УДК: ___._.__Корягин С.В., к.т.н., доц., Яковлев А.А., студент

2-го курса магистратуры.Московский государственный университет приборостроения и

информатики.

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МЕТОДОВ ИНТЕГРИРОВАНИЯ СПЛАВАЮЩИМ ШАГОМ.

В данной статье будет проведен анализ точности и сравнениедвух популярных парных методов численного интегрирования 4-5порядка: метод Рунге-Кутта Фельберга и метод Рунге-Кутта Дормана-Принса 4-5 порядка с автоматическим изменением шагаинтегрирования, реализованным в популярной среде для решения задачтехнических вычислений Matlab с применением транслятора,автоматически формирующего необходимую статистическуюинформацию.

Ключевые слова: численное интегрирование, метод Рунге-Кутта-Фельберга 4-5 порядка, модификация Дормана-Принса.

Актуальность темы обоснована широкойпопулярностью численного интегрирования, котороеиспользуется в случае отсутствия аналитическогорешения, либо громоздкостью найденного аналитическогорешения. Помимо того преимущества численных методовпо сравнению с аналитическими заключаются вотносительной простоте их реализации в видеалгоритмов и вычислительных программ для ЭВМ. Уданных методов безусловно есть и недостатки и преждевсего это большие затраты времени вычислений и, взависимости от параметров задачи и выбранного метода,высокие требования к объему памяти ЭВМ [1.].

Проанализировав возможности современных методовчисленного интегрирования расчета, следует сделатьвывод, что интегрирование нежестких системдифференциальных уравнений, а также систем малойжесткости можно достаточно эффективно проводитьявными парными методами с изменяющейся сеткой шага

[2.]. Мы рассмотрим метод Рунге-Кутта-Фельберга, атакже метод Рунге-Кутта в модификации Дормана-Принса.Оба метода предусматривают автоматическое изменениешага, а также возможность контроля погрешностиинтегрирования. Для методов 4-5 порядка погрешностьметода имеет порядок h6.

Метод Рунге-Кутта-Фельберга обеспечиваетпогрешность интегрирования того же порядка, что иметоды Рунге-Кутта, но позволяет повыситьустойчивость решения.

Метод Рунге-Кутта-Фельберга 4-5 порядка (РКФ45).При интегрировании данным методом на каждом шаге

рассчитываются 6 промежуточных точек [3.]. Реализацияметода предполагает построение неравенства дляконтроля точности вычислений, которое при правильномвыборе погрешности не приводит к дополнительнымвычислительным затратам. Экономия вычислительныхресурсов обеспечивается тем, что в алгоритмереализована оценка погрешности более точного решения5-го порядка, позволяющая избежать двойного расчетадифференциальных уравнений. Это обеспечиваетсявычислением разности двух решений 4-го и 5-гопорядка. Найденная оценка может использоваться длякорректировки величины шага приращения аргумента.

Для нахождения нового значения неизвестнойфункции последовательно вычисляются величины:

(1)

Значение пятого порядка точности вычисляется каквзвешенная комбинация величин :

(2)Значения всех коэффициентов даны в таблице 1.

Если в формуле (2) коэффициенты заменить накоэффициенты , то получим решение четвертого

порядка. Фактически на практике вычисляют решениепятого порядка и оценку погрешности:

(3)Таблица 1. Значения коэффициентов в формулах (1)

– (3)i i,j

0

0 0

1 -8

2 0

При выборе допустимой погрешности метода следуетучесть вероятность непредсказуемого возрастаниянакопленной ошибки. Все дело в том, что всевычисления выполняются всегда с фиксированнойточностью простых арифметических операций. Точностьможно увеличить с помощью специальных способовотображения чисел в памяти компьютера и применениемсоответствующих алгоритмов арифметических действий.Это приведет к еще большим вычислительным затратам,но главное даже не это, а то, что в современныхкомпьютерах максимальная точность представления чисели точность выполнения арифметических операцийфиксирована. При каждой операции совершаетсянекоторая ошибка, так называемая ошибка округления.При последовательном выполнении операций с плавающейточкой ошибки округления накапливаются [4.].

Следовательно, уменьшение шага интегрирования с цельюувеличить точность решения имеет свой предел.

Следующее на что следует обратить внимание этомаксимальная погрешность при использовании метода.Ошибочный выбор погрешности интегрирования можетприводить к непомерному увеличению временивычислений. Следует заметить, что данный алгоритмсчитается одним из лучших среди методов типа Рунге-Кутта пятого порядка точности.

Метод Рунге-Кутта модификация Дормана-Принса 4-5порядка (РК-ДП45).

Данный метод имеет таблицу бутчера со следующимикоэффициентами [5.]:

153 3110 4 4

404 11 145 9 3 98 4843 3170 8056 539 1458 243 729 162

9017 355 46732 49 51033168 33 5247 176 1865635 500 125 2187 11384 113 192 6784 84

5179 7571 393 92097 187 157600 16695 640 339200 2100 40

35 500 125 2187384 1113 192 6784

01

11 0

00

11

84 0

Таким образом, при расчете очередного значениярешения метод РК-ДП45 опирается на 7 промежуточныхточек. В целом метод схож с методом РКФ45. Необходимоотметить, что выбор шага в методе РК-ДП45 в системеMATLAB реализован не тривиально, качество которогодля нас представляет интерес.

Проверку расчета методом РКФ45 выполним в однойиз систем обыкновенных дифференциальных уравнений изпрактикума Р.З. Даутова [6.].

<- 4-й

<- 5-й

Рассмотрим полет снаряда, выпущенной с начальнойскоростью v под углом к горизонту. Будем

придерживаться допущения, что земля плоская и всятраектория снаряда лежит в одной плоскости xOy.Уравнения движения центра масс снаряда в проекциях наоси координат запишутся в виде:

(4)

, где m — масса снаряда, -

скорость движения, - угол междукасательной к траектории и осью Ox, g - ускорениесилы тяжести, S — площадь поперечного сеченияснаряда, p — плотность воздуха, C — коэффициентлобового сопротивления снаряда.

Cведем приведенную систему уравнений (1) к 4-муравнениям 1-го порядка:

(5)

Теперь решим данную систему уравнений с помощьюметодов РК-ДП45 и РКФ45, используя следующиекоэффициенты и начальные данные:

m=43.51; //масса снарядаc=0.15; //коэффициент лобового сопротивленияp=1.29; //плотность воздуха S=0.35; //площадь поперечного сечения снарядаg=9.81; //ускорение силы тяжести

x0 = 0; y0 = 0; v0 = 655; 0 = 1.2;

Максимально возможная ошибка для метода РКФ45Emax = 0.001, будем использовать переменный шаг.Интервал интегрирования: от 0 до 50. Метод РК-ДП45возвращает следующий результат:

Рис. 1. Решение задачи определения параметров полета снарядаметодом Рунге-Кутта в модификации Дормана-Принса 4-5

порядка.

Количество успешных шагов: 24; Количествовозвратов: 0; Количество расчетов системы дифуров:145; Значения на конце интервала: 1664.9, -945.4,111.7, -1.5. Время расчета: 0.041c.

Сейчас представим результаты интегрирования тойже системы уравнений, но методом РКФ45:

Y

XV

Рис. 2. Решение задачи определения параметров полета снарядаметодом Рунге-Кутта-Фельберга 4-5 порядка.

Количество успешных шагов: 46; Количествовозвратов: 4; Количество расчетов системы дифуров:294; Значения на конце интервала: 1664.1, -946,111.7, -1.5

Время расчета: 0.014с.Данный расчет показал, что расчет РКФ45 при

расчете данной системы дифференциальных уравненийэффективнее метода РК-ДП45 с точки зрения временирасчета. Этот наблюдается наряду с тем, чтоколичество расчетов системы дифференциальныхуравнений метода РКФ45 существенно больше. Причинаможет быть в более сложной реализации контроляустойчивости метода РК-ДП45.

Сейчас попытаемся протестировать методы расчетас точки зрения правильности расчета. За примервозьмем алгебраическое уравнение, имеющееаналитическое решение:

(6)

Y

XV

Решением данного уравнения будет являтьсяуравнение . Решим данное уравнениечисленно теми же двумя способами и сравним ихрезультаты с аналитическим решением. Будемиспользовать следующие исходные данные: ; x от 0до 50. Шаг интегрирования: 0.1. Максимальнаяпогрешность Emax = 0.0001.

Вот что получилось методом РК-ДП45:

Рис. 3. Решение уравнения (6) методом Рунге-Кутта модификацииДормана-Принса 4-5 порядка.

Количество успешных шагов: 28; Количествовозвратов: 3; Количество расчетов системы дифуров:217; Значения на конце интервала: -655.6; Времярасчета: 0.102.

Метода РКФ45 показал результаты:

Рис. 4. Решение уравнения (6) методом Рунге-Кутта Фельберга 4-5порядка.

Количество успешных шагов: 164; Количествовозвратов: 13; Количество расчетов системы дифуров:1056; Значения на конце интервала: -655.9; Времярасчета: 0.029.

В данном примере мы видим, что время расчетаметодом РКФ45 также существенно меньше, чем методомРК-ДП45. Но нас также интересует точность расчетов.Как мы уже указали, данное уравнение имеетаналитическое решение. Решим его со значениеаргумента = 50 получим значение y = -655.9371.

Таким образом мы смогли убедиться не только ввысокой производительности метода РКФ45, но также вего высокой точности.

Следующим примером продемонстрируемэффективность интегрирования жесткой системыуравнений. Покажем это на примере уравненияосциллятора Ван-Дер-Поля. Уравнение Ван-Дер-Поляимеет следующий вид [7.]:

(7)

Это уравнение преобразуется в системууравнений:

(8)

В данном уравнении:  — некий коэффициент,характеризующий нелинейность и силу затуханияколебаний, — координата точки, зависящая от времениt; Решим данную систему уравнений с коэффициентом

, интервал интегрирования: от 0 до 30; h =0,0001; x0 = 0.5; y0 = -0.5.

Решение данной системы методом РК-ДП45 будеттаким:

Рис. 5. Решение системы дифференциальных уравнений Ван-Дер-Поля (8) методом Рунге-Кутта модификации Дормана-Принса 4-5

порядка.

Y

X

Статистические показатели этого решения такие:количество успешных шагов: 168; количество возвратов:32; количество расчетов системы дифуров: 1201;значения на конце интервала: 1.9,-0.1; время расчета:0.77.

Для метода РКФ45 будем использовать следующуюмаксимальную ошибку: Emax = 0,000001. Оценим то, чтонам покажет метод РКФ45:

Рис. 6. Решение системы дифференциальных уравнений Ван-Дер-Поля (8) методом Рунге-Кутта-Фельберга 4-5 порядка.

Количество успешных шагов: 548; количествовозвратов: 68; общее количество расчетов системыдифуров: 3690; значения на конце интервала: 1.9,-0.1;время расчета: 0.127.

Таким образом, мы видим, что система рассчитанас теми же значениями на конце интервала, что в данномслучае позволяет говорить о приблизительно такой жеточности расчета. В то же время скорость расчетзначительно выше, чем у метода РК-ПД45. Разница вовремени расчете составляет 0,643 мс. Данные

Y

X

исследования позволяют говорить нам о возможностикачественно проводить интегрирование систем диф.уравнений в т.ч. с ограниченной жесткостью.

Заметим, что в процессе интегрирования мыактивно используем ограничение максимальной ошибки сцелью варьирования точности/времени интегрирования.Данный «рычаг» позволяет нам выбирать наиболееподходящее соотношение данных показателей.

Литература

1. Самарский А.А. Введение в численные методы: учебник /А.А.Самарский. – СПб.: Лань: 2009. – 288с.

2. Гайдышев И.П. Решение научных и инженерных задачсредствами Excel, VBA и C/C++ / Гайдышев И.П. - СПб.: БХВ-Петербург, 2004. - 512 с.

3. Галкин А.В. Численное решение математических моделейобъектов, заданных составными системами дифференциальныхуравнений [Электронный ресурс] / Галкин А.В., Дятчина Д.В. –электрон. журн. Современные проблемы науки и образования. –2011. - №6. Режим доступа: http://www.science-education.ru/100-5196, свободный.

4. Емельянов Н.В. Практическая небесная механика.Спецкурс ГАИШ МГУ [Электронный ресурс]. Интернет ресурс:http://www.sai.msu.ru/neb/pcm/pcm.htm, свободный.

5. Harder D.W, 4th-order Runge Kutta and the Dormand-PrinceMethods., M.Math. LEL Department of Electrical and ComputerEngineering University of Waterloo, Ontario, Canada, 2012. 97с.

6. Даутов Р.З. Практикум по методам решения задачикоши для систем ОДУ: Казанский Государственный Университет,2010.-89с.

7. Эдвардс Ч.Г. Дифференциальные уравнения и краевыезадачи: моделирование и вычисление с помощью Mathematica,Maple и MATLAB. 3-е изд. / Эдвардс Ч.Г., Пенни Д.Э. – М.: Вильямс. –2008. – 1094с.

8. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральноеисчисление: учеб. в 2-х т., т.1 – СПб.: Мифрил, Гл. ред. физ.-мат.лит. 1996. – 416с.

9. Ахо А., Сети Р., Ульман Д. Компиляторы: принципы,технология и инструменты.: пер. с англ. –М., 2011. -768 с., илл.

10. Корягин С.В., Ильмухин С.В., Цыпленков С.В. “Системанепрерывного моделирования” М., Вестник МГУПИ, 2013.

11. Калинин Б.Н. Метод. указания к выполнениюлабораторных работ по дисциплине «Вычислительнаяматематика». Российский Государственный ТехнологическийУниверситет им. К.Э. Циолковского, 2006. Интернет-ресурс:http://ru.convdocs.org/docs/index-65827.html.

COMPARATIVE ANALYSIS OF INTEGRATION METHODS WITHFLOATING STEP

Koriagin S.V., Yakovlev A.A.The Moscow state university

Instrument making and computer science.

In this article we will analyze the accuracy and compare two popularpair methods of numerical integration Runge-Kutta-Fehlberg of the 4-5 orderand Runge-Kutta Dormand-Prince 4-5 order with automatic change of theintegration step, implemented in Matlab, a popular environment for solvingproblems of technical computing. We will use external compiler, thatautomatically generates the necessary statistics.

Keywords: numerical integration, Runge-Kutta-Fehlberg of the 4-5 ordermethod, Dormand-Prince modification.