Robotics@MiddleSchool - Differential Drive Rover

4 – Robot mobili

DIFFERENTIAL DRIVE ROVER

Jacopo Sini

ROBOTICS@MIDDLESCHOOL

v.2 - Torino, 25/05/2015Revisione da 1.1 a 2.0 del 15/02/2016

ROBOTICS@MIDDLESCHOOL 4DDR.2

In queste slide verranno trattati:

• Attuatori

• Controllori

Controllore ProcessoObiettivo Attuatori

Sensori

+-

Jacopo Sini


In queste diapositive vedremo:

• Pianificazione della traiettoria

• Differential drive rover

• Guida differential drive

• Programmazione

• Calcolo delle distanze

• (Appendice) Descrizione analitica

Jacopo Sini


In alcune applicazioni dei robot mobiliterrestri (chiamati rover), potrebbe esseretroppo costoso o complesso realizzare unsistema di sterzatura delle ruote, come quelloche si trova comunemente nelle auto.

In questi casi è possibile fornire direzionalitàal robot tramite la tecnica differential drive.

Jacopo Sini

La tecnica differential drive consiste nel farmuovere le ruote del robot a velocitàindipendenti l’una dall’altra.

Analizzeremo, fra tutte le possibiliconfigurazioni, quella a due ruote motricisullo stesso asse e terza ruota condotta.

ROBOTICS@MIDDLESCHOOL 4DDR.5Jacopo Sini


Vista del differential driver rover dall’alto:

Jacopo Sini


Le RUOTE MOTRICI sono poste in

rotazione dai MOTORI.

Come si puo’ vedere le due

ruote stanno sullo stesso asse

e sono parallele, ma essendo

collegate a due differenti

motori possono avere diverse

velocita’

RUOTE MOTRICI

Jacopo Sini


La ruota condotta fornisce il

terzo appoggio al robot.

Ruota condotta

Jacopo Sini


Oltre a fornire l’appoggio al

rover, la ruota condotta non

deve opporre resistenza alla

rotazione.

Ruotando attorno alla

cerniera èe’ in grado di seguire

fluidamente la traiettoria

imposta dalle ruote motrici, in

modo simile a quanto fanno le

ruote dei carrelli dei

supermercati.

Cerniera ruota

condotta


Abbiamo appena visto che solo la ruotacondotta è in grado di sterzare, ma non hanessun motore.

Per affrontare le curve è necessario usare unatecnica differente da quella usata per la guidadelle automobili, che solitamente vieneimpiegata sui mezzi cingolati (quali carriarmati, pale meccaniche o spazzaneve).

Jacopo Sini









Punto medio asse

ruote motrici

Jacopo Sini

Jacopo Sini ROBOTICS@MIDDLESCHOOL 4DDR.19

Centro di

istantanea

rotazione


raggio di

curvatura

Jacopo Sini


velocita’

periferica

delle ruote

Jacopo Sini


velocita’

periferica del

punto medio

Jacopo Sini


La ruota

condotta si

allinea alla

tangente alla

circonferenza

Jacopo Sini


Il caso limite si ha quando il raggio dicurvatura è pari all’interasse (cioè alladistanza tra le ruote).

Questo avviene quando una e una sola delledue ruote è ferma.

Per semplicità e a causa della struttura conruota condotta montata su un carrellino non siconsidereranno le ruote in rotazione con versiopposti.

Jacopo Sini








Ora che abbiamo trovato tutti i punti diraccordo e tutti i raggi di curvatura dobbiamoancora fornire al rover i due angoli che le dueruote devono percorrere.

Attenzione: ricorda che le ruote devonopercorrere l’angolo assegnato, impiegando lostesso tempo (dunque avranno velocitàperiferiche diverse).

Jacopo Sini


Forniamo ora un angolo di rotazione al nostroattuatore:

𝜃

Jacopo Sini


Che effetto ha questa rotazione sul punto dicontatto del rover con il suolo?

Per rispondere a questa domanda è necessariocapire qual è la relazione che lega l’angolo e ladistanza percorsa da una ruota.

Jacopo Sini


Per prima cosa misuriamo il raggio della ruota

𝑟

Jacopo Sini


𝜃

𝑙

Jacopo Sini


𝜃

𝑙

𝑟

𝑙 = 𝑟 ⋅𝜃

360

Jacopo Sini


Per percorrere un segmento di lunghezza 𝑙 èquindi sufficiente far ruotare entrambe leruote dello stesso angolo 𝜃.

𝜃 =𝑙 ⋅ 360

𝑟

Jacopo Sini


Per percorrere un arco di circonferenza ènecessario far percorrere distanze diversealle due ruote.

Come calcolare le due distanze noto il raggiodi curvatura?

Jacopo Sini

Jacopo Sini 4DDR.39ROBOTICS@MIDDLESCHOOL

Jacopo Sini 4DDR.40ROBOTICS@MIDDLESCHOOL

4DDR.41ROBOTICS@MIDDLESCHOOL

Traiettoria

del punto medio

Jacopo Sini


Traiettoria

ruota esterna

Jacopo Sini


Traiettoria

ruota interna

Jacopo Sini

Jacopo Sini ROBOTICS@MIDDLESCHOOL 4DDR.44

Traiettoria

seguita dal

punto medio


Traiettoria

seguita dal

punto medio

Jacopo Sini


Traiettoria

seguita dal

punto medio

Jacopo Sini


Traiettoria

seguita dal

punto medio

Jacopo Sini


Raggiunta la fine del tratto

da spazzare, secondo una

traiettoria circolare, il robot

continuera’ la sua traiettoria

orientato nel modo indicato a

fianco (ossia la freccia bianca

indicante il frontale del

rover segue sempre la

direzione tangente alla

circonferenza seguita).

Jacopo Sini


Cosa accade se facciamo

continuare il moto del rover

con entrambe le ruote alla

stessa velocita’?

Il rover si muove secondo la

direzione tangente alla

circonferenza appena seguita.

Jacopo Sini


4DDR.51ROBOTICS@MIDDLESCHOOLJacopo Sini




Vediamo ora come calcolare l’angolo dapercorrere per spazzare un arco di 𝜑 gradisu una circonferenza di raggio 𝑅.

Per prima cosa, ricordiamo che la distanza

percorsa 𝑙 è pari a 𝑙 = 2𝜋𝑅 ⋅𝜑

360

Jacopo Sini


Misuriamo quindi l’interasse, cioè la distanza𝑘 tra il centro delle due ruote del nostro rover:

𝑘

Jacopo Sini


𝑅

𝜑

𝑙 = 2𝜋𝑅 ⋅𝜑

360

Jacopo Sini


𝑙𝑒 = 2𝜋 𝑅 +𝑘2

⋅𝜑

360

𝑅 +𝑘2

𝜑

Jacopo Sini


𝑙𝑖 = 2𝜋 𝑅 −𝑘2

⋅𝜑

360

𝜑

𝑅 −𝑘2

Jacopo Sini


𝜃𝑖

𝑙𝑖

𝜃𝑖 =𝑙𝑖 ⋅ 360

𝑅 −𝑘

2

𝜃𝑒

𝑙𝑒

𝜃𝑒 =𝑙𝑒 ⋅ 360

𝑅 +𝑘

2

Jacopo Sini

𝑟 Raggio ruota motrice.

𝑅 Raggio di curvatura.

𝜃𝑖 Angolo (coordinate di giunto percorso dalla i-esima ruota

motrice.

𝜑 Angolo (coordinate nello spazio di lavoro) spazzato durante la

percorrenza di una traiettoria circolare.

𝑙 Distanza (lungo la curva) percorsa dal rover.

𝑙𝑖 Distanza (lungo la rispettiva curva) percorsa dalla i-esima ruota.

𝑘 Distanza euclidea tra i punti di appoggio delle due ruote motrici.


BONA B. Modellistica dei robot industriali, Celid, Torino, 2002

CORKE P. Robotics, Vision and Control, star, Springer , 2011

FERRARESI C., RAPARELLI T., Meccanica Applicata, CLUT, 1992


Quest'opera è distribuita con Licenza

Creative Commons Attribuzione - Non commerciale - Condividi allo stesso modo 4.0 Internazionale.

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Per ottenere in versione digitale questo file egli altri della serie

polito.academia.edu/JacopoSini

http://www.roboticsMS.altervista.org/

http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/


Per completezza, anche se ben conscio delladifficoltà intrinseca della descrizione, vengonodi seguito riportate le descrizioni analitichenecessarie per implementare concretamenteuna pianificazione di traiettoria tramite latecnica differential drive.

Jacopo Sini


Con 𝑘 interasse tra le ruote, 𝑅 raggio dicurvatura, 𝑣𝑙 e 𝑣𝑟 rispettivamente velocitàperiferica delle ruote sinistra e destra, 𝜔velocità angolare, le seguenti equazioniforniscono la cinematica del rover:

𝑣𝑙 = 𝜔 𝑅 −𝑘

2

𝑣𝑟 = 𝜔 𝑅 +𝑘

2

𝑣𝑟 − 𝑣𝑙 =2𝜔𝑘

2→ 𝜔 =

𝑣𝑟 − 𝑣𝑙𝑘

𝑣𝑟 + 𝑣𝑙 = 2𝜔𝑅 → 𝑅 =𝑙(𝑣𝑟 + 𝑣𝑙)

2(𝑣𝑟 − 𝑣𝑙)

Jacopo Sini


Considerando le equazioni a tempo discreto i eassumendo valori costanti durante l’intervallodi tempo:

𝐶𝐼𝑅𝑖 =𝐶𝑥𝑖𝐶𝑦𝑖

=𝑥𝑖 − 𝑅𝑖 sin(𝜑𝑖)𝑦𝑖 + 𝑅𝑖 cos(𝜑𝑖)

𝜔𝑖 =𝑣𝑟𝑖 − 𝑣𝑙𝑖

𝑘; 𝛿𝜑𝑖 =

𝑙𝑟𝑖 − 𝑙𝑙𝑖𝑘

𝑣𝑖 =𝑣𝑟𝑖 + 𝑣𝑙𝑖

2

𝜔𝑖 𝑅𝑖 +𝑘

2= 𝑣𝑟𝑖

𝜔𝑖 𝑅𝑖 −𝑘

2= 𝑣𝑙𝑖

𝑅𝑖 =𝑣𝑖𝜔𝑖

=𝑘(𝑣𝑟𝑖 + 𝑣𝑙𝑖)

2(𝑣𝑟𝑖 − 𝑣𝑙𝑖)Jacopo Sini









2


2= 𝑣𝑟𝑖


2= 𝑣𝑙𝑖



2(𝑣𝑟𝑖 − 𝑣𝑙𝑖)

Centro di

istantanea

rotazione

Jacopo Sini









2


2= 𝑣𝑟𝑖


2= 𝑣𝑙𝑖




Velocita’ punto

medio asse

ruote

Jacopo Sini









2


2= 𝑣𝑟𝑖


2= 𝑣𝑙𝑖




Distanza percorsa

ruota destra e

sinistra

Jacopo Sini


𝑥 𝑡 = න0

𝑡

cos 𝜑 𝜏 𝑣 𝜏 𝑑𝜏; 𝑦 𝑡 = න0

𝑡

sin𝜑 𝜏 𝑣 𝜏 𝑑𝜏

𝜑 𝑡 = න0

𝑡

𝜔 𝜏 𝑑𝜏

Se il tempo di campionamento è piccolo:

𝜔𝑖 =𝑑

𝑑𝑡𝜑 → 𝜔𝑖 ≅ 𝜑𝑖+1 ≝ 𝛿𝜑𝑖

𝑥𝑖+1𝑦𝑖+1𝜑𝑖+1

=cos(𝛿𝜑𝑖) − sin(𝛿𝜑𝑖) 0sin(𝛿𝜑𝑖) cos(𝛿𝜑𝑖) 0

0 0 1

𝑥𝑖 − 𝐶𝐼𝑅𝑥𝑖𝑦𝑖 − 𝐶𝐼𝑅𝑦𝑖

𝜑𝑖

+

𝐶𝐼𝑅𝑥𝑖𝐶𝐼𝑅𝑦𝑖𝛿𝜑𝑖

Jacopo Sini


Approssimazione di Eulero

ቐ

𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 + 𝑣𝑖𝑇 cos(𝜑𝑖)𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 𝑣𝑖𝑇 sin(𝜑𝑖)

𝜑𝑖+1 = 𝜑𝑖 + 𝜔𝑖𝑇𝛿𝑙

𝑞𝑖

𝑞𝑖+1

𝛿𝜑 𝑅

Jacopo Sini


Approssimazione di Runge-Kutta

𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 + 𝑣𝑖𝑇 cos 𝜑𝑖 +1

2𝜔𝑖𝑇

𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 𝑣𝑖𝑇 sin 𝜑𝑖 +1

2𝜔𝑖𝑇

𝜑𝑖+1 = 𝜑𝑖 + 𝜔𝑖𝑇

𝑞𝑖+1

𝛿𝑙

𝑞𝑖𝛿𝜑 𝑅

Jacopo Sini


Integrazione esatta

𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 +𝜔𝑖

𝑣𝑖sin𝜑𝑖+1 − sin𝜑𝑖

𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 +𝜔𝑖

𝑣𝑖cos𝜑𝑖+1 − cos𝜑𝑖

𝜑𝑖+1 = 𝜑𝑖 + 𝜔𝑖𝑇𝑞𝑖+1

𝛿𝑙

𝑞𝑖𝛿𝜑 𝑅

Jacopo Sini

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