Theorie du ferromagnétisme itinérant dans des semimétaux supraconducteurs

C. Do TRAN et al.: Ferromagnetisme itinerant dans des semimetaux 245

phys. stat. sol. (b) 168, 245 (1991)

Subject classification: 74.70 and 75.30

Groupe de Physique Thkorique, Institut National Polytechnique de Hanoi (a ) et Centre National de la Recherche Scientifique, Laboratoire d’Etudes des Propriitb Electroniques des Solides, associi a I’UniversitC Joseph Fourier, Grenoble‘) ( b )

Theorie du ferromagnktisme itinkrant dans des semimktaux supraconducteurs

Par

C. Do TRAN (a), D. NCUYEN MANH (a, b) et C. NGUYEN VAN (a)

Une theorie du ferromagnetisme itinerant dans des semimetaux supraconducteurs est proposee. Une aimantation moyenne apparait dans l’etat supraconducteur due a I’interaction (interference) des ondes: onde de densite de spin, onde de densite de charge et onde des paires de Cooper. Le diagramme des phases et les propriktes physiques des etats examines sont ktudies analytiquement et numeriquement.

A theory of itinerant ferromagnetism in superconducting semimetals is proposed. A nonzero mean magnetisation appears in the superconducting state due to the interaction (interference) of spin density wave (SDW), charge density wave (CDW) and Cooper pair wave. Phase diagram and physical properties of the states considered are investigated analytically and numerically.

1. Introduction

La coexistence du ferromagnktisme et de la supraconductivite dans des mattriaux est un problime d’actualite de premier rang auquel s’interessent nombre de chercheurs [ l a 101. L‘interaction entre deux parametres d’ordre qui semblent ttre opposes (I’ordre ferromagnetique et l’ordre supraconducteur) a conduit a leur coexistence. Cependant dans la plupart des travaux, on etudie essentiellement des materiaux formes par des atomes magnetiques ou contenant des impuretes magnetiques. La coexistence du ferromagnttisme et de la supraconductivite dans les autres materiaux a suscite l’interet des chercheurs avec la dtcouverte du ferromagnetisme dans les alliages base de supraconducteurs ZrZn, [4] et Sc,In [6] et la croissance brusque de la susceptibilite magnetique avec la dependance nonlineaire du moment magnktique vis a vis du champ dans des chalogenides de molybdkne [7]. Dans tous ces cas, l’ordre magnetique a la possibilite d’apparaitre a cause des electrons de conduction comme dans le ferromagnetisme de Stoner [ l l ] ou bien dans le ferromagnetisme excitonique [12, 131. Cependant ceci semble ne pouvoir pas se produire parce que dans l’etat supraconducteur, les electrons de conduction s’associent en paires singulets de Cooper. Dans [5] on s’efforce d’expliquer cette coexistence en utilisant l’hypothese de l’existence de l’etat supraconducteur triplet dans un ferromagnktisme itinerant comme l’etat superfluide du type p dans 3He. L‘apparition de la supraconductivite de type p dans ce modele ne peut avoir lieu qu’avec une valeur suffisamment grande de la constante de l’interaction d’echange. Dans une autre thkorie [8], les auteurs supposent que la coexistence des paramktres d’ordre ferromagnetique et de supraconducteur imposes aux electrons de conduction est due a un ferromagnetisme faible dans une circonstance probable a savoir l’interaction entre

’) 25, Av. des Martyrs, BP 166X, F-38042 Grenoble, France.

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les electrons sera attractive dans une zone de I’ordre de la frequence de Debye aupres du niveaux de Fermi et sera repulsive en dehors de cette zone.

Dans ce papier nous proposons un autre mecanisme qui peut conduire a la coexistence de l’ordre magnetique faible et de l’association en paires supraconducteurs des electrons itinerants. Comme l’on verra dans la suite, I’ttat dielectrique excitonique avec les ondes de densite de spin et celles de densite de charge est toujours instable pour la formation des paires de Cooper lorsque le systeme est dans un regime dope [lo, 141. L‘interaction entre les ondes de densite de spin, ondes de densite de charge et mime des paires de Cooper dans une bande conduit toujours a l‘association des electrons de differentes bandes. Le resultat est qu’il existe des possibilites dune apparition de I’ordre magnetique a I’ktat supraconducteur. En general, l’effet de deplacement des niveaux des electrons avec les spins opposes qui apparait en mime temps que l’ordre magnetique, provoquera des difficultts a l’association du supraconducteur singulet. Toutefois, du fait que l’ordre magnktique qui apparait a cause de l’interaction entre les paires dielectriques excitoniques et supraconducteurs influe fortement sur la densite des etats electroniques N ( E ) , l’effet de deplacement precite peut itre limite lorsque N(c) pres du niveaux de Fermi augmente. C’est la la raison qui conduit a la possibilite dune coexistence du ferromagnetisme itinerant et de la supraconductivite. Cependant, lorsque le couplage qui conduit a la supraconductivite est suffisamment fort, l’association en paires dielectriques excitoniques a du ma1 a se produire et du moment que I’etat supraconducteur est singulet, I’etat ferromagnetique ne disposera pas de superiorite en energie par rapport a l’etat paramagnktique. A la difference des modeles examines dans [5, 81 et du modele ferromagnetique itinerant de Stoner [ll], l’ordre magnetique du a l’interaction entre les parametres d’ordre dielectriques excitoniques et supraconducteurs, n’existe que quand tous les paramitres d’ordre sont diffkrents de zero et que leur phases satisfont des conditions bien determintes. Cela correspond au caractere de l’interference des ondes. En outre, dans notre modele, la supraconductivite et le ferromagnttisme peuvent exister simultanement avec des constantes d’interaction prenant des valeurs arbitrairement faibles. En effet, les conditions de l’existence du ferromagnetisme itinerant de Stoner pour le couplage d‘interaction dans notre cas s’averent plus favorable car les electrons des differentes bandes sont examines. Comme le decouplage des spins s’etant produit dans toutes les (deux) bandes, le desavantage quant a l’energie cinetique qui empEche l’etat ferromagnetique engendre par la redistribution des particules dans la bande de conduction, est compense par le surplus d’tnergie des &tats de la bande de valence.

En bref, dans notre schema, la coexistence du ferromagnetisme et de la supraconductivite peut Etre transferee en existence simultanee des associations en paires dielectriques excitoniques et supraconductrices dans laquelle apparait l’ordre magnetique. Le but essentiel de cet article est d’examiner de faqon plus general tous les conditions possibles de cette coexistence que nous avons ktudit pour un cas particulier dans le travail [lo]. Nous allons aussi presenter pour la premiere fois les rbultats numtriques de ce modele qui sont, selon nos avis, interessants du point de vue physique ainsi que mtthodologique.

2. Hamiltonien du modkle et Cquations principales

Considerons les systemes dont l’etat initial contient des paires dielectriques (paires electron-trou) existant aussi bien sous la forme singulet que triplet, et en mime temps des paires supraconductrices (paires electron-electron). I1 s’agit des materiaux dont la phase initiale est semimttallique avec des surfaces de Fermi d’electrons et de trous a peu pres

Ferromagnetisme itinerant dans des semimetaux supraconducteurs 247

coincidant lorsqu’on deplace la surface de Fermi des electrons (ou des trous) dans une direction d’un vecteur Q quelconque [15]. I1 peut aussi s’agir de mktaux dont les bandes etendues sont exigues alors que le spectre energetique de l’electron ~ ( p ) satisfait la condition ~ ( p ) = -c(p + Q) [16]; ou bien de metaux ou les surfaces de Fermi comprennent des zones planes [ 171 ou bien des semiconducteurs dont l’energie d’association de I’exciton est superieure a la largeur de la bande interdite [IX]. Dans notre etude, d u n e maniere concrete, nous examinons des systemes semimttalliques avec des surfaces de Fermi presque coincidant. A l’egard de ces systemes, comme a [lo, 141 nous employons 1’Hamiltonien suivant :

ou a i o ( p ) et a:(p) sont des operateurs dannihilation et de creation d’electrons dans la bande i avec le spin 012 = f et la quasi-impulsion p ; 6, et b i sont des operateurs d’annihilation et de creation de phonons revelant du mode instable et wq est la frequence initiale de ce phonon; g est la constante de couplage de l’interaction electron-phonon entre deux bandes differentes (on suppose que cette interaction pour chaque bande est renormalisee en une constante d’interaction klectron-electron iij). Le spectre energetique des electrons dans la bande i peut avoir la forme

ici m* est la valeur de la masse effective de l’electron, qui est supposee identique pour les deux bandes (i = 1,2); cF est le potentiel chimique quand le dopage est nu1 et p le deplacement du niveau de Fermi a cause du dopage. Notons que nous posons h = k , = 1 d a m toutes nos equations. Nous examinerons le probleme dans l’approximation de haute densite electronique, lorsque cF >> e2x/E et p; e est la charge d’electron, F la constante dielectrique du reseaux et x l’inverse du rayon caracteristique de l’interaction Coulombienne. Dans ce cas ci, iij peut i tre considere comme independant de I’impulsion. En outre, a cause de l’hermeticitt de l’Hamiltonien, est reel.

Dans le cas gkneral, on peut montrer que la coexistence des paires dielectriques singulets (caracterises par la fonction de Green Gyy (i =+ j ) ) et des paires dielectriques triplets (caractkrises par la fonction de Green GGuo ( i =+ j ) ) conduit automatiquement a l’existence de la fonction de Green G,iUu [12]; tandis que la coexistence des paires dielectiques et supraconducteurs conduit automatiquement a l’kxistence des paires d’electrons issus des deux bandes diffkrentes (caracterises par la fonction de Green F z u 2 (i =k j ) ) [lo, 141. Ainsi nous devons examiner simultanement toutes les fonctions de Green suivantes:

G y * ( x - x’, t ) = (TYiol(X, t ) Yi+2(x‘, 0)) ,

F y y x - x’, t ) = - (TYio , (x , t ) !Pjcz(X’, 0)) ,

(3)

(4)

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ou i, j = 1,2 et ol, o2 = f 1; c'est a dire en tout il y a 32 fonctions. Ici Y(x, t ) et Y+(x , t ) sont des optrateurs d'annihilation et de creations d'electron dans la representation d' Heisenberg. Dans la representation de Schrodinger, ces optrateurs peuvent s'exprimer par des opkrateurs d'annihilation et de creation d'electron avec quasi-impulsion p , c'est a dire par des opkrateurs ai,(p) et u;(p),

Yiu(x) = 1 Q i p ( x ) aiu(p) ; P

ici QiP(x) est la fonction de Bloch d'electron avec l'impulsion p dans la bande i. En icrivant les equations pour les fonctions de Green (3), (4) on voit aisement qu'on

doit rksoudre des systimes de huit equations. Nous nous efforqons de le simplifier par le choix d'un systeme de coordonnkes approprik et ensuite nous examinerons les cas particuliers possibles. I1 faut noter que dans le systkme de coordonnkes ou le moment magnktique moyen M 1 1 Oz (reprksentation z ) si l'on neglige le caractire hettrogine d'aimantation, la fonction de Green G,:"" est nulle. Ainsi on a l'tquation suivante pour la bande 1:

et une autre equation obtenue a partir de (5) en remplaqant 1 0 2. Dans (5) la fonction avec l'argument nu1 est dkfinie comme

f ( 0 ) = T 1 f ( p , w , ) ; w, = zT(2n + 1). P . o n

Comme nous considtrons essentiellement l'Ctat supraconducteur du systeme, la temperature Test supposee beaucoup plus petite que la frequence de Debye wD. Ce qui permet de rester au deuxiime ordre d'approximation par rapport a la constante &interaction g dans la formule (5). Comme Yon a cite ci-dessus, en raison de ce que la coexistence des fonctions GY1 (i =!= j) et F y 2 conduit automatiquement a l'existence de la fonction F :y3 (i + j ) (0, ol, 02, o3 satisfont la relation (13)) on a les cas particuliers suivants lorsque la condition (5) est remplie (i =!= j ) :

Ferromagnetisme itinerant dam des semimktaux supraconducteurs 249

Le systeme des equations pour les fonctions de Green peut etre ecrit d'une maniere formelle aux quatre cas precites comme suit:

Ici les gaps energttiques sont definies comme d'habitude:

Sy' = -,IiiFk'(0),

sy3 = -,xl2~y3(0) ( i + j ) ,

ou les indices de spin satisfont la relation

-a3 = 0 1 0 2 - a .

Les cas particuliers, determines par les conditions (7) a (lo), correspondent aux relations suivantes pour les indices de spin:

a) condition (7): -a1 = --a ; -a2 = --a ; -a3 = -a ; (14)

b) condition (8): -a1 = -a ; -a2 = --a ; -a3 = --a ; (15)

c) condition (9): -a1 = --a ; -a2 = -a ; -a3 = - - a ; (16)

d) condition (10): -a1 = -a ; 0 2 = -a; -a3 = -a. (17)

L'existence de ces quatre cas due aux couplages singulet et triplet excitoniques (inter- bandes) et supraconducteurs (intrabandes) est la consequence de la consideration dans la representation z. Le premier cas (condition (7)) correspond aux couplages triplet excitoniques et singulet supraconducteur; le deuxieme (condition (8)) - singulet excitonique et singulet supraconducteur; le troisi6me - triplet excitonique et triplet supraconducteur et le quatrieme - singulet excitonique et triplet supraconducteur.

3. Etat mixte ferromagnktique-supraconducteur (F-S)

Dans le travail [14] on a ktudie le deuxi6me cas (condition (8)) pour Yetat paramagnetique. I1 n'est pas difficile cependant de montrer que dans tous les cas mentionnes ci-dessus, 1'Cquation (11) a la mkme solution pour l'etat paramagnetique que dans [14]. Cela signifie que la coexistence des couplages excitonique (electron-trou) et supraconducteur (klectron-electron) a lieu non seulement dans le cas singulet excitonique (condition (S)), mais aussi dans les autres cas independamment du spin. Quand a la solution ferromagnetique elle existe dans tous les cas mentionnes ci-dessus, mais depend du spin. En se basant sur la coexistence des couplages triplet excitonique et singulet supraconducteur (premier cas, condition (7)) dans [lo], on avait considere le ferromagnetique comme la modification de l'etat antiferromagnktique qui est du au couplage triplet excitonique. Mais, comme on montre dans cet article, l'existence du ferromagnetisme itinerant dans l'etat supraconducteur

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est due a l'origine plus generale: c'est l'interaction des parametres d'ordre excitoniques et supraconducteurs malgre leur faqon de couplage des spins. Pour cela on considere maintenant, par exemple, le deuxieme cas (condition (8), c'est a dire l'interference entre les couplages singulet excitonique et singulet supraconducteur). Faisant comme dans [ 101 on trouve qu'en dehors de la solution paramagnttique coincidante a celle dans [14], il existe une solution ferromagnetique correspondant a la condition des phases suivante:

~ ( 1 - + ( x S = k , n ,

~ ( 1 + ti4 - = ( k , + l ) ~ , (18)

a, - c12 + ~ ( 5 -(xG = 2k271,

dans laquelle c(,, CI,, . . . , c ( ~ sont respectivement les phases des gaps energktiques A"", A -"-", ST:", S;;", S;;", Sypd et k, , k , sont des nombres entiers. Le determinant de (11) peut Ctre ecrit sous la forme

D = x4 + ax2 + bX + C ,

x = ion ;

b = +8dS,Sz ;

a = -2(p2 + S: + d 2 + S: + 21, (19)

c = (E' - p' - S: + A' + Sf)' + 4S:(p2 - A')

Ici, comme dans [lo] on considere les gaps A"" et A - " - " ; Slpd et S;;6; S;: et S;?-" ayant la mCme valeur pour chaque paire et qui sont &gales respectivement a A , S,, S,. La signe double (A) pour h depend du choix de k,: (+) si k , est un nombre paire et (-) si k , est un nombre impair. La solution de I'tquation D = 0 nous donne un spectre d'excitations elementaires qui a la forme suivante dans les cas particuliers:

a) lorsque A = 0: xi = ((c' + A2)'I2 ,i)2 + g2, (20)

b) lorsque S , = 0: x: = ((E' + j ) ' , ,i = (p." + S;)"'. (21)

Dans le cas general, lorsque tous les gaps sont diffkrents de zero, la solution de D = 0 ne peut pas Ctre tcrire d'une maniere explicite. Cependant on peut demontrer qu'il existe quatre solution reelles (deux positives, deux negatives); c'est a dire qu'il existe des solutions adaptees a l'etat stable du systeme. En presentant (19) sous la forme

D = (X - XI) (.x - ~ 2 ) (X - xj) (X - xq),

on peut tcrire d'une maniere formelle le systeme d'equations pour les gaps et le moment magnetique suivant la valeur de xi (i = 1, 2, 3 ,4) . La zone oh existe I'etat F-S dans ce cas est determinee par les lignes S , = 0 et A = 0 sur le diagramme (do, So). Nous trouvons les equations suivantes pour determiner ces lignes:

laligne S , = 0 : S , = 0 , So = 0 . d = A,,; (22) laligne d = 0 : S , = 0 , S , = So.

Ferromagnetisme itinerant dans des semimetaux supraconducteurs 25 1

ou do et So sont respectivernent les gaps dielectrique et supraconducteur quand ils existent separtment :

N(0) est la densite des etats electroniques au niveau de Fermi; o, et w,, sont respectivement des energies de coupure pour lij (i + j ) et Lii; n = 6N/(4N(O)) et 6N est la difference des densitks entre des electrons de la bande de conduction et des trous de la bande de valence.

Sur la Fig. 1, cette zone est hachuree. On constate facilernent que la ligne A = 0 dispose, lorsque So est grand, d’une asymptote (In (d,/So) = -1) differente de celle dans le cas examine dans [lo] (So = A 0 ) ; cela veut dire que le cas dans [lo] dispose d’une zone plus exigue par rapport au cas considere ici. I1 y a une autre difference: les parametres A et S, sont dtterminks par les diffkrentes constantes d’interaction (voir Yequation (12)). I1 est facile de trouver que les conditions (18) pour les phases des gaps energetiques sont a peu prks similaires par rapport au cas examine dans [lo]. Cela signifie la mime nature d’interfkrence des ondes independamment de manikre du couplage de spin.

D’une faGon analogue on peut montrer l’existence de l’ktat mixte F-S dans les troisikme et q u a t r i h e cas. L’existence du ferromagnktisme dans ces cas est plus ou rnoins kvidente griice au couplage triplet supraconducteur. Mais en difference de [5], grlice Li l’interaction avec les parametres d’ordre exitoniques le couplage triplet supraconducteur peut conduire au ferromagnetisme avec des constantes d’interaction arbitrairement faibles. Plus precise- ment, les constantes d’interaction determinant les gaps energetiques dans la formule (12) doivent itre dependantes du spin. Cela conduit i la difference quantitative entre les cas determines par les conditions (7) Li (10) et par consequent resout le probleme de stabilitt des &tats consideres. Notons que dans tous les cas les equations (12) determinant les gaps energetiques auront des solutions lorsque ,Iii < 0 et ,Iij > 0 (i + j ) ; c’est a dire que les

Fig. 1. Diagramme de phases pour le cas avec condition (8) d a m le plan (A , , , So). So et A,, sont les gaps supraconducteur et dielectrique excitonique respectivement quand ces deux phases existent separe- ment. Le moment magnetique M peut 2tre different a zero dans la phase mixte supraconducteur- die- lectrique (S -D) (zone hachuree)

252 C. Do TRAN, D. NGUYEN MANH et C. NGUYEN VAN

electrons dans une bande exercent l’attraction et dans des bandes differentes exercent la repulsion.

Pour mettre en evidence la comprehension de l’ttat mixte F-S nous considerons en suite des proprietks et la condition de stabilite de cet etat F-S.

4. Propriktks magnktiques de 1’Ctat mixte F-S

Le moment magnetique moyen du systeme M peut ttre calculi: a travers les fonctions de Green. Dans la representation z nous avons

od pB est le magntton de Bohr. En mettant les fonctions de Green dtterminkes par (11) dans (24) nous obtenons pour l’ktat F-S:

Le moment magnetique qui apparait a cause de I’interference entre les parametres d’ordre dielectriques excitoniques et supraconducteurs, est &gal a zero lorsqu’un de ces parametres est egal a zero. Dans le cas general, la temperature de transition ditlectrique TD (quand A = 0) est diffkrente de celle de transition supraconductrice T, (quand S , = 0); c’est pourquoi la temperature de Curie (quand M = 0) prendra la plus petite valeur des deux temperatures TD et T,.

5. Condition de stabilitk de I’ktat F-S

Pour determiner la condition de stabilitk de l’etat ferromagnetique, nous cherchons la variation de I’tnergie de l’etat ferromagnetique par rapport a l’ktat dielectrique et supraconducteur lorsque ces derniers existent s6parCment l’un de l’autre. Nous avons les relations suivantes en procidant de la mtme faGon que dans [14]:

0

Pour que l’etat ferromagnetique soit plus avantageux au point de vue energetique (stable) que les Ctats dielectrique et supraconducteur lorsqu’ils existent separkment, il faut que la condition d > S2 soit remplie. A partir des equations (ll), (12) nous obtenons

3 A = (y) In (2) [In (t) - 3’. Dans le cadre d’approximation du modele examine, la partie droite de l’tquation (27)

est inferieure a 1; c’est pourquoi A > S,. Maintenant nous allons comparer la variation

Ferromagnetisme itinerant dans des semimktaux supraconducteurs 253

de l’energie de l’etat ferromagnetique par rapport a celle de l’etat paramagnetique etudik dans [14]. Avec des valeurs petites de S , nous avons pour l’etat ferromagnetique ( T = 0 K):

S , = rz) exp (-A), A , - n

go = In (2) Une expression semblable pour S, dans le cas paramagnetique (voir [14]):

a) le cas asymttrique (Sll = - S 2 , = Sp); S, = 0):

b) lecassymetrique ( S , , = S 2 , = Sf); S , =k 0):

Comparer l’expression (28) aves celles de (29) et (30) on peut dkmontrer aisement pour les petites valeurs de S , que S, > Sf‘) et S, > Sp) lorsque:

La condition (32) est d’autant plus facile satisfaire lorsque So est petit (go 9 1). Comme Sp) est egal a zero quand g* < 0 pour l’etat paramagnetique [14], l’etat ferromagnetique est plus avantageux au point de vue energetique lorsque So est petit. Quand So augmente (go diminue) l’etat paramagnetique deviendra progressivement plus favorable. Pour obtenir une condition generale avec n’importe quelle valeur de So au lieu d’employer la condition (32) il est necessaire d’effectuer des calculs numeriques.

6. RCsultats numCriques et discussions

Dans cette derniere partie, nous presentons les rksultats des solutions numeriques obtenues a partir du systeme des equations auto-coherentes ( l l ) , (12) pour l’etat F-S. I1 nous permet de mettre en evidence un certain nombre de points inconnus jusqu’a maintenant.

Pour commencer, nous presentons les rtsultats dans le cas T = 0 K. Sur la Fig. 2 nous avons porti la dependance du parametre A (le gap dielectrique) en fonction de la difference (renormalisee et definie par le parametre n) entre les concentrations des electrons et des trous pour quelques valeurs initials du So = 0.05n, 0.10n, 0.81n et A,, = 1.85~1 (dans nos calculs, nous supposons que n est toujour positif). Nous avons trouve que le gap dielectrique est maximum dans la phase non-dopee (n = 0) et il decroit regulierement avec l’exces des electrons. Du point de vue physique, ce comportement est tres nature1 parce que le dopage a la tendance de diminuer l’association en paires electron-trou caractirisant ce gap. Le dopage critique detruisant la phase dielectrique ne differe sensiblement que pour les fortes


I Fig. 2. La dependance du gap dielectrique d de l'etat mixte S D en fonction de dopage n a T = 0 K pour les differentes valeurs initiales.

So = 0.05n, A , = 1.85n; 0 So = 0.10n, A , = 1.85n; 0 So = 0.81n, A , = 1.85n. n represente le diplacement renormalist du niveau de Fermi par rapport la phase

sont mesures en unites de E~

-

-

- normale (S = A = 0); les grandeurs 0,4 -

0- - 1 I I I I

U 2 4 10n -

Fig. 3. La dependance du gap supraconducteur S, en fonction de dopage n a T = OK. -__ S , = 0.01n, A , = 1.8%; 0 So = 0.05n, A , = 1.85n; o S , = 0.10n, A , = 1.85n

Fig.4. La m&me dependance comme sur la Fig. 4 pour l'aimantation M

?On -

Ferromagnetisme itinerant dans des semimetaux supraconducteurs 255

Fig. 5. La dependance dc S , en fonction de do pour Ics valcurs initiales: A , = 1.85n et So = 0.955n

4,B - *- 2

-

496 ~

L .- Fig. 6. La dependance de S , en fonction de la temperature pour les valeurs initiales: So = 0.39n et do = 4.0n 159 r I

-

Q05 227 I0 T -

I

z I ; 728

8

971 -

005 I, 16 2,27 I0 T -

Fig. 7. La m i h e dependance comme sur la Fig. 6 pour A4


valeurs de So. L‘evolution des parametres d’ordre supraconducteur S , en fonction de dopage apparait sur la Fig. 3. Une dependance similaire est obtenue pour le parametre S,. Nous constatons qu’ils ont a peu prbs le mEme comportement pour toutes les valeurs des paramitres considerb: les parametres S , et S, tendent vers une valeur maximale dans la gamme des faibles concentrations ou le dopage favorise la formation des paires de Cooper et ils tendent vers zero dans la limite des dopages forts od la densite d’6tat klectronique ne devient plus un facteur suffisamment important pour l’ttat supraconducteur. La Fig. 4 montre I’evolution du moment magnetique moyen M en fonction de dopage. I1 nous faut rappeler qu’i partir de l’equation (25), le comportement du M depend directement des parametres A , S,, S,. C‘est pour cela que les valeurs maximales retrouvires sur la Fig. 4 proviennet principalement du comportement des parametres d’ordres supraconducteurs S present& dans la Fig. 3. Afin de comprendre l’ttat mixte F-S, la dependance du parametre S, en fonction de la valeur initiale du parametre A , est portire sur la Fig. 5. Nous avons vu que dans le cas du modble etudit, le gap supraconducteur decroit continuellement pour les valeurs A , < 3.5. Une telle variation peut Etre expliqute facilement par le fait que au debut, l’augmentation de valeurs du gap diklectrique excitonique a tendance a diminuer la possibilite d’association des electrons en paires de Cooper. Cependant, la Fig. 5 montre que l’etat supraconducteur devient de plus en plus important quand les valeurs de A , augmentent. La croissance du parametre S, peut Etre expliqute par le fait que dans cette region la densite d’ttat klectronique devient de plus en plus forte au voisinage du gap diklectrique et par consequent, elle doit intervenir pour augmenter le facteur exposant dans la formule du gap supraconducteur.

Enfin, pour montrer que notre modele peut Etre generalis& dans le cas T =k 0 K, nous avons examine la dependance des parametres d‘ordre de l’ktat ferromagnetique-supraconducteur en fonction de la temperature. Sur les Fig. 6 ,7 nous avons present6 les fonctions S , (T) , M ( T ) , respectivement. Comme illustrent ces figures, les calculs numkriques des parametres d’ordre supraconducteurs et magnetique confirment des caractbres de la transition de phase de deuxibme ordre dans notre modele de leur coexistence. On voit clairement sur les figures que la temperature critique de cette transition est netement inferieur a la temperature de Debye et cela est cohkrente avec l’approximation que nous avons adopte dans la deuxieme partie de ce papier.

Remevciement

Les auteurs remercient sincerement M. le Professeur V. Kopaev pour les discussions des resultats et sont particulibrement reconnaissant a M. le Professeur M. Cyrot de l’UniversitC Joseph Fourier pour son intCrEt et ses commentaires trls fructueux concernant la physique du modble de ce travail et sa liaison avec des rCsultats expkrimentaux.

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(Received June 26, 1991)

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Theorie du ferromagnétisme itinérant dans des semimétaux supraconducteurs