SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

OBJETIVO

Resolver problemas sobre sistemas de ecuaciones lineales homogéneas y no homogéneas mediante la

interpretación, expresión y representación en términos de matrices y determinantes utilizando definiciones

propiedades y métodos adecuados para cada tipo, en situaciones reales propias de la ingeniería y ciencias

aplicadas.

CONTENIDO:

4.1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

4.2 METODOS PARA SOLUCIONAR UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

4.3 CUESTIONARIO

4.1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

En esta sección introduciremos terminología básica, estudiaremos los diferentes tipos de sistemas de ecuaciones

lineales y sus formas de soluciones. Enunciaremos y demostraremos las propiedades más importantes.

En el curso de Algebra Lineal la solución del sistema AX = B se expresa,

corrientemente, según el método de Cramer como una razón de los determinantes.

Dichas fórmulas no sirven para la resolución numérica del sistema AX = B, puesto

que requieren el cálculo de n + 1 determinantes, lo que, a su vez, exige un gran

número de operaciones aritméticas, hasta n!. Si incluso escogemos el mejor

método, para el cálculo de un solo determinante se necesitará aproximadamente

tanto tiempo que se requiere para la resolución de un sistema de ecuaciones

lineales por los métodos numéricos modernos. Además, hemos de tener en cuenta,

que los cálculos según las fórmulas de Cramer conducen con frecuencia a los

grandes errores de redondeo.

La peculiaridad de la mayoría de los métodos numéricos para AX = B consiste en

que se abandona la idea de buscar la matriz inversa. El requisito principal que se

levanta ante el método de resolución es el mínimo de operaciones aritméticas

suficientes para la búsqueda de una solución aproximada con la precisión

prefijada.

Los métodos directos permiten obtener, después de un número finito de

operaciones, una solución exacta del sistema de ecuaciones lineales, siempre que la

información de entrada viene dada con toda la exactitud y los cálculos se realizan

sin redondeo. El método iterativo permite hallar la solución aproximada del

sistema construyendo una sucesión de aproximaciones, a partir de cierta

aproximación inicial. La propia solución aproximada es el resultado de los cálculos

obtenido después de haberse realizado un número finito de iteraciones.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

JOE GARCIA ARCOS

140

Calcular los conjuntos de valores simultáneos de varias incógnitas, que satisfagan

a varias ecuaciones; se dice entonces que estas ecuaciones forman un sistema, y

cada conjunto de valores que las satisface a todas se llama una solución. Un

sistema sin soluciones, se llama inconsistente; y si tiene infinitas soluciones, se

llama indeterminado.

DEFINICION 4.1.1

Una ecuación lineal sobre en n variables es una expresión de la

forma:

a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b

donde los ai, b son números conocidos y los xi son variables. Los ai se

denominan coeficientes de los xi respectivos, y b es el término

independiente de la ecuación.

Las ecuaciones en dos variables se representan geométricamente por una recta;

las tres variables por un plano; para más de tres variables no se tienen

representación visual, pero los geómetras le llaman hiperplano.

Una solución de la ecuación lineal

a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b

es un conjunto ordenado de n valores k1, k2, ..., kn tales que

a1k1 + a2k2 + ... + ankn = b.

Un sistema de m ecuaciones lineales en n variables, es una expresión de la

forma

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

...

...

...

...

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

donde los aij y los bi pertenecen a los números reales. El primer subíndice en los

coeficientes indica el número de la ecuación, y el segundo, el número de la

variable. Para un sistema de m ecuaciones lineales en n variables xi, i = 1, 2, ..., n,

el conjunto solución S es el subconjunto de n definido por S = S1 S2 ... Sm

donde Si es el conjunto solución de la i-ésima ecuación, i = 1, 2, ..., m.

Si m = n = 2, se tienen dos ecuaciones en las dos incógnitas x e y

11 12 1

21 22 2

a x a y b

a x a y b

si se interpretan x, y como coordenadas en el plano xy, entonces cada una de las

dos ecuaciones representa una recta y (x, y) es una solución si, y sólo si, el punto

P(x, y) se encuentra sobre ambas rectas. De aquí que se tienen tres casos posibles:

1.- ninguna solución si las rectas son paralelas;

2.- precisamente una solución si se interceptan;

3.- un número infinito de soluciones si coinciden.

Nos formaremos ciertas ideas de las complicaciones que pueden surgir

considerando el caso de tres ecuaciones con tres incógnitas. Cada una de esas

ecuaciones representa un plano en el espacio, y el determinante de los coeficientes

se anula si:

1.- dos cualesquiera de los tres planos son coincidentes o paralelos.

2.- la recta de intersección de dos de los planos pertenece o es paralela al tercer

plano.


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141

Toda solución del sistema de ecuaciones corresponde a un punto situado en los tres

planos. En los casos 1) y 2) no existe punto alguno que esté en los tres planos, o

bien hay infinitos. En particular, hay infinitas soluciones si los tres planos se

cortan a lo largo de una misma recta. El conjunto de todas las soluciones a un

sistema de ecuaciones lineales recibe el nombre de conjunto solución del sistema.

Una solución del sistema de ecuaciones lineales

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

...

...

...

...

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

es un conjunto ordenado de n valores k1, k2, ..., kn tales que

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

...

...

...

...

n n

n n

m m mn n m

a k a k a k b

a k a k a k b

a k a k a k b

Para cualesquiera sistemas de ecuaciones lineales, se presentan tres tipos de

conjunto solución:

1.- Un conjunto solución que contiene solamente un elemento. Se dice que el

sistema tiene solución única y se denomina sistema compatible determinado;

2.- Un conjunto solución que contiene más de un elemento. En este caso se dice

que el sistema tiene más de una solución y se denomina sistema compatible

indeterminado;

3.- Un conjunto solución vacío. Se dice que el sistema no tiene solución y se

denomina sistema incompatible.

DEFINICION 4.1.2

Se llama sistema de m ecuaciones homogéneas y n incógnitas, al

sistema

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

...

...

...

...

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

siempre que b1 = b2 = ... = bm = 0, es decir, cuando todos los términos

independientes son nulos.

Un sistema de este tipo se da a continuación

2 5 0

7 9 2 0

5 0

x y z u

x y z u

x y z u

DEFINICION 4.1.3

Se llama sistema de m ecuaciones no homogéneas y n incógnitas, al

sistema

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

...

...

...

...

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

siempre que al menos un bi 0.


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142

Un sistema de este tipo se da a continuación

2 3 5 2

2 1

5 0

x y z u

x y z u

x y z u

DEFINICION 4.1.4

Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es sobredeterminado si hay

más ecuaciones que incógnitas. Se dice que un sistema de ecuaciones

lineales está escasamente determinado si hay menos ecuaciones que

incógnitas.

Los sistemas sobredeterminados suelen ser inconsistentes, pero no lo son siempre.

Aunque es posible que los sistemas escasamente determinados sean inconsistentes,

en general son consistentes con muchas soluciones. Es posible que un sistema

escasamente determinado tenga solución única.

DEFINICION 4.1.5

Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es no susceptible, si errores

pequeños en los coeficientes o en el proceso de resolución sólo tienen un

efecto pequeño sobre la solución. Y es susceptible, si errores pequeños en

los coeficientes o en el proceso de resolución tienen un efecto grande

sobre la solución.

Para el sistema de ecuaciones no susceptible, la solución está indicada con relativa

intensidad por las ecuaciones. Para el sistema de ecuaciones susceptible, la

solución está indicada con relativa debilidad por las ecuaciones.

Dos ecuaciones lineales en dos incógnitas representan dos rectas. Un sistema tal es

susceptible si, y sólo si, el ángulo entre las rectas es pequeño, es decir, si, y sólo si,

las rectas son casi paralelas. En efecto, entonces un pequeño cambio en un

coeficiente puede provocar un gran desplazamiento del punto de intersección de

las rectas. Para sistemas mayores de ecuaciones lineales, la situación es semejante

en principio, pero no es posible una interpretación geométrica tan sencilla y no

podríamos seguir cada detalle de la situación.

PROBLEMAS

4.1.1 Sea A una matriz de 3 x 2. Explique por qué la

ecuación AX = B no puede ser consistente tiene sólo la

solución nula si y sólo si (QA)X = O sólo tiene la

solución nula.

4.1.2 Sean AX = O un sistema homogéneo de n

ecuaciones lineales con n incógnitas y Q una matriz

invertible de n x n. Demuestre que AX = O solución fija.

Demuestre que toda solución del sistema se puede

escribir en la forma X = X1 + X0, donde X0 es una

solución de AX = O. También demuestre que toda

matriz de esta forma es una solución.

4.1.3 Sea A una matriz de 5 x 3 y sean Y un vector en

3 y Z un vector en

5. Suponga que AY = Z. ¿Qué

hecho permite concluir que el sistema AX = 4Z es

consistente?

4.1.4 Sea AX = O un sistema homogéneo de n ecua-

ciones lineales en n incógnitas que sólo tiene la solu-

ción nula. Demuestre que si k es cualquier entero posi-

tivo, entonces el sistema AkX = O también tiene sólo la

solución nula.

4.1.5 Sea A una matriz de 3 x 4, sean Y1 y Y2 vectores

en 3 y sea W = Y1 + Y2. Suponga que Y1 = AX1 y que

Y2 = AX2 para algunos vectores X1 y X2 en 4. ¿Qué

hecho permite concluir que el sistema AX = W es

consistente?

4.1.6 Sea AX = B cualquier sistema de ecuaciones

lineales consistentes, y sea X1 una para toda B en 3.

Generalice el argumento para el caso de una matriz A

arbitraria con más filas que columnas.


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143

4.2 METODOS PARA SOLUCIONAR UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

En esta sección analizaremos la resolución de un sistema de ecuaciones lineales por diversos métodos, de acuerdo

a su estructura. Se enunciarán las propiedades más importantes.

I. ELIMINACION GAUSSIANA

Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es equivalente a un segundo sistema de

ecuaciones lineales, si el primero puede obtenerse a partir del segundo por medio de

operaciones elementales. Además los sistemas equivalentes de ecuaciones lineales

tienen los mismos conjuntos de soluciones.

DEFINICION 4.2.1

Sea S un sistema lineal de la forma

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

...

...

...

...

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

y sea S´ un sistema lineal de las mismas dimensiones que S ´ ´ ´ ´11 1 12 2 1 1

´ ´ ´ ´21 1 22 2 2 2

´ ´ ´ ´1 1 2 2

...

...

...

...

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

Los sistemas lineales S y S´ se llaman equivalentes, si ambos son

simultáneamente son compatibles y tienen las mismas soluciones.

Para resolver sistemas de ecuaciones lineales de m ecuaciones con n variables, se va

a estudiar el método de reducción a la forma escalonada, que consiste en la

eliminación sucesiva de las variables para reducir el sistema a uno equivalente más

simple mediante la aplicación de las operaciones elementales siguientes:

TIPO 1. La ecuación E(i) puede multiplicarse por cualquier escalar a diferente de

cero y se puede usar la ecuación resultante en lugar de E(i). Notamos esta operación

como aE(i) E(i);

TIPO 2. La ecuación E(j) puede multiplicarse por cualquier escalar a, sumarla a la

ecuación m-1 ecuaciones restantes y se obtenga el sistema equivalente:

11 1 12 2 1 1

(1) (1) (1)222 2 2

(1) (1) (1)22

...

...

...

...

n n

nn

mn n mm

a x a x a x b

a x a x b

a x a x b

Al pasar a la ejecución del segundo paso, supongamos que el elemento (1)22a , llamado

elemento principal del segundo paso, es distinto de cero. (En caso contrario, es

necesario efectuar la respectiva permutación de las ecuaciones.)

11 1 12 2 1 1

(1) (1) (1) (1)2 322 23 2 2

(2) (2) (2) (2)3 433 34 3 3

(2) (2) (2) (2)3 43 4

...

...

...

...

...

n n

nn

nn

mn n mm m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b


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144

Después del paso m-1 llegamos al sistema triangular

11 1 12 2 1 1

(1) (1) (1) (1)2 322 23 2 2

(2) (2) (2) (2)3 433 34 3 3

( 1) ( 1)

...

...

...

...

n n

nn

nn

n nmn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

a x b

La reducción del sistema inicial S a la forma triangular actual finaliza la primera

etapa de elaboración de la solución según el método de reducción a la forma

escalonada. La segunda etapa, la marcha inversa, consiste en resolver el último

sistema triangular. Se realiza del modo siguiente, de la última ecuación se determina

xn. De acuerdo con el valor hallado de xn de la ecuación m-1 determinamos xn-1, a

continuación, con los valores de xn-1 y xn de la ecuación m-2 hallamos xn-2, etc., el

cálculo sucesivo de las incógnitas continúa hasta que se determina x1 de la primera

ecuación, aquí termina el proceso de construcción de la solución del sistema S con la

ayuda de la resolución del sistema triangular equivalente al primero.

Si durante el proceso de reducción se llega a un sistema tal, que una de las

ecuaciones del sistema equivalente es de la forma 0x1 + 0x2 + ... + 0xn = bn, bn

0, se dice que el sistema inicial es E(i), y usar la ecuación resultante en lugar de

E(i). Esta operación la notaremos como E(i) + aE(j) E(i);

TIPO 3. Las ecuaciones E(i) y E(j) se pueden intercambiar, es decir E(i) E(j).

TEOREMA 4.2.1

Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes, si uno se obtiene

del otro aplicando una sucesión finita de operaciones elementales.

DEMOSTRACION

Es suficiente demostrar la equivalencia de los sistemas S y S´, obtenido de S, al

aplicar una operación elemental. Observemos, que el sistema S se obtiene del

sistema S´ también como resultado de una operación elemental; por cuanto estas

operaciones son inversibles. En otras palabras, en el caso del tipo 1, cambiando otra

vez de lugar a las ecuaciones i y t, regresamos al sistema inicial; análogamente, en el

caso del tipo 2, sumando la i-ésima ecuación en S´, la t-ésima ecuación multiplicada

por –r, obtendremos la i-ésima ecuación del sistema S. Demostremos ahora, que

cualquier solución k1, k2, ..., kn del sistema S resulta también solución del sistema S´.

Si fue realizada una operación elemental del tipo 1, entonces, las propias ecuaciones,

en general, no cambiaron. Por eso, los números k1, k2, ..., kn, que antes las satisfacían,

las satisfacerán luego de la operación elemental. En el caso de una operación

elemental del tipo 2, las ecuaciones, excepto la i-ésima, no se modificaron, y por eso

la solución k1, k2, ..., kn satisface a éstas como antes. En virtud de la reversibilidad de

las operaciones elementales, las reflexiones realizadas demuestran también que,

recíprocamente, cualquier solución del sistema S´ será solución del sistema S. Queda

observar, que la incompatibilidad de un sistema proporciona la incompatibilidad del

otro.

Si en el sistema S se considera que a11 0, para cada i > 1 llamado elemento

principal del primer paso (En el caso de que a11 = 0 cambiamos de lugar las

ecuaciones con los números 1 e i, donde ai1 0.) se aplican las operaciones

elementales de modo que se sustituya la ecuación i-ésima por la ecuación que se

obtiene multiplicando la primera por –a11 y se sume con la i-ésima, de tal forma

que se elimine x1 en las incompatible, y, por tanto, no tiene solución. Si en los

sistemas equivalentes se llega a una ecuación de la forma 0x1 + 0x2 + ... + 0xn = 0,

esta puede eliminarse sin que se afecte la solución del sistema.


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145

Calculemos el número de operaciones que hay que efectuar para obtener la solución

del sistema de ecuaciones lineales. Para reducir el sistema de ecuaciones a la forma

escalonada, aceptando que m = n, tendremos que realizar n inversiones

n2 + (n – 1)

2 + ... + 1

2 =

1

6(2n + 1)(n + 1)n

multiplicaciones y

( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 2) 2 1

3

n n nn n n n

adiciones. Además, para hallar del sistema reducido las incógnitas habrá que realizar

adicionalmente

1 + 2 + ... + (n – 1) = 1

2n(n – 1)

multiplicaciones y un número igual de adiciones. Por consiguiente, para resolver el

sistema de ecuaciones lineales empleando el método de Gauss, es necesario realizar,

en el caso general, n inversiones

1

3n(n

2 + 3n – 1)

1

3n

3

multiplicaciones y

1

6n(2n

2 + 3n – 5)

1

3n

3

adiciones. En resumen, este método de reducción se puede aplicar a cualquier

sistema de ecuaciones lineales. Debe observarse, además, que el método de

reducción es sistemático y que no se reduce a ningún artificio a base de los números

particulares que aparecen en las ecuaciones.

TEOREMA 4.2.2

Para la compatibilidad de un sistema de ecuaciones lineales es necesario y

suficiente que, después de ser reducido a la forma escalonada, en él no se

encuentren ecuaciones del tipo 0 = b i, con b i 0. Si esta condición se

cumple, entonces, a las incógnitas independientes se les puede dar valores

arbitrarios; las incógnitas principales se determinan unívocamente en el

sistema de ecuaciones.

DEMOSTRACION

Comencemos con la cuestión de la compatibilidad. Es evidente, que si el sistema

11 1 1 1

2 2 2

3 3 3

1

´ ´

´ ´ ´

´ ´ ´

´ ´ ´

0 ´

0 ´

n n

k k n n

t t n n

r s s r n n r

r

m

a x a x b

a x a x b

a x a x b

a x a x b

b

b

(1)

contiene ecuaciones del tipo 0 = bí, con bí 0, entonces, este sistema es

incompatible, puesto que la igualdad 0 = bí no puede ser satisfecha por ningún valor

para las incógnitas. Demostremos, que si en el sistema (1) no hay tales ecuaciones,

entonces el sistema es compatible. Y bien, sea bí = 0 para i > r. Llamaremos

incógnitas principales a x1, xk, ..., xs, con las cuales comienzan la primera, segunda,

..., y r-ésima ecuaciones, respectivamente; las restantes incógnitas, si es que las hay,

se denominan independientes. Por definición, sólo hay r incógnitas principales.

Otorgamos a las incógnitas independientes valores arbitrarios, y los sustituimos en el

sistema (1). Entonces, para ks se obtiene una ecuación de tipo axs = b, con a = a´r s

0, la cual tiene solución única. Sustituyendo el valor obtenido xs = ks en las primeras

r – 1 ecuaciones, y yendo por el sistema (1) de abajo hacia arriba, nos convencemos


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146

de que los valores de las incógnitas principales se determinan unívocamente para

cualquier valor que se dé a las incógnitas independientes.

TEOREMA 4.2.3

Un sistema de ecuaciones lineales tiene solución única si y sólo si el

sistema reducido correspondiente tiene la misma solución.

DEMOSTRACION

De la forma en que reducimos el sistema es claro que si cierto conjunto de números

x1, x2, ..., xn satisface el sistema original, cumplen también el sistema reducido. Ahora

cambiamos los papeles del sistema original reducido. Si comenzamos con el sistema

reducido, el sistema original se puede obtener de éste por alguna combinación de las

tres operaciones elementales. Ahora es claro que cualquier solución del sistema

reducido también es solución del sistema original.

TEOREMA 4.2.4

El sistema compatible

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

con n > m es indeterminado.

DEMOSTRACION

Efectivamente, en todo caso r m, por cuanto en el sistema (1) no hay más

ecuaciones que en el sistema dado, las ecuaciones con identidades iguales a cero para

ambos miembros, son desechadas. Por eso, la desigualdad n > m lleva a n > r, lo cual

significa indeterminación del sistema dado.

EJEMPLO 4.2.1

Utilizando eliminación gaussiana, solucionar los siguientes sistemas de ecuaciones

lineales:

a.-

3

2 4 3

3 2 8

x y z

x y z

x y z

; b.-

3 4 6 7

5 2 4 5

3 5 3

x y z

x y z

x y z

.

SOLUCION

a.- Multiplicamos la ecuación 1 por 2 y luego le restamos la fila 2, multiplicamos la

fila 1 por 3 y luego restamos la fila 3:

3

2 1

2 1

x y z

y z

y z

restamos la fila dos a la fila tres:

3

2 1

0 0

x y z

y z

podemos observar que 0 = 0, lo cual indica que el sistema es indeterminado, es decir

tiene un número infinito de soluciones:

z = t, x = 2 – t, y = 1 + 2t.

b.- Se multiplica la ecuación 1 por 5 y luego le restamos 3 veces la fila 2, y 3 veces

la fila 3:

3 4 6 7

13 21 10

13 21 2

x y z

y z

y z


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147

restamos la fila dos a la fila tres:

3 4 6 7

13 21 10

0 2

x y z

y z

podemos observar que 0 = 12, lo cual indica que el sistema es inconsistente.

EJEMPLO 4.2.2


lineales:

a.-

2 3 2 4

3 3 3 2 6

3 2 6

3 3 6

x y z u

x y z u

x y z u

x y z u

; b.-

0

2 3 4 0

3 6 10 0

4 10 20 0

x y z u

x y z u

x y z u

x y z u

.

SOLUCION

a.- A la segunda fila le multiplicamos por 2 y luego le restamos 3 veces la primera

fila, a la tercera fila le multiplicamos por 2 y luego le restamos 3 veces la primera

fila, a la cuarta fila le multiplicamos por 2 y luego le restamos 3 veces la primera fila

2 3 2 4

9 3 2 0

11 2 0

3 8 0

x y z u

y z u

y z u

y z u

A la tercera fila le multiplico por –9 y luego le sumo la segunda fila, a la cuarta

fila le multiplico por –9 y luego le sumo la segunda fila:

2 3 2 4

9 3 2 0

6 0

12 35 0

x y z u

y z u

z u

z u

A la cuarta fila le resto 2 veces la tercera fila:

2 3 2 4

9 3 2 0

6 0

33 0

x y z u

y z u

z u

u

Como el sistema se redujo a la forma triangular, entonces el sistema tiene solución

única:

x = 2, y = z = u = 0.

b.- A la segunda fila le resto la primera fila, a la tercera fila le resto la primera fila, a

la cuarta fila le resto la primera fila:

0

2 3 0

2 5 9 0

3 9 19 0

x y z u

y z u

y z u

y z u

A la tercera fila le resto 2 veces la segunda fila, a la cuarta fila le resto 3 veces la

segunda fila:

0

2 3 0

3 0

3 10 0

x y z u

y z u

z u

z u


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148

A la cuarta fila le resto 3 veces la tercera fila:

0

2 3 0

3 0

0

x y z u

y z u

z u

u


única:

x = y = z = u = 0.

EJEMPLO 4.2.3


lineales:

a.-

2 3 1

3 2 4

2 3 6

2 3 4

x y z u

x y z u

x y z u

x y z u

; b.-

2 3 2 6

2 2 3 8

3 2 2 4

2 3 2 8

x y z u

x y z u

x y z u

x y z u

; c.-

2 3 4 5

2 2 3 1

3 2 2 1

4 3 2 5

x y z u

x y z u

x y z u

x y z u

.

SOLUCION

a.- A la segunda fila le restamos 3 veces la primera fila, a la tercera fila le restamos 2

veces la primera fila y a la cuarta fila le restamos la primera:

2 3 1

4 7 11 7

5 7 8

4 5

x y z u

y z u

y z u

y z u

A la tercera fila le multiplicamos por 4 y luego le sumamos la segunda fila, a la

cuarta fila le multiplicamos por 4 y luego le sumamos la segunda fila:

2 3 1

4 7 11 7

27 39 39

9 9

x y z u

y z u

z u

z u

A la cuarta fila le multiplicamos por 27 y luego le sumamos la tercera fila:

2 3 1

4 7 11 7

27 39 39

1

x y z u

y z u

z u

u

Observamos que el sistema se redujo a la forma triangular, lo cual indica que el

sistema tiene solución única:

x = y = -1, z = 0, u = 1.

b.- A la segunda fila le restamos 2 veces la primera fila, a la tercera fila le restamos

3 veces la primera fila y a la cuarta fila le restamos 2 veces la primera fila:

2 3 2 6

5 8 4

2 5 4 7

7 4 5 20

x y z u

y z u

y z u

y z u

A la tercera fila le multiplicamos por 5 y luego le sumamos 2 veces la segunda

fila, a la cuarta fila le multiplicamos por 5 y luego le restamos 7 veces la segunda

fila:


JOE GARCIA ARCOS

149

2 3 2 6

5 8 4

2 3

2 4

x y z u

y z u

z u

z u

A la cuarta fila le restamos 2 veces la tercera fila:

2 3 2 6

5 8 4

2 3

5 10

x y z u

y z u

z u

u


única: x = 1, y = 2, z = -12, u = -2.

c.- A la segunda fila le restamos 2veces la primera fila, a la tercera fila le restamos 3

veces la primera fila y a la cuarta fila le restamos 4 veces la primera fila:

2 3 4 5

3 4 5 9

2 4 5 7

2 3 5

x y z u

y z u

y z u

y z u

A la tercera fila le multiplicamos por 3 y luego le sumamos la segunda fila

multiplicada por 2, a la cuarta fila le multiplicamos por 3 y luego le sumamos la

segunda fila:

2 3 4 5

3 4 5 9

4 5 3

2 3

x y z u

y z u

z u

z u

A la cuarta fila le multiplicamos por 4 y luego le restamos la tercera fila:

2 3 4 5

3 4 5 9

4 5 3

3

x y z u

y z u

z u

u


única: x = -2, y = 2, z = -3, u = 3.

II. METODO DE GAUSS – JORDAN

El sistema S de ecuaciones lineales

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

...

...

...

...

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

puede ser escrito en forma matricial como AX = B, donde A es la matriz m x n de

coeficientes con elementos aij, B es un vector columna en m y X es un vector

columna en n. Efectuando la multiplicación matricial en la ecuación

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2

n

n

m m mn n m

a a a x b

a a a x b

a a a x b

se ve de inmediato que esto es equivalente al sistema S.


JOE GARCIA ARCOS

150

DEFINICION 4.2.2

En cuanto a la matriz

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

n

n

m m mn m

a a a b

a a a b

a a a b

se denomina matriz aumentada del sistema.

Consideremos ahora el sistema lineal no homogéneo AX = B, en donde A es de m x

n y B es de m x 1 y tiene al menos un elemento distinto de cero. A continuación

enunciaremos un teorema, en el cual se basara el método de las operaciones

elementales.

TEOREMA 4.2.5

Un sistema homogéneo de m ecuaciones lineales con n incógnitas tiene un

número indeterminado de soluciones si n > m.

DEMOSTRACION

Cuando la matriz de coeficientes se ha reducido, la matriz aumentada del sistema

reducido tiene una última columna formada únicamente por ceros. Entonces, el

sistema tiene una solución, pero puede que no tenga soluciones no nulas. Sin

embargo, consideremos los elementos aii, i = 1, 2, ..., m de la matriz reducida de

coeficientes. Estos elementos son 0 ó 1. Suponiendo que akk = 0 para algún k y k es el

menor elemento para el cual esto ocurre, la solución se puede escribir en términos de

xk y posiblemente de algunas otras variables. Pero tales variables son arbitrarias, y así

tomando a xk 0, tenemos una solución no trivial. Si todos los aii, i = 1, 2, ..., m, son

1, la última fila de la matriz aumentada del sistema reducido es

0, 0, ..., 0, 1, am m+1, am m+2, ..., am n, 0

y

xm = -am m+1xm+1 – am m+2xm+2 - ... – am nxn

donde xm+1, xm+2, ..., xn son arbitrarias. Tomando xm+1 0 lograremos una solución no

nula.

TEOREMA 4.2.6

Sea X1 cualquier solución de AX = B. Entonces X1 – X2 es una solución

de AX = O ya que A(X1 - X2) = AX1 - AX2 = B - B = O. Sea X3 = X1 -

X2. Entonces X3 es una solución de AX = O y por supuesto X1 = X2 +

X3.

DEMOSTRACION

Supongamos que X1 y X2 son soluciones. Entonces AX1 = B y AX2 = B, y por

sustracción A(X1 – X2) = O. Como quiera que si la ecuación homogénea no tiene

soluciones no nulas, entonces X1 – X2 = O y X1 = X2. Esto muestra la unicidad.

Recíprocamente, suponiendo que X3 O es una solución de la ecuación homogénea,

es decir AX3 = O, mientras que X1 es una solución de AX1 = B, entonces X1 + X3

también es solución, puesto que

A(X1 + X3) = AX1 + AX3 = B + O = B.

Esta es una contradicción a la unicidad y completa la demostración.

TEOREMA 4.2.7

Un sistema homogéneo de m ecuaciones lineales con m incógnitas tiene

solución trivial si y sólo si la matriz reducida de coeficientes no tiene filas

formadas únicamente por ceros.

DEMOSTRACION

Consideremos los elementos aii, i = 1, 2, ..., m de la matriz reducida de coeficientes.

Si aii = 1 para todo i, la matriz aumentada del sistema reducido es de la forma


JOE GARCIA ARCOS

151

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

y la única solución es x1 = x2 = ... = xm = 0, algunos de los aii son cero si y sólo si la

última fila de esta matriz está formada únicamente por ceros. Así, el sistema de

ecuaciones lineales tiene soluciones no nulas si y sólo si la matriz reducida de

coeficientes está formada únicamente por ceros.

TEOREMA 4.2.8

Sea la matriz A de n x n. Entonces el sistema de ecuaciones no

homogéneo AX = B tiene solución única si y sólo si el Rang(A) = n.

DEMOSTRACION

Supongamos primero que Rang(A) = n. Entonces AR = I. De donde (A | B)R es de la

forma (I | C) para alguna matriz C de n x 1. El sistema IX = C tiene exactamente una

solución y esta es la única solución del sistema original. Recíprocamente,

supongamos que AX = B tiene exactamente una solución Y. Si AX = O tiene una

solución Z entonces Y + Z es una solución de AX = B. Pero entonces Y = Y + Z por

la suposición de que AX = B tiene solamente una solución Y. Concluimos que

Z = O y, por tanto, AX = O tiene solamente la solución trivial. Por lo tanto

Rang(A) = n.

Un sistema homogéneo AX = O de m ecuaciones lineales con n incógnitas tiene un

número indeterminado de soluciones si el número de ecuaciones es menor que el

número de incógnitas, es decir n > m.

Sea X1 cualquier solución de AX = B. Entonces X1 – X2 es una solución de

AX = O ya que

A(X1 - X2) = AX1 - AX2 = B - B = O.

Sea X3 = X1 - X2. Entonces X3 es una solución de AX = O y por supuesto X1 = X2

+ X3.

Como hemos podido ver, cuando un sistema de ecuaciones lineales tiene soluciones,

puede tener muchas soluciones. En efecto, la situación general cuando las soluciones

no son únicas, es que ciertas variables se pueden escribir en términos de otras y estas

son completamente arbitrarias. Podemos pensar en tales variables como parámetros

que pueden variar para generar soluciones. Podremos decir que tenemos la solución

general de un sistema si tenemos todas las variables expresadas en términos de

ciertos parámetros en tal forma que toda posible solución particular se pueda obtener

al asignar valores apropiados a estos parámetros.

Podemos ahora esbozar un procedimiento para encontrar la solución general de un

sistema lineal no homogéneo AX = B:

PASO 1. Reducir (AB) para obtener la matriz reducida de la forma (ARC). Las

soluciones de AX = B son las mismas soluciones que las de ARX = C, así que

trabajaremos con este sistema reducido;

PASO 2. Si Rang((AB)) Rang(A), el sistema no tiene solución y ya

terminamos. Si estos dos rangos son iguales continuamos;

PASO 3. Identificamos las incógnitas dependientes. Si la columna j contiene el

elemento principal de la fila i, utilizamos la ecuación i para escribir xj en términos de

las incógnitas independientes;

PASO 4. Escribimos una matriz columna

(x1 x2 … xn)T

con cada xj dependiente escrita en términos de las incógnitas independientes y de ci.


JOE GARCIA ARCOS

152

Las incógnitas independientes son arbitrarias y se les puede asignar valores

cualesquiera;

PASO 5. Para aclarar la estructura de la solución, la escribimos como una suma de

matrices columna multiplicadas por las incógnitas independientes (escalares

arbitrarios), más una matriz columna que contiene las ci que aparecen en las

expresiones para las incógnitas dependientes. Esta matriz columna constante es una

solución particular de ARX = C. Ahora tenemos la solución general de AX = B

escrita como la solución general de ARX = O más una solución particular de

ARX = C, obteniendo la solución general del sistema no homogéneo original.

TEOREMA 4.2.9

Un sistema de ecuaciones lineales AX = B tiene solución única si y sólo si

el rango de la matriz A es igual al rango de la matriz (A | B).

DEMOSTRACION

Reduciendo la matriz de coeficientes usando operaciones elementales sobre las filas

podemos lograr el sistema equivalente (I | C) en este caso, y solamente en este caso,

el rango de A es igual al rango de la matriz aumentada (A | B).

Una solución a un sistema AX = B de m ecuaciones lineales con n incógnitas no

tiene solución única si n > m.

Un sistema de ecuaciones lineales AX = B tiene solución única si y sólo si el sistema

reducido correspondiente tiene la misma solución.

Si el sistema de ecuaciones lineales AX = B de m ecuaciones y n incógnitas es

consistente, y si r es el rango por filas de la forma escalonada reducida de la matriz

aumentada del sistema, entonces:

1.- Si r < n, el sistema tiene un número indeterminado de soluciones. Las soluciones

se expresan en base a n – r variables.

2.- Si r = n, el sistema tiene solución única.

3.- Si m < n, entonces r m < n, y el sistema tiene un número indeterminado de

soluciones.

TEOREMA 4.2.10

Un sistema homogéneo de n ecuaciones lineales algebraicas con m

incógnitas tiene un número indeterminado de soluciones si m > n.

DEMOSTRACION

Escribimos el sistema homogéneo de ecuaciones lineales como AX = O con la

matriz A de n x m. Este sistema tiene n ecuaciones y m incógnitas. Si hay más

incógnitas que ecuaciones, m > n. Ahora, Rang(A) es el número de filas distintas de

cero de AR y no puede ser mayor que n. Como Rang(A) n, m – Rang(A) m – n >

0. Por lo tanto, existe al menos una incógnita independiente a la que se puede asignar

cualquier valor en la solución general y, por tanto, se le pueden dar valores distintos

de cero llegando a un número indeterminado de soluciones.

Ahora podemos bosquejar ahora un procedimiento para resolver el sistema

homogéneo de ecuaciones lineales AX = O:

PASO 1. Reducir A a AR. Como el sistema reducido tiene las mismas soluciones

que el sistema original, trabajaremos con el sistema reducido ARX = O;

PASO 2. En el sistema ARX = O, determine si cada incógnita es dependiente o

independiente de acuerdo con el siguiente criterio. Si la columna j contiene el

elemento principal de cualquier fila de A, llame a xj dependiente; si no es así, xj es

independiente;

PASO 3. Exprese cada incógnita dependiente en términos de las independientes,

usando las filas de AR. Si, por ejemplo, xj es dependiente porque la columna j

contiene el elemento principal de la fila i, podemos resolver para xj en términos de


JOE GARCIA ARCOS

153

las incógnitas independientes mediante la ecuación i;

PASO 4. Para obtener la solución, a las incógnitas independientes se les puede

asignar cualquier valor; las incógnitas dependientes se expresan en términos de las

independientes usando el paso 3.

TEOREMA 4.2.11

Si A es una matriz de n x m, el número de escalares arbitrarios en la

solución general del sistema homogéneo de ecuaciones lineales AX = O es

m – Rang(A).

DEMOSTRACION

Si la matriz A es de n x m, el número de incógnitas independientes es igual al

número total de incógnitas m menos el número de incógnitas dependientes. Pero el

número de incógnitas dependientes es el número de filas de AR que tienen entradas

principales y, por lo tanto, es igual al número de filas distintas de cero de AR, es

decir, el rango de A.

TEOREMA 4.2.12

Una solución de un sistema de ecuaciones lineales AX = B es única si y

sólo si el sistema homogéneo de ecuaciones AX = O tiene solución

trivial.

DEMOSTRACION

Supongamos que X y Y son soluciones. Entonces AX = B y AY = B, y por

sustracción A(X – Y) = O. Como quiera que si la ecuación homogénea tiene

solución trivial, entonces X – Y = O y X = Y. Esto muestra la unicidad.

Recíprocamente, suponiendo que Z O es una solución de la ecuación homogénea,

es decir AZ = O, mientras que X es una solución de AX = B, entonces X + Z

también es solución, puesto que

A(X + Z) = AX + AZ = B + O = B.

Esta es una contradicción a la unicidad.

TEOREMA 4.2.13

La solución general del sistema no homogéneo de ecuaciones, AX = B,

se puede obtener al sumar la solución general del sistema homogéneo

AX = O a cualquier solución particular del sistema no homogéneo.

DEMOSTRACION

Supongamos que Z es una solución particular del sistema no homogéneo, entonces

AZ = B. Suponiendo que X es cualquier otra solución particular, entonces

AX = B y A(X – Z) = AX – AZ = B – B = O.

De donde, Y = X – Z es una solución del sistema de ecuaciones homogéneas y

entonces se puede obtener de la solución general del sistema de ecuaciones

homogéneas para una elección apropiada de ciertos parámetros. Así, X = Z + Y, y

como X es cualquier solución particular, podemos obtener la solución general del

sistema no homogéneo al sumar la solución general del sistema homogéneo a una

solución particular del sistema no homogéneo.

TEOREMA 4.2.14

Un sistema de n ecuaciones lineales algebraicas homogéneas con n

incógnitas tiene un número indeterminado de soluciones si y sólo si el

determinante de la matriz de coeficientes es cero.

DEMOSTRACION

Si Det(A) no es cero la matriz A es no singular. Entonces, al multiplicar los dos

miembros del sistema AX = O por A-1

obtendremos A-1

AX = O, es decir X = O.

Por lo tanto, si Det(A) 0, entonces X = O será la única solución de AX = O.

Supongamos a continuación que el sistema AX = O quede satisfecho por un

vector Y distinto de cero. Si k es el rango de A, entonces n – k tiene que ser, por

lo menos, igual a 1. Dicho de otro modo, el rango por filas de A será


JOE GARCIA ARCOS

154

estrictamente menor que n. Pero A no puede ser no singular, es singular y, por lo

tanto, Det(A) = 0.

% RESUELVE UN SISTEMA DE ECUACIONES

clc;clear;

fprintf('\n SISTEMA DE ECUACIONES AX=B \n')

fil=input('Ingrese el numero de ecuaciones: ');

col=input('Ingrese el numero de incognitas: ');

%Ingreso de elementos

fprintf('\nIngrese los coeficientes y terminos independientes del sistema\n')

for f=1:fil

fprintf('\n Ingrese los coeficientes (%d)\n', f)

for c=1:col

fprintf('Ingrese el elemento (%d,%d)',f,c)

A(f,c)=input(' :');

end

end

fprintf('\n Ingrese los coeficientes de B \n')

%for f=1:col

for c=1:fil

fprintf('Ingrese el elemento %d',f)

B(c,1)=input(' :');

end

fprintf('\n LA MATRIZ DE COEFICIENTES A ES:\n')

A

end

fprintf('El VECTOR B es:\n')

B

end

fprintf('LA MATRIZ REDUCIDA DE A ES:')

R1= rref(A);

R1

fprintf('EL RANGO DE LA MATRIZ A ES:')

RangA=rank(A)

fprintf('\n LA MATRIZ AUMENTADA ES: \n',c);

C=[A,B];

C

fprintf('LA MATRIZ REDUCIDA DE C ES:')

R2= rref(C);

R2

fprintf('EL RANGO DE LA MATRIZ AUMENTADA C ES:')

RangC=rank(C)

end

end

if RangC==col

fprintf('EL SISTEMA DE ECUACIONES TIENE SOLUCION UNICA\n')

end

if RangA<col

fprintf('EL SISTEMA DE ECUACIONES TIENE MAS DE UNA SOLUCION\n')

end

if RangA~=RangC

fprintf('EL SISTEMA DE ECUACIONES NO TIENE SOLUCION\n')

end

end

EJEMPLO 4.2.4

Resuelva el sistema de ecuaciones siguiente:

3 3

2 1

4 6

5 16

x y z u

x z u

y z u

y z u

.


JOE GARCIA ARCOS

155

SOLUCION

Construimos la matriz aumentada (A|B) y luego procedemos por el método de Gauss

– Jordan:

1 3 1 1 3

2 0 1 1 1

0 1 4 1 6

0 1 1 5 16

A la primera fila le multiplicamos por 2 y luego le restamos la segunda fila:

1 3 1 1 3

0 6 1 3 5

0 1 4 1 6

0 1 1 5 16

A la tercera fila le multiplicamos por 6 y luego le sumamos la segunda fila, a la

cuarta fila le multiplicamos por –6 y luego le sumamos la segunda fila, a la primera

fila le multiplicamos por 2 y luego le restamos la segunda fila:

2 0 1 1 1

0 6 1 3 5

0 0 25 3 41

0 0 5 27 91

A la primera fila le multiplicamos por 25 y luego le restamos la tercera fila, a la

segunda fila le multiplicamos por 25 y luego le restamos la tercera fila, a la cuarta

fila le multiplicamos por 5 y luego le sumamos la tercera fila:

25 0 0 11 8

0 25 0 13 14

0 0 25 3 41

0 0 0 1 3

A la primera fila le restamos 25 veces la cuarta fila y luego dividimos toda la fila

para -25, a la segunda fila le sumamos 13 veces la cuarta fila y luego dividimos toda

la fila para 25, a la tercera fila le restamos 3 veces la cuarta fila y luego dividimos

toda la fila para 25:

4125

5325

3225

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1 3

Por lo tanto Rang(A) = Rang(A|B) = 4 y la solución está dada por el vector siguiente: T

41 53 323

25 25 25

X .

EJEMPLO 4.2.5

Resuelva el sistema

a.- 3 2 0

2 3 0

x y z

x y z

; b.-

2 3 5 2

3 2 4 1

4 2 3 3

x y z

x y z

x y z

; c.-

3 1

2 2 3

4 2 4 6

x y z

x y z

x y z

.

SOLUCION

a.- Este sistema se puede resolver fácilmente sin matrices, pero queremos ilustrar el

método matricial.

PASO 1. Reducir A. Procedemos como sigue: Sumar 2 veces la fila 1 a la fila 2


JOE GARCIA ARCOS

156

1 3 2

0 5 1

multiplicar la fila 2 por -1/5

1 3 2

10 5

5

sumar 3 veces la fila 2 a la fila 1

R

71 0

5

10 1

5

A .

PASO 2. Identificar las incógnitas dependientes e independientes. La entrada

principal de la fila 1 está en la columna 1, así que x es dependiente; análogamente, y

es dependiente. Finalmente, z es independiente.

PASO 3. Escribimos las incógnitas dependientes en términos de las independientes.

De la fila 1 de AR, x + 7z/5 = 0, así que x = - 7z/5. De la fila 2, y - z/5 = 0, así que y =

z/5. En estas ecuaciones z es arbitraria.

PASO 4. Por conveniencia, sea x = - 7t/5, y = t/5. En forma matricial, la solución es

7

5 5

Tt t

t

X .

Esta expresión se llama solución general del sistema porque obtenemos todas las

soluciones dando a t diferentes valores.

b.- Primero: resolvemos el sistema no homogéneo de ecuaciones lineales AX = B.

Construimos la matriz aumentada del sistema:

2 3 5 2

3 2 4 1

4 2 3 3

A la segunda fila le multiplicamos por 2 y luego le restamos 3 veces la primera fila, a

la tercera fila le restamos 2 veces la primera fila:

2 3 5 2

0 13 7 4

0 8 13 1

A la primera fila le multiplicamos por 13 y luego le sumamos 3 veces la segunda fila,

a la tercera fila le multiplicamos por 13 y luego le restamos 8 veces la segunda fila:

13 0 43 7

0 13 7 4

0 0 5 1

A la primera fila le multiplicamos por 5 y luego le restamos 43 veces la tercera fila y

a continuación dividimos toda la fila para 65, a la segunda fila le multiplicamos por 5

y luego le sumamos 7 veces la tercera fila y después dividimos toda la fila para -65:

865

15

15

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Por lo tanto, la solución está dada por el vector siguiente:

1

8 1 1

65 5 5

T

X .

Segundo: resolvemos el sistema homogéneo de ecuaciones lineales AX = O:


JOE GARCIA ARCOS

157

2 3 5

3 2 4

4 2 3

2 3 5

0 13 7

0 8 13

13 0 43

0 13 7

0 0 5

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Por lo tanto, la solución está dada por el vector siguiente: 2 0 0 0X .

La solución al sistema esta dada por X1 + X2, es decir: 8 865 65

1 15 5

1 15 5

0

0

0

X .

Por lo tanto queda comprobado que el sistema tiene una única solución.

c.- Encontramos la solución del sistema AX = B:

1 3 1 1

2 1 2 3

4 2 4 6

1 3 1 1

0 7 4 1

0 14 8 2

7 0 5 10

0 7 4 1

0 0 0 0

De aquí que la solución general del sistema AX = B es

T1

( ) 10 5 1 4 77

t t t t X .

Si asignamos cualquier valor a t, digamos t = 1, obtenemos una solución particular:

T1

(1) 15 5 77

X .

A continuación encontramos la solución general del sistema AX = O:

1 3 1 0

2 1 2 0

4 2 4 0

1 3 1 0

0 7 4 0

0 14 8 0

7 0 5 0

0 7 4 0

0 0 0 0

De aquí que la solución general del sistema AX = O es

T1

( ) 5 4 77

t t t tX .

Si asignamos cualquier valor a t, digamos t = 7, obtenemos una solución particular:

T

(7) 5 4 7X .

Por lo tanto la matriz X = X(7) + X(1) es solución del sistema AX = B, es decir

T1

50 33 567

X .

EJEMPLO 4.2.6

Utilizando el método de Gauss-Jordan, solucionar los siguientes sistemas de

ecuaciones lineales:

a.-

3 1

2 2 1

3

2 3 1

x y z

x y z

x y z

x y z

; b.-

2 2

3 5

5 7

2 3 3 14

x y z

x y z

x y z

x y z

; c.-

2 3 3

3 5 0

4 3

3 13 6

x y z

x y z

x y z

x y z

.

SOLUCION

a.- A la segunda fila le restamos 2 veces la primera fila, a la tercera fila le restamos

la primera fila, a la cuarta fila le restamos la primera fila:

1 1 3 1

0 1 4 3

0 0 1 4

0 1 0 2


JOE GARCIA ARCOS

158

a la primera fila le sumamos la segunda fila:

1 0 1 2

0 1 4 3

0 0 1 1

0 1 0 2

a la primera fila le restamos la tercera fila, a la segunda fila le restamos la tercera

fila:

1 0 0 1

0 1 0 1

0 0 1 1

0 1 0 2

a la cuarta fila le restamos la segunda fila:

1 0 0 1

0 1 0 1

0 0 1 1

0 0 0 1

por la cuarta fila, tenemos que el sistema de ecuaciones no tiene solución.

b.- Multiplicamos la segunda fila por 2 y luego le restamos la primera fila,

multiplicamos la tercera fila por 2 y luego le restamos la primera fila, a la cuarta fila

le restamos la primera fila:

2 1 1 2

0 5 1 8

0 1 9 16

0 1 2 6

a la primera fila le multiplicamos por 5 y luego le restamos la segunda fila,

multiplicamos la tercera fila por 5 y luego le restamos la segunda fila,

multiplicamos la cuarta fila por 5 y luego le restamos la segunda fila:

5 0 2 1

0 5 1 8

0 0 1 2

0 0 1 2

a la primera fila le restamos 2 veces la tercera fila, a la segunda fila le restamos la

tercera fila y a la cuarta fila le sumamos la tercera fila:

1 0 0 1

0 1 0 2

0 0 1 2

0 0 0 0

el sistema tiene solución única, por lo tanto la solución general es: T(1 2 2) X .

c.- Multiplicamos la segunda fila por 2 y luego le restamos 3 veces la primera fila, a

la tercera fila le restamos 2 veces la primera fila, a la cuarta fila le multiplicamos por

2 y luego le restamos la primera fila:

2 1 3 3

0 5 19 9

0 1 5 3

0 7 29 15


JOE GARCIA ARCOS

159

a la primera fila le multiplicamos por 5 y luego le sumamos la segunda fila, a la

tercera fila le multiplicamos por 5 y luego le restamos la segunda fila, a la cuarta

fila le multiplicamos por 5 y luego le restamos 7 veces la segunda fila:

5 0 2 3

0 5 19 9

0 0 1 1

0 0 1 1

a la primera fila le sumamos 2 veces la tercera fila, a la segunda fila le sumamos

19 veces la tercera fila y a la cuarta fila le restamos la tercera fila:

1 0 0 1

0 1 0 2

0 0 1 1

0 0 0 0

el sistema tiene solución única, por lo tanto la solución general es: T(1 2 1)X .

EJEMPLO 4.2.7



a.-

3 0

2 0

4 2 6 3 4 0

2 4 2 4 7 0

x y u w

x y z u

x y z u w

x y z u w

; b.-

7

3 2 3 2

2 2 6 23

5 4 3 3 12

x y z u w

x y z u w

y z u w

x y z u w

.

SOLUCION a.- A la segunda fila le restamos la primera fila, a la tercera fila le restamos 4 veces

la primera fila y a la cuarta fila le restamos 2 veces la primera fila:

1 1 0 3 1 0

0 2 2 2 1 0

0 2 2 5 0 0

0 2 2 10 5 0

multiplicamos la primera fila por 2 y luego le restamos la segunda fila, a la tercera

fila le restamos la segunda fila y a la cuarta fila le sumamos la segunda fila:

2 0 2 4 1 0

0 2 2 2 1 0

0 0 0 3 1 0

0 0 0 3 1 0

multiplicamos la primera fila por 3 y luego le sumamos 4 veces la tercera fila,

multiplicamos la segunda fila por 3 y luego le restamos 2 veces la tercera fila y a

la cuarta fila le restamos la tercera fila:

6 0 6 0 7 0

0 6 6 0 5 0

0 0 0 3 1 0

0 0 0 0 0 0

en esta matriz podemos observar que el sistema de ecuaciones lineales tiene un

número indeterminado de soluciones y éstas se dan de la siguiente manera:


JOE GARCIA ARCOS

160

T7 5

6 6 3

t t tr r r t

X .

b.- A la segunda fila le restamos 3 veces la primera fila y a la cuarta fila le restamos

5 veces la primera fila:

1 1 1 1 1 7

0 1 2 2 6 23

0 1 2 2 6 23

0 1 2 2 6 23

a la primera fila le restamos la segunda fila, a la tercera fila le sumamos la

segunda fila y a la cuarta fila le restamos la segunda fila:

1 0 1 1 5 16

0 1 2 2 6 23

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

en esta matriz podemos observar que el sistema de ecuaciones lineales tiene un

número indeterminado de soluciones y éstas se dan de la siguiente manera:

T

16 23 2 2 6t r s t r s t r s X .

EJEMPLO 4.2.8



a.-

4 6 4 0

4 6 4 0

4 4 6 0

6 4 4 0

4 6 4 0

x y z u w

x y z u w

x y z u w

x y z u w

x y z u w

; b.-

2 2

2 0

3 3

4 2

5 5

x y z u w

x y z u w

x y z u w

x y z u w

x y z u w

.

SOLUCION a.- A la segunda fila le restamos la primera fila, a la tercera fila le restamos 4 veces

la primera fila, a la cuarta fila le restamos 6 veces la primera fila y a la quinta fila le

restamos 4 veces la primera fila:

1 4 6 4 1 0

0 3 2 2 3 0

0 15 23 12 2 0

0 20 35 23 2 0

0 10 20 15 3 0

a la primera fila le multiplicamos por 3 y luego le restamos 4 veces la segunda fila, a

la tercera fila le restamos 5 veces la segunda fila, a la cuarta fila le multiplicamos por

3 y luego le restamos 20 veces la segunda fila, a la quinta fila le multiplicamos por 3

y luego le restamos 10 veces la segunda fila:

3 0 10 20 15 0

0 3 2 2 3 0

0 0 13 22 13 0

0 0 65 109 66 0

0 0 40 65 39 0

a la primera fila le multiplicamos por 13 y luego le sumamos 10 veces la tercera fila,

a la segunda fila le multiplicamos por 13 y luego le restamos 2 veces la tercera fila, a

la cuarta fila le restamos 5 veces la tercera fila, a la quinta fila le multiplicamos por


JOE GARCIA ARCOS

161

13 y luego le restamos 40 veces la tercera fila:

39 0 0 40 65 0

0 39 0 70 65 0

0 0 13 22 13 0

0 0 0 1 1 0

0 0 0 35 13 0

a la primera fila le restamos 40 veces la cuarta fila, a la segunda fila le restamos 70

veces la cuarta fila, a la tercera fila le sumamos 22 veces la cuarta fila, a la quinta fila

le restamos 35 veces la cuarta fila:

39 0 0 0 105 0

0 39 0 0 135 0

0 0 13 0 35 0

0 0 0 1 1 0

0 0 0 0 1 0

a la primera fila le restamos 105 veces la quinta fila, a la segunda fila le restamos 13

veces la quinta fila, a la tercera fila le sumamos 35 veces la quinta fila, a la cuarta fila

le sumamos la quinta fila:

39 0 0 0 0 0

0 39 0 0 0 0

0 0 13 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

en esta matriz podemos observar que el sistema de ecuaciones lineales tiene

solución única y ésta se expresa de la siguiente manera:

x = y = z = u = w = 0.

b.- A la segunda fila le multiplicamos por 2 y luego le restamos la primera fila, a la

tercera fila le multiplicamos por 2 y luego le restamos la primera fila, a la cuarta fila

le multiplicamos por 2 y luego le restamos la primera fila, a la quinta fila le

multiplicamos por 2 y luego le restamos la primera fila:

2 1 1 1 1 2

0 3 1 1 1 2

0 1 5 1 1 4

0 1 1 7 1 6

0 1 1 1 9 8

a la tercera fila le multiplicamos por 3 y luego le restamos la segunda fila, a la cuarta

fila le multiplicamos por 3 y luego le restamos la segunda fila, a la quinta fila le

multiplicamos por 3 y luego le restamos la segunda fila:

3 0 1 1 1 4

0 3 1 1 1 2

0 0 7 1 1 7

0 0 1 10 1 8

0 0 1 1 13 13

a la primera fila le multiplicamos por 7 y luego le restamos la tercera fila, a la

segunda fila le multiplicamos por 7 y luego le restamos la tercera fila, a la cuarta fila

le multiplicamos por 7 y luego le restamos la tercera fila, a la quinta fila le

multiplicamos por 7 y luego le restamos la tercera fila:


JOE GARCIA ARCOS

162

7 0 0 2 2 7

0 7 0 2 2 7

0 0 7 1 1 7

0 0 0 23 2 21

0 0 0 1 15 14

a la primera fila le multiplicamos por 23 y luego le restamos 2 veces la cuarta fila, a

la segunda fila le multiplicamos por 23 y luego le restamos 2 veces la cuarta fila, a la

tercera fila le multiplicamos por 23 y luego le restamos la cuarta fila, a la quinta fila

le multiplicamos por 23 y luego le restamos la cuarta fila:

161 0 0 0 42 203

0 161 0 0 42 119

0 0 161 0 21 182

0 0 0 23 2 21

0 0 0 0 1 1

a la primera fila le restamos 42 veces la quinta fila, a la segunda fila le restamos 42

veces la quinta fila, a la tercera fila le restamos 21 veces la quinta fila, a la cuarta fila

le restamos 2 veces la quinta fila:

161 0 0 0 0 161

0 161 0 0 0 161

0 0 161 0 0 161

0 0 0 23 0 23

0 0 0 0 1 1

en esta matriz podemos observar que el sistema de ecuaciones lineales tiene

solución única y ésta se expresa de la siguiente manera:

x = 1, y = -1, z = 1, u = -1, w =1.

EJEMPLO 4.2.9

¿Cuál es la condición para que tres rectas

1 1 1

2 2 2

3 3 3

0

0

0

a x b y c

a x b y c

a x b y c

pasen por un punto?

SOLUCION

Las tres rectas forman un sistema de ecuaciones lineales no homogéneo

1 1 1

2 2 2

3 3 3

0

0

0

a x b y c

a x b y c

a x b y c

y, para que estas tres rectas pasen por un punto, el determinante formado por los

coeficientes del sistema y términos independientes debe ser igual a cero, es decir:

1 1 1

2 2 2

3 3 3

0

a b c

a b c

a b c

.

III. METODO DE CRAMER

La definición de un determinante de n x n es sugerida por sistemas de n ecuaciones

en incógnitas y en el presente método se deducirá la regla de Cramer, que expresa

las soluciones como cocientes de determinantes.


JOE GARCIA ARCOS

163

Para el trabajo numérico, son preferibles otras fórmulas, pero la regla de Cramer

tiene un interés práctico. Aunque para la resolución numérica es el método de

reducción más rápido, sobre todo si los coeficientes son números decimales, tiene

gran importancia la resolución por medio de determinantes, pues permite hacer a

discusión completa de los sistemas de ecuaciones lineales.

El valor de cada incógnita se obtiene dividiendo por el determinante del sistema, el

determinante formado sustituyendo por los términos independientes que están en los

segundos miembros, la columna que forman los coeficientes de dicha incógnita.

TEOREMA 4.2.15

Sea A una matriz no singular de n x n. Entonces la única solución del

sistema no homogéneo AX = B está dada por

xk =kBDet( )

Det( )kx

A

A para k = 1, 2, ..., n,

donde AkB es la matriz de orden n x n que se obtiene reemplazando la

columna k de A con B.

DEMOSTRACION

Si Det(A) 0, entonces la matriz A es no singular y, por lo tanto X = A-1

B es la

solución única de AX = B. Por consiguiente se tiene

X = A-1

B

1= Adj( )

Det( ) A B

A

11 21 1 1

12 22 2 2

1 2

Det( ) Det( ) Det( )

Det( ) Det( ) Det( )1=

Det( )

Det( ) Det( ) Det( )

n

n

n n nn n

b

b

b

A A A

A A A

A

A A A

1 11 2 21 1

1 12 2 22 2

1 1 2 2

Det( ) + Det( ) + + Det( )

Det( ) + Det( ) + + Det( )1=

Det( )

Det( ) + Det( ) + + Det( )

n n

n n

n n n nn

b b b

b b b

b b b

A A A

A A A

A

A A A

.

Por tanto, el elemento de la j-ésima fila de X es

1 1 2 2Det( ) + Det( ) + + Det( )( ) =

Det( )

j j n njb b bx j

A A A

A.

Ahora, sea

11 12 1 1 1 1 1 1

21 22 2 1 2 2 1 2

1 2 1 1

j j n

j j n

j

n n nj n nj nn

a a a b a a

a a a b a a

a a a b a a

A ,

Dado que Aj difiere de A únicamente en la j-ésima columna, los cofactores de los

elementos b1, b2, ..., bn de Aj son iguales a los cofactores de los elementos

correspondientes que están en la j-ésima columna de A. Como consecuencia, el

desarrollo por cofactores de Det(Aj) a lo largo de la j-ésima columna es

Det(Aj) = b1Det(A1j) + b2Det(A2j) + ... + bnDet(Anj).

Al sustituir este resultado en (1) se obtiene Det( )

Det( )

j

jx A

A.

Para resolver un sistema de n ecuaciones en n incógnitas por la regla de Cramer, se

necesita evaluar n + 1 determinantes de n x n. Desde el punto de vista del cálculo,

para sistemas con más de tres ecuaciones, la eliminación gaussiana resulta superior,


JOE GARCIA ARCOS

164

puesto que sólo se ha de reducir una matriz aumentada (A | B) de n x n + 1. Sin

embargo, la regla de Cramer da una fórmula para la solución.

Debemos mencionar que es posible, aunque no muy práctico, aplicar la regla de

Cramer a sistemas de m ecuaciones lineales en n incógnitas. Si la matriz de los

coeficientes A y la matriz aumentada (A | B) tienen el mismo rango k, se sabe que

pueden asignárseles valores arbitrarios a n – k incógnitas apropiadas, llamémoslas

xk+1, xk+2, ..., xn, tales que la submatriz de los coeficientes de las otras incógnitas x1, x2,

..., xk tenga rango k.

Esto implica que A y (A | B) tienen k vectores filas linealmente independientes,

digamos los primeros k vectores fila, y si k < m, entonces cualquiera de los otros

vectores fila es una combinación lineal de aquellos. Se deduce que las m – k

ecuaciones correspondientes pueden reducirse a la forma 0 = 0 mediante operaciones

elementales. De esto se ve que pueden omitirse esas m – k ecuaciones del sistema.

Ahora puede escribirse el sistema reducido en la forma

11 1 12 2 1 1 1 1 1 1

21 1 22 2 2 2 2 1 1 2

1 1 2 2 1 1

( )

( )

( )

k k k k n n

k k k k n n

k k kk k k k k k k n n

a x a x a x b a x a x



donde, si k = n, las expresiones de la derecha son b1, b2, ..., bk y resolverlo para x1,

x2, ..., xk mediante la regla de Cramer.

% RESOLUCION DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

clc;clear;

fprintf('\n METODO DE CRAMER \n')

fil=input('Ingrese el numero de incognitas: ');


fprintf('Ingrese los coeficientes del sistema de ecuaciones\n')

for f=1:fil

for c=1:fil

fprintf('Ingrese el elemento A:(%d,%d)',f,c)

A(f,c)=input(' :');

end

end

fprintf('\n Ingrese los terminos independientes\n')

%for f=1:fil

for c=1:fil

fprintf('Ingrese el elemento B:(%d,%d)',f,c)

B(c,1)=input(' :');

end

%end

N=A(:,:);

A

for c=1:fil

N(:,c)=B(:,1)

DetN=det(N)

DetA=det(A)

fprintf('\n La incognita (%d) es igual X : ', c)

X=det(N)/det(A);

X

N=A(:,:);

end

end

if DetA==0


end

end

% RESOLUCION DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES


JOE GARCIA ARCOS

165

clc;clear;

fprintf('\n METODO DE CRAMER GENERALIZADO \n')

fil=input('Ingrese el numero de incognitas: ');


fprintf('Ingrese los coeficientes del sistema de ecuaciones\n')

for f=1:fil

for c=1:fil

fprintf('Ingrese el elemento A:(%d,%d)',f,c)

A(f,c)=input(' :');

end

end

fprintf('\n Ingrese los terminos independientes\n')

%for f=1:fil

for c=1:fil

fprintf('Ingrese el elemento B:(%d,%d)',f,c)

B(c,1)=input(' :');

end

end

fprintf('LA MATRIZ A ES :\n')

A

end

DetA=det(A)

end

fprintf('LA MATRIZ B ES:\n')

B

fprintf('LA INVERSA DE A ES:\n')

C=inv(A)

fprintf('EL VECTOR SOLUCION X ES:\n')

X=inv(A)*B;

X

end

end

if DetA==0


end

end

EJEMPLO 4.2.10

Resolver el sistema

a.-

3 4 1

3 14

3 5

x y z

x y z

y z

; b.-

2

3 2

4 3

( 1) 3

( 1) 3

( 1) 3

a x y z a a

x a y z a a

x y a z a a

.

SOLUCION

a.- La matriz de coeficientes es

1 3 4

1 1 3

0 1 3

A .

Encontramos que Det(A) = 13. Por la regla de Cramer,

1 3 41 117

Det 14 1 3 913 13

5 1 3

x

,

1 1 41 10

Det 1 14 313 13

0 5 3

y

,

1 3 11 25

Det 1 1 1413 13

0 1 5

z

.

b.- La matriz de coeficientes es


JOE GARCIA ARCOS

166

1 1 1

1 1 1

1 1 1

a

a

a

A

Encontramos que Det(A) = a3 + 3a

2. Por la regla de Cramer,

2

2 3 53 2 2

3 2 3 2

4 3

3 1 11 3 2

3 1 1 23 3

3 1 1

a aa a a

x a a a aa a a a

a a a

,

2

4 3 23 2

3 2 3 2

4 3

1 3 11 2 5 3

1 3 1 2 13 3

1 3 1

a a aa a a

y a a aa a a a

a a a

,

2

6 5 4 3 23 2 3 2

3 2 3 2

4 3

1 1 31 5 5 4 3

1 1 3 2 13 3

1 1 3

a a aa a a a a

z a a a a a aa a a a

a a

EJEMPLO 4.2.11

Utilizando el método de Cramer, solucionar los siguientes sistemas de ecuaciones

lineales:

a.-

2 3 4 5 13

2 2 3 4 10

2 2 2 3 11

2 2 2 2 6

2 2 2 2 3

x y z u w

x y z u w

x y z u w

x y z u w

x y z u w

; b.-

2 3 4 1

2 3 4 2 8

3 2 3

4 3 4 2 2 2

2 3 3

x y z u w

x y z u w

x y z u w

x y z u w

x y z u w

.

SOLUCION

a.- Calculamos los determinantes correspondientes:

13 2 3 4 5

10 1 2 3 4

011 2 1 2 3

6 2 2 1 2

3 2 2 2 1

x ,

1 13 3 4 5

2 10 2 3 4

622 11 1 2 3

2 6 2 1 2

2 3 2 2 1

y ,

1 2 13 4 5

2 1 10 3 4

622 2 11 2 3

2 2 6 1 2

2 2 3 2 1

z ,

1 2 3 13 5

2 1 2 10 4

02 2 1 11 3

2 2 2 6 2

2 2 2 3 1

u ,

1 2 3 4 13

2 1 2 3 10

932 2 1 2 11

2 2 2 1 6

2 2 2 2 3

w ,

1 2 3 4 5

2 1 2 3 4

312 2 1 2 3

2 2 2 1 2

2 2 2 2 1

.

A continuación reemplazamos en cada una de las variables, y obtenemos la solución

general:

00

31

xx

, 62

231

yy

,

621

31

zz

, 0

031

uu

,


JOE GARCIA ARCOS

167

933

31

ww

.

b.- Calculamos los determinantes correspondientes:

1 2 3 4 1

8 1 3 4 2

963 1 1 2 1

2 3 4 2 2

3 1 1 2 3

x

,

1 1 3 4 1

2 8 3 4 2

03 3 1 2 1

4 2 4 2 2

1 3 1 2 3

y

,

1 2 1 4 1

2 1 8 4 2

963 1 3 2 1

4 3 2 2 2

1 1 3 2 3

z

,

1 2 3 1 1

2 1 3 8 2

963 1 1 3 1

4 3 4 2 2

1 1 1 3 3

u

,

1 2 3 4 1

2 1 3 4 8

483 1 1 2 3

4 3 4 2 2

1 1 1 2 3

w

,

1 2 3 4 1

2 1 3 4 2

483 1 1 2 1

4 3 4 2 2

1 1 1 2 3

.

A continuación reemplazamos en cada una de las variables, y obtenemos la solución

general:

962

48

xx

, 0

048

yy

,

962

48

zz

, 96

248

uu

,

481

48

ww

.

EJEMPLO 4.2.12

Analizar según los parámetros dados y solucionar los siguientes sistemas de


a.-

(5 1) 2 (4 1) 1

(4 1) ( 1) (4 1) 1

2(3 1) 2 (5 2) 2

a x ay a z a

a x a y a z

a x ay a z a

; b.-

( 1)

( 1)

( 1) (2 3) 1

ax ay a z a

ax ay a z a

a x ay a z

.

SOLUCION

a.- El primer paso es calcular el determinante de la matriz de coeficientes del

sistema:

3

5 1 2 4 1

4 1 1 4 1

2(3 1) 2 5 2

a a a

a a a a a

a a a

Para que el sistema de ecuaciones lineales tenga solución única, el determinante de la

matriz de coeficientes debe ser diferente de cero:

a3 – a 0 a(a

2 – 1) 0 a(a – 1)(a + 1) 0

0

1

1

a

a

a

por lo tanto a \ {-1, 0, 1}. Cuando a = -1:

2 2 2 2

1 1 1 1

a c c d

a c c d

1 1 3 1

0 0 2 2

1 1 4 1


JOE GARCIA ARCOS

168

podemos observar que el Rang(A) = 2 y el Rang(A B) = 3. Por lo tanto, si a = -1, el

sistema es inconsistente.

Cuando a = 0:

1 0 1 1

1 1 1 1

2 0 2 2

1 1 3 1

0 0 2 2

0 0 1 0

podemos observar que el Rang(A) = 2 y el Rang(A B) = 2. Por lo tanto, si a = 0, el

sistema es indeterminado.

Cuando a = 1:

6 2 5 2

3 0 3 1

8 2 7 1

6 2 5 2

0 2 1 4

0 2 1 5

3 2

2( 1) 3

4 1 1 2 1 6 11 6

5 4 1 3 4

a a

a a a a a a

a a a

podemos observar que el Rang(A) = 2 y el Rang(A B) = 3. Por lo tanto, si a = 1, el

sistema es inconsistente.

Para solucionar el sistema de ecuaciones lineales, debemos encontrar la inversa de la

matriz de coeficientes y luego multiplicamos el sistema AX = B a la izquierda por

A-1

, para obtener el vector solución X = A-1

B:

22 2

2

2

2

2 2 2

2

5 73 2 4 12

1( 1) ( 1)1

1 1 4 4 1 8 71 1

1 1 1 12

2 2 2 3 2 1 5 2 12

( 1) ( 1) 1

a aa a a a

aa a a aa

a a a a

a a a aa

a a a a a a

a a a a a

X .

b.- El primer paso es calcular el determinante de la matriz de coeficientes del

sistema:

1

1 2

1 2 3

a a a

a a a a

a a a


matriz de coeficientes debe ser diferente de cero: - 2a 0 a 0 por lo tanto

a \ {0}.

Cuando a = 0:

0 0 1 0

0 0 1 0

1 0 3 1

0 0 1 0

0 0 0 0

1 0 3 1

podemos observar que el Rang(A) = 2 y el Rang(A B) = 2. Por lo tanto, cuando

a = 0, el sistema es indeterminado.



A-1


B:

2 2

4 21

2 21

3 1 11

2 21 0

1 10

2 2

a a

a aa a a a

a aa a

X .


JOE GARCIA ARCOS

169

EJEMPLO 4.2.13



a.-

(2 1) ( 2) 1

( 1) ( 3) 1

(3 2) (3 1) 2

ax a y a z

a y a z a

ax a y a z a

;

b.-

2( 1) 3 4

(4 1) ( 1) (2 1) 2 2

(5 4) ( 1) (3 4) 1

a x y az a

a x a y a z a

a x a y a z a

.

SOLUCION


sistema:

3 2

2 1 2

0 1 3 2

3 2 3 1

a a a

a a a a a

a a a



a3 + a

2 – 2a 0 a(a

2 + a – 2) 0 a(a – 1)(a + 2) 0

0

1

2

a

a

a

por lo tanto a \ {-2, 0, 1}. Cuando a = -2:

2 5 0 0

0 3 5 1

2 8 5 4

2 5 0 0

0 3 5 1

0 3 5 4

2 5 0 0

0 3 5 1

0 0 0 5


a = -2, el sistema es inconsistente. Cuando a = 0:

2 2 2 2

1 1 1 1

a c c d

a c c d

0 1 2 1

0 0 5 0

0 0 3 0

0 1 2 1

0 0 5 0

0 0 0 0


a = 0, el sistema es indeterminado. Cuando a = 1:

1 1 3 1

0 0 2 2

1 1 4 1

1 1 3 1

0 0 2 2

0 0 1 0

1 1 3 1

0 0 2 2

0 0 0 2


a = 1, el sistema es inconsistente. Para solucionar el sistema de ecuaciones lineales,

debemos encontrar la inversa de la matriz de coeficientes y luego multiplicamos el

sistema AX = B a la izquierda por A-1


B:

22 2

2

4 12 109 7 3 5 3 8 5

(1 )( 2)( 1)( 2) (1 )( 2) ( 1)( 2)1

3 2 1 3 3 3 21

( 1)( 2) ( 1)( 2) (1 )( 2) (1 )( 2)2

1 1 1 2

2 2 2 2

a aa a a a a

a aa a a a a a a a a

a a a a aa

a a a a a a a aa

a

a a a a

X

.


sistema:


JOE GARCIA ARCOS

170

3 2

2( 1) 3

4 1 1 2 1 6 11 6

5 4 1 3 4

a a

a a a a a a

a a a



a3 - 6a

2 + 11a - 6 0 (a – 1)(a – 2)(a - 3) 0

1

2

3

a

a

a

por lo tanto a \ {1, 2, 3}.

Cuando a = 1:

4 3 1 5

3 2 1 4

1 2 1 0

4 3 1 5

0 1 1 1

0 5 5 5

4 3 1 5

0 1 1 1

0 0 0 0


a = 1, el sistema es indeterminado.

Cuando a = 2:

6 3 2 6

7 3 3 6

6 3 2 1

6 3 2 6

0 3 4 6

0 0 0 5


a = 2, el sistema es inconsistente.

Cuando a = 3:

8 3 3 7

11 4 5 8

11 4 5 2

8 3 3 7

0 1 12 13

0 1 12 61

8 3 3 7

0 1 12 13

0 0 0 48


a = 3, el sistema es inconsistente. Para solucionar el sistema de ecuaciones lineales,




B:

2 2

2

1 6 5 3 2 4 15

( 1)( 2) ( 1)( 3) (1 )( 2)( 3) ( 2)(4

2 4 3 22 2

(1 )( 2) ( 1)( 3) (1 )( 2)( 3)1

1 2 7 2 8 5

(1 )( 2) (1 )( 3) ( 1)( 2)( 3)

a a a a a a

a a a a a a a aa

a a aa

a a a a a a aa

a a a a

a a a a a a a

X

2

3)

18

( 2)( 3)

3 3 21

(2 )( 3)

a

a

a a

a a

a a

EJEMPLO 4.2.14



a.-

2 3

2 3

2 3

x ay a z a

x by b z b

x cy c z c

; b.-

2 2 2 2

1x y z

ax by cz d

a x b y c z d

.

SOLUCION


sistema:


JOE GARCIA ARCOS

171

2

2

2

1

1 ( )( )( )

1

a a

b b a b a c c b

c c



(a – b)(a – c)(c - b) 0

b a

c a

b c

a b c

Cuando a = b: 2 3

2 3

2 3

1

1

1

b b b

b b b

c c c

2 31

0 0 0 0

1 0 ( )

b b b

bc bc b c


a = b, el sistema es indeterminado.

Cuando a = c:

2 3

2 3

2 3

1

1

1

c c c

b b b

c c c

2 31

1 0 ( )

0 0 0 0

c c c

bc bc b c


a = c, el sistema es indeterminado.

Cuando b = c: 2 3

2 3

2 3

1

1

1

a a a

c c c

c c c

2 3

1 0 ( )

1

0 0 0 0

ac ac a c

c c c


b = c, el sistema es indeterminado.



A-1


B:

3

3

3

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

1 1 1

( )( ) ( )( ) ( )( )

bc ac ab

a b a c a b c b a c b c a abcb c a c a b

b ab ac bca b c a a b b c a c c b

a b cc

a b a c a b c b a c b c

X .


sistema:

2 2 2

1 1 1

( )( )( )a b c a b a c c b

a b c




JOE GARCIA ARCOS

172

(a – b)(a – c)(c - b) 0

b a

c a

b c

a b c.

Cuando a = b:

2 2 2 2

1 1 1 1

b b c d

b b c d

2 2 2 2

1 1 1 1

0 0

0 0

b c b d

b c b d

1 1 1 1

0 0

0 0 0 ( )( )

b c b d

c d b d


a = b, el sistema es inconsistente.

Cuando a = c:

2 2 2 2

1 1 1 1

c b c d

c b c d

2 2 2 2

1 1 1 1

0 0

0 0

c b c d

c b c d

1 1 1 1

0 0

0 0 0 ( )( )

c b c d

b d c d


a = c, el sistema es inconsistente.

Cuando b = c:

2 2 2 2

1 1 1 1

a c c d

a c c d

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1

0

0

a c a c a d

a c a c a d

1 1 1 1

0

0 0 0 ( )( )

a c a c a d

c d a d


b = c, el sistema es inconsistente. Para solucionar el sistema de ecuaciones lineales,




B:

2

1 ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1

1 ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

1 ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )(

bc b c b d c d

a b a c a b c a a b a c a b a c

ac a c a d d cd

a b c b a b b c a b c b a b b cd

ab a b a d b d

a c b c a c c b a c b c a c b

X

)c

.

IV. METODO DE CHOLESKY

Si una matriz A de n x n y todas sus submatrices cuadradas principales son no

singulares, entonces A = LU donde L y U son las matrices triangulares inferior y

superior respectivamente. L y U son esencialmente únicas y se especifican los

elementos diagonales de L o bien, de U, son únicas. El punto es que pueden

obtenerse L y U sin resolver ecuaciones simultáneas. Para resolver un sistema AX =

B de n ecuaciones en n incógnitas, ahora puede introducirse A = LU, teniendo LUX

= B, y premultiplicando por L-1

. Esto da UX = C donde C = L-1

B, y se ve que ésta es

la forma triangular del sistema. Primero se determina C a partir de LC = B y, a

continuación, se resuelve UX = C para X.

Los métodos numéricos se usan principalmente en aquellos problemas para los que

se sabe que la convergencia es rápida, de modo que se obtiene la solución con mucho

menos trabajo que con un método directo, y para sistemas de orden grande pero con


JOE GARCIA ARCOS

173

muchos coeficientes cero, para los cuales los métodos de eliminación serían

relativamente laboriosos y necesitarían mucha memoria en un computador. Los

métodos de cálculo numérico tienen un gran interés en ciertas aplicaciones de las

Matemáticas a la resolución de problemas en variadas áreas de la ingeniería, y entre

aquellos métodos destacan los que hacen referencia a la resolución de sistemas de

ecuaciones lineales.

EJEMPLO 4.2.15

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales

2 3 14

2 3 4 20

3 4 14

x y z

x y z

x y z

.

SOLUCION

La matriz A de coeficientes del sistema es simétrica. Esto implica que L = UT y

pueden determinarse los elementos de U a partir de

11 11 12 13

12 22 22 23

13 23 33 33

1 2 3 0 0

2 3 4 0 0

3 4 1 0 0

a a a a

a a a a

a a a a

multiplicando e igualando los elementos correspondientes. Sucesivamente se obtiene

211 11 12 11 13

2 211 12 12 22 12 13 22 23

2 2 211 13 12 13 22 23 13 23 33

1 2 3

2 3 4

3 4 1

a a a a a

a a a a a a a a

a a a a a a a a a

211 11 12 11 13

2 211 12 12 22 12 13 22 23

2 2 211 13 12 13 22 23 13 23 33

1, 2, 3

2, 3, 4

3, 4, 1

a a a a a

a a a a a a a a

a a a a a a a a a

11 12

13 22

23 33

1, 2

3,

2 , 2

a a

a a i

a i a i

.

De aquí que LC = B tiene la forma

1

2

3

1 0 0 14

2 0 20

3 2 2 14

c

i c

i i c

1

2

3

14

8

6

c

c i

c i

Ahora se resuelve

1

2

3

1 2 3 14

0 2 8

0 0 2 6

x

i i x i

i x i

1

2

3

1

2

3

x

x

x

.

V. METODO DE GAUSS - SEIDEL

Sea AX = B un sistema de ecuaciones lineales dado n ecuaciones. Sean X0, X1, ... la

sucesión iterativa de las aproximaciones sucesivas de Gauss – Seidel,

correspondientes a una aproximación inicial X0. Se dice que el método converge para

un X0, si la sucesión iterativa correspondiente converge a una solución del sistema de

ecuaciones dado.

Sin pérdida de generalidad, puede suponerse aij = 1 para j = 1, 2, ..., n, debido a que

puede lograrse esta forma de A, rearreglando las ecuaciones de modo que no se anule

coeficiente diagonal alguno y, a continuación, dividiendo cada ecuación por el

coeficiente diagonal que corresponda. Entonces puede escribirse A = I + L´ + U´,

donde I es la matriz identidad de n filas y L´ y U´ son, respectivamente, matrices

triangulares inferior y superior con diagonales principales nulas.


JOE GARCIA ARCOS

174

Sustituyendo esta forma de A en AX = B, se tiene (I + L´ + U´)X = B. Se

acostumbra hacer L´ = - L y U´ = -U; entonces (I – L – U)X = B, de donde de hecho,

U es triangular superior y sus elementos (I – L)X = B + UX. De esto se obtiene la

fórmula de Gauss – Seidel

(I – L)Xm+1 = B + UXm m = 0, 1, ... (1)

diferentes de cero corresponden a esas posiciones en las que todavía tienen que

usarse las aproximaciones antiguas porque las nuevas correspondientes todavía no

están disponibles. En contraste, L es triangular inferior y sus elementos diferentes de

cero corresponden a aquellas posiciones en las que los elementos de la nueva

aproximación Xm+1 ya se tienen disponibles. Resolviendo (1) para Xm+1, se tiene

Xm+1 = (I – L)-1

B + CXm (2)

donde C = (I – L)-1

U. La iteración de Gauss – Seidel es un método de correcciones

sucesivas porque se reemplazan las aproximaciones por unas nuevas

correspondientes, tan pronto como éstas se han calculado. Este método recibe el

nombre de método de correcciones simultáneas si no se usa elemento alguno de una

aproximación Xm+1 hasta que se han calculado todos los elementos Xm+1.

EJEMPLO 4.2.16

Utilizando el método de Gauss-Seidel y cuatro cifras significativas, solucionar los

siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

a.-

0.25 0.25 0.50

0.25 0.25 0.50

0.25 0.25 0.25

0.25 0.25 0.25

w x y

w x z

w y z

x y z

; b.-

4.1 0.1 0.2 0.2 21.14

0.3 5.3 0.9 0.1 17.82

0.2 0.3 3.2 0.2 9.02

0.1 0.1 0.2 9.1 17.08

x y z u

x y z u

x y z u

x y z u

.

SOLUCION

a.- Se escribe el sistema en la forma

0.25 0.25 0.50

0.25 0.25 0.50

0.25 0.25 0.25

0.25 0.25 0.25

w x y

x w z

y w z

z x y

(1)

y se usan estas ecuaciones para la iteración; es decir, se parte de una aproximación a

la solución, digamos w0 = 1, x0 = 1, y0 = 1, z0 = 1 y calculamos una aproximación

presumiblemente mejor

1 0 0

1 1 0

1 1 0

1 1 1

0.25 0.25 0.50

0.25 0.25 0.50

0.25 0.25 0.25

0.25 0.25 0.25

w x y

x w z

y w z

z x y

1

1

1

1

0.25 0.25 0.50 1.0000

0.25 0.25 0.50 1.0000

0.25 0.25 0.25 0.7500

0.25 (0.25)(0.7500) 0.25 0.6875

w

x

y

z

(2)

Se ve que estas ecuaciones se obtienen de las (1), sustituyendo a la derecha las

aproximaciones más recientes. En efecto, elementos correspondientes reemplazan a

los previos tan pronto como se han calculado, de modo que en la segunda y tercera

ecuaciones se usa w1 y en la última ecuación de (2) se usa x1 y y1. El siguiente paso

da

2 1 1

2 2 1

2 2 1

2 2 2

0.25 0.25 0.50

0.25 0.25 0.50

0.25 0.25 0.25

0.25 0.25 0.25

w x y

x w z

y w z

z x y

2

2

2

2

0.25 (0.25)(0.75) 0.50 0.9375

(0.25)(0.9375) (0.25)(0.6875) 0.50 0.9062

(0.25)(0.9375) (0.25)(0.6875) 0.25 0.6563

(0.25)(0.9062) (0.25)(0.6562) 0.25 0.6405

w

x

y

z

(3)


JOE GARCIA ARCOS

175

3 2 2

3 3 2

3 3 2

3 3 3

0.25 0.25 0.50

0.25 0.25 0.50

0.25 0.25 0.25

0.25 0.25 0.25

w x y

x w z

y w z

z x y

3

3

3

3

(0.25)(0.9062) (0.25)(0.6563) 0.50 0.8906

(0.25)(0.8906) (0.25)(0.6405) 0.50 0.8827

(0.25)(0.8906) (0.25)(0.6405) 0.25 0.6327

(0.25)(0.8827) (0.25)(0.6327) 0.25 0.6288

w

x

y

z

(4)

4 3 3

4 4 3

4 4 3

4 4 4

0.25 0.25 0.50

0.25 0.25 0.50

0.25 0.25 0.25

0.25 0.25 0.25

w x y

x w z

y w z

z x y

4

4

4

4

(0.25)(0.8827) (0.25)(0.6327) 0.50 0.8788

(0.25)(0.8788) (0.25)(0.6288) 0.50 0.8768

(0.25)(0.8788) (0.25)(0.6288) 0.25 0.6268

(0.25)(0.8788) (0.25)(0.6268) 0.25 0.6263

w

x

y

z

(5)

5 4 4

5 5 4

5 5 4

5 5 5

0.25 0.25 0.50

0.25 0.25 0.50

0.25 0.25 0.25

0.25 0.25 0.25

w x y

x w z

y w z

z x y

5

5

5

5

(0.25)(0.8768) (0.25)(0.6268) 0.50 0.8758

(0.25)(0.8758) (0.25)(0.6263) 0.50 0.8755

(0.25)(0.8758) (0.25)(0.6263) 0.25 0.6255

(0.25)(0.8755) (0.25)(0.6255) 0.25 0.6252

w

x

y

z

(6)

6 5 5

6 6 5

6 6 5

6 6 6

0.25 0.25 0.50

0.25 0.25 0.50

0.25 0.25 0.25

0.25 0.25 0.25

w x y

x w z

y w z

z x y

6

6

6

6

(0.25)(0.8755) (0.25)(0.6255) 0.50 0.8752

(0.25)(0.8752) (0.25)(0.6252) 0.50 0.8751

(0.25)(0.8752) (0.25)(0.6252) 0.25 0.6251

(0.25)(0.8751) (0.25)(0.6251) 0.25 0.6250

w

x

y

z

(7)

7 6 6

7 7 6

7 7 6

7 7 7

0.25 0.25 0.50

0.25 0.25 0.50

0.25 0.25 0.25

0.25 0.25 0.25

w x y

x w z

y w z

z x y

7

7

7

7

(0.25)(0.8751) (0.25)(0.6251) 0.50 0.8750

(0.25)(0.8750) (0.25)(0.6250) 0.50 0.8750

(0.25)(0.8750) (0.25)(0.6250) 0.25 0.6250

(0.25)(0.8750) (0.25)(0.6250) 0.25 0.6250

w

x

y

z

(8)

Ubicando todos los resultados en una tabla, obtenemos:


JOE GARCIA ARCOS

176

r 0 1 2 3 4 5 6 7

x 1.0000 1.0000 0.9062 0.8827 0.8768 0.8758 0.8751 0.8750

y 1.0000 0.7500 0.6563 0.6327 0.6268 0.8755 0.6251 0.6250

z 1.0000 0.6875 0.6405 0.6288 0.6263 0.6255 0.6250 0.6250

w 1.0000 1.0000 0.9375 0.8906 0.8788 0.8758 0.8752 0.8750

La solución exacta es w = x = 0.875, y = z = 0.625.

b.- El sistema de ecuaciones se escribe en la forma:

0.1 0.2 0.2 21.14

4.1

0.3 0.9 0.1 17.82

5.3

0.2 0.3 0.2 9.02

3.2

0.1 0.1 0.2 17.08

9.1

y z ux

x z uy

x y uz

x y zu

Comenzando el proceso y ubicando todos los resultados en una tabla, obtenemos:

r 0 1 2 3 4 5

x 1.0000 5.0340 5.2000 5.1990 5.2000 5.2000

y 1.0000 -3.7980 -4.1650 -4.1990 -4.2000 -4.2000

z 1.0000 2.7970 2.9960 3.0000 3.0000 3.0000

u 1.0000 -1.8010 -1.7990 -1.8000 -1.8000 -1.8000

De aquí concluimos que la solución exacta es: x = 5.2, y = -4.2, z = 3, u = -1.8

EJEMPLO 4.2.17

Aplicar la iteración de Gauss – Seidel a los sistemas siguientes, partiendo de 1, 1, 1.

a.-

10 13

10 36

10 35

x y z

x y z

x y z

; b.-

4 2 14

5 10

8 20

x y z

x y z

x y z

.

SOLUCION

a.- El sistema de ecuaciones se escribe en la forma:

13

10

36

10

35

10

y zx

x zy

x yz


r 0 1 2 3 4

x 1.0000 1.5000 2.0330 2.0000 2.0000

y 1.0000 3.3500 2.9980 2.9990 3.0000

z 1.0000 3.9850 4.0030 4.0000 4.0000

De aquí concluimos que la solución exacta es: x = 2, y = 3, z = 4.

b.- El sistema de ecuaciones se escribe en la forma:


JOE GARCIA ARCOS

177

2 14

4

10

5

20

8

y zx

x zy

x yz


r 0 1 2 3 4 5 6

x 1.0000 2.7500 2.1870 2.0280 2.0050 2.0010 2.0000

y 1.0000 1.6500 1.9520 1.9900 1.9980 1.9990 2.0000

z 1.0000 1.9500 1.9820 1.9970 1.9990 2.0000 2.0000

De aquí concluimos que la solución exacta es: x = 2, y = 2, z = 2.

VI. METODO DE JACOBI

Una técnica iterativa para resolver el sistema de ecuaciones lineales AX = B,

comenzando con la aproximación inicial x(0)

a la solución x, consiste en generar una

sucesión de aproximaciones x(0)

, x(1)

, ..., x(n)

que convergerán a la solución x, donde

(0)

(0) (0) (0) (0)1, 1 1 11 1 1(1)

... ...

n

i i j j

j j i i i i i i i i n ni i

ii i i i

b a xb a x a x a x a x

xa a

(1)

(2) (2) (2) (2)1, 1 1 11 1 1(2)

... ...

n

i i j j

j j i i i i i i i i n ni i

ii i i i

b a xb a x a x a x a x

xa a

( )

1,( 1)

nr

i i j j

j j iri

i i

b a x

xa

, r = 0, 1, 2, ...

expresión que se denomina fórmula de iteración de Jacobi. Matricialmente este

método es similar a la iteración de Gauss – Seidel, pero que consiste en no usar

valores mejorados hasta que se ha completado el paso y a continuación, reemplazar

completamente Xm por Xm+1 para el ciclo siguiente.

De aquí que si se escribe AX = B en la forma X = B + (I – A)X, la iteración de

Jacobi en notación matricial es Xm+1 = B + (I – A)Xn. Este método tiene un gran

interés teórico. Converge para toda elección de X0 si, y sólo si, el radio espectral de

I – A es menor que 1; aquí nuevamente se supone aij = 1 para j = 1, 2, ...

EJEMPLO 4.2.18

Resuelva el siguiente sistema:

7 4 8

3 8 2 4

4 6 3

x y z

x y z

x y z

Realizar los cálculos con tres decimales redondeados.

SOLUCION

Analicemos previamente si la matriz de coeficientes es estrictamente diagonal

dominante, ya que es condición suficiente para que el proceso iterativo sea

convergente

| 7 | > | -1 | + | 4 |, | -8 | > | 3 | + | 2 | y | -6 | > | -4 | + | 1 |


JOE GARCIA ARCOS

178

Luego, efectivamente, cumple la condición suficiente de convergencia. Las fórmulas

de iteración de Jacobi para este sistema serán:

( 1) ( ) ( )1 2 3

( 1) ( ) ( )2 1 3

( 1) ( ) ( )3 1 2

1(8 4 )

7

1(4 3 2 )

8

1(3 4 )

6

r r r

r r r

r r r

x x x

x x x

x x x

Comencemos con la aproximación inicial (0) (0) (0)1 2 3 0x x x . Entonces, la primera

iteración resulta

(1)1

(1)2

(1)3

81,143

7

40,5

8

30,5

6

x

x

x

y la segunda

(2)1

(2)2

(2)3

1(8 0,5 2) 1,5

7

1(4 3, 429 1) 0,804

8

1(3 4,572 0,5) 1,179

6

x

x

x

Así sucesivamente hasta que se cumpla la condición de paro establecida. En la

siguiente tabla se muestran las iteraciones necesarias, que resultan ser diez.

r 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x1 0.000 1,143 1,500 1,931 2,033 2,217 2,240 2,322 2,322 2,359 2,354

x2 0.000 0,500 0,804 0,768 0,883 0,848 0,904 0,881 0,910 0,895 0,911

x3 0.000 -0,500 -1,179 -1,366 -1,659 -1,708 -1,837 -1,843 -1,901 -1,896 -1,923

EJEMPLO 4.2.19

Partiendo de 0, 0, 0, demuestre que la iteración de Gauss – Seidel converge para el

sistema siguiente

2 4

2 4

2 4

x y z

x y z

x y z

mientras que la iteración de Jacobi diverge.

SOLUCION

Aplicando el método de Gauss – Seidel, el sistema de ecuaciones se escribe en la

forma:

2 14

4

10

5

20

8

y zx

x zy

x yz



JOE GARCIA ARCOS

179

r 0 1 2 3 4 5 6 7 8

x 0.0000 2.0000 1.2500 1.0310 0.9882 0.9888 0.9950 0.9984 1.0000

y 0.0000 1.0000 1.1250 1.0780 1.0330 1.0100 1.0020 1.0000 1.0000

z 0.0000 0.5000 0.8125 0.9455 0.9893 1.0000 1.0010 1.0000 1.0000

de aquí concluimos que la solución exacta es: x = 1, y = 1, z = 1

Para Aplicar el método de Jacobi, analicemos previamente si la matriz de

coeficientes es estrictamente diagonal dominante, ya que es condición suficiente para

que el proceso iterativo sea convergente | 2 | > | 1 | + | 1 |, | 2 | > | 1 | + | 1 | y | 2 | > | 1 |

+ | 1 |. Podemos darnos cuenta que no se cumple la condición de Jacobi, por lo tanto

este método diverge.

EJEMPLO 4.2.20

Resulta evidente pensar que la iteración de Gauss – Seidel es mejor que la iteración

de Jacobi. En realidad, los métodos no son comparables. Ilustrar este hecho,

demostrando que para el sistema

2

0

2 3 0

x z

x y

x y z

la iteración de Jacobi converge, mientras que la iteración de Gauss – Seidel diverge.

SOLUCION

Analicemos previamente si la matriz de coeficientes es estrictamente diagonal

dominante, ya que es condición suficiente para que el proceso iterativo sea

convergente | 1 | > | 1 |, | 1 | > | 1 | y | -3 | > | 1 | + | 2 |. Podemos darnos cuenta que no

se cumple la condición de Jacobi. Las fórmulas de iteración de Jacobi para este

sistema serán:

( 1) ( )

( 1) ( )

( 1) ( ) ( )

2

1( 2 )

3

r r

r r

r r r

x z

y x

z x y

Comencemos con la aproximación inicial (0) (0) (0) 0x y z

En la siguiente tabla se muestran las iteraciones necesarias:

r 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 0.0000 2.0000 2.0000 1.3330 0.0000 0.2229 1.1110 1.9250 1.4810 0.6180 0.2229

y 0.0000 0.0000 2.0000 2.0000 1.3330 0.0000 0.2229 1.1110 1.9250 1.4810 0.6180

z 0.0000 0.0000 0.6666 2.0000 1.7770 0.8886 0.0743 0.5189 1.3820 1.7770 1.1930

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

0.8070 1.5130 1.5820 0.9580 0.4640 0.6260 1.2060 0.7940 1.1800 0.9320 1.0770 0.9030

0.2229 0.8070 1.5130 1.5820 0.9580 0.4640 0.6260 1.2060 0.7940 1.1800 0.9320 1.0770

0.4862 0.4176 1.0420 1.5360 1.3740 0.7933 0.5180 0.8193 1.0680 0.9226 1.0970 0.9803

23 24 25 26 27 28

1.0190 0.9809 1.0580 0.9940 0.9940 0.9640

0.9030 1.0190 0.9809 1.0580 0.994 0.994

1.0190 0.9416 1.0060 1.0060 1.0360 0.9940

de aquí concluimos que la solución exacta es:

x = 1, y = 1, z = 1


JOE GARCIA ARCOS

180

Aplicando el método de Gauss – Seidel, el sistema de ecuaciones se escribe en la

forma:

2

2

3

x z

y x

x yz


r 0 1 2 3 4 . . .

x 0 2 0 2 0 . . .

y 0 2 0 2 0 . . .

z 0 2 0 2 0 . . .

De aquí concluimos que este método diverge.

PROBLEMAS

4.2.1 ¿Cuál es la condición para que tres puntos P(a, b),

Q(c, d), R(e, f) estén situados en una recta?

4.2.2 Una compañía minera trabaja en tres minas, cada

una de las cuales produce minerales de tres clases. La

primera mina puede producir 4 Tm del mineral A, 3 Tm

del B y 5 Tm del C; la segunda mina puede producir 1 Tm

de cada uno de los minerales y, la tercera mina, 2 Tm del

A, 4 Tm del B y 3 Tm del C, por cada hora de

funcionamiento. Cuántas horas se debe trabajar en cada

mina para satisfacer los tres pedidos siguientes:

A B C

P1

P2

P3

19

13

8

25

16

12

25

16

10

4.2.3 Determinar el valor de k, utilizando el método de

Gauss-Jordan, para que el siguiente sistema no tenga

solución:

4 2 2

0

2 3

x y kz

y z

x y z

.

4.2.4 Plantear el sistema de ecuaciones lineales que

permite obtener el polinomio de tercer grado que es

divisible por (x – 3) y (x + 1) y además tiene resto -3 y -15

al dividir respectivamente por (x – 2) y (x + 2).

4.2.5 Hallar el polinomio f(t) de tercer grado para el cual

f(1) = -2, f(2) = -4, f(3) = -2, f(4) = 10.

4.2.6 Hallar la ecuación de la recta que pasa por los

puntos P(a, b), Q(c, d).

4.4.7 Un espía sabe que en un aeropuerto hay

es2acionados 60 aviones entre cazas y bombarderos. El

agente conoce además que en el aeropuerto se han

introducido 200 cohetes para equipar a estos 60 aviones,

de manera que cada caza lleva 6 de dichos cohetes y cada

bombardero 2. ¿Cuál es el número de cazas y

bombarderos que hay en el aeropuerto?

4.2.8 Escribir la ecuación de la circunferencia que pasa

por los puntos

P(2, 1), Q(1, 2), R(0, 1).

4.2.9 ¿Cuál es la condición para que cuatro puntos

P(a, b), Q(c, d), R(e, f), S(m, n)

estén situados en una circunferencia?

4.2.10 Hallar la ecuación de la curva de segundo orden

que pasa por los puntos

P(0, 0), Q(1, 0), R(-1, 0), S(1, 1), T(-1, 1).

4.2.11 Hallar la ecuación de la parábola de tercer grado

que pasa por los puntos

P(1, 0), Q(0, -1), R(-1, -2), S(2, 7).

4.2.12 Formar la ecuación de la esfera que pasa por los

puntos

P(1, 0, 0), Q(1, 1, 0), R(1, 1, 1), S(0, 1, 1).

4.2.13 Una empresa se dedica a la fabricación de cuatro

tipos de jabón. Desde la compra de materias primas

hasta la disposición para la distribución se realizan las

siguientes fases:

I. Se mezclan los dos tipos de materias primas

utilizadas, grasa vegetal y sosa cáustica.

II. Se introduce la mezcla obtenida en unos moldes

preparados para el efecto.


JOE GARCIA ARCOS

181

III. Los bloques obtenidos en la fase anterior se cortan

y troquelan.

IV. Las pastillas así obtenidas se envasan en cajas de

cartón de doscientas unidades.

Los recursos necesarios para producir los cuatro tipos

de jabones, por caja fabricada, vienen dados en la

siguiente tabla:

Jabón S. mezclado S. moldeado S. troquelado

Kg grasa Kg sosa Hora / máquina Hora / máquina

J1

J2

J3

J4

20

25

40

50

10

15

20

22

10

8

10

15

3

4

7

20

Si se dispone durante una semana de 1970 kg de grasa

vegetal, 970 de sosa cáustica, 601 hora/máquina en la

sección de moldeados y de 504 horas/máquina en la

sección de troquelado, ¿cuántas cajas de jabones de

cada tipo se pueden producir, utilizando todos los

recursos disponibles, en una semana?

4.2.14 Resolver mediante el método de eliminación de Gauss-Jordan los siguientes sistemas de ecuaciones:

a.-

3 1

2 2 0

5 6 3 2

x y z

x y z

x y z

;

b.-

2 8

5 3 2 3

7 3 20

x y z

x y z

x y z

;

c.-

4 5 6 3

8 7 3 9

7 8 9 6

x y z

x y z

x y z

;

d.-

2 6 3

3 2 5

4 1

x y z

x y z

x y z

;

e.-

5 3 4(1 )

2( 2 ) 8

2 3 14

x z y

z x y

y x z

;

f.-

5 2 3

2 8 1

3 3 5 5

x y z

x y z

x y z

;

g.-

2 3 1

5 2 4

3 5 7 2

x y z

x y z

x y z

;

h.-

7 4 3 3

4 3 1

6 7 3 6

x y z

x y z

x y z

;

i.-

3 0

4 1

7 3 2

x y z

x y z

x y z

;

j.-

2 5 2

8 6 8

3 5

x y z

x y z

x y z

;

k.-

9 6 8

5 3 1

5 7

x y z

x y z

x y z

;

l.-

7 9 0

4 6 3 1

7 5 2

x y z

x y z

x y z

;

m.-

5 5 9 5

7 6 3

2 7 5 0

x y z

x y z

x y z

;

n.-

7 9 9 0

12 5 5

3 7 6 6

x y z

x y z

x y z

;

o.-

5 9 9

5 3 3 0

3 9

x y z

x y z

x y z

;

p.-

9 7 0

8 2 1

7 7 4 2

x y z

x y z

x y z

;

q.-

5 10 5

9 3 1

9 5 5

x y z

x y z

x y z

;

r.-

7 9 0

9 7 1

2 5 7 2

x y z

x y z

x y z

;

s.-

9 7 8

7 9 1

8 2 7

x y z

x y z

x y z

;

t.-

2 3 9 9

7 7 4 8

5 8 3 7

x y z

x y z

x y z

;

u.-

5 5 7 7

2 9 2 2

9 5 9 9

x y z

x y z

x y z

;

v.-

9 7 7

3 9 3

5 7 9 5

x y z

x y z

x y z

;

w.-

6 9 3 3

2 4 8 2

7 9 5 3

x y z

x y z

x y z

;

x.-

9 7 5

7 5 4

9 5 5

x y z

x y z

x y z

.

4.2.15 Determine de ser posible los valores de a, para que el sistema de ecuaciones lineales tenga solución única, tenga

más de una solución, no tenga solución y encuentre la solución general del sistema en términos de a:

a.-

2 3 1

1

1

x y az

ax y z

x y az

;

b.-

2 2

2 1

ax ay z

x y az a

x y az

;

c.-

( 1) 1

( 1) 1

( 1) 1

x y a z

x a y z

a x y z

;

d.-

( 1) 2 3

( 1) 1

2 4 2

a x y z a

a x y z

x y az

;

e.-

1

1

1

x ay az

ax ay z

ax y az

;

f.-

1

1

x ay z

ax y z a

x y az

;

g.-

( 1) 1

( 1) 1

x a y z

ax y a z

x y z a

;

h.-

( 1) 1

3 2 1

a x y az

x y z a

x y az

;

i.-

3 0

3

1

x ay z

x y z a

x y z

;


JOE GARCIA ARCOS

182

j.-

4 3

2 3 3 1

x y az a

x y z

x y az a

;

k.-

(2 1) 1

(2 1) 2

(2 1) 3

x a y z

a x y z

x y a z

;

l.-

(2 1) 1

(2 2) 1

(2 3) 1

a x y z

x a y z

x y a z

;

m.-

3 2

3

2

x ay z

x y az

x y z a

;

n.- 2

1

0

1

ax y z

x a y z

x y az

;

o.-

( 1) 1

( 2) 1

( 3) 1

a x y z

a x y z

a x y z

;

p.-

( 2) 1

2 ( 1) 1

3 ( 1) 1

ax a y z

x a y z

x a y z

;

q.-

1

2 1

x y z

x y z

ax y z a

;

r.-

3 2 3 1

2 3 1

3 1

ax y z

x ay z

x y az

;

s.-

( 2) 2

( 3) 3

( 4) 4

a x y z

x a y z

x y a z

;

t.-

0.2 0.1 0.2

0.1 0.3 0.1

0.3 0.4 0.3

ax y z

x y z

x y z

;

u.-

3 2

3 1

3 3

x ay z

ax y z

x y az

;

v.-

2 2 3 1

3 1

4 1

ax y z

x ay z

x y z

;

w.-

( 3) 1

( 3) 1

( 3) 1

x y a z

x a y z

a x y z

;

x.-

3 2

2

x y az a a

x y z a a

x y az a

.

4.2.16 Determine de ser posible los valores de a y b, para que el sistema de ecuaciones lineales tenga solución única,

tenga más de una solución, no tenga solución y encuentre la solución general del sistema en términos de a y b:

a.-

4

3

2 4

ax y z

x by z

x by z

;

b.-

1

1

ax by z

x aby z b

x by az

;

c.-

( 1) 1

( 1) 1

bx a y z

ax y a z

x y z a

;

d.-

(2 1) 1

(2 1)

(2 1) 1

b x y z

x b y z b

x y b z

;

e.-

ax y z b

x ay z c

x y az d

;

f.-

1

x ay z b

bx y z a

x y z

;

g.-

( 1) 1

( 1)

( 1) 1

x y b z

x a y z b

b x y z

;

h.-

(2 1) 1

(2 1)

(2 1) 3

x a y z

a x y z b

x y b z

;

i.-

1

1

x by az

bx ay z

ax y az b

;

j.-

3 0x y bz

x by z a

x y z b

;

k.-

2 2 3 1

3

4 1

bx y z

x ay z b

x by z

;

l.-

( 2) 1

( 1) 1

3 ( 1) 1

ax b y z

bx a y z

x b y z

;

m.-

2

3

2 1

x by az

bx y z

x y z

;

n.-

3

2 3 1

bx y bz b

x by z

x y az a

;

o.-

( 1) 1

( 2)

( 3) 1

b x y z

a x y z b

b x y z

;

p.-

0.2 0.1 0.2

0.1 0.3 0.1

0.3 0.4 0.3

bx y z

x by z

x y az

;

q.- 2

1

1

bx y z

x a y z b

x y bz

;

r.- 3

ax y z b

x by z

x y az b

;

s.-

3 1

1

bx y az

ax by z

bx y az b

;

t.-

( 3)

( 3) 1

( 3) 1

x y a z b

x b y z

a x y z

;

u.- 1

x y z b

bx y z

ax by z a

;

v.-

3 2

3

3 3

x ay az

bx y z b

x y z

;

w.-

3 2 3

2 3 1

3 1

ax y z b

bx ay z

x y bz

;

x.-

3 2

2

x y z b b

x y z a a

x y z b

.

4.2.17 Solucionar los siguientes sistemas de ecuaciones lineales utilizando un método numérico:

a.-

3.2 5.4 4.2 2.2 2.6

2.1 3.2 3.1 1.1 4.8

1.2 0.4 0.8 0.8 3.6

4.7 10.4 9.7 9.7 8.4

x y z u

x y z u

x y z u

x y z u

;

b.-

7.9 5.6 5.7 7.2 6.68

8.5 4.8 0.8 3.5 9.95

4.3 4.2 3.2 9.3 8.6

3.2 1.4 8.9 3.3 1

x y z w

x y z w

x y z w

x y z w

;


JOE GARCIA ARCOS

183

c.-

2.5 1.25 3.75 5 0.625

4.125 2.75 5.5 4.125 1.25

8.125 4.875 3.25 1.625 0.625

5.25 5.25 1.75 3.5 0,625

x y z u

x y z u

x y z u

x y z u

;

d.-

3.2 5.4 4.2 2.2 2.6

2.1 3.2 3.1 1.1 4.8

1.2 0.4 0.8 0.8 3.6

4.7 10.4 9.7 9.7 8.4

x y z u

x y z u

x y z u

x y z u

;

e.-

2.4 0.2 0.3 1.1 5.8 23.84

0.3 0.1 1.1 10.2 38.85

0.5 6.2 0.1 1.5 1.2 17.23

0.1 2.1 5.1 0.2 0.3 6.56

2.5 0.1 0.2 0.3 0.4 6.63

x y z u w

x y z u w

x y z u w

x y z u w

x y z u w

.

4.2.18 Resolver mediante el método de eliminación de Gauss-Jordan los siguientes sistemas de ecuaciones:

a.-

2

3 1

2 2 1

3 1

x y z u

x y z u

x y z u

x y z u

;

b.-

1

2

2 2 1

2 2 2

x y z u

x y z u

x y z u

x y z u

;

c.-

2 2 0

3 3 1

3 3 0

3 1

x y z u

x y z u

x y z u

x y z u

;

d.-

2 3 0

3 2 5 1

3 2 0

2 3 1

x y z u

x y z u

x y z u

x y z u

;

e.-

2 2 0

3 1

3 2 0

2 1

x y z u

x y z u

x y z u

x y z u

;

f.-

3 3

3 2

3 1

3 1

x y z u

x y z u

x y z u

x y z u

;

g.-

3 2 1

3 2

3 1

3 1

x y z u

x y z u

x y z u

x y z u

;

h.-

5 3 2

3 2 2

3 2 2 1

2 1

x y z u

x y z u

x y z u

x y z u

;

i.-

2 2 3 3 1

2 2 2 1

3 2 3 1

3 2 1

x y z u

x y z u

x y z u

x y z u

;

j.-

2 3 3

2 3 2 1

2 3 2

2 3 2 1

x y z u

x y z u

x y z u

x y z u

;

k.-

4 3 2 1

5 4 3 2

4 5 2 1

2 2 3 2

x y z u

x y z u

x y z u

x y z u

;

l.-

3 3 3

2 3 2 1

3 2 3 2

4 3 3 4

x y z u

x y z u

x y z u

x y z u

;

m.-

2 3 5

2 3 2 3

3 2 1

3 2 2

x y z u

x y z u

x y z u

x y z u

;

n.-

3 2 1

2 2 2 1

2 3 2

3 3

x y z u

x y z u

x y z u

x y z u

;

o.-

5 3 2 1

4 3 2 2 2

3 2 3 3 3

2 4 4

x y z u

x y z u

x y z u

x y z u

;

p.-

3 5 7 4

7 5 3 3

2 7 4 2

5 4 3 1

x y z u

x y z u

x y z u

x y z u

;

q.-

7 5 3 5

4 3 2 2

5 3 4 3

6 4 2

x y z u

x y z u

x y z u

x y z u

;

r.-

7 12 4 3 5

3 7 5 4 2

2 5 12 3

12 15 2 4

x y z u

x y z u

x y z u

x y z u

;

s.-

2 4 5 6 1

3 3 4 1

3 2 3 3

4 2 5 2

x y z u

x y z u

x y z u

x y z u

;

t.-

4 3 5 5

10 3 2

4 2 5 3

5 3 2 1

x y z u

x y z u

x y z u

x y z u

;

u.-

3 4 5 4

5 6 2 1

2 4 4 3

5 5 3 2

x y z u

x y z u

x y z u

x y z u

.


JOE GARCIA ARCOS

184

4.3 CUESTIONARIO

Responda verdadero (V) o falso (F) a cada una de las siguientes afirmaciones. Para las afirmaciones que sean falsas,

indicar por que lo es:

4.3.1 Si las matrices aumentadas de dos sistemas de

ecuaciones lineales son equivalentes por filas, entonces los

dos sistemas tienen el mismo conjunto solución.

4.3.8 Para que un sistema homogéneo de n ecuaciones

lineales con n incógnitas tenga soluciones no nulas es

necesario y suficiente que el determinante de la matriz de

coeficientes sea diferente de cero.

4.3.10 La solución general de un sistema no homogéneo

de ecuaciones lineales es igual a la suma de la solución

general del sistema homogéneo asociado y de una solución

cualquiera, pero fija, del sistema no homogéneo.

4.3.6 Para que un sistema no homogéneo de ecuaciones

lineales sea inconsistente, es necesario y suficiente que el

rango de la matriz de coeficientes sea igual al rango de la

matriz aumentada.

4.3.5 Un sistema homogéneo de ecuaciones lineales tiene

un número indeterminado de soluciones si, y sólo si el

sistema tiene por lo menos una variable libre.

4.3.4 Si A es una matriz de orden m x n, entonces, para

cada B m, entonces el sistema de ecuaciones AX = B

tiene un número indeterminado de soluciones.

4.3.7 Para que un sistema homogéneo de ecuaciones

lineales sea inconsistente, es necesario y suficiente que el

rango de la matriz de coeficientes sea menor que el

número de variables.

4.3.9 Cualquier combinación lineal de unas soluciones

de un sistema homogéneo de ecuaciones lineales será

también una solución del mismo.

4.3.2 Un sistema de ecuaciones lineales es consistente si

y sólo si la columna del extremo derecho de la matriz

aumentada es una columna pivote.

4.3.3 El sistema de ecuaciones AX = B tiene solución

única si y sólo si B es una combinación lineal de las

columnas de A.

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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES