SUPPORT DE COURS

ECOLE THEMATIQUE CNRS

RAYONNEMENT THERMIQUE EN MILIEUX SEMI-TRANSPARENTS

14-20 juin 2014

Four Solaire d'Odeillo

* Notions de base en rayonnement thermique, G. Jeandel, D. Lacroix * Physique de l’équation de transfert radiatif en milieu semi-transparent, S. Blanco, J. Dauchet, M. El Hafi, R. Fournier * Méthodes de résolution de l’Équation de Transfert Radiatif, D. Lemonnier, R. Fournier, C. Caliot * Rayonnement des gaz : des spectres de raies aux modèles approchés, F. André, V. Solovjov, V. Eymet, C. Caliot * Propriétés radiatives des milieux diffusants, P. Boulet, A. Collin, O. Merchiers, R. Vaillon * Propriétés radiatives des matériaux, B. Rousseau

Rayonnement des gaz : des spectres de raies

aux modèles approchés.

Frédéric ANDRE, Cyril CALLIOT, Vincent EYMET, Vladimir SOLOVJOV

INTRODUCTION GENERALE

L’objectif de ce document est de présenter différents aspects liés à la problématique du transfert

radiatif dans les gaz. Ce type de mécanisme d’échange énergétique est rencontré assez

fréquemment dans la pratique pour des problèmes : à haute température, dans les milieux en

combustion (chambres de moteurs aéronautiques, fours verriers,..) par exemple ; à basse

température, dans certaines atmosphères planétaires comme la Terre. Dans la plupart de ces

situations, le rayonnement n’est pas le seul mode de transfert : il est souvent couplé aux autres

mécanismes d’échanges énergétiques (conduction, convection) et de masse ainsi qu’aux autres

phénomènes physicochimiques rencontrés dans le milieu (Par ex. chimie de la combustion dans

les flammes, turbulence dans les écoulements, etc). Le couplage entre ces phénomènes et le

rayonnement se fait à la fois au sein du volume du milieu via l’équation de l’énergie mais aussi

par les conditions aux limites thermiques directement liées aux flux rayonnés par le gaz. Les gaz

étant des milieux semi-transparents, l’estimation de ces quantités (puissances radiatives locales,

flux rayonnés) nécessite de déterminer la luminance associée au champ de rayonnement en tout

point du milieu. Ceci est réalisé en résolvant l’équation du transfert radiatif (ETR).

Ainsi, dans le cas de la combustion par exemple, on peut montrer que le champ de rayonnement

thermique en tout point de la flamme (solution de l’ETR ici donnée en formulation intégrale)

s’écrit dans le cas général où elle est constituée par un mélange de gaz issus de la combustion

(CO2, H2O, CO,..) et de particules solides (suies) sous la forme suivante (voir Figure 0-1):

rayonnement issu de la paroi transmis par lemilieu

0 0

0

émission par les gaz transmis par le milieu

, 0, 0, ; 0, ;

', ;' ', ; ' '

'

p

s

p

L s L s s

s sL T s s s ds L T s

s

u u u u

uu

0

émission par les particules transmis par le milieu

0

rayonnement diffusé dans la direction transmis par le milieu

', ;', ; '

'

', ', ; ', ; '

ps

s

p

s ss s ds

s

S s s s s s ds

u

uu

u u u

où :

- ,L s u est la luminance monochromatique du rayonnement au point d’abscisse

curviligne s dans la flamme dans la direction de vecteur unitaire u (la paroi solide

délimitant la flamme est positionnée au point d’abscisse s=0),

- '

', ; exp " "

s

s

s s s ds

u est la transmittivité monochromatique des gaz entre les

points d’abscisse curviligne s’ et s qui caractérise la fraction de rayonnement initialement

au point s’ qui arrive au point s sans être absorbé par le gaz,

- '

', ; exp " "u

s

p p

s

s s s ds

est la transmittivité monochromatique associée aux

particules entre les points d’abscisse curviligne s’ et s,

- 0 'L T s est la luminance du corps noir à la température d’équilibre 'T s (en K)

donnée par la formule de Planck et au nombre d’onde (exprimé en cm-1

),

-

4

'', '; ', ' '

4

p sS s s L s d

u u' u u u représente un terme source issu de

la diffusion du champs de rayonnement provenant de toutes les directions contenues dans

des angles solides élémentaires d u' centrés autour du vecteur u’ dans la direction u

par les particules de coefficient de diffusion 'p s .

La relation précédente permet d’estimer la luminance du champ de rayonnement en tout point du

milieu (ainsi qu’à ses bords). Il est alors possible de déterminer les puissances radiatives

volumiques et les flux aux parois qui s’expriment directement à partir de ces quantités. Le

problème radiatif consiste ainsi essentiellement à résoudre l’équation précédente pour chaque

nombre d’onde (intégration spectrale suivant la variable ), pour chaque direction de

propagation du rayonnement (intégration directionnelle suivant u) et en chaque point du milieu

(intégration spatiale suivant la variable s). Pour ce faire, il est indispensable de modéliser au

mieux la contribution des gaz (le cas des particules de type suies est traité dans une autre partie

de cette formation) c'est-à-dire en pratique déterminer avec précision leur coefficient d’absorption

s .

L’objectif du Chapitre 1 est de décrire comment, à partir de considérations énergétiques à

l’échelle de la molécule, il est possible d’établir l’expression du coefficient monochromatique

d’absorption d’un gaz. Ceci conduit à la notion de spectre d’absorption d’un gaz qui, comme

nous le verrons, a un comportement très éloigné de celui d’un corps gris (le coefficient

d’absorption d’un gaz est en effet fortement dépendant de la longueur d’onde du rayonnement qui

interagit avec les molécules).

Les gaz n’étant pas gris, des modèles appropriés doivent être mis en œuvre afin de traiter des

problèmes de transfert radiatif faisant intervenir des milieux gazeux. Dans ce cours, nous avons

choisit délibérément de ne traiter en détail qu’un type de modèles approchés : les modèles dits en

k-distributions. Ces approches sont décrites pour des applications dans des milieux uniformes

(homogènes isothermes) dans le chapitre 2 puis étendus à des cas non uniformes dans le chapitre

3. Dans ces parties, les propriétés radiatives sont considérées sur des bandes étroites c'est-à-dire

sur des intervalles spectraux tels que la fonction de Planck (associée à l’émission du corps noir)

puisse être supposé constante. L’extension à l’ensemble du spectre (conduisant aux modèles dits

globaux) est finalement présentée dans le quatrième et dernier chapitre de ce document.

Figure 0-1. Les différents termes de l’ETR.

Le point « 0 » appartient à un élément de surface délimitant le gaz (élément vert). Le changement

de direction de propagation (rayonnement rouge) est lié à la présence possible dans le milieu de

particules (suies, gouttelettes d’eau, etc) mais n’est pas directement lié au gaz.

CHAPITRE 1. INTRODUCTION AUX PHENOMENES PHYSIQUES D INTERACTION

RAYONNEMENT-GAZ

Comme évoqué en introduction, résoudre un problème de transfert radiatif dans un milieu gazeux

nécessite d’être capable de déterminer quel coefficient d’absorption attribuer au gaz. Dans ce

type de milieux, les transferts énergétiques avec le champ de rayonnement se font à l’échelle de

la molécule. Ils nécessitent une description quantique des interactions rayonnement-matière que

nous allons décrire ici de façon très simplifiée. Ceci conduit alors à la notion de spectre

d’absorption d’un gaz qui représente l’évolution du coefficient d’absorption du gaz avec la

longueur d’onde (ou avec son inverse appelé nombre d’onde) du rayonnement. Il convient de

noter que l’exposé ici n’a pas vocation à présenter de façon détaillée tous les développements

mathématiques et théoriques nécessaires à décrire ce type de phénomène mais seulement à en

décrire les grandes lignes, suffisantes dans la majeure partie des cas pour appréhender des

problèmes de rayonnement dans les gaz. Des références, données en fin de chapitre, permettront

cependant au lecteur intéressé d’approfondir les notions présentées ici.

1. Interactions rayonnement-molécules

L’interaction entre un rayonnement et un gaz résulte d’un échange d’énergie entre les molécules

qui constituent le milieu gazeux et le champ de rayonnement.

Deux approches peuvent être utilisées pour décrire le champ de rayonnement : la théorie

ondulatoire et la théorie corpusculaire. Si l’approche ondulatoire (basée sur la résolution des

équations de Maxwell) peut être utilisée dans de nombreux problèmes, il en reste certains où elle

ne peut pas décrire correctement les phénomènes observés. A titre d’exemple, on peut citer le

problème de l’effet photoélectrique qui consiste en la production d’électrons (par certains

matériaux) sous l’action d’un rayonnement incident. Afin d’expliquer ces cas, la théorie

corpusculaire a été proposée au début du siècle précédent. Dans cette approche, le rayonnement

est représenté par des « particules » appelés quanta (ou photons dans le domaine visible) servant

à transporter l’énergie rayonnée. Dans cette vision, le rayonnement n’est plus un phénomène

continu (comme dans l’approche électromagnétique) mais discret. C’est en s’appuyant sur la

notion de quanta que Planck a pu proposer sa désormais célèbre formule du rayonnement du

corps noir et, Einstein, décrire le phénomène photoélectrique (lui valant au passage le prix Nobel

de Physique en 1922). Bien que souvent opposées, les deux théories sont en fait plutôt

complémentaires. Dans les problèmes d’interaction rayonnement-gaz, c’est l’approche

corpusculaire qui est retenue (certains modèles semi-classiques existent mais ne permettent pas

de rendre compte complètement des phénomènes observés dans ce type de problème).

Dans l’approche corpusculaire, les états énergétiques des molécules sont décrits comme solutions

(ou de façon plus précise les valeurs propres) de l’équation de Schroedinger associées aux

molécules. La résolution de cette équation ne conduit qu’à des solutions discrètes en termes

d’énergie : les états énergétiques sont dits quantifiés. L’énergie totale d’une telle molécule

peut, en première approximation, s’écrire comme la somme de toutes les formes d’énergies de la

molécule c'est-à-dire de son énergie de translation, de rotation, de vibration, et électronique. Les

niveaux d’énergie électronique, rotationnelle et vibrationnelle des molécules sont quantifiés : ce

sont les valeurs propres de l’opérateur Hamiltonien associé à la molécule. L’énergie de

translation n’intervient pas directement dans le mécanisme d’interaction rayonnement-molécule

(de façon générale, si le rayonnement ne dévie pas les molécules ce qui est le cas dans la plupart

des applications courantes ou si la durée d’interaction entre les molécules est faible devant celle

entre deux collisions inter-moléculaires, approximation dite d’impact, de façon à ce que le

Hamiltonien des molécules puisse être considéré comme non perturbé par les collisions). Le

passage d’une molécule entre deux états énergétiques sous l’action d’un champ de rayonnement

est appelé transition. Lors d’une transition, apparaissent ou disparaissent des quanta d’énergie

E h où E est la quantité d’énergie échangée entre la molécule et le « bain » de quanta

environnant, h est la constante de Planck et est la fréquence (en Hertz) du rayonnement

associée au quantum émis ou absorbé. En général, en spectroscopie, plutôt que la fréquence, on

préfère utiliser la notion de nombre d’onde défini comme le produit de la fréquence du

rayonnement par la célérité de la lumière. Le nombre d’onde est égal à l’inverse de la longueur

d’onde du rayonnement et s’exprime couramment en cm-1

. Dans l’infrarouge, les niveaux

d’énergies mis en jeu sont de type rotation-vibration (ce qui signifie que pour qu’une transition

ait lieu il faut que les nombres quantiques de rotation-vibration associés à ces niveaux soient

différents) : on parle de transitions rovibrationnelles.

Nous allons considérer ici le cas d’un ensemble de molécules de gaz en interaction avec un

champ de rayonnement (« bain » de quanta). Ces molécules seront supposées ici pour simplifier

ne pouvoir prendre que deux états énergétiques distincts, et l uE E tels que l uE E .

1.1. Les mécanismes d’interaction rayonnement-matière – notion de coefficients d’Einstein.

Les mécanismes d’interaction entre un champ de rayonnement et une molécule sont au nombre

de trois [C1-1] :

- une molécule de gaz dans un état énergétique d’énergie uE peut passer spontanément dans un

état d’énergie l uE E en émettant un quantum d’énergie ul u lh E E où h est la constante de

Planck. Ce phénomène est appelé émission spontanée.

- une molécule de gaz dans un état énergétique d’énergie lE peut passer dans l’état d’énergie uE

en absorbant un quantum d’énergie ulh . Ce phénomène est appelé absorption.

- une molécule de gaz dans un état énergétique d’énergie uE peut passer, sous l’action d’un

quantum d’énergie ulh dans l’état d’énergie lE en émettant un second quantum d’énergie ulh

identique en tout point (même vecteur quantité de mouvement, même fréquence, même spin,..) au

quantum excitateur. Ce phénomène est appelé émission induite ou absorption négative. Ce

dernier processus est à l’origine du rayonnement laser.

Les mécanismes d’absorption et d’émission spontanée se font dans n’importe quelle direction et

donnent lieu à un rayonnement isotrope. L’émission induite, au contraire, est un phénomène

parfaitement cohérent.

A chacun des phénomènes précédents on associe des coefficients, dits d’Einstein, qui permettent

d’exprimer les évolutions temporelles des nombres de molécules, uN et l uN N N où N est le

nombre total de molécules dans l’élément de volume considéré, occupant chacun des états

énergétiques respectifs uE et lE tels que définis précédemment. Ils sont au nombre de trois et

sont associés chacun à un mécanisme physique d’interaction entre le gaz et le rayonnement :

- coefficient d’Einstein d’émission spontanée (noté ulA ) associé à un dépeuplement de l’état

d’énergie haut uE en faveur de l’état bas lE :

émission spontanée émission spontanée

l uul u

N NA N

t t

(1.1)

- coefficient d’Einstein d’absorption (noté luB ) associé à une augmentation du nombre de

molécules dans l’état d’énergie haut uE et à un dépeuplement de l’état bas lE . Ce mécanisme est

induit par des quanta présents dans le voisinage de la molécule et dépend donc du champ de

rayonnement local (via la densité volumique monochromatique d’énergie radiative locale u à la

fréquence ul ):

absorption absorptionul

l ulu l

N NB N u

t t

(1.2)

- coefficient d’Einstein d’émission induite (noté ulB ) associé à un dépeuplement de l’état

d’énergie haut uE en faveur de l’état bas lE . Comme pour l’absorption, ce mécanisme dépend du

champ de rayonnement local (via ul

u ) :

émission induite émission induiteul

l uul u

N NB N u

t t

(1.3)

A partir des équations précédentes, il est possible d’établir l’équation de bilan des nombres de

molécules (par unité de volume de gaz) dans un état énergétique donné :

émission spontanée émission induite absorption

ul

l l l lul u ul u lu l

N N N NA N B N B N u

t t t t

(1.4)

Il existe une équation analogue faisant intervenir uN plutôt que l uN N N . On peut noter que

le coefficient d’Einstein d’émission spontanée est homogène à l’inverse d’un temps. De surcroît,

plus la valeur de ulA est faible, plus les variations temporelles du nombre de molécules dans

l’état d’énergie uE le sont aussi (voir l’équation (1.1)) et donc l’état « stable ». La quantité

1ul ulA désigne la constante de temps liée au phénomène d’émission spontanée et est appelée

durée de vie de l’état.

1.2. Relations entre coefficients d’Einstein

Nous allons considérer le bilan énergétique du paragraphe précédent (donné par l’équation (1.4))

à l’équilibre thermodynamique. Sous cette hypothèse, la conservation de l’énergie impose une

forme d’invariance des populations des états : en d’autres termes, pour que l’énergie se conserve

il faut que « globalement » les populations des états soient stationnaires. Ceci se formalise sous la

forme suivante ( 0

ulu T désigne alors la densité volumique monochromatique d’énergie radiative

locale à l’équilibre thermodynamique, à la température T , représentée par l’exposant « 0 » et qui

est dans ce cas donnée par la fonction de Planck) :

0 0 0 0

0 0 0 0

émission spontanée émission induite absorption

0ul

l l l lul u ul u lu l

N N N NA N B N B N u T

t t t t

(1.5)

que l’on peut reformuler mathématiquement sous la forme suivante :

1

0 00

0 0 0ul

ul u ul l ul

lu l ul u lu u lu

A N A N Bu T

B N B N B N B

(1.6)

A l’équilibre thermodynamique, la statistique de Maxwell-Boltzmann [C1-2] s’applique et

permet d’écrire :

0

0

0

0

exp

exp exp

exp

ll

B l l u ul

u B Buu

B

EN N

k T N E E h

N k T k TEN N

k T

(1.7)

c’est à dire :

1

0 expul

ul ul ul

lu B lu

A h Bu T

B k T B

(1.8)

La relation précédente donne la densité volumique monochromatique d’énergie radiative pour un

volume à l’équilibre thermodynamique à la température T. Cette expression est donc équivalente

à celle de la densité locale d’énergie radiative donnée par la loi de Planck (dans laquelle c désigne

la célérité de la lumière dans le vide) :

13

0

3

8exp 1

ul

ul

B

hhu T

c k T

(1.9)

L’identification terme à terme permet finalement de mettre en évidence les relations suivantes

entre coefficients d’Einstein :

3

3

8

1

ul ul

ul

ul

lu

A h

B c

B

B

(1.10)

Ces relations, bien qu’établies à l’équilibre thermodynamique local, restent valables hors

équilibre. Elles peuvent être généralisées (voir par exemple la référence [C1-1]) en introduisant la

notion de profil de raies (décrite plus tard dans ce chapitre).

2. Coefficient d’absorption pour une transition.

En réalisant un bilan énergétique sur le système molécules de gaz + champs de quanta, on peut

montrer assez simplement (voir par exemple la référence [C1-1]) que le long d’un trajet de

longueur ds dans le gaz, la luminance évolue suivant l’équation suivante (formulée ici en

fréquence et pour une abscisse notée s du milieu choisie comme origine du trajet élémentaire ds

et pour laquelle la température locale est T ) :

,

,

s

dL sT L s s

ds

u

u (1.11)

Cette relation est très similaire à l’équation du transfert radiatif pour un milieu gazeux non

diffusant si l’on introduit les quantités suivantes (le profil des raies a été pris en compte dans ces

relations) :

3

3

exp

2exp

ul

ul l u ul

B

ul

ul u ul

B

hhT B N N f

c k T

hhs B N f

c k T

(1.12)

A l’équilibre thermodynamique local (ETL), les occupations des états énergétiques suivent la

statistique de Boltzmann et la relation précédente peut se reformuler sous la forme :

103 3

0

2 20 0

2 2exp 1

ul

u ul

Bl u

s N hh hL T

T c c k TN N

(1.13)

La relation précédente coïncide exactement avec l’équation du transfert radiatif dans un milieu

semi-transparent à l’ETL (voir l’introduction de ce chapitre, en considérant un milieu non

diffusant). Le coefficient d’absorption du milieu est donné par la première relation dans (1.12).

On le trouve souvent sous la forme suivante (dans laquelle N représente le nombre de molécules

par unité de volume) :

ul ulT NS T f (1.14)

relation qui fait essentiellement intervenir deux termes : l’intensité de la raie ulS T (exprimée

en cm-1

/(molécule.cm-2

)) et son profil ulf (en cm). Ces deux quantités sont explicitées ci-

après.

Les profils des raies sont normalisés (indiquant la conservation du nombre de molécules lié à la

répartition de ces molécules sur des états d’énergie de translation) ce qui signifie que :

1ul ulf d f d

(1.15)

Cette relation, indépendante du choix de la description du profil en nombre d’onde ou en

fréquence, permet d’exprimer l’intensité de la raie sous la forme :

1 1

ulS T T d T dN N

(1.16)

En spectroscopie, comme nous l’avons déjà évoqué, on préfère utiliser le nombre d’onde plutôt

que la fréquence. Le coefficient d’absorption s’écrit alors :

ul ulT NS T f (1.17)

qui est directement applicable dans l’ETR présentée en introduction.

2.1. Notions d’intensité et de profil de raie

Suivant la relation (1.14), il suffit de connaître simultanément l’intensité, la position du centre et

le profil d’une raie pour être capable d’évaluer le coefficient d’absorption associé à cette raie (et

donc à la transition radiative associée). Ces deux quantités (intensité et profil) sont détaillées dans

ce paragraphe.

2.1.1. Intensité de raies

En comparant les relations (1.12) et (1.14), on obtient l’intensité sous la forme :

0

0

exp 1 exp exp

l

u

ul u ulul ul l u ul l

B l B B

N

N

h N hh h hS T B N N B N

c k T c N k T k T

(1.18)

On peut simplifier la relation précédente en notant que les processus d’élargissement des raies,

s’ils conduisent à permettre l’absorption de quanta dont la fréquence n’est pas exactement ul

mais située dans un voisinage de cette valeur, impose néanmoins que l’interaction entre la

molécule et le rayonnement se fasse pour des nombres d’onde ul ce qui donne :

0

01 expul u l ul

ul ul l

l u B

h N N hS T B N

c N N k T

(1.19)

Toutes les quantités qui interviennent dans la relation précédente sont soit des constantes, soit des

fonctions de la température. Aussi, plutôt que d’utiliser cette relation, les intensités sont

généralement rapportées à une température choisie comme référence. L'intensité de la raie

(exprimée en cm-1

/(molecule.cm-2

)) est alors donnée par:

22

2

1 exp1 1exp

1 exp

ref

ulref lul ul ref ref

B ul

Q T c Tc ES T S T

Q T k T T c T

(1.20)

où :

- 2 100

B

hcc

k 1.4388276839025815 K.cm est une constante

- Q T est la fonction de partition (TIPS pour Total Internal Partition Sum) de l'espèce

considérée à la température T et refQ T cette même fonction à la température de

référence Tref

– la notion de fonction de partition est traitée en annexe de ce chapitre.

- lE est l’énergie du niveau bas impliqué dans la transition radiative

- ref

ulS T est l’intensité de la raie à la température de référence Tref

Le second terme dans l’équation (1.14) représente le profil de la raie et principalement dû au

mouvement (énergie de translation) des molécules dans le gaz. Ce déplacement est lié à différents

phénomènes : agitation thermique autrement appelé mouvement Brownien des molécules,

collisions intermoléculaires liées en grande partie à la pression. Suivant les conditions

thermophysiques dans le gaz, différents types de profils peuvent être rencontrés. Ils sont décrits

dans le paragraphe suivant.

2.1.2. Notion de profil de raie

Dans la plupart des applications usuelles (hors gaz à très basses pressions), on peut utiliser les

profils Lorentz ou Voigt afin de représenter les raies. Ces deux profils courants sont décrits ici.

Les collisions peuvent cependant avoir un effet non négligeable sur le profil Voigt, ce qui peut

nécessiter l'utilisation de profils modifiés (ce point sera discuté à la fin de ce paragraphe, dédiée

aux effets des collisions).

2.1.2.1. Profil Lorentz

Le profil Lorentz (plus connu sous le nom de distribution de Cauchy) est étroitement lié aux

collisions entre molécules de gaz sous l’effet de la pression. Son expression est donnée par la

relation suivante :

22

1LL ul

L ul

fP

(1.21)

Les paramètres utilisés dans cette équation sont :

- ul le nombre d'onde du centre de raie (cm-1

)

- P la pression totale du mélange (atm)

- un coefficient de décalage induit par la pression (cm-1

.atm-1

)

- L la demi-largeur de raie à mi-hauteur (cm-1

) généralement désignée sous le terme de

largeur de raie, ou largeur Lorentz. Cette quantité dépend à la fois de la température du

mélange et de la pression partielle de l'espèce considérée. Elle est donnée par

l’expression :

self foreignn n

ref ref

L self s foreign s

T TP P P

T T

(1.22)

où self et

foreign (resp. selfn et

foreignn ) sont les largeurs (resp. les exposants de

dépendance en température) associées à l'élargissement propre (self, pour des collisions

entre molécules de même type) et par le reste du gaz (foreign, pour des collisions entre

molécules différentes). Les valeurs de ces deux derniers paramètres (n) sont rarement

fournies de façon distincte (comme c’est le cas par exemple dans la base CDSD-4000).

Ainsi, dans la majorité des bases de données spectroscopiques, une seule valeur de cette

quantité est fournie (par raie d’absorption). L'équation précédente devient alors :

n

ref

L self s foreign s

TP P P

T

(1.23)

On peut noter que dans les bases HITRAN (d’utilisation courante en physique de l’atmosphère),

le coefficient foreign est donné pour l'atmosphère terrestre (en considérant que le partenaire

collisionnel est l’air). Nous reviendrons plus en détail sur ce coefficient plus tard.

Le profil Lorentz est obtenu en tenant compte de l'élargissement naturel des raies (lié au

phénomène d’émission spontanée, et donc à la durée de vie des états énergétiques) et de

l'élargissement par collision avec d'autres molécules : les chocs inter-moléculaires ont pour effet

de diminuer le temps d'émission, ce qui élargit le profil de raie. Plus la pression est importante, et

plus la demi-largeur à mi-hauteur L est grande.

Les paramètres d'élargissement collisionnel self et

foreign (voir les équations (1.22) et (1.23))

sont donnés dans les banques de paramètres de transition pour de l'air terrestre (c'est-à-dire en

considérant que le partenaire de collision de la molécule active d’un point de vue radiatif est soit

la molécule elle-même, soit de l’air dans les conditions de compositions de l’atmosphère de la

Terre).

Les Figures 1-1-a et 1-1-b représentent le profil de Lorentz et le coefficient d'absorption associé

pour une unique transition de vapeur d'eau (la transition numéro 4965 extraite du fichier

01_hit09.par de la base HITRAN2008 qui sera décrite plus tard dans ce chapitre) dont le centre

est placé à 349.756288 cm-1

(ce qui correspond à une longueur d’onde = 28.59 µm, située dans

l'infrarouge lointain), pour les conditions thermodynamiques suivantes : P = 1atm, Ps = 0.5 atm

(pression partielle de H2O), T = 300 K. La base utilisée est HITRAN2008, le calcul est donc

réalisé en utilisant Tref

= 296 K.

Figure 1-1-a. Représentation du profil Lorentz pour une transition unique de vapeur d’eau (voir

texte) – Les largeurs à mi-hauteur Lorentz self et

foreign pour cette raie valent 0.0326 cm-1

et

0.17 cm-1

respectivement.

Figure 1-1-b. Coefficient d’absorption monochromatique associé au profil de raie de la figure 1-

a.

La Figure 1-2 représente un spectre d'absorption de CO2 (la condition exacte de calcul du spectre

a ici peu d’importance) sur un intervalle spectral large de 5 cm-1

dans la bande d'absorption à 4.3

µm du dioxyde de carbone. Ce spectre est tracé d'une part en utilisant dans l'équation (1.22) les

coefficients self et

foreign fournis par la base HITRAN, et d'autre part lorsque chacun de ces

coefficients est multiplié par un facteur (choisi de façon arbitraire) 3. On voit que dans chaque

cas où un coefficient L est modifié, les raies d'absorption sont élargies par-rapport au cas de

référence (c'est-à-dire sans multiplication par le facteur 3), ce qui se traduit par deux effets : une

réduction de la valeur maximale de chaque pic d'absorption (liée à une redistribution des valeurs

du coefficient d’absorption du centre vers les ailes des raies), et une augmentation des valeurs de

entre les pics d'absorption (liée à une augmentation du poids des ailes).

Figure 1-2. Influence du produit par un facteur 3 (arbitraire) des valeurs de

self et foreign sur le

spectre d’absorption de la molécule de CO2 à pression atmosphérique, T = 600 K et une fraction

molaire en CO2 de 0.5.

On voit que la sensibilité du spectre aux coefficients self et

foreign est importante, ce qui n'est

pas sans conséquence dans la mesure où les valeurs de ces coefficients dans les bases

spectroscopiques usuelles sont réputées pour être mal connues. De plus, la valeur de foreign est

généralement donnée pour de l'air terrestre, ce qui n'est pas adapté à toutes les autres

configurations possibles en pratique (dans des atmosphères autres que celles de la Terre, par

exemple, ou pour des calculs dans des chambres de combustion).

2.1.2.2. Profil Voigt

La fonction Voigt est égale au produit de convolution d'une fonction Lorentzienne (associée aux

collisions inter-moléculaires) et d'une fonction Gaussienne (liée à l’agitation thermique des

molécules au sein du gaz décrite par un mouvement Brownien) :

' 'V ul D ul L ulf f f d

(1.24)

avec :

21 2

2

ln 2 1exp ln 2

ul

D

D D

f

(1.25)

et :

1 22

ln 2ul BD

k T

c m

(1.26)

On peut noter que cette contribution Gaussienne permet de tenir compte du fait que l’absorption

du rayonnement (qui se fait dans le référentiel de la molécule) est observé dans un autre

référentiel (celui du laboratoire) d’où un décalage Doppler (nom généralement donné à ce profil)

entre les fréquences d’absorption des quanta entre ces deux référentiels. Le profil Voigt est ainsi

une généralisation du profil de Lorentz prenant en compte l'effet Doppler-Fizeau qui apparaît

lorsque le libre parcours de collision (distance entre deux collisions) et la vitesse des molécules

sont importants, donc à basse pression : les Figures 1-3 illustrent le fait, qu'à haute pression, le

profil Voigt est identique au profil Lorentz, tandis que des écarts significatifs apparaissent entre

les deux profils à plus basse pression.

En pratique, le calcul du profil de Voigt peut se faire par utilisation de la fonction de Fadeeva

complexe (que de nombreux codes permettent de calculer). On trouvera dans les références [C1-

3] à [C1-5] différentes approches pouvant être utilisées afin d’évaluer la fonction Voigt pour la

construction de spectres d’absorption nécessitant d’utiliser ce profil.

Figure 1-3-a. Profils Lorentz et Voigt à une pression de 1 atm.

Figure 1-3-b. Mêmes profils que pour la Figure 3-a mais calculés à 10

-3 atm.

2.1.2.3. Correction des profils dans les ailes lointaines des raies

Les profils réels peuvent s'écarter du profil Lorentz (ou Voigt) dans les ailes des raies (c'est-à-dire

à grande distance de leurs centres). On parle alors de profil sub-Lorentzien. Même si le

coefficient d'absorption est par définition faible dans les ailes des raies, la différence entre un

spectre synthétique et un spectre d'absorption réel peut être importante étant donné le cumul de

faibles erreurs pour un très grand nombre de contributions : le nombre de raies à prendre en

compte pour le calcul du coefficient d’absorption peut atteindre 108 pour H2O dans certaines

régions de l'IR.

Cet effet de profil sub-Lorentzien peut induire des erreurs importantes sur la transmittivité de

trajets dans les gaz, dès lors que les dimensions caractéristiques de ces trajets sont importantes :

on peut généralement négliger ces effets pour les chambres de combustion, par exemple, mais pas

pour les applications atmosphériques.

La Figure 1-4 présente une comparaison entre des spectres d'absorption calculés avec et sans

effets sub-Lorentziens dans le cas de la molécule de CO2. Les deux calculs ont été réalisés pour

des pressions totales de 1 atm (Figure 1-4-a) et 10 atm (Figure 1-4-b). La représentation en

échelle logarithmique permet de visualiser clairement les ordres de grandeur de différence induits

par les effets sub-Lorentziens, même si ces effets ne sont notables que dans les ailes de raie, donc

pour des valeurs faibles du coefficient d'absorption. Leurs impacts sur la transmittivité seront

donc plus marqués pour des configurations géométriques de grandes dimensions, pour lesquelles

ces valeurs faibles auront une contribution significative à l’absorption totale. Ces deux figures

permettent en plus de voir les effets de la pression sur l'élargissement des raies (voir la relation

(1.22)) : pour une pression totale de 10 atm, les raies sont tellement larges qu'elles ne sont

pratiquement plus discernables individuellement.

Figure 1-4-a. Comparaison entre spectres calculés avec ou sans correction sub-Lorentzienne -

Spectres synthétiques de CO2 calculé sur la plage spectrale [2380-2500] cm-1

(bande à 4.3 µm) –

Pression totale de 1 atm, température 600 K, 50 % de CO2.

Figure 1-4-b. idem Figure 1-4-a mais pour une pression totale de 10 atm.

Dans le cas des observations de l'atmosphère de Vénus, par exemple, des températures de

brillance importantes sont observées dans de petits intervalles spectraux du proche IR (situés

autour de 1 µm soit 10000 cm-1

). A ces longueurs d'onde, l'atmosphère est suffisamment

transparente pour que le rayonnement thermique émis par le sol et l'atmosphère profonde (à des

températures de l'ordre de 700 K) parvienne jusqu'à l'Espace. Cependant, si on modélise le

spectre d'absorption sans prendre en compte les effets sub-Lorentziens, les fenêtres spectrales

correspondantes sont bien trop opaques pour que cette émission thermique puisse être détectée.

Même si l'erreur commise sur le flux total perdu par la planète (intégré sur tout le spectre) est

négligeable lorsqu'on ne prend pas en compte les effets sub-Lorentziens, on voit que les

différences entre le modèle et le profil réel peuvent conduire à des erreurs importantes lors des

comparaisons entre les résultats de modélisation et les observations à haute résolution spectrale.

Des effets similaires sont observés pour l'atmosphère de Titan, et dans une moindre mesure pour

la Terre.

La prise en compte des effets sub-Lorentziens se fait traditionnellement par l'utilisation d'une

fonction <1 qui joue le rôle de facteur correctif sur les profils Lorentz ou Voigt :

ou ul L V ulf f (1.27)

La fonction a été paramétrée pour les principales bandes d'absorption de quelques

molécules (essentiellement H2O et CO2 – voir les références données dans le paragraphe 3), et sa

connaissance reste à l’heure actuelle limitée à certaines gammes retreintes de températures et de

pressions.

2.1.2.4. Absorption induite par collision

Les collisions entre plusieurs molécules font apparaître de nouveaux objets (de durée de vie très

éphémère). A très forte pression, les collisions entre molécules deviennent plus fréquentes, ce qui

augmente la concentration de ces nouveaux objets possédant des transitions propres. Ces

transitions constituent une source d'absorption dite induite par collision (CIA pour Collision

Induced Absorption dans la littérature anglo-saxonne). Ces transitions sont très élargies, ce qui

entraîne une forme beaucoup plus continue que celles des raies classiques, d'où l'appellation de

continuum d'absorption induit par collision.

La Figure 1-5 donne une représentation de ce continuum d'absorption induit par collision pour la

molécule de CO2 pour une pression totale de 100 atm (et une fraction volumique xs = 0.5), à une

température de 600 K, sur la plage spectrale [0-250] cm-1

. Au-delà de 250 cm-1

, le terme de CIA

devient négligeable.

Les continuums induits par collision sont très mal connus : il y a à l’heure actuelle à la fois peu

de mesures et également peu de modèles théoriques dédiés à ces phénomènes. La majorité des

travaux effectués dans ce domaine concernent les molécules de CO2 et H2O, essentiellement pour

la modélisation du transfert radiatif dans les atmosphères de Vénus et des planètes géantes

gazeuses (sur lesquelles règnent de fortes pressions).

Figure 1-5. Spectre synthétique de la molécule de CO2 sur l’intervalle spectral [0-250] cm

-1

calculé avec et sans prise en compte des effets d’absorption induite par collision – P = 100 atm, T

= 600 K, 50 % CO2.

2.2. Construction théorique d'un spectre synthétique – Notion de spectre Raie-Par-Raie

(RPR).

En théorie, si N raies sont définies pour un mélange donné d'espèces gazeuses (un certain nombre

de transitions étant attribué à chacune des espèces du mélange ; N représente donc la somme de

toutes les transitions considérées pour toutes les espèces du mélange), le coefficient d'absorption

total est défini par la superposition des N transitions individuelles (toutes espèces confondues) :

raies

,

1

Ntotal

i

i

(1.28)

L’approche décrite par la relation précédente consiste ainsi à sommer une à une toutes les

contributions associées aux raies qui apparaissent dans le spectre. Cette approche est dite raie-

par-raie.

3. Calculer un spectre raie-par-raie en pratique.

Dans cette partie, nous allons voir comment mettre en pratique le calcul d'un spectre d'absorption

synthétique pour un mélange de gaz quelconque à partir de bases de données spectroscopiques.

Ce travail nécessite plusieurs étapes avant de passer au calcul à proprement parler. Elles sont

décrites ci-après.

ETAPE 1. Données physiques nécessaires au calcul d’un spectre

Il faut tout d'abord disposer des données thermo-physiques de base concernant le mélange de gaz

dont on souhaite calculer le spectre c'est-à-dire :

- La pression totale du mélange P (atm).

- La température du mélange T (K).

- Les pressions partielles ,s iP (atm) de chaque espèce i active d'un point de vue radiatif, ou

de façon très équivalente les concentrations (appelées aussi fraction molaires) ix (en

moles de chaque espèce par mole de mélange) permettant de calculer ces pressions

partielles en utilisant la relation : ,s i iP x P .

- Il est bien entendu nécessaire de disposer de bases de données de transitions énergétiques

pour les molécules présentes dans le mélange. Par exemple il existe plusieurs bases de

données regroupant les paramètres des transitions de la molécule de H2O, mais ce n'est

pas le cas pour toutes les molécules (par exemple un kérosène, ou tout simplement la

molécule de SO présente dans l'atmosphère de Vénus).

- Les bases de données de transitions regroupent, au sein de chaque fichier, des

informations relatives à tous les isotopologues de la même molécule. Il faut savoir si on

désire utiliser seulement l'isotopologue principal pour le calcul, ou plusieurs

isotopologues, auquel cas il est nécessaire de disposer de leurs abondances isotopiques

relatives au sein du mélange (ces abondances peuvent ne pas être celles de l'air terrestre).

- Enfin, il faut bien entendu disposer des limites spectrales de l'intervalle sur lequel on

désire calculer le spectre d'absorption. L'unité naturelle pour la dimension spectrale sera

certainement le nombre d'onde (symbolisé dans ce document) exprimé en cm-1

.

ETAPE 2. Choix d’un maillage spectral

La seconde étape du calcul du spectre consiste à se fixer un maillage spectral (c'est-à-dire un pas

de calcul pour la discrétisation du spectre). Plusieurs choix sont possibles :

- utiliser un pas spectral fixe : dans ce cas, il faut adapter la valeur du pas spectral au cas

d'étude. La largeur des transitions étant moins importante à faible pression, le pas spectral

peut potentiellement prendre une valeur très faible pour les situations extrêmes (comme

par exemple en haute atmosphère où les pressions atteignent 0.1 Pa). Une valeur de 10-2

cm-1

est couramment utilisée pour une pression de 1 atm.

- utiliser un pas spectral variable : l'idée est d'avoir un maillage fin lorsque c'est nécessaire

(au voisinage des centres de raies) et plus grossier lorsqu'on peut se le permettre (dans les

ailes de raies, lorsque la pression est importante, etc). Malheureusement, les stratégies

visant à adapter le maillage spectral localement sont souvent très coûteuses en terme de

temps de calcul. Une façon simple et relativement efficace de procéder est d'utiliser un

nombre de points fixe pour décrire la partie centrale de la raie et un plus petit nombre de

points entre les centres des raies. Dans tous les cas, adapter le pas spectral demande une

connaissance des paramètres descriptifs des transitions : il est donc nécessaire de réaliser

la lecture des bases de données adéquates préalablement à cette étape.

ETAPE 3. Choix d’une base de données spectroscopiques

Les bases de données de paramètres de transition qui sont publiquement accessibles sont les

suivantes :

- HITRAN : base de données à basse température, essentiellement destinées à des calculs

atmosphériques. Trois versions majeures existent actuellement: HITRAN-2004 [C1-6],

HITRAN-2008 [C1-7] et HITRAN-2012 [C1-8]. Les trois bases utilisent le même format

de lecture. Elles recensent les transitions de respectivement 39, 42 et 47 espèces

moléculaires.

- HITEMP : base de données à haute température considérée comme référence pour la

molécule de H2O. La base HITEMP originelle [C1-9] contient les paramètres de 1.28

millions de transitions de la vapeur d’eau et 1 million de transitions de CO2. La base

HITEMP-2010 [C1-10] répertorie 114 millions de transitions pour H2O et 11 millions de

transitions pour CO2.

- CDSD : base de données à haute température dédiée à la molécule de CO2 : plusieurs

versions sont disponibles. Les plus anciennes données (CDSD-1000 et CDSD-1000-

updated [C1-11]) ont été intégrées à la base HITEMP-2010. La base la plus récente,

CDSD-4000 [C1-12], permet de calculer des spectres de CO2 en prenant en compte les

contributions de 628 millions de transitions, permettant ainsi des calculs jusqu’à des

températures avoisinant les 4000 K.

A l'exception de CDSD-1000 où Tref

= 1000 K, la température de référence dans toutes les bases

de données spectroscopiques précédentes est identique et fixée à 296 K.

Les bases de données les plus récentes posent de nouveaux problèmes pratiques liés au nombre

de transitions répertoriées. Réaliser la modélisation d'un spectre à haute température, même sur

un intervalle spectral de taille réduite, peut vite présenter des problèmes numériques : il est bien

entendu nécessaire de lire les informations relatives à chaque transition, même si toutes ne seront

pas utiles au calcul de chaque valeur de ce qui risque de poser des problèmes d’espace

mémoire. En effet, même en réalisant une troncature des ailes de raie, ce qui élimine le calcul

d'un très grand nombre de contributions pour chaque valeur de , il n'est pas exclu qu'une

transition inutile dans le calcul de ce coefficient à un nombre d’onde donné le reste sur un large

domaine de nombre d’ondes.

La nécessité d'utiliser une base de données de transitions plus complète à haute température peut

être illustrée au travers de la Figure 1-6, sur laquelle sont représentés des spectres de H2O

calculés à 1200 K à l'aide de deux bases de données différentes : HITRAN-2008 (plutôt dédiée à

des températures proches de l’ambiante) et HITEMP-2010 (adaptée à des calculs à hautes

températures). Les deux spectres sont calculés sans troncature d'ailes de raie, en sommant les

contributions de toutes les transitions connues et présentes dans les bases. Le second calcul est

bien entendu beaucoup plus coûteux en temps de calcul que le premier.

Figure 1-6. Spectres d’absorption de la molécule de H2O sur l’intervalle [7100-7120] cm-1

calculés à partir des bases de données HITRAN-2008 et HITEMP-2010 – P = 1 atm, T = 1200 K,

1 % H2O.

Le spectre calculé à l'aide de la base la plus complète (HITEMP-2010) présente des pics

d'absorption qui sont absents du spectre calculé à l'aide de HITRAN-2008, ce qui peut conduire à

des différences importantes sur les résultats des simulations de transfert radiatif utilisant ces

spectres. Les raies associées à ces pics sont généralement dites « chaudes », c'est-à-dire qu’elles

apparaissent à haute température mais ont des contributions négligeables à basse températures.

Elles sont associées à des nombres quantiques de rotation élevés.

Commentaires sur le format de lecture des paramètres des transitions

Les bases de données récentes (HITRAN, HITEMP, CDSD) utilisent un format commun de

description des transitions. Les fichiers de données sont organisés par ligne, chaque ligne

comportant les paramètres d'une transition. Les transitions répertoriées dans ces bases sont triées

par ordre croissant de nombre d'onde (associé aux positions des centres des raies). Seuls les dix

premiers paramètres de chaque ligne vont nous intéresser pour la production de spectres

d'absorption (les autres paramètres ont plus vocation à être utilisés par des spectroscopistes que

des thermiciens) :

- L'indice de la molécule. Il s'agit d'un entier de taille 2 (FORMAT I2 en Fortran). La liste

des indices de molécules peut être trouvée dans le fichier molparam\hitran.txt fourni avec

la base HITRAN : 1 pour désigner H2O, 2 pour le CO2, 3 pour l’ozone O3, etc.

- L'indice de l'isotopologue. C’est un entier de taille 1 (FORMAT I1). Les isotopologues

sont aussi décrits dans le fichier molparam\hitran.txt : par exemple pour la molécule de

H2O, 6 isotopologues sont identifiés dans la base HITRAN-2008. Ils sont repérés par les

indices 161, 181, 171, 162, 182 et 172 dans molparam\hitran.txt (ces indices

correspondent à une nomenclature sur les masses molaires des atomes présents dans

chaque isotopologue). Dans le fichier 01\_hit08.par, regroupant les paramètres des

transitions de la molécule de H2O dans la base HITRAN-2008, la valeur de l'indice

permettant d'identifier ces 6 isotopologues varie entre 1 et 6. Ainsi, les deux premiers

caractères de chaque ligne du fichier 01\_hit08.par peuvent prendre des valeurs comprises

entre 11 à 16 : le premier caractère (1) correspond à l'indice de la molécule (donc ici H2O)

et le second indique l'indice associé à l'isotopologue (compris entre 1 et 6).

- Le nombre d'onde central de la transition ( ul dans l'équation (1.21)). c’est un réel en

notation décimale, de 12 caractères, dont 6 après le séparateur décimal (FORMAT F12.6).

Unité: le cm-1

.

- L'intensité de la raie pour la température de référence de la base de données ( ref

ulS T

dans l'équation (1.20)). Quantité donnée en cm-1

/(molecule.cm-2

). La température de

référence est dans la majorité des cas 296 K, sauf dans le cas particulier de la base CDSD-

1000 où elle est de 1000 K. Il s’agit d’un réel en notation exponentielle de 10 caractères

dont 3 après le séparateur décimal (FORMAT E10.3).

- Le coefficient d'Einstein de la transition. Inutilisé généralement pour le calcul de spectres

(car redondant avec la donnée de l’intensité dans une condition de référence, tel

qu’évoqué au paragraphe 2). C’est un réel en notation exponentielle de 10 caractères dont

3 après le séparateur décimal (FORMAT E10.3).

- Le coefficient d'élargissement par collisions avec le reste du mélange (foreign dans la

relation (1.22)). donné en cm-1

.atm-1. Il s’agit d’un réel en notation décimale, de 5

caractères, dont 4 après le séparateur décimal (FORMAT F5.4).

- Le coefficient d'élargissement par collisions avec des molécules identiques à l'espèce

considéré (self dans la relation (1.22)). donné en cm

-1.atm

-1. De nouveau, c’est un réel

en notation décimale, de 5 caractères, dont 4 après le séparateur décimal (FORMAT

F5.4).

- L'énergie du niveau bas de la transition ( lE dans la relation (1.20)). Donnée en cm-1

. Il

s’agit d’un réel en notation décimale, de 5 caractères, dont 4 après le séparateur décimal

(FORMAT F5.4).

- Le coefficient de dépendance en température de la largeur de raie de Lorentz. Dans le cas

des bases HITRAN et HITEMP, ainsi que CDSD-1000, il s'agit du paramètre n dans la

relation (1.22). Dans le cas de la base CDSD-4000, il s'agit du paramètre nself dans la

relation (1.21). Ce paramètre est sans unité. Il s'agit d'un réel en notation décimale de 10

caractères dont 4 après le séparateur décimal (FORMAT F10.4).

- Le coefficient de décalage induit par la pression noté dans la relation (1.21)). Donné en

cm-1

.atm-1

. Réel en notation décimale, de 4 caractères, dont 2 après le séparateur décimal

(FORMAT F4.2).

- Dans le cas de la base CDSD-4000, un onzième paramètre doit être lu : il s'agit du

coefficient de dépendance en température de la largeur de raie de Lorentz pour le reste du

gaz (nforeign) dans la relation (1.21). Réel en notation décimale, de 5 caractères, dont 2

après le séparateur décimal (FORMAT F5.2).

Ces paramètres doivent être lus pour chaque espèce présente dans le mélange gazeux, et

seulement pour les isotopologues dont on a choisi de tenir compte (à l’étape 1 précédente).

ETAPE 4. Calcul de la contribution de chaque transition et sommation

Le coefficient d'absorption pour un nombre d'onde donné s’exprime comme la somme des

contributions des raies ayant à ce nombre d’onde une contribution significative. Afin de calculer

ces contributions, il faut procéder aux étapes suivantes:

- Calcul de l'intensité de chaque transition à la température du mélange, selon la relation

(1.20). Il faut être en mesure de calculer la fonction de partition pour chaque espèce

moléculaire, pour la température du mélange et pour la température de référence. Des

codes fortran sont fournis avec la base HITRAN à cette fin. Des modèles analytiques

simples peuvent aussi être utilisés. Ils sont décrits en Annexe de ce chapitre. On peut

également noter que l'intensité de référence de la transition doit être recalée si la transition

correspond à un isotopologue dont l'abondance relative n'est pas celle de l'atmosphère

terrestre.

- Evaluation du profil de la raie f au nombre d'onde considéré. Dans les applications

classiques (à pression atmosphérique), on peut se contenter d'utiliser le profil Lorentz

(donné par la relation (1.21)). Pour des situations pour lesquelles la pression est plus

faible (haute altitude pour l'atmosphère terrestre, atmosphères d'exoplanètes) on peut être

amené à utiliser le profil Voigt (calculé par la relation (1.24)). Dans le cas du profil

Lorentz, il est nécessaire de calculer la largeur de raie Lorentz (suivant l’équation (1.22)

ou (1.23), suivant qu’on dispose ou pas des paramètres nself et nforeign. Dans le cas du profil

Voigt, il faut en plus évaluer la largeur de raie Doppler donnée par la relation (1.26).

- Le profil f peut éventuellement être modifié par un facteur de correction (voir

paragraphe 2.1.2.3. (dédié aux corrections sub-Lorentziennes). On trouvera dans les

références [C1-13], [C1-14] et [C1-15] des fonctions de correction pour la molécule de

CO2. Pour la molécule de H2O, on pourra se référer à [C1-16].

- En utilisant la relation (1.17), il est alors possible de calculer la contribution de chaque

transition au coefficient d’absorption total du mélange (après avoir multiplié la quantité

calculée, égale au produit Sf, appelée section efficace d’absorption, par la densité

moléculaire exprimée en nombre de molécules par unité de volume – un soin particulier

doit être porté aux unités utilisées pour ces calculs, les calculs de thermiques utilisant

généralement le système SI tandis que les conventions utilisées par les spectroscopistes,

mieux adaptées aux échelles de temps et de longueur rencontrées en physique quantique,

peuvent s’avérer différentes).

Les étapes 1 à 4 décrites précédemment sont généralement suffisantes pour produire un spectre.

Cependant, quelques raffinements peuvent être apportés si l’on souhaite par exemple optimiser le

coût de calcul (en tronquant les profils des raies ou en triant les raies de façon à ne conserver que

celles qui ont une contribution significative au coefficient d’absorption à un nombre d’onde

donné) ou dans certains cas bien particuliers (atmosphérique notamment) pour lesquels d’autres

contributions que celles présentes dans les bases spectroscopiques doivent être prises en compte

(continuum par exemple). Ces aspects complémentaires d’un calcul raie-par-raie sont décrit dans

la suite de ce chapitre.

4. Techniques d’optimisation des calculs RPR.

4.1. Troncature des profils de raie.

On suppose généralement que le profil des raies est parfaitement bien modélisé jusqu'à une

distance infinie du centre des transitions : en d’autres termes, pour une valeur de donnée, l’

équation (1.28) traduit le fait que la valeur de se construit comme la somme des contributions

de toutes les transitions connues pour le mélange, y compris un grand nombre de transitions dont

le centre est situé à une très grande distance (spectrale) de .

Les profils de raie sont réputés pour être assez mal connus à grande distance des centres de

transition (ceci en partie dû aux effets sub-Lorentziens, évoqués dans le paragraphe 2.1.2.3.). On

peut donc justifier une première astuce qui réduit considérablement le temps de calcul associé à

chaque valeur de et qui consiste à tronquer les ailes de raie à une distance fixe du centre

de chaque transition. Ainsi, dans l'équation (1.28), le nombre de raies sur lesquelles va porter le

calcul devient égal au nombre de raies dont le centre ul est situé à une distance ul .

Ce nombre est généralement largement inférieur au nombre total de transitions identifiées pour le

mélange. Les valeurs usuelles de (appelé parfois intervalles de protection) sont comprises

entre 15 et 30 cm-1

.

Comme le montrent les Figures 1-7, une troncature des ailes de raies peut avoir des effets divers

(et rarement prévisibles) : sur ces figures, le spectre de la molécule de H2O a été calculé pour

deux intervalles spectraux. Dans le premier cas (s’étendant sur le domaine de nombres d’ondes

[1580-1600] cm-1

), la troncature affecte seulement les zones du spectres comprises entre les pics

d'absorption (associés en première approximation aux centres des raies), ce qui peut tout de

même entraîner dans ces zones de faible absorption des différences notables sur la transmittivité

d'une colonne de gaz suffisamment grande. En revanche, dans le second cas ([2400-2800] cm-1

),

la troncature affecte les intervalles inter-pics d'absorption plus fortement (jusqu'à plusieurs ordres

de grandeur de différence sont observés). Dans le cas des atmosphères planétaires, ce sont par

exemple les échanges d'énergie radiative à grande distance (échanges entre le sol ou l'atmosphère

profonde et l'espace) qui seront le plus fortement affectés par les effets d'une troncature des ailes

des raies.

Figure 1-7-a. Effet des troncatures des profils des raies – spectres synthétiques de H2O dans

l’intervalle [1580-1600] cm-1

– P = 1 atm, T = 500 K, 1% H2O.

Figure 1-7-b. idem Figure 1-7-a mais sur l’intervalle [2400-2800] cm-1

.

4.2. Elimination des raies de faibles intensités.

Une autre astuce couramment utilisée afin de réduire le nombre de transitions dont il est

nécessaire de calculer les contributions est d'éliminer un certain nombre d’entre elles en se basant

sur leurs valeurs d’intensités : il s'agit ainsi d'éliminer du calcul les transitions correspondant aux

raies d’intensités les plus faibles.

La procédure de tri peut se baser soit sur les valeurs :

- des intensités refS T de référence fournies dans les tables de transition

- des intensités S T calculées pour les conditions du mélange, ce qui demande un

surcroit de temps de calcul mais permet de prendre en compte de façon plus précise

l’impact du tri sur le coefficient d’absorption total.

Il existe ensuite schématiquement deux façons de décider si une transition donnée doit être

conservée ou pas pour les calculs :

- La plus simple consiste à négliger toutes les transitions dont les intensités sont inférieures

à une valeur seuil définie au préalable 0S . Le choix de cette valeur 0S peut être basée sur

des raisonnements plus ou moins complexes (et justifiés).

- Une autre méthode, plus délicate à mettre en oeuvre, consiste à établir un histogramme

des intensités de raie ce qui permet ensuite de décider directement (et de façon moins

arbitraire) quel pourcentage des intensités (les plus faibles) sera éliminé.

Aucune de ces méthodes ne permet néanmoins d'assurer une maîtrise de l'erreur commise en

négligeant les raies les moins intenses. En toute rigueur, il faudrait être en mesure de comparer

les spectres obtenus avec et sans élimination de raies pour être certain de la validité de la

méthode.

Une méthode plus efficace pour ne pas avoir à calculer les contributions de toutes les transitions

sans pour autant faire de compromis sur la précision consiste à calculer par ordre décroissant

d'intensité, en stoppant le calcul lorsqu'on juge avoir convergé vers une valeur de fixe : la

somme des contributions de toutes les transitions inutilisées peut alors être considéré comme

négligeable par rapport à . Le temps de calcul d’un spectre peut être réduit de façon

significative en appliquant cette méthode. La Figure 1-8 propose une comparaison entre deux

spectres issus des mêmes données spectroscopique (extraites de la base HITRAN-2012 pour la

molécule de H2O) : l’un obtenu par cette méthode et l’autre en sommant toutes les contributions

présentes dans la base.

Figure 1-8. Influence du tri des raies par intensités décroissantes sur le calcul d’un spectre

synthétique de H2O sur l’intervalle spectral [1550-1580] cm-1

– P = 1 atm, T = 500 K, 1 % H2O.

5. Contributions complémentaires à prendre en compte dans certaines situations.

Pour la plupart des cas courants, l’approche ci-avant est suffisante pour produire des spectres de

référence qui pourront être utilisés soit directement soit pour produire des paramètres de modèles

approchés (qui font l’objet des chapitre 2 à 4 suivants). Cependant, dans certaines situations bien

spécifiques, d’autres contributions que celles directement issues des bases de données

spectroscopiques doivent être prise en compte. Elles sont décrites ici.

5.1. Effet dit de Line mixing.

Dans certaines situations, des interférences entre transitions de la même molécule peuvent

apparaître. Elles correspondent à des transferts de population entre deux transitions distinctes: la

transition entre deux niveaux d'énergie u et l, qui correspond à un nombre d'onde ul , s'effectue

habituellement par l'absorption d'un photon d'énergie ul ulE h hc par une molécule

initialement dans l'état énergétique u. S'il existe, pour la même molécule, deux autres niveaux u’

et l’ proches des niveaux u et l, correspondants à une seconde transition de nombre d'onde

u l ul , la transition de u vers l peut s'effectuer par un second chemin: tout d'abord, une

collision peut amener la molécule de l'état u dans l'état u’, puis elle absorbe un photon d'énergie

u l u lE h hc l'amenant dans l'état l’, et une seconde collision lui fait finalement atteindre

l'état l. Ces interférences entre transitions peuvent amener à commettre des erreurs significatives

lors du calcul du spectre d'absorption synthétique, qui est construit sur l'hypothèse de raies

isolées, du fait de ces effets de transfert de population entre niveaux énergétiques.

Un chapitre entier de l'ouvrage de J.M. Hartmann [C1-17] est consacré aux effets de line mixing.

On trouvera dans cette référence une excellente description de l'origine des effets de line mixing,

ainsi que les corrections que l'on peut éventuellement apporter au modèle physique pour en tenir

compte dans le calcul des spectres d'absorption.

5.2. Absorption induite par collision.

Dans certains cas, comme nous avons pu l’évoquer au paragraphe 2.1.2.4., il est nécessaire de

rajouter au spectre synthétique le continuum d'absorption induit par collision. Il s'agit

essentiellement des situations où la pression et les dimensions du système sont importantes

(configurations atmosphériques).

De nombreux auteurs proposent des solutions pour calculer ce continuum. On peut citer les

travaux de Gruszka et al. [C1-18] et Baranov [C1-19] pour les dimères de CO2, ainsi que ceux de

Liou [C1-20] concernant la molécule de H2O.

Les nombreuses approximations et corrections successives (troncature des profils de raie,

correction sub-Lorentzienne des profils, ajout d'un continuum d'absorption induit par collision)

peuvent conduire à corriger le spectre final par un « continuum» purement numérique ayant pour

seul but d’aboutir à une meilleure concordance des spectres synthétiques avec les observations.

Dans la majorité des cas, les comparaisons ne sont pas possibles directement sur les spectres à

haute résolution (s'ils étaient mesurés, il n'y aurait pas besoin de les recalculer...) mais sur les

grandeurs du transfert radiatif obtenues par simulation numérique et par mesure physique.

ANNEXE DU CHAPITRE 1. Evaluation des fonctions de partition

La notion de fonction de partition est fondamentale en physique et thermodynamique statistique.

Cette fonction permet de représenter comment un nombre donné N de molécules à l’équilibre

thermodynamique à une température T se répartit suivant les différents états énergétiques

accessibles à ces molécules. Une grande partie des propriétés thermodynamiques (fonction

d’Helmholtz, enthalpie de Gibbs, chaleur spécifique à pression constante, etc) s’expriment

directement à partir de la fonction de partition et de ses dérivées par rapport à la température. On

trouvera des détails sur ces points spécifiques dans la référence [C1-2] (par exemple).

Considérons un ensemble N de molécules pouvant avoir une énergie comprise dans un ensemble

de valeurs 1,.., ME E . A l’équilibre thermodynamique à la température T , la probabilité de

trouver une molécule dans un état d’énergie (non dégénéré) , 1,..,iE i M est donné par la

statistique de Boltzmann soit :

exp ii

B

EP E A

k T

(A.1)

Le coefficient de proportionnalité A dans la relation précédente doit assurer le caractère

normalisé de la loi de probabilité ce qui impose :

1

1

11

exp

M

i Mi i

i B

P E AE

k T

(A.2)

L’inverse de la « constante » A (qui est en fait une fonction de la température) est appelée

fonction de partition et se note généralement :

1

expM

i

i B

EQ T

k T

(A.3)

Comme nous l’avons déjà évoqué dans le corps du cours, l’énergie d’une molécule prend en

compte toutes les formes d’énergie possible c'est-à-dire son énergie électronique, de vibration, de

rotation, etc. L’énergie de translation des molécules n’est pas quantifiée, à la différence des autres

formes d’énergie. L’énergie interne d’une molécule peut s’écrire, en première approximation

c'est-à-dire en négligeant les couplages entre modes d’énergie, comme la somme des énergies

associées à chacun de ces modes soit :

Electronique Vibration RotationElectronique, Vibration, Rotation, etc ...iE E E E E (A.4)

Dans ce cas, on montre que la fonction de partition interne totale de la molécule s’exprime

comme le produit des fonctions de partition associées à chacun des modes d’énergie soit :

Electronique Vibration Rotation ...Q T Q T Q T Q T (A.5)

Les molécules considérées ici (CO2, CO et H2O) sont dans leur état électronique fondamental si

bien que Electronique 1Q T . La fonction de partition interne à la molécule (rovibrationelle) se

simplifie alors et s’exprime comme le produit des fonctions de partition vibrationnelles et

rotationelles. Des modèles simples permettent d’exprimer chacune de ces composantes.

Fonction de partition vibrationnelle – modèle de l’oscillateur harmonique.

La Figure AN-1 représente le mode de vibration fondamental de la molécule de CO. L’énergie

totale de vibration de cette molécule peut s’écrire sous la forme suivante :

Vibration 1 11 2E n hc (A.6)

où 1n représente le nombre de quanta sur le mode de vibration 1. La fonction de partition

vibrationnelle associée s’écrit (en reformulant l’équation (A.3)) :

1 1

1 1 1 1 1Vibration

0 0

1 2 1exp exp exp

2n nB B B

n hc hc n hcQ T

k T k T k T

(A.7)

La seconde somme est de type géométrique et peut donc s’écrire:

1

1 1

0 1

1exp

1 expn B

B

n hc

k T hc

k T

(A.8)

De manière générale, on peut noter que le facteur 11exp

2 B

hc

k T

dans la relation (A.7) est omis.

Ceci impose alors de le retirer aussi dans la relation (A.1).

La fonction de partition vibrationnelle de la molécule de CO2 s’exprime de façon similaire, par ce

modèle, sous la forme :

2Vibration,CO 2

312

1 1 1

1 exp 1 exp1 expB B

B

Q Thchc hc

k T k Tk T

(A.9)

La puissance 2 sur le second mode de vibration est lié au fait que ce mode de vibration est

dégénéré deux fois (comme indiqué sur la figure AN-2 : il existe deux modes de flexion de la

molécule de CO2 distincts, car la flexion n’a pas lieu dans le même plan, mais de même énergie).

Cette relation, extrêmement simple si on pense à toute la physique qu’elle englobe, a été montrée

précise pour la molécule de CO2 jusqu’à des températures de l’ordre de 5000 K. Il en existe une

forme similaire pour H2O :

2Vibration,H O

31 2

1 1 1

1 exp 1 exp 1 expB B B

Q Thchc hc

k T k T k T

(A.10)

On peut noter qu’à chaque transition entre modes de vibration (perte ou gain de quanta sur un

mode de vibration donné, tout restant identique par ailleurs) correspond ainsi une position dans le

spectre. L’ensemble des raies associées est généralement appelé bande. L’étalement des raies

autour des centres bandes est en grande partie lié à la rotation des molécules et donne lieu à des

structures appelées branches. Il existe trois formes de branches (associées aux écarts entre

nombres quantiques de rotation mis en jeu dans la transition) généralement notée P, Q et R.

Figure AN-1. Vibration de la molécule de monoxyde de carbone CO.

Fonction de partition rotationnelle – modèle du rotateur rigide

La fonction de partition rotationnelle est intimement liée à la géométrie de la molécule. On peut

montrer que la fonction de partition rotationnelle de molécule linéaire (comme CO, CO2, etc) est

proportionnelle à la température et celle de molécules non linéaires (comme H2O) est

proportionnelle à 3 2T (la valeur exacte du coefficient de proportionnalité a peu d’intérêt pratique

ici dans la mesure où, comme indiqué dans l’équation Eq.(1-20), ce qui nous intéresse pour des

calcul RPR est le rapport de fonctions de partition à deux températures distinctes).

Figure AN-2. Vibrations de la molécule de dioxyde de carbone CO2.

Figure AN-3. Vibrations de la molécule d’eau H2O.

REFERENCES DU CHAPITRE 1

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CHAPITRE 2 – INTRODUCTION AUX MODELES EN K-DISTRIBUTIONS

L’approche raie-par-raie (RPR) décrite dans la partie précédente est, de façon générale,

difficilement applicable compte tenu de son coût bien trop important au regard des moyens de

calcul disponibles à l’heure actuelle. En effet, la prise en compte des spectres à chaque longueur

d’onde nécessite environ 106 résolutions d’ETR (pour un pas spectral de 10

-2 cm

-1, tel que

souvent rencontré en pratique – voir le chapitre précédent) afin de couvrir le spectre d’émission

du corps noir s’étendant en première approximation sur le domaine de nombres d’onde

[0 ;10000 cm-1

]. Son utilisation se limite ainsi souvent à des cas simples 0 D (sur des lignes de

visée) ou 1 D (cas d’un gaz émettant et absorbant placé entre deux murs plans infinis) pour

produire des solutions de référence auxquelles d’autres modèles, approchés, peuvent être

comparés. Le recours à des approches simplifiées est ainsi nécessaire afin de résoudre des

problèmes de transfert radiatif dans les gaz tout en maintenant un coût de calcul acceptable. De

nombreux modèles approchés ont été proposés ces dernières décennies. Ils ont tous pour point

commun de diminuer le volume de calculs (par rapport à l’approche RPR) en moyennant l’ETR

(et les propriétés radiatives associées) sur des bandes spectrales de largeurs variables allant de

quelques cm-1

(on parle alors de modèles à bandes étroites) jusqu’à l’ensemble du spectre (les

modèles associés sont alors dits globaux).

On se propose dans ce chapitre de détailler l’une de ces modélisations : l’approche dite en k-

distribution (d’autres modèles, aussi disponibles dans la littérature, seront aussi présentés mais de

façon moins détaillée en annexe). La méthode en k-distribution a été proposée pour la première

fois par Ambartzumian en 1920 dans le cadre de travaux en astrophysique [C2-1]. Elle a ensuite

été mise en œuvre en physique de l’atmosphère par Lebedinski en 1940 [C2-2] puis par

Kondratiev en 1950 [C2-3] et Arking et Grossman [C2-4] en 1972. Ces travaux portaient

essentiellement sur des milieux considérés comme homogènes et isothermes. L’extension du

modèle à des milieux non uniformes (inhomogènes et/ou anisothermes) est assez récente (1972)

et due en grande partie aux travaux de Lacis et Oinas [C2-5]. Ces développements font l’objet du

prochain chapitre. Aujourd’hui, les modèles en k-distributions sont utilisés dans de nombreux

domaines d’applications, incluant en particulier les problèmes de combustion. Comme nous le

verrons plus tard, l’un des avantages principaux de ces modèles, par rapport à d’autres approches,

est qu’ils fournissent un coefficient d’absorption rendant son utilisation possible avec n’importe

quelle formulation (intégrale ou différentielle) de l’ETR. Cette caractéristique a été une des

causes majeures du développement de cette technique ces dernières années (aussi bien sur des

bandes étroites que sur l’ensemble du spectre). A l’heure actuelle, c’est aussi sur cette approche

que se porte une grande majorité des travaux de recherche (comme l’indiquent les références

[C2-6 à C2-8], toutes extraites du dernier Symposium International en Transfert Radiatif, RAD-

13, de juin 2013 – lors de ce symposium, 100 % des modèles évoqués dans les deux sessions

dédiées aux milieux gazeux portaient sur des approches en k-distributions).

Nous allons dans ce chapitre restreindre notre propos au traitement de bandes étroites (de largeurs

spectrales ne dépassant pas quelques dizaines de cm-1

, de façon à ce que la fonction de

Planck puisse être supposée constante sur [H1]). De plus, nous allons nous limiter au cas de

milieux homogènes isothermes [H2] (le cas général sera traité dans le chapitre suivant).

2.1. Principe général des approches en k-distributions

Nous nous plaçons ici dans le cas général où nous disposons d’une fonction F qui ne dépend que

du coefficient d’absorption : F F (par exemple si exp F z z xPL alors F F

représente la transmittivité d’un trajet de longueur L dans le gaz de pression partielle en espèce

absorbante xP au nombre d’onde ). On cherche à évaluer la valeur moyenne de F sur

l’intervalle spectral tel que défini précédemment. Cette moyenne, qui sera notée F , s’écrit

formellement :

1

F F d

(2.1)

2.1.1. Propos préliminaires

Afin d’illustrer l’approche proposée, considérons le spectre de la figure 2-1 (correspondant à

deux raies Lorentziennes). Observons les points du spectre repérés par les marques A et B

(choisis de telle sorte qu’en A et B les coefficients d’absorption prennent la même valeur [H3]).

Sous les hypothèses [H1] (la fonction de Planck est constante sur ), [H2] (le gaz est uniforme,

donc le coefficient d’absorption est le même en tout point du milieu) et [H3] (les coefficients

d’absorption aux points A et B sont identiques), il est clair que les équations de transfert radiatif

associées à ces deux points (et de fait leurs solutions) sont rigoureusement les mêmes. Ceci peut

se généraliser à tout point situé à l’intersection entre le spectre et la droite d’équation

constante (comme les point C et D de la Figure 2-1). En résolvant l’ETR par l’approche RPR, on

est ainsi généralement conduit à résoudre un grand nombre de fois la même équation (même

coefficient d’absorption et même fonction de Planck, sous l’hypothèse [H1]). L’idée des

approches en k-distribution est de regrouper ensemble les nombres d’onde associés aux mêmes

valeurs de de façon à ne traiter qu’une seule fois l’ETR associée à cette valeur. Ceci permet

alors d’éviter de résoudre de multiples fois la même équation et donc, par conséquence, de

réduire le coût de calcul. Toute la difficulté consiste alors à déterminer le nombre de points

d’intersection entre le spectre et toute droite parallèle à l’axe des abscisses, ce qui peut se révéler

relativement fastidieux dans le cas général. Cependant, ce problème peut se traiter de façon

relativement simple si on introduit la notion de k-distribution qui fait l’objet du prochain

paragraphe.

Figure 2.1. Spectre constitué de deux raies (Lorentziennes) – Aux points A, B, C et D

correspondent la même Equation du Transfert Radiatif.

2.1.2. Formulation mathématique

Dans les approches en k-distributions, le coefficient d’absorption est traité comme une variable

aléatoire. Dans ce cas, on montre (voir par exemple la référence [C2-9]) que l’on peut estimer la

valeur moyenne (ici spectrale) de toute fonction de sous la forme :

0

1 F F d f k F k dk

(2.2)

dans laquelle la quantité f représente la densité de probabilité de la variable aléatoire k . La

difficulté principale est ici de trouver comment estimer cette densité et aussi de lui attribuer un

sens physique. C’est ce que nous nous proposons de faire dans ce chapitre. L’approche

mathématique présentée ici repose en grande partie sur la notion de distribution, fréquemment

rencontrée en statistique (voir par exemple la référence [C2-10]).

Introduisons tout d’abord les fonctions de Heaviside H et de Dirac par les relations

suivantes :

0 si < 0

1 si > 0

xH x

x

(2.3)

0 si 0

1

x x

x dx

(2.4)

Les valeurs prises par ces fonctions en 0x n’ont pas d’importance ici et peuvent être

différentes suivant les auteurs.

La fonction H peut aussi être définie au sens des fonctions généralisées, autrement appelées

« distribution » [C2-10], c'est-à-dire non pas de façon explicite mais en terme de relation

fonctionnelle (dans lesquelles f représente une fonction intégrable sur ) :

0

f x H x dx f x dx

(2.5)

De façon similaire, on a pour la fonction de Dirac :

0f x x dx f

(2.6)

On peut vérifier [C2-10] que la fonction de Dirac est la dérivée (au sens des distributions) de la

fonction de Heaviside.

Sur l’intervalle de nombres d’onde , le coefficient d’absorption du gaz prend une valeur

comprise entre un minimum, 0mink , et un maximum, minmaxk k . Ainsi, la fonction W définie

par :

max

min

min max

k

k

W H k H k k dk (2.7)

est égale à l’unité sur l’intervalle (sauf aux points correspondant au minimum et au

maximum du coefficient d’absorption où, suivant la définition (2.3), cette valeur n’est pas

définie). On peut donc réécrire la relation (2.1) sous la forme :

max

min

1 1

k

k

F F W d F k dk d

(2.8)

Dans la mesure où les variables et k sont indépendantes (ce qui n’est évidement pas le cas des

variables et ), il est possible de permuter les deux signes intégraux dans l’équation (2.8) ce

qui permet d’écrire :

max

min

1

k

k

F k F d dk

(2.9)

soit, en utilisant la relation (2.6) :

max

min

1

k

k

F F k k d dk

(2.10)

En comparant la relation (2.10) avec la relation (2.2), il apparaît clairement que la densité f k

de l’équation (2.2) correspond au terme entre crochet dans (2.10). Cette densité est généralement

appelée « fonction de distribution du coefficient d’absorption ».

L’intérêt immédiat de l’utilisation de cette distribution est de transformer l’intégration suivant la

variable , pour laquelle les variations du coefficient d’absorption du gaz sont rapides et

nécessite d’être évaluée à haute résolution spectrale (voir le Chapitre 1), par une intégration

suivant la variable k qui représente les valeurs prises par le coefficient d’absorption sur

(cette variable varie donc de façon beaucoup plus lente).

Définie de cette façon, il peut sembler relativement délicat de donner un sens physique à la

fonction de distribution du coefficient d’absorption f k . Pour ce faire, nous allons commencer

par réécrire le terme k sous la forme équivalente [C2-10] :

1

1

i

n

i

i

dk

d

(2.11)

dans laquelle les nombres d’ondes , 1,..,i i n correspondent aux intersections entre le spectre

d’absorption et la droite d’équation constantey k et id

d

représente la valeur absolue de

la dérivée du coefficient d’absorption en fonction du nombre d’onde prise en ces mêmes points.

Si on multiplie l’équation (2.11) de part et d’autre par un incrément k pour la variable k, il

apparaît alors que le produit k k correspond à un groupement d’intervalles spectraux

inclus dans tels que sur cet ensemble la valeur du coefficient d’absorption monochromatique

soit égale à k à k près. Ceci est schématisé sur la Figure 2.2.

Figure 2.2. Signification physique d’une k-distribution f.

En utilisant les notations de cette même figure, on peut remarquer que l’intégrale :

1 1

1 2 3 4

1 1

i i

n n

i

i i

d dk k d k d k

d d

(2.12)

représente alors l’ensemble des intervalles spectraux inclus dans pour lesquels k à k

près. On peut aussi noter que la relation précédente est une conséquence directe de la définition

de la fonction de Dirac (voir l’équation (2.4)) qui donne dans ce cas 1i d

).

Par passage à la limite 0k , on peut déduire des relations (2.10,2.12), que la quantité :

1 2 3 4

0 lim

k

kf k dk k d

(2.13)

représente la fraction de nombres d’onde inclus dans tels que k à dk près. Des

exemples de telles fonctions sont représentés sur la figure 2.3 (elles correspondent à de la vapeur

d’eau à différentes températures et à pression atmosphérique sur la bande étroite large de 25 cm-1

centrée à 3650 cm-1). La relation (2.13) peut s’écrire de façon équivalente (avec

0limk

k dk

)

sous la forme :

tels que ;

1

k k dk

f k dk d

(2.14)

Figure 2.3. k-distribution f pour de la vapeur d’eau à différentes températures et à pression

atmosphérique (bande étroite de 25 cm-1

centrée à 3650 cm-1

). Les troncatures brusques des k-

distributions à droite et à gauche correspondent aux valeurs minimales et maximales des

coefficients d’absorption sur la bande. En pratique, l’intégration de l’équation (2.2) est donc faite

sur un domaine borné de valeurs de k.

On peut noter que la fonction f k est peu régulière. En conséquence, on introduit généralement

la distribution cumulée de f k , généralement notée g k , et définie par :

0

k

g k f k dk (2.15)

Cette fonction est représentée sur la figure 2.4. Les courbes correspondent aux mêmes cas que

ceux de la figure 2.3.

Figure 2.4. k-distribution cumulée g pour de la vapeur d’eau à différentes températures et à

pression atmosphérique (bande étroite de 25 cm-1

centrée à 3650 cm-1

). Les données RPR

utilisées sont identiques à celle de la Figure 2.3.

On peut immédiatement noter que la fonction de distribution cumulée est beaucoup plus régulière

que la fonction f k . Elle présente aussi l’avantage d’être strictement croissante (et donc

inversible) ce qui sera utile pour la suite de cet exposé. Cette fonction est aussi simple à analyser

d’un point de vue physique : elle représente simplement la fraction de nombres d’onde inclus

dans tels que k . Sur un plan strictement mathématique, elle a aussi l’avantage d’être

définie de la même façon que le spectre considéré soit continu (comme nous l’avons supposé

jusqu’à présent) ou discret (ce qui correspond en général aux données dont on dispose, les calculs

raie-par-raie disponibles étant toujours réalisés avec un pas de calcul spectral non nul). Il n’en va

pas de même pour la fonction f k qui, comme nous l’avons vu, demande d’avoir recours à la

notion de distribution.

La fonction de distribution cumulée peut aussi s’exprimer de façon analogue à (2.14) :

tels que

1

k

g k d

(2.16)

La relation (2.2) peut se reformuler en fonction de la distribution cumulée sous la forme

suivante :

1

0

1 F F d F k g dg

(2.17)

dans laquelle le coefficient d’absorption k g représente l’inverse de la k-distribution cumulée

définit comme solution de l’équation :

g k g g (2.18)

L’intérêt de la formulation (2.17) est qu’elle met en jeu une intégrale sur un domaine borné

(tandis que la relation (2.2) nécessite d’évaluer une intégrale pour des valeurs de k variant entre

0 et ). C’est sous cette forme que l’approche est généralement rencontrée. L’intégrale (2.17)

est alors généralement approximée (en utilisant des quadratures numériques de type Gauss-

Legendre) par une somme :

1

n

i i

i

F F k g

(2.19)

où les paramètres i et ig représentent respectivement les poids et les abscisses de la quadrature

numérique utilisée. Les quadratures utilisées couramment utilisent des ordres relativement faibles

(généralement situés autour de n = 10).

2.2. Etude d’un cas simple : cas d’une raie unique

L’objectif de cette partie est de montrer, sur un cas relativement simple, un exemple d’utilisation

que l’on peut faire des approches en k-distributions en pratique. Cette partie est relativement

calculatoire si bien qu’elle peut éventuellement être réservée à une seconde lecture.

Nous considérons ainsi une raie isolée, de profil Lorentzien, de coefficient d’absorption donné

par la relation suivante :

, 2 2

1LR R

R L

S

(2.20)

dans laquelle les mêmes notations que celles introduites dans le chapitre précédent ont été

utilisées. Cette raie est supposée complètement incluse dans une bande étroite de largeur

telle que définie au début de ce chapitre. Nous commençons par nous donner une valeur réelle k,

arbitraire, mais comprise entre le minimum et le maximum de ,R c'est-à-dire telle que :

0 Rmax

L

Sk k

(2.21)

Il est possible de trouver deux nombres d’ondes tels que ,R k . Ces positions sont données

par :

max 1R L

kk

k (2.22)

En se fixant un petit incrément 0dk et en procédant de la même façon que précédemment, on

peut aussi identifier deux valeurs de nombres d’ondes solutions de ,R k dk . Ces solutions

sont données par :

max max max

32

max

1 12

LR L R L

k k k dkk dk

k dk k k k k

(2.23)

A partir de la définition (2.14), il est relativement immédiat que :

k k dk k dk k

f k dk

(2.24)

où les nombres d’ondes associés aux exposant “+/-“ sont décrits sur la Figure 2.5.

Par application des relations (2.22-24), on peut déduire la forme analytique de la k-distribution

associée à une raie Lorentzienne isolée :

max

32

max

1 Lkf k

k k k

(2.25)

La même approche peut être appliquée à une raie de profil Doppler. On obtient alors la relation :

max

1

ln 2ln

Df kk

kk

(2.26)

Cependant, comme le profil Voigt n’admet pas de formulation analytique simple, on ne peut pas

appliquer la méthode précédente à ce type de profil. Seules des approches numériques peuvent

être utilisées.

On peut vérifier que la relation (2.25) permet de calculer de façon exacte la largeur de raie noire

équivalente d’une raie Lorentzienne définie par la relation suivante (voir la référence [C2-11]

pour plus de détails sur le calcul ainsi que l’annexe de ce chapitre dédiée aux modèles statistiques

à bandes étroites) :

,1 expR RW xPl xPl d

(2.27)

Le calcul donne alors :

max0 12 exp 2 , z

2 2

RR L L

L

xPlk xPlSW xPl z z I z I z L z

(2.28)

résultat bien connu puisque largement utilisé dans les approches statistiques à bandes étroites

(voir la référence [C2-12] ainsi que l’annexe du présent chapitre). La fonction L est dite de

Ladenburg-Reiche.

Figure 2.5. Notations utilisées pour l’équation (2.24) – calcul d’une k-distribution analytique

dans le cas d’une raie unique Lorentzienne.

2.3. Evaluer une k-distribution en pratique.

2.3.1. La méthode des histogrammes

Comme nous l’avons vu précédemment, la mise en œuvre de la méthode en k-distribution

nécessite d’identifier la fonction de distribution f k (ou de façon équivalente sa cumulée,

g k ). Ce problème d’identification d’une densité à partir d’un échantillon donné (ici les valeurs

du coefficient d’absorption issues d’un calcul préalable raie-par-raie) est classique en statistique

et de nombreuses méthodes ont été proposées afin de traiter ce problème [C2-13]. Nous allons

décrire ici une des formulations les plus simples de ces techniques, appelée parfois la méthode

d’estimation par un histogramme.

On dispose ainsi d’un échantillon 1 2, ,..,

n représentant de façon approchée le spectre

d’absorption de la molécule sur un intervalle que nous supposerons continu (une bande étroite

). Dans l’approche en k-distribution, les valeurs de la variable constitutives de notre

échantillon sont supposées représenter une variable aléatoire distribuées suivant une loi de

densité f k que nous souhaitons identifier. On peut montrer que dans le cas d’une variable

continue (la variable aléatoire est à valeurs dans ), un estimateur de cette densité en k

s’exprime par la relation :

0

1

1 1ˆ. 2

i

n

i

kf k K

n k k

(2.29)

où 0K représente la fonction indicatrice (étroitement liée à la fonction de Heaviside introduite en

début de chapitre) qui vaut 1 si son argument est vérifié, 0 s’il ne l’est pas. k (qui joue le rôle

d’un paramètre de lissage dans la mesure où la distribution sera d’autant plus « continue » que la

valeur k sera faible) représente un petit intervalle de valeurs de centré autour de k . Dit

autrement, un estimateur de la fonction de distribution du coefficient d’absorption (multiplié par

k ) s’écrit comme le rapport du nombre d’éléments présents au sein de l’échantillon

1 2, ,..,

n dont la valeur vaut k à 2k près rapportée au nombre total d’éléments de

l’échantillon (soit n ).

La mise en œuvre pratique de la technique décrite ici est ainsi très simple. Les étapes en sont les

suivantes :

- On commence par chercher les valeurs minimum, mink , et le maximum, maxk prises par le

coefficient d’absorption dans l’échantillon 1 2, ,..,

n (Etape 1).

- On découpe ensuite (Etape 2), généralement de façon logarithmique, l’intervalle min max,k k

en p sous-intervalles 1,p pk k

tels que 0 min max, pk k k k et :

1

1 min max

0

, ,p

p p

i

k k k k

(2.30)

- Pour chaque valeur de p , on calcule (Etape 3) un coefficient d’absorption moyen

1ˆ

p p pk k k et un intervalle de valeurs de : 1ln ln lnp p pk k k .

- On cherche alors (Etape 4) l’ensemble des valeurs issues de l’échantillon 1 2, ,..,

n telles

que ˆln ln 1

ln 2

ip

p

k

k

. Soit

pn le nombre ainsi obtenu.

- L’estimateur de la distribution f k au point ˆpk k est alors simplement donné par le

rapport pn n .

Ces différentes étapes sont décrites de façon schématique sur les Figures 2.6 ci-après.

On peut noter que la méthode décrite ici est une version très élémentaire de la technique dite des

noyaux [C2-14]. L’utilisation d’autres types de noyaux que la fonction indicatrice est tout à fait

possible. On trouvera par exemple dans la référence [C2-15] une méthode similaire à celle décrite

ici mais utilisant des noyaux de type Gaussienne inverse et appliqué à des approches en bandes

larges (sur laquelle la fonction de Planck ne peut plus être supposée constante).

Figure 2.6.a. Recherche des valeurs minimales et maximale du coefficient d’absorption sur la

bande – Etape 1.

Figure 2.6.b. Discrétisation (généralement de façon logarithmique) de l’intervalle de variation

min max,k k de - Etape 2.

Figure 2.6.c. Recherche du nombre de points (représentés ici par des carrés) par intervalle de

valeurs de k. Ce nombre rapporté au nombre total de valeurs de dans la bande est un

estimateur de la k-distribution f - Etapes 3 et 4.

2.3.2. Méthode par réordonnement des valeurs de

Une autre méthode simple d’estimation d’une k-distribution s’appuie sur la définition de la

distribution cumulée donnée par la relation (2.15). Cette relation exprime le fait que cette

fonction g k correspond à la fraction de nombre d’ondes présents dans l’intervalle

min max; telle que k . Considérons alors le spectre obtenu en réordonnant les valeurs

de de façon croissante. On obtient alors un nouveau spectre, que nous noterons , défini de

la façon suivante :

min

max

min

max

i ji j

k

k

(2.31)

où mink et maxk représentent les valeurs minimales et maximales du coefficient d’absorption

monochromatique sur . Avec cette définition, la fraction de nombres d’ondes tels que

q (qui est aussi

qg

d’après la définition (2.16)) s’écrit :

minq

qg

(2.32)

où l’indice q représente l’entier associée à la plus grande valeur de q telle que

1q qk

.

En d’autres termes, on a l’encadrement suivant :

min min1

1

q q

q qg g k g

(2.33)

Les valeurs de q

g étant connues par application directe de la relation (2.32), un simple

processus d’interpolation permet d’évaluer la k-distribution cumulée pour n’importe quelle valeur

de la variable k .

2.3.3. Commentaire sur les différentes méthodes d’évaluation de k-distributions

D’un point de vue mathématique, les deux méthodes précédentes sont équivalentes et soumises

aux mêmes sources d’erreur liées au fait que les spectres utilisés pour évaluer la distribution sont

calculés à résolution finie (c’est à dire avec un nombre fini de valeurs du coefficient d’absorption

par bande étroite). Cependant, la seconde méthode (décrite au paragraphe 2.3.2) présente

l’intérêt de reformuler le problème en termes de spectre réordonné, ce qui est très utile lors du

passage à des milieux anisothermes, comme nous pourrons le voir dans le prochain chapitre.

Il existe d’autres méthodes permettant d’estimer une k-distribution (ou sa cumulée) à partir de

données RPR dont certaines, comme la méthode aux k-moments généralisés [C2-7,C2-11],

permettent d’aboutir à une formulation analytique de ces fonctions. Cependant, les deux

méthodes proposées ci-avant restent les plus usuelles.

2.4. Modèles en k-distributions et Equation du Transfert Radiatif (ETR)

De façon générale, pour un milieu émettant-absorbant mais non diffusant, l’ETR s’écrit sous

forme différentielle :

0L

L Ls

(2.34)

La moyenne spectrale sur la bande étroite peut se calculer en intégrant l’équation

précédente :

01 1 1 1Ld L d L d L d

s s

(2.35)

que l’on peut réécrire :

0

1

1

d

L k L L ds

(2.36)

Tout le problème vient alors du fait que le second terme de droite ne se simplifie pas dans le cas

général puisqu’il ne peut pas s’écrire sous la forme k L dans la mesure où le gaz n’est pas un

milieu gris.

Dans l’approche en k-distribution, on calcule les moyennes spectrales de fonctions du nombre

d’onde après les avoir multipliées par la distribution k . En procédant alors comme

précédemment on obtient :

0

1 1

1 1

Lk d k L d

s s

k L d k L d

(2.37)

Le premier terme de droite se simplifie comme précédemment (dans la mesure où cette

simplification vient de l’hypothèse de fonction de Planck constante sur la bande étroite). Le

second terme, dans ce cas, se simplifie aussi car :

1 1

k L d k k L d

(2.38)

En notant alors 1

kL k L d

, on peut réécrire la relation (2.37) sous la forme :

0kk

Lk L L

s

(2.39)

c'est-à-dire de façon identique à l’ETR monochromatique mais cette fois l’intégration ne se fait

plus suivant la variable nombre d’onde mais suivant la variable k. On voit ici tout l’intérêt

pratique qu’apportent les approches en k-distributions. En effet, ces méthodes permettent de

résoudre un problème radiatif de la même façon que par une approche spectrale (donc en utilisant

n’importe quelle méthode de résolution de l’ETR) tout en minimisant le coût de calcul par

rapport à une approche directe raie-par-raie. Enfin, on peut noter qu’il existe une approche

différentielle pour les modèles formulés en transmittivités moyennes. L’ETR associée s’écrit

alors [C2-12]:

0 0

0

0, , ,0

ss s s s s s sL L L s L s ds

s s s s s

(2.40)

Cependant, cette approche est rarement utilisée car elle ne s’applique qu’à des milieux entourés

de parois non réfléchissantes. Cette hypothèse est en effet nécessaire pour pouvoir traiter de façon

décorrélée le premier terme de droite dans (2.40). De plus, son coût de calcul (lié en grandes

partie aux évaluations des transmittivités sur des trajets non uniformes qui apparaissent dans

l’intégrale) est relativement élevé par rapport aux approches en k-distribution précédentes.

Néanmoins, les modèles en k-distributions sont loin de résoudre tous les problèmes dans le cas de

milieux fortement anisothermes comme nous le verrons dans le prochain chapitre.

2.5. Application à des mélanges de gaz absorbants

Pour de nombreuses applications, les gaz interagissant avec le rayonnement ne sont pas

constitués d’une seule espèce active dans l’infrarouge mais de mélanges de tels constituants.

Souvent, ces espèces absorbent et émettent du rayonnement dans des zones identiques du spectre

(par exemple, le dioxyde de carbone et la vapeur d’eau, produits par les réactions de combustion,

absorbent simultanément autour de 2.7 µm). Cependant, les spectres associés à ces espèces sont

généralement statistiquement indépendants (les positions et intensités des raies associées aux

différentes espèces n’ont aucune raison physique d’être liées). On parle alors de spectres

décorrélés. Dans ce cas, la transmittivité du mélange s’exprime comme le produit des

transmittivités des différentes espèces prises seules. Cette approche rend le traitement des

mélanges d’espèces absorbantes relativement simple et précise, comme montré par exemple dans

la référence [C2-12].

En terme de k-distribution, la notion de décorrélation des spectres conduit à estimer la k-

distribution du mélange comme le produit de convolution de celles des différentes espèces (écrit

ici pour un mélange constitué de deux espèces représentées par les indices « 1 » et « 2 ») :

1 2

0

mixf k f k f k k dk

(2.41)

ou, en terme de distributions cumulées :

1 2mixg k g k g k (2.42)

L’équation de transfert radiatif associée à un mélange de gaz absorbant s’écrit alors sous la

forme :

, 0,

k i j

k

Lk i j L L

s

(2.43)

où 1 1, 2 2,, i jk i j x k x k P représente le coefficient d’absorption du mélange qui s’écrit comme

la somme du i-ème coefficient d’absorption du premier constituant (de fraction molaire 1x dans

le mélange) et du j-ème coefficient d’absorption du second(fraction molaire 2x ). Le fait de traiter

ainsi le mélange conduit ainsi à résoudre 2n ETR (si chaque gaz est représenté par n gaz gris)

correspondant à l’ensemble des valeurs possibles des couples ,i j . Cette approche peut devenir

ainsi très lourde dans le cas d’un mélange d’un grand nombre d’espèces absorbantes, voire

dépasser dans certains cas le coût d’un calcul RPR. Dans ce cas, quelques techniques ont été

proposées (voir par exemple la référence [C2-17]) qui utilisent des coefficients d’absorption

évalués directement pour le mélange.

2.6. Exemple de comparaisons entre spectres raie-par-raie et spectres en k-distributions

Les résultats présentés dans cette partie sont issus de k-distributions obtenues avec la méthode

décrite dans la partie 2.3.2.

La figure 2.7 montre une comparaison entre des courbes de croissance (transmittivité en fonction

de la longueur de trajet dans le gaz) pour différentes températures. Ces cas de calcul

correspondent à ceux des figures 2.3 et 2.4. L’intégrale (2.2), exprimée en transmission, a été

calculée avec 20 valeurs de k espacées de façon logarithmiques entre les valeurs minimales et

maximales du coefficient d’absorption sur la bande. On peut noter que la précision obtenue par

l’approche en k-distributions est très bonne puisque les écarts absolus observés entre le modèle et

la référence RPR sont inférieurs à 2.10-3

sur l’ensemble des courbes (couvrant les limites

optiquement minces et épaisses ainsi que toutes les valeurs intermédiaires).

La figure 2.8 présente une comparaison entre des calculs RPR et en k-distributions sur la bande à

2.7 µm de CO2. Les écarts absolus aux données de référence RPR restent similaires à ceux

observés dans le cas de la Figure 2.7 mais sur une large gamme de nombres d’onde.

Figure 2.7. Transmissivité pour de la vapeur d’eau à différentes températures et à pression

atmosphérique (bande étroite large de 25 cm-1

centrée à 3650 cm-1

). Les données RPR utilisées

sont identiques à celle de la Figure 2.4.

Figure 2.8. Transmissivité pour du dioxyde de carbone sur la bande à 2.7 µm de CO2 à

différentes températures et à pression atmosphérique (bandes étroites larges de 25 cm-1

).

ANNEXE DU CHAPITRE 2. Modèles statistiques à bandes étroites

Jusqu’à présent, nous nous sommes essentiellement intéressés aux modèles en k-distribution

formulés sur des bandes étroites. Sur ce type d’intervalles, cette approche n’est pas la seule à

avoir été proposée. Ainsi, une classe importante de modèles, dits statistique à bandes étroites

(SBE, Statistical Narrow Band SNB model dans la littérature anglo-saxonne), a été développée.

Ce type de modèle est décrit dans cette annexe. On trouvera des compléments sur cette approche

dans la référence [C2-18].

Dans l’approche SBE, le coefficient d’absorption du gaz sur une bande étroite est

modélisé comme la somme de raies dont les centres sont répartis aléatoirement dans l’intervalle

et choisies de façon à ce que les paramètres des raies (intensités et largeurs) soient statistiquement

représentatifs du spectre réel. Le modèle s’appuie sur les hypothèses suivantes :

1. Le nombre N de raies d’absorption du gaz dont le centre est compris dans l’intervalle

est grand.

2. Les centres des raies sont distribués de façon aléatoire et uniforme dans l’intervalle. Les

positions associées sont indépendantes les unes des autres.

3. Les intensités S des raies sont elles aussi statistiquement indépendantes et caractérisées

par une loi de probabilité P S fonction de la condition thermophysique du gaz.

4. Les largeurs des raies sont suffisamment faibles devant pour que l’on puisse

considérer que l’absorption du rayonnement par les N raies présentes dans l’intervalle ne

soient due qu’au seules raies de cet intervalle. Ceci impose, entre autre, que les profils des

raies soient aussi complètement inclus dans .

Sous ces hypothèses, on montre [C2-18] que la transmittivité d’une colonne de longueur L du

gaz s’exprime par la relation :

0

1expL P S W S dS

(A.1)

dans laquelle la quantité W S représente la largeur de raie noire équivalente d’une raie

d’intensité S donnée par la relation (avec RSf ):

1 exp W S xP L d

(A.2)

et désigne la distance moyenne entre deux raies successives.

Dans le cas de raies de profil Lorentz, la largeur de raie noire équivalente est données par la

formule de Ladenburg-Rieche, déjà évoquée dans la partie 2.2 (voir l’équation (2.28)).

A partir de la relation (A.1), plusieurs modèles ont été proposés en se basant sur des choix

différents pour la loi de distribution des intensités P S . Parmi ces modèles, celui proposé par

Malkmus en 1969 [C2-19] est l’un des plus précis. La loi P S due à Malkmus, appelée inverse

exponentielle tronquée, s’écrit formellement :

1

exp expln m m

S SP S

S R S RS

(A.3)

Cette loi dépend de deux paramètres : mS est l’intensité maximale des raies présentes dans

l’intervalle, R désigne le rapport entre les valeurs minimale et maximale des intensités de ces

mêmes raies. Avec cette loi de distribution des intensités et sous l’hypothèse de raies

Lorentziennes, la formule (A-1) prend la forme extrêmement simple suivante :

2

exp 1 1xPLk

L

(A.4)

Cette relation dépend elle aussi de deux paramètres :

- k , exprimé ici en cm-1

.atm-1, qui représente la valeur moyenne du coefficient d’absorption à

la limite optiquement mince. En effet :

0

1 1limL

Lk d

xPL

(A.5)

- , sans unité, caractérise le chevauchement entre raies. Ce paramètre s’exprime en fonction

de la largeur de raie moyenne Lorentzienne et de la distance moyenne entre raies par la

relation suivante :

2 L

(A.6)

Dans l’approche SBE, les paramètres du modèle sont clairement définis (par les relations (A.5-6))

et s’expriment directement à partir des données individuelles des raies (que l’on peut évaluer à

partir de bases de données spectroscopiques). Cependant, des travaux (présentés dans [C2-12])

ont montré que l’utilisation directe de ces définitions ne permet pas de reproduire finement des

spectres de transmission calculés raie-par-raie et moyenné par bande. De ce fait, la méthode

généralement utilisée pour générer des paramètres de modèles SBE consiste à identifier le

paramètre k à partir de sa définition (Eq. (A.5)) puis à estimer le second coefficient, , par un

ajustement des courbes de croissance (courbe de transmission en fonction du produit xPL )

calculées raie-par-raie et par le modèle approché. Cette technique est couramment utilisée et a

permis de produire de nombreuses bases de données pour ces modèles [C2-20].

On peut noter que la fonction de transmission donnée par la relation (A4) peut s’écrire de façon

analytique sous forme de k-distribution (ce résultat est dû à Domoto [C2-21]). En effet, on peut

montrer que la k-distribution associée à cette transmittivité s’écrit :

1 2

exp 22 2

k k kf k

k k k k

(A.7)

appelée fonction inverse Gaussienne et dont la cumulée s’écrit aussi de façon analytique :

1 2

erfc exp erfc2 2 2

k k k kg k

k k k k

(A.8)

avec [C2-22]:

22erfc exp

z

z t dt

Certains modèles s’appuient sur cette distribution pour construire un modèle en k-distribution

approché et en utilisant les données des modèles SBE. Ils sont ensuite généralement étendus en

anisotherme hétérogène (comme décrit dans le chapitre suivant) en utilisant les mêmes méthodes

que celle employées par les approchées basées sur des k-distributions exactes (le modèle associé

est souvent appelé SNB-CK [C2-23,C2-24]). On peut cependant noter que ce type d’approche a

peu d’intérêt dans la mesure où elle repose sur deux ordres d’approximations (des k-distributions

et du traitement non uniforme) des spectres tandis que les modèles en k-distributions ne sont

approchés qu’au niveau du traitement des non uniformités. Néanmoins, cette approche peut se

révéler pratique si on ne dispose pas de données raie-par-raie ni de données exactes en k-

distributions.

REFERENCES DU CHAPITRE 2

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CHAPITRE 3. LES MODELES EN K-DISTRIBUTIONS DANS LES MILIEUX NON

UNIFORMES (HETEROGENES ET/OU ANISOTHERMES)

Dans le chapitre précédent, nous nous sommes intéressés aux modèles en k-distributions pour

des applications dans des milieux homogènes isothermes. Or, dans de nombreuses applications, le

milieux gazeux dans lequel se propage le rayonnement n’est pas uniforme mais le siège de

gradients de température, de composition et de pression. Traiter ces problèmes nécessite

d’adapter la modélisation présentée dans le Chapitre 2 en introduisant des hypothèses

complémentaires que nous proposons de détailler ici. Dans tout ce chapitre nous utiliserons la

notation :

1

, f k k d

(3.1)

pour désigner la k-distribution d’un gaz dans la condition thermophysique représentée par le

vecteur dont les composantes sont la température T du gaz (en K), les compositions en espèces

gazeuses et la pression totale P (en atm). Cette notation est légèrement plus lourde que dans la

partie précédente mais rend explicite la dépendance des k-distributions avec la condition

thermophysique qui nous sera utile ici. En effet, dans ce chapitre, plusieurs températures,

compositions et pressions distinctes pourront être rencontrées au cours de la propagation du

rayonnement dans le gaz. Pour des raisons analogues, nous noterons la transmittivité d’une

colonne de longueur L de gaz dans la condition thermophysique sous la forme ,L (dans

le cas monochromatique) ou ,L (sous forme moyennée). Comme précédemment, nous

restreindrons notre propos à des bandes étroites.

Nous définissons aussi une condition, dite de référence et que nous noterons ref , et dont le rôle

sera précisé dans la suite de cet exposé.

3.1. INTRODUCTION

Afin d’introduire la problématique liée au transfert radiatif dans des gaz non uniformes, nous

allons commencer par montrer ce qui change lorsque l’on passe d’un modèle monochromatique à

un modèle moyenné sur un intervalle spectral .

Pour un nombre d’onde donné , si la température de référence a été choisie de sorte que

ref

soit non nul, alors pour chaque condition thermophysique on peut définir le

coefficient de proportionnalité entre les valeurs des coefficients d’absorption dans les états et

ref par la relation :

ref

u

(3.2)

si bien que la transmittivité du trajet non uniforme 0 s s’écrit formellement :

0 0

0 exp exp

,

s s

ref

ref

e

s x s P s s ds x s P s u s ds

L

(3.3)

où x s x s , P s P s et s s représentent la fraction molaire

en gaz absorbant, la pression totale et le coefficient d’absorption monochromatique au point

d’abscisse curviligne s’ le long du trajet 0 s . La grandeur eL représente une longueur

équivalente définie de la façon suivante :

0

s

eL x s P s u s ds (3.4)

La relation (3.3) montre que la fonction de transmission sur le trajet non uniforme s’exprime de

façon identique à celle d’un trajet dans le gaz dans la condition de référence ref (considéré ici,

afin de simplifier les notations mais sans perte de généralité, de telle sorte que

1ref refx P ) mais pour une longueur de trajet non pas égale à 0L s mais à eL .

En d’autres termes, si on connait la courbe de croissance (qui représente la fonction de

transmission en fonction de la longueur du trajet dans le gaz) dans la condition ref ainsi que la

valeur de eL , on peut en déduire la valeur de transmissivité correspondant à n’importe quel trajet

non uniforme.

Dès lors que l’on groupe ensemble des nombres d’onde, ce qui constitue l’élément de base de

tous les modèles approchés de rayonnement des gaz comme discuté dans le chapitre précédent,

on perd (de façon plus ou moins importante) cette propriété de scalabilité. En effet, de façon

générale, la fonction u varie de façon significative à la fois avec le nombre d’onde et avec la

condition thermophysique . Il n’existe alors plus de moyen simple de relier la connaissance de

la fonction de transmission dans une condition de référence donnée à celle pour un trajet non

uniforme (et même, de façon plus humble, d’établir un lien entre des fonctions de transmission

prises dans deux conditions thermophysiques différentes). Dit autrement, la connaissance des

propriétés radiatives moyennées dans n’importe quelle condition de référence uniforme (ce que

l’on sait faire) ne suffit pas à étendre simplement ce modèle à des cas non homogènes et

anisothermes (ce que l’on souhaite faire).

Cependant, cette propriété de scalabilité reste vraie dans quelques cas bien particuliers (mais non

exhaustifs) :

- Si le gaz est gris, ce qui est une hypothèse acceptable à hautes pressions mais pas dans un

cadre général,

- Si le milieu non uniforme est faiblement absorbant (dans ce cas, les fonctions exponentielles

dans la relation (3.3) peuvent se linéariser et le problème se ramène à celui d’un gaz gris),

- Si les spectres associés à différentes conditions thermophysiques sont homothétiques (ils sont

alors dits séparables),

- si on peut trouver une fonction strictement monotone qui permette de lier les valeurs des

coefficients d’absorption dans des conditions thermophysiques distinctes (les spectres sont

alors dits corrélés). On peut alors montrer que l’hypothèse de séparabilité est vraie sur des

sous-intervalles spectraux de la bande .

En général, les gaz ne sont ni gris ni optiquement minces sur l’ensemble du spectre (mais peuvent

l’être sur des bandes de largeurs spectrales plus ou moins importantes). Les cas rigoureusement

séparables et corrélés sont aussi extrêmement rares. Cependant, leur étude est utile car ils servent

de base théorique pour la construction de modèles approchés pour le traitement de cas non

uniformes.

3.2. Spectres séparables et corrélés.

3.2.1. Cas de spectres séparables sur des bandes étroites

Supposons que nous cherchions à calculer la fonction de transmission (ou transmittivité) d’un

trajet de longueur totale 0L s dans le gaz tel que schématisé sur la Figure 3.1 (c'est-à-dire

décomposable en deux segments homogènes isothermes – l’extension au cas de N segments

uniformes se traite de façon similaire).

Figure 3.1. Schéma d’un trajet non uniforme décomposé en deux segments homogènes

isothermes.

Cette fonction de transmission s’exprime par la relation :

1 1 1 1 2 2 2 2

10 exp s x P L x P L d

(3.5)

où iL correspond à la longueur du segment de gaz dans la condition thermophysique représentée

par le vecteur i .

Si les spectres sont séparables, la relation (3.5) peut se réécrire :

1 1 1 1 2 2 2 2

1 1 1 1 2 2 2 2

10 exp

1exp

ref ref

ref

s x P u T L x P u T L d

T x P u L x P u L d

(3.6)

où les paramètres iu représentent les coefficients de proportionnalité (supposés ici

indépendants du nombre d’onde) entre les valeurs des spectres dans les conditions ref et

i . La

relation (3.6) signifie que dans ce cas la transmissivité de la colonne anisotherme s’exprime de la

même façon qu’une colonne homogène isotherme dans la condition ref mais non pas avec une

longueur égale à celle de la colonne réelle (c'est-à-dire 1 2L L L ) mais pour une longueur

équivalente eL définie par la relation :

1 1 1 1 2 2 2 2eL x P u L x P u L (3.7)

On peut alors réécrire la relation (3.6) sous la forme :

0 , ref

es L (3.8)

c’est à dire de façon identique (à la moyenne spectrale près) au cas monochromatique (voir la

relation (3.3)). La résolution graphique de l’équation (3.8) est schématisée sur la Figure 3.2.

Figure 3.2. Résolution graphique de l’équation de scalabilité (3.8). La longueur L (ou L’)

représente le trajet non uniforme 0 s - Ici, on a fait l’hypothèse 1ref refx P .

La relation (3.8) indique que si l’on est capable de calculer précisément la fonction de

transmission du gaz dans la condition de référence (chose que nous savons faire, comme nous

avons pu le voir dans le chapitre précédent) alors, sous l’hypothèse de séparabilité des spectres,

on peut calculer avec une précision similaire les fonctions de transmission associées à des trajets

non uniformes.

Les variables iu peuvent dans ce cas s’obtenir simplement à la limite optiquement mince

(lorsque l’exponentielle est linéaire) pour fournir explicitement :

1

iref

i i refu d d d

(3.9)

On peut noter que l’écriture de la seconde égalité de droite n’est pas vraie dans le cas général

mais est particulière au cas séparable considéré ici.

La relation (3.9) est en fait un cas particulier de la relation suivante qui exprime que si les

spectres sont séparables alors il existe un coefficient de proportionnalité permettant de lier les

spectres dans les conditions ref et

i et qui est défini implicitement comme solution de

l’équation :

, , ref

i i i i i ix P l x P u l

(3.10)

La limite optiquement mince (donc lorsque 0l ) de la relation (3.10) permet de retrouver

directement l’équation (3.9).

3.2.2. Cas de spectres séparables sur des sous-intervalles spectraux de bandes étroites.

Supposons que nous soyons capables de discrétiser la bande étroite en P sous-intervalles

spectraux , 1,..,p p P , non nécessairement contigus, tels que : 1/ la réunion de tous ces

sous-intervalles permette de reconstruire complètement , 2/ sur chaque p les spectres

soient séparables. On peut alors discrétiser l’intégrale sur la bande en P morceaux :

1 1 1 1 2 2 2 2

1

10 exp

P

p p

ps x P L x P L d

p

(3.11)

Par hypothèse de séparabilité sur chaque intervalle p , chacune des intégrales de droite dans

l’équation (3.11) peut se réécrire de façon similaire à la relation (3.8) soit :

1 1 1 1 2 2 2 2

,

10 exp

,

p

p

p ref

e p

s x P L x P L dp

L T

(3.12)

avec :

, 1 1 1 1 2 2 2 2e p p pL x P u L x P u L (3.13)

Les coefficients de proportionnalités p iu s’expriment alors de la même façon que dans le cas

séparable par bande ie. :

1

i

p i ref

p

u dp

(3.14)

Ce cas est donc légèrement plus compliqué que le précédent dans la mesure où il nécessite de

calculer non plus une longueur équivalente sur l’ensemble de l’intervalle (comme dans le cas

précédent) mais autant de telles longueurs qu’il y a de sous-intervalles. De plus, ceci nécessite de

pouvoir définir au préalable les intervalles , 1,..,p p P ce qui peut s’avérer délicat dans le

cas général.

3.2.3. Cas de spectres corrélés sur des bandes étroites.

Dans ce cas, le coefficient d’absorption monochromatique dans n’importe quelle condition

thermophysique s’exprime comme une fonction strictement monotone (et que nous supposerons

ici croissante) et donc bijective du coefficient ref

:

, refh

(3.15)

Considérons alors un petit intervalle de valeurs de ref

centré autour d’une valeur k et de

largeur dk. A cet intervalle, comme nous l’avons vu dans le Chapitre 2, on peut faire

correspondre un intervalle spectral que nous noterons k . Pour une valeur de dk

« suffisamment » petite, on peut écrire sur cet intervalle :

, ,ref

ii i

ref ref

h h k

k

(3.16)

si bien que sur k on a :

,iref

i

h k

k

(3.17)

On peut alors voir qu’on se ramène au cas précédent (considéré à la limite P ) avec :

, refp

f k dk

(3.18)

et :

,

,i

p i i

h ku u k

k

(3.19)

Fondamentalement, l’approche corrélée est ainsi similaire au cas séparable par morceaux.

Cependant, son traitement se fait en pratique de façon différente des cas précédents (pour lesquels

on peut se ramener à une longueur équivalente). Ceci est en grande partie lié au fait que la

fonction h servant à corréler les spectres dans des conditions thermophysiques différentes est en

général inconnue et donc pas définie de façon explicite. Ceci rend l’utilisation directe de la

relation (3.19) impossible.

Ainsi, afin de reformuler ce problème, nous allons considérer de nouveau le cas de deux raies

Lorentziennes mais cette fois dans deux conditions thermophysiques distinctes ref et . Aux

points A, B, C et D (voir la Figure 3.3) situés à l’intersection entre la droite d’équation

constanteref k et le spectre d’absorption du gaz dans la condition ref correspondent

des points, que nous noterons A’, B’, C’ et D’, situés à l’intersection entre une droite d’équation

constante ,k h k et le spectre dans la condition . On peut noter que les

abscisses correspondant aux différents points d’intersection considérés aux deux températures

sont identiques. Cette propriété est directement liée au caractère bijectif de la fonction h .

Figure 3.3. Illustration de la notion de corrélation – Cas d’un spectre constitué de deux raies

Lorentziennes.

On peut écrire la valeur de la k-distribution ,f k en utilisant les relations (2.10) et (2.12) du

chapitre précédent pour obtenir :

1

1 1,

i

ni

i

f k k d dd

d

(3.20)

Par hypothèse (voir la relation (3.15)), on peut reformuler le terme dérivé en :

,ii i

i

refref

ref

dhd d

d d d

(3.21)

La valeur du second terme de droite est indépendante de la variable , 1,..,i i n et peut s’écrire :

, ,i

i

ref

ref

dh dh k

dkd

(3.22)

ce qui nous permet d’établir une relation entre les distributions associées aux conditions

thermophysiques ref et sous la forme (qui résulte directement de la relation (3.20)) :

1

,, , ref

dh kf k f k

dk

(3.23)

Dans la mesure où ,dh k

dk dkdk

et puisque nous avons supposé la fonction h croissante

(ce qui permet de s’affranchir des valeurs absolues dans les relations précédentes) :

,

, , , , refdh k

f k dk f h k dk f k dkdk

(3.24)

Cette relation étant vraie pour n’importe quelle valeur de k , on peut en déduire par intégration la

relation suivante entre les distribution cumulées :

, , refg k g k (3.25)

La distribution cumulée du coefficient d’absorption du gaz à la température T étant strictement

croissante, il est possible d’inverser directement la relation (3.25) et ainsi, pour n’importe quelle

valeur de k dans la condition de référence, en déduire la valeur correspondante du coefficient

d’absorption dans n’importe quelle autre condition thermophysique. L’un des intérêts de cette

formulation, comparée à celle proposée par l’équation (3.19) est qu’elle ne fait pas intervenir

explicitement la fonction h (qui est généralement inconnue) mais uniquement les fonctions de

distributions cumulées du coefficient d’absorption que l’on peut simplement estimer (voir le

Chapitre précédent) en s’appuyant sur des données raies-par-raies.

3.3. Cas de spectres réels.

Dans le cas de spectres réels, les hypothèses de séparabilités et de corrélation ne sont pas

rigoureusement vérifiées. Cependant, on peut faire l’hypothèse qu’elles le sont et traiter le

problème comme si les spectres suivaient ces comportements idéaux. Ceci conduit à deux

formulations possibles des modèles en k-distributions pour des milieux non uniformes :

- Le modèle k-Séparable (ou Scaled-k dans la littérature anglo-saxonne, et qui sera noté SK

dans la suite de cet exposé),

- Le modèle k-Corrélé (ou Correlated-k, CK).

3.3.1. Le modèle k-Séparable.

Ce modèle consiste à traiter les spectres dans les différentes conditions thermophysiques

rencontrées lors du trajet du rayonnement dans le gaz comme s’ils étaient séparables. On définit

alors, sur chaque élément uniforme du trajet, un coefficient de proportionnalité effectif u par la

relation implicite (rigoureusement équivalente à la relation (3.10)) :

1 1

1

1exp

1exp

i i i i i i i

ref

i i i i i

s s x P s s d

x P u s s d

(3.26)

La transmittivité sur le trajet non uniforme peut alors se calculer grâce à la relation (3.8) dans

laquelle la longueur équivalente s’exprime à partir de ces coefficients locaux sous la forme :

1

1

10

s n

e i i i i i

i

L x s P s u s ds x P u s s

(3.27)

La seule difficulté, pour appliquer cette méthode, réside dans la résolution de l’équation implicite

(3.26) qui permet de déterminer les valeurs de u le long du trajet. Différentes techniques peuvent

être utilisées à cette fin comme la méthode de Newton-Raphson [C3-1] ou bien en extrapolant des

valeurs tabulées de la courbe de croissance calculée à la température de référence [C3-2] pour

chaque bande étroite . L’approche k-séparable est relativement peu utilisée dans la littérature

bien qu’elle ait été prouvée [C3-1] aussi précise que l’approche corrélée (décrite ci-après).

3.3.2. Le modèle k-Corrélé.

De façon assez similaire au cas précédent, cette approche consiste à traiter les spectres réels des

gaz considérés dans différentes conditions thermophysiques comme si ils étaient rigoureusement

corrélés (ce qu’ils ne sont pas dans la pratique). La transmittivité d’un trajet non uniforme

s’exprime alors sous la forme :

1

0 0

0 exp ,

s

s x s P s k g s ds dg

(3.28)

où les coefficients d’absorption sont obtenus directement à partir de la relation (3.25) c'est-à-dire

comme solution de :

, , , , , ,ref refg k g s s g k g s s g k g (3.29)

Même si cette seconde approche peut sembler à priori aussi difficile à mettre en œuvre que

l’approche séparable (dans la mesure où dans les deux cas les modèles conduisent à la résolution

d’une équation implicite), l’approche corrélée s’avère en pratique plus simple à appliquer. En

effet, l’équation (3.29) peut être résolue une fois pour toute et les résultats stockés dans des bases

de données. Cette approche est détaillée dans le chapitre suivant. Un traitement similaire n’est

pas possible avec l’approche k-séparable qui nécessite de résoudre l’équation (3.26) sur chaque

élément homogène isotherme de gaz rencontré lors de la propagation du rayonnement dans le

gaz.

3.4. Générer des paramètres pour le modèle k-Corrélé en pratique.

Nous avons présenté au Chapitre 2 deux méthodes simples permettant de calculer des k-

distributions (ou leurs cumulées) à partir de données raie-par-raie. La seconde approche (voir le

paragraphe 2.3.2) nous a permis d’introduire la notion de spectre réordonné qui va être utile dans

ce qui suit.

Nous allons ainsi considérer deux spectres (le cas général se traite de façon similaire) associés à

deux conditions thermophysiques distinctes tels que représentés sur la Figure 3.4.a. Ces spectres

correspondent à de la vapeur d’eau à deux températures différentes (les autres paramètres, c’est à

dire la composition et la pression totale du gaz sont identiques – on peut noter que ceci n’est

nullement une hypothèse requise pour appliquer la méthode présentée ici). On commence par

réordonner individuellement (ce point est extrêmement important comme nous pourrons le voir

plus tard) les deux spectres. L’un d’entre eux (ici celui à la température 300 K) est ensuite choisi

comme référence. Les étapes de construction du modèle corrélé sont alors les suivantes :

- On commence par chercher les valeurs minimale et maximale du coefficient d’absorption

dans la condition choisie comme référence (ce qui est simple ici dans la mesure où les

spectres considérés sont réordonnés) puis on discrétise l’intervalle l’intervalle min max,k k en

p sous-intervalles 1,p pk k

tels que 0 min max, pk k k k et :

1

1 min max

0

, ,p

p p

i

k k k k

(3.30)

Cette phase est rigoureusement équivalente aux étapes 1 et 2 de la partie précédente (voir le

paragraphe 2.3.1) et est schématisée sur la Figure 3.4.b.

- On cherche ensuite les valeurs de la fonction de distribution cumulée (ou pseudo-nombres

d’onde) associées aux différentes valeurs du coefficient d’absorption dans la condition de

référence issues de la discrétisation de l’intervalle min max,k k obtenue précédemment. Ceci

nous fournit un ensemble de valeurs , 0,..,ig i P (voir la Figure 3.4.c.).

- On associe ensuite, comme indiqué sur la Figure 3.4.d, les valeurs du coefficient d’absorption

dans la condition ref aux valeurs de la distribution cumulée déterminées dans l’étape

précédente. On résout ainsi, de façon graphique, l’équation implicite (3.29).

- Les poids et coefficients d’absorption associés au modèle sont enfin calculés grâce aux

équations (à mettre en relation avec l’équation (2.19)) :

1

1 1, Remarque : ,

i i i

ref

i i i i i i

g g

k g k k k g k k

(3.31)

L’intérêt de travailler ici en spectres réordonnés est évidente dans la mesure où les valeurs de

associées via l’hypothèse de corrélation aux différentes conditions thermophysiques peuvent être

obtenue directement (compte tenu de la définition donnée par la relation (2.32) liant les valeurs

de g aux nombres d’ondes réordonnés).

Une autre approche, déjà évoquée dans la partie 2.1, consiste à réaliser l’intégration « spectrale »

en utilisant des quadratures numériques de type Gauss-Legendre. Dans ce cas, il n’est plus

nécessaire de définir explicitement une condition de référence (qui devient implicite, dans la

mesure où la notion de corrélation est fondée sur l’existence d’une référence à laquelle rapporter

toutes les autres conditions, suivant l’équation (3.15)) dans la mesure où les valeurs

, 0,..,ig i P sont alors fixées par le choix de la quadrature. La construction des paramètres du

modèle CK se fait dans ce cas de façon identique à celle présentée ci-avant mais seule la dernière

étape (voir la Figure 3.4.d) subsiste.

Figure 3.4.a. Spectre RPR pour de la vapeur d’eau à deux températures. On peut noter de façon

évidente que le rapport entre les deux spectres est loin d’être une constante (et donc que les

spectres ne sont pas séparables).

Figure 3.4.b. Spectre réordonné dans la condition de référence et discrétisation du domaine de

variation de .

Figure 3.4.c. Recherche des valeurs de la distribution cumulée associées à la discrétisation du

domaine de variation de dans la condition de référence.

Figure 3.4.d. Résolution de l’équation implicite (3.29).

On peut cependant noter que, dans le cas de spectres réels, la notion de corrélation est une

hypothèse simplificatrice, mais qu’elle n’est pas rigoureuse. En effet, si les spectres étaient

réellement corrélés, alors en réordonnant un spectre (celui dans la condition de référence) et en

appliquant la même permutation des nombres d’onde à l’autre spectre alors, par conséquence du

caractère strictement croissant de la fonction h, le spectre ainsi obtenu devrait être lui aussi

réordonné. On devrait alors obtenir des courbes similaires à celles présentées sur la figure 3.4.d.

Cependant, en pratique, dans la mesure où la notion de corrélation n’est pas exacte mais

uniquement une approximation, en classant le spectre dans la condition de référence par valeurs

croissantes du coefficient d’absorption puis en appliquant à un autre spectre le même

réordonnement des nombres d’ondes, on obtient une figure de la forme de celle présentée en

3.4.e. Ceci montre clairement que l’approche corrélée, si elle permet un traitement extrêmement

simple des non uniformités le long de trajets optiques, n’est qu’une approximation. Elle est ainsi

susceptible de produire des erreurs (difficilement quantifiables à priori) lors de l’application de ce

type d’approche dans des problèmes de transfert radiatif.

Figure 3.4.e. Caractère approché de l’hypothèse de corrélation - Le spectre à 2300 K est

réordonné en utilisant la même permutation des nombres d’onde que celle utilisée pour

réordonner le spectre à la température de référence (300 K).

3.4. Exemples d’applications de l’approche k-Corrélé (CK) pour des calculs de transfert

radiatif dans des milieux non uniformes.

Dans ce paragraphe, nous allons nous intéresser à deux cas relativement simple de transfert

radiatif dans des gaz. La géométrie retenue est celle du mur plan infini. On peut noter que l’étude

de ce type de cas est relativement classique en modélisation du rayonnement des gaz dans la

mesure où il peut être traité par l’approche RPR avec des coûts de calcul raisonnables permettant

ainsi de fournir une référence à laquelle comparer les modèles approchés.

Le premier cas (appelé C2 dans le chapitre 4) correspond à celui d’un mélange homogène

isotherme de CO2, H2O et N2 à 1250 K et à pression atmosphérique. Les émissivités des parois

délimitant le gaz, placées à la température 400 K sur la gauche (paroi froide) et 1500 K sur la

droite (paroi chaude), sont de 0,8. La distance totale entre ces parois est de 10 cm. Les puissances

radiatives dissipées dans le volume du gaz calculées par l’approche RPR et par le modèle CK

sont reportées sur la Figure 3.5. Dans cette situation, l’écart entre les deux approches est

pratiquement négligeabls (l’écart en terme de puissance radiative entre les deux approches, RPR

et CK, est généralement situé autour de 1 à 2 % sur l’ensemble du profil).

Figure 3.5. Comparaison entre modèles RPR et CK en géométrie monodimensionnelle – cas

homogène isotherme C2.

La second configuration étudiée (appelée Cas C4 dans le chapitre 4) correspond de nouveau à une

géométrie monodimensionnelle mais cette fois la température n’est plus constante mais suit un

profil en cosinus (voir Chapitre 4). De nouveau, l’accort entre les deux modèles est satisfaisant

même si localement des écarts pouvant atteindre 10 % (voire plus lorsque la divergence du flux

tend vers 0) sont observés.

De façon générale, le modèle CK donne de très bons résultats (lorsqu’on le compare à des calculs

RPR) dès lors que les dimensions des trajets dans les gaz restent faibles et/ou que les gradients de

température restent modérés. Dans certains cas plus extrêmes (de type signature infrarouge par

exemple), l’approche CK n’est plus suffisante pour produire des résultats de bonnes qualités. Des

approches plus complexes doivent être mises en œuvre. Nous en donnons les grandes lignes dans

le paragraphe suivant.

Figure 3.6. Comparaison entre modèles RPR et CK en géométrie monodimensionnelle – cas

anisotherme C4. La température moyenne du gaz est 1000 K et l’écart maximum de température

(minimum et maximum de la fonction cosinus) est 500 K. Les parois sont noires et à la même

température que le gaz situé à leur proximité immédiate.

3.5. Modèles en gaz fictifs et techniques de mapping.

Tous les modèles disponibles dans la littérature sont limités en pratique par l’hypothèse de

corrélation (ou de séparabilité) nécessaire à l’extension de leur formulation pour des milieux

uniformes (homogènes isothermes) à des cas non uniformes. Si souvent l’erreur commise est

relativement faible (pour des milieux faiblement anisothermes et hétérogènes), elles peuvent

devenir importantes dans certains cas, en particulier lorsque le gaz chaud qui émet est vu après

avoir été transmis par une longueur importante de gaz froid constitué des mêmes espèces que la

source chaude. Le cas le plus classique de telle configuration est celui de la signature infrarouge

pour laquelle les gaz chaud en sortie d’un moteur d’avion sont détectés au sol après avoir traversé

une longue distance dans l’atmosphère. Pour ces cas particuliers, des modèles spécifiques on été

développés. Nous les décrivons ici rapidement.

Il y a deux grandes classes de modèles dédiés aux problèmes de type signature :

- Les modèles dits en « gaz fictifs »,

- Les modèles basés sur des techniques dites de « mapping ».

Le principe de l’approche en « gaz fictifs » a été proposé initialement par Ludwig en 1973 (sous

le nom de « multi-groupes », voir la référence [C3-3]). Elle consiste à représenter le spectre d’un

gaz (résultant de la sommation d’un grand nombre de raies) comme une somme de spectres

associés à des sous-ensembles de raies évoluant de façon similaire avec la température. La

sélection des raies attribuées à un gaz fictif donné se fait assez simplement en groupant ensemble

les raies pour lesquelles l’énergie des niveaux bas des transitions sont similaires (cette quantité

est la plus importante pour décrire le comportement de l’intensité d’une raie avec la température).

Chaque spectre de gaz fictif peut alors être traité par l’approche SK ou CK mais dans ce cas,

compte tenu du mode de construction des gaz fictifs, les hypothèses de corrélation ou de

séparabilité pour chacun de ces gaz sont beaucoup plus proches de la réalité que pour l’ensemble

des raies. Les propriétés radiatives du gaz sont alors traitées comme un mélange de gaz (fictifs)

de la même façon que pour un mélange d’espèces différentes (c'est-à-dire en supposant les

spectres des gaz fictifs décorrélés). Ceci a pour conséquence de réduire la précision du modèle

pour des milieux homogènes isothermes [C3-4] mais améliore nettement la précision du calcul

lors de trajets fortement anisothermes. Cette approche a été fortement développée dans les années

80-90 [C3-4], aussi bien sur des bandes étroites que sur l’ensemble du spectre [C3-6] (dans le

cadre des modèles globaux dont il sera question dans le chapitre suivant). La dénomination « Gaz

Fictifs » a été pour la première fois proposée dans la référence [C3-6]. Modest [C3-7] utilise une

approche similaire mais appelle ce modèle « multi-scale ».

Les techniques de mapping ont été introduites pour la première fois dans la référence [C3-8].

Elles s’appuient en grande partie sur l’approche décrite dans le paragraphe 3.2.2 (dédié au cas de

spectres séparables par sous-intervalles spectraux dans une bande). Dans l’approche proposée

initialement, les spectres RPR par bandes sont réordonnés de façon à produire des sous-

intervalles tels que dans chaque sous-intervalle les spectres soient pratiquement constants pour

toutes les conditions thermophysiques rencontrées lors de la propagation du rayonnement dans le

milieu non uniforme. Le coût de calcul associé à chacun de ces réordonnements étant inférieur à

celui du traitement direct des spectres par l’approche RPR, un gain significatif est observé.

L’inconvénient principal de cette approche est qu’elle reste fondée sur des données RPR, ce qui

la rend difficilement envisageable pour des calculs de type ingénierie. Pour ces cas, d’autres

méthodes ont été proposées. Les plus récentes sont dues aux travaux de Zhang et Modest ([C3-9],

le modèle est alors appelé multi-groupe, mais à ne pas confondre avec le modèle du même nom

proposé par Ludwig et évoqué plus tôt dans ce paragraphe) ou André et al. ([C3-2],[C3-10],

l’approche s’appelle alors multi-spectrale).

Les approches par « gaz fictifs » ou par « mapping » permettent ainsi de traiter des problèmes de

transfert radiatif dans des milieux gazeux fortement anisothermes. Cependant, ces modèles

entrainent généralement un coût de calcul supérieur aux approches plus « classiques » (par

exemple, le coût de l’approche en gaz fictifs peut, dans certaines conditions, se révéler supérieur

à un calcul RPR !) si bien que ces modèles sont à utiliser avec parcimonie, en fonction du type de

problème traité.

ANNEXE DU CHAPITRE 3. Application des modèles statistiques à bandes étroites en

milieux non uniformes

De la même façon qu’il est possible d’étendre les modèles en k-distributions à des cas non

uniformes, on peut proposer des formulations approchées pour les modèles statistiques à bandes

étroites sur des trajets non isothermes et/ou hétérogènes.

Parmi les différentes approches possibles, celle proposé (indépendamment) par Curtis et Godson

([C3-11],[C3-12]) est celle qui est reconnue comme étant la plus précise aussi bien pour des

applications en combustion [C3-13] qu’en physique de l’atmosphère [C3-14]. Cette technique

consiste à supposer que la transmissivité d’une colonne non uniforme peut se calculer exactement

de la même façon que celle d’un trajet uniforme (c'est-à-dire en utilisant la relation (A.4) de

l’annexe du chapitre précédent, dans le cas du modèle SBE basé sur la fonction de Malkmus)

mais en remplaçant les paramètres du modèle par des valeurs moyennées. Les paramètres moyens

peuvent être calculés en fonction des paramètres locaux (c'est-à-dire ceux des segments

uniformes rencontrés le long du trajet) à partir des relations simples suivantes :

0

0

0

0

0 0

0 0 0

s

e

s

e e

s

e e e

u s x s P s ds

k s u s x s P s k s ds

s k s u s x s P s k s s ds

(B.1)

La transmissivité associée est alors calculée par :

0 0 00 exp 1 2 1

0

e e e

e

s u s k ss

s

(B.2)

Cette formulation s’appuie sur l’hypothèse que les paramètres des raies (intensités et largeurs)

sont séparables. L’analyse des comportements asymptotiques du modèle SBE aux limites

optiquement minces et épaisses permet d’aboutir (voir par exemple la référence [C3-15]) aux

formules précédentes. La formulation décrite par les équations (B.1-2) est appelée approximation

de Curtis-Godson classique. Il en existe des variantes ([C3-13],[C3-15]) ainsi que d’autres

approches (comme celle due à Lindquist et Simmons [C3-16]). Comme dans le cas des modèles

en k-distributions, la définition de paramètres moyennés permet d’étendre le modèle SBE à des

cas non uniformes mais la précision de cette approximation dépend assez fortement du degré de

non uniformité du trajet considéré. Dans des cas fortement anisothermes (de type signature), les

modèles SBE peuvent être couplés avec l’approche de gaz fictifs. Le modèle résultant est alors

appelé SNB-FG [C3-17].

REFERENCES DU CHAPITRE 3

[C3-1] Modest, M. F., Narrow-band and full spectrum k-distributions for radiative heat transfer –

correlated-k vs. scaling approximation, JQSRT, Vol. 76, pp 69-83, 2003.

[C3-2] André, F., Hou, L., Roger, M., Vaillon, R., The multispectral gas radiation modeling : a

new theoretical framework based on a multidimensional approach to k-distribution methods,

JQSRT, sous presse, 2014.

[C3-3] Ludwig, C. B., Malkmus, W., Reardon, J. E., Thomson, J. A. L., Handbook of Infrared

Radiation from Combustion Gases, Technical report NASA SP-3080, Washington DC, 1973.

[C3-4] Riviere, Ph., Soufiani, A., Taine, J., Correlated-k and fictitious gas methods for H2O near

2.7 µm, JQSRT, Vol. 48, pp 187-203, 1992.

[C3-5] Pierrot, L., Riviere, Ph., Soufiani, A., Taine, J., A fictitious-gas-based absorption

distribution function global model for radiative transfer in hot gases, JQSRT , Vol. 62, pp 609-

624, 1999.

[C3-6] Levi Di Leon, R., Taine, J., A fictive gas-method for accurate computations of low-

resolution IR gas transmissivities: application to the 4.3 µm CO2 band, Rev. Phys. Appl., Vol. 21,

pp 825-531, 1986.

[C3-7] Zhang, H., Modest, M. F., A multi-scale full-spectrum correlated-k distribution for

radiative heat transfer in inhomogeneous gas mixtures, JQSRT, Vol. 73, pp 349-360, 2002.

[C3-8] West, R., Crisp, D., Chen, L., Mapping transformations for broadband atmospheric

radiation calculations, JQSRT , Vol. 43, pp 191-199, 1990.

[C3-9] Zhang, H., Modest, M.F., Scalable multi-group full-spectrum correlated-k distributions for

radiative transfer calculations, JHT, Vol. 125, pp 454-461, 2003.

[C3-10] André, F., Vaillon, R., Galizzi, C., Guo, H., Gicquel, O., A multi-spectral reordering

technique for the full spectrum SLMB modeling of radiative heat transfer in nonuniform media,

JQSRT, Vol. 112, pp 394-411, 2011.

[C3-11] Young, S.J., Non isothermal band model theory, JQSRT, Vol. 18, pp 1-28, 1977.

[C3-12] Godson, W. L., The evaluation of infrared radiative fluxes due to atmospheric water

vapour, QJRMS, Vol. 79, pp 367-379, 1953.

[C3-13] Soufiani, A., Hartmann, J.-M., Taine, J., Validity of band-model calculations for CO2

and H2O applied to radiative properties and conductive-radiative transfer, JQSRT, Vol. 33, pp

243-257, 1985.

[C3-14] Goody, R., Yung, Y., Atmospheric radiation, Oxford, 1989.

[C3-15] Young, S.J., Band model formulation for inhomogeneous optical paths, JQSRT, Vol. 15,

pp 483-501, 1975.

[C3-16] Lindquist, G. H., Simmons, F. S., A band model formulation for very nonuniform paths,

JQSRT, Vol. 12, pp 807-820, 1972.

[C3-17] Soufiani, A., André, F., Taine, J., A fictitious-gas based statistical narrow-band model

for IR long-range sensing of H2O at high temperature, JQSRT, Vol. 73, pp 339-347, 2002.

Les Modèles Globaux May 16, 2014 1

PARTIE IVPARTIE IVPARTIE IVPARTIE IV

LES MODELES GLOBAUX

Les Modèles Globaux May 16, 2014 2

PARTIE IV LES MODELES GLOBAUX Lors de la modélisation de systèmes ou procédés contenant des gaz ou des particules qui participent aux transferts radiatifs, la prise en compte de l’évolution spectrale de leurs propriétés radiatives permet une prédiction rigoureuse des champs de luminances. Il faut donc au préalable détenir des propriétés radiatives fiables pour les matériaux (parois, particules) et les gaz (CO2, H2O, etc.) impliqués dans le système. Dans cette partie, nous supposerons connus les spectres haute résolution du coefficient d’absorption (gaz et particules) et nous présenterons en détail les modèles globaux actuels. La nécessité de décrire les propriétés radiatives spectrales de gaz ou de particules vient de l’utilisation de méthodes numériques déterministes (N-flux, PN, Ordonnées Discrètes, méthodes des Zones etc.) pour résoudre les transferts radiatifs. En effet, les modèles déterministes discrétisent la géométrie mais aussi la grandeur spectrale (longueur d’onde, nombre d’onde ou fréquence) et résolvent une équation de transfert radiatif pour chaque longueur d’onde. Par exemple, pour une simulation stationnaire d’un champ de luminance dans une géométrie 1D avec les Ordonnées Discrètes, une équation de transfert radiatif doit être résolue pour chaque longueur d’onde dans chaque direction. Comme exposé précédemment, les spectres de raies à haute résolution contiennent un grand nombre (des millions) de discrétisations spectrales ce qui rend prohibitif les temps de calcul. C’est donc pour diminuer le coût en temps de calcul lié à la discrétisation spectrale que des modèles globaux ont été créés. Contrairement, aux modèles raie-par-raie ou à bandes étroites qui supposaient la loi de Planck constante sur l’intervalle de longueur d’onde, ils définissent des grandeurs moyennées sur l’ensemble du spectre (origine de l’appellation « modèle globaux »). Ces modèles permettent d’utiliser un faible nombre de discrétisations spectrales (entre 2 et 20) mais au prix d’une dégradation de l’information spectrale. Les hypothèses de ces modèles sont présentées dans cette partie et serviront à juger de leur pertinence en fonction de l’application visée.

Les Modèles Globaux May 16, 2014 3

IV.1 Un modèle précurseur: la somme pondérée de gaz gris (WSGG, historique) Lors de la modélisation spectrale du rayonnement dans les gaz avec des modèles globaux, les propriétés radiatives totales telles que l’émissivité totale, la luminance totale ou le flux total, sont obtenues en intégrant leurs valeurs spectrales sur tout l’espace des nombres d’ondeη , entre 0 et l’infini.

Le principe des modèles globaux repose sur le regroupement de zones du spectre où le coefficient d’absorption a une valeur similaire. Les modèles globaux sont alors basés sur une simplification de l’allure spectre de raies comme représenté dans la Figure 1. a) b)

Figure 1 : a) spectre de raies à haute résolution (lisse), b) spectre en histogramme avec peu de valeurs jκ du coefficient d’absorption (gaz gris)

Modèle de coefficient d’absorption gris Le model le plus simple est le modèle du coefficient d’absorption gris pour un gaz où le coefficient d'absorption aκ est considéré constant sur tout le spectre (indépendant du nombre d’ondeη ). Figure 2 : Spectre de raies du coefficient d’absorption ηκ et coefficient d’absorption constant aκ du modèle gris

L'émissivité totale d'une couche de gaz d'épaisseur L a pour expression :

aL1 e κε −= − et l'équation de transfert radiatif, intégrée sur tout le spectre, pour le modèle gris de luminance totale I est donnée par :

a a b

II I

sκ κ∂ = − +

∂

Lorsque le milieu gazeux possède une épaisseur optique très forte, la moyenne de Rosseland du coefficient d’absorption pourrait être appliquée. Pour le calcul d’une émissivité d’un milieu homogène et isotherme (à Tg), la moyenne de Planck (Tb=Tg) du coefficient d’absorption peut être utilisée. Cependant, pour calculer l’absorption d’un milieu soumis à un rayonnement provenant de parois (ou de volumes) à des niveaux différents de températures, une moyenne de Planck à une seule température (Tb=T0) ne suffit pas pour calculer précisément un coefficient d’absorption moyen. Le caractère discret des spectres de raies d'absorption dont la forme et l’intensité évoluent avec la température et la pression partielle en gaz, entraîne une forte dépendance des échanges radiatifs en fonction du nombre d’onde. C’est pourquoi, une valeur constante du coefficient d'absorption est une hypothèse trop forte qui s'avère imprécise. Modèle de la somme pondérée de gaz gris (WSGG)

aκ

η

κηκ

η

ηκ

jκ

η

ηκ

Les Modèles Globaux May 16, 2014 4

A l'origine, le modèle de la Somme Pondérée de Gaz Gris (Weighted Sum of Gray Gases, WSGG) fut introduit par Hottel (1954) [C4-1] pour modéliser l'émissivité totale ε d'une couche d’un gaz réel, d'épaisseur L et de température T, par un mélange de gaz gris :

( ) ( ) ( )j

nL

b jj 1b 0

1E T d a 1 e

E Tκ

η ηε ε η∞

−

=

= ≈ ⋅ −∑∫ (IV.1)

Avec jκ les coefficients d'absorption des gaz gris, ja les poids associés aux gaz gris et n le nombre de gaz gris du

modèle. Hottel et Sarofim (1967) [C4-2] ont donné deux interprétations décrivant le sens physique de ja et jκ . La

première considère ja et jκ comme de simples paramètres permettant un ajustement précis sur les mesures

d’émissivité. La seconde est une interprétation physique considérant que ja représente la fraction d’émittance du corps

noir associée aux zones du spectre où le coefficient d'absorption du gaz gris est jκ : si le nombre de gaz gris n tend vers

l'infini, ja peut être associé à la fraction de puissance émise par un corps noir dans les intervalles spectraux où le

coefficient d'absorption prend une valeur autour de jk :

i , jj b i , jib

1a E

E η ∆η= ∑ , où ,i jη∆ sont les intervalles de nombres d’onde pour lesquels 2 2j jk k kη− ∆ ≤ ≤ + ∆ .

Figure 3 : intervalles de nombres d’onde ,i jη∆ pour lesquels 2 2j jk k k− ∆ ≤ ≤ + ∆ , A cette époque, les bases de données spectroscopiques à haute température n'existaient pas (pas de spectre raie-par-raie) et les ja et jκ ont été identifiés comme des paramètres à partir de données expérimentales. Des corrélations pour ja et

jκ ont été réalisées par [C4-3]-[C4-7].

η

( )bE Tη

η

( )k Tη

,i jη∆

2∆+jk

2∆−jk

jk ∆

Les Modèles Globaux May 16, 2014 5

Si la somme des poids (, , ,...,ja j 1 2 n= ) est égale à l'unité, alors l'expression de l'émissivité totale approcherait la

valeur 1 à mesure que l'épaisseur de la couche L augmenterait. Comme les gaz absorbent sélectivement dans des bandes spectrales et sont transparents sur le reste du spectre, l'émissivité doit saturer à une valeur inférieure à 1. Pour reproduire cette évolution et tenir compte des zones de transparence du spectre, un gaz (gris) transparent (0 0k = ) est ajouté (gaz

clair ) avec un poids0a , alorsn

jj 0

a 1=

=∑ . Par ailleurs, Hottel et Sarofim (1967) [C4-2] font remarquer que deux gaz gris

(un gaz clair plus un gaz gris) conviennent pour certaines applications (cette hypothèse est à l'origine du modèle SLW-1). Le modèle global WSGG conduit à approximer l’évolution du coefficient d'absorption spectral ηκ par un

histogramme avec peu de valeurs discrètes, , , ,...,j j 0 1 2 nκ = . Ensuite, le spectre du coefficient d'absorption est

réordonné en une fonction croissante par intervalle en fonction des poids. L'aire sous la courbe de réordonnancement des

coefficients d’absorption, en escalier, correspond à la moyenne de Planck du coefficient d'absorption,n

j j Pj 1

a κ κ=

=∑ .

Figure 4 : approximation du spectre du coefficient d'absorption pour le modèle WSGG par un histogramme (à droite) et son réordonnancement (à gauche).

η

ηκ

jκ

κ

0

0a

1

⋯ ja ⋯ na

0 0κ =

jκ

nκ

Les Modèles Globaux May 16, 2014 6

Le modèle de groupement spectral Le modèle de groupement spectral a été développé à partir du model WSGG par Viskanta et Song (1986) [C4-8] [C4-9]. Pour ce modèle, les intervalles de nombre d’ondes ,i jη∆ issus du WSGG sont utilisés pour réaliser

l’intégration spectrale de l’ETR :

jj j j j b

II w I

sκ κ

∂= − +

∂

Avec jI la luminance d’un gaz gris. Si le milieu est anisotherme, les intervalles ,i jη∆ doivent varier et l’intégration

spectrale de l’ETR fait apparaître des termes supplémentaires. En effet, le domaine spectral d’intégration, sur lequel jI

est définie, change. Donc, lors de sa dérivation (dans l’ETR) la règle d’intégration de Liebniz fait apparaitre deux composantes liées à la dérivée des bornes d’intégration. Pour éliminer ces termes supplémentaires, les intervalles spectraux ,i jη∆ sont supposés fixes pour chaque point dans le milieu. En conséquences, les coefficients d’absorption jκ

et leurs poids correspondants, jw , doivent être modifiés. Cette dépendance à la température est exprimée en termes de

polynômes en température. Le modèle de groupement spectral a été utilisé pour le calcul de la luminance totale émise par une flamme dont les profils de concentrations et de températures sont connus. La luminance à s L= est exprimée par un modèle spectral à deux groupes par :

( )L

j

s

L ds2

j j bj 1 0

I L w I e dsκ

κ′−

=

∫=∑∫

avec jκ le coefficient d’absorption et jw le poids correspondant pour le groupe j.

WSGG RTE En supposant les ja et jκ constant dans un milieu non diffusant borné par des parois noires et en introduisant un

modèle WSGG pour l’absorptivité totale, Modest (1991) [C4-10] a montré que les paramètres de Hottel ja et jκ

apparaissent dans l’ETR d’un gaz gris avec un coefficient d’absorption constant :

jj j j j b

II a I

sκ κ

∂= − +

∂

avec une luminance totale donnée par la somme des luminances de gaz gris : n

jj 0

I I=

=∑

Cette ETR avec ses conditions aux limites peut être résolue pour la luminance du gaz gris I j avec n’importe quelle méthode de résolution de l’ETR.

Les Modèles Globaux May 16, 2014 7

SLW Pour développer la méthode SLW (Spectral Line Weighted Sum of Gray Gases), Denison et Webb (1994) [C4-11]-[C4-17] ont combiné le modèle de groupement spectral WSGG RTE avec les paramètres ja et jκ définis par Hottel en

utilisant leur définition physique liée au spectre d’absorption haute résolution, au lieu de les obtenir par identification expérimentale sur des mesures d’émissivité totale. Dans cet objectif, la génération de spectres d’absorption à haute température et haute résolution a donc été nécessaire en utilisant les connaissances et les données expérimentales issues de la mécanique quantique et de la spectroscopie. Une nouvelle fonction de distribution (Absorption Line Blackbody Distribution Function, ALBDF) a été introduite pour un calcul efficace des coefficients de gaz gris ja dans les milieux et aux frontières. La fonction ALBDF est calculée à

partir du spectre du coefficient d’absorption à haute résolution. Cette méthode a été étendue pour des applications en milieu semi-transparents hétérogènes et anisothermes bornés par des parois grises. Cette méthode est rapide et précise. Il a été montré que l’augmentation du nombre de gaz gris améliore la précision et tend vers la solution exacte. Comme tous les modèles spectraux formulés en coefficient d’absorption, le modèle SLW est utilisable avec toutes les méthodes numériques de résolution de l’ETR (analytique, DOM, PN, P1, Méthode des Moments, FEM, MC, etc.) ADF and FSK Les méthodes ADF (Absorption Distribution Function) [C4-18] et FSK (Full-Spectrum Correlated-k Distribution) [C4-19] sont des modèles globaux très similaires à la méthode SLW, mais différentes dans leurs hypothèses et mise en œuvre. La différence principale vient du rôle attribué au coefficient d’absorption qui est considéré comme une variable de la fonction de distribution au lieu d’être considéré comme une section efficace d’absorption dans le modèle SLW. Les notations et définitions relatives aux modèles SLW, ADF et FSK sont données en annexe.

Les Modèles Globaux May 16, 2014 8

IV.2 Formulation théorique de l’approche WSGG : le modèle SLW Fonction de distribution corps noir des raies d’absorption

(Absorption Line Blackbody Distribution Function, ALBDF ) Figure 5 : représentation de la fonction ALBDF, fraction de l’émittance corps noir correspondant aux intervalles

de nombres d’onde où la section efficace à une valeur inférieure à C. ALBDF défini la fraction d’émittance du corps noir ( ) 4

b b bE T Tσ= à la température bT correspondante aux zones

spectrales où les valeurs des sections efficaces d’absorption ( ),gC T Yη d’un gaz à la température gT et de fraction

molaire Y sont inférieure à une valeur fixe telle que C :

( )( )

( ) ( )

:, , ,

g

b b

C T C

g bb b

E T d

F C T T YE T

η

ηη

η<

=∫

Il est à noter que la fonction ALBDF dépend de deux températures : la température gT du gaz et celle du corps noir bT .

Dans la méthode SLW, ALBDF est défini comme une fonction dépendante de la section efficace d’absorption C plutôt que du coefficient d’absorptionκ . La formulation de la fonction de distribution de κ sur le spectre entier (Full Spectrum k-Distribution FSK ) pour la méthode SLW peut être obtenue par une conversion de la section efficace d’absorption (ALBDF) en coefficient d’absorption en utilisant la densité molaire exprimée et la loi des gaz parfait u gC R T pYκ= , où p est la pression totale,

Y la fraction molaire et Ru la constante universelle des gaz parfaits :

( ) ( ), , , , , ,g b u g g bT T Y F C R T pY T T Yκ κ= =g

La fonction ALBDF est l’outil principal de la méthode SLW, elle contient la majeure partie du travail préliminaire à l’intégration spectrale. Cela rend la méthode SLW rapide et efficace car la fonction ALBDF est pré-calculée grâce aux spectres de coefficient d’absorption à haute résolution.

η

Cη

( )g

absorption

cross-section

C C T ,Yη=

C

C

( )g b

absorption-line

blackbody

distribution function

F C,T ,T ,Y

η

( )b b

Planck blackbody

emissive power

E Tη

F1 0

( )g bF C,T ,T ,Y

Les Modèles Globaux May 16, 2014 9

Corrélations numériques de la fonction ALBDF Les valeurs de la fonction ALBDF peuvent être stockées dans un tableau ou sous la forme d’un polynôme. Les corrélations numériques développées par Denison (1994) [C4-14] sont les plus populaires grâce à leur simplicité d’utilisation. Depuis lors, de nombreux enrichissements des bases de données spectroscopiques ont été réalisés et ces anciennes corrélations restent assez précises lorsqu’on les compare aux nouvelles données spectrales [C4-20]. Les coefficients de ces corrélations sont donnés dans [C4-11] et [C4-14].

H2O ( ), , ,w g b wF C T T Y ( )1 1tanh , ,

2 2w g b sbP T T ξ ξ = − +

( ), ,w g b sbP T T ξ ξ− ( )3 3 3

0 0 0 2500 2500

mnlbg

lmn sbl m n

TTb ξ ξ

= = =

= −

∑∑∑

sbξ ( )3 3 2

1

0 0 0 2500

n

lb mlmn w

l m n

Tc Yξ +

= = =

=

∑∑∑

( )ln Cξ = , 2

53 10 60m

Cmol

− ⋅ ≤ ≤

CO2 ( ), ,c g bF C T T ( )1 1tanh , ,

2 2c g bP T T ξ = +

( ), ,c g bP T T ξ ( )3 3 3

0 0 0 2500 2500

mnlbg

lmnl m n

TTd ξ

= = =

=

∑∑∑

( )ln Cξ = , 2

53 10 600m

Cmol

− ⋅ ≤ ≤

Dans [C4-21], un nouveau jeu de coefficients,lmnb , lmnc , lmnd , avec des coefficients supplémentaireslmna , est donné pour la représentation de la fonction ALBDF du monoxyde de carbone :

CO ( ), ,m g bF C T T ( )1 1tanh , ,

2 2m g bP T T ξ = +

( ), ,m g bP T T ξ ( )3 3 3

0 0 0 2500 2500

mnlbg

lmnl m n

TTa ξ

= = =

=

∑∑∑

( )ln Cξ = , 2

53 10 60m

Cmol

− ⋅ ≤ ≤

Tandis que les fonctions ALBDF de CO2 et CO ne dépendent pas de la fraction molaire, les corrélations pour H2O comportent une fraction molaire wY pour modéliser l’influence de l’élargissement de raie par collision avec des

molécules d’H2O (self-broadening). Cet effet est pris en compte dans la fonction ALBDF par une modification sbξ de la

variableξ . Les corrélations de Denison sont valides dans la gamme de température ,g b400K T T 2500K≤ ≤ (et l’extrapolation de

ces corrélations à des températures plus basses jusqu’à la température ambiante reste assez précise). Les corrélations de Pearson ont été conçues grâce à la base de données spectroscopique haute température HITEMP-2010, et sont valides sur la gamme de température ,g b400K T T 3000K≤ ≤ . Les deux corrélations ont été obtenues pour une pression absolue

de p 1 atm= .

Des corrélations pour la fonction ALBDF ont été réalisées à différentes pressions absolues.0 1 atm p 50 atm≤ ≤ [C4-21]

Les Modèles Globaux May 16, 2014 10

H2O ( ), , ,w g b wF C T T Y ( )1 1tanh , ,

2 2w g b pP T T ξ ξ = − +

( ), ,w g b pP T T ξ ξ− ( )3 3 3

0 0 0 2500 2500

mnlbg

lmn pl m n

TTb ξ ξ

= = =

= −

∑∑∑

pξ 3 3 3

12

0 0 0 2500

n

g b m llmn w

l m n

T Tu ξ ψ +

= = =

=

∑∑∑

wψ ( )ln e

1100 p

10=

ep ( )1 8.17 wY p= + ⋅

( )ln Cξ = , 2

53 10 60m

Cmol

− ⋅ ≤ ≤

CO2 ( ), ,c g bF C T T ( )1 1tanh , ,

2 2c g b pP T T ξ ξ = − +

( ), ,c g bP T T ξ ( )3 3 3

0 0 0 2500 2500

mnlbg

lmn pl m n

TTd ξ ξ

= = =

= −

∑∑∑

pξ 3 3 3

12

0 0 0 2500

n

g b m llmn c

l m n

T Tv ξ ψ +

= = =

=

∑∑∑

cψ ( )ln1

100 p10

=

( )ln Cξ = , 2

53 10 600m

Cmol

− ⋅ ≤ ≤

CO ( ), ,m g bF C T T ( ) ( )1 1tanh , , , ,

2 2m g b p g bP T T P T Tξ ξ = − +

( ), ,m g bP T T ξ ( )3 3 3

0 0 0 2500 2500

mnlbg

lmnl m n

TTa ξ

= = =

=

∑∑∑

( ), ,p g bP T T ξ 3 3 3

12

0 0 0 2500

n

g b m llmn

l m n

T Tw ξ ψ +

= = =

=

∑∑∑

ψ ( )ln1

100 p10

=

( )ln Cξ = , 2

53 10 60m

Cmol

− ⋅ ≤ ≤

Les coefficients des corrélations à pressions atmosphériques lmnb , lmnc , lmnd , lmna , et les coefficients des corrélations

pour des pressions variables lmnu , lmnv , and lmnw sont disponibles au téléchargement à l’adresse suivante

http://albdf.byu.edu, avec le code source en C++ calculant la fonction ALBDF. La tabulation des données haute résolution raie-par-raie (RPR) de la fonction ALBDF utilisées pour le développement des corrélations se trouvent aussi sur le site web. D’autres corrélations ont été développées [C4-22]-[C4-24].

Les Modèles Globaux May 16, 2014 11

F(C

,Tg,T

b,Yw)

Exemple : Corrélations de Denison et Webb (1994) [C4-11] H2O (air-broadening, Yw=0) , Tg=1000K , p=1atm CO2, Yc=1.0, Tg=1000K, p=1atm

Figure 6 : corrélations de Denison et Webb (1994) [C4-11] donnant les fonctions ALBDF pour H2O et CO2 à 1000

K et 1 atm en fonction des sections efficaces d’absorption Exemple : corrélations et tabulation de Pearson et al. [C4-21] H2O (Yw=0), Tg=1000K , p=1atm H2O (Yw=0), Tg=1000K , p=20atm

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100

Tabulated LBL

Correlations

C, m2/mol

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100

Tabulated LBL

Correlations

C, m2/mol

Figure 7 : comparaison des fonctions ALBDF obtenues par le raie-par-raie (RPR) et les corrélations de [Pearson et al] pour H2O à 1000 K, 1 atm (à gauche) et 20 atm (à droite).

bT 500K=

bT 1000K=

bT 1500K=

bT 2000K=

bT 2500K=

bT 500K=

bT 1000K=

bT 1500K=

bT 2000K=

bT 2500K=

2C, m mol 2C, m mol

bT 500K=

bT 1000K=

bT 1500K=bT 2000K=

bT 2500K=

bT 3000K=

bT 500K=

bT 1000K=

bT 1500K=bT 2000K=

bT 2500K=

bT 3000K=

Les Modèles Globaux May 16, 2014 12

IV.3 Construction de l’histogramme spectral pour le modèle SLW pour un milieu homogène et isotherme

Figure 8 : représentation graphique des grandeurs radiatives du modèle SLW ; le choix de la discrétisation des sections efficaces d’absorption conduit à approximer le spectre de raie par un histogramme et le calcul de la

fonction ALBDF

i -1η iη

i , j∆η

η

( )b bE Tη

η

η

Iη

E

I

CC

F

jCɶ

j -1Cɶ

ja

10

( )gC Tη

jC∆jI

( )g bF C ,T ,T

0I

nI

i , j

i , jI I dη∆η

η= ∫

0Cɶ

nCɶ

jC

"window"

gray gas j

nC

n 1C −ɶ

na0a

SLW hystogram spectrum

n

jj 0

I I=

= ∑

j i , ji

I I= ∑

gray gas intensity

total intensity

spectral intensity

gray gas

weights

Les Modèles Globaux May 16, 2014 13

La modèle SLW est une approche basée sur une représentation discrète des grandeurs spectrales avec une subdivision arbitraires en gaz gris. Dans l’approche classique la discrétisation suit un espacement logarithmique mais peut être optimisée pour réduire le nombre de gaz gris et conserver une bonne précision. L’augmentation du nombre de gaz gris améliore la précision du modèle SLW et il a été montré que pour un milieu homogène isotherme cette méthode approche la solution exacte (obtenue par rai-par-raie) lorsque le nombre de gaz gris augmente. Discrétisation du domaine ( ),C 0∈ ∞ en plusieurs sections efficacesjCɶ , , ,...,j 0 1 n= . Les sections efficaces

discrètes sont généralement choisies en réalisant un espacement logarithmique entre la section efficace minimale

min0C C=ɶ et maximale maxnC C=ɶ qui définit l’ensemble des valeurs de sections efficaces ( ),gC T Yη :

( )min max min

j n

jC C C C=ɶ , , ,...,j 0 1 n=

Lorsqu’une corrélation ou une tabulation est utilisée pour le calcul de la fonction ALBDF, les valeurs

( )min max,C C peuvent être définies par celles utilisées lors du développement de la corrélation ou de la tabulation.

D’autres méthodes de discrétisation peuvent être utilisées (quadratures gaussiennes, subdivisions optimisées). Coefficients d’absorption de gaz gris. La valeur arbitraire de la section efficace d’absorption jC dans l’intervalle

de gaz gris j 1 j jC C C− ≤ ≤ɶ ɶ peut être choisie pour représenter le coefficient d’absorption du gaz gris (souvent par une

moyenne logarithmique) :

j j j 1 jNYC NY C Cκ −= = ɶ ɶ , ,...,j 1 n= Gaz gris j

0 0κ = Gaz clair Les intervalles de nombre d’onde d’un gaz gris sont définis par l’intersection des sections efficaces discrétisées et

de la section efficace spectrale ( ),gC T Yη :

( ) : ,j j 1 g jC C T Y Cηη −∆ = ≤ ≤ɶ ɶ , ,...,j 1 n= Gaz gris j

( ) min: ,0 g 0C T Y C Cηη∆ = ≤ =ɶ Gaz clair

La quantité j∆ représente l’ensemble des intervalles de nombre d’onde disjoints sur le spectre pour lesquels

( ),gC T Yη est compris entre Cj-1 et Cj.

Après avoir défini le model spectral SLW, les intervalles de nombres d’onde j∆ seront utilisés pour l’intégration

spectrale de l’ETR monochromatique : Equation de Transfert Radiatif (ETR) monochromatique :

( ) ( ) ( ), , bI s I s I Ts η η η η ηκ κ∂ = − +

∂Ω Ω

Intégration spectrale de ( ),I sη Ω

. La luminance totale( )I s,Ω

est obtenue par une intégration sur tous les nombres

d’onde :

( ),I s Ω

( ),0

I s dη η∞

= ∫ Ω

( ),

j

n

j 0

I s dη η= ∆

=∑ ∫ Ω

( )

,

,j i

n

j 0 i

I s dη η= ∆

=∑∑ ∫ Ω

( ),

,j i

j

n

j 0 i

I

I s dη η= ∆

=

∑ ∑ ∫ Ω

( ),n

jj 0

I s=

=∑ Ω

où ( ) ( ), ,j

jI s I s dη η∆

= ∫Ω Ω

est appelé la luminance du gaz gris. La luminance totale est alors la somme des

luminances de gaz gris.

Les Modèles Globaux May 16, 2014 14

Intégration spectrale de l’ETR. Considérons l’intégration spectrale de chaque terme de l’ETR sur les intervalles spectraux relatifs à un gaz gris

( ),j

I s ds η η

∆

∂∂∫

Ω

( ),

j

I s ds η η

∆

∂=∂ ∫ Ω

( )jI s,

s

∂=∂

Ω

(pour un milieu homogène et isotherme)

( ),j

I s dη ηκ η∆∫ Ω

( ),

j

j I s dηκ η∆

= ∫ Ω

( )j jI s,κ= − Ω

( )j

bI T dη ηκ η∆∫

( )

( ) ( )j

b

j bb

I T d

I TI T

η ηκ ∆=∫

( )( )

( )( )

( ) ( ): :j j 1

b b

C T C C T C

j bb

I T d I T d

I TI T

η η

η ηη η

η η

κ −< <

−

=∫ ∫

ɶ ɶ

( )j j ba I Tκ= ,

Les poids sont calculés à partir de la fonction ALBDF pour les valeurs de section efficaces discrétisées :

( ) ( )1, , , ,j j g b j g b ja F C T T T T F C T T T T F−= = = − = = = ∆ɶ ɶ ; ( )0 , ,min g ba F C T T T T= = =

ETR pour un gaz gris :

( ) ( ) ( )j j j j j bI s, I s, a I Ts

κ κ∂ = − +∂

Ω Ω

,...,j 1 n=

( )0I s, 0s

∂ =∂

Ω

Les Modèles Globaux May 16, 2014 15

Les Modèles Globaux May 16, 2014 16

IV.4 La méthode SLW pour un milieu hétérogène et anisotherme – approche des conditions de référence Hypothèse de spectres corrélés

Dans la méthode SLW, on suppose qu’il existe une relation entre les allures des spectres de coefficients

d’absorption pour un même gaz mais pris soit dans un état particulier de référence ( ),ref refC T Yη soit pris dans un

état quelconque ( ),loc locC T Yη local : pour une valeur fixée de la section efficace de référence refC il existe locC tels

que les intervalles de nombre d’onde ( ) ( ) : , : ,ref locg ref ref g loc locC C T T Y Y C C T T Y Yη ηη η< = = = < = = sont

identiques. Ceci est vrai si les spectres dans les deux différents états thermodynamiques sont corrélés. Alors pour une température corps noirb refT T= , si les intervalles sont identiques les valeurs des fonctions ALBDF à refC et

locC devraient être égales :

( ) ( ), , , , , ,loc refg loc b ref loc g ref b ref refF C T T T T Y Y F C T T T T Y Y= = = = = = =

Cette équation implicite définit les sections efficaces locales qui génèrent les mêmes intervalles spectraux par intersection avec la section efficace d’absorption à l’état local.

Approche des conditions de référence

L’approche des conditions de référence a été développée pour l’intégration spectrale de l’ETR en milieux hétérogènes et anisothermes. Elle considère un intervalle spectral d’intégration fixe en tous points du milieu.

Figure 9 : représentation des fonctions ALBDF (à gauche) et de leurs liens supposés par le modèle SLW :

( ) ( )ref locj g ref b ref ref j g loc b ref locF C ,T T ,T T ,Y Y F C ,T T ,T T ,Y Y= = = = = = =ɶ ɶ et

( ) locj ja s a= ( )( ) ( )( )1, , , , , ,ref ref

j g ref b ref j g ref b refF C T T T T s Y Y F C T T T T s Y Y−= = = = − = = =ɶ ɶ

η

CC

refj 1C −ɶ

η

( )b b locE T Tη =

F

1 0

j∆

refjC

( )locC Tη

C

locja1 0

locjC

( )refC Tη

refjCɶ

locj 1C −ɶ

locjCɶ

( )g ref b refF C,T T ,T T= =

( )g ref b locF C,T T ,T T= =

( )b b refE T Tη =

( )g loc b refF C,T T ,T T= =

Les Modèles Globaux May 16, 2014 17

Etape de l’approche des conditions de référence avec SLW

1. Choisir les conditions de l’état de référence : refT , refY , refp .

2. Choisir la discrétisation des sections efficaces dans les conditions de référence : refjCɶ , j 0,1,2,...,n= .

3. Trouver les sections efficaces dans des conditions quelconques locales locjCɶ en résolvant les équations implicites pour

chaque gaz grisj 0,1,2,...,n= :

( ) ( )ref locj g ref b ref ref j g loc b ref locF C ,T T ,T T ,Y Y F C ,T T ,T T ,Y Y= = = = = = =ɶ ɶ

4. Utiliser les sections efficaces locales pour calculer les coefficients d’absorption locaux de gaz gris :

( ) locj loc loc js N Y Cκ = ( ) ( ) 1

loc locj jN s Y s C C−= ɶ ɶ

5. Calculer le poids correspondant au coefficient d’absorption local du gaz gris :

( ) locj ja s a= ( )( ) ( )( )1, , , , , ,ref ref

j g ref b ref j g ref b refF C T T T T s Y Y F C T T T T s Y Y−= = = = − = = =ɶ ɶ

6. ETR pour un milieu hétérogène et anisotherme :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )jj j j j b

I ss I s s a s I T s

sκ κ

∂= − + ∂

7. Conditions aux limites (frontières grises diffuses réfléchissantes et émissives àwT ):

( )j wa T ( ) ( )ref refj g ref b w j 1 g ref b wF C ,T T ,T T F C ,T T ,T T−= = = − = =ɶ ɶ

Les Modèles Globaux May 16, 2014 18

IV.5 La méthode SLW pour un mélange de gaz Dépendance de la fonction ALBDF à la fraction molaire du gaz (propriétés d’homothétie, scaling property)

Figure 10 : représentation de la relation d’homothétie supposée dans le modèle SLW ( ) ( ), , , ,YC g b C g bF C T T F C Y T T

η η=

D’un point de vue géométrique, si l’on considère la section efficace multipliée par une constante (la fraction molaire)

( )gYC Tη , alors les intervalles spectraux générés par l’intersection de ( )gYC Tη avec une valeur constante C sont

identiques aux intervalles obtenus par l’intersection de ( )gC Tη avec une valeur constante C Y . Par conséquent, les

valeurs des fonctions ALBDF ( ), ,YC g bF C T Tη

à C et ( ), ,C g bF C Y T Tη

à C Y doivent être égales (si elles sont basées la

même émittance de corps noir ( )b bE Tη ) :

( ) ( ), , , ,YC g b C g bF C T T F C Y T Tη η

=

Cette propriété peut être utilisée pour un mélange gazeux comportant une seule espèce semi-transparente. Pour un mélange de gaz participants aux échanges radiatifs, la fonction ALBDF du mélange peut être calculée à partir des fonctions ALBDF de chaque espèce gazeuse. Cette relation d’homothétie suppose une dépendance linéaire de la section

η

C

( )gC Tη

C

Y

C

C g b

CF ,T ,T

Yη

η

( )b bE Tη

F1

( )gY C Tη⋅

C( )YC g bF C,T ,T

η

F 0

Les Modèles Globaux May 16, 2014 19

efficace par rapport à un paramètre. Lorsque ce paramètre est la pression partielle (ou la fraction molaire) la dépendance n’est pas toujours linéaire, comme dans le cas de la molécule d’H2O au travers de l’effet des collisions (self-broadening). Mélange de gaz traités comme un gaz seul

Figure 11 : représentation de sections efficaces de deux gaz (à droite) et de leur mélange (à gauche) Le mélange gazeux peut être traité comme un gaz unique en combinant les spectres de raies appartenant à chaque espèce. Le coefficient d’absorption effectif du mélange gazeux peut alors être écrit comme

,mix ηκ 1, 2, ,mη η ηκ κ κ= + + +⋯

1 21, 2, ,

mm

u g u g u g

pp pC C C

R T R T R Tη η η= + + +⋯

1 21, 2, ,

mm

u g

pp ppC C C

R T p p pη η η

= + + +

⋯

( )1 1, 2 2, 2 ,mu g

pY C Y C Y C

R T η η η= + + +⋯

Un mélange gazeux est considéré alors comme un gaz unique avec un coefficient d’absorption effectif ,mix ηκ ,mixNC η=

Avec une section efficace d’absorption du mélange ,mixC η 1 1, 2 2, ,m mY C Y C Y Cη η η= + + +⋯

et la densité molaire du mélange gazeux

N u g

p

R T=

où p est la pression absolue du mélange gazeux, ip sont les pressions partielles des espèces gazeuses et i iY p p=

leurs fractions molaires. Si la fonction ALBDF du mélange gazeux avec la section efficace ,mixC η est connue alors le modèle SLW pour le

mélange est applicable. Le pré-calcul de la fonction ALBDF pour la section efficace du mélange gazeux nécessite de calculer de nombreux spectres et peut demander de très longs temps de calcul. En effet, la fonction ALBDF doit être

C

1 1,Y C η

2 2,Y C η

mix, 1 1, 2 2,C Y C Y Cη η η= +

Les Modèles Globaux May 16, 2014 20

calculer pour 1 1, 2 2, ,m mY C Y C Y Cη η η+ + +⋯ en considérant toutes les valeurs de fractions molaires. Pour éviter tous ces

calculs, la fonction ALBDF du mélange peut être reliée aux fonctions ALBDF de chaque espèce gazeuse. Cette approche du calcul de la fonction ALBDF d’un gaz unique est basée sur deux hypothèses :

- Supposons que chaque raie ,m mY C η de chaque espèce gazeuse ne se chevauche pas significativement, alors la

section efficace du mélange ,mixC η peut être considérée comme une superposition des sections efficaces

d’absorption individuelles. - Les spectres d’absorption de chaque espèce sont décorrélés.

Dans ce cas, la fonction ALBDF du mélange de deux espèces est donnée par :

( )1 1, 2 2, 1 2, , , ,Y C Y C g bF C T T Y Y

η η+ ( )1 1, 2 2,

1 2:, , , ,g bY C Y C C

F C T T Y Yη ηη + <

=

( )1 1, 2 2,

1: :, , , ,g bY C C Y C C

F C T T Y Yη ηη η< ∪ <

= raies sans chevauchement

( ) ( )1 1, 2 2,1 2, , , , , ,Y C g b Y C g bF C T T Y F C T T Y

η η= ⋅ spectres décorrélés

1, 2,1 2

1 2

, , , , , ,C g b C g b

C CF T T Y F T T Y

Y Yη η

= ⋅

propriété d’homothétie de ALBDF

Cette approche conduit à la méthode dite de multiplication des fonctions ALBDF :

( )1 1, 2 2, ,... 1 2, , , ,

M MY C Y C Y C g bF C T T Y Yη η η+ + + 1, 2, ,1 2

1 2

, , , , , , , , ,mC g b C g b C g b m

m

C C CF T T Y F T T Y F T T Y

Y Y Yη η η

= ⋅

⋯

Une autre approche pour un gaz unique de mélange, appelée approche par convolution, nécessite une restriction supplémentaire sur les rapports de fractions molaires entre chaque espèce. La fonction ALBDF du mélange est exprimée sous la forme d’une intégrale de convolution. Pour deux espèces cette intégrale est donnée par :

( )1 1, 2 2, 1 2, , , ,Y C Y C g bF C T T Y Y

η η+ ( ) ( )

2

1, 2,

2

1

0

1F

C C

F

C r CF dF C

rη η

=

=

′− − ′=

∫

Coefficient d’absorption du gaz gris pour le mélange

j j 1 jN C Cκ −= ɶ ɶ

Poids du gaz gris pour le mélange

( ) ( )j mix j g b 1 m mix j 1 g b 1 ma F C ,T ,T ,Y ,...,Y F C ,T ,T ,Y ,...,Y−= −ɶ ɶ

En utilisant la méthode de multiplication, le poids du gaz gris est obtenu par :

ja 1, , 1, ,

1 11 1

1 1

, , , , , , , , , , , ,m m

j j j jC g b C g b m C g b C g b m

m m

C C C CF T T Y F T T Y F T T Y F T T Y

Y Y Y Yη η η η

− − = −

ɶ ɶ ɶ ɶ⋯ ⋯

Les Modèles Globaux May 16, 2014 21

Les Modèles Globaux May 16, 2014 22

IV.6 La méthode SLW en géométrie 1-D plan-parallèle – solution analytique ETR monochromatique dans la couche plan-parallèle Considérons une couche plane infinie composée d’un milieu gazeux et bornée par deux surfaces parallèles. La dépendance spatiale des propriétés est alors exprimée en fonction de l’axe x perpendiculaire aux surfaces. De plus, considérons que la luminance en chaque point du milieu ne dépende pas de l’angle azimutal φ et est caractérisée par :

( )I s,η Ω

( )I x,η θ=

Le cosinus directeur selon x ( cosµ θ= ) varie entre 1− and 1 (et θ entre 0 et π). Mais il est plus pratique d’utiliser des

valeurs positives 0µ > , qui correspondent à

for 0 2

for 2

µ θ π

µ π θ π

< <

− < < then

for 0 2xcos

s xfor 2

x

µ θ πθ

µ π θ π

∂ < <∂ ∂ ∂= = ∂∂ ∂ − < < ∂

Les luminances avant et arrière sont notées:

( ) ( )( )

I x, , 0, for 0 2I x,

I x, , 0, for 2η

ηη

µ µ θ πθ

µ µ π θ π

+

−

> < <= > < <

Figure 12 : schéma d’une couche plan-parallèle et représentation géométrique de grandeurs angulaires et radiatives

L’ETR pour la couche 1D s’écrit alors :

( )I x,

xη µ

µ+∂∂

( ) ( )x I x,η ηκ µ+= − ( ) ( )bx I T xη ηκ+

( )I x,

xη µ

µ−∂

−∂

( ) ( )x I x,η ηκ µ−= − ( ) ( )bx I T xη ηκ+

Vecteur flux radiatif ( )ηF r ( )4

I , dηΩ π

Ω=

= ∫ r Ω Ω

0µ >

0µ =

0µ >

( ) ( )I x, I x,η ηθ µ+ +=( )I x,λ µ−

1µ =1µ =

0µ =

θ

02

πθ< <2

π θ π< <

θ

cosµ θ=ds

( )I s,η Ω Ω

xdx0 Lx

Les Modèles Globaux May 16, 2014 23

Flux radiatif net : ( )F xη = ( )η ⋅F r i ( )2 1

0 1

I x, , d dπ

η µ φ µ µ φ−

= ∫ ∫

( )1

1

2 I x, , dηπ µ φ µ µ−

= ∫

( ) ( )1

0

2 I x, I x, dη ηπ µ µ µ µ+ − = − ∫ ( ) ( )F x F xη η+ −= −

Flux directionnels : ( )F xη+ ( )

1

0

2 I x, dηπ µ µ µ+= ∫

( )F xη− ( )

1

0

2 I x, dηπ µ µ µ−= ∫

Flux radiatif net total : ( )F x ( ) ( )1

0 0

2 I x, I x, d dη ηπ µ µ µ µ η∞

+ − = − ∫ ∫ ( ) ( )F x F x+ −= −

Divergence du vecteur flux radiatif (taux de dissipation du rayonnement) :

( )Q xη ( )η= ∇ ⋅F r ( )F xx η

∂= −∂

( ) ( ) ( )1

0

2 x I x, I x, dη η ηπκ µ µ µ+ − = + ∫ ( ) ( )b4 x I T xη ηπκ−

Divergence du vecteur flux radiatif total (terme source radiatif) :

( )Q x ( )0

Q x dη η∞

= ∫ ( ) ( ) ( )1

0 0

2 x I x, I x, d dη η ηπ κ µ µ µ η∞

+ − = +

∫ ∫ ( ) ( )b

0

4 x I T x dη ηπ κ η∞

− ∫

Conditions limites pour des parois grises diffuses, émettrices et réflectrices

( ) ( ) ( )1

0 0 b 0 0 00

I x , I T 2 I x , dη η ηµ ε ρ µ µ µ+ −= + ∫ (I)

( ) ( ) ( )1

L b L L0

I L, I T 2 I L, dη η ηµ ε ρ µ µ µ− += + ∫ (II)

0 L,ε ε sont les émissivités totales des parois

0 0 L L1 , 1ρ ε ρ ε= − = − sont les réflectivités totales des parois

L’intégration spectrale des conditions limites donnent :

( )+jI 0,µ ( ) ( ) ( )

1

0 j 0 b 0 0 j0

a T I T 2 I 0, dε ρ µ µ µ−= + ∫ , ,...,j 1 2 n=

( )j 0a T ( ) ( )−= = = − = =ɶ ɶj g b 0 j 1 g b 0F C ,T T ,T T F C ,T T ,T T

( )0I 0,µ+ ( ) ( ) ( )1

0 0 0 b 0 0 00

a T I T 2 I 0, dε ρ µ µ µ−= + ∫ gaz clair

( )0 0a T ( )0 g b 0F C ,T T ,T T= = =ɶ

Figure 13 : représentation de conditions aux limites diffuses

1µ =

( )I 0,λ µ−

( ) ( )

( )

1

1,0

2b w,1

I 0, 2 I 0, d

n I T

λ λ λ

λ

µ ρ µ µ µ+ −=

+

∫

x 0=

( )2b w,1n I Tλ

emission

reflection

Les Modèles Globaux May 16, 2014 24

Etapes du modèle SLW pour une couche plan-parallèle homogène et isotherme

Couche homogène et isotherme avec : T , Y , NYCη ηκ = , ( )C C Tη η= , ( )I x,η µ+ , ( )I x,η µ−

Figure 14 : schéma d’une couche plan-parallèle, homogène, isotherme, entre deux parois grises

ETR dans la couche : ( ) ( ) ( )b

I x,I x, I T

xη

η η η η

µµ κ µ κ

++∂

= − +∂

( )x 0,L∈ , 0 1µ≤ ≤

( ) ( ) ( )b

I x,I x, I T

xη

η η η η

µµ κ µ κ

−−∂

− = − +∂

Conditions aux limites : ( ) ( ) ( )1

0 0 b 0 0 00

I x , I T 2 I x , dη η ηµ ε ρ µ µ µ+ −= + ∫ 0 01ρ ε= −

( ) ( ) ( )1

L b L L0

I L, I T 2 I L, dη η ηµ ε ρ µ µ µ− += + ∫ L L1ρ ε= −

Gaz gris =j 0,1,2,...,n n = nombre de gaz gris du modèle etj 0= gaz clair (transparent)

ETR pour un gaz gris ( ) ( ) ( ) ( )j

j j j j b

I x,I x, a T I T

x

µµ κ µ κ

++∂

= − +∂

( ) 4b bI I T Tσ π= =

( ) ( ) ( ) ( )j

j j j j b

I x,I x, a T I T

x

µµ κ µ κ

−−∂

− = − +∂

( ) j n

j min max minC C C C=ɶ sont les sections efficaces discrétisées, j 0,1,2,...,n=

j j 1 jNY C Cκ −= ɶ ɶ sont les jiemes coefficients d’absorption gris

( ) ( )j j g b j 1 g ba F C ,T T T F C ,T T T−= = = − = =ɶ ɶ sont les poids des gaz gris

Conditions aux limites ( )jI 0,µ+ ( ) ( ) ( )1

0 j 0 b 0 0 j0

a T I T 2 I 0, dε ρ µ µ µ−= + ∫

( )jI L,µ− ( ) ( ) ( )1

L j L b L L j0

a T I T 2 I L, dε ρ µ µ µ+= + ∫

( )j 0a T ( ) ( )−= = = − = =ɶ ɶj g b 0 j 1 g b 0F C ,T T ,T T F C ,T T ,T T

( )j La T ( ) ( )−= = = − = =ɶ ɶj g b L j 1 g b LF C ,T T ,T T F C ,T T ,T T

( ) ( )0 0 0 g b 0a T F C ,T T ,T T= = =ɶ

( ) ( )0 L 0 g b La T F C ,T T ,T T= = =ɶ

Luminance totale ( ) ( ) ( )n

jj 00

I x, I x, d I x,ηµ µ η µ∞

± ± ±

== =∑∫

x

0T LT

x 0= x L=

L gray wallε0gray wall ε

T ,Y , ηκ

Les Modèles Globaux May 16, 2014 25

Solution des ETR du modèle SLW Dans une couche homogène isotherme la solution de l’ETR pour un gaz gris est obtenue analytiquement. Tout d’abord, les valeurs des flux radiatifs directionnels de chaque gaz gris au niveau des parois,( )jF 0− et ( )jF L+ , sont calculés à partir de :

( )jF 0−

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )L 3 j 0 j 0 b 0 j b 3 j j b L j L b L j b 3 j j b

2

0 L 3 j

2 E L 2 a T I T a T I T E L a T I T 2 a T I T a T I T E L a T I T

1 4 E L

ρ κ ε κ ε κπ

ρ ρ κ

− + + − + = −

( )jF L+

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )0 3 j L j L b L j b 3 j j b 0 j 0 b 0 j b 3 j j b

2

0 L 3 j

2 E L 2 a T I T a T I T E L a T I T 2 a T I T a T I T E L a T I T

1 4 E L

ρ κ ε κ ε κπ

ρ ρ κ

− + + − + = −

Ensuite, les luminances directionnelles de gaz gris sont calculées par :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )j

x0

j 0 j 0 b 0 j b j j bI x, a T I T a T I T F 0 e a T I T

κµρµ ε

π−

+ − = − + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )j L x

Lj L j L b L j b j j bI x, a T I T a T I T F L e a T I T

κµρµ ε

π

−−

− + = − + +

Et la luminance du gaz clair est :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 b 0 0 L 0 L b L0

0 L

a T I T a T I TI x,

1

ε ρ εµ

ρ ρ+ +

=−

(constante)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )L 0 L b L L 0 0 0 b 00

0 L

a T I T a T I TI x,

1

ε ρ εµ

ρ ρ− +

=−

(constante)

Les flux directionnels pour chaque gaz gris (j 0,1,2,...,n= ) sont donnés par :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0j 0 j 0 b 0 j b j 3 j j bF x 2 a T I T a T I T F 0 E x a T I T

ρπ ε κ ππ

+ − = − + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Lj L j L b L j b j 3 j j bF x 2 a T I T a T I T F L E L x a T I T

ρπ ε κ ππ

− + = − + − +

Pour le gaz clair (transparent) ces équations se simplifient :

( )0 0F x Iπ+ +=( ) ( ) ( ) ( )+

=−

0 0 0 b 0 0 L 0 L b L

0 L

a T I T a T I T

1

ε ρ επ

ρ ρ

( )0 0F x Iπ− −=( ) ( ) ( ) ( )+

=−

L 0 L b L L 0 0 0 b 0

0 L

a T I T a T I T

1

ε ρ επ

ρ ρ

Les flux directionnels totaux:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ + −

= =

= = − + +

∑ ∑N N

0j 0 j 0 b 0 j b j 3 j b

j 0 j 0

F x F x 2 a T I T a T I T F 0 E x I Tρπ ε κ ππ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )− − +

= =

= = − + − + ∑ ∑N N

Lj L j L b L j b j 3 j b

j 0 j 0

F x F x 2 a T I T a T I T F L E L x I Tρπ ε κ ππ

Le flux radiatif net total :

( ) ( ) ( )F x F x F x+ −= −

Divergence du flux radiatif net total (Rq: le gaz clair qui est transparent et n’absorbe pas, ne contribue pas à( )Q x ) :

( )Q x N

jj 1

2π κ=

= ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )00 j 0 b 0 j b j 2 ja T I T a T I T F 0 E k x

ρεπ

− − + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )LL j L b L j b j ja T I T a T I T F L E k L x

ρεπ

+ + − + −

Les Modèles Globaux May 16, 2014 26

IV.7 Emissivité totale modélisée par SLW et moyenne de Planck du coefficient d’absorption Modélisation de l’émissivité totale par SLW

Figure 15 : schéma d’une couche gazeuse plan-parallèle, homogène, isotherme, sans paroi, et représentation de la

luminance spectrale directionnelle en L.

L’émissivité spectrale dans la direction 1µ = d’une couche isotherme composée d’un gaz émetteur, absorbant mais non

diffusant, à la température T bornée par des parois noires froides est exprimée par :

( )( )b

I L, 1

I Tη

ηη

µε

+ ==

Avec ( )I L, 1η µ+ = la luminance sortante de la couche dans la direction 1µ = définie par une ETR monochromatique et

une condition à la limite :

( ) ( ) ( )b

I xI x I T

xη

η η η ηκ κ+

+∂= − +

∂, ( )I 0 0η

+ =

L’ETR correspondante pour les gaz gris et la condition à la limite deviennent :

( ) ( ) ( )jj j j j b

I xI x a I T

xκ κ

++∂

= − +∂

, ( )jI 0 0+ = j 0,1,2,...,n=

La solution analytique de cette équation en x L= est :

( ) ( ) ( )j L

j j bI L a I T 1 e κ−+ = ⋅ − j 1,2,...,n=

La solution pour la fenêtre spectrale transparente (gaz clair) ( )0 0κ = est :

( )0I L 0+ =

L’intégration spectrale de l’émissivité avec le modèle SLW donne l’émissivité totale directionnelle ( 1µ = ) :

ε

( )

( )b

0

b

I T d

I T

η ηε η∞

=∫

( )

( )0

b

I L, 1 d

I T

η µ η∞

+ ==∫

( ) ( )

j ,i

n

j 0 ib

1I L, 1 d

I T η∆η

µ η+

=

= =∑∑ ∫

( ) ( )( )

j ,i

nL

bj 0 ib

1I T 1 e d

I T

η

η

ε

κη

∆η

η−

=

= −∑∑ ∫

( )( ) ( )

j ,i

nLb

j 0 i b

I T1 e d

I Tηκη

∆η

η−

=

= −∑∑ ∫

( )I L, 1η µ+ =

L0x

T

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( )

b

L L

b b b

L

b

I xI x I T

xsolution for isothermal layer in the direction of sight:

I L I T 1 e I T I T e

I L, 11 e

I T

η η

η

ηη η η η

κ κη η η η

κηη

η

κ κ

µε

++

− −+

+−

∂+ =

∂

= − = −

== = −

Les Modèles Globaux May 16, 2014 27

( ) ( )( )

j

j ,i

nL b

j 0 i b

I T1 e d

I Tκ η

∆η

η−

=

= −∑ ∑ ∫

( )j

nL

jj 0

a 1 e κ−

=

= ⋅ −∑ car 0 0κ =

( )j

nL

jj 1

a 1 e κ−

=

= ⋅ −∑

Le modèle SLW permet d’obtenir l’expression de l’émissivité totale directionnelle de la couche isotherme :

ε ( )j

nL

jj 1

a 1 e κ−

=

= ⋅ −∑ (Rq : le gaz clair ne contribue pas à ε )

Où les poids des gaz gris sont calculés à partir des fonctions ALBDF :

( ) ( )j j g b j 1 g ba F C ,T T ,T T F C ,T T ,T T−= = = − = =ɶ ɶ

L’émissivité spectrale hémisphérique de la couche isotherme composée d’un gaz émetteur, absorbant mais non diffusant, à la température T bornée par des parois noires froides est exprimée par :

Figure 16 : schéma d’une couche gazeuse plan-parallèle, homogène, isotherme, sans paroi, et représentation du flux spectral directionnel en L.

( ) ( )( )b

F LL

I Tη

ηη

επ

+

= , ( )F Lη+ est le flux radiatif spectral directionnel à x L=

L’émissivité totale hémisphérique de la couche d’épaisseur x est donnée par :

( ) ( )( )b

F xx

I Tε

π

+

=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ −

=

= − + +

∑N

00 j 0 b 0 j b j 3 j b

j 0

F x 2 a T I T a T I T F 0 E x I Tρπ ε κ ππ

( ) ( ) ( ) ( )+

= = − + ∑

N

j b 3 j bj 0

F x 2 a T I T E x I Tπ κ π

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )=

=

− + = = −

∑∑

N

j b 3 j b Nj 0

j 3 jj 0b

2 a T I T E x I T

x 1 2 a T E xI T

π κ πε κ

π

( ) ( ) ( )n

j 3 jj 0

L 1 2 a T E Lε κ=

= − ∑

( )F Lη+

L0x

T

( )

( )[ ]

0

Theoretically, should be

L 1, when L ,

but, in fact, very fast

L 1 a , when L increases

see, Hottel and Sarofim, 1968

ε

ε

→ → ∞

→ −

Les Modèles Globaux May 16, 2014 28

Coefficient d’absorption moyen de Planck

Figure 17 : illustration du calcul du coefficient moyen de Planck Pκ par la modèle SLW Le coefficient d’absorption moyen de Planck d’un gaz à la température T est défini par :

Pκ

( )

( )

b

0

b

0

I T d

I T d

η η

η

κ η

η

∞

∞=∫

∫

( )

( )b

0

b

I T d

I T

η ηκ η∞

=∫

L’application du modèle SLW pour le calcul de la moyenne de Planck donne :

Pκ

( )

( )b

0

b

I T d

I T

η ηκ η∞

=∫

( )

( )j ,i

n

bj 0 i

b

I T d

I T

η η∆

κ η=

=∑∑ ∫

( )

( )

n

j j bj 0

b

a I T

I T

κ==∑

(intégration du 2ieme terme de l’ETR)

n

j jj 1

aκ=

= ∑

L’expression de la moyenne de Planck du coefficient d’absorption modélisé par SLW est alors [C4-25]-[C4-27]

Pκ n

j jj 1

aκ=

= ∑

Rq 1: Le gaz clair transparent ne contribue pas Rq 2: L’application de cette expression avec les corrélations de Denison pour les fonctions ALBDF n’est pas toujours

précise lorsqu’une discrétisation logarithmique des sections efficaces est utilisée :

Pκ n

j jj 1

aκ=

= ∑ ( ) ( )n

j j g b j 1 g bj 1

F C ,T T ,T T F C ,T T ,T Tκ −=

= = = − = = ∑

Le choix arbitraire des min max,C C peut changer significativement les résultats. Cette imprécision s’explique par

la signification géométrique de Pκ qui est l’aire sous la fonction ALBDF.

F1

Pκ

j ja κ

( )g bF C,T T ,T T= =

C

jκ

ja 0a

Les Modèles Globaux May 16, 2014 29

IV.8 Modélisation du rayonnement des suies par le modèle SLW Les suies jouent un rôle important dans les transferts radiatifs des systèmes en combustion. L’absorption et l’émission

des suies dépendent de la longueur d’onde et ne peuvent pas être supposées grises. Cependant, le spectre du coefficient

d’absorption des suies (fines particules agrégées) ne comporte pas une structure discrète de raies comme les gaz.

Néanmoins, il est pratique d’appliquer le modèle SLW pour traiter le rayonnement des suies et définir une fonction

ALBDF du coefficient d’absorption des suies. Supposons que le coefficient d’absorption des suies puisse être modélisé

par une fonction linéaire du nombre d’onde [C4-28] : 1soot

vcfmηκ η =

avec fv la fraction volumique des suies, c une constante dépendante du type de carburant [C4-29]. Si nous traitons les suies comme une espèces gazeuse avec un coefficient d’absorption décrit de la même manière que pour un gaz

( ) 1soot sootv g

u g

N

pcf C T

R T mη ηκ η = = ⋅

Alors la section efficace d’absorption des suies peut être définie [C4-30] :

( ),sootg vC T fη

soot

Nηκ

= 2

v100 c f m

N molη

⋅ ⋅= ⋅

, avec

[ ]3

,u g

p Pa molN

R T m =

, et η en [cm-1]

La fonction ALBDF des suies est définie à partir des sections efficaces d’absorption C et représente la fraction de l’émittance totale du corps noir à la température bT dans l’intervalle spectral où la section efficace des suies est

inférieure àC , ( ( )sootgC T Cη < ) :

( )( )

( ) ( )

( )

( ):

0, , ,

C

sootg

b bb b

C T C

sott g b vb b b b

E T d E T d

F C T T fE T E T

η

η

ηη

η

η η<

= =∫ ∫

( )0 C bF Tη→=

Donc, ( ) ( )0, ,Csoot g b bF C T T F Tη→= , avec ( )0 C bF Tη→ la fraction de l’émittance totale du corps noir et le nombre d’onde

Cη est calculé par (Figure 18) :

[ ]( )2 21 1

101325 1, ,

100 100Cv u g v

PaN m mC cm C cm

cf mol R T cf molη − −

= ⋅ = ⋅ ⋅

Dans le cas où la pression absoluep du gaz n’est pas la pression atmosphérique standard, Cη est calculé par :

[ ] 21

1013251

,100C

u g v

Pap atm

atm mC cm

R T cf molη −

⋅ = ⋅

Si le développement en série est utilisée pour le calcul de la fraction d’émittance du corps noir [C4-28], alors la fonction ALBDF des suies est donnée par l’expression suivante :

( ), , ,sott g b vF C T T f ( )( )( )V

4 4m 1

15 e1 V V V 3 6 6

mπ

−∞

== − + + +∑ ,

avec 2

1 1

100u g b v

pV mC C

R T T cf= ⋅ et 2C 1.43877516= 1

K

cm−

une constante radiative.

Les Modèles Globaux May 16, 2014 30

Figure 18 : définition de la fonction ALBDF des suies, ( )soot g b vF C,T ,T , f .

Figure 19 : principes de modélisation par SLW-n et SLW-1 du spectre d’absorption des suies

η

( )b bE Tη

C

( )sootF C1

η

C

C

( )soot g b vF C,T ,T , f

( ) ( )soot v

g

g

absorption cross-section

of soot

c fC T

N Tη η⋅= ⋅

Cη

0

η

C

( )sootgC C Tη=

jC

η

C

soot ,1C1 soot ,1N Cκ = ⋅

soot ,0Cɶ

Cη

( )sootgC C Tη=

Les Modèles Globaux May 16, 2014 31

Exemple IV.8.1 Cet exemple illustre la précision de la méthode SLW pour modéliser le rayonnement des suies. Considérons une couche 1D isotherme constituée d’une dispersion de particules de suies (le gaz est transparent, air) qui émettent, absorbent et ne diffusent pas le rayonnement. L’ETR monochromatique pour la luminance dans une direction positive s’écrit

( ) ( ) ( ),,soot soot

b

I xI x I T

xη

η η η η

µµ κ µ κ

++∂

= − +∂

avec une condition à la limite de paroi noire froide :

( )0, 0Iη µ+ =

Les solutions monochromatiques pour la luminance et pour le flux hémisphérique, tous deux dans la direction avant sont données par :

( ) ( ) ( ),sootx

b bI x I T e I Tηκ µη η ηµ −+ = − +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

30

2 , 2 sootb bF x I x d I T E x I Tη η η η ηπ µ µ µ π κ π+ += = − +∫

La luminance totale et le flux hémisphérique dans la direction avant est alors :

( ) ( ) ( )0

,sootx

b bI x I T I T e dηκ µηµ η

∞−+ = − ∫

( ) ( ) ( ) ( )30

2 sootb bF x E T E T E x dη ηκ η

∞+ = − ∫

Avec ( )bE Tη l’émittance spectrale du corps noir et ( )3E xηκ est une fonction intégro-différentielle.

Les solutions analytiques pour le flux total sont :

Exact: ( ) ( ) ( )43

0

2 sootbF x T E T E x dη ησ κ η

∞+ = − ∫

SLW: ( ) ( )43

0

1 2n

j jj

F x T a E xσ κ+

=

= −

∑

SLW-1: ( ) ( )41 3 11 2F x a T E xσ κ+ = −

La fraction volumique et les paramètres SLW-1 correspondants prennent les valeurs suivantes :

fv 10-5 10-6 10-7 10-8

κ1 , m-1 14.873 1.828 0.249 0.025

a1 0.998 0.940 0.766 0.750

Pour une concentration importante de suies (fv = 10-5) le modèle SLW-1 tend vers un modèle de gaz gris (a1 = 0.998). La précision d’un modèle classique de gaz gris s’améliore lorsque la concentration de suies augmente. Dans la Figure 20, la précision du modèle SLW-1 augmente lorsque la concentration en suies diminue, produisant une erreur relative de la prédiction de 0.12%, 0.16%, 0.80%, et 0.88% pour des fractions volumiques fv = 10-5, 10-6, 10-7, and 10-8. La modélisation du rayonnement dans les suies en combinant un gaz gris et un gaz clair permet d’atteindre une bonne précision (dans cet exemple) sur la prédiction des transferts radiatifs et pour une concentration arbitraire de suies. Dans cet exemple, Figure 20, la précision du modèle SLW-1 est meilleure que le modèle SLW-25 parce que le choix du gaz clair et du gaz gris du modèle SLW-1 a été optimisé. Alors que pour SLW-25 le gaz clair et les gaz gris (la discrétisation des sections efficaces) ont été choisis arbitrairement, sans optimisation.

Les Modèles Globaux May 16, 2014 32

Figure 20 : fonction ALBDF ( )sootF C pour des suies à 1000 K et plusieurs fv ; flux radiatif total ( )F x+ . Mélange homogène isotherme de H2O, CO2 et de suies En applicant la méthode de multiplication, la fonction ALBDF du mélange devient

( ) ( ), , , , , , , , , ,mix g b w g b w c g b s g b vw c

C CF C T T F T T Y F T T F C T T f

Y Y

=

Example IV.8.2 Pour illustrer la modélisation spectrale avec SLW-1 d’un mélange de gaz et de suies homogène isotherme, considérons une couche plan-parallèle d’épaisseur L = 1.0 m bornée par des parois grises (ε0 = εL = 0.8) à températures T0 = 400 K et TL = 600 K. La couche contient un mélange de vapeur d’eau, Yw = 0.4, et de dioxyde de carbone, Yc = 0.2, à la température T = 1250 K avec une fraction volumique de suies fv = 10-6. La Figure 21 montre la comparaison entre la prédiction du modèle SLW-1 pour la divergence du flux radiatif net total (terme source radiatif) et les valeurs obtenues par une approche de référence, raie-par-raie (RPR), et par une méthode SLW (20 gaz gris). Dans cet exemple aussi, l’accord s’avère très bon entre la méthode approchée SLW-1 et les solutions de références.

Figure 21 : divergence du flux radiatif total (depuis X.9.2).

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

10-24 10-23 10-22 10-21 10-20 10-19

Fso

ot (C

)

C, cm2/molec

fv=10-8

fv=10-7

fv=10-6

fv=10-5

0

10

20

30

40

50

60

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Exact

SLW-1

SLW-25

F+(x

), k

W/m

2

x, m

fv=10-5

fv=10-6

fv=10-7

fv=10-8

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

LBL

SLW-1

SLW

Q(x

), k

W/m

3

x, m

Les Modèles Globaux May 16, 2014 33

IV.9 Le modèle SLW-1

Construction du modèle SLW-1

Le modèle SLW-1 est le modèle spectral SLW minimum qui est constitué d’un seul gaz gris (,1 1aκ ), et d’un gaz

clair ( ,0 0aκ ) avec 0 0κ = et 0 1a 1 a= − . En conséquence, seulement deux paramètres de gaz gris ( ,1 1aκ ) sont

nécessaires pour définir le modèle SLW-1.

Figure 22 : le modèle spectral SLW-1

Le modèle spectral SLW-1 n’est pas une simple réduction du modèle général SLW-n dans le cas d’un seul gaz gris, n=1.

Sa construction comporte quelques aspects spécifiques. Un modèle SLW-1 quelconque est imprécis – une sorte

d’optimisation est nécessaire.

Un modèle SLW-1 précis a été introduit dans [C4-31] et [C4-32]. Plusieurs méthodes de construction ont été proposées.

Les méthodes existantes [C4-31] sont fondées sur l’identification des paramètres de SLW-1 lors du calcul de grandeurs

radiatives telles que l’émissivité totale ou le terme source radiatif (divergence du flux radiatif net total) par SLW-1 et une

méthode produisant un résultat de référence (SLW-n utilisant un grand nombre de gaz gris). Ces approches sont simples

mais peu robustes car trop dépendantes du choix des grandeurs radiatives calculées lors de l’identification. Une autre

approche plus précise nécessite d’appliquer un algorithme d’optimisation augmentant fortement le temps de calcul. Le

modèle spectral SLW-1 optimisé grâce à la méthode d’ajustement par les moindres carrés a été proposé dans [C4-33].

La méthode est universelle et simple car les paramètres spectraux sont obtenus à partir de relations analytiques

explicites. Ces relations font intervenir des approximations de fonctions intégro-exponentielles largement utilisées en

transfert radiatif. Dans cette approche, la fonction objectif à minimiser est définie sur l’ensemble, 0 x L≤ ≤ , ou une

η

( )b bE Tη

1∆

C

( )g b

ALBDF

F C,T ,T

( )F C

0a1 0

0∆

η

( )g

absorption

cross-section

C C Tη=SLW-1

spectral

model

C

0Cɶ

1C gray gas

clear gas

Les Modèles Globaux May 16, 2014 34

partie de la couche, 0 x R≤ ≤ (avec R c L= ⋅ une épaisseur réduite de la couche et un coefficient c<1). La construction

du modèle SLW-1 optimisé par la méthode des moindres carrés comporte différentes étapes :

Considérons l’émissivité totale hémisphérique d’une couche plan-parallèle homogène et isotherme à T bornée par des

parois noires froides. Cette émissivité est le rapport entre le flux radiatif hémisphérique total dans la direction avant et

l’émittance totale du corps noir dans le même hémisphère :

( )hemispherical xε ( )( )b

q x

E T

+

=

( ) ( )( )

3

0

2

1b

b

I T E x d

I T

η ηκ η∞

= −∫

Les modèles SLW pour cette émissivité hémisphérique totale s’écrivent :

SLW-n model ( ) ( )30

1 2n

n j jj

x a E xε κ=

= − ∑

SLW-1 model ( ) ( )1

1 30

1 2 j jj

x a E xε κ=

= − ∑ ( ) ( )0 1 3 1 1 1 3 11 2 2a a E x a a E xκ κ= − − = −

En dérivant les relations par rapport à la variable d’espace x et en utilisant une approximation des fonctions intégro-

exponentielles [C4-34], on obtient :

SLW-n model ( )ny x ≡ ( )n xx

ε∂∂

( )21

2n

j j jj

a E xκ κ=

= ∑

SLW-1 model ( )1y x ≡ ( )1 xx

ε∂∂

( )1 1 2 12a E xκ κ= 1

3

21 1

32

4

xa e

κκ

−≈ AxBe=

La couche équivalente doit être discrétisée 0 x R≤ ≤ : m

Rx m

M= ⋅ , 0 1 2m , , ,...,M= .

Ensuite l’erreur quadratique doit être minimisée ( )2

1

m

MAx

n mm

y x Be min=

− → ∑ pour trouver les coefficients A et B .

La solution à ce problème possède une forme explicite : en calculant ( )m n my y x= pour mx , 1 2m , ,...,M= , alors

1 1 1

2

2

1 1

M M M

m m m mm m m

M M

m mm m

M x ln y x ln y

A

M x x

= = =

= =

⋅ − ⋅ =

⋅ −

∑ ∑ ∑

∑ ∑,

2

1 1 1 1

2

2

1 1

M M M M

m m m m mm m m m

M M

m mm m

x ln y x ln y x

ln B

M x x

= = = =

= =

⋅ − ⋅ =

⋅ −

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑

Finalement, les paramètres spectraux du modèle SLW-1 peuvent être identifiés

1

2

3Aκ = − , 1

1

2

3

Ba

κ= , 0 1

1

21 1

3

Ba a

κ= − = − , et 0C est trouvé à partir de ( )0 0 g ba F C ,T T ,T T= = = .

Modèle SLW-1 Vrai optimisé par la méthode des moindres carrés

Considérons le flux radiatif net total normalisé dans la couche homogène isotherme à T borne par des parois noires et

froides :

SLW-n model: ( )( ) ( ) ( ) 3 3

02

nSLW-n

j j jjb

q xa E x E L x

I Tκ κ

π =

= − − − ∑

SLW-1 model: ( )( ) ( ) ( ) 1 3 1 3 12

SLW-1

b

q xa E x E L x

I Tκ κ

π= − − −

Les Modèles Globaux May 16, 2014 35

Discrétisons uniformément l’intervalle 0 x R≤ ≤ : m

Rx m

M= ⋅ , 0 1 2m , , ,...,M=

Ensuite, il reste à trouver les paramètres 1κ et 1a du modèle SLW-1 qui minimisent l’erreur au sens des moindres

carrés :

( ) ( )( )

( )( )

2

1 11 2 2

MSLW-n m SLW-1 m

m b b

q x q xP a , min

I T I Tκ

π π=

≡ − →

∑

La solution optimale est celle qui annule les dérivées partielles de la fonction objectif ( )1 1P a ,κ en fonction de 1κ et 1a

aux points 1κ et 1a . Pour la dérivée partielle de la fonction objectif par rapport à 1a on obtient :

( )1 11

P a ,a

κ∂∂

( )( )

( )( )

2

01 2 2

MSLW-n m SLW-1 m

m b b

q x q x

a I T I Tπ π=

∂= − ∂ ∑

( )( ) ( ) ( )

2

1 3 1 3 101

02

MSLW-n m

m b

q xa E L x E x

a I Tκ κ

π=

∂= − − − = ∂ ∑

En dérivant cette équation et en la résolvant pour 1a en fonction de of 1κ on trouve :

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

3 1 3 11

12

3 1 3 11

22

MSLW-n m

m b

M

m

q xE x E L x

I Ta

E x E L x

κ κπ

κ κ

=

=

− −

=− −

∑

∑

Pour la dérivée partielle de la fonction objectif par rapport à 1κ on obtient :

( )1 11

P a ,κκ∂

∂

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 3 1 3 1 2 1 3 1

0

2 02

MSLW-n m

m m m mm b

q xa a E L x E x L x E L x x E x

I Tκ κ κ κ

π=

= − − − − − − =

∑

En Remplaçant dans l’expression 1a par son expression on obtient une équation pour 1κ :

( )( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 1 3 11

3 1 3 1 3 1 2 12

03 1 3 1

1

22

02

MSLW-n m

Mm bSLW-n m

m m m mMm b

m

q xE x E L x

I Tq xE x E L x x E x L x E L x

I TE x E L x

κ κπ

κ κ κ κπ κ κ

=

=

=

− −

+ − − − − − = − −

∑∑

∑

Cette équation est résolue numériquement pour trouver 1κ (elle possède une solution unique quand 1 0κ > ), puis la

valeur de 1a est déduite.

Le flux radiatif calculé avec le modèle SLW-10 et le modèle SLW-1 (optimise avec la méthode Vraie des moindres

carrés) :

Figure 23 : illustration graphique de la résolution de 1κ par la méthode Vraie des moindres carrés (à gauche), et

comparaison des flux radiatifs hémisphériques calculés avec les méthodes SLW-n et SLW-1

1κ

1κ( )-SLW 10q x

( )-SLW 1q x

Les Modèles Globaux May 16, 2014 36

Modèle SLW-1 dans une couche plan-parallèle – milieu isotherme Considérons une couche plan-parallèle homogène isotherme d’épaisseur L bornée par des parois grises. Le modèle SLW-1 est décrit par l’ETR suivante pour le gaz clair le gaz gris :

( )0I x,0

x

µ+∂=

∂

( )0I x,0

x

µ−∂=

∂

( ) ( ) ( )11 1 1 1 b

I x,I x, a I T

x

µµ κ µ κ

++∂

= − +∂

( ) ( ) ( )11 1 1 1 b

I x,I x, a I T

x

µµ κ µ κ

−−∂

− = − +∂

Pour les parois grises réfléchissantes et diffuses, les conditions aux limites s’écrivent :

( )jI 0,µ+ ( ) ( ) ( )1

0 j 0 b 0 0 j0

a T I T 2 I 0, dε ρ µ µ µ−= + ∫ j 0,1=

( )jI L,µ− ( ) ( ) ( )1

L j L b L L j0

a T I T 2 I L, dε ρ µ µ µ+= + ∫ j 0,1=

Avec les poids suivants pour les parois

( ) ( )0 0 0 g b 0a T F C ,T T ,T T= = =ɶ ( ) ( )1 0 0 0a T 1 a T= −

( ) ( )0 L 0 g b La T F C ,T T ,T T= = =ɶ ( ) ( )1 L 0 La T 1 a T= −

Ce problème peut être résolu analytiquement. Tout d’abord, les flux radiatifs directionnels pour le gaz clair s’écrivent :

( )0 0F x Iπ+ +=( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 b 0 0 L 0 L b L

0 L

a T I T a T I T

1

ε ρ επ

ρ ρ+

=−

( )0 0F x Iπ− −=( ) ( ) ( ) ( )L 0 L b L L 0 0 0 b 0

0 L

a T I T a T I T

1

ε ρ επ

ρ ρ+

=−

Et pour le gaz gris :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( )01 0 1 0 b 0 1 b 1 3 1 1 bF x 2 a T I T a T I T F 0 E x a T I T

ρπ ε κ ππ

+ − = − + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )L1 L 1 L b L 1 b 1 3 1 1 bF x 2 a T I T a T I T F L E L x a T I T

ρπ ε κ ππ

− + = − + − +

Les flux radiatifs directionnels totaux sont donnés par ( ) ( ) ( )0 1F x F x F x± ± ±= + .

La divergence du flux radiatif net total est obtenu grâce au flux radiatif net total, ( ) ( ) ( )F x F x F x+ −= − et est calculé

par

( )Q x ( )F xx

∂= −∂ 12πκ= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]0

0 1 0 b 0 1 b 1 2 1a T I T a T I T F 0 E k xρεπ

− − + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )LL 1 L b L 1 b 1 2 1a T I T a T I T F L E k L x

ρεπ

+ + − + −

Rq : le gaz clair compte pour le calcul du flux radiatif, mais comme le milieu n’absorbe pas pour ce gaz clair (transparent), il ne contribue pas au terme source radiatif (divergence du flux radiatif net total).

Les Modèles Globaux May 16, 2014 37

Modèle SLW-1 dans un milieu anisotherme

Figure 24 : illustration graphique du calcul de loc1C

( )ref ref

1 1 g ref b reff F C ,T T ,T T= = = = ( )ref loc1 1 g loc b reff F C ,T T ,T T= = =

et de loc loc

1 0a 1 a= − avec ( ) ( )ref0 L 0 g ref b La T F C ,T T ,T T= = =ɶ

Etapes du modèle SLW-1 basés sur l’approche des conditions de référence : 1. Choisir les conditions de l’état de référenceref refT ,Y .

Déterminer les paramètres du modèle SLW-1 dans les conditions de l’état de référence: ref ref

1 1 , aκ (Code Maple) ensuite calculer ⇒ ref ref ref0 0 10, a 1 aκ = = −

2. Déterminer les sections efficaces du modèle SLW-1 dans l’état de référence :

( )ref ref0 0 g ref b refa F C ,T T ,T T= = =ɶ à résoudre pour obtenir ref

0Cɶ

ref

ref 11 ref ref

CN Y

κ=

3. Déterminer la section efficace d’absorption loc

1C dans les conditions locales :

calculer ( )ref ref1 1 g ref b reff F C ,T T ,T T= = =

résoudre ( )ref loc1 1 g loc b reff F C ,T T ,T T= = = pour obtenir loc

1C

loc0Cɶ

( )g refC T Tη =

loc0a

( )g locC T Tη =

1 0ref0a

( )g loc b ref locF C,T T ,T T ,Y Y= = =

( )g ref b ref refF C,T T ,T T ,Y Y= = =

( )g ref b loc refF C,T T ,T T ,Y Y= = =

F

C C

loc1C

ref1C

( )b bE Tη

ref ref1 0a 1 a= −

η

η0∆

( )b b locE T Tη =

( )b b refE T Tη =

1∆

ref0Cɶ

loc loc1 0a 1 a= −

Les Modèles Globaux May 16, 2014 38

4. Calculer les paramètres du modèle SLW-1 pour les conditions locales :

( )loc ref0 0 g ref b loca F C ,T T ,T T= = =ɶ , ( ) ( )ref

0 0 0 g ref b 0a T F C ,T T ,T T= = =ɶ , ( ) ( )ref0 L 0 g ref b La T F C ,T T ,T T= = =ɶ

loc loc1 0a 1 a= − ( ) ( )1 0 0 0a T 1 a T= − ( ) ( )1 L 0 La T 1 a T= −

ref

0 0κ =

loc loc loc loc1 1=N Y Cκ

avec T0 = T(x=0) et TL = T(x=L).

Les ETR pour le gaz clair et le gaz gris sont :

( )0I x,0

x

µ+∂=

∂

( )0I x,0

x

µ−∂=

∂

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 1 1 1 b

I x,x I x, x a x I T

x

µµ κ µ κ

++∂

= − +∂

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 1 1 1 b

I x,x I x, x a x I T

x

µµ κ µ κ

−−∂

− = − +∂

Les conditions aux limites dans le cas de parois grises diffuses et réfléchissantes sont :

( )jI 0,µ+ ( ) ( ) ( )1

0 j 0 b 0 0 j0

a T I T 2 I 0, dε ρ µ µ µ−= + ∫ j 0,1=

( )jI L,µ− ( ) ( ) ( )1

L j L b L L j0

a T I T 2 I L, dε ρ µ µ µ+= + ∫ j 0,1=

Les Modèles Globaux May 16, 2014 39

IV.10 Modèle SLW exact

Comportement du modèle SLW à la limite dans un milieu isotherme Posons ( )jI s,Cɶ la luminance du gaz gris par intervalle de section efficace d’absorption :

( ) ( ) ( )i , j jj i , j

i j j

I sI s,C I s

C C

∆η∆ ∆

≡ ⋅ =∑ɶ

avec ( )i , jI s une valeur représentative de ( )I sη dans l’intervalle i , j∆η . La luminance totale s’obtient alors par une

sommation sur tous les gaz gris

( ) ( ) ( )n n

j j jj 0 j 0

I s I s I s,C C∆= =

= = ⋅∑ ∑ ɶ (1)

Divisons l’ETR pour un gaz gris par jC∆ , ce qui donne

( ) ( ) ( )jj j j j b

j

FI s,C C NYI s,C C NY I T

s C

∆∆

∂ = − +∂

ɶ ɶ (2)

Considérons maintenant que le nombre de gaz gris tend vers l’infini, n → ∞ . Dans ce cas C 0∆ → et j 1 j jC C C− → →ɶ ɶ .

Le nombre de valeurs discrètes des sections efficaces jCɶ tend vers l’infini et approche les valeurs de la variable continue

C. Si nous supposons que jCɶ est une variable continue, jC C= ɶ , la fonction ( )jI s,Cɶ devient la fonction ( )I s,C de la

variable continue C . Donc, l’ETR pour les gaz gris s’écrit

( ) ( ) ( )b

FI s,C CNYI s,C CNY I T

s C

∂ ∂= − +∂ ∂

(3)

Cette équation est appelée le modèle SLW-Exact-1. L’équation (3) peut aussi être écrite sous la forme suivante

( ) ( ) ( )b

FI s,C I s,C I T

s Cκ κ∂ ∂= − +

∂ ∂

Avec le coefficient d’absorption spectral CNYκ = une fonction continue de la section efficace d’absorption C.

D’après les équations (1) et (2), lorsqueC 0∆ → , la luminance totale peut être obtenue par intégration de ( )I s,C sur

toutes les sections efficaces

( ) ( )0

,I s I s C dC∞

= ∫

Une forme alternative de l’ETR pour un gaz gris est déduite si l’équation Eq. (2) est réécrite :

( ) ( ) ( ) ( )j jj j j j b

j j

C CI s,C C N Y I s,C C N Y I

s F F

∆ ∆∆ ∆

∂ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅∂

ɶ ɶ

Alors, à la limite

( ) ( ) bI s,F I s,F Is

κ κ∂ = − +∂

(4)

Cette forme de l’ETR est nommée SLW-Exact-2 et est équivalente au modèle FSK [C4-32]. Contrairement à l’équation Eq. (3), la variable indépendante dans l’équation Eq. (4) est la fonction ALBDF, F. Les modèles SLW exacts des équations Eqs. (3) et (4) doivent permettre d’utiliser n’importe quelle méthode d’intégration sur C ou F. De plus, les deux équations Eqs. (3) et (4) sont déduites du même modèle SLW classique dans le cas limite où n → ∞. Il a été démontré dans [C4-35] et [C4-36] que le model SLW-Exact donne des résultats proches du raie-par-raie et que le modèle SLW tend vers le modèle SLW-Exact quand le nombre de gaz gris tend vers l’infini.

Les Modèles Globaux May 16, 2014 40

Modèle SLW-Exact de l’émissivité totale et du coefficient d’absorption moyen de Planck La modélisation de l’émissivité totale de la couche d’épaisseur x dans la direction µ=1 donne

( ) ( )j

nNYC x

n jj 1

x a 1 eε −

=

= −∑

A la limite, lorsque n → ∞, l’émissivité totale sa représentation par le modèle SLW-Exact

( ) ( )NYCx NYCx

0 0

Fx 1 e dC 1 NYx Fe dC

Cε

∞ ∞− −∂= − = −

∂∫ ∫

Le modèle SLW pour le coefficient d’absorption moyen de Planck n

P j jj 1

aκ κ=

=∑

approche la limite SLW-Exact suivante

( )P

0 0

FNY C dC NY 1 F C dC

Cκ

∞ ∞∂= = − ∂∫ ∫

Une relation entre ε et Pκ peut être établie si la dérivé spatiale de l’émissivité totale est évaluée à x 0= :

( ) P

0

F0 NYC dC

x Cε κ

∞∂ ∂= =∂ ∂∫

Ceci indique que le coefficient moyen de Planck est égal au taux d’accroissement de l’émissivité totale dans la direction avant. Le modèle SLW-Exact préserve aussi les grandeurs totales en x = 0.

Les Modèles Globaux May 16, 2014 41

IV.11 Notations et unités pour les modèles globaux : SLW, ADF, et FSK

( ),N T p u

p

R T=

[ ]

[ ]3

u

p Pa

Pa mR T K

mol K

= ⋅ ⋅ ⋅

, 3

mol

m

densité molaire du gaz à T et une pression absolue p

( ), gN T p g

u

p

R T=

3

mol

m

densité molaire du gaz à T et une pression partielle pg

uR .8 314= 3Pa m

mol K

⋅ ⋅

constante des gaz parfaits

Y gp

p= fraction molaire du gaz

AN .6 022045e23= molecule

mol

nombre d’Avogadro

AN N⋅ 3

molecule

m

p [ ]Pa pression absolue

gp [ ]Pa pression partielle du gaz

sp [ ]atm pression partielle du gaz, HITRAN

T [ ]K température du gaz

ν 1cm− nombre d’onde dans le vide, pour HITRAN

η 1cm− nombre d’onde dans le vide

iη 1cm− i ieme centre de raie, nombre d’onde de transition

Iη 2 1

W

m sr cm− ⋅ ⋅

Luminance monochromatique

Les Modèles Globaux May 16, 2014 42

Notations pour SLW : coefficient et section efficace d’absorption spectral

ηκ 1

m

coefficient d’absorption monochromatique

ηκ ( ) ( ), ,gN T p Y C T Yη= ⋅ ⋅ 1

m

( )

( ), spectral absorption cross-section used in [Denison]

,

2

g

2 2g

A g3 2u g

mC T Y

mol

pp mol molecule cm 1 mN C T Y

R T p mol molecule 10000m cm

η

η

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

, 1

m

( )[ ]

( ) ( )[ ]

[ ][ ] ( ) ( )

( ), spectral absorption cross-section used in [Denison]

. ,

.2

g

2 2g

g 23

gm

C T Ymol

p Pa101325 Pa molec cm 1 m6 022e23 C T Y

p Pa mol molecule 10000cmPa m8 314 T K

mol Kη

η

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

( ),2

gg3

u g

YN

pp mol mC T Y

R T p molm η

= ⋅ ⋅

, 1

m

( ),gC T pη 2m

mol

section efficace d’absorption du gaz

C 2m

mol

variable muette (section efficace d’absorption) pour la fonction ALBDF

absC 2m

mol

variable muette (section efficace d’absorption) de la fonction ALBDF

η∆ ii

η= ∆∪ ( ) : ,g absC T p Cηη= <

Unification des intervalles de nombre d’onde pour lesquels la section efficace

d’absorption est inférieure à une valeur( ),g absC T p Cη <

( ), , , ,abs g bF C T T p Y Fonction de distribution corps noir des raies d’absorption (Absorption-Line

Blackbody Distribution Function, ALBDF)

( ), , , ,abs g bF C T T p Y

( )( )

( ): ,g abs

b b

C T p C

b b

E T d

E Tη

ηη

η<

=∫

( )

( )

b b

b b

E T d

E T

ηη

η∆=∫

bT [ ]K température du corps noir

jCɶ discrétisation des section efficaces d’absorption (indépendantes des fractions

molaires et pressions) refjCɶ discrétisation des section efficaces d’absorption dans des conditions de référence

choisies ( ), ,ref ref refgT Y p

locjCɶ discrétisation des section efficaces d’absorption dans des conditions locales

( ), ,loc loc locgT Y p

locja ( ) ( ), , , , , ,ref ref

j g ref b loc ref j 1 g ref b loc refF C T T T T Y Y F C T T T T Y Y−= = = = − = = =ɶ ɶ

Seule la température du corps noir est affectée par les conditions locales

Les Modèles Globaux May 16, 2014 43

Notations pour ADF

( ), , , ,P gT x p TκF Fonction de distribution d’absorption (Absorption Distribution Function, ADF)

( ), , , ,P gT x p TκF ( )( ) such that , ,g

oP4

P x p T

I T dT

ν

νν κ κ

π ησ ≤

= ∫

( ), ,j x p Tκ discrétisation du coefficient d’absorption

( ), ,j ref ref refx p Tκ discrétisation du coefficient d’absorption

( ), ,j ref ref refx p Tκ ± discrétisation du coefficient d’absorption

locja ( )( ) ( )( ), , , , , , , , , , , ,j P g j P gx p T T x p T x p T T x p Tκ κ+ −−=F F propriétés locales

Hypothèse de corrélation des spectres :

ADF ( )( ) ( )( ), , , , , , , , , , , ,j P ref g j ref ref ref P ref ref ref g refx p T T T x p T T x p T T T x p T Tκ κ= = = = =F F

SLW ( ) ( ), , , , , ,loc refj g loc b ref loc j g ref b ref refF C T T T T Y Y F C T T T T Y Y= = = = = = =ɶ ɶ

Notations pour FSK

( ), ,0 0 0 0T p xφ = état de référence

( ), ,T p xφ = vecteur comprenant les propriétés thermodynamiques définissant le coefficient d’absorption

( ) ( ), , , ,T p xη ηκ η φ κ η=

( ), ,f T kφ ( ) ( )( ),bb 0

1I T k d

I η ηδ κ η φ η∞

= −∫ fonction de distribution de k (k-distribution)

pondérée par la loi de Planck (Plank-function weighted full spectrum k-distribution)

( ), ,0f T kφ ( ) ( )( ),b 0b 0

1I T k d

I η ηδ κ η φ η∞

= −∫ à l’état de référence 0φ

( ), ,T kφg ( ), ,k

0

f T k dkφ= ∫ cumulée de la fonction de distribution de k pondérée

par la loi de Planck (Plank-function-weighted cumulative k-distribution)

( ), ,0T kφg ( ), ,k

0

0

f T k dkφ= ∫ à l’état de référence 0φ

( ), ,0T kφg ( ), ,T kφ ∗= g k-distributions corrélées [M 3rd , p.661, (20.123)]

( ), ,k T φ g cumulée de la k-distribution

(en fonction du “nombre d’onde” g )

( ) ( ), , , , , ,b g u g b gk T T Y F C R T k pY T T Y= =g relation avec la fonction ALBDF

Les Modèles Globaux May 16, 2014 44

Le modèle SLW et la fonction ALBDF sont exprimés en fonction des sections efficaces d’absorption plutôt qu’en fonction des coefficients d’absorption qui sont utilisés dans la formulation des modèles ADF et FSK. Par soucis de clarté, les différences existantes entre ces modèles sont résumées dans les tableaux suivants : Coefficient d’absorption :

SLW ηκ

( )

( ), spectral absorption cross-section used in [Denison]

,

2

g

2 2g

A g3 2u g

Y mN C T Ymol

pp mol molecule cm 1 mN C T Y

R T p mol molecule 10000m cm

η

η

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

, 1

m

ADF, FSK ηκ 1

cm

Fonction de distribution :

SLW ( ), , , ,abs g bF C T T p Y

( )( )

( ): ,g abs

b b

C T p C

b b

E T d

E Tη

ηη

η<

=∫

( )

( )

b b

b b

E T d

E T

ηη

η∆=∫

ADF ( ), , , ,P gT x p TκF ( )( ) such that , ,g

oP4

P x p T

I T dT

ν

νν κ κ

π ησ ≤

= ∫

FSK ( ), ,T kφg ( ), ,k

0

f T k dkφ= ∫

Hypothèse de corrélation des spectres :

SLW ( ) ( ), , , , , ,loc refj g loc b ref loc j g ref b ref refF C T T T T Y Y F C T T T T Y Y= = = = = = =ɶ ɶ

ADF ( )( ) ( )( ), , , , , , , , , , , ,j P ref g j ref ref ref P ref ref ref g refx p T T T x p T T x p T T T x p T Tκ κ= = = = =F F

FSK ( ), ,0T kφg ( ), ,T kφ ∗= g

Discrétisation (gaz gris) :

SLW ,abs jCɶ 2m

mol

discrétisations des sections efficaces d’absorption, , ,...,j 0 1 n=

ADF ( ), ,j x p Tκ 1

m

discrétisation du coefficient d’absorption

Poids des gaz gris : SLW loc

ja ( ) ( ), , , , , ,ref refj g ref b loc ref j 1 g ref b loc refF C T T T T Y Y F C T T T T Y Y−= = = = − = = =ɶ ɶ

ADF loc

ja ( )( ) ( )( ), , , , , , , , , , , ,j P g j P gx p T T x p T x p T T x p Tκ κ+ −−=F F

Les Modèles Globaux May 16, 2014 45

IV.12 Nomenclature

ja poids du gaz gris j

C section efficace d’absorption, 2m

mol

c constante (dépend du type de carburant)

E émittance, 2

W

m

F ALBDF F fraction d’émittance corps noir F flux radiatif

vf fraction volumique de suies I luminance totale Iη luminance monochromatique

L épaisseur de la couche N densité molaire du gaz

AN nombre d’Avogadro, .AN 6 022045e23= molecules

mol

n nombre de gaz gris p pression

Q divergence du flux radiatif net total (terme source radiatif), Q = ∇ ⋅F Fx

∂= −∂

uR constante universelle des gaz parfait, 3

u

Pa mR 8.314

mol K

⋅= ⋅

s abscisse curviligne dans la direction de s T température absolue

V variable, 2

1 1

100u g b v

pV mC C

R T T cf= ⋅

Y fraction molaire gazeuse Vecteurs

Les Modèles Globaux May 16, 2014 46

F vecteur flux radiatif i vecteur unitaire, ( )1,0,0=i

r vecteur position s vecteur directionnel

Ω

vecteur directionnel

Lettres Grecques ∆ intervalle de nombre d’onde κ coefficient d’absorption η nombre d’onde

ε émissivité ρ réflectivité

ξ variable dans les corrélations, ( )ln Cξ =

µ cosinus directeur en 1D, cosµ θ=

φ angle azimutal

θ angle polaire Ω angle solide Indices a moyenné b corps noir c gaz de dioxyde de carbone CO2 g gaz

j numéro du gaz gris

m gaz de monoxyde de carbone CO P moyenne de Planck η monochromatique ou spectral (dépendant de η )

0 à x 0= L à x L= mix mélange

Les Modèles Globaux May 16, 2014 47

v volumique w vapeur d’eau gazeuse H2O Exposants + direction positive − direction négative loc local (état) ref référence (état)

soot suies Constants

2C 1.43877516= 1

K

cm−

2nde constante radiative

σ 5.670400e 8= − 2 4

W

m K ⋅

constante de Stefan-Boltzmann

.AN 6 022045e23= molecules

mol

nombre d’Avogadro

3

u

Pa mR 8.314

mol K

⋅= ⋅ constante universelle des gaz parfaits

Les Modèles Globaux May 16, 2014 48

IV.13 Références bibliographiques du Chapitre 4 [C4-1] Hottel, H. C., Radiant-Heat Transmission. In Heat Transmission, 3rd ed., Ch.4, W.H. McAdams, ed., McGraw-Hill, New York, 1954. [C4-2] Hottel, H.C., and Sarofim, A.F., Radiative Transfer, McGraw-Hill, New York, 1967. [C4-3] Smith, T. F. , Shen, Z. F., Friedman, J. N., Evaluation of coefficients for the weighted sum of gray gases model, ASME JHT, Vol. 104, pp 602-608, 1982. [C4-4] Coppalle, A., Vervisch, P., The total emissivities of high-temperature flames, Combust. Flame, 49, pp. 101-108, 1983. [C4-5] Edwards, D.K., Molecular gas band radiation, Adv. Heat Transfer, Vol. 12, pp. 115-193, 1976. [C4-6] Taylor, P.B., Foster, P.J., Some gray gas weighting coefficients for CO2–H2O-soot mixtures, Int. J. Heat Mass Transfer, Vol. 18, pp. 1331-1332, 1975. [C4-7] Truelove, J. S., The zone method for radiative heat transfer calculations in cylindrical geometries, HTFS Design Report DR33 (Part 1: AERE-R8167), Atomic Energy Authority, Harwell, 1975. [C4-8] Viskanta, R., Song, T.-H., Application of a Spectral-Group Model to Radiative Heat Transfer, ASME Paper 86-WA/HT-36, 1986. [C4-9] Song, T.H., Comparison of engineering models of non-gray behavior of combustion products. Int. J. Heat Mass Trans., Vol. 36, pp. 3975-3982, 1993. [C4-10] Modest, M. F., The weighted-sum-of-gray-gases model for arbitrary solution methods in radiative transfer, ASME JHT, Vol. 113, pp 650-656, 1991. [C4-11] Denison, M.K., Webb, B.W., k-Distributions and Weighted-sum-of-gray-gases – a Hybrid Model, ASME JHT, Vol. 2, pp. 19-24, 1994. [C4-12] Denison, M.K., Webb, B.W., A spectral line based weighted-sum-of-gray-gases model for arbitrary RTE solvers, ASME J. Heat Transfer, vol. 115, pp. 1004-1012, 1993. [C4-13] Denison, M.K., Webb, B.W., An absorption-line blackbody distribution function for efficient calculation of total gas radiative transfer. J. Quant. Spectr Rad. Transfer, vol.50, pp.499-510, 1993. [C4-14] Denison, M.K., The Spectral-Line Weighted-Sum-of-Gray-Gases Model for Arbitrary RTE Solvers, PhD Dissertation, Brigham Young University, Provo, Utah, 1994. [C4-15] Denison, M.K., Webb, B.W., The spectral line based weighted-sum-of-gray-gases model in non-isothermal non-homogeneous media, ASME J. Heat Transfer, vol. 117, pp. 359-365, 1995. [C4-16] Denison, M.K. and Webb, B.W., Development and Application of an Absorption-line Blackbody Distribution Function for CO2, Int. J. Heat Mass Transfer, Vol. 38, 10, pp. 1813-1821, 1995. [C4-17] Denison M K and Webb B W. The spectral-line weighted-sum-of-gray-gases model for H2O/CO2 mixtures. ASME Journal of Heat Transfer 117, p. 788-792, 1995. [C4-18] Rivière, P., Soufiani, A., Perrin, M. 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[C4-23] André, R., Vaillon, R., The spectral-line moment-based (SLMB) modeling of the wide band and global blackbody-weighted transmission function and cumulative distribution function of the absorption coefficient in uniform gaseous media, JQSRT, Vol. 109, pp. 2401-2416, 2008. [C4-24] Wecel, G., Ostrowski, Z., Białecki, R. A., A novel approach of evaluating absorption line black body distribution function employing proper orthogonal decomposition, JQSRT, Vol. 111, pp. 309-317, 2010. [C4-25] Solovjov V P., Spectral line-based weighted-sum-of-gray-gases modeling of radiative transfer in multicomponent mixtures of hot gases. PhD Dissertation, Department of Mechanical Engineering, Brigham Young University, Provo, Utah, USA, 1998. [C4-26] Solovjov, V.P. and Webb, B.W., Radiative Transfer Model Parameters for Carbon Monoxide at High Temperature, in J. Proceedings of the 11th International Heat Transfer Conference, Kyongju, Korea, Ed. J.S. Lee, Vol. 7, pp. 445-450, 1998. [C4-27] Solovjov, V.P., Webb, B.W., SLW Modeling of Radiative Transfer in Multicomponent Gas Mixtures, J. Quant. Spectr. Rad. Transfer, Vol. 65, pp. 655-672, 2000. [C4-28] Howell, J. R., Siegel, R., Menguc M. P., Thermal Radiation Heat Transfer, 5th Edition, CRC Press, 2010. [C4-29] Mengüç, M. P., and Webb, B. W., Radiative Heat Transfer. In Smoot, L. D, Fundamentals of Coal Combustion: Clean and Efficient Use. Elsevier Publishing Co: New York, 1993.

Les Modèles Globaux May 16, 2014 49

[C4-30] Solovjov, V.P., Webb, B.W., An Efficient Method for Modeling of Radiative Transfer in Multicomponent Gas Mixtures with Soot Particles, ASME JHT, Vol. 123, pp. 450-457, 2001. [C4-31] Solovjov, V.P., Lemonnier, D., Webb, B.W., The SLW-1 Model for Efficient Prediction of Radiative Transfer in High Temperature Gases, JQSRT, Vol. 112, pp.1205-1212, 2011. [C4-32] Solovjov, V.P., Lemonnier, D., Webb, B.W., SLW-1 Modeling of Radiative Heat Transfer in Nonisothermal Nonhomogeneous Gas Mixtures with Soot, ASME JHT, Vol. 133, pp. 102701-3-9, 2011. [C4-33] Solovjov, V.P., Lemonnier, D., Webb, B.W., Efficient Cumulative Wavenumber Method –the CW-1 Model of Radiative Transfer in the Gaseous Medium Bounded by Non-Gray Walls,” J. Quant. Spectr. Rad. Transfer, http://dx.doi.org/10.1016/j.jqsrt.2012.07.017, 2012. [C4-34] Sparrow, E.M. and Cess, R.D. Radiation Heat Transfer. Wadsworth, Belmont, CA, 1966. [C4-35] Solovjov, V.P. and Webb, B.W., Global Spectral Methods in Gas Radiation: The Exact Limit of the SLW Model and its Relationship to the ADF and FSK Methods,” ASME J. Heat Transfer, Vol. 133, pp. 788-798, 2011. [C4-36] Solovjov, V.P., Lemonnier, D., Webb, BW., Extension of the Exact SLW model to non-isothermal gaseous media, J. Quant. Spectr Rad. Transfer, In Press, Corrected Proof, 2013. [C4-37] Lallemant, N, Sayre, A, Weber, R., Evaluation of emissivity correlations for H2O-CO2-N-2/air mixtures and coupling with solution methods of the radiative transfer equation, Progress in Energy and Combustion Science, Vol. 22, p. 543-574, 1996. [C4-38] Bressloff, N.W., The Influence of Soot Loading on Weighted-Sum-of-Gray-Gases Solutions to the Radiative Transfer Equation Across Mixtures of Gases and Soot, Int. J. Heat Mass Transfer, Vol. 42, pp. 3469-3480, 1999. [C4-39] Pearson, J.T., Webb, B.W, Solovjov, and Ma, J., Efficient representation of the absorption line blackbody distribution function for H2O, CO2, and CO at variable temperature, mole fraction, and total pressure, JQSRT, Vol. 138, pp. 82-96, 2014.

Les Modèles Globaux May 16, 2014 50

Les Modèles Globaux May 16, 2014 51

IV.14 Exemples

Case REFERENCE

[Pearson [C4-21], FIG 6-3, LBL: Figure_Data JP.xls] ALBDF CORRELATIONS HITEMP-2010 / Fw1 = ALBDF, Correlations for 1 atm FwP = ALBDF, correlations with variable total pressure P

Case R H2O 0011 RTE H2O JP Fig 6-3 P=1 atm.mws R.1 P = 1 atm R.50 P = 50 atm R.01 P = 0.1 atm

Les Modèles Globaux May 16, 2014 52

R.1.1 P = 1 atm ( )T x 750 K=

.L 0 75 m=

.p 1 0 atm=

( )T x 750 K=

( )T 0 400 K=

( )T L 400 K=

.0 0 7ε =

.L 0 7ε =

( ) .2H OY x 0 2=

( ) .2COY x 0 0=

( ) .COY x 0 0=

( ) .vf x 0 0=

SLW Spectral Model

NGG 20=

min . 2C 1 0e 4 m mol= −

max . 2C 60 0 m mol=

( ), ,g bF C T T [ ]correlations C4 39−

j , 1 mκ( )2 2H O g b H OF C,T T ,T T ,Y= =

Fw1

FwP

ja

Les Modèles Globaux May 16, 2014 53

data in 00 11 RTE H2O JP Fig 6-3 P=1 T=0750K.qda

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

00 11 RTE H2O JP Fig 6-3 P=1 T=0750K

LBL, kW/m^2correlations FwPcorrelations at 1 atm

LBL,

kW

/m^2

x, m

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

00 11 RTE H2O JP Fig 6-3 P=1 T=0750K

LBL, kW/m^3correlations FwPcorrelations at 1 atm

LBL,

kW

/m^2

x, m

Les Modèles Globaux May 16, 2014 54

R.1.2 P = 1 atm ( )T x 1250 K=

.L 1 0 m=

.p 1 0 atm=

( )T x 1250 K=

( )T 0 400 K=

( )T L 400 K=

.0 0 8ε =

.L 0 8ε =

( ) .2H OY x 1 0=

( ) .2COY x 0 0=

( ) .COY x 0 0=

( ) .vf x 0 0=

SLW Spectral Model

NGG 20=

min . 2C 1 0e 4 m mol= −

max . 2C 60 0 m mol=

( ), ,g bF C T T [ ]correlations C4 39−

j , 1 mκ( )2 2H O g b H OF C,T T ,T T ,Y= =

Fw1

FwP

ja

Les Modèles Globaux May 16, 2014 55

data in 00 11 RTE H2O JP Fig 6-3 P=1 T=1250K.qda

-60

-40

-20

0

20

40

60

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

00 11 RTE H2O JP Fig 6-3 P=1 T=1250K

LBL, kW/m^2

correlations FwP

correlations at 1 atm

LBL,

kW

/m^2

x, m

-700

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

00 11 RTE H2O JP Fig 6-3 P=1 T=1250K

LBL, kW/m^3

correlations FwP

correlations at 1 atm

LBL,

kW

/m^2

x, m

-500

-400

-300

-200

-100

0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

00 11 RTE H2O JP Fig 6-3 P=1 T=1250K

LBL, kW/m^3 JPQ LBL FAcorrelations at 1 atm

LBL

, kW

/m^3

JP

x, m

Les Modèles Globaux May 16, 2014 56

R.1.3 P = 1 atm ( )T x 2750 K=

.L 0 5 m=

.p 1 0 atm=

( )T x 2750 K=

( )T 0 1000 K=

( )T L 1000 K=

.0 0 5ε =

.L 0 5ε =

( ) .2H OY x 0 4=

( ) .2COY x 0 0=

( ) .COY x 0 0=

( ) .vf x 0 0=

SLW Spectral Model

NGG 20=

min . 2C 1 0e 4 m mol= −

max . 2C 60 0 m mol=

( ), ,g bF C T T [ ]correlations C4 39−

j , 1 mκ( )2 2H O g b H OF C,T T ,T T ,Y= =

Fw1FwP

ja

Les Modèles Globaux May 16, 2014 57

data in 00 11 RTE H2O JP Fig 6-3 P=1 T=2750K.qda

-300

-200

-100

0

100

200

300

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

00 11 RTE H2O JP Fig 6-3 P=1 T=2750K

LBL, kW/m^2

correlations FwP

correlations at 1 atm

LBL,

kW

/m^2

x, m

-2000

-1500

-1000

-500

0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

00 11 RTE H2O JP Fig 6-3 P=1 T=2750K

LBL, kW/m^3

correlations FwP

correlations at 1 atm

LBL,

kW

/m^2

x, m

-1400

-1300

-1200

-1100

-1000

-900

-800

-700

-600

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

00 11 RTE H2O JP Fig 6-3 P=1 T=2750K

LBL, kW/m^3LBL FAcorrelations at 1 atmcorrelations FwPTabulated Data

LBL,

kW

/m^3

x, m

Les Modèles Globaux May 16, 2014 58

R.50.1 P = 50 atm ( )T x 750 K= Maple: 0011 RTE H2O JP Fig 6-3 P=50 atm T=0750K.mws

.L 0 75 m=

.p 50 0 atm=

( )T x 750 K=

( )T 0 400 K=

( )T L 400 K=

.0 0 7ε =

.L 0 7ε =

( ) .2H OY x 0 2=

( ) .2COY x 0 0=

( ) .COY x 0 0=

( ) .vf x 0 0=

SLW Spectral Model

NGG 20=

min . 2C 1 0e 4 m mol= −

max . 2C 60 0 m mol=

( ), ,g bF C T T [ ]correlations C4 39−

j , 1 mκ( )2 2H O g b H OF C,T T ,T T ,Y= =

FwP

ja

Les Modèles Globaux May 16, 2014 59

data in 00 11 RTE H2O JP Fig 6-3 P=50 T=0750K.qda

-10

-5

0

5

10

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

00 11 RTE H2O JP Fig 6-3 P=50 T=0750K

LBL, kW/m^2

Tabulated Data

correlations FwP

LBL,

kW

/m^2

x, m

-100

-80

-60

-40

-20

0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

00 11 RTE H2O JP Fig 6-3 P=50 T=0750K

LBL, kW/m^3

Tabulated Data

correlations FwP

LBL,

kW

/m^2

x, m

Les Modèles Globaux May 16, 2014 60

R.50.2 P = 50 atm ( )T x 1250 K= Maple: 0011 RTE H2O JP Fig 6-3 P=50 atm T=0750K.mws

.L 1 0 m=

.p 50 0 atm=

( )T x 1250 K=

( )T 0 400 K=

( )T L 400 K=

.0 0 8ε =

.L 0 8ε =

( ) .2H OY x 1 0=

( ) .2COY x 0 0=

( ) .COY x 0 0=

( ) .vf x 0 0=

SLW Spectral Model

NGG 20=

min . 2C 1 0e 4 m mol= −

max . 2C 60 0 m mol=

( ), ,g bF C T T [ ]correlations C4 39−

j , 1 mκ( )2 2H O g b H OF C,T T ,T T ,Y= =

FwP

ja

Les Modèles Globaux May 16, 2014 61

data in 00 11 RTE H2O JP Fig 6-3 P=50 T=1250K.qda

-100

-50

0

50

100

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

00 11 RTE H2O JP Fig 6-3 P=50 T=1250K

LBL, kW/m^2

Tabulated Data

correlations FwP

LBL,

kW

/m^2

x, m

-500

-400

-300

-200

-100

0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

00 11 RTE H2O JP Fig 6-3 P=50 T=1250K

LBL, kW/m^3

Tabulated Data

correlations FwP

LBL,

kW

/m^2

x, m

-500

-400

-300

-200

-100

0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

00 11 RTE H2O JP Fig 6-3 P=50 T=1250K

LBL, kW/m^3LBL FAcorrelations FwP

LBL,

kW

/m^3

x, m

Les Modèles Globaux May 16, 2014 62

R.50.3 P = 50 atm ( )T x 2750 K= Maple: 0011 RTE H2O JP Fig 6-3 P=50 atm T=2750K.mws

.L 0 5 m=

.p 50 0 atm=

( )T x 2750 K=

( )T 0 1000 K=

( )T L 1000 K=

.0 0 5ε =

.L 0 5ε =

( ) .2H OY x 0 4=

( ) .2COY x 0 0=

( ) .COY x 0 0=

( ) .vf x 0 0=

SLW Spectral Model

NGG 20=

min . 2C 1 0e 4 m mol= −

max . 2C 60 0 m mol=

( ), ,g bF C T T [ ]correlations C4 39−

j , 1 mκ( )2 2H O g b H OF C,T T ,T T ,Y= =

FwP

ja

Les Modèles Globaux May 16, 2014 63

-1000

-500

0

500

1000

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

00 11 RTE H2O JP Fig 6-3 P=50 T=2750K

LBL, kW/m^2

Tabulated Data

correlations FwP

LBL,

kW

/m^2

x, m

-1 104

-8000

-6000

-4000

-2000

0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

00 11 RTE H2O JP Fig 6-3 P=50 T=2750K

LBL, kW/m^3

Tabulated Data

correlations FwP

LBL,

kW

/m^2

x, m

-8000

-7000

-6000

-5000

-4000

-3000

-2000

-1000

0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

00 11 RTE H2O JP Fig 6-3 P=50 T=2750K

LBL, kW/m^3

LBL FA

correlations FwP

LBL,

kW

/m^3

x, m

Les Modèles Globaux May 16, 2014 64

R.01.1 P = 0.1 atm ( )T x 750 K= Maple: 0011 RTE H2O JP Fig 6-3 P=0.1 atm T=0750K.mws

.L 0 75 m=

.p 0 1 atm=

( )T x 750 K=

( )T 0 400 K=

( )T L 400 K=

.0 0 7ε =

.L 0 7ε =

( ) .2H OY x 0 2=

( ) .2COY x 0 0=

( ) .COY x 0 0=

( ) .vf x 0 0=

SLW Spectral Model

NGG 20=

min . 2C 1 0e 4 m mol= −

max . 2C 60 0 m mol=

( ), ,g bF C T T [ ]correlations C4 39−

j , 1 mκ( )2 2H O g b H OF C,T T ,T T ,Y= =

FwP

ja

Les Modèles Globaux May 16, 2014 65

data in 00 11 RTE H2O JP Fig 6-3 P=0.1 T=0750K.qda

-1

-0.5

0

0.5

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

00 11 RTE H2O JP Fig 6-3 P=0-1 T=0750K

LBL, kW/m^2

Tabulated Data

correlations FwP

LBL,

kW

/m^2

x, m

-10

-8

-6

-4

-2

0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

00 11 RTE H2O JP Fig 6-3 P=0-1 T=0750K

LBL, kW/m^3

Tabulated Data

correlations FwP

LBL,

kW

/m^2

x, m

Les Modèles Globaux May 16, 2014 66

R.01.2 P = 0.1 atm ( )T x 1250 K= Maple: 00 11 RTE H2O JP Fig 6-3 P=0.1 atm T=1250K.mws

.L 1 0 m=

.p 0 1 atm=

( )T x 1250 K=

( )T 0 400 K=

( )T L 400 K=

.0 0 8ε =

.L 0 8ε =

( ) .2H OY x 1 0=

( ) .2COY x 0 0=

( ) .COY x 0 0=

( ) .vf x 0 0=

SLW Spectral Model

NGG 20=

min . 2C 1 0e 4 m mol= −

max . 2C 60 0 m mol=

( ), ,g bF C T T [ ]correlations C4 39−

j , 1 mκ( )2 2H O g b H OF C,T T ,T T ,Y= =

FwP

ja

Les Modèles Globaux May 16, 2014 67

data in 00 11 RTE H2O JP Fig 6-3 P=0-1 T=1250K.qda

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

00 11 RTE H2O JP Fig 6-3 P=0-1 T=1250K

LBL, kW/m^2

Tabulated Data

correlations FwP

LBL,

kW

/m^2

x, m

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

00 11 RTE H2O JP Fig 6-3 P=0-1 T=1250K

LBL, kW/m^3

Tabulated Data

correlations FwP

LBL,

kW

/m^2

x, m

-70

-60

-50

-40

-30

-20

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

00 11 RTE H2O JP Fig 6-3 P=0-1 T=1250K

LBL, kW/m^3LBL FAcorrelations FwP

LBL,

kW

/m^3

x, m

Les Modèles Globaux May 16, 2014 68

R.01.3 P = 0.1 atm ( )T x 2750 K= Maple: 0011 RTE H2O JP Fig 6-3 P=0.1 atm T=2750K.mws

.L 0 5 m=

.p 50 0 atm=

( )T x 2750 K=

( )T 0 1000 K=

( )T L 1000 K=

.0 0 5ε =

.L 0 5ε =

( ) .2H OY x 0 4=

( ) .2COY x 0 0=

( ) .COY x 0 0=

( ) .vf x 0 0=

SLW Spectral Model

NGG 20=

min . 2C 1 0e 4 m mol= −

max . 2C 60 0 m mol=

( ), ,g bF C T T [ ]correlations C4 39−

j , 1 mκ( )2 2H O g b H OF C,T T ,T T ,Y= =

FwP

ja

Les Modèles Globaux May 16, 2014 69

-50

0

50

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

00 11 RTE H2O JP Fig 6-3 P=0-1 T=2750K

LBL, kW/m^2

Tabulated Data

correlations FwP

LBL,

kW

/m^2

x, m

-200

-150

-100

-50

0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

00 11 RTE H2O JP Fig 6-3 P=0-1 T=2750K

LBL, kW/m^3

Tabulated Data

correlations FwPLBL,

kW

/m^2

x, m

-220

-200

-180

-160

-140

-120

-100

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

00 11 RTE H2O JP Fig 6-3 P=0-1 T=2750K

LBL, kW/m^3LBL FAcorrelations FwP

LBL,

kW

/m^3

x, m

Les Modèles Globaux May 16, 2014 70

Case 1-a based on [Denison FIG 4-15] … / 01 CASE 1 a

.L 1 0 m=

.p 1 0 atm=

( )T x 1500 K=

( )T 0 1200 K=

( )T L 600 K=

.0 0 6ε =

.L 0 6ε =

( ) .2H OY x 0 6=

( ) .2COY x 0 0=

( ) .COY x 0 0=

( ) .vf x 0 0=

SLW Spectral Model

NGG 20=

min . 2C 1 0e 4 m mol= −

max . 2C 60 0 m mol=

( ), ,g bF C T T [ ]correlations C4 39−

j , 1 mκ( )2 2mix g b H O COF C,T T ,T T ,Y ,Y= = ja

Les Modèles Globaux May 16, 2014 71

LBL = Frederic Andre: Yw=0.6

-400

-350

-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

LBL

SLW-20 correlationsd HITEMP-2010

Q(x

), k

W/m

3

x, m

Les Modèles Globaux May 16, 2014 72

Case 1-b … / 01 CASE 1 b

.L 1 0 m=

.p 1 0 atm=

( )T x 1500 K=

( )T 0 1200 K=

( )T L 600 K=

.0 0 6ε =

.L 0 6ε =

( ) .2H OY x 0 2=

( ) .2COY x 0 0=

( ) .COY x 0 0=

( ) .vf x 0 0=

SLW Spectral Model

NGG 20=

min . 2C 1 0e 4 m mol= −

max . 2C 60 0 m mol=

( ), ,g bF C T T [ ]correlations C4 39−

j , 1 mκ( )2 2mix g b H O COF C,T T ,T T ,Y ,Y= = ja

Les Modèles Globaux May 16, 2014 73

Case 1 b

LBL = Frederic Andre 2013-01-20 Yw=0.4

-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

LBL

SLW-20 correlations HITEMP-2010

Q(x

), k

W/m

^3

x, m

Les Modèles Globaux May 16, 2014 74

Case 1-c … / 01 CASE 1 c

.L 1 0 m=

.p 1 0 atm=

( )T x 900 K=

( )T 0 1200 K=

( )T L 600 K=

.0 0 6ε =

.L 0 6ε =

( ) .2H OY x 0 6=

( ) .2COY x 0 0=

( ) .COY x 0 0=

( ) .vf x 0 0=

SLW Spectral Model

NGG 20=

min . 2C 1 0e 4 m mol= −

max . 2C 60 0 m mol=

( ), ,g bF C T T [ ]correlations C4 39−

j , 1 mκ( )2 2mix g b H O COF C,T T ,T T ,Y ,Y= = ja

Les Modèles Globaux May 16, 2014 75

Case 1 c

LBL = Frederic Andre

-100

-50

0

50

100

150

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

LBL FASLW-20 correlations-2010

Q(x

), k

W/m

3

x, m

Les Modèles Globaux May 16, 2014 76

Case 1-d … / 01 CASE 1 d

.L 1 0 m=

.p 1 0 atm=

( )T x 2300 K=

( )T 0 1200 K=

( )T L 600 K=

.0 0 6ε =

.L 0 6ε =

( ) .2H OY x 0 6=

( ) .2COY x 0 0=

( ) .COY x 0 0=

( ) .vf x 0 0=

SLW Spectral Model

NGG 20=

min . 2C 1 0e 4 m mol= −

max . 2C 60 0 m mol=

( ), ,g bF C T T [ ]correlations C4 39−

j , 1 mκ( )2 2mix g b H O COF C,T T ,T T ,Y ,Y= = ja

Les Modèles Globaux May 16, 2014 77

Case 1 d

LBL = Frederic Andre 2014-01-20

-1200

-1000

-800

-600

-400

-200

0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

LBLSLW-20 correlations HITEMP-2010

Q(x

), k

W/m

3

x, m

Les Modèles Globaux May 16, 2014 78

CASE 2 Denison Fig 6-3

.L 0 1 m=

.p 1 0 atm=

( )T x 1250 K=

( )T 0 400 K=

( )T L 1500 K=

.0 0 8ε =

.L 0 8ε =

( ) .2H OY x 0 4=

( ) .2COY x 0 2=

( ) .COY x 0 0=

( ) .vf x 0 0=

SLW Spectral Model

NGG 15=

min . 2C 1 0e 4 m mol= −

max . 2C 600 0 m mol=

( ), ,g bF C T T [ ]correlations C4 39−

j , 1 mκ( )2 2mix g b H O COF C,T T ,T T ,Y ,Y= = ja

Les Modèles Globaux May 16, 2014 79

03 MIX correlations Fig 6-3 7-13 b P=1 atm SLW-20 CMAX=600.mws

LBL = Frederic Andre 2014-01-20

-1000

-800

-600

-400

-200

0

200

400

600

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

LBL FA

SLW-20 multi correlations HITEMP-2010

Q(x

), k

W/m

3

x, m

Les Modèles Globaux May 16, 2014 80

CASE 3 A FIG 3-10 (5-3)

.L 2 0 m=

.p 1 0 atm=

( ) cos ,ave

T xT x T K

2 Lπ∆ = +

, , ;aveT 1000 K T 500K= ∆ =

( )T 0 1250 K=

( )T L 750 K=

.0 1 0ε =

.L 1 0ε =

( ) .2H OY x 0 1=

( ) .2COY x 0 0=

( ) .COY x 0 0=

( ) .vf x 0 0=

K 50= number of layers

SLW Spectral Model

NGG 1=

min . 2C 1 0e 4 m mol= −

max . 2C 60 0 m mol=

( ), ,g bF C T T [ ]correlations C4 39−

1=.4881126625, 1 mκ

( )2mix g b H OF C,T T ,T T ,Y= =

1a .6124717466=

( ) ,T x K

Les Modèles Globaux May 16, 2014 81

LBL = Frederic Andre 2014-10-22:

-15

-10

-5

0

5

10

15

0 0.5 1 1.5 2

LBL

SLW-1

Q(x

), k

W/m

3

x, m

-15

-10

-5

0

5

10

15

0 0.5 1 1.5 2

LBLSLW-25SLW-1

Q(x

), k

W/m

3

x, m

( ) 3Q x kW m

[ ]LBL Denison

[ ]SLW -1 correlations HITEMP2010

Les Modèles Globaux May 16, 2014 82

CASE 3 B [Denison, FIG 3-11 (5-4)]

.L 2 0 m=

.p 1 0 atm=

( ) cos ,ave

T xT x T K

2 Lπ∆ = +

, , ;aveT 1000 K T 1000K= ∆ =

( )T 0 1500 K=

( )T L 500 K=

.0 1 0ε =

.L 1 0ε =

( ) .2H OY x 0 1=

( ) .2COY x 0 0=

( ) .COY x 0 0=

( ) .vf x 0 0=

K 50= number of layers

SLW Spectral Model

NGG 1=

min . 2C 1 0e 4 m mol= −

max . 2C 60 0 m mol=

( ), ,g bF C T T [ ]correlations C4 39−

1=.8688704307, 1 mκ

( )2mix g b H OF C,T T ,T T ,Y= =

1a .2904109629=

( ) ,T x K

Les Modèles Globaux May 16, 2014 83

LBL = Frederic Andre 2014-10-22:

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

0 0.5 1 1.5 2

LBL

SLW-1

Q(x

), k

W/m

3

x, m

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

0 0.5 1 1.5 2

LBL

SLW-25

SLW-1

Q(x

), k

W/m

3

x, m

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

0 0.5 1 1.5 2

LBL [Andre]

LBL [Denison]

Q(x

), k

W/m

3

x, m

( ) 3Q x kW m

[ ]LBL Denison

[ ]SLW -1 correlations HITEMP2010

Les Modèles Globaux May 16, 2014 84

CASE 4 a [Denison Fig 6-7 a ] > Cmin:=3.0e-4;Cmax:=60;

.L 0 1 m=

.p 1 0 atm=

( ) cos ,ave

T xT x T 2 K

2 Lπ∆ = +

, ;aveT 1000K T 1000K= ∆ = −

( )T 0 500 K=

( )T L 500 K=

.0 1 0ε =

.L 1 0ε =

( ) cos2H O

1 1 xY x

2 2 Lπ = −

( ) cos2CO

1 1 xY x

2 2 Lπ = +

( ) .COY x 0 0=

( ) .vf x 0 0=

K 50= number of layers

SLW Spectral Model

NGG 1=

min . 2C 1 0e 4 m mol= −

max . 2C 60 0 m mol=

( ), ,mix g bF C T T [ ]correlations C4 39− multiplication

( )2H OY x( )

2COY x

1,ref =.4881126625, 1 mκ

( )2 2mix g ref b ref H O w,ref CO c,refF C,T T ,T T ,Y Y ,Y Y= = = =

1,refa .6124717466=

( ) ,T x K

( ) ( )

( )

2 2

2 2

L

H O CO

0ref aveL

H O CO

0

T x Y Y x dx

T T 1000K

Y Y x dx

+ = = =

+

∫

∫

( )L

0ref

Y x dx

YL

=∫

SLW 1 "True" Least Squares−

Les Modèles Globaux May 16, 2014 85

[Denison, Fig 6-7 a]

( ) 3Q x kW m

[ ]LBL Denison

[ ]SLW -1 correlations HITEMP2010

Les Modèles Globaux May 16, 2014 86

CASE 4 b [Denison Fig 6-7 b] > Cmin:=3.0e-4;Cmax:=60;

.L 10 0 m=

.p 1 0 atm=

( ) cos ,ave

T xT x T 2 K

2 Lπ∆ = +

, ;aveT 1000K T 1000K= ∆ = −

( )T 0 500 K=

( )T L 500 K=

.0 1 0ε =

.L 1 0ε =

( ) cos2H O

1 1 xY x

2 2 Lπ = −

( ) cos2CO

1 1 xY x

2 2 Lπ = +

( ) .COY x 0 0=

( ) .vf x 0 0=

K 50= number of layers

SLW Spectral Model

NGG 1=

min . 2C 1 0e 4 m mol= −

max . 2C 60 0 m mol=

( ), ,mix g bF C T T [ ]correlations C4 39− multiplication

( )2H OY x( )

2COY x

1,ref =.4881126625, 1 mκ

1,refa .6124717466=

( ) ,T x K

( ) ( )

( )

2 2

2 2

L

H O CO

0ref aveL

H O CO

0

T x Y Y x dx

T T 1000K

Y Y x dx

+ = = =

+

∫

∫

( )L

0ref

Y x dx

YL

=∫

SLW 1 "True" Least Squares−

( )2 2mix g ref b ref H O w,ref CO c,refF C,T T ,T T ,Y Y ,Y Y= = = =

Les Modèles Globaux May 16, 2014 87

[Denison, Fig 6-7 b]

[ ]LBL Denison

[ ]SLW -1 correlations HITEMP2010

( ) 3Q x kW m

Les Modèles Globaux May 16, 2014 88

Case 5 A Bressloff’s Problem A [C4-38]

.L 1 0 m=

.p 1 0 atm=

( ) ( ) ,T x 4000x L x 800 K= − +

( )T 0 800 K=

( )T L 800 K=

.0 1 0ε =

.L 1 0ε =

( ) ( ). .2H OY x 0 8x L x 0 12= − +

( ) ( ). .2COY x 0 4x L x 0 06= − +

( ) .COY x 0 0=

Configuration A:

( ) ( ) 7vf x 40x L x 6 10−= − + ⋅

K 50= number of layers

SLW Spectral Model

NGG 1=

min . 2C 1 0e 4 m mol= −

max . 2C 60 0 m mol=

( ), ,mix g bF C T T [ ]correlations C4 39− multiplication

3.688125360ref 11 mκ −= , .9257420579ref

1a =

( )2H OY x

( )2COY x

( ) ,T x K

( ) ( )

( )

2 2

2 2

L

H O CO

0ref aveL

H O CO

0

T x Y Y x dx

T T 1000K

Y Y x dx

+ = = =

+

∫

∫

( )L

0ref

Y x dx

YL

=∫

SLW 1 "True" Least Squares−

( )2 2mix g ref b ref H O w,ref CO c,ref v v ,refF C,T T ,T T ,Y Y ,Y Y , f f= = = = =

( )vf x

Les Modèles Globaux May 16, 2014 89

Case 5 B Bressloff’s Problem B [C4-38]

.L 1 0 m=

.p 1 0 atm=

( ) ( ) ,T x 4000x L x 800 K= − +

( )T 0 800 K=

( )T L 800 K=

.0 1 0ε =

.L 1 0ε =

( ) ( ). .2H OY x 0 8x L x 0 12= − +

( ) ( ). .2COY x 0 4x L x 0 06= − +

( ) .COY x 0 0=

Configuration B:

( ) ( ) 8vf x 40x L x 6 10−= − + ⋅

K 50= number of layers

SLW Spectral Model

NGG 1=

min . 2C 1 0e 4 m mol= −

max . 2C 60 0 m mol=

( ), ,mix g bF C T T [ ]correlations C4 39− multiplication

1.313886465ref 11 mκ −= , .6219299375ref

1a =

( )2H OY x

( )2COY x

( ) ,T x K

( ) ( )

( )

2 2

2 2

L

H O CO

0ref aveL

H O CO

0

T x Y Y x dx

T T 1000K

Y Y x dx

+ = = =

+

∫

∫

( )L

0ref

Y x dx

YL

=∫

SLW 1 "True" Least Squares−

( )2 2mix g ref b ref H O w,ref CO c,ref v v ,refF C,T T ,T T ,Y Y ,Y Y , f f= = = = =

( )vf x

Les Modèles Globaux May 16, 2014 90

Configuration A Configuration B( ) 3Q x kW m ( ) 3Q x kW m

Les Modèles Globaux May 16, 2014 91

Influence of the Reference Temperature:

Configuration A( ) 3Q x kW m Configuration A( ) 3Q x kW m

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

L

H O CO0

ref L

H O CO0

T x Y x Y x dx

T 1536.7K

Y x Y x dx

+ = =

+

∫

∫

( )L

0ref

T x dx

T 1466.7KL

= =∫

Les Modèles Globaux May 16, 2014 92

Case 6 BERL EXPERIMENT (Lallemant et al. [C4-35])

Cold Black Wall Case ( )T 0 300 K=

Hot Black Wall Case ( )T 0 758 K=

( )2H OY x

( )2COY x

( )T x ,K

( )COY x

( )2H OY x

( )2COY x

( )COY x

Les Modèles Globaux May 16, 2014 93

0

5

10

15

20

25

30

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

x, m

LBL

SLW-1 Tref

=Tmax

SLW-1 Tref

=Tave

SLW-15

BERL

( ) 2

kWI x,1 ,

m sr+

⋅

Hot Wall

Cold Wall