Volume et entropie minimale des espaces localement sym�triques

Invent. math. 103, 417-445 (1991) /t//,yen ~/o~e$ mathematicae �9 Springer-Verlag 1991

Volume et entropie minimale des espaces localement sym6triques*

G. Besson, G. Courtois, et S. Gallot Institut Fourier, Universit~ de Grenoble I, B.P. 74, 38402 St. Martin d'H~res Cedex, France

Oblatum 18-V-1990 & 29-VI-1990

Sommaire

1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417 2. Le th~or~me local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 3. Vers la conjecture globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430 Appendice A. Quelques formules de g6om6trie riemannienne . . . . . . . . . . . . 441 Appendice B. Corollaire d'isospectralit6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 Appendice C. L'entropie volumique des espaces sym6triques . . . . . . . . . . . . . 443 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444

I. Introduction

Dans l '6tude des vari6t6s r iemanniennes certains invariants permet tent une clas- sification partielle. C'est le cas du volume; en effet certaines vari6t6s suppor ten t une suite de m6triques ~i courbures sectionnelles uni form6ment born6es (pinc6es) et telles que leur vo lume tend vers 0, d 'autres pas. On imagine ais6ment que la diff6rence est de nature topologique, non r iemannienne (voir la not ion d'effondrement des vari&6s r iemanniennes [Pan]) . Dans [ G r o 1], M. G r o m o v in t rodui t la not ion de volume minimal d 'une vari6t6 r iemannienne,

rain vol(M) = inf {Vol(M, g ) \ l c o u r b u r e sectionnelle de g l < 1 }

les questions naturelles sont alors

(i) Quelles vari6t6s M v6rifient min v o l ( M ) = 0, min vol(M)=6 0? (ii) Dans le second cas, existe-t-il des m6triques r6alisant le m i n i m u m ? Les-

quelles?

Pour r6pondre (partiellement) ~i ces quest ions M. G r o m o v int rodui t d ' abo rd un invariant topologique II M II, le volume simplicial de la vari6t6 M, d6fini par

[I M 11 = inf{ Z[~il ; [ M ] = 2; ai ai, ai E R, at simplexe singulier}

0t~ [ M ] d6signe la classe fondamenta le de M.

* Ce travail a 6t6 partiellement effectu6 sous le contrat CEE n ~ SC1-0105-C <<GADGET>~ ~i I'U.R.A. 188 au C.N.R.S.

418 G. Besson et al.

C'est, grosso modo, ~le plus petit nombre de simplexes, permettant de d6composer [M] (attention les coefficients sont r6els !). Pour la comprbhension de cet invariant le lecteur est renvoy6 /l l'article original [Gro 1]. I1 montre ensuite que pour toute vari6t6 compl6te

1 (*) min vol(M) > d[ M [F (n - 1)" (n !)

et d6crit de nombreux cas pour lesquels k[ M ]t est nul et d'autres pour lesquels II M t[ # 0. En particulier si M est compacte et supporte une m6trique hyperbolique [IMI[ #0 , on sait d'ailleurs que dans ce cas le groupe fondamental a une structure bien particuli6re.

En guise de r6ponse ~ la seconde question on peut au mieux esp6rer que, si M supporte une m6trique ~ naturelle>~, elle r6alisera le volume minimal. C'est le cas par exemple en dimension 2, off toutes les m6triques ~ courbure constante jouent ce r61e dans le cas compact. Pour les vari6t6s non compactes l'exemple du volume minimal de R 2 ({-Bay-Pan]) sugg6re la possibilit6 d'un minimum r6alis6 par une m6trique singuli6re. Ceci conduit ~ la conjecture suivante pos6e par M. Gromov.

Conjecture. Si M est une vari~t~ admettant une m~trique hyperbolique de volume fini notre hyp, alors

min vol(M) = Vol(M, hyp)

Comme nous l'avons mentionn6 plus haut, elle est vraie en dimension 2 par simple application du th6or6me de GauB-Bonnet.

Le but de cet article est de donner une r6ponse partielle & cette conjecture. Plus pr6cis6ment, soit (M, go) une vari6t6 riemannienne compacte de dimen-

sion n___ 3 qui est soit d'Einstein & eourbure sectionnelle strictement n6gative ou est un espace localement sym6trique irr6ductible ~t courbure sectionnelle n6gative ou nulle (c'est-~t-dire de type non compact). On d6finit la fonctionnelle suivante sur l'espace des m6triques riemanniennes g sur M,

K(g)= ~ Iscal(g)l"/2dvg. M

On a alors

Th6or6me A (th6or/~me local). II existe un voisinage ql de go dans l'espace des m~triques sur M tel que

Vgeql K(g)> K(go)

l'~galit~ a lieu si et seulement si g est isom~trique ?t go.

Dans le chapitre 2 nous pr6ciserons le voisinage et la topologie. Notons que q /e s t ~cylindrique~) c'est-~-dire qu'il contient toute la classe conforme de g s'il contient g.

Les m6thodes utilis6es sont celles, maintenant classiques, d'analyse de l'espace des m~triques au voisinage d'une m+trique d'Einstein (voir la r6f6rence principale [Eb], ou bien [-Be]).

La derni6re partie de ce th6or6me peut se lire comme un r~sultat de rigiditb pour des espaces sym6triques ou d'Einstein. La conclusion est 6videmment plus faible que celle des r6sultats de rigidit6 de Mostow et Gromov puisqu'elle est

Volume et entropie minimale des espaces localement sym6triques 419

locale, mais l'hypoth6se est aussi plus faible puisque nous supposons l'6galit6 des deux nombres K(g) et K(go) et non l'6galit6 des deux fonctions ~courbure sectionnelle de g , et ~ courbure sectionnelle de go)).

En fait plus qu'un th6or6me de rigidit6, il s'agit d'un th6or+me de stabilit6 que l'on peut 6noncer comme suit: on d6finit la distance modulo isom&rie entre la m6trique g et la m6trique go en posant

d (g, go) = Inf~o ~Difftu) { II ~o* (g) - go tl u, t,o)} on a alors

Th6or~me B (th~ori~me de stabilitY). II existe une constante non nulle C(go) telle que, pour tout gs~

(d (g, go)) z < C (go)(K (g ) - K (go))-

Un corollaire important de ce th6or6me est une r6ponse locale fi la conjecture du volume minimal.

Corollaire C. Sous les hypothdses du th~or~me A, on a

geql et scal(g)>scal(go)=~Vol(g)>Vol(go).

Ce r6sultat, d6coulant trivialement du th6or+me A est partiel en ce sens qu'il est local, mais son int6r& r6side dans le fait que les hypoth6ses ne portent que sur un minorant de la courbure scalaire.

Considbrons une vari6t6 riemannienne compacte (M, g) et son rev~tement universel riemannien (M, ~). Notons B(x, R) la boule de centre x et de rayon R sur (M, if) et posons

(1.1) hv(M,g)=R_.+~olim ( l l ogVol ( /~ (x ,R) ) )

(cette limite existe et ne d6pend pas de x). Nous appellerons hv(M, g) l'entropie volumique de (M, g) et nous la noterons

parfois hv(g) torsqu'il n'y aura pas d'ambigu'it6 sur l'identit6 de M. L'entropie volumique est reli~e fi l'entropie topologique h(M, g) du flot g6od6sique par le r6sultat classique suivant:

Proposition 1.2 ([Din], [Man]). Pour toute vari~t~ riemannienne, on a

hv(M, g) < h(M, g).

Si de plus g est de courbure sectionnelle n~gative ou nulle

hv(M, g) = h(M, g).

Une s6rie de r6sultats (voir par exemple [Gro 1], [Kat] , [Ha]) comparant l'entropie topologique d'une m6trique riemannienne ~t celle d'une m6trique loca- lernent sym6trique port6e par la m~me vari6t6 (sous diverses hypotheses de normalisation, 6videmment n6cessaires), nous am6ne ~t d6finir

Min ent (M)= Inf{hv(M, g): Vol(M, g) = 1}.

Dans [Gro 3] page 58, M. Gromov pose la


Conjecture de rentropie (volumique) minimale. Si M porte une m~trique go localement sym~trique de type non compact, alors

Min ent (M)= hv(M, go).

C'est cette conjecture que nous dbmontrons sur les surfaces (corollaire 3.11) et, en dimension plus grande, dans chacune des classes conformes de m6triques localement sym6triques de type non compact.

Notons que A. Katok [Kat] prouve un r6sultat analogue pour l'entropie topologique.

Dans [Gro 1] page 245, M. Gromov montre que si M a porte une m6trique hyperbolique alors,

Min ent (M) > Ca > 0, Ca = constante

toutefois la valeur de Ca, calcul6e explicitement, n'est pas celle attendue. Dans le chapitre 3 nous nous inspirons de la d6marche de M. Gromov

en la modifiant de mani6re/t nous placer dans un cadre hilbertien. En utilisant des plongements 6quivariants du rev~tement universel de M dans la sphere unit6 d'un espace de Hilbert, nous introduisons un nouvel invariant topologique: le volume sph6rique de M. Ce dernier est un outil au m~me titre que le volume simplicial, mais plus maniable. Nous le relions/~ l'infimum du spectre du Lapla- cien des m&riques sur 5~t invariantes par le groupe fondamental de M e t /t leur entropie topologique.

Remarquons que la r6solution de la conjecture sur l'entropie volumique minimale impliquerait automatiquement celle de la conjecture sur le volume minimal (voir la preuve du corollaire 3.13).

Au corollaire 3.13, nous d6montrons que le volume minimal et l'entropie minimale sont tous deux minor6s par le volume sph6rique. Ces deux minorations sont optimales en dimension 2 et permettent de plus de ramener les deux conjectures du volume et de l'entropie volumique minimale au seul calcul du volume sphbrique des vari6t6s localement sym&riques (voir la remarque 3.14). Enfin, en les combinant avec la relation que le thbor6me 3.16 &ablit entre volume sph6rique et volume simplicial, elles donnent une am61ioration de l'in6galit6 (*).

Th6or~me D. Pour toute vari~t~ riemannienne compacte M

l, ln/2 min vol(M) > ( n - 1)a(n!) tl M II.

Les preuves reposent 6galement sur des relations entre volume sph6rique et spectre du laplacierl sur le rev~tement universel (th6or6me 3.8, propositions 3.9 et 3.10) qui ont leur int+r& propre.

Pour aborder la conjecture de l'entropie volumique minimale, on pourrait tenter une approche variationnelle, c'est-/t-dire tenter de ~diff~rentier~ hv par rapport/t g; c'est une approche d~licate qui est utilis6e dans [Kni], [Ka-Kni-We.] dans le cas de la courbure strictement n6gative. Nos r6sultats sont compl6mental- res de ceux 6nonc6s dans les articles ci-dessus et confirment les conjectures qui y sont 6noncbes (voir [Ka-Kni-We]).

Darts l'appendice A nous donnons quelques formules de g6om6trie riemannienne utiles pour le chapitre 2. Quelques corollaires d'isospectralit6 sont d6crits

2. Le th6or~me local

I. Schema de preuve

(f, g)~--~eay, g

La preuve repose sur la description suivante, due ~t N. Koiso, de l'ensemble des m6triques voisines d'une m6trique d'Einstein go a courbure sectionnelle strictement n6gative, ([Be], p. 127). Rappelons que dans tout ce qui suit n > 3.

Si Z est l'ensemble des m6triques g sur M de volume fix6, vol g = vol go = 1, et ~ courbure scalaire constante, il existe un voisinage q/o de go (dans la topologie ILH, [-Be] pp. 126-127), un voisinage ~ de go dans Z et un voisinage ~qr de 0 dans Coo (M) tels que l 'application

r

soit un diff6omorphisme, cf. Fig. 1. En particulier, l'image q/ de C~176215 ~ par l 'application ci-dessus est un

voisinage de go dans l'espace de toutes les m6triques qui est satur6 pour la relation d'6quivalence conforme.

Plaqons-nous dans ce voisinage q/ dont la structure produit v a n o u s per- mettre de raisonner d 'abord ~t l'int6rieur de chaque classe conforme d'une m6tri- que ~t courbure scalaire constante, puis dans un voisinage de la classe conforme de go.


dans l'appendice B. Enfin, dans l 'appendice C nous esquissons le calcul classique de l 'entropie d'un espace sym6trique de type non compact.

Remerciements. C'est un plaisir de remercier A. Ancona, O. Gil-Medrano, Y. Guivarc'h, F. Ledrappier et P. Pansu pour l'int~r~t qu'ils ont port6 ~t ce travail et tout particuli6rement M. Gromov pour ses encouragements.

Fig.


On remarque d'abord que toute m6trique g ~t courbure scalaire constante n6gative r6alise le minimum de la fonctionnelle K(g ')= ~ [scal(g')l~/2dv~, sur

sa propre classe conforme (rappelons que le volume est normalis6):

Proposition 2.1 I-cf. w II]. Soit g une m&rique ~t courbure scalaire constante n~gative sur une vari&~ compacte M e t g' une m~trique conforme dt g. Alors K(g')>K(g) et l'~galit~ a lieu si et seulement si g = g'.

Pour passer de chaque classe conforme ~ tout un voisinage de la classe conforme de go, on va prouver la

Proposition 2.2 [cf. w III]. Si go est une m~trique d'Einstein ~ courbure sectionnelle strictement n~gative sur M, la fonctionnelle

S, ~ R

g~--~K(g)

admet un minimum local en go. De plus, pour un choix convenable d'une tranche Z' transverse ?t l'orbite de go par Diff(M) et d'un C2-voisinage ql de go, il existe une constante C telle que toute m&rique g E S,' n ql v~rifie:

II g - go II ~,1 ~,o~ <= c E K ( g ) - K (go)].

Le th6or6me A d6coule de ces deux propositions de la fa~on suivante. On choisit un voisinage q/1 de go dans S dans lequel go est un maximum et off les m&riques sont fi courbure scalaire negative. On choisit pour voisinage q/ de go dans le th6or~me A, la r6union des classes conformes des m&riques de q/1. Soit g ' e ~ et g la m6trique de ~//1 conforme fi g'. D'apr6s les propositions 2.1 et 2.2, nous avons: K(g')>>_K(g)>K(go) et l'6galit6 K(g')=K(go) a lieu si et seulement si g' est isom6trique fi go. Le th6or6me de stabilit6 B se d6montre en remarquant que l'image, par le diff6omorphisme de N. Koiso, de S ' x C~(M) fournit une tranche locale de l'espace des m6triques. On conclut en utilisant la partie ~stabilit6>> des propositions 2.1 et 2.2.

IL Le minimum de K dans chaque classe conforme

Nous allons prouver la proposition 2.1. Soit g '=eEfg. D'apr~s [Be] p. 59, on a:

scal (g') = e- 2 y [-scal (g) + 2 (n - 1) A s f - (n - 2)(n - 1)[ dr[ 2]

off A 8 dbsigne le laplacien riemannien associ6 /l la m6trique g et ]Is la norme d6finie sur les 1-formes. Par int6gration et en 6levant /t la puissance n/2, on obtient �9

( S e2Y[scal(g')[ dvg) n/2 2( ~ [scal(g)[ dvg) n/2 M M


et l'in6galit6 de H61der donne:

Iscal(g')l"/2dvg, > [scal(g)[ n/2 Vol(g)= ~ Iscal(g)l"/2dvg. M M

L'6galit6 a lieu si et seulement si f - O , ce qui ach6ve la preuve de la proposit ion 2.1.

III. Minimum local de K s u r Z

Le but de ce paragraphe est la preuve de la proposition 2.2. En restriction ~ 2; et dans un voisinage suffisamment petit de go, la fonction-

nelle K devient K(g)=]scal(g)]"/2=(-scal(g)) "/2. Pour prouver que K(go) est un minimum local sur Z, nous allons prouver que seal(go) est un maximum local sur 2;, off ce qui revient au m~me, que S(go) est un maximum local sur

2 - 1 off S(g).'=(Vol g)" ~ seal(g) dv,.

M

Comme S(g) est invariant par Faction du groupe Diff(M) des diff6omorphis- mes de M, il suffit de se placer dans une tranche ~' de 2;, i.e. une partie 2;' de ~c~ q/ telle que U ~p*(2;') contienne un voisinage de go dans 2;. Un

~o~Diff(M)

sous-produit du th6or6me de la tranche de D. Ebin ([Be], p. 345) et du th6or6me de d6composition de N. Koiso (cf. supra et [Be], p. 127 et 130) est qu'une telle tranche est donn6e par Z' = Z c~ g n q/off 8 est l'espace form6 des m&riques de la forme f ' g o + h , off h v6rifie simultan6ment Trace~o(h)=0 et 6~o(h)=0 et o f l f e C ~ (M). Remarquons qu'alors

Tg o Z' = {h/Trace,o (h) = 0 et 6~o(h ) = 0}.

On consid6re un voisinage de go dans 2;' du type d//, = I;' c~ B, off Be est la boule de centre go et de rayon e pour la norme C 2 dans l'espace de toutes les m6triques.

On va montrer que, pour e assez petit, S(go) est un maximum sur q/,. Pour cela, nous allons voir que la ~d6riv6e seconde>> S"(g) de S est ~n6gative>> au voisinage de go, off S"(g) est d6fine pour tout 2-tenseur sym&rique h par:

S(g+th). S"(g)(h, h ) = d ~ - t=o

A cause de la formule

) S(gl)- -S(go)= ds -~-~S(go+th)dt 0

off g~ = go + h, la proposition 2.2 va r6sulter du:

Lemme 2.3. II existe e > 0 et C~-O tels que si g~~ h = g - g o, alors pour tout u~[0, 1],

(2.4) S"(go + uh)(h, h) <-_ - C 2 N h [I ~, tgo)"


Preuve. La d6riv6e seconde S"(g) est donn6e, pour toute m&rique g, par (cf. Appendice A):

(2.5) S"(g)(h, h)= ~ ((a(g, Rg), h | h)g + (o~(g), Ogh | Ogh)g M

+ (fl(g), Og Ogh | h)g) dvg + ( ~ (b (g, Rg), h)s d v~)-( ~ (c (g, Rg), h)g d v~)

M M

off Dg, R, sont la connexion de Levi-Civita et la courbure de g, et les tenseurs C ~, a, b, c, ~,/3 d6pendent de mani6re polynomiale (donc sans perte de d6rivabi- lit6) des param6tres g e t Rg.

En appliquant /t l 'avant-dernier terme du membre de droite de (2.5) une int6gration par parties, celui-ci s'~crit

( 6g fl(g), Dgh | h) -- (/3(g), Dgh | Dgh )g dvg. M

De cette derni6re, remarque, de l'6quation (2.5) et de l'universalit6 des fonctions a, b, c, 0~, fl et de leurs d6riv6es partielles, on d6duit que pour majorer JS"(g)(h, h ) - S"(go)(h, h)], il suffit de majorer ]g-gol, ]Rg-Rgo], IDgh--Ogohl, f6~ f l (g)- 6g o/3(go)l, Idv~- dvgo] et {]'lg-]" I~o[ (off, sauf sp6cification contraire, les normes sont prises au sens de la m6trique de r6f6rence go)- De la continuit6 de gw-~ tt" Jig, de g~--~gg/3(g), de g~--~Rg et de g~--~Dgh dans la topologie C 2, nous d6duisons l'existence d'une fonction continue t/nulle en z6ro, telle que

(2.6) iS" (g)(h, h) - S" (go)(h, h)] < t/(]] g - go [I c2)" ]t h t] z H ~ (go)

On voit donc qu'il suffit, pour montrer (2.4), de prouver:

(2.7) S" (go) (h, h) < - C 2 II h ]121tgo).

Cette derni6re in6galit6 va d6couler des deux lemmes suivants:

Lemme 2.8. Soit e > 0 Il existe un voisinage U~ de go (pour la topologie C 2) tel que, pour tout 2-tenseur sym~trique h v~rifiant (go + h)eS,' ~ ~ il existe h' ~ Tso S' tel que [[ h' - h I[ x~ (so) < e [[ h II , , (go)"

Lemme 2.9. Sous les hypotheses du th~orkme local, il existe C4:0 tel que, pour tout h' 6 Tg o S,', on ait

S . . . . . h' h i ' < - - C 2 2 tgoJ/ , )= [Ih'IIH,tgo).

En effet, si h = g - g o oO gea//~, on consid6re l'616ment h'~TgoS,' qui lui est associ6 dans le lemme 2.8, et comme S"(go) est quadratique, on a:

S" (go)(h, h ) - S"(go) (h', h') = S" (go)(h + h', h - h').

De la formulation de S"(go) donn6e par l'appendice A il ressort que S"(go) est une forme quadratique born6e dans H 1(go). Nous en d6duisons, grace au lemme 2.8,

t S" (go)(h + h', h - h')[ < C '2 I[ h + h' II ~tgo)][h-h ' Il m tgo)

<eC, ,2 i1 2 _ h 11H~go)-


Le lemme 2.9 implique alors (2.7), ce qui ach6ve la preuve de (2.4) et, par cons6quent, de la proposition 2.2. I1 reste donc ~t prouver les lemmes 2.8 et 2.9.

Preuve du lemme 2.8. Soit o// un voisinage C 2 de go. On a: ~ / / n X ' = ~ n S n g de sorte que si h est tel que g o + h e 2 7 n q / , h se d6compose en h=h• T off

h• h• = 1 (traC%o(h)).go) et off , i , h = h eTgoS.

Le lemme 2.8 d6coulera d'un choix de q /qui donne:

(2.10)

Pour d6montrer cette derni6re in6galit6, consid6rons la fonctionnelle

F(g)=scal(g)-- S scal(g)dvg. M

Remarquons que S est l'image inverse de la fonction constante 6gale ~ 0 sur M.

Nous allons montrer que pour h assez petit en norme C 2, nous avons:

(2.11) C[Ih • 2 < II m Igo)= I(F' (go)(h), Traceg o h)L2~go)l < e 2 II h 112 : H a (go)

off C est une constante strictement positive, ce qui entra~nera (2.10). D'apr+s [-Be] p. 63, on a:

(2.12) F'(g) (h) = A (Trace h) + 6 6 h - g (rg, h) + ~ g (rg, h) d vg M

--�89 ~ (scal(g))(Trace h) dvg M

off A, Trace, 6 et r~ sont respectivement le laplacien, la trace, la divergence et la courbure de Ricci associ6es ~t g.

D'apr6s (2.12), comme 6~oh=d(Trac%o h), comme scal(go)<0 et comme go est une m&rique d'Einstein, on a:

(F'(go)h, T r a c e g o h)L2(go) = ( ~ - ) ~ [d(Tracego h)12 dvgo M

scal(g~ ~ (Trace,o h) 2 dVgo n M

+ scal(go) n

( S Traceso h) 2-�89 S Tracego h) 2 M M

inf(' X 'seato' 1 raC,oh,~


Comme h• ceci prouve la premi6re in6galit6 de (2.11).

Montrons ~t pr6sent la seconde: comme go et go+h appartiennent g I;, on a

ce qui implique

1

0 = F(go + h ) - F (go) = ~ F'(go + t h) (h) d t 0

1

(2.13) (F'(go)(h), Traceg o h)L~tgo)= -- ~ ([F'(go + th) 0

-- F' (go)] (h), Traceg o h)L2(go) d t.

D'apr~s (2.12), nous avons la formulation:

(F'(g)(h), Traceg h)L2~)= (a(g, r~), h | h)L2(g ) q- (b(g, rg), h)L~tg ) �9 (c(g, rg), h)L2tg ) + (ct(g), Dgh | Dg h>L2tg ) .

Un argument de continuit6 identique ~ celui que nous avons utilis6 pour d6mon- trer (2.6) donne, si on remarque que g ~--~Traceg h et g~--~ ( . , ")L~r sont 6galement continues,

(F ' (g)(h)- F' (go)(h), Traceg o h)L2(go) -~ r] (H g -- go II C2)" 11 h [I 2 tgo)"

En injectant cette estimation dans (2.13) et en choisissant un C2-voisinage q/ suffisamment petit de go, nous obtenons la seconde in6galit6 de (2.11), ce qui ach6ve la preuve du lemme 2.8.

Preuve du lemme 2.9. Le preuve repose sur une 6criture de la d6riv6e seconde qui permet d'utiliser l'une ou l'autre des hypoth6ses de mani6re purement alg6bri- que.

Rappelons que, d'apr6s rappendice A,

-2S~'o(h, h)= ~ (IDhl2-2(l~(h), h))dvg o M

of 1 (/~(h))ij = ~ Rik~l hkz

k,l

dans toute base orthonorm6e (e~). La laplacien brut, agissant sur les 2-tenseurs sym6triques de trace nulle,

admet la d~composition canonique (voir [Be], p. 355, 12.69):

(2.14) D* D h =(J~ d~ + dO j ~ + l~(h).

On rappelle que r d+signe ici le tenseur de Ricci de go et que:

(h o r)i j -~-E hik rkj k

dans une base orthonorm6e.


Notons que, dans la formule, le 2-tenseur sym6trique est consid6r+ comme une 1-forme fi valeurs dans le fibr6 cotangent; alors d ~ est la diff6rentielle obtenue sur ces formes ~t partir de la d6rivation covariante D et 6 ~ son adjoint.

Soit alors ct~]0, 1[, nous avons, en utilisant le fait que 6h=O,

-2S~'o(h,h)=a ~ [Dh[2+(1 -~ ) ~ I d ~ ~ (l~(h),h)+ ... M M M

+(1 --ct) ~ Q~(h, h) dvgo(X ) M

off Q~ est la forme quadratique en x donn6e par

Q~ (h, h) = - [(h o r, h)(x) + (/~ (h), h)(x)].

On a not6 ici (., .) le produit scalaire ponctuel en x.

Lemme 2.15. Pour tout x 6 M la forme quadratique Q~ est positive ou nulle; si go est fi courbure sectionnelle strictement ndgative, la plus petite valeur propre )q (Qx) (calcul~e & partir de la m~trique go) est minorOe par une constante strictement positive. Enfin, si go est le quotient d 'un espace symOtrique irr~ductible, 21(Q~) est une constante (inddpendante de x).

Preuve du lemme. Un calcul imm6diat montre que dans une base orthonorm6e (ei), au point x, qui diagonalise h,

2 Qx(h, h) = ~ ( - a,j)(hu + hi9 z i , j

06 a~j est la courbure sectionnelle du 2-plan (e,, e j). On utilise ici le fait que la m6trique, soit go, est une m6trique d'Einstein dans tousles cas consid6r6s.

La deuxi6me partie de rassertion est imm6diate: si on suppose go ~t courbure sectionnelle strictement n6gative, la compacit6 de M implique l'existence d'un 2 > 0 tel que

Qx(h,h)>=Alhl2(x) (M est compacte).

Dans le cas off go est localement sym&rique, Qx 6tant construite ~t partir du tenseur de courbure, est clairement invariante par transport parall61e. [ ]

Notons 2 = inf{21 (Q:,)\xeM}. Si 2 est strictement positive, alors

Q~(h,h)~R[hl2(x)

pour tout x et pour tout h. On peut donc choisir ~ tel que

( l - e ) ~ Q~,(h, h)dvg(x)-2o~ ~ (I~(h), h )>~ J]hl122tgo) M M

d'ofi 2 S" th h) > inf(~, 2/2) II h LI 2 tsor

- - g O \ , . , - -

Ceci prouve le lemme 2.9 dans le cas off go est d'Einstein ~t courbure section- helle strictement n6gative. Dans le cas localement sym6trique, la preuve sera donn6e par le


Lemme 2.16. Si go est localement symOtrique de type non compact

2>0 .

Remarque. Ce r&ultat est du m~me esprit que ceux figurant dans [Ko]. Nous en donnons une preuve diff6rente par souci de clart6.

Preuve du lemme. I1 suffit bien stir de prouver que 21(Qx) est non nul en au moins un point x. S ice n'est pas le cas, il existe une forme bilin6aire sym6trique de trace nulle h, telle que

Qx (h, h)= 0, en tout point x.

Notons H1 l 'endomorphisme de TxM canoniquement associ6 fl h, c'est-fi-dire pour u, v~ T~M

h(u, v)=go(Hl(U), v).

Nous noterons H2 6galement son extension fi A 2 TxM, c'est-fi-dire

H2 (u ^ v) = H1 (u) A v + u ^ H 1 (v).

Enfin, R d&ignera l 'op6rateur de courbure vu comme endomorphisme sym6- trique de A 2 T~M. Les calculs qui suivent sont similaires fi ceux faits dans [Ga- Me] p. 267.

Avec ces notations, on a l e

Lemme 2.17. Q~(h, h)= - t r a c e ( H 2 o R o H2) pour tout tenseur sym6trique h.

Preuve du lemme. I1 suffit, comme pr6c6demment, de choisir une base orthonor- m6e de T~M, soit {e~}, qui diagonalise h. Un calcul 616mentaire et la sym6trie de l 'op6rateur Hz montrent alors que

-- trace (H2o R o H2) = -- Z (R o H 2 (ei /x e~), H 2 (ei ix e j)) = - ~ tr u (hii -b h j j) 2 i , j i , j

=Q~(h,h). []

On a 6galement Q~(h, h)= - trace(H2 2 oR).

Soit {ui} une base de A 2 TxM qui diagonalise l 'endomorphisme R c'est-fi-dire telle que:

R (ui) = #i ui

alors, en s 'appuyant sur la sym6trie de H2,

Qx (h, h) = - ~ #i (HE (ui), ui) = -- ~ #i [H2 (u,)[ 2. i

D'apr& un r&ultat de Kostant et Simons (voir [Si]), sur un espace localement sym6trique de type non compact, l 'op6rateur de courbure est n6gatif ou nul, c'est-fi-dire

#i -< 0 pout tout i.


Si done 21 (Qx)= 0 il existe un tenseur sym6trique de trace nulle, h tel que

H2(u3=O d~s que R(ui):~O,

c'est-fi-dire tel que H2 o R = O. Notons ~ la courbure vue comme 2-forme ~i valeurs dans les endomorphis-

rues antisym6triques de TxM c'est-~-dire d6finie par

(R(X/x Y), U ^ V)= (~ (X , Y)V, U).

On a alors

O=(H2[R(X A Y)], U ^ V)=(R(X ^ Y),H2(U ^ V))

= (~(x, Y)v, Hi (W))+ (~(X, Y)(H1 (V)), U)

pour tout X, Y, U, Vdans T~M; e'est-~-dire

~ ( X , Y)oH1 = - H l o~(X, Y)

pour tout X, Ydans T~,M. Tout ce qui pr6e6de et ce qui suit se passe en un point x de M fix6, on

peut alors supposer pour simplifier que M est l'espace sym6trique simplement connexe lui-m~me (la compacit6 ne jouant plus aueun r61e) et qu'il s'6erit alors G/K off G est un groupe de Lie et K un sous-groupe de Lie, stabilisateur du point x, d'alg6bre de Lie k.

On sait que ad(k) est engendr6 par les endomorphismes ~ (X , Y) lorsque X et Ypareourent TxM. D'ofl, pour tout Aek

(2 .18) H l o ad ( A ) = - ad (A) o H 1

et

(2.19) H2o ad(A) = ad(A) o H 2 .

L'espaee sym6trique 6tant irr6ductible, la repr6sentation adjointe (Ad) de K dans TxM est irr6duetible, il en va de m~me de la repr6sentation adjointe (ad) de k dans TxM. De (2.19), on d6duit que les espaees propres de H 2 sont invariants par ad(k) et done que

H12 = ~ id

avec a > 0 car l 'endomorphisme H~ 2 est positif ou nul. Supposons a > 0 , on a en partieulier que H1 est un isomorphisme. Or, de

l'6quation (2.18) on tire que pour tout A1 et A2 dans k

ad ([A 1, A2]) o Hx = lad (A 1), ad (A2) ] o Hx = HI ~ lad (A 1), ad(A2)]

= H 1 ~ ad([A1, A2] )

de (2.18) il vient ~galement,

ad([A1, Az])oH1 = --H1 o ad([A1, A2] )

H1 6tant un isomorphisme, on a done

ad([A1, A2]) = 0 pour tout A1, A2 dans k


c'est-it-dire

I-A~,A2]=0 pour tou t A~,A 2 dans k.

L'alg6bre de Lie k est done ab61ienne, et il en va de m~me du groupe K. Or, les actions irr~ductibles rkelles des groupes ab6liens ne se produisent qu'en dimension (r6elle) 1 ou 2, ce qui est exclu par l'hypoth6se.

La seule possibilit6 est donc ~=0 , c'est-~t-dire H =0, c'est-it-dire h =0. En conclusion,

Qx(h, h)=O=~h=O ou, ce qui est 6quivalent,

2~ (Qx) > 0.

La proposition principale est ainsi prouv6e. []

3. Vers la conjecture globale

I. Le volume sph~riq(te

On consid6re une vari6t6 compacte M, son rev~tement universel M e t son groupe fondamental F. On d6signera par /7 une mesure positive sur ~ , absolument continue par rapport it la mesure de Lebesgue et invariante par l'action de F. On notera L2(~, /2) l'espace de Hilbert correspondant et la sph6re unit6 S ~ de LZ(M,/~). Rappelons que F agit sur LZ(M,/7) par la repr6sentation r6gu- li~re: sif~L2(M,/7) et 7~F, on d~finit ~ . f pa r (~ f ) ( y )=f (y - l y ) .

Soit �9 une immersion de /~ dans S~ /~). On d6signe par can la m6trique canonique sur S ~ induite par le produit scalaire de L 2 (M,/~) et q~* (can) la m6trique induite par �9 sur ,Q. Dans toute la suite, nous nous int6ressons aux immersions q~ 6quivariantes sous l'action de F, c'est-fi-dire telles que �9 (~ x) = ~.(~(x)).

Pour toute immersion ~ 6quivariante, la m6trique ~* (can) passe au quotient et est bien d6finie sur M = ffl/F. On pose vol ~ = vol (M, q~* (can)).

Le lien entre cette construction et les probl6mes du volume et de l'entropie minimale est 6tabli par le

Lemme 3.1. Pour toute m~trique sur M e t pour tout e > O, il existe une immersion F-~quivariante �9 de ffi dans S ~ qui v~rifie

(i) ~* (can) < �88 (hv (m, g)2 + e) g (ii) Trac% [q,* (can)] < �88 g)2 + e).

Preuve. Choisissons comme mesure /7 la mesure relev6e sur ~ de la mesure riemannienne dv s sur M. Consid6rons la fonetion ~kc(x)=e -cdtx''), off d est la distance riemannienne associ6e ~ g. Une int6gration 61ementaire prouve que

hv(M, g) Choisissons l'imrner- ~Oc(x) appartient ~ L 2 (,~,/7) si et seulement s ic > ~ .

sion ~ de m dans S ~~ en posant ~c(x)=~(x)/[l~(x)[122~M, ro. Un calcul direct (utilisant le th6or6me de Pythagore !) donne, pour tout X~ T~ M,

�9 * (can)(X, X) = If d ~ ( X ) II ~ - l[ d ffc(X) H ~2 II r162 df(X)Z

off L 2 = L 2 (~,/~) et o 6 f ( x ) = Log(ll ~b~(x) ll L=).


Le gradient de la fonction <~distance ~i x>> 6tant de norme 1, nous avons, pour toute base orthonorm6e {ei} de T~M,

~', Ildt~c(ei)ll 25 Trace,(45* can) =< i II ~kr ll L2= = c2'

ce qui d6montre (ii). On d6duit (i) imm6diatement de (ii). []

Consid6rons un instant l'ensemble W des m6triques d'entropie volumique fix6e - la non-nullit6 de l'entropie volumique 6tant une propri6t6 homotopique (r6sultat de Milnor, voir l'exemple 3.3.b), on peut toujours ramener n'importe quelle m6trique dans cet ensemble par une renormalisation homoth6tique - et n'importe quel invariant riemannien global V qui est croissant (i.e. V(gl) :>V(g2) d6s que gl~g2)" L'in6galit6 (i) du lemme 3.1 prouve que l'infimum de V sur l'ensemble ~,~ de m6triques est minor6 par sa borne inf6rieure sur l'ensemble des m6triques de la forme ~* (can), off q~ est 6quivariante. Le volume riemannien &ant un invariant de ce type, ceci nous am6ne/l d6finir le volume sphdrique

T(M) = Inf{Vol (~* (can)): q~ immersion 6quivariante d e / ~ dans S ~ c L 2 (M, fi)}

Cette d~finition ne ddpend pas du choix de fi, puisque l'application uv-+uVFf induit une isom&rie de L2(M, f . fi) sur L2(AI, fi) qui, lorsque les mesures f./~ et fi sont F-invariantes, entrelace les repr6sentations r6guli6res de F sur ces deux espaces.

Les propri&6s suivantes r6sultent facilement de la d6finition.

Propri6t~ 3.2. (i) T(M x M') < T(M). T(M').

(ii) Si M' --, M est un revdtement de degrd d, T(M') < d. T(M).

Remarque. En posant

T * ( M ) = i n f { ~ / N S--~MrevStementfini t

on obtient un autre invariant qui v6rifie T* (M')= d T* (M) pour tout rev~tement M' ~ M de degr6 d.

En effet, il est 6vident que d T* (M)< T* (M') pour tout rev~tement M ' > M

de degr6 d. Inversement, soit N --* M un rev&ement de degr6 r tel que

T(N) e<= T*(M)<= T(N). t" 1"


Notons M1 ~ M ' le rev~tement image r6ciproque par zr de N--',M. On a, pour tout e,

T*(M')<= 1 T(MO<= d T(N)~d[T*(M)+e]

d'o6 le r6sultat. Dans ce qui suit on pourrait remplacer T(M) par T*(M) sans changer les

r6sultats (voir la remarque 3.18).

Exemples 3.3. (a) Si le rev&ement universel h4 de M est compact ou est un groupe de Lie nilpotent, alors T(M)= O.

La preuve d6coule du fait que, dans ces deux cas, la croissance des boules de M est polynomiale par rapport au rayon (cf. [Gro 2]). Ceci implique, d'apr~s sa d6finition, que hv(M, g)=0. Le lemme 3.1 (i) permet alors de conclure. []

(b) Si la croissance du groupe fondamental F de M est sous-exponentielle, alors T(M) =0.

Preuve. Il d6coule de la preuve de la proposition 3.22 de [Gro3] qu'il existe un syst~me g6n6rateur de F pour lequel la distance alg6brique est 6quivalente, sur F, ~l la distance g6om&rique. On d6finit les entropies hg~om(F) et h,~g(F) par extension de la d6finition (1.1) aux espaces m6triques (F, dg~om) et (F, d,~g) munis de la mesure discr6te. On a done

c1. ha~,(r) < hgeom (F)= hv(M, g) < C2 ha,~(r).

Si la croissance de F est sous-exponentielle, on a halg(F)=0 d'o6 hv(M, g)=0, d'o/l T(M)=0 par le lemme 3.1 (i). []

(c) Si M" porte une m6trique hyperbolique go, alors

[(n 1}2\ n/2

En effet, le volume d'une boule de rayon Res t , dans l'espace hyperbolique et quand R tend vers l'infini, 6quivalent/t C(n).e ("- 1)R, d'ofi hv(M", go) = n - I . Remarquons que

r 1 1 "/2 Vol(@*(can))< ~ In Traceg~ "dvg~

et appliquons le lemme 3.1 (ii), nous obtenons la majoration annonc6e de T(M). (d) Le th6or6me 3.16 fournit une s6rie d'exemples de varbt6s dont le volume

sph6rique T(M) est non nul. En particulier, T(M)=~-(7-1) pour toute surface de genre 7 >__ 2 (cf. la remarque 3.14).

II. Un invariant conforme: l'~nergie sph&ique

Les notations sont les m~mes que dans le paragraphe pr6c6dent. Soit g une m6trique sur M, on pose


T(g) = inf [ n Traceg ~* (can)J ,t~,/~ immersion 6quivariante de M dans

Cette d6finition ne d6pend pas du choix de/2, pour les raisons d6jfi avanc6es dans la d6finition de T(M). On a, de mani6re 6vidente, la

Propri~t~ 3.4. T(g) ne dkpend que de la classe conforme [g] de g. C'est pourquoi nous le noterons d~sormais T([g]).

Proposition 3.5. T(M) = inftg j T([g]).

Preuve. (i) De l'in6galit6 reliant d&erminant et trace d'une matrice, on d6duit T(rg]) > T(M).

(ii) Inversement, pour une immersion �9 de M dans L 2 (~r,/]) on a

vol(~*(can))= ~ [ 1 Trace~(ean)(cp.(can))]"/Zdvo.~an~> T(~*(can)) M

de sorte que T(M) > inf, T([qi* (can)]) > inf, T([g]). Nous allons ~ pr6sent voir que cet invariant conforme T([g]) est naturelle-

ment reli6 ~ des invariants spectraux et dynamiques de (M, g) [off g est consid6r6e comme m6trique sur M aussi bien que sur M].

Rappelons que la borne inf6rieure 2o(g) du spectre de (/~, g) peut ~tre d6finie par

(3.6) 2o (g) = inf[R (f)/f~ C~ ()~r)]

off R(f) d6signe le quotient de Rayleigh de f,

R ( f ) = S tdfl2/~ f2 ;

la mesure et la norme &ant celle de g.

D6finition 3.7. Pour toute classe conforme [g], posons

(i) Min ent([g]) = Inf{hv(g'): g'~ l-g], Vol(g')= 1} (ii) Max 2o ([g]) = Sup {2o (g'): g' ~ [g], Vol (g') = 1 }.

On a le

Th~or6me 3.8. Pour toute classe conforme [g],

Max 20 ([g])./2 < n./2 T([g] )< [�89 Min ent ([g])]".

Preuve. La seconde in6galit6 d6coule, par un calcul direct, du lemme 3.1 (ii). D'autre part, pour toute immersion 6quivariante ~ dans L2()~ r, /~), posons

(x, .) = O(x). Pour toute m6trique g' e Ig], on peut choisir /] = dvg,, puisque la d6finition de T([g]) est ind6pendante du choix de /~. Notons dl q~(x, y) la


diff~rentielle de la fonction x~-*q~(x, mental U de l'action F sur M,

y). Nous avons, pour tout domaine fonda-

~ Idl tP(x,y)12dvg,(x)dvg,(Y) = I dvg,(x) ~ I Idl q)(x, yy)12dvg,(Y) U :~l U 7~F U

= I dvg,(y) E ~ ]dlq~(y-lx, y)12dvg'(x) U TeE U

= I dvg,(y) I Idl rp(x,y)]2dvg,(x) v

_->,~o(g') I dv,,(y) I ~~ x, Y) av,,(x) w &

U 7~F U

U 7eF U

=2(g') f dvg,(x) ~ q)2(x,y)dvg,(y) u &

= 2o(g') vol g', car ~(x)~S ~ pout tout x.

L'in+galit6 de H61der donne alors T(g')>2o(g') "/2 vol g'. Ceci ach6ve la preuve du th6or6me 3.8.

Nous allons/l pr6sent 6tudier les cas d'bgalit6 dans le th6or6me 3.8.

D6finition. Une varidt~ (lfI, g) simplement connexe fi courbure ndgative est asymptotiquement harmonique si les horosphOres sont fi courbure moyenne constante.

Remarque. Tous les espaces sym6triques non compacts de rang 1 sont des vari6t6s asymptotiquement harmoniques. On ne sait actuellement pas s'il en existe d'autres.

Proposition 3.9. Soit (M", g) une vari~t~ riemannienne compacte, de volume ~gal d 1, qui est soit le quotient d 'une vari~tO asymptotiquement harmonique, soit le quotient d'un espace sym~trique & courbure n~gative ou nulle. Alors

(i) Max 2o([g]) = 2o(g)= n. T([g]) 2/~

(ii) Min ent ([g])= h(M, g) = 2V~T([g]) 1/~.

Preuve. Dans les deux cas on a, hZ(g)

= ,~ o ( g ) . 4

Si le rev~tement universel de M est asymptotiquement harmonique, cette 6galit6 r6sulte d'un th6or6me de F. Ledrappier ([Led]). Si le rev~tement universel de M est sym6trique /l courbure n6gative ou nulle, l'~galit6,est classique bien que peu connue, nous en esquissons la preuve en appendice C. Dans les deux cas, il y a 6galit~ dans les deux in6galit6s du th6or6me 3.8, ce qui prouve la proposition 3.9. []

Proposition 3.10. Soit (M", g) une vari~t~ localement homog~ne de volume 1, alors 2o(g ) est minor~ par l'invariant topologique n. T(M) 2In. De plus, nous avons:

Max 2o ([g])= ;to(g) = nT([g]) 2/".


Preuve. Un th6or~me d'Ehresman prouve que le rev~tement universel (/~r, go) ,to [g) + e

de (M, go) est homog~ne. Posons ~t(x, y )= ~ e-tadE(2, x, y), off dE d6signe 20 (g) la mesure spectrale de Ag o. Nous avons:

j Idl ~,12( x, Y) dvg(y)= I (~, At (~,))(x, y) dye(y)- A [ S (~t(x, y))2 dvg(y)]

off dl et A 1 d6signent la diff6rentielle et le laplacien par rappor t / t la premi6re variable. Comme (~t, g) est homog6ne, la fonction x ~ ~ ~2(x, y)dvg(y) est

constante. Comme de plus, ~t v6rifie l'6quation de la chaleur, nous en d6duisons

I ]d~ (rPt[2(x, y) dvg(y) . . . . l d ~2 (x, y) d vg (y). 2 d t

Posons �9 = ~t/ll 4~,(x, ")11 ~,2tM.dv 0- Ainsi que nous l'avons d@i vu dans la preuve du lemme 3.1, on a:

n,,/Z T(g) <__ ~ dvg(x) [~ ldl ~tlZ(x' y) dvg(Y) ] "lz

d'ofi avec ce qui pr6c6de,

n n/2 T(g) < vol(g) [ - - - - -

1 d 2 2 dt ~ ~t(x'y)dv'(Y) l

l (Ao (g) + e) ~/2 vol g.

Les propositions 3.5 et 3.8 permettent d'achever la preuve de la proposition 3.10.

(ii) I1 r6sulte d'un th6or6me de Ledrappier (cf. [Led]) que si la vari6t6 (M,

g) est/t courbure n6gative et asymptotiquement harmonique, 2o(g)=

Lorsque M est une surface de genre 7 > 2, toute m6trique est conforme /t une m6trique hyperbolique, donc localement harmonique, et le corollaire 3.10 entralne le

Corollaire 3.11. Soit M une surface compacte de genre y > 2 et soit g une mdtrique quelconque sur M. Alors

volg=4rt(y-1)=~hv(g)>l, et 20(g)<�88

Remarque 3.12. Dans [Kat] , Katok montre que si g est une m6trique sur une surface de genre y > 2 telle que vol g = 4 r@ - 1) alors h(g) > 1 off h(g) est l'entropie topologique de g. En vertu de la proposition 1.2, les corollaires 3.9 (ii) et 3.11 arn61iorent l'in6galit6 de Katok, car sans hypoth6ses de courbure l'entropie topo- lolgique ne coincide pas nbcessairement avec l'entropie volumique.

436 G. Besson et aL

Corollaire 3.13. Soit M une vari~tO compacte de dimension n. Alors �9 [ 4 n ] n/2

(i) _ [ _ ] mm vol M > ~ T(M).

(ii) min ent(M) > 2 V'~(T(M)) 1/".

Preuve. L'in6galit6 (ii) d6coule imm6diatement des propositions 3.5 et 3.8. Soit g une m6trique sur M telle que R i c c i ( g ) > - ( n - 1 ) g . D'apr6s le th6or6me de comparaison des volumes de Bishop, on a hv(g)< n - 1 .

Remarque 3.14. (i) Dans l'exemple 3.3 c), nous avons vu que lorsque M admet [(n 1]2] n/2

une m6trique hyperbolique go, T ( M ) < I ~ [ vol(M, go). Pour prouver la L ~

conjecture min vol M = vol (M, go), il suffirait donc de d6montrer que

I-(n 1)2] n/2 T(M) = [ ~ l vol(M, go).

Lorsque M est une surface de genre y>2 , l'6galit6 pr6c6dente est vraie, i.e.

T ( M ) = ~ vol(M, n g o ) = ~ (7--1): en effet, pour chaque m~trique g sur M, il existe

une m6trique hyperbolique go conforme/t g de sorte que T(g)= T(go)=~ vol(M, go) d'apr~s la proposition 3.9.

(ii) A c e niveau, il est int6ressant de remarquer qu'/t travers la m&hode utilis6e les conjectures de l'entropie (volumique) minimale et du volume minimal sont 6quivalentes dans le cas ot~ go est/t courbure constante: en effet

�9 si l'on montre que min vol (M) = vol (go)

en prouvant que T ( M ) = T([go])= vol(go) alors l'6galit6 est atteinte dans le corollaire 3.13 ii).

�9 Par ailleurs (ceci est ind6pendant de la m&hode que nous utilisons); si on montre que

min ent (M) = hv (go)

off go est normalis6e pour avoir Vol(g0)= 1, et si g est une m~trique sur M de courbure de Ricci sup6rieure ou 6gale/t celle de go, alors soit 2 tel que

on a donc vol (22 g) = 1 = vol (go),

hv(g) > i hv(g~ 2 =hv(go),

la premi6re in6galit6 r6sultant de comparaison de Bishop (go est /l courbure constante) et la seconde du fait que by(go) r6alise l'entropie minimale. On d6duit de ces in6galit6s que

2 < 1 et done

Vol (g) ~ Vol (go).


I lL Volume simplicial et volume sph~rique

Le corollaire 3.13 est analogue ~ l'in+galit6 reliant le volume minimal d'une vari6t6 fi son volume simplicial qu'obtient Gromov dans [Gro]:

t (3.15) min vol M > [I M 11

=(n--1)"n!

off le volume simplicial II M I] de M est d6fini par:

II M ][ = inf{S lail/Xai ~ri repr6sente la classe fondamentale de M,

ajaR, ai simplexes singuliers}.

Le volume simplicial et le volume sph6rique sont reli6s par le:

T(m)>21-~n T. It M II. Th6or~me 3.16.

Remarque. Ce th6or~me prouve en partieulier que toute vari6t6 compacte de courbure sectionnelle strictement n6gative (qui est de volume simplicial non nul par le th6or+me de Thurston) v6rifie T ( M ) ~ O.

Preuve. Nous commen~ons par suivre [-Grol]. On consid6re les immersions : M ~ ~'1 de M dans l'ensemble J/1 des probabiliti6s sur )~ qui sont 6quivari-

antes par Faction de n 1 (M) = F (i.e. ~O (y (x)) = y* ~k (x) pour y ~ F). Pour ehaque immersion r la masse de ~k(M) est d6finie par:

(3.17) masse ~k (M) = sup { S ~ /~, n-forme diff6rentielle ferm6e O(M)

sur l'espace vectoriel des mesures born6es de M telle que II~[I o~ _-< 1}

off ~k(M) est l'image d'un domaine fondamental de M par ~O. Nous allons voir que pour chaque immersion ~k:

(3.18) It M ]1 < n! masse ~k (m).

Le th6or6me 3.16 d6coule alors de l'observation suivante: l'applieation

fi__.fz fi

qui permet d'associer/L toute immersion F-+quivariante ~ d e / ~ dans S ~ c L z (If~I, /~) l'immersion F 6quivariante r = J o e de M dans J/~ est lipschitzienne de rapport 2 de sorte que:

(3.19) masse(J o ~(M)) < 2" vol ~.

I1 reste done ~ prouver (3.18). Nous suivons [Gro 1]. On consid6re le sous- complexe Cg'(/14, F) du complexe des cocha~nes singuli6res de M d6fini par

C~()~, F) = {c: M R + 1 __. R/F-invariantes, antisym6triques, continues, born6es}.


En effet, on peut associer ~t c la cochalne singuli6re

c (~)=C(~o . . . . , ~.)

o6 a o . . . . . a, sont les sommets du simplexe a. La cohomologie de ce complexe est la cohomologie born6e de M, not6e

H'~(M), cf. [Gro 1] p. 48. Avec la semi-norme sur H'~(M) d6fine par II [c] II 00 = inf suplc'l on a la d6fini-

c'~[c] tion cohomologique de II M II:

(3.20) fl M II = s u p {fl([M])/flaH~(M), II/~ tl oo ~ 1}.

Consid&ons par ailleurs le complexe

... -~ C ~ ( ~ , F) -~ C~+ ~ ( ~ , r ) - , . . .

off C~(M/1 , F) est l'espace des applications

C: , /~1 k + l "-~ a

F-invariantes, antisym6triques, continues born6es et lin6aires par rapport aux combinaisons barycentriques, le bord &ant d6fini par

k + l

dc(lZo . . . . . #k+0 = ~ (-- 1) i C(#O, ...,/~i . . . . ,/~k§ i = 0

On note H*(J//1, F) la cohomologie de ce complexe. De la m~me fa~on que pour H~(M), on d6finit une semi-norme sur H*(~/1,F), not6e 6galement II II ~0. En fait, ces deux cohomologies sont identifi6es par l'application 0": Hk(M) ---, nk(J /1 , F)induite par 0: Ck(]~, F ) ~ Ck(~//l, F) off

O(c)(po, ..., I~k)= S c(yo . . . . . Yk) IZO | ... | Pr6cis6ment, on a:

Lemme 3.21. Toute application continue F-dquivariante ~: )Q1 - . J/g1 induit un isomorphisme isomdtrique ~b* entre H*(Jgl, F) et H* (M) dont la rdciproque est O.

Preuve. Deux applications continues F-6quivariantes de 2~ dans J[1 sont clairement homotopes et done induisent le m~me morphisme entre H*(Jt/~, F) et H~(M). On peut done choisir ~(x)=~bt(x)=k(t; x, y )dy off k(t; x, y) est le noyau de la chaleur et dy la mesure riemannienne de M associ6s ~ une m&rique riemannienne F-p&iodique.

Soit c~ck(I~I, F). Comme

(qj*o 0)(c)(yo, . .-, yk) = S c (z0 . . . . . z~) qJ, (yo) | | ~, (yk),

il suit que (~k*oO)(c) est cohomologue ~ c (car~o(Z)=bz) et donc ~,*o0=Id sur nk(M).

Soit a~Ck(dg~, F). On a par d6finition

0o ~b* (a)(/ao, ...,/~k) = ~a(~,(Zo), ..., ~Ot(Zk)) #0 | | I~k �9


C o m m e a est lin6aire pa r r a p p o r t aux combina i sons barycentr iques , on d6duit

(0 o q,,*)(a) ( i to , . . . , Itk) = a ( k , , Ito . . . . . k, * ~k)

off k~*it/=([.k(t; x, y ) i t i ( y ) )dy , (il suffit de le v6rifier lorsque les Iti sont des combina i sons barycen t r iques de masses de Dirac).

Ainsi (0 o O*)(a) est c o h o m o l o g u e fi a, (puisque ko* Iti = Iti) et donc 0"o ~* = Id sur Hkb(J//1, r ) .

Pa r ailleurs, p o u r [c] e H * ( M ) , on a:

II 0* ( [c] ) t l co < inf II O(c')ll oo ~ inf II c' 11 oo = II [c ] I I o~. c" ~[c] c'e[cl

I1 est i m p o r t a n t de no te r que a n 'est pas une cochalne ferm6e sur J//, c 'est sa res t r ic t ion/ t d//~ qui est une cochalne ferm6e.

En effet,

n+l

d a = ~, ( - 1 ) i a ( i t o . . . . . /~i . . . . . It,+1) i=0

= ~ .X( - 1)ic(yo, . . . , .9i . . . . . Y. + 1) dito(Yo). . , diti(y~).., dit ,+ a (y.+ 1)

= j X ( - 1)i (iti (lffl))- 1 c (Yo . . . . . .9i . . . . . Y. + 1) d Ito (Yo)... d Iti (Yi)... d It. + 1 (Yn + 1)

= O [ d c ] = O si I t i ( M ) = l .

De m~me, p o u r [ a ] e H * ( J l l , r ) , on a

II~b*(I-a])ll o~ = Ill-a] ~ ~ inf Ila'~ II ~ III-a]ll ~. a'~ta]

Ceci ach6ve la p reuve du l emme 3.21. A cause de ce l emme et de (3.20), on obt ient p o u r toute immers ion qJ: /~

II M II = s u p { N [ M ] ) , fl~H~,(M), 11/~ II o~ _-< 1}

= s u p {(0" fl)(~b, [M])/fl~HT,(M), II/3 II o~ --< 1 }.

Soit c~C~,(iV1, F) un repr6sentant de fl6H~,(M). Le repr6sentant O(c) de O*fl est la restr ict ion fi i l l de la forme lin6aire altern6e d6finie sur l 'espace J r des mesures born6es sur M par O(c)(#o . . . . . It .)=SCito | ... @ It..

A toute forme altern6e a sur J / / o n associe c o m m e dans [ G r o 1] la n- forme diff6rentielle 5 sur J//1 d6finie pa r 5 , ( i t l , . . . , I t . )= n ! a (it, It1 . . . . . #.) off P l . . . . . It, sont tangents /~ ~r i.e. I t / (M)=0 , p o u r tout i. Cet te forme est caract6ris6e par le fait que l ' int6grale de 5, sur le s implexe #o, It~ . . . . . It, vaut a(ito . . . . , It.).

On d6finit la comasse de 5 par :

c o m a s s e 5 = s u p {5 . (/~ 1 . . . . . m ) / l i t l = l i t , I . . . . . I m l = 1}

de sorte que comasse (5) = n ! l[ 5 [1 ~, off ~i est la restr ict ion de a fi ~//a. De plus, lorsque 5 est ferm6e, 5 est ferm6e de sorte que ~i(~k. [ M ] ) = S

#(M) .


On d6duit de ce qui pr6c6de que:

IIMII =sup{ S a /a=O(c),[c]=fleH~(M), II/~llo~<l} ~(M)

n ! sup { ~ ~ /a, n-forme diff~rentielle ferm&e sur ~/, comasse ~ < 1 } ~(M)

ce qui prouve 3.18, et ach~ve la preuve du th~or~me 3.16.

Remarque. L'in6galit6 T(M)>2"@ II M II n'est pas optimale, puisque lorsque M

7~ est une surface de genre 7, T ( M ) = ~ ( 7 - 1 ) (cf. remarque 3.14) et que IIM[I = 4 ( 7 - 1 ), cf. [Gro 1] p. 9.

Du corollaire 3.13 et du th6or6me 3.16, on d6duit le

Corollaire 3.17. Soit M une variOt~ compacte de dimension n. On a:

nn/2 min vol M > II M I1-

- n ! ( n - - 1)"

1 Dans [Gro 1], M. Gromov obtient min vol M_> /[ M ]].

- n! (n-1)"

Remarque 3.18. (i) Dans la remarque qui suit le th6or6me 3.2, nous avons d6fini , . f / T ( N ) f

T ( M ) = I n f j ~ / N - - - - ~ M rev&ement de degr6 fini~. I1 est clair que J

T* ( M) >= 2 ~ . I[ M ]I puisque pour tout rev~tement N ~ M de degr6 d, [[NIl

= d ]l M II, cf. [Gro 1]. (ii) A titre d'exemple de m&rique pour laquelle T( [g] )> 0 on a le

Lemme 3.19. Pour que T([g-]) > 0, une condition n~cessaire est que F soit gt croissance exponentielle, une condition suffisante est que F ne soit pas moyennable.

Preuve. Le th6or6me 3.8 montre que

T([g]) > 0=:- hv (g) ~e O ~ la croissance est exponentielle et

T([g])=O=> 2o(g)=O

ce qui, d'apr~s un argument de R. Brooks ([Bro]), est 6quivalent/t la moyennabi- lit~ de F.

Appendix A

Nous pr6sentons ici un calcul de la variation seconde de la fonctionnelle S(g) 2--11

=(volg) n S scal(g)dvs. M

Pour t~R, posons gt=g+th, pour une m6trique g sur M e t h un 2-tenseur sym6trique.


Nous noterons:

(i) d vt la forme volume de g, (ii) r t la courbure de Ricci de g,

(iii) s, la courbure scalaire de g,

et nous poserons

1 [ [n - -2 \ 1 , stdvt]g,.] A (t) = - r, +-- st-- - - - - J

En utilisant les formules de variations premi6res du tenseur de courbure, (cf. [Be] th6or6me 1.174, p. 62), on obtient:

d 2--71

1. ~-S(g t )=(vol g,) 71 ~ (A(t),h}**dv, M

1 2 2

2. (vol gt) -~ d [S(g,)] = - 2 ~ (A(g,), h o h)g~ dvt M

I n - 2 ] 1 ( . --\2n-n Jvo~gt 2 (g , ,h)gdv , ) . (~ (A(gt),h)gdv,)

g, d vt § 2 ~ (A(gO'h)g' (&'h)g~dvt+M ~ - ~ r t + ~ ~ s t gt, h

1 s n - 2 s dvt ]

n--2 1 1 --rt+-- s,-- I h)g dv,].

3. En t = 0 si on suppose que go est d'Einstein, on a A(0)=0 et en utilisant d'autre part les relations (cf. [-Be] th6or6me 1.174)

d 1 . 1 . i 1 (a) ~ r, = ~ Dg, Ds, h + ~ r t o tl + ~ h o r t - l~g t(h)- 6" (6,t h)--~ D,, d [Trac%, h]

d (b) ~ - st = Ag,(Trac%,(h)) + 6,,(6gth ) - (rt, h)g t

on obtient lorsque go est une m6trique d'Einstein:

71-2 d 2 1 ~ [Dgoh]2 + ~ ( /~go(h),h), ~ [v~176 ~ d~- ,=o S(g')= 2M M

1 + S 6go (6go h) Traceg o h + = S Ago (Trac%o h) Trac%o (h)

M 2M

~--~S,o[~ (Trac%o(h))2-(n-21(\n/M~ Trac%o(h)) 2 voTgo] + ~ ]6 .o hI2"


On a pour h~Tg o ~':

n-2 d 2 I _ 1 ~ ]Dgohl2+ ~ (l~go(h),h)g ~ [vol go] ~5~t=o S(g~)= 2 ~, M

car Tso Z' est l'ensemble des 2-tenseurs sym&riques sur M tels que 6goh = 0 et Traceso h =0 , (cf. [Be] p. 131).

Appendiee B

Du th6or6me local, on d6duit le

Corollaire B 1. Soit go une m&rique d'Einstein d courbures sectionnelles n~gatives, il existe un voisinage ql' de go dans S, (pour la topologie I.L.H) tel que pour g ~ ql',

'g isospectrale ~ go =e. g isom~trique ?t go.

Preuve. Le th6or6me local implique que pour geq i '=q /n2S tel que Vol(g) =Vol(go) et ~ scal(g) dvg= ~ scal(go) dvg o, g est isom&rique ~t go, ce qui prouve

M M

le corollaire car Vol(g) et ~ scal(g) dvg sont des invariants spectraux. ~t

Afin d'&re complet nous donnons la proposition duale due ~t A. E1 Soufi et S. Ilias [E-I].

Proposition B2 [E-I]. Soit go une m~trique de courbure scalaire constante n~gative sur une variOt~ de dimension > 3. Pour route m~trique g dans la classe conforme de go, on a

g isospectrale fi go ~ g = go.

Preuve. On 6crit go = e2:g alors par [Be] p. 59,

scal (go) = e - 2: [scal (g) + 2 (n - 1) A j - (n - 2) (n -- 1 )l dfl z]

en int~grant, nous obtenons

e2:(-scal(go)) dvg= ~ -(scal(g)) dvg+ S ( n - 2 ) ( n - 1)ldfl~ dv~ M M M

l'in~galit6 de H61der donne

n - - 2

-- scal(go)( ~ enfdvg) 2In Vol(g)-7--> ~ ( - scal(g)) d Vg M M

avec 6galit6 si et seulement s i f = 1. Or

e": d vg = Vol (go) = Vol (g) M


car ge t go sont isospectrales et

- - scal (go) Vol(go) = S ( - scal (go)) d Vo = S ( - scal (g)) d v, M M

car g et go sont isospectrales. L'in6galit6 pr6c6dente est donc une 6galite et g=go. []

A p p e n d i c e C

Dans cette appendice nous esquissons la preuve du r6sultat suivant

Proposition C 1. Soit (M, g) une vari~t~ riemannienne quotient d'un espace sym~trique gt courbure nkgative ou nulle, alors

2o(g) = g).

Preuve. Rappelons que 2 o et h v sont respectivement l'infimum du spectre et l 'entropie volumique de M muni de la m6trique induite par g.

L'espace sym&rique M est le quotient d'un groupe de Lie semi-simple G par un sous-groupe de Lie compact K, G/K &ant muni de la m&rique d6finie par la forme de Killing de G (ceci fixe la normalisation).

Soit xo~ M le point correspondant ~ l'616ment neutre de G. Tout vecteur unitaire Uo en Xo est dans au moins une chambre de Weyl Wo, qui est dans un sous-espace plat totalement g6od6sique de /~, A o. Ce dernier est l'image par l'exponentielle de G et le passage au quotient par K d'une sous-alg6bre de Lie ab61ienne maximale ~ de l'alg6bre de Lie ff de G.

Soit A § l'ensemble des racines positives d6finies par la chambre de Weyl Wo.

Pour s e A § on d6finit le vecteur e ~ e d par

. ( X ) = ( e . , X ) pour tout X e d ,

Soit m, la multiplicit6 de la racine a, posons

n = ~ m, e, a e A +

H est un vecteur de d qui pointe vers le centre de la chambre de Weyl Wo. Soit c(t) la g6od6sique de M partant de Xo et de vecteur initial Uo, il r6sulte

de calculs standards de champs de Jacobi que le taux de croissance de l'616ment de volume dans la direction de u o est donn6e par

a(Uo) = (H, Uo) ~tEA +

plus pr6cis6ment si O(t, Uo) est le jacobien de l'exponentielle eXpxo a :

lim (L~176 ~ ~Z(Uo)= LOg(O(t'u~ t ~ + ~ ~tcA + t

(en effet, la quantitr Log(O(t, Uo))/t est ind6pendante de t).

en t Uo on


Le taux de croissance est donc maximal si Uo est colinraire ~ H et vaut donc

E ~ = IrHtl. a ~ A +

Un argument 616mentaire montre alors que c'est la valeur du taux de croissance du volume des sphrres ou des boules centrres en Xo, c'est-~-dire que

hv(g) = IIHll.

Dans [O 1] (cette r6f6rence n'existe qu'en version originale russe), il est prouv6 que

&(g ) = ~ II H II 2

Ceci peut 6galement se d6duire des r6sultats 6nonc6s dans [Gui], off une m&hode plus 616mentaire est pr6sent6e.

Bibliographie

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