TRABAJO DE INVESTIGACION

TRABAJO DE INVESTIGACIÓN

Tema: Paper y Ajuste por mínimos cuadradosMateria: Análisis Numérico y Cálculo Avanzado

Profesor: Amiconi, DiegoComisión: 56

Autor: Cavalier, MartínLegajo: 05-24514-1Fecha: 24/07/2014

PARTE I

AbstractUn paper es un trabajo de investigación que es: Científico, Acotado, Original, Integral, Actual, Pertinente, Comprensible yPropio. Posee una determinada estructura (título, Abstract, palabras clave, introducción, revisión bibliográfica, metodología, desarrollo/análisis/resultados/argumentación, conclusión y bibliografía) Estructura de un paper: La siguientees una estructura orientativa ya que algunas secciones podrían variar u omitirse.

Palabras clavePaper, Investigación, Científico.

Desarrollo

Un paper es un trabajo de investigación que es: Científico, Acotado (se busca presentar una pregunta y responderla), Original, Integral, Actual, Pertinente (debe mostrarse su relevancia actual o potencial), Comprensible y Propio.

Título Abstract (100-150 palabras) Palabras clave (4 o 5 términos) Introducción:

-Oración introductoria- Pregunta inicial y enfoque de la misma- Justificación de por qué es importante el trabajo- Descripción de la estructura del paper

Revisión bibliográfica: se resume el estado de la temática, sus controversias y/o avances,

Metodología: Descripción del procedimiento que se llevará a cabo para responder el interrogante planteado

Desarrollo/Análisis/Resultados/Argumentación: se desarrolla el material investigado respondiendo a la pregunta original mediante los métodos propuestos.

Conclusión: Se recuerda la pregunta y los resultados obtenidos mediante la investigación y decir cuáles son lasnuevas posibles medidas a llevarse a cabo a partir de los estos.

Bibliografía: literatura que se ha leído y citado en el texto del paper, es muy relevante o tiene muchos puntos encomún con la investigación realizada.

Apéndices: en él se incluye material ampliatorio.

PARTE II

Ajuste por mínimos cuadrados

Abstract

Se explicará el funcionamiento de los ajustes por mínimos cuadrados para funciones de tipo potencial y lineal y se dará un ejemplo de como con esta herramienta se puede predecir la cantidad de hipoclorito de sodio (cloro) que ABSA necesitará cierto año para llevar a cabo el proceso de potabilización de agua de una ciudad.

Desarrollo

Marco teórico

Lo que busca este método es, mediante determinadas herramientasestadísticas relacionar 2 o más variables. Estas herramientas son:

Regresión Correlación Diagramas de dispersion y modelos de regresión.

El método de los mínimos cuadrados dice que de todas las rectaso curvas que representan a una nube de puntos, la que tenga la suma mínima de los cuadrados de las distancias entre cada puntoy la recta o curva es la que mejor representa a dicha nube.Supongamos que tenemos las siguientes muestras:

x x1 x2 … xn−1 xny y1 y2 … yn−1 yn

Y además, conocemos la función empírica y=f(x,a1,a2,…,an) que nos da la forma de la curva que representa la nube de puntos y cuyos coeficientes a1,a2,…,an son los que necesitamos averiguar.

Luego, según el método de los mínimos cuadrados hay que determinar los coeficientes a1,a2,…,an de manera tal que la suma de los cuadrados de las desviaciones sea mínima. Es decir que hay que minimizar una función como la siguiente:

δ (a1,a2,…,an )=∑i=1

n[f (xi,a1,a2,…,an)−yi]

2

Para que ello suceda tiene que ser:

∂δ∂a1

=0; ∂δ∂a2

=0;…; ∂δ∂an

=0

Si este sistema tiene solución y es única entonces es la que mejor se ajusta a la nube de puntos.

Si la función empírica es lineal respecto a los coeficientesa1,a2,…,an, tenemos que:

f (x,a1,a2,…,an )=a1φ1 (x )+a2φ2 (x )+…+anφn(x)

Con lo cual la función de los coeficientes se convierte en:

δ (a1,a2,…,an )=∑i=1

n[a1φ1 (x )+a2φ2 (x )+…+anφn(x)−yi]

2

Luego, para minimizar esta función debe cumplirse que:

∂δ∂a1

=2∑i=1

n[a¿¿1φ1 (xi )+a2φ2 (xi)+…+anφn(xi)−yi¿]φ1 (xi )=0¿¿

∂δ∂a2

=2∑i=1

n[a¿¿1φ1 (xi )+a2φ2 (xi)+…+anφn(xi)−yi]φ2 (xi )=0¿⋮

∂δ∂an

=2∑i=1

n[a¿¿1φ1 (xi )+a2φ2 (xi)+…+anφn(xi)−yi]φn (xi )=0¿

Es decir que el sistema a resolver es:

{a1∑i=1

nφ1 (xi )φ1 (xi)+a2∑

i=1

nφ2 (xi )φ1 (xi )+…+an∑

i=1

nφn (xi )φ1 (xi)−∑

i=1

nyiφ1 (xi )=0

a1∑i=1

nφ1 (xi )φ2 (xi)+a2∑

i=1

nφ2 (xi )φ2 (xi )+…+an∑

i=1

nφn (xi )φ2 (xi)−∑

i=1

nyiφ2 (xi )=0

⋮

a1∑i=1

nφ1 (xi )φn (xi)+a2∑

i=1

nφ2 (xi )φn (xi )+…+an∑

i=1

nφn (xi )φn (xi)−∑

i=1

nyiφ2 (xi )=0

Para el caso particular en el que la función empírica de ajustees una recta:

y=a1+a2x=yajuste=ypronostico

Tenemos que:

φ1 (x )=1; φ2 (x )=x

O sea que el sistema que, si tiene solución única, nos da los coeficientes es:

{ a1∑i=1

n1+a2∑

i=1

nxi=∑

i=1

nyi

a1∑i=1

nxi+a2∑

i=1

nxi2=∑

i=1

nxiyi

⟷[ n ∑i=1

nxi

∑i=1

nxi ∑

i=1

nxi2]⋅[a1a2]=[ ∑

i=1

nyi

∑i=1

nxiyi]

Con yi=yajustei=ypronosticoi

Para el caso particular de una función empírica de tipo potencial:

y=axb=ypronostico

Para poder aplicar el método debemos llevarla a una forma lineal:

ln(y)=ln(a)+bln (x)=yajuste

Análogamente al caso de la recta:

¿

Bondad del ajuste

Es un parámetro que nos permite decir si el ajuste realizado estan bueno como lo deseamos o no. Cuanto mayor es el valor de este parámetro, mejor es el ajuste.

El mismo se calcula como:

R2=ST−SRST

Donde ST=(yi−y )2 y SR=(yi−yajuste)2

Parte Práctica:

ABSA lleva un registro anual de la cantidad de hipoclorito de sodio necesarios para potabilizar el agua con la que abastece aLa Plata. Los datos que se tienen corresponden a los últimos 12años y son los siguientes:

año cloro necesario[kilos]

2002 67867,99052003 68472,7592004 69077,8562005 69698,17352006 70349,69852007 71023,0142008 71698,08152009 72367,78352010 73024,12652011 73621,4492012 74243,73752013 74976,183

Gráfica de dispersión

2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 201464000

66000

68000

70000

72000

74000

76000cloro necesario para potabilizar

el agua

cloro necesario para potabilizar el agua

En este caso se puede apreciar que se distribuyen de manera lineal por lo cual podría realizar un ajuste del mismo tipo, pero eso no quita la posibilidad de realizar un ajuste de tipo potencial (por ejemplo) donde el incremento de la variable dependiente sea prácticamente lineal con respecto a la independiente en el intervalo de X que contiene a la nube de puntos.

Ajuste por mínimos cuadrados de tipo lineal:

i X(año) Y(cloro enkilos) x2 xy

1 2002 67867,9905 4008004 1358717172 2003 68472,759 4012009 137150936,33 2004 69077,856 4016016 138432023,44 2005 69698,1735 4020025 139744837,95 2006 70349,6985 4024036 141121495,26 2007 71023,014 4028049 142543189,17 2008 71698,0815 4032064 143969747,78 2009 72367,7835 4036081 145386877,19 2010 73024,1265 4040100 146778494,310 2011 73621,449 4044121 148052733,911 2012 74243,7375 4048144 149378399,912 2013 74976,183 4052169 150927056,4∑ 24090 856420,8525 48360818 1719357508

Con los datos obtenidos armamos el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes a1 y a2 de la recta:

[ 12 2409024090 48360818]⋅ [a1

a2]=[856420,85251719357508 ]Con lo cual a1=−1229247.063 y a2=647,8781906

Gráfica de la recta obtenida:

2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 201464000

66000

68000

70000

72000

74000

76000

f(x) = 647.87819055944 x − 1229247.06317308

cloro necesario para potabilizar el agua

Ahora que obtuvimos la ecuación empírica podemos calcular la suma total de los desvios y la suma de regresión.

i X Y ST=(Y−Y )2 SR=(Y−Yaj)2 Y Yaj

1 2002 67867,9905 12252897,3 3958,41284 71368,404467805,074582 2003 68472,759 8384762,138 392,286676 68452,952773 2004 69077,856 5246611,858 527,848897 69100,830964 2005 69698,1735 2789671,176 2553,85222 69748,709155 2006 70349,6985 1037761,66 2198,56365 70396,587346 2007 71023,014 119294,5111 460,16832 71044,465537 2008 71698,0815 108687,0067 32,9220642 71692,343728 2009 72367,7835 998758,6355 759,640946 72340,221929 2010 73024,1265 2741415,755 1297,90106 72988,1001110 2011 73621,449 5076210,082 211,10046 73635,978311 2012 74243,7375 8267540,58 1609,53313 74283,85649

12 2013 74976,183 13016066,61 1975,65335 74931,73468∑ 24090 856420,852560039677,31 15977,8836 856420,8556

La bondad del ajuste con los datos obtenidos resulta 0,99973388. Al ser muy próximo a 1 podemos decir que fue un ajuste altamente efectivo.

Bibliografía

Lineamientos generales para escribir un paper o trabajo de investigación –Eugenia Perona – Departamento de Economía – FCE – UNC - http://portal.eco.unc.edu.ar/files/deconomia/Lineamientos%20generales%20para%20escribir%20un%20paper%20DOC%2027.pdf

http://www.unilibrecucuta.edu.co/portal/images/ investigacion/pdf/formato_papers.pdf

http://www.monografias.com/trabajos14/cloracion/ cloracion.shtml#determ

ABSA – Información institucional - http://www.aguasbonaerenses.com.ar/info-institucional.php

http://analisisymodelizacionnumerica.blogspot.com/

http://www.aguasbonaerenses.com.ar/info-institucional.php

http://www.monografias.com/trabajos14/cloracion/cloracion.shtml%23determ

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Anexo

X CONGRESO LATINOAMERICANO DE SOCIEDADES DE ESTADÍSTICA

CÓRDOBA, ARGENTINA. 16 A 19 DE OCTUBRE 2012

Comparación de modelos de regresión lineal de frutos yyemas florales

de arándano alto cultivados en Chile considerando la

heterocedasticidad*

Sonia Salvo1, Julio Ávila2, Carlos Muñoz3

1 Universidad de La Frontera, Chile. [email protected]



Resumen

La logística de la producción de arándanos requiere contar con predicciones realizadas con meses de anticipación del

rendimiento potencial que se obtendrá en la cosecha. Una forma de estimar este rendimiento es prediciendo la cantidad de frutos a cosechar, dependiendo de la cantidad de yemas floralesdisponibles. Esta relación es altamente lineal, sin embargo a medida que la cantidad de yemas aumenta el error de predicción en los frutos también aumenta. Este efecto se conoce como heterocedasticidad y afecta la predicción. Para controlar este efecto, fueron comparados tres modelos: de varianza contante, varianza no constante y transformación de variables con varianza constante. El modelo de variables transformadas se ajusta bien a los datos, pero no cumple los supuestos teóricos del error. Otro aspecto relevante es que el modelo de varianza no constante disminuye la varianza residual en orden del 90% y cumple todos los supuestos teóricos del error.

Palabras clave: Arándano, Vaccinium Corymbosum L., yema floral, frutos, heterocedasticidad, modelo de varianza.

1 Introducción

Durante el 2011 fueron exportadas alrededor de 73 mil toneladasde frutos a los mercados Norteamericano y Europeo (ODEPA, 2012). Para manejar adecuadamente la logística en este nivel deproducción se requiere contar predicciones realizadas con mesesde anticipación del

* Trabajo sometido a la revista Scientia Horticulturae en agosto 2012. Presentación en X CLATSE formato poster.


rendimiento potencial que se obtendrá en la cosecha. Tradicionalmente, el rendimiento del arándano es estimado a partir del conteo de yemas florales (en adelante yemas) realizado después de la poda. La relación entre frutos y yemas es altamente lineal (r entre 0.97 y 0.78) y su ajuste es mejorado cuando se considera la variedad y/o la variedad-edad de la planta (Salvo et al., 2011). Al incorporar otras variables en la estimación de frutos, el ajuste de los modelos mejora, pero la cantidad de yemas sigue siendo la variable con mayor poder explicativo (Salvo et al., 2012). Uno de los hallazgos al modelar la relación de frutos y yemas fue que a medida que la cantidad de yemas aumenta el error de predicción también aumenta. Esto indica la que la varianza en el error de predicción no es constante, atributo que se denomina heterocedasticidad. Una heterocedasticidad alta afecta negativamente a las predicciones dado que normalmente para realizarlas se usan métodos lineales de estimación de parámetros que asumen el supuesto de que la varianza del error es constante.

Una vía para controlar la heterocedasticidad es el uso de transformaciones logarítmicas. Este enfoque ha sido utilizado en modelos de predicción de biomasa y materia seca en bosques sub-tropicales (Brandeis et al., 2006) y en determinar el efecto de curculiónidos sobre el crecimiento y rendimiento de la frambuesa (Clark et al., 2012).

Otra forma de obtener un resultado similar es modificando el supuesto de varianza constante del error, para lo cual se asumeque Var(ε)=σ2V, siendo V matriz de varianza-covarianza (VC) definida positiva. (Seber and Lee, 2003).Con la parametrizaciónde la matriz de VC es posible determinar las componentes de varianza de factores aleatorios planteados en el Modelos MixtosGeneralizados. Aplicaciones de este enfoque fueron publicados en ecología (Batáry et al., 2012), crecimiento y altura del eucalipto (Calegario et al., 2005), la calidad de la madera (Kantavichai et al., 2010), descomposición del mango (De Ketelaere et al., 2006) and modelos de biomasa del maíz (Paulo and Tomé, 2010).

En modelos de regresión la parametrización de la matriz VC es modelada utilizando funciones de varianza para estimar la varianza del error. La función más empleada es 2 y2 y la estimación de los parámetros es realizado con método de mínimoscuadrados generalizados. Este enfoque ha sido utilizado para modelar el crecimiento de la pícea roja (Picea Rubens

Sarg.), el abeto balsámico (Abies balsamea L. Mill.)(Fortin et al., 2007), el pino radiata (Pinus radiata D. Don) (Castedo Doradoet al., 2006) y el abeto de Douglas (Weiskittel et al., 2007). En estos modelos la función de varianza mejora las predicciones.



El objetivo de este trabajo es ajustar modelos de regresión lineal para predecir la cantidad de frutos por planta basado enla cantidad de yemas florales con varianza constante, incorporando una función de varianza y variables transformadas.

2 Metodología

Sitio de estudio

Fueron visitados 14 huertos comerciales convencionales de arándano localizados entre la región Metropolitana y La Araucanía (Cubriendo un área geográfica de alrededor de 700 por100 Km). El clima de la región metropolitana es templado cálidocon lluvias invernales y la región de La Araucanía es templado lluvioso con influencia mediterránea.

Cinco cultivares son los apropiados al clima de la región. El marco de plantación usado en los huertos varía entre 0.6 y 3m para dos sucesivas filas y entre 0.5 y 1.1m para dos sucesivas plantas. La recolección de frutos comienza en el norte el mes de noviembre y termina en el sur en el mes de febrero del año siguiente.

Plantas seleccionadas

El número de plantas seleccionadas fue elegido por un muestreo aleatorio estratificado proporcional, el cual los estratos considerados fueron el número de plantas por huerto y proporcional a la variedad de las plantas. El muestro consideróun nivel de confianza del 95%, error de muestreo 5% y máxima varianza de 0.25. Las plantas fueron observadas durante las temporadas 2009 a 2011. La edad de las plantas varía entre 3 a 9 años. Un total de 912 plantas fueron visitadas cada temporadadurante este estudio. La distribución de la plantas por variedad es presentada en la Tabla 1.

Datos

Conteos sucesivos del número de yemas florales y frutos por planta fueron realizados durante las temporadas 2009 a 2011. Los conteos de yemas y frutos comienzan respectivamente despuésde la poda y durante el estado fenológico de fruto cuajado. Conel objetivo de controlar posibles errores de conteo, tres personas fueron entrenadas para realizar el conteo. El conteo de frutos fue realizado examinando toda la planta como siguiereSalvo et al.(2011), con el objetivo de reducir la sensibilidad de los parámetros usados en modelos de regresión. Los estadísticos del conteo de yemas y frutos por variedad son presentados en la Tabla 1.



Tabla 1. Principales estadísticos de los conteos de frutos y yemas por planta para cada variedad. Los conteos fueron realizados entre las temporadas 2009 a 2011.

Fruto

Yema

Variedad

n

Media

DS

CV

Media

DS

CV

Todas las variedades

912

1597

1134

0.71

317

254

0.80

Bluecrop

128

1474

1004

0.68

231

173

0.75

Briguitta

187

2154

1276

0.59

512

348

0.68

Duke

193

1671

1052

0.63

320

218

0.68

Elliott

231

1806

1068

0.59

281

170

0.60

O’Neal

173

781

562

0.72

194

135

0.70

DS: Desviación Estándar, CV: Coeficiente de Variación

Modelo de frutos

Para estimar la cantidad de frutos a partir de la cantidad de yemas por planta fue utilizado un

modelo regresión lineal simple según la ecuación 1.

yi = β0 + β1xi + εi (1)

Donde yi es la cantidad de frutos de la planta i, β0 es el

intercepto del modelo, β1 es el

parámetro de frutos por yema floral, xi es la cantidad de yemas

de la planta i y εi es el error aleatorio.

Generalmente el error aleatorio se distribuye normal con media cero y varianza constante σ2 y

los parámetros estimados por el método de mínimos cuadrados ordinarios. Sin embargo, para

tomar en cuenta la heterocedasticidad es necesario considerar una función de varianza que

involucre los valores predichos u otras variables explicativas (Fortin et al., 2007). La

estimación de los parámetros de esta función de varianza puede ser vista como una regresión

ponderada, cuya ponderación es parametrizada en lugar de ser fijada arbitrariamente. Un

ejemplo de esta función está basado en la potencia delvalor predicho, según indica la

ecuación 2.

Var i 2 yi2

(2)

Donde σ2 es la varianza residual,

y

es el valor predicho de frutos para la planta i y θ es un

i

parámetro a ser estimado utilizando el método de mínimos cuadrados generalizados (Pinheiro

et al., 2011). Esto significa que el error aleatorio sigue distribuyéndose normal con media

cero, pero con varianza no constante 2 yi2 .



Otra forma de controlar la varianza es mediante transformación de variables. El modelo de variables transformadas se define según la ecuación 3.

ln(yi)= β0 + β1ln(xi)+ εi

(3)

Tres modelos fueron ajustados: varianza constante (Eq. 1), varianza no constante (Eq. 1, 2) y transformación de variables (Eq. 3). Para determinar el modelo con mejor ajuste fueron comparados los estadísticos Akaike Information Criterion (AIC),Bayesian Information Criterion (BIC) y Log-likelihood. Para verificar la significancia del parámetro θ fue realizado la prueba de razón de verosimilitud (LRT). Estos criterios fueron utilizados por Fortin et al.(2007).

Con los conteos de la temporada 2009 y 2010 fueron estimados los parámetros de los modelos propuestos para todas las observaciones y por variedad. La validación del mejor modelo estimado fue realizada con los conteos de la temporada 2011.

Con el objetivo de comparar las predicciones fue utilizado un coeficiente de determinación ponderado, definido en forma similar al coeficiente de determinación R2 y conservando sus propiedades (Chambers, 1992). La diferencia es que en el

coeficiente utilizado la ponderación estimada es igual a la inversa de la función de varianza, Eq.4.

R2 1

SSE

SST

n

SSE wi2 ( y yˆ)2

i1

(4)

n

SST wi2 ( y y )2

i1

n

n

y yi wi

wi

i 1

i1

Donde SSE es la suma de cuadrados del error, SST es la suma total de cuadrados, wi es la ponderación de la planta i y y es el promedio ponderado de frutos.

La estimación de los modelos y gráficos fueron obtenidos con elsoftware estadístico R (R Development Core Team, 2011).



3 Resultados y discusión

Modelos ajustados

La Tabla 2 muestra los estadísticos para los modelos de varianza constante y no constante.

Los valores de AIC, BIC y Log-likelihood del modelo de varianzano constante disminuyen

entre un 1 y 10% en todas las variedades respecto del modelo devarianza constante (Tabla 2).

El LRT fue significativo en todos los casos, lo que indica que la incorporación del parámetro

θ mejora los modelos. Además, modelando la varianza se disminuye el indicador log-

likelihood en todos los casos, lo que implica que se obtiene unmejor ajuste a los datos.

Tabla 2. Resumen del ajuste de los modelos por variedad.

Variedad

Modelo de varianza

AIC BIC Log-likelihood LRTa

Todas las

Constant

9851

9864

-4922

690***

variedades

Non-constant

9163

9181

-4578

Bluecrop

Constant

1315

1323

-655

83***

Non-constant

1234

1244

-613

Brigitta

Constant

2044

2053

-1019

29***

Non-constant

2017

2028

-1004

Duke

Constant

1941

1950

-968

92***

Non-constant

1851

1862

-921

Elliott

Constant

2407

2416

-1200

71***

Non-constant

2337

2349

-1165

O’Neal

Constant

1451

1459

-722

138**

Non-constant

1314

1325

-653

a LRT: Likelihood ratio test.*** p-valor< 0.001

La Tabla 3 muestra los estadísticos para los modelos de variables transformadas. Los valores

de AIC, BIC y Log-likelihood disminuyeron significativamente cuando los modelos son

ajustados por variedad respecto al ajuste para todas las variedades, lo que coincide a lo

observado con los otros dos modelos (Tabla 2). Es necesario notar que este modelo no es

comparable con los modelos de la Tabla 2 porque no comparten lamisma variable respuesta

(Eq. 3).

Tabla 3. Estadísticos del modelo de variables transformadas.

Variedad

AIC BIC Log-likelihood


482

495

-238

Bluecrop

85

92

-39

Brigitta

143

152

-69

Duke

26

34

-10

Elliott

257

266

-125

O’Neal

-83

-75

45



La Figura 1 muestra la comparación de los modelos ajustados conbandas de confianza a 1 veces la raíz de la varianza del error estimada, que depende de cada modelo ajustado. Los modelos de varianza constante sobreestiman la cantidad de frutos en plantas con pequeñas cantidades de yemas (<250). Los modelos de varianza no constante y de variables transformadas se ajustan mejor a las observaciones, la mayoría de ellas estándentro de las bandas de confianza. Las bandas de confianza crecen más rápidamente en el modelo de variables transformadas que el de varianza no constante. Pareciera ser que los dos primeros modelos son adecuados para este tipo de variables, a pesar que el modelo de variables transformadas mantiene el supuesto varianza constante.

Figura 1. Comparación de los modelos ajustados sobre los conteos de frutos y yemas de la temporada 2011 (Banda de confianza de ±1 veces la raíz cuadrada de la varianza del error estimada).

En la Figura 2 se muestran los residuos normalizados de los modelos ajustados con varianza no constante (a) y transformación de variables (b). Los residuos del modelo de varianza no constante no presentan el efecto embudo reportado por Salvo et al. (2011) y verifican los supuestos de homogeneidad de varianza para todas las variedades a excepción del modelo con todas las variedades. Esto indica que es más adecuado ajustar modelos por variedad, tal como lo reportado por Salvo et al. (2011). En los modelos con variables transformadas no se observa el efecto embudo, pero el supuesto de homogeneidad de varianza sólo fue validado en la variedad ‘O’Neal’.



El supuesto de normalidad de los errores fue comprobado en todos los modelos con varianza no constante, mientras que en los modelos con variables transformadas sólo las variedades

‘Brigitta’, ‘Duke’ y ‘O’Neal’ cumplen este supuesto.

Tanto los modelos de varianza no constante como el de variablestransformadas se ajustaron mejor a los datos. Sin embargo, soloel modelo de varianza no constante cumple los supuestos teóricos necesarios para realizar predicciones de frutos y por tanto obtener mejores predicciones del rendimiento por planta.

(a)

(b)

Figura 2. Residuos normalizados de los modelos con varianza no constante por variedad (a) y transformación de variables (b).

La Tabla 4 muestra los coeficientes estimados del modelo con varianza no constante (Eq. 2) con todas las variedades y por variedad. Existen diferencias entre los parámetros estimados y todos fueron significativos. Estos valores estimados de β1 son similares a los reportados por Salvo et al. (2012), quien utilizó un modelo de varianza constante. Esto es consistente yaque

β1 representa la cantidad de frutos por yema para una determinada variedad y se espera que estos valores sean similares por variedad, independiente del modelo ajustado por expresión genética. Sin embargo, la varianza residual fue disminuida considerablemente respecto a los reportados por Salvo et al. (2011, 2012 #55).

Estos hallazgos indican que el uso de modelos de varianza no constante son más adecuados por la disminución significativa enla varianza residual, lo que impacta directamente en predicciones más confiables.



Tabla 4. Parámetros estimados para el modelo con varianza no constante.

Variedad

0

1


-2.82±6.14

5.50±0.09***

1.0626

0.2052

Bluecrop

-32.23±29.51 7.49±0.35*** 1.0279 0.2311

Brigitta

246.23±78.29***

3.86±0.21***

0.7624

2.4564

Duke

121.73±42.98***

4.95±0.22***

1.1352

0.0871

Elliott

3.26±32.15

6.34±0.21***

0.7843

1.5423

O’Neal

9.56±3.74**

4.20±0.08***

1.146

0.0614

*** p-valor< 0.001, ** p-valor<0.05

En la Figura 3 se muestran los gráficos de dispersión por variedad utilizando los conteos de

validación, temporada 2011, y los valores predichos de los frutos obtenidos con los

parámetros estimados de la Tabla 4. Las bandas de confianza mostradas están a ±1 y ±2

veces la raíz cuadrada de la función de varianza estimada. Los modelos ajustados lograron

explicar la varianza de los conteos de validación, estando la mayoría dentro de las bandas de

confianza. Cuando los conteos de validación están fuera de las bandas se consideran plantas

atípicas, o bien porque presentan una alta o baja productividadde frutos dependiendo si están

por sobre o bajo estas bandas.

Figura 3. Conteos de validación de la temporada 2011 y modelos ajustados (-)por variedad a ±2 y ±1 veces la raíz cuadrada de la función de varianza estimada (--).

La Figura 4 muestra las ponderaciones según la cantidad de frutos predichos por variedad. Las ponderaciones son menores cuando las plantas tienen mayor cantidad de frutos y viceversa.Esta ponderación busca equilibrar la suma de cuadrados residualpara que los residuos de plantas pequeñas y grandes sean comparables. Por ejemplo, una planta con gran cantidad de



frutos (o de yemas) está sujeta a una gran variabilidad alrededor del valor predicho provocando que la incertidumbre acerca de su producción también sea alta. Esta idea lleva a plantear la importancia de la poda para reducir la cantidad de yemas con el fin de favorecer el rendimiento (Strik et al., 2003) y el peso de los frutos (Suzuki et al., 1998).

Figura 4. Ponderaciones de las observaciones según el valor predicho.

4 Conclusions

El modelo de varianza constante sobreestima la variabilidad para plantas pequeñas y subestima para plantas grandes. De los tres modelos analizados para estimar frutos a partir de conteosde yemas, sólo el modelo de varianza no constante cumple con los supuestos teóricos sobre los errores y obtiene los mejores resultados. La varianza no constante del modelo fue estimada utilizando una función de varianza dada por 2 yi

2 . La ponderación considerada en modelos con varianza no constante equilibra la suma de cuadrados residual con el fin de que éstossean comparables entre plantas pequeñas y grandes. Con esta consideración el ajuste del modelo contiene una mayor cantidad de observaciones dentro de las bandas de confianza, siendo más representativa. Con modelos de varianza no constante los productores de arándano obtienen predicciones de frutos más precisas lo que implica una reducción en la incertidumbre para planificar la logística de cosecha con meses de antelación.



Agradecimientos

Esta investigación fue financiada por el proyecto INNOVA 07CN13PAT-213 “Formulación de un Modelo Predictivo de Producción de Arándanos”.

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ANÁLISIS NUMERICO Y LA IMPORTANCIA DE LOS MODELOSCONSTITUTIVOS

Numerical analysis and the importance of constitutive models

Dennis Waterman 1, Alfonso Álvarez Manilla A 2

1 Plaxis, BV2 Geo Ingeniería Alfven, SA de CV

RESUMEN: Durante los últimos 20 años el uso de herramientas numéricas en la ingenieríageotecnia ha crecido rápidamente. En algunos casos la herramienta numérica no es más queun método empírico, pero simplemente es más rápido; u otras herramientas numéricasrealmente usan métodos con conceptos diferentes de estos métodos empíricos. Una de lasmayores diferencias entre métodos empíricos y métodos numéricos como los indicados arribason las presuposiciones implícitas. Los métodos empíricos generalmente usanpresuposiciones implícitas muy específicas limitando el método a tipos de problemasespecíficos en que los métodos numéricos usan presuposiciones más generales que norestringen tanto el uso a tipos específicos de problemas, como a tipos de suelosespecíficos, por ejemplo. En este artículo se explican las diferencias de concepto entremétodos empíricos y numéricos así como la importancia de seleccionar el modeloconstitutivo adecuado pues para métodos numéricos el modelo constitutivo determina lacalidad de los resultados. Por medio de problemas típicos de ingeniería se presenta lainfluencia del modelo constitutivo sobre los desplazamientos y fuerzas estructuralescalculadas. Puede verse que la selección incorrecta del modelo constitutivo podría darresultados contradiciendo a lo que se esperaría mientras que el uso del modeloconstitutivo adecuado puede dar predicciones precisas de los desplazamientos.

ABSTRACT: During the last 20 years the use of numerical tools in geotechnical engineeringhas increased rapidly. In some cases the numerical tool is not much more than anempirical method but simply much faster while other numerical tools really use differentconcepts compared to empirical methods. One of the major differences between empiricalmethods and numerical methods as indicated above are the implicit assumptions. Empiricalmethods generally use very specific implicit assumptions limiting the method to specificproblems where numerical methods use more general assumptions that not so much limit theuse to specific types of problems, but to for instance specific types of soil. In thisarticle the differences in concept between empirical and numerical methods is explainedas well as the importance of selecting the appropriate constitutive model as fornumerical models the constitutive model determines, among others, the quality of theresults. By means of typical engineering problems the influence of the constitutive modelon calculated displacements and structural forces is shown. It can be seen that anincorrect selection of constitutive model may lead to results contradicting onesexpectation while the choice of an appropriate constitutive model may give a correctprediction of the displacements.

1 INTRODUCCIÓN1.1 BackgroundDurante los últimos 20 años el uso de herramientas numéricas en laingeniería geotecnia ha aumentado rápidamente. En algunos casos laherramienta numérica no es más que el método empírico pero simplementemás rápido, pero otras herramientas numéricas realmente usan métodos conconceptos diferentes de estos métodos empíricos que se usa normalmentepara cálculos a mano. Esto incluye, por ejemplo, el Método de DiferenciasFinitas (MDF) y el Método de Elementos Finitos (MEF). El usuario de estostipos de herramientas debería estar consciente tanto de esta diferenciade concepto como de las decisiones resultantes que tiene que tomar.Básicamente, usar métodos numéricos avanzados requiere una maneradiferente de pensar sobre problemas geotécnicos.Una de las mayores diferencias entre métodos empíricos y métodos numéricos, como se indicó antes son las presuposiciones implícitas. Los métodos empíricos usan generalmente presuposiciones implícitas muy específicas limitando el método a tipos de problemas específicos en que métodos numéricos usan presuposiciones más generales que limitan tanto el uso a tipos de problemas específicos, como a tipos específicos de suelos, por ejemplo. Por ejemplo, si queremos obtener el sistema de falla potencial para una cimentación, un terraplén y una excavación, necesitamos diferentes tipos de métodos empíricos: para la fallade una cimentación se usa un método empírico que supone un superficie de falla como la de Prandtl o Terzaghi, para falla de taludes se necesita un método empírico que supone un superficie defalla circular y para la falla de una excavación se podría confiaren una falla de la zona activa. En todos los casos hay una presuposición “a-priori” de la forma de la superficie de falla. Los métodos numéricos avanzados, por otra parte, no tienen tal forma de presuposiciones; la forma de la superficie de falla es enrealidad un resultado del cálculo y depende tanto de la geometría del problema como del comportamiento del suelo. Entonces, la decisión a tomar es como se modela el suelo.

1.2 Presuposiciones y validaciónUna pregunta usual de nuevos usuarios de software de MEF que quierencalcular una carga sobre una cimentación, es saber la cantidad dedistribución lateral que el programa toma en cuenta. Unas veces esdifícil explicar qué tal forma de presuposición sobre distribuciónlateral simplemente no existe en programas de MEF o MDF mientras que ladistribución lateral es un resultado del cálculo en base de, entre otrascosas, las propiedades del suelo. Desde el punto de vista de un métodoempírico la pregunta del usuario tiene sentido perfectamente por quedicho tipo de método necesita una presuposición del grado de distribución

lateral para determinar el nivel de esfuerzo como función de laprofundidad y por tanto el asentamiento de la cimentación.Para casos como indicados arriba las presuposiciones necesarias enmétodos empíricos están bien documentadas y se pueden tomar en cuenta fácilmente. No obstante, hay adicionalmente un gran conjunto de presuposiciones en la teoría fundamental que se tornanimportantes al validar la herramienta numérica con una solución analítica. Desgraciadamente estas presuposiciones no son ampliamente conocidas y esto resulta, frecuentemente en un uso incorrecto de la herramienta numérica para compararla con una solución analítica y por eso se llega a la conclusión incorrecta de que la herramienta numérica no funciona bien.

Un ensayo popular de validación que muchos ingenieros hacen directamente en programas de Elementos Finitos es un sencillo ensayo 1D de consolidación y comparar los resultados con la solución analítica de Terzaghi. Muchas veces tal comparación da diferencias significantes entre los resultados del programa MEF y la solución analítica de Terzaghi simplemente porque no se aplicanlas limitaciones de la solución de Terzaghi de una manera correctaen el modelo numérico. En breve, la solución analítica de Terzaghisólo es válida para suelos lineal elásticos en un estado de esfuerzo isotrópico y saturado en carga de compresión 1-Dimensional. Significa que el modelo numérico necesita un materiallineal elástico sin peso de suelo y agua para obtener un estado deesfuerzo isotrópico, y, no menos importante sin Relación de Poisson para crear un modelo 1-dimensional. Si no se desempeña una de estas condiciones el modelo numérico no va a dar los mismos resultados que la solución analítica de Terzaghi.

1.3 Modelos constitutivosComo se indicó anteriormente, los métodos empíricos se usan generalmentepara tipos de problemas muy específicos. Significa que el suelo mismo sepuede especificar con solo estos parámetros que son importantes para estetipo de problema específico, por lo tanto, con sólo una rigidez osolamente la cohesión y ángulo de fricción. Adicionalmente, normalmentese presupone la rigidez elástica y constante.Por otra parte, solo un método numérico avanzado se podría usar para una variación grande de problemas y este solo puede dar resultados plausibles si el comportamiento del suelo esta modeladotan exacto como sea posible. En consecuencia,

para métodos numéricos el modelo del suelo es una de las partes fundamentales para resolver problemas geotécnicos. Desafortunadamente el comportamiento del suelo es muy complejo y no se le representa tan fácilmente con un solo modelo numérico. Una investigación pequeña de comportamiento de suelo nos enseña que hay comportamiento diferente dependiendo del tipo de suelo (arena, arcilla, turba), del tipo de carga (carga primaria, descarga, recarga) y también de la dirección de la carga (compresión, carga de corte, carga cíclica). Además hay comportamiento adicional como el de la dilatancia, comportamiento no drenado y anisotropía así como comportamiento más especial comosuelos estructurados, ruptura de granos y licuación. No debe sorprender que sea virtualmente imposible encontrar todos estos diferentes comportamientos en un solo modelo matemático para suelo. Esto implica que en realidad hay una variación grande de modelos matemáticos para suelo, cada uno para suelos o comportamientos muy específicos. Una herramienta numérica tiene una cierta cantidad de estos modelos disponibles, entonces la primera tarea de un usuario de esto tipo de herramientas numéricas es determinar cuál modelo disponible tiene que usar parasu problema geotécnico. La selección depende en gran parte del tipo de suelo y del tipo de carga esperado. Esto automáticamente significa que para un proyecto geotécnico con varias capas de suelo se podrían necesitar diferentes modelos matemáticos para modelar las capas.

¿Cómo seleccionamos el modelo adecuado para nuestro suelo? Para responder esta pregunta tenemos primero que preguntarnos qué tipo de resultado queremos encontrar con nuestra análisis numérico. La selección del modelo es más fácil si estamos solo interesados en una manera de falla (carga de falla, factor de seguridad), especialmente si tenemos suelos drenados como arenas comparado conquerer obtener una predicción precisa de deformaciones en suelos no drenados.

Si solo vamos a considerar falla y deformaciones un modelo numérico bastante sencillo puede ser suficiente. Los suelos fallanalcanzando un nivel máximo de resistencia cortante y el

comportamiento de este es bien conocido. La mayoría de los modelossupone un tipo de resistencia inicial a un nivel de esfuerzo de cero (cohesión) combinado con un incremento lineal de la resistencia cortante con incremento de esfuerzo de compresión definido usando lo que se conoce como el ángulo de fricción. Este funciona bien para la mayoría de los suelos. El nivel de falla para diferentes estados de esfuerzo cortante no es constante y hayunos modelos que reflejan este comportamiento, por ejemplo Mohr-Coulomb, Lade y Matsuoka-Nakai. Estos modelos tienen en común que la predicción de la resistencia cortante para condiciones de compresión triaxial es la misma, y para los primeros dos modelos es también la misma en condiciones de tensión triaxial, pero son un poco diferentes para condiciones de deformación plana. El modelo Mohr-Coulomb es el más conservador en la predicción de la resistencia cortante para deformación plana y quizás por eso es elmás usado. Modelos de tipo Cam-Clay, al otro lado, tienen tradicionalmente una resistencia cortante constante con variación de las condiciones deviatóricas y por eso son menos adecuados paramodelar falla en deformación plana. Resumiendo, se puede decir quecualquier modelo que usa Mohr-Coulomb o un criterio de falla similar es generalmente adecuado para una predicción de falla de suelo.

No obstante, si estamos interesados en desplazamientos o si se trata de comportamiento no drenado el comportamiento del suelo antes de la falla es muy importante. En este caso la selección delmodelo depende considerablemente del tipo de suelo y el tipo de carga prevista que va a ocurrir durante la construcción del proyecto geotécnico

Para modelar adecuadamente las deformaciones del suelo se debe comprender que en casi ninguna circunstancia el suelo tiene comportamiento elástico y por eso el modelo constitutivo seleccionado para representar el suelo no podría ser un modelo elástico, o por lo menos no para el tipo de carga que es importante en nuestro proyecto. Se puede aceptar un modelo constitutivo que tiene comportamiento elástico para tipos de cargaque no son importantes en nuestro proyecto. Por ejemplo, el modelo

Cam-Clay Modificado es un modelo constitutivo con comportamiento elásto-plástico con carga de compresión para la primera carga (carga primaria), pero con comportamiento elástico para carga cortante, descarga y recarga. Entonces, modelar la construcción deun terraplén, que es un problema de carga de compresión primaria, se puede hacer bien con el modelo Cam-Clay Modificado. Por otra parte, la construcción de una excavación es a la vez un problema de carga de tipo cortante y de descarga para qué el modelo Cam-Clay Modificado no es adecuado porque el comportamiento es completamente elástico.

Un segundo elemento importante para obtener deformaciones de sueloadecuadas es el principio que la rigidez de suelo no es constante,pero depende de diferentes factores. Generalmente, depende del nivel de esfuerzo y adicionalmente depende también del nivel de deformación si las deformaciones son muy pequeñas o muy grandes. Además, la rigidez depende del tipo de carga. Entonces, independiente del tipo de suelo que se quiere modelar, una rigidezaparte para diferentes condiciones de carga, rigidez dependiente del esfuerzo y, si es posible, rigidez alta para deformaciones pequeñas incrementa notablemente la calidad de la predicción de las deformaciones y desplazamientos.

2 CASOS PRACTICOS

Para el análisis de la influencia de la selección del modelo constitutivo se comparan los resultados de 3 problemas típicos de ingeniería: una excavación, un túnel y un terraplén. Adicionalmente, se considera cada problema para una arena típica yun arcilla típica. Finalmente, para el problema de túnel, se considera tanto un túnel profundo como un túnel poco profundo.

2.1 Descripción del problema

2.1.1 ExcavaciónSe modela una excavación de 15m de profundidad y 30m de ancho como modelode deformación plana en 2D. El soporte de la excavación es una pantallade 25m de longitud con dos anclajes conectados a 5m y 10m profundidadrespectivamente. Ambos anclajes tienen una pre-tensión durante lainstalación. El orden de construcción por etapas es:

Construcción de la pantalla

Excavación de los primeros 5m Instalación del primero anclaje Excavación de los siguientes 5m Instalación del segundo anclaje Excavación de los últimos 5m.

El modelo se extiende hasta una profundidad de 4D debajo del fondode la excavación, donde D es la profundidad de la excavación (Meiβner, 2002 y Schweiger, 2002). El ancho se extiende por lo menos 3D más allá de los anclajes (Bakker, 2009).

2.1.2 TúnelUn túnel con diámetro de 6m es construido con escudo. La construcción poretapas se simplificó mucho. El pasaje del TBM y la instalación delrevestimiento no se modela en fases separadas como una etapa deconstrucción. Adicionalmente, la reducción de volumen que resulta de laconicidad del TBM y la inyección de lechada se modela como una reducciónde la sección transversal del túnel de 2%. Esto resulta en la siguienteconstrucción por etapas:

Excavación del túnel e instalación del revestimiento. Aplicación de una contracción de 2% de la sección

transversal del túnel.Debajo del túnel el modelo se extiende otros 3D metros, donde D esel diámetro del túnel. Se considera que el 2D inferior tiene una rigidez de deformación pequeña según la recomendación de Ruse (2003) y Brinkgreve (2006). El ancho del modelo es 100m para evitar influencia del contorno.

2.1.3 TerraplénUn terraplén de 10m de altura con una inclinación de 1:3 se construye en5 capas de 2m. Como en la comparación presentada en esta publicación seconsidera el comportamiento del subsuelo, se modela el terraplén como unmaterial Mohr-Coulomb para todos los cálculos. Para evitar la influenciade los contornos el ancho se debe extender 2W más allá al pie delterraplén, donde W es el ancho del terraplén (Vermeer, 2010). Laprofundidad del modelo se estableció a 2W también donde la última W/2 seasumen que tiene una rigidez de deformación pequeña (Brinkgreve, 2006).

2.2 Parámetros de sueloAmbos, la arena y la arcilla tienen parámetros representativos de rigidezy de resistencia en base de ensayos odométricos y triaxial. Ladeterminación exacta de los parámetros directamente de los ensayos quedafuera de esta publicación y simplemente los valores se presentan aquí.Parámetros adicionales obtenidos de correlaciones se explican acontinuación.Se determinaron los parámetros de resistencia directamente de los resultados de ensayos triaxial disponibles que se pueden encontraren tabla 1.

Tabla 1. Parámetros de resistencia de la arena y la arcilla._____________________________________________________

Parámetro Material UnidadArena Arcilla_____________________________________________________

Cohesión 1 1 kN/m2

Ángulo de fricción 35 22 °Ángulo de dilatancia 5 0 °_____________________________________________________

Los parámetros de rigidez usados para todos los modelos constitutivos son en base de la rigidez triaxial de carga primariaE50, la rigidez odométrica de carga primaria Eoed y la rigidez de descarga/recarga de un ensayo triaxial Eur. Las tres rigideces se usan como dependientes del esfuerzo en base de la ley de potencia introducida por Janbu (1963) y presentada en la ecuación 1.

(1)con σ1, σ3 = esfuerzo principal mayor y menor, pref = esfuerzo de referencia y m = potencia de la rigidez dependiente del esfuerzo.

El parámetro m es un parámetro del material que típicamente es 0.5 para arenas (Janbu, 1963) y 1.0 para arcillas (von Soos, 1990). Elesfuerzo de referencia se seleccionó arbitrariamente como 100 kPa de compresión. Adicionalmente, ecuación (2) da relaciones típicas para las rigideces.

(2)Ecuación (3) da relaciones similares para arcilla blanda

(3)

donde E0ref es la rigidez de deformación pequeña (rigidez del campo

lejano) usando la relación por Alpan (1970). Al combinar los resultados de los ensayos del laboratorio y las relaciones de las ecuaciones (2) y (3) se determinó parámetros de rigidez para la arcilla y la arena como se puede ver en tabla 2.

Tabla 2. Parámetros de rigidez de la arena y la arcilla para un nivel de esfuerzode referencia de pref = 100 kN/m2._____________________________________________________Parámetro Símbolo Material

Unidad

Arena Arcilla_____________________________________________________Rigidez triaxial E50 20.000 2.600

kN/m2 Rigidez odométrica Eoed 20.000 1.725

kN/m2 Rigidez descarga/recarga Eur 80.000 10.000 kN/m2 Rigidez deformación pequeña E0 200.000 80.000 kN/m2 _____________________________________________________

2.3 Modelos constitutivosPara comparar resultados de diferentes modelos constitutivos se tomó encuenta los siguientes modelos:

LE : Modelo lineal elástico MC: Modelo lineal elástico-perfectamente plástico. SS: Modelo con endurecimiento de compresión HS: Modelo con ambos endurecimiento de compresión y de corte. HSS: Modelo con ambos endurecimiento de compresión y de corte y

rigidez de deformación pequeña.

2.3.1 LEModelo según la ley de Hooke con una sola rigidez constante.

2.3.2 MCModelo según la ley de Hooke con una sola rigidez constante y una resistencia definida por el criterio de falla de Mohr-Coulomb.

2.3.3 SSUn modelo de tipo Cam-Clay con un criterio adicional de falla de Mohr-Coulomb. La rigidez tiene una dependencia de rigidez lineal fija, entonces m=1.0 en ecuación (1).

Este modelo se usa típicamente para arcillas normalmente consolidadas.

2.3.4 HSUn modelo en base del modelo Cam-Clay con endurecimiento adicionalde corte según Duncan y Chang (1970) y el criterio de falla de

Mohr-Coulomb. La rigidez depende del nivel de esfuerzo como en la ecuación (1).

2.3.5 HSSUn modelo similar al modelo HS pero con rigidez adicional de deformación pequeña (Benz, 2006).

2.4 Modelos geométricas

Para comparar diferentes modelos constitutivos es necesario reducir cada diferencia entre ellos tanto como sea posible. Por eso es necesario de ajustar para algunos modelos constitutivos tanto los parámetros como la geometría.

2.4.1 La rigidez de modelos con una sola rigidezLos modelos SS, HS y HSS hacen diferencia entre comportamiento de cargar por primera vez (carga primaria) y descarga/recarga, siendoesta última considerablemente más rígida. Los modelos mismos determinan cuando una condición de carga es carga por primera vez o descarga/recarga y selecciona la rigidez adecuada. Por otra parte, ambos modelos LE y MC tienen una sola rigidez para todas las condiciones de carga.

Para el caso práctico de la excavación y el túnel, ambos casos típicos de descarga, la rigidez de los modelos LE y MC se tomó de la rigidez de descarga y recarga Eur. Para el terraplén, típicamente un problema de compresión primaria, la rigidez de los modelos LE y MC se tomó de la rigidez odométrica Eoed.

2.4.2 Estratigrafía Los modelos SS, HS y HSS tiene como parte del modelo una rigidez dependiente del esfuerzo mientras que los modelos LE y MC usan unarigidez constante. Por eso, para los modelos LE y MC el subsuelo está dividido en diferentes capas para usar una rigidez más grandepara el suelo a una profundidad más grande. Cada capa de suelo tiene su propia rigidez constante calculada con ecuación (1) usando el esfuerzo inicial promedio y el valor de m adecuado para la arcilla o la arena.

2.4.3 Rigidez de deformación pequeñaEl modelo HSS toma automáticamente en cuenta una rigidez más alta para niveles de deformación pequeños. Para tomar en cuenta el

efecto de la rigidez de deformación pequeña con los otros modelos constitutivos se introduce una capa profunda de suelo con una rigidez alta en base de E0 cómo se especifica en la tabla 2.

2.4.4 Compatibilidad de parámetrosComo se menciona arriba, se pueden determinar los parámetros de los modelos LE y MC de una manera sencilla. No obstante, el modeloSS usa parámetros del tipo Cam-clay: el índice modificado de compresión * y el índice modificado de expansión κ*. Estos parámetros se calcularon con los parámetros de rigidez de la tabla2 usando las instrucciones de Brinkgreve et al. (2012), ve ecuación (4).

(4)Con pref = 100 kN/m2. Para la capa profunda con rigidez de deformación pequeña explicada en párrafo 2.3.3 se calculó el índice modificado de expansión en base de E0 en lugar de Eur.

3 RESULTADOS

3.1 ExcavaciónLa figura 1 presenta el efecto de usar diferentes modelos constitutivoscon respecto a los asentamientos atrás de la pantalla para la excavaciónen arcilla. Se puede ver que los dos modelos elásticos (LE y MC) resultanen una elevación (parcial) atrás la pantalla que no es razonable. Losmodelos con comportamiento elasto-plástico, por otra parte, pronosticanbastantes asentamientos.De casos prácticos es conocido que a una distancia de 2.5 a 3 veces la profundidad de la excavación los asentamientos superficiales son insignificantes. Para la excavación de 15m de profundidad de esto caso práctico implica que a una distancia de 35-45m de la pantalla los asentamientos deberían ser pequeños. La figura 1 presenta que para el modelo HSS los asentamientos a esta distancia se reducen a menos que 10% del asentamiento máximo directamente al lado de la pantalla, pero los modelos HS y SS aún pronostican asentamientos de 15-20% del valor máximo.

-160.00

-140.00

-120.00

-100.00

-80.00

-60.00

-40.00

-20.00

0.00

20.00

40.00

0 10 20 30 40 50

Distance from w all [m ]

Vertical displacem

ent [mm]

LEM CSSHSHSS

Figura 1. Asentamiento atrás la pantalla para una excavación en arcilla calculadacon diferente modelos constitutivos.

La figura 2 presenta el comportamiento de la pantalla. De nuevo esvisible que hay una gran diferencia entre los resultados de los modelos elásticos y los modelos elasto-plásticos con respecto a ladeformación de la pantalla. Lo más notorio para el momento flexionante es que los modelos elasto-plásticos pronostican un momento flexionante interior más grande, pero solo un momento flexionante menor al pie comparado de los modelos MC y SS. Entonces, los modelos HS y HSS consideran que el pie de la pantalla tiene una rotación libre pero los modelos MC y SS consideran el pie como fijo. El modelo LE es una excepción por queno pronostica mucha deformación flexionante pero mueve la pantallacomo una traslación rígida.

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0-300 -250 -200 -150 -100 -50 0

Horizontal w all deflection [m m ]

Depth [m

]

LEM CSSHSHSS

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0-2500 -2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000

Bending m om ent [kNm /m ]

Depth [m

]

LEM CSSHSHSS

Figura 2. Deformación de la pantalla (arriba) y momentos flexionantes (abajo)para una excavación en arcilla, calculado con diferentes modelos constitutivos.

Se obtuvo resultados similares para la excavación en arena. La figura 3presenta los asentamientos atrás la pantalla para diferentes modelosconstitutivos.

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Distance from wall [m ]

Vertical displacem

ent [mm]

LEM CHSHSS

Figura 3. Asentamientos atrás la pantalla para una excavación en arena calculadocon diferentes modelos constitutivos.

La figura 3 muestra que para la excavación en arena ambos modelos LE y MCpronostican una elevación del suelo. De manera similar a la excavación enarcilla; también para la excavación en arena los modelos HS y HSS dan unaconcavidad de asentamiento donde el modelo HSS pronostica una concavidadpero más estrecha y más razonable que el modelo HS.

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10

Horizontal w all deflection [m m ]

Depth [m

]

LEM CHSHSS

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0-600 -500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400

Bending m om ent [kNm /m ]

Depth [m

]

LEM CHSHSS

Figura 4. Deformación de la pantalla(arriba) y momentos flexionantes (abajo) para una excavación en arena, calculadocon diferentes modelos constitutivos.

La figura 4 presenta los desplazamientos horizontales y momentosflexionante de la pantalla. Se puede ver que usando el modelo LE lapantalla se mueve a fuera en lugar de a dentro, entonces la excavaciónrealmente ensancha. Este pronóstico obviamente incorrecto también sepuede obtener con el modelo MC, pero generalmente para suelos más densosy más rígidos que el que se usó en este caso práctico. Respecto de losmomentos flexionante de la pantalla se puede observar que, similar a laexcavación en arcilla, los momentos flexionante interiores son máspequeños para los modelos elasto-plásticos que para los modeloselásticos. El modelo LE da un momento flexionante de fijación al pie dela pantalla que es el contrario de los momentos flexionantespronosticados con los modelos HS y HSS. El momento flexionantepronosticado con el modelo MC es muy pequeño.

3.2 TúnelAdemás de la variación del tipo de suelo, arena o arcilla, el casopráctico del túnel también tiene variación de la profundidad del túnel.La profundidad del túnel se mide de la clave del túnel y se varió de 0,5y 5 veces el diámetro del túnel.La figura 5 presenta los asentamientos superficiales para diferentes modelos constitutivos de un túnel a poca profundidad enarcilla.

-100-90-80-70-60-50-40-30-20-10010

0 5 10 15 20 25 30Horz. distance from tunnel axis [m ]

Surfa

ce settlement [mm]

LEM CSSHSHSS

Figura 5: Asentamientos de terreno de un túnel poco profundo en arcilla,calculado con diferentes modelos constitutivos.

Los asentamientos arriba del túnel no son tan diferentes para losdiferentes modelos constitutivos y las cubetas de asentamiento tienen máso menos la misma forma. El modelo LE tiene poco menos asentamiento quelos otros modelos y la cubeta que resulta del modelo MC es un poco másinclinada. No obstante, la figura 6 presenta los asentamientos para el túnel profundo (la clave del túnel es 5 veces el diámetro del túnel debajo el superficie de terreno) y aquí hay una diferencia más grande entre los resultados de los diferentes modelos constitutivos. Es interesante que los resultados del modelo más avanzado (HSS) en esta investigación quedan bien los resultados delos modelos elásticos sencillos, mientras los modelos SS y HS pronostican cubetas bastante más profundas y anchas. Este asentamiento más grande resulta de la plasticidad adicional en estos modelos y parece que la plasticidad a causa de la compresióndel suelo es considerablemente más grande que la plasticidad de corte del suelo. No obstante, el modelo HSS incluye rigidez de deformación pequeña y este reduce el efecto de la plasticidad adicional con referencia a los asentamientos.

-100-90-80-70-60-50-40-30-20-10010

0 10 20 30 40 50Horz. distance from tunnel axis [m ]

Surfa

ce settlement [mm]

LEM CSSHSHSS

Figura 6: Asentamientos de terreno de un túnel profundo en arcilla, calculado condiferentes modelos constitutivos.

Las figuras 7 y 8 presentan resultados similares pero para el túnel enarena. Los resultados tienen la misma tendencia que el túnel en arcillacon unas pequeñas diferencias. Para el túnel poco profundo el modelo LEpronostica bastante menos asentamientos que los otros modelos y la cubetade asentamiento del modelo MC es un poco más inclinada.

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

100 10 20 30 40 50

Horz. distance from tunnel axis [m ]

Surfa

ce settelement [mm]

LEM CHSHSS

Figura 7: Asentamientos de terreno de un túnel poco profundo en arena, calculadocon diferentes modelos constitutivos

Lo más notorio para el túnel profundo es que el modelo HSS todavíapronostica menos asentamientos que los dos otros modelos elasto-plásticosen esta investigación, pero no tan poco como los modelos elásticos LE yMC. Esto confirma la idea que la introducción de comportamiento plásticoantes de falla como en los modelos SS, HS y HSS incrementa losasentamientos y la rigidez de deformación pequeña reduce el asentamiento.Para la arcilla en esta investigación estos dos efectos se anulan entreellos al respecto de asentamientos, pero los resultados del materialarena muestran que no es necesariamente siempre el caso.

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

100 10 20 30 40 50

Horz. distance from tunnel axis [m ]

Surfa

ce settlement [mm]

LEM CHSHSS

Figura 8: Asentamientos de terreno de un túnel profundo en arena, calculado condiferentes modelos constitutivos.

3.3 TerraplénUn problema de terraplén es diferente de una excavación o un túnel porqueno es un problema de tipo descarga, pero es un problema de recarga (encaso de subsuelo sobre consolidado) o un problema de carga por primeravez.La figura 9 presenta el asentamiento de la superficie del terreno original debajo y al lado del terraplén. Se indica dónde está el pie del terraplén.

-1800-1600-1400-1200-1000-800-600-400-200

0200

0 20 40 60 80 100Horz. distance from centre line [m ]

Surfa

ce settlement [mm]

LEM CSSHSHSS

Toe of the em bankm ent

Figura 9: Asentamiento de terreno de un terraplén sobre arcilla usando diferentesmodelos constitutivos.

Se puede ver que el asentamiento de terreno es casi exactamente el mismopara los modelos LE y MC, pero también que los asentamientospronosticados para los modelos SS, HS y HSS se parecen mucho. Se puedeexplicar esto por el hecho que un terraplén sobre suelo blando es un tipode problema que tiene mayormente endurecimiento de compresión y solo pocoendurecimiento de corte. Entonces, el endurecimiento de corte adicionalque existe en los modelos HS y HSS pero no en el modelo SS tiene solopoco efecto. Adicional, porque los desplazamientos son muy grandes elefecto de rigidez de deformación pequeña es insignificante porque no haydeformaciones suficientemente pequeñas sino hasta una profundidad muygrande debajo del terraplén donde el cambio del nivel de esfuerzo a causa

de la construcción del terraplén es muy pequeño. El efecto de compresióntambién cuenta para el modelo MC comparado con el modelo LE. Porque elsuelo se comprime y no tiene mucho esfuerzo cortante, el estado deesfuerzo no alcanza el criterio de falla, que es un criterio deresistencia de corte, y por eso el modelo MC se comporta estrictamenteelástico como el modelo LE.

-100

-50

0

50

100

150

200

250

300

3500 20 40 60 80 100

Horz. distance from center line [m ]

Horizon

tal displacem

ent [mm]

LEM CSSHSHSS


Figura 10: Desplazamientos horizontales de terreno para un terraplén sobrearcilla usando diferentes modelos constitutivos.

Una diferencia más significante se puede ver en la figura 10 que presenta los desplazamientos horizontales. Para los modelos elásticos LE y MC el suelo está siendo empujado hacia fuera por elterraplén, con el desplazamiento máximo cerca del pie del terraplén. No obstante, para los modelos elasto-plástico el suelo al lado del terraplén se mueve hacia el terraplén a dentro la cubeta de asentamiento causada por el terraplén. Adicionalmente, se puede ver que el desplazamiento horizontal cerca el pie del terraplén pronosticado para los modelos elásticos es más que dos veces más grande que el pronóstico de los modelos elasto-plástico.

Figura 11: Asentamiento de terreno de un terraplén sobre arena usando diferentesmodelos constitutivos.

Las figuras 11 y 12 presentan los mismos resultados, pero para el terraplén sobre arena. A causa de la rigidez alta de la arena los asentamientos de terreno son bastante más pequeños que los del terraplén sobre arcilla. Esto resulta que ya hay rigidez de deformación pequeña a una profundidad menor y entonces tomar en cuenta esta rigidez de deformación pequeña tiene un efecto más significativo como se puede ver en la figura 11. El modelo HSS pronostica menos asentamiento que los modelos SS y HS.

-100-90-80-70-60-50-40-30-20-1001020

0 20 40 60 80 100Horz. distance from center line [m ]

Horizon

tal displacem

ent [mm]

LEM CHSHSS


Figure 12: Desplazamientos horizontales de terreno de un terraplén sobre arenausando diferente modelos constitutivos.

Se puede ver en la figura 12 que para los modelos elasto-plásticosel suelo de nuevo se mueve hacia el centro del terraplén, tanto allado del terraplén como debajo del terraplén. A causa del

-250

-200

-150

-100

-50

0

500 20 40 60 80 100

Horz. distance from centre line [m ]Su

rface settlement [mm]

LEM CHSHSS


asentamiento pequeño el efecto del suelo empujado hacia fuera debido al peso del terraplén es pequeño y de hecho es más pequeño que el efecto del suelo siendo movido hacía el centro. Para los modelos elásticos todavía se empuja hacia afuera muy cerca el centro del terraplén con solo poco desplazamiento horizontal más lejano.

4 LIMITACIONES

En esta publicación se hace una comparación entre modelos constitutivos usando casos prácticos limitados de arena y arcilla,en condiciones drenada y normalmente consolidada. Se introdujo estas limitaciones para reducir la complejidad de la comparación, pero es importante de entender la influencia de las presuposiciones.

Ambas arena y arcilla son materiales drenados en esta comparación con la presuposición que los resultados representan una solución alargo plazo. No obstante, el comportamiento no drenado y desarrollo de excesos de presiones intersticiales juegan un papel importante en la resistencia del suelo que no se toma en cuenta aquí. Los modelos elásticos que se cargan sin drenar generalmente no tienen un cambio de esfuerzos efectivos y el cambio de excesos de presiones intersticiales es lo mismo que la carga aplicada. Para modelos elasto-plásticos con carga no drenada los esfuerzos efectivos pueden cambiar y pueden reducir o incrementar la resistencia no drenada que se puede alcanzar. Si se toma en cuentacomportamiento no drenado en una comparación de modelos constitutivos no es suficiente con comparar asentamientos, pero también debería tomar en cuenta cambios de resistencia y el factorde seguridad que resulta. No obstante, esto queda al fuera del objetivo de esta publicación.

La comparación presentada en esta publicación usa dos diferentes materiales de suelo; una arcilla blanda y una arena rígida. Los resultados de estos dos suelos son bastante diferentes y entonces los resultados obtenidos de los suelos en esta publicación no se pueden transferir directamente a otros tipos de suelo como turba, limo, roca o también diferente tipos de arcilla o arena.

5 CONCLUSION

En esta publicación se hizo una comparación de resultados para 3 diferentes tipos de problemas de ingeniería (excavación, túnel y terraplén) en 2 diferentes tipos de suelo (arcilla y arena) usandodiferentes modelos constitutivos. Los parámetros de suelo que se considera los más importantes, rigidez y resistencia, se determinaron para cada modelo constitutivo de tal manera que son iguales o por lo menos comparables. Los modelos geométricos se configuraron de tal manera que el comportamiento del suelo está representado de una manera parecida para todos los modelos constitutivos.

Se compararon los resultados en base de asentamientos y para el caso práctico de la excavación también en base de los momentos flexionantes. Se obtuvo grandes diferencias para los asentamientosy momentos flexionantes para diferentes modelos constitutivos y unas veces los resultados aún son en base de un diferente mecanismo como por ejemplo la fijación del pie de la pantalla de la excavación y los desplazamientos horizontales del terraplén.

En la práctica de ingeniería geotécnica si se usa una herramienta numérica, se emplea mucho tiempo en la determinación de parámetrosadecuados para ingresarlos en el software. No obstante, prácticamente se emplea solo poco tiempo para preguntarse qué modelo constitutivo se debería usar para representar el suelo y las condiciones de carga lo mejor posible. Al primero preguntarnosa nosotros mismos que modelo constitutivo se debería usar, se puede mejorar la calidad de los resultados para que después los parámetros del modelo determinen la cantidad de los resultados quequeremos obtener.

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