problematis Cafusivaria Signi Pofitionc fiunt,

^ob.ca- manifcflumell. aut enim datum Signum extra datam Rctflam po-

Htum ell, aut in ipfa .& fiinipfa,aut Extremorum eius alterum criu

aut inter Extrema iacebit. fi extra ipfam,aut a latere, ita vt ab ipfo

ad retfhe Lineae Extremum protratfta, Angulum faciat : aut i dirC'

(flo datae , ita vt fi ipfa producatur , in extra pofito Signo coincidat.

At Geometra quidem Signum, extra pofitum ,& a Latere fufeepit.

Exercitationis autem gratia , omnes Pofitiones funt afiumendae

,

quarum difficiliorem nos exponemus . Sit enim data rctfla Linc^

ab. Signumque datum c,quod in

ipfa iaceat inter Extrema, &fiatiu^

xta Elementi dcKfhinam Triangu-

Ium xquilaterum fuper rct^ta Linea

c a, quod fit d c a . & producantur

dc,da.& Centro quidem a. Intere

uallo autem a b , Circulus b e de^’

feribatur. Rurfusque Centro quLdem d, Intcruallo vero d c. Circulus

e f defignetur . Quoniam itaque a.

Centrum cft, b a ,

ipfi a c xqualis

cR .& propterea aequalis cfl d c, ipfi

d f.quarum d c, ipfi d a aqualis cfl . Triangulum enim d a c , fqui»

laterum pofitum fuit . reliqua igitur a e, ipfi c f xqualis cfl. Erat

snitem a e, ipfi a b aequalis, vtoflenfum efl, & c f igitur ipfi a bxqualkcfl. Ad datum ergo Signum c, xqualis c f, ipfi a b polia

eft . Q^cnus iuque ad Signi PoGtionem totidem Cafus fiunt,

Qpatenus autem ad xquilatcriTrianguli conflitutionem,& Latc^

lura protenfioaes, Circulorutnque deferiptiones , adhucmulto plu«

res.

Dfc.;-•

T’ E '‘R T f V' S

Tcs. Sumatur enim quemadmodum in hoc Elemento Signum a,

re(flaquc Lineab c,protcndatur autem b a.Triangulum itaque fqui-laterum in ipfa nonconfbmatur fuperius

habes verticem ( quo-

niam locus non e{l )fed inferius,& lit a d b.

Aut ergo xqualis elf

a d,ipli b c : aut maior:

aut minor. Si igitur

qualis, quod iu(Tiim

erat hufhim eff . ^ Si

autem minor , Centroquidem b , interuallo vero bc. Circulus defignetur, 8c producan-tur ipfae ad.dbyfqucad eg Signa, &T Centro quidem d. interual-

lo autem dg. Circulus dclcribatur ge.v'>uoniam igitur arqualis eft

dg,ipfidc,cxCenn-ocnim funt. fed &: a d, ipfi d b xqualis efl:.

acquilaterum enim eft adb Triangulum, reliqua igitur ae,reliquxbg xqualis eft. At b g etiam xqualis eft ipfi bc, i Centro enim&illx exeunt . a e iginir ipfi b c xqualis eft, quod faciendu erat . Si ve-ro maior eft a d, ipfa b c, ( hoc enim reli- *

quum eft ) Centro quidem b , interuallo

nutem bc. Circulus ddCgnctur cc . Secat

igituripfam db. Circulus cc. Rurfus cen-

tro quidem d, interuallo autem de. Cir-

culusdefcribaturcg.Q^onia igitur d Si-

gnum Centrum eft Circuli g c, xqualis

eft g d, ipfi d e . Erat autem & d a xqua-

lisipG d b. reliqua igitur a g xqualis eft ipli

b e.Verum b e, ipfi b c xqualis eft . ambx enim ex Centro funt . a gigitur ipfi b c aqualis eft .& eft pofita adSignum a, quod erat facien-

^m. Multis autem altis cti a Cafibus exiftentibus,fatis eft hos quocpin prxfentia dcfcripfiflc . ex his etenim posfibile eft ijs, qui magis cu-

riofi funt, in reliquis etiam fc exercere . Olim autem quidam Con-ftruifeionem huiufce Problematis,& v^arietatem auferentes, ita dixe-

re . Sit a datum Signum, b c autem data Re<fla , Centro quidemn, Interuallo vero tanto quanta eft ipfa b c ,

Circulus defignetur d c,

& protendaturquxdam recfta Linea a Signo a ad Cifcunlerentiara,

qux fit a d. Hxc igitur ipfi b c xqualis eft . tanta enim erat qux ex

; r R Cen-

t $i auc minor.

Cerro quiJeb, io

tcruallo verbbe.

Circulus defai-

barur, Scfroducaruradjdbvli^adSigna gf.Sr Ce-rro quid^ d , inrer

uallo aurdgjCirculus defignetur.

Quonia itaq; x-quoliselldgiipfd e, ex Centro.n.fiint. fcd & ad,ipfi d b J*jualii iaquiJjreru.n.eft

Tota igitur a e, to

tibg ell xqualis.

Verum b g ^ua.lis eft ipfi bc, exCerro enim, ipla

ergo a e.ipfib ec-qualis eft.quodfecifie oportuit

.

Qporudaprauade-

moftracia

t concilia

bimas.

Tropo j.

ProPlcmj

lertium.

Com. 7,

Varii hui'

Probi, mabs Caliu.

LIBERCentro, quanta cflipfa bc . & fa<

(Teum ed id,quod iudum erat , Si' t

quis igitur hxc dicat,quod in prin-*

cipio c(l petit . cum .n. dicat Cen'tro a, imerualto autem b c, dercri-

bi circulum e d,xquatem jam aece i '

pit quodammodo ipG b e, ad Ex'tremum a pofitam . Si feruans Pe-

titio Extrema intcrualli , alterum

quidem eorum Centrum faciebat,

altero vero Circulum dcGgnabat : hic autcm,alibi quidem Centrumeft, alibi vero interuallum . Omnino igitur hunc demonflrandi mo-dum non ^ approbabimus.

TErtium Problema id eft datas quidem habens magnitudine duairecftas Lineas inxquales ,

iubens verd a maiori,minori xqualem au-

ferre. Habet autem hoc quoque multos Cafus. datae enim inxqua-lesredx Linex aut diftant ab inuicem, quemadmodum apud Ele-mentorum inftitutorem ; aut iuxta vnum Extremum coniungunmr;aut fe inuicem fecant : aut altera iuxta vnum fui Extremum alteramfecat ,

hocque dupliciter . aut maior minorem : aut minor maiorem

.

Verum li iuxta vnum coniungantur Extremum, maniftfta eft Dc-mSftratio . communi -n. Extremo Centro v(us

, interuallo v'erd Li-nearum minore. Circulum defignabis,& maiorem fecabis,&' mino-ri aequalem abfeindes. quantum enim Circulus intra fc abfeindir,

tamiim minori erit xquale . Si autem altera iuxta cius Extremum al-

teram fecat,vel maior fecat minorem : vel e conuerfo . Si fi feirui-

cem fecarent, aut in partes aequales ab inuicem fecantur ; aut in inar-

qualcs: aut altera quidem in xqualcs, altera vero in inaequales .

hocque dupliciter . hxc enim omnia admirabilem nobis afierunt

^crcitationis varietatem, Apponantur autetn nobis etiam ex plu-

. ribus

T E R T I V S ij-i

iribusqucdam • Sint datarre(Tcx Lineae ina;qualesab, fiTcd, maiorautc c d^Lcctqui; ipfam a b fui ipdus

H xcrciTio c ,& Centro quidem a,

Interuallo vero a b,Circulus deferi-'

batur b f, &T conftituaturTriangu«-

Ium xquilatcrum fuper a c, quod Gt

a e c,& producantur e a,e c . & rur^

fus Centro quidem c, Interuallo au'

tem c f, defignetur Circulus g f.nir-'

fusque Centro quidem c,lntCTuallo

vero c g,Circulus g 1.Quoniam igi'

tur e fgqualis e(l ipli e g (Cenmim

enim e(l c ) quaru e a, ip(i c c aeqiuk-

lis efl, reliqua a f, reliquae c g xqua^

lis erit . Venim a fetiam,ipfi a b eft

aequalis, a enim Centrum e(l<&cgigitur,ipn ab aequaliserit, 8c

haec gqualis e(l ipli c 1. centrum enim efl Signum c.& ab igitur ipli c 1

aequalis efl. Aequalis igitur ipG a bablauc{lipfa cl. Vcrtlm Gtcdminor ipfa a b, fccetquc ipfam a b,

iuxtaciuum Extremum. Aut itat^

in medio ipfam difpcfdt, aut non in

medio. Sccet primum in medio,

cd igitur aut dimidiu cH iplius ab,

&eftxqualis ac, ipfi cdraut me..-

dictate minor, 8C Centro quidem c,

Interuallo verd cd, Circulum defi^

gnansab ipfa ab ipG cd xqualem

abfeindes : aut maior medietate , 8C

ad a Signum, a fipGcd aequalem ponetu, defiaribensqbe CbculuniCcntroa,lnterualloautcmaf,abip-

Ia a b, ipG a f, hoc ell ipG c d aequalem

abfeindes. Si autem c d ipfam ab non

per mediu difpcfcit ,erite d aut ipGin

medietas, aut mediaate maior, auc

minor . Si itaque c d medietas e{l, vel

minor medietate ipftus a b , Centro

vtens Signo c ,Interuallo autem c d,

abfeindes ab ipfa ab, ipG cd arqua.<

lem,iuHumque cft. Si yetd

R •

i

h l B E . RipOl maior,V^rfus ad Signum a,ip<

(am a f, ip(i c d scqualcm ponens ,ea»

dem facies . Centro enim a, lntenial>%

}o autem a fCircutunt defignabis ab'

fcindencem ab ipfa a b, ip(i a f,hoc e(l

ipii c d fqualem . Si autem fc inuicem

interfepiret quemadmodum c d, a b.

Centro b, Interuallo vero b a , Cir-

Ollus deferibatur a f,& protraAa bn, .

producatur vf(^ ad Signum f. QuO'-

niam itaque duae rctftac Lineae inac'

quales funt b f, c d. & c d iuxta fui ip»^

(lus Extremum ipfam b f fecat, pof*

Cbilc eff ab ipfa cd, ipfi b f aequalem

facere . vtrunque enim oftcnfum cft.

jFieriigittu: potefl,viiipfi.quoquc ah I

.nb ipfa «.«^aequalia abfdndatuTv ''ih

[pjini sjb!i&-l3.fiGbi inuiccni!cquales nfune . Nos itaque cum ex diuiGonp

Cafus accepidemus,ipforum vadc' ii< .

tatem pdenderc conati fumus . Ad»mirabilis autem cfl Elemetorum iiv :i r>

fbiutons Deitionffratio,omnibus il»

la iarb ditffis ConifmAionibus coiv ui

gruens, & posGbile ell in omni poG» ' >

tionc atTExtremum maioris xqiul«

Icm minori ponere,& eodem Exoic.. .

mo Centro vtentem, 8^ poGta Interuallo Circulum defcribcre, quiminori arquaZsipabfcindct^Guefe inuicem interfcccnt,Gue

altera alteram, Gue quodam aliopoGtionBmodo fe fc habeant

.

Propo 4,

Tlieore—

ni3 primi

kiur»mprtbtnfimt^ —IfcvTi

'

f rrlifd^M tHt^^tgid,. t,u, ri» K .A

Com. I. Hoc tpriroum Theorema in Elementorum inftitudone alTuropll'

mus,qux autem hoc praccelTerunt, omniaPtoblcmata erant. Primu

* quide

T : E 'R T l V S >n

quidem Triangulorum ortum tra<fla§ t Secundum vero , ac Tertium

aequalem aliam alrj rccftam Lineam comparare proponentia, ho'

nimque illud quidem a non Aequali aequalem producebat, hoc vero

ab Ingquali per ablationem Aequale reperiebat . Quum itacp aequa^

litas quidem,quac primum in Quantitate eft Symptoma , in Triagu-

lo,re(ftaquc Linea nobis comparata fit,hoc primum,quod propofui-

mus Theorema ipfam in illis tradit.quomodonamp qui priusTria-

gula non conftituit , ortumque ipforum non comparauit de qs,quae

per fe ipfis accidunt,& de Angulorum.ac Laterum, quae in ipfis funt

a:qualitatc eratdodurgsC' Qyomodo autem Latera Lateribus , re^

(flasque Lineas alrjs redis Lineis aequales accepit, quippe qui hoc mi-

nimd problematicc pertra<fl:auit,nec machinatus cH,aequalium inqua

Redarum inuentionem ^ dicatur enim fi contingeret antequam illa

fiant,qu6d fi duoTriangula hoc aliquid habuerint Symptoma , hoc

etiam prorfus habebunt . nonne igitur fecile penitus cft t ipfi occur-

rere, quod neque omnino (cimus fi Triangulum conditui poteft ?

Subinde autem inferatur, quod fi etiam duo Triangula duo Latera

duobus Lateribus aequalia habuerint , non ne aliquis aduerfus hoc

quoque dubitet vtrum nec posfibile fit redas Lineas fibi inuicc aqua-

les eilc f &f potisfimum in Geometricis Formis ,in quibus non pror-

fusinzqualitate exidente, aequalitas etia ed . addifeemus enim quod

CorniculatisAcuto femper ingqualis ed,& nunquam fqualis,& Sc*

inicircularisfimiliter,tranfitusquc aMaiori ad Minus non omnino

per Aequale fit . Haec igitur Elementorum inditucor prius auferens,

& Triangulorum condiiutionem ( tribus enim formis comune ed )

& gqualium Redarum ortus tradidit, hosque duplices,nam alteram

quidem,omnino no exidentem producit : alteram vero, ab Inpquali

per ablationem acquirit . hisque non immerito Theorema fubdic,

per quod odenditur quomodo Triangula, quae duo Latera duobus

Lateribus alterum alteri aequalia,& Angulum Angulo aequalem ab

«qualibus Lateribuscomprehenfum habent ; Bafim quocp Bafi, 3c

Arcam Areae, reliquosque Angulos reliquis Angulis aequales habe-

re apparent, tria enim funt.quae in hisTriangulis odenduntur tduo

vero, quae dantur , Data ed itacp duorum Laterum xqualitas, vel g-

qualia duo Latera ( S( naanifedum quod Ratione data ed ) &: An-guli, qui ab aequalibus Lateribus continetur ad Angulum aequalius:

queruntur autem tna, Balis ad Bafim squalitas. Trianguli adTrian-

gulum,reliquorumque Angulorum adreliquos Angulos.Qyoniam

gutem fieri poterat vt duo quidem Latera duobus Lateribus habe-

Acquali—

us primu

in c^acica

teehsympioma.

t Ipli OC-.

currere ?

neqi.n. o-

miiino '(ci

iri’anTt!i

gulu colli

luium Ut.

Vide 1«.

Propone^

tertii Ele-

mentoru

.

Dacum hii

iujThco-rematii . -

Ciuffittnji

hui' Theo,remacis

.

'

rent

«}4 LIBERrent aequalia, Thcorcmaquc verum non ede, c6 quod alterum alteri

aequale non eft, fed vtraque fimul,propterca in Datis addidit Latc«

ra (qualia dTc, non (impliciter, fed alterum alteri > Si enim contin^

n

geret alterum quidem Triangulorum vnum quidem Latus triumVnitatum habere, aliud vero quatuor : reliquum autem, vnum qui-

dem quinque, aliud vero duarum. Angulo ab his comprchenfo Re-(flo exiftente, clTcnt quidem duo Latera (imul, duobus xqualia ( Se-

ptem enim& hfc, dc illa) non tamenTriangulumTriangulo (qua-

le oftenderetur . alterius enim Arca eft Sex,alterius vero, Qpinque .

& huius rei caufa eft, quoniam non etiam alterum alteri exiftit (qua-rujchra. Ic. Multi itaque in quibufdam agrorum diuifionibus hoc non obfor-

uantescum maiorem agrum fumplident, iufti exiftimati fiicrc

,pe-

rinde ac (i squalem furcepilTcnt.quoniam vtracp (Imul vnum agni

romprehendemia Latera vtrifquc fimul alterum continentibus La-teribus xqualia erant. Operppretium eft igitur alterum quoque alte-

ri (quale fufeipere . \ bicunque Elementorum inftitutor hoc ad:e-

ccrit,adnotari,quonia ab re hoc addit.fi quidc de datoru quocp (qua-lium Angulorum squalitate verba faciens, addidit paniculam [ ab

DocumcLateribus comprehenfum ] ne indeterminati Loquedo,

tum. aliquem fumamus eorum, qui ad Bafim funt A ngulorum. Quin-

etiam Bafim quoqj in 1 'nangulis nullo quidem Latere antea nomi-Dupin e nato Latus,quod e regione ante oculos iacetiduobus autem iam pr(-

acceptis neccnario reliquum Bafim eflefupponendu eft. Qpapro-pter hic quoque Elementorum inftitutor cum duo Latera duobus

OjoTrip Lateribus xqualia prxfumpfinct, reliqua,Triangulorum Bafes ap-

lulo^ui pellauit. Triangulum autem Triangulo tunc squale dicitur, cum

A T iArca squalis (iierit .nam fieri poteft Ambitibus squalibus

fuji <juid. exiftentibus, propter Angulorum insqualitatem Arcas etiam ins-

quales e(Tc . Aream autem voco , Spatium ipTum,quodiTnanguli

s<^ • Lateribus intercipitur:quemadmodum lan^ Ambitum etiam , Li-

neam

T’ E IR T E V' S

neam cx tribus Triangularibu* Lateribus compoGum. Diucrfum

igitur eft vtrunque, & oportet equidem propter Ambituum iuxta

vnumquodque Latus xquaiiutem.Angulos etiam aequales eiIe,G&Area Arex debet cfTc aequalis. Accidit autem in quibufdam Trian-

gulis Arcis quoque xqualibus exiflentibus,Ambitus clTc inxquales:

Ambitibusque xqualibusexiflentibus Arcas inaequales elTe. Duo-

bus enim Aequicruribus Triangulis exiftentibus, quorum vtrunque

aequalia Latera quinqueVnitatum habeat , Bafium autem alteram

quidem 0(fto,altcram vcr6 Sex . horum fan^ qui Geometrix quidc

ignarus eftmaiusdixcrit illud, quod BaGm o<flo Vnitatum habet,

totus enim Ambitus Oftodecim erit. Geometricus autem vir dixe-

rit quideni quod vtriufquc Area Duodecim eft, hxcqhe demondra-

bit Perpendicularem in vtrocp Triangulo a V cnice ducens, hanctp

cum altera pane Segmentorum Bafis multiplicans . Hucnit autem

(vtdixi) Ambitibus etiam xqualibusexiflentibus Spatia inxqualia

clTc . & quidam olim fuos participes in agrorum diuifionibus fraude

deceperunt, quippe qui propter xqualitatem iuxta Ambitum,maio-

rem agru fumpfere . Bafis verd Bafi xqualis clTc dicitur, omninoque

rcdla Linea alp rcdlx Linex aqualis eft, cum ipfarum Extrema con-

iunifta totam toti congruere fecerint . nam omnis refla Linea, omni

reflx Linex congruit : xquales autem, iuxta etiam Extrema fibi in-

ukem congruunt . Angulus autem Reflilincus Angulo Reflilinco

xqualis elfc diciturcum vno alterum comprehendcnrium Laterum

fupra vnum alterius polito,reliquum etiam reliquo congruit: cum

autem reliquum extra reliquum cadit,maior Angulus eft, cuius La-

tus extti cecidit: cum vero intra, minor, nam ibi quidem alterum

continet, hic vero continetur ab ipfo. Angulorum autem xqualita-

tem fumemus iuxta conucnientiam Laterum in Reflilineis, in exte-

risqGc omnibus, qui ciufdcmfuntfpecieijVt in Lunulatibus, in Sy>

ftreidibus.

Pulclira

coHdcra -

tio. Videcrinlib.4.

incom.^poni* j7.

Quo re-

0* I inca

alii redix

linex X-qualis di-

catur.

Quo re-

Ailineus

An^ul* re

Ailineo

Anculodicarur^qua

Us.

L IS CR.ftroidtbus, atque in vtrinque conuex» . quoniam fieri poteft vt

aequales lint,& Latera (ibi inuiccra non congruant. Rrtftus ,n. cui-

dam Lunuiari aequalis eft,& tamen fieri non potcfl , vt rediis Lineis

^di ii'irGircuiiforilniix congruant . Praeterea illud quoque pncaccipiendum

Ang iios e(l,quod Angulos fubtendere Latera dicuntur, que e regione iacenf

.

rubtedere. q j,nis cnim Triangularis Angulus a duobus quidem|Triaoguli La-

teribus continetur, a reliquo vero fubtenditur . Propterea Geometra

quoque ciim dixi^Tct Angulos xquales e(re,adiccit C fub quibus aqua-

lia Latera fubtendunt ] ncdiucrfum non ede intelligamus qualem-

cunque Angulum fufccpide, huncqfie cuicunque reliquorum Trian-

guli duorum Angulorum xqualedixiire.fcd xquales dicamus quos

aqualia Latera fubtendunt.aqualium etenim Laterum alterum qui-

dem,altcrum gqualium Angulorum fubtendit : reliquum vero, reli-

Documc quum . Ad prxfcntis itaqi Theorematis declarationem totidc t co-

tprcliii'fi<i^''^tur. Aduerfus autem aduerfarf) obictftionem illud prxalTu'

inJtur.Aj mcmus,qu6dduxre(ftxLinex Spatium non comprehendunt . hoc

DembuV' fiquidem lanquam cuidensGeometra fufeepit . Si enim, inquit, Ba»

dum Extrema (ibi inuicem congruent, Bafes quoque congruunt : (i

vero non, dux rciftx Linex Spatium comprehende . Vnde eueni(

igimr quod hoc fieri no posfitT Sint

dux Reiftf Spatium compreheden-

ducreaz tes a cJb, a db,Sf producantur in in-

nSnonca finitum .& Centro quidem b, inter-

prenijut. uallo autcm a b , Circulus a ef ded-

gnetur. Quonia itaque Linea a c b F,

Dimetiens eft , medietas Circunfe-

rentix eft ipfa a e f. Rurfus quoniam

Linea ad b e. Dimetiens eft, medie-

tas Circunferentip Circuli eft ipfa a e.

Aequales igitur funt ipfx a e , a e f

Circunfcrcntix,quod minime fieri poteft. Dux igitur reiftfLincg

Documc- nullum Spatium comprehendunt. Quod Elementorum quocp in-

ftitutor feiens, in prima Petitionum dicebat C ab omni Signo ad om-ne Signum,re<flam Lineam ducere } edquddvna reda Linea fem-per duo Signa coniungere poteft, non autem dux . nam plures qui-

dem Circunfcrentif duo Signa coniungerc poflimt& in eifdem par-

tibus, Sc incontrarqs. hoc modo cnim Extrema quoque Dimetien-

tis duabusquidem Circunferentqs, vna vero reda Linea coniunguor

tur . Fieri autem poteft vt 8c cxtra,& intra Semicirculos infinitf Cir-

j-

* cufcrendg

T E R T I V S 137

cunfcrcntiar data Signa coniun gentes defcnbantur. caufa verocft,

quoniam re^fla Linea eadem habentium Extrema cft rainima.vnum

autem vbique minimum cft,& fempermenfura aliorum inhnitudi'

nis fit .dtemadmodum igitur Recftus ipfc ciim vnus lit.menfura cg-

tcrorum Angulorum inlinitudinis fit (per hunc enim illos quoque com. 10.

inuenimus) ita etiam Rccla ad non Redarum menfurationem ma-

ximam nobis affert vtilitatem. Tot de his quoque fufnciant. Quod

autem tota prxfeniis Theorematis Demonftratio a comunibus de-

pendet notionibus.ac veluti fponte naturx prouenies cft, ab ipfaqiie

Suppofitionum euidentia cgrcffa.cuilibct manifeftum cft nam cum

diiidcm duo Latera duobus Lateribus alterum alteri xcjualia fint, (i- Theore-

bi inuicem congruunt . Cum vero Anguli, qui ab xqualibus Ivatcn- n,on„n(,

bus continentur xquales fint, ipli quoque fibi inuicem congruunt.

Angulo autem ad Angulum, Lateribusque ad Latera coaptatis , m- ^ferng etiam Laterum Extremitates congruent. Si autem hx, Bafii

quoque congruet Bafi . Si vero Tria Tribus, totum etiam Triangu>

Ium toti Triangulo ,omniaqiie omnibus xqualia erunt . Aequalitas

igitur in i}s,quxciufdcm funt fpeciei confiderata,totius Dcmonftra-

tionis caufa elfe apparuit, duo enim hic funt Pronuntiata totam pro-

pQ(][i Theorematis methodum continendi vim habentia 1. vnum oftjintm

^idem dicens quod ea ,quxcongruuntfibi inuicem , «qualia funt .

& hoc fimpliciier verum cll,- nuUaque indiget limitaddne,quo Ele-

nientorutninftiiutoi* Bal],X in Spatio,reliqmsquc Angulis vtl>

tur . h cconim InquTxqualia funt,quoniam fibi inuicem congruunto

Altcmm vcrd.quod ca. qug gqualia dau ftmt, fibi inuice congruunt*

Hoc autem non in omnibus verum cft , fcdin fis ,qux fpede fimilia fumoit*.

fbnt . Specieautem firailik hxc dico.vc reda Linearedx I^cae,&GircunfererittaCircunferentix Circuli ciufdem,&: Anguli , Iquiali-. No«

milibusfimilitcriaccn cibus Liiieis comprehenfi funt. Horumautem

rfcbqudd qux xqualia data fijcrint, fibi inuicem congruunt. Ita ve

tota Demortfti-atio ( vtbreuifcompledens dicam ) huiufccmodi fit*

Hxc bifee* xqualia data ftmtyduo nempe Latera duobus Lateribus,

8f Anguli ab ipfis comprehenfi ,hxcqbc-fibiractipfis cohueniunt.

,

Si autem hxc fibi inuicem conaeniunt , dC Bafis Bali ,omnibusque ;>

6mniaconueniunt. Si ve^bhtccconucniunii, xqualia quoque funt)

Si igitur h.xc hifcc xqualia data funi, timui etiam oftcndinir quod o>

mnTaomnibusfurttxqualiaJ&isprimtB apparet modus cognitio-

nis xqualium vndequaqi Triangulorum i Veru enim vem dc ^ t^ •

laDemonftjfaiionc hxcfa«i|ftn!t. Carp.osautem Mechanicus, qui in o.grtrfo,

; S Aftro-

ij8 LIBER

niftinflio Aftrologicatradlatione de Problematibus , atque Theorematibuj

Tae Lrmonera fufcitauit (iquidem oporcunc accidit ( inquit ) in pia*fcivcrematu (ja (jientio Hon practercatur, ac dcnicp horum diftinflionem aggrcf-

Cirpum . fus Problcmaticum genus ordine Theorematibus praecedere ait. Su-

faentia**^bieifia .n. prius quim Symptomata Problematibus inucniri quxru»

Secudaif tur. Ncc Hon Problcmatis quidem Propofitionem fimplicem efle,faeniu.

artificiofa inteliigentia indigentem . hoc aliquid enim face.*

re manifefte iubet,vt fquilaterum Triangulum conftituerc, vel dua-bus datis reifbs Lineis inaequalibus, a maiori minori aqualem abfdn-dcrc. quid enim horum difijcilc,&: obfcurum eft C Theorematis vc-

r6,difficilem,&r maxima quadam accurata vi,gignentique fcientiani

iudicio indigentem . vt nc^ veritatem cxcedcrc,necp a veritate defi-

cere vidcatur.quale fanci hoc quoip eft,Theorematum primum exi-

ftens . Praeterea in Problematibus quidem vna quxdam eft via

communis per Refo lutionem inuenta, iuxta quam procedentesremfeliciter gerere poflumus. hoc pa(fto enim faciliora Problematuminueffigantur.in Theorematibus vero adeo difficilis tradfatioeff,v(

ad tempus vfcp nofirum ( inquit ipfe ) nemo communem horu in-

uentionis methodum tradere posfit . Quocirca propter (aciheatem

r-. etiam, Problcmaticum genus fimpliciusvtiepeflet. His autem di-

ftincfhs,propterca igitur ( inquit ) in Elemeniari quoqi inllitutione

Problemata Theorematibus prxcedunt, ab hisque Eleracntoru in-

(ficutiofumit exordium ,& primum quidem Theorema ,^quartu eft

in ordine . non quia quartum ex ipfis ollenditur, fed quoniam (i ec

nullo eorum , quae ipfum praecedunt in demonflratione egeret , ilht

praecedere necellarium biii, eo quod Problemata ea funt, hoc autent

Theorema . omnino enim comunibus in hoc vdtur notionibus

,

& quodammodo idemTriangulum diuerfis in locis pofitum accipit.

i' congruentia enim, quxque ex hac oftenditur xqualitas fcnlibilem

^ prorfus, & cuidentem habent deprehenfionem . veruntamen tali

edam exifterue primi Theorematis Demonlfradonc , iure Proble-

mata praecefiore,quoniam vniucrTalitcr pdmariu ilia fortita funt Iq-

Proprii^ fiarfan ordine quidem Problemata Theorematibus prxccy.

opimo, dunt,& podsfimum apudcos,qui ab Artibus, quxdrca fenfilia vcf-

fantur,ad contempladonem afeendunt : dignitate vero TheoremataProblemadbus prxcellut .& videtur tou Geometria quatenus qui-

dem pludbus Artibus fe coiungit,problemadc^ agere:quatenus ve-

ro prim* fdcdx cohfret, Theoremadee i Problematibusad Theo-- remata, i Secundis ad Priou,& ab tjs, quaead Artesmagis ipciffana

ad

T E R T I V S/

1^9

ad ea.qnT gignendp fcicmix magis vim habent proccdcrc .Vanum nefenJit

cft igitur Gemino obcrct^tare tanquain Theorema Problemate prius

e(Ic dicenti . etenim Carpus ipfe Problematibus ipfum Praecedere

iuxta ordinem asfignauit : Geminus aute Theorematibus, iuxta per-

fccborcm dignitatem. Atqui de quarto etiam Theoremate diximus

quodquodamodo praecedentibus ipfum Problematibus indiget,in

quibus 8C Trianguloru Ortus , Sc aequalitatis inuentione didicimus.

Nuc autem addatur etiam quod ciim quidc in Theorematibus Sim-

plicisHmum fit.atq» principalisfimum( ab ipfis enim folis,vt ita dica,

primis notionibus fuapte natura odenditur ) quoddam vero demo^

ftret Symptoma ,quod circa ea apparet Triangula

,quae duo Latera

duobus Lateribus alterum alteri habentaequalia ,duofque Angulos

ab illis xquis Lateribus contentos xquales , non immerito poftPkv i

blcmata primum collocamm cft,quibus ea

,qux huic Symptomati

Subiecfla funt.omninoque Data ipfa conftruumur.

Propo f.

Thtort—mirccuo-

dun.

THcorematum alia quidem Simplicia funt,alia verd Compolita

. Theore-

dico autem Simplicia quidem,quxcuncp& iuxta Suppofitiones ,& n>«um <t

iuxta Conclufioncs indiuifibilia funt, vnum habetia Damm ,& vnu

Quffitum. exempli gratia, fi hoc modo Elementorum inftiiutor di-

xillct.Omne Triangulum xquicrus Angulos,qui ad Bafim funt,x-

quales habet. Compofita verd.quc cx pluribus conftant,aut SuppO'

fitiones compofitas habentia,aut Coclufiones Suppofitionc Simplici

cxiftente,aut etiam vtrafquc. Et horu alia quidem funt Complexa, ._ ^

alia vero, Incomplexa . Sunt autem Incomplexa quidem, qufcun^p

Compofita exiftentia, in Simplicia Theoremata diuidi minime poT

funt.quemadmodum quartum . in illo enim 8c Datum componitur,

&T confequens ,vcriim fieri non poteft vt Datu in Simplicia diuida'

tur.Theoremataque fiant, non enim (iTriangula Latera fola pqua<

• lia habuerint,vel (blum Angulum.qui adVerdcem.rdiqua accidur.

Complexa vero, quxcuncp in Simplicia diuiduntur,quemadmodu

illud Theorema [ Triangula.atcp Parallclogramma,quf fub eadem

funt Altitudine , eandem habent rationem,quam Bafes . ]

posfibilc

St enim

GfogU

AcquicruriumTfiijjulorumqui ad Bafim funr Anciili, arqualcs

' ad inuicem fiinr . A; produAtt aqualibus replis Lineis,qui fiib

Bafi fiint A nguli, fioi inuicem aquales erunt

.

I4Q L I Brrima

politio r?-

m,

Theort»'au,

t Vium-quj<)i qui

ocmComplcxipv-te no vni-

uctralicer.

t Sed eorii

caiuin,qu;

t qu».

enim eft diuidentem etiam dicere .Triangula, quf fub eade funt AI-litudine.eandcm habet ratione, quam Bafes, in Parallelogramisquc

(imiliter . Omnium autem Compofitorum alia quidem iuxta Con-clufioncm componuniur.ab eadem Suppofitionc excitata : alia verdiuxta Suppolitioncs CompoOtionem habent , eandemque omnibusinferunt Concluhonem : alia autem iuxta Conclufionem ,& iuxta

SuppofitionesCompofitafunt, Iuxta itacp Conclufioncm hic Co-politio eft,in hoc enim Theoremate tria funt ea

,qux concluduntur,

Qyod Bafes xquales, Qpdd Triangula xqualia, Quod reliqui An^guli reliquis Angulis xquales funt. Sub quibus xqualia Latera fub'tendunt , Iuxta autem Suppo(itiones,in Comuni Triangulorum,&Parallelogramorum Theoremate fub eadem Altitudine exiftcntiu

.

Et iuxta vtrutp vero,in illo Theoremate [ Circulorum , Ellipfiuqhc

Dimetientes tum Spatia, tum Lineas Spatia ipfa continentes bihiria

diuidunt.] Complexorum autem, alia quidem Vniuerfaliafunt:

alia vero a Particularibus vniuerfalc concludunt . Si enim dicamusqu6d Dimetiens Circulum, Ellipfim,ParaIlclogrammaque diuidir,

f vnumquodqt quidem Complexorum no vniuerlaliter accipimus,quod autem ex omnibus conflat vniucrfalitcr facimus . Si autem di-

camus, in Circulo omnes per Centrum tranfeuntes feinuicem bi-

fariam fecant . Segmentorumque omnium Angulos xquales fa-

ciunt, Vniuerfalc dicimus, nam in Ellipfi non omnes Segmento-rum Anguli xquales funt, t fcdfolicomm.quf a Dimetiente fiunt.

Omnino autem hafcc compofitiones Geometrx breuitaus, Rcfblu-

tionuraque gratia machinati funt . multa .n. cum incompofita qui-dem fint, non refoluuntur, Compofita autem foliim Comoditatesad Refolutionc

,qux tendit ad principia prxbent . His itaque prius

«onfideratis, quintum Theorema Compofitum omnino dicendumiuxta vtruncp Compofitum, tum iuxta Datum, tu iuxtaQux-

fitum. ^ quod Elementorum quoque inftitutor oftendens, ipfumCtim vnum fit partitus efl, 8c feorfum vtraque Data , 8c Qaxfita ap-pofuit,quippc qui Acquicrurium dixit qui ad Bafim funt Anguli, x-quales funt . rudhsque deinceps,6i^ produiftis cqualibus re('lis Lineis,

qui fub Bafi funt Anguli,gqujdcs funt . non .n. duo cllc Theorema-ta exiflimandum efl, fedvhiim, Compofitum autem &iuxtaDa-•tum,& iuxta Quxfitum . & vtrunque eorum, qux componunturperfeifhim, ac verum 'eft. Idcirco Conuerfio quoque vera efl in vtro-quc. Si .n. qui ad Bafim funt, xquales fuerint, Acquicrus efl Trian-

^um:fiauteiiiquifubBafi,xqualcsrc(ax Linex proiradx funt,

&

141T E R T I V S

Triangulum Aequicrus eft . Venim Elcmctorum in/litutor ad hoc

quidem. Angulos, qui ad Bafim funt, aequales c(Ie,ConucrfioiKm

fecicc : ad hoc vero,Angulos,qui fub Bafi funt,fqualcs cfle.minimc,

licet hoc quoque verum fit . At huiusquidem caufam poftcriusdicc'

mus. Nunc autem illudprimum quaercmus.qua de caufa hoc omni' teuom.

no dcmonftrauit. Angulos, qui fub Bafi funt,fquales efle. nequaqua outiuiio

enim hoc in aliorum Problematum , vel Theorematu Conftru(ftio'

ne,aut Demonftratione vtetur . Ciim igitur inutile fiuumm fit, quid

opus fuit huic Theoremati illud interferere C Dicendum itaque ad soiutio.

hanc Qyxftionem ,quod quanuis nufquam hoc vfurus fit , Angulos

fcilicet, qui fub Aequicrurium Bafi funt,acqualescfle, ad Inftantiaru

tamen deftruifhones, obieftionumque Theorematibus refigentium

folutiones hoc vtilisfimum erit.Ardfidofum aut cft,adfcientiaraquc

fpc(flat folutiones oppugnantiu t|s,qua: dicenda funt praeparare , re-

fponfionuqiJC fubfidia praemoliri . vt non folum eoru,qug vera fune

Demonfbrationes ex ns.quj: prius funt demoftrau,vcru ctia Falfi re-

dargutiones ex illis fiant. Et fufapies quidem tex hocqu^ in Geo-

metria ordinc,ad Rhetoricam cmolumcntu . nam qui m illis ctia fer- quo^^ciu**

monibus hoc facere potcft,&:ca,quxfcqucntibus oppugnant Capi-

tibus prxoidere, 8c ante eorum tra<ftationcm ( quod fanc praeter

propofiiu eft) alps primo ipforu folutiones praeparare , is vtique cer- cmo-

lisfimara miru in modum difputationum via praetexerit . Hoc igitur

Elemeiuorum quoque .inftitutor re ipfa nos docens,ante ea Theore-

jnata.quibus rcfiftcntes obieftiones foluemus,tp,qux nunc oftendu-

tur vtentes. Angulos etiam,qui fub Aequicrurium Bafi funt,fqualcs„

,

clfe fimul demonftrat , Si mendacii ,quod in illis eft redargudonem

praeparat. Qydd autem Inftantias.quae in feptimo,atque innonofe-

runtur Theoremate ex hoc folucnius,proccdcntibus pcrfpicuu erit.

Ex his vero patet,qua etiam de caufa ab hoc quoque Sextu non con-

uertit,quoniam neque etia praecipuam hoc affert vtilitate,verum per pcnui i>-

accidens ad tota fcientia nobisconfert. Siquisautea nobis pctat,nos

lion producentes eda xquales rciftas Lineas , Angulos, qui ad Bafim Theo-

Acquicrurium funt, xqualesoftendere (non enim opus cfTe per cos,

qui fub Bafi funt, hos quo(^ ftjuales dcraonftrarc) quodamodo Co-

ftrucftione tranfponcntes , $6eas qux extra fiunt conftruftioncs intra

ipibm Aequicrus facientes, Propofimm oftendemus , Sit .n. Aequi-

us ab c, accipiaturque in Linea a b quodcunque Signumj fitque il-

lud d. Si ab ipfa a c, ipfi ad xqualis fumatur,qup fit a e,& protraha-

mur recTtsc LineacE e, d c, d e. Quoniam iuque a b, ipfi a c a d,ipQ

a c

T E R T I V IS 145

Cbi inuicem congruere feddet, ex duobusque vnuni confcciflet , hoc

modo ipforum iuxu omnia xqualitatem obfcruauit. Confimilitcr

igitur fieri potefl , vt nos quoque in hoc vno per aflumptionem duo

Triangula contcplantes, Anguloru.qui ad Balim funt xqualitatem

demonftremus . Thaleti itaque anuquo cum multorum etiam alio- Thii« /u

niro,tum huiuTce Theoremads inuentionis caufa, gratif funt haben- hu,»Thco

dx.illcenim primus dicitur animaduertifle, ac dixifle quod vtique

omnis Aequicrurisqui ad Bafim funt Anguli, aquales runt;morcque

Antiquorum xqualeSjfimilesappeliauillc.Magis autem quis cos iu'-

niorum laude profequeretur,quiadhuc magis vniucrfalitcr demon-

Ararunt ( 6quorum numero Geminus etiam cft ) aequales redas Li-

neas ab vno Signo , ad vnam fimilium partium Lineam inddentes,

xquales Angulos fiiccrc . ita vt fiue Reda Bafim habeant, fiue Cir-

cunferentiam, fiue Cylindricam Helice, ipfarum Anguli, qui ad Ba-

fim funt.xquales fint . hoc .n. Geminus Theoremate vtcns,oftcndit Theore-

quodtresfolx Linex & non plures fimilium partium funt. Reda,

Circularis,&qux circa Cylindrum deferibitur Helix, &: hoc cft pro-

pridvniucrliJe.cuiprintd Symptoma hoc compedt, queadmodum

ftuic duo etiam Latera reliquo maiora habere, omni Triangulo per

fe inellc oftedetur . Non cft igitur vniucrfalitcr Acquicruris propriu,

Sc ficriam omni ipficompetit. Angulos, qui ad Bafim funt , xquales

jtabere : fedxqudium redarum Linearum,ad fimilium partium Li-

neam incideanum . illis enim primum ineft , xquales Angulos fub-

tendere.

PRxfens Theorema duo hxc Theorematum in primis oftendic,

Conuerfionem , Bi ad imposfibile Dedudionem . nam conuenituc

quidem prxccdenii Theoremati, oftendituraute per Dedudionem

ad imposfibile . Opcracpredum eft itaque de vtraque dicere quacun-

que adprxfcme fpedant tradationem . Conuerfio igitur apud Geo-

tlictrasdicitur aliaquidem prxeipue, 8C propriii, quando CoiKlufio^ Geome~

nes,atque SuppoGtiones adinuicem Theoremata vidsfim aedpiurtt,

& prioris quidiemCondu(io,in pofteriori Suppofitio fit : Suppefido

md

xl by Go^Ii

I++ liber'vcrOjianquam Conclunoinf..-mir. vt.Aequicrurium Triangulcrjinqui ad Balim fuiu Anguli, a^quaks funt. buppolltio quidem Aequi-crus 1 rianguluiii hiceil : koiiclulio autem, AnguIorum,qui ad Ba-fim funt aequalitas . H e quorum Anguli

,qui ad Balim xquales

, hxc\ Acquicrura lunt

.quod fane fextuin etiam 1 heortma dicit

.quippe

quod ijuppoliiionem quidc hoc fecit, A ngulos,qui ad Balim funt,aequales clTe : Conclulionem vero. Laterum illos xquales Anguloelubtendentium pqualitatem . Aliaautem,Conuerfioiuxta quandanvfolam Co.npolitorum mutationem . li .n. Compolitum Theorem»fuerit, a pluribus Suppofitionibusincipiens, in vnamque Conclulio^

txcipien^c>pit^tts Conclulioncm,vnamquccx Suppofitio-‘

tei Con- nibu»,vcl ctia plures, aliquam rdiquaruSuppofitionum veluti Coii'<

VMm^uT &: hoc modo quarto Theoremati,odfauucon-*'

fuiomy”“'•‘“tur . nam alteru quidem inquit, fub xqualibus Lateribus

, atque

concldfin,Angulis, Bafcsarqualcsflibtendunt : alterum autc, in aequalibus Ba-

Latera polita, fquales Angulos continent.quoru illud

poritionu, quidem,in aequalibus Balibus, prioris Lonclulio tliit : illud vero

,

pofita.vnaex pr.raflumptisinillp Buppofuionil^s:;modo. »lludautcm,a:qualcs Anguloscoprehendnnt,altcrain illofiiitSup-^

Duplei politio. Duabus itaque hifceConuerlionibus exifteniibus, illa quU

Praecipua dicitur,vniformis eft, atque determinata : altera

ca.fpm, autem,varia, in multumque Theorematum numerum prodredic*!!»!pomf- T S: „on in vno, fed in multis conuertens

,propter SuppoTitionutn:

in Compolitis Theorematibus cft . ba-penume-*

Scdvnum autciTi ci Ctia, quod a duabus incipit Suppolitionibus vniifflquodconuertitur, quando Suppolitiones.no prones determiBatp, fcd q^uf-

xta ^p-,. dam indeterminatae fuerint. Oponct autem in his quoque animad-j-^nnnu ucncrc,qu6d multf falff Conuerfiones fiunt,&r no funt propriti.Co-

uerliones . v’t, omnis SexangulusKumerus,T riangulus cft . non ta-men conuerfum etiam veru cft

,quod omnis Triangulus Numenu,

01 m' >

• Caufaautera.quoniam alterum quidccdmunius e^alterum verd particularius.8^ de omni altCru folam deartcTd ^ieitur^In quibus autem quod primo ineft, di fecundum quod ipfurw aecipi-^*ir, in illis Conuctfto quocp confequkur . Et hare quide Mch^chmi,»

familiares Mathematicos non latucre.IpfbrumtiutS

OH-fonucmintur Theorcmatum,alia quidem Pra-cedentiavOcar^

des,^'^ confucuenint, alia vero Conuerfa. Cum .n. quoddam genus fuppd^

Th^aliquod de ipfo Symptoma dcmonftraucrint,Prfceck:n8 hod

renu. *ppcU»ht. Cumaute/^/toaurahoSiippolitioncit) quidcm^ympio-'

ma*

Digiti:

T E R T I V S nr

tna fjcctint : Condufioiicm vero^genu*, cui hoc acciciit.Conucrfuin

tale hoc nuncupant. VI, Omne AcquicrusTriangulu Angulos, qui

«d Bafim futu , xqual es habet hoc Prfcedens eft . fubr)citur enim id,

<(uod nacuraprxct-dit, genus inquam iplumAequicrus Triagulum.

Omne Triangulum duos Angulos xquales habens , Latera quoque

iHos xquos Angulos fubtendentia habet aequalia,

eft Aequicrus.

ItocConucrfum cd.Subietftum enim,huiusquepas(ionem immutat.

&hancquklemfupponit, illud vero ex hac oftendit. Tot de Geo- Epilojui.

metricis Conuernonibus erant nobis dicenda . DeducTtiones autem

ad imposfibile, omnino quidem in cutdcnsimposfibile delinunt, cu'

iufque contrarium omnes fatentur. Accidit autem alias quidem ipfa^ ap|,d§ea

fum in ca, quxcommunibus notionibus, vel Petitionibus , vel Sup-

politionibus opponunmrdelinere : alias vero in ea,qux qs,qux prius

demonflratafunt contradicunt, nam praefens quide fextum Theo^

rema id, quod accidit, imposfibile efle oftendit.eo quod commu-nem dcllruic notionem. Totum fua paitc maius dicentem. 0<fla-

oum vero in imposfibile quidem incidit, no tamen in id,quod com-

munis notionis dcllruendx vim habet, fcd cius, quod per feptimum

Theorema oftcniumcfl:. c|uod enim Septimum negauit,hoc illud

affirmans ollcndit iis,qui QpxCtum non concedunt . Omnis autemad imposfibile Dedu(fHo quod Quxfito oppugnat accipiens,hocque

fupponens progreditur, donec in exploratum abfurdum incidat, per

illudquc Suppolitionem auferens ,id

,quod i principio quaerebatur

corroboret . Omnino enim (ciendum eft,quodomnes Mathcma-

licx probationes, vel i principiis funt, vel ad principia, vt alicubi

Porphyrius tftiam dicit . Et qux a principi)s quidem duplices& ipfx

funt. aut enim i communibus notionibus,afolaquceuidcntia fidem Porphyrf'

p:r fe facienti emanarunt : aut ab ns.qux prxoftenfa fiicre. Qpx au-

tem ad principia,vel ponendorum principiorum.vel dcftruendorum

vim habent.Verum ponendi quide principiavim habentcs,Rcfblu-

tioncsappellanrur,hisquecopo(irione8opponuntur.nam fieri poteft

vt d principiis illis ad Quffitu ordine progrediamur , &T hoc nil aliud

quam Copofitio eft. Dcftruendi vero vim habetes, Dcduftiones ad '

imposfibile nuncupantur.aliquid.n.eorum,quf conccfTa funt,cxplo-

rataque habentur dcftmcrc, huiufcc vix opus eft . Et eft in hac quo-

que Ratiocinatio quxdam, non autem eadem,qux in Refblutione.

inDeduiflionibuscnimadimposlibilc iuxta fecundum Hypotheti-

carum Ratiocinationum modum Complexio eft . vt li Triangulo-

rum xquales Angulos habentiu Latera aequos Angulos fubtedentia

-.

. T fqualia

»4« L I B Raqualia non funt,Totum fua parnaquale eft ; verum hoc fieri nonpoceft . Trianguloruo^ ioiiur duos Angulos fquales habentium Lt»-

Bpiiogus. tera quoque aquos Angulos rubcendentia aqualia fune. Totidemde ea ctiaui,qux apudQeometras Dcdu(ftio ad imposfibilc vocatur

ntprinci- fufficiant. Vtitur aut(quod ia dixiauis)Elemcntorn inditutor Con-

cdracmi*. ucrfionc quidcm, in PropoGtionc, quippe qui Conclulioncm .quinti

Theorematis vcluti Datum acccpit,illiusque Suppoitiionem tan.qua

QuaGtum adierit ; Deriu<ftionc autem imposfibilc,in ConfirU'

Qiiidihu <ftione,atque in Depiondratione. Si autem aliqui furgant dicentes^

quod no oportet ipfi a b ab ipfa a c xqua-lem auferentem, ad SignueTaccreabU' nu;. ‘Un

tionc, Ced adSignum a , hanc quo^:}t po^'i

nentes Spppofitioncm in idem impo^fi' t,

J}ile incidemus. Sic ,n. ai),aqualis ip(id.d,

producatur ba, poftaturqfie afqual«;fT;!

a c, ipfi d c. Tota igitur 1> q, toti a c fquar

Iis cli:.Conne(daturipfa ce.Quoni.t itacp

a c xqualis eft ipfi b e ,, comunis aucc b c,

dup duabus xquales funt, d< Angulus,

qui adSignum b , Angulo ac b xqualis

,

ed.Sic.n.pcfitum(uit..S^ omnia igitur

omnibus (per quartum Tlicorcma) X'qualia funt . Qiiamobrcm Triangulum

quoque e b c,Triangulo a b c pquale eft.

Totum parti,quod minime fieri poteft,

Verum quoniam hoc quoque luanifcftwm .eft, fcquitur vt reliquum

> . etiam Conuerfionisoftctidamus. nam Elementorum quidem infti'

tutor ad quintiTheorentatis pane, totum fextum conucnit . OpC'.rxpretium eft autem reliquam quocp Conucriionem adneere . hax:

^autem eft illa,quxacripit,quidem tanquam. SuppoGtioncm,cuiuf'

dam Trianguli Angulps, qui fub Bafi funt , xquales rilc : oftcndic

vero Triangulum cfte Acquicrus .Sit igitur acb Triangulum,

&

nmore. producantur a b , a c ad Signa d g, fintque Anguli,qui fpb Bafi funt,

ucrfiom" - xquales . Dico quodTriangulum a b c, Acquicrus eft . Sumatur .n.

membri, ad Signuiq C> ipfiqiic b c xqualis c f. 8i connctftantur Linep

c c, b f, cf. Quoniam igimr b c, ipfi c fxqualis eft .comunis aute b c,

.dux duabus pquales funt . & Angulus c b c.Angulo fc b pqualis eft.

fub Bafi enim (lmc.& omnia igitur omnibus (per quartum Theo-

:renia ) xqualia funt . Bafis igitur c c, Bafi fb xqu^is eft , Angu»

lusquc

T E R T I V S 1+7

lusque bcc, Angulocfb:&Angulus cbf. Angulo bcc.

fub ipifs enim arqualia Latera

fubcendunt . ctat aurem tonis

ebe Angulus toti febAngU'lo xqualis,cx quibus Angulus

fb e. Angulo e eb aqualis cR.

& reliquus igitur e b reliquo

fe e xqualis . cft autem b e,

ipli e f : & b ipli e e xqualis,

xqualesqGe continent An^gulos . & omnia igimr omnUbus gqualia funt

. Quapropter

Angulus criam bcf. Anguloe fe xqualis eft. QyamobremLatus quoque a e , Lateri a f

fquumcft(pcrfextum,often^ ^

fum .n. eft) ex quibus b e, ipli,

e fxqualis eft. (re enim ablatgfuere.reliqua igitur a b,reliqux ac a&«’

qualis eft. Aequicrus ergo eftTriangulum a b e .Tum igitur fi duos,

qui ad Bafim funt Angulos,xqualcs habuerit, Aequicrus eft : tum fi

Lateribus productis duos,qui fub Bafi funt Angulos gquales habue^

rit, hoc etiammodo datum Triagulum Aequicrus erit. Qyadecau' o^*'**'*

fa igitur reliquam quocp partem Elementorum inftitutor non con^uertitC An quoniam quinto etiam in Theoremate A ngulos.qui fub

Bafi funt xquales efle extra propofitum erat, aliorum dubiorum fo-

lutionis gratia edimm. illud autem Angulis,qui ad Bafim funt gqua^

libus exiftentibus Triangulum Aequicrus elTe neque ad prxeipuamDemonftrationem,ncc^ ad eomm.qux quaeruntur folunonem ipfi

confert, aim fcquentibus etiam Theorematibus hoc confirmetur,

ipfique anfam illa prxbcSt, Angulis,qui fub Bafi funt,gqualibus exi-

ftentibus, Aequicrus& Triangulum oftendi f fi .n. omnis refta Li-

nea fuper reftam confiftcns Lineam,duo$que Angulos (aciens,duo-

bus retftis xquales efficit : A ngulis, qui fub Bafi funt xqualibus datis,

& qui ad Bafim funt , omnino xquales erunt . his autem aequalibus^

exiftcntibus,& Latera ipfos fubtendentia erunt xqualia. Hoc itaq^

intotaBlementariinftitutionevfus Euclides accipere potuit, quodAngulis.qui (iib Bafi funtgqualibusexiftentibus,Triangulu Aequi-

erus eft. Siquidem hoc quoque indigebat ad quonmdam Theotf-

T a matum

-- b, ; .oogie

.-jT

i

>48 L I B Rmatum Demondrationcm . nam paulo poft apparebit Theorema

>ropo ’J-oftendens.quod fi rc(fta Linea fuper re<f]tam confiftens Lineam An-gulos feccrit,aut duos rcc^os,aut duobus rcftis arquales cflkict.& qug

quidem hoc praecedunt, hac Conuerfionc nihil indigent:quae vero

hoc fcquuntur, hac indiguere, hocque Theoremate fidem facient.

Supereidem r«4ta tinea duabua eifdeni reftis tineis aliiJuji se-' tlx tine; f^ualcs alteri ilten,ad afiud arque aliud Sicnum,ad

adcifdein pittesieadem Extrema cum duabus ioitid <ui4Uste.fbs tmeis habentes non conlliiuentut.

C&n.ii.

Ariftote

.

in i.po.ft

lex.ji.

t nam fine

affirmone

neque

Prima hu-ius Theo-rematis c6dstio.

Seeoodi.

Tertia.,

P RxfensTheorema rarum quid padum eft,quodhaud firequenter

i}s,quxracnriampariunt Propofitiopibus euenircfolet.pcr nega-

tionem enim,& non per affirmationem formari, non fatis proprium

ipfis eft . vtplurimum .n. tum Geometricorum, tum Arichmcticoru

Theorematum Propofitiones, affirmationes funt . Caufa autem (vt

inquit Ariftoteles) quoniam vniucrfalc quidem affirmans ftientiis

maxime conuei>it,tanquam magis idoneum, negationeque nihil in-

digens : vniucrfalc verd negans, affirmatione quoque indiget, fi de-

bet oftendi t nam ex negantibus untum neque Demonftratio eft,

nccp Ratiocinatio qufdam . Atque idcirco Demonftrantcs fdentix,

plurima quidem affirmantia oftendunt, raro vero negantibus vtun-

turconclufionibus. Admirabili autem diligentia plena eft huiufcc

Theorematis Propofitio,omnibusquc additionibus vintfla, quibus

adeo ccrta,atquc indubitata fa<fla eft, vt ab ijs, qui calum niari conan-

tur,coargui,couinciquc minime posfit . nam primo quidem panicula

illa C fuper eadem refta Linea ] fumptaeft,nc fuper alia duasduabus

alteram alteri xquales oftendamus, Propofitioneqfie vtentes circun-

ueniamus . Secundo vna refta Linea exiftete, no inquit fuper ipfam

duas duabus xquales fimpliciter conftituere ( hoc enim fieri poteft )

fed alteram alteri .quid.n. mirueft vtrafque vtrifcpgqualesfumpfir-

fc eum,qui alteram quidem camm, qux conftituuntur protrahit ; al-

teram vero contrahit C Verum alteram alteri ( inquit ) imposfi-

bile . Tertio addit paniculam c ad aliud atque aliud Signum] quid

enim fi quis cfim primis duabus duas alias alteram etiam alteri aqua-

les fecifiet , hafcc illis in code Signo,quod fubieAas redfas Lineas iu-

xu verticem coniungit,coaptaflct,hasque conftituifict f omnino .n.

«equalibus retftis Lineis exiftentibus. Extrema quoque ipfarum con-gruet.

I

I4>T E R T r V S

gruent. Quarti adiecit particulam [ ad cafdem partes 3 quid enim fi

vna rccfla Linea fubicdta alteras quidem redarum Linearum ad alte-

ram ipGus partem,alceras vero ad alteram pofuiflemus.ita vt reda il-

la Linea coniunis duorumTriangulorum oppofitos veraces haben-

tium Bafis cflTct f Nc igitur hoc pasG ,noftram deceptionem ad Ele-

mentorum inftitutorem inferamus ,adiecit particulam [ ad caldem

partes,] . Qsiiotd fubdidit [ cade Extremacum duabus initio dudis

fcdis Lineis habentes ] fieri nanque poterat, vt quidam fuper eadem

reda Linea duas duabus alteram alteri aequales , ad aliud atque aliud

$ignum,ad qafdcm partcsconftituilTet, tota reda Linea vfus ,& fu-

per hac ipfa^duas conftituens, t)s,qu9 conlHtuuntur non eadem Ex-

crema habentibuscum iUis.quae initio dudacerant.fi enim in Qua-

drangulo duas Diagonios in vnoQijadranguli ipGus Latere intcllc-

aterimus, duae duabus aquales eninc; Latus,& Dimetiens:parallelo

L4tferi,alteriquc Dimetienti . Verum equales eadem non habebunt

Extrema . neque .n. Parallelae^ neque Dimetientes eadem ad inuice

Extrema habebunt . ipffautem erant xquales. His igitur diftindio-

nibusfeniatis &: Propofitiovcra, & Ratiocinatio ceru oftenditur.

FoitalTc autem quidam prxtcrhos quoqj omnes fcientiam gignen-

tesTerminos inftarc aufi efient dicentcs,qudd his ctia fuppoGtis, fieri

poteft vt id, quod Geometra dicit ira-'

posGbile fit. Sit.n. ab reda Linea, r

& fuper hacduabus a c,cb,duffqua- .

lcsad,db,fintqhc hx extra illas , vt

adaliudatquc aliudSignum,c nempe,

atquedfint, cademque Extremacura

ijs,quxinitiddudxfunt redis Lineis

hal^ant, a feilicet , atque b. &T fit ac

quidem xqualis ipfi a d : b c vero, ipfi

b d. Aduerfus itaque hoc modo infta-

ces occurremus, connedendo quidem

Lineam dc, producendo vero Lineas

a c,& a d ad Signa e f . his .n. confiru-

dis manifcftum,quddTriangulu qui-

dem a c d Aequicrus ed,aquali exifte-

tc (vt alTcrit eorum oratio)a d,ipfi a c:

Anguli vero,qui fub Bafi , xquales.

Angulus fcilicct e c d. Angulo fdc.

Angulus igiturfdc,maiorcllAngulobdc. multomaior igitur e(l

Angu-

i I

Qljscta.

Qijiou.

laSanta.

.t:i

• -rorJsX

Xcfpofio.

>i-p liberAngulusb c d,Angulo b dc , Sed quoriam rurlus Linea d b aequa<>

inftagj quisautem dicat quAd fint fuper rccfla Linea a b.rccTi* Line* b d »•

b c fquales rc<fbs Lineis a c,a d,quarum b c quidem pqualis fit ipfi a cJ

b d vcrd.ipfi a d,ad aliud atep aliud Signu,a fcilicet.atq; b, ad eafdena

panes, eadem Extrema cum ipfis a c , a d habentcs.c nempe. Si d Si>Rcfpofio. gnum,quid ad hunc fermon era dicemus f An quod oportet primas

etiam n.’(ftas Lineas fuper rccfla Linea a b conftituere,hifquc xqualesfuper eadem rcdla Linea a bconllirui f hoc modo enim Elemento^rum quoqp inftitutor in Propofitione dicit. Ipfc autem a c,8c a d rc(flg

Linex non funt fuper re<fla Linea a b, fcd adquoddam cius Signumconftitutx funt

, Si non fuper ipfa. Quamobrem alix quidem funt

. ^ quxfupcrabrc(!laLineacon(iftunt,vtac,cb,Sfad,db:alixvcrd

t quxque rc<llacillp Linex,qux a prindpiopofitx fuerant fquxque ipfis fqua''jf**j.^",lcs conditui debent . cum tamen opus fit redas Lineas

,qux fuper

reda Linea a b conftituuntur, xquales ipfis cfle,qux erant fiipcr ipfa

a b reda Linea. Tot edam aduerfus hxc,&f aduerfus hanc quxdio'nem fufhciant . Quod autem prxfensTheorema ab Elementoruminditutor per Dedudionemad imposfibile odenfumed, &'^qu6dimposfibilc ipfum communi oppugnat notioni dicenti,totum cd fua

parte maius : 8f,idcm maius,xquaIequecirenon potcd,manifedumxft . Videtur autem hoc .Theorema Sumptio prxafTumpta odau»

i e

lis cd Linex b c. Anguli etiam, qui adBafim, xquales funt,nempc Angulusbed. Angulo bdc. Idem igitur 8Cmulto maior.Sf xqualis cd,quod mL'nim<i fieri poted. Et hoc quidem cd,quod in exponendo quinto TheorC'mate dicebamus

,quod, Angulos,qui

fub Bafi funt, fibi inuice xquales efle ,•

quanuis ad fcquentium TheorematiiDemondradones vtilc non fit , ad lit'

dandarum tamen fblutiones maximSadert vtilitatem . in prxfenda nanqueIndantiam redarguimus,quoniara ac-*

cepimus qu6d a c,a d pqualibus exidc.*

dbus^AnguIi quorp ecd,fdcxquale»erunt. Confimiliter autc in alqs quocp-

Theorematibus ad dubiorum folurio-*

ne»m axim^ nobis cofcrre apparebit

Theo-

Di

T E R T I V S iri

rcmatis^ne , ad illius nanqi Dcmonflrationcm confert,& nccp Elc-

menioroiimplicitcrcftjnccjucElementatc.non.n.ad plura fuam

c)(tcndit .viijitatcra , Rarisltmum igitur apud Gcomarara jpGus

vium r<pericmu8«

I riiiiguiaOuo Lateri duobus Lateiuw^UcrutnaU;-ri xqualii habuerint,habuerint aut fc Satrni Itafif flalcm; ,

Angulum <]uoque Angulo ab xqualibui reflit Lauciicoa-

lentum, xqualcm habebunt .

Propo S.

1 heote--

Ria. t •

OCtauum Theorema quarti conuerfum ^ft , non iuxta prxeipuam

Conuerfionem fumptum . non.n.totam illius SuppoGpojicm.Con-

clufionem ; totamque Conclufionem, SiippoGtioncm fecit . V crura

aliquam quidem SuppoGtionis quarti Thcprcraatis^p^m,aliquara

vero QuxGtorum.qux in illo funt contexens, vnu quid oftendit eo-

rum, qu» in iUo Data fuere . nam hoc quidem, duo Latera duobus

Lateribus xqualia eOc ,in vtroque SuppoGtio cft? hoc vero ,

Baluii

Bafixqualem c(rc,in illo quidem vnum QuxGtoruraerat.mhoc,

autem Datum cft : hoc autem. Angulum Angulo xquum clTc, Da-

tum quidem in illo, QuxGtumverdin hoc. Sola igitur Datorum,

Quxfitorumquc immutatio ConucrGoh.em efRcii . Siquis autc cau-

fitm addifcecedeGdcret,propter quam otflauum in ordine poGtu tft,

& non ftatuu poft quartum tanquam illi Conuerfum,quemadmo-

dumTanepoft quintum fextum,quippe quod ipGus quinti Conuer-

fum eft ,plurima Gquidem eorum ,

qux conuertuntur Prxcedcnt a

confequuntur,&: poftipfa nullo mediointercedente oftenduntur,di-

cendum quod feptimo quidem odauura indigebat . nam per Dedu-

ftionem ad imposGbilc oftenditur ,imposGbile vero quod tale Gt , i

feptimo fit cognitum • Hoc autem rurfus in Dcraonftrationc,quinto

indigebat. NcccOTarid igitur fcptimum,ac quintum ante hoc, quod

nunc oftenditur Theorema prxalfumptum luit. Quonia vero Con-

uerfum quoque quinto facilem,& ex Primis,

Deraonftrationcm ha-

bebat, iurc ftatim poft quintum collocatum fuit,propter cognatio-

nem, quam habet cum illo : Sc quoniam ctim per Deduiftionem ad

imp^fibile oftendatur, 4 comunibus notionibusqu^ fieri non po-

teft redarguit,& non ( quemadmodu oiftauu) ab alip.Thcorematc.

cuidentima .n. ad redargutione funt ea,qux comunibus notionibus

oppugnanda funt,tis qu* Thcorenudbus cowradi^t . hfc fiquidc

Com. IS.

QjjlUo

R.el]'6fio.

-i a

-hgir jd by CjOOgtc

VtnIoaWDcmoo-Qaoa.

Caiis Dc

tiomi Pbi

Ionis.

Fnmui.

fcoind iLi»

*r* LIBERper Dcmonftrationcm (iitnpta (iint, illorum aute cognitioDemon-Urationc melior cft. At Elementorum quidem inllitutor ex iamde-monArato Teptimo Thporematc quod nunc proponitur oAendit.Philonis vero familiares dicunt huius nihil indigendo otflauu fc de-monAratum ire . intelligantur enim ( inquiunt ) duobus TrianguliscxiAcntibus a b e, &T d e f, duoque Latera duobus Lateribus aqualia,

Balim b c,Bafi e ffqualcmhabentibus, Ba/is Bafi con-gruens, Triagulumquc ab e,

& Triangulum d e f politumin eodem quidem Plano, ne

Bafis decimano duorum fit i

ad alteram vero vteunt^ ip-

fius cf retffacLinex partem,ka vt oppofiti iplbrum verti-

ces fint, viceqlic ipfius ab e,

fit hoc modo politum ipfume fg . fit ipll ejuidem d c,ae-

qualis e g ; ipfi autem d f, ipfa

fg . Ipfa itaque fg aut in dire-

dirctfW polita erit Linex d f,

aut non in diretAum . &T fi n5in directum, aut iuxta interna partem Angulum ad ipfam fiiciet : autiuxea externam.Sit primilm in diretAu polita. Quoniam igitur {qua-lis eA d e ipfi e g.vnaqfie eft Linea ipfa d fg, Tnangulu d cgAequicrus cA,S<r Angulus,qui

ad Signum d. Angulo, qui adSignum gxqualiseA. Sivero

non indiretfhim iacet , intus fa-

ciat Angulum , conetAaturqiic

«Ig- Quoniam igitur c d,cg x-quales funt, Bafisque d g. An-gulus«iam cdg Angulo c gdxqualiseA. RurfusquoniSx-qualis eAdf, ipfi fg, Bafisque

dg> Angulus quocp fdg,tAn-gulo fg d xqualis eA. Erat aut

& Anguluscdg acquafisAnguloegd. Totus igitur edf.totifgfc

{qualis

T ER T I V S *nxqualis cH;, quod oportuit dctnonflrafle . Tcrdo autem iuxta extcr^'

nam partem faciat Angulum ad ipfam df^ipfa fg,& connc(fhuar

extra redla Linea d g.

Quoniam igitur d c

,

cgxquales funtjBa"

fisque d g , Anguli

c d g,d g c aquales sut.

Rurfus quoniam d f,

fg aequales funt, Ba»

Csque d g ,Angulus f

fd g. Angulo fgdac"

qualis efl. Er3(t autem

toti etiam cdg> dge;

Anguli ad inuicem

quales . & reliqui igL

tiurcdfjfgc Anguli

inter fexquales erunt » fiePropofitum iuxta quamlibet fg re<5he

Lineaepofitionem inuentum eft, dumTheorema nos demonftrauL

mus, fcptimoquc nufquam vfi fuimus. Num igitur (dicunt ipfi) fru-

ftra illud ab Elemcntoruinftitutoreintrodutfhimeft C fi.n. propter

odlauum tantum ipfum afiumpfimus, o<ftauum autem abfque etiam

illooftenfumcfl:, quonam pa<ffo penitus inutile feptimum nonapparetC Aduerfus hxc itacpdicendum ( qux rj etiam, qui nos pnecef'

fere dixerunt) quod feptimum Theorema demonftratum.qs.qiri

Aftronomicarum rcru periti funt.eo in loco.vbi de Solis , Lunxque

defecfhbus habetur fermo, maximam affert vtilitatem . hoc .n. aiunt

vtentes oftendiffe quod tres confequenter Defetfhis xquali fpatio ab

inuicem diffantes nequaquam fient.‘Dico autem,ita vt fecundus tan^

to temporis fpatio diffet i primo,quanto tertius i fecundo . Exem-

pli gratia ,fi poft primum fecundus fex menfibus , vigintique diebus

clapfis fartus fuit : Tertium vtique poft fecundum tanto teporis fpa-

tio minime fartum effc,v'erum aut maiori,aut minori . hoc autem fic

fe habere per feptimum Theorema dcmonftrari . 8C non hoc folum

Elementorum inftitutoremtanquam ad Aftronomiam nobis con-

ferens obiter oftendiffe, verilm multa quoque alia Theoremata,atcp

Problemata, vltimum .n. inquarto.perquodquindcdm Angulo-

rum Figurae Latus Circulo inferibit ,cuius gratia quis dixeriteu pro-

ponere nifi ad Aftronomiam huiufcc Problemaos relationis C qui

<nim dcfcripferunc in Circulo per Polos tranfiente Qpindecanguli?,

V Polo-

Teitiiu.

DubiiatM

Solutio.

Tres defe

ftuicofe-

queter 5-

qiiali fbi-

tio diltin

CCS eOeoopoffiuc.

Vlrimi ppolitio li-

bri quitti

quo ad A-RronOmiScoolcnt.

)

' byGoSiffe

if4 LIBER.. . Polorum Acquatoris a Signiferi Polis diflantiam habent » Quind^

cangulari Oquidem Latere ab inuicem dillant . Videtur igitur Elof

mentorum inftitutor ad Aftronomiam etiam rerpiciens, mplta prae-

oftendere , ad illam quoque fcicnriam nos praeparans . Ciim autem

fifnul vidillct quod feptimum hoc Theorema ex quinto Theorema.*

te offenditur, ocffauumque abfquc vlla varietate offendit, huncipfi

locum praebuit . fiquidem Philonis additio pulchra quidem cft, Ca*

fuum autem varietate Elcmentari inffitutioni non fatis conucniens»

DubitatioJgitur Qiia:ffioncm bgc ditffa fint.Siquis autem dubitetqua

ratione tot etiam in cxffauo non addidit,quot in quano Theoremate^

Solutio , SeTriangula ( inquam ) & reliquos Angulos ^ ax]uales cflc ; Dice-

mus quod verticali Angulo aquale demonffrato, omnia quoque

mnibus aqualia cfTe per quartum Theorema fcquutum eff . Hoc igi-

tur folum per fe dcmonffrafTc oportuit ,reliqua vero omnia tSquam

Docume- confcqucntia fumpfiflc , Videtur autem verticalium Angulorum g-

gqualitatcm. Laterum illos Angulos coprehendemium, Bafiumque

aequalitas efficere . neque enim BaTibus inaequalibus exiffentibus

iid^ Anguli manent comprehendentibus Lateribus aequalibus

fuppolitisi verumdum Balis minor fit. Angulus fimul diminuitur,

^ dum crcfdtiHa, Angulus quoque vnicrefeit . neque qTdem Bafi-

bus exiffentibus ,Lateribus autem inaequalibus euademiLus Angu-

lus manet, verum dum quidem imminuuntur , augetur : dum verd

augcntur,Iminuitur.Contranam.n.pasfioncAnguli,Latcraqfic illos

cdpreiicndentia patiuntur, etenim fi in eade Bafi Latera in inferiore

parte defccckrc intelligas.ipfa quide diminuis, Angulum aut ab ipfis

coprehcnfutn augcs.maiorcquc ipforii ab inuicc diffantiam cfficis.Si

sfit in altu ferri, additamcmumqucfufciperc: Angulum, que con-

tinent diminuis . coincidunt fiquidem diutius, vertice ipforum magis

* remoto a Bafi faito. Certum igitur eff dicerc.quod 8c Bafis cade exi-

ftes,8c Latera fqualia exiffeua, ipfius Anguli gqualitate determinat.

P Roblematibus Theoremata admifeet, Thcorcraatibus’c^ ProblcCom. ij,

contcxit,& vtrifcp tota Elcmentarcra inffitutionem cSfidt,

fum quidenj. Subictlacomparas, tu vexo Symptomatt circa fubictfhi

ipfa

T R R T I V 5 itr

iplaeonfidcrani. Cum itaque pnecedctuibiM oflcndiflet & ia vnoTriangulo squalitati Laterum confcqucntem squaliutcm «^ngujo'

nim, dei contrario : in duobus Triangulis limilitcr, hoc excepto,

<|udd Conuerlionis modus in vno, in duobusque 1 riangulis diucr^

fiu fuic,ad Problemata trandt , iubetque datum Angulum retftilineu

bi^jiam fecarc . Et manifedum,qu<kl Angulus hic quidem iuxu

Forma e(l datus. Kecftilincus.n. diftus cll ,& non quicuncp^ namomne Angulu bilariam fecarc fecundu Elemenurem inAitutionem

;aonpo(ruraus.. quandoquidem ambiguum etiam ede posGbilecA,

an omnis Angulus bifariam fccari posGt . fortalTe enim dubites vtru

poelibilc Iit Comicularem Angulum bihuriam fecarc . Qyineda fe^

Bionis Ratio nobis diAin<fbi (uit,& hoc rurfus non abre . in quamlL

bet enim Rationem diuidere,pra;fcntem tranfgrcditur ConAru6io'nem . Exempli gratia in tres^vcl in quatuor, vel in quincp partes ae^

tjualcs. namRe^m quidem trifaria fccarc posdbile cA,paucis eor^

qux poAcrius tradenda funt vtentem : Acutum vero^imposlibile ad

alias Lineas non trafcendcntem.quae mifhc funt Speciei . Hoc aute

manifedant qui hoc modo propofucre . Datum Angulum reAili'

neum trifariam fccare . nam Nicomides quide ex Conchoidibus LLncis, quarum Se Orium,& ordine. Se Symptomata tradidit ,inucn'

tor ipfc proprietatis ipfarum cxiAens,omncm retftilincum Angulumtrifariam fccuit . Alt) verd , ex Hippi^, NicoraUisque quadrantibus

Lineisidem fecerunt, miftis hi etiam quadrantibus Lineis vfi. AJtj

autem ab Aichimedis Helicibus inciuti, in datam Rauonem datumrcAilineum Angulum fectierunt.quorum confiderationes qs, qui in-

Aituunturcontemplatu difficiles ciinifint, in prxfentia ominimus.

forfan enim magis comodum erit hoc quidem in tCnio libro cxamLnare,'E!emcntoruminAitutore datam Circunferemiam bifariam fc'

cante . ibi nanque idem inquifltionis eA modus.non folum bifiuiam,

verum edam Trifariam fecarc ab tifdcm Lineis prifei omne Cir-

cunferendam in tres partes xqualcsdiuidereconad funt. lurcigitui^,

2ui edam rcAx Linex tantum. Se Circunferentix mentionem fcct,

>lumreAilineum Angulum, Circunfercntiamquc bilariam tantum

fecuit. Species autem, qux ex his miAioneconAituuntur explicatu,

enumeratuque difficiles exiAentes , haud curioR examinans , omnes

huiulcemodiinquintiones,quxcunquc miAis egent Lineis pexter»

mitdt, in primis, (implicislimisquc ffirmis ea folum,qux ex his vel

Aeri, vel conlidcrari polTunt inueAiganda proponens. quale prolo'

cA, quodedam in prgfenda proponitur Problema [ Datum An^

i ., ^

.1

Circa hocVide Vi-

tcllione

tS.Prcp*

iitiooc pii

mi.

NicomJ-dci ^-prie

latii Coachoidu Li

Dcaru fuit

inucocor.

In 1*to-.

pofiiiune

jo. lenii

Elcmeai.

Hkrraditcaufam ppier i|ua

Euchrefii

lincu An-guU Tolu,

h Circunferentiani

indu.! la

tu pariet

pquleafecuit.

In lib. i,

ap. I.

InUantu.

if« 'LIBE Rfiuluitj rc(fIiHtiajtn bifariam fccaife ] in hoc enim in ConflniAiotie

quidem vna Petiriori?,&’ primo,ac tertio Theoremate ; in Demon-fWatione voro

, folo odauo Theoremate vtitur . omnino nquiderti

Pfoblcmataquoque OemoniVratione egent (vt prius etiam dixi-

mus) quodque feientiam gignit, ab hac adipifeuntur. Fortafle aut€

'quidam aduerfusGeometra^ inftentdkentcs.quod apud ipfum cd-

iiicuicarAcquilatcrum non intra duas reifias Lineas vcrtkem habo-

re, venim aut in altera ,aut etiam extra vtranque, fieri autem manife-

ftum vtrunque quod diciiur,pcr elementa. Sit Anguhis b a e, qucitt

’biflriam fecarc oportet.& ih Li-' ' •

nea a b. Signum b,& ipfi b a ae-

qualis e a, de conneAaturb e, c5-

iiituaturqiie in ipfa Triangu-

lum aequilaterum bcd. hoepor-

tdd Signum aut inter a b, a e re-

Lineas efl, aut in a b , aut in

a e, aut extra vtranque. Elemen-torum itaque infiitutor inter illas

ipfum a{rumpfit,& propterea qui

impedimento funt, Dcmonftra-" tionemque impediunt aut in al-

tera re^amm Liiiearu ipfum po-

fitum efle dicunt , aut extra eriam

Selutio. Vtranque . Ponatur igitur d Si-

gnum in Linea a b , ita vt b e dTriangulum aequilaterum fit

.

Aequalis igitur cftd b, ipfi d c,8f

a:- Anguli, qui ad Bafira, aequales funt, Angulus Icilicet cbd,& An-gulusbcd. Totusigiturbee maioreft Angulo e bd. Rurfus quo*niam a b, ipfi e a aequalis cft,Triangulum a b e aequicrus eft ,& An-gulos, qui fub b e Bafi funt , aequales habebit . A ngulus igitur b e e;

Angulo e b d aequalis eft . Erat autem maior, quod fieri non po^^ tcfti TriangulTcrgo Aequilaterivertexinre^Lineaabd dlcnoit

,

poteft . Similiteroftendemus quod neque etiam in Linea ace. Po-natur igitur extra vtranque fi fieri poteft . Qyonia igitur b d, ipfi e dasqualiscft,Ahguli,quiadBafim,fqualesfunt,nempcbcd,8fcbdj

Maior igitur cft Angulus bcd. Angulo e b f . multo igitur maior cft

b e e, ipfo e b f. verum a:qualis etiam ipfieft, fub Bafi fiquidc b e: Ac-quicruris a b e funt, quod fieri non poteft . Non ergod Signum exti^

** J - duas

T-*E H T I’

V

S rrt

dnas Rofrarin his pardbui iacebic , Similiterautem oftfdcmus quodbcqiKeuam aiqs infiaitiims.-Jit videsrurfusqudd Inftamias redar-’

guimushocvtentcs, Aequicrures (inquam) Triangulos Angulos,

qui fiib Bafi func,a;qualcs habere . hoc illud,qaod prius dicebamus, 9 . lo.se

quod plura ft ientif oppugnantium, dcbilia;facilcq6c cofiirabilia hoc' ‘

'

Theoremate odenduntur ; & quod hanc Geometrae praedat vtilita>

tcm. Siquis autem dicat fubBalibclocum non ede: opus efle v'Crd

Aequilaterum ad cafdcm panes, in quibuslunc Lineaeb a,a c cohdi*^ k$ rbeo*

tuere, necefle vtique erit Lineas, quae condituuntur aut ipfis b a , a c

«ongruere, fi ipfar quoque Bafi cb aequales : aut extra ipfas cadere , fi

ipfx Bali b c minores : aut intra, fi ipiaeb ai-ac, ipfa b c maioresbic^

jrint . Congruant primdm , fitque

Aequifaterum ipfum b ac,& fumaturin Latere a bSignud,& a Late->

re a c a.ufctaxur aequaljs ipfia quae

fit a e, connedianmrqfie d e, b e,c d„

a f. Quoniamkaque a b ,ipfi ac:&

a d, rpfia caa^ualesfimi,dux b a,i9^

a e, (Labusc a,a<daequales funt, cu'

deraque Angulumcomprchcndut.

Quamobre &T omnia omnibus fiint

aequjlia,^: Angulusdbe, Angulo

^cdfqualiiicd. Aequalis autemcd ' *

&dbjprtec;-&bc,ipficd. £comnia i^tur omnibus qualia lunt.

Quapropter Angulus d c b. Angulo c d c xquus ed. (ub his.n.fc]aa>

lia L^atera fiibtcndunt . Et d figitur ipfi e f( per fextum) xquaUsed.

Quoniam igitur a e, ipfi a d aqualis ed,& a fcomunis , Bafisquc d f,

Bafi c ffqualis. Angulus d a c T duas panes (quales dide^his cd^quod

faciendum erat. Si autem extra ba,

a c rectas Lineas aequilatcri Triangu

]iLatera cadant, fint b d,d c.connc.*

xaqueda producatur vfc^ ad Signu

<.Qyoriam itaque b d ,d c aequales

iunt.communisautem d a,Bafesq6e

ba,a c fquales, Angulusquoc^ b d a

(•per otfiauum)^ Angulocd a (qualis

ed. Rurfus quoniam bd,dc xqua-

lesfiint,dcd e<»munis,Angulosqfie

ssqaalescoRdocnc ( vt odcnfiimed) Bafisqadquebe^ Bafiee (perw. j

quar«

LIBER

Dociom-tum.

quartum ) aequalis cfl. QyQniam igitur ah aequalis cft ip(i a d, coni'

jnuni^ucac. Angulusquoqueb a e. Anguloc a e aequalis cA,quodpilcndcndum erat . Si vero intra

ab ,ac recolas Uncas aequilaten'

IrianguU Latera ceciderint, v(

ipfa bd,dc, connetflatur rurfus

Linea a d « Qiioniani itaque ba

,

I ip(i ac aqualis ell, communisqueipfa a d, Balisautem bd xqu^isc(l Bali c d,ct Angulus ergo b a dAngulo cad (pcro(ftaMum)ae'

qualis ell . Bifariam ergo fecatur

Angulus,qui e(l ad Signu a.quo'

mudocuncp Aequilaterum con^

ibruatur. Veruntamen quoniamde hisquocp fummatim ^'ximus^

ad reliqua,quae fequunmr Theo'*reman veniamus, tale adqcientes circa Angulum datum,quod qu»^dmpliciterdanpotefl. etenim Pontionc,vtquando dicimusad hancrc(flam Lineam

, ad hocque Signum Angulum poni , 8c danam hocmodo ipflim eflc : 8c Forraa.vt quando Ucifhim , vel Acutum , vel

Obtufum,vcl omnino Rcifhlineum,vel Mifhim dicimus ;& Ra^.

tione, cum duplum huius.fif triplum dicimus,vel omnino maiorem,& minorem : 8c Magnitudinc,vt ciim tenia partem Reifti dicimus.

Prxfens autem Angulus Formaumum datus cft

.

rtop&iD.

P Roblema hof quoque eft,quod Snitam quidem redbm Lineam

C6m. fupponit, fiquidem ex vtraque parte infinitam terminare non poflurt

mus . Infinitx autem ex altera parte umum, vbicunque Signu fum-r

ptum fuerit, in inxquales partes fit fetfUo . illa enim.qux in eifde par-*,

tibus cll, in quibus rcAa Linea infinita exiflit,rcliqua finita exiflentO;

neceflarid eft maior . Reliquum igitur eft vt ex vtraque parte finita

DtAiiaao ^cipiatUT qux biiuiamfc^ debet . Forufic autem quidam ab ho«

- ,

‘' Pnv

T E R T I V S 1/9

blcmatc excitati arbitrentur quod tanquam SuppoCtio apud Gto'

metras hoc pracacccptumeft. Lineam non conftarc ex inipartibili'

bus . fi enim ex impartibilibus conftet, aut ex imparibus finita, co-

plctaque exiftit : aut ex paribus. At fi ex imparibus,impanibilc quo-

que fccari videturdum Reifla bifariam fecatur. quoniam altera ipfius

parscum ex pluribus impanibilibus conftet, reliqua ma'or erit . Fie/

ri igiturnon poteft vt data re<Tu Linea bifariam fecetur, fi Magnitu-

ium> ex impartibilibus conftat. Si autem no ex impartibilibus, in in-

finitum diuiditur .V idetur itaque ( dicunt ipfi ) hoc communi om-

nium confenfu accipi. Geometricumque principium efle ,Magnitu-

diocm ex eorum cflc numero,qu* in infinitum diuiduntur . Nos au- Gcimiiu

tem quod Geminus ait aduerfus hxc dicemus,quod diuifibile quidc

•

ContinCium efle iuxta compiuncm notionem Geometrx pracacci-

phmt . hoc cnira Continuum cflc didmus, quodex panibus coniun- fto. in h-

tflisconftat,omnino autem hoc diuidi etiam posfibilc cft., quod yerdj ^

in infinitum quoq; Coniinuurp diuiditur ,non prxfumpfw* L“d cx c^iiiUi*..

pcoprijs demonftrant prindpijs . cum emm oftendunt quod incom-

menfurabilitas in Magnitudinibus cft,& noh omnes ad inuicem co-

menfurabiLs funt.quid aliud ipfos oftendere quifpia dicat, 'nifi quod

omnis Magnitudo in fempcrdiuinbiliadiuiditur.&: nunquam in im-

partibile deueniemus, cum miumum communis menfura omnium

Magnitudinum fitC Hoc igitur demonftrabile.illud vero. Pronun-

tiatum eft,qu6d feilicet omne Continuum , cft diuifibile. Qpapro-

ptCrcum finita quoque Linea continua ft,diuifibilis cft , Et ab hac

notione finitam redam Lineam Elementorum inftitutor in duas fc-

cat partes xqualts,hon autem tanquam pracafiTumens quod in infini-

tum diuifibilis qft . non enim idem cft, diuifibile aliquide(rc,&: in in-

finitum efle diuifibile . Rcda^ucrcmr autem per hoc Problema Xc-

noCTaiis etiam fermo infecabilcs Lineas inferens . omnino enim fi cft

l.inea,aut Reda eft.ficriquc poteft vt bifariam ipfa fecetur : aut Cir- ^5

cularis.&cft maiorquada Reda (omnis fiquidem Circularis pror-

fusquandam Redam minorem habet) aut Mifta, atque cd magis h i.b..iid

hjpc diuifibilis cft. cum cx Simplicibus diuifibilibus conftet . Vcrura •

enim ucro hxc quidem ad ajiam contemplationem diflcrantur.Geq- bu».

metra autem redam Lineam finitam bif^am (ecat, in Confttudio-

nc quidem primo.ac nono vtens : in Demonftradonc vero,quarto

folo.pcr AnguIosenimBafcs xquales oftendit. Apollonius verd

Pergfusdaum redam Lineam finitam bifariam fccai hoc modo,*J*®*'”^

tik(inquit)reda Linea finitt a b, quambifiina (eduri fumus, &T Ce- icdaratio

1^0 t I B E R ‘

tro quidem a , intemallo autem a b.

Circulus defcribatur. Rurfusquc Cc'

tro quidem b, interuallo vero b a,

alius Circulus dcfignetur, & conne' '

Aatur ad communes Circulorum k'Aiones re<!Va Linea c d . haec bifariam

fccacrc<fbim Lineam a b.cdne(flan'

turenimd a, d b,& c a, c b,qu^ fqua^

les funt . nam vtraquc ipli a b gqualis

, eft. Communis autem cd, & da, ipfi db per eandem rationem

squalis eft. Angulus ei^o a cd. Angulo bcdgqualiscft. Quamob'*

Bpaojui. wm ab ( per quartum ) bihtriani dillcAa eft . Talis eft fccundunv

etiam Apollonium prxfcntis Problematis Demonftratio^ ab sqoL

lateroquidem Triangulo 8c haec (umpta : vice autem huius, Angu»-

Ium nepc.qui ad c Signu eft biferi? dilTcdu fufcepilTe ,bifariam cum*

Meiiorcft cflcdiffeAumper Squalitatem Bafiumoftcndcns.Multd igitur me-*'

Ad*^Dem6Elcmcntorum inftitutotis Pcmonftratio cft, cum& fimplicior

flritione (jt,& ex principqs fcaturiat «

Com ISvtraque parte finitam,fiue ex vtraquc infinitam,fiue ex alie-

ra quidem parte infinitam.cx altera v«rd linitam reftam Lineam ac-

cipiamus,^ Signum in ipfe,prsfentis Problematis Conftrutflio co-

mode Geometrae fuccedet.quanuis enim in redae Lineae extremit»-

i te datum Signum fiierit,redam ipfem produccntes,eadcm feciemus.

*'. Manifeftum autem quod Signum quidem in Praefentia Politione

‘‘ datum eft,cum in reda Linea Politione tantdm iaccat. Reda Linea

vero.iuxta Formam data eft. Magnitudo (iquidem ipfius,vcl Ratioj

Vel Politio non fuit diftin^a. Elementorum itaque inftitutor primo

vfus Theoremate,atque Tertio, vnaque Petitionum, prima fcilicct,

6>(odauo praeter haec Theoremate, decimaque Definitione, propo>

Cifuspro fitum oftendit . Si autem quida in redae Line® extremitate Signumblem» u

,

ponentes, nos Redam minime producentes, ab hoc redam Lineam

w. j .i ad Angulos redoscrigcrc rogarcot,hoc quoque fieri pofle oftende^

- > mus.

"VDigjtiitr;

—

: • 'f

T E R - T I V S t6t

mus. Sit enim rc(^a Linea a b , dacumque in ca Signum a ,& (uma^

tur in rcifla Linea a b quodcun<^

Signum, (irquciliiidc,dir ab hoc e

(quemadmodum hlcmemu nos

docuit ) ip(i a b , Tvda Linea ad

Angulos rcdlos erigatur, Htqhe iL

lac c, ab ipfa c c , ipiT ac xqua>

lis abfeindatur d c, & Angulus,

qui ad Signum c bifariam fecetur i

Linea c f, &T i Signo d ,ipfi c c ad

Angulosredos excitata coinddac

cum retfia Linea fc in Signo f, 8C

i Signo f, ad Signum a connedla-

turfa. Dico quod Angulus, qui

ad Signum a, rctfhis cfl . cum .n. d c, ipH c a xqualis Iit, comunis ai>'

tem c f.Angulosque xquales contineat.(Angulus .n. qui ad Signum

c ,bifariam fectus fiiit) Sc d figitur

, ipfi fa xqualis eft , omniaque (i-

militer omnibus ( per quartum) xqualia funt .Qpapropter Angu-

lus etiam, quiadSignum a. Angulo, qui adSignum d aequalis eft.

Rc^his autem eft qui ad Signum d , Re<ftus igitur eft& qui ad Signu

a. Quffitum ergo oftcnfum eft. Elementorum autem inftimtor hoc

artificio nihil indiget.nam ad Angulos reflos Lineam excitare iusfit,

non autem ad vnum rc(ftuni. Operxpretium eft igitur haud in retfbc

Linex extremitate Signum fufdpere,vt qu^ excitatur retfta Linea ad

fubieftam retftam Lineam Angulos faciat, non autem vnum Angu-lum . Apollonius vero Linea ad Angulos retflos excitat hoc modo.

Sit .n. (inquit) data quidc rctfta Li-

nea a b, datum vero in ea Signum c,

fumatmaminipfa ac quodeunque

bignu.fitque illud d,et ab ipfa c b,f-

qualis ipfi c d auferatur,quc fit c e,&

C entro quidc d,interuallo verd d c.

Circulus deferibatur, rurfusqfic Ce-

tro quidem e ,interuallo autem e d.

Circulus defignetur, 8( ducatur rctfta Linea a Signo f, ad Signum c.

Dico quod hxc eft illa,qux ad AngulosreAos excitata eft . fi .n. fd,

feconnexx luerint,xquales erunt. Aequales autem funt dc, ce,

comunis fc. Quamobrem Anguli etiam, qui ad Signum c (per comeit

o&auum ) funt xquales . RetfU igimr funt.Vides'ne rurfus quod maX gis

il4

bv ^ sO'

LIBER

Danat Deiri6nc,qu{

/it per Sc-

mtcircu—

ioi.

Fropo 12«

FrubJ. r.n redam tineam infinitam a dato Signo, quo<rerpcodicularcmred^m tiocam deducere

gs vari»hacc Dcmonflratio cft ca,quae cft apud Elementorum W

Itituiore.Circulorumque deferiptione indiguit,ut hinc fuper d c re<fULinea Triangulum aequilatarum defignarct

, propolitumquc often*deretC' reliqua .n. omnia Demonftrationibuscommunia luni . Dc-»monftrationcmautcm.quae per Semicirculum fit nec commeraoratrc dignum cft. multa fiquidc praefupponit eoru,quae pofterius often-rdenda funt, ab Elcracntarisquc inftitutiortis ordine omnino dccidiu

Ot^opuProblema Ocnopides primus indagauit , vtile ipfum ad A-»

des prim* ftfologiam cxiftimans . Vocat autem Perpendicularem prilcomoro

ProbUma Gnomo ctiam Orizonti ad Angulos redosminjaga cft, eadcm cft autcm Linca ad Angulos redos cum Perpendiculari*

habitudine tantum ab illa difierens, cum Subiedo eadem fit,quem'*

Duple» padnmdu (inquit ipfc) 8cGnomon, Duplex aut rurfus Perpendicula^

pendicuia riscft, aliaquidc plana : alia vero, folida . 8^cdm quide Signu, a quoPerpedicularis reda Linea ducitur, in code Plano fuerit, plana Per^pcndicularis vocatur : ciim vero Signu fublimc

, extraque fubicdumPlanu fuerit^folida nuncupatur , Et plana quide ad reda Linea duci-tur : folida aut , ad Planu. Propterea neceffariu et cft illa non ad vna

^. reda Linc^redos Angulos facerc,vcru ad omncs,quf in code Plano

funt rc(^s Lineas, ad Planu.n.Perpendicularis deduda fuit. In pra:-fenti igitur Problemate Elcmentoruinftitutor plana Perpcdicularfdeducere proponit . ad reda fiquidc Linea dedudio proponitur,quatenus oTa in eodem fupponuntur Plano fermo procedit. In Lineaita<^ ad Angulos redos quonia Signu in ipfa R?da fuppofitum fiiit,

Infinitudine nihil egcbamus.in Pcrpcdiculari aut,data reda Lineaminfinita fupponit,quoniam Signu,a quo Perpedicularis ducetur extrareda alicubi iacct. fi.ndnfinita no efTet,eatenus Signu accipere polle-mus, vt extra quide data reda Linc5 cffctjin diredii ipfi iacens, ita vtprotrada reda Linea in ipfq incidcrct,Problemaquc haud bene fuc-

cederet, Iddrco infinita p^uit reda Linca.vt ad alterutra tantu ipfiu*

parte Signu accipiatqr.nuf^ loco ipfi relido,in quo datf redf Linegin diredu effe posfit,nifi in ilia,8c no extra iUa ponedu fit. Hac ^ituif

T E R T I V S rtf,

-lic caara reda Linca,ad quam Perpendicularis ducetur, infinita dan ,

fiiit. Quomodo autem Infinitum rubfiflere poted, contemplatione ,

tiigrumefl.manifcflum enim quod Reda infinita exifiente, Pia-*

tium quoque iriBnitum erit, haecque adu, (i quod ab Euclide propo';

fitum fiiit verum efl . Quod itaque in fcnlilibus quidem nulla Ma'gnitudo iuxta vllam diflantiam infinita exidit tum diiiinus AridotC'

pi," . c!

Ics, tum quiab ipfo Philofophiam acceperunt , affatim offendunt-.

neque enim quod Circularitermouetur, neque vllum aliorum lim'

|)licium corporum infinitum clTc poteff . vniufcuiufque (iquidem loi-

cus terminatus eff . Vcruntamen neque etiam in feparatis , imparti>

bilibusque Radonibus eflc huiufcemodi infinitum posfibile eff. Si

enim neque edam Dimenlio , neque Magnitudo in illis eff , multo

minus infinita Magnitudo clTct. Reliquum igitur eff Infinitum in infinitum

Phantalia tantum fubfifferc.Phantafia Infinitum non intelligcnte.

fimul enim inteIligit,Formamquc,& Finem infm ei, quod intclligi^ •

tur,& intclledtone tranfitum phantafmads Gftit, percurritque iptf-

fum, atque ampleditur . Non igitur intelligente Phantalia Infint'

tum eff,fcd podus in infinitum circa id,quod intelliginu- progredien-

tc , non autem intelligente ; 8( quicquid innumerabile , intelligcn'

tiaqucincomprehcnfibile relinquit, hoc infinitum dicente. qucm> rulchewi

admodum enim Vifus non videndo, tenebras cognofeit: ita Phan*

lafia non intelligendo, Infinitum percipit . Producit itaque ipfum ed

quod vim impardbilem habet, quxasfidu^ progredi poteff : intelli' Phmtxfia

gk vero tanquam fubfiffens,quoniam Infinitum non intelligir.

quodeniratanquam quod percurri non poteff reliquit , hoc Infini- fcm iJem

tum dicit .Quamobremaim datam infinitam Lineam in Phamafia c^.,.

pofuifTcraus, quemadmodum fand reliquas etiam omnes Geometri^

cas fpccies, nempeTriangula. Circulos iAngulos , Lineas , omnia^

qfie huiufcemodi , non admirabimur quomodo adu infinita eff Lt^

nea.reipfamque in infinitum progrediens finids applicat intelledio.'

nibus. At Cogitado , apud quam radones, Demonffrationesque

funt, non ad feientiam Infinito vdtur, Infinitum fiquidem omnino

fdcndapcrccpribilenon eff ,fed ex fuppo(idone ipfum accipiens.

Finito folo ad Demonffratione vdtur, non Infinid grada,fed Fini-

ti Infinitu affumit. quoni a fi conccflais ipfi datu fignu nec^ in diredtt

finit; datfredfLinefiacere, neque ficabipfa didare, vt nulla eius

pars Signo fubrjciatur ,nihil amplius Infinito indigebit . Vt igL

cur finita reda Linea Cogitado vtens fine reprehenfione , contro*

Ucriiaque ipfa vtatur , efle Infiniuim fupponit, quippe quae Phan>

.;o X t tafig

V

L I B ;:e r

Pj**^>*InfinitudinegcncrsuionisInfinititanquamftindamcnto vtinv;

^sfionii De Infiniti itaque Tuppofipone tot in praefcnn fufBcicftt.Ppil haec aocveniamus ad Inflantias.qqa; aduerfus huiufce Problematis Cunfln»’

hui^sp"^<^oonem feruntur. Suefeipiatur .p. ( dicunt ) rc^ Linea infinita cxv

Ucnutii .ftente ab. Signoque dato,a quo i

Perpendicularem ducere opor^

tctc, in altera parte Signum d,

queadmodum inquit Ceome^tr4*verum Circulus,qui fecat re-

<^^m Lineam ab inSigpis ab,fccet etiam ipfam in Signo f,

Rdjwfip,fubfcriptum habeat

.

’ Aduerfus itaque hunc fermoncdicemus quod imposfibilc didti

fccetur .n, rc6a Linea ab bila^

fiam in Signo h, eoneiftaturqGe

e h,& producamr vfque ad Cire

cunferentiam ad Signum d , conneiffanturque c a, c b, c f. Quonianl

lucpex Centro hx funt,& a h,ipfi h b aqualis ell.comunis yerde h;' omnia omnibus xqualiafunt.Ipfa igiturch ad Signum hrcAoseffirdt Angulos . Rurfus quoniam c a, c b xquales funt. Angulos ad Skgna ab xquales faciunt . verum c a quoque, ipfi c fcqualisefi.quamrobrem A ngulus etiam c a f. Angulo c fa xqualis cft . Similiter An»gulus c b f. Angulo c fb . Quonia igitur Anguli qui ad a, b Signa*

. atquales funt, A ngulus quocp c fa. Angulo c fb xqualis efi:, funtquudeinceps. R«Si 'ginlr funt . Eft autem vterque edam Anoulorumiqui funt ad Signu h, rc<fhis . Ipfa igimrc h, ipfi c faequalis eft . At c f«iam aequalis eft ipfi cd,cx Centro fiquidem funt .& ch igitur ipfi

fd aqualis clLquod fierino potefl

.

No fecat igitur Circulus in alio Si-

gno re^arn Lineam a b.Siquisaut

dicat quod qui deferibitur Circulus

iplam a b inSjgno fbifariam fecat,

ruffiisidc imposfibilc oAedemus.Defiribantur.n.omnia vt prius,&

refta Linea fb bifariam fecetur in

Signo h. Qjjoniam igitur af,fbf-quales funt,comunis aute cf, Ba-

fiiqucca,^cbxqualis,dmnii|

,

'i’ - omm-

DigitiEsdX

ir E T I s \6f

>'*innibus'7cfu«lM (iint . Qpjprbptcr Anguli, qui adSignum f, rc^Kurfus quoniam xqualis fh, ipG h b, comunisqGe ch c6nc>

»»,& Bafis c fxqualis Bafi c b,cx Ccntro.n.funt,Anguli igitur,qui

! ad Signum h,rcAi Tunt . axjualcs .n. deinccpsque funt . Qponia igi->

:tur vicrquc Angulorum c fh, c h fretfhis cft , xquaUs cft c f, ipfi c h.

•Vftum, c f, ipfi c c xqualis cft, cx Centro enim funt,& c h igitur, ipfl

c c in^qualis non cft,quod fieri minimi poteft# Reliquum autem eft

Tertiam Inftantiam percurrere . Secet .n. (inquiunt) qui dclcribituT

Circulus re<ftam Lineam in Signis

a,b,& in Signis f, h. Nos itacp fc'

caiesrcAam Lineam a b bifariam

in Signo k, 8c conedlentes Lineas

ca,c f,c k,c b id, quod fieri no pO'

tcft oftcdcmus.ciim enim a k, k b

«quales fint,& communis c k,Ba

fesque c a, c b «quales, 8c Anguli

igitur,qui ad a b Signa , xqual cs

funt, qui autem ad Signu k, rccfti.

Verum vtra<^ ipfi c f«qualis eft

.

& Anguli igitur,qui ad Signiim f,

'

fC^funt.fquales funt.n.dcinceps .1

ijxiftentcs.ipfaigiturcffqualis cft ipfi-ck.rctflos.n.Angulos fubten--

^unt.At c faequalis cft ipfi c d.cx Centro fiquidem funt, cd cigo,ipG

ck aequalis cft,quod cft imposfibilc.Fieri igitur non poteft vt invno

gigno,vel in ^obus,vci I pluribus alps prfter Signa ab Cirailu8,qui

deferibiturr«ftam Lineam a b feccc. Inft^tix iuquch« funt. Sunt

«utem& Cafui Conftru(flionis huiuftc Problematis, qui ab Inftatqs

iiint diftinguendi.non.n.idcm eft Inftantia,Sc Cafus,fed hic quiden»

«literidem oftcndif.illaucrd.inftantcm adincommodum dudt.Alq

Itutem expofitores h«c ab inuicemnon diftinguentC8,oquua inidcm

«fieruntdncertumque cft vtrum Ca-

(«S nobis, am Inftantias feribere cnU'

«enc . Nos igitur h«c diftinguentes,

feorfumpoft Inftantias Cafusdeferi

Iwecolligimus, Sit igitur refta Li'

neafnfiniuab datum autc Signu c.

(Dicit iuquc aliquis quod no cft am-

plius locus in altera redix Lincf par-

U, fcd in >11« tantum ybi Sigpumflacet

Quodtffe

rat Cafiuab Infta-

tia. <f ^110

vide et lij

periuico.

primo huuu libri.

Cafutha-iiuProble

maria.

00^

166 L I B IS Rr

iacct . Sumctcs igitur in Ipfa a b rc(fhi L inca Signum d. Centro qui-dem C.&: intcruallo cd.CircuIi Circunfcrctiam deferibemus d e f, ft-cantcsqucipfam d fbiftiriamin Signo h, concAcmus Lineas e d, e h,e f. Quoniam igitur dh.ipfi h faequalis cft.comunis autem e h, & cdipfi e fxqualis cft(cx Cctro.n.funt.) Anguli igitur, qui adSignum hfibi inuicc atquaJes funt deinceps exiftetes. Re(fti igitur funt.Perpcdi^cularis ergo cil e h adipfamdf.

Q^iin etiam Hquis dicat Circu'

Ium,quidefcribilurre(flam Li-

neam a b, non fecare, fed tange

re vt Circulum de, fufeipien-

tes exterius Signum e. Cen-tro quidem e , intcruallo vero

e e vtentes,quemadmodum in

iam diiflo QuxOtum habebi-

mus. Totidem etiam de Pro-

blematis cafibus exerciutionis

aui^cntium gratia dicflafint . Si

Oigreifio libct autem contemplationem

quoque hifcc duobus problematibus adi)ccre,videnn- quidem retfh-Linea, qux ad Angulos rctflos erigitur, vitam ab Inferioribus in al>tum tehdenttm

,pureque, atque incontaminate arcehdcntcm , ad

deterioraqOe inflexibilem manentem imitari : Perpendicularis VCTtJ-

Vitx quidem per ipfam Perpendicularem defccndentis, Infinitudi-

neque iuxta generationem mininx? rcpictx imago efle. Retflus cninl

l- :• Angulus inflexibilis. Aequalitateque,Termino.atque Fine coartfla-

.«rv txjiaioniscftNota. VndefancTimanjsquoquealterumCirculumfcnfilititO Rationes habentem,in Anima diuina redum appellauit iii

c- noflrisenim Animisomnis generis flexionibus flebitur, variasque

tomorfiOhes, pcmirbationesiie i generatione patiturrin Totisant^immaculatus.incontarainanisue.firmusqhe

, atep indccliuis ante fen-filia (itus eftiSi amem reda quoque infinita Linea Nota eft totiusge-ncrationls

,qux infiniti?

, indeterminateqhe muuetur, necnon ipfiu*

Matcfix.qux nullum Tcrminum,nullamque eft Formam foniwiL. f. '

Signum auterri extra iacens,impartibiliselTentix a materialibusque

vnumhic » proculdubio qux etiam deducituT Per-pro Deo pcmdiailaris eam imitabitur vitaro,qux ab Vnoiimpartibilique ad

gcnerationeinincontamiriatcpr^editur. Si vero non aliter «iamPerpendicularis efle oftenditurnifi i Cirailis, hocquoque inflexibia

" litatis.

T : B R T l V . S »67

litatis, quae vitis per Mentem incft.Sjgnunj erit, nam vita quidem

ipfa per fcipfamcumtanquam motus fit, indeterminata cft : termi-

natur autem,& pura,immaculataquc potentia repleturMente parri'

cipans, t vnaque cum Mente progrediens

.

Cum tc3a Linea ruperrcAamconfillena Lineam Angulos fece-

rit,auc duos re£tos,aut duobus sedlis zquaks cfiliaet

.

Projio ij.

Theor. 6.

Ad Theoremata rurfiis tranfiuit ea confequens,quae per Proble.- C6m. >t.

roata oftenfa funt .Quum enim adretftam Lineam Perpendicularis,

Qc ad Angulos redos retfta Linea ducla hiiUcc, reliquu erat quxrcre,

fi Perpendicularis non elTct.quales Angulos, &: quomodo fc fc ha--

bentes ad re<flam Linea clBciet qux in ipfa confiftit . Hoc igitur vtii»

ucrfaliter oftedit quod omnis refla Linea fuperquadam refla Linea

c5fiftens,&: faciens Angulos,aut duos efficit reflos, fi flatus ipfius in-

declinis, firmus,nufquamque vergens fuerit : aut duobus reflis gqua-

Ics, fi altera quidem in parte dcclinauerit, altera vero plus i fubiefla

Lincadifliterit. quantum enim ab vno Reflo per declinationem in

alteram partem aufert,tantum reliquo per diflanuam addit. Oponet

autem animaducncre quod in hac quoque Propofitionc diligentix

Geometra curam adhibuit, non enim fimpUeiter dixit quod omnis

refla Linea fuper reflam confiA^ Lincam,aut duos reflos, aut duo- . . ;c.w

bus reflis xquales efficit, fed fi Angulos fecerit.quid enim fi in reflf

Linex extremitate confiftens vnum efficit Angulu, acciditnequan-

doque hunc duobus reflis xqualcmcffcC' hoc cene fieri non poteft.

cmnis fiquidem reflilincus Angulus duobus reflis eft minor,quem- . . ,

.

admodum omnis (olidus minor cft quatuor reflis . Licet igitur cum

,

qui maxime Obtufus effe videtur accipias,hunc quoque augebis tan-

quam eum,qui duorum reflorum menfuram adhuc non recepit.

Opus eft itacp reflam Lineam fic confiftcrc, vt Angulos faciat . Hoc

crgo,quod dixi ad feientix genitricem diligentiam fpeflat. Quid au- Dubitatio

tem fibi volens adiecit particulam [ aut duos reflos, autduobus reflis

{quales ] C etenim cum duos reflos fecerit, duobus reflis {quales effi-

cit . refli fiquidein fibi ipfis xquales funt. An alterum quidem xqua- Soludo.

liun» quocp Angulorum comune eft,alterum vero {qualium tantum

prpprium C Confueuimus autemoim quidem& proprium,&com-mune

•«8 L r B B Rmune vcrificatur, a proprio vnumquodquc exprimere : cilm ver6 iUlud non habenius,c5tnuni contenti clle ad fubiecftarum rerum cxpli»cationjm . Hoc igitur. Angulos, qui deinceps funt,re<flis xqualcs ePfe,re<frorum etiam comunceftjVcrum non foliim de ipfis prxdica^tur : hoc vero,re(fios dlc,zqualitatis ipforu peculiare exiftit . Soltimigitur di(ftum hoc,duobus retftis xquales eflc,inxquales ligniRcat . inhis enim folum vcrificatur, in xqualibusvcr6,minimc. Et hoc Ele-mentorum quocp inditutor duobus retdis ex aduerfodiuidit . ctim.n»ipfum per fc ipfum dicitur, inxquales vtrobique Angulos fignifican-

. Pofllimus autem per hxc quoque confpicere quodriusiul b. qualitas menfiira, atque terminus inxqualitatis eft

.quanuis .n. Ob-

&iHis fnAnguli accretio,atquc dccrctio indeterminata, infihi-

locii . taque fit,a Reflo tamc fine, terminumqfie fufeipere dicitur,& vtercpquidem feorlum a (Tmilitudinead iliu recedit ; ambo verd iuxta vni-cam vnionem ad illius terminum reducuntur.Quoniam autead R c»fli fimplicitatem pquiparari minime poliunt

, ipfo duplicato xquali-tate recipiunt

, exemplum infinitatis ipibru.n Binarius exiftens, cumper fe infinitus fit. Ethocmanifcdamprogresfionisprimariaru cau-farum,iuxtaque vnum terminum eodem femper modo circa genera-tionis infinitatem confidfliijm imagincni afferre videtur, nam quo-modo aliter gcneratio,qux ipfo Magis Si S linus panicipat,indefini-teque fertur intclleflilibus congruit

,quodamodoque ipfis adxqua-

tur,nifi per participationem dum fpeundis potentrjs ipfa progrediun-tur ,

fefeque tantum multiplicant C qux enim in fua fimplidtate, im-Epilopu. panibilitateque manent.omnino j generabilibus feparata funt .Vot

a prxfcnti quoque Xbcoremate ad vniuerlbrum cognitionem aflti-

mendafuntr

uerfa Prxcedentibus Theorematibus confequentia funt . Cum itatp

illud Rcflam fliper Reflam conftituiffet, Si Angulos

,qui deinceps

funt aut duos reflos,aut duobus reflisxqualeseam efficere odendif-fct, hoc accipit quidead aliquam Rcflam duos,qui cfficiuiur Reflos;,

IVrpo if.

Tii-tf. ;.

a preoftefi Conuerfum eft . femper enim Con-

ollc-

Ti E R T I V S

effodit aotem quod vTia Retfla cft,quas hos cfficrt ad fani di^ta rc-

fcam Lin.-am . s^yoi «ghur in illo damni fiiic ,in hoc quxritur ,

per

Deduc'honeinqueadimposfibilcoftcndirar- hocmodo.n.Conucr'

la 1 h.wcmatujnoftendidcbcnt,in Problematibus vero Praecipuas ^quoque Demonftrationesfufcipcrc. Poflumus autem in hoc quo(^ n/ad™-

fummam.cximjamquc orationis fdentiam gignentis diligentia afpi'

cerc . nam primo quidemcum dixiflet, fi ad aliquam reiTtam L^inea, mu debee

addit r ad eiusque Signum ] quid .n. fi duobus rcftf Linex Extrernis

^xiftctibus, altera quidem ab akero, altera vero a reliquo duifla eflet. vero

duobusquercifbs xqualesadrcifbm Lineam Angulos feciflent,po-

ni6nc,co-

tuilToiK^ncproptereaindircAum clTeC' & quomodo qux a diu^fis iu.

rc<fhc Linex Signis eduftx funtf kUateo igitur hoc quoque adiecit rius in co.

l ad ckisque Signum ]cum varaCque in oodera Signo iacere velit. Se^

eundo vero, quoniam fieri poterat vtqux ducunturredx Lanex ad

idem elTeni Signum,&: non Confequenter (infinitas fiqutdcmre^

Lineas ad vnum Signum accipere portiimus) adiecit particula [ dux

cedx Linex confequenter ] Tertio autem,quoniam hoc verbu [ co-

fcqoentcr ] cum ad eafdem partes.tum vtrobit^ cofideratur : LjncM

autem quf ad eafdem partes confequenter funt.in dircAum fibi inui-

xem effe imppsfibHe, hoc quidem explicuit.nobis autem confideran-

di anfam prxbuit, quod redx Linex ,qux confequenter funt, vtr^

bique pofitione funt accipiendx . hx fiquidem in dire<ftum etiam efle

oftedi poterunt . Sint ad repara Lineam

ab, ad eiusque Signum b, ad eafiiem par' «

tesdux reiJlx Linex b c, b d hx iucp co-

fequemer quidem ad inuicem funt . nulla

enim alia reifla Linea inter ipfas cft . hxc

autem deinceps fimt.inter qux nullum cft

\

X.

«iwk^*** n—Cmilc. etenim columnas hafixeonfeque-

fer efle dicimus, inter quas nulla alia cft

«olumna .quanuis.n. Acromnino mC'

dius fit ,oil tamen ciufdcra generis in rac'

' dio cft . Quoniam itacp ad eafdem partes

iacet, in diredura minime llint, licet duos

<tia Angulos faciant duobus rccftis fqua- .

Ics.Angulos nempe, qui ad t Linea ab

funt. nihil enim impedit Angulum qui'

demabdvnumredium.tcrtiamquercifti ,

pattcminfcconiincreiAngulumvcrdabcduasreUquMTcrtmeP

VidcDeSnitiMciii

hic apudProclu in

hb.deootu.

ui;.-..;

•51 V t Signua

b fuoc«

idly,

Porphyrij

Demo.

K * ' t

»70 L I B E ~ R'

cfTc . totde Propofitione fufficiant • In Confirudtione mteinvnaPe«titione vtitur, fecunda (icili(;et,(]Qa: redam Lineam in diredtim pro<t

ducere petit,quemadmodum in Demonibadone praecedenti Theo<t

remate,duobufq(ie Pronundatis,eo fcilicet,quod qu^cidem aequalut

ad inuicem quo(^ eife aqualia dicit ; & eo,quod fi ab aequalibus

xqualia ablau (iierint , reliqua xqualia efle . Ad imposfibilis au><

tem collcdionem, Pronutiato,qu^ aitTotum fua pane efle maius^

efienim^ aequale vnocommuni Angulo ablato, quod fieri nonpotefi

.Qpod autem posfibile efl ad eandem redam Lineam , ad

eiufqiic Signum duas redas Lineas confequenter iacentes,ad eafdemtamen panes , Angulos, qui advnam illa redam Lineam funt,duo^

bus redis fquales efiicere,oftendcmusfic,quemadmodu 8c Porphy*»rius. Sitquaedam reda Linea a b,& >

quodeunep in ipfa Signum c ,& ipfi

a b exicitetur ad Angulos redosre^

da Linea cd,feceturque bifaria An^gulusde bper Lineam ce, &iSi'gno e ad Lineam a b ducatur perpes

dicularis e b,& producamr ipfa e b

,

ponaturque ipfi e b xqualisbf,&connedaturef. Quoniam itaipcb,

ipfi b fxqualis efl.coramunis autem

cfi b c,gqualefque cundnent Angu^los ( rc(^ enim funt ) Bafis igitur

c c,Bafi c faequalis efl. & omnia igi^

tur omnibus xqualia funt. Angu^Ius ergo ecb. Angulo feb aequalis

cft . Angulus autem ecb redi dimidium cft , redus fiquidem d cbbifariam fedus fuit per Lineam ec. dimidhim ergo redi eft & A»'gutus fc b. Vnus igitur rcdus,redique dimidium eft Angulusd c f.

Eft autem& Angulus dcedimidiumredi. adredam igitur Lincit

c d,ad eiufqueSignum c, duaeredx LinexconfequepterpoGtf fimt,

adeafdem panes.ipfx nempe f e,& c fAngulos duobus redis jqua-Ics facientes , dimidium quidem redi ipfa c e , vnu verd& dimidiumipfa c f. Ne igitur ea,quf fierinon poliunt quframus,quonampadofeilicet c e , c fredx Linex Angulos, qui funrad re(fUm Lineamdcduobus redis fquales facientes, fibi inuicem in diredum funt, adicdtGeometra particulam

[non ad eafdem partes 3 Oportet cigo ad

' vthdcp redx Linex partes iacerc redas Lineas,qux Angulos duoy>

bus

'V Digitired- "

I^IT E R T 'i V’S

twis rcdtis ecquales ad ipfam faciunt ,ab vno quidem Si^o exdtatae,

ductae vero altera quidem ad hafcc, altera autem ad illas rcdla: Li-

neae parces.

Cropo ij

.

Theof.*.

ANgulos,qui deinceps funt ab Angulis,qui funt ad verticem differ-

re dicimus, nam horum quidem ortus,duarumrc(ffarum Linearum

feftione fit : illomm vero.altcra tantum ab altera difletffa . Si enim

reifta Linea ipfa quidc infeiffa manes, illam vero fuo Extremo fecis,

duos Angulosfcccrit.hos Deinceps Angulos vocamus. Siauteduae

rcJbc Linex fc inuicem fccuerint,ad verticem Anguli effiduniur.Sic

autem vocantur, quoniam vertices in eodem Signo coniuniftos ha>

b -nt . V ertices autc ipforum funt Signa, ad qux Planadum contra-

huntur.Angulos cfhciunt. Hoc itacp Theorema oftcndit.quod dua-

bus reeffis Lineis fe inuicem fccantibus,Anguli ad verticem aequales

funt . inuentum quidc (vt ait Ludemus^a Thalete primo . cxiftima-

«um vero Demonftrationc fcientiam gignentedignum ab Elemen-

torum inftitutorc . Offenditur autem non ex omnibus capitibus . n a

ConftrutTtio quidem in prxfentia deficit : Demonffratio vcro.quam

omnino ncceffarium eff inefle,a tcrtiodecimo Theoremate depen-

det . Vtitur autem duobus etiam Pronuniiatis.quorum vnum quide

eff Quf eidem xqualia,&: inter fc funt xqualia : alterum vero. Si ab

«qualibus xqualia ablata fijcrint.rcliqua aqualia funt. Vcrumenim-

«cro Euclidis Theorema manifeftum cft. Conuertitur autem huic

Theoremati aliud tale. Si ad aliquam rectam Lineam.ad eiusque Si-

•num dux rciffx Linex non ad eafdcm partes furaptx , Angulos ad

verticem xquales fecerint, ipfxrcctx Lincf in diretfhimfibi inuicem

erunt . Sit enim quxdam reda Linea a b , & quodcunc^ in ipfa Si-

gnum e, &: ad Signum edux redx Linex cd.ee non ad cafdc par-

tes (iim.itur facientes Angulos a e d,bc e fquales. Dico quod in dire-

dum funt ipfx cd.ee. Cum enim reda Linea e d fuper re-

dam Lineam a b infederit .duobus redis xquales efficit , An-

gulos nempe d e a. d e b. Veriim Angulus dea. Angulo bcc

sequalis cft. Anguli igitur dcb., bcc duobus redis xquales funt*

^ Y s Quo-

Coia.if*

Angufi4einc^ps^ui

Hm.Anguli ad

verneem(}ui iioc«

Thales fii

it prin^hu

ius Theo-rematis 1-

uentor re

fcrcte Eudemn. Euelides ve-r6 pnmushoc demo(Irauit.

Conuersii

huiusThecrematis.

Demo C6uetfiprv*

feniisThe

•7?T E R T I V S

torum ad alteriusfcgraenu diftantiam efficit.

Kx his porr^ martifcfWni quod (t «iu:r Linrc Te inuicem

fccuerim,quaiuorAngulos quatuor u&iS fquales fiuuoc

.

VNum quid Geometricorum nominum Corollarium cft . hoc aur

icm duplex quidpiamfignificat . vocant .n. Corollaria qua:cuiique

etiam Theoremata vnacum aliorum Demonftrationibus probatur,

vcluti Lucra inexpetflata, atcp cmolumcta quxrentium cxittcniia:6£

quxcuncpqugruntur quidem, inuentione autem indiget, dC neq?ge<

Iterationis folx caufa quxruntur, neqp fimplicis conteplationis .nam

quodquidC* AequicruriumquiadBafimfunt Anguli xquales funt,

fomcplari oportet, exifteniiumque rerum huiufccmodi cognitio cft.

Angulum auie bifariam fe«re, vel Triangulum conftitu.rc, vel re-

^am Lineam xqualem abfcindcre,v«l ponere, hcc omnia vt aliquid

fiat poftulant . Dati vero Circuli Centrum reperire, vel duabus Ma-

gnhudinibuscommenfurabilibus datis,i>iaximam ipfarum comniu-

nem menfuram inucnirc.v.e) quxciiiuj? id genus alia,quodammodo

inter Problemata, aicp Theoremata funt, necp .n. Quxfitorum or-

tus in hts,njcp fola contcmplaiiojLd inucmio cft . opus cft fiquidein

duxliium in confpcdhi,& prx oculis ponere . talia igitur funt qux-

cunq; etiam Corollaria Euclides fcriplit .quippe qui libros Corolla-

riorum conftruxit . verum de huiufcemodi quidem Corcllarhs dice-

re prxtermittatur .Qux autem in Elementari inftitutionc funt Co-

rollaria , (im ul quidc ciini aliorum Demonftrationibus apparet, ipfii

vero non prfcipue quxruntur ,veluti

id ,quod in prxfcntia proponitur

.

quxrebatur quidc fi duabus retftis Li-

neis fc inuicc fecatibus.Anguli ad ver-

tice fquales funt. Dum aut hoc often-

debaturfimul etiam demonftratu cft,

. quodquatuot qui fiut Anguli quatuor

funtTctftia xquales. Cum .n. diceba-

mus fint duxrctftg Lincf a b, c d fe in-

uice in Signo e fccantcs .quonia igimr

ip£i a c fuper ipGuu cd iledt, Deiceps

Cool.io.

DufictCor^^JIj-

nu . iitcm

incom. t

.

huijs

Prinium

rertii.

1 erm:miccimi.

EiicliJct

libros Corolliricru

collnuuc

.

. Zi .

h'

T E R T I V S MT

l^cnt, nce non tria Sexangula,

quatuor Quadrangula . Qjioduis

autem cacierorum MuUiangulorumquomodocuncp iuxta Angulos

compofitum fuerit , aut a quatuor Redis dcBcit , aut quatuor Rcdos

cxccdit . Sola vero harc iuxta didos numeros Redis quatuor adac'

quantur . & eft Pythagoricum hoc Theorema . Per hoc autem

Corollarium fi etiam pluresduabus redae Linex in vno Signo fc in-

uicem fecuerint, vt puta tres, vel quatuor, vcl quotcunqt , omnes qui

fiunt Anguli quatuor Redis xquales oftenduntur. quatuor enim re-

dorum A ngulorum locum fibi vendicant . Manifcftum eft autem,

quod Anguli femper redarum Linearum dupli numero fient . & fic

duabusquidem redis Lineis feinuiccfecantibus quatuor erunt An-

guli fquales quatuor Redis: tribus autem.Anguli fex: quatuor vero,

odo, Cmilitcrque in infinitum . femper enim redarum quide Linea-

tum muldiudo duplicatur: Anguli autem iuxta quidem Multitudi-

nem crcfoint.iuxta vero Magnitudinem diminuuntur, quoniam ide

femper cftid,quoddiuiditur, quatuor nempe Redi

.

I Omnii Triirguli vn» Litere produflo , cxtermis TrianguU

Angulus vtroqiioicrnog&exuppofitoticeati nuiot cil.

Tbcor.p.

QVi hanc Propofitionc cum defedu pronuntiarunt fine hac parti-

cula C vno Lraiere produdo 3 fortalTc quidem cum multis alps , tum

predpue Philippo ( vt inquit Mechanicus Heron ) obtredandi an-

fam praebuere . non enim omnino quatenusTriangulum eft , exter-

numedam Angulum habet . Qyicunqj autem hanc ^ medio tollere

callumniam voluerunt,cum propofita addinoncGeometrj; familia-

ri exiftente hanc tradidere. etenim in quinto Theoremate Angulos

ffh Aequientrium Bafi exiftetes. xquales oftendere volens addidit,

qu&d& produdis xqualibus redis Lineis ,qui fub Bafi funt Anguli,

aequales funt. Et fi igitur apud alios non integra.impcrfcdaque fuit,

apud tamen Elementorum inftitutorepcrfeda,integra’cp fiuit per-

feripta .Quidita^ Propofitio inquit K quod omnis Trianguli fi

vnum quodpiam ex Lateribus produxeris,Angulu qui extra ipfum

conftituitur , vtrot^ intemo ,& ex oppofito iacenti maiore reperies

.

nam ambobusquidem fimul xquaiis paulo poft oftendetur , vtro^

autem maior ex hoc oftenditur. & neceflarid ad eos,qui cx oppofito

funt

CSn. is.

Philippi

Maritnra

tidnbt e-

Satiorefe

rente He-

lo

pofitiooe.

Q^orudi•fiaio.

EorCruO'

<Umencu.

In?i,

pofiuoac.

t •

l>ocaiien

cu n.

Corolh-riuntan^fumptio.

»7^ L I B E R i'

funt ipfutn comparauit . non autem ad cum.qui cft dcinq». nam ipfi^

<juidcra&rarqualis,& minor e(Te potcfl: illomm autem, vtroque .

omnino e(l maior. Si enim Trangulumhoc,rc(fungulum fuerit,^

vnutnquc ex Lateribus rc(5him Angulum comprehendentibus pro^

.

duci excoguaucris.cxternus ci,qui deinceps eft,a:qualis erit . Si vero

.

Obtufangulu fuerit.ficri poterit vt internus externo maior fit. Idcir-

co igitur haud reliquo dciceps fibi proximo ipfum coparauit, fcd fibi

oppolitis . Angulorum enim intra Triangulum cxiAentium vnus

'

quidem deinceps ipfi finitimus cft, duo vero ex oppofito . Horum •

igitur vtrocp internus maior cft.no autem co,qui deinceps fibi adhae-,

ret. Quidam autem duo hxc Theoremata prxfcns fcilicct, atque fc<»

qucnsconiuiigences,Propofitionem hoc modo prolcmnt . Orarus

Trianguli vno Latere produifto. externus Triaguli Angulus vtrocp^

interno , ex oppofitoque iacenti maior eft ; & duo quilibet intemoru.

Angulorum,duobus rciftis minores Ium. Habent autem connexio-t

nis horum Theorematum occafionem,quoniam ipfe etiam GeomC"!tra paulo pdft in xqualibus Angulis hoc modo fecit.dicens. OmnisTrianguli vno ex Lateribus producto externus Angulusduobus in-

tcrnis,exoppofitoq{icexiftcntibuseft xqualis: &: Trianguli tres in-

terni Anguli duobus funt retftis xquales . Hic quoqj igitur in fimilL.

bus Quifita contexere, Propofitioneque compofitam efficere xqudefle cenfent . & cft raanifcftu, quod id quidc,quod dcmonftrandumproponitur , Compofitum erit : Datum vero fi quidem cum iara di-

da addidonc prolatum fuerit,ipfum quocp erit Corapofimm ( duo Qquidem oportet intelligcrc , fubiedum fcilicctTriangulum, vnnqueLatus prodwfhim ) fi vero fine hac

,potentia quidem Compofitum

crit,a£lu autem Simplex . Omnino fiquidera hoc etiam tanquaraDatum fimulaccipicdure eft. dum enim Angulum externum fup*^

ponimus, Latus tanquam produtfrum

prffiippofiiimus. Hfc dehis. Afiurae-

mus aut ex prgfenti Theoremate, q? fie

ri non poteft vt ab eode Signoad ean"

dem redam Lineam tres fquales redfLinea; incidant.Sint .n. ab vno Signo

crcsrcdx Linea: xquales a b,a c,a d ad

redam Lineam bddudx. Quoniamitaqt a b, ipfi a c xqualis cft. qui ad Ba-

fim funt Anguli, xquales funt. Angu.'

Ius igitur a b c aqualis eft Angulo a c b.

Di.

'V

.m'5upy;n. ;

-iq m;,ir :/ . 1

nJhir*

i jji;rKi>Jir'nA.

T rili- -»4 .1:

I Ul

r E R T I V S 177

RurTus quonti equalis cft a b , ipH a d , Angulus a b d, Angulo a d i>

aequalis cH. Erat autem Angulo ab e. Angulus acb^qualis. Angti'

Ius ergo a e b. Angulo a d b aequalis cfl , externus interno,& ex op-

polito iacenti.quod lieri non potcA . Ab eodem igitur Signo ad ean^

dem reflam Lineam tres redj Linex pquales minimi ducentur. Per AliudCo

hoc autem Theorema illud quocp demondrabimus,qudd fi in duas

retfias Lineas recfla Linea incidens externum Angulum interno, &

ex oppofito exiftenii xqualem fecerit,re<flx illx LinexTriangulum

minime (acient,nequc coincident, quoniam idc& maior ,& xqualis

erit,quod cft imposfibile . Ex?-

pii gratia.fint a b,c d reiflp Linep,

i

inipfasqueretfla Linea eb inci-

dens Angulos a bd, cd ecquales

faciat,non coincident porro re?ip

Linex a b, c d . fi enim coineide-

rint Angulis xqualibus manenti-

bus ,erit Angulus ede xqualis

Angulo a b d . Af cu externus fit,

interno, ex oppofitoque iacenti

maior erit, necefle igitureft fi co-

incidunt,non amplius Angulos

{quales manere, fed omnino illu,

qui ed ad Signum d augeri, fiue

enim a b immobili manente, cd

ad ipfam moueri excogitaueris coincidant.maiorem efiides difta-

tiam in Angulo ede. nam quantd magis c d accedit ad ipfam a b,tl-

tomagis ab ipfa d c recedit . fiue edam manente ipfa c d, excogitaue-

ris a b ad ipfam moueri. Angulum ab d, minorem efficies . fimul .n.

»d ipfam c d fertur,& ad ipfam b d. fiue etiam vtrafquc ad fe inuicem

moiieri feceris,ipfam quid? ab ad ipfam cd tendente. Angulumque^

ab e, contrahentem : ipfam vero c d ab ipfa d e recedentem propter (]uidc ad

motura ad Lineam a b. Angulumque c d c crefecntem reperies . Ne-

celTarid igitur fiTriangulum fuerit, 8f rctftx Linex a b, c d coincide- &

rint. Angulus quoque externus Angulo interno,& ex oppofito iace-

d maior erit . aut .n. interno manente externus augetur, aut externo

• . o . 1*0 ro ab lia

manente mterrus minuttur, aut a intemus contrahitur, externus partibu5.i

magis diffrahitur. Horum autem caufae(lre?larum Linearum mo-tus, ^ altera quidem ad easparies.vbi internum diminuit Angulu,

alt?ra vero adeas,vbiexternum auget tendente . Ex hocque tibi c6-' «nie.***

* Z fidera-

Thco. IO.

C6m. tx.

In Propoiitionc j X

Docum^*lUfDt

'78 I B E R(iderandum c(l, quomodo rerum ortus veras Qu^fitorumcau(u aflt'

tc confpedum nobis afferunt

NVnc quidem indeterminate offenditur, quodTrianguli duo qui-

libet Anguli duobus Rc(ffisrunt minores, in fcquentibus autem de-

terminabitur etiam quanto minores, quod fcilicet reliquo Trianguli

Angulo . tres .n. ipfius Anguli duobus Retfbs gquales funt.Qyapro-

pter duo reliquoTrianguli Angulo, duobus funt RecffIs minores.Et

Elementorum quidem inffitutoris Demonffratio manifeffam habet

viam.praecedenti fiquidem vtitur Theoremate . Opcracprctium cft

autem ( quemadmodum in praecedenti ) Triangulorum ortum in-

fpicientem praefentis Symptomatis caufam reperire . Sint igitur ab

rurfus,& c d reftx Lincx,ipfi b d ad

Angulos rc<flos . fi itaque Triangulu

futurum cft ,rc(ftas Lineas a b , c d ad

fc inuicem annuere oportet . ipfarum

autem nutus internos diminuit An-

gulos, quamobrem duobus Retffis

minores fiunt . Rctfli.n.funt ante nu-

tum. Confirailiter autem fi etiam in

Latere a b,re<flas Lineas ad Angulos

retftos flantes intellexerimus , eadem

cuenient iuxtaretfiarum Lincarii nu-

tu ; Sc Anguli,qui funt ad Signa a, b,

erunt duobus RctfHs miuorcs .& in

.

reliquo Latere eodem modo. Hocergo caufacft,non autem externum Angulum vtroque interno

, cjc

oppofitoque iaccenti maiorem eflc . nam produ(fhim quide effe La-

tus,ncce(rariumnon cft, neque aliquem extra conftitutum eflc An-gulum. duos vero quoslibet internorum Angulorum duobus RetfHs

minores eflc, neceflarium cft . Quomodo autem quod ncccllarium

non cft,ncce(Iarii caufa erit C nullo certemodo . Verum ( quod iam

dixi) caufa quidem eft id,quoddidhim fuit,rc^buum inquam Linca^.

• rum

T E R T 1 V S t79

lum ad BafimrcAos Angulos diminuentium nutus. Qyoniamaute

Elementorum inftituior percxtcmum Angulum Quaclitum often- juo^eo-

dit , ag^ nullum etiam ex Lateribus producentes , idem oftendamus.'em«is.

bic Triangulum a b e, fumaturque in

Latere bc quodoinc^ Signum d,&conneiflaturad.Quoniaitacp Tria^

guli a b d Latus vnu produdhim ell,

ipfum Grilicct b d. Angulus externus

ad c, interno a bd maior ell. Rurfus

quoniam Trianguli a d c Latus unumproduiflum eft, ipfum nepe c d ,

Aivgulus externus a d b^ A ngulo iniemo

a cd maior el^.Veruntamen Anguli»

qui funtdrea adredam Linea ,diKv

bus Redis xqualesfunt, per tertium

dedmum . Anguli igitur abc,acbduobus funt Redis minores. Simili"

ter oftendemus, quod Anguli etiamb a c, b c a duobus Redismi"

noresfuni.inac Latere Signum acdpicndo.dSignoqiie badSignu

acceptum connedendo . 8( rurfus Angulos c a b, a b c minores duO"

bus Redis affirmabimus in a b Latere Signu fufcipicndo.a Signoque

c ad Signum fufeeptum redam Lineam connedeiidp . Propofitun»

ergo per idemTheorema nullo ex Trianguli Lateribus produdo O"

ftcnfum cft . Fieri igitur poteft vt per hoc,illud quocp oftendatur, q»

fcilicei ab eodem Signoadvnam redam Lineam duar PcrpcdicuU" Sun>puo.

rcsminimcduccntur.lintin. a Signo a ad rectam Lineam bc duae

Perpendiculares a b, a c. Anguli itacp ab c, a c b, recti funt , At quO"

niam ipfum a bc. Triangulum cft, duo ipfius quilibet Anguli duo-

bus Rectis funt minores. Anguli igitur a b c, a c b.duobus R cetis mi-

nores (iint. Venim fquales quocp duobus Rectis propter Perpendij

culares liint, quod ncquac^p fieri poteft. Ab code igitur Signo ad ean-

dem recura Lineamdux Perpendiculares non ducemur . ^

f$9 LIBERC6m..j. ^V6d quidem Laterum aequalitas in vnoquo^ Triangulorum

^Angulos, qui ab his (ubtcnduntur,aequalcs efficit,Angulotuquc

aequalitas fimiiiter Latera ipfos fubtendentia , aequalia oftuidit,per

quincum,& fextum Theorema didicimus > Quod autem ingqualita'

tem quoque Laterura,eorum,qui ab ipfisfubtenduntur Angulorum

fqualitas confequitur,& ^ contrarid, per h^c Theoremata nunc edo^

cemur, per o(flauum decimum ( inqua )& nonudecimum . nam al-

terum quidem maiorem Angulum fub maiori Latere, alterum verd

fub maiori Angulo maius Latus offendit >quippe qu^conuertuntur

quidem fibi inuicem, in contrariis autem rebus eadem contemplatur

Symptomata,qu; quintum,& fextum Theorema contcplatum fiiiti

Documc, Manifeffura autem eff,qu6d maius, minusque Latus propordonaii-

’ terfumemus,maximumque,medium,& minimu diflingucmus.An-gulosque fimiliterin Scalenis Triangulis: in Aequicrunbus autem

Maius fimpliciter, & Minus fufficient. vnum GquidemeA Larus,

quod duobus eff inxquale, aut maius,aut minus exiffens,queadmo-

Digrcjfioin Aequilaterishxc Theoremata locum non habent. Et vide*

quod Theoremata,qux quidem Angulorum ,vel Laterum xquali*

ratem offendunt,xquilateris,xquicruribusqueTriangulis conuenie-

bant:qux vero inxqualitatem,xquicruribus, atque fcalenis . Caufa

autem eff,quoniamTriangulorum alia quide ex xqualiiatc fula, alia

autem ex foia inxqualitate,alia vero ex ambabus producta func,qua:

partim quidem per xqualitatem,partim autem per ihpqualitate con-

T ffituuntur . atep alia quide Fini cognan funt , alia verolnfinitau , alia

autc per miffionem vtriufquegeneranmr. Quapropter per omnia

Ternarius iffc permeat,vt per Lineas, Angulos, Figuras : in Figurifi-

que. Trilateras,Quadrilateras,c*terasq{ie confequenter omnes.Vc-

fumenimuero &C Finis tum quidem per fimilitudincra,tum vero per

xqiialitatem Geometricis incfTc Formis excogitatur : & Infiniiutum

qindcm perdisfimilitudinem,mm vero per inxqual tatem : Mi-

ffum interdum quide ex fimilitudinibus,& disfimilitudinibus ,inter-

dum verd ex xqualitatibus,& inxqualiwtibus. Caufa autem horum

quocp eff,quoniam Geometricx Formxad Quantitatem , ad Qya-

litatemquc fpe(ffant , Hxc itaque asfignauimus, quonia hxc duo no-

bisasfignantibu8,manifeffu nobis erit, quod [omnis Anguli] Ele-

mentorum inffitiitor dicens.non etiam pquilateri dicit,fed cius,quod

maius, minusque Latus habet . oportet fiquidem Dato prxccdcnti

. . .Qiixfitu confeques exiffimare

:quod autem maius,ininusq6c Lanis

glufionu habet, huic fub maiori Latere maiore Angulum cfTc,Quoniam au-

tem

T E R T I V S i8i

tem Geometracum in Conflnullionc Trianguluabc,Latusq{ie ac

maius Latere a b fufcepifict.vi Angulo

quiadSigiiuc Aiiguluqui ad bignum

b maiorem oftenderet, a Latere a e.

Lateri a b ,aequalem rcifbun Lineam

a d abfeidit, dicat aut aliquis.qudd opor

Kt ad Signum e ablatione fieri, age in

hacquoqj fuppofitione Propofitu ofte-

damusquemadmodum Porphyrius. Ge

m.d e fqualis ipfi a b,& producatura b

ad Signum e.ponaturque bc aequalis ipfi da. tota igitur ac, toti

a e aqualis eft.conneflatur e e. Qyonia

itaque a c.ipG a e xqualis eft , Angulus *

quocp a ec. Angulo a e e,per quintum

aequalis ell. Angulus igitur aec maior

eftAngulo a e b. Eft autem Angulus et

ab e maior Angulo a e e. Trianguli R'

quidc eb e vnu Latus produifhim fiiit,

ip.fum fcilicet b e ,& fic Angulus a b e ^

externuscum fit.inrerno.cx oppofito'cp

iaccti maior eft . Multo maior igitur eft

Angulus ab e, Anguloacb.quod erat

oftendendu. Geometricf quidem p»x-^

fcnt.sTheorematis oftefiones huiufce-

modifunt. Manifeftum eft autequod

caufa huiufcc Symptomatis eft , ipfius

Lateris Angulum fubtendentis iuxta Magmmdinem amplificatio,

vel diminutio . na maior quidem exiftens. Angulum magis amplifi-

cat ; minor autem euadcns.illu quocp fimul diminuit, magifque con-

trahit. Hoc autem euenit propter retfbe Linexinfuis extremitati-

bus fitu . ipfa enim in extremitatibus fuis collocata , Anguloru quocp

magnitudines iuxta fui ipfius accretionem , atep decretionem comu-

lat . & harc dicimus in vnoTriangulo ,fiquidem fieri poteft vt ideni»

Angulus a maiori, minorique retfla Linea fubtendatur: cademque

yeifta Linea maiorcm.atcp minorem Angulum fubtendat. Sit enim

fortaffe Triangulum xquicrus a b e,& fumatur in ipfo a b Latere Si-

gnumd ,& ipfi a d ,xqualis auferatur a e,connc<flaturq{ic de. An-

gulum igitur,qui ad a Signum eft rcifhe Linex d e ,b e fubtendunt,

quarum altera quidem maior eft, altera vero minor , infiniufquc

eodem

PomhyiiiDeme.

Docume-tum

.

i8» LIBEReodem modo Angulum a fubtendemes

maiores , atque minores retfbs Lineas

accipere poflumus . Sitrurfusabe Ac'quienu, licquc b e minor iplis b a, & a e,

coudituaturquc fuper b e Triangulumxquilaterum b ed,& connc(flatur a d,&producatur ad Signum e. Quoniam ita^

que Trianguli a b d. Angulus b d e cx'

,ternus ell , maior cll Angulo b a d . Si'

militer Angulus ede maior cft Angu-ioead. 'iTbtus ct^ob de maior cfttO'

to bac,eadcmquc retfla Linea ambosfub tendit, maiorem nempe Angulum,atque minorem . Oftcnfum autem cft,

quod etiam eundem Angulum maio'

res , minoresqbe rctftac Linex fubten '

dunt. Venim in vno,codcraq6c Trian-

gulo vna refla Linea vnum rubtciidh

Ahgulum , & maior quidem femper

maiorem, minor verd minorem, cau-

famque contemplati fumus.

>rop6 ty

ThOD. !>•Omius Triinguli fub tnaioii Angulo maiui L^cus lubtcodiz.

C6m.i4. HOc praecedenti Theoremati couerfum eft. Sc eft Hmplex in vtro'

que tum Datum.tum Quxfiium . &fquod quidem illic Conclulio,

hic Suppofitio:quod vero illic Suppolitio , huiufce Concludo cft,

Praecesdt autem illud,quoniam datam habet Laterum inxqualitate:

fequitur vero hoc.quo niam Angulos inxquales fupponit . videntur

enim Latera quidem reflilincas Figuras continere. Anguli autem,

contineri .& Demonftrationis modus in illo quidem oftendens eft,

inhoeverb, per Deduflionemad imposdbile Propodtum conclu-

dcns.Geometra itaque diuidendo ratiocinatur id, quod fieri non po;*

teft * Angulis .n> inxqualibus exiftentibus, dico ( inquit ipfe ) quddLatera quoque inxquales Angulos rubtcndentia,inxqualia funt. ^

, maius'

T lE R T r V S i8j

maius maiorem datum Angulum fubtendit . H .n. quf maiorem fub'

tendit Angulum maior non eft.aut aequalis cft, aut minor. Verum fi

xqualis quidem eft.Anguli etiam, quos fubtendunt ( per quintum)

xquales funt. Si autem minor. Angulus etiam, quem fubtendit , mi-

nor eft, per prxccdcns . oftcnfum .n. fuit, quod maiorem Angulum

maius Latus fubtendit,minoremquc minus. At c contrario Anguli

fe habent . L atus igitur Latere maius eft. Fieri autc poteft vt fine hac

etiam diuifione propofitum oftendamus, quandam prius fumptiun-

culam demonftrantcs, quae talis eft . SiTrianguli Angulus bifariam Sumpdo.

fc(ffus fuerit ,fccansque Angulu rctffa Linea ad Bafim dutffa ,

in par-

tes inscqualcsipfamdiuidat : Latera illum Angulu conrinentia in«-

qualia cnmt,&: maius quidem illud,quod cum maiori Bafis fegmen-

tocoincidit,minusvcr6quodcum minori. Sit Triangulumabc,

fcccturque bifaria Angulus qui ad *

Signum a,pcr reflam Lineam a d,

& ipfa a d fecet Bafimb c in partes

Jfquales.fitquc parsc d maior par-

te bd. t5ico quod maius eft Latus

ac. Latere a b. Producatur a d ad

Signum c,8fponatur xqualis dc,

ip(i a d . & quoniam d c , ipfa d b

maior eft ponatur dfxqualis ipfi

b d,& conncftatur c f ,& produ-

catur vfcp adSignum g. Quomat r , f

ita(^ a d, ipfi d c : & b d,ipfi d faquales funt, du* Umtduabus «qua-

les, An^losque xquales comprchendunt,qui ad verticem funt. Ba-

fis^turb a, Bafi c faqualis eft,& omnia ergo omnibus gqualia funt.

Qwmobrcm Angulus quoque d e ffqualis eft Angulo d a b. At hic

ipfi d a g inxqualis non eft . Quapropter Latus etiam a g. Lateri c g«quurn eft, per fextu. Latus igitur a c. Latere c fmaius eft.Latus aut

fc «quale eft Lateri ab . maius eft ergo Latus a c. Latere a b,quod

demonftrandum erat. Hoc prxaflumpto oftendcmus,qudd fub ma-

iori Angulo, maius Latus fubtendit. Sit Triangulum ab c habens

Angulum qui ad Signum b,maiorem Angulo qui ad Signum c. Di-

co qu6d Latus a c maius eft Latere a b. Secetur b c bifiuiam in Signo

d, 8C conncdbtur a d ,& ducatur d c «qualis ipfi a d,& conncftatut

bc . Qaoniam itaque b d , ipfi d c : & a d, ipfi d c aequales funt ,duae

duabus funt «quales, Angulosquc «qualescomprehendunt cos, qm

funt ad verticem. Et Bafis igitur bc, Bafi ac xqualiscft, & oninia

omni-

J.0

. .o

- S*

tr

f*

Docotnc'

tmn.

Ciula ,f-

pccr qua

Conucria

Theore-mata per

iposHbile

•llcdiwt.

Fropo lo

Theo. ij.

Com tf •

Epicureo-

ru impu-

gnatio.

Rerpofio.

i8+ ' L I’ B B Romnibus . Quaraobrem Angulus

edam d b e. Angulo qui ad Signu

e xquaIisdl,minor autem AngU'loabd. Sccecur igitur bifaria An^gulus quoque a b e perredam Li"

neam b f . Maior cft igitur e f, ipfa

fa. Qijoniaitaqj Trianguli ab e.

Angulus qui ad Signum b, bifana

fedus fuit perredam Lineam bf,

& maior cll e f, ipfa fa, maius cft

(per praeoftenfum) Latusb e. Latereb a . ipfa autc b e, ipfi a e fqua>lis oftcnfa fiiit . Latus igitur a e maius cft Latere a b, Quaefitum ergooftenfum cft . Et cft manifeftum quod Elementorum inftitutor va>rictatem Demonftrationis deuitans ab hoc dcmonftrandi modo ft

abftinuit, oftcnfioncquc vfus fuit,quae ex diuifionc adimposfibile

ducit,quippe qui Conuerfum praecedenti nullo interiedo medio fa-

cere voluit . Siquidem odauum ctiam,quod quarto conucititur ma-gnam attulit perturbationem, quippe quod Conuerfionem cognitur

difficilem fecit.praeftantius .n. cft continuationem feruando per im-<

posfibile Theoremata quae conuemintur oftendere, quim praecipua

Dcmonftrarione continuitatem difccrpere. Propterea fani Conucr-fa feri omnia Theoremata per imposfibile oftendit >

PRxCms Theorema impugnare quidem Epicurei confueucre tumAfino ipfum manifeftum effe dicentes,tum nulla egere probadone :

Gmiliter autem ignad munus cflc ea,qug clara (unt probatione digna

ccnferc,immanifeftisquepcrfeiidem pracftarc.qui .n. haecconfun-

dit.indemonftrabile, demonftrabilequc manifefte ignorare videtur.,

Quod autem Afino praefens Theorema cognitum fit, oftendunt ex

eo, quddherba in altero Laterum Extremo pofita Afinus pabulumexpetens,vnum Latus peragrat,non autem duo. Aduerfus hfe itacp

dicendum quod pr^fens Theorema fcnfu quidc manifeftum cft, nonautem & fdendam genente rgtione . multis .n. hoc accidit rcbuss.

Exepli

t R T I V S tif

Exeftipli gratia. Ignis calcfacit.hoc quo<^ fcnfui indubitatum cft.fed

quo nam pa(fIo calefaciat conuinccrc fcientiae ofBcium cft , vtninfin-

corporea vi, an corporeis fedionibus: Sphaericis particulis, an Pyra-

midalibus. Rurfus quod mouemur fenfui cft peripicuum, quomodoautem moueamur.rationc docere difficile cft,vtrilm per impartibile,

an per Intcruallum,quomodo autem infinita percurrimus, (iquidem

omnis Magnitudo in inRnitumdiuifibiliseftC Sit icitur hoc quocp,

duo Trianguli Latera reliquo efle maiora, fcnfui manifeftum. Quo-'

modo vero hoc fiat,dicere ad fcientiam fpedlat. Veruntamen aduer-

fus Epicureos hxc dida fint fatis . Operaepretium eft autem exteras

quocp prxfentis Theorematis Dcmonftrationcs enarrare,quafcun<^

Heronis, Porphyriique familiares redfci Linea minimd producfta de-

fcripferc,quod Elementorum inftitutorfedt. Sit Triangulum a bc, tiones!

’

oportet ita<^p Latera a b , a c Latere b c

maiora oftendere . Secetur bifariam Angulus qui ad a Signum cft per rctffam Li

fleam ae. Quoniam itaque Trianguli

a b e , Angulus a e c externus eft , maior

cft Angulo b a c. Venim Angulus b a c

Angulo eae xqualts pofitus (iiit • AnguIus igitur a ec maior eft Angulo eae.

Quapro pter Latus quQcp a c. Latere c e

maius cft. Eadc fane ranboc Latus ctiS

a b maius cft Latere b c.Trianguli enira

a e c. Angulus a e b^ext^us eft, maior-

qhe Angulo eae, h^c cft Angulo e ab.

Quapropter Laciis quOque a b. Latere

b c maius cfts Latera ergo a b,a c toto Latere b c maiora liint . Simi-

literde alrjs ctia.*» Lateribus oftendemus . Sit rurfus Triangulu a b c.

Siita^xquilaterum eft Triangulum a b c proculdubio duo Latera

reliquo funt maiora. Tnbus .n. xqualibus exiftentibus, duo quxli-

bet reliqui dupla funt . Si autem xquicrus , aut minorem vtroque x- ’

qualium Bafim habct,auc maiorem . Si itaque minor quide BafTseft,

duo rurfus reliquo maiora funt.Si autem maior Bafis, (it ipfa b c ma-ior,abfcindaturque alterutri illorum gqualis, quf fit b c,& connetfta-

*

tur a e . Quoniam igitur Tnanguli a c b. Angulus a e c externus eft,

maior eft Angulo b ae . eadem fan^ ratione Anguluscciaaeb, An-gulo eae maior cft . Anguli igitur, qui funt circa c Signum , toto qui

cft ad Signum a maiores funt, quorirb c a xqualis cft ipfi b a c, fiqui-

a dem

Demo ''ff

])cdu^to

ne sj im-

posiibiic.

tS6 LIBEdem a b, etiam ipH b e aquale e{L

re{iquus igitur a e e reliquo eaemaior e(l. Quamobrem Latus

quoque ac maius efi: Latere ce.

Erat autem Latus etiam a b aequa

le Lateri b e . Latera ergo a b,a c.

Latere bc maiora funt. Si vero^

‘Triangulum a b c Scalenum luent, Ct Latusmaximum a b,mediumac,miniraum b c.Maximum ita- .

que cum alterutro fumptura.reli- c

quum prorliis excedit, per fe nan^

que vtroque maius eft . Si aut La^tera a c,8c c b,ipfo a b maximo C'

xiftente maiora oftenderc quaere^

remus, vt in Aequicrure faciemus

a maximo alterutri aequalem ab'

feindemes d Signo c conne^entes, extemisque TriangulorumAngulis vtentes. Sit rurfus quodcuncp Triangulum a b c . DicoLatera a b,a c maiora funt Latere

bc.fi enimmaiora non funt, aut

aequalia funt.aut minora . Sint X'qualia, abfcindaturquc b c xqua^

lis ipfi a b . Reliqua igitur c c, ipfi

acxqualisell. Quoniam itaque

a b.ipfi b c (qualis cH, (quales fubtendunt Angulos . Similiter porrd

& quoniam a c,ipfi c c (qualis cfl,(qualcs Angulos fubtendunt. An'^li igitur,qui funt ad e Signu,xquales funt Angulis

,qui ad a Signu

(unt.quod fieri non poteft. Rur'fus autem fint minora Latera a b, ^a c,Latere b c,abfcindaturquc ipfi

quidem a b xqualis ipfa k d : ipfi

vero a c,ipfa c c. Qyoniam itaque

a b, ipfi b d xqualis eft , Angulusquoq; b d a.Angulo b a d ingqua'

lis non eft.

quoniam a c xqua'lis ell ipfi c c.Angulus etiam c c a.

Angulo c a c (qualis eft. Duo igitur Anguli b d a, c c a.duobusb a d,&eacxqualcsfunt. Rurfus quonia Trianguli adc. Angulus bda

r CXtCT'

T E R T I V S 187

txtcrnus eft. Angulo c a c cft maior . maior cft nant{t ipfoc a d . Pati

ratione quoniamTriaguli a b e, Angulus c c a externus cft , maior

eft Angulo b ad . etenim Angulo b a e maior cft.Anguli ergo b d a,

c e a du.^bu$ b a d, e a c maiores funt . Erant autem arquales ctia iplls,

quod fieri non poteft . Latera igitur a b, a c neque xqualia funt Lite-

ribc, neque minora, fed maiora. Similiter autem de alqs edam O'

ftendetur

.

S> luvcr vno Trian^uii Latere du{ te 39 Lioe; al> Ettrcinis ino-picntesintrorruinconlbtut{fucrjm,(]ue o .ituuT»rumre ‘*5

Lioez, reliquis Trianguli Lateribus mino esq.idem erunt,

maiorem ver6 Anguhim enntinebunt

.

Propo »1

Tbra.>4.

QVod quidem 1 Propofirione exprimitur, manifcftum:& Dc« csm.aE.

monftratio.qu* apud Elementorum inftitutorc.cuidcns cft : Theo-

remaque prima principia confequitur . ex duobus enim Theorema-

tibus dependet, ex prfoftenfo fcilicet,& fexto decimo . nam ad ofte-

dendum quidem cas.quxintrorfum conftitutx funt externamm efle

minoreSjilloindigct Theoremate, Omnis Trianguli duo Latera re-

liquo funt maiora : ad confirnjandum autem Angulumabipfiscd-

prehenfum Angulo ab externis comprehcnfo maiore,illud ip(i ma>

ximam affert vtilitatem,quod ait omnis Trianguli externum Angu-

lum interno, ex oppofitoquciaccnti maiorem effe. Acopies autem

fimul Geomciricf diligcntig fidem,&: admirabilium, quf in Mathc-

madeis (unt difeiptinis comemorationem,fi oftenderimus qudd pof-

fibilc cft intra Triangulum quoddam fupervno Laterum, non fuper

loto, fed fuper aliqua cius parte duas rc<ftas Lineas externis rcAis Li •

neis maiores conftituere : rurfusqlie alias minorem Angulum copre-

hendentes Angulo ab externis comprehcnfo . hoc .n. oftenfo, fimul

quidc manifeftum erit,quod ncceflario Elementoru inftimtor adie-

citopus effe vt ab Extremis Bafis communis incipiant retfbe quae in-

trorium conftituuntur Ltncx,fupcrquc vno toto Latere , non autem

fuper aliqua totius parte conftituantur: fimul verd(qudd ia diximus) admirabi

Bc vnum quid ex ns,qux in Geometria funt admirabilia maniff-ftum

fiet, quomodo enim admirabile non eft, fiqux quidem fuper toto

a I co-

IQ! Id

. M .r

Idcin lib.

fircJJo in

coau 17.

i88 LIBERcon(licuuncurLatcrc,cxccrnarum minores funt

: quf vcrAfuperpaiio

te, maioresCSit itaiprevftangulum Triangulum ab e, Angulum,qui

ad b Signum eflredum habens , fufcipiatorquein Latere b e quod*

cunque Signu, (itque illud d,& conncdanir ad. Maior cA igitur ad»

ipfa a b . Auferat

aequalis ipfi a b, e

diuidaiurca bifar

{, 8C connc(ffatur 1

igitur afe, Triani

fx af, fc maiores

Vcriim a f xqual

Redlx Linexigii

a e maiores funt

.

tem cfl d e, ipli a b

nex igitur fc, fd

rectis Lineis a b, a e,& liini intra . Sit rurdis Triangulutn xquicnifa b e Balim b e vtroque pqualium

L aterum maiore habens, abfein'

daturque a b ipfa b e , xqualis ipli

a b,qux Iit b d,& coneAatur a d,

fumaturquein ipfa a d quodeunep

Signum, fitqilc illud e,

conne^

Aaturcc. Quoniam itacp ab, iplt

bdaeqialiscfl, longulus quocp bad,Angulobda xqualiseff. 8C

quoniam Trianguli ede Angulus b d a externus cft,maior cftinter^

no,&cxoppofi(oiacenti,ipfoncmpedec. Quamobrem Angulusquocp b a d. Angulo dee maior cft . Multo maior cft igitur Angu-lusb a CiAngulo de e,& continetur bac quidem ab externis, deevero ab internis . Intra Triangulum igitur rc(5bc Linex d c,c e mi>norem Angulum coprehendentes Angulo ab externis comprehcn>fo conftitutx funt, ProfHjfituraquc oftenium eft.nobis expolitorum

Parallelis non vtentibus . Necellarium cft igitur rctflasqux confti-

tuuntur Lineas a Bafis Extremis incipere, qux enim fuper aliqua ip--

fiuspaneconftituuntur & maiores aliquando externis oftenduntur,

& minore Angulum coprehendetes . Cum aut hoc modo ab Extre-

mis indpi^oconftituuntur, corii «iaTrianguloru, qux Acidoidea.

vocantuf rpccicsappar«,vnum hoc quocp eorum, qu^ in Geometria

- admi'

urab )p(aad.

T E R T I Vadmirabilia {unt

,Triangulum nempe

Q^drilatcrom rcpcrirc . Exempli gra-

tta,Triangulum a b c • nam i quatuor qui"

dem Lacctibusba, ac, ce, cb conti"

netur: tres vero Angulos habet vnumquidem qui ad b, alterum autem t}i>i ad

a , reliquum vero qui ad c Signum cft

,

Quadnlaterum ergoTriangulum cft prap"

fens figura.

tSp

£xeribusrcduUneit,qu£ruattnbus^tiirc£UsLineM>-:<]ualcs,Tnanguiumcoiillniere. Oportetautem diustc-.

^IxjuaclTenmorcaquatDoJacuik]; alTumpcas.

FropoS—tio 11,

Ptob.l.

D Problemata iterum traliuimus,& iubet Euclides tribus pro- Com. »r.

politis redis Eincis, quarum duacreliqua fint maiores , Triangulum

ex Lateribus,quf fint datis redis Lineis .wqualia conftmerc.quippe

qui hoc quidem primum cognouit,qu6d fieri non poteft vt cx;ilfdcm

illis.qux didam politionem iam acceperunt, Triangulum conftrua"

lur : ex qs autem,qux iplfacqualcs funi fieri poteft. Deinde,quod O"

portet redas Lineas Triangulum complcturas.duas reliqua maiores

clfc. omnis enim Trianguli duo Latera reliquo funt maiora, quo-

modocunqueaflumpta, quemadmodum oftcnfum fiiit.hacquc de

caufaadiecii,<iu6dvtiqueneccflarium cft primis etiam redis Lineis po&iw;

exiftentibus, cx tribus, qua: ipfis iquales funt. Triangulum coftruc"

re: opus efle vero duas reliqua maiores efle.quomodocunque aflu"

mantur.vcl qon eritTriangulum cx tribus.qug ipfis acquala funt rc"

dis Lineis. Ad hsce autem Inftantias quoque omnes dcftruxit,quae

aduerfus Conftrudioncm feruntur,qua:quc per hanc folam additio"

ncradifibluipolTunt. Prxfcns ergo Problema cx Determinatis cft, DePro-

non autem ex Indeterminatis . etenim Problematum,qucmadmodu

& Theorematum ,alia quidem Indeterminata funi, alia verd deter" lUiii.InS'

minata . fi enim hocmodo (impliciter dixerimus, cx tribus redis Li-

neis,qu3c tribus datis redis Lineis aequales funt,Triangulu conftruc- b.iib> , sc

.Problema Indeterminatum cft,atque Imposfibilc. Si autem addi-b,7,yrc

dcrimus.quamm duae reliqua funt maiores,quomodocunque alTum- •»

pjjf^Dctcrminatum cft.aiquc PosGbilc .fit enim hocquocp.Qyem" ma ,

***

admo"

IPO L I B E Radmodum autemTheorematum iumVcnim,& Falfiim fit diuifioil

ita quocp Problematum iuxta Posfibile cnundatum, ate^ Imposlibi*-

hu?us"proautem Inftantix etiam,qux aduerfus Confhu^oncm fe*

bicmatis . runtur,hinc di{lbluuntur,didiccrimusquidem paululum in ipfam

fpicientes. Geomctrf.n.verba

fcquemur. Sint tres reftg Li'

nex a, b, e, quarum dux quo-modolibet aflTumptx reliqua

fine maiores,Iu(Iumquc facere

opus fit. Ponaturqugdam re-

<^a Linea d e ex altera quide

. •> parte finita, vtputal Signo d:

ex altera vcro.infihita. 8f po-

natur ipfi quidem a.xqualis

ipfa d f : ipfi autem b, ipfa fg

:

ipfi verd c,ipfa g h. & Centro

‘ quidem f ,interuallo autem f

d,Circa1uskdefcribatur. rur-

fus'c^ Cetro quide g,

vero g h ,Circulus 1 defigne-

tur .& feccnt fe inuicem Cir-

culi . hoc fiquidem Elcmentoru infti-

tifsiipfit. tutor t fortituseft. Vnde igitur hoc

euenit dicat aliquis C fiartafTc enim vel

tangunt tantum fe inuicem, vel neque

etiam tangunt . nam trium vmum quid

ipfos pati necefiTe efl, aut fe inuicem in-

tetfecare, aut tangere, aut difiare ab in-

aerpofiotjicem . Dico itaqj quod nectflarid fe

inuicem interfecant . tangant enim pri-

us fe inuicem. Quoniam itat^fSignu

Centrum efl Circuli k , ipfa d fxqualis

cft ipfi fn. & quoniam g Signum Cen-trum eft Circuli 1 , xqualis cft ipfa h g,

r ipfigm. Duxigiturdf,gh,vnigqua-

Icsfunt, nempe ipfi fg. Pofitx autem

funt ipfa maiores, quemadmodu etiam

‘j, a vnd cum c, ipfa b eft maior. illis fiqui-

dc funt xquales . Aequales igitur ipfi, ipfaque maiores funt, quod I

' fieri

Digitb

TER T I VJSfieri non potcft.RurTui fi fieri poteftdiftcnt abmuicem Cfreuli,vt

ipfi k 1> C^oniam itaquefSignum Cit><’

culi k Centrum cftjipfiidfjjpfi fn a>

qualis c(l . & quoniam Signum Cir>

culi 1 Centrum cfl.hg aequalis edipfi ngm. Tota igitur fg duabus df,hg eft.^

maior . ipfa enim fg ipfas d f, g h exce-

dit, ipfa n m. Suppofitum autem fiierae

ipfasd f,h g,ipfa fg maiores eflc,qucm-

admodum etiam ipfas a, c ipfa b . namipfa quidem df,ipfia : ipfa autem fg,

ipfi b : ipfa vero h g, ipfi c aqualis polita

fuit . Ncceflarium eft igitur Circulos k 1

fe inuicem intcrfecarc. Quamobrem re

Ad Elementorum inditutor Circulos fe

inuicem fccantes accepit, fiquidem triu

etiam rcAarum Linearum duas reliqua

maiores fuppofuit,quomodocunepaf-

fumptas,non autem vni xquales

,nccp

ipfa minores, ncccllc ed autem tangen-

tibusquidem ipfisfcfc, ipfas clTcxqua- !;i

les : didantibus vero ipfis ah inuicem, duas reUqua minores elTe T

\ *

(

c

3j

/\

b

K: A

•'l

dr

r.ilA

.1

• ;J

PRoblcma hoc quoque ed, quod Oenopidis quidem potiusquim Horpro-

Euclidis inuetum lucmm ed, vt ait Eudemus : Anguli verd alq An- .>1»

guloreAilineo ad datam reAam Lineam, datumque in ea Signum mue^™conditutioriem exigit. Hoc lgituc,datum quidem Angulum recftili-

ncum cdc,nccc(lari6 Euclides adiedt.quonia nec fieri poted vt om-

ni Angulo xqualis Angulus adreAam Lineam condituatur . oden- rncom.i.

fura.n. fuit quod duo tantum curuilineorii Angulorum ReAilineis *>“““**•

Angulis xquales funt. Angulus fciiicet Figurx Lunularis,qui omni

reAilinco Angulo xqualis ia odenfus fuit : & Angulus Figurx illius,

quae Securi fimilis cd,quippe qui duabus RcAiTerti}s xqualis ed .

.

Fit

:a;

:fj

ifx L < I' B B RN..ta, j ,Fita5t huiufccraodiUunuIaiisFigura,<^uxPclecoidcBvocatur,duo-

c "rffimt-bus Circulis per Centra fe inuicehi fccantibus. Hoc verd

, ad ejuandatisSecuri, rctftam Lincaiti Anguli conftitutioncnt ficfl

, AnguluHi qui confli*-

Xrguii'u ftituitur determinatum efficit.no autem fpccic indifferentem, fcd aut

rc<ff'l'neum,aut miftum . ciim autem nullus miftusretfrilineoacqua*

lecoides lis cffc posfit ,manifcflum quod ipfc quoque omnino retftilineus cft.

Anguiui. Elementorum itaque inftitutor praecedenti Problemate fimpliciter

vfus,cx tribusque reens Lineis.qux tribus datis xquales funt,Trian'

gulum machinatu$,Propo(itum fecit. Accipies autem Trianguli co-

fittoViim' ilitutionem exquifitiori dodrina hoc modo. Sit data reda Linea a b»

datum autem in ipfa Signum a, datus vero redilineus Angulus ede.oportet itaqt facere id

,quod iuffum

cfl.Conedaturce,& producatur a bad vtrancp partem vfqj ad Signa fg,

& ponatur ipfi quide e d xqualis.ipfa

fa : ipli autem d e, ipfa a b : ipff vero

e c,ipfa b g . & Centro quidem a, in'

leruallo aute a f. Circulus k dcfignC'

tur.Sf rurfus.vt in prxcedcnti,Cctro

quidem b,interuallo autem b g,Cir'

culus Idefcribatur.Circuli igitur fe in

uicera interfccant, quemadmodum(uperius oflenfum cft. Sccct fe in Si'

gnis m,n, a Signoque n conedantur

ad Centraredx Linex, limiliterque

I-iM-f i Signo m.Quoni a igitur fa.ipfi a in

& ipfi a n'xqualis cft : ipfi autem fa,

xqualis cft ipfa e d, ipfa quoque a m,& ipfa a n,ipfi e d xquales funt. Rflr'

fus quoniam b g, ipfi bm ipfi b n•* xqualis cft:ipfa aiitehi g b.ipfi e e in-

xqualis non cft,ipfx etia b m,Sif b n,

ipfi e e xquales funt. Veriim & ipfa a b,ipfi d e xqualis cft. Dux igi-

tur a b,am duabus d c,d e inxqualcs no funt,& Bafis bm xqualis cfF

Baficc. A ngulus ergom ab.Angulo qui ad Signum d, xqualis cft.

‘ Rurfusque dux n a,ab duabus e d,d e xquales funt,& Bafis n b,Ra(ii

e e pqualis. Et Angulus igitur n a b.Angulo e d e cft fqualis,Iufsu'cp

dupliciter ladum cft . non .n. vnum tantum , fed duos conftituimus

Angulos dato Angulo aequales ad vtranque partem redf Lincp a b.

.

vtin

T E R T I V S I5J

vt in fequentibus etiam in qualibet voluerimus parte eonfHtutionerafecere.indubitatum fit,ncmoquecontraditat. Hfc quidem Conftru-^oni Elementorum inftitutorisadtjcimus. Apollonp autem often-

flonem non laudamus,tanquam eam, quae rjs indiget,qua: inTcrtio

Eibro ofbendumur . accipiens .n. ipfc quemcunque Angulum c d c,

& rc<flam Lineam a b,C€tro qui'

dem d, interuallo aut c d , c e Cir'

cunfcrcntiam deferibit. Similiter-

que Centro quidem a, interuallo

vero a b, b fCircunferetiam ddi-

gnat. imercipiettsqueee Circun-

Krentiam aequalem ipfi bf.con-

neftitreftam Lineam a f, Angu-losque a, c aequalibus Circunfwe-

tqs inlillentes,aequales affirmat.

Oportet autem prxaflumpfiflc quod ip(a etia a b, ip(i cd arqualis cft,

vt Circuli quoque aequales fint. Huiulcemodi itaque ofterifione tan-

quampofterioribusvtctemabElcmentariinftitutionc alienam effi:

cenfemus Illam autem Geometrae tanquam principia cohfequentempraeponimus , lu

SiduoTrianguladuolateraduobmlateribujattcrimi al-

teri atqualia habuerint. Angulumv(ah ^mulo maioremab atqualibus redis Lineis contentum : Bafim quoque Ba-

li maiorem habebunt

.

R.Vrfus ad Theoremata tranGuit,&T (imilesde in^qualitate in duo-

busTriangulis tradit Orationes illis, quas de aequalitatequoque tra-

didit.nam duo quidemTriangula fuppon^ duo Latera duobus La-teribus alterum alteri aqualia habentia.Angulum Vcnicalem inter-

dum quidem aequalem in vtroque ponit,interdum vero inxqualem:

^BaGmeodemmodo interdum quidem aequalem in vtrocp,inter-

dum autem inaequalem .^ squalitati quidem illius confequente ede

demondrauitBalium aequalitatem, harumqde aequalitati AnguloruVerticalium squaliutem ede confeqaentem dmiliterdemonl^uit:

indequatitativerd.inaequalitate nunc oftendit* Hoc igiturquod nunc

b pro-

DamtA-pollonii oftcnfionc

.

Prap5 t«Thto.ff.

Chm.xf

Virii hu>*

Thcorc -

maris Caius.

194 LIBERproponitur Theorema Quarto quidem oppoHtum cfl , na il/ud qui-

dem Angulos V erticalcs i riangulorum arqualck fuppofuit.hoc ve-

ro inaequales ipfos fiipponit. Sc illud quidem aequalis iplorum Bafca

demonlVauitjhoc vero eodem modo,quo Angulos,inaequales. prp-

cedu autem fequenti Theoremati, nam illud qgidc a Bafibus ad An-gulos.lub quibus Bafes fubtendunt infqualitatis orationem deducir:

hoc vero c conuerfo ab Angulis ad Bafes.quae fub ipfis funt. Qyam-obrem ipfum confequenter huic quidem iam di<fto modo couerfumcftjOilauo autem Theoremati oppofiium . nam alterum quidem abaequalitate Bafium Angulos V erticalcs jquales demonftrat,altcrura

vero a B^fiuminxqualitate ipfos quocp inaequales oftendit .Comu-ne autem cft hilce quatuor ( quorum duo quidem circa Aequale ver-

faniur.quartum fcilicct.S^ oAauu; duo vero circa in^quale.hoc vticp,

&.';fequens^ duo quidem ab Anguhsincipiunt.quartum nempe, 8Cqu .id in pra:f.niia querere propofuimus : duo autem i BaribuSjOdla-*

uum porro,quodque deinceps poft prjrf.ns collocatum cll) commu-ne ^pn>flis inquam hifce quatuor eft, tum quarto, 8i otftauo , tum vi-

gefi mq^quarto,S( vigcCmo quinto duo Latera duobus Lateribus aLterum alteri habere i.rquaLia. his-n.inaequalibus exiftetibus omnis in-

quiiitio tuperuacanca cft,a deceptioneque haud immunis. Hfcdc hia

in vniuerfum di«fla fint. Age autem Elementorum quocp inftitutoris

peffemis Theorematis ConftruvflionemconfidercmuSjquodquede*

heit ipl^adqciamus . accipiens

enim duo 1 riangula a b c,^ c f, i,

,

Latera a b, ac Lateribus de’

d f aequalia habentia alterum

altdi Angulumque ad a Si-

gnum exiftcntcm Angulo ad

d Signum exiftenti maiorem,

Sc votenarbftendcrc Bafim

b c , Bafi;;c fimaiorem , ad

reiftam Lineam e d',‘ ad Si-

gnumqhc in ipfa,quod elV d,

Anguloqui ad a Signum cft ^-

qualem coiillituit Angulum cdh.maior enim eB Angulus qui adaSignum eft*Angulo qui ad Signum d,connc(fUtque ipfi a €,fqualcm,

dh.Rciflaitacp Linea e h ad Signum hprodutfb aut (upra retfta Lit.

neamefcadit,aut fuper ipfaiaut infra ipfam , Elementorum fan^ m-'

ftiiutor vtpot^ fupra iacetueni ipfam accepit . Sit autem-ruper ipfi

rctffai

*9tT E -R T I V S

re(Tta Linea . Rurfus icaque ide

joft^nJw‘raus . duae entm a b,a c

duabus dc,dh aequales funt,

xqualesque continent Angu-

los. dC Balis igitur b c, Bafi c h

«qualis eft . At ipfa c h maior

eft quam ipfa cf, quapropter

tpfaquot^ bc maior eft quam

ipfacf. Verum fit infra ipfam

e f.pofita.Conneftentes itaque

ipfam e h dicemus quod cum ipfae ab, ac ipfis de,dh aequales Cnt,

aequalesque Angulos compre-

hendant ,ipfa quoque b c, ipfi

e h aqualis eft.Qponiam igitur

intra Friangulumdebdup re-

Line« d f, fc in Latere d c

funt conftitutg.extemis mino-

res funt. Aequalis autem eft

d h.ipfi d f.ipfi nancp a c «qua-

lis eft. Maior eft igitur ipfa h cj

quam ipfa e f. Sed h c «qualis »

eft ipfi b c. Maior eft ergo ipfa b cquam ipfa e f. luxta itaep omnem,

politionem Theorema oftenfum eft . Qua de caufa igitur,quemad- Dulwatio

modum in quano Theoremate fimul dcmonftrauit quod Arcf quo-

que Triangulorum «quales funt,in hoc etiam non adiiedt quod prg-,

ter Bafiumin«qualitatem, Are* quoque in«quales funt f Aduerfus *"*“*'••

hanc viicp dubitationem dicatur quod non eft eadem ratio in aquali-

bus Angulis.&f Bafibus : atque in in«qualibus . nam Angulis quidc,

& Bafibus fqualibusexiftentibus.Triangulorum etiam fqualius fe-

quitur : in«qualibus autem exiftcntibus.necefTarium non eft Arearii »

inxqualitatem confequi.fedmm «qualia, tum in«qualia Triangula

effe poflunt : maiusque illud,quod maiorem Angulum , Bafimque

maiorem habet.itemqhe minus. Propterea igitur Elementorum in-

ftitutor Triangulorum comparationem reliquit . Pr«terca autem,

quia etiam horum contemplatio Parallelarum indiget tradlatione.

Si vero oportet nos ea,qu« pofteriusoftendenda funt anticipantes in Digrt«<k>

pr«fentia quoque Arearum coparationem facere.dicimusquod ipfis

a. d Angulis.duobus Retfbs «qualibus exiftentibus (habeatur autem *

fermo in def^ptione, quae in L^cmemo eft)Triagula «qualia ofte- pautio

.

b s dun-

Oijr

L I B "E Rduntur: maioribus aurem quam duo Rc<fH, minus quod maioretn

Angulum habet : minoribus vcrd,maius . bincemmqu^inElcmcnto cofltutfta fiierc, 8( producantur

ipfe c d,fd ad figna h k, & fuppo-

nantur Anguli b a c, c d fede duo-

bus Rc(fbs gquales. Quoniam igi-

tur Angulus b ac. Angulo edgpqualis cft.Anguli c,dg, cclfduo-

bus Reidis pquales funt. Sunt aute

Anguli quocp c d‘g , k d g duobus

Re^is {iquales.. Comunis aufera-

tur e d g. Reliquus gitur e d f, reli-

quo g d k aequalis cit. Venim ipfe

c d faequalis eft ipfi h d k. ad verti-

cem enim funt. & Angulus igitur

g d k.Angulo h d k aequalis elt. Et

quoniam Trianguli gdf,Angulus

gd h externus elt, duobus internis,

& ex oppolito iacentibus, iplis fcili

cet.qui funt ad Signa g,&T f,fqualis eft.At ifti pquales fibi inuice funt.

ipfananqjdg, ipfi d faequalis cft. Angulus ergogdh. Anguli qui adi

Signum g, & Anguli.qui ad Signum f,duplus cft. Aequalis igitur cft

Angulus,qui ad Signum g. Angulo g d k,& funt altcrnatim. Paral-

Ida tgitur eft d c.ipfi fg. Triangula ergo g d e, fd c fuper eadem Bafi

d e funt.in cifdemquc d e.g f Parallelis.Aequalia igitur funt.Veru tn .

’ Triangulumgdc.Triaguloabccftxqualc.&Trianguluergodef, .

Triangulo a b c inaequale non eft . Et vides quod tribus indiguimus

Theorematibus,quae ad Parallelarum tra(Ttaiione fpetftant.vno qui-

Tropofi- dicenti quod omnis Trianguli externus Angulus duobus inter-

uo t > • nis,& ex oppofito iacetibus aequalis cft : altero autem,qu6d fi in duas

re£fas Lineas rctfta Linea incidens Alternos Angulos xqualesfece-

rit,ParalleIaere<fbcLinex funt: tertio vero,qu^ Triangula fuper

PropoC-cifdemque Parallelis conftltuta, xqualia funt . Quas

uo j 7 . Elementorum quoc^ inftitutor fciens ,Triangulorum comparatio-

nem omifit. Verum fint Anguli b ac, cdfduobusrctftis maiores,

8i conftruaniur eadem. Quoniam itaque Anguli b a c,c d f, hoc cft

Anguli c d g,e d fduobus retflis maiores funt : Anguli autem c d g, g-

d k duobus iunt Rctftis xquales ,ablato communi , ipfo fcilicet c d

g.Angulus cd f maior cft Angulog dk , hoc cft Angulus k d h m*«ior

Dir

T E R T I V S

ior Angulo g d k . Angulus igitur

gdh maiorquam duplus cll An^-

guli g d k ,ipfc nempv'

,,qui duplus

cil Anguli ad g Signum cxiflcnns.

Angulus igiturgdk minor cftAn

gulo, qui ad g Signum cft . Pona-

tur ipfi g d k ,xqualis d g I,& con-

nciSatur e 1 ,& d l . Parallela cigo

cftgljipfidc. Triangula igiturgd e , 1 d c xqualia funt . AtTrian-

gulum 1 d e minus cft Triangulo f

dc. Triangulum igiturgdc.TrianguIofdeminuseft. Aequale

autem cftTnangulum g d e,Triangulo a b c. Triangulum ergo abCjTriangulo fd c minus cftiipfum ncmpc,quod maiorem Angulumhabet. Tertio Sint minores duobus Rc-

<ftis Anguli ingqualcs eadequcconftrua-

tur.Qyoni» itacpAnguli c d g,g d k duo-

bus funt Kciflis xquales , comuni ablato

«d g, totusgdh minor quam duplus cft

iplius gdk. Sed duplus eriam ipllus qui

ad g Signum eft. Angulus igiturgd k.

Angulo qui ad Signum g.maior cft. Po-

natur Angulo gdk, xqualis d g 1, &T co-

inodat glcum ipfaefin Signo l , con-

nctftaturdl. Parallela igitur cft gl.ipfi

d c. Aequalia ergo fibi inuicc funtTria-

gulagde.lde. VcrumTrianguluqui-

demldemaius cft Triangulo fde:Tria-

gulum vero g d c aequale cft Triangulo a

bc. Triangulum ergo a bc, Triangulo

d fc maius cft. Oftcnfum cft igitur Tria-

gulum a b c.Tnangulo d c f& xqualc,&

maius ,Sc minus ,

Angulis qui funt ad a

,

& d Signa aut duobus Rcclis xqualibus,

aut maioribusquam duo Rc<Si,aut minoribus cxiftcnribus . omnef*

que fuppofiiioncs fieri polTunt .Quid enim fi Angulus qui ad a Si-

"

gnum ,vnus Rctfhis, Rcifdquc dimidium eflet

:qui vero ad Signum

d ,Rc^ dimidium , nonne duo ifti Anguli duobus Reiftis xquales

cflent C Quid autem fi qui ad Signum a, vnus Rctftus,& Retfli dimi-

dium

Sdiolium

in excpbri qu<^.t

veteri re*

penum

.

tf% LIBERdium eflet

;qui vero ad Signum d , bin* vnius Rc<fh‘ Teitif , non ne

duobus l^c(ftis elTcnt maiores C' Qfiid vero 0 qui ad Signum a , vnus

Rc<rtus,Re<fii‘<f edet dimidium:qui autem ad Signum d, tenia Re^

<fb pars , non'ne duobus edent Rejidis minores,& lemper Angulus a.

Angulo d edet maior eOmnes itaqt hx Coniparationes Parallelarii

vfu nobis faidz funt . Necediurio igitur apud Elementorum inftitU'

torem non reperiuntur

.

INCERTI AVTORIS SCHOLIVMin vigefimum quartum Theorema Primi

Libri Elementoram Euclidis

.

I MEAM afferre fentetiam operarpretium

eff, errauit Philofophus . nam heri non poteff ve

fuper ipfa fubtendente quf pofferius protratfta eRretffa Linea cadar, fcd necedariofupra ipfam inci-

det, quemadmodum Elementorum quocp irfti-

tutor vfus fuit, quod autem dicimus, hoc modooffendemus . Sint duo Triagula xquicrura a b e,

d e f, quae habeant duo Latera b a,a e duobus Lateribus e d,d f(qua-

lia,^ Angulus qui ad

Signua, Angulo qui

ad Signu d dt maior.

Ponendus eff itaque

Angulus ipfi xqualis,

qui dt e d g,8^ protra-

<ffa d g dt xqualis ip(i

ed . Si aute ipfam e gconneftere volumus,

fieri non poteff vt ea,

qux connexa eff ,ipd

efin diretftum fit. na

fi fieri poteff fit in di-

retffum ipfi,hoc eff fu-

per eadem retffa l inea incidat ipfa eg, quemadmodum vfus eL(e videtur Proclus in fecunda fua fuppofitione. Quoniam itai^ duo.

Ttriangula xquicrura effc fupponuntur, xqualis vtique erit Angulus

qui ad Signum c,Anguloqui ad Signum g.Caetcrum ipfi etiam dfc

.

eff xqualis .& Angulusigitur, qui ad Signum g.Angulo d fe fqua-^

lis

&

195T VE 'U T r V s

lis cft,qui enim 'eidem xqualta,& inter fe funt xqualia '. Si autc hoc

verum cft,Trianguli dfg.cxtcrnus Angulus intcrno,& ex oppoliio

collocato fqualiscrit.quodeftimposfibilc. Fieri ei^o minime poteft

vt re<fta Linea e g,rc(ftx Linex e fin dire<flum fit. Si vero hoc fieri no

poteft.eo magis neque extri incidet. Intra igitur . Non ergoretftc di<-

xit Phiiofophus. V cruntapien alia quocp ratione hoc fieri non pode

oftendemus in eadem deferiptione . Cum enim ipfa d c,tura ipfi d f,

tu ipddgfqualis fup'

ponatur ,ipfa quoque

d f,ipfi d g erit fqualis.

Quapropter tria Tria-

gula xquicrura funt,

vnputi def, dfg, &dcg.xqualia fiquide

inter fe tria Latera O'

ftenfa funt.

quiigV

tur ad Bafes ipforum

funt Anguli;, xquales

fibi inuicem erunt.hoc

eft qui ad Signum c,ci

qui ad Signum g

,

adhuc ipfi d fc:

qui ad Signum g.ipfi d fg.Qyatuor igitur AngU'

li fibi inuicem figillatim fquales funt . Quainobrem Si duo ipforum,

reliquis duobus xqualtserunt. Sim duo qui ad e,&g Signa,duobus

d fe,d fgfqualesvtricpfimul vtriTp. Anguli igkurdfe,d fg,duobus

funt Re^isxquales.fiquidcrecftaLincadffuperrttftaLineScg fte-

tit. Quocirca Anguli quoque d c f,d g fduobus Rctftis xquales funt.

Si autent boc verum ,feptimu decimum Theorema dcftrucftum cft.

At qui illud verum cft.hocergo nequaquam fieri poteft. Quxergo

producitur reifia Linea c g, fuper eadem rctfla Linea c fnon conetffc'

tur. Si verd hoc fieri non porcft,mult6 magis ( vt dicfhim eft ) neque

extra incidet.quod enim in illa fuppofitione cuenit abfurdu , abfut'

do hoc maius eft. Diccdum igitur pro Philofopho quod cos, qui in- o remlit

ftituuntur alloquens.non fatis ftite expofuit . V cl excrcitationisgra- of-

lia.animiquc excitationis eorum, qui ingenio prxftant.vcl foriade

etiam hallucinatus eft. Si nil mirum. Praeterea aliter idem oftende-

mus.Ciim enim quatuor Anguli figillatim equales fibi inuice oftenfi

fint.hoc cft ipfc d fe,8i ipfcdfg: Si adhuc qui ad Signum e, qui ad

g^Signum.Cum vero retJbi Linea fuper reda confiftetis Linea Dein-

.. ,

ceps

200 LIBERceps Angulos arquales fecerit,vterquere<fhis cft. Qyamobrem Werique ipfomm d fc, d fg re<fujs erit . Si hoc autem verum eft

, Angu>Ius etiam.qui ad g.redus erit. Si autem hoc veru, dcftrudum cft rur'’

fus feptimum decimum Theorema, omnis enim ( inquit) TriangU'li duo quilibet Anguli duobus Rccflis minores funt . noftra autemfuppofitio oftedit ipfos duobus Rccflis xquales

,quod cft abfurdura.

FRANCISCI BAROCn SCHOLIVMaduerfus quoddam incerti Autoris Scholium »

in Vigefimum quartii Theorema !j r. . j

Primi Lib. Elcmentoru r. 'o:

Euclidis., ,r ,7

Scholium

Interpre-

l MEA quoque afferenda cft fcntcmiaerrauit

plane incenusquifquis fit Autor, non errauitaute

Philofophus . nam feiedum cft quod ipfa Trian-gula,quae Elementorum inftitutor proponit aut

arquicrura,aut Scalena erunt.gquilatera enim effc

non poffuntjCum inaequales quidem Anguli ver'

cicalcs,xqualia vero duo vnius Latera duobus alte

rius Lateribus alterum alteri fint . erut fiquidem Anguli etiam jrqua'

les,quod non fupponitur. Si itaque Triangula xquicrura fuerint

quemadmodum E lementorum quocp inftitutor ipfa accepit , necef-

fario fupra ftibtendentera qux vltimo protratfta eft reda Linea incLdct.vt incertus etiam Autor oftendit : Si vero Scalena,vt& Proclus

ipfa rurccpit,fieri poteft vt qux vltimo protrada cft reda Linea,tum '

fuperiprafubtendente , tum fiipra ipfam, tum «iam infra ipfam ca-

dat . 8c iuxtaomnem pofitionem 1 heorema veritatem in fc conti-

net,vt apud Proclum ipfuro quilibet videre poteft. Immerito igitur

incertus Autor Proclum infeftat . non enim in xquicruribus Trian-

gulis , extra , vel fuper ipfa fubtendente vltimo protradam Proclus »

accepit , fed fimpliciter enuntiauit . Cum autc indeterminate aliquid

affirmamus, T quibus fieri poteft ipfum intelligimus,no aut in quibusnon poteft fieri. Dicendum cigo pro incerto Autorc quod aut quali

ad rudes,ambitioniscaufa,quippe quod tantu virum deceptum ofte-

dai,aut exercitationis gratia,Animiqfie excitationis corum,qui inge-

nio valent.pracfcns fcripfit Scholium, aut fortafle etiam hallucinatus

eft. Scire autem operxpredura cft quod ciim ait incertus Autor in *-

. quicru-

ZO IT E R T I V S

qiiicrunbus Triangulis poftrem6produ(fbimrc(Sam Lineam fupra

fubcendcntcm ncccdario cadcre.hoc verum cft in ijs quide xquicru^

ribus.qux (imilicer xquicrura funt,non autem in qs,qux non fum R'

militer xquicrura . etenim in non (imiliter xquicruribus fieri poteft,

vt qux vltimd produtfla efl re<lbi Linea.modo fupra fubtendentem,

modo infra,modd fuper ipfa cadat . Sint enim duoTriangula a b c,

d e ffquicrura ita,vt Latus qui'

dem a b gquaic fit Lateri b c,&Latus a c ,

vtroque minus : La*

tus vero d fxquale Lateri fe,&

Latus d e,vtroque maius . & fit

Latus a b xquale Lateri e d

,

Latus a c. Lateri df. nec non

Angulus b ac, maior Angulo

c d f . Ponatur autem Angulus

e d g xqualis Angulo b a c, 8C

protrahatur ipfa dg, ponatur'

que xqualis ipfi ac, &connC'

icatur ipfa c g. Dico quod fic'

ri poteft vt ipfa cg. & fupra

ipfam c f,& infra ipfam ,item'

que fuper ipfa cadat. Centro

enim Signo d.intcruallo autem

jLinca d f,CircuUis deferibatur,

quem aut tangitLinea ? f, aut

fccat. Tangat primum. Li'

nca igitur d g in Circuli Cir'

cunferentiam cadet. & quoniam tota contingens extra Circulum ca'

dic, ncccflarid ipfa cg fupra ipfam cf cadet. Secet autem ipfa c f

Circulum vt habetur in fecunda noftra defcriptione,& producatur

indirceftum Linea cf.quoufque Circulum iterum fecei in h Signo.

Quoniam itaque ipfa dg, ipfi d f xqualis cft, neceffarid in Circuli

Circunfcreniia cadit. Aut igitur inter fh Signa in Circunferencia

cadit.aut in Signum h.aut vitra h Signum . Atqui fieri non poteft:

vt in Signum h, aut vitra h Signum ipfa cadat . necclTarium igitur eft

inter f,& h Signa ipfam cadere. Quod autem neque in Signum h,

neque vitra li Signum cadere ^teft , fic oftcndemus . Cadat pri'

Huiniin Signum h, vtipfadji. &: producatur ipfa h d in directum

vfque ad Signum k, 8c conneiftatur Lineak e, qug tangat Circulum,

tot LIBERin Signo k . Qtioniam igitur

du3c k d. d c duabus c d, d h ae-

quales fune, Balis autem eh,

Bafi e k cft maior.Angulus fa-

edh. Angulo cdk maior

cft.Verum Angulus cdkma-ior cft Angulo e h d . Multo

maior igitur eft A ngulus e d h.

Angulo ehd. & Latus ergo

c h,Latcrc c d maius eft. Erat

autem 8c aquale ,Triangulum

Hquidem fquicrus fupponeba-

tur,quod Bcri non poteft . non

cadet ergo in Signum h , rcfta

Linea d g . Eodem (ane modooftendemus quod neque vitra

ipfum rjrdcm exiftentibus fup-

pofitionibus cadere poteft . NecclTano igitur inter Signa fh in

Circunferentia cadit,fccantquc

fe inuicem ipff d g, c h rc(ftf Li

ncae . Ipfa ergo c g protrafta

magis remota quim ipfa c h d

Cciroeft|, & propterea infra ipfam c f cadit,quod demonftrandutn

erat. Demonftrauimus igitur quod tum rupra.tum infra ipCun cade-

re poteft . Reliquum autem eft oftede-

re quod fieri poteft, vt etiam fuper ipfa

fubtendentequae vltimo protratftaeft

re^a Linea cadat . Sint itaque duo

Triangula arquicrura abc,def vtea,

quae fuperius dcfriipu funt .& fit qui-

dem vtert^ Angulorum b a c, a c b re-

liqui duplus , itemque duplus "Anguli

e d f hoc enim fieri poteft.conftituatur

aut ad d e reft3 LineS , ad Signuque in

ea d, A ngulus e d g aequalis Angulo b

a c.df ponatur cuiuis Ljnearu a c,d fx-

qualis ipfa d g,c5neftaiur'cp Linea c g»

Uicoquod frippofitu^ncceilario ip»

T E R T I V S -aoj

l>cmd So

ptioms.

(a fg ipfi c f in dirccflu eft.ipfaque eg poftrcmo protra<fla, fupcr ipCi

;cfg vcHs nolis cadet . Primum igitur oftendendum quod in dirccfKi

ipfa g fjipfi fCjvnaquc cft re<fla Linea ipfa c fg: poftea vcrd.quod

iuper ipfa cadit rcfta Linea e g, poftremo protra(fta. Si autem hoc <yr

ilcndcre volumus, odendenda prius efl nobis Sumptiuncula qu^da,

qua: talis e(l. Si Trianguli gquicrurisvtrunque eorum, qui ad Bafim Sumptio,

funt Angulorum reliqui duplum habentis vtcruis Angulorum,qui

ad Balim funt bifariam fetftus (uerit,quae Angulum fecat reAa Linea

ad reliquumTrianguli Latus du<ffa,gqualis eff BaO Trianguli, quod

initio erat ,itemque alteri dilletfH Lateris Segmento, quod minori

'Triaguli Angulo magis propinquu

cft. Sit Triangulu a b c xquicrus ha-

bens vtruncp eorum ,qui ad a c Ba^:

ftm funt .Angulorum reliqui duplu,

& fccetur bifariam Angulus, qui ad

a Signum cft per rc(fla Lineam ad,

& ducatur ipla a d ad Latus b c.Di-

co c{u6d aequalis cft retfta Linea a d

vtrique retffarura Linearum a c,d b.

Qsoniam Angulus b a c duplus eft vtriufcp Angulorum b a d, a b d,

A ngulus b a d. Angulo a b d xqualitcft. Aequale igitur eft& Latus

a d. Lateri d b. Rurfus quoniamTrianguli a b d externus cft Angu-

lusad c,dTObusintcrnis,exoppoGtoquciaccntibus,ipfis nepe abd,

b a d cft*qualis,qui ipfi b a c xquales funt. Angulus ergo a d c , An-

gulo b a c inxqualis non cft . At ipfcb a c,ipG a c b eft jqualis . *quL

cnis.n. Triagulum a b c fupponebatur.

Angulus igitur a d c. Angulo a c d pqua

lis cft. & Latus ergo a d fquale cft Late

ri a c. Oftcnfum cft aut ipfi edam d b f-

qualc. RccHia igitur Linea a d vtricp ,a c*

dbrc(fbirumLinearuxqualiscft,quod {

oportuit demonlftalTc.Hoc pracaflum-

ptoPropofitumoftendemus. Sitigituf

qux fuperius defignata hiit deferiptio.

Sihacpipfa gf indiretflumnoncft ipfi .

fc, fcd funtdui RcA* i^fx c-f, fg, du-

catur a Signo c,ad g Signu rctfla Linea,

quf aut fupra e f,fg redas Lineas caidit,

aut infta . na fupcr duabus rc^ds LuKls

.a

Propofiii

Demo.

C s vna

Pcmo in

Suicnis

.

>of L I B E Rvna rc(flaLinea cadere minimi poteft. Cadat primo fupri.Secat igi-

tur iplain d f, fecei in Signo h.Quoniam igitur a b,ipfi d c ; »c, ipfi

d g xquilis cfl,durduabus xquales,& Angulos aequales comprehe-duiucos,qui fuiuad vcnicem. Bafis igitur bc,B>ficg aequalis cft, o-

mniaque omnibus fuiu aequalia.Triangulum ergo c d g ^quicrus cft,

habens vtrunque eorum qui ad Batim dg funt Angulorum , reliqui

duplum. Secat autem Linea dh.Angulum cdg bifariam . Aequailis

cft igitur ipfa d hjpfi d g.poGta autem erat ipfa d g.ipfi d ffqualis.&

ipfa ergo d b.ipfi d faequalis cft. Totae fua pars, quod nequaqua fieri

poteft. No cadit ergo fupra rctfta Linea eg. Cadat infi-a,& produca-

tur ipfa d fquoufque ipfam fecet in h Signo. Similiter porro oftende-

mus quod tota d h fuaed fparti aequalis eft, quod eft abfurdum. Fieri

jgituriion poteft vt cgrctfta Linea infra e f, fg redas Lineas cadat.

At nccp fupra. Superipfis ergo neceflario cadet. Veru vnareda Li-

nea fuper duabus redis Lineis tota cadere non poteft . Ipfte igitur e f,

fg,duae red? Lineg no funt. Vna ergo tota ipfa e fg reda Linea eft.

Ciira aute vna fit,manifcftum cft quod nulla alia eft, nili ipfa e g po-ftremo protrada . In huiuftemodi igitur Aequicruribus,qu^ hocmodo fe fe habent reda qug vltimd protrada eft Linea,necp fupra,necp

infri,fed fuper ipfa fubtendenteomnino cadct.Oftenfum autem fuit

quod aliter fe fe habentibus huiu-

fcemodi Aequicruribus fieri po-

teft vt etiam fupra ipfam,& infra

ipfam cadat . in non Similiter

'Aequicrunbus igitur ipfa c g&fupra, SC infra ipfam e f ,& fuper

ipfa cadere poteft, quod oportuit

demonftrafle. Eodem fan^ mo-

do oftendemus quod fiTriangu-

Ia Scalena fuerint fieri poteft vt

ipfa c g tuin fuperioribus, tum in

inferioribus partibus, tum etiam

fuper ipfa fubtedde cadat. Sint

ergo duo Triagula Scalena abe,

d c f,qu.T duo Latera a b, a c duo-

bus Lateribus d e, d falterunr al-

teri cqualia,& A ngulum qui ad a

Signum ,Angulo qui ad dSignu

cft,maiorem habeant . Coftitua-

i:;;. - o tur

T E R t I - V S ,or

“lur ifa^p ad rcAatn Lineam d e, a d Signumq6c in ea d. Angulo b a e.«qualis Angulus edg.&T ponamrcuiuisiprarum ac, d fxqualis ipfa

d g,& conne<flatur e g. Dico quod fieri poteft vt ipfa e g& fupra ip-

fam e (,SC infra,&: fuper ipfa cadat. Centro enim d , intcruallo autemdfCirculus defignctur.quc aut tangit rurfus ipfa e f,& tunc rc(fh Li-nea e g fupra redlam Lineam e fcadet,vt in Acquicruribusoftenfumcft: aut fecat ipfum . Secet,& producaturin diretflu ipfa e f quoufcpfecet rurfus Circulum in h Si

gno . Aut ei^ ipfa d g inter

Signa fh in Circunferentiam

incidit, 8c fic ipfa eg infra ip-

fam e fcadet : aut in Signo h,

8c tunc ipfa e g fuper ipfa e f

in dirctfhim cadet,vt ipfa e h:

aut vitra h Signu, vt ipfa d k,

8c fic ipfa e k, hoc eft ipfa eg

fupra ipfam e fcadet. In Sca-

lenis ergo Triangulis cfuac vl

dm6 produ(fia cft retfla Li-

nea non foliim fupra fubten-

dentem , verum etiam infra,

iteque fuper ipfa cadere po-

teft,quod eratdemolirandum . Non errauit igitur Proclusmaximosquidem Philofophus

,

quippe quiTriangula ipfa non determinauit,

fed Qmpliciter enuntiauir. Altumemus autem ex his Trianguloro Digr«fi»

cum ad principia totius Mathemaricj effentif reiationcm,n]m ad ea,

qux funt proportione.quum enim Mathematica genera

,& fpccies

Fine,& Infinito participent,fiquidcm ab ipfisctia fcanniunt,alia qui-

dem Finicognata funt.alia vero Infiniud, alia autem permiftioncmvtriufquc fubfiftunt . &Tquae quidem ex Fine oita funt,terminum,&

ftatum,& identitatem,^ gqualitatcm,8i: fimilitudinem feruanttqu^

autem ab Infinitate emanant, in infinitum progresfionem ,& accre-

tionem,^ decretionem,& inxqualitatem * 8c disfimilitudinem , 8(

varietatem, omnisque generis diucrfitatem in fefc oftendunt:qusvero permiftioncm vtriufcp gignuntur,partim quidem Finis naturi

propter meliorem coordinationem,partim autem Infinitatis propter

deteriorem feriem indicant . Non immeritd igitur propter hxc cumTrilaterae etia Figurae per illa principia conftituantur

, Finis quidemRado xquilaterum pcrfcdt Triangulum

, quod xqu^itate tantum,

&

V_3l

toS L- I B E ' R'i

Tmgjloru ad fua

pnncipurclatio

.

Pulchra

Triagulo

rumiuxra

Pythaco-

rcosadea

^funt c6-

paratio

.

Finii

Scholii

Corolla -

nuiQ.

& fimilitudinc cft praeditum , & luxta omnia finitum fcrtpcr , atquf

terminatum, idemque mancns,& nci^ accretionem iuxta A ngulo!^

necp decrctioncm ,necp vllam iuxta Latera varietatem fufcipiins;

Infinitatis autjfcalenu.quod folius in^qualitatis,&r disfimilitudinis

particepsjiuxtaque omnia indetefnationcm,&: motum infinitum,&varietatem oftendit : vtriufque autcm,quippc quae medium ipfarum

tenet Centrum, miftacqucexambobus naturae eft particeps, aequis

cms,quod Finis fimul,atquc Infinitatis oAendenda; vim habet.C^a>propterTri agula, quf praefensVigefimu quartu Theorema propo*

nit, fquilaterae(Te no poflunt(hoc fiquide inpqualitate oftedit, illa at

ab aequalitate vndicp fcatent)veru aut aequicrura, aut fcalcna.& G ac^

quicrura.aut fimilitcr.rurfus pquicrura,aut no Gmiliter. & in fcalenis

magis varia eft ipfius Conftruflio, q iri aequicruribus , in fcalenis .n,

quae poftremo protra(fta eft refla Linea& fupra,& infra fubtenden'

tera.itcmquefuper ipfa cadere poteftt in aequicruribus aute necef-

fario fupra ipfam cadit. in xquicruribus inquam, qux fimiliter sp-

quicrura fune • qux enim non funt fimiliter xquicrura diucrfiiate»

& varietate iuxta poGtione magis participant, quam ea, quaeaequL

crura fimiliter funt .-vnde edam magis varia iftorum, quam illorum

Conftmflio eft . lur^ igitur in fcalenis magis varia Conftruflio ipfa^

& Dcmonftratio cft, quam in aequicruribus. Siquide fcalcna qui-i

de varietatc,& diuerfitatc,fimplicitcrque deteriori feric magis quamaequicrura participant : xquicmra vero Infiniti naturae funt magis

cognau. Propterea fane cliuinis etiam Animis tanquam infa-iorum

omnium menfuris,& fimplicitate,& »qualitatc,idendtateq{ie prae.-

ditis xquilaterum quidem Triangulum Pythagorei asfimilant : aor

quicrus autem fecundis generibus materialem naturam dirigentibus,

quippe qux raenfura quidem abundant , inxqualitatem vero, matC'

rialem^ immoderationem iuxta fuas extremitates attingunt , xquLcfururium Gquidem duo quide Latera ,& duo Anguli fquales funr^

Bafis autem ,V crticalisque Angulus inxqualis : Scalenum verc> vitis

partibilibu$,qu$ vndcquacp immoderatione.^ ingqualitate, omnif-

que generis diuerfitate , 6c varietate refertx liint . Vertlm de his

quidem haflenus

.

,Corollarium cx Scholio .

Hx his porro raanifcftum cft quod inTriangulisnon fimiliter fqui-

pniribuscum quidem AngulusV erticalis vtiiusduplus fiierit Angiv<

1" U

T E R T I V S *07

liVcrticalis alterius,ncccflario quf vltimo protradla eft rctfta Linea,

iiipcr fubtendctc rcifla Linea cadit : ctim autem maior quam duplus,

infra ipfam : ciim vero minor, fupra. Opus cft autem quando fuper

ipfa cad’t,vtTriangulum, quod maiorem Angulum habet ,vtruncp

eorura,qui ad Balim funt Angulorum reliqui duplum habeat

.

SEQVVNTVR PROCLICommenta/rj

irtrTf'i

Si duo Triangula duo Latera duobut lateribui alterum alteri

zqualia habuerint,Balim vero Bafi maiorem : Aogulu quoqueab zqualibuire^ Lineis contentuni Angulo maiorem ha-bebunt.

P RffensTheorema Oifiauo quidem oppolitum cft, prfccdcnti vc^

ri^conuerfum.iuxtacontugationemcnim Elementorum infticutor

de Angulorum, Baliumquc xqualitare, atque inxqualitate Thcorc'

niata protulit,in vnaquaqj coniugationum alia quidem Prgccdenna,

alia vero Conuerfa accipiens. & in Praecedentibus quidem , diredtis

oftefionibus : in Couerfisver6,ad imposlibilc Dedudtionibus vtens.

Hoc modo autem in vno etiam quolibet Triangulo fecit, interdum

quidem gqualitati Latcrura,quf in ipfo funt,eorum, qui ab ipfis fub-

tenduntur Angulorum squalitatem confequentem cllc oftendens

:

interdum vero inxqualitati inxqualitatem . Rurfusque <f conuerfo.

Angulorum quidem squalitati Laterum squalitatem , insqualitati

vero inxqualitatem efie confequentem affirmans . Verum ad Pro-

politum venientes, quomodo quidem Geometra oftendit manifrftu

cOm fit, ex Libris legere ps,qui difeendi tcncnmr defiderio idimittC'

mus. Qyas autem alrj etiam ciuldem afterunt Demonftrationes bre-

uiter enarrabimus.& primum illam,quam Menelaus Alexandrinus

inucnit,& tradidit. Sint duoTria ngula ab c,d c fduo Latera a b,a c

duobus Lateribus d e, d fxqualia habentia alterum alteri, Bafimque

b c, Bafi c fmaiorem . Dico quod Angulus,qui ad a Signum,Angu^

lo,qui ad d Signum , maior eft . abfdndatur enim i Bafi b c, Bafi c f

squalis,qus fit b g,8d conftituatur ad b Signum Angulod e f,gqua'

lis Angulus gb h,& ponatur b h ipfi d e squalis, iX conncilkitur h g,

& producatur vfque ad kSignum,c6nedaturque ah .Quoniam itac

. que

Propo ij

The», te.

Com.jo.

remfiftra

rio Menelii Alcia

drini.

. 00.41 •

B E R

Heron’S

Mech ini-

ciUcmd.

que b g xqualis eft ipfi c f, b h

autem ipli e d^dux duabus funt

xquales, Angulosquc xquales

continent. Ipfa igitur gh.ipG

d f cqualis cft.et Angulus b h gAngulo e d fingqualis non eft

.

Et quoniam gh aqualis eft ipG

d f, ipfa autem d f,ipfi a c, ipfa

quoque g h, ipfi a c xqualis eft.

Maior elt igitur h k, quam a c,

quamobre multd maior qudmak.Et Angulus ergo k ah.Angulo k h a maior eft . Rurfus

quonia xqualis eft ipfi a b, ipfa

b h,ipfi nanque d e eft xqualis.

Angulus b h a.Angulo b a h xqualis cft.Totus igitur b h k Angulus

toto b a c Angulo eft minor,xqualis autem Angulo ,qui ad Signum

djoftenfuscft.Aiigulusergobac, Angulo, qui cftaddSignum,cft

maior. Talis quidem Menelai Dcmoftratio eft. Heron autem Mc'chanicus hoc modo non per im-

poslibile idem oftendit . Sint

duo Triagula a b c, d e f,cpdeque

fint fuppoiitiones . & quoniam

bc maior eft quam ipfacf, pro^

ducatur cf,& ponatur ipfi b c,X'

qualis c g, fimiliterque protraha-

tur d c,& ponatur ipfi d f, aqualis

d h. Circulus igitur, qui Cetro d,

interualloquedfdefcribitur tran

fibit etiam per Signum h . Dcfcri

batur vtfk h.Sf quoniam a c,a bmaiores funt ipfa b c , hx autem

ipfi c h pquakssiit, & b c.ipfi gc.

Circulus, qui Centro quidem c,

interuallo aurem cg deferibitur,

fecat ipfam c h. Secet vt ipfc g k,

^^connetTranturd communi Cir

culorum feiTtione ad Centra rctftp

Linex kd,k e. Quoniam itaque dSignum Centtu eft CircuIihkF,

T E R T I V S 209

. ipfa d k,ip(T d h gqualis cft,hoc eft ipfi a c. Rurfus quoniam c SignumCentrum eftCircuIi gk.ipfackipficg xqualiseft, hoceftipfibc.

Quoniam igicur dux a b,ac duabus dc,dkfuntxqualcs,&f bc Ba-fis, c k Bafi,Angulus quoq; b a c. Angulo c d k eft xqualis . Angu-lus ergo b ac.Angulo fdc maior cft.

raxryf— fiiinnmiiiTH I f— ^St 4»0 rriMgaltfAwf Attckms ^ngntu stttmm ^rtrt itStir.

i rtMt, «ir»«4t *« Ldttri 4t^t , tdiseet «f

tftis Lmrritmj slttrum dttu reUim»!• ^^««/nir^aMwr. *

Propo \6Theo 17.

‘TRiangula iuxta Latcra,&’ AnguIos,& Arcas ad inuicem compa- Com.j 1.

rare volcntcm.ncccflc eft aut Latera fola xqualia accipiendo,Angu-Jorum xqualkatcm quxrcrc : aut folos Angulos xquales fumendo, "'i.®”'*

Laterum xcjualitatcminucftigarc: aut Angulos, & Latera mifccn-

do. Angulorum,S«: Laterum xqualitatem ftrutari . Solos itacp An-gulos quidc gquales cum acccpilTct Euclidcs.Latcra quoqj Triangu-lorum no potuit xqualia oftendere . xquiangula enim minima quo-que maximis Triangula fimt, quum etiam iuxta Latera,comprehen-faque fpatia ab alqsfupcrCntur: Angulosautem Angulis illorum fin-

gillatim fqualcs habeat . Sola vero Latera pqualia ciim fuppofuillct,

omnia xqualia efle dcmonftrauit per o<ftauu Theorema, in quo duo

funt Triangula,qux duo Latera duobus Lateribus alterum alteri x-qualia.Bafimqiic Bafi xqualcm habent, hxcque xquiangula,xqua-liumque Spatiorum comprehendendorum vim habentia oftendun-

tur. & Elementorum inftitutor hanc additionem prxtcrmifit lan-

quam per quartum necclTarid confequentem, nullaquc Dcmonftra-tionc egentem. Latera autcm,atq? Angulos accipiens,vel vnum La-tus vni xquale , vnumque Angulum vm xqualcm accipere debuit

:

vel vnum Latus,duosque Triangulorum Angulos duobus xquales;vel contri vnum Angulum

, duoque Latera : vel vmum Angulum,"& tria Latera : vel vnum Latus,& tres Angulos : vel plura etia vnoLatcrc.vnoquc Angulo plurcs. Venim vnum Angulum,vnumqucLatus ctim accepiflet, Propolitum minime oftcndit,rcliquoru fcilicet

xqualitatem . fieri enim poteft vt duo Triangula iuxta vnum folumLatus,vnumque Angulum cqualia exiftcntia,qu6 ad reliqua prorfus

ingqualia lint . Sit enim rcfta Linea a b Pcrpendiculariter creefia fu-

per redam Lineam c d, fit autem maiorb d quam b c,Sc connedan-

d tur

2 tO LIBERtur a c,a d. His igitur Triangulis vnutn quidem cft Latuscommune^vnusquc Angulus vni Angulo x-

qualis, reliqua vero omnia inxqua"' lia funt. Vnum autc Latus, & duos

Angulos accipere licet, cfteraquc

qualia oftcdcre,& hoc facit per prg-

fens Theorema . Vnu vero Latus,

& tres Angulos aquales iterum fup'

ponere fuperuacaneum eff . Siquide

duobus etiam folis xqualibus exi"

Rentibus, reliquorum xqualitas O"

(lenfafuit. Rurfusvnum Angolu,

duoque Latera xqualia accipiens,reliquaxqualia in quarto TlieorC"

mate deraonftrauit. Vnum autem Angulum,& Tria Latera xqua"

lia accipere fupcruacuum e(l . duo nanque tantum aqualia adiimpta,

exterorum xquaiitatemconcluferunt. Qyinctiam duo Latera,duof'

que Angulos xquales fulcipere : vel duo Latera, 8c tres Angulos X"

quales : vel duos Angulos , Sf tria Latera : vel tres Angulos, 8c tria

Latera,hxc omnia fuperuacanea funt.qux.n.pauciores confequun"

tur fuppolitioncs,omnino plures ctia comitantur.dumodo cum t da-

tis conditionibus fuppofitiones accipiantur . Tres ergo fuppofTtiones

Demonffratione egentes funt nobis ortx.qux quidem fola tria La-

tera fufeipit:quxque vnum Latus,& duos Angulos,qua nunc Geo-

,metra proponit : huicque oppofita. Et propterea hfc fola tria Theo-

remata de xqualitateTrianguloru habemus,qux in Lateribus, An-gulisque verfatur. Quandoquidem exterx omnes fuppofitiones adQuxiitum odendendum aut inualid.T funt

, aut validx quidem , fed

fupcruacanex,ed quod per pauciores fuppofitiones eadem fuapte na-

tura comparata funt. Queadmodum igiturquando duo Latera duo-

bus Lateribus xqualia fufcipicbat,vnoque Angulo vnum Anguluna

xqualem,non equidem quemlibet Angulum accipiebat, fed ( vt ab

ip(o propofitum fiiit) ab .xqualibus reifbs Lineis contentum , codetn

modo duos etiam Angulos duobus xquales aflumens,vnumque

Latus vni Lateri,hoc non quodlibct afliimit.verum aut jquis Angu-lis adiacens , aut fub vno aqualium Angulorum fubtendens . neque

enim in quano Angulus quilibet xqualis fumptus, neque quoduis ia

prxfenii Theoremate Latus,rcliqua xqualia oftendere poteft Di-t co autem, exempli gratia, exiftenteTriangulo xquilatero a b c,diui-

cUuir Latusb c in partes inaequales per Lineam ad * Fiunt igiturduoTrian-

\ ^

*

ttt

l

k

3

>

y

1'

id

d

i»<

0-

n

f>

n

le

I'

e

It

k

i'

0

T E R T I V S

Triagula duo Latera a b,ad duobus La' »

tcribus a c,a d xqualia habentia,vnuque

Angulum, qui ad b Signum vni Angu-

lo,qui ad c Signum xqualcm,verum no

etiam reliqua Latera xqualia funt,vtpu'

ti Latus b d. Lateri d c . inxqualia enim

ium. At neque etiam reliqui Anguli X'

quales fune. Caufa autem ell quoniam

Angulo Angulum gqualcm fulcepimus

non cum,qui ab xqualibus Lateribus continetur . Eodem fand mo^

do prxfens quoque Theorema titubare videbitur, nili iuxta iam dL(ftam conditioncm,xquale Latus fub vno xqualium Anguloru fulv

tendens,vel xqualibus Angulis adiacens aedpiamus • Sit enim Trii'

gulumreiftagulum abe. Angulum,

<]ui ad b Signum eflrccfhim habens,

Latus'cp be maius Latere b a,& pro

ducatur a b,& collituatur ad retflam

Lineam bc, ad Signumque in ea c.

Angulo b a c,aqualis Angulus b c d,

& coincidant b d,c dproduiflx vfcp

ad Signum d. Duoitacp Triangula

funt a b c,b c d vnum Latusb< com-

mune habentia , duosque Angulos

duobus Angulis pquales a b c quide,

ipli c b d ( Uc(fti.n.func)b a c autem,

iplibcd. lic .n. conftituti liiere.Ae-

qualia igitur (vt videtur) Triangula

funt, oftenditur tamen Triangulum

b d c maius Triagulo a b c . caufa aut

ed quoniamcommune Latus bcin

Triangulo quidem a b c vnum pqua

liu Anguloru fubtedens accepiram;

ipfum Icilicet,qui ad a Signum eft;

in Triangulo vero b c d ,xquis An-

gulis adiacens. Opus erat igitur in vtrilque aut vnum xqualium An-gulorum fubtenderc.autpquis Angulis adiacere. Hocautem noob-feruantes Triangulu illud xqualc afRrmamus,quod necediuid maius

ell.quomodo .n. Triangulum b c d. Triangulo a b c maius non elh*

conflituatur .n. ad retflamLineamb c, adSignumque in ipla datum

d 1 e.

• j

,on:;

-tizec

X.i LIBERc, Angulo ac bjXqualis Angulus fcb. Angulus .n. bcd maior cft

Angulo acb,quemadmodum etiam Angulus, qui ad a Signum eft,

Qyoniam igiturduo Triangula funt a bc.bcfduos Angulos abe,

bea duobus A ngulis e b f,b e falteru alteri aquales habentia,vnuqbe

Latuscomunc aqualibus Angulis adiacens ipfura fcilicet b e,Trian<*

gula xqualia funt. Maius efl auteTriangulum b e d,Triangulo b e

Maius igitur cilTriangulo etiam a b e . Prius aute xqualeoAendun

luit,propter cuiuslibet Lateris aflumptionem . Hxc ad praefentium

rorphy -diligentiam Porphyrius nobis fuppeditat . Eudemus autem in

rius . Geometricis enarrationibus prxfcns Theorema ad Thaletem refert,

fclome- Nauigiomm.n. qux in Mari funt diffantiam eo modo,quo dicunt

ipfum oftcderc, hoc infuper vti (inquit) necefle eft.Ex iam didla au^

adThjic- tem diuifioncomnem de Triangulomm xqualitate contemplatione

Tb™ore--brcuitcr aftumemus.prxtermiflommquc caufas dicere poterimus,ta-

ma refert quam mendaccs fuppoliuones ipfas, vel tanquam fupcruacaneas rc-

Epiioguj darguentes . Sc huc vfquc finem habere Elemetorum inftitutori pri-

fctftionem ftatuemus,quippe qui Triangulomm quidem Con-miiib.E- ftitutiones,ac Comparationes iuxta Aequale,& In$rqualefccit.& per

Conftitutionem quidcm,ipfomm Eflcntiam tradidit:per Compa^

•.rationem ver6,ldcntitatem,atquc Diuerfitatem. tria.n.funt.quf cir^

ca exiftentiam verfantur,Eirentia,ldcm,&r Altemm, tum in Quan*

tiiatibus, tum in Qualitatibus fecundum fubicftomm proprietatem.

Ex his ergo tanquam imaginibus oftenditur quodvnumquodcp fibi

ipQ idem cft,a fe ipfoquc difcrepat,propter cam,qux in ipfo eft.mul-

titudinem ; omniaque eadem fibi inuicera funt, 8C ifcipfisdiuerfa.

etenim tum in vnoquocp Triangulomm, tum in pluribusvno Tria-

gulis xqualitas,inxqualitasq(ic reperta (uic.

i

T£Hjn LtB^t flUIS.

u .

- j . ^ .jii; r .

—

' t i t.\

• ; Mr/r:

• - tj' lu» t b/1^ . i i.,r7-

'

r»i: i in'*'- • • ^ ' y i

.n'-r -f.-j i ..t.,

-Li.: ;.-

- b

jjocurae-

rum

.

Pulchra

conlktc-

ratko.

PROCLI DIADOCHI IN PRIMVMVOLIDIS BLEMENTORVM

L I B £

Qyod fit Secundae primi Elementorum Partis Propofitum

Caput vnicura.

E TRIANGVLORVM quidem c.„,„Ortu,& xqualitatCjVel inxqualicatc quxeunque «o Libri.

Elemetari inllinitioe dici poterat ex i I di(ftis didi'

cimus.De Q(iadrilatcrisaut Figuris deinceps Eu'

elides enarrat,praccipud quidem de Parallclogri'

misnos edocens,fimul vero cum horum comem'piatione deTrapezqs quoCp doArinam afiovns

.

diuidirur enim (vt alicubi prius etiam in Suppofitionibus diximus)

Quadrilatcrum in Parallelogrammum, &C Trapezium :& ParaliC'

lograramum in alias quafdamfpccies.Trapcziumquc fimiliter.Vc'

riim quoniam Parallelogrammum quidem propter xqualitatis par'

ticipationem ordinatum eft.Trapezium vero non eundcm,ncquc G'

inilcm ordinem habet ,non immerito pracripuii quidem de Paralie-

logrammis ipfi cft fcrmo.vna autem cum hisTrapezium quocp con-

templatur . ex Parallelogrammorum enim fc<frionc ,Trapeziorum

Ortus apparebit,vt procedentibus nobis manifeflum erit. Quoniam inferjui i

autem rurfus fieri non poteft vt aliquid de Parallelogramorum con'

(litutionc , vel squalitate dicatur abfcp Parallelarum confideratione

(nam vt etiam ex nomine fit manifeftum, Parallelogrammum illud

cft ,quod a Parallelis ex oppofito iacentibus redis Lineis circunferi'

bitur ) neccftario hinc i Parallelis dodrinx fumit initium, paululum

autem ab his progreflus, Parallelogrammorum dodrinam ingredi'

tur vno medio vfus Theoremate inter harum , iliorumque Elcmen-

tareminftitutionem.quippe quod videtur quide Symptoma quocL

dam.quod Parallelis ineft contemplari:primum autem Parallelo-

grammi Ortum tradit . tale enim cft quod ait.Rcdx Linex, ejux f- »•

quales,& Parallelas redas Lineas ad partes eafdem coniungunt, ipff

quoque xquales,& Parallclx funt . nara in hoc quidem Theorema-i te

3

* 1 + LIBERtc quoddam aqualibus, Parallelisqiierccftis Lineis Aeadcns confide-

ratur : ex connexione autem Parallclogrammum apparet, quod La-teraexoppofitoiacentia, Parallclaquc habet. Quod igitur Paralle-

larum fermo neceflariopracaflumptusfuit, ex his manileftum cft.

Trii.V» Tria autem aflumenda funt.qux Parallelis per fc infunt, & ipfas per

jfcinftnt le exprimunt, ipfisque conuertuntur,non foliini tria fimul, Ld vnu-

quodep etiam feorfum ab alrjs fumptum. Quomm vnu quidem cft,

Re<fta Linea Parallelas fecante. Alternos Angulos xquales elFc : al-

terum autcm.Recw Linea Parallelas fecate, internos Angulos duo-bus Rctftis efle xquales : reliquum vero , Retfta Linea Parallelas fc-

cantc,extcrnum Angulum interno, ex oppolitoqueiaccntixqualctn

cfTc . fufficiens enim cft quodlibet homni Symptomatu dcmonftra-tum,re<flas Lineas Parallelas affirmare. Hoc modo autc cfteri quocpMathematici de Lineis dilTcrerc confucuerunt,vniufcuiufque fpecici

Apolloni* Symptoma tradentes. Apollonius nanc^ in qualibet Conicarum Li-j^Nicode- nearum quidSymptoma fit oftcndit,&: t Nicomedes in Conchoidi-Hippiaj. bus, & Hippias in Quadrandbus, Perfeusquein Spiricis. nam poftl etfeu..

Jpfarura ortum quod ipfis per fc , & fecundum quod ipfum ineft ,af-

fumptu,conftitutam nobis formam a cun(fris alqs diftinguit. Eodemmodo igitur Elementorum quoc^ inftitutor Parallelarum Sympto-mata primum inueftigat

.

SECVNDA PARS PRIMI LIBRIElemcntomra

.

Vropo 1

1

Thfor.»*

csm.pri- Jm prxfenti quidem Theoremate tiiquam cuidens prxafliimptum

non fiiit reiftas Lineas in vno cllc Plano, potius v’cr6 in omnibus

Theorematibus.quf in Plano confiderantur. Adpeitur autem hoc,

c6 quod non omnino Alternis A ngulis xqualibus exiftentibus retfig

Linex Parallelx eflcnt.nifi in eodem quoque elTcnt Plano . nihil .n.

obftat in modii literg X rciflis Lineis altera quidc in vno,altera vero

in alio Plano iacctibus retflam in ipfas incidentem Lineam Alternos

xquales cfficerc,non funt tamen Parallelx qux hoc modo fc haben^

rctflx

Si ia du3f re^s tincas refla incides Linea A Icernos Angii-losiquns aiinu cem fecerit ParalleU ipfx tefl* i inc»adinuiLcm erunt

O.V A R T V S. i,f

te£ix Lineae . Prxaflumptum itaque fuit quod omnia quxeunque in in iiV. i.

plana trailatione deferibimus, in vno eodem ’cp Plano excogitamus.

Qpapropter hac quocp additione in pr^fentia non indiguit, bciendu

aut ell quod particulam c Alternatim ] dupliciter Geometra fufeipit,

interdum quidem iuxta talem litum, interdum ver6 iuxta talem Ra-

tionu confequentiam . 8c iuxta hanc quidem lignihcationein quinto

Libro,& in Arithmeticis particula C Alternatim ] vtitur: iuxta aute

altera,tum in hoc,tum cu<Ms alqs in Libris in Parallelis reifHs Lineis,

in hasque incidentem. Angulos enim,qui ad eafdem partes non hunc

. neque deinceps fibi inuicem iacent, fed dillincfU quidem ab incidente

funt,ambo auic intra Parallelas exiftunt,differut vero eo q> alterquUde furfum,alter aut deorfum iacet.Alternos Angulos,nuc AltemtimAngulos appellar. Dico aut,exem'

pii gratia, redis Lineis ab, & cdexiftentibus, incideteque in ipfas re^

da Linea c f. Angulos a c f, d fc ite-

que Angulos c fc , b c fAlternatim,

fiue Alternos cfledicit,vtpote Alter

no,commutatoue ordine iuxta poli-

tionem fe habentes. Illud aiit feien-

dumeftquddtalircdaru Linearum

fitu exiftente ,omnia Symptomata

diuilionc fex fiunt, quorum tria tan-

tum Geometra fufeepit, tria vero o-

mifit . aut enim ad eafdc partes An-

gulos fumemus,aut non ad eafdem

.

Lt Ii ad eafdem partcs,aut ambos intra redas Lineas,quas ratio Pa-

rallelas oftendit : aut ambos extra : aut vnum quidem extra, alterum

vero intra . & Ii non ad eafdem,rurfus eodem modo autambos extra

redas.qux fecantur Lineas accipere necefle eft : aut intra ; aut vnumquidem intra, alterum vero extra . Fiat autem in eadem deferiptione

manifeftum quod dicitur,& lintquxdam redx Linex a b,c d, 8c in-

cidat in ipfasreda Linea e f,^ producatur ad h g Signa . Si igitur ad

eafdem quidem partes Angulos accipias , aut ambos intri pones , vt

ipfosb c (,8c e fd,vel ipfos a c f,& c fc:autambos extra,vt ipfos h e b

& d fg.vcl ipfos h e a,8f c fg : aut vnum quidem intrd , alterum verd

extra, vt ipfos h e b,&efd,velipfos gfd, &feb, vel ipfos h ea,

e fc,vel ipfos g fc, a e f.quadrupliciter enim hi accipientur. Si au-

tem non ad eafdem partes Angulos accipias , aut vtninque intri po-

nes.

<3

Qui Coc

Alterni

Anguli.

rocjnie-

tum.

Diuifia

Symjito.

BI2tU Pa-

r

21« LIBERnes, vt ipfos a e f, &: e fd, vel ipfos e fe, &: fe b : aut vtrunq? extri. vt

ipfos a e h, &: d fg,vel ipfos hcb&Tcfg:aut vnum quidem intrajal-

terum vero extra,hocquc rurfus quadrupliciter . aut enim ipfos a c h,

& c fd : aut ipfos h c b,&T c fc : aut ipfos g fc, &: fc b : aut ipfos g fd,

Paraiit/i"pones. &pra:tcr basalia Sumptiononeft. Cumitaque An-

fe« moJij guli fex modis fumantur.Gcometra tres folas fumpt/ones contexuit,fumutur

. ^ haec quidem confequetia Symptomata Parallelas exprimere apta

nata funt . Harum autem trium Sumptionum vna quidem eft ex ijs

Angulis.qui non ad cafdc funt partcs,ex qs quidem,qui intra tantumfumpti funt, quos AI ternos etiam appcllauit,ita vt q,qui extri ambofunt,& ii,quorum vnus quidc extra,altcr vero intra,prartermisfi fint:

duae vcrOjCx qs,qui funt ad cafdem partes, ex qs quidc, qui ambo m-tri funt,quos duobus Redis {-quales ede dicit,& ex qs, quorum vnus

’ quidem eft intra,alter vero extra, quos arqualescflc dixit,vna fan^

Sumptione relida,qua: ambos extri fupponit. Nos rgitur dicimus

quod tres etiam practermiffas fuppofitiones eadem confequuntur.

Sint enim ad eafdcm panes amboextri Anguli heb, dfg, dico qjlii

duobus (iint Redis aequales. Angu-lus enim d fe. Angulo h c b :& An-gulus bcf, Angulo dfg aequalis eft.

Si autem Anguli bcf,efd duobus

redis fquales funt,A nguli eria d fg,heb duobus funt Redis aequales

.

Sint rurfus non ad eafdc partes An-guli a e h,e fd,quorum alter quidem

fit intra, alter verd extra , dico quod

fpfi quoque duobus Redis aequales

funt . fi enim Angulus a e h , Angu-lo bcfxqualis eft, Anguli autebef

& e fd duobus Redis funt fquales.Anguliquoque a c b,&T c fd duo-

bus Redis xquales funt . Sint rurfus non ad cafdem quidem panes,

ambo autem extra redas Lineas,vt Anguli a e h, d fg ,dico quod hi

fibi inuicera aequales funt . fi enim Anguli a e h,& b cfad inuicem

aequales funt. Angulus autem d fg.Angulo b c feft xqualis. Angu-lus igitur a c h. Angulo d fg in{:qualis non eft. Si igitur qup in tribus,

quas Geometra fufccpit fuppofitionibus cofequuntur fumpta luerint,

eadem omnia in reliquis criatn tribus veluti vera confequentur.prg-

tcr hoc, quod in quibusquidem hgc Geometra fufccpit iuxta quidem

duas

CLV A R T V S.

duas Sumptiones Anguli (Ibi inuicc aequales fiipponuntur, iuxta ve^ro ynam,duobus Rc^is aquales : in his autem d contrario^iuxta duasquidem duobus Rc<fbs xquales,iuxtavnam verd

, fibi inuicem . ciimenim omnes fumptiones fex (int

,ex tribus quidem accidit Angulos

duobus elTe Re<flis acquales,cx' tribus vero xquales ad inuicem.Qpa^propter non Imeritoqux prxtermiflx, qs, qux memoria dignf fadffumfumptionibusc contrario fe habent. Videtur autem Geometrahafce fuppofitiones elegilTc.qufcunque vel afBrmauone abundlt,velfimpliciores (unt, atep iddreo ex qsquidem Angulis

,qui non ad caf-

dem funt partes,folos intemos,quos Alternos nuncupauit : ex qs ve-ro,qui ad cafdem partes funt,tum intemos,tum vnum quidem inter-

niun,alterum vero externum accepi(Te:reliquos autem tanquamma-^ur ««

gis per negationem declaratos, vel tanquam magis varios deuitafle. fumptio-

Vcruntamen (Tue haec caufa , (iuc alia dicenda fit , ex his manifeAum terf emUeft quot funt ea,qux (iippofitiones ipfas cunfequuntur

.

^ miferic.

I

Si ia i^is reflai Linen ndt incidens Unca, externu Angu* -Ilo

lu intemo,& e* oppofico iacra, ad caiHe^; panes ci^uale |Pi

fecerit.aut internos , Sc ad eaidem panes lacentes duobus ^XeQisa^*Jts: fa^elp erunt inter feipltreitt Linex.

Propo itTheo. if.

PRxcedens quidem Theorema Angulos nonadcaldem quidem *•

partes,intra aut rc(flas Lineas iacentes fiHcipiens, Parallelas efle inter

fe reflas Lineas oflendebat : hoc vero reliquas duas Suppofitiones

proponit.quarum vna quidc iuxu particulas f extra ] 8c [ intraJ An-gulos fcparat,altera vero ambos intri fupponit

, eandemqueconclu-

fionem oftedit . Videbitur autem fortallc Elementorum inEitutor du**»!*

incouenienter Theoremata partitus efle . nam opus erat aut tres fup-

pofitiones diuifim capere, triaque Theoremata fecere : aut omnes in

vno colligere Theoremate,queadmodum fecit Hierapolita Aeneas, .

qui compendium Elementorum fcripfit: aut in duo diuidere volen- ua^uItem, ordinatam facere diuifionem,& feorfum quidem fuppofitiones

fu(cipcre,in quibus Anguli xquales funt, feorfum vero illam, in qua rufcnpfc.

duobus fiint Reflis gquales . in prgfcntia autem in vno quide Theo-remate Alternos gquales fuppofuit,in altero verd externum interno,

8c internos , ad eafdemque partes iacentes duobus Reflis aequales.

Qpgnam igitur huiufcediuifionisfiiit caufa C An non ad Anguloru SoIini«.

inicr fe,vel ad duos Reflos xqualitatem relpexit ,^nequc hacratione

»i8 L I - B R

IHolem*!Dc^Dollra

tini libro,

cuinrulut

ctl Re^asLineas ab

ait(>ulismt

nonbus,^djo Rc^i

eoicidcrc.

propofita Theoremata ab inuicem feparauit ,fod ad iitud , Angulos

ad cafdem.vcl non ad eafdem accipi partes 1 nam precedens quidem

non ad eafdem partes Angulos fufcipiebat.tales fiquide Alterni funi;

hoc vero.ad eafdem pancs,vt etiam ex Propofitionc perfpicuum cft.

Verum quomodoquidem Elementorum inftitutor oHcndit quod

internis Angulis aequalibus duobus Rccftisexiftentibus.reiftae Lineae

funt Parallelx,patet ex ps

,quae feripta funt . Ptolemaeus aut in qui^

bus demonftrarc propofuit retflas Lineas,quf ab Angulis minoribus

quam duo Redti producuntur coincidcrc ad eafdem partes,in quibus

funt Anguli duobus Reiftis minores,hoc ante omnia Theorema ofte

dens ,internis nepe Angulis aequalibus duobus Reiftis exiftcniibus-.

Parallelas effe reiflas Lineas,hoc modo oftendit . Sint dux reiflx Li*"

nex a b , c d , fecetque ipfas

qufda reda Linea e g fh,ita

vt Angulos bf g , & f gdduobus Reiftis xqualesefli'

ciat ,dico quod ipfx redx

Linef Parallelf funt,hoceft

nunqua coincident. Si enimheri poted coincidant dumproducutur b f,g d redf Li'

nexin Signo k. Quoniamitacp reda Linea e fftetit

per redam L mea a b. An-gulos a fe,bfc duobus Re-

dis xquales efficit. Confimiliter autem quoniam fg fiiper c d fterit,

duobus Redis xquales efficit c g f, d g fAngulos

. Qyatuor igitur,

bfc,afc,cgf,dg fquatuor Redis pquales fuht,quoru duo b fg,fg dduobus Redis fupponuntur xquales. Rcliquiigiturafg ,cgf hi

quocp duobus Redis pquales funt. Si ergo redx Linef fb, g d duo-bus Redis internis exiffientibus Angulis produdxcoinciderunt,^iplxig turfa.gcdum producuntur coincident. nam duobus RedisAnguliquocpafg.cgfxqualcs funt.autenim in vtrilque partibus

redx Linex coincident,aut in neutns,(iquidem tum hi tum illi duo-busfunt Redisxqualcs . Coincidant itaque redx Linex fa, g c iii

Signo 1. Dux igiturlafk.Icg kredx Linex Spatium compre-hendunt

,quod eft imposfibilc . Fieri igitur non poteft vt internis

Angulis xqualibus duobus Redis exiftcniibus redx Linex coinci-

dant. Parallelx igitur funt

.

In

119

TropoG -

cio 19 .

Thco.io.

pRxfcns Theorema ambobus praecedentibus conuertitur . quod Com. j.

enim in vtrocp illorum CLiaefitum cft,fuppofitionem efficit : Quae

aut in iliis Data funt,oftcndere proponit.& hfc etiam Conuerforum

diftlraia filctio prftereSda n5 cft, qj omnc.quixl coucrtitur.aut vnu

vni couertitur, vt quito f.xtiitaut pluribus vnu,vt pccdcntibusquod rumdiffe-

in prefentia proponitur:aut plura vni.vt paulo poft nobis manifeftuji.

crit/ln prxfenti aiitc Theoremate primum Elementorum inftiiU' p- touis.

tor hac Petitione vfus eft.qug ait fi in duas rcftas Lineas re<fra incides Q„;ta pe

Linea nternos,&: ad eafdc partes Angulos duobus rciftis minores fe- •

ccrit, rectas illas Lineas dum in infinitu producutur coincidere ad eas^ .

partes, in quibus funt Anguli duobus Reiftis minores . Quod expo- &i

nentes ca,qux ante Theoremata funt dicebamus ,quod non ab om- ^

nibus hoc concellum fuit indemonftrabiliter cuidens efle . nam quo^

modo tale erit cuius Conuerfum veluti demoftrabilcinThcorema'

tibiis perferiptum cft C Theorcmacnimillud,quodaitomnisTria-'

guliduos quoslibet internos Angulos duobus Rcifliscdc minores,

huic Petitioni Conuerfum eft . Prxterca quoniam annuere redas

Lineas femper magis ,atque magisdum producuntur ,

coincidentiae

certum Signum non cft, c6 quod alix quocp repertx funt Linex an-

nuentes quidem femper plus, atq; pIus,coincidentcs vero nunquam,

vt prius etiam didum fuit . Olim ita^p quidam quocp alii cum hoc

tanquam Theorema prxordinafTent,quodab Elementorum infti- cudiiib.ct

tutore vt Petitio aflumpium eft,Dcmonftratione dignum ccnfucre. l'bn

Videtur autc Ptolemxus quocp ipfum oftendercin libro,cui titulus

eft redas Lineas, qux a minoribus quam duo Redi producuntur, km^sdi

coincidere. oftenditque ipfum ciim multa prxafTumpfini-t coru.qux

ad hoc vfcpTheorema ab Elementorum inftitutore iam dcmonftra'

ta funt. & fupponatur omnia efle vera ( ne nos quoque aliamfu' Scefidap»

peraddamus conflifioncm ) hocque veluti Sumptiunculam ex iam

didis oftendi. Vnu autc hoc quocp eft corum.quxprfoftenfa funt, Comierfa

quod ait redas, quf a duobus Angulis aqualibus duobus Redis prev tiszS.Pro

ducuntur Lineas nequaquam coincidere. Dico itacp quod Conucr-

fura etiam verum cft,quod ait Parallelis redis Lineis exiftentibus G pari

.

ex ab

Q^V A R T V S.

noi Angulos iiiicr fe xqualn: Sr cxccrnum interno,& et

oppofico.Sr ad cafJcm partes iacenti ;quale:dr incemos, IfcTjK-jj

adeal'dc(j; partes tacentes duoous HcOis pguales cfHcit

.

xzo LIBERab vna rcAa Linea fecentur.internos, ad cafdemquc partes Angulosduobus Reftis efle aequales . necefle efl: enim Parallelas fccantcm autduobus Reflis aquales internos ad cafdemquc partes Angulos cfficc-

pIXmw duobus Redis minorcs.aut duobus Redis maiores . Sint ita^

rociiutio. que Parallelx ab, cd.incidatquc in

ipfas reda Linea g f, dico quod inter'

nos,& ad cafdc partes Angulos duO'

iur'^rtijiRedis maiores no cfHcit. lienim

huCTheo Anguli a fg,cgf duobus Redis ma' s-

euniapto b fg, d g f duobusJcmkum

. font Redis minores . fcd duobus ctia

Redis qdem maiores funt . non enim magis Parallelx funt af,cgquam fb, g d. Quaobrcm li qux in ipfas a f, c g incidit internos duo'bus Redis maiores efficit,qux etiam in ipfas fb, g d incidet, internos

duobus Redis maiores efficiet .Verum ipfimei duobus etiam Redisfunt minores (quatuor (Tquidem a fg,c g f, bfg, d g fquatuor Redisxqualesfunt) quod fieri non poteft. Similiter plan^oftendcmusq»qux in Parallelas incidit non facit duobus Redis minores internos,

ad cafdemquc partes Angulos. Si autem neque maiores, nct^minO'res duobus Redis cfficit.reliquum cft incidentem internos, ad cafdc'

Demo qui quc paitcs Angulos duobus Redis xquales efficere. Hoc itaque prg

'

nfsrccfidfinfopropofitum procul dubio demonftratur. dico enim quod II

Ptoiemfi in duas redas Lineas reda incides Linea intcrnos.ad cafdemquc par'

tes Angulos duobus Redis minores fecerit,!! producantur ipfxredxLinexcoincidentad eas partes, in quibus funt Anguli duobus Re-dis minores . non coincidant enim. Atfinoncoincidentesfuntad

eas partes,in quibus funt Anguli duobus Redis minores, multd raa'

gis ad alteras partcs,in quibus funt duobus Redis maiores non coin-

cidentes erunt. Quapropter ad vtrafquc partes non coincidetes erunt

redf Linex. Si autem hoc verum cft.Parallclx funt. Venlmoftcn^fum cfe quodqux in Parallelas incidit internos,ad cafdemquc partes

Angulos duobus Rectis xquales efficiet. lidcm igitur duobus Re-dis xquales, & duobus Redis minores funt, quod fieri non poteft,

tj p^io Hxceum pracoftendiflet Ptolcmfus.ad Propofitumque perucniflet^

mt ifcun- quoddam accuratius adqcere vult.&f oftendere quod fi in duas redas

lemjuac» Lincas reda incidcns Linea intcmos, tX ad eafdcm partes Angulos

duobus Redis minores fcccrit.non folum non funt non coinddentes

redx Linex.qucmadmodum oftcnfum cft,verum etiam coinciden-

tia ipfarum ad eas fit partes.in quibus Anguli duobus Redis minoret

funt.

1 z tQ^V A R T V S.

funt.non autem in quibus maiores . Sint enim duae reflj Lineae a b,

cd, incidcsqueiniplasreda Li^

nca e fg h fadat Angulos a fg,&

e g fduobus Rc<flis minores.Re-

liqui igitur duobus Rc<ftis maio-

res funt. Quod itaque non fune

non coincidentes rc(flae Lineae

,

oftefum eft . Si autem coinddut,

aut ad Signa a,c coincidet, aut ad

b,d Signa. Coincidant ad Signa

b, d in Signo k. Quoniam igitur

Anguli quidem a fg,& eg fduo-

bus Reftis funt minores t Anguli

vero a fg, b fg duobus Rc(5lis x-

qualcs ablatocommuni a fg. Angulus < g f Angulo bfg minor

erit .Triiiguli ergo g fk externus

interno,& ex oppolito iacenti minor eft,quod fieri minim<? poteft

.

Non igitur ad liafce partes coincidunt . At qui coincidunt. Ad alteras

igitur partes ipfarum coincidentia crit.in quibus funt Anguli duobus

Reflis minores. Hxc quidem Ptolemxus. Animaduertendum au- Adjcrfu»

tem eft ne forte aliqua perucrfa,captiofaque ratiocinatio in aflumptis

fuppofitionibus fit , in illis inquam,m quibus dicebat quod reda Li-

nca,qux non coincidentes redas Lineas fecat, quatuorinternos An-

gulos efficiente, Anguli, qui ad eafde partes in vtrifqj partibus funt

aut duobus funt Redis xquales,aut duobus Redis maiores, aut duo-

bus Redis minores. non.n.perfedadiuifioeft.nilfiquidemimpe-

dit non coincidentes dicentem eas,qux ab Angulis minoribus quam

duo Redi producuntur,duos quidera,qui ad e^dem partes liint An-

gulos duobus Redis maiores dicere : duos vcrd.qui ad reliquas, duo-

bus Redis minorcs,& vnam , eandemque rationede hisnon admit-

tere. Imperfeda autem diuifioneexiftente, Propofitum minimi de-

monftratura eft. Prxterca illud quo<^ aduerfus oftenfionem haud fi-s«fi<juni

lentioprxtereundumcft, quod non per fe id, quod fieri non poteft fundanrf.

oftendit . non .n. quia Parallelas fecansquxdam reda Linea Angu-

los ad eafdem partes in vtrifcp partibus exiftentes duobus Redisma-

ioreSjVcl minores fecit.propterea hafce fuppofitionesabfurdum con-

fequitur. Quonia tamen quatuor,qui intra Lineas,qux fecantur funt

Anguli,quatuor funt Redis xquales ,propterea vtraque harum fup-

222

Q^rudaintlitia ad

uerfuiqui

ca Pccicio

nem.

Refpofio

adindan-

tiaoi

.

.L

Alia Re-

fpon(io.

LIBERpolitionum fieri non poteft

.quandoquidem fiquis etiam non Paral-

lelas rctftas Lineas acceperit , cifdc fuppofitionibus aflumptis eadem

confequentur . Aduerfus igitur Ptolemaeum harc dicentes anima-

duenemus.patet enim ex rjs

,quae diximus oflcnfionis imbecilitas

,

Age autem illos quoqi inrpiciamus,qui dicunt fieri non polTc vt quae

ab Angulis minoribus quam duo Reifti producuntur coincidant .

Cum enim accepillcnt duas redtas

Lineas a b, c d, & incidentem in ip-

fasredlam Lineam a c.internofquc

duos Angulos duobus redlis mino-

res facientem ,fieri poteft inquiunt

vt redtf Lincf a b, c d non coincide-

tes oftehdantur . diuidatur enim bi-

fariam ipfa a c in Signo e,& abfein-

tur ab ipfa quidem a b ,xqualis ipfi a e

,qux fit a f : ab ipfa verd c d,

aequalis ipfi e c,ipfa c g . Manifeftum itacp eft quod redtae Lincf a f

,

c g non coincident in Signis fg . Si enim coincident , erunt dua: ipli

acxqual^inTriangulo,quodfiennon poteft. Connedtaturrurfusfg,& diuidatur bifariam in h Signo,abfcindaturque aequales . Necphx igitur coincident per eandem rationem,hocque in infinitum faci-

entes bigna non coincidentia connedtendo, & connexa bifariam le-

cando,a redbfque Lineis hifcc dimidiis fquales Lineas a bfeindendo,oftenderedicunt quod a b,c d redff Linex nufquam coincidunt. Hisitacp talia dicentibus, dicendum nobis eft quod verum quidc dicunt,

non tamen quantum opinantur . determinare enim coincidentif Si-

gnum fimpliciter hoc modo , verum non eft, neq? veru eft ipfasnul-

lomodo prorfiis coincidcrc . non coincidant enim ipfxab, cdredtae

Linex Angulo b a c ,&T Angulo dea determinato, in Signis f ,& g,

nihil tamc impediet quin coincidit in Signis k, l,fi ct ipfflfk, g 1 ipfis

fhjfi g fquales fuerint.coincidetibus. n. ipfis a k,c 1 no adhuc i)dc ma-net ipfi k fh,l g h Anguli,5^ qu^da ipfius fgrc<ftc Linej pars extra ip

fas a k,c 1 rcdlas Lineas rcliqiiitur.& ficdux rurfus ipfx fcilicet fk,g 1

tanta Bafi maiores fiint,quanta intercipiunt ininteriori ipfius fg rec^fg

Lincf parte. Prpterca aut illud quoqidicendu eft indeterminate ipfis

dicentibus Redias,qup a mi noribus q duo Redo protrahuntur no co-inddere

,quod ea quocp deftruunt, qux dcftruere nolunt . Sit enim

eadem deferiptio. Vtriim igitur posfibile eft a Signo a adSignumgrediam Lineam connedfere, an imposfibile C” nam fi imposfibilo

quidem eft,prxter quintam Petitionem primam quoque deftruunc

dicen-

Q^V A R T V S.

difcntcm ab omni Signo ad bmnc Signum fieri poflc vtreda Lineaducatur ; (i vcrdposfibile.connetfla-

tur. Quoniam itaque Anguli fac,

gea duobus Ret^iis funt minorcs.ma

nifcflum e(l quod Anguli ctiatgac,

gea multo magis duobus RctffismLnores fuiu. Linep retftg igitur a g, c gin Signo g coinciderunt ab Angulis

f^odu>ftae,qui duobus funt Rc^ris mi

nores . Fieri ergo non poteft vt indeterminatt? dicatur eas, qux i mir

noribus quam duo Re(fti producuntur non coincidere . V crucnim- Ai;<juf re

uero quod aliqux quidem retftx Linex ab Angulis,qui funt minores

duobus Retatis produdx coincidunt.manifeflum ef1;,quanuis de om^ bus % duo

taibus hoc querere fermo videatur . dicat enim aliquis indefinita duo-

pim Retftorumdiminutioncexiftentc, iuxta quidem tanta diminu- ciddt.^a

tionem non coincidentes rectas Lineas permanere : iuxta vero aliam co^idit!

hac minorem.coincidere. Ei autem, qui huiufcc Demonftrationem

perfpicerequxrit dicatur a nobis quod opus cft tale Pronuntiatum iontopi-

prxaflTumplifle ) quo Ariftotcles quoque vfus cft Mundum finitum pronumU

efle oftendens ) Si ab vno Signo dux rctflx Linex Angulum facien^ f“ <juov>*

. . ^ r • • etteiAri-

tesin inhnuum producantur, iplanim, quippe qux in inhnitum pro- ftot. i .de

duilg funt diftantiaomnem finitam Magnitudinem excedit . often^ "*•

dit enim ille quod rctftis Lineis, quf i Centro ad Circunfcrcnti a prO' biicfio

dudx funt infinitis exiftemibus, intcruallum quoq? inter ipfas intet'

iacens infinitum erit . finito fiquidem exiftente, fieri poteft vt diftan^

tia augeatur. Quamobrem retftx Linex infinitx non funt . Omniigitur finita Magnitudine maius intcruallum retftx, qux in infinitum

producuntur Linex ab inuiccmdiftabunt. Hoc fanc prxfuppofito, sumptio.

dico quod fi alteram Parallelarum retftarum Linearum quxdamrC'

^ Linea fecuorit,reliquam quocp fecabit. Sint enim Parallclx ab,

cd, fccetqhc ipfam a b,retfta Linea

efg. Dico quod ipfam quoc^ cdfecabit . cum enim dux redf Lineg

fint,qux ab vno Signo fin infiniiu

producuntur ,ipfx nCmpc b f

,fg

,

omni Magnitudine maiorem ha.*

bent diftaiuiam. Qijapropter hac

quoqt,qux tanta eft quantii cft in-

terUallu,qucd interP arallclas adia^ •

4

»*+ LIBERM. Cum igimr m«orcm diftanriam ab inuicem diftkcrintbamm

quite Pediftantia^ipfa fg ipfam c d fccabit. Si ergo alteram Pa-

titieispui *’*”‘**^*^ 9“®dam rcAa Linca (ccucrit.rcIiquJ tjuotp Iccabit . HocDe- ante deraonftrato, confcqucntcr Propolitum oftendemus. Sint

enim duae reflf Lincf a b.cd,cadatque in ipfas rc<Sta Lineae fAngulos b c f,d feduobusRctfUs minores rfficies. Dicoquod rcAac Lineae hilce in

partibus coincidet, in quibusfuni Anguli duobus Rc(fHs

minores . ciim enim Angulib e f , d fe duobus Reefiis mi-nora llnt.llt xqualis excelTui duorum Recflorum

, h c b Angulus.&pro ucamr h e ad k Signum

, Qyoniam igitur in redbs Lineas h k,c ,rc& Linea c fcecidit.internosquc Angulos duobus Redis equa-1« efficu,pfos fcket h e f.d fe.redf Line^ h k.c d Parallelg fun^.&flu» r

^ b. Secabit igitur& ipfam c d.per fumptionem,‘ Coincident ergo redx Linex a b , c d ad illas

^ropo jo»

Theo* X 1«

Co*. 4. ^^"^“j“'‘9f°"'””'"^”™°D'busns,quicircarefpedusvcrfaivturoltend^ idenatatem permeantem per omnia,qug adidem eun-

PropSii. *qualia,&r inter fe funt xqualia.in fequentibufque dicet Queinter fe funt fimilia,& Qux eidem RationiexdmC

Propi ... ad inuic^ quocp epdem funt.Hoc modo igitur nunc quocn demon-s-t. E,e quodqux eidemrc^ Linex Parallelx.& inter fe funt Pand-

Iclf. Accidit autem n5 in omnibus refpedibus hoc verum elTe. nonttecume- cnim quf ciufdem dupla.ad inuicem quocp dupla funt : nec que eiuf-«»- demfcjquialtera adinuicemquocp fcfquialtera funt. fed in illis folia

locum habere videtur/^uaccunt^ vniuooi couertuntur, in fqualitatf^

Q^V A R T V S, iit

in nmilinidine,in idetuitatc,& in Parallela polidonc .quae enim Pa'

ralle4 Parallela.&T ipfa Parallela ell.quemadmodum aquali fqualc,^5'-"“^“’

& ipfum eft xqualc : & fimili , (imilc , ipfum quoq; cft (imilc . t ipfc tia »enii-

nancp Parallelarum ad fefcrefpe(fhufiniilitudopoiliioniseft. Didt

igitur, atque oftcndit in praefendaquddqux eidem Parallelx funt,

omnino ita fe habent ,vt ad inuicem quo£p Parallclx lint . Et ipfe pvalicii-

quidem eidem Parallelas extremas fulcepit,& mediam,adquam hx

(imilem habet refpe(fium , vt a communi edam nodonc quod dicitur miimido

.

fiat nobis manilcilum . Si enim ad alterutras partes inter fc coind^ euanti

.

dunt,omnino dc cum ea,qux in medio iacet coinddent,&: non erunt

amplius ad ipfam Parallel^ .Fieri autem potefl vt qui etiam (itum ia us Probk

permutauit, idem odendat nfdem vqs, quibus Geometra ad Propo'

(itum oftendendum vfus eft. Exempli grada qui ad ipfam ab,ip(am

cd,& ipfam e fParallelam acce-

pit, ambabus fupra iacentibus;

ipfa ab infiri,& non media exi-

ftente. inddens enim in ipfas re- #

da Lineah kl, vtrunc^, Angu-

lorumhkd,klf,ip(iahk^qua- '

Icm effidet,quoniam Alterni

ilint .Qpamobrem &C flbi inui-

cem xquales effidct Angulos

hkd,klf. RcdxLincf igitur

c d.e f.Parallelx funt. Si quis autem dicat (int a h,h b,ip(i c d Paral-

lelx,& interfe igitur Parallclf funt, dicemusqudd a h, h b vnius Pa- ^rallclx funt partes,& non funt dux Parallelx. in infinitum (iquidc

produd Parallelx intelligendx funt , ipfa autem a h produda,in ip-

fam hbinddit. Eadem ergocum ipfa eft,& non alia. Omnes igi-

tur ipfius Parallelx partes SC- ipfx tum redf , cui tou etiam Parallela

erat Line^jtum partibus ipfius Paralie!^ (iint. Ex?pli caufa tum ip(a

ah,ipfikd :tumipfahb,ipfick. Si enim in infinitum producantur,

nunquam coinddent. Hfc non ab re adnotauimus, propter Sophi-'

iheas importunitates, iuuenilcs'(:p Audiendum habitus .gaudet enim

vulgus huiufccmodi capdofasratiodnadonesinucniens, fdendbul-

que vanam moleftiamafidrens. Non cftautem opus pr^fensTheo- Necuc.

rema conuertere ,atep oftendere quod qux inter fe Parallelx, eidem

quo..p funt Parallel^ . Si enim rurfus alteram alicui Parallelam fup-

pofucdmu8,illi edam reliqua quoque harum erit Parallela,& Par^Idx ciJcm arum, in idemqlie redibimus

.

f Pcf

T

\116 L I B 'E* R

froro

i

Trob . j o.

Com.

Dociitne-

•um.

C6mim'nicshuiVS:

djoJeci—nilProblc

matu.

Incb.ii-

lib. tertii.

Piffcrciif

huiut, &d lodeci -

m* Prepo

Ctionis.

Oi^ortuit non folum Parallelis per fc accidentia in Elementoruminftitutoris ferraonibus nosdididUc, fcd Onum quoque iplarum

Geometricis viis cnarra{Ic,&: cognouidc quonampac"to alia rctfta

Linea ,alrj Parallela fieret

.pasfim enim Ortus apertiore nobis red-'

dunt fubietflorum ellentiam. Hoc igitur Elementorum inAitutoc

per prxfens efficit Problema . cum enim Signum, rciflamquc LineafufccpilTct.pcr Signum,rc(Sl:f Line^ Parallelam ducit . Oportet aute

nos prxaflTumcre quodnccdlariumcH vt Signum extra rctftamLi-r

neam omnino iaceat . no enim quoniam perdamm Signum ditfhim

cfl, inipfaquocpretfla Linea ipfum dabimus . nulla fiquidemalia

pister datam redlam Lineant erit illa,qux peripfum ducitur Paral>

iela . Ciim igitur Signum, recftamquc Lineam partitus fit. indicauit

qdod Signum extra reiflam Lineam accipicdum cft , quippequod iii

Perpendiculari per additionem etiam manifeftum fecit dicens, fuper

datam reftam Lineam infinitam a dato Signo, quod tn ea noneft.

Perpendicularem deducere. Vnum igitur hoc quidc ambobus his

Problematibus eft commune : alterum vero quod abcodum Signodu.T Ptrpendicularcs non deducunturad eancTemrciftam Lineam.

&r per idem Signum duae Parallelx eidem reifix Linex non ducun»

tur . Qiiocirca Elementorum quocp inflitutor hoc modo fingulanV

ter dixit redlam ducere Lineam . illic quidem Perpendicularem, hi«

vero Parallelam . Verum illud quidem olfenfum ftiit, hoc verd ex

antd dcmooftrato manifeftum cft. Si enim peridem Signum eidemreiflx Linex, dux Parallclx dutfbc fuerint.ad inuicem qtiocp Para!»

Iclf cnint.in dato Signo coincidetes.quod fieri minime poteft. Opuscft autem difierentias quoc^ harum duarum Propofitionum obfer*

uare, a dato Signo,& perdatum Signum . namquando^ quidemSignum rcdLc

,qux ducitur Linex principium eft .& proptcrca ab

ipfo fit deduco;quandoque vero in ipfa cft

,qux ducitur retSa Li*

nea ,& proinde per ipfum du(fh'o fit . non enim cd qudd fecctreiSa

Linea datum Signum,pardcula c per ] diiTta fuit , fed c6 qudd cum

ipfocoincidit, terminatquefuum refpetfiu illius rctfbe Linex inter>

liallum per Signi,re(ft£quc Linc^ diftantiam«quantum enim damni

V - . e Signil

Q^V A R T V S. ti7

Signum idau rcfta Linea diftat i tantum etiam Parallela inter feip-

fam,& illam interuallum habet

.

' ~I mi -nii II n-*

Onuiu Iriaiiguii viio i^ere producto, eitcraiuTnanguliAngului dwbiu locecou, 8ca oppofuo iacencibu] eft»]uaUi . Sc Trianguli trej inceiai Anguli duobui funtReatis «qualct.

Propo.ja

Theo. »1.

QVantum deBciebac in Ccxtodecimo , 8i feptimodccimo Theorc- cooi.tf.

mate , tantum in hoc addit . non folum enim quod Trianguli exter'

nus Angulus vtroc^ interno,& ex oppoGto iacenn maior eft per hoc

Theorema addifeimus,verum& quanto maior, ambobus Gquidemecqualis cum Gt ,

maiorquim alteruterrehquo ell . nec quodTrian'

guli duo quilibet Anguli duobus Rciflrs minores funt ex his cogno'

(cimus, fed quanto etiam minores, reliquo enim trium. Illa igitur

quodammodo magisindcGmta fuere Theoremata : hoc verd Scien'

tiac terminum vtrfc<p attulit, nec propterea fupeniacua illa efle dicC'

remus . maximam nanque nobis multis in Demonflrationibus attU' tadtz^

Ierunt vtilitatem.c quibus hoc quoque oftendemus. &necc{Tanum

eft cognitionem noflramabimperfeiflo ad perfedhtm procedetem,

ab indeterminatis apprehenGonibus ad determinatas, ccrtafquc ora'

tionestranGre. Veruntamen Elementoru quidem infHtutorcxtri

Parallelam ducendo ,vtruncp eorum, quae quaeruntur oflendit . fieri

Cifujhiii

autem poteftvt qui etiam nSextri eam ducit eadem oftendat,ordi'***

hera tantum eorum, quf oflcndunturimmutando . nam ille quidem

hoc prius oftendit, externum Angulum internis,& cx oppoGto iacc'

«ibus {qualem cfTc, cx hoc'c]p rc'

liquu probauit . nos vero ^ con'

tratio fiiciemus . Sit igiturabe

Triagulum , &T producatur La'

tusbcvf«^adeSignum,& fu'

inatur Signum in ipfa b c, quod

fit f,& coneftatur a f,& per Si'

gnum f Parallela ducatur ipG

a b,ipfa fd .Quoniam itaqj fd,

tpG a b Parallela cfl, in ipfalquc

incidit rcAa Lineaaf,& re^Lincabe, Anguli Alterni fqua

f a let

>tS. L I B R

?ythigo-

reiinucoe

ruiu hoc

Theo.re-ferete Eudemo.

Prtbijo-

rcorii DeDioUutio

Conuerfi

prarfentis

Theo . &tubes hic

terciu CbnerforC di

feretifmf

bru, <^d' fu

peri* 1 c6.

tertio ip-

miferat.

Couertu.

prim; par

tis,8r eiuj

demo.

lesfunt, nccnoncxtcmusintcmo. TotusigiturafcipCsfab.abf

fqualis cft . Similiter oftendemus Parallelam ducentesquod Angu-

lus etiam a fb aequalis eft Angulis fa c,a c f. Duo igitur a fb,a fc tri-

bus Trianguli Angulis aequales funt. Tres ergo Trianguli Anguli

duobus funt Redis fquales.ipfis nepe a fb,a fc.Verum ipli eti a a c f,

ace duobus Redis funt a:quales,communis auferatur a c f. Reliquus

igitur externus fcilicet internis,& ex oppolito iacentibus aequalis eft.

Hoc itac^ quod diximus iam didomodo oftenditur . Eudemus aute

Peripateticus ad Pythagoreos emitnt huiufce Theorematis inuen-

tionem.quddvtitpomne Triangulu internos Angulos duobus Re-

dis habet aequales,propoOtumque eos hocmodo oftendere inquit •

Sit Triangulum a bc, ducaturqhc;

per Signum a ipfib c Parallela d c

.

Quoniam igitur redae Lincaebe,

d c Parallclx funt , Anguli etiam

Alterni funt aequales . Aequalis

igitur cft Angulus quidem d a b

Angulo a b c. Angulus autem c a c

Angulo a c b . Communis adda-

tur Angulus b a c . An^li igitur

da b, bac, ca c hoc eft An^li

d a b, b a c hoc cft duo Redi tribus

Trianguli Angulis xquales funt

.

Tres ergo Trianguli Anguli duo-

bus funt Redis xquales. Talis quidem Pythagoreorum quoque

Dcmonftratio eft. Operaepretium cft autem ca etiam, quxhuic

Elementorum inftimtoris Theoremati conuertuntur infuper trade-

re. duo enim ad vnum conuertuntur,cumhoc& iuxta QtiaeGtum,

SC iuxta Datum compofitum fit. Datum enim duplum eft . Trian-

gulum fiquidcm.vnumquc ex Lateribusprodudum . 8c Quxfimn»

fimiliter . nam vnum quidem cft quod externum internis ,& exop-

pofito iacentibus xqualcm efle ait : alterum vcr6 quod tres internos

Angulos duobus Redis cflTc xquales . Si itacp externum etiam inter-

nis,& ex oppofito iacentibus xqualcm effe fuppofueriraus, vnum

Latusprodudum efle , in diredumqfic ipfi vni ex Trianguli Lateri-

busrcdam.qux extra eft Lineam iaccre oftendimus : Si vero tres in-

ternos Angulos duobus Redis fquales,oftendimus quod data Figu-

raTrian^Ium cft. &fic totum Qyatfitumadionim Datum con-

uerfumemt. Sii igiturTriangulum a bc,cxtcrnufque Angulusa.cd,

-i xqua-

Xt9CLV-A R T V S.

arqualis internis ,8Ccx oppofito

iaceniibus , dico quod Latus bcproduifiumcfl vfcpadd Signum,

vnaquc rctfla Linea e(l ipfa b c d

.

Cum enim Angulus acd inter^

nis , & cx oppofito cxiflentibus

squalis Ct, communis adtjciatur

Angulus a c b . Anguli igttur

acd.acbtribus Angulis Tria»'

guli a b c aequales funt . Actres Anguli Trianguli abeduobus funtRcftisaequales. & Anguliigituracd.acbduobusRwflis «qualesfunt . Si autemadaliquam redbun Lineam, ad eiufque Signum dufn&g Lincfconlcquenternon ad eafdcm partes polit* eos, quidein-ceps funt Angulosduobus Redis gquales fecerint, ipf*red* Line*indiredum libi inuice erunt • Reda Linea igiturbered* Line* cdindireduell. Sit rurfus qu*da Figtirp

rcdiiinca ab c tres habes A ngulos folos

duobus Rcdisgquales ipfos lalicet a,b,

c, dico quod Triangulum eft, vnaqucreda Linea ell iplaac. Connedaturenim reda Linea b d. Qaoniam igitur

vtriufq? a bd ,d b c Triangulorum tres

Anguli duobus funt Redis xquales,

c]uonim Anguli iplius a beduobus Redis funt aequales , reliqui porro ad b, c d b duobus Redis «qualesfunt,&: funt ad redam Lineam b d. In diredum igitur eft d c,ipli d a.Vna ergo reda Linea eft Latus a c. Similitcrautoftcndemus q> La^tus aia a b.b: Latus b c vnareda Linea eft.Triagulu ergo eft Figuraab c.Si igitur Figura habenstntemos Angulosduobus Redis xqua'les rediimea liicric , omninoTriangulum eft . non autem

fi aliqua Figura internos duO'

bus Redis «quales habuerit,

omnino eft Triangulum. Fi'

guram nancp ex Circunferen'

tiisconftrudam intemosduo'

bus Redis squales habentem

reperies. Iit enim QiiadrangU'

luabcd,&fuperLaccrcab» :

C6acTsfl

fccuodz

pirtij, e?

4 Demi,untio.

FigunetOreiferf

tiit c6ftru

, quxJietimer.

nos Angulosduob*

Refts X-qiulcs .

sut autem

Sralifcur

uilinc; Fi

fure, quxoc pati,

lucur.

VjC

,jo liberScmicifculus a c b intri dcfoibatur t (upcr alt^ autc Lateribus extr^

qui fintf,g,h. Figura igitur.qugaScmicirculiscoprchcditur duos ha-

bet Angulos ipfos nepe g a c.c b h duobus Re<ftis aquales ipfis fcilicct

Inlib. 3. c a b,db a. hoc enim in Petitionibus oftenfumfuit,& hi foli Anguliucom.i.

jnj^jcPigufafunt. Eft igitur quaedam Figura non Triangula, quae

Epilogui. internos Angulosduobus Rcftisfquales habet. HaecdcConucrCg

quoque fufficiant . Quoniam autem habemus quod omnis Trian-

?^ua“um’ guli tres Anguli duobus Redis xquales funt , via quxdam nobis ac-

‘’ukh«ricipienda eft, perquam exterorum quocpomnium Multiangulorura

mjcoiii redilineorura Angulos inueniemus quot Redis xquales lunt . vt-

ntionci.

Quadranguli, Qyinquanguli,omniumquc confequenter Mulr

Trimitilaterorum. Primum igitur fciendum eft quod omnis redilinea Fi-

gura in Triangula refoluitur ,omnium liquidem conftitutionis prin-

PlatoiTi dpium eft Triangulum,quod Plato etiam dixit docens quod t redi-

Treai. tudo planxBaGs ex Triangulis conftituta eft. Vnaqiixquc autem

Figura in Triangula Binario pauciora proprrjs Lateribus refoluitur*

Si Quadrilatera eft in duo : Si quinqi Laterum ,in tria : Si fex Late-

rum ,in quatuor . duo enim Triangula compofita Quadrilatcrerum

ftatim fecerunt . Quo autem corapofitorum Triangulorum nume-

ro prima,qux conftituta eft Figura , a fuis Lateribus diferepat , hoc

cxtcTfquocjt differunt. Binario igitur plura Latera omne multilate-

rum habet Triangulis,in qux difloluitur. Atqui omne Triangulum

Angulos duobus Redis xquales habere oftenfum fuit. Duplus igi-

tur Angulorum numeros eoru ,qux compofita funtTriangulorum

fadus,Redotum multitudinem prxbebit,quibus vnumquodque

Multiangulum fquales Angulos habet. Quapropter omnis quidem

quadrilatera Figura quatuor Redis xquales Angulos habet, ex duo-

bus liquidem Triangulis eft compofita; omnis vero quinque Late-

rum, fex, hocqueconfcqucntcr eodem modo. Vnum hocigiturex

prxfenti Theoremate de omnibus Multiangulis fimul, & redilincii

Secundi, fumendumeft. Aliud autem quod eft huic confccjucnsfummatim

dicamus quod omnis redilinea Figura vno quoque ex Lateribus fe-

mclprodudoAngulos.quiextracoftituunturRcdisquatuorpqua-

les habet, nam oportet quidem Angulos deinceps redos,MultitU'

-i dinis Laterum duplos effe.quoniam in vnoquoque duobus Redis

.

,xquales conftituti funt. Ablatis autem Redis

,qui internis Angulis

funt xquales, reliqui Anguli,qui extra funt quatuor Redis xquales

fiunt. Exempli gratia, fi FiguraTriangulafuerit,dum vnumquodcp

ipfius Latus femel producitur, fexRei^ xquales Anguli conftituu-

tur

U T V s;

••1

)inr interni.arqlic externi.quorum intemi dUobus aequafes fimt, reli> -

qui ergo externi quatuorfuntRe(fh‘s aequales. Si vero quadrilatcra

fcerit.omnes funtodojLatcrum fiquidem dupli funt.quorum inter'

ni quatuor Rctfiis funt 3cqualcs.& externi igitur totidem alijs aequa'

tes funt . Sj autem quinque Laterum, decem quidem omnes funt,fcx

aute Rctfbs intemi funt aecpiales.quatuor vero reliquis externi xqua>

ks funt, in infinitumque fimiliter eadem erit via . Poft haec autem latii.

Hia etiam colligimus, qu6d per hocTheorema aequilaterum quidem

Triangulum vnumquencp Angulum duarum Redi Tertiarum ha-

bet : aequicrus verd,cum Vetticalem redum habuerit, reliquos Rc>

di dimidios habet.vt Scmiquadrangulimi i fcalcnum autem, nempc

Semitriangulum,quodfitinaequilatero Triangulo Perpendiculari

du(da a quouis Angulo ad Latus illu fubtendens, vnum quidem ha-

bet Redum.alterum autem duarum Redi Tertiarum, qui aequilatc-

*i etiam Trianguli erat, reliquum verdneceflarid tertix partis Redi,

nportetenim tres duobus Redis cllefqualcs. Hxc autem non abre inTjmjo'

adnotanda effe cenfco, imo tanquamca.qux ad Timaei dodrinam

nos prxparant . Quin criam illud quoque dicendum cft.qudd i nter-; .

nos Angulos duobus Redis xquales habere.per fc,& f-cundu quod,

iplum Triangulo ineft. idcirco Ariftotelcs in tradationibusde

Demonftraiione hoc excniplum habet in proinptu.fecundum quod

^fum confiderans .Quemadmodum igituromni Figura; icimina- mu Anft.

tam efle per fc,&f primum ineft.ita + redilinex licet non omni Figu-. miaguio

«c internos Angulos duobus Redis i^quales habere. Et videtur iuxta ibitra «li

etiam communes notiones huiufcc Theorematis veritas nobis occur- ;

tere, fi enim redam Lineam.ineiusque Extremis quafdam ad An-

gulos redos ftantes,deinde annuentes adTrianguli ortum intcllexc- rematis ap

timus,videmusqu6d quatenus annuunt.eatenus redos Angulosim-

tninuunr.quos ad redam Lineam efficiebant .Quamobrem tantum c6m . i»

.

•deptx iuxta eum.qui fit ad Venicem nutum,quantum eft quod ab-

ftulerunt.necefTario tres Angulos duobus redis xquales efficiunt.

Refix Lioef, ^ux fqualcs,& Paratlelatrc^ Lineat ad paneseardem coaiunguot,ip{xquoq; ;quale^8c Parallelx fitot.

-

Propo JtTheo. ij.

PRxfensTheorema vcluiicoafiniumParallclaniin,ParaUcfc^ra- Com. t,

i,..i moruque

ty

Supertuli

cap. t

.

DUiperia

proponis.

?rimo*

>)i LIBERmorumque conOderationis ede dicebamus . aequalium nanque , &C

Parallelarum redarum Linearum Symptoma quoddam dicere vir

detur ,Parallelogramommque Ortum latentem tradit, dt enim Pa«

rallelogrammum tum ex ps^quac initio dutftx funt aequalibus,& Pa«

rallelis, tum ex rjs, qux ipfas coniungunt redis Lineis, qux etiam X'

qualcs (imiliter,& Parallelx oflendunmr. Quapropterquod (latim

poft hoc fequitur veluti conflituto iam Parallelogrammo.qug per fe

infunt hifcc Spatiis contemplatur . At hgc quidem manifeda funt

.

Oportet autem & diligentiam, quae in Propofitionc hac cft confldc'

rare . Primo quidem quod non fatis erat eas, qux coniunguntur X'quales e(Te . non enim omnino qu; aquales coniungunt,^quales funt,

nifi Parallelx etiam cflTent . nam Triangulo xquicrure exiftente, 8c

Signo in vno xqualium Laterum aflumpto, per hocque Bafl Paral^

lela reda Linea duda,xqualcs quidem coniungunt Parallela Ba(i,&

ipfa Ba(is,non tamen xquales quoque funt . illx dquidem Parallelx

Secundi, non erant,quippc qux ad vcniccm Trianguli cotncidunt . Secundo

autem.quod necp hoc, nempe Parallelas elTe fubiedas redas Lineas^

non autem xquales, eas, qux coniungunt fadum ire Parallelas exLftimauit . in iamdida enim Conllrudione, qux in xquicrure Xr iaiv*

gulo fadafiiit hoc quoque perfpicuumell.duda enim reda Linea,

& Balis Parallelx funt,verum qux ipfas coniungunt Parallelx nonfunt

.panes (iquidem funt Laterum xquicruris . Opus efl igitur ad

xqualitatem quidem coniungentium. Parallela earum, qux coniun^

guntur politione : t ad Parallelarum aute politionem,illarum xqua^

litate . Idcirco Elementorum inflitutor vtrunque in qs, qux coniun.*

guntur alTumpliCiVt in coniungentibus etiam vtrunque ollcndat tumxquales inter fe.tum Parallelas clTe . Tenio vero prxter hgc dicatur

quod& xqualibus,& Parallelis redis Lineis fuppo(itis,non omninoqu^ ipfas coniungunt,gquales,& Parallel^ funt . niC enim ad eafdem

panes coniundiones fecerimus, vt quide Parallelx ipix (int fictinonpotdl (fecantur fiquidem ad inuicem ) vt

autem aquales, quandoque quide fieri po<

telf,quandoc^ vero minimi, nam fi quide

Quadrangulum, vel altera parte longius

fumpferis,vt a b c d,redasque Lineas a d,

b c coniunxeris, Dimeaentes aquales qui'

dem funt,non autem Parallelf,atqui gqua

lia,bf Paralleladidomm Spatiorum ex op

poGto iacenda Latera coniungunt : Si au'

t ad Uta-

ru aut.ra*

ralleli po

fitio»r,ha

rii {<|uali-

laic .

Tenii

.

•s.

CLV A R T V S. tfj

tcm Rhombus, vel Rhomboides, horum Dimendentes non Ibliinv

non Parallclx, verum etiam inaequ»*

les funt . cum enim ab, ipH c d ae^

qualis (it , communis autem a c , An'gulufquc b a c , Angulo a c d inaequa'

lis,Bafes quoque inaequales funt

.

Non immerito igitur Elementoruminflitutor aequum ede cenfet vt quas

xquales, Parallelafqnc coniungunt,

ad cafdcm partes coniunefUonem hi'

ciant , ne aequalibus,atque Parallelis

iplis ac,b d luppolltis, ipfas a d,& b c

coniungentes accipiamus , fed ipfas

a b,& c d • hafee enim odendit quide

aequales, 8c Parallelas : illas vcr6,Pa'

rallelas quidem nunquam, aequales autem in Qpadrangulo quidem,

& Parte altera longiori iam oftedimus,in Rhombo vero, & Rhoni'

boidc nunquam ollcndemus . oppolitum liquidem odenliim cfl,

quod in^quales (iint propter internorum.ad eafdemque partes iacen'

tium Angulorum inxqualitatcm. ,

1 TEltTlA rAR3 fMHi {.iEJUNTORVM.

’ PirallelocrammoiomSpatiorqm tatrra,qi»eT oppoDto

Tum ,& A Dguli ,iorer Te fum aiqualia , Sc Duimicos ea

bifiriam lecat

.

-1 -1 .

Pro|>5.|4.

TbM.a«,

Docuial»

CV 'm ex pnccedenti Theoremate conilinmim iam ParallclogrI' com. s.

mum accepidet ,nunc quae ipd primo infunt, quxque propriam eius

exprimunt conftitutiohem , contemplatur ' Hxc autem alia funt,

Latera,qux ex oppodto funtqualia ede,& Angulos.qui cx oppo' raatii paa*

CtofurttaequosedCj&Spatiaipfc bifariam a Dimetiente fecari . de

his enimdidum cd illud,& Oimetiensca bifariam fecat . ita vt Arca

ipfa (it totum id, quod bifariam fecatur , non autem Anguli perquos tua.

Dinxetiens crandt . H^c itaqp tria per (e Parallclogramis infunt,La'

terum ,& Angulorum cx oppodto iacemiu xqualitas, Spauorum'q^

per Dimcdcnces bipertita feAio . Et vides quodab omnibus pro'

prictates ipforum venatus cil, a Lateribus fcilicct, ah Angulis, ab ip'

Csqhe Areis.Qyatuor autem Parallclogramis exidentibus

,qu( in

g Sup'

1J4 L I B R

Diffcrccia,

^idiuifio-

nib* Pjral

leJogram-

moru ap-paret .

.r.ft ;

C6ehino.

.at

-kn.

Suppofitionibus etiam definiuit,Qpadrangulo ,Parte altera longro-

ri ,[ihombo , atque Rhomboide , hoc adnotam dignum cft

,quod

fi quidem quatuor haec in recftangula ^ 8i non rciflangula diuidamus,

inucniemus non folum Spada Dimetientes ipforum bifariam fecare,

verum ipfas quocp Dimetientes in re<fbngulis quidem aequales eflc,

in non redangulisautem , inxquales , vt in precedenti Theoremate

diifhim eft : Sivero in fquilatera,8f non xquilatcra, repcriemusrur'

fusinxquilaterisquide non folum Spatia i Dimetiendbusbi^riam

fccari.fed Angulos etiam,per quos ipfx ducunmr: in non gquilateris

autem ,nequaquam . etenim in Qyadrangulo , 8c in Rhombo An-

gulos bifariam Dimetientes fecant, non Spatia tantUm : in Altera

parte longiori autem , atque in Rhomboide , Spatia duntaxat . Sic

enim Qpadrangulum , vel Rhombusabed , & Dimetiens ad . Quoniam * ^

igitur ab,bd Latera a c,cd Lateribus

funt xquaiifi ( xquilatcra enim funt )Anguliqaeabd,acdxqualcs( exop-

pofitocriifn tacent) nccnonBafis com-

munis, cmihia omnibus funt xqualia.

Quapropter Anguli etia b a c ,c d b bi>

fanam fciftifunt . Rurfus fit idem vel ' ‘‘

.

Altera parte longius.vel Rhoboides.. Si itatp Ai^Ius fara c, &: An-gulus c d b bifaria i Dimetietc fecatur. Angulus autem c ad Angulo

a d b fqualis eft.Angulus etia b a d An-

gulo a d b erit xqudis . Qiiamobrem

Latus quoc^ a b Lateri b d xquum erit

.

V eriim infqualia funt . Angulus igitur

' b a c i Dimetiente biferia no fecatur. Si-

rttiliter aute netp Angulus cd b,qui ipfi

xqualis eft . Vt itaque paudsrem com-

ple<flar, in Opadrangulo quidem& Di-

mietictesXKjualcs funt propter Angulorum rciftitudincm, 8c Anguli^

bifariam a Dimetientibus fecantur propter Laterum aequalitatem,

& Areabifariam per Diagonhira diuiditurpropter comunemPa-fallelogrammonim proprietatem : in Parte altera longioriverdDi-metientesquidef aequales funt cd quodret^angulum eft.Anguli auiP

d Dimentientibus bihiriamnon fecantur eo quod noncftxquilate-t

tum, Spatiomm vero in partes xquales diuifio huic quocp ineft qua^^

tenus Parailelograminu eft : inRhombo autem in aequalesquideimr Dime-

\.

lU N.

9

dv A R T V 8. 'Sfj

Dimetientes funt quoniam non cft reiTtanguIum , ab his vero nonfoliim Spatia bifariam fccantur quoniam cft Parallelogrimum

, fcd

Anguli etiam quoniam xquilaterum cft : in reliquo vero nempe in

Rhomboide Sc Dimetientes inaequales funt tanquam non rci^an'

gulo, & Anguli ab his in partes in^qualcs fecantur tanqui non fqui'

latcro, fola autem Spatia,quae funt ad vtrafqt Diagonioruni partes,

aequalia fiunt tanquam Parallelogrammo exiftente . Haec quidem Epiiogu*

difta funt, quippe qux eam oftendunt differentiam,qu* in ParallC' ^0«™*-

logramorumquatuorcxiftentiudiuifionibusrcperitur. illud autem nWnSo(iientio practcrcundu non cft

,quod in hoc Theoremate artificiorum

apparet,quod Theorematum alia quidem vnlucrfalia funt, alia vero uerbii c6

non vniucrfalia . Quomodo autem vtrunc^ horum dicimus, com- xh^“e*-

memorabimuscum Quaefitum partiemur, quod vnam quidc habet

partem vniueriidem , alteram vero non vniuerfalem. quanuisenim 1im1Ui4omne Theorema vniucrfalc quidc cfle fbnafle videretur,& omne,quod ab Elementoru inftiiutorc oftenditur huiufccmodi elTe ( quC'

madmodum in praefentia quocp non folum Latera,quac ex oppofito‘

funt ,& Angulos , aequales habere vniuerft de omnibus Parallelo'

grammis dici videtur , verum etiam Dimetiente vnumquodcp bifii'

riam fecare ) attamen alia quidem vniuerfc oftendi dicimus,alia vero

non vniucrft < aliter enim vniucrfalc appellari conflieuit quod de Di^ln

omnibus verum dicit, de quibus praedicatur ; aliter autc quod omnia u™jTridi

comprehendit, quibusidem Symptoma ineft. vniucrfaic (Tquidem fpuJA"-

cft &: quod omne ^quicrus tres Angulos duobus RctfHs habet ^qua' rodent

Ics,quoniam de oninibus xquicruribus verum cft : vniucrfalc autem

& quod omneTriangulu habet tres Angulos duobus ReAis xqua'

Ics,quoniam omnia comprehendit

,quibus hoc per fc ineft

. QuO'circa primum quoque hoc de Triangulo oftendi dicimus,trcs AngU'los duobus ReifHs xqualeshabcrc . luxta hanc itaque figniScatione ,

alia quidem vniucrfalia Theoremamm dicentes, alia vero non vni' lusigxifi-

uerfalia,prxfens Theorema dicimus vnum quidem Quxfitorum

vniucrfalc habere , alterum vero non vniucrfalc . nam hocquidem,

Latera,qux ex oppofito funt,& Angulos aquales habere,vniuerfile

cft, folis fiquidem Parallelogramis ineft : hoc verd , DimemicntemSpatiu bihtriam fecare

,non vniucrfalc, quoniam non omnia coprc'

Jiendit,in quibus Symptoma hoc infpicitur . acnim Circulis,& £1'

lipfibus hoc ineft . Et videntur primx quidem rerum huiufccmodi

notiones efle magis particulares:progreffx autem , totum comprc'

iicnderc . Cum enim Anuqui contemplati Eiiflcntquod Dimedens

g X bifi'

Vide Ari.

primo Pofteno fcx.

ti.&ii.

Conoer^fi

primar,

fecuJe pae

fiooi« hui*

Theore»mitis.

Finit T>i-

presfiois

.

PocurnC"tum.

Vndeortufir hoc no-

me Piril-

JcloQri- -

mum.

pnePirdlelogra- -

m im , Sf

quid fit

Pirallelo

grammuapud £u-

cLdcm.

»,< LIBERbi&riam ftcat EllipGm.CircuIura, atep Parallelogramutn , comime

in hispoftcacomcplaii (iiere. Hallucinaturaut (inquit /^rift.)quid4

non vniuerfalc tanqua vniuerfalc oftendens, c6 quod commune in-

nominati! cft.cui primum Symptoma ineft . nam quid commune (it

Numeris,& Magnitudinibus,& Motibus, atep Senis, quibus omni-

bus alterna Ratio incft,non cft dicere.quid praeterea comune fit El-

lipfi,& Circulo.&r Parallclogramo,difficile eft exprimere . nana vna

quidem Figura rctfiilinca eft, altera autem Circularis, tertia vero mi-

fta. Qya propter vniuerft cum oftendere opinamur,qui demonftras

quodomne Parallclogramum Dimetiens bifariam fecat . coquod

commune fimul non cernimus,propter quod hoc verum cft . Hoc

igitur in Parallelogrammis etiam huiufccmodi vniuerfalc non cft,

propter iam diiftam caufam : Illud verd eft ,Omne Parallelogram-

mu Latera, quae ex oppofito funt , & Angulos xqualia habere . ete-

nim fi aliqua Figura fuppofita fuerit qux ex oppofito funt Latera

,

Angulos habere xqualia ,Parallelograramumhxcefleoftcndetur-.

fit enim talisabcd,& Dimetiens ad.

Quoniam itaqucab,bdLateraac,cd

Lateribus xqualia funt, &qui ab ipfit

comprehenduntur Anguli xquales, Ba-

fisque communiSjOmnia quocp omnibus

aqualia erunt . Angulusigiturbad An-

gulo a d c,8f Angulus a d b Angulo e a d

xqualis cft. Parallela ergo eft ipfa quidc

ab ipfi e d, ipfa vero a e ipfi b d . Quamobrem Parallclograramum

eft Figura a b e d . Totidem de his dicta fufficiant . Videtur autem

ipfum quoCp Parallelogrammoru nomen Elementorum inftitutor

compofuifle ,accipiendo occafionem ex praecedenti Theoremate.

Cum enim oftcndifiTct quodredlx Linex,qux pquales,& Parallelas

rcftas Lineasad partes eafdemconiungunt,ipfx quoque xqualcs,&

Parallelf funt.perfpicuum eft quod Latera quidcm,qup ex oppofito

funt tum ea,qux coniungunt,tu ea, qux coniungunmr Parallda efte

pronuntiauit : Figuram vero, qux i Parallelis continetur iure Paralr

ielogramum appelIauit,quemadmodu & eam,que a retSis compre-

henditur Lineis reiftilineam nuncupauit. Et cftmanifeftum quod

Elementorum quidem inftitutor Parallelogramum in Qyadrilateris

pofuit. Animaduerfione autem dignum eft ,nunquid omne etiam

• Reiftilineum, quod ex paribus conftat Lateribus cum xquilatcnifti,

attjue xquiangulum (uctic , Parallelog^aiman dicendum fit- .- habet

cnira

Q, V A R T V S. «,7

enim hoc quoque Laccra.quac ex oppo(ito iaccnt,arqoaIia'& Paral-

lela : nec non Angulos,qui runtexoppoflto,(quales. Exempli caufa

• Sexangulum, & 0<fiangulum , &•Dccangulum . (i enim Sexangulum

a b c<l e fimclcxcris , re<!lamque Li-

neam a c coniunxeris , ipiam a f, ipG

-cd Parallelam odendes. Anulusenim,qui ad b Signum,vnused Re-^us,& tertia Redi pan , & vnus

quifque Sexanguli Angulus , ctim

srquiangulum fuerit . aequale prae-

terea ed Latusab Lateri bc, aequi-

4aterum enim ed politum . vterqiie

igitur Angulonimbac, bea tertia

Rediparsed. AnguIiergofac,acdRedirunt. Quapropter ipfa

a fipGcd Parallela cd. Similiter autem reliqua etiam, qup ex oppo-

fiio funt Latera, Parallela die odendemus, & in Odiangulo Simili-

ter,atque in reliquis . Si itacp Parallclogrammum edquod a Paral-

lelis exoppolito iacentibus Lateribus comprehenditur, in non Qiw-

«Irilateris enam Parallclogrammum erit . t Quod autem apud Ele-

mentorum indiiutorem Parallclogramum quadrilaterum cd,patct.

Fit autem perfpicuu in illo potisfimiim Theoremate,in quo ait Pa-

rallcIogrammum,quod eandem cum Triangulo habet Ba(im,& in-

eifdem cd ParalIelis,Trianguliduplum ede . hoc enim in Tolis Qua-* trilateris verum ed.

r Trircr

qua qunjti 5eiftia

Elcmeto.

ru iftiiuio

ris omnerarallclo

gramu manitcllum

Quadrila

ceruoi eli.

Parallrlogramciia,qu» Super eadem Bafi funt,& io

eUUe.n Pirallclia, locec fe Aiot «qualia

.

Propn.jr.

Tbeo.tf.

QVemadmodumTheorematum alia quidevniuerfalia , alia vero

• particularia ede dicebamus,&quemadmodum haec diuidentes fu- in Supe-

biungcbamusquddctiamaliaquidcmSimplicia,aIiavcr6Compo-

fita,quidque horum vnumquetep fitodcndebamus,ita fanciuxta p-bbri |.

'-aliam didimftionera aliaquidem Localiaede dicimus, alia vero non „^7i*ia

Localia. Voco autem Localia quidcm,quibufcun^ idem Syroptor

ma in toto quodam loico.^dit : Locum verd,Linef,vcLSuperficiei celia.

. V,fiwm.

138 I B E RQjiii fir

Locus Geooietrii.'

.

Localium

Tiicore--

matu di—uifio

.

Linearum

ali; Plane,

aliz Soli-

dz.

Przfent

Theore--oia de Lo-cale , 8c in

Lineis Locale.et Pia

num ell

Theore--ina Loca-le.& i I i-

neis Locale,8c So-lidum .

Qya d' ca

ufaTbeo-remata Localia Ideis

Chrjifipp*

ssfinula'~

nent.

CaufaquaEucliicsi

hoc libro

Theore- -

mara loca

liaPlaiiai

roAis Li-

neis laium

eradar , mtertio aut

ea etiam ij

iCircufe-

rciiiscoHi

iuut,fc ha

bes bicdi-

uilionr lo

caliui Li-

nei«Plano

su Theore

matum, ^alia in rc-

Ais,alia in

Circunfe-

rcaciis.

(itum, qui vtium^ tdemque Symptoma cffkiat . Localium enim alie

quidem in Linci$con(liiuuntur,^ia vero in SuperReiebus . Et quo«

niam Linearum alia: quidem fune Planae , alia: vero Solidae, Plans

quidem quarum (implex eflin Plano intclligcmia , vt iplius Reiftx r

Solids vero, quarum ortus ex quadam Solidae Figurx fe(flione ap'

parci,vtCylindric( Hclicis,Conicarumque Linearum, dicerem vti-

que eorum etiam,qugin Lineis conflituuntur LocaliumTheorem*»

tum,alia quidem planum habere locum,alia verd folidum . Prxfcna

igitur Theorema& Locale cft,& in Lineis Locale ,& Planum . to»

tum enim Spatium,quodiaca inter Parallelas, locus eft Parallelo^

grammonim,qus fupereadem BaR conlHiuuntur. qu; fane aqualia,

quocp inter fe Elementorum infEtutor ollcndit . Eorum autem Lt»calium Theorematura,qux Solida vocantur tale (it exemplum . P»»

rallclogramma,quxin Lineis non coinddentibus,&r Hypctbolc in^'

' feribuntur, xqualia funt.quod enim Hyperbole folida (it Linea,pa^*

tet. Coni (iquidem Linea e(l . Huiufcemodi itaque Theoremata (vt

aitGeminus) ideis Chrylippus asRmilabat . nam quemadmodumillxinRnitorum terminans in Rnibus ortum comprehendunt, ita ii\

his quoque inBnitorum terminatis in locis comprehenno Rt, Sc per

hunc terminum xqualitas apparet . altitudo enim Parallelarum ca»

dem mancns,(i inRnita fuper eadem BaR Parallclo^ramma intellL

gantur, omnia Rbi inuicem xqualia oEcndit . Primum itaque Loca^

le Theorema Elementorum inflitutor prxfens adferipRt . & videtur

cura admodum Elementi iuxta omnes diuiRones Theoremata va^

rictate diflinguat,iure neque huiufcemodi ipfonim ideam prxtermi^

filTc . Vcninumen ci}m in prxfentia quidem de Rccfhlineis fermoRt,Localia Plana in rciTtis Lineis Theoremau tradit : in tatio autemlibro ciim ea

,qux de Circulis

, corumque Symptomaiibus comemopUri poRunt pertradet,ca etiam, qux in Circunferentiisconllituun*

tur Localium Rmul,& Planorum Theorematum docebit, tale Rqut-*

dem in illis efl quod ait. Qui in eodem Segmento funt Anguli, inter

fe funt aquales . nccnon illud, quod ait , Anguli ,qui in Semicirculo,

rcAi funt . nam R inRniti quidem Anguli in Circunferentia conAiiuti

fuerint eadem exiAeme BaR,omnes oAendunrur effe xquales. Si ve^

ro quod i BaR& Circunferentia comprehenditur. Semicirculus fueu

rit, rcifli omnes cfTe oAcnduntur . illa quidem proportione rcfpo-

dentTriangulis ,& Parallclogrammis, qujt fupereadem BaR, 8( ii»

cifdemfunt Parallelis -Species igitur Theorematum proximi qux-rendorum taliscA,qux localis apud antiquosMathematicos nuncu^

patur.

V A R T V S. iJ9

patur . FortaflTc aute omnino admiratione dignum videbimri)s,qui

huiufcc contemplationis funt rudes , fi Parallclograma Super eadem

Bafi.ineifdcmque Parallelis conftituta ,fibi inuicem aequalia funt.

quomodo enim hoc fieri poteft,quippe ciim Spatiorum

,quae fuper

eadem Bafi conftituuntur longitudo in infinitum crefeat C quantum

nancp Parallelas producimus ,tantum Parallelogrammorum quo^

Longitudines augere pofliimus . quonam pafto autem dum hoc fit

Spatiorum xqualitas maneat, non immerito fotfan aliquis quaerat,

nam fi Latitudo quidem eft eadem, Bafis fiquidem vna : Longitudo

verd maior,quo nara modo Spatium quoque maius non erit f Eft Tbtore-

»

igitur bocquidem Theorema, & quod de Triangulis fequitur ex eo-

fum numero,qux admirabilia Theoremata in Mathematicis difei'

pliriis appellatur, exeeuti funt enim Mathematici quocp in TheorC'

raatibus.qucmadraodu Stoici in Argumentis Locu, qui admirabilis

vocatur,& ponunt hoc etiam Theorema e numero eorum ellc,qux jj.

huiufccmodifunt. Smpet itacp vulgus ftatim ciim Lon^Wo mul'

tiplicata Spatiorum aequalitatem non dcftruit,eadem ouftcnte Bafi. themati—

Dicendum tamen quodmaximam habet vim Angulorum xquali-

tta ,atqueinxqualitas ad angenda, diminuenda ue Spatia

.quantum

enim Angulos inxqualescffiamus,tantum Spatium magisdiminui'

mus,fiLongitudo,Latitudoque eadem maneret. Longitudinis igi<

tur accretione opus eft,vtxqualitatcmfcrucmus. Sit enim exempli

gratia ,Parallelogrammum a b e d,&

producatur Latus a e in infini(um,fit’cp

hoc fbrtalTc rc<ftangulijra,& in Bafibd

altcmm coftituatur,fitque illud b e fd

.

Quod itaque au<fla fit Longitudo,con--

ftat . rhaius enim eft Latus b e , Latere

.

ab,ciim Angulus,qui adaSignumeft, j

re(fius fit. verum hoc nccefiarid facfbim

eft, inxquales fiquidem fafti funt An^.

guli ipfius b e f d Parallclogrammi, 8c

alti quide Acuti , alq vero Obtufi . hoc

autem cucnit c6 qu6d b e Latus accc'

dit quodammodo ad Latusb d ,Spa^»

tiuqiic contrahit . Sumatur enim verbi

caufa ipfi a b, xqualisb g, Parallclaque per Signum g , ipG b dduca-

tai* ,quscGtgh .• Eft igitur& Longitudo. P^Iclogrammibdgb

L<*ttoitudini Parallclogranuaiabcdsequal»,Latitoooquc eadem»

r Spatiu

eenu-trefo admirabilium i

MatbematicisTheo

dium.

D.-mdOrat

<}uad Longituimaaccretione

Of^us • ad

Spaiiorii

{quabtacc

Icruauda

.

Jlltri:;;;

ifl I

' e 1

Terminus

accreriois

Ld^itudi*

oit Para'*

logramo*rum fqua*

liu.ctl loc*

ipfr]Parai

lelaru Li*

Dearum

.

Puichru.

Kbpcrimetroru Pa-

raltelogra

f7K>rum

Quadran>guluquide

inaxtmuc,

Rhombo-idei vero

minima

.

£z hoc Io

co , & ei

13.c6.Ub.

3 .habes 9»

Procli it6-

lio erar ro

fa Euclidis

Elemcra*«eiOirurio

oe ctpo**

oere . "i

Docume»tum.

Trapeaiu

quid.

Reltqdnohuius Theoremarit

Cafus.

t ex hoc lo

co .id ell

idne^Joci^.

I B R340 L

Spatium tamen Spatio minus . ip(b nanque b c fd minus cft • An^

guionim igitur inaequalitas Aream imminuit. Longitudinis autem

accretio quantum illa abfhilit ,tantum adrjcicns. Spatiorum acqualL

tatem fcruauit. Terminusautem accretionis Longitudinis.ipfc Pa>

raliclarum Linearum Locus cft . nam retftangulis quidem ambobus

Parallelogrammis cxiftcntibus,& aequalem Ambitum habentibus.

Quadrangulum Parte altera longiori maius cITc oftendinjr : aequilz'

ceris vero ambobus cxiftentibus,& aqualem habentibus Ambitum,

quod eft recfiangulum maius cfle oftenditur co,quod redangulu non

m. Angulorum nanq{ierc<fb’tudo,&f Laterum aequalitas omnena

habet vim ad augenda Spana . Vndc fanc Quadrangulum quidem

qs omnibus.quae cquale Ambitum habent maius efle videtur : Rbofboides ver6,cuntftis minus . At haec quidem alias ollcndemus . raa«

gis enim Suppolitionibus fecundi Libri conueniunt . Qpo ^d prae*

(ens autem Theorema fdendu eft quod Parallelograma aequalia di-

ccns.Spatia dicit,& non Latera . in praefentia fiquidem de Areis fer-

mo eft : & quod nunc primum in huiufcc Teorematis Demonftra-

tionc Trapeziorum mentionem fecit . ex quo manifcftum etiam

quod non ab re in SuppoOtionibus hoc quocp quid nam Gt edocuit,

qudd nempe Quadrilaterum quidem genere , non autem Parallelor

grammum . quod enim quf ex oppoGto fune Latera , & Anguloc

non habet xqualia , i Parallclogrammorum excidit ordine . Ele-

mentorum itaque inftitutor ciim difficiliorem Cafum elcgifict , Pro-

poGnim demonftrauit . Siquis autem dicat, lintParallelogramnui

acbdjSfbdcc fuper eadem Bafi

db,itavt Latuscd fit Dimetiens

Parallelogrammi , ab , oftende-

mus quod ex ^ hocLoco xqualia

funt . Triangulum enun b c d.vm-

ufque dimidium cft . quoniam ip-

fius quidem a b. Dimetiens eft La-

tus c d : ipfius v^rd d c , Latus c b

.

Dimetientes autem Parallclogra-

ma bifariam fecant. Parallclogra-

mum ergo a b xquale cft Parallelo

gramo d c . Rurfus fiquis fupponat

Latus a c ipfius a b Parallelo -

grammi fecari a Latere d c, Gcque iaccre Parallclogramma quemad-

modum ipfa adb e,b d c f,oftcndemiuquod hxc etiam (qualia funt*

ciim

V

»4-1CLV A R T V S.

cum enim Latus a c Lateri c f xqualc

(it , vtnincp enimcum cx oppofito ia'

ccai.xquale efl Lateri d b. Auferatur

communis c e retfla Linea. Aequalis

cft igitur a c.ipfi c f. Verum a d etia f-

qualis e(l ipli c A ngubis c a dAngulofcb. Parallela enim c(l a d.ipfi

cb. & Bafis igitur cd, Bafi fbaequalis

eff,totuque a d c Triangulu toti eb fTriangulo efl aquale. Comuneadrjdatur cbTrapeziu. Totuigiturab.toddfinfqualenoncft. Et

videsquod idi tres foli Gint Cafus.Latus enimd c aiit fccat Latus c b,

vt Elementorum inilitutoraccepit t aut in Signum e didit , vt in pe-

nultima deferiptione: autrecatLatU8ae,vtinpr3erentia(uppo(ui'

mus. iuxtaomnes CafusTheorema veru clTc oftcnfum eft, f nili

qudd duplex Trapeziorum diflerentia ciim (it,^^ alia quidem neutrti

oppolitorum Laterum Parallelum habeant , alia vero vnum vni , in

Trapeziis,quae apud Geometram funt,in praefcntique deferiptione

altera e(l Species . ipfa enim c e^ipOd b ell Parallela.

Pfscccdcnsqtudcm Theorema eafdemBafes accipiebat, hocverd

xquales quidimt ,difldrentesautem abinuicem . Commune autem

ambobus eft Parallclograma in eifde {iipponere Parallelis. Oportet

igitur ipfa neque intra iubieillascadere Parallelas reifhis Lineas, necp

extra . Parallelogramraa enim in eildem dicunturede Parallelis,

clm 6afcsipforum,&qux his ex oppoGto iacent Latera eifdem Pa^

rallelis coaptantur. Cgterum Elementorum quidem inftitutorcumBafes omnino feparatas fufccpiflct,Theorcma oftendit . Nihil autc

impeditiu etiam ipfas fuppoGtas accipere, vtquandam comunem

habebantpartem . (int enim a b , cd Parallelogramma , fuper ^qua'

libiisBafibuse b, fdcommunem partem habentibus,& in eifdem

Parallelis,dico quod xqualia funt . Connc^buitur e c,bg redae Li'

h neg.

CJufi (vr

tres ioli

fiht Csfiit

hui’ The

o

rcouiu,.

t . Rurfus

quhdNotaPt ocius

Trapetia,

8r Trape-

aoidea c6

muni ooie

Trapetia

ex menteEuclidis

hicappcl-

lauit. vide

et c6. 1 «.

libYccudi.

Tropo j#Jheo.ii.

Cotn. IO,

Comuni*tas,S;dif-

feretupr;

fentia, 8e

prfcedetis

Thcorc.

Quo Pa- -

rwogra -

ma icirde

dicat efle

Parallelis.

RelijduoCaiiishin*

Theore

.

141 LIBERnex . Quoniam Igitur ipfa c f, xqualis cft ipG b d , etenim Bafis e bBa(i fd xquaiis erat ,

fed Latus c fLateri d g efl xquale ,& Angulus

c f e xqualis Angulo g d b,& c e

igitur ipfi b g jrqualis eA . ell; autem

& Parallela ipG. Parallelogrammii

ergo eft ipfura c b, habetque eande

BaGmcum vtroquc Patallelogra-

morum a b,c d,& in eifdem eft Pa-

rallelis. Parallelogrammum igitur

a b Parallclogrammo c d eft aqua-

le . Si quis autem neque communem habentes partem , neep a fe in-

uicem feparatas Parallelogramorum Bafes fupponat , vcrilmqucd

folum reliquum eft fe inuicem tangentes in vno Signo,vt in Paridle-

logramis a e, ed , dicemusqudd BaGt

b e, BaG e f, df Lateri c d eft aequalis

.

Qtjamobrem & retftalinea c b , retflx

Linexd e xqualis, 8c Parallela eft.

quxenim xquales,& Parallelas con-

iungunt.xqualcs&ripfx, Parallelg’cp

funt. Parallclogramum igitur eft ip-

Diuifi»Ium b d, & eft fuper eifdem BaGbus,

mu h :iui & incifdem Parallalcliscum ipGs cb,

fisrsfp*^ d c ParalL-logrammis . Aequalia ergo funt cb , d c Parallelogram-niovliimi. nij. Atnos quidcm iuxta primani notionem Theorematis Con-

ftrucfbionesdiuiGmus cum dicebamus Bafes aut communem habe-

Lici fcpv re partem ,+ aut tangere tantum fc inuicem

, aut a fe inuicem diftare

.

ri:a^ effc, FieH autcm potcft vtquanuis fc fe tangant quemadmodum ipff be,

*rfcwL- cf, totum dcParallclogrJmum extra Latus ce fupponatur.,velce

Latus congruens ipG a c retftx Linex, vel Latus c c (ccans Latus a c,

v^^l. Latere ac produ<fto vfquc ad Signum h Latus c c cadens tan-

quam Dim^dens Parallelogrammi h c,quando d f Latus idem

nicritcum rc<fia Linea a f, vel c c Latus fecans Latus a h,vel a h La-

tcrc,produ<ftoyfque ad k Signum Latus ce cadens extra Signum h,& Latus dffccans Latusah * vel congruens «

ffn

cem.

o -

it •' Fraiv

n

.

I

L

di VA R T V S.

B V 1 O V ;

•J

i--I‘

ii

^ . t

,M

< -«•

»

j; .1 J » B

• f

> rt

Fraiw

U I B E R

5chol(j

PiuifJo

OKum.

i:

i+4

FRANCIS C VS'^ B A R O C I V S

^ D

L£CTO\El>i,

4 G tibi animaducitcndum cft candide

Aor, quod pnefens decimum Procli commen^tariumiroperfcifhim a nobis repertum eft inomnibus exemplaribus

,quae ad hoc vfque tem^

pus ad manus nolbras perucnere . ideo quale fc fe

offert,tale in ordine fuo imprimendum efle

cenfui,nej£latcrent pauca ea

,quxin corepe^

riuntur . V t autem clare cius impcrfttfiioncm cognofeas , nonnul-

la funt mihi percurrenda,quibus cuntTta

,qua: in eo continerentur

n integrum effet, paucis complctTrar. Cum itaque Proclus nofter

primum communitatem, atque difttTcntiam pra-f?ntis, & prxee-

deniis Theorematis tradidiffet, docuiffetque obiter quomodo Pa-

ra llelogramma in cifdem dicantur elfe Parallelis, more fuo ad ex-

ponendos Conftruftionis Cafus fc fc accinxit. Cafus autem ( vc

apud eum videre potes ) tres in vniucrllim,& itixta primam animi

notionem fe fe nobis offcnint , i quorum numero vnus quidc cft ille,

quem Euclidcsin fuaConftructipnc fufeepit ; reliqui vero duo funt

I), quos Proclus declarare fibi propofuit. quos fane ciim declara-

uerit ,Sc oftenderit quod Theorema vniuerft in his tribus Cali-

bus veritatem nancifeitur ,Aatim qupd erat confiquenttr expo-

nendum adicejt ,horumincmpe triui^ Cafuum Diuilioncm vni

cum Theorematis in omnibus Cafuum partibus Demonftratio-

ne. Verum Diuifio quidem talis cft. Quum Parallclogrammo-rum fuper xqualibus Balibus , in cifdcmque Parallelis exiften-

tium tresfint Conftru(ftiohis Cafus,&*Bafes'ipforumaut omnjho

a fe fe difiumftx fint ,vt Elementorum inftitutor fuppofuit : auc

in vno tantiim SigiiQxoniuhtftac,vt Proclus in lecunda fua defcii-

ptione : aur expandam habebantpartem communem , vt idem in

prima, quilibet adhuc horum trium Ctifuuni feptem habet panes.

nam-r.e 'i s tt

» 4/

,-K 1.

'01'J)•

li;:

•o" i* 7d- c

. j

\\\ A

nam fi quidem communem habuerint partem.vt exempli gratia ip(f

abed Latera fan^ hifcc Bafibusoppofita.quf fint e f,g h,aut ita a Cefe

diftanc vt quodam inter ea iaceat interuallum , ipfum fcilicet fg : aut

in vno tantum Signo , inquo coinddunt etiam Signa fg : nempe in

Signo f coniun(flarunt,vtipraef,fh:autquandam habent partem

communem, vt putaipfamgf: aut fibiinuicem congruunt, tunc

Signa g h coinciduntcum e fSignis : aut Produtflo Latere e f,& po^itu Linea k eaequali ipfi ef, Latusgh communem hab« panem&cum Latere ef>vcip(^ eh,& cum Ltneake, vtptotc ipfamge:

aut

i

l

J

ii

i

]

i

i

1

i

fiivis. ! IttdR

.jVjflWotJ / ni

Si vcr6 pcnitw i fc diffun(fl* fiierint, vt ipf* a b.c d.Latera pom5e f,g h. quae hifcc Bafibus e regione funt, aut &: ip& i fc fc diftant in.

tcrual-

LIBERaut totuLatusgh cadit fuper tota Uncake.tagitqucLatusefin Si-

g lo c tantum,& tunc Signag h coincidunt cu iplis k c Signis: autpro-da(fu rurfus Linea k c . & pofita Linea I k scquali ipfi k e , Latusg hparte habeteSmunem 8c c5 Linea k c. ipfam fcilicct k cu LineaI k,vt ipsa g k.& tunc Latusg h diftat i Latereef^ipfo h c interuallo.

i r3

»

1 e' / fi

K\0 (l

f ( l) C t/'

V A R T V S. :x4-7

Kruallo fg : aut in vno duntaxat Signo fc fe tan^nt, videlicet in Si-

gnof.cum quo etiamg Signum tunc coincidit: autquandam habent

partem communem ,vtputa ipfam g f : aut Latusg h cadit fuper La^

tere e f,coincidendo Signa g h cum e fSignis : aut produco L aterc

« f,& pofita aequali k e Linea ipfi e f , Latus g h comuni (niiiur parte

tum quidem cum Latere e f.ipfa fcilicct e h,tum verocum Linea k e,

nempe ipfa g e : aut L atus g h congruit Lateri k e,& Sjgna g h cad?

fiintcum Signis k e,tangit 'cp Latus e fin Signo e duntaxat : aut pro-

dutfla adhuc Linea k e , A' polita aequali Linea 1 k ipfi k e , Latus g hcommunem fortitur partem ipfam quidemIc h cum Linea k e.ipfam

vero g k cum Linea 1 k , tuneque Latus g h i Latere e finteruallo h c

dillat . Si autem in vno tantum Signo coniundx fuerint,quod re-

liquum e(l ,Septem iterum modis CafusipH: varietatem fufeipit

.

Veruntamen quoniam varietatem hanc apud Proclu ipfum videre

potcSjin fine diiim Diuilionis huius Cafus comentarium deficit ,ideo

in ea non amplius immorandum arbitror Talis quidem cfl Diui-

(io Cafuum, quam aggrefluseft Proclusnofterin prffehti commen-tario.in quo non extat rufi Cafus illius Diu (io,qui Bafes xqualcs Pa-

rallclogrammorum in vno tantuni Signo coniuiufias (upponit : reli-

quorum autem duorum Cafuudiuinonescum Demonffrattonibus

Thcoifcmatis in Singulis Calibus deliderantur , forfan cum quadametiam pulchra oonfideratione, aut documento in fine comentarf)

,vt

autoris mos efi; . multa enim pulcherrima ab qs, qui ingenio valent

ex hoc, praecedentiqfie Theoremate colligi poliunt,qux ad vniucr-'

fam Geometriam maximi conducunt ; Vcrumenimuero de Diui-

fionc quidc hfc fufiiciat.Dtfmoftrationcs autc prpfentis Theorematk

juxta lingulas Cafuu partes tu quia faciles funt, tu breuitatiscaufa in

pr^fentia filentio inuoluam . aptior enim erit locus in commentariis

no(lrisdifKi(ius,& lingillatim easexaminare . Hfc erat mihi dicenda

leAor beneuole de imperfe(flione huius comentarii,quod fi aliquan-

dointegrum ad manus meas peruenerit vna cum fequentis vndecimi

comcntarrl principio, quod etiam in omnibus exemplaribus imper-

fecium efl, te panicipem facere polliceor

.

SEQVVl^rVR. PROCLI COMMENTARIA

Qi»f dcjit

in. Pro-

cli ionica

cirio.

Thco.»r*

/

Com. Ti.

ChorofjT»

f

horu hsJ

jcinitto

.

Ide lalib.

retrio la

com.S.

O-»' li

t *qui!e

Tniagulo•5pJtwbi.bcbis«

143 LIBERIniuuoi huiui Coiruncntarii Defidcratur

.

* * *

• afRrmant . xqualibus nanquc illis exi/lcntibus.Spatia in^quabu

Cif inpqualibus, aqualia oftcnduntur . Tjdcaute quid Chorographi

pjrpcsii iuru V rbiu magnitudines ex Ambitibus ratiodnantes. Olji

verd quidam podeslionum participes in diuilione cos,quivna cu ipfit

diuidebat deceperut, quippe qui Ambitus cxceflii abuli funt,plura't]t

rumpf:runt ciim peragrates eam furcepillent poflcslione,qu^ a mjk

iori Ambitu continebatur ; Arcam autem ciim in quxdam^'pada,‘'

qu£ minori fruebanturambitu immuuHcnt,optimi cxiflimati luere»

duobus enim cquicniribusTriSgulisproponiis, quorum vrumqui''

dem vtrunque arqualium Laterum habet quinque, BaCm veto fex

eorundem: alterum autem, vtmnquc quidem aequalium Laterum

quinque, Balim veroodo corundem.verbi gratia cubitorum, aut di-

gitorum,magnoperc horum rudem in eledione decipiunt . nam hoc

quidem Ambitum ododecim habet, illud vero fedecimearundim

menfurarum . At Geometricus vir non ignorabit quod Spatia aqua-

lia funt,quanuis Ambitus inaequales luerint . vtrunc^ (iquidem duo-

decim di . fi enim a venicc Perpendicularem duxeris , bifiuiam qui-

dem Bafes diuidcs,cfliciciquc in altero quidem trium,in reliquo verd

quatuorBalis dimidium : ipfam autem Perpendicularem ^contra-

rio , lUic quidem quatuor , hic verd trium . oportet fiquidem quod dQuinario ei, quod a Perpendiculari, atep ei

^quod a Bafis dimidio fit

efle aequale . V criim fi hoc quide trium fiierit. Perpendicularis qua-

tuor :& fi hocquatuor,illa profedo trium erit . Cum igitur Perpen-

diculari Bafis dimidium multiplicaueris , 1 quod Trianguli Spatio

cfiaequale habebis * hoc autemiuxta vtrunc^ idem efifiuc Ternario

Quaternarium ,fiue Quaternario ternarium multiplicaueris. Haec

quulciu dicta funt ad ofiendendumquod^ationun aequalitas nonomni-

Q. V A R T V S. x4s>

omn’nocx AinbitibusavcipicRjjcft. ncadinircmurficuTriangu-

U.qusfupcrcadem Balj i'unt,iuxca reliqua Latera intra cafdcm Pa-

rallelas in inBnituni augeri posfinc , Spatiorum tamen xqualitas im-

mutabilis manet. Illa autem Triangula in ciTdem Parallclisdiccnda de

funt,quxcunquc fuper altera Parallelarum Bafescum habeant.in re-

liqua vcniccs figunt . & quorum Linea ad vcnices connexa, vna re-

<fla Linea eff,& lialibus Parallela fuper eade re<fta Linea iacentibus

.

PRxfens quoque Theorema locale quidem eil,quippe quodPa- com. >t.

rallelogrammis proponionc rcfpondct,& Triangulorum Hiu fuper

xqualibus Bafibusfupponit . Videtur autem mihi Euclideshorum

quatuor Theorematum,quorum duo quidem in Parallelogrammis

ollcnfa funt,duo vero in Triangulis: & alia quidem eadem exiftente

Ba(i,alia vero Bafibus aqualibus exiftentibus,vnam Demonffratio-

nem in fexto libro perprimum Theorema tradere, latcrcque vulgus

eum hoc facere . ciim enim hoc oftcdat.Triangula ,& Parallclogra-

ma,qux fub eadem funt Altitudine , eandem habcrcinter fe ratio-

nem,quam habet Bafes, nihil aliud quam hxc omnia magis vniucrft

ex ipfa Proportione demonftrat. eadem nan<^ Altitudo nil aliud eft

nili in eifdcm elTe Parallelis . nam Figurx omnes, qu^ in eifdcm funt

Parallelis.fub eadem Altitudine funt,&contri. Altitudo liquidem

cH; Perpendicularis,qux ab altera Parallela ad reliquam fe extendit . Figuratu.

Dlic itacp per Proportionemoftenfum eft quod ita fe fe habent Tri-

angula,^ Paralielogramma, qu^ (ub eadem funt Altitudine,hoc eft

qux in eifdcm (Ita llint Parallelis, vt Bafes,8^ xqualibus exiftentibus

Balibus, xqualia funt Spatia: & dupla, duplis:& aliam rationem

habentibus, eandem habebunt& Spatia inter fe rationem . In prx-

fentia vero quoniam non decebat Proponionc yti cum,qui nondumde ipfa docuit,contentus eft xqualitate fola,at(^ identitate . ex xqua-

litate enim identitas Balium colligitur. In vno igitur illo quatuor h^c

Theoremata comprehenduntur . non Ibliim quia vna Dcmonftra-

tionc oftendit quxcuncp in hifce quatuor continentur , verum etiamf «tu*

quia plus quid addit,identitatemvti(^rationum,quaniiisinxquales .

i Bafes**

»ro I B RBafesfucnnt. Haccdchis* QyodautcmhocquoqjTheorctnatnul»

Thwre!***habet Cafus .quodque fieri potcftviTriangulorum Bafes aut

eandem partem habentesfumantur, quemadmodum in Parallelo»

grammis: aut nulla quidem communi parte firuemes , iuxta vcr6 Si»

gnum vnum fe fc contigentes : aut etiam omnino fepatata; ita vt in-

ter ipfas Linea fit, manifcllum cfl qs etiam, qui paululum intelligert

pofiunt. &qu6diuxtaomnes Cafusvtcunc^£aresfitashd>cant,auc

.V erticcs.cadem via cft. Parallelas nempe Lateribusduccrc,& fiaco*

TC vtrunq),Triangulonimque aequaliutem oftenderc

.

^opo.jfTheo.»9. Acqtuli2Triinnla,mzrupereidcmBi0rtuic,ScailcarJeni

parces, io eiTdeiniuat Parallelis.

Coa. «]•

Cauraprnpcer quamConuerfe

}1 &Proponis

tii u Eu-tlidr.tui

Prodo ^termiffx

fiat.

Georoetri

ca dilige*

lia.

QVando quidem?qualitataoftenderc nobis propofitumcrat.tuncquatuornumero Theoremata (acicbamus.duoquidcm in Parallelo»

grammis, duo vero in Triangulisfufcipientcs, aut fuper eifdem, aut

(iipcr aequalibus iacentibus Bafibus > Nunc autemconuertcntes.qu^quidem in Parallelogrammis ConuerTa funt prftermifimus

,quae

verdin Tnangulis,memoria digna cenfuimus. Caufa vcrd,quonia

modus quidem Ocmdftrationis idem cft in illis etiam indifterenter^

per Deduiftionem ad impo5fibile,fimilemquc ConftrucTtioncm .<5»

tenti autem fumus cuminfimplicioribus. Triangulis inquam,viam

oftenderimus,relinquere iis, quimagis cmiofi funt,in cancris quoque

eadem ratiocinari, quandoquidem candeminhis etiam e(Te viam fa»

cileeftfimulagnofcere* nam ciim acceperimus aequalia Parallelo»

gramma fupereadem Bafi.autetiam fuper aequaiibus.dicemus quod

in eifdemquoque funt Parallelis . Si enim non funt, aut alterutrum

eoru intra cadet produ(ftisqs,qupnaltcrofuntPara11elis,autcxtri.

vtcunque autem«ociderit, cdm acceperimus illud ,& qux in eo funt

Parallelas, oftendemusquae inTriangulis etiam oftenduntur.quod

vtiqueTotu fuse parti etitaequale . hoc verd fierition poteft . Quodautem iur^ Elementomm inftitutor particulam illam addidit c & ad

eafdem partes ] manifeftum cft.nam fieri poteftvt fupereadem Baft

{qualia Triar^la fummantur,vnumquidem ad hafcepactcs,altcrii

vero ad alias .attamen non omnino in eifdem hxc funt Parallelis

.

neque cnimfub cadem Altitudinefunt . Hanc igiturpmpterea adie»

at

d V A R T V S. xri

«it particulam . Cura autem dupliciter Parallda ipfaduci posfitiu- Rdiquu»

xta abfurdam fuppotitioncm.aut intra, aut cxiri.ipfe quidem Eucli'

desimri eam duxit: nos vero extra ducentes , eadem odendemus . auCuus.

Sint enim a b e , d b e Triangula

aequalia fuper vna Bali , ad eaf"

dcmqueparteSjdico quod in ciC-

de funt Paraliclis,& qug ad ver^

tices ipforum connexa efl re(fla

Linea,BaO cft Parallela . Con-ne(fl:atur a d retfla Linea . Si aute

hfc Parallela non eft, fit quf ex-

tra hanc iacet.ipfa nempe a e,&producatur ipfa b d vfque ad e

Signum,& conneAaiur ipfa c c.

Aequale e igitur Triagulu abeTriangulo ebe . Verum Tri-

angulum ab c aquale eflTrian-

gulo d b c .’ Triangulum ergo c b cTriangulo d b c eft srquale, parti

Totum. At hoc fieri non poteft . non igitur c xtra ipfam a d,Parallc

la cadet.Oftcnfum eftautem quod neque intra,apud Elementoruminftitutorem . Ipfa ergo a d ipfi b c Parallela eft. In eifdem igitur funt

Parallelis xqualia Triangula,quxqiie ad eafdem panes

, & fuper

eadem Bafi funt . Demonftrata eft itaque reliqua cuam Dedu-^onis ad imposfibile pars . Adnotatu autem dignum eft quod wortniff.

TripleXcdm fit Theorematum Conuerfio ( aut enim totum ad totu

conuenitur.quemadmodum oftauumdecimum,&’ nonumdedmum fripiet

diximus: aut totum ad panem, vt fextum, &rquintura:autpkrsad

parte,vt o(ftauu,&: quartu . non enim totu in altero Datu,Quffitu in “•

altero cft : nec Qygfitu,Datu,fed pars ) videntur talia efie hpc quoqiTheoremata in Triangulis . erat fiquidem Qiixfitum in praeceden-

tibus,Tn’angula aqualia cflrc,hoc autem non folum in his Datum eft,

quippe ciira partem infuper fumpferit eius,quae in illis erat fuppofi-

donis . hoc enim, fuper eadem efie Bafi,'vel fuper squalibus, cum in

his,tum in illis datum cft, praeterquam quod in hiftc fuppofitionibus

quoddam adiecit,quod quidem nec Qjjxfitum , nec Datum in illis

erat.panicula enim illa ^ ad cafdem panes ] cxtrinfccus infuper

(itit alTumpu.

I

ia Aequa-

LIBER»f *

tSt&modus Conucrfionis idem in hoc ,& Demonflratio (imilis»

&qu^ab Elem^onim inflinnorc Dedudtionisad imposfibile pne^

Tretpat-lioocf ,et

tjuiu^decc

^uc

LaTiieo.

<Taatavi-

d i

fiMIiO.

Qji T<«a

U rcii ^-.4

on'.ir'^rit Ea

cbww' Tflc

crcjuU'

nemf.iVa

t.ncliquo

tcrmiila cft parseodem mododemonflranir,& no cft opus cade re-

.

petere. Cum autem tria haec (int in di(fik Propofinonibus, fuper ac-'

qualibus , vcl eirdem ciTe BaQbus : in cifclcm Parallelis :& xqualia

«iTe Triangula,& ParaUclogramma,manifc(himcftqu6dduorem'-

per contexentes, vnum vero relinquentes, varie cunucttinius. auc

enim Bafes cafdem,vcl xquales fupponemus, in eifdrmque Paralie*

lis Triangula,& Parallelogramma,& Sciemus quaiuor Theorema-ta : aut aequalia ipfa rufeipiemus,& Bafes eafdem,vel aequales,& hi-

ciemus alia quanior,quorum duoquidem omilit Elementorum in-

flitutor , ea nempequae funt in Parallclogrammis,reliqua veroduo

ollendit, ea porroqux in Triangulis funt : aut&cum xqualia (um-

pferimus,& in eifdcm Parallelis, reliquum oHendemus,quod vdc|f

x^d fuper cifdem funt , vcl fuper xqualibus Balibus,& Sciemus alia

quatuor,qux fane omnino etiam dimifit Elementorum inilhutor. in

hifce nanque eadem eft Dcmonftratio , nifiquddduo cx his quatuor

per fe vera non funt . non enim aequalia Parallelogramma, vel Tri^

angula,& quf in cifdc funt Paralleli$,ncccflari6 fuper eade Bafi funt.

fed totum hoc,tn hifce fuppolidonibus verum cft,qu6d fuper eifdcm

funt BafibuSjVcl ftiperaequalibus, alterumautem non omnino fum-ptas fuppofinones confequitur . Quapropter cum decem fint om-nia hxc Theoremata, Sex quideGeometra pcr(criplit,quatuorverd

prxtcrmifit,nerurfus eadem rationefnilbalaboret,cum eadem fic

Dcmonftratio . oftendatur enim

in Triangulis quod fi xqualia fiic-

rlnt,in ciidemque Parallclis,aut fu-

per cifdem,aut ftiper pqualibus Ba-

fibuserunt . no fintcnim.fcd fi fieri

poteft fintab c,d c fTriagula,quae

hoc modo fefe habeant in Bafibus

inaequalibus,ip>fis{c3icctb<, e f,& -

a V A R T V S.

fit maior ipfabc ,& abrcindaturbh,quac fitxqualisipGcf.connc^

(ftacurqiic ipfa a h . Quoniam ita<^ Triangula ab h,d c ffupcr ^qua^

libus fune Bafibusipfisb e f.ineifdcmquc Parallelis, pqualia viicp

funt. Atipfaquoqucabc,dcfTriangulafuppofita fuiuaiqualia.

Triangula ergo a b c,ab h xqualia crunt^quodlicri non poteff . l*jon

fune ^tur inxqualcs iplbrum a b c,d c fTrianguiorum Bafes . klcm

autc demonfirandi modus in Parallclogtamis etiam erit . Cum ita<^

& via oftenfionis eadem fit,6fid,quod fieri non poteft,idc,qu6d fei-

licet totu fugparti eft fqualc,non Imerito ab Elcmentoru infiituiore

pextermiflum fuit . Didium eft itaquequdddecem neceflarid funt

Theoremata, &quxfint'ca,qu(prftermiflafunt,quxque fitho- P^*’

rum micentix caufa . Vcnhntranfeamusad ca, qux poft hxc con-

fcquuntur-

Si ^iraHelo^ammufncuniTrungiiloeJrxlem Bafinhibucrit,incirJcmijae fucrir r>ariUdis,djplum erit Parallelograta-nium ipiMJs Tronguli

.

rropo.4<

Tbco. 2i

ESt quidem prxfcns quocp Theorema locale, mifcct autemTrian-

guiorum,& Parallclogrammorum conftitutiones fubcadem Alti-

tudineiacentium . Quemadmodum igitur Parallclogrammafccr-

fum perfpcximus ,itemque Triangula , ita cum fimul etiam vtraque

fumpferiinus idem cum illis perpefla, quam habeat inter fc rationem

contemplabimur . In iliis igitur xqualitatis apparet ratio , omnia fi-

quideminterfc funt xqualia qu^ fuper eifdem funt Bafibusfiue Tri-

angida ,fiue Parailelogramma, in eifdemquc Parallelis . in his verd

primainxqualium rationum ipfa nempcdupla oftenditur. Paral-

logrammum enim Trianguli duplum effe demonftrateadem Bafi,

cademque Altitudine exiftente. At Elementorum quidem infti- Cafui hui

tutorcumTrianguli Verticem extra Parallclograntum fuppofuerir,

Propofitum oftendit . Nos autrmeumin altero Parallck^ammi

Laterc,quodcommuniipfomm Bafi Parallelum eft, cura fumpferi-*

mus ,idc demonftrabimus . duo fiquide funt hi Theorematis Callis

.

Quandoquidem eadem ambobus exiftente Bafi, aut intra Parallelo-

gramum Vcrticchabere Triangulum ncceflc eft,autextra. Sit igi-

tur Parallclogramu ab c c c dTriangulum,& ponaturSignum

c intera,&b Signa, connctftaturque a d rcdhi Linea. Qponiam inqt

Paral-

L I B R

IVnoltra

i Ba!i-

9j'ul>

bj<.

t Parjlle-

logr-ino-

rjtn •

CurTheorcmira in

9>)jclibus

Eu>

cl:Jcf prx

fcrmifcr.r.

Conu ruh-ii* The.

9e noracoueriioiiis

mojjm.

t Si aui(.'

Nota <p

cx trio* 41hoj etiam

Thco. 5uf

p3sli->nib*

^jio; Heri

poiunt

Thro.vjuo

fa v(i j rmpaTiir Ejcliies,rcli

()Ji aat p-

ticcticca-

ufa.

t Hirerif.

DigresHo

Hic clicic

<]uodJamaiiud hiu*

T beo. c6

uersu

xta alium

Coj-rfio

oia muiii.

Parallelogrammu Trianguli cc d cfl

duplum, Triangulu autem a d c pquale

cft c d c Triangulo, Parallclogramum

porro ipfius c c d Triaguli duplum cft

.

Quod igitur eadem exiftente Bafi du'

pium c(lcTrianguli Parallclogramum

oftcndiiur.pcrfpicuum eft . Si autem Bafes xquales fuerint, eoden»

modo oftendetur, t Parallelogrammi Dimetientem nobis duccnri''

bus . Triangulis enim xqualibus exiftentibus, Parallclogramum,

quod alterius duplum cft,rcliqui etiam duplum erit . Triangula verdxqualia funt propter Bafiura xqualiratem

, Altitudinisque identita-

tem . lurc igitur hxc quoCp Geometres omifit, eadem enim cft De-^

monftratio . nam aut eandem partem habebunt, aut invno tan-

tura^Signoconiungentur, aut fcparatx erunt ab inuicem . vtcunqueautem hxc varietatem fufcipiant.vna eft iuxta omnes Cafus Demo.-ftratio. Atqui Conuerfaquocp huic Theoremati eodem modo De-^

monftrabimus.quorum vnum quidem cft , Si Trianguli Parallelo-

gramum duplum fuerit,candcmque Banm,aur xquales inuxem ha-buerint, t fuerint autem ad cafdem partes,in eifdem erunt Paralleli».

Si enim non erunt,Totum fux parti erit xquale, cademqfie ratio vi-

gebit,necefle cft enim aut intra Parallelas Trianguli Vertice cadere,

aut extra . vtro autem fefe modo habuerit idem fcquiturimposfibi-

le,ducta Parallela ipli Bafi per Trianguli Venicem . Alterum verAcft,Si Trianguli Parallelogrammu duplum fuerit,in eifdcmi^ ambofuerint Parallclis,fupcrvnaBafi,autfuperxqiialibus erunt . fienin»

fuper inxqualibus, cum xquales fumprerimu», vniuerfum Totu fuse

parti xquale oftendemus. In hoc igitur comuneimposfibilc omniah^c Theoremata definunt. Qpare lilcmcntorii inftitutor nobisre-

u-rmifu' varietate inueftigarc, cum in fimplicioribu*

adiiJit’^ ipfe,8f pnncipalioribuscontemplatione^coniraxerit. Verumenim-

rX*ro’bquoniam hxc quoque in memoria reuocata funt, agtfexcrcitai

tioniscaufa nos ParallelogrSmu non accipiendo fedTrapcziu, cuius

duo tantum Latera funt Parallela, quippe quod eandem cu Trian-gulo habeat Bafim dum in eifdem iacet Parallelis

, videamus quii adTriangulum rationem habet. Qiiod igitur duplam non habebit,

perfpicuumcft. Si enim duplam rationem haberet, Parallelogra-

mura efTet,cu Quadrilatcrum porro fit . Dico autem quod aut duplomaius cft, aut minus, ciim enim duo Latera Parallela Gnt, omninovnum quidem cft maius, alterum vero minu» . quoniam xqualibus

, exiften-

CLV A R T V S. xrr

exiflenti bus, qusc etiam ipfa coniungunt, Parallela erunt . Si igitur

Triangulum maius Latus Bafem habuerit , minusquam dupluTri'

anguli Qgadrilaterum erit : Si ve^

fo minus,maius. Sitenimabcd

Quadriiatcrum, Htque minus La^

tus a b Latere c d ,& producatur

Latus a b in infinitu,& Triangulu

cc d eandem habeat 6a(im cumQyadrilatero.ipfam nempe c d,

ducaturque per d Signum iplt a c

Parallela,quf fit d f . Duplum eft igiturTrianguli eedipfumacdf

Parallclogrammum . Quare a b cd Quadrilateru minusquam du'

plumcd. Rurfus habeat Trian-

gulum Bafim a b , ducaturque ipfi

ac Parallela b f.Parallelogramum

igiturabfc duplum eft Triangu-

li . Qpapropter Quadrilatcrum

ab cd maius quin^dupluefl. His

itacp oftcnfis dicimus quod Qua-

drilatero exiftente ,cuius duo tan-

tu Latera exoppofitoiacctia funt

Parallela, fi quidem ab altero Parallclomm Laterum bifariam difie-

ad reliquum reA* lineae du<5fac (uerinc, cius, quod fit Trianguli

autmaiusquimduplumQpadriIatcrumc(l,autminus. Sivero ab

altero eorum Laterum , i quibus Parallela coniunguntur Latera bi-

fariam re<flo,ad reliquum retflac quaedam Lineae ducantur,eius, quod

fit Trianguli duplum omnino Qfudrilaterum ell . Hoc ergo oAen-

datur . Sit porro Qpadrilaterum

a b c d ,fitqfie in ipfo Latusa d La-

teri c b Parallelum ,& fccemr bifa-

riam Latusd c ad cSignum ,& co-

ncelantur ac, e brc(fbc Lineae,&producatur ipfab e, «oincidatque

cum Latcrca d ad Signum f. Qyo-

niam ietcp Anguli,qui funt ad c Si-

gnum aequales funt, ad Verticem

enim iacent ,necnon Angulus fd c

Angulo b c c cd aequalis,Latus etia

fc Lateri c b erit fqualc,& Triangulamd c fTriangulob c e gquale»

Com-

?er jj.Ptopouc.

Pulchern

mi Tna-guli cumTripcno*

fup

nfilcPa-raljcluio

parario

.

oora^aut?caiir cria

iter Par^l

Iclogiam

cnC,5r Trapeziu fuD

cade Baii,

tc ieifdcm

Parallelis

coparano

qua dtce

du in C6-mentanis

oris . ota

authfc ve

ratut Cei

Bafibuf

^

qualib*^ru4> <ouer

fa,6 coue

oicnb* modik fianc»

CompararioTnan*guli cumTrapezio

fup eade

bafi no ua

eilde Pa-

rallelis,

(ed cu qua

di aba c6dicioe . 8c

boceilqdT

Proclus •biter ofte

dic.

Terminus

accretiois

JLoi^udi'

nis Para'*

logramo-rumratu*liu,cU loc*

iple]Paral

lelar«i Li-

oearum.

Pulchru.

Ifbpcrime

troru Pa-rallelogra

morumQuadran-giilu^uidc

nuximue»Rhombo*ides vero

minimu

.

£x hoc Io

co, at

«

j.co.lib.

I Jubes ^Procli

tioerar ro

ta Euclidis

£lemcra*«ciftirurto

oc cvpo~nere . •;

Docume*tum.

Trapexiu

quid

.

Reliq duohuius Theoremaris

Cafus.

t et hoc lo

co . id eft

tdne^Jod^.

240 I B R

Spatium tamen Spatio minus . ip(b nanque b c fd minus cft . An-

guiorum igitur inxqualitas Aream imminuit. Longitudinis autem

accretio quantum illa ablKilit ,tantum adrjciens. Spatiorum aequalL

tatem fcruauit. Terminusautem accretionis Longitudinis,iplc Pa-»

raliclarum Linearum Locus cft . nam rciftangulis quidem ambobus

Parallclogrammiscxiftcntibus,8f xqualem Ambitum habentibus.

Quadrangulum Parte altera longiori maius cITc oftenditur : arquil»'

teris vero ambobus exiftcntibus,& fqualcm habentibus Ambitum^

quod cft rcAangulum maius cllc oftenditur co.quod rctflangulu noti

Angulorum nanqiicrccftitudo, &r Laterum aequalitas omnein

habet vim ad augenda Sparia . Vnde fanc Quadrangulum quidem

qs omnibus.qu* cquale Ambitum habent maius ellc videtur : Kbofboides ver6,cundtis minus . At hxc quidem alias oftendemus . ma«gis enim Suppolitionibus fecundi Libri conueniunt . Qqo ^d prae^'

fens autem Theorema fdendu cft quod Parallelograma aequalia dLcens,Spatia dicit,& non Latera . in praefentia Gquidem dc Arcis fer-

mo cft :& quod nunc primumin huiufcc TcorcmatisDcmonftra-

tionc Trapeziorum mentionem fecit . ex quo manifcftum etiam fit,

quod non ab re in Suppolitionibus hoc quoc^quidnam fit edocuit,

quddnempe Quadrilatenim quidem genere , non autem Parallelo^

grammum . quod enim quf ex oppofito funt Latera , & Anguloc

non habet xqualia,c Parallclogrammorum excidit ordine . Ele-

mentorum itaque inftitutor ciim difficiliorem Cafura elegiflet , Pro-

pofitum dcmonftrauit . Siquis autem dicat, fintParallcIogramnm

acbd,&bdccfuper eadem Bafi

db,itavt Latuscd fit Dimeriens

Parallclogrammi , a b , oftende-

mus quod ex ^ hoc Lctco aequalia

funt . Triangulum enim b c d,vtri-

ufque dimidium cft . quoniam ip-

fius quidem a b, Oimetiens cft La-

tused : ipfiusv^dc,Latuscb.

Dimetientes autem Parallclogta-

ma bifariam fecant. Parallelogra- .^,5

mum ergo a b aequale cft Parallelo . * \gramo d c . Rurfus fiquis fupponat '

'

Latus a c ipfius a b Parallelo -

grammi fecari a Latered c, ficque iacere Parallclogramma quemad-

modum ipfa adb e,b d c f,oftendemusquod hxc etiam (qualia funu

ciim

$l ,

4 \"

1+1CIV A R T V S.

cum enim Latus a e Laten c f xquale

Ht , vtrunqp enimcum cx oppofito ia'

ceat.xqualceft Laten db. Auferatur

communis c e retffa Linea. Aequalis

eft igitur a c,ipfi c f. Verum a d ctiS f-

qualiseilipiicb,& AnguhiscadAngulofcb. Parallelaenim a d,ip(i

c b.& Balis igitur cd, Bafi fbaequalis

e(l,totuquea d c Triangulu tod eb fTnangulo cflaquale. Comuneadrjdatur cbTrapeziu. Totuigiturab.toddfinfqualenoncft. Et

videsquod iili tres foli funt Cafus.Latus enim d c aCit fccat Latus c b,

vt Elementorum inititutoraccepit i aut in Signum c didit, vt in pC'

nulnma defciiptione: autrecatLatusae,vtinprxrentia(uppoTui'

mus. iuxtaomnes CafusTheorema veru effe oftcnfum eft, t nifi

quod duplex Trapeziorum diflerenda cum alia quidem ncutru

oppofitorum Laterum Parallelum habeant ,alia vero vnum vni , in

Trapezps,quae apud Geometram funt.in praefentique deferiptione

altera cfl Species . ipfa enim c e,ipC d b cfl Parallela.

Praecedens quidem Theorema eafdemBafes accipiebat, hocverd

xquales quidem ,diderentetautem abinuicem . Communeautem

ambobus eft Parallclograma in eifde fupponere Parallelis. Oportet

igitur ipfa neque intra (ubiciftascadere Parallelas reiffas Lineas,

extra . Parallclogramma enim in eifdem dicunturellc Parallelis,

clm Barcsipforum,& quae his ex oppoGto iacent Latera cildem Pa^

rallcliscoapuntur . Cfterum Elementorum quidem inftitutorcumBafes omnino feparatas furcepi(ret,Thcorema oftendit . Nihil aute

impeditiu etiam ipfas fuppolitas accipere, vtquandam corounem

habebantpanem . fint enim a b , c d Parallclogramma , fuper gqua'

libusBafibuse b, fdcommunem panem habmdbus,& in eifdem

Parallelis,dico quod aequalia funt . Connc^lantur e c,bgredae Li'

h nc(.

Oufl CIT

tres ioli

fint CjfiK

hui' T htorenutu

.

t . Rurfus

l]u6d

Nbta q<i*

Ptocliu

Tr»peiu,

8f Trape-

aoidea c6

muHi note

Trapt/ia

c« menteEuclidri

hicappel-

lauic. vide

et c6. I*.

Itb fccutli.

Tropo }(Jhco.ii.

Com. IO.

Comuni •

t2s,Stdif>

fcieiupr;

Inuit, &prpcedciis

Tbeore.

QuoPa--taliogra -

ma icirde

dical efle

Parallclu.

Reli^diiO

Caitiihui*

Tbeore

.

*4i I B R

'4J \ i

nex . Quoniam iginir ipfa e f, xqualis cfl ipfi b d , etenim BaGt e bBafi fd xqualis erat , fcd Latus e fLateri d g eft xquale ,& Anguluscf e xqualis Angulo g d ceigitur iplibg aqualis ell.ell autem *-

& Parallela ipH. Parallelogrammu

ergo e(l ipfum e b, habetque eande

Balimeum vtroque PatijiUelogra-

morum a b,c d,& in eifdem eft Pa-rallelis. Parallelogrammum igitur

a b Parallclogrammo e d eft gqua-

le . Si quis autem neque communetn habentes partem ,ne^ a fe in-

uicem feparatas Parallelogramorum Bafes fupponat , verum quedroIumreliquumeftfeinuicemtangentesinvnobigno,vtinPai^lo

logramis a e, cd, dicemus quod Balis .

b e, Bafi ef,& Lateri c d eft aequalis

.

Quamobrem & re<flalineac b, retfix

Linex d c xqualis, & Parallela eft

.

quxenim xquales,&: Parallelas con-

iungunt.xquales&ipfx, Parallelf’cjj

funt. Parallelogramum igitur eft ip-

fumbd.SfeftfupereifdcmBafibus,/,—triu h iiuj &ineifdcmParallaleliscumip(is cb,

fm,8rpri de Parallelogrammis. Aequalia ergo funtcb.dcParallelogram-movitimi. ^a. Atnos quidem iuxta primam notionem Theorematis Con-

^

ftrucfHonesdiuilimus cum dicebamus Bafes aut communem habe-

Lici partem ,+ aut tangere tantum fc inuJcem

, aut a fe inuicem diftare.

Fieri autem poteftvtquanuisfefe tangant quemadmodum ipff be,

tmfciau»- C f , totumd e ParallelogrJmum extraLatusce ilipponatur^v^elce

Latus congruens ipfi a c retflx Linex,vel Laiusc c fecans Latus a c,

v^l. Latere ac produifto vlque ad Signum h Latus c c cadens tan-

quam Diineticns Parallelogramraihe, quando bfd f Latus idem- fucritcumre^laLineaaf, vel ce Latus fecans Latus ah, vel ah La-

- tere produtflo yfque ad k Signum Latus c c cadens extra Signum h«

Latus d ffecans Latusah * velcongruens

'

‘o>*

*

n.

,

.n:. . IT'.

T’ • '"fi • . Fran- :

d.

k d

(ii V A R T V S

8 V I 0 ;;

ZZ7'

'

• »-f.O '

-turr; ;io »•.

*H M! it MI.J 1 .

^rr>i '• !"=

t!' JOO'>?=:. .

tfi ; , ^i’r; ;.il

'3q ’ o ni, V

• lu ir;’) I .. .

^ -r »

'

-i!'

‘

'li

t’ •i:'t

• ;;t I

'S : ri.Mt « f

; >

f . > > • i

5h' .

•. .. -j V

. .: ^ t f

t

«

.

Fraiv

iC'- -XJ by

J. I B E R

Scbolia

Piiiifin

Cila-m.

i+4

FRANCIS CVS"" B A R O C I V S

IECTO\eM.

I G tibi animaducrtendum ell candide Le»<ftor, quod prxfcns decimum Procli commen'tarium imperfL(fKim a nobis repertum cft inomnibus exemplaribus

,quae ad hoc vfque tem"

pus ad manus noftras perucnere . ideo quale fc (e

oiTcit,ulc in ordine fuo imprimendum c(Ie

cenfui,ne.tclatcrept pauca ea

,quxin torepe-

riuntur . V t autem clare eius imperfttftioncm cognofeas , nonnul'

la funt mihi percurrenda, quibus cunfta, quxin eo continerentur

fi integrum efllt, paucis completTtar. Ciim itaque Proclus nofter

primum communitatem ,atque differentiam pra-lemis

,prxee^

dentis Theorematis tradidiffet, docuilTctqi e obiter quomodo Pa-

ra llelogramma in cifdtm dicantur cfle Parallelis, more fuo ad ex-

ponendos Conftrutftionis Cafus fc fc accinxit. Cafus autem (vc

apud eum videre potes )tresin vniuerfiim,& iuxta primam animi

notionem fc fe nobis offentnt , ^ quorum numero vnus quidc cft ille,

quem Euclides in fuaConftrucTpne fufccpit; reliqui vero duo fune

r),quos Proclus declarare fibi propofuit. quos fan^ clim dcclara-

ucrit ,Sc oftenderit quod Theorema vniucrft in his tribus Cafi-

bus veritatem nancifeitur ftatim qupd erat confiqucnttr expo-

nendum adiccit ,horum,nempe triun!» Cafuum Diuifionem vni

cum Theorematis in omnibus Cafuum partibus Dcmonftratio.-

ne. Verum Diuifio quidem talis cft. Quum Parallclogrammo^

rum fuper xqualibus Baiibus , in cifdemque Parallelis exiften-

tium tresfint Conftru<ftiohis Cafus,&*'Bafes'ipforum aut omniho

i fe fc diliumftx fint ,vt Elementorum inftitutor fuppofuit : auc

in vno tantum Signoxoniuntftx,vt Proclus in (ecunda fua dcfcii-

ptione : aiir qpahdam habebantpartern communem , vt idem in

prima,quilibet adhuc horum trium Cafuum feptem habet partes»

nam'». 1. . 1 s u

1

't

ll

i’

ll*

ut

b«'

X'

VI

ni

Ut,

]nt

n-

ifi-

»•

ni

j"

y

y

10

(

/

D

*o. ,

II

6 '

. :

.n" .

Q^V A R T V S.

c* J S f> e i

»4-f

5 f /I •

4 c £

1 «5 iL & <>

nam fi quidem communem habuerint partem.vt exempli gratia ip(f

a bcd Latera fan^ hifcc Bafibus oppofita.quf fint e f,g h,aut ita a fefe

diftant vt quodam interea iaceat intcruallum, ipfiim fcilicct fg : aut

in vno tantum Signo , inquo coincidunt etiam Signa fg : nempe in

Signo fconiun(fiarunttVtipfacf,fh:autquandam ha^nt partem

communem , vt putaipfam g f : aut fibi inuicem congruunt, lunc

Signa g h coincidunt cum e rSignis : aut Produtflo Latere e f,& po-

lita Linea k cxquali ipfief, Latusgh communem habet partem&cum Latcreef>v(ipfiuneh,&cum Lincake, V'ipotc ipfamgc:

aut

LIBER

-nrr: ^ ff;; II'

' ST^it, ? bidr.

• r/lt'fii'**

Si ver6 penitus a Ic fe diiiuniflx fuerint, vt ipf* a b,c d.Latenpom5e f,g h, quae hifcc BaGbi» ti regione funt, aut 8c ip fa a fe fe diftant in-

tcrual'

aut totu Latusg h cadit fuper tota Linea k e, t^tque Latus e fin Si-

g no e tantum,& tunc Signa g h coincidunt eu iplis k e Signis: aut pro-

Uj(fta rurfus Linea k e,

pofita Linea I k xquali ipfi k e, Latusg h

parte habet comunetn 8c eu Linea k e, ipfam (alicet k h,& eu Linea1 k,vt ips3 g k,& tunc Latus g h diflat i Latere e f,ip(b h e interuallo»

\

Digrtized V'/

"

I(

1»

'I'

u

h

d

C

#

V A R T- V S. :i47

Kruallo fg : aut in vno dumaxat Signo fc fc tan^nt, videlicet in Si'

gno f,cum quo etiam g Signum tunc coincidit: aut quandam habent

|)artem communcm.vtputa ipfam g f : aut Latusg h cadit fuper La^‘

'

tere c f,coincidendo Signa g h cum c fSignis : aut produtSo L atere

^e f,& pofita a;quali k c Linea ipfi e f

, Latus g h comuni fhiitur parte

tum quidem cum Latere t f.ipfa fcilicet e h,tum ver6 cum Linea k c,

nempe ipfa g c : aut L atusg h congruit Lateri k e, &T Signa g h eade

Cint cum Signisk c,tangit ‘cp Latus e fin Signo e duntaxat : aut pro'

dutfia adhuc Linea k e ,fif pofita aequali Linea 1 k ipfi k e , Latus g h

communem fonitur partem ipfam quidemk h cum Linea k e,ipfam

vero g k cum Linea 1 k , tuneque Latus g h a Latere e finteruallo h c

didat. Si autem in vno tantum Signo coniiindac fuerint, quod re'

liquum eft,Septem iterum modis Cafus ipfe varietatem fufeipit

.

Veruntamen quoniam varietatem hanc apud Proelii ipfum videre

potes,in fine chim Diuifionis huius Cafus comentarium deficit ,ideo

in ea non amplius immorandum arbitror Talis quidem eft Diui'

fio Cafuum, quam aggrcfluseft Proclusnofterin prpfcriti commen'tario,in quo non cxtac tufi Cafus illius Diu fio,qui Bafes xqUales Pa'

rallelogrammorum in vno tantum Signo coniuntffasfupponit : rcli- i ii.r,o.

quorum autem duorum Cafiiudiuifioncscum Dcmonftrationibus

Theoirematis in Singulis Calibus defiderantur,forfan cum quadam

etiam pulchra oonfideratione, aut documento in fine comentarii,vt

autorismosed . multa enim pulcherrima ab rjs, qui ingenio valent

cx hoc, pnrccdentiqfie Theoremate colligi poliunt,qux ad vniucr-’

fam Geometriam maximi conducunt . Verumcnimucro de Diui-

fionc quide hfc fufiiciat. Demodrationes autc prpfentis Theorematii

iuxta lingulas Cafuu partes tu quia fadlesfunt, tu brcuitatiscaufa in

pr^fentia lilentio inuoluam . aptior enim erit locus in commentarqs

nodrisdifKifius,'& lingillatim easexaminare. Hfccrat mihi dicenda

leider beneuole de imperfeifiione huius comentarrj,quod li aliquan'

dointegrum ad manus meas peruenerit vna cum fequentis vndecimi

cdmentartj principio,quod etiam in omnibus exemplaribus impet'

ie<dum cd, te panidpem facere polliceor

.

1+s LIBERI oiiiuoi huiut CormiKiirarii Defidcrinir

.

* *

Com. ti. # afRrmant . arqualibus nanque illis cxi/lcntibu8,Spadainfqualiai

6C inpqualibus, aqualia oAcnduntur . Talcaute quid Chorographichorop» p^-rpcsli Itini V rbiu magnixudines cx Ambitibus rauodnantcs. OlJjcinitw . vero quidam poilcslionum participes in duiihone eos,quivna cu ipOg

diuidcbacdeccperuc, quippe qui Ambitus cxceflitabuli runt,pluta't|t

lumpfLruntcumperagratcscam rufcepillent poflcslione,qu^ a raa«

tom.i. iori Ambitu continebatur : Aream autem ciim in quaedam Spada,'

qu£ minori fruebamurambitu immuuHent,optimi cxUlimaiiiucrc»

. . .iiM

o

j'.,o

RX*; TJ

duobus enim fquicruribus Tri Sgulis proponiis,quorum vnum qui-

dem vtrunque xqualium Laterum habet quinque, BaCm veto ft-sc

eorundem: alterum autem, vtrunque quidem xqualium Laterumquinque, Balim ver6otflocorundem,verbi graria cubitorum, aui di-

gitorum,magnoperc horum rudem in cletfbone decipiunt . nam hocquidem Ambitum octodecim habet, illud vero redeam earundimmcnlurarum . At Geometricus vir non ignorabit quod Spatia fqua^lia funi,quanuis Ambitus inaequales fuerint . vtrunep (iquidem duo-decim elt . fi enim a vertice Perpendicularem duxeris

, bihuiam quirdem Barcsdiuides,cfhciefquc in altero quidem trium,in reliquo verd'

quatuor Baiis dimidium : ipfam autem Perpendicularem ^contra-

rio,lUic quidem quatuor , hic vero trium . oportet fiquidem quod i.

Quinario ei, quod a Perpendiculari, atep ei,quod a Bafis dimidio fit

efle aequale . V enim fi hoc quide trium fuerit. Perpendicularis qua-tuor : &T fi hocquatuor,tlla profeAo trium erit. Ciim igitur Perpen-

t diculari Bafis dimidium multipiicaueris,

quod Trianguli Spatio

cftacqualc habebis, hocautemiuxta vtruncp idem efifiue Ternarioixbis. Quaternarium , fiue Quaternario ternarium multiplicaucris . H*c

quidem duTta funt ad ofiendendumquod Spatiorum aequalitas noaomoi-

/

T'rop6. j»Tbco. >t.

a V A R T V S. 14-9

omniiiocx AinbiiibusaccipicmJjcft. ncadmircmur ficuTriangu-

la.qux fupcr eadem Bali funt,iuxca reliqua Latera intra cafdcm Pa-

rallelas in infinitum augeri posfint , Spatiorum tamen xqualitas im-

mutabilis manet, lllaautun Triangulaincifdem Parallelisdicenda Se

funt,quxcunque fuper altera Parallelarum Bafes cum habcant,in re-

liqua vertices figunt . 8c quorum Linea ad vcnices connexa, vna rC'

<fla Linea efl,& Bafibus Parallela fuper eade rcifta Linea iacemibus

.

PRxfens quoque Theorema locale quidem eft,quippe quodPa- com. i».

rallelogrammis proportione refpondet,& Triangulorum fitu fuper

squalibus Bafibus fupponit. Videtur autem mihi Huclideshorum

quatuor Theorematum,quorum duo quidem in Parallelogrammis

odcnfa funt,duo vero in Triangulis: 8c alia quidem eadem exiftente

Ba(i,alia vero Bafibus gqualibus exiflentibus.vnam Demonftraticv ^nem in fexto libro per primum Theorema tradere, latcrcque vulgus

cum hoc fecere . ciim enim hoc oftcdat,Triangula,& Parallclogra'

ma,qu® fub eadem funt Altitudine , eandem habere inter fe ratio^

nem,quam habet Bafes, nihil aliud quam hxc omnia magis vniuerft

cx ipfa Proportione demonRrat. eadem nan(^ Altitudo nil aliudeR

nifi in eildem e(fe Parallelis . nam Figunc omnes, qup in eifdem funt

Parallelis, fub eadem Ahitudinefunt,&contri. Altitudo fiquidem

cR Perpendiculaiis,qu® ab altera Parallela ad reliquam fe extendit . Figuriru

.

Illic itaejj per Proportionem oRcnfum cR quod ita fe fe habent Tri'

angula,& Parallelogramma, qup fub eadem funt Altitudine,hoc cR

qux in eifdem fita iunt Parallelis, vt Bafes,Sf aequalibus exiRcntibus

Bafibus, aequalia funt Spatia: & dupla, duplis:& aliam rationem

habentibus, eandem habebunt Spatia inter fe rationem . In prae^

fentia vero quoniam non decebat Proportione yti eum,qui nondumde ipfa docuit,contcntus eR squalitate fola,atcp identitate . ex squa^

litate enim identitas Bafium colligitur. In vno igitur illo quatuor hpc

Theoremata comprehenduntur . non fbliim quia vna DcmonRra'

tioneoftenditquscuncp in hifce quatuor concinentur, verum etiam

s quid addit,idendtatcm vtic^ rationum,quanuis insqualcs .

i Bafes**

quia'*'plu

LIBERBafcsfucnnt- Harcdehis. QyodautctnhocquoqjThcorcmamuL

Th[ore”* habct Ofus ,quodq^ic fieri poreftviTrianguloruin Bafes aut

eandem partemhabcntesfuraaniur, quemadmodum in Parallelo^

grammis: aut nulla quidem communi parte firuemes , iuxta verd Si-

gnum vnum fc fc contigentes : aut etiam omnino feparata; ita vt in-

ter ipfas Linea fit, manifeihim eft ijs etiam, qui paululum intelligero

pofliint. & quodiuxtaomnes Cafus vtcunc^ Bafes ntashabcant,auc

.V erticcs.eadcrn via eft. Parallelas nempe Lateribusduccre,& iacC'-

TC vtruncjj,Triangulorumque tcqualiutcrnoftendere

«

grammis, duo vero in Triangulis fufeipientes , aut fuper cifdem, aut

iuper aequalibus iacentibusBafibus. Nuncautcmconucrtcntcs,qu{

perquam <iu*dem in Parallelogramrais Conuerfa funt prgtcrmifimus,quae

Conucrfe veroin Tnangulis,mcmoria digna cenfuimus. Caufavcrd,quonia

Propinis* Tnodus quidem Dcmoftrationis idem eft in illis etiam indiftcrentcrj

tu aj Eu- Dedu<ftionem ad imposfibilc,fimilemque Conftrudioncm .c5-

Prodo^ twiui autem lumus cuminumpl^ionous, i nanguns inquam^viam

oftenderimus.rclinquere iis, qui magiscurioG funt,in caneris quoque

eadem ratiocinari, quandoquidem eandem inbis etiam efie viam fit-

cileeftnmulagnofccre « nam cum acceperimus xqualia Parallelo-

gramma fuper eadem Bafi,autedam fuper aequ^ibus,dicemus quod

ineifdemquoquefunt Parallelis. Si enim non funt, aut alterutrum

eoru intra cadet produftisiis,qu^inalterofuntParallelis,autextri.

vtcunque autemeociderit, cdm acceperlmusillud ,& quae in eo funt

Parallelas, oftendermisquae in Triangulisetiam oftenduntur.quod

vtique Totu fuac parti eiit aequale . hoc vero fierinon poteft . QuodIU. autem iur^ Elementorum inftitutorparticulam illam addidit [ & ad

eafdempartes manifeftum eft.nam fieripoteftvt fupereadem Baft

aqualia Triangula fummantur,vnumquidem ad ha{cepartcs,altcru

vero ad alias ,attamen non omnino in eifdera hxc funt Parallelis

.

neque enimiub«adcm Aluuidine funt . Hanc igitur proptcreaadie-

Propo.JJTheo. >9.

a V A R T V S. Xfi

cit particulam. Cum autem dupliciter Parallela ipfaduci posfitiu'

xta abfurdam ruppolttionem,aut intri, aut cxiri,iprc quidem Eucli^

des imri eam duxit : nos verd excri ducentes , eadem oflendemus

.

Sint cnimabc,dbcTriangulaaequalia fuper vna Bafi , ad eaC*

demque pane8,dico quod in eiC'

de funt Parallelis,& qug ad ver-

rices ipforum connexa cft reeSa

Linea,Baliefl Parallela. Cori'

neAatur a d recfla Linea . Si aute

hfc Parallela non eft, fit qug ex^

na hanc iacet,ipfa nempe a e,&producatur ipfa b d vfquc ad e

Signum,& conneiflatur ipfa c c.

Aequale c igitur Triagulu abeTriangulo ebe . Verum Tri-

angulum ab c gquale eftTrian-

gulo d b c .’ Triangulum ergo c b cTriangulo d b c cft aequale, pard

Totum. Athocfierinonpotcft. non igitur extra ipfam ad.Paralie

la cadct.Oftenfum eft autem quod neque intra,apud Elementoruminftitutorem . Ipfa ergo a d ipfi b c Parallela cft.ln eirdem igitur funt

Parallelis xqualia Triangula, quaeque ad cafdcm partes , & fuper

eadem Bafi funt . Dcmonftrata eft itaque reliqua edam Dedu-Aionis ad imposfibilc pars . Adnotatu autem dignum cft quodTriplexcdm fit Theorematum Conuerfio ( aut enim totum ad totu

conucrtitur.quemadmodum o<ftauumdccimum,&rnonumdecimumdiximus: aut totum ad partem, vt fextum , &quimum:autpirsadparte,vt oftauu,& quartu . non enim totu in altero Datu.Quffitu in

altero cft ; nec Quffitu,Datu,fcd pars ) videntur talia efic hfc quocjt

Theoremata in Triangulis . erat fiquidem Qpxfitum in przceden-tibus,Triangula pqualia eflc,hoc autem non folum in his Datum eft,

quippe ciim partem infuper (umpferit cius,qu* in illis erat fuppofi-

donis . hoc enim, fuper eadem efle Bafi,Vel fuper aequalibus, cum in

his,tum in illis datum cft, praeterquam quod in hiftc fuppofitionibus

quoddam adiecit,quod quidem nec Qjixfitum , nec Datum in illi»

erat.particula enim illa C ad caldera pane» ] cxtrinfccus infuper

(uitalTumpu.

Aequa-

Reliquus

abfurdx

r.ippofiiio

ou Caluj.

Noetniu.

Triplex

CSiierlio-

nu diferi

da.

LIBER»f

«

Fr«^Q.4•Tfixv>.jx

*"

ESt&modus Conucrfionis idem in hoc ,& Demonflratio (imiliF»

&qufab Elemetorum inflitutorc Dedu(fHonisad imposfibile pne^.

Tres jai- termifla cft parseodem modo demonilratur,& no cft opus cadere- .

fioor«,rt petere. Ciim autem triahxcfint in di(frisPropofirionibus,fuper*--

«qualibus, veleirdcmeflTc BaGbus:in cifdem Parallelis :& arqualiaLaTiieo. Xriangula,& Paralltlogramma.manifcftumeftquodduofcm'

per contexentes, vnum vero relinquentes, varieconucnimus. auc

enim Bafes eardcm,vcl xquales (iipponemus, in cirdemque Paralle-

lis Triangula,&f ParalleIogramma,&T faciemus quanior Theorema-

ta : aut xqualia ipfa fufeipiemus,& Bafes eafdcm,vcl xquales,& £i-

ternus alia ouatuor, quorum duo quidem omiGt Elementorum in-a I j.ar>c * r • r> M • ^ i

fiMt 40. Intutor ,ca nempequae luni in Faralklogrammis, reliqua veroduo

offendit , ea porroqux inTriangulis funt ; aut &Tcum xqualia fum-

pferimus,& in cifdcm Parallelis, reliquum offendemus,quod vticp

Vel lupercifdem funt,velfuper xqualibus Ba(ibus,& faciemus alia

r<*a quatuor.qux fane omnino etiam dimiGt Elememorum inffhutor. in

— 'r IlVotianque eadem eff Demonffratio ,

nifiquddduo ex his quatuor

1’ nt fia per fc vera non funt . non enim aequalia Parallclogramma , vti Tri-

jlJa ' angula,S^ quf in cifdc funt Parallelis,ncceflari6 fuper cade Bafi funt.

Icd totum hoc,in hifce fuppofitionibus verum eff,quod fuper eifdetn

funt Bafibus,vcl fuperaequalibus, alterum autem non omnino fum-

pias fuppofitiones confequitur . Qjiaprc^cr ciim decem fineom-nia hxc Theoremata, Sex quideGeomara perfcripfit,quatuor verd

prxtermifit,nerurfus eadem ratione fniifn laboret,cum eadem fijC

Demonffratio . offendatur enim

l;r.ic!iqua irt Trianj^ulis quod fi xqi^ia fue-

rint,in ei&emque Parallclis,aut fu-

pereifdem,^t fiiper aqualibus Ba-

fibuserunt . no fintcnim.fcd fi fieri

potefffintabc.d efTriagula,qux

hoc modo fefe habeant in Bafibus

inaequalibus,ipftsfcSicetbc, e f,&

I

a V A R T V S. if»

fit maior ipfabc ,&abfcindaturbh,qux fit xqualis ipR e f, connc-

^taturqiic ipfa a h . Quoniam iia<^Triangula a b h,d c ffupcr ^qua^

libus funt Bafibusipftsb h, c f,ineifdemquc Parallelis, aqualia vticp

funt. Atipfaquoqucabc,dcfTriangulafuppofita luiuaqualia.

Triangula ergo a b c,ab h xqualia erunt,quod fieri non pottft. J^^on

funt ^tur inxqualcs ipfbrum a bc,d c fTriangulorum Bafes . klcm

autc dcmonftrandi modus in Parallclogtamis etiam erit . Cum itaqp

& via oftenfionis eadem id,quod fieri non potcft,ide,qu6d fei-

licet totu fufparti eff fqualc,Tion Imeritd ab Blemcntoru inifitutore

prxtermifTum fuit . DitSum cft itaquequdddecem ncccflarid funt

Theoremata , & qux fintea, quf prftermifla funt ,

quxquc fit ho-

rum reticentix caufa. Venhntranfcamusadea, qux poA hxc con'

fequuntur-.

rfopo.4>

Thco.jl.

HSt quidem prxfcnsquocp Theorema locale, mifcet autem Trian'^ ^

gulorum , &r Parallclogrammorum confHiutiones fub eadem Alti'

tudinciacentium . Quemadmodum igitur Parallelogramma fecr'

fum perfpcximus ,itemqueTriangula , ita cum fimul etiam vtraque

fumpferimtis idem cum illis perpefla, quam habeat inter fc rationem

contemplabimur. In illis igitur xqualitatis apparet ratio, omnia fi'

fjuideminterfe funt xqualia quf fupcr eifdem funt Bafibusfiue Tri'

angula ,fiue Parallelogramma, in cifdcmque Parallelis . in his verd

primainxqualium rationum ipfa nempcdupla offenditur. Paral'

logrammum enim Trianguli duplum effe demonffrateadem Bafi^

cademque Altitudine exiffente. At Elementorum quidem infli' cafuthui

tutor ciim Trianguli Verticem cxtraParailelogramumfuppofuerit,

Propofitum offendit . Nos autcmcum in altero Parallclt^ammi

Latere,quod communiipfbrum Bafi Parallelum efl , eum fumpfai'

mus ,idc demonffrabimus . duo fiquide funt hi Theorematis Caftis

.

Quandoquidem eadem ambobusexiffente Bafi, aut intra ParallcIo'

grainum Vcnice habere Triangulum ncceffc eff^autextra. SitigU

turParallelogramuabcd,/&ccdTriangulum,&ponaturSignum

e inter a,& b Signa, connccffaturquc adrc^ Linea. Qponiam itatp

Paral'

(iv A R T V S. »rr

exifbcnti bus, quae etiam ipfa coniungunt, Parallela erunt . Si igitur

Triangulum maius Latus Bafem habuerit , minusquam dupluTiv

anguli Qyadrilatcrum erit : Si ve«

fd minus,maius. Sitenimabcd

Quadrilatcrum, (itque minus La^

tus a b Latere c d ,& producatur

Latusabininlinitu,& Triangulu

c c d eandem habeat Balim cumQuadrilatcTo,ipfam nempe c d,

ducaiurquc per d Signum ipli a c

Parallela.quf fit d f . Duplum eft igiturTrianguli e c d ipfum a cd f

Parallclogrammum . Quare a bcd Quadnlateru minusquam du'

plumcU. Rurfus habeat Trian-

gulum Bafim a b , ducaturque ipfi

ac Parallela b f.Parallckgramum

igiturabfc duplum eft Triangu-

li . Quapropter Quadrilatcrum

ab cd maius quam.duplu eft. His

itacp oftcnfisdiciraus quod Qua-drilatero exiftente

,cuiusduo tan-

tu Latera cx oppofitoiacctia funt

Parallela, fi quidem ab altero Parallelorum Laterumbifariam difife-

Aoad reliquum teAac lineae dudfacfucrint, cius, quod fit Trianguli

aut maiusquim duplumQuadrilatcrum eft , aut minus . Si vero ab

altero comm Laterum , i quibus Parallela coniunguntur Latera bi-

fariam re<flo,ad reliquum redae quaedam Lineae ducantur,cius,quod

fit Trianguli duplum omnino Qjudrilaterum eft . Hoc ergo often-

datur . Sit porro Quadrilaterum

a b c d , fitqfie in ipfo Latus a d La-

teri c b Parallelum , 8c fccemr bifa-

riam Latus d c adeSignum , Sc co-

nedanturac.ebredae Lineae,

&

producatur ipfa b e , <oincidatque

cura Latcrea d ad Signum f. Qyo--

niara ittcp Anguli,qui funt ad c Si-

gnum aequales funt, ad Verticem

enim iacent ,nccnon Angulus fd c

Angulo b c c eft aequalis,Latus etia

fc Lateri e b erit ^quale,& Tnangidamd c fTnangolob c e aquale»

Com-

fa }}.Pfupoiie.

Pulihcrri

ma Tna-guli ctiin

Trtpcnof'

fup

eiHePa-tillel» (6pauiio

.

onuyautJPcadic ctia

iicr Paral

Iclogram

mii.S; Trapcziu fup

cade Bau,

& ieifdcfli

Parallelit

coparaho

i' qua dicc

duin C6-mentariis

nfis . oia

aut hfc ve

raiuc Sci

Bafibus;-

qualUi*^ru^; coucr

fa ,fi coue

niciib* oio

du fiant.

ComparalioTnan»guli rumTrapenofup cade

bafi no la

cifde Pa-

rallelis,

Icdcuqua

da aba c6

ditioc . Se

hncclli)d

Proclui •biter odedic.

x^6 LIBER.Commune apponatur Triangulum a d e .Totum igitur a e fTril<-

gulum duobus a d c,b c e Triangulis cfl aquale. VerilmTriangulu

acf aequale cflaeb Triangulo, nam fuper aequalibus funt Bafibus,

hicadfi- iplis nempe bc,ef,ineirdcmque Parallelis, HreliquadutfVa fuerit.

nu'foni" ^riangulum igitur a c b aequale cftTriangulis a d c , b c c , Qua^fc Pr<Kij drilaterumabcd duplum Trianguli aeb, quod erat oftendendu.

"b aliquo Eodem fanc modo oHendemus quod fi etiam a Latere a b bifariamaddita. ad Latus c d quaeda rcftae Lineae ducantur,eius,quod fit Tri^

anguli duplum Quadrilatcrum eil. Si ergo ab altero Laterum,a quLbus Parallela coniunguntur Latera bifariam fecfto ad reliquum retftae

<.quxdam Lineg ducantur,eius,qu6d fitTrianguli duplum Quadrila-

terumeft. Haecquidcmexcrcitationisgratiafintdcmonflrata. Adea ver6,quac fcquuntur eundum nobis eft.

C

- > F R A N C I S C I B A R O C I I

Scholia ad Lciflorem .

Schalium

primum.

r” mxlccunOx Kropoliiioniscomen(arms,vnacu

r,,principio feptimidecimi defideratur, praeterquam quod legimus in

vno Colo exemplari quaedam verba,qux videntur quintudccimum

... commentarium reddere integrum ,incipiunt ibi C fi reliqua duifia

fuerit J vfcp ad finem comentarii, vt videre potes in Exemplari grac-.

co Bafilex impreflb , inquo verba illa non lcguntur,quippc qux ( vt-' arbitror) Procli germana non funt,fed abaliquo addita videntur ad'

,perficiendam Demonfirationeni,quamautor inceperat. Vodefand-

i,:. 1 ea cuiufmodi fc fc nobis grarce obtulerunt, ciufmodi latind reddidi-,

mus.quoniam re quidem vera Dcmpftrationcm abfoluunt,propte-

rcaqfic habendx lunt ei gratix,qui hxc addidit, quxrerc tamen hu-

iufcc comentarii finem, qui coftet ex propriis Procli vcrbis,dcfiftcn-

Priti» ri- dum non cft . Longiorem fiquidem eo,qui nunc extat fermonem

"®- Proclum in hochabuiHc commentario ccnfeo,primo quidem cA

quod quu fuperius tum in odauo Commentario,quod cft vltimunj,.

fccuncLo primi Elementorum panis, tum in nono,quod inter Com-',

menta-

O C rurfua in locoLctfior beneuolc filentioi'

prftcrcundum no eft,qu6d in omnibus ferc,quf

hucufcp vidimus exemplaribus maxima hic im-pcrfecftionem inuenimus . nam prxlens quidemquintufdccimus Comentarius liium verfus mu-tilatus cft, totus vero fcxiufdccimusquadragefi-

ci V A R T V S.

mcntarios partis tcrtif primas rcnct,nec fecudf parti terf ia conexirit,

nccp terof propofitu difcuflcrit,qucadmodu ftcit in pi incipio quani

Itbri.vbi porro cu in fine tertrj prima pane cpilogo tcrminaucrii,antc’

§ ad vigefimgfcptimf Propofitionis expofitione accederet, qup fccu-

dx partis principio firuitur.integruinterpofuit Capitulu.in quofccu-da primp annexa oftedit, quf‘9 in ea pertra^^iada ciat ab Elcmetoruinftitutore declarauit,hpc plane hoc in loco facieda erat,quippe eu inhocpotisfimiim Theoremate terti* partis Propofitum appareat. Atnemo cfl:,qui non videat, quod in fine quartidecimi Comentarii nul-lum fecund* partis fecitepilogum

, fed nullo intercedente medio ad^efimgquintf Propofitionis interpretationem fe contulit

:quod'<p

in principio quinndecimi nec hafee duas partes inuice colligauit, necpmentionem vllam fecit eorum

,qu* ab Euclide in tertia tracflamur

.

quodnonabrefa(ffumexi(b'mo . cum enim haud fine caufa Proclusnofler in quatuor dumaxat libros fua in primum Elementorum Li-brum Comentaria diuidere voluerit,non potuit inttr quartudccimu,

& quintumdecimum Comentarium h*c facere,ne Comentariorumperuerterct ordinem , 8c quodamodo cuiufdam quinti Libri initium

faceret. Opamobrem reliquum eft vtinfinequintidccimibrcurtcr

tum iftatum partium continuationem, tum vltim* propofitum teti-

gerit.nccjj a Comentariorum ferie diucrtcndo.nec quadripertitam li-

brorum diftributioncm labefaflando . Hac ergo prima quidem ra-tione perfpicuum nobis eftquod pr*fcns,dc quo loquimur Comen-tarius prolixiorem ea, qu* in ipfo rcperihirorationem continuerit.

Secundd vcro.quoniam digresfionem in materia pulcherrima, diffi- secudan

ciliqucaggrefius eft, quippe qu* pluribus indiget verbis ad omnes ''®'

ipfius materi* partes explicandas.quum enim Euclides hucufcp Pa-

rallelogrlmum Parallclogramo,& Triangulum Triangulo,& Pa-rallelogrfmum Triagulo fuper eadem, aut fuper gqualibus Bafibus,

in eifderaqfic Parallelis comparauerit,itidem Proclus nofter,qui paf-fim in Comentariis fuis vtilitati ftudentium confuluit,hic quoqueexcrcitarionis noftr* caufaTrapeziumTriangulo

, &r ParallelogrI- ^ i-

mo ,iicmquc alteri Trapezio fuper eadem, aut fuper xqualibusBa-

fibus , in cifdemque Parallelis comparare fibi propofuit . Trapeziuinquam illud

,quod proprieTrapeziu a Pofidonio

, &r i Proclo vo-c«ur,quippe quod duo tantum habet Lacera Parallela, nam Trape-zoidea

,qu* etiam Trapezia Euclides comnni nomine nuncupauit

nullam hab« Parallelarum caufa pasfionem,nec in eifdem ede pof-fitnt Parallelis,ciim Latera Parallela non habeant . nec eft valida ra-

k do

Refp«nfif>

ad racita

«jiedio -

oem •

Qu» dc“

fi it n di-

grcsfi nc»

Bc lii Huc

comciKi-

rii.

1/-8 LIBERlio hxc in Triangulis, quoniam alio quidem modo Figurae quadrila^

terx limul.S^quadranguIx.alio vcrotrilatcrf incifdcm dicuntur cflc

Parallelis. Quare Proclusipfc priusquam Traptzrj cum Triangu-

lo, vel ParalLlogramo, vel alio 1 rapcsiocomparationcm efficeret,

declarauii de quo Trapezio fit ei fermo , nem pe de eo, quod proprio

nomine Trapeziu appellatur, poftea incepitcompararc Traptzium

Triangulo fuper eadem Bafi,8c in eifdem Parallelis

,qua compara-

tione fa<5la, antequam eadem fuper xqualibus Bafibus,in cifdemque

Parallelis inuicem compararet ,voluit obiter Trapezium Triangulo

fuper eadem Bafi,&r non in eifdem Parallelis,fed eu alia conditione :

nccnon fuper xqualibus Bafibus ,non in eifdem Parallelis, fcd cum

quadam alia conditione comparare . Atfincm verfuscemparatio-

tionis.qux fuper eadem Bafi non in eifdem Parallelis cum conditio-

ne bipertitf Lateris,quod cft Bafi oppofitum fctfiionis fii,comenta-

riusdeliquium patitur ,deeftque primum quidem comparatio Tra-

pezti adTriangulum fuper xqualibus Bafibus,non in eifdem Paral-

lelis, fedcum hac conditione qudd Triangulum folum in duabus fit

Parallelis, quarum vna cada t fuper communi eorum Bafc ,altera fc-

cet Trapezii Latus,quod cft Bafi eiusoppofitu tn duas partes xqua-

les: fecundo vcrdTrapezq ad Triangulum fuper xqualibus Bafi-

bus,in cifdemque Parallelis comparat io : tertio autem ,Comparatio

Trapezii cum Parallclogrammo fuper eadem ,vel fuper xqualibus

Balibus, in eifdem Parallelis: quarto denique,eadem Trapczr)cu

Trap zio comparatio: quint6dcmum,&: vltimoprxtcrquandam

fui moris pulchrit in fine cdmeniariiconfidcratione ,aut doeumemu,

deeft procul dubio fecundx.atcptertix primi Elementoru libri par-

titi continuatio, necnon eorum, qux in tertia ab Elementorum in-

ftitutore pcrtratftantur breuiscommemoratio . Hxc funi ea, qux in

prpfenti comentario iudicio meo dcfidcramur,ibi [ in cifdemque Pa-

rallelis ] quanuis aliqu's Procli ftudiofus manu inicccrit, poftrema'cp

caru,qup nunc extant in eo Demonera perfecerit, aedemu ita comen

tariii cpilogo concluferit,vt integru videatur. Veruntamen posfibile

etiam cft qj cuncui quidem hxc,cjux addita videntur Procli Icginma,

fynceraque fint, deliquium vero comentarti incipiat poft illa verba

[ Tnanguli duplum Quadrilatcrum cftjquodqiie verba illa iHxcquidem Bic. ] qucpoftrcmufortita funtlocum,fint totius comentarq

cpilpgus. Aut fortaflTcctiam fieri poteft vt defetfhts in duobus fit locis,

primum ibi iQpadrilatcrueft] deinde ibi [fintdemonftrata] ita vt

verba illa E Hxc quidem 1 Cm epilogus- digresfionis , illa auteti)

E ad ca

CI V A R T V S. Xf9

t ad ca vcrd 8fc. ] fine pare cpilogi eorum,quae poft digresfToncm

dixi(Tct,ac deniep totius coraentarrj Aut inconueniens quoque noneft qu6d omnia ilia verba^quz incipiunt ibi C Hfe quidem ] vfquc adilla C eundum nobis eft ] fint totius digreslionis epilogus, fecunda‘cp

imperfeiftioBcfe habeat e eundum nobis eft hoc prius obiter adno'tato, quod ex prxfenti potisfimiim Propofitionc appara tertix pri-

mi Elementoru partis Propolitum,c5munis nempe TriSgulorum,Parallelogramorumquc contemplatio 3 (imilia. Vcrumcnimuc-ro vtcunque fc habeat ftudiolis iudicandum rclinquo,quos equidemhortari non ceftabo vt mecum qujrerc non dedftant quoufcp omnesProcli commentari] perfetTri , integrique reperiantur

, ne tanta,qux

in cis eft doiftrina pereat . Hxc quidem amice Ledlorimc dicenda

cenfui partim vt ca tibi verba oftendacm, quf in quodam exempla-ri grxeo ad huius comentartj hnem adieifta mihi videntur, ne fi ali-

quando integrumjV^el alita fc habere commentarium rcpcrias,ca meaddidiflr exiftimes

:partim etiam vtqux in ipfb defiderantur paucis

recenfcrcm,dc quibus alibi nobis erit accuratius pcrtraifiandum . Atde his hxc fufHaant

.

Commentarius Procli in hanc Propofitionem,qui edet in ordine

fcxtufdecimus defidaatur in omnibus, qux legimus exemplaribus,

effetque noftnim eam commentario illuftrare.vt Euclidis oido, attp

doftrina quemadmodum in exteris altis Propofitionibus,iueriam

in hac cluccicaet. Sed quoniam propofitum in prxfenria nobis eft

Proclum folu abf<^ alqs expolitionibus emittere , farius erit huiufce

Problematis interpraarionem aliis vni cum reliquis in Proclumnoftris expolitionibus edae . Nunc vero fatis fit adnotas fe quoddecft Procli tbtus fextuldecimus coraenurius,vt vnufquift^ difeendi

capidus,cuminucftigare conetur . atep hxcde his. Altius autem rur-

fus exordium fumendo palcrutemur dcfeifhim fequentis feptimide-

cimi commentarii.cuius initio caremus . Videamus igitur qux in eorcperiantur,vt de qs criam, qux defidaantur fentcnriam afferre pof-

fimus. Quu itaque tres quidem fim huiufce trigcfimifecundi Theore-

k a matis

Prop6' 4»

Pitb. II

Sch*Iium

fecudum..

riocanir I

>7-ciniS>

ririo.

Quf repe

riantur in

i7«c6m^rio*

Qnf Je

fimi 17

ComcQurio.

ifio LIBERmatis Cafus ncc plures.nccp pauciores,Euclides autc breuitatis gratia

vnum ex facilioribus fumpfcnt, in quo Theorema demonflrauit, Iu-

cidisfimus Proclus.qui vbi<^ fumma cura, &f diligciia vtilitati noftrg

ftuduit.hoc etiam in loco reliquos duos Conftnuftionis Cafus diluci.*

dare ,Thcoremaiifquc veritatem in qs demonftrare carpit

,quibut

Demortftrationibus abfolutis , cu pulcherrimo documento, vt ciua

moseft,C6mentario finem dedit. & h®c quidem funt, quae in com^

mentario reperiuntur .Qyonia autem ab expofitione Cafuum com^

mentarios fuos aufpicari minime confueuit,& quonia defunt quaedS

verba ad fententia, orationemque perficiendam ,iudicandu eft quod

non paucis initium verfus cSmentarius caret . At verba quidem.qu^

defunt ad complendum f;rmoncm,huiufccmodi forfan cfiTcnt C Vc.-

rum Elementorum inftitutorParallelograma,quf circa Dimetiente

- confiftunt inuicem coniunda fufcepit.fi quis autc infurgat dices quod

fieri poteft vt Parallelograma inuicem non coniungantur iuxtavnu

Signum, quodque porro Coplcmenta non (lint quadrilatera , opor.-

tet hunc quot^ ponentem Cafum idem accidens pcrfpicerc &(c. ] E«

vero, qux ante Cafuum expolitionem in comentarq principio dtli.«

derantur, fortalTe varia eflent . confueuit enim Prcclos \ bique ante.*

quam ad Cafuum interpretationem accederet ,varia in principqscO'

montariorum recenfere ,verbi gratia , Propofitioniscontinuationc,

& fpeciem.vtputa fi Theorema fit,an Problema, ctfi Problema qui-

dem,quale Problema,vtrum Ordinatum,vel Inordinatum,vel Mc'di u : vtriim Determinatura ,

an Indctcrminaiu : vtrum Abundans

,

an Diminutum: &r fi Abundans,vtrum Maius,an Imposfibile : &T fi

Diminutum,vtru Setflionem, vel PoGtionem , vel Conftitutionem,

vel Applicationcm,veI aliquid aliud id genus facere iubcat. Siverd

Theorema, cuiufmodi Thcorcma,vtru Elemcntum.vcl Elementa^

re,vel horum neutrum: fi Elemcntu,vtrum Simplex,an Compo^

fiiu : fi Compofitum,vtrum Complexum,an Incomplexum: & fi

Complexu.vtnim V niuerfale,an Panicularc: &r fi Vniuetfale,vtru

Prxcedens,an Conuerfum: & fi Prpcedens,vtrum LocaIc,an fenis;

& fi Locale,vmim in Lineis Locale, an in Supcrficicbus : & fi in Luneis,vtrum in Lineis planis , an in folidis : & fi in Planis vtrii in fim^

plicibus.an in miftis : &T fi in fimplicibus,virumin recflis,an in circu-

laribus : & fi in circularibus,vtru in Circunferentiis(, vel Semicircun-

ferentqs ,vel Scmicircunfcrentia maioribus

, aut minoribus : & fi in

miftis, vtrum in Helicibus, an in CilTcidibus : vel alqs huiufmodi:

Qyod fi m folidis,v'ttu in fphgrids,vcl in conicis, vel cylindricis , vcl

2^1CIV A R T V S.

fpiricls,vcl alius cuiufdarn fpedci : li in Sphxricis, vtputa in Hclid

bus ,vtriim Iphaerarum aequalium

, vcl inaequalium . & fi in conids,

vtrum in Hypcrbolis|, vcl Parabolis ^ vcl Ellipfibus, vcl Helicibus:

& fi in cylindricis,vtriim in Ellipfibus,vcl Helicibus : & fi in fpiricis,

vtrum in qs,qux fiunt i feiftionc Spinc Cominux, vcl Diuidux,

vel Implidtx, qug etiam varix funt . fimiliterquc fi efl Locale in Su-

pcrficicbus,vtrum in planis,an in folidis : & fi in planis quide, vtnim

in circularibus,rcmicirculaQbus , maioribus Segmentis , vcl minod'bus, trilateris

,quadrilateris

,gradatimque multilatcris : & fi in trt'

latcds, vtriim in xquiliteris, vel xquicruribus,vel fcalcnis :& fi in

xquicniribus,fiuc (calcnis,vtnim in rcdagulis,obtufangulis,vel acU'

tangulis : & fi in quadrilateris,vtrum in parallelogrammis, an fecus

;

&fi in parallclogrammis, vtnim in quadrangulis, parte altera Ion»

gioribus , rhombis , vel rhomboidibus : & fi in non parallclogram'

luis, vtriim in trapezrjs, an trapezoidds : fi in trapczqs , vtnim in

xquicruribus,an in fcalenis : & fi in multilateris,vtriim in quinquam-

gulis quinque Laterum, vcl fcxangulis fex Laterum , dcinccpfqfie in

infinitum : & fi in quibuslibet iHarum,vtnim in aequilatcris,& ^qui'

angulis ,vel in xquilateris

,fed non xquiangulis , vel in xquiangulis,

fed non xquilateris , vcl in non xquilateris, & non xquiangulis . Si

vero localein Supcrficicbus folidis fuerit,viriim in fphxricis, fpiricis,

tonids ,vcl cylindricis , vcl cuiufdarn alius fpccici :&fiinfphfricis

quidcm,vtruro in fcmifphxricis,vcl fcmifphfrica maioribus,aut mi-

noribus: fi autem in fpiricis, vtrum in fpiricis Spirx Continux,vcI

Diuidux, vcl Implidtx : fivero in conids, vtriim coni rciflanguli,

obcufanguli, vcl acutanguli : & fi in aliquibus illarum,vtriim in co-

nids Coni xquicruris.vcl fcaleni : fi demu in cylindricis,Vtk-vm in qs,

qu^ fiunt j drcuuolutione Lateris Quadranguli,vcl Partcalteralon-

gioris : & fi in qualibet illarum, vtrum Cylindri xquicruris, vcl Sca-

leni. Pollhccconfucuit ProclusconfcqucnterExpofitionem Theo-

rematis aggredi,& declarare qux fit cius Suppofitio, quodque Con-

fequens : necnon quod fit cius Conuerfum, quifquc Conuerfionis

m^us,vtnim iuxta Prxeipuam Cohucrfionem, an iuxta ?am,qux

non Prxeipua vocatur:& vtnim totum ad totum conuertat, vcl

totum ad partem , vcl partem ad partem : quot prxtcrea Propofitio

conditiemesiuxta Geometricam diligentiam habeat:quis fiicrit cius

inuentor: vtriim fitaliqua contra eam inflantia,

quomodo fit ei

occureiidum : ac demum qux fit cius Conflrudio ,& quotmodis ab

«Iqs Mathematicis Confhuatur^ati^ dcmonllretur, vtnim per De-monllra-

~ L> I B E Rmonftrationcm direcftam , an per Dedu(fHonctn ad imposfibilc

:

vtnim in vnico Cafu, vel in duobus ,vcl in pluribus veritatem natria

Ht :& ex quibusmedrjs demonftrctur.vtrum ex primis prindpns, an

ex alrjs Theorematibus:poftrcmoquccum aliqua pulchra cdlidera>

tione, aut documento , aut digresfione comentarqs fuis finem impo*

nere.vt in pracfentiltcilTc videtur. Horc candidisfime Lciftor erant

mihi rccenfenda, vt qua: in Procli comentariiis defideranmr tibi prae

oculis ponerem,dc quibus ea,qua potero cura.ac diligentia quan-ere,

atque inucAigare noncdlabo quouiquereperiantur, vt totum hoc

volumen integrum,in eademqhe perfeftione, qua Autor illudper-

fcripfit rellituam, & renatf Ftxnicis inftar reuiuifeere faciam, ate^ qa

omnibus, qui Mathematici euadere cupiunt nouum hoc Mercuri),

MineruaeqOe iandiu delideratum munus impertiar. Qiiodfi ante

mearum expolitionum emilsionem hofcc defectus inuenirc non po-

tuero ,meis additamentis ea, qug mutilata funt perficere pro viribus

enitar. De his autem haeffenus.

Sc<)U'jn'ut Procli Commentrfia

.

Propi.^j

Theo. }»•

Complementa Parallelof^ammorum circa Dimetientem (fccuiurcun^uc raiiOelogcaininicolUleaciiim, iwerle Aiai “z^ualia .

Cori. if.

Principium huiuf commeatsHi dcHicr-iruri

* * *

* vt Parallclogramma inuicem non coniungantur iuxta vnumSignum, quodque porrd Complemenu n5 funt quadrilatera, opor-

hm' tet hunc quoque poncnteni Callim idem accidens pcripiccre . SitCafus

. jnim ParallclogrSmura a b,quod

habeat Parallclogramma c k ,d I

circa eandem Dimetientem , fit

utem inter ipfa quaedam k 1 redhi

Linea,quae fit Dimetientis pars

.

Rurfus itaque eadem diccs,nempc

Triangulum a cd aequale Trian-

gulo bc d,&T Triangulum e ck,

Triangulokcf.necnondglTri-

angulumdhlTriangulo. Reliqua igitur a g I kcquinque Laterum

mX.

• .uu^

. r.'

n-

CLV A R T.V S.

Figura.rcliquf b fk 1 h quincp Latcru Figuwe arqualis eft. Hacc auteerant complementa . & ver6 necp coniungSrentur Parallclogra^maiuxta Signum

, nccp diilarcnt ab fe inuice, fcd inuicem interfeca'

rem, eademi hoc quoque modo Dcraonftraoo erit . Sit enim Paral'lelogramu a b ,& Dimetienscd ,&Paralielograma circa ipfam, vnumquidc ipfum c c f1, alteru vero, a quoetia hoc fccctur.ipfum d g k b . Dico.quddipDifg.eh Coplcmentapqua'

liafunt. Ciini enim totudgk Tria-

.

gulu toti d h k Triagulo aequale fit

,

efl aute pars quocpipfiusTnagulum

k 1m aqualeTriagulo k 1 n, Parallclogramu fiquide eft &: ipfum 1 k,

Rcliquu igitur d I n h Trapeziu reliquod 1m g Trapezio eft xquale.Verum a dc Triangulum aequale eftbcd Triangulo,& Triangu-lum fc 1Triangulo e c 1 in e fParallclogrammo,& d gm 1 Trapeziud h n 1 Trapezio . Reliquum ergo g f Qyadrilatcrum reliquo c hQuadrilatero inxquale non eft . Oftenfum eft igitur Theorema iu-

xta omnes Cafus . Sunt autem tres tantum, nec plurcs.nccp paucio-

res. Parallclogramaenim,quae circa eandem confiftuni Dimetien-tem aut fccabunt fefe

,aut iuxta Sigiium fefe tangent

, aut quadam a

fefe Dimetientis parte diftabunt . At nomen ipfum Gornplcmen-torum i re ipfa Elementorum inftitutor accepit, quatenus hfc quocppraeter duo Parallclograma totum complent

. Quapropter ipfumper fe ipfum memoria dignum in Definitionibus exiftimatu n5 fuit.

Cur ft«

foli sir hui

ut Theo.

C^us •

Docome»tum..

VnJc or-

tu fit hocnome C6pietneta .

.varietate fiquidem ei opus erat ad fui declarationem, vt cognoftere- ^i rin r«

mus quid cflet Parallclogramum,qufquc elTcht ea Parallclograma, finicinnib*

quae toti Paraliclogramo circa Dimetientem funt . his enim declara-

des no de

finierit.

Qu* Pa-rallelogia

ma dican-

tur efledr

caeadcDimetientd.

,tis Complcmemum etiam hoc tantum modo cognitum vtique fie-

ret. Illa auic Parallclogtama circa eadem Dimetiente funt,qufcuncppartetotius Dimetientis pro fua eda Dimetiente habent

:qugcunc^

vero no,minime, cum enim torius Parallelograrai Dimeties aliquodcx Lateribus interni Parallelogrami

fecat.tunc Parallclogramu hoc toti

Parallelogramo crea eade Dimetic-

te no eft . Exepli grana vt in a b Pa-

rallelogramo c d Dimenens fecat c hLatus ipliusc c Parallelogrami . Pa-

rallelogramu ergo c c Parallelogra-

mo cd circa eade Dimetiete no eft

.

Ad

LIBERrropo'«»Prob. 1

1

T III Jit >

Anciori{tluco.

Coa. It. Antiqua quide funi harc aiunt Eudcmi familiares, Py: hagoricr'<^

Muff inucma.Applicatio vticp Spatiorum,& bxccfliis

, atep Defe-Noia^ itus. Abhisaut&Iuniorcsciimnominafufccpiflcntjtranftulcmni

>i>fa in eas ciia Lincas.quac Conicar appcllatur.quippc qui \ na quide

^iT.iA harum Parabolen ,alceram autem Hyperbolen

, Tertiam vero EPvocarunt . cum illi quidem prifeae autoritatis, diuinique viri in

^ plana Spatiorum ad terminatam retflam Lineam di.fmpiionequae

qilSque*’ ab hifcc indicantur nominibus pcrfpiccrcnt.quum enim prcpolita

jpuJiim- retfla Linea datum Spatium toti ret^p Lincaccoaptaucris,tuncSpa'

fcoc »id« tium illud applicari dicunt : quum vero Spati) Longitudinem ipfk

I

rctfh Linea maiorem feccris.tunc excedere:quum autem m inorem,

i

Gei^ri ita vt Spatio dclciipto aliqua cxtra fir rctfl* Lincac pars, tuncdcfi-

' fiiioi^ ccrc.&’ hoc modo Euclides in fexto Libro tum E xccfliis.tumDticoEuiwiura mentionem facit . in praefentia vero Applicatione indiguit.dato

conicoru Triangulo ad datam retffam Lineam xquale Parallelogrammum

tnprop^"*applicare volens . vt non folum Parallelogrammi dato Triangulo

I

nibus ii. xqualis conflitutionem habeamus, verum etiam ad determinatarri

^Vsp- reeSam Lineam applicationem. Exempli gratia Triangulo dato,

'

^uti» quod Arcam duodecim pedum habeat :re^ta autem Linea propoli»-

ta.cuias Longitudo quatuor pedum lit,fquale Triangulo Parallelo^

grammum ad redam Lineam applicamus, II cum acceperimus to»>

\um quatuorpedum Longitudinem

, inucniamus quot pedum Lati-

tudinem efle oprtet , vtTriangulo Parallelogrammum fiat aequale

.

Cum itacp fonafie trium pedum Latitudinem inuencrimus,Sf Lon«

t. gitudinem eum Latitudine muliiplicauerimu8,hoc inquam ficiemes

^ propolito Angulo redo cxillcme, Spatium illud habebimus. Tale

Tri» fu* quidem cft verbum hoc r Applicare ] olim i Pythagoreis traditum .

^ autem funt in praefenti Problemate Data , vnum , reda I. inea,

ad quam lic applicandum efl,vttota ipliusSpatii Latus fiat: alterum,

Triangulum,cui xquale debet efle quod applicatur : tertium,Angu-»

I Documen >™' aequalem SpatH Angiilum efle oportet ; E t cft rurfus perfpL

lua. cuu, q^redo quidem exiftente Angulo, Spatium, quod applicatur,

aut Quadrangulum,aut Parteakci^ongius erit : acuto vcr6,(iue ob«

uifo, ‘

i

QLV A R T V S. I4r

tufo^aut Rhombus.auc Rhomboidea. QtHneuam roanifcfhim cR,

quod rc(flara Lineam finitam ede oponet . ad infinitam fiquidemhoc fieri non poteil . Simul igiturcum dixiffet addaum redlam Li'neam applicare

, indicauit quod etiam nccclTarium cft refla Lineamfinitam elTe. Vtiturautem in Confiruflionc prxfcntis Problema'tis Confbtudone Parallelogrammi

,quod dato Triangulo fit arqua'

k . non eft enim idem Applicatio, Conllitutio, vti diximus . venirahaec quidem totum co nllituit Spatiumtum ipfum , tum Latera cun-fla: illa vero.cum vnum Latus datum h abeat,ad hoc colbtuit ipfumSpauum

,quippe quae necj deficit iuxta hanc cxtenfitmcm , neqj ex'

ccdit,fed vno hoc vtitur Laterc,quod Aream comprehendit . Quaigitur (fortalTe dicas) dc caufa cura quidem Triangula Triangulis

aequalia ofiendcbat,Theorematibus vtebatur : ciim vero TriangulaParallelogrammis, Problematibus C Qponiam (dicemus) xqua'litas eorum, quae ciurdem funt fpeciei fponte namrx proucniens cft,

eonfiderationeque fola indiget ; eorum autem, quae disfimiHs fpeciei

funt, propteream,qu* iuxta fpeciem fit muutionem, ortu, machi'

nationeqiie aequalitas indiget,quippe cura per fefe inuentu dif-

ficilis fit. ,...

DVobus Problematibus.in quibus tum Conftitutionem,nim Ap-plicationem aequalium dato Triangulo Parallelogrammonim in-

itcniebat,hoc vniucrfalius cft.liuc enim Tnangulum.fiue Qyadran^galum,(iue omnino quoddam aliud Quadrilatcrum damm fuerit,

per hoc Theorema xqualcipfi Parallelogrammum conftitueraus.

nam omne Reflilineum ( vt prius etiam diximus ) per fe in Trian^gula difibluitur

, 8f viam inueniendae Triangulorum multhudi'«it tradidimus . Cum itaque datum Roflangulum in Triangula

1 rcfol'

QuodHfic

rat Appii

carioaCoAituiiooc.

Finii Do*camenti.

Dub,

Sol.

rropAir.Prool.i/.

Coni.iy.

Hoc Pro-

blema voiuer|jli*ca

1 1.& II.

Ptoblcnwrc , 8c viti

maProponerocuodi

libri.

Superiuj i

coip.s.

Demo f-blcmatif.

a V A R T: V S. 169

Cubus autem, ex Quadrangulis. Idcirco mihi ridetur prxc>pu(f illa

quidem conIlituere,hzc vero delmbcre. conuenicntiananqthifcc

Figuris hxc nomina reperit. nam illud quidem quatenus ex mulcis

conllruicur, Conftitutione : hoc vero quatenus ab vno exoritur La- eucU

tere,Delcriptione indiget . non enim queraadmodu habemus Qua- h 'iri .6iu

drangulum cum datx recfl® Line^ numerum in feipfum multiplica-

uerimus,eodem mo3o &Triangulum,fcd ciim aliunde ad rccftac Li- bjt

.

nex Extrema Lineas reiflas coniunxerimus, vnu ex his xquilatcrum Qiio e*

Triangulum conftruimus . & Circulorum deferiptio prodeft ad in-

ueniendum Signum illud,i quo reAas Lineasad Extrema propolitg ne orutur

rctflx Linex conneAcre oportet. At hxc quidem confpicua funt

.

Oftendendum eft aut redis Lineis, i quibus Quadrangula deferi-

buntur xqualibus exidentibus , ip(a etiam xqualia funt . Sint enim

zquales ipfx ab, cdredx Linex, .

Truogulu{^latcru

.

Docume.

Si ab ipfa quidem a b deferibatur

a b e g Quadranguluha, ab ipfa vc^

rd c a,ipfum c d h f,& connedan*

tur g b,h d red^ Linex . Quoniamigiturredx Linex a b , c d xquales

funt, ip(x etiam a g, h c funt xqua-

les ,aequalcfqiie Angulos compre-

hendunt, &: Bafisgb Bafi hd x-

qualis,& Triangulum a b gTrian-

gulocd h,& ipforura duplicia funt.

xqualia .Quadrangulum ergo a c

Qruadrangulo c f inxquale non

cft . Veruntamen Conucifura

quoque verum cft. Si enim Qua-

drangula funt xqualia,redx etiam

Linex, a quibus delcripta funt x-

qualos erunt . Sint enim Qua-

drangula xqualia ipfa a f, cg, &ponantur ita vt in diredum (it La-

tus ab Lateribc. cdmitacpie An-guli redi Gnt ,

reda quoque Linea

f b redx Linexb g in diredum

e(l. Connedanturfc,ag,af,cgredxLinex,« Quoniam igitur

a f Quadrangulum xqualeellcg Qyadrangulo,&af b Tnangu-

gulum c b g Triangulo eft aequale . commune apponatur-^b *(1 a Trian-

Dnno cu*

iuida wihffinti The.

3« exDe-

270 • L I B BTriangulum . Totum civo

a c f Triangulum Toti c fgTriangulo arqualccft. Paral'

Icla eft igitur ipfa a g , ip(i fc.

Rurfus quoniam ,tu ipfeafg»

tum ipfc c g b Angulus dimi-

dia redii pars cll , ipfa a f, ^ipli cg Parallela. Aequalis

igirur c(l redla Linea a f redlae

Linexc g, Parallelogrami fi- .

quidc Latera ex oppofitoia-

centia funt. Qyoniam itacp^

duo funtTriagulaab fjbcg,

qux Alternos Angulos xquales habent, quippe cum ipfx a f,<gP*»

rallelx fint, necnon Latus vnum ipfum falicet a fLateri c g xquale,

1. atus quoqt a b Lateri b Latus b fLateri b g erit pquale . Ofte-

funj eft igitur quod Latera etiam,a quibus deferipu funt a f,c g Qpar-

drangula,xqualia funt,aequalibus iliis cxiflcntibus

.

\ ^

Pmp6.',4T

Th<o . }}

t refl» ^ H

gul. Voi>-

InrrflangulisTrijngutii Quadnn|nliiffl,quodi Larerc

ftutn Angulum rubten<leoredtlcTrbitur,»qualeeft Quidri-

gulit,^u> delcribuntui a Xateribui f circa rcQum An.

gulum laccntibua.

CoM 5 1 cos quidem qurantiqua enarrare volut audiamus ,pr^fent Theo»

' remaad Pyihagoram referentes inuenienius,& dicentestum cuixi

Vrttfenj id inucncdt boucm immolaflTc . Ego vero miror quidtm& cos.qui

prinai huiufce Theorematis veritati incubuere, magis autcadmira-

ra refirf, tionc profequor Elementorum indicutorem.nonfolum, quia per

S^amH ^ euideniisfimam Demonftrationc hoc couicit, veru etia quia& quoduCTiinne

. jpfp vniucrfalius eft Sciennx rationibus,qux coargui , conuincique

ftnmi^m. mihimc poflunt in fcxtOlibropcrfuafii . nam in illo vniuerfcoften-Euciidu

jn redtangulis Triangulis forma,qux a Latere rcdhimAn-

di io.

gulum fubtendente deferibitur, xquajis eft formis,qux i Lateribus

rmpftrf rcdhim Angulum comprehendentibus priori illi formx fimiles,fimi-

• Jiterque dcfiriBuntur.nani omne quide Quadrangulum omni Qpa-

drangulo eft finnlc,non autem omnia fibi inuicem fimilia rcdlilinca»

Quadrangula funt. inTriangulisfiquidcm.alrjfqiif^multiangulit&i

. . miliuido

Q^\r A R T V S. ,7,

rlhnilicudo cft. Ratio igitur, quxdcmonflratfbrraam,qux i La-tere rc<fhjra Angulum lubtendente fit fiuc Quadrangularis fit.fiuc

,^ualifcun^ alia.xqualcm formis, qux i Lateribus circa reeSum An--gulum exiftentibus priori fimiles.fimiliterquc deferipta: funt

,quod' £om% (um

dam magis vniucrfalcoftcndit, quodque fcientixgignend* magisvim habetquim illud,quod rado illa oftendit, qux Quadrangulum xtiElcm.t

. folura Qi^drangulis fqualc affirmat.ibi enim &r caufa manifirfta t fit h «Svniucrfali oftcnfo

,qu6d vtique Anguli reiflitudo xqualitatem prae-

bctforma!,qua:afubtendcntc ipfum Latere defcribitur, adoilines btmdo,8f

forraas,quxaLatcribusipfum comprehendentibus priori fimiles,

fimilKcrquedefcriptx funt. quemadmodum Hebetudoquidem,iCX-* nutioniftji

cefium : Acumen verd,diminutionem. Qpomodoitacp offenditur "xtocT*

Theorema, quod in fexto libro eft, ibi perfpicuum erit. Qpomodoautem prxfens verum eft , nunc confideremus, hoc tantum adiiacn- & ij ter-

tes, quod hic vniuerfalc non debet oftendi ab eo,qui nihil de reftili- ^

tiearum Figuram fimilitudine docuit , necp omnino aliquidde Pro-ponione oftendit . multa enim eoram, quxhk magis panicula-tira,+ in illo magis vniuerfc per eandem viam oftenfajfunt. Often- '"'J***™

dit igitur Elementorum inftitutorinprxfenda Propofitum i com- r®"''**

muni de Paralleli^amis contemplatione. Ciim autem reiTtangula

Triangula duplicia fint,alia quidem xquicrura , alia vero fcalena, in

oigrefio.

«quicruribusquidem nunquam inueniemus Numeros,qui Lateri- aig'u"ro

bus congruant . non eft enim quadrangulus Numerus quadranguliNumeri duplus, nifi quis proximiorem dicat, qui enim i Septena-riofiteius.qui fit a Quinario duplus eft, Vnitate deficiente, in fcale-

nis vero fieri poteft vt Numeri fufeipiStur,& euidenter nobis often- dringuli

ditmquod a fubtendente rctfhim Angulum fit,xquale qs, qux a La- dlpr/Uteribus circa reifhim Angulum exiftentibus fiunt . huiufmodt enim i’‘>« cT-

eft quod in Libro de Rcpublica eft Triangulum, cuius retftum An- »1^™

gulumTemarius,& Qpatemarius continent, Qyinarius autem eum ^’h«ciubtendit . Quod igitur i Quinario fit Quadrangulum „ xquale eft Triangulo

ijs,qux ab illis fiunt . hoc enim eft vigintiquintp. qux autem ab illi

fiuntquodquidemiTemario,nouem,quodver6aQiiatemariofe-decim. Perfpicuum ergo eft in Numerisquod dicitur.. Traditpautefunt& vix quxdaminuentionis huiufcemodi Triangulorum

,qua-

him vnam quidem ad Ratonem referunt, alteram vero ad Pyth 3.* meros io*

gora, quippe qux ab imparibus orta eft Numeris . ponit enim datuimparem Numerum tanquam minus Latus eorum, quf arca reifhim h^rnria .

Angulum funt,&: cum acceperit eum.quiab ipfo fit quadrangulum, Eori^!'^

ab

Bifplaffl

vif Tytha

(orics.

vii ru-toaici •

Iicmplu

Tir Pli--

(onicx.

tqif enim

i Quina-

rio lic,x-

qualeeci,

quoJ fit i

Ternario,

fcei.qit a

Quaterna

rio Com-poRtis

.

Finir <li—

gresfioii

.

R^rehe-dit Hero-

nis,& Pap

pi fefU—torei

•

X7X L I' B E R

ab hocque Vnicatem abfhilcric, reliqui dimidium ponit tanquam

maius Lams eorum,qux circa rcifhim funt Angulum, cu auicm huic

quocp Vnicatem adiccerit, reliquum quodfubtendit Latus efHcic»

Exempli gratia ciimTcmarium acceperit , ab ipfoque quadrangiX'

Ium produxerit Numerum ,& ab iplo NouenarioV nitacem abltix*

leritjOdonarii dimidium Quaternarium fufcipit,huic(^ rurfusVni-

tatem addic,& facit Quinarium,repertumque cft Triangulu reiffaui-

gulum,quod vnum quidem ex Lateribus trium, alteru autquatuor,

lertiu vero quint^ V nitatu habet. At Platonica, a Paribus adoritur,

cum enim datu pare fufeeperit Numerum, ponit ipfumtanquavnu

Lacus eorum,quae circa reifhim Angulum funt ,

huneque cum bifa-

riam diuiferit,'&adimidio quadrangulum Numerum produxerit,

cumVnitatem quidem quadrangulo illi adiecerit,Lacus fubtendens

cfHcit,cum vero Vnitatem a quadrangulo abAulerit , fecit reliquum

Latus eomm,qug circa re<flum Angulum funt . V crbi caufa ,

ciim

Quaternarium fumpferit, huiufque dimidiu Binariu in fcipfum mul-

tiplicauerit,ipfumque Quaternarium fccerit.cum Vnitatem quidem

abftulerit. Ternarium efficit , cum vero adiecerit efficit Quinarium,

idemqueTriangulum fe^fum habet,quod ab altera etiam via perfi-

ciebatur . t quod enim ab hoc fit,ei,quod fit aTcmario, &T ei, quod 1

Quaternario aequale componit. Haec quidem cxtrinfccusinfuper

enarrata fint . Quum autem Elementorum infiitutoris Demonftra»

tio pcrfpicua fit, nihil addendu efle ccnfco, quod fit fupcruacancum,

fed qs, qux feripea funt nos e(Te contentos .quandoquidem quicunc^

etiam quid plus addiderunt,vt Heronis,& Pappi familiares, ^iquid

eorum, qux in fexto libro ofienfa funt , nullius rei difficilis,quxque

ad negotiumfpe<fl:et caufe , infuper afiumere coaSi fuere Nosiuq^

ad ea,quxfequuntur tranfeamus.

Propo. 48

& vlcima

primi Elc.

Tbeo.^4*

-'t, • 1 iHoJabvnoLarcrum frianiJbdstcri-bitur^qualefucrit Quadrangulis, reliquis duobusTrianguh Latcribuidtfcribuntur : Angului,qui a reliquis

uuobus Trianguli Lateribus comprehenditur, re£lus eft-

fwmui! COnuerdtur quidem hocTheorema prxcedentiTheoremati,^

totum ad totum conuertitur. Si enim Triangulum retfiangulu fuerit,

Modut co quod i fubtendente deferibitur Qtiadrauguiu, trquale eft QuadranT

hm^^Tiie gulis,qux a reliquis Lateribus deferibuntur :& fi quod ab hoc ,eis^

qux

CL V A R T V S. *T«

RcfpoOo.

tjuae a reliquis ,xquale fuerit , Triangulum rc(%ingulum cft

,quippe

quod cum, qui i reliquis comprehenditur Angulum ,rctHum habet.

8c Dcmonftratioquidcm Elementorum inflitutoris-conroicuacfl.

Triangulo autem exiftente a bc<&habente Quadrangulum, quod de-*

feribitur a Latere a e ,xquale Qua^

drangulis,quae a Lateribus a b , b'C

dcGnibuntur, ciim in ipfo Triangu^

io-LareribeiSigno b rcAa Linea

adAngulos re(ftosexdteuir^(iquis

dicat quod ad alteras partes rcAa

Unca ad Angulosre^seflexcitanda , Sc non ad eas ,'ad quas Ele^

roentorum inlHtutorcxcitauit,dicemus quod fermo hic imposfibile

ait. ncepenim intraTrianguluipfamcadereposfibilecft.necp extra,

fed nulla alia eff,quim ipfa a b . nara fi lien poteff cadat ,^^1 ipfa b e

.

QuoniamitaCp Angulos ebc rcifhiscft , Angulus ccrt^cfb acutus

dL Q,iamobrem reliquus a rbobtufuseric . Maius igitur Latus

ab,Latcre b f. Ponaturergo ipfi a b aequalis ,quar fit be, conne»

Aarur e e.Quoniam igitur Angulus e bc rctflus cft, Qpadrangulum,

quod i Latere e e deferibitur, zqualc cft Quadrangulis^ qua? iLate-

ribusc b.b e deferibjnrur. Vcrtiin ipfa e b ipfi b a, cft zqualis. Qua-

drangulumei^o,quod deferibitur a Latere e e, zquaiecft Qjiadran-

gufis, qu* i Lateribus a b, b e deftribumur. Eifdem autem zqualc

erat illud etiam, quod i Latere ac dcftribitur. Aequale ig'tur cft

quoddLatcrecc,ci,quoddLatcrea«defcribiiurQuadrangulo. Et N«tj eff

ipfa e e ergo ipfi a e aequalis cft. Erat autem,& ipfa e b reda Linea,

zqualisre<fhc Linezab,Duzigiturbe,ccre<rt5Line«iduabusba, iitam wa e redis Linciszqualcs altera alteri fti^reda Linea bc conftirutz

ne

6ab le ab

Elemcio-

ru initim,i.ir

l.

funt, quodnequaquam fieri poteft . Noncadet ergo intra reda Lt-

nea,quz ad Angulus redos excitatur* Atcjuiaictpcxtriad alteras

ipGus a b redf Lincf partes . Si

enim fieri poteft cadat,vtiipfa

& fit zqualis ipfi a b ipfa

bg.&conncdaturcg.quonia ^itacp Angulus g b e rcduscft, .

Quadrangulum.quod a Latere

g e deferibitur, zqualc cft Qua- ...

drangulis.qu* a Lateribus b g,bc deferibuntur . Erat aute&quod

i Latere a c,*qualc ijs,qux i Lateribusa b,b e, zqualisvero eft a b,

ipfi

tore inicr

tcxii,& ofiiua iter

iefia liiit.

vcilis.n. iad inllan-

lut Iciiru

c.idat.nec

ooii ad ARronoirii

r.de (6m.la.lib. j.

» 7 * L I B RipOgb. AequaIi«c{ligiturgcpp(Tac. Atipfaquocf gbrctftaLi'

nea redlac Lineae b a xqualis cil/upcr vna b e rc^ta Linea, quod iiiri

non potefl . Ne^ ergo intra, nccp extra cadet retfla Linea

,quae ad

Angulos rc(flos ipli b c a Signo b excitatur . Super ipfa <giiur a b U'det. Anguluscrgoabcrctf^useft.SoluiacAigiiurlnflantia.Atpri'

E 'iiogut mum quidem Librum hucufcp Elementorum inAitutor compleuil,

mi'lib.Eicquippe qui multas quidem Conucriionum ipccies tradidit ( tota

metoru. nanque ad tota faepenumero Theorematum , & tota ad parte», &partes ad partes conuenit ) multam vero Problematum varietatem

excogitauit ( etenim Linearum,Angulorumquc Setftiones ,& Pofi'

tiones,& ConAitutiones,& Applicationes tradidit ) tetigit autetn Sc

Mathematicum Locum,qui admirabilis vocatur ,& Theoremata

Localia nobis fatis fuperep in memoria redegit, Vniuerfaliumptf'

terea, Particulariumquc Theorematum.Elemcntarem inAiiutionc

patefecit,& Indeterminatorum, Dcterminatoruque Problematum

diderem» indicanit( quae fane omnia nosquocpipfum confequen»

tcsordinatimexplicauimus) totum denicp Librum ad vnum Pro'

politum retulit, ad Elemcntarem vticpinAitutionemeius,qux de

(implicioribus re^tilineis Figuris eA conteroplationis,ac demum tumConAitutiones ipfarum inueAigauit , tum qux iplis per fefe infunc

coufidcrauit. Nos autem fircliqua etiam eodem modo perfequipo-

» Pr«ii terimus, Di)8 gratiam habebimus , fi autem aliae curae nos ab inALamouerint, huiufce contemplationis Audiofos iuxta eandem

Euclidis e viam reliquorum quoque Librorum expolitionem fiicere cenfeo

quod difficile paslimcA,& ad re ipfam pertinet, fecilequediuL.

di poicA fetftantes.quoniam ea (an^

,qux hoc tempore

. ,

, ^afferuntur Commentaria multam , at^ variam in

fe fe coddufionem continent,quippe qux

nullam 'caufx asfignationem fimul in»

;(cTunt . ueque iudicium Dialor

fic expoocrc» cer

ru nocip»s^^aexpo

C^<6Unocho(polb*

cctur«

Ii

1 .- ii M 1*5

o ' 't

un :»..**>

6 n.tiLjv

-cu.il" lyc

LZ '«II

A t . ;«na

», Oli:

.'UOJit 7

Aicum, neque contempla^

tionem Philofophi«

cam. liupa, ji

Commenuriorum Procli Diadochi inprimumEuclidis Elementorum

- -

. Finis.

;

• Kllflqi

i-.r /nini

' dJ». ?»

i* li

INDEX OMNIVM RERVM NOTABILIVM,

t •

.'fi.oS

qiuc in toto opere continentur, per Alphabeti ordinem

quam accuraiisHmc digeBus,& quam locu'

pletisfim^/

*. ff

^#»T. I

’'»>•* i

,m*y:

m, medium

,

&f,(inemcuiurcunq; paging declarat.

A

(CIDOIDESiTriingulu quid.

I AcuiiKn ,& Ob'! tufimintqmbta»(i cOgnatx JiuK •

Admirabile Su-

perSeicrum pro-

prium. tfl.m.

Admirabfle t Geometria Theorema, i o i

.

m. i > 19. m. —Admirabile Pythagoricum Theorema

•4 f.

Admirabile quoddS in Geometria de Li'

neiviUK intra Trtangulum conilituun

rur.

Aenigma Pythagorrtirum. 49 .t"-

Aequaliiai primu in Quantitate eft Symptoma. • • *y'P'

Aliorum antiquorS opinione» ded.neren

tia Theoremati<,& t*robl»matii.4^. m»Altitudo Figurarumqiiid. »4 ».f.

Ambiguum ell an Cotniculari» Angulu»

bifariam fecari potfir. » « t* p.

Ambitu* Trianguli quid. i;4.t-Amphinomi opinio de Theoremate, dc

Problemate. 4 t p.

Anguli Sphfralei qui

Lifcra.

Angulorum, qui in Superficiebu» fune

conhdcratio. 74 . p»

Angulorum, qui in Solidif Tum confide..

ratio. 74.-P*Angulorum ,

qui in Gmplicibu» Superfi..

cii.buf funteonfideratio . 74.-tn.

Angulorum, qui in Superficiebu» miftia

fiinc confideratio. 74.ut>*

Anguloru CirculariOconfidcratio.74.ro.

Anguloiu tcflilineorS c5fidcratio.74.tii,

Anguloru miliorum coiinjcratio. -4.m.

Angulorum rcAilineontm trtt .Specu»,

qua» ait Socrate» in Rcp. ex SuppoiL;_

tionc apud Geometra» accipi . 7». p-

Angulorum rcAilincorumad Deoapul.eherrima comparatio. 7* . p.

Angulorum rcAilineorumadca,quf fune

comparatio. 74. p.Angulorum rcAilineorumad virtutem,

dc vilium comparatio. 74.T,

Angulorum Verticalium fqualitaivnde

fiat . • »4-f>Angulorum Curuilineorum duo tanium.

redilineit fquale» funt .1 09.m,& » 9 1 .f.

Angulorum trqiialiras, atq; inaequalitaa

maxima habet vim aH angentij,

liimi.,

nuendaVie Spatia . ij9,m.Angulo» Oracula Nodo» cur nuncu..

pent. _ 74.p..Anguii opn(raiei qui. 71.m.^ |..... . 7.,.,..

Anguli ex Linea reSa ,& Circunfetcniia Angulo»quomodo diuerie Dii» attribuit

c^ofunt. 7».p. Pyihagorti,dePhilolau»,Afinxutm

Anguli ex rtfli» Linei» tre» fiunt. 71 m, philofophu». 74 . t,

^.^9,'p, Angulum omnenUiifariamrecarc fecun.

Anguli confideratio vniuerfali». 74 - P> dum Elemcniarero iniiiiutioncm -cA

Anguli Deinccp» qui fint .—

Anguli ad Verticem qui fint

Anguli Alterni qui fint

»7».p.

«TLi-P..

n- »»».p.

Anguli in Paralleli» fex iriodi» furoun..

tnr. i« 4. p.

AnguloriI olu pulcherrima c5.lder5.74af.

impo.fibile. iif.p.

.

Anguiiu-cx clypei Linea, di eeAa LLnea. 7». f.

Angulu» Cidbide» quid . 1.— rt.f..

Angulu»cx h<ppopedi»LitMi».

Angulu» triplex fit ex Cucuftr/t in.yt^L.

m Anrni-

I N D

AnguTas vcrinqui eonucxui qiiit. 7 >

,

Angului virinquc caaut , vei Synroidci

q“".. s

"t--Angulut Lunularii quit. 7 }.piW i 09.m.

Anguitit Scniicircu Uris quit . 7i-P-

Angului Cornicularii quJi. 7 i.p»

7J.p»

Angulus rccius no rcAorum rnchrUracIl.

vc in 3cqualiumzqualicai. 77 «ni- il7>

. p, Sc iifS. p.

Angulutplanuiquid (ir. ^9« f-

Aii^ilIutre&iIiDeutquid Rc. 7i«f>

Angiiiut rcAus, Obtufui,& Acuctil qui_

fint; .... .7J-p^

Angului idufi itiui Triiguli quid;9j ,m

Angulut quomodo Angulo (qual^ , Sc

.quomodo Rmilii dicatur . ito.p.

Angului rciRilincui Angulo rcAilin^

quomodo dicatur fqualii.

Angului rcAui in trcipartci fqualci fa>

ede (tcari poteft. Acutus autt» no po'

tcRiiiR 'per Lineas mifias., —. st4im.Angulus quadrujaliciter dari pot.t m;

Angulus PelecoideSiRtie Angulus Figu«

. rf^tecurininiliiquid. l9s._pj^Argum'e'nlurocontraeu'ndf deeodi.l.pt

Anima aliquando snoius prim-iprum efli ArguirfiU'maduerfui'e'uVid?detodc.*.f.

dum membrum dubitationis bimrti^

brit de Geometrica maicria. » 9<m*

Argumenta quod phaniaRa ab imparti-»

bili ad’partiH;e prbkidat

Argumcnla contra Dimoenti opmion<

£ Figiird. , / »0 . p.

Argumenta deftrueniiaopinionem Sioi*

eorum de t^igiira;, .

Jo.m.

Argumentum' ftcuhdd hypotheticdtlitn

modo,quod Fitiis,_& Infinitum Malhe»

maticaru fcientiaiu principia fint. ».mi

Argumentum quod Miihcmaiica effen»

iil media fit inter natiiiilcra efllntiafflj

dC-Metaphyficam. i.j>,5c<.fs

Argumentum qui d communii Maihe»

riiaiiii Theoremata, cofidetatifidei. SC

principia artie multa iubCRant.

Arguroentu q'ut> confutatur Arift, opi»

nio de fubi^entia Meihematicse tlTen^

»ik.

Argumentum contra Arift. opinionetil

qiioknodo Anima conftituac Maihc»

inaticat formasv 7- L

111111« «ass^wawv «iswi as» pillMS|tiw>s>

aliquando ab alio morum recipit fecit»

dum Platonem. sS.f,

Anfma prius eft diuifa, poftea colleAa ex

mente Platonis, & ideO Ariihmetica_

'prfcedii MuGcam » Si eft (Sutcherrimi

ratio. ii.m.

Anfma ad menti eandf habet ratidnf ,ggeneratio ad cflum. Si fdeo circnlariier

ctiS motieiex PlaioniVFtnieniia.,!4< m.Animx duplex aiftio. <i.f.

Antiquorum opinio de Figura. lo. pApollonii opiniode AnguloI J>9. f.

Apollonii demonfttaiio primi Pre>hun>

liaii Euclidis . «i». m.

Applicatio quid fit,& qiio fiat . i£4, mi

Applicatio a Coftitutioilc quomodo dif»

ferat..

atfr.p.

Apfis quid. .’ 9 »,pi

Archimedes , Si ApoUflfliui 'rarxpiana

. cuidentibUs vtuntur principiis, iii. qup

in Elemeni is Euclidis oftehra fufit.4 't.f.

Arcbifhtdesoftendft'Circuium%(re'fqua>

lem cuidam Triangulo.

Area'rrianguliquid. '•44-f.

Argumentum deftriiens "primum mrm»brum dubitat‘i6'niibimerobris'de Geo»metrica maceria . sl.f.

Argumentum deftrumi idem. sl.f.

ArguraemuVis ad idim, ^19 .p,

Algumenu qii^lruor 'dtftrutiitia itataM-

Argurrcniu 'dtftrueni 'primum menibrii,

trimembris conclufipnis de t rtn tor»

hiaru Maihcmaiicaru abAbima. $. ps

ArgumeVitumdeftruensideVn; y.pt

Argumentum ad idem dcftruendu'ms9 .p^

Argumemum deftrucni fecundum rof»

brumciufdem conclufionfi. p.m.Argumemum definiens idem. g.nuArgumentum ex 'verbis Platonis in 7.de^

Rrpu. contra Malhcinaticarum viili>

'tacc't&. I 7. p*^

Argumehtu Zenonis contra demon&ra"tiontm Gbi contrariam . isi.f«^

Ariftocelis opinio quomodo fubGiiat M4chcmacicaciremia. T-P*

Arift. opinio quomodo Anima c&fttcuai

Machemacicat formas •

Arift.opinio de fubfiftencia Tcmunoruiii

corporis-. ii,oVL_

'Arift.opimo de Plano. *7.p<T

'Arithmccrca certior eft quam Gcomeiriat*

dfqujmMufica, t4_ft.

Arithmetices tres funr parret,Lincari0,d(*

Planorum , Sohdorum^ Niimcforutik

confideratib, 's**P..

/Arithmeticei.dZGeometrif principia dif»-

ferunt Infiicem ,& corounicant. 1 j ,'p».

Artet'bmnct 'A riibihttica, Si Ane mriit»|

di, Aftei^'po'nder^ndi indigent ex ml»'

ite Socratis iit PbtUbo. — s4.is

Anig»'

1 N OArtificiorum (lt,ad fcicnciam(> fpcAat fo-

lucionci oppugnantium diMndiipr««

141, m.Afirologixconfldcrationci. «4.m,Aiirologizcrci Tunc partn. Gnomonica,

Mciheororcopica,& Oioptrica. 14 m.Axci Sphxrarum quid faciant. ri.m.Axii quid fit , Se quomodo diSerat d Ou'gonio,& Dimetiente , ,.m.

B, L itera.

3 Afii Trianguli quid. ii4.f.Bafit Trianguli duplex eft. t ]4.f.Binarii incolerabitu audacia , dc qua-io—

Tbeologumenit Ariihraeticx.Binariiii quomodo medius fit inter Vni'

tatem,& Numerum. m.Bonum , Se (uprema caufa . de qua Plato,

& Proclu1in7.de Rep.

C. Litera. _

C Allidis reprehenfio in Gorgia-i4. p.Calypfo , de qu a Plutarclius in opufcu Io

de vitanda vfura. is.m.Canonica^ nihil aliud fit ^ MuficaCanonica quideonfideret . s i.f.

Carpi opinio de Angulo. 49. f.

Cafus quid fit. tii.m.Cafus in ConfiruAione «fi. s a7^Cafus varii fecundi Problematis primi

Elementorum.Cafus varii tertii Problematis primi Ele^

menioruroe sio.m.Cafus varii quintz Propofiiionis primi

, Elementorum. tai.f.

Cafus iextf Propofitionit primi Elemen.iorum. t4f. p.

Cafus tres Demonfiritionis Propofirio>

nis t.primi Ekmctorum ftcundfi Phi^Ionem. ivt.m.

Cafus varii Propofiiionis «. primi Ele^

mentorum. . _ ti7.p.Cafus Propofiiionis s s. primi Elemento,

rum. ' s4o. f.

Cafus ab Inftaniia qfiodJFerat. t s 1 . m.Se iSj.f.

Cafus Propofiiionis t s. primi Elemento,rum. tdr.f.

Cafus Propofitionis 17. primi Elemento.rum. S7f.p.

Cafus PropS. 1 1.primi Elcroftorfi. 1 1 « p.Gafustres Propofiiionis »4. primi Ele.mentorum. »p4.L

B X.Cafus Propofitionis te, primi Elemento,rum. ssf.p.

Cafus Propofitionis 1 s.primi Elemento,rum. 1S7. m.

Cafus Propofiiionis j pprimi Eltminio.rum. «40^.

Cafus Propofitionis j4.piJnai Elemento.'um. ,4 ,. f.

Cafus Propofiiionis 1

1

. primi Elemento,rum. s 10, p.

Cafus Propofiiionis 41.. primi Elemento,rum. i/r.f.

Cafus Propofiiionis4r. primi Elemento,rum .

Caufa prima, per quam Figura circularis

apparuit.

Caufa, propirr quam Philolaus qiiaiuor

Diistriangularero Angulum, & iribusquadrangularem aiiribuerit

, 99.111.

Caufa cur Perpendiculari Figurarummeiiaraur aliiiudines , tao^jn.

Caufa,propter quam Euclides non fecis

conuerfionera fecundx partis qutntkPropofiiionis primi Elementorum .

t4i.f,& t47.f.

Caufa,propter quam Euclides reAilinefl

Angulum folum. Se Circunfereniiambifariam laniiimfeciiit. >11. f.

Caufa,propter quarac.^uerfa Theore.

mata per DeduAionem ad impoiflbileviplurimum ofiendiiniur. 1(4. m.

Caufa vera Symptomatis Propofitionis• 7 primi Elementorum. nl m

Caufa Symptomatia oAauydecimc Pro.pofiiioniiprimi Elementorum, stt.f.

Caufa cur tres tStiim fint Cafus j 1, Pro.pofiilonis primi Elementorum. 141. pi.

Caufa cur conuerfx. tt. Sc »4 , Propofl.tionis lO ab Euclide, tum i ProclOLprf.fermifTxCnt. aio. m.

Caufa pasfionis tfi 47. Propofitionis pri«rai.ttiro 1 1 .fexii Elemeniorum,efi An.gulireAitudo. — «49. p.

Caufx quinque Figuram perficiemes. >s.f.dtSi.p.

Centra Spxrarum quid faciant. ya.iB.Centri Mathematici ad Centrum imelli.

gibile pulchra comparatio. ••.m.Cent rum Circuli quid fit. t4.p,dci7.p.Cemrum Semicirculi quid fit, 90 . sb.

Centrum rres tantum habet loeos. ps.f.Certitudo Mathematica ab Anima ipfo

cmtnac • «Tin*Certitudo eadem n&efi ab omnibus Ma.

themticis requirenda s neque eHdcm

m a De.

!izc:i by OOjJ

I N D

DrmSftratlonibiii Sefitif oranes viun»

turcx Arift. fcnicniU- »o.p.

CircutaHs N umeri comemplatiOt ts.p.

Cirtuirdupirxconfldrruio, *« ,n>.

Circuli pulchra in Numerif contemplar

cio

.

Circulorum quilibet Linea citiimerc /},

Lcuiuioppoflium liabecur

.

Circulus quid fle. t4 p* -

Circulus eft omnium Figurarum prajii-

lisfima. *4riL*

Circulus perfeAionem quomodo rebus

omnibus prsrbcat . 84^Circulus verus, Sc vera circularis Naiiira

quid fit- 8S..41,—Circulus eft prima omniu Figuraru.89.p>

•Circulus, monadicnaelTc dicitur, os. p,

:dC 9»* P*

Circulus quomodo Gai Ellipfit. 9^ p.

rCircunfrrentiaquidflt. <4~P-

Circunferentia orai-ispcr L ineas mifesiin

ircspariestequaks retatur. . ets.f,

.^rcunfcrtniiain cur buclidet bifwism

, lantumfcnilt. tu-f-

CilToidcs Angulus quid l?t. 9 » ,f.

CilToidum Linterutn denominaiio.7a.J!^

CotlogoniuraTrangulumquid..^gitaiioeil indrumetum ludicans Ma<,,ihrmaiicas.

Cogitatio media eft inter imtlligeniiam,

Sc opinionati.

l^gitationis intelligenilje iuxta fuum

„ finem Mathematicas fcirntias coiaftu^

ruerunt. tsj.

Cogitatio quomodo Maihemaiicas pror

. dutai,omntti^fcitniias. i4.f,5£s7.p.

Cognitio Maihrmttiea obfcui lorcil prir

„ tnafciftUjtuidfiior autf opi uv>rt- tf.f.

Cognitionum proportio fteundum Pia»

tonem, *• P*

Commendatio Maihematicaruni ex 7. de

. Rtp.Commendatio MathemaiicariimexPio-

,, tino. a I. f.

Communia eorum,qu» funt , Maihe-

..inaticxi^ciTcjiiist principia Fmis.dt ln->

..finiium ,>.ro<'df7»m.

Communia Mathematica Theoremata,

. coniidsraiiones, 6c principia antemuL^afubflduot. 4* f.

C^munia •Ariihmetic* ,& Geometriae

Theoremata* Si vuique proptia qu«

ifint ,15. p.

Cfimunitat PsopofliionCi it,Sc itf* pri>‘

«aiElesnentoruaas *4*« l»

E X.Coitis Linearujdf Superfreieru .

Communitas lecur.da Lineatum, A: bu.»

pcriicierum. 6«. f.

Communitates duodecime, 8c 1 1 .Propo'

(itionum pnmi blcmemrorum. s

Communium Arnhm iicf ,Sc_Licom<trif

TheottmaiumdifiinAio. ? t.

i u .

Coparaiio L),finiiioitis Figurj leciidu Po(idoniu ad L^tfi iiionc buclidis. 8t^p.

Comparatio pulcherrima Trianguli cura

Trapezio iuper eadem Bafi,&in eif'

dem Parallelis. sie- p.

Comparatio piilchcrrimaTtianguli eu»Trapezio fiiper eadem BaRnoninetTr

dem Parallelis, (ed cum quadam aha

ccndiiionc, >te,LCSplemr-ioru nomd t>nde Iit orrG. s r .f.

Coropofitio in Maihematteisquid. i 4 e .f»

Conclufio erimtmbrism qi’ffi lone qiro^

modo Anima con&itoai Maihcmaiioaformas, 9 .p.

Conclufio Gccmnrieadnpiex efi.i 1 S.ra.

Conclufiones primi Problematis buc'^dii. i«o,.p^

Concliifionis officium . 'i-- » sitf.f,

Conditiones.qux reqiiinmturad opti»

mam Elcn.iiaieminibriilfOntm. 41. p.Cddiiionrs fex definitionis Circuli,S9 .nt«

Condiciones Parallelarum reAarum Lf»ncaiHim • 1 00 , m

Conditiones quarrs Propoficilonii primiElementorum. «t .p.

Conditiones quinrj 7. Prepofitionis pri-

mi EIrmeniorum, 148 f,8c 149. p.Conditiones tres Propofiiionis 14. pnmi

Elememorura . lya.m.Confirmatio tertii membri rrimernbrit

concliifionis de ortu formarum .Ma»

ihcraaiicarum ab Anima. 9.m.Confirmatio diAi Pyihagorcorum ,'St

Philolaidc Taianguto . • 9 r_f.

Gofutaiio opinionis Carpi, A: ApolIoniLflf Pluiarebidr Angulo 7o.J>*

Confutatio opinionis Eudetnide Angu.>lo. 7t».p.

Confutatio opinionis Euclidis de Angu-lo, 70.m;

Confutatio Definitionis Anguli,quam

STiidtr Euclides. 1 7}. m-Confutatio opinionis Democriti de An-

gulo. — 79. f.'

Confutatio opinionis Antiquorum deFigura. »o. p.

Confiiratio. opinsonia 'Stoiebrunii de Ff-

. gura. — • fo.p.

^ N D H X.Cdnrutarioopfnfonis Xcnotracii dcLt'

ncia infccabilibui

.

. Confuracio primi mrmbri triro^brii cori'

. 'clufionit de ortu formarum Machema'ricarum ab Anima* f.p.

Confocaiio fecundi membri crimerobns

cocluflonir de ortu formarum Maihe^maticarum ab Anima. f.m.

Coniorciii. ci. p.ConiczreAionet,qu«,dcquot.Conicxiret Lincz, quaiuor productu»mifta Corpora <ct. f.

ConIunAio Matheraacicarii non elt Pro«porcio, vt cenfuic EracoOhenei. >

Coniuniiiio prima Mathcmaticaru. if.f.

CoiunAio fecunda Mathcmaticarfi. i f.f.

CoiunAio (criia Marlicmaticarum, >tf.-p.

Conoidet SuperScief qu; dicamur. 6$. L-

Conoides rcAangulum quid.Conoidea obcufanguluro quid.

Conlideratio pulchra in Triangulit, 8c-ia—iis, quz fune. sia.-X.—

Cdndcrariopulchcrrimadr vU iij.p.ConftruAio quando deficiar. ssT-p,

ConilruAio primi Problematis Eucli^

. dis. siy.m.ConAruAioDitofCciura. s s5. f.

Cdiemptaiio quorundi de Terra,Cerere,

Vcfia.dcRhca. p. 99.^Cdcemplatio duorum Circu lorum zqui«

. lacerum Triangulum comprehendens

'tium. sii.p.

Continuatio libri fecundi Autoris cumc primo. is.pl.

Cominuatio libri tertii Autoriscum fc'

eundo. •.'-'• n; I : sot.p.

Poniinuatio quani libri Autoris cumxeitao. ii|. p.

Conuerfa Theoremata przcedentibus

icrtiperconfequentia fune. 1 P.

Conuerfa Theoremata per OeduAionem• aditupotnbilsvt plurimu debent oftcs.

di i-Problcmata vero per przcipuam.qdetnonilrationem. iSp. p,dcContKrfa quintfdecimx Propoficionis

primi Eleroeritorura . -

Conuerfa quadragelimf primae Propofi'

tionis primi Elemetorum. > c4.m.Conuerfx irigeiimfTecundf Propofitios

nis primi Elementorum. isf.f.

Conuerflo apud Geometras quid. 141. f..

Comierlio Geometrica duplex, Prxeispua.de non Prccipual, vel propria^ &C

impropria. 144. m.OiAucrlio triplex cft. sfi.T.

.

Conuerfiones falfx qu» llnt . '•'»44. f.

Conucriionis modut^qua conuertitur vl.

cimum Theorema primi Eletnemosrum,dcalia. i 70 sf.

Cduerfum oAaui Pronuntiati primi Mesmftorum noefi verum niii in itmibLus

fpecie fpecialisfima . si 7 .*f.

Conuerfum primx ,dc fecundz pasfionis

14. Propofltionis pnroi Eleraeuuxs—rum. 11«. m.

Conuerfum quoddam aliud quadragefi'

rop primf PcopoRtionis iuxta ahumConuerAonit modum . s r4 - f.

Cornicularii Acuto ftmper inxqualii

eil. ticju.Corollarium quid Ac . tis.m.Corollariu quintfdecim; Propofluonis

primi Elementorum. i7-».-p.

Corollarium duplex eft. 1 1 • .m,dc 1 7 1 .p.

Corollarium tanquam Sumptio ez_ixi.

PropoAiione pruni Elcmecaoumi foas

curiens. t-ra.f.—Corolltrium aliud ex s 4. PropoAtione

primi Elementorum . 177. p.

Corollarium tanquam Sumptio ex 17.

Propolliione primi Elrmentoru.i 7L9XCorollarium ex SeboUo Franctfei Baro.

—

.i eii. 104. f.

Coronaapud Geometras quid. 91.1».

Cur Placo in Timfo Animam cx Mai hr,

maticis formis conftituae , 9./.Gur Plato multas experientias,& Artes,

quf verf fciencif non funt, fcientiai ap.pcllauerit. 17. £,

Cur proceres Fatid.coi ab omni ad hu.manam vitam refpeAu Socrates au r r^

tac in Thetteco.. . t$.p.

Cur dkint Pythagorei Maihemaiicanicirea finkum verfari . i 1 . f.

Cur tertia Geotnctrifipeciet non At , q dePunAii,de Lineis tantam agat, it.p.

Cur Plato adamantinam Polorum rubO.fteniiam dicat. rs.m.

Gur Pythagorei Polum Agilium Rhe(vocabant. y . ^

Cur iidem Centrum louit carcerem, ys.f.

Gur Plato naturales Rationes per Phn.tmanircftariiubcbat. jt.f.

Cur Euclides i partium negatione Si'

gnuradeRniac. >4. E'

Curi Pythagorei Lineam dyadicam ap'l

ptllabant. i-r. f.

Cur Euclides duas laniAmLinef fpecici

tradideric, ^Gar.Pyihagorel Ternario Super£cKm

I N DMRmilauerinc.

Cur buclidn Planam cantiin dcfiniueni

Superficiem. ^ 9'-^

CurEuclidei Semicirculum in primo ii'

bro definiat, de non in tertio ,vbi peor

priuteii iocui. 9i.p,&9>.p.CurEuclidei duplicem Trianguloru di'

uifionem tradat 94 - f.

Cur Euclidei prxtermtfrrit conuerfara

• t. Propofitionis primi Elemento^

rum. » 7 ».p*

CurEuclidei Propofitionem 19* primi

Elementorum per Demonfirationedi'

reiilam non demonlirau it. J_i4. m.Cur Euclidei trti Anguloru in Paralie'

lii fumptionci prftermiferit • 117 an.

Cur non fit conuertenda )o. Propofitio

primi Elementorum. ii^f.Cur familiariifimum Arifi. exemplum fit

hoc . Omne Triangulum habet tru.

AnguIoifqualeidiiobuireAii. t ii.f.

Cur Theorema in Bafibui fqualibui de

Parallelogrammo fimul,dc Triangula

Euclidei prftermiferit. t(4.p.

Cur trei foli fint 41. Propoficionii primi

Elementorum CaAii. iCi.jn.

Cur in Definitionibui Complementa Eu'clidcinondefiniucrir,

CurEuclidei duorum is drn ReAilineo>

rum ortumeradat. ti i.f.

Cur Euclidei Triangulum (qiiilaterum

per Confiituiionem producat , Qua'draguliiauif per Uelcriptione . >*T-p.

Curvniuerfd 4'. Propofitio primi Elc'

mentorum oficpdcndanpn fit. f g.in.

D. Litera.

Ata tria funt in Propofitione 44 pri'

mi Elementorum . »»4. f.

Paiu o?quatuor modii dari poe. 1 it. f.

Dacum primi Theorematii primi Elem?'

torum. iii.E-

De Petitione , Se Pronuntiaro caput vni»

cum. ioa.42._

DeduAio ad impoifibile quid apud GeO'metrai. i4a.p.

OefeAui trei conrequenier (quali Spatio

difiantetefie non poflfunt. iti.f.

Defenfio Gemini. iif-p.

Definitio Probirmatli , Se Theorematii

fecundum Pofidonium. 47 -_p<

Definitio reA( Lint(fecGdS PIat0n(4i.p

Definitio reftf Lintf fecundum Archia

aedem. di. m»

B X.Definitio Centri Circuli'. *7.p.

Definitio Poli Circuit . *7.m.

Definitio C(tri ab Oraculit iradiia.Han.

DenniiiopcrfcAa Anguli Plani . 7i.f.

Definitio prricAaA nguli Solidi. 7 • —Definitio vniucrfalu , Se perfcAa ipfiim

Anguli. 71'i.-

Definitio Parallelarum Linearum fecun'

dum Pofidonium. loo.tn.

Dcfiniiio eorum, qu( confequenier, vel

deincepteiTe dicuntur. idg.f.

Definitio Corollarii. • 1 • . m, & 1' 4. p.

Definit idel varif ipfiui rcA( Line(.< laOL»

Dcfiniiionei vari( Superficiei . 9-f., f.

Definitione! vari( Plani. 47. m.Definiiionii Maihemaiic( Circuli confi'

dcraiio. teon»Democriti opinio de Figura. 79. f.

Demonfi ratio M at hemai ica quod Circu.'

lui bifariam a Dimetiente fecaiur.tg.f.

Demonfiracio quarif Peinionii Eucli'

dii. tot, m.Demofiratio Geometrica duplex f. 1 1 tp.

Demonfi ratio primi Probicroatii Ewcii.*

dii. 119./.Deraonfirario contra Zenonem, itt.in.

Demo alia.qul dinai Zeno. 11 4 p.Dcmonllraiio praua QuorundS ficundi

Problemaiit pnmi ElrmeniorG. 1 19. f.

Demonfiraiio vitimi Pronuntiati primiElementorum. 1 > F.

Dcmoftraiio quart( Propofilionic primiElementorum. 1 17 p.

Demonfiratio quini( Propofitionii iPappo tradua. 141. f.

Demonftiatio conuerflonii fccundf par^ -

tii ». Propofitionii primiblcmenronT^qu(ab Euclide pr(tcrmiira eft. 144. f.

Demonfiratio oAau( Propofitionii pri.

mi Elcmemorum fecundum Ph iln-

nem. iri.p.Demonfiratio Apollonii Perg(i in PrO'

poEtionem le. primi ElemcmorunaEuclidii. 140 . p.

Demonfiratio Propofitionii le. primiElcracncoruro ab Euclide tradita mt'lior cfi ea

,quam tradidit Apollo»

niui. itfo.m.Demonfiracio Apolloniiin 11. Propoli»

tionem primi Elementorum. n.i.f.Demonfiratio Euclidii in Propofitionem

• 1.primi Elementorum melior efi De»monlirarionc Apollonii. ict.f.

Demufiraiio vndetim( Propofitionii pri»

mi ElemftoriI, qu( fit per Stiiueireule»

N

N D e X.«'onipprobinir, «ij.p.

D»nijn(lf «tio PorhpyrK ,quKtonfirnucquanda particulam quartydccinifX^rt).'

polltirtonii primi Hlcmciitoru. tTo.m.Dcmoiiftratio conucrfx l i.PropOlitionit

prinai Elementorum .

Dcmoi^ratioaliaeiuMf indircAai i7i,m.Demd odlaiifdeciraf Proponi lomi ptitoii

hicmftoru fecUndu Porphyriu.i^ .p,

DcmonAraiio dire.^ia Propofitionit ty.

primi Etemcnioriim . iS^-p.X)em6ftratio Prepoficionis 1 1- primi Elc^

motorii ab Aiiiomradila, qiifcft »xqufiior Ocmonflration.- EucLidia tpi. p.

Ocmoniiraiio Apolloniiin ir . Propoli'tionem primi Elementorum, qucjLm'natur ab Auiorr. t9l*p-

Cemonliraiio cdiufdara pulchrx Sum'ptioniii la r.p,

DcmOnliratio vigrlimfquitux Propoli'tioiiti primi Elelitrntorum fccundiunMenelaum Alexandrinum. ao^.f,

Deroonli>acio vigelimfquintf Propoli'lionii primi Elementorum fecundumHerone Mecltanicum. >e( m.

Pcmonliraiio vigelimyoAatiy PropO'iiiionii primi Eleroencorum fecundumPiolemjum, ilt. p.

beinit firaiio tertiyparrie i*. Pl-opoF'

tionii primi Elemfeoru fccundu Piolc'marum . tio.p.

Dcmonftratio,qttam haber ArilV. primode Cyto rex. rrigelimoquinto. i>r-m,

Demonliratlo SuOiprionit, per quam df'monliratiir quinta Petitio prmi»_EIr'mentorum.

Demonliratlo pblchra r.Petitioni* primiElemcntorii ab Antore tradita 1 14 p.

Demonliratio trigeiimxfetundf Propo»Htionis primi Elementorum fecundumPyihagoreof. ail.m.

Deroonllracio Autorii.qudd longitudi'nii accrecione opu* Iit ad Spatiorum

,aequalitatem feruandam. >ry. f.

Dem5Hratio crigelim^nonf Propoiitioni*primi Elementorum in reliquo abfor'

. dySuppoliiiOnitCafu. t|t. p.Deraonftratio duorum Theorematum ex

iiiquaiuor.qux Elememotum inftitu'

toromilit. ifi.f,Deniolirailo quadr agefimy primy Propo

iiiionit primi Elemfcoru in Bklibu*

^ tdi xqiialibuii » p.Demonliratio Propofilioni* 4f. primi

Elememorua*. «,C|.f..

Dtmnoflrationei quontndS Promtnti*'torua Pappo additorii. 1 1 tf.de 1 14 p*

Demonllrariones vigeflmf Propofitiom*primi Elementorum i Porphyrio j-df

Herone iraditar. 1 81. p,&' i l«.m,Drmonlirarionct quintae Petitionu lecil'—

duth Ptolemxum . 1:0. m.Demortilearionrt coruerfaru trigelim*'

fecundx Propolitionit primi Elcmeti'fOru(T>« j j p,

Dcmonllrarionei duorum vtilitHmorumTheorematum.

Dertibnllrarionitofariiim. 11«. i.

Demonllrationit Geometriez perfe"ilio . 1 1 1. p«

DeiiruAto Argumenti Plaionicoru coO'Iri Mathematicarum viiliiaiem. i-9-.m.

Del ruAio A rgumentoriim,quz S fle5 i

poHent in Autorem circa opinionemfuam de Angulo. Vt.m*

DeftruAionei fundamentorum opinioni*kliorum de Angulo . 7»vp.

D«erminat Io quando deficiat. 1 17. m.Determinatio Diti eft . 1 -7 m.Determinatio primi Problcmatii Eocit'

dn. a ly. m.Deierminarionit nfT<{ im . « iif. f.

Deiiivmimefledciiur.DruaTriadicutquid. M.f.Di-igoniui quid fit. ty-iin.Dialetica eft puriifima Philofophiz

P*'*-Diale Aici

,qu» Meraphyfickefi cur PU'

to Mithemacicarum falligium in 7. deRrp.apptllaUerit,,

Dlfieremia fecunda Linearum, & Super'• iicierum. p.DilfevtAria inter Dimetientem, DiagO'nium, 5( Axem. ' fy. m.

Diffrreniiaquzdam Cfiuerfionfi. 1 ly. p.Dlfieremia

,quz in Paralellogrammorfl

diuiflonibui apparet. ti4.pxDilTerentia Propoficionum j j,Sc td.pri'

mi Elementorum. . ^ . fDifieretuiz iret Problematit, & j beore'

matii fecundum Carpum, 1

,

Difieremiy duodecimf ,Jfe frigefimr primpPropoflrionif primi BlemjiorS. 1 itf.t

Difficile efl Elementa coniiniere. 4». f.

Digretfio contra Ariil.qucd Anima notrfit tanquim tabula rala. y.m.'

Digreifiodeoiiu Mathematicarum Sci'cntikrum ab Anima . ti.p.

Digretfio contra Stoicos, A riflote I* de"

Terrainorucorporiffubfiitfiia. /t.p.

! N D

Oigffsfio de Linearum ad ea, qu* fune

fimiiitudinc. <?•• p-

DigresiiocP Termino.ei Terminato,«tfm

Digrejfiode AnguJi Qiiod quidefle.Ss-f

J>igres(io de Circuli pcifeaione. S+.f.

Uigrctito de coniemplaiione Centri ,&Diftaniiariim a Centro ,dc Circunfe-

reniiar in Exemplaribus ,*7.m.

Digrrkflo de ordine Pythagoreorum ,dc

A rillo.in corporis Terminis, dccorpo-

re. S<.f.

Digretlio quomodo fcfe habeant Signa,

& Linea in formis immaierialibus. s ( f.

Digreiiio de Anguli confideratione in

intelleAilibut . 7>>f,

DigresOo iniieftigans ex mente Pyiha-

goreorum caulam cur tres flnc tcAilU

neiAiguli. 71- m.

Digretliode Figurf cdilderatione. 7 8.m,

nigresHo de caufis Figuram perficienti'

bus • 9e.fi

Digresfio de confideratione Semicirculi

iniis, qux fune, ft.f.

Digresfio de Figurarum reAilineanim In

imelligibihbuB , Sc feofilibui confide'

ratione, 91 -f,

Digresfio de TrianguIorOin iis, quf funt

confideratione. «s>p>

Digresiio de asnrailitione Triigulorum

iii,qurfunt. 9^. ra.

Digresfio deconfideraiionibusQuadran

guliinits.quxfunt.

Digresfio de confideratione trium pri»

marum Egelidis Petitionum in imagi'

nibus. S07. m.

Digresfio de confideratione TrianguH

xquilateri. sss.f,

Digresfio cotra Carpum in defenfionem

Genrdni de ordine Problematis,et Theortmatis* sj9. p,

Digresfio de Infiniti in Mathematicis

Tubfifitniia. »Cr.p.

Digresfio de confideratione Lintx ad

Angulos reAos ,& Perpendicularis in

iis,qu(runt.

Digresfio pasfionis Propofitionis lertif

dtciiTf in iis , qiif funt , ssS.p,

Digresfio de xqiialitaie, atque inxquali'

late in Triangulis,& de caufis Trian'

gulorura» sSo.m,

Digresfio de coparatione Arearum TriS

guloru vigefim(quartf Propofitionis

primi Elementorum. *9f. f,

Digresfio contra Prolemfum de quintx

PctilionisderoonAraiionibus. tsg.f.

E X.Digresfio de quatuor pulcherrimis coii'

fiderationibus in Triangulo , & aliis

RcAilineis. »to.p.

Digresfio de Vniuerfali. 1 tj.p.

Digresfio de copararione Trapeziorui»

tum Triangulis.Parallelogiimis, at^

Trapeziis, »> • f*

Digresfio Francifei Barocii de TriangU'

guloru ad principia tonus Mathemc'

licfelTemix relatione ,& de eorundena

adea ,qiif funt. Proportione, sof. m«Dii Polorum Sphfrf quid faciant, f i.f.

DiiAxium Sphfrf quid faciant, ri.p.

Diligentia Geometrica , fiuc conditiones

Propofitionis tj. primi Elemento»

rum . I ii.p.

Diligftia Geometrica Propofitionis 19«

primi Elementorum’ Sfo. f.

Dimetiens Circuli quid. *9*P»Dimetiens in Circulo taniura proprie di»

ciiiir,& Diagonius in Figuris, quf ha'

beni Angulos, •9."**

Dioptricaqiiid confideret. s4. ^Diliicianauigioru in mari ofifdif per if.

Propofitionf primi Elemfioril. 1 1 i.in.

Diitnbuiio opinionum de Angulo.7 » .f^

Diuina Scientia cunAas fimul Maihema'ticas cognitiones in vnii conrinei. 4 P«

Diuina Scientia omnium Scientiarum eft

capacislima. dcillaefi-, qiif eognofeit

comunia Mathematica Thcorcmata,dCprincipia, f.m/

Diuina Scientia, fiue prima Philofophia,

' qufDialeAicaa Platone vocatur, cun*

Ais Mathematicis Scientiis principia

largitur.

DiuifioScientiartt«,& Anium fecundS

Platonem. S7. f.

Diuifio Mathcmaricaruro Scientiarum cx

mente Pythagorf. xo.f,

Diuifio tonus Mathematicf Scientif exmenteGeminl. is. p«

Diuifio ipfius Vniuerfalis . s,.f»

Diuifio Lintf fecude Geminfi St.f.t so.f,

Diuifio Cognitionum fecundum Plato»

nem . • - f,& f . f»

DiuiCoeorum ,<pif fubcognitionf caduc

iuxta Platonis feniemiam . >*P.Diuifio primi hbei blrmenioriim. 4*>f*

Diuifio Lincf fecundum Platonem , Se

Arifioielem. «o. p.Diuifio Angulorum. 7«.m.Diuifio Figurf illius, quf aduobus Ter»

minii comprehendiiur , 9>’P*Diuifio Planarum Figurarum. 9 • p,

Diui»

I N'Piuilio Q:iadrifar(rarum Figurarum ft»

eundum tuelidrm . 9S.f,

PiuilioQ,jadrilaicrarum Figurarum ic'

eundum l'ondomuin . 97 >p<Diuifio Pionuni latorum, per quam COU''

fuiaiur quurundain Matheroaiieorumt)pmio'de Pctiiiuiii>,& Pronuniiacicd'

mumtaie.dt ditirreiitia. tof.f.

DluiHo Amorum qui confa Cjeomeirii

inftarunt,& opiiiionum coru. •i4.m.

Diuifio vniuerfalib Problcmaium. i > >.f.

Diuiflo Theorematum. •ty-in.

Diuifio Mathematicarum probationuexmente Autori>,dC Porphyrii.

Diuifio triplex Corollariorum • t *4- ro.

Diuifio pulcherrima cumparationii Iri^

angulorum ad inuicem. loy. p.

Diuifio Symptomatum Parallelarum Li-

nearum . a 1 1. m.Diuifio Theorematum Localium. i i>.p.

Diuifio Cafiium Propofinonii pumiElementorum. >41. f,&

i

44.f'>

Documentum Pappiin4. Euclidu Peti-

tione. ia >. f«

Dodecagoni Angulum loui Philolaut

curconfecrauerit. 99. m.

DufreAxLinex nullum Spatium com-prehendere poiTunt : 8c h*c t(i cajiTa

quod non Parallelat in infinitum ex al-

tera parte producunt.iiecudaliaru rtrii

ciicaufa.9*.m,9 i.m,«oo.p,5c 1 1 1 . m.

DuxCirconferentixduo Signa coniun-

gere poiTunt . feddux reae Lineae -iie-

quaquam. ijd.f.

Dubitatio bimembria de Geometrica

materia. al.f.

Dubitatio de partitione rerum imparti-

biliura . a>*P>-

Dubitaiio an Circunrerentia|indigeat re-

Aa Linea ad to tflitutionem.

Dubitatio quomodo omnia Superficiei

Extremifint Linef.ciira neque infiniiy,

neque omnia finitf Exiremafint. 66 . (.

Dubitatio nunquid Signum Tolum im-

partibilefit. t4 'P*

Dubitatio quomodo impartibiliain Phi-

lafiainfpiciantur.quz cunAa partibili-

ttr recipit . I »• P»

Dubitatio quomodo Line* extremitaiea

Signa diAa fint,cum neque infinita Li-

nea, neque omnia finita extremitaiea

habeant. 19. l.

Dubitatio Xenocratta contra Platonia,df

Arift.diuifionem Linearum. 6».f.

Dubitatio de infinitia Dimttiemibua.qua

D B X.

dcloS. Grammaticua vfua fuic.inlib.

comta Pioclum . yu.p«

Dubitaiio conira Euclid.a dtfiniiiuntm

Figura. <a.ro.

Dubitatio de Quadranguli nomine.yt.p.

Dubiiaiio pulchra dc ii.oiu G omeiri-

eo. ac6.f.

DuUiiatio de data rrAa Linrain Iccunda

Propofiiione primi Elem ntoiu.t 1 7 .f.

Dubitatio familiariri Philutiiadr t. Pro-

pofiiione primi Elementorum Iti.tO.

Dubitatio cur tot conicquentia i» t.-Pio-

pofitione primi Elementorum Euclidea

non poTuit,quorin4. ii4.p.

Dubitatio Qtiorundam.vttum Linea c6-

Aet ex impartibilibua ._ *

Dubitaiio cur Eiiclidea fecundam partem

quiniz Ptopofitionit primi Elemenio^

rum demonfirauit ciim ea nufquamvtaf. «41. p,i47.m,i ro. m.& • J7.p»

Dubitatio cur Euclidea adiecerit in ii.

Propofitionr primi Elementorum par-

ticulaa [ duoa reAos, aut duobua reAis

zqualea]

Dubocur Euclidea no adiecit in Propofi-

iione »4. primi|Elemenioruinxqualua-

lem Atearu.vt in 4 fqualiiaic- 19 f m*Dubiiaiio.de. partitione Propofiiionum

iiim 17.IU ly.primi ElemftorQ. 1 ijr-P»

Dubitaiio aduerfua Propofitionemprimi Ejijiictuorum .

Dubiiatio rudium in jf. Propofiiionen»

primi Elementorum , »1 y. p.

Dubii ano cur Euclidea ctira Triangula

Triangulia xqualia oRendebat, Theo-rtmaiibui viebaiur: ciim auiem Tri-

angula Parallelogrammia,Problema-

tibus. atfr.p.

Duo rerum omnium principia fecundumPlatonem. i.f.

DuodenariutcA louia imperium, yy. m.

E. Litera .

Lementa variis modia multi tradidere.

4 ». P*Elcmentarc quid . 4>>P«Elemeniaria inAiiuiio vnde diAa fit, 5c

cur qui eam tradidit ( Siicbioia) hpc

eft Elementorum infiiiutor voce-tur. 4* • f 1 4* , dc 4 J.

Elementorum rationes Triangulares ait

eficTimxua, y <•"».

Elementum quid. 4s*P-Elementum duplex ex Menxchini fen-

itntia, 4s.nu

Rb^n

I N DEmolumtntum, quod Geotiittrku» ordo

Khctohdi prxbri. t4».nu

Epicurtorumimpugnjtiovigefimf Pro»

pontiotiii primi fclemeniorum. » *4< f-

Epicurui ,omnttqiaUi Philorophi niultt

fupponunt,qu( Geri nopofltim. t >4 .f*

Epigramma Perfei. tf4.ro.

Epilogus eorum, qux in primo Procli Ii'

bro diiiia fune • at.p*

Epilogus primx parris primi ElementO'

rum ,sii.m.

Epilogus totius piimilib.EIerofio. sTs.p

Epinomides Dialogus,qui Platoni aferi'

bitur, legitimus ipfinon cftex Procli

fententia. i 4>f»

Eraiofihenis carmen , 44. m.

Error Theodori Mathematici. tft.p.

.Error Apollonii ex Ariilo. Gemini,

&

Autoris fententia. soj.p,& sts.p.

Error Euclidis ex Arift. Gemini ,& Au'

, toris fententia. sof.m.

Euclides finem fiif Elemcntaris iniiiiuriO'

nisilatuitquinti Platonicarum FigU'

rarum conIHtutionem . rj.f.

Euclidesquxdam cur prxtermittat. 4 1 • f.

Euclides non ab re in vno quoc^ fuorum

librorum exponit principia. 44-m.

Euclides ipfcmet fuas Propofitiones dc»

monftrauit ex Autoris fententia. s « o,

p,i»l.m,& s|j,p.

Euclidis opera. J9-f,df4o.

Euclidis Elementaris infiitutio omnes ha»

bet conditiones , quf ad o-ptimam Elc'

mentorum inftitutionem requiruntur,

ideo omnes aliorum iniiitutiones ex'

. cellit. 4».m.

Euclidis Eleraitaris Inllitucio partim ha-

bet Problemata, partim Theoremata,

quibus non ab re quandoty quidem al-

.ternatim votur,quandocf vero alteris

abundat. 47 . m.

Euclidis opinio de Plano, 47. p.

Euclidis opinio de Angulo. tfj.f.

Euderoi opinio de Angulo. tfj.f.

Exemplum pulcherrimum aAionis Ani-

mx .*i. p.

Exemplum pulcherrimum Problematis

Inordinati. . .sitf. p.

Exemplum pulcherrimi? quomodo phS-

tafia Infinitum cognofeat, ttfj.m.

Exemplum pulcherrimi Theorematis Lotalis in Lineis Solidis.

Exemplum Demonftrationis Propofitio-

nis 4t. primi Elementorum in Figura

. .decem Laterem. atftf.p*

E X.

Expolitio verborS Platon/s In 7. de Rep.

vbi Scicnrix nooocn ab ipli Maibtnia-'

ticaabf^uhr.» 7 *r.

Expolitio quSdodeficiat.s itf,f,K • S7.m»

Expofitio Dati ell. st?.*.

Expofitioquadrupliciterfit.

Expofitio primi Problematis tucli-*

dts.

Expolitionis officium.

Ex quibus Animam conftitua opifex fe-

cundum Timxum ,it.p.

Extrema Linejquffint.

ExtremaSuperficiei quf linr. tftf, m.

Extremx confideralones Mathematicx

Scientix.ss.f.

F. Litera

.

FIgura omnis aut reAaeft,aut circularis,

aut mifta ex Platone.

Figura quid Gt. 78 .tn»

Figura multipliciter dicitur. 78. ni.

Figura in Deis qualis (it. «••f*

Figura qualis fit in Naturis. «o.f.

Figuraqualis fit in Animis. fo\l.

Figura qux a Gcciiietra confideret. $ 1 .m.

Figura Finem ,& Infinitu in propriis for-

mis quomodo ofiendat. 8s.p«

Figura ab tuclide definita qualis fit, 8 i.p.

Figurai Pofidonio definita qualis fit.8sp

Figuraquoniodo Diis attribuatur. 8t. f.

Figura Lunularis quid. 51. ih.

Figura ,qu{ Corona diciturquiJ. j s . m,

dfji.p.

Figura vtriniyconuexa quid.

Figura reAilineaqutd .

Figura trilatera quid.

Figura qiiadrilatera quid «

Figura multilatera quid.

Figuraduplicitermiftadicitur. jr t.

Figura cx circunferentiis conftruAa, qitf

habet internos Angulos duobus reAis

(quales. aip. f.

Figurf, Modulationes, Sc Motus, quibus

Aihenkfis hofpeseos infiitui vuli, qui

virtutem ab ineunte pate funi confe-

cuturi. ' 4. P*

Figurx fex fpecies. 78 .f, df 7g*f.

Figurx biformes qu( finr, goiP»

Figurarum omnium confideraiio . 75. f«

Finis Mathematicarum quid. itf.p,

FlagitiofaPtolcmf i ratiocinatio xso.p.

Formarum immaterialium ordo* s s. p.

Fundament» Autoris aduerfus Ptolerof-

sim. isima.

^s.m»yi.p.^s.p.yl.p.ys.p.

H (•

Fuft» Platonii quid •

G. Lkera.

N0x,£,

VjtEloniiSyracufii Regii didum. ir.ra.

Celoniicoroaa. 17. m.Cemini laut. 141. p,<Gcminui tradit ortui Spiricaruui

,& Cd-cboidu,& Hedcrf flmiliu Linraril.tf^/.p

GcodxOac tot funt partu,quot Geomt'

» I .p.

Gcodtlif fubieda,& cdfidcrationu.i t.m.Gcoiocirf procefruiacompolitioribui ad

fimpliciora. 49. f.

GctMuctrf t)5 poflunt rtddcrc caufam tri-

pliciiredilinti Anguli diuindis.79. m.Gcomccria prxcedii Aftronomiam

,quia

motu ftatui prior rlt . ii. f.

Ctomciria toiiui Mathtraatkc pari• »f. p.

Ceometria vniutrfale dlud conRdcrat,quod in imaginabilibui diUributum

• » * • f

.

Geometria culurmodi Scientia fit. j 1 . m.Geom;triaqux confideret. ii.ra.Geometria nobit exhibet infirumentaiu^

dicandi. ,4. m.

Geometria certior efi quim Sph;riea.fiue

Altronoroia » & quam Mechanica• ic

qudm Perrpediua.dc Specularia. 14. f.

Geometria promit i ie Ce GeoJffiam, Me>chanicam, Si Peripcdiuani , aliait^ Scutntiai. ,7. p.

Geometria orti! habuit ab agroru emenfione apud Acgjrptioi primum . j 7, f.

Geometria,qu( ab initio (uii qd fit .7(, p,.Geamtiriaquxritquatuorea,qux quxri

iblent.

Geometria quierit ipfum Quid efi dupliof»*r . xtf.f.

Geometria qGoqufratipfura Siefi.i itf-.p

Geometria quomodo qufrai ipfum Qjia^le quid efi. ittf.p.

Geometria quomodo , Si quando quzracipfum Propter quid eil. 1 itf. ro,

Geomrtriz dux funt fpeclei. PlanorumconfidcraiiOjiSe Siereometria. a 1. f.

Geometrix principale officium, 1 1, p.

Geometrif fubieda fub cogitationem ca'dunt ex mente Platonii. rimi.

Ccomeirif fubicfta, accidentia.& princi'piaquxfint. ,4.^.

Geometrif Arithmecicei principia dif-

fcruni inuiccm.&communicant. i s-p.Seometrix laudet. .<

D P X.

Geometrix Joitui, Si Inuemorct. n-t,}S,Sc 19.

Geometrix propofiiiim. 4»

. p.Geometrix primum propofitum . 4«. p.Geometrix fircundum propofitum. 4 t.m.Geometrix totum propofitum. 4«.f,Georoetrif deqbuifit fermo.i I r.f.i tj.f.Geometrica materia qd. > l.p.i i .f,d j « .pGcometrtcf fermx in cogicarione pofitx

Aint|nofcj) d fenfilibui ieparant.df a /en^fu ad mentem excitant . 19. m.

Geometricorum fermonum ordo. 44. p,4r. 4^,& 47 .

Gnomonica quid confideret . 14. m

H. Litera.

Allueinatioquorundlrx Arift. fen^tentia.quinen Vntuerfale tanquiVni'uerfaleofiendcbit. H7.p.

Hallucinatio Chorographorum. >41. p.Hclicii Planx generatio. t o t ,

m.Helicium .Cylindrica fola efi fimiliG par^

tium.non tamen fimplex . tft.f.

Helix in Sphfta quid . ge.f,&i4.p.Helix in Cono quid . tf’e. f.& 44 p.Helix Cylindrica quid . tfi.p.Heron tria fola PronStitta pofuit. > • i.ra.Hicronii Syracufii Regii diAum . 17. p.Hieronlinauii. »7.p.HippocraietChiiii fuirprimui fnuenior

InduAionii Mathematicf . iii.f,Homerica Minerua

, >7. m,

I. Lftcra

.

Joentitatem In qulbui oftendat Eueli»«*«• 114 f.

InquibuirefprAibui confeqiientia iden-tkatlivenficetur. ' i»*.p.

InRebui immaterialibui fimpliciora cS^pofiiioribui prxcellunri

' ro. p.InRcbuimaieriatibui compofitiora pry..

ccliunt fimplicioribut. ro.m.

Indcinonfirabiiia idrreonih’abilibuina.'tura difFcrunc , Si eorum Scientif di«uerff funt ex mente Arifi. 1 1 a. p.

loduAio Mathematica quid fir. iii.f.InduAionit Mathematicx cC InduAion*

logica fimilitudo. tii.l'.Infinitum in phantaflafubfifiit. i4j.m.Infcriptio Elementorum Euelidii. 4». p.JnAantiaMatheraatiea quid fit. iit.fiInftanria qtiorundS aducrfui quinrf PetU

lioncffl primi Elementorum. 1 1 •. p.

n a Inllaiw

N' D‘ E X.

InUmda vltlnrf Th«ortiiuri» primJ Ele-

racniorum. *7»,p*

Inftimiaeftpiimf PropoBtionif primi tle

mrmorum. »49.m,i«o.m.

tnAancix PropoUtionll » ». primi EltmI'

iorum. t<4-p.

Inftintif Propofitioni» » • .primi Elcmeri'

eorum. lyo.p.

Lucllcftili* raattri», qua Signii materiale

dicitur ,vnitat autem immaterialia , iC

Numerui. 5t*f.

Inuentio Imerualli Tyrrannicf voluptatit

ad Regiam, iuxta Planam, SoIidam(^

generatiorem, de qua Socraiea in 9 . de

Repu. t4.n>-

luiienei ad Cafuii, Sumptionumc^ varie-

catem libenter currunt . tif.f.-*•

L. Litera.

I.rf Atera quomodo dicantur Anguloa

.fubtendere. »t^*p.

Laterum «qualitaa in Triangulis infert

,,(qualitatem Anguloru abeis fubten-

forum.dc i contrario, a»o.p.

Latuimaiui,dc minui quomodo fumen-

dum (it in » I. & a 9. Propofitionibus,

cum in Aequicruribuf.turain Scalenis

Triangulis. sSa.p.

Linea quid (il. Itf.p*

Linea longi! primum , Sc Simplicisfimum

tiUnttruaJIum. ** P*

Linea tum finita eft.tum infinita, j 9. m.

Linea tripliciter Geometra vtitur. f9.m.

Linea reSa cuius fit Nota. tfi.ra.

Linea Incompofita quid ,di.f.

Linea Compofita quid. «t.l.

Linea refraSa quid. ^> -f*

Linea Figuram efficiens quid. «t.fi

Linea ,qu( in infinitum Figuram non fa-

cicquid. tft.f.

Linea conch» fimilis , vel Conthoidea

quid.

Linea indefinita quid. <4-p.

Linea Plana quid. fe, d4, df s 1 1. p.

Linea Solida quid. 4o.C4,dc ait-p.

Linea CilToidcs quid • d4< P«

Linea Helix quid. <4-P.

Linea refta quid fit. ««.p.

Linea reAa Line; rcAf quomodo dicatur

fqualis. sif.f.

Linea rcAanon reAarii mfAira eft. t $ 9.p.

Llnef varif definitiones . $s,t.

Lincf notio iuxta Apollonium.

Linef pulcherrimus (cnfua. ft.m.

Linef partium fimilium tres folf funt .Sm(.

r,dcd9.p,

L tnff p«r confufionf ih miflf funr • 7.»-

Loci, ex quibus liabef quod Procli pro-

politum erat exiponere totam Eleroen-

tarem Euclidis inilitutionem,

t4o.m,& t«9. p.

Locus, ex quo habetur quod Euclidet

fuasPropofiiioneidem6ftrauit.siB.p.

Locus Geometricus quid fit. »jf. p.

Locus Admirabilis apud Mathematicos,

& apud Stoicos quid fit . si9»m.

Locus , vbi qufdam verba non videntur

effe Procli germana, fed ab aliquo ad-

dita ad perfidenditcomentariii. s9<'.p.

Locas,cx quo incertum eft, an totam Eu-

clidis Elementarem inftitutionero ex>

pofuerit Autor. s7*.f.

Lunulaquidfit . 91«p.

M.Litera.

^^Ateriaduplexexfentemia Arifi.df

Autorii. jo.p,&jt.p.

Maieriaintelligibilisquf. 4t- 1.

Materia Problematis, &Thtort. 4«. ni.

Mathematica efientia media eft inter eisc-

eiam Naturalem,& Metahpylici. 1. p.

Mathematica Scientia propter fe eft ex-

petenda . sj.p.

Mathematica ad intelligentem cognitio>

nem nos deducit ,Anlm(4 oculum

ad Vniutrforum cognitionem prfpa-

rat. is,p,&itf'.pi

Mathematica Scientia propter vitS con-

templantem eft expetenda, itf.m»'

MathematicieilentI* medietas. t.p.

Mathematicf res cogitationi fubicA{ funt,

& cogitatio eft inftrumcntum iudicani

ipfas. d.m.

Mathematicf per fe IoH aliquod bonO eft,

ideo non eft fpernenda etfi ad huma-

lioavfusnon prodeft. s«. f.

Mathcmaiicx Scientif partes principales

Arithmetica ,Geometria, Mechanica ,

Aftrolbgia,PerfpeAiua,Geodffia ,Ca^

t)onica,flue Mufica, 6c Suppueatrix.

ss.p.

Mathematicf difciplinf prfcipui remi*

nifeentiam oftendunt ex mente Pla-

tonis. itf.ft

Mathematices nomen vnde fit ortum. 1 (•

L&sv.p.Mathematices nomf 4 Pytbigorcis qu^

moido fit repertum. s<.«3

i

1 NMMhcmadd clari. tt-p.Mai ht fls omnji , rtminilccntia cft tx Pl».

toni» fenrfria, St Pythagortoru. »«. f.

MathtmatKt» quatuor funt part«,inftni'mentorum EiTcArix, miraculorum Ef.fcArix,»rquilibraiicium,ccntro poodc'ramium^uc Cognitio, & SphaerarumEiFcAriz. »4.f.

Mtdieta» Mathcnuticorum generum, ac

formarum. a.m,Medietas MarhematicfScicmiar. lo.m.Menarchmi opinio de Theoremate , Se

Problemate. 4j.f.

Menfchmui fuit inuemor conicarum Sc'Aionum. tf4.m.

Mfns vltima, Sc paslibiUs , Se quy redpit

fpcciciquarRt. to.ro.&iotf.f.Mercurialia, dcMincrualia munera. »7.

ro,dCi».m.

Metheorofcopicaquidconfidertt. i4.f.

Methodi tres Maihematicp.quf i Platone

traduntur. tst.p.Militaris arsa Mathematicis excludi{,ncc'

non Medicina.dc aJif . si.m.Miraculorum EiTeAricistres funt partes,

yna, quy fpiriiibus : altera, quf ponde-ribus ] tertia , quf neruis , Spartisqiie

vtitur. s4*p.

Mifta Linea quy Rt, ii. m.MiftioinLineisaMiRionein Superficie'

bus quomodo difieraicx Getbini feiv.

tentia. <7.f.Miftio dupliciter Rt, ^7.f,&pi.f.Modulartones.& motut,& Figurf virtuti

conuenientes, quibus AtbenienRs ho'fpes cos inRitui vult

,qui ab ineunrc

adolefcftia virtute cdrecuturi tuc. »4.pMotus vc SuppoRtio principii? cft. 4s.m.Motus ab infqualitate cmanai«Quies autf

abyqualitate. s4.p,&9tJ.Munus Problematis duplex iccundumMcnfchmum. 4t.f.

Munus Problematis quid. s 1 fsm.MunusTheorcmatit quid . ttr.m.Mufvum fermo in t. de Rcp. 4. m. s j. f,

dcii.f.

N.Lkcra.

^^Atuty ad Animam pulchra comparasio. to. f;

Negatiuz orationes principiis conueni'

unt ex Platonis fenientia. 54. f.

Neutrum Theorema quid. 41 .m.Nteomedet fiiic' inuemor proprietatis

D E X.

Conchoidum Linearum . ssy. m.

,

Nomina h«c raifj&sAa, «*Mi4rrquid Rgnificent apud aniiquos

,quidi^

apud iunioret Mathematicos. >«4. p.

Non omnis Angulus reAo xqualis,rtAusSe ipfc cft ex Pappi , Se Autoris feri'

icmia. iot.m,& trp.p.

NonomnisLincaabomni Signo ad oni'

ne Signum protendi poteft, »07. f.

Notanda quinqin lo.t ,& ssaJeRnitiO'

nibus Euclidis. p,& f.

Numeri, qui in terminatis limitibus coni'

mufua cunAis Mathematicis rationi'

bus comprehendunt , in quibus etiam

menfurx fertilitatis, fteriliiatisqappa'

rem fecundum Platonem. 4. m.Numeri in opinione fubRftunt. s^.f.

Numerorum cognitio apud Phocaicas

coepit. r>. p.

Numerus Geometricus Platonis.quo ni'

hil obfcuriut ex M.Tullii fentftia. • t .f.

Numerus prycedit Continui?, Se Binarius

Lineam, dtVniias Signum ex mente'Platonis. »*.p.

’

Numerus quadrlgulus Numeri quadri',,

guli duplus Inucniri no poteft. 1d9.ro.

O. Litcra.

^^BieAio quorundam quod quinta Eu'elidis Petitio in Petitionibus connu'merandaftt. sto. m.

Obnisigu IiConi TcAjo quid.d t . f,5c te cfOnopidci fuit primus inuftor PropRtio.

nis st. primi Elementorum referente

Eudemo. spt.f.

Omnia qusecunqin Plana traAatione dc'

lb'ibimut,in vrto,eodem(^ Plano exeO'gitamus. dy.ro. s 17. f,& IS t. p.

Opinio Autorisde Ctntris, Polit, Axi'but,& Sphzris. f|.p.

Opinio triplex de Angulo. dy. f.

Opinio Autoris de Angulo. 70. f.

Opinio Autoriide Figura. (o.p.

Opinio alia Autoris. >o,m.Opinio Autoris de ordine Problematis,

Se Theorematis. s s (. f.

Opinio quorundam dc PropoRtionc td.

primi Eletneniorum, dccorum funda'

mentum. STd. p.

Opinio Autoris qued aliquy rcAx Lineae

a minoribus q duo reAi produAy coici'

dunt,& abqux non coincidunt. s s >. p.

Optimum illud, quod etiam Bonum , vel

Supremum caufam Placoappellat.Ma

I Dthcmaticarum Gnitcft*

OptimutCJeomccrici fludii finit, & doni

Mtrcurialitoput. tS.m, Jt-m.

Opui '-lacheroaucct i nomine fit manifc'

lium. i7.ni.

Opiit Maihcmaticet fimilc cft o|>(ri

Dti. i7.m.

Oraculi diAum de Vnitate. f7.m.

Orphei carmen. <l.f,

P. Litcra.

P Araticlf linrf quf fine. 97. f,

Parallclre Linc( alif etiam funt prfcer

rcAas. too.m.

Parallclz Lincte non dicuntur omnet,

quf non coincidunc , fcd omnci,quf n5coincidendo in infinitum poQuntprO'

trahi. iea.ro.

Parallclograroma quomodo aequalia cfle

dicamur, t40.ro.

Parallclograroma quomodo in cirdemdi

camurede Parallelii. 14«. f.

Parallclogriroi nom{ vade Ge ortu.i i4.p

„Parallclogrammorum proprierai quid

fit, 97.f.i| ?.ro, > i4.f,& iitf.m.

Parallclogrammorum iropcriroctroriiro

Quadrangulum quidem roaxiraScii,

Rhomboidei Vero minimum. >40. p.

Parallelogramum proprid quid Gc. 1 1 4,f.

Parallolagrammumapud Euclidrm quid

Gt. ai7.m.

Paricalteralongior Figura quid . fS. f.

Partel,qu( panibui ptfcipuii Problema^

tum,& Theorematum annexae fune,

qiiot.&quf fint. tio.p.

Particularum C quod feciOfe oprtuit j 8(

l quod demonGrafle oportuit ] pul'

chraconGderatio ,t>e, p.

PasGo Propofitionit 1 t-primi ElementO'

rum vnde Tcaturiat. 171. f.

PasGonct tret,ex quibus decem fiunt Lo^calia Thcorcmaca. t / a . p,

Patfionet tres, ex quibus fiunt quinif Lo«calia Theoremata, quorum vmjinian^tum non ab re poGiit Euclides , reliqua

autem prftcrmifit ,qu( addit Autor

cumrsticentif caufa. a f4.ro.

PcrpendKulari Figurarum tnetimurali'

titudines. 7^. m,dc loo.ra.

Perpendicularis terminati Spatiorfi altiiu

dines , 3i Linearum diftantias. se*, ro.

Perpendicularis pulchra confideratio , df

ad ea.quae funt comparatio. an.

Perpendicularis duplex cA. S4s.p.

E XPerfeusfuit inuemor Linearum Spirfea'

rum .*4. m.

PerfpcAiuaqiiidconGdcret, tt,f.

PerfpcAiuz totius tres fum partti, Ptr^

fpeAiua nomine genens ,Specularia,

de Sciographica. ai.f.

Petitio i Pronuntiatio iia difiirrt ex men'

te Gemini , dc Auiorii , vt Problema d

Theoremate. soa.p.di »o4.p.

Peiicio4. & |. primi libri Euclidis nota

funt in Petitionibus c6numcrtaf cx it»

t?iiaGemini,& Autoris ao4.f,& lol.p

Petitio }. primi Elcmcnioriim non ell ia»

dcmonftrabilis. ie4.f,aoS.p,d( a ip.p.

Pciiiioncs Theorcmaiu Elcm?ra sSt,4a

Petifioncitrei,qu» verf PetitionesTunt

luxta omnium renieniiam. ao^.p.

Petitionibus quidem in ConGruftione .

Pronuntiatis vero in DemonArationevtimur. ss^.f.

Petitionis,dc Pronuntiati communitas,dC

dificrcntiacx rcnicniiaGemini,dc Au'coris. soa.m.

Petitionis,dc Pronui.iiati communitas,dC

difiicrentiaiuxia Archimedis, dc fcqua'

cium opinionem. 104. p,Pciiiionis,dc Prominiiaci communicas.df

difiirrcniia luxf a opinionem lum Stoi«

eorum, tum SpcuGppi,dC Arophino»mi. to4,p.

PcTttionis,dc Pronuntiati communitas,drdifferftiaiiixtaahoru fmicncii. ao4.m.

Petuionii.dc Pronuntiati communitas.dCdifiirrentia luxta opinionem Arifio.

44>m,dc 104. m,dc I ii.f.

PhamaGa media eA inter fcnfuiD,& men'lemexfenccntia AriA. t*. f.

Ppaniafla ex impariibili ad pariibile

procedit. is.pPpantaGf duplex vis.

PhaniaGamcur AriAotelesmenccm pas.

Gbilem vocauerit. je.ra.

Philippi MaihcmaiiciobrrcAatio in Pr«poGtione 1 4.primi Elementorum refe.

renteHcrone. s7r,m.Ppilolaus Diis quatuor TriangularemAngulum cur confrerauerir. 9f.f.

Ppilolaus Diis tribus QuadrangularemAngulum cur conlitcraucric

, & qui<

bus, fl.f.

Planum quomodo in Geometria intclii.

gendumGt. «f,m,Platonis opinio quomodo fubGAat Ma«

ihcmaticacficntia. 7.p.Platonis opinio quomodo At^ma coHlkl»

I N Dforni». tJ.

I^Uioniircm^iiadc .MaihcroaticarO vtiUia(c,(Sc dignita«,& li rcicmif funt.il.p

plaionm opmiodc Plano • <7.p.Plucarchi opinio dc Angulo. 6y.f,plui Circuli quid lic. •7.'",ondcrum moiioniiquid? infquilibriu,

Siaius vero, vquilibriura ciccauracxTtDiJci fcofcniia. *4.p.

Pramoniiio Auiorii ad IcAorct . 49. p.Primx,principalitflma(4 rcAilinrf FigU'

rf.TriiguIii.iS.' ParaMclogr3mu.48.in.Primum l’rob.’cma primi ElcracnroriI

cficiit Probirroaiibut prfiiai. > >7.p.Principia Mathemaiicz fcicntif tum vnu,& MuItituPo

; lum Finii , Si Infini'

runi . II ,m."Principium fecundx partii primi Elcmcn

torum. »*4.f.Principium tertix partii primi Elementorum. uT.f.

Problema i Theorcpi e quomodo difFc'

rat. / isi.m,& I ir.m.Problema omne in Theorema reduci po.*

telf. ii^.p.Problema Ordinatu quid. ii|.f.

Problema medium quid. iitf.p.

}’roblema Inordinatum quid. 1 i6.p.

Problema mjltipliciter dicitur. i&.mProblema Mathematicum quid. 1 16. mProb'emaExcedcniquidlit. iiif.m

Problemilmpoifibileqdfit t»*.f,ct iJjfProblema Maiui quid dt. %tS,fProblema Deltcicni

, vel Minus quidiit. iiS.f

Problema Dcierminatum,vel Indetcrmi'’

natumqiiid. iitf.f,&tl9.f

'Problema perfciUii cuiufmodi debeilciTc,

quod i5e proprid Problema dicif. > i7.p

Problcmaiibut omnibus ,qux in Planoaliquid faciunr , vnum fubiici PlanumexiMimandumefl.^9.m,i i7.f,& i • t.p

Problematis partes qux, Sc quot funt.

I ft m*Problematum alia limpliciter,’alia multi..

pliciter.alia infinitis modis fiunt, itf.f

Problematum alia funt flne Calu , alia' multos habent Cafui. t17.ro

ProduAio in infinitum non omnibus ineft

Lineis. 170. t

ProgrelTus Scienrix Mathcmaticx.atqucregreifui. it.m

Pronuntiata.d; Petitiones qux dicenda'fint ex mente Arift. 107.

p

Prosumiaca communis fune generis ex

E X.

mente Autoris. ro<.f,& ttj.mPronuntiata quxdam

.qux a Pappo ad'

dita funt. iir.fPronuntiatorum duplex proprietas cx

Auroris fcntentia.vbi notanda cficon'tradiAio cum iupcrioribus , fimuique

foluenda. tia.f

Pronuntiatum,& Petitio. atif Suppofitio

quomodo dificranticcilduArifi. 44 mPronuntiatum vltimiim pnmi libri bu'

elidis nonefi collocandum inter PrO'nuntiata cx fententia qtiorundam Ma'thematicorum, 6c Gemini, & AtiiO'

ris. i04,f,&toi.fPronuntiatum 7.Si s 0. rcfcciiur ex racH'

te Autoris. 1 • r .mProniitiaiurnquoddS,quo vfusclt Arifi.

primo de c;lo tex. iti.mProportio cunAa in Miiodo colligauic

cx mente Timxi, s;.pPropofitio prima,Problema primu primi

Euclidis blementorum. tif.pPropofitio primi Problematis Euclidis

qualis fit. *>9.pPropofitio fecunda, Problema fecundum

primi Elementorum

.

Propofitio tertia , Problema tertlLm pri'

mi Elementorum. t;o.ra

Propofitio quarta , Theorema primumprimi Elemeniorum. ijz.f

Propufiiio s.Theorema t.primi Eletncn'torum. ii9.m

Propoficioc.Thcorcroa i.prtmi Elcmeo'rorum. t4i.m

Propofitio 7. Theorcraa4>.prinuElcmentorum. t4i.p

Propofitio *. Thrortroa j.primi Elcmcn

torum* t j t* pPropofitio vltiroahbri quarti EIrmeniO'rum quomodo ad Artronomiam coO'ducar. s , 1 .f

Propofitio «.Problema 4. primi Elcmcn'rorum. sr4.f

Propofitio t*. Problema /. primi Elc'mentorum. tri.f

Propofitio is. Problema tf. primi ElC'racmorum. s£^o,m

Propofitio si. Problema 7. primi Elt'memorum. ids.p

Propofitio 11. Theorema i- primi Elc'mentorum. >^7<p

Propufliio 14. Theorema 7. primi Elc'memorum. sft.f

Propofitio sj. Theorema t. primi Eic'sncnroruiii. S7i.p

I N l

Propofltio tS, Th(or<ma f prhni Elt»

meniorum. 175. mPropofiiio • 7 * Theorema 10. primi Ele»

mencorum. 178. pPropolicio • 8. Theorema >>. primi Ele-

ineniorum. ' i 7 ».f

Propolicio Theorema 11. primi Ele-

mentorum. tli.f

Propolicio 10. Theorema t}. primi Ele-

mentorum. t84.f

PropOdeio > > . Theorema >4- primi Ele-

mentorum. ct7.pPropofltio Jt. Problema 8. primi Ele-

mentorum. >(9*pPropolicio M. Problema 9. primi Ele-

mentorum r i9>.f

Propofiiio >4- Theorema 15. primi Ele-

mentorum. >9J-mPropofiiio > 5. Theorema * 6 . primi Ele-

mentorum. >07.pPropolicio xtf. Theorema 17- primi Ele-

mentorum. 109.PPropolicio 17» Theorema « 8 . primi Ele-

meniorum. >i4.f

Propofiiio » 8 . Theorema 19. primi Ele-

mentorum. t(7.mPropofiiio a9. Theorema >o« primi Ele-

meniorum, i> 9.p

Propofltio IO. Theorema 11. primi Ele-

mentorum. it4<mPropolicio 1 1. Problema IO. primi Ele-

mentorum. i>4.pPropolicio }i. Theorema it. primi Ele-

mentorum. a>7*pPropolitio Ii. Theorema a 1 .

primi Ele-

I mentorum. ili.f

Propolitio i4< Theorema 14. primi Ele-

mentorum. xit.mPropolicio I i« Theorema • i. primi Ele-

mentorum. xi7>mPropofitio li. primi Elemfeorura in nu-

mero admirabilium in Mathematici*

Theorematum. ai 9.p

Propofiiio itf. Theorema %6» primi Ele-

mentorum. >4>.mPropolicio 17. Theorema 17. primi Ele-

mentorum. *47 .f

Propofitio ii: Theorema > 8. primi Ele-

' mentorum. *49.pPropofitio 19. Theorema 19. primi Ele-

mentorum. *7<>*p

Propofitio 40. Theorema IO. primi Ele-

mentorum. *l>.pPropofiti04i.lTheorema ji. primiEle-

jmeniorum. aiK-oi

E XPropofitio 4«. Problema I*. primi Ele-

mentorum, >l9.m

Propofitio4i. Theorema i>. primiEle-

memtorum. iSi.m

Propofiiio 44' Problema t». primi Ele-

mentorum. *^4.pPropolicio 4|. Problema 1 1. primi Ele-

mentorum. »tf|.f

Propofitio 4(. primi Elemtmoru m vni-

uerfalior eftPropolitione 41. eiufdcm

primi,necnon vliima fecundi Elemen-

torum. itfj.f

Propofitio 4^. Problema • 4. primi Ele-

mentorum.Propolitio 47. Theorema u. primi Ele-

mentorum. i< 8.i»

Propolitio 4. primi Eleroeniorumi Py-thagora reperta fuit. x68.m

Propofitio it. fexti Elementorum vni-

uerfalior eft Propofitione 47. primi

Elementorum. *«8.in

Propolitio 48. Theorema i4 . primi Ele-

memorum. i70.f

Propofitione» tum Geometricorum, tumArithmeticorum Theoiemacum vtpiu

rimum affirmationes fune. > 48 .p

Propoliiionit officium quid. iiS.n»

Propofiiionts ii. primi ElementorumOenopidesfuii primua 7dagacor.>£>p

PropolitumGeomerriar duplex, 4>.pPropofitum primi libri EI<menior3.48.pPropoficum primae partis primi libri

Elemeniorum, 48.f

Propofitum fecundae partiteiufdcm.48.f

Propofitum tertiae partis eiufdcm. el.f

Propofitum fecundae parti* primi Ele-

mentorum. atj.p

Pulchra de reifif L incf pasflone in iis,quar

fum contemplatio, tfi.m

Pulchritudo in Maihcmaiicis poiisfi-

miim reperitu r. t * .na

Pythagorei inuenerunt Propofitlonf » ».,

primi Elcm?toril referfte Eudemo. 1 1 8.pPythagoreorum philofophia

, dt Philo-

laus in Bacchis vtens Machematicit

velaminibus Sacram diuinarum fen-

tentiarii tegunt difciplinam'. >i.pPythagoreorum pulchra de Quadran-gulo confideratio. f$4§

Q. Litera.

VadecaufaTimeu» erudiendi viant’

Mathematicarum cognitionem tppcl-

laucric. ts.f

Qlia

k

1 N,Qjiad« caufa Timzut conccmplationem

rerum naiuraUum Mulicmaticia ex^'

plicce nominibus. i r .mQiiade caiiraduarfi cStum rcAilinearii Fi

gurarii mentione Euclidesfeceri(.9i.m

Qiiad< caufa Tl.icoremaia Localia Ideis

ChryiIppuB atlimilauerit • S|8.mQua de caufa Euclides in primo libro

Theoremata Localia in ttAit Lineis

tamiim tradat. xiS.f

Qua de caufa decem Localium Theore^

matum,quatuor,ElementoruminftiiU'toromtferit. xja.m

Quadranguli! tcrreilris Elementi eft prO'

ximacaufa. 4S.m.9t.f,& s^7.p

.Quadrangulum quintp Laterii quid.9S*PQiiadranguliim quid iit.

Quadrangulum, dcxquilateriim Trian^

gulum omnium ReAilineorum optLmafunt. x66.{

-Quadrangulumomnium QuadrilatcrO'

rum retfblineorumeft optimum. adf.f

Quadrilaterarum FigurarC feptem funt

ipeciei,.j7-m

^adripertita Elementorum exornatio

quidnt. 9f’iQjise fint communia Mathematicarum

Ellcntiaruro Theoremata. s.f

Qii» fint communes Mathematicf con^

fiderationes. 4 -P

Qji* fciemiacognofcat comunla Mathe-

niaiiea Theoremata.dc Principia, j.p

Qu* fit cognitionum Proportio, fecun'

dum Platonem. tf.p

Qu X fit Mathematica cficmia,& quoiqo^

dofubfiftat. 4.f

Qu{ diceda fit fcTa fecundu Placonf. i y.f

Qyx a Mathematico pofiulanda fint.dc

1 quonam paftoipfumquifpiamiudica'

repotfit.^

• «j-p

Qiix Demonfirationes a Mathematico,&

quz a.Rhctorico, Sc quzi Naturali

philofopho exigende fint ex Arifiot.

& Platonis fententia, a9.f,dCtso.m

,& quot fint totius Mathematice

feientie fpecies, vel panes fecundum

Pythagoreos. ao;(

QiieCc^ometrif materia. xt.p

Qiix fint QyfGta Geomctrica,dc quf non- Geometrica. s4.pQue ‘ feientia alia feientia certior fit exi

mente Arifl. j4.(

Quf i principiit'cmananc,in Problemata,

TheoreroataiiiAuidumur. 4;.pQue fiix proprie nwure opcraiionct

P B X.jn inferioribus rebus horum quatitor

Dcorii,nrpeSaturni,Martis,Pluton»,& Bacchi. pf.f

Que defiderenturin ti, 6c xx.Prochcd»mcntariis libri quarti. x4-.m

Quf defint in digretfione CommentariiX f.quarii libri, dc in fine eiufdtm com»mentarii. xsS-m

Quf conunercturin S7. commentarioli'bri quarti fi integrum efiet, qufquc in

eorcpertaniur. xt^.f.Qu( defint in principio S7. commentarii

hbri quarti. x4o.mQuales fint Mathematice rones. lo.mQuantitas quandocf communiter pro eon

ciniia,& difereta aecipitur, quandoquepro altera tSium: Magnitudo vero procotinua iemper. xo.f. 1 1 .p. 77.-1. i otf,

p,&t>}.p.

QuffitGnon Geometrici! duplex?. i4.mQiiefitum primi Theorematis primi Elc'

mentorum. ili.f-Quefiio quomodo fubfifiac Maihemati'

cacflcmia. g.f

Qujfiioquomodo Anima conftituatMa. . . thematicas formas. 7. f

Qpjfiiovbt Termini Terminatis prxeei'

lant,& vbiTcrminata-Terminis. ro.pQueltiodc ordine oAauj Propofitionis

primi Elementorum. 1 <s,mQuid fit ex equali inter iua collocari C'r gna. tft.p

Quid doceat Proclus in digresGone com'snentarii 1 «.quarti libri. x «7.f

Q}iinariui,dc Senarius medium inter ora'net Numeros potfident locum. t«.m

Qjiis fuerit imientor Conicarum, 6e Spi'. rkarum fcdiionum . 44 mQ^iod coBucrtiiut (illud imitatur ) quod

manet. l4-m/lc 8 (.pQuod opus,&qu( vires Mathematicf fcl

entif fint,dcquoufque fiut aAionibutfccxicndant. . to.tii

Qiiodficinfirumcniumiudicantrct Ma'thematicas. f.f

Qjiomodo inttlleAilia genera Fine,& Infi

niio participent. i.f

Quomodo Mathematica genera ex Fine,

.Infinkoqiie orta fine, «.pQuomodo Naturalia, fiucmaieriaUagC'

nera Fine.dc Infinito fruantur. j,'£

Quomodo comunia Mathematica Theo'rcmaia,&cofiderationcs,aicy principia

fubfifiant,& d qua confideret fei?i ia.4.f

Quomodo differat -Aniraf cognltioico'

o gnU

E XI N Dgnicione metuit. «.m

Qiiomodo re« Mathcraaricf in Animaflniimelligendx. lo.p

Qj,»omodo Pluo in Timyo ortum , atquecreationem Animf ex formis compleatMathematicis. lo.p

Qtiomodo cogitatio omnem Mathema'ticarum &'cientiarum varietatem con>Iticuat. ta.m,&ti.m

Qiiomodo tria,qux pulchritudinem effi'

ciunt in Mathematicis f]nt. >f.mQuomodo differat Ars i Scientia fccuo'

dum Platoncm,& Ariffoielem. tS.pQuomodo quifpii eruditut,de aliquo fen

tenui afferre poslit ex mente Ari.i si,p

Qiiomodo erret Mathematicus demon^ffrando. i*.p

Qtiomodo Quotum ,& Quantum i Ma^themaiicoconliderentur. xk.p

.Quomodo MathcmaticiyAr<jmlIiiaris,&

Ars hiftorii fcribfdi dicanturvti. 1 1 ,mQuomodo OialeAica Mathematicarum

feientiarum vertex flt, 8c qux fit ipfarfi

coniuniffiocx Platonis femeniia. s4,f

Quomodo rerum opifex rcAas Lineasterminet fecundum naturam circum^iens, vt ait Plato. n,(

Quomodo Centrum , i Centro ad CircS>fereniiara Lincf,dc Cireunferentia ipfd

' cum IntclIeAilibus communicent, (y.f

Qjiomodo eadem ab illis differant. l7.f

Qtiomodo inueniatur ille,qui verd eftCirculus.de vera Circularis natura, t l.p

Qiiomodo reAa Linea ex duobusffmpli'

.. cibus motibus generetur, ii.m

Qiiomodo itidem Circunferftia ex duO'. butflmplicibusoriaturmotibus. 41 .

f

Quomodo ex cdmunibui principiis pro'

prix fiant Conclufiones. to4,m. so/.

f^de iit ,m.

Qiiomodo ParallelogrSma dicantur efle

. circa eandem Dimenentem. t6 }.f

Quomodo ex Circulorum deferiptione

oriatur Triangulum fquilaterum.s 19.

m,8e i<7-pQuorundam duplex obieAio eCtra Ma^

chematices viilitatem,eiufquc folutio.

.. s4<fA>«‘P-Qporundam Platonicorum contra Ms'

ihemaiicarum vtiliiaiS obisftio ,eiuf4

folutio, S7.p

Quotum, de Qitantum principalia Ma^f thcmaticesfub.eAa. fo.f

R . Litera.

ArisCnius efi yfus 7 > Propofitionis

primi Blementoru apud EucTidf.i t k.p

Ratio Figurxduplexeff. 7>.pRatio quidem

,qu{ i Fine prouenit reAu

efficit Angulum, quf aut ab Infinito,

Obtufum,ati^Acuium. 75.

f

Refta Linea firopliclor efi Circu lari . < t .f

RiAlguli Coni feAio quid. 4 |.f,de loo.f

RcAlltnea oranis Figurain Triangulare'

foluitur. sio.p,de »6f,fReff ilinef Figur; quibusDiis peculiares

fint. • 9i'.f

Reftilinef Figurf Elementarem exorna'riint regionem.

ReAilineorum omnium conffitutionis

principium eit Triangulum ex PlatO'

nis.de Autorisfeniemia. *i°.pReiffitudo quarum rerum Notafit, atty

mago. 7tf.p,de9i.f

R cAitudo {qualitati cognata t ff . > 0 y.f

RcAitudo Plat){ Bafis ex Triangulis co'

ffltutacff,vt ait Plato inTimfO.ajo.mReffitudo Angulorum,de Laterum fqua

litat omnem habent vira ad augendaSpatia. <4°'P

ReAitudo {qualitatis caufa eft. Hebetudoaut,de Acumen,in{qualitatit. liy.p

ReAo exiftente Angulo Propofirionia

44.primi Elementorum Spatium,quodapplicatur

, Quadrangulum , aut Par^’

realtcteralongiut eft : acuto vero, fiuc

cibtufo , Rhombus , aut Rhomboi.»det. s54.f

ReAiim, de Circu Iare,& Milium d Lineis

incohantia ad Solida vfque perue '

niunt. tfo.m.desi.pReliquus Abfurdx Suppofitionit Gafus

Propofitionis }f. primi ElementO'rum. sjt.p

Reprehenfio Heronit.de Pappi. i70.fRcs.qu{ non reddit rationem, non eli feid'

tia.ex mente Platonit,de Ariii, S.pRefolutioin Mathematieis quid. i4f.fRefpeAus ParallelariI ad fefe.vel (vt Pro

cius ait) Parallelitat ipfa,qd fit. s x ; .pRefponfio ad obieAionera Platonicorum'

contra MathematicarS 'Vtiliiatd. i7.mRefponfio tacit{ obieAionis quomodoForm{ immateriales, ali{ quidem Fini,

ali{ vero Infinitati vicin{ dicuntur,

cimex Fine,Infinito4 ort{ fint, {x.p

Refponfio Gemini ad quorundt obieAlonem quod quinta Petitio Euclidis in

Petitionibus connumeranda fli . 1 1 0.mRefponfio Autorii,de Gemini edtra ArU

Aotelis,de Amphinomi opiniQn<,qudA

r N D B X.Gtonictria non qufrac /pfuni Propitr

r'<*- “tf.pRciponffo Pondonii coira Argumenimn

Zcnonti. m.fRcfponno alia Poiidonii conira Zeno-ntm. 1,4 £

Refponlio tadtf obfcAionii cur tria Problcmaca primo Theoremati Euetidri

prfporueric. 1 , ,,pRciponfio ad Qjif(liotrf de ordine oAaup

Propolicionit primi Elemfioru.r » .mRerponfioad infianiiai duodecimae Pro^

pofleionit primi Elementorum . 1 J4.mRerponflo ad impugnationem EpicurcO'rum in 10. Propolitionem primi Ele»mentorum. •t4,f

RefponRo ad iniiantiaf vigelim; fecundaePropoRtionii primi Elcmcntoru.t^o.f

RefponRo taciif obicSionii quod• 7- PropoRtionei primi Elementorumfuperuacanef non Rnt . ai7.m

RefpoGo ad dubitationem rudium in j

PropoRtionf primi Elem£torii. 1 jp. mRefponRo ad tacitam obiectionem quod

non valeat dicere, Triangula nullum

habent Latus Parallelum, ergo non

poiTunteire in eifdem Parallelis» quodtamen veru eft de Trapezoideis. s ; *,p

RefponRo ad inilaniiam vitimi Thcorc«matis primi Elrmemoruoi. >7>.p

Refponfionctconira Zenonem . tst.pRcfpdRones ad ii) itias Icptimp PropoRtio

nis primi Elementorii. s4p,m,&t to.mRefponRones aduerfus inftantii quorun'

. dam in quintam Petitionem. iss.fRhomboidcsquidRt. p4.fRhombus quid Rr. ptf.f

Rhombus videtur dimotum elTe C^ua'drangulum.de Rhomboides dimotum

, Partealteralongius. p7,f

, S. Litera.

fS Cholia Franofei Barocii in 4s .41

,

IIuPropoRtiones primi Elementorum,vbi Procli Commentaria mutilatafune. . tfi.in

Scholiura incerti Autoris contra ezpofi»tionem Procli In 14. Propofitionemprimi Elementorum. >9*.p

Scholium Francifei Barocii aduerfum inr

certuro Autorcra indefenflonem Pro.*

cli. aoo.pScholium Francifei Barocii in i4.Propo«.Stionem primi Elcracntoruoi. t44p

Feiftia niilla,fua demSRrac principia^4pScientia duple» eli. ii|.mScientif omn.t a prima pliilofcphia, fua

alTumuni principia, t.m.de f,& 44.pScientia

, dc Artes fubie>.'ia diRcric fi»

ciunt. ip.{

Sciographica fcia , Rue Sciographia quidconRderct. n.f

Segmenta quid. ^j.pSemicircularis Angulus Acuto nunqul

aequalis cR , vi etiam Cornicularis, deideo fit iranRtus i maiori ad minus nonperxquale. sjs.ra

Semicirculi pulchra conRderatio. p t .£

Semicirculi ad ea.qu» funt cSparatlo.; idF

Semicirculus quid Rt.

Semicirculus folus cz omnibus Figuris

Planis habet Centrum in Ambitu.9 1 .f

Semicirculus cum Circulo dupliciter

communicat. pg',f

Semicirculus biformis dicif. 9 1 .p,df 9S,pSemicirculus quomodo medius Rt inter

Circulum,dc rcAilineai Figuras. 9s.mSenfusex violentis pasRonibus fiunt,ex

mente Platonis. )o.£Sententiae ezdem fzpead homines per^

ueniOt iuxtaquafdam ordinatas ipRusorbis conuolutiones. )y,[

Signi definitio fecundum Pythagoreos'^eiufti expoRiio.

^ 7. niSignum quid Rt.

SignQ dupliciter conflderaf.r4.p,d^ f7.mSignum folure in Geometria eft impartL

bile. t4.mSignum, 'Vnius affert imaginem iuzta

Platonis fententil. tfo.iii

Signum Pofitione tantilmdari potcR, re<liqua autem,quar dantur in Geometriatum Pofitione, tura Ratione, tum Ma-gnitudine,tu Forma dari pojunt. 1 1 7f

Similitudo pulcherrima Triangulorumad Elementa. 97.

m

Simplex Linea qux. 4t.mSingulorum blera£iarit(nRifUtionit Eu-

clidis librorum PropoRta,ad Miindunsreferenda fum.vt volunt quidam. 41,

f

Solutio dubitationis bimembria dc Geo-metrica materia.

Solutio dubitationis dc rerum imparti-bilium partitione. tt.p

Solutio dubitationis nunquid Signumfolum impartibile fit. t4.p

Solutio dubitationis quomodo imparti-bilia in phantafia infpician{,quf euniRapartibiUtcr&fcipiu

O a Solo'

I N DSolutio dubitationi* qlTo Lintf cxirttni'

. taict Signa diAi One , ciim neque infi'

nita Linea, necy omni* finita exircinl'

lacti habeat. ;9*f

Solutio dubitationi* Xenocrati* contra

Arift. iSc Platoni* Linearum diuifio'

nem. <»>PSolutio dubitationi* vtriT Circunfcrentia

idigeai rcAa Linea adc&fiiturionZ^tp

Solutio dubitationi* quomodo omni*

Superficiei bxtrema fint Linex.cumnec* infinitx.nec* omnis finitx Extremareperiamur. tfS.f

' Solutio tacitxobieillionii quomodoLLnex Angulum continere dicantur.aim

Angulus diuinx vnioni* Nota fit.qux

omnia in Te comprehendit . 74-f

Solutio dubitationi* contra Euclidi* de.-

finitionem Figurx. (a.mSolutio dubitationi* de infiniti* Dimeti'

entibu* Circuli. yo.p

Solutio dubitationi* de Quadranguli

nomine, 9 ».ra

Solutio dubitationi* de motu GeomC'trico, loff.C

Solutio diibitationisdc data reiUa Linea

in Propofitione *. primi Elemento»

rum, «»#.p

Solutio dubitationis cur Euclide* dem5»firauit fecundam partem quintx Pro»

politionis primi Elementorum cum ea

nufquara vfurusllc. *4i.p,&i47.mSolutio dubitationi* Philonis Familiari!!

de 8 . primi Elementorum Propofitio»

ne, »f».m,df t7 *.f

Solutio dubitationi* cur tot eonfequemia

in 8 . Propofitione primi Elementorum

Euclide* noiI addiderit.quot in4- > {4-p

Solutio ex (ententia Gemini,dubitationis

quorundam vtrum Linea eximparti»

bilibusconfiet. •t9<PSolutio dubitationis cur Euclides adiece»' rit in Propofitione • i. primi Elemen»

torum particulam' |aut duo* reftos,auc

duobus rcifiis xqualei l iSj.f

Solutio dubitaiioniscur Euclide* nona»diecitin 14. Propofitione primi Eie»

mentorum' inxquajitatcm Arcarum,quemadmodum in4.;qualit atf. s pr.ra

Solutio dubitationi* de partitione vigefi»

mxfeptimf,&vigefirafoAauf Propo»

fitioni* primi Elementorum. * vrf.f

Solutio dubiiationi*,quf infiat Propofi*

tionf IO.primi Elementorum, isi.f

Solutio cut Euclidu ciim quidemTrian»

e X.

gula Trianguli* xqualia oftendeba*»

Theorematibus viebaftciiro vero Tri»

angula Parallclogrammis, Proble»

maiibus. >«».n>

Specularia quid confideret.

Specus Platonis ex 7. de Rep. *>.P

Speufippi opimo de Theoremate ,& Pro

blemaie. 4J*P

Sphxroidci oblongum quid, 4*.t

Sphxroide* Latum quid.'* '

Spirairiplexefi.

Spira continua quid.

Spira Implicita quid.

Spira Diu idua quid.

Spirx ortui.

SpiricxfeAionesquf',5f quot, «4.mSpiricxfefiionestreifunt.

Stoicorum,& quorundam aliorum opi»

nionesde Pronuntiato, Petitione, dc

Suppofitione . 4f.p,&iii.f

Stoicorum opinio de fubflftentia Termi»

norum corpori*. j >’P>& 1 s4.n1

Stoicorum opinio de Figura. 8*.p

Sumptio quid fit. «lO.E

Sumptio,per quam oftenditur » 9 . Pro»

poficio primi Elementorum demon»

ftrationedireSa. *8|.p

Sumptioquxdam pulchra. soi.pSumptio quxdam, perquam 'demonfirn

quinta Petitio primi ElemftorS. isi.ESuperficiei pulchra notio,& fenfu*.

Superficies per tetqpcrationcm mifix;

funt. gl.pSu perficies mifif du plicimodo fiunt. f .€

Superfici.t partium fimilium du; fune

tantiim. ^9>pSupcrfieicsquidfic. 4|.mSu perficiet Plana quid fir. 67 ,pSupputatrici* tot funi partes, quot Ari»

thmeticci. «|.pgupputatricisTubkifla, dc confideratio»

ne*. *i.p.’

Symptoma prfdicaium quid. 4$.mSymptomata Parallelarum Linearumfexfum. stjmi

T. Liccra»

TTEerminata materialia ptfcellunr Ter-minis materlabbu*. lo.ra

Termini immateriale* prfecllunc Termi-natis immaterialibus. jo.p

Termini quaiuor,quibus Mathematicus

diiudicandu* eft. *9<pTaminus primut,quo Mathematicus lu-

si.

m

st.f

S8.f

S*iS8.m

t NdicanduscG, .• .

Terminus fecund-its $ 9 .f

Terminus lenius- xo,p

Terminus quarius. >o.mTerminusquidGt. 77.

e

Terminusadquas Magnitudines Gcrefe.*

rendut» 7»-PTerminus ab ExtremoqGo differar. 7(.pT<rniinui Accrtiionii Longiiudinif P»-rallclogr^mmorum cftLocuiipfcPa'

ralkUrum Linearum. >40.pTernariui Tttradicui, & Qiiatcmariui

Triadicut coram gcncraliom exorna*-

. tionem conrinenti

Thalrt Mi)(fiui primuadcmonftrauic CirculumiDimeiicntcbifariarecari. tf.f

Thalci Milcliut primum ab AegiptoinGrfciam Geometriam iraniiulii. jl.p

Thalet fuit primiit inuerior quioif primi

.Elementorum PropoGiionii. •4 r.pThateifuic priffliiiinuencor PropofiiiO'

.. nif k r .primi ElrineDtorG,£uclid<* vero

eam primo dcmonilrauit. a7i.mTbalrtiiiivinuemor itf.Propontionit prj

mi Elemcncorii rcferfieEudemo.! crmTbeorcraaitiplex, Elementum, Eletnen-

tare.dt Neutrum. 4>.pTheoremaViilisfimum ad inielligendum

. loeum Platoni» in Tirajo de con ftitU'

tionc Ekmebiorum. ».mTheorema pulcherrimum VtileGe--*

mipi. .tf4*f

Theorema Simplex quid Gc* aiy.mTheorcmaCpmpoGtumquid; .«•ig.f'

Theorema CompicxumquidcTheorema incomplexum quid* > 19 .

f

Theorema VniuerfalclqutdGt. i47,m,

& > t f p*

Theorema pkrticulareqd.e49>m,dc » it .f

Theorema fecundum primi Elcmfioruro

'CuiurmodiGt* »49>f

Theorema prreedens,& TbeoremaCoj)»uerfumquid. i44*f

Theoremata Eucltdii di#'EIementa VO'cemur. 4 >*f

TheovematacopoGta iripliria funt. >4o.p

Theoremata que LocaUa Gnt,& quf nonLocalia. - , >i7af.

Theoeematibuiomnibu» ,qupin Plano

aliquid contemplantur vnu fubiici Pia

ntimtelligfdueft. tfj.m,! i 7*f,5flt e;p

Theorematii Gemini Conuerfum. 141.

p

Theoremat is partes quf,er quot sit. 1 1 £mTheorematu alia funt GneCafu,aIiamul*-

eos habent Cafui. ts7.ra

D B X.Tehurgiaquid, 79^»

Timxusex reftis ,circularibufque Lineii

Animam conGitiiit, ei-f

Timeui Elementa rcAilincis Figuris cd'

ftituit. *4-fTrapezia,& Trapezoidea EuJide» cora*-

miimnomine Trapezia vocauic. 97,f

. s4>.m,& IJ7.L

Trapezium non ab re Euclides in primo

. libro de&niuic. 143411

TrapeziumaTrapezoidequo diGcratex

. fcnteniia PoGdonii,& Antoris. 97.

m

Tres,qui euehuoiurfccundum Platonem

in Phedro. »*-tn

Tres funt Mathematicarum coniunAio^

nes. ir.ra

Tres parces funt maxime necelTarif,qu{

debent femper elTe tum in Problemate,

lumin Theoremate, PropoGtio, De».roonGraiio,dcConcluGo* st^.f

T res liint PaiGonei 74. PropoGtionis pri»

mi Elementorum. iii.f

Tria funt iquf pulchritudinem efficiunt

...cx AriRotelisfenteniia. s9.n1

Triain vna quaiy fcientia requirunt ur,Su

bicAum,Accident,& Principium, j » ,f

Tria funt,qufcircaexifient)i tum inQuStiiaiibus, tum in Q_iia1iiatibut verfanc,

EOentia.Idcm.dC Aheruro. iii.mTria sut,qu( Parallelis per fe insue, a 1 4-pTria funt, qu( perWc PaiaJlclogrammis

infuot. tij.f

Triangula,quor(i duo Latera vniiis,duo»

bu» Lateribus alterius (qualia funt, dc'

nAngulusvniusabillitfquit Lateribus

comprehffus Angulo alterius abfquitLateribus coropretirnfo xqualit

, Sc

tamen non funt (qualia nec Triangu..

la , nec Bafes eorum , nec reliqui An...

goli. ai4'P,d: I4*.pTriangula quando^ habent Areas rqua^

les,& Ambitus in(quales, quandoque

auifdconcrario.i I9.p.t9}.f,dc i4>.pTeianguia duo dupliciter (quicrura eGie

poQunt, aos.pTriangula quomodo ineifdcm dicamur

effe Parallelis, ' »49.p ’

Trianguli (quilatericonf^tutio. sar.ro,

.t' 9.f

Triangulorum duplex diuiGo. ^4 pTriahgulorumfeptemfuntfpeciei. jtf.p

Triangulorum reliquorum fuper data

reAa Linea conGicuiio, ssr.p

TriSgulorii ad fua principia relatio. soCpTriigulorum ad ea, qu( funs comparatio

- sb’, jOO^'

r* N d B5 X

Itixt» PythagorforiiBi Ctm^flun. lotf.f

Triangrilum arqiiilatrrum irium EJemf^

torum cfi proxima caiifa< 4*.ni

TriangaiUim lotiui Elemtncorii «xorna-*

lionik primaria cl^caufa. 74-f,<k «tfif.f

Triangulum ef} prima rtAilineirum Fi-

gurarum. 4S.p,&*9 .p

Triangulum quadnlattrum qd iit.

Triang u Ium flnipi ititer generationit.ge-

nerabilium^ formationis principium

dicunt eiTc Pythagorei. 9t’PTriangulum zquilaierum omnium Tri-

angulorum eft optimum, aslitnilaturc^

Circulo. •>a.p,&t«tf.f

Triangulum rqitilatcrC vnico modoton--0 iiuiTur,arquicrus autem duobus. Sca-lenum vero tribus. la^.f

Triangulum Triangulo quomodo flt ae-

quale. a>4.fTriangulum atqui1atcrum,d( Quadran-

gulum optima RcAilineorum omniflfunt. tai.p,5c

Triangulureilfangulu duplex eft.atfy.m

Triangulum RcAangulum Platonis, dequo loquitur in Iibto de Rep. tfp.f

Triplicff| debent eflie Mathematicx De-monflraiiones. ao.f

V. L itera.

Erilis PropoRtionis st. primi ElemSiorum apparet eiiam iuxia eSmunes

'notiones. ass.f

Via inueniendsr multitudinis Triangu-

lorum, in quae quodeun^ ReAilineum

refoluitur. t|o.m

Vif ^bus ^Jcedii fdftia Mathematiea.s s.p

Vi« duae ium, quibus inueniunf Trian-

gula reAanguta Numeros integros in

Lateribus habentia. lip.f

Vires Mathematicf feientif duplices.ss.p

VnarcAa Linea duo Signa coniunger

pott(i,red duae nunquam. ttSVndenam tota inceperit Geometria, df

' quoufty progrediatur , dc quae flt ipRui

vtilitas. j4.pVnitas dupliciter conilderatur, s4<pVnltu fola in Arithmetica impartibilis

cft. S4-n>

Vnitas, d( Numerus in opinione Aibil-

ftunt. • rs.t

Vnitas PunAoilmpliciorell. stf.p

Vnirites duae, quae apud rerum opificem

funt. St,t

Vniuerfale in multis difiributum duplex

eft. so.p

Vniuerfale quidem affirmans feientiis ma'

ximiic6uenit,negationecynon indigeti

vniuerfale verd negans affirmatione

indiget fi demonflrari debet, ex mente

Arift. a4>.p

V niurrfale duplex eft ex fententia Auro-ris,dc Arift. ssf.m

Vniutrfatcs formae triplicet funt. so.p'

Vniucrfalis propria Significatio ex eo-

rundem fententia. a i s,f

Vnius caufa,qux rerum omnium cft pro-

duArix fecundum Platonem.

Vnum.d; Vnitas Deus vocatur. 4<.m.Si.m,dc s<'4.f

Vnum,dc Vnitas ad Dei fimilitudineni

mens vocatur. ts^nVtilitas,quam affert Mathematica ad to-

tam philofophiam. t s .1

Viiliias,quam affert ad Theologis, i s.f'

Vtilitas Maihcroaiicf ad Naturalem phi-toibphiam. ss.p

Vtilitas Mathrmatic» ad PoliticS. s i.mVtilitas Mathematiez ad Moralem phi-

lofophiam. s4.p*V tilitas Mathematiez fcicntlz ad cfterat

fcienciat,dc Artes. i4.mVtilitas Aftrologiz ad Mcdidnam cx

fententia Hippocratis. aaJ

X.Litera.

X..Enocratis confutatiode Lineis infc-'

cabihbus. s f9,fXenocratis dubitatio contra diuiConeoi

Linearum.Arift-dtPlaionis. 4o.f

Z.Liiera.

ZEnodoti opinio de differentia Probieraatis,& Theorematis. 47.

p

Zenonis infeftus acccfiui , diciusfunda-damenta. ssa.f

F I N 1 'S.

qsnj,

. .qr ;: -'.,

- "

Ci££z^t^ui J: I..I V 'p ,S i*.

jOSirtMi) il; . ; lO.

.<> .niuiii eo)

.1 I V «A Y-A ^

X' .

u/’

.;,.5

'

* .V-

-,'«5

' - . ' •'